Моделирование процессов и систем в приборостроении: Учебное пособие

УДК: 681.5.01:621.317.08 (075.8) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е.Алексеева Арзамасский политехнический институт (филиал НГТУ) Ассоциация ученых города Арзамаса

В.Л. Волков

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ В ПРИБОРОСТРОЕНИИ Учебное пособие для студентов технических специальностей дневной, вечерней, и заочной форм обучения

Волков В.Л. Моделирование процессов и систем в приборостроении. Учебное пособие для студентов технических специальностей дневной, вечерней и заочной форм обучения / Арзамас, АПИ НГТУ, 2008. − 143 с. ISBN 5-230-03038-0. В учебном пособии представлены сведения по математическому моделированию динамических систем и процессов в приборостроении. Особенности задач моделирования в приборостроении заключаются в применении универсального математического аппарата в виде дифференциальных уравнений, матричных преобразований и стохастических процессов. Классические математические модели рассмотрены в предыдущем издании учебного пособия [1]. Здесь представлены современные вопросы моделирования, основанные на применении современного векторно-матричного математического аппарата, и рассмотрены практические задачи моделирования на компьютерах с применением лицензионного объектно-ориентированного программного обеспечения. Печатается по решению кафедры “Авиационные приборы и устройства” Арзамасского политехнического института (филиала) НГТУ.

Рецензент - канд. техн. наук А.Ю. Мишин.

Формат 60×84 1/16. Печать офсетная. Подп. в печ. Печ. л. 8,5. Уч.-изд. л. 8,0. Тираж 200 экз. Зак. . ____________________________________________________________

СИСТЕМА

МОДЕЛЬ

ЭКСПЕРИМЕНТ

Издатель: ОО «Ассоциация ученых» г. Арзамаса Нижегородской области, 607220, г. Арзамас, Нижегородской области, ул. Калинина, 19. Участок офсетной печати: 607220, г. Арзамас, Нижегородской области, ул. Севастопольская, 15. © Волков В.Л., 2008 © Нижегородский государственный технический университет, 2008 © ОО «Ассоциация ученых» г. Арзамаса Нижегородской области, 2008

Арзамас 2008

1

2

Содержание Предисловие Введение 1. Основные понятия систем 1.1. Основные понятия марковских систем 2. Динамические процессы и их свойства 2.1. Теорема проецирования 2.2. Импульсная теорема 2.3. Случайные процессы 3. Модели динамических систем и процессов 3.1 Формирующий фильтр стохастического процесса 3.1.1. Пример факторизации на основе Excel 3.2 Модели датчиков первичной информации 3.2.1. Пример составления динамической модели датчика 3.2.2 Формирование модели ДПИ методом ЖЛАХ 3.3. Основные матричные модели 3.3.1 Каноническое преобразование матричных моделей 3.3.1.1 Каноническое преобразование матричной модели в Excel 3.3.1.2. Алгоритм Сурье-Фадеева 3.4 Свойства матричных моделей 3.5 Методы формирования матричных моделей 3.5.1 Метод вспомогательной переменной 3.5.2. Метод нормальной матричной формы Коши 3.5.3. Метод канонического разложения 3.5.4. Метод разложения на простые множители 3.5.5. Метод аналогового моделирования 3.5.6 Нормальная форма записи уравнений состояния 4. Расчет основных характеристик процессов и систем 4.1. Дисперсия стохастического процесса через вычеты 4.2. Дисперсия стохастического процесса алгоритмом Острема 4.2.1. Реализация алгоритма Острема на основе Excel 4.3 Расчет частоты спектра и периода дискретности процесса 4.4. Расчет непрерывной и дискретной матричной модели 5. Статистическое моделирование систем 5.1. Оптимизация методом статистического моделирования 5.2. Объектно-ориентированное статистическое моделирование 5.3 Расчет передаточной функции ДС по заданным номинальным параметрам и функциональным зависимостям 3

5 6 9 23 24 24 25 25 27 30 31 34 34 36 38 40 41 44 46 48 49 49 50 53 54 55 57 57 57 58 63 65 69 69 72

5.4. Преобразование модели “Передаточная функция” в непрерывную и дискретную матричные модели 5.5. Численное решение дифференциальных уравнений 5.6. Метод статистического моделирования при определении допусков на конструктивные параметры системы 5.7. Моделирование процессов с заданным законом распределения 6. Моделирование в системе MatLab Simulink 6.1. Общие сведения о системе моделирования MatLab Simulink 6.1.1. Библиотека блоков Simulink 6.2. Основные приемы подготовки и редактирования модели 6.3. Моделирование процесса в системе MatLab Simulink 6.3.1. Моделирование непрерывной системы контроля 6.3.2. Моделирование дискретной системы контроля 7. Примеры моделирования 7.1. Моделирование датчика при входном сигнале и аддитивном шуме 7.2. Моделирование процессов с заданными свойствами 8. Марковские процессы и системы 8.1. Марковские процессы 8.1.1. Основные свойства марковских систем 8.2. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний систем 8.3. Основные модели марковских систем 8.3.1. Фомула Литла 8.3.2. Функциональная схема многоканальной системы 8.3.3. Многоканальная система с отказами обслуживания 8.3.4. Многоканальная система с неограниченной очередью 8.3.5. Многоканальная система с ограниченной очередью 8.3.6. Одноканальная система с неограниченной очередью 8.3.7. Одноканальная система с ограниченной очередью 8.3.8. Одноканальная замкнутая система с m источниками заявок 8.4. Уравнения состояния резервированной системы в динамике Заключение Библиографический список

76 4

77 78 79 81 82 83 85 97 99 101 106 109 109 111 114 114 119 123 129 130 131 132 133 134 136 137 137 138 141 142

Предисловие Опыт чтения лекций по курсу “Моделирование процессов и систем” для различных специальностей предоставил автору возможность обобщить некоторые новые теоретические и практические вопросы моделирования в данном учебном пособии. Существующий в настоящее время читательский интерес к вопросам практического применения теории и методов моделирования процессов и систем потребовал, в то же время, от автора рассматривать технологии моделирования в свете современного постоянно совершенствующегося программного обеспечения и возрастающих ресурсов персональной компьютерной техники. Основной задачей учебного пособия является оказание поддержки студентам в освоении новых технологий моделирования в специализированных отраслях знаний. Круг рассматривамых в учебном пособии вопросов, однако, ограничен математическим и компьютерным моделированием для технических систем. Студенты не технических специальностей также могут воспользоваться предлагаемыми методами решения прикладных задач моделирования и распространить приведенный здесь математический аппарат для своих задач. Учебное пособие состоит из восьми разделов, первый из которых содержит краткие общие положения теории систем. Второй раздел посвящен теории динамических процессов и их свойствам. В третьем разделе представлены сведение по практике математических моделей на основе современной теории состояния систем и марковских процессов. Приведен алгоритм эквивалентных матричных преобразований модели системы к канонической форме. Этот раздел уже содержит ряд методик расчета математических моделей на основе удобного для этих целей лицензионного программного обеспечения (ПО) электронных таблиц - MS Office Excel. Четвертый раздел посвящен методикам расчета важных характеристик процессов и систем. Здесь раскрыта, практически легко реализуемая, методика расчета среднего квадрата отклонения процесса на основе алгоритма Острема. Эта методика широко применяется далее во многих практических задачах анализа процессов и систем. В пятом разделе представлены вопросы статистического моделирования процессов и систем. Рассмотрено применение объектно-ориентированного программного обеспечения для решения задач оптимизации динамических характеристик ДПИ методом статистического моделирования, определение допустимых отклонений параметров ДПИ при обеспечении их показателей качества на заданном уровне. 5

Шестой раздел содержит сведения об особенностях моделирования процессов и систем на основе лицензионного инженерного ПО Matlab. Приведены наглядные примеры моделирования непрерывных и дискретных систем. Седьмой раздел собрал ряд примеров прикладных задач моделирования из учебной практики. Большое внимание в восьмом разделе уделено марковским процессам и системам. Здесь рассмотрены как теоретические вопросы, так и прикладные, которые предполагают дальнейшую реализацию в лабораторных и практических работах. Автор старался соблюдать краткость изложения, и поэтому некоторые интересные и важные вопросы представлены в ограниченном объеме. Развитие вопросов моделирования для технических и других систем автор предполагает продолжить и конкретизировать в методических указаниях по лабораторнопрактическим работам дисциплин по моделированию и измерительным системам. Введение Достижения в теории и практике моделирования процессов и систем, в современных условиях, связано со стремительным развитием вычислительной техники. Что казалось невозможным при решении многих задач моделировании еще несколько лет назад, сейчас легко реализуется на доступном инженерном уровне [2 - 4]. Появление и развитие инженерных пакетов моделирования, таких как Matlab, Skylab, Labview, создало условия высокопризводительного, объектно-ориентированного моделирования на современных компьютерах. Задачи моделирования процессов и систем многообразны. Моделирование широко используется при инженерном проектировании и научных исследованиях: для решения технических и экономических задач, при исследованиях в экологии и социологии, в приборостроении и автоматизации управления. Особенности применения моделирования в приборостроении связаны в первую очередь с технологическими достижениями в датчикостроении, теории измерений и обработки информации. В области экономических задач применение моделирования дает эффективный инструмент для управления проектами и прогнозирования развития экономических процессов. Многие современные методы теории управления оказались эффективными при решении экономических задач и достаточно легко реализуемыми на математических моделях и постановке вычислительных экспериментов на компьютерной технике. 6

Развитие нейросетей, микросистемотехники, нанотехнологии внесло много существенно нового в методы моделирования процессов и систем, что дало также эффективный инструмент для предварительного решения задач проектирования в математическом виде на моделях и их численном исследовании на компьютерах. Применение моделирования особенно эффективно при исследовании проектируемых систем с целью изучения и прогнозировании различных явлений и процессов в этих системах. Приближение к реальным условиям работы проектируемых систем осуществляется при стохастическом моделировании, когда к условиям моделирования добавляются случайные изменения параметров системы, возмущения и шумы измерений физических величин. В приборостроении актуально моделирование задач управления, получения, передачи и преобразования информации. При этом современные модели везде для описания процессов и систем используют дифференциальные уравнения и линейные матричные преобразования. Развитие современных методов моделирования создало предпосылки для создания и исследования высокоэффективных систем, которые, как правило, ориентированы на цифровые алгоритмы обработки информации, с применением современных микропроцессоров, нейрокомпьютеров, процессоров с нечеткой логикой и других современных технологических достижений. Появление миниатюрных устройств, в которых гальванические (электрические) подсистемы интегрируются на микроуровне с механическими, породило направление - МЭМС (микроэлектромеханические системы). В России также МЭМС известны как «Микросистемная техника», содержание которой определено как: «Сверхминиатюрные механизмы, приборы, машины с ранее недостижимыми массогабаритами, энергетическими показателями и функциональными параметрами, создаваемые интегральногрупповыми экономически эффективными процессами микро- и нанотехнологии». Это: микроэлектромеханические, микрооптоэлектромеханические, микрофлюидные и микропневматические компоненты для контрольно-измерительных, информационно-управляющих и телерадиокоммуникационных систем; микромеханизмы и микромашины для генерации, преобразования и передачи энергии и движения на микро и наноуровнях [5]. Моделирование МЭМС одно из направлений моделирования процессов и систем. Еще одно из перспективных направлений моделирования перспективных технологических решений это нанотехнологии. 7

Нанотехнология механосинтеза позволяет набором веществ согласно определенным алгоритмам с помощью наномеханизмов произвести сборку практически любого продукта. Помимо этого, механосинтез может также осуществлять обратный процесс, «разбирая» поданные на вход продукты до молекулярного или атомарного уровня. Этот аспект технологии позволяет решить проблему жизненного цикла. Однако существует один важный параметр такой технологии– энергоемкость. Согласно статистике, в самом простом варианте производства при помощи механосинтеза энергетические затраты составляют около 200 кВт часов на 1 кг продукции. В случае сборки сложных устройств увеличение энергозатрат происходит за счет дополнительных модулей сепарации вещества на входе и его подачи на фронт сборки (принцип Plug & Play практически полностью захватит этот сектор). Также для сложных устройств требуются такие вещества, которых мало или которые даже невозможно получить напрямую из окружающей человека среды. Это касается, прежде всего, редкоземельных металлов, используемых в электронике. Переработка же имеющихся в достатке элементов с помощью механосинтеза еще увеличит стоимость синтеза сложных объектов. В этом случае происходит десятикратное увеличение энергозатрат. Предельная стоимость производства 1 кг конечного продукта путем механосинтеза в итоге составляет около 2,2 тыс. современных рублей. Значительное количество сложных технических устройств, изготавливаемых по традиционным технологиям и используемых человеком, имеет более высокую стоимость из расчета на 1 кг массы. В предельном случае однородные объекты, производимые по нанотехнологиям, в конечном итоге, станут «условно-бесплатными» - их стоимость практически на 100% будет состоять из энергозатрат. Информация, как представляется, не может быть продуктом механосинтеза ни прямо, ни опосредованно. В дополнение к этому, уже сейчас себестоимость производства информации находится на очень низком уровне. Можно констатировать, что механосинтез никоим образом не влияет на стоимость информации. Тем не менее, количество генерируемой информации значительно увеличится за счет лавинообразного появления описаний процессов сборки объектов, соответственно, объем информационного оборота возрастет (по закону Мура в два раза каждые два года). Существующая сеть информационного обмена может оказаться далекой от эффективности в таких условиях. Нанотехнологии обещают разработать и запустить в массовое производство нанороботов, способных выполнять кажущиеся невозможными в настоящее время задачи (в медицине, генной инженерии, нейротехнологиях). 8

В свете этих особенностей актуальным становится широкомасштабное моделирование нанотехнологий и технологий механосинтеза, в том числе создание и исследование на компьютерах алгоритмов синтеза различных устройств. Суммируя сказанное о нанотехнологиях, надо учитывать при их моделировании характерные особенности: − существенное снижение издержек на производство и доставку большого количества материальных объектов; − многократное увеличение информационного обмена; − значительное увеличение жизненного цикла ресурсов; − многократное увеличение энергопотребления. На первый план при освоении нанотехнологий выходит моделирование инновационных коммуникационных средств, моделирование перспективных технологий обработки и передачи данных.

свойств). Интегративное свойство системы обеспечивает ее целостность, качественно новое образование по сравнению с составляющими ее частями. Элемент системы можно рассматривать как самостоятельную систему (математическую модель, описывающую какой - либо функциональный блок, или аспект изучаемой проблемы), как правило более низкого порядка. Каждый элемент системы описывается своей функцией. Если такой элемент обладает внутренней структурой, то его называют подсистемой. Информационно-измерительная система (ИИС) (рисунок 1.1) имеет датчики первичной информации ДПИ, измеряющие физические величины; устройство обработки информации (УОИ) с фильтрами и вычислительными устройствами (ВУ). На основе измерений x1,...,xk, имеющих аддитивные шумы n1,...,nk, ИИС определяет оптимальные оценки X^=(x^1,...,x^k).

1. Основные понятия систем Система - это комплекс взаимодействующих элементов, находящихся в определенных отношениях друг с другом и со средой [6]. В определение понятия системы наряду с элементами, связями и их свойствами и целями включают также наблюдателя. Популярно − система есть множество входов, выходов, состояний, характеризуемых оператором переходов и оператором выходов: S=(Х, Y, Z, H, G), где Х - входы, Y - выходы, Z - состояния, Н - оператор переходов, G - оператор выходов. Для организационных систем в определении системы учитываются следующие компоненты: S=(РL, RO, RJ, EX, PR, DT, SV, RD, EF), где РL - цели и планы, RO - внешние ресурсы, RJ - внутренние ресурсы, ЕХ исполнители, PR - процесс, DТ - помехи, SV - контроль, RD - управление, ЕF эффект. Под системой понимается объект, свойства которого не сводятся без остатка к свойствам составляющих его дискретных элементов (неаддитивность

9

Рисунок 1.1. Информационно-измерительная система

Для систем важно понятие управления. В широком смысле слова под управлением понимают организационную деятельность, осуществляющую функции направленные на достижение определенных целей. Управление − это организация такого целенаправленного воздействия на некоторую часть среды, называемую объектом управления (ОУ), в результате которого удовлетворяются потребности субъекта, взаимодействующего с этим объектом. Упрощенное понятие управления – это получение, обработка информации и выработка управляющих воздействий для достижения объектом целей (стабилизация движение по программе, оптимизация движения). Системы управления представляют собой особый класс динамических систем, отличающихся наличием самостоятельных функций и целей управления и необходимым для реализации этих функций и целей высоким уровнем специальной системной организации. Следует заметить, что устройства связи и управления отличаются тем, что энергетические отношения в них не играют существенной роли, а основным является способность передавать и перерабатывать информацию. Так в линии связи ничтожная доля энергии излучаемой антенной передатчика полу10

чатся антенной приемника. КПД такого устройства, с точки зрения передачи энергии, чрезвычайно мало. Кибернетический подход к описанию систем состоит в том, что всякое целенаправленное поведение рассматривается как управление. Язык управления — это использование понятий «объект», «среда», «обратная связь», «алгоритм». Анализ управления заставляет выделить тройку — среду, объект и субъект, внутри которой разыгрывается процесс управления (рисунок 1.2).

Случайный характер оцениваемых параметров и шумов измерений определяет вероятностный математический аппарат теории систем. В общем случае для описания поведения входных параметров и шумов используются плотности вероятности. Параметры определяются априорной плотностью вероятности f(X), где Х - вектор параметров. Шумы косвенно определяются плотностью f(Y/X), где Y - вектор измерений. Вектор измерений связан с вектором параметров Х линейным соотношением: Y(t)=CX(t)+N(t),

объект

X Среда

Y

U Y

субъект

Рисунок 1.2. Схема управления

В данном случае субъект ощущает на себе воздействие среды X и объекта Y. Если состояние среды X он изменить не может, то состоянием объекта Y он может управлять с помощью специально организованного воздействия U. Система автоматического управления (САУ) - это комплекс устройств, предназначенный для автоматического изменения одной или нескольких регулируемых величин объекта управления с целью поддержания желаемого режима работы (цели управления). Целью управления может быть: стабилизация регулируемых величин, программное и следящее управление регулируемых величин, оптимизация регулируемых величин. В САУ (рисунок 1.3) исполнительное устройство и объект управления составляют объект наблюдения и представляют динамику системы.

V(k) Uз

Исполнительное устройство

Uoc=-LX(k/k)

N(k)

Объект X(k) управления

Регулятор

X(k/k)

Датчики

Фильтр

Рисунок 1.3. Система автоматического управления

11

Y(k)

где С - матрица состава измерений; N(t) - вектор аддитивных шумов измерений. Элемент. Под элементом принято понимать простейшую неделимую часть системы (используется название "компонент"). Подсистема. Система может быть разделена на элементы не сразу, а последовательным расчленением на подсистемы, которые представляют собой компоненты более крупные, чем элементы, и в то же время более детальные, чем система в целом. Названием "подсистема" подчеркивается, что такая часть должна обладать свойствами системы (в частности, свойством целостности). Структура. Это понятие происходит от латинского слова structure, означающего строение, расположение, порядок. Структура - это совокупность элементов и связей между ними. Структура может быть представлена графически, в виде теоретико-множественных описаний, матриц, графов и других языков моделирования структур. Структуру часто представляют в виде иерархии. Иерархия - это упорядоченность компонентов по степени важности (многоступенчатость, служебная лестница). Между уровнями иерархической структуры могут существовать взаимоотношения строгого подчинения компонентов (узлов) нижележащего уровня одному из компонентов вышележащего уровня, т. е. отношения так называемого древовидного порядка. Между уровнями иерархической структуры могут существовать и более сложные взаимоотношения, например, типа "страт", "слоев", "эшелонов". Примеры иерархических структур: энергетические системы, АСУ, государственный аппарат. Связь. Понятие "связь" входит в любое определение системы наряду с понятием "элемент" и обеспечивает возникновение и сохранение структуры и целостных свойств системы. Это понятие характеризует одновременно и строение (статику), и функционирование (динамику) системы.

12

Связь характеризуется направлением, силой и характером (или видом). По первым двум признакам связи можно разделить на направленные и ненаправленные, сильные и слабые, а по характеру - на связи подчинения, генетические, равноправные (или безразличные), связи управления. Связи можно разделить также по месту приложения (внутренние и внешние), по направленности процессов в системе в целом или в отдельных ее подсистемах (прямые и обратные). Важную роль в системах играет понятие "обратной связи". Это понятие, легко иллюстрируемое на примерах технических устройств, не всегда можно применить в организационных системах. Исследованию этого понятия большое внимание уделяется в кибернетике, в которой изучается возможность перенесения механизмов обратной связи, характерных для объектов одной физической природы, на объекты другой природы. Обратная связь является основой саморегулирования и развития систем, приспособления их к изменяющимся условиям существования. Классификация систем. Системы разделяются на классы по различным признакам, и в зависимости от решаемой задачи можно выбрать разные принципы классификации. При этом систему можно охарактеризовать одним или несколькими признаками. Системы классифицируются следующим образом: − по виду отображаемого объекта − технические, биологические и др.; − по виду научного направления − математические, физические, химические и т. п.; − по виду формализованного аппарата представления системы — детерминированные и стохастические; − по типу целеустремленности −открытые и закрытые; − по сложности структуры и поведения − простые и сложные; − по степени организованности − хорошо организованные, плохо организованные (диффузные), самоорганизующиеся системы. Классификации всегда относительны. Так в детерминированной системе можно найти элементы стохастических систем. Цель любой классификации ограничить выбор подходов к отображению системы и дать рекомендации по выбору методов. Технические системы. Параметрами технических объектов являются движущие объекты, объекты энергетики, объекты химической промышленности, объекты машиностроения, бытовая техника и многие другие. Объекты технических систем хорошо изучены в теории управления.

13

Экономические объекты. Экономическими объектами являются: цех, завод, предприятия различных отраслей. В качестве одной из переменных в них выступают экономические показатели, например, прибыль. Биологические системы. Живые системы поддерживают свою жизнедеятельность благодаря заложенным в них механизмам управления. Детерминированные и стохастические системы. Системы, для которых состояние системы однозначно определяется начальными значениями и может быть предсказано для любого момента времени, называются детерминированными. Стохастические системы – системы, изменения в которых носят случайный характер. Например, воздействие на энергосистему различных пользователей. При случайных воздействиях данных о состоянии системы недостаточно для предсказания в последующий момент времени. Случайные воздействия могут прикладываться к системе извне или возникать внутри некоторых элементов (внутренние шумы). Исследование систем при наличии случайных воздействий можно проводить обычными методами, минимизировав шаг моделирования, чтобы не пропустить влияния случайных параметров. При этом, так как максимальное значение случайной величины встречается редко (в основном в технике преобладает нормальное распределение), то выбор минимального шага в большинстве моментов времени не будет обоснован. В подавляющем большинстве случаев при проектировании систем задаются не максимальным, а наиболее вероятным значением случайного параметра. В этом случае поучается более рациональная система, заранее предполагая ухудшение работы системы в отдельные промежутки времени. Расчет систем при случайных воздействиях производится с помощью специальных статистических методов. Вводятся оценки случайных параметров, выполненные на основании множества испытаний. Статистические свойства случайной величины определяют по ее функции распределения или плотности вероятности, или часто пользуются просто статистическими характеристиками. Открытые и закрытые системы. Основные отличительные черты открытых систем - способность обмениваться с внешней средой энергией и информацией. Закрытые (замкнутые) системы изолированы от внешней среды (с точностью принятой в модели). Плохо организованные системы. При представлении объекта в виде «плохо организованной или диффузной системы» не ставится задача определить все учитываемые компоненты, их свойства и связи между ними и целями 14

системы. Система характеризуется некоторым набором макропараметров и закономерностями, которые находятся на основе исследования не всего объекта или класса явлений, а на основе определенной с помощью некоторых правил выборки компонентов, характеризующих исследуемый объект или процесс. На основе такого выборочного исследования получают характеристики или закономерности (статистические, экономические) и распространяют их на всю систему в целом. При этом делаются соответствующие оговорки. Например, при получении статистических закономерностей их распространяют на поведение всей системы с некоторой доверительной вероятностью. Подход к отображению объектов в виде диффузных систем широко применяется при: описании систем массового обслуживания, исследовании потоков информации в системах управления и т. д. Самоорганизующиеся системы. Отображение объекта в виде самоорганизующейся системы — это подход, позволяющий исследовать наименее изученные объекты и процессы. Самоорганизующиеся системы обладают признаками диффузных систем: стохастичностью поведения, нестационарностью отдельных параметров и процессов. К этому добавляются такие признаки, как непредсказуемость поведения; способность адаптироваться к изменяющимся условиям среды, изменять структуру при взаимодействии системы со средой, сохраняя при этом свойства целостности; способность формировать возможные варианты поведения и выбирать из них наилучший и др. Иногда этот класс разбивают на подклассы, выделяя адаптивные или самоприспосабливающиеся системы, самовосстанавливающиеся, самовоспроизводящиеся и другие подклассы, соответствующие различным свойствам развивающихся систем. Примеры: биологические организации, коллективное поведение людей, организация управления на уровне предприятия, отрасли, государства в целом, т. е. в тех системах, где обязательно имеется человеческий фактор. Простые и сложные кибернетические системы. В зависимости от способа описания: детерминированного или теоретико-вероятностного А. И. Берг определяет сложную систему как систему, которую можно описать не менее чем на двух различных математических языках (например, с помощью теории дифференциальных уравнений и алгебры Буля). При разработке сложных систем возникают проблемы, относящиеся не только к свойствам их составляющих элементов и подсистем, но также к закономерностям функционирования системы в целом. При этом появляется широкий круг специфических задач, таких, как определение общей структуры системы; организация взаимодействия между элементами и подсистемами; 15

учет влияния внешней среды; выбор оптимальных режимов функционирования системы; оптимальное управление системой и др. Чем сложнее система, тем большее внимание уделяется этим вопросам. Математической базой исследования сложных систем является теория систем. В теории систем большой системой (сложной, системой большого масштаба, Lage Scale Systems) называют систему, если она состоит из большого числа взаимосвязанных и взаимодействующих между собой элементов и способна выполнять сложную функцию. Четкой границы, отделяющей простые системы от больших, нет. Деление это условное и возникло из-за появления систем, имеющих в своем составе совокупность подсистем с наличием функциональной избыточности. Простая система может находиться только в двух состояниях: состоянии работоспособности (исправном) и состоянии отказа (неисправном). При отказе элемента простая система либо полностью прекращает выполнение своей функции, либо продолжает ее выполнение в полном объеме, если отказавший элемент резервирован. Большая система при отказе отдельных элементов и даже целых подсистем не всегда теряет работоспособность, зачастую только снижаются характеристики ее эффективности. Это свойство больших систем обусловлено их функциональной избыточностью и, в свою очередь, затрудняет формулировку понятия «отказ» системы. Наряду с этим в больших системах возможно возникновение лавинообразных эффектов, когда небольшая “песчинка” вызывает “обвал” целой системы. Эти эффекты относятся к странным аттракторам, свойственным взаимодействию сложных систем. Изучаются теорией хаоса. Под большой системой понимается совокупность материальных ресурсов, средств сбора, передачи и обработки информации, людей-операторов, занятых на обслуживании этих средств, и людей-руководителей, облеченных надлежащими правами и ответственностью для принятия решений. Материальные ресурсы — это сырье, материалы, полуфабрикаты, денежные средства, различные виды энергии, станки, оборудование, люди, занятые на выпуске продукции, и т. д. Все указанные элементы ресурсов объединены с помощью некоторой системы связей, которые по заданным правилам определяют процесс взаимодействия между элементами для достижения общей цели или группы целей. Примеры больших систем: информационная система; пассажирский транспорт крупного города; производственный процесс; система управления полетом крупного аэродрома; энергетическая система и др. Характерные особенности больших систем − это: 1) большое число элементов в системе (сложность системы); 2) взаимосвязь и взаимодействие меж16

ду элементами; 3) иерархичность структуры управления; 4) обязательное наличие человека в контуре управления, на которого возлагается часть наиболее ответственных функций управления. Сложность системы. Пусть имеется совокупность из n элементов. Если они изолированы, не связаны между собой, то эти n элементов не являются системой. Для изучения этой совокупности достаточно провести не более чем n исследований с каждым элементом. В общем случае в системе со взаимными связями между компонентами необходимо исследовать n(n-1) связей. Если состояние каждой связи охарактеризовать в каждый момент времени наличием или отсутствием, то общее число состояний системы будут равно 2n(n-1). Например, если n=10, то число связей n(n-1)=90, число состояний 290≈1,3*1027. Изучение такой системы путем непосредственного обследования ее состояния оказывается весьма сложным. Следовательно, необходимо разрабатывать компьютерные методы, позволяющие сокращать число обследуемых состояний. Сокращение числа состояний БС — первый шаг в формальном описании систем. Взаимосвязь и взаимодействие между элементами в БС. Разделение системы на элементы — второй шаг при формальном описании системы. Внутренняя структура элемента при этом не является предметом исследования. Имеют значение только свойства, определяющие его взаимодействие с другими элементами системы и оказывающие влияние на характер системы в целом. В качестве подсистем рассматриваются некоторые более или менее самостоятельно функционирующие части системы. Разделение на элементы и подсистемы может быть произведено различными способами. В системе управления полетом самолета можно выделить следующие подсистемы: систему дальнего обнаружения и управления; систему дальней связи; систему слепой посадки и взлета самолета; систему диспетчеризации; бортовую аппаратуру самолета. Выделение подсистем — третий важный шаг при формальном описании больших ситем. Поскольку в БС обязательно наличие человека, она является всегда эргатической системой. Часть функций управления выполняется человеком. Эта особенность БС связана с целым рядом факторов: − участие человека в БС требует, чтобы управление учитывало социальные, психологические, моральные и физиологические факторы, которые не поддаются формализации и могут быть учтены в системах управления только человеком;

17

− необходимость в ряде случаев принимать решение на основе неполной информации, учитывать неформализуемые факторы. Шкалы времени. Другим важным аспектом динамической сложности является вопрос о различных шкалах времени для различных частей процесса. Бывает, что скорости изменения компонент одного и того же процесса различны: одни компоненты изменяются быстрее, другие – медленнее. Типичным примером такого процесса является регулирование уровня воды в системе водохранилищ. Для управления на уровне индивидуального распределения воды требуется принимать решения ежедневно (или даже ежечасно), хотя решение об общем потоке воды через вход-выход принимается раз в месяц или раз в квартал. Проблема различных шкал времени напоминают проблему интегрирования “жестких” систем ДУ или когда имеем дело с некорректной проблемой. Весьма актуальным является оценка степени целостности системы при переходе из одного состояния в другое. В связи с этим возникает двойственное отношение к закономерности целостности. Ее называют физической аддитивностью, независимостью, суммативностью, обособленностью. Свойство физической аддитивности проявляется у системы, как бы распавшейся на независимые элементы. Строго говоря, любая система находится всегда между крайними точками как бы условной шкалы: абсолютная целостность — абсолютная аддитивность, и рассматриваемый этап развития системы можно охарактеризовать степенью проявления в ней одного или другого свойства и тенденцией к его нарастанию или уменьшению. Интегративными называют системообразующие, системосохраняющие факторы, важными среди которых являются неоднородность и противоречивость ее элементов. Коммуникативность. Система не изолирована, она связана множеством коммуникаций со средой, которая не однородна, а представляет собой сложное образование, содержит надсистему (или даже надсистемы), задающую требования и ограничения исследуемой системе, подсистемы и системы одного уровня с рассматриваемой. Иерархическая упорядоченность пронизывает все, начиная от атомномолекулярного уровня и кончая сложными системами. Иерархичность как закономерность заключается в том, что закономерность целостности проявляется на каждом уровне иерархии. Благодаря этому на каждом уровне возникают новые свойства, которые не могут быть выведены как сумма свойств элементов. При этом важно, что не только объединение элементов в каждом узле приводит к появлению новых свойств, которых у них не было, и утрате неко18

торых свойств элементов, но и что каждый член иерархии приобретает новые свойства, отсутствующие у него в изолированном состоянии. На каждом уровне иерархии происходят сложные качественные изменения, которые не всегда могут быть представлены и объяснены. Но именно благодаря этой особенности рассматриваемая закономерность приводит к интересным следствиям. Во-первых, с помощью иерархических представлений можно отображать системы с неопределенностью. Во-вторых, построение иерархической структуры зависит от цели: для многоцелевых ситуаций можно построить несколько иерархических структур, соответствующих разным условиям, и при этом в разных структурах могут принимать участие одни и те же компоненты. В-третьих, даже при одной и той же цели, если поручить формирование иерархической структуры разным исследователям, то в зависимости от их предшествующего опыта, квалификации и знания системы они могут получить разные иерархические структуры, т. е. по-разному разрешить качественные изменения на каждом уровне иерархии. Эквифинальность характеризует предельные возможности систем определенного класса сложности. Потребность во введении этого понятия возникает начиная с некоторого уровня сложности, например, для биологических систем. В настоящее время не исследован ряд вопросов этой закономерности: какие именно параметры в конкретных системах обеспечивают свойство эквифинальности, как обеспечивается это свойство, как проявляется закономерность эквифинальности в организационных системах. Жизненный цикл - время является непременной характеристикой системы – это свойство историчности. Для технических и организационных систем определить жизненный цикл довольно трудно. Основа закономерности историчности — внутренние противоречия между компонентами системы. Но как управлять развитием или хотя бы понимать приближение соответствующего периода развития системы — эти вопросы еще мало исследованы. В последнее время на необходимость учета закономерности историчности начинают обращать больше внимания. В частности, в системотехнике при создании сложных технических комплексов требуется на стадии проектирования системы рассматривать не только вопросы разработки и обеспечения развития системы, но и вопрос, как и когда нужно ее уничтожить. Например, списание техники, особенно сложной — авиационной, «захоронение» ядерных установок и др. 19

Система должна удовлетворять закону необходимого разнообразия. Его впервые сформулировал У.Р. Эшби: чтобы создать систему, способную справиться с решением проблемы, обладающей определенным, известным разнообразием, нужно, чтобы сама система имела еще большее разнообразие, чем разнообразие решаемой проблемы, или была способна создать в себе это разнообразие. Этот закон достаточно широко применяется на практике. Он позволяет, например, получить рекомендации по совершенствованию системы управления предприятием, объединением, отраслью. Закономерность осуществимости и потенциальной эффективности систем. Исследования взаимосвязи сложности структуры системы со сложностью ее поведения позволили получить количественные выражения предельных законов для таких качеств системы, как надежность, помехоустойчивость, управляемость и др. На основе этих законов оказалось возможным получение количественных оценок порогов осуществимости систем с точки зрения того или иного качества, а объединяя качества — предельные оценки жизнеспособности и потенциальной эффективности сложных систем. Применения системных представлений для анализа сложных объектов и процессов рассматривают системные направления, включающие в себя: системный подход, системные исследования, системный анализ (системологию, системотехнику и т. п.). Системный подход. Исследования объекта с разных сторон, комплексно. Термин «системный подход» практически используется вместо терминов «комплексный подход». Метод экспертной оценки, известен в литературе как «метод Дельфи». Название связано с древнегреческим городом Дельфи, где при храме Аполлона с IX в. до н.э. до IV в. н.э. по преданиям существовал Дельфийский оракул. Суть метода Дельфи заключается в следующем. В отличие от традиционного подхода к достижению согласованности мнений экспертов путем открытой дискуссии метод Дельфи предполагает полный отказ от коллективных обсуждений. Это делается для того, чтобы уменьшить влияние таких психологических факторов, как присоединение к мнению наиболее авторитетного специалиста, нежелание отказаться от публично выраженного мнения, следование за мнением большинства. В методе Дельфи прямые дебаты заменены тщательно разработанной программой последовательных индивидуальных опросов, проводимых обычно в форме анкетирования. Ответы экспертов обобщаются и вместе с новой дополнительной информацией поступают в распоряжение экспертов, после чего они уточняют свои первоначальные ответы. Такая процедура повторяется несколько раз до достижения приемлемой сходимости сово20

купности высказанных мнений. Результаты эксперимента показали приемлемую сходимость оценок экспертов после пяти туров опроса. Метод Дельфи первоначально был предложен О. Хелмером как итеративная процедура при проведении мозговой атаки, которая помогает снизить влияние психологических факторов при проведении повторных заседаний и повысить объективность результатов. Дельфи-процедуры стали основным средством повышения объективности экспертных опросов с использованием количественных оценок при оценке деревьев цели и при разработке сценариев. Процедура Дельфи-метода: 1) в упрощенном виде организуется последовательность циклов мозговой атаки; 2) в более сложном виде разрабатывается программа последовательных индивидуальных опросов обычно с помощью вопросников, исключая контакты между экспертами, но предусматривающая ознакомление их с мнениями друг друга между турами; вопросники от тура к туру могут уточняться; 3) в наиболее развитых методиках экспертам присваиваются весовые коэффициенты значимости их мнений, вычисляемые на основе предшествующих опросов, уточняемые от тура к туру и учитываемые при получении обобщенных результатов оценок. Первое практическое применение метода Дельфи к решению некоторых задач Министерства обороны США во второй половине 40-х годов показало его эффективность и целесообразность распространения на широкий класс задач, связанных с оценкой будущих событий. Недостатки метода Дельфи: 1) значительный расход времени на проведение экспертизы, связанный с большим количеством последовательных повторений оценок; 2) необходимость неоднократного пересмотра экспертом своих ответов вызывает у него отрицательную реакцию, что сказывается на результатах экспертизы. Морфологические методы. Основная идея морфологических методов — систематически находить все «мыслимые» варианты решения проблемы или реализации системы путем комбинирования выделенных элементов или их признаков. Метод морфологического ящика (ММЯ) нашел наиболее широкое распространение. Идея ММЯ состоит в определении всех «мыслимых» параметров, от которых может зависеть решение проблемы, и представлении их в виде матриц-строк, а затем в определении в этой морфологической матрице-ящике всех возможных сочетаний параметров по одному из каждой строки. Получен21

ные варианты могут затем подвергаться оценке и анализу с целью выбора наилучшего. Морфологический ящик может быть не только двумерным. Для организационных систем, систем управления такой многомерный ящик, практически невозможно построить. Поэтому, используя идею морфологического подхода для моделирования организационных систем, разрабатывают языки моделирования или языки проектирования, которые применяют для порождения возможных ситуаций в системе, возможных вариантов решения и нижних уровней иерархической структуры как при моделировании структуры целей, так и при моделировании организационных структур. Примерами таких языков служат: системно-структурные языки (язык функций и видов структуры, номинально-структурный язык), язык ситуационного управления, языки структурно-лингвистического моделирования. Уровни описания систем. При создании и эксплуатации сложных систем требуется проводить многочисленные исследования и расчеты, связанные с: 1) оценкой показателей, характеризующих различные свойства систем; 2) выбором оптимальной структуры системы; 3) выбором оптимальных значений ее параметров. Такие исследования возможны лишь при наличии математического описания процесса функционирования системы, т. е. ее математической модели. Сложность реальных систем не позволяет строить для них «абсолютно» адекватные модели. Математическая модель описывает лишь некоторый упрощенный объект, в котором представлены лишь основные явления, входящие в реальный объект, и лишь главные факторы, действующие на реальную систему. Какие явления считать основными и какие факторы главными — существенно зависит от назначения модели, от того, какие исследования с ее помощью предполагается проводить. Поэтому процесс функционирования одного и того же реального объекта может получить различные математические описания в зависимости от поставленной задачи. Так как математических моделей сложной системы может быть сколько угодно много и все они определяются принятым уровнем абстрагирования, то рассмотрение задач на каком-либо одном уровне абстракции позволяет дать ответы на определенную группу вопросов, а для получения ответов на другие вопросы необходимо провести исследование уже на другом уровне абстракции. Лингвистический уровень описания систем — наиболее высокий уровень абстрагирования. Из него как частные случаи можно получить другие уровни абстрактного описания систем более низкого ранга. 22

Понятие о высказывании на данном абстрактном языке означает, что имеется некоторое предложение (формула), построенное на правилах данного языка. Предполагается, что эта формула содержит варьируемые переменные, которые только при определенном их значении делают высказывание истинным. Все высказывания делят обычно на два типа. К первому причисляют «термы» (имена предметов, члены предложения и т. д.) — высказывания, с помощью которых обозначают объекты исследования, а ко второму — «функторы» — высказывания, определяющие отношения между термами. Отображение множества состояний источника во множество состояний носителя информации называется способом кодирования, а образ состояния при выбранном способе кодирования — кодом этого состояния. Эвристика — это прием, позволяющий сокращать количество просматриваемых вариантов при поиске решения задачи. Причем этот прием не гарантирует наилучшее решение. В настоящее время бурно развивается эвристическое программирование — программирование игровых ситуаций, доказательства теорем, перевода с одного языка на другой, дифференциальной диагностики, распознавания образов, нечеткой логики, нейронных структур. Выбор подходящего метода формального описания при изучении той или иной реальной системы является всегда наиболее ответственным и трудным шагом в теоретико-системных построениях.

ния источников заявок: закрытые – источник в системе и оказывает на нее влияние, открытые – вне системы и не оказывает влияния. По фазам: однофазные – один этап обслуживания, многофазные – два и более этапов. По числу каналов: одноканальные, многоканальные. Потоки событий. Каждому событию соответствует момент t, в который это событие произошло. Т – интервал между двумя моментами времени. Поток событий – независимая последовательность моментов t. Поток событий подразделяются по случайности: регулярные – Т - const, случайные – Т - случайное время; по постоянности вероятностных свойств: стационарные, нестационарные; по связи будущего поведения с прошлым: с последействием, без последействия; по числу заявок в одном событии: ординарные –событию соответствует одна заявка, неординарные - событию соответствует случайное число заявок. Марковским системам характерны марковские процессы, которые имеют важное свойство – отсутствие последействия. Изучение таких систем проводится для определения их вероятностных характеристик. Вероятности состояний таких ситем характеризуют их эффективность и экономическую целесообразность. При моделировании марковских систем используются типовые структуры: одно- и много канальные системы, системы с ограниченной и неограниченной очередью, системы с ограниченным временем ожидания. 2. Динамические процессы и их свойства

1.1. Основные понятия марковских систем Система массового обслуживания (СМО) – структура из обслуживающих каналов, потоков заявок и очередей [7]. Источником является входящий поток заявок (интенсивность потока - λ). Имеется также исходящий поток (интенсивность исходящего потока - µ). Процесс обслуживания в СМО характеризуется числом каналов - n, средним числом занятых каналов -k, производительностью - µ). Дисциплина обслуживания характеризуется правилами, по которым действуют системы массового обслуживания (СМО). Дисциплина может быть: в порядке поступления, случайно, fifo, lifo, с приоритетом – абсолютным или относительным. По условиям ожидания СМО подразделяются на системы с отказами или системы с очередью. По условиям организации очереди: с ограниченной очередью, с ограниченным временем пребывания в очереди. По месту нахожде23

Основные сведения по процессам в задачах моделирования представлены в предыдущем издании “Моделирование процессов и систем” [1]. Здесь приводятся наиболее важные положения для практических приложений, связанных с моделированием. 2.1. Теорема проецирования Для физически реализуемого сигнала, не принадлежащего пространству базисных функций, существует его представление ( ), принадлежащее этому пространству [5]: ( )=

24

( , ) ,

(2.1)

Здесь [ ( ) − ] ⊥

Из свойств случайных процессов, дающих практически реализуемые при моделировании соотношения, необходимо выделить следующие [9].

(ортогонально всем fi ), а норма ( )−

≤

( )−

,

(2.2)

где ( ) – произвольный сигнал, принадлежащий пространству базисных функций. 2.2. Импульсная теорема Если наивысшая частота в спектре процесса Х(t) не больше ωm, то функция X(t) определяется последовательностью своих дискретных значений в моменты, отстоящие друг от друга не более чем на π/ωm с. [8]: ∞

( )=

∞

( ∙

)

[ω ( − ω ( −

)

)]

,

(2.3)

где dt - период дискретности (dt=π/ωm); ωm - предельная круговая частота процесса X(t); k - номер точки отсчета. 2.3. Случайные процессы Все полезные сигналы и помехи в технических кибернетических системах являются в общем случае случайными (стохастическими). Рассматривая процессы неслучайными (детерминированными), мы в определенной мере пренебрегаем их случайными свойствами [9]. Случайные процессы определяются их основной харатеристикой - функцией плотности распределения f(X,t), но исследование случайных процессов с ее помощью - непростая задача, поэтому для большинства практических задач, с определенной степенью допущений, пользуются статистическими характеристиками. К ним относятся: математическое ожидание M(t), дисперсия Dx, корреляционная функция R(τ), спектральная функция S(w). Также особенностью практических задач при моделировании процессов является использование гауссовских процессов, имеющих нормальный закон распределения. Кроме того, весьма важным для удобного математического моделирование является понятие белого шума - это случайный процесс с равномерным распределением спектра мощности во всем диапазоне частот (с постоянной интенсивностью). 25

1. Прохождение процесса через линейную динамическую систему. При прохождении случайного сигнала через линейную динамическую систему (ДС) изменяются его характеристики: математическое ожидание, корреляционная функция, спектральная плотность, взаимокорреляционная функция, взаимоспектральная плотность. При обозначении линейного преобразования оператором L{t} или в частотной области W(jw) выходной процесс определяется выражениями y(t)=L{x(t)}, Y(jw)=W(jw)X(jw). На основании свойств математического ожидания и корреляционной функции имеем изменение этих характеристик в виде M[L{X}]=L{M[X]}, Ry(τ)=LL'{Rx(τ)}, где L' - линейное преобразование по времени t+r. Изменение спектральной плотности определяется в частотной области: Sy(w)=Sx(w)|W(jw)|2, где W(jw) - амплитуднофазочастотная характеристика системы. Взаимоспектральная плотность процессов X и Y имеет вид Sxy(jw)=Sx(w)W(jw), Syx(jw)=Sx(w)W(-jw). На основе этих свойств определяется формирующий фильтр процесса. 2. Формирующий фильтр - это линейная ДС, на входе которой белый шум с интенсивностью Q, а на выходе сигнал со спектральной плотностью Sg(w)=QWg(jw)Wg(-jw), где Wg(jw) - амплитудно-фазочастотная характеристика фильтра. При исследовании результатов моделирования процессов и систем важным является умение практического определения статистических характеристик, в первую очередь математического ожидания, и на его основе - корреляционной и спектральной функций. Поскольку в рамках корреляционной теории процессов в курсе моделирования исследуются стационарные эргодические процессы, то в основе статистического оценивания лежит эргодическая теорема, которая утверждает, что возможно вычисление математического ожидания не только по множеству, но и по времени. При использовании эргодической теоремы процессы представляются дискретными значениями, взятыми через промежутки времени X(tk)=X(k) на основании импульсной теоремы. В этом случае интеграл в формуле математического ожидания вычисляется через сумму. Расчетные формулы статистических характеристик имеют вид. Математическое ожидание ( )= 26

1

( ),

(2.4)

Одним из методов получения математической модели системы или процесса является идентификация. Корреляционная функция ( )=

1 −

( ) ( + ),

(2.5)

где r=0,1,...,m - шаг (m≤0,2n); dt - период дискретности. Спектральная функция ( )=2

+

π

+ (−1)

.

(2.6)

Дисперсия находится через корреляционную функцию или спектральную плотность: ( )=

=

2

1

1 2

+

+

1 2

.

(2.7)

Идентификацией динамической системы (процесса) называется получение или уточнение по экспериментальным данным математической модели (числовых параметров) этой системы или процесса, выраженной посредством того или иного математического аппарата. Идентификация в современном представлении использует аппарат стохастических матричных дифференциальных уравнений (или разностных уравнений) и аппарат матричных линейных преобразований. В общем случае в технике динамической системой называется физическое устройство или совокупность взаимодействующих устройств, в которых протекающие процессы определяются начальными состояниями этих устройств, взаимосвязями между ними и приложенными к системе воздействиями. Состояние динамической системы во времени и пространстве характеризуется переменными, принимающими в каждый момент времени определенные числовые значения. Используются следующие основные математические модели в пространстве состояний. Непрерывная детерминированно-стохастическая динамическая система (ДС) − это система, описываемая линейными дифференциальными уравнениями первого порядка состояния и линейным уравнением выхода. В матричном виде: X′ (t)=AХ(t)+BU(t)+DV(t), Y(t)=CX(t), (3.1)

3. Модели динамических систем и процессов В современной математике используется представление динамических процессов и систем дифференциальными уравнениями в пространстве состояний. Такое описание процессов и систем позволяет легко проводить их цифровое моделирование, используя конечно-разностное представление и проектировать универсальные алгоритмы обработки информации с целью дальнейшего оптимального оценивания параметров систем и процессов [10]. Оптимальные оценки небходимы для организации управления в системах автоматического управления современными методами, а в информационноизмерительных системах для получения достоверных данных об измеряемых физических величинах, для прогнозирования поведения исследуемых явлений и систем, повышения отказоустойчивости обработки информации [11]. Необходимо уметь формировать математические модели различного типа (динамические модели кибернетических систем, процессов) с дальнейшей их реализацией (исследованием) на ПЭВМ путем вычислительного эксперимента. 27

где Х(t) - n-мерный вектор состояния системы; V(t) - r-мерный вектор гауссовских шумов с нулевым средним и корреляционной матрицей E[V(t)Vт(t)]=Q(t) (Е - оператор математического ожидания); Y(t) - m-мерный вектор выхода; A, B, D - матрицы состояния (матрицы коэффициентов); С - матрица линейного преобразования размера m×n. Дискретная детерминированно-стохастическая ДС − это система, описываемая линейными разностными уравнениями первого порядка состояния и дискретным уравнением выхода. Матричный вид соответствует уравнениям: Х(k+1)=FХ(k)+GU(k)+TV(k), Y(k)=CX(k),

(3.2)

где F, G, T, - переходные матрицы. Матрицы F, G, T вычисляются через A, B, D в виде: F=I+Aψdt, G=ψBdt, T=ψDdt, где

28

Ψ=I+A

dt dt 2 dt k + A2 + Ak + ..., 2 6 (k + 1)!

(3.3)

где I - единичная матрица; dt - период дискретности системы (процесса). Период дискретности dt выбирается исходя из полосы пропускания ДС в соответствии с импульсной теоремой. Детерминированной является ДС, у которой отсутствуют шумы возмущения и нет стохастических процессов (или всеми этими факторами можно пренебречь). У чисто стохастической ДС отсутствует детерминированный вектор входных сигналов. Детерминировано-стохастическая система содержит как детерминированные воздействия, так и стохастические процессы. Объектами наблюдения являются информационные процессы (ИП), объекты управления (ОУ), датчики первичной информации (ДПИ), исполнительные устройства (ИУ). Первичной моделью объекта наблюдения типа ИП является спектральная или корреляционная функция. Первичной моделью объекта наблюдения типа ОУ, ДПИ, ИУ является дифференциальное уравнение (или эквивалентная передаточная функция), связывающя вход и выход. Модель объекта наблюдения, или в более общем случае, ДС определяется структурной схемой, приведенной на рисунке 3.1, где X вектор состояния системы; U - вектор входа; V - вектор возмущения (или формирующих Рисунок 3.1. белых шумов для стохастических сигналов); Структурная схема ДС Y - вектор выхода. Связь векторов U, V, Y, X определяется соотношениями (3.1), (3.2). Датчик первичной информации - элемент устройства, преобразующий информацию о физической величине в сигнал, удобный для использования и обработки. Он задается дифференциальным уравнением или передаточной функцией. Передаточной функцией ДПИ является отношение преобразования Лапласа выходного процесса ДПИ к преобразованию Лапласа входного процесса при нулевых начальных условиях. Движением системы называется физический процесс изменения ее переменных во времени и пространстве. Выходные переменные Y(t), управляющие входные воздействия U(t) и возмущающие входные воздействия V(t) рассматриваются в виде соответствующих векторов, которые записываются в виде столбцовых матриц: Y(t)=[y1, y2 , . . . , ym ]T, U(t)=[u1, u2 , . . . , us ]T, V(t)=[v1 , v2 , . . . , vr]T.

29

(3.4)

3.1. Формирующий фильтр стохастического процесса Исходной моделью стохастического процесса является спектральная плотность, но для практического использования в алгоритмах обработки информации, а также для их численного и графического исследования при моделировании используют вторичные модели в виде передаточной функции формирующего фильтра и матричных линейных уравнений [1]. Передаточная функция Wg(s) формирующего фильтра определяется при факторизации исходной спектральной плотности Sg(s)=Wg(s)Wg(-s)Q, где Q интенсивность шума на входе формирующего фильтра; Wg(s), Wg(-s) - дробнорациональные функции, нули и полюсы которых лежат соответственно в левой и правой комплексных полуплоскостях. Учитывая дробно-рациональность спектральной плотности, функцию Sg(w) записывают в факторизованном виде: Sg(w)=C(s/j)/D(s/j)=B(s)/A(s)·B(-s)/A(-s). Из этого соотношения имеем

c0 − c1s 2 + ... + cm ( −1) m s 2 m b0 + ... + bm s m b0 − b1s + ... + bm ( −1) m s m Q. (3.5) ⋅ = d 0 − d1s 2 + ... + d n ( −1) n s 2 n a0 + ... + an s n a0 − a1s + ... + an ( −1) n s n При факторизации спектральной плотности используется следующий алгоритм. С учетом (3.5), где Q=1 − интенсивность входного белого шума фильтра, задача факторизации решается составлением аналитических выражений B(s)B(-s), A(s)A(-s) и систем уравнений относительно bj и aj путем сравнения коэффициентов выражений C(s/j) и B(s)B(-s), а также D(s/j) и A(s)A(-s). Ниже приведены расчетные соотношения для коэффициентов aj. При n=1 a0=(d0)1/2, a1=(d1)1/2. При n=2 a0=(d0)1/2, a1=(2a0-d1)1/2, a2=(d2)1/2. При n>2 система уравнений решается итерационным методом: −для n=3 a0=(d0)1/2, a2=(d2+2a1)1/2, a1=(2a0a2-d1)1/2, a3=(d3)1/2; −для n=4 a0=(d0)1/2, a3=(2d2-d3)1/2, a1=(2a0a2-d1)1/2, a2=(d2-2a0+2a1a3)1/2, a4=(d4)1/2. Для специалистов разных отраслей важным является умение на практике формировать модель динамического процесса высокого порядка в виде передаточной функции. Решение задачи по нахождению передаточной функции формирующего фильтра возможно выполнить с помощью программы факторизации спектральной плотности. Пример такой программы на языке Pascal представлен в [1] на стр.74-75. Эта программа как один из модулей входит в состав многоце30

левой операционной оболочки CAD-MS [9]. Более мобильное программное обеспечение реализуется на основе стандартных электронных таблиц Microsoft Excel. Рассмотрим, как с помощью инструмента Excel решить задачу формирования модели динамического процесса, в случае если задано дробнорациональное выражение спектральной плотности процесса g(t) высокого порядка (не менее шестого). 3.1.1. Пример факторизации спектральной плотности на основе Excel Спектральная плотность исследуемого процесса задана в виде дробнорационального выражения (ω) =

+

+ ω ω + ω +

ω +

ω

.

При n=4 выражение D(s/j)= A(s) A(-s) приобретает вид c0+c1s2+c2s4+c3s6+c4s8=(a0+a1s+a2s2+a3s3+a4s4)(a0-a1s+a2s2-a3s3+a4s4). (3.7) Уравнения для вычисления неизвестных коэффициентов для этого случая представлены в таблице 3.1. Таблица 3.1. Уравнения для факторизации спектральной плотности =

,

=

−2

,

=

+2

−2

,

=

+2

,

=

Применение инструмента электронных таблиц Excel “Поиск решения”. В электронной таблице Excel исходные данные (коэффициенты полиномов C(s), D(s)) размещаются, например, в ячейках B3:B9 (см. рисунок 3.4). Поиск решения производится в изменяемых ячейках I5:I9. Целевые уравнения для поиска решения запрограммированы в ячейках C3:G3.

Заданной спектральной плотности соответствует формирующий фильтр с дробно-рациональной передаточной функцией ( )=

+

+

+

+

+

.

Полином числителя B(s) и полином знаменателя A(s) формирующего фильтра для процесса с заданной спектральной плотностью представляются через нули и полюсы выражения Sg(s) в соответствии со схемой Горнера. Рисунок 3.2. Поиск решения для коэффициентов полинома m/2

b0 + ... + bm s m = bm

∏ ( s − pk ) , k =1

S g (w) =

n/2

a0 + ... + an s n = an

∏ ( s − sk ) ,

(3.6)

k =1

Формулы для расчета в ячейках представлены на рисунке 3.3.

25w2 + 256 , или через s: − 25s 2 + 256 , Sg (s / j) = 8 8 2 5w +12w + 125 5s − 12s2 + 125

где pk, sk - соответственно нули и полюсы выражения Sg(s), находящиеся в левой комплексной полуплоскости (с отрицательными вещественными частями). Для инженерного применения используется вычисление полиномов формирующего фильтра с ипользованием инструмента электронных таблиц Excel “Поиск решения” или “Циклические ссылки”. Эти инструменты, как известно, позволяют решать неявные задачи определения параметров математического функционала итерационными алгоритмами при задании ряда ограничений на параметры. 31

Рисунок 3.3. Формулы для поиска решения

Настройка инструмента “Поиск решения” представлена на рисунке 3.4.

32

3.2. Модели датчиков первичной информации

Рисунок 3.4. Окно настройки параметров “Поиск решения”

Выбор метода “Поиск решения” произведен в окне параметров (рис. 3.5).

Датчики первичной информации, измеряющие динамические параметры объектов наблюдения, кроме внешних воздействий, характеризуются конструктивными силами, проявляющимися только во время динамического движения и зависящими только от технических параметров ДПИ. Свободным движением (или собственным движением) называется динамика ДПИ под влиянием конструктивных сил, которая описывается дифференциальным уравнением (или системой) без правой части. Вынужденным движением называется динамика ДПИ под влиянием внешних сил (входного воздействия g(t) или возмущения v(t)), которая описывается дифференциальным уравнением (или системой) с правой частью. К конструктивным силам относятся: 1) позиционные силы, зависящие от обобщенных координат ДПИ; 2) диссипативные силы, зависящие от первых производных обобщенных координат (скоростей) ДПИ; 3) инерционные силы, зависящие от вторых производных обобщенных координат (ускорений) ДПИ. Датчики первичной информации, измеряющие параметры движения объектов наблюдения, кроме инерционной силы, в качестве конструктивных сил могут иметь: 1) только позиционную силу; 2) только диссипативную силу; 3) обе силы вместе. 3.2.1. Пример составления динамической модели датчика

Рисунок 3.5. Окно выбора метода “Поиск решения”

Правильность полученного решения подтверждается выполнением системы уравнений коэффициентов (см. B3:B9 и C3:G3 (на рисунке 3.2)).

33

Рассмотрим движение рамки гальванометра при измерении тока. На рамку вокруг оси Y действуют следующие силы: 1) сила, пропорциональная протекающему по рамке току − C*i при взаимодействии постоянного тока с магнитным полем постоянного магнита, внутри которого находится рамка (входное воздействие); 2) противодействующая сила пружины, пропорциональная углу поворота рамки и коэффициенту жесткости пружины: − kжa (позиционная сила); 3) противодействующая сила демпфирования, пропорциональная угловой скорости движения рамки: − Kgda/dt, где Kg − коэффициент демпфирования (диссипативная сила); 4) противодействующая сила инерции, пропорциональная ускорению движения рамки и ее моменту инерции: − J(d2a/dt2) (инерционная сила).

34

В каждый момент времени соблюдается правило механики: равенство нулю суммы моментов, действующих на рамку вокруг оси вращения. Математически это имеет вид: J a"+ Kg a' + Kж a = C i. (3.8)

W ( s) =

k чэ k у kио Rн

=

b0

. TJs + Js + k у k ио k ос a 3 s + a 2 s 2 + a0 Для приборных следящих систем прибор первичной информации часто характеризуется структурной схемой, представленной на рисунке 3.7. 3

2

3

Поделив обе части уравнения на J, получим a" + 2hwoa' + wo2a = C i,

(3.9)

где wo=(Kж/J)1/2 - частота собственных колебаний; h=0,5Kg/(KжJ)1/2 − относительный коэффициент затухания (демпфирования) ДПИ. Свободное движение ДПИ, определяемое конструктивными силами, соответствует фундаментальному дифференциальному уравнению a" + 2hwoa' + wo2a = 0.

(3.10)

Получена математическая модель движения рамки гальванометра в виде дифференциального уравнения 2-го порядка. Эта модель является непрерывной, линейной, стационарной. Структурная схема более сложного (реального) ДПИ изображена на рисунке 3.6.

Рисунок 3.6. Структурная схема реального ДПИ

На рисунке обозначено: Wчэ(s) − передаточная функция чувствительного элемента; Wп(s) − передаточная функция преобразователя; Wу(s) − передаточная функция усилителя; Wио(s) − передаточная функция исполнительного органа; Wос(s) − передаточная функция обратной связи; Wв(s) − передаточная функция выходного звена. Часто передаточные функции элементов ДПИ имеют вид: Wчэ(s)=kчэ; Wп ( s ) = 1 / Js 2 ; Wу(s)=kу; Wèî ( s ) = kèî /(Ts + 1) ; Wос(s)=kос; Wв(s)=Rн. Общая передаточная функция в этом случае имеет вид

35

Рисунок 3.7. Структурная схема приборной следящей системы

На рисунке обозначено: Wд(s) − передаточная функция дополнительной связи по управляющему сигналу; Wк(s) − передаточная функция корректирующего устройства (КУ); Wн(s) − передаточная функция неизменяемой части. 3.2.2. Формирование модели датчика методом ЖЛАХ Поскольку частотные характеристики разомкнутой цепи однозначно связаны с передаточной функцией ДПИ, то в них входят все особенности, присущие этой передаточной функции. Из теории, как правило, известны требования к желаемой логарифмической частотной характеристике (ЛЧХ) разомкнутой системы, которая должна обеспечивать оптимальные характеристики качества переходного процесса (минимальное время переходного процесса, приемлемое перерегулирование и запас устойчивости). Для статических и астатических систем желаемая ЛЧХ (ЖЛАХ) определяется коэффициентом усиления K, тремя частотами сопряжения w1, w2, w3 и частотой среза wc. Для примера ЖЛАХ представлена на рисунке 3.8. Выбранная методом ЖЛАЧ структура ДПИ (желаемая передаточная функция разомкнутой системы), включает в себя как неизменяемую часть структуры ДПИ, так и корректирующее устройство (КУ). При этом обеспечение ЖЛАХ возможно путем выбора параметров КУ. Проектирование КУ заключается в определении его передаточной функции с дальнейшей ее технической реализацией или на аналоговых элементах, или в цифровом процессоре. ЛАЧХ корректирующего устройства для случая последовательной коррекции при Woc=1 определяется в виде (3.11).

36

Рисунок 3.9. Логарифмические частотные характеристики: 1) разомкнутой системы; 2) желаемой системы; 3) корректирующего устройства

ЛАХ корректирующего устройства находится путем вычитания из ЖЛАХ характеристики разомкнутой системы (график 3). Передаточная функция КУ по его ЛАХ имеет вид Wê ( s ) =

Рисунок 3.8. Построение желаемой ЛЧХ (ЖЛАХ)

L{KWк(jw)}=L{KWp(jw)}-L{Wн(jw)},

(3.11)

где Wн(jw) - передаточная функция неизменяемой части ДПИ; KWp(jw) передаточная функция разомкнутого ДПИ; L{KWp(jw)}=20lg{KWp(jw)} логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) разомкнутого ДПИ. Аппроксимируем ЛАЧХ асимптотами, т.е. прямолинейными отрезками с наклоном 0, 20, 40 дб/декаду. По точкам излома определяются постоянные времени звеньев и затем составляется аналитическое выражение для передаточной функции КУ. Реализация найденной передаточной функции КУ выполняется на пассивных элементах (преимущественно на емкостях и сопротивлениях). При наличии в контуре ДПИ операционного усилителя КУ реализуется также на RC-цепочках с использованием операционного усилителя. Пример. Пусть ДПИ имеет структурную схему, представленную на рисунке 3.6, где передаточные функции элементов ДПИ: Wчэ(s)=m; Wп(s)= 1/ Js2 ; Wу(s)=kу; Wос(s)=kос; Wв(s)=Rн. Общая передаточная функция разомкнутой системы имеет вид K Wð ( s ) = 2 , Js где K = m kу kос Rн. На рисунке 3.9 построена ЛАХ разомкнутой системы (график 1) и ЖЛАХ (график 2). 37

k1 (T1s + 1) , T2 s + 1

где T1=1/w2; T2=1/w3. Техническая реализация КУ выполняется на имеющемся в прямой цепи операционном усилителе с использованием емкостей и сопротивлений (рисунок 3.10).

Рисунок 3.10. Схема КУ

Передаточная функция, полученного КУ

Wê ( s) =

R2 R2C2 s + 1 , R1 R1C1s + 1

где R2C2=T2=1/w3; R1C1=T1=1/w2 . 3.3. Основные матричные модели Для составления алгоритмов обработки информации, а также для исследования движения динамической системы первичную модель, представленную передаточными функциями, преобразуют в матричную модель в пространстве 38

состояний (3.1) или (3.2). Такие преобразования могут быть выполнены различными методами [13]. Широкое распространение методов исследования динамических систем с помощью координат (переменных) состояния в современной теории моделирования обусловлено как методическими соображениями, так и удобством обозначений и простотой проведения анализа динамических свойств системы векторно-матричными методами. С методической точки зрения появляется возможность охарактеризовать динамическую систему понятием "состояния системы", которому соответствует определенная точка в евклидовом пространстве с координатами, являющимися координатами состояния. В этом случае поведение системы (движение), связанное с изменением во времени координат состояния, представляется траекторией, описываемой этой точкой. Применение векторов и матриц позволяет записывать в компактном виде, как математические модели системы, так и их решения. Независимо от физической природы координат состояния, считается, что множество всех комбинаций xi образует некое пространство состояний, т.е. фазовое пространство рассматриваемой системы. Изменение во времени состояния системы определяется вектор-функцией X(t)=Х[x1(t),x2(t),...,xn(t)], являющейся решением исходной системы уравнений вида (3.1). В каждый фиксированный момент времени X(ti ) представляет собой точку фазового пространства RX. Совокупность n линейно независимых векторов в фазовом пространстве образует базис, а каждая компонента произвольного вектора состояния X является проекцией этого вектора на соответствующий вектор базиса. Поскольку координаты xi вектора состояния принимаются как некоторые абстрактные величины, лишенные физического смысла, то их можно подвергать различным линейным преобразованиям, и, в частности, изменению базиса с помощью неособого преобразования Z=RX при det R ≠ 0 соответствующего переходу к новым фазовым координатам zi. Например, произведя в уравнениях (3.1) замену переменных и учитывая, что для неособенных преобразований Z=RX будет иметь место Z=R-1Z получаем математическую модель линейного объекта в новом базисе: ̇= -1

-1

где A'=RAR , B'=RB, C'=CR .

=

+

39

,

(3.12)

Из сравнения уравнений следует, что переход к новому базису не отражается на входных воздействиях U и выходных переменных Y, характеризующих изменение величин, доступных наблюдению. Эквивалентность уравнений состояния позволяет широко использовать указанные преобразования для приведения уравнений состояния к виду, удобному для использования методов матричного исчисления. Записанные уравнения состояния системы не единственны и существуют различные комбинации координат состояния, полностью характеризующих поведение динамической системы. Но при этом любые две системы координат состояния должны быть связаны между собой однозначно. 3.3.1. Каноническое преобразование матричных моделей Рассмотрим алгоритм преобразования одномерной матричной модели X'=AX+Bu динамической системы к канонической форме следующего вида [14]: dZ = A' Z + B' u; Y = C' Z , dt 1 0 ... 0   0 0 0 1 ... 0   0  0 . , A' =  ... B ; ' =  ...   − g 0 − g1 ... − g n −1   1    где g0 ... gn-1 - коэффициенты характеристического уравнения матрицы А. Алгоритм преобразования. 1) Вычисляется квадратная матрица управляемости 2-го рода S = [B|AB|...An-1B]. 2) Определяется матрица Ф с помощью следующего линейного преобразования  0 0 0 ... − g 0   1 0 0 ... − g  . 1 Φ= ... ...     0 ... 1 − g n −1 

Коэффициенты g0 ... gn-1 в матрице Ф являются коэффициентами характеристического уравнения матрицы А:

40

x&1 = a12 x 2   x& 2 = a 21 x1 + a 22 x2 + a 23 x 3 + a 3 δ b ;  x& 3 = a 31 x1 + a 33 x3 , 

det[sI-A] =sn+gn-1 sn +…+g0= 0. 3) Определяется матрица A' в виде A' = ФT.

где а12=-1, а21=-а2, а22=-а1, а23=а2, а31=а4, а33=-а4. Система уравнений (3.14) в векторно–матричной форме имеет вид

4) Вычисляется матрица линейного преобразования К  g1 g K = 2  ...   gn

g2 g3

...g n −1 ...g n

0

...0

gn  0  . ...   0

X& = AX + Bδb ,

X = x1

3.3.1.1. Каноническое преобразование матричной модели в Excel Рассмотренный алгоритм легко реализуется с помощью электронных таблиц Microsoft Excel. Рассмотрим конкретный пример динамической системы, матричная модель которой получена на основе анализа физики движения объекта. Пример. Вращательное движение ЛА в вертикальной плоскости задаётся в виде системы непрерывных дифференциальных уравнений и уравнений измерения. Уравнения движения ЛА в продольной плоскости имеют вид [15]. (3.13)

где ϑ – угол тангажа; θ – угол наклона вектора скорости к горизонту; δв – угол отклонения руля высоты; ai – динамические коэффициенты, зависящие от аэродинамических параметров самолёта. Вводя новые обозначения для переменных (x1=ϑ, x2=ϑ', x3= θ), запишем систему (3.13) в нормальной форме Коши:

41

(3.15)

где

5) Вычисляется матрица C' в виде C' = KCT.

&& + a ϑ& + a ϑ − a θ = a δ ; ϑ 1 2 2 3 b  &θ + a ϑ + a θ = 0,  4 4

(3.14)

x2

x3 ; B = 0 T

a3

T 0 ;

0 A = a 21

a12 a 22

a 31

0

0 a 23 . a 23

Реальные значения аэродинамических коэффициентов для легкого ЛА a2=4,2, a1=1,76, a2=4,2, a4=0,77, a3=-7,4. Уравнения измерений y1=x2’+n1, y2=x3+n2, где n1, n2 - белые гауссовские шумы с интенсивностями R11, R22. Матричные уравнения движения и измерений X'=AX+BU, Y=CX+N, где матрицы A, B, D, C имеют вид: −1 0   0  0  0 1 0  . A =  − 4,2 − 1,76 4,2 , B = - 7,4 , C =   0 0 1 0 − 0,77  0,77  0 

В электронной таблице Excel (см. рис.3.11) строки 2-4 содержат исходные данные. В строках 7-9 запрограммированы основные матричные формулы канонического преобразования S, Ф, G, K. S´ S´ S´ Ф´ K´

A7:A9 B7:B9 C7:C9 E7:G9 K7:M9

=E2:E4 =МУМНОЖ(A2:C4;E2:E4) =МУМНОЖ(МУМНОЖ(A2:C4;A2:C4);E2:E4) =МУМНОЖ(МУМНОЖ(МОБР(A7:C9);A2:C4);A7:C9) =МУМНОЖ(A7:C9;H7:J9) .

42

Доказательство. Рекуррентная венно из системы уравнений I= sn: sn-1: gn-1I= s0: g1I= s0: g0I=

формула (3.16) вытекает непосредстCn-1 , -Cn-1A+Cn-2, -C1A+C0 , -C0A .

При k=n выражение (3.17) может служить для проведения численного контроля. Доказательство формулы следует из соотношений: det(sI-A)=spur adj(sI-A).

(3.18)

Рисунок 3.11. Алгоритм канонического преобразования в Excel

Результаты канонического преобразования с помощью матриц S, Ф, G, K получены в строках 12-14. A´ A12:C14 =ТРАНСП(E7:G9) C´ F12:H14 =МУМНОЖ(G2:I3;K7:M9) A´ I12:K14 =МУМНОЖ(МОБР(K7:M9);МУМНОЖ(A2:C4;K7:M9))

В левой части здесь стоит производная по s характеристического многочлена; правая же часть преобразуется в соответствии с (3.18). Приравнивая коэффициенты при степенях Sn-k-1, получаем (nk) gnk=spurCn-k-1, k=0,...,n-1. Отсюда вытекает (3.17) с помощью подстановки (3.16). Формулы (3.16) и (3.17) представляют собой простой способ вычисления выражений det(sI-A) и adj(sI-A). А соотношение: (sI-A)-1=[det(sI-A)]-1adj(sIA) дает обратную матрицу (sI-A)-1, соответствующую преобразованию Лапласа переходной матрицы дифференциального уравнения

Коэффициенты матрицы G для вычисления K берутся из матрицы Ф. 3.3.1.2. Алгоритм Сурье-Фадеева для определения коэффициентов Алгоритм Сурье-Фадеева позволяет вычислить коэффициенты характеристического полинома квадратной матрицы независимо от вычисления матрицы Ф (это бывает необходимо для получения канонического преобразования в другой матричной форме). Такая же задача часто возникает и при проектировании матричных моделей нетрадиционного вида. Теория Сурье-Фадеева [16] говорит о том, что для любой невырожденной квадратной матрицы А размером nxn коэффициент gn-k характеристического полинома: sn+gn-1·sn-1+...+g1·s+g0 и матричный коэффициент Cn-k матрицы adj(sI-A) в уравнении adj(sI-A)=Cn-1 sn-1+Cn-2 sn-2+...+C1s+C0 удовлетворяют при k=1,...,n следующим соотношениям: Cn-k-1=Cn-k A+gn-k I, Cn-k=I, C-1=0, gn-k=-(1/k)spur(Cn-k A).

43

(3.16) (3.17)

X'=Ax(t). 3.3.1.3. Продолжение примера Вычисление коэффициентов характеристического полинома квадратной матрицы A на основе алгоритма Сурье-Фадеева легко программируется в электронной таблице Excel. Строки 18-20 и 34-36 в электронной таблице (см. рис.3.12) заполняются вручную на основании исходных данных. Также по исходным данным заполняется блок матрицы C-1 (ячейки A30-C32). Затем в строках 22-24 реализуются матричные формулы (коэффициенты характеристического полинома в электронной таблице Excel обозначены через αi ). A22:C24 E22 F22:H24

=МУМНОЖ(A18:C20;E$2:G$4)+A$34:C$36*E22 =-СУММ(H24;G23;F22)/A21 =МУМНОЖ(A18:C20;E$2:G$4).

Ввод формул в строки 26-28, осуществляется путем простого копирования строк 22-24. 44

Рисунок 3.12. Алгоритм Сурье-Фадеева в Excel

В результате копирования строк 22-24 получаются результаты в строках 26-28 и 30-32 (см. рис.3.13). Это эффект относительной и абсолютной адресации Excel.

Рисунок 3.14. Алгоритм Сурье-Фадеева в Excel (окончание)

3.4. Свойства матричных моделей

Рисунок 3.13. Алгоритм Сурье-Фадеева в Excel (продолжение)

Задача решена! Получены коэффициенты характеристического полинома матричной модели, которые могут быть использованы для канонического преобразования. Полная картина алгоритма Сурье-Фадеева представлена на следующей скрин-копии (рисунок 3.14).

В общем виде детерминированная математическая модель линейной стационарной динамической системы представляется либо в виде одного уравнения dny dy d m g (t ) d r f (t ) a0 n + K + an −1 + a n y = b0 + K + bm g (t ) + β 0 + K + β r f (t ), (3.19) m dt dt dt dt r либо в виде системы уравнений, приведённой к нормальной форме Коши: x&1 = a11 x1 + a12 x 2 + K + a1n x n ;  x& 2 = a 21 x1 + a 22 x 2 + K + a 2 n x n ;  KKKKKKKKKKKKK  x& n = a n1 x1 + a n 2 x 2 + K + a nn x n .

(3.20)

Причём в правых частях не обязательно присутствуют все n переменных, т.е. часть из коэффициентов ai j равны нулю. В то же время в некоторых уравнениях добавляются задающие gi (t) и возмущающие vi (t) воздействия. Характеристическое уравнение такой системы имеет вид

45

46

a11 − λ D (λ ) =

a21 L

L

a1n

a22 − λ L L L

a2 n L

a12

an1

an2

(3.21)

= 0,

L ann − λ

или в развёрнутом виде a 0 λn + a1λn −1 + K + a n −1λ + a n = 0.

(3.22)

Как отмечалось выше, система уравнений (3.20) может быть записана и в матричной форме (3.23) X& = AX , а её характеристическое уравнение (3.21) соответственно в виде

откуда следует, что элемент hi j матрицы H(s) представляет собой преобразования по Лапласу импульсной переходной функции по i-й координате состояния относительно j-го входного сигнала при равенстве нулю всех других входных сигналов. Рассмотрим взаимосвязь между передаточными матрицами Н(s), W(s) и матрицами во временной области A, B и C , для чего применим к математической модели объекта преобразование Лапласа: sX ( s) − x( 0) = AX ( s ) + BU ( s);  Y ( s ) = CX ( s ). 

Если принять начальные условия нулевыми, т.е. x(0)=0, то вводя понятие единичной матрицы I , получаем sX(s)-AX(s)=BU(s) и далее (sI-A)X(s) = BU(s). Окончательно X ( s ) = ( sI − A) −1 BU ( s), Y ( s ) = C ( sI − A) −1 BU ( s ).

D (λ ) = det( A − λ E ) = 0,

(3.24)

(3.27)

В соответствии с (3.27) имеем

где a11

a12

K

a1n

1

0

K

0

a A = 21 K

a 22 K

K K

a 2n K

0

1

K

0

a n1

an2

K

a nn

,

E=

K K K K 0

0

K

,

1

λi - корни характеристического уравнения (полюсы передаточной функции), называемые в матричном исчислении собственными значениями или характеристическими числами матрицы A. Матричная запись уравнений весьма удобна и для представления математических моделей систем в области изображений по Лапласу. При этом практически все формулы для преобразований по Лапласу скалярных переменных справедливы и для случая матриц. Обозначим через X(s) n-мерный вектор состояния в области изображений Лапласа, через U(s) – p-мерный вектор входных переменных и через Y(s) mмерный вектор выходных переменных. Соотношение между этими векторами устанавливается передаточными матрицами H(s) и W(s) типа n × m и r × m в виде (3.25) X ( s ) = H ( s )U ( s ), (3.26) Y ( s ) = W ( s )U ( s ),

47

H ( s ) = ( sI − A) −1 B ;

(3.28)

W ( s) = C ( sI − A) −1 B,

(3.29)

где (sI-A)-1 есть обратная матрица по отношению к матрице (sI-A), равная на основании правил матричного исчисления отношению присоединённой матрицы ( sI − A)' к определителю матрицы (sI-A), т.е. ( sI − A) −1 =

( sI − A)' . det( sI − A)

Рассмотренный выше алгоритм Сурье-Фадеева, позволяет без труда находить обратную матрицу и получать, таким образом, все рассмотренные здесь передаточные функции и в целом решение дифференциальных уравнений относительно любой из компонент вектора состояния и относительно выхода. 3.5. Методы формирования матричных моделей Рассмотрим всего несколько методов определения детерминированных математических моделей, выраженных через координаты состояния для ли-

48

нейных стационарных систем при условии, если заданы их передаточные функции или дифференциальные уравнения вида D ( s ) y ( s ) = B ( s )u ( s ). Это, прежде всего метод вспомогательной переменной и метод нормальной формы Коши [1]. Для этих методов рассматриваем передаточную функцию в виде Y ( s) B( s) b0 + b1s + ... + bm s m (3.30) W ( s) = = = . U ( s) D ( s) d 0 + d1s + ... + d n s n

шения, требуемые для реализации матричной модели. Универсальные матричные уравнения имеют традиционный вид: X′=AX+BU, y=CX, где матрица A, определяется из соотношения (3.31), а матрицы B и C имеют вид: 0  ....    B = Cn−m  , C = [1,0,...,0 ] ,   ....  Cn 

Соответствующее дифференциальное уравнение определяется на основе свойств преобразования Лапласа: dny(n)(t)+...+d0y(t)=bmu(m)(t)+...+b0u(t).

где коэффициенты матрицы B определяются следующими соотношениями:

3.5.1. Метод вспомогательной переменной Модель в пространстве состояний методом вспомогательной переменной формируется при обозначении y(s)=B(s)/D(s), где B(s), D(s) полиномы соответственно степени m и n. При замене переменной R(s)=u(s)/D(s), получится дифференциальное уравнение относительно R(t) без производных в правой части dnR(n)+...+d0R=u(t). При этом выражение для y(t) также не содержит производных в правой части: bmR(m)+...+b0R=y(t). Матричная модель при этом представляется уравнением состояния и уравнением выхода: X′=AX+Du, y(t)=CX, где матрицы A, D, C cоответственно равны:     0 1 ... 0  0      (3.31) A = ... , D = ... , − d − d − d  1 1  0   ... n −1  d n   d n d n  d n 

C = [b0 ...bm , 0..

0] .

Полученная матричная модель является универсальной, легко реализуемой при моделировании на компьютере. Недостатком метода является необходимость того, что порядок числителя исходной передаточной функции должен быть меньше порядка знаменателя. 3.5.2. Метод нормальной матричной формы Коши Теория формирования матричной модели методом нормальной формы Коши подробно рассмотрена в [1]. Здесь приводятся лишь основные соотно49

(3.32)

C0 =

j−1 b− a−+ bn , C j = n j − ∑ n j k Ck . an k =0 an an

(3.33)

Выходной сигнал системы в общем случае: y (t ) = x1 + bn u (t ). an 3.5.3. Метод канонического разложения Вначале для простоты положим, что M(s)=1, а характеристическое уравнение D(λ)=0 имеет простые корни λi . В этом случае n 1 y= u, а D ( p ) = ∏ ( p − λ i ) , откуда после разложения на простые дроби D( p ) i =1

 n ci  u (t ). y (t ) =  ∑  i =1 p − λ i  Если положить, что xi ( t ) = 1 u( t ) , то p − λi

(3.34)

n

y (t ) = ∑ ci xi (t ).

(3.35)

i =1

Согласно уравнению (3.35) переменная xi удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка:

x&i − λi xi = u , i = 1,2,K, n, 50

(3.36)

а это значит, что уравнение (3.36) эквивалентно уравнению состояния вида (3.14), т.е. X& = AX + BU  (3.37) , y = CX  где λ1 0 L 0 1 0 λ2 L 0 1 A= = Λ, B = , C = c1 c2 L cn . L L L L M 0 0 L λn 1 На рисунке 3.15 представлена структурная схема системы, соответствующая уравнениям (3.37). Хотя данный способ справедлив как для действительных, так и для комплексных корней λi , применять его в последнем случае не рекомендуется, так как вводить в рассмотрение комплексные координаты состояния весьма неудобно. Если характеристическое уравнение имеет кратные корни или передаточная функция имеет нули (m≠ 0), то метод разложения на простые дроби остается справедливым. Для нестационарных систем метод канонического разложения не применяется.

W (s) =

T12T2 и λ1, 2 = − 1 , λ 3 = − 1 . T1 T2 (T1s + 1) 2 (T2 s + 1)

Требуется: найти уравнения состояния и передаточную матрицу. Представим передаточную функцию через собственные значения в виде суммы простых дробей. 1 T12T2 c1 c2 c3 = = + + = W (s) = (T1 s + 1) 2 (T2 s + 1) ( s − λ1 ) 2 ( s − λ 3 ) ( s − λ1 ) 2 ( s − λ1 ) ( s − λ 3 ) =

c1 (s − λ 3 ) + c2 ( s − λ1 )( s − λ 3 ) + c3 ( s − λ1 ) 2 . ( s − λ1 ) 2 ( s − λ 3 )

Коэффициенты находятся из соотношений c1 ( s − λ 3 ) + c2 ( s − λ1 )( s − λ 3 ) + c3 ( s − λ1 ) 2 = 1; c1 =

1 −1 , c2 = = −c3. λ1 − λ 3 ( λ1 − λ 3 ) 2

Таким образом, имеем x&1 = λ1 x1 + x2   x&2 = λ 2 x2 + u  или x&3 = λ3 x3 + u 

0 x&1 λ1 0 0 x1 x&2 = 0 λ 2 0 ⋅ x2 + 1 u, 0 0 λ 3 x3 1 x&3

а наблюдаемая переменная y = c1 c2

c3 X .

На рисунке 3.16 представлена структурная схема заданной системы, математическая модель которой получена в канонической форме.

Рисунок 3.15. Схема формирования модели системы каноническим методом

Пример. Дана передаточная функция системы

51

Рисунок 3.16. Схема формирования модели для примера 52

Передаточную матрицу найдем в следующем виде. ( s − λ1 ) −1

W ( s) = C ( sE − A) B = c1 c2

= c1 c2

c3 ⋅

0 0

−1

c3 ⋅

0 0

=

0

(s − λ2 ) 0 ⋅1 = 0 (s − λ3 ) 1 1 ( s − λ1 )

~ ( sE − A) c3 B = c1 c2 det( sE − A)

0

1 ( s − λ1 )2 1 ( s − λ2 ) 0

Рисунок 3.17. Схема формирования модели

или в соответствии с (3.38)

0 0 1 (s − λ3 )

0 ⋅1 =

λ1 λ2 − γ2

1

A=

c1 c2 c3 + + = W (s) 2 ( s − λ1 ) ( s − λ1 ) ( s − λ 3 )

0

0

0

L

λ1 − γ1 λ2 − γ 2

0

0 0 0 0 , B = λ3 − γ 3 , C T = . M L L L L k 0 L λn 0

λ2 0 L λ3 − γ 3 λ3 L

L

L

0

0

(3.40)

Например, при n= 4, m= 2 3.3.4. Метод разложения на простые множители Известно, что передаточную функцию системы можно выразить через ее нули γi , и полюсы λi, т.е.

W (s) =

m M ( s ) b0 s m + L + bm (s − γi ) n 1 . = = k ∏ ∏ n D( s ) a0 s + L + an i =1 ( s − λ i ) i = m +1( s − λ i )

вующая передаточной функции (3.38), принимает вид, представленный на рисунке 3.17, а уравнения состояния будут

x&1 = λ1 x1 + (λ1 − γ1 )u; x&2 = λ 2 x2 + (λ 2 − γ 2 ) x1 + (λ 2 + γ 2 )u;

53

0 λ2 1 0

0 0 λ3 1

0 λ1 − γ 2 0 0 λ2 − γ 2 0 , B= , CT = . 0 0 0 λ4 0 k

λ1

0

0

0

1

λ2

0

0

0 0

1 0

λ3 1

0 λ4

Если М(s)=1, то (3.38)

s − γi λ − γ i , то структурная схема системы, соответстТак как = 1+ i s − λi s − λi

   LLLLLLLLLLLLLLLLL  x&n = λ n xn + xn −1 ;  y = kxn 

λ1 λ2 − γ 2 A= 0 0

x&1 = λ1 x1 + u  x&2 = λ 2 x2 + x1   x&3 = λ3 x3 + x2 , x&4 = λ 4 x4 + x3    y = x4

A=

0

1 , B=

0 0 0

, CT =

0 0

.

1

3.5.5. Метод аналогового моделирования (3.39)

Метод основан на использовании приемов аналогового моделирования, когда математическая модель системы, заданная дифференциальными уравнениями, реализуется с помощью обратных связей на суммирующих, инвертирующих и интегрирующих типовых звеньях. Уравнения состояния записываются в этом случае в соответствии со схемой аналогового моделирования без предварительного разложения передаточной функции на множители.

54

Пример. Дано дифференциальное уравнение системы, записанное в операторной форме (s3+a1s2+a2s+a3)y=(b0s2+b1s+b2)u. Требуется получить уравнения состояния. Решение: в соответствии с заданным дифференциальным уравнением составляем схему аналогового моделирования (рисунок 3.18), на основании которой уравнения состояния запишутся в виде x&1 = x2 − a1 x1 + b2u ;

x& 2 = x3 − a2 x1 + b1u ;

x&3 = − a3 x1 + b0u ;

y = x1 ,

т.е. − a1 1 0 b2 A = − a2 0 1 , B = b1 , C = 1 0 0 . − a3 0 0 b0

помощью фазового портрета на фазовой плоскости, а при n>2 выходная переменная отображается траекториями в n – мерном фазовом пространстве. Очень удобно применять нормальную форму записи уравнений состояния для многомерных систем с несколькими входами и выходами. Итак, задаваясь при n

D( p ) = ∑ ai p n −1

в

качестве

координат

состояния

i =0

x1 = y , x2 = x&1 , x3 = x& 2 , L, xn = x&n−1 , получаем 0 0

A= L − an a0

1 0

L L

0 0

0 0

L L L , B= M , C= 1 0 L 0. 1 − an −1 − a1 L a0 a0 a0

(3.41)

Структурная схема аналогового моделирования объекта (системы), уравнение состояния которого записано в нормальной форме, представлена на рисунке 3.19.

Рисунок 3.18. Схема аналогового моделирования

3.5.6. Нормальная форма записи уравнений состояния Под нормальной формой записи уравнений состояния подразумевается тот случай, когда в качестве координат состояния принимаются выходная переменная и (n-1) её производных. Преимущества нормальной формы заключаются в простоте представления исходных дифференциальных уравнений даже тогда, когда они являются нелинейными или нестационарными. Например, для системы второго порядка изменение состояния может быть представлено с

55

Рисунок 3.19. Схема моделирования системы с нормальной формой

Можно представить бесконечное множество систем с матричной математической моделью общего вида, которые будут между собой эквивалентны, так как отличаются друг от друга только выбором базиса пространства состояний.

56

4. Расчет основных характеристик процессов и систем С учетом формулы вычисления каждого из интегралов имеем 4.1. Дисперсия стохастического процесса через вычеты Вычисление дисперсии процесса g(t) и затем среднеквадратического отклонения производится при нахождении интеграла через вычеты [17]. Практический пример для 4-й степени w спектральной плотности рассмотрен в [18]. Здесь рассмотрим более сложный пример для спектральной плотности (4.3). ∞

2π ∫

Дисперсия процесса Dg = 1

−∞

25w 2 + 256 5w8 + 12w 2 + 125

dω .

(4.1)

=

Для расчета примем

Dg =

1 2 jπ

∫

− j∞

B ( s) B (− s) ds = A( s) A( − s)

n/2





∑ Resk  A(s) A(−s)  . C ( s)

Введем в рассмотрение полиномы для k-го шага

Bk ( s) = b1k s k −1 +,..., bkk . (4.2)

Коэффициенты полиномов определяются рекуррентно из уравнений:

Ak −1 ( s ) = Ak ( s) − αk A *k ( s);

(4.3)

(4.4)

a0k bk , β k = 1k , k a1 a1

aik+1 , åñëè i ÷åòíî, aik −1 =  k ai +1 - α k aik+2 , åñëè i íå÷åòíî;

(4.7)

bik+1 , åñëè i íå÷åòíî, bik −1 =  k bi +1 - β k aik+1 , åñëè i ÷åòíî.

Острем разработал алгоритм расчета дисперсии стохастического процесса, заданного дробно-рациональной спектральной плотностью [19]. Соотношение для расчета имеет вид j∞

57

αk , βk , aik −1 , bik −1

расчитываются по следующим формулам: αk =

4.2. Дисперсия стохастического процесса алгоритмом Острема

j∞

Bk −1 ( s) = Bk ( s) − βk A *k ( s). где A *k ( s ) = [ Ak ( s) − (−1) k A *k (− s )] / 2. Коэффициенты

Вычеты в кратных (m-кратных) полюсах:

n B( s ) B( − s ) 1 1 Dg = S ( w ) dw = dw = Ik . ∑ 2πj −∫j∞ 2πj −∫j∞ A( s) A(− s) k =1

(4.6)

Bn ( s ) = b1n s n −1 +,..., bnn .

Интеграл вычислим через вычеты по полюсам левой комплексной полуплоскости. Вычеты в простых полюсах:

 d m −1  C ( s)   m Resk [Sg ( s)] = lim  ( s − sik − )  . A( s) A( − s)   s → sik −  ds  

.

Ak ( s) = a0k sk + a1k s k −1 +,..., akk ;

k =1

 C ( s)  Res k [Sg ( s )] = lim ( s − sik − ) . s → sik −  A( s) A(− s ) 

=

An ( s ) = a0n s n + a1n s n −1 +,..., ann ;

Используя факторизацию спектральной плотности, получим j∞

β , 2α

(4.5)

4.2.1. Реализация алгоритма Острема на основе Excel Алгоритм Острема хорошо программируется как на языках высокого уровня Pascal, C++, так и средствами программирования Excel. Пример. Пусть спектральная плотность процесса имеет вид 58

S g ( w) =

w2 + 0,25 . w4 + 1,98w2 + 1,0201

В ячейках A8:C9 формируются полиномы A2(s) B2(s). Расчетные формулы вводятся в ячейках A11:C12, для αk, βk в ячейках E10 и H10. Скрин-копия с расшифровкой формул представлена на рисунке 4.3.

Соответствующий формирущий фильтр

Wg ( s ) =

s + 0,5 . s + 2 s + 1,01 2

Так это выглядит в Excel:

Рисунок 4.3. Реализация алгоритма Острема в Excel (продолжение) Рисунок 4.1. Исходные данные для алгоритма Острема в Excel

Коэффициенты полиномов Ak(s), Bk(s) определяются рекуррентно из уравнений (4.7). Исходные полиномы составлены на основе вычисленной передаточной функции Wg(s). ( )= + ( ) = 0+

+

+

=

+ 2 + 1,01, = + 0,5.

Расчет в электронной таблице (см. рисунок 4.2)

Распространение формул на рекуррентный шаг k=1 производится путем простого копирования строк 10, 12 в строки 13, 15. Результаты вычисления дисперсии при использованиия прикладной программы Astrom.exe [19] в данном случае использованы для контроля правильности программы Excel. Исходные данные для решения задачи формируются в файле S(w).dat и имеют следующий вид: 1 1 1

2 0,5 2

порядок системы полином Bn(s) 1.01 полином An(s)

Результаты вычислений дисперсии при этом получены в файле Astr.dat. k=2 1.00000 2.00000 1.01000 1.00000 0.50000 a[2]=0.50000 b[2]=0.50000 2.00000 1.01000 0.50000 D= 2.5000E-0001 a[1]=1.98020 b[1]=0.49505 1.01000 D= 3.1188E-0001 Рисунок 4.2. Реализация алгоритма Острема в Excel 59

60

Пример. Расчет дисперсии стохастического процесса на выходе динамической системы. Исходные данные: Sg(w) - спектральная плотность входного процесса динамической системы, W(jw) - передаточная функция динамической системы: w 2 + 0,25

Sg ( w) =

w + 1,98w + 1,0201 4

2

, W(s) =

2s + 12 x( s) . = g ( s) 3s 2 + 24s + 21

1. Дисперсия стохастического процесса на выходе динамической системы находится по спектральной плотности выходного процесса Sx(w). Определим спектральную плотность выходного процесса по формуле из [1], представленной на стр.18: Sx(w)=Sg(w)|W(jw)|2. При этом рассчитаем сначала |W(jw)|2:

W ( jw) = 2

144 + 4 w 2 . 441 + 450w 2 + 9 w 4

Учитывая |W(jw)|2, Sg(w), найдем An(s), Bn(s) где s=jw: Рисунок 4.4. Дисперсия выхода в алгоритме Острема (Excel)

An ( s) = (1,01 + 2 s + s 2 )( 3s 2 + 24 s + 21) = 3s 4 + 30 s 3 + 72,03s 2 + 66,24 s + 21,21;

При использовании прикладной программы Astrom.exe исходные данные в файле S(w).dat имеют следующий вид:

Bn ( s) = ( 0,5 + s)( 2 s + 12 ) = 2 s 2 + 13s + 6.

Реализация алгоритма острема в Excel для порядка выше 2, также не вызывает трудностей. Рассмотрим возмость построения алгоритма для n>5: ( )= +

=

+

+

+

+ ( )=

+

+

+

+ +

(

+

(

+

+

+

+

+

)=

+

)=

.

В этом случае надо заполнить формулами рекуррентного вычисления коэффициентов ak, bk на значительно больший диапазон (например, для n=6). Это представлено в следующей скрин-копии.

61

4 0 3

2 30

13 72.03

6 66.24

21.21

{порядок системы} {полином Bn(s)} {полином An(s)}

Результаты вычислений дисперсии получены в файле Astr.dat k=4 3.00000 30.00000 72.03000 66.24000 21.21000 0.00000 2.00000 13.00000 6.00000 a[4]=0.10000 b[4]=0.00000 30.00000 65.40600 66.24000 21.21000 2.00000 13.00000 6.00000 D= 0.0000E+0000 a[3]=0.45867 b[3]=0.03058 65.40600 56.51153 21.21000 13.00000 5.35144 D= 1.0193E-0003 a[2]=1.15739 b[2]=0.23004 56.51153 21.21000 5.35144 D= 2.3881E-0002 a[1]=2.66438 b[1]=0.25231 21.21000 D= 3.5827E-0002 62

Результат вычислений дисперсии стохастического процесса на выходе динамической системы получен, как и при расчетах в Excel (Dx=0,036).

откуда получим уравнение относительно wmax 4 2 0,00098wmax − 3,998wmax − 0,999 = 0 ,

4.3. Расчет частоты спектра и периода дискретности процесса Оценивание максимальной частоты спектра стационарного стохастического процесса и допустимого периода дискретности из условия заданной точности моделирования [20]. Максимальная частота спектра процесса (частота дискретизации) wmax при динамической работе системы (в данном случае формирующего фильтра) определяется при условии ослабления процесса с максимальной частотой по отношению к процессам проходящим без ослабления до уровня погрешностей при численном решении задачи моделирования процессов: |W(jwmax)|2=δ|W(jw0)|2 ,

(4.8)

где w0 - частота, для которой АФЧХ аппроксимируется горизонтальной асимптотой, δ – относительный уровень ослабления сигнала на частоте дискретизации. Пример. Пусть процесс задан спектральной плотностью Sg(w)=(w2+0,25)/(w4+1,98w2+1,0201). Передаточная функция формирующего фильтра для такого процесса имеет вид Wg(s)=(s+0,5)/(s2+2s+1,01). Зададим δ на уровне 10-3. Определим модуль амплитудо-фазочастотной характеристики (АФЧХ) как отношение модуля числителя к модулю знаменателя. Учитывая Sg(w)=Wg(jw)Wg(-jw)=|Wg(jw)|2, получим для квадрата АФЧХ: |Wg ( w)|2 =

0,25 + w2 4w2 + 1 . = 0,245 2 0,98w4 + 1,94w2 + 1 w + 1,98w + 1,0201 4

При w0=0 АФЧХ не зависит от w, поэтому |W(jw0)|2=0,245. Для расчета wmax из (4.1) получим соотношение: 2 4wmax +1 4 0,98wmax

2 + 1,94wmax

63

+1

= 10− 3 ,

или

4 2 wmax − 4079,59wmax − 1019,39 = 0 .

Из

этого

уравнения

2 wmax =4079,84 или wmax=63,87 р/сек. В соответствии с импульсной теоремой

([1] стр.12) период дискретности процесса определяется в виде dt=1/(2Fm)=π/wmax=0,049 c. В соответствии с рассмотренной методикой расчета составлена программа Frequenc (табл.1.4). Входные данные (коэффициенты передаточной функции) задаются в файле Wg(s).dat. В данном случае: 1 1 2 0.5 1 1.01

0.001 2

{число вариантов} {порядок числителя, порядок знаменателя, погрешность} {коэффициенты числителя} 1 {коэффициенты знаменателя}

Результаты расчета с помощью программы Frequenc.exe формируются в файле Wc-out.dat и имеют следующий вид: Computing Max Frequence dynamic system (Wc) and time of diskretization (dt) Variant 1. Computing Wc,dt --------------------------------------------------W(s)-Function of dynamic system 5.00E-0001 1.00E+0000 1.01E+0000 2.00E+0000 1.00E+0000 K^2=0.2450740 |Wа(jw)|^2-Qwadrat of module AFFX Wp(jw) (Co+,...CmW^(2m))/(Do+,...DnW(2n)) 1.00E+0000 4.00E+0000 1.00E+0000 1.94E+0000 9.80E-0001 Biqwadrat equation of Wc Wc^4-4078.420*Wc^2-1019.080=0 Qwadrat of poluse equation -2.50E-0001 0.00E+0000 j 4.08E+0003 0.00E+0000 j Max Frequence dynamic system Wc= 6.386E+0001 Time of diskretization dt= 4.919E-0002

64

4.4. Расчет непрерывной и дискретной матричной модели Пример. Задана математическая модель объекта наблюдения в виде передаточной функции следующего вида W (s) =

h( s ) 0,5 + 16s = u ( s) + v( s) s 4 + 4,85s 3 + 11,8s 2 + 16,6s + 11,2 .

Преобразование передаточных функций в матричные модели производят стандартными методами, например, методом нормальной формы Коши. Определение матричной модели ОН методом Коши производится с помощью электронной таблицы Excel. Результаты расчета непрерывной матричной модели представлены на скрин-копии электронной таблицы (рисунок 4.5).

Детерминированное входное воздействие u(t) задано суммой ступенчатой и гармонической функций. Стохастическая составляющая g(t) определяется формирующим фильтром D с белый шумом возмущения v(t) приведенном ко входу (интенсивность шума возмущения Q=0,7). Модель ОН имеет: X - вектор состояния системы; h(t) - сигнал выхода. X& = AX + Bu + Dv , h = CX , где A, B, D – переходные матрицы состояния (матрицы коэффициентов); С - матрица линейного преобразования размера mxn. 1 0 0 0 . C=  0 1 0 0 Измеряются два параметра объекта наблюдения: выходной сигнал и его производная. Уравнение измерений удовлетворяет линейному соотношению:

Рисунок 4.5. Таблица для расчета матриц непрерывной модели

Для расчета дискретной модели требуется определить период дискретности dt. На основании импульсной теоремы dt=π/ωm, где ωm – максимальная частота пропускания системы. Вычисление периода дискретности производится в электронной таблице Excel (см. рисунок 4.6).

Y (t ) = CX (t ) + N (t ) , где N(t) - вектор шумов, М[ N ( t ) N Т (t )] = R (t ) . Измерения производятся с шумами (интенсивности шумов r11=13, r22=0,3). Дискретная модель

X ( k +1) = FX ( k ) + Gu ( k ) + Tv( k )

Рисунок 4.6. Реализация инструмента “Подбор параметра” для расчета dt

.

Матрицы F, G, T зависят от A, B, D Период дискретности dt для вычисления этих матриц выбирается исходя из полосы пропускания динамической системы в соответствии с импульсной теоремой [21]. 65

Метод расчета основан на определении ωm, когда затухание амплитудночастотной характеристики ограничено на уровне δ от уровня при ω = ω0 = 0. | (

)| = | ( 66

)| .

При δ = 10-3 это уравнение приобретает вид ω + 0,0775ω + 0,62ω − 10 ω − 10

= 0.

Метод расчета основан на использовании инструмента Excel “Подбор параметра”. В ячейке G8 набирается формула биквадратного уравнения, где в качестве неизвестного параметра x = (ωm)2 используется изменяемая ячейка $F$8.

В выделенной ячейке получена остаточная ошибка расчета, а в ячейках H8, I8 найденные значения ωm и dt. Дискретная модель содержит матрицы F, G, T ( F = I + ΨA⋅ dt , G = ΨD ⋅ dt ). Алгоритм расчета основан на представлении матричной экспоненты в виде ряда Тейлора. При этом используется вспомогательная матрица Ψ=I+A

dt dt k . + ,..., + A k 2 ( k + 1)!

Итерационный расчет ψ производится до достижения условия точности  Ψ( k +1) − Ψ(k ) abs Ψ( k +1) 

где

Рисунок 4.7. − Инструмент “Подбор параметра”

 , 