Введение в теорию вероятностей: Учебное пособие

И.А. Палий

Учебное пособие

2004

И.А. ПАЛИЙ

ВВЕДЕННИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Учебное пособие

Допущено Министерством образования Российской федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 55000 Технические науки и социально-экономическим специальностям

2004

УДК 519.2

ББК 22.171 П 14 Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор В.А. Топчий, кафедра математики Омского танкового инженерного института

Палий И.А. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: Учебное пособие. – 2004.-151с. Учебное пособие составлено на основании государственного стандарта дисциплины “Теория вероятностей и математическая статистика” и предназначено для студентов всех форм обучения СибАДИ. Рассмотрены следующие разделы курса: элементы комбинаторики, исходные положения теории вероятностей, классическое вероятностное пространство, аксиомы теории вероятностей, испытания по схеме Бернулли, дискретные случайные величины, непрерывные случайные величины, некоторые предельные теоремы. Большое количество подробно разобранных примеров решения задач делает изложение живым и доступным. Ил. 30. Библиогр.: 15 назв.

СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ ............................................................ Ошибка! Закладка не определена. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ ........................... Ошибка! Закладка не определена. 1.1. Принцип умножения .............................. Ошибка! Закладка не определена. Примеры решения задач........................................... Ошибка! Закладка не определена. 1.2. Перестановки .................................................... Ошибка! Закладка не определена. Пример решения задачи ........................................... Ошибка! Закладка не определена. 1.2. Размещения................................................ Ошибка! Закладка не определена. Пример решения задачи ........................................... Ошибка! Закладка не определена. 1.3. Сочетания ................................................... Ошибка! Закладка не определена. Примеры решения задач........................................... Ошибка! Закладка не определена. 1.4. Перестановки с повторениями ........... Ошибка! Закладка не определена. Пример решения задачи ........................................... Ошибка! Закладка не определена. 1.5. Сочетания с повторениями .................. Ошибка! Закладка не определена. Пример решения задачи ........................................... Ошибка! Закладка не определена. 1 .7. Бином Ньютона .............................................. Ошибка! Закладка не определена. 2. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ..........Ошибка! Закладка не определена.

2.1. Эксперимент, элементарный исход эксперимента, пространство элементарных исходов .......................................... Ошибка! Закладка не определена. 2.2. События и действия над ними.................... Ошибка! Закладка не определена. 2.3. Диаграммы Венна ........................................... Ошибка! Закладка не определена. 2.4. Примеры решения задач ............................... Ошибка! Закладка не определена. 3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ..........Ошибка! Закладка не определена. 3.1. Определение и простейшие свойства ...... Ошибка! Закладка не определена. 3.2. Теорема сложения вероятностей ............... Ошибка! Закладка не определена. 3.3. Задача о выборке ............................................. Ошибка! Закладка не определена. 3.4. Примеры решения задач ............................... Ошибка! Закладка не определена.

3.5. Независимые события и условные вероятности. Теорема умножения вероятностей ............................................................. Ошибка! Закладка не определена. 4. АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ............ Ошибка! Закладка не определена. 4.1. Простейшие следствия из аксиом ............. Ошибка! Закладка не определена. 4.2. Примеры вероятностных пространств .... Ошибка! Закладка не определена. 4.3. Примеры решения задач ............................... Ошибка! Закладка не определена. 5. НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ...................................... Ошибка! Закладка не определена. 5.1. Независимые события и условные вероятности .........Ошибка! Закладка не определена. Примеры решения задач........................................... Ошибка! Закладка не определена. 5.2. Примеры решения задач ............................... Ошибка! Закладка не определена. 5.3. Формулы полной вероятности и Байеса . Ошибка! Закладка не определена. 5.4. Примеры решения задач ............................... Ошибка! Закладка не определена. 6. ИСПЫТАНИЯ ПО СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ ............. Ошибка! Закладка не определена.

6.1. Формула Бернулли ......................................... Ошибка! Закладка не определена. 6.2. Наивероятнейшее число появлений “успеха” .............Ошибка! Закладка не определена.

в n независимых испытаниях .............................. Ошибка! Закладка не определена. 6.3. Обобщение формулы Бернулли ................. Ошибка! Закладка не определена. 6.4. Формула Пуассона .......................................... Ошибка! Закладка не определена. 6.5 Примеры решения задач ................................ Ошибка! Закладка не определена. 7. ПОНЯТИЕ О ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНАХ....Ошибка! Закладка не определена. 7.1. Определение дискретной случайной величины .........Ошибка! Закладка не определена. и ее закона распределения ................................... Ошибка! Закладка не определена. 7.1.1.Функции дискретной случайной величины Ошибка! Закладка не определена. 7.2. Некоторые распределения (биноминальное, Пуассона, .................Ошибка! Закладка не определена. геометрическое, гипергеометрическое) .......... Ошибка! Закладка не определена. 7.3. Функция распределения дискретной ....... Ошибка! Закладка не определена. случайной величины .............................................. Ошибка! Закладка не определена. 7.4. Примеры решения задач ............................... Ошибка! Закладка не определена. 8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДВУХ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ..Ошибка! Закладка не определена. ВЕЛИЧИН, ОПРЕДЕЛЕННЫХ НА ОДНОМ И ТОМ ЖЕ..........Ошибка! Закладка не определена. ПРОСТРАНСТВЕ Ω (СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН) ......... Ошибка! Закладка не определена. 8.1. Примеры решения задач ............................... Ошибка! Закладка не определена. 8.2. Функция распределения системы двух случайных ...Ошибка! Закладка не определена. величин ....................................................................... Ошибка! Закладка не определена. Пример решения задачи ........................................... Ошибка! Закладка не определена. 8.3. Функции двух дискретных случайных величин .........Ошибка! Закладка не определена. 8.4. Примеры решения задач ............................... Ошибка! Закладка не определена. 9. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ...............Ошибка! Закладка не определена. СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН........................................... Ошибка! Закладка не определена. 9.1. Математическое ожидание .......................... Ошибка! Закладка не определена. 9.2. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение ........Ошибка! Закладка не определена. 9.3. Другие числовые характеристики ............. Ошибка! Закладка не определена. 9.4. Ковариация. Дисперсия суммы случайных ..................Ошибка! Закладка не определена. величин в общем случае ....................................... Ошибка! Закладка не определена. 9.5. Коэффициент корреляции ............................ Ошибка! Закладка не определена. 9.6. Примеры решения задач ............................... Ошибка! Закладка не определена.

10. ПОНЯТИЕ О НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНАХ .............. Ошибка! Закладка не определена. 10.1 Определение непрерывной случайной величины. ....Ошибка! Закладка не определена. Функция распределения и функция плотности ..................Ошибка! Закладка не определена. вероятности непрерывной случайной величины ................Ошибка! Закладка не определена. 10.2. Примеры решения задач ............................ Ошибка! Закладка не определена. 10.3. Понятие о функции непрерывной случайной величины..............Ошибка! Закладка не определена. 10.4. Примеры решения задач ............................ Ошибка! Закладка не определена. 10.5. Числовые характеристики ......................... Ошибка! Закладка не определена. непрерывных случайных величин .................... Ошибка! Закладка не определена. 10.6. Примеры решения задач ............................ Ошибка! Закладка не определена. 10.7. Равномерный, показательный и .............. Ошибка! Закладка не определена. нормальный законы распределения ................ Ошибка! Закладка не определена. 10.7.1. Равномерное распределение......................... Ошибка! Закладка не определена. 10.7.2. Показательное распределение ..................... Ошибка! Закладка не определена. 10.7.3. Нормальное распределение.......................... Ошибка! Закладка не определена. 10.8. Примеры решения задач ............................ Ошибка! Закладка не определена. 11. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ........Ошибка! Закладка не определена. 11.1 Функция плотности вероятности системы ..................Ошибка! Закладка не определена. двух случайных величин ...................................... Ошибка! Закладка не определена. 11.2. Примеры решения задач ............................ Ошибка! Закладка не определена. 11.3. Понятие о функции двух случайных величин ..........Ошибка! Закладка не определена. 11.4. Примеры решения задач ............................ Ошибка! Закладка не определена. 11.5. Понятие о числовых характеристиках .. Ошибка! Закладка не определена. системы двух случайных величин .................... Ошибка! Закладка не определена. 11.5.1. Числовые характеристики функции системы ................Ошибка! Закладка не определена. двух случайных величин .......................................... Ошибка! Закладка не определена. 11.5.2.Ковариация и коэффициент корреляции... Ошибка! Закладка не определена. 11.5.3. Математическое ожидание и дисперсия суммы непрерывных ..........Ошибка! Закладка не определена. случайных величин.................................................... Ошибка! Закладка не определена. 11.5.4. Свойства коэффициента корреляции ........ Ошибка! Закладка не определена. 11.6 Примеры решения задач.............................. Ошибка! Закладка не определена. 11.7. О нормальном законе распределения .... Ошибка! Закладка не определена. системы случайных величин ............................... Ошибка! Закладка не определена. 12. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА, ПОНЯТИЕ О ЗАКОНЕ.......Ошибка! Закладка не определена.

БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ..........Ошибка! Закладка не определена. ТЕОРЕМЕ........................................................................ Ошибка! Закладка не определена. 12.1 Неравенство Чебышева................................ Ошибка! Закладка не определена. 12.2. Понятие о законе больших чисел ........... Ошибка! Закладка не определена. 12.3. Понятие о центральной предельной теореме ............Ошибка! Закладка не определена. 12.4. Локальная и интегральная теоремы Лапласа ............Ошибка! Закладка не определена. 12.5. Примеры решения задач ............................ Ошибка! Закладка не определена. Приложение ( таблица значений функции Лапласа) Ошибка! Закладка не определена. Библиографический список ..................................... Ошибка! Закладка не определена.

2. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Всякая современная математическая теория строится по одному образцу: вначале задаются некоторое множество и система аксиом, определяются связи между элементами и подмножествами этого множества. Теория вероятностей не является исключением, она строится как абстрактная математическая дисциплина. Вместе с тем у теории вероятностей есть много приложений, обращенных во внешний мир, например, теория массового обслуживания, теория надежности, прикладная статистика. Оказывается, что с ее помощью можно успешно описывать, изучать, прогнозировать многие реальные случайные явления. Однако любой, даже вводный курс теории вероятностей, если он претендует на корректность изложения, должен содержать ее аксиоматическое представление. Наша ближайшая цель – описание того исходного множества, которое кладется в основу любой математической структуры. В теории вероятностей это множество называется пространством элементарных исходов. 2.1. Эксперимент, элементарный исход эксперимента, пространство элементарных исходов Под экспериментом понимается некое действие, которое может быть многократно повторено в одних и тех же условиях. Например, бросание монеты или кубика. Конечно, в реальном мире нельзя дважды бросить кубик в одних и тех же условиях. Хотя бы потому, что за время бросания Земля поворачивается вокруг своей оси, вокруг Солнца, вместе с Солнцем вокруг центра Галактики, условия разные! Но такие соображения игнорируются, и постулируется возможность сохранения одних и тех же условий. В зависимости от нужд эксперимента, экспериментатор выделяет возможные исходы эксперимента. Они называются элементарными исходами, если взаимно исключают друг друга и в совокупности охватывают все возможные случаи. Например, в случае бросания кубика можно выделить два элементарных исхода – четно или нечетно выпавшее число очков, а можно шесть – какое именно число (от 1 до 6) выпало на верхней грани; а вот такие исходы: выпало четное число очков; выпало число очков, делящееся на три; выпало число очков, не делящееся ни на два, ни на три, не являются элементарными: шесть делится и на два и на три, поэтому первые два исхода не исключают друг друга.

Элементарные исходы бывают равновозможными (по-другому говорят: у всех у них одинаковые шансы произойти) и неравновозможными в противном случае. Например, из соображений симметрии можно считать, что у любой грани однородного (правильного) кубика одинаковые шансы выпасть в сравнении с другими. А вот пример неравновозможных исходов: у наудачу выбранного человека спрашивают, в високосном или не високосном году он родился. Ясно, что два элементарных исхода этого эксперимента неравновозможны. Исход «год рождения високосный» имеет примерно в три раза меньше шансов, чем исход «год рождения невисокосный». Пространством элементарных исходов (обозначается буквой Ω) называется произвольное множество, элементам которого поставлены во взаимно однозначное соответствие элементарные исходы данного эксперимента. Приведем три примера пространств элементарных исходов. Пример 1. Бросается кубик, элементарный исход – число выпавших очков. Множество Ω состоит из шести элементов; обозначим их натуральными числами от единицы до шести, Ω = {1, 2 ,3 ,4 ,5 ,6}. Пример 2. Кубик бросают до тех пор, пока не выпадет одно очко. Здесь элементарный исход – число бросаний кубика до первой единицы. Элементарных исходов бесконечно много, Ω – это множество натуральных чисел, Ω = {1, 2, ...}. Элементарные исходы неравновозможны. Пример 3. Два человека договорились встретиться в определенный день в определенном месте. Каждый из них может прийти к месту встречи в любой момент времени между 12-ю и 13-ю часами. Здесь элементарный исход удобно описать парой чисел (х, у), где х – время прихода к месту встречи первого человека, у – второго. Элементарных исходов бесконечно много, но перечислить их через запятую, как в примере 2, уже нельзя. Ω = = {(х, у), 12 ≤ х, у ≤ 13} – так можно описать множество Ω. Элементарные исходы можно считать равновозможными, если не оговорены какие-то дополнительные условия. Собственно теория вероятностей начинается тогда, когда построено пространство элементарных исходов. Множество Ω – это дверь в иной мир – мир математики, в нем нет рождений, встреч и не бросают монеты. Его населяют числа, множества, функции.… Начинающему, наверное, труднее всего дается переход к абстрактным структурам.

2.2. События и действия над ними Событием называется любое подмножество множества Ω. События обозначается заглавными латинским: буквами – А, В, С.… Элементарный исход – это пример события. Элементарный исход, входящий в событие (множество) А, называется благоприятствующим событию A; соответственно определяются неблагоприятствующие событию A элементарные исходы. Говорят, что событие A произошло, если в результате эксперимента произошел элементарный исход, благоприятствующий событию А. Пустое множество ∅ называется невозможным событием; оно не содержит ни одного элементарного исхода и, значит, не может произойти. Пространство элементарных исходов Ω называется достоверным событием. Оно содержит все элементарные исходы и, следовательно, всегда происходит. Любое другое событие A называется случайным, так как заранее нельзя сказать, произойдет оно или нет. Событием, противоположным событию A (обозначается Ā), называется событие, которое содержит те и только те элементарные исходы, которые не входят в А. Если произошло событие А, то не произошло Ā, и наоборот. Ясно, что ∅ = Ω, Ω = ∅ . Суммой двух событий A и B (обозначается A + В) называется событие, которое содержит те и только те элементарные исходы, которые входят по крайней мере в одно из событий: A или В. Сумма событий – это объединение множеств. Событие A + B происходит тогда и только тогда, когда происходит по крайней мере одно из событий (либо А, либо В), либо оба сразу. Понятие суммы событий легко распространяется на любое число слагаемых. В устной и письменной речи для обозначения суммы событий употребляют союзы «или», «либо». Произведением событий A и B (обозначается AB) называется событие, которое содержит те и только те элементарные исходы, которые входят в оба события A и В. Произведение событий – это пересечение множеств. Событие АВ происходит тогда и только тогда, когда происходят сразу оба события A и В. Операция произведения легко распространяется на любое число сомножителей. При словесном описании произведения событий употребляют союз «и».

Сумму и произведение n событий (бесконечного числа событий) будем n

∞

n

∞

i =1

i =1

i =1

i =1

∑ Ai ; ∑ Ai ; I Ai ; I Ai .

обозначать так:

События A и B называются несовместными, если их произведение – невозможное событие, AB = ∅. Вместе эти события не могут произойти. B противном случае A и B называются совместными. Говорят, что событие A влечет событие В, если все элементарные исходы, благоприятствующие А, благоприятствуют и B (множество A есть подмножество множества В). Обозначается A ⊆ B. Ясно, что если A ⊆ B, то AB = А, A + B = В. Разностью событий A и B (обозначается А\В) называется событие, содержащее те и только те элементарные исходы, которые входят в событие А, но не входят в событие В. Разность событий – это разность множеств. Событие А\В происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В. Легко видеть, что

A = Ω \ A . Сами элементарные исходы будем обозначать ω. 2.3. Диаграммы Венна Все данные определения иллюстрируются следующим образом: множество Ω изображается прямоугольником, а событие – частями этого прямоугольника (рис. 2.1); это так называемая диаграмма Венна.

Ω

A

A

А

А+В

A+ B = B

Ω В

А\В

B

A ⊂ B; AB = A;

A =Ω\ A

А

Ω

Ω

В

Ω

Ω А

А

В

В

АВ Рис. 2.1

АВ=∅

Нетрудно убедиться (например, глядя на диаграмму Венна) в справедливости следующих тождеств: A + A = A, AA = A, A + Ø = A, AØ = Ø, AΩ = A, A + Ω = Ω, A + Ā = Ω, AĀ = Ø, Ω = ∅ , ∅ = Ω, A\B = AB , где A – произвольное событие. 2.4. Примеры решения задач

2.4.1. Из трех мужчин (A, Б, В) и двух женщин (Г, Д) избирается комиссия из двух человек. Описать два различных пространства элементарных исходов этого эксперимента. Решение. а) Будем понимать под элементарным исходом список людей, которые вошли в комиссию. Тогда число элементарных исходов равно числу способов выбрать двух человек из пяти данных: т.е. C 52 = 10 . Выпишем

явно множество Ω. Ω = {(A, В), (A, Б), (A, Г), (A, Д), (Б, В), (Б, Г), (Б, Д), (B, Г), (B, Д), (Г, Д)} Здесь записи (A, Б) или (Б, А) означают одно и то же. б) Будем понимать под элементарным исходом число мужчин и число женщин, вошедших в комиссию. Тогда возможны всего три случая: Ω = = {(2М), (2Ж), (1М, 1Ж)}, где запись (1М, 1Ж), например, означает, что в комиссию вошли один мужчина и одна женщина. 2.4.2. Наугад выбирается одна буква из числа образующих слово «формула». Какие из следующих множеств являются пространством элементарных исходов для рассматриваемого эксперимента: 1) {ф, о, р, м, у, л, а}; 2) {р, м, у, л, а}; 3) (гласная, ф, р, м, л); 4) {согласная, у, е}; 5) (гласная, согласная)? Решение. Если понимать под элементарным исходом выбранную букву, то первое множество можно считать пространством элементарных исходов, а второе нельзя, так как буквы «ф» и «о», которые могут быть выбраны, в данное множество не входят. Пятое множество также можно считать пространством элементарных исходов, если понимать под элементарным исходом информацию о том, выбрана гласная или согласная буква. Третье множество занимает промежуточное положение между первым и пятым. Под исходом эксперимента понимается информация о том, гласная или согласная буква выбрана, причем, если выбрана согласная

буква, указывается, какая именно. Четвертое множество не является пространством элементарных исходов для данного эксперимента. В нем не описаны возможности выбора букв «о» и «а», зато указана букса «е», которой нет в слове формула. 2.4.3. Поезда метро следуют с интервалом в две минуты. Пассажир приходит на станцию в случайный момент времени. Элементарный исход – время ожидания пассажиром поезда. Описать пространство элементарных исходов. Решение. Элементарный исход – число из отрезка [0, 2], пространство элементарных исходов – множество точек отрезка [0, 2], Ω = {ω | 0 ≤ ω ≤ ≤ 2}. Элементарные исходы можно считать равновозможными. 2.4.4. B данном круге наудачу выбирается хорда. Описать три различных пространства элементарных исходов этого эксперимента. Решение. а) Зададим хорду положением ее концов на окружности. Закрепим один из концов в точке А. Тогда выражение «выбрать наудачу хорду» означает, что на окружности наудачу выбирается точка B (рис. 2.2а). Пространство элементарных исходов Ω – это множество точек окружности. б) Зададим хорду положением ее середины О1 (рис. 2.2б). Тогда Ω – это множество внутренних точек данного круга. в) Хорду можно задать расстоянием d от нее до центра круга (0 ≤ d ≤ r), где r – радиус круга. Тогда Ω – множество точек отрезка [0, r], Ω = {d | 0 ≤ ≤ d ≤ r}. B B O1 A

O O

A

a) Ω = { (⋅) B (⋅) B ∈ окружности }

б) Ω = { (⋅) O1 (⋅) O1 ∈ кругу } )

Рис. 2.2

2.4.5. А, В, С – три произвольных события. Найти выражения для

событий, состоящих в том, что из А, В, С: 1) произошло только А; 2) произошли A и В, событие С не произошло; 3) все три события произошли; 4) произошло по крайней мере одно из событий; 5) произошло одно и только одно событие; 6) ни одно из событий не произошло; 7) произошло не более двух событий; 8) произошло не менее двух событий. Решение. 1. Произошел элементарный исход, благоприятствующий событию A и не благоприятствующий событиям B и С. Следовательно, произошло событие AB C . 2. Произошел элементарный исход, благоприятствующий событиям A и B и не благоприятствующий событию С. Следовательно, произошло событие ABC . 3. Произошло событие ABC. 4. Произошел элементарный исход, благоприятствующий по крайней мере одному из событий: А, B или С, т.е. произошло событие (A + B + С ). 5. Произошел элементарный исход, благоприятствующий ровно одному из трех событий, т.е. произошло событие A B C + ABC + A BC . 6. Произошло событие A B C = A + B + C . 7. Противоположное событие заключается в том, что произошли все три события; значит можно записать, что произошло событие ABC = A + B + C . По-другому можно сказать так: по крайней мере одно из событий не произошло. 8. Произошел элементарный исход, благоприятствующий по крайней мере двум из трех событий; значит, можно записать, что произошло событие (AВ + ВС +AC). 2.4.6. Событие A = {хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное}, событие B = {бракованных изделий среди них не менее двух}. Что означают события А\В, A , B ? Можно ли сказать, что B ⊂ А? Решение. Построим пространство элементарных исходов. Из условия задачи следует, что элементарным исходом в данном случае является количество бракованных изделий среди четырех данных. Тогда возможны 5 исходов. Обозначим их числами от 0 до 4; Ω = {0, 1, 2, 3, 4}; A = {1, 2, 3, 4}; B = {2, 3, 4}; А\В = {1}; A = {0}; B = {0, 1}; А\В = {среди четырех изделий ровно одно бракованное}; A = {все изделия годные}; B = {среди

четырех изделий менее двух бракованных}. Событие B ⊂ A. 2.4.7. Доказать равенства: A + B = A B ; AB = A ∪ B . Решение. Мы должны показать, что события A + B и A B состоят из одних и тех же элементарных исходов. Пусть элементарный исход ω принадлежит событию A + B .

ω ∈ A + B ⇒ ω ∉ (A + B) ⇒ ω ∉ A и ω ∉ B ⇒ ω ∈ A и ω ∈ B ⇒ ω ∈ A B . Пусть ω ∈ A B ⇒ ω ∈ A и ω ∈ B ⇒ ω ∉ A и ω ∉ B ⇒ ω ∉ ( A + B ) ⇒ ⇒ ω ∈ A + B , что и требовалось доказать. Подобным образом доказывается и второе равенство. 2.4.8. Обобщение задачи 2.4.7. Доказать равенства: ∞

∞

i =1

i =1

n

n

i =1

i =1

U Ai = I Ai ;

∞

∞

i =1

i =1

U Ai = I Ai ;

n

n

i =1

i =1

I Ai = U Ai ;

I Ai = U Ai . Решение. Все доказательства похожи друг на друга. Докажем,

например, равенство

n

n

i =1

i =1

I Ai = U Ai .

Пусть элементарный исход ω принадлежит событию

n

I Ai .

Тогда:

i =1 n

n

i =1

i =1

ω ∉ I Ai ⇒ ∃ i ∈ {1, 2, K , n} : ω ∉ Ai ⇒ ∃ i ∈ {1, 2, K , n} : ω ∈ Ai ⇒ ω ∈ U Ai . Пусть элементарный исход ω принадлежит событию

n

U Ai . Тогда:

i =1

n

∃ i ∈ {1, 2, K , n} : ω ∈ Ai ⇒ ∃ i ∈ {1, 2, K , n} : ω ∉ Ai ⇒ ω ∉ I Ai ⇒ i =1

n

⇒ ω ∈ I Ai . i =1

(

)

2.4.9. Доказать ложность утверждения: ( A + B )C = A + BC A ⊄ BC . Решение. Во множестве A можно выбрать такой элементарный исход ω, что ω ∉ BC ⇒ ω ∉ B и ω ∉C ⇒ Если ω ∈ A, ω ∉ BC .

⇒ ω ∉ ( A + B)C ⇒ ( A + B )C ≠ A + BC . 2.4.10. Доказать утверждение: ( A + B ) C = AC + BC ⇒ AC = BC . Решение. Воспользуемся диаграммами Венна (рис. 2.3). Ω A

Ω

B

A

B

C

C

A C + B C = C ( A + B ) = C ( AB) =

C ( A + B ) = CA B

= ACB + A BC + A B C Рис. 2.3

Если ( A + B)C = A C + B C , то ACB = A BC = ∅. Далее AC = ACΩ = = AC ( B + B ) = ACB + ACB , BC = BCΩ = BC ( A + A ) = ВСА + ВС A . Из соотношения ACB = A BC = ∅ следует соотношение AC = BC = ABC.

3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ 3.1. Определение и простейшие свойства

Пусть пространство элементарных исходов Ω состоит из n равновозможных исходов. Назовем вероятностью элементарного исхода ω число p (ω ) = 1 / n . Итак, если у нас есть основания полагать, что элементарные исходы эксперимента равновозможны (ни у одного из них нет преимуществ перед другими в смысле возможности произойти или не произойти), то каждому из них мы ставим в соответствие одну и ту же вероятность − 1/n. По-другому говорят так: у каждого элементарного исхода есть один шанс из n произойти. Рассмотрим произвольное событие А. Если mA – число исходов, благоприятствующих событию А, то вероятностью события A (обозначается p(A)) называется число p ( A) =

mA n .

(3.1)

Очевидные свойства вероятности: р (Ω) = 1 ; p(∅) = 0; 0 ≤ p(A) ≤ 1; p( A ) = 1 – p(A); если A и B несовместны, AB = ∅, то p(A+В) = p(A) + p(B). 3.2. Теорема сложения вероятностей

Если события A и B совместны, AB ≠ ∅, вероятность суммы A + B определяется по формуле p(A + В) = p(A) + p(B) – p(AB).

(3.2)

Докажем эту формулу. Пространство Ω состоит из n элементарных исходов, событие A содержит mA элементарных исходов, событие B состоит из mB элементарных исходов, а произведению AB благоприятствуют mAB исходов. Подсчитаем число исходов, благоприятствующих сумме A + В. Событие A + B можно представить как сумму трех несовместных событий: A + B = (A\AB) + AB + (B\AB) (рис. 3.1). В событие А\АВ входят mA – − mAB исходов; в событие B\AB входят mB – mAB исходов. Тогда p(A +В) = m A − m AB m m − m AB = p(A\АВ) + p(AB) + p(B\АВ) = + AB + B = p(A) + n n n

+ p(B) – 2p(AB) + p(AB) = p(A) + p(B) – p(AB), что и требовалось доказать. Ω

A\AB

AB

B\AB

Рис. 3.1

3.3. Задача о выборке

Пусть имеется n предметов, m из которых назовем «белыми», а остальные n – m − «черными». Из этих n предметов наудачу выбирают k штук. Найти вероятность того, что l из этих k выбранных предметов «белые» и, следовательно, k – l – «черные». Перенумеруем предметы. «Белым» припишем номера с 1 по m, а «черным» – номера с m + 1 по n. Тогда элементарный исход – это неупорядоченный набор (сочетание) из k номеров, выбранных из n имеющихся. Из условия задачи следует равновозможность всех элементарных исходов; всего же элементарных исходов C nk . Событию A = {в выборке из k предметов l штук «белых»} благоприятствуют все те элементарные исходы, которые содержат l номеров в диапазоне от 1 до m и k – l номеров в диапазоне от m – 1 до n. По принципу умножения число таких элементарных исходов равно m A = C ml C nk−−ml .

Вероятность события A равна p ( A) =

C ml C nk−−ml C nk

.

(3.3)

3.4. Примеры решения задач

3.4.1. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих

событий: A = {сумма выпавших очков равна 8, а модуль разности равен 4}; B = {сумма выпавших очков равна 8, если модуль разности равен 4}. Решение. Под элементарным исходом будем понимать число очков, выпавших на каждой из костей. Из соображений симметрии следует, что такие исходы равновозможны, ни одному из них нельзя отдать предпочтение перед другими. Всего исходов 36 (на каждой из костей может выпасть любое число очков от 1 до 6, а костей две). Ω = {(1, 1), (1, 2), ... , (1, 6), ... , (6, 1), (6, 2), ... , (6, 6)}. Запись (1, k) означает, что на первой кости выпало 1 очко, а на второй – k очков. Исходы, благоприятствующие событию А: A = {(2,6), (6,2)}. Таким образом, n = 36, m = 2, p(A) = 1/18. Если известно, что модуль разности чисел выпавших очков равен 4, то пространство элементарных исходов содержит уже не 36, а только 4 исхода. Ω = {(1, 5), (2, 6), (5, 1), (6, 2)}. Событию B благоприятствует два исхода: n = 4, m = 2, p(B) = 1/2. 3.4.2. B магазине имеется 180 бутылок молока, 60 из которых датированы предыдущим числом, остальные бутылки содержат свежее молоко. Покупатель выбирает наугад 6 бутылок молока. Чему равна вероятность события A = {по крайней мере две бутылки окажутся датированы предыдущим числом}? Решение. Перед нами задача о выборке. Назовем «белыми» бутылки со свежим молоком, «черными» – бутылки, датированные предыдущим числом. Найдем вероятность события A = {среди выбранных шести бутылок не более одной «черной»}; A = A1 + А2, где A1 = {среди выбранных шести бутылок одна «черная»}, A2 = {все 6 выбранных бутылок – «белые»}. 1 5 6 1 5 6 . m A1 = C 60 C120 ; m A2 = C120 ; m A = m A1 + m A2 = C 60 C120 + C120

p(A) = 1 – p( A ) = 1 –

1 5 6 C 60 C120 + C120 6 C180

= 0 ,653 .

3.4.3. В лифт семиэтажного дома вошли на первом этаже 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий: А = {все пассажиры выйдут на четвертом этаже}; В = {все пассажиры выйдут на одном этаже}; C= {все пассажиры выйдут на разных этажах}.

Решение. Элементарный исход для этого эксперимента – номер этажа, на котором выйдет каждый пассажир. Будем обозначать исходы тройкой чисел: например, запись (3, 6, 4) означает, что первый пассажир вышел на третьем этаже, второй – на шестом, а третий – на четвертом. Так как у каждого пассажира есть 6 возможностей выхода, то по принципу умножения в пространстве элементарных исходов имеем 63 = 216 элементов. По условию все они равновозможны. Событию A соответствует один элементарный исход: A = {(4, 4, 4)}, поэтому p(A) = 1/216. Событию B благоприятствуют 6 элементарных исходов: B = {(2, 2, 2), (3, 3, 3), ..., (7, 7, 7)}. Отсюда p(B) = 6/216 = 1/36. По принципу умножения событию С благоприятствуют 6×5×4 = 120 элементарных исходов. Поэтому p(C) = 120/216 = 5/9. 3.4.4. Имеется k шариков, которые случайным образом разбрасываются по т лункам. Haйти вероятность того, что в первую лунку упадет ровно k1 шариков, во вторую – k2 шариков, и т.д., в т-ю лунку – kт шариков, если k1 + k2 + … + kт = k. Решение. Элементарный исход для этого эксперимента может быть записан как последовательность из k чисел а1, а2, ..., аi, ..., ak, где число аi – это номер лунки, в которую попал i-й шарик, 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ ai ≤ m. Тогда общее число элементарных исходов в соответствии с принципом умножения равно mk. Событию A = {в первую лунку попало k1 шариков, во вторую лунку попало k2 шариков, ..., в т-ю лунку попало kт шариков} благоприятствуют те и только те элементарные исходы, которые образуют перестановку с повторениями k1 раз числа 1, k2 раз числа 2, ..., km раз числа m. Таких k! исходов всего . k1 ! k 2 ! K k m ! Вероятность события A равна:

p ( A) =

k! k1! k 2 !K k m ! m

k

.

3.4.5. Из полной колоды карт (52 листа) извлекают наудачу несколько карт. Сколько карт нужно извлечь для того, чтобы с вероятностью, большей 0,5, утверждать, что среди них будут карты одной и той же масти?

Решение. Обозначим искомое число через k. Прежде всего заметим, что если k > 4 , то среди выбранных карт наверняка найдутся карты одной и той же масти. Значит, нужно рассмотреть случаи, когда k = 2, 3, 4. 2 1. k = 2, число элементарных исходов равно C 52 = 1326 . Событие A = {две карты одной масти} есть сумма четырех несовместных событий: A = А1 + А2 + A3 + А4, где событию Ai (i = 1, 2, 3, 4) 2 (Выбираются соответствует фиксированная масть. Так как m Ai = C13 2 любые две карты из 13 карт данной масти), то m A = 4 ⋅ C13 = 312 . Тогда p(A) = 312/1326 = 0,235 < 0,5. 3 = 22100. Найдем число исходов, входящих в событие 2. k = 3, n = C 52

A. Чтобы выбрать три карты разных мастей, нужно сначала выбрать три определенные масти из четырех. А затем выбрать по одной карте из тринадцати карт каждой из выбранных мастей. 1 1 1 Значит, m = C 43 C13 C13 C13 = 8788 . Тогда mA = 22100 − 8788 = 13312, а A

вероятность события A = {есть карты одной масти} равна: p(A) =

13312 = 0,602 > 0,5. 22100

Итак, нужно выбрать не меньше трех карт. 3.4.6. На выборах, в которых участвовали два кандидата, A и B, за них поступило n и m (n < m) бюллетеней соответственно. Бюллетени извлекают из урны последовательно, один за другим. Какова вероятность того, что хотя бы один раз число вынутых бюллетеней, поданных за A и за В, было одинаково? Решение. Обозначим элементарный исход последовательностью из n + m букв A и B (в ней n букв A и m букв В). Буква A на i-м месте означает, что бюллетень был подан за А, буква B на j-м месте означает, что бюллетень был подан за В. Всего таких последовательностей C mm+ n = C mn + n =

(n + m ) ! . n ! m!

Например, для n = 3 и m = 2 получаем 10 последовательностей: ВВААА, BABAA, BAABA, ВАААВ, ABBAA, ABABA, ABAAB, AABBA, AABAB, AAABB. Так как n > m, ясно, что если первой буквой в последовательности

стоит В, то равенство обязательно последовательностей с первой буквой В C mn + n −1 =

будет

достигнуто.

Всего

(m + n − 1)! . n!(m − 1)!

Рассмотрим произвольную последовательность, начинающуюся с буквы А, и такую, что в ней достигается равенство чисел букв A и В. Будем идти от начала последовательности, заменяя каждую букву A буквой В, и наоборот, до тех, пока первый раз не поменяем равное число букв A и В, Например, последовательность ABAAB превратится в BAAAB, а последовательность ABBAA перейдет в BABAA. Таким образом, каждой последовательности, начинающейся с буквы А, в которой достигается равенство чисел букв A и В, соответствует последовательность, начинающаяся с буквы В. Подобным же образом любую последовательность, начинающуюся с буквы B, можно перевести в последовательность, у которой первая буква A и в которой достигается равенство чисел букв A и В. Например, последовательность BABAA переходит в ABBAA, последовательность BBAAA переходит в AABBA и т.д. Установлено взаимно однозначное соответствие между всеми последовательностями, начинающимися на букву В, и всеми последовательностями, начинающимися на букву А, в которых достигается равенство чисел букв A и В. 2 (m + n − 1)! . Искомая Значит, всего благоприятствующих исходов n! (m − 1)! 2m вероятность равна (удвоенная вероятность того, что первая буква – m+n это буква В). 3.5. Независимые события и условные вероятности. Теорема умножения вероятностей

Пусть заданы пространство элементарных исходов Ω , содержащее n равновозможных элементарных исходов, событие А, содержащее mA исходов, событие В, содержащее mВ исходов, и произведение AB, которому благоприятствуют mAB исходов. Тогда p(A) = mA/n; p(B) = mB/n; p(AB) = mAB/n.

Известно, что в результате эксперимента произошло событие А; в этих условиях нужно найти новую вероятность события В. Такая вероятность обозначается символом p(B/А) и называется условной вероятностью события B при условии, что произошло событие А. Если произошло событие А, то произошел один из mA элементарных исходов, благоприятствующих этому событию. Следовательно, пространство элементарных исходов Ω сузилось до события A и содержит теперь не n, а только mA исходов. Bo множестве A событию B благоприятствуют исходы, входящие в произведение AB, их количество равно mAB , поэтому

p ( B / A) =

m AB m AB / n p ( AB) = = . mA mA / n p ( A)

(3.4)

В примере 3.4.1 определялась именно условная вероятность события В. Формулу (3.4) можно записать по-другому: p(AВ) = p(A) p(B/А) = p(B) p(A/В).

(3.5)

Формула (3.5) выражает собой так называемую теорему умножения вероятностей. События A и B называются независимыми тогда и только тогда, когда p(A/В) = p(A), p(B/А) = p(B).

(3.6)

В случае независимых событий A и B теорема умножения вероятностей записывается совсем просто: p(AВ) = p(A) p(B).

(3.7)

Рассмотрим такой пример. Эксперимент заключается в бросании двух игральных костей, Ω = {(1,1), (1, 2), ... , (6,6)} , n = 36. События A = {на первой кости выпало четное число очков} и B = {на второй кости выпало число очков, делящееся на 3} независимы, так как mA = 18, mB = 12, mAB = 6, p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(AВ) = 1/6, p(AВ) = p(A) p(B). Этот результат соответствует интуитивным представлениям о независимости исхода бросания одной кости от исхода бросания другой. События, которые не являются независимыми, называются зависимыми.

4. АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Рассмотрим произвольное пространство элементарных исходов Ω. Выделим в нем систему S подмножеств (событий) так, чтобы выполнялись следующие три условия: 1. Ω ∈ S . 2. Если A ∈ S , то A ∈ S . 3. Если A∈ S и B ∈ S ,то ( A + B ) ∈ S , AB ∈ S . Система S называется алгеброй событий. Алгебра S называется σ–алгеброй, когда постулируется, что сумма бесконечного числа событий принадлежит S, если каждое из слагаемых принадлежит S. Из условий, определяющих алгебру S, следует также, что ∅∈ S , А\В ∈ S , если A ∈ S, B ∈ S и

n

n

i =1

i =1

∑ Ai ∈ S (I Ai ∈ S ) , если Ai ∈ S, i = 1, 2, …,

n. Действительно, ∅ = Ω ∈ S (условия 1 и 2); А\В = AB ∈ S (условия 2 и 3); A1 + A2 ∈ S ⇒ (A1 + A2) + A3 ∈ S ⇒ … ⇒

n

∑ Ai ∈ S

(условие 3

i =1

применяется n − 1 раз). В случае σ–алгебры произведение бесконечного числа событий принадлежит S, если каждый из сомножителей принадлежит S. Это вытекает из условия 3, определения σ–алгебры и результатов задачи 2.4.8. Поставим в соответствие каждому событию A ∈ S число p(A), называемое вероятностью события А, так, чтобы выполнялись три аксиомы. 1. ∀A∈ S : p(A) ≥ 0. 2. p(Ω) = 1. 3. Если события А1, А2, ..., Аk попарно несовместны Ai Aj = Ø, i ≠ j, i, j = 1, 2, ..., k, то p(A1 + A2 + … + Ak) =

k

∑ p( Ai ) . i =1

В случае σ–алгебры аксиома 3 распространяется на бесконечную сумму.

4.1. Простейшие следствия из аксиом

1) p(Ω) = p(Ω + ∅) = p(Ω) + p(∅) = 1 ⇒ p(∅) = 0. Вероятность невозможного события равна нулю. 2. p(Ω) = p(A + A ) = p(A) + p( A ) = 1 ⇒ p( A ) = 1 – p(A) для всякого события A ∈ S. 3. Из аксиомы 1 и следствия 2 вытекает, что вероятность любого события A не превосходит единицы, 0 ≤ p(A) ≤ 1. 4. Если A ⊆ B , то p(A) ≤ p(B). Действительно, если A ⊆ B, то событие B можно представить в виде суммы двух несовместных событий: B = A+ (B\А). Тогда согласно аксиоме 3 p(B) = p(A + В\А) = p(A) + p(B\А) ≥ p(A), так как согласно аксиоме 1 p(B\А) ≥ 0 . 5. Пусть события A и B совместны. Как и в случае классической схемы, доказывается, что p(A + В) = p(A) + p(B) − p(AВ) (теорема сложения вероятностей). Совокупность пространства элементарных исходов Ω, алгебры S ( σ – алгебры) и множества вероятностей событий из алгебры S (удовлетворяющих трем аксиомам), называется вероятностным пространством. Классическое вероятностное пространство образуют множество Ω из n равновозможных исходов; множество всех подмножеств Ω (всего 2 n событий); множество вероятностей событий, определяемых формулой p(A) = mA /n, где mA – число исходов, входящих в событие А. Классические вероятности удовлетворяют трем перечисленным аксиомам. 4.2. Примеры вероятностных пространств

4.2.1. Конечное число неравновозможных исходов

Множество Ω содержит n неравновозможных элементарных исходов. Вероятности p(ωi) , 1 ≤ i ≤ n задаются тем или иным образом так, чтобы не нарушать аксиомы 1 − 3. Таким образом p(ωi) > 0; кроме того

n

∑ p(ω i ) = p(Ω ) = 1. i =1

Алгебра событий S содержит все подмножества Ω, всего 2 n событий; вероятность любого события A равна (по аксиоме 3) сумме вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих событию А. p( A) =

∑ p(ω i ) .

ω i ∈A

4.2.2. Счетное множество неравновозможных исходов

Множество Ω счетное, элементарные исходы ωi (i = 1, 2, 3, ...) неравновозможны. Вероятности p(ωi) должны удовлетворять аксиомам 1 − 3. ∞

Следовательно p (ω i ) > 0, p (Ω) = ∑ p (ω i ) = 1 . i =1

σ–алгебра событий S содержит все подмножества пространства Ω; вероятность любого события A равна сумме (быть может, бесконечной) вероятностей элементарных исходов, входящих в А. p ( A) =

∑ p(ω i ) .

ϖ i ∈A

Сходимость бесконечного ряда вытекает из сходимости ряда ∞

∑ p(ω i ) = 1 . i =1

4.2.3. Геометрические вероятности

В качестве пространства элементарных исходов Ω возьмем множество точек прямой, плоскости или пространства, имеющее конечную длину, площадь, объем соответственно. Событиями назовем любые подмножества Ω, также имеющие конечную длину, площадь, объем (возможно, равные нулю). Вероятность события A определим формулой p ( A) =

длина ( А) площадь ( А) объем ( А) . ; ; длина (Ω ) площадь (Ω ) объем (Ω )

Элементарные исходы (точки прямой, плоскости, пространства)

положим равновозможными. Так как длина (площадь, объем) точки равна нулю, вероятность каждого элементарного исхода равна нулю. 4.3. Примеры решения задач

4.3.1. Производится опрос, связанный с планами улучшения обслуживания населения зрелищными мероприятиями. Каждому из ста опрашиваемых, задаются два вопроса: Регулярно ли вы посещаете кинотеатры? Регулярно ли вы смотрите телевизионные передачи? Оказалось, что 40% опрошенных регулярно посещают кинотеатры и смотрят телевизионные передачи; 20% посещают кинотеатры, но телевизор не смотрят; 30% не ходят в кино, но смотрят телевизионные передачи; 10% не ходят в кино и не смотрят телевизор. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный респондент а) регулярно ходит в кино; б) регулярно посещает кино или смотрит телевизор; в) не ходит в кино или не смотрит телевизор? Решение. Пространство элементарных исходов Ω состоит из четырех исходов, Ω = {КТ, К T, K Т , К Т } , где буквами KT, например, обозначен исход, означающий, что наудачу выбранный человек посещает кинотеатры и смотрит телевизор, а сочетание К Т означает, что опрошенный не делает ни того, ни другого. Из условия задачи находим вероятности элементарных исходов: р{КТ} = 0,4; р{ К Т} = 0,3; p{К Т } = 0,2; р{ К Т }= 0,1. Конечно, сумма всех вероятностей равна 1. Пусть событие A = {респондент ходит в кино}, B = = {респондент смотрит телевизор}. Событию A благоприятствуют два

исхода: A = {КТ, K Т } . Событию B тоже благоприятствуют два исхода: B = ={КТ, К T} . Вероятность события A равна сумме вероятностей входящих в него элементарных исходов: p(A) = 0,4 + 0,2 = 0,6. Тогда p( A ) = 1 − 0,6 = = 0,4. Аналогично: p(B) = 0,4 + 0,3 = 0,7; p( B ) = 1 − 0,7 = 0,3. Нужно найти вероятность события A + В. Это можно сделать «в лоб» – событие A + B – это множество {КT, К T, KT } , поэтому p(A + В) = 0,4 + + 0,3 + 0,2 = 0,9. Можно воспользоваться формулой p(A+В) = p(A) + p(B) – − p(AВ). Произведение AB содержит один элементарный исход {КТ}, поэтому p(AВ) = 0,4, тогда p(A + В) = 0,6 + 0,7 – 0,4 = 0,9. Можно перейти к вероятности противоположного события: p(A + B) = 1 – p( A B ) = 1 – p ({ К Т }) = 0,9.

Аналогично p( A + B ) = 1 – p(AB) = 1 – 0,4 = 0,6. 4.3.2. Поезда метро следуют с интервалом в две минуты. Пассажир приходит на станцию в случайные моменты времени. Чемy равна вероятность того, что пассажиру придется ждать поезда не более чем 30 секунд, если поезд стоит 30 секунд? Решение. В данном случае множество Ω состоит из точек отрезка [0;2] (время выражено в минутах). Элементарные исходы равновозможны. Событие A = {время ожидания поезда не превосходит тридцати секунд} состоит из точек отрезка [0; 0,5] и [1,5; 2]. Вероятность события А равна p ( A) = 1 / 2 . 4.3.3. В круге наудачу выбирается хорда. Найти вероятность того, что ее длина не превзойдет длины радиуса круга. Решение. Как уже было замечено (пример 2.4.4.), можно построить по крайней мере три различных пространства элементарных исходов для этого эксперимента. В каждом из этих случаев исходы предполагаются равновозможными. 1. Хорда определяется случайным выбором точки В на окружности (рис.4.1.) Ω − множество точек окружности, AB ≤ R, если ∠АОВ ≤ 60°. Событию А = {длина хорды не больше радиуса R} удовлетворяют точки дуги В1В2 такой, что ∠В2ОА = ∠АОВ1 = 60°; длина дуги В1В2 = 1/3 длины окружности, поэтому р(А) = 1/3 = 0,33. 2. Центр хорды определяется случайным выбором точки С внутри круга (рис.4.2). Множество Ω − это множество всех точек круга. Если АВ = R, то OC = R 2 − R 2 / 4 = R 0,75. Длина хорды не более R, когда середина хорды удалена от центра на расстояние OC ≥ R 0,75. Таким образом, событие А = {центр хорды

удален от центра круга на расстояние, не меньшее R 0,75 }, содержит все точки кольца, ограниченного окружностями радиусов R и R 0,75 . Площадь этого кольца равна πR 2 − 0,75πR 2 = 0,25πR 2 , p ( A) = 0,25πR 2 / πR 2 = 0,25 . 3. Расстояние от центра круга до хорды – наудачу выбранное число из отрезка [0, R]. Множество Ω − это множество точек отрезка [0; R]. Событию А = {центр круга удален от центра хорды на расстояние, не

меньшее R 0,75 } благоприятствую точки отрезка [ R 0,75 , R], поэтому p ( A) = ( R − R 0,75 ) / R = 0,134 . B2 A A

60°

A

60°

O

B C

O

B

OC = R 0,75

B1

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Три разных ответа – 0,33, 0,25, 0,134 все верны, потому что эти ответы относятся к разным задачам. При решении любой задачи (не только по теории вероятностей) нужно стараться ясно и недвусмысленно описать, что именно дано и что требуется определить. Только в этом случае можно судить о правильности решения или об ошибке в рассуждениях. 4.3.4. Доказать теорему сложения вероятностей. Решение. Сумма A + B совместных событий A и B раскладывается на три попарно несовместных слагаемых: A + B = ( A \ B) + AB + ( B \ A) . Кроме того A = ( A \ B ) + AB; B = ( B \ A) + AB . Следовательно p ( A) = p ( A \ B) + p ( AB) ; p ( B) = p ( B \ A) + p ( AB) ; p ( A + B) = p ( A) − p ( AB) + p ( B) − p ( AB) + p ( AB) = p ( A) + p ( B ) − p ( AB) .