Физика: Методические указания к выполнению лабораторных работ: раздел ''Колебания и волны''

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИХ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра физики

ФИЗИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО РАЗДЕЛУ «КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА»

Факультеты: все Направление подготовки дипломированного специалиста 650000 – Техника и технологии Направление подготовки бакалавра 550000 – Технические науки

Санкт-Петербург 2004 3

Утверждено редакционно-издательским советом университета УДК 53(07)

Физика: Методические указания к выполнению лабораторных работ. – СПб.: СЗТУ, 2004, - 130 с. Данное пособие разработано в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по направлению подготовки дипломированного специалиста 650000 – «Техника и технологии» и отнесенных к нему специальностей и направлению подготовки бакалавра 550000 – «Технические науки». Настоящая брошюра содержит методические указания к выполнению лабораторных работ по разделу дисциплины «Физика»: «Колебания и волны»; и предназначена для студентов второго курса. Рассмотрено на заседании кафедры физики 04.03.2004 года; одобрено методической комиссией факультета системного анализа и естественных наук 21.06.2004 года.. Рецензенты: К.Г.Иванов, д-р физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой физики СПб. ГТУТД; В.М.Грабов, д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры физики РГПУ им. А.И. Герцена. Под общей редакцией А.С.Иванова, канд.техн.наук, доц. Научный редактор А.Б. Федорцов, д-р физ.-мат. наук, проф. Составители: А.С. Иванов, канд. техн. наук, доц.; Д.Г. Летенко, канд. физ.-мат. наук, доц.; И.В. Попов, канд. физ.-мат. наук, доц,; И.А. Торчинский, д-р физ.-мат. наук, проф.; Н.А. Тупицкая, канд. физ.мат. наук, доц.; А.Б. Федорцов, д-р физ.-мат. наук, проф. © Северо-Западный государственный заочный технический университет, 2004

4

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ Охрана труда и техника безопасности при проведении лабораторных работ Организация безопасности работы при выполнении лабораторных работ по первой части курса физики производится в соответствии со следующими Государственными стандартами: 1. ГОСТ 12.1.019-79. “ССБТ. Электробезопасность. Общие требования и номенклатура видов защиты”. 2. ГОСТ 12.1.030-81. “ССБТ. Электробезопасность. Защитное заземление. Зануление”. 3. ГОСТ 12.2.032-78. “ССБТ. Рабочее место при выполнении работ сидя. Общие эргономические требования”. К выполнению лабораторных работ допускаются студенты, изучившие методические указания к выполнению лабораторных работ, прошедшие инструктаж по технике безопасности и обученные безопасным методам работы. О прохождении инструктажа делается запись в журнале учета прохождения инструктажа по технике безопасности, которая подтверждается собственноручными подписями студентов, прошедших инструктаж, и преподавателя или дежурного лаборанта, проводившего его. Перед проведением лабораторной работы необходимо проверить надежность заземления электроизмерительных приборов и установок. Перед включением оборудования необходимо убедиться в отсутствии посторонних предметов в рабочей зоне и предупредить товарищей о начале лабораторной работы; до начала работы приборы должны быть выключены. В случае обнаружения неисправностей, связанных с токопроводящими проводниками, изоляцией, греющимися токонесущими частями необходимо немедленно прекратить работу и обратиться к преподавателю или дежурному лаборанту.

5

После окончания лабораторной работы необходимо выключить электроизмерительные приборы. Запрещается: -

находиться в помещении в верхней одежде;

-

оставлять без надзора включенную лабораторную установку;

-

выполнять работу в отсутствие преподавателя или дежурного лаборанта;

-

класть сумки и другие личные вещи на столы и лабораторную технику. Студенты, не соблюдающие правила техники безопасности, отстраняют-

ся от проведения лабораторных работ. Требования к оформлению отчетов По каждой лабораторной работе оформляется отчет, который должен содержать: 1) номер и название работы; 2) формулировку цели работы; 3) физическое обоснование цели работы и метода измерения; 4) рабочую формулу с расшифровкой всех буквенных обозначений; 5) результаты прямых измерений и вычислений; 6) там, где это предусмотрено работой, график; 7) вычисление искомой величины по рабочей формуле; 8) вывод формулы относительной погрешности (неопределенности) косвенного измерения и результат расчета по этой формуле; 9) оценку погрешности (неопределенности) измерения искомой величины. При оценке неопределенностей прямых и косвенных измерений студент должен руководствоваться правилами обработки результатов измерений, приведенных в данном пособии на стр. 6…12. 9) подпись студента и дату выполнения данной лабораторной работы.

6

Литература Основная:

1. Трофимова Т.И. Курс физики. –М.: Высш. шк., 2003 и др. года изданий. 2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. –М.: Высш. шк., 1989. Дополнительная:

3. Савельев И. В. Курс общей физики. −М.: Наука, 1989 и др. года изданий. 4. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.2 – М.: Наука, 1989.

7

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Любое измерение неизбежно связано с некоторой ошибкой. Это приводит к неопределенности результата измерений. Неопределенности (погрешности) результатов измерений имеют три вида составляющих: случайные, систематические и промахи. В каждой конкретной лабораторной работе необходимо оценить, какой вклад вносит каждая составляющая неопределенности в результат измерения данной величины. ПРАВИЛА ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ Прямыми называют измерения, при которых результат получается непосредственно по отсчетному устройству прибора. I. Учет случайных составляющих неопределенности (погрешности) Случайные составляющие погрешности (неопределенности) измерений вызываются рядом мелких, неконтролируемых обстоятельств. Они подчиняются законам математической статистики. При оценке таких неопределенностей, предполагают, что они являются случайными величинами, малыми по сравнению с самой измеряемой величиной и распределены по нормальному (гауссову) закону. Для оценки неопределенности измерений, которую вносят случайные составляющие, необходимо выполнить следующее: 1. Провести n измерений величины х. Результаты измерений х1, х2… хn занести в таблицу по форме 1. Измерения должны быть многократными (число измерений n указывается преподавателем). 2. На основе полученных значений х1, х2… хn вычислить среднее арифметическое значение х по формуле:

x ср

1 n = ∑ xi . n i =1

(1)

8

3. Вычислить отклонения результатов отдельных измерений (хi) от среднего арифметического значения (хср–хi), а затем рассчитать квадратичное отклонение (хср – хi)2. Полученные данные занести в таблицу по форме 1. Форма 1 N опыта 1 2 3 M

(хср – хi)2

(хср – хi)

хi

4. По данным последней колонки формы 1 определить среднее квадратичное отклонение (СКО) результата серии из n измерений от среднего арифметического значения хср. по формуле:

∑ (xср − xi )

2

n

S ( хср ) =

i =1

n(n − 1)

.

(2)

Замечание: В международных документах, основанных на «Руководстве по выражению неопределенности измерений» среднее квадратичное отклонение (СКО) обозначается термином стандартная неопределенность (Uс) 5. Оценить доверительный интервал, т.е. интервал, в котором с требуемой доверительной вероятностью р находится измеряемая величина х. Значение р задается преподавателем исходя из требований конкретного эксперимента. Границы доверительного интервала для измеряемой величины х определяются по формуле: хср ± Δ х, где Δx = t ( p,n )S(хср ) .

(3)

Здесь t(p,n) – коэффициент Стьюдента, зависящий от р и n. Определить коэффициент Стьюдента при выбранной доверительной вероятности р и данном числе измерений n можно из таблицы 1. 6. Записать результат прямого измерения в виде: (хср – Δх) … (хср + Δх). 9

Такая запись означает, что измеренная величина х с доверительной вероятностью р находится в интервале от (хср – Δх) до (хср + Δх). Например, если при измерении диаметра d шарика микрометром среднее арифметическое значение dср. = 5,29 мм расчетное значение границы доверительного интервала составляет Δd = 0,01 мм, то ответ имеет вид: d = (5,28…5,30) мм.

Следует заметить, что для всех измеряемых в данной лабораторной работе величин задается одно и то же значение доверительной вероятности р. Таблица 1 0.7

0.8

0.9

0.95

0.98

0.99

0.999

2

1.3

1.9

6.31

12.71

31.82

63.66

636.62

3

1.3

1.6

2.92

4.30

6.69

9.92

31.60

4

1.2

1.5

2.35

3.18

4.54

5.84

12.94

5

1.2

1.5

2.13

2.78

3.75

4.60

8.61

6

1.1

1.4

2.02

2.57

3.36

4.03

6.86

7

1.1

1.4

1.94

2.45

3.14

3.71

5.96

8

1.1

1.4

1.90

2.36

3.00

3.50

5.40

9

1.1

1.4

1.86

2.31

2.90

3.36

5.04

10

1.1

1.3

1.83

2.26

2.82

3.25

4.78

50

1.1

1.3

1.7

2.0

2.7

100

1.0

1.3

1.7

2.0

2.6

∞

1.0

1.6

2.0

2.6

p n

II. Учет неопределенностей, обусловленных систематическими ошибками

Такие неопределенности (систематические погрешности) связаны с методом или средством измерений. Оценка таких погрешностей (неопределенностей) обычно проводится разработчиком или изготовителем прибора. Существует несколько способов оценки таких неопределенностей при ис10

пользовании прибора в лаборатории при рекомендованных условиях его работы. 1. Используя информацию, приведенную в паспорте прибора. В паспорте прибора указывается предел допустимой неопределенности (погрешности) δ или приводится расчетная формула для ее вычисления. 2. На основании класса точности прибора. Многие приборы (амперметры, вольтметры, ваттметры и др.) нормируются по приведенной погрешности, выражаемой в процентах от верхнего предела измерений. Максимальная погрешность (неопределенность) измерений прибором в этом случае вычисляется по формуле:

δ=

k ⋅ xm , 100

(4)

где k – класс точности прибора; xm - верхний предел измерений прибора. 3. По цене деления прибора. Если класс точности прибора не указан, то за погрешность (неопределенность) δ прибора принимают половину цены наименьшего деления шкалы прибора. В случае прибора, стрелка которого перемещается неравномерно, погрешность прибора считают равной цене деления прибора. (Это, например, имеет место у механического секундомера, стрелка которого перемещается скачками). Граница доверительного интервала, определяемая систематическими ошибками, определяется по формуле: δ Δx B = t ∞ ⋅ . 3

(5)

Здесь t∞ – коэффициент Стьюдента при n = ∞; δ – доверительная граница систематической погрешности. III. Промахи

Грубые ошибки (промахи) – это ошибки измерения, возникающие в результате погрешности оператора, неверного отсчета по прибору, неправильного включения прибора или недостатка внимания экспериментатора. Внешним 11

признаком промаха является его резкое отличие по величине от результатов остальных измерений. Получив такой результат, его следует исключить из дальнейших расчетов. IV. Доверительный интервал в общем случае

В общем случае необходимо учитывать как случайные, так и систематические неопределенности (погрешности) измерений. Тогда границы доверительного интервала для суммарной неопределенности можно вычислить по формуле: Δx =

(Δx A )2 + (Δx B )2 .

(6)

Здесь Δx A = t ( p ,n )S ( хср ) – граница доверительного интервала, обусловленного случайными ошибками измерений; Δx B = t ∞ ⋅

δ – граница доверительного ин3

тервала, вызванная систематическими ошибками измерений. При определении границ доверительного интервала неопределенности (погрешности) измерений, обусловленных вкладом как случайных, так и систематических ошибок, вычисление ΔхА и ΔхВ следует проводить при одном и том же значении доверительной вероятности р. В практике учебных лабораторных работ обычно принято брать значение доверительной вероятности р = 0,68, тогда коэффициент Стьюдента при n = 10 составляет t = 1,1, а при n = ∞ t∞ = 1,0. Вероятность р = 0,68 означает,

что результат измерения величины х с вероятностью 68 % попадает в интервал (хср - Δx; хср + Δx), т.е. примерно каждое третье измерение дает результат за пределами данного интервала. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

1. Косвенными являются измерения, при которых искомую физическую величину Z определяют путем вычислений по результатам прямых измерений других величин. Поэтому после проведения прямых измерений и оценки их не-

12

определенностей (погрешностей) необходимо вычислить среднее значение искомой величины (Zср) по рабочей формуле, в которую подставляют средние значения величин, полученных из прямых измерений. 2. Для оценки неопределенностей (погрешностей) косвенных измерений величины Z необходимо вывести формулу для ее относительной погрешности γ. Пусть искомая величина Z является функцией нескольких переменных:

Z = f (Y1 ,Y2 KYm ) . Тогда 2

⎛ f Y' 2 ΔY2 ⎛ f Y' 1 ΔY1 ⎞ ΔZ ⎟ +⎜ γ= = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ Z Z Z ⎝ ⎠ ⎝ ' где f Ym =

2

' ⎛ f Ym ⎞ ΔYm ⎟ +K+ ⎜ ⎟ ⎜ Z ⎠ ⎝

2

⎞ ⎟ , ⎟ ⎠

(7)

∂Z – частные производные, которые вычисляются при средних ∂Ym

значениях результатов прямых измерений Ym; ΔYm – граница доверительного интервала для прямого измерения Ym. Формула для расчета относительной неопределенности косвенных измерений в некоторых простейших случаях представлена в таблице 2, где символы ΔY обозначают границы доверительного интервала для измеряемых величин Y. Таблица 2 Вид функциональной зависимости

Относительная стандартная неопределенность ΔZ ср γ= Z ср

Z = Y1 ± Y 2

(ΔΥ1 )2 + (ΔΥ2 )2 (Y1 ± Y2 ) 2

2

2

2

Z = Y1 Y 2

⎛ ΔΥ1 ⎞ ⎛ ΔΥ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ Y1 ⎠ ⎝ Υ2 ⎠

Z = Y1 / Y2

⎛ ΔΥ1 ⎞ ⎛ ΔΥ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ Y1 ⎠ ⎝ Υ2 ⎠

Z = Y1α ,Y2β KYmγ

⎛ ΔΥ 1 α ⎜⎜ ⎝ Y1 2

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎛ ΔΥ 2 + β ⎜⎜ ⎝ Υ2 2

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎛ ΔΥ m + K γ ⎜⎜ ⎝ Υm 2

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

13

3. После вывода формулы относительной погрешности необходимо по ней вычислить значение γ, а затем определить доверительный интервал ΔZ искомой величины: ΔZ = Zср . γ

Окончательный результат следует представить в стандартной форме: (Zср – ΔZ) … (Zср + ΔZ).

14

РАБОТА 60: РЕЗОНАНС В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ 1. Цель работы

Ознакомление с электрическим колебательным контуром (на примере последовательного контура) и явлением резонанса в контуре. Экспериментальное определение индуктивности контура. 2. Основные теоретические положения

Наряду с механическими колебаниями и колебательными системами существуют электрические, точнее электромагнитные, колебания и колебательные системы. Такие колебательные системы являются непременной частью многих радиоприемных и передающих устройств.

L

R

Е0

C

Рис. 1 Простейшей электрической колебательной системой является так называемый последовательный колебательный контур, состоящий из последовательно подключенного резистора R, катушки индуктивности L и конденсатора С (рис.1).

Если такой контур присоединить к источнику переменной ЭДС ( E = E 0 cosωt ), то в таком контуре устанавливаются вынужденные гармониче-

ские колебания, совершающиеся с частотой ω источника. Согласно второму правилу Кирхгофа, действующая в контуре ЭДС равна сумме падений напряжений на его элементах:

E 0 cosω t =U R + U L + U C ,

(1) 15

где U R , U L , U C - соответственно падения напряжения на резисторе, катушке индуктивности и конденсаторе. Падения напряжения соответственно равны U R = I R, U L = L d I d t , UC = q C ,

(2)

где q – заряд на обкладках конденсатора, I = dq d t = С dU C d t – ток в контуре. Подставив в (1) выражения для U R , U L и U С из (2), получим L

dI q + IR + = E 0 cosωt . dt C

(3)

Продифференцируем это выражение по времени dI dq d2I L 2 +R + = − E 0 ωsin ωt . dt dt dt

Подставив dU C d t = I C в это выражение, найдем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, которому должна удовлетворять сила тока в контуре: (1) L

d2I dt 2

+R

dI I + = − E 0 ωsin ωt . dt C

(4)

Частное решение этого уравнения будем искать в виде периодической функции от времени:

I = I 0 cos(ωt + ϕ ),

(5)

где I0 – амплитуда тока, а φ – разность фаз между током и ЭДС. Составляя первую и вторую производные от тока I по времени, получим: dI d 2I = − I 0 ωsin (ωt + ϕ), = − I 0 ω2 cos(ωt + ϕ). 2 dt dt Из полученных соотношений видно, что напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности сдвинуты по фазе на 1800, т.е. противофазны. Подставляя значения d I dt , d 2 I d t 2 и I в уравнение (4) и разделив правую и левую части на ω, найдем: 1 ⎞ ⎛ R I 0sin (ωt + ϕ) + ⎜ ωL− ⎟ I cos(ωt + ϕ) = E0sin ωt . ωC ⎠ 0 ⎝ 16

Представляя sin (ωt + ϕ) и cos(ωt + ϕ) через синусы и косинусы от ωt и φ, получим:

1 ⎞ ⎛ R I 0 sin ωt cosϕ − R I 0 cosωt sin ϕ + ⎜ ωL− ⎟ I 0 cosωt cosϕ + ωC ⎠ ⎝ ⎛ 1 ⎞ ⎟ I 0 sin ωt sin ϕ = E 0 s sin ωt . + ⎜⎜ ωL− ωC ⎟⎠ ⎝ Так как это равенство должно выполняться для любого момента времени, то множители при sin ωt и cosωt должны равняться нулю, откуда получаем два уравнения:

1 ⎞ ⎛ Rsin ϕ + ⎜ ωL− ⎟cosϕ = 0 , ωC ⎠ ⎝ ⎛ E 1 ⎞ ⎟⎟sin ϕ = 0 . Rcosϕ − ⎜⎜ ωL − ωC ⎠ I0 ⎝

(6)

Из первого уравнения (6) имеем: 1 ωC . R

ωL− tgϕ =

(7)

Возводя равенства (6) в квадрат и складывая их, найдем: 2

⎛ E2 1 ⎞ ⎟⎟ = 20 . R + ⎜⎜ ωL − ωC ⎠ I0 ⎝ 2

Таким образом, амплитуда тока в контуре равна Io =

E0 ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ R 2 + ⎜⎜ ωL− ω C ⎝ ⎠

2

.

(8)

Равенства (5), (7) и (8) дают искомое решение: в цепи течет ток I того же периода, что и приложенная ЭДС; амплитуда этого тока I0 определяется равенством (8). Ток сдвинут по фазе относительно ЭДС на угол φ, определяемый равенством (7).

17

⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ Величина Z = R 2 + ⎜⎜ ωL − ω C ⎠ ⎝

2

называется полным сопротивлением

цепи, которое зависит как от значений R, L, C, так и от частоты тока ω, и состоит из активного (омического) R и полного реактивного сопротивлений X = ωL − 1 . Таким образом, Z = R 2 + X 2 , где X = X L − X C , X L = ωL – инωC дуктивное, X C = 1 ωC – емкостное реактивные сопротивления. При некоторой частоте ω = ωрез, называемой резонансной частотой, полное реактивное сопротивление обращается в нуль: X = X L − X C =ω рез L −

1

ω рез С

= 0,

(9)

а полное сопротивление достигает минимума и равно омическому сопротивлению Z = R; на этой частоте амплитуды падений напряжений на катушке индуктивности и на конденсаторе равны, а амплитуда силы тока достигает максимального значения: I 0 max =

E0 = I 0 рез . R

Это явление носит название резонанса: амплитуда силы тока достигает максимума при некотором определенном значении частоты ω = ω рез , которое совпадает с собственной частотой ω0 контура для незатухающих колебаний и значение которой в соответствии с формулой (9), равно:

ω рез = ω0 =

1 . LC

(10)

Зависимость от частоты амплитуды тока I0 , а также напряжений U0L и U0C называют резонансными кривыми и имеют тем более острый максимум, чем меньше омическое сопротивлений R (рис.2 а,б):

18

а) ϕ +π/2

I0

1

ω

2

0

ω

−π/2 рез

б) Рис. 2 Так как ток в цепи максимален, то на резонансной частоте падения напряжений на конденсаторе и катушке индуктивности достигают больших и одинаковых по амплитуде значений: U L рез = I 0 рез X L =

Величина ρ =

E E0 Lω рез = 0 R R

E E 1 L = 0 ; U C рез = I 0 рез X C = 0 R C ω рез R C

L . (11) C

L называется волновым сопротивлением контура. C

17

По формуле (7) при резонансе разность фаз φ = 0. При ω → 0 разность фаз ϕ → − π 2 , т.е. ток опережает значение ЭДС; при ω → ∞ разность фаз

ϕ → + π 2 ; в этом случае ток отстает от ЭДС. На рис. 2а кривая 1 дает изменение силы тока с частотой при заданной ЭДС и постоянных L и C; кривая 2б дает зависимость сдвига фазы φ от частоты. Соотношения между переменным током I и напряжениями U R , U L , U C делаются особенно наглядными, если изображать их (как и гармонические колебания) с помощью векторов. Выберем произвольное, предпочтительнее горизонтальное, направление, которое назовем осью токов (рис.3). U U L =ω LI 0 ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ω L − ⎟I ω C ⎟⎠ 0 ⎝ Е0

ϕ U R = I0R

1 I0 UC = ωC

Ось токов I 0

Рис. 3 Отложим вдоль этого направления вектор тока длиной I0. Посмотрим, как соотносятся вектора U R , U L , U C по отношению друг к другу и вектору тока I0: а) вектор UR = R I = R I 0 cos(ωt + ϕ) = U 0 R cos(ωt + ϕ) совпадает по направлению с вектором тока I. Отложим U0R вдоль вектора тока. b) вектор U L = L

dI = −ωLI 0 sin (ωt + ϕ) = U 0 L cos(ωt + ϕ + π 2 ) ; т.е. напряжеdt

ние UL опережает ток I на π/2. Отложим U0L вертикально вверх. c) вектор U C = ∫

1 1 I dt = I 0sin (ωt + ϕ) =U 0C cos(ωt + ϕ − π 2 ) ; т.е. напряжеC ωC

ние UC отстает от тока I на π/2. Отложим U0C вертикально вниз. 18

Из рис.3 видно, что, как ранее было отмечено, вектора UL и UC направлены противоположно по отношению друг к другу. На резонансной частоте падение напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе, согласно (9), равны. На резонансной частоте напряжения на катушке индуктивности и на конденсаторе компенсируют друг друга и ЭДС становится равной UR. Поэтому явление резонанса в последовательном контуре называется резонансом напряжений.

Вне резонанса реактивное сопротивление контура уже не равно нулю, полное сопротивление Z возрастает, а амплитуда тока уменьшается по сравнению со значениями на резонансе. Качество колебательного контура характеризуется добротностью, которая обычно значительно больше единицы и равна отношению запасенной в контуре энергии за один период к теряемой контуром энергии (выделение тепла на омическом сопротивлении) за тот же период, и может быть определена как Q=

ω0 L 1 L = . R R C

(12)

Из выражений (11) видно, что на резонансе U 0 L = U 0C = Q E0 , следовательно, добротность показывает, во сколько раз на резонансе амплитуда напряжения на конденсаторе (или на катушке индуктивности) больше амплитуды ЭДС. Добротность характеризует остроту резонансных кривых и может быть непосредственно определена экспериментально. В случае малых значений затуханий (потерь) добротность определяется соотношением: Q=

ω0 , Δω

(13)

где Δω = ω1 − ω2 , где ω1 = 2πν 1 и ω 2 = 2πν 2 - частоты, на которых амплитуда тока в

2 раз меньше резонансного значения. Добротность Q и логарифмиче-

ский декремент колебаний λ контура связаны соотношением: Q=

π . λ

19

1. Принцип метода измерений и рабочая формула

В работе методом резонанса в последовательном электрическом контуре определяется индуктивность L контура. На резонансной частоте ток в контуре максимален, так как полное реактивное сопротивление X = 0 Снимается резонансная кривая для тока I0, т.е. зависимость амплитуды I0 тока от частоты ν. При этом амплитуда тока определяется как U 0(1R) . I0 = R1

(14)

где U 0(1R) - напряжение, измеренное на измерительном резисторе R1. По резонансной кривой находится частота, соответствующая максимальной амплитуде тока, т.е. резонансная частота

ω рез = ω0 =

1 . LC

По известному значению емкости (заданной преподавателем) и найденной резонансной частоте определяется индуктивность катушки колебательного контура L=

1

ω 2рез С

=

1 ( 2πν рез )2 С

.

(15)

2. Измеряемый объект

Измеряемым объектом является электрический последовательный колебательный контур (рис.4), состоящий из катушки индуктивности с индуктивностью L, конденсатора (магазин конденсаторов) и активного сопротивления R, состоящего из последовательно включенных выходного сопротивления генератора периодических сигналов RГ, активного сопротивления катушки индуктивности RL и специально введенного измерительного сопротивления R1, с помощью которого измеряется ток в контуре, R = R Г + R L + R1 .

20

3. Описание лабораторной установки

Схема измерительной установки приведена на рис. 4

ЛВ-1 RГ

ЗГ

L

RL C R1

ЛВ-2

Рис.4 и состоит из источника периодического напряжения – генератора низкочастотных сигналов (в дальнейшем будем называть его звуковым генератором - ЗГ), колебательного контура, лампового вольтметра ЛВ-1, предназначенного для измерения действующего значения напряжения на выходе звукового генератора, и лампового вольтметра ЛВ-2 – для определения действующего значения напряжения на известном активном сопротивлении R1. 4. Порядок выполнения работы

1. Перед началом работы необходимо ознакомиться со схемой и измерительными приборами. 2. Включить питание вольтметров ЛВ-1 и ЛВ-2 для предварительного нагрева. Установить переключатели диапазонов напряжений на ламповых вольтметрах до 3 В. После прогрева приборов ручкой “установка нуля” установить стрелки приборов на нуль. 3. Включить генератор ЗГ. Ручку “настройка частоты” установить на нуль. Выходное сопротивление генератора установить равным RГ = 5 Ом. Установить на выходе генератора с помощью вольтметра ЛВ-1 напряжение E0 = 2,5 В. 4. Установить на магазине конденсаторов значение емкости конденсатора, заданного преподавателем. Записать в таблицу (форма 1) значение емкости конденсатора и значение ее доверительного интервала, которое указано на столе лабораторной работы. 21

5. Записать в таблицу (форма 1) значение измерительного сопротивления R1 (указано на столе лабораторной работы). 6. Для получения резонансной кривой, плавно изменять частоту ν генератора (поддерживая на выходе генератора напряжение E0 = 1 В). Измерять напряжение U 0(1R) = I 0 R1 (для упрощения обозначения этого напряжения в дальнейшем будем писать U1) c помощью вольтметра ЛВ-2 и определить значение U1, при котором ток в контуре максимален. Это и будет резонанс. Смещаясь от резонанса в сторону более низких и в сторону более высоких частот, снять значения частот при следующих значениях напряжений: 0,9U1, 0,71U1, 0,5U1, 0,3U1, 0,1U1. Эти данные занести в таблицу (форма 1). 7. Значение измеренной резонансной частоты записать и в таблицу (форма 2 № п/п 1). Проделать еще 4 независимых измерения, но уже только резонансных частот для заданной емкости конденсатора, каждый раз после очередного измерения сбивая значение резонансной частоты. Записать измеренные значения резонансных частот в таблицу по форме 2. Записать в таблицу приборную погрешность измерения частоты Δν С (взять половину цены минимального деления шкалы). 8. Закончив измерения, отключить приборы от сети. 9. Провести вычисления и обработку измерений и построить график зависимости амплитуды тока от частоты I0 = f(ν). 10. Записать в ответе среднее значение индуктивности L и доверительный интервал. С=(

± 0,05) мкФ, № п/п ν Гц

1

2

R1 = 3

Ом 4

5

Форма 1 6

7

8

9

10

11

U1 В I0 мА 22

Δν С = (ν0)і Гц

№ п/п 1 2 3 4 5 Ср.

Гц

Li

Форма 2 ( - Lі)2 Гн2

( - Lі) Гн

Гн



SL =

n 1 2 ∑ (< L > − Lι ) n(n − 1) ι=1

5. Вычисления и обработка измерений

Провести вычисления амплитуды тока (таблица, форма 1). Построить амплитудно-частотную характеристику тока I0 = f(ν). 1. Провести вычисление среднего значения индуктивности контура . 1n < L > = ∑ Li . n i =1 2. Вычислить среднеквадратичное отклонение индуктивности от среднего n

значения S L =

∑ (< L > − Lι )

i =1

n(n − 1)

2

.

3. Задаваясь доверительной вероятностью p = 0,7 по числу n измерений, определить коэффициент Стьюдента t(p,n). 4. Определить систематическую неопределенность измерения L по фор⎡ ⎛ Δ ν ⎞ 2 ⎛ ΔC ⎞ ⎤ муле δ L = < L > ⎢4⎜ C ⎟ +⎜ ⎟⎥ , где - приборная погрешность измерения ν C ⎠⎦⎥ ⎝ ⎝ ⎠ ⎣⎢ 2

частоты (взять половину цены минимального деления шкалы). 5. Определить границу доверительного интервала для суммарной неопределенности (случайной и систематической) измерения индуктивности L: Δ L∑ =

[t ( p ,n )S L ]

2

2

⎛1 ⎞ + ⎜ δL ⎟ . ⎝3 ⎠

6. Записать результат прямого измерения в виде L = < L > ± ΔL∑ . 23

8. Контрольные вопросы

1. Что называется электрическим колебательным контуром? 2. Запишите закон Ома для мгновенных значений напряжений на элементах последовательного R – L – C колебательного контура. 3. Из каких составляющих складывается полное сопротивление контура? 4. В чем заключается явление резонанса в последовательном контуре? Какими способами его можно достичь? 5. Объясните сдвиг по фазе между ЭДС и падением напряжения на различных элементах контура. 6. Объясните, как изменяется полное сопротивление контура в зависимости от соотношения частот ω и ω0? 7. Чем определяется резонансная частота тока и зависит ли она от величины активного сопротивления контура? 8. Что такое добротность контура, ее физический смысл? Как практически можно вычислить добротность?

24

РАБОТА 61. ИЗМЕРЕНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ВОСПРИИМЧИВОСТИ ВЕЩЕСТВА МЕТОДОМ РЕЗОНАНСА В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ 1. Цель работы

Определить диэлектрическую восприимчивость образца вещества и помочь усвоению основных понятий и соотношений для электрического поля в диэлектриках. 2. Основные теоретические положения

При помещении диэлектрика в электрическое поле он поляризуется. Это означает, что на поверхности диэлектрика под действием электрического поля возникают, так называемые, связанные заряды противоположных знаков. Хотя суммарный заряд диэлектрика остается равным нулю, но сам диэлектрик приобретает дипольный момент. Степень поляризации диэлектрика характеризуется вектором поляризаr ции P , который равен дипольному моменту единицы объема. При не очень r больших полях вектор P пропорционален вектору напряженности

v

электрического поля E в диэлектрике

r r P = χε 0 E .

(1)

Безразмерный коэффициент χ называется диэлектрической восприимчивостью ( ε 0 – электрическая постоянная). Величина χ характеризует поведение молекул данного вещества в электрическом поле. Поэтому измерение диэлектрической восприимчивости дает информацию о физических свойствах молекул вещества. В данной работе измерения χ проводятся методом резонанса в колебательном контуре, содержащем катушку индуктивности и плоский конденсатор, между обкладками которого помещается исследуемая диэлектрическая пластина.

25

Найдем зависимость емкости конденсатора от χ . По определению, емкость конденсатора равна:

C=

q , U

(2)

где q – заряд положительного электрода, U – напряжение на конденсаторе. Заряд q связан с поверхностной плотностью σ зарядов на одном из электродов и его площадью соотношением q = σS .

(3)

Следовательно, чтобы найти С из (2), необходимо определить, как σ зависит от U.

Обозначим напряженность поля в воздухе через Е1, а в диэлектрике через Е2 (рис. 1). Тогда получим:

E1 (d 0 − d ) + E 2 d = U ,

(4)

где d0 – расстояние между электродами, d – толщина диэлектрической пластины. Учтем теперь, что поле Е2 в диэлектрике меньше поля в воздухе Е1, за счет поля Е2' связанных зарядов σ' на поверхности диэлектрика. При этом поле Е2' противоположно по направлению полю Е1: E2 = E1 − E2'.

(5)

Поле Е2 можно найти из теоремы Гаусса-Остроградского как поле двух бесконечных равномерно заряженных с плотность ± σ' плоскостей: σ' . ε0 Общий связанный заряд на грани диэлектрика равен: E2' =

(6)

q' = σ' S

(7)

и, следовательно, общий дипольный момент диэлектрика pe = q' d = σ' Sd .

(8)

С другой стороны, исходя из определения вектора поляризации, имеем:

p e = PV = PSd .

(9)

26

Приравнивая правую часть выражений (8) и (9) и сокращая на Sd, получаем:

σ' = P.

(10)

Учитывая теперь соотношения (1) и (6), находим значение Е2':

E 2 ' = χE 2

(11)

и, подставляя Е2' в (5), находим связь поля в диэлектрике и в воздухе:

E2 =

E1 . (1 + χ )

(12)

Как известно из закона Кулона поле в диэлектрике в ε раз меньше, чем в вакууме (воздухе). Поэтому из выражения (12) получаем важную зависимость:

ε = 1+ χ.

(13)

Подставив теперь значение Е2 из (12) в уравнение (4), найдем Е1:

E1 =

U d 0 − d + d1

.

(14)

(1 + χ )

Поле Е1 может быть найдено и по теореме Гаусса-Остроградского:

E1 =

σ . ε0

(15)

Поэтому, приравнивая правые части (14) и (15), находим:

σ=

ε 0U d d0 − d + (1 + χ )

.

(16)

Подставив теперь (16) в выражение (3), получим по формуле (2) емкость конденсатора:

C=

ε0 S d d0 − d + (1 + χ )

.

(17)

27

Если разность d0 – d мала по сравнению с величиной

d , выражение (1 + χ )

(17) приобретает более простой вид: C=

(1 + χ )ε 0 S .

(18)

d

+

+σ

Е1

+

+

U

+

+ -

E2

-

E1

-

-σ'

E2 '

+σ'

+

-

+

+

+

-

-

-

+ -

d

d0

++

-

-σ

-

Рис. 1. Электрические поля и заряды в плоском конденсаторе. 3. Измеряемый объект

В работе исследуется диэлектрическая восприимчивость тонкой платины из текстолита. 4. Метода измерений, схема установки и рабочая формула

На рис. 2 представлена схема измерительной установки.

28

В2 L

Сп'

ЗГ

K

U0

C

В1

U ''

Cп

Рис. 2. Схема измерительной установки. Установка включает звуковой генератор, два электронных вольтметра, а также последовательный колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и плоского конденсатора с регулируемым расстоянием между электродами. Генератор ЗГ звуковых и ультразвуковых частот вырабатывает гармонические колебания, подаваемые на последовательный электрический контур L, C. Напряжение U на конденсаторе контура измеряется вольтметром В1, напря-

жение U0, подаваемое на контуру, измеряется вольтметром В2. Резонансная частота контура определяется по формуле Томсона:

fp =

1 . 2π LC'

(

)

(19)

В формуле (19) емкость С' есть сумма емкости С конденсатора и паразитной емкости Сп, определяемой распределенной емкостью Сп' катушки индуктивности и проводов и входной емкости Сп'' вольтметра В1: С' = C + Сп = C + Сп' + Сп''.

(20)

Чтобы найти Сп', входящее в (20), можно отключить конденсатор С ключом К и измерить резонансную частоту fрп получившегося контура. При этом из (19) получим:

29

Cп =

1 (4π Lf рп2 ) . 2

(21)

Величина χ , которую требуется измерить в работе согласно (17) и (18) определяет значение С в (18) наряду с неизвестными пока S, d0 и d. Чтобы исключить S, d0 и d, поступим следующим образом. Вначале расположим исследуемую диэлектрическую пластину таким образом, чтобы она заняла все межэлектродное пространство конденсатора и измерим резонансную частоту fр1 получившегося контура. В таком случае получим из формул (18), (19), (20) и (21) при (d0 = d):

(1 + χ )ε 0 S d

=

1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ 2 − 2 ⎟. 2 4π L ⎝ f p1 f pп ⎠

(22)

Выдвинем теперь диэлектрическую пластину из межэлектродного пространства конденсатора не меняя расстояния между электродами таким образом, чтобы пластина заполняла только половину указанного пространства, и вновь измерим резонансную частоту fр2. Найдем:

(2 + χ )ε 0 S 2d

=

1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ 2 − 2 ⎟. 2 4π L ⎝ f p 2 f pп ⎠

(23)

Разделив (23) на (22), получим рабочую формулу: χ=2

1− α , 2α − 1

(24)

где введено обозначение:

1

−

1

f 2 p 2 f 2 pп α= . 1 1 − f 2 p1 f 2 pп

(25)

5. Порядок выполнения работы

1. Включить ключ К питания генератора ЗГ и вольтметров В1 и В2 и переключить диапазоны вольтметров, чтобы стрелки приборов не зашкаливали. 2. Изменяя выходное напряжение генератора, добиться, чтобы напряжение U0 на вольтметре В1 стало равным 1 В. 30

3. Поднять верхнюю пластину конденсатора, положить диэлектрическую пластину на всю поверхность электрода конденсатора и затем полностью опустить верхний электрод конденсатора. 4. Плавно изменяя частоту генератора и поддерживая при этом напряжение U0 равным 1 В, добиться резонанса, – максимального напряжения на конденсаторе С, измеряемого вольтметром В2, записать в таблицу частоту fр1 . 5. Повторить манипуляции пп. 3 и 4, но расположив диэлектрическую пластину на правой половине нижнего электрода конденсатора, в соответствии с отметкой на электроде. Записать в таблицу частоту fр2. 6. Выключить ключ К, измерить частоту fрп и записать в таблицу. 7. Повторить измерения fр1, fр2 и fрп

5 раз и результаты записать в

таблицу по прилагаемой форме. 8. Рассчитать величины α, и затем вычислить χср и Δχ по правилам оценки среднего значения доверительного интервала для прямых случайных измерений с доверительной вероятностью 0,7. Форма № опыта

fр2, Гц

fр2, Гц

fрп Гц

α

χi

(χi-χср)

χср

(χi-χср)2

tn,p

S=

6. Контрольные вопросы

1. Что такое электрический диполь? Чему равен и как направлен его дипольный момент? 2. Дать определение вектора поляризации. 3. Дать определение емкости конденсатора и индуктивности катушки. 4. Что такое напряженность и потенциал в данной точке электрического поля? 5. В чем заключается явление резонанса в электрическом контуре. 31

РАБОТА 62. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ УПРУГИХ ВОЛН В СТРУНЕ 1. Цель работы

Целью работы является определение значений скорости упругих волн в зависимости от натяжения струны. 2. Краткая теория исследуемого явления

Если на струну натянутую между двумя точками, действует синусоидальная во времени сила, то струна колеблется. От того места, где на струну действует возбуждающая сила, влево и вправо бегут волны, многократно отражающиеся от закрепленных концов струны. В результате через каждую точку струны волны бегут в обоих направлениях. Поскольку частота колебаний этих волн задается синусоидальной силой, то в каждой точке имеет место сложение когерентных волн (т.е. волн с одинаковой частотой и неизменной разностью фаз в данном месте). Как известно, результатом такого сложения является интерференция. В случае, когда амплитуды встречных волн одинаковы (именно такой случай и рассматривается), возникает так называемая стоячая волна. Уравнения для встречных волн в произвольной точке х имеют вид:

⎡⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎤ y1 = Asin ⎢⎜ ⎟t − ⎜ ⎟ x ⎥ ⎣⎝ T ⎠ ⎝ λ ⎠ ⎦ ⎤ ⎡⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ y 2 = Asin ⎢⎜ ⎟t + ⎜ ⎟ x + ϕ⎥ , ⎦ ⎣⎝ T ⎠ ⎝ λ ⎠

(1)

где x – координата точки на струне, в которой наблюдают колебания; у1 – волна, бегущая в сторону возрастания координаты х; у2 – волна, бегущая в сторону убывания х; λ – длина волны; ϕ – сдвиг фаз между волнами, бегущими в противоположных направлениях.

32

Для упрощения будем рассматривать случай, когда ϕ = 0. Сложение отклонений от положения равновесия у1 и у2 дает результирующее отклонение:

2π ⎤ 2π ⎤ ⎡ 2π ⎡ 2π t− x ⎥ + Аsin ⎢ t + x⎥ = λ λ T T ⎦ ⎣ ⎣ ⎦

у = у1+у2 = Аsin ⎢

⎡

⎛ 2π ⎞ ⎤ ⎛ 2π ⎞ x ⎟⎥sin ⎜ t ⎟ ⎝ λ ⎠⎦ ⎝ T ⎠

= ⎢2 Acos⎜

⎣

(2)

Таким образом, в произвольной точке х возникает колебание с частотой вынуждающей силы

ω=

2π Т

(Т – период колебаний) с амплитудой

⎛ 2π ⎞ x ⎟ , не зависящей от времени, но являющейся функцией координаты ⎝ λ ⎠

2А cos⎜ (х).

Из уравнения (2) видно, что фаза колебаний ( ωt ≡

2π t ) в точке х не заT

висит от координаты, как это имеет место для у1 и у2 по отдельности. Именно поэтому волну и называют стоячей. В точках координаты (х), которые удовлетворяют условию

2π

х = ± nπ ( n = 0,1,2…) λ

(3)

амплитуда колебаний максимальна и равна 2 А. Такие точки называются пучностями. А при условии

2π

х π = ±(2π + 1) (n = 0,1,2…) λ 2

(4)

амплитуда колебаний равна 0, т.е. в этих точках колебаний нет. Такие точки называются узлами. Видно, что расстояние между соседними узлами равно λ /2. Точки закрепления струны (концы) являются узлами, поэтому собственные установившиеся колебания струны возможны лишь при условии, что на длине струны укладывается целое число n полуволн. Если n = 1, то колебание называется основным, при n = 2 получается второй тип возможных собственных колебаний и т.д. При постоянном натяжении данной струны основному колеба33

нию соответствует наименьшая частота (первая гармоника), второй тип колебания (вторая гармоника) получается при удвоенной частоте колебаний той же струны и т.д. Если частота вынуждающей силы совпадает с частотой одного из возможных колебаний, то наблюдается максимальное вынужденное колебание струны; это явление называется резонансом. Итак, при настройке струны в резонанс на ее длине l укладывается целое число n стоячих волн, т.е. n половин бегущей волны λ : l = n( λ /2) или λ =2 l /n

Длина волны λ , период Т (частоту ν =

(5)

1 ) и скорость волны V связаны Т

соотношением: V=

λ = λ⋅ν Т

(6)

Согласно теории [ ] скорость распространения упругой волны в струне зависит от силы натяжения Р и линейной плотности μ (массы одного метра длины струны) следующим образом: V=

Р

μ

(7)

Соотношение (7) можно представить в виде: V2 = (P/ μ ). Одной из задач лабораторной работы является проверка пропорциональности V2 ~ P. При заданной частоте ν , скорость V можно определить исходя из соотношения (6). Длина волны λ находится из экспериментальных измерений при наблюдении стоячих волн на струне (см.(5)). 3. Принцип метода измерений и рабочая формула

Метод измерения скорости упругих волн основан на экспериментальном измерении длин стоячих волн λ при разных частотах по формуле (5) и вычислить скорости по формуле (6) V = λ⋅ν. 34

4. Измеряемый объект

Объектом измерений является натянутая динамометром струна, на которой возникают стоячие волны. 5. Экспериментальная установка в статике и динамике

Установка состоит из металлической струны, один конец которой закреплен, а другой оттянут динамометром (Д). У одного из концов расположен постоянный магнит (М). Концы струны соединены проводниками с выходом генератора (З.Г.) синусоидальных колебаний.

З.Г.

r B

Р

Д

струна

М

Рис. 1. Если по проволоке (струне) пропускать переменный ток, то при воздействии постоянного магнитного поля, направленного перпендикулярно струне, она приходит в колебания. Силой, возбуждающей колебания, в данном случае является сила Ампера F=BI l M, где I – ток в струне; l

M

– длина ее части, находя-

щейся в магнитном поле; В – индукция магнитного поля подковообразного магнита. Так как сила, возбуждающая колебания струны, меняется по синусоидальному закону с частотой ν переменного тока, то при заданном натяжении, варьируя частоту ν генератора или, подбирая натяжение Р, при заданном значении частоты можно добиться условия резонанса (5), т.е. на струне уложится n стоячих волн.

35

Измерив длину l струны можно, исходя из соотношения (5) определить длину волны λ , а затем по формуле (6) скорость V (при определенном по показаниям динамометра значении Р). 6. Порядок выполнения работы

1. Измерить длину струны. 2. Установить натяжение Р (динамометром). Значение Р устанавливать по рекомендации преподавателя, чтобы не порвать проволоку. 3. Включить генератор (значение тока также установить по рекомендации преподавателя) и варьируя частоту добиться условия образования стоячих волн. 4. Пользуясь формулой (5) найти скорость λ. 5. По формуле (6) вычислить скорость V для найденного значения λ. Опыт проделать три раза при разных натяжениях Р. Форма 1 l (м)

λ

n

1 2 3 Форма 2 P (н)

V (н/с)

1 2 3

6.

Построить график V 2 = f (P ) .

7. Оценить погрешность измерений (найти ΔVср). 8. Записать ответ в виде V = Vср ± ΔVср.

36

6. Контрольные вопросы

1. Как образуются волны в струне? Какая волна называется стоячей? 2. Какая сила возбуждает колебания струны? 3. Пользуясь правилом левой руки, определить возможные направления силы Ампера на струну в данной установке. 4. Сколько стоячих волн образуется на струне длиной l = 1,5 λ ? 5. Как измерить длину волны и частоту генератора? 6. Что такое колебание? Запишите уравнение гармонических колебаний. 7. Что такое волна? Запишите уравнение волны. 8. Что такое период колебаний, длина волны? 9. Как связан период колебаний с частотой и длиной волны?

37

РАБОТА 63. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ СТЕКЛА ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫМ МЕТОДОМ 1. Цель работы

Целью работы является определение показателя преломления стекла по параметрам интерференционной картины, возникающей при отражении лазерного луча от плоскопараллельной стеклянной пластины. 2. Краткая теория исследуемого явления

Рассмотрим расходящийся пучок монохроматических когерентных лучей, падающий на поверхность плоскопараллельной пластинки. Ось пучка перпендикулярна поверхности пластинки (рис. 1).

Рис. 1. Лучи, отраженные от передней и задней поверхностей пластинки, сходятся на экране, где наблюдается интерференционная картина. Из рис. 1 видно, что любая пара интерферирующих лучей, идущих симметрично относительно нормали SO, имеет одинаковую разность хода. Следовательно, интерференционная картина на экране будет иметь вид концентрических колец. Заметим, что для наблюдения интерференционной картины необходимо, чтобы складывающиеся колебания были бы когерентны. Если оптическая разность хода волн превышает длину когерентности, интерференция наблюдаться не будет. Излучение лазера обладает высокой монохроматичностью и, следова38

тельно, большой длиной когерентности (порядка метра, а в случае одночастотных лазеров – и десятков метров). В настоящей работе используется лазер для получения интерференции в сравнительно толстой (d ≈ 5 мм) стеклянной пластинке. При условии, что расстояние L между экраном и пластинкой значительно больше, чем толщина пластинки d, угол α между нормалью и лучом будет очень малой величиной (рис. 1). 3. Принцип метода измерения и рабочая формула

Плоскопараллельная стеклянная пластина освещается пучком параллельных когерентных лучей. В отраженном свете возникает интерференционная картина, которая визуализируется на экране, расположенном со стороны падения лучей, в виде тёмных и светлых концентрических колец. По размерам этих колец и определяют показатель преломления стекла, из которого изготовлена пластина. Предварительно определим условия образования темных и светлых интерференционных колец при отражении пучка параллельных когерентных лучей от плоскопараллельной пластинки (рис.2).

Рис. 2. На поверхности пластинки световые лучи 1 и 2 разделятся на два луча – отраженный и преломленный от верхней поверхности пластинки. Разделение световых лучей происходит и на нижней поверхности пластинки. Обычно интенсивность отраженной волны много меньше интенсивности преломленной. 39

Поэтому после многократных отражений и преломлений интенсивности волн резко убывают. При расчете интерференции в отраженном свете достаточно учитывать лишь лучи 2' и 1". Лучи 1' и 2' полностью идентичны, и их наложение мы не рассматриваем. Из рис. 2 следует, что оптическая разность хода между этими лучами равна

Δ = ( AC + CB )n − (EF + EP ) − λ , 2 где n – показатель преломления стекла. Последнее слагаемое равенства (1) учитывает изменение фазы колебаний светового вектора при отражении луча 2' в точке E от оптически более плотной среды (показатель преломления стекла больше, чем показатель преломления воздуха) (рис. 2). Из анализа рис. 2 получаем ⎛ nd ⎞ λ Δ = 2⎜⎜ − d tgβ sinα ⎟⎟ − . ⎝ cosβ ⎠ 2

Учитывая закон преломления света sinα = n, sinβ получаем Δ = 2d n cosβ − λ = 2d n 2 − sin 2 α − λ 2 . 2

(1)

Вернемся к расчету интерференционной картины от расходящегося пучка когерентных лучей, освещающего поверхность плоскопараллельной пластинки. Из рис. 1 видно, что sinα =

R . 2L

(2)

При образовании интерференционной картины минимум освещенности получается при условии, что оптическая разность хода лучей равна Δ = ( 2m − 1 )

λ 2

(m – целое число).

(3) 40

Приравнивая правые части равенств (1) и (3), с учетом (2), получим условие для расчета радиусов темных колец на экране

Rm2 2dn 1 − = mλ , 4 Ln 2

(4)

где Rm – радиус m-го кольца. С учетом L >> R формулу (4) можно представить в приближенном виде:

⎛ Rm2 2dn⎜⎜1 − 2 2 ⎝ 8L n

⎞ ⎟⎟ = mλ. ⎠

(5)

Равенство (5) для темного кольца порядка (m + k) может быть записано в виде:

⎛ Rm2 + k 2dn⎜⎜1 − 2 2 ⎝ 8L n

⎞ ⎟⎟ = ( m + k )λ . ⎠

(6)

Из системы уравнений (5) и (6) находим показатель преломления стекла:

d (Rm2 − Rm2 + k ) n= 4kλL2

(7)

Равенство (7) справедливо и для светлых колец. 4. Измеряемый объект

Измеряемым объектом является полированная стеклянная пластина из оптического стекла. 5. Экспериментальная установка

Экспериментальная установка изображена на рис. 3. Лазер 1 освещает параллельным пучком линзу, расположенную в центре экрана 2. Позади линзы находится плоскопараллельная пластинка 3. Расстояние между линзой и пластинкой больше фокусного расстояния линзы, поэтому на пластинку падает расходящийся пучок света. На экране наблюдается интерференционная картина в виде полос равного наклона. Все элементы оптической системы смонтированы на скамье 4. 41

1

2 3

4

Рис. 3

6. Порядок выполнения работы

1. С помощью ручек управления предметного столика лазера совместить его луч с главной оптической осью линзы, вмонтированной в экран. 2. Расположить плоскопараллельную пластинку на главной оптической оси линзы на расстоянии 200 – 250 мм от экрана. 3. С помощью линейки или по шкале экрана измерить диаметры двух темных или светлых интерференционных колец. Кольцо с номером m должно быть наиболее близко расположено к внешнему диаметру линзы. Необходимо стремиться, чтобы расстояние между кольцами было бы как можно больше (значение k – максимально возможное). Результат записать в таблицу 1. 4. С помощью линейки или по шкале оптической скамьи измерить расстояние между плоскопараллельной пластинкой и экраном L. Результат записать в Форму 1.

42

Форма 1 N п/п

Диаметр кольца Dm+k, мм

Диаметр кольца Dm, мм

Расстояние между экраном и пластинкой L, мм

1 2 … 10 среднее 6. Наставление по обработке результатов и выводу формул

1. Вычислить показатель преломления стекла

⎡⎛ Dm + k ⎞2 ⎛ Dm ⎞ 2 ⎤ d ⎢⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎥ 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎝ n= ⎣ , 4kλL2 где d – толщина пластинки, λ – длина волны, излучаемой лазером, L – расстояние между экраном и пластинкой. 2. Оценить погрешность измерения показателя преломления. 3. Записать результат с учетом погрешности. 7. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте основные законы геометрической оптики. 2. Выведите формулу для расчета оптической разности хода при интерференции на тонкой пленке. 3. При каких условиях возможно интерференционной картины на пластинке? 4. В чем заключается сущность интерференции как физического явления? 5. Выведите формулы для максимумов и минимумов при интерференции на пленке.

43

РАБОТА 64. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ВОЛНЫ ИЗЛУЧЕНИЯ ЛАЗЕРА ПРИ ПОМОЩИ БИПРИЗМЫ ФРЕНЕЛЯ 1. Цель работы

Изучение интерференции света в опыте с бипризмой Френеля. Определение параметров интерференционной картины. Измерение длины волны лазерного излучения. 2. Краткая теория исследуемого явления

Интерференцией света называется явление, возникающее при наложении двух или более волновых процессов и сопровождающееся перераспределением энергии волн в пространстве. При интерференции световых волн возникает типичная интерференционная картина чередующихся максимумов и минимумов освещенности. Для наблюдения интерференционной картины в какой-либо области необходимо, чтобы волны, приходящие в каждую точку, имели постоянную (не меняющуюся с течением времени) разность фаз, одинаковые частоту и направление колебаний. Волны, удовлетворяющие вышеуказанным условиям, называются когерентными. Независимые источники света (две лампочки или даже два различных участка одного и того же светящегося тела) не создают когерентных волн, а следовательно, и устойчивой интерференционной картины. Отдельные атомы светящегося источника излучают непрерывно только в течение некоторого конечного промежутка времени ( τ ≈ 10-8 с). В один момент излучает одна группа атомов, в последующий момент – другая. Поэтому начальная фаза световых колебаний, испускаемых одним и тем же источником света, быстро и беспорядочно меняется за время наблюдения. При наложении света от таких источников мгновенные интерференционные картины сменяют одна другую настолько часто, что это воспринимается глазом как равномерная освещенность.

44

Когерентные световые волны можно получить путем разделения светового потока, исходящего из одной точки (т.е. от группы близлежащих атомов), на несколько потоков посредством частичного отражения или преломления волн. Применяя этот прием, заставляют интерферировать две части одной и той же волны, прошедшие различные пути и снова сошедшиеся. Между частями одной и той же волны возникают некоторая постоянная во времени разность фаз Δϕ и соответствующая ей оптическая разность хода

Δ . Если Δ равна четному числу полуволн или целому числу длин волн, т. е. Δ = ±2k ( λ / 2 ) = ± kλ ,

(1)

где k – целое число, λ – длина световой волны, то интерферирующие волны приходят в точку наблюдения в одинаковых фазах и усиливают друг друга. В этой точке наблюдается максимум освещенности. Если Δ равна нечетному числу полуволн

Δ = ±( 2k + 1 )λ / 2 ,

(2)

то интерферирующие волны встречаются в противоположных фазах и ослабляют друг друга – в этой точке освещенность минимальна. 3. Измеряемый объект

Измеряемым, точнее, исследуемым объектом является интерференционная картина, созданная при помощи бипризмы Френеля. Бипризма позволяет разделить пучок света на два пучка, которые после прохождения ими различных оптических путей попадает в одну точку. Конструктивно она представляет собой изготовленные из одного куска стекла две симметричные призмы, имеющие общее основание и малый преломляющий угол θ. Параллельно основанию располагается прямолинейный источник света S. Из законов геометрической оптики следует, что если углы падения лучей на грань призмы невелики и преломляющий угол призмы θ мал, то все лучи отклоняются призмой на одинаковый угол, равный ϕ = (n – 1)θ, 45

где n – показатель преломления стекла. При этом образуются две цилиндрические когерентные волны, исходящие из мнимых источников S1 и S2, лежащих в одной плоскости с источником света S. В области Н - перекрывания лучей от источников S1 и S2 - на экране образуется интерференционная картина (рис. 1).

Рис. 1. Формирование интерференционной картины бипризмой Френеля. 4. Принцип метода измерения

Интерференционная картина представляет собой совокупность чередующихся светлых и темных (красных и черных) полос (рис.2).

Рис. 2. Наблюдаемая интерференционная картина. Под шириной интерференционной полосы будем понимать общую ширину темной и светлой полос (совокупную ширину интерференционного максимума и минимума). Расчет ширины интерференционных полос, получающихся на экране, поясняет рис. 3. 46

Рис. 3. Ширина интерференционной полосы (расстояние между максимумами и минимумами освещенности экрана) зависит от расстояния d между источниками света S1 и S2 , длины световой волны λ и от расстояния от источников до экрана L. Оптическая разность хода лучей от источников S1 и S2 равна Δ = S2 – S1 .

(3)

Сумма расстояний от источников света до выбранной точки экрана с координатой "X" (при малых значениях X) приближенно равна S2 + S1 ≈ 2L.

(4)

Квадрат расстояний от источников света S1 и S2 до выбранной точки экрана (рис. 3) может быть определен из уравнений S 22 = L2 + (x + d/2)2,

(5)

S 12 = L2 + (x – d/2)2.

(6)

Вычитая из (3) равенство (4) и раскрывая квадраты, получаем S 22 – S 12 = (S2 + S1) * (S2 – S1) ≈ 2xd.

(7)

Учитывая равенства (3) и (4), уравнение (7) представим в виде 2LΔ = 2xd.

(8) 47

Уравнения (9) и (10) являются условиями интерференционных максимумов и минимумов соответственно Δ = ±mλ

(m = 0, 1, 2, ...),

(9)

Δ = ±(m +1/2)λ

(m = 0, 1, 2, ...) .

(10)

Определим ширину интерференционной полосы как расстояние между соседними максимумами интенсивности освещенности экрана. Тогда из (8) и (9) следует Δx = xm+1 – хm = λ

L . d

Такое же расстояние будет и между минимумами освещенности экрана. Отсюда длина световой волны, падающей на бипризму, равна λ=

dΔx L

(11)

Расстояние между мнимыми источниками d можно определить, зная преломляющий угол бипризмы θ и ее показатель преломления n. (см. рис. 1). d = 2L1 sinϕ ≈ 2L1ϕ = 2L1(n – 1)θ.

(12)

Подставляя уравнение (12) в (11), находим длину волны света, падающего на бипризму Френеля λ = 2L1(n – 1)θ

Δx . L

(13)

5. Экспериментальная установка в статике и динамике

Принципиальная схема установки показана на рис. 4. Основными элементами установки являются: источник монохроматического света – лазер 1, собирающая линза с фокусным расстоянием 30 мм 2, бипризма Френеля 3, окуляр 4 с фокусным расстоянием 12,5 мм и экран 5. Все элементы установлены в подвижные рейтеры и закреплены на оптической скамье 6.

48

5 4

3

2

1

6

Рис. 4. Общий вид лабораторной установки. Лучи лазера направляются на собирающую линзу, фокусируются на ее оптической оси, а затем попадают на бипризму Френеля. Фокус собирающей линзы является моделью точечного источника когерентного монохроматического света, освещающего бипризму. При такой оптической схеме увеличивается яркость интерференционных полос. Бипризма формирует интерференционную картину в виде последовательности вертикальных полос различной освещенности. Короткофокусная линза-окуляр предназначена для получения на экране увеличенного изображения интерференционных полос. Использование в оптической схеме линзы и окуляра требует уточнения расчетной формулы (13). Из рис. 5 видно, что ширина интерференционной полосы, входящая в формулу (13), выражается через ширину полосы на экране следующим образом: Δx =

a Δx’. b

(14)

49

Рис. 5. Оптическая схема установки лабораторной установки, дополненная линзой и окуляром. Неизвестное расстояние a, можно найти с помощью формулы для тонкой линзы (ƒ – фокусное расстояние окуляра) 1 1 1 + = . a b f

Откуда получаем a=

bf . b− f

(15)

Следовательно, подставив (15) в (14), получим Δx =

f Δx' . b− f

(16)

Из рис. 5 видно L = L1 + c – a = L 1 + с –

( L + c)(b − f ) − bf bf . = 1 b− f b− f

(17)

Подставив выражения (16) и (17) в (13), получаем

λ=

2 L1 ( n − 1 )θ f Δ x' ( l1 + c )( b − f ) − bf

(18)

6. Порядок выполнения работы

1. Перемещая по оптической скамье рейтер с окуляром, получить на экране четкое изображение интерференционных полос. 2. Линейкой или по шкале экрана измерить расстояние H между четырьмя расположенными рядом темными полосами. Результат записать в таблицу 1. 3. Измерить расстояния между собирающей линзой и бипризмой Z, меж50

ду бипризмой и окуляром c, а также между экраном и окуляром b (см. рис. 5). Записать результаты в Форму 1. Форма 1 N пп

H, мм

Z, мм

c, мм

b, мм

1 2 … 10 среднее 7. Обработка результатов измерений

1. Вычислить ширину интерференционной полосы Δx' =

H . 4

2. Определить расстояние от фокуса собирающей линзы до бипризмы Френеля (F – фокусное расстояние собирающей линзы) L1 = Z – F. 3. Вычислить длину волны, излучаемой лазером по формуле (18). 4. Оценить погрешность измерений длины волны лазера. 5. Записать результат измерений с учетом погрешности. 8. Контрольные вопросы

1. Пояснить как возникает интерференционная картина при использовании бипризмы Френеля. 2. Что собой представляет бипризма Френеля? 3. При каких условиях возникает интерференционная картина? 4. Что называется оптической и геометрической разностями хода лучей? 5. Что собой представляет интерференционная картина, полученная с помощью бипризмы Френеля?

51

РАБОТА 65. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАДИУСА КРИВИЗНЫ ЛИНЗЫ ПРИ ПОМОЩИ КОЛЕЦ НЬЮТОНА 1. Цель работы

Целью работы является ознакомление с оптическим методом измерения радиусов кривизны оптических поверхностей. 2. Краткая теория исследуемого явления

В основе метода измерения, реализованного в данной установке, лежит явление интерференции. Интерференцией света называется явление, возникающее при наложении двух или более волновых процессов и сопровождающееся перераспределением энергии волн в пространстве. При интерференции световых волн возникает типичная интерференционная картина чередующихся максимумов и минимумов освещенности. Для наблюдения интерференционной картины в какой-либо области необходимо, чтобы волны, приходящие в каждую точку, имели постоянную (не меняющуюся с течением времени) разность фаз, одинаковые частоту и направление колебаний. Волны, удовлетворяющие вышеуказанным условиям, называются когерентными. Независимые источники света (две лампочки или даже два различных участка одного и того же светящегося тела) не создают когерентных волн, а следовательно, и устойчивой интерференционной картины. Отдельные атомы светящегося источника излучают непрерывно только в течение некоторого конечного промежутка времени ( τ ≈ 10-8 с). В один момент излучает одна группа атомов, в последующий момент – другая. Поэтому начальная фаза световых колебаний, испускаемых одним и тем же источником света, быстро и беспорядочно меняется за время наблюдения. При наложении света от таких источников мгновенные интерференционные картины сменяют одна другую настолько часто, что это воспринимается глазом как равномерная освещенность. 52

Когерентные световые волны можно получить путем разделения светового потока, исходящего из одной точки (т.е. от группы близлежащих атомов), на несколько потоков посредством частичного отражения или преломления волн. Применяя этот прием, заставляют интерферировать две части одной и той же волны, прошедшие различные пути и снова сошедшиеся. Между частями одной и той же волны возникают некоторая постоянная во времени разность фаз Δϕ и соответствующая ей оптическая разность хода

Δ . Если Δ равна четному числу полуволн или целому числу длин волн, т. е. Δ = ±2k ( λ / 2 ) = ± kλ ,

(1)

где k – целое число, λ – длина световой волны, то интерферирующие волны приходят в точку наблюдения в одинаковых фазах и усиливают друг друга. В этой точке наблюдается максимум освещенности. Если Δ равна нечетному числу полуволн

Δ = ±( 2k + 1 )λ / 2 ,

(2)

то интерферирующие волны встречаются в противоположных фазах и ослабляют друг друга – в этой точке освещенность минимальна. 3. Принцип метода и рабочая формула

Метод измерения радиусов кривизны линзы основан на наблюдении колец Ньютона. Кольца Ньютона являются примером полос равной толщины, возникающих при освещении пластинки переменной толщины (например, клина) параллельным пучком света. Каждая из полос образуется за счет отражений света от верхней и нижней граней в тех местах, где толщина пластинки одинакова. Если плосковыпуклую линзу малой кривизны поместить на полированную пластину так, как это показано на рис.1, то вокруг точки касания возникает воздушный клин переменной толщины h. При освещении такой системы падающим нормально монохроматическим светом потоки, отраженные от выпуклой поверхности линзы AОA' и пластины ВВ', будучи когерентными, создадут вокруг точки касания систему интерференционных колец Ньютона. 53

Рис. 1 Полная оптическая разность хода лучей, отразившихся от линзы и пластины в тех местах, где толщина зазора (n воздушного = 1) равна h, будет

Δ = 2η +

λ . 2

(1)

При малой кривизне линзы геометрическая разность хода интерферирующих лучей λ ≈ 2h, дополнительная разность хода λ/2 обусловлена тем, что луч, прошедший воздушный зазор, отражаясь от пластины (среды оптически более плотной), меняет фазу на π (теряет полволны). В центре картины при h = 0 и Δ = λ/2 наблюдается центральное или нулевое (k = 0) темное пятно. Темные кольца будут возникать при разности хода Δ = (2k + 1)(λ/2), k = 1, 2, 3, … Следовательно, величина зазора hk в месте возникновения k-гo темного кольца должна быть равной hk = k (λ/2).

(2)

Разность хода, обеспечивающая возникновение светлых колец, Δ = 2k (λ/2), k = 1, 2, 3, … Толщина зазора hk в месте наблюдения светлых колец равна hk = (2k – 1)(λ/2).

(3)

Из рис.1 видно, что Rk2 =rk2 + (R – hk )2, и так как hk >> R, то rk2=2hk R и hk =rk2/2R или hk =Dk2/8R .

(4) 54

Используя соотношения (2) и (4), получим расчетную формулу для определения радиуса кривизны линзы R по диаметру Dk k-гo темного кольца: R = Dk2/4kλ.

(5)

Здесь λ – длина волны монохроматического света, в котором ведется наблюдение; Dk – диаметр k-гo темного кольца. Аналогично, сопоставляя (3) и (4), для светлых колец получим

Dk2 . R= 2( 2k − 1 )λ

(6)

Здесь Dk – диаметр k-гo светлого кольца. 4. Измеряемый объект

Объектом является плосковыпуклая (собирающая) линза, лежащая на стеклянной подложке. 5. Описание лабораторной установки

Для измерения диаметров колец используется микроскоп с малым увеличением. Руководство к пользованию микроскопом помещено на столе установки. 6. Порядок выполнения работы

1. Включить освещение микроскопа. Линзу, закрепленную на пластине, располагают на предметном столике микроскопа так, чтобы точка соприкосновения линзы с пластиной (она видна глазом) находилась под центром объектива. 2. Опуская или поднимая тубус микроскопа, получают отчетливое изображение колец Ньютона (набор черных и красных концентрических колец, напоминающих мишень). 3. Сфокусировав окулярную лупу так, чтобы в поле зрения совершенно отчетливо было видно перекрестие, приступают к измерению диаметров колец. Диаметры измеряют в горизонтальном и вертикальном направлениях. Измере55

ния можно производить как по темным, так и по светлым кольцам. Удобно их вести в следующем порядке. Наводят перекрестие нитей, например, на девятое кольцо слева от центрального пятна и записывают соответствующий отсчет. Затем измеряют последовательно положения колец вплоть до первого (отсчеты п'). Пройдя центральное темное пятно, снимают отсчеты п" для колец с первого по девятое справа от центрального пятна. Разность отсчетов (n' – n"), взятых для одного и того же кольца, дает диаметр кольца Dk. Подобные измерения диаметров колец производят и в вертикальном направлении. Результат записывают в форму 1. Форма 1 № п/п

n1

Вертикальные измерения n2 D по верт.

Горизонтальные измерения n1 n2 D по гориз.

Dср =

Dв . + D г 2

D2k 4k

Δ

D2k 4k

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Среднее значение →

4. Вычислив значения диаметров колец в горизонтальном и вертикальном направлениях, находят средние значения диаметров колец. Так как кольца, близкие к центральному пятну, размыты, то для вычисления Rcp рекомендуется использовать диаметры колец, далеких от центра, например, от пятого до девятого. Измерения первых колец следует сделать, чтобы не сбиться в их счете. При измерении диаметров темных колец вычисляют среднее значение (Dk2/4k)cp.

Если

измерялись

светлые

кольца,

то

вычисляют

величину

[Dk2/2(2k – 1)]cр.

56

5. Вычисляют среднее значение Rcp по формуле (5) или (6). Длина волны света, пропускаемого фильтром, λ = (0,66 ± 0,01) мкм. Оценивают погрешность вычисления ΔR. 7. Контрольные вопросы

1. Как возникает интерференционная картина – кольца Ньютона? 2. Почему при нулевом зазоре между линзой и пластиной в центре картины в отраженном свете будет наблюдаться темное пятно, а в проходящем – светлое? 3. Как изменятся кольца Ньютона, если систему осветить светом меньшей длины волны? 4. Чему равны в месте расположения третьего светлого кольца в отраженном свете: а) толщина воздушного зазора h3; б) геометрическая разность хода волн Δгеом; в) оптическая разность хода волн Δ?

57

РАБОТА 66. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСПЕРСИИ СВЕТА НА СТЕКЛЯННОЙ ПРИЗМЕ 1. Цель работы

Ознакомление с явлением дисперсии. Определение зависимости показателя преломления стекла «т» призмы от длины волны света. 2. Основные теоретические положения

Дисперсией света называется зависимость скорости света v в среде от его длины волны λ (или от частоты ν). Известно, что c v= , n где с – скорость света в вакууме (универсальная постоянная, равная 3•108 м/с), а n – показатель преломления среды. Поскольку с = const, то существование дисперсии света в среде обусловлено зависимостью показателя преломления n от длины волны λ (или от частоты ν). Эта зависимость легко обнаруживается, например, при прохождении пучка белого света через призму, изготовленную из какой-нибудь прозрачной для данного света среды (рис. 1). На экране, установленном за призмой, наблюдается радужная полоса, которая называется призматическим или дисперсионным спектром, когда, в силу того, что n = n(λ), свет разных длин волн, проходя через призму отклоняется на разные углы. экран Белый свет красный желтый зеленый

дисперсионная призма

радужная полоса

фиолетовый

Рис. 1

58

В зависимости от длины волны λ (и, разумеется, от частоты ν) цвета наблюдаются в следующем порядке: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый. Смена цветов происходит непрерывно и содержит множество полутонов. Каждому цвету соответствует определенный диапазон длин волн (см. форму 1): Форма 1 Фиолетовый, нм 390-435

Синий, нм 435-495

Зеленый, нм 495-570

Желтый, нм 570-590

Оранжевый, Красный, нм нм 590-630 630-770

Принято считать, что весь оптический диапазон (область видимого света) укладывается примерно от 0,4 мкн до 0,8 мкн. (всего в 0,4 мкн!) Зависимость показателя преломления среды n от длины волны света λ нелинейная и монотонная. Области значений λ, в которых

dn < 0 , т.е. с ростом λ dλ

величина «n» уменьшается, соответствует нормальной дисперсии света. Нормальная дисперсия наблюдается у веществ, прозрачных для видимого света. Рис. 1 демонстрирует как раз случай нормальной дисперсии. Дисперсия называется аномальной, если

dn > 0 , т.е. с ростом λ показатель преломления среды dλ

уменьшается. Аномальная дисперсия наблюдается в областях длин волн, соответствующих полосам интенсивного поглощения света в данной среде. Например, у обычного стекла эти полосы находятся в инфракрасной и ультрафиолетовой частях спектра. 3. Принцип метода измерения и рабочая формула

Стеклянная призма является диспергирующей системой: она разлагает исследуемый свет в спектр по длинам волн, что широко используется в различных спектральных приборах. Это свойство призмы обусловлено тем, что показатель преломления n стекла, из которого изготовлена призма, зависит от дли-

59

ны волны λ света, поэтому свет разных длин волн, проходя через призму, отклоняется на разные углы. Для определения зависимости n(λ) в случае призмы можно использовать метод, основанный на измерении угла наименьшего отклонения. Суть этого метода состоит в следующем. Пусть луч света с длиной волны λ падает на грань призмы с преломляющим углом θ под некоторым углом β (рис. 2). В результате двух преломлений на двух гранях призмы вышедший из нее луч отклоняется на угол α по отношению к падающему лучу. Угол α зависит от угла падения β, преломляющего угла призмы θ, а также сорта стекла и длины волны света λ. Можно показать, что при симметричном прохождении света через призмы (как на рис. 2) угол отклонения минимален. В этом случае показатель преломления и обозначим его, как αмин., определяется формулой n = sin{1 / 20(θ + αмин )} / sin (θ / 2 )

(1)

где угол αмин. зависит от λ. В данной работе используется призма с θ = 60о, и формула (1) упрощается:

(

n = 2sin 30 o + αмин / 2

)

(2)

Таким образом, определение показателя преломления для каждой длины волны сводится к измерению соответствующего угла наименьшего отклонения.

θ α

β

Рис. 2.

60

4. Измеряемый объект

Объектом является стеклянная поляризационная призма с преломляющим углом θ = 60о. 5. Установка в статике

Лабораторная установка по сути представляет собой спектроскоп - прибор для измерения углов. Оптическая схема представлена на рис. 3, где 1 – источник излучения (ртутная лампа); 2 – узкая регулируемая щель; 3 – линза (щель 2 находится в передней фокальной плоскости линзы 3); 4 - дисперсионная призма, закрепленная на горизонтальном поворотном столике 5; 6 - оптический прибор НОВ-16 (окуляр с отсчетным микроскопом). Совокупность устройств 1, 2 и 3 называется коллиматор. В данной работе коллиматор должен быть неподвижным, жестко закрепленным винтом рейтара. Окулярный микроскоп НОВ-16 и призма должны самостоятельно вращается вокруг оси прибора на поворотном столике. 3

4

2

1

6 5

Рис. 3

61

6. Настройка спектроскопа. (Установка в динамике) Внимание! Этот раздел выполняется студентами только по указанию

преподавателя и с его участием. I. Окуляр с отсчетным микроскопом 6 и коллиматор (1, 2, 3) устанавливаются друг напротив друга вдоль общей оптической оси. На транспортире фиксируется положение окуляра и соответствующий этому положению угол α = α’ (его можно называть начальным или нулевым). II. Включается ртутная лампа (1). При этом входная щель (2) должна быть хорошо освещена. В окуляр наблюдается изображение щели. III. На поворотный столик (5) устанавливается исследуемая призма (4). Поворотом столика (5) визуально (глазом) отыскивается радужная полоса (цветной дисперсионный спектр) и в его направлении наводится окуляр (6) с НОВ-16. IV. При правильной настройке спектроскопа в окуляр должен просматриваться весь спектр – от желтого дублета (двойной линии) до яркой фиолетовой линии. 7. Порядок выполнения работы

I. Включить ртутную лампу. II. Убедиться, что через окуляр наблюдается цветной дисперсионный спектр. Должен быть отчетливо видны 4 спектральные линии: красная, желтый дублет (двойная), голубая и фиолетовая. III. Транспортир поворотного столика развернут таким образом, что угол α’ (см. 6.I) равен нулю. IV. Медленно разворачивая стеклянную призму по и против часовой стрелки найти такое ее положение, когда направление смещения спектра при монопольном развороте призмы изменится на противоположное. Зафиксировать это положение крепежным винтом рейтора. V. Поочередно навести перекрестье окуляра с НОВ-16 на каждую из наблюдаемых спектральных линий по транспортиру в форму 2.

62

Форма 2 Красная линия αмин.кр.

Желтая линия αмин. ж.

Голубая линия αмин. г.

Фиолетовая линия αмин. ф.

1 2 3 4 5 Среднее Опыт повторить пять раз. Для всех спектральных линий найти средние значения. VI. По средним значениям для всех линий определить соответствующие им коэффициенты преломления: nкр; nж; nг; nф по формуле (2). Результаты записать в форму 3. Форма 3 nж

nкр

nг

nф

VII. Построить график зависимости n = n(λ). 8. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте законы преломления и отражения света. 2. Что такое абсолютный и относительный показатели преломления? 3. Как показатель преломления связан со скоростью распространения света? 4. Что такое дисперсия света? 5. Чем различаются нормальная и аномальная дисперсия света? 6. Что такое полное внутреннее отражение и когда оно наступает? 7. Что такое оптическая плотность среды?

63

РАБОТА 67. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА РТУТНОЙ ЛАМПЫ ПРИ ПОМОЩИ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ 1. Цель работы

Целью работы является ознакомление с явлением дифракции световых волн на дифракционной решетке. 2. Основные теоретические положения

ДИФРАКЦИЯ СВЕТА Явление дифракции заключается в огибании волной различных препятствий, т.е. в отклонении волны от прямолинейного распространения. Наблюдать отчетливую дифракционную картину можно лишь при условии, что размеры препятствия сопоставимы с длиной волны или, если место наблюдения дифракции находится на большом расстоянии от препятствия. При расчетах дифракционных явлений используется принцип Гюйгенса — Френеля. Принцип Гюйгенса утверждает, что каждая точка пространства, до которой доходит световое возбуждение, сама становится источником вторичных полусферических световых волн, огибающая которых дает фронт распространяющейся волны. В изотропной среде фронт волны перпендикулярен направлению распространения. Таким образом, используя принцип Гюйгенса, можно установить направление распространения волны. Согласно принципу Френеля, интенсивность распространяющейся волны определяется интерференцией вторичных волн. Поэтому в пространстве свет будет наблюдаться только там, где вторичные волны усиливают друг друга. Важное практическое применение имеет дифракция, наблюдаемая при прохождении света через дифракционную решетку. Плоская прозрачная дифракционная решетка представляет собой хорошо отполированную стеклянную пластинку, на которую нанесен ряд параллельных штрихов. Штрихи играют роль непрозрачных промежутков, прозрачные участ64

ки между штрихами играют роль щелей. Шагом, или периодом решетки, называют промежуток, включающий штрих и просвет, т. е. D = a + b, здесь а — ширина щели; b — ширина непрозрачного промежутка между щелями. Предположим, что на дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает параллельный пучок монохроматического света (рис.1). Результатом дифракции света на узких щелях является дифракционный спектр, наблюдаемый в фокальной плоскости собирающей линзы. Положение главных максимумов в дифракционном спектре может быть получено, исходя из принципа Гюйгенса – Френеля, согласно которому каждая точка щелей является источником вторичных полусферических волн. Вторичные волны интерферируют между собой. Если выбрать параллельный пучок лучей, идущих из точек А и В соседних щелей под углом ϕ к нормали (рис.1), то оптическая разность хода Δ этих лучей будет определяться, как Δ = d sin ϕ.

(1)

Рис.1 В направлении угла ϕ максимум интенсивности света наблюдается в том случае, если оптическая разность хода лучей равна четному числу полуволн или целому числу длин волн т.е. Δ = ±2k (λ/2) = ± kλ,

k = 0, 1, 2, ...

(2)

Таким образом, условие возникновения главных максимумов при прохождении света через дифракционную решетку определяется соотношением d sin ϕ = ± kλ,

(3) 65

здесь k — номер дифракционного максимума. К подобному выражению для разности хода лучей мы придем, рассматривая интерференцию света для двух любых щелей. Например, разности хода между двумя соответственными лучами из первой и N-й щели, идущими под углом ϕ, равны DE = AD sin ϕ (рис.1), но DE = NΔ, a AD = N(a + b). Подставив значения DE и AD в формулу разности хода и сократив N, получим Δ = (a +b)sin ϕ. Если на решетку падает излучение различных длин волн (λ1, λ2 и т.д.), то очевидно, что дифракционные максимумы для каждой длины волны получаются под различными углами ϕ. На экране будут наблюдаться дифракционные спектры источника света. При ϕ = 0 оптическая разность хода лучей равна 0, волны всех длин усиливают друг друга и наблюдается центральный максимум света. Слева и справа от него наблюдаются спектры k-х порядков. На рис.2 изображен дифракционный спектр источника, излучающего свет двух волн: λ1 и λ2 (λ1