Коммутативная алгебра

О. Зарисский, П. Самюэль КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА. Т. 1 За последние десятилетия под влиянием ряда разделов современной математики, таких, как алгебраическая геометрия и другие, интенсивно развивалась теория коммутативных колец и полей. Данным разделом алгебры и посвящена эта обстоятельная монография. Изложение открывается основными понятиями современной алгебры (группы, кольца и поля), начиная от самых первоначальных сведений до основной теоремы теории Галуа. Остальная часть первого тома монографии посвящена общей теории коммутативных колец и охватывает наряду с классическими результатами многие факты, найденные и самые последние годы и освещавшиеся до сих пор лишь в журнальных статьях. Во втором томе подробно исследуются кольца специальных типов: кольца нормировании, кольца полиномов и степенных рядов и локальные кольца. Книга может служить учебным пособием и основой для специальных курсов по важным разделам современной алгебры и предполагает очень малую предварительную подготовку. Содержание От редактора перевода 5 Предисловие 7 Глава I. Вводные понятия 11 § 1. Бинарные операции 11 § 2. Группы 13 § 3. Подгруппы 15 § 4. Абелевы группы 17 § 5. Кольца 18 § 6. Кольца с единицей 19 § 7. Степени и кратные 20 § 8. Поля 21 § 9. Подкольца и подполя 21 § 10. Преобразования и отображения 23 § 11. Гомоморфизмы групп 25 § 12. Гомоморфизмы колец 28 § 13. Отождествление колец 31 § 14. Области с однозначным разложением на множители 33 § 15. Евклидовы области 35 § 16. Полиномы от одной неизвестной 37 § 17. Кольца полиномов 40 § 18. Полиномы от нескольких неизвестных 47 § 19. Поля частных и полные кольца частных 56 § 20. Кольца частных относительно мультипликативных систем 61 § 21. Векторные пространства 64 Глава II. Элементы теории полей 71 § 1. Расширения полей 71

§ 2. Алгебраические величины § 3. Алгебраические расширения § 4. Характеристика поля § 5. Сепарабельные и несепарабельные алгебраические расширения § 6. Поля разложения и нормальные расширения § 7. Основная теорема теории Галуа § 8. Поля Галуа § 9. Теорема о примитивном элементе § 10. Характеристические полиномы поля. Нормы и следы § 11. Дискриминант § 12. Трансцендентные расширения § 13. Сепарабельно порождаемые поля алгебраических функций § 14. Алгебраически замкнутые поля § 15. Линейная свобода и сепарабельность § 16. Порядок несепарабельности поля алгебраических функций § 17. Дифференцирования Глава III. Идеалы и модули § 1. Идеалы и модули § 2. Операции над подмодулями § 3. Операторные гомоморфизмы и фактормодули § 4. Теоремы об изоморфизме § 5. Гомоморфизмы кольца и факторкольца § 6. Порядок подмножества модуля § 7. Операции над идеалами § 8. Простые и максимальные идеалы § 9. Примерные идеалы § 10. Условия конечности § 11. Композиционные ряды § 12. Прямые суммы § 12'. Бесконечные прямые суммы § 13. Комаксимальные идеалы и прямые суммы идеалов § 14. Тензорные произведения колец § 15. Свободные композиты областей целостности (или полей) Глава IV. Нётеровы кольца § 1. Определения. Теорема Гильберта о базисе § 2. Кольца с условием обрыва убывающих цепей § 3. Примарные кольца § 3'. Другой метод изучения колец с у. о. у. ц. § 4. Теорема Ласкера — Нётер о разложении § 5. Теоремы единственности § 6. Приложение: делители нуля и нильпотентные элементы § 7. Приложение: пересечение степеней идеала § 8. Расширенные и сокращенные идеалы § 9. Кольца частных

71 76 78 81 89 99 101 103 105 112 115 122 127 130 135 142 156 156 160 162 165 166 169 171 174 178 181 185 191 200 203 208 217 229 229 233 235 237 239 241 246 248 251 254

§ 10. Связь между идеалами кольца R и идеалами из RM 256 § 11. Примеры и приложения колец частных 262 § 12. Символические степени 266 § 13. Длина идеала 268 § 14. Простые идеалы в нётеровых кольцах 273 § 15. Кольца главных идеалов 279 § 16. Неприводимые идеалы 284 Добавление. Примарные представления в нётеровых модулях 289 Глава V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов 292 § 1. Целые элементы 292 § 2. Целозависимые кольца 295 § 3. Целозамкнутые кольца 298 § 4. Теоремы конечности 303 § 5. Кондуктор целого замыкания 308 § 6. Характеристики дедекиндовых областей 309 § 7. Дальнейшие свойства дедекиндовых областей 318 § 8. Расширение дедекиндовых областей 322 § 9. Разложение простых идеалов в расширениях дедекиндовых областей 324 § 10. Группа разложения, группа инерции и группа ветвления 331 § 11. Дифферента и дискриминант 339 § 12. Приложения к квадратичным полям и полям деления круга 354 § 13. Теорема Куммера 360 Указатель обозначений 364 Предметный указатель 366 Предметный указатель — расширение II, 3, 76 Абелева группа I, 4, 17 Аннуляторы (подмножества модуля) Абелево расширение (поля) V, 10, III, 6, 169 331 Ассоциативность (бинарной Абсолютный делитель нуля I, 17, 44 операции) I, 1, 11 Автоморфизм I, 11, 25 Ассоциированный простой идеал — векторных пространств I, 21, 69 идеала в нётеровом кольце IV, Алгебра (над полем) III, 14, 208 5, 242 Алгебраически зависимые элементы — — — примерного идеала III, 9, 178 I, 18, 51 — элемент (в кольце) I, 14, 33 — замкнутое поле II, 14, 127 Базис векторного пространства I, 21, — независимые элементы I, 18, 51 66 Алгебраические целые числа V, 4, — модуля III, 10, 183 304 — трансцендентности II, 12, 116 Алгебраический элемент (над Бинарная операция I, 1, 11 кольцом) I, 17, 41 Вектор I, 21, 65 Алгебраическое замыкание (k в K) II, Векторное подпространство I, 21, 65 3, 78 — пространство I, 21, 64 — — поля II, 14, 127

Векторный базис III, 12, 199 Верхний ряд Лёви IV, 16, 289 Верхняя грань II, 12, 118 Ветвящееся простое число V, 9, 329 Ветвящийся простой идеал V, 10, 335 Взаимно однозначное преобразование I, 10, 24 Взаимно простые элементы I, 14, 35 Вложенная примарная компонента (идеала) IV, 5, 243 Вложенный простой идеал IV, 5, 243 Вполне приводимый модуль III, 12, 195 — разветвленное простое число V, 12, 357 — разветвленный простой идеал V, 11, 353 Высота (простого идеала) IV, 14, 276 Вычитание I, 4, 17 Гаусса (лемма) I, 17, 46 Гауссовы целые числа V, 9, 328 Главный идеал III, 1, 156 Глубина (простого идеала) IV, 14, 276 Гомоморфизм (векторных пространств) I, 21, 69 — (групп) I, 11, 25 — (колец) I, 12, 28 — (модулей) III, 3, 162 Группа I, 2, 13 — ветвления V, 10, 335 — Галуа (K над k) II, 7, 99 — инерции V, 10, 333 — разложения V, 10, 331 — с кольцом операторов III, 1, 159 Дедекиндова область V, 6, 309 Дедекиндово кольцо V, 6, 309 Деление I, 8, 21 Делимость I, 8, 21 Делитель I, 14, 33 — нуля I, 5, 18 Дискриминант базиса II, 11, 112 Дискриминант как идеал V, 4, 305; V, 11, 349

— поля II, 11, 112 Дифферента (R' над R) V, 11, 340 Дифферентами показатель V, 11, 340 Дифференцирование II, 17, 142 Длина идеала IV, 13, 268 — модуля III, 11, 187 — нормального ряда III, 11, 185 Дополнение подмодуля III, 12, 195 Дополнительный модуль V, 11, 389 Дробный идеал V, 6, 310 Дуальный базис V, 4, 304 Евклидова область I, 15, 35 Единица (кольца) I, 6, 19 Единичный элемент I, 1, 12 Естественный гомоморфизм группы на факторгруппу I, 11, 27 — — (колец) III, 5, 168 — — (кольца в кольцо частных) IV, 9, 256 — — (модулей) III, 3, 164 Закон дистрибутивности I, 5, 18 Закон сокращения I, 2, 14 Закон транзитивности для норм и следов II, 10, 111 Замкнутый идеал IV, 7, 250 Идеал III, 1, 156 Идемпотент III, 13, 205 Изолированная компонента идеала IV, 5, 244 — примерная компонента IV, 5, 243 — система простых идеалов IV, 5, 244 Изолированный простой идеал IV, 5, 243 Изоморфизм (векторных пространств) I, 21, 69 — (групп) I, 11, 25 — (модулей) III, 3, 163 Изоморфные расширения (над K) Инвариантная подгруппа I, 3, 16 Индекс ветвления V, 9, 325; V, 10, 335 Индекс нильпотентности IV, 15, 282 Индуктивное множество II, 12, 118

Инертное простое число V, 9, 329 Канонический гомоморфизм (группы в факторгруппу) I, 11, 27 — — (для модулей) III, 3, 164 — — (для колец) III, 5, 168 — — (кольца в кольцо частных) IV, 9, 256 Квадратичный закон взаимности V, 12, 359 Квадратичное поле V, 12, 354 Квазилинейная свобода III, 15, 221 Квазимаксимально алгебраичное подполе III, 15, 227 Китайская теорема об остатке V, 7, 319 Классы вычетов III, 5, 168 Кольцо I, 5, 18 — главных идеалов IV, 15, 279 — дискретного нормирования V, 6, 318 — операторов III, 1, 159 — полиномов I, 17, 41 — частных относительно мультипликативной системы I, 20, 61; IV, 9, 255 — частных относительно простого идеала IV, 11, 262 Комаксимальные идеалы III, 13, 205 Коммутативная группа I, 4, 17 Коммутативное кольцо I, 5, 18 Коммутативность (бинарной операции) I, 1, 11 Композиционный ряд III, 11, 186 — — между М и N III, 11, 190 Композиционные факторы III, 11, 189 Компонента (элемента в произведении) III, 12', 201 (202) Кондуктор V, 5, 308 Конечная группа I, 2, 15 Конечная область целостности (над полем) V, 4, 305 Конечно порожденное расширение поля II, 1, 71 Конечное расширение II, 3, 76

Конечный базис III, 10, 183 — модуль III, 10, 183 Константы I, 16, 40 Корни полинома I, 17, 44 Коэффициент (полинома) I, 16, 38 Кратное I, 14, 33 Кратный корень II, 5, 85 Лемма Цорна II, 12, 118 Линейная комбинация I, 21, 55 — оболочка I, 21, 65 Линейная свобода II, 15, 130 Линейно независимые элементы I, 21, 66 — упорядоченное множество II, 12, 118 Линейное преобразование I, 21, 69; III, 3, 163 Линейный полином I, 17, 43 Локальное кольцо IV, 11, 263 Максимально алгебраичное подполе III, 15, 227 Максимальное сепарабельное расширение II, 5, 88 Максимальный идеал III, 8, 174 — идеал (области целостности) IV, 14, 273 — элемент II, 12, 118 Минимальный полином II, 2, 72 Множество образующих идеала IV, I, 229 Множитель несепарабельности степени [K:k] II, 5, 89 — сепарабельности степени [K:k] II, 5, 89 Модуль в кольце III, 1, 157 — над кольцом III, 1, 158 Модулярный закон III, 7, 171 Мультипликативная система I, 20, 61 На (преобразование на) I, 10, 24 Надкольцо I, 9, 22 Наибольший общий делитель I, 14, 35 Независимость подмодулей III, 12, 191

— полинома от некоторой переменной I, 18, 50 Неизвестное I, 16, 39 Неприводимый идеал IV, 4, 239 — модуль III, 11, 186 Неразложимый модуль III, 12, 197 — элемент (кольца) I, 14-, 33 Несепарабельное расширение поля II, 5, 85 Несепарабельный полином (над k) II, 5, 82 — элемент (над k), II, 5, 84 Несобственное уплотнение нормального ряда III, 11, 186 Несобственный делитель I, 14, 33 Несократимое примарное представление IV, 4, 240 Нётеров модуль IV, добавление, 290 Нётерово кольцо (или область) IV, 1, 229 Нильпотентный идеал IV, 3', 238 — элемент III, 7, 173 Норма идеала V, 11, 347 — элемента II, 10, 107 Нормальная подгруппа I, 3, 16 Нормальное расширение II, 6, 92 Нормальный делитель I, 3, 16 — ряд III, 11, 185 — ряд между модулем и подмодулем III, 11, 190 — фактор III, 11, 189 Нормирование (поля) V, 6, 315 Нулевое кольцо I, 5, 19 Нумерация множеством А 111, 12', 200 n-ый верхний инвариант Лёви IV, 16, 289 Область главных идеалов IV, 15, 279 — с однозначным разложением I, 14, 33 Область (целостности) I, 6, 19 Образ I, 10, 23 Образующая (кольца полиномов) I, 17, 41

Обратимый идеал V, 6, 311 Обратное преобразование I, 10, 24 Обратный элемент I, 1, 12 Ограничение преобразования I, 10, 23 Однозначное преобразование I, 10, 24 Однородный полином I, 18, 49 Одночлен I, 18, 49 Оператор III, 1, 159 Операторный гомоморфизм III, 3, 163 Определитель Вандермонда II, 11, 114 Ортогональные идемпотенты III, 13, 205 Относительная степень (простого идеала над другим) V, 9, 326 Относительный гомоморфизм I, 12, 31 Отображение I, 10, 24 Отождествление I, 13, 33 Подгруппа I, 3, 15 Подкольцо I, 9, 21 Подмодуль III, 2, 160 Подполе I, 9, 22 Подпространство I, 21, 65 Подстановка (в полином) I, 16, 39 Показатель несепарабельности II, 5, 84 Поле I, 8, 21 — алгебраических функций II, 13, 122 — ветвления V, 10, 335 — Галуа II, 4, 81 — инерции V, 10, 333 — принадлежащее группе автоморфизмов II, 7, 99 — разложения V, 10, 331 — рациональных функций от п неизвестных II, 12, 115 — характеристики 0 или p II, 4, 79 — частных I, 19, 56 Полином от многих неизвестных I, 18, 48 — — одного неизвестного I, 16, 39 Полная прямая сумма II, 12', 201

Полное кольцо частных I, 19, 57 — прямое произведение III, 12', 205 Попарно комаксимальные идеалы III, 13, 205 — совместные сравнения V, 7, 320 Порождающее множество I, 18, 51 Порядок конечной группы I, 2, 1 о — несепарабельности II, 16, 137 — подмножества модуля III, 6, 169 — элемента в группе I, 3, 16 Преобразование I, 10, 23 Приведенная степень II, 5, 84 Приведенный полином I, 16, 38 Примарное кольцо IV, 3, 235 — представление идеала IV, 4, 240 Примерный идеал III, 9, 178 — — принадлежащий простому идеалу III, 9, 178 — подмодуль IV, добавление, 289 Примитивный полином I, 17, 45 — элемент II, 9, 103 Присоединение (элементов к полю) II, 1, 71 Произведение I, 1, 11 — (в модуле) III, 1, 158 — двух алгебр III, 14, 208 — идеалов в кольце III, 7, 171 — множество III, 12', 201 — подмножеств кольца и модуля III, 2, 162 — преобразований I, 10, 23 Производная (полинома) II, 5, 82 Простое поле II, 4, 78 — расширение II, 1, 71 Простой идеал III, 8, 175 Простой идеал, ассоциированный с примарным идеалом III, 9, 178 — — ассоциированный с примарным идеалом (в нётеровом кольце) IV, 5, 242 — корень II, 5, 85 — модуль III, 11, 186 Простота элемента (или подмножества) с идеалом IV,

10, 256 (257) Прямая сумма III, 12 , 202 — — идеалов III, 13, 203 — — модулей III, 12, 191 Прямое произведение III, 12', 202 p-базис II, 17, 153 p-независимое множество II, 17. 153 Радикал идеала III, 7, 172 — кольца III, 7, 173 — подмодуля IV, добавление, 289 Разложение на простые множители V, 1, 357 Размерность (векторного пространства) I, 21, 69 Разность I, 4, 17 Расширение идеала IV, 8, 251 Расширение поля II, -1, 71 Расширенный идеал IV, 8, 251 Регулярный элемент кольца I, 5, 19 Редуцированная относительная степень ветвления V, 10, 335 Редуцированный индекс ветвления V, 9, 325 — показатель ветвления V, 9, 325 Свобода (колец над полем) II, 16, 139 Свободный композит двух полей III, 15, 217 — — областей целостности III, 15, 217 Свободное подмножество в векторном пространстве I, 21, 66 — расширение II, 16, 139 Свойство замены I, 21, 66 Сепарабельно замкнутое поле (k в K) II, 5, 88 — порождаемое расширение II, 13, 123 Сепарабельное расширение поля II, 5, 85 Сепарабельный полином II, 5, 82 — элемент II, 5, 84 Сепарирующий базис трансцедентности II, 13, 123

Сепарирующий элемент II, 13, 123 Символ Лежандра V, 12, 355 Символические степени примарного идеала IV, 12, 267 Система образующих в векторном пространстве I, 21, 66 Слабая прямая сумма III, 12', 202 Слабое прямое произведение III, 12', 202 След II, 10, 107 Смежный класс I, 3, 15 Собственное подмножество I, 10, 23 Собственный делитель нуля I, 5, 19 — идеал III, 1, 157 — подмодуль III, 2, 160 Совершенное замыкание поля II, 14, 130 Совершенные поля II, 4, 81 Содержание (полинома) I, -17, 45 Сокращение идеала IV, 8, 251 Сокращенный идеал IV, 8, 251 Сопряженные элементы II, 2, 74 Специальное кольцо главных идеалов IV, 15, 282 Сравнение, сравнение по модулю III, 5, 167 Старший коэффициент (полинома от одного неизвестного) I, 16, 38 Степень несепарабельности полинома II, 5, 84 — несепарабельности расширения поля II, 5, 89 — одночлена I, 18, 49 — полинома от многих неизвестных I, 18, 49 — — от одного неизвестного I, 16, 38 — поля К над надполем k II, 3, 76 — сепарабельности полинома II, 5, 84 — — расширения поля II, 5, 89 — трансцедентности области целостности II, 12, 121 — — поля II, 12, 120 Строго примерный идеал III, 9, 178

Сумма I, 4, 17 — идеалов в кольце III, 7, 171 — подмодулей III, 2, 161 Тензорное произведение двух алгебр III, 14, 208 Теорема Гильберта о базисе IV, 1, 231 Теорема Жордана III, 11, 186 Теорема Ласкера — Нётер о разложении IV, 4, 241 Теорема Мак-Лейна II, 13, 124 Теоремы об изоморфизме Дедекинда — Нётер III, 4, 165 (166) Теоретико-множественное произведение III, 12', 201 Тождественное отображение I, 10, 24 Тождество Дедекинда III, 2, 161 Трансцедентное множество II, 12, 115 — расширение II, 12, 115 Трансцендентный элемент (над кольцом) I, 17, 41 Тривиальное дифференцирование II, 17, 142 Тривиальный модуль III, 1, 159 Умножение I, 1, 11 Унивалентное отображение I, 10, 24 Универсальное свойство отображений колец частных IV, 9, 256 Универсальное свойство отображений тензорного произведения III, 14, 210 Унитарное надкольцо I, 9, 22 Унитарное подкольцо I, 9, 22 Унитарный модуль III, 1, 158 Уплотнение нормального ряда III, 11, 186 Упорядоченное множество II, 12, 118 Уравнение целой зависимости V, 1, 292 Условие максимальности III, 10, 182 — минимальности III, 10, 182 — конечности базиса IV, 1, 229 — обрыва возрастающих цепей III,

10, 181 — — убывающих цепей III, 10, 181 Факторгруппа I, 11, 27 Факторкольцо III, 5, 160 Фактормодуль III, 3, 164 Форма I, 18, 49 Характеристика р (поля) II, 4, 79 Характеристика нуль (поля) II, 4, 79 Характеристический полином II, 10, 106 Целая зависимость элементов V, 1, 292 — функция (в функциональном поле) V, 4, 304 Целый базис V, 4, 305 — идеал V, 6, 310 — элемент V, 1, 292 Целое замыкание V, 1, 294 Целозамкнутая область V, 1, 295 Циклическая группа I, 2, 15 Циклический модуль III, 10, 183 Частично упорядоченное множество II, 12, 118

Частная производная II, 17, 143 Частное I, 8, 21 — дифференцирование II, 17, 143 — идеалов в кольце III, 7, 172 Число ветвления V, 10, 336 Чисто несепарабельное расширение II, 5, 86 Чисто несепарабельный элемент II, 5, 85 — трансцендентное расширение II, 12, 115 Эквивалентные нормальные ряды III, 11, 189 Эквивалентные произведения двух алгебр III, 14, 208 Эквивалентные свободные композиты III, 15, 218 Эндоморфизм (векторного пространства) I, 21, 69 Эндоморфизм (группы) I, 11, 25 Эндоморфизм (модуля) III, 3, 163 Ядро (гомоморфизма) I, 11, 26