Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет
Л...
7 downloads
158 Views
300KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для всех специальностей
Составители: Постникова Л.С. Субанова Э.В.
г. Улан-Удэ,1998 г.
2
Данные методические указания содержат индивидуальные задания, состоящие из 25 вариантов. Студент выполняет одну задачу из каждого задания с номером, соответствующим его варианту. По своему усмотрению преподаватель может использовать задания для проведения контрольных работ, самостоятельных работ, для домашних заданий. Методические указания содержат краткие теоретические сведения. Теоретические вопросы могут быть использованы студентами для подготовки к экзамену.
Рецензенты: Мижидон А.Д., д.т.н. Гармаев В.Д., к.э.н.
Содержание
3
1. Краткие теоретические сведения для выполнения каждого задания. 2. Теоретические вопросы для защиты типового расчета. 3. Литература. 4. Индивидуальные задания.
Краткие теоретические сведения
4
⎛ a11 a12 ⎜ a a 1. A = ⎜ 21 22 ⎜ ... ... ⎜ ⎝ an1 an2
... a1m ⎞ ⎟ ... a2m ⎟ - матрица размерности n x m. Если n=m, то А ... ... ⎟ ⎟ ... anm ⎠
квадратная матрица порядка n. 0 ... 0 ⎞ ⎛ d11 0 ⎜ ⎟ 0 d22 0 ... 0 ⎟ ⎜ 2. Д = - диагональная матрица. Если в матрице ⎜ ... ... ... ... ... ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 ... dnn ⎠ ⎝ 0 Д d11 = d22 =... = dnn = 1 , то получится единичная матрица Е. 3. А - квадратная матрица порядка n. Если в А строки заменить столбцами, то полученная матрица AT называется транспонированной с матрицей А. 4. Определителем матрицы А n-го порядка называется сумма всех n! произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строчки и по одному из каждого столбца; при этом каждое произведение снабжено знаком плюс или минус по правилу: пусть Р - фиксированное произведение, входящее в состав определителя матрицы А n-го порядка. Выпишем сомножители в порядке следования строчек P = a1α a2 β ... anω . Тогда номера столбцов дадут пере-
становку (α , β ...ω ) . Р берется со знаком +, если эта перестановка четная, и со знаком -, если она нечетная.
⎛ a11 a12 ⎜ Пример. A = ⎜ a21 a22 ⎜ ⎝ a31 a32
a13 ⎞ ⎟ a23⎟ - матрица 3-го порядка. Определитель мат⎟ a33⎠
рицы А, который обозначается ΔА или A или det A = a11a22a33 + a13a21a32 +
+ a12a23a31 − a13a22a32 − a12a21a33. a11 a12 ⎛ a11 a12 ⎞ B=⎜ = a11a22 − a12a21. ⎟ ΔB = B = a21 a22 ⎝ a21 a22 ⎠
5
5. Пусть задана матрица А n- го порядка. Вычеркнем в ней i-ую строку и k-й столбец и сдвинем, не нарушая порядка, оставшиеся элементы. Определитель полученной матрицы (n-1)-го порядка называется минором элемента i-ой строки и k- го столбца. Обозначим его Mik 6. Пусть А - матрица n-го порядка. Минор Mik , взятый со знаком ( −1)i + k , называется алгебраическим дополнением элемента aik . Обозначается Aik . 7. Определитель матрицы А n-го порядка равен сумме произведений всех элементов какой-нибудь фиксированной строчки или фиксированного столбца на их алгебраические дополнения, т.е. A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 +...+ ain Ain . 8. Рангом матрицы А называется наивысший порядок минора, составленного из элементов А, отличный от нуля. ⎛ 3 1 7 − 1⎞ Например, A ⎜ ⎟ . Наивысший порядок минора для матрицы А ра2 × 4⎝ 4 3 0 3 ⎠ 3 1 вен 2. M 2 = = 9−4 =5≠ 0 4 3
R( A) = rangA = 2.
⎧a11x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 ⎪a x + a x +...+ a x = b 2n n 2 ⎪⎪ 21 1 22 2 9. ⎨a31x1 + a32 x2 +...+ a3n xn = b3 ⎪. . . . . . . . ⎪ ⎪⎩an1x1 + an2 x2 +...+ ann xn = bn (1) - неоднородная система n линейных уравнений с n неизвестными, если хотя бы один из свободных членов bi ≠ 0, i = 1,2,..., n. 10. Если все bi = 0, то система (1) однородная. 11. Теорема Кронеккера -Капелли (об исследовании решений системы (1)). A(aik ), i = 1,2,..., n; k = 1,2,..., n - матрица системы. С - расширенная матрица, полученная из матрицы А присоединением столбца свободных членов. I. Если R(A)=R( C )=r, то система (1) совместна, т.е. имеет решение. II. Если r = n, то система (1) имеет единственное решение.
6
III. Если r < n, то система (1) имеет множество решений. IV. Если R( A) ≠ R(C ) , то система несовместна, т.е. не имеет решений. 12. Следствие 1. (для однородной системы) I. Однородная система всегда совместна. II. Если r = n, то система имеет единственное нулевое решение. III. Если r < n, то система имеет множество решений. 13. Решение системы (1) матричным способом. а) Система (1) записывается в виде матричного уравнения AX = B , где A(aik ) ; ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ X = ⎜ . ⎟ - матрица - столбец. ⎜ ⎟ ⎜ .⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn ⎠
⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ b2 ⎟ B = ⎜ . ⎟ , i = 1,2,..., n. k = 1,2,..., n ⎜ ⎟ ⎜ .⎟ ⎜ ⎟ ⎝ bn ⎠
б) решение системы запишется в виде матричного уравнения X = A−1B , где A−1 - обратная матрица для матрицы А. A−1 =
1 ( A ) , где ( Aki ) - матрица, ΔA ki
составленная из алгебраических дополнений для элементов матрицы AT . 14. Решение системы (1) по формулам Крамера. Решения системы имеют вид , где Δ- определитель матрицы А; ΔXi - определитель, полученный из заменой i-го столбца на столбец свободных членов. x1 =
Δx1 Δx Δx ; x2 = 2 ,..., xn = n - формулы Крамера. Δ Δ Δ
15.
⎧a11x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = 0 ⎪a x + a x +...+ a x = 0 ⎪ 21 1 22 2 2n n ⎨ ⎪. . . . . . . . . . . ⎪⎩am1x1 + am2 x2 +...+ amn xn = 0
(2),
m