Í. Ì. ÐÎÃÀ×ÅÂ
ÊÓÐÑ ÔÈÇÈÊÈ Èçäàíèå âòîðîå, ñòåðåîòèïíîå
Äîïóùåíî Ìèíèñòåðñòâîì îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè...
72 downloads
267 Views
2MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Í. Ì. ÐÎÃÀ×ÅÂ
ÊÓÐÑ ÔÈÇÈÊÈ Èçäàíèå âòîðîå, ñòåðåîòèïíîå
Äîïóùåíî Ìèíèñòåðñòâîì îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé, îáó÷àþùèõñÿ â îáëàñòè òåõíèêè è òåõíîëîãèé
•САНКТПЕТЕРБУРГ•МОСКВА• КРАСНОДАР 2010
ББК 22.3я73 Р 59 Р 59
Рогачев Н. М. Курс физики: Учебное пособие. 2е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2010. — 448 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 9785811408566 Учебное пособие содержит теоретический материал курса общей фи зики, а также примеры решения типовых физических задач. Особенно стью пособия является лаконичное изложение материала, что позволило подчеркнуть физические закономерности, лежащие в основе изучаемых объектов и явлений. Предназначается для студентов высших учебных заведений, обучаю щихся по техническим и технологическим направлениям.
ББК 22.3я73
Рецензенты: кафедра общей физики и методики обучения физике Самарского госу дарственного педагогического университета (заведующий кафедрой, др пед. наук, проф. В. А. БЕТЕВ); канд. физ.мат. наук, проф., заведующий кафедрой общей и теоретической физики Самарского государственного университета А. А. БИРЮКОВ
Охраняется законом РФ об автор ском праве. Воспроизведение всей книги или любой ее части запреща ется без письменного разрешения издателя. Любые попытки наруше ния закона будут преследоваться в судебном порядке.
Обложка А. Ю. ЛАПШИН
© Издательство «Лань», 2010 © Н. М. Рогачев, 2010 © Издательство «Лань», художественное оформление, 2010
ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие соответствует теоретическим разделам примерных программ дисциплины «Физика» и требованиям к минимуму содержания и уровню подготовки бакалавров и дипломированных специалистов, обу чающихся по техническим и технологическим направлениям. Изложение курса физики как единой науки опирается на фундамен тальные законы и обобщает множество опытных данных. Приоритет от дается рассмотрению внутреннего единства физической картины мира, обсуждению строгости и точности определений физических понятий, ти пичных условий проявления основных физических закономерностей. Ма териал в пособии излагается кратко, что позволило подчеркнуть основ ные физические закономерности изучаемых объектов и явлений. Каждая глава заканчивается примерами решения задач, тексты которых взяты из стандартных задачников: А. Г. Чертов, А. А. Воробьев. Задачник по физи ке. М.: Высшая школа, 1981; B. C. Волькенштейн. Сборник задач по об щему курсу физики. М.: Наука, 1980. Пособие написано с учетом изменений школьных программ по физике и математике. Считаем, что учащиеся освоили простейшие физические по нятия и владеют элементами высшей математики. Однако, учитывая спе цифику обучения, мы повторили некоторые наиболее важные понятия и определения курса элементарной физики. Автор выражает глубокую признательность профессорам В. А. Бетеву и А. А. Бирюкову за рецензирование пособия, а также докто ру физикоматематических наук, профессору СПбГПУ Н. М. Кожевни кову и доктору физикоматематических наук, профессору СПбГПУ В. В. Козловскому за полезные советы и замечания.
3
ВВЕДЕНИЕ Физика наряду с другими естественными науками изучает объектив ные свойства окружающего нас мира. Весь мир, все существующее вокруг нас представляет собой материю. Материя имеет множество форм со своими характерными свойствами и является объективной реальностью, существующей вне и независимо от нашего сознания. Неотъемлемым свойством материи и формой ее суще ствования является движение. Материя и движение неотделимы друг от друга. Не может быть ни материи без движения, ни движения без материи. Известны два вида материи: вещество (атомы, молекулы, тела) и поле (электромагнитное, гравитационное и др.). Различные виды материи могут превращаться друг в друга (электрон и позитрон, например, могут превра щаться в фотон). Материя существует и движется в пространстве и во времени. Пространство — это форма сосуществования материальных объек тов и процессов, характеризующая структурность и протяженность мате риальных систем. Время — это форма последовательной смены явлений и состояний ма терии, которая характеризует длительность их бытия. Пространство и вре мя не существуют в отрыве от материи. В классической физике пространству и времени приписывается абсо лютный характер: линейные размеры и промежутки времени сохраняются неизменными при переходе от одной системы отсчета к другой. Физика — наука точная, изучающая количественные закономерности явлений и процессов. Теория и опыт являются основными методами иссле дования в физике. Законы физики устанавливают связь между физически ми величинами, которые необходимо измерять. Для этого разработаны еди ницы физических величин, объединенные в системы единиц. В настоящее время обязательна к применению в нашей стране Система Единиц Интер национальная (СИ). Система СИ состоит из основных, дополнительных и производных единиц. 4
Основными называются единицы нескольких разнородных физических величин, произвольно выбранных при построении системы. В СИ основны ми единицами являются: единица длины — метр (м); массы — килограмм (кг); времени — секунда (с); силы электрического тока — ампер (А), термодина мической температуры — кельвин (К), количества вещества — моль (моль), силы света — кандела (кд). Метр — единица длины, равная расстоянию, проходимому в вакууме плоской электромагнитной волной за 1/299792458 доли секунды. Килограмм — единица массы, равная массе международного прототипа килограмма. Секунда — единица времени, равная 9192631770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия133. Ампер — сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум парал лельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно ма лой площади кругового поперечного сечения, расположенным на расстоя нии 1 м друг от друга в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную 2.10–7 Н на каждый метр длины. Кельвин — единица термодинамической температуры, равная 1/273,16 термодинамической температуры тройной точки воды. Моль — единица количества вещества, равная количеству вещества си стемы, в которой содержится столько же структурных элементов (атомов, молекул, ионов, электронов и других частиц), сколько содержится атомов в углероде12 массой 0,012 кг. Кандела — единица силы света, равная силе света в данном направ лении от источника, испускающего монохроматическое излучение часто той 540. 10 12 Гц, сила излучения которого в этом направлении состав ляет 1/683 Вт/ср. В СИ кроме основных введены две дополнительные единицы — ради ан (рад) и стерадиан (ср). Радиан — угол между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу. Стерадиан — телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, по длине равной радиусу этой сферы. Производными называются единицы, устанавливаемые через другие единицы данной системы на основании физических законов, выражающих взаимосвязь между соответствующими физическими величинами. На примере единицы скорости рассмотрим схему введения опреде ления производной единицы измерения. При определении производной 5
единицы договариваются о выборе определенной формулы и названии еди ницы. Для равномерного прямолинейного движения значение скорости мо жет быть определено как отношение пути S ко времени t: v = S / t. Положив в данном уравнении S = 1 м, t = 1 с, получим единицу скоро сти [v] = 1 м / 1 с = 1 м/с. Запишем это в виде выражения: S=1м > v = 1 м/с. t=1с Читая его справа налево и заменив слово равно словом это, можно сформулировать словесное определение единицы скорости: один метр в се кунду — это скорость равномерного прямолинейного движения, в котором материальная точка за 1с проходит путь в 1м. В табл. 1 даются приставки для образования десятичных и дольных единиц СИ. Таблица 1
6
ЧАСТЬ 1 ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ Механика изучает закономерности механического движения. Классическая механика подразделяется на ньютоновскую, в основе ко торой лежат законы Ньютона1 , и релятивистскую. В классической механи& ке Ньютона изучается движение макроскопических тел, имеющих скорос ти гораздо меньшие, чем скорость света в вакууме. Тела, состоящие из боль шого числа атомов, называются макроскопическими телами. Релятивистская механика основана на теории относительнос& ти, справедлива и при скоростях, сравнимых со скоростью света в вакуу ме. В квантовой механике изучаются специфические особенности дви жения микроскопических тел (атомов и элементарных частиц). Механика подразделяется на кинематику, статику и динамику.
Глава 1 КИНЕМАТИКА Кинематика – раздел механики, в котором исследуется движение тел без выяснения причин, его вызвавших. Движение – это любое изменение состояния системы и ее параметров (координат точки, температуры, напряженности электрического поля и т. д.). Из всех видов движения материи самым простым является механи ческое движение. § 1. Механическое движение. Кинематическое уравнение движения Механическое движение – это изменение положения тела или отдель ных его частей относительно других тел с течением времени. Поступательным называется движение, при котором отрезок прямой, соединяющей любые две точки тела, остается при его движении параллель ным самому себе. При поступательном движении все точки тела имеют оди наковые скорости и ускорения и движутся по одинаковым траекториям, сдвинутым параллельно относительно друг друга. Материальной точкой (частицей) называется тело, размерами ко торого при решении данной задачи можно пренебречь. Одно и то же тело 1 Исаак Ньютон (1643–1727) — выдающийся английский ученый, основатель классичес кой физики.
7
в одних случаях может рассматриваться как материальная точка, а в дру гих — как тело, имеющее размеры и форму. Абсолютно твердым называется тело, состоящее из материальных точек, расстояние между которыми всегда остается неизменным. Все тела существуют и движутся в пространстве и во времени. Простран ство однородно, т. е. в нем нет точек, обладающих особыми свойствами; пространство изотропно, т. е. все направления движения равноценны. Время также является однородным, т. е. любые явления, происходя щие в одних и тех же условиях, но в разные моменты времени, протекают одинаково. Так как пространство однородно и изотропно, то нельзя определить по ложение какоголибо тела относительно пространства. Однако положение одного тела можно определить относительно другого тела. Тело, относительно которого рассматривается изменение положения движущегося тела, называется телом отсчета. Тело отсчета, связанная с ним система координат и прибор для измерения времени (часы), образу ют систему отсчета. Положение материальной точки А в пространстве в данный момент вре мени t (рис. 1) можно определить тремя координатами x, y, z или ради&
1
усом&вектором r , проведенным из начала координат в данную точку. Радиусвектор точки А мож 1 1 1 но разложить по базису 3 1 2 1 1 следующим образом: 1 1 1 1 7 = 6 5 + 4 3 + 2 1 , (1.1) 1 1 1 где 3 1 2 1 1 — единичные век торорты системы координат. Модуль вектора 1 4 = 3 1 + 21 + 11 . При движении материаль ной точки ее координаты и ра диус вектор изменяются с те 1 чением времени. Вектор D r , соединяющий начальное поло жение 1 движущейся материальной точки с последующим ее положением 2, называется перемещением точки. 8
1
Линия, описываемая в пространстве концом радиусавектора r при дви жении материальной точки относительно выбранной системы отсчета, на зывается траекторией. По форме траектории движение делится на пря молинейное и криволинейное. Путь — это расстояние, отсчитываемое вдоль траектории движения. Длина участка траектории S называется длиной пути. В случае прямоли нейного движения в одном направлении длина пути S равна модулю переме 1 щения Δ1 . При движении по замкнутой траектории, когда точка возвращается в исходное положение, путь равен длине траектории, а перемещение — нулю. Путь и перемещение в системе СИ измеряются в метрах (м). Функции, описывающие изменения координат или радиусавектора материальной точки с течением времени, называются кинематическими уравнениями движения: x = x(t), y = y(t), z = z(t) или 1 1 (1.2) r = r (t ) . § 2. Скорость движения Равномерным прямолинейным движением называется такое движе ние, при котором материальная точка, двигаясь по прямой линии, за любые равные сколь угодно малые промежутки времени Dt совершает одинако
1
вые перемещения Δr . Скоростью равномерного прямолинейного движения называется век торная физическая величина, равная отношению перемещения к проме жутку времени, в течение которого было совершено это перемещение: 1 1 v = Δ r /Δ t . При малых приращениях функции и аргумента
1 1 dr v= . dt
(1.3)
Скорость при равномерном прямолинейном движении является вели чиной постоянной: 1 v = const. По модулю скорость
1 1 v = Δr / Δt = S / Δt ,
(1.4) 9
1
так как S = Δr . Используя уравнения (1.1) и (1.3), получим
1 1 1 1 dx 1 dy 1 dz 1 +j +k = i v x + jv y + kv z , v=i dt dt dt
(1.5)
откуда
1 v = v 2x + v 2y + v 2z , 1
где vx, vy и vz — проекции вектора скорости v на координатные оси x, y и z. Из формулы (1.4) устанавливается единица скорости в системе СИ — метр на секунду (м/с) и формула пути равномерного прямолинейного дви жения: S = v . Dt. Используя данное уравнение, можно записать кинематическое уравне ние для равномерного прямолинейного движения, т. е. найти выражение для координаты материальной точки, движущейся равномерно вдоль оси x: x = x0 + vxDt. (1.6) Если материальная точка начинает движение из начала координат, то x0 = 0 и координата x = vxDt. Если за равные промежутки времени материальная точка, двигаясь по прямой, проходит разные пути, то такое движение называется перемен& ным. Пусть материальная точка, двигаясь неравномерно, за время Dt переме стилась из положения 1 в положение 2 (см. рис.1). Средней скоростью дви жения материальной точки называется векторная физическая величина, рав
1
ная отношению перемещения Δr ко времени Δt , за которое оно произо шло:
1 1 v = Δr / Δt .
(1.7)
Средней путевой скоростью движения материальной точки называ ется скалярная величина, равная отношению пути S к промежутку време ни Dt, за которое этот путь пройден:
v
S
= S / Δt .
(1.8)
Переменное движение характеризуется также мгновенной скоростью (скоростью в данный момент времени). Мгновенную скорость можно опре
1
делить как предел отношения Δr / Δt при Dt → 0: 10
1 1 1 v = lim (Δr / Δt ) = dr / dt . Δt → 0
(1.9)
Таким образом, мгновенная скорость движения материальной точки есть векторная физическая величина, равная первой производной радиуса 1 вектора движущейся точки по времени. Скорость v направлена по каса тельной к траектории в направлении движения. § 3. Ускорение Быстрота изменения скорости по времени при переменном движении характеризуется ускорением:
1 1 1 1 d v d 2r a = lim Δv / Δt = = 2 . dt Δt →0 dt
(1.10)
Ускорение — это векторная физическая величина, равная первой про изводной скорости по времени или второй производной радиусавектора движущейся точки по времени. В системе СИ ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате (м/с2). Используя уравнения (1.1) и (1.10), запишем ускорение через его со ставляющие по осям прямоугольной декартовой системы координат:
1 1 1 1 d 2x 1 d 2 y 1 d 2z 1 a = i 2 + j 2 + k 2 = i ax + ja y + kaz , dt dt dt
(1.11)
где ax, ay и az — проекции вектора ускорения на координатные оси x, y и z. Модуль вектора ускорения
1 | a |= a x2 + a 2y + a z2 .
(1.12)
1 Вектор ускорения a принято раскладывать на две составляющие (рис. 2): 1 1 1 a = a τ + an , (1.13)
1
где aτ =
dv — тангенциальное ускорение, направленное по касательной dt 1
v2
к траектории движения, an = — нормальное (центростремительное) R 11
aτ
A
v
ϕ
a
an Ðèñ. 2
ускорение, направленное перпендикулярно ско 1 рости v , R — радиус кривизны траектории (радиус окружности, сливающийся с траектори ей на бесконечно малом ее участке). Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости, а нормаль ное — изменение скорости по направлению. Квадрат модуля ускорения:
a 2 = aτ2 + an2 , отсюда ускорение 2
2 ⎛ d v ⎞ ⎛⎜ v 2 ⎞⎟ a= ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ . ⎝ dt ⎠ ⎝ R ⎠
(1.14)
При равнопеременном прямолинейном движении aτ = const ≠ 0 , а
an = 0 , т. е. ускорение a = aτ = d v / dt . Отсюда d v = a d t . Интегрируя данное выражение, получим формулу скорости равнопеременного прямо линейного движения: t
v
∫
∫
d v = a d t , v = v 0 + at ,
v0
(1.15)
0
если v0 = 0, то v = a t. (1.16) Здесь v0, v — скорости в моменты времени t = 0 и t соответственно. Так как скорость v = dS/dt, то dS = vdt. Подставляя в данное выраже ние уравнение (1.15), после интегрирования получим формулу пути равно переменного прямолинейного движения: S
∫ 0
t
∫
t
∫
dS = v 0 dt + a tdt , 0
0
S = v 0t + at 2 / 2 .
(1.17)
S = at 2 / 2 .
(1.18)
Если v0 = 0, то 12
При равноускоренном движении в формулах (1.15)–(1.18) ускорение а берется со знаком плюс, при равнозамедленном — со знаком минус. § 4. Движение тела, брошенного под углом к горизонту Рассмотрим движение тела, брошенного под углом a к горизонту с на
1
чальной скоростью v 0 . При отсутствии сопротивления воздуха движение бу дет происходить по параболе, изображенной на рис. 3. Движение данного тела можно представить как результат наложения двух одновременных прямолинейных движений по осям ох и оy, направлен ных вдоль поверхности Земли и по нормали к ней. По оси оx движение равномерное с постоянной скоростью vx = v0x = v0cos a. Воспользовавшись формулой (1.5) для равномерного прямолинейного движения, запишем уравнение движения тела вдоль оси оx: (1.19) x = v0xt = v0t cosa, где t — время движения. По оси оy движение равнопеременное с ускорением ay = –g и с на чальной скоростью v0y = v0sina.
Для равнопеременного движения согласно уравнениям (1.15) и (1.17) запишем:
v y = v 0 y − gt = v 0 sin α − gt ,
y = v 0 y t − gt 2 / 2 = v 0t sin α − gt 2 / 2 .
(1.20) (1.21) 13
Исключив время t из уравнений движения (1.19) и (1.21), найдем урав нение траектории:
y = x ⋅ tg α − gx 2 / (2v 02 cos2 α ) .
(1.22)
Это уравнение параболы. В момент падения тела на Землю координата y = 0. Приравняв y нулю, из уравнения (1.21) найдем время полета:
t (v 0 sin α − gt / 2) = 0 ,
t1 = 0, t 2 = ( 2 v 0 / g ) sin α . Значение времени t1 = 0 соответствует точке бросания тела. Таким об разом, время полета тела t ï = 2 v 0 sin α / g. (1.23) При подъеме тела значение скорости vy уменьшается и при ymax пре вращается в ноль. Из уравнения (1.20), приняв vy = 0, находится время подъема тела на максимальную высоту:
0 = v 0 sin α − gtпод , откуда
tпод = v0 sin α / g .
(1.24)
Сопоставляя выражения (1.23) и (1.24), видим, что время подъема тела на высоту ymax равно времени спуска его с этой высоты. Подставив время подъема tпод в формулу (1.21), найдем максималь& ную высоту подъема тела:
ymax = v02 sin 2 α /(2 g ) . Дальность полета xmax определяется, если в уравнение (1.19) вмес то t подставить время полета:
xmax = v 0tп cos α = v 02 sin 2α / g . Дальность полета максимальна, когда значение sin 2a максимально: sin 2a0 = 1, 2a0 = 90°, a0 = 45°. Из подобия треугольников MCD и MEB (см. рис. 3) запишем:
v 0 x an EB DC = , = или v g MB MC откуда 14
an = v 0 x ⋅ g / v ;
(1.25)
v y aτ ME MD = = или , g v MB MC откуда
aτ = v y ⋅ g / v .
(1.26)
Радиус кривизны траектории R в произвольной точке М определя ется с использованием формулы
an = v 2 / R . § 5. Вращение тела вокруг неподвижной оси Вращательным называется движение, при котором все точки тела опи сывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Пусть тело за промежуток времени Δt = t2 − t1 повернулось на угол
1 Δϕ , перейдя из положения 1 в положение 2 (рис. 4). Вектор Δϕ , направ ленный вдоль оси вращения перпендикулярно плоскости, в которой проис ходит вращение, называется вектором углового перемещения. Модуль
1
вектора Δϕ равен углу поворота Δϕ , выраженному в радианах, а ориен тация вектора определяется по правилу правого винта (если смотреть из
1
конца вектора Δϕ , то вращение тела происходит против часовой стрелки).
1 Δϕ 1 = ω называется средней угловой скоростью, а пре Отношение Δt
дел отношения
1 1 Δϕ d ϕ 1 lim = =ω dt Δt = 0 Δt
(1.27)
называется угловой скоростью. Угловая скорость — это векторная физи ческая величина, равная первой производной углового перемещения по времени. 15
Угловая скорость измеряется в радианах в секунду (рад/с). Вектор уг ловой скорости направлен по оси вращения, и ориентация его определяется правилом правого винта.
1
Если угловая скорость ω за промежуток времени Δt изменяется на
1 Δω , то для характеристики такого вращательного движения вводится по нятие углового ускорения. Угловым ускорением называется векторная фи зическая величина, равная первой производной угловой скорости по време ни или второй производной углового перемещения по времени:
1
1 1 1 d ω d 2ϕ ε= = 2 . dt dt
(1.28)
1
1
Если ω изменяется только по модулю, то векторы ω и ε коллинеарны и направлены в одну и ту же сторону, когда вращение ускоренное, и в проти воположные стороны, когда вращение замедленное. Угловое ускорение измеряется в радианах на секунду в квадрате (рад/с2). Время одного полного оборота тела Т называется периодом обраще& ния, величина, обратная периоду
1 = ν , называется частотой. Период T
измеряется в секундах (с), а частота — в герцах 1 (Гц). За один период обращения радиусвектор r описывает угол, равный 2p рад, поэтому 2p = wT, откуда w = 2p/T = 2pn. 1 Вращательное движение, при котором угловая скорость ω = const ≠ 0 , называется равномерным вращением.
1 dϕ 1 По модулю ω = , откуда d ϕ = ωdt . Интегрируя данное выражение: dt ϕ
t
ϕ0
0
∫ dϕ = ω∫ dt ,
получим формулу для определения модуля углового перемещения:
ϕ − ϕ 0 = ωt , или
ϕ = ϕ0 + ωt .
(1.29)
1 Bращательное движение, при котором угловое ускорение ε = const ≠ 0 , называется равнопеременным вращением. Так как 16
1 1 dω ε= , dt ω
t
ω0
0
то dω = εd t и
∫ dω = ε ∫ dt .
Откуда
ω = ω0 + εt .
(1.30).
Получили формулу для определения угловой скорости при равнопере менном вращении. Угловая скорость
ω=
dϕ , dt
откуда
d ϕ = ωdt . После интегрирования данного выражения с учетом формулы (1.30) ϕ
∫ 0
t
∫
t
∫
dϕ = ω0 dt + ε tdt 0
0
получим формулу для определения модуля углово го перемещения при равнопеременном вращении:
ϕ = ω 0 t + εt 2 / 2 .
(1.31)
При равноускоренном вращении в уравнениях (1.30) и (1.31) угловое ускорение e берется со зна ком плюс, при равнозамедленном — со знаком ми нус. Найдем связь между линейными и угловыми величинами. Пусть тело из положения 1 (рис. 5) пе реходит в положение 2 за малый промежуток вре мени dt, совершая бесконечно малое угловое пере
1
мещение dϕ . Из рис. 5 видно, что
1 d r = Rdϕ , 1
а R = r sin α , 17
где R — радиус окружности. Откуда
dr = rdϕ sin α . Полученное выражение запишем в виде векторного произведения:
11 1 d r = [d ϕ r ] .
(1.32)
Поделим правую и левую части уравнения (1.32) на dt:
1 1 dr ⎡ dϕ 1 ⎤ 1 1 = r = [ω r ] , dt ⎢⎣ dt ⎥⎦ откуда
1 11 v = [ω r ] ,
(1.33)
так как
1 1 dr 1 dϕ 1 =v, а =ω. dt dt Следовательно, модули векторов связаны соотношением 1 v = ω r sin α = ω R . Дифференцируя по времени уравнение (1.33), получим
1 1 1 dv ⎡ dω 1 ⎤ ⎡ 1 dr ⎤ = ⎢ r ⎥ + ⎢ω ⎥ dt ⎣ dt ⎦ ⎣ dt ⎦ или с учетом выражения (1.28) запишем:
11 11 1 11 1 11 à = [ε r ] + [ω v ] = [ε r ] + [ω[ω r ]] . Если заменить вектор ускорения
1 1 1 à = à τ + àn ,
то
11 1 àτ = [ε r ] = εr sinα = εR , 1
а àn = ωωr sin α = ω2 R . Тогда модуль полного ускорения
1 a = aτ2 + an2 = R ε 2 + ω 4 . 18
(1.34) (1.35)
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1. Скорость прямолинейно движущегося тела изменяется по закону
v = v0 + α t + β t 2 , где
м м м α = 2 2 , β = 3 3 , v0 =1 . с с c
Найти среднюю путевую скорость за промежуток времени от до t 2 = 10 c . Дано:
v = v0 +αt + βt
2
α = 2м с2
t1 =1 с
Решение. Среднюю путевую скорость найдем, используя формулу (1.8):
v
β = 3 м с3 v0 =1м с t1 =1c t2 =10c
S
= ΔS Δt , где Δ t = t2 − t1 .
Путь определяем следующим образом:
t2
∫
t2
∫
S = v(t )dt = ( v 0 + α t + β t 2 )d t = t1
t1
t α t 2 βt 3 2 = (v0t + + ) = v0 (t2 − t1) + 2 3 t 1
v S =?
+
α 2 2 β 3 3 (t − t ) + (t2 − t1 ) . 2 2 1 3
Вычислим среднюю скорость:
v0 (t2 − t1 ) + v +
S
=
α 2 2 β 3 3 (t2 − t1 ) + (t2 − t1 ) α 2 3 = v 0 + (t2 + t1) + 2 t2 − t1
β 2 (t + t t + t 2 ) . 3 2 12 1
Подставив числовые значения, получаем
v Ответ: v
S
S
= 123 м/с.
= 123 м/с. 19
Задача 2. Материальная точка движется по закону
1 1 1 r (t ) = α sin(5t )i + β cos 2 (5t ) j , где a = 2 м, b = 3 м.
Определить вектор скорости, вектор ускорения и траекторию движения материальной точки. Дано:
1 1 r (t ) = α sin(5t )i + 1 + β cos 2 (5t ) j
Решение. Запишем закон движения в координатной форме, используя уравнения (1.1) и (1.2) :
⎧ x(t ) = α sin(5t ), ⎨ 2 ⎩ y (t ) = β cos (5t ).
α = 2 , β= 3 .
Определим проекции вектора скорости:
1 1 v(t ) = ?, a (t ) = ?, y ( x) = ?
(1)
vx =
dx = 5α cos(5t ); dt
vó =
dy = −β 2 cos(5t ) sin(5t )5 = −5β sin(10t ). dt
Тогда выражение для вектора скорости согласно формуле (1.5) будет иметь вид
1 1 1 v = 5α cos(5t )i + (−5β) sin(10 t ) j .
(2)
Аналогично определим проекции вектора ускорения:
ax = aó =
d vx dt dv ó dt
= −25α sin(5t ); = − 50 β cos( 10 t ).
Выражение для вектора ускорения согласно формуле (1.11) примет вид
1 1 1 a = −25α sin(5t )i + ( −50β) cos(10t ) j .
(3)
Для определения траектории движения исключим из системы уравнений (1) время t . Представим для этого систему уравнений в виде
20
x ⎧ sin( 5 t ) = , ⎪⎪ α ⎨ y ⎪ cos 2 ( 5 t ) = . ⎪⎩ β
(4)
Возведя левую и правую части первого уравнения в системе уравнений (4) в квадрат и сложив их, получим
sin 2 (5t ) + cos 2 (5t ) =
x2 y + . 2 β α
(5)
Левая часть уравнения (5) равна 1, тогда
x2 y + =1. 2 β α
(6)
Уравнение (6) является уравнением параболы:
y=
α 2β − β x 2 . α2
(7)
Подставив данные из условия задачи в уравнение (7), найдем траекторию движения:
y = 3−
3 2 x . 4
При y і 0 траектория имеет вид параболы, расположенной выше оси x. Точка совершает колебательное движение по ней. Ответ:
1 1 1 v (t ) = 10 cos (5t )i − 15 sin (10 t ) j , 1 1 1 a (t ) = −50 sin (5t )i − 150 cos (10 t ) j , y=3−
3 2 x . 4
Задача 3. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением
ε = α t, где α = 2 ⋅10 −2 рад / с 3 . 21
Через сколько времени после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол ϕ = 60 1 с ее вектором скорости? Решение. Разложим вектор полного ускорения
Дано: ε=αt
α = 2 ⋅10 рад / с −2
ϕ
1 a
3
1
(см. рисунок) на составляющие: a n и
1 a τ . Тогда
= 60 1
a tg ϕ = n . aτ
t =?
(1)
Используя уравнение (1.34), найдем
aτ = ε ⋅ R = α t R .
ϕ
(2)
С другой стороны по определению:
aτ =
dv dt .
(3)
Из уравнений (2), (3) запишем:
αtR =
dv . dt
(4)
Разделим переменные в уравнении (4) и проинтегрируем его:
t
v t2 αt R dt = d v, ∫ αt R d t = ∫ d v, v = α R . 2 0 0
(5)
Нормальное ускорение
an =
v 2 α 2 Rt 4 = . 4 R
(6)
Подставим в формулу (1) уравнения (2) и (6):
tg ϕ = 22
α t3 . 4
(7)
Из уравнения (7) найдем время вращения тела:
t =3
4 tg ϕ . α
Подставив числовые значения, получим
t=7 c. Ответ: t = 7 c . Задача 4. Камень, брошенный с высоты h = 2,1 м под углом a = 45o к горизонту, падает на расстоянии S = 42 м (по горизонтали) от места бросания. Найти начальную скорость v0 камня, время полета t, мак симальную высоту H полета над уровнем Земли, радиусы кривизны траек тории в верхней точке RA и в точке падения камня на Землю RB. Сопротив ление воздуха не учитывать.
Дано:
h = 2,1м
α = 451 S = 42 м v0 = ? H = ? τ = ? RA = ? RB = ?
Решение. Камень можно рассматривать как материаль ную точку, движение которой происходит по пара боле. Это сложное движение представим как сум му двух независимых движений. Для этого выберем систему координат XOУ так, как показано на ри сунке, а начало отсчета поместим в точку броса ния 0. В горизонтальном направлении сумма сил, действующих на камень, равна нулю. Поэтому движение камня вдоль оси ОХ — равномерное со скоростью v x , равной горизонтальной составля ющей начальной скорости v 0 :
v x = v 0 cos α . По вертикали на камень действует сила тяжести, поэтому движение кам ня вдоль оси ОУ будет равнопеременным (является равнозамедленным до 1 точки А и равноускоренным после точки А) с постоянным ускорением g , направленным вертикально вниз. Скорость voy равна вертикальной со ставляющей начальной скорости v 0 :
v oy = v 0 sin α . Законы движения вдоль осей ОХ и OУ имеют вид 23
x = v 0t cos α , (1) y = v 0t sin α − g
t2 . (2) 2
В конечной точке B траекто рии движения
t = τ , x = S , ó = −h . Поэтому:
S = v0 τ cos α , − h = v 0 τ sin α − g
(3)
τ2 . (4) 2
Решение системы уравнений (3)–(4) дает время полета и начальную скорость:
2(h + Stgα) , g
(5)
S . τ cos α
(6)
dy = v 0 sin α − gt . dt
(7)
τ=
v0 = Используя уравнение (2), найдем
vy =
В точке А траектории v y = 0, тогда время полета камня до этой точки
t1 = (v0 sin⋅ α ) g. Подставляя время t1 в формулу (1), найдем максимальную высоту тра ектории над осью ОХ:
ymax = 24
v02 sin 2 α 2g
,
(8)
а над Землей:
H =h+
v 02 sin 2 α . 2g
(9)
Радиус кривизны траектории определяется из соотношения
R=
v2 . an
В точке А
v = vA = vX , an = g,
поэтому
RÀ =
v 02 cos2 α g
.
(10)
В точке В
RB =
Из рисунка видно, что a n
v 2B an .
= g sin β , sin β = RB =
vX , тогда vB
v3B . gv0 cos α
(11)
Здесь:
v B = v 2x + v 2y = v 02 cos 2 α + ( v 0 sin α − gτ) 2 . Ответ:
τ = 3 с, v 0 = 20 м с, Н = 12 м, v В = 20,8 м с, RA = 20 м, RB = 67 м.
25
Глава 2 ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Динамика изучает движение тел под действием приложенных к ним сил. § 6. Законы И. Ньютона Первый закон Ньютона (закон инерции) Существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущееся тело сохраняет свою скорость посто& янной, если на него не действуют другие тела или действия их ском& пенсированы. Такие системы отсчета называются инерциальными. Явление сохранения скорости тел постоянной называется инерцией. Действие одних тел на другие характеризуется силой. Сила — это мера взаимодействия двух тел, в результате которого тела приобретают ускорение или деформируются. Сила — векторная величина. Свойство тел сохранять при отсутствии внешнего воздействия состоя ние покоя или равномерного и прямолинейного движения называют инер& тностью. Инертность тел характеризуется скалярной величиной, посто янной для данного тела (в классической механике Ньютона), называемой массой тела. Второй закон Ньютона
1
В инерциальной системе отсчета ускорение a , с которым дви&
1
жется тело, прямо пропорционально силе F , действующей на тело, и обратно пропорционально массе тела m:
1 1 a = F /m.
(1.36)
Направление ускорения совпадает с направлением силы. Если на тело действует несколько сил (n, например), то второй закон Ньютона можно записать в виде n
1
1
∑ Fi = ma . i =1
В системе СИ сила измеряется в ньютонах (Н), 1 Н = 1 кг . м/с2. Уравнение (1.36), записанное в дифференциальном виде:
m 26
1 dv 1 = F, dt
называют основным уравнением динамики материальной точки. В зависи мости от постановки задачи решение основного уравнения динамики про водится в векторной форме или в проекциях на координатные оси. Различают основную и обратную задачи динамики. В основной задаче по заданным силам и начальным условиям определяется состояние механичес кой системы. Содержанием обратной задачи является определение закона движения по заданному параметру движения и начальным условиям. Третий закон Ньютона При взаимодействии двух тел возникают две силы, которые рав& ны по модулю, направлены в противоположные стороны вдоль пря& мой, соединяющей тела: 1 1 F12 = − F21 , (1.37) 1 где 1F12 — сила, с которой первое тело действует на второе; F21 — сила, с которой второе тело действует на первое. Эти силы не уравновешиваются, так как приложены к разным телам. Принцип независимости действия сил: если на материальную точку массой mi одновременно действует несколько сил, 1 то каждая 1 из них сообщает материальной точке ускорение ai = Fi / mi так, как будто другие силы не действуют. По современным представлениям все явления, протекающие во Все ленной, обусловлены четырьмя видами фундаментальных взаимодей& ствий: сильными, электромагнитными, слабыми и гравитационными. Силь& ные взаимодействия обеспечивают существование атомных ядер и про являются в действии ядерных сил. Электромагнитные взаимодействия обусловливают существование атомов, молекул и макротел. Слабые вза& имодействия характерны для элементарных частиц. Гравитационные взаимодействия проявляются в виде сил всемирного тяготения. Силы, рассматриваемые в классической механике, имеют электромаг нитную (силы упругости, силы трения) и гравитационную природу (силы тяготения, силы тяжести). В механике Ньютона состояние материальной точки в момент времени t определяется из решения основного уравнения динамики по известным в начальный момент времени координатам и проекциям скорости. Это поло жение называется механическим детерминизмом. 27
§ 7. Силы в механике В динамике при изучении движения тел необходимо знать силы, дей ствующие на тело, и их зависимость от различных величин. Силы тяготения (гравитационные силы) возникают в результате вза имного притяжения тел и подчиняются закону всемирного тяготения:
F = Gm1m2 / r 2 .
(1.38)
Сила взаимного притяжения F двух материальных точек прямо пропорциональна произведению их масс, обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними и направлена вдоль прямой, со& единяющей материальные точки. В уравнении (1.38) G = 6,67 ⋅10 −11 м 3 / ( кг ⋅ с ) — гравитационная по стоянная. 2
1
Силой тяжести материальной точки называется сила mg , равная век
1
торной сумме силы F тяготения этой материальной точки к Земле и цент
1
робежной силы инерции Fö , обусловливающей участие материальной точ ки в суточном вращении Земли. Под действием силы тяжести все тела пада
1
ют с постоянным для данной местности ускорением свободного падения g. Ускорение свободного падения не зависит от массы падающего тела и изме няется с широтой местности в пределах от 9,78 м/с 2 на экваторе до 9,83 м/с2 на полюсах.
1
Весом тела P называется сила, с которой тело, вследствие его при тяжения к Земле, действует на опору или подвес. Вес тела приложен к опо ре или подвесу. Невесомость — это состояние системы, при котором отсутствует дав ление частей системы друг на друга. В состоянии невесомости тела не ока зывают давления на окружающие их тела. Например, при свободном паде нии тело находится в состоянии невесомости. Состояние невесомости тела может наступить при движении в лифте, если кабина лифта опускается с ускорением, равным g. Силы упругости возникают при деформации тел. Деформация — это изменение формы или объема тела под действием силы. Упругими называются деформации, которые полностью исчезают пос ле прекращения действия деформирующих сил. 28
Для небольших упругих деформаций справедлив закон Р. Гука1: сила упругости F прямо пропорциональна величине деформации x: F = –kx, (1.39) где k — коэффициент упругости (жесткость), [k] = Н/м. Сила трения скольжения возникает при относительном перемеще нии двух соприкасающихся тел. Она не зависит от площади поверхностей соприкосновения трущихся тел и пропорциональна силе нормального дав ления N, прижимающей поверхности друг к другу: Fтр = mN,
(1.40)
где m — коэффициент трения скольжения, зависящий от состояния со прикасающихся поверхностей. Сила трения направлена по касательной к трущимся поверхностям в сторону, противоположную движению тела. Сила трения возникает не только при скольжении одной поверхности по другой, но и при попытках вызвать такое скольжение. В этом случае она называется силой трения покоя. Сила трения покоя Fтр. п равна по модулю внешней силе, которую при кладывают к телу, пытаясь сдвинуть его с места. Она может принимать любые значения от нуля до силы трения скольжения Fтр:
0 ≤ Fтр. п ≤ Fтр . § 8. Импульс тела. Закон сохранения импульса Рассмотрим движение тела массой m под действием внешних сил. По
1
1
1
второму закону Ньютона F = ma , где F — геометрическая сумма внешних
1
1
1
сил, a — ускорение, сообщаемое телу. Так как ускорение a = dv / dt , то 1 1 1 dv d 1 dp F =m = ( mv ) = . (1.41) dt dt dt
1
В уравнении (1.41) произведение массы тела на его скорость ( m v ) на 1 зывается импульсом тела p . Согласно уравнению (1.41) второй закон Нью тона сформулируется следующим образом: скорость изменения импульса 1 Роберт
Гук (1635–1703) — английский физик. 29
тела равна силе, действующей на тело. Это наиболее общая формули ровка основного закона динамики поступательного движения. Импульс тела — величина векторная. Вектор импульса совпадает по направлению с вектором скорости. Единица измерения импульса в системе СИ килограммметр в секунду (кгм/с). Рассмотрим механическую систему, состоящую из n поступательно дви жущихся тел. Используя второй закон Ньютона (1.41), запишем систему уравнений:
1 1 1 1 d (m1v1 ) 1 = F12 + F13 + ... + F1n + F1 , dt 1 1 1 1 d (m2 v 2 ) 1 = F21 + F2 3 + ... + F2 n + F2 , dt ........ ...................................
1 1 1 1 d (mn v n ) 1 = Fn1 + Fn 2 + ... + Fn( n −1) + Fk . dt 1 1 1 1 1 Силы F1 2 , F13 , F1 n , F21 ,..., Fn ( n −1) , возникающие в результате взаи модействия между телами данной системы, называются внутренними.
1
1
1
Силы F1 , F2 ,...Fk , с которыми на тела данной системы действуют тела дру гих систем, называются внешними. Сложив левые и правые части уравнений, получим 1 1 1 d ( m i vi ) ∑ d t = ∑ Fвн утр + ∑ Fвн еш 1 1 1 dp = ∑ Fв н у т р + ∑ Fв н е ш , или dt
1 dp где — изменение импульса системы, dt
1
∑F 1 ∑F
внутр
внеш
30
— сумма внутренних сил, — сумма внешних сил.
На основании третьего закона Ньютона
1
∑F
внутр
= 0 , поэтому дан
1 1 ное уравнение запишем в виде dp / dt = ∑ Fвнеш .
Изменение импульса системы тел определяется суммой внешних сил, действующих на систему. Это закон изменения импульса системы тел. Если система замкнута, то
1 1 dp / dt = 0 или dp = 0 . А это значит, что
1 F ∑ внеш = 0 и уравнение примет вид 1 p = const .
(1.42) Получен закон сохранения импульса системы тел: полный (сум& марный) импульс замкнутой системы тел остается постоянным по величине и направлению. Закон сохранения импульса справедлив лишь в замкнутой системе, ког да на тела не действуют внешние силы. Однако его можно применять: 1) если сумма внешних сил, действующих на систему тел, не равна нулю, т. е
∑
1 Fi ≠ 0 , но равна нулю сумма проекций всех внешних сил на какую
либо ось (например, ось х), тогда проекция импульса системы на эту ось рх = const; 2) если
1
∑ Fi ≠ 0 , а взаимодействие тел кратковременно и им
пульс внешних сил существенно не изменяет импульса тела. Закон сохранения импульса связан с однородностью пространства и является фундаментальным законом природы. § 9. Центр масс. Закон движения центра масс Точка С (рис. 6), положение которой можно определить радиусомвек тором
1 1 1 1 m r + m2 r2 + ... + mn rn 1 n 1 = mi ri , rc = 1 1 m1 + m2 + ... + mn m i =1
∑
(1.43)
называется центром масс системы. Масса iй частицы системы обозначе
1
на mi, ri — радиусвектор, определяющий положение iй частицы, m — масса системы. Дифференцируя по времени уравнение (1.43), найдем скорость движе ния центра масс: 31
mi ri 0
rÑ
C
1 n n 1 1 1 p 1 1 mv = p = vc = (1.44) m i =1 i i m i =1 i m , 1 1 где vi — скорость; pi — импульс iй части 1 цы; p — импульс системы.
∑
∑
Из уравнения (1.44) следует, что импульс системы равен произведению ее массы на ско рость движения центра масс: Рис. 6
1 1 p = mv c .
(1.45)
Подставив выражение (1.45) в уравнение (1.41), получим уравнение движения центра масс:
1
2 1 dv c d 2 (mvc ) = m = ma2c = F , dt dt
(1.46)
где ac — ускорение центра масс. Из уравнения (1.46) можно сделать вывод, что центр масс системы движется так же, как материальная точка, масса которой равна массе данной системы, и на которую действует сила, равная резуль& тирующей всех внешних сил, приложенных к системе. Для замкнутой
1
1
системы результирующая сила F = 0 , значит, ac = 0 , т. е. центр масс зам кнутой системы движется прямолинейно и равномерно или покоится. § 10. Энергия, работа, мощность Универсальной количественной мерой движения и взаимодействия всех видов материи является энергия. Различают виды энергии: механическая, внутренняя, электромагнит ная, ядерная и др. В процессе взаимодействия тел энергия может перехо дить из одного вида в другой. Например, при трении тела нагреваются, при этом механическая энергия переходит во внутреннюю. Изменение вида энергии связано с совершением работы. Механическая работа — это физическая величина, равная скаляр
1
1
ному произведению двух векторов, силы F и перемещения S . Для эле ментарной работы можно записать выражение 32
1 1 dA = F ⋅ dS = F ⋅ dS cos α = FS dS ,
(1.47)
где FS — проекция силы на направление перемещения, a — угол между векторами силы и перемещения. Если a = 0, то dA = FdS — максимальная величина; если a = 90°, то А = 0; если a = 180°, то dA = –FdS — работа отрицательная (работа сил сопротивления). Работа, совершаемая внешними силами над системой, считается поло жительной; работа, совершаемая самой системой, считается отрицательной. Для расчета работы при перемещении частицы от S1 до S2 надо проин тегрировать уравнение (1.47): S2
A=
1
1
∫ F ⋅ dS .
(1.48)
S1
Работа на отрезке пути от точки 1 до точки 2 численно равна площади фигуры 012С (рис. 7). В системе СИ работа и энергия изме ряются в джоулях (Дж), 1 Дж = 1 Н.м. Консервативной называют силу, работа которой определяется начальным и конечным положением тела и не зави сит от пути, по которому оно двигалось. Консервативными являются силы тя готения, силы упругости. Системы, в ко торых действуют только консервативные силы, называются консервативными или потенциальными системами. Силы, приводящие к рассеиванию энергии, называюся диссипатив& ными (силы трения, силы сопротивления и т. д.), а системы, в которых дей ствуют диссипативные силы, называются диссипативными системами. Вычислим работу упругой силы, действующей, например, при растя жении пружины. Сила упругости F и удлинение пружины x связаны зависи мостью, определяемой законом Гука (1.39): F = –kx. Элементарная работа dA при бесконечно малом удлинении пружины dx будет равна
1 1 1 1 1 1 dA = Fdx = F dx cos1802 = − F dx = −kx dx .
(1.49) 33
Интегрируя уравнение (1.49), найдем работу, совершаемую упругой си лой при растяжении пружины: x2
⎛ kx 2 kx 2 ⎞ À = − kxdx = −⎜⎜ 2 − 1 ⎟⎟ . 2 ⎠ ⎝ 2 x
∫
(1.50)
1
Из выражения (1.50) следует, что работа сил упругости зависит только от начального х1 и конечного х2 положений пружины, а значит, силы упру гости являются консервативными. Согласно уравнению (1.50) работа, совершаемая внешней силой при растяжении пружины на величину х, равна
A=
kx2 , 2
(1.51)
если принять х = 0 у недеформированного тела. Мощностью N называется физическая величина, равная работе, со вершаемой в единицу времени:
1 1 1 dA FdS 1 dS 1 1 N= = =F = F v. dt dt dt
(1.52)
1
Мощность равна скалярному1произведению двух векторов: силы F и скорости перемещения частицы v . В системе СИ мощность измеряется в ваттах (Вт), 1Вт = 1 Дж/с. § 11. Кинетическая и потенциальная энергия Кинетическая энергия Ек — это физическая скалярная величина, яв ляющаяся мерой механического движения тел.
1
Пусть тело массой m движется под действием внешней силы F с уско
1
1
рением a = d v / dt .
1 1 1 dv Сила F = ma = m , а элементарная работа данной силы на переме dt 1 щение dS равна 1 1 1 1 1 dS 1 1 dv 1 dA = FdS = m dS = mdv = mv dv . dt dt 34
1 ⎛ mv 2 ⎞
1 1
1
1 1
⎛ mv 2 ⎞
⎟⎟ . ⎟⎟ = m ⋅ 2 vd v = mvd v , то dA = d ⎜⎜ Так как d ⎜⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 Интегрируем полученное выражение: v2
⎛ mv2 ⎞ mv 22 mv12 = dA d ⎜ ⎟ ∫1 v∫ ⎝ 2 ⎠ , A12 = 2 − 2 1 2
.
Здесь
mv 2 = Eк (1.53) 2 — кинетическая энергия тела. 1 Таким образом, работа внешней силы F идет на увеличение кинети ческой энергии тела. Отметим, что приращение кинетической энергии (в отличие от импуль са) определяется работой не только внешних, но и внутренних сил. Механическая энергия, зависящая от взаимного расположения тел или отдельных его частей и их положения во внешнем силовом поле, называется потенциальной энергией. Мерой потенциальной энергии является работа потенциальных сил, осу ществляющих взаимодействие между телами или частями тел. Рассмотрим перемещение частицы массой m в поле силы тяжести из точки 1 в точку 2 (рис. 8). Работа А12, согласно (1.47), равна
1
1
1 1 11 A12 = Fò S12 = mgS12 ,
где Fò = mg — сила тяжести.
1
Проекция вектора перемещения S12 на направление силы тяжести рав на разности высот (h1 – h2): А12 = mg (h1 – h2) = –mgh.
(1.54)
Величина mgh = Ep называется потенци альной энергией силы тяжести. Таким образом, тело, поднятое на высоту h, обладает потенциальной энергией Еp, которая определяется начальным и конечным положени ями тела. Высота h отсчитывается от нулевого уровня, выбираемого произвольно. Из соотно 35
шения (1.54) следует, что работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии системы, т. е. dA = –dEp. Потенциальной энергией обладают упругодеформированные тела (рас тянутый или сжатый стержень, сжатая или растянутая пружина). В этом случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположе ния частей тела. Чтобы растянуть пружину на величину x согласно формуле (1.51), нуж но совершить работу
A=
kx 2 . 2
Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии пружины Ep = kx2/2.
(1.55)
Установим связь между потенциальной энергией и силой. Пусть имеется консервативная система, в которой материальная точка движется в направлении оси х. При перемещении точки на величину dx силы поля совершают работу: dA = Fxdx, которая равна убыли потенциальной энергии, т. е. dA = –dEp. Таким образом, Fxdx = –dEp, откуда Fx = −
∂ Ep ∂x
. Для компонент силы
по осям y и z можно аналогично записать
Fy = −
1
1
∂ Ep ∂y
,
1
Fz = −
1
∂Ep ∂z
.
Так как вектор силы F = iFx + jFy + kFz , получим
1 ⎛ 1 ∂E p 1 ∂Ep 1 ∂Ep F = −⎜ i + j +k ∂y ∂z ⎝ ∂x
⎞ ⎟ = −∇ Ep = − grad Ep , ⎠
где ∇ — оператор У. Гамильтона1 (оператор набла). 1 Уильям
36
Роуан Гамильтон — ирландский математик.
(1.56)
Вектор с компонентами ∂E / ∂x , ∂E / ∂y , ∂E / ∂z , где Ер — ска p p p лярная функция координат x, y, z, называется градиентом потенциальной энергии и обозначается grad Ep. Направление вектора градиента совпадает с направлением оси, вдоль которой скалярная функция (в данном случае Ер) возрастает с наибольшей скоростью. Следовательно, консервативная сила равна градиенту потенци& альной энергии, взятому со знаком минус. § 12. Закон сохранения энергии Полная механическая энергия системы Е равна сумме кинетической и потенциальной энергий: Е = Е к + Ер .
(1.57)
Рассмотрим случай, когда в замкнутой системе действуют только кон сервативные силы. Элементарная работа этих сил dA сопровождается из менением кинетической dЕк и одновременно равным по значению, но про тивоположным по знаку изменением потенциальной энергии dЕр системы: dA = dEк = –dEp. Отсюда dEк + dEp = d(Eк + Ep) = dE = 0, так как для замкнутых систем dA = 0. Cледовательно, d(Eк + Ep) = 0, или E = Eк + Ep = const. (1.58) В замкнутой системе, в которой действуют только консерва& тивные силы, полная механическая энергия со временем не изменя& ется. Это закон сохранения энергии в механике. При наличии в системе диссипативных сил полная механическая энергия системы уменьшается, переходя во внутреннюю энергию тел системы. Закон сохранения механической энергии можно применять и для не зам кнутых систем, когда: а) суммарная работа внешних сил, действующих на тела системы, равняется нулю; б) уменьшение энергии системы, связан ное с преодолением диссипативных сил, компенсируется увеличением энер гии за счет работы внешних сил. Отметим, что при свободном падении тело также нельзя считать замкнутой системой, так как на него действует вне шняя сила — сила тяжести. В этом случае удобно рассматривать движение 37
в системе отсчета «тело–Земля», которую можно считать замкнутой. Прак тически это не приводит к ошибкам, так как потенциальная энергия тела в гравитационном поле Земли является энергией взаимодействия тела и Зем ли, то есть характеризует энергию всей системы. Изменением же кинети ческой энергии Земли при ее взаимодействии с падающим телом можно пре небречь. Все процессы преобразования энергии подчиняются закону сохранения и превращения энергии: энергия системы может переходить из одного вида в другой, перераспределяться между телами системы, но полная энергия замкнутой консервативной системы всегда остается постоянной. Закон сохранения механической энергии связан с однородностью вре& мени и является фундаментальным законом природы. § 13. Соударение тел Ударом называется совокупность явлений, возникающих за очень ко роткий промежуток времени при столкновении тел. Удар называется абсо& лютно упругим, если после соударения тела сами восстанавливают свою форму и размеры. Если после удара тела не восстанавливают свою перво начальную форму, то такой удар называется абсолютно неупругим. Удар называется прямым и центральным, если тела при соударении двигались вдоль прямой, проходящей через их центры. Рассмотрим соударение двух однородных шаров, двигающихся поступа тельно при отсутствии действия внешних сил. Абсолютно неупругий прямой центральный удар двух шаров
1
1
Пусть шары массами m1и m2 имели до удара скорости v1 и v 2 . Запи шем закон сохранения импульса:
1 1 1 m1v1 + m2 v 2 = (m1 + m2 )u ,
(1.59)
1 где u — скорость шаров после удара. При абсолютно неупругом ударе закон сохранения механической энергии не выполняется, т. к. часть механической энергии во время удара переходит во внутреннюю энергию или другие формы энергии. Закон сохранения энергии для этого случая можно записать в виде
m1v12 m2 v 22 ⎛ m1 + m2 ⎞ 2 + =⎜ ⎟ u + Eдеф , 2 2 ⎝ 2 ⎠ где Едеф — потеря механической энергии тел при деформации. 38
(1.60)
Из уравнений (1.59) и (1.60) найдем скорость шаров после соударения:
1 1 1 u = (m1v1 + m2 v 2 ) / (m1 + m2 )
(1.61)
и энергию, затраченную на деформацию шаров:
E деф =
m1m2 2 ( v1 − v 2 ) . 2 ( m1 + m2 )
(1.62)
Если скорость v2 = 0, то u = m1v1/(m1 + m2), а Eдеф = m1m2 v12 /2(m1 + m2), и если при этом m2 >> m1, то энергия деформации Едеф приблизительно равна кинетической энергии ударяющего тела:
E деф
m 1 v 12 . 2
Таким образом, для получения наибольшей деформации, например при ковке детали, масса наковальни (неподвижного тела) должна быть гораздо больше массы молота. Абсолютно упругий прямой центральный удар двух шаров При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или час тично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела восста навливают первоначальную форму, отталкивая друг друга. В итоге потенци альная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энер гию и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяется законом сохранения энергии и законом сохранения импульса:
m1v12 / 2 + m2 v 22 / 2 = m1u12 / 2 + m2u 22 / 2 ,
1 1 1 1 m1v1 + m2 v 2 = m1u1 + m2u 2 ,
(1.63) (1.64)
где m1 и m2 — массы шаров; v1 и v2 — скорости шаров до удара; u1 и u2 — скорости шаров после удара. Уравнения (1.63) и (1.64) приведем к виду
1 1 1 1 m1 (v1 − u1 ) = m2 (u 2 − v 2 ),
(
)
(
(1.65)
)
m1 v12 − u12 = m2 u 22 − v 22 ,
39
(
)
(
)
или m1 v1 + u1 (v1 − u1 ) = m2 (u 2 + v 2 ) u 2 − v 2 . Так как все векторы, входящие в уравнение (1.65) коллинеарны, пос
1
1
1
1
1
1
1
1
ле преобразований запишем v 2 + u 2 = v1 + u1 , откуда u 2 = v1 + u1 − v 2 . Решая совместно полученное уравнение и уравнение (1.65), находим
1 1 1 u1 = [2m2 v 2 + (m1 − m2 )v1 ] (m1 + m2 ) ,
1 1 1 u 2 = [2m1v1 + (m2 − m1 )v 2 ] (m1 + m2 ) .
(1.66) (1.67)
Рассмотрим частные случаи. 1. Массы соударяющихся 1 1 1шаров 1 равны: m1 = m2, из уравнений (1.66) и (1.67) следует, что u1 = v 2 и u 2 = v1 , т. е. шары при соударении обменива ются скоростями, и если один (например, второй) до соударения покоился, то после удара он будет двигаться с той же скоростью, с которой двигался первый шар, а первый шар после удара останавливается. 2. Шар массой m1 налетает на неподвижную стенку. Массу стенки мож но считать бесконечно большой, тогда шар меняет свою скорость на проти воположную.
40
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 5. Невесомый блок закреплен на вершине наклон ной плоскости, составляющей с горизонтом угол a. Через блок переброшена нерастяжимая нить, к концам которой при креплены тела 1 и 2 массами m1 и m 2 . Коэффициент трения между телом 1 и наклонной плоскостью равен m. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения в блоке нет. Счи тая, что в начальный момент тела 1 и 2 неподвижны, найти отношение масс m2 / m1, при котором тело 2 начнет опускаться. Дано:
1, 2
m1,m2
m2 m1
=?
Решение. Рассмотрим силы, действующие на тела 1 и 2. Спроек тируем их на выбранные координатные оси и запишем вто рой закон Ньютона в виде системы скалярных уравнений. Для тела 1 0X: T − Fтр − m1 g sin α = m1a1x ,
(1)
0У: N − m1g cosα = 0 .
(2)
Для тела 2 0У:
m2g −T = m2a2у .
(3)
При этом необходимо учесть, что
a1x = a2у = a , так как нить нерастяжима.
Fтр = μ N = μ m1 g cos α .
(4)
Решая систему (1)–(4), находим:
a=g
(m2 − μ m1 cosα − m1 sinα) . m1 + m2
(5)
41
Разделим в формуле (5) числитель и знаменатель на m1. Тогда
⎤ ⎡ m2 ⎢ − μ ⋅ cosα − sinα ⎥ m ⎦. a=g⎣ 1 m2 1+ m1
(6)
Очевидно, чтобы тело 2 опускалось, ускорение должно быть положи тельным. Это будет выполняться, когда в формуле (6)
m2 > (sinα + μ cosα ) . m1 Ответ:
m2 m1
> (sin α + μ cos α) .
Задача 6. Частица движется вдоль оси Х по закону: x = α t 2 − β t 3 , где a и b — положительные постоянные. В момент t = 0 сила, действующая на частицу, равна F0. Найти значения силы Fx в точках поворота и в момент, когда частица окажется в точке x = 0.
Д ан о:
x = αt2 − F0
Решение. Запишем второй закон Ньютона:
Fx = m a x .
(1)
Для нахождения силы необходимо определить уско
F1 = ?, F 2 рение a x : vx =
dx = 2α t − 3β t 2 , dt
ax =
d vx = 2α − 6β t. dt
(2)
Перепишем уравнение (1) с учетом уравнения (2):
Fx = m(2α − 6β t ) .
(3)
Используя начальные условия, когда t = 0 и Fx = F0, найдем массу частицы: 42
F0 = m 2α ⇒ m =
F0
.
2α
(4)
а) В точке поворота скорость частицы равна
vx =
dx = 0, dt
2α t − 3β t 2 = 0 .
т. е.
Это соответствует времени:
t1 =
2α . 3β
(5)
Подставим вместо t выражение для t1 в формулу (3):
F1 = m(2α − 6β t1 ) =
F0 ⎛ 2α ⎞ ⎜⎜ 2α − 6β ⎟ = − F0 . 3β ⎟⎠ 2α ⎝
б) В точке x = 0 частица будет находиться в момент времени t2, которое определим из закона движения:
x = α t22 − β t23 = 0 ,
t22 (α − βt2 ) = 0 . Отсюда
t2 =
α . β
(6)
Подставив время t2 в формулу (3), получим
F2 = m( 2α − 6β t2 ) =
F0 ⎛ α⎞ ⎜⎜ 2α − 6β ⎟⎟ = −2 F0 . 2α ⎝ β⎠
Ответ: F1 = − F 0; F 2= −2 F0 . Задача 7. Небольшое тело A начинает скользить с вершины гладкой сферы радиусом R. Найти угол a между вертикалью и радиусомвектором, характеризующим положение тела A относительно центра сферы в момент отрыва от нее, а также скорость тела в момент отрыва. 43
1
Дано:
R
Решение. На тело в точке С действует сила тяжести mg
1
и сила реакции опоры N. По второму закону Ньютона
1 1 1 mg + N = ma ,
v=?
a=?
1
где a =
v2 R
(1)
— центростремительное ускорение. Проекти
1
руя уравнение (1) на нормаль n к траектории в данной точке, за пишем:
mg cos α − N = m
v2 . R
(2)
1
Направление орты n выби раем к центру кривизны траек тории в данной точке. В момент отрыва N = 0, тогда уравнение (2) будет иметь вид
mg cos α = m ⋅
v2 , R
g cosα =
v2 . R
(3)
Значения скорости v в точке C определим из закона сохранения энергии:
mgh =
mv 2 , 2
v 2 = 2 gh.
(4)
Из треугольника ОВС найдем h :
OB = cos α , R где OB = R – h,
R−h = cos α , R откуда
h = R(1 − cos α) . 44
(5)
Подставив уравнение (5) в (4), получим
v 2 = 2 gR ⋅ (1 − cos α) .
(6)
Из уравнений (3) и (6) найдем угол a:
v2 = 2 g (1 − cos α ) , R ⎛2⎞ 3 cos α = 2 , α = arccos ⎜ ⎟ . ⎝3⎠
g cos α =
(7)
Скорость в момент отрыва определим из уравнений (6) и (7):
v = 2 gR (1 − cos α ) = Ответ: v =
2 gR . 3
2 gR ⎛2⎞ , α = arccos ⎜ ⎟ . 3 ⎝3⎠
Задача 8. Брусок массой m = 1,5 кг тянут за нить так, что он движется с постоянной скоростью по горизонтальной плоскости с коэффициентом тре ния m = 0,2. Найти угол a, при котором натяжение нити F будет наимень шим. Чему оно равно?
Дано:
m = 1,5 кг
μ = 0,2
α=? Fmin = ?
Решение. Поскольку тело движется с постоянной скоростью, то согласно первому закону Ньютона:
1 1 1 1 N + F + mg + Fтр = 0,
(1)
1 1 где mg — сила тяжести, N — сила реакции плоско сти,
1 Fтр
—
сила
трения
скольжения
и
1 F — сила, с которой тянут брусок. Спроектируем
уравнение (1) на оси Х и У. OX:
F cos α − Fтр = 0,
(2)
ОУ:
N + F sin α − mg = 0 ,
(3)
где Fтр = μ ⋅ N . Решая уравнения (2) и (3), получим 45
F=
μ mg . cos α + μ sin α
(4)
Чтобы определить угол a, при котором натяжение нити будет наи
dF dα
меньшим, найдем производную и приравняем ее нулю:
μ mg dF ⎛ = ⎜⎜ dα ⎝ cos α + μ sin α
′ ⎞ μ mg (sin α − μ cos α ) ⎟⎟ = =0, (cos α + μ sin α )2 ⎠
sinα − μ cosα = 0 ,
μ = tg α ,
α = arctg μ , α = 111 20′. Подставив a и данные задачи в уравнение (4), найдем
Fmin = 2,9 H. Ответ: α = 111 20′, Fmin = 2,9 H. Задача 9. Частица 1 массой m, летящая со скоростью v, сталкивается с неподвижной частицей 2 массой 4m. После соударения частица 1 движется в противоположном направлении, а 1/4 часть ее первоначальной энергии уходит на нагревание и деформацию. Найти скорости частиц v1 и v2 после соударения. Решение Запишем законы сохранения импульса (1.42) и энергии (1.58) для удара частицы:
где 46
mv = −mv1 + 4mv 2 ,
(1)
mv 2 mv12 4mv 22 1 mv 2 = + + , 2 2 2 4 2
(2)
1 m ⋅ v2 — потенциальная энергия деформации. 4 2
Система уравнений (1) и (2) содержит два неизвестных. Выразим v1 из уравнения (1) и подставим в уравнение (2):
v1 = 4 v 2 − v ,
(3)
1 v 2 = (4v 2 − v) 2 + 4v 22 + v 2 , 4 1 v 2 = 16v 22 − 8v 2 v + v 2 + 4v 22 + v 2 , 4 20 v 22 − 8vv 2 + 0,25v 2 = 0 .
(4)
Решая квадратное уравнение (4), находим:
v 2 = 0,36v . Подставляя v2 в формулу (3), определим:
v1 = 0,44v . Ответ: v 2 = 0,36v ; v1 = 0,44v . Задача 10. В стальной кубик массой M = 1 кг, находившийся в покое на горизонтальной поверхности, попадает стальной шарик массой m=10 г, летевший горизонтально со скоростью v1 = 103 м/с, и упруго отражается обратно. Определить, какой путь L после удара пройдет кубик до остановки, если коэффициент трения между кубиком и горизонтальной поверхностью μ = 0,2. Дано:
M =1кг m =10−2 кг v1 =103 м с μ= μ = 00,2 L =?
Решение. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось ОХ:
mv1 = −mv 2 + Mv .
(1)
Так как удар абсолютно упругий, применим закон сохранения энергии:
mv12 2
=
mv 22 2
+M
v2 . 2
(2)
Учитывая, что m ω1), так как произведение Jw = const. Продифференцируем по времени уравнение (1.85):
dLz dω = Jz . dt dt
Согласно (1.83)
dLz = M , а по формуле (1.28) dt
dω = ε , откуда угловое ускорение dt ε = M / Jz .
(1.87)
Уравнение (1.87) называется основным законом динамики вращатель ного движения: угловое ускорение при вращательном движении твер дого тела прямо пропорционально моменту внешних сил, действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции тела. Найдем формулы для вычисления работы и мощности при вращении тела. При неподвижной оси вращения потенциальная энергия вращающего ся твердого тела не изменяется и работа внешних сил идет на приращение кинетической энергии тела. Используя уравнение (1.78), для элементар ной работы, запишем:
⎛ Jω 2 ⎞ 1 ⎟ = J ⋅ 2 ⋅ ωdω = Jωdω. dA = d ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 Согласно (1.85) J dω = dL , то dA = ω dL, но dL = M dt (уравнение (1.74), следовательно, dA = M ω dt = Mdϕ, т. к. ωdt = dϕ. Отсюда нахо дится работа при вращательном движении:
∫
A = M dϕ . Мощность
56
N=
dϕ dA =M = Mω . dt dt
(1.88) (1.89)
Следовательно, мощность при вращательном движении равна произ ведению момента внешних сил на угловую скорость вращения. § 18. Гироскопы Оси вращения твердых тел, не изменяющие своей ориентации в про странстве без воздействия внешних сил, называются свободными осями. Свободными осями могут служить три взаимно перпендикулярных оси, про ходящие через центр инерции твердого тела. Их также называют главными осями инерции тела.
1
При вращении вокруг любой из главных осей момент импульса L тела
1 ω тела и определяется
имеет одинаковое направление с угловой скоростью →
1
→
формулой (1.85): L = J ω . Причем вектор L не зависит от выбора точки на оси вращения. Гироскопом (волчком) называют массивное симметричное тело, вра щающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии. Рассмотрим дви жение волчка, один конец оси вращения которого шарнирно закреплен (точка O на рис.14). Опыт показывает, что при некоторой угловой скорости вра щения w волчок совершает прецессионное движение: ось волчка описыва ет конус вокруг вертикали
oo′ с угловой скоростью ω′ 0
D % * ! $ dq τ = . E ! dl ) · S §¨ ¸ . © ¹ l , " # # % r # ! % , τ > 0 (. 73). *# $ ! E
! r
% , # %
" ! % 2R ! S , ! $# % l . G D. 73 F E
! S , $ !# % . G F E * " ! " % r : G G 1 EdS = 4 dl , S = 2π r l , G E
³
ε0
³
E ⋅ 2π r l =
1
τ l , ε0 τ . E= 2πε 0 r
(3.27)
τ
C r = R , E =
— $ ! 2πε 0 R $ " % . F r < R E = 0 , ! % R . / ! (3.21) $ % $ !, ! % $ , $ $ " % r1 r2 " : 2
³ 1
2
³
dϕ = − Edr = − 1
2
τdr
1
0
³ 2πε r ,
r τ ln 2 . 2πε 0 r1 E r . 74.
ϕ1 − ϕ 2 =
196
(3.28)
4. ' 6 R $ σ > 0 (. 75). # $ # # ! . =# E * : I * ! — #, " r < R . qi = 0 , ! , = #
¦
2
³
E I = 0 . dϕ = − E I dr = 0 ,
R
0
1
D. 74
ϕ1 = const. F % # r = R :
ϕ = " σ =
r
q σ4πR 2 σR = , ϕ = , 4πε0 R ε0 &
q , — ! # 4πR 2
(3.29)
G E
II * ! — # (. 75), " r > R .+ $ " ! ! S :
r
+σ
R S
σ 4πR 2 ³ E2 dS = ε 0 .
q
I II
" E2 4π r 2 =
σ 4π R 2 σ R2 , E2 = . (3.30) ε0 ε0r 2
C !, σ =
q 4πR 2
D. 75
, E2 =
q
. (3.31) 4πε 0 r 2 r > R , " , # . F r = R E =
σ , ε0
(3.32)
! % : 197
2
σ R2 dr , 2 1 ε0r
2
2
³ dϕ = − ³ E2 dr = − ³ 1
1
§1 1· r −r q ¨¨ − ¸¸ = ⋅ 2 1 . © r1 r2 ¹ 4πε 0 r1r2 E Δϕ # . 76. Δϕ = ϕ1 − ϕ 2 =
)
2
σR ε0
)
E
σ ε0
0
(3.33)
Δϕ
σR ε0 R
r
0
R
r
D. 76
/ # $ ! #
#: 1) $ ! $ ! "
* ; 2) % # %
#.
198
13
; § 70. !( G # * !(
*# . # #
$# + q −q , l $ # # (. 15). ' # , # % ! " $ ! # $ . G F $ ! " + q l # ( !# ): G G p = ql . (3.34) & G G l ! , [ p ] = ) ⋅ . F % % $ !
! G G G E = E+ + E− , G G " E + , E − — $ , * # $ !#
% !#
. G A l G G G −q +q p E− E+ l 2 l 2 r D. 77
D # . 1. $ (. 77). G $ $ ! " E + % ! " E − : 1 q , E+ = 4πε 0 (r − l 2 )2 199
q
1
E− =
. 4πε 0 (r + l 2)2 F % % $ ! 7: · 1 §¨ q q ¸. − EA = E+ − E− = 2 2 ¨ 4πε 0 © (r − l 2 ) (r + l 2) ¸¹ F * # ,
l2 > R2 , " $ ! $ " * " % , " " (3.27) D. 85 211
E=
τ q , = 2πεε 0 r 2πεε 0 rl
" ε — % ! , " . F (3.28) ! % $ % : R q ϕ1 − ϕ 2 = ln 2 . 2πεε 0 l R1 " ! % " 2πεε 0 l q = . (3.58) C= ϕ1 − ϕ 2 ln (R2 R1 ) &6 * % # R1 R2 , # % ! ε . ' $ ! $ * " (3.31): 1 q , E= 4πεε 0 r 2 ! % (3.33): q R2 − R1 ϕ1 − ϕ 2 = . 4πεε 0 R1 R2 C ! " RR q C= = 4πεε 0 1 2 . ϕ1 − ϕ 2 R2 − R1 B * !( # * ! (. 86, ). )
)
ϕ1 C1
C2
C1 C 2
Cn
1
2
ϕ1
ϕ2
ϕ2 D. 86
' $ * # n
q=
¦ i =1
212
n
qi =
¦ C (ϕ i
i =1
1
Cn
− ϕ2 ) .
! ϕ1 − ϕ2 = const *
, n
¦C
q = (ϕ1 − ϕ 2 )
i
.
i =1
C ! # C=
q , ϕ1 − ϕ 2
! , n
C=
(ϕ1 − ϕ 2 )¦ Ci i =1
(ϕ1 − ϕ 2 )
n
=
¦C
i
.
(3.59)
i =1
& ! * !
# . F ! (. 86,*) q $ " #. ! % $ 1 2 n
ϕ1 − ϕ 2 =
¦
n
Δϕ i =
i =1
¦ i =1
n
¦
q 1 =q . Ci Ci i =1
" #,
ϕ1 − ϕ 2 =
q , C
" C — ! * . " ! * ! #
1 = C
n
¦C i =1
1
.
(3.60)
i
F ! * !( !( Ci , * . § 78. $* )##*# . D $# # q1 q 2 , r " " . ) $# " "
* % ! " W1 = q1ϕ12 W2 = q 2ϕ 21 , 213
" ϕ12 ϕ 21 —
% #, # q 2
$ q1 , q1 $ q 2 . F % , " # ( ): 1 q2 1 q1 ϕ 21 = , ϕ12 = 4πε 0 r 4πε 0 r W1 = W2 = W , . . ! $ "
. + ! $ !: q ϕ + q 2ϕ 21 W12 + W21 W = q1ϕ12 = q 2ϕ 21 = 1 12 = . (3.61) 2 2 ' " #, # : W = W12 + W13 + W23 . F $ " " (3.61): W + W21 W13 + W31 W23 + W32 . W = 12 + + 2 2 2 " # # # : (W + W13 ) + (W21 + W23 ) + (W31 + W32 ) W = 12 . 2 ) $ "# * — " Wi i -" !# . F # $ $ ! W =
W1 + W2 + W3 1 = 2 2
3
¦W . i
(3.62)
i =1
+* * # $ (3.62)
! " n , " # # : W=
1 2
n
¦W . i
i =1
F ! Wi = qiϕ i , " qi — i- #; ϕ i — % , # $ i-" !# #, ! # $ " # # : 214
W =
1 2
n
¦q ϕ
i i
.
(3.63)
i =1
. F !
q % ϕ . F ! ϕ
, " ,
, ϕ $ # - #
(3.63). " ( # $ ! , q
, qϕ Cϕ 2 q2 = = . (3.64) 2 2 2C F (3.64) " $ "
. ' # $ " $ " . F ! q ϕ — % $ ! $ * . " # $ (3.64) $ * ! — $ ! % ! $# * : q ϕ + q −ϕ − W = + + . 2 q− = −q+ , 1 1 W = q + (ϕ + − ϕ − ) = qU , 2 2 " q = q + — , U — $ " * . F
, q C= , U # $ " : qU CU 2 q 2 W= = = . (3.65) 2 2 2C . ' " # $ " " . " (3.65) " " W =
W =
" C =
εε 0 S d
CU 2 , 2
(. 3.57), U = Ed .
215
" W =
εε 0 S
E 2d 2 =
εε 0 E 2
V, (3.66) 2d 2 . . S ⋅ d = V — *P . J (3.66) " . = " εε 0 E 2 ED (3.67) W = dV = dV , 2 2 V V G " D — " . J (3.67) # , ". / # (3.66) *P ! ": W εε 0 E 2 ED D2 . (3.68) = = = ω= V 2 2 2εε 0 +*P ! " "
$ * (B$/3). ; ! " $ , $ ! ",
! *P V :
³
³
W = ωdV = V
216
³
³
V
εε 0 E 2 2
dV .
(3.69)
A B " "! 38. ! # $! $ ! τ = 10 )/. ' $,
% " , # q = 10 ). D % $ a = 0,2 . ' F
$ " $ " .
$#: τ = 10 −5 )/ q = 10 −8 ) a = 0,2 F=?
C$. B , $! q $ ! $#. =# $ # # dl, " dq = τdl $ ! # (. ). F )
dq q: 1 qτdl . (1) dF = y 4πε 0 r 2 G G dF dFy
a , (2) cos α a AC = rdα = dl cos α , rdα adα dl = = . (3) cos α cos 2 α F # $ (2) (3)
(1),
α
r=
dα
q
α r
αA
G dFx
a
C
x dl qτdα . (4) D. 38 4πε 0 a cos α 4πε 0 a G D $ dF # x y: dFx = dF sin α , dFy = dF cos α . (5) dF =
qτa cos αdα 2
2
2
=
1
F (5) # $ (4): 1 qτ sin α d α dFx = , a 4πε 0
(6)
qτ cos α d α . a 4πε 0
(7)
dFy =
1
/ " # $ (6) (7) 0 π 2 ,
217
Fx =
1 qτ 4πε0 a
π2
π2 1 qτ 1 qτ cos α 0 = , a 4πε0 a
³ sin α d α = − 4πε0 0
Fy =
qτ 4πε 0 a 1
π 2
1 qτ . 0 a
³ cos α dα = 4πε 0
(8)
(9)
F F " :
( q 2 τ 2 + q 2 τ2 ) 1 1 = 2 2 4πε0 a ( 4πε0 )
F = Fx2 + Fy2 =
2qτ . a
,: F = 6,36 ' . "! 39. D d $ #
, $# ! " ", 16 . F
$# # ! τ = 150 )/. ) $ ! E , r = 10
,
?
C$. ) $ $
$#:
$ d = 16 ! ) τ = 150 τ . (1) E+ = E− = r = 0,1 2πε 0 r E=? " % % , ! $ ! G G G E = E+ + E− . G E+ F
ϕ ψ r
+
G E−
d D. 39
218
G E
r
-
E = E +2 + E −2 + 2 E + E − cos ϕ ,
(2) G G " ϕ – " $ E + E − . K" ϕ = 180° − ψ . K" ψ : d 2 = r 2 + r 2 − 2rr cosψ , cosψ =
2r 2 − d 2 2r 2
, "
cos ϕ = cos(180° − ψ ) = − cosψ =
d 2 − 2r 2 2r 2
.
(3)
F # $ (1) (3) (2), 2
2
2
§ τ · § τ · § τ · d 2 − 2r 2 E= ¨ +¨ + 2¨ = ¸ ¸ ¸ 2r 2 © 2πε 0 r ¹ © 2πε0 r ¹ © 2πε 0 r ¹ τ τd d 2 − 2r 2 = = 1+1+ 2 . 2 2πε 0 r 2r 2πε 0 r 2 ,: E = 43,2 "! 40.
G= .
@
R1 = 6
$
%
ϕ1 = 300 =, ( R2 = 4 — % ϕ 2 = 500 =. ' % ( " ,
. C ! ! "
*!.
$#: R1 = 6 ϕ1 = 300 = R2 = 4 ϕ 2 = 500 = ϕ=?
C$. + (
. & ! ( , #, C = 4πεε 0 R , (1) " #, ! q C= . (2)
ϕ
/ (1), (2): q = 4πεε 0 Rϕ . (3) ; # (
(3): q1 = 4πεε 0 R1ϕ1 , (4) ® ¯q 2 = 4πεε 0 R2ϕ 2 .
F
% # ( # # ϕ , # q1′ q 2′ (3): q1′ = 4πεε 0 R1ϕ , ® ¯q ′2 = 4πεε 0 R2ϕ .
(5)
F 219
q1 + q 2 = q1′ + q 2′ . F (4) (5) (6), 4πεε 0 (R1ϕ1 + R2ϕ 2 ) = 4πεε 0 (R1 + R2 )ϕ ,
ϕ=
(6)
R1ϕ1 + R2 ϕ2 ; ϕ = 380 =. R1 + R2
,: ϕ = 380 = . "! 41. F
$ " * , " d = 5 . + * , * , ) , ! ! " σ = 1,8 2 # S = 0,01 2 .
$#: d = 5 ⋅ 10 −3 ) σ = 1,8 2 S = 0,01 2 A=? C2 =
ε 0S d
C$. " ", * A = W2 − W1 , " W2 W1 — " ! . εε S q2 q2 W1 = , W2 = , C1 = 0 , 2C1 2C 2 d
, q = σS , # $ "
W1 =
1 σ 2 S 2 d 1 σ 2 Sd , = 2 εε 0 S 2 εε 0
W2 =
1 σ 2 Sd , 2 ε0
" C1 C 2 — ! , q — #. 1 σ 2 Sd § 1 · " A = ¨1 − ¸ ; A = 6 B$. 2 ε0 © ε ¹ ,: A = 6 B$. "! 42. ( # ( R = 10 $ ) *P *P ! ω = 10 3 . + 220
" W1 " , ( , " W2 " . C$. +*P ! q q 3q ω= = = , V ( 4 3) π R 3 4π R 3
$#: R = 0,1 ) ω = 10 3 ε1 = 2 ε2 =1
" V — *P ( ; q — ( . & , $# ( , #, . . " ( ,
) W1 = ? W2 = ? . + $ " ( * , *P ! "
, # % ( . =# ( *P dV1 = 4πr12 dr , (1) r1 dr . 4 ; q1 = πr13ω . F 3 ε2 (: q 4 πr13ω ε1 4πr12 E1 = 1 = , (2) ε 1ε 0 3 ε 1ε 0 r1 dr R 0
$ ! E1 , q1 , 1 r1ω . (3) 3 ε 1ε 0 =# " *P dV1 , ! (1)–(3):
r2
dr
E1 =
D. 42
1 2πω 2 4 (4) ε 1ε 0 E12 dV1 = r1 dr . 2 9ε 1ε 0 F ",
( , # "
dW1 = ωdV1 =
W1 = ³ ωdV1 =
R
2πω2 4 2πω2 R 5 r dr = ; W1 = 7,88 B$. 9ε1ε0 ³0 1 45ε1ε0
=# ( r2, 221
dr *P dV2 = 4πr22 dr , " 4 q 2 = πR 3ω ( ( ). 3 F "# %, 1 dW2 = ε 2 ε 0 E 22 dV2 , 2 3 q2 1 1 4 πR ω R 3ω " E 2 = = = — $ ! , 4πε 2 ε 0 r22 4πε 2 ε 0 3 r22 3ε 2 ε 0 r22
q 2 " r2 .
W2 = 2πε 2 ε0
∞
R 6 ω2 dr 2 πR 5ω2 = ; W2 = 78,8 B$. 9ε 22 ε02 ³R r22 9 ε 2 ε0
,: W1 = 7,88 B$; W2 = 78,8 B$.
222
14 BE E
§ 79. #, ,#$$#,$ )#*# #. #. #$#( # # ( ) $ $# %. , * # , $
, # . = #
! ( ), ( ), - ( " ), -# (
). ; $ $ ! $# %. B
* , *# ! ,
## $ $. *#
*# #, * " % $ ! $,
. B " %! $ *# ! &B. ) # " I ! j. & # , ( dq , "
dt , " : dq I= . (3.70) dt ; % # / (). & , " , # . D
, . ; $ dt 1 2 S
(. 87) S G v $# % N , *P, q0
" 1 2: N = nS v dt , v dt " n — % % $# %, . 87 v — ! " $ ( ).
223
+* % dq = q0 nS v dt ,
" q0 — %#. " dq = q 0 nS v . (3.71) dt / , , " $ %, % % %, " $ "
. ' — , , ( # "
, " : G I G j= e, S G " e — # , . = / % # ( / 2 ). F
(3.71), ! j = q0 n v . = $ $ ! $# %: G G j = q0 n v . (3.72) B ! G G+ G− G G j = j + j = q0 ( n + v+ + n − v − ) , G G " j + , j − — $ !# % !# ; G n + , n − — % % $ !# % !# ; v + , G v − — " $ $ !# % !# . ; , $ , "
: G G I = j dS , (3.73) I=
³ S
G " dS — *
, G j .
224
§ 80. #!,'%@ $&'$ = % " , ## * !( % !( % ( $ !# ). F # %
% . *# *# #, % $#
! # " $, # # . F $ *# ! . = &B # " " $ : " — , — , * —
, —
. . ; # , ! " #
$# ! % . F " &B # ( * q
( %. ; # " "
( %
* # . * , * % ( " , . J , ( * # A , ( q %, " , # # (8&) : A × = . q & $ # $
! (=). D * q % G G G G A = F dl = q E dl , (3.74) G G G " F — , dl — , E — $ ! . D (3.74) " q , &B, %: G G A × = = v³ E dl . q
³
³
225
* , &B, %, %% $ . K 1–2 % (. 88) $ &B, # × ϕ1 ϕ2 R . ' q % 1–2 # F , # 1 r 2 " Fe : G G G G G F = F + Fe = q E + E . G D * ! # F 1–2 2 G 2 G G G A12 = q ³ E dl + q ³ Edl = q× + q ( ϕ1 − ϕ2 ) . D. 88
(
1
)
(3.75)
1
% ( $) U 12 % 1–2 # , * , ( " $ ! " : U12 = ϕ1 – ϕ2 + × . (3.76) ; # %, #. ' $ U 12 % ! % % : U12 = ϕ1 – ϕ2 . § 81. "#$ - ! #!$##!$#*# % 0& ; ! #
$ (. 89) # U (3.77) I= , R # $ + 1 " ! " %:
I ϕ1 ϕ2
A $ U R $
V R. (+). D. 89 1 +
, $ 1 = 1 . 1
226
" + (1787–1854) — % .
"
" , " " : l (3.78) R=ρ , S " l —
; S — ! " ; ρ — ! . / (3.78) S ρ=R . l (
I " " ) # , ! $ G
% B . D. 98 C ! $ , " *
! M, . . " *
! . = , " ! %. * !( " ! % " " : G M M (3.106) B = max = Gmax . IS pm
1
^ ) & (1777–1851) — . 243
F # I S # G pm . C% ! " " " - # (·2). / , — , ( ! " " , " " , ! " . C% " % . 1 — " % " " " , !# " # 1 ·2 !# , # 1 '·. § 90. "#$ H#–,–& ; A 1– 2–E
G dB ! % " " , "
. F !
! # I (. 99). I =# * #
G G G r dl dl , - G r 7. " A – –E % G " " dB , * G D. 99 dl 7, G G G μ0 I ª¬ dl , r º¼ dB = , (3.107) 4π r 3 G " μ0 = 4π ⋅10−7 / — " . dB G I b F % B 7 $ A % % — # dα : α G G B = ³ dB . (3.108) G r F (3.107) # rdα , " * # G #
I (. 100). F ! dl α b
D. 100
1 2
244
f A A (1774–1862) — % . J (1791–1841) — % .
G . =# #
dl , G r 7. / . 100 , b r dα b dα ; dl = = . r= sin α sin α sin 2 α G ! " % " (3.107) μ Idl sin α dB = 0 . (3.109) 4π r 2 F # $ r dl (3.109), μ I dB = 0 sin α dα . 4π b G F ! dB 7 #
, $ : μ Iπ μ 2I . (3.110) B = ³ dB = 0 ³ sin α d α = 0 4π b 0 4π b / "
0 π, " α G dl , # * * #
, 0 π. G E " % " B
* % I
$ (. 101), !# # G B . ' " # # ( ). = "
# # " # $ (3.110) * D. 101 α1 α2 (. 102) " % μI (3.111) = 0 ( cos α1 − cos α 2 ) . α1 4π b =# % " " , " "# R, G I (. . 103). =# # dl α2 , $# r I α2 7, " %. 7 x " % . G D. 102 & dl I 7 , ! " % " " A – – E μ dl dB = 0 I 2 . (3.112) 4π r 245
G G G D $ dB ! dB& ! dB⊥ G . F dl # # , . . G ¦ dB⊥ = 0 . G dl G G dB r dB⊥ R I
β 0
β
x
A
G dB&
D. 103
G F % " " B * !
, " R R , = ³ dB cos β = ³ dB = ³ dB 2 r R + x2
r = R 2 + x 2 . F # $ (3.112) " " : 2π R μ μ0 I R R2 = . (3.113) B= 0 I dl 4π R 2 + x 2 3 2 ³0 2 R2 + x2 32
(
)
(
)
; ( : G G μ pm B= 0 ⋅ , (3.114) 2π R 2 + x 2 3 2 ( ) G G G B pm " pm — !# " # . I F x = 0 (3.113) (3.114) " % % : G μ 0 I G μ 0 pm B= , B= ⋅ . (3.115) D. 104 2π R 2π R 3 / * $ # % " " . 104.
246
§ 91. "#$ -&. -#!, &#,#!$#, ##'
, # " , ,
1: G G G dF = I ª¬ dl , B º¼ , (3.116) G " I —
, B — " % G $
dl . G ! # dF = BIdl sin α , (3.117) G G " α — " $ dl B . ' # (
" ): E " ! , *# # " " !, # # # !% #
, " " # 90° * !( % $ # . G " # , % G G B
( B = const). B " " " F = BIl sin α , " l —
, , α — " $ G B . / ! , I1 I2
!#, * G B1 #, #
G G F12 F21 I1 I 2 , $#
b " " (. 105). F !
I " G % B1 ,
II I 2 . ' G % B1 * -
b I
II
D. 105
G . '
II F21 ,
. / . 105 ,
II "
I. " $ , $ !,
I "
II. * , I1 I 2 , 1
G (1775–1836) — % . 247
" " ",
$#,
" " . F # $ (3.115) (3.117) # , " α = 90°, , I2: μII dF = I 2 B1dl = 0 1 2 dl . 2π b ' % # I2 dF μ0 I1 I 2 = . (3.118) 2π b dl $ % # I1. '
( (3.118) % # / — (). 1 — " , #, # !#
* # $ " "
" , $# 1 " " , # *# $
, 2 ⋅10−7 ' $# #
. § 92. - ##- , -*$$#- D " ! a b, I. D " , G G " % B " α ! n . D $ O G ! ! ! F2
;; (. 106). # , " !# G I F3 G # , # , G B
$# F1 ( : α G G G n F2 = F4 = IBb . a b G pm #, G F4 !# # , $ O # " " G G D. 106 F1 = F3 = IB ,
$ # * . ) , = = IaBb sin α = ISB sin α = pm B sin α , (3.119) " S = ab — ! , pm = IS — " # . J (3.119) $ ! : 248
G G G M = ª¬ pm , B º¼ . (3.120) G F M $
! ! ;;. C " , #, , # " " "
! , *
* ! ! $. D * " ! * ! " " * !( %.
§ 93. 1%0 ,# -*$$# $!%0. #- # 0%0 " # $ (3.16) " G " " % B G G G dl , . . v³ Bdl , # . l
G =# %% B "
. F ! I
, $ R G . 107, # I dl $ R $ dα G G $ . = B ! $B . =# $ G dl . D. 107 G G Bdl = BdlB , G G " dl — % dl B . = " dα dlB = Rdα , " G G ³ Bdl =³ RBdα . l l " (3.110) G G 2π μ IR μI B= 0 ³ Bdl = ³ 0 dα = μ0 I . (3.121) 2π R 0 2πR l C #
, G G ³ Bdl = 0 , l 249
# n
I1 , I 2 , …, I n , G G n Bdl = μ0 ¦ I i . (3.122)
³
i =1
l
K (3.122)
! #, # # *# . ; %% (3.122) * . C * #
" , I i ¦ I i * , — . J (3.122) "* # $ # G %% B : / , $# ,
, μ0 . ' , %% $ " G G ³ Edl = 0. l
& . h% " % G G ³ Bdl ≠ 0 l
. G " . § 94. *$$# #$#! ##! & # ( , * !(
. G " * , # $# , $ *# ! ! * !(. C G B l " * !( " d ( . . 3 2 l >> d ), # # ( — * #). F G l %% B " 4 1 % * " D. 108 (. 108). / # , " G B !# " . = "
! " ! 1–2–3–4, # % . F (3.122) (: 250
v³
G G 2G G 3G G 4G G 1G G Bdl = ³ Bdl + ³ Bdl + ³ Bdl + ³ Bdl = μ 0 NI , 1
l
2
3
4
" I — , N — , # # . 2 4 G G G G / " # ³ Bdl ³ Bdl *$ #, 1
3
G
B 1–2 3–4. / "
1
G G
³ Bdl
$
4
$ *!, ! % " "
! . * , G G 3G G ³ Bdl = ³ Bdl = Bl = μ 0 NI . 2
C * ! N l , % #, % " " B = μ0 nI . (3.123) / , " * " , . " * , # !% (. 109). F ! R — , r —
! " " , # " . = "G " B ! $ r . F (3.122) (: 2 πr G G ³ Bdl = B ³ dl = μ0 ¦ I . r1 R l 0 G r2 ¦ I = 2π RnI , " r B G G ³ Bdl = 2πrB = 2πRnIμ0 n=
l
% " "
:
B = μ0 nI
R . r
D. 109
(3.124)
F r r1 r2 . " (3.124) "
#. = " . 251
§ 95. #$0.
,'$ '$$3: 0 , -*$$#- ' % q, $ " G ! v ,
!# * ( G
" % B , E % F. E % $ (3.117). B " ! , $#
(. 110): FA = NF , " N — *
. l = v Δt G v q0
S
I
D. 110
" F=
FA IBl sin α = . N N
(3.125)
q , (3.126) Δt " q — ,
Δt: q = q0 n v S Δt . 3.127) ;! q0 —
* %#, v — ! " $, n — % % %. $# % N = nSl . (3.128) F # $ (3.126) – (3.128) (3.125), G G G F = q0 B v sin α , F = q0 ª¬ v, B º¼ . (3.129) I=
252
E % % ! $ % " " . ' # E %
, %# $ !#,
, % !#. G G ) " " α $ v B π , E % F = 0, . . " $# %# . C " α =
π
, F = q v B
* % % 2 ! . = " $ % * " ! $ , R $
( m v2 mv , (3.130) = qvB , R = R qB " m — , q — %#. F * %# 2π R 2π m v 2π m T= = = . (3.131) qB v v qB ) # (3.131), * %# $.
π
> α > 0 , $ 2 h % " * " ! (. 111) m v sin α R= R qB ( " +q 2π m v cos α h= . (3.132) qB
C "
G B
D. 111
§ 96. GG I#1 F (
) G , " j (. . 112). D ! % $ 1 2, $# $ " #, . F G " , % " B . G$ 1 2 ! % Δϕ. 1
& * ^ (1855–1938) — . 253
_
%
(
), , " " , , # 66 @ . G 1 E b G 2 j G B D. 112
& ^
! " , $ q E % F = q v B, " ( ) $ " #. F #
G $ ! E . F % % q v B = qE . ! $ v $ # ! (3.72): j v= . qn " jBb Δϕ = Eb = . nq = * 1 =R, nq Δϕ = jRBb , (3.133) " R — ^ , , " " . / " # $ , ! % Δϕ % ! " %. ; Δϕ , $
! % " " B . F ( ) ^ R
( # ).
254
§ 97. *$$3 #. #- /% ! -*$$#*# = G dS # dΦ, B α % " G n " ! (. 113): G G dS dG = BdS dG = BdS cos α . (3.134) G " # Φ — , D. 113 #* G n dS. = / " # * (=*). 1 =* — " # % 1 1 2, % . ' " #
! ! S (. 114). F ! G B #, ! " # S G B # ! S, !
# , . . Φ1 — α2 ! Φ2 — # — #. G G " $ ( ! n
n2 " " ! α1 (cosα1 ), # — # (cosα2 ), # " # nG 1 ! : G G D. 114 (3.135) ³ BdS = 0. l
K (3.135) "* # $ # : $ $ $. / (3.7) (3.135) , " # . / #, " # . § 98. F#, #,C- & &-@$ &#,#!$ #$% ##- , -*$$#- F
ab l $ ! ! ( 1 2, # ! %! (. . 115). B $
# : FA = IBl , 255
" B — ! % " " " , "
; I —
. F ! # G
dx. FA l F ( * G B dA = FA dx = IBldx = IBdS = IdG , (3.136) I 2 b " dS = ldx — ! , #
; d Φ = BdS — "D. 115 #
! ! dS . + * , ( $ " ! " 1–2–3–4 I " (. 116). F
, G G G G
, # ( F12 , F23 , F34 F41 ). G G F ! F34 > F12 $
. D * dx
1
a
7 = 712 + 723 + 734 + 741 . D * G F23
2–3 1–4 2 3 3′ , 2′ G G G G F34 F12 # F23 F41 G Φ Φ2 Φ′ 1 B # . " * , ( 1 I 4 1′ 4′ G F41 7 = 712 + 734 . D. 116 = ! (! (3.136), *
1–2 3–4: A12 = − I (G1 + G ') , A34 = I (G2 + G ') ,
" Φ1, Φ′, Φ2 — " # , # ! , $ $. ; # , ,
1–2, $. " * A = − IG1 − IG′ + IG2 + IG ' = I (G2 − G1 ) = I ΔG . + # ! # $, * # $ ! dA = IdG . (3.137) D * " 256
# I " " dΦ , % " . =# $ (3.137)
! #. / $ ! ! , $, G
" % B . = , *
" , $ " .
257
A B " "! 48. F #
I1 = 50 A I 2 = 100 A
$# . D $
d = 20 . + ! " % B , r1 = 25
" r2 = 40 "
. C$. # " " "
*
$ , % # # $
. G G = B1 B2 !# $ , # %
r1 r2 . ' G G B1 B2 # * . " % % % " " G G G = B1 + B2 , G G " B1 — " % , B2 G I1 ; B2 — " %,
$#: I1 = 50 A I 2 = 100 A d = 0, 2 r1 = 0, 25 r2 = 0, 4 B=?
G B
β G B1
A
r1 α C
r2 B
d I1
I2
B = B12 + B22 + 2 ⋅ B1 B2 cos β , G G " β — " $ B1 B2 . /
D. 48
,
I 2 . G %
# G μμ0 ⋅ I1 ½ , 1 = 2 ⋅ π ⋅ r1 °° ¾ G μμ ⋅ I 2 = 0 2 .° 2 ⋅ π ⋅ r2 °¿ G G ! B :
= cos (180° − α ) = − cos α .
"
β = 180° − α .
F
cos β =
) " α , ( " ! B: r 2 + r22 − d 2 cos α = 1 = 0,9125 , 2 ⋅ r1 ⋅ r2 258
! 2
B=
2
§ I1 ·§ I 2 · μμ0 § I1 · § I 2 · ¨ ¸ + ¨ ¸ − 2 ¨ ¸¨ ¸ cos α = 2π © r1 ¹ © r2 ¹ © r1 ¹© r2 ¹ 2
2
§ I1 · § 2 ⋅ I1 · μμ0 § I1 · § 2 I1 · = ¨ ¸ +¨ ¸ − 2¨ ¸¨ ¸ cos α = 2π © r1 ¹ © r2 ¹ © r1 ¹ © r2 ¹ 2
=
2
§ 1 ·§ 2 · μμ0 I1 § 1 · § 2 · ¨ ¸ + ¨ ¸ − 4 ¨ ¸ ¨ ¸ cos α ; B = 21, 2 . 2π r r © 1¹ © 2¹ © r1 ¹ © r2 ¹
,: B = 21, 2 .
"! 49. ) ( l = 20 $ N = 100 . F
* ( I = 5 . B ( d = 20 . + " % B , $ ( a = 10 % . C$. " (3.113) % " " "
" μ0 R 2 I , B= 3 2( R 2 + x 2 ) 2 " R — "
" ; x — , %, . F ! $ !: μ R2 dI dB = 0 ⋅ , 2 2 (R + x2 ) 32
$#: l = 0, 2 N = 100 I =5 d = 0, 2 a = 0,1 B=?
IN dx — # "
, # l dx (. B $ % ( * " ! dB x x = a x = a + l :
" dI =
( a +l )
B=
³ a
μ0 R 2 IN 2
dx
l (R + x ) 2
2
3
= 2
; : x = R tg z, dx =
μ0 INR 2 2l
(a+l )
³ a
dx ( R + x2 ) 2
3
.
(1)
2
R dz, " cos 2 z 259
R3 . cos3 z D( " (1) (2), a +l a +l R arctg arctg dz 2 R R 2 INR μ0 INR 2 μ 1 cos z = 0 B= cos zdz = ³ a R3 2l 2l R 2 ³ a arctg arctg R R cos3 z μ IN § § a +l · a· = 0 ¨ sin ¨ arctg ¸ − sin ¸ . 2l © © R ¹ R¹ (x2 + R2 )
sin α =
tg α 1 + tg 2α
3
2
3
= (1 + tg 2 z ) 2 ⋅ R 3 =
,
§ a +l a ¨ μ0 IN ¨ R R − B= 2 2 2l ¨¨ l § a+l · §a· 1 1 + + ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ © R ¹ ©R¹ © x · μ IN § a+l a d ¸. = 0 ¨ − 2 2 2 2 D. 49 2l ¨ R + (a + l ) R + a ¸¹ © K , ( , " § · ¨ ¸ μ0 IN ¨ a+l a ¸ ; B = 380 . B= − 2 ¸ 2l ¨ d 2 d ¨¨ + (a + l ) 2 + a 2 ¸¸ 4 © 4 ¹ ⋅ =* = = 2 = . [ B] = 2 ,: B = 380 .
a
(2)
· ¸ ¸ ¸= ¸ ¸ ¹
"! 50. F " "
α = 30° $
R = 1,5 . /% " " B = 0,1 . ' " Ek .
260
C$. ' , $ " , E % (3.129): F = qvB sin α , m = 1, 67 ⋅10−27 " " v — !, q — . = # α = 30° E %
, R = 1,5 ⋅10−2 ! , '!
*B = 0,1 ! an: Ek = ? mv 2 F = man = , R " m — . mv 2 , = " qvB sin α = R qBR sin α (1) v= ; v = 72 /. m ! " !( , " mv 2 Ek = (1) 2 m (qBR sin α ) 2 ( qBR sin α ) 2 Ek = ; Ek = 4,3 ⋅10 −18 B$. = 2 2m m2 ,: Ek = 4,3 ⋅10−18 B$ .
$#: q = 1, 6 ⋅10−19 )
"! 51. ) !# *! * * R = 10 , ! $
. # I *
#
$ #. + " % 1 2 (. ), # * r1 = 5 r2 = 15 , I = 0,5 . C$. G " ! " *
* % , . . " # # $ , % # # $ *, r1 = 5 ⋅10−3 # . & ,
−3 "
! B r1 = 15 ⋅10 . B " % B1 = ? B2 = ? %% B ( (3.122)): G G G G (1) ³ B1 dl = ³ B1 dl cos B1 ^ dl = B1 ³ dl = 2πr1 B1 = μμ0 I .
$#: R = 10−2 I = 0,5
(
)
261
2
= " ! ! $ !, 1. G B1 !
, G G cos( B ^ dl ) = 1 . / # $ (1) " % r1 *:
I
1
I
D. 51
B1 =
μμ0 I ; B1 . 2π r1
" B2 , ! " $ !, 2: 2πr2 G G (2) ³ B2 dl cos B2 ^ dl = B2 ³ dl = 2πr2 B2 = μμ0 (I − I ) = 0.
(
)
0
+ B2 = 0 . " # #
$ # , "* (2) . ,: B1 = 20 , B2 = 0 . "! 52. F
I1 = 10 . =
$ I = 5 a = 3 x0 = 5 *$ ( #
. + * , " " . C$. = " " "
* " , % " x (
): μμ0 I1 B= . (1) 2π x * , " . B * # dx
! (3.137): dA = Id Φ , (2) " d Φ = Badx . # $ (1) * # ( μμ0 II1 dA = adx . (3) 2π x
$#: I1 = 10 I =5 a = 0, 03 x0 = 0, 05 A=?
262
D * " " : x0 + a μμ0 dx = A= II1a ³ 2π x x0 =
μμ0 x +a ; A = 14 B$. II1a ln 0 2π x0
+ + + +
G F3 O
G B
+ + + +
I
G F1
G B
G F2
a
+ , G F4 O x0 $
" : (
I1 G G
" OO # F1 F2 D. 52 G G " π . F " F1 F2
$ " !
. ,: A = 14 B$.
263
16
/ ; § 99. *$$3 -#-$3 )#$#, #-#,. #- , -*$$#-
" A –; ! # $
* # . B , * $ r (. 117). B $ G * * ! pm Li = mvr, e m # r . G v I B $ * "
ev , I = ev = G 2π r Li " e — ; v — ; v — D. 117 ! . ' $
$#, . . % !#. G " # "
" evπ r 2 e v r = , pmi = IS = 2π r 2 . ;! S — ! * #. G G G # pmi Li # * # # , % , # #. + ( " " " # 9: pmi e =− . (3.138) Li 2m = * ! " " " " G G pm L # #
" : z G z G G G pm = ¦ pmi , L = ¦ Li , i =1
i =1
" z — #
G 1. 1
264
B / G (1834–1907) — .
F " # * !# *" " #
. D : " , !#
*$# " # , " . . # , * !# * # ( #) " # #. & — " P
, . B , G G B " % B . ' # G
* #, # * « pm » ( ) (. 118), , # G G G G M = [ pm , B ] , α M M = pm B sin α , (3.139) " pm — * !# " # G G O ; α — " $ pm B . α = ! " − e G G
# pm L ( %. ' G # G dL G G L ( pm L )
" G G dβ pm′ $ ( B ),
# ! (
D. 118 O "
2α. ; * G # $ dt * !# L G dL , ! " " (1.74) G dL = Mdt . (3.140) G G G = # dL M # , B G L . / (3.139) (3.140) # ! dL = pm Bdt sin α . (3.141) " #, . 118, dL = Ld β sin α . (3.142) dβ = ωL # $ dt . ' ωL # $ (3.141) (3.142):
+ (
265
pm B eB = . (3.143) L 2m E 1 " : $ ωL . = ! % # ! $G ,
* " " pm′ , G " " E% ,
$ B .
ωL =
§ 100. -*$,$ ,@,
=
, "
( " " . G G F ! B0 — % " " , B ′ — % ! " " " , "
. F % % ! " " * % G G G B = B0 + B ′ . (3.144) " : " , " " . ! " " ! " # %# *P " : G G ¦ pm j= , ΔV G " pm — " # #; ΔV — *P " . G = j # $ . D (. . 108) , " # " -* . F I *
G
" % B, #G $ (3.144), " B0 — " %, I, G B ′ — %, * . D ( B0 (3.123): μ NI , B0 = μ0 nI = 0 l " N — * ; l — . " " 1
266
B$ E (1857–1942) — " .
* % # ,
" * " # . & * " # G pm . D! , # # , " I ′, " G % " " % B ′ . G G = B ′
$ B0 I′ G " B0 " . C ! (. 119), " # ( # ) D. 119 # " " . ' # (! # *
, # * I′. G " " # $ B0 $ ! G μ N ′I ′ B′ = 0 , (3.145) l "
N′ — # % l
#; I′ — " . =# $ N ′I ′S N ′I ′S N ′I ′ = = = j ( Sl ) V l * " ! " j, " S — ! " , V = Sl — " *P. G G * , B′ = μ0 j (3.144) ( G G G B = B0 + μ0 j . F %% " % (3.122): G G G G G ' ³ Bdl = ³ B0 + μ 0 j dl = μ 0 I + I , l
(
l
( )
)
" I — I ′ — " , # " . G G / " # $
( ³ B0 dl = μ0 I , l
G G § B − μ0 j · G ¸¸dl = I . ¨ ³¨ l
©
μ0
¹
(3.146)
267
G G B − μ0 j G +* H = ,
(
)
μ0
G G G B = μ0 H + j ,
(
)
(3.147) G " H — $ ! " " . C% " $ " " (/). B " , ( !# " # , " ! G G j = æH , " æ – "
! (* ). " # (3.147) (
( $ % G G " " B $ ! H : G G G G G B = μ0 H + æH = μ0 H (1 + æ ) = μμ0 H . (3.148)
(
)
A μ = 1 + æ # $ # . G C ! ! H ,
(3.122) G G (3.149) ³ Hdl = ¦ I . l
=# $ (3.149) # " : $ , . G G = H *# % ! , j — G ( # ), " % B " . § 101. - &-*$-
8 —
" ,
( " , " , ,
$ . = (" " " * !# # " # # " (#, . . . F
"
( " ! % # * % !# " # G G pm′ , % !# " % (" B #
$ . F " #
" æ ≠ 0 % !# . 268
$! " , # $ " " , # " " . / , , # "
! æ
! # % !# , # ( , %, , !, " . .). G "
! " #. ' —
" ,
( " , " , . = (" " " %# " * # " # #, # . '
" " $ # " # . F "
( " " # # % "
! ωL , $ % . = !
"
! æ > 0 , . . " ! " . & , " , " , , " . $! " , # " , ! " # # . #( # % " # " . B )1: C æ= , T " C — ); T — . / , , "
! # ! #, $ !# , # ( , , , , . .). § 102. #, $ *$0 ! !,%: -*$#,
D , #
# " G G % B $ " " H " %
# " . B , " % , " % !
" " μ1 !( " % G G
" " μ 2 . +* : B1 — % H1 — $G G ! " "
" ; B2 H 2 —
" . =# " % " % 1
F! ) (1859–1906) — % . 269
! # Δh ! ΔS (. 120, ) G B (3.135): B2 n ΔS − B1n ΔS = 0 B1n = B2 n , (3.150) G G " B1n B2 n — % B ( ! n . G F B * ! % *"
" . / (3.150) , !#
G G B1 B2 #, . . ! "% !# . G ) ) n ΔS c G b Δh
μ2 μ1
μ2 μ1
G n G B2 n
)
μ2 μ1 BG
1n
G B1
α1
τ
a G H
)
l
d G B
α2 G
B2 G B2τ
μ2 μ1
G B1τ
D. 120
=# " % " * !( " !# abcd (. 120,*), # ab cd *$ G # l . F %% H (3.149), *" %% ab cd : H 2τ − H1τ = 0 H1τ = H 2τ , (3.151) G G G " H1τ H 2τ — % H1 H 2 τ . F (3.151) , " % "
. / (3.151) , "% !# G G H1 H 2 # * # " %# " . * , " %# " Bn Hτ # , Bτ H n — , # . 270
G G F ! B = μμ0 H , (3.150) (3.151) (:
B1n = B2 n ,
B1τ
μ1
=
B2τ
μ2
.
G G F B H " % " # . 120, . /
( tgα1 B1τ B1n = , tgα 2 B2τ B2 n # tgα1 μ1 = . tgα 2 μ2 G G F B H . ) . 120,", G $ H " " " % " ! , # (- # " ), " % G B ! . " % " G $ ! " % " B G H $
.
§ 103. L#-*$-
G — " *P ( " ), " # # !#
#. J "
* (
! ) " ! $ (" " " . J " , * " # - " , ! " # . G " , , $ #
! ( . K " μ >> 1 $ " ! #. J " * $ , * ! , " #
. J " * *#
* " . 8 —
* ! (1–10) ,
# " # # !#
. ' " # # #, (" # " # " " . F " " " " . ' " ,
- #, " % , # " #
271
# * " % (" "G " B0 ,
- #,
" # %# (" " " . )
B B1
1
2
3
)
μ
− B 0
+ B
B0 H D. 121
= ! " " #, " ! * % " (. 121, , 1–2). ' . 121, * $ " , ( . ' "
0–1. C !( ! B0, 1–3, . . " " (B) ( " (B0); # # . F " "#, " B0 = 0. *# " ! " , $ ! " " . /% B # ( % %). + * ! " ! " . A !( % (( " ) * 6 , !# " # " . G % ( " ) 6 , !# , " # % . . G " % ! μ " % $ H (. 121,*). F H " % ! , " μ max , *# , *$ ! %. + " ! " ( " ! " . B $ " " , # ( " " . & # !$. 272
A B " "! 53. $# l = 0,3 $ N = 300
. B d " !( " # l. + " % ! μ $ I = 0,4 . C$. G " % ! " % $ H " " ,
! " % " " B
H (. ). /
( (3.148) # " % !: B μ= . (1) μ0 H
$#: l = 0,3 N = 300 I = 0, 4 d n2 ),
, # " r * !(, " i (. 132). " " , " ( i = γ ) " $ # 90° . K" γ # . F " i > γ ! !
$ . & # . F!# " " $ n sin γ = 2 = n21 . (4.4) n1
n2 r
B
A
&
γ
i n1
S D. 132
302
π /2
C
§ 119. $3. L#-%3 #$# $3 > * # , " # ( , — ), # . F
# $# $#. E # , ( $
" ) ! !( , " . F , % # # #, # $. ; # # , $ "
*
,
! * . = , % # " " , # $. C ! ! " , $ , $ " #. & # 6 . D " " " % # # 6 #. F !, #, " , # 6 $. ; #
D # , * : 1 D= . (4.5) F + . ;
#, : 1 = 1/ . + * M # L A , — B . + S1 S F F O′ D # , - O′ O d f # , "*F * : N D. 133 D = D1 + D2 . = , * #,
## # ,
" # * . D * $ S, $ " * # (. 133). B " ! SO, ! " $ $ #,
!# 303
SA, # ! * += ! ! MN
= " ! S1. S1 * $ S. = * : d — S " % + #; f — * $ S1 " % +; F — #. SS1 AS1 = , ' . 133 " ! SAS1 OBS1 *#, OS1 BS1
d + f AS1 . / * " ! OAS1 FBS1 = BS1 f
AS1 OS1 AS1 f = = . = % # #, , f − F BS1 FS1 BS1 d+ f f . = f f −F +
fF + Fd = fd .
D fdF , #: 1 1 1 1 1 = + , D = + . (4.6) F d f d f F ! # (4.6) * $ ! " . D # ! $ !# (d > 0), #, % !# (d < 0), $ #. J * # — $ ! (F > 0), — % ! (F < 0). C ! (4.6) $ ! * $ # (f > 0), * $ ! $
$ # #. C $ $ % !#, * $ $ $ #, . J # $ ! # # R1 R2 , * : ·§ 1 1 § n 1 · = ¨ − 1¸ ¨ + ¸ , (4.7) F © nc ¹ © R1 R2 ¹ " n — ! #; n — ! #, . D=
304
§ 120. ##$ #F'$ , $: )
1′
3′
1 2 O′
O′
F
F
1
2′
3
1′ 1′ 1 )
1′
3
1
O′
F
O′
F
3
2 2 D. 134
B * $ ! -* # . / * $
! * $ !# " . F * $ ! , # . 134 ( — * ; — ): 1 — , ! " , * " # * #, , " $ " # #; 2 — , # " # * #, ! " ; 2 , 305
" $ " # #, ! " ; )
M A
O′
O″ S1
S O
F
F
O′
O″ N )
M O″ O′
S1
S
O
F
O′
A O″ N D. 135
3 — , % #, $
!
" . G $ ! * $ * , ! * # . F
* ! +′′+′′ * " (. 135).
, !# * +′′+′′ . F # " $ 7 * +′′+′′ ! ! # MN. =
" , * . ( $) ! * $ S1. 306
D # * $ * #. F * AB, " * $ A1B1. d =∞
)
F
F O′
O′
O
d > 2F
)
A
2F
O′
F
F
B
B1
O′
O A1 d = 2F
)
A
O′
2F B
F
F O
2F O′ B1
A1 D. 136
1 — * # (. 136, ). + , !# " #. F #. 307
2 — $
# ( d > 2 F ). F * $ (. 136,) – ! , * !( . )
)
A
A
F
B1
F
B
F
F
O
B
O
A1 D. 137
3 — $
( d = 2 F ). / * $ (. . 136,) — ! , * ,
! . )
)
A1
A
A A1
F B1
O
F
F
B
B
O
F
B1
D. 138
4 — $
# #. / * $ — ! , * , (. 137, ). 5 — " ! #. E # # !# (. 137,) " ". / * $ * . 308
6 — $ . / * $ — , , $ # #, (.138, ). F * $ . 138,. D " , !( * $ , $ $ " # $ #, . + ( # * $ h1 # h # # #: h f \= 1= . h d * * $ ! " , " # * $ * !( # . D ! !( * $ . K $ !#, " h h1 " # ( * $ , ), % !#, " h h1 # # " # ( * $ , ! ).
309
A B " "! 62. S ! d = 3 , . ' $ S * $ S′. C$. = " , # * $ * # "# i. F $ S′, * $ S. D , # # S " SD SB. E SD ! , SB, $# (!, # ! SO. F OA ! SD. / " SS′CO SS ′ = OC = d − h . (1) + h = AC # # d n. ; , *#
O , i " * $ ! *# C. D 7 / " ! OAB CAB h tg r & r = . (2) d tg i i d = " i r ( tg r sin r S′ ≈ . (3) tg i sin i r = ! 0 (4.3): i sin r 1 = , (4) sin i n S !
D. 62 # 1. " (2)–(4) h 1 d = h= . (5) n d n F # $ (5) (1), : ( n − 1) d . SS ′ = n ,: SS ′ = 10 −2 .
$#: d = 3 ⋅10−2 n = 1,5 SS ′ = ?
310
"! 63. " ! ! n = 1, 6 " ϕ = 45° . ) $ *# ! * !( " * " ! #, *# # " # * ! $? C$. F $ " , " * ! " ! AC (. ) " , # * !( ! " " " $. F!# " " $ (4.3): sin i0 1 7 = , sin (π / 2 ) n
$#: n = 1, 6 ϕ = 45° i=?
ϕ
i0 = 38°40′ . / ΔMNO , " i0 , " r : r + i0 = ϕ = 45°, r = 6°20′ . sin i = n , sin i = sin r = n sin r " i = arcsin ( n sin r ) , i = 10° . ,: i = 10° .
i
M
i0
r
ϕ
N
π 2
O &
D. 63
"! 64. J #
F1 = 0,5 . ' # F2 , "$
, ! , " , n = 1, 6 .
$#: F1 = 0,5 n = 1, 6 n = 1,33 F2 = ?
C$. / ! # (4.7) n = 1 , # $ " #
: R1 R2 F1 = . (1) ( n − 1)( R2 + R1 )
F n = n , # $ " #, "$
: R1 R2 F2 = . (2) § n · ¨ − 1¸ ( R2 + R1 ) © n
¹ 311
D (2) (1), ( n − 1) F2 , = F1 § n · ¨ − 1¸ © n
¹ F2 =
,: F2 = 1,5 .
312
( n − 1)
§n · ¨ − 1¸ n ©
¹
F1 , F2 = 1,5 .
21
L 1B § 121. ,$$ ,#,# ,#$3. #, $G$0#$$#*# --%- -$-%- — "
, $
10 1 . / G
# *# # G G E = E0 cos(ωt − kx), (4.8) G G H = H 0 cos(ωt − kx), G G " E — $ " ; H — G G $ " " ; E0 , H 0 — !# ( #) G G 2π 2π E H ; ω = — % ; k = —
λ " ; (ωt − kx) —
#; T — * ; λ —
#. G = E # , " ( ", , ") ## * " . X6 — $ " #
, ! " * * ". F % * $ * # # # !% . / ! " !
#, # #, #
# % G G E H .
# # . = , , ! # " " , # . F ! S1 S2 (. 139) M " #
#: t x E1 = E01 cos 2𠨧 − 1 ¸· = E01 cos ϕ1 , x2 = l2 n2 λ¹ T © x1 = l1n1 t x E2 = E02 cos 2𠧨 − 2 ·¸ = E02 cos ϕ2 . ©T λ ¹ S2 = G $
* %. S1 F % %, D. 139 ! * : 313
E02 = E012 + E022 + 2 E01 E02 cos Δϕ =
(4.9) l n −l n · § = E012 + E022 + 2 E01 E02 cos ¨ 2π ⋅ 1 1 2 2 ¸ , λ © ¹ " Δϕ = ϕ2 − ϕ1 — ! " #
; l1 l2 — S1 S2 =; n1 n2 — , #
#; nl — . ! " E0 ! , cos Δϕ = 1 , . . " ! Δϕ = ±2π
l1n1 − l2 n2
λ
= ±2kπ ,
(4.10)
" k = 0, 1, 2, 3, ... — % " . / # $ (4.10)
δ = ± ( l1n1 − l2 n2 ) = ± k λ = ±2k
λ 2
,
" δ — !
. [ , = $ ( 6). ! " E0 ! , cos Δϕ = −1 , . . " ! (4.9) Δϕ = ±2π
l1n1 − l2 n2
λ
= ± (2k + 1)π ,
δ = ± ( l1n1 − l2 n2 ) = ± (2k + 1)
λ
, 2 " k = 0, 1, 2, 3, ... — % " . [ , = $ ( 6). / ! I ~ E02 , (4.9) I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos Δϕ .
B ,
#: I1 = I 2 . C cos Δϕ = 1 , I = I1 + I1 + 2 I12 = 4 I1 ,
. . % # !
# . C cos Δϕ = −1 , I = 0 , " ( . 314
§ 122. $G$0#$$# $3 # !,%: #*$$3: #$#, / " S1 S2
n = 1 d " " (. 140) l &. F ! l >> d . =#
! G, $
x . '
#, +, S1 S2 , G S1 l1 , S2 — l2 . ' , G * I . / " ! AS1M BS2M (: 2 d· § l12 = l 2 + ¨ x − ¸ , 2¹ © 2
d· § l22 = l 2 + ¨ x + ¸ . 2¹ © x
M l1 S1
l2 l
d
S2
A x d 2
O d 2 B &
Δx
I
O
&
D. 140
=#
" , 2 2 d· § d· § l22 − l12 = ¨ x + ¸ − ¨ x − ¸ = 2 xd 2¹ © 2¹ © (l2 − l1 )(l1 + l2 ) = 2 xd .
315
F d A2 > A3 > ... > Ak . ' ! * D, !
# $ (4.22): A A A A A A A = 1 + ( 1 − A2 + 3 ) + ( 3 − A4 + 5 ) + ... ± k , 2 2 2 2 2 2
A A (4.26) A= 1 ± k , 2 2 . . " #, * , # . C k , (4.26) * , — . K
*
JA k → ∞ Ak → 0 , " A = 1 . ! 2 * # % ! # J. ! # J ! , ,
, . . . * , ! % $ *P ! ! . !, ! $ $ " " $ .
329
D !# $ J G. ' % !% , $# % J. F ! !% # ! # # J (1, 3, 5 . .). " ! A = A1 + A3 + A5 + ... *D. 150 D * * !(, ! #
#. D
! * . ; * * . " $ " ! , " # # ! # # J. ' . 150 , # # # #. C * !( 6 ,
#
#
# . F , ! # . ! $ !
#. C ! $ " . § 130. G0 $ #!$#$#- #, )$
A R
ρk
S
" S
"# ρk (. 151). D! * D * ! k , (( . / " ! D (: ρk2 = rk2 − (r0 + hk ) 2 =
& rk
M r0
C
P
hk
D. 151
= rk2 − r02 − 2r0 hk − hk2 .
hk 0 ! G E′ G E ′′
E * O′–O′, ϕ
#
Δϕ ϕ + Δϕ (. 178). " Δϕ 2
# $#. C 2 v′ > v′′ , Δϕ < 0
* # $#. ) " ! v′ = v′′, 66 O′ O $ , #
. D. 178 ' # , #, *
! ! % " . & 66 G . F "
% ϕ = VHl , " H — $ ! " " ; l — ! ; V — = (! " ). = % * " # . F
( "
% # * ,
!
. = *P
G G
% - #
E ′ E ′′ , " % #
, " " . K (4.46) $ % %
# ( ), # ( ! %, * #( .
δ = l (n′ − n′′) = lc ¨
355
A B " "! 69. K" $ r = 35° . + ! ! $ , $# ! . C$. F $# ! . & " , " $ ! " A (4.41): n n2 = ? tg iA = 2 . (1) n1 ; ( (4.3): sin iA n2 = . (2) n1 sin r F # (1) (2): sin iA sin iA = , sin r = cos iA . cos iA sin r
$#: r = 35° n1 = 1, 0
, " iA + r = 90° , " iA = 90 − r = 55° .
/ (2) n2 : n2 =
sin iA sin r
,
n2 =
sin 55° = 1, 43 . sin 35°
,: n2 = 1, 43 . "! 70. = ! !( ! " , ((" , " $ " # *# 30° $ ! 10% " " ?
$#: ϕ = 30° k = 0,1
I0 =? I2
C$. C # $ ! $ " #
, # #
# # , . . I 0 = 0,5 I ⊥ + 0,5 I & ,
" I 0 — ! " , I ⊥ I & — " , # G * $ " E # !# . 356
F * , !# " " , ! # I & , ! $ * , # , ! # I ⊥ . ' #
" # , ! " I1 " $ I1 = 0,5 I 0 (1 − k ) . (1) F $ " ! !( " $ % " ! %. G I 2 = I1 (1 − k ) cos 2 ϕ . (2) F (1) (2), I 2 = 0,5I 0 (1 − k ) cos 2 ϕ . 2
(3)
/ ! (3), !( : I0 2 = . I 2 (1 − k ) 2 cos 2 ϕ F # , I0 = 3,3 . I2 ,: ! !( 3,3 .
357
24
B § 141. #$$ # !& ; ! n # ω #
# λ # . & ! , , $ * " . ' * $ , # dn . D ! , " >0, dω dn ! < 0. dω F G * " #
#. F
## #$# * . =# # $ # * !, " #
. B # #$# * " . " (1.139) #$# * (: F eE d2x eE (4.47) + ω0 2 x = 0 cos ωt = 0 cos ωt = , 2 m m m dt " F0 — #, #; e, m — ; E0, E — " $ "
#; ω — % *
; ω0 — * * . K (4.47) * , * " "
#. B " # E % $ *"
. D( (4.47) eE x= . (4.48) m (ω02 − ω 2 ) + # # . F "
# %. F ! " G (3.204) n = εμ , . . μ ≈ 1 , n = ε . B % ! " P ε = n2 = 1 + χ = 1 + , (4.49) ε0E 358
" χ —
!; P — ! %. G ! ! " , ( " #$# * p = ex, " x — " . G ! % P = Np = Nex , (4.50) " N — % *P . F # $ (4.49) (4.50) (4.48), P Ne 2 1 = 1+ . n2 = 1 + (4.51) 2 ε0 E ε 0 m ω0 − ω 2 C ! , (4.51) (
Ne 2 1 . n2 = 1 + (4.52) ¦ 2 m ε 0 i ω0 i − ω 2 " ω0i — * % . ' (. 179) %, n 2 b
# (4.52). C * ω0 ω , % a # ( * ). ' # ! # - 1, 0 d * , " % * ! , # (. 179) ( c . 0 ω0 ω K
ab cd
D. 179
* , . . # ω ! n . K
bc *
, . . ω ! n !( . ! * ,
" . F ! n ≤ 1 , . .
# * !( #
# ! v * !( . &
% ! ! , . . !, + — ! ! " " !. / , , .
" " ! , # $ 359
! % ( $) "
# , . . . =
#. C ! "
# ( #
#), * . F
#
!
#. = " # "
#
" . ! #
" , " ! ( ,
, # $. D ! $ "
v"
v : v" = v − λ
dv . dλ
(4.53)
dv dv > 0 ( ! ), v " < v ; < 0 , dλ dλ dv v " > v ( ! ). F =0 dλ " !
. = ! # , " !
$ *# ! * !( . +* !
! # * # * ! * . +* ! ! ! " .
C
§ 142. #*#@$ , ,@,#K!( "
# $
!
# # . #
"
- . , *# , * " ! #
. + !# $ $ . F " ! "
#
" , ## " " , " " (6$ ). D " d,
(. . 180). =# dx,
" . B * #
" , (("
! , % ! dx Ix : 360
dI x = −α I x dx , (4.54) " α — % " ,
" "
. ; # $ (4.54) # *# . D # (4.54) " " , ` 1. I d dI x −α d (4.55) ³I I x = −α ³0 dx , I = I 0 e . 0
" I 0 — ! ; I — ! # #. / A" , ! d , "
! , !( . ) % " { " . B $ " ! %- I Ix I 0 α #
#, # #. # * !( " !# x dx # !# ( " ). D. 180 # $ # * ( # " .
1
F! A" (1698–1758) — % #. 361
25
B " B § 143. &#,# %$. "#$ :*#G " # " , * " .
"
*# #( * " . C " ! ! $ % * , ! * " $ :
", " % ,
#. " # , ( . ! $ # " . # . )
" dW, % , # : dW . Φ= dt $ R # ( S " : Φ R = . S &" ! # (= /2). ' " " #
# #
#. ) $
# * ". !# $ rλ, T ( ! * !): dR rλ ,T = , dλ " dR — " ! ( d λ . +# # # , ! ! " #
# λ # T . ; rλ ,T , $ " ! ∞ R = ³ rλ ,T d λ . (4.56) 0
362
F " " # $ ( % " ): Φ′ α λ ,T = λ ,T , (4.57) Φ λ ,T " Φ λ ,T — " "
; Φ ′λ ,T — , " # . ) % " #, #
# # . / # $ (4.57) , α 0 1. , % " "
( ) %, # . $ , # * , ! . % # " , * %. G ! " $ $ ! # ( D. 181 * !( (. 181). E " " $ " " ! , ! #((" . , " % " !( %#, # . ) ! $ " !6 : "
( ! " ! " ! *
! " " rλ ,T : r1λ ,T
α1λ ,T
=
r2 λ ,T
α 2 λ ,T
= rλ ,T = f ( λ , T ) .
(4.58)
& ( ! % )" f(λ, T) #
# λ # T. / )" , $ "
, . § 144. "#$3 %$ $#*# ; ! ! " rλ, T " #
# λ T *# ! (. . 182). ) ,
" ( , # ( T3 > T2 > T1 ) ! * ! . # # #
" " . 363
&6 1–` : R $ : R = σ T 4 , (4.59) " σ = 5, 67 ⋅10−8 rλ ,T
= — –A !% . 2)4 / . 182 $ , # rλ ,T T3 > T2 > T1
λm 3 λm 2 λm1
λ
D. 182
*
. # 2: λm, $# $ rλ, T , $ :
b′ (4.60) , T " b′ = 2,9 ⋅10−3 ) — = . : rλ ,T
λm =
$ : rλ ,T = b′′T 5 ,
(4.61)
= — " = . 3 ) 5 = , " " # . & ! ! ! " #
# # *P ! !.
" b′′ = 1,30 ⋅10 −5
1 2
364
(1835–1893) — . =!"! = (1864–1928) — % .
§ 145. L#-% $ 1
= 1900 ". G. F # " , " " " # % — . &" c E = hv = h , (4.62)
λ
" h = 6, 625 ⋅10−34 B$ ⋅ — F ; v — * ; λ —
#; c — ! . " " F ", "
, $ ! (! # , # % hv . B ! % )" F # 2π hc 2 1 rλ = , ,T 5 λ exp [ hc /(λ kT ) ] − 1 rλ ,T =
2π hv3 1 , 2 exp [ hv /(kT )] − 1 c
(4.63)
* " # # # " "
( ) . ;! k — A !% . ; # –A !% = , $ #
σ , b′ , b′′ $ # ! F (4.62), (4.63), !# # h , k c . ; #
" ! # # . § 146. L##) )GG 9 666 # #* . =( *# # 1887 ". . %. J !# # # 1888–1890 "". . #2. ! . 183.
, ), ## " #, # (" " " ! . ' $ $ " ! % D !
! V. , # , " " ! , " " ! G. 1 2
G F (1858–1947) — % . " ! (1839–1896) — . 365
' . 184 ! $ %. $ U I $ , " G # I. ; #
n, ## # V % : P I = en, " e — . − + F U = 0 % # , ! ! D. 183 , . C ! ! , # * ! U = U ( $# ) . " " $ !: mv 2m = eU , 2 " v m — ! ! ; m — . +# # # (" : - ! ! , " ; - $ " ! v, * ! ; 666 ; - # % ! . =( *#I % :
10−9 c . I / ! " G. F ( ) " " , . &( 1 * (" . J #, ,
0 U U ", * # A # D. 184 " : hv = A # + Emax , (4.64) K
A
" hv — " " " ; Emax — ! " . 1
366
!* &( (1879–1955) — - .
) " % A v = # . (4.65) h =( ! , # ( : , * $ " , ,
. . 666 ,
!
# . =
, " " "
#
. 666 ( ! " ) * -# "
. F
# #, # p-n- $ # # #
* $ . J
" #
. ' !# * # # * *
# *. ' # !# # !# . / ! " . § 147. L##$. ,$ , F # , " # % ( ), # 6. &" c E = hv = h .
λ
J — %
, * $ ! . /! E hv h = . p= = (4.66) c c λ J * " ! ( #
%#) (
). F - * !,
! , #
. 367
F ! % % n . ! $ !, ! " . +* ρ % $ , " ρn- $ # , (1 – ρ)n- " # . ) $# $ # !: hv § hv · 2hv −¨− ¸ = , c © c ¹ c $ !
$#. hv ) $# " # ! . B c P ! !, # % n : 2hv hv ρ n + (1 − ρ ) n P= c c E nhv P= (4.67) (1 + ρ ) = 0 (1 + ρ ) = ω (1 + ρ ) , c c " E0 = nhv — " , %
% ; ω — *P ! ".
*# G " # F. E* #1
1901 ". C # # ! ! , 5 ⋅10−6 F , ! !( ! " " . § 148. GG #-&#$ 66 ! 2 — #
# ( #) "
"
. / " , ) * $ "
# " λ #, * !( ,
λ ′ .
$ * ! !
# "
. & ) $ *P !,
* # ( * #) . F 1 2
368
F ' E* (1866–1912) — . ^ ) (1892–1962) — .
!
" . " c E = hv = h ,
λ
$ !( ! v " * , . . !
# λ . G / #
# mv
−e, m $ !, ! hv c # " - 6 θ ! . F hv′ c ": 2 2 D. 185 hv + m0 c = hv′ + mc , (4.68) " hv — " "
; m0c2 — " " ; hv′ — " " ; mc2 — " ( ). F ! , ": G G G p = p ′ + pe , (4.69) ′ hv hv , p′ = — ! " " " p = c c
; pe = mv — ! ! . / ! . 185, ( ! (4.69) : 2 2 h 2 vv′ § hv · § hv′ · (4.70) m2 v2 = ¨ ¸ + ¨ ¸ − 2 2 cos θ , c © c ¹ © c ¹ " θ — " . D( (4.68) (4.70) # , m0 m= , 1 − v2 c 2 $ ! #
# Δλ : 2h θ θ sin 2 = 2k sin 2 , Δλ = λ ′ − λ = (4.71) m0 c 2 2 h = 2, 43 ⋅10 −12 — ! ( m0 c
#).
" k =
369
'#
# λ * , # . § 149. #&%%$#-,#$#,# !%- , & "
: #, *
#
, * , %, %, %, " #, # % , # ,
, ) . . B $ *P !
,
.
,
% . ) % " . "
—
, # ! . B — # *"
,
" .
370
A B " "! 71. G " "
# λmax = 0,80 . ' " ! . C$. F –A !% (4.59) $ ! " ! : R = ? R = σ T 4 . (1) * T, (1), = (4.60): b′ (2) λmax = . T / (1), (2)
$#: λmax = 0,8 ⋅10−6
4
§ b′ · R = σ ¨ ¸ . © λmax ¹
(3)
F !: = ⋅ 4 ⋅ ) 4 = = . 2 ⋅ ) 4 ⋅ 4 2 F (3) # :
[ R ] =
4
§ 2,9 ⋅10− 3 · G= R = 5, 67 ⋅10− 8 ¨ = 9,8 2 . −6 ¸ 0,8 10 ⋅ © ¹ G= ,: R = 9,8 2 .
"! 72. ' F , #, ## # v1 = 1,2 ⋅ 1015 %, $ $ U1 = 3,1 =, ## #
# λ2 = 125 — $ U2 = 8,1 =.
$#: v1 = 1, 2 ⋅1015 %
λ2 = 125 ⋅10−9 U1 = 3,1 = U 2 = 8,1 =
h=?
C$ . C ! ! * , !( $, # $ , . & , ## # # . " " * " " : 371
mv 2 , (1) 2 " e, m, v — , ! . ; $# &( (4.64) !
(1), mv 2 hv1 = A + = A + eU1 , (2) 2 c mv 2 = A + eU 2 . (3) hv2 = h = A + 2 λ2 ' (2) * # A
(3). F * , e (U 2 − U1 ) . (4) h= § c · ¨ − v1 ¸ © λ2 ¹ F (4) # #, h = 6, 66 ⋅10− 34 B$ ⋅ . ,: h = 6, 66 ⋅10− 34 B$ ⋅ . eU =
"! 73. + ! ! ! , # #
! γ-
# λ = 0,001 . C$. ! , ## #
$#: −12
, " λ = 1 ⋅10 " " , " −19 A = 7, 2 ⋅10 B$ !. C " " !( " v=? , ! # "
# " !( . = ( " (4.64) # mv 2 E(max) = . 2 mv 2 F &( (4.64) hv = A + 2 c
# λ ! c, . . v = , -
λ
# $ v= 372
2 § hc · ¨ − A¸ . m© λ ¹
(1)
F : v ≈ 6, 6 ⋅108 / . F ! ! * !( ,
% ! ! . = ( " " , ( * ! " (1.116): § · § · 1 1 E = E0 ¨ − 1¸ = m0 c 2 ¨ − 1¸ . (2) 2 2 2 2 ¨ 1− v c ¸ ¨ 1− v c ¸ © ¹ © ¹ B ! , " : E0 = m0 c 2 = 9,11 ⋅10− 31 " ⋅ ( 3 ⋅108 ) 2 2 = 0,82 ⋅10−13 B$ 2
" γ -: E = hv =
ch
λ
; E = 1,99 ⋅10− 13 B$,
*$ , # # " " . B " (4.64) § · 1 hc = A + m0 c 2 ¨ − 1¸ . (3) ¨ 1 − v2 c2 ¸ λ © ¹ D * # A (3) $ *! hc
! " . " (3)
λ
hc · hc § 2c ¨ m0 c 2 + ¸ § · 2λ ¹ 2λ hc 1 © = m0 c 2 ¨ − 1¸ , v = . hc ¨ 1 − v2 c2 ¸ λ m0 c 2 + © ¹
λ
,: v = 1,9 ⋅108 . "! 74. F
# λ = 490 , ! !,
, P = 9,81 ⋅10− 7 F . ! $ % , % $ ρ = 0,5 ?
$#: λ = 490 ⋅10−9 ρ = 0,5 P = 9,81 ⋅10 − 7 F N=?
C$ . B ,
,
(4.67): E (1 + ρ ) Pc P= 0 , E0 = . c 1+ ρ
373
C " " E = hv =
hc
λ
,
, -
$ % : E Pcλ Pλ N= 0 = = . E hc (1 + ρ ) h (1 + ρ ) ,: N = 2,5 ⋅10 21 % ( 2 ⋅ ) .
374
5 L" / B
26 § 150. #!( #- #-#$ G#! B # , ! ( # % .
! " . = XIX # !
. B$. B$. 1903 ". $ $ ! . " * ( , $# $ !#
, " ! " % * % ! $# #. = % . + ! ! (* ,
! # &. D 1. ! & D . 186. D P J D
D, αΘ %# ( "), !
. F " D, α- % D. 186 (~1 ) !" J, # "# Θ. ; α- %# ! * &, # # # % . K # α- % ## #( (% %), * # . +# # , # α- %# ( 20 000), !", ! ! * !( ( 180°) "#. F ! # D #
#: - α- % !# "# ! * !( $ !# ; - ! α- %, # # !# , " , *P * !( $ !# ! ! . 1
& D (1871–1937) — " . 375
& #
#
. '
# D * $ ( $) . " $ !# Ze ( Z — # *% G ; e — # ) 10−15 − 10−14 , (~99,4 %) . = " * , * " #, #. . + ! " *P ! # " !
. = D #, !
" "
# * , $# " ! . " *# $ # $# ! " #
#. F ! " # « + "
» , " $ !( !, *# ! . = ! " !( * # , " ! , $ ! . F *$
* " " " $#
!. * , , # , $ ! ( . = ! # # , $# " # . D * D ! !
. =
! # , ! *P ! !. § 151. & #- ,#!##! # " $# " #, # ! #
. = * # , *
! !# , # . = * ( , ,
" " . F
# . ' . 187 !#
A ! 1, "
Hα (λ = 0,6563 ), H β (λ = 0,481 ),
1
376
/ " _ * A ! (1825–1898) — ( % .
Hγ ( λ = 0,4340 ), Hδ ( λ = 0,4102 ) * # # -
!# . F " ,
, $Hα H β H γ Hδ # * ( F ( , A , F ) !
( E ). D. 187 D $ !#
* * A ! : 1 1 · § 1 = R¨ 2 − 2 ¸ , (5.1) λ ©m n ¹ " R = 1, 097 ⋅107 –1 — D*" 1; λ —
#; m n — %# , $ ! (. *. 4). 4
'
; m
; n
E A ! F ( A F
1 2 3 4 5
2,3,4,… 3,4,5,… 4,5,6,… 5,6,7,… 6,7,8,…
J (5.1) $ ! # : 1 · § 1 v = R′ ¨ 2 − 2 ¸ , (5.2) n ¹ ©m " R ′ = R ⋅ c = 3, 29 ⋅1015 –1 — D*" ; c — !
. § 152. # H# !#
*P A 2, * 1913 ". #
. = A $# . 1. & # " ! ! # # , # ". & . ' % # * ! me vrn h ( 2π ) , . .
1 2
z D * D*" (1854–1919) — ( . '! ^ B A (1885–1962) — . 377
h = n= , (5.3) 2π " me — ; v — ! ; rn —
* #; n = 1, 2, 3, ... — % , ; = — F . 2. " " " " % " " : hv = En − Em , (5.4) " En, Em — " % # " . C En > Em, ( * , * * ). F # A
!
! D*" . = " $ ,
* ! (% ! ) .
* "
, ( " $: m v 2 1 Ze 2 = . (5.5) 2 4πε 0 rn2 / (5.3) (5.5) # $ * : h 2ε 0 rn = n 2 . (5.6) π me e 2 Z F Z = 1 n = 1 ( *
), (5.6)
" * " : rA = 0,528 ⋅10−10 . / ! # $ (5.5), # "
, " " " % ! " : m v2 e2 Z e2 Z e2 Z e2 Z . E = Ek + E p = e − = − =− (5.7) 2 4πε 0 rn 8πε 0 rn 4πε 0 rn 8πε 0 rn " (5.7) " # % ! * " ". ;
, . /
( (5.7) , * " # . F n = 1 * !( " ( ). n > 1 # . /
( (5.6) (5.7) "
: me vrn = n
378
me e 4 Z 2 , n = 1, 2,3,... (5.8) 8h 2ε 02 n 2 F # $ (5.8) (5.4), * * A ! : m e4 § 1 m e4 § 1 1 · 1 1 · v = e3 2 ¨ 2 − 2 ¸ = 3e 2 ¨ 2 − 2 ¸ , (5.9) 8h ε 0 © m n ¹ λ 8h ε 0 © m n ¹ En = −
me e 4 — D*" . 8h3ε 02 " ! " D*" , # A ! *$
! A . A
! #
( # '+, Li2+), " *P ! ! !# .
" R =
§ 153. &3 L$ /0 & , # 1913 ". J 1 %2, #
# " , # A . = # ! , # , . ) *, $ ), , ! $, . 188, . G$ # ! $ U, " ! % P. G$ ! $ 0,5 =. * ! ## ~100 F . = # I (
, (( , % ) $ U $ . F
! - . 188,. & #, # " , ! $ $ , $ , " . #
. +
$ $# , " % * ! 4,9 =. & *P , #, # , $ 4,9 = # # " , " ! " $ ! . F $-
1 2
B$ J (1882–1964) — % . E " % (1887–1975) — % . 379
U0 = 4,9 = # # # ! " , " ! !( !, " ! $ " . # . )
)
) C
V
A
I
G P
0
4,9
9,8 14,7 U, B
D. 188
C % ! 4,9 =, # " # # ! " !
". & *P , * # # .
, # # " . . ) $# " " ,
*$ ,
,
# λ ≈ 250 . = " " E0 = −10, 42 =. &"
"
*$ " E1 = −5,54 =. B "
*$ * " ΔE = E1 − E0 = −5,54 − ( −10, 42 ) = 4,88 = ≈ 4,9 =. =
*$ *# ! ( ≈ 10−8 ), .
$ " 4,9 =
# hc λ= = 250 , * ! # . ΔE * ,
*$ (! , " ", "
*$ . +# # J %
# " . 380
A B " "! 75. ' " *
* *
. C$. " A (5.3) mvr = n= , (1) −34 " m — , = = 1, 055 ⋅10 B$ ⋅ — F ; r — * #, v — ! ; n — * #. $
* ! (% ! ) . ' " '! (: mv 2 1 e2 = , (2) r 4πε 0 r 2 " — . / # $ (1) (2) ! v r n- * #: 4πε 0 = 2 n 2 n= e2 r= , v= = . (3) 2 me mr 4πε 0 =n ; r v, * : 2π r 32π 3ε 02 =3 n3 = T= ; T = 1,5 ⋅10−16 c. v me 4 ,: T = 1,5 ⋅10−16 c.
$#: H n =1 T =?
"! 76. '
# λ ,
" * * # ". C$ .
*# * * # $ ! A ! (5.9): 1 · § 1 v = RcZ 2 ¨ 2 − 2 ¸ , (1) ©m n ¹ " Z — # *% G ; R = 1,1 ⋅107 -1 — D*" . F m = 1 n = 2 # $ (1)
$#: m =1 n=2 Z =2 λ=?
381
3RcZ 2 . 4 v = c λ , # (2)
v=
λ=
(2)
4 . 3RZ 2
B " " Z = 2, . . λ =
1 ; λ = 30,4 . 3R
,: λ = 30,4 . "! 77. ' % ( !
*, #
. F ( d = 5 . )
! , * ( " " ϕ = 41° ?
$#: d = 5 ⋅10−6 k =5 ϕ = 41° = ?
C$. / % % ( ! (4.33) d sin ϕ = k λ
#
d sin ϕ . (1) k ! #
# * *
A ! (5.9): 1 1 · § 1 = R¨ 2 − 2 ¸ , (2) λ m n © ¹ " R — D*" ; m — * #, ; n — * #, . /
( (1) (2) 1 1 k − = = 0,139 . m 2 n 2 Rd sin ϕ F * m n ,
$ n = 3 m = 2 A ! .
λ=
382
27 E I § 154. / ! H#. G0 )#$#, = 1923 ". E A !1 # " , * !# %# # *
#
. " A , * ! %, * ! p, $ !
%
# h h λ= = , (5.10) p mv " m, v — ! %#; h — F . = λ # . C ! *
# m = 10 " , ! v = 500 / , $ # (~1,3⋅10-34 ), *# $ *# * $ ! !. B*
# , " ! %
U = 10 = , h h = ≈ 0, 012 . mv 2eUm
# $ * $ ! ! . = 1927 " B 2 B$3,
, * $ $# "# . & *# # % #. + !,
# *
#, (5.10). = $ " B$. 4 5, * !" *# # , % . = * *# , " %# ( #, # . .) *
#
. / , # , %#
. , , * , % #,
#
. = $ * ! ! %,
, ! .
λ=
1
E A ! (1892–1987) — % . ) B$ B (1881–1958) — . 3 E ^ * B$ (1896–1971) — . 4 B$ $ F $ (1892–1975) — " . 5 F. . (1895–1939) — . 2
383
§ 155. ##$#C$ $#&!$$# /$F* A # $
#
% # % !
,
# . ,
# *# $# *" 1 @" 2 20- " % " . ) # ! "
%. = , *P , ( " . F
! " *# ! #. / -
" , " %# . =
$ %
,
! ! $ %#
# . '
#
% *" 9 , " $ (
) ! ( !) $ %# " *# ! # (! " ! : Δx ⋅ Δp X ≥ =, Δy ⋅ ΔpY ≥ =,
(5.11)
Δz ⋅ ΔpZ ≥ =, " Δx , Δy , Δz —
, #
% ; Δpx , Δp y , Δpz — , # # % ! %# x, y z; = = h ( 2π ) — F . F
# %# ! % ! $ *# ! !( F . !,
, * . B"
( ! $ " : (5.12) Δ[ ⋅ Δt ≥ = , " ΔE — ! " " #; Δt — " " . /
( (5.12) , * !( ! 1 2
384
= ) *" (1901–1976) — % . & @" (1887–1961) — .
, . . !( Δt , !( ! ", * . / !
( (5.11), $, * !( " , # *
" $ ! $ " , # !#. D 10−10 , , !
# Δx ≈ 10−10 , ! (5.11): Δp = Δv = x = ≈ 1, 2 ⋅106 /, m Δx ⋅ m " m = 9,1 ⋅10−31 " — . F , ! * , ! v (106÷107) /. ! Δv " $ , ! v,
$ ! $. B" , * $ , , =! . 10-4 , . . Δx ≈ 10−4 , 6.26 ⋅ 10−34 B$ ⋅ Δv = ≈ 1 /c . 2π 10−4 ⋅ 9.1⋅10−31 " F =! 1000 / ! Δv 0,1%, $ ! ! $. § 156. #$#, G%$0. ,$$ A!$* B " % , , *# * . )
$ %#, " ! $ (! # ! !, % $ *# ! * $ # . F ! $ %#
%, $ !
% Ψ ( x, y, z, t ) ,
. =
% (-%)
%#. / % Ψ -% A 1: ! dP " , % *P dV % ! Ψ -% *P , . . 1
G A (1882–1970) — % . 385
2
2
dP = Ψ dV = ΨΨ * dV = Ψ dxdydz ,
(5.13)
" Ψ — %, $ Ψ . + , #
% dP 2 , Ψ = dV # ! $ %#
x, y, z. K Ψ -% # $ *
∞
³ Ψ ΨdV = 1 , *
−∞
. . *# %# ! *# " ! %. F
#
% $ *# ! , ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ , , , $# ,
# ∂x ∂y ∂z ∂t *# ! # #. F# * . &. @" ,
# % %, $ # # : =2 ∂Ψ (5.14) =− ΔΨ + U ( x, y, z , t ) Ψ , i= ∂t 2m " m — %#; = — F ; i — % ; U ( x, y, z , t ) — % ! " %#
, " $ ; Ψ = Ψ ( x, y, z , t ) —
% %#; N —
∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ + 2 + 2 ). ∂x 2 ∂y ∂z F ( * !( " ( , ) ! % @" , ! Ψ -% ( Ψ = Ψ ( x, y, z ) , U = U ( x, y, z ) ):
E (
ΔΨ =
−
=2 § ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ · + 2 + 2 ¸ + U Ψ = EΨ , ¨ 2m © ∂x 2 ∂y ∂z ¹
" [ — " %#.
386
(5.15)
§ 157. 0 , #!$#-$# F#$$# *%F## &-#%*#($# $0($# - )
U
#
% *P ! ! " . B " U = ∞ U = 0 U = ∞ *# ! ", $ %#, * "* 0 l x % ! (. 189). D. 189 B , % $ " ! ! ! x, $ " % # %# !# : x = 0 x = l . F % ! " U
: ∞, x < 0, ° U ( x ) = ®0, 0 ≤ x ≤ l , ° ∞, x > l . ¯ K @" (5.15) * ,
% , d 2 Ψ 2m (5.16) + 2 EΨ = 0 . dx 2 = = * 2m ω2 = 2 E , = (: d 2Ψ (5.17) + ω2Ψ = 0 . 2 dx F % ! " , ( " % Ψ ( x) = A sin (ω x + ϕ ) . (5.18) =#* Ψ -% $
! " # . ; # % ! # % ! $ , ! * $ ( ! , Ψ = 0 ). / # , " % % ! #, x = 0 x = l Ψ -% $ *# ! $ : Ψ (0) = Ψ ( l ) = 0 . (5.19) / (5.18) x = 0
Ψ (0) = A sin (ϕ ) = 0 , ,
ϕ = 0 ; x = l 387
Ψ (l ) = A sin ωl = 0 ,
$ (!
ωn l = ± nπ , (5.20) " n = 1, 2,3,... ; n = 0 , Ψ = 0 , . . % " ,
. 2mE / # $ ωn2 = 2 ωn l = ± nπ , ωn , = " E %# π 2 =2 2 (5.21) En = n , n = 1, 2,3,... 2ml 2 ) (5.21), " %# # * . h n, " %#, # . ' ! " : = 2π 2 = 2π 2 (5.22) ΔEn = En +1 − En = 2 n + 1 ≈ n, ( ) 2ml 2 ml 2 . . ( n + 1) − n 2 = 2n + 1 . 2
/ (5.22) , !( %# # % ! #, * !( $ ". B , %# m = 10−26 " ( #), l = 10 ( " ), ΔEn = 16 ⋅ 10−40 ⋅ n, B$ . = " " ,
( ". B , $" ( l ≈ 10−10 , m = 9,1 ⋅10 −31 " ), ΔEn = 10−17 ⋅ n, B$ ! " ! . / (5.21) (5.22) , ΔEn 2 ≈ . En n & ( * !( # ( n >> 1 ) " !( %#, . . *$, * !( n. F * !( n "
( , . . # %
A : 9 . ' * # % Ψ , # $ (5.20) (5.18): 388
Ψ n ( x ) = A sin
πx
n. (5.23) l B 7 ! : l π xn A2 ³ sin 2 dx = 1 . l 0 = ! " 2 . A= l " (5.23) ( 2 πx (5.24) sin Ψn ( x) = n, l l " n = 1, 2,3,... Ψ*Ψ
Ψ n4
n4 E4
E4
n3
n3 E3
n2
E3 n2
E2
n1 E 1 l x
0
n1 E 1 l x
0
)
E2
) D. 190
' . 190 * $# "
%
%, $ " [ ! !(
" n. / . 190, , * $ %#
#. = ! * $ %# % ! # : n = 1 * $ %# % ! #; n = 2 % $ *# ! * $ % ! # (. 190,*),
*# #. F $ %# % ! #. 389
§ 158. #- ,#!##!. ,$#,3
# ! $ ! , $ " +e $"
" " –e. = / % ! " U # % ! e2 U =− , (5.25) 4πε 0 r " r — ; ε0 — . B " @" e2 · ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ 2me § E + + + + (5.26) ¨ ¸Ψ = 0 , 4πε 0 r ¹ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 =2 © " me — . K (5.26) , ( *# $ !# " E > 0 #
% !# ", # 2
§ 1 · me e 4 En = − ¨ , ¸ 2 2 © 4πε 0 ¹ 2= n
(5.27)
" n = 1, 2,3,... $ !# "
% , . . F % !# "
. h $ ! n # * ". = %
# : n , l , m , " l = 0, 1, 2, ..., (n − 1) — ; m = −l , ..., − 1, 0, 1, ..., l — . F $ " " En , E1, !
# % Ψ n ,l ,m , # # l m, . . $ ! $ ", ! ! . # ,
# $ . # N ( ! # $),
*# # , "
n −1
N = ¦ ( 2l + 1) = n 2 . l =0
390
(5.28)
=
, * !
l
! L: L = = l ( l + 1) , l = 0,1, 2,..., ( n − 1) ,
(5.29)
. . ! — $ ! (! # . G F % L * ! " ! z (" " " $ : Lz = m= , (5.30) " m = 0, ±1, ±2,..., ±l — "
.
s, 1 ! : s = ± . & ! 2 !#
, $ ( * !(" ) * !# . & . & $ ! # , . &
$#
"
" 1 1 ( + − )
$#
" 2 2 ! M = ± s= . = ! !
# * . ' , l = 0 # s- ; l = 1 — p- . . (s, p, d, f, g, h, ...…
* ! " l). F
"
( . ' ,
4d , # n = 4 , l = 2 . J %, * %# ( s = 1 ). F # # : (5.31) Δl = ±1 . / # , # . 191, , E
# np → 1s , A ! — # np → 2s , ns → 2 p , nd → 2 p . 1s . ' ! , * ! " . F " " " *# %, "
. / " "
E , ! : 1s → np , n = 2, 3, ... (5.32) 391
D. 191
+* * ! , #
, . ' ,
* " ( " " " , * $ " ,
" $ ) " # (5.27) # Ze, " Z — # " : me Z 2 e 4 , n = 1, 2,3,... En = − (5.33) 2 ( 4πε 0 ) 2=2 n 2 392
B # %# " $ %#
. +
(" ( " ) . *
. " $ " # * !# # (n, l). D # #
* ! " L = 0,1, 2,3, 4,... * * S , P , D , F , G , … D*" , #
* !# , # ω
( ω = " ( n2 ) − T ( n1 ) , " n1 n2 — # %# . J% "(n) # . § 159. *$#-:$ ,$. &$ )#$ D # #, # # ! *# * $ ! $ * !# " # " " (. ; 9 @
1. $! 1 " , (# " 2, ! 3 (. 192), # # # . ' " $
" , " # * !# # " " , * !# # . F # ,
! # ( * % # ), . $! * ! ( !# *
"
. B * # # !# * " " * ! , *# . F
" 5, $ " !% 4, " %
, ! 1
=. ^ (1878–1960) — " . 393
* . +# #
( " " * ! " " * ! (" " (), ! # −e m , . . * !( , " (3.140). ; ` 1. A # " " " (,
$# $! *#
" !. F # A " " "
( ! * !( " , " (3.140). _ , * # # &( ^ A , . = 1925 ". B. z. K*2 . . 3 *P ! # # # " , , * !# " " " , * * # Ls # (spin — ). & — $ "
, m .
* # " # e ps = − Ls . m A# , 3 (5.34) LS = = s ( s + 1) = =, 2 e= 3 (5.35) = − 3μ A , ps = − 2m e= " s = 1 2 —
, μ A = = 2m B$ = 0,927 ⋅10−23 — ` (% " " ). + ( * " " " ps " Ls (" " () ps e =− , Ls m
# # #. 1
B$ A (1873–1956) — . B$ $ z$ K* (1900–1974) — . 3 * (1902–1979) — . 2
394
/
, $ ! * * . & . F " ! # # #, $
. & # 66 . '
*P ! " #
" , * . § 160. &3 A$ /: & , # @ 1 1921 ".
" . # . 193. F , J # * G, " # ,
" D S N ! " , x J. ' ! " " D " ! % #
" . B " " M D. 193 , ( . =
$
! " $ * # ! ( . "
*$# # " " , * " $
" , # "
$# " ! " % . + # * *# # # $# , $# ! % . , " e= dB , Fx = −ms m dx " e m — ; B — % " " ; ms — "
. #, # ms = –1/2, $ ! x, Fx > 0. B ms = +1/2 Fx < 0,
$ . +# @ – *#
, , , ,
* !
. 1
= ! (1889–1979) — % . 395
& # # ,
" # , # $ ! # %
! (" , . . % " " " (" " " . § 161. $0& %. #! - )-$#, $!, = 1925 ". F 1 # %, # " : , $# . D !, Z G . F # % : 1) ! ", 2) % F . & %# $ " $ G . #! # : "
n, 1, 2, 3,…;
* !
l 0, 1, 2,…, (n – 1); "
m, 0, ±1, ±2,…, ±l,
s = ±1/2. & #
" n * , # * , * ! "
" l. +* * *. 5. ; n
1
2
3
4
5
5 6 …
+* *
K
L
M
N
O
P
…
+* !
l
0 s
1 p
2
3
5
…
d
f
4 g
h
…
+* *
H (Z = 1). F % ! " " "
n = 1, * !
l = n – 1 = 0, "
m = 0, s = ±1/2. + , * ! K- * , * 1s, " $ !
! %. 1
396
= !" " F (1900–1958) — ( % .
6.
K L M N N &&K L M 1s 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 1p 1H 2He 3Li 4Be 5B 6C 7N 8O 9P 10Ne 11Na 12Mg 13Al 14Si 15P 16S 17Cl 18Ar 19K 20Ca 21Sc 22Ti 23V 24Cr 25Mn 26Fe 27Co 28Ni 29Cu 30Zn 31Ga 32Ge 33As 34Se 35Br 36Kr
1 - 2 - -
-
-
-
-
-
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2
1 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6
1 2 8 5 5 6 7 8 10 10 10 10 10 10 10 10
1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6
1 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
O
P
5s 5p 5d 6s
37Rb 38Sr 39Y 40Zr 41Nb 42Mo 43Tc 44Ru 45Rh 46Pd
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
18 18 18 18 18 18 18 18 18 18
8 8 8 1 8 2 8 4 8 5 8 5 8 7 8 8 8 10
-
1 2 2 2 1 1 2 1 1 -
-
-
-
47Ag 48Cd 49In 50Sn 51Sb 52Te 53I 54Xe
2 2 2 2 2 2 2 2
8 8 8 8 8 8 8 8
18 18 18 18 18 18 18 18
18 18 18 18 18 18 18 18
1 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6
-
-
55Cs 56Ba 57La 58Ce 59Pr 60Nd 61Pm 62Sm 63Eu
2 2 2 2 2 2 2 2 2
8 8 8 8 8 8 8 8 8
18 18 18 18 18 18 18 18 18
18 18 18 18 18 18 18 18 18
2 3 4 5 6 7
8 8 8 8 8 8 8 8 8
1 -
1 2 2 2 2 2 2 2 2
64Gd 65Tb 66Dy 67Ho 68Er 69Tu 70Yb 71Lu
2 2 2 2 2 2 2 2
8 8 8 8 8 8 8 8
18 18 18 18 18 18 18 18
18 18 18 18 18 18 18 18
8 8 8 8 8 8 8 8
1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
7 8 10 11 12 13 14 14
" He # Z = 2 ( ). +* K- * 1s 2 , % F # # #: + 1 2 −1 2 397
( ! % ). " K- * . N " "
" n = 1 " (5.28) N = n 2 = 1 , N1 = 2 . &
* *%# , ". B L- * , $ ! N 2 = 8 . ; Li, " , # 1s , % F $ ! L- * 2s . ; L- * Ne (. *. 6). ; M- * , (5.28) $ $ ! N 3 = 18 ,
* 3s , 3 p 3d . ) # , K- L- * , M- * * 3s , 3 p . F M- * Na Kr. ) *. 6 # " #: Ne — , Ar — " , Kr — , Xe — # ( * 8 ;
* # (Li — , Na — , K — , Rb — *, Cs — %, Fr — %) (! s- ;
( * -!#
(Be — *, Mg — ", Ca — !%, Sr — %, Ba — * , Ra — ) s- . F !
, # B. /. G #, ! * * , , # # ( # % F . § 162. $*$#,# %$ = 1895 ". D "1 * $ , * * !( * !, # . D " $ ! ! " * (. . 194), 1, " % 2, 3 *# 4. ) 1 #
!
. ; #, # % 2 3. 1
398
=!"! ) D " (1845–1923) — % .
G$ # # $ —
! . B " * 4 ! , 10–5 . . I
1
2
3
D. 194
Kα Kβ
4
0
λ0
0,1
0,2 λ ,
D. 195
& #, ## # # ( , * * , * " . D " * " #
#
# λ ≈ (0,1 − 1) . " " $ # (. 133): ( , * # $
( ), !# !# ( # Kα K β . 195). * $ U " * ~ ( 30 ÷ 50 ) = , " * * . ) I, . 195, *#
# λ0 , $ " * $: hc λ0 = , (5.36) eU " h — F ; — ; — !
. F #( $ * * , *
*$ #
* . ^ , " " .
399
. G 1 # !# " : § 1 1 · − v = R( Z − σ )2 ¨ (5.37) ¸¸ , ¨ 2 n2 ¹ ©m " v — ,
; R — D*" ; Z — # " ( ); σ — , # $ ; m = 1, 2, 3, ... ( ); n % # , m + 1 ( !
). ! G
# ! " " ! # " . A " # * " ( % ( " * ), , # . . § 163. $!%0#,$$# %$. 3 F # " " "
"
$ "
". # " ! ( , %%), (" " " . C " (" " " , # . + ! % " , , % (,
, "
*P. ) " , "
, , ! $ " # * !(, , * !( % $ , * . ^ !
* #. C
*$ , ! " ! * !( $ , (" * !( % $. & %
$ % # .
1
400
B$ G (1887–1915) — " .
1
2
3
4 8& D. 196
#,
*$ * !(, , # $. B $ " ! . * ,
*$ , $ ! " * " . F* #, " % , # . = 50- " '. . A 1 . G. F 2, $ . ^. 3 # # " # — #, * #
. = 1960 ". . . G 4 # # " — , * * . D *
(. 196) $ % 1 1 5 , " #
" * , # * ! Al2O3 ! 0,05% Cr2O3. F %# % *# ! # !# * !( ! . ' ! * # * , % % 4 ! $ , % 3 * ! 10% ( "
". D* # % ! ! ! # 2, . ; " "
*$ , # " % " 1
' A (1922–2001) — . G F (1916–2002) — . ! ^ ( . 1915 ".) — . 4 ! G ( . 1927 ".) — . 2 3
401
. ) " 1 (. 197)
*$# 2 3. K ! 2 , $ " ! * !(, *## , 10–3 . F 1 2 3
( " 2
#. ) ! ! , #$ " , " %. B
# *! 1 ! . ' #D. 197 – #( ,
# λ = 550 . . " # #
# " 1
*$ 3. F *# ! " *!# ! 2, $ ! " . K ! 2 ##. « » ". ; #$# 2 1. ' !
#
. = , ! % , " $ " % , % !#, " #. &
* $ ", *!# , *# . # % * # # ! " % . E # , * # " !, * !( !
! # ( 10–5 ) " $. E # ! : , , ; % !; , " " . .
402
A B " "! 78. '
# A : ) , $" ! v = 106 / ; *)
, $" ! T = 300 ) ; ) ( m = 1 " , $" ! v = 1 / .
$#: a) m0 = 9,1 ⋅10−31 " v = 106 / *) T = 300 ) " !
) m = 10−3 "
μ = 10−3
v = 10 –2 /c λ=?
C$. B
# A (5.10): h λ= , (1) mv " , . . ! $ v " !( c. G %# m0 m= 1 − v2 c 2 (1)
λ=
h 1 − v2 c 2
(2) , m0 v " m0 — %#; h — F . ) ! v ! , λ
! (2):
λ=
h 1 − v2 c2
; λ = 727 . m0 v *) !
(2.25): 3RT v = ; v = 2733 /,
μ
B$ — ! " ; μ — ! ⋅ )
. v T2 ),
I. ! , % # , % ! : × T = α (T1 − T2 ) ,
C T1
I
T2
B
D D. 205
(5.42)
" α — ! -&B, #
. = -&B * ! J
# ( # ). B # ,
# , " ! # J,
E − EF 2 , Δϕ = F 1 (5.43) e " EF 1 EF 2 — J
" " ; — . ) (5.39), J,
% , *P
% % . F # $
* *# # , * # " . & *P , % % " E > EF " " * !(, " , % % E < EF , * , " " * !(. +* " % % ## , ! " $ * !( , " " .
1
/ " ;* (1770–1831) — % . f @ ! F! ! (1785–1845) — % . 3 K! ()! ) (1824–1907) — " . 2
413
_ ;* ! # #. " " 1 1 2 #
1 2, %# # = # (. 206). + , A B * !, " $ D. 206 ( 0°C ). = ( !# . F !
" #. #
! ! # " . } ' * ;* : " %, #
, " , " — $ . # # #. )
#, # ( ( " ) : Q = FIt , (5.44) " F — % F! !; I — ; t — . _ F! ! !
# ! . C
, " , ! ,
! # ( " ) #, " F! !. & " . mA
414
29 L" / B I 1 § 168. %% ! #- " # : . F $ !# , # . G m p = 1,6726 ⋅10–27 " 1840 * !( # . ' " , * ! mn = 1,6750 ⋅10 –27 ". )
M ( " # " ), N p = Z — , #
B. /. G . N n = M − Z . # " " $ " , " " , # " . , , *!# . F # #
* MZ X # %: 11 p — , 01n — , 0 −1
e — . . / # , , * : 16 8
O , 178 O , 188 O . F*$ # # *# # D
# α - %. + !, ,
" G $ *# ! *$ : r ≈ 1, 2 ⋅10 −15 ⋅ M 1/ 3 , . G # ! # % # ( ..). G ! " " 126 C 12 ... G # $ # $ % " -
! (=). " &( E = mc 2 " #. 1 ... = G= . K $ , %# 2 = 1 G=, , 106 2 = 1, 78 ⋅10−30 " . G # # % # *. 7. = 1, 6606 ⋅10−27 " = 931,5016
415
7. %
G ... 0,00054858 1,007276
& F
" 9,1095⋅10-31 1,67256⋅10-27
G= 0,51100 938,28
11 H
1,67356⋅10-27
1,007825
938,79
'
1,67500⋅10-27
1,008665
939,57
§ 169. B!$3 3. $* , #-$3: ! _ $# !# %. ' # ", $ ! !# %#. + " . _ #, , $ - . } , # !,
" # . + " # , ! !# %#. ' " % # #, ! # # ! . & # # #, # * . /
103 * !( " , % # . _# #, $ $ , $ ,
. = # " " " ! %# — . / # $# , 10−15 . = , # # % !#. G m = m − Zme (5.45)
" !( # * Δm , # 6 # $ Δm = Zm p + ( M − Z ) mn − m , (5.46) " m — ! " ; m p , mn — #
* "
; me — . &", * " #, # . &" E # E = Δm ⋅ c 2 , (5.47) " c — ! ; Δm — . 416
&" ! . , , " 28,4 G=. = " 7,1 G=. &" # 10 =, . . !(. Ec M , G= 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
40
80
120
160
200
M
D. 207