Моделирование процессов ядерной технологии: [учеб. пособие для вузов]

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(государственный университет) ____________________________________________________

В. В. НЕЧАЕВ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЯДЕРНОЙ ТЕХНОЛОГИИ

Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

МОСКВА 2007

УДК 539.1.01(075) ББК 22.38я7 Н 59 Нечаев В.В. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЯДЕРНОЙ ТЕХНОЛОГИИ. Учебное пособие. М.: МИФИ, 2007. – 80 с. Целью настоящего издания является изложение базовых знаний, необходимых для проведения численных расчетов тепловых и гидродинамических задач, возникающих при разработке технологий ядерных материалов. Сюда входит освоение работы со справочниками физических и термохимических величин, приобретение опыта написания компьютерных программ, проведение практических численных расчетов в соответствии с основными положениями теории тепло- и массопереноса, с учетом особенностей проявления этих явлений в технологических процессах. Т.е. читатель знакомится с практическими методами расчета процессов тепло- и массопереноса с последующим их применением для решения задач по усовершенствованию существующих, исследованию и проектированию новых технологических процессов и аппаратов. Указанные проблемы занимают важное место в преподавании фундаментальных дисциплин физического материаловедения. Освещаемые в учебном пособии вопросы изучаются в дисциплинах «Физика конденсированного состояния», «Теоретическое и прикладное материаловедение», «Физические основы компьютерного проектирования материалов», «Моделирование технологических процессов» – базовых для студентов кафедры «Физические проблемы материаловедения» Московского инженерно-физического института. Пособие предназначено для студентов, аспирантов и специалистов в области материаловедения, металлургии, физической химии. Подготовлено в рамках Инновационной образовательной программы. Рецензент проф. В.В. Сергиевский ISBN 978-5-7262-0808-4

©

Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2007

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................................4 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ .................................................................................................5 1.1. ПРИНЦИПЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ........................................................5 1.2. ПРОЦЕССЫ ПОЛУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ ЯДЕРНОЙ ТЕХНИКИ .................................11 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ..........................................................................................15 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕПЛОФИЗИКИ И МАССОПЕРЕДАЧИ ......................................................16 2.1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ДИФФУЗИЯ ....................................................................17 2.2. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ ...............................................................................20 2.3. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ .............................................................................23 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ..........................................................................................30 3. СТАЦИОНАРНОЕ СОСТОЯНИЕ. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ...................................................31 3.1. СТАЦИОНАРНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ОДНОСЛОЙНОЙ СТЕНКЕ ..................................31 3.2. МНОГОСЛОЙНАЯ СТЕНКА. ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ 1-ГО РОДА .............................34 3.3. СТАЦИОНАРНЫЙ ТЕПЛООБМЕН. ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ 3-ГО РОДА .....................39 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ..........................................................................................44 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛООБМЕНА В ВАКУУМНЫХ УСТАНОВКАХ............................45 4.1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕПЛООБМЕНА ИЗЛУЧЕНИЕМ .............................................45 4.2. ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН ПРИ НАЛИЧИИ ЭКРАНОВ .............................................48 4.3. АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ....................................................................51 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ..........................................................................................53 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ТЕПЛООБМЕН ...........................................................................54 5.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕПЛООБМЕНА .....................54 5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ НАГРЕВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ ........................................................56 5.3. БЕЗРАЗМЕРНЫЕ КРИТЕРИИ ..................................................................................60 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ..........................................................................................66 6. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ ..................................................................................67 6.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ .................................................................................67 6.2. ДИФФУЗИОННЫЙ И ТЕПЛОВОЙ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ .........................................69 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ..........................................................................................71 ПРИЛОЖЕНИЯ ................................................................................................................72 ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАЦИОНАРНОГО ТЕПЛООБМЕНА В МНОГОСЛОЙНОЙ СТЕНКЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПЕЧИ..................................................72 ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛООБМЕНА В ВАКУУМНОЙ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЕЧИ С ЭКРАННОЙ ИЗОЛЯЦИЕЙ ....................75 ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА НАГРЕВА ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА ...........................................................................77 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ..................................................................................................79

3

ВВЕДЕНИЕ

Уже сам факт рождения ядерной науки потребовал масштабного расширения номенклатуры выпускаемых в значительных количествах чистых веществ (с содержанием нерегулируемых примесей на уровне 10-2–10-3 %) и прецизионных (с регулируемым до десятых долей процента составом) сплавов на их основе. В подавляющем большинстве случаев это оказались весьма тугоплавкие и всегда химически активные вещества – сплавы и соединения редких металлов. Среди последних надо выделить прежде всего уран, плутоний, цирконий, гафний, гадолиний, ниобий, ванадий, молибден, вольфрам, а также углерод (графит) и бор. Номенклатура новых материалов определилась из ядерно-физических свойств элементов (способностью ядер к делению, сечением захвата нейтронов). Повышенные требования к чистоте и точности по составу появились в связи как с ядерными, так и физико-химическими и механическими свойствами редких тугоплавких металлов: обычно они становятся пластичными только при содержании некоторых примесей внедрения (кислород, углерод, азот, водород) на уровне 10-2–10-3 %. Появилось и качественно новое требование – чистота по изотопному составу. Дальнейшее становление и развитие ядерной отрасли потребовало производства чистых металлов и прецизионных сплавов уже в крупнотоннажном масштабе. Задача была решена за счет появления тонких, специфических металлургических процессов, названных ядерными технологиями. Последующее совершенствование ядерной технологии редких и рассеянных элементов позволило плавно перейти к созданию промышленного производства материалов космической техники и твердотельной электроники. Особенность процессов получения и обработки материалов ядерной, космической и полупроводниковой техники в том, что их проводят при высоких температурах, в глубоком и сверхглубоком вакууме, в особо чистых инертных газовых средах. Для нагрева часто принципиально необходимо использовать высокочастотные или электронно-лучевые установки с малым тепловым КПД. При прокатке, волочении и других методах обработки давлением необходимо использовать скорости, значительно меньшие, чем в черной 4

и цветной металлургии. Нередко такие материалы используются в виде монокристаллов, т.е. изделия из них состоят из одного большого кристалла. Понятно, что стоимость самих редких тугоплавких металлов, также как и высокотемпературных процессов для их получения и обработки весьма высока. Поэтому чисто экспериментальный подход к оптимизации существующих и, тем более, созданию новых промышленных технологических процессов производства и обработки редких металлов стал неприемлем из-за слишком большого расхода дорогостоящих материалов, энергии, сложности изготовления и модернизации установок для проведения натурных экспериментов. Стала очевидной актуальность использования теоретико-расчетных методов, которые помогают технологу находить ответы на вопросы о необходимых и предельно допустимых параметрах процесса, влиянии технологических факторов на скорость получения, состав и свойства материала. К таким передовым методикам теоретического исследования технологических процессов с целью их разработки, совершенствования и оптимизации относятся различные методы математического моделирования. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 1.1. Принципы численного моделирования Виды математического моделирования. Место и роль детерминированного математического моделирования в научном исследовании. Вычислительный эксперимент. Стадии создания математической модели. Физическая модель. Структура математических моделей. Краевые, начальные и граничные условия. Физический смысл и математическое описание граничных условий.

Под математическим моделированием понимается методика научного исследования, в которой реальный процесс заменяется математической моделью – его математическим описанием, некоторой системой уравнений, передающей свойства объекта. Процессом собственно моделирования является теоретическое математическое исследование свойств построенной системы уравнений. 5

Конечно, этими же вопросами занимается теоретическая физика. Но отличие от нее, при математическом моделировании не ограничиваются изучением общих свойств объекта, а доводят решение до конкретного численного результата. Чаще всего, из-за сложности получаемых уравнений, исследование сразу проводится методами прикладной математики, численными расчетами на компьютерах, не получая аналитического решения. Математическое моделирование дает менее общие результаты, чем теоретическая физика, но отвечает на конкретные вопросы, в определенном смысле более соответствуя экспериментальной физике. Можно говорить, что натурные эксперименты на реальном объекте заменяются в математическом моделировании на вычислительные эксперименты, т.е. на серии численных расчетов на компьютерах. Поэтому математическое моделирование часто называется численным моделированием. Последнее время распространенным становится также термин компьютерное моделирование. Численное математическое моделирование делится на два направления. Первое, называемое индетерминировенным (неопределенным), основано на проведении предварительных натурных экспериментов на имеющемся оборудовании, по уже предложенной технологии, и установлением формальных математических зависимостей между входными параметрами технологического процесса и свойствами получаемого материала. Далее, исследуя свойства этой математической модели, полученной в результате обработки экспериментальных данных уже теоретически, определяются или оптимизируются условия получения материала с заданными свойствами. При этом не выясняется (точнее, и не ищется) физический смысл получаемых математических зависимостей, не вскрывается сущность технологического процесса. Этот факт и дал название данному научному направлению – индетерминированное моделирование. Технологическая установка здесь рассматривается как некоторый «черный ящик», в котором протекают неопределенные, не понятые и не объясненные процессы. Главным достоинством индетерминированного моделирования является то, что с его помощью можно исследовать процессы практически любой сложности. Главным недостатком – то, что он может быть применен только для совершенствования уже существующего технологического процесса на реально изготовленной установке. Кроме того, поскольку остается неизвестной физика 6

происходящих явлений, всегда остается открытым вопрос: достигнут ли глобальный экстремум по технологическим характеристикам. Причем только данного процесса на конкретной установке. Бурный прогресс вычислительной техники в последней четверти XX века открыл возможность выполнения очень больших объемов вычислительной работы за реальное время. Это позволило использовать наиболее информативную численную методику научных исследований, а именно детерминированное математическое моделирование. Под детерминированной математической моделью понимается создание системы уравнений, описывающей физические явления, реально происходящие в изучаемом объекте – технологическом процессе, установке, материале. При наличии хорошей детерминированной модели вычислительный эксперимент является самым экспрессным и экономически выгодным среди всех методов исследования. Действительно, такие модели допускают возможность изучения свойств реально еще не существующего, виртуального объекта, который только еще требуется разработать. Строго говоря, сегодня к созданию реального объекта и следует приступать только после теоретического, пусть и предварительного, определения условий проведения технологического процесса и/или выбора конструкции соответствующей установки. Кстати, ничто не мешает исследователю, после создания уже реальной установки, использовать индетерминированное моделирование для уточнения и оптимизации технологических параметров. Созданию детерминированной математической модели объекта исследования предшествует выбор физического приближения – построение физической модели. На этом этапе решается вопрос о том, какие реальные факторы необходимо учесть, а какими можно пренебречь. Здесь подробно рассматриваются физические явления, ответственные за прохождение интересующего процесса, и выбираются главные, превалирующие. Излишняя детализация приведет к математической модели, не имеющей на данный момент времени даже численного решения. Излишнее упрощение сделает модель слишком грубой, в которой будут упущены принципиальные свойства исследуемого объекта. Любая детерминированная математическая модель состоит из двух частей: 7

1) основной системы уравнений (обычно в частных производных второго порядка), описывающей физическое явление в целом и имеющей бесконечное множество решений. Такие уравнения чаще всего известны из теоретической физики и требуют только конкретной детализации; 2) дополнительной системы уравнений, являющейся краевыми условиями и выделяющими решение, соответствующее физическому (если хотите – технологическому) процессу в конкретной геометрии (в установке конкретной конструкции) при конкретных физических условиях (технологических параметрах). Краевые условия характеризуют взаимодействие изучаемого устройства с окружающей средой и обычно выражают некоторые законы сохранения – массы, заряда, энергии, количества движения и т.п. В качестве примера в табл. 1.1 приведена структура математической модели, основанной на термодинамических представлениях о технологическом процессе. В основе разработки любой технологии практически всегда прежде всего лежит поиск такого распределения температуры в пространстве (теплового поля) как технологического аппарата, так и внутри изделия, такого его изменения во времени (нестационарный процесс), которое и обеспечивает в конечном счете процесс получения материала с заданными свойствами. Поэтому технологу материалов ядерных реакторов очень важно знать теплофизику – науку, занимающуюся изучением процессов распространения тепла в пространстве и времени, созданием методов расчета и практического формирования тепловых полей. Поэтому краевые условия рассмотрим на примере теплофизических задач. Краевые условия разделяются на начальные (временные) и граничные (пространственные). Начальные условия описывают распределение какой-либо субстанции или ее характеристики (например, тепла, вещества, температуры Т или концентрации C) внутри системы в начальный момент времени (τ = 0). В общем виде они должны выражать некоторую функциональную зависимость типа: Тнач = T(r,τ=0) = f(r) или Снач = C(r,τ=0) = f(r). Возможны разные случаи, но очень распространено на практике условие, когда температура или концентрация в начальный момент времени во всех точках одинакова. 8

Таблица 1.1 Структура детерминированных математических моделей на базе термодинамических представлений Основные блоки математических моделей

1. Описание физического явления в целом

2. Описание конкретного процесса в конкретном аппарате

Термодинамический вариант

Общематематический вариант

Дифференциальные уравнения, дающие общее математическое описание явления и имеющие бесконечное множество решений

Уравнения, описывающие максимальность энтропии

Уравнения, описывающие начальные и граничные условия, выделяющие единственное решение

Уравнения, описывающие законы сохранения энергии, массы, заряда

Связь с законами термодинамики, математическая интерпретация 2-й закон термодинамики – необходимость требования экстремума функции состояния (энтропии) в равновесии; 3-й закон термодинамики – обоснование достаточности требования Закон сохранения энергии – 1-й закон термодинамики; Законы сохранения материи (материального баланса, заряда и др.); уравнение состояния

Граничные условия описывают характер взаимодействия между окружающей средой и системой через ее поверхность. На практике различают три типа граничных условий. Граничные условия 1-го рода в математическом описании соответствуют заданию значения искомой функции (например, температуры Т) на поверхности системы S. В общем случае это значение может меняться во времени τ : Тпов = T(r =S,τ) = ϕ(τ), но чаще всего это будет константа. 9

Физический смысл граничных условий 1-го рода – наличие внешнего источника (или стока) бесконечной мощности на поверхности раздела системы и среды. Например, этот вариант граничных условий описывает случай, когда все количество тепла или массы, ушедшее с поверхности в глубь тела, тут же компенсируется внешним источником: отвод субстанции в глубь тела идет значительно медленнее, чем ее получение поверхностью тела из окружающей среды. Граничные условия 2-го рода соответствуют заданию значения первой производной на поверхности. Физический смысл первой производной – плотность потока некоторой субстанции. Например, для тепловых задач плотность теплового потока qпов на границе S задается уравнением: –λ·grad(T)|S = qпов(τ), где λ – коэффициент теплопроводности. Т.е., здесь задается распределение плотности теплового или концентрационного потока через границу раздела система – среда на этой поверхности раздела. Физическая интерпретация граничных условий 2-го рода может быть и такой: наше тело – это внутренний сток бесконечной мощности. Т.е., этот вариант граничных условий описывает случай, когда все количество тепла, поступившее на поверхность, тут же уходит в глубь тела: отвод тепла внутрь тела идет значительно быстрее, чем получение теплоты из окружающей среды через его поверхность. Граничные условия 3-го рода соответствуют по физическому смыслу сравнимым по мощности источнику во внешней среде и стоку в теле. Они описываются заданием на поверхности тела S уравнения связи между значением функции и ее первой производной. В одномерном случае имеем: ∂T ( x = S , τ) = Ψ[Т(x=S,τ)]. ∂x Задачи с граничным условием 3-го рода являются наиболее сложными задачами математической физики. Методом их численного решения является многократное итерационное решение более простых краевых задач 1-го или 2-го рода и выбор из полученного класса решений единственного, которое удовлетворяет требуемому условию 3-го рода. 10

К сожалению, общих рецептов по созданию наиболее простой, но еще адекватной физико-математической модели реального процесса, а также поиск эффективного пути численного или аналитического решения получающихся уравнений не существует. Здесь пока еще многое зависит от таланта и квалификации исследователя. 1.2. Процессы получения материалов ядерной техники Основные технологические процессы получения материалов, сопровождающие их физические и химические процессы. Глубокая очистка исходных материалов. Физические и химические методы, их предельные возможности. Водородное восстановление элементов. Термодинамический блок математической модели.

Для правильного построения математической модели и проведения ее исследования необходимым условием является знание теоретической и математической физики, прикладной математики и многих других разделов современной науки и техники. Но, прежде всего, необходимо хорошо знать технологические приемы и обеспечивающие их физические процессы, используемые для получения требуемого материала. Это необходимо для грамотной постановки задачи исследования и разработки эффективного технологического процесса. В табл. 1.2 очень схематично приведены основные технологические процессы и физические явления, используемые для получения материалов ядерных реакторов. Конечно, таблица далеко не полная и не очень строгая, но она дает общее представление о процессах и явлениях, изучаемых в технологии материалов ядерной энергетики. Методы гидрометаллургии обычно легко дают чистоту 10-2%. Например, гидролизом тетрахлорида GeCl4 получают GeO2 чистотой 99,99%. Из газовой фазы с участием химических реакций степень очистки легко доходит до 10-3% (99,999%). Примером является получение циркония, титана, гафния ядерной чистоты методом термической диссоциации их тетрайодидов на раскаленной проволоке (процесс Ван Аркеля). Заметим, что этот метод до сих пор является единственным промышленным способом глубокой очистки данных металлов от азота. 11

Таблица 1.2 Стадии изготовления материалов Стадия

Процесс, метод, явление, особенности

1. Глубокая очистка исходных веществ

В них используются фазовые и химические превращения: испарение, сублимация, конденсация, ионообменные реакции

2. Получение чистых и особо чистых металлов; требуется чистота: в ядерной технике 10-2 % – 10-3 % в полупроводниковой: 10-4 % и меньше 3. Выращивание монокристаллов

4. Получение рабочего слоя или защитного покрытия 5.Формирование композита

Промышленные химические методы дают обычно до 10-3 % – 10-4 %; физические – до 10-6 %. Осуществляется в расплаве или из парогазовой смеси за счет химических превращений. Для создания эффективного процесса требуется подробное изучение явлений тепло- и массопереноса, физико-химической гидродинамики Рост монокристалла проводится: из расплава или раствора в расплаве; из пара; из химически активной парогазовой смеси. Очень часто стадия 3 совпадает со стадией 2. Изучение явлений тепло- и массопереноса, физикохимической гидродинамики имеет особое значение Осаждение из жидкости или из газовой фазы; напыление; ионная имплантация. Требуется знание происходящих фазовых и химических превращений, тепло- и массопереноса в средах и в вакууме Термическая обработка для проведения твердотельной диффузии. Главную роль играют нестационарные процессы

Распространенной схемой осуществления процесса получения чистого вещества является водородное восстановление газообразного или парообразного соединения водородом в трубчатом реакторе. Например, особо чистый мышьяк (99,999%) получают по гомогенной реакции: 4AsCl3 + 6H2 = As4+ 12HCl восстановления паров трихлорида мышьяка водородом до паров тетрамера мышьяка. Здесь требуется только подвод тепла к газовому потоку для осуществления эндотермической реакции – реагенты дозированы и перемешаны заранее. Другим примером является промышленная технология восстановления трихлорсилана SiHCl3 водородом, которая устойчиво да12

ет чистоту материала до 10-4% (99,9999%) по реакции, проводимой на раскаленных стержнях: SiHCl3 + H2 = Si(тверд) + 3HCl Особо чистый ниобий получают по гетерогенной реакции 3H2 + 2NbCl3(тверд) = 2Nb + 6HCl восстановления твердого трихлорида ниобия, помещаемого в длинном тигле – лодочке, до твердого же металлического ниобия. В двух последних случаях, кроме разогрева газа, должна произойти доставка водорода к поверхности диффузией через противоток образующихся паров хлористого водорода. В технологии реакторных материалов нагрев используется только электрический: резистивный, индукционный, электронно-лучевой, лазерный или дуговой – для обеспечения высокой чистоты обрабатываемого материала. Следовательно, для проектирования и/или конструирования химического или химико-металлургического реактора, надо уметь, как минимум: • рассчитывать печное устройство, т.е. распределение температур в многослойных средах: нагреватель – огнеупор – теплоизоляторы – стенка печи – окружающая среда; • рассчитывать расход тепла на нагрев, кроме стенок печи, также на нагрев движущейся многокомпонентной газовой смеси, в которой идут химические реакции, требующие расхода энергии; • рассчитывать количественно явления переноса: вязкость, теплопроводность и диффузию в сложных неизотермических химически реагирующих смесях. Какие явления при этом надо понимать и знать? Перечислим только некоторые из них: • теплопередачу в неподвижной среде – теплопроводность; • теплопередачу в движущейся среде – термокинетику; • особенности нагрева газов как прозрачных тел; • характер движения газа: газо-, а вернее гидродинамику (из-за малых скоростей его движения в наших устройствах – значительно меньше скорости звука); • химические процессы: химическую термодинамику и кинетику, и, следовательно, физико-химическую гидродинамику; 13

• особенности тепло- и массопереноса в многокомпонентных химически реагирующих неизотермических движущихся газовых средах. К условиям выбора режима процесса относится также определение режимов, обеспечивающих минимальные удельные затраты (себестоимость единицы продукции). Материальные затраты в основном определяются факторами: • количеством электроэнергии, расход и потери которой резко увеличиваются с увеличением температуры; • количеством и соотношением исходных компонентов парогазовой смеси, что определяет термодинамически предельно достижимый выход; • скоростью подачи компонентов в реактор, с которой связан коэффициент использования подаваемых веществ. Практически в любой математической модели в обязательном порядке имеется термодинамический блок, в котором с помощью методов макроскопической физики исследуются возможные состояния большого, макроскопического, или, по-другому, термодинамического объекта, определяются его свойства и предельно достижимые параметры получения. Тот факт, что макроскопические объекты состоят из очень большого количества частиц, позволяет применить к их изучению термодинамический подход. В нем исследователь абстрагируется от дискретной сущности вещества и конкретных путей перехода, все основные законы (начала) поведения макросистем устанавливаются экспериментально ( феноменологически). Такая концепция сплошной среды, в которой отказываются от излишней детализации явлений (а именно от строгого описания поведения всех частиц, составляющих макросистему), открывает реальный путь для практических вычислений. Связано это с тем, что здесь требуется значительно меньшее число исходных феноменологических констант, давая в то же время ответы на весьма важные для технолога вопросы, например: • При каких условиях – температуре, давлении, начальных количествах исходных веществ требуемый материал устойчиво существует; другим словами, можно узнать, при каких условиях следует получать (синтезировать) требуемое вещество. 14

• Какая часть исходных веществ превратится в требуемый материал; обычно говорят, каков будет термодинамический выход процесса получения требуемого материала. Поэтому практическая ценность феноменологической термодинамики остается очень высокой. Заключение: Технологу материалов ядерной энергетики надо хорошо знать следующие разделы науки: явления переноса, а именно: теплопередачу, диффузию, вязкое течение жидкости, теорию подобия; физическую химию, а именно: химическую термодинамику, фазовые равновесия, теорию растворов, диаграммы состояния, химическую кинетику; физико-химическую гидродинамику; термодинамику необратимых явлений; математическую физику; прикладную математику и многие другие науки. Контрольные вопросы 1. Какие Вы знаете виды математического моделирования? 2. Каковы место и роль детерминированного математического моделирования в научном исследовании? 3. Что такое «вычислительный эксперимент»? 4. Перечислите стадии создания математической модели. 5. Опишите структуру математических моделей. 6. Дайте определения краевых, начальных и граничных условий. 7. Раскройте физический смысл и дайте математическое описание граничных условий. 8. Опишите основные технологические процессы получения материалов. 9. Опишите сопровождающие физические и химические процессы, сопровождающие технологические процессы. 10. Как осуществляется глубокая очистка исходных материалов? Опишите физические и химические методы, их предельные возможности. 11. Каковы возможности термодинамического блока математической модели?

15

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕПЛОФИЗИКИ И МАССОПЕРЕДАЧИ

Нагрев изделия или заготовки до определенной температуры, с целью получения возможности провести обработку изделия или чтобы в нем произошли определенные явления, например, диффузионное перераспределение вещества – наиболее распространенная операция, используемая практически в любом технологическом процессе. Поэтому инженеру-технологу необходимо, прежде всего, уметь рассчитывать тепловые явления, происходящие в различных нагревательных устройствах. Далее, с помощью математического моделирования, проведения серий численных расчетов – вычислительных экспериментов – уметь выбирать оптимальную конструкцию такого устройства, а также оптимальный режим отжига изделия для получения материала с заданными свойствами. В технологии производства чистых металлов, прецизионных сплавов и полупроводниковых материалов используются два типа нагревательных установок (технологических печей): резистивные муфельные печи, сообщающиеся с атмосферой, и вакуумные высокотемпературные печи. Умение рассчитывать тепловые устройства описанного типа, их энергетику – тепловые потери или, что то же, необходимую подаваемую мощность при стационарном режиме работы печи – является важной практической задачей. Ее реализация заключается, как мы увидим ниже, в умении составлять математические модели и решать (аналитически или численно) краевые задачи математической физики. Явления теплопроводности и диффузии описываются аналогичными математическими дифференциальными уравнениями. Т.е., они имеют одну математическую модель и носят общее название явлений переноса – поскольку здесь идет перенос физических субстанций, а именно тепловой энергии и массы. Поэтому ниже кратко одновременно разберем механизмы тепло- и массопередачи. Это физические явления, с помощью которых осуществляется передача тепловой энергии и массы как внутри одного тела, так от тела к телу. Они различны в различных средах: твердых телах, газах, жидкостях, вакууме.

16

2.1. Теплопроводность и диффузия Механизмы передачи тепла и массы: теплопроводность, диффузия, лучистый теплообмен, химические реакции. Закон Фурье (1-й закон Фика). Возрастание энтропии как движущая сила процессов переноса. Механизмы теплообмена теплопроводностью: решеточный, электронный, соударениями.

В XIX веке были установлены основные экспериментальные зависимости плотности потоков тепла q и массы j от характера распределения температуры и концентрации вещества в пространстве твердого тела, в неподвижной среде. Эти зависимости, так же как и закон Ома, отражают линейную связь между потоком субстанции /энергии, массы/ и градиентом величины, характеризующей количество этой субстанции. Первым хорошо исследованным механизмом теплопередачи была теплопроводность, когда передача тепла – внутренней энергии тела, заключенной в кинетической энергии частиц, его составляющих – осуществляется в момент непосредственного контакта (и именно через этот контакт) материальных частиц, из которых состоит реальное тело. В твердых непрозрачных телах теплопроводность является единственным механизмом теплопередачи. Плотность потока тепловой энергии, вызванного теплопроводностью, в стационарном, не зависящим от времени состоянии, описывается эмпирически установленным законом Фурье, который в векторной форме имеет вид: q = – λ·grad(T), (2.1.1) где λ – коэффициент пропорциональности, называемый в данном случае коэффициентом теплопроводности, Т – температура. (Отметим, что здесь и ниже векторные величины будут выделены полужирным шрифтом.) В одномерном варианте закон Фурье записывается, в соответствии с определением градиента: q = – λ·dT/dx. (2.1.1') Закон Фика для переноса массы диффузией в трехмерном и одномерном варианте записывается, соответственно: j = –D·grad(C) и j = –D·dC/dx, (2.1.2) где D – коэффициент диффузии, С – концентрация вещества, распределенного в некоторой матрице. 17

Законы Фурье и Фика количественно описывают стремление большой (макроскопической) системы перейти в состояние термодинамического равновесия, при котором энтропия максимальна и когда температура и концентрации постоянны по всему объему. Действительно, второй закон термодинамики утверждает, что энтропия возрастает (т.е. тело стремится к состоянию термодинамического равновесия), когда тепло переходит из более горячей части тела в более холодную. С точки зрения концентраций второй закон термодинамики требует, чтобы вещество из области с высокой концентрации перемещалось в более бедную. Что в законах Фурье/Фика и отражено в знаке "минус" перед градиентом. Напомним, что градиент направлен в сторону возрастания функции – поскольку, как принято в векторном анализе по определению, градиент – это "производная в максимальном направлении", т.е. в сторону возрастания функции. Частицы, из которых состоят твердые тела – это атомы и свободные электроны. Атомы в твердых кристаллических телах располагаются в местах, называемых узлами кристаллической решетки, около которых они непрерывно колеблются в энергетических потенциальных ямах, но в среднем остаются на одном месте. Каждый атом находится под влиянием силового поля других атомов, и через это силовое поле он ощущает колебания ближайших соседей. Любое возмущение в колебаниях атомов твердого тела передается по всему его объему со скоростью звука в этом теле. Нагреву тела соответствует увеличение его внутренней энергии, накапливаемой в виде кинетической энергии колебаний атомов в узлах решетки: с увеличением температуры амплитуда тепловых колебаний возрастает. Кстати отметим, что именно увеличение с температурой амплитуды колебаний атомов около узла кристаллической решетки вызывает эффект теплового расширения тел. Из сказанного выше следует, что передача усиленных тепловых колебаний атомов в решетке твердого тела в зоне с более высокой температурой к атомам в более холодной зоне – т.е., собственно процесс теплопроводности – осуществляется со скоростью звука в данном теле. Этот механизм теплопередачи носит название решеточной теплопроводности. Второй тип частиц, встречающийся в твердых телах – свободные (валентные) электроны, которые свободно передвигаются по всему объему тела со скоростью своего теплового движения, и тем самым переносят тепловую энергию, способствуя распростране18

нию температуры. Электроны – легкие частицы, их масса в тысячи раз меньше массы атомов. Соответственно и скорость их теплового движения огромна, во много раз превосходящая скорость звука в твердых телах. Поэтому они быстрее (по сравнению с решеточной теплопроводностью) передают тепло от точки к точке тела. Эта составляющая теплопроводности носит название электронной теплопроводности. Соотношение интенсивности решеточной и электронной составляющей определяется количеством свободных электронов: число атомов (узлов решетки) примерно одинаково для всех веществ и не зависит от температуры. Количество свободных электронов сильно зависит от природы вещества. Например, в металлах их много, и именно поэтому металлы хорошо проводят как электричество, так и тепло при любых температурах. В неметаллах число свободных электронов растет с температурой. Поэтому в подавляющем большинстве случаев теплопроводность неметаллов также увеличивается с температурой, на практике описываемая линейным законом возрастания коэффициента теплопроводности: λ = b + k·T. (2.1.3) Порядки величин коэффициентов теплопроводности следующие. В металлах это 100 Вт/(м·К), в диэлектриках и жидкостях это 0.1 ÷ 0.5 Вт/(м·К). В газах, где плотность вещества мала, мало столкновений частиц и нет свободных электронов, порядок величины коэффициентов теплопроводности 0.01 Вт/(м·К). Самый теплопроводный газ – самый легкий, т.е. водород, ибо у него наибольшая скорость теплового движения молекул. Есть особый класс веществ, используемых как теплоизоляторы – это вещества, с коэффициентом теплопроводности λ < 0.02 Вт/(м·К). Теплоизоляторы – обычно пористые или волокнистые тела, т.е. они в основном состоят из небольшой доли твердого вещества, поры которого наполнены газом. Теплопроводность и диффузия имеют место также в жидкостях и газах. Но в этих средах теплопроводность и диффузия чаще всего не главные механизмы переноса энергии и массы. В отличие от твердых тел газ и жидкость могут течь как целое, и в них появляется новый механизм переноса тепла (и массы): своим внутренним перемещением как сплошной среды – конвекцией. Этот механизм переноса называется конвективной теплопередачей или конвективной диффузией. 19

2.2. Теплообмен излучением Электромагнитное и тепловое излучение. Коэффициенты излучения, поглощения, отражения и пропускания. Абсолютно черное и абсолютно белое тело. Серые тела. Прозрачные тела. Закон Стефана – Больцмана.

Теплообмен излучением играет очень большую роль в металлургических процессах, причем, чем выше температура, тем его вклад значительней. Начиная с 500 ºС это превалирующий механизм теплообмена. В вакууме это вообще единственный механизм передачи тепла. Механизм теплообмена излучением связан с переносом энергии электромагнитными квантами – фотонами. При температуре выше абсолютного нуля молекулы и атомы находятся в состоянии непрерывного поступательного или колебательного теплового движения. При столкновениях или из-за флуктуаций энергии атомы переходят в возбужденное состояние – его электроны переходят на более дальние от ядра атома орбиты, соответствующие более высоким энергетическим уровням. Это положение электронов неустойчиво, они самопроизвольно возвращаются на низшие орбиты, сбрасывая избыточную энергию в виде электромагнитного кванта – фотона. Фотон – частица, названная так из-за того, что она при определенных энергиях воспринимается как видимый свет (‘фотос’ погречески "свет"). Она со скоростью света достигает другого тела. Поскольку фотон может существовать только в движении, то при остановке он исчезает. Его энергия или возбуждает какой-либо атом, или переходит в усиленные тепловые колебания узлов решетки. При этом непосредственно излучением нагревается поверхность непрозрачного тела. Если тело прозрачно (причем не только в видимой области спектра!), то фотоны проникают в глубину и нагрев излучением идет по всему объему. Так, например, нагреваются газы. Однако тело прозрачно для фотонов определенных энергий потому, что они слабо взаимодействуют со средой – не отдают и не получают энергию, и прозрачные тела плохо греются излучением. Поскольку нагрев стимулирует генерацию фотонов – частиц, существующих и в вакууме – теплообмен излучением не требует специальной среды для передачи энергии от тела к телу. Наоборот, любая среда только поглощает фотоны и мешает передаче тепла. 20

Одиночный атом имеет строго определенные разрешенные орбиты для движения электронов. Перескок с орбиты на орбиту вызывает (или поглощает) фотон совершенно определенной энергии, и поэтому спектр излучения или поглощения газов линейчатый. Фотоны больших или меньших энергий свободно проходят через газ. Это обстоятельство собственно и делает газы прозрачными и плохо греющимися объектами. Особенно это относится к газам из одно- и двухатомных молекул. В твердых телах и жидкостях атомы расположены близко друг к другу, взаимодействуют между собой, что приводит к расщеплению разрешенных уровней для электронов на множество почти непрерывных подуровней. Внешне это явление выражается в том, что спектр излучения (или поглощения) конденсированных тел является непрерывным; они хорошо греются лучистым теплообменом. Теоретически спектр излучения твердого тела при любой температуре содержит весь набор длин волн – от длинноволнового инфракрасного до дальнего ультрафиолета и рентгеновского излучения. Однако наибольшая интенсивность приходится при разумных в земных условиях (до 3000 градусов) температурах на инфракрасную часть спектра. ∞

Мощность излучения Q = ∫ I ⋅ d ω , падающая на какую-либо 0

поверхность, называется лучистым потоком. Мощность излучения с единицы поверхности называют плотностью излучения: q = Q/F. При взаимодействии лучистого потока с телом в общем случае происходит частичное поглощение потока телом (Q Adsorbtion), частичное отражение (QReflect) и частичное пропускание (QDeflect). По определению, имеем: QA + QR + QD = Q. Обозначим QA/Q = A, QR/Q = R, QD/Q = D. Безразмерные величины A, R, D называются соответственно коэффициентами поглощения, отражения и пропускания тела. Очевидно, что A + R + D = 1. Рассмотрим некоторые предельные случаи. • Если D = 1, то А = R = 0. Это справедливо для тела, называемого абсолютно прозрачным. Оно пропускает весь тепловой поток без взаимодействия, и абсолютно прозрачное тело не нагревается излучением. • Если R = 1, то A = D = 0. Это справедливо для тела, называемого зеркальным, если оно полировано и отражает свет по законам геометрической оптики, или абсолютно белым, если оно шерохо21

вато и отражает свет диффузно. Такие теоретические тела тоже не нагреваются излучением. • Если А = 1, то тело будет поглощать всю поступающую лучистую энергию, и называется оно абсолютно черным. Такие тела лучше всего греются излучением. Большинство материалов, используемых на практике, не пропускают тепловое излучение (D = 0), не полностью его отражают (0