小堀
憲
小松醇郎 福原満洲雄 編集
基 礎 数 学 シリーズ
編 集 の ことば 近 年 に お け る科 学技 術 の 発 展 は,極 め て め ざ ま し い もの が あ る.そ の 発展 の基 盤 に は,数 学 の...
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小堀
憲
小松醇郎 福原満洲雄 編集
基 礎 数 学 シリーズ
編 集 の ことば 近 年 に お け る科 学技 術 の 発 展 は,極 め て め ざ ま し い もの が あ る.そ の 発展 の基 盤 に は,数 学 の知 識 の 応 用 も さ る こ とな が ら,数 学 的思 考 方 法,数 学 的精 神 の 浸 透 が 大 きい.理 工 学 は じめ 医 学 ・農 学 ・経 済 学 な ど広 汎 な分 野 で,数 学 の知 識 の み な らず 基 礎 的 な 考 え 方 の 素 養 が 必 要 な の で あ る.近 代 数 学 の理 念 に接 しな け れ ば,知 識 の 活 用 も多 き を望 め な いで あ ろ う. 編 者 らは,こ の よ うな 事 実 を考 慮 し,数 学 の 各分 野 に お け る基 本 的 知 識 を 確 実 に 伝 え る こ と を 目的 と して 本 シ リー ズ の 刊 行 を 企 画 した の で あ る. 上 の 主 旨に した が って 本 シ リー ズで は,重 要 な 基 礎概 念 を と くに 詳 し く説 明 し, 近 代 数 学 の 考 え方 を平 易 に理 解 で き る よ う解 説 して あ る.高 等 学 校 の 数 学 に 直 結 して,数 学 の 基 本 を悟 り,更 に進 ん で高 等数 学 の 理 解 へ の 大 道 に 容 易 に は い れ る よ う書 か れ て あ る. これ に よ って,高 校 の 数 学 教 育 に携 わ る人 た ち や 技 術 関 係 の 人 々の 参 考 書 と し て,ま た 学 生 の 入 門書 と し て,ひ ろ く利 用 さ れ る こ と を念 願 と して い る. この シ リー ズ は,読 者 を 数学 とい う花 壇へ 招 待 し,そ れ の 観 覚 に 資 す る と と も に,つ ぎ の段 階 にす す む た め の 力 を 養 うに役 立 つ こ と を意 図 した もの で あ る.
は
こ の 書 物 は,入
じ
門 書 で あ る の で,微
も 予 想 して い な い.そ
して,第1歩
め
に
分 学 や 積 分 学 に 関 す る 知 識 の ほ か は,何
か ら踏 み 出 して,複 素 数 を 変 数 とす る 函 数
に 関 す る 基 本 的 な概 念 を 紹 介 し,19世
紀 を 通 じ て,ガ
ウ ス,コ ー シ ー,リ
マ ン,ワ イ ヤ シ ュ トラ ス と い った 大 数 学 者 を は じめ と して,い 研 究 に よ っ て,20世
ろい ろ の学 者 の
紀 の 数 学 へ 伝 え られ た 「複 素 解 析 学 」 とい う花 壇 の,百
花 が 咲 き 乱 れ て い る光 景 を 観 賞 す るた め の 手 引 き と な りた い,と っ て,書
い う願 望 を 持
か れ た の で あ る.
こ の シ リー ズ の 目的 は,数
学 の 各 分 野 に お け る基 本 知 識 を,確
実 に把 握す る
た め の 伴 侶 とな る こ とで あ るか ら,こ の 書 物 で も,こ の 趣 旨 に 添 っ て,ほ もの を 読 まな け れ ば 理 解 す る こ とは で き な い,と た.ま
ー
た,重
要 な 基 礎 概 念 に つ い て は,く
かの
い うこ とが な い よ うに と努 め
どい と思 わ れ るほ どに,詳
しい 説 明
を 加 え て お い た. こ の 書 物 に 書 か れ て い る こ と を,身 に つ け る こ と が で き る よ うに と,そ れ ぞ れ の 節 末 に,問
題 を 課 して,説
明 の 理 解 の 便 に 供 した.さ
っ て 得 た 知 識 を 踏 み 台 と して,つ
らに,こ
の書物 に よ
ぎ の 段 階 へ 飛 躍 す る 力 を 養 うた め に,章 末 に,
理 論 の 応 用 と い う点 か らみ て,重 要 と思 わ れ る 問 題 を 選 ん で お い た. 最 後 に,こ
の 書 物 は,あ
く まで も 「入 門 書 」 で は あ る が,同
析 学 」 と い う美 しい 花 壇 へ の 招 待 で も あ る.そ れ が さ さ や か な も の で あ って も,書
して,こ
時 に,「 複 素 解
の よ うな 案 内 書 を,そ
く こ とが で き る よ うに な った の も,著 者 を
こ の 花 壇 へ 案 内 して くだ され た 恩 師 や 先 輩 の お か げ で あ る の で,こ れ らの か た が た へ の 感 謝 の 念 を 心 に 刻 み な が ら,若 い 人 々 を,こ
の 花 壇 へ 招 待 した い の で
あ る. 1966年7月
洛北にて 小
堀
憲
目
1.
複
素
1.1 定
次
数
1
義
1
1.2 複 素 平 面 1.3 集
合
7 15
1.4 数 列 と 級 数
演 習 問 題1
2.
20 26
函 数 とべ き級 数
27
2.1 領
域
27
2.2 函
数
31
2.3 極 限 と 連 続 2.4 べ き 級 数 2.5 指 数 函 数 と 三 角 函 数
32
55
演 習 問 題2
3.
微
分
43
63
法
65
3.1 導 函 数
65
3.2
71
3.3
コ ー シ ー ・ リー マ ン の 偏 微 分 方 程 式 写
像
3.4 逆 函 数
81
演 習 問 題3
4.
積
分
77
法
4.1 線 積 分
96
98 98
4.2
コー シ ー の 積 分 定 理
107
4.3
コー シ ー の 積 分 公 式
123
4.4
コ ー シ ー の諸 定 理 の 応 用
133
演 習 問 題4
5.
140
テ イ ラ ー 級 数 と ロー ラ ン級 数
5.1
ライ ラーの定 理
5.2 特 異 点 5.3 解 析 接 続 5.4
ロー ラ ンの 定 理
142
149 155 170
演 習 問 題5
6.
留 数 定 理 とそ の 応 用
185
187
6.1 留 数 定 理 6.2 ル ー シ ェ の 定 理 6.3 定 積 分 の 計 算 へ の 応 用 6.4
1次 函 数
演 習 問 題6
索
引
142
187 193
197 211 229
231
1. 複
1.1
定
素
数
義
実 数 の こ と は,よ
くわ か っ て い る も の と し て お く.そ
に よ っ て,x2≧0で
あ る か ら,x2+1>0で
(1.1)
数 」 に 限 定 す る と,解 す る た め に は,ど そ れ で,実
の よ うな 簡 単 な 方 程 式 で あ る の に,数
く こ と が で き な い の で,こ
う し て も,数
数x,yに ち ろ ん,こ
のiは
の 知識 を
「実
れ を 解 く こ と が で き る よ うに
がx+iyで
与 え られ た も の を,新
実 数 で は な い.こ
のiは
しい 数 と
何 で あ る の か,い
まの と
の 新 し い 数 を 複 素 数 と 名 づ け る.
の 複 素 数x′+iy′,x″+iy″
わ し,こ
数方 程 式
の 概 念 を 拡 張 し な け れ ば な ら な い.
対 し て,形
こ ろ は わ か ら な い が,こ 2つ
た が っ て,代
数 の性質
x2+1=0
を 解 く こ と は で き な い.こ
考 え る.も
あ る.し
うす る と,実
が 等 し い こ と をx′+iy′=x″+iy″
と表
れ に 対 して
Ⅰ. x′+iy′=x″+iy″
が な り た つ の は,x′=x″,y′=y″
の ときに か
ぎ る. と 定 義 し て お く.ま と 表 わ し,こ Ⅱ.
た,x′+iy′
とx″+iy″
と の 和 を(x′+iy′)+(x″+iy″)
れ を 求 め る 演 算 を 加 法 と い っ て,そ (x′+iy′)+(x″+iy″)=(x′+x″)+i(y′+y″)
と 定 義 す る.さ
ら に,x′+iy′
とx″+iy″
と の 積 を(x′+iy′)(x″+iy″),
(x′+iy′)・(x″+iy″)ま
た は(x′+iy′)×(x″+iy″)と
演 算 を 乗 法 と い っ て,そ
れを
Ⅲ.
れを
表 わ し,こ
れ を 求め る
(x′+iy′)(x″+iy″)=(x′x″−y′y″)+i(x′y″+y′x″)
と 定 義 す る. x+iyと ばz,で
書 か な く と も 誤 解 さ れ る 心 配 が な い と き に は,1つ 表 わ す ほ うが 簡 単 で あ り,便
表 わ し て い る こ と を,z=x+iyと
利 で あ る.そ
れ で,zが
の 文 字,た
とえ
複 素 数x+iyを
書 く こ と に す る.
複 素 数 の 加 法 と 乗 法 と に 関 し て は,つ
ぎ の3つ
の 法 則 の な りた つ こ と が 示 せ
る.
z1+z2=z2+z1,
z1z2=z2z1
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3),
[交 換 法 則] (z1z2)z3=z1(z2z3)
[結
(z1+z2)z3=z1z2+z2z3
合 法 則]
[分 配 法 則]
こ れ ら の 法 則 を 証 明 す る こ と は 容 易 で あ る の で,練
習 の た め に,分
配 法 則 を
証 明 し て お く. z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,z3=x3+iy3と
す る と,(Ⅱ)に
z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2)
で あ るか ら
と な る. 問1.
交 換 法 則 と 結 合 法 則 と を 証 明 せ よ.
問2.
つ ぎ の 計 算 を せ よ:
ⅰ) (1+i3)+(2+i4), ⅱ) zに
関 す る1次
(2+i3){2+i(−3)}.
方 程 式
(1.2)
z+z″=z′
を 満 足 す る 複 素 数 の1つ
をz1=x1+iy1と
す る と,方
(x1+iy1)+(x″+iy″)=x′+iy′ と 書 け る.定
義 Ⅱ に よ っ て (x1+x″)+i(y1+y″)=x′+iy′
と な る の で,定
義 Ⅰ に よ っ て, x1+x″=x′,
を 得 る.ゆ
え に,
y1+y″=y′
程 式(1.2)は
よ っ て
x1=x′
−x″,
y1=y′−y″
とな る の で (1.3)
z1=(x′
が 出 て く る.こ
れ は 方 程 式(1.2)の
の 解 が あ る か も 知 れ な い の で,そ (1.3)の
−x″)+i(y′−y″) 解 で あ る が,ま
だ こ の ほ か に も,(1.2)
れ を 調 べ て お か ね ば な ら な い.
ほ か に,z2=x2+iy2が(1.2)の
解 で あ る と,上
と ま った く同 じ よ
うに し て z2=(x′
−x″)+i(y′−y″)
で あ る こ と が わ か る.ゆ
え に,z1=z2で
解 は た だ1つ
の た だ1つ
z′−z″
で あ る.こ
と 表 わ す.そ
うす る と,こ
あ る.し の 解 を,z′
た が っ て,方
か らz″
れ を 求 め る 演 算,す
程 式(1.2)の
を 引 い た 差 と い っ て, な わ ち 減 法,を
つ ぎの
よ う に 表 わ す こ と が で き る. Ⅱ′
z′−z″=(x′
z′−z″ が 方 程 式(1.2)の (1.4)
−x″)+i(y′−y″)
解 で あ る こ とか ら (z′−z″)+z″=z′
が 得 ら れ る. 複 素 数 は 実 数 を 拡 張 し た も の で あ る か ら,実 れ ば な ら な い.そ
数 は こ の 複 素 数 の1部
分 でな け
れで
(1.5)
x+i0=x
と 定 義 す る.そ
うす る と
(1.6)
0+i0=0
で あ る.し
た が っ て,
「x=0,y=0の
と い う の は,定
否 定 」 で あ る か ら,
と し て,方
z″z=z′ 素 数z1=x1+iy1が
解 で あ る と,方
(x″+iy″)(x1+iy1)=x′+iy′ と 書 け る.そ
の こ と で あ る.
程式
(1.7) を 考 え る.複
義 Ⅰ と(1.6)と
うす る と,定
義 Ⅲに よ って
(x″x1−y″y1)+i(x″y1+y″x1)=x′+iy′
程 式(1.7)は
に よって
と な る の で,(Ⅰ)に
よ って
(1.8)
x″x1−y″y1=x′,
x″y1+y″x1=y′
と な る. ⅰ )
とす る と
a)
の 場 合 に は,(1.8)の2つ
の 方 程 式 か らyを
消 去 す る と
(x″2+y″2)x1=x′x″+y′y″ で あ り,x1を
消 去 す る と (x″2+y″2)y1=y′x″−x′y″
と な り,
で あ る か ら
(1.9)
が 出 て く る. b)
y″=0の
場 合 に は,(1.8)は x″x1=x′,
x″y1=y′
と な る の で
と な り,(1.9)の ⅱ ) x″=0と
特 別 の 場 合 で あ る こ と が わ か る. す る と,
で あ る か ら,(1.8)は − y″y1=x′,
y″x1=y′
と な り,
と な り,(1.9)の
特 別 の 場 合 で あ る こ と を 知 る.し
を 満 足 す る複 素 数 は
た が っ て,方
程 式(1.7)
ⅱ ⅰ
で あ る こ と を 知 る.(1.7)を れ は,こ
満 足 す る 複 素 数 は,こ
の ほ か に,z2が(1.7)の
と な る こ と が わ か り,定
の ほ か に は 存 在 し な い.そ
解 で あ る と,上
と 同 じ演 算 を く り か え し て
義Ⅰ に よ っ て,z1=z2と
そ れ で,方
程 式(1.7)の
た だ1つ
の 解 を,z′
と 表 わ す.こ
の 商 を 求 め る演 算 を 除 法 とい い
な る か ら で あ る. をz″
で 割 っ た 商 と い い,z′/z″
Ⅳ.
と 表 わ す.な
お,z′/z″ が 方 程 式(1.7)の
解 で あ る こ とか ら
(1.10)
が な り た つ. 問3.
つ ぎ の 商 を,x+iyの
)
問4.
形 で 表 わ せ: ⅲ)
)
つ ぎ の 計 算 を せ よ:
)
ⅱ)
こ こ で,い を,調 z3と
ま ま で 定 義 し な い で 用 い て き たiは,ど
べ る こ と に し よ う.実 い うふ うに,n個
る と,定
の よ うな も の で あ るか
数 の と き と 同 じ よ うに,z×zをz2,z×z×zを
の 積z×z×
…
×zをznと
表 わ す こ と に す る.そ
うす
義 Ⅱに よって (0+i1)2=(0+i1)(0+i1)=(0×0−1×1)+i(0×1+1×0) =−1+i0=−1
で あ る か ら,0+i1は (1.11)
(1.12)
こ で,簡
単 の た めに
0+i1=i
と 表 わ す こ と に す る.そ る の で,あ
実 数 で は な い.そ
らた め て
うす る と,上
の 計 算 か らわ か る よ う に,i2=−1と
な
と 定 義 し,虚 2つ
数 単 位 と い う*.そ
の 単 位
う す る と,x+iyは1・x+iyの
「1」,「i」 を も っ て い る.そ
数 と 名 づ け た の で あ る.な
れ で,「
こ と で あ り,
複 単 位 数 」 と い う 意 味 で,複
お,(1.5)と(1・11)と
素
に よ って
(0+i1)(y+i0)=iy で あ り,定
義 Ⅱに よ っ て (0+i1)(y+i0)=(0×y−1×0)+i(0×0+1×y)=0+iy
で あ るか ら (1.13)
0+iy=iy
と 書 け る が,こ
れ を 純 虚 数 とい
う.そ
う す る と,(1.13)に
お い てy=1と
置
く と, 0+i1=i1 と な る の で,(1.11)と
く らべ て
(1.14)
i1=i
を 得 る. 複 素 数z=x+iyに
お い て,xをzの
ま た は 虚 部 と い う.そ に す る.す
x=Re(z), お,x+iyと
+i(−y)をx−iyと zで
実 部 をRe(z),虚
部 をIm(z)と
虚 数 部 表 わ す こ と
な わ ち
(1.15) で あ る.な
し て,zの
実 数 部 ま た は 実 部,yをzの
書 くか わ
y=Im(z) り にx+yiと
書 い て,x+iyの
共 役 複 素 数 と い う.zの
表 わ す こ と に す る と,z=x+iyな
な お,i2=−1で
書 く こ と も あ る.そ
ら ばz=x−iyで
あ り,−i=i(−1)=0+i(−1)で
し て,x
共 役 複 素 数 を
あ る. あ るか ら
(−i)2={0+i(−1)}{0+i(−1)}={0×0−(−1)×(−1)} +i{0×(−1)+(−1)×0}=−1+i0=−1 を 得 る の で,i,−iは
方 程 式(1.1)の
根 で あ る.こ
* こ れ は ス イ ス の 数 学 者 オ イ レ ル(Leonhard
の ほ か に も,方
程 式(1.1)
Euler , 1707-1783)が,は じめ て 導 入 し た 記 号 で あ る.オ イ レ ル は,ロ シ ア の 女 帝 エ カ テ リ ナ Ι世 に 招 か れ て,1728年 に ペ テ ロ グ ラ ド(今 の レ ニ ン グ ラ ド)へ い く .1735年 に 右 眼 を 失 明 す る.エ カ テ リ ナ Ι世 の 歿 後 不 遇 で あ っ た の で,1744年 に ベ ル リ ンへ 移 る.1766年 に エ カ テ リナ Ⅱ 世 に 招 か れ て,ま た ペ テ ロ グ ラ ド に 来 る.1771年 に 左 眼 を 失 っ て,完 全に 失明 す る.そ して,1783年9月18日 ペ テ ロ グ ラ ドで 歿 す る が,失 明 後 と い え ど も研 究 を つ づ け,今 日 に い た る も 全 集 が 完 成 し な い ほ ど に,数 多 くの 業 績 を 残 し て い る.
ⅰ ⅰ ⅱ
の 根 が あ る か も 知 れ な い の で,そ
れ をa+ibと
り,(a+ib)2=(a2−b2)+i2abで
で,a=0で
あ
あ る か ら, a2+b2=−1,
を 得 る.b=0と
す る と,(a+ib)2=−1で
す る とa2=−1と
な り,aが
な け れ ば な らぬ.こ
a+ib=0+i(±1)=±iと
2ab=0 実 数 で あ る こ と に反 す るの
の 場 合 にb2=1す
な っ て,方
な わ ちb=±1と
程 式(1.1)の
根は
±iの
な り, ほ かに は 存
在 し な い こ と を 知 る. 問5. つ ぎ の 計 算 をせ よ: ⅱ)
)
問6.
と し て,つ
z1=1+3i,z2=3−i,
) z13+z12+z1−3,
問7.
ⅱ)
ⅲ) Re(z1+z22−z33),
a>0と
1.2
)
複
素
平
ⅲ)
z1z2=z1z2,
し て,x2+a2=0を
複 素 数z=x+iyに
解 け.
面 直 交 座 標 が(x,y)で
の 点 と 複 素 数 と の 間 に,1対1の で 表 わ す こ と に す る.こ
あ る 点 を 対 応 さ せ る と,こ
対 応 が あ る.簡
の よ うに,点
単 の た め に,こ
の 場 合 に,横
形 で あ る か ら,こ
な わ ち 実 数xが
れ に はx+i0す
の 座 標 の 形 は(0,y)で る の で,横
あ っ て,こ
点 の 座 標 は(0,0)で
の 点 を ま たz
軸 の 点 の 座 標 は(x,0)と 対 応 す る.ま
れ に は0+iyす
軸 の こ と を 実 数 軸(実
の平 面
が 複 素 数 を 表 わ す と 考 え ら れ た 平 面 を,
複 素 平 面 ま た は 数 平 面 と い う*.こ
な お,原
ⅳ)
つ ぎ の こ と を 証 明 せ よ:
) z1+z2=z1+z2, 問8.
(z3)3,
ぎ の 計 算 を せ よ:
軸),縦
な わ ち 純 虚 数iyが
軸 の こ と を 虚 数 軸(虚
あ る か ら,原
た,縦
点 は 複 素 数0+i0す
い う 軸の点 対応す
軸)と
い う.
な わ ち0を
表
わ す. z1=x1+iy1,z2=x2+iy2を
表 わ す 点 を,そ
* ガ ウ ス 平 面 と い う ひ と も あ る .そ が,1811年
に ベ ッ セ ル(Wilhelm
の こ と を 書 い た か ら,こ
れ ぞ れP1,P2と
れ は ガ ウ ス(Friedrich Bessel,
1784-1846)へ
の よ うに 呼 ば れ る の で あ る.
von
す る.z1+z2 Gauss,
1777-1855)
宛 て た 手 紙 の 中 で,こ
=(x1+x2)+i(y1+y2)で
す 点Rの
あ る か ら ,z1+z2を
座 標 は(x1+x2,y1+y2)で
表 わ
あ る.線
分P1P2
で あ り,線 分OR
の 中 点 の 座 標 は
の 中 点 の 座 標 も ま た こ れ で あ る か ら,P1P2とOR は,た
が い に,そ
R,P2は
頂 点Rが,z1+z2を
対す る
義 に よ っ て,(z1−z2)+z2=z1
を 満 足 す る か ら,OP1を
対 角 線,OP2を1つ
の 辺 と す る 平 行 四 辺 形OP2P1Sを
つ く る と,
表 わ す 複 素 数 がz1−z2で
z=x+iyを
表 わ す 点 をPと
の 座 標 は(x,y)で
で あ る.こ
と す る 平 行 四 辺 形 のOに
え に,
表 わ す.
z1−z2は,定
点Sが
え に,O,P1,
平 行 四 辺 形 の 頂 点 に な っ て い る.ゆ
OP1,OP2を2辺
図1.1
の 中 点 で 交 わ る.ゆ
あ る. す る と,こ
れ
あ るか ら
れ をzの
図1.2
絶 対 値 と い い,│z│と
表 わ す.す
なわ 〓
(1.16) で あ る.
ま た,正
の 実 軸 を 始 線,OPを
動 径 とす る 角 を θ と し て,OP=rと
置 くと
三 角 函 数 の 定 義 に よ っ て,
で あ るか ら
図1.3
(1.17)
x=rcosθ,
と な る.ゆ
え に,z=x+iyに
(1.18)
と書 け る.こ っ て,argzと * argzは
y=rsinθ 代 入 して
z=r(cosθ+isinθ)
れ を 複 素 数zの
三 角 形 式 ま た は 極 形 式 と い い,θ
表 わ す*.rはzの 確 定 値 で は な い .2π
絶 対 値 で あ る か ら,(1.18)は の 整 数 倍 だ け ち が う.
をzの
偏 角 とい
(1.18′)
z=│z│(cosθ+isinθ)
と 書 い て も よ い. z1,z2の
偏 角 を そ れ ぞ れ
θ1,θ2と
す る と,(1.18′)に
z1=│z1│(cosθ1+isinθ1),
よ っ て
z2=│z2│(cosθ2+isinθ2)
で あ る か ら
と な る.ゆ
え に,
(1.19)
│z1・z2│=│z1│・│z2│
(1.20)
arg(z1z2)=argz1+argz2
が 得 ら れ る. 注 意 (1.20)に
お い て は,argz1,argz2の
で な い.argz1の1つ
の 値 を θ1と
2nπ+θ1,(nは
任 意 の 整 数),の
わ す.argz2に
つ い て も,同
(1.20)はargz1,argz2の
値 は確 定
す る と,argz1は
な か の ど れ か1つ
じ こ と が い え る.ゆ
を表 え に,
あ る 値 に 対 して な りた つ と
い う意 味 で あ る. z=0な
図1.4
ら│z│=0で
+iy=0と
らz=0で
す る と,x=0,y=0で
ま た,逆
に,│z│=0と
x=0,y=0で
あ る.な る.(1.19)に
の 複 素 数 の 積 が0で
で あ る. 数 の 性 質 に よ っ て,
れ の 因 数 に は,か
な ら ず0が
で 述 べ た こ と に よ っ て,│zz′│=0で あ る か ら,│z││z′│=0と あ る.ゆ
え に,ま
な る.実
あ 数 の 性
た 上 の 定 理 に よ っ て,
あ る*.
と す る と,z1/z2に が な り た つ.ゆ
あ る と,そ
た は│z′│=0で
た はz′=0で
ぜ な ら,z=x
あ る.
す る と,上
よ っ て│zz′│=│z││z′│で
質 に よ っ て│z│=0ま
あ る か ら,実
え に,z=0で
ぜ な ら,zz′=0と
あ る.な
あ る か ら,
す る とx2+y2=0で あ る.ゆ
さ ら に,2つ
z=0ま
あ り,│z│=0な
え に,(1.19)に
対 し て は,前
節 の(1.10)に
よ っ て,(z1/z2)z2=z1,
よ っ て
* こ の 定 理 を ,「 複 素 数 に は 零 因 子 が な い 」 と い い 表 わ す こ とが あ る.
が な りた つ の で
を 得 る.
で あ る か ら
で あ る.ゆ
えに
(1.21)
が な り た つ.ま
た,
で あ る か ら,(1.20)に
よ って
を 得 る.ゆ え に (1.22)
が 出 て く る*. こ れ ら の こ と を 考 慮 に 入 れ る と,z1z2や z1/z2を 図 示 す る こ と が で き る
ⅰ ) z1z2の z2を
場 合.1を
表 わ す 点 を,そ
.
表 わ す 点 をE,z1,
れ ぞ れP1,P2と
す る.
∠P2OR=∠EOP1,∠OP2R=∠OEP1と
図1.5
であ り * p .9の
注 意 参 照.
な る よ うにORを
つ く る と,三
と 三 角 形OEP1と
は 相 似 と な る[図1.5参
照].そ
して
角 形OP2R
ⅰ ⅱ ⅲ ⅱ
す なわち で あ るか ら
OR=│z1││z2│=│z1z2│ を 得 る の で,Rが ii) z1/ z2の
場 合.OS,P1Sを
三 角 形OP2Eと [図1.6参
表 わ す 複 素 数 はz1z2で
あ る.
三 角 形OP1Sと
が 相 似 と な る よ うに つ く る と 照],
すなわち で あ るか ら
図1.6
で あ り,∠SOP1=∠EOP2で
を 得 る.ゆ
あ るか ら
え に,Sが
で あ る.
表 わ す 複 素 数 は
z1/ z2
問9. つ ぎの 複 素 数 の 絶 対 値 と偏 角 と を 求 め よ: ) 問10.
ⅰ )
) −1+i,
)
z1=1+3i,z2=2−4iと
z1−2z2,
こ こ で,も
う1度
ⅳ)
し て,つ
)
ⅲ )
ぎ の 複 素 数 を 図 示 せ よ:
2z1z2,
絶 対 値 を 考 え る.図1.2が
ⅳ )
示 す よ うに,P1P2=OSで
あ
るか ら P1P2=│z2−z1│
で あ る.そ
れ で,│z2−z1│をz1とz2の
に す る.す
な わ ち
(1.23)
d(z1,z2)=│z2−z1│
距 離 と い い,d(z1,z2)と
表 わ す こ と
この距離 に 対 しては (1.24)
│z1+z2│≦│z1│+│z2│
が な り た つ.な
ぜ な ら
つ ぎ に,z1=(z1−z2)+z2に(1.24)を
あ て は め る と
│z1│≦│z1−z2│+│z2│す で あ り,ま
な わ ち│z1│−│z2│≦│z1−z2│
た,z2=(z2−z1)+z1で
あ る か ら,上
│z2│≦│z2−z1│+│z1│す が 出 て く る.│z2−z1│=│z1−z2│で
と 同 じ よ うに し て
な わ ち│z1│−│z2│≧−│z2−z1│ あ るか ら │z1│−│z2│≧−│z1−z2│
と な る.ゆ
えに
(1.25)
││z1│−│z2││≦│z1−z2│
が な りた つ. 例 題1. 不 等 式│z−2│