Элементарные методы в аналитической теории чисел

А.О.Гельфанд, Ю.В.Линник ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ М.: Физматгиз, 1962 г., 272 стр.

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Глава 1. Аддитивные свойства чисел. Метод Л.Г.Шнирельмана. Теорема Г.Манна. Теорема П.Эрдеша § 1. Аддитивные свойства последовательностей § 2. Теорема Г.Манна § 3. Существенные компоненты. Теорема П. Эрдеша Глава 2. Элементарное решение проблемы Варинга и проблемы Гильберта — Камке § 1. О проблемах Варинга и Гильберта — Камке § 2. Основная лемма в элементарном решении проблемы Варинга § 3. Леммы о линейных уравнениях § 4. Доказательство основной леммы § 5. Дальнейшие оценки rk(m) § 6. Окончательные доказательства § 7. Постановка проблемы Гильберта — Камке § 8. Последовательности целочисленных векторов и их плотности § 9. Несколько лемм § 10. Доказательство основной леммы Глава 3. Проблема распределения простых чисел § 1. Числовые функции и связи между ними. Оценка числа простых в отрезке натурального ряда § 2 Теорема Дирихле о бесконечности простых в арифметической прогрессии § 3. Основные неравенства для оценки числа простых в натуральном ряде § 4. Основные неравенства для оценки числа простых в прогрессиях § 5. Доказательство предельных теорем для распределения простых в натуральном ряде и прогрессиях § 6. О простых числах в последовательностях, несколько более общих, чем прогрессии Глава 4. Элементарный вывод закона распределения простых гауссовых чисел. Одна теорема о почти простых гауссовых числах § 1. Введение § 2. Несколько вспомогательных формул 1 § 3. Доказательство формулы для ∑ ln 2 | ρ | + ∑ ln | ρ | ln | σ | 4 ρ,σ ρ∈D

6 9 9 12 19 23 23 24 26 34 37 41 43 45 46 50 57 57 61 66 78 82 89 97 97 99 102

ρ , σ∈D

§ 4. Рекуррентная оценка остаточного члена

107

D § 5. «Островки» с малыми значениями G   ν § 6. Доказательство теоремы § 7. Одна теорема о почти простых гауссовых числах Глава 5. Решето Эратосфена § 1. «Двойное прямоугольное решето» § 2. Решето Вигго Бруна Глава 6. Метод Атле Сельберга § 1. Оценки А. Сельберга § 2. Теорема Шнирельмана Глава 7. О распределении дробных частей числовых последовательностей § 1. Постановка вопроса § 2. Лемма о разностях § 3. Лемма о неполной системе вычетов § 4. Сравнение двух сумм § 5. Элементарный вывод И. М. Виноградова некоторых теорем о последовательности простых чисел § 6. Доказательство теоремы Глава 8. Счет целых точек в контурах § 1. Постановка задачи. Характерные проблемы § 2. Формулировка теоремы И.М.Виноградова § 3. Применение формулы Н.Я.Сонина § 4. Обобщение теоремы 8.2.1 § 5. Распространение на замкнутый контур Глава 9. О распределении степенных вычетов § 1. Одна теорема И.М.Виноградова § 2. Доказательство теоремы 9.1.1 § 3. Другие элементарные теоремы о распределении характеров. Нерешенные проблемы § 4. Элементарные выводы из неэлементарной теоремы Глава 10. Элементарное доказательство теоремы Хассе § 1. Постановка задачи § 2. Сложение решений § 3. Основная конструкция § 4. Вывод теоремы из основной леммы § 5. Доказательство основной леммы Глава 11. Элементарное доказательство теоремы К.Л.Зигеля § 1. Формулировка теоремы. Средства доказательства § 2. Леммы § 3. Доказательство I основной леммы § 4. Продолжение доказательства. Другие леммы § 5. II основная лемма. Завершение доказательства

113 119 124 126 126 131 148 148 157 161 161 162 167 169 172 183 187 187 190 200 201 204 206 206 212 214 220 231 231 232 235 237 238 244 244 245 248 252 258

Глава 12. Трансцендентность некоторых классов чисел § 1. Вспомогательные предложения § 2. Общие теоремы о трансцендентности eω и αβ при алгебраических и действительных ω, α, β Литература

261 261 265 270