Экономическая оценка инвестиций

1

Министерство образования Российской Федерации Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого ____________________________________________________________________ Кафедра прикладной экономики

ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ИНВЕСТИЦИЙ

Учебное пособие

Разработала: доцент кафедры ПЭК А.В. Заводина

ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД

2003

2

Экономическая оценка инвестиций. / Сост.: А.В. Заводина; НовГУ им. Ярослава Мудрого. – Великий Новгород, 2000.- 105 с.

Учебное пособие предназначено для студентов экономических специальностей, изучающих курс «Экономическая оценка инвестиций». Может быть полезным для специалистов, работающих на предприятиях в подразделениях, осуществляющих планирование инвестиционной деятельности.

3 СОДЕРЖАНИЕ ТЕМА 1 ОСОБЕННОСТИ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЦЕССА КАК ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЯВЛЕНИЯ ....4 ТЕМА 2 ДЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ, СВЯЗАННЫЕ С ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПРОЕКТОМ ...........................15 ТЕМА 3 МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ..25 ТЕМА 4 АНАЛИЗ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ..............37 ТЕМА 5. ИНВЕСТИРОВАНИЕ В ЦЕННЫЕ БУМАГИ ..........................................................................................48 ТЕМА 6 СТОИМОСТЬ КАПИТАЛА И СТРУКТУРА КАПИТАЛА ....................................................................62 ТЕМА 7 ТЕОРИИ СТРУКТУРЫ КАПИТАЛА: МОДЕЛЬ МОДИЛЬЯНИ – МИЛЛЕРА. ...............................75 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ........................................................................................................................86 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ОСНОВЫ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ..........................................................................87

4

ТЕМА 1 ОСОБЕННОСТИ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЦЕССА КАК ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЯВЛЕНИЯ Инвестирование – это долгосрочное вложение экономических ресурсов с целью создания и получения выгоды в будущем. Любые инвестиции связаны с отказом использования имеющихся средств для удовлетворения потребностей субъекта (или группы субъектов) в настоящее время, ради получения выгод в будущем. Очевидно, эти выгоды должны быть значительны, поскольку они должны компенсировать инвестору: − отсрочку в удовлетворении имеющихся у него потребностей на срок, необходимый для реализации инвестиционного проекта и возврата вложенных в него средств; − риск, связанный с возможностью потерять сделанные вложения, если проект окажется неудачным. Каждый потенциальный инвестор может выбрать следующие варианты вложений имеющихся у него средств: − вложения в реальные основные фонды (земля, оборудование и т.д.), приносящие доход или гарантирующие сохранность владений; − покупка ценных бумаг. Любой из этих путей соответствует следующему определению инвестиций. “Инвестиции – это расходы, приносящие выгоды за пределами текущего отчетного периода”. В процессе планирования инвестиций должны быть определены следующие позиции: • Размеры средств, которые могут быть инвестированы (следует иметь в виду, что инвестировать можно как собственные, так и заемные средства). • Требования к ликвидности приобретаемых активов. Ликвидные активы необходимы для осуществления платежей в ближайшем будущем или непредвиденных платежей. • Суммы уплачиваемых налогов до и после инвестирования. Доходы по некоторым видам инвестиций освобождаются от уплаты налогов, поэтому они могут оказаться более выгодными, чем те, что приносят большие доходы, но не имеют льгот по налогообложению. • Цели инвестиций. Инвестор должен четко представлять, какой доход он хочет получить от инвестиций (регулярные небольшие надежные платежи или большую прибыль в будущем). • Отношение к риску. Инвестор должен решить, что его больше устраивает: − получать значительный доход, но при этом идти на большой риск потерять все свои сбережения; − получать небольшой доход, но практически без всякого риска потерять свои вложения. Предусматривается использование следующих форм инвестиций: − денежные средства и их эквиваленты (целевые вклады, оборотные средства, кредиты, займы, залоги); − любое имущество, имеющееся в производстве и обладающее ликвидностью; − имущественные права, оцениваемые в денежном выражении (лицензии, патенты). Источниками инвестиций могут быть: − собственные финансовые средства (прибыль, накопления, амортизационные отчисления и т.д.); − заемные средства (кредиты банков, инвестиционных фондов, страховых и пенсионных фондов, облигационные займы и т.д.);

5

− ассигнования из федерального, региональных и местных бюджетов, предоставляемые на безвозмездной или льготной основе; − иностранные инвестиции, предоставляемые в форме участия в уставном капитале совместных предприятий, а также в виде прямых вложений в денежной форме различных международных организаций и финансовых институтов. Все коммерческие организации в той или иной степени связаны с инвестиционной деятельностью. Разработка инвестиционной политики фирмы предполагает выполнение следующих этапов: 1). Формирование долгосрочных целей деятельности фирмы. 2). Поиск новых перспективных сфер инвестирования. 3). Разработка инженерно-технологических, маркетинговых и финансовых прогнозов. 4). Подготовка бюджета капитальных вложений. 5). Оценка альтернативных проектов. 6). Оценка последствий реализации предшествующих проектов. На принятие решения об инвестировании оказывают влияние ряд факторов: 1). Причины, обуславливающие необходимость инвестиций. Причины, обуславливающие необходимость инвестиций, можно подразделить на три вида: − обновление имеющейся материально-технической базы; − наращивание объемов производственной деятельности; − освоение новых видов деятельности. Степень ответственности за принятие инвестиционного проекта в рамках того или иного направления различна. Так, если речь идет о замещении имеющихся производственных мощностей, решение может быть принято достаточно безболезненно, поскольку руководство фирмы ясно представляет себе, в каком объеме и с какими характеристиками необходимы новые основные средства. Задача осложняется, если речь идет об инвестициях, связанных с расширением основной деятельности, поскольку в этом случае необходимо учесть целый ряд новых факторов: − возможность изменения положения фирмы на рынке товаров и услуг; − доступность дополнительных объемов материальных, трудовых и финансовых ресурсов; − возможность освоения новых рынков сбыта и др. 2). Стоимость инвестиционного проекта. Важным является вопрос о размере предполагаемых инвестиций. Так, уровень ответственности, связанной с принятием проектов с объемом инвестиций соответственно 1 млн. руб. и 500 млн. руб., различен. Принятию решения должна предшествовать экономическая оценка инвестиционного проекта. 3). Множественность доступных проектов. Нередко решения должны приниматься в условиях, когда имеется ряд альтернативных или взаимоисключающих проектов, т.е. возникает необходимость сделать выбор одного или нескольких проектов, основываясь на каких-то формализованных критериях. Очевидно, что таких критериев может быть несколько, а вероятность того, что какой-то один проект будет предпочтительнее других по всем критериям значительно меньше 1. В этом случае приходится отдавать приоритет какому-то одному критерию, устанавливать их иерархию или использовать дополнительные неформализованные методы оценки. 4). Ограниченность финансовых ресурсов, доступных для инвестирования. Любая фирма имеет ограниченную величину свободных финансовых ресурсов, доступных для инвестирования. Поэтому всегда актуальна задача оптимизации инвестиционного портфеля. 5). Риск, связанный с принятием того или иного решения.

6

Весьма существенен фактор риска. Так, в момент приобретения новых основных средств никогда нельзя точно определить экономический эффект этой операции. Классификация инвестиционных проектов: а) По объемам капиталовложений: крупные, традиционные, мелкие. б) По виду выгод для фирмы, которые могут выражаться: − в увеличении денежных поступлений; − в снижении риска; − в косвенных выгодах (например, улучшение социального положения работников; сокращение затрат; выход на новые рынки сбыта). в) По степени взаимной зависимости. Это значит, что проекты могут быть: − полностью независимыми (решение о принятии проекта А не влияет на решение о принятии проекта Б); − взаимодополняющими (выполнение проекта А способствует росту доходов по проекту Б); − взаимоисключающими (если проект А выполняется, проект Б не может быть выполнен); − взаимозаменяемыми (выполнение проекта А снижает денежные поступления от проекта Б). г) По степени статистической взаимосвязи. Эта связь характеризует зависимость эффективности функционирования одного проекта от эффективности функционирования другого. Она может быть: − положительной; − отрицательной; − полностью отсутствовать. д) По типу денежных потоков. Обычный денежный поток (ординарный) – это поток, у которого знак за рассматриваемый период (т.е. период, на который рассчитан проект) меняется только один раз: - + + + ... Необычный поток (неординарный) – это поток, у которого знак меняется несколько раз: - + + - + - + +. е) По социальной направленности проекта. Например: коммерческая, оборонная, социальная и т.д. ж) По степени и характеру участия государства. Соответственно государство может либо непосредственно в нем участвовать (иметь пакет акций, финансировать и т.д.), либо предоставлять льготы (налоговые). з) По степени риска: рисковые (проекты, связанные с созданием новых производств и технологий); безрисковые (надежные ценные бумаги, приносящие стабильный доход, ГКО). Существуют значительные отличия инвестирования в материальные активы (реальные активы) и ценные бумаги. Особенности затрат на приобретение материальных активов (земля, сооружения, оборудование): а) Они требуют больших расходов. б) Фонды вкладываются на длительные периоды времени, причем решения об инвестициях нельзя (или очень трудно) изменить. в) Решения об инвестициях, как правило, оказывают решающее влияние на способность фирмы достичь своих финансовых целей. г) Решение о замене материальных активов определяет пути дальнейшего развития фирмы. д) Инвестиции в материальные активы требуют соответствующих инвестиций и в оборотный капитал.

7

Разработка инвестиционного проекта в реальные активы – сложный процесс, который включает четыре стадии (рис. 1-1). 1). Исследование, планирование и разработка проекта. 2). Реализация проекта. 3). Текущий контроль и регулирование в ходе реализации проекта. 4). Оценка и анализ достигнутых результатов по завершению проекта. 2. Реализация

3. Контроль

Предварительное исследование

Проверка по обратной связи бюджетных оценок

1. Планирование Предварительное исследование Формирование целей и задач Идентификация возможных проектов

Исполнение проекта: − производство; − продажа, сбыт; − издержки; − финансирование.

Проверка по обратной связи бюджетных оценок

4. Оценка и анализ

Аудиторская проверка после завершения проекта

Предварительная оценка проекта Анализ процедуры планирования

Уточненная оценка проекта

Экономическое обоснование проекта

обратная связь

Выполнение дополнительных требований и внесение корректировок Утверждение проекта

Установление источника финансирования

Рис. 1.1 Стадии разработки инвестиционных проектов в реальные активы Конкретное содержание решаемых задач зависит от особенностей проекта. При выборе второго пути осуществления инвестиций – инвестирование в ценные бумаги (ЦБ) проводится тщательный анализ ЦБ, имеющихся на рынке, и формируется инвестиционный портфель. Следует стремиться к оптимальной диверсификации портфеля с целью повышения его эффективности. Эффективный портфель – это набор инвестиционных проектов, обеспечивающий наивысшую норму доходности при приемлемом для инвестора уровне риска. Получение эффективного портфеля и является целью управления им. Управление портфелем – процесс динамичный, непрерывный. Весь комплекс решаемых при этом задач представлен на схеме рис. 1.2.

8

Инвестор

Финансовое положение, потребности, особенности характера

Цели инвестирования

Задачи формирования портфеля, уровень риска и доходности

Управление портфелем

Формирование альтернативных эффективных портфелей и выбор наиболее приемлемого с точки зрения достижения целей инвестирования

Анализ инвестиционных проектов

Анализ перспективных рисков и доходов от инвестиций

Монетарная, финансовая ситуация, условия протекания деловой активности

Рис. 1.2 Планирование инвестиций в ценные бумаги. В целом желание инвестировать определяется воздействием двух факторов: − доходом от инвестиций; − уровнем риска, связанного с инвестициями. Доход от инвестиций - это абсолютное увеличение богатства в денежном выражении в результате реализации инвестиционного проекта. Для сравнения альтернативных инвестиционных предложений используется относительный показатель дохода – норма доходности. Норма доходности за некоторый период t определяется выражением:

r=

(VE − VB ) t + CF , VB

где VE , VB – стоимость актива рассматриваемого периода; C F - ежегодный приток реальных денег.

соответственно

в

конце

и

начале

Связанный с инвестициями риск принято делить на несколько видов. а) Систематический риск - это риск, обусловленный протекающими в обществе экономическими, социальными и политическими процессами. Инвестор не может влиять на уровень этого риска. Этот вид риска включает: − риск, связанный с инфляцией; − риск, связанный с изменением ставки процента; − риск, связанный с нестабильностью рынка капитала. б) Несистематический риск – это риск, зависящий от действий самого инвестора (фирмы). Он включает: − риск, связанный с ведением деловой активности (риск бизнеса); − финансовый риск, обусловленный использованием заемных средств.

9

Конечная цель любых инвестиций – увеличение богатства инвестора. Для ее достижения должны быть обеспечены: − долгосрочная доходность; − стабильность. Для фирмы, занятой в сфере производства, достижение общей цели сводится к достижению частных целей. Этими целями являются: − максимизация прибыли; − максимизация объема продаж; − выживание фирмы; − достижение удовлетворительного уровня прибыли; − завоевание намеченной доли рынка; − минимальная текучесть кадров; − создание благоприятного климата в коллективе; − максимизация заработка и премий менеджеров. При достижении этих целей необходимо разумно сочетать стремление к высоким прибылям с разумным отношением к риску. В частности, если речь идет о выживании фирмы, может оказаться целесообразным временно свернуть свою деятельность и вложить свои средства в государственные ценные бумаги. В целом, рекомендуется добиваться удовлетворительного уровня показателей, чем их максимальных значений. При инвестировании в ценные бумаги после тщательного анализа ситуации частными целями становятся: − получение максимальных дивидендов; − увеличение рыночной стоимости портфеля ценных бумаг; − снижение уровня риска. В целом любой инвестор, принимая решение об инвестиции, должен руководствоваться "схемой компромисса", представленной на рис.1.3. Решение Полная определенность

Максимум прибыли

Неопределенность

Прибыль

Риск

Оптимальная диверсификация портфеля ценных бумаг

Рис.1.3 Соотношение между максимизацией богатства и максимизацией стоимости обыкновенных акций фирмы Практически главная цель инвестиций – рост богатства - реализуется посредством притока денежных средств после реализации инвестиционного проекта или приобретения ценных бумаг. Этот приток является результирующей составляющей двух противоположно направленных денежных потоков: − притока, обусловленного запланированным результатом функционирования инвестиций; − оттока, обусловленного запланированными затратами на обеспечение функционирования инвестиций и возможными непредвиденными обстоятельствами.

10

Таким образом, центральное место в процессе принятия решения при выборе варианта инвестиционного проекта занимает определение связанных с этим проектом денежных потоков и их количественная оценка. Учитывая все вышеизложенное, можно сформулировать следующие основные требования к методам, используемым для количественной оценки вариантов инвестиционных проектов. 1. При оценке денежных потоков, связанных с инвестиционным проектом, должна использоваться временная теория денег, поскольку все эти потоки разновременные. Следовательно, для сопоставления и анализа они должны быть путем дисконтирования приведены к одному моменту времени. 2. Детерминированными величинами практически являются только капитальные вложения, осуществляемые в начальный момент времени. Все остальные потоки должны появиться в будущем и в момент принятия решения их величина может быть оценена лишь с некоторой степенью вероятности. Поэтому, используемые при выборе инвестиционных проектов методы, должны в той или иной степени учитывать неопределенность будущих ситуаций. 3. Система налогообложения играет исключительно важную роль при выборе инвестиционных проектов. Это также должно найти отражение в используемых для этого методах. Система налогообложения является важнейшим фактором, влияющим на принятие решения в сфере инвестирования – в материальные активы или в ценные бумаги. Исключительно важную роль в инвестиционном процессе занимает стратегическое планирование. Наиболее важная задача стратегического планирования фирмы – найти возможные сферы для инвестиций. После того, как такие сферы найдены, следует проанализировать соответствие возможных инвестиционных проектов стратегическим целям фирмы, текущему состоянию ее активов и открывающимся перспективам выбора направления развития при реализации этих проектов. Принято считать, что у фирмы всегда есть возможность выбирать проекты с положительным NPV. Это в значительной мере справедливо для технических проектов, связанных с совершенствованием технологического процесса. Возможности (или условия) инвестирования следует разделить на два вида: − позволяющие осуществлять обязательные инвестиции технического характера для замены оборудования; − требующие выбора среди альтернативных вариантов инвестиций, определяющих дальнейшее направление развития фирмы. Оценка проектов, осуществляемых в условиях первого вида, производится традиционными методами с использованием дисконтированных денежных потоков. Для оценки инвестиционных проектов, осуществляемых в условиях второго вида, требуются специальные методы, учитывающие неопределенность будущих ситуаций и связанные с этим риски. Решающую роль здесь играет прогнозирование этих ситуаций. Решение всего комплекса возникающих здесь задач является важнейшим элементом стратегического планирования инвестиционных решений. Таким образом, стратегическое планирование должно определить наиболее эффективные пути развития фирмы с учетом ее материальных и финансовых возможностей и динамики внешнего окружения. Цель стратегического планирования – поиск инвестиционных возможностей, при которых фирма может получить экономическую отдачу. Для получения избыточной отдачи следует искать ситуации, в которых рассматриваемые инвестиционные проекты могут иметь NPV>0. Фирма должна получить некоторые преимущества по сравнению с конкурентами. Инвестиции в развитие фирмы должны создать эти преимущества и поддерживать их как

11

можно дольше. Можно предложить следующий перечень вариантов инвестиций, способных обеспечить эти условия. 1. Инвестиции с большими первоначальными капитальными вложениями, поскольку они отпугивают конкурентов. 2. Инвестиции в разработку нового дифференцированного изделия высокого качества. В случае успешной сегментации рынка и правильного позиционирования изделия, можно полностью захватить рынок на длительный срок и не допустить на него конкурентов. 3. Инвестиции в каналы сбыта и распределения продукции. 4. Инвестиции, использующие преимущества, возникающие в результате введения мер государственного регулирования по охране окружающей среды, импорту, охране труда и т.д. Преимущества появляются в том случае, если необходимость соблюдать вводимые государством ограничения не требуют от фирмы дополнительных капиталовложений и, в то же время, создают барьер для конкурентов. 5. Инвестиции, учитывающие возможность снижения производственных издержек фирмы благодаря ее удачному территориальному положению, легкому доступу к сырью, способности оказывать влияние на цены некоторых факторов производства. Особое внимание должно уделяться учету риска при реализации альтернативных вариантов инвестирования. Учет в стратегических планах ожидаемых рисков особых затруднений не вызывает. Предсказать же и учесть в планах неожиданные риски крайне сложно. Также надо принимать во внимание, что некоторые неожиданные явления, нарушая стабильность функционирования рынка в целом, по-разному влияют на положение отдельных фирм. Учет риска при разработке стратегических планов необходимо производить в два этапа: − на первом этапе осуществляется систематизация рисков, т.е. отбираются факторы, неопределенность в оценке которых может существенно повлиять на денежные потоки инвестиционного проекта; − на втором этапе анализируется “концентрация рисков”, т.е. степень подверженности хозяйственной системы фирмы воздействию отобранных факторов. Такой подход позволяет установить связь между стоимостью фирмы и уровнем риска от воздействия факторов, способных существенно повлиять на денежные потоки фирмы. Для учета риска при стратегическом планировании удобно использовать следующую диаграмму (рис.1.4). Все рассматриваемые инвестиционные проекты разбиваются на 4 класса в зависимости от нормы их доходности и уровня связанного с ними риска: − предпочтительные; − агрессивные; − нежелательные; − защищающиеся. Линия XX′ на диаграмме рис.1.4 характеризует отношение фирмы к риску. Она называется “базовой линией риск-доходность” и по смыслу аналогична линии стоимости капитала в модели CAPM (модель САРМ рассматривается в главе 5). Из приведенных на диаграмме рис.1.4 вариантов инвестиционных проектов следует принять A,B и C, а проекты D,E,F должны быть отклонены.

12

предпочтительные

агрессивные С

В

А

Базовая линия «риск-доходность»

Х’

D стоимость капитала Е

А F Х

защищающиеся

нежелательные B

Ось А - норма доходности; Ось В - дисперсия ожидаемых денежных потоков (уровень риска); - размер инвестиционных возможностей. Рис.1.4 Учет уровня риска при стратегическом планировании Об эффективности стратегического планирования инвестиций можно судить по тому, в какой мере принятые проекты способствовали росту рыночной стоимости фирмы. Численным показателем такого роста может быть отношение: (рыночная стоимость фирмы) / (балансовая стоимость фирмы) (или MV BV ). Очевидно, что если MV BV > 1 , это обусловлено рентой, полученной благодаря удачно выбранным инвестиционным возможностям принятых проектов. Рост рыночной стоимости фирмы MV в этом случае происходит благодаря тому, что инвестиции увеличили разность [(норма отдачи от собственного капитала)–(стоимость капитала фирмы)∗] (или ROE – r0 ). Предлагаемый подход к оценке инвестиционных стратегий иллюстрируется рис.1.5.

∗

стоимость капитала r0 определяется с помощью модели CAPM (глава 5).

13

MV / MB 1,4

С 1,2 Инвестиции, повышающие стоимость фирмы

В

1 Инвестиции, уменьшающие стоимость фирмы А –10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10 (ROE – r0)

А,В,С - варианты инвестиционных ситуаций; Рис.1.5 Использования критерия ( MV МB ) для оценки инвестиционных стратегий Необходимо отметить особенности стратегического планирования инвестиций совместных предприятий. Проблема поиска и анализа инвестиционных возможностей за рубежом осложняется необходимостью учитывать целый ряд дополнительных факторов: 1. Различие в системе правительственных учреждений. 2. Другая система налогообложения. 3. Специфика в политике регулирования экспорта и импорта и т.д. Кроме того, должны быть глубоко изучены местные обычаи и условия ведения хозяйственной деятельности. В целом можно сказать, что стратегическое планирование инвестиций за рубежом связано с большей неопределенностью, чем в границах своего государства, и со значительно большим уровнем совокупного риска. Цель инвестиций для межнациональных фирм (корпораций) та же, что и для национальных: увеличить стоимость фирмы путем увеличения рыночной стоимости обыкновенных акций. Это значит, что для любого проекта сумма дисконтированных притоков денег должна превышать сумму дисконтированных их оттоков, а в ставке дисконта должен учитываться риск, связанный с принятием данного проекта. Планирование инвестиций для межнациональных (совместных) фирм предусматривает выполнение следующих операций: − определение денежных потоков, связанных с реализацией рассматриваемого проекта; − определение денежных средств, которые могут быть вывезены в страну, осуществляющую инвестиции; − конвертирование этих средств в валюту страны-инвестора; − оценка рисков для корректировки с учетом этой оценки нормы доходности проекта; − выбор минимальной нормы доходности; − расчет доходности инвестиционного проекта; − принятие или отклонение рассматриваемого проекта.

14

Особенно следует обратить внимание на два специфических вида рисков, которым подвержены межнациональные предприятия: − риск, связанный с разными уровнями инфляции в странах, где находятся главное и дочернее предприятие; − риск, связанный с непредвиденным изменением обменного курса валют этих стран. Степень подверженности этим рискам зависит от характера деятельности предприятия, а именно: − связана эта деятельность исключительно с внутренним рынком, или ориентирована на экспорт; − зависит ли деятельность фирмы только от сырья и материалов местного производства, или для нее необходим их импорт. При анализе чувствительности межнационального инвестиционного проекта к рискам, необходимо учитывать следующие обстоятельства: − если в стране, где осуществляется проект, ожидается рост инфляции, рост цен может снизить спрос на производимую продукцию; − в случае девальвации местной валюты спрос может увеличиться; − инфляция может привести к росту издержек производства; − инфляция может привести к росту затрат по замене оборудования, если при этом будет разрешена его переоценка, то возрастут и амортизационные отчисления; − появление нового дочернего предприятия может сократить объемы продаж уже существующих дочерних предприятий; это следует учесть путем корректировки денежных потоков, связанных с реализацией рассматриваемого проекта; − ежегодные бюджеты создаваемого дочернего предприятия следует планировать на период не более 10 лет; − следует предусмотреть возможность в будущем введения новых правил контроля за обменным курсом валют. Важной проблемой для межнациональной фирмы является выбор наилучшего способа использования полученной от дочернего предприятия прибыли. Как правило, рассматриваются следующие варианты ее использования: − вывоз в страну-инвестор для передачи главному предприятию; − инвестирование на месте для расширения дочернего предприятия; − частичный вывоз, частичное использование на месте. Решающую роль при выборе варианта играет состояние дочернего предприятия, перспективы роста внутреннего рынка, общее экономическое и политическое положение в стране.

15

ТЕМА 2 ДЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ, СВЯЗАННЫЕ С ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПРОЕКТОМ Самым важным этапом в анализе инвестиционного проекта является оценка прогнозируемого денежного потока. Прогнозная оценка зависит от многих факторов, поэтому в ее разработке участвуют специалисты различных отделов фирмы. Например, прогнозы относительно объема и цены реализации обычно составляются отделом маркетинга на основании информации об эластичности цен, эффективности рекламы, состояния экономики, действиях конкурентов и тенденциях изменения запросов потребителей. Капиталовложения по новому проекту, как правило, просчитываются работниками проектно-конструкторского отдела, а в оценке операционных затрат участвуют бухгалтеры, производственники, снабженцы и т.д. Совокупный прогнозируемый денежный поток представляет собой разность между притоком и оттоком денежных средств от трех видов деятельности: операционной, инвестиционной и финансовой. Операционная деятельность связана с производством и реализацией основной продукции (или услуг) предприятия. Схематично поток денежных средств от основной деятельности может быть представлен следующим образом (рис. 2.1) «притоки»

«оттоки»

Денежная выручка от реализации продукции в текущем периоде

Платежи поставщикам сырья и материалов Выплата заработной платы

Погашение дебиторской задолженности

Отчисления в бюджет и во внебюджетные фонды

Авансы, полученные от покупателей

Оплата налогов

Поступления от продажи бартера

Уплата процентов за кредит

Прочие доходы

Отчисления на социальную сферу

Денежный поток от операционной деятельности

Рис. 2.1. Потоки денежных средств от операционной деятельности. Инвестиционная деятельность вызывает потоки денежных средств, связанные с приобретением и продажей долгосрочных активов, а также с получением доходов от инвестиций (рис. 2.2). Для предприятия, проводящего активную инвестиционную политику, инвестиционная деятельность в определенный момент приводит к оттоку денежных средств.

16

«притоки»

«оттоки»

Продажа основных средств, нематериальных активов

Приобретение основных средств, нематериальных активов

Доходы от инвестиций

Долгосрочные финансовые вложения

Рис. 2.2. Потоки денежных средств от инвестиционной деятельности. Финансовая деятельность обеспечивает с одной стороны поступление денежных средств в результате получения кредитов или эмиссии акций, а с другой – вызывает их отток, что связано с погашением задолженности по ранее полученным кредитам и выплатой дивидендов (рис. 2.3). «притоки»

«оттоки»

Краткосрочные кредиты и займы

Возврат краткосрочных кредитов и займов

Долгосрочные кредиты и займы

Возврат долгосрочных кредитов и займов

Поступления от эмиссии акций

Выплата дивидендов

Целевое финансирование

Погашение векселей

Рис. 2.3. Потоки денежных средств от финансовой деятельности. Основные составляющие потока реальных денег от инвестиционного проекта приведены в таблицах 2.1 – 2.3. Таблица 2.1 Поток реальных денег от инвестиционной деятельности Значение показателя по периодам № Наименование показателя Т = 0 Т = 1 Т = 2 . . . Т = n Ликвидация 1 Земля 2 Здания и сооружения 3 Машины, оборудование и т.д. 4 Нематериальные активы 5 Итого: вложения в основной капитал 6 Прирост оборотного капитала 7 Всего инвестиций В таблице 2.1 учитываются как затраты, связанные с приобретением активов и увеличением оборотного капитала (со знаком “ – ”), так и поступления, связанные с продажей активов и уменьшением оборотного капитала (со знаком “ + ”).

17

Совокупный денежный поток от инвестиционной деятельности представляет собой отток денежных средств. Его можно представить следующим образом:

−

Первоначальные капитальные вложения

Стоимость основных средств (земля, здания, сооружения, машины, оборудования)

− Стоимость нематериальных активов + Инвестиционная налоговая скидка − Расходы, связанные с созданием = − +

проекта (после налога)

Оборотный капитал, необходимый для обеспечения функционирования проекта Выручка от продажи старого оборудования

± Корректировка налогов с учетом стоимости проданного старого оборудования

Инвестиционная налоговая скидка – это скидка с суммы федерального налога, обусловленная затратами инвестора на приобретение имущества. Она дает прямое сокращение налогов. Ее цель – стимулирование инвестиций в бизнес. В этом случае общий налог с дохода уменьшается на сумму, определяемую как некий фиксированный процент от стоимости приобретенного имущества. В США подобная практика была введена в 1961 году. Инвестиционная налоговая скидка применялась к имуществу со сроком службы от трех и более лет и равнялась 6 % для имущества с коротким сроком службы и 10 % для имущества с длительным сроком службы. В 1986 году инвестиционная налоговая скидка была отменена. Вместо инвестиционной налоговой скидки в некоторых странах применяются налоговые льготы по инвестициям или субсидии, когда фирмы практически получают часть капитала на инвестиции. Экономический эффект подобных налоговых льгот – уменьшение капитальных затрат после налогов. Расходы, связанные с реализацией проекта – это расходы, которые не включаются в стоимость приобретенных материальных активов (обучение персонала, оформление документации). Выручка от продажи старого оборудования – это либо рыночная стоимость старого оборудования, которое ликвидируется в связи с вводом нового проекта, либо скидка, которую фирма получает при покупке нового оборудования при условии сдачи старого поставщику. Корректировка налогов. Балансовая стоимость оборудования может не совпадать со стоимостью, полученной фирмой при его продаже (рыночной стоимостью). Необходима корректировка суммы уплачиваемого фирмой налога (в сторону увеличения “ + ” или уменьшения “ – ” суммы). Оборотный капитал (средства), необходимый для обеспечения функционирования проекта Инвестиции в основной капитал обычно приводят к тому, что некоторая сумма финансовых средств вкладывается в оборотный капитал. Это деньги, необходимые для выплаты зарплаты, оплаты других счетов, инвестиции в сырье, незавершенное производство, готовую продукцию, дебиторскую задолженность клиентов. Размер этих позиций зависит от природы капиталовложений, но обычно инвестициям в активы долгосрочного пользования сопутствуют все перечисленные потребности в финансовых средствах.

18

Существует исключение – инвестиции, уменьшающие потребности в оборотном капитале путем увеличения эффективности его использования. Например, компьютеры, которые ускоряют процесс выписки счетов покупателям, или складские приспособления и устройства контроля за запасами, позволяющие уменьшить потребности в запасах. Денежные потоки, связанные с оборотным капиталом, равняются изменению чистого оборотного капитала, который можно представить следующим образом:

+ Чистый оборотный капитал

Изменение чистого оборотного капитала

=

= + + −

Запасы (готовая продукция, незавершенное производство, сырье) Дебиторская задолженность Запасы наличных денег Кредиторская задолженность

Увеличение текущих активов (денежные средства, запасы, дебиторская задолженность)

−

Увеличение краткосрочных обязательств (кредиторская задолженность)

Увеличение текущих активов связано с потребностью производства в некоторых запасах оборотных средств для удовлетворения своих краткосрочных потребностей, а также с возникновением дебиторской задолженности. Увеличение текущих обязательств связано с отсрочкой выплат поставщикам за предоставленное сырье и материалы и прочих выплат (оплата труда, выплаты в бюджет и внебюджетные фонды и пр.). Можно записать следующие соотношения: Потоки денежных средств

Данные из прогнозного отчета о прибыли

Изменения величины оборотного капитала

=

Выручка от реализации

−

Рост дебиторской задолженности

Отток денежных средств

+ −

Рост запасов

=

Себестоимость реализованной продукции, прочие расходы

Поток денежных средств

=

Приток денежных средств

−

Приток денежных средств

Увеличение кредиторской задолженности Отток денежных средств

Периодические инвестиции в оборотный капитал могут быть рассчитаны следующим образом:

19

Периодические инвестиции в оборотный капитал

+

Запасы на конец периода

−

Запасы на начало периода

+

Дебиторская задолженность на конец периода

−

Дебиторская задолженность на начало периода

+

Денежные средства на конец периода

−

Кредиторская задолженность на конец периода

= средства − Денежные на начало периода

−

Кредиторская задолженность на начало периода

Расчет потребности в оборотном капитале

Данный расчет приведен в методических рекомендациях по оценке эффективности инвестиционных проектов [ ]. Исходные данные, необходимые для расчета потребности в оборотном капитале представлены в таблице 2.1а. Таблица 2.1.а №

Показатели 0

Период 1 ...

Структура оборотного капитала Нормы (в днях)* Активы 1 Сырье, материалы, Страховой запас; комплектующие и др. ** Периодичность поставок 2 Незавершенное производство Цикл производства 3 Готовая продукция Периодичность отгрузки 4 Дебиторская задолженность Задержка платежей 5 Авансы поставщикам за услуги Срок предоплаты; Доля цены, оплачиваемая предварительно 6 Резерв денежных средств Покрытие потребности Пассивы (расчеты с кредиторами) 7 Расчеты за товары, работы и Задержка платежей услуги 8 Авансовые платежи (предоплата) Срок предоплаты; Доля платежей, оплачиваемая предварительно 9 Расчеты по оплате труда Периодичность выплат 10 Расчеты с бюджетом и Периодичность выплат внебюджетными фондами Примечания:

* Нормы могут быть разными для различных периодов ** Запасы комплектующих и материалов рассчитываются по группам в зависимости от величины запасов и норм хранения. 1. Расчет потребности в сырье, материалах, комплектующих, для каждого периода проводится по формуле:

20

А1 =

g⎞ Затраты на материалы ⎛ × ⎜d + ⎟ , 2⎠ Продолжительность периода (в днях) ⎝

где d – величина страхового запаса в днях (норма); g – периодичность поставок в днях (норма). 2. Расчет потребности запасов по статье “Незавершенное производство”: А 2 = З пр ×

Ц пр Продолжительность периода

,

где З пр – сумма прямых затрат (прямые материальные затраты + затраты на оплату

труда основного и вспомогательного персонала с начислениями); Ц пр – продолжительность производственного цикла (в днях). 3. Расчет потребности запасов готовой продукции: А 3 = В0 ×

tо , 2 × Продолжительность периода

где В 0 – выручка без НДС; t о – периодичность отгрузки (в днях) 4. Расчет потребности по статье “Дебиторская задолженность”: А 4 = В1 ×

t пл , Продолжительность периода

где В1 – выручка, включающая НДС и другие налоги, начисляемые на выручку; t пл – величина задержки платежей (в днях). 5. Расчет потребности по статье “Авансы поставщикам за услуги”: А 5 = У ст × Р у ×

Су Продолжительность периода

,

где У ст – стоимость услуг сторонних организаций; Р у – доля предоплаты поставщикам; С у – срок предоплаты услуг (в днях). 6. Расчет потребности по статье “Резерв денежных средств”: А 6 = З пс ×

S , Продолжительность периода

где З пс – затраты на производство и сбыт за исключением прямых материальных затрат; S – покрытие потребности в денежных средствах (в днях). 7. Расчет потребности по статье “Расчеты за товары, работы и услуги” (кредиторская задолженность):

П1 = З м ×

ОП , Продолжительность периода

где З м – прямые материальные затраты + величина отложенных выплат сторонним организациям;

21

ОП – отсрочка платежей (в днях). 8. Расчет потребности по статье “Авансовые платежи (предоплата)”: П 2 = В 2 × Р пр ×

Сп , Продолжительность периода

где В 2 – выручка, остающаяся у предприятия (после уплаты НДС, акцизов и прочих сборов); Р пр – доля предоплаты (процент от выручки – в долях); С п – срок предоплаты за реализуемую продукцию (в днях).

9. Расчет потребности по статье “Расчеты по оплате труда”: П 3 = ЗП ×

15 , k × Продолжительность периода

где ЗП – общая зарплата за период; k – периодичность выплат: число выплат зарплаты в месяц. 10. Расчет потребности по статье “Расчеты с бюджетом и внебюджетными фондами” осуществляется по следующим пунктам: − начисления на зарплату; − выплаты по НДС, вносимому в бюджет; − выплаты по налогу на прибыль; − выплаты по прочим налогам (сборам). ПН i = Н ×

Рв , 2 × Продолжительность периода

где Н – величина налога (сбора); Р в – периодичность выплат налога (сбора) (в днях). Таблица 2.2. Поток реальных денег от операционной деятельности Значение показателя по периодам № Наименование показателя строки Т=0 Т=1 Т=2 ... Т=n 1 Объем продаж (кол-во) 2 Цена 3 Выручка ( = строка 1 × 2) 4 Внереализационные доходы (расходы) 5 Переменные затраты* 6 Постоянные затраты* 7 Амортизация здания** 8 Амортизация оборудования** 9 Проценты по кредитам 10 Прибыль до вычета налогов 11 Налоги и сборы 12 Проектируемый чистый доход (строки 10 – 11) 13 + Амортизация ( = строки 7 + 8 ) 14 Чистый приток от операций ( = строки 12 + 13)

22

Примечание: * Разделение затрат на постоянные и переменные осуществляется в соответствии с существующим стандартным перечнем; ** Раздельный учет амортизации по зданиям и оборудованию определяется его привязкой к чистой ликвидационной стоимости. Строка (10) = (3) + (4) − (5) − (6) − (7) − (8) − (9) Строка (12) = (10) − (11) Строка (13) = (7) + (8) Строка (14) = (12) + (13) Особое внимание следует уделить амортизации. Амортизация не является потоком реальных денег. Однако, амортизация обеспечивает так называемый “налоговый щит”. Действие “налогового щита амортизации” проявляется в уменьшении налогооблагаемой прибыли. Можно представить процесс определения величины налога на прибыль следующим образом: Налог на прибыль

=

Ставка налога

×

Налогооблагаемая прибыль

и Налог на прибыль

=

Ставка налога

×

Выручка

−

Расходы, кроме амортизации

−

Амортизация, начисляемая в целях налогообложения

Чем больше амортизация, тем меньше налог на прибыль и тем выше денежные поступления после налогов.

Посленалоговые денежные поступления

(1 – ставка налога) × = (Выручка – Расходы, кроме амортизации) + (Ставка налога × Амортизация, начисляемая в целях налогообложения)

или

Посленалоговые денежные поступления

=

(1 – ставка налога) × Расходы, кроме

Амортизация,

(Выручка – амортизации – начисляемая в целях налогообложения

+ Амортизация, начисляемая в целях налогообложения

или С = (1 − t ) (R − Е) + t ⋅ Dep t = (R − E − Dep t ) (1 − t ) + Dep t ,

где С – посленалоговые денежные доходы; t – ставка налога; R – денежные поступления до налогов; Е – расходы, кроме амортизации;

23

Dep t – амортизация для налогообложения. Налоговый щит амортизации

=

Начисленная амортизация

×

Ставка налога

Приобретая новые материальные активы, фирма приобретает “налоговый щит”. Ликвидируя старые, но еще не полностью амортизированные активы, фирма лишается имевшегося у нее “налогового щита”. Можно записать: Увеличение амортизационных отчислений

×

Ставка налога

=

Амортизация новых материальных активов

×

Ставка налога

−

Амортизация старых материальных активов

×

Ставка налога

Таблица 2.3. Поток реальных денег от финансовой деятельности Значение показателя по периодам № Наименование показателя строки Т=0 Т=1 Т=2 ... Т=n 1 Собственный капитал (акции, субсидии) 2 Краткосрочные кредиты 3 Долгосрочные кредиты 4 Погашение задолженности по кредитам 5 Выплаты дивидендов 6 Денежный поток от финансовой деятельности При определении денежного потока, связанного с инвестиционным проектом, не следует обращать внимание на так называемые невозвратные издержки (sunk costs). Невозвратными издержками называются произведенные ранее расходы, величина которых не может измениться в связи с принятием проекта или отказом от него. Например, стоимость научно-исследовательских разработок, проводимых фирмой до начала разработки инвестиционного проекта и оцениваемых в $ 100000 не должна включаться в затраты, связанные с проектом, даже если разработка является основой для инвестиционного проекта, поскольку они проводились независимо от решения об инвестиционном проекте. Исключением являются затраты на те разработки, которые проводились в рамках проекта и не могли быть осуществлены до момента принятия решения от инвестиционном проекте. Невозвратные издержки относятся к прошлому, на них уже не могут повлиять решения о принятии проекта или об отказе от него. При определении денежного потока необходимо учитывать альтернативные затраты (opportunity costs), под которыми понимают упущенный возможный доход от альтернативного использования ресурса. Корректный анализ бюджета капиталовложений должен проводиться с учетом релевантных альтернативных затрат. Например, фирма владеет участком земли. Следует ли исключать из бюджета стоимость земли при оценке нового проекта из-за того, что не потребуется дополнительных расходов? Ответ отрицательный. Данный земельный участок может быть продан (например, за $50000). Альтернативными затратами в данном случае являются деньги, которые могла бы получить фирма, если бы отказалась от проекта и продала землю или использовала бы ее иным образом. Принимая проект, фирма отказывается от $ 50000. Иногда очень трудно определить альтернативные издержки. Однако если ресурс может свободно продаваться, связанные с ним альтернативные издержки равны рыночной цене.

24

Ликвидационная стоимость и затраты на ликвидацию

Следует различать ликвидационную стоимость и чистую ликвидационную стоимость – стоимость за вычетом затрат на саму ликвидацию. Ликвидационная стоимость – капитал, полученный за счет продажи активов в момент окончания инвестиционного проекта. Чистая ликвидационная стоимость может быть отрицательной величиной, так как сама ликвидация может быть связана с определенными затратами (например, приведение территории в состояние, соответствующее экономическим требованиям). Чистый поток реальных денег на стадии ликвидации представлен в таблице 2.4. Таблица 2.4. Чистый поток реальных денег на стадии ликвидации № Наименование показателя Земля Здания Машины, Всего строки и т.д. оборудование 1 Рыночная стоимость 2 Затраты (первоначальные из табл. 2.2) 3 Начислено амортизации 4 Балансовая стоимость в период Т 5 Затраты по ликвидации 6 Доход от прироста стоимости капитала нет нет 7 Операционный доход (убытки) нет 8 Налоги 9 Чистая ликвидационная стоимость Порядок оценки ликвидационной стоимости объекта при ликвидации его в период Т (первом периоде за пределом установленного для объекта срока службы) следующий: Строка 1. Рыночная стоимость элементов объекта оценивается независимо, исходя из тех изменений, которые ожидаются в районе его расположения. Строка 4. Балансовая стоимость объекта для периода Т определяется как разность между первоначальными затратами (строка 2) и начисленной амортизацией (строка 3). При этом величина амортизации определяется из таблицы 2.2. Строка 6. Прирост стоимости капитала относится к земле и определяется как разность между рыночной (строка 1) и балансовой (строка 4) стоимостью имущества. Строка 7. Операционный доход (убытки) относится к остальным элементам капитала, которые реализуются отдельно. Строка 7 = строка 1 – (строка 4 + строка5). Строка 8. Если по строке 7 показываются убытки, то по строке 8 налог также показывается со знаком минус, его значение добавляется к рыночной стоимости. Строка 9. Чистая ликвидационная стоимость каждого элемента представляет собой разность между рыночной ценой и налогами, которые начисляются на прирост остаточной стоимости и доходы от реализации имущества. Строка 9 = строка 1 – строка 8. Объем чистой ликвидационной стоимости заносится в таблицу 2.1 в строку 7, графу “ликвидационная стоимость” со знаком “плюс”, если чистая ликвидационная стоимость положительна (доходы больше затрат), и со знаком “минус”, если она отрицательна.

25

ТЕМА 3 МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В основе процесса принятия управленческих решений инвестиционного характера лежит оценка и сравнение объема предполагаемых инвестиций и будущих денежных поступлений. Поскольку сравниваемые показатели относятся к различным моментам времени, ключевой проблемой здесь является их сопоставимость. Воспринимать ее можно по разному в зависимости от существующих объективных и субъективных условий: темпа инфляции, размера инвестиций и генерируемых поступлений, горизонта прогнозирования, уровня квалификации аналитика и т.п. При оценке притока денежных средств по годам может возникнуть проблема в отношении последних лет реализации проекта: чем более протяжен он во времени проект, тем более неопределенными и рискованными являются притоки денежных средств отдаленных лет. В отношении значений поступлений последних лет могут вводится понижающие коэффициенты, либо эти поступления могут исключаться из анализа. Наглядным инструментом при анализе инвестиционных проектов является графическое представление соответствующего денежного потока (рис. 3.1). приток

0

I

1

2

3

приток

4

отток

а) обычный (ординарный) денежный поток

5

0

I

1

2

3

4

5

6

отток

б) необычный (неординарный) денежный поток

Рис. 3.1. Графическое представление денежного потока. В наиболее общем виде инвестиционный проект P представляет собой следующую модель: P = { I i , S t , n, r}, где I i - инвестиции в i - m году; i = 1, 2, ..., m (чаще всего считается, что m=1), S t - приток (отток) денежных средств в год t; t = 1, 2, ..., n n - продолжительность проекта, r - коэффициент дисконтирования. При анализе инвестиционных проектов следует учитывать ряд положений: • С каждым инвестиционным проектом принято связывать денежный поток, элементы которого представляют собой либо чистые оттоки, либо чистые притоки денежных средств, иногда в анализе используется не денежный поток, а последовательность прогнозных значений чистой годовой прибыли, генерируемой проектом. • Чаще всего анализ ведется по годам, хотя анализ можно проводить по равным базовым периодам любой продолжительности (месяц, квартал). Необходимо при этом увязать величины элементов денежного потока, процентную ставку и длину периода.

26

• Предполагается, что весь объем инвестиций делается в конце года, предшествующего первому году генерируемого проектом притока денежных средств (инвестиции могут быть сделаны в течение ряда последующих лет). • Приток (отток) денежных средств оценивается на конец очередного года. Методы оценки инвестиционных проектов можно подразделить на две группы в зависимости от того, учитывается или нет временный параметр. I. Методы, основанные на дисконтированных оценках: • Метод оценки проектов по чистой приведенной стоимости (Net Present Value, NPV). • Метод расчета индекса чистой доходности (рентабельности) инвестиций (Profitability Index, PI). • Метод оценки проектов по внутренней норме доходности (Internal Rate of Return, IRR). • Метод оценки проектов по дисконтированному сроку окупаемости (Discounted Payback Period, DPP). II. Методы, основанные на учетных оценках: • Метод оценки проектов по сроку окупаемости (Payback Period, PP). • Метод расчета дохода (прибыли) от инвестиций (Return on investment, ROI). • Метод оценки проектов по бухгалтерской норме доходности (коэффициент эффективности инвестиций) (Accounting Rate of Return, ARR). Метод оценки проектов

по чистой приведенной стоимости (NPV - net present

value).

Этот метод основан на сопоставлении величины исходной инвестиции ( I o ) с общей суммой дисконтированных чистых денежных поступлений, генерируемых ею в течение прогнозируемого срока. t=n

NPV = ∑ S t (1 + r) − t ,

(3.1)

t =0

t=n

NPV =

∑ St (1 + r) − t − Io ,

(3.2)

t =1

где S t - поток реальных денег в год t (приток имеет знак “+”, отток- знак “-”), ден. ед.; n - срок действия проекта (горизонт расчета), годы; r - ставка дисконта (относительные единицы); I o = S o - первоначальные инвестиции, ден. ед. 1 называется коэффициентом дисконтирования (или Коэффициент (1 + r ) t дисконтированным множителем). Его значение можно найти в специально разработанной таблице (приложение 1). NPV следует рассматривать как приведенный к моменту начала реализации проекта экономический эффект от его функционирования. Проект может быть принят к реализации, если его NPV > 0. Из двух проектов выбирают тот, который характеризуется наибольшей чистой приведенной стоимостью NPV. NPV – это критерий аддитивный, т.е. NPV (А+В) = NPV (А) + NPV (В). Следовательно, NPV совокупности проектов равна сумме NPV каждого проекта. Если проект предполагает не разовую инвестицию, а последовательное инвестирование финансовых ресурсов в течение m лет, то формула для расчета NPV модифицируется следующим образом:

27 m Ij St − ∑ t j, t =1 (1 + r) j=1 (1 + i) n

NPV = ∑

(3.3)

где i - прогнозируемый средний уровень инфляции. Особый интерес представляет использования критерия NPV для оценки инвестиционных проектов по периодической замене оборудования. Если проект предусматривает установку оборудования определенного типа, требующего замены каждые m лет, то для периода T → ∞ , его NPV равна m (1 + r) m −t (3.4) NPV = NPVm m −1 , где NPVm = ∑ S t (1 + r) . (1 + r) t =0 Метод расчета индекса чистой доходности (рентабельности) инвестиций (Profitability Index, PI). Индекс чистой доходности используют при выборе инвестиционного проекта из нескольких имеющихся альтернативных проектов n

∑ S t (1 + r) −t t =1

PI =

(3.5) I0 где PI - относительный показатель, который характеризует уровень доходов на единицу затрат, т.е. экономическую эффективность инвестиций. Условие выбора варианта PI → max . В числителе дроби выражения 3.5 указана чистая приведенная стоимость плюс непосредственно стоимость проекта (первоначальные инвестиции). Поэтому можно записать так: NPV + I 0 NPV или PI = + 1. PI = I0 Io NPV , называемая индексом относительного обогащения или удельным Дробь I0 дисконтированным доходом, иногда используется вместо индекса рентабельности и приводит к тем же выводам. Метод оценки проектов по внутренней норме доходности (окупаемости)( IRR Internal Rate of Return). Метод внутренней нормы доходности использует концепцию дисконтированной стоимости. Он сводится к нахождению такой ставки дисконтирования, при которой текущая стоимость ожидаемых от инвестиционного проекта доходов будет равна текущей стоимости необходимых денежных вложений. Иными словами, IRR - это значение коэффициента дисконтирования, при котором NPV = 0. Внутренняя норма доходности R находится путем решения относительно R уравнения n

∑ S (1 + R) t =1

t

−t

− I0 = 0 .

(3.6)

Решение уравнения производится методом итераций. Проект может быть принят, если IRR превышает величину существующей учетной ставки (используемой при расчете NPV) или равен ей. Для более наглядного понимания природы критерия IRR воспользуемся графическим методом (рис 3.2). Рассмотрим функцию

28 n

St t . t = 0 (1 + r)

y = f ( r) = ∑

(3.7)

Эта функция имеет ряд свойств: 1) y = f ( r ) - нелинейная функция; это свойство может иметь серьезные последствия при расчете критерия;

NPV

y = ∑ St

IRR

r y = f (r )

Рис. 3.2. График NPV классического инвестиционного проекта 2) при r = 0 выражение в правой части (3.7) преобразуется в сумму элементов исходного денежного потока; т.е. график NPV пересекает ось ординат в точке, равной сумме всех элементов дисконтированного денежного потока, включая величину исходных инвестиций; 3) для проекта с обычным денежным потоком (отток сменяется притоком) функция y = f ( r ) является убывающей, т.е. с ростом r график функции стремиться к оси абсцисс и пересекает ее в точке IRR; 4) ввиду нелинейности функции y = f ( r ) , а также возможных различных комбинаций знаков элементов денежного потока, функция может иметь несколько точек пересечения с осью абсцисс. Смысл расчета внутренней нормы доходности при анализе эффективности планируемых инвестиций, заключается в следующем: IRR показывает ожидаемую доходность проекта, и, следовательно, максимально допустимый относительный уровень расходов, которые могут быть ассоциированы с данным проектом. Например, если проект полностью финансируется за счет ссуды коммерческого банка, то значение IRR показывает верхнюю границу допустимого уровня банковской процентной ставки, превышение которого делает проект убыточным. В качестве критерия сравнения может использоваться средневзвешенная стоимость капитала при условии, что предприятие использует несколько источников финансирования инвестиционного проекта. Практическое применение данного метода осложняется, если в распоряжении аналитика нет специализированного финансового калькулятора. В этом случае применяется метод последовательных итераций с использованием коэффициентов дисконтирования. Для этого с помощью таблиц выбираются два коэффициента дисконтирования r1 < r2 таким образом, чтобы в интервале ( r1 , r2 ) функция NPV = f (r ) меняла свое значение с «+» на «-« или с «-« на «+». Далее применяют формулу: f (r1 ) IRR = r1 + ∗ (r2 − r1 ) , (3.8) f (r1 ) − f (r2 )

29

где r1 - значение табулированного коэффициента дисконтирования, при котором f (r1 ) > 0; (f(r1 ) < 0); r2 - значение табулированного коэффициента дисконтирования, при котором f (r2 ) < 0; (f(r2 ) > 0). точность вычислений обратно пропорциональна длине интервала ( r1 , r2 ), а наилучшая аппроксимация с использованием табулированных значений достигается в случае, когда длина интервала равна 1%, т.е. r1 , r2 - ближайшие друг у другу значения коэффициента дисконтирования, удовлетворяющие условиям (в случае изменения знака функции у = f (r) с «+» на «-»): r1 - значение табулированного коэффициента дисконтирования, минимизирующее положительное значение показателя NPV. r2 - значение табулированного коэффициента дисконтирования, максимизирующее отрицательное значение показателя NPV. Сравнительная характеристика критериев NPV и IRR. Основным недостатком метода IRR является предположение, что поступающие денежные потоки реинвестируются по ставке R = IRR проекта. Использование критерия NPV предполагает, что доступной процентной ставкой, по которой могут быть реинвестированы поступающие денежные средства, является цена капитала. Таким образом, по критерию NPV дисконтирование выполняется по цене капитала, тогда как по критерию IRR – по величине IRR проекта. Однако, доступной и возможной ставкой реинвестирования является цена капитала. этим обосновывается предпочтительность критерия NPV. Рассмотрим некоторые особенности использования методов NPV и IRR. 1. Альтернативные проекты, различающиеся по масштабу. В сравнительном анализе альтернативных инвестиционных проектов критерий IRR можно использовать достаточно условно. Так, если расчет критерия IRR для двух проектов показал, что его значение для проекта А больше, чем для проекта В, то чаще всего проект А может рассматриваться как более предпочтительный, поскольку допускает большую гибкость в варьировании источниками финансирования инвестиций, цена которых может существенно различаться. Однако такое предпочтение носит весьма условный характер. Поскольку IRR является относительным показателем, на его основе невозможно сделать правильные выводы об альтернативных проектах с позиции их возможного вклада в увеличение капитала фирмы, особенно, если проекты существенно различаются по масштабу (т.е. величине инвестиций). Пример 1. Проанализируем два альтернативных проекта, если цена капитала компании составляет 10 %. Исходные данные и результаты расчетов приведены в таблице 3.1. (тыс. руб.) П р о ект А В

В ел и ч и н а и н в е ст и ц и й 250 15000

Д ен еж н ы й п оток 1 - й го д 2 - й го д 150 700 5000 19000

IR R , % 100 3 0 ,4

N PV п ри 10% 465 5248

Фирма может отдать предпочтение проекту А с более высоким значением IRR. Однако из-за небольшого объема первоначальных инвестиций проект А дает небольшой доход (на порядок меньше, чем проект В). Поэтому, если фирма имеет возможность профинансировать проект В, его следует предпочесть. 2. Резерв безопасности проекта. Основной недостаток критерия NPV в том, что это абсолютный показатель, поэтому он не может дать информации о так называемом “резерве безопасности проекта”. Возникает вопрос: Если допущена ошибка в прогнозе денежного потока или коэффициента дисконтирования, насколько велика опасность того, что проект, который ранее рассматривался как прибыльный, окажется убыточным?

30

Информацию о резерве безопасности дают критерии IRR и PI. Так, при прочих равных условиях: − чем больше IRR по сравнению с ценой капитала проекта, тем больше резерв безопасности; − чем более значение PI превосходит единицу, тем больше резерв безопасности. Иными словами, с позиции риска можно сравнивать два проекта по критериям IRR и PI, но нельзя по критерию NPV. Рассмотрим следующую ситуацию. Пример 2. Проект С имеет прогнозные значения денежного потока (млн. долл.): - 100; 20; 25; 40; 70. Требуется проанализировать целесообразность включения его в инвестиционный портфель при условии, что цена капитала r = 15 %. Расчеты показывают, что NPVC = 2,6 млн.долл. Можно сделать вывод, что проект обеспечивает высокий прирост капитала компании (в абсолютном выражении). Однако IRR C = 16 % , т.е. очень близко к прогнозируемой цене капитала. Очевидно, что проект С является весьма рисковым. Если предположить, что в оценке прогнозируемой цены источника допущена ошибка и реальное ее значение r = 17 %, проект С принять нельзя, т.к. NPVC = − 2,3 млн. долл. Данный пример показывает, что ориентация на критерий NPV не всегда оправдана. Высокое значение NPV может быть сопряжено с достаточно высоким риском. Высокое значение IRR во многих случаях указывает на наличие определенного резерва безопасности в отношении данного проекта. 3. Альтернативные проекты, различающиеся по интенсивности притока денежных средств. Противоречие между NPV и IRR может также возникать из-за различий в распределении общей суммы притока денежных средств во времени, даже если два проекта имеют одинаковую величину исходных инвестиций. Кроме того, поскольку зависимость NPV от ставки дисконтирования r нелинейная, значение NPV может существенно зависеть от r, причем степень этой зависимости различна и также определяется динамикой элементов денежного потока. Пример 3. Рассмотрим два независимых проекта (млн. руб.). А: -200; 150; 80; 15; 15; 10 В: -200; 20; 50; 50; 90; 110 Требуется ранжировать их по степени приоритетности при условии, что планируемая цена источника финансирования весьма неопределенна и может варьировать в интервале от 5 % до 20 %. В таблице приведены результаты расчетов для различных возможных ситуаций. Проект Значение NPV при IRR, r=5% r = 10 % r = 15 % r = 20 % % А 48,6 30,2 14,3 0,5 20,2 В 76,5 34,3 0,7 -26,3 15,1 Проекты А и В не одинаковым образом реагируют на изменение значения коэффициента дисконтирования. Причина - проект А имеет убывающий денежный поток, проект В - нарастающий. Поскольку интенсивность возмещения инвестиции в проекте А существенно выше, чем в проекте В, он в меньшей степени реагирует на негативное увеличение коэффициента дисконтирования. Анализируя проекты при различных значениях коэффициента дисконтирования, можно сделать вывод, что при r=5% по критерию NPV наиболее предпочтительным является проект В, а по критерию IRR – проект А. Однако, при увеличении r до 20% и по критерию NPV, и по критерию IRR предпочтение следует отдать проекту А. Судя по значению IRR проект В является более рискованным.

31

4. Влияние коэффициента дисконтирования на ранжирование проектов по критерию NPV. Для проектов классического характера (с ординарным денежным потоком) критерий IRR показывает лишь максимальный уровень затрат, который может быть ассоциирован с оцениваемым проектом. Если цена инвестиций в оба альтернативных проекта меньше, чем значение IRR для них, выбор может быть сделан с помощью дополнительных критериев. Критерий IRR не позволяет различить ситуации, когда цена капитала меняется. Пример 4. В таблице приведены исходные данные по двум альтернативным проектам. Требуется выбрать один из них при условии, что цена капитала, предназначенного для инвестирования проекта а) 8 %; б) 15 %.

(млн. руб.) Проект Величина Денежный поток по годам IRR, Точка Фишера инвестиции 1-й 2-й 3-й % r, % NPV А -100 90 45 9 30 9,82 26,06 В -100 10 50 100 20,4 9,82 26,06 А-В 0 -80 5 91 9,82 Исходя из критерия IRR оба проекта равноправны. На первый взгляд сделать выбор невозможно. Построим графики функции NPV = f ( r ) для обоих проектов. NPV Проект В Проект А Точка Фишера

r 10

20

30

Рис. 3.3 Рис. 3.3 показывает, что с ростом r графики NPV проектов А и В убывают. Заметим, что проект В имеет более высокое значение NPV при низких значениях r; при r>9,8% проект А имеет более высокие значения NPV. Можно сделать вывод, что NPV проекта В «более чувствителен» к изменению ставки дисконта, чем NPV проекта А, поскольку с ростом r NPVB убывает более высокими темпами. Это связано с тем, что приток денежных средств в проекте А идет более быстрыми темпами. Если проект имеет большую часть поступлений в начальные годы, его NPV с ростом r будет убывать значительно медленнее по сравнению с проектом, в котором в первые годы поступает относительно меньшая часть общего притока денежных средств. Следовательно, проект В, который имеет большую часть поступлений в последние годы невыгоден, если дисконтная ставка повышается, тогда как проект А, в котором приток денежных средств идет более быстрыми темпами в первые годы, в меньшей степени реагирует на увеличение ставки. Точка пересечения двух графиков (r = 9,82 %), показывающая значение коэффициента дисконтирования, при котором оба проекта имеют одинаковый NPV, называется точкой Фишера. Она служит пограничной точкой. Исходя из этого можно сделать вывод, что в случае а) следует предпочесть проект А; в случае б) - проект В.

32

Точка Фишера для потоков А и В может быть найдена как IRR разностного потока (А В) или (В - А). 5. Свойство аддитивности. Одним из существенных недостатков критерия IRR является то, что в отличие от критерия NPV он не обладает свойством аддитивности, т.е. для двух инвестиционных проектов А и В, которые могут быть осуществлены одновременно: NPV(A + B) = NPV(A) + NPV(B), но IRR(A + B) ≠ IRR(A) + IRR(B). 6. Множественность IRR. Критерий IRR совершенно непригоден для анализа неординарных инвестиционных потоков. В этом случае может возникнуть множество значений IRR, возможны ситуации, когда положительного значения IRR не существует.

NPV NPV

r

r

Рис. 3.4 7. Сложность вычисления. С точки зрения процедуры вычисления, вычисление IRR значительно сложнее, чем NPV. Модифицированная внутренняя норма доходности (Modified Internal Rate of Return, MIRR). Основной недостаток, присущий IRR, в отношении оценки проектов с неординарными денежными потоками, не является критическим и может быть преодолен. Соответствующий аналог IRR, который может применяться при анализе любых проектов, назвали модифицированной внутренней нормой прибыли (MIRR). Алгоритм расчета MIRR. 1) Рассчитывается суммарная дисконтированная стоимость всех оттоков по цене источника финансирования проекта. 2) Рассчитывается суммарная наращенная стоимость всех притоков по цене источника финансирования проекта - терминальная стоимость. 3) Определяется коэффициент дисконтирования, который уравнивает суммарную приведенную стоимость оттоков и терминальную стоимость, т.е. MIRR. Общая формула расчета имеет вид: n

n

S

∑ (1 +−r)t t

t =0

, (3.9) (1 + MIRR) n S − t - отток денежных средств в период t (по абсолютной величине); S + t - приток денежных средств в период t; r - цена источника финансирования данного проекта; n - продолжительность проекта. t =0

где

=

∑ S + t (1 + r) n −t

33

Формула имеет смысл, если терминальная стоимость превышает сумму дисконтированных оттоков. Критерий MIRR всегда имеет единственное значение, поэтому может применяться вместо критерия IRR для неординарных потоков. Противоречия между критериями NPV и MIRR могут возникать, если проекты различаются по масштабу: − значения элементов у одного потока значительно больше по абсолютной величине, чем у другого; − проекты имеют различную продолжительность. Методы определения срока окупаемости инвестиций (Payback Period, PP). Срок (период) окупаемости - один из самых простых и наиболее часто используемых методов оценки инвестиций. Он не предполагает временной упорядоченности денежных поступлений. Период окупаемости (payback period) определяется как время, требуемое для того, чтобы доходы от инвестиционного проекта стали равны первоначальному вложению в данный проект. Если ожидается, что денежный поток от инвестиционного проекта будет одинаковым в течение ряда лет, то I Т ок = o , лет, (3.10) St где I o - первоначальные инвестиции; St - ежегодный поток реальных денег. Если ожидаемый поток доходов меняется из года в год, необходимо составить баланс денежных потоков (кумулятивный денежный поток). Т ок находится по выражению: t

Т ок = t ′ −

∑ St t =0

S′t

,

(3.11)

где t' - номер года, в котором сумма денежных потоков поменяла знак (стала положительной); t

∑ St t =0

- баланс (сумма) денежных потоков;

S′t в знаменателе - денежный поток, который изменил знак с “ – ” на “ + ”. Пример 5. Проект генерирует следующие денежные потоки (тыс. руб.) C 0 = – 100; C1 = + 50; C 2 = – 20; C 3 = + 30; C 4 = + 60; C 5 = + 40. Составляем баланс (кумулятивный денежный поток) (в тыс. руб): 0 - й год - (– 100) 1 - й год - (– 50) 2 - й год - (– 70) 3 - й год - (– 40) 4 - й год - (+ 20) 20000 Tок = 4 − = 3,67 года. 60000 Недостатки метода. 1) не рассматривает доходы от инвестиций за пределами периода окупаемости; 2) не учитывает разницу во времени получения доходов в пределах периода окупаемости;

34

3) не учитывает различие в распределении доходов по годам; 4) не позволяет судить об экономической выгоде проекта; 5) не учитывает различие в первоначальных инвестициях разных проектов. Преимущества метода. 1) очень прост; 2) позволяет судить о ликвидности проекта (главное, чтобы инвестиции окупались и как можно скорее); 3) дает представление об уровне риска проекта (чем короче срок окупаемости, тем менее рискованным является проект). Дисконтированный период окупаемости. Это период времени, необходимый для того, чтобы текущая стоимость из отрицательной стала положительной. Используя этот метод мы находим точку безубыточности проекта. Денежные потоки дисконтируются по показателю n 1 ≥ I o . Дальнейший “средневзвешенная цена капитала”, и рассчитывается сумма ∑ S t (1 + r) t t =1 расчет аналогичен расчету обычного периода окупаемости. В случае дисконтирования срок окупаемости увеличивается, т.е. проект, приемлемый по критерию срока окупаемости, может оказаться неприемлемым по критерию дисконтированного срока окупаемости. Метод расчета доходности инвестиций (Return of Investment, ROI). Этот метод предусматривает сопоставление ежегодной прибыли (до налогообложения или после) с первоначальными капиталовложениями. Существует несколько форм такого сопоставления. Предполагается, что срок функционирования проекта известен. а) Ежегодная прибыль от полных первоначальных капиталовложений St Ежегодная прибыль ROI = = . Первона чальные капиталовложения I o (3.12)

б) Ежегодная капиталовложений

прибыль

от

средних

ROI =

St (I 0 ± I кон )

за

период ,

функционирования

проекта

(3.13)

2 где I кон - остаточная или ликвидационная стоимость проекта. в) Среднегодовая прибыль от средних капиталовложений за период T T

∑ St − I0 t =1

T . (3.14) I 0 ± I кон 2 Может быть использован и следующий подход при расчете ROI: сопоставление ежегодной прибыли (до налогообложения или после) с первоначальными капиталовложениями. 1 T ∑ Pt T t =1 ROI = , (3.15) 1 N ∑ In N n =0 ROI =

35

1 T ∑ Pt - средняя прибыль за период функционирования проекта (расчет ведется T t =1 начиная с первого года функционирования проекта); Pt - прибыль в год t; Т – количество периодов функционирования проекта;

где

1 N ∑ I n - средние инвестиции (если капитальные вложения осуществляются в N n =0 течение нескольких периодов, они суммируются и усредняются по количеству периодов инвестирования). I n - инвестиции в период n; N – количество периодов инвестирования.

Достоинство рассматриваемого метода: 1) простота; 2) широкое использование на практике. Недостатки: 1) Метод не учитывает временную компоненту денежных потоков, денежные потоки не дисконтируются. 2) Не учитывается время поступления денежных потоков, формирующих прибыль. Для инвестора предпочтительнее проекты, которые дают большие притоки реальных денег в начале периода. 3) Метод не учитывает разницу между проектами, имеющими одинаковую среднегодовую прибыль, но генерируемую в течение различного количества лет. 4) Величина ROI подсчитывается по балансовой стоимости активов, хотя для инвестора важен показатель, отражающий их рыночную стоимость. Метод оценки проектов по бухгалтерской норме доходности (Accounting Rate of Return, ARR). Этот показатель используется менеджерами как показатель эффективности функционирования. В самом общем виде он определяется следующим образом. В самом общем виде он определяется следующим образом: Средняя бухгалтерская прибыль ARR = . Среднее значение капиталовложений Здесь средняя бухгалтерская прибыль - это среднегодовая прибыль после уплаты налогов за весь период функционирования проекта. Среднее значение капиталовложений также относится ко всему периоду функционирования проекта. Однако поскольку речь идет об использовании при расчетах информации, содержащихся в бухгалтерских документах, рассматриваемый показатель для какого-то года t можно представить в виде: F − (A t −1 − A t ) ARR = t , (3.16) A t −1 где Ft - чистый (после налога) приток реальных денег в год t; A t - балансовая стоимость материальных активов в год t.

36

Очевидно, что разность (A t −1 − A t ) представляет собой амортизацию основных фондов за год. За весь период функционирования проекта Т величина показателя находится как средняя величина: 1 T ARR = ∑ ARR t . (3.17) T t =1 Решения, связанные с инвестициями, имеют для фирмы исключительно большое значение. Поэтому для их принятия нельзя пользоваться каким-то одним методом анализа альтернативных инвестиционных предложений. Следует использовать все методы, тщательно проанализировать причины возникающих расхождений в порядках ранжирования. Наиболее весомым считается метод NPV. Однако возможна ситуация, когда значения NPV для нескольких проектов одинаковы или очень близки. Тогда целесообразно оценить их с помощью других методов. Например, определить для них сроки окупаемости. Естественно, что выбрать следует проект с наименьшим сроком окупаемости.

37

ТЕМА 4 АНАЛИЗ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Неопределенность и риск В настоящее время нет строгого понятия «неопределенность», в экономической литературе очень часто понятие «неопределенность» отождествляется с понятием «риск». • «Неопределенность» характеризуется множеством различных возможностей, из которых в зависимости от конкретных условий реализуется лишь одна. Проблема неопределенности возникает в результате взаимодействия множества причин внутреннего и внешнего характера, к числу которых могут быть отнесены невозможность точно описать закономерности, цели и условия развития больших реальных систем, объектов и явлений, невозможность точно задать исходную информацию, используемую при исследованиях, и т.д. В зависимости от вида этих причин принято различать три типа неопределенности: • вероятностную; • эпистемологическую; • полную. При вероятностной неопределенности (в качестве подкласса к ней может быть отнесена и статистическая неопределенность) каждый исход имеет некоторую вероятность наступления, причем предполагается, что эти вероятности известны. Можно считать, что вероятностная неопределенность задается «поведением» самого объекта исследования, поскольку субъект здесь выступает лишь как «наблюдатель». Эпистемологическая неопределенность представляет собой неопределенность более сложного типа. Она создается уже не только одним «поведением» объекта, но и неконтролируемой или не полностью контролируемой деятельностью исследователя. Полная неопределенность характеризуется отсутствием всякой информации как о состоянии объекта исследования, так и о намерениях или деятельности исследователя. Тип неопределенности, характеризующий ту или иную ситуацию, определяется содержанием описывающей ее информации. Можно предложить следующую классификацию информации: • детерминированная, которая однозначно характеризует явления или процессы; • вероятностно-определенная, которая характеризует случайные события или величины с известными для настоящего и будущего законами распределения вероятностей; • вероятностно-неполная, которая характеризует случайные события или величины, законы распределения которых или вообще неизвестны, или известны для прошлого, но не для будущего; • собственно неполная, не обладающая свойствами статистической устойчивости. Очевидно, что для увеличения полноты и качества информации снижает уровень неопределенности. • Как уже отмечалось выше, в экономической литературе часто понятия «риск» и «неопределенность» отождествляются. Существует множество определений «риска». 1). Риск (или неопределенность) обусловлен вариацией ожидаемых доходов, связанных с данными инвестициями. 2). Риск – это решение, при выработке которого делающий это субъект может подсчитать вероятность того, что требуемый исход будет определяться конкретным образом действия. 3). Риск – это подверженность случайным потерям, опасной случайности; опасность потерять.

38 4). Термин «риск» используется обычно для описания условий инвестирования, когда

доход от инвестиций точно не известен, но известна совокупность альтернативных значений этого дохода и их вероятности. • Под условиями риска предлагается понимать множество возможных альтернативных исходов с известными вероятностями их наступления; под условиями неопределенности – то же множество возможных альтернативных исходов, но без каких-либо сведений о вероятностях их наступления. • Риск – не ущерб, наносимый реализацией решения, а возможность отклонения от цели, ради достижения которой принималось решение. 5). Из ситуаций неопределенности мы рассматриваем в качестве ситуаций риска такие, наступление неизвестных событий в которых весьма вероятно и может быть оценено. В то же время ситуации, когда вероятность наступления неизвестных событий мы установить заранее не можем ... мы называем неопределенностью. Таким образом, есть все основания сделать вывод, что риск характерен для неопределенности, которая в соответствии с приведенной выше классификацией названа, вероятностной (статистической). Раскрытие такой неопределенности возможно осуществить с помощью вероятностного или статистического описания явления, ситуации или поведения объекта путем введения на множество возможных их исходов или состояний меры – вероятности. Следовательно, появляется возможность количественной оценки условий риска. Существуют различные способы количественной оценки условий риска. Первый подход основан на использовании коэффициента риска k z . M{x x < Z} − Z M− , (4.1) kz = − + = − M{x x ≥ Z} − Z M где Z – величина планируемого показателя; M − – ожидаемые величины показателей, меньших Z, в случае их отклонения от Z (с отрицательным знаком); M + – ожидаемые величины показателей, больших Z, в случае их отклонения от Z. Таким образом, k z показывает соотношение ожидаемых величин отрицательных и положительных отклонений показателей от запланированного уровня. В нем учитываются: • распределение показателей результатов; • значения показателей, относящихся к планируемым ситуациям; • абсолютные размеры выигрыша или потерь (x – Z), относящихся к различным ситуациям (при х > Z речь идет о прибыли). Значение k z могут находится в интервале (0, ∞) . Для вычисления k z выражение (4.1) удобно представить в виде: ∑ x i (при x i < Z) − Z n (4.2) kz = − , ( ) x при x Z ≥ ∑ i i −Z N−n

где Z – планируемая величина показателя x (положительный результат соответствует требованию: x i ≥ Z ); N – общее число возможных значений показателя x; i = 1, ..., N; n – число показателей, для которых x i < Z . На рис. 4.2 представлена шкала риска, которая позволяет с помощью величины k z оценить характер поведения лица, принимающего решение.

39

Пессимис- Осторож- Склонность РискоБольшая Азартное тическое к умерен- ванное склонность ное поведение поведение ному риску поведек риску ние

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

kz

Рис 4.2. Шкала риска В целях более удобного пользования коэффициентами риска, для уменьшения чрезвычайно высоких значений возможно их нормирование, в результате чего их значения не выйдут за пределы интервала (0; 1). Нормированные коэффициенты риска называются индексами риска: kz k z′ = , kz + E где Е > 0 некоторое заранее выбранное постоянное число. (k )′ называется индексом риска. z

Второй подход к количественной оценке риска основан на неоклассической теории риска А. Маршалла и А. Пигу. Суть его заключается в следующем. Если решение относительно выигрыша принимается в условиях риска (т.е. величина выигрыша – величина случайная), то лицо, принимающее решение, будет руководствоваться двумя критериями: • абсолютной величиной ожидаемого выигрыша; • размахом его возможных колебаний. Рассматриваемая ситуация представлена на рис. 4.3. X

Кривая безразличия

B

M

P 0

A

σ x2

ОР – гарантированный выигрыш; РВ – дополнительная премия за риск ОА.

Рис. 4.3. Закон возрастающей цены риска. Представленная на рис. 4.3 кривая безразличия характеризует закон возрастающей цены риска. По оси ординат откладывается абсолютная величина выигрыша X , т.е. его математическое ожидание. По оси абсцисс – дисперсия σ 2x , характеризующая разброс возможных значений выигрыша. Следовательно, гарантированную прибыль можно выразить как дисконтированную величину ожидаемой прибыли, причем ставкой дисконта здесь является норма премии за риск, зависящая от кривой безразличия.

40

Можно также построить кривую безразличия для случая, когда анализируется не ожидаемый выигрыш, а ожидаемые затраты (рис. 4.4). Здесь отрезок ОР изображает величину гарантированных издержек, а отрезок ВР – премию за риск. Снижая издержки и получая премию за риск в размере РВ предприниматель рискует и риск количественно выражается с помощью дисперсии σ 2x (отрезок 0А). X

P

B

0

M

Кривая безразличия

σ x2

A

ОР – гарантированный выигрыш; РВ – дополнительная премия за риск ОА.

Рис. 4.4. Кривая безразличия для затрат в условиях риска.

Методы анализа инвестиционных проектов с учетом риска

Прежде всего необходимо систематизировать риски, с которыми приходиться сталкиваться при анализе и выборе инвестиционных проектов. Предлагается классификация рисков, представленная на рис. 4.5. Риск

Систематический риск (недиверсифицируемый, неконтролируемый)

Инфляционный риск

Рыночный риск

Риск нестабильности учетной ставки

Несистематический риск (диверсифицируемый, контролируемый)

Риск бизнеса

Риск ликвидности

Финансовый риск

Риск неисполнения обязательств со стороны должника

Рис. 4.5. Классификация рисков Систематический риск обусловлен действием внешних не контролируемых инвестором факторов. Компонентами систематического риска являются:

41

•

инфляционный риск, обусловленный возможностью снижения поступательной способности денег и доходности активов; • риск, вызванный нестабильностью учетной ставки, которая влияет на стоимость ценных бумаг с фиксированным доходом; • рыночный риск, обусловленный влиянием на стоимость активов общей конъюнктуры рынка. Для инвестиционных проектов можно дать следующую трактовку понятий «неопределенность» и «риск». Неопределенность – это неполнота и неточность информации об условиях реализации проекта, в том числе и связанных с ним затратах и результатах. Неопределенность, связанная с возможностью возникновения в ходе реализации проекта неблагоприятных ситуаций и последствий, характеризуется понятием «риск». К числу наиболее существенных видов неопределенностей и инвестиционных рисков можно отнести: • риск, связанный с нестабильностью экономического законодательства и текущей экономической ситуации, условий инвестирования и использования прибыли; • внешнеэкономический риск (возможность введения ограничений на торговлю и поставки, закрытие границ и т.д.); • неопределенность политической ситуации, риск неблагоприятных социальнополитических изменений в стране или в регионе; • неполнота и неточность информации о динамике технико-экономических показателей, параметрах новой техники и технологий; • колебания рыночной конъюнктуры, цен, валютных ресурсов и т.д.; • неопределенность природно-климатических условий, угроза стихийных бедствий; • производственно-технологический риск (аварии и отказы оборудования и т.д.); • неопределенность целей, интересов, финансового положения и поведения участников проекта (возможность неплатежей, банкротств, срыва договорных обязательств и т.д.). Можно предложить следующую квалификацию рисков. Приведенный перечень рисков представляет большой интерес, поскольку с исчерпывающей полнотой и объективностью характеризует условия, в которых в России протекает инвестиционный процесс. Со всей определенностью можно утверждать, что большинство из перечисленных факторов риска, в зарубежных странах отсутствуют. Внешние непредсказуемые риски 1. Неожиданные государственные меры регулирования в сфере: ♦ материально-технического снабжения; ♦ охраны окружающей среды; ♦ проектных нормативов; ♦ землепользования; ♦ экспорта-импорта; ♦ ценообразования; ♦ налогообложения. 2. Природные катастрофы: ♦ наводнения; ♦ штормы; ♦ климатические катаклизмы и др. 3. Преступления: ♦ вандализм; ♦ саботаж; ♦ терроризм. 4. Неожиданные внешние эффекты: ♦ экологические;

42

♦ социальные. 5. Срывы: ♦ в создании необходимой инфраструктуры; ♦ из-за банкротства подрядчиков по проектированию, снабжению, строительству и т.д.; ♦ в финансировании; ♦ из-за ошибок в определении целей проекта; ♦ из-за неожиданных политических изменений. Внешние предсказуемые (но неопределенные) риски 1. Рыночный риск в связи с: ♦ ухудшением возможности получения сырья; ♦ повышением стоимости сырья; ♦ изменением требований потребителей; ♦ экономическими изменениями; ♦ усилением конкуренции; ♦ потерей позиций на рынке; ♦ нежеланием покупателей соблюдать торговые правила. 2. Операционные: ♦ невозможность поддержания рабочего состояния элементов проекта; ♦ нарушение безопасности; ♦ отступление от целей проекта. 3. Недопустимые экологические воздействия. 4. Отрицательные социальные последствия. 5. Изменения валютных курсов. 6. Нерасчетная инфляция. 7. Налогообложение. Внутренние нетехнические риски 1. Срывы планов работ из-за: ♦ недостатка рабочей силы; ♦ нехватки материалов; ♦ поздней поставки материалов; ♦ плохих условий на строительных площадках; ♦ изменения возможностей заказчика проекта, подрядчиков; ♦ ошибок проектирования; ♦ ошибок планирования; ♦ недостатка координации работ; ♦ изменения руководства; ♦ инцидентов и саботажа; ♦ трудностей начального периода; ♦ нереального планирования; ♦ слабого управления; ♦ труднодоступности объекта. 2. Перерасход средств из-за: ♦ срывов планов работ; ♦ неправильной стратегии снабжения; ♦ неквалифицированного персонала; ♦ переплат по материалам, услугам и т.д.; ♦ параллелизма в работах и нестыковок частей проекта; ♦ протестов подрядчиков; ♦ неправильных смет;

43

♦ неучтенных внешних факторов. Внутренние технические риски 1. Изменение технологии. 2. Ухудшение качества и производительности производства, связанного с проектом. 3. Специфические риски технологии, закладываемой в проект. 4. Ошибки в проектно-сметной документации. Правовые риски 1. Лицензии. 2. Патентное право. 3. Невыполнение контрактов. 4. Судебные процессы с внешними партнерами. 5. Внутренние судебные процессы. 6. Форс-мажор (чрезвычайные обстоятельства). Страхуемые риски 1. Прямой ущерб имуществу: ♦ транспортные инциденты; ♦ оборудование; ♦ материалы; ♦ имущество подрядчиков. 2. Косвенные потери: ♦ демонтаж и передислокация поврежденного имущества; ♦ перестановка оборудования; ♦ потери арендной прибыли; ♦ нарушение запланированного ритма деятельности; ♦ увеличение необходимого финансирования. 3. Риски, страхуемые в соответствии с нормативными документами посторонним лицам: ♦ нанесение телесных повреждений; ♦ повреждение имущества; ♦ ущерб проекту вследствие ошибок проектирования и реализации; ♦ нарушение графика работ. 4. Сотрудники: ♦ телесные повреждения; ♦ затраты на замену сотрудников; ♦ потери прибыли. Выше классифицированы практически все риски, с которыми может столкнуться любой проект. Аналитику проекта на первом этапе работы по управлению риском требуется идентифицировать возможные области риска применительно к конкретному проекту. Задача обычно решается с активным привлечением экспертных методов. Это позволяет в какой-то мере компенсировать недостаток имеющейся информации о разрабатываемом проекте при помощи опыта экспертов, которые используют свои знания о проектах-аналогах для прогнозирования возможных зон риска и возможных последствий. На этапе идентификации риска необходимо не только определить, какие зоны риска существуют для данного проекта, но и хотя бы на качественном уровне оценить важность этих рисков для проекта. Большая важность риска означает большую вероятность его наступления и, соответственно, более серьезные последствия для успеха всего проекта. Алгоритм метода экспертной оценки рисков проекта может включать: 1). Разработку полного перечня возможных рисков по фазам жизненного цикла проекта. 2). Расчет степени важности рисков: • вероятность данного риска (в долях единицы);

44

• опасность данного риска, т.е. насколько существенными окажутся последствия наступления неблагоприятного события (измеряется в баллах); • важность риска как произведение вероятности на опасность его наступления. 3). Ранжирование рисков по степени важности для проекта. Пример 4.1. Рассмотрим некоторые из возможных рисков проектировщика, имеющего контракт на подготовку проектно-сметной документации для строительства жилого дома и рассчитаем важность выявленных рисков. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Наименование риска Содержание контракта. Технические решения. Влияние государственных органов. Влияние органов экспертизы. Координация и согласованность разработки проекта. Соответствие проектным стандартам. Технические ошибки проекта. Утверждение результатов проектирования. Квалификация и ресурсы проектировщиков.

Опасность Вероятность Важность 30 0,3 9 60 0,5 30 60 0,5 30 40 0,7 28 70 0,5 35 20 0,4 8 80 0,4 32 30 0,2 6 70 0,2 14

Специалисты-аналитики классифицируют риски следующим образом: − динамический – это риск непредвиденных изменений стоимостных оценок проекта вследствие изменения первоначальных управленческих решений, а также изменения рыночных или политических обстоятельств. Такие изменения могут привести как к потерям, так и дополнительным доходам. − статический – это риск потерь реальных активов вследствие нанесения ущерба собственности или неудовлетворительной организации. Этот риск может привести только к потерям. Наиболее распространенным методом анализа инвестиционных проектов в условиях риска является метод, основанный на анализе средних значений и дисперсий норм доходности рассматриваемых вариантов инвестиций: n

r = ∑ ri Pi ; i =1

n

σ 2r = ∑ (ri − r ) 2 Pi ; i =1

σr =

n

∑ (ri − r) 2 Pi . i =1

Здесь: ri - норма доходности при исходе i; i = 1, n - возможное число исходов; r - среднее значение нормы доходности; σ 2r - дисперсия* значения ri . σ r - среднее квадратическое отклонение. После определения r и σ 2r выбор варианта производится по правилу Г. Марковица: проект А лучше проекта В, если для него выполняется одно из следующих двух условий: 1) rA ≥ rB ; (σ r2 ) A < (σ r2 ) B *

Дисперсией называется мера разброса возможных исходов относительно ожидаемого значения: чем выше дисперсия, тем больше разброс.

45

2) r A > r B ; (σ r2 ) A ≤ (σ r2 ) B Если эти условия не выполняются, то для выбора проекта потребуется дополнительный анализ с учетом ряда других факторов. Например, если при сравнении проектов А и В окажется, что имеет место соотношение: r A > r B , (σ 2r ) A > (σ 2r ) B , для выбора можно воспользоваться коэффициентом вариации: σ ν= r . r Следует принять проект А, если ν A < ν B . Рассмотренный подход к анализу проектов не учитывает фактора времени. Поэтому более совершенным методом выбора инвестиционных проектов является метод, основанный на анализе множества случайных значений их NPV. Для этого используются выражения: n

NPV = ∑ (NPVi ⋅ Pi ) ; i =1

(

n

σ 2NPV = ∑ ⎡ NPVi − NPV ⎢ i=2 ⎣

σ NPV =

)2 ⋅ Pi ⎤⎥⎦ ;

∑ ⎡⎢⎣(NPVi − NPV ) n

2

i=2

⋅ Pi ⎤ ; ⎥⎦

σ NPV . NPV После определения этих величин выбор вариантов производится по тем же правилам, о которых уже говорилось. υ=

Методы анализа риска

Можно выделить следующие методы анализа риска. 3). Анализ чувствительности. 4). Анализ сценариев. 5). Имитационное моделирование методом Монте-Карло. 6). Анализ дерева решений. Анализ чувствительности

Многие переменные, определяющие денежные потоки проекта, не известны наверняка, а скорее подчиняются некоторому закону распределения вероятностей. Если ключевая переменная, например, объем проданной продукции, меняется, меняются и NPV и IRR проекта. Анализ чувствительности (sensitivity analysis) – это метод, точно показывающий, насколько изменяется NPV и IRR проекта в ответ на данное изменение одной входной переменной при том, что все остальные условия не меняются. Анализ чувствительности проводится в следующей последовательности: 1). Определяются наиболее значимые переменные (например, объем продаж, цена единицы продукции, переменные затраты на единицу продукции). 2). Определяются их ожидаемые, или базовые, значения. 3). Рассчитываются показатели NPV и IRR при базовых значениях.

46 4). Меняется значение переменной в определенных пределах и рассчитываются

NPV и IRR при каждом новом значении переменной. Данную процедуру повторяют для каждой переменной. 5). Строятся графики зависимости NPV и IRR от изменяемой переменной. 6). Сравнивается чувствительность проекта к каждой переменной и определяются важнейшие из них. Пример 4.2. Отклонение от базового уровня, % -10 -5 0 +5 + 10

объема продаж 7 944 10 010 12 075 14 141 16 207

NPV (в тыс.$) при изменении переменных затрат цены на единицу продукции капитала 20 287 13 772 16 181 12 905 12 075 12 075 7 970 11 281 3 864 10 521

б) переменные затраты

а) объем реализации

NPV, тыс. $

NPV, тыс. $

в) цена капитала NPV, тыс. $

20 282 16 207

12 075

13 772 12 075 10 521

12 075

7 944 3 864 0 –10 +10 Базовый объем реализации, %

0 –10 +10 Базовые переменные затраты, %

0 –10 +10 Базовая цена капитала, %

Рис. 4.6. Анализ чувствительности. Наклон линий показывает, насколько чувствителен NPV проекта к изменениям на каждом входе: чем круче наклон, тем чувствительнее NPV к изменению переменной. NPV проекта очень чувствителен к изменению переменных затрат, довольно чувствителен к изменению объема продаж и относительно нечувствителен к изменению цены капитала (рис. 4.6). В сравнительном анализе проект с более крутыми кривыми чувствительности считается более рисковым, поскольку сравнительно небольшая ошибка в оценке переменной, например, переменных затрат на единицу продукции, дает большую ошибку в прогнозируемой NPV проекта. Таким образом, анализ чувствительности может помочь проникнуть в суть рисковости проекта.

47

Анализ сценариев

Анализ чувствительности имеет ряд ограничений. Риск проекта зависит: во-первых, от чувствительности его NPV к изменениям ключевых переменных; во-вторых, от диапазона вероятных значений этих переменных, что отражается в их распределениях вероятностей. Поскольку анализ чувствительности рассматривает только первый фактор, он не полон. Анализ сценариев – метод анализа риска, который рассматривает как чувствительность NPV к изменениям ключевых переменных, так и диапазон вероятных значений переменных. Строится три сценария реализации проекта: пессимистический (наихудший), наиболее вероятный (средний) и оптимистический (наилучший). По каждому из вариантов рассчитывается NPV и оценивается вероятность возникновения наихудшей, наиболее вероятной и наилучшей ситуации. Результаты анализа сводятся в таблицу. Пример 4.3. Сценарий Наихудший Наиболее вероятный Наилучший Ожидаемый NPV ( NPV )

Объем реализации, ед. 15 000

Цена реализации, долл. 1 700

NPV, тыс. долл. -10 079

Вероятность 0,25

Результат

25 000

2 200

12 075

0,5

6 038

35 000

2 700

41 752

0,25

10 438

-2 520

13 956

σ NPV

18 421

Полученное значение NPV (13956 тыс. долл.) отличается от базового варианта (6038 тыс. долл.). Это объясняется тем, что две исходные переменные, объем реализации и цена, варьируют неодинаково – большая вариация первой переменной приводит к сдвигу ожидаемого NPV в сторону увеличения. NPV = 0 ,25(− 10079 ) + 0 ,5 ⋅ 12075 + 0 ,25 ⋅ 41752 = 13956

[

σ NPV = 0 ,25(− 10079 − 13956 )2 + 0 ,5(12075 − 13956 )2 + 0 ,25(41759 − 13956 )2

Коэффициент вариации NPV проекта: υ NPV =

σ NPV NPV

=

18421 = 1,3 13956

]

1/ 2

= 18421

48

ТЕМА 5. ИНВЕСТИРОВАНИЕ В ЦЕННЫЕ БУМАГИ

Природа ценных бумаг делает инвестирование в них существенно непохожим на инвестирование в основные фонды. Это отличие обусловлено следующими обстоятельствами: − возможностью деления этих инвестиций на мелкие части; − возможностью осуществлять вложения средств на короткие промежутки времени. Благодаря этому при инвестициях в ценные бумаги можно не принимать во внимание объемы и длительности периодов инвестирования альтернативных вариантов. Из-за очень большого числа инвесторов на рынке ценных бумаг использование для анализа эффективности вариантов метода NPV невозможно. Для оценки доходности инвестиций в ценные бумаги можно использовать показатель нормы доходности за период владения ценной бумагой HPR (holding period return). Идея заключается в том, чтобы определить период владения основным капиталом, после чего допустить, что любые выплаты, полученные за период, реинвестировали. Принято считать, что любая выплата, полученная по ценной бумаге (например, дивиденд по акции), используется для дальнейшего приобретения ценных бумаг по текущему рыночному курсу. Для периода в один год: HPR = rhp =

Vt − 1, Vt −1

Vt - стоимость на конец периода владения; где Vt −1 - стоимость на начало периода владения. Доходность за период владения r hp можно преобразовать в эквивалентную доходность за единичный период rg :

или

(1 + rg )N = 1 + rhp 1 rg = (1 + rhp ) N − 1 ,

где N количество единичных промежутков за период владения. Например. Акции в начале первого года стоят $ 46 за штуку. Они принесли за год дивиденды в размере $ 1,5. В конце первого года акции стоили $ 50 и принесли в следующем году дивиденды в размере $ 2. К концу второго года акции котировались по курсу $ 56. Какова доходность акций за период владения в два года? Введем обозначения: V0 - первоначальная стоимость; V1 - стоимость на конец первого года; V2 - стоимость в конце второго года. V2 V2 V1 . = × V0 V1 V0 V1 $51,5 V2 $58 = = 1,1196 ; = = 1,16 . V0 $46 V1 $50

Относительная стоимость для двухгодичного периода владения будет равна: 1,1196 ⋅ 1,16 = 1,2987 . Относительная стоимость каждого периода можно рассматривать как [1 + доходность] за этот период.

49

В нашем примере: доходность за первый год - 11,96 %; второй год - 16 %. Доходность за два года 29,87 %. Годовая доходность: 1,2987 − 1 = 13,96% . Если речь идет об N периодах:

(

)(

) (

)

VN = 1 + rhp1 ⋅ 1 + rhp 2 ⋅...⋅ 1 + rhpN . V0

Чтобы преобразовать полученный результат в доходность за время владения в расчете на один период с учетом начисления сложных процентов, можно вычислить среднегеометрическую доходность за отдельные периоды:

(

)(

) (

)

1 + rg = N 1 + rhp1 ⋅ 1 + rhp 2 ⋅...⋅ 1 + rhpN . Таким образом, показатель нормы доходности ценной бумаги для периода, состоящего из N лет, определяется по выражению:

(

)(

) (

)

rg = N 1 + rhp1 ⋅ 1 + rhp 2 ⋅...⋅ 1 + rhpN − 1 . Платежи по безрисковым ценным бумагам могут быть предсказаны, так как их размеры и распределение по срокам точно известны. Проблема выбора инвестиционного портфеля

В 1952 году Гарри Марковиц опубликовал фундаментальную работу, которая является основой подхода к инвестициям с точки зрения современной теории формирования портфеля. Подход Марковица к проблеме выбора портфеля предполагает, что инвестор старается решить две проблемы: − максимизировать ожидаемую доходность при заданном уровне риска; − минимизировать неопределенность (риск) при заданном уровне ожидаемой доходности. Следствием наличия двух противоречивых целей является необходимость проведения диверсификация с помощью покупки не одной, а нескольких ценных бумаг. Доходность ценной бумаги за один период может быть вычислена по формуле: Благосостояние в конце периода Доходность

=

_

Благосостояние в начале периода

Благосостояние в начале периода

.

Благосостояние в начале периода - цена покупки одной ценной бумаги данного вида в момент t = 0. Благосостояние в конце периода - рыночная стоимость данной ценной бумаги в момент t = 1 в сумме со всеми выплатами держателю данной бумаги. Поскольку портфель представляет собой совокупность различных ценных бумаг, его доходность может быть вычислена: W − W0 rp = 1 , W0 где W0 - совокупная цена покупки всех ценных бумаг, входящих в портфель в момент t = 0;

50

W1 - совокупная рыночная стоимость этих ценных бумаг в момент t = 1 в сумме с совокупным денежным доходом от обладания ценными бумагами с момента t = 0 до момента t = 1. Отсюда: W0 1 + rp = W1 .

(

)

По Марковицу, инвестор должен считать уровень доходности, связанный с любым из альтернативных портфелей случайной переменной. Норма доходности имеет две характеристики: 1. Математическое ожидание нормы доходности портфеля финансовых активов. 2. Дисперсия/ стандартное отклонение нормы доходности портфеля. Математическое ожидание нормы доходности портфеля: N

rp = ∑ x i ri = x 1 r1 + x 2 r2 +...+ x N rN , i =1

где x i - доля начальной стоимости портфеля, инвестированная в ценную бумагу i (доля актива i в инвестициях всего портфеля); ri - математическое ожидание доходности ценной бумаги i. n

ri = ∑ p i ri , i =1

где ri - норма доходности при исходе i, i ∈1,n ; p i - вероятность исхода i. Пример 1. Вычисление ожидаемой доходности портфеля. а) Стоимость ценной бумаги и портфеля. Наименование Ц Б Количество акций в портфеле А 100 В 200 С 100

Начальная рыночная цена одной акции $ 40 $ 35 $ 62

Сумма инвестиций $ 4000 $ 7000 $ 6200

Доля в начальной рыночной стоимости портфеля 4000/17200=0,2325 7000/17200=0,4070 6200/17200=0,3605

Начальная стоимость портфеля W0 = $17 200 . Сумма долей = 1,0. б) Вычисление ожидаемой доходности портфеля с использованием стоимости на конец периода. Наименование Ц Б

Количество акций в портфеле

А В С

100 200 100

Ожидаемая стоимость одной акции в конце периода, $ 46,48 43,61 76,14

Совокупная ожидаемая стоимость в конце периода, $ 46,48 х 100 = 4648 43,61 х 200 = 8722 76,14 х 100 = 7614

Ожидаемая стоимость портфеля в конце периода Wi = $20984 . $20984 − $17200 = 22% . Ожидаемая доходность портфеля rp = $17200 в) Вычисление ожидаемой доходности портфеля с использованием ожидаемой доходности ценных бумаг. Наименование Ц Б А В С

Доля в начальной рыночной стоимости 0,2325 0,4070 0,3605

Ожидаемая доходность ценных бумаг 16,2 % 24,6 % 22,8 %

Ожидаемая доходность портфеля rp = 22% .

Вклад в ожидаемую доходность портфеля 0,2325 х 16,2 = 3,77 % 0,4070 х 22,8 = 8,22 % 0,3605 х 22,8 = 8,22 %

51

Дисперсия/ стандартное отклонение нормы доходности портфеля. Дисперсия доходности одной ценной бумаги i - это математическое ожидание квадрата разницы между ri и ri : n

(

σ i2 = ∑ ri − ri i =1

)2 ⋅ p i .

Дисперсия нормы доходности портфеля: N

N −1 N

i =1

i =1 j=i +1

σ 2p = ∑ x i2 σ i2 + 2 ∑

(

)

∑ x i x j cov(ri ; r j ),

cov ri ; r j - ковариация между нормами доходности активов i и j. Ковариация - это статистическая характеристика, иллюстрирующая меру сходства (или различия) двух ценных бумаг. Она показывает как доходности двух ценных бумаг i иj зависят друг от друга. cov ri ; r j = ∑ z i (s ) − ri r j (s ) − r j ⋅ p(s ) , s - событие. где

(

[(

)

)(

)

]

s

Положительное значение ковариации показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону (лучшая, чем ожидаемая доходность одной из ценных бумаг сопровождается лучшей, чем ожидаемая, доходностью другой ценной бумаги). Отностительно небольшое или нулевое значение ковариации показывает, что связь между доходностью этих ценных бумаг слаба или отсутствует.

(

)

cov ri ; r j = ρ ijσ i σ j , где

ρ ij - коэффициент корреляции между ri и r j ,

σ i и σ j - стандартные отклонения.

ρ ij =

(

cov ri ; r j

)

. σi σi Коэффициент корреляции нормирует ковариацию для облегчения сравнения с другими парами случайных переменных и принимает значения от -1 до +1. Для двух ценных бумаг: σ 2p = x 12 σ12 + x 22 σ 22 + 2x 1 x 2 ρσ1σ 2 . Рассмотрим различные варианты корреляции между доходностями двух ценных бумаг.

52 Доходность бумаги В

Доходность бумаги А

Полная положительная корреляция между доходностями

Доходность бумаги В

Доходность бумаги А

Полная отрицательная корреляция между доходностями

Доходность бумаги В Некоррелированные доходности

Доходность бумаги А

Если ρ = −1 - ценные бумаги r1 и r2 находятся в отрицательной линейной зависимости (при увеличении r1 r2 уменьшается на точно известную величину). Если ρ > 0 - корреляция положительна, но значение r1 не позволяет предсказать точную величину r2 . Рассмотрим различные значения ρ . 1. ρ = 1 - линейная зависимость доходности активов А и В. Ожидаемая ставка доходности r В

r2

r1

А

Все комбинации активов на отрезке АВ

ρ =1 Риск ρ

σ1

σ2

Ожидаемая доходность портфеля: rp = x 1 r1 + x 2 r2 , где

x 1 - доля инвестиций в актив 1,

53

x 2 - доля инвестиций в актив 2. Среднеквадратическое отклонение

доходности

портфеля:

σ p = x 1σ1 + x 2 σ 2

-

упрощенное выражение, которое может быть использовано лишь при. 2. ρ = −1 - отрицательная линейная зависимость. Ожидаемая ставка доходности r В Безрисковый портфель С

ρ=–1

А Риск ρ

При ρ = −1 можно составить такой портфель, риск которого будет нулевым. Если портфель на 100 % состоит из актива вида В, мы находимся в точке В. По мере того, как мы заменяем часть активов В на А и риск и ожидаемая доходность снижается до тех пор, пока не достигнута точка С. При включении в портфель все больше активов типа А риск увеличивается, доходность падает. Кривые безразличия. Метод, который применяется для выбора наиболее желательного портфеля использует так называемые кривые безразличия инвестора. Эти кривые отражают отношение инвестора к риску и доходности и представляют собой различные комбинации риска и доходности, которые инвестор считает равноценными. I3 — I2 Rp B

r B=12 %

r A=8 % r D=7 %

I1

C

r C=11 % A

D

σp σA=10 % σC=14 % σD=17 % σB=20 % Рис. 5.1. График кривых безразличия инвестора, избегающего риска. Инвестор будет считать портфели А и В равноценными, несмотря на то, что они имеют различные ожидаемые доходности и стандартные отклонения, так как оба эти портфеля лежат на одной кривой безразличия I 2 .

54

Кривые безразличия не могут пересекаться. Чтобы доказать это условие, предположим, что кривые безразличия пересекаются (рис 5.2). — Rp

I1 I2

I2

I1

X

σp

Рис. 5.2. Пересекающиеся кривые безразличия. На рис. 5.2 точка пересечения обозначена Х. Все портфели на кривой являются равноценными. Это означает что все они также ценны, как и Х, потому что Х находится на I1 . Все портфели на I 2 является равноценными и в то же время такими же ценными, как и Х, потому что Х также принадлежит кривой I 2 . Исходя из того, что Х принадлежит кривым безразличия, все портфели на I1 должны быть настолько же ценны, насколько и все портфели на I 2 . Но это приводит к противоречию, потому что I1 и I 2 являются двумя различными кривыми, отражающими различные уровни желательности. Вернемся к рис 5.1 Инвестор найдет портфель С с ожидаемой доходностью 11 % и стандартным отклонением 14 %, более предпочтительным по сравнению с А и В. Это объясняется тем, что портфель С лежит на кривой безразличия I 3 , которая расположена выше и левее, чем I 2 . Это приводит к следующему свойству кривых безразличия: • инвестор будет считать любой портфель, лежащий на кривой безразличия, которая находится выше и левее, более привлекательным, чем любой портфель, лежащий на кривой безразличия, которая находится ниже и правее. Инвестор имеет бесконечное число кривых безразличия. Это означает, что как бы не были расположены две кривые безразличия на графике, всегда существует возможность построить третью кривую, лежащую между ними. При использовании подхода Марковица делается предположение о ненасыщаемости, т.е. предполагается, что инвестор предпочитает более высокий уровень конечного благосостояния более низкому его уровню. Второе предположение заключается в том, что инвестор избегает риска. Степень избегания рисков у различных инвесторов неодинакова (рис. 5.3).

55

Рис.5.3. Кривые безразличия инвесторов с различной степенью избегания риска. Предположение Марковица о том, что инвестор избегает риска не является необходимым. Можно предположить, что инвестор азартен (рис 5.4) или нейтрален к риску (рис.5.5). —

—

Rp

Rp

— RB=12 % — RC=11 % — RA=8 % — RD=7 %

— RB=12 % — RC=11 % — RA=8 % — RD=7 %

B C A

D

B A

C D σp

σp σD=17%

σA=10%

σC=14%

σB=20%

Рис. 5.4. График кривых безразличия азартного инвестора.

σA=10%

σD=17% σC=14%

σB=20%

Рис. 5.5. График кривых безразличия инвестора, нейтрального к риску.

Портфельный анализ.

Из набора N ценных бумаг можно сформировать бесконечное число портфелей. Инвестор не должен проводить оценку всех этих портфелей. Существует теорема об эффективном множестве, которая объясняет тот факт, что инвестор должен рассмотреть только подмножество возможных портфелей. Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых: 1. Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска. 2. Обеспечивает минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности. Набор портфелей, удовлетворяющих этим двум условиям называется эффективным множеством или эффективной границей.

56

Рис 5.6 представляет иллюстрацию местоположения достижимого множества (или множества возможностей), из которого может быть выделено эффективное множество.

Рис. 5.6. Достижимое и эффективное множество. Достижимое множество представляет собой все портфели, которые могут быть сформированы из группы в N ценных бумаг. Все возможные портфели, которые могут быть сформированы из N ценных бумаг лежат либо на границе (например E, S, H, G) либо внутри достижимого множества. В общем случае, данное множество будет иметь форму типа зонта. Применив теорему об эффективном множестве к достижимому множеству, можно определить местоположение эффективного множества. 1. Выделим множество портфелей, удовлетворяющих первому условию теоремы. Не существует менее рискового портфеля, чем портфель E и более рискового - чем портфель H. Таким образом, множеством портфелей, обеспечивающих максимальную ожидаемую доходность при изменяющемся уровне риска, является часть верхней границы, достижимого множества, расположенная между точками E и H. 2. Выделим множество портфелей, удовлетворяющих второму условию теоремы. Не существует портфеля, обеспечивающего большую ожидаемую доходность, чем портфель S и меньшую ожидаемую доходность, чем портфель G. Таким образом, множеством портфелей, обеспечивающих минимальный риск при изменяющемся уровне ожидаемой доходности, является часть левой границы достижимого множества, расположенная между точками S и G. Нас удовлетворяют только портфели, лежащие на верхней и левой границе достижимого множества между точками E и S - эффективное множество. Из этого множества инвестор будет выбирать оптимальный для себя портфель (рис. 5.7). Инвестор должен совместить свои кривые безразличия с эффективным множеством.

57

Рис. 5.7. Выбор оптимального портфеля. Оптимальный портфель O ∗ , который находится в точке касания кривой безразличия эффективного множества. Модель оценки финансовых активов.

Ожидаемая доходность актива должна быть увязана со степенью рискованности этого актива, которая измеряется коэффициентом β - “бета”. Точный характер этой зависимости показан в модели САРМ - модели оценки финансовых активов (Capital Asset Pricing Model). Модель САРМ служит теоретической основой ряда различных методов, применяемых в инвестиционной практике. Модель САРМ основывается на некоторых предположениях: 1. Инвесторы производят оценку инвестиционных портфелей, основываясь на ожидаемых доходностях и стандартных отклонениях за период владения. 2. Инвесторы никогда не бывают пресыщенными. При выборе между двумя портфелями они предпочтут тот, который при прочих равных условиях, дает наибольшую ожидаемую доходность. 3. Инвесторы не желают рисковать. При выборе между двумя портфелями они предпочтут тот, который, при прочих равных условиях, имеет наименьшее стандартное отклонение. 4. Частные активы бесконечно делимы. При желании инвестор может купить часть акции. 5. Существует безрисковая ставка процента, по которой инвестор может дать взаймы (то есть инвестировать) или взять в долг денежные средства. 6. Налоги и операционные издержки несущественны. Приведенные выше предположения дополняются следующими. 7. Для всех инвесторов период владения одинаков. 8. Безрисковая процентная ставка одинакова для всех инвесторов. 9. Информация доступна для всех инвесторов. 10.Инвесторы имеют одинаковые ожидания, то есть они одинаково оценивают ожидаемые доходности, среднеквадратичные отклонения и ковариации доходностей ценных бумаг. Как следует из этих предположений в САРМ рассматривается предельный случай: все инвесторы обладают одной и той же информацией и по одинаковому оценивают перспективы ценных бумаг. При этом рынки ценных бумаг являются совершенными рынками: в них нет факторов, которые бы препятствовали инвестициям.

58

Такие потенциальные препятствия, как ограниченная делимость, налоги, операционные издержки и различие между ставками безрискового заимствования и кредитования считаются отсутствующими. В модели САРМ определяется связь между риском и доходностью эффективных портфелей. Это представлено на рис. 5.8. Rp Кривые безразличия инвестора

Линия рынка капитала

G

М

Rm

Граница эффективных портфелей

rf σm

σp

Рис. 5.8. Линия рынка капитала. Точка М обозначает рыночный портфель, rf - безрисковая ставка доходности. Эффективные портфели находятся вдоль прямой, которая получила название “линия рынка капитала” CML (capital market line). Уравнение CML имеет вид: R p = arf + (1 − a )R m , σ p = (1 − a )σ m ,

где a - доля безрисковых ценных бумаг в портфеле; R m , σ m - доходность и среднеквадратичное отклонение рыночного портфеля; R p, σ p - доходность и среднеквадратичное отклонение эффективного портфеля. Это уравнение может быть преобразовано следующим образом: ⎡R − r ⎤ (5.1) R p = rf + ⎢ m f ⎥ ⋅ σ p ⎣ σm ⎦ Свойства линии (CML). 1) Наклон CML равен единице между ожидаемой доходностью рыночного портфеля и безрисковой бумаги (R m − rf ) деленной на разницу их рисков (σ m − 0 ) , или R m − rf . σm 2) Функция R p = f σ p - линейная функция.

( )

3) На линии CML расположены все эффективные портфели. 4) В случае равновесия на рынке ценных бумаг все инвесторы в точке М будут стремиться иметь портфели, одинаковые по относительному составу ценных бумаг. 5) R p увеличивается при увеличении в портфеле ценных бумаг с повышенным риском.

59

Ординату точки пересечения CML с вертикальной осью (безрисковая ставка) часто обозначают как награда за ожидание. Наклон CML называют наградой за единицу принятого риска. Таким образом, эти две величины можно интерпретировать как цены времени и риска. Очевидно, что если линия безразличия какого-то инвестора касается CML в точке М, то он и выберет портфель М. Если уровень риска, характеризующийся величиной σ m , его не устраивает, он может инвестировать часть своих средств в покупку безрисковых активов, имеющих норму отдачи rf . Как правило, безрисковыми ценными бумагами являются краткосрочные государственные обязательства. Покупка этих активов представляет собой предоставление денег государству в долг. Портфель этого инвестора будет располагаться на участке rf M линии CML. Этот участок характеризует портфели всех инвесторов, дающих деньги в долг. Участок линии MG характеризует портфели инвесторов, склонных к повышенному риску. Для осуществления рискованных инвестиций (с R p > R m ) они занимают деньги по пониженной ставке ( R p < R m ). Таким образом, участок MG линии CML характеризует портфели инвесторов, занимающих деньги. Поскольку эффективный портфель состоит из N ценных бумаг, уравнение (5.1) справедливо для любой ценной бумаги, имеющейся на рынке. Это дает возможность построить рыночную линию ценной бумаги SML (security market line) рис.5.9. ri

SML M

Рыночный портфель

Rm

rf 0

1

βi

Рис.5.9. Рыночная линия ценной бумаги. Уравнение SML имеет вид: ri = rf + (R m − rf ) ⋅ β i cov(R m , ri ) ρ i,m σ i где . βi = = σm σ 2m β - коэффициент — коэффициент наклона линии SML. Акция, которая имеет доходность, являющуюся зеркальным отражением доходности рыночного портфеля М имеет β=1. Такие акции называются “нейтральными”. Акции со значением β>1 называются “агрессивными”. Они повышаются в цене быстрее, чем рыночная цена в целом (но и падают быстрее). Акции со значением β1

β =1 β $700 тыс. вариант с долгом лучше варианта с обыкновенными акциями. 3) При ПДПН > $1120 тыс. вариант с привилегированными акциями лучше, чем вариант с обыкновенными акциями.

75

ТЕМА 7 ТЕОРИИ СТРУКТУРЫ КАПИТАЛА: МОДЕЛЬ МОДИЛЬЯНИ – МИЛЛЕРА.

Использование заемного финансирования увеличивает как риск держателей акций, так и ожидаемую доходность. Возникает вопрос: является ли увеличение доходности достаточным для компенсации возросшего риска акционеров? Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к теории структуры капитала. Несмотря на то, что теория структуры капитала не дает полного ответа на вопрос об оптимальной структуре капитала, она позволяет осознать многие преимущества заемного финансирования по сравнению с финансированием за счет акционерного капитала. В 1958 – 1965 гг. Франко Модильяни и Мертон Миллер в своих работах рассмотрели вопрос о структуре капитала. При разработке модели Модильяни и Миллер (далее ММ) сделали следующие допущения: 1. Производственный риск может быть измерен показателем σ EBIT (среднеквадратичное отклонение показателя: прибыль до уплаты процентов и налогов – ПДПН) и фирмы с одинаковой степенью производственного риска составляют группу однородного риска. 2. Все инвесторы имеют одинаковые оценки будущих значений EBIT (ПДПН) каждой фирмы; т.е. инвесторы имеют одинаковые ожидания относительно предполагаемой будущей доходности и рисковости доходов. 3. Акции и облигации продаются на идеальных рынках капитала. Это допущение подразумевает среди прочего, что: а) брокерские комиссионные отсутствуют; б) инвесторы (как частные лица, так и организации) могут получать займы под такой же процент, что и корпорации. 4. Задолженность фирм и частных лиц лишена риска, и поэтому процентная ставка по займам является безрисковой. Данная ситуация выдерживается вне зависимости от размеров заемного капитала, используемого фирмами или частными лицами. 5. Все потоки денежных средств имеют бессрочный характер; иными словами, фирмы имеют нулевые темпы прироста EBIT (ПДПН), а их облигации являются бессрочными с фиксированным процентом. Модель Модильяни – Миллера без учета налогов.

• ММ начали свой анализ, допустив отсутствие каких-либо налогов на доходы корпораций или частных лиц. Исходя из этого и предшествующих допущений, они выдвинули и алгебраически доказали два утверждения. Утверждение I. Стоимость любой фирмы определяется путем капитализации ее чистой операционной прибыли или ПДПН (EBIT, при Т = 0) с постоянной ставкой, соответствующей классу риска фирмы ПДПН VL = VU = , (7.1) rSU где VL – стоимость финансово зависимой фирмы, т.е. использующей заемный капитал; VU – стоимость финансово независимой фирмы; rSU – требуемая доходность для фирмы, не использующей заемный капитал, т.е. для фирмы с одним только акционерным капиталом. Предполагается, что как финансово зависимая, так и финансово независимая фирма находятся в одном классе риска. Поскольку V – величина постоянная, то по модели ММ при отсутствии налогов стоимость фирмы не зависит от способа ее финансирования. Это означает, что:

76

1) средневзвешенная цена капитала ( ro ) для любой фирмы, с использованием заемного капитала или без него, совершенно не зависит от структуры ее капитала; 2) ro для всех фирм одной группы риска равна цене акционерного капитала финансово независимой фирмы из той же группы риска ( ro = rSU ). Утверждение II. Цена акционерного капитала финансово зависимой фирмы rSL равна сумме цены акционерного капитала финансово независимой фирмы той же группы риска и премии за риск, величина которого зависит: а) от разницы между ценами акционерного и заемного капитала для финансово независимой фирмы; б) от уровня финансового левериджа, т.е. от соотношения заемного и собственного капитала. D , (7.2) rSL = rSU + премия за риск = rSU + (rSU − rd ) S где D – рыночная стоимость заемных средств фирмы; S – рыночная стоимость собственных средств фирмы; rd – постоянная цена заемного капитала. Утверждение II констатирует, что по мере увеличения доли заемного капитала цена ее акционерного капитала также увеличивается, причем математически точным образом. Рассматриваемые вместе два утверждения Модильяни и Миллера означают, что увеличение доли заемного капитала в структуре источников финансирования не увеличивает стоимость фирмы, так как выгоды от более дешевого заемного капитала будут в точности уравновешены увеличением степени риска и цены ее акционерного капитала. Таким образом, теория Модильяни – Миллера утверждает, что в отсутствии налогов как стоимость фирмы, так и общая цена ее капитала не зависят от структуры источников (рис. 7.1). Стоимость (цена) капитала, %

rS

ro rd

20

40

60

80

Доля заемного капитала, %

100

77 V, ден. ед.

VL

VU

Величина заемного капитала, ден. ед.

Рис. 7.1. Влияние финансового левериджа: модель Модильяни – Миллера (налоги отсутствуют). Арбитражное доказательство модели Модильяни – Миллера.

Для обоснования своих утверждений ММ использовали арбитражное доказательство. Под арбитражем подразумевается одновременная покупка и продажа в основном одинаковых активов по разным ценам. Покупка увеличивает цену актива, оцененного ниже действительной стоимости, а продажа уменьшает цену актива, оцененного выше действительной стоимости. Арбитражные операции продолжаются до тех пор, пока цены не отрегулируются в такой мере, что эти операции уже не дают возможности получать прибыль. Тогда рынки вступают в состояние равновесия. ММ показали, что в условиях сделанных допущений, а также в случае, если две компании отличаются друг от друга только способами финансирования и суммарной рыночной стоимостью, инвесторы станут продавать акции более дорогостоящей фирмы и покупать акции менее дорогостоящей фирмы и процесс завершится абсолютным уравниванием рыночных стоимостей этих фирм. Рассмотрим пример: Фирма L использует заемный капитал, фирма U не использует заемного капитала. Фирмы одинаковы во всех аспектах, за исключением финансовой структуры. Фирма L имеет заемный капитал в сумме $ 4 000 000, полученный под 7,5 %, а фирма U использует только акционерный капитал. Обе фирмы имеют ПДПН (EBIT) = $ 900 000, σ EBIT ( σ ПДПН ) для обеих фирм одинакова, так что они находятся в одной и той же группе риска. Ожидается, что ПДПН будет оставаться постоянной и вся чистая прибыль будет выплачиваться в виде дивидендов. При этом допущении общая рыночная стоимость всех обыкновенных акций фирмы, S, является постоянной величиной, значение которой определяется следующим образом: дивиденды ЧП (ППДП - rd ⋅ D)(1 − T) = = , (7.3) S= rS rS rS где ЧП – чистая прибыль, выплачиваемая держателям обыкновенных акций; rS – цена обыкновенного акционерного капитала; Т – ставка налога (с учетом допущений Т = 0) (ППДП - rd ⋅ D) . S= rS

78

Предположим, что до начала арбитража обе фирмы имеют одинаковую стоимость акционерного капитала rSU = rSL = 10 % . В этих условиях будет наблюдаться следующая ситуация: Фирма U: Рыночная оценка акционерного капитала

=

SU

Стоимость фирмы

=

VU

ПДПН - rd ⋅ D rSU

=

=

D U + SU

=

=

$ 900 000 - 0 0,1

=

$ 9 000 000

$ 0 + $ 9 000 000

=

$ 9 000 000

Фирма L: Рыночная оценка акционерного капитала Стоимость фирмы

= SL

= VL

=

ПДПН - rd ⋅ D rSL

= D L + SL

$ 900 000 - 0,075 ⋅ $ 4 000 000 0,1

= $ 6 000 000

= $ 4 000 000 + $ 6 000 000

= $ 10 000 000

=

Таким образом, до арбитража и при условии, что rSU = rSL , стоимость финансово зависимой фирмы, L, превышает стоимость финансово независимой фирмы, U. ММ считают, что это – ситуация неравновесия, которая не может существовать в действительности. Предположим, инвестору принадлежат 10 % акций фирмы L, рыночная стоимость которых составляет 0,1 x $ 6 000 000 = $ 600 000. Согласно ММ инвестор может увеличить свой доход от инвестиции, не увеличивая риска. Предположим, что инвестор: 1) продал свои акции фирмы L за $ 600 000; 2) получил кредит, равный 10 % долга фирмы L ($ 400 000); 3) купил акции фирмы U за $ 900 000. Имея $ 1 000 000 (выручка от продажи акций плюс кредит) инвестор потратит лишь $ 900 000 на акции фирмы U, а оставшиеся $ 100 000, по мнению ММ, можно вложить под безрисковый заем под 7,5 % или $ 7 500 в год. Старый доход 10 % – доход от акций L ($ 600 000) – $ 60 000 Новый доход 10 % – доход от акций U ($ 900 000) – $ 90 000 Проценты по займу (7,5 % от $ 400 000) – $ 30 000 Проценты на дополнительный капитал (7,5 % от $ 100 000) – $ 7 500 _______ Доход от новых инвестиций 67 500 Таким образом, чистый доход инвестора от инвестиций в обыкновенные акции составит точно такую же сумму, $ 60 000, но у инвестора останется еще $ 100 000 для вложения в безрисковый заем, что увеличит его доход на $ 7 500. Кроме того, риск инвестора, согласно ММ, не изменится. Следовательно, увеличение дохода при неизменном риске является наиболее желательной альтернативой для инвестора.

79

ММ полагают, что арбитражный процесс будет происходить до тех пор, пока рыночные стоимости двух фирм не уравняются (снижается цена продажи акций фирмы L и повышается цена покупки акций фирмы U). Пока не установится равенство, можно будет получать выгоду за счет перехода от одних акций к другим. Когда устанавливается равновесие, рыночные стоимости фирм L и U и стоимость их капитала ro становятся равными. Таким образом, согласно ММ, как стоимость фирмы, так и ее ro должны быть независимы от структуры капитала в условиях равновесия. Модель ММ с учетом налогов

Приняв во внимание налоги на прибыль корпораций, ММ сделали вывод о том, что заемное финансирование увеличивает стоимость фирмы, так как проценты по займам вычитаются из налогооблагаемой прибыли и, следовательно, инвесторы получают большую долю операционной прибыли фирмы. Утверждение I. Стоимость финансово зависимой фирмы равна стоимости финансово независимой фирмы из той же группы риска и эффекта финансового левериджа (ФЛ). Эффект ФЛ представляет собой экономию от уменьшения налоговых платежей и равен ставке налога на прибыль корпорации, умноженной на величину заемного капитала фирмы: VL = VU + TD (7.4) Таким образом, когда вводятся в рассмотрение корпорационные налоги, стоимость финансово зависимой фирмы превышает стоимость финансово независимой фирмы на величину TD. Эта разница возрастает с увеличением доли заемного капитала, так что стоимость фирмы максимизируется при 100 %-м заемном финансировании. Величину VU можно определить по формуле: ПДПН (1 - Т) S = VU = (7.5) rSU При отсутствии заемного капитала, D=0, стоимость фирмы равна рыночной оценке ее акционерного капитала. Утверждение II. Цена акционерного капитала финансово зависимой фирмы равна сумме цены акционерного капитала финансово независимой фирмы из той же группы риска и премии за риск. Величина премии за риск зависит от разницы между ценой акционерного и заемного капитала финансово независимой фирмы, соотношения заемного капитала и собственного капитала и ставки корпорационного налога: D (7.6) rSL = rSU + (rSU − rd )(1 − T) S Так как (1 − T) 〈 1 , обложение корпорации налогами вызовет увеличение цены акционерного капитала с меньшей скоростью, чем это происходит при отсутствии налогов. Именно эта способность в сочетании со снижением эффективной ставки цены заемного капитала вызывает тот результат, который изложен в утверждении I, а именно – возрастание стоимости фирмы с увеличением уровня финансового левериджа (рис. 7.2).

80

Цена капитала, %

rS

ro r d (1 - Т)

20

40

60

80

100

Доля заемного капитала, % V, ден. ед.

VL TD

VU

VU

Величина заемного капитала, ден. ед.

Рис. 7.2. Влияние финансового левериджа: модель Модильяни – Миллера (с учетом корпорационных налогов). Иллюстрация моделей ММ

Фирма «Fredrickson Water» («FW»). Имеется информация: 1. В настоящее время «FW» не имеет заемных источников; весь ее капитал акционерный. 2. Ожидаемая прибыль до уплаты процентов и налогов (ПДПН) – 2 400 000 долл. Увеличение ПДПН со временем не прогнозируется, так как фирма находится в ситуации, когда наращивание производственных мощностей, а следовательно, и финансовых результатов не планируется. 3. Всю свою прибыль фирма выплачивает в виде дивидендов. 4. «FW» может привлечь заемный капитал, при этом цена источника составит rd = 8 %. Эта ставка процента постоянна и не зависит от величины сделанного займа. Весь заемный капитал будет использован для погашения обыкновенных акций, так что активы фирмы останутся неизменными. 5. Риск активов фирмы таков, что ее акционеры требуют доходности rSU = 12 %, при условии, что заемный капитал не привлекается. При отсутствии налогов. (Т=0). При любом уровне задолженности можно использовать утверждение I (формула 7.1) для определения стоимости фирмы «FW»: VL =

2400000 = 20 000 000 долл. 0,12

81

Если «FW» использует заемный капитал 10 млн. долл., рыночная стоимость ее акций должна составлять 10 млн. долл.: S = V − D = (20 000 000 - 10 000 000) долл. = 10 000 000 долл.

При расчете цены акционерного капитала rSL и ro воспользуемся утверждением II (формула 7.2) в случае, когда фирма привлекает заемный капитал: rSL = 12 % + (12 % - 8 %) ⋅

10 000 000 = 16 % 10 000 000

Средневзвешенная цена капитала фирмы: D S 10 млн. долл. 10 млн. долл. rd (1 - Т ) + rS = ⋅8 % + ⋅ 16 % = 12 % V V 20 млн. долл. 20 млн. долл.

rо =

Стоимость фирмы «FW» и цена капитала, основанные на модели Модильяни – Миллера с нулевыми налогами при различных уровнях задолженности, показаны на рис. 7.3. Можно видеть, что в условиях предпосылок Модильяни – Миллера и при отсутствии налогов способ финансирования не имеет значения: стоимость фирмы и общая цена ее капитала не зависят от величины заемного финансирования. D, млн. долл. 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0

V, млн. долл. 20,0 20,0 20,0 20,0 20,0

S, млн. долл. 20,0 15,0 10,0 5,0 0

D/V % 0,00 25,0 50,0 75,0 100,0

rd ,

rS ,

ro ,

% 8,0 8,0 8,0 8,0 12,0

% 12,0 13,33 16,0 24,0

% 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0

Цена капитала, %

rS

40 30 20

ro

10

rd 20

0

40

60

80

100

Доля заемного капитала, % V, млн. долл.

30 VU = 20

VL

10

5

10

15

20

Величина заемного капитала, млн. долл.

Рис. 7.3. Модель Модильяни – Миллера для фирмы «FW» без учета налогов. В условиях налогообложения корпорации. Предыдущие допущения корректируются следующим образом:

82

1. Ожидаемая ПДПН – 4 000 000 долл. 2. Фирма «FW» имеет ставку налога Т = 40 %. При рыночных неизменных факторах введение налогов снижает стоимость фирмы «FW», поэтому ПДПН увеличена с 2,4 млн. долл. до 4 млн. долл., чтобы легче было провести сравнение между двумя моделями. Стоимость фирмы с учетом налогов и при отсутствии заемного капитала равна (формула 7.5): VU =

4 000 000 (1 - 0,4) = 20 000 000 долл. 0,12

Если фирма привлекает заемный капитал на сумму 10 млн. долл., то введение фактора налогов приводит к росту стоимости фирмы (формула 7.4): VL = 20 000 000 + 0,4 ⋅ 10 000 000 = 24 000 000 долл.

Следовательно, рыночная стоимость акций фирмы «FW» равна:

S = V − D = 24 000 000 - 10 000 000 = 14 000 000 долл.

При уровне задолженности 10 млн. долл., цена акционерного капитала равна (формула 7.6): rSL = 12 % + (12 % - 8 %) ⋅ 0,6 ⋅

10 000 000 = 13,71 % 14 000 000

Средневзвешенная цена капитала фирмы: rо =

D S 10 млн. 14 млн. rd (1 − Т) + rS = ⋅ 8 % ⋅ 06 + ⋅ 13,71 % = 10 % . V V 24 млн. 24 млн.

Стоимость «FW» и цена при равных уровнях задолженности с учетом налогов показаны на рис. 7.4. Видно, что в условиях предпосылок Модильяни – Миллера с учетом налогов способ финансирования имеет значение: стоимость фирмы максимизируется, а общая цена ее капитала минимизируется при 100 %-м финансировании за счет заемных средств. D, млн. долл. 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 33,33

V, млн. долл. 20,0 22,0 24,0 26,0 28,0 30,0 32,0 33,33

S, млн. долл. 20,0 17,0 14,0 11,0 8,0 5,0 2,0 0

D/V %

rd ,

%

0,0 22,73 41,67 57,69 71,43 83,33 93,75 100

8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 12,0

Цена капитала, %

rS ,

ro ,

%

% 12,0 12,71 13,71 15,27 18,0 24,0 48,0 rS

40 30 20 ro

10

r d (1 - Т) 0

20

40

60

80

Доля заемного капитала, %

100

12,0 10,91 10,0 9,23 8,57 8,0 7,5 7,2

83

V, ден. ед.

33,33 VL

30

TD VU

VU = 20

10 33,3 0

5

10

15

20

25

30

Величина заемного капитала, млн. долл.

Рис. 7.4. Модель Модильяни – Миллера для фирмы «FW» с учетом корпорационных налогов. Критика модели Модильяни – Миллера

Оппоненты теории Модильяни – Миллера обычно критикуют их на том основании, что сделанные допущения неверны. Можно привести следующие возражения: 1. Модель ММ пренебрегает брокерскими затратами, что делает переход от фирмы L к фирме U «бесплатным». Однако в реальном мире присутствуют брокерские и другие трансакционные затраты, что затрудняет арбитражный процесс. 2. ММ первоначально допустили, что корпорации и инвесторы могут привлекать заемные средства по безрисковой ставке. На практике, большинству индивидуальных инвесторов приходится брать займы под более высокий процент по сравнению с крупными корпорациями. 3. Модель ММ не предусматривает затраты, связанные с финансовыми затруднениями и агентские затраты. Затраты, связанные с финансовыми затруднениями

Финансовые затруднения включают в себя банкротство (крайний случай). В случае возникновения таких затруднений могут иметь место несколько негативных последствий. 1. Споры между претендентами часто задерживают ликвидацию активов, так как оформление банкротства может затянуться на несколько лет. В течение этого времени машины ржавеют, здания разрушаются, запасы устаревают. 2. Гонорары адвокатов, судебные издержки и административные расходы могут поглотить значительную часть стоимости фирмы. Затраты вследствие физической порчи, а также оплата правовых услуг и административные расходы, называются прямыми затратами банкротства. Неоптимальные управленческие решения, связанные с финансовыми затруднениями, а также затраты, связанные с действиями потребителей, поставщиков материалов и капитала, называются косвенными затратами, связанными с финансовыми затруднениями. Как правило, финансовые затруднения происходят тогда, когда фирма привлекает заемный капитал. Поэтому чем больше используется заемное финансирование и чем выше постоянные процентные выплаты, тем больше вероятность того, что уменьшение прибыли

84

приводит к финансовым затруднениям; следовательно, тем выше вероятность возникновения связанных с ними затрат. Увеличение вероятности финансовых затруднений уменьшает текущую стоимость фирмы VL и повышает цену ее капитала rS и ro . Последствия финансовых затруднений чувствуют на себе и держатели облигаций. Фирмы, испытывающие финансовые затруднения, имеют более высокую вероятность неуплаты долга, так что ожидание финансовых затруднений влияет на требуемую доходность держателей облигаций. Чем больше вероятность финансовых затруднений, тем выше требуемая доходность заемного капитала. Таким образом, когда фирма увеличивает свой заемный капитал, повышая тем самым вероятность финансовых затруднений, возрастает и значение rd . Агентские затраты

Агентские затраты связаны с использованием заемного капитала и с отношениями между держателями акций и держателями облигаций фирмы. При отсутствии каких-либо ограничений администрация фирмы может попытаться принять меры, благоприятствующие держателям акций в ущерб держателям облигаций. Ввиду возможности того, что акционеры могут попытаться извлечь выгоду для себя за счет держателей облигаций, облигации защищены ограничительными условиями. При этом фирму необходимо контролировать на предмет соблюдения этих условий и расходы по контролю перекладываются на акционеров в форме более высокой цены заемного капитала. Потери в виде некоторого снижения эффективности, а также расходы на мониторинг составляют важную статью агентских затрат. Эти затраты увеличивают цену заемного и уменьшают цену акционерного капитала, что снижает выгоду заемного финансирования. Следовательно, модель ММ должна учитывать: 1) приведенную стоимость затрат, связанных с потенциальными будущими финансовыми затруднениями; 2) приведенную стоимость агентских затрат. Зависимость ММ между стоимостью фирмы и уровнем финансового левериджа с учетом вышесказанного будет выглядеть следующим образом: VL = VU + TD

–

PV ожидаемых затрат, связанных с финансовыми затруднениями

–

PV агентских затрат

Компромиссная модель структуры капитала

Данная модель позволяет выявить специфические затраты и прибыли, возникающие при использовании заемных средств: налоговые эффекты, затраты, связанные с финансовыми затруднениями и др. Графическое представление компромиссной модели дано на рис. 7.5.

85

а)

rS Цена капитала, %

ro rd (1 − TC )

0

D/V* Доля заемного капитала, % б)

V, долл.

VL

VU

0

D* Заемный капитал, долл.

Рис. 7.5. Эффект финансового левериджа в условиях компромиссной модели. Рис. 7.5.а показывает, как доля заемного капитала влияет на его цену, цену собственного капитала и ro . И rS , и rd (1 - Т с ) неуклонно увеличиваются с ростом доли заемного финансирования, однако темп прироста выше при высоком уровне задолженности, что отражает влияние агентских затрат и возрастающую вероятность финансовых затруднений. ro сначала уменьшается, затем, достигнув минимума в точке D/V*, начинает расти. Величина D в точке D/V* на рис. 7.5а равна D* – уровню задолженности на рис. 7.5 б, который максимизирует стоимость фирмы. На практике очень сложно количественно оценить затраты и выгоды заемного финансирования, поэтому практически невозможно установить точку D/V*, в которой структура капитала обеспечивает максимальную стоимость фирмы. Считается, что такая структура существует для каждой фирмы, но она существенно меняется с течением времени, так как меняются направления производственной деятельности и предпочтения инвесторов.

86

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бирман Г., Шмидт С. Экономический анализ инвестиционных проектов/ Пер. с англ. Под ред. Л.П.Белых. – М.:Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997 – 631с. 2. Ричард Брейли, Стюарт Майерс. Принципы корпоративных финансов: Пер. с англ. – М.: ЗАО «Олимп – Бизнес», 1997. – 1120 с. 3. Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент: Полный курс: в 2-х т. /Пер. с англ. Под ред. В.В. Ковалева. Спб.: Экономическая школа, 1999г. Т.1. ХХХ+497 с. 4. Ковалев В.В. Финансовый анализ: Управление капиталом. Выбор инвестиций. Анализ отчетности. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 1997. – 512 с. 5. Фабоцци Ф. Управление инвестициями: Пер. с англ.- М.: ИНФРА – М, 2000.XXVIII, 923 с. 6. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции: Пер. с англ. – М.: ИНФРА –М, 1998. – XII, 1028 с. 7. Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов. Вторая редакция. – М.: Экономика. – 2000.

87

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Основы финансовой математики

88

I. Стоимость денег во времени. 1.1. ОПЕРАЦИИ НАРАЩИВАНИЯ И ДИСКОНТИРОВАНИЯ. Стоимость определенной суммы денег это функция от времени возникновения денежных доходов или расходов. Тезис «время-деньги» всем хорошо известен. Временная стоимость денег обусловлена двумя факторами: 1. Обесценение денежной наличности с течением времени в результате инфляции. 2. Обращение капитала (денежных средств). Простейшим видом финансовой сделки является однократное представление в долг некоторой суммы PV (present value) с условием, что через какое-то время t будет возвращена большая сумма FV (future value). Результат такой сделки оценивается с помощью специального коэффициента, который называется ставкой. Этот показатель рассчитывается отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать либо PV либо FV. Таким образом, ставка рассчитывается по одной из двух формул. Темпы прироста FV − PV rt = . (1) PV Темпы снижения FV − PV dt = . (2) FV В финансовых вычислениях первый показатель называется: − «процентная ставка»; − «процент»; − «рост»; − «ставка процента»; − «норма прибыли»; − «доходность». Второй показатель называется: − «учетная ставка»; − «дисконт»; − «ставка дисконта»; − «коэффициент дисконтирования». Обе ставки взаимосвязаны: dt r rt = или d t = t . (3) 1− dt 1 + rt Оба показателя могут выражаться либо в долях единицы, либо в процентах. Очевидно, что rt > d t . Степень расхождения зависит от уровня процентных ставок, имеющих место в конкретный момент времени. Так, если rt = 8 % , d t = 7,4 % , т. е. расхождение сравнительно невелико; если rt = 80 % , то d t = 44,4 % , т. е. ставки существенно различаются по величине. • Как правило, при оценке инвестиционных проектов имеют дело с процентной ставкой. В любой простейшей финансовой сделке всегда присутствуют три величины, из которых две заданы, а одна является искомой. Если заданы исходная сумма PV и процентная ставка rt , то финансовая сделка характеризует процесс наращивания.

89

Если заданы сумма, ожидаемая к получению в будущем (возвращаемая сумма) FV и ставка дисконта d t , то финансовая сделка характеризует процесс дисконтирования, т. е. приведения к настоящему моменту времени (рис. 1). Настоящее

• •

Исходная сумма PV Процентная ставка rt

Приведенная сумма PV

Будущее Возвращаемая сумма FV

Наращивание

Дисконтирование

• •

Сумма, ожидаемая к поступлению FV Коэффициент дисконтирования dt

Рис.1. Логика финансовых операций. В качестве коэффициента дисконтирования может использоваться либо процентная ставка (математическое дисконтирование), либо учетная ставка (банковское дисконтирование). Из формулы (1) следует: FV = PV + PV ⋅ rt , и PV ⋅ rt > 0 , т. е. Мы видим, что время «генерирует деньги». Выводы: 1. На практике доходность является величиной непостоянной, зависящей, главным образом, от степени риска. Чем рискованнее бизнес, тем выше значение доходности. Наименее рискованны вложения в государственные ценные бумаги или государственный банк, однако доходность операции в этом случае относительно невелика. 2. Величина FV показывает будущую стоимость «сегодняшней» величины PV при заданном уровне доходности. 3. Экономический смысл дисконтирования заключается во временном упорядочении денежных потоков различных временных периодов. 4. Коэффициент дисконтирования показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В этом случае искомая величина PV показывает текущую, «сегодняшнюю» стоимость будущей величины FV. 1.2. ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ И МЕТОДЫ ИХ НАЧИСЛЕНИЯ. Простые и сложные проценты. Стандартным временным интервалом в финансовых операциях является один год. Поэтому наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечение года. Известны две основные схемы дисконтированного начисления процентов: • Схема простых процентов (simple interest). • Схема сложных процентов (compound interest). Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. FVs = PV(1 + nr ) . (4) Схема сложных процентов предполагает, что очередной годовой доход исчесляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные, и невостребованные инвестором проценты. n FVc = PV(1 + r ) . (5)

90

Очень важно помнить, что - при

0 < n < 1 FVs > FVc - при n = 1 FVs = FVc - при n > 1 FVc > FVs в случае ежегодного начисления

Таким образом, процентов, для лица, предоставляющего кредит: − выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода); − более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно); − обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода в один год и однократном начислении процентов (рис. 2). Пример 1. Рассчитать наращенную сумму с исходной суммы 1000$ при размещении ее в банке на условиях начисления простых и сложных процентов, если годовая ставка 20 %, период наращивания: 90 дн., 180 дн., 1 год, 5 лет, 10 лет. ($)

Схема начисления Простые проценты Сложные проценты

90 дней n = 1/4 1050,0

180 дней n = 1/2 1100,0

1 год n=1 1200,0

5 лет n=5 2000,0

10 лет n = 10 3000,0

1046,6

1095,4

1200

2488,3

6191,7

FV

FVc

1

FVs

n

Рис. 2. Простая и сложная схема наращивания капитала. Пример2. Компания хочет купить машину для снятия фотокопий за 10 000$. Продавец согласен, чтобы компания выплатила деньги по истечение 2 лет, при условии, что она заплатит за это 14 простых процентов за каждый год. Определить сумму процентов и полную выплату. Проценты: I = PV ⋅ n ⋅ r = 10000 ⋅ 114 , ⋅ 2 = 2800$ , FV = 10000(1 + 0,14 ⋅ 2) = 12800$ .

91

Если продавец машины согласен на отсрочку платежа всего на 90 дней, тогда 90 ⎞ ⎛ FV = 10000⎜ 1 + 0,14 ⋅ ⎟ = 10350$ . ⎝ 360 ⎠ Если продавец машины согласен на отсрочку платежа на 15 месяцев, тогда 15 ⎞ ⎛ FV = 10000⎜ 1 + 0,14 ⋅ ⎟ = 11750$ . ⎝ 12 ⎠ Процедура начисления процентов на проценты (сложные проценты) называются компаундингом. n Множитель (1 + r ) называется коэффициентом аккумулирования. Пример 3. Вклад 3000$ помещены в банк под 5 % годовых на 3 года. Какая сумма будет накоплена через 3 года (сложные %)? 3 FV = 3000 ⋅ (1 + 0,05) = 3000 ⋅ 1 / 157625 = 3472,88$ . Пример 4. Предприниматель желает инвестировать значительную сумму денег в акции некоторой корпорации. Корпорация выплачивает ежегодно дивиденды на одну акцию в сумме 3 %. Ожидается, что в течение ближайших 3 лет дивиденды будут увеличиваться ежегодно на 20 %. Рассчитать величину дивидендов для каждого года. 1 FV1 = 3 (1 + 0,2) = 3 ⋅ 1,2 = 3,6$ , FV2 = 3 (1 + 0,2) = 3 ⋅ 1,44 = 4,32$ , 2

FV3 = 3 (1 + 0,2) = 3 ⋅ 1,728 = 5,18$ . В практических расчетах при реализации схемы сложных процентов для быстрой оценки эффективности предлагаемой процентной ставки пользуются приблизительным расчетом времени, необходимого для удвоения инвестированной суммы. Это правило называется «правило 72-х» и заключается в следующем: если r-процентная ставка, выраженная в процентах, то k = 72/r представляет собой число периодов, за которое исходная сумма приблизительно удваивается. Если базовым периодом, т. е. периодом наращивания является год, то в расчете используется годовая ставка, если квартал, то необходимо использовать квартальную ставку. Это правило хорошо срабатывает для небольших значений r (до 20 %). Ставка % ( r ) Время удвоения первоначальной суммы, лет 3

2% 5% 10% 12% 15% 20%

36,0 14,4 7,2 6,0 4,8 3,6

1.3. ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ СХЕМЫ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ. На практике многие финансовые операции выполняются в рамках одного года, например, краткосрочные ссуды, представляемые на срок до одного года с однократным начислением процентов. В этом случае более выгодна схема простых процентов. Используется формула: t ⎞ ⎛ FVs = PV⎜ 1 + ⋅ r ⎟ , (6) ⎝ T ⎠

92

где

r - годовая ставка процента, t - продолжительность финансовой операции в днях, T - число дней в году. При определении продолжительности финансовой операции принято день выдачи и день погашения ссуды считать за один день. Размер промежуточной процентной ставки зависит от того, чему принимается равной продолжительность года (квартала, месяца). Здесь возможны два варианта: 1. Точный процент, определяемый исходя из точного числа дней в году (365 или 366), в квартале (от 89 до 92), в месяце (от 28 до 31). 2. Обыкновенный процент, определяемый исходя из приблизительного числа дней в году, квартале, месяце (соответственно 360, 90, 30). При определении продолжительности финансовой операции также возможны два варианта: 1. Принимается в расчет точное число дней (расчет ведется по дням). 2. Принимается в расчет приблизительное число дней (исходя из продолжительности месяца в 30 дней). Соответственно существует три способа расчета: 1. Обыкновенный процент с точным числом дней (применяется в Бельгии, Франции). 2. Обыкновенный процент с приближенным числом дней (ФРГ, Дания, Швеция). 3. Точный процент с точным числом дней (Великобритания, США). Пример 5. 25 января 19*3 года представлена ссуда в размере 5 млн. руб. с погашением через 6 месяцев (25 июля) под 60 % годовых (год не високосный). Рассчитать различными способами сумму к погашению. Приближенное число дней: 30 · 6 = 180. Точное число дней: 181 день (28+31+30+31+30+31). Возможны варианты возврата долга: В расчете используется точный процент и точное число дней ⎛ 181 ⎞ FV = 5 ⋅ ⎜ 1 + ⋅ 0,6⎟ = 6,487 млн.р уб. ⎝ 365 ⎠ 2) В расчете используется обыкновенный процент и точное число дней ⎛ 181 ⎞ FV = 5 ⋅ ⎜ 1 + ⋅ 0,6⎟ = 6,508 млн.р уб. ⎝ 360 ⎠ 3) В расчете используется обыкновенный процент и приближенное число дней ⎛ 180 ⎞ FV = 5 ⋅ ⎜ 1 + ⋅ 0,6⎟ = 6,5 млн.р уб. ⎝ 360 ⎠ Еще одной распространенной операцией краткосрочного характера является операция по учету векселей банком. В этом случае пользуются дисконтной ставкой, поскольку чаще всего банку приходится иметь дело с суммой к погашению, т. е. с величиной FV. Схема действий в этом случае может быть следующей. Владелец векселя на сумму FV предъявляет вексель банку, который соглашается его купить и удерживает в свою пользу часть вексельной суммы, которая называется дисконтом. В этом случае банк предлагает владельцу суммы (PV), исчисляемую исходя из объявленной банком ставки дисконтирования (d). Очевидно, чем выше значение дисконтной ставки, тем большую сумму удерживает банк в свою пользу. Расчет представляемой банком суммы ведется по формуле: t ⎞ ⎛ PV = FV ⋅ ⎜ 1 − ⋅ d⎟ , (7) ⎝ T ⎠

93

где

t - длина периода до погашения ссуды. Пример 6. Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 5 млн. руб. со сроком погашения 28.09.1997 г. Вексель предъявлен 13.09.1997 г. Банк согласился учесть вексель с дисконтом в 75 % годовых. Определить сумму, которую векселедержатель может получить в банке 15 ⎛ ⎞ PV = 5 ⋅ ⎜ 1 − ⋅ 0,75⎟ = 4,844 млн.р уб. ⎝ 360 ⎠ Комиссионные, удерживаемые банком за услугу (учет векселя) составляет: (5,0 - 4,844) млн. руб. = 156 тыс. руб.

1.4. ВНУТРИГОДОВЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ НАЧИСЛЕНИЯ. В случае, если начисление процентов производится несколько раз в год, то: n⋅m r⎞ ⎛ FV = PV⎜ 1 + ⎟ , (8) ⎝ m⎠ где r - годовая ставка процента; m - количество начислений в году; n - количество лет. Пример 7. В банк помещена сумма 5 млн. руб. на два года под 20 % годовых. Определить накопленную сумму при условии, что накопление процентов производится: а) 1 раз в год; б) 2 раза в год; в) 4 раза в год; г) ежемесячно. 2 2 а) FV1 = 5 ⋅ (1 + r ) = 5 ⋅ (1 + 0,2) = 5 ⋅ 1,44 = 7,2 млн.р уб.

⎛ 0,2 ⎞ б) FV2 = 5 ⋅ ⎜ 1 + ⎟ ⎝ 2 ⎠

2⋅2

⎛ 0,2 ⎞ в) FV4 = 5 ⋅ ⎜ 1 + ⎟ ⎝ 4 ⎠

2⋅4

= 5 ⋅ 1,4641 = 7,3205 млн.р уб.

⎛ 0,2 ⎞ г) FV12 = 5 ⋅ ⎜ 1 + ⎟ ⎝ 12 ⎠

= 5 ⋅ 1,4775 = 7,3873 млн.р уб. 2⋅12

= 5 ⋅ 1,4869 = 7,4346 млн.р уб.

Выводы. 1. При начислении процентов: 12 % годовых не эквивалентно 1 % в год. 2. Чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма. 1.5. НЕПРЕРЫВНОЕ НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ. Максимально возможное наращение при бесконечном дроблении годового интервала. Из формулы nm r⎞ ⎛ FV = PV⎜ 1 + ⎟ ⎝ m⎠ следует, что если m → ∞ , получаем nm r⎞ ⎛ lim ⎜ 1 + ⎟ = e r n , m→∞ ⎝ m⎠

94 m

так как

1⎞ ⎛ lim ⎜ 1 + ⎟ = e , е = 2,718281, m→∞ ⎝ m⎠ (9) FV = PV ⋅ e r n .

Пример 8. Продолжение примера 7, при условии, что начисления осуществляются непрерывно FV∞ = 5 ⋅ e 0,2 ⋅ 2 = 5 ⋅ 1,4918 = 7,459 . Пример 9. Рассчитать накопленную сумму при непрерывном начислении за один год, если исходная сумма PV = 1000 руб. и r = 10 %. FV = 1000 ⋅ e 0,1 ⋅1 = 1000 ⋅ 110517 = 1105,17 р уб. , 1.6. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ЗА ДРОБНОЕ ЧИСЛО ЛЕТ. Достаточно обыденным явлением являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов. По схеме сложных процентов n+ k FV = PV(1 + r ) . (10) По смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов - для дробной части года). n FV = PV(1 + r ) (1 + kr ) , (11) где n - целое число лет; k - дробная часть года. Пример 10. Банк предоставил ссуду в размере 10 млн. руб. на 30 месяцев под 30 % годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечение срока? По схеме сложных процентов 2 + 0 ,5 FV = 10(1 + 0,3) = 19,27 млн.р уб. По смешанной схеме 2 FV = 10(1 + 0,3) ⋅ (1 + 0,3 ⋅ 0,5) = 19,44 млн.р уб.

Поскольку k < 1, то (1 + kr ) > (1 + r ) , следовательно наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы, что более выгодно для банка. Возможны финансовые контракты, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем. Схема сложных процентов m⋅ n k r⎞ ⎛ r⎞ ⎛ FV = PV⎜ 1 + ⎟ ⎜ 1 + ⎟ , (12) ⎝ m⎠ ⎝ m⎠ Смешанная схема m⋅ n r⎞ ⎛ r⎞ ⎛ FV = PV⎜ 1 + ⎟ ⎜ 1 + k ⎟ , (13) ⎝ m⎠ ⎝ m⎠ где n - количество лет; m - количество начислений в году; r - годовая ставка; k - дробная часть подпериода. Пример 11. k

95

Банк предоставил ссуду в размере 120 млн. руб. на 27 месяцев (т. е. 9 кварталов или 2,25 года) под 16 % годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных процентов. Проанализировать, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) годовое; б) полугодовое; в) квартальное. а) Годовое начисление процентов. n = 2; k = 0,25; r = 0,16. Схема сложных процентов. 2 + 0 , 25 FV = 120(1 + 0,16) = 167,58 млн.р уб. Смешанная схема. 2 FV = 120(1 + 0,16) ⋅ (1 + 0,25 ⋅ 0,16) = 167,93 млн.р уб. б) Полугодовое начисление процентов. n = 2; k = 0,5; m = 2; r = 0,16. Схема сложных процентов. 2 ⋅ 2 + 0 ,5 ⎛ 0,16 ⎞ 4 ,5 FV = PV⎜ 1 + = 120(1 + 0,08) = 169,66 млн.р уб. ⎟ ⎝ 2 ⎠ Смешанная схема. 2⋅2 1 0,16 ⎞ ⎛ 0,16 ⎞ ⎛ FV = 120⎜ 1 + ⎟ ⋅ ⎜1 + ⋅ ⎟ = 169,79 млн.р уб. ⎝ ⎠ ⎝ 2 2 2 ⎠ в) Квартальное начисление процентов. Продолжительность ссуды кратна продолжительности базисного периода и можно воспользоваться формулой сложных процентов, в которой n = 9; r = 0,16/4 = 0,04. 9 FV = 120(1 + 0,04) = 170,8 млн.р уб. 1.7. ЭФФЕКТИВНАЯ ГОДОВАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТА. Дано: – исходная сумма PV; − годовая процентная ставка (номинальная) r; − число начислений сложных процентов в год m. Этому набору исходных величин в рамках одного года соответствует определенное значение наращенной величины FV. Найти: такую годовую ставку rl , которая обеспечила бы при однократном начислении процентов (m = 1) такое же значение FV, как и исходная схема. То есть схемы {PV, FV, r, m>1} и {PV, FV, re , m=1} должны быть равносильными:

r⎞ ⎛ PV⎜ 1 + ⎟ ⎝ m⎠

m

= PV(1 + re ) , m

r⎞ ⎛ re = ⎜ 1 + ⎟ − 1. (14) ⎝ m⎠ Эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений, причем с ростом m она увеличивается. При непрерывном начислении процентов

(

)

PV 1 + re ∞ = PV ⋅ e r∞ , re ∞ = e r∞ − 1 ,

(

)

r∞ = ln 1 + re ∞ ,

(15)

Пример 12. (д. з.) Предприниматель может получить ссуду на следующих условиях:

96

− ежеквартальное начисление при 75 % годовых; − полугодовое начисление при 80 % годовых. Какой вариант следует выбрать? 4 ⎛ 0,75⎞ а) re = ⎜ 1 + ⎟ − 1 = 0,99 ; ⎝ 4 ⎠ 2

⎛ 0,8 ⎞ б) re = ⎜ 1 + ⎟ − 1 = 0,96 ; ⎝ 2 ⎠ Вариант б) является более предпочтительным для предпринимателя. Пример 13. Вычислить эффективную годовую ставку процента по займу корпорации, если номинальная ставка 12 % годовых и проценты начисляются: а) поквартально; б) 2 раза в год; в) ежемесячно; г) непрерывно. 4 ⎛ 0,12 ⎞ а) re = ⎜ 1 + ⎟ − 1 = 0,1255; т . е. re = 12,55 % ; ⎝ 4 ⎠ 2

⎛ 0,12 ⎞ б) re = ⎜ 1 + ⎟ − 1 = 0,1236; т . е. re = 12,36 % ; ⎝ 2 ⎠ ⎛ 0,12 ⎞ в) rel = ⎜ 1 + ⎟ ⎝ 12 ⎠

12

− 1 = 0,1268; т . е. re = 12,68 % ;

г) re ∞ = e 0,12 − 1 = 0,1275; т . е. re ∞ = 12,75 % . 1.8. ПРИВЕДЕННАЯ К НАСТОЯЩЕМУ МОМЕНТУ СТОИМОСТЬ БУДУЩИХ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ. FV PV = ; (16) (1 + r ) n n

⎛ 1 ⎞ PV = FV⎜ ⎟ ; ⎝1+ r⎠

PV = FV(1 + r ) . −n

−n Выражение (1 + r ) называется коэффициентом текущей стоимости (present value

factor). Пример 14. Какую сумму необходимо поместить в банк, чтобы через три года получить 10 000 $ при ставке дисконта 10 %? 3

⎛ 1 ⎞ PV = 10000⎜ ⎟ = 10000 ⋅ 0,751315 = 7513,15 $ . ⎝ 1 + 0,1⎠ Правило сложения текущих стоимостей. Текущая стоимость любого набора денежных потоков равна сумме текущих стоимостей каждого из денежных потоков. 1 2 n ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ PV = FV1 ⎜ ⎟ + FV2 ⎜ ⎟ +K+ FVn ⎜ ⎟ ; ⎝1+ r⎠ ⎝1+ r⎠ ⎝1+ r⎠ n

⎛ 1 ⎞ PV = ∑ FVn ⎜ ⎟ . ⎝1+ r⎠ n Пример 15.

97

Корпорация ожидает получить от инвестиционного проекта следующие притоки реальных денег в будущем: 1 год - 2000$, 2 год - 3000$, 3 год - 4000$, 4 год - 6000$. Требуется определить продуктивную ценность при ставке дисконта 14 %. 2

3

4

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ PV = 2000⎜ ⎟ + 3000⎜ ⎟ + 4000⎜ ⎟ + 6000⎜ ⎟ = ⎝ 1 + 0,14 ⎠ ⎝ 1 + 0,14 ⎠ ⎝ 1 + 0,14 ⎠ ⎝ 1 + 0,14 ⎠ = 2000 · 0,877193 + 3000 · 0,769468 + 4000 · 0,674972 + 6000 · 0,59208 = =1754 + 2308 + 2700 + 3552 = 10314 $. Пример 16. Вкладчик инвестирует 1000 $ с получать в качестве процентов ежегодно 100 $. В конце третьего года он кроме 100 $ получает первоначальную сумму вклада. Ставка дисконта 5 %. Определить приведенную стоимость инвестиции.

Годы 0

1

2

100 $

1000 $ $ 95,24 $ 90,70 $ 950,22

100 $

3 1100 $

100 100 1100 + + = 1136,16 $ . 1,05 1,052 1,053 Правило умножения текущих стоимостей. Коэффициент текущей стоимости за n лет равен произведению коэффициента дисконтирования стоимости за t лет и коэффициента дисконтирования стоимости за (n - t) лет. Например, при 8 %-й ставке дисконтирования коэффициент текущей стоимости 1 $, PV =

3

⎛ 1 ⎞ получаемого через 3 года равен ⎜ ⎟ = 0,7938 , а для 1 $, получаемого через 9 лет ⎝ 1 + 0,08 ⎠ 9

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ = 0,5002 . Следовательно, текущая стоимость 1 $ через 12 лет (t = 3; n = 12; (n ⎝ 1 + 0,08 ⎠ t) = 9) равна: 0,7938 · 0,5002 = 0,3971.

Проверка:

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 1 + 0,08 ⎠

12

= 0,3971 . t

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ PVn = FVn ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ ⎝1+ r⎠ ⎝1+ r⎠

n− t

n

⎛ 1 ⎞ = FVn ⎜ ⎟ . ⎝1+ r⎠

1.9. ВИДЫ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ. Одним из основных элементов финансового анализа является оценка денежного потока C1 , C 2 ,K , C n , генерируемого в течение ряда временных периодов в результате реализации какого-либо проекта. Определим следующие исходные условия: − временные периоды предполагаются равными; − элементы денежного потока являются однонаправленными, т. е. нет чередования оттоков и притоков денежных средств; − денежные поступления не распределяются внутри периода, они сконцентрированы на одной из его границ. Принято различать два вида денежных потоков:

98

− потоки, поступающие в начале каждого периода - потоки пренумерандо; С1

С2

С3

С4

С5

С6

0

1

2

3

4

5

− потоки, поступающие в конце каждого периода - потоки постнумерандо.

0

С1

С2

С3

С4

С5

1

2

3

4

5

Поток постнумерандо. На практике большее распространение получил поток постнумерандо, поскольку оценка финансового результата проводится по окончании отчетного периода. Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования. Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач: а) прямой, т. е. проводится оценка с позиции будущего (реализуется схема наращения); б) обратной, т. е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования). 1.10. ОЦЕНКА ДЕНЕЖНОГО ПОТОКА С НЕРАВНЫМИ ПОСТУПЛЕНИЯМИ. Оценка потока постнумерандо. Будущая стоимость исходного денежного потока постнумерандо. n

FVpst = ∑ C k (1 + r )

n− k

.

(17)

k =1

0

С1

С2

С3

1

2

3

...

Сn-1 Сn

n-1

n

Сn Сn-1(r+1) С2(1+r)n-2 С1(1+r)n-1

Рис. 3. Логика решения прямой задачи для потока постнумерандо. Приведенная стоимость денежного потока постнумерандо. n

PVpst = ∑ k =1

Ck

(1 + r ) k

. (18)

99

0

С1

С1

С2

С3

1

2

3

С n - 1 Сn

...

n-1

n

(1+r) С2 2

(1+r)

Сn - 1 n-1

(1+r)

Сn n

(1+r)

Рис. 4. Логика решения обратной задачи для потока постнумерандо. Пример 17. Рассчитать приведенную стоимость денежного потока постнумерандо (тыс. руб.): 12, 15, 9, 25, если коэффициент дисконтирования r = 12 %. 1 1 1 1 PVpst = 12 = 1 + 15 2 +9 3 + 25 (1 + 0,12) (1 + 0,12) (1 + 0,12) (1 + 0,12) 4 = 12 · 0,8929 + 15 · 0,7972 + 9 · 0,7118 + 25 · 0,6355 = = 10,71 + 11,96 + 6,41 + 15,89 = 44,97 тыс. руб. Оценка потока пренумерандо. Будущая стоимость денежного потока пренумерандо. n

FVpre = ∑ C k (1 + r )

n − k +1

,

(19)

k =1

FVpre = FVpst (1 + r ) . С1

С2

С3

С4

0

1

2

3

...

Сn

n-1

n

Сn (1+r) С3(1+r)n - 2 С2(1+r)n - 1 С1 (1+r)n

Рис. 5. Логика решения прямой задачи для потока пренумерандо. Приведенная стоимость денежного потока пренумерандо. n Ck PVpre = ∑ (20) k −1 . k =1 ( 1 + r ) PVpre = PVpst (1 + r )

100

С1

С1

С2

0

1

С3

С4

2

...

3

Сn

n-1

n

С2 (1+r)

С3 2

(1+r)

(1+r)

Сn (1+r)

С4 3

n-1

Рис. 6. Логика решения обратной задачи для потока пренумерандо. Пример 18. Исходные данные из примера 17, при условии, что исходный поток представляет собой пренумерандо. 1 1 1 PVpre = 12 + 15 = 50,37 тыс.р уб. 1 +9 2 + 25 (1 + 0,12) (1 + 0,12) (1 + 0,12) 3 PVpre = PVpst (1 + r ) = 44,97 · 1,12 = 50,37 тыс. руб. 1.11. ОЦЕНКА АННУИТЕТОВ. Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока, это последовательность из n денежных потоков по одному в каждом периоде. Выделяют: − аннуитет постнумерандо (обыкновенный); − аннуитет пренумерандо (авансовый). Оценка срочных аннуитетов. Если число временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным. В этом случае: C1 = C 2 = L = C n = A . Примером срочного аннуитета постнумерандо могут служить регулярные платежи, за аренду помещения, квартиры. В качестве срочного аннуитета пренумерандо может выступать схема периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца с целью накопления достаточной суммы для крупной покупки. Формула для определения будущей стоимости аннуитета постнумерандо. Величина регулярного поступления - А. Процентная ставка - r. Наращенный денежный поток имеет вид: 2 n −1 A , A ⋅ (1 + r ) , A ⋅ (1 + r ) , L , A ⋅ (1 + r ) n

Формула FVpst = ∑ C k (1 + r )

n− k

трансформируется следующим образом:

k =1

n

a FVpst = A ⋅ ∑ (1 + r ) k =1

n−k

= A ⋅ FVFA r ,n ,

(21)

где FVFA r ,n - мультиплицирующий множитель, который показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу к концу срока его действия (будущая стоимость фактора аннуитета).

101

Мультиплицирующий

множитель

FVFA r ,n

представляет собой сумму

членов

геометрической прогрессии: S = 1 + q + q 2 + L + q n − 1 , где q = 1 + r , (q ≠ 1) . Умножив обе части этого уравнения на q получим: S ⋅ q = q + q 2 +L+ q n −1 + q n . Вычитая одно уравнение из другого получим: S − S⋅q = 1− qn . Таким образом, qn −1 , S= q −1 FVFA r ,n =

(1 + r ) k − 1 r

.

(22)

Пример 19. Вам предлагают сдать в аренду участок на три года и выбрать один из двух вариантов оплаты аренды: а) 10 млн. руб. в конце каждого года; б) 35 млн. руб. в конце трехлетнего периода. Какой вариант наиболее предпочтительнее, если банк предлагает 20% годовых по вкладам? а) аннуитет постнумерандо при n = 3 и А = 10 млн. руб. В этом случае имеется возможность ежегодно инвестировать сумму арендного платежа в банк. (1 + 0,2) 3 − 1 Будущая стоимость: FV = 10 ⋅ = 10 ⋅ 3,64 = 36,4 млн.р уб. , что больше 35 0,2 млн. руб. (вариант б). Следовательно вариант а) более выгоден. Текущая стоимость срочного аннуитета постнумерандо выводится из формулы n Ck PVpst = ∑ k и имеет вид: k =1 (1 + r ) n 1 a PVpst = A⋅∑ (23) k = A ⋅ PVFA r , n , k =1 (1 + r ) где PVFA r ,n - дисконтирующий множитель (приведенная стоимость фактора аннуитета). PVFA r ,n

1 − (1 + r ) = r

−n

.

Пример 20. Определить текущую стоимость денежных поступлений в размере 10 млн. руб. в год, n = 3 года, r = 20 %. −3 1 − (1 + 0,2) a PVpst = 10 ⋅ = 10 ⋅ 2,106 = 21,06 млн.р уб. 0,2 Расчетные формулы для аннуитета пренумерандо. Будущая стоимость аннуитета пренумерандо. (1 + r ) n − 1 a a FVpre = FVpst (1 + r ) = A ⋅ ⋅ (1 + r ) . (25) r Приведенная стоимость аннуитета пренумерандо. −n 1 − (1 + r ) a a ( ) PVpre = PVpst 1 + r = A ⋅ ⋅ (1 + r ) . (26) r Пример 21.

102

Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере 10 млн. руб. Банк платит 20 % годовых. Какая сумма будет на счете по истечении трех лет? (1 + 0,2) 3 − 1 a FVpre = 10 ⋅ ⋅ (1 + 0,2) = 10 ⋅ 3,64 ⋅ 1,2 = 43,68 млн.р уб. 0,2 Пример 22. (д. З.) Вам предложено инвестировать 100 млн. руб. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 млн. руб.). По истечении пяти лет выплачивается дополнительно вознаграждение в размере 30 млн. руб. Принимать ли это предложение, если можно «безопасно» инвестировать деньги в банк из расчета 12 % годовых? При депонировании денег в банк к концу пятилетнего периода на счете будет сумма: 5 5 FV = PV(1 + r ) = 100 ⋅ (1 + 0,12) = 176 млн.р уб. При возмещении вложенной суммы частями можно предположить, что ежегодные поступления в размере 20 млн. руб. можно немедленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы - депонировать в банк. Денежный поток в этом случае можно представить двояко: а) как срочный аннуитет постнумерандо с А = 20, n = 5, r = 20 %. (1 + 0,12) 5 − 1 FV = 20 ⋅ + 30 = 20 ⋅ 6,353 + 30 = 157,06 млн.р уб. 0,12 б) как срочный аннуитет пренумерандо с А = 20, n = 4, r = 12 % и единовременное получение сумм 20 и 30 млн. руб. (1 + 0,12) 4 − 1 , + 50 = 157,06 млн.р уб. FV = 20 ⋅ ⋅ (1 + 0,12) + 20 + 30 = 20 ⋅ 4,779 ⋅ 112 0,12 Предложение экономически нецелесообразно. Оценка аннуитета с изменяющейся величиной платежа. Пример 23. Сдан участок в аренду на десять лет. Арендная плата будет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо на следующих условиях: в первые шесть лет по 10 млн. руб., в оставшиеся четыре года по 11 млн. руб. Оценить приведенную стоимость такого договора, если процентная ставка равна 15 %. Можно выделить два варианта решения. 1. Исходный поток можно представить в виде суммы двух аннуитетов: первый: А = 10, n = 10 лет; второй: А = 1, n = 4. Второй аннуитет будет дисконтирован к началу седьмого года, поэтому полученную сумму необходимо дисконтировать к началу первого года.

0

10

10

10

10

10

10

11

11

11

11

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 − (1 + 0,15) PV = 10 ⋅ 0,15

−10

1 − (1 + 0,15) + 1⋅ 0,15

−4

⋅ (1 + 0,15)

−6

= 10 ⋅ 5,019 + 1 ⋅ 2,855 ⋅ 0,432 = 51,42 млн.р уб.

2. Исходный поток можно представить как разность двух аннуитетов: первый: А = 11, n = 10 лет; второй: А = 1, n = 6. −10 −6 1 − (1 + 0,15) 1 − (1 + 0,15) PV = 11 ⋅ − 1⋅ = 11 ⋅ 5,019 − 1 ⋅ 3,784 = 51,42 млн.р уб. 0,15 0,15

103

Бессрочный аннуитет. Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время. Приведенная стоимость бессрочного аннуитета: −n 1 − (1 + r ) 1 PVFA r , ∞ = lim = , n→ ∞ r r A PV = . (27) r В качестве коэффициента дисконтирования r принимается гарантированная процентная ставка (ставка процента государственного банка). Пример 24. Определить текущую стоимость бессрочного аннуитета с ежегодным поступлением 420 тыс. руб., если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен 14 % годовых. PV = 420 : 0,14 = 3 млн. руб. Непрерывные платежи. Если вместо 1 $ в конце каждого периода (года) мы получали бы m платежей, каждый из которых 1/m $, и если m → ∞ , то текущая стоимость серии таких выплат в течение n лет при ставке re ∞ будет равна −r

n

1− e e∞ , PV = A ⋅ re ∞

где re ∞ - эквивалентная непрерывная ставка, re ∞ = ln(1 + r ) . Пример 25. Корпорация ожидает получить 3 650 000 $ в течение года. Корпорация хочет использовать ставку дисконтирования, эквивалентную 5 % за 6 месяцев. Необходимо сравнить текущую стоимость этой суммы при различных предположениях о времени ее получения. Эффективная годовая ставка остается одинаковой при всех сравнениях. 1. Сумма будет получена в начале года PV = 3 650 000 $. 2. Сумма будет получена в конце года. 2 Ставка дисконтирования: (1 + 0,05) = 1 + r , r = −1 + (1 + 0,05) = 0,1025 = 10,25 % , 3 650 000 PV = = 3 310 658 $ . 11025 , 3. Сумма поступит в середине года при 5 %- ной ставке за полугодие 3 650 000 PV = = 3 476 190 $ . 1,05 4. Деньги будут получены в виде 12 одинаковых платежей по 304 167 в конце каждого месяца. 12 Ставка дисконтирования в месяц: (1 + r ) = 11025 , , 2

r = 11025 ,

1 12

− 1 = 0,00816 = 0,816 % в месяц ,

(

r = 1 + rэф

)

1 m

−1,

1 − (1 + 0,00816) 1 − (1 + r ) PV = 304 167 ⋅ = 304 167 ⋅ = 304 167 ⋅ 11,387 = 3 463 545 $ . 0,00816 r 5. Получение суммы является непрерывным процессом. −n

−12

104

Ставка дисконтирования: re ∞ = ln(1 + r ) = ln (1,1025) = 0,09758. PV = 3 650 000 ⋅

1 − e −0,09758 = 3 650 000 ⋅ 0,95275 = 3 477 570 $ . 0,09758

Пример 26. Компания хочет взять 10 000 $ в кредит у банка и расплатиться за него тремя ежегодными платежами (первый платеж через год). Банк взимает 10 % годовых. Каковы будут ежегодные платежи? PV PV = A ⋅ PVFA r ,n ; A = . PVFA r ,n 1 − (1 + r ) PVFA r ,n = = 2,4869 , r 10 000 A= = 4 021 $ . 2,4869 −11

Пример 27. Через 14 лет Джонс начнет получать пенсию 20 000 $ в год пожизненно (15-й год первая выплата). Рассчитать текущую стоимость пенсии. A 20 000 PV14 = = = 200 000 $ . r 0,1 20000· 0

1 10

14 PV0 = PV14 ⋅ (1 + r )

−14

20000

20000

15

16

= 200000 ⋅ 0,26333 = 52 666 $ .

Пример 28. Определить текущую стоимость аннуитета по 60 $ в год в течение 20 лет с первой выплатой в периоде 10 и r = 0,1. −20 1 − (1 + 0,1) −t (1 + 0,1) −9 = 216,6 $ . PV = A ⋅ PVFA r ,n ⋅ (1 + r ) = 60 ⋅ 0,1

0

A · FVFA(n, r)

60

60

9

10

11

Если первая выплата происходит в период 10, то для нахождения текущей стоимости необходимо провести дисконтирование аннуитета на 9 лет. Это случай аннуитета постнумерандо. Будущая стоимость j-срочного аннуитета постнумерандо при условии нескольких начислений процентов в году и нескольких поступлений средств в году m⋅n r⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ − 1 A ⎝ m⎠ a FVpst ⋅ , j = m j ⎛ r⎞ j ⎜1 + ⎟ − 1 ⎝ m⎠ m > j, где A - суммарный годовой платеж;

105

r - годовая ставка; n - количество лет; m - число начислений процентов в году; j - количество равных поступлений средств в году. Будущая стоимость j-срочного аннуитета пренумерандо a pre j

FV

= FV

a pst j

r⎞ ⎛ ⋅ ⎜1 + ⎟ ⎝ m⎠

m

j

.