Элементы динамики упругих систем: Учебно-методическое пособие

Ф е де рал ь ное аге нт с т во по образованию Гос ударс т ве нное образоват е л ь ное уч ре ж де ние вы с ш е го профе с с ионал ь ного образования «Вороне ж с кий Гос ударс т ве нны й У ниве рс ит е т »

Э Л Е МЕ Н Т Ы Д И Н А МИ К И У П Р У Г И Х С И С Т Е М

Уч е бно-ме т одич е с кое пос обие дл я с т уде нт ов и магис т ров с пе циал ь нос т и «П рикл адная мат е мат икаи информат ика» 010500 (510200).

В оронеж 2005

2

Ут ве рж де но науч но-ме т одич е с ким с ове т ом факул ь т е т аП М М (24.06.2005 года, прот окол №7)

Сос т авит е л и: Ст ры гин В.В. Се мы кинаТ.Д.

Уч е бно-ме т одич е с кое пос обие подгот овл е но на кафе драх ТиП М и ВМ факул ь т е т аП М М Вороне ж с кого гос ударс т ве нного униве рс ит е т а. Ре коме ндуе т с я дл я с т уде нт ов и магис т ров факул ь т е т а П М М , обуч аю щихс я по с пе циал ь нос т и 510200 (П рикл адная мат е мат ика и информат ика) при изуч е нии с пе цкурс а«Совре ме нны е пробл е мы е с т е с т вознания», при вы пол не нии курс овы х, дипл омны х работ и магис т е рс ких дис с е рт аций, а т акж е при с амос т оят е л ь ной работ е с т уде нт ов.

3

Соде рж ание 1. Вве де ние 2. М е ханич ес кие с войс т варазл ич ны х мат е риал ов 2.1. Упругие с ре ды 2.2. Упруго-пл ас т ич е с кие с реды 2.3.Вязко-упругое пове де ние мат е риал ов 3. Напряж ённо-де формированное с ос т ояние т вёрды х т ел 3.1. Сил ы вне ш ние и внут ре нние . Напряж е ния как ме ра внут ре нних с ил 3.2. Уравне ния равнове с ия / движ е ния. Симме т рич нос т ь т е нзора напряж е ний 3.3.Де формированное с ос т ояние т ве рды х т е л 4.О с новны е с оот нош е ния дл я упругого т е л а 4.1 Работ аде формации в де формируе мом т е л е 4.2. Упругос т ь . Упругий пот е нциал . Закон Гука 4.3.П ол ная с ис т е мауравне ний т е ории упругос т и 5. Вариационны е принципы упругос т и 5.1. Вариационное уравне ние движ е ния 5.2. Вариационный принцип Л агранж а 6. О дноме рная динамич е с кая упругая задач а 6.1. П родол ь ные кол е бания с т е рж не й 6.2. К рут ил ь ны е кол е бания цил индрич е с ких с т е рж не й 6.3.И згибные кол е бания с т е рж не й Л ит е рат ура

4 4 4 6 7 8 8 11 12 14 14 16 18 19 19 21 21 21 23 25 30

4

1. В ведение Нас т ояще е пос обие пре дназнач е но дл я с т уде нт ов и магис т ров с пе циал ь нос т и прикл адная мат е мат ика факул ь т е т а П М М по с пе цкурс у «Совре ме нные пробл е мы е с т е с т вознания», ат ак ж е как допол нит е л ь ное пос обие при вы пол не нии курс овы х и дипл омных работ . В пос обии приводят с я не обходимые с ве де ния о ме ханич е с ких с войс т вах мат е риал ов, а т акж е с оде рж ат с я ос новны е пос т ановки задач т е ории упругос т и. Дал е е рас с мат риваю т с я динамич е с кие задач и дл я разл ич ных упругих т е л , приводят с я упрощаю щие гипот е зы, кот оры е принят ы в т е ории де формируе мы х т е л , ч т о позвол яе т ис пол ь зоват ь эт и задач и дл я конкре т ных мат е мат ич е с ких ис с л е дований и, кроме т ого, даёт возмож нос т ь с т уде нт ам пол уч ит ь навы ки с амос т оят е л ь ной пос т ановки задач дл я других т ел . 2. Механическиес войс тва различныхматериалов Допол нит е л ь ны е внут ре нние с ил ы – напряж е ния, кот оры е с вязаны с изме не ние м взаимного рас пол ож е ния эл е ме нт арны х ч ас т иц, проис ходящим при нал ич ии вне ш не го возде йс т вия, дол ж ны бы т ь с вязаны функционал ь ной завис имос т ь ю с де формациями, возникаю щими при де йс т вии эт их с ил на т е л о. Э т у завис имос т ь мож но ус л овно запис ат ь в виде

()

σ ij = φ ε ij .

Ус т ановл ение эт ой завис имос т и и опре де л е ние напряж е ний и де формаций, кот оры е возникаю т под заданны м вне ш ним возде йс т вие м, явл яю т с я ос новной задач е й ме ханики с пл ош ны х с ре д. 2.1. У пругиесреды Наибол е е т ипич ны м явл яе т с я с войс т во упругос т и при мал ы х де формациях, не пре вы ш аю щих пре де л а т е куч е с т и, кот орое мат е мат ич е с ки выраж ае т с я в форме законаГука[1]: σ =Еε

,

(2.1.1)

где Е - модул ь продол ь ной упругос т и ил и модул ь Ю нга. М одул ь продол ь ной упругос т и характ е ризуе т с опрот ивл е ние мат е риал а упругой де формации рас т яж е ния – с ж ат ия. О ч е видно, де формации рас т яж е ния в одном направл е нии, наприме р ε 1 , с опровож даю т с я появл е ние м деформаций в попе ре ч ны х направл е ниях ε 2 ,ε 3 прот ивопол ож ного знака, прич ём дл я упругих мат е риал ов попе ре ч ной де формации к продол ь ной ос т аёт с я пос т оянным:

от нош е ние

5 ε 2 = ε 3 = −νε 1

(2.1.2)

П ос т оянная ν назы вае т с я коэффицие нт ом П уас с она. Дл я мат е риал ов он бл изок к 0.3. Вообще ж е дл я вс е х мат е риал ов

многих

0 ≤ ν ≤ 0.5 .

Знач е ние ν = 0 с оот ве т с т вуе т мат е риал у, попе ре ч ное с е ч е ние кот орого не ме няе т с я при рас т яж е нии-с ж ат ии (например, пробка). Знач е ние ν = 0 .5 с оот ве т с т вуе т не с ж имае мому мат е риал у, объ ём кот орого не ме няе т с я при де формации. Знач е ние м ν , бл изким к 0.5, обл адае т ре зина. Соот нош е ние (2.1.1) дл я упругих мат е риал ов с праве дл иво и при нагруж е нии и при разгрузке , пос л е с нят ия нагрузок упругое т е л о возвращае т с вои пе рвонач ал ь ны е разме ры и форму, поэт ому при де формировании упругих т е л ис т ория нагруж е ния не име е т знач е ния, напряж ённо-де формированное с ос т ояние завис ит т ол ь ко от коне ч ных нагрузок и на замкнут ом цикл е де формирования не проис ходит пот е ри эне ргии. О бобще ние м с оот нош е ний (2.1.1) на т рёхме рное нагруж е ние явл яе т с я закон Гука:

( ( (

( ( (

)) )) ))

1 σ −ν σ + σ , 22 33 Е 11 1 ε = σ −ν σ + σ , 22 22 11 33 Е 1 ε = σ −ν σ + σ , 33 33 22 11 Е

ε = 11

2(1 + ν ) σ 12 , Е 2(1 + ν ) γ = 2ε = σ 13 , 13 13 Е 2(1 + ν ) γ =ε = σ 23 . 23 23 Е γ

12

= 2ε

12

=

(2.1.3)

Е с л и рас с мат ривае т с я не л ине йно - упругий мат е риал , т о проце с с нагрузки и разгрузки идёт поч т и по одной и т ой ж е кривой. (См. рис . 1).

σ

разгрузка

ε Рис . 1. Диаграммарас т яж е ния не л ине йно-упругого мат е риал а. В эт ом с л уч ае , т ак ж е как и при л ине йной упругос т и, не проис ходит рас с е яния эне ргии.

6

2.2. У пруго-плас тические с реды В от л ич ие от упругих с ре д пл ас т ич е с кое де формирование приводит к не обрат имому рас с е янию эне ргии, зат рач е нной наде формирование образца. Х аракт е рной ос обе ннос т ь ю проце с с а упруго-пл ас т ич е с кого де формирования явл яе т с я от с ут с т вие однознач ной завис имос т и ме ж ду напряж е ние м и де формацие й. За пре де л ом т е куч е с т и де формация с ос т оит из двух ч ас т е й: упругой - ε (е ) , кот орая ис ч е зае т при пол ной разгрузке , и пл ас т ич е с кой - ε ( р ) , кот орая с охраняе т с я в т е л е пос л е разгрузки [2,5]: ε = ε (е ) + ε ( р ) ,

прич ём, ε (е ) =

σ , ε ( р) = 0 Е

т ак ч т о ε=

при ε p ε s .

σ + ε ( р) . Е

Суще с т вуе т много разл ич ны х т е орий опис ания ос новны х завис имос т е й пл ас т ич е с кого де формирования. Наибол е е упот ре бимы в инж е не рной практ ике : т е ория т еч е ния и де формационная т е ория. Т еория плас тического течения ос новананас л е дую щих пре дпол ож е ниях: 1) т е л о изот ропно; 2) от нос ит е л ь ное изме не ние объ ёма явл яе т с я упругой де формацие й, пропорционал ь ной с редне му давл е нию ; 3) компонент ы пол ной де формации ε ij с кл ады ваю т с я из компоне нт упругой де формации ε (e )ij и компоне нт пл ас т ич е с кой де формации ε ( p )ij ; 4) вы пол няю т с я ус л овия т е куч е с т и F( σ ij , ε ij )=0; 5) прираще ния компоне нт пл ас т ич е с кой де формации пропорционал ь ны с оот ве т с т вую щим компоне нт ам де виат орат е нзоранапряж е ний 1 s ij = σ ij − σ kk δ ij . 3

И з эт их пре дпол ож е ний вы т е каю т уравне ния П рандт л я-Ре йс а

где к =

1 − 2ν Е

dε = 3k dσ ; 1 1 d (ε x − ε ) = ds + dλs x ;............; 3 2G x 1 dγ xz = dσ xz + 2dλσ xz G

(2.2.1)

-коэффицие нт объ ёмного с ж ат ия, dλ - не кот оры й бе с коне ч но

мал ы й с кал ярный множ ит е л ь , с вязанны й с пл ас т ич е с кой де формации с оот нош е ние м

прираще ние м работ ы

7 dA = 2dλτ 2 i ; τ i = g (γ i )γ i ,

(2.2.2)

где g (γ i ) - пол ож ит е л ь ная функция, характ е рная дл я данного мат е риал аи не завис ящая от вида напряж ённого с ос т ояния, поэт ому е ё мож но опре де л ят ь , наприме р, из опы т ов напрос т ое рас т яж е ние . В с ос т оянии т е куч е с т и τ i2 = const . В эт ом с л уч ае не т однознач ной завис имос т и прираще ний компоне нт пл ас т ич е с кой де формации компонент напряж е ния и их прираще ния. Е с л и рас с мат ривае т с я упроч няю ще е с я т е л о, т о

( )

A p = Φ σ ij .

()

()

dλ = F τ i dτ i , где F τ = i

от

( ).

Φ′ τ

i 2

2τ i

В с л уч ае упроч не ния уравне ния (2.2.1) ус т анавл иваю т однознач ную завис имос т ь прираще ний компоне нт де формации от напряж е ний и их прираще ний. Уравне ния (2.1) с праве дл ивы при dτ i f 0 . П ри dτ i ≤ 0 проис ходит разгрузка. 2.3.В язко-упругоеповедениематериалов П ри бол ь ш их с корос т ях де формирования мат е риал а в нём могут проявл ят ь с я с войс т вавязкос т и. Суще с т вую т разл ич ны е моде л и пове де ния вязкоупругих мат е риал ов, кот оры е пре дл агаю т разл ич ны е комбинации упругих и вязких с войс т в. Модель Ф ойгта – одна из прос т е йш их моде л е й, опис ываю щих вязкоупругое пове де ние мат е риал а. Э т а ме ханич е с кая моде л ь с ос т оит из упругой пруж ины (с модул е м упругос т и G), с ое динённой парал л е л ь но с вязким эл е ме нт ом (с коэффицие нт ом вязкос т и η ). П ри л ю бом знач е нии вне ш не й с ил ы де формации пруж ины и вязкого эл е ме нт аодинаковы (с м. рис . 2).

G

Р

Р

η

Рис . 2. М оде л ь Ф ойгт а.

8

П риме нив к эт ой моде л и закон Гука и закон вязкос т и Нь ю т она, пол уч им s ij (t ) = 2Gε ij (t ) + 2ηε&ij (t ) ,

(2.3.1)

где s ij = σ ij − σδ ij , σ =

(

1 σ + σ 22 + σ 33 3 11

)

, ε&ij =

dε ij (t ) dt

.

М нож ит е л ь 2 появл яе т с я вс л е дс т вие т ого, ч т о с двиговая компоне нт а т е нзора де формаций ε ij равнапол овине с оот ве т с т вую ще й де формации с двига. Модель Макс велла. Другой прос т ой моде л ь ю , приме няе мой дл я опис ания вязко-упругого пове де ния, явл яе т с я моде л ь М акс ве л л а (рис . 3), с ос т оящая из пруж ины и вязкого эл е ме нт а, с ое динённы х пос л е доват е л ь но.

Р

Р

Рис . 3. М оде л ь М акс ве л л а. В т акой моде л и пол ная де формация с кл ады вае т с я из де формации пруж ины и вязкого эл е ме нт а, а напряж е ния в пруж ине и в вязком эл е ме нт е одинаковы . О с новное диффе ре нциал ь ное уравне ние , опис ы ваю ще е эт у моде л ь , име е т вид 2е&ij (t ) =

1 1 s ij (t ) + s&ij (t ).. η G

(2.3.2)

3. Н апряженно-деф ормированное сос тояниетверды хтел 3.1. С илы внеш ние и внутренние. Н апряжения как мера внутренних сил О с новной рас ч е т напряж е нно-де формированного с ос т ояния де формируе мы х т е л явл яе т с я понят ие с пл ош ной с ре ды : с ч ит ае т с я, ч т о мат е риал рас пре де л е н во вс е м объ е ме т е л ане пре ры вно и равноме рно. П ри нагруж е нии разл ич аю т двавидавне ш них с ил [3] : 1) объ е мны е ил и мас с овы е , кот оры е де йс т вую накаж дую ч ас т ицу т е л а, наприме р, с ил а т яж е с т и ил и с ил ы ине рции. Э т и с ил ы характ е ризую т с я инт е нс ивнос т ь ю от нос ит е л ь но е диницы мас с ы : Q (Q i), т огда на эл е ме нт е динич ного объ ёма т е л а пл от нос т ь ю ρ будут де йс т воват ь с ил ы с компоне нт ами ρQ i, ,

9

2) поверхнос т ны е с ил ы де йс т вую т на пове рхнос т и т е л а и явл яю т с я ре зул ь т ат ом взаимоде йс т вия т е л а с другими т е л ами. Э т и с ил ы рас пре де л яю т с я по вс е й пове рхнос т и т е л а ил и по е е ч ас т и. Х аракт е рис т икой эт их с ил явл яе т с я T (Ti) –инт е нс ивнос т ь пове рхнос т ны х с ил , прил ож е нны х к е динице пове рхнос т и т е л а. П од де йс т вие м вне ш них с ил т е л о нач инае т де формироват ь с я, ч т о приводит к изме не нию рас с т ояния ме ж ду т оч ка т е л а и к возникнове нию внут ре нних с ил . Чт обы ис с л е доват ь внут ре нние с ил ы, нам не обходимо вы ве с т и их в разряд вне ш них. Дл я эт ого мы с л е нно разобь е м т е л о не кот орой пл ос кос т ь ю S на две ч ас т и: V1 и V2 . Де йс т вие каж дой ч ас т и на другую заме ним внут ре нними с ил ами T (xi), с е ч ение буде м характ е ризоват ь нормал ь ю ν . Рас с мот рим т оч ку М с е ч е ния. Е с л и с ч ит ат ь с е ч е ние S границе й ч ас т и V1 и ч е ре з T ν обознач ит ь с ил ы, де йс т вую щие с о с т ороны объ ёмаV2, т о напове рхнос т и S, принадл е ж аще й ч ас т и V2 , будут де йс т воват ь с ил ы T -ν . V1

T S

−ν

M M

ν

r T

−ν

Рис . 4 К опре де л е нию внут ре нних с ил с помощь ю ме т одас е ч е ний. О ч е видно, T -ν = - T ν

(3.1.1)

П ри обознач е нии внут ре нних с ил не обходимо вводит ь указание нанормал ь к с е ч е нию S - ν , т ак как в завис имос т и от рас пол ож е ния с е ч е ния будут рас с мат риват ь с я разл ич ны е ч ас т и т е л аи разл ич ны е с овокупнос т и вне ш них с ил , ч т о приве де т к другим внут ре нним с ил ам. О т нос ит е л ь но объ е мов V1 ил и V2 с ил ы T ν будут пове рхнос т ны ми, и их инт е нс ивнос т ь на е диницу пове рхнос т и обознач им σ ν ( x ). σ ν ( x ) назы вае т с я ве кт ором напряж е ний в т оч ке x т е л а на пл ощадке с нормал ь ю ν .

10

П окаж е м, ч т о в каж дой т оч ке т е л анапряж е ния σ ν ме няю т с я при изме не нии с е ч е ния , но не произвол ь но. Рас с мот рим в т оч ке т ри взаимно пе рпе ндикул ярные пл ощадки, нормал и к кот оры м приме м запрямоугол ь ны е координат ны е ос и x1, x2, x3. x3

x3

σ 32

σ 31

x3

σ 33 σ 22

σ 12

σ 21

x2 x2

x1

σ 23 x1

σ 13

σ 11

x2

x1

Рис .5. К омпоне нт ы напряж е ний накоординат ны х пл ощадках. Напл ощадке , орт огонал ь ной к ос и xi, обознач им ве кт ор напряж ений ч е ре з σ i, а компоне нт ы е го разл ож е ния на координат ны е ос и ч е ре з σ ij (пе рвы й инде кс опре де л яе т направл е ние прое кции ве кт ора напряж е ний на координат ной пл ощадке , вт орой – направл е ние нормал и к пл ощадке ). В произвол ь ной т оч ке мы с л е нно выде л им мал ый т е т раэдр, т ри грани кот орого орт огонал ь ны координат ны м ос ям, а ч е т ве рт ая име е т нормал ь ν с направл яю щими кос инус амиν i (ν iν i =1). На эт ой пл ощадке де йс т вуе т ве кт ор напряж е ний σ ν с компоне нт ами σ iν . Ес л и обознач ит ь пл ощадь гране й ч е ре з dsi, dsν , т о накаж дой грани ре зул ь т ирую щая внут ре нних с ил буде т σ idsi (i=1,2,3) и σ ν dsν . Так как под де йс т вие м эт их с ил т е т раэдр дол ж е н находит ь с я в равнове с ии, с уммавс е х с ил , прил ож е нных к не му, дол ж наравнят ь с я нул ю σ ν dsν + σ -1ds1 + σ -2ds2 + σ -3ds3 =0 И с пол ь зуя ус л овие (3.1.1) и выраж е ние прое кции накл онной пл ощадки на координат ные dsi = dsν ν i , пол уч им : σ ν dsν -σ 1ν 1dsν -σ 2ν 2dsν -σ 3ν 3 dsν =0. σ ν =σ iν i В пре ды дуще м раве нс т ве приме няе м правил о повт оряю щимс я инде кс ам. Дл я компоне нт напряж е ний нанакл онной пл ощадке

(3.1.2) с уммирования

по

11

σ iν =σ ijν i

(3.1.3)

Раве нс т ва (3.1.2) и (3.1.3) доказы ваю т , ч т о напряж е ния в т оч ке на л ю бой накл онной пл ощадке могут бы т ь вы раж е ны ч е ре з напряж е ния накоординат ны х пл ощадках. Таким образом, в каж дой т оч ке не т не обходимос т и опре де л ят ь бе с коне ч ное множ е с т во напряж е ний, дос т ат оч но найт и 9 напряж е ний σ ij на координат ных пл ощадках. М ож но показат ь , ч т о σ ij явл яю т с я компоне нт ами т е нзора 2-го ранга, кот оры й назы ваю т т е нзором напряж е ний. Свойс т ва т е нзора напряж е ний с м. в [1]. Е с л и пл ощадка с нормал ь ю ν вы ходит на т у ч ас т ь пове рхнос т и т е л а ST, где заданы пове рхнос т ны е с ил ы T , ве кт ор напряж е ний на эт ой пл ощадке дол ж е н с овпадат ь с ве кт ором пове рхнос т ных с ил σν =T

наST ,

(3.1.4)

ил и σ ijν i =T наST .

(3.1.5)

Соот нош е ния (3.1.4) ил и (3.1.5) явл яю т с я гранич ными ус л овиями дл я напряж е ний. 3.2. У равнения равновес ия / движения Э л е ме нт , выре занны й внут ри т е л а, дол ж е н находит ь с я в равнове с ии, е с л и т е л о нагруж ае т с я квазис т ат ич е с ки, т о е с т ь ме дл е нно изме няю щимис я с ил ами. Е с т е с т ве нно пре дпол ож ит ь , ч т о напряж е ния в т е л е ме няю т с я не пре ры вно и при мал ы х изме не ниях координат могут бы т ь пре дс т авл е ны рядом Тейл ора (с м. рис .6) x3

σ 13 +

F

σ 12 σ 31

σ 22 σ 32

A x1

∂σ 13 ∂x 3

σ 21

∂σ 31 + dx1 ∂x1

σ 21 +

O σ 11 +

∂σ 33 dx 3 ∂x 3 ∂σ 23 σ 23 + dx3 dx 3 ∂x3

σ 33 +

G

∂σ 11 dx1 ∂x1

∂σ 21 dx1 ∂x1

σ 22 +

σ 31

σ 12 +

∂σ 12 dx2 ∂x2 C

∂σ 22 dx 2 ∂x 2

x2 B

σ 33

Рис .6. Напряж е ния

∂σ 32 dx 2 ∂x 2

σ 32 +

E

σ 11

σ 13

σ 23

D

в эл е ме нт е .

12

Согл ас но законам с т ат ики равнодейс т вую щая и гл авны й моме нт вс е х с ил , прил ож е нны х к эл е ме нт у, дол ж ны бы т ь равны нул ю , ч т о приводит к т ре бованию приравнят ь к нул ю с умму вс е х прое кций с ил на каж дую координат ную ос ь и с умму моме нт ов с ил от нос ит е л ь но каж дой ос и. П ос л е дне е т ре бование дае т с имме т рич нос т ь т е нзоранапряж е ний [3] σ ij=σ ji .

(3.2.1)

Таким образом, т е нзор напряж е ний име е т 6 разл ич ных компонент вме с т о 9. Уравне ние раве нс т ва нул ю равноде йс т вую ще й вс е х с ил приводит к уравне ниям равнове с ия ∂σ ij

+ ρQi = 0 . (3.2.2) ∂x j Три уравне ния равнове с ия с оде рж ат 6 не изве с т ны х напряж е ний, поэт ому их не дос т ат оч но дл я ре ш е ния задач и, т о е с т ь задач ас т ат ич е с ки не опреде л има. Е с л и вне ш ние с ил ы, прил ож е нны е к т е л у, ме няю т с я нас т ол ь ко бы с т ро, ч т о мы не мож е м пре не бре ч ь ус коре ние м т оч е к т е л а, т о при с уммировании вс е х с ил , прил ож е нны х к эл е ме нт у, не обходимо уч ит ы ват ь с ил ы ине рции, компоне нт ы ∂ 2u кот орых на координат ны е ос и - (- ρ 2i ) ( ui - пе ре ме ще ние в направл е нии ∂t координат ных ос е й, t - вре мя). В эт ом с л уч ае вме с т о уравне ний равнове с ия не обходимо ис пол ь зоват ь уравне ния движ е ния

∂σ ij

∂ 2ui + ρQi = ρ 2 . ∂x j ∂t

(3.2.3)

3.3. Д еф ормированноесос тояниетвердыхтел П ри нагруж е нии де формируе мы х т е л каж дая их т оч капол уч ае т пе ре ме ще ние u ( x ), ч т о приводит к изме не нию рас с т ояний ме ж ду т оч ками т е л аи угл ов ме ж ду ис ходящими из одной т оч ки л ине йны ми эл е ме нт ами. За ме ру удл ине ния эл е ме нт адл иной l принимаю т от нос ит е л ь ное удл ине ние e=

∆l . l

(3.3.1)

∆l -изме не ние дл ины эл е ме нт ав проце с с е де формирования. Е с л и эл е ме нт рас пол ож е н пе рвонач ал ь но в направл е нии ос и xi и име е т дл ину ∆xi , т о е го удл ине ние буде т ∆ui , т ак как ui - пе ре ме ще ние нач ал а от ре зка в

13

направл е нии удл ине ние

xi ,

u i + ∆u i

- пе ре ме ще ние

ei =

конца от ре зка. О т нос ит е л ь ное

∆u i . ∆x i

П ре де л ь ны м пе ре ходом находим де формацию в т оч ке в направл е нии ос и xi eii = lim ∆xi →0

∆u i ∂u i = ( не с уммироват ь по I !). ∆xi ∂xi

(3.3.2)

Е с л и рас с мот ре т ь 2 эл е ме нт а, вы ходящие из одной т оч ки в направл е нии взаимно пе рпе ндикул ярны х ос е й, т о к изме не нию угл а ме ж ду ними приводит нал ич ие пе ре ме ще ний концов от ре зков в направл е нии, пе рпе ндикул ярном от ре зкам. Э л е мент арны е ге оме т рич е с кие рас ч е т ы показы ваю т , что пе рвонач ал ь но прямой угол ме ж ду от ре зками изме няе т с я наве л ич ину γ ij =

∆u i ∆u j + . ∆x j ∆xi

Чт обы опреде л ит ь изме не ние угл аме ж ду пе рвонач ал ь но пе рпе ндикул ярны ми направл е ниями в т оч ке , пе ре йде м к пре де л у и пол уч им угл овую де формацию eij =

∂ui ∂u j + ∂x j ∂x j

(i ≠ j ) .

(3.3.3)

Е с л и вве с т и компоне нт ы

∂u j 1 ∂u ε ij = ( i + ), 2 ∂x j ∂xi

(3.3.4)

1 2

т о ε ij = eij при i = j и ε ij = eij при i ≠ j . К омпоне нт ы ε ij с ос т авл яю т т е нзор вт орого ранга, кот оры й назы вае т с я т е нзором де формации. Соот нош е ния (3.3..4) опре дел яю т т е нзор де формаций ч е ре з пол е пе ре ме ще ний ui , они назы ваю т с я с оот нош е ниями К ош и. Свойс т ваде формации подробне е с мот ри в [1]. О днако не л ю бы е 6 функций ε ij (x) могут опис ы ват ь де формации, т о е с т ь с оот ве т с т воват ь 3 функциям ui (x) по с оот нош е ниям К ош и, дл я эт ого ос и дол ж ны удовл е т ворят ь ус л овиям инт е грируе мос т и с оот нош е ний (3.3.4) от нос ит е л ь но пе ре ме ще ний ui . И с кл ю ч ая пе ре ме ще ния из с оот нош е ний (3.3..4), пол уч им

14

∂ 2ε jk ∂ 2ε jl ∂ 2ε il ∂ 2ε ik =0 − − + ∂x j ∂xl ∂xi ∂xk ∂x j ∂xk ∂xi ∂xl

( i, j , k , l =1,2,3)

(3.3.5)

Соот нош е ния (3.3.4) т ож де с т ве нно удовл е т воряю т (3.3.5), е с л и ж е при ре ш е нии задач и не ис пол ь зовал ис ь с оот нош е ния К ош и (3.3.4), т о не обходимо уч ит ы ват ь ус л овия с овме с т нос т и (3.3.5). 4.О сновны ес оотнош ения для упругого тела 4.1 Р абота деф ормации в деф ормируемом теле И з пре ды дуще го оч е видно, ч т о е ще не возмож но пол уч ит ь с ис т е му дл я опре де л е ния напряж е ний и де формаций. Дл я т ого ч т обы эт о с т ал о возмож ны м, не обходимо с формул ироват ь с оот нош е ния ме ж ду напряж е ниями и де формациями, ч т о пре дпол агае т опре де л е ние с войс т в с ре ды . Рас с мот рим упругие с ре ды, кот оры е пос л е с нят ия вне ш них нагрузок, вы звавш их де формацию , возвращаю т с я в пе рвонач ал ь ное с ос т ояние . Согл ас но пе рвому закону т е рмодинамики, изме не ние пол ной эне ргии т е л а равно с умме работ ы вне ш них с ил δΑ при данном эл е ме нт арном проце с с е и с ообще нному т е л у кол ич е с т ву т е пл от ы δQ , изме ряе мому эквивал е нт ной е му работ ой, т .е . δΚ + δU = δΑ + δQ ,

(4.1.1)

зде с ь δΚ -изме не ние кине т ич е с кой эне ргии т е л а при е го эл е ме нт арном пе ре ходе в новое с ос т ояние , δ U - прираще ние внут ре нне й эне ргии т е л а. • ∂u Вы ч ис л им δΚ . В с л уч ае мал ы х пе ре ме ще ний i = ui . Тогдакине т ич е с кая ∂t эне ргия т е л аопре де л яе т с я раве нс т вом 1 • Κ = ∫ ui ui ρdV , (4.1.2) 2V где инт е грал бе ре т с я по вс е му объ е му т е л а. И зме не ние кине т ич е с кой эне ргии завре мя δt ••

δK = ∫ uiδui ρdV .

(4.1.3)

V

Работ а вне ш них с ил за т от ж е пе риод опре де л ят ь с я по формул е

вре ме ни δt , оч е видно, буде т

15

δΑ = ∫ ρQiδu i dV + ∫ Tiδui ds V

(4.1.4)

S

Ф ормул а(4.1..3) и(4.1.4) с праве дл ивадл я л ю бой с пл ош ной с ре ды бе з уч е т ае е с войс т в. Вт орой инт е грал в формул е (4.1.4) по формул е О с т роградс кого пре образуе м в инт е грал по объ е му т е л а, ис пол ь зуя гранич ны е ус л овия (3.1.5),

∫ Tiδui ds = ∫ σ ijν iδui ds = ∫ S

S

∂ (σ ijν iδui ) ∂xi

V

dV = ∫ ( V

∂σ ij ∂xi

δui + σ ij

∂ (δui ))dV ∂xi

П одс т авив пол уч е нное вы раж е ние в (4.1.4), пол уч им δA = ∫ ( V

∂σ ij

+ ρQi )δui dV + ∫ σ ij

∂xi

V

∂ (δui ) dV ∂xi

И с пол ь зуя ус л овие с имме т рии дл я напряж е ний σ ij = σ ji подынт е грал ь ное вы раж е ние во вт ором инт е грал е

, пе ре пиш е м

1 1 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (δu ) = (σ (δu ) + σ (δu )) = σ ( (δu ) + (δu )) = i ij i ji j ij i j 2 2 ∂x j ∂x j ∂xi ∂x j ∂xi 1 ∂ ∂ (δu ) + (δu )) = σ δε = σ ij δ ( ( i j ij ij 2 ∂x ∂xi j

σ ij

Таким образом, δA = ∫ ( V

∂σ ij ∂x j

+ ρQi )δu i dV + ∫ σ ij δε ij dV .

(4.1.5)

V

Уч ит ы вая (4.1.3) и (4.1.5), пол уч им δA − δK = ∫ ( V

∂σ ij ∂x j

••

+ ρQi − ρ u i )δu i dV + ∫ σ ij δε ij dV .

(4.1.6)

V

Уч ит ы вая, ч т о в каж дой т оч ке т е л авыпол няе т с я уравне ния движ е ния (3.2.3), из (4.1.6) пол уч им δA − δK = ∫ σ ij δε ij dV .

(4.1.7)

V

П ос л е дний инт е грал пре дс т авл яе т с обой прираще ние работ ы , зат рач е нной на де формацию ил и, как говорят , прираще ние работ ы де формации.

16

П одс т авив (4.1.7) в (4.1.1), пол уч им δU = ∫ σ ij δε ij dV + δQ .

(4.1.8)

V

То е с т ь прираще ние внут ре нне й эне ргии т е л а равно с умме прираще ний работ ы де формации и т е пл овой эне ргии, с ообщае мой т е л у. В с л уч ае адиабат ич е с кого де формирования т е л аδQ = 0 и из (4.1.8) пол уч ае м δU = ∫ σ ij δε ij dV

(4.1.9)

V

К ак видно из (4.1.9) , δW = σ ij δε ij

(4.1.10)

явл яе т с я уде л ь ной работ ой де формации, т о е с т ь де формации в е динице объ е мат е л а.

прираще ние м работ ы

4.2. У пругос ть . У пругий потенциал. Закон Г ука Спос обнос т ь т е л а вос с т анавл иват ь с вою нач ал ь ную форму и разме ры при ус т ране нии вне ш не го возде йс т вия назы ваю т с я упругос т ь ю . Тве рдое т е л о называе т с я иде ал ь но упругим, е с л и напряж е нное с ос т ояние в л ю бой е го т оч ке в произвол ь ны й моме нт де формирования завис ит т ол ь ко от де формации в эт ой т оч ке т е л а и не напряж е нное с ос т ояние с оот ве т с т вуе т не де формированному. Таким образом, работ а внут ре нних с ил W опреде л яе т с я нач ал ь ны м и коне ч ны м де формированны м с ос т ояние м и не завис ит от конкре т ного пе ре ходаиз одного с ос т ояния в другое .

∫ δW = 0 .

О т с ю да с л е дуе т , ч т о δW явл яе т с я пол ны м диффе ре нциал ом. И з эт ого вы т е кае т , ч т о е с л и W-ф ункция не завис имы х компоне нт ε ij , т о σ ij =

∂W ∂ε ij

(4.2.1)

П ос л е дние с оот нош е ния назы ваю т с я формул ами Грина, а W( ε ij ) назы вае т с я уде л ь ны м упругим пот е нциал ом. Дл я мал ых де формаций разл ож им W в ряд Те йл ора

17

W (ε ij ) = W (ε ij ) ε ij =0

∂W 1 ∂ 2W + ⋅ ε ij + ⋅ ε ij ε kl + ... . ∂ε ij ε ij =0 2 ∂ε ij ∂ε kl ε ij =0

Так как в не де формированном с ос т оянии W( ε ij )=0, т о пос л е дне е с оот нош е ние запиш е м в виде 1 W (ε ij ) = Bij ε ij + Cijkl ε ij ε kl . 2 Зде с ь вве де но обознач е ние ∂W ∂ 2W Bij = ε =0 ; Cij = ε =0 . ∂ε ij ij ∂ε ij ∂ε kl ij

(4.2.2)

О ч е видно, ч т о Cijkl = Cklij = C jikl = Cijlk . И с пол ь зуя с оот ве т с т вие не де формированного с ос т ояния не напряж е нному и формул ы Грина, пол уч им, ч т о Bij = 0 , σ ij = Cijkl ε kl

(4.2.3)

Ф ормул ы (4.2.3) даю т с оот нош е ния ме ж ду напряж е ниями и деформациями в иде ал ь но упругом т е л е при мал ых де формациях и назы ваю т с я обобще нным законом Гука. Дл я изот ропного т е л а, с войс т ва кот орого по вс е м направл е ниям одинаковые , кол ич е с т во упругих конс т ант уме нь ш ае т с я до двух. Де йс т вит ел ь но, в данной т оч ке W( ε ij ) дл я изот ропного т е л а дол ж но бы т ь инвариант ом от нос ит е л ь но заме ны с ис т е мы координат и пре дс т авл ят ь с обой функцию вт орого порядка от нос ит е л ь но де формации, с л е доват е л ь но, эт а функция дол ж набы т ь вы раж е нач е ре з дваинвариант ат е нзораде формаций [3] W=

[

1 2 λJ (ε ) + 2 µJ 2 (ε ij ) 2 1 ij

Зде с ь J 1 = ε ii = θ , (θ -объ е мная де формация в т оч ке ),

]

(4.2.4) J 2 = ε ij ε ij .

W( ε ij ) как квадрат ич ная формакомпоне нт де формаций явл яе т с я пол ож ит е л ь но опре де л ённой функцие й. П одс т авл яя (4.2.4) в (4.2.1), пол уч им закон Гукадл я изот ропного т е л а: σ ij = λθδ ij + 2 µJ 2ε ij , ( δ ij -с имвол К роне ке ра) ил и ε ij =

1 λ (σ ij − σ kk δ ij ) . 2µ 3λ + 2µ

(4.2.5)

18

λ и µ с вязаны с упругими характ е рис т иками т е л а. И х мож но вы разит ь ч е ре з модул ь продол ь ной упругос т и ил и модул ь Ю нга - Е, и ч е ре з коэффицие нт попе ре ч ной де формации ил и коэффицие нт П уас с она-ν . Смы с л эт их конс т ант л е гко проил л ю с т рироват ь на приме ре одноос ного рас т яж е ния брус а, например, в направл е нии ос и x3 , при кот ором σ 33 = Eε 33 И т ак, λ=

;

ε11 = ε 22 = −νε 33 .

νE ; (1 + ν )(1 − 2ν )

µ=

E . 2(1 + ν )

П о с мыс л у конс т ант Е и ν с л е дуе т , ч т о Е >0, ν >0. Дл я ре ал ь ных мат е риал ов 0