Алгебраические группы и поля классов

Ж.Серр АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ КЛАССОВ Книга известного французского математика Ж. Серра стала одной из классических книг по алгебраической геометрии. Она не требует больших предварительных знаний и вводит читателя в круг современных вопросов. С большим педагогическим мастерством в ней излагается ряд основных понятий алгебраической геометрии (алгебраические кривые и поверхности, теорема Римана — Роха, якобиевы многообразия кривых и т. д.). Книга рассчитана на научных работников, аспирантов и студентов старших курсов университетов и педагогических институтов. Содержание От редактора перевода. 5 Глава I. Сводка основных результатов 7 1. Обобщенные якобиевы многообразия 7 2. Абелевы накрытия 9 3. Другие результаты 12 Библиографические замечания 13 Глава II. Алгебраические кривые 14 1. Алгебраические кривые 14 2. Локальные кольца 15 3. Дивизоры, линейная эквивалентность, линейные системы 16 4. Теорема Римана — Роха (первая форма) 19 5. Классы распределений 21 6. Пространство, двойственное к пространству классов распределений 22 7. Дифференциалы. Вычеты 25 8. Теорема двойственности 27 9. Теорема Римана — Роха (окончательная форма) 29 10. Замечания к теореме двойственности 30 11. Доказательство инвариантности вычета 31 12. Доказательство формулы вычетов 35 13. Доказательство леммы 5 37 Библиографические замечания 39 Глава III. Отображения кривой в коммутативную группу 41 § 1 Локальные символы 41 1. Определения 41 2. Основные свойства локальных символов 45 3. Пример локального символа: случай аддитивной группы 48 4. Пример локального символа: случай мультипликативной группы 50 § 2. Доказательство теоремы 1 54 5. Основная редукция 54 6. Доказательство в случае характеристики нуль 56 7. Доказательство в случае характеристики p > 0. Сведение задачи к двум 58 случаям 8. Доказательство теоремы в случае характеристики р > 0. Случай а) 59

9. Доказательство в случае характеристики р > 0. Сведения случая б) к случаю унипотентной группы 10. Окончание доказательства. Случай, когда G — унипотентная группа § 3. Вспомогательные результаты 11. Инвариантные дифференциальные формы на алгебраической группе 12. Фактормногообразие по конечной группе автоморфизмов 13. Некоторые формулы для накрытий 14. Симметрические произведения 15. Симметрические произведения и накрытия Библиографические замечания Глава IV. Алгебраические кривые с особенностями § 1. Строение кривой с особенностями 1. Нормальная модель алгебраического многообразия 2. Случай алгебраической кривой 3. Построение кривой с особенностями по ее нормальной модели 4. Особые кривые, определяемые модулем § 2. Теорема Римана — Роха 5. Обозначения 6. Теорема Римана — Роха (основная форма) 7. Приложение к вычислению рода алгебраической кривой 8. Род кривой на поверхности § 3. Дифференциалы на особой кривой 9. Регулярные дифференциалы на X' 10. Теорема двойственности 11. Равенство nQ = 2δQ

61 63 65 65 69 74 76 78 81 82 82 82 83 84 87 88 88 89 91 92 95 95 98 100

12. Дополнения Библиографические замечания Глава V. Обобщенные якобиевы многообразия § 1. Построение обобщенных якобиевых многообразий 1. Рациональные дивизоры 2. Отношение эквивалентности, определяемое модулем 3. Предварительные леммы 4. Закон композиции на симметрическом произведении X(π) 5. Переход от бирациональной группы к алгебраической 6. Построение якобиева многообразия Jm § 2. Универсальный характер обобщенных якобиевых многообразий 7. Гомоморфизм группы дивизоров X в Jm 8. Каноническое отображение X в Jm 9. Универсальное свойство якобиевых многообразий Jm 10. Инвариантные дифференциальные формы на Jm § 3. Строение якобиевых многообразий Jm 11. Обыкновенные якобиевы многообразия

102 103 104 104 104 106 108 110 112 114 115 115 117 121 123 125 125

12. Соотношения между якобиевыми многообразиями Jm 13. Соотношения между Jm и J 14. Алгебраическая структура на локальных группах U/U(n) 15. Структура группы V(n) в случае нулевой характеристики 16. Структура группы V(n) в случае положительной характеристики 17. Соотношения между Jm и J определение алгебраической структуры группы Lm 18. Локальные символы 19. Случай поля комплексных чисел § 4. Построение обобщенных якобневых многообразий; случай произвольного основного поля 20. Спуск основного поля 21. Главные однородные пространства 22. Построение якобиевых многообразий /т над совершенным полем 23. Случай произвольного поля Библиографические замечания Глава VI. Поля классов § 1. Отображение x → x q − x 1. Алгебраические многообразия над конечным полем 2. Расширение и спуск основного поля 3. Торы над конечным полем 4. Отображение x → x −1Fx 5. Квадратичные формы над конечным полем 6. Изогения x → x q − x коммутативный случай § 2. Накрытия и изогении 7. Определения, относящиеся к накрытиям 8. Построение накрытий как прообразов изогении 9. Частный случай 10. Случай неразветвленного накрытия 11. Случай кривых 12. Случай кривых; ведущий модуль § 3. Проективные системы, связанные с многообразием 13. Максимальные отображения 14. Некоторые свойства максимальных отображений 15. Максимальные отображения, определенные над полем k § 4. Поля классов 16. Формулировка основной теоремы 17. Построение расширений 18. Окончание доказательства теоремы 1. Первый способ 19. Окончание доказательства теоремы 1. Второй способ 20. Абсолютное поле классов 21. Добавление: след отображения § 5. Отображение взаимности

126 127 128 130 131 133 136 137 141 141 145 146 149 150 151 151 151 152 154 156 158 159 162 162 163 165 167 168 169 172 172 176 178 179 179 182 185 187 189 191 193

22. Автоморфизм Фробениуса 23. Геометрическая интерпретация автоморфизма Фробениуса 24. Определение автоморфизма Фробениуса в расширении типа α 25. Отображение взаимности. Формулировка результатов 26. Сведение доказательств теорем 3, 3х, 3" к случаю кривых 27. Ядро отображения взаимности § 6. Случай кривых 28. Сравнение групп классов дивизоров с обобщенными якобиевыми многообразиями 29. Группа классов иделей 30. Явные законы взаимности § 7. Когомологии 31. Критерий существования формаций классов 32. Некоторые свойства класса когомологий 33. Доказательство теоремы 5 34. Отображение в группу классов циклов Библиографические замечания Глава VII. Расширения групп и когомологий § 1. Расширения групп 1. Группы Ext (А, В) 2. Первая точная последовательность для Ext 3. Другие точные последовательности 4. Системы факторов 5. Главное расслоенное пространство, определяемое расширением 6. Случай линейных групп § 2. Структура связных (коммутативных) унипотентных групп 7. Группа Ext (Ga, Ga) 8. Группы Витта 9. Леммы 10. Изогения с произведением групп Витта 11. Структура связных унипотентных групп. Некоторые частные случаи 12. Другие результаты 13. Сравнение с обобщенными якобиевыми многообразиями § 3. Расширения абелевых многообразий 14. Классы примитивных когомологий 15. Сравнение Ext (А, В) с H 1 ( A, BA ) 16. Случай В = Gm 17. Случай В = Ga 18. Случай, когда В — унимпотентная группа § 4. Когомологии абелевых многообразий 19. Когомологии якобиевых многообразий 20. Нерегулярная часть отображений ϕm 21. Когомологии абелевых многообразий

193 194 195 197 199 201 203 203 206 208 210 211 214 216 218 221 222 222 222 225 227 228 231 232 235 235 236 237 240 243 244 245 247 247 249 251 252 255 257 257 260 261

22. Отсутствие гомологии с кручением на абелевых многообразиях 264 23. Приложение к функтору Ext (А, В) 267 Библиографические замечания 269 Литература 271 Указатель 278 Указатель Линейная система 18 Абсолютное поле классов 191 — — полная 18 Автоморфизм Фробениуса 194 Локальное кольцо 15 Адель 21 Локальный параметр 15 Алгебра Хопфа 262 — символ 42 Арф-инвариант 159 — — нормы 47 Базисные точки линейной системы 19 Многообразие Альбанезе 12, 126 Вектор Витта 11 Модуль ведущий 169 Вычет 26, 33 — с носителем 7, 41 Группа билинейная 165 Накрытие всюду неразветвленное — Витта 236 163 — классов дивизоров 17 — типа Альбанезе 189 — — иделей 207 Неподвижная часть линейной — — циклов многообразия 181 системы 18 — Нерона — Севери 190 Неподвижные компоненты линейной — унипотентная 59 системы 19 Группы изогенные 241 Неравенство Римана — Роха для Дзета-функция группы 156 поверхностей 95 Дивизор 16, 27 Норма 51 — канонический 92 Нормальная модель 74, 82, 162 — линейно эквивалентный нулю 92 Носитель 87 — положительный 16 Образующая Артина — Шрейера 11 — рациональный над полем 105 — Куммера 10 — функции 16 Однородное пространство 145 Дивизоры m-эквивалентные 106 — — главное 146 Дифференциал 25, 32 Отображение максимальное 178 Дифференциальная форма — сепарабельное 9 регулярная 95 Перенесение 212 Идель 44, 206 Период унипотентной группы 240 Изогения 9 Поле классов 179 Канонический класс 29 — — абсолютное 191 Квадрика 95 — рациональности дивизора 105 Класс дивизоров 17 Полное пересечение 102 — канонический 29 Примитивный элемент 248 — распределений 21 Произведение симметрическое 76 — циклов 181 Прообраз изогении 10 Кондуктор 83 Разложимый элемент 248 Кривая 14 Распределение 21 Лемма Хербранда 160

Расширение 223 — Артина — Шрейера 209 — Куммера 210 — типа Альбанезе 187 — — а 188 Род дивизора арифметический 95 — кривой 20 Семейство циклов регулярное 118 Символ нормального вычета 210 Система рациональных факторов 229 — — — тривиальная 229 — факторов 228 — .— тривиальная 229 След 46 Спуск основного поля 144 Степень дивизора 16 Строго точная последовательность 222 Теорема двойственности 28 — Римана -- Роха 20, 29, 89 — Шевалле 58 Теория Витта — Артина — Шрейера 166 — Куммера 166

Топология Зарисского 16 Точка 104 — двойная с различными касательными 88 — неразветвленная 163 — обыкновенного возврата 88 — рациональная над полем 105 Фактормногообразие 69 Формация классов 211, 212 Формула вычетов 27 — Кюннета 253 — Плюккера 92 — произведения 51 — Сегре 95 — симметрии 263 Функтор Ext 223 Функция регулярная в точке 15, 69 Цикл простой рациональный над полем 193 Экспонента 130 — Артина —Хассе 132 Якобиево многообразие обобщенное 9, 114