КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
О.В. ВАКУЛЕНКО С.Є. ЗЕЛЕНСЬКИЙ С.В. КОНДРАТЕНКО
МЕХАНІКА Навч...
45 downloads
398 Views
1MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
О.В. ВАКУЛЕНКО С.Є. ЗЕЛЕНСЬКИЙ С.В. КОНДРАТЕНКО
МЕХАНІКА Навчальний посібник для студентів геологічного факультету
УДК 531/534(075.8) ББК 22.2я73 В14 Рецензенти: д-р фіз.-мат. наук, проф. В . Ф . К о в а л е н к о , канд. фіз.-мат. наук, доц. Ю . А . М а р а з у є в
Рекомендовано до друку вченою радою фізичного факультету (протокол № 1 від 18 вересня 2006 року)
В14
Вакуленко О.В., Зеленський С.Є., Кондратенко С.В. Механіка : Навч. посіб. для студентів геологічного факультету. – К.: Видавничо-поліграфічний центр "Київський університет", 2007. – 127 с.
ISBN 966-594-906-3 Розглянуто фізичний зміст основних законів релятивістської (ньютонівської) і нерелятивістської механіки – закони руху та збереження енергії, імпульсу та моменту імпульсу. Наведено приклади застосувань законів і поради щодо їх використання. Для студентів природничих спеціальностей та учнів фізико-математичних ліцеїв, гімназій і шкіл.
УДК 531/534(075.8) ББК 22.2я73
ISBN 966-594-906-3
© О.В. Вакуленко, С.Є. Зеленський, С.В. Кондратенко, 2007 © Київський національний університет імені Тараса Шевченка, ВПЦ "Київський університет", 2007
2
ЗМІСТ ПЕРЕДМОВА ................................................................................................ 5 Розділ 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ МЕХАНІКИ................................................ 5 1.1. Механічний рух. Предмет механіки................................................. 5 1.2. Система відліку................................................................................. 7 1.3. Траєкторія, довжина шляху та вектор переміщення точки ........... 9 1.4. Швидкість ........................................................................................ 11 1.5. Прискорення ................................................................................... 12 1.6. Кінематика обертального руху матеріальної точки ..................... 13 1.7. Поступальний та обертальний рух твердого тіла ........................ 16 Розділ 2. ЗАКОНИ НЬЮТОНА.................................................................. 19 2.1. Перший закон Ньютона. Інерційні системи відліку ...................... 19 2.2. Сила................................................................................................. 20 2.3. Маса. Імпульс.................................................................................. 22 2.4. Другий закон Ньютона.................................................................... 23 2.5. Третій закон Ньютона. Рух центра інерції .................................... 25 2.6. Рух тіла змінної маси...................................................................... 26 2.7. Закон збереження імпульсу ........................................................... 28 2.8. Перетворення Галілея. Механічний принцип відносності ........... 29 Розділ 3. РОБОТА ТА МЕХАНІЧНА ЕНЕРГІЯ ........................................ 32 3.1. Енергія, робота та потужність........................................................ 32 3.2. Кінетична енергія ............................................................................ 35 3.3. Потенціальна енергія ..................................................................... 37 3.4. Закон збереження механічної енергії............................................ 40 3.5. Абсолютно пружний і непружний удари........................................ 44 Розділ 4. ДИНАМІКА ОБЕРТАЛЬНОГО РУХУ ........................................ 48 4.1. Момент сили та момент імпульсу.................................................. 48 4.2. Момент інерції................................................................................. 51 4.3. Основний закон динаміки обертального руху .............................. 54 4.4. Прецесія .......................................................................................... 57 4.5. Закон збереження моменту імпульсу............................................ 59 Розділ 5. ОСНОВИ СПЕЦІАЛЬНОЇ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ ................... 63 5.1. Постулати спеціальної теорії відносності ..................................... 63 5.2. Одночасність подій. Синхронізація годинників............................. 64 5.3. Перетворення Лоренца .................................................................. 66 5.4. Відносність довжин і проміжків часу. Інтервал між двома подіями .......................................................... 67 5.5. Перетворення швидкостей і прискорень у релятивістській кінематиці .......................................................... 72 5.6. Основний закон релятивістської динаміки.................................... 75 5.7. Закон взаємозв'язку маси та енергії.............................................. 77 3
Розділ 6. ТЯЖІННЯ .................................................................................... 80 6.1. Закон всесвітнього тяжіння .......................................................... 80 6.2. Гравітаційне поле ......................................................................... 83 6.3. Закони Кеплера. Космічні швидкості ........................................... 87 Розділ 7. РУХ У НЕІНЕРЦІЙНИХ СИСТЕМАХ ВІДЛІКУ .......................... 91 7.1. Кінематика відносного руху.......................................................... 91 7.2. Сили інерції ................................................................................... 93 7.3. Вплив обертання Землі навколо осі на рух тіл. Сила зважування та вага тіла ...................................................... 95 7.4. Вплив Сонця й Місяця на рух тіл на Землі ................................. 98 7.5. Принцип еквівалентності.............................................................. 99 Розділ 8. МЕХАНІЧНІ ВЛАСТИВОСТІ РІДИН І ГАЗІВ.......................... 101 8.1. Рівняння руху ідеальної нестисливої рідини ............................ 102 8.2. Розподіл тиску в нерухомих рідинах і газах. Закон Паскаля... 104 8.3. Закон Архімеда ........................................................................... 106 8.4. Атмосфера в полі тяжіння. Барометрична формула ............... 107 8.5. Гравітаційне самостиснення планети ....................................... 109 8.6. Гідростатична модель обертання планети............................... 111 8.7. Кінематичний опис руху рідини. Теорема нерозривності ........ 112 8.8. Стаціонарний рух ідеальної рідини. Рівняння Бернуллі.......... 114 8.9. Витікання рідини з отвору. Формула Торічеллі ........................ 118 8.10. Застосування закону збереження імпульсу під час руху рідин ... 120 8.11. Сили в'язкості.............................................................................. 122 8.12. Рух тіл у в'язкому середовищі ................................................... 123 8.13. Стаціонарний рух в'язкої рідини в трубі. Формула Пуазейля ...................................................................... 125 8.14. Ламінарний і турбулентний рух ................................................. 126 ЛІТЕРАТУРА ............................................................................................. 127
4
ПЕРЕДМОВА Мета даного навчального посібника – розглянути основні закони механіки, зокрема закони руху та збереження енергії, імпульсу і моменту імпульсу, а також навести приклади, як слід застосовувати ці закони для розв'язання практичних задач. Навчальний посібник розрахований для студентів вищих навчальних закладів природничих спеціальностей. Завдання будь-якого курсу загальної фізики – по-перше, викласти студенту основні принципи та закони фізики, їх математичне представлення; по-друге, ознайомити його з основними фізичними явищами, методами їх спостереження, надати студенту уявлення про застосування фізичних моделей і теорій. Як правило, курс "Механіка" викладається студентам першого курсу в першому семестрі, коли курс "Математичного аналізу" ще не засвоєний. Тому, при написанні посібника основні зусилля були спрямовані на подання основних законів "Механіки" в описовій формі, щоб сформувати у студентів основні уявлення, необхідні для опису та розуміння основних фізичних явищ і процесів.
Розділ 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ МЕХАНІКИ 1.1. МЕХАНІЧНИЙ РУХ. ПРЕДМЕТ МЕХАНІКИ Найпростішим видом руху в природі є механічний рух, який полягає в зміні взаємного розташування тіл або їх частин у просторі з плином часу. Розділ фізики, який вивчає закономірності механічного руху, називається механікою. Найчастіше під механікою розуміють саме класичну механіку, в якій розглядаються рухи макроскопічних тіл зі швидкостями, набагато меншими від швидкості світла у вакуумі. В основі класичної механіки лежать закони Ньютона, тому її часто називають ньютонівською механікою. Закономірності руху тіл зі швидкостями, близькими до швидкості світла у вакуумі, є предметом релятивістської механіки, а закономірності руху мікрочастинок (наприклад, електронів у атомах, молекулах, кристалах тощо) – квантової механіки. У класичній механіці традиційно розрізняють такі основні розділи: кінематика, динаміка, статика. У кінематиці подається математичний опис усіх можливих видів механічного руху безвідносно до причин, які зумовлюють кожен конкретний вид руху. У динаміці розглядають причини змі5
ни руху тіл, вивчається вплив взаємодії між тілами на їх механічний рух. У статиці розглядаються закони складання сил і умови рівноваги тіл. Механічні властивості тіл визначаються їх хімічною природою, внутрішньою будовою і станом, розгляд яких є предметом не механіки, а інших розділів фізики. Тому для опису реальних рухів тіл у механіці користуються, залежно від умов кожної конкретної задачі, різноманітними спрощеними моделями: матеріальна точка, абсолютно тверде тіло, абсолютно пружне тіло тощо. Найпростішим об'єктом, рух якого вивчає класична механіка, є матеріальна точка. Матеріальною точкою називається тіло, розміри якого настільки малі, що при розгляді руху їх можна не враховувати. При цьому прийнято вважати, що вся речовина ніби зосереджена в одній геометричній точці, а отже форма й розміри тіла неістотні в умовах такої задачі. Матеріальних точок в природі не існує. Таке поняття є абстракцією, ідеалізованим образом, але те чи інше матеріальне тіло за певних обставин можна вважати матеріальною точкою. Наприклад, рух корабля з одного пункту в інший розглядають як рух матеріальної точки. Проте, якщо необхідно врахувати таку деталь, як гойданка корабля при хвилюванні моря, корабель слід розглядати як протяжне тіло, що має певну форму. Часто для скорочення замість "матеріальна точка" говорять просто "точка". Будь-яке протяжне тіло чи систему таких тіл, які утворюють досліджувану механічну систему, можна розглядати як систему матеріальних точок. Для цього всі тіла системи потрібно подумки розбити на таку велику кількість частин, щоб розміри кожної були нехтовно малі порівняно з розмірами самих тіл. Матеріальне тіло – це сукупність матеріальних точок, які можна ідентифікувати. Завдяки цьому можна говорити про взаємне розташування різних точок тіла. Абсолютно твердим тілом у механіці називають незмінну систему матеріальних точок, тобто таку ідеалізовану систему, в якій при будь-яких рухах взаємні відстані між матеріальними точками системи залишаються незмінними. При будьяких впливах відстань між будь-якими двома точками абсолютно твердого тіла не змінюється, і воно зберігає свою форму. Абсолютно тверде тіло можна розглядати як систему матеріальних точок, жорстко зв'язаних між собою. Такий підхід дозволяє описати складний рух матеріальних тіл, зокрема рух з обертанням. Усі реальні тіла деформуються, тобто змінюють свою форму чи об'єм під впливом прикладених сил. Для твердих тіл розрізняють два види деформацій: пружні та пластичні. П р у ж н и м и називають деформації, які зникають після усунення причин, що їх викликали. П л а с т и ч н и м и називають такі деформації які хоча б частково залишаються після припинення дії сил. Якою буде деформація – пружною чи пластичною – залежить від властивостей тіл і від прикладених навантажень. При описі деформації тіл користуються такими ідеалізованими поняттями: абсолютно пружне тіло та абсолютно непружне тіло. Абсолютно пружним тілом 6
називається тіло, деформація якого підкоряється закону Гука. Після припинення зовнішньої силової дії таке тіло повністю відновлює свої первісні розміри і форму. Абсолютно непружним називається тіло, яке після припинення зовнішнього силового впливу повністю зберігає деформований стан, спричинений цією дією.
1.2. СИСТЕМА ВІДЛІКУ У механіці рухом називають зміну положення тіла в просторі з плином часу. При цьому, визначають саме відносне положення, тобто розташування певного тіла відносно інших тіл. Наприклад, є сенс говорити про положення планети відносно Сонця, літака чи теплохода – відносно Землі, але не можна вказати їх положення в просторі "взагалі", безвідносно до якого-небудь конкретного тіла. Уявне абсолютно тверде тіло, відносно якого визначається положення інших тіл, називається системою відліку. У кожній конкретній задачі вибір системи відліку здійснюється так, щоб якнайбільше спростити розв'язання цієї задачі. Зазвичай у фізиці користуються інерціальними системами відліку. Для опису простору, в якому здійснюється рух матеріального тіла, з системою відліку пов'язують просторову систему координат. Найпоширенішою є прямокутна декартова система координат (рис. 1.1), ортонормований базис якої утворений трьома одиничними за модулем і взаємно ортогональними векторами i, j та k, проведеними з початку координат О. Слід підкреслити, що взаємне розташування ортів i, j та k не довільне, а однозначно задається співвідношенням [ i, j] = k . Положення довільної точки М характеризується радіус-вектором r, який з'єднує початок координат О з zk точкою М. Вектор r можна розкласти M(x,y,z) за базисом i, j, k : r = xi + yj + zk , де x r k i, y j та zk – компоненти (складові) векyj Y j тора r за осями координат. Коефіцієнxi i ти розкладу x, y, z – це декартові коx ординати точки М, а також, унаслідок X y M' ортогональності векторів базису, – проекції радіус-вектора r на відповідні Рис. 1.1 осі координат. Окрім декартової системи координат, часто вживають циліндричну і сферичну системи координат (рис. 1.2 і 1.3). У циліндричній системі координатами точки є три числа: r , ϕ, z . Як видно з рис. 1.2, циліндричні координати можна Z
виразити через декартові координати: x = r cos ϕ; y = r sin ϕ; z = z . 7
Z Z
z M
M Y X
ϕ
θ
r
r
Y
ϕ X
Рис. 1.2
Рис. 1.3
У сферичній системі координатами є радіус і два кути: r , θ, ϕ . Перехід від сферичних до декартових координат можна здійснити за формулами
x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ . Очевидно, що фізичний результат розв'язку тієї чи іншої задачі не повинен залежати від вибору системи координат. Вибір системи координат здійснюється дослідником з міркувань зручності розгляду та спрощення математичних перетворень. Одним з найважливіших моментів, що впливає на вибір системи координат, є симетрія задачі. Наприклад, для опису руху об'єкта по поверхні сфери доцільно застосувати сферичну систему координат (можна застосувати й декартову, але математичні викладки виявляться громіздкими). У фізичних задачах часто використовуються математичні вирази для нескінченно малих елементів об'єму dV . У декартовій системі координат диференціал об'єму виглядає найпростіше: dV = dx dy dz . У циліндричній і сферичній системах диференціали об'єму записують відповідно
dV = r d ϕ dr dz і dV = r 2 sin θ dr d θ d ϕ . Наведені вирази отримують з простих геометричних міркувань. Рух матеріальної точки повністю визначений, якщо задано три неперервні та однозначні функції її координат від часу t, наприклад,
x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) або r = r ( t ) , θ = θ ( t ) , ϕ = ϕ ( t ) . Ці рівняння називаються кінематичними рівняннями руху точки. Вони еквівалентні одному векторному рівнянню руху точки: r = r ( t ) .
8
1.3. ТРАЄКТОРІЯ, ДОВЖИНА ШЛЯХУ ТА ВЕКТОР ПЕРЕМІЩЕННЯ ТОЧКИ Задача кінематики полягає в описі руху матеріальної точки без з'ясування його причин. Описати рух матеріальної точки – означає вказати її положення в будь-який момент часу, тобто вказати для кожного моменту часу ту точку системи відліку, де перебуває матеріальна точка. Під час свого руху точка проходить неперервну послідовність точок систем відліку. Лінія, яку описує в просторі рухома точка, називається її траєкторією. Описати рух матеріальної точки можна в координатній формі. Матеріальна точка, яка вільно рухається в просторі, може здійснювати тільки три незалежних рухи, тобто такі, жоден з яких не можна подати у вигляді комбінації інших. І справді, рух точки вздовж кожної з осей прямокутної декартової системи координат не можна здійснити за рахунок її переміщення вздовж інших двох осей. Кількість незалежних змінних, якими описується механічна система, називається кількістю ступенів вільності цієї системи. Отже, матеріальна точка має три ступені вільності, і її положення визначається трьома координатами. Під час руху ці координати змінюються, тобто є деякими функціями часу. Описати рух – це вказати ці функції. У випадку прямокутної декартової системи координат для опису руху достатньо системи трьох рівнянь: x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) . Положення тіла можна задати за допомогою радіус-вектора r відносно деякої точки, яку прийнято за початок відліку. Таке задання положення тіла передбачає лише наявність системи відліку й не потребує введення системи координат. Радіус-вектор розглядається як величина, що задається для різних моментів часу. Описати рух матеріальної точки у векторній формі означає вказати залежність r = r ( t ) . Вищезгадані рівняння називаються кінематичними рівняннями руху. Вони задають рівняння траєкторії матеріальної точки в параметричній формі (параметр – час t). Залежно від форми траєкторії, розрізняють прямолінійний і криволінійний рух точки. Рух точки називається плоским, якщо її траєкторія цілком лежить в одній площині. У загальному випадку траєкторія матеріальної точки являє собою не плоску, а просторову криву. Для такої кривої вводиться поняття стичної площини. Стичною площиною в довільній точці М кривої називається граничне положення площини, яка проходить через будь-які три точки кривої, коли ці точки необмежено наближаються до точки М. Стичним колом у точці М кривої називається границя кола, яке проходить через три точки розглядуваної кривої, коли ці точки необмежено наближаються до точки М. Стичне коло лежить у стичній площині. Центр стичного кола та його радіус називаються відповідно центром і радіусом кривизни розглядуваної кривої в точці М. Пряма, що з'єднує точку М із 9
центром кривизни, називається головною нормаллю до кривої в точці М. Дотична до кривої в точці М перпендикулярна до головної нормалі в цій точці, і також лежить у стичній площині. Довжиною шляху точки називається сума довжин усіх ділянок траєкторії, пройдених цією точкою за розглядуваний проміжок часу. Момент часу t = t0 , з якого починає розглядатися рух точки, називається початковим моментом часу, а положення точки в цей момент (точка А на рис. 1.4) – початковим положенням. Через довільність вибору початку відліку часу зазвичай покладають t0 = 0 . Довжина шляху s, пройденого точкою з її початкового положення, є скалярною функцією часу: s = s (t ) , причому, як видно з самого означення, довжина шляху точки не може бути від′ємною величиною. Якщо точка рухається по дуговій траєкторії АВ (рис. 1.4) весь час в одному напрямку і в момент часу t знаходиться в точці М, то s (t ) = AM . Якщо ж точка рухається по більш складній траєкторії, наприклад на момент часу t1 < t переміщується з А в В, а потім, рухаючись у зворотному напрямку, на момент часу t повертається в точку М, то s (t ) = AD + BM . z M
A
B
r0 – r r
r(t)
O x Рис. 1.4
y
Вектором переміщення точки за проміжок часу від t = t1 до t = t2 називається вектор, проведений з положення точки в момент t1 в її положення в момент t2 . Він дорівнює приросту радіус-вектора точки за розглядуваний проміжок часу r2 − r1 = r ( t2 ) − r ( t1 ) . Вектор переміщення завжди спрямований уздовж хорди, що стягує відповідну ділянку траєкторії. На рис. 1.4 показано
вектор переміщення точки за проміжок часу від t0 до t , який становить величину r − r0 = r ( t ) − r ( t0 ) . Вектор переміщення точки за проміжок часу від t до t + Δt дорівнює
Δr = r ( t + Δt ) − r ( t ) = Δx i + Δy j + Δz k , де Δx , Δy і Δz – прирости (зміни) координат точки за розглядуваний проміжок часу. 10
1.4. ШВИДКІСТЬ Для характеристики швидкості руху тіл у механіці вводиться поняття швидкості. Середньою швидкістю рухомої точки в інтервалі часу від t до t + Δt називається вектор v сер , який дорівнює відношенню приросту Δr радіус-вектора точки в цей проміжок часу до тривалості руху Δt :
v сер =
Δr . Δt
Вектор v сер напрямлений так само, як і Δr , тобто вздовж хорди, яка стягує відповідну ділянку траєкторії точки. Швидкістю (або миттєвою швидкістю) точки називається векторна величина v , яка дорівнює першій похідній за часом від радіус-вектора r розглядуваної точки:
v=
dr . dt
Швидкість точки в момент часу t дорівнює границі середньої швидкості v сер при необмеженому зменшенні тривалості інтервалу Δt :
Δr = lim v сер . Δt →0 Δt Δt → 0
v = lim
Вектор v швидкості точки спрямований по дотичній до траєкторії в бік руху так само, як і вектор dr = v dt нескінченно малого переміщення точки за дуже короткий проміжок часу dt . Шлях ds , пройдений точкою за час dt , дорівнює модулю вектора переміщення: ds = dr . Тому модуль вектора швидкості точки дорівнює першій похідній від довжини шляху за часом:
v= v =
ds . dt
Як будь-який вектор, вектор v можна розкласти за базисом прямокутної декартової системи координат: v = vx i + vy j + vz k . Проекції швидкості точки на осі координат дорівнюють першим похідним за часом від відповідних координат точки:
vx =
dx dy dz , v y = , vz = , dt dt dt
а модуль вектора швидкості: 2
2
2
dx dy dz v = v = ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟ . ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 11
Під час прямолінійного руху точки напрямок вектора її швидкості зберігається. Рух точки називається рівномірним, якщо модуль її швидкості не змінюється з часом: v = ds dt = const . При рівномірному русі точки довжина пройденого нею шляху s залежить від часу лінійно: s = vt (за умови, що t0 = 0 ). Якщо модуль швидкості точки зростає із часом ( dv dt > 0 ), то рух називається прискореним, а якщо спадає ( dv dt < 0 ), то рух називається сповільненим. Середньою швидкістю нерівномірного руху точки на даній ділянці її траєкторії називається скалярна величина vсер , рівна відношенню довжини Δs цієї ділянки траєкторії до тривалості Δt проходження його точкою:
vсер =
Δs . Δt
Вона дорівнює модулю вектора швидкості такого рівномірного руху, при якому на проходження цього самого шляху Δs витрачається стільки ж часу, скільки й під час розглядуваного нерівномірного руху. Під час криволінійного руху точки Δr < Δs . Тому в загальному випадку середня шляхова швидкість точки vсер не дорівнює модулю середньої швидкості v точки на тій самій ділянці траєкторії: vсер ≥ v , де знак рівності відповідає прямолінійній ділянці траєкторії.
1.5. ПРИСКОРЕННЯ Для характеристики зміни вектора швидкості точки із часом в механіці вводиться поняття прискорення. Середнім прискоренням точки в інтервалі часу від t до t + Δt називається вектор aсер , що дорівнює відношенню приросту Δv вектора швидкості v точки за цей проміжок часу до його тривалості Δt :
aсер =
Δv . Δt
Прискоренням (або миттєвим прискоренням) точки називається векторна величина a , рівна першій похідній за часом від швидкості v розглядуваної точки або, що те ж саме, другої похідної за часом від радіусвектора r цієї точки:
a=
dv d ⎛ dr ⎞ d 2r . = ⎜ ⎟= dt dt ⎝ dt ⎠ dt 2 12
Прискорення точки в момент часу t дорівнює границі середнього прискорення aсер при необмеженому зменшенні тривалості інтервалу Δt :
Δv = lim aсер . Δt →0 Δt Δt →0
a = lim
Розклад вектора a за базисом прямокутної системи координат:
a = ax i + a y j + az k . Проекції прискорення на осі координат дорівнюють першим похідним за часом від відповідних проекцій швидкості або, що те ж саме, другим похідним за часом від відповідних координат точки:
ax =
dv y d 2 y dvx d 2 x , ay = , = = dt dt dt 2 dt 2
az =
dvz d 2 z . = dt dt 2
Модуль вектора прискорення: 2
2
2
2
2 2 ⎛ d2x ⎞ ⎛ d2 y ⎞ ⎛ d2z ⎞ ⎛ dv ⎞ ⎛ dv y ⎞ ⎛ dvz ⎞ a = a = ⎜ x ⎟ + ⎜⎜ + = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ dt 2 ⎟ ⎜ dt 2 ⎟ ⎜ dt 2 ⎟ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎟⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1.6. КІНЕМАТИКА ОБЕРТАЛЬНОГО РУХУ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ Розглянемо матеріальну точку, яка рухається по колу з центром у точці
O (рис. 1.5). Така точка має один ступінь вільності, тобто її положення в просторі повністю визначається величиною ϕ кута повороту її радіусвектора r з деякого певного (початкового) положення. За проміжок часу dt радіус-вектор точки повертається на кут dϕ . Згідно з означенням кута як відношення дуги до радіуса, для нескінченно малих величин, очевидно, можна записати d ϕ =
dr . r
Введемо вектор d ϕ, довжина якого дорівнює куту нескінченно маdr лого повороту гвинта dϕ , а напряМ dϕ мок визначається напрямком оберr О тання матеріальної точки згідно з правилом правого гвинта. Іншими словами, вектор d ϕ напрямлений Рис. 1.5 уздовж осі обертання так, що з його кінця обертання точки видно як таке, що відбувається проти годинникової стрілки. Вектори, подібні до d ϕ, напрямок яких пов'язується з напрямком обертання й змінюється при переході від правої системи коорω
13
динат до лівої, називаються псевдовекторами, або аксіальними векторами (на відміну від звичайних, полярних векторів, що не змінюють свого напрямку при такому перетворенні координат). Зауважимо, що векторний добуток двох полярних векторів є псевдовектором, а векторний добуток псевдовектора та полярного вектора – полярним вектором. Введений таким чином вектор dϕ дозволяє записати просте векторне співвідношення між переміщенням і радіус-вектором dr = [ d ϕ, r ] . Розділимо ліву й праву частини цього рівняння на dt та отримаємо важливу формулу v = [ω, r ] , де введено векторну величину ω =
dϕ , яка називається dt
кутовою швидкістю. У кінематиці обертального руху вона відіграє таку ж важливу роль, як вектор швидкості v у кінематиці поступального руху. Аксіальні вектори d ϕ і ω не мають певних точок прикладання: вони можуть відкладатися з будь-якої точки осі обертання. На рис. 1.5 вони відкладені з деякої точки О нерухомої осі обертання, яка приймається одночасно за початок координат системи відліку. Напрямок вектора ω легше за все визначати за правилом правого гвинта: він збігається з напрямком поступального руху правого гвинта, який обертається разом з точкою. Наприклад, вектор кутової швидкості невеликого тіла, що лежить на поверхні Землі й обертається разом з нею навколо її осі, яка спрямована вздовж осі обертання Землі в напрямку від південного полюса до північного і за модулем становить приблизно
2π / 24 / 60 / 60 ≈ 7.3 ⋅10−5 c −1 . Обертання називається рівномірним, якщо числове значення кутової швидкості не змінюється з часом: ω = const . У цьому випадку кут повороту залежить лінійно від часу: ϕ = ωt . Періодом обертання називається проміжок часу T , протягом якого точка, рівномірно обертаючись з кутовою швидкістю ω , здійснює один оберт навколо осі обертання (повертається на кут ϕ = 2πν ): T =
2π . ω
1 ω = показує кількість обертів, здійснюваT 2π них за одиницю часу при рівномірному обертанні з кутовою швидкістю ω . Аналогічно тому, як було введено вектор прискорення a в кінематиці Частота обертання ν =
поступального руху, введемо ще одну векторну фізичну величину – кутове прискорення. Кутовим прискоренням називається вектор
β=
dω d ⎛ d ϕ ⎞ = ⎜ ⎟. dt dt ⎝ dt ⎠ 14
Шляхом диференціювання щойно отриманого виразу v = [ ω, r ] можна отримати важливе співвідношення між кутовим прискоренням β і прискоренням a :
a = [β, r ] + ⎡⎣ω, [ω, r ]⎤⎦ = [β, r ] − ω2r . Таким чином, вектор прискорення a , з яким рухається точка по колу, можна подати як суму двох взаємно перпендикулярних компонент:
a τ = [ β, r ] ,
a n = −ω2r .
Вектор a τ спрямований по дотичній до траєкторії, він називається дотичним, або тангенційним прискоренням точки. Дотичне прискорення характеризує швидкість зміни модуля вектора швидкості точки a τ = dv dt . Вектори a τ та v збігаються за напрямком під час прискореного руху точки; вектори a τ та v взаємно протилежні за напрямком, якщо рух точки сповільнений; a τ = 0 , якщо рух рівномірний. Якщо a τ = const ≠ 0 , то рух називається рівнозмінним. Під час такого руху модуль швидкості точки залежить від часу лінійно v = v0 + aτt , де v0 = v ( 0 ) – модуль початкової швидкості, тобто швидкості в початковий момент часу t = 0 . Складова a n прискорення a точки називається її нормальним прискоренням. Оскільки вона напрямлена протилежно до радіуса, то її часто називають також доцентровим прискоренням точки. Величину нормального прискорення можна розрахувати за формулою
an = a n = B
M τ
aτ
n an
C
a
v2 = ω2 r . r
Нормальне прискорення характеризує швидкість зміни напрямку вектора швидкості точки. Якщо точка рухається прямолінійно, то нормальне прискорення
a n = 0 і повне прискорення точки дорівнює її дотичному прискоренню: a = a τ .
У загальному випадку руху матеріальної точки по криволінійній траєкторії, вектор прискорення точки лежить у дотичній площині, проведеній у розглядуваній точці М траєкторії, і напрямлений у бік ввігнутості траєкторії Рис. 1.6
ВС (рис. 1.6). У цій самій площині лежать і вектори a τ та a n . 15
1.7. ПОСТУПАЛЬНИЙ ТА ОБЕРТАЛЬНИЙ РУХ ТВЕРДОГО ТІЛА Поступальним рухом твердого тіла називається такий його рух, при якому будь-яка пряма, жорстко пов'язана з тілом – наприклад, пряма АВ на рис. 1.7 – переміщується, лишаючись завжди паралельною до осі A0 B0 , напрямок якої визначається початковим положенням тіла. Під час поступального руху всі точки твердого тіла рухаються за однаковими траєкторіями (наприклад, траєкторії АA0 і ВВ0 на рис. 1.7). Розглянемо абсолютно тверді тіла, які для стислості називатимемо просто твердими тілами. Поступально рухаються відносно Землі, наприклад, кабіна ліфта, різець токарного верстата, стрілка компаса при переміщенні його корпуса в горизонтальній площині тощо. A
B
A0
A
B
O d
B0
ω Рис. 1.7
Рис. 1.8
Якщо рух твердого тіла поступальний, то всі його точки переміщуються цілком однаково: за малий час dt радіус-вектори цих точок змінюються на одну й ту саму величину dr . У кожний момент часу швидкості всіх точок тіла однакові й дорівнюють dr dt , а отже, однакові й їх прискорення. Тому кінематичний розгляд поступального руху твердого тіла зводиться до вивчення руху якоїсь з його точок. У динаміці зазвичай розглядають рух центра інерції тіла. Тверде тіло, що вільно рухається в просторі, має три поступальні ступені вільності, які відповідають його поступальному переміщенню вздовж трьох осей координат. Рух твердого тіла, при якому дві його точки А і В лишаються нерухомими, називається обертанням (або обертальним рухом) тіла навколо нерухомої осі (рис. 1.8). Нерухома пряма АВ називається віссю обертання тіла. При обертанні навколо нерухомої осі всі точки тіла описують кола, центри яких лежать на осі обертання, а площини перпендикулярні до неї. Подібний рух відносно Землі здійснюють, наприклад, ротори турбін, електродвигунів і генераторів, встановлених нерухомо на Землі. 16
Тверде тіло, яке обертається навколо нерухомої осі, має один ступінь вільності. Його положення в просторі повністю визначається величиною ϕ кута повороту тіла з деякого певного (початкового) положення. Характеристикою швидкості та напрямку Z обертання тіла навколо осі служить кутова швидкість ω . Усі точки твердого тіла обертаються з однаковими кутовими швидкостями. ρ v Довільна точка М твердого тіла, яке обертаO' ється навколо нерухомої осі OZ з кутовою M швидкістю ω , описує коло радіусом ρ із центром у точці О' (рис. 1.9). Швидкість v точки М, на відміну від кутової швидкості O тіла, часто називають лінійною швидкістю. Вона напрямлена перпендикулярно як до Рис. 1.9 осі обертання (тобто до вектора ω ), так і до радіус-вектора ρ , проведеного в точку М із центра кола О', і дорівнює їх ω
r
векторному добутку: v = [ω, ρ ] = [ω, r ] та v = ωρ . Тут r = OO '+ ρ – радіус-вектор точки М, проведений з точки О осі обертання, прийнятої за початок координат. Рух твердого тіла, при якому одна з його точок лишається на місці, називається обертанням тіла навколо нерухомої точки. Зазвичай цю точку приймають за початок координат нерухомої системи відліку. При обертанні навколо нерухомої точки всі точки тіла рухаються по поверхнях концентричних сфер, центри яких знаходяться в нерухомій точці. У кожний момент часу такий рух тіла можна розглядати як обертання навколо деякої осі, яка проходить через нерухому точку. Цю вісь називають миттєвою віссю обертання. У загальному випадку положення миттєвої осі обертання змінюється відносно як нерухомого початку відліку, так і системи відліку, жорстко зв'язаної з розглядуваним тілом. Швидкість v довільної точки М тіла дорівнює v = [ω, r ] та v = ωρ , де
ω – кутова швидкість тіла, напрямлена вздовж миттєвої осі обертання, r – радіус-вектор, проведений у точку М з нерухомої точки О, навколо якої обертається тіло, а ρ – відстань від точки М до миттєвої осі. Тіло може здійснювати три незалежних рухи: обертатися навколо кожної з трьох взаємно перпендикулярних осей, які проходять через нерухому точку О. Таким чином, воно має три ступені вільності. Для характеристики швидкості зміни вектора кутової швидкості тіла при нерівномірному обертанні тіла навколо нерухомої осі або при його обертанні навколо нерухомої точки вводиться вектор β кутового при17
скорення тіла, що дорівнює першій похідній від його кутової швидкості ω за часом t: β = d ω dt . Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі, то вектори ω і β спрямовані вздовж цієї осі: при прискореному обертанні ( d ω dt > 0 ) вектор β напрямлений у той самий бік, що й ω , а при сповільненому ( d ω dt < 0 ) – у протилежний. Проекція кутового прискорення на нерухому вісь обертання OZ рівна βZ = d ωZ dt , де ωZ – проекція на ту ж вісь вектора ω . Прискорення a довільної точки М тіла, яке обертається навколо нерухомої точки О або нерухомої осі, що проходить через цю точку, часто називають, на відміну від кутового прискорення тіла, лінійним прискоренням. Воно дорівнює
a=
dv d = [ ω, r ] = a0 + a B , dt dt
де a0 = [β, r ] – обертальне прискорення точки, а a B = ⎡⎣ω, [ ω, r ]⎤⎦ – доосьове прискорення точки, спрямоване до миттєвої осі обертання. Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі OZ (рис. 1.9), то обертальне прискорення точки М збігається з її дотичним прискоренням a τ , а доосьове – з нормальним прискоренням a n . Будь-який складний рух твердого тіла можна розкласти на два простих: поступальний рух зі швидкістю v A деякої довільно вибраної точки А тіла та обертання навколо миттєвої осі, яка проходить через цю точку. Кутова швидкість обертання ω не залежить від вибору точки А. Швидкість довільної точки М тіла v = v A + ⎣⎡ω, ( r − rA ) ⎦⎤ , де r та rA – радіусвектори точок М та А. У динаміці твердого тіла зручно розглядати складний рух як сукупність двох одночасних рухів – поступального зі швидкістю центра інерції та обертання навколо центра інерції. Найпростіший випадок складного руху тіла – плоский, або плоскопаралельний рух, при якому всі точки тіла рухаються в паралельних площинах. Такий рух здійснює, наприклад, однорідний круговий циліндр, скочуючись з похилої площини. Під час плоского руху напрямок миттєвої осі обертання тіла навколо точки А не змінюється, а вектори ω і v A взаємно перпендикулярні.
18
Розділ 2. ЗАКОНИ НЬЮТОНА 2.1. ПЕРШИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ІНЕРЦІЙНІ СИСТЕМИ ВІДЛІКУ Як перший закон динаміки Ньютон прийняв закон, встановлений ще Галілеєм: тіло зберігає стан спокою чи рівномірного прямолінійного руху доти, доки дія з боку інших тіл не виведе його із цього стану. Перший закон Ньютона показує, що стан спокою чи рівномірного й прямолінійного руху не вимагає для свого підтримання ніяких зовнішніх впливів. У цьому проявляється особлива динамічна властивість тіл, яка називається їх інертністю. Відповідно, перший закон Галілея – Ньютона називається законом інерції, а рух тіла за відсутності впливів з боку інших тіл – рухом за інерцією. Механічний рух відносний: його характер для одного й того самого тіла може бути різним у різних системах відліку, які рухаються одна відносно іншої. Наприклад, космонавт, який перебуває на борту штучного супутника Землі, нерухомий у системі відліку, пов'язаній із супутником. У той же час відносно Землі він рухається разом із супутником по еліптичній орбіті, тобто не рівномірно і не прямолінійно. Тому природно, що перший закон Ньютона справджуються не в кожній системі відліку. Наприклад, куля, що лежить на гладенькій підлозі каюти корабля, який іде рівномірно й прямолінійно, може розпочати рух по підлозі без усякої дії на неї з боку інших тіл: для цього достатньо, щоб швидкість корабля почала змінюватися. Система відліку, відносно якої матеріальна точка, вільна від зовнішніх впливів, перебуває у спокої або рухається рівномірно та прямолінійно, називається інерційною системою відліку. Зміст першого закону Ньютона зводиться до двох тверджень: по-перше, що всі тіла мають властивість інертності і, по-друге, що існують інерціальні системи відліку. Будь-які дві інерціальні системи відліку можуть рухатися одна відносно іншої тільки поступально й до того ж рівномірно та прямолінійно. Експериментально встановлено, що практично інерціальною є геліоцентрична система відліку, початок координат якої розташований у центрі інерції Сонячної системи (наближено – у центрі Сонця), а осі проведено в напрямку трьох віддалених зірок, вибраних, наприклад так, щоб осі координат були взаємно перпендикулярними. Лабораторна система відліку, осі координат якої жорстко зв'язані з Землею, неінерціальна головним чином через добове обертання Землі. Проте Земля обертається так повільно, що найбільше нормальне прискорення точок її поверхні в добовому обертанні не перевищує 19
2
0,034 м/с . Тому в більшості практичних задач таку лабораторну систему відліку можна наближено вважати інерційною. Інерційні системи відліку відіграють особливу роль не лише в механіці, але й в усіх інших розділах фізики. Це пов'язано з тим, що, згідно з принципом відносності Ейнштейна, математичний вираз будь-якого фізичного закону повинен мати один і той самий вигляд у всіх інерційних системах відліку. Тому надалі будемо користуватися, не застерігаючи про це щоразу, тільки інерційними системами відліку. Закономірності руху матеріальної точки відносно неінерційної системи відліку розглянуто в розд. 7.
2.2. СИЛА Силою називається векторна величина, що є мірою механічного впливу на розглядуване тіло з боку інших тіл. Механічна взаємодія між тілами може відбуватися як при безпосередньому їх контакті (наприклад, при терті, при тисненні тіл одне на одне тощо), так і між віддаленими тілами. Особлива форма матерії, що пов'язує частинки речовини в єдині системи і передає зі скінченною швидкістю дію одних частинок на інші, називається фізичним полем або просто полем. Взаємодія між віддаленими тілами відбувається шляхом створюваних ними гравітаційних і електромагнітних полів (наприклад, притягання планет до Сонця, взаємодія заряджених тіл, провідників зі струмом тощо). Механічна дія на дане тіло з боку інших тіл проявляється двоїсто. Вона здатна спричинити, по-перше, зміну стану механічного руху досліджуваного тіла, а по-друге, – його деформацію. Обидва ці прояви дії сили можуть правити за основу для вимірювання сил. Наприклад, вимірювання сил за допомогою пружинного динамометра ґрунтується на законі Гука для поздовжнього розтягу. Користуючись поняттям сили, у механіці зазвичай говорять про рух і деформацію тіла під дією прикладених до нього сил. При цьому, зрозуміло, кожній силі завжди відповідає деяке тіло, яке діє з цією силою на розглядуване тіло. Сила F повністю визначена, якщо задані її модуль, напрямок у просторі та точка прикладання. Пряма, уздовж якої спрямована сила, називається лінією дії сили. Поле, що діє на матеріальну точку з силою F, називається стаціонарним полем, якщо воно не змінюється з часом t, тобто якщо в будь-якій точці поля сила F не залежить явно від часу:
∂F = 0. Для стаціонарності ∂t
поля необхідно, щоб тіла, які його створюють, перебували у спокої відносно інерційної системи відліку, використовуваної при розгляді поля.
20
Одночасна дія на матеріальну точку М кількох сил F1 , F2 ,..., Fn (рис. 2.1, а) еквівалентна дії одної сили, яка називається рівнодійною, або результуючою, силою і дорівнює їх сумі n
F = ∑ Fi . i =1
Вона замикає багатокутник сил F1 , F2 ,..., Fn (рис. 2.1, б). F3
F1 F2
F3
M
M
Fn Fn–1
Fn–1
F2 F1 F Fn а) б)
Рис. 2.1
Якщо тіло абсолютно тверде, то дія на нього сили не змінюється при перенесенні точки прикладання цієї сили вздовж лінії її дії в межах тіла. Інакше кажучи, вектори сил, прикладених до абсолютно твердого тіла, можна розглядати як ковзні вектори. Тіло називається вільним, якщо на його положення в просторі не накладено ніяких обмежень. Наприклад, літак, що летить у небі, являє собою вільне тіло. У більшості випадків доводиться мати справу з тілами, які не є вільними: на їх можливі положення й рухи накладені ті чи інші обмеження, які в механіці називаються зв'язками. Наприклад, кулька, підвішена на нерозтяжній нитці, не може віддалитися від точки підвісу на відстань, більшу за довжину нитки; трамвай може рухатися тільки по рейках. Зв'язки здійснюються завдяки дії на розглядуване тіло інших тіл, які скріплені чи стикаються з ним (наприклад, нитки на прив'язану до неї кульку, рейок на трамвай і т.п.). Протидія зв'язків у кожній конкретній задачі може бути наперед невідома. Тоді вона підлягає визначенню в ході розв'язання задачі. Її значення має бути таким, щоб унаслідок сукупної дії всіх сил тіло здійснювало такий рух, який повністю узгоджується з обмеженнями, які накладають зв'язки на розглядуване невільне тіло. Тіла, які не входять до складу досліджуваної механічної системи, називаються зовнішніми тілами. Сили, що діють на систему з боку зовнішніх тіл, називаються зовнішніми силами, а сили взаємодії між частинами розглядуваної системи – внутрішніми.
21
Механічна система називається замкненою, або ізольованою (відокремленою) системою, якщо вона не взаємодіє із зовнішніми тілами. На жодне з тіл замкненої системи зовнішні сили не діють.
2.3. МАСА. ІМПУЛЬС
У класичній (ньютонівській) механіці масою матеріальної точки називається додатна скалярна величина, що є мірою інертності цієї точки. Під дією сили матеріальна точка змінює свою швидкість не миттєво, а поступово, тобто набуває скінченного за величиною прискорення, яке тим менше, чим більша маса матеріальної точки. Для порівняння мас m1 і m2 двох матеріальних точок достатньо виміряти модулі a1 та a2 прискорень, які набувають ці точки під дією одної й тої самої сили:
m2 a1 = . m1 a2
Зазвичай масу тіла визначають шляхом зважування на важільних вагах. У класичній (ньютонівській) механіці вважається, що: а) маса матеріальної точки не залежить від стану руху точки й є її незмінною характеристикою; б) маса – величина аддитивна (додавальна), тобто маса системи (наприклад тіла) дорівнює сумі мас усіх матеріальних точок, які входять до складу цієї системи; в) маса замкненої системи лишається незмінною при будь-яких процесах, які відбуваються в цій системі (закон збереження маси). Ці положення ньютонівської механіки були переглянуті та уточнені в релятивістській механіці. Густиною ρ тіла в даній його точці М називається відношення маси
dm малого елемента тіла, який включає точку М, до величини dV об'єму цього елемента:
ρ=
dm . dV
Розміри розглядуваного елемента мають бути настільки малі, щоб зміною густини в його межах можна було знехтувати. З іншого боку, вони мають бути значно більшими за міжмолекулярні відстані. Тіло називається однорідним, якщо в усіх його точках густина однакова. Маса однорідного тіла дорівнює добутку його густини на об'єм: m = ρV . Іноді виникають ситуації, коли густина тіла різна в різних його частинах. Такі тіла називаються неоднорідними. Маса неоднорідного тіла визначається шляхом потрійного інтегрування густини за об'ємом всього тіла m = ∫ dx ∫ dy ∫ dz ρ ( x, y, z ) = ∫∫∫ ρ dV = ∫ ρ dV , де ρ – густина як V
22
V
функція координат. Середньою густиною ρ неоднорідного тіла називається відношення його маси до об'єму:
ρ =
m . V
Центром інерції, або центром мас, системи матеріальних точок називається точка С, радіус-вектор rC якої дорівнює
rC =
1 n ∑ mi ri , m i =1
де mi і ri – маса й радіус-вектор і-ї матеріальної точки, n – загальна n
кількість матеріальних точок у системі, а m = ∑ mi – маса всієї системи. i =1
Центром інерції тіла називають точку з радіус-вектором
rC =
1 ∫ rρ dV . mV
Швидкість центра інерції
vC =
drC 1 n = ∑ mi vi . dt m i =1
Векторна величина pi = mi vi дорівнює добутку маси mi матеріальної точки на її швидкість vi , називається імпульсом, або кількістю руху, цієї матеріальної точки. Імпульсом системи матеріальних точок називається вектор p , що дорівнює геометричній сумі імпульсів усіх матеріальних точок системи: n
p = ∑ pi . i =1
Імпульс системи дорівнює добутку маси всієї системи на швидкість його центра інерції: p = mvC .
2.4. ДРУГИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА Основним законом динаміки матеріальної точки є другий закон Ньютона, який розглядає, як змінюється механічний рух матеріальної точки під дією прикладених до неї сил. Другий закон Ньютона свідчить: швидкість зміни імпульсу p матеріальної точки дорівнює силі F , що діє на неї, тобто
dp d = F або (mv ) = F , dt dt 23
де m і v – відповідно маса і швидкість матеріальної точки. Якщо на матеріальну точку одночасно діють кілька сил, то під силою F у другому законі Ньютона треба розуміти геометричну суму всіх сил, тобто результуючу силу. Векторна величина F dt називається елементарним імпульсом сили
F за малий час dt її дії. Імпульс сили F за скінченний проміжок часу від t2
t = t1 до t = t2 дорівнює означеному інтегралу ∫ F dt , де F , у загальному t1
випадку, залежить від часу t. Згідно з другим законом Ньютона, зміна імпульсу матеріальної точки дорівнює імпульсу сили, яка діє на неї: t2
dp = F dt та Δp = p 2 − p1 = ∫ F dt , t1
де p 2 = p ( t2 ) і p1 = p ( t1 ) – значення імпульсу матеріальної точки в кінці ( t = t2 ) і на початку ( t = t1 ) розглядуваного проміжку часу. Оскільки в ньютонівській механіці маса m матеріальної точки не залежить від стану руху точки, то dm dt = 0 . Тому математичний вираз другого закону Ньютона можна також представити у формі a =
a=
F , де m
dv d 2 r – прискорення матеріальної точки, r – її радіус-вектор. = dt dt 2
Відповідне формулювання другого закону Ньютона таке: прискорення матеріальної точки збігається за напрямком з діючою на неї силою і дорівнює відношенню цієї сили до маси матеріальної точки. Дотичне та нормальне прискорення матеріальної точки визначаються відповідними складовими сили F :
F aτ = τ , m
aτ =
dv Fτ = dt m
та
v 2 Fn = , R m де v – модуль вектора швидкості матеріальної точки, а R – радіус кривизни її траєкторії. Сила Fn , що надає матеріальній точці нормального прискорення, напрямлена до центра кривизни траєкторії точки й тому називається доцентровою силою. Якщо на матеріальну точку одночасно діють кілька сил F1 , F2 , ..., Fn , то її прискорення визначається їх векторною сумою:
F an = n , m
an =
24
a=
n 1 n ∑ Fl = ∑ al , m l =1 l =1
де ai = Fi m . Отже, кожна із сил, які одночасно діють на матеріальну точку, надає їй такого ж прискорення, як і за відсутності інших сил (принцип незалежності дії сил). Диференціальним рівнянням руху матеріальної точки називається рівняння
m
d 2r dt
2
n
= F = ∑ Fl . l =1
У проекціях на осі прямокутної декартової системи координат це рівняння має вигляд
m
d2x dt 2
= Fx , m
d2y dt 2
= Fy , m
d2z dt 2
= Fz ,
де x, y і z – координати рухомої точки.
2.5. ТРЕТІЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. РУХ ЦЕНТРА ІНЕРЦІЇ Механічний вплив тіл одне на одне має характер взаємодії. Це розглядає третій закон Ньютона: дві матеріальні точки діють одна на одну з силами, які чисельно рівні й напрямлені в протилежні боки вздовж прямої, яка проходить через ці точки. Якщо Fik – сила, що діє на і-ту матеріальну точку з боку k-ї, а Fki – сила, що діє на k-ту матеріальну точку з боку і-ї, то, відповідно до третього закону Ньютона, Fik = −Fki . Сили Fik і Fki прикладені до різних матеріальних точок і можуть взаємно зрівноважуватися тільки в тих випадках, коли ці точки належать одному й тому самому твердому тілу. Третій закон Ньютона є істотним доповненням до першого та другого законів. Він дозволяє перейти від динаміки окремої матеріальної точки до динаміки довільної механічної системи. Із третього закону Ньютона випливає, що в будь-якій механічній системі геометрична сума всіх внутрішніх сил дорівнює нулеві: n
n
∑ ∑ Fik = 0 ,
i =1 k =1
де n – кількість матеріальних точок, які входять до складу системи, а Fii = 0 . Вектор F зовн , рівний геометричній сумі всіх зовнішніх сил, які діють на систему, називається головним вектором зовнішніх сил:
25
n
F зовн = ∑ Fiзовн ,
i=1 зовн де Fi – результуюча зовнішніх сил, прикладених до і-ї матеріальної точки.
Із другого та третього законів Ньютона випливає, що перша похідна за часом t від імпульсу p механічної системи дорівнює головному вектору всіх зовнішніх сил, прикладених до неї:
dp = F зовн . dt Це рівняння виражає закон зміни імпульсу системи. Оскільки p = mv C , де m – маса системи, а vC – швидкість її центра інерції, то закон руху центра інерції механічної системи має вигляд
d ( mvC )
= F зовн або maC = F зовн , dt де aC = dvC dt – прискорення центра інерції. Таким чином, центр інерції механічної системи рухається як матеріальна точка, маса якої дорівнює масі всієї системи, і на яку діє сила, рівна головному вектору зовнішніх сил, прикладених до системи. Якщо розглядувана система – тверде тіло, що рухається поступально, то швидкості vi всіх точок тіла та його центра інерції vC однакові й дорівнюють швидкості v тіла. Прискорення тіла a = aC та основне рівняння динаміки поступального руху твердого тіла має вигляд ma = F зовн .
2.6. РУХ ТІЛА ЗМІННОЇ МАСИ У ньютонівській механіці маса тіла може змінюватися лише внаслідок відокремлення від тіла або приєднання до нього частинок речовини. Прикладом такого тіла є ракета. У процесі польоту маса ракети поступово зменшується, оскільки газоподібні продукти згоряння пального у двигуні ракети викидаються через сопло. Рівняння поступального руху тіла змінної маси (рівняння Мещерського):
dm ( t ) dv , = F зовн + ( v1 − v ) dt dt де m і v – відповідно маса і швидкість тіла в розглядуваний момент чаm (t )
су, F зовн – головний вектор зовнішніх сил, що діють на тіло; v1 – швидкість частинок, які відокремлюються, після їх відторгнення (якщо dm dt < 0 ), або ж частинок, що приєднуються, до їх приєднання (якщо
dm dt > 0 ). 26
Другий член правої частини рівняння Мещерського являє собою додаткову силу, яка діє на тіло змінної маси. Ця сила називається реактивною силою:
FP = ( v1 − v )
dm dm =u , dt dt
де u = v1 − v – відносна швидкість відокремлюваних або приєднуваних частинок, тобто їх швидкість відносно системи відліку, що рухається поступально разом з тілом. Реактивна сила характеризує механічну дію на тіло частинок, які відокремлюються чи приєднуються до нього (наприклад, дію на ракету струменя газів, що витікає з неї). Рівняння руху ракети за відсутності зовнішніх сил:
dv dm =u . dt dt Якщо початкова швидкість ракети дорівнює нулю, то ракета рухається прямолінійно в напрямку, протилежному відносній швидкості u струменя газу на виході із сопла двигуна. Припустимо u = const і проінтегруємо рівняння руху ракети: v m dm , ∫ dv = u ∫ 0 m m m
0
де m0 – початкова (стартова) маса ракети. Зв'язок між швидкістю ракети та її масою виражається формулою Ціолковського:
m v = −u ⋅ ln 0 . m Найбільша швидкість, яку може розвинути ракета за відсутності зовнішніх сил, називається характеристичною швидкістю. Ця швидкість досягається в момент закінчення роботи двигуна через використання всього запасу пального та окиснювача: m0 , vmax = u ⋅ ln m0 − mT де mT – початкова маса пального та окиснювача. Тяжіння Землі та опір повітря помітно зменшують максимальну швидкість, якої фактично набуває ракета в процесі роботи двигуна, порівняно з її характеристичною швидкістю. Характеристична швидкість складної (багатоступінчастої, або багатоступеневої) ракети: n
vmax = ∑ ui ⋅ ln i =1
27
m0i , m0i − mTi
де n – загальна кількість ступенів ракети, mTi – маса пального та окиснювача, призначених для роботи двигуна і-го ступеня, ui – відносна швидкість витікання газів із сопла двигуна і-ї ступеня, m0i – стартова маса частини складної ракети, яка включає всі ступені ракети з і-го до n-го. Збільшення характеристичної швидкості складної ракети в порівнянні з одноступінчастою, що має ту ж саму стартову масу й той самий запас пального та окиснювача, пов'язане з додатковим зменшенням маси ракети шляхом послідовного відокремлення від неї першого, другого та наступних ступенів після згоряння всього пального, наявного в цьому ступені.
2.7. ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ІМПУЛЬСУ Закон збереження імпульсу: імпульс замкненої системи не змінюється з часом, тобто
dp = 0 і p = const . dt На відміну від законів Ньютона, закон збереження імпульсу справедливий не лише в межах класичної механіки. Він належить до найосновніших (фундаментальних) фізичних законів, оскільки пов'язаний з певною властивістю симетрії простору – його однорідністю. Однорідність простору проявляється в тому, що фізичні властивості замкненої системи та закони її руху не залежать від вибору положення початку координат інерційної системи відліку, тобто не змінюються при паралельному перенесенні в просторі замкненої системи як цілого. Відповідно до сучасних уявлень, імпульс може мати не лише частинки та тіла, але також і поля. Наприклад, світло чинить тиск на поверхню тіла, що його відбиває чи поглинає, саме тому, що електромагнітне поле світлової хвилі має імпульс. Стосовно систем, які описуються класичною механікою, закон збереження імпульсу можна розглядати як наслідок законів Ньютона. Для замкненої механічної системи головний вектор зовнішніх сил F зовн = 0 , звідки випливає закон збереження імпульсу: n
p = ∑ mi vi = const , i =1
де mi і vi – відповідно маса і швидкість і-ї матеріальної точки механічної системи, яка складається з n точок. Не змінюються й проекції імпульсу замкненої механічної системи на осі декартових координат інерційної системи відліку: n
px = ∑ mi vix = const , i =1
n
p y = ∑ mi viy = const , i =1
28
n
pz = ∑ mi viz = const . i =1
Імпульс механічної системи p = mvC , де m – маса всієї системи, а vC – швидкість її центра інерції. Тому із закону збереження імпульсу випливає, що при будь-яких процесах, які відбуваються в замкненій системі, швидкість її центра інерції не змінюється з часом: vC (t ) = const . Якщо система не замкнена, але на неї діють такі сили, що їх головний вектор тотожно дорівнює нулю ( F зовн = 0 ), то, згідно із законами Ньютона, її імпульс не змінюється з часом: p = const . Наприклад, нехай розглядувана система – це більярдні кулі, що рухаються по столу без тертя. Ця система незамкнена, оскільки на кулі діють зовнішні сили – сили тяжіння і сили реакції опори (стола). Оскільки ці сили компенсуються, тобто
F зовн = 0 , то щодо імпульсу система більярдних куль поводить себе як замкнена, тобто її сумарний імпульс зберігається. Зазвичай F зовн ≠ 0 , а отже і dp ≠ 0 . Проте, якщо проекція головного вектора зовнішніх сил на яку-небудь нерухому вісь тотожно рівна нулю, то проекція на ту саму вісь вектора імпульсу системи не змінюється із часом. Так, p x = const за умови, що Fxзовн = 0 . Наприклад, якщо на систему не діють інші зовнішні сили, крім сили тяжіння, то перпендикулярна до напрямку цієї сили горизонтальна складова імпульсу системи не змінюється. У деяких процесах (наприклад, при ударі або пострілі) імпульси частин системи зазнають великих змін за порівняно короткі проміжки часу. Це пов'язано з виникненням у системі короткочасних, але значних за величиною внутрішніх сил взаємодії частин системи, у порівнянні з якими всі зовнішні сили, які постійно діють на систему (наприклад, сила тяжіння), виявляються малими. У такому процесі зазвичай можна знехтувати дією на систему зовнішніх сил – тобто можна наближено вважати, що імпульс усієї системи в цілому не змінюється.
2.8. ПЕРЕТВОРЕННЯ ГАЛІЛЕЯ. МЕХАНІЧНИЙ ПРИНЦИП ВІДНОСНОСТІ Перетвореннями Галілея називаються перетворення координат і часу, які застосовуються в ньютонівській механіці при переході від однієї інерційної системи відліку K ( x, y, z , t ) до іншої K ' ( x ', y ', z ', t ' ) , яка рухається відносно К поступально зі сталою швидкістю V . Перетворення Галілея спираються на аксіоми про абсолютність проміжків часу і довжин. Перша аксіома стверджує, що хід часу (проміжок часу між якими29
небудь двома подіями) однаковий в усіх інерційних системах відліку. Відповідно до другої аксіоми, розміри тіла не залежать від швидкості його руху відносно системи відліку. Якщо відповідні осі декарY' K' тових координат інерційних Y K систем відліку K і K ' проведені попарно паралельно одна r r' V одній і якщо в початковий момент часу ( t = t ' = 0 ) початки X' Vt координат O та O ' збігаються O' X (рис. 2.2), то перетворення ГаO лілея мають вигляд x ' = x − Vx t , y ' = y − V y t , Z' z ' = z − Vz t та t ' = t , Z або r ' = r − Vt і t ' = t , де x, y, z Рис. 2.2
і x ', y ', z ' – координати точки М у системах відліку K і K ' , r і r ' – радіус-вектори точки М у тих самих системах відліку, а Vx , V y , Vz – проекції швидкості V системи K ' на осі координат системи K . Зазвичай осі координат проводять Y K Y' K' так, що система K ' рухається вздовж додатного напрямку осі ОХ (рис. 2.3). У цьому випадку перетворення ГаліV лея мають найпростіший вигляд: x ' = x − Vt , y ' = y , z ' = z , t ' = t . O' O Із перетворень Галілея випливає X' X такий закон перетворення швидкості Vt довільної точки М (рис. 2.2) при переході від однієї інерційної системи відліZ' Z ку K (швидкість точки v = dr dt ) до іншої K ' (швидкість тієї ж точки Рис. 2.3 v ' = dr' dt ): v ' = v − V . Подібним чином перетворюються й проекції швидкості на відповідні осі координат: v ' x = vx − Vx , v ' y = v y − V y , v ' z = vz − Vz . Зокрема, під час руху системи K ' уздовж додатного напрямку осі ОХ (рис. 2.3) v ' x = vx − V , v ' y = v y , v ' z = vz . Прискорення точки М у системах відліку
K ( a = dv dt ) і K ' ( a ' = dv ' dt ) однакові: a ' = a . Отже, прискорення матеріальної точки не залежить від вибору інерційної системи відліку – тобто воно інваріантне відносно перетворень 30
Галілея. Сили взаємодії матеріальних точок залежать лише від їх взаємного розташування та від швидкості руху однієї відносно іншої. Взаємне розташування деяких точок 2 і 1 характеризується вектором, що дорівнює різниці радіус-векторів цих точок, тобто в системі K вектором r21 = r2 − r1 , а в системі K ' – вектором r21 ' = r2 '− r1 ' . Із перетворень Галілея випливає, що r21 = r21 ' . Тому відстані між точками 1 і 2 у системах K і K ' однакові: r21 = r21 ' або
( x2 '− x1 ')2 + ( y2 '− y1 ')2 + ( z2 '− z1 ')2 = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + ( z2 − z1 )2 . Швидкість руху точки 2 відносно точки 1 дорівнює різниці швидкостей цих точок: v 2 − v1 (у системі K ) і v 2 '− v1 ' (у системі K ' ). Із перетворень Галілея випливає, що v 2 '− v1 ' = v 2 − v1 . Отже, взаємне розташування і швидкість відносного руху будь-яких двох матеріальних точок не залежить від вибору інерційної системи відліку: вони інваріантні відносно перетворень Галілея. Інваріантні відносно перетворень Галілея й сили, які діють на матеріальну точку: F ' = F . Рівняння, які виражають закони Ньютона, інваріантні відносно перетворень Галілея, тобто не змінюють свого вигляду при перетворенні координат і часу однієї інерційної системи відліку ( K ) на іншу ( K ' ): ma = F, Fki = −Fik (у системі K ),
m ' a ' = F ', Fki ' = −Fik ' (у системі K ' ),
де m = m ' – маса розглядуваної матеріальної точки, однакова в усіх системах відліку. Таким чином, у класичній механіці справедливим є механічний принцип відносності (принцип відносності Галілея): закони механіки однакові в усіх інерційних системах відліку. Це означає, що в різних інерційних системах відліку всі механічні процеси за одних і тих самих умов відбуваються однаково. Отже, за допомогою будь-яких механічних експериментів, проведених у замкненій механічній системі тіл, неможливо встановити, перебуває ця система у стані спокою чи рухається рівномірно й прямолінійно (відносно якої-небудь інерційної системи відліку). Механічний принцип відносності свідчить про те, що в механіці всі інерційні системи відліку цілковито рівноправні. Серед них неможливо вказати якусь особливу, "головну" інерційну систему відліку, рух тіл відносно якої можна було б розглядати як "абсолютний рух". Узагальнення принципу відносності щодо всіх фізичних явищ було здійснено А. Ейнштейном у спеціальній теорії відносності. При цьому з'ясувалося, що координати і час у різних інерційних системах відліку пов'язані перетвореннями Лоренца, а не Галілея. Проте при малих швидкостях відносного руху систем відліку (порівняно зі швидкістю світла у вакуумі) перетворення Лоренца переходять у перетворення Галілея. 31
Розділ 3. РОБОТА ТА МЕХАНІЧНА ЕНЕРГІЯ 3.1. ЕНЕРГІЯ, РОБОТА ТА ПОТУЖНІСТЬ Енергією називається скалярна величина, що є мірою різних форм руху і взаємодії матерії, які розглядаються у фізиці. Енергія системи кількісно характеризує останню стосовно можливих у ній перетворень руху. Ці перетворення відбуваються завдяки взаємодії частин системи як однієї з іншою, так із зовнішніми тілами (зовнішнім середовищем). Для аналізу якісно відмінних форм руху і відповідних їм взаємодій у фізиці вводять різні види (форми) енергії: механічну, внутрішню, електромагнітну, ядерну тощо. Зміна механічного руху тіла зумовлюється силами, які діють на нього з боку інших тіл. Для кількісного опису такого процесу обміну енергією між тілами, що взаємодіють, у механіці користуються поняттям роботи сили, прикладеної до розглядуваного тіла. Елементарною роботою сили F на малому переміщенні dr називається скалярна величина δA = F dr = Fv dt , де r і v = dr dt – відповідно радіус-вектор і швидкість точки прикладання сили, а dt – малий проміжок часу, за який сила F виконує роботу δA . У прямокутних декартових координатах скалярний добуток векторів можна представити так:
(
)
δA = Fx dx + Fy dy + Fz dz = Fx vx + Fy v y + Fz vz dt , де x, y, z – координати точки прикладання сили, а Fx , Fy , Fz і vx , v y , vz – проекції на осі координат векторів F і v . Вираз для елементарної роботи можна також подати у вигляді δA = F ds cos α = Fτ ds , де ds = dr – елементарна довжина шляху точки прикладання сили за розглядуваний малий проміжок часу dt , α – кут між векторами F і dr . а Fτ = F cos α – проекція сили на напрямок переміщення dr . Тоді стає очевидним, що сила, нормальна до траєкторії точки її прикладання, роботи не виконує. Силу F називають рушійною силою, якщо Fτ > 0 , так що δA > 0 . Якщо ж Fτ < 0 , то δA < 0 , і тоді силу F називають гальмуючою силою (силою опору). Якщо на механічну систему одночасно діють сили F1 , F2 ,..., Fn , то робота δA , виконувана ними за малий час dt , дорівнює алгебраїчній сумі робіт, здійснюваних за той самий час dt кожною з них окремо,
32
n
n
n
i =1
i =1
i =1
δA = ∑ δAi = ∑ Fi dri = ∑ Fi vi dt , де ri , vi – радіус-вектор і швидкість точки прикладання сили Fi . Наприклад, для матеріальної точки ri = r – радіус-вектор цієї точки, а n
vi = v – її швидкість. Тоді δA = F dr = Fv dt , де F = ∑ Fi – рівнодійна i =1
сила. Із другого закону Ньютона випливає, що для матеріальної точки δA = v dp , де p = mv – імпульс точки, m – її маса. У випадку поступального руху абсолютно твердого тіла dri = drC і vi = vC , де rC і vC – радіус-вектор і швидкість центра інерції тіла. Робота внутрішніх сил під час будь-якого руху абсолютно твердого тіла дорівнює нулю. Тому при поступальному русі такого тіла
δA = F зовн drC = F зовн vC dt , де F зовн – головний вектор зовнішніх сил. Із закону руху центра інерції випливає, що δA = vC dp , де p = mvC – імпульс твердого тіла масою m, яке рухається поступально зі швидкістю v = vC . Робота A , виконувана силою F на скінченній ділянці траєкторії L точки її прикладання, дорівнює алгебраїчній сумі робіт на всіх малих частинах цієї ділянки, тобто виражається криволінійним інтегралом s
A = ∫ F dr = ∫ Fτ ds , 0 ( L) де s – довжина шляху, відлічувана вздовж траєкторії від початку розглядуваної ділянки, Fτ – проекція сили на напрямок переміщення dr точки її прикладання. Для обчислення цього інтегралу необхідно знати залежність Fτ від s уздовж даної траєкторії L . Якщо ця залежність представлена графічно (рис. 3.1), то робота A вимірюється площею, заштрихованою на рис. 3.1. Усі сили, що зустрічаються в класичній механіці, поділяють на консервативні та неконсервативні. Консервативними силами називаються такі, робота яких залежить лише від початкових і кінцевих положень точок їх прикладання і не залежить ні від виду траєкторій цих точок, ні від законів їх руху по траєкторіях. Наприклад, сили взаємодії частин системи (матеріальних точок) консервативні, якщо вони залежать тільки від конфігурації системи, тобто від взаємного розташування всіх точок системи, причому робота цих сил при переміщенні системи з одного довільного положення в інше не залежить від способу переміщення, а повністю визначається початковою та кінцевою конфігураціями системи. Прикладами подібних сил можуть бути сили гравітаційної взаємодії. Робота сили тя33
жіння не залежить від форми шляху, а визначається лише початковим і кінцевим положеннями тіла, що переміщується. Fτ
a 2
1
O
S
b
S
Рис. 3.1
Рис. 3.2
Стаціонарне поле називається потенціальним, якщо сила F , з якою воно діє на поміщену в нього матеріальну точку, консервативна. Це означає, що сила F залежить лише від положення матеріальної точки в полі, а робота сили F при переміщенні точки з одного довільного положення 1 в інше – 2 (рис. 3.2) уздовж будь-яких двох траєкторій, наприклад, 1а2 (робота A1a 2 ) і 1b2 (робота A1b 2 ) однакова: 2
A1a 2 = Ab 2 = ∫ F dr . 1
Робота консервативної сили при переміщенні точки її прикладання вздовж будь-якої замкненої траєкторії L (наприклад, 1а2b1) дорівнює нулю: ∫ F dr = 0 .
( L)
Усі сили, що не є консервативними, називаються неконсервативними силами. До них належать дисипативні та гіроскопічні сили. Дисипативними силами називаються сили, сумарна робота яких при будь-яких переміщеннях замкненої системи завжди від'ємна. До них належать, наприклад, сили тертя, які виникають при ковзанні якого-небудь тіла по поверхні іншого. Дисипативні сили, на відміну від консервативних, залежать не тільки від взаємного розташування тіл взаємодії, але й і від їх відносних швидкостей. Ці сили завжди спрямовані проти напрямку швидкості тіла відносно поверхні (або середовища), по якій воно рухається. Гіроскопічними силами називаються сили, що залежать від швидкості матеріальної точки, на яку вони діють, і напрямлені перпендикулярно до цієї швидкості. Прикладом гіроскопічної сили є сила Лоренца, яка діє з боку магнітного поля на заряджену частинку, що рухається в ньому. Робота гіроскопічних сил завжди нульова незалежно від того, як переміщується матеріальна точка. 34
Елементарну роботу сили F , що діє на матеріальну точку з боку стаціонарного потенціального поля, можна представити у вигляді повного диференціала скалярної функції координат Φ ( x, y, z ) , яка називається силовою функцією цього поля:
F dr = d Φ , або Fx dx + Fy dy + Fz dz =
∂Ф ∂Ф ∂Ф dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z
Отже,
∂Ф ∂Ф , Fz = . ∂z ∂y Елементарну роботу непотенціальної сили не можна представити у вигляді повного диференціала якої-небудь функції координат. Саме тому елементарна робота довільної сили позначена не dA , а δA . Для характеристики роботи, виконуваної за одиницю часу, у механіці користуються поняттям потужності. Потужністю (миттєвою потужністю) називається скалярна фізична величина N , рівна відношенню елементарної роботи δA до малого проміжку часу dt , протягом якого ця робота виконується, δA N= . dt Якщо F – сила, що виконує роботу δA , то потужність дорівнює скалярному добутку сили F на швидкість v точки її прикладання: N = Fv = Fτ v . У загальному випадку потужність може змінюватися із часом. Середньою потужністю в інтервалі від t до t + Δt називається фізична величина N , яка дорівнює відношенню роботи A , виконуваної за цей Fx =
∂Ф , ∂x
Fy =
проміжок часу, до його тривалості Δt :
N =
A . Δt
3.2. КІНЕТИЧНА ЕНЕРГІЯ Кінетичною енергією системи називається енергія її механічного руху. Зміна кінетичної енергії WK матеріальної точки під дією сили F дорівнює роботі, яку виконує ця сила, dWK = δA = v dp , де p = mv – імпульс матеріальної точки, а m, v – її маса та швидкість відповідно. У ньютонівській механіці m = const , і вираз для рухової енергії матеріальної точки має вигляд
35
mv 2 mv 2 . = 2 2 Кінетична енергія механічної системи дорівнює сумі рухових енергій усіх частин цієї системи. Наприклад, для системи, яка складається з n матеріальних точок, WK =
n m v2 n m v2 WK = ∑ i i = ∑ i i , i =1 2 i =1 2
де mi , v i – маса та швидкість і-ї точки системи. Кінетична енергія тіла визначається потрійним інтегралом
1 1 2 2 ∫ ρ v dV = ∫ ρ v dV , 2 (V ) 2 (V ) де v – швидкість точок малого елемента об'єму dV тіла густиною ρ і масою m , а інтегрування проводиться за всім об'ємом тіла V . Якщо абсолютно тверде тіло m рухається поступально зі швидкістю v , то його WК =
кінетична енергія дорівнює WK = mv 2 2 . Зміна кінетичної енергії механічної системи дорівнює алгебраїчній сумі робіт усіх зовнішніх і внутрішніх сил, які діють на цю систему:
dWK = δAзовн + δAвн . Наприклад, для системи, яка складається з n матеріальних точок: n
n
n
dWK = ∑ Fiзовн dri + ∑ ∑ Fik dri , i =1
i =1 k =1 зовн де ri – радіус-вектор і-ї точки, Fi – результуюча зовнішніх сил, які
діють на цю точку, а Fii = 0 . При фіксованому взаємному положенні частинок системи (або за відсутності деформації в абсолютно твердому тілі) робота внутрішніх сил δAвн = 0 і dWK = δAзовн . Наприклад, зміна кінетичної енергії абсолютно твердого тіла, яке рухається поступально,
dWK = F зовн dr , де F зовн – головний вектор зовнішніх сил, а dr – вектор елементарного переміщення тіла. Кінетична енергія механічної системи залежить від вибору системи відліку. Якщо в інерційній системі відліку K кінетична енергія системи дорівнює WK , а в системі відліку K ' , яка рухається відносно K поступально зі швидкістю V , вона дорівнює WK′ , то 36
WK = WK′ +
mV 2 + p 'V , 2
де m – маса системи, p ' = mvC ' – імпульс системи в його русі відносно системи відліку K ' , vC ' – швидкість центра інерції системи відносно K ' . Це співвідношення справедливе як при V = const , тобто коли K ' , інерційна система відліку, так і при dV dt ≠ 0 . Зокрема, якщо система відліку K ' рухається відносно K поступально зі швидкістю vC центра інерції системи, тобто V = vC ' , то vC = 0 і
WK =
mvC2 + WK′ . 2
Ця рівність виражає теорему Кеніга: кінетична енергія механічної системи дорівнює сумі кінетичної енергії, яку мала б матеріальна точка з масою, що дорівнює масі всієї системи, і яка рухається зі швидкістю його центра інерції, а також кінетичної енергії тієї ж системи в його русі відносно системи відліку з початком у центрі інерції, що рухається поступально. Із теореми Кеніга випливає, що рухова (тобто кінетична) енергія абсолютно твердого тіла дорівнює сумі кінетичної енергії поступального руху цього тіла зі швидкістю його центра інерції та рухової енергії обертання тіла навколо центра інерції.
3.3. ПОТЕНЦІАЛЬНА ЕНЕРГІЯ Потенціальною енергією називається частина енергії механічної системи, яка залежить тільки від її конфігурації, тобто від взаємного розташування всіх частинок (матеріальних точок), а також від їх положення в зовнішньому потенціальному полі. Зменшення потенціальної енергії при переміщенні системи з довільного положення 1 в інше довільне положення 2 вимірюється тією роботою A12 , яку виконують при цьому всі потенціальні сили (внутрішні та зовнішні), що діють на систему,
WП (1) − WП ( 2 ) = A12 , де WП (1) і WП ( 2 ) – значення потенціальної енергії системи в початковому та кінцевому положеннях. Отже, робота потенціальних сил при малій зміні конфігурації системи δA = − dWП . У найпростішому випадку, коли система являє собою матеріальну точку, що перебуває в потенціальному полі, зв'язок між силою F , яка діє на точку, і потенціальною енергією WП цієї точки в полі має вигляд
Fx = −
∂WП , ∂x
Fy = −
∂WП , ∂y
37
Fz = −
∂WП . ∂z
У векторному аналізі часто застосовують так званий оператор набла, який у прямокутних декартових координатах визначається як
∂ ∂ ∂ i + j+ k . ∂x ∂y ∂z Результат дії цього оператора на яку-небудь скалярну функцію Ψ просторових координат ( x, y, z ) називається градієнтом цієї функції. Граді∇≡
єнт позначається ∇Ψ або grad Ψ . Градієнт – це вектор, модуль якого дорівнює найбільшому значенню похідної за шляхом у даній точці, а напрямок градієнта збігається з напрямком, у якому це найбільше значення похідної досягається. Отже, отримані вище важливі співвідношення між зміною потенціальної енергії по координатах і силою часто записують у скороченій векторній формі F = − grad WП = −∇WП , тобто сила дорівнює градієнту потенціальної енергії зі знаком мінус. Отримані співвідношення дозволяють знайти залежність потенціальної енергії системи від її конфігурації тільки з точністю до довільного постійного доданка, який не впливає на зміну енергії. Для одержання залежності потенціальної енергії системи від його конфігурації в кожній конкретній задачі вибирають так звану нульову конфігурацію, в якій потенціальну енергію системи умовно вважають рівною нулю. Таким чином, потенціальна енергія системи в довільному стані дорівнює роботі, виконуваній усіма діючими на систему потенціальними силами при переведенні системи з розглядуваного стану в стан, який відповідає нульовій конфігурації. Приклад 1. Потенціальна енергія матеріальної точки в однорідному силовому полі. Нехай сила F , що діє на точку з боку поля, напрямлена вздовж осі OZ, тобто F = Fz k , де k – орт осі OZ, а проекція Fz сили F на вісь OZ не залежить від координат точки. Іншими словами, в усіх точках простору сила однакова і спрямована вздовж осі OZ. Тоді
dWП = −F dr = − Fz dz і WП ( z ) = − Fz z + WП ( 0 ) , де WП ( 0 ) – значення потенціальної енергії матеріальної точки на рівні
z = 0 . Зокрема, потенціальна енергія матеріальної точки масою m , яка знаходиться в однорідному полі сили тяжіння біля поверхні Землі (вісь OZ напрямлена вертикально вгору, Fz = −mg , g – прискорення вільного падіння), дорівнює WП ( z ) = mgz + WП ( 0 ) .
Приклад 2. Потенціальна енергія матеріальної точки в полі центральних сил. У потенціальному полі центральних сил на матеріальну точку діють сили F , які скрізь напрямлені вздовж прямих, що проходять через одну й ту саму нерухому точку – центр сил, і залежать лише від відстані r до центра сил: 38
r F = Fr ( r ) . r
Тут r – радіус-вектор, проведений із центра сил у розглядувану точку поля, а Fr ( r ) – проекція сили F на напрямок вектора r , яка залежить лише від відстані r . Якщо матеріальна точка притягується до центра сил, то Fr ( r ) = − F < 0 , якщо ж вона відштовхується від нього, то
Fr ( r ) = F > 0 . Елементарна робота сили F : δA = F dr = Fr ( r ) dr . Потенціальна енергія матеріальної точки ∞
WП ( r ) = ∫ Fr ( r ) dr + WП ( ∞ ) . r
Зазвичай за початок відліку потенціальної енергії приймають енергію матеріальної точки, віддалену на нескінченно велику відстань від центра сил, тобто покладають WП ( ∞ ) = 0 : ∞
WП ( r ) = ∫ Fr ( r ) dr . r
Прикладами центрального силового поля, в якому сила обернено пропорційна квадрату відстані до центра сил, F (r ) : ∞ ⋅ r −2 , можуть бути гравітаційні поля матеріальної точки та однорідної кулі, електростатичні поля точкового заряду, а також сфери та кулі, рівномірно заряджених по поверхні та об'єму. Приклад 3. Потенціальна енергія системи з двох матеріальних точок, між якими діють центральні сили, тобто сили, які залежать від відстані між точками і спрямовані вздовж прямої, що їх з'єднує. На рис. 3.3 показано сили взаємного відштовхування F12 і F21 = − F12 : F12
F21 = Fρ ( ρ )
1
де ρ = r2 − r1 – радіус-вектор, прове-
ρ 2
r1 r2
F21 O
ρ , ρ
дений з точки 1 у точку 2, а Fρ ( ρ ) –
проекція сили F21 на напрямок вектора ρ , яка залежить лише від відстані ρ між точками. Мала зміна потенціальної енергії системи
Рис. 3.3
dWП = − ( F12 dr1 + F21 dr2 ) = −F21 dρ = − Fρ ( ρ ) d ρ . 39
∞
Якщо прийняти, що WП → 0 при ρ → ∞ , то WП ( ρ ) = ∫ Fρ ( ρ ) dρ . Цю ρ
енергію часто називають взаємною потенціальною енергією двох матеріальних точок. Приклад 4. Потенціальна енергія пружного тіла (наприклад пружини) при його поздовжньому розтягненні чи стисненні. При деформації пружного тіла в ньому виникають потенціальні внутрішні сили (сили пружності), які перешкоджають деформації. За законом Гука, пружна X сила Fпр , з якою деформоване тіло А (рис. 3.4) A i
діє на тіло В, яке спричиняє його деформацію, пропорційна величині деформації: Fпр = − kxi .
x
O
FПР Рис. 3.4
B
Тут xi – вектор переміщення тіла В, який характеризує деформацію тіла А (у недеформованому стані x = 0 , при стисненні x > 0 , а при розтягненні x < 0 ), k > 0 – коефіцієнт (множень), що характеризує пружні властивості тіла А. Легко отримати, що потенціальна енергія деформованого тіла:
WП =
kx 2 . 2
Тут прийнято, що за відсутності деформації, тобто при x = 0 , потенціальна енергія дорівнює нулеві.
3.4. ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ МЕХАНІЧНОЇ ЕНЕРГІЇ Механічною енергією, або повною механічною енергією, називається енергія механічного руху та взаємодії. Механічна енергія W системи матеріальних точок дорівнює сумі їх кінетичної енергії WK і потенціальної енергії WП взаємодії цих точок одна з іншою та із зовнішніми тілами:
W = WK + WП . Елементарний приріст механічної енергії системи за малий проміжок часу dt : dW = δAНП +
∂WПЗ dt , ∂t
де δAНП – алгебраїчна сума елементарних робіт, виконуваних за час dt усіма діючими на систему внутрішніми та зовнішніми непотенціальними
40
силами. Доданок
∂WПЗ dt являє собою зміну за час dt потенціальної ∂t
енергії системи та її повної механічної енергії, зумовлену нестаціонарністю зовнішніх потенціальних сил. Якщо на систему матеріальних точок діють лише консервативні сили,
∂WПЗ ≡ 0 . Повна механічна енергія такої системи зберіга∂t ється W = const , тобто справедливим є закон, який називається зако-
то δAНП ≡ 0 і
ном збереження механічної енергії: під час руху системи матеріальних точок, на які діють лише консервативні (і гіроскопічні) сили, її механічна енергія не змінюється. Зокрема, цей закон справедливий для замкнених консервативних систем: механічна енергія замкненої системи не змінюється з часом, якщо всі внутрішні сили, які діють у цій системі, потенціальні або не виконують роботи. Закон збереження механічної енергії пов'язаний з однорідністю часу. Ця властивість часу проявляється в тому, що закони руху замкненої системи (або системи, що розташовані в стаціонарному зовнішньому полі) не залежать від вибору початку відліку часу. Наприклад, при вільному падінні тіла в стаціонарному потенціальному полі сили тяжіння біля поверхні Землі, швидкість тіла й пройдений ним шлях залежать тільки від тривалості вільного падіння тіла та від початкової швидкості, а не від того, в який конкретно момент часу тіло почало падати. Механічна енергія замкненої неконсервативної системи змінюється за рахунок роботи, виконуваної всіма непотенціальними внутрішніми силами dW = δAНП . Гіроскопічні сили роботи не виконують і внеску в
δAНП не дають, тобто існування таких сил у системі не призводить до зміни її механічної енергії. Дія дисипативних сил – наприклад, сил тертя – призводить до поступового зменшення механічної енергії замкненої системи. Цей процес називається дисипацією енергії, а система, механічна енергія якої неперервно зменшується з часом, називається дисипативною системою. При дисипації енергії відбувається перетворення механічної енергії системи на інші види енергії (наприклад, на енергію безладного руху молекул). Перетворення механічної енергії здійснюється у повній відповідності до загального закону природи – закону збереження енергії. Згідно із цим законом, енергія може переходити з однієї форми в іншу й перерозподілятися всередині системи, але її загальна кількість у замкненій системі повинна залишатися постійною. Із закону збереження та перетворення енергії випливає, що зміна енергії незамкненої системи, що відбувається при взаємодії системи із зовнішнім середовищем (зовнішніми тілами та полями), повинна бути чисельно рівною й протилежною за знаком зміні енергії зовнішнього середовища. Іншими словами, зміна енергії системи 41
при її взаємодії із зовнішнім середовищем повинна дорівнювати тій енергії, яку система отримує ззовні. У всіх реальних механічних системах діють сили опору та тертя, унаслідок чого всі ці системи неконсервативні. Проте в деяких випадках їх можна наближено вважати консервативними й застосовувати до них закон збереження механічної енергії. Такий підхід можливий, якщо в розглядуваному процесі робота AНП всіх непотенціальних сил, які діють на систему, нехтовно мала порівняно з механічною енергією системи W , тобто AНП W 0 світло, поширюючись у вакуZ' Z умі зі швидкістю с, досягне в системі відліку К точок поверхні сфери із центром у Рис. 5.1 точці О і радіусом, рівним ct. У системі К' можна вважати, що світловий спалах відбувся в момент часу t ′ = 0 у точці О'. Тому, згідно з постулатами спеціальної теорії відносності, на момент часу t = t ′ світло в системі К' досягне точок сфери того ж радіуса ct, що й у системі К, але з центром у точці О', яка розташована в цей час не в точці О, а на відстані Vt від неї. Таким чином, сполучення постулатів спеціальної теорії відносності й класичних уявлень про абсолютний час, який іде однаково в усіх системах відліку, призводить до абсурду: світло спалаху повинно одночасно досягати точок простору, які належать двом різним сферам.
5.2. ОДНОЧАСНІСТЬ ПОДІЙ. СИНХРОНІЗАЦІЯ ГОДИННИКІВ При проведенні різноманітних фізичних вимірювань широко користуються поняттям одночасності двох чи кількох подій. Наприклад, для визначення довжини l стрижня, який розташований уздовж осі ОХ системи відліку К і рухається відносно цієї системи, необхідно одночасно, тобто в 64
один і той самий момент часу t, зафіксувати значення x2 (t ) і x1 (t ) координат кінців стрижня: l = x2 (t ) − x1 (t ) . Визначення моменту часу, коли відбулася та чи інша подія (наприклад, старт чи посадка космічного корабля), зводиться до встановлення показання годинника, одночасного розглядуваній події. Це легко зробити за допомогою годинника, який знаходиться в тому ж місці, де відбувається подія. Таким чином, у кожній системі відліку має бути багато годинників, що знаходяться в різних точках простору. Зрозуміло, що всі вони мають йти узгоджено, синхронно: їх показання в кожний момент часу повинні бути однаковими. Синхронність ходу годинників, які розташовані поруч, тобто в одному й тому ж місці простору, можна перевірити за збігом їх показань у кожний довільний момент часу. А одночасність годинників, які знаходяться у віддалених одна від одної точках А і В, можна було б перевірити подібним чином, маючи можливість посилати сигнали точного часу, які поширюються з А в В миттєво. Проте досвід показує, що такий спосіб нездійсненний, оскільки швидкість будь-якого сигналу не може перевищувати швидкість світла у вакуумі. Можна вчинити так: перевезти годинник з точки В у А, переконатися в синхронності його ходу з годинником у точці А, а потім акуратно перевезти годинники назад у точку В. Перевірити, що привезений у точку В годинник продовжує йти однаково швидко з годинником у точці А, можна за допомогою сигналів часу, які висилаються з А в В через певні однакові проміжки часу за годинником у точці А. Проте таким способом неможливо встановити, чи не відбувся при перевезенні годинника зсув у початку відліку часу за ним, тобто чи не почав годинник, привезений у точку В, йти вперед чи відставати від годинника в точці А на постійну величину Δt. Питання про синхронність ходу годинників, які знаходяться в різних точках А і В, можна розв'язати тільки шляхом однозначної угоди (означення) стосовно того, коли ці годинники слід вважати синхронними. За основу такого означення Ейнштейн узяв реальний фізичний процес – поширення світла у вакуумі. При цьому він виходив з того, що швидкість світла у вакуумі, по-перше, є максимально можливою в природі швидкістю передавання сигналів, а по-друге, однакова в усіх напрямках та інерційних системах відліку. Нехай за годинником у точці А світловий сигнал висилається з цієї точки в момент часу t1 і після відбиття в точці В повертається в т. А в момент часу t3. Тоді, за означенням, годинник у точці В йде синхронно з годинником у точці А, якщо він іде однаково швидко і в момент приходу світлового сигналу в точку В встановлений у ній годинник показує час t2 = (t1 + t3 ) / 2 . 65
У спеціальній теорії відносності хід часу в різних інерційних системах відліку різний, тоді проміжок часу між якими-небудь двома певними подіями буде відносним: він змінюється при переході від однієї інерційної системи відліку до іншої. Зокрема, відносною є одночасність двох подій, які відбуваються в різних точках простору. Події, одночасні в одній інерційній системі відліку, зовсім не одночасні в інших, що рухаються відносно першої. В одних системах відліку перша з двох подій відбувається раніше другої, а в інших – пізніше. У прикладі, показаному на рис. 5.1, досягнення світлом спалаху точок А і В – події, одночасні в нерухомій системі відліку К. У рухомій системі відліку К' ці події не одночасні. У точку А, яка віддаляється від джерела світлового спалаху – точки О', світло потрапляє пізніше, ніж у точку В, що наближається до О'. Події, пов'язані причинно-наслідковим зв'язком, не можуть відбуватися одночасно ні в якій системі відліку, оскільки будь-який наслідок зумовлений якимось процесом, породженим причиною. Між тим ніякий процес (фізичний, хімічний, біологічний) не може відбуватися миттєво. Тому відносність жодною мірою не суперечить причинності. У будь-якій інерційній системі відліку подія – наслідок завжди відбувається пізніше, ніж подія, що є її причиною.
5.3. ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛОРЕНЦА Із постулатів спеціальної теорії відносності, а також з однорідності й ізотропності простору та однорідності часу випливає, що співвідношення між координатами і часом однієї й тієї ж події у двох інерційних системах відліку виражається перетвореннями Лоренца, а не перетвореннями Галілея, як це вважається в класичній (ньютонівській) механіці. Згідно з принципом відносності та вищезгаданими властивостями симетрії простору і часу, перетворення Лоренца мають бути лінійними. Перетворення Лоренца мають найпростіший вигляд у тому випадку, коли відповідні осі декартових координат нерухомої (К) і рухомої (К') інерційних систем попарно паралельні, причому система К' рухається відносно К зі сталою швидкістю V вздовж осі ОХ. Якщо за початок відліку в обох системах ( t = 0 і t ′ = 0 ) обрано той момент, коли початки координат О та О' обох систем відліку збігаються, то перетворення Лоренца мають вигляд:
x′ =
x − Vt 1−V
2
,
x=
x′ + Vt ′ 1−V
c2
y' = y, z' = z,
2
y = y' z = z' 66
c2
t′ =
Vx t− 2 c 2 1−V
t=
,
c2
Vx′ t′ + 2 c 2 1−V
,
c2
де с – швидкість світла у вакуумі. Перетворення Лоренца показують, що при переході від однієї інерційної системи відліку до другої змінюються не тільки просторові координати розглядуваних подій, але й відповідні їм моменти часу. Проте між просторовими координатами x′, y ′, z ′ події та часом t' її здійснення в довільній інерційній системі відліку К' існує певний взаємозв'язок, так що величина ⎡ ( x ′)2 + ( y ′) 2 + ( z ′)2 − c 2 (t ′)2 ⎤ не залежить від швидкості V сис-
⎣
⎦
теми К', тобто є однаковою в усіх інерційних системах відліку:
( x ′)2 + ( y ′)2 + ( z ′) 2 − c 2 (t ′)2 = x 2 + y 2 + z 2 − c 2t 2 . Координата x' і час t' не можуть бути уявними. Тому з перетворень Лоренца випливає, що швидкість відносного руху будь-яких двох інерційних систем відліку не може перевищувати швидкість світла у вакуумі ( V c ). Відповідно до принципу відносності Ейнштейна, фізичні закони мають задовольняти умову релятивістської інваріантності (Лоренц-інваріантності). Ця вимога означає таке: рівняння, що виражають фізичні закони, повинні зберігати свою форму при переході від однієї інерційної системи відліку до іншої, який відбувається згідно з перетвореннями Лоренца. Перетворення Лоренца переходять у перетворення Галілея при V c , або, точніше, у границі при V / c → 0 , тобто при c → ∞ . Іншими словами, перетворення Галілея та заснована на них класична (ньютонівська) механіка побудовані на припущенні про миттєве поширення взаємодій. Такий наближений підхід допустимий лише при розгляді закономірностей механічного руху тіл зі швидкостями, значно меншими від швидкості світла у вакуумі.
5.4. ВІДНОСНІСТЬ ДОВЖИН І ПРОМІЖКІВ ЧАСУ. ІНТЕРВАЛ МІЖ ДВОМА ПОДІЯМИ Із перетворень Лоренца випливає, що лінійний розмір тіла, яке рухається відносно інерційної системи відліку, зменшується в напрямку руху. Ця зміна поздовжнього розміру тіла під час його руху називається лоренцовим скороченням. Нехай l0 – довжина стрижня, що перебуває в стані спокою в системі відліку К'. Якщо стрижень розташований уздовж осі O'X' (рис. 5.2), то l0 = x2′ − x1′ , де x2′ і x1′ – координати кінців стрижня. Довжина l того ж стрижня в системі відліку К, відносно якого він рухаєть67
ся вздовж осі ОХ зі швидкістю V, дорівнює різниці значень координат кінців стрижня, виміряних в один і той самий момент часу t :
l − x2 (t ) − x1 (t ) = ( x2′ − x2′ ) 1 − K
Y
K'
V2 c2
= l0 1 −
V2 c2
.
Поперечні розміри тіла не залежать від швидкості його руху та однакові в усіх інерційних системах відліку:
Y' V
y2 − y1 = y2′ − y1′ і z2 − z1 = z2′ − z1′ . x1' X' x2' Отже, лінійні розміри тіла відносні. Вони максимальні в тій самій O' O x1(t) x2(t) X інерційній системі відліку, відносно якої тіло перебуває у спокої. Ці розміри тіла називаються йоРис. 5.2 го власними розмірами. Лоренцеве скорочення є кінематичним ефектом спеціальної теорії відносності. Воно не пов'язане з дією на тіло якихось поздовжніх сил, які стискають його вздовж напрямку руху. Це скорочення помітне тільки при швидкостях руху, близьких до швидкості світла у вакуумі. Із формули для лоренцевого скорочення випливає, що тіла не можуть рухатися зі швидкостями V ≥ c, оскільки при V = c поздовжній розмір тіла обертається на нуль, а при V > c він має стати уявним. Із перетворень Лоренца видно, що в теорії відносності можна говорити про певний "момент часу" лише стосовно якої-небудь одної певної інерційної системи відліку. Наприклад, одному "моменту часу" в системі відліку К (одному певному значенню часу t у цій системі) відповідає множина значень часу t' у системі відліку К' залежно від значень координати х: Vx t− 2 c . t′ = 2 1−V 2 c Навпаки, одному "моменту часу" в системі відліку К', тобто одному певному значенню часу t', відповідає множина значень часу t у системі відліку К залежно від значень координати х': Vx ′ t′ + 2 c . t= 2 V 1− c2 68
Ще один важливий наслідок перетворень Лоренца – відносність проміжку часу між якими-небудь двома подіями (наприклад, між початком і кінцем якого-небудь процесу), тобто залежність цього проміжку від вибору інерційної системи відліку. Нехай у рухомій інерційній системі відліку К' дві розглядувані події 1 і 2 відбуваються в одній і тій самій нерухомій відносно К' точці А ( x2′ = x1′ ) у моменти часу t1′ і t2′ , так що проміжок часу між цими подіями τ = t2′ − t1′ . Відносно нерухомої інерційної системи відліку К точка А рухається з тією ж швидкістю V, що й система К'. Тому в К події 1 і 2 відбуваються в різних точках простору з координатами x1 і x2, причому x2 − x1 = V τ , де
τ = t2 − t1 – проміжок часу між подіями 1 і 2 за годинником у системі відліку К. Із перетворень Лоренца випливає, що τ = t2 − t1 =
t2′ − t1′ 2 1−V
c2
=
τ0 2 1−V
.
c2
Таким чином, проміжок часу між двома подіями мінімальний у тій системі відліку, відносно якої обидві події відбуваються в одній і тій самій точці. Час, вимірюваний за годинником, який рухається разом з даним об'єктом, називається власним часом цього об'єкта. Розглянуті закономірності свідчать про існування релятивістського ефекту сповільнення ходу часу в рухомій інерційній системі відліку порівняно з нерухомою. Годинник, який рухається зі швидкістю відносно даної інерційної системи відліку, йде повільніше в
1−V
2
разів, ніж неруc2 хомий. За принципом відносності, усі фізичні процеси в рухомій системі відліку відбуваються повільніше, ніж у нерухомій. Ефект сповільнення ходу часу стає помітним тільки при дуже великих швидкостях руху V, близьких до швидкості світла у вакуумі. Він підтверджується експериментально, наприклад, у дослідах з мюонами. Мюон – нестабільна елементарна частинка. Середній власний час життя мюона (за годинником у тій інерційній системі відліку, відносно якої він перебуває у спокої) τ0 = 2, 2 ⋅10−6 с. Мюони народжуються у верхніх шарах атмосфери під дією первинного космічного проміння й рухаються відносно Землі зі швидкостями V, близькими до с. Якби релятивістського ефекту сповільнення ходу часу не було, то відносно земного спостерігача мюон міг би пройти за час свого життя шлях в атмосфері, який не перевищує в середньому τ0c = 660 м. Іншими словами, мюони не могли б досягати поверхні Землі. Насправді ж вони реєструються приладами, встановленими на поверхні Землі, оскільки середній час життя рухомого мюона за 69
годинником земного спостерігача τ = τ0 / 1 − V
2
c2
>> τ0 і шлях, пройде-
ний мюоном за цей час, τV >> 660 м. Релятивістський ефект сповільнення ходу часу в космічному кораблі, що рухається відносно Землі, відкриває можливість здійснення як завгодно далеких польотів і подорожей "у майбутнє". Згідно з принципом відносності, усі процеси на космічному кораблі, включаючи й процес старіння космонавтів, ідуть за тими ж законами, що й на Землі. Але при цьому час на кораблі треба вимірювати за годинником, який рухається разом з ним зі швидкістю V відносно Землі. Якщо V близька до с, то годинник на кораблі йде значно повільніше, ніж земний (на космодромі) – у
1/ 1 − V
2
разів. Наприклад, при β = V/c = 0,99999 хід годинника на c2 кораблі й на Землі відрізняється в 224 рази. Отже, на такому кораблі за проміжок часу τ0 = 10 років за корабельним годинником можна здійснити, постарівши всього лише на 10 років, космічний політ, який за годинником на Землі триватиме τ = 2240 років! При цьому корабель віддалиться від Землі на величезну відстань l = Vτ = β cτ = 2239,98 світлових років (світловим роком називається відстань, яку проходить світло у вакуумі за рік: 1 св. рік = 9,4605 (1015 м). Чим ближче V до с, тим більший шлях l може пройти корабель відносно Землі за один і той самий проміжок τ0 власного часу на кораблі, тобто тим більш далекий космічний переліт можуть здійснити космонавти за своє життя. Якщо космонавт, здійснивши космічний політ зі швидкістю V, близькою до с, повернеться на Землю, то він виявить, що люди на Землі (зокрема, його брат-близнюк, який залишився на Землі) постаріли за час польоту більше, ніж він. При достатньо малій відмінності V від с, коли (1 − V 2 / c 2 ) 1 , космонавт може пережити всіх своїх сучасників на Землі та опинитися після повернення серед представників наступних поколінь людей. На перший погляд здається, (виходячи з принципу відносності) що можна прийти до висновків, прямо протилежних до наведених у п. 6: годинник на Землі, який рухається зі швидкістю – V відносно космічного корабля, повинен відставати від годинника на кораблі. Тому тривалість польоту має бути більшою для космонавта, а не для мешканців Землі. Отже, за час польоту повинен більше постаріти той із двох близнюків, котрий летів на кораблі. Таким чином, різниця показань годинника на космодромі та на кораблі після приземлення має бути: з одного боку, додатною, а з другого – від'ємною. Цей абсурдний результат одержав назву парадоксу годинників, або парадоксу часу. Насправді ніякого парадоксу немає. Він виник унаслідок неправильного застосування принципу відносності. Цей прин70
цип вказує на повну рівноправність не будь-яких систем відліку, а лише інерційних. Між тим, система відліку, пов'язана з космічним кораблем, – на відміну від Земного – не весь час є інерційним, оскільки під час набору швидкості на старті, обльоту цілі та гальмування при спуску корабель рухається з прискоренням. Тому задача про хід годинника на космодромі, який весь час перебуває у спокої відносно однієї й тієї самої інерційної системи відліку, і годинника, який міститься на космічному кораблі, принципово несиметрична, а Земна та корабельна системи відліку – нерівноправні в даній задачі. Правильними є міркування, викладені в п. 6, оскільки вони засновані на використанні інерційної (Земної) системи відліку. Міркування на початку п. 7, що призвели до парадоксу годинника, – помилкові. У другому випадку слід користуватися не спеціальною, а загальною теорією відносності. Виявляється, щодо космонавта його годинник має іти повільніше, ніж на космодромі. Інтервалом, або просторово-часовим інтервалом, між двома подіями, виміряним в інерційній системі відліку К', називається величина 2
2
′ = c 2 ( t12 ′ ) − ( l12 ′ ) , s12 ′ = t2′ + t1′ – проміжок часу між розглядуваними подіями (за годинниде t12 ком у системі відліку К' ), а ′ = l12
( x2′ − x1′ )2 + ( y2′ − y1′ )2 + ( z2′ − z1′ )2
– відстань між точками, в яких відбуваються події 1 і 2, виміряна також в системі відліку К'. Із перетворень Лоренца випливає, що інтервал між даними двома подіями 1 і 2 інваріантний відносно вибору інерційної системи відліку, тобто не змінюється при переході від рухомої інерційної системи відліку К' до нерухомої К: ′ = s12 = inv , s12 де s12 = c 2 t122 − l122 . 2 Якщо s12 > 0 , тобто s12 – дійсне число, то інтервал s12 називається
часоподібним інтервалом. Інтервал s12 називається просторовоподіб2 ним інтервалом, якщо s12 < 0 , тобто s12 – уявне число. З інваріантності інтервалу відносно вибору інерційної системи відліку ′ і l12 ′ для даних К' випливає, що в усіх системах відліку К' значення t12 двох подій 1 і 2 задовольняють рівняння гіперболи: 2
2
′ ) − ( l12 ′ ) = s12 ′2 . c 2 ( t12 71
c t'12 I A C
O B II
Рис. 5.3
III
l'12
′2 > 0 , то зв'язок між t12 ′ і l12 ′ Якщо s12 у різних інерційних системах відліку К', які рухаються відносно нерухомої системи відліку К з усіма можливими швидкостями ( 0 ≤ V < c ), зображується графічно у вигляді двох гілок гіперболи І і ІІ (рис. 5.3). Отже, знак проміжку часу між подіями 1 і 2, пов'язаними часоподібним інтервалом, абсолютний. Він не залежить від вибору інерційної системи відліку: в усіх системах відліку К' друга подія відбувається або завжди пізніше першої, ′ > 0 (гілка І), або завжди раніше тобто t12 ′ < 0 (гілка ІІ). Відстань першої, тобто t12
′ відносна, причому можна вказати таку інерційну систему відліку К', в l12 ′ = 0 , тобто події 1 і 2 відбуваються в одному й тому ж місці (точки якій l12 А і В на гілках гіперболи І та ІІ). Двом подіям, пов'язаним причинно-наслідковим зв'язком, завжди повинен відповідати часоподібний інтервал або, у крайньому разі, нульовий інтервал ( s12 = 0 ). Це зумовлено тим, що сигнал, за допомогою якого подія 1 (причина) спричиняє появу події 2 (наслідок), не може поширюватися в про′ ≤ c(t2′ − t1′ ) . сторі зі швидкістю понад швидкості світла у вакуумі: l12 ′ < 0 ), знак Коли події пов'язані просторовоподібним інтервалом ( s12 ′ буде відносним: t12 ′ > 0 (верхня частина гіперболи ІІІ на рис. 5.3) в t12 ′ < 0 (нижня частина одних інерційних системах відліку К', а в інших t12 ′ = 0 , тобто гіперболи ІІІ). Точка С відповідає системі відліку К', в якій t12 події 1 і 2 відбуваються одночасно.
5.5. ПЕРЕТВОРЕННЯ ШВИДКОСТЕЙ І ПРИСКОРЕНЬ У РЕЛЯТИВІСТСЬКІЙ КІНЕМАТИЦІ Значення v і v' швидкості матеріальної точки у двох інерційних системах відліку К і К' дорівнюють:
v=
dr = vx i + vy j + vz k, dt
v′ =
dr ′ = v'x i' + v'y j' + v'z k', dt ′
де r = x i + y j + z k та r' = x' i' + y' j' + z' k' – радіус-вектори декартових координат систем відліку К і К'. Проекції швидкостей v і v' на осі декартових координат дорівнюють: 72
dx dy dz dx′ dy ′ dz ′ , vy = , vz = , vx′ ′ = , v ′y′ = , і vz′ ′ = . dt ′ dt ′ dt ′ dt dt dt Нехай відповідні осі декартових координат систем відліку К' і К попарно паралельні і система К' рухається відносно К зі сталою швидкістю V, напрямленою вздовж осі ОХ. Причому, у момент початку відліку часу в К і К' ( t = 0 і t ′ = 0 ) початки координат О і О' цих систем відліку збігаються. Із перетворень Лоренца випливає, що зв'язок між проекціями точки на осі декартових координат у системах К і К' має вигляд: vx − V vx′ ′ − V , vx = , vx′ ′ = 2 1 − V vx / c 1 + V vx′ ′ / c 2
vx =
v ′y′ =
v y 1 − V 2 / c2
1 − V vx / c 2
vy =
,
v 1 − V 2 / c2 , vz′ ′ = z 1 − V vx / c 2
v ′y′ 1 − V 2 / c 2
1 + V vx′ ′ / c 2
,
v′ 1 − V 2 / c 2 . vz = z ′ 1 + V v′x′ / c 2
Ці формули виражають закон складання швидкостей у релятивістській кінематиці. У граничному переході с→∞ вони призводять до звичайного закону складання швидкостей у класичній механіці: v'x' = vx – V, v'y` = vy, v'z' = vz та v' = v – V. Зв'язок між квадратами модулів векторів v і v':
(
2⎤ ⎡ ⎡ 2 2 ⎢ ⎣⎢1 − ( v ′ / c ) ⎦⎥ 1 − V / c v = c ⎢1 − 2 ⎢ 1 + V vx′ ′ / c 2 ⎣ 2
2
(
) ⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎦
)
та
(
)
⎡ ⎡ 2 2⎤ 2 2 ⎤ ⎢ ⎣1 − v / c ⎦ 1 − V / c ⎥ ( v′ ) = c ⎢1 − ⎥. 2 ⎢ ⎥ 1 − V vx / c 2 ⎣ ⎦ Зокрема, якщо v' = c, то v = c, і навпаки. Отже, якщо швидкість частинки відносно якої-небудь інерційної системи відліку дорівнює швидкості світла у вакуумі, то вона має бути такою самою за величиною відносно будь-якої іншої інерційної системи відліку незалежно від швидкості відносного руху цих систем відліку. Інакше кажучи, сума двох швидкостей завжди дорівнює с, якщо навіть одна з них дорівнює с. У цій закономірності, що виявляється під час руху таких елементарних частинок, як фотони та нейтрино, проявляється граничний характер швидкості світла у вакуумі. 73 2
2
(
)
З отриманих співвідношень видно, що частинка, яка рухається відносно якої-небудь інерційної системи відліку з меншою від с швидкістю, має швидкість відносно будь-якої іншої інерційної системи відліку теж меншу від с (наприклад, якщо v < c, то v' < c, і навпаки). Звідси, зокрема, випливає, що якими б не були близькими до с швидкості двох частинок, їх відносна швидкість завжди менша від с. Наприклад, нехай дві частинки рухаються вздовж осі ОХ системи відліку К зі швидкостями, відповідно рівними v1 = 0,8ci та v2 = – 0,8ci. Швидкість u21 другої частинки відносно першої не дорівнює, як це приймається в класичній механіці, геометричній різниці v2 – v1 = – 1,6ci хоча б тому, що модуль цієї швидкості переважає с. Шукана швидкість дорівнює швидкості другої частинки відносно інерційної системи відліку К', яка рухається разом з першою частинкою (V = 0,8ci), тобто u21 = v'2. Із наведених вище формул випливає, що
v2′ x′ =
v2 x − V 1, 6c = – 0,976с, =− V v2 x 1 + 0, 64 1 − 2 c
v2′ y′ = v2′ z ′ = 0,
тобто u21 = – 0,976ci та ⏐u21⏐< c. Проекції прискорення матеріальної точки на осі декартових координат двох інерційних систем відліку К і К', пов'язані між собою такими співвідношеннями: 3
⎛ ⎞ ⎜ 1 − V 2 / c2 ⎟ dvx′ ′ ⎟ , = ax ⎜ ax′ ` = dt ′ ⎜ 1 − Vvx ⎟ ⎜ ⎟ c2 ⎝ ⎠ dv′y′ ⎡⎛ Vvx ⎞ Vv y ⎤ 1 − V 2 / c 2 a ′y′ = = ⎢⎜ 1 − , ⎟ a y + 2 ax ⎥ 3 dt ′ ⎣⎝ c2 ⎠ c ⎦ ⎛ Vvx ⎞ ⎜1 − 2 ⎟ c ⎠ ⎝ 2 ⎡⎛ Vv ⎞ ⎤ 1 − V / c2 dv ′ Vv az′ ′ = z′ = ⎢⎜ 1 − x ⎟ az + z ax ⎥ , 3 dt ′ ⎣⎝ c2 ⎠ c2 ⎦ ⎛ Vvx ⎞ ⎜1 − 2 ⎟ c ⎠ ⎝
⎛ ⎜ 1 − V 2 / c2 dvx ax = = ax′ ′ ⎜ dt ⎜ 1 + Vvx′ ′ ⎜ c2 ⎝ 74
3
⎞ ⎟ ⎟ , ⎟ ⎟ ⎠
Vv y′ ⎡⎛ Vv′ ⎞ ⎤ 1 − V 2 / c2 ax′ ′ ⎥ , = ⎢⎜1 + x′ ⎟ a ′y′ − 3 dt c2 ⎠ c2 ⎣⎝ ⎦ ⎛ Vvx′ ′ ⎞ ⎜1 + 2 ⎟ c ⎠ ⎝ 2 ⎡⎛ Vv′ ⎞ ⎤ 1 − V / c2 dv Vv′ az = z = ⎢⎜1 + x′ ⎟ az′ ′ − z ′ ax′ ′ ⎥ . 3 dt ′ ⎣⎝ c2 ⎠ c2 ⎦ ⎛ Vvx′ ′ ⎞ ⎜1 + 2 ⎟ c ⎠ ⎝
ay =
dv y
5.6. ОСНОВНИЙ ЗАКОН РЕЛЯТИВІСТСЬКОЇ ДИНАМІКИ У класичній (ньютонівській) механіці вважалось, що маса тіла має одне й те саме значення в різних інерційних системах відліку. Досліди над тілами, швидкість руху яких менша від швидкості світла, підтверджували таке припущення. Проте відношення F a = m = const справедливе лише при достатньо невеликих швидкостях. Якщо швидкості тіл зростають, то це співвідношення починає зростати зі швидкістю. У релятивістській механіці, на відміну від класичної, маса матеріальної точки не є сталою, а залежить від швидкості v цієї точки. Її значення m різне у двох інерційних системах відліку, що рухаються одна відносно іншої. Залежність маси від швидкості виражається формулою
m=
m0 1 − v2 / c2
,
де m0 – маса спокою частинки (матеріальної точки), тобто її маса, виміряна в тій інерційній системі відліку, відносно якої частинка перебуває у спокої, с – швидкість світла у вакуумі. Масу m часто називають релятивістською масою. Іншими словами, маса однієї й тієї самої частинки різна в різних неінерційних системах відліку. Маса спокою частинки m0, на відміну від релятивістської маси, є інваріантною величиною, тобто вона однакова в різних системах відліку. Вплив швидкості частинки на величину її релятивістської маси стає суттєвим тільки при значеннях v, близьких до с. Наприклад, m/m0 = 1,005 при v/c = 0,1 і m/m0 = 2,29 при v/c = 0,9. Із закону залежності m від v видно, що частинки з масою спокою m0 не можуть рухатися зі швидкостями, більшими чи рівними с (v < c). Водночас частинки, маса спокою яких дорівнює нулю (фотони та нейтрино), не можуть мати швидкість, відмінну від с. За аналогією з класичною механікою вводиться імпульс релятивістської частинки:
p = mv =
m0 v 1 − v2 / c2 75
,
який є нелінійною функцією її швидкості. Вектор p іноді називають релятивістським імпульсом матеріальної точки (на відміну від значення m0v її імпульсу в класичній механіці). Імпульс m0v, який вводився в класичній механіці, не зберігається для замкненої системи релятивістських частинок. У результаті, виникла альтернатива: або відмовитися від класичного означення імпульсу, або від закону збереження цієї величини. Закони збереження відіграють дуже важливу роль у природі, тому в теорії відносності за фундаментальний беруть саме закон збереження імпульсу, і виходячи з цього знаходять вираз для самого імпульсу. Дослід показує, що саме релятивістський імпульс частинки, введений описаним вище способом, підкоряється закону збереження імпульсу незалежно від вибору інерційної системи відліку. Очевидно, що при v 100 км) знаходиться термосфера, де температура знову 108
зростає при збільшенні висоти від поверхні Землі й сягає 600 К у період спокійного Сонця та більше 2000 К у період сонячної активності. Відзначені вертикальні перемішування повітряних мас атмосфери є проявом її механічної нестійкості. Проаналізуємо більш детально фізичну природу такого процесу. Розглянемо порушення стану механічної рівноваги, коли певна маса повітря трохи піднімається вгору. У новому її положенні ця повітряна маса буде зазнавати меншого зовнішнього тиску, що зумовить її розширення, і, відповідно, зменшення її густини. Це відбудеться тому, що при малій теплопровідності повітря за час руху вгору розглядувана маса практично не буде обмінюватись теплом з оточенням. Якщо виявиться, що в новому положенні густина повітряної маси, яка піднялася, буде більшою за густину навколишнього повітря, то ця маса за законом Архімеда буде рухатись вниз, і рівновага відновиться. Якщо ж її густина виявиться меншою за густину навколишнього повітря, то вона буде підніматися ще вище, і механічна рівновага виявиться нестійкою. Буде відбуватись вертикальний переніс повітряної маси. Аналогічні міркування справедливі й для випадку, коли порушення механічної рівноваги відбувається шляхом невеликого зниження певної маси повітря. Дослідження атмосфери Землі показали, що ізотермічна атмосфера в розглядуваному контексті є стійкою. Ще більша стабільність атмосфери має місце, коли температура повітря зростає з висотою. Якщо ж температура зменшується при збільшенні висоти, то механічна рівновага повітря можлива лише тоді, коли ця зміна не є дуже швидкою. Так, при зменшенні температури з висотою більш ніж на один градус на кожні 100 м висоти атмосфера втрачає механічну стійкість – з'являються вертикальні потоки повітряних мас, які називаються конвекцією.
8.5. ГРАВІТАЦІЙНЕ САМОСТИСНЕННЯ ПЛАНЕТИ Неважко уявити, що в результаті гравітаційної взаємодії між різними частинами планети виникають сили притягання, що призводить до виникнення додаткового тиску всередині планети. Знайдемо цей тиск. Нехай планета являє собою однорідну кулю радіусом R0 і масою M . Застосуємо основне рівняння гідростатики: ∇p = f . Щоб записати вираз для об'ємної густини гравітаційних сил, згадаємо, що сила тяжіння всередині планети пропорційна відстані до її центра, тобто mg
r . Звідси очевидно, що густина сил тяR0
жіння всередині планети може бути представлена виразом
f = − Dg
r , R0
де D – густина, g = γM R02 – прискорення вільного падіння на поверхні планети. 109
Запишемо векторне основне рівняння гідростатики у вигляді системи рівнянь:
∂p x = −ρg , ∂x R0 ∂p y = −ρg , ∂y R0 ∂p z = −ρg . ∂z R0
Повний диференціал тиску можна записати як
dp =
∂p ∂p ∂p ρg dx + dy + dz = − ( x dx + y dy + z dz ) . ∂x ∂y ∂z R0
Проінтегруємо отримане диференційне рівняння:
p=−
(
)
ρg 2 x + y 2 + z 2 + const . 2 R0
Сталу інтегрування знайдемо з такої очевидної граничної умови: на поверхні планети тиск дорівнює нулю, а сума квадратів координат дорівнює квадрату її радіуса, тобто x 2 + y 2 + z 2 = R0 2 . Тоді
0=− Врахуємо також ρ =
ρg ρg R02 + const і const = R0 . 2 R0 2
3M 4πR03
і запишемо вираз для тиску гравітаційного
самостиснення:
p=
3γM 2 ⎛ r2 ⎜1 − 8πR04 ⎜⎝ R02
⎞ ⎟. ⎟ ⎠
Таким чином, з наближенням до центра планети тиск збільшується за квадратичним законом і в центрі планети ( r = 0 ) досягає величини
pmax =
3γM 2 8πR04
.
Якщо у цю формулу підставити чисельні значення параметрів Землі, 6 5 отримаємо pmax близько 1,8⋅10 атм (1 атм≈10 Па). При цьому слід зазначити, розглянута задача лише віддалено відповідає реальній ситуації для Землі. На початку розгляду було зроблено припущення про однорідність розглядуваної планети. Нашу Землю можна лише наближено вважати однорідною, оскільки експерименти свідчать про суттєве зростання густини з глибиною. 110
8.6. ГІДРОСТАТИЧНА МОДЕЛЬ ОБЕРТАННЯ ПЛАНЕТИ Розглянемо ізольовану кулю масою M з нестисливої рідини густиною ρ , яка обертається навколо власної осі з кутовою швидкістю ω . Оберемо декартову систему координат, яка обертається разом з планетою, причому початок координат знаходиться у центрі планети. Вісь OZ спрямуємо вздовж осі обертання. Радіус планети позначимо R0 . Розглянемо елемент об'єму Z dV , який розташований на відстані r від центра планети (рис. 8.5). На обраний елемент dV діє сила тяжіння, яка спрямована до центра планети й дорівнює f2 f1 r
⎛ r ⎞ ⎜ −ρ dV g ⎟, R0 ⎠ ⎝
Y
O
де r – радіус-вектор обраного елемента об'єму. Отже, вектор об'ємної густини гравітаційних сил може бути представлений як
X Рис. 8.5
f1 = −ρg
r . R0
Оскільки обрана система відліку неінерційна, то на обраний елемент діє відцентрова сила інерції, яка дорівнює ρ dV ω2 ( xi + yj) . Відповідний вектор густини сил інерції f2 = ρω2 ( xi + yj) . Запишемо основне рівняння гідростатики в проекціях на осі координат:
⎧ ∂p ⎪ ⎪ ∂x ⎪⎪ ∂p ⎨ ⎪ ∂y ⎪ ⎪ ⎪⎩
= −ρg
x + ρω2 x R0
= −ρg
y + ρω2 y R0
z ∂p . = −ρg R0 ∂z
Звідси повний диференціал тиску можна записати як
dp =
⎛ ∂p ∂p ∂p g ⎞ g dx + dy + dz = ρ ⎜ ω2 − z dz . ⎟ ( x dx + y dy ) − ρ ∂x ∂y ∂z R0 ⎠ R0 ⎝
Проінтегруємо отримане диференційне рівняння 111
p=
(
)
ρ⎛ 2 g ⎞ 2 g 2 2 z + const . ⎜ω − ⎟ x + y −ρ 2⎝ R0 ⎠ 2 R0
Скористаємось тією обставиною, що отриманий вираз дозволяє розрахувати тиск у будь-якій точці. Оскільки тиск на поверхні планети повинен бути скрізь однаковим, прирівняємо значення p на полюсі,
p ( x, y, z ) = p ( 0, 0, R1 ) , і на екваторі, p ( x, y, z ) = p ( R2 , 0, 0 ) . При цьому ми змушені припустити, що полярний і екваторіальний радіуси планети різні:
ρ⎛ 2 g ⎞ 2 g 2 R1 + const , ⎜ω − ⎟ R2 + const = −ρ 2⎝ R0 ⎠ 2 R0 де R1 , R2 – полярний та екваторіальний радіуси планети. Звідси
R2 − R1 =
ω2 R22 R0 . g ( R1 + R2 )
Оскільки очікується, що різниця радіусів буде невеликою, наближено покладемо R1 + R2 = 2 R0 . Тоді отримаємо відносну величину зміни радіуса
R2 − R1 ω2 R0 , ≈ R0 2g яка характеризує ступінь сплюснутості планети, що зумовлена її обертанням навколо власної осі. Якщо в отриману формулу підставити параметри Землі, отримаємо величину 0,0016, яка лише приблизно вдвічі відрізняється від відомої реальної величини сплюснутості Землі. Отримана узгодженість розрахункової величини з реальною свідчить про те, що Земля перебуває в стані, близькому до гідростатичної рівноваги.
8.7. КІНЕМАТИЧНИЙ ОПИС РУХУ РІДИНИ. ТЕОРЕМА НЕРОЗРИВНОСТІ Гідродинаміка вивчає рух рідин. Явища в гідродинаміці мають макроскопічний характер і рідина розглядається як суцільне середовище. Це означає, що будь-який малий елемент об'єму рідини вважається настільки великим, що містить у собі дуже велику кількість молекул. Відповідно до цього, коли в гідродинаміці кажуть про нескінченно малий елемент об'єму, то завжди мають на увазі, що він досить малий порівняно з об'ємом тіла, але великий порівняно з відстанями між молекулами. У такому ж контексті треба розуміти поняття "частинка рідини" або "точка рідини", якими користуються для опису руху рідин і газів. Якщо, наприклад, у механіці кажуть про рух певної частинки рідини, то при цьому йдеться не про рух окремої молекули, а про зсув елемента об'єму, що містить велику кількість молекул. 112
Таким чином, математично описати рух рідини можна двома способами. Можна простежити за рухом кожної окремої частинки рідини, тобто визначити її положення і швидкість у кожний момент часу. Тим самим будуть відомі й траєкторії всіх частинок рідини. Такий спосіб опису розроблявся Лагранжем. Існує простіший підхід до опису руху рідин. Основна його ідея полягає в тому, щоб спостерігати не за окремими частинками рідини, а за певними точками простору і визначати швидкість (точніше її модуль і напрямок), з якою проходять через кожну точку окремі частинки рідини в різні моменти часу. Такий спосіб називається методом Ейлера. Якщо охопити всі точки простору і фіксувати час t, то при другому способі опису руху рідин утвориться просторова картина розподілу швидкостей у рідині – поле швидкостей. Поле швидкостей можна зобразити таким чином. Проведемо в рідині, яка рухається, лінії так, щоб дотична до них у кожній точці збігалася за напрямком з вектором v (рис. 8.6). Ці лінії називаються лініями струму. Якщо поле швидкостей, а отже, і відповідні йому лінії струму не змінюються із часом, то рух рідини називається стаціонарним або сталим. Якщо ж вони змінюються в часі, то рух називається нестаціонарним. У випадку нестаціонарного руху при другому способі опису швидкість рідини залежить від координат і часу: v = v ( r,t ) і лінії струму не збігаються з траєкторіями частинок рідини. При стаціонарному русі залежності v від часу не-
має, і швидкість залежить лише від координат: v = v ( r ) . Тільки при стаці-
онарному русі лінії струму збігаються з траєкторіями частинок. Оберемо довільний замкнений контур і проведемо лінії струму через кожну точку його в певний момент часу (рис. 8.7). Ці лінії утворять поверхню, яка називається трубкою струму. V
V
Рис. 8.6
Рис. 8.7
113
Вектор v швидкості частинок рідини спрямований по дотичний до ліній струму, а значить під час руху частинки рідини не будуть перетинати бічну поверхню трубки струму. Трубка струму (яка є уявною) поводить себе подібно до бокової поверхні реальної трубки, в якій тече рідина. На такі трубки струму можна розбити весь простір, в якому відбувається рух рідини. Розглянемо два поперечні переS'2 різи S1 і S 2 , які перпендикулярні до S'1 v2 осьової лінії струму АВ (рис. 8.8). Поперечний переріз трубок струму S2 v1 зазвичай обирають настільки маS1 v2 dt лим, щоб можна було вважати швидкість однаковою в межах будьS v1 dt якого її поперечного перерізу й спрямованою вздовж осі трубки струму. Частинки рідини, які в певний момент A часу t знаходились у поперечному Рис. 8.8
перерізі S1 , через нескінченно малий проміжок часу dt пройдуть шлях, рівний v1 dt , та опиняться в перерізі S1' . Звідси випливає, що за час dt через поперечний переріз S1 проходить об'єм рідини: S1v1 dt . Водночас через поперечний переріз S 2 пройде об'єм рідини: S 2 v2 dt . Якщо рідина нестислива, то через обидва перерізи мають пройти однакові об'єми рідини. Звідси S1v1 = S2 v2 . Наведені міркування справедливі для будь-яких двох поперечних перерізів трубки струму. Тому, у загальному випадку для трубки струму можна вважати S1v1 = const , тобто добуток швидкості течії нестисливої нев'язкої рідини та поперечного перерізу трубки струму є величиною сталою для даної трубки струму. Це твердження відомо як теорема нерозривності. Із теореми нерозривності випливає, що швидкість рідини в трубці струму буде тим більша, чим вужчий поперечний переріз трубки. Швидкість у трубці обернено пропорційна площі даного поперечного перерізу.
8.8. СТАЦІОНАРНИЙ РУХ ІДЕАЛЬНОЇ РІДИНИ. РІВНЯННЯ БЕРНУЛЛІ Вивчення руху реальних рідин є досить складним завданням. Для спрощення користуються поняттям ідеальної рідини. Рідина, у якій при будь-яких рухах не виникають сили в'язкості (сили тертя), називається ідеальною. Розглянемо стаціонарний рух ідеальної рідини в полі тяжіння та застосуємо до неї закон збереження енергії. Нехай ідеальна рідина 114
рухається в трубці струму, поперечний переріз якої змінюється від S1 до S2 (рис. 8.9), у напрямку зліва направо. Відокремимо в трубці малий стовпчик S1S1′ і розглянемо роботу, яку виконують сили тиску при його переміщенні в нове положення S 2 S2′ .
v1 dt
F1 S
v2 dt
S'1 h1
S2
F2
S'2 h2 Рис. 8.9
На переріз S1 стовпчика рідини діє сила F1 , а на переріз S1′ – сила
F2 . Зазначимо, що сили тиску, які діють на бокову поверхню трубки, перпендикулярні напрямку руху й тому роботи не виконують. Через малий проміжок часу dt переріз S1 переміститься на відстань v1dt у положення S 2 , а переріз S1′ на відстань v 2 dt у положення S 2′ . При цьому, сили, що діють на рідину в трубці, виконують роботу: A = F1v1dt − F2 v2 dt . Оскільки тертя відсутнє, то ця робота має дорівнювати приросту енергії розглядуваного об'єму рідини. Можна уявити собі, що маса dm рідини між перерізами S1 і S1′ зникає, і така сама маса dm з'являється між перерізами S 2 і S2' . Кінетична та потенційна енергії стовпчика рідини S1S1′ дорівнюють відповідно:
dm v12 2
і
dm gh1 , а стовпчика S 2 S 2′ :
dm v22 2
і
dm gh2 ,
де h1 , h2 – висоти відповідних об'ємів рідини над певним умовно обраним горизонтальним рівнем. Запишемо умову рівності роботи А приросту повної енергії:
F1v1dt − F2 v2 dt =
dm v22 dm v12 + dm gh2 − − dm gh1 . 2 2 115
Сили F1 і F2 , обумовлені тиском рідини на розглядувані об'єми рідини, можна представити таким чином: F1 = p1S1 , F2 = p2 S 2 . Якщо підставити ці співвідношення в наведене вище рівняння і врахувати, що dm = ρ dV , де ρ – густина рідини, dV = S1v1dt = S2 v2 dt – об'єм, то за допомогою нескладних перетворень отримаємо:
p1 +
ρv12 ρv 2 + ρgh1 = p2 + 2 + ρgh2 . 2 2
Таке рівняння було вперше отримано Бернуллі і, відповідно, називається рівнянням Бернуллі. Виведення рівняння Бернуллі проведено для окремої трубки струму, проте воно справедливе для всього потоку рідини. Далі розглянемо окремі випадки практичного застосування рівняння Бернуллі. Для трубки струму, що розміщена горизонтально ( h1 = h2 ), рівняння Бернуллі є таким:
p1 +
ρv12 ρv 2 = p2 + 2 . 2 2
З отриманого рівняння та теореми нерозривності випливає, що під час руху рідини в трубці, що має різні площі поперечного перерізу, швидкість буде більшою у вужчих місцях, а тиск буде більшим у більш широких місцях. Це можна показати на досліді, якщо встановити вздовж трубки кілька манометричних трубок (рис. 8.10). Висота рідини в цих трубках показує величину тиску. Дослід підтверджує отриманий наслідок із закону Бернуллі, а саме: у манометричній трубці б, що розташована у вужчій частині трубки, рівень рідини нижчий, ніж у трубках a і в, що вимірюють тиск у частинах трубки з більшим поперечним перетином.
а)
б)
в)
Рис. 8.10
Наведена особливість течії рідини на практиці використовується в приладах для вимірювання витрат води (лічильниках води). В основу цих приладів покладено трубку зі змінним поперечним перерізом (трубка 116
Вентурі), яка оснащена манометрами для вимірювання тисків p1 , p2 у перерізах S1 , S2 . Витрата води (маса, що протікає в одиницю часу) визначається рівністю
dm = ρv2 S2 = ρv1S1 , dt яка, разом з рівнянням Бернуллі, утворюють систему рівнянь для визначення витрат води. З урахуванням того, що тиски p1 = ρgh1 і p2 = ρgh2 визначаються з показань h1 і h2 манометричних трубок, отримаємо:
dm = dt
2ρ ( p1 − p2 ) S2−2 − S1−2
а)
.
б) Рис. 8.11
Зупинимося детальніше на питанні вимірювання тисків у рідині, що рухається. Якщо в потік рідини помістити трубку, нижній кінець якої зігнутий у напрямку, протилежному потоку (рис. 8.11, а) – трубку Піто, то лінії струму зміняться поблизу неї. Швидкість руху рідини перед отвором буде дорівнювати нулю. Рівняння Бернуллі в такому випадку набуде вигляду
p2 = p1 +
ρv12 , 2
де p1 – тиск у рідині, який виміряв би манометр у разі його руху разом з рідиною. Манометр, приєднаний до трубки Піто вимірює тиск p2 , який на ρv12 2 більший за тиск p1 . Доданок ρv12 2 називається "динамічним тиском". Якщо ж у тонкій трубці зробити отвір у бічній поверхні вигнутої частини, то поблизу нього швидкість і тиск будуть мало відрізнятись від відповідних величин за відсутності трубки. Тому такий прилад (рис. 8.11, б) називають зондом. Приєднання манометра до зонду дасть можливість виміряти тиск рідини p1 , який існує в місці розташування отвору. Тиск p1 часто називають статичним, щоб підкреслити його відмінність від динамічного. Сума динамічного та статичного тисків і називається повним тиском p2 . 117
Якщо відомі динамічний і статичний тиски, то можна визначити швидкість руху рідини v . Такий принцип реалізовано в трубці Прандтля, яка поєднує зонд і трубку Піто (рис. 8.12). Якщо їх приєднати до диференційного манометра (манометра, який вимірює різницю тисків), то він покаже величину динамічного
потік рідини
тиску ρv12 2 . Це дозволить визначиРис. 8.12
ти швидкість рідини, якщо відома її густина.
Відомо, що літак В-52 має вісім двигунів, які створюють загальну силу 5 тяги близько 8⋅7,7 = 61,6 т (приблизно 6⋅10 Н). Вага літака становить більше 220 т, що в 3,5 рази більше сумарної сили тяги. Що ж утримує літак у польоті? Рівняння Бернуллі дозволяє поF1 яснити механізм виникнення підйомної сили крила літака. На рис. 8.13 наведено ідеалізовану картину обтіF кання крила літака струменями повітря. Оскільки переріз крила несиметричний (крило має вигин вгору), трубРис. 8.13 ки струму звужуються над крилом, і водночас практично не змінюються під ним. Звуження трубки струму призводить до збільшення швидкості потоку в ній і відповідно до зменшення статичного тиску над крилом. Так виникає підйомна сила F1 , яка утримує літак у повітрі. Крім підйомної сили, на крило з боку потоку повітря, що набігає, діє також сила опору F2 , яку долають двигуни літака. Слід також зазначити, що наведене пояснення є спрощеним і не враховує багатьох важливих факторів, наприклад, явище відриву потоку.
8.9. ВИТІКАННЯ РІДИНИ З ОТВОРУ. ФОРМУЛА ТОРІЧЕЛЛІ Розглянемо витікання ідеальної рідини з невеликого отвору в боковій стінці (рис. 8.14). В отворі розміщено трубку, яка спрямовує рідину, що витікає, у горизонтальному напрямку. Лінії струму в рідині будуть почина118
p0
S0
тися на вільній поверхні рідини й закінчуватися у вихідному отворі. На рис. 8.14, як приклад, зображено одну трубку струму. За теоремою неперервності: Sv = S0 v0 , де S , S0 – площі
h
v0
S
отвору та вільної поверхні, а v, v0 – швидкості рідини в цих площинах. Якщо S