8 downloads
133 Views
3MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
!"# $%& '(# & #) , , ## «*#"& +# &.$ #-. *. . /!+&» 0.1. 2-#3+#, 4.1. 5"#+ 6789:;< =>?> @ A8 >:>B;C; @D6)3 %" & !'., a = (a x , a y ) -(*= %"&"+# 92$. +-)*' & !'., " &""!-* t &'1-4"-* +(9 >$(#'+39 '(= (?$(.10 1).
ABC.10
D()#9>" &""!-* t $/ 3"+%-%$ & !'., -4' !'-()'! +$,G F x − x0 y − y0 = . E ax
ay
27
(#$ $/+-(*%8 )'',$%"*8 ,+3; *'>-) r1 = ( x1 , y1 ) $ r2 = ( x2 , y2 ) , >--/ )'*'8- &';',$* & !" , *' -0 %"&"+# 92$. +-)*' !')- & !8;, &';', 2$; >--/ 7-%* &3>)" ( x0 , y0 ) . (#$ ,"%8 ,+&--(-)"92$-( & !8- ( 3"+%-%$ !$ ( A1,2 x + B1,2 y + C1,2 = 0 , *' &3>') & !8;, &';', 2$; >--/ *'>)3 $; &--(->-%$ , !')$ M ( x1, y1 ) ,' & !'. L , /","%%'. 3"+%-%$-! '12-4' +$," Ax + By + C = 0 , '&-,-# -*( &' 6'!3#d ML =
Ax1 + By1 + C A +B 2
28
2
,
+#)* 92-.( )'',$%"*%'. /"&$(=9 -/3#=*"*" +8>$(#-%$ 5* '4' "((*' %$ + +- '%'! +$,d ML =
(r1 − r0 ), n
,
n 4,- & !" L /","%" + +$,- ((r − r0 ), n ) = 0 , " r1 -(*= ",$3(-+-)*' *'>)$ M ($(.11).
.11
1. L(−6, 0) N (0, 8) . , LN ! Ox " # , Oy . $%& . ' x a + y b = 1 " a b . ( ! a = 3b , ) , ! ! M (−3, 4) , !
LN . * , − 3 3b + 4 b = 1 b , b = 3 a = 9 . + x 9 + y 3 = 1, x + 3 y − 9 = 0 . 2. ( "
L1 L2 ,
r = r1 + a1 t r = r2 + a 2 t ) ! ; ") , !; ) !. $%& . , ) " ! a a , ) 1 2
( .12 ). , ) ,
" ! , -
29
, " ! , r − r !) a = a = a 1 2 1 2 )
" ( .12 "). ,
! r − r ! a = a = a ( .12). 1
2
1
2
.12
3. # ) PQR : P(0, 5) ; Q(−3, 1) ; R(1, − 2) . ) , # R . $%&
. R(1, − 2) L ,
P (0, 5) Q (−3, 1) ,
x−0 y−5 = , − 3 − 0 1− 5
4 x − 3 y + 15 = 0 . ! #
,
d RL = . .
h = 5.
4 ⋅ 1 − 3 ⋅ (−2) + 15 4 + (−3) 2
2
= 5,
4.
d ML M - r0
L , r, n = D . $%& . M ! L , ! M . , " 1
MM 1 = d ML ( . .11). M 1 - r1 , ! ! r , n = D , " 1 ! . !
(
(
30
)
)
d ML =
(r0 − r1 ), n n
=
M (r0 )
(r0 , n ) − (r1 , n ) n
.
=
((r − r1 ), n ) = 0 ,
(r0 , n ) − D n
,
5.1. ( 3 x − 4 y − 12 = 0 . ) !
, 3 x − 4 y − 12 > 0 3 x − 4 y − 12 < 0 ? 5.2. ( C , 2 x + 3 y + C = 0 , Oy b1 = 4 b2 = −6 ? 5.3. ) , 6 x + 8 y + 5 = 0
2x − 4 y − 3 = 0.
5.4. ) ,
r = r2 + a 2 t .
5.5.
) ,
(r, n 2 ) = D2 .
(
r = r1 + a1 t
(r, n1 ) = D1
)
5.6. ! P − 6, 4 ! 4 x − 5 y + 3 = 0 . 5.7. ' ) , ! ) 2 x + 7 y − 14 = 0 . 5.8. ' ) , ) L ,
L3 , ! : x − 3 y + 11 = 0 ;
L2 L1 : L2 : 5 x + 2 y − 13 = 0 ; L3 : 9 x + 7 y − 3 = 0 .
1
5.9. , M (1, − 2) ) L : 4 x + 7 y − 3 = 0 ; ") - . 5.10. ( L1 r, n = D , L2 r = r + a t , n, a ≠ 0 . - 0
L1 L2 .
(
31
(
)
)
5.11. - rn M - r0
! L , ! r, n = D . 5.12. , )
! x − y + 3 = 0 .
(
)
(
) (
)
(
)
5.13. , # ) A 1, − 1 , B − 2, 1 C 3, 5 . * , ) # ,
! # '. 5.14. * , P 3, 5
A − 7, 3 B 11, − 15 . 5.15. x − 2 y + 5 = 0 . , 3 x − 2 y + 7 = 0 , . * , . 5.16. , a , a + 2 x + a 2 − 9 y + 3a 2 − 8a + 5 = 0 , ": ) "
; ") ; ) . ' . 5.17. , m n , mx + 8 y + n = 0 2 x + my − 1 = 0 ) ; ") !; ) . 5.18. M 4, 3 , ! ) ) ) , ) 3 . .
- . 5.19. , ) 3 x − 2 y − 5 = 0 ,
(
(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
)
) # A(−2, 1) . ' - ) ) . 5.20. , : 10 x + 15 y − 3 = 0 , 2 x + 3 y + 5 = 0 , 2 x + 3 y − 9 = 0 . + , ), #,
. 5.21. , M ( 2, 3) N (5, − 1) , ) , " :
2x + 3y + 7 = 0
x − 3y − 5 = 0, 2x + 9 y − 2 = 0; ") 2 x + 7 y − 5 = 0 , x + 3 y + 7 = 0 ; ) 12 x + y − 1 = 0 , 13x + 2 y − 5 = 0 . )
32
5.22.
*
) "
0 , 6 x − 4 y + 7 = 0 , ) ) ,
2x − 3 y − 5 = C ( 2, − 1) .
5.23. , M ( 4, − 5) . * - ) " !, ) ! L : 2 x − 3 y + 6 = 0 ; ") ! L . 5.24. , L1 L2 L3 ,
! :
L1 : 5 x − y + 10 = 0 ; L2 : 8 x + 4 y + 9 = 0 ; L3 : x + 3 y = 0 .
5.25.
"
!
A2 x + B2 y + C2 = 0 .
) ,
"
A1x + B1 y + C1 = 0
5.26. , α (2 x + 5 y + 4 ) + β (3 x − 2 y + 25 ) = 0 . ! - ) , !! ( ). 5.27. * ,
3 x + y − 5 = 0 , x − 2 y + 10 = 0 C − 1, − 2
d = 5 . # , . 5.28.
Ax + By + C = 0
(
)
1
Ax + By + C2 = 0 .
5.29.
M - r0 L , r = r1 + at . 5.30. , α 3 x − 2 y − 1 + β 4 x − 5 y + 8 = 0 . ! - ) , !
! )
x + 2y + 4 = 0, 2x + 3y + 5 = 0 x + 7 y − 1 = 0 .
(
33
)
(
)
6.
(
)
' xyz
Ax + By + Cz + D = 0 . ) ! , " )" a, b, c , ! , x a + y b + z c = 1. ! " n = A, B, C - " r ( x , y , z ) , 0 0 0 0 ! . ' - " A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 , - (r − r0 ), n = 0 ( .13). " , - , . '
" u v , "
a, b ! r = r0 + au + bv . " " n = a, b . , "
# )
(r − r0 ), a, b = 0 , ! ! " ) , ) , " ( .13).
(
(
(
)
)
)
{ }
[
(
]
)
.13 ( )
d M P , MP (r − r ), n = 0 ( .13),
(
0
)
34
d MP =
(r1 − r0 ), n n
,
#
d MP =
Ax1 + By1 + Cz1 + D A +B +C 2
2
2
.
1. , M ( x , y z ) , M ( x , y z ) M ( x , y z ) . 1 1, 1 2 2 2, 2 3 3 3, 3 .1 M ( x, y, z ) . !" # $ ((r − r0 ), a, b ) = 0 , " r = ( x, y, z ) , r0 = ( x1, y1 , z1 ) , $ .13 a = M M b = M M . % 1 2 1 3 &
, : x − x1 x2 − x1
y − y1 y2 − y1
z − z1 z2 − z1 = 0 .
x3 − x1
y3 − y1
z3 − z1
2. ! M ( x , y , z ) # P , 0 0 0 Ax + By + Cz + D = 0 , MM 1 ( A, B, C ) . ' , " ( M ( x , y , z ) .14 # # 1 1 1 1 P , .. Ax1 + By1 + Cz1 + D > 0 .
)*+.14 35
. x − x = A , 1 0 #
M y1 − y0 = B z1 − z0 = C , Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 , $# , Ax1 + By1 + Cz1 + D = A( x0 + A) + B( y0 + B) + C ( z0 + C ) + D = Ax + By + Cz + D + A + B + C = 0 + A + B + C > 0 2
2
2
2
2
2
,
0 0 0
$ . 3. & ABCD : A(2, − 1, 3) , B(1, − 3, 5) , C (6, 2, 5) D(3, − 2, − 5) . , & D " ABC . . # D P , A, B, C . % & P ,
1:
x − 2 y +1 z − 3 1 − 2 − 3 + 1 5 − 3 = 0, 6−2
2 +1 5 − 3 P 2 x − 2 y − z − 3 = 0 .
, d DP =
2 ⋅ 3 + ( −2) ⋅ (−2) + ( −1) ⋅ (−5) − 3 2 + (−2) + (−1) 2
2
.
2
= 4.
% , M ( 4, − 3, 5) . 6.2. , M 1 (1, − 2, 6) , M 2 (5, − 4, − 2) , Ox Oy . 6.3. , M 1 ( x1 , y1, z1 ) M 2 ( x2 , y2, z2 ) a(a1, a2 , a3 ) , a M 1M 2 . 6.1.
36
6.4. 6.5.
6.6.
( "$ r = r0 + au + bv (r, n ) = D . , A, B, C , : ) A(1, 1, 2) , B(2, 3, 3) , C (−1, − 3, 0) ; $) A(2, 1, 3) , B(−1, 2, 5) , C (3, 0, 1) . %
x =1+ u − v y = 2 + u + 2v
z = −1 − u + 2v
,
Ax + By + Cz + D = 0 . 6.7. % $ 2 x − 3 y + z + 1 = 0 ,
r = r0 + au + bv . 6.8. Ox , A(9, − 2, 2) P : 3x − 6 y + 2 z − 3 = 0 . 6.9. Oz , M (1, − 2, 0 ) P : 3x − 2 y + 6 z − 9 = 0 . 6.10. , Oz c = −5 n = (− 2, 1, 3) . ,
6.11.
"
", $ : 3x − 4 y − z + 5 = 0 , 4 x − 3 y + z + 5 = 0 . 6.12. M - r1 P , (r, n ) = D . 6.13. #
P1 P2 , (r, n ) = D (r, n ) = D . 1 2 a b 6.14. , 2 x − y + 3 z − 1 = 0 , x + 2 y − z + b = 0 , x + ay − 6 z + 10 = 0 : ) $ ; ; $ ) ) .
37
, , # $ r = r0 + a t (.10 $), " r = ( x, y, z ) - , r = ( x , y , z ) , 0 0 0 0 , a = (a , a , a ) x y z
"
. t , "t $
, # x − x0 y − y0 z − z0 = = . ax ay az
r = ( x , y , z ) r = ( x , y , z ) , 1 1 1 1 2 2 2 2
, #
a = r − r , , 21, x − x0 y − y0 z − z0 = = . x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 " # ,
r − r0 " ,
: [(r − r0 ), a] = 0 ' (.15). # $ # [r, a ] = b , " a , b - . 7.
.15 38
P1 P2 ,
A x + B y + C z + D = 0 , 1, 2 1, 2 1, 2 1, 2
L = P1 ∩ P2 , : A1x + B1 y + C1 z + D1 = 0 , A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
a = [n1 ,n 2 ] (.16), ( x0 , y0 , z0 )
.
.16 ,
, , , , :
α ( A1 x + B1 y + C1z + D1 ) + β ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 !
α β
"
" .
39
! M - r1 L , [(r − r ), a] = 0 , 0
d ML =
[(r1 − r0 ), a] |a|
,
" , " (.17).
.17
, . .
L1 L2 ,
r = r1 + a1 t r = r2 + a 2 t ,
d12 =
((r2 − r1 ), a1 , a 2 ) , [a1, a2 ]
, " .17.
1. L , M (5, − 1, − 4) , : 1) L A ,
x = 3 + 6t , y = 2 − 4t , z = 7 − t ; 2) L Ox ; 3) L P : x + 2 y + 3 z − 5 = 0 . L A , . 1) , "
40
A , a(6, − 4, − 1) . ,
L x = 5 + 6t , y = −1 − 4t , z = −4 − t . 2) L Ox ,
" ,
Ox , , a(1, 0, 0 ) . , L
x = 5 + t , y = −1 ,
z = −4 . 3) L P ,
"
, n(1, 2, 3). L
x = 5 + t , y = −1 + 2t , z = −4 + 3t .
2. L , A ,
x − 2 y +1 z − 5 = = , 6 −5 4
P ,
x − 3 y + 2 z − 7 = 0 (.18).
.18 . L
P P1 , " P , P1 A M (2,−1,5)
, "
0
41
P . M ( x, y, z ) " : P1 .
M 0 M = ( x − 2, y + 1, z − 5) , a(6, − 5, 4 ) ,
P n(1, − 3, 2 ) , P . 1 ,
, P : 1
x−2 6
y +1 z − 5 −5 4 = 0,
1 −3 2 2 x − 8 y − 13z + 53 = 0 . , " P , : x − 3y + 2z − 7 = 0 L: . 2 x − 8 y − 13 z + 53 = 0
L1 L2 , 3.
[r , a] = b [r, a ] = b . 1 2 "#
#
M r1 L1 , $ r1 .! % & [r , a] = b . ' 1 1
# # "# L1 L2 (
M
L2 ( .17), # ( # " "# #
r0 . ) *, " :
d12 =
[(r1 − r0 ), a] [r1, a] − [r0 , a] a
=
a
=
b1 − b 2 a
,
" # . +,-,. -/0 ,2 20 /4 252 0 1 13 3 . 7.1.
6 # " # *, ( %7 * $ $ ABCD , 8 # $ * "# *
A(2, 4, 6) , B(−3, 5, 4) C (8, − 6, 2) .
42
7.2.
6 , * 7 " "# A(1, − 1, 2) # # #
P , :
) x − 3 y + 2 z + 1 = 0 ;
7.3.
()
x = 4−u +v y = 2 + u + 2v
.
z = −1 + 7u + 3v
# r = r0 + a t (r, n ) = D . ! # #
(* "
:
7 "#
) # # % ( 7( * "# ); # ()
( ( ); ) # .
Ox # # " * # . 7.4. 6
$ %
#
7.5. A B ,
?
x = 1 − 2t x = −4 + 3t
) A : y = 2 + 5t , B : y = 2 − t ; z = −3 + 4t z = 5 − 2t x = 6 + 3t x = 1 + 2t () A : y = 7 + t , B : y = −1 − 2t . z = 3 + 4t z = −2 + t
7.6.
6 , * 7 " "# M ( 2,−3,5)
# A B , # " # x −1 y − 3 z + 5 x − 2 y +1 z + 7
A:
−1
=
2
=
2
B:
6
=
3
=
−2
.
7.7. 6 # , * 7 " "# M ( 4,−1,−1)
% L , % # # % " * # :
7.8.
7.9.
2 x − 3 y + 5 z − 7 = 0 L:
. 4x + 2 y − 6z − 5 = 0
6 # L , " # # # x = x0 + axt , y = y0 + a yt , z = z0 + a z t , # P , Ax + By + Cz + D = 0 . 6 # P , * 7 " % L
Oy , L # # " * # :
43
L:
7.10.
3 x − y + 2 z + 9 = 0
.
x+ z −3= 0
# A : r = r0 + a t P : (r, n ) = D , ( . "# M A
# P ρ . - # "# M .
# , # "# # α (10 x − 8 y − 15 z + 56) + β (4 x + y + 3z − 1) = 0
"# C (3, − 2, − 3) d = 7 . # , # %7 % 7.12. 6 3 x + 2 y − z − 1 = 0, #
x + 2 y + 3z − 5 = 0 . 7.11.
2x − 3 y + 2z − 2 = 0
7.13.
7.14.
7.15.
7.16
7.17.
8 $ # A(3, − 1, − 1) , B(1, 2, − 7 ) C (− 5, 14, − 3) . 6 # " # ( # $ $ $ 8 B . 2 x − y + 3 z + 1 = 0,
{i, j, k} 3 x + y − z − 2 = 0. !" a . #$ "%
{i, j, k} !" & % .
' % , ( ) )
a = (6, − 2, − 3) M 1 (− 1, 2, − 3) x −1 y +1 z − 3 %! = = . 3 2 − 5
' % , ( ) ) x +1 y + 3 z − 2 %$ M 1 (− 4, − 5, 3) = = , 3 −2 −1 x − 2 y +1 z −1 = = . 2 3 −
5 " % ' ) ( %$(, $( % x = 3t − 7, y = −2t + 4, z = 3t + 4 x = t + 1, y = 2t − 8, z = −t − 12 .
44
4 8.
,
% % % $
$ % %
) $! ) $ % " ) ( ) . .19 $ %$ ) ( ) ,
, ) % % % % ) & ) , $ & ( .19 ; ) $ ), ), !" , & .19 .
!".19 % )( ) ,
.20 $ $ ) ) , $ # . " ( $% (.20),
!" %$, & .20( ).
45
!".20 % ,
, % ! . , & $ , ) , " # ) $% ( .21), %$ , ( " ) ( .21( )).
!".21 46
# ) ) , $ .19-21, ! % "% %: ! ) M , " ),
MF ) F , " !" ) ,
! MM 1 % δ , " & , ) :
MF =ε, MM 1
% ε $ & %, ) F $ %, $ . ) ) % $ % δ $ % , & .22 % $. ) , !, %" )
%% ) , .
!".22 % ) ) $ , , MF MM ! ! 1 % ρ (ϕ ) , , & .22, %
ρ (ϕ ) =
p , 1 − ε cosϕ
47
% p & % ε ) . ! ( %( ) ) ) . % )
) % ) , ) ,
) !" ! , ) , , % % ) ) , % ( ) , $ %) ) ( . .22).
# "% ) %)%
Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0 . %
, % ) " $ , % )( , !"( $ .
% ( % $ ! $ % . , % 2a 2b ) $ ) % )% % ) % ( .23), $ % x2 y 2 + = 1. a2 b2
!".23 % $ a ≥ b $! % !
! & , ) $( .
) (± a, 0) (0, ± b) $! % & . %
$ % ) % ), %%
48
( ( ( % ( % $ $ ) , $ $ & , ) : r1 + r2 = 2a , r , $ $, $ 2
1, & (.23), $ ) % )
! )( F1, 2 (± c,0) % % c = a 2 − b 2 . ε = c a < 1 $ & % & %
! ) # ) «$ ». ,
! ( % & .
$% %$% x = ± a ε , $%$% % . ' & % ) ) %$ % " ! % ) % ), $( ) ( ) % ( $) ) & , . . .23 $ MF1 MM 1 = ε . %( % ( ( ) & % % ( .24) 2 a 2 b $ ) % % x2 y2 − 2 = 1. 2 a b
.24 49
) (± a, 0) $! % $.
x 2 a 2 − y 2 b 2 = −1 $%! ! , Ox Oy % % %. % $ % ) % ),
( ( ( % ( % $ $ ) , $ $ & , ) : r1 − r2 = 2a , r , $ $, $ 1, 2 % ! ( ) ) ( .24), $
% % c = a 2 + b 2 . ε = c a >1 F1, 2 (± c,0) $ & % $, $ x = ± a ε ! % % % $ ) ( .21). $ $ & $ ! $% % $ ) , . . r1, 2 =| a ± ε x | . ) $ ! %$% %, %!"% y = bx a y = − bx a $ (.23). %$ $! % % $, ,
% % % % ( . , ) , & , % % % ) % ), $( $ ) , $% %, % , $% . .22, ! % MF MM 1 $. # ) % $ y 2 = 2 px ,
& % ) F ( p 2 , 0) , % x = − p 2 . & $, $
% $ $ ) ) & ) ) r = x + p 2. ,
) $ ε = 1. % p ) ) $( ( % a b % p = b 2 a . y = f ( x )
% , %!" "! ) x0 ,
! % )
50
f ' ( x0 ) . $% " % (, % $ % , %!" !"(
) ) % L . %,
% ) % % ) ( x0 y0 ) ,
C ) ! ( , "% , % , !"( ) ) C % L Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0 x = x0 + a xt
y = y0 + a y t
) % ) (
% t , $!"( ) ) % ( % t , & $ ) $ ) ( .25). ) , ) % ! ( )$( )(, . . ( . , ! ) ! )
( x0 y0 ) , % , .
.25
51
1. ,
L(3 2 , 2 2 ) N (6, 0) . !. " # x 2 + y 2 = 1 # 2 2 a b #
. $ % , ( a b : '18 a 2 + 8 b 2 = 1 . & 2 2 36 a + 0 b = 1 )* , a = 6 b = 4 , .. x 2 36 + y 2 16 = 1. 2. + , #, , %
. !. - # y = ± bx a , bx ± ay = 0 . . / ( x, y )
, # d1, 2 =
bx ± ay
a +b
, , d1d 2 =
2
2
,
b2 x2 − a 2 y 2 a 2 + b2
.
$ , # % #, 0 a 2b 2 , , 0 , a 2b 2 . 1 , d1d 2 ,
. 3. 2 , ρ (ϕ ) =
5 1 1 − cos ϕ 2
, % : . !. 1
, , , 52
. ε = 0.5 , . . , p = b2 a = 5 .
0 ε = c a = a 2 − b 2 a , a b . )* , a = 20 3 b = 100 3 , % 9 x 2 400 + 3 y 2 100 = 1.
4. $ , ,
, ( x0 , y0 ) , xx yy 20 + 20 = 1. a b !. , # / y = y ( x) , // # % , . , y − y = y' ( x) ⋅ ( x − x ) . . 0 0
0 0 y ' ( x) , // , x , 2 x a 2 + 2 y ( x) ⋅ y ( x )' b 2 = 0 , y ' ( x) = − x ⋅ b 2 (a 2 ⋅ y ( x)) . + 0 y ' ( x) , , 0 , y b 2 . . x 2 a 2 + y 2 b 2 , . 5. 0 x 2 + y 2 + 4 x − 8 y + 2 = 0 , . !. $, , 0 , * y = k x . , , , x2
+ y2 + 4x − 8 y + 2 = 0 . y=kx
,
x , $ // . - , , , *
, .. # *
. # : 53
(4 − 8k ) 2 − 8(1 + k 2 ) = 0 .
+
, # , ,
// k . $0 , , # , ,,
# .
0 , # k = 1 1
k2 = 1 7 , y = x y = x 7,
# #
0 . , , , , 0
. !
!.
+ 9 x 2 + 5 y 2 = 45 . : 1) ; 2) / ; 3) ; 4) . 2 2 8.2. + , 16 x − 9 y = −144 . : 1) a b; 2) / ; 3) ; 4) ; 5) . , : 8.3. 2 0 1) / 60 ; 2) 0 / * ; 0 ,* 0 3) ; / ,
4) , * . 8.4. M (3, − 1) , / 0 y + 6 = 0 . 1 , ε = 2 2 . 2 2 8.5. , # / x 25 + y 9 = 1 . 1 ,, % ε = 2 . 2 2 8.6. + x 15 + y 6 = 1. ,, * / , / –
. * (, ) 8.7. x 2 12 + y 2 6 = 1,
,
. 8.1.
54
8.8.
8.9.
+ ,
x 2 25 + y 2 16 = 1, , 0 ,) / ; . # ) / 2 , : 12 10 1 ) ρ (ϕ ) = . ; ,) ρ (ϕ ) = ; ) ρ (ϕ ) = 2 − cosϕ
3 1 − cos ϕ 2
8.10. 8.11.
8.12.
sin 2
ϕ
2
1 , % F (0, 3) y = −5 . + , y 2 = 6 x . , N ( 4, 1) , , ,
B C , , BC , N . ,,
Oy x + y = 0 0 x2 + y2 + 8 y = 0 .
8.13.
$ , ,
( x0 , y0 ) , xx yy ) 20 − 20 = 1 ,, a b ,) y y = p( x + x ) ,. 0
0
x2 y2 .
P(− 16, 9) + = 1. 8.14. 4 3
# d P ,
. x2 y2 . / + = 1 α Ox 8.15. 45 20
. .
, tgα = −2 . + ,
. 1 , 0
0%
.
55
8.16. 8.17. 8.18. 8.19.
8.20.
$ , x 2 16 − y 2 8 = −1 2 x + 4 y − 5 = 0 d 0 .
, ,, # , / , # + . 1 , , y 2 = 8 x 2 x + 2 y − 3 = 0 . 1 , # , , y 2 = 16 x , ) A(1, − 2) ; ,) B(1, 4) ; ) C (1, 5) . # , 0
, – ,
%:
x − y + 2 = 0 , y 2 = 8x ; 2 2) 8 x + 3 y − 15 = 0 , x = −3 y ; 2 3) 5 x − y − 15 = 0 , y = −5 x . 1)
$ , Ax + By + C = 0 , y 2 = 2 px ? 8.22. 1 6 xy + 8 y 2 − 12 x − 26 y + 11 = 0 ,
) 6 x + 17 y − 4 = 0 ; ,) 41x − 24 y + 3 = 0 ; ) y = 2 . 8.21.
, % 0 F ( x, y, z ) = 0 , F , / .
/ ,
, , , . " , %
0 * # / . (ρ ,ϕ , z ) ( .26) ,, % , ,
Oz ,
( ρ ,ϕ ) . 9.
56
/ # :
x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ . z=z
.26
(r ,θ ,ϕ ) ( .26( )) M
r = OM O , θ OM z , ! ϕ "
. $
OM ! ( xy ) !# x #% & & : * 'x = r sin θ cos ϕ ) 'y = r sin θ sin ϕ . ( z = r cosθ +
- , , z , & & , #% F ( x, y ) = 0 , " & ! z . , & ! ! %!# F ( x, y ) = 0 , #% , , ! Oz #%.
57
" & " , .27. + & "
ϕ F ( ρ , z ) = 0 , & % !# % , ! Oz . , & ! !& & ! % . & % #
F ( x, z ) = 0 , % Oz & ! % . ! & " , & ρ = x 2 + y 2 , ! & % F ( x 2 + y 2 , z ) = 0 . .27( ) & ! % , #% x 2 + y 2 = 2z 4 . + & ! #% , &% #%# F ( x, y ) = 0 # M ( x , y , z ) , & 0 0 0 M . &
, .27 .
.27 , & # & & ! . & #% :
58
2 2 2 x + y + z = 1 ( .28); a 2 b2 c 2 x 2 + y 2 − z 2 = 1 ( .28 ); a2 b2 c2 2 y2 z2 x
.28); + − = − ( 1 a2 b2 c2 2 y2 z2 x
29); + − = ( 0 a 2 b2 c 2 2 2 x + y = 2 z ( .29( )); a2 b2 2 y2 x
.29). 2 − = z ( a2 b2
, & & & a = b , & , ,
! & % . & a = b = c = R R .
.28
59
.29
2 2 x a + z 2 c 2 = 1, % y = 0 . ! % , % Oz . . , #% F ( x, z ) = 0 , x → x 2 + y 2 , # 1.
2 2 z2
% x + y + 2 = 1. 2 2. a L c " : x = 9 − t , y = 4 − 2t ,
z = 7 + 2t , M 0 (1, − 2, 3) , % & . ! " & & . . " ! , & , #% !# "
( .30).
.30 60
! M ( x, y, z ) & " . ,
d ML = d M 0 L ! & ( x, y, z ) , " .
[(r − r ), a] d ML = 1 0 , |a|
r = ( x, y, z ), ! 1 #% r0 = (9, 4, 7 ) a = (− 1, − 2, 2 ).
%!# ! , , 1 d ML = (2 y + 2 z − 22) 2 + (25 − 2 x − z ) 2 + (14 − 2 x + y ) 2 . 3 & ( x, y, z ) M , & 0 "
" R = d
, = 10 . , M 0L 1 (2 y + 2 z − 22) 2 + ( 25 − 2 x − z ) 2 + (14 − 2 x + y ) 2 = 10 . 3 , & .
" , 8 x 2 + 5 y 2 + 5 z 2 − 4 xy + 4 xz + 8 yz − 156 x − 60 y − 138 z + 405 = 0 . ! , & , ! & & . + ! " Oz ' , Ox' Oy '
! , " ( x' ) 2 + ( y ' ) 2 = 100 .
3. ! M (r ) !# r = r + a t , , 0 #% !# 0 0α . # & , . , #% ,
α . !, ! r − r , r = ( x, y, z ) , a : 0 (r − r0 ) =| r | ⋅ | r0 | ⋅ | cosα | ,
61
α & r − r & . ! 0 & ,
r − r0 a , , . & & , ! , ! & &, #%& & ! .
9.1. 9.2.
9.3. 9.4.
9.5.
( x − 4)2 + ( y + 5) 2 + ( z − 6) 2 = 81
x = 3 − t , y = −3 + 2t , z = 4 − 2t . ! % , % x 2 a 2 − z 2 c 2 = 1, % y = 0 , Oz . #% x 2 9 + z 2 25 = 1, y = 0 , & S (0, − 3, 4) . ! . !
,
x 2 + y 2 + z 2 = 4 (. . #% ), & S (0, 0, 8) . !, #% ,
x = ϕ (t )
y = ψ (t ) z = χ (t ) ' , ! "#$ % & & u v + # (x = uϕ (v) * ()y = uψ (v) . z = uχ (v) 9.6. , & - % &. /0$ / , !1 &%$# & λ . 2&$ & &- & % !#- λ : x2 + y2 + z 2 = λ ; 2 2 2 3) λx + y + z = λ ; 1)
λx 2 + y 2 + z 2 = 1 ; 2 2 2 4) x + y − z = λ ; 62
2)
5) 7) 9) 9.7.
9.8.
9.9.
9.10. 9.11.
x2 − y2 − z 2 = λ ; x 2 + y 2 = λz ; x2 + y2 = λ ;
2&$, !
x 2 + λ ( y 2 + z 2 ) = 1; 2 2 8) x + λy = λz + 1 ; 2 2 10) x − y = λ . M (1, 1, 1) / 6)
&
x 2 + 2 y 2 + 3z 2 = 4 . 2$ Oz & -. 2&$, ! M (1, 1, 1) # ! &" x 2 + 2 y 2 = 2 z . ,. &- x 2 + 2 y 2 − 3z 2 − 1 = 0 &. x = 0 , x = 1 , x = 2 &# &$ Oyz . 2&$ %"%$
&. . . . &. /- &- 0 &. & #. &/ $. ?. /- &- 0 &. &.. & / . 0 ? , 0 &.? " #. &
10.
"1 / . 0 &. & %. / Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0 , &-$ . & &#. / - //#, 00 & ".. # $ z % !# . x y , 1 &# &.. . " . &- "- & .$ & .& .1 /. &- & " / % # #, & - . /. % & &- 0 &. $ 0 %&$ / ! $ 0 # , % , " #- , &. - ! - / , &#. # / ! &% , #- ! %"$. &$# & , 0" .%# &#. &$# # / &/1 "% #! & &0 #- . '# ! % % 0! . ! / 0// # &%
63
, "- &%$ &"% &. . #0 , !1- &, & ! &- &. & , 0 /0 ϕ &.. #! tg 2ϕ =
2B . A−C
0 #!. /, & '' A C % - / % # /0 0$0 '' B & &- /0 ϕ = π 4 , # # .%# # & ' / x = ( x'− y') 2 y = ( x'+ y ') 2 . . . /. &- / / & 0 &0 ! "#$ & 0# 0 & % #. ! 0 #- & & , !1 $, % ! & & 0! % $ , #- "/ % !. , " & % - 0 &. 0/ "#$ # #- &'' &# & % # -0 /., ... &. #- " - '' % # &#%. & . "# &.# &"% . , . #- 0 %. .. & . δ=
A B
= AC − B 2 ,
B C ' . % & % $ / 0 &.: δ > 0 - . &0 &; δ < 0 - . 0& "0 &; δ = 0 - . &"0 &. # &0 0&"0 & 0 %#. $# # . # ( x0 , y0 ) ! &$ % -0 /. , . / /
Ax0 + By0 + D = 0 . Bx0 + Cy0 + E = 0
$/ & # ... δ , / # $ . ... $ $ & δ ≠ 0 , .. & & ! & / 0&" / &/.
64
. &- 0 &., &. #- - & ( x1, x2 , x3 ) /
∑ aij xi x j + 2∑ ak 4 xk + a44 = 0 , 3
3
i , j =1
k =1
0 aij = a ji , ! /1/ . . " !# % ... &$ $0 &. I3 = det (aij ), i, j = 1, 2, 3 .
&$ /., % / &- 0 0 , # 0 ( x01, x02 , x03 ) &.., / 0 &., /
∑ aij x0 j + ai 4 = 0 , 3
i = 1, 2, 3 ,
j =1
$ I3 . . $ &- / ! "#$ %& λ1x12 + λ2 x22 + λ3 x32 + η = 0 ,
0 ''# λi η , &.1 0 & &-, 0/ "#$ # & & 1 & % -0 /. &-. , ''# λi ... . 0"0 /. $0 &. $ λ det (aij − λ ⋅ δ ij ) = 0 ,
0 i, j = 1, 2, 3, δ ij = 1 & i = j δ ij = 0 & i ≠ j %#. &. # #. / $0 &. %#. - / . # aij , 0 λ1, 2,3 - "# %. . , $ # aij = a ji 0/, . ... 1# . η ! ! "#$ % # & ' / 65
η=
I4 , I3
0 I 4 $ &$ 0 &., ' # % - '' /. &-, . # #: I 4 = det (aij ), i, j = 1, 2, 3, 4 .
" "#- % - .%$ #- ' !. / 0 "#.
2&$ & &! 4 x 2 − 9 y 2 − 8 x − 36 y − 68 = 0 &. . #. %
1.
δ=
A B
=
4
0
= −36 < 0 ,
B C 0 −9 0 &! 0&" / &/. $/ / // 0 # &% , & / / / ! & 1$ $ $#- &, .. % # &0 . & %. / &, &/ : 4( x 2 − 2 x + 1) − 9( y 2 + 4 y + 4) − 4 + 36 − 68 = 0 , 4( x − 1) 2 − 9( y + 2) 2 − 36 = 0 .
%. &"% & $0 &
x − 1 = x' , y + 2 = y'
( x' ) 2 ( y ' ) 2 − = 1, 9 4 !" # a = 3 b = 2 , $ # (1, − 2) ( x, y ) .
66
2. 2 x 2 − 2 3 xy + 9 = 0 . . δ = A B = 2 − 3 = −3 , B C − 3 0 # !" . # ! , " " x = x' cosϕ − y ' sin ϕ y = y ' sin ϕ + x' cosϕ ! ϕ , ! ! ## tg 2ϕ =
2B 2 ⋅ ( − 3) = = − 3, A−C 2−0
ϕ = − π 6 , " : 3 1 x = x ' + y' 2 2 . y = − 1 x'+ 3 y' 2 2 # # ,
## 3 1 2 3 1 1 3 2 x'+ y ' − 2 3 x'+ y ' − x'+ y ' + 9 = 0 , 2 2 2 2 2 2 # # " " " ! :
3( x' ) 2 − ( y ' )2 + 9 = 0 ,
( x' ) 2 ( y ' ) 2 − = −1, 2 2 ( 3) (3)
# # !" # a = 3 b = 3 . !" 3. , z = xy # !" " . #"$"% ". & ! , , xy , ! " # " # 67
(Oxy) . $ x 2 y 2 " ( " ), ## ! ϕ = π 4 , # x = ( x'− y ') 2 y = ( x '+ y ') 2 . ## # , ( x' ) 2 − ( y ' ) 2 = z, 2 "
# ## ! ! " a = b = 1. !" 4. , 5 x 2 + 11y 2 + 2 z 2 − 16 xy + 20 xz + 4 yz = 18 . #"$"% ". ! # I : 3 − 8 10
5 I3 = − 8
11
2 = −1458 = −18 ⋅ 81,
10 2 2 .. # ## $ " λ1x12 + λ2 x22 + λ3 x32 + η = 0 . # $ λ1, 2,3 −8 5−λ 10 3 2 , λ − 18 λ − 81λ + 18 ⋅ 81 = 0 . −8 10
11 − λ 2
2 =0 2−λ
" $
λ1 = 18 , λ2 = 9
λ3 = −9 . η = I 4 I 3 , ! ! # 5 I4 =
− 8 10
− 8 11 10 2 0
0
2 2 0
0 0 , = −18 ⋅ I 3 0 − 18
η = −18
# ## Oz .
18( x' ) 2 + 9( y ' ) 2 − 9( z ' )2 − 18 = 0 , ( y ' )2 ( z ' ) 2 2 ( x' ) + − = 1, 2 2 "
! ! 68
. 10.1. , !! " ##$! % ## % & ##$!%' !!(% # : 1)
xy − 2 x − y + 6 = 0 ;
2)
y=
9−x ; x−3
6 x 2 + 6 y 2 + 6 x − 2 y − 1 = 0 ; 4) 9 x 2 − 16 y 2 − 6 x + 8 y − 144 = 0 ; 5) 2 x 2 + 6 xy + 10 y 2 − 121 = 0 ; 6) 9 xy + 4 = 0 . 3)
, $ ## ! *# #. 10.2. ) + # , # &- % ## $# * ! # (. # # $ ! ! # *#:
x 2 − 8 xy + 17 y 2 + 8 x − 38 y + 24 = 0 ; 2 2) 5 x + xy − 4 x − y − 1 = 0 ; 2 2 3) 8 x − 24 xy + 16 y + 3 x − 7 y − 2 = 0 . 1)
(( - $! - ! 10.3. / & , $ (#0! *# % !, - !! & # $, - ! ( #. 10.4. 1#! ! " % ## ##$!(% %:
9 x 2 + 16 y 2 + 36 z 2 − 18 x + 64 y − 216 z + 253 = 0 ; 2 2 2) x + 4 y − 6 x + 16 y + 9 = 0 ; 2 2 2 3) 4 x − 9 y + 36 z − 16 x − 54 y − 72 z − 65 = 0 ; 2 2 2 2 4) z = xy ; 5) 3 x − 4 y + 6 z + 24 x + 8 y − 36 z + 122 = 0 ; 2 2 6) 4 x − 9 y − 8 x − 36 y − 72 z + 184 = 0 ; 2 7) y − 4 x − 6 y + 17 = 0 ; 2 2 2 8) 2 x − 6 y + 3 z − 12 x − 24 y − 24 z + 30 = 0 . 1)
10.5. 1#! (. # #:
2 x 2 + 5 y 2 + 2 z 2 − 2 xy + 2 yz − 4 xz + 2 x − 10 y − 2 z − 1 = 0 ; 2 2 2 2) 7 x + 6 y + 5 z − 4 xy − 4 yz − 6 x − 24 y + 18 z + 30 = 0 ; 2 2 2 3) 2 x + 2 y + 3 z + 4 xy + 2 xz + 2 yz − 4 x + 6 y − 2 z + 3 = 0 ; 2 2 2 4) x + 4 y + 9 z − 4 xy + 6 xz − 12 yz − x + 2 y − 3 z − 6 = 0 . 1)
10.6. 1#! & !(! (
α: x12 − 2 x22 − 3 x32 − 4 x1x2 − 6 x1 x3 − 2 x1 + 4 x2 + 6 x3 + α = 0 . 69
( , ,
1. /. . 2. 3. 4. 5.
6. 7.
8.
9.
., 2000. .. #, . . ), ! " " , ., 1981. .. ), ! " " , ., 1968. + .. #$(, , ., 2002. %.. ( , .&. )$, .. '%- , ( )* + , ., 2003. /.. ,#, ( )* + , ., 1969. + . . -%--, .* + / " + , ., 1970. .. %! , (+ 0 + 12 )*. ! " " " , #!, 1998. ( )* + , * .3. 4#, #!, 1999.
70
1. )! & $ # $! ( # !! 1.
2. !!(, # #,1 % ## 2- 3-
3. 3
3 9
2. 3. %# #, * # (. 3 # &# 4. # !( ## &# 3.
5. )( # # !!
15 15 21 27 27
6. )!! ! #!
34
7. )( # !! ! # !
4. 8. !, - -
9. !##, ! ! 1#! ##$! % ## ,1 1#! 10.
,
38 45 45 56 63
70
71
! "#$%$&'(!) *&!+&%,$$ -./012/ 324205/
6789:;?@@7? 7A;=?CD@7? 9E8O7J7». 7 77 6 603950, NGF@GP N >J < :, K