Моделирование и анализ динамических систем

А .З . АСАНОВ

Моделирование и анализ динамических систем Учебное пособие

Набережные Челны 2004

УДК 6 813.06 (076) А90 Асанов А.З. Моделирование и анализ динамических систем: Учебное пособие. Набережные Челны: Изд-во Камского государственного политехнического института, 2004 . - 152 с.: ил. ISBN 5-9536-0032-1 В учебном пособии даны описания основных форм математических моделей динамических систем, используемых в современной теории управления, даны понятия и способы выявления фундаментальных свойств динамических систем, таких как устойчивость, управляемость, наблюдаемость. Пособие разработано на кафедре информационных технологий КамПИ и

автоматизации и предназначено для

теоретической и самостоятельной работы студентов специальностей 2102, 1211 при изучении моделирования систем управления, теории автоматического управления, систем автоматизированного проектирования систем управления, автоматизации технических объектов и технологических процессов, при выполнении курсового и дипломного проектирования. Табл. 1. Ил. 55. Библиогр.19 назв. Рецензенты: кафедра технической кибернетики Уфимского государственного авиационного технического университета (зав. кафедрой заслуженный деятель науки и техники РФ и РБ, доктор техн. наук, проф. Б.Г. Ильясов); доктор техн. наук, проф.

Байрамов Ф.Д.;

доктор физ.-мат. наук, проф. Габбасов Н.С. © А.З. Асанов, 2004 год. © Камский государственный политехнический институт, 2004 год.

ISBN 5-9536-0032-1

Предисловие В

инженерной

практике

значительное

место

занимает

проблема

построения модели с целью исследования и познания с ее помощью закономерностей, присущих интересующ ему нас объекту, явлению

или

процессу. Необходимость построения модели в инженерном деле во многом сходна с необходимостью построения моделей в научных исследованиях с целью познания объектов, явлений, процессов окружающего нас мира. В общем, случае модель устанавливает качественное или количественное взаимоотношения

между

различными

характеристиками

и

связями,

присущими исследуемому объекту, явлению или процессу. В общем случае, процесс построения модели может быть схематически представлен следующим образом. Реально существующий объект (явление или процесс) находится под воздействием многочисленных возмущений (факторов), определяющ их его состояние или реакцию. Объект наделен какими-то

неизвестными

свойствами,

для

исследования

которых

и

производится построение модели. Исследователь наблюдает возмущения, действующие на объект, реакцию объекта, а затем производит (строит) модель. Модель может быть умозрительной, качественной, количественной, представленной тематического

в

виде

словесного

уравнения,

макета

и

описания, т.

д.

схемы,

Естественно,

чертежа,

ма­

считать,

что

построенная модель реального объекта удовлетворительна, если значения реакций на выходе модели и объекта близки. Таким образом, сущ ность моделирования заключается в замене реальной системы (процесса, явления), ее отдельных элементов моделью , которая находится с ней соответствии

и способна

воспроизводить

интересующие

в некотором исследователя

свойства или характеристики реальной системы. Процесс построения моделей

и использование моделирования для

познания явлений окружающего нас мира применяется с древних времен. При этом по мере увеличения наших знаний об отдельных явлениях изменялись как методы построения модели, так и результаты самого моде­ лирования.

Познание любой системы, существу, к созданию ее модели. Перед

изготовлением

явления,

каждого

процесса

устройства

сводится, или

по

сооружения

разрабатывается его модель-проект. Любое

произведение

искусства

является

моделью,

фиксирующей 3

действительность. Человек, прежде чем совершить что-либо, обдумывает возможную последовательность действий или интуитивно руководствуется определенными установивш имися апробированными моделями поведения. Исторически сложилось так, что в каждой отрасли науки, задачи познания мира, построения моделей развивались на базе собственных методов и средств и для этой цели разрабатывались свои подходы и языки. Так, если еще совсем недавно в философии, биологии, социологии, эконо­ мике, литературе основным языком оставался разговорный язык, то в физике, механике, термодинамике основным языком являлся математический, в химии, живописи, музыке - свои собственные языки, в инженерном деле язык схем, чертежей и т д. В последние годы в связи с появлением современных

вычислительных

средств

возможности

моделирования

и

проникновение математических методов значительно возросли. Поэтому моделированию как методу отображения реальной действительности или как методу

изучения

объективных

законов,

методам

построения

моделей

объектов и решению ряда других общ етеоретических проблем в последние годы

уделяется

значительное

внимание.

О собенно

возросла

роль

моделирования в кибернетике. Это, в первую очередь, связано с ростом сложности объекта управления, для которого реш ение задач управления (выбора параметров и структуры систем управления, алгоритма и т.д.) не может быть осущ ествлено без предварительного моделирования. Развитие и широкое распространение средств вычислительной техники привело к значительному повышению интереса к методам математического моделирования как в технике и науке, так и в других областях, в том числе и общественных. С помощью моделей, реализованных на ЭВМ , можно решать больш инство

задач

анализа,

проектирования

новых

сложных

систем,

осущ ествлять выбор наилучших вариантов реш ений, осущ ествлять анализ и прогнозирование поведения экономических систем, решать много других задач.

4

1. Общие положения теории моделирования1 1.1. Моделирование как метод исследования сложных систем Под моделированием в широком смысле понимают не только процесс построения, изучения и совершенствования моделей, но и использование их в научных исследованиях, в том числе и экспериментальных, а также применение их непосредственно в процессах планирования, управления, прогнозирования, контроля и т.д. Моделирование как метод исследования является мощным инст­ рументом познания на протяжении всей истории развития человечества. Одним из примеров созданной человеком системы моделей, адекватно отражающей широкий класс явлений и процессов реального мира, являются модели классической механики. Моделирование как инструмент познания требует творческого подхода и определенного искусства владения им. С другой стороны, моделирование как наука опирается на научные знания той области, где этот инструмент познания используется. Например, для построения математической модели летательного аппарата (ЛА) требуются знания законов аэродинамики, механики, движения ЛА в воздушной и безвоздушной среде. Только глубокие профессиональные знания исследователя в сочетании с творческим подходом к решаемой проблеме могут быть основой для успешного применения метода моделирования. Сам процесс моделирования предполагает такой способ изучения объекта, при котором модель, с точки зрения цели исследования, вполне точно (адекватно) и достаточно полно замещ ает изучаемый объект. Существует достаточно большое число определений понятия «модель». Одни из них слишком абстрактны, другие - слишком конкретны. Все они отражают ту или иную сторону этого многогранного понятия. Модель - это вспомогательный объект (устройство, средство), который может заменить другой объект. Модель - это упрощенное представление другого объекта или процесса. Модель - это форма представления и существования наших знаний. Модель - это инструмент познания окружающего мира. В дальнейшем будем придерживаться следующего определения понятия модели, которое; является более узким и более конкретным [1]. 1 М одели с и с тем автоматического управления и их элементов: учебное пособие для вузов / С.Т. Кусимов, Б .Г. Ильясов, В.И. Васильев и др. - М.: М аш иностроение, 2003. -2 1 4 с.

5

О п ределен ие 1. Объект М является в определенных условиях моделью системы (объекта, процесса, явления, ситуации) S относительно некоторого множества С, его характеристик (свойств, признаков), если М строится для имитации S по этим характеристикам. Таким образом, модель и исходная система эквивалентны относительно множества воспроизводимых характеристик: П ри этом следует иметь в виду, что модель М по сравнению с ориги­ налом

S

имеет

существенные

преимущества:

наглядность,

простоту,

обозримость, легкость преобразований с ней, возможность проведения испытаний и получения с ее помощью новых знаний, информации. Само понятие модели претерпевало так же, как и понятие системы, определенную эволюцию. Эволюция моделей отражает эволю цию процесса познания. Так, на ранних этапах под моделью понимали некоторое физическое устройство (объект), которое в определенных условиях заменяет другой объект. Примерами таких устройств могут служить модели самолетов, кораблей, машин, различные макеты, шаблоны, протезы и т.д. На

следующем

этапе

под

моделью

объекта

понимался

объект-

заменитель, который отражал лишь интересующ ие исследователя свойства и характеристики объекта-оригинала. При этом модель перед объектом обладал такими

преимуществами,

как

наглядность,

простота,

обозримость,

доступность для эксперимента, возможность идентификации и т.д. Само понятие модели уже значительно расш ирено и вклю чает в себя чертежи, таблицы, характеристики, графики, рисунки, картографические изображения, различные формы описания устройств и т.д. Н а третьем же этапе в понятие модели включают на только реальные (физические, материальные), но и абстрактные (идеальные) построения. Примером

последних

могут

служить

идеи,

гипотезы,

теории,

ма­

тематические, логические и имитационные модели. В форме математической модели

можно описать и типовую деятельность

организационно-технических

системах.

Сам

человека-оператора в

процесс

мышления

можно

трактовать как процесс последовательного перехода от одних абстрактных моделей к другим. При этом модель выступает как форма существования и представления знаний об исследуемом объекте, явлении, процессе, системе. Таким

образом,

познание

материального

мира

идет через

модели,

а

целенаправленная деятельность человека невозможна без моделирования. Укажем и на другие свойства моделей. Во-первых, 6

модель очень

информативна, а эта информация представлена в весьма сжатом виде. Вовторых, модель иерархична, т.е.

есть

модели

более высокого уровня

(например, модель системы управления) и более низкого (например, модели элементов

систем

управления).

В-третьих,

модель

уточняется

и

корректируется в процессе моделирования, т.е. недостатки модели нельзя предугадать заранее. В-четвертых, модель может выступать в качестве эталона,

идеализирующ его

собой

различные

формы

деятельности:

управление, планирование, принятие решений, прогнозирование, контроль и т.д. Например, в адаптивных системах управления техническими объектами реализуется принцип управления по эталонной модели. С этой точки зрения цель системы управления часто выступает в качестве модели будущего (желаемого) состояния системы. А алгоритм можно рассматривать как модель формирования управляющ их воздействий, направленных на перевод объекта управления из одного состояния в другое. При этом модель привода рассматривается как модель исполнения управляющих воздействий путем перемещения органов регулирования, а модель информационных элементов (датчиков) - как модель обработки и преобразования первичной информации. Таким

образом,

исследование

системы

управления

происходит

через

построение моделей ее элементов и изучение свойств системы

путем

моделирования ее поведения в различных условиях. Необходимо помнить и о главном недостатке метода моделирования, который заключается в том, что при моделировании

можно иолучить

результаты, не имеющие отношения к исследуемым свойствам системы или неправильно

отражающие

свойства

реальной

системы.

В

этом

есть

объективная причина: модель не всегда точно и достаточно полно отражает реальный объект. Но все же достоинств у метода моделирования больше, чем недостатков. Можно выделить следующие достоинства: 1. Модели практичны, они всегда строятся так, чтобы были проще и удобнее для исследований, чем исходные объекты. На моделях можно ставить такие эксперименты, проведение слишком

дорого,

либо

опасно

которых на реальных объектах либо для

персонала

и окружающей

среды.

Например, на моделях системы управления авиационным двигателем можно изучать ее свойства на различных скоростях и высотах полета Л A вместо изучения этих свойств на дорогостоящ их высотных стендах. 2. Некоторые явления можно изучать только на их моделях. Например, ядерные взрывы, электрические разряды молнии, полет JIA при развитии 7

критической

ситуации

на

борту

в

результате

отказов

отдельных

функциональных подсистем, возникновения пожара и т.п. 3. Модели воспроизводят лишь основные, наиболее важные для данного исследования

свойства

изучаемой

системы.

Это

позволяет

при

моделировании выявить механизм формирования данных свойств системы, научиться прогнозировать эти свойства и целенаправленно их изменять в желаемую сторону. 4. При моделировании систем могут возникнуть и побочные эффекты. Например, модель может воспроизводить такие свойства системы, которые адекватны реальным, но данная модель не бы ла предназначена для этого. Этот эффект следует рассматривать как исключение, а не как закономерность. Указанные достоинства метода моделирования делаю т его наиболее эффективным методом, как научных исследований, так и практической деятельности человека.

1.2. Классификация моделей Проблема классификации моделей, как и лю бых достаточно сложных явлений, процессов, систем, сложна,

многогранна

и трудноразрешима.

Объективная причина состоит в том, что исследователя интересует лиш ь какое-то

одно

свойство

системы

(объекта,

процесса,

явления),

для

отображения которого и создана модель. Поэтому в основу классификации можно

положить

множество

различных

признаков:

способ

описания,

функциональное назначение, степень детализации, структурные свойства, область применения и т.д. Рассмотрим некоторые классы моделей. 1.

По н азнач ен ию моделей различают:

исследовательские (познавательные, когнитивные), предназначенные для генерации знаний путем изучения свойств объекта; •

учебные, предназначенные для передачи знаний об изучаемом объекте;

•

рабочие (прагматические), предназначенные для генерации правильных действий в процессе достиж ения цели. К

исследовательским

моделям

физические модели, математические

относятся модели.

полунатурные

Отметим,

что

стенды,

исследова­

тельские модели могут выступать в качестве учебных, если они пред­ назначены для передачи знаний о свойствах объекта. Примерами рабочих моделей могут служить: робот; автопилот; математическая модель объекта, встроенная в систему управления или контроля; искусственное сердце и т.д. 8

При этом исследовательские и учебные модели должны приближаться к реальности, а рабочие модели должны отражать эту реальность. Четкой границы

между

этими

моделями

не

существует.

Так,

например,

исследовательская модель, адекватно отражающая свойства объекта, может быть использована в качестве рабочей. Исследовательские модели являются носителями новых знаний, учебные модели соединяют старые знания с новыми.

Рабочие

модели

идеализируют накопленные знания

в форме

идеальных действий по выполнению тех или иных функций, которые желательно было бы осуществить. 2. По отраж ени ю реж им ов работы системы различают: .

статические модели, которые отражают установивш иеся (равновесные) режимы работы системы; динамические, которые отражают неустановившиеся (неравновесные, переходные) режимы работы системы. Статические режимы работы элементов, объектов, систем отражены в их

статических

характеристиках

(линейных,

нелинейных)

и

описываются

соответствующими алгебраическими функциональными зависимостями. 3. По способу создани я (построения) моделей различают: •

абстрактные

(дедуктивные,

умозрительные,

идеальные)

модели,

.

материальные (физические, реальные) модели, построенные средствами

пос троенные средствами мышления на базе нашего сознания; материального мира для отражения его объектов, процессов и т.д. Абстрактные модели - это идеальные конструкции в нашем сознании в виде образов или представлений о тех или иных физических явлениях, процессах, ситуациях, объектах, системах. Примерами абстрактных моделей могут служить какая-либо гипотеза о свойствах материи, предположения о поведении сложной системы в условиях неопределенности или новая теория о строении сложных систем. На абстрактных моделях и на умозрительной аналогии (сходстве) между моделью М и оригиналом S строится идеальное (дедуктивное)

моделирование.

Различают

два

вида

идеального

моделирования: формализованное и неформализованное (интуитивное). К формализуемым абстрактным моделям относятся знаковые модели, в том числе математические и языковые конструкции (языки программирования, естественные языки) вместе с правилами их преобразования и интерпрета­ ции. Примером знаковых моделей могут служить чертежи, схемы, графики, формулы и т.д. М атематическое моделирование - частный случай знакового моделирования. Здесь преобразование формул осущ ествляется на основе 9

правил логики и математики. М атематическая модель - это объект, который имеет с прототипом следующее однозначное соответствие: 1) структуры, т.е. состава элементов и связей между ними; 2) уравнений, описывающих свойства этих элементов и их связей. При этом математическую модель сложной системы можно трактовать

как

множество

математических

моделей

элементов,

взаи­

мосвязанных и взаимодействующих друг с другом и адекватно отражающих синергетические свойства системы. При образном моделировании модели строятся из каких-либо наглядных элементов (упругие шары, потоки жидкости, траектории движения тел и т.д.). Анализ образных моделей осущ ествляется мысленно и может быть отнесен к формализованному

моделированию

в

том

случае,

когда

правила

взаимодействия образов четко формализованы. Этот вид моделирования используется при мысленном эксперименте. К

неф ормализуемым

построенные

с

абстрактным

использованием

моделям

различных

форм

относятся

модели,

мышления:

эмоции,

интуиции, образного мышления, подсознания, эвристики как совокупности логических приемов и правил отыскания истины. При неформализованном моделировании

модель

не формулируется,

а вместо

нее

используется

некоторое нечеткое мысленное отражение реальности, служащ ее основой для рассуждения и принятия решения. Примером неопределенных (интуитивных) представлений об объекте может служить нечеткое описание ситуации, основанное на опыте и на интуиции. Конечно, при таком подходе принятое решение может оказаться малоэффективным и даже ош ибочным ввиду того, что модель одной и той же ситуации понимается исследователями по-разному и приводит не только к несовпадающим результатам, но и к совершенно противоположным моделирования экспертной

выводам.

при

оценки,

Однако

принятии исходя

из

применение

реш ения опыта

неформализованного

(на основе и

анализа

интуиции)

ситуации,

привлекает

своей

быстротой, деш евизной, легкостью, ясностью и порой оказывается весьма эффективным. Для уменьшения вероятности соверш ения грубых ош ибок при реш ения

целесообразно

неформализованного

принятии

моделирования

моделирующих

систем.

Отметим,

что

сочетание на при

основе

математического

и

человеко-машинных

использовании

вербальных

моделей, создаваемых средствами языка, возникает неопределенность из-за неоднозначности, многовариантности, расплывчатости и размытости как на уровне 10

слов,

так

и

на

смысловом

уровне.

Для

преодоления

этой

неопределенности создаю тся как специализированные (профессиональные) языки, так и языки более высокого уровня. Очевидно, что чем более формализован язык, т.е. чем ближе он к математической модели, тем большее количество знаний можно представить с его помощью. М атериальны е

модели

-

реальные,

вещ ественные

конструкции,

служ ащ ие для замены оригинала в определенном отношении. Основным требованием к построению данного класса моделей является требование сходства (подобия, аналогии) между моделью и оригиналом. Некоторые исследователи [2] различаю т следую щ ие типы подобия: прямое, косвенное и условное; геометрическое, ф изическое и аналогию. Геомет рическое подобие является основным требованием к построению геометрических м оделей, которые представляю т собой объект, геометрически подобный своему прототипу и служащ ий для демонстрационных целей. М одель дем онстрирует принцип действия, взаимное расположение частей, процесс сборки изучения

и разборки, компоновку объекта и предназначена для

свойств,

которые

инвариантны

(независимы)

от

абсолютных

величин линейны х размеров объекта. Примерами геометрических моделей являю гся: макеты маш ины (установки), манекены, скульптуры, протезы, копии и т.д. Они изображ аю т прототип не во всем многообразии его свойств, не в лю бы х качественны х границах, а в границах чисто пространственных. Здесь им еет место сходство (подобие) не вообще между вещами, а между особым и типами вещей - телам и. В этом ограниченность данного класса моделей. О тметим, что здесь реализуется прямое подобие. Физическое подобие

относится

к модели и оригиналу одинаковой

физической природы и отраж ает их сходство в одинаковости отношений одноим енны х ф изических переменны х в соответствующ их пространственновременных точках.

Геометрическое

подобие является частным случаем

физического подобия, которое такж е соответствует прямому подобию. При физическом подобии модель и оригинал могут находиться в более сложных геом етрических отнош ениях, чем линейная пропорциональность, так как физические свойства оригинала не пропорциональны его геометрическим размерам. Здесь важно, чтобы пространство физических переменных модели было подобно пространству ф изических переменных оригинала. При этом физическая модель по отнош ению к оригиналу является аналогией типа изо­ м орфизма

(взаим но

проблемой

по-преж нему

однозначного остается

соответствия).

Однако

центральной

проблема корректного пересчета ре­

зультатов модельного эксперим ента на результаты испытания оригинала в 11

реальных

условиях.

Сходство

основано

на

соблюдении

некоторых

физических критериев. Отметим, что если модель физически реализована, то физическое моделирование называют такж е натурным Примерами

натурных физических

труба, модели тектоники

моделей

являются

моделированием. аэродинамическая

гидротехнических сооружений, военные учения,

(структуры)

земной

коры

труднодоступных

модель

районов

нашей

планеты и т.д. Физическая модель является как бы формой технической реализации абстрактных (дедуктивных) моделей. К достоинству физического моделирования следует отнести получение достаточно достоверных результатов, которые необходимы для принятия правильных

решений

управлении,

прогнозировании

относительно

при

высокую

проектировании, и

т.д.

стоимость

К

по

планировании,

недостаткам сравнению

с

контроле,

следует

отнести

математическими

моделями, а также трудность быстрой (оперативной) доработки модели при переходе от одного варианта к другому. О тметим также, что изготовление физической модели занимает много времени, а соответствие измеренных искомых величин на модели оригиналу бывает достаточно грубым, что искажает в некоторой степени изучаемый процесс. Аналогия - это такой класс моделей, в котором не предполагается тождественности физической природы модели и прототипа, но требуется, чтобы модель при некоторых условиях вела себя аналогично поведению оригинала

(косвенное

подобие).

Аналогия

основана

на

возможности

моделирования явления (системы, процесса) одной природы явлениями (системами,

процессами)

совсем

другой

природы.

Например,

электромеханическая аналогия: колебания в механических системах можно моделировать колебаниями в электрических цепях. При этом модель (аналог) и

оригинал

(прототип)

соотнош ениями, сходстве

описываются

одинаковыми

например дифференциальными

основана

теория

аналогий

и

математическими

уравнениями. Н а

аналоговое

этом

моделирование.

Аналоговые, а затем цифровые и гибридные вычислительные машины позволяют

решать

диф ференциальных моделях-аналогах

широкий уравнений

можно

класс при

линейных

заданных

"проигрывать"

и

начальных

различные

нелинейных условиях.

ситуации,

На

даже

маловероятные, например, ситуации, до которых объект-оригинал нельзя допускать. К последним относятся критические, аварийные и чрезвычайные ситуации. Данный класс моделей используется такж е при исследовании сложных систем, над которыми нельзя ставить опасные эксперименты 12

(ракетный

комплекс,

экономика,

производство,

экология,

летательный

аппарат и т.д.). В [3] выделен класс моделей, которые являются аналогами прототипов по соглаш ению (условное подобие). М одели условного подобия являются фактически способом м атериального представления абстрактных (в том числе знаковых) моделей в вещ ественной форме. П римерами таких моделей являются: . .

коды и сигналы как модели сообщ ений; рабочие чертежи как модели деталей будущей конструкции; деньги как модель стоимости; характеристика личности как модель деятельности и качеств человека. Между моделями данного класса и оригиналом возможно однозначное

обращ ение.

Н апример, теория

построения

и

технических условного

кодирования

использования

системах.

подобия

кодов

Д ругими

являю тся:

изучает законы

и правила

(кодирование-декодирование)

примерами

использования

в

моделей

криптография, картография, языкознание,

техническое черчение, информатика и математика. 4.

По способу м ате м а ти ч еск о го о п и са н и я различаю т следующ ие типы

математических моделей: •

линейны е и нелинейны е (в том числе логические);

.

непрерывны е и дискретны е; детерминированны е и стохастические; с сосредоточенными и с распределенными параметрами;

•

стационарны е и нестационарные; одномерные и многомерные; аналитические и имитационные; функциональны е и структурные. Отметим, что стохастические модели в отличие от детерминированных

отраж аю т поведение оригинала с некоторой вероятностью при действии случайных факторов. Кроме приведенного выш е,

в различных работах выделяют классы

аналит ических и им ит ационны х моделей, ф ункциональных и структурных моделей. При этом под аналит ическими и ф ункциональными моделями принято понимать отраж ение свойства оригинала преобразовывать входной сигнал в выходной в соответствии с некоторой функциональной зависимостью или логическим

условием .

П од

имит ационной

или

структурной

моделью 13

понимают представление системы

в виде

множества взаимосвязанных

элементов различной математической или физической природы, образующих и отражающих структуру системы. При этом

предполагается, что по

поведению отдельных элементов можно судить как о поведении во времени системы в целом, так и о ее свойствах и характеристиках. Имитационное моделирование при изучении больш их (сложных) систем остается

практически

информации

единственно

о поведении

системы

доступным в условиях

методом

получения

неопределенности,

что

особенно важно на этапе ее проектирования. Данным методом можно выбирать структуру, параметры и алгоритмы управления синтезируемой системы, оценивать их эффективность, а такж е имитировать поведение системы в условиях, которые невозможно воспроизвести

на реальном

прототипе (например, аварии, отказы, чрезвычайные ситуации и т.д.). Когда при имитационном моделировании изучают поведение системы при действии случайных факторов с последующей статистической обработкой инфор­ мации,

то

целесообразно

в

качестве

метода

машинной

реализации

имитационной модели использовать метод статического моделирования. При этом метод статистических испытаний (метод М онте-Карло) рассматривается как численный метод решения аналитических задач. Особый класс моделей составляю т кибернет ические модели, которые отражают управленческие аспекты поведения сложных систем на основе информационного (функциональные, волические копирующие

обмена

модели, его

между

ее

информационные) описываю щие

по физической

элементами.

модели поведение

сущности.

Кибернетические

представляю т

собой

объекта-оригинала, Сама физическая

сим­ а

не

природа

кибернетических моделей отличается от физической природы прототипа и ее элементов. Целью построения информационной модели является разработка систем управления. Естественно, что для объектов, с различной физической природой м огут быть одинаковые кибернетические модели. М атематическое описание информационной модели может быть получено по результатам исследования входных и выходных переменных объекта-оригинала без учета его физической природы. Особенностью кибернетических моделей является возможное наличие в них, кроме механизма управления, такж е и механизмов самоорганизации, обучения, адаптации и т.д., а в более сложных системах - и искусственного интеллекта. Таким

образом,

классификация

моделей

по

какому-либо

одному

признаку не может охватить всех видов моделей, ибо модель, как и исходная 14

система, многогранна и отражает лиш ь те ее свойства, которые представляют интерес для исследователя.

1.3. Свойства моделей и требования к ним Рассмотрим некоторые свойства моделей, которые позволяю т в той или иной степени либо различать, либо отождествлять модель с оригиналом (объектом,

процессом).

М ногие

исследователи

выделяют

следующие

свойства моделей [1]: адекватность, сложность, конечность, наглядность, истинность, приближенность. Проблема адекватности. Важнейшим требованием к модели является требование адекватности (соответствия) ее реальному объекту (процессу, системе и т.д.) относительно выбранного множества его характеристик и свойств. Под адекватностью модели понимают правильное качественное и количественное описание объекта (процесса) по выбранному множеству характеристик с некоторой разумной степенью точности. При этом имеется в виду адекватность не вообще, а адекватность по тем свойствам модели, которые являются для исследователя существенными. Полная адекватность означает тождество между моделью и прототипом. Математическая модель может быть адекватна относительно одного класса ситуаций (состояние системы + состояние внешней среды) и не адекватна относительно другого. Модель типа «черный ящик» адекватна, если в рамках выбранной степени точности она функционирует так же, как и реальная система, т.е. определяет тот же оператор преобразования входных сигналов в выходные. Можно ввести понятие степени (меры) адекватности, которая будет меняться от 0 (отсутствие адекватности) до 1 (полная адекватность). Степень адекватности выбранной

характеризует характеристики

долю

истинности

(свойства)

модели

изучаемого

относительно

объекта.

Введение

количественной меры адекватности позволяет в количественном отношении ставить

и

решать

такие

задачи,

как

идентификация,

устойчивость,

чувствительность, адаптация, обучение модели. Отметим, что в некоторых простых ситуациях численная оценка степени адекватности

не

представляет

особой

трудности.

Н апример,

задача

аппроксимации заданного множества экспериментальных точек некоторой функцией. Если в простых случаях бывает все ясно, то в сложных случаях 15

неадекватность модели бывает не столь ясной. Применение неадекватной модели приводит либо к существенному искажению реального процесса или свойств

(характеристик)

изучаемого

объекта,

либо

к

изучению

несу­

щ ествующих явлений, процессов, свойств и характеристик. В последнем случае

проверка

адекватности

не

может

осущ ествляться

на

чисто

дедуктивном (логическом, умозрительном) уровне. Необходимо уточнение модели на основании информации из других источников. Трудность оценки степени адекватности в общем случае возникает из-за неоднозначности и нечеткости самих критериев адекватности, а также из-за трудности выбора тех признаков, свойств и характеристик, по которым оценивается адекватность. Понятие адекватности является рациональным понятием,

поэтому

рациональном

повышение

уровне.

ее

степени

Следовательно,

такж е

осущ ествляется

адекватность

модели

на

должна

проверяться, контролироваться, уточняться в процессе исследования на частных примерах, аналогиях, экспериментах и т.д. В результате проверки адекватности выясняют, к чему приводят сделанные допущ ения: то ли к допустимой потере точности, то ли к потере качества. При проверке адекватности также можно обосновать законность применения принятых рабочих гипотез при решении рассматриваемой задачи или проблемы. Иногда адекватность модели М обладает побочной адекватностью, т.е. она дает правильное количественное и качественное описание не только тех характеристик, для имитации которых она строилась, но и ряда побочных характеристик,

потребность

в

изучении

которых

может возникнуть

в

дальнейшем. Эффект побочной адекватности модели возрастает, если в ней нашли отражение хорошо проверенные физические законы, системные принципы, основные положения геометрии, апробированные приемы

и

способы и т.д. Может, поэтому структурные модели, как правило, обладают более высокой побочной адекватностью, чем функциональные. Таким

образом,

свойство

адекватности

является

важнейшим

требованием к модели, но разработка высокоточных и надежных методов проверки адекватности остается по-прежнему трудноразреш имой задачей. Прост от а адекватности

и сложность. модели

Одновременное

являются

адекватности сложные модели

требование

противоречивыми. являются

С

простоты

точки

предпочтительнее

и

зрения

простых. В

сложных моделях можно учесть больш ее число факторов, влияю щ их на изучаемые характеристики объектов. Хотя сложные модели и более точно отражают моделируемые свойства оригинала, но они более громоздки, 16

труднообозримы и неудобны в обращ ении. Поэтому исследователь стремится к упрощ ению модели, так как с простыми моделями легче оперировать. Н апример, теория аппроксимации - это теория корректного построения упрощ енных простой

математических

модели

должен

моделей.

соблюдаться

При

стремлении

основной

к построению

принцип

уп рощ ен и я

м одели: упрощ ат ь м одель м ож но до т ех пор, пока сохраняются основные свойства, характ ерист ики и закономерности, присущие оригиналу. Этот принцип указы вает на предел упрощения. При этом понятие простоты (или сложности) модели является понятием относительным. М одель считается достаточно простой, если современные средства исследования (математические, информационные, физические) дают возможность провести качественный и количественный анализ с требуемой точностью. А поскольку возможности средств исследований непрерывно растут, то те задачи, которые раньш е считались сложными, теперь могут быть отнесены к категории простых. Можно такж е выделит!, степень простоты модели, оценив ее ко­ личественно, как и степень адекватности, от 0 до 1. При этом значению 0 будут соответствовать недоступные, очень сложные модели, а значению 1 очень простые. М ожно построить таблицу 1.1 [1], в которой по горизонтали отложены

параметры,

характеризую щ ие

степень

адекватности,

а

по

вертикали - степень простоты. Таблица 1.1 С тепень адекватности Очень высокая

Приемлемая

неудовлетворительная

Очень простая

и

12

13

Доступная

21

22

23

Очень сложная (недоступном)

И

32

33

Степень простоты

В этой таблице области (13), (31), (23), (32) и (33) должны быть исключены из рассм отрения либо из-за неудовлетворительной адекватности, либо из-за очень высокой степени сложности модели и недоступности ее изучения современными

средствами

исследования. Область ( 11) также

долж на бы ть исключена, так как она дает тривиальны е результаты: здесь 17

любая модель является очень простой и высокоточной. Такая ситуация может возникнуть,

например,

при

изучении

простых

явлений,

подчиняемых

известным физическим законам (Архимеда, Ньютона, О ма и т.д.). Формирование

моделей

в

областях

(12),

(21),

(22)

необходимо

осущ ествлять в соответствии с некоторыми критериями. Например, в области (12) необходимо стремиться к тому, чтобы бы ла максимальной степень адекватности, в области (21) - степень простоты бы ла минимальной. И только в области (22) необходимо проводить оптимизацию формирования модели по двум

противоречивым

простоты)

критериям:

и максимуму точности

минимуму (степени

сложности

(максимуму

адекватности). Эта задача

оптимизации в общем случае сводится к выбору оптимальных структуры и параметров модели. Более трудной задачей является оптимизация модели как сложной системы, состоящей из отдельных подсистем, соединенных друг с другом в некоторую иерархическую и многосвязную структуру. При этом каждая подсистема и каждый уровень имеют свои локальные критерии сложности и адекватности, отличные от глобальных критериев системы. Следует отметить, что с целью меньшей потери адекватности упрощение моделей целесообразнее проводить: a)

на

физическом

уровне

с

сохранением

основных

физических

соотношений, b)

на структурном уровне с сохранением основных системных свойств. Упрощение же моделей на математическом (абстрактном) уровне может

привести к сущ ественной потере степени адекватности. Н апример, усечение характеристического уравнения высокого порядка до 2 - 3-го порядка может привести к совершенно неверным выводам о динамических свойствах системы. Заметим, что более простые (грубые) модели используются при решении задачи синтеза, а более сложные точные модели - при реш ении задачи анализа. Конечность моделей. Известно, что мир бесконечен, как любой объект, не только в пространстве и во времени, но и в своей структуре (строении), свойствах, отнош ениях с другими объектами [1]. Бесконечность проявляется в иерархическом строении систем различной физической природы. Однако при изучении объекта исследователь ограничивается конечным количеством его свойств, связей, используемых ресурсов и т.д. Он как бы «вырезает» из бесконечного мира некоторый конечный кусок в виде конкретного объекта, 18

системы, процесса и т.д. и пытается

познать бесконечный мир через

конечную модель этого куска. П равомерен ли такой подход к исследованию бесконечного мира? П рактика отвечает положительно на этот вопрос, о с­ новываясь на свойствах человеческого разума и законах Природы, хотя сам разум конечен, но зато бесконечны генерируемые им способы познания мира. П роцесс познания идет через непреры вное расш ирение наших знаний. Это можно наблюдать на эволю ции разума, на эволюции науки и техники, и в частности, на развитии, как понятия модели системы, так и видов самих моделей. Таким образом, конечность моделей систем заключается, во-первых, в том, что они отображ аю т оригинал в конечном числе отношений, т.е. с конечным числом связей с другими объектами, с конечной структурой и конечным количеством свойств на данном уровне изучения, исследования, описания,

располагаемы х

ресурсов.

Во-вторых,

в

том,

что

ресурсы

(информационные, ф инансовы е, энергетические, временные, технические и т.д.) моделирования и наш и знания как интеллектуальные ресурсы конечны, а потому объективно ограничиваю т возможности моделирования и сам процесс познания мира через модели на данном этапе развития человечества. П о­ этому исследователь (за редким исклю чением) имеет дело с конечномерными моделями.

Однако

вы бор

размерности

модели

(ее

степени

свободы,

переменных состояния) тесно связан с классом решаемых задач. Увеличение размерности модели связано с проблемами сложности и адекватности. При этом необходимо знать, какова функциональная зависимость между степенью сложности и размерностью модели. Если эта зависимость степенная, то про­ блема может быть реш ена за счет применения высокопроизводительных вычислительных систем. Если же эта зависимость экспоненциальная, то «проклятие размерности» неизбеж но и избавиться от него практически не удается. В частности, это относится к созданию универсального метода поиска экстремум а функций многих переменных. Как отм ечалось выш е, увеличение размерности модели приводит к повыш ению степени адекватности и одновременно к усложнению модели. При этом степень слож ности ограничена возможностью оперирования с моделью,

т.е.

теми

средствами

моделирования,

которыми

располагает

исследователь. Н еобходимость перехода от грубой простой модели к более точной

реализуется

за

счет

увеличения

размерности

модели

путем

привлечения новых переменны х, качественно отличающихся от основных и которыми пренебрегли при построении грубой модели. Эти переменные мо­ 19

гут быть отнесены к одному из следующих трех классов: 1)

быстропротекающие

переменные,

протяженность

которых

во

времени или в пространстве столь мала, что при грубом рассмотрении они принимались

во

внимание

своими

интегральными

или

осредненными

характеристикам и; 2)

медленнопротекающие

переменные,

протяженность

изменения

которых столь велика, что в грубых моделях они считались постоянными; 3) м алы е переменные (малые параметры), значения и влияние которых на основные характеристики системы столь малы, что в грубых моделях они игнорировались. Отметим, что разделение сложного движения системы по скорости на быстропротекающ ее и медленнопротекающее движения дает возможности изучать их в грубом приближении независимо друг от друга, что упрощает реш ение

исходной

задачи.

Что

касается

малых

переменных, то

ими

пренебрегают обычно при решении задачи синтеза, но стараются учесть их влияние на свойства системы при решении задачи анализа. При моделировании стремятся по возможности выделить небольшое число основных факторов, влияние которых одного порядка и не слишком сложно описывается математически, а влияние других факторов оказывается возможным

учесть

с

помощью

осредненных,

интегральных

или

"замороженных" характеристик. При этом одни и те же факторы могут оказывать сущ ественно различное влияние на различные характеристики и свойства системы. Обычно учет влияния выш еперечисленных трех классов переменных на свойства системы оказывается вполне достаточным. Приближ енность моделей. Из выш еизложенного следует, что конечность и простота (упрощенность) модели характеризуют качественное различие (на структурном уровне) между оригиналом и моделью. Тогда приближенность модели будет характеризовать количественную сторону этого различия. Можно ввести количественную меру приближенности путем сравнения, например, грубой модели с более точной эталонной (полной, идеальной) моделью или с реальной моделью. Приближенность модели к оригиналу неизбежна, существует объективно, гак как модель как другой объект отражает лишь отдельные свойства оригинала. Поэтому степень приближенности (близости, точности) модели к оригиналу определяется постановкой задачи, целью моделирования. Погоня за повышением т о ч н о с ти модели

приводит к ее чрезмерному усложнению,

а следовательно, к

снижению ее практической ценности, т.е. возможности ее практического 20

использования. П оэтому при моделировании сложных (человеко-машинных, организационных) систем точность и практический смысл несовместимы и исклю чаю т друг друга (принцип Л.А. Заде). Причина противоречивости и несовместимости требований точности и практичности модели кроется в неопределенности и нечеткости знаний о самом оригинале: его поведении, его свойствах

и характеристиках, о

поведении окружающей среды, о

механизмах формирования цели, путей и средствах ее достижения и т.д. И ст инност ь моделей. В каждой модели есть доля истины, т.е. любая модель в чем-то правильно отраж ает оригинал. Степень истинности модели выявляется только при практическом сравнении её с оригиналом, ибо только практика является критерием истинности. С одной стороны, в лю бой модели содержится безусловно истинное, т.е. определенно содержится

известное

и

правильное.

С

другой

стороны,

в

модели

и условно истинное, т.е. верное лиш ь при определенных

условиях. Типовая ош ибка при моделировании заключается в том, что исследователи применяю т те или иные модели без проверки условий их истинности, границ их применимости. Такой подход приводит заведомо к получению неверных результатов. Отметим, что в лю бой модели такж е содержится предположительноистинное

(правдоподобное),

неопределенности

либо

т.е.

верным,

нечто, либо

могущее ложным.

быть

в

условиях

Только

на

практике

устанавливается фактическое соотнош ение между истинным и ложным в конкретных

условиях.

Н апример,

в

гипотезах

как

абстрактных

познавательных моделях трудно выявить соотнош ение между истинным и ложным. Только практическая проверка гипотез позволяет выявить это соотношение. При анализе уровня истинности модели необходимо выяснить знания [1], содерж ащ иеся достоверные некоторой

при

в них:

1) точные, достоверные знания; 2) знания,

определенны х

степенью

условиях;

неопределенности

3)

знания,

(с известной

оцениваемые

с

вероятностью для

стохастических моделей или с известной функцией принадлежности для нечетких моделей); 4) знания, не поддающ иеся оценке даже с некоторой степенью неопределенности; 5) незнания, т.е. то, что неизвестно. Таким образом, оценка истинности модели как формы знаний сводится к выявлению

содерж ания

правильно

отображ аю щ их

в

нем

как

объективных

оригинал,

так

и

достоверных знаний,

знаний,

приближенно

оцениваю щ их оригинал, а такж е то, что составляет незнание. 21

Контроль моделей. При построении математических моделей объектов систем, процессов целесообразно придерживаться следую щ их рекомендаций: 1. Моделирование надо начинать с построения самых грубых моделей на основе выделения самых сущ ественных факторов. При этом необходимо четко представлять как цель моделирования, так и цель познания с помощью данных моделей. 2. Желательно не проверяемые гипотезы.

привлекать

к

работе

искусственные

и

трудно

3. Необходимо контролировать размерность переменных, придерживаясь правила: складываться и приравниваться могут только величины одинаковой размерности. Этим правилом необходимо пользоваться на всех этапах вывода тех или иных соотношений. 4. Необходимо контролировать порядок складываемых друг с другом величин с тем, чтобы выделить основные слагаемые (переменные, факторы) и отбросить малозначительные. При этом долж но сохраняться свойство «грубости»

модели: отбрасывание малых величин

приводит к малому

изменению количественных выводов и к сохранению качественных. 5. Необходимо контролировать характер функциональных зависимостей: проверять сохранность зависимости изменения направления и скорости одних переменных от изменения других. Это правило позволяет глубже понять физический смысл и правильность выведенных соотношений. 6. Необходимо контролировать поведение переменных или некоторых соотношений при приближении параметров модели или их комбинаций к особым точкам. Обычно в экстремальной точке модель упрощается или вырождается, а соотношения приобретают более наглядный смысл и могут быть проще проверены, а окончательные выводы могут быть продубли­ рованы каким-либо другим методом. 7. Необходимо контролировать поведение модели в известных условиях: удовлетворение функции как модели поставленным граничным условиям; поведение системы как модели ири действии на нее типовых сигналов. 8. Необходимо

контролировать

получение

побочных

эффектов

и

результатов, анализ которых может дать новые направления в исследованиях или потребовать перестройки самой модели. Постоянный контроль за правильностью функционирования моделей в процессе исследования позволяет избежать грубых ош ибок в конечном результате. При этом выявленные недостатки модели исправляются в ходе моделирования, а не вычисляются заранее. 22

2. Динамические системы и их моделирование 2.1. Д инамические системы Понятие динамической системы не нуждается, пожалуй, в особом пояснении или определении. И значально к динамическим относили такие объекты,

которые

описы вались

дифференциальными

уравнениями,

аналогичными уравнениям динамики (т. е. движения в пространстве под действием сил) в теоретической механике, откуда и был заимствован термин. Со временем круг управляем ы х объектов расширился и стал включать не только процессы с механическим движением, но также электрические, электромагнитные, тепловы е, хим ические и т. д. Но термин сохранился, поскольку сохранилась форм а уравнений. При этом расш ирились понятия сопутствующих терм инов - координатами стали называть не только геометри­ ческие координаты, но значения всех физических показателей состояния, движением - не только геометрическое перемещ ение, но любой процесс изменения этих показателей и т. д. Ф изическим

признаком

систем,

описываемых

дифференциальными

уравнениями, было наличие замедленной реакции на внешние воздействия, обусловленное инерционностям и различной физической природы, и эта замедленность реакции зачастую даже считалась основным, определяющим признаком динамической системы. В природе фактически мгновенных процессов нет, и любой статический объект представляет собой идеализированную модель, которая получается, как частный случай, из диф ф еренциального уравнения при его вырождении, когда приравниваются нулю либо коэффициенты при производных, либо оператор диф ференцирования Сейчас в качестве основного признака считают другое свойство наличие

в

динамической

системе

двух

видов

величин,

связанных

однонаправленной причинно-следственной зависимостью: внеш них входных воздействий U(t) - причин, не зависящ их от выходных переменных, выходных переменных - следствий, зависящих от входных воздействий Полагают, что выходные переменные не могут возникать без своих причин, а по времени не м огут возникать ранее входных воздействий, а лишь позже их в инерционны х системах и одновременно с ними в безынерционных системах. 23

Для динамических систем справедливы следую щ ие аксиоматические утверждения [4] качественный смысл, которых заключается в следующем: 1. Если известно начальное состояние в момент

и если приложить к

динамической системе известные входные воздействия

в течение

то получится выходная реакция динамической системы определяемая единственным образом. Иначе говоря, для предсказания выходной реакции на систем при времени,

в случае, когда известно начальное состояние

не требуется знание входного воздействия в моменты

предшествующие

При

состояния в момент

этом

достаточно

знания

лишь

Будущие знания входных воздействий

также не влияют на "предвидения".

г.е. система не обладает свойством

2. Сущ ествует "достаточно" состояний динамической системы, и поэтому можно выбрать для расчёта любую пару вход- выход (входное воздействие - выходная реакция). Знания начального состояния

и воздействий

достаточно не только для того, чтобы определить выходную реакцию

но и состояние динамической системы в момент

времени любой

Это важное свойство означает, что состояние в момент

времени

суммирует

всю

прошлую

информацию,

требующ уюся для того, чтобы предсказать будущий выходной сигнал и будущее состояние системы. 3. М алые изменения входных воздействий или состояния динамической системы

вызывают

соответствующие

малые

изменения

выходных

реакций и движения системы. 4. Изменения состояния динамической системы должны удовлетворять условиям: 4.1. Начальные

условия

должны

соответствовать

исходной

точке

движения. 4.2. Если входное воздействие переводит систему из состояния вдоль некоторой траектории и

в

- некоторое состояние на этой

траектории, то это входное воздействие долж но перевести систему из

в .

4.3. Система

не

обладает

"предвидением",

т.е.

будущие

значения

реакции системы не влияют на текущ ее состояние динамической системы. Эти аксиоматические утверждения являются обоснованной абстракцией 24

свойств ф и зи ч ес к и х д и н а м и ч ес к и х систем. Д ля од н озн ач н ого восп ри яти я основного понятия

дадим следующее

определение: С и ст ем ой п ри н ято назы вать совокупность взаимосвязанных элементов, взаи м о д ей ствую щ и х м еж д у соб ой и с окруж аю щ ей средой по определенным законам. В д и н а м и ч ес ки х сист ем а х взаим одействие происходит во времени. П ри к оли ч ествен н ом ан ал и зе динам ических систем требуется выбрать м атем ати ч ескую м одель, адекватную систем е, определяю щ ей с требуемой точ н о стью и зм ен ен и я п ерем ен н ы х величин с течением времени. говоря,

п р ак ти ч еск и

все

д и н ам и ч ески е

системы

Строго

представляют собой

н ел и н ей н ы е си стем ы . Т очное оп исани е таких систем представляет собой больш ие тр у д н о сти ,

но

чащ е

всего это и не связано с практической

необходи м остью . У спех ан ал и за ди н ам и ческих систем в значительной мере зави си т о т того, насколько п равильно вы брана степень идеализации при их м атем атическом

оп и сан и и

или,

другим и

словами,

при

выборе

их

м атем атической м одели.

2.2. К л асси ф и к ац и я динам ических систем Д и н ам и ч е ск и е си стем ы , такж е как и другие объекты, модели и т.д., м ожно

кл асси ф и ц и р о вать

по

различны м

признакам.

В данном

случае

класси ф и кация д и н а м и ч ес к и х систем будет осущ ествляться в зависимости от идеализации,

при н ятой

д и н ам и ч еск и х систем

при

их

математическом

описании.

Модели

по этом у признаку подразделяются на следующие

классы . Л инейны е

и нели н ей н ы е сист емы. Предположим, что при воздействии

на вход си стем ы к аж дого из сигналов си гн алы

си стем ы

со о тветствен н о

отдельно, выходные равны

Пусть

- некоторы й оператор преобразования О пред еление: Л и н е й н о й

систем ой

назы вается

система,

для

которой

вы п о л н яется п р и н ц и п суперпозиц ии: при

во зд ей стви и на вход л и н ей н ой системы суммы сигналов, выходной

си гн ал явл яется сум м ой р еак ц и й систем ы на каждый из входных сигналов отдельн о; в л и н ей н о й си стем е и зм енени е ам плитуды входного сигнала в несколько 25

раз приводит к такому же изменению амплитуды выходного сигнала. А налитически эти условия можно выразить следующим образом: (2 .2 . 1)

где с, - произвольные константы, F - некоторый оператор преобразования. Грубо говоря, динамическая система линейна, если линейны уравнения системы. Более строгое утверждение заключается в следующем. Д инамическая система называется линейной динамической системой (или просто линейной системой), если векторное диф ференциальное уравнение для состояний системы x(t) есть линейное дифференциальное уравнение и если выходная реакция

есть линейная функция о т x(t) и u(t), т.е.

( 2 .2 .2)

где A (t), B(t), C (t), D (t) - матрицы соответствующих размерностей. Н елинейной

системой

считается

система,

которая

не

подчиняется

принципу суперпозиции. С т ационарны е и нест ационарны е сист емы. Стационарной системой принято называть систему, параметры которой неизменны во времени. Для стационарных систем характерно то, что сдвиг во времени входного сигнала приводит к такому же сдвигу во времени выходного сигнала. (2.2.3)

Ф орма выходного сигнала при этом не изменяется. Иначе говоря, система инвариантна к сдвигу во времени входного сигнала. При использовании определения (2.2.3) стационарность динамической системы означает, что матрицы A,B,C,D в (2.2.2) являю тся постоянными Н естационарными системами считаются системы, для которых выше приведенные условия не выполняются. Параметры нестационарной системы зависят от времени. А н алоговы е

дискрет ны е

сист емы.

А налоговой

(непрерывной)

системой называется система, в которой циркулирую т непрерывные во времени информационные сигналы. В дискрет ных системах на некоторых участках системы используются дискретные во времени информационные сигналы Аналоговый

сигнал

является

непрерывной

функцией

времени.

Цифровой сигнал может принимать лиш ь определенное число дискретных 26

значений в дискретны е моменты времени. С к а ля р н ы е и век т о р н ы е сист ем ы . Скалярной динамической системой будем

называть

ли нейную

стационарную

модель

конечномерной

динамической систем ы с одним входом и одним выходом (в англоязычной научной литературе в этих случаях используется аббревиатура SISO (single­ input-single-output)). В ект орной

(м ат р и чн о й )

систему, в которой входной

динамической и

системой

будем

называть

(или) выходной сигналы - векторные

величины, т.е. в векторной систем е возможно несколько входов и (или) несколько

выходов.

В

англоязы чной литературе для них

используется

аббревиатура М IМ О (m ulti-input-m ulti-output).

2.3. М атематическая модель дипамической системы М атем атическая количественное

модель

оп исани е

представляет

важ ных

для

собой

исследования

приближенное свойств

реальной

системы. М одель состоит из математических объектов (чисел, переменных величин, векторов

и т.п.), отображ аю щ их показатели хода процесса и

воздействия на систему, и из отнош ений между математическими объектами, описы ваемы х при пом ощ и математических операций, связывающ их объекты между собой [3]. М ат емат ическая м одель - это совокупность математических уравнений, формул, соотнош ений, описы ваю щ ая процессы , происходящие в исследуемой динамической системе. М одель долж на отраж ать все сущ ественны е для данного исследования факторы

и

не

содерж ать

несущ ественны х

факторов,

неоправданно

услож няю щ их исследования и слабо влияю щ их на конечный результат. Один и тот же ф актор мож ет бы ть сущ ественным в одной задаче и несущ ественны м в другой. П оэтом у для одного и того же реального объекта можно составить и

использовать различны е математические модели в

зависимости от цели и требований исследования. М ат емат ическая м одель объекта — это результат переложения на язык математики объективно действую щ их законов материального мира в их конкретных проявлениях, описание с использованием языка математики изучаемых процессов, явлений. М одель характеризуется рядом параметров. Это в первую очередь входные перем енны е, иначе назы ваем ы е управляю щ ими воздействиями или 27

просто управлениям и,

и

выходные

переменные,

или

иначе

выходные

координаты объекта, управляемые переменные. Зачастую ограничиваются описанием объекта лиш ь относительно указанных параметров. Нельзя не отметить, что в больш инстве случаев рассмотрение какоголибо процесса ведется не обособленно, а в непосредственной связи с иными процессами, явлениями, и необходимо учитывать их влияние на исследуемый процесс. Влияние внешних условий, внешней среды характеризуют так называемыми возмущающ ими воздействиями, или просто возмущениями. Одной

из

сложных

проблем,

возникающ их

при

математическом

моделировании реальных систем или процессов, является необходимость удовлетворить противоречивым требованиям полноты описания системы (процесса) и простоты описания системы (процесса). Разумная стратегия при построении математической модели сложной системы (процесса), состоит, видимо, в том, чтобы идти путем постепенного усложнения модели. Вначале строится наиболее простая модель, затем более подробная, а значит и более сложная, затем ещ е более сложная и т.д., пока не будет обеспечен приемлемый уровень адекватности математической модели описываемой системе (процессу). Возможная последовательность типовых моделей, расположенных по мере усложнения, может быть представлена следующим образом. Графическая логическая модель

Статическая аналитическая модель

Линейная с тационарная динамическая модель

Линейная нестационарная динамическая модель

Нелинейная динамическая модель

Г рафическая логически м одель С т атическая аналитическая модель Линейная стационарная д и нам и ческая модель

Л инейная нестационарная д и н ам ическая м одель

Нелинейная д и н а м ичес к ая модель

Наиболее

часто

исследования

начинают

с

построения

линейных

стационарных динамических моделей. Именно здесь, пожалуй, достигается хороший компромисс между требованиями простоты и адекватности модели. Действительно, линейные стационарные динамические модели достаточно 28

просты

-

м огут

быть

описаны

обыкновенными

линейными

дифференциальными уравнениями или передаточными функциями, теория которых

хорошо

разработана.

Такие

модели допускаю т аналитическое

исследование и сравнительно легко реализуются средствами вычислительной математики

на

ЭВМ .

С

другой

стороны,

эти

модели

достаточно

содержательны - они отраж аю т и статические и динамические свойства описываемого объекта, позволяю т оценить и сложные процессы в них, например, переходные процессы.

2.4. Методика составления математических моделей динамических систем М атематическая представляется

в

модель виде

динамической

уравнений

системы

динамики

и

ее

элементов

(движения),

которые

записываются в форме диф ференциальны х, интегральных и разностных уравнений. Уравнения движ ения описываю т динамику системы, переход ее из одного равновесного (статического, установивш егося) состояния в другое под действием входных координат (переменных). Поведение системы на равновесных

реж имах

описы вается

уравнениям и

статики,

которые

представляют собой алгебраические (линейные или нелинейные) уравнения. К равновесным (установивш им ся) режимам относятся состояние покоя, равномерные и равноускоренные движения системы. Уравнения установивш ихся режимов, при которых управляющие и возмущающие воздействия принимаю тся постоянными, обычно являются алгебраическими

уравнениям и, чаш е всего линейными. Эти уравнения

достаточно просто можно получить, если известны уравнения динамики. Уравнения

статики

дифференциального

(алгебраические уравнения

уравнения)

динамики

при

можно

его

получить

вырождении,

из

когда

приравниваются нулю все производные. Основные положения методики математического моделирования т аковы. Для

составления

уравнений

движения

динамической

системы

ее

разбивают на множество однонаправленных элементов (звеньев), для каждого из которых и составляю т соответствую щ ие дифференциальные уравнения на основе

того

физического

закона,

которому

подчиняется

процесс,

протекающий в данном элем енте. При этом входная и выходная переменные элемента

соответствую т

физическим

последующего элементов системы

переменным

предыдущего

соответственно. В общем

и

случае в

качестве звена системы может бы ть рассмотрен элемент любой физической 29

природы. Таким образом, уравнения движения системы в целом есть множество уравнений движения элементов, образующ их эту систему. Одной

из

наиболее

сложных

проблем,

с

которыми

сталкивается

исследователь, является проблема адекватности математического описания данного физического процесса или системы. Если процесс достаточно прост, то

уравнение,

описывающее

процесс,

получается

непосредственно

из

физических законов, действующих в этом процессе. В общем случае это трудно достижимо, и хорошее математическое описание можно получить только

в

результате

большого

количества

экспериментов.

Обычно

экспериментатор прикладывает входные сигналы и наблюдает получающиеся выходные

сигналы.

В

результате

таких

экспериментов

и

априорных

теоретических знаний получаются соотношения, связывающ ие доступные для наблюдения выходные сигналы и допустимые входные сигналы системы, Поэтому, сущ ествуют два принципиально различных подхода к построе­ нию

математических

моделей

систем

и

их элементов:

эмпирический

(экспериментальный) и теоретический (аналитический). В первом случае не обязательно знать физическую природу процессов в элементе. Достаточно знать поведение элемента, т.е. реакцию его выходных переменных на известные входные переменные. После выбора вида уравнений движения или функциональной зависимости между этими переменными решается задача определения

параметров

модели

и оценки

адекватности

ее

реальным

процессам. Во втором случае

математическая модель строится

на основании

физического закона, описывающего движение элемента системы. В качестве физического закона могут быть рассмотрены уравнения баланса энергии, массы, расходов, потоков и количества движения. Эти уравнения движения, как правило, являются нелинейными и связываю т входные и выходные переменные элемента.

В общем

виде отыскать

реш ение

нелинейного

неоднородного дифференциального уравнения не всегда удается. Однако часто удается задачу интегрирования нелинейных уравнений свести к более простой задаче - реш ению линейных дифференциальны х уравнений. Эта процедура

сведения

линеаризацией

нелинейных

дифференциальных

уравнений уравнений.

к

линейным

При

этом

называется достаточным

условием линеаризации является отсутствие в нелинейной функции разрывов первого и второго рода, наличие производных всех порядков (а н а л и т и ч н о с т ь функции) и справедливость уравнения в течение всего интервала переходного процесса. 30

Метод исследования систем заменой нелинейного дифференциального уравнения линейным

путем

разложения

в окрестности

рабочих точек

нелинейной аналитической функции в степенной ряд Тейлора по степеням малых отклонений аргумента (переменной) и отбрасывания нелинейных членов этого разложения и составляет первый метод А.М. Ляпунова. Сам метод линеаризации называется методом малых отклонений. Для исследования

систем

данным

методом

необходимо

выбрать

нуль

и

направление отсчета для координат (переменных). За нуль отсчета (нулевое состояние системы) выбираются значения координат, которые они имеют на некотором установившемся режиме, например, в точке линеаризации или в точке, соответствующей начальному (конечному) равновесному состоянию. За положительное направление отсчета координат выбирается, например, направление,

соответствующее

увеличению

регулируемой

координаты

объекта или определенному изменению положения регулирующего органа. Изменение координат остальных элементов считается положительным, если они вызывают положительные изменения регулируемой координаты. В большинстве случаев уравнения элементов динамических систем оказываются нелинейными. Однако в одних случаях нелинейности являются несущественными, не вносящими ничего качественно нового в процесс функционирования,

в

других

они

носят

определяющий

характер,

и

пренебрежение ими в корне меняет картину процесса функционирования. При

составлении

дифференциальных

уравнений

необходимо

проанализировать возможность и допустимость их упрощения и, в частности, линеаризации. Алгоритм составления уравнений динамики следующий: •

формулируется задача, для реш ения которой создается математическая модель системы, определяются входные, выходные и прочие переменные величины, условия, ограничения и т.д.;

•

динамическая система разбивается на элементы (звенья), (как правило, элементы должны быть физически однородны);

•

для каждого элемента (звена) составляется соответствующее уравнение на основании

того

физического

закона,

который

определяет

процесс,

протекающий в данном элементе; при

необходимости,

осущ ествляется

линеаризация

полученных

соотношений; •

с помощью уравнений (как правило, алгебраических) описываются связи 31

элементов (звеньев) динамической системы друг с другом; при

необходимости,

выполняются

преобразования

для

изменения

количественных мер отсчета и изменения размерности; совокупность уравнений динамики всех звеньев и уравнений связи образуют математическую модель динамической системы. Такой способ описания принято называть поэлементным описанием. Для такого описания динамической системы характерно большое количество дифференциальных и алгебраических уравнений различного порядка с большим количеством промежуточных переменных. С такой совокупностью уравнений трудно работать. Поэтому, как правило, осущ ествляю т переход к другим формам математического описания динамической системы: ко входвыходному дифференциальному уравнению, передаточным функциям и пр., о которых речь пойдет в следующих разделах.

2.4.1. Часто

Л и н е ар и за ц и я у р ав н ен и й м атем ати ч еск о й модели с

целью

упрощ ения

исследования

динамической

выполняется линеаризация полученных уравнений, если

системы

это, конечно,

допустимо. Отсутствие разрывных, неоднозначных или резко изгибающихся характеристик и справедливость уравнения в течение всего исследуемого интервала времени обычно являются достаточными признаками возможности проводить линеаризацию. Линеаризацию уравнений производят при помощи формулы Тейлора, которая позволяет разложить нелинейную функцию нескольких переменных по степеням малых приращений этих переменных, взятых в окрестности их значений, соответствующих установивш емуся режиму. Формула содержит остаточный

член,

исследование

ошибки, получающейся в том

которого

позволяет

оценить

случае, когда ограничиваю тся

величину первыми

членами разложения. Формула Тейлора, например, для трех переменных и

имеет вид (2.4.1)

где остаточный член. П оказатели степени, в которую возводятся выражения, стоящие в 32

скобках, имею т символический смысл. Они указывают на необходимость выполнения при раскрытии скобок операций, которые можно пояснить на следующем примере для вт о р о й степени:

Частные производные вычисляю тся в точке с координатами

и

поэтому являются постоянными. При линеаризации нелинейны х уравнений обычно ограничиваются лишь членами первого порядка малости, пренебрегая остаточным членом, т. е. полагают, что

Для решения многих задач, например, для исследования устойчивости системы, такое приближ ение в больш инстве случаев вполне достаточно. Однако когда линеаризованны е уравнения используются для исследования качества функционирования системы, приращения переменных могут быть не всегда малыми. Тогда для строгой оценки допускаемой погрешности проводится анализ остаточного члена, который удобнее всего брать в форме Лагранжа:

В

последнем

вычисленные

выражении в

точке

с

частные

производные,

координатами

Найдем выражение приращ ения

функции

, , которое

определим как разность между текущ им значением этой функции ее значением координатами

в некоторой

и

фиксированной точке, заданной

. Учитывая выражение (2.4.1) с точностью до

,

можно записать

Полученным выражением удобнее всего пользоваться при линеаризации нелинейных диф ф еренциальны х уравнений. Для того чтобы непосредственно применить найденное из формулы 33

Тейлора выражение для приращения нелинейной функции к линеаризации дифференциального

уравнения,

необходимо

несколько

преобразовать

последнее. Составим уравнение установивш егося реж има для данного элемента (системы) и вычтем его из уравнения динамики элемента. Тогда в правой части

уравнения

будут

только

приращения

нелинейных

функций

относительно их значений в установившемся режиме, для определения которых мы получили выражение из формулы Тейлора. В качестве установивш егося режима может выбираться либо режим, существовавший до действия возмущения и начала переходного процесса, либо режим, который установится после затухания переходного процесса. При установивш емся режиме до начала переходного процесса или после его окончания приращения переменных должны соответственно отсчитываться от

их

постоянных

значений.

Заметим,

что

если

отсчет

приращений

переменных (обобщ енных координат) производить от их значений при новом установивш емся

режиме,

наступающем

после

окончания

переходного

процесса, то с течением времени приращения всех переменных стремятся к нулю (для устойчивых систем).

2.4.2. Принцип Гамильтона и уравнения Лагранжа В ряде случаев задачу составления дифференциальны х уравнений динамического процесса регулирования облегчает применение уравнений Лагранжа второго рода, составленных для обобщ енны х координат системы. Этот метод целесообразно использовать тогда, когда составление выражений кинетической и потенциальной энергии системы и диссипативной функции не представляет затруднений. Согласно вариационному принципу Гамильтона, всякая динамическая система, находящаяся под влиянием консервативных сил, движется таким образом, чтобы минимизировать среднее значение по времени разности между кинетической и потенциальной энергиями, т. е. (2.4.2)

где

- кинетическая энергия,

- потенциальная энергия,

обобщ енные координаты динамической системы с к степенями свободы, скорости изменения обобщ енных координат системы. 34

Если динамическая система обладает запасом кинетической энергии , то ее движение может быть описано системой дифференциальных уравнений Лагранжа, которые м огут быть получены

из вариационного принципа

Гамильтона. Введем в рассмотрение функцию Лагранжа (2.4.3)

Тогда принцип Гамильтона (2.4.2) можно представить в виде (2.4.4)

Учитывая выражение (2.4.3), запишем (2.4.5)

Подставляя выражение (2.4.5) в формулу (2.4.4) и полагая найдем

при

и

(2.4.6)

Так как число обобщ енны х координат как

, равно числу степеней свободы и так

не зависят от времени, то уравнения (2.4.6) справедливы лиш ь в том

случае, если выражения в скобках равны нулю, т. е. (2.4.7)

Уравнения вида (2.4.7) называю тся уравнениями Лагранжа. Очень

важно то, что уравнения Лагранж а не зависят от выбора

координат. Эти уравнения сохраняю т свой вид, т.е. остаю тся инвариантными при переходе от одной системы координат к другой. Учитывая вы раж ение (2.4.3), уравнения (2.4.7) можно переписать в следующем виде: (2.4.8)

Уравнение (2.4.8) можно рассматривать как частный случай уравнений Лагранжа второго рода: (2.4.9)

где

-обобщ енны е силы. В случае использования уравнения(2.4.8) О бобщ енны е силы , определяем ы е последним равенством и зависящие 35

только от обобщ енных

координат

называются

силами,

имеющими

потенциал. Однако, практически во всех динамических системах действуют силы трения и имеет место рассеяние энергии. Диссипативные силы или силу вязкого трения 0 „ , пропорциональные скорости, м огут быть определены через функцию рассеяния энергии R В общем случае, когда в системе действуют обобщ енные силы QVi имеющ ие потенциал V, обобщенные диссипативные силы QR и внешние силы f ( t ) , уравнения движения принимают вид (2.4.10)

Кинетическая энергия Т представляет однородную квадратичную положительно определенную форму от обобщ енных скоростей, в которой коэффициенты в общем случае являются функциями координат. Таким образом, можно записать выражение кинетической энергии в следующем виде Коэффициенты тц носят название коэффициентов инерции. Потенциальная

энергия

V

положительно определенную обобщ енных координат:

в

первом

приближении

квадратичную

форму

представляет относительно

В данном случае все производные вычисляются в положении равновесия при х, = Xj =0 и, таким образом, являются постоянными. Ф ункция

рассеяния,

или

диссипативная

функция

R,

является

положительно определенной квадратичной формой от обобщ енных скоростей системы и имеет вид

При Sy = sjt производные функции рассеяния по скорости, взятые с обратным знаком, равны обобщенным диссипативным силам. Функция рассеяния R характеризует собой скорость рассеяния энергии в системе. Работа сил сопротивления, пропорциональных скорости, в единицу времени численно равна функции рассеяния R, взятой с обратным знаком.

Уравнения Лагранжа (2.4.10) в общем случае приводят к системе нелинейных уравнений второго порядка вида

2.4.3. Примеры формирования моделей динамических систем Пример формирования модели для механической системы В качестве примера, поясняющего применение уравнений Лагранжа, рассмотрим, пренебрегая силой трения, элементарную механическую систему,состоящ ую из груза с массой , подвешенного на пружинке с коэффициентом упругости (рис.2.4.1.). Кинетическая энергия движущейся массы: Потенциальная энергия пружины: Подставляя найденные выражения для и в уравнение (1.7), найдем следующее дифференциальное уравнение рассматриваемой системы Рис. 2.4.1

Система уравнений описывает поведение консервативной динамической системы, в которой рассеяние энергии отсутствует. При наличии демпфирующего устройства (рис.2.4.2) необходимо учитывать рассеивание энергии. Функция рассеяния, или диссипативная функция является квадратичной формой от обобщённых скоростей системы, в данном случае: