Метрические задачи теории иррациональных чисел

L ОБЗОРЫ И ПЕРЕВОДЫ

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. А. Я. Хин чин. Введение. Возьмем наудачу выбранную бесконечную десятичную дробь и спросим себя, найдется ли среди ее десятичных знаков какая-нибудь определенная выбранная цифра, например 7. Ответ, конечн|, очень прост: уже среди периодических дробей 7 мы найдем как такие, которые цифру 7 содержат (например — = 0,777...), так и такие, которые ее не содержат (например--= 0,333...); возможен, следовательно, о

и тот и другой случай. Однако мы "должны учесть, что периодические десятич­ ные дроби представляют собою лишь ничтожное меньшинство всех десятичных дробей; величина каждой такой дроби есть рациональное число, а все рациональ­ ные числа образуют счетное множество, т. е. ничтожно малую часть всех веще­ ственных чисел. Впрочем, легко видеть, что ответ на наш вопрос не изменится, если мы исключим из рассмотрения периодические дроби; ведь ряд десятичных знаков мы можем написать, выбирая их совершенно произвольно; ничто не мешает нам при этом по желанию избегать цифры 7 или, напротив, пользоваться ею. Такой ответ, однако, нас мало удовлетворяет: бывают, конечно, десятичные дроби и с семеркой, и без семерки, но мы хотим знать, каковы шансы того, что наудачу выбранная десятичная дробь будет содерэюапьь цгьфру 7. Очевидно, что так поставленная задача, сколь бы естественной она ни казалась для непосредствен­ ного восприятия, может получить определенный смысл только после того, как мы точно установим, что означает „наудачу произведенный" выбор и чем изме­ ряются „шансы" того или другого результата этого выбора. Это как будто бы приводит нас в область теории вероятностей; и действительно, задачи такого рода в современной математике ^часто ставятся и получают свое разрешение в терминах этой науки. Можно, однако, подойти к вопросу и с другой стороны. По отношению к занимающему нас свойству — присутствию или отсутствию цифры 7 в данном разложении — все десятичные дроби распадаются на два класса: класс А, в который]входят все десятичные дроби, содержащие цифру 7, и класс Д состоящий из дробей, не содержащих этой цифры. Естественно принять, что сравни­ тельные шансы наличия или отсутствия пифры 7 в наудачу выбранной деся­ тичной дроби определяются сравнительным объемом этих двух классов. Таким образом наша задача приводится к задаче количественного сравнения различных множеств десятичных дробей. А если принять во внимание, что каждая десятичная дробь имеет своим значением некоторое вещественное число и что, обратно, каждое

8

А. Я. ХИНЧИН

вещественное число единственным образом разлагается в бесконечную десятичную дробь, то мы видим, что речь идет о сравнении между собою двух множеств вещественных чисел. Выбранное нами в качестве первого примера свойство вещественных чисел — присутствие определенной цифры в их десятичном разложении — разумеется, очень элементарно; однако всякое, как угодно сложное свойство десятичных раз­ ложений, очевидно, всегда приведет нас к задаче того же типа, ибо по отношению к любому такому свойству множество вещественных чисел распадается на два класса, сравнительный объем которых будет подлежать изучению. Далее, деся­ тичные дроби представляют собою лишь один из весьма многих арифметических алгоритмов для представления вещественных чисел; не говоря уже о разложе­ ниях по другим системам счисления (двоичной, троичной и т. д.), мы имеем такой в арифметическом отношении гораздо более важный алгоритм, как цепные (непре­ рывные) дроби; наконец, речь может итти и о таком арифметическом свойстве вещественных чисел, которое определяется независимо от какого бы то ни было специального алгоритма; таким свойством является, например, трансцендентность числа; вопрос о том, каковы шансы наудачу выбранному числу оказаться алге­ браическим или трансцендентным, имеет, разумеется, значительный интерес и, очевидно, целиком принадлежит к рассматриваемому кругу проблем. Теория множеств знает целый ряд способов, позволяющих сравнивать между собою множества вещественных чисел для решения вопроса о том, которое из них богаче элементами. Понятие мощности, понятие меры, яонятие категории (в смысле Бэра) могут служить для этой цели подходящими измерителями. Однако по ряду причин из всех измерителей только один — именно, мера множества — может служить основанием для построения сколько-нибудь развитой теории. Это видно уже из того, что этот измеритель является единственным, допускающим непрерывный ряд градаций: мера множества чисел, заключенных, например, в интервале (0, 1), может принимать все значения от 0 до 1 включительно, так что оценка множеств по мере действительно допускает тонкие и нетривиальные различения; в то же самое время для мощности мы получаем всего две возмож­ ности— множества счетные и множества мощности континуума (если не считать тривиального случая конечных множеств), и для категорий Бэра дело обстоит точно так же х); таким образом с точки зрения этих грубых измерителей два множества очень часто могут оказаться равноценными, в то время как более тонкий критерий меры позволит установить между ними существенные различия. Наряду с приведенным формальным доводом выбор меры в качестве решаю­ щего критерия при сравнении множеств имеет за себя и серьезные предметные основания. Когда мы говорим, что „точка" (т. е. вещественное число) выбирается „наудачу" на отрезке (0, 1), то мы под этим выражением обычно представляем себе, что выбор производится случайно, причем, например, точка имеет одина­ ковые шансы оказаться в левой или правой половине этого отрезка или, если мы разделим его на пять равных отрезков. — в любом из этих отрезков, и т. д. Одним словом, если основной отрезок разделен на любое число одинаковых частей, х

) Разумеется, мы здесь можем оставить совершенно в стороне все вопросы, связан­ ные с возможностью существования промежуточных мощностей или „с третьей кате­ горией*, ибо множества, определяемые арифметическими свойствами чисел, обычно измеримы в смысле Бореля и потому не могут допускать подобных осложнений.

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

9

то шансы попадания выбираемой точки в ту или другую из этих частей одина­ ковы для всех частей. Но отсюда уже по элементарным правилам теории вероят­ ностей легко доказать, что шансы выбранной точки оказаться принадлежащей тому или друяшу из данного ряда множеств пропорциональны мерам этих множеств. Таким образом метрическая теория иррациональных чисел ставит своей задачей определение меры множества тех вещественных чисел, которые обладают тем или иным заданным арифметическим свойством. Эта теория лишь за последние 10—15 лет получила сколько-нибудь значительное развитие. Результаты ее по своей законченности, изяществу и простоте способны привлечь к себе внимание наиболее широких математических кругов, тем более, что усвоение их не требует почти никаких специальных знаний и доступно каждому образованному математику. В настоящей статье мы дадим обзор важнейших и наиболее эффект­ ных результатов этой теории, а также остановимся на ее основных методах, не углубляясь, однако, в детали. Прежде чем перейти к систематическому изложению, сделаем еще несколько замечаний общего характера. 1. Все метрические теоремы теории иррациональных чисел могут быть, как ясно из предыдущего, выражены и в терминах теории вероятностей. Мы, однако, будем в целях единства изложения почти всегда придерживаться метрической терминологии, которая к тому же представляется нам и более непосредственно соответствующей содержанию теории, в то время как вероятностные формулировки имеют лишь условное и иллюстративное значение. 2. Во всем дальнейшем мы ограничимся рассмотрением вещественных чисел, заключенных между 0 и 1; такое ограничение нисколько не уменьшает общности результатов, так как все без исключения арифметические свойства вещественных чисел, которые мы будем изучать, не меняются от прибавления к данному веще­ ственному числу любого целого числа. Вместе с тем это или подобное этому огра­ ничение в метрической теории является даже необходимым, так как при рас­ смотрении совокупности всех вещественных чисел изучаемые нами множества, как правило, имели бы бесконечную меру. 3. Множество, мера которого равна нулю, лишено значения во всякой метри­ ческой теории; таким множеством можно всегда пренебрегать, не нарушая общности результата; присоединение или отбрасывание такого множества играет в метри­ ческой теории такую же роль, как прибавление или вычитание нуля в арифметике. Множество рациональных чисел счетно и, значит, есть множество меры нуль. Отсюда следует, что для метрической теории безразлично, говорить ли о всех вещественных или только о всех иррациональных числах; можно также говорить обо всех трансцендентных числах, так как множество алгебраических чисел также есть счетное множество. Всякое свойство, которым обладают все вещественные числа за исключением множества меры нуль, с точки зрения метрической теории должно рассматри­ ваться как общее свойство вещественных чисел. Про такое свойство говорят, что оно выполняется „почти всюду" или „для почти всех вещественных (или иррациональных, или трансцендентных и т. д.) чисел". Наиболее эффектным результатом всей излагаемой теории является тот факт, что огромное количество арифметических свойств оказывается общим для почти всех вещественных чисел. Можно сказать, что по своей арифметической природе

10

А. Я. ХИНЧИН

почти все вещественные числа в основных чертах одинаковы и что отклонения от нормы наблюдаются лишь в сравнительно ничтожном количестве случаев (на множестве меры нуль). Целый ряд простых, но на первый взгляд неожидан­ ных результатов этого рода придает излагаемой теории ее своеобразную прелесть. 4. Наконец, мы до сих пор не говорили еще о том, с какой мерой множеств мы будем иметь дело. Множества, определяемые арифметическими свойствами вещественных чисел, как правило, оказываются измеримыми в смысле Вореля и притом принадлежащими даже к нескольким первым классам; таким образом всюду в дальнейшем можно под мерою множеств подразумевать меру в смысле Бореля; тем более, конечно, все результаты останутся справедливыми, если мы примем более распространенное мероопределение Лебега. . I. Метрическая теория систематических дробей. Систематическими мы называем дроби, расположенные по какой-нибудь определенной системе счисления, по типу десятичных дробей. Все последующие результаты по своему характеру совершенно не зависят от того, какая система счисления положена в основание; мы могли бы (и в чисто теоретическом отно­ шении это было бы наиболее естественным) просто обозначить основание при­ нятой системы счисления какой-нибудь буквой, т. е. говорить об w-ичных дробях; однако для того, чтобы сделать изложение по возможности простым и наглядным, мы вначале рассмотрим систему счисления с наименьшим возможным основанием, т. е. двоичную. Всякое вещественное число, заключенное между нулем и единицею, разла­ гается единственным образом в бесконечную двоичную дробь вида

0,аЛ...ая...^

+ $+...

+$+...,

где av а2, . . . , ап, . . . — „двоичные знаки" данного числа. Каждый двоичный знак есть либо нуль, либо единица. Требуя, чтобы двоичная дробь была беско­ нечной, мы тем самым исключаем из рассмотрения дроби, заканчивающиеся сплошным рядом нулей („конечные" двоичные дроби). Как и в случае деся­ тичных дробей, это исключение существенно для однозначности разложения; если бы мы его не сделали, то всякое рациональное число с знаменателем вида 2п разлагалось бы в двоичную дробь двумя существенно различными спо­ собами; так, для числа — мы имели бы два разложения: 0,01111...

и

0,1000...;

в силу же принятого ограничения второе из них исключается как „конечнаядробь. Впрочем, все эти различения для метрической теории не играют суще­ ственной роли, так как числа, разлагающиеся не однозначно, образуют, очевидно, счетное множество. Легко предвидеть, «то при метрическом исследовании двоичных дробей основную роль должны играть множества чисел, для которых некоторый опре­ деленный двоичный знак имеет данное определенное значение. Условимся во всем дальнейшем обозначать через Е{^ и Е^ множества заключенных между нулем и единицей вещественных чдсел, для которых соответственно ап = 0 и ап = 1.

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Ц

Нам важно не только определить меру этих множеств, но и представить себе во всей подробности их строение — впрочем, очень простое. Прежде всего очевидно, что множество Ef, т. е. множество чисел, первый двоичный знак которых равен нулю, состоит из всех чисел я, удовлетворяющих неравенствам О < х Е™. .. Е{Кг>) = m(Е^>) m (E^J)...m

(E^r) = -

2Г

Установленному свойству множеств Е^ целесообразно дать еще другое внешнее выражение. Двоичный знак ап имеет определенное значение для ка­ ждого вещественного числа х, поэтому его можно рассматривать как функцию от х: ап = ап (х). Эта функция, разумеется, ограничена и имеет лишь конечное число разрывов, так что ее можно интегрировать в интервале (0, 1). То же самое относится и к любому произведению вида ап (х) аП9 {х).. .ап (х). Но это произ­ ведение равно единице, если для числа х Щ

/?2

* * *

Пг

'

и равно нулю, если хотя бы один из этих двоичных знаков равен нулю; иначе говоря, это произведение равно единице в точках множества Е^ Е^... Е n(1 и равно нулю вне этого множества. Мы можем поэтому написать гг(Х) jp{i)

/

^(1)Ч

«„, < Ч W • % V ^ • ••%, • • % , * •== «•"'• № \* " E.и lb

ib

14

А. Я. ХИНЧИН

то естественно назвать у0 „долею нулей" данного вещественного числа, а их— „долею единиц" его; очевидно, что в этом случае ^ - [ - ^ = 1. Разумеется, мы всегда можем выбрать вещественное число так, чтобы эти доли равнялись каким угодно заранее заданным числам (лишь бы эти числа были неотрицательны и в сумме давали единицу), а также и так, чтобы этих пределов вовсе не суще­ ствовало. Однако имеет место замечательная теорема, которую вследствие ее неожиданности вначале называли даже „парадоксом": оказывается^что для почти всех вещественных чисел и0 = ^ = -— . Таким

образом можно сказать, что

почти все вещественные числа содержат в своих двоичных разложениях асим­ птотически столько же нулей, сколько единиц. Доказательство этой теоремы основывается на установленном выше свойстве метрической независимости множеств Е*® \ оно настолько просто, что мы можем воспроизвести его здесь. Прежде всего очевидно, что для каждого вещественного числа х тх1

=к-1 2а*{х)-

Таким образом мы должны доказать, что почти всюду 11

12 а ->

1

при

к

)ь-> ос.

*=1

С этой целью рассмотрим интеграл

1

,

>.-/{ А*-т>\'«-У{Ъ(-.-\)) « Для вычисления этого интеграла нам придется возвести стоящую под знаком интеграла сумму в квадрат и интегрировать каждый член отдельно. Полученные интегралы будут двух типов: 1

1)

1

j («»—"a j

dx

= j lal-ak + \UXs=-J

о

о 2

(так как всегда а к = ак); число таких интегралов будет, очевидно, равно щ 1

2)

а а /( со Ч»9

* •

>

1 ,

поэтому почти всюду

2 ^

п

1

IV ~i

v

чем теорема окончательно доказана. Таким образом величина

ft a 1

т1 ~п

1 2

почти всюду оказывается бесконечно малой; то же самое, разумеется, имеет УП

1

место и д л я величины — — - > отличающейся от нее только знаком. п 2 Дальнейшие исследования в этом направлении касались вопроса об установлении такого порядка

малости

7У1

1

п

Ji

величины — — —,

который имел бы место

д л я почти всех вещественных чисел. Очень легко показать тем ж е методом, которым мы только что пользовались, что эта величина почти всюду имеет порядок малости более высокий, чем —^ , где а — любое число, меньшее чем п 4 - ; легко убедиться и в том, ч т о д л я а = — это утверждение у ж е неверно; более того, почти всюду разность ^ п

л

п р и неограниченном возрастании п

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ЙРРАЦИОННЫХ ЧИСЕЛ

17

бесконечно много раз становится больше, чем —^. уп

Более глубокие иеследова-

ния

малости, выполняющийся

показывают, что наиболее высокий

порядок

почти всюду, приблизительно дается функцией 1 / ; впрочем, попытки окончательного решения этой проблемы натолкнулись на весьма значительные аналитические трудности и могли быть доведены до конца лишь в самое послед­ нее время благодаря новым методам, заимствованным из теории диференциальных уравнений и найденным профессором И. Г. Петровским (Москва). Но вернемся к более элементарным вопросам. Совершенно тем же методом, Еаким мы оперировали выше, можно доказать, что, например, в случае десятич­ ных дробей доля каждой цифры почти всюду равна —. В самом начале нашей •статьи мы поставили вопрос о том, каково множество чисел, в десятичном раз­ ложении которых встречается цифра 7. Теперь мы получаем на этот вопрос исчерпывающий ответ: в десятичном разложении почти всех чисел цифра 7 встречается бесконечное множество раз, и притом так, что „доля" ее в разло1 жении данного числа в точности равна — . Пусть теперь g есть любое целое положительное число > 2. В системе счиссления, определяемой числом д, все вещественные числа, за исключением некото­ рого множества меры нуль, обладают разложениями, в которьйс каждая из „цифр" О, 1, 2, . . . , д — \ имеет долю-—. Обозначим через Мд то исключительное множество (меры нуль), для точек которого это условие не выполняется. Тогда множество

М=МШ + М9+...+!£,+

...,

как соединение счетного множества множеств меры нуль, также есть множество иеры нуль. Всякое же вещественное число, не принадлежащее множеству М, обладает, очевидно, тем замечательным свойством, что, по какой бы системе счисления мы его ни разложили, доли всех цифр в этом разложении будут оди­ наковы. Условимся называть такие числа „нормальными". Мы видим, таким образом, что почти все числа нормальны—результат, который представляется еще более эффектным, чем предыдущие. Этот последний результат особенно интересен по той причине, что свойство нормальности, в противоположность ранее упомянутым свойствам, характеризует данное вещественное число как таковое, а не в связи с той или иной системой счисления; в нем находит выра­ жение некоторое абсолютное арифметическое свойство вещественных чисел; поэтому было бы чрезвычайно интересно охарактеризовать нормальные числа каким-либо другим признаком, в формулировку которого вовсе не входило бы понят!е системы счисления. Отметим еще любопытный факт: несмотря на то, г ,то почти все вещественные числа нормальны, указать индивидуальный пример нормального числа оказалось делом не очень легким. Борель, впервые обра­ тивший внимание на эти числа, сообщил вместе с тем, что ему не удалось построить ни одного примера нормального числа; и только позднее такой пример -

За к. 3240. Успехи математических-наук. Вып. I.

18

А. Я. ХИНЧИН

Заметим, наконец, что вместо отдельных цифр можно было бы поставить вопрос и о доле той или иной группы цифр в данном систематическом разло­ жении. Так, например, в десятичном разложении О, аха2аь... (О ^ at ^ 9) вещественного числа мы можем рассматривать последовательность всех троек цифр, т. е. Выбрав какую-нибудь определенную тройку цифр, например 943, мы можем поставить вопрос о доле этой тройки в написанной последовательности; и здесь легко показать, что для почти всех вещественных чисел доля эта для всех троек одинакова; а так как число различных возможных троек, очевидно, равно 10s = 1000, то доля каждой из них почти всюду равна 0,001. Мы видели, что все интересовавшие нас свойства систематических разло­ жений оказывались обладающими той особенностью, что они либо почти всюду выполнялись, либо почти всюду не выполнялись. Это обстоятельство не случайно (т. е. не зависит от случайно „удачно" подобранных нами свойств); оно находит себе объяснение в том, что все эти свойства (как и вообще все, сколько-нибудь интересные свойства систематических разложений) были предельными, т. е. такими, которые не нарушаются, если в данном систематическом разложении изменить любое конечное число цифр; так, очевидно, доля той или иной цифры в результате такой операции не может измениться; это относится также и к любому признаку, характеризующему предельное, асимптотическое распреде­ ление цафр в данном разложении. Можно доказать общую Теорему, состоящую в том, что всякое предельное свойство систематических разложений либо почти всюду выполняется, либо почти всюду не выполняется. Это не мешает, однако, тому обстоятельству, что для некоторых свойств бывает очень нелегко установить, который из этих двух случаев имеет место в действительности. И . Метрическая: теория цепных дробей. Гораздо более интересны и многообразны, но вместе с тем и значительно более трудны метрические задачи, возникающие в теории цепных (непрерывных) дробей. Каждое вещественное число а, заключенное между нулем и единицею, разлагается единственным образом в цепную дробь вида 1 а= 1 а

х+

1

чЛ——где аи а2, а3, ...—целые положительные числа, которые мы будем называть элементами числа а; эта дробь конечна,, если число а рациональное, и беско­ нечна, если оно иррациональное *). Элементы цепной дроби характеризуют пол­ ностью изображаемое ею число и играют в цепных разложениях ту же роль, что десятичные знаки в десятичных дробях; их распределение может служить предметом метрической теории. г

) В случае конечных дробей для однозначности разложения необходимо потребо­ вать, чтобы последний элемент был больше единицы.

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИРРАЦИОННЫХ ЧИСЕЛ

19

Следует заметить с самого начала, что для изучения арифметической природы иррациональных чисел цепные разложения имеют несравненно большую ценность чем систематические. Причина зтого заключается в том, что всякое системати­ ческое разложение характеризует не абсолютную арифметическую природу раз­ лагаемого числа, а лишь его арифметические взаимоотношения с данной системой счисления, что представляет собою, конечно, задачу весьма частного характера; в то же самое время аппарат цепных дробей, независимый ни от какой системы счисления, способен выразить наилучшим образом присущие разлагаемому числу арифметические особенности. Вот почему, как мы увидим далее, метрическая теория цепных дробей дает исчерпывающую базу для построения чистой метри­ ческой теории иррациональных чисел, не зависящей ни от какого специального изображающего аппарата. Аналогично случаю систематических разложений, и в теории цепных дробей основную роль играют множества Е ^ чисел, заключенных между нулем и еди­ ницей, для которых ап = Ц различие состоит прежде всего в том, что верхний индекс К который в случае систематических дробей мог принимать лишь конеч­ ное число значений, здесь может быть любым натуральным числом. Однако это различие, как бы оно ни было существенно, само по себе еще не могло бы создать значительных трудностей для метрической теории, если бы во всем остальном наблюдалась полная аналогия. Основная трудность метрической теории цепных дробей обусловливается не этим, а тем, что мпооюества Е(*} не 0бладают метрической независимостью. В грубых чертах это видно уже из' того что эти » множества не могут обладать одинаковой мерой (как это имеет место в случае дробей систематических), что ясно из очевидного соотношения

%т{Е^}

= 1

(п=1,2,

...);

к=1

однако это обстоятельство опять-таки не создало бы существенных трудностей если бы мы имели, как в теории систематических дробей, соотношения т{Е^}=т\ЕП)

(ш,п,к=1,2,

...)

и т выражающие собою основную сущность идеи метрической независимости На самом деле эти соотношения не имеют места, Чтобы в этом убедиться а также и вообще для отыскания возможных методов метрической теории Тшш дробей, мы должны теперь обратиться к изучению строения множеств £ подобно тому как мы это сделали в случае систематических дробей Множество й» есть множество чисел, заключенных между нулем и единицею для которых «J = к; полагая '

"» + ! + •

« л+2 +

20

А- Я. ХЙЯЧИН

мы можем написать

если а принадлежит множеству Е*®, то ^ = 1- и __

1

Но sv очевидно, может принимать все значения, удовлетворяющие неравен­ ствам 0 < > ! < 1, а потому числа а, составляющие множество Е^\ определяются условиями 1

^

х

/

другими словами, множество 2?^ есть просто интервал L

, Т ) * ^ част­

ности, отсюда следует

геометрическое расположение множеств 2?[Л) показано на черт. 3. I L L б s 41

fit

± з

-,5, £« c f
J._|__i 4 - i — I

— 4-

= i 4 - I / J _ L.JL . J_

'2/^6~гЗ-б"Г4-8"Г5-10"Г'"

б"Г2}32

г

42 ' 52

==l4-±/V_l_i_iUl.l/^!_M_^_14JL 6 "Г 2 Ь £ *Я

4/

6^ 2J6

A)

12

24 ^ 3 '

а так как m{E{^} = - , то

m{EfEf)<m{Ef)

m{Ef}\

этот пример обнаруживает, таким образом, что множества Е;п} не обладают метри­ ческой независимостью. Заметим, однако, что некоторое приближение к метрической независимости можно подметить уже из элементарных соображений. Так, из полученного нами, выражения для меры множества Е^Ь® мы легко находим ?(k)

откуда со

оо

ИЛИ

•

.jsi О постоянно), а Леви получил

даже е

• Таким

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИРРАЦИОННЫХ ЧИСЕЛ

2Г> ;

образом была исчерпывающе решена одна из самых глубоких и интересных задач; метрической теории цепных дробей. Очевидно, что условие ап — 1с равносильно условию 1

^

^

1

отсюда следует, что множества Е{*], которые мы рассматривали ранее, связаны* с множествами Еп (ос) метрическим соотношением:

-|*?1—{*.(х)}—К(грт)}—.(тг)-^(гг1): в силу теоремы Кузьмина-Леви мы получаем отсюда

Iin я ,£«,

J"('+D-4 1 +4I)^ 1 "{'+TO},

птт

^п>

1П 2

In 2

rt->oo

Легко понять, насколько этот результат глубже тех, которые выше были нами установлены с помощью элементарных методов; раньше мы могли говорить лишь о порядке величины т {Е^}, теперь же мы имеем для нее точное асимптотическое выражение. Однако самым важным является то обстоятельство, что как метод Кузьмина, так и метод Леви позволяют установить, и притом без всяких дополнительных рассуждений, что в.точности те же предельные соотношения имеют место для относительной меры множества Е^Е^ по отношению к множеству Е{£\ прк условии, что разность п' — п безгранично возрастает:

т{Е%))

"*

In 2

при п—*/->ос, причем число п' может оставаться постоянным или безгранично* возрастать, что не отражается на результате. Стремление к пределу происходит и здесь весьма быстро, погрешность убывает не медленнее, чем

а п п

Т^е~

^ ^ 'К

Из этих результатов непосредственно вытекает, что разность

в случае, если \п — п'\ велико, становится ничтожно малой (порядка малости не* ниже чем -тш^е~~

* Yi иначе говоря, множества Е^ж Е^? с далекими друг

от друга нижними индексами почти независимы в метрическом смысле. Эле­ менты, близкие друг к другу, например ап и ап + 1, могут оказывать друг на друга довольно значительное влияние; но элементы друг от друга далекие ведут себя почти как цифры десятичной дроби — знание одного из них не оказывает почти никакого влияния на вероятности тех или иных значений другого. Дело здесь происходит аналогично тому, что мы наблюдаем в статистике метеорологических

26

^;-

А. Я. ХИНЧ1Ш

факторов или рыночных цен: зная положение на сегодня, мы с некоторым осно­ ванием можем сделать хотя бы скромный прогноз на завтра; но о том, каково будет положение через несколько месяцев, из сегодняшних данных, разумеется, никаких выводов сделать нельзя. Полученный нами результат, подобно тому как это происходит в статистике имеет фундаментальное значение для вычисления всякого рода средних. С его помощью прежде всего удается показать, что каждому возможному значению элемента (т. е. каждому натуральному числу) присуща определенная доля, одна г1 та же в разложении почти всех чисел. Это значит следующее: пусть ®п (к) означает число тех из элементов аи а2, ..., ап данного разложения, которые равны числу к; тогда почти всюду In 1

цтЪЛй=-*

*(* + 2)

ь

In 2

в частности, например, доля единиц почти всюду равна

In 4— 1пЗ = -.

Далее, если f (п)— положительная и не слишком быстро возрастающая функция натурального аргумента п, то можно показать, что среднее значение

/•(«1)~кю+---+/г(ад п при п -> оо почти всюду стремится к одному и тому же пределу, именно к величине оо

In 2