МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет экономики статистики и информатики ...
19 downloads
190 Views
4MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет экономики статистики и информатики Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права
Геворкян Э.А. Малахов А.Н. Фохт А.С. Щербакова Н.С.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ЧАСТЬ I)
Москва, 2001
УДК - 517 ББК – 22.161 Г - 27
Геворкян Э.А., Малахов А.Н., Фохт А.С., Щербакова Н.С. Математический анализ (Часть I). / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М., 2001, 179-с.
© Геворкян Э.А., Малахов А.Н., Фохт А.С., Щербакова Н.С., 2001 г. ©Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 2001 г. © Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права, 2001 г.
Содержание: Введение…………………………………………………………………………………..5 Раздел I. Теория последовательностей и функций одной переменной……………….6 1.1. Множество вещественных чисел………………………………………………...6 1.2. Ограниченные и неограниченные множества вещественных чисел…………..7 1.3. Некоторые конкретные числовые множества…………………………………..9 1.4. Понятие числовой последовательности……………………………………..…10 1.5. Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности….11 1.6. Сходящиеся числовые последовательности. Предел числовой последовательности..…………………………………………………………………16 1.7. Основные свойства сходящихся числовых последовательностей…..………..17 1.8. Монотонные числовые последовательности…………………………..……….18 1.9. Число е……………………………………………………………………..……...20 1.10. Предельный переход в неравенствах……………………………………..…...21 1.11. Подпоследовательности числовых последовательностей………………..….22 1.12. Функция одной переменной…………………………………………………...23 1.13. Предел функции………………………………………………………………...24 1.14. Бесконечно большие и бесконечно малые функции…………………………27 1.15. Свойства функций, имеющих предел…………………………………………29 1.16. Замечательные пределы………………………………………………………..29 1.17. Сравнение бесконечно малых функций……………………………………….32 1.18. Непрерывность функций в точке………………………………………………33 1.19. Классификация точек разрыва…………………………………………………34 1.20. Определение непрерывности функции в точке с использованием понятия приращения функции…………………………………………………………………35 1.21. Арифметические действия над непрерывными функциями…………………36 1.22. Непрерывность сложной функции…………………………………………….36 1.23. Свойства функций, непрерывных на сегменте……………………………….36 Примеры……………….………………………………………………………………….39 Тест………………………………………………………………………………………..46 Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной…………….48 2.1. Определение производной функции первого порядка………………………...48 2.2. Геометрический смысл производной…………………………………………...49 2.3. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции и его геометрический смысл………………………………………………………………..50 2.4. Правила вычисления производных, связанных с арифметическими действиями над функциями…………………………………………………………..53 2.5. Производные элементарных функций. Производная обратной функции……54 2.6. Правила диференцирования сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала……………………………………………………...57 2.7. Дифференцирование степенно-показательной функции и функций, заданных параметрически и в неявном виде………………………………………..58 2.8. Производные и дифференциалы высших порядков……………………………59 2.9. Возрастание (убывание) функции в точке. Локальный экстремум. Теорема о нуле производной (теорема Ролля)…………………………………………………..62 2.10. Формула конечных приращений (теорема Лагранжа). Обобщенная формула конечных приращений (теорема Коши)…………………………………..65 2.11. Раскрытие неопределенностей (правила Лопиталя)………………………….67 2.12. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха-Роша, Лагранжа, Коши и Пеано……………………………………………………………..70
3
2.13. Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций……………………………………………………………….71 2.14. Интервалы монотонности и точки экстремума функции…………………….74 2.15. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба……………….76 2.16. Асимптоты графика функции. Схема исследования функции и построение ее графика……………………………………………………………………………...78 Примеры……………….…………………………………………………………… ……80 Тест………………………………………………………………………………………..87 Раздел III. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных……...89 3.1. Определение m-мерного евклидова пространства и области…………………89 3.2. Предел функции нескольких переменных……………………………………...90 3.3. Непрерывность функций нескольких переменных ……………………………92 3.4. Частные производные функций нескольких переменных первого и высших порядков...……………………………………………………………………………..93 3.5. Дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных….97 3.6. Производная функции нескольких переменных по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности…………………………………..99 3.7. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных……..102 3.8. Формула Тейлора для функции нескольких переменных……………………104 3.9. Локальный экстремум функции нескольких переменных…………………...105 3.10. Условный экстремум функции нескольких переменных…………………...107 Примеры………………..………………………………………………………………..110 Тест………………………………………………………………………………………114 Раздел IV. Неопределенный интеграл…………………………………………………117 4.1. Определение неопределенного интеграла…………………………………….117 4.2. Основные правила интегрирования……………………………………………118 4.3. Интегрирование заменой переменной…………………………………………120 4.4. Интегрирование по частям. Применение этого метода при вычислении некоторых важных интегралов……………………………………………………...121 4.5.Интегрирование дробно-рациональных функций. Метод Лагранжа………...126 4.6.Интегрирование тригонометрических выражений……………………………131 4.7. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей и дифференциальных биномов………………………………………………………..134 4.8.Интегрирование квадратичных иррациональностей. Подстановки Эйлера…135 Примеры……………….………………………………………………………………...139 Тест.………………………………………………………………………………………144 Раздел V. Определенный интеграл и его применение…………………………..……147 5.1. Определение определенного интеграла……………………………………….147 5.2. Верхняя и нижняя интегральные суммы Дарбу и их свойства………………148 5.3. Интегрируемость функций. Свойства определенного интеграла. Формула среднего значения определенного интеграла……………………………………...150 5.4. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница…..155 5.5. Вычисление длин дуг плоских кривых………………………………………..157 5.6. Вычисление площадей плоских фигур………………………………………...159 5.7. Вычисление площадей поверхностей и объемов тел вращения……………..162 Примеры………………..………………………………………………………………..165 Тест………………………………………………………………………………………169 Итоговый тест…………………………………………………………………………...171 Литература………………………………………………………………………………179
4
Введение Первая часть пособия по математическому анализу посвящена изучению таких важных разделов курса математического анализа, как пределы, функции одной и многих действительных переменных, дифференциальное и интегральное исчисление. При написании пособия авторы старались сделать акцент в большей степени на практический аспект изучения курса математического анализа, не увлекаясь изложением подробного теоретического материала. Авторы надеются, что настоящее пособие может стать основой для изучения студентами курса математического анализа.
5
Раздел I. Теория числовых последовательностей и функций одной переменной 1.1. Множество вещественных чисел Из школьного курса читателю известны различные классы чисел, образующие множество вещественных чисел, такие как натуральные, целые, рациональные и иррациональные. В дальнейшем для указанных классов чисел будем использовать следующие обозначения: N - натуральные числа - 1, 2, 3,...; Z - целые числа - 0, ±1, ±2,...; Q - рациональные числа (числа вида
p , где p,q∈Z и q≠0); q
I - иррациональные числа - те, которые не относятся к перечисленным выше; R - множество всех вещественных чисел. Читатель знаком также с геометрической интерпретацией вещественного числа, как точки числовой оси. Числовая ось - это прямая, на которой задано начало отсчета (точка 0), направление (обычно слева на право), отрезок, длина которого равна единице (масштабная единица) (рис. 1.1.) 0
1
M
Рис. 1.1. Каждой точке М числовой оси ставится в соответствие число Х, равное длине отрезка ОМ, положительное, если точка М смещена относительно токи О в направлении оси, и отрицательное если это направление противоположно направлению оси. При таком подходе возникает проблема измерения, соизмеримости и несоизмеримости отрезков. Длина отрезка, соизмеримого с масштабной единицей, выражается рациональным числом. Если же длина отрезка несоизмерима с масштабной единицей, то ее невозможно представить рациональным числом, и соответствующие длинам таких отрезков числа называются иррациональными. Например, если сторона квадрата равна масштабной единице, то его диагональ равна 2 . Можно доказать, что нет рациональной дроби, равной 2 , т.е. такой, что ее квадрат равен 2. Отметим, что любое рациональное число делением числителя на знаменатель представляется либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дробью. Иррациональные числа - это 6
бесконечные непериодические десятичные дроби. Для единообразного представления всех чисел в форме бесконечной десятичной дроби в случае целых чисел или конечных десятичных дробей принята двоякая форма представления таких чисел. Например так:
1 =0,5 можно 2
записать
1 1 =0,5000... или =0,49999... 2 2
Бесконечные десятичные дроби образуют множество R вещественных чисел. Описанный подход к введению понятия вещественного числа является одним из возможных и ориентирован на традиционно сложившуюся веками десятичную систему счета. В настоящее время используются и другие системы счета, например двоичная. Однако, при любом подходе результат расчета или измерения представляется с помощью рациональных чисел, отражающей этот результат с нужной точностью. Ниже приведем основную символику алгебры логики, которые мы в дальнейшем будем использовать при изложении материала. 1. ∀ - символ, означающий “каково бы ни было”, “для любого”. 2. ∃ - символ, означающий “существует”. 3. : - символ, означающий “такое, что”, “выполняется”, “удовлетворяет условию”. 4. ∈ - символ, означающий “принадлежит”. 5. def - символ, означающий “определяется”. 6. U(x0) - означает “некоторая окрестность точки х0”. 7. Uδ(x0) - означает “δ-окрестность точки х0”. ∧
8. U ( x0 ) - означает “проколотая окрестность точки х0” (окрестность точки х0, за исключением быть может самой точки х0). 1.2. Ограниченные и неограниченные множества ь вещественных чисел Определение 1.1. Множество вещественных чисел {x} называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое вещественное число М(m), что каждый элемент множества удовлетворяет неравенству x ≤ M (x ≥ m ). При этом число М(m) называется верхней (нижней) гранью множества. В символической форме это записывается так: def
({x} ограничено сверху) ≡ (∃M∈R)(∀X∈{x}: X ≤ M), def
({x} ограничено снизу) ≡ (∃m∈R)(∀X∈{x}: X ≥ m).
7
(1.1.1.)
Рассмотрим,
например,
рациональных дробей
множество
{x}
всех
правильных
p , p∈Z, q∈Z, q≠0. |p| 0)(∃) x* ∈{x}): (x ≤ x* < x + ε) (1.3.)
(
)
def
(
)
Для любого ли ограниченного сверху (снизу) множества обязательно существует точная верхняя (нижняя) грань? На этот вопрос дает ответ следующая теорема. Теорема 1.1. Если множество вещественных чисел {x} содержит хотя бы один элемент и ограниченно сверху (снизу), то существует вещественное число x ( x ), которое является точной верхней (нижней) гранью множества {x}. Определение 1.4. Множество, ограниченное и сверху и снизу называется ограниченным множеством. 1.3. Некоторые конкретные числовые множества Наиболее часто встречаются следующие множества вещественных чисел: 1. сегмент (“замкнутый отрезок” или “отрезок”) - вещественные числа, удовлетворяющие неравенствам a ≤ x ≤ b. Геометрически сегмент - это отрезок числовой оси, заключенный между точками а и b и включающий эти точки, называемые граничными. Сегмент обозначается символом [a;b] (рис. 1.4.). a
b
Рис. 1.4. 9
2. Интервал (“незамкнутый отрезок”) - вещественные числа, удовлетворяющие неравенствам a<xA. В символической форме это определение запишется так: def
({x} неограниченное) ≡ (∀A>0, A∈R)(∃x*∈{x}) : (|x*|>A). (1.4.) Примером неограниченного множества вещественных чисел может служить множество R (все точки на числовой оси). 1.4. Понятие числовой последовательности Определение 1.6. Пусть каждому натуральному числу n∈N поставлено в соответствие по определенному правилу или закону вещественное число xn. Тогда множество занумерованных вещественных чисел x1, x2, x3, ..., xn, ... называется числовой последовательностью. 10
Каждое отдельное число xn называется элементом или членом числовой последовательности. Числовая последовательность обозначается символами {xn}, {yn}, {zn}, {αn}, {βn}, {γn} и т.д. Отметим, что если числовые последовательности {xn} и {yn}, то xn нужно понимать yn
под обозначениями {xn+yn}, {xn-yn}, {xnyn},
сумму, разность, произведение и частное числовых последовательностей xn нужно предполагать, что yn
{xn} и {yn}. При определении частного
для всех n члены последовательности yn≠0. Ниже приведем примеры числовых последовательностей: 1, 5, 9, 13, ..., (4n-3), ...; 1, 0, 1, 0, ...,
1 − ( −1)
1 1 1 , - , ..., 2 3 4
1, - ,
n
, ...;
2 (−1) n +1 n
, ... .
Последние можно записать и в виде формул: xn=4n-3, xn= n +1 −1) ( x= .
n
1 − ( −1) 2
n
,
n
Числовая последовательность является бесконечным множеством, особенность которого в упорядоченности его элементов. Поэтому для числовых последовательностей применимы такие понятия, как ограниченные сверху (снизу), ограниченные и неограниченные. В этом случае речь идет о последовательности, как о множестве значений ее элементов. Как правило, исследователей интересуют не конкретные значения отдельных элементов числовой последовательности, а тенденции их изменений при неограниченном возрастании номеров. Это неограниченное возрастание номеров записывается символом n→∞. 1.5. Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности Определение 1.7. Числовая последовательность называется бесконечно большой (ББП), если для любого положительного вещественного числа А (сколь бы большим оно ни было) существует номер n0 зависящий от А, такой, что для всех элементов с номерами, удовлетворяющими неравенству n≥n0 справедливо |xn|>A. 11
В символической форме это определение можно записать так: def
({xn} - ББП) ≡ (∀A>0)(A∈R)(∃n0(A)∈N)(n∈N) : (n≥n0⇒|xn|>A). (1.5.) A
-A
Рис. 1.6. Геометрически это определение означает, что начиная с некоторого номера n0(A), точки, соответствующие элементам ББП могут находится только “вне” сегмента [-A;A], каким бы большим ни было число А (рис. 1.6). Внутри этого сегмента могут находится только элементы последовательности с номерами меньшими n0(A), т.е. конечное число элементов. Нетрудно заметить, что из данного определения следует, что ББП является неограниченной, т.е. ({xn} - ББП) ⇒ ({xn} - неограниченна). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Для доказательства этого рассмотрим следующий пример числовой последовательности: xn = n ⋅
1 + ( −1)
n
2
или {xn}=0, 2, 0, 4, 0, 6, ..., n ⋅ или в иной форме
1 + ( −1)
0, если n=2k-1 (нечетное)
{x n } = n,
если n=2k (четное)
2
n
, ...
, k ∈N
Данная последовательность является неограниченной, т.к. для любого А>0 можно указать элемент с номером 2k*, такой, что |x2k*|=2k*>A. Покажем теперь, что эта последовательность не является ББП. Действительно, для всех нечетных номеров n=2k+1 |xn|=0 и неравенство |xn|>A не имеет места. Еще раз обратим внимание на то, что для ББП неравенство |xn|>A должно выполняться для всех xn с номерами, начиная с n0(A), т.е. при n ≥ n0(A). 12
Рассмотрим еще один пример числовой последовательности xn=
n +2 и покажем, что она является бесконечно большой. Для это нам 2n − 1 2
нужно доказать, что n2 + 2 >A). (∀A>0)(A∈R)(∃n (A)∈N) : (n ≥ n ) ⇒ ( 2n − 1 0
0
Решим последнее неравенство, замечая, что знак модуля можно опустить (
n2 + 2 >0 для n∈N) 2n − 1
и пользуясь свойством транзитивности
неравенств, имеем n2 + 2 n2 + 2 n2 n = > = >A. 2n − 1 2n − 1 2n 2
Отсюда n ≥ 2A ⇒
n2 + 2 > A. 2n − 1
Таким образом, начиная с номера n0=2A, т.е. при n ≥ n0(A)=2A, все n2 + 2 члены рассматриваемой последовательности таковы, что |xn|= >A, 2n − 1
где А - любое положительное сколь угодно большое вещественное число. Определение 1.8. Числовая последовательность {αn} называется бесконечно малой (б.м.п.), если для любого положительного вещественного числа ε (сколь бы малым оно ни было) существует номер n0, зависящий от ε, такой, что для всех элементов с номерами, удовлетворяющими неравенству n ≥ n0(ε), справедливо |αn|0)(ε∈R)(∃n0(ε)∈N) : (∀n∈N)(n≥n0(ε)⇒|αn|0)(ε∈R)(∃n0(ε)∈N) : (∀n∈N)(n≥n0(ε)⇒
2n − 1 n0(ε)=[ ]+1 выполняется неравенство 0)(ε∈R) будем пользоваться обозначением
(∀ε > 0) . ∈R
Теорема 1.2. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Дано: {αn} - б.м.п.; {βn} - б.м.п. Доказать: {αn±βn} - б.м.п. (3). Пусть ε>0 - любое вещественное число. Из (1.7.), по определению, следует: ε < 2 ε 0 ∈N n ≥ n ⇒ βn < 2 ε ( ) 2
(∀ε > 0) (∃ n 10( ε ) , n 02( ε ) ) (∀n ) : n ≥ n 1( ε ) ⇒ α n ∈R
∈N
0
Пусть n 0 (ε) = max{n 10 (ε ), n 02 (ε)} , тогда
n≥n0(ε)⇒|αn ± βn| ≤ |αn| + |βn|< 14
ε ε + =ε. 2 2
Мы доказали, что
(∀ε > 0) (∃ n 0 (ε) = max{n 10 (ε), n 02 (ε)})(∀n ) : (n ≥ n 0 (ε) ⇒ α n ± β n ∈R
0 некоторое вещественное число членов бесконечно малой последовательности, начиная с номера n0(ε), т.е. при n≥ n0(ε), справедливо |αn| 0)(∀n ) : ( x n ∈R
∈n
≤ M)
,
(∀ε > 0) (∃n 0 (ε)) (∀n ) : n ≥ n 0 (ε) ⇒ α n ∈R
∈N
0) (∃ n 0 (ε)) (∀p ) : (n ≥ n 0 (ε) ⇒ x n + p − x n ∈R
∈N
∈N
xn..
18
Теорема 1.11. (необходимое и достаточное условие сходимости монотонной числовой последовательности). Неубывающая (невозрастающая) числовая последовательность {xn} сходится тогда и только тогда, когда последовательность {xn} ограничена сверху (снизу). Необходимость: Дано: {xn} - неубывающая (невозрастающая). lim x n =а (1.15) n →∞
Доказать: {xn} - ограничена сверху (снизу). Доказательство необходимого условия следует из теоремы 1.9 о том, что сходящаяся последовательность является ограниченной. Достаточность (для случая неубывающей последовательности). Дано: {xn} - неубывающая (1.16) {xn} - ограничена сверху (1.17) Доказать: ∃ lim x n = a . n →∞
Рассматриваемая последовательность является ограниченной сверху. Значит она имеет точную верхнюю грань. Пусть sup{xn}=а. Докажем, что число а и есть предел этой последовательности. По определению точной верхней грани имеем:
(a = sup{x }) ≡ (∀ε > 0) (∃ x ) def
n
∗ n
∈R
∈ {x n }
(
: a - ε < x ∗n ≤ a
)
Пусть n0 - номер этого элемента xn*. Из условия (1.16) следует, что при n>n0 x ≥ xn*, а из условия (1.17) следует, что xn ≤ a. То есть имеем, что при n>n0 a-ε< xn* ≤ xn ≤ a или |xn-a| 0)(∃ n 0 )(∀n ) : (n ≥ n 0 ⇒ ∈R
∈N ∈N
)
def
x n − a < ε ≡ lim x n = a . n →∞
Аналогично доказывается теорема для случая невозрастающей последовательности.
19
1.9. Число е Рассмотрим применение теоремы 1.11 для обоснования результата, который имеет в математике фундаментальное значение. Докажем, что 1 последовательность xn= 1 + n
n
имеет предел при n→∞ (этот предел
называется числом е≈2,7). Доказательство этого утверждения сводится к доказательству двух фактов: n
1 а) последовательность 1 + является возрастающей. n
n
1 б) последовательность 1 + ограниченна сверху. n 1 Для доказательства утверждения а) разложим 1 + n
n
по известной
формуле бинома Ньютона. Имеем: 1 n (n − 1) 1 1 x n = 1 + = 1 + n ⋅ + + n 2! n n 2
n
n (n − 1)(n − 2) 1 3 n (n − 1)(n − 2)...1 1 n + +... + n n 3! n!
или
[
(1.18)
]
n (n − 1)... n − (n − 1) 1 n (n − 1) 1 n (n − 1)(n − 2) 1 ⋅ + ⋅ +... + ⋅ = 3! n ⋅ n 2! n ⋅n ⋅n n ⋅ n ⋅ n ⋅...⋅n n! 1 2 n − 1 1 1 1 1 2 1 = 2 + 1 ⋅ 1 − + 11 − 1 − +... +11 − 1 − ... 1 − n n n 2! n n 3! n n!
xn = 2 +
Заметим, что последняя сумма содержит n положительных слагаемых. Запишем следующий n+1 член рассматриваемой последовательности: 2 1 1 2 1 1 1 x n +1 = 2 + 1 ⋅ 1 − + 11 − +... +11 − 1 − +... n + 1 2 ! n + 1 3 ! n + 1 n + 1 3 ! 1 2 n 1 ... +11 − 1 − ... 1 − n + 1 n + 1 n + 1 (n + 1) !
(1.19)
Сумма (1.19) содержит n+1 положительный член. Каждый член в сумме (1.19), начиная со второго, больше соответствующего члена в k n
сумме (1.18), так как 1- xn. Итак утверждение а) о том, что последовательность n
1 xn= 1 + возрастающая, доказано. n
Для доказательства утверждения б) воспользуемся очевидным неравенством: 1 1 1 2 1 1 2 3 x n = 2 + 1 ⋅ 1 − + 1 ⋅ 1 − 1 − +... +1 ⋅ 1 − 1 − 1 − ... n 2! n n 3! n n n 1 1 1 1 1 1 1 n − 1 1 ... 1 − < 2 + + +... + < 2 + + 2 + 3 +... + n −1 2! 3! 2 2 n n! n! 2 2
(1.20)
В (1.20) сумму членов, начиная со второго, вычислим по формуле убывающей геометрической прогрессии. Имеем: 1 1 1 − ⋅ n −1 1 1 1 1 2 2 2 = 1 − n −1 + 2 +... + n −1 = 1 2 2 2 2 1− 2
Итак, имеем: x < 2 +1 −
1 2
n −1
= 3−
1 2 n −1
.
1 Следовательно последовательность xn= 1 + n
n
ограничена сверху
(одна из ее верхних граний есть число 3). Таким образом, утверждения а) и б) доказаны и на основании n
1 теоремы 1.11 числовая последовательность xn= 1 + имеет предел, т.е. n n
1 lim 1 + = e n →∞ n
1.10. Предельный переход в неравенствах Теорема 1.12. Если, начиная с некоторого номера n*, все члены последовательности {xn} удовлетворяют неравенству xn ≥ 0 (xn ≤ 0), и последовательность {xn} сходится к а, то а ≥ 0 (а ≤ 0).
21
Теорема 1.13. Если начиная с некоторого номера n*, члены последовательностей {xn} и {yn} связаны неравенством xn ≤ yn, и lim x n =a, lim y n =b, то a≤b. n →∞
n →∞
Теорема 1.14. Если, начиная с некоторого номера, члены последовательностей {xn}, {yn}, {zn} удовлетворяют неравенствам xn≤yn≤zn, и lim x n = lim z n =a, то тогда lim y n =а. n →∞
n →∞
n →∞
Приведем доказательство этой теоремы. (1.21) Дано: n ≥ n* ⇒ xn ≤ yn ≤ zn, lim x n = lim z n =a (1.22) n →∞
n →∞
Доказать: lim y n =а. n →∞
Из условия (1.22) следует, что
(∀ε > 0) (∃ n' (ε)) : (∀n ) (n ≥ n ' (ε) ⇒ x n − a ∈R
и
∈N
∈N
(∀ε > 0) (∃ n'' (ε)) : (∀n ) (n ≥ n '' (ε) ⇒ ∈R
∈N
∈N
< ε)
,
z n − a < ε)
.
Но в силу условия (1.21) начиная с номера N0=max{n’, n’’, n*}, т.е. при n ≥ N будет иметь место и неравенство |yn - a|0. (1.24)
с
Пример 2. Функция Дирехле задается следующим образом: 1 при x ∈ Q (рациональное число) D( x) = 0 при x ∉ Q
(1.25)
Пример 3. Знаковая функция (signum) от х имеет вид: 1 п ри x> 0 sgn x = 0 п ри х= 0 (1.26) -1 п ри x< 0
Зависимость функции у от аргумента х можно задать в форме таблицы, в которой рядом со значением аргумента х0 записывается соответствующее значение функции у(х0). Неудобство этой формы 23
заключается в том, что таблица может содержать только определенные значения аргумента и функции. Наглядным представлением функциональной зависимости являются график функции в той или иной системе координат. Определение 1.15. Графиком функции у=f(x) в выбранной системе координат называется множество точек с координатами (x,f(x)). Читатель хорошо знаком с графиком различных, изучаемых в школе, функций. Ниже приведем еще график упомянутой выше функции 1.26 (y=sign x).
Рис. 1.8. В некоторых случаях мы имеем дело с так называемой суперпозицией двух или нескольких функций или со сложной функцией. Пусть y=y(x) с областью определения {x}, а переменная х, в свою очередь, есть функция аргумента t, т.е. х=х(t) с областью определения {t}. В этом случае говорят о сложной функции y=y(x(t)). Областью определения этой функции являются те элементы множества {t} при которых x(t)∈{x}. Итак функциональная зависимость связывает две переменные, одна из которых является аргументом, а другая - функцией. Пусть у=у(х) с областью определения {x} и областью значений {y}. Если каждому значению y∈{y} соответствует только одно значение x∈{x}, то можно говорить об обратной функции х=х(у) с областью определения {y} и областью значений {x}. 1.13. Предел функции Трудно переоценить значение понятия предела функции в математическом анализе. Читатель не раз убедится, что это понятие 24
используется во многих определениях, теоремах, доказательствах и является одним из основных. Наиболее часто упоминаются два подхода к определению этого понятия, которое связывают с именами двух математиков Гейне и Коши. Определение 1.16 (определение предела функции по Гейне). Число b называется пределом функции y=f(x) (область определения {x}) в точке a∈{x} (при х, стремящемся к а), если для любой последовательности {xn} (xn∈{x}), сходящейся к а, соответствующая последовательность {f(xn)} сходится к b. В символической форме это определение можно записать в виде:
(
)
(
{
}
)
lim f (x) = b ≡ (∀{x n })(x n ∈ {x n })(x n ≠ a ): {x n } → a ⇒ f (x n ) → b (1.27) x →a
def
Приведенное определение в некоторых случаях позволяет доказать отсутствие предела функции. Пример 1. Докажем, что функция y = sin
1 при х→0 не имеет x
предела. Рассмотрим две последовательности x (n1) =
1 π + 2πn 2
и x (n2) =
1 , 2πn
элементы которых принадлежат области определения рассматриваемой 1 x
функции sin . Хотя обе эти последовательности стремятся к нулю при n→∞,
т.е.
б.м.п.,
1 π sin (1) = sin + 2πn x n 2
соответствующие и
1 sin ( 2) = {sin 2πn} x n
последовательности стремятся
пределам. А именно: π lim sin + 2πn = 1 и lim sin 2πn = 0 . n →∞ n →∞ 2
Таким образом, получим, что
1 → 1, 1 x (n )
1 → 0. 2 x (n )
{xn(1)}→0, sin {xn(2)}→0, sin
25
к
разным
Отсюда
на
основании
рассматриваемая функция sin
определения
1.16
следует,
что
1 не имеет предела при x→0. x
Определение 1.17 (определение предела функции по Коши). Число b называется пределом функции y=f(x) при х→а, если для любого положительного вещественного числа ε (сколь угодно малого) существует такое положительное вещественное число δ, зависящего от ε, что из неравенства 0 0) : ( x < −B(ε) ⇒ f (x) − b < ε) (1.32) def
x →−∞
1.14. Бесконечно большие и бесконечно малые функции Определение 1.22. Функция y=f(x) называется бесконечно большой функцией (ББФ) при х→а, если для любого вещественного 27
числа В>0 (сколь бы большим оно ни было) существует вещественное число δ>0, зависящее от В такое, что если 0 0) (∃ δ(B) > 0) : 0 < x - a < δ ⇒ f (x) > B (1.33) x →a ∈R ∈R def
Определение этого же понятия на языке последовательностей (по Гейне) имеет вид:
(lim f (x) = ∞) ≡ (∀ {xx∈}x→ a ) : ({f (x )} − Б. Б. П. ) (1.34) def
n
x →a
n
{}
Теорема 1.17. Если функции f(x) и ϕ(x) являются ББФ при х→а и имеют один знак в некоторой окрестности точки а, то их сумма f(x)+ϕ(x) также является ББФ. Определение 1.23. Функция α(х) называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при х→а (при х→∞), если lim α(x) = 0 ( lim α ( x) = 0 ). x →a
x →∞
Эти определения в символической форме имеют вид:
(α ( x ) (α ( x )
(
б м . .ф. п ри х→ а ) ≡ (∀ ε > 0) (∃ δ( ε ) > 0) : 0 < x − a < δ( ε ) ⇒ α(x) < ε ∈R ∈R def
(
- б м ф пир х → ∞) ≡ (∀ ε > 0) (∃ β( ε ) > 0) : x > β( ε ) ⇒ α(x) < ε ∈R ∈R def
)
),
(1.35)
Бесконечно большие и бесконечно малые функции обладают свойствами, аналогичными свойствам бесконечно больших и бесконечно малых числовых последовательностей. Относительно этих свойств справедливы следующие теоремы. Теорема 1.19. Если α(х) является б.м.ф. при х→а (х→∞) и α(х)≠0 в окрестности точки а, то функция
1 является Б.Б.Ф. при х→а (х→∞). α( x)
Теорема 1.20. Если f(x) является Б.Б.Ф. при х→а (х→∞), то функция
1 является б.м.ф. при х→а (х→∞). α( x)
28
Теорема 1.21. Если α(х) и β(х) являются б.м.ф. при х→а (х→∞), то функции α(х) ± β(х) также являются б.м.ф. Отметим здесь, что использование класса бесконечно малых функций позволяет сформулировать необходимое и достаточное условие существования предела функции. Теорема 1.22. Функция f(x) имеет предел b при х→а (х→∞) тогда и только тогда, когда f(x)=b+α(x), где α(х) является б.м.ф. при х→а (х→∞). Теорема 1.22. В символической форме записывается так: lim f (x) = b ⇔ f (x) = b + α(x) ∧ α(x) - б .м . ф. ( ) x →a x →a x→∞ x→∞
1.15. Свойства функций, имеющих предел Теорема 1.23. Пусть lim f1 (x) = b 1 , lim f 2 (x) = b 2 , тогда: x →a x →a
а) lim(f1 (x) ± f 2 (x)) = b1 ± b 2 . x →a
б) lim f1 (x) ⋅ f 2 (x) = b 1 ⋅ b 2 . x →a в) lim x →a
f1 (x)
f 2 (x)
=
b1 , если b2≠0. b2
Теорема 1.24. Пусть в некоторой окрестности точки а функции связанны неравенством: f1(x) ≤ f2(x), и lim f1 (x) = b 1 , lim f 2 (x) = b 2 , тогда b1 ≤ x →a
x →a
b2. Теорема 1.25. Пусть в некоторой окрестности точки а функции связаны неравенствами: f1(x) ≤ f2(x) ≤ f3(x), и lim f1 (x) = lim f 3 (x) = b , тогда x →a
lim f 2 (x) = b .
x →a
x →a
Эти теоремы легко доказать, если воспользоваться определением предела функции “по Гейне” и уже доказанными теоремами о свойствах сходящихся последовательностей (см. п. 1.1.17.). 1.16. Замечательные пределы Теорема 1.26. lim x →0
sin x = 1. x
29
Дано: х→0. sin x = 1. x →0 x
Доказать: lim
π 2
Пусть х есть радианная мера угла и 0<x< . Пользуясь очевидными неравенствами (см. рис. 1.9) S∆AOB<Sсект. AOB<S∆AOC 1 2
и учитывая, что S ∆AOB = R 2 sin x , Sсект.
AOB=
1 1 2 R x , S ∆AOC = R 2 tgx , где R 2 2
есть радиус круга, получим 0<sin x<x0, имеем 0 2.
в) f (x) = arctg
2 x−2
1
г) f (x) = e x .
Решение: а) Нетрудно заметить, что для всех точек числовой оси, кроме точки x = 0 условие непрерывности (1.46) выполняется. А что происходит в точке x = 0 ? Так как sin x lim = 1 , а f (0) = 2 , то в точке x = 0 нарушается условие x →0 ± 0 x
непрерывности заданной функции. Таким образом, заданная функция в точке x = 0 нарушается условие непрерывности заданной функции. Таким образом, заданная функция в точке x = 0 имеет устранимый разрыв. Ответ: в точке x = 0 - устранимый разрыв. Решение: б) Непрерывность данной функции во всех точках числовой оси, кроме точек 0; -2;+2, очевидна. А что происходит в точках 0;-2;2? Проверим условие непрерывности (1.46) для данной функции в точке x = 0 . Имеем lim f ( x) = lim (4 − x 2 ) = 4 и f (0) = 2 . Значит точка x = 0 x →0 ± 0
x →0 ± 0
для данной функции является точкой разрыва первого рода. Теперь проверим условие непрерывности (1.46) для данной функции в точках x=2 и x=-2.Имеем lim f ( x) = lim 4 = 4, lim f ( x) = lim (4 − x 2 ) = 0, f (2) = 2.
x→2+0
x→ 2+ 0
x → 2 -0
x →2 −0
lim f ( x) = lim (4 − x 2 ) = 0,
x → −2 + 0
lim f ( x) = lim 4 = 4, f (−2) = 2.
x → −2 + 0
x → −2 − 0
x → −2 − 0
Отсюда заключаем, что точки x=2 и x=-2 для данной функции являются точками разрыва первого рода (рис. 1.12) f(x) 43 4
Рис. 1.12. Ответ: в точках, x=2, x=-2- разрыв первого рода, в точке x=0 устранимый разрыв. Решение: в) Очевидно, что рассматриваемая функция является непрерывной во всех точках числовой оси, кроме точки x=2, которая не входит в область ее определения. Определим характер разрыва данной функции в точке x=2. Имеем lim arctg
x→2+ 0
π 2 = , x−2 2
lim arctg
x →2 −0
π 2 =− , 2 x−2
Следовательно, точка x=2- точка разрыва первого рода. Ответ: точка x=2 – точка разрыва первого рода. Решение: г) Очевидно, что заданная функция непрерывна на всей числовой оси кроме точки x=0 (она не входит в область определения функции). Определим характер разрыва заданной функции в точке x=0. Имеем 1 x
1 x
lim f ( x) = lim e = ∞,
x→0+0
lim f ( x) = lim e = 0.
x→0+0
x→0−0
x→0−0
Так как один из односторонних пределов (в данном случае правосторонний) не равен конечному числу, то точка x=0 для данной функции является точкой разрыва второго рода. Ответ: точка x=0 - точка разрыва второго рода. Пример 4. Определить порядок малости б.м.ф. f(x) по отношению к основной бесконечно малой ϕ(x)=x при х→0. 44
а) f(x)=2( e x -1) при х→0; ϕ(x)=x при х→0. б) f(x)=ln(sin x2+1) при х→0; ϕ(x)=x при х→0. 3
3
Решение: а). Пусть функция f(x)=2( e x -1) б.м.ф. порядка n по отношению к основной бесконечно малой ϕ ( x ) = x при x → 0 . Тогда по определению (1.28.) и с учетом того, что e x -1 ~ x 3 при x → 0 , имеем 3
∞, n〉 3, 3 2(e x − 1) 2x3 f ( x) 3− n lim n = lim = lim n = 2 lim x = 2, n = 3, n x →0 x x →0 x →0 ϕ ( x ) x →0 x 0, n〈3.
3
Отсюда заключаем, что б.м.ф. f(x)=2( e x -1) бесконечно малая третьего порядка по отношению к основной бесконечно малой x при x → 0. 3
Ответ: e x -1 бесконечно малая третьего порядка по отношению к бесконечно малой x при x→ 0. Решение: б) Рассуждая аналогично примеру а) имеем ∞, n 〉 2, x2 ln(sin x 2 + 1) sin x 2 2− n lim = lim n = lim n = lim x = 1, n = 2, . n x →0 x → x → x → 0 0 0 x x x 0, n 〈 2.
Ответ: ln(sin x2 + 1) бесконечно малая второго порядка по отношению к бесконечно малой x при x→0.
45
Тест Вычислить пределы: 4n 6 − n + 5 . 1. lim 6 n →∞ n + 3n 2 + 1
а) 0; б) ∞; в) 4; г) 5. 1 + 2 + 3+... + n 2 + n 2 − . n 3n
2. lim
а) 1; б) ∞; в)
1 ; 2
г) 0. 3. lim x →0
3x 1+ x − 1− x
.
а) 0; б) ∞; в) 5№ г) 3. 4. lim x[ln (3x − 1) − ln (3x − 2)] . x →∞
а) ∞; б) 0; в)
1 ; 3
г) 2. 3
5. limπ (1 + cos x) cos x . x→
2
а) 1; б) е3; в) e; г) 0.
46
6. lim x →∞
x + 4 x + 8
−3 x
.
а) 1; б) ∞; в) е; г) е12. 7. lim x →0
tgx − sin x . x sin x
а) 0; б) 2; в)
1 ; 2
г) 5. Определите порядок б.м.ф. f(x) по отношению к б.м.ф. ϕ(х): 8. f(x)=
x(x + 1) 1+ x
, ϕ(x)=x, x→0.
а) 1; б) 3; в) 4; г) 6; 9. f(x)= 1 + x 2 ⋅ tg
πx , ϕ(x)=x, x→0. 2
а) 2; б) 1; в) 3; г) 4. Найти точку разрыва функции и определить его характер: 10. f(x)=
x . x
а) х=0 - точка разрыва первого рода; б) х=0 - точка разрыва второго рода; в) х=0 - точка устранимого разрыва.
47
Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной 2.1. Определение производной функции первого порядка Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и пусть х0+∆х, где ∆х есть приращение аргумента, есть некоторая точка этой окрестности. Определение
2.1.
Если
существует
предел
отношения
∆y f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ) при ∆х→0, то этот предел называется производной = ∆x ∆x
первого порядка функции y=f(x) в точке х0 и обозначается так: f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) dy ∆y = y © ( x0 ) = f © ( x0 ) = = lim ∆x → 0 ∆x dx ∆x
=
lim
Если в некоторой точке х0 имеет место lim
∆x →0
lim
∆x →0
∆y = ∞, ∆x
x = x0
df ( x) dx
(2.1) x = x0
∆y ∆y = +∞ ; lim = −∞ ; ∆ x → 0 ∆x ∆x
то говорят, что для этого значения х0 существует
бесконечная производная, равная соответственно +∞; -∞; ∞. Определение 2.2. Если функция y=f(x) определена в правосторонней (левосторонней) окрестности точки х0 и существует f (x 0 + ∆x) − f (x) f (x 0 + ∆x) − f (x) lim , то ∆x →0 +0 ∆x ∆x ∆x→0−0
конечный или бесконечный lim
он называется, соответственно, конечной или бесконечной правосторонней (левосторонней) производной функции y=f(x) в точке х=х0 и обозначается так: lim
f (x 0 + ∆x) − f (x)
∆x f (x 0 + ∆x) − f (x)
∆x →0 +0
lim
∆x →0 −0
∆x
=f′(x0+0),
=f′(x0-0). (2.2)
Теорема 2.1. Функция y=f(x), определенная в некоторой окрестности точки х=х0, имеет конечную производную f′(x0) тогда и только тогда, когда существуют равные друг другу конечные правосторонняя и левосторонняя производные этой функции в точке х0, т.е. когда f′(x0+0)=f′(x0-0). В этом случае f′(x)= f′(x0+0)=f′(x0-0). Заметим, что доказательство этой теоремы следует из теоремы 1.16 об односторонних пределах. 2.2. Геометрический смысл производной. 48
Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на некотором интервале (а;b) и имеет конечную производную в точке x0∈(a;b). Рассмотрим график этой функции (рис. 2.1.). y
A ϕ (x0 )
M
∆y
A0
0
x0
N ∆x ϕ (∆x) x 0 + ∆x
dy
x
Рис. 2.1. На графике точка А0 имеет координаты А0[x0;f(x0)], а точка А координаты A[x0+∆x; f(x0+∆x)], где приращение аргумента ∆х>0 и x0+∆x∈(a;b). Через ϕ(∆х) обозначим угол, который образует секущая А0А с положительным направлением оси 0х. Очевидно, что tgϕ ( ∆x ) =
∆y f (x 0 + ∆x ) − f (x ) . = ∆x ∆x
(2.3)
Заметим, что при стремлении точки А к точке А0 по графику, т.е. при стремлении ∆х к нулю, секущая А0А займет свое предельное положение, совпадающего с касательной к графику в точке х0. При этом ϕ(∆х)→ϕ(х0), где ϕ(х0) есть угол между касательной к графику в точке х0 и положительным направлением оси 0х. Итак, учитывая вышесказанное, из (2.3) имеем f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ) ∆y = lim = f ' (x 0 ) , ∆x →0 ∆x ∆x→0 ∆x
lim tgϕ( ∆x) = tgϕ( ∆x) = lim
∆x →0
т.е. f′(x0)=tgϕ(x0).
(2.4)
(2.4) показывает, что производная функция y=f(x) первого порядка в точке х0 равна тангенсу угла между касательной к графику функции y=ϕ(x) в точке х0 и положительным направлением оси 0х. 49
2.3. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции и его геометрический смысл Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a;b), х - некоторое фиксированное значение аргумента, ∆х - любое приращение аргумента такое, что (х+∆х)∈(a;b). Определение 2.3. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке х, если приращение ∆у=∆f(x) этой функции в точке х, соответствующее приращению аргумента ∆х, может быть представлено в виде ∆у=А⋅∆х+α(∆х)⋅∆х,
(2.5)
где А - константа, не зависящая от ∆х, а α(∆х) - является бесконечно малой при ∆х→0. Заметим, что функция α(∆х) при ∆х=0, вообще говоря, не определена. Поэтому в этой точке приписываем значение α(0)=0, чтобы функция α(∆х) стала непрерывной в точке ∆х=0. Тогда равенство (2.5) можно распространить и на значение ∆х=0. Заметим также, что так как α(∆х) и ∆х бесконечно малые при ∆х→0, то α(∆х)⋅∆х=0(∆х), т.е. второй член в (2.5) бесконечно малая величина более высокого порядка, чем ∆х. С учетом того (2.5) можно переписать в виде ∆у=А⋅∆х+0(∆х).
(2.6)
Теорема 2.2. Для того, чтобы функция у=f(x) являлась дифференцируемой в точке х (символически это записывается так: f(x)∈C′(x)), необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Необходимость. Дано: у=f(x)∈C′(x). (2.7) Доказать: ∃y′=f′(x) (конечная) (2.8) Из (2.7) следует, что ∆у=А⋅∆х+α(∆х)∆х. Отсюда, при условии ∆х≠0, имеем ∆y = A + α( ∆x) ∆x
и ∆y = lim A + lim α( ∆x) = A . ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x→0 lim
50
Последнее, по определению 2.1 означает, что
y′=f′(x)=A.
Достаточность. Дано: ∃ конечная y′=f′(x). Доказать: ∆у=А⋅∆х+α(∆х)⋅∆х.
(2.9) (2.10)
Из (2.9) с учетом (1.36) имеем ∆y − f ' (x) = α( ∆x) или ∆y=f′(x)⋅∆x+α(∆x)⋅∆x, (2.11) ∆x
где α(∆х)→0 при ∆х→0. Если теперь постоянную величину f′(x) обозначить через А, то (2.11) перепишется в виде ∆y=A⋅∆x+α(∆x)⋅∆x, что и доказывает дифференцируемость функции y=f(x). Теорема 2.3. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке х, то она непрерывна в этой точке. Дано: f(x)∈C′(x). Доказать: f(x)∈C(x) Из (2.12) следует, что
(2.12) (2.13)
∆y=f′(x)⋅∆x+α(∆x)⋅∆x. Но когда lim ∆y = lim [f ' (x) ⋅ ∆x + α( ∆x) ⋅ ∆x] = 0 . В силу разностной формы ∆x →0
∆x →0
условия непрерывности (см. определение 1.34) функция y=f(x) непрерывна в точке х. Отметим, что обратное утверждение, не имеет места, т.е. непрерывная в точке х функция не обязательно является дифференцируемой в этой точке. Для примера, рассмотрим функцию у=|x|, график которой приведен на рисунке 2.2.
51
y
y=|x|
0
x
Рис. 2.2. Поскольку ∆у=|x+∆x|-|x|≤|x+∆x-x|=|∆x| и lim ∆y = 0 , то функция ∆x →0
y=|x| непрерывна в любой точке x∈(-∞;+∞). Покажем, что эта функция в точке х=0 не имеет производной. Действительно, так как ∆x 1, ∆y 0 + ∆x − 0 = = = ∆x ∆x ∆x −1,
если ∆х>0 если ∆х0 если ∆х 0 x ' = sgn x = -1, x < 0
Теперь перейдем к определению понятия дифференциала функции y=f(x). предполагая, что y=f(x)∈C′(x), на основании теоремы 2.2 имеем ∆y=f′(x)⋅∆x+α(∆x)⋅∆x.
(2.14)
Пусть f′(x)≠0, т.е. первое слагаемое в (2.14) является главной линейной относительно ∆х частью приращения дифференцируемой функции. Определение 2.4. При f′(x)≠0 дифференциалом функции у=f(x) в точке х, соответствующим приращению аргумента ∆х, называется главная линейная относительно ∆х часть приращения ∆у в точке х и 52
обозначается так: dy=f′(x)⋅∆x. При f′(x)=0 по договоренности считается, что dy=0. Заметим, что если взять функцию у=х, то dy=dx=x′⋅∆x=∆x (x′=1), т.е. dx=∆x. С учетом этого, имеем dy=f′(x)dx или f′(x)=
dy . dx
(2.15)
Для выяснения геометрического смысла дифференциала функции y=f(x) первого порядка, обратимся еще раз к рисунку 2.1. Как нетрудно заметить, ∆y=AN, а f′(x)∆x=dy=MN. Отсюда следует, что величины AN и MN различны, ибо если ∆у есть приращение ординаты кривой в точке х, то dy есть приращение ординаты касательной к кривой в точке х. 2.4. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями Теорема 2.4. Если функции y1=f1(x) и y2=f2(x) имеют производные в точке х0, то их сумма, разность, произведение и частное (частное при условии y2(x0)=f2(x0)≠0) также имеют производные в точке х0, причем а) (y1 ± y 2 )' x = x = f1' (x 0 ) ± f 2' (x 0 ) , 0
б) (y1 ⋅ y 2 )' x = x = f1' (x 0 ) ⋅ f 2 (x 0 ) + f1 (x 0 ) ⋅ f 2' (x 0 ) , 0
y в) 1 y2
|
=
f1' (x 0 ) ⋅ f 2 (x 0 ) − f1 (x 0 ) ⋅ f 2' (x 0 ) f 22 (x 0 )
x = x0
Приведем доказательство этой рассмотрением пункта а). Итак: Дано: ∃ y1| x = x = f1| (x 0 ) , y |2 x = x = f 2| (x 0 ) . 0
теоремы,
.
ограничиваясь
0
Доказать: (y1 ± y 2 )' x = x = f (x 0 ) ± f 2' (x 0 ) . ' 1
0
Очевидно, что ∆(y1±y2)=f1(x0+∆x)±f2(x0+∆x)-[f1(x0) ±f2(x0)]= =[f1(x0+∆x)-f1(x0)] ±[f2(x0+∆x)-f2(x0)]=∆y1±∆y2. Тогда, если ∆х≠0, то ∆(y1 ± y 2 ) ∆x
=
∆y1 ∆y 2 ± . ∆x ∆x
(2.17)
В (2.17) перейдем к пределу при ∆х→0. Так как по условию теоремы существует lim
∆x →0
∆y1 ∆y 2 = f1| (x 0 ) и lim = f 2| (x 0 ) , то существует ∆ x → 0 ∆x ∆x
53
предел правой части (2.17) и равен f1|(x0)± f2|(x0). Тогда существует и предел левой части (2.17) и равен lim
∆x →0
∆ ( y1 ± y 2 ) ∆x
= ( y1 ± y 2 )
| x = x0
= f1| (x 0 ) ± f 2| (x 0 ) .
Аналогично можно доказать и остальные пункты теоремы. 2.5. Производные элементарных функций. Производная обратной функции Правила вычисления производных некоторых элементарных функций можно получить непосредственно из определения производной (см. определение 2.1). Покажем это, например, для функции y=sinx. Имеем ∆y=sin(x+∆x)-sinx=2sin
∆x ∆x ⋅cos(x+ ). 2 2
Отсюда, при ∆х≠0, следует ∆y = ∆x
∆x 2 ⋅ cos x + ∆x . ∆x 2 2
sin
Если в последнем перейти к пределу при ∆х→0 с учетом первого замечательного предела (см. (1.37)) и непрерывности функции cosx, то получим
lim
∆x →0
∆y = (sin x)' = lim ∆x →0 ∆x
Итак: (sin x)|=cos x.
∆x 2 ⋅ lim cos x + ∆x = cos x . ∆x ∆x→0 2 2
sin
Аналогично доказывается, что (cos x)| = - sin x. Чтобы
вычислить
производную.
функции
воспользуемся пунктом б) теоремы 2.4. Имеем | cos 2 x − sin x ⋅ ( − sin x) 1 sin x = . (tgx) = cos x = 2 cos x cos 2 x |
54
y=tgx=
sin x , cos x
Аналогично |
1 cos x (ctgx)' = sin x = − 2 . sin x
Прежде чем перейти к получению правил дифференцирования других элементарных функций, приведем теорему о производной обратной функции без доказательства. Теорема 2.5. Если функция y=f(x) определена, непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки х0 и в этой точке существует производная y' x = x = f ' (x 0 ) ≠ 0 , то и обратная функция x=f-1(y) 0
имеет производную в точке y0=f(x0), причем
[f С
помощью
(y 0 )]
=
1 . f ' (x 0 )
(2.18)
теоремы
2.5.,
например,
−1
|
π 2
можно
получить
π 2
производную функции y=arcsin x, где -1<x0, α∈R), y(n)=α(α-1)(α-2)...(α-n+1)xα-n. 2. y=ax (0 0)(∃δ > 0): (∀x ∈ U δ (x 0 ))(0 < x − x 0
Положим ε=-f′(x0)>0. Тогда имеем
63
< δ) ⇒
f (x) − f (x 0 ) x − x0
− f ' (x 0 ) < ε
f ( x) − f ( x 0 ) x − x0
− f ' (x 0 ) < − f ' (x 0 ) ⇔ 2f ' (x 0 )
0 0 ⇒ f (x) − f (x 0 ) < 0 x < x 0 ⇒ f ( x ) > f ( x 0 ) ⇔ x > x 0 ⇒ f ( x ) < f ( x 0 )
(2.61)
т.е. функция f(x) в точке х0 убывает. Заметим, что положительность (отрицательность) производной f′(x0) не является необходимым условием возрастания (убывания) дифференцируемой в точке х0 функции у=f(x). Например, функция y=x3 возрастает в точке х0=, но y′(0)=0. Теорема 2.9. (теорема Ферма) (необходимое условие экстремума дифференцируемой в данной точке функции). Если функция y=f(x)∈C′(x0) и имеет в этой точке локальный экстремум, то f′(x0)=0 (рис. 2.3.) Дано: f(x)∈C′(x0). Доказать: f′(x0)=0. По условию теоремы существует f′(x0). Так как функция y=f(x) имеет в точке х0 локальный экстремум, то она не может в этой точке не возрастать не убывать. Следовательно, по теореме 2.8 f′(x0) не может быть ни положительной, ни отрицательной, т.е. f′(x0)=0. Теорема 2.10. (теорема Ролля или теорема о нуле производной). Если функция y=f(x) определена и непрерывна на сегменте [a;b], дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента и f(a)=f(b), то внутри сегмента найдется точка ξ, что f′(ξ)=0. Дано: f(x)∈C([a,b]), f(x)∈C′((a,b)), f(a)=f(b). (2.62) Доказать: ∃ξ∈(a,b), а′(ξ)=0. Так как по условию теоремы f(x)∈С[a,b], то по теореме Вейерштрассе (теорема 1.1.33) f(x) на [a,b] достигает своих точных верхней и нижней граней M и m. Может быть m=M и M>m. Рассмотрим эти два случая по отдельности. 1. m=M. Тогда очевидно, что f(x)=m=M=const. Отсюда следует, что 64
f′(x)≡0 для ∀х∈[a,b]. 2. M>m В этом случае согласно (2.62) хотя бы одно из двух значений m и M достигается во внутренней точке ξ на сегменте [a,b]. Но тогда в точке ξ функция f(x) имеет локальный экстремум и по теореме Ферма (теорема 2.9) f′(ξ)=0 (рис. 2.4). y y=f(x)
y=f(x)
0
a
ξ
ξ
b
x
Рис. 2.4. 2.10. Формула конечных приращений (теорема Лагранжа). Обобщенная формула конечных приращений (теорема Коши) В этом пункте теорему Лагранжа и теорему Коши сформулируем в символической форме. Теорема 2.11. (теорема Лагранжа). [(f(x)∈C[a,b])∧(∀x∈(a,b) ∃f′(x)]⇒[∃ ξ∈(a,b) : f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)] (2.63) Доказательство. Рассматривая на (а,b) вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-
f (b ) − f (a ) b −a
(x − a )
замечаем, что для нее выполнены все условия теоремы Ролля, т.е.: 1. F(x)∈C)[a,b]) 2. ∃F′(x)=f′(x)-
f (b ) − f (a ) b −a
для ∀x∈(a,b)
3. F(a)=F(b)=0. Тогда ∃ξ∈(a,b) такая, что F′(ξ)=0, т.е. F′(ξ)=f′(ξ)-
f (b ) − f (a )
65
b −a
=0.
Из последнего следует, что f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a).
(2.64)
Формула (2.64) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Если ее записать для сегмента [x0,x0+∆x], где x0∈[a,b], x0+∆x∈[a,b], то получим формулу конечных приращений в другом виде f(x0+∆x)-f(x0)=f′(ξ)∆x.
(2.65)
где ξ∈(x0,x0+∆x). Введя величину 00) и lim g(x) = 0 . x →a
x →a
Тогда lim f (x)
g( x)
x →a
[ ]
= ∞0 ,
т.е. имеем неопределенность вида [∞0]. Чтобы раскрыть ее, сначала рассмотрим предел натурального логарифма от f(x)g(x), т.е. lim ln f (x)
g( x )
x →a
= lim g(x) ln f (x) = [0 ⋅ ∞] . x →a
Отсюда видно, что мы приходим к неопределенности вида [0⋅∞], которую умеем раскрыть с помощью правил Лопиталя. Аналогично поступаем и в случаях неопределенностей вида [1∞] и [00]. Примеры. 1 x 2 cos 2 x − sin 2 x = ∞ − ∞ = lim ] x→0 x 2 sin 2 x = [ x2 sin x x cos x + sin x x cos x − sin x x cos x − sin x = lim lim = lim cos x + lim = 2 x →0 x →0 x →0 x x x →0 x sin x x sin 2 x 2 1. lim ctg x − x →0
−x cos x − x sin x − cos x x cos x − sin x 0 = = 2 lim = = 2 lim 2 2 x → 0 x → 0 2x cos x + sin x 2x sin x cos x + sin x x sin x 0 1 2 0 =− = = −2 lim x →0 3osx − 2x sin x 3 0 = 2 lim x →0
1
sin x 1−cos x y = lim = 1∞ 2. lim x →0 x →0 x
[ ] (0 < x ≤ π) . 69
1
sin x 1−cos x ln sin x − ln x Возьмем ln y = ln = . x 1 − cos x
Тогда cos x 1 − ln sin x − ln x 0 x x = lim x cos x − sin x = − 1 sin lim ln y = lim = = lim x →0 x →0 x → 0 x →0 1 − cos x 3 sin x x sin 2 x 0
и 1 lim ln y = − . x →0 3 −
1 3
Отсюда lim y = e . x →0
2.12. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха-Роша, Лагранжа, Коши и Пеано В данном пункте мы будем затрагивать вопросы, связанные с представлением функции y=f(x) в виде сумм степенных функций (аппроксимация функции y=f(x) степенными функциями). На эти важные для практики вопросы дает ответ теорема Тейлора, которую приведем без доказательства. Теорема 2.15. Если функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки а производную порядка n+1 (n любой фиксированной номер), х есть любое значение аргумента из указанной окрестности, р есть произвольное положительное число, то между точками а и х найдется точка ξ такая, что справедлива формула f (x) = f (a ) +
f ' (a ) 1!
(x − a ) +
f '' (a ) 2!
(x − a )
где x−a R n +1 (x) = x − ξ
p
2
+... +
n f ( ) (a )
n!
(x − ξ) n +1 ⋅ f ( n +1) n !⋅ p
(x − a ) n + R n +1 (x) , (2.71)
(ξ) (2.72)
Формула (2.71) называется формулой Тейлора с центром в точке а, а (2.72) называется остаточным членом в форме Шлемильха-Роша. Ниже приведем и другие формы остаточного члена Rn+1(x) в формуле Тейлора. 1. Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид: n +1 x − a) ( n +1 R n +1 (x) = f ( ) [a + θ(x − a )] , (2.73) (n + 1) !
70
где 00
f'(x)0
min
0
x
Рис. 2.6. 2.15. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба Определения 2.12. График дифференцируемой функции f(x) на интервале (a;b) имеет выпуклость, направленную вверх (вниз), если в
75
пределах этого интервала он лежит не выше (не ниже)любой своей касательной (рис. 2.7). f(x)
выпуклость вниз
выпуклость вверх
f''(x)≥ 0
f''(x)≤ 0
x
0
Рис. 2.7. Теорема 2.18. Если на интервале (a;b) функция f(x) дважды дифференцируема и f′′(x) неположительна (неотрицательна), то график функции f(x) на (a;b) имеет выпуклость направленную вверх (вниз) (рис. 2.7). Определение 2.13. Точка (x0,f(x0)) графика функции f(x) называется точкой перегиба, если существует окрестность точки х0, в которой график функции слева и справа от точки х0 имеет разные направления выпуклости. В такой точке график функции переходит через касательную (рис. 2.8). f(x) (x 0 ,f(x0 ))
x0
x
Рис. 2.8. Теорема 2.19. (необходимое условие точки перегиба). Если точка М0(х0,f(x0)) является точкой перегиба графика функции f(x), которая в этой точке имеет непрерывную производную второго порядка f′′(x), то f '' (x) x = x = 0 . 0
Доказательство. Дано: точка М0(х0,f(x0)) - точка перегиба. Доказать: f '' (x) x = x = 0 . 0
Предположим, что f '' (x) x = x ≠ 0 . Тогда в некоторой окрестности 0
точки х0 f′′(x) сохранит знак, а, следовательно, слева и справа от точки х0 76
выпуклость графика будет иметь одинаковое направление и точка М0(х0,f(x0)) не будет точкой перегиба. Значит предположение f '' (x) x = x ≠ 0 ложно, в то время как f '' (x) x = x = 0 - истинно.
0
0
Теорема 2.20. (достаточное условие точки перегиба). Если функция f(x) дифференцируема в точке х0 и дважды диффернцируема в некоторой δ окрестности этой точки, и если слева и справа от точки х0 f′′(x) имеет разные знаки, то точка М0(х0,f(x0)) для графика функции f(x) является точкой перегиба. Доказательство. Дано: f(x)∈C′(x0), f(x)∈C′′(Uδ(x0)), f′′(x<x0)>0 и f′′(x>x0)0. Доказать: М0(х0,f(x0)) - есть точка перегиба. Так как функция f(x) дифференцируема в точке х0, то график функции f(x) в точке М0(х0,f(x0)) имеет касательную. Смена знака у f′′(x) при переходе через точку х0 говорит о том, что слева и справа от этой точки выпуклость графика имеет разные направления. Т.е. точка М0(х0,f(x0)) является точкой перегиба. Теорема 2.21. (достаточное условие экстремума и перегиба, связанное с высшими производными функции). Пусть n - некоторое целое положительное число, и пусть функция y=f(x) имеет в некоторой окрестности точки х0 производную порядка n+1, причем указанная производная непрерывна в точке х0. Пусть, далее, справедливы следующие соотношения: f(2)(x0)= f(3)(x0)=...= f(n)(x0)=0 и f(n+1)(x0)≠0. Тогда, если n+1 - нечетное число, то график функции y=f(x) имеет перегиб в точке М0(х0,f(x0)). Если же n+1- четное число М, кроме того f′(x0)=0, то функция y=f(x) имеет локальные экстремум в точке х0, точнее, максимум, если f(n+1)(x0)0.
2.16. Асимптоты графика функции. Схема исследования функции и построения ее графика
77
Определение 2.14. Прямая х=х0 называется = ∞(− ∞ ) . асимптотой графика функции f(x), если x→lim x +0
вертикальной
0
( x → x0 ± 0 )
Из определения (2.14) следует, что если функция f(x) в точке х0 имеет вертикальную асимптоту, то она является для функции f(x) точкой разрыва второго рода. Определение 2.15. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции f(x), если f(x)=kx+b+α(x), где α(х) - б.м.ф. при х→+∞ (х→-∞). Заметим, что частным случаем наклонных асимптот являются горизонтальные асимптоты в случае, если к=0 (у=b). Теорема 2.22. (необходимое и достаточное условия наклонной асимптоты). Прямая Y=kx+b является правой (левой) наклонной асимптотой графика функции f(x) тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы lim
f (x) x
x →∞
( x→−∞ )
= k , lim (f (x) − kx) = b . x →∞
(2.87)
( x→−∞ )
Доказательство (в случае правой асимптоты). Необходимость: Дано: f(x)=kx+b+α(x), lim α(x) = 0 . x →+∞
Доказать: ∃ lim
f (x)
x →+ ∞
x
= k, ∃ lim (f (x) − kx) = b . x →+ ∞
Имеем lim
x →+∞
f (x)
= lim
x
kx + b + α(x) x
x→+∞
b α(x) = k, = lim k + + x→+∞ x x
lim (f (x) − kx) = lim ( kx + b + α(x) − kx) = b ,
x →+∞
x→+∞
что и требовалось доказать.
Достаточность: Дано: lim
x →+ ∞
f ( x) x
= k,
lim (f (x) − kx) = b .
x →+ ∞
Доказать: f(x)=kx+b+α(x), где 78
lim α(x) = 0 .
x →+∞
Из условия теоремы имеем lim (f (x) − kx) = b ⇒ f (x) − kx = b + α(x) ,
x →+∞
где α(x) - б.м.ф. при х→+∞. Следовательно, f(x)=kx+b+α(x), что и требовалось доказать. Отметим, что геометрическое свойство любой ассиммптоты заключается в том, что расстояние между точками графика функции и точками прямой (асимптотой) стремятся к нулю при удалении от начала координат. График функции как бы “сливается” с прямой, бесконечно к ней приближаясь. Отметим также, что график функции может любое количество раз пересекать асимптоту. Ниже приведем схему исследования функции f(x) и построения ее графика с помощью дифференциального исчисления, которая включает в себя выполнение следующих основных этапов: 1. Нахождение области определения функции, определение точек пересечения графика функции с осями координат, определение четности, нечетности, периодичности функции, нахождение точек разрыва функции. 2. Определение поведения функции на ±∞. 3. Нахождение асимптот графика функции (вертикальных, наклонных, горизонтальных). 4. Определение интервалов монотонности, точек экстремумов функции, нахождение значений функции в точках экстремумов. 5. Определение интервалов сохранения направления выпуклости графика функции, нахождение точек перегиба и значений функции в них. Далее на основании проведенных исследований можно довольно точно представить график исследуемой функции.
79
Примеры Пример 1. Найти f '(x) с помощью определения производной, если а) f(x)=sin(x2), б) f(x)=ln(2x2+2). Решение: а) Согласно определению 2.1 имеем ( x + ∆x) 2 − x 2 ( x + ∆x) 2 + x 2 ⋅ cos sin sin(x + ∆x) 2 − sin x 2 ' 2 ' 2 2 = 2 lim = f ( x) = (sin x ) = lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x
2x ⋅ ∆x + (∆x)2 sin 2x2 + 2x ⋅ ∆x + (∆x)2 2 = 2 lim ⋅ lim cos . ∆x→0 ∆x→0 ∆x 2 Если теперь учитывать, что sin
2 x ⋅ ∆x + (∆x) 2 2 x ⋅ ∆x + (∆x) 2 ~ при ∆x → 0 и 2 2
lim cos
∆x→0
2x2 + 2x ⋅ ∆x + (∆x)2 = cosx2 , то получим 2
2x ⋅ ∆x + (∆x)2 ⋅ cosx2 = 2x cosx2 f (x) = (sinx ) = 2 lim ∆x→0 2 ⋅ ∆x '
2 '
Ответ: (sinx2)’ = 2xcosx2 Решение: б) пользуясь определением 2.1 с учетом того, что ln(1+α) ~α при α→0, имеем ln[3( x + ∆x) 3 + 2] − ln(3x 3 + 2) ' ' 3 = f ( x) = ln (3x + 2) = lim ∆x→0 ∆x 3x3 + 9x 2 ⋅ ∆x + 9x ⋅ (∆x) 2 + (∆x)3 + 2 ln 3 3 2 x + = = lim ∆x→0 ∆x
80
9x 2 + 9x∆x + (∆x) 2 ln1 + ∆x 3x 3 + 2 9x 2 + 9x∆x + (∆x) 2 9x 2 = lim = lim = 3 . ∆x→0 ∆x→0 ∆x 3x 3 + 2 3x + 2
Ответ:
f ' ( x) = ln ' (3x 3 + 2) =
9x 2 . 3x 3 + 2
Пример 2. Найти производную функции y=f(x), если она задана: а) в явном виде (y=f(x)= ln tg 3 + 1 ); x 6
3 y = 2t б) в параметрической форме e +1 ; −2 t x = 4 − e
в) в неявном виде (3x+y-xyln3=15).
Решение: а) пользуясь правилами элементарных и сложных функций, имеем
y ' = f ' ( x) = ln ' (tg 3
x + 1) = 6
дифференцирования
sin 2
x 1 1 1 1 . ⋅ 3tg 2 ⋅ ⋅ = ⋅ 6 2 3 x 2 x 6 4 x 3 x tg +1 cos cos ⋅ tg + 1 6 6 6 6
x sin 2 x 6 ln ' tg 3 + 1 = . x 6 2 cos 4 ⋅ tg 3 x + 1 6 6
Ответ:
Решение: б) Согласно (2.41) имеем
dy y ' (t ) − 6e 2t 3e 4t y = = = = − 2t . dx x ' (t ) (e 2t + 1) 2 ⋅ (−2) ⋅ (−e −2t ) (e + 1) 2 '
Ответ:
x 6
3e 4t . y = − 2t (e + 1) 2 '
81
Решение: в) Продифференцировав обе части уравнения, имеем 3 x + y (1 + y ' ) − y ln 3 − x ln 3 y ' = 0 ' Отсюда, решая последнее относительно y , получим
y − 3 x+ y y = x+ y . 3 −x '
Ответ:
y − 3 x+ y y = x+ y . 3 −x '
Пример 3. Исследовать функцию f(x) и построить ее график, если: а) f(x)=
x2 + 4 , б) f(x)= 3 x 2 (x − 5) . 4x
Решение: а) f ( x) =
x2 + 4 4x
1. Данная функция определена для -∞<x -2) < 0, f’(x > 2) > 0,
и и
то согласно достаточному условию экстремума в точке x1 =-2 функция имеет максимум (fmax = f (-2) = -1), а в точке x2 = 2 функция имеет минимум (fmin = f (2) = 1). Нетрудно заметить, что при x < -2 и x > 2 f’(x) >0 и функция монотонно возрастает, а при –2 < x < 0 и 0 < x < 2 f’(x) < 0 и функция монотонно убывает. 5. Для определения интервалов сохранения направления выпуклости и точек перегиба графика функции, вычислим вторую данной функции. Имеем: производную f’’(x) '
x2 − 4 2 = 3 . f ( x ) = 2 x 4x "
83
2 ≠ 0 ни при одном значении x, то график данной x3 2 " функции не имеет точек перегиба. Для значений x < 0 f ( x ) = 3 〈 0 и x
" Так как f ( x) =
график имеет направление выпуклости вверх, а для значений x > 0
f " ( x) =
2 〉 0 и график имеет направление выпуклости вниз. x3
В заключении, пользуясь полученными результатами можно построить график функции (рис. 2.9.)
Рис. 2.9.
Решение: б) f ( x) = 3 x 2 ( x − 5) 1. Данная функция определена и непрерывна для всех -∞<x 2, и монотонно убывает при 0 < x < 2. 5. Вторая производная данной функции имеет вид '
10 x + 1 5 x − 10 . f ( x) = 3 ⋅3 = 4 9 3 x x "
Так как
f " ( x) =
10 x + 1 ⋅3 = 0 при x = -1 и f " ( x 〈− 1) 〈 0 , а 4 9 x
f " ( x 〉 − 1) 〉 0 , то точка (-1;-6) является точкой перегиба графика данной функции. Для x < -1 – направление выпуклости графика вверх, для x > -1 – направление выпуклости графика вниз. На основании полученных выше результатов, теперь можно построить график данной функции (рис. 2.10.).
85
Рис. 2.10.
Тест 86
Используя правила Лопиталя, вычислить пределы: e 2x − 1 . x →0 ln (1 + 2x )
1. lim а) 0; б) ∞; в) 2; г) 1.
2. lim x
1 1− x
x →1
.
а) 1; б) е; в)
1 ; е
г) ∞. 1
3. lim(2x + x) x . x →0
а) 1; б) е2; в) e 3 ; г)
1 . e
Найти точки экстремума функции: 4. y=xlnx. а) e(max); 1 (min); e 1 в) 2 (max); e
б)
г) 1(max). 5. y=1- 3 (x − 4) . 2
а) 0(min); б) нет; в) 4(max); г) 2(min).
87
6. y =
3 − x2 . x+2
а) -3(min);-1(max); б) 3 (min);0(max); в) -3(max;1(min); г) нет. Найти абсциссы точек перегиба графика функции. 7. y =
1 2 − 2. 4 x x
а) 1;-1; б)
5 5 ;- ; 3 3
в)
3 3 ;- ; 5 5
г) 2;-2. 8. y =
e ⋅ ln x . x
а) e ; б) 1; в) e 3 ; г) e. Найти вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты функции 9. y=
3 − 4x 2 . x+2
а) х=-1; у=-4х-8; б) х=-2; у=-4х+8; в) х=-3; у=-2х+8; г) х=4; у=х+8.
10. y=2arctg x -
x 2 + 3x . x−4
а) x=3; y=-x+π; б) x=4; y=-x+π-1; y=-x-π-1; в) x=-2; y=x+π; г) x=1; y=x.
88
Раздел III. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных 3.1. Определение m-мерного евклидова пространства и области Определение 3.1. Координатное пространство Am называется mмерным евклидовым пространством Еm, если между любыми точками M′(x1′, x2′,... ,xm′) и M′′(x1′′, x2′′,... ,xm′′) координатного пространства Am определено расстояние ρ(М′,М′′) по формуле ρ(M ', M '') =
(x
'' 1
− x1|
) + (x 2
'' 2
)
2
(
− x |2 +... + x ''n − x |n
)
2
.
Определение 3.2. Множество {M} пространства Еm называется открытым множеством, если любая точка М(х1, х2,... хm) этого множества входит в него вместе со своей малой окрестностью. Определение 3.3. Если каждая граничная точка множества {M} является точкой этого множества, то множество {M} называется замкнутым. Определение 3.4. Множество {M} пространства Еm называется связным, если две любые его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству. Определение 3.5. Открытое и связное множество {M} в пространстве Еm называется областью. Приведем некоторые примеры множеств {M} точек евклидова плоскости и пространства. 1. (x-a)2+(y-b)2≤R2 - множество {M} точек евклидовой плоскости, называемой кругом радиуса R с центром в точке M0(a;b). 2. (x-a)2+(y-b)20 f(M)=f(x,y,z) в точке M0(x0,y0,z0) ( Mlim →M 0
найдется δ>0 такое, что из неравенства 0 0) ln a ∫ cos ϕ(x)d ϕ(x) = sin ϕ(x) + C,
(4.9)
d ϕ(x) = −ctgϕ(x) + C,(ϕ(x) ≠ πn, n = 0, ±1, ±2,...) 2 ϕ(x)
∫ sin
∫
(4.8)
(4.10)
arcsin ϕ(x) + C = , 1 − ϕ 2 (x) −ar cos ϕ(x) + C
d ϕ(x)
(4.11)
arctgϕ(x) + C d ϕ(x) ∫ 1 + ϕ 2 (x) = −arcctgϕ(x) + C ,
∫ sh ϕ(x)d ϕ(x) = ch ϕ(x) + C, ∫ chϕ(x)d ϕ(x) = shϕ(x) = sh ϕ(x) + C,
(4.12)
d ϕ(x) d ϕ(x) = th ϕ(x) + C, ∫ 2 = −cth ϕ(x) + C ( ϕ(x) ≠ 0 ) 2 ϕ(x) sh ϕ(x)
∫ ch
Заметим, что не все интегралы от элементарных функций вычисляются в конечном виде в элементарных функциях. К таким интегралам относятся, например, интегралы:
∫e
− ϕ2 ( x)
d ϕ(x),
d ϕ(x)
∫ ln ϕ(x) (ϕ(x) > 0), ∫ cos(ϕ
2 ∫ sin(ϕ (x))d ϕ(x),
∫
2
)
(x) d ϕ(x),
e ϕ( x) . ) ∫ ϕ(x) dϕ(x)(ϕ(x) ≠ 0),(413
sin ϕ(x) d ϕ(x)(ϕ(x) ≠ 0), ϕ(x)
∫
(4.13)
cos ϕ(x) (ϕ(x) ≠ 0). ϕ(x)
Отметим также, что интегралы (4.13) приближенными или численными методами. 119
можно
вычислить
4.3. Интегрирование заменой переменной Заметим, что с помощью основных правил интегрирования, приведенных в пункте 4.2, удается выполнить интегрирование ограниченного количества функций. В большинстве случаев нужно пользоваться заменой переменной, что является одним из основных методов интегрирования. Право пользования этим методом дает следующая теорема. Теорема 4.1. Пусть функция x=ϕ(t) определена и дифференцируема на множестве {t} и множестве {x} есть множество всех значений этой функции. Пусть далее для функции f(x) на множестве {x} существует первообразная функция F(x), т.е.
∫ f (x)dx = F (x) + C
(или dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx)
Тогда на множестве {t} для функции первообразная функция, равная F[ϕ(t)], т.е.
∫ f [ϕ(t)]ϕ'(t)dt = F [ϕ(t)] + C
f[ϕ(t)]ϕ‘(t)
(C=const).
(4.14) существует
(4.15)
Доказательство. Для доказательства воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции dF [ϕ(t)] d ϕ(t) d F [ ϕ(t)] = ⋅ dt d ϕ(t) dt
c учетом того, что dF [ϕ(t)] d ϕ(t)
=
dF (x) = f (x). dx
Итак имеем dF [ϕ(t)] d ϕ(t) d F [ ϕ(t)] = ⋅ dt d ϕ(t) dt
или dF [ϕ(t)] =
dF [ϕ(t)] d ϕ(t)
d ϕ(t) =
dF (x) dx = F '(x)dx = f (x)dx, dx
120
что совпадает с (4.14). Теорема доказана. Ниже вычислены два важных интеграла, применяя метод замены переменной. 1.
∫
dx a 2 − x2
, x0. x a
Введем новую переменную t = . Так как x=at и dx=adt, то с учетом (4.14) имеем
∫
dx a 2 − x2
=
∫
adt a 2 − a 2t 2
=∫
dt 1− t2
= arcsin t + C.
Переходя в последнем к переменной х, окончательно получим
∫ 2.
∫a
2
dx a 2 − x2
= arcsin
x + C (4.17). a
dx + x2
Введя новую переменную t =
∫a
2
x и учитывая (4.14), имеем a
dx adt 1 dt 1 =∫ 2 = ∫ = arctg t+C. 2 2 2 2 a 1+ t a +x a +a t
Переходя в последнем к переменной х, получим
∫a
2
dx 1 x = arctg + C. (4.18) 2 a a +x
4.4. Интегрирование по частям. Применение этого метода при вычислении некоторых важных интегралов Теорема 4.2. Пусть функции U(x) и V(x) дифференцируемы на множестве {x} и на этом множестве существует первообразная для функции V(x)⋅U'(x), т.е. существует ∫ U (x) ⋅ V' (x)dx, при чем справедлива формула
∫ U (x) ⋅ V'(x)dx = U (x) ⋅ V(x) − ∫ V(x) ⋅ U '(x), или
(4.19)
∫ U (x)dV(x) = U (x) ⋅ V(x) − ∫ V(x)dU(x). 121
Доказательство. По правилу дифференцирования от произведения двух функций имеем (U(x)⋅V(x))'=U(x)⋅V'(x)+U'(x)⋅V(x).
(4.20)
Возьмем интеграл от обеих частей (4.20)
∫ (U (x) ⋅ V(x))' dx = ∫ U (x) V'(x)dx + ∫ U '(x) V(x)dx.
(4.21)
или с учетом (U(x)⋅V'(x))'dx=d(U(x)V(x)) и (4.3) U(x)⋅ V(x)= ∫ U (x) ⋅ V'(x)dx + ∫ U '(x) ⋅ V(x)dx. Так как по условию теоремы существует ∫ V(x) ⋅ U '(x)dx , то существует и
∫ U (x) V'(x)dx
и он равен
∫ U (x) ⋅ V'(x)dx = U (x) ⋅ V(x) − ∫ U '(x) ⋅ V(x)dx или
(4.22)
∫ U (x)dV(x) = U (x) ⋅ V(x) − ∫ V(x)dU (x), что совпадает с (4.19). Теорема доказана. Отметим, что метод интегрирования по частям (см.(4.22)) удобно применить в основном в следующих трех случаях: а) подынтегральные функции содержат в качестве множителя одну из функций: ln x, arcsin x, arccos x, arctg x и т.д. При интегрировании по частям за функцию U(x) нужно брать одну из указанных функций. б) подынтегральные функции имеют вид: (ax+b)n cos kx, (ax+b)n sin kx,(ax+b)n ekx, где a,b,k- некоторые постоянные, n- произвольное положительное целое число. Формулу (4.22) нужно применить n-кратно, взяв каждый раз в качестве функции U(x) функцию ax+b в соответствующей степени. После каждого интегрирования по частям степень ax+b будет понижаться на единицу. в) подынтегральные функции имеют вид: eaxcos bx, eaxsin bx, sin (ln x), cos (ln x) и т.д., 122
где a, b- некоторые постоянные. Обозначая каждый из интегралов ax ax ∫ e cos bxdx, ∫ e sin bxdx, ∫ sin(ln x)dx, ∫ cos(ln x)dx через I и произведя двукратное интегрирование по частям, получим для определения I уравнение первой степени. Указанные выше случаи не ограничивают возможности применения метода интегрирования по частям и при вычислении других интегралов. Ниже методом интегрирования по частям получим некоторые важные формулы, которые часто используют при вычислении многих интегралов. 1. ∫ a 2 − x 2 dx, x ≤ a , a>0. Пусть U(x)= a 2 − b 2 и dV(x)=dx. Тогда dU (x) = −
2xdx 2 a −x 2
2
=−
∫
xdx a 2 − x2
, V(x) = x и согласно (4.22) и (4.17) имеем
x 2dx
a 2 − x 2 dx = x a 2 − x 2 + ∫
x a 2 − x2 − ∫
a 2 − x2
=
∫
= a 2 − x2 x a 2 − x 2 dx + a 2 arcsin + C. a
a 2 − x2
= x a 2 − x2 − ∫
dx + a
a 2 − x2 dx 2
Или перенеся второй член правой части налево и приведя подобные члены получим
∫ 2.
∫
a 2 − x 2 dx =
x a 2 − x2 a 2 x + arcsin + C. 2 2 a
(4.23)
x 2 ± a 2 dx, x > a , a>0.
Пусть U(x)= x 2 ± a 2 и dV(x)=dx. Тогда dU(x)=
xdx x2 ± a 2
, V(x) = x и
согласно (4.22) имеем
∫ −∫
x 2 ± a 2 dx = x x 2 ± a 2 − ∫
x ± a ma 2
2
x2 ± a 2
2
x 2dx x ±a 2
2
= x x2 ± a 2 −
dx = x x ± a − ∫ x ± a dx ± a 2
2
2
где, как покажем далее (см. пункт 4.8), 123
2
2
∫
dx x2 ± a 2
(4.24) ,
dx
∫
x ±a 2
2
(4.25)
= ln x + x 2 ± a 2 + C.
Перенеся второй член правой части (4.24) влево и приведя подобные члены, получим
∫
x 2 ± a 2 dx =
x x2 ± a 2 a 2 ± ln x + x 2 ± a 2 + C. 2 2
(4.26)
3. Получим рекуррентную формулу для вычисления интеграла
∫
(
dx x2 + a 2
Для этого вычислим Пусть U (x) =
(x
1 2
+a
)
Тогда, так как dU (x) = −
∫ =
(x =
(
(x
x +a
2
2
+a2
)
2 n −1
x x2 + a
)
(
dx
)
x2 + a 2
интегрированием по частям.
n −1
2(n − 1) dx, V(x) = x, то согласно (4.22) имеем (x 2 + a 2 ) n
)
n −1
=
(x
+ 2(n − 1) ∫
2 n −1
, n=1,2,3,...,а=const.
и dV(x)=dx.
2 n −1
dx
∫
)
n
x 2
+a2
n −1
+ 2(n − 1) ∫
x2 + a 2
(x
+ 2(n − 1) ∫
)
(
2
+a
)
2 n
dx x2 + a
)
(x
x 2dx +a2
2
dx − 2(n − 1)a 2 ∫
2 n −1
− 2(n − 1)a 2 ∫
)
(x (
n
= dx +a2
2
dx x2 + a 2
) )
n
n
= .
Или
∫
(x
dx 2
4.
+a2
)
n
1 x = 2 2 2a (n − 1) x + a 2
Вычислим
∫e
(
)
x
sin xd x
n −1
+ (2n − 3) ∫
(
2 2 n −1 x +a
двукратным
dx
)
(4.24)
применением
метода
интегрирования по частям. Пусть U(x)=ex и sin xdx=dV(x). Тогда так как dU(x)=exdx и V(x)=cos x, то по формуле (4.22) имеем
∫e
x
sin xdx = −e x cos x + ∫ e x cos xdx.
124
(4.25)
Применяя еще раз метод интегрирования по частям для вычисления x x ∫ e cos xd x, взяв U(x)=e и cos xdx=dV(x), придем к выражению
∫e
x
sin xdx = −e x cos x + e x sin x − ∫ e x sin xd x.
(4.26)
Перенеся последний член правой части (4.26) влево и решая полученное уравнение относительно ∫ e x sin xd x, окончательно получим x ∫ e sin xdx =
e x (sin x − cos x) + C. 2
(4.27)
Аналогично можно получить и формулу x ∫ e cos xdx =
e x (sin x + cos x) + C. 2
(4.28)
5. Интерферированием по частям можно получить и рекуррентные формулы для вычисления неопределенных интегралов от некоторых тригонометрических функций. положительное Рассмотрим, например, ∫ sin n xdx, где n- целое
число. Предположим, что U(x)=sinn-1x и dV(x)=sin xdx. Тогда dU(x)=(n)sinn-2x⋅ ⋅cos xdx, V(x)=-cos x и
∫ sin
n
xdx = − cos x ⋅ sin n −1 x + (n − 1) ∫ cos 2 x ⋅ sin n −2 xdx =
= − cos x ⋅ sin n −1 x + (n − 1)∫ sin n −2 xdx − (n − 1) ∫ sin n xdx.
Решая
полученное
уравнение
относительно
(4.29)
∫ sin
n
xdx ,
перенеся
последний член правой части (4.29) налево, получим
∫ sin
n
n −1 1 xdx = − cos x ⋅ sin n −1 x + sin n −2 xdx. n n ∫
(4.30)
Аналогично можно получить и следующие рекуррентные формулы n −1 1 sin x ⋅ cos n −1 x + cos n −2 xdx, n>0- целое, n n ∫ sin x dx 1 n −2 dx (4.31) ∫ cos n x = n − 1 cos n −1 x + n − 1 ∫ cos n −2 x, n>0- целое, dx 1 cos x n −2 dx (4.32) ∫ sin n x = − n − 1 sin n −1 x + n − 1 ∫ sin n −2 x, n>0- целое
∫ cos
n
xdx =
125
4.5. Интегрирование дробно-рациональных функций. Метод Лагранжа Определение 4.3. Рациональной дробью называется отношение двух
алгебраических
многочленов
Pn(x)
и
Qm(x)
Pn (x) Q m (x)
с
действительными коэффициентами, где многочлен Pn(x) степени n, а многочлен Qm(x)- степени m, т.е. Pn(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0, Qm(x)=bmxm+bm-1xm-1+...+b1x+b0. Определение
4.4.
Рациональная
дробь
Pn ( x) Qm ( x )
называется
правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе (n〉 m ) (например, Определение
4.5.
Рациональная
дробь
Pn (x) Q m (x)
x ). x +1 2
называется
неправильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, больше или равна степени многочлена, стоящего в знаменателе(n≥m) (например, x2 x3 + 1 или ). x +1 x2 + 2
Таким
образом,
при
интегрировании
дробно-рациональных
Pn (x) dx мы столкнемся со случаями: Q m (x)
функций ∫
1). n≥m Pn (x) − неправильная рациональная дробь. Q m (x)
2). n<m Pn (x) − правильная рациональная дробь. Q m (x)
Оказывается, первый случай сводится ко второму простым делением многочлена степени n на многочлен степени m с использованием известного правила алгебры Pn (x) о с т ат о к . =целая часть + д е лит е ль Q m (x)
126
(4.33)
Например, пусть
Pn (x) x 4 − x 3 + 1 = , тогда Q m (x) x 2 + x + 2
деля числитель на
знаменатель столбиком имеем x4 -x3 +1 x4 +x 3 +2x
x2 +x+2 2
x2 -2x
-2x3 -2x2 +1 -2x3 -2x2 -4x 4x+1
Итак, согласно (4.33) x4 − x3 + 1 4x + 1 = x 2 − 2x + 2 , 2 x +x+2 x +x+2
т.е. неправильную рациональную дробь
x4 − x3 + 1 представили в виде x2 + x + 2
суммы многочлена второй степени x2-2x(что просто интегрировать) и правильной
рациональной
4x + 1 (см. x +x+2
дроби
2
также
пункт
4.9
настоящего раздела). Таким образом, приходим к выводу, что нам необходимо знакомиться с методами интегрирования правильных рациональных дробей. Заметим, что правильные рациональные дроби в основном интегрируются методом неопределенных коэффициентов Лагранжа, на основании следующей теоремы. Теорема 4.3. Пусть
Pn (x) Q m (x)
правильная рациональная дробь с
действительными коэффициентами, знаменатель которой имеет вид: Qm(x)= (x − a 1 ) (x − a 2 ) ... (x − a k ) α1
⋅ (x 2 + p l x + q l ) ,
α2
αk
(x
βl
2
+ p1x + q 1
) (x β1
2
+ p 2x + q 2
)
β2
⋅...
(4.34)
где квадратные трехчлены x2+p1x+q1,...,x2+pℓx+qℓ имеют комплексные корни. Тогда для этой дроби справедливо разложение на сумму правильных простейших рациональных дробей в виде:
127
(1)
(1)
(k )
(k )
(1) Pn ( x) Aα 1 A A A2 A 2 = 1 + + ... + + ... + 1 + + ... + α1 2 Qm ( x) x − a1 ( x − a1 ) x − ak ( x − ak ) 2 ( x − a1 ) (1)
(1)
(k ) (1) (1) (1) (1) C β x + D β1 Aαk C1 x + D1 C 2 x + D2 + + + + ... + 2 1 + ... + αk 2 2 2 ( x − ak ) x + p1 x + q1 ( x + p1 x + q1 ) ( x + p1 x + q1 ) β1
(l)
(4.35)
( l)
(l) ( l) (l) ( l) Cβl x + Dβl C1 x + D1 C2 x + D2 + 2 + 2 + + ... , x + pl x + ql (x + pl x + ql )2 (x2 + pl x + ql ) βl
где
A1(1),...,
(k )
(1)
(l)
(1)
(l)
Aαk , C1 ,...,Cβl , D1 ,...,Dβl −
пока
неизвестные
действительные постоянные, часть из которых могут быть нули, а α1,..., αk, β1,...,βℓ - целые положительные числа. Ниже, основываясь на теорему 4.3, на простейшем примере покажем, как можно разложить неправильную рациональную дробь на сумму правильных простых рациональных дробей и как можно найти неопределенные коэффициенты Лагранжа(подробнее см. пункт 4.9. настоящего раздела). Итак, пусть имеем P1 (x) x , = Q 3 (x) (x − 1) x 2 + x + 1
(
)
где квадратный трехчлен x2+x+1 имеет комплексные корни. Согласно(4.35) имеем x
(x − 1)(x
2
)
+ x +1
=
A Bx + D , + 2 x −1 x + x +1
(4.36)
где A, B, D- пока неопределенные действительные коэффициенты Лагранжа. Для их нахождения приведем правую часть разложения (4.36) к общему знаменателю. После некоторых преобразований получим x
(x − 1)(x 2 + x + 1)
=
(A + B)x 2 + (A − B + D )x + A − D
(x − 1)(x 2 + x + 1)
. (4.37)
Как видно из(4.37), у равных правильных рациональных дробей знаменатели одинаковые, откуда следует, что и числители должны быть одинаковыми, т.е. x=(A+B)x2+(A-B+D)x+A-D или
0⋅x2+1⋅x+0⋅x0=(A+B)x2+(A-B+D)x+(A-D)x0. 128
Как известно из алгебры, постеднее равенство удовлетворяется для произвольного х, если равны коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева, т.е. если x 2 A + B = 0, x A − B + D = 1, x 0 A − D = 0.
Решая полученную систему линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов А, В, D, получим 1 1 1 A = ,D = ,B = − . 3 3 3
Тогда(4.36) перепишется в виде x x −1 1 1 1 = ⋅ − ⋅ 2 . 2 ( x − 1) x + x + 1 3 x − 1 3 x + x + 1
(
)
Таким образом, согласно теореме 4.3, вопрос интегрирования правильных рациональных дробей сводится к вопросу интегрирования простейших правильных дробей следующих видов: 1.
A x−a
3.
Bx + D x + px + q
A (x − a ) α Bx + D 4. 2 , (x + px + q ) β
2.
2
(4.38)
где A, B, D- действительные постоянные, α и β- целые положительные числа (α≠1, β≠1), а квадратный трехчлен x2+px+q не имеет действительных корней(p2-4q0.
(4.68)
= d 3 x и введя новую переменную по
x = y , (4.68) перепишем в виде
∫ (2
3
x + 1) ln(3 x + 2)d 3 x = ∫ (2 y + 1) ln( y + 2)dy .
(4.69)
Интеграл (4.69), вычислим методом интегрирования по частям, взяв U = ln( y + 2 ), dU =
dy и dV = ( 2 y + 1) dy , y+2
V = y2 + y .
Тогда, согласно (4.19), имеем 2 ∫ (2 y + 1) ln( y + 2)dy = ( y + y ) ln( y + 2) − ∫
y2 + y dy . y+2
(4.70)
Второй член в правой части (4.70) представляет собой неопределенный интеграл от неправильной рациональной дроби y2 + y . y + 2
Выделяя в этой дроби целую часть (см. пункт 4.5.) и представляя ее в виде
∫
y2 + y 2 = y −1+ , y + 2 y + 2
после вычисления интеграла
y2 + y y2 dy = − y + 2 ln( y + 2) + C , из (4.70) получим y+2 2
y2 ∫ (2 y + 1) ln( y + 2)dy = ( y + y ) ln( y + 2) − 2 + y − 2 ln( y + 2) + C . 2
Теперь остается перейти к переменной x в (4.71).
Ответ: 139
(4.71)
∫
( 23 x + 1) ln( 3 x + 2) 3
3 x
2
dx = ( 3 x 2 + 3 x − 2) ln( 3 x + 2) −
13 2 3 x + x + C. 2
Пример 2. Вычислить
∫
tg
π x sin x(1 + cos x ) ⋅ dx , 0 ≤ x ≤ . 2 2 sin x + 1
(4.72)
Решение: Применяя подстановку (4.44) с учетом x = 2arctgt, dx = 2dt 2t 1− t2 , sin x = , cos x = получим 1+ t2 1+ t2 1+ t2
∫
x sin x(1+ cosx) tg ⋅ dx = ∫ 2 sin x +1
2t 1− t 2 1+ 1+ t 2 1+ t 2 2dt tdt ⋅ = 4∫ . (4.73) t⋅ 2 2t 1+ t (t +1)2 (t 2 +1) +1 1+ t 2
Подынтегральная функция в (4.73) является правильной рациональной дробью относительно переменной t. Представим ее в виде суммы простейших правильных дробей методом Лагранжа (см. (4.35)). Имеем t A B Et + D = + + 2 , 2 2 (t + 1) (t + 1) t + 1 (t + 1) t +1
(4.74)
2
что приводит к системе линейных уравнений для определения неопределенных коэффициентов A, B, E, D: t 3 A + B = 0, t 2 A + B + 2 E + D = 0, t A + E + 2 D = 1, t 0 A + B + D = 0.
(4.75)
1 2
Решая систему (4.75), получим А=0, В = − , Е = 0, D = вместо интеграла (4.73) будем иметь
140
1 . Тогда 2
4∫
tdt dt dt = −2∫ + 2∫ 2 = 2(t + 1) −1 + 2arctgt + C 2 2 2 (t + 1) (t + 1) (t + 1) t +1
Возвращаясь к старой переменной, получим
∫
Ответ:
∫
tg
tg
x sin x(1 + cos x) ⋅ dx = 2 sin x + 1
x sin x(1 + cos x) ⋅ dx = 2 sin x + 1
2 + x+C x tg + 1 2
2 + x+C . x tg + 1 2
Пример 3. Вычислить:
∫x
dx 3
1 + x5
.
(4.76)
Решение: Если перепишем (4.76) в виде −
1
−1 5 ∫ x (1 + x ) 3 dx ,
(4.77)
то заметим, что под интегралом в (4.77) стоит дифференциальный бином (см. пункт 4.7), причем m=-1, n=5, p = −
1 m +1 и = 0 - целое число. Для 3 n
вычисления интеграла (4.77) делаем подстановку (4.52). Итак имеем 1+x5 = t3 , (1+x5)
−
1 3
1
= t-1, x = (t3 -1) 5 , dx =
4
− 3 3 (t - 1) 5 t2 dt . 5
(4.78)
Тогда (4.77) с учетом (4.78) принимает вид 1
4
− − 3 tdt 3 3 . (t − 1) 5 t −1 (t 3 − 1) 5 t 2 dt = ∫ ∫ 5 (t − 1)(t 2 + t + 1) 5
Функция
t (t − 1)(t 2 + t + 1)
(4.79)
под интегралом в (4.79) представляет
собой правильную рациональную дробь, которую можем представить в виде суммы простейших правильных рациональных дробей методом Лагранжа в виде 141
t (t − 1)(t + t + 1) 2
=
A Bt + D + 2 . t −1 t + t +1
Для определения пока неизвестных коэффициентов A, B, D получим систему уравнений t 2 A + B = 0, t A − B + D = 1, t 0 A − D = 0.
Отсюда А =
1 1 1 , В = − , D = и интеграл (4.79) принимает вид 3 3 3
tdt dt 1 dt 1 (t − 1)dt 1 1 1 − ∫ 2 = ln t − 1 − ∫ + ∫ = 2 2 ∫ 5 t −1 5 t + t +1 5 5 1 3 5 1 3 t + + t + + 4 4 2 2 1 1 3 2t + 1 1 (t − 1) 2 3 2t + 1 = ln t − 1 − ln t 2 + t + 1 + arctg + C = ln 2 + arctg +C, 5 10 5 10 t + t + 1 5 3 3
где t = 3 1 + x 5 . 1 (3 1 + x5 −1) 2 3 23 1 + x5 + 1 + arctg +C. = ln Ответ: ∫ 3 3 x 1 + x5 10 (3 1 + x5 ) 2 + 3 1 + x5 + 1 5 dx
Пример 4. Вычислить:
∫x
(x − 1)dx 2
2x 2 − 2x + 1
, x≠0.
(4.80)
Решение: Так как квадратный трехчлен 2x2 – 2x + 1 не имеет действительных корней (D = -4 < 0) и коэффициент при x2 положительное число (2 > 0), то для вычисления (4.80) можно пользоваться первой подстановкой Эйлера (4.54). Имеем 2x 2 − 2x + 1 = t − 2x ,
dx =
2t 2 − 2t + 2 2( 2t − 1) 2
dt ,
2x 2 − 2x + 1 =
142
x=
t 2 −1 2( 2t − 1)
2t 2 − 2t + 2 2( 2t − 1)
,
.
(4.81)
Тогда с учетом (4.81) интеграл (4.80) принимает вид
∫x
( x − 1)dx 2
2x 2 − 2x + 1
= 2∫
t 2 − 2 2t + 1 dt . (t − 1) 2 (t + 1) 2
(4.82)
Для вычисления (4.82) разложим подынтегральную правильную рациональную дробь на простые правильные рациональные дроби с неопределенными коэффициентами в виде t 2 − 2 2t + 1 A B E D . = + + + 2 2 2 t − 1 (t − 1) t + 1 (t + 1) 2 (t − 1) (t + 1)
(4.83)
Приведя правую часть (4.83) к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t справа и слева в знаменателях (4.83), получим следующую систему линейных уравнений для определения коэффициентов A, B, C, D. t 3 A + E = 0, t 2 A + B − E + D = 1, t − A + 2 B − E − 2 D = −2 2 , t 0 − A + B + E + D = 1.
Решая систему (4.84), получим А = E = 0, В =
(4.84)
1− 2 1+ 2 , D= . 2 2
Тогда вместо интеграла (4.82) будем иметь 2∫
t 2 − 2 2t + 1 dt dt dt = (1 − 2 ) ∫ + (1 + 2 ) ∫ 2 +C = 2 2 2 2 (t + 1) (t + 1) (t − 1) (t + 1) 2 =−
1− 2 1+ 2 2 −t +C , − +C = 2 2 t −1 t +1 t −1
(4.85)
где С - производная постоянная . Взяв С = 2 +С, где С – производная постоянная , и переходя в (4.85) к переменной x, окончательно получим 2 −t 2 2 + 2 +C = t −1
143
2x 2 − 2x + 1 + C. x
∫x
Ответ:
( x − 1)dx 2x 2 − 2x − 1
2
=
2x 2 − 2x + 1 + C. x
Тест Вычислить неопределенные интегралы. 1.
∫
2x − arcsin x 1 − x2
dx , -1<x0.
а) 966 x − 192arctg б)
6
x + x; 2
6 x 66 5 x − 8 x + 966 x − 192arctg + c; 5 2
в) 6 x 5 − 8 x + c ; г) ar ctg 3.
∫ (x e
2 x
6
x +c. 2
)
+ ln 2 x dx , x>0.
а) ex(x2-2x+2)+c; б) lnx(lnx-2)+c; в) xlnx+c; г) ex(x2-2x+2)+xlnx(lnx-2)+2x+c. 4. ∫ x 3ch 3xdx . x 3 2x + sh 3x + c ; 9 3
а)
144
x 3 2x x2 + sh 3x − + c; 9 3 3
б)
x 3 2x x3 2 в) + sh 3x − + sh 3x + c ; 9 3 3 27
г) 5.
x3 sh 3x + c . 3 dx
∫ 5 − 4 sin x + 3 cos x . 1
+c; x 2 − tg 2 1 б) +c; 2 x в) tg +c; 2 1 +c. г) − x tg 2
а)
6.
∫
(
dx sin 2 x + 2 cos 2 x
а) −
)
tgx
(
2
)
4 tg 2 x + 2
б) arctg
tgx 2
.
+c;
+c;
1 +c; tg x + 2 tgx tgx 3 arctg г) − + +c. 2 4 tg x + 2 4 2 2
в)
2
(
7.
∫
)
dx x
3
(1 − x) а) б)
3
, x≠0, x≠-1.
15x 2 + 5x − 1 4x 2 1 + x
+c;
1 1 + x −1 +c; + ln 1+ x 8 1 + x +1 1
145
8.
∫
в)
15x 2 + 5x − 2 15 1 + x −1 +c; + ln 2 8 4x 1 + x 1 + x +1
г)
1 1 + x −1 +c; + ln 2 x 1 + x +1
x 3 + x 4 d x , x>0.
а)
(x + x )
1 3
2 3
−
1 + 2x 1 x + x 2 + ln x + 1 + x + c ; 8 8
3 1 x + x2 x + x2 − +c; 3 8 1 в) ln x + 1 + x + c ; 2 1 + 2x 1 x + x 2 + ln x + 1 + x + c . г) − 8 8
(
б)
9.
∫
(
x 9dx
)
x4 − 1
2
)
, x≠±1.
а)
1 2x 6 − 3x 2 1 x 2 − 1 + c; + ln 2 ⋅ 4 x4 −1 2 x +1
б)
1 2x 6 − 3x 2 3 x 2 − 1 + c; + ln 2 ⋅ 4 x4 −1 8 x +1
в)
1 ln|x2-1|+c; 8
г) 3ln|x2+1|+c. 10.
∫
(x
xdx 2
а)
)
− 3x + 2 x 2 − 4x + 3
∫
, x3.
d F (x) = F (x) + C
б) arcsin
;
1 +c; x−2
в)
x 2 − 4x + 3 +c; x −1
г)
x 2 − 4x + 3 1 − arcsin +c. x −1 x−2
146
Раздел V. Определенный интеграл и его применение 5.1. Определение определенного интеграла Рассмотрим геометрическую задачу вычисления площади криволинейной трапеции и покажем, как при ее решении приходим к понятию определенного интеграла. Пусть на плоскости X0Y имеем криволинейную трапецию ABCD, ограниченную кривой y=f(x), определенной и непрерывной при x∈[a;b], и двумя прямыми x=a и x=b (см.рис.5.1). y
C
y=f(x)
B
0
A x0=a
D x1
x2
xi
x i+1
xn=b
x
Рис. 5.1. Разделим основание AB этой трапеции на n частей произвольным образом(разбиение Т) и проведем ординаты соответствующих точек деления x0=a<x1<x20 в полярной системе координат (рис. 5.11).
0
p
Рис. 5.11. Решение: По условию задачи 0 ≤ Θ ≤ 2π и ρ / =а. Согласно формуле (5.57) имеем 2π
l=
∫ 0
2π
a 2 + a 2 Θ dΘ = a ∫ 1 + Θ 2 d Θ .
(5.68)
0
Теперь вычисляя определенный интеграл с учетом (4.26) и (5.37), получим 2π
а∫ 0
2π
a a 1 + Θ dΘ = Θ 1 + Θ2 + ln Θ + 1 + Θ2 = πa 1 + 4π 2 + ln(2π + 1 + 4π 2 ). (5.69) 0 2 2 2
2 Ответ: l = π a 1 + 4π +
a ln( 2π + 1 + 4π 2 ). 2
Пример 2. С помощью определенного интеграла вычислить площадь одной арки циклоиды, если она задана своими параметрическими уравнениями в виде (рис. 5.12) x=a(t-sint), a>0, y=a(1-cost), 0≤t≤2π.
(5.68)
y
2a 0
2πa
Рис. 5.12. 165
x
Решение: согласно формуле (5.58) имеем 2πa
S=
∫ y( x)dx . 0
Для вычисления этого определенного интеграла перейдем к переменной t по формуле (5.68) с учетом того, что dx = a(1-cost)dt и 0 ≤ t ≤ 2π . Имеем 2π
2π
S = ∫ a 2 (1 − cos t ) 2 dt = a 2 ∫ (1 − 2 cos t + cos 2 t )dt = 0
2π
0
2π 2π 1 2π = a 2 ∫ dt − 2 ∫ cos tdt + ∫ cos 2 tdt = a 2 t 0 − 2 sin t 0 + ∫ (1 + cos 2t )dt = 2 0 0 0 0
= a 2 (2π +
2π
2π
2π
2π
1 1 1 2π 1 2π 2 2 dt + ∫ cos 2tdt ) = a 2 (2π + t 0 + sin 2t 0 ) = a (2π + π ) = 3πa . ∫ 2 0 2 0 2 4
Ответ: S = 3πa 2 . Пример 3. С помощью определенного интеграла вычислить объем тела, получаемого вращением астроиды вокруг оси Оx, если астроида задана уравнением 3
x2 + 3 y2 = 3 a2 ,
a〉0 ,
x ≤ a,
(5.69)
y ≤a
в декартовой системе координат (рис. 5.13.). а
-а
0
-а
Рис. 5.13 166
а
x
Решение: Если из (5.69) найти явную зависимость y от x 3
2 2 2 y = a 3 − x 3 и воспользоваться формулой (5.66), то получим
3
2 4 2 2 4 a 2 23 2 3 3 3 Vox = π ∫ a − x dx = π ∫ a − x − 3a x + 3a 3 x 3 dx = − a − a
a
= πa 2 x
a
−
−a
= 2πa 3 −
Ответ:
Vox =
π 3
x3
9π 3 3 a x 5 4
a
−
−a
5 a
2
7 a
9 + a3x3 7 −a
=
−a
2π 3 18π 3 18π 3 32 3 a − a + a = πa . 3 5 7 105
32 3 πa . 105
Пример 4. С помощью определенного интеграла вычислить площадь поверхности Sox, полученной вращением эллипса (рис. 5.14) вокруг оси 0х (эллипсоид вращения), если эллипс задан своим каноническим уравнением x2 y2 + =1 25 16
(5.60)
в декартовой системе координат. y 4
-5
0
5
-4
Рис. 5.14.
167
x
Решение: Для вычисления Sox воспользуемся формулой (5.63), 4 x ' предварительно вычисляя y из (5.60) y ' = − ⋅ 25 x2 1 − 25
.
Тогда согласно (5.63) и (4.23) имеем
s
S
' ox
s
2
16 48 x2 x2 25 dx = π ∫ − x 2 dx = = 2π ∫ 4 1 − ⋅ 1+ ⋅ 2 25 25 25 − x 25 0 3 −s
25 2 5 2 x −x 48 3 625 3x 48 5 625 3 arcsin = π ⋅ 20 + arcsin = = π + 25 2 18 25 25 6 18 5 0 3 25 arcsin . = 8π 4 + 5 3
Ответ: S ox = 8π 4 +
25 3 arcsin . 3 5
168
Тест 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами y2+8x=16, y2-24x=48. 32 6 ; 3 32 б) ; 3 6 ; в) 3
а)
г) 32. 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, уравнение которой задано в параметрической форме x=2acos t - acos 2t, y=2asin t - asin 2t, a>0. а) πа2; б) 6πа2; в) 3πа2; г) 2π; 3. Вычислить площадь четырехлепестковой розы, уравнение которой задано в полярных координатах ρ=asin 2ϕ, a>0. a2 а) ; 2 πa 2 б) ; 3 πa 2 в) ; 2
г) а2.
169
4. Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в декартовой системе координат x=
1 2 1 y − ln y , 1≤y≤e. 4 2
e +1 ; 4 1 б) ; 4 e в) ; 4 e2 + 1 г) . 4
а)
5. Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в параметрической форме x=etcos t, y=etsin t, 0 ≤ t ≤ ln π. а) 2 ; б) 2 (π-1); в) π-1; г) π. 6. Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в полярной системе координат ρ=a(1+cos θ), a>0. а) 8; б) 8а; в) а; г)
a . 2
7. Вычислить объем тела, полученного от вращения ограниченной кривыми y=sin x, y=0 (0 ≤ x ≤ π), вокруг оси 0у. а) 2π2; б) 2π; в) 2; г) π. 170
фигуры,
8. Вычислить объем тела, полученного вращением одной арки циклоиды (уравнение циклоиды задано в параметрической форме) x=a(t-sin t), y=a(1-cos t), a>0 вокруг своего основания. а) 5а3; б) 5π; в) π; г) 5π2a3. 9. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением эллипса x2 y2 + =1 25 9
вокруг малой оси (эллипсоид вращения).
а) π(50+22,5ln3); б) 50π; в) 22,5ln3; г) 50+22,5ln3. 10. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды x=a(t-sin t), y=a(1-cos t), a>0. вокруг оси 0у. а) 16π2a2; б) 16π2; в) а2; г) π.
171
Итоговый тест Найти пределы 1. hlim + + +... + →∞ 1 2
1 4
1 8
1 . 2n
а) 1; б) 0,5; в) 3; г) -2.
(
)
x 2 − 5x + 6 − x . 2. xlim →+∞ 1 2 5 б) - ; 2
а) - ;
в) 1; г) 2. 3. limπ x→
3
1 − 2 cos x . π − 3x
а) -3; б) 4; в) г)
1 3
;
1 . 2
x 2 − 2x + 3 4. lim 2 x →0 x − 3x + 2
sin x x
.
а) 1; б) -2; в) 3; г) 1,5. 5. Определить порядок б.м.ф. f(x) по отношению к б.м.ф. ϕ(x). f(x)=arcsin ( 4 + x 2 -2), ϕ(x)=x, x→0. 172
а) 2; б) 1; в) 3; г) 5. 6. Найти точку разрыва функции и определить его характер x2 . x−2
f ( x) =
а) х=2 - точка разрыва 2-го рода; б) х=2 - точка разрыва 1-го рода; в) х=2 - точка устранимого разрыва. Найти пределы. sin 4x
7. lim x →0
x +1 −1
+
3
1 + 6x − 1 . arctg2x
а) 8; б) 5; в) 0; г) 9. x 1 2x − 1 2 2 x 8. lim x + 3x + 1 − x − x + 2 + x →+∞ 2x + 1
2
.
а) ∞; б) 2; в) 2+е; г) 3; Найти производную второго порядка функции в точке (9;6). x = t 2, 9. t 3 y = 3 − t.
а) 1; 1 3 5 ; в) 54
б) - ;
г) 5. 173
Найти точки экстремумов функций. 10. y= 33 (x + 1) − 2x . 2
а) (0;3) - max; б) (-1;2) - min; (0;3) - max; в) (-1;1) - max; г) (-1;2) - max. 11. y=x+arctg2x. 3 π а) −1; - min; 1; π - max;
4
4
1 3π − 2 1 π + 2 б) − ; - max; ; - min; 2
4
2
4
в) экстремумов нет. Найти асимптоты графика функции. 12. y =
x 3 + 3x 2 − 5 . x2 − 4
а) х=2; х=-2; у=х+3; б) у=2х+3; в) х=4; у=х. Найти полный дифференциал первого порядка. 13. U = a rctg
2(x + sin y) 4 − x sin y
.
2dx 2 cos ydy + ; 2 x + 4 sin 2 y + 4 dx dy б) 2 + ; 2 x dx cos ydy + ; в) 2 x + 4 sin 2 y + 4 cos ydy г) ; sin 2 y
а)
14. Найти величину градиента функции U=ln(x2+y2) в точке (3;4).
174
а)
1 ; 5
б) 0,5; 3 ; 4 2 г) ; 5
в)
15. Найти полный дифференциал второго порядка функции U=cos(x+y). а) -cos(x+y)(dx+dy)2; б) -cos(x+y)dx2; в) (dx+dy)2; г) cosxdy2. 16. Разложить функцию U=ex+y по формуле Тейлора в окрестности точки (1;-1) до членов второго порядка включительно. а) (x-1)+(y+1); 1 2
б) 1+[(x-1)+(y+1)]+ [(x-1)+(y+1)]2; в) [(x-1)+(y+1)]2; г) 1+(x-1)2.
17. Найти минимум функции U=x2+xy+y2-3x-6y. а) 10; б) 0; в) 1; г) -9. 18. Найти условный максимум функции U=xy при условии, что 2х+3у=5. 25 ; 23 25 б) ; 24 25 в) ; 4
а)
г) 25.
175
Вычислить неопределенные интегралы. 19.
x + arctg 2 x ∫ 1 + x 2 dx .
а) ln (1 + x 2 ) +
1 arctgx +c; 2 3 1 б) ln 1 + x 2 + c ; 2 arctgx +c; в) 3 1 г) x 2 + c . 2 20. ∫ x 2 shxdx .
(
)
а) x2chx-2xshx+2chx+c; б) x2chx+2chx+c; в) 2xshx+c; г) chx+c. 21.
а)
∫ (x
x 4 dx
2
)
− 1 (x + 2)
.
x2 − 2x + c ; 2
1 x − 1 (x + 2) x2 б) − 2x + ln 3 6 2 x +1
32
+c;
в) 2х+с; г) ln
x −1 x +1
22. ∫ e sin x
3
+c.
x cos 3 x − sin x dx . cos 2 x
а) esinx+c; б) x-secx+c; в) esinx(x-secx)+c; г) sinx+c. 23.
∫x
x+2 2
1 − x2
dx , |x|