АКАДЕМИЯ НАУК СССР- СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР
Н. Н. ЯНЕНКО
МЕТОД ДРОБНЫХ ШАГОВ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДА...
236 downloads
146 Views
2MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
АКАДЕМИЯ НАУК СССР- СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР
Н. Н. ЯНЕНКО
МЕТОД ДРОБНЫХ ШАГОВ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»- СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ НОВОСИБИРСК-1967
Метод дробных шагов решения многомерных задач мате матической физики. Н. Н. Я н е н к о, 1967, стр. 197.— В монографии описывается новый метод численного интегрирования дифференциальных уравнений математической физики — так называемый метод дробных шагов, который получил бурное развитие в вычислительной математике за последние десять лет как эффективное средство решения сложных многомерных задач математической физики. В книге дается единое освещение разностных схем с дробными шагами с точки зрения методов расщепления и приближенной факторизации разностных схем и операторов, разработанных советскими математиками. Эти методы, заключающиеся в сведении сложной краевой задачи к последовательному решению краевых задач более простой структуры, позволяют строить простые гибкие, экономичные разностные схемы. В книге приведены многочисленные примеры применения экономичных схем для решения задач гидродинамики, упругости, теории переноса и т. д. Книга будет полезна для научных сотрудников, инженеров, математиковвычислителей, занимающихся численным решением задач математической физики и исследованием корректной математической постановки этих задач. Книга может служить также учебным пособием для студентов и аспирантов вузов, специализирующихся по вычислительной математике, математической физике и механике сплошной среды.
Илл. 15, библ. 100.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предметом настоящей книги является «метод дробных шагов», который возник несколько лет тому назад и получил бурное развитие как метод построения экономичных разностных схем. Метод дробных шагов позволил решить задачи, которые были не под силу обычным разностным схемам — схемам простой аппроксимации, где при переходе от одного временного слоя к другому одновременно удовлетворяются условия устойчивости и аппроксимации. Это приводит к большей простоте формул, однако схема становится менее гибкой, обладает меньшим числом произвольных параметров и, тем самым, не может удовлетворять всем требованиям, которые предъявляются к схемам. В противовес этому метод дробных шагов, расчленяя переход от нижнего слоя к верхнему на ряд промежуточных этапов и не требуя на каждом этапе обязательного выполнения свойств аппроксимации исходного уравнения и устойчивости, имеет в своем распоряжении набор параметров, что делает возможным выбор экономичной и точной схемы. Метод дробных шагов явился ответом на реальную потребность, возникшую в вычислительной математике — потребность создания простых экономичных схем решения сложных многомерных задач математической физики. Начиная с отправной работы Писмэна, Рэкфорда и Дугласа (1955), метод расширялся и углублялся в работах американских и советских ученых: Дугласа, Рэкфорда, Бэйкера, Олифанта, К.А. Багриновского и С.К. Годунова, Е.Г. Дьяконова, Г.И. Марчука, А.А. Самарского и других. В настоящее время метод дробных шагов является неотъемлемым элементом построения схем при решении сложных многомерных задач математической физики. Несмотря на то, что метод дробных шагов продолжает развиваться и не получил еще полного теоретического обоснова3
ния, уже сейчас он служит не только средством построения оптимальных алгоритмов, но и инструментом теоретического исследования разностных и дифференциальных уравнений. Книга основана на курсе лекций, который автор читал в Уральском, Новосибирском, Томском, Казахском государственных университетах с 1959 г. по настоящее время. Книга является попыткой осмыслить и дать, по возможности, единообразное изложение многочисленных схем с дробными шагами, описание которых можно найти только в журналах и сборниках. Автор стремился учесть, по возможности, все работы, имевшие значение для развития метода дробных шагов, но, естественно, освещение предмета не является равномерным и отражает личные вкусы автора. В частности, в книге не освещены работы по методам априорных оценок. Автор ограничился более простым методом гармонического анализа устойчивости. Очень бегло дана также теория локальных критериев устойчивости. Основное внимание уделено методам построения эффективных схем. В книге нашли отражение также результаты автора и его сотрудников. Автору особенно приятно вспомнить о совместной работе с коллективом молодых математиков, который разработал первые неявные схемы расщепления для решения различных задач математической физики, успешно применив их в расчетах. Это, в первую очередь, Н.Н. Анучина, В.А. Енальский, А.С. Жариков, А.И. Зуев, А.Н. Коновалов, В.Е. Неуважаев, Ю.Я. Погодин, В.А. Сучков, В.Д. Фролов. Имевшая место в 1962 г. дискуссия, в которой приняли участие Е.Г. Дьяконов, А.А. Самарский, Б.Л. Рождественский, способствовала более глубокому пониманию роли краевых условий в оценке точности схем с дробными шагами и послужила толчком к ряду работ. Совместная работа и многочисленные дискуссии с Г. И. Марчуком и сотрудниками ВЦ СО АН СССР Ю. Е. Бояринцевым, Г. В. Демидовым, В.П. Ильиным, Б. Г. Кузнецовым, М. М. Лаврентьевым, В. В. Пененко, Ю. Н. Ватолиным способствовали дальнейшим приложениям метода дробных шагов и его теоретическому обоснованию. Большую помощь при оформлении рукописи оказал А. Н. Валиуллин. Всем этим товарищам автор приносит свою благодарность. Автор надеется, что книга будет полезна для научных работников, занимающихся расчетами многомерных задач механики и физики, а так4
же для студентов старших курсов университетов, специализирующихся по вычислительной математике. Автор будет признателен читателям книги за указание возможных ошибок и недостатков. Новосибирск, Академгородок Ноябрь 1965 г.
4
5
§ 1.
П. 1.
ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ
КЛАСС РАССМАТРИВАЕМЫХ ЗАДАЧ. ЗАДАЧА КОШИ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В нашем курсе лекций мы в основном ограничимся рассмотрением систем дифференциальных уравнений вида ∂u(x, t) = L(D)u(x, t) + f (x, t), ∂t
(1)
где u(x, t) = {u1 (x1 , ..., xm , t), u2 (x1 , ..., xm , t), ..., un (x1 , ..., xm , t)}, f (x, t) = {f1 (x1 , ..., xm , t), f2 (x1 , ..., xm , t), ..., fn (x1 , ..., xm , t)} — векторные функции векторного пространственного аргумента x = (x1 , ..., xm ) и времени t; L(D) — линейный дифференциальный оператор-матрица с переменными коэффициентами D = {Di }, Di = ∂x∂ i , i = 1, ..., m. Расписанное в индексах уравнение (1)*1 принимает вид ∂ui (x1 , ..., xm , t) X = aijα1 ...αm (x1 , . . . , xm t)D1α1 . . . ∂t j,α αm uj (x1 , ..., xm , t) + fi (x1 , ..., xm , t), . . . Dm 0 ≤ αk ≤ qk , k = 1, . . . , m, i, j = 1, . . . , n.
(2)
Для системы (1) можно поставить задачу Коши в полосе |x| < ∞, 0 ≤ t ≤ T < ∞, 1
Сквозная нумерация формул принята только в пределах одного пункта. В ссылках на формулы в пределах одного параграфа слева добавляется номер пункта; в пределах монографии – номер параграфа. Например, (5.3.20) означант формулу (20) в пункте 3 параграфа 5; (4.13) – формулу (13) пункта 4 того же параграфа; (10) – формулу (10) того же пункта
6
с начальными условиями u(x, 0) = u0 (x)
(3)
или же смешанную задачу Коши в цилиндре Ω = G × H, где G есть некоторая область в гиперплоскости t = 0 с границей γ, H = {0 ≤ t ≤ T }. Во втором случае к начальным данным u(x, 0) = u0 (x), x ∈ G
(4)
следует присоединить некоторое краевое условие, справедливое на боковой поверхности Γ = γ × H области Ω l(D)u = ϕ(x, t).
(5)
Здесь l(D) есть некоторый дифференциальный оператор, зависящий от ∂ , D1 , . . . , Dm ; ϕ(x, t)– векторная функция, определенсимволов D0 = ∂t ная на Γ. В дальнейшем в общем рассмотрении мы ограничимся задачей Коши в полосе, обращаясь к смешанной задаче Коши только на конкретных примерах. Это избавит нас от необходимости входить в анализ краевых условий. В большинстве случаев рассматриваемая задача Коши будет обладать свойством периодичности, т.е. коэффициенты, правая часть f (x, t), начальные данные и, как следствие, решения будут периодическими функциями x. Мы будем рассматривать более общую задачу Коши, когда начальные данные ставятся в момент времени t1 , 0 ≤ t1 ≤ T , и требуется определить решение u(x, t) системы (1) для всех t, t1 ≤ t ≤ T , непрерывно примыкающее к функции начальных данных u(x, t1 ) при t → t1 . Мы будем предполагать, что задача Коши однозначно разрешима для всех моментов t1 , 0 ≤ t1 ≤ T , и что решение u(x, t) имеет непрерывными все производные, входящие в уравнение (2), если функция начальных данных u(x, t) достаточно гладкая функция x. Такое решение будем называть классическим. Обозначим функцию u(x, t) через u(t), рассматривая t как параметр, а функцию u(x, t) при фиксированном t как элемент пространства функций от x. В этих обозначениях решению u(x, t) системы (1) будет соответствовать однопараметрическое семейство элементов u(t). Соответственно оператор L(D) и функцию f (x, t) в (1) будем обозначать через L(t, D), f (t). 7
Пусть u(t) есть классическое решение однородной задачи Коши (f ≡ 0) с начальными данными u(t1 ). В силу сделанных нами предположений соотношение u(t2 ) = S(t2 , t1 )u(t1 ), 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ T, (6)
для достаточно гладких функции u(t1 ) определяет линейный оператор перехода S(t2 , t1 ). Мы будем предполагать, что существует банахово пространство B функций от x, в котором некоторое множество гладких функций образует плотный класс, и что соотношение (6) может быть распространено на функции из B. В силу известной теоремы о расширении оператора это возможно, если оператор S(t2 , t1 ) ограничен на гладких функциях. Все оценки операторов будем давать по норме пространства B. Определение. Задача (1), (3) называется корректной, если kS(t, 0)k ≤ M (T ),
0 ≤ t < T.
(7)
Система (1) называется корректной, если kS(t2 , t1 )k ≤ M (T ),
0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ T.
(8)
Система (1) называется равномерно корректной, если справедлива оценка kS(t2 , t1 )k ≤ eα(t2 −t1 ) (9)
для всех t1 , t2 , удовлетворяющих условию 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ T , где α — константа, зависящая только от T . Ясно, что из равномерной корректности системы следует ее корректность и из корректности системы следует корректность задачи. В дальнейшем будем рассматривать только равномерно корректные системы. Свойство корректности обеспечивает закон композиции для семейства ограниченных операторов S(t2 , t1 ) S(t3 , t1 ) = S(t3 , t2 ) · S(t2 , t1 ).
(10)
Равенство (10) означает обобщенный принцип Гюйгенса–Адамара: последовательное решение задачи Коши в промежутках t0 , t1 ; t1 , t2 ; . . . ; tm−1 , tm эквивалентно решению задачи Коши в промежутке t0 , tm . Мы будем предполагать также, что выполняется условие сильной непрерывности оператора S(t2 , t1 ) kS(t + τ, t)u0 − u0 k → 0, τ → 0, 8
(11)
для произвольных u0 ∈ B и t. Семейство операторов S(t2 , t1 ), удовлетворяющих условиям (9), (10), (11), образует полугруппу*2 . Подробно на задаче Коши в банаховых пространствах мы остановимся в §10.
П. 2.
ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ
Пусть
un+1 − un = Λ1 un+1 + Λ0 un + F n (1) τ есть двухслойная разностная схема, соответствующая системе (1.1). Здесь un (x) = {ui (x1 , . . . , xm , nτ )},
F n (x) = {Fi (x1 , . . . , xm , nτ )}
суть векторные функции, Λ0 = Λ0 (t, τ, h, T ), Λ1 = Λ1 (t, τ, h, T ) — разностные операторы-матрицы с переменными коэффициентами, T = {Tα },
α = −qα , −qα + 1, . . . , qα ,
операторы сдвига Tα определяются формулами: Ti u(x1 , . . . , xm ) = u(x1 , . . . , xi + hi , . . . , xm ); (2) T−i u(x1 , . . . , xm ) = u(x1 , . . . , xi − hi , . . . , xm );
T−i =
Ti−1 .
В индексной записи схема (1) имеет вид X un+1 − uni i = bijβ1 ...βm (x, t, τ, h)T1β1 . . . Tmβm un+1 + j τ j,β X + cijβ1 ...βm T1β1 . . . Tmβm unj + Fin ,
(3)
j,β
где индексы βs (s = 1, . . . , m) могут пробегать как положительные, так и отрицательные целые значения. Введем ряд понятий. Схемы вида (1) будем называть однородными, так как аппроксимация (1) носит единообразный характер независимо 2
По поводу решения задачи Коши и теории полугрупп см. [2-4, 99]. Необходимые понятия функционального анализа см. в работах [1], [72]
9
от точки x, t*3 Схему (1) будем называть явной, если в пространстве сеточных функций оператор E − τ Λ1 изображается матрицей с одной диагональю, неявной — в противном случае. Оператор Λ называется сингулярным, если для любой сколь угодно гладкой функции f имеем kΛf k ≥
A , hα
α > 0,
A > 0,
где A не зависит от h = max hi . Если |βs | ≤ Q, где Q не зависит от τ, h, будем называть операторы Λ0 , Λ1 финитными. Заметим, что оператор, обратный финитному, вообще говоря, не является уже финитным. В практическом счете равенства (1) рассматриваются в точках сетки, и тогда запись (3) должна быть дополнена сеточными индексами n X un+1 ik1 ...km − uik1 ...km = bijβ1 ...βm un+1 jk1 +β1 ...km +βm + τ j,β X + cijβ1 ...βm unjk1 +β1 ...km +βm + Fikn 1 ...km ,
(4)
j,β
где индексами k1 , . . . , km фиксируется точка x1 = k1 h1 , . . . ,
xm = km hm .
В теоретическом исследовании мы будем рассматривать операторы Λ1 , Λ0 действующими в том же пространстве, что и оператор L из (1.1), и считать функции un (x) принадлежащими B. Поставим для (1) начальное условие u0 (x) = u0 (x). (5) Пусть un (x) есть решение однородной задачи Коши (1), (5) (Fn = 0). Тогда равенство un+1 (x) = C(τ, h, t + τ, t)un (x),
t = nτ,
(6)
определяет разностный оператор шага C(τ, h; t + τ, t), равенство un (x) = C(τ, h, t2 , t1 )um (x),
0 ≤ t1 = mτ ≤ t2 = nτ ≤ T,
(7)
определяет разностный оператор перехода C(τ, h; t2 , t1 ). 3
Понятие однородной схемы было введено в работе А. Н. Тихонова, А. А. Самарского [93].
10
Будем также обозначать: Cnm = C(τ, h; t2 , t1 );
t2 = nτ, t1 = mτ ;
Cn = Cn n−1 .
(70 )
Определение. Задача Коши (1), (5) корректна, если kC(τ, h, t, 0)k ≤ M (t),
0 ≤ t = nτ ≤ T,
τ 2 + h2 ≤ τ02 ,
(8)
где τ0 — некоторая достаточно малая константа. Схема (1) корректна, если kC(τ, h; t2 , t1 )k ≤ M (t), 0 ≤ t1 = mτ ≤ t2 = nτ ≤ T ; (9) равномерно корректна, если
kC(τ, h; t2 , t1 )k ≤ eω(t2 −t1 ) ,
0 ≤ t1 = mτ ≤ t2 = nτ ≤ T ;
(10)
где ω — константа, зависящая только от T ; устойчива, если kC(τ, h; t2 , t1 )k ≤ 1,
0 ≤ t1 = mτ ≤ t2 = nτ ≤ T ;
(11)
асимптотически устойчива, если kC(τ, h; t2 , t1 )k → 0,
t2 → ∞;
(110 )
сильно устойчива, если kC(τ, h, t + τ, t)k ≤ 1 − ε(τ, h, T ),
ε > 0,
ε → 0 при τ, h → 0.
(12)
Данные определения без труда переносятся на случай произвольных шагов τ1 = t1 − t0 , τ2 = t2 − t1 , . . . , τn = tn − tn−1 . Определение. Схема (1) аппроксимирует уравнение (1.1), если k[C(τ, h, t + τ, t) − S(t + τ, t)]u(x, t)k →0 τ
(13)
при τ → 0 равномерно по t, 0 ≤ t ≤ T , для гладких решений u(x, t) задачи (1.1), (1.3). Определение. Решение un (x) задачи (1), (5) сходится к решению u(x, t) задачи (1.1), (1.3), если kun (x) − u(x, nτ )k = k[C(τ, h, nτ, 0) − S(nτ, 0)]u0 k → 0 11
(14)
при τ → 0 равномерно по t = nτ в интервале 0 ≤ t ≤ T для произвольного u0 ∈ B *4 . Определения корректности, аппроксимации, сходимости требуют указания закона предельного перехода h = h(τ ),
h → 0,
τ → 0,
(15)
при котором справедливы соотношения (8)–(14). Определение. Схема (1) безусловно (абсолютно) корректна, если она корректна при любом законе предельного перехода τ, h → 0, т.е. оценка (9) имеет место в полной окрестности τ 2 + h2 ≤ τ02
(16)
для достаточно малых τ0 . Схема (1) называется условно корректной в противном случае, т.е. если оценка (9) имеет место не для произвольного закона предельного перехода. В случае условной корректности оценка (9) справедлива в некоторой неполной окрестности нуля в плоскости τ, h, граница которой проходит через точку (0, 0). Аналогично определяются понятия абсолютной и условной равномерной корректности, устойчивости, сильной устойчивости. Определение. Схема (1) абсолютно аппроксимирует уравнение (1.1), если соотношение (13) имеет место в окрестности (16), и условно аппроксимирует в противном случае. Аналогично определяется абсолютная и условная сходимость. Справедлива следующая теорема сходимости*5 . Если 1) разностная и дифференциальная задачи Коши корректны, 2) оператор Λ1 + Λ0 аппроксимирует L: Λ1 + Λ0 ≺ L, 3) k(E − τ Λ1 )−1 k ≤ N (T ), то решение разностной задачи Коши (1), (5) сходится к решению дифференциальной задачи Коши (1.1), (1.3). Доказательство. Пусть u(x, t) ∈ Cq — решение задачи (1.1), (1.3), соответствующее u0 (x) ∈ Cp , un (x) — решение разностной задачи (1), (5) 4
Мы определили сходимость для t = nτ . Ввиду ограниченности Cn m из сходимости при t = nτ следует сходимость для любого t. 5 Аналогичные признаки сходимости были получены впервые В.С. Рябеньким [5] и Н.Н. Мейманом [6]. Мы для простоты ограничиваемся случаем f = F = 0.
12
с той же начальной функцией. Величина v n (x) = un (x) − u(x, nτ )
(17)
удовлетворяет разностному уравнению v n+1 − v n = Λ1 v n+1 + Λ0 v n + Rn+1 , τ
(18)
где Rn+1 = −{
u[x, (n + 1)τ ] − u(x, nτ ) − Λ1 u[x, (n + 1)τ ] − Λ0 u(x, nτ )} (19) τ
с начальными данными v 0 = 0.
(20)
По условию 2 (условие аппроксимации) имеем max kRn k → 0 n
(21)
при τ → 0. Используя условие 3 теоремы, перепишем уравнение (18) в виде v n+1 = Cn+1 v n + rn+1 , (22) Cn+1 = (E − τ Λ1 )−1 (E + τ Λ0 ),
rn+1 = τ (E − τ Λ1 )−1 Rn+1 .
(23)
Нетрудно убедиться в справедливости представления n
0
n X
Cnα rα ,
(24)
Cnα = Cn Cn−1 . . . Cα+1 .
(25)
v = Cn0 v +
α=1
Из условия корректности следует: n
0
kv k ≤ kCn0 kkv k +
n X α=1
kCnα kkrα k ≤
≤ nτ N M max kRk k = tM N max kRk k. k=1,...,n
k=1,...,n
Отсюда kv n k → 0,
τ →0
равномерно в интервале [0, T ], что и требовалось доказать.
13
(26)
Имеет место теорема эквивалентности*6 . Если схема (1) аппроксимирует уравнение (1.1), то для того, чтобы решение un (x) задачи (1), (5) сходилось в B к решению u(x, t) корректной задачи (1.1), (1.3), необходимо и достаточно, чтобы задача (1), (5) была корректна. Корректность разностной задачи является самостоятельным требованием, не вытекающим из свойства аппроксимации. Покажем это на примере уравнения с постоянными коэффициентами. Пусть ∂u = L(D)u ∂t
(27)
есть уравнение с постоянными коэффициентами, где u — скалярная функция от x1 , . . . , xm , t, X αm L(D) = aα1 ...αm D1α1 . . . Dm (28) α
- полином от операторов дифференцирования Di . В этом случае справедлив простой критерий корректности. Рассмотрим гармоническую функцию u = u0 eωt+ikx ,
u0 = const,
k — целое.
(29)
Для того чтобы гармоника (29) была решением (27), необходимо и достаточно, чтобы ω, k были связаны соотношением (так называемое дисперсионное или характеристическое уравнение) ω = L(ik).
(30)
Система (27) корректна в L2 (π, π) тогда и только тогда, когда Re ω(k) ≤ µ1 для всех k, где µ1 — константа, не зависящая от k. Пусть µ ¶ un+1 − un ∆ =L un τ h
(31)
(32)
есть явная однородная аппроксимация (27); ∆/h — некоторая аппроксимация D, например, ∆i Ti − E = ≺ Di . hi hi 6
Теорема эквивалентности принадлежит Лаксу (см. [3], [4]) и справедлива для однородного уравнения (1.1). Ее обобщение на случай неоднородной задачи принадлежит Рихтмайеру [7].
14
Тогда (29) может быть решением (32) при условии (разностное дисперсионное уравнение) ¶ µ ikh e −1 eωτ − 1 = =L τ h µ ikm hm ¶α ¶α µ ik1 h1 X −1 m e e −1 1 ··· . (33) = aα1 ...αm h1 hm α Необходимым и достаточным условием корректности схемы (32) является снова неравенство Re ω(τ, h, k) ≤ µ2 ,
(34)
где на этот раз ω определяется из (33), µ2 не зависит от k, τ, h. Для ограниченных k ≤ K ω(τ, h, k) → ω(k) = L(ik) при τ, h → 0
(35)
и, следовательно, на классе функций, имеющих финитный образ Фурье, дисперсионное уравнение (33) аппроксимирует уравнение (30), а разностная схема (32) будет корректной на этом классе. Однако практически имеет место другая ситуация: τ , h малы, но конечны и k сколько угодно или достаточно велико*7 . Отсюда следует, что ω(τ, h, k) может как угодно сильно отличаться от ω(k) и условие (34) не следует из условия (31). Гармонический анализ устойчивости удобен для уравнений с постоянными коэффициентами. В отличие от ε-схемы, в которой рассматривается возмущение начальных данных в отдельной точке сетки и анализируется его дальнейшее распространение в фазовом пространстве (x1 , . . . , xm , t), в гармоническом анализе рассматривается начальное возмущение типа гармоники δu = δu0 ei(k1 x1 +k2 x2 +...+km x+m) и исследуется его дальнейшее распространение. Гармонический критерий устойчивости может быть сформулирован тогда в следующем виде: если амплитуда каждого гармонического возмущения возрастает не сильнее, чем eµt , то схема корректна. В дальнейшем возмущения в начальных данных или в процессе счета (ошибка округления) вида δu0 eik1 x1 будем кратко называть ошибкой по x1 , возмущения вида δu0 eik2 x2 — ошибкой по x2 и т.д. 7
Если разностная задача рассматривается в том же пространстве B, что и исходная задача Коши, то k сколь угодно велико. Если разностная задача рассматривается в пространстве сеточных функций, то k ∼ h1 .
15
Таким образом, разностные схемы должны удовлетворять двум независимым требованиям: 1) аппроксимация, 2) корректность. Как мы увидим дальше, эти требования не только независимы, но и в известной мере вступают в противоречие одно с другим. Кроме требований 1), 2), которые являются безусловными, разностные схемы должны удовлетворять еще ряду требований, которые носят менее категоричный характер, но практически необходимы. В первую очередь это требование экономичности схемы, где мерой экономичности служит некоторое условное машинное время. Экономичность разностной схемы есть не только средство экономии машинного времени, но в некоторых случаях и практически обязательное условие реализации схемы в виде программы. При интегрировании нелинейных уравнений с частными производными критерии аппроксимации и корректности сильно усложняются. Поэтому почти обязательным является требование дивергентности схемы *8 . Эти требования можно было бы умножить, но и без того становится ясным, что построение хорошей разностной схемы является очень сложной задачей.
8
Разностная схема называется дивергентной (консервативной), если она тождественно удовлетворяет разностным законам сохранения.
16
П. 3.
ПРИМЕРЫ
Поясним введенные понятия некоторыми примерами. Рассмотрим четыре схемы интегрирования для уравнения теплопроводности 2 ∂u 2∂ u =a , a = const 6= 0. (1) ∂t ∂x2 I. Схема «крест» (схема Ричардсона): ∆1 ∆−1 n un+1 − un−1 = a2 u , 2τ h2
∆1 = T1 − E,
∆−1 = E − T−1 .
(2)
Аппроксимация, как легко проверить, имеет 2-й порядок. Положим ρ = eωτ . Тогда дисперсионное уравнение для схемы (2) имеет вид ρ2 + 8r sin2
kh ρ − 1 = 0; 2
r=
a2 τ . h2
(3)
Отсюда r kh 2 kh ± (4r sin2 ) + 1. ρ1,2 = −4r sin 2 2 p Норма оператора шага равна 4r + 1 + (4r)2 . При любых τ, h схема (2) абсолютно неустойчива. Итак, схема «крест» абсолютно аппроксимирует, но абсолютно неустойчива. II. Схема «ромб» (схема Дюфорта–Френкеля): 2
un+1 − un−1 a2 = 2 [T1 un + T−1 un − (un−1 + un+1 )]. 2τ h
(4)
Схема преобразуется к виду un+1 − un−1 a2 a2 τ 2 un+1 − 2un + un−1 = 2 ∆1 ∆−1 un − 2 . 2τ h h τ2 Дисперсионное уравнение имеет вид ρ2 −
2r − 1 4r cos kh ρ+ = 0. 1 + 2r 2r + 1
Отсюда ρ=
2r cos kh ±
p
√ (2r cos kh)2 − 4r2 + 1 2r cos kh ± 1 − ε = , 2r + 1 2r + 1 ε = 4r2 sin2 kh ≥ 0. 17
(40 )
Если ε > 1, то корни ρ1 , ρ2 комплексные сопряженные и имеют модуль r 2r − 1 < 1. 2r + 1 √ Если ε ≤ 1, то 1 − ε = ϑ ≤ 1, |ρ| =
2r cos kh ± ϑ ≤ 1. 2r + 1
Таким образом, схема «ромб» абсолютно устойчива. Проверим аппроксимацию. Пользуясь (40 ), видим, что схема «ромб» аппроксимирует уравнение ∂ 2 u a2 τ 2 ∂ 2 u ∂u = a2 2 − 2 . ∂t ∂x h ∂t2 При законе предельного перехода a2 τ = r = const h2 схема «ромб» аппроксимирует уравнение теплопроводности (1). При законе предельного перехода aτ = κ = const h схема «ромб» аппроксимирует уравнение гиперболического типа 2 2 ∂u 2∂ u 2∂ u =a −κ . ∂t ∂x2 ∂t2
(5)
Следовательно, схема «ромб», являясь абсолютно устойчивой и явной, неабсолютно аппроксимирует уравнение теплопроводности. III. Явная двухслойная схема ∆1 ∆−1 n un+1 − un = a2 u . τ h2
(6)
Дисперсионное соотношение имеет вид ρ = 1 − 4r sin2
kh . 2
(7)
Схема (6) корректна при условии a2 τ 1 r= 2 ≤ , h 2 18
(8)
т.е. условно устойчива. Нетрудно видеть, что схема (6) абсолютно аппроксимирует (1). Значит, схема (6) абсолютно аппроксимирует уравнение (1), но условно устойчива. IV. Неявная двухслойная схема (схема Кранка–Николсона): a2 un+1 − un = 2 ∆1 ∆−1 [αun+1 + (1 − α)un ], τ h
0 ≤ α ≤ 1.
(9)
Дисперсионное соотношение имеет вид 1 − 4r(1 − α) sin2 ρ= 1 + 4rα sin2 kh 2
kh 2
.
(10)
Ясно, что схема (9) абсолютно аппроксимирует (1). При α ≥ 12 (9) является также и абсолютно устойчивой в L2 . При α = 1 схема (9) абсолютно устойчива в C, так как удовлетворяет принципу максимума. При 1 0 ≤ α < 12 , r ≤ 2(1−2α) схема (9) устойчива в L2 . В приведенных примерах абсолютно корректными и аппроксимирующими схемами были только неявные схемы. По-видимому, это верно и в общем случае. Для практических расчетов схемы, обладающие одновременно качеством абсолютной аппроксимации и корректности, особенно удобны.
П. 4.
МЕТОД ФАКТОРИЗАЦИИ (ПРОГОНКИ)
Для реализации неявной схемы (3.9) применяется метод факторизации, который заключается в представлении оператора второго порядка E − αr∆1 ∆−1 в виде произведения двух операторов первого порядка. Для разностного уравнения 2-го порядка Ai ui−1 + Bi ui + Ci ui+1 = fi ,
i = 1, . . . , N
(1)
формулы прогонки имеют вид (2а)
ui = Xi ui+1 + Yi ; Xi = −
Ci , Bi + Ai Xi−1 19
Yi = −
fi − Ai Yi−1 . Bi + Ai Xi−1
(2б)
Для схемы (3.9), полагая un+1 = ui , имеем i Ai = Ci = −αr; Отсюда Xi =
Yi =
Bi = 1 + 2αr;
fi = [E + (1 − α)r∆1 ∆−1 ]uni .
αr = (1 + 2αr) − αrXi−1 (2 +
1 1 ) αr
− Xi−1 1 f αr i
(3)
; (30 )
Yi−1 + fi + αrYi−1 . = 1 (1 + 2αr) − αrXi−1 (2 + αr ) − Xi−1
Величины X0 , Y0 определяются из краевых условий на левом конце. Например, если для уравнения (3.9) решается краевая задача: а)
∂u(0, t) = 0; ∂x
б) u(1, t) = 1;
(4)
u(x, 0) = u0 (x), то X0 , Y0 определяются из прогоночного соотношения u0 = X0 u1 + Y0 .
(5)
Отсюда для удовлетворения краевого условия (4а) достаточно положить X0 = 1,
Y0 = 0.
(6)
После этого с помощью соотношений (2) рекуррентно определяются Xi , Yi . Из правого условия (4б) определяется uN +1 и из соотношения (2а) справа налево определяются ui . Нетрудно видеть, что схема прогонки (2), (3) является пространственно устойчивой, т.е. в рекуррентном счете Xi , Yi , ui ошибка не возрастает. Алгоритм прогонки очень эффективен, и число операций на шаг в схеме (3.9) только примерно в 5 раз больше числа операций на шаг в простой схеме (3.6). Учитывая это, видим, что применение неявной схемы становится экономически выгодным, если τ2 /τ1 > 5, где τ1 — шаг явной схемы, τ2 — шаг неявной схемы, допустимый по точности.
20
П. 5.
МЕТОД МАТРИЧНОЙ ФАКТОРИЗАЦИИ
Иначе обстоит дело при переходе к многомерному уравнению теплопроводности. Рассмотрим, например, двумерное уравнение теплопроводности ∂ 2u ∂ 2u ∂u = a2 ( 2 + 2 ) (1) ∂t ∂x ∂y в параллелепипеде 0 ≤ x ≤ 1;
0 ≤ y ≤ 1;
0 ≤ 0 ≤ t ≤ T,
и поставим для него первую краевую задачу Коши u(x, y, 0) = u0 (x, y),
(x, y) ∈ G;
u(x, y, t) = g(x, y, t),
(x, y) ∈ γ;
где G = {0 < x < 1, 0 < y < 1}; γ — граница G. По аналогии с одномерным случаем применим однородную неявную схему un+1 − un = Λ[αun+1 + (1 − α)un ], (2) τ где ∆2 ∆−2 ∆1 ∆−1 ; Λ2 = a2 . (3) Λ = Λ1 + Λ2 ; Λ1 = a2 2 h1 h22 В этом случае на каждом шаге приходится решать систему уравнений − αr1 (ui−1j + ui+1j ) − αr2 (uij−1 + uij+1 ) + [1 + 2α(r1 + r2 )]uij = fij , (4) где fij = [E + (1 − α)τ Λ]unij ;
21
uij = un+1 ij .
Для решения (4) применяется метод матричной факторизации. Метод матричной факторизации был разработан, обоснован и успешно применен для задач математической физики группой советских математиков (М.В. Келдыш, И.М. Гельфанд, К.И. Бабенко, О.Н. Локуциевский, Н.Н. Ченцов и др.) [8]. Г.И. Марчук [9] с успехом применил метод векторной и матричной факторизации для решения задач нейтронной физики. Вкратце опишем этот метод на примере двумерного уравнения теплопроводности (1). Уравнения (4) можно записать в матричной форме Ai~ui−1 + Bi~ui + Ci~ui+1 = f~i ,
(5)
где ~ui , f~i суть векторы {uij }, {fij },; матрицы Ai , Bi , Ci действуют в N2 мерном пространстве векторов ~ui ° ° ° −αr1 0 ... 0 ° ° ° ° ° 0 −αr . . . 0 1 ° = −αr1 I, (6) Ai = Ci = ° ° ° ··· · · · · · · · · · ° ° ° 0 0 . . . −αr1 °
° ° ° ° ° ° ° ° (7) Вид матриц Ai , Bi соответствует первой краевой задаче для прямоугольника xi = ih1 , i = 0, 1, . . . , N1 + 1; ° ° 1 + 2α(r1 + r2 ) −αr2 0 ° ° −αr2 1 + 2α(r1 + r2 ) −αr2 Bi = ° ° . . . ... ... ° ° 0 0 0
yj = jh2 ,
... 0 ... 0 ... ... . . . 1 + 2α(r1 + r2 )
j = 0, 1, . . . , N2 + 1;
индексы 0, N1 +1, N2 +1 отвечают границе прямоугольника. По аналогии с методом прогонки положим ~ui = Xi~ui+1 + Y~i ,
(8)
где Xi — матрицы, ~ui , Y~i — векторы. Подставляя (8) в (5), получим (Bi + Ai Xi−1 )~ui + Ci~ui+1 = f~i − Ai Y~i−1 .
(9)
Умножая (9) слева на матрицу (Bi + Ai Xi−1 )−1 , находим ~ui = −(Ai Xi−1 + Bi )−1 Ci~ui+1 + (Ai Xi−1 + Bi )−1 (f~i − Ai Y~i−1 ). 22
(10)
Сравнивая (10) с (8), получаем рекуррентные соотношения Xi = −(Ai Xi−1 + Bi )−1 Ci ,
(11)
Y~i = (Ai Xi−1 + Bi )−1 (f~i − Ai Y~i−1 ). Из краевых условий находим X0 = 0,
Y~0 = ~u0 , 0 ≤ yi ≤ 1,
~u0 = {g(0, yj , t)},
(12)
yi = jh2 .
Условия (12) представляют собой начальные данные для рекуррентных соотношений (11), которые позволяют последовательно определить Xi , Y~i до i = N1 . Соотношение ~uN1 = XN1 ~uN1 +1 Y~N1 ~uN1 +1 = {g(1, yj , t)},
0 ≤ yj ≤ 1,
(13)
позволяет определить вектор ~uN1 по известному из правого условия вектору ~uN1 +1 , после чего ~ui последовательно определяются с помощью соотношений (8). Таким образом, схема матричной прогонки вполне аналогична обычной прогонке, с той только разницей, что вместо скалярных величин Xi , Yi , ui мы «прогоняем» векторы Y~i , ~ui и матрицы Xi , коэффициенты Ai , Bi , Ci становятся матрицами, и все операции следует понимать как операции над матрицами и векторами. Если коэффициенты уравнения теплопроводности переменные, то для каждого i приходится обращать матрицу порядка N2 , что является трудоемкой операцией. Поэтому применение матричной факторизации для уравнения теплопроводности в прямоугольной области может быть рекомендовано, когда N2 не особенно велико. Еще более сложный алгоритм возникает при решении трехмерной задачи. Причиной резкого увеличения числа операций является увеличение размерности разностного оператора на верхнем шаге по сравнению с одномерным случаем. Можно сделать попытку уменьшить размерность разностного оператора на верхнем шаге. Например, вместо разностной схемы (2) можно было применить следующую аппроксимацию:
23
un+1 − un = Λ1 un+1 + Λ2 un , (14) τ и тогда решение неявной схемы (14) свелось бы к обычным прогонкам по x1 . Нетрудно убедиться, однако, что схема (14) является условно устойчивой. Действительно, коэффициент ρ(k) = eωτ роста гармоники выражается дробью ρ(k1 , k2 ) =
1 − a2 ; 1 + a1
as = 4rs sin2
ks hs ; 2
rs =
a2 τ ; h2s
s = 1, 2.
(15)
Условие устойчивости имеет вид 1 r2 ≤ . 2
(16)
Мы видим, что неустойчивость может возникать вследствие явной аппроксимации производных по x2 : в то время как гармоническое решение A(t)eik1 x1 будет всегда убывать по амплитуде, гармоническое решение A(t)eik2 x2 при нарушении условия (16) будет возрастать по амплитуде. Возникающие в многомерном случае трудности построения простых абсолютно устойчивых схем не могут быть решены на основе однородных схем и простейших аппроксимаций, когда интегрирование происходит единообразно от шага к шагу. Следует изменить структуру разностной схемы и усложнить аппроксимацию. Остановимся подробнее на этом обстоятельстве. До сих пор при составлении разностных схем мы пользовались простейшими аппрокси∂ мациями. Например, оператор D = ∂x аппроксимировался оператором 2 ∆−1 ∆1 ∂ 2 α h + (1 − α) h оператор D = ∂x2 оператором ∆1h∆2−1 и т. д. Отличительной чертой простейшей аппроксимации является минимальное — при заданной точности — число точек сетки, входящих в область определения разностного оператора. Пусть Λ ≺ Ω есть простейшая аппроксимация порядка O(hα ). Тогда, положив ¯ = Λ + hα Φ, Λ где Φ — произвольный финитный не сингулярный оператор, получим ¯ ≺ Ω вновь порядка O(hα ). При этом мы получаем в аппроксимацию Λ свое распоряжение целый набор произвольных параметров или функций, связанных с произвольным оператором Φ, которые можно использовать
24
в тех или других целях. Использование схем с более сложной аппроксимацией делает более гибкими получающиеся схемы и дает возможность получить схему с хорошей реализацией.
4
25
§ 2.
ПРОСТЕЙШИЕ СХЕМЫ В ДРОБНЫХ ШАГАХ ДЛЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
П. 1.
СХЕМА ПРОДОЛЬНО–ПОПЕРЕЧНОЙ ПРОГОНКИ
Условно устойчивая схема (1.5.14) является несимметричной: аппроксимация второй производной по x является неявной, по y – явной. Рассмотрим симметризованную схему, в которой x и y меняются ролями от шага к шагу: un+1 − un = Λ1 un+1 + Λ2 un , τ
un+2 − un+1 = Λ1 un+1 + Λ2 un+2 . τ
(1)
2
∂ На первом шаге, как и в схеме (1.5.14), оператор L1 = a2 ∂x 2 аппрокси2 ∂ мируется неявно, L2 = a2 2 – явно; на втором шаге, наоборот, оператор ∂y L1 аппроксимируется явно, оператор L2 – неявно. После этого счет повторяется. Схема (1), которую будем называть в дальнейшем схемой продольнопоперечной прогонки1 (схема п. п. п.), была предложена в 1955 г. одновременно Писмэном, Рэкфордом и Дугласом [10, 11]. Покажем, что схема (1) абсолютно устойчива и абсолютно аппроксимирует уравнение теплопроводности (1.5.1). Так как в схеме (1) счет повторяется только при переходе с n-го шага на (n + 2)-и, то будем считать (n + 1)-й шаг вспомогательным. Поэтому 1
В оригинале употребляется термин alternating direction (implicit) method. Иногда в советской литературе применяется также термин «метод переменных направлений» для обозначения схем подобного типа.
26
будем рассматривать схему (1) как переход с n-го шага на (n + 1)-й с 1 вспомогательным шагом n + . 2 При таких обозначениях схема (1) примет вид 1
1 1 un+ 2 − un = (Λ1 un+ 2 + Λ2 un ), τ 2
u
n+1
n+ 21
−u τ
(2)
1 1 = (Λ1 un+ 2 + Λ2 un+1 ) 2
Покажем, что схема (2) эквивалентна некоторой однородной схеме, безусловно устойчивой и безусловно аппроксимирующей уравнение (1.5.1). Следуя [12], запишем (2) в виде 1
A1 un+ 2 − B1 un = 0,
(3а)
1
A2 un+1 − B2 un+ 2 = 0,
(3б)
A1 = E − 12 τ Λ1 ,
A2 = E − 21 τ Λ2 ;
1 τ Λ2 , 2
1 τ Λ1 2
B1 = E +
B2 = E +
(4)
Умножим уравнение (3а) слева на оператор B2 , уравнение (3б) на A1 и сложим. В результате получим 1
A1 A2 un+1 − B2 B1 un + (B2 A1 − A1 B2 )un+ 2 = 0. Предполагая коммутативность2 операторов Λ1 , Λ2 , приходим к схеме A1 A2 un+1 − B1 B2 un = 0.
(5)
Подставляя (4) в (5), после несложных преобразований получаем следующую однородную схему, эквивалентную (2): un+1 − un Λ1 + Λ2 n 1 = (u + un+1 ) − τ Λ1 Λ2 (un+1 − un ). τ 2 4
2
(6)
В случае разностных уравнений с постоянными коэффициентами, задачи Коши, определенной в L2 [−π, π] и скалярной функции un свойство коммутативности имеет место.
27
Отсюда следует, что схема (6) и эквивалентная ей схема (2) аппроксимируют уравнение теплопроводности с той же точностью, что и схема un+1 − un un + un+1 =Λ , τ 2
Λ = Λ1 + Λ2 .
Докажем безусловную устойчивость схемы (6) или, что то же, (2). Положим 1 un = ηn ei(k1 x1 +k2 x2 ) ; un+ 2 = ηn+ 1 ei(k1 x1 +k2 x2 ) . (7) 2
Подставляя (7) в (2), получим 1 − 12 a2 ηn+1/2 , ρ1 = = ηn 1 + 21 a1
(8а)
1 − 12 a1 ηn+1 , = ηn+1/2 1 + 21 a2
(8б)
1 − 21 a1 1 − 12 a2 · = ρ1 ρ2 , 1 + 12 a2 1 + 21 a1
(8в)
ρ2 =
ρ= где
as = 4rs sin2
ks hs , 2
rs =
a2 τ , h2s
s = 1; 2.
(9)
Отсюда следует, что |ρ| ≤ 1
(10)
при любом τ . Устойчивость схемы (2) доказана. Нетрудно установить, что из (6) получается то же выражение для ρ. Таким образом, благодаря введению вспомогательных дробных шагов мы получили абсолютно устойчивую схему. При этом вместо одной матричной прогонки нужно применять две обычные прогонки, что значительно уменьшает объем вычислений. Проанализируем формулы (8). Равенство (8) означает, что на первом 1 полушаге ошибка в направлении x1 уменьшается в 1 + a1 раз, ошибка в 2 1 направлении x2 увеличивается в 1 − a2 раз; на втором полушаге, наобо2 1 рот, ошибка в направлении x1 возрастает в 1 − a1 раз, в направлении x2 2 1 убывает в 1 + a2 раз. Следовательно, как бы сильно ни выросла ошибка 2 в каком-либо направлении на данном полушаге, на следующем полушаге 28
она обязательно уменьшится, так что на двух полушагах она не возрастает по модулю. Отсюда сразу видно преимущество схемы продольнопоперечной прогонки по сравнению со схемой (1.5.14) un+1 − un = Λ1 un+1 + Λ2 un τ или аналогичной схемой un+1 − un = Λ1 un + Λ2 un+1 . τ В первой схеме ошибка в направлении x1 всегда будет убывать в 1+a1 раз, зато ошибка в направлении x2 будет всегда возрастать в 1 − a2 раз. Во второй схеме, наоборот, на каждом шаге ошибка в направлении x1 возрастает в 1 − a1 раз, хотя в направлении x2 убывает в 1 + a2 раз. Следовательно, необходимо менять направления x1 , x2 ролями, что и делается в схеме п. п. п. В методе попеременного неявного счета интегрирование в каждом направлении идет попеременно то с помощью явной, то с помощью неявной схемы и возрастание ошибки в явной схеме компенсируется убыванием ошибки в неявной схеме3 . Из этих наглядных соображений следует, что метод попеременного неявного счета непригоден в трехмерном случае. Рассмотрим для трехмерного уравнения теплопроводности 3
X ∂2u ∂u = a2 ∂t ∂x2i i=1
(11)
схему, аналогичную схеме п. п. п. В этом случае интегрирование в каждом направлении x1 , x2 , x3 происходит один раз неявным образом и дважды явным. Значит, возрастание ошибки в явной схеме не компенсируется убыванием ее в неявной схеме.
3
Компенсация устойчивости на дробных шагах аналогична компенсации прочности на изгиб в фанерном листе, который состоит из ряда склеенных листов с попеременно меняющимся направлением волокон. Если склеивать листы с одним направлением волокон, то компенсации прочности не получится.
29
Подтвердим это точным анализом устойчивости схемы п. п. п. в трехмерном случае un+1/3 − un 1 = (Λ1 un+1/3 + Λ2 un + Λ3 un ), τ 3 1 un+2/3 − un+1/3 = (Λ1 un+1/3 + Λ2 un+2/3 + Λ3 un+1/3 ), τ 3 un+1 − un+2/3 1 = (Λ1 un+2/3 + Λ2 un+2/3 + Λ3 un+1 ). τ 3 Для коэффициентов умножения получаем формулы ρ1 =
1 − 31 (a2 + a3 ) , 1 + 31 a1
ρ2 =
1 − 13 (a1 + a3 ) , 1 + 13 a2
ρ3 =
(12)
1 − 31 (a1 + a2 ) ; 1 + 31 a3 (13)
ρ = ρ 1 ρ2 ρ3 =
[1 −
1 (a 3 2
+ a3 )][1 − 31 (a1 + a3 )][1 − 13 (a1 (1 + 13 a1 )(1 + 31 a2 )(1 + 13 a3 )
+ a2 )]
Отсюда следует, что схема не является абсолютно устойчивой. При доτ статочно больших 2 , i = 1, 2, 3, получаем для ρ оценку hi ρ ≈ −8.
(14)
Заметим, также, что метод попеременного неявного счета непригоден для решения уравнения m X ∂u ∂ 2u = (15) aij ∂t ∂xi ∂xj i,j=1 даже при m = 2.
П. 2.
СХЕМА СТАБИЛИЗИРУЮЩЕЙ ПОПРАВКИ
Для решения трехмерного уравнения теплопроводности в работе Дугласа, Рэкфорда [12] была предложена следующая схема: un+1/3 − un = Λ1 un+1/3 + Λ2 un + Λ3 un ; τ 30
un+2/3 − un+1/3 = Λ2 (un+2/3 − un ); τ un+1 − un+2/3 = Λ3 (un+1 − un ). τ Схему (1) можно переписать в виде s
As un+ 3 − Bs un+
s−1 3
= Cs un ,
(1)
(2)
где As = E − τ Λs ; C1 = τ (Λ2 + Λ3 );
Bs = E;
s = 1, 2, 3; (20 )
C2 = −τ Λ2 ;
C3 = −τ Λ3 .
Последовательно исключая un+1/3 , un+2/3 , получаем эквивалентную однородную схему A1 A2 A3 un+1 − B1 B2 B3 un = [C1 + A1 C2 + A1 A2 C3 ]un .
(3)
После подстановки (2) в (3) и разложения по τ , преобразуем схему (3) к виду un+1 − un = Λun+1 −τ (Λ1 Λ2 +Λ1 Λ3 +Λ2 Λ3 )(un+1 −un )+τ 2 Λ1 Λ2 Λ3 (un+1 −un ), τ (4) где Λ = Λ1 + Λ2 + Λ3 . Для коэффициента возрастания ошибки получаем выражение ρ=
1 + (a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 ) + a1 a2 a3 . (1 + a1 )(1 + a2 )(1 + a3 )
(5)
Из (4) следует аппроксимация, из (5) устойчивость. Заметим, что структура схемы такова: первый дробный шаг дает полную аппроксимацию уравнения теплопроводности, следующие дробные шаги являются поправочными и служат цели, улучшения устойчивости. Поэтому схемы такого рода мы будем называть схемами стабилизирующей поправки (с.п.) или схемами с поправкой на устойчивость. Позднее Дугласом [26] была предложена схема с.п. 2-го порядка точности (см.п.7).
31
П. 3.
СХЕМА РАСЩЕПЛЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ БЕЗ СМЕШАННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ (ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ)
Анализ устойчивости схем попеременного неявного счета показывает, что аппроксимация явными операторами ухудшает устойчивость схемы. Это приводит к идее на каждом дробном шаге пользоваться только неявными операторами. При этом на каждом дробном шаге в правой части аппроксимируется оператор ∂2 (1) Ls = a2 2 , ∂xs полная аппроксимация достигается только на полном шаге. Схема такого рода была впервые предложена в работе автора [13]. Мы будем называть такие схемы схемами расщепления. Простейшая схема расщепления для трехмерного уравнения теплопроводности имеет вид un+1/3 − un = Λ1 un+1/3 , τ
(2а)
un+2/3 − un+1/3 = Λ2 un+2/3 , τ un+1 − un+2/3 = Λ3 un+1 . τ
(2б) (2в)
Перепишем (2) в виде s
As un+ 3 − Bs un+
s−1 3
= 0,
As = E − τ Λs ,
Bs = E,
s = 1, 2, 3.
(3)
Исключая un+1/3 , un+2/3 , приходим к эквивалентной схеме A1 A2 A3 un+1 − B1 B2 B3 un = A1 A2 A3 un+1 − Eun = 0.
(4)
Разлагая (4) по степеням τ , получаем un+1 − un = Λun+1 − τ (Λ1 Λ2 + Λ1 Λ3 + Λ2 Λ3 )un+1 + τ τ 2 Λ1 Λ2 Λ3 un+1 .
(5)
Для ρ1 , ρ2 , ρ3 находим выражения ρ1 =
1 ; 1 + a1
ρ2 =
1 ; 1 + a2
ρ3 =
1 ; 1 + a3
1 . ρ= (1 + a1 )(1 + a2 )(1 + a3 ) 32
(6)
Из (5) следует аппроксимация, из (6) - устойчивость схемы (2). Нетрудно установить, что схема (2) удовлетворяет свойству экстремума. Это следует из того, что каждая из двухслойных схем (2а), (2б), (2в) удовлетворяет свойству экстремума. Рассмотрим, например, схему (2а), записав ее предварительно в индексном виде и отбросив, для простоты, индексы по x2 , x3 n+1/3 n+1/3 n+1/3 n+1/3 − 2ui + ui+1 ui − uni 2 ui−1 =a . τ h2 n+1/3
Разрешая относительно ui n+1/3
ui
=
, находим
r 1 r n+1/3 n+1/3 ui−1 + uni + ui+1 1 + 2r 1 + 2r 1 + 2r
Отсюда следует свойство экстремума n+1/3
n+1/3
n+1/3
min{ui−1 , uni , ui+1 } ≤ ui
n+1/3
n+1/3
≤ max{ui−1 , uni , ui+1 }.
Из него, в частности, следует сходимость в C разностного решения к решению дифференциального уравнения (равномерная сходимость). Для повышения точности схемы (2) можно применить схему с весами un+1/3 − un = Λ1 [αun+1/3 + (1 − α)un ]; τ un+2/3 − un+1/3 = Λ2 [αun+2/3 + (1 − α)un+1/3 ]; τ un+1 − un+2/3 = Λ3 [αun+1 + (1 − α)un+2/3 ]. τ Эквивалентная однородная схема имеет вид A1 A2 A3 un+1 − B1 B2 B3 un = 0, As = E − ατ Λs ,
Bs = E + (1 − α)τ Λs ,
(7)
(8) s = 1, 2, 3.
Разлагая равенство (8) по τ , получаем un+1 − un = Λ[αun+1 + (1 − α)un ] + τ [Φ1 un+1 + Φ0 un ], τ где
Φ1 = −α2 (Λ1 Λ2 + Λ1 Λ3 + Λ2 Λ3 ) + τ α3 Λ1 Λ2 Λ3 ; 2
3
Φ0 = (1 − α) (Λ1 Λ2 + Λ1 Λ3 + Λ2 Λ3 ) + τ (1 − α) Λ1 Λ2 Λ3 . 33
(9)
(10)
При α =
1 получаем схему 2
un+1 + un τ 2 un+1 − un un+1 − un =Λ − (Λ1 Λ2 + Λ1 Λ3 + Λ2 Λ3 ) + τ 2 4 τ τ2 Λ1 Λ2 Λ3 (un+1 + un ). 8 Схема (11) имеет точность порядка O(τ 2 + h2 ).
(11)
+
П. 4.
СХЕМА РАСЩЕПЛЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ СО СМЕШАННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ (ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ)
Рассмотрим уравнение параболического типа ∂u = Lu; ∂t
L=
2 X
i,j=1
a11 a22 − a212 > 0,
∂2 ; ∂xi ∂xj
aij = const,
(1)
a11 > 0,
a22 > 0.
(2)
aij
В этом случае однородная разностная схема un+1 − un = Λ[αun+1 + (1 − α)un ], τ
Λ ≺ L,
(3)
является девятиточечной, и решение получающейся системы уравнений методом матричной прогонки становится очень громоздким. Применение метода попеременного неявного счета также не приведет к простым трехточечным неявным схемам. В работе В.А. Сучкова, Ю.Я. Погодина и автора [14] была предложена схема un+1/2 − un = Λ11 un+1/2 + Λ12 un ; τ Здесь Λ11 = a11
un+1 − un+1/2 = Λ21 un+1/2 + Λ22 un+1 . τ (4)
∂2 ∆1 ∆−1 ≺ L = a ; 11 11 h21 ∂x21 34
Λ12 = Λ21 = a12
(∆1 + ∆−1 )(∆2 + ∆−2 ) ∂2 ≺ L12 = a12 ; 4h1 h2 ∂x1 ∂x2
Λ22 = a22
(5)
∂2 ∆2 ∆−2 ≺ L = a . 22 22 h22 ∂x22
Нетрудно установить, что схема (4) основана на методе расщепления. Действительно, на первом полушаге аппроксимируется «половина» оператора L : L11 + L12 , причем L11 аппроксимируется на верхнем слое n + 1/2, L12 – на нижнем; на втором полушаге аппроксимируется вторая «половина» оператора L : L21 + L22 , причем L21 = L12 аппроксимируется вновь на нижнем слое n + 1/2, L22 – на верхнем n + 1. Эквивалентная однородная схема имеет вид A11 A22 un+1 − A212 un = 0; Aij = E + (−1)i+j+1 τ Λij ,
(6)
i, j = 1, 2.
Разложением по степеням τ получаем un+1 − un = (Λ11 + Λ22 )un+1 + 2Λ12 un − τ (Λ11 Λ12 un+1 − Λ212 un ). τ
(7)
Отсюда следует аппроксимация уравнения (1) схемой (4). Нетрудно показать устойчивость схемы. Действительно, ρ1 =
1 − l12 ; 1 + l11
ρ2 =
1 − l12 ; 1 + l22
где lii = 4τ
ρ = ρ 1 ρ2 =
(1 − l12 )2 , (1 + l11 )(1 + l22 )
ki hi aii sin2 ; 2 hi 2
(8)
(9)
k2 h2 k1 h1 k2 h2 k1 h1 a12 cos sin sin . cos l12 = 4τ h1 h2 2 2 2 2 Отсюда, принимая во внимание (2), следует |ρ| ≤ 1.
(10)
Устойчивость, а вместе с ней и сходимость схемы доказаны. При несколько более жестких условиях, чем условие эллиптичности (2), можно применить метод расщепления и для трехмерного уравнения теплопроводности 3 X ∂u ∂2u = . (11) aij ∂t ∂x ∂x i j i,j=1 35
В этом случае можно применить следующую схему, предложенную автором [15, 18]: 1 un+1/6 − un = Λ11 un+1/6 + Λ12 un ; τ 2 1 un+2/6 − un+1/6 = Λ21 un+1/6 + Λ22 un+2/6 ; τ 2 un+3/6 − un+2/6 1 = Λ11 un+3/6 + Λ13 un+2/6 ; τ 2
(12)
1 un+4/6 − un+3/6 = Λ31 un+3/6 + Λ33 un+4/6 ; τ 2 un+5/6 − un+4/6 1 = Λ22 un+5/6 + Λ23 un+4/6 ; τ 2 un+1 − un+5/6 1 = Λ32 un+5/6 + Λ33 un+1 . τ 2 Схема (12) аппроксимирует (11) и устойчива, если положительно определена матрица kbij k, где bij = aij ,
i 6= j,
bij =
aii . 2
(13)
И. Д. Софронов [65, 66] предложил ряд схем интегрирования уравнения (1), основанных на приеме предиктор - корректор (см. п. 7).
П. 5.
СХЕМА ФАКТОРИЗАЦИИ РАЗНОСТНОГО ОПЕРАТОРА
В работе Бэйкера, Олифанта [16] был предложен следующий способ интегрирования уравнения теплопроводности (1.5.1). Пусть Ωun+1 = f n
(1)
есть некоторая неявная схема интегрирования (1.5.1), Ω – разностный оператор на верхнем шаге, f n – результат применения разностных опе36
раторов на нижних шагах. Записанная индексно, схема (1) имеет вид X Cijkl un+1 = fijn . (2) kl k,l
В работе [16] доказывается, что если ограничиться рассмотрением девятиточечных операторов, т. е. операторов, для которых справедливо соотношение Cijkl = 0 при |i − k| > 1, |j − l| > 1, (3)
то можно выбрать оператор Ω таким образом, чтобы он представлялся в виде произведения двух трехточечных операторов A, B. Это означает Cijkl = Aki Bjl ,
(4)
где Aki = 0,
Bjl = 0,
|i − k| > 1;
|j − l| > 1.
(5)
В работе [16] схема (1) возникла из трехслойной аппроксимации уравнения теплопроводности (1.5.1) 1, 5un+1 − 2un + 0, 5un−1 = Λun+1 , τ
(6)
где Λ – некоторый девятиточечный оператор. Тогда Ω = 1, 5E − τ Λ;
f n = 2un − 0, 5un−1 .
(7)
Оператор Λ подбирается так, чтобы аппроксимация Λ ≺ L = L 1 + L 2 = a2
2 ∂2 2 ∂ + a ∂x2 ∂y 2
имела второй порядок точности и чтобы оператор Ω из (7) представлялся в виде произведения двух трехточечных операторов в смысле (4). Оказывается, что этими требованиями Λ определяется однозначно. После этого задача решения системы уравнений (2) сводится к двум прогонкам. Действительно, положим A = {Aki };
B = {Bik };
n+1 = Bjk un+1 vjl kl ;
v n+1 = {vijn+1 };
(8)
(v n+1 = Bun+1 ).
Тогда уравнение (1) распадается на два уравнения Av n+1 = f n ,
Bun+1 = v n+1 , 37
(9)
каждое из которых решается трехточечной прогонкой. В работе Бэйкера [17] дано обобщение схемы факторизации верхнего оператора на случай многомерного уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. Как было любезно указано автору В.А. Сучковым, схема факторизации оператора, предложенная Бэйкером, Олифантом в работе [16], аналогична схеме расщепления и переходит в нее полностью при замене трехслойной аппроксимации (6) обычной двухслойной. П. 6.
СХЕМА ПРИБЛИЖЕННОЙ ФАКТОРИЗАЦИИ ОПЕРАТОРА
В работе автора [18] был описан прием приближенной факторизации оператора на примере уравнения теплопроводности. Пусть un+1 − un = Λun+1 ; τ
Λ=
m X
Λi ;
Λi = a2
i=1
∆i ∆−i h2i
(1)
есть простейшая неявная аппроксимация уравнения m
X ∂2u ∂u . = a2 ∂t ∂x2i i=1
Перепишем уравнение (1) в виде
(E − τ Λ)un+1 = Eun .
(2)
Факторизуем оператор E − τ Λ с точностью до членов порядка τ 2 . Для этого заменим оператор E − τ Λ на факторизованный (E − τ Λ1 )(E − τ Λ2 ) . . . (E − τ Λm ) = E − τ Λ + τ 2 Φ, X X Φ= Λi Λj − τ Λi Λj Λk + . . . + (−1)m τ m−2 Λ1 . . . Λm . i<j
i<j 0 не зависит от τn , то справедлива оценка n
n
0
kv k ≤ (1 − kτmin ) kv k + τmax R
где τmax , τmin
n X α=1
(1 − kτmin )n−α =
R τmax [1 − (1 − kτmin )n ], k τmin – величины, ограничивающие τn = (1 − kτmin )n kv 0 k +
(9)
τmin ≤ τn ≤ τmax . При фиксированных τmax , τmin и n → ∞ имеем lim kv n k ≤ 74
R τmax . k τmin
(10)
Так как для схемы (1) справедливо аппроксимационное соотношение Ω1 + Ω2 ≺ Λ, то при τmax → 0, h(τmax ) → 0, R → 0, и из (10) следует lim kv n k = 0 при
τmax = O(1). τmin Таким образом, при условии аппроксимации Ω1 + Ω2 ≺ Λ и сильной устойчивости схемы (1) решение un задачи (1) – (3) стремится к решению τmax w задачи (4), если n → ∞, τmax → 0, h(τmax ) → 0, = O(1), а u0 – τmin произвольно. Отсюда следует, что любая сильно устойчивая схема (1) интегрирования уравнения (1.3) может рассматриваться одновременно как итерационная схема решения краевой задачи (4). В этом случае шаг интегрирования τn можно рассматривать как итерационный параметр или параметр релаксации. Как было показано, сходимость un → w требует, вообще говоря, измельчения τ и h. Если потребовать аппроксимационное условие в более сильном виде (Ω1 + Ω2 − Λ)w → 0, (11) n → ∞, τmax → 0,
где τ → 0, h фиксировано, то сходимость un → w может иметь место при фиксированном h, но, вообще говоря, при измельчении τn . При еще более сильных требованиях аппроксимации сходимость un → w имеет место для произвольных τ, h. Пусть при любом τ выполняется равенство Ω1 + Ω2 = Λ.
(12)
Условие (12) будем называть условием полной аппроксимации. При выполнении условия полной аппроксимации (12) сходимость un → w имеет место тогда и только тогда, когда kCn0 k → 0.
(13)
Условие (13) есть условие асимптотической устойчивости, которая, как известно, следует из сильной устойчивости (см. §1, п. 2). Условию (12) полной аппроксимации можно придать более общий вид. Будем рассматривать двухслойные итерационные схемы вида
75
B
µ
un+1 − un τ
¶
= Λun ,
(14)
где B – некоторый линейный оператор. Представление (14) есть каноническое выражение двухслойной итерационной схемы, называемое схемой универсального алгоритма [87]. Пусть w есть решение стационарной задачи (4). Тогда v n = w − un удовлетворяет уравнению (14) µ n+1 ¶ v − vn B = Λv n τ Оператор шага C для схемы (14) имеет вид C = E + τ B −1 Λ.
(15)
Если оператор C из (15) удовлетворяет условию сильной устойчивости, то, аналогично предыдущему, будем иметь сходимость v n → 0, un → w при любых τ, h, лежащих в области сильной устойчивости. Таким образом, можно рассматривать возможность приведения итерационной схемы к виду (14) как условие полной аппроксимации. В том случае, когда оператор B является полиномом относительно τ и совокупности некоторых финитных пространственных операторов, от представления (14) легко приходим к уравнению (1) с условием полной аппроксимации (12). В случае более сложной структуры оператора B такой переход не всегда возможен. В дальнейшем возможность представления (14) мы будем рассматривать как определение полной аппроксимации. Для двухслойных схем, не обладающих свойством полной аппроксимации, будет справедливо более общее представление µ n+1 ¶ u − un B = Ωun , (16) τ где оператор Ω аппроксимирует оператор Λ при каком-либо указании закона предельного перехода τ → 0, h → 0. Определим скорость сходимости итерационной схемы с полной аппроксимацией и сильной устойчивостью при фиксированных параметрах τ , h1 , h2 . Фиксируя h1 , h2 , подберем τ оптимальным образом, так что норма оператора шага C становится минимальной. Пусть
76
(17)
minkC(τ, h1 , h2 )k = 1 − ε(h1 , h2 ). τ
Можно дать асимптотическую оценку скорости сходимости, устремив h1 , h2 к нулю и разложив ε(h1 , h2 ) в ряд по h1 , h2 . Положим, для простоты, h1 = h2 = h и пусть справедлива асимптотическая оценка minkC(τ, h1 , h2 )k = 1 − Rhα , τ
R > 0,
α > 0.
(18)
Нетрудно установить, что для уменьшения нормы отклонения v n в q = 1/ε раз необходимо m итераций, где m∼
| ln ε| ln q α N , ∼ Rhα R
n∼
1 . h
(19)
Особенно удобно исследование устойчивости и скорости сходимости схем с полной аппроксимацией в случае, когда оператор C имеет своими собственными функциями функции (гармоники) sin k1 x1 ·sin k2 x2 . Тогда справедливы представления N1 ,N2 n
v =
X
k1 ,k2 =1
an (τ, h1 , h2 , k1 , k2 ) sin k1 x1 · sin k2 x2 ;
an = ρ(τn , h1 , h2 , k1 , k2 )an−1 = ρn · a0 ;
(20)
ρn = ρ(τ1 , h1 , h2 , k1 , k2 ) . . . ρ(τn , h1 , h2 , k1 , k2 ); kCn k = max|ρ(τn , h1 , h2 , k1 , k2 )|, k1 ,k2
где Cn – оператор перехода с (n − 1)-ой на n-ю итерацию. Таким образом, норма оператора итерационного шага определяется как максимум модуля коэффициента ρ возрастания гармоники sin k1 x1 · sin k2 x2 . Для операторов, собственные функции которых не являются гармониками, гармонический анализ носит только наводящий характер.
77
П. 3.
ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
Дадим сравнительный анализ итерационных схем для уравнения Лапласа. Введем ряд обозначений: ρ = ρ(τ, h1 , h2 , k1 , k2 ) – коэффициент возрастания гармоники sin k1 x1 · sin k2 x2 ; на одной итерации с шагом τ : ρ0 = kC(τ, h1 , h2 )k = max|ρ|; k1 ,k2
(1)
ρ1 = minkC(τ, h1 , h2 )k = minρ0 ; τ
τ
ρn = ρ(τ1 , h1 , h2 , k1 , k2 ) · ρ(τ2 , h1 , h2 , k1 , k2 ) . . . . . . ρ × (τn , h1 , h2 , k1 , k2 )
коэффициент возрастания гармоники sin k1 x1 · sin k2 x2 после n итераций с шагами τ1 , . . . , τn , ai =
ki hi 4a2 τ sin2 , 2 hi 2
ri =
a2 τ , h2i
i = 1, 2,
m – число итераций, необходимых для достижения данной точности ε, ki = 1, 2, . . . , Ni , (Ni + 1)hi = π, i = 1, 2. В дальнейшем всюду делаются асимптотические оценки, так что приближенно полагается sin
hi hi ' , 2 2
cos
hi h2 '1− i. 2 8
Кроме того, для простоты положено h1 = h2 = h, a2 = 1. 1. Явная схема. un+1 − un = Λun , τ
Λ = Λ1 + Λ2 ,
Λi =
∆i ∆−i , h2i
ρ = 1 − (a1 + a2 ), ¯ µ ¶¯¾ ¯ h2 ¯¯ ¯ ρ0 = max |1 − 2τ |, ¯1 − 8r 1 − . 4 ¯ ½
78
(2)
(3)
Полная аппроксимация имеет место всегда, сильная устойчивость при условии r ≤ 1/4. Отсюда следует 1 ρ1 = 1 − h2 , 2
(4)
m ' 2| ln ε|N 2 .
(5)
2. Схема релаксации по линии. un+1 − un = Λ1 un+1 + Λ2 un . τ
(6)
Схема (6) удовлетворяет условию полной аппроксимации. ρ=
1 − a2 . 1 + a1
(7)
Отсюда следует сильная устойчивость схемы (6) при r ≤ 1/2. ¯ ¯ ¯¾ ½¯ ¯ 1 − τ ¯ ¯ 1 − 4r + τ ¯ ¯,¯ ¯ , ρ0 = max ¯¯ 1+τ¯ ¯ 1+τ ¯ ρ = 1 − h2 ,
m ' | ln ε| · N 2 .
(8) (9) (10)
Таким образом, в схеме (6) скорость сходимости вдвое больше по сравнению с явной схемой. Вполне аналогична схема un+1 − un = Λ1 un + Λ2 un+1 . τ 3. Схема верхней релаксации (в. р.), Янга Франкеля [44, 45]. (E − ατ Ω1 )
un+1 − un = Λun , τ
T−1 + T−2 − 4E Ω1 = , h2
(11)
Λ = Λ1 + Λ2 .
Схема в. р. имеет полную аппроксимацию. ¢ ¡ 1 + 2αr + (2α − 4)r sin2 k12h + sin2 k22h + αr(sin k1 h + sin k2 h)i ¡ ¢ . (12) ρ= 1 + 2αr + 2αr sin2 k12h + sin2 k22h + αr(sin k1 h + sin k2 h)i 79
При условии α > 1 схема (11) сильно устойчива. Выражение для ρ является комплексным, так как функции sin k1 x1 · sin k2 x2 не являются собственными функциями оператора Ω1 и гармонический анализ устойчивости перестает быть строгим. Можно показать, что при соответствующем выборе τ, α ρ = 1 − const · h (см. [53, 27]). Как видим, схема в. р. увеличивает на порядок скорость сходимости по сравнению с предыдущими схемами. Схема в. р. реализуется рекуррентным счетом слева направо, снизу вверх. 4. Схема продольно-поперечной прогонки. un+1/2 − un 1 = (Λ1 un+1/2 + Λ2 un ); τ 2 u
n+1
n+1/2
−u τ
(13)
1 = (Λ1 un+1/2 + Λ2 un+1 ). 2
Эквивалентная схема в целых шагах имеет вид un+1 − un = Ω1 un+1 + Ω2 un , τ Λ1 + Λ2 − 2 Λ1 + Λ2 Ω2 = + 2 Из (14) следует полная аппроксимация. Ω1 =
ρ=
τ Λ1 Λ2 , 4 τ Λ1 Λ2 . 4
(14)
(1 − 12 a1 )(1 − 12 a2 ) . (1 + 21 a1 )(1 + 12 a2 )
Схема п. п. п. сильно устойчива при любом τ . Ã µ 1 − 1 τ ¶ 2 1 − 2r(1 − 2 ρ0 = max , 1 1 + 2τ 1 + 2r(1 − ρ1 = 1 − 2h,
1 m ' | ln ε|N. 2
80
(15)
h2 ) 4 h2 ) 4
!2
,
(16) (17) (18)
Схема п. п. п., как и схема в. р., увеличивает скорость сходимости на один порядок сравнительно со схемами 1-2. Это связано с тем, что схема п. п. п. сильно устойчива при любом τ , в то время как схемы 1-2 сильно устойчивы при достаточно малом τ (порядка h2 ). 5. Схема стабилизирующей поправки. un+1/2 − un = Λ1 un+1/2 + Λ2 un , τ u
n+1
n+1/2
−u τ
(19)
= Λ2 (un+1 − un ).
Эквивалентная схема в целых шагах имеет вид un+1 − un = Ω1 un+1 + Ω2 un , τ (20)
Ω1 = Λ1 + Λ2 − τ Λ1 Λ2 , Ω2 = τ Λ1 Λ2 , 1 + a 1 a2 1 + a 1 a2 , = ρ= 1 + a 1 + a2 + a 1 a2 (1 + a1 )(1 + a2 ) ρ0 = max
(
(21)
2
1 + 16r2 (1 − h2 ) 1 + τ2 , 1 + 2τ + τ 2 1 + 8r(1 − h42 ) + 16r2 (1 −
h2 ) 2
)
,
1 ' 1 − h, 1+h m ' | ln ε|N.
ρ1 =
(22)
(23) (24)
6. Схема расщепления. un+1/2 − un = Λ1 (αun+1/2 + βun ); τ u
n+1
n+1/2
−u τ
(25)
= Λ2 (αun+1 + βun+1/2 ).
Эквивалентная схема в целых шагах имеет вид un+1 − un = Ω1 un+1 + Ω2 un , τ Ω1 = α(Λ1 + Λ2 ) − α2 τ Λ1 Λ2 ,
Ω2 = β(Λ1 + Λ2 ) + β 2 τ Λ1 Λ2 . 81
(26)
Схема (25) удовлетворяет условию полной аппроксимации при α = β = = 1/2. При этом она становится эквивалентной схеме п. п. п. 7. Схема предиктор - корректор (схема аппроксимационной поправки). un+1/2 − un+1/4 un+1/4 − un = Λ1 un+1/4 ; = Λ2 un+1/2 ; τ /2 τ /2 (27) un+1 − un = (Λ1 + Λ2 )un+1/2 = Λun+1/2 . τ Из первых двух уравнений имеем τ τ Aun+1/2 = (E − Λ1 )(E − Λ2 )un+1/2 = Eun . 2 2
(28)
Исключая из последнего уравнения (27) и уравнения (28) un+1/2 , находим A(un+1 − un ) = τ Λun .
(29)
Нетрудно установить, что схема аппроксимационной поправки эквивалентна схеме п. п. п. 8. Схемы с сингулярными операторами. В.К. Саульевым [27] и Н.И. Булеевым [20], А.А. Самарским [50], В.П. Ильиным [48, 100] применялись схемы интегрирования и итерационные схемы, которые могут рассматриваться как разновидность схем с дробными шагами (1.3). В применении к уравнению теплопроводности и Лапласа в этих схемах вместо обычного представления Λ = Λ1 + Λ2 ,
Λi =
Ti − E E − Ti−1 ∆i ∆−i = − h2i h2i h2i
используется представление Λ = Ω1 + Ω2 Ω1 =
T1−1 − E T2−1 − E + ; h21 h22
Ω2 =
T1 − E T2 − E + . h21 h22
(30)
Так как для любой достаточно гладкой функции f имеем 1 kΩi f k = O( ); h
kΩ1 Ω2 f k = O(
82
1 ), h1 h2
i = 1, 2,
(31)
то операторы Ω1 , Ω2 , Ω1 Ω2 являются сингулярными (см. §1, п. 2). Схема интегрирования уравнения (1.3), основанная на представлении (30), имеет вид в дробных шагах un+1/2 − un = Ω1 (αun+1/2 + βun ); τ
или
un+1 − un+1/2 = Ω2 (αun+1 + βun+1/2 ), τ α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1.
(32)
un+1/2 − un = αΩ1 un+1/2 + βΩ2 un ; τ
(33) un+1 − un+1/2 = βΩ1 un+1/2 + αΩ2 un+1 . τ Уравнения (32) имеют структуру схемы расщепления, уравнения (33) – схемы п. п. п. Схемы (32), (33) эквивалентны, так как имеют одну и ту же схему в целых шагах (E − ατ Ω1 )(E − ατ Ω2 )un+1 = (E + βτ Ω1 )(E + βτ Ω2 )un .
(34)
После приведения схемы (34) к виду un+1 − un = α(Ω1 + Ω2 )un+1 + β(Ω1 + Ω2 )un + τ +τ Ω1 Ω2 (β 2 un − α2 un+1 ) = Λ(αun+1 + βun )+ + τ Ω1 Ω2 (β 2 un − α2 un+1 )
(35)
нетрудно оценить порядок аппроксимации схемы (34). Из равенств (31) следует, что при β 6= α и законе предельного перехода τ /h = const схема (35) не аппроксимирует уравнения (1.3), при β = α = 1/2 аппроксимация имеет место, но будет не второго, а первого порядка. Рассматривая схему (35) как итерационную, видим, что она удовлетворяет свойству полной аппроксимации при α = β = 1/2. Из выражения для ρ ¡ ¢ 1 1 − β(a1 + a2 ) + 4r2 β 2 sin2 k12h + sin2 k22h + 2 sin k12h sin k22h cos k2 −k h 2 ¡ ¢ ρ= 1 1 + α(a1 + a2 ) + 4r2 α2 sin2 k12h + sin2 k22h + 2 sin k12h sin k22h cos k2 −k h 2 (36) следует сильная устойчивость при α ≥ 1/2. 83
Реализация схем (32), (33) очень проста: на первом дробном шаге применяется рекуррентный счет снизу вверх, слева направо, на втором дробном шаге – в обратном направлении. Схемы с сингулярными операторами аналогичны по реализации симметричным схемам в. р. (см., например, [39]). 9. Схемы с дополнительными параметрами. Нетрудно установить, что в схему с. п. Дугласа – Рэкфорда можно ввести дополнительный параметр. Это было сделано Дугласом в работе [26]. Схема с. п. с произвольным параметром имеет вид un+1/2 − un = αΛ1 un+1/2 + (Λ − αΛ1 )un ; τ u
n+1
n+1/2
−u τ
(37)
= αΛ2 (un+1 − un ).
После исключения un+1/2 имеем (E − ατ Λ1 )(E − ατ Λ2 )un+1 = [E + τ (1 − α)Λ + α2 τ 2 Λ1 Λ2 ]un .
(38)
Для ρ получаем выражение ρ=
1 − (1 − α)(a1 + a2 ) + α2 a1 a2 . 1 + α(a1 + a2 ) + α2 a1 a2
(39)
Схема (37) имеет полную аппроксимацию и сильно устойчива при α ≥ 1/2. При α = 1 схема (37) есть схема с. п. Дугласа – Рэкфорда, при α = 1/2 – схема с. п. Дугласа, эквивалентная схеме п. п. п. В. П. Ильин [46] предложил другое однопараметрическое семейство схем, включающее в себя схемы п. п. п. и схему с. п. Дугласа – Рэкфорда 1 un+1/2 − un = (Λ1 un+1/2 + Λ2 un ); τ 2
(40)
un+1 − un+1/2 un+1/2 − un 1 =k + Λ2 (un+1 − un ). τ τ 2 Схема в целых шагах имеет вид 1 un+1 − un 1+k n 1 = Λu . (E − τ Λ1 )(E − τ Λ2 ) 2 2 τ 2
84
(41)
Схема (41) удовлетворяет свойству полной аппроксимации. Из выражения 1 − k2 (a1 + a2 ) + 41 a1 a2 (42) ρ= 1 + 12 (a1 + a2 ) + 41 a1 a2 следует сильная устойчивость схемы (40) при −1 < k ≤ 1. При k = 0 схема (40) есть схема с. п. Дугласа - Рэкфорда, при k = 1 – схема п. п. п. В работе В. А. Енальского [47] было рассмотрено однопараметрическое семейство схем, содержащее при частных значениях параметров схемы расщепления и п. п. п. Это семейство схем имеет вид un+1/2 − un = αΛ1 un+1/2 + βΛ1 un + γΛ2 un ; τ u
n+1
n+1/2
−u τ
(43)
= αΛ2 un+1 + γΛ1 un+1/2 + βΛ2 un+1/2 ,
где α, β, γ – не определенные пока параметры. После исключения un+1/2 приходим к схеме un+1 − un = Ω1 un+1 + Ω2 un , τ Ω1 = αΛ − α2 τ Λ1 Λ2 ,
При условии
(44)
Ω2 = (β + γ)Λ + τ [βγΛ2 + (β − γ)2 Λ1 Λ2 ]. α + β = γ = 1;
уравнение (44) принимает вид
(β − γ)2 − α2 = 0
(45)
un+1 − un = Λun + αΛ(un+1 − un ) + βγτ Λ2 un − α2 τ Λ1 Λ2 (un+1 − un ). τ Таким образом, схема (43) приводится к каноническому виду B
un+1 − un = Λun , τ
B = (E + βγτ Λ)−1 (E − ατ Λ1 )(E − ατ Λ2 ) и удовлетворяет условию полной аппроксимации.
85
(46)
Из второго равенства (45) следует альтернатива α = β − γ;
α = γ − β.
Так как параметры α, β, γ связаны двумя соотношениями (45), то схема (43) допускает два произвольных параметра τ и α. Полагая γ = 0, находим α = β = 1/2, т. е. получаем схему расщепления с равными весами; полагая β = 0, находим α = γ = 1/2, т.е. получаем схему п. п. п. Нетрудно установить, что все рассмотренные схемы представляются в виде un+1 − un B = Λun , (47) τ где B = (E − ατ Λ1 )(E − ατ Λ2 ) (48) для схем п. п. п., с. п., а. п.;
B = (E − ατ Ω1 )(E − ατ Ω2 )
(49)
для схемы сингулярного оператора; B = (E + βγτ Λ)−1 (E − ατ Λ1 )(E − ατ Λ2 )
(50)
для схемы В.А. Енальского. Канонический вид (48) указан в работах Е.Г. Дьяконова [95, 90], А.А. Самарского [91].
П. 4.
ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ТРЕХМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
Дадим краткий обзор итерационных схем для трехмерного уравнения Лапласа. Заметим, что при переходе от двумерного к трехмерному уравнению многие свойства и классификация схем выдоизменяются. 1. Схема п. п. п. 1 un+1/3 − un = (Λ1 un+1/3 + Λ2 un + Λ3 un ); τ 3 1 un+2/3 − un+1/3 = (Λ1 un+1/3 + Λ2 un+2/3 + Λ3 un+1/3 ); τ 3 86
(1)
1 un+1 − un+2/3 = (Λ1 un+2/3 + Λ2 un+2/3 + Λ3 un+1 ), τ 3 как было показано (см. п. 1, §2), условно устойчива. Схема по-прежнему удовлетворяет свойству полной аппроксимации, однако не в смысле равенства (2.12), а в смысле равенства (2.14). Действительно, после исключения дробных шагов un+1/3 , un+2/3 имеем B
un+1 − un = Λun , τ
1 1 B = [E + τ Λ + τ 2 (Λ1 Λ2 + Λ1 Λ3 + Λ2 Λ3 )]−1 × 9 27 ¶µ ¶µ ¶ µ 1 1 1 E − τ Λ2 E − τ Λ3 . × E − τ Λ1 3 3 3
(2)
2. Схема расщепления
un+1/3 − un = Λ1 (αun+1/3 + βun ); τ un+2/3 − un+1/3 = Λ2 (αun+2/3 + βun+1/3 ); τ un+1 − un+2/3 = Λ3 (αun+1 + βun+2/3 ) τ в целых шагах имеет вид
(3)
un+1 − un = (Λ1 + Λ2 + Λ3 )(αun+1 + βun )− τ − τ (Λ1 Λ2 + Λ1 Λ3 + Λ2 Λ3 )(α2 un+1 − β 2 un )+
(4)
+τ 2 Λ1 Λ2 Λ3 (α3 un+1 + β 3 un ).
Отсюда следует, что ни при каком α схема расщепления не удовлетворяет свойству полной аппроксимации. Из выражения для ρ ρ=
1 − β(a1 + a2 + a3 ) + β 2 (a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 ) − β 3 a1 a2 a3 1 + α(a1 + a2 + a3 ) + α2 (a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 ) + α3 a1 a2 a3
(5)
следует сильная устойчивость при α ≥ 1/2. Итак, если схема п. п. п. остается схемой полной аппроксимации, но теряет свойство абсолютной сильной устойчивости, то схема расщепления, сохраняя свойство абсолютной сильной устойчивости, теряет свойство полной аппроксимации. Схемы перестают быть эквивалентными. 87
3. Схема аппроксимационной поправки Брайана [25] (см. §2, п. 7) un+1/6 − un = Λ1 un+1/6 + Λ2 un + Λ3 un ; τ /2 un+2/6 − un+1/6 = Λ2 (un+2/6 − un ); τ /2
(6)
un+3/6 − un+2/6 = Λ3 (un+3/6 − un ); τ /2 un+1 − un = Λ1 un+1/6 + Λ2 un+2/6 + Λ3 un+3/6 τ после исключения дробных шагов имеет вид 1 1 un+1 − un 1 = Λun . (7) (E − τ Λ1 )(E − τ Λ2 )(E − τ Λ3 ) 2 2 2 τ Схема обладает полной аппроксимацией. Абсолютная устойчивость следует из выражения для ρ 1 − 21 (a1 + a2 + a3 ) + 14 (a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 ) + 81 a1 a2 a3 ρ= . 1 + 21 (a1 + a2 + a3 ) + 14 (a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 ) + 18 a1 a2 a3
(8)
Более простую структуру имеет схема а. п. расщепления (см. §2, п. 7) un+1/6 − un = Λ1 un+1/6 ; ατ u
n+1/2
un+2/6 − un+1/6 = Λ2 un+2/6 ; ατ
n+2/6
−u = Λ3 un+1/2 ; ατ Схема в целых шагах имеет вид
u
n+1
(9)
n
−u = Λun+1/2 . τ
un+1 − un = Λun . (10) τ Схема имеет полную аппроксимацию и сильную устойчивость при 1/2 ≤ α ≤ 1. При α = 1/2 схема переходит в схему Брайана. 4. Схемы с. п. un+1/3 − un = αΛ1 un+1/3 + (1 − α)Λ1 un + (Λ2 + Λ3 )un ; τ (E − ατ Λ1 )(E − ατ Λ2 )(E − ατ Λ3 )
un+2/3 − un+1/3 = αΛ2 (un+2/3 − un ); τ un+1 − un+2/3 = αΛ3 (un+1 − un ). τ 88
(11)
При α = 1 имеем схему с. п. Дугласа-Рэкфорда [12]; при α = 1/2 — схему с. п. Дугласа [26]. Схема в целых шагах имеет вид (E − ατ Λ1 )(E − ατ Λ2 )(E − ατ Λ3 )
un+1 − un = Λun , τ
(12)
откуда следует полная аппроксимация. Из выражения для ρ ρ=
1 − (1 − α)(a1 + a2 + a3 ) + α2 (a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 ) + α3 a1 a2 a3 . (13) 1 + α(a1 + a2 + a3 ) + α2 (a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 ) + α3 a1 a2 a3
следует сильная устойчивость схемы с. п. при α ≥ 1/2. Схема с. п. эквивалентна схеме а. п. расщепления. 5. Схема универсального алгоритма. Можно прямо исходить из канонического представления (E − ατ Λ1 )(E − ατ Λ2 )(E − ατ Λ3 )
un+1 − un = Λun τ
(14)
рассмотренных схем с дробными шагами, соответствующего схеме универсального алгоритма (см. [87])*1 . Из представления (14) следует, что схема универсального алгоритма эквивалентна схемам с. п. и а. п. Схема может иметь также следующую реализацию: (E − ατ Λ1 )un+1/3 = [(E − ατ Λ1 )(E − ατ Λ2 )(E − ατ Λ3 ) + τ Λ]un ; (E − ατ Λ2 )un+2/3 = un+1/3 ;
(15)
(E − ατ Λ3 )un+1 = un+2/3 ,
соответствующую схеме приближенной факторизации с соответствующим алгоритмом решения краевых условий (см. §2, пп. 5, 6). 6. Итерационная схема с дополнительными параметрами, предложенная В.П. Ильиным, имеет вид un+1/3 − un = Λ1 un+1/3 + Λ2 un + Λ3 un ; τ un+2/3 − un+1/3 un+1/3 − un = k1 + Λ2 (un+2/3 − un ); τ τ
(16)
un+1 − un+2/3 un+2/3 − un = k2 + Λ3 (un+1 − un ). τ τ 1
* Вид (14) указан впервые в работах Е.Г. Дьяконова [95, 90], А.А. Самарского [91].
89
После исключения дробных шагов имеем (E − τ Λ1 )(E − τ Λ2 )(E − τ Λ3 )
un+1 − un = (1 + k1 )(1 + k2 )Λun . τ
(17)
Положив
1 , α убедимся в эквивалентности схемы (16) схемам а. п., с. п. и стабилизирующего оператора. 7. Схема с сингулярными операторами. В отличие от предыдущих схем, схема с сингулярными операторами по-прежнему требует только двух дробных шагов. В трехмерном случае имеет место представление (1 + k1 )(1 + k2 ) =
Λ=
3 X
Λi = Ω1 + Ω2 ;
i=1
T−1 − E T−2 − E T−3 − E + + ; h21 h22 h23 T1 − E T2 − E T3 − E Ω2 = + + . h21 h22 h23
Ω1 =
(18)
Представлению (18) соответствуют эквивалентные схемы un+1/2 − un = Ω1 (αun+1/2 + βun ), τ u
n+1
n+1/2
−u τ
(19)
= Ω2 (αun+1 + βun+1/2 ),
un+1/2 − un = αΩ1 un+1/2 + βΩ2 un , τ
(20)
un+1 − un+1/2 = βΩ1 un+1/2 + αΩ2 un+1 . τ П. 5.
ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Для эллиптического уравнения Lu + f =
m X
i,j=1
aij
∂ 2u +f =0 ∂xi ∂xj
90
(1)
также справедлива параллель между итерационными схемами и схемами интегрирования соответствующего параболического уравнения m X ∂ 2u ∂u = + f. aij ∂t ∂xi ∂xj i,j=1
(2)
При этом ряд схем, обладающих свойствами полной аппроксимации и сильной устойчивости для уравнения Лапласа, теряет эти свойства в случае уравнения (1). Дадим краткий анализ итерационных схем для уравнения (1) при f = 0. 1. Схема п. п. п. становится неприменимой, так как теряет свойство сильной устойчивости при m ≥ 2 (см. §2, п. 4). 2. Схема расщепления (см. §2, п. 4) при m = 2 un+1/2 − un = Λ11 un+1/2 + Λ12 un ; τ un+1 − un+1/2 = Λ21 un+1/2 + Λ22 un+1 , τ эквивалентная схеме в целых шагах un+1 − un = (Λ11 + Λ22 )un+1 + 2Λ12 un − τ (Λ11 Λ22 un+1 + Λ212 un ), τ сильно устойчива, но не имеет свойства полной аппроксимации. То же справедливо для схемы расщепления (2.4.12) при m = 3. 3. Схема стабилизирующей поправки un+1/m − un = Λ11 un+1/m + (Ω − Λ11 )un ; τ un+2/m − un+1/m = Λ22 (un+2/m − un ); τ ..................................... un+1 − un+ τ
m−1 m
= Λmm (u
n+1
91
n
− u ),
Ω=
m X
i,j=1
(3)
Λij ,
эквивалентна схеме в целых шагах X un+1 − un = Λun+1 + (Ω − Λ)un − τ Λii Λjj (un+1 − un )+ τ i<j X Λii Λjj Λkk (un+1 − un ) + . . . + (−1)m−1 Λ11 . . . +τ 2 i<j 0,
a11 a22 − a212 > 0.
При более сильных ограничениях схема будет сильно устойчивой также и для m ≥ 3 (см. 2.4.13). 4. Схема аппроксимационной поправки (а. п.) m
1
1 un+ 2m − un un+ 2m − un+ = Λ11 un+ 2m , . . . , ατ ατ
m un+1 − un = Ωun+ 2m . τ
92
m−1 2m
m
= Λmm un+ 2m ,
(7)
После исключения дробных шагов получаем (E − ατ Λ11 )(E − ατ Λ22 ) . . . (E − ατ Λmm )
un+1 − un = Ωun . τ
(8)
Отсюда следует, что схема а. п. имеет свойство полной аппроксимации. Из (8) следует выражение для ρ
ρ=
1−
m P
lij + α
lii + α2
m P
lii + α
P
lii ljj + . . . + αm l11 . . . lmm
i<j
i=1
i,j=1
1+α
m P
P 2
.
(9)
lii ljj + . . . + αm l11 . . . lmm
i<j
i=1
В случае m = 2 схема а. п. сильно устойчива при 1/2 ≤ α ≤ 1. 5. Схема мажорирующего оператора (м. о.) [48, 49] при m = 2 имеет вид un+1 − un (Λ11 + Λ22 ) = Ωun . (10) τ Уравнение (Λ11 + Λ22 )un+1 = [(Λ11 + Λ22 ) + τ Ω]un . (100 ) при заданной правой части решается дополнительными (внутренними) итерациями. Таким образом, в схеме м. о. разностный эллиптический оператор Ω общего вида заменяется разностным аналогом оператора Лапласа. 6. Схема стабилизирующего оператора при m = 2 имеет вид (E − ατ Λ11 )(E − ατ Λ22 )
un+1 − un = Ωun . τ
(11)
Схема (11) эквивалентна схеме а. п. и может быть реализована в виде схемы приближенной факторизации (E − ατ Λ11 )un+1/2 = [(E − ατ Λ11 )(E − ατ Λ22 ) + τ Ω]un ; (E − ατ Λ22 )un+1 = un+1/2 .
(12)
Заметим, что схемы мажорирующего и стабилизирующего оператора исходят из схемы универсального алгоритма B
un+1 − un = Ωun . τ 93
В первом случае происходит замена оператора Ω оператором B более простой структуры, во втором случае оператор B является факторизованным, удовлетворяя в то же время условию полной аппроксимации. Общую схему стабилизирующего оператора смотри в § 9, п. 6. 7. Схема с диагональными прогонками. Укажем в заключение этого пункта на схему И.Д. Софронова [65], в которой применены предиктор – корректор и диагональные прогонки на основе метода расщепления. Для простоты будем считать область интегрирования квадратом (h1 = h2 = h; N1 = N2 = N ), m = 2. Положим L = L11 + L22 + M11 + M22 , где L11 = (a11 − |a12 |)
∂2 ; ∂x21
L22 = (a22 − |a12 |)
∂2 ; ∂x22
M11
∂2 = |a12 |(1 + σ) 2 ; ∂ξ1
M22
∂2 = |a12 |(1 − σ) 2 ; ∂ξ2
(13)
(14)
1 1 σ = signa12 ; ξ1 = √ (x1 + x2 ); ξ2 = √ (x1 − x2 ). 2 2 Пусть Λ1 , Λ2 , Ω1 , Ω2 – центральные трехточечные аппроксимации операторов L11 , L22 , M11 , M22 , действующие по координатным и по диагональным линиям соответственно. Разностная схема расщепления, соответствующая представлению (13), имеет вид un+1/8 − un = Λ1 un+1/8 ; τ /2
un+2/8 − un+1/8 Λ2 un+2/8 ; τ /2
(15)
un+1/2 − un+3/8 = Ω2 un+1/2 . τ /2
un+3/8 − un+2/8 = Ω1 un+3/8 ; τ /2 При условии a11 ≥ |a12 |;
94
a22 ≥ |a12 |
(16)
операторы Λ1 , Λ2 имеют неположительные собственные числа, и схема (15) сильно устойчива, обладая точностью первого порядка. Применяя корректор un+1 − un = Ωun+1/2 = (Λ1 + Λ2 + Ω1 + Ω2 )un+1/2 τ
(17)
находим un+1 с точностью O(τ 2 + h2 ). Схема расщепления с корректором рассмотрена еще ранее в другой работе И.Д. Софронова [66].
П. 6.
СХЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ
До сих пор мы рассматривали только итерационные схемы с постоянным шагом. При выполнении критерия сильной устойчивости и соответствующем выборе τ норма оператора шага для явных схем имела вид (1−Ch2 ), для неявных – (1 − Ch). В том и другом случае можно ускорить сходимость, выбирая переменный итерационный параметр τn . Еще Ричардсон [52] получил существенное улучшение сходимости явной схемы (3.2), введя переменный шаг. Работа Ричардсона и последующие исследования (см. [53]) позволили в случае явной итерационной схемы свести задачу о нахождении оптимальных шагов к построению полинома, наименьшим образом отклоняющегося от нуля. Пусть сделано m итераций с переменными шагами τ1 , τ2 , . . . , τm . Тогда амплитуда гармоники sin k1 x1 · sin k2 x2 умножится на величину Pm = (α1 , . . . , αm , µ) = ρ1 ρ2 . . . ρm = (1 − α1 µ) . . . (1 − αm µ). Здесь αs = 2a2 τs ;
µ=
2 sin2 k22h2 2 sin2 k12h1 + = µ(k1 , k2 ). h21 h22
(1)
(2)
Параметры α1 , . . . , αm выбираются так, чтобы величина P (α1 , . . . , αm ) = max|Pm [α, µ(k1 , k2 )]|, k1 ,k2
µ0 = µ(1, 1),
µ0 ≤ µ ≤ µ1 ,
µ1 = µ(N1 , N2 )
достигла минимального значения. 95
(3)
Эта задача заменяется другой задачей, в которой дискретный параметр µ(k1 , k2 ) рассматривается как непрерывный параметр µ, меняющийся в отрезке [µ(1, 1), µ(N1 , N2 )]. Как видим, выбор оптимального шага итерации сводится к задаче выделения из семейства (1) полинома P (α, µ) с наименьшим отклонением от нуля. На отрезке [µ0 , µ1 ], как известно (см. [54]), решением этой задачи является функция µ ¶ µ1 + µ0 − 2x Tm µ − µ0 µ 1 ¶ , Pm (x) = (4) µ1 + µ0 Tm µ1 − µ0 где Tm (x) = cos(m arccos x) – полином Чебышева. Оказалось, что при таком выборе шагов сходимость ускоряется до величины порядка (см. [53, 27]) 1 − O(h). (5)
В случае неявных схем выражение для ρ усложняется. Так, для метода п. п. п. имеем ρ = ρ1 . . . ρm = R(α, µ, ν) = ···
1 − α1 µ 1 − α1 ν 1 − α2 µ 1 − α2 ν · · · ··· 1 + α1 µ 1 + α1 ν 1 + α2 µ 1 + α2 ν
1 − αm µ 1 − αm ν · = R(α, µ)R(α, ν), 1 + αm µ 1 + αm ν
(6)
4 4 k1 h1 k2 h2 1 ; ν = ν(k2 ) = 2 · sin2 ; αs = a2 τs ; µ = µ(k1 ) = 2 · sin2 2 h1 2 h2 2 R(α, µ) =
m Y 1 − αs µ
1 + αs µ s=1
;
R(α, ν) =
m Y 1 − αs ν
1 + αs ν s=1
.
(7)
Оптимальный набор шагов αs соответствует решению вариационной задача min max|R(α, µ, ν)|, k1 = 1, . . . , N1 , k2 = 1, . . . , N2 , (8) α
k1 ,k2
которая после перехода от дискретных параметров µ(k1 ), ν(k2 ) к непрерывным параметрам µ, ν, приводится к задаче min max|R(α, µ)|;
µ(1) ≤ µ ≤ µ(N1 ),
(9а)
min max|R(α, ν)|;
ν(1) ≤ ν ≤ ν(N2 ).
(9б)
α
α
µ
ν
96
Задача (9) не получила еще полного решения, однако имеются обнадеживающие исследования (см. по этому поводу обзор [55]). Следуя [10] (см. также [27]), укажем способ подбора параметров α1 , . . . , αm , обеспечивающий уменьшение нормы отклонения в 1/q раз (q < 1) через m шагов, и оценим m как функцию от h. Предположим, для простоты, h1 = h2 = h;
1 ≤ ks ≤ N ;
s = 1, 2;
(N + 1)h = π.
Задавшись m, h, q < 1, разделим интервал (1, N ) на подинтервалы (ki , ki+1 ), k1 = 1, . . . , km = N таким образом, чтобы выполнялись условия q=
1 − α1 µ2 1 − α2 µ2 1 − α1 µ1 =− = = ··· 1 + α1 µ1 1 + α1 µ2 1 + α2 µ2
··· = −
1 − αm−1 µm 1 − αm µm = , 1 + αm−1 µm 1 + αm µm
µs = µ(ks ).
(10)
Это возможно, так как величина q(α, k) =
1 − αµ(k) 1 + αµ(k)
(11)
для α > 0, k > 0 по модулю не превосходит 1 и является монотонно убывающей функцией от k при фиксированном α и функцией от α при фиксированном k. Для k в интервале ks ≤ k ≤ ks+1 величина q(αs , k) всегда по модулю не превосходит q, вне интервала по модулю не превосходит 1. Таким образом, через m шагов каждая гармоника затухает по амплитуде не меньше, чем в 1/q раз. Оценим величину m. Предполагая h достаточно малым, имеем µs ' ks2 . (12) Из равенства (10) следует
(1 − q) − αs (1 + q)µs = 0;
(13)
(1 + q) − αs (1 − q)µs+1 = 0. Исключая из (13) αs , имеем µs+1 = µs
µ
1+q 1−q
97
¶2
.
(14)
Пользуясь (12), имеем 1+q ks+1 , ≈ ks 1−q
s = 1, 2, . . . , m.
(15)
Перемножив равенства (15), получим
N'
µ
1+q 1−q
¶m
1 1 ln ln ln N h ' h. m' ' 1+q 1+q 2q ln ln 1−q 1−q
,
(16)
Равенство (16) носит характер асимптотической оценки с неопределенной константой. Покажем (см. [10]), что в случае схемы п. п. п. при соответствующем выборе шагов τ1 , τ2 , . . . , τm итерационное решение un выйдет на точное решение разностной задачи Дирихле через m = N итераций (квадрат) и m = N1 + N2 итераций (прямоугольник). Если выбрать τ1 , τ2 , . . . , τm , m = N1 + N2 , из условий α1 = αN1 +1 =
1 1 1 , ; α2 = , . . . , αN1 = µ1 µ2 µN1
1 1 1 , ; αN1 +2 = , . . . , αN1 +N2 = ν1 ν2 νN 2
где 4 sin2 µ k1 =
k1 h1 2 ;
4 sin2 νk 2 =
h21
(17а) (17б)
k2 h2 2 ,
h22
то R(α, µ, ν) = ρ1 ρ2 . . . ρm = 0
(18)
для любых k1 , k2 . В случае квадрата, когда h1 = h2 = h, N1 = N2 = N , достаточно выполнения условий (17а), т. е. необходимо только N итераций. П. 7.
ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ, ОСНОВАННЫЕ НА СХЕМАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Поставим в соответствие уравнению Лапласа ∆ϕ = 0 уравнение колебаний с затуханием ∂Φ ∂ 2 Φ b + 2 = a2 ∆Φ, b > 0. (1) ∂t ∂t 98
Перейдем от уравнения (1) к системе, положив ∂Φ = u2 ; ∂x2
∂Φ = u1 ; ∂x1
∂Φ = −q = a2 v. ∂t
(2)
Из (2) имеем ∂u1 ∂q + = 0; ∂t ∂x1
∂u2 ∂q + = 0; ∂t ∂x2
∂q = −a2 ∂t
µ
∂u1 ∂u2 + ∂x1 ∂x2
¶
− bq.
(3)
∂u1 ∂u2 ∂v = + − bv. ∂t ∂x1 ∂x2
(4)
Переходя к v, получаем ∂v ∂u1 − a2 = 0; ∂t ∂x1
∂v ∂u2 − a2 = 0; ∂t ∂x2
На первом дробном шаге интегрируется система 1 ∂u1 ∂v − a2 = 0; 2 ∂t ∂x1
1 ∂u2 = 0; 2 ∂t
1 ∂v ∂u1 = 2 ∂t ∂x1
(5)
с помощью мажорантной неявной схемы бегущего счета, которая в переменных u1 , u2 , v имеет вид K1 f n+1/2 = M1 f n ,
(6)
где ° ° 2Φ1 Ψ1 0 0 ° ° 0 E 0 K1 = ° ° 0 0 2Φ1 Ψ1 Φ1 = E +
aτ ∆−1 ; h1
° ° ° °; ° °
° ° Φ1 + Ψ1 0 a(Φ1 − Ψ1 ) ° ° 0 E 0 M1 = ° ° 1 ° (Φ1 − Ψ1 ) 0 Φ1 − Ψ1 a
Ψ1 = E −
aτ ∆1 ; h1
° ° ° ° °; ° °
(7)
f = (u1 , u2 , v).
На втором дробном шаге интегрируется система 1 ∂u1 = 0; 2 ∂t
1 ∂u2 ∂v − a2 = 0; 2 ∂t ∂x2
∂u2 1 ∂v = 2 ∂t ∂x2
(8)
с помощью аналогичной схемы K2 f n+1 = M2 f n+1/2 ,
99
(9)
где ° ° E 0 0 ° 0 2Φ Ψ 0 K2 = ° 2 2 ° ° 0 0 2Φ2 Ψ2
° ° E ° ° M2 = ° 0 ° ° 0
° ° ° °; ° °
0 Φ2 + Ψ2
1 (Φ2 − Ψ2 ) a
0 a(Φ2 − Ψ2 ) Φ2 + Ψ2
° ° ° ° °; ° °
(10) aτ aτ Φ2 = E + ∆−2 ; Ψ2 = E − ∆2 ; f = (u1 , u2 , v). h2 h2 Нетрудно установить, что формулы (6), (9) эквивалентны формулам (3.4.2,3). После этого применяется корректор f n+2 − f n = Ωf n , 2τ где
° ° ∆1 + ∆−1 ° 0 0 −a2 ° 2h1 ° ° ° ∆2 + ∆−2 ° Ω=° 0 0 −a2 ° 2h2 ° ° ° ∆1 + ∆−1 ∆2 + ∆−2 ° −b ° 2h1 2h2 Можно применять схему стабилизирующего оператора K1 K2
П. 8.
f n+2 − f n = Ωf n . 2τ
(11) ° ° ° ° ° ° ° ° °. ° ° ° ° ° °
(12)
(13)
РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА
Покажем, что решение краевой задачи для уравнения Пуассона даже с помощью сильно устойчивых и полно аппроксимирующих схем требует специальной аппроксимации правой части *.2 Для уравнения Пуассона в области G : {0 < xi < π, i = 1, 2} ∆u = 0; 2
∆=
∂2 ∂2 + , ∂x21 ∂x22
* На это обстоятельство указано Е.Г. Дьяконовым и А.А. Самарским.
100
(1)
с краевыми условиями первого рода u(s) = f (s);
(x1 (s), x2 (s)) ∈ γ
(2)
применим схему расщепления с весами un+1/2 − un = Λ1 (αun+1/2 + βun ) + q1 ; τ un+1 − un+1/2 = Λ2 (αun+1 + βun+1/2 ) + q2 , τ где q1 , q2 - некоторые, пока не определенные, правые части. Схема с целыми шагами имеет вид (E − ατ Λ1 )(E − ατ Λ2 )un+1 = (E + βτ Λ1 )(E + βτ Λ2 )un + τ Q,
(3)
(4)
где Q = B2 q1 + A1 q2 = (E + βτ Λ2 )q1 + (E − ατ Λ1 )q2 .
В случае уравнения Лапласа (q = 0) при α = 1/2 и q1 = q2 = 0 имеем схему с полной аппроксимацией. Для полной аппроксимации уравнения Пуассона необходимо также, чтобы Q = q. (5) Полагая для определенности q1 = 0, имеем (E − ατ Λ1 )q2 = q.
(6)
Так как kE −ατ Λ1 k−1 ≤ 1, уравнение (6) разрешимо с помощью обычной прогонки.
П. 9.
ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ С ОСРЕДНЕНИЕМ
До сих пор рассматривалась сходимость итераций только на целых шагах. Покажем, что в некоторых случаях целесообразно вести рассмотрение величин одновременно на целых и дробных шагах. Поставим, как обычно, краевой задаче эллиптического типа Lu + q = 0;
u(s) = f (s)
101
(1)
в соответствие итерационную схему un+1/2 − un = Λ1 (αun+1/2 + βun ) + q1 , τ
α + β = 1,
un+1 − un+1/2 = Λ2 (αun+1 + βun+1/2 ) + q2 , τ Λ = Λ1 + Λ2 ≺ L.
(2а) (2б) (3)
При этом операторы Λ1 , Λ2 не содержат параметра τ , а аппроксимация (3) - полная. Продолжим равенства (2) un+3/2 − un+1 = Λ1 (αun+3/2 + βun+1 ) + q1 . τ
(4)
Складывая (2а) с (2б), (2б) с (4), получим un+1 − un = Λ1 (αv n + βun ) + Λ2 (αun+1 + βv n ) + Q, τ v n+1 − v n = Λ1 (αv n+1 + βun+1 ) + Λ2 (αun+1 + βv n ) + Q, τ где положено v n = un+1/2 ;
v n+1 = un+3/2 ;
Q = q1 + q2 .
(5а) (5б)
(6)
Наконец, складывая (5а) с (5б), имеем (un+1 + v n+1 ) − (un + v n ) = Λ1 [(α(v n + v n+1 ) + β(un + un+1 )]+ τ + Λ2 (αun+1 + βv n ) + 2Q.
(7)
В предположении сильной устойчивости схемы (2) un → u;
v n → v,
(8)
и из (7) и (8) имеем Λ1 (αv + βu) + Λ2 (αu + βv) + Q = 0. При α = 1/2 получаем Λ
µ
u+v 2
¶
+ Q = 0.
102
(9)
Если положить (10)
Q = q1 + q2 = q, то (9) означает, что осредненная величина му решению u разностной краевой задачи Λu + q = 0;
un + un+1/2 сходится к точно2 (11)
u(s) = f (s).
Заметим, что указанный способ получения предельного решения становится предпочтительным в случае произвольной границы и переменных коэффициентов. Действительно, мы доказали сходимость полусуммы дробных шагов, не исключая какой-либо дробный шаг и не требуя коммутативности разностных операторов, которая нарушается в случае переменных коэффициентов и произвольной границы. Биркгоф и Варга в своем анализе сходимости метода п. п. п. [56] указали на коммутативность как существенный элемент доказательства сходимости. Повидимому, их возражение отпадает при последнем способе предельного перехода. Ясно, что указанный алгоритм применим для произвольных операторов Λ1 , Λ2 . В случае уравнения Лапласа он указан в работе [57]. П. 10.
СВЕДЕНИЕ СХЕМ НЕПОЛНОЙ АППРОКСИМАЦИИ К СХЕМАМ ПОЛНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
К итерационным схемам применим полностью анализ краевых условий, проведенный в § 2, п. 9. Ухудшение аппроксимации вблизи границы приводит к тому, что если даже схема в целых шагах имеет свойство полной аппроксимации, схема в дробных шагах этим свойством может уже не обладать. Рассмотрим, например, схему в целых шагах τ τ τ τ (E − Λ1 )(E − Λ2 )un+1 = (E + Λ1 )(E + Λ2 )un , 2 2 2 2 (x1 , x2 ) ∈ G : {0 < xi < π},
un (x1 , x2 ) = un+1 (x1 , x2 ) = f (x1 , x2 ), Схема расщепления un + un+1/2 un+1/2 − un = Λ1 ; τ 2
(1)
i = 1, 2; (x1 , x2 ) ∈ γ.
un+1 − un+1/2 un+1/2 + un+1 = Λ2 , τ 2
(2)
для которой поставлены краевые условия un (x1 , x2 ) = un+1/2 (x1 , x2 ) = un+1 (x1 , x2 ) = f (x1 , x2 ), 103
(x1 , x2 ) ∈ γ,
(3)
не обладает уже свойством полной аппроксимации, так как эквивалентная ей, с учетом краевых условий (3), схема в целых шагах имеет вид (см. § 2, п. 9) τ τ τ τ (E − Λ1 )(E − Λ2 )un+1 = (E + Λ1 )(E + Λ2 )un + R, 2 2 2 2
(4)
где R 6= 0 на ω. Применяя метод неопределенных функций и полагая un + un+1/2 un+1/2 − un = Λ1 + q1 ; τ 2 u
n+1
n+1/2
−u τ
= Λ2
u
n+1/2
+u 2
(5)
n+1
+ q2 ,
можно подобрать q1 , q2 так, чтобы R = 0 и удовлетворялись краевые условия (3) (см. § 2, п. 9). После этого схема (5) становится схемой с полной аппроксимацией. Аналогичный прием применим и в том случае, когда схема не обладает полной аппроксимацией в силу самой структуры разностного оператора, а не только краевых условий. Покажем это на примере схемы расщепления. Как известно, в трехмерном случае схема расщепления не обладает свойством полной аппроксимации. Рассмотрим схему расщепления un+1/3 − un = Λ1 (αun+1/3 + βun ) + q1 ; τ un+2/3 − un+1/3 = Λ2 (αun+2/3 + βun+1/3 ) + q2 ; (6) τ un+1 − un+2/3 = Λ3 (αun+1 + βun+2/3 ) + q3 τ с неопределенными правыми частями ql , q2 , q3 . Соответствующая схема в целых шагах имеет вид (E − ατ Λ1 )(E − ατ Λ2 )(E − ατ Λ3 )un+1 = = (E + βτ Λ1 )(E + βτ Λ2 )(E + βτ Λ3 )un + τ Q, где Q = (E + βτ Λ2 )(E + βτ Λ3 )q1 + (E − ατ Λ1 )(E + βτ Λ3 )q2 + +(E − ατ Λ1 )(E − ατ Λ2 )q3 . 104
(7)
Преобразуем схему (7) к виду (E − ατ Λ1 )(E − ατ Λ2 )(E − ατ Λ3 )
un+1 − un = Λun + R, τ
(8)
где £ R = τ (β 2 − α2 )(Λ1 Λ2 + Λ1 Λ3 + Λ2 Λ3 )+ ¤ +τ 2 (β 3 + α3 )Λ1 Λ2 Λ3 un + Q = Φun + Q.
(9)
(E − ατ Λ1 )(E − ατ Λ2 )q3 = −Φun .
(10)
Потребуем теперь, чтобы схема (6) была схемой полной аппроксимации. Для этого необходимо и достаточно, чтобы R = 0. Если положить внутри области G q1 = q2 = 0, то для q3 получим уравнение
Задавая q1 , q2 , q3 на границе в соответствии с краевыми условиями, можно определить q3 из уравнения (10). При указанном выборе q1 , q2 , q3 схема (6) становится схемой полной аппроксимации.
4
105
§ 5.
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ П. 1.
УРАВНЕНИЯ УПРУГОГО РАВНОВЕСИЯ И УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ
Деформация плоского упругого тела характеризуется тензором (тензор деформации) ¶ µ 1 ∂ui ∂uj εij = , i, j = 1, 2. (1) + 2 ∂xj ∂xi
Напряжения в теле, вызванные деформацией, характеризуются тензором σij (тензор напряжения). По закону Гука, тензоры σij , εij связаны линейной зависимостью σij = λδij ε + 2µεij ,
ε = ε11 + ε22 = div ~u,
(2)
½
0 i 6= j , λ, µ – коэффициенты Ламе. 1 i=j Условия упругого равновесия имеют вид
где δij =
∂σ11 ∂σ12 + + ρX1 = 0; ∂x1 ∂x2
(3)
∂σ21 ∂σ22 + + ρX2 = 0, ∂x1 ∂x2 где X1 , X2 – компоненты массовых сил. По принципу Даламбера, уравнения упругих колебаний имеют вид −ρ
∂ 2 u1 ∂σ11 ∂σ12 + + + ρX1 = 0; ∂t2 ∂x1 ∂x2
∂ 2 u2 ∂σ21 ∂σ22 −ρ 2 + + + ρX2 = 0, ∂t ∂x1 ∂x2 где ρ - плотность вещества. 106
(4)
Пользуясь (1), (2), уравнения (4) можно записать в виде −ρ
∂ 2~u ~ = 0. + (λ + µ) grad div ~u + µ∆~u + ρX ∂t2
(5)
Соответственный вид получают уравнения (3). Уравнение (5) можно несколько видоизменить ∂ 2 u1 ∂ 2 u1 ∂ 2 u1 ∂ 2 u2 −ρ 2 + (λ + 2µ) 2 + µ 2 + (λ + µ) + ρX1 = 0; ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2
(6)
∂ 2 u2 ∂ 2 u2 ∂ 2 u1 ∂ 2 u2 + ρX2 = 0. −ρ 2 + (λ + 2µ) 2 + µ 2 + (λ + µ) ∂t ∂x2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 Соответственно меняются уравнения (3). В случае отсутствия массовых сил (X1 = X2 = 0), положив σ11
∂2ψ , = ∂x22
σ22
∂2ψ = ; ∂x21
σ12
∂ 2ψ =− , ∂x1 ∂x2
(7)
тождественно удовлетворим (3). Функция ψ не является произвольной. Уравнения (7) представляют собой переопределенную систему уравнений для ui . Условие совместности этой системы, как нетрудно показать, имеет вид ∆∆ψ = 0. (8) Действительно, введя в рассмотрение величину µ ¶ 1 ∂u2 ∂u1 ω= , − 2 ∂x1 ∂x2 имеем
∂u1 ∂u1 = ε11 ; = ε12 − ω; ∂x1 ∂x2 ∂u2 ∂u2 = ε12 + ω; = ε22 . ∂x1 ∂x2
(9)
(10) (11)
Условия совместности (10), (11) дают
соответственно
ω ∂ε12 ∂ε11 = − , ∂x1 ∂x1 ∂x2
(12)
ω ∂ε22 ∂ε12 = − . ∂x2 ∂x1 ∂x2
(13)
107
Наконец, условия совместности (12), (13) дают ∂ ∂x2
µ
∂ε12 ∂ε11 − ∂x1 ∂x2
¶
∂ − ∂x1
µ
¶ ∂ε22 ∂ε12 = − ∂x1 ∂x2 · 2 ¸ ∂ ε11 ∂ 2 ε22 ∂ 2 ε12 =− = 0. (14) + −2 ∂x22 ∂x21 ∂x1 ∂x2
В силу (2), (7) условия (14) приводят к (8). Гармонический анализ устойчивости уравнения (5) показывает, что упругие колебания не затухают, следовательно, решения (3) не могут быть получены из решения (4) выходом на стационарный режим. Будем описывать затухание упругих колебаний с помощью уравнения α
∂ 2~u ∂~u ~ + βρ 2 = (λ + µ) grad div ~u + µ∆~u + ρX, ∂t ∂t
α > 0,
β > 0.
(15)
Уравнение (15) позволит получить и итерационные схемы решения стационарного уравнения. Для получения простейших итерационных схем можно воспользоваться также уравнением чисто параболического типа α
∂~u ~ = (λ + µ) grad div ~u + µ∆~u + ρX. ∂t
(16)
Аналогичный прием может быть использован для уравнения (8). Мы ставим ему в соответствие уравнение ∂ψ ∂2ψ + β 2 + ∆∆ψ = 0, α > 0, β > 0, ∂t ∂t или просто уравнение ∂ψ + ∆∆ψ = 0. α ∂t α
П. 2.
(17)
(18)
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Для уравнения (1.5) могут быть поставлены следующие задачи. 1. Первая краевая задача. На границе γ плоской области G заданы смещения u1 , u2 как функции от s (параметра дуги γ) и t ~u(s) = f~(s, t). 108
(1)
2. Вторая краевая задача. На границе f заданы нормальное и тангенциальное напряжения σn (s) = f1 (s, t);
στ (s) = f2 (s, t).
(2)
В случае стационарных задач функции f1 (s), f2 (s) должны удовлетворять дополнительным условиям, обеспечивающим равновесие тела, рассматриваемого как жесткое. 3. Краевая задача смешанного типа. На одной части границы задаются смещения, на другой – напряжения. 4. В случае бигармонического уравнения (1.8) или соответствующего неоднородного уравнения ∆∆ψ + q = 0
(3)
будем рассматривать краевую задачу следующего типа: ψ = 0,
∆ψ = f (s).
(4)
К уравнениям (3), (4) приходим, например, в случае свободно опертой пластины. Тогда ψ истолковывается как смещение средней плоскости пластины, q – нагрузка, f (s) = 0 (см., например, [58]).
П. 3.
СХЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ УПРУГОСТИ
Для уравнений (1.5), (1.6) при ρ = 1 применяется явная схема 2-го порядка точности −
un+1 − 2uni + un−1 ∆3−i ∆−3+i n ∆i ∆−i n i i ui + µ ui + + (λ + 2µ) 2 2 τ hi h23−i (∆1 + ∆−1 )(∆2 + ∆−2 ) n + (λ + µ) u3−i + Xin = 0, i = 1, 2. (1) 4h1 h2
А.Н. Коновалов [59] предложил для (1.5), (1.6) неявную схему 2-го порядка точности, основанную на идее приближенной факторизации оператора.
109
Рассмотрим схему un+1 − 2uni + un−1 + un−1 ∆i ∆−i un+1 i i i i + + (λ + 2µ) τ2 h2i 2 + un−1 (∆1 + ∆−1 )(∆2 + ∆−2 ) n ∆3−i ∆−3+i un+1 i i + (λ + µ) u3−i + Xin = +µ 2 h3−i 2 4h1 h2 −
un+1 − 2uni + un−1 λ + 2µ i i =− + Λii (un+1 + un−1 )+ i i 2 τ 2 µ + un−1 ) + (λ + µ)Λ12 un3−i + Xin = 0, i = 1, 2, (2) + Λ3−i,3−i (un+1 i i 2 где Λii =
∆i ∆−i ; h2i
Λ12 =
(∆1 + ∆−1 )(∆2 + ∆−2 ) . 4h1 h2
Схема (2) имеет 2-й порядок точности, абсолютно устойчива, но реализация ее затруднительна. Факторизуя верхний оператор схемы (2), имеем [E −
τ2 τ2 (λ + 2µ)Λii ][E − µΛ3−i,3−i ](un+1 + un−1 )= i i 2 2 = 2uni + (λ + µ)τ 2 Λ12 un3−i + Xin · τ 2 ,
i = 1, 2. (3)
Схема (3) имеет точность 2-го порядка, абсолютно устойчива и реализуется с помощью трехточечных прогонок. Методом энергетических неравенств А. Н. Коновалов доказал сходимость схемы (3) для первой краевой задачи. П. 4.
ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Аналогично предыдущему будем рассматривать итерационные схемы решения уравнения ∆∆ψ = 0 (1) как схемы интегрирования уравнения ∂ψ ∂ψ + ∆∆ψ = + (L11 + L12 + L21 + L22 )ψ = 0; ∂t ∂t ∂4 , Lij = ∂x2i ∂x2j
110
i, j = 1, 2. (2)
1. Схема расщепления. Построим эту схему аналогично случаю уравнения теплопроводности общего типа (см. § 2, п. 4) ψ n+1/2 − ψ n + Λ11 ψ n+1/2 + Λ12 ψ n = 0; τ ψ
n+1
−ψ τ
n+1/2
(3)
+ Λ21 ψ n+1/2 + Λ22 ψ n+1 = 0,
где Λ11 =
µ
∆1 ∆−1 h21
¶2
;
Λ22 =
µ
∆2 ∆−2 h22
¶2
;
Λ12 = Λ21 =
∆1 ∆−1 ∆2 ∆−2 . (h1 h2 )2 (4)
Соответствующая схема в целых шагах имеет вид (E + τ Λ11 )(E + τ Λ22 )ψ n+1 = (E − τ Λ12 )2 ψ n .
(5)
Отсюда следует сильная устойчивость схемы (1 − a1 a2 )2 ρ= ; (1 + a21 )(1 + a22 )
√ 4 τ sin2 ai = − h2i
k i hi 2
.
(6)
Принимая во внимание тождество Λ11 Λ22 = Λ212 ,
(7)
видим, что в отличие от уравнения теплопроводности схема расщепления (3) для бигармонического уравнения обладает свойством полной аппроксимации. 2. Схема стабилизирующей поправки. В работе Конте и Дэймса [60] была обобщена схема стабилизирующей поправки Дугласа - Рэкфорда на случай бигармонического уравнения ψ n+1/2 − ψ n + Λ11 ψ n+1/2 + 2Λ12 ψ n + Λ22 ψ n = 0; τ
(8)
ψ n+1 − ψ n+1/2 + Λ22 (ψ n+1 − ψ n ) = 0. τ Соответствующая схема в целых шагах имеет вид ψ n+1 − ψ n + (Λ11 + Λ22 )ψ n+1 + 2Λ12 ψ n + τ Λ11 Λ22 (ψ n+1 − ψ n ) = 0. τ В силу (7) схема (8) эквивалентна (5). 111
(80 )
3. Схема аппроксимационной поправки ψ n+1/4 − ψ n + Λ11 ψ n+1/4 = 0; ατ
ψ n+1/2 − ψ n+1/4 + Λ22 ψ n+1/2 = 0; ατ
(9)
ψ n+1 − ψ n + Λψ n+1/2 = 0; Λ = Λ11 + 2Λ12 + Λ22 . τ Схема в целых шагах имеет вид (E + ατ Λ11 )(E + ατ Λ22 )
ψ n+1 − ψ n + Λψ n = 0 τ
(10)
и эквивалентна (5) при α = 1 4. Схема стабилизирующего оператора A
ψ n+1 − ψ n + Λψ n = 0; τ
Λ = Λ11 + 2Λ12 + Λ22 ;
A = (E + ατ Λ11 )(E + ατ Λ22 )
(11)
также эквивалентна (5) при α = 1. Таким образом, схемы расщепления (α = 1), поправок (при α = 1) и стабилизирующего оператора (α = 1) представляет собой различные реализации одной и той же однородной схемы. Они различаются, кроме того, реализацией краевых условий. Заметим, что схемы расщепления и стабилизирующего оператора являются двухслойными, схемы поправок – трехслойными. 5. Схема расщепления для системы гармонических уравнений. Для некоторых краевых задач упругости, например для задачи о поперечном изгибе нагруженной свободно подпертой пластины, вместо бигармонического уравнения удобнее пользоваться системой двух гармонических. Для краевой задачи ∆ψ = ϕ;
∆ϕ + q = 0;
ϕ(s) = f (s);
ψ(s) = g(s)
рассмотрим схему расщепления ϕn+1/2 − ϕn = Λ1 (αϕn+1/2 + βϕn ); τ ϕn+1 − ϕn+1/2 = Λ2 (αϕn+1 + βϕn+1/2 ) + q; τ 112
(12) (13)
ψ n+1/2 − ψ n = Λ1 (αψ n+1/2 + βψ n ); (14) τ ψ n+1 − ψ n+1/2 = Λ2 (αψ n+1 + βψ n+1/2 ) + ϕn+1 . τ Схема (14) является сильно устойчивой и полно аппроксимирующей при α = 1/2. Предельный переход следует брать для полусуммы значений функций на целом и дробном шагах (см. § 4, п. 9). П. 5.
ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ УПРУГОСТИ В СМЕЩЕНИЯХ
Для уравнения упругого равновесия в смещениях (λ + 2µ)
∂ 2 u1 ∂ 2 u1 ∂ 2 u2 = 0; + µ + (λ + µ) ∂x21 ∂x22 ∂x1 ∂x2
(1)
∂ 2 u2 ∂ 2 u2 ∂ 2 u1 + µ 2 + (λ + 2µ) 2 = 0. (λ + µ) ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 А.Н. Коноваловым [61] была предложена и исследована схема стабилизирующей поправки n+1/2
u1
τ n+1/2
u2
τ
− un1
− un2
n+1/2
= Λ11 u1
n+1/2
= Ωu1
где
n+1/2
+ Λ21 u2
(2а)
+ Λ22 un2 ,
(2б)
n+1/2
n+1/2
un+1 − u1 1 τ
+ Λ12 un1 + Ωun2 ;
= Λ12 (un+1 − un1 ), 1
Λ11 = (λ + 2µ)
∆1 ∆−1 ; h21
Λ22 = (λ + 2µ)
∆2 ∆−2 ; h22
un+1 − u2 2 τ
Λ12 = µ
∆2 ∆−2 ; h22
Ω = (λ + µ)
= Λ22 (un+1 − un2 ), 2
Λ21 = µ
∆1 ∆−1 ; h21
∆1 + ∆−1 ∆2 + ∆−2 . · h21 2h2
A.H. Коновалов доказал сходимость этой схемы для первой краевой задачи в прямоугольнике. Ряд схем с дробными шагами для уравнений упругости был предложен также А.А. Самарским [96]. 113
П. 6.
КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ В ЗАДАЧАХ УПРУГОСТИ
При решении краевой задачи второго рода требуется построение рекуррентной системы счета граничных условий. Покажем это на примере следующей краевой задачи (см. рис. 5). Выпишем краевые условия на левой вертикальной границе µ
∂u2 ∂u1 +µ = f2 ; ∂x2 ∂x1
(1)
∂u1 ∂u2 + (λ + 2µ) = f1 . λ ∂x2 ∂x1
Рис. 5. Решение смешанной краевой задачи для уравнений упругости в прямоугольнике.
Система (1) есть система гиперболического типа, в которой в случае вертикальной границы роль временного переменного играет x2 , роль пространственного – x1 . Величины u1 , u2 на границе будем обозначать un1 , un2 , величины в ближайших к ним внутренних точках сетки – U1n , U2n . Простейшая явная аппроксимация (1) имеет вид un+1 − un1 un2 − U2n 1 µ −µ = f2n ; h2 h1
(2)
un+1 − un2 un − U1n λ 2 − (λ + 2µ) 1 = f1n . h2 h1 Для определения устойчивости уравнений (2) при фиксированных U1n , U2n , f1n , f2n составим уравнения в вариациях (для простоты обозначений знак 114
вариации отбрасываем) un un+1 − un1 1 − 2 = 0, h2 h1
λ
un+1 − un2 un 2 − (λ + 2µ) 1 = 0. h2 h1
(3)
Отсюда ~un+1 = C~un ;
~u = {u1 , u2 };
° ° ° 1 ° C = ° λ + 2µ h 2 ° · ° λ h1
h2 h1
° ° ° ° ° 1 ° °
(30 )
Оценим норму матрицы перехода C из (3’). Для ее характеристических корней имеем выражение r λ + 2µ h2 · (4) ρ1,2 = 1 ± λ h1 Отсюда следует, что спектральный радиус и норма матрицы C больше 1, рекуррентный счет (2) неустойчив. Применим неявную аппроксимацию µ
un+1 − U2n+1 un+1 − un1 1 −µ 2 = f2n ; h2 h1
(5)
un+1 − un2 un+1 − U1n+1 λ 2 − (λ + 2µ) 1 = f1n . h2 h1 Уравнения в вариациях имеют вид un+1 − un1 un+1 1 − 2 = 0; h2 h1
un+1 − un2 un+1 2 λ − (λ + 2µ) 1 = 0. h2 h1
Отсюда un1 = un+1 − 1
h2 n+1 u ; h1 2
(6)
(7) h λ + 2µ 2 · un+1 + un+1 . un2 = − 2 λ h1 1 Для устойчивости счета необходимо, чтобы матрица (обратная матрицы перехода) ° ° h2 ° ° ° ° 1 − ° ° h 1 (8) ° λ + 2µ h ° 2 ° − ° · 1 ° ° λ h1 115
имела характеристические корни ≥ 1. Для корней ρ матрицы (8) имеем выражение r λ + 2µ h2 · (9) ρ1,2 = 1 ± λ h1 Отсюда условие устойчивости принимает вид r λ + 2µ h2 · ≥ 2. (10) λ h1 При написании аналогичной схемы по верхней горизонтальной стороне h1 , h2 меняются ролями, и получим r λ + 2µ h1 · ≥ 2. (11) λ h2 В результате счет будет неустойчив на той или другой стороне. При условии устойчивости на вертикальной стороне для получения устойчивого рекуррентного счета на горизонтальной требуется или укрупнить сетку по x1 , или размельчить сетку по x2 *1 . Укажем другую схему счета границы, основанную на методе бегущего счета. Запишем краевые условия 2-го рода в инвариантном виде в местном репере, в Рис. 6. Краевые условия 2-го рода в местном репере. котором один вектор направлен по касательной к границе в направлении часовой стрелки, другой – по внешней нормали (см. рис. 6). Тогда вектор смещения ~u представится в виде ~u = uτ ~e1 + un~e2 .
(12)
В отличие от случая прямоугольника направление ~e2 будем считать временным, ´ ~e1 – пространственным, местные декартовы координаты будем обозначать через t, соответственно x. Тогда краевые условия запишутся в виде ∂un ∂uτ +λ = f1 ; ∂t ∂x ¶ µ ∂un ∂uτ + = f2 . µ ∂t ∂x
(λ + 2µ)
1
* Данный анализ устойчивости принадлежит А.Н. Коновалову.
116
(13)
Приведем уравнения (13) к инвариантам ∂r ∂r +c = g1 ; ∂t ∂x
∂s ∂s −c = g2 , ∂t ∂x
(14)
где r = un + cuτ ;
g1 =
s = un − cuτ ,
f2 f1 +c ; λ + 2µ µ
g2 =
c=
s
λ ; λ + 2µ
(15)
f1 f2 −c . λ + 2µ µ
После этого уравнения (14) решаются с помощью неявной мажорантной схемы ri − R i ri − ri−1 +c = g1i ; τ h
s i − Si si+1 − si −c = g2i , τ h
(16)
которая устойчива при любых τ, h. В случае прямоугольной области (см. рис. 5) на стороне AB имеем u1 = −un ; на стороне BC u1 = u τ ;
u2 = uτ ;
t = −x1 ;
r = −u1 + cu2 ; u2 = un ;
x = x2 ;
h = h2 ; (17)
s = −u1 − cu2 ,
t = x2 ;
r = u2 + cu1 ;
τ = h1 ;
x = x1 ;
τ = h2 ;
s = u2 − cu1 .
h = h1 ; (18)
Переход от инвариантов (17) к инвариантам (18) производится на некоторой дуге, скругляющей угол ABC. В заключение нашего анализа краевых задач упругости заметим, что исследованы полностью только немногие задачи и немногие методы.
4
117
§ 6.
СХЕМЫ ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТИ (с.п.т.) До сих пор мы рассматривали разностные схемы интегрирования, дающие точность O(τ α + hβ ), α, β ≤ 2. Соответствующие итерационные схемы давали точность O(hβ ). Метод дробных шагов может быть применен для получения простых схем повышенной точности β > 2. П. 1.
ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТИ
Следуя работам Дугласа, Гана [62] и А.А. Самарского [63], рассмотрим ряд однородных с.п.т. для уравнений теплопроводности m
∂u X ∂ 2 u , = 2 ∂t ∂x i i=1 m X ∂2u ∂u = , ∂t ∂xi ∂xj i,j=1
aij = const.
(1)
(2)
Для произвольной достаточно гладкой функции u(x1 , . . . , xm , t) справедливы следующие аппроксимационные оценки (положено h1 = h2 = . . . = hm = h): h2 ∂ 4 un ∂ 2 un n = Λ u − + O(h4 ), i 2 4 ∂xi 12 ∂xi (3) m 2 X 4 n h ∂ u ∆un = Λun − + O(h4 ), 12 i=1 ∂x4i 1 ∂ 2 un h2 ∂ 4 un n−1 n n+1 = Λi (u + O(τ 2 + h4 ); +u +u )− 2 4 ∂xi 3 12 ∂xi m
1 h2 X ∂ 4 un ∆u = Λ(un−1 + un + un+1 ) − + O(τ 2 + h4 ), 3 12 i=1 ∂x4i 118
(4)
где m X ∂2 ; ∆= ∂x2i i=1
Λ=
m X
Λi ;
un (x1 , . . . , xm ) = u(x1 , . . . , xm , nτ ).
i=1
Из (4) следует для решения уравнения (1) m
un+1 − un−1 1 h2 X ∂ 4 un n−1 n n+1 + O(τ 2 + h4 ). = Λ(u +u +u )− 4 2τ 3 12 i=1 ∂xi
(5)
Замечая в случае уравнения (1), что 2
∆ u=
m X ∂4u i=1
∂x4i
+2
i<j
можем положить m X ∂ 4 un
∂x4i
i=1
=
=
X
∂4u = ∆ut = utt , ∂x2i ∂x2j
i, j = 1, 2, . . . , m,
X ∂ 4 un un+1 − 2un + un−1 + O(τ 2 ) = − 2 2 2 τ2 ∂x ∂x i j i<j
X un+1 − 2un + un−1 − 2 Λi Λj un + O(τ 2 + h2 ), τ2 i<j
(6)
(7)
i, j = 1, 2, . . . , m,
либо
m X ∂ 4 un i=1
∂x4i
=Λ
X un+1 − un−1 −2 Λi Λj un + O(τ 2 + h2 ). 2τ i<j
(8)
Сопоставляя уравнения (5), (7), (8), приходим к однородной с.п.т. 1 un+1 − un−1 = Λ(un−1 + un + un+1 )− 2τ 3 " # n+1 n n−1 2 X − 2u + u h u − −2 Λi Λj un (9) 2 12 τ i<j либо соответственно ¸ ¶ µ ¶ ·µ 1 un+1 − un−1 1 1 n+1 n n−1 + u +u + 1+ u = Λ 1− 2τ 3 8r 8r h2 X + Λi Λj un , r = τ /h2 . (10) 6 i<j 119
Аналогично получается двухслойная с.п.т., основанная на оценках (3), (6) un + un+1 h2 un+1 − un h2 X un+1 − un =Λ − Λ + Λi Λj un . τ 2 12 τ 6 i<j
(11)
Схему (11) можно записать в виде h2 X un+1 − un = αΛun+1 + (1 − α)Λun + Λi Λj un , τ 6 i<j α = 0, 5(1 −
(12)
1 h2 ) = 0, 5(1 − ). 6τ 6r
Схемы (9), (10), (11), (12) являются абсолютно устойчивыми и имеют порядок точности O(τ 2 ) + O(h4 ). П. 2.
ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В работах Дугласа, Гана [62], А.А. Самарского [63], В.Б. Андреева и А.А. Самарского [64] рассмотрены с.п.т. для параболических уравнений вида (1.1), (1.2). Авторы строят легко реализуемые с.п.т. с факторизованным («расщепленным») верхним оператором. Эти схемы строятся исходя из mслойной однородной с.п.т. (m ≥ 2) un+1 − un = Aun+1 + f n , τ
(1)
где f n – результат применения разностных пространственных операторов к функциям un , un−1 , . . .. Метод построения факторизованной схемы, предложенный Дугласом и Ганом [62], выглядит следующим образом. Пусть A = A1 + . . . + A m
(2)
есть разложение A на сумму операторов Ai , i = 1, 2, . . . , m. Тогда стро-
120
ится схема типа стабилизирующей поправки un+2/m − un = A1 (un+1/m − un ) + Aun + f n ; τ un+2/m − un+1/m = A2 (un+2/m − un ); τ ............................................ un+1 − un+(m−1)/m = Am (un+1 − un ). τ Схема в целых шагах имеет вид ¶ µ n+1 u − un un+1 − un n+1 n , = Au +f +Φ τ τ X X Ai Aj Ak + . . . + (−1)m−1 τ m A1 . . . Am . Ai Aj + τ 3 Φ = −τ 2 i<j
(3)
(4) (5)
i<j