Риманова геометрия в целом

Д.Громол, В.Клингенберг, В.Мейер РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ В ЦЕЛОМ М.: Мир, 1971, 343 стр.

Книга известного немецкого геометра В. Клингенберга и его учеников Д. Громола и В. Мейера посвящена основным вопросам римановой геометрии в целом. Написанная на современном уровне, книга тем не менее читается легко и может служить учебным пособием по римановой геометрии, что особенно ценно ввиду отсутствия соответствующей литературы. Вместе с добавлением В. А. Топоногова она дает обзор последних достижений и проблем этой области математики. Большое число задач помогает глубже усвоить материал и облегчает самостоятельное изучение предмета. Книга представляет интерес для студентов старших курсов, аспирантов и научных работников математических специальностей. Содержание От переводчика 5 Предисловие 7 § 1. Дифференцируемые многообразия и отображения 9 1.1. Определение дифференцируемого многообразия 9 1.2. Определение дифференцируемого отображения 12 1.3. Касательные векторы и касательные пространства 14 1.4. Индуцированные отображения 18 1.5. Теоремы об отображениях 20 1.6. Подмногообразия 22 1.7. Произведение многообразии 27 1.8. Векторные поля 32 1.9. Произведение Ли векторных полей 35 1.10. Касательное расслоение дифференцируемого многообразия 39 § 2. Линейные связности 47 2.1. Определение линейной связности 47 2.2. Тензор кручения и тензор кривизны 49 2.3. Локализация тензорных полей и линейных связностей 51 2.4. Отображение связности 55 2.5. Векторные поля вдоль отображений 63 2.6. Параллельный перенос 67 2.7. Геодезические 73 2.8. Экспоненциальное отображение струи 77 2.9. Геодезическая струя линейной связности 83

§ 3. Римановы многообразия 3.1. Определение риманова многообразия 3.2. Изометрические отображения 3.3. Длина дифференцируемого пути 3.4. Риманова связность 3.5. Связность Леви-Чивита 3.6. Тождества для кривизн и скалярные кривизны 8.7. Относительные кривизны 3.8. Различные аамечания § 4. Экстремальные свойства геодезических 4.1. Вариации геодезической 4.2. Поля Якоби 4.3. Сопряженные точки 4.4. Лемма Гаусса и ее следствия 4.5. Индексная форма геодезической 4.6. Теорема Морса об индексе § 5. Римановы многообразия как метрические пространства 5.1. Функция расстояния риманова многообразия 5.2. Выпуклые множества 5.3. Полные римановы многообразия 5.4. Множество раздела риманова многообразия § 6. Теоремы сравнения 6.1. Теорема сравнения индексов 6.2. Теорема сравнения Морса—Шенберга 6.3. Теорема сравнения Рауха 6.4. Теорема Топоногова о сравнении углов § 7. Связи между кривизной и топологическим строением 7.1 Деформации геодезических. 7.2. Теорема Адамара—Картана 7.3. Кривизна и диаметр 7.4. Ориентируемые многообразия 7.5. Радиус инъективности экспоненциального отображения в случае четной размерности 7.6. Основная теорема теории Морса 7.7. Радиус инъективности экспоненциального отображения в случае

88 88 90 95 97 101 110 122 131 140 140 146 151 155 161 166 174 174 177 182 186 191 191 193 196 200 217 217 228 231 237 242 260 271

произвольной размерности 7.8. Теорема о сфере 7.9. Обзор § 8. Приложение 8.1. Вспомогательная функция 8.2. Некоторые топологические понятия 8.3. Разложение единицы 8.4. Теоремы из теории дифференциальных уравнений 8.5. Интегральные пути векторных полей 8.6. Максимальный поток векторного поля 8.7. Теорема о продолжении 8.8. Однопараметрические группы диффеоморфизмов Добавление. Некомпактные пространства неотрицательной кривизны. В. А. Топоногов § 1. Свойства геодезических в полных некомпактных римановых пространствах неотрицательной римановой кривизны § 2. Выпуклые множества в M+

273 282 287 287 288 289 291 291 293 294 296 298 299 306

§ 3. Радиус инъективности на многообразиях M+(M0)

310

§ 4. Диффеоморфность M+ евклидову пространству

314

§ 5. Метрическое строение пространства M0, содержащего прямые линии

326

Указатель

338

Указатель Абсолютная выпуклость 306 - - полное 297 - - строгая 306 Векторные поля базисные 33 Адамара—Картана теорема 221 - - коммутирующие 35 Асферичность 314 - - f-связанные 38 Атлас 9 Вертикальное подпространство 58 Бетти числа 284 Вершина треугольника 200 Бьянки тождества 53 Вложение 22 Вариация 140 Выпуклое множество 177 - ломаная 123 - - простое 177 - собственная 140 Гаусса лемма 155 Векторное поле 32 - отображение 128 - - вдоль отображения 63 - уравнения 124 - - касательное к многообразию 14 Геодезическая 73 - - кусочно гладкое 143 Гессе тензор 109 - - левоинвариантное 38 - форма (гессиан) 109 - - параллельное 67 Гиперболоид 131

Главные кривизны 124 - направления 124 Голономия (группа голономии) 72 Гомотопическая эквивалентность 260 Гомотопия 71, 260 - (p, q) 217 Горизонтальное подпространство 58 Градиент 108 Деформация 315 Диаметр 231 Дивергенция векторного поля 109 Диффеоморфизм 13 Дифференциал функции 20 Дифференциальная структура 10 Изометрическое отображение 90 Изометрия 90 Иммерсия (погружение) 22 Индекс 166 Индексная форма 166 Интегральный путь 291 Инфинитезимальное преобразование 32 Картана структурные уравнения 65 Карта расслоения 40 - Ферми 133 Касательная компонента 104 Касательное пространство 15 - расслоение 40 Касательный вектор 14 Квазииндекс 166 Келеровы многообразия 286 Кели алгебра 31 Киллинга форма 253 Клингенберга теорема 272 Кодацци уравнения 127 Конформное отображение 10 Координаты нормальные 132 - почти нормальные 132 - Ферми 133 Кратность сопряженной точки 153 Кривизна Гаусса—Кронекера 124 - относительная 124 - риманова 113 - Риччи 114

- скалярная 114 Кристоффеля символы 103 Критическая точка 23 Кручение (тензор кручения) 50 Лапласа оператор 109 Леви-Чивита параллельный перенос 102 - связность 102 Ли алгебра 35 - группа 28 Линейная связность 48 - - Леви-Чивита 102 - - полная 73 - - риманова 97 Линзовые пространства 236 Линии кривизны 124 Локально симметрические пространства 120 Луч, исходящий из множества 309 Мейерса теоремы 193, 231 Метрическое пространство 174 Многообразие 9 - аналитическое 12 - выпуклое 285 - дифференцируемое 10 - келерово 286 - риманово 88 - топологическое 9 Морса теоремы 166 Морса—Шенберга теорема 193 Накрытие 31 - универсальное 222 Нэша теорема 94 Обращения теорема 20 Однопараметрическая группа 296 Однородное пространство 30 Односвязность 220 - на бесконечности 314 Ориентации гомоморфизм 239 - накрытие 240 Ориентация 238 Орипространство 306 Ортогональная группа 253 - компонента 104

Основная форма (вторая) 124 Основной тензор второй 124 - - первый 88 Отображение дифференцируемое 7 - индуцированное 18 - связности 55 Параболоид 131 Параллелизуемость 41 Параллельный перенос 69 Параметризация по длине 96 Параметрическое представление 96 Поверхность вращения 128 Погружение (иммерсия) 22 Подмногообразие 23 - вполне геодезическое 127 Покрытие вписанное 288 - локально конечное 288 Полюс 220 Поток векторного поля 36 - - - локальный 292 - - - максимальный 293 Почти комплексная структура 256 Продолжение векторного поля 33 Проективные пространства 30 Проекция (в расслоении) 40 Произведение Ли 35 - линейных связностей 61 - метрик 89 - многообразии 27 Производная внешняя Картана 54 - ковариантная 48 Пространство путей 144 Путь дифференцируемый 15 - интегральный 291 - кусочно дифференцируемый 96 - нормальный 96 - периодический 73 - регулярный 73 Радиус выпуклости 179 - инъективности 180 Раздела множества 187 Разложение единицы 289 Ранг отображения 20 Распределение 59

Расслоение 29 - ассоциированное 39 - нормальное 135 Расслоенное пространство 32 - - нормальное 134 Расстояние 174 Рауха теорема 196 Регулярное значение 23 Регулярный прообраз 23 Риманова метрика 88 - - нормальная однородная 252 Риманово многообразие 88 - - полное 182 Римановы нормальные координаты 132 Риччи тензор 114 - тождество 98 Росток функции 13 Свертка 54 Связность на бесконечности 305 Сечение расслоения 41 Симметрическое пространство 120 Синга лемма 242 Слой 40 Совмещенность 96 Сопряженная точка 152 Сопряженное множество 154 Спинорная группа 39 Сравнения теоремы 191 Стереографическая проекция 10 Стороны треугольника 200 Струя (spray) 77 - геодезическая 83 Сфера гомотопическая 279 Тензорное поле 49 Theorema egregium 122, 124 Теорема Адамара—Картана 221 - Клингенберга 272 - Морса—Шенберга 193 - Наша 94 - об индексе 166 - о продолжении 294 - - сфере 273 - Рауха 196

- Топоногова 201 - Хопфа—Ринова 184 - Шура 119 Теоремы Мейерса 193, 231 - Морса 166 - сравнения 191 Тождества для кривизны 110 Тор 28 Торовый узел 29 Трансверсальная регулярность 25 Трансверсальное пространство 25 Треугольник 200 - обобщенный 215 Тривиализация 29 Тривиальное расслоение 29, 40 Угловой избыток 167 Угол 89 Уитни сумма 45 Унитарная группа 255 Фазовое пространство 45 Ферми координаты 133

Фокальное множество 154 Фокус 155 Фробениуса теория 37 Фубини—Штуди метрика 255 Фундаментальная группа 222 - матрица 222 Хопфа расслоение 31 Хопфа—Ринова теорема 184 Цилиндр 135 Четырехугольник 200 Шура теорема 110 Эйлерова характеристика 274, 285 Эйнштейна многообразие 119 - правило суммирования 34 Экспоненциальное отображение 78 Элементарная длина 180 Эллипсоид 131 Эллиптическая геометрия 113 Энергия 145 Якоби поле 146