ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
Учебный центр «Резольвента»
Доктор физико-математических наук, профессор
К. Л. САМАРОВ
МАТЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие по разделу
ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
© К. Л. Самаров, 2009 © ООО «Резольвента», 2009
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
СОДЕРЖАНИЕ Числовые и степенные ряды…….. ……...…………………………………...
3
1 Сходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости ряда. …………………………………………………………………...
3
2 Ряды с неотрицательными членами… …..……………….…………...
3
3 Ряды с членами произвольного знака… ……………………….……..
6
4 Степенные ряды. Ряды Тейлора. Ряды Маклорена...………………..
8
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ……………………………………….. 13 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ……………………….
14
ЛИТЕРАТУРА ………………………………………………………………... 15
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
2
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
ЧИСЛОВЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 1. Сходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости ряда Рассмотрим числовую последовательность {an } n = 1,2,... . •
Выражение
∞
∑ an
называется числовым рядом, а последователь-
n =1
n
ность S n = ∑ ak называется последовательностью частичных сумм ряда k =1
∞
∑ an . n =1
•
Ряд
∞
∑ an
называется сходящимся, если существует конечный пре-
n =1
дел последовательности его частичных сумм lim S n = S , в противном случае n →∞
ряд называется расходящимся. •
Если ряд
∞
∑ an
сходится, то число S называется его суммой.
n =1
•
Если ряд
∞
∑ an n =1
сходится, то lim an = 0 (необходимый признак схоn →∞
димости ряда). •
Если lim an ≠ 0 или этот предел не существует, то ряд n→∞
∞
∑ an
рас-
n =1
ходится. Пример 1. Исследовать на сходимость ряд ∞
2n + 1
∑ 100n + 5 . n =1
Решение. Воспользуемся необходимым признаком сходимости:
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
3
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
1 2n + 1 n = 1 ≠0 . lim an = lim = lim 5 50 n→∞ n→∞ 100n + 5 n→∞ 100 + n 2+
Следовательно, ряд расходится. 2. Ряды с неотрицательными членами •
Пусть
∞
∑ an
и
n =1
∞
∑ bn n =1
∞
∑ bn
– ряды с неотрицательными членами. Если ряд
n =1
сходится, а an ≤ bn для всех значений n , начиная с некоторого номера, ∞
∑ an сходится. Если же ряд
то и ряд
n =1
∞
∑ an расходится, то и ряд n =1
∞
∑ bn
расхо-
n =1
дится (признак сравнения). •
Пусть
∞
∑ an и n =1
∞
∑ bn
– ряды с положительными членами. Если суще-
n =1
a ствует конечный предел lim n = c > 0 , то ряды n→∞ bn
∞
∑ an
и
n =1
∞
∑ bn
сходятся или
n =1
расходятся одновременно (признак эквивалентности). •
Пусть
∞
∑ an
a n +1 = q, n→∞ a n
– ряд с положительными членами. Если lim
n =1
то ряд
∞
∑ an
сходится при q < 1, расходится при q > 1 (признак Даламбера),
n =1
а для q = 1 признак ответа не дает. •
Пусть
∞
∑ an n =1
то ряд
∞
∑ an
– ряд с неотрицательными членами. Если lim n an = q , n→∞
сходится при q < 1, расходится при q > 1 (признак Коши), а для
n =1
q = 1 признак ответа не дает. •
Ряд
∞
1
∑ np
сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1 .
n =1
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
4
ООО «Резольвента»,
•
Пусть
∞
∑ an
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
– ряд с неотрицательными членами. Если существует
n =1
неотрицательная монотонно убывающая функция ƒ(x) такая, что f (n ) = an , то ряд
∞
∑ an
∞
сходится или расходится одновременно с интегралом
n =1
∫ f (x ) dx 1
(интегральный признак Коши). Пример 2. Исследовать на сходимость ряд ∞
∞
2n
∑ an = ∑
n =1
n +1 5
n =1
.
Решение. Рассмотрим сходящийся ряд ∞
∞
1
∑ bn = ∑
3 n =1 2 n
n =1
и воспользуемся признаком эквивалентности: 3 2n ⋅ n 2
an = lim = lim n→∞ bn n→∞ n5 + 1 n→∞ lim
5 2n 2 5 n2
1+
= lim 1 n
n→∞
5
2 1+
=2≠0 .
1 n5
Следовательно, исходный ряд сходится. Пример 3. Исследовать на сходимость ряд ∞
∞
nn ∑ an = ∑ n! . n =1 n =1
Решение. По признаку Даламбера n +1
n n + 1) n ! n + 1) ( ( an+1 1 q = lim = lim = lim = lim 1 + = e > 1 . n n→∞ an n→∞ ( n + 1)! n n n→∞ n n n→∞ n
Следовательно, ряд расходится. Пример 4. Исследовать на сходимость ряд ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
5
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru , ∞
∞
n =1
n =1
[email protected],
(495) 509-28-10
n 2n
∑ an = ∑ 5n + 3 .
Решение. По признаку Даламбера
(
)
1 n 1 + ⋅ 2 ⋅ 5 + 3 (n + 1) ⋅ 2 ⋅ 5 + 3 = lim n = lim = n →∞ n →∞ 5n +1 + 3 ⋅ n ⋅ 2 n 5 ⋅ 5n + 3
a q = lim n +1 n →∞ a n
(
n +1
)
(
)
n
(
)
3 2 1 + n 2 = lim 5 = < 1 . 3 5 n→∞ 5+ n 5
Следовательно, ряд сходится. 3. Ряды с членами произвольного знака •
Ряд
∞
∑ an , члены которого могут
иметь произвольные знаки, назы-
n =1
вается абсолютно сходящимися, если ряд
∞
∑ an
сходится.
n =1
•
Ряд
∞
∑ an
называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд
n =1
∞
∑ an
расходится.
n =1
•
Рассмотрим ряд
∞
∑ an , члены которого являются знакочередующиn =1
мися. Если при n → ∞ последовательность чисел ся к нулю, то ряд
∞
∑ an
{ an } монотонно стремит-
сходится.
n =1
Другими словами, если, начиная с некоторого номера, выполнено соотношение an > an+1 и lim an = 0 , то ряд n→∞
∞
∑ an
сходится (признак Лейбница
n =1
сходимости знакочередующихся рядов).
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
6
ООО «Резольвента»,
•
Если ряд
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
∞
∑ an , члены которого являются знакочередующимися, n =1
сходится в соответствии с признаком Лейбница, то остаток ряда rn = S − Sn удовлетворяет соотношению
rn = S − Sn < an . Пример 5. Исследовать на сходимость ряд ∞
∞
∑ an = ∑
n =1
Решение. Поскольку
cos π n 2n
n =1
для исследования сходимости ряда
∑ an
∞
∞
n =1
n =1
1
∑ an = ∑ 2n .
cos π n = (−1)n , то ∞
.
Воспользуемся
признаком Коши:
n =1
q = lim
n
n→∞
an = lim
1
n
n→∞
2
n
=
1 0 , то ряд
∞
∑ an ( x − x0 )
n
сходится для всех значений x ,
n =0
принадлежащих интервалу ( x0 − R, x0 + R ) , и расходится для всех значений x , таких, что x − x0 > R .
Интервал ( x0 − R, x0 + R ) называется интервалом сходимости сте-
•
пенного ряда. В концах интервала сходимости x = x0 − R и x = x0 + R требуется
•
специальное исследование ряда
∞
∑ an ( x − x0 )
n
на сходимость.
n =0
Если f ( x ) =
•
∞
∑ an ( x − x0 ) , то ряд n
n =0
∞
∑ an ( x − x0 )
n
называется рядом
n =0
Тейлора функции f ( x ) в окрестности точки x0 . •
Степенной ряд вида
∞
∑ an x n называется рядом Маклорена.
n =0
•
В следующей таблице представлены ряды Маклорена для элемен-
тарных функций: ∞
xn e = ∑ , | x | < ∞; n =0 n! x
x 2 n +1 , | x | < ∞; sin x = ∑ (− 1) ⋅ ( ) 2 n + 1 ! n=0 ∞
∞
n
x 2n , | x | < ∞; cos x = ∑ (− 1) (2n )! n=0 n
∞ 1 = ∑ x n , | x | < 1; 1 − x n =0
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
9
ООО «Резольвента», ∞
ln(1 + x) = ∑ (− 1)
n −1
n =1
⋅
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
xn , | x | < 1. n
Пример 7. Разложить функцию f ( x ) = arctg2 x в ряд Тейлора в окрестности точки x0 = 0 и найти область сходимости ряда. Решение. Заметим, что
(arctg2 x )′ = и воспользуемся разложением функции
2 1 + 4x2
1 в ряд Маклорена: 1− t
∞ 1 = ∑ t n = 1 + t + t 2 + ..., t < 1 . 1 − t n =0
Произведя в этой формуле замену переменного t = − 4x 2 , получим
2 1 + 4x
2
(
)
∞
= 2 ⋅ 1 − 4 x + 16 x − 64 x + ... = 2 ∑ ( −4) x 2n . 2
4
6
n
n=0
Поэтому x
arctg2 x = ∫
x
2dx
1+ 4x 0
2
(
)
= 2∫ 1 − 4 x 2 + 16 x 4 − 64 x 6 + ..... dx = 0
x 8 x 3 32 x5 128 x 7 8 x 3 32 x5 128 x 7 = 2x − + − + ... = 2 x − + − + ... = 0 3 5 7 3 5 7 ∞
x 2n+1 = ∑ 2 ⋅ ( −4) ⋅ 2n + 1 n =0 n
Ряд ∞
x 2n+1 ∑ 2 ⋅ (−4) ⋅ 2n + 1 n=0 n
сходится в области 4 x 2 < 1 . Следовательно, область сходимости исходного ряда имеет вид: x < 1 . 2 ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
10
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
Пример 8. Разложить функцию f ( x ) =
(495) 509-28-10
x в ряд Тейлора в окрестности x−3
точки x0 = 7 и найти область сходимости ряда. Решение. Преобразуем сначала функцию f ( x ) к другому виду: f ( x) =
x x − 3+ 3 3 3 1 = = 1+ == 1 + ⋅ . x−3 x−3 x−7+4 4 1+ x − 7 4
Совершив в разложении ∞ 1 = ∑tn 1 − t n =0
замену переменного t=−
x−7 , 4
получим искомое разложение функции f ( x ) в ряд: 3 f (x ) = 1 + 4
∞
n
x−7 ∑ (− 1) 4 . n =0 n
Найдем область сходимости этого ряда:
t
