Основы квантовой механики и атомной физики: Учебное пособие

Объединенный Институт Ядерных Исследований Учебно-Научный Центр

МЕШКОВ Игорь Николаевич СИДОРИН Анатолий Олегович

ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ И АТОМНОЙ ФИЗИКИ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ДУБНА 2006

Учебное пособие написано профессором базовой кафедры МИРЭА "Электроника физических установок" при УНЦ ОИЯИ И.Н. Мешковым (ОИЯИ) и доцентом А.О. Сидориным (ОИЯИ) и рекомендовано к изданию экспертной комиссией УНЦ ОИЯИ и Редакционно-издательским советом МИРЭА.

Мешков И.Н., Сидорин А.О. Основы квантовой механики и атомной физики Учебное пособие содержит изложение основ квантовой механики, начиная с описания экспериментальных фактов, стимулировавших появление знаменитых постулатов Н. Бора и его "старой" квантовой механики, основ волновой механики и вероятностного подхода, основных явлений в физике атома. Пособие предназначено для студентов и аспирантов инженерных и физических специальностей. Рецензенты:

профессор

А.Д. Суханов,

ст. н. с.,

к. ф.-м. н.,

доцент

А.В. Чижов

Meshkov I.N., A.O. Sidorin The basic course of quantum mechanics and atomic physics The textbook contains a description of the basic principles of quantum mechanics, beginning with the experimental fact, which stimulated formulation of famous postulates of N. Borh and his "old" quantum mechanics, description of wave mechanics, the probability approach, basic phenomena in atomic physics. The book is addressed to the students and doctoral students specializing in engineering and physics. The reviewers: professor A.D. Sukhanov, professor A.V. Chizhov.

signor of science, PhD, assistant

Оглавление Предисловие ………………………………………………………………….

7

ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………………..

8

ГЛАВА 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ, СТИМУЛИРОВАВШИЕ ВОЗНИКНОВЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ …………... § 1.1. Открытие электрона ……………………………………………….. § 1.2. Открытие радиоактивности ……………………………………….. § 1.3. Опыт Резерфорда и планетарная модель атома ………………….. § 1.4. Атомарные спектры ………………………………………………...

8 8 11 12 14

ГЛАВА 2. КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫ БОРА. АТОМ БОРА ………. § 2.1. Постулаты Бора ..…………………………………………………... § 2.2. Модель атома Бора …………………………………………………

16 16 17

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ………………………..

21

ГЛАВА 3. ДУАЛИЗМ ЧАСТИЦ В ПРИРОДЕ …………………………. § 3.1. Квантовая теория фотоэффекта …………………………………… § 3.2. Эффект Комптона ………………………………………………….. § 3.3. Дифракция электрона на кристаллической решётке: опыт Девиссона−Джермера ………………………………………………

21 21 22

ГЛАВА 4. ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ ……………………………………... § 4.1. Существо гипотезы де Бройля …………………………………….. § 4.2. Волновая функция …………………………………………………. § 4.3. Волновой пакет. Фазовая и групповая скорости ………………… § 4.4. Дельта-функция Дирака* ………………………………………….. § 4.5. Расплывание волнового пакета* ……………………………………

25 26 27 28 29 31

ГЛАВА 5. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА § 5.1. Неопределённость значений координаты и импульса частицы … § 5.2. Соотношение неопределённостей энергии и времени …………... § 5.3. Принцип дополнительности ……………………………………….

38 38 39 39

ГЛАВА 6. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА ... § 6.1. Волновое уравнение и уравнение Шрёдингера ………………….. § 6.2. Волновая функция – "волна вероятности" ……………………….. § 6.3. Принцип суперпозиции состояний ………………………………..

43 43 47 51

ГЛАВА 7. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРА …………….. § 7.1. Плотность потока вероятности …………………………………… § 7.2. Прохождение потенциального барьера. Туннельный эффект ….. § 7.3. Метод ВКБ* …………………………………………………………

53 53 61 67

3

24

§ 7.4. α-распад* ……………………………………………………………. § 7.5. Частица в потенциальной яме …………………………………….. § 7.6. Нейтрон в гравитационном поле ………………………………….. § 7.7. Квантовый осциллятор ……………………………………………..

72 76 82 88

ГЛАВА 8. ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ ……………... § 8.1. Операторы координаты и импульса ……………………………… § 8.2. Оператор энергии ………………………………………………….. § 8.3. Оператор Гамильтона и уравнение Шрёдингера ………………… § 8.4. Собственные функции и собственные значения операторов …… § 8.5. Коммутатор операторов и соотношения неопределенностей …... § 8.6. Производные операторов по времени …………………………….

96 96 99 100 100 105 107

ГЛАВА 9. СИММЕТРИИ В ПРИРОДЕ ………………………………….. § 9.1. Операция инверсии и симметрия волновой функции …………… § 9.2. Оператор инверсии ………………………………………………… § 9.3. Закон сохранения чётности и его нарушение ……………………. § 9.4. Комбинированная чётность. СРТ теорема* ……………………….

111 111 112 112 120

ГЛАВА 10. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ……………………………………... § 10.1. Оператор момента импульса …………………………………….. § 10.2. Собственные функции и собственные значения оператора Lˆ z ... § 10.3. Операторы Lˆ , Lˆ . Выбор осей. Значение L2 …………………….

123 123 127

§ 10.4. Собственные функции оператора Lˆ2 ……………………………. § 10.5. Правила сложения моментов ……………………………………..

131 133

ГЛАВА 11. СПИН …………………………………………………………... § 11.1. Гипотеза Уленбека и Гаудсмита. Спин частицы. Фермионы и бозоны. Полный момент частицы ……………………………….. § 11.2. Оператор спина. Спин 1/2, спиноры …………………………….. § 11.3. Спин и магнитный момент частиц ………………………………. § 11.4. Уравнение Паули для заряженной частицы со спином в магнитном поле …………………………………………………… § 11.5. Заряженная частица со спином в однородном магнитном поле .. § 11.6. Электрически нейтральная частица со спином, покоящаяся в магнитном поле. Опыт Штерна−Герлаха ………………………..

138

157

ГЛАВА 12. ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ …………………………… § 12.1. Принцип неразличимости тождественных частиц ……………... § 12.2. Принцип Паули …………………………………………………… § 12.3. Обменное взаимодействие ………………………………………..

166 166 168 169

x

y

4

128

138 143 148 151 154

ЧАСТЬ II. ФИЗИКА АТОМОВ …………………………………………….

172

ГЛАВА 13. ЭЛЕКТРОН В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ ... § 13.1. Уравнение Шрёдингера для задачи двух тел …………………… § 13.2. Атом водорода. Электрон в центральном поле ………………… § 13.3. Собственные функции и уровни энергии электрона в атоме водорода …………………………………………………………… § 13.4. Водородоподобные атомы и ионы ……………………………….

172 172 176

ГЛАВА 14. ТОНКАЯ И СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА АТОМНЫХ СПЕКТРОВ …………………………………………………….. § 14.1. Теория возмущений. Возмущения, не зависящие от времени … § 14.2. Спин-орбитальное взаимодействие и тонкая структура атомных уровней ……………………………………………………………. § 14.3. Сверхтонкая структура атомных уровней ………………………. § 14.4. Лэмбовский сдвиг ………………………………………………… § 14.5. Структура нижних уровней атома водорода ……………………. § 14.6. Структура уровней позитрония* ………………………………… ГЛАВА 15. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ ………………………... § 15.1. Одночастичное приближение, эффективное поле. Сложные атомы …………………………………………………… § 15.2. Электронные конфигурации ……………………………………... § 15.3. Суммарный момент атома ……………………………………….. § 15.4. Периодическая таблица элементов Д.И. Менделеева …………..

184 195 198 198 203 216 231 233 238 242 242 244 245 247

ГЛАВА 16. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ВРЕМЕНИ ... § 16.1. Возмущения, зависящие от времени …………………………….. § 16.2. Периодическое возмущение в двухуровневой системе ………... § 16.3. "Кратковременные" возмущения ………………………………... § 16.4. Электрические дипольные переходы. Правила отбора ………... § 16.5. Квадрупольные электрические и дипольные магнитные переходы …………………………………………………………... § 16.6. Вынужденное и спонтанное излучение атома. Коэффициенты Эйнштейна ……………………………………… § 16.7. Усиление излучения в активной среде ………………………….. § 16.8. Квантовые усилители и генераторы ……………………………..

253 253 254 257 260

ГЛАВА 17. АТОМАРНЫЕ СПЕКТРЫ ……………………………………. § 17.1. Линейчатый и сплошной спектры. Метастабильные состояния .. § 17.2. Время жизни состояния ………………………………………….. § 17.3. Ширина спектральных уровней и линий ………………………...

284 284 285 286

5

270 273 278 282

ГЛАВА 18. АТОМ ВО ВНЕШНЕМ СТАТИЧЕСКОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ …………………………….. § 18.1. Эффект Зеемана …………………………………………………... § 18.2. Эффект Штарка …………………………………………………… § 18.3. Магнитный резонанс ……………………………………………...

282 282 293 295

ГЛАВА 19. АТОМНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ …………………………… § 19.1 Оптическая и рентгеновская спектроскопия ……………………. § 19.2. Микроволновая спектроскопия. Атомный интерферометр ……. § 19.3. Атомная спектроскопия в статических полях …………………...

299 299 302 315

Заключение …………………………………………………………………... Атомные константы ………………………………………………………….. Литература …………………………………………………………………… Предметный указатель ………………………………………………………

329 330 333 334

6

ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ, СТИМУЛИРОВАВШИЕ ВОЗНИКНОВЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Квантовая механика, родившаяся в третьей декаде XX-го века, явилась революционной физической теорией, т.к. постулированные и развитые в ней законы природы не укладывались в "привычные" для того времени физические представления, основанные на практическом опыте. И, конечно, толчком к возникновению квантовых представлений послужили новые экспериментальные открытия (т.е. опыт!), сделанные в конце XIX-го – начале XX-го столетий. Само название "квантовая механика" связано с законом излучения Планка (§ 1.4) и происходит от лат. quantum – сколько.

§ 1.1. Открытие электрона. В 1897 г. Дж. Дж. Томсон (Joseph John Thomson) изучая отклонение катодных лучей в скрещённом электрическом и магнитном полях (рис. 1.1) пришёл к выводу, что эти лучи состоят из легких отрицательно заряженных частиц. Он назвал их электронами, используя термин, введённый ещё в 1891 г. Дж. Стони (G. Stoney) для обозначения заряда отрицательных одновалентных ионов. Годом позже Дж. Дж. Томсон измерил отношение заряда к массе для электрона (Задача 1.1) и нашёл его в 1836 раз меньше того же отношения для иона водорода (протона).

5

2 1

B⊥⊥

− E⊥

~

Рис. 1.1. Схема опыта Дж. Дж. Томсона

4

1 – катод (раскалённая нить) с прикатодным электродом, 2 – анод, 3 – источник ускоряющего напряжения, 4 – пластины вертикального электрического поля, 5 – витки катушки, создающей горизонтальное магнитное поле, 6 – люминесцентный экран

+ 6 3 8

Задача 1.1. Найти скорость электрона, не отклонившегося в скрещённых электрическом и магнитном полях, если Е⊥ = 10 кВ/см, В⊥⊥ = 30 мТл. В гауссовой системе

v = c⋅

E⊥ 10 4 300 c = c⋅ = ≈ 3,3 ⋅ 10 9 см с . 300 9 B⊥⊥

В системе СИ v=

E⊥ 10 4 ⋅ 100 = ≈ 3,3 ⋅ 107 м с . B⊥⊥ 30 ⋅ 10 −3

Зная скорость электронов и измеряя смещение ∆x⊥ электронов на экране при выключенном магнитном поле В⊥⊥, из соотношения

e ⎛l⎞ ∆x⊥ = E⊥ ⋅ ⎜ ⎟ 2m ⎝v⎠ находим

2

e , l − длина области со скрещёнными полями. m

Более точный метод измерения e/m основан на фокусировке пучка электронов в продольном магнитном поле (задача 1.2). Задача 1.2. Электронный пучок из электронной пушки имеет угловой раствор θ 1 ⋅ ε1 ⎯⎯ ⎯→

2ε1 . n3

(2.10)

Триумфом теории Бора, или, как её называют, "старой" квантовой механики было, безусловно, объяснение основных закономерностей атомных спектров (оптических и рентгеновских) и объяснение природы периодической таблицы элементов (которую Д.И. Менделеев построил в 1869 г., основываясь на химических свойствах элементов). Вместе с тем, теория Бора, имевшая качественный ("полуколичественный") характер, довольно быстро натолкнулась на трудности при попытке объяснения структуры сложных атомов и простейших молекул, даже таких как атом He и молекула H2. Следует указать ещё на одно противоречие этой теории (которое, конечно, сознавал сам Бор). Из сохранения момента частицы в поле центральных сил немедленно следует, что её орбита плоская, и положение плоскости орбиты в пространстве сохраняется. Однако, из эксперимента известно, что атом – трёхмерное образование ("шарик")! Поэтому постулат (2.3) противоречит экспериментальным данным. Первое экспериментальное подтверждение теории Бора дали опыты Франка

и

Герца

(J. Franck,

G. Hertz

−

1913 г.),

продемонстрировавшие

дискретность атомных уровней: прохождение пучка электронов через пары ртути сопровождалось, при изменении энергии электронов, скачками тока пучка, достигавшего коллектора, когда энергия электронов соответствовала значениям потенциалов возбуждения (рис. 2.1).

19

а)

сетка (анод) коллектор I катод

б)

I(U)

U ⏐U⏐ Рис. 2.1. Схема опыта Франка-Герца: а) электроны из накаливаемого катода ускоряются до энергии eU и проходят через пары ртути в пространстве сетка-коллектор; б) экспериментальная зависимость I(U) имеет вид кривой с несколькими минимумами, соответствующими разности энергий уровней атомов ртути

Задача 2.1. Оценить значение электрического поля, в котором атом водорода, находящийся в n-ом

возбуждённом состоянии, ионизуется. Энергия электрона, находящегося на орбите радиуса r в атоме Бора, помещённом в электрическое поле E, есть (см. (2.7))

ε (r ) ≈ −

e2 + e⋅E ⋅r . 2r

Из условия ионизации ε > 0 следует Eionization =

e e ~ 2 , 2 2r 2rn

где rn − радиус n-ой боровской орбиты. С учётом (2.4) найдём Eionization ~

e 2 ⋅ n4 2 RBohr

≈

3 ⋅ 109 В см . n4

Такая сильная зависимость от n позволяет ионизовать атомы, находящихся в возбуждённых состояниях: уже при n = 15 достаточно создать электрическое поле порядка 60 кВ/см, что легко выполняется в вакуумных устройствах. Этот прием используется в атомной физике для анализа состояний атомов.

20

(2.11)

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ГЛАВА 3. ДУАЛИЗМ ЧАСТИЦ В ПРИРОДЕ Нильс Бор, конечно же, понимал ограниченность предложенной им модели атома и, в частности, едва ли считал, что орбиты электронов – реально существующие траектории частиц. Он одним из первых осознал, что микромир "живёт" по своим, далёким от классических, законам. И на это указывали экспериментальные факты, появившиеся примерно в то же время. Они и послужили толчком к созданию "волновой" ("новой") квантовой механики.

§ 3.1. Квантовая теория фотоэффекта Первым из них, несомненно, следует считать фотоэффект, открытый ещё в 1887 г. Г. Герцем (G. Hertz), который обнаружил, что длина искры электрического разряда между двумя электродами возрастает при попадании света на электрод, находящийся под отрицательным потенциалом. Это явление было подробно исследовано

А.Г. Столетовым

(1888 г.),

Ф. Ленардом

(Ph. Lenard)

и

Дж. Дж. Томсоном (1889 г.), которые показали, что свет выбивает электроны из металла. Объяснение фотоэффекта было дано А. Эйнштейном (A. Einstein, 1905 г.) на основе квантовых представлений о природе света. И это было первое указание на то, что свет ведёт себя как набор частиц – фотонов, которые способны передавать энергию электронам вещества в соответствии с законами механики, как это происходит, например, при соударении шаров. Фотон здесь ведет себя как частица, выбивая электроны из вещества, если его энергия hω превышает энергию связи электрона в веществе.

21

§ 3.2. Эффект Комптона Изучая

рассеяние

рентгеновских

лучей

в

парафине,

А. Комптон

(A. Compton, 1922 г.) обнаружил, что длина волны рассеянного излучения возрастает в зависимости от угла рассеяния θ (рис. 3.1) на величину фотон λ > λ0 фотон λ0

θ

атом −

e

Рис. 3.1. Схема эффекта Комптона

ϕ

∆λ = λ c (1 − cos θ), где λ c =

h ≈ 2,43 ⋅10 −10 см , mc

(3.1)

− так называемая комптоновская длина волны. Этот результат не трудно получить, рассмотрев столкновение двух упругих "шаров" – частиц – фотона и покоящегося электрона (Задача 3.1). В такой модели фотон ведет себя как частица с энергией hω и импульсом hω /с. Таким

образом,

оба

экспериментальных

факта

указывают

на

корпускулярные свойства фотона (от лат. corpusculum – частица). Задача 3.1. Получить формулу (3.1) для изменения длины волны фотона, рассеявшегося на

электроне. Из условия сохранения суммарных энергии и импульса частиц запишем (рис. 3.1) hω0 + mc 2 = hω +

( )

2

p 2 c 2 + mc 2 ,

hω0 = pc ⋅ cos ϕ + hω ⋅ cos θ , 0 = pc ⋅ sin ϕ − hω ⋅ sin θ .

Здесь ω0 и ω - частота излучения до и после соударения, р – импульс электрона отдачи. Обратим внимание на то, что в первом уравнении использовано выражение для полной (в релятивистском смысле) энергии электрона. Здесь это принципиально, т.к. второй "участник" процесса соударения – фотон – всегда ультрарелятивистская частица (движущаяся со скоростью света с). Исключим затем ϕ из второго и третьего уравнений. Найдём

22

[

p 2 c 2 = h 2 ω 02 + ω 2 − 2ωω 0 ⋅ cos θ

]

и подставим в первое уравнение. Перенеся при этом hω в левую часть и возведя обе части равенства в квадрат, получим: ω0 − ω =

h ⋅ ωω 0 (1 − cos θ) . mc 2

Подставив сюда ω0 =

2πc 2πc , ω= , ∆λ = λ 0 − λ , λ0 λ

придём к результату (3.1).

Отметим, что максимальное изменение длины волны фотона имеет место при θ = π (отражение фотона назад): ∆λ max = 2λ c . При этом энергия отражённого фотона минимальна:

ε (θ = π) = hω(θ = π) = h

2πc = λ 0 + ∆λ max

hω 0 . 2 hω 0 1+ mc 2

Если энергия падающего фотона велика, так, что hω0 >> mc 2 , отражённый фотон имеет энергию mc 2 ε (θ = π) ≈ , 2 а электрон приобретает энергию

εe = ( p(θ = π) ⋅ c )

2

( )

+ mc

2 2

2

⎛ mc 2 ⎞ mc 2 ⎟ + mc 2 ≈ hω0 + = ⎜⎜ hω0 + . ⎟ 2 2 ⎝ ⎠

Задача 3.2. Оценить максимальное значение длины волны фотона, при котором заметно

проявление эффекта Комптона. Из описания эффекта ясно, что фотон должен передать электрону часть своей энергии, превышающую энергию ионизации атома, т.е. (см. (2.8)) ∆ε ~ 13,6 эВ.

Минимальная энергия налетающего фотона должна быть

23

εmin

>> ∆ε,

что даёт 2πhc

λ max =

εmin

>>

o 2π ⋅ 6,58 ⋅ 10 −16 ⋅ 3 ⋅ 1010 ≈ 900 A . 13,6

Таким образом, эффект Комптона проявляется уже в далёком ультрафиолетовом и мягком рентгеновском излучении.

§ 3.3. Дифракция электрона на кристаллической решетке: опыт Дэвиссона-Джермера Этот эксперимент был поставле американскими физиками К. Дэвиссоном и Л. Джермером (C. Davisson, L. Germer) в 1927 г., когда Луи де Бройль уже сформулировал свою гипотезу о волновых свойствах частиц (глава 4). Поэтому фактически целью эксперимента была проверка этой гипотезы. В эксперименте измерялась зависимость тока электронов, отражённых кристаллом, от углов θ, ϕ (рис. 3.2). Было показано, что эта зависимость повторяет закон дифракции электромагнитной волны (рентгеновских лучей) на кристалле − закон ВульфаБрэгга: сигнал гальванометра достигает максимума при ϕ=

π−θ 2

и 2d sin ϕ = nλ, n = 1, 2, K

Это означает, что частица в данном эксперименте ведет себя как волна. Отметим, что картина совершенно аналогичная показанной на рис. 3.2, б, была получена В. Фридрихом (W. Fridrich) и П. Книппингом (P. Knipping) ещё в 1912 г. при наблюдении

дифракции

кристаллическую (M. Laue),

и

с

рентгеновских

плёнку. тех

Постановку

пор

картина

лучей,

эксперимента дифракции

проходящих

сквозь

предложил

М. Лауэ

рентгеновских

лучей,

зарегистрированная по этому методу на фотопластинке, называется лауэграммой. В опыте Дэвиссона−Джермера электроны имели энергию 50 − 150 эВ (см. задачу 4.1 ниже). Эксперименты, рассмотренные в этой главе, указывают на особенность микрочастиц, которую называют дуализм (от лат. dualis – двойственный) – 24

способность частиц, в зависимости от условий (характеристик физического процесса, в котором они участвуют) проявлять своеобразные волновые свойства. Количественный критерий волновых, либо корпускулярных свойств частицы позволила сформулировать гипотеза Л. де Бройля.

а)

1 ϕ

3

б) 4

θ 2

Рис. 3.2. а) Схема опыта Девиссона-Джермера: 1 – электронная пушка, 2 – кристалл, 3 – приёмник (коллектор) электронов, 4 − гальванометр; б) дифракционная картина, полученная при прохождении пучка электронов (Е = 75 кВ, λ = 0.05Å) сквозь монокристаллическую плёнку ZnSe с ориентацией (111).

ГЛАВА 4. ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ В 1924 г. французский физик Луи де Бройль (Louis de Broglie) выдвинул гипотезу, согласно которой частица (электрон, протон, ядро атома, атом) обладает волновыми свойствами, т.е. ведёт себя так же, как электромагнитная волна, т.е. способна дифрагировать, огибая препятствия и проходя через отверстия. Первые экспериментальные подтверждения этой гипотезы появились, как мы видели в § 3.3, позднее. На идею "частица-волна" де Бройля натолкнула известная оптикомеханическая аналогия: уравнения геометрической оптики (луча) аналогичны уравнениям механики (траекторий частицы).

25

§ 4.1. Существо гипотезы де Бройля Как мы знаем, параметры частицы электромагнитного излучения – фотона связаны между собой соотношениями

r 2π ω = . (4.1) k = λ c r r Здесь ε − энергия, p − импульс, ω − частота, k − волновой вектор, λ − длина ε = hω,

r r p = hk ,

волны. Таким образом, у фотона длина волны и импульса связаны равенством λ=

2π 2πh = . k p

Можно предположить, что для частицы имеет место аналогичное равенство: λ particle =

2πh p particle

.

Эту величину принято называть длиной волны де Бройля для частицы с импульсом р: λD =

h . p

(4.2)

Обратим внимание, что здесь стоит h ≡ 2πh. Для фотона λD есть просто его длина волны. Задача 4.1. Вычислить длину волны де Бройля для электрона с энергией ε = 100 эВ (опыт Девиссона−Джермера). Здесь электроны нерелятивистские. Поэтому*) в атомных единицах найдём p = 2mε = 2 ⋅ 0,5 ⋅ 10 6 ⋅ 10 2 = 10 4 эВ с ,

где с – скорость света. Подставив в (4.2) имеем λ=

*)

o 2π ⋅ 6,6 ⋅ 10 −16 ⋅ 3 ⋅ 1010 ≈ 1,2 ⋅ 10 −8 cм = 1,2 A . 4 10

Условимся обозначать через ε кинетическую энергию частицы, т.е. ε total = ε + mc 2 .

26

Параметр λD является масштабом, определяющим границу между волновым и корпускулярным характером поведения частицы. Теперь ясно, что размер объекта, с которым взаимодействует частица, следует сравнивать именно с де-бройлевской длиной волны: λ D < l − частица, λ D > l − волна.

(4.3)

Так, в опыте Девиссона−Джермера волновые свойства электрона (дифракция) проявляются потому, что величина λD порядка периода кристаллической решётки (~ 1 Å). И наоборот, фотон заведомо ведёт себя как частица, если длина волны излучения достаточно мала. Так, эффект Комптона при λ ∼ RBohr (εphoton ∼ 10 кэВ) проявляется совершенно отчётливо (см. оценки в задаче 3.2).

§ 4.2. Волновая функция В классической электродинамике вектор-потенциал и поле плоской волны электромагнитного излучения описываются известными выражениями r r r i (krrr −ωt ) r 1 ∂A A = A0 ⋅ e , E=− ⋅ , c ∂t . r r r H = k, E .

[ ]

r E r A

r k

Рис. 4.1. Вектор-потенциал, поле и волновой вектор плоской электромагнитной волны

r H

r r r Мы видим, что каждая из величин A, E , H имеет вид векторной функции: rr r r r ψ (r , t ) = ψ 0 ⋅ e i (k r −ωt ).

Подставив сюда из (4.1) r pr ε k = , ω= , h h 27

(4.4)

имеем для фотона: rr r r r ψ (r , t ) = ψ 0 ⋅ e i( pr −εt ) h ,

(4.5)

где ψ0 − константа. Де Бройль использовал такое же выражение для описания движения частицы – волны. Введённую им функцию называют волной де Бройля.

§ 4.3. Волновой пакет. Фазовая и групповая скорости rr Фаза волны (4.5) есть ϕ = k r − ωt . Отсюда находим фазовую скорость (т.е.

скорость постоянной фазы):

(

)

r r ϕ& = k , vϕ − ω = 0,

r r r а поскольку волна распространяется вдоль направления вектора k , то vϕ || k , следовательно r r ω k vϕ = ⋅ . k k

(4.6)

В случае суперпозиции нескольких волн – пакета волн с дисперсией (разбросом) частот k(ω), можно ввести групповую скорость пакета: r r dω k vg = ⋅ . dk k

(4.7)

Все эти понятия известны из электродинамики. Для частицы по аналогии найдем (см. примечание в задаче 4.1): фазовая скорость:

vϕ =

групповая скорость: v g =

ω ε total h ε total γmc 2 c 2 = = = = ≥ c, k p h p γmv v dω dε total = = dk dp

2 pc 2 2

( pc )

2

( )

+ mc

2 2

=

γmv ⋅ c 2 =v. γmc 2

(4.8) (4.9)

Заметим, что точно такой же результат для vg получается для нерелятивистской частицы: vg =

⎞ p dε total d ⎛ p 2 = ⎜⎜ + mc 2 ⎟⎟ = = v. dp dp ⎝ 2m ⎠ m

28

Таким образом, частице можно сопоставить пакет волн де Бройля с разными фазовыми скоростями, а в выражении для волны де Бройля (4.5) в качестве ε использовать кинетическую энергию. К этому вопросу мы вернёмся в § 6.1.

§ 4.4. Дельта-функция Дирака* r Естественно задать вопрос, что же такое волна де Бройля ψ(r , t ) ? Волна r 2 r плотности вещества? Например, принять, что ψ (r , t ) = ρ(r , t ) есть плотность rr

вещества частицы. Но тогда для свободной частицы волна ψ 0 e i( pr −εt ) h дает r v плотность, не зависящую от r : ρ(r , t ) = ψ 02 , т.е. частица "размазана" по всему

пространству. Можно попытаться обойти эту трудность, введя модуляцию функции плотности, например, − в виде функции Гаусса: 2 r ψ(r , t ) = A ⋅ e −r

2 ∆2

rr

⋅ e i ( pr − ε t ) h .

(4.10)

Видимо, в поисках описания частицы-волны, Дирак ввёл свою знаменитую дельта-функцию (P.A.M. Dirac, 1926 г.). Это прекрасный пример того, как необходимость

решения

физической

проблемы

приводит

к

развитию

математического аппарата.

δmax

δ(x) Рис. 4.2. Приближенное изображение δ-функции: δ max ⋅ ∆ = 1

∆

x

Дельта-функцию Дирак определил как "бесконечность в точке" (рис. 4.2): ⎧ 0, x ≠ x0 , δ( x − x0 ) = ⎨ ⎩∞, x = x0 .

29

(4.11)

Но при этом бесконечность в определённом смысле ограничена: интеграл от δ-функции по интервалу, содержащему точку x0, конечен и равен единице: x2

⎧0,

{x1 , x2 }∉ x0 ,

∫ δ(x − x0 )⋅ dx = ⎨⎩1, {x1 , x2 }∈ x0 . x

(4.12)

1

В этом случае говорят, что функция "нормирована на единицу". Нетрудно догадаться, что это модель точечной частицы с конечными зарядами и массой. В этом случае через δ-функцию выражаются (линейные) плотности этих величин: ρe ( x ) = e ⋅ δ( x − x0 ), ρ( x ) = m ⋅ δ( x − x0 ). Именно так и рассуждал Дирак. Введенная им δ-функция послужила толчком к развитию в математике теории обобщённых функций. Обратим внимание на размерность δ(x) – это обратная длина. Теперь сформулируем важнейшие свойства δ-функции: x2

1)

⎧ 0,

{x1 , x2 }∉ x0 ,

∫ f (x )⋅ δ(x − x0 )dx = ⎨⎩ f (x0 ), {x1 , x2 }∈ x0 . x

(4.13)

1

Это свойство следует из (4.12), если применить к (4.13) теорему о среднем (см. рис. 4.2).

δ( x ) =

2)

1 sin α x . ⋅ lim α → ∞ x π

(4.14)

Чтобы убедиться в справедливости этого результата, достаточно заметить, что функция f ( x ) = sin α x x (рис. 4.3) имеет период Tx = и её максимум есть f (0) =

2π α→∞ ⎯⎯⎯→ 0 , α

α . Отсюда x ∞

1 2π ∫ f (x ) dx ≈ 2 ⋅ f (0)⋅ α = π .

−∞

30

sin αx x

3

Рис. 4.3. График функции sin α x f (x ) = ,α=3 x

2 1

-10

-5

0

x 10

5

-1

3) Фурье-образ δ-функции получим, вычислив интеграл ∞

1 δ(k ) ≡ δ( x ) ⋅e −ikx dx . ∫ 2 π −∞ Отсюда видно, что функция δ(k) – безразмерная. Воспользовавшись свойством δ-функции (4.13), найдём δ(k ) =

1 ikx ⋅e 2π

= x =0

1 . 2π

(4.15)

Отсюда, в частности, следует представление δ-функции в виде интеграла Фурье: δ( x ) =

∞

ikx ∫ δ(k ) ⋅ e dk =

−∞

∞

1 e ikx dk . 2π −∫∞

(4.16)

В действительной форме это представление имеет вид ∞

1 δ(x ) = ∫ cos kx ⋅ dk . π0

(4.17)

Нетрудно от одномерной δ-функции перейти к трёхмерной: r δ(r − r0 ) = δ(x − x0 ) ⋅ δ( y − y0 ) ⋅ δ( z − z 0 ).

§ 4.5. Расплывание волнового пакета* r Оказывается, что модуляция функции ψ (r , t ) не спасает волну-частицу от

"размазывания" − теперь это происходит со временем, волновой пакет

31

расплывается. Покажем это на примере одномерной модулированной волны, не уточняя пока её природу:

ψ ( x, t ) = f ( x, t ) ⋅ e i (k0 x−ω0t )

(4.18)

где функция f(x,t) выбрана таким образом, что в начальный момент времени волна ограничена в пространстве (рис. 4.4):

ψ ( x,0) = Ae − x

2

/ 2 ∆2 ik0 x

e

.

Здесь А − некоторая амплитуда волны, значение которой найдем позднее (см. задачу 6.2). Точно так же, как это делается в классической электродинамике, представим пакет (4.18) в виде суммы (интеграла Фурье) монохроматических ("моноимпульсных" в случае волны де Бройля) волн: ∞

ψ ( x, t ) = ∫ ψ k (k ) ⋅ e i (kx−ωt )dk

(4.19)

−∞

Reψ (x, 0 ) Рис. 4.4. Волновой пакет при t = 0

x

Для нахождения амплитудной функции ψ k (k ) запишем (4.19) в момент t = 0:

ψ ( x, 0 ) = A ⋅ e − x

2

2∆2

⋅e

ik0 x

∞

= ∫ ψ k (k ) ⋅ e ikx dk

(4.20)

−∞

и произведем обратное Фурье-преобразование:

ψ k (k ) =

∞

∞

2 A 1 ψ ( x, 0 ) ⋅ e −ikx dx = e−x ∫ ∫ 2 π −∞ 2 π −∞

2∆ 2

⋅ e i (k0 −k )x dx.

Вынесем из-под знака интеграла члены, не зависящие от х, для этого, дополним показатель экспоненты до полного квадрата

32

2 1⎛ x x2 ⎞ (k 0 − k ) ⋅ ∆ ( ) ( ) + i k − pk x = − − i k − k ∆ , − ⎜ ⎟ 0 0 2⎝∆ 2 2∆ 2 ⎠ 2

−

2

и запишем: 2 2 A ψ k (k ) = ⋅ 2∆ ⋅ e −(k0 −k ) ∆ 2π

ξ=

2

∞

∫e

−ξ 2

dξ ,

−∞

1 ⎛x ⎞ ⎜ − i (k 0 − k )∆ ⎟ . 2⎝∆ ⎠

Вычислим интеграл, входящий в это выражение ∞

2

I = ∫ e −ξ dξ , −∞

возведя его в квадрат и преобразуя образующийся двойной интеграл к полярным координатам: ∞

I = ∫e 2

−∞

− x2

∞

dx ⋅ ∫ e −∞

− y2

dy = ∫∫ e

(

− x2 + y2

)dxdy =

−∞

∞ 2π

2

−r ∫ ∫ e dϕrdr = π. 0 0

Отсюда ∞

2

−ξ ∫ e dξ = π .

(4.21)

−∞

Соответственно, амплитудная функция имеет вид ψ k (k ) =

2 2 A ⋅ ∆ ⋅ e − ( k0 − k ) ∆ 2 . 2π

(4.22)

Из этого выражения следует важный вывод: ширина амплитудной функции есть ∆k = ± k * − k 0 ≈ ±

1 , ∆

(4.23)

где k* − значение волнового числа, при котором показатель экспоненты в (4.22) равен единице. Таким образом, волновой пакет (4.18), ограниченный в пространстве (его характерная ширина ± ∆), обязательно имеет и разброс по волновым числам. Аналогичный результат можно получить для волнового пакета, ограниченного во времени: такой пакет обязательно имеет спектр частот и ширина этого спектра обратно пропорционально характерной длительности 33

импульса. По отношению к волне де Бройля этот факт является фундаментальным квантово-механическим законом, формулировку которого отложим до Главы 5. Подставив ψk(k) (4.22) в (4.19), получим выражение для волнового пакета в виде интеграла монохроматических волн: ∞

− A ψ ( x, t ) = ⋅∆⋅ ∫e 2π −∞

(k −k0 )2 ⋅∆ 2 2

⋅ e i (kx−ωt )dk .

(4.24)

Это есть ни что иное, как Фурье-разложение волнового пакета (4.18) по монохроматическим волнам. Поведение волнового пакета определяется видом дисперсионной зависимости и будет различным для разных видов волн. Например, для фотона в вакууме связь между частотой и волновым числом задается выражением: ω = kc ,

для свободной нерелятивистской частицы: p2 k 2h ε= →ω= , 2m 2m для свободной релятивистской частицы: 2

2 2

( )

ε = p c + mc

2 2

⎛ mc 2 ⎞ ⎟ → ω = k c + ⎜⎜ ⎟ h ⎝ ⎠ 2

2

2 2

и поведение соответствующих волн будет различным. Однако расплывание волнового пакета может быть исследовано и в общем случае, для чего частоту волны разложим в ряд Тейлора в окрестности k = k0 ω = ω0 +

2 dω (k − k0 ) + 1 d ω2 (k − k0 )2 + ... dk 2 dk

(4.25)

Теперь проследим за судьбой волнового пакета (4.24), для чего вычислим интеграл, подставив в него полученное выражение для частоты и учтя, что dω / dk = v g . Преобразуем суммарный показатель экспоненты:

34

−

(k − k0 )2 ∆2 + i⎛⎜ kx − ω t − v (k − k )t − 1 d 2 ω (k − k )2 t ⎞⎟ = g 0 0 0 2 ⎜ ⎟ 2

=−

2 dk

⎝

⎠

(k − k0 )2 ⎛⎜ ∆2 + i d 2 ω t ⎞⎟ + i(k − k )(x − v t ) + i(k x − ω t ). 0 g 0 0 2 ⎟ ⎜ 2

dk

⎝

⎠

Вводя обозначение ∆ (t ) = ∆ 2 + i

d 2ω t dk 2

(4.26)

два первых члена можно дополнить до полного квадрата, в результате получим: 2

2

x − vg t ⎤ 1⎡ 1 ⎛ x − vg t ⎞ ⎜ ⎟ + i (k 0 x − ω0t ) − ⎢(k − k 0 )∆(t ) − i − ⎥ ∆(t ) ⎦ 2⎣ 2 ⎜⎝ ∆ (t ) ⎟⎠

Подставив это, довольно громоздкое, выражение в показатель экспоненты под интегралом в (4.24) и произведя замену переменных ξ=

x − vg t ⎤ 1 ⎡ ⎢(k − k 0 ) ⋅ ∆ (t ) − i ⎥, ∆ (t ) ⎦ 2⎣

запишем: 2

ψ ( x, t ) =

A ∆ ⋅ ⋅e π ∆ (t )

1 ⎛ x −v g t ⎞ ⎟ +i (k0 x −ω0t ) − ⎜⎜ 2 ⎝ ∆ (t ) ⎟⎠

∞

2

⋅ ∫ e − ξ dξ . −∞

И, окончательно, учитывая значение интеграла (4.21), найдем ⎧⎪ 1 ⎛ x − v t ⎞ 2 ⎫⎪ ∆ g ⎟⎟ + i (k 0 x − ω0t )⎬ . ⋅ exp⎨− ⋅ ⎜⎜ ψ ( x, t ) = A ⋅ ∆(t ) ⎪⎩ 2 ⎝ ∆(t ) ⎠ ⎪⎭

(4.27)

Это и есть волновой пакет (4.18) в момент времени t > 0. Максимум функции ψ(x, t) находится в точке x(t) = vg t, которая смещается c групповой скоростью волны, а ширина пакета возрастает со временем: ∆ → ∆ (t ) .

Правда, ∆(t) − комплексная функция, и нужно ее представить в виде ∆(t ) = ∆(t ) ⋅ e iα (t ) 2 , 14

где

2⎞ 2 ⎛ d 2ω t 4 ⎛d ω ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ∆(t ) = ∆ + ⎜ 2 t ⎟ , tgα(t ) = . ⎜ dk ⎠ ⎟ dk 2 ∆ 2 ⎝ ⎝ ⎠ 35

(4.28)

Таким образом, волновой пакет расплывается, так, что его ширина ∆(t) удваивается за характерное время ∆2 τ ~ 4⋅ 2 . d ω / dk 2

(4.29)

Кроме того, появляется переменный во времени фазовый множитель e iα 2 . Случай стационарной во времени ширины волнового пакета соответствует условию d 2ω =0, dk 2 или ω = C1k + C2 , где С1 и С2 некоторые константы. С другой стороны, из физических соображений можно утверждать, что пакет не расплывается, когда фазовая скорость монохроматических волн совпадает с групповой скоростью пакета: ω dω = , k dk откуда следует, что С2 = 0, и ω = C1k . Такой вид дисперсионная зависимость имеет для релятивистской частицы с нулевой массой покоя (в частном случае, для фотона) и С1 = с. Для релятивистской частицы с массой отличной от нуля групповая скорость пакета совпадает со скоростью частицы (формула 4.9), а время расплывания пакета может быть определено из вида дисперсионной зависимости 2

⎛ mc 2 ⎞ ⎟ , ω = k c + ⎜⎜ ⎟ ⎝ h ⎠ 2 2

dω = dk

kc 2 ⎛ mc k 2 c 2 + ⎜⎜ ⎝ h

2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

,

2 ⎡ ⎛ mc 2 ⎞ ⎤ 2 2 ⎟ ⎥ − k 2c 4 c ⎢k c + ⎜⎜ ⎟ ⎥ 2 h 2 ⎢ ⎝ ⎠ ⎦ d ω hc 2 ε 2 − p 2c 2 hc 2 mc 2 h ⎣ = = = , = 3 / 2 3 3 2 2 2⎤ ε dk mγ 3 2 ⎡ γ mc ⎛ mc ⎞ ⎢k 2c 2 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ h ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ 2

(

36

)

( ) ( )

соответственно τ rel ~ 4 ⋅ Для нерелятивистской частицы ω =

mγ 3 ∆ 2 . h

(4.30)

k 2h d 2ω h , откуда получаем = и для 2m dk 2 m

времени расплывания пакета имеем: m∆ 2 τ ~ 4⋅ . h

(4.31)

Это же выражение может быть получено из (4.30) при предельном переходе

γ →1.

Задача 4.2. Оценить время расплывания де-бройлевского пакета для протона (размер протона ∆ ~ 10−13 см).

2

m pc2 ⎛ ∆ ⎞2 938 ⋅ 10 6 эВ ⎛ 10 −13 см ⎞ ⎟ ~ 10 −22 с . τ~4 ⋅⎜ ⎟ ~ 4⋅ ⋅⎜ h ⎝c⎠ 6,6 ⋅ 10 −16 эВ ⋅ с ⎜⎝ 3 ⋅ 1010 см с ⎟⎠

За такое время свет проходит путь примерно равный тридцати размерам протона.

r Таким образом, группа волн ψ (r , t ) движется со скоростью частицы, а

волновой пакет расплывается за чрезвычайно короткое время. Результат, полученный здесь при рассмотрении движения "гауссового" пакета (4.18), является достаточно общим (см. [1], стр. 248−250): пакет смещается со скоростью частицы и расплывается в пространстве по мере продвижения. В этом и состоит главная трудность де-бройлевского подхода: трудно объяснить, что же такое эта волна, "описывающая" движение частицы. Успешное объяснение волновых свойств частицы сопровождается непреодолимыми трудностями при попытке описать движение частицы в пространстве, даже свободном от "препятствий".

37

ГЛАВА 5. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА § 5.1. Неопределенность значений координаты и импульса частицы Первый "намёк" на необычное поведение частицы при попытке измерить одновременно значения её координаты и импульса мы получили при анализе распространения одномерного волнового пакета (4.18): ограничение волновой функции в пространстве (∆x ~ ∆ в (4.18)) привело немедленно к ограничению значений импульса (4.24):

∆p ≥

h . ∆x

(5.1)

К такому результату пришел В. Гейзенберг, анализируя мысленный эксперимент по измерению координаты частицы с помощью "гамма-микроскопа", т.е. по рассеянию

фотонов

на

частице

(W. Heisenberg,

1927 г.).

С

тех

пор

неравенство (5.1) носит название соотношения неопределенностей Гейзенберга. Это неравенство вскоре было строго доказано на основе квантовомеханического подхода и развитого к тому времени аппарата операторов в квантовой механике (H.P. Robertson, 1929 г.). Результат (5.1) становится понятным, как только мы вспомним о волновых свойствах частицы. Действительно, для любой волны существует соотношение между её протяженностью (шириной функции в пространстве) и шириной спектра волновых чисел

∆k ⋅ ∆ x ~ π, k =

2π , λ

(5.2)

известное из акустики и электродинамики ещё до возникновения квантовой механики. Этот результат следует немедленно из спектрального (Фурье-) анализа сигналов, в чем мы, собственно, и убедились в § 4.5. Подставляя в (5.2) λD =

2 πh , p

38

найдем ∆k = − 2 π

∆λ D ∆p = , или ∆p ⋅ ∆ x ~ πh . h λ2D

Строгий результат, записанный в традиционной форме, имеет вид ∆p ⋅ ∆x ≥ h .

(5.3)

Ясно, что в трехмерном случае имеют место три аналогичных неравенства для всех трёх степеней свободы.

§ 5.2. Соотношение неопределенностей энергии и времени Используя, аналогично (5.2), утверждение об ограниченности спектра волнового сигнала конечной длительности ∆ω ⋅ ∆t ~ π , немедленно приходим к соотношению между неопределенностями значений энергии частицы − волны ε = hω и длительности измерения этой энергии:

∆ε ⋅ ∆t ~ πh , которое принято записывать в форме, аналогичной (5.3):

∆ε ⋅ ∆t ≥ h .

(5.4)

§ 5.3. Принцип дополнительности Соотношения неопределенностей имеют фундаментальный характер. По существу, это математическая формулировка принципа дополнительности Бора (N. Bohr, 1927 г.). Сам принцип в разное время трактовался несколько по-разному. В одном из вариантов измерительный прибор и объект рассматривались как единая квантово-механическая система, вследствие чего любое измерительное устройство воздействует на исследуемый объект, изменяя его состояние. Современная

трактовка

более

категорична:

в

соответствии

с

соотношениями неопределенности получение информации (измерение) об одних параметрах квантового объекта неизбежно сопровождается частичной потерей

39

информации

о

других

параметрах

(связанных

с

первыми

параметрами

соотношениями неопределенностей). Такова "плата" в природе за получение информации. Задача 5.1. Оценить квантово-механический предел точности измерения импульса электрона по радиусу кривизны его траектории в магнитном поле. Численные оценки проделать для электронов в Большом Электрон-Позитронном Коллайдере (Large Electron-Positron Collider − LEP), приняв энергию электронов примерно равной 100 ГэВ и радиус кривизны траектории 2,8 км. Импульс частицы и радиус кривизны её траектории в магнитном поле связаны соотношением, которое следует из равенства

γ

mv 2 e = vB , R c

откуда pc = eBR, где

p = γmv.

(5.5)

Если R измеряется с ошибкой ∆R, то, очевидно, точность измерения импульса (считая, что поле известно с абсолютной точностью) есть ∆p =

eB ⋅ ∆R . c

С другой стороны, согласно (5.3) ∆p ≥ h ∆R . Исключив из обоих соотношений ∆R, а с помощью (5.5) и В, найдем: ∆p ≥

hp . R

(5.6)

Соответственно, значение R можно, не чувствуя квантовых ограничений, измерять с точностью ∆R ~

hR . p

(5.7)

Подстановка значений p и R дает

∆ε ≈ ∆p ⋅ c ≥

∆R ~

6,6 ⋅ 10 −16 эВ ⋅ с ⋅ 1011 эВ ⋅ 3 ⋅ 1010 см с ≈ 2,7 эВ, 2,8 ⋅ 105 см

o 6,6 ⋅ 10 −16 эВ ⋅ с ⋅ 2,8 ⋅ 105 см ⋅ 3 ⋅ 1010 см с ≈ 445 A . 11 10 эВ

Такие точности недоступны (пока) современной технике ускорителей заряженных частиц, поэтому в данном случае квантово-механические ограничения не сказываются заметно на возможностях постановки эксперимента.

40

В 2000 году LEP закончил свою работу и ему на смену в том же туннеле сооружается Большой Адронный Коллайдер (Large Hadron Collider − LHC), в котором протоны будут ускоряться до энергии 7 ТэВ. Для этой энергии оценки (5.6), (5.7) дадут, соответственно, o

∆p ⋅ c ≈ 22,5 эВ и ∆R ≈ 53 A .

Задача 5.2. Оценить размер атома водорода, пользуясь соотношениями неопределенностей, т.е.

считая, что электрон в основном состоянии "размазан" по сферическому слою, концентрическому с ядром и имеющему толщину ∆r ~ Ratom (см. подробнее 13.3). Из условия стационарности орбиты электрона в атоме Бора (см. (2.2), &r& = 0 ) mv 2 Ze 2 = 2 r r

находим p 2 r = me 2 .

Подставив сюда p = ∆p =

h h ~ ∆r Ratom

и r ≈ Ratom , получим Ratom ~

h2 ≡ R Bohr . me 2

Задача 5.3. Оценить ширину уровня метастабильного состояния 2S1/2 атома водорода, время

жизни которого 1/7 секунды (см. раздел 17.1).

∆ε ~

h ≈ 4 ⋅ 10 −15 эВ . τ

Задача 5.4. Переносчиком сильного взаимодействия нуклонов в ядре являются пи-мезоны, масса

которых 139,57 МэВ/с2. Оценить характерный радиус действия ядерных сил. Можно

представить

себе

простейшую

модель

взаимодействия

двух

нуклонов,

"перебрасывающихся" пи-мезонами. Такие пи-мезоны могут возникать "виртуально" на время ∆t, не нарушающее соотношение неопределённостей (5.4): ∆t
> δ x в среднем по интервалу равна dx a , в полном соответствии с ожиданиями классической механики: dx

dP

dx

x ⎞ dx δx →0 dx ⎛ = ⎜1 − cos 2π ⎟ ⋅ ⎯⎯⎯→ . δx ⎠ a a ⎝

Аналогично обстоит дело с дискретностью значений импульса (6.22). Это условие означает, что в ящик шириной а "влезает" целое число полуволн де Бройля: a=n

λ πh =n D . 2 p0

При h → 0 ( λ D → 0 ) имеем n → ∞ , и условие дискретности "размывается": для любых p0 и a найдется такое n >> 1, что условие (6.22) будет удовлетворено.

§ 6.3. Принцип суперпозиции состояний В электродинамике известен принцип суперпозиции электромагнитных полей зарядов и токов − это экспериментальный факт, следствием которого является линейность уравнений Максвелла: входящие в них компоненты r r r r r электромагнитного поля E , D , B , H , плотности заряда ρ и тока j присутствуют в первой степени. Аналогичный принцип суперпозиции действует и в квантовой механике. И, поскольку "роль" поля (вектора-потенциала в волновом уравнении), как мы r видели, играет волновая функция ψ (r , t ) , то можно сформулировать принцип суперпозиции: Пусть квантовая система (частица, совокупность частиц) может находиться в N различных состояниях, каждое из которых описывается своей волновой функцией ψ n. Тогда эта система может быть обнаружена и в состоянии, которое описывается функцией ψ, представляющей собой линейную комбинацию волновых функций ψ n: 51

N r r ψ (ri , t ) = ∑ Cn ψ n (ri , t ) ,

(6.25)

n =1

r где ri − радиус-вектор i-ой частицы, входящей в систему из Nparticle частиц,

i = 1, 2, …, Nparticle. Коэффициенты Сn – вообще говоря, комплексные числа. Их называют амплитудами состояний ψn. Соответственно, вероятность обнаружить систему в одном из N состояний в момент t есть 2

dPn = ∫ C n ψ n ⋅ dV ,

(6.26)

r где dV − элемент объема в окрестностях точек rn , один и тот же по величине для

каждой точки. Примером физической системы может служить атом Бора (§ 2.2): как мы видели, каждому радиусу rn (2.4) соответствует одно из возможных состояний атома водорода. Условие нормировки ψ N то же, что и для ψ-функции простой системы:

∫ ψN

2

dV = 1 .

(6.27)

V

Подставив сюда (6.25), найдем: 2

N

N

2

1 = ∫ ψ N dV = ∑ ∫ Cn ψ n dV + ∑ ∫ CnCm∗ ψ mψ∗n dV , V

n =1

(6.28)

m ≠ n =1

где индекс * обозначает комплексно-сопряжённую величину. Как мы увидим ниже (раздел 8.4), в системе, состоящей из независимых состояний интегралы от перекрестных членов ψ m ψ ∗n равны нулю. Это, как мы узнаем дальше, так называемое условие ортогональности волновых функций (см. (8.18) ниже). Поэтому в условии нормировки (6.28) остаётся только первая сумма:

∑ Cn ∫ ψ n n =1 2

2

⋅ dV = 1.

Волновые функции возможных состояний удобно также нормировать на единицу:

∫ ψn

2

dV = 1.

В результате условие нормировки волновой функции системы принимает вид 52

∑ Pn = 1,

где

Pn = Cn

2

(6.29)

n

− вероятность обнаружить систему

в состоянии n. Другим примером

представления ψ-функции системы в виде суперпозиции состояний является волновой пакет (§§ 4.3 – 4.5): мы представили его ψ-функции в виде разложения в интеграл Фурье по монохроматическим (моноэнергетическим) волнам (4.19). Это типичный случай набора состояний – в данном случае отличающихся значением импульса-энергии.

ГЛАВА 7. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРА § 7.1. Плотность потока вероятности В гидродинамике, газодинамике, электродинамике известны и широко используются так называемые уравнения непрерывности. Они отражают экспериментальный факт сохранения массы (гидро- и газодинамика) или заряда (электродинамика). Физический смысл этих уравнений достаточно прост: изменение массы (заряда) внутри некоторого заданного объема равно потоку массы (заряда) через поверхность, ограничивающую этот объем (рис. 7.1).

V

r dS

r j

Рис. 7.1. Поток вещества из объема V

53

Соответственно, уравнение, описывающее этот закон сохранения, имеет вид: dQ =I, dt

−

(7.1)

где Q − масса (заряд), содержащаяся в объеме V, I − поток (ток) вещества (заряда) через граничную поверхность. Знаки выбраны так, что поток считается положительным, если вещество (заряд) вытекает из объема, т.е. масса (заряд) убывает. Очевидно

(

)

r r I = ∫∫ j , dS ,

Q = ∫ ρ ⋅ dV , V

(7.2)

V

где ρ − плотность вещества (заряда), r r j = ρv ,

(7.3)

r r j − плотность потока (тока), v − скорость движения вещества (заряда). Подставив

соотношения (7.2) в (7.1), получим уравнение непрерывности в интегральной форме: −

(

)

r r r r d ( ) ( ) ρ r , t ⋅ dV = j r , t , d S . ∫∫ d t V∫ S

(7.4)

Используя известное равенство (теорема Остроградского−Гаусса в математике) r r r j , S = div (7.5) ∫∫ ∫ j ⋅ dV ,

( )

S

V

получим из (7.4) уравнение непрерывности в дифференциальной форме:

r ∂ρ div j + =0. ∂t Естественно

поставить

вопрос,

как

(7.6) должно

выглядеть

уравнение

непрерывности в квантовой механике? "Подсказку" найдем, вспомнив, что r 2 ψ (r , t ) есть плотность вероятности (см. (6.16)). Очевидно, что ∂ψ ∂t

2

r = −div jψ ,

(7.7)

r где jψ − плотность потока вероятности, которую еще предстоит определить.

Смысл этого выражения тот же, что и уравнений непрерывности для массы или 54

r заряда: изменение вероятности обнаружения частицы в окрестности точки r в

момент времени t равно потоку вероятности через поверхность, охватывающую эту точку. Найти

выражение

r jψ

для

можно,

воспользовавшись

уравнением

Шрёдингера (6.15). Записав его для ψ-функции, произведём затем операцию его комплексного сопряжения. Получим два уравнения: ih

r ∂ψ h2 =− ⋅ ∆ψ + U (r , t ) ⋅ ψ, ∂t 2m

− ih

r h2 ∂ψ ∗ =− ⋅ ∆ψ ∗ + U (r , t ) ⋅ ψ ∗ . ∂t 2m

Умножив первое уравнение на ψ ∗ , а второе на ψ и вычитая затем одно полученное равенство из другого, найдем ∂ ih ψ ∂t

2

(

)

h2 = ψ∆ψ ∗ − ψ ∗ ∆ψ . 2m

(7.8)

Чтобы придать этому равенству вид уравнения непрерывности (7.7), преобразуем скобку в правой части, использовав равенство

(

)

ψ ⋅ ∆ψ ∗ − ψ ∗ ⋅ ∆ψ ≡ ∇ ψ ⋅ ∇ψ ∗ − ψ ∗ ⋅ ∇ψ .

(7.9)

В его справедливости легко убедиться, продифференцировав правую часть. Теперь уравнению (7.8) можно придать вид: ∂ψ ∂t

2

=−

(

)

ih ⋅ div ψ ⋅ ∇ψ ∗ − ψ ∗ ⋅ ∇ψ . 2m

(7.10)

Таким образом, величина

(

r ih jψ = ⋅ ψ ⋅ ∇ ψ ∗ − ψ ∗ ⋅ ∇ψ 2m

)

(7.11)

и есть плотность потока вероятности.

Задача 7.1. Найти плотность потока вероятности для монохроматической волны де Бройля (4.5). rr r Подставив ψ (r , t ) = A ⋅ e i ( pr −δt ) h в (7.11), найдем

55

r r p 2 r 2 jψ = A = v0 ⋅ A . m 2

Учитывая, что A − плотность вероятности, получаем, что вероятность обнаружить частицу r "движется" со скоростью v0 .

Нетрудно убедиться, что волна rr r ψ (− ) (r , t ) = A ⋅ e −i ( pr −ε t h )

даст поток плотности вероятности в обратном направлении: r (− ) r 2 jψ = − v 0 A .

О неопределенности амплитуды А мы уже говорили в начале § 4.4.

Задача 7.2. Найти плотность потока вероятности для волнового пакета (4.27). Аналогично предыдущей задаче с учетом нормировки (6.19) найдем jψ ( x ) =

∂ψ ⎞ ih ⎛ ∂ψ ∗ ⎜⎜ ψ ⋅ ⎟= − ψ∗ ⋅ ∂x ∂ x ⎟⎠ 2m ⎝

v0

π ⋅ ∆(t )

⋅ e −( x−v0t )

2

∆ 2 (t )

.

В правой части скорость v0 > 0, т.е. поток вероятности направлен в положительном направлении оси x.

r Если потенциал U (r ) в уравнении Шрёдингера не зависит от времени, то

можно искать решение в виде r r ψ (r , t ) = ψ (r ) ⋅ e −iεt h .

(7.12)

Подставив это решение в (6.15) и сократив на экспоненту, найдём уравнение для r ψ (r ) : r 2m r r ∆ψ (r ) = 2 [U (r ) − ε]⋅ ψ (r ) . h

(7.13)

Подчеркнем достаточно общий характер этого уравнения: оно справедливо для r любого U (r ) , не зависящего от времени − это так называемое стационарное уравнение Шрёдингера (чтобы не возникало путаницы при ссылке на уравнение Шрёдингера, уравнение (6.15) в отличие от (7.13) называют временным уравнением Шрёдингера). В случае одномерного потенциала U ( x ) уравнение имеет вид

56

d 2 ψ ( x ) 2m = 2 ⋅ [U (x ) − ε]⋅ ψ ( x ) . d x2 h

(7.14)

Сформулируем условия поведения ψ-функции на границе двух областей, или, как их принято называть, граничные условия. Таких условий два, и в одномерном случае они имеют вид ψ1 (0) = ψ 2 (0 ), dψ1 dx

= x =0

dψ 2 dx

(7.15)

, x =0

т.е. ψ-функция и её производная непрерывны на границе раздела двух областей. Первое условие следует из очевидных физических соображений: вероятность обнаружить частицу на границе раздела областей не зависит от направления подхода к этой границе – из области 1 или из области 2. Второе условие (7.15) следует из уравнения непрерывности (7.10) в случае стационарной задачи ( ∂ ∂t = 0 ). Действительно, записав r div jψ = 0 , имеем в одномерном случае djψ ( x ) dx

= 0, или

jψ1 (0) = jψ2 (0) .

Подставив сюда значение jψ из (7.11), получим:

ψ1 (0) ⋅

∂ψ1∗ ∂x

− ψ1∗ (0) ⋅ x =0

∂ψ1 ∂x

= ψ 2 (0 ) ⋅ x =0

∂ψ ∗2 ∂x

− ψ ∗2 (0) ⋅ x =0

∂ψ 2 ∂x

. x =0

С учетом первого из равенств (7.15) находим отсюда и второе. Условия (7.15) иногда называют "стандартными требованиями" к волновой функции, и в наиболее общем случае они формулируются так: волновая функция должна быть однозначна, конечна, непрерывна, и иметь непрерывную первую производную во всей области своего определения. Задача 7.3. Найти коэффициенты отражения и прохождения потока монохроматических частиц с энергией ε, падающих на границу "скачка потенциала" (рис. 7.2).

57

а)

V0 e, m 2

1

Рис. 7.2. Движение частиц внутри трубок дрейфа, разделенных сетками (а), и распределение потенциала вдоль оси трубок (б).

Vx

б) V0 0

x

Потенциальная энергия частицы при переходе из левой трубки в правую изменяется от нуля (левая трубка "заземлена" до U = eV0, где V0 − потенциал правой трубки. Можно считать переходную область очень короткой и "сшивать" решения для трубок 1 и 2. Будем искать решение уравнения Шрёдингера (6.15) для потенциальной энергии x < 0, ⎧0, U (x ) = U = const, U = ⎨ U eV x>0 ≡ , 0 ⎩ 0

в виде ψ1, 2 (x, t ) = A1, 2 ⋅ ψ1, 2 (x ) ⋅ e − iε t h .

В рассматриваемой задаче U(x) = const (нуль или U0). Поэтому решение ищем в виде ψ (x ) = A ⋅ e κx .

Подстановка в (7.13) дает характеристическое уравнение для κ(x): κ(x ) = ± 2m[U (x ) − ε ] h .

Возможны 2 случая: ε > U0 и ε < U0. Начнем с первого. а) ε > U0. В этом случае κ − мнимая величина при любом x. Введем обозначение κ(x ) = ±ik = ± i 2m(ε − U (x )) h .

(7.16)

Соответственно, решение в областях (трубках) 1 и 2 имеет вид: ψ1 (x ) = A1 ⋅ e ik0 x + B1 ⋅ e −ik0 x , ψ 2 (x ) = A2 ⋅ e

ikx

+ B2 ⋅ e

−ikx

,

2mε , h 2m(ε − V0 )

k0 = k=

h

(7.17) .

Оба параметра k0 и k − действительные величины. Коэффициенты А1, 2 и В1, 2 находим, используя условия на ψ-функцию на границе раздела 1 и 2. Подставив решение ψ1, 2 (x) из (7.17) в (7.15), найдем:

58

A1 + B1 = A2 + B2 , A1 − B1 =

k ( A2 − B2 ). k0

Нам не хватает еще двух уравнений, чтобы найти все коэффициенты А и В. Одно из недостающих уравнений заменяет условие, которое следует из физического смысла задачи: в трубке 2 частицы движутся только в одном направлении − вправо, т.к. нет никаких "причин" для существования встречного потока. Поэтому (см. задачу 7.1) коэффициент В2 − амплитуду встречной волны в трубке 2, следует положить равным нулю. Далее выразим коэффициенты В1 и А2 через А1 (опустив для краткости индекс 1): A2 =

2k 0 k −k ⋅ A, B1 = 0 ⋅A. k0 + k k0 + k

Соответственно, ⎛ k − k −ik0 x ⎞ ⎟⎟, ψ1 (x ) = A⎜⎜ e ik0 x + 0 ⋅e k 0 +k ⎝ ⎠ 2k 0 ψ 2 (x ) = A ⋅ ⋅ e ikx . k0 + k

Отсюда следует, что в области 1 существует два потока (см. задачи 7.1, 7.2): jψ(+1 ) = A ⋅ 2

k0h , m

2

kh 2 ⎛k −k ⎞ ⎟⎟ ⋅ 0 , jψ(−1 ) = − A ⋅ ⎜⎜ 0 k k + ⎝ 0 ⎠ m

а в области 2 только один: (+ )

jψ 2

2

⎛ 2k 0 ⎞ kh ⎟⎟ ⋅ . = A ⋅ ⎜⎜ ⎝ k0 + k ⎠ m 2

Нетрудно видеть, что при переходе из области 1 в область 2 полный поток сохраняется: j ψ(+1 ) + j ψ(−1) = j ψ(+2) . Знак "минус" в выражении для jψ(−1 ) означает, что этот поток направлен против оси x, навстречу падающему потоку

jψ(+1 ) , т.е. является отраженным потоком. Поток

jψ(+2) −

проходящий.

Коэффициенты отражения и прохождения, соответственно, равны j ψ(−1)

2

2

⎛1− 1− u ⎞ ⎛k −k⎞ ⎟ , ⎟ =⎜ σ r = (+ ) = ⎜⎜ 0 ⎟ ⎜1+ 1− u ⎟ j ψ1 ⎝ k0 + k ⎠ ⎝ ⎠ (+ ) jψ 4k 0 k 4 1− u σ t = (+2) = = , 2 j ψ1 (k 0 + k ) 1 + 1 − u 2 U u = 0 < 1, σ r + σ t = 1. ε

(

)

(7.18)

Отметим, что отражение становится заметным при ε ≈ U0 (u ≈ 1) и при этом падает коэффициент прохождения (рис. 7.3). Коэффициенты σr и σt сравниваются при

59

( )

( )

u = u ∗ = 0.9705, σ r u ∗ = σ t u ∗ = 0.5.

Наконец, частицы полностью отражаются (σt = 0, σr = 1) при ε = U0 (u = 1). Этот результат совпадает с классическим – частица не может проникнуть в область, где её кинетическая энергия полностью перешла в потенциальную. Тем не менее, возникает вопрос о природе отражённого потока при ε > U0. Это чисто квантовое явление, не наблюдаемое в классической механике. Мы вернёмся к этому вопросу в следующем параграфе. б) ε < U0. Теперь κ − мнимая величина в области 1 и действительная в области 2: x < 0, ⎧± ik 0 , ⎪ κ(x ) = ⎨ 2m(U 0 − ε ) , x > 0. ⎪± κ = ± h ⎩

(7.19)

Параметр k0 определен в (7.17). Соответственно, вместо решения (7.16) имеем: ψ1 (x ) = A1 ⋅ e ik0 x + B1 ⋅ e −ik0 x ,

(7.20)

ψ 2 (x ) = A2 ⋅ e κx + B2 ⋅ e − κx .

Теперь

нужно

отбросить

положительную

экспоненту

в

выражении

для

ψ 2 (x ),

т.к.

экспоненциальное нарастание вероятности присутствия частицы в области 2 не имеет физического смысла. Из граничных условий (7.15) найдем A1 + B1 = B2 , A1 − B1 = −

κ ⋅ B2 . ik 0

Отсюда B2 =

2k 0 k − iκ ⋅ A, B1 = 0 ⋅ A. k 0 + iκ k 0 + iκ

Таким образом, коэффициенты А1, В1, В2 получаются из коэффициентов предыдущего случая заменой k → iκ. Решение (7.20) можно записать в окончательном виде: ⎛ k − iκ −ik0 x ⎞ ⎟⎟, ψ1 (x ) = A ⋅ ⎜⎜ e ik0 x + 0 ⋅e k 0 + iκ ⎝ ⎠ 2k 0 ψ 2 (x ) = A ⋅ ⋅ e − κx . k 0 + iκ

(7.21)

Потоки вероятности существуют только в области 1, причем прямой и обратный потоки равны по абсолютной величине: jψ(+1 ) = A 2 ⋅

k0h = − jψ(−1 ) , m

60

jψ 2 = 0 .

Читателю, несомненно, доставит удовольствие самостоятельно получить значения вероятности обнаружить частицу в областях 1 и 2: ψ 1 (x ) = 2 A ⋅ [1 + cos (2k 0 x − α )], 2

tgα =

2

2k 0 κ 2 u −1 = , 2−u k 02 − κ 2

ψ 2 (x ) = 4 A ⋅ 2

2

(7.22)

k 02 U 2 1 ⋅ e − 2 κx = 4 A ⋅ e − 2 kx , u = 0 ≥ 1. ε u k + κ2 2 0

Частицы проникают в область 2 на глубину

x ~ 1 (2κ ) (рис. 7.4). Значение вероятности

обнаружить частицу в точке на границе (x = 0) зависит от соотношения ε и U0: ψ (0)

2

2

=4A ⋅

ε 2 ≤4A . U0

σ(u) 1.0

(7.23)

ψ (x )

2

4A

2

σt 1.0

0.5

ε/U0

σr 0.5

*

u

1.0

x

u

Рис. 7.3. Зависимости σr(u) и σt(u) при

Рис. 7.4. Зависимость ψ(x ) для случая

ε > U0 (7.18); u* = 0,9705

ε < U0 (7.22)

2

§ 7.2. Прохождение потенциального барьера. Туннельный эффект Если область ненулевого потенциала имеет ограниченную протяженность вдоль оси x, то следует искать решение уравнения Шрёдингера в трёх областях, две из которых имеют нулевой потенциал. Подобное распределение потенциала называют потенциальным барьером (рис. 7.5). Качественно поведение функций ψ (x) и ψ( x )

2

можно понять, в этом случае, воспользовавшись результатами

предыдущего параграфа и задачи 7.3. В случае, когда энергия частицы превышает максимальное значение потенциальной энергии, ε > Umax, частицы преодолевают барьер, отражаясь от 61

него с некоторой вероятностью, т.е. σ t ≤ 1, σ r x2. Это означает, что коэффициент прохождения, или коэффициент прозрачности потенциального барьера σt отличен от нуля. По порядку величины его значение можно оценить, воспользовавшись соотношениями (7.22): σt ~

a)

ψ 2 (a ) ψ1 (0)

2 2

~ e −2 κl , κ =

1 , l = x2 − x1. DU

(7.25)

U(x) Umax ε 0 x1

x2

a

x Рис. 7.5. Потенциальный барьер (а)

б)

ψ (x )

x1

и качественная зависимость ψ (x )

2

2

для случая ε < Umax (б)

x2

x

В случае потенциального барьера прямоугольной формы (рис. 7.6) возможно

строгое

решение

(задача 7.4),

дающее

результат,

качественно

совпадающий с (7.25) при λU > 1). Более точную формулу для σt можно получить, воспользовавшись методом ВКБ (§ 7.3 и формула (7.50)). 62

Задача 7.4. Найти коэффициент отражения и прохождения частиц с энергией ε, падающих на "прямоугольный" потенциальный барьер (рис. 7.6):

U(x) Рис. 7.6. Функция потенциальной энергии

U(0) 1

2 0

3 a

U(x) (7.26) − "потенциальный барьер"

x

⎧0, x < 0, ⎪ U (x ) = ⎨U 0 , 0 < x < a, ⎪0, a < x. ⎩

(7.26)

Такое распределение потенциальной энергии частицы имеет место в устройстве из трех трубок, аналогичных изображенным на рис. 7.2, две крайние из которых имеют нулевой потенциал ("заземлены"), а средняя − потенциал V0 = U0 /e. Решение уравнения Шрёдингера для каждой из трех областей определения функции U(x) (7.26) запишем аналогично (7.16) и (7.20), начав со случая ε < U0. а) ε < U0: ψ 1 (x ) = A1 ⋅ e ik0 x + B1 ⋅ e − ik0 x , ψ 2 (x ) = A2 ⋅ e

κx

+ B2 ⋅ e

ψ 3 (x ) = A3 ⋅ e

k 0 = 2mε h,

ik 0 x

− κx

,

x < 0, 0 < x < a, a < x,

,

(7.27)

κ = 2m(U 0 − ε ) h .

В решении ψ3(x) оставлена только волна, распространяющаяся в положительном направлении оси x: здесь, как и в задаче 7.3, при x > 0 нет препятствий, порождающих отраженную волну. В области 2 решение содержит нарастающую экспоненту, т.к. размер области ограничен и, стало быть, величина этого слагаемого также ограничена, нет оснований для его исключения, как это сделано в задаче 7.3, б. Условия непрерывности ψ (x) и её производных на границах областей 1−3 дают: ψ1 (0) = ψ 2 (0) → A1 + B1 = A2 + B2 , ψ1′ (0) = ψ′2 (0) → ik 0 ( A1 − B1 ) = κ( A2 − B2 ),

ψ 2 (a ) = ψ 3 (a ) → A2 ⋅ e κa + B2 ⋅ e − κa = A3 ⋅ e ik0a ,

(

(7.28)

)

ψ′2 (a ) = ψ′3 (a ) → κ A2 ⋅ e κa − B2 ⋅ e κa = ik 0 A3 ⋅ e ik0a .

Мы получили четыре уравнения, содержащие пять амплитуд А1, В1, А2, В2, А3. Выразим четыре из них через амплитуду исходной (падающей) волны (сняв для краткости записи индекс "1"):

63

А1 ≡ А. Вначале исключим А3 из 3-го и 4-го уравнений (7.28). Найдем κ − ik 0 ⋅ A2 ⋅ e 2 κa . κ + ik 0

B2 =

(7.29)

Затем исключим В1 из 1-го и 2-го уравнений, получим A2 =

(k

ik 0 (κ + ik 0 )

)

− κ ⋅ shκa + 2ik 0 κ ⋅ chκa

2 0

2

⋅ e − κa ⋅ A .

Подставив этот результат в (7.29), найдем В2, а из первого и третьего уравнений (7.28) найдем, зная А2 и В2, амплитуды В1 и А3. В результате имеем:

(k

B1 =

2 0

)

+ κ 2 ⋅ shκa ⋅ A, Dκ

ik 0 (κ + ik 0 ) − κa ⋅ e ⋅ A, Dκ

A2 = B2 =

ik 0 (κ − ik 0 ) κa ⋅ e ⋅ A, Dκ

A3 =

2ik 0 κ −ik0 a ⋅e ⋅ A, Dκ

(

(7.30)

)

Dκ = k 02 − κ 2 ⋅ shκa + 2ik 0 κ ⋅ chκa.

Вычислим теперь значения вероятностей и коэффициентов отражения/прохождения. Вычисления эти достаточно громоздки и требуют определенного терпения. ψ1 (x ) = A + AB1∗ ⋅ e 2ik0 x + A∗ B1 ⋅ e −2ik0 x + B1 = 2 A ⋅ 2

{[

2

(

2

]

)

2

(k

2 0

+ κ2

Dκ

2

)×

}

× k + κ + k − κ ⋅ cos 2k0 x ⋅ sh κa − k 0 κ ⋅ sh 2 κa ⋅ sin 2k 0 x + 2k02 κ 2 , 2 0

2

2

(

2 0

2

)

2

2

Dκ = k 02 + κ 2 ⋅ sh 2 κa + 4k02 κ 2 ; σr =

jψ(−1 )

= jψ(+1 )

[(k

2 0

)

+ κ 2 ⋅ shκa Dκ

ψ 2 (x ) = 2 ⋅ A ⋅ k 02 2

2

ψ 3 (x ) = A ⋅ 2

2

]

2

2

(k

2 0

, σt =

)

= jψ(+1 )

(2k0 κ )2 ,

(

Dκ

2

+ κ 2 ⋅ ch 2κ(x − a ) − k 02 − κ 2 Dκ

(2k0 κ )

jψ(+3)

2

(7.31)

),

2

Dκ

2

.

Нетрудно убедиться, что σ r + σt = 1 .

(7.32)

Из соотношений (7.31) видно, что параметром, характеризующим "прозрачность" барьера, является произведение κа. Асимптотики коэффициентов отражения и прохождения имеют вид:

64

⎛ k 2 + κ2 κ a > 1, σ r ≈ 1 − 8 ⋅ ⎜⎜ 2 0 2 ⎝ k0 + κ

(7.33)

Таким образом, полученный результат подтверждает оценку (7.25). Запишем, наконец, значения ψ 1, 2, 3 (x ) κa >> 1, ψ 1 (x )

2

ψ 2 (x )

2

ψ 3 (x )

2

ψ 1 (0)

2

ψ 2 (a )

2

Dκ

2

≈

2

при больших κа ("слабопрозрачный" барьер):

k 02 + κ 2 2 κa ⋅e , 4

⎫ k 2 − κ2 2k κ 2 ⎧ ≈ 2 A ⋅ ⎨1 + 02 ⋅ cos 2k 0 x − 2 0 2 ⋅ sin 2k 0 x ⎬, 2 k k + κ + κ 0 0 ⎩ ⎭ 2 2 2 ⎧ k k − κ ⎫ − 2 κa 2 ≈ 8 A ⋅ 2 0 2 ⋅ ⎨ch 2κ(x − a ) − 02 , ⎬⋅e k0 + κ ⎩ k0 + κ 2 ⎭ 2

⎛ k κ ⎞ ≈ 16 A ⋅ ⎜⎜ 2 0 2 ⎟⎟ ⋅ e − 2 κa , ⎝ k0 + κ ⎠ k2 2 2 ≈ 4 A ⋅ 2 0 2 ≈ ψ 2 (0 ) , k0 + κ

(7.34)

2

⎛ k κ ≈ 16 A ⋅ ⎜⎜ 2 0 2 ⎝ k0 + κ 2

2

⎞ ⎟ ⋅ e − 2 κa ≈ ψ 3 (a ) 2 . ⎟ ⎠

На этих асимптотических выражениях легко прослеживается характер поведения

ψ(x ) , 2

показанный качественно на рис. 7.5. б) ε > U0: ψ 1 (x ) = A ⋅ e ik0 x + B ⋅ e − ik0 x , ψ 2 (x ) = A2 ⋅ e ψ 3 (x ) = A3 ⋅ e k0 =

− ikx

ikx

+ B2 ⋅ e

ik 0 x

, a < x,

2mε , k= h

x < 0, , 0 < x < a,

2m(ε − U 0 ) h

(7.35) .

Легко заметить, что решение (7.27) переходит в (7.35) при замене

κ → ik.

(7.36)

Соответственно, все результаты пункта "а", преобразованные с заменой κ на ik, дают решение для случая "б". Ограничимся анализом коэффициентов отражения и прохождения. При подстановке (7.36) в соотношения (7.31) найдем:

65

σr = σt = Dκ

2

[(k

2 0

)

− k 2 ⋅ sin ka Dκ

]

2

2

,

(2k 0 k )2 , Dκ

(

(7.37)

2

= k 02 − k 2

)

2

⋅ sin 2 ka + (2k 0 k ) . 2

Этот результат принципиально отличается от результата подобной задачи в классической механике: при ε > U0 существует, вообще говоря, вероятность отражения частицы от потенциального барьера, т.е. σr > 0! В то же время, имеют место режимы "полной прозрачности" барьера: σ r = 0, σ t = 1 при ka = nπ, n = 1, 2, K

(7.38)

или a=n

λU , λU = 2

2π h

2m(ε − U )

.

(7.39)

Это явление "резонансной прозрачности" наблюдается в физике электромагнитного излучения (в т.ч., в оптике), и механизм такой избирательной прозрачности используется в так называемых

интерференционных фильтрах.

Явление

проникновения

частиц

сквозь

потенциальный

барьер,

превышающий их кинетическую энергию, называется туннельным эффектом. Это явление имеет волновое происхождение. Так, в физике электромагнитного излучения (в т.ч. оптике) известен эффект прохождения излучения через щель между двумя средами (А и В (рис. 7.7)) при падении излучения на границу раздела двух сред под углом полного внутреннего отражения. Если ширина щели порядка длины волны излучения, оно частично проникает в среду В.

A

n=1

2 θ θ

n>1

d

Рис. 7.7. Туннельный эффект при распространении электромагнитной волны в среде с изменяющимся показателем преломления n: 1, 2 – падающий и отражённый лучи, 3 – проходящий луч, sin θ = 1 n – полное внутреннее отражение, λ ∼ d.

B

n>1 3

1

Туннельный

эффект

был

открыт

в

1927 г.

М.А. Леонтовичем

и

Л.И. Мандельштамом как результат анализа решения уравнения Шрёдингера. 66

Правда, принятое теперь название этого явления появилось позднее. Это открытие было не случайным, т.к. Л.И. Мандельштам был хорошо знаком с оптическим

эффектом

"туннелирования"

света

при

полном

внутреннем

отражении (рис. 7.7)*)

§ 7.3. Метод ВКБ* Случай "прямоугольного" потенциального барьера, рассмотренный в задаче 7.4, является достаточно частным, когда удаётся найти точное решение уравнения Шрёдингера в аналитических функциях. В квантовой механике в середине 20-х годов был предложен метод ВКБ решения уравнения Шрёдингера для случая гладкой потенциальной функции. Метод получил своё название по заглавным буквам фамилий его авторов: – Г. Венцеля (G. Wentzel), Х. Крамерса (H. Kramers) и Л. Бриллюэна (L. Brillouin). В методе ВКБ решение стационарного уравнения Шрёдингера (7.14) ищут в виде волны де Бройля, амплитуда и фаза которой есть действительные функции координат:

ψ ( x ) = A( x ) ⋅ e iϕ( x ) , 1 ϕ( x ) = ∫ p( x ) ⋅ d ( x ). h

(7.40)

Перепишем уравнение (7.14), использовав обозначение (7.40):

d 2 ψ (x ) = − k 2 ( x ) ⋅ ψ ( x ), 2 dx

k (x ) = Критерий

гладкости

(7.41)

2m(ε − U ( x )) p(x ) . = h h

(медленного

изменения)

(7.42) функций

U(x)

легко

сформулировать, заметив, что при k(x) = const уравнение (7.41) есть уравнение классического осциллятора. Поэтому функцию U(x) можно считать гладкой, если её изменения на периоде колебаний 2π/k осциллятора мало:

*)

см. Е.Л. Фейнберг, Физики, в серии "Эпоха и личность", М.: ФМ, 2003, 29

67

dU 2π ⋅ > 1.

(7.44)

Подставим решение (7.40) в уравнение (7.41) и сократим экспоненту, входящую сомножителем в каждое из слагаемых. Получим 2 A′′ + 2iϕ′A′ + Aiϕ′′ − A(ϕ′) = − k 2 A .

Здесь штрих означает производную по x. Разделив действительную и мнимую части полученного равенства, придём к системе двух уравнений: A′ ϕ′′ , =− A 2ϕ′

[

]

A′′ − (ϕ′)2 − k 2 ( x ) A = 0 . Интегрирование первого из этих уравнений даёт 1 ln A = − ⋅ ln ϕ′ + ln C , 2 или A( x ) =

C , ϕ′( x )

(7.45)

где С – константа. Второе уравнение можно упростить, используя гладкость функции U(x) (7.44). Записав ϕ′ = k 2 ( x ) +

A′′ , A

учтём, что A′′ 1 ~ > 1, h или λD =

2πh ε, (x1 ≤ x ≤ x2, рис. 7.5), введя обозначение (сравни (7.27)) κ( x ) =

2m(U ( x ) − ε ) = ik ( x ) h

и сохранив, из очевидных физических соображений, только отрицательную экспоненту: x

2 A2 ψ 2 (x ) = ⋅ e −ϕ2 ( x ) , ϕ 2 (x ) = ∫ κ( x ) ⋅ dx, κ( x ) x1

x1 ≤ x ≤ x2 . 69

(7.47)

В областях 1 (x < x1) и 3 (x > x2) решение имеет вид (7.46) при k(x) > 0. Нам предстоит найти, как и в задаче 7.4, коэффициенты А1, В1, А2, А3, В3 в каждой из трёх областей. Для этого нужно было бы воспользоваться граничными условиями (7.15), если бы не одна трудность: условие гладкости (7.44) нарушается в точках остановки классической частицы x = x1, 2, т.к. в этих точках k(x1, 2) = 0. На помощь приходит опять-таки приближённое решение – можно вблизи этих точек воспользоваться разложением функции k(x), ограничившись линейным членом разложения по x: k (x ) ≈

dk dx

(

x = x1, 2

)

⋅ x − x1, 2 .

Можно показать, что в этом случае решение в областях 1 и 3 имеет вид ψ1, 3 ( x ) =

( k (x )

A1, 3 2

⋅e

iϕ1, 3 ( x )

x1

x < x1

и

−iϕ1, 3 ( x )

),

x

π ϕ1 ( x ) = ∫ k ( x ) ⋅ dx + ,

π ϕ3 ( x ) = ∫ k ( x ) ⋅ dx + ,

4

x

+e

x2

4

(7.48)

x > x2 .

Детали вывода этого выражения можно найти в [1], § 47. В точках x1 и x2 функции ϕ1(x1), ϕ2(x1) и ϕ3(x2) а также функции κ(x1, 3) и k(x1, 3) обращаются в нуль. Поэтому граничные условия, записанные для этих точек, дают: x = x1 → A1 ⋅ cos x = x2 → A2 ⋅ e

π = A2 , 4

−ϕ2 ( x2 )

π = A3 ⋅ cos , 4

(7.49)

x2

ϕ 2 ( x2 ) = ∫ κ( x ) ⋅ dx. x1

Отсюда коэффициент прозрачности барьера найдём аналогично (7.31), подставив только положительные экспоненты в выражение

σt =

j3+ ( x2 ) . j1+ ( x1 )

70

Получим (см. (7.11)): j1+ ( x1 ) =

⎛ 1 dk h 2 ⋅ A1 ⎜1 − 2 ⎜ 2k ( x ) dx m 1 ⎝

⎞ ⎟. ⎟ x = x1 ⎠

Здесь возникает следующая трудность, связанная с тем, что k (x1) = 0. Но из условия гладкости (7.44) второе слагаемое везде, кроме точек x1 и x3, мало: dk (x ) 1 k (x ) 1 ~ 2 ⋅ = k) sin ka ≈ 2

k → 0, κ

т.е. ka → nπ, n = 1, 2, 3 K ,

что совпадает с (6.21).

Для вычисления коэффициентов А1,

2, 3

и В2 нужно разрешить уравнения

(7.61) относительно, например, А1 и затем произвести нормировку: ∞

∫

−∞

ψ( x ) ⋅ dx = 2

0

∫

−∞

a

∞

ψ1 ( x ) ⋅ dx + ∫ ψ 2 (x ) ⋅ dx + ∫ ψ 3 ( x ) = 1, 2

0

2

2

a

что и дает значение A1 , а через него и модулей остальных коэффициентов. Выражения для коэффициентов, получающиеся при этом, довольно громоздки и 80

не несут глубокого физического смысла. Заметим только, что в отличие от бесконечно глубокой ямы (задача 6.3 о "ящике") здесь у решения "отрастают" хвосты вероятности присутствия частицы вне ямы − экспоненциально спадающие функции ψ1(x) и ψ2(x). б) ε > 0. Решение в этом случае получим, заменив в задаче 7.4, б) потенциальную энергию U0 на −U0. Соответственно, результаты (7.37) дадут нам значения коэффициентов отражения и прохождения для частицы, "пролетающей" над ямой. Отметим, что в этом случае спектр p значений энергии (импульса) частицы непрерывный. Тем не менее, отражение имеет место и σ r растет с ростом U0, а σ t падает: σt =

1 → 0 при U 0 → ∞, U 0 sin 2 ka +1 (U 0 + ε ) ⋅ ε

(7.70)

σ r = 1 − σt . При этом по-прежнему имеют место режимы "полной прозрачности" (7.38). Сформулируем основные результаты рассмотренной задачи: 1) при ε < 0 существуют, вообще говоря, дискретные значения εn (7.66), при которых частица существует внутри ямы; минимальное значение U0 ограничено условием (7.68); 2) при ε > 0 спектр разрешенных значений энергии непрерывный, но вероятность присутствия частицы внутри ямы существенно ограничена и падает с ростом U0: растет коэффициент отражения; исключение составляют режимы "полной" прозрачности (7.37), когда частица "не замечает" присутствия ямы. Задача 7.5. Найти минимальное значение потенциала U0, при котором электрон захватывается в "яму" протяженностью а = 1Å.

U min =

1 8mc 2

2

2

⎛ π ⋅ 3 ⋅ 1010 см с ⋅ 6,6 ⋅ 10 −16 эВ ⋅ с ⎞ 1 ⎛ πch ⎞ ⎟⎟ = 9,48 эВ . ⋅⎜ ⋅ ⎜⎜ ⎟ = 8 ⋅ 0,51 МэВ ⎝ 10 −8 см ⎝ a ⎠ ⎠ o

Таким образом, получились вполне "атомные" величины (сравни RBohr = 0,529 A ε1 = −13,6 эВ (2.7)).

81

(2.5) и

§ 7.6. Нейтрон в гравитационном поле Красивым примером квантования энергии частицы в потенциальной яме является уникальный эксперимент, в котором впервые прецизионно измерялась энергия ультрахолодных нейтронов, "падающих" в гравитационном поле Земли (В.И. Лущиков, В.Н. Несвижевский, А.В. Стрелков и др., 2002 г.). Конечно, "подвесить" нейтрон и дать ему падать в поле Земли невозможно. В эксперименте (рис. 7.11) формировался поток ультрахолодных нейтронов (УХН), скорость которых составляла около 5 м/с. Для этого поток нейтронов из ядерного реактора в Гренобле (Франция) пропускался через замедлитель – сжиженный водород при температуре ниже 20 К. В результате упругого рассеяния нейтронов на ядрах водорода − протонах

в потоке нейтронов устанавливается максвелловское

распределение по скоростям, соответствующее этой температуре. Затем поток холодных нейтронов пропускался через нейтроновод-сепаратор, представлявший собой трубу, изогнутую в горизонтальной плоскости. В этом сепараторе быстрые (холодные) нейтроны погибали, сталкиваясь со стенкой трубы, а медленные (ультрахолодные)

отражались,

"вытекая"

через

трубу

в

объём.

Изгиб

нейтронопровода в горизонтальной плоскости, а не в вертикальной, необходим принципиально – в противном случае заметная часть ультрахолодных нейтронов получит в столкновениях со стенками существенное увеличение вертикальной скорости, что, очевидно, недопустимо по условиям эксперимента. Внутри объёма ультрахолодные нейтроны могут жить очень долго, путешествуя от стенки к стенке и упруго отражаясь от них. Часть этих нейтронов через выходное отверстие "вытекала" в пространство между

"зеркалом"

и

поглотителем.

"Зеркало" – стеклянная пластина, отполированная до оптической чистоты, хорошо отражает ультрахолодные нейтроны, падающие на его поверхность под малым углом скольжения. Вертикальная составляющая скорости нейтронов мала благодаря методу формирования потока. Поэтому траектория нейтронов – сильно вытянутая парабола. Поглотитель (пластина полиэтилена с шероховатой поверхностью) ограничивает высоту параболы. Детектор, расположенный на 82

выходе (рис. 7.11), регистрирует полный поток нейтронов, проходящий через щель, образованную зеркалом и поглотителем.

горизонтально изогнутый нейтроновод

объём с УХН

детектор нейтронов

поглотитель

"зеркало" Рис.7.11. Схема эксперимента В.И. Лущикова, В.Н. Несвижевского и А.В. Стрелкова

Для проявления квантовых эффектов в данном эксперименте необходимо, чтобы время пролета нейтрона через щель было достаточно велико, так чтобы соотношение неопределенностей позволило измерить энергию вертикального движения с необходимой точностью. В эксперименте это время составляло порядка 1 мс, для чего требовалось, чтобы горизонтальная компонента их скорости

была

порядка

5 м/с.

Это

достигалось

отбором

(сепарацией)

ультрахолодных нейтронов, как описано выше. В эксперименте измерялась интенсивность потока нейтронов

N& (z ) ,

проходящих в детектор, в зависимости от размера z щели между зеркалом и поглотителем. Классическая механика "предписывает", что в этом случае функция N& (z ) монотонно возрастает с z (рис. 7.12, кривая 1). Эксперимент дал

качественно иную зависимость: функция

N& (z )

имела ярко выраженные

"ступеньки" и "полочки", соответствующие дискретным значениям энергии вертикального движения нейтрона (рис. 7.12, кривая 2). Решение задачи о движении

нейтрона

в

потенциальной

яме,

образованной

зеркалом

и

гравитационным полем (рис. 7.13), дает значение энергии квантовых состояний нейтрона в такой яме:

εn = C n ( n

m hg ) 2 / 3 ,

83

n = 0, 1, 2, …,

(7.71)

где m – масса нейтрона; g – ускорение свободного падения; Cn ∼ 1 – численные коэффициенты (см. задачи 7.7 и 7.9). Это выражение можно записать в виде, позволяющем легко произвести вычисления в атомных единицах:

εn = C n n 2 / 3 ⋅ (

mc 2 ⋅

hg 2 / 3 6,6 ⋅ 10 −16 ⋅ 981 2 / 3 ) = Cn n 2 / 3 ( 938 ⋅ 10 6 ⋅ ) = c 3 ⋅ 1010

= 0,759 ⋅ 10 −12 ⋅ Cn n2 / 3 эВ .

U(z) пэВ

N& ( z )

n=3 3,0

1

n=2

2

2,0 n=1 1,0

0 высота щели (мкм)

0 10 20 30 40 высота щели (мкм)

Рис. 7.12. Зависимость интенсивности потока нейтронов N& (z ) от высоты щели z

Рис 7.13. Гравитационная потенциальная яма над зеркалом

Таким образом, разность энергий квантовых уровней вертикального движения нейтрона в гравитационном поле Земли

∆ε ~ 1 пэВ (1 пикоэлектронвольт = 10−12 эВ). Соответственно расстояние по высоте между уровнями энергии ∆z =

Эти

оценки

∆ε 10 −12 ~ ⋅ (3 ⋅1010 ) 2 ≈ 10 мкм. mg 938 ⋅10 6 ⋅ 981

хорошо

согласуются

с

результатами

описываемого

эксперимента. Задачи 7.6 – 7.9 позволяют лучше понять условия данного эксперимента и почувствовать порядки величин в нем. 84

Задача 7.6.

Оценить

среднюю

скорость

холодных

нейтронов

в

эксперименте

Лущикова−Несвижевского−Стрелкова, если температура потока составляет 20 К. Какая доля потока имеет скорость 5 м/с? Из равенства

mvT2 T = , T = 20 K = 1,8 мэВ 2 2 находим vT = c Здесь

mc 2 ≈ 939,6 МэВ −

энергия

T = 415,2 м с . mc 2

покоя

нейтрона.

При

скорости

5 м/с

температура

ультрахолодных нейтронов составляет 2

⎛v ⎞ Tultra = mc 2 ⎜ ultra ⎟ = 0,26 мкэВ ≈ 2,9 мК . c ⎝ ⎠

Полный поток холодных нейтронов вдоль оси x при температуре Т равен ∞

N& cold = v x ⋅ f (v x )dv x

∫

∞

∫ ∫ f (v )⋅ f (v ) ⋅ dv dv y

z

y

z

,

−∞

0

где

(

⎧⎪ m v x2 + v y2 + v z2 r f (v ) = C ⋅ exp⎨− 2T ⎪⎩

)⎫⎪, ⎬ ⎪⎭

С – константа, которую найдём в результате интегрирования: 2πT . N& cold = C ⋅ m2 2

Первый интеграл берётся от нуля до бесконечности, поскольку в потоке, направленном по x, скорость vx > 0. Долю ультрахолодных нейтронов в этом потоке вычислим, проинтегрировав аналогично по скоростям ультрахолодных нейтронов: N& ultra =

vultra

∫v 0

x

⋅ f (v x ) ⋅ dv x

∫∫ f (v )⋅ f (v ) ⋅ dv y

z

Vultra

Учитывая, что Tultra > ε ) это уравнение принимает вид

ψ′∞′ − ξ 2 ψ ∞ = 0 .

(7.77)

Будем искать решение этого уравнения в виде ψ ∞ (ξ ) = A ⋅ e f (ξ ) .

Подстановка этого решения в (7.77) приводит к уравнению для f(ξ): 2

d 2 f ⎛ df ⎞ + ⎜⎜ ⎟⎟ − ξ 2 = 0 . 2 dξ ⎝ dξ ⎠

Решение этого уравнения будем искать в виде степенной функции f (ξ ) = Bξ n ,

и подстановка f(ξ) в уравнение (7.77) дает Bn(n − 1)ξ n − 2 + B 2 n 2ξ2(n −1) − ξ 2 = 0 .

Нетрудно догадаться, что второе слагаемое много больше первого, если n > 1 и ξ >> 1 (т.е. ξ n >> 1). Поэтому первым слагаемым можно пренебречь, и,

приравнивая показатели степени ξ у второго и третьего членов, найдем n = 2,

B=±

1 . 2

(7.78)

Таким образом, мы получили f (ξ ) = ±

ξ2 , 2

ψ ∞ (ξ ) = A1 ⋅ e ξ

2

2

89

+ A2 ⋅ e −ξ

2

2

.

Первое слагаемое физически бессмысленно, т.к. при любых ξ (т.е. x) функция ψ (x) < ∞ − ограничена, и асимптотическое поведение (ξ → ∞) функции ψ (ξ) описывается вторым слагаемым в этом выражении. Полное решение ψ (ξ) будем искать в виде

ψ(ξ ) = F (ξ ) ⋅ e −ξ

2

2

,

(7.79)

где F(ξ) − неизвестная функция. Подстановка этого решения в уравнение (7.76) дает уравнение для F(ξ):

d 2F dF − 2ξ + (ε 0 − 1) ⋅ F = 0 . 2 dξ dξ

(7.80)

Решением дифференциального уравнения такого вида являются так называемые

полиномы Эрмита: d n ⎛ −ξ 2 ⎞ H n (ξ ) = (− 1) ⋅ e ⋅ n ⋅ ⎜ e ⎟ . ⎠ dξ ⎝ n

ξ2

Дабы не устрашать читателя излишне сложной математикой, приведем последовательный вывод искомого результата. Уравнение (7.80) содержит во втором члене аргумент ξ в качестве сомножителя при производной. Поэтому оно принципиально

отличается

от

линейных

дифференциальных

уравнений,

описывающих поведение классического осциллятора. Будем искать его решение в виде ряда F (ξ ) =

n

∑ Ak ξk ,

т.е. ψ(ξ ) = e − ξ

2

k =0

2

n

∑ Ak ξk ,

(7.81)

k =0

где Ak = сonst. Значение предела суммы n обсудим позже. Читатель может убедиться, что полиномы Эрмита приводят к ряду такого вида. Подставив F(ξ) из (7.81) в (7.80) и приравнивая коэффициенты при ξ в одинаковых степенях, получим ξ k ⇒ (k + 2 )(k + 1)Ak + 2 − 2kAk + (ε 0 − 1) ⋅ Ak = 0 ,

откуда получаем рекуррентную формулу для коэффициентов Ak Ak + 2 =

2k + 1 − ε ⋅A . (k + 2)(k + 1) k

90

(7.82)

Отсюда следует, что все коэффициенты ряда (7.81) определены через две константы − А0 и А1:

1 − ε0 ⋅ A0 , 2 (5 − ε 0 )(1 − ε 0 ) ⋅ A , 5 − ε0 ⋅ A2 = A4 = 0 12 12 (9 − ε 0 )(5 − ε 0 )(1 − ε 0 ) ⋅ A , 9 − ε0 A6 = ⋅ A4 = 0 30 360 M A2 =

3 − ε0 ⋅ A1 , 6 (7 − ε 0 )(3 − ε 0 ) ⋅ A , A5 = 1 (7.83) 120 ( 11 − ε 0 )(7 − ε 0 )(3 − ε 0 ) A7 = ⋅ A1 , 5040 M

A3 =

Таким образом, коэффициенты Ak образуют два независимых ряда, каждый из которых определяется через свою константу А0 или А1. Найдем условие того, что функция (7.79) ограничена при любых ξ. Коэффициенты ряда, как только что выяснилось, убывают с номером k, причем отношение Ak + 2 2k + 1 − ε 0 2 = ≈ (k + 2)(k + 1) k Ak

при k >> 1, ε 0 .

(7.84)

Такое поведение коэффициентов Ak еще не означает, что сумма ряда (7.81) 2

конечна. Действительно, представив экспоненту e ξ в виде ряда

( ) = ∑ (ξl!)

∞

e ξ = ∑ al ξ 2 2

l =0

l

∞

2 l

,

(7.85)

l =0

найдем al + 2 l! 1 1 = = ≈ при l >> 1 . (l + 2)! l + 2 l al

(7.86)

Сравнивая ряды (7.85) и (7.81), видим, что они имеют одинаковый вид, если 2l = k (ряд (7.85) − разложение по ξ 2). А тогда из (7.86) и (7.84) следует, что

соотношение у коэффициентов ряда (7.85) при больших l то же, что и у коэффициентов ряда (7.81), т.е.

F (ξ ) → e ψ

2

при n → ∞ ,

и, соответственно, функция (7.81) имеет асимптотику в виде экспоненты от ξ 2 2 : ψ(ξ ) → C ⋅ e ξ

2

2

, если n → ∞ ,

91

т.е. эта функция неограниченно возрастает при ξ → ∞. Поэтому единственный выход − оборвать ряд (7.81) на некотором k = n, потребовав An+ 2 = 0, или 2n + 1 − ε = 0 .

(7.87)

Отсюда, с учетом обозначений (7.75), находим возможные значения энергии квантового осциллятора (рис. 7.14):

ε n = hω0 ⋅ (2n + 1), 2

ε, U(x)

(7.88)

U(x)

ε3 ε2 ε1

hω0

n = 0, 1, 2, K

ε0 0

Рис. 7.14. Уровни энергии квантового осциллятора

x

Уровни энергии квантового осциллятора эквидистантны, т.е. отстоят друг от друга на одно и то же расстояние: ∆ε = hω0 .

(7.89)

И еще одна особенность спектра энергии квантового осциллятора − конечная (не равная нулю) минимально допустимая энергия:

ε0 = hω0 . 2

(7.90)

Ее, по номеру индекса n = 0, называют нулевой энергией квантового осциллятора. То, что

ε0 > 0,

подчеркивает квантовый характер осциллятора − это следствие

соотношения неопределенностей: при

ε0 = 0 (p0 = 0) координата осциллирующей

частицы становится неопределенно большой (задача 7.10).

92

Задача 7.10. Оценить минимально возможную энергию квантового осциллятора, пользуясь

соотношением неопределенностей. Записав энергию осциллятора

ε=

p2 α x2 + 2m 2

и подставив сюда p=

h h ~ , ∆x x

найдем, что минимальное значение ε (x)

ε (x ) =

h2 α x2 + 2 2mx 2

достигается при ⎛ h2 x = ⎜⎜ ⎝m

14

⎞ ⎟⎟ ⎠

и равно

εmin = h

α ≡ hω0 . m

Мы получили, что волновые функции квантового осциллятора имеют вид ψ n (ξ ) = C n ⋅ e −ξ

2

2

⋅ H n (ξ ) ,

(7.91)

где Hn(ξ ) − полиномы Эрмита, которые могут быть представлены в виде ряда (7.81) с коэффициентами (7.82), (7.83). Константы Сn в (7.91) определяют из условия нормировки (6.17). Задача 7.11. Вычислить волновые функции квантового осциллятора для нулевого и двух первых

уровней. При n = 0 ряд (7.61) содержит всего один член − константу А0, которую включаем в Сn. Записав ψ 0 (x ) = C0 ⋅ e − x

2

2 x02

,

из условия нормировки находим (константа А0 включена в С0): C0

2

∞

∫e

− x 2 x02

2

dx = π x0 ⋅ C0 = 1,

−∞

93

C0 =

(

1 π x0

)

12

.

При n = 1 имеем аналогично:

ε1 = 3 hω0 ,

ψ 1 (x ) = C1 ⋅

2

x − x2 ⋅e x0

2 x02

,

C1 =

(

2 π x0

)

12

.

При n = 2

ε2 = 5 hω0 , 2

2 ⎛ ⎞ 2 ⎛ x⎞ ψ 2 (x ) = ⎜ A2 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + A0 ⎟ ⋅ C2 ⋅ e − x ⎜ ⎟ ⎝ x0 ⎠ ⎝ ⎠

2 ⎞ ⎛ x2 = ⎜⎜ 2 2 − 1⎟⎟ ⋅ C2 ⋅ e − x ⎠ ⎝ x0

2 x02

2 x02

.

Здесь учтены соотношения для А2 и А0 (8.63) и константа А0 включена в С2. Из условия нормировки найдем ∞

∫ {4ξ

2

1 = C 2 ⋅ x0

}

− 4ξ 2 + 1 ⋅ e − ξ dξ = C 2 ⋅ (3 − 2 + 1) π x 0 ,

4

2

2

−∞

C2 =

(2

1 π x0

)

12

.

Окончательно имеем

Поведение

ψ(x )

2

n = 0,

ε = hω0 ,

ψ 0 (x ) =

n = 1,

ε = 3hω0 ,

ψ 1 (x ) =

n = 2,

ε = 5hω0 ,

ψ 2 (x ) =

2

2

2

1

( ( (2

π x0 2 π x0 1

)

⋅ e−x

)

⋅

12

12

π x0

)

12

2

2 x02

,

x − x2 ⋅e x0

2 x02

(7.92)

,

⎞ ⎛ 2x 2 2 ⋅ ⎜⎜ 2 − 1⎟⎟ ⋅ e − x x ⎠ ⎝ 0

2 x02

.

для первых трёх уровней (рис. 7.15) отражает главную особенность волновой

функции квантового осциллятора: ψ 0 (x )

2

ψ 1 (x )

2

ψ 2 (x )

т.е. число максимумов ψ(x )

2

max

max

2 max

= =

1 π x0 2 e ⋅ π x0

при

x = 0,

при

x = ± x0 ,

⎧ 1 x = 0, , ⎪ ⎪ 2 π x0 =⎨ 1 3 ⎪ , x=± , 3 2 ⎪⎩ e 2 π x0

растет как n + 1.

Задача 7.12. Электрон совершает малые колебания вблизи центра симметрии системы, состоящей

из двух металлических шаров радиуса R = 0,5 см и помещенных в сильное магнитное поле, направленное вдоль прямой, соединяющей центры шаров (рис. 7.16). Найти расстояние между уровнями энергии такого осциллятора для электрона, колеблющегося строго вдоль этой прямой

94

(магнитное поле исключает смещение поперёк). Потенциалы обоих шаров V = 100 кВ, расстояние между их центрами 2r = 4 см.

ψ 0 (x )

а)

2

б)

x/x0 в)

ψ 2 (x )

ψ1 ( x )

−1

1

2

x/x0

2

x/x0

− 3 2

32

Рис. 7.15. Функции ψ n (x )

2

квантового осциллятора для n = 0 (а), 1 (б) и 2 (в)

Потенциальная энергия электрона в поле шаров равна 1 ⎞ 2R ⎛ x2 ⎞ ⎛ 1 ⎟. U (x ) = (− e ) ⋅ VR ⋅ ⎜ + ⋅ ⎜⎜1 + ⎟ ≅ −eV ⋅ r ⎝ r2 ⎟⎠ ⎝r+x r−x⎠

Отсюда α=

2eVR , ω0 = r

2eV R ⋅ ⋅c = mc 2 r 3

2 ⋅ 10 4 0,5 ⋅ ⋅ 3 ⋅ 1010 ≈ 1,5 ⋅ 10 8 c −1 ( f 0 ≈ 25 МГц ) . 0,51 ⋅ 10 6 8

∆ε = hω 0 ≈ 10 −7 эВ.

r B

y Рис. 7.16. Схема осциллятора

e, m

R r

x

x

95

(задача 7.12)

Данный пример показывает, что в макроскопических системах квантование (дискретность) уровней энергии осциллятора происходит со столь малым шагом, что этот эффект слабо сказывается на поведении системы − спектр практически непрерывный.

ГЛАВА 8. ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ § 8.1. Операторы координаты и импульса Вероятностная

ψ-функции

интерпретация

позволяет

развить

математический формализм, существенно облегчающий различные квантовомеханические вычисления − метод операторов. Начнем с простейшего случая одномерного движения, когда состояние частицы описывается функцией ψ (x, t), и нас интересует среднее значение координаты частицы в момент времени t. В соответствии с определением среднего эта величина есть 1

x = ∫ x ⋅ dP( x ) = 0

∞

∫ x ⋅ ψ ( x, t )

2

⋅ dx .

−∞

Этому выражению можно придать вид ∞

x =

∗ ∫ ψ (x, t ) ⋅ x ⋅ ψ(x, t ) ⋅ dx .

(8.1)

−∞

Посмотрим, что получится при таком подходе при вычислении среднего значения импульса. Запишем ∞

p =

∗ ∫ ψ (x, t ) ⋅ p ⋅ ψ(x, t ) ⋅ dx .

−∞

В частном случае свободной частицы, когда

ψ( x, t ) = A ⋅ e i ( px−ε t ) h , справедливо равенство − ih

∂ψ = pψ . ∂x 96

(8.2)

Поэтому для свободной частицы − волны имеем ∞

p free =

⎛ ∂ ⎞ ∗ ∫ ψ (x, t )⎜⎜⎝ − ih ∂ x ⎟⎟⎠ ⋅ ψ(x, t )⋅ dx .

(8.3)

−∞

Это

своеобразная

"подсказка",

в

каком

направлении

следует

"искать".

Действительно, в общем случае волновую функцию ψ(x, t) можно представить в виде суперпозиции монохроматических волн де Бройля − интеграла Фурье (4.19): ψ ( x, t ) =

∞

∫ ψ p ( p) ⋅ e

i ( px −ε t ) h

dp .

(8.4)

−∞

Очевидно, что ∂ψ( x, t ) ih = ∫ ψ p ( p ) ⋅ p ⋅ e i ( px−ε t ) h ⋅ dp . ∂x −∞ ∞

Умножим это равенство слева на ψ ∗ ( x, t ) , записав эту функцию в правой части равенства в виде интеграла Фурье (8.4) (учтя при этом, что экспоненты с εt h в показателе взаимно сократятся): ∞

⎛ ∂ ⎞ ∗ ∫ ψ (x, t )⋅ ⎜⎜⎝ − ih ∂ x ⎟⎟⎠ ⋅ ψ(x, t )⋅ dx =

−∞

=

∞

∞

∞

−∞

−∞

−∞

∗ −ip′x h ip′′x h ∫ dx ∫ ψ p ( p′)⋅ e dp′ ∫ ψ p ( p′′)⋅ e p′′ ⋅ dp′′.

Затем проинтегрируем полученное равенство по x. Очевидно, интеграл по x от произведения экспонент даст, согласно (4.16), 2π ⋅ δ( p′ − p′′) . Интегрируя далее по

p′′ , получим ∞

∞ 2 ⎛ ∂ ⎞ ′ ′ ⎜ ⎟ ( ) ψ ⋅ − i dx p p dp′ . h 2 ⋅ ψ ⋅ = π ⋅ ψ p ∫ ⎜⎝ ∂ x ⎟⎠ ∫ −∞ −∞ ∗

(8.5)

Мы получили сразу два результата. Во-первых, функция ψ p ( p ) по смыслу (см. 8.4) есть вероятностная импульсная функция, т.е. величина ψ p ( p ) ⋅ dp 2

пропорциональна вероятности обнаружить значение импульса частицы, равным p в интервале δp. Поэтому выражение в правой части (8.5) есть среднее значение 97

импульса частицы 〈р〉. Осталось только разобраться с нормировкой. Оказывается (см. задачу 8.1 ниже), что полная вероятность равна единице, если dP ( p ) = 2π ψ p ⋅ dp . 2

Во-вторых, соотношение (8.5) дает способ вычисления среднего значения импульса: ∞ ⎛ ∂ ⎞ p = ∫ ψ ∗ ⎜⎜ − ih ⎟⎟ ⋅ ψ ( x, t ) ⋅ dx . ∂x ⎠ ⎝ −∞

(8.6)

Таким образом, данное выражение справедливо в общем случае, а не только для "свободной" частицы. Задача 8.1. Вычислить нормировочный коэффициент в выражении для вероятности значения импульса dP( p ) = C ⋅ ψ p ⋅ dp . 2

Потребовав выполнения условия нормировки

∫ dP( p ) = 1 , подставим в него ψ p ( p ) , использовав обратное Фурье-преобразование ψ p ( p) =

Множитель

e iε t

∞

1 ψ (x ) ⋅ e −ipx h ⋅ dx . 2π − ∞

∫

(8.7)

в последующих выкладках можно опустить, т.к. он не подвергается

интегрированию и взаимно сокращается с комплексно-сопряженным ему множителем. Запишем: ∞

1= C

∫

−∞

2

ψ p dp =

∞

∞

∞

C dp ψ (x ′) ⋅e −ipx′ h dx ′ ⋅ ∫ ψ ∗ (x ′′) ⋅ e ipx′′ h dx . 4π 2 −∫∞ −∫∞ −∞

Проинтегрируем по р произведение экспонент. Аналогично тому, как это сделано при выводе (8.5), придём к δ-функции, теперь это δ(x′ − x′′) . Проинтегрировав затем по x′, найдем ∞

1=

C C 2 , ⋅ ψ(x ) dx = 2π −∫∞ 2π

откуда C = 2π , и ∞

p = 2π ∫ p ⋅ ψ p ( p ) ⋅ dp . 2

−∞

98

(8.8)

Проведенное рассмотрение нетрудно распространить на трёхмерный случай − число интегралов просто утроится. Проведенный анализ позволяет ввести понятие квантово-механических операторов: оператор координаты

оператор импульса

xˆ = x ,

ˆp x = −ih

∂ , ∂x

ˆpr = −ih∇.

(8.9) (8.10)

В общем случае под оператором Lˆ понимают некоторый символ, показывающий, каким способом одной функции ϕ(х) сопоставляется другая функция f(x). Это сопоставление записывается в виде умножения Lˆ на ϕ(х): f ( x ) = Lˆ ϕ( x ) .

Оператор соответствующий некоторой физической величине обозначается той же буквой, что и сама эта величина, но со "шляпкой" над ней. Первое применение операторов уже описано выше: для вычисления среднего значения физической величины L нужно подействовать оператором, соответствующим этой величине, на ψ-функцию согласно правилу (8.6): L(t ) =

∞

∗ ∫ ψ (x, t ) ⋅ Lˆ ψ (x, t )dx .

(8.11)

−∞

Пока мы рассмотрели два случая таких операторов − для координаты и для импульса. Метод операторов был введен в квантовую механику в период её становления М. Борном и Н. Винером (M. Born, N. Wiener, 1926 г.).

§ 8.2. Оператор энергии Повторяя прием, использованный при "угадывании" выражения для оператора импульса (см. (8.2) − (8.3)), без труда найдем выражение для оператора энергии: 99

εˆ = ih

∂ . ∂t

(8.12)

Доказательство его справедливости в общем случае точно повторяет проделанное выше для оператора импульса: в выражениях (8.4), (8.5), (8.8) нужно просто произвести замены p → −ε,

x → t . Таким образом,

ε(t ) =

∞

⎛ ∂⎞ ∗ ∫ ψ (x, t )⋅ ⎜⎜⎝ ih ∂t ⎟⎟⎠ ⋅ ψ (x, t ) dx .

(8.13)

−∞

§ 8.3. Оператор Гамильтона и уравнение Шрёдингера Используя

операторные

обозначения,

можно

записать

уравнение

Шрёдингера (6.15) в виде ih

∂ψ ˆ = H ⋅ψ , ∂t

(8.14)

где величину ˆp 2 ˆ H= +U 2m

(8.15)

называют оператором Гамильтона, или гамильтонианом. Он является квантовомеханическим аналогом оператора, введенного в классической механике В. Гамильтоном

(W.R. Hamilton,

1834 г.).

Соответственно,

многие

вычислительные приемы, развитые в классической механике, переносятся в квантовую, где так называемый гамильтонов формализм оказался исключительно плодотворным. Его активное использование выходит за рамки данного курса, и приведенные здесь сведения имеют целью дать читателю некоторые общие представления о методах квантовой механики.

§ 8.4. Собственные функции и собственные значения операторов Выражения и приемы типа "угадать", "подсказка" и т.п., использованные выше, отнюдь не означают, что нет необходимости в строгом обосновании всего

100

математического аппарата квантовой механики. Тем не менее, изложение, проведенное выше, лучше позволяет почувствовать физическую (природную) основу квантовых явлений и понять логику основателей этой науки. Любопытно, что развитие математического аппарата зачастую шло параллельно с развитием аналогичных разделов в математике, а иногда и опережало последнее. Так обстояло дело, например, с применением интегральных Фурье-преобразований, а дельта-функция, введенная Дираком, вообще долгое время не признавалась математиками. И лишь в конце 40-х годов начали появляться работы, посвящённые

строгой

математической

теории

дельта-функции.

Впрочем,

подобная "история" прослеживается на протяжении всего развития физики и математики, и формализм, к описанию которого мы сейчас перейдем, является результатом исследований, выполненных в математической физике.

r Выше мы связали среднее значение физических величин x, p, ε с некоторым выражением, содержащим результат воздействия на ψ-функцию (см. (8.11)). Аналогично можно пытаться найти выражение, позволяющее r определить значение физической величины в состоянии ψ (r , t ) . Например, в задаче 6.3 о частице в ящике при действии оператора импульса (8.10) на волновую функцию частицы (6.21) появляется импульс р0: − ih

∂ (sin p0 x ) = −ihp0 ⋅ cos p0 x . ∂x

Это "очередная" подсказка. И, действительно, развитие математического аппарата привело к появлению понятия собственных функций операторов: Lˆ Ψ = LΨ .

(8.16)

Здесь Ψ − так называемая собственная функция оператора Lˆ , аргумент которой зависит от вида оператора. Вид самой функции в свою очередь зависит от начальных и граничных условий. Так, в задаче 6.3 использованы граничные условия на стенках ящика (6.20). Параметр L, который находим, решая уравнение (8.16), называется собственным значением оператора

Lˆ . Соответственно, уравнение (8.16)

называют уравнением на собственные значения оператора Lˆ . В задаче 6.3 мы

101

получили набор собственных значений (6.22) оператора импульса частицы в ящике: p0(n ) = n

πh . a

(8.17)

Важным свойством собственных функций является их ортонормированность: b

∫ ψ n (x ) ⋅ ψ m (x )dx = δmn , ∗

(8.18)

a

где {a, b} − интервал, на котором определены функции, δ mn − символ Кронекера (L. Kronecker, ок. 1860): ⎧0, m ≠ n, δ mn = ⎨ ⎩1, m = n.

(8.19)

Нетрудно проверить, что ψ-функция (6.23) удовлетворяет условию (8.18):

1 ⎡ sin (n + m )ξ sin (n − m )ξ ⎤ aa nπ x mπ x sin = δ mn . + ⋅ sin ⋅ dx = − ⋅ ⎢ ∫ n − m ⎥⎦ ξ=0 20 a a π ⎣ n+m ξ=π

Свойство ортонормированности имеет вполне определенный физический смысл. Равенство нулю интеграла (8.18) при n ≠ m, называемое ортогональностью функций на отрезке {a, b}, означает независимость состояний "m" и "n", а равенство этого интеграла единице при n = m есть ни что иное, как условие нормировки (6.17). Мы ограничимся здесь одномерным случаем. Принято также говорить, что решение задачи на собственные значения r оператора (или уравнения Шрёдингера) в виде функций ψ (r , t ) является представлением в пространстве координат, а решение в форме Фурье-образов r ψ p ( p ) (8.6) − представлением в импульсном пространстве. Математическое выражение принципа суперпозиции есть разложение любого частного решения уравнения Шрёдингера по собственным функциям r оператора Гамильтона (в котором потенциал U (r ) задан условиями конкретной задачи). Из принципа суперпозиции следует свойство линейности квантовомеханических операторов: Lˆ (C1ϕ1 + C2 ϕ 2 ) = Lˆ C1ϕ1 + Lˆ C2 ϕ 2 = C1 Lˆ ϕ1 + C2 Lˆ ϕ 2 ,

102

(8.20)

где ϕ1 и ϕ2 – произвольные функции, С1 и С2 – произвольные постоянные (постоянные числа могут выноситься из-под знака действия оператора). Другое важное свойство операторов следует из того факта, что среднее значение любой физической величины L является вещественным числом: *

L = L .

(8.21)

Записав выражения для средних значений через интеграл от волновой функции: L(t ) =

∞

∗ ∫ ψ (x, t ) ⋅ Lˆ ψ (x, t )dx

−∞

и вычислив комплексно-сопряжённое значение L(t )

*

*

∞ ⎛∞ ⎞ = ⎜⎜ ∫ ψ ∗ ( x, t ) ⋅ Lˆ ψ( x, t )dx ⎟⎟ = ∫ ψ( x, t )Lˆ*ψ * ( x, t )dx , ⎝ −∞ ⎠ −∞

из равенства (8.21) находим

∫ψ

*

Lˆ ψdx = ∫ ψLˆ*ψ *dx .

Операторы, удовлетворяющие равенству для произвольных функций ϕ1, ϕ2, называются самосопряженными, или эрмитовыми.

∫ ϕ1 Lˆ ϕ2 dx = ∫ ϕ2 Lˆ ϕ1 dx . *

*

*

(8.22)

Задача 8.2. Показать, что собственные функции самосопряженного оператора являются ортогональными. Пусть ψn и ψm – две различные собственные функции самосопряженного оператора Lˆ , тогда они удовлетворяют следующим уравнениям: Lˆ ψ n = Ln ψ n

и Lˆ ψ m = Lm ψ m ,

(8.23)

где Ln и Lm – различные вещественные числа. Получим из первого уравнения его комплексно сопряженное: Lˆ∗ ψ ∗n = Ln ψ ∗n .

(8.24)

Умножим второе уравнение (8.23) слева на ψ ∗n и вычтем из него уравнение (8.24), умноженное слева на ψm: ψ ∗n Lˆ ψ m − ψ m Lˆ*ψ ∗n = (Lm − Ln ) ⋅ ψ ∗n ψ m .

103

Проинтегрировав обе части этого уравнения по всей области изменения переменных, получим

∫ ψ n Lˆ ψ m dx − ∫ ψ m Lˆ ψ n dx = (Lm − Ln ) ⋅ ∫ ψ n ψ m dx . ∗

∗

*

∗

(8.25)

В силу самосопряженности оператора левая часть (8.25) равна нулю, следовательно

(Lm − Ln ) ⋅ ∫ ψ ∗n ψ m dx = 0 , откуда из условия Ln ≠ Lm следует ортогональность ψn и ψm.

Задача 8.3. Определить среднее значение физической величины, описываемой самосопряженным оператором Lˆ , в состоянии с волновой функцией, заданной в виде: N

ψ = ∑ Ck ψ k ,

(8.26)

k =1

где ψ k − собственные функции оператора Lˆ . Выражение (8.26) представляет собой разложение волновой функции в ряд по Lˆ . Для произвольной функции ψ выражения для

собственным функциям оператора

коэффициентов разложения могут быть получены умножением левой и правой части (8.26) на собственную функцию ψ l

*

с последующим интегрированием по всей области определения

волновой функции:

∫ ψ l ψ dV = ∫ ψ l *

*

N

N

k =1

k =1

∑ Ck ψ k dV = ∑ Ck ∫ ψ l ψ k dV . *

В силу ортонормированности собственных функций самосопряженного оператора все интегралы в правой части этого равенства обращаются в ноль, кроме одного, у которого k = l. В результате имеем

Cl = ∫ ψ l ψ dV . *

(8.27)

Среднее значение величины L находим по определению: L = ∫ ψ * Lˆ ψ dV = ∫ ∑ Ck*ψ k k

*

∑ Cl Ll ψ l dV , l

где Ll – соответствующие собственные числа. Поменяв местами порядок суммирования и интегрирования, получим L = ∑ ∑ Ck*Cl Ll ∫ ψ k ψ l dV = ∑ Ck Lk , 2

*

k

l

k

где последнее равенство следует из свойства ортонормированности собственных функций. Отсюда становится понятен физический смысл коэффициентов Ck, определяемых выражением (8.27): Ck

2

− это вероятность того, что при измерении величины L мы получим значение, равное

Lk.

104

§ 8.5. Коммутатор операторов и соотношения неопределенностей При

измерении

некоторой

физической

характеристики

квантово-

механической системы можно получить лишь значение, являющееся одним из собственных значений соответствующего оператора. В случае, когда система находится в состоянии с волновой функцией, совпадающей с одной из собственных функций оператора измеряемой величины, и это состояние не вырождено (т.е. данной собственной функции соответствует единственное собственное значение), измерение может быть проведено со сколь угодно высокой точностью. Принято говорить, что при этом измеряемая величина имеет определенное значение. При измерении двух и более величин каждая из них может иметь определенное значение, если волновая функция системы является одновременно собственной функцией операторов соответствующих величин. Например, для двух величин L и M волновая функция должна одновременно удовлетворять двум уравнениям: Lˆ Ψ = LΨ, Mˆ Ψ = MΨ,

(8.28)

где L и M – некоторые собственные числа. Тогда, в силу линейности операторов, выполняются и следующие равенства:

( ) Lˆ (Mˆ Ψ ) = Lˆ (MΨ ) = MLˆ Ψ = MLΨ ,

Mˆ Lˆ Ψ = Mˆ (LΨ ) = LMˆ Ψ = LMΨ ,

откуда следует

(

Оператор Mˆ Lˆ − Lˆ Mˆ

(Mˆ Lˆ − LˆMˆ )Ψ = 0 .

(8.29)

) называется квантово-механической скобкой Пуассона или

коммутатором операторов Mˆ и Lˆ и обозначается

(Mˆ Lˆ − LˆMˆ ) ≡ [Mˆ , Lˆ ].

(8.30)

Операторы, коммутатор которых равен нулю, называются коммутирующими. Таким образом, две физические величины могут быть одновременно точно измерены только в том случае, если соответствующие им операторы 105

коммутируют друг с другом. Этот результат позволяет сформулировать обобщённые соотношения неопределенностей для любых пар физических характеристик квантово-механической системы, которое принято записывать в следующей форме: ∆M ⋅ ∆L ≥

[Mˆ , Lˆ ] 2

.

(8.31)

Строгий вывод и детальный анализ этого соотношения выходит за рамки данного курса. Задача 8.4. Определить коммутатор операторов координаты и соответствующей проекции импульса. В выражение для коммутатора (8.30) подставим выражения (8.9, 8.10) и подействуем им на некоторую волновую функцию: ∂ ∂ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎜ − ihx + ih x ⎟Ψ = −ihx Ψ + ih (xΨ ) = ihΨ , x x x x ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠

откуда получаем

[xˆ, pˆ ] = ih . x

Аналогично для других проекций. Следовательно, операторы координаты и соответствующей проекции импульса не коммутируют, это означает, что соответствующие физические величины не могут одновременно иметь определенные значения. Обратим внимание, что, подставив полученное

значение

коммутатора

в

(8.31),

получим

следующее

соотношение

для

неопределенностей координаты и импульса: ∆p ⋅ ∆x ≥

h , 2

которое отличается от соотношения (5.3) множителем 1 2 . Ввиду нестрогого знака неравенства наличие числового множителя порядка единицы не играет существенной роли при оценках по порядку величины. В самом общем виде соотношение неопределенностей для координаты и импульса можно записать в виде ∆p ⋅ ∆x ≥ γh , где числовой множитель γ определяется конкретным видом огибающей волнового пакета. Для волнового пакета с гауссовой огибающей этот числовой множитель минимален и достигает значения 1 2 . Однако, впервые соотношение неопределенностей было сформулировано Гейзенбергом в 1927 году именно в форме (5.3), и в такой форме оно приводится в большинстве учебников по квантовой механике.

106

Задача 8.5. Показать, что среднее значение физической величины совпадает с собственным значением соответствующего оператора, если волновая функция системы совпадает с одной из собственных функций этого оператора. Умножив обе части равенства (8.16) слева на ψ ∗ (x, t ) и проинтегрировав по x, найдем: L(t ) =

∞

∫

ψ ∗ (x, t ) ⋅ Lˆ ⋅ ψ (x, t )dx = L

−∞

∞

∫ ψ (x )

2

dx = L .

(8.32)

−∞

Этот результат без труда распространяется и на трёхмерный случай. Таким образом, среднее значение физической величины, которой соответствует оператор Lˆ , в состоянии, описываемом r собственной функцией этого оператора ψ(r , t ) , совпадает с собственным значением оператора, соответствующим этой собственной функции.

§ 8.6. Производные операторов по времени В ряде задач квантовой механики, где требуется определить производную по

времени

какой-либо

величины,

удобно

воспользоваться

значением

производной по времени квантово-механического оператора, соответствующего rˆ этой физической величине. Найдём такое значение для вектора оператора L (наиболее общий случай) из соотношения (8.32), связывающего оператор с его собственным значением. Дифференцируя (8.32) по времени, получаем

r rˆ ⎡ ∂ψ∗ rˆ rˆ ∂ψ ⎤ dL L ∂ ∗ ⎥ ⋅ dV , = ∫⎢ ⋅ L⋅ψ + ψ ψ + ψL∗ dt ∂t ∂t ⎥ ⎢ ∂t ⎣ ⎦ r ψ = ψ(r , t ). Интеграл от второго слагаемого в скобках даёт среднее значение частной r производной по времени величины L : r rˆ ∂L ∗ ∂L = ψ ⋅ ψ ⋅ dV . ∂t ∫ ∂t r Эта производная равна нулю, если L явно не зависит от времени. Производные волновых функций запишем, воспользовавшись уравнением Шрёдингера в форме (8.14):

107

r r& dL i ⎡ ∗ ∗ ⎢ Hˆ ψ = L≡ dt h ∫ ⎢ ⎣

(

)

rˆ ⎤ r r ∂ L ˆ ˆ ⋅ ⎛⎜ Lψ ⎞⎟ − ψ∗ LHˆ ψ + ψ∗ ψ ⎥ ⋅ dV . ∂t ⎥ ⎝ ⎠ ⎦

(8.33)

Круглыми скобками обозначено, на какую из функций действует оператор в скобках. Прежде чем подвигаться дальше в анализе полученного выражения, выясним важное свойство оператора Гамильтона. Дифференцируя условие ортонормированности волновых функций (8.18) по времени и подставляя опять значения производной ψ-функции из уравнения Шрёдингера, найдём 0=

[(

)

(

)]

⎡ ∂ψ∗n d ∂ψ m ⎤ i ∗ ∗ ˆ ˆ∗ ∗ ψ ψ dV = ⋅ ψm + ψn ⎢ ⎥ ⋅ dV = ∫ H ψ n ⋅ ψ m − ψ n Hψ m ⋅ dV . n m ∫ ∫ dt ∂ t ∂ t h ⎣ ⎦

Учитывая, что в первом слагаемом оператор Hˆ ∗ действует только на ψ∗n , но не на ψm, переставим сомножители и, сократив общий множитель i/h, получим

∫ ψ m Hˆ

∗

ψ∗n dV − ∫ ψ∗n Hˆ ψ m dV = 0 ,

или

∫ ψ m Hˆ ψ n dV = ∫ ψ n Hˆ ∗

∗

ψ∗m dV ,

(8.34)

Сравнив этот результат с условием (8.22), видим, что оператор Гамильтона является самосопряжённым, или эрмитовым. Используя полученное свойство оператора Гамильтона, преобразуем выражение (8.33). При этом учтём, что rˆ функцию Lψ можно рассматривать как какую-то иную функцию, которая может "играть роль" функции ψn в условии эрмитовости (8.34). Тогда первое слагаемое в (8.33) можно преобразовать: rˆ ⎛ rˆ ⎞ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∫ Hˆ ψ ⋅ Lψ ⋅ dV = ∫ ⎜⎝ Lψ ⎟⎠ ⋅ Hˆ ψ ⋅ dV = ∫ ψ Hˆ Lˆ ψ ⋅ dV .

(

)

(

)

(

)

В последнем равенстве как раз и использовано условие (8.28). Подставив этот результат в (8.33), находим rˆ r& i r rˆ ⎤ ∗ ⎡ ˆˆ ∗ ∂L ˆ ⋅ ψ ⋅ dV . L = ∫ ψ ⋅ ⎢ HL − LH ⎥ ⋅ ψ ⋅ dV + ∫ ψ h ∂t ⎣ ⎦ 108

(8.35)

Мы получили выражение, которое по форме совпадает со средним значением некоторой физической величины (сравни с (8.32)). Этой физической величине соответствует оператор, заданный выражением в скобках в (8.35). Кроме того, согласно (8.32), если физическая величина имеет определенное значение, то среднее значение соответствующего оператора равно его собственному значению. Поэтому r& r& L= L . rˆ ⎛ r&ˆ ⎞ Отсюда можно заключить, что ⎜⎜ L ⎟⎟ − оператор производной оператора L по ⎝ ⎠

времени описывается выражением в скобках в (8.35). А нас интересует не "оператор производной", а "производная оператора"! Но в квантовой механике определённое значение, как мы знаем, имеют только средние величины. Поэтому естественно принять, что для любой квантово-механической величины имеет место равенство r dL d r = L . dt dt

(8.36)

(см. также [2], § 9). Таким образом, мы пришли к выводу, что как среднее r r значение производной от L , так и производная от среднего значения L описываются одним и тем же оператором rˆ rˆ dL ∂L i ⎧ ˆ rˆ rˆ ˆ ⎫ + ⎨ HL − LH ⎬ . = dt ∂t h ⎩ ⎭

(8.37)

rˆ Второе слагаемое в этом выражении − коммутатор операторов Hˆ и L .

Задача 8.6. Определить производные по времени операторов координаты и соответствующей проекции импульса. Ввиду того, что операторы координаты и проекции импульса не зависят явно от времени, операторы их производных имеют вид:

109

[ ] [ ]

dxˆ i ˆ = H , xˆ , dt h dpˆ x i ˆ = H , pˆ x . dt h

(8.38)

Распишем коммутатор операторов Гамильтона и координаты:

[Hˆ , xˆ ] = − 2hm ⋅ ∂∂x 2

и с учетом того, что

2 2

⋅ x + Ux + x ⋅

h2 ∂2 ⋅ − xU 2m ∂x 2

∂2 ∂2 ∂ = + 2 , получим: x x 2 2 ∂x ∂x ∂x

[Hˆ , xˆ ] = − hm ⋅ ∂∂x , 2

что после подстановки в (8.38) дает dxˆ pˆ x = dt m

.

(8.39)

Аналогично для производной проекции импульса можно получить: dpˆ x ∂U =− dt ∂x

.

(8.40)

Для средних значений координаты и проекции импульса можно записать следующие уравнения: p dx = x , dt m dp x ∂U . =− dt ∂x

По форме они совпадают с классическими уравнениями движения частицы в потенциальном поле U. Это совпадение не случайно: выражения (8.39), (8.40) являются частными случаями

теоремы Эренфеста (P. Ehrenfest, 1927 г.), согласно которой средние значения квантовомеханических величин подчиняются законам классической механики.

Формализм, изложенный в этом разделе, будет использован ниже в анализе различных физических ситуаций.

110

ГЛАВА 9. СИММЕТРИИ В ПРИРОДЕ § 9.1. Операция инверсии и симметрия волновой функции Операцией инверсии координатной системы, или пространственного (зеркального) отражения называют преобразование r r r → − r , x → − x, y → − y , z → − z ,

(9.1)

При этом каждая координата точки пространства меняет знак, т.е. претерпевает зеркальное отражение (рис. 9.1). Поведение волновой функции при такой операции характеризует одно из фундаментальных свойств квантовой системы, которую эта волновая функция описывает − её свойство симметрии. Из самых общих соображений можно указать два класса волновых функций ("третьего не дано"): r r симметричные, ψ(r ) = ψ(− r ), r r антисимметричные, ψ(r ) = −ψ(− r ).

z (z)

(9.2)

(z′)

(x, y, z)

(x′, y′, z′) r′

θ r

x′ θ′

(y) (x)

y′

y

ϕ

(y′) (x′) ϕ′

x z′

Рис. 9.1. Изменение координат при операции инверсии (пространственного отражения): x′ = − x, y′ = − y, z′ = − z′, r ′ = r , θ′ = π − θ, ϕ′ = π + ϕ .

111

(9.3)

§ 9.2. Оператор инверсии Можно ввести оператор, производящий операцию инверсии. Его принято обозначать буквой Pˆ (от англ. parity − четность). По определению r r Pˆ ψ (r ) = Pψ(− r ) ,

(9.4)

где Р − собственное значение оператора инверсии. Нетрудно сообразить, что r r ψ (r ) ≡ Pˆ Pˆ ψ (r ) ,

(

что в свою очередь дает

(

)

)

(

)

r r r r Pˆ Pˆ ψ (r ) = Pˆ (Pψ (− r )) = P Pˆ ψ (− r ) = P 2 ψ (r ) . Таким образом, P 2 = 1,

P = ±1 .

(9.5)

Физический смысл этого результата почти очевиден (см. (9.2)): P = +1 для симметричных функций,

(9.6)

P = −1 для антисимметричных функций. Соответственно,

симметричные

функции

принято

называть

четными,

а

антисимметричные − нечетными.

§ 9.3. Закон сохранения чётности и его нарушение Действие оператора чётности на уравнение Шрёдингера r r ∂ψ h2 ˆ =− ⋅ ∆ψ (r , t ) + U (r ) ⋅ ψ, P × ih ∂t 2m

(9.7)

приводящее к инверсии знака координат, не изменяет знака лапласиана: 3 r r ∂2 Pˆ ⇒ r → − r , Pˆ ⋅ ∆ r = Pˆ ∑ 2 = ∆ − r . i −1 ∂xi

Соответственно, уравнение принимает вид r r r r ∂ψ (− r ) h2 ih (9.8) =− ⋅ ∆ψ (− r , t ) + U (− r ) ⋅ ψ (− r , t ) . 2m ∂t r r Если функция потенциальной энергии симметрична, т.е. U (r ) = U (− r ) , то, как 112

r r видно из (9.7) и (9.8), волновые функции ψ (r , t ) и ψ (− r , t ) подчиняются одному

и тому же уравнению. Поэтому, если, например, при t = 0 система, описываемая ψ-функцией, симметрична, т.е. r r ψ (r , 0 ) = ψ (− r , 0 ),

то эта симметричность сохраняется со временем: r r ψ (r , t ) = ψ (− r , t ). (9.9) r r Если же U (r ) ≠ U (− r ), состояние начальной симметрии, вообще говоря, не сохраняется, со временем. В качестве примера системы с разными чётностями состояний можно привести квантовый осциллятор (§ 7.7). У него

P = +1 для

четных n,

P = −1 для нечетных n. Это отчетливо видно на волновых функциях трёх нижних состояний квантового осциллятора (7.92). Собственное значение оператора Р для данного состояния квантовой системы называют также чётностью, или пространственной чётностью, состояния. В приведенном примере осциллятора состояния с чётным n − чётные, и наоборот. Следствием закона сохранения чётности является определённая структура волновой функции: если чётность сохраняется и имеет определённое значение (+1 или −1), то операция инверсии не меняет квадрата модуля волновой функции, т.е. r 2 r 2 ψ (r , t ) = ψ (− r , t ) . (9.10) r А это означает, что функция ψ (r , t ) , представленная в виде ряда по степеням x, y, z, не должна содержать координаты и их произведения в нечётных степенях: r ψ (r , t ) =

∞

∑ ak l m x k y l z m ,

k , l , m =1

k , l, m = 2n, n = 0, 1, 2, K

Записанная в сферических координатах эта функция не должна содержать cosθ в нечётной степени, т.к. операция инверсии (9.3) переводит θ в π − θ и слагаемое cosθ меняет знак: cos(π − θ) = − cos θ . 113

Поэтому равенство (9.10) удовлетворяется в случае угловой зависимости ψ-функции вида ∞

ψ (θ) = ∑ ai (cos θ)2i , i =0

в то время как для ψ-функции вида ∞

ψ (θ) = ∑ ai (cos θ)2i +1

(9.11)

i =0

равенство (9.10) нарушается. Закон сохранения чётности является одним из фундаментальных в физике. Он оставался незыблемым до 1956 г., когда появились экспериментальные указания на его нарушение. И первое из таких указаний было получено при исследовании свойств К-мезонов, которые могут распадаться по разным схемам (разный набор частиц – продуктов распада). При этом в одних схемах К-мезоны ведут себя как чётные частицы, а в других – как нечётные. До этого времени считалось, что β-распад прекрасно описывается теорией, созданной Ферми (E. Fermi, 1934 г.), который ввёл

понятие

слабого

взаимодействия.

Теория

Ферми

предполагает

справедливость закона сохранения чётности. Однако в 1956 г. американские физики Ли Цзун-Дао (Lee Tsung-Dao) и Янг Джень-Нин (Yang Chen-Ning), анализируя результаты экспериментов с К-мезонами, показали, что можно построить "параллельную" теорию β-распада, в которой закон сохранения чётности не используется, т.е. допускается его нарушение. Новая теория разрешила проблему К-мезонов и дала хорошее согласие с экспериментом. Соответственно, выдвинутое Ли и Янгом предположение о нарушении закона сохранения чётности в слабых взаимодействиях, в том числе и в бета-распаде ядер, не противоречило экспериментальным данным, известным к тому времени. Прямой проверкой гипотезы Ли и Янга был эксперимент, поставленный в 1957 г. группой американских физиков во главе с Ву Цзян-Сюн (Wu Chien-Shing). В эксперименте измерялась угловая зависимость интенсивности электронов, испускаемых бета-активным изотопом

60

внешнем поле. 114

Co, ядра которого поляризованы во

Поляризация ядер означает, что собственный механический момент (спин – см. главу 11 ниже) каждого из них ориентирован преимущественно вдоль некоторого выделенного направления. В данном случае это направление внешнего магнитного поля. r Как известно из классической электродинамики, частица с магнитным моментом µ в r магнитном поле B обретает потенциальную энергию, зависящую от значения угла θ между r r векторами µ и B : r r U = − µ, B = −µB ⋅ cos θ . (9.12)

( )

r Распределение векторов µ по углу θ устанавливается в соответствии с законом Больцмана

(задача 9.1 ниже): dN (θ) N 0 α µB = ⋅ ⋅ e α cos θ , α = , dΩ 4π shα T

(9.13)

где N0 – число частиц, dΩ − элемент телесного угла, Т – температура частиц. Отсюда легко видеть, что степень поляризации вещества в магнитном поле – отношение числа частиц, ориентированных по полю (θ = 0), к числу частиц, ориентированных против поля (θ = π) − определяется параметром α: ∆N + = e 2α . ∆N −

Очевидно, для достижения высокой степени поляризации требуется α ∼ 1. Для атомов парамагнитного вещества магнитный момент их электронной оболочки имеет величину порядка магнетона Бора (§ 11.3): µ ~ 6 ⋅ 10 −5 эВ Тл ,

так что в поле В = 1 Тл (104 Гс) и при температуре Т = 1 К*) параметр α близок к единице: α ≈ 0,6. Таким образом, для поляризации атомов парамагнетика требуются низкие температуры. Ещё сложнее дело обстоит с поляризацией ядер, магнитные моменты которых на три порядка меньше. Здесь на помощь приходит магнитное поле электронной оболочки, которое в центре парамагнитного атома с моментом µ составляет (поле магнитного диполя) Be ~

µ ~ 10 Тл, a3

где а ∼ 0,5⋅10−8 см – размер атома. Это поле и "выстраивает" магнитные моменты ядер параллельно магнитным моментам электронной оболочки. Для достижения низкой температуры парамагнитного образца применяют метод адиабатического размагничивания или "магнитного охлаждения". Этот метод, предложенный в

*)

Напомним, что 1 эВ ≈ 11000 К

115

1926 г. П. Дебаем и У. Джиоком (P. Debye, W. Giaque), хорошо развит в физике низких температур. Метод основан на использовании всё того же взаимодействия атомов парамагнитного вещества с внешним магнитным полем. Помещённый в магнитное поле образец парамагнетика охлаждают до температуры около 1 К, предельно достижимой при использовании жидкого гелия. Температура сжижения гелия составляет 4,2 К при нормальном давлении. При его испарении в вакуум достигается дополнительное охлаждение. Охлаждённый таким способом газ гелия впускают в сосуд Дьюара, где находится охлаждаемый образец. Так это делалось в описываемом r эксперименте группы Ву (рис. 9.2). В образце устанавливается распределение векторов µ по углу θ в соответствии с законом (9.13). Образец термоизолируют – откачивают газ из сосуда Дьюара с образцом. Затем магнитное поле снижают на некоторую величину ∆В. Можно показать (задача 9.2 ниже), что суммарная потенциальная энергия атомов при этом увеличивается. Поскольку образец термоизолирован, т.е. тепло извне не поступает (отсюда и название – адиабатическое размагничивание), то уменьшается суммарная кинетическая энергия атомов образца, т.е. снижается его температура. Таким образом, парамагнетик совершает работу по собственному размагничиванию. Далее операция повторяется ещё и ещё раз, пока не достигается желаемая температура. После каждого "шага по полю" образец выдерживается некоторое время при новом значении поля, чтобы установилось распределение (9.13), соответствующее новой температуре. Задача 9.1. Показать, что в магнитном поле устанавливается распределение (9.13) атомов парамагнетика по углам θ. Распределение Больцмана для энергии U(θ) (9.12), очевидно, имеет вид dN (θ) = C ⋅ e −U (θ ) T = C ⋅ e α cos θ . dΩ

Нормировочный множитель С найдём из условия N0 =

dN (θ) ⋅ dΩ = C dϕ sin θ ⋅ dθ ⋅ e α cos θ , dΩ Ω 0 0 2π

∫

π

∫ ∫

что даёт C=

N0 α . ⋅ 4π shα

Тем самым приходим к формуле (9.13). Задача 9.2.

Вычислить

изменение

внутренней

энергии термоизолированного образца r парамагнетика, находящегося во внешнем магнитном поле B при температуре Т, при изменении поля на величину ∆В.

116

Суммарная потенциальная энергия N0 атомов (внутренняя энергия образца) в поле В есть U N = ∫ U (θ) ⋅ Ω

N α 2π π dN (θ) dΩ = (− µB ) ⋅ 0 ⋅ dϕ sin θ ⋅ dθ ⋅ e α⋅cos θ = 4π shα ∫0 ∫0 dΩ

N 0T −α = ⋅ x ⋅ e x dx = N 0T (1 − α ⋅ cthα ). 2 ⋅ shα α∫

(9.14)

Отсюда найдём ∆U N

dU N dα = ⋅ ⋅ ∆B = N 0 dα dB

sh 2α 2 ⋅ µ ⋅ ∆B . sh 2 α

α−

(9.15)

Результат (9.15) этой задачи показывает, что приращение внутренней энергии при снижении поля (т.е. при ∆В < 0) положительно, если α−

sh 2α < 0, 2

что выполняется при любых α. В частности, ⎧ 2 ⎪ − N ⋅ α ⋅ µ ⋅ ∆B , α > 1.

Отсюда следует, что изменение UN увеличивается с ростом α, т.е. с уменьшением температуры. Поэтому для повышения скорости охлаждения образца при адиабатическом размагничивании (задача 9.3) и требуется как можно более низкая его начальная температура. Задача 9.3. Оценить скорость охлаждения парамагнетика при адиабатическом размагничивании при Т ∼ 1 К в поле В = 1 Тл. В соответствии с приведённой выше оценкой значение α составляет, примерно, 0,6 при таких параметрах эксперимента. Тогда из (9.15) находим ∆T (− ∆U N ) = =− ∆B N 0 ⋅ ∆B

sh 2α 2 ≈ 2,5 ⋅ 10 −5 K Гс. sh 2 α

α−

Отсюда следует, что при снижении поля с шагом ∆В = 100 Гс от 1 К до 1 мК требуется порядка 400 "шагов" по полю. Методом адиабатического размагничивания в настоящее время получают рекордно низкие температуры, ниже 1 мК. Заметим, что приведённое описание метода магнитного охлаждения дано на языке классической физики. Ниже (§ 11.6) мы увидим, что квантовый подход существенно не изменяет

117

полученные результаты (сравни формулу (9.12) и формулу для ε (11.44)).

ФЭУ NaI

r B

напуск холодного газообразного гелия и его откачка световод

Рис. 9.2. Схема опыта группы Ву Цзинь-Cюн: − кристалл, соединённый световодом с ФЭУ; − счётчик электронов; − NaI − счётчики γ-квантов; соленоид, создающий магнитное поле, не показан

кристалл Жидкий гелий NaI 60 27

Co

Сосуд Дьюара

Вернёмся к "опыту мадам Ву", как его часто называют. В опыте (рис. 9.2) образец изотопа кобальта-60, охлаждённый до температуры порядка 1 мК, помещался в поляризующее магнитное поле. Сцинтилляционный счётчик – кристалл нитрата церия-магния, соединённый с фотоумножителем (ФЭУ), регистрировал электроны, образующие при распаде кобальта-60: 60 60 27 Co → 27 Ni

+ e− + ~ νe .

(9.16)

Изучалась угловая зависимость вылета электронов Ne(θ). Фактически в таком эксперименте можно измерять только две точки по углу θ: θ = 0, π, когда магнитное поле и, соответственно, спины ядер направлены вверх или вниз, т.е. электроны бета-распада ядра вылетают по направлению поля или против него. Из-за такой особенности постановки эксперимента часто можно встретить неверное описание опыта мадам Ву: изменение направления поля как-то связывают с операцией зеркального отражения координат. На самом деле это r изменение направления B требуется только для обеспечения регистрации электронов под углами 0 (по полю) или π (против поля) при фиксированном положении детектора. А мысленную операцию инверсии следует привлекать на стадии анализа экспериментов. Как сказано выше, в случае несохранения 118

чётности функция ψ(0) должна иметь асимметричный вид (9.11), т.е. ψ (θ) ≠ ψ (π − θ) ,

(9.17)

N+ − N− = ∆ ≠ 0. N+ + N−

(9.18)

2

2

или

Отметим одно существенное обстоятельство: сама система образца должна быть зеркально-симметричной, т.е. направления магнитных моментов ядер не должны менять знак при операции инверсии координат (9.1), (9.3). Дальше, в § 11.3, мы увидим, что магнитный момент частицы жёстко "привязан" к её механическому моменту – спину. А механический момент является так называемым аксиальным вектором, который сохраняет знак при операции инверсии (см. подробнее § 10.1 ниже). Поэтому сама система поляризованных ядер инвариантна к этой операции, и обнаружение асимметрии ψ-функции (9.17), (9.18) свидетельствует о нарушении закона сохранения чётности. В опыте мадам Ву асимметрия наблюдалась на уровне [7] ∆ ∼ 0,25. И ещё одна деталь этого эксперимента. Поляризация ядер кобальта-60 регистрировалась по измерению угловой зависимости Nγ(θ) интенсивности γквантов, которые испускаются возбуждёнными ядрами никеля, образующимися при бета-распаде кобальта-60 (9.16). Эти γ-кванты регистрировались также сцинтилляционными счётчиками, но на основе кристалла иодида натрия NaI, (рис. 9.2). Естественно задать вопрос – нельзя ли по виду этой функции Nγ(θ) также судить о сохранении или нарушении чётности? Вопрос не столь тривиален, как может показаться на первый взгляд. Действительно, "высвечивание" возбуждённого ядра – результат взаимодействия его нуклонов, т.е. сильное взаимодействие, которое сохраняет чётность. Однако, если при этом "примешивается" слабое взаимодействие, то должна появиться асимметрия вида (9.17), (9.18). И, действительно, такая асимметрия была экспериментально обнаружена в экспериментах по захвату тепловых нейтронов ядрами кадмия-113: 119

113

Эти

эксперименты,

Cd + n→114 Cd + γ.

проведённые

в

70-х

годах

группой

Ю.Г. Абова

и

П.А. Крупчицкого в Институте экспериментальной и теоретической физики (Москва), дали ∆γ = −(3,3 ± 0,6) ⋅10 −4.

§ 9.4. Комбинированная чётность. СРТ теорема* Как уже сказано, наличие симметрий различного рода есть одно из важнейших свойств нашего мира. И симметрия по отношению к преобразованию инверсии (Р-преобразование) является одной из них, но далеко не единственной. Прежде всего, нужно указать ещё на два преобразования, которые с точки зрения проверки симметрии мира являются наиболее принципиальными, т.е. они определяют законы, которым подчиняются физические процессы. Первое из этих преобразований – операция зарядового сопряжения (С-преобразование),

заменяющая

частицы

на

античастицы.

При

этом

преобразовании знаки зарядов частиц изменяются на противоположные. Здесь уместно отметить, что, кроме привычного электрического заряда, частицам в современной физике приписывают и другие виды зарядов, отличающие их свойства. Так, барионный заряд (от греч. barýs − тяжёлый), отличный от нуля, свидетельствует о том, что частица может "участвовать" в сильном ("ядерном") взаимодействии. Лептонный заряд (от греч. leptos – лёгкий) отличен от нуля у частиц, которые участвуют в слабом и электромагнитном взаимодействиях, но не участвуют в сильном взаимодействии. С-преобразование изменяет знаки всех этих зарядов qα: r r Cˆ ⋅ ψ(r , t , qα ) = C ⋅ ψ(r , t , − qα ),

где qα − набор зарядов, характеризующих частицы системы, которая описывается данной ψ-функцией. Если система симметрична по отношению к С-преобразованию, то из этого 120

можно сделать вполне определённые выводы об её поведении. Так, например, в реакции бета-распада ядра кобальта-60 (9.16) фактически распадается один из нейтронов ядра: n → p + e− + ~ νe .

(9.19)

Значок ~ (тильда) над символом нейтрино означает, что это античастица (точнее – электронное

нейтрино).

С-преобразование

предписывает

закон

распада

антинейтрона: n~ → ~ p + e+ + νe .

(9.20)

Обратим внимание на выполнение законов сохранения зарядов в этих реакциях, суммы которых в левых и правых частях этих "равенств" одинаковы (табл. 9.1). Таблица 9.1. Заряды частиц в реакциях (9.19), (9.20), (9.21) Заряд

Электрический Барионный

Лептонный

Частица

(в единицах е)

электронный

нейтрон n

0

+1

0

антинейтрон n~

0

−1

0

протон р

+1

+1

0

антипротон ~ p

−1

−1

0

электрон е−

−1

0

+1

позитрон е+

+1

0

−1

электронное нейтрино ν e

0

0

+1

электронное антинейтрино ~ νe

0

0

−1

в реакции (9.19)

0

+1

0

в реакции (9.20)

0

−1

0

в реакции (9.21)

+1

+1

−1

Суммарный заряд

Операция обращения времени (Т-преобразование), изменяет направление хода времени. Конечно, выполнить такое преобразование буквально в природе 121

невозможно. Однако, рассмотреть действие операции Т-преобразования вполне можно, сравнив прямую и обратную реакции. Так, реакцией, обратной распаду нейтрона (9.19) будет реакция взаимодействия нейтрино с протоном: p+~ νe → n + e+ .

(9.21)

И такая реакция обратного бета-распада нейтрона была действительно обнаружена (Коуэн и Рейнес, 1953 г.) на потоке электронных антинейтрино из ядерного реактора. Тем самым одновременно экспериментально было показано, что в бета-распаде ядер образуются антинейтрино, т.к. в реакции (9.21) рождается античастица – позитрон. Вскоре после подтверждения нарушения закона сохранения чётности в слабых

взаимодействиях

Л.Д. Ландау

выдвинул

гипотезу

сохранения

комбинированной (СР) чётности в слабых взаимодействиях – закон, известный под названием СР-инвариантность. С тех пор эта гипотеза является объектом интенсивной экспериментальной проверки. Уже в 1964 г. появились первые данные о нарушении СР-инвариантности в распадах нейтральных К-мезонов. И только совсем недавно такого же рода нарушения были экспериментально обнаружены в распадах заряженных К-мезонов. Обсуждение деталей этих исследований выходит за рамки данного курса. Гипотеза Ландау была высказана неслучайно. Дело в том, что ещё раньше, в 1952−53 гг. Г. Людерсом (G. Lüders) и В. Паули (W. Pauli) была доказана так называемая СРТ-теорема, утверждающая, что релятивистская квантовая теория инвариантна относительно одновременно произведённых С-, Р- и Т-преобразований. Поскольку в Т-инвариантности оснований (в то время) сомневаться не было, то из инвариантности системы по отношению к СРТ-преобразованию следовала инвариантность к преобразованиям по частям – СР и Т. Заметим, что нарушение СР-инвариантности означает, при условии СРТинвариантности, нарушение Т-инвариантности, что и имеет место в слабых взаимодействиях. Однако объяснение этого нарушения довольно нетривиально и также недоступно на уровне нашего курса. 122

ГЛАВА 10. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА § 10.1 Оператор момента импульса. В классической механике момент импульса определен как r r r L = [r , p ] ,

(10.1)

r где r − радиус-вектор из начала отсчета (точка 0) в точку, где находится частица, r обладающая импульсом p . Существенно, что это момент импульса частицы r относительно точки 0 (рис. 10.1). Ещё одна особенность вектора L − это так

называемый аксиальный вектор. В отличие от "обычного" полярного вектора, который меняет знак при операции инверсии (9.1), аксиальный вектор знака не изменяет. Действительно, r r при r → − r

имеем r r r r r r p → − p, L → [− r , − p ] = L. r L

Рис. 10.1. Момент импульса частицы в

r p

классической механике

0 m

В квантовой механике естественно возникает оператор момента импульса, если в выражение (10.1) вместо импульса подставить его оператор (8.10): rˆ r L = −ih ⋅ [r , ∇ ] .

(10.2)

Соответственно, компоненты этого векторного оператора запишем, раскрыв векторное

произведение.

Напомним

правило

пользования

векторным

дифференциальным оператором: нельзя произвольно менять местами функцию 123

координат-времени и оператор, если первая может быть продифференцирована. r Поэтому в данном случае компоненты вектора r нельзя "вносить под оператор". Запишем в декартовых координатах (ex, ey, ez -орты) r ex

rˆ L = −ih ⋅ x ∂ ∂x

r ey

r ez

y ∂ ∂y

z , ∂ ∂z

(10.3)

откуда ⎛ ∂ ∂ ⎞ Lˆ x = −ih ⋅ ⎜⎜ y − z ⎟⎟, ∂y ⎠ ⎝ ∂z ∂ ⎞ ⎛ ∂ Lˆ y = +ih ⋅ ⎜ x − z ⎟, ∂x ⎠ ⎝ ∂z

(10.4)

⎛ ∂ ∂ ⎞ Lˆ z = −ih ⋅ ⎜⎜ x − y ⎟⎟. ∂x ⎠ ⎝ ∂y

В сферических координатах вектор градиента имеет компоненты: r ∂ r 1 ∂ r 1 ∂ ∇ = er + eϕ ⋅ + eθ ⋅ . r sin θ ∂ϕ r ∂θ ∂r

(10.5)

Этот результата легко получить, воспользовавшись определением сферических координат

и

их

приращений

по

взаимно-ортогональным

(базисным)

направлениям (рис. 10.2): z r θ ϕ

Рис. 10.2. Сферическая (r, θ, ϕ) и

y

декартова (x, y, z) системы координат

x

x = r sin θ ⋅ cos ϕ,

y = r sin θ ⋅ sin ϕ,

приращения:

124

z = r cos θ ;

(10.6)

по r → dr , по θ → rdθ,

(10.7)

по ϕ → r sin θ ⋅ dϕ. Задача 10.1. Найти выражение оператора Lˆ z в сферических координатах. Попробуем решить задачу "в лоб", подставив в выражение Lˆ z из (10.4) значения координат и производных, записанные в сферических координатах. Для этого нам потребуются обратные соотношения для сферических координат через декартовы: r = x 2 + y 2 + z 2 , cos θ =

z y , tgϕ = . r x

(10.8)

Тогда y ⋅ cos 2 ϕ ∂ 1 xz ∂ ∂ ∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂ϕ x ∂ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ 3⋅ − ⋅ , ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂ϕ ∂x r ∂r sin θ r ∂θ ∂ϕ x2 1 ∂ ∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂ϕ y ∂ yz ∂ cos 2 ϕ ∂ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ 3 ⋅ + ⋅ . ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂ϕ ∂y r ∂r sin θ r ∂θ ∂ϕ x

Подставив эти выражения для производных в формулу для Lˆ z (10.4), без труда находим ∂ Lˆ z = −ih . ∂ϕ

(10.9)

Задача 10.2. Выразить операторы Lˆ x и Lˆ y в сферических координатах. Аналогично предыдущей задаче вычислим производную ∂ ∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂ϕ z ∂ x2 + y2 ∂ z ∂ sin θ ∂ ⋅ + ⋅ = ⋅ − 3 ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ + ∂z ∂r ∂z ∂θ ∂z ∂ϕ ∂z r ∂r r ⋅ sin θ ∂θ r ∂r r ∂θ

и, подставив выражения для производных в (10.4), найдем ⎛ ∂ ∂ ⎞ Lˆ x = ih ⋅ ⎜⎜ sin ϕ ⋅ + ctgθ ⋅ cos ϕ ⋅ ⎟⎟, ∂ θ ∂ ϕ⎠ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎞ − ctgθ ⋅ sin ϕ ⋅ ⎟⎟. Lˆ y = −ih ⋅ ⎜⎜ cos ϕ ⋅ ∂θ ∂ϕ ⎠ ⎝

Задача 10.3. Выразить оператор Lˆ2 в сферических координатах. Памятуя о правиле пользования дифференциальными операторами, вычислим Lˆ2 = Lˆ2x + Lˆ2y + Lˆ2z ,

125

(10.10)

подставив значения Lˆ x , y , z из (10.4). Тогда, например, для первого члена найдем ⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ∂ ⎞ + ctgθ cos ϕ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ sin ϕ Lˆ2x = −h 2 ⋅ ⎜⎜ sin ϕ + ctgθ cos ϕ ⎟⎟ = ∂ θ ∂ ϕ ∂ θ ∂ ϕ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ sin ϕ ⋅ cos ϕ ∂ ∂2 ∂2 ∂ + = −h 2 ⎜⎜ sin 2 ϕ 2 − ⋅ + ctgθ ⋅ sin ϕ ⋅ cos ϕ ⋅ + ctgθ ⋅ cos 2 ϕ ⋅ 2 ∂ ϕ ∂ θ ⋅ ∂ ϕ ∂ θ sin ∂ θ θ ⎝ ∂2 ∂ ∂2 − ctg 2 θ ⋅ cos ϕ ⋅ sin ϕ ⋅ + ctg 2 θ ⋅ cos 2 ϕ ⋅ 2 ∂ϕ ⋅ ∂θ ∂ϕ ∂ϕ

+ cos ϕ ⋅ sin ϕ ⋅

⎞ ⎟⎟. ⎠

Аналогичное (и такое же громоздкое) выражение получим для Lˆ2y , а также ∂2 Lˆ2z = −h 2 . ∂ϕ 2

Сложив эти выражения, найдем ⎛ ∂2 ∂ ∂ 1 + ctgθ ⋅ + ⋅ 2 Lˆ2 = −h 2 ⎜⎜ 2 ∂θ sin θ ∂ϕ ⎝ ∂θ

⎞ ⎟⎟ . ⎠

Свернув первые два слагаемые, окончательно запишем Lˆ2 = −h 2 ⋅ ∆ θ, ϕ , ∆ θ, ϕ =

∂ ⎛ ∂ ⎞ ∂2 1 1 . ⋅ ⋅ ⋅ ⎜ sin θ ⋅ ⎟ + ∂θ ⎠ sin 2 θ ∂ϕ 2 sin θ ∂θ ⎝

(10.11)

Оператор ∆θ, ϕ есть ни что иное, как угловая часть оператора Лапласа, записанного в сферических координатах (см. (7.54)).

[

]

Задача 10.4. Найти выражение для коммутатора Lˆ x , Lˆ z . Проще всего рассмотреть задачу в декартовой системе координат:

[Lˆ , Lˆ ] ≡ Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ x

z

x

z

z

x

⎛⎛ ∂ ∂ ⎞⎞ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂ − y ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ y − z ⎟⎟ ⎟⎟ . = −h 2 ⎜⎜ ⎜⎜ y − z ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ x − y ⎟⎟ − ⎜⎜ x ∂y ⎠ ⎠ ∂x ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂y ∂y ⎠ ⎝ ∂y ⎝ ⎝ ∂z

Выпишем последовательно все производные, стоящие в скобках: xy

∂2 ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 ∂ ∂2 ∂ ∂2 ∂2 , − y2 − zx 2 + z + zy − x − xy + xz 2 + y 2 − yz ∂y∂x ∂z ∂y∂z ∂x∂z ∂x∂y ∂z∂y ∂z∂x ∂x ∂ y ∂ y

откуда видно, что все вторые производные сокращаются, и в результате получаем:

[Lˆ , Lˆ ] = h ⎛⎜⎝ x ∂∂z − z ∂∂x ⎞⎟⎠ = −ihLˆ . 2

x

z

y

Аналогичные выражения можно получить для коммутаторов операторов других пар проекций момента импульса. Таким образом, операторы проекций момента импульса попарно не коммутируют, это означает, что одновременно все проекции импульса не могут иметь определенные значения.

126

§ 10.2. Собственные функции и собственные значения оператора Lˆ z Прежде всего, скажем несколько слов по поводу выбора координатных осей. Уже из сравнения выражений (10.9) и (10.10) можно заметить, что ось z выделена – формула для оператора Lˆ z много проще формул для

Lˆ x и

Lˆ y ,

которые к тому же имеют сходную структуру. Тем самым, можно заключить, что ось z – некоторое выделенное направление. Дальше мы увидим, что описание квантовой системы (набор и вид формул) существенно зависит от выбора этого направления. И это объективный факт, отмеченный при обсуждении принципа дополнительности (§ 5.3): выбирая направление осей, исследователь "вторгается" в исследуемую систему. Существуют, однако, ситуации, когда в системе присутствует выделенное направление. Это имеет место, например, при движении частицы или атома в электромагнитном поле (§§ 11.5, 11.6 и Глава 18). Тогда r r естественно в качестве оси z выбрать направление поля B или E . Для нахождения собственных функций оператора Lˆ z и его собственных значений Lz запишем уравнение вида (8.16): Lˆ z Φ (ϕ) = Lz ⋅ Φ (ϕ) , где Φ (ϕ ) − собственная функция, зависящая только от координаты ϕ, т.к. оператор

Lˆ z

действует только на эту координату, если мы пользуемся

сферической системой координат (см.(10.9)):

− ih

dΦ = Lz Φ . dϕ

Отсюда Φ (ϕ) = C ⋅ e κϕ , κ =

iLz . h

(10.12)

Поскольку функция Φ (ϕ) должна быть однозначной функцией координат точки пространства, то Φ (ϕ) = Φ (ϕ + 2π n), где n − любое целое, включая единицу. Поэтому

127

e κ 2 πn = 1, т.е. 2π κn = 2πim′, m′ − целое действительное число . Отсюда находим: nκ = im′, т.е. κ = im → есть целое мнимое число. Подставив это значение в (10.12), получим Lz = mh, m = 0, ± 1, ± 2, K

(10.13)

Соответственно, собственные функции оператора Lˆ z имеют вид: Φ (ϕ) = Cm ⋅ e imϕ .

(10.14)

Константы Сm находим из условия нормировки: 2π

∫ Φ(ϕ)

2

⋅ dϕ = 1,

0

что даёт Cm =

1 . 2π

По своему физическому смыслу Lz

есть значение проекции момента

частицы на (см. ниже!) ось z. Поэтому величина Lz не может превышать некоторого максимального значения, соответствующего в классической механике величине момента импульса. Соответственно, можно утверждать, что параметр m, именуемый магнитным квантовым числом (смысл этого названия будет понятен позднее, – см. § 11.6), пробегает ряд возможных значений

m = −l, − l + 1, K, 0, 1, K, l − 1, l,

(10.15)

где l − некоторое число, связанное, как мы увидим в следующем параграфе, со значением полного момента импульса L (см. § 10.18).

§ 10.3. Операторы Lˆ x , Lˆ y . Выбор осей. Значение L2 Уже из соотношений (10.10) видно, что функция (10.14), хотя формально и удовлетворяет уравнению вида (8.16) для операторов Lˆ x

и

Lˆ y , тем не менее, не

является собственной функцией этих операторов, т.к. не зависит от полярного угла θ, производные по которому содержатся в этих операторах. Более того,

128

можно утверждать, что операторы Lˆ x , Lˆ y , Lˆ z не имеют общей (отличной от нуля) собственной функции. Это следует из решения задачи 10.4. С другой стороны, выбор направления оси z, вообще говоря, ничем не выделен, поэтому результат, полученный в § 10.2 для Lˆ z , должен быть справедлив для Lˆ x

и

Lˆ y − все три проекции оператора Lˆ могут принимать

только целочисленные значения. Более того, из равноправности осей следует, что средние значения квадратов модулей проекций момента равны: L2x = L2y = L2z .

(10.16)

В случае, когда квадрат момента импульса имеет определенное значение, согласно (8.32), L2 = L2 ,

то, используя (10.16), можно записать: L2 = L2 = 3 L2z .

(10.17)

В свою очередь, Lz принимает одно из значений (10.13), и всего таких значений, согласно (10.15), 2l + 1. Поэтому L2z =

l h2 ⋅ ∑ m2 . 2l + 1 m = − l

Сумма ряда чисел m2 равна l

∑m

m=− l

2

l

= 2∑ m 2 = 2 ⋅ m=1

l(l + 1)(2l + 1) . 6

Отсюда L2z =

h 2 l(l + 1) , 3

L2 = h 2 l(l + 1).

(10.18)

Во втором равенстве снят знак усреднения 〈 〉, что можно сделать, учитывая соотношение (8.32) между 〈L〉 и L. Таким образом, в (10.18) мы получили значение полного момента импульса L – оно характеризуется числом l, которое называют орбитальным квантовым числом. 129

И еще одна важная особенность этого результата. Мы не случайно оставили знак 〈 〉 у L2z − это действительно среднее значение квадрата оператора Lˆ z по всем возможным состояниям с разными m (напомним, что их 2l + 1). Но

для всех состояний величина L2 − одна и та же, т.е. для оператора Lˆ это одно и то же состояние. Говорят, что в таком случае это состояние вырождено − в данном случае по квантовому числу m, которое при заданном l имеет 2l + 1 возможных значений. Отметим еще одну особенность момента импульса и его компонент. Сравнивая L из (10.18) и Lz из (10.13), видим, что Lz = m ⋅ h ≤ lh < l(l + 1) ⋅ h = L ,

т.е. всегда (рис. 10.3) Lz < L .

(10.19)

Это означает, что вектор момента импульса не может быть точно совмещен с осью z, он всегда "длиннее" (!) максимальной величины своей проекции на выделенное направление (см. сказанное в начале предыдущего параграфа). Из

этого результата следует вывод: можно сколь угодно точно определить величины Lz и L, но при этом остается неопределенность значений Lx

и

L y . В частности,

при Lz = lh на долю поперечных компонент "остаётся" L2x + L2y = L2 − L2z = lh .

r Lz

z

r Рис. 10.3 Вектор L и его максимально возможная проекция на ось z: 7 l = 7, θ min = Arc cos = 20 o 40' . 56

r L

θmin

x

r L⊥

y

130

(10.20)

§ 10.4. Собственные функции оператора Lˆ 2 Будем искать решение уравнения вида (8.16) для оператора Lˆ2 : Lˆ2 ⋅ Υ (θ, ϕ) = L2 ⋅ Υ (θ, ϕ) .

(10.21)

Воспользуемся методом разделения переменных, представив искомую функцию в виде Υ (θ, ϕ) = Ρ(θ ) ⋅ Φ (ϕ) .

(10.22)

Подставив это выражение в (10.21) и учитывая (10.11), запишем: 1 Ρ d ⎛ dΡ ⎞ d 2Φ L2 ⋅ = − 2 ⋅Ρ⋅Φ. ⋅ ⋅ ⎜ sin θ ⋅ ⎟ ⋅ Φ + sin θ dθ ⎝ dθ ⎠ sin 2 θ dϕ 2 h

(10.23)

Поделив обе части этого уравнения на Υ = Ρ⋅Φ и подставив значение L2 (10.18), получим: ⎡ 1 ⎤ d ⎛ dΡ ⎞ 1 d 2Φ sin 2 θ ⋅ ⎢ ⋅ ⋅ ⎜ sin θ ⋅ ⎟ + l(l + 1)⎥ = − ⋅ . dθ ⎠ Φ dϕ 2 ⎣ Ρ sin θ dθ ⎝ ⎦

(10.24)

Отметим, что здесь и в (10.23) стоят полные, а не частные производные, поскольку Ρ (θ ) и Φ (ϕ ) − функции одного аргумента (каждая своего). Традиционно решение уравнений такого вида основано на использовании независимости их левой и правой частей, в которых содержатся функции разных аргументов. В нашем случае в левой части стоит функция θ, а в правой − функция ϕ. Поэтому равенство возможно только в одном случае, − когда обе части равенства равны некоторой константе. Обозначив её через С 2, запишем: d 2Φ = −C 2 Φ, 2 dϕ

1 d ⎛ dΡ ⎞ ⎛ C2 ⎞ ⎜ ⎟ ⋅ Ρ = 0. ⋅ ⎜ sin θ ⋅ ⎟ + ⎜ l ⋅ (l + 1) − sin θ dθ ⎝ dθ ⎠ ⎝ sin 2 θ ⎟⎠ Из первого уравнения имеем Φ (ϕ) = A ⋅ e iCϕ + B ⋅ e −iCϕ .

Учитывая периодичность функции Φ (ϕ ), как это делалось в § 10.2, найдем: Φ (ϕ) = Φ (ϕ + 2π), т.е. e ± iCπ = 1 ,

131

(10.25)

откуда

C ⋅ 2π = 2πm, m − целое , т.е. C = m, m = 0, ±1, ±2, …

Таким образом, Φ (ϕ ) имеет тот же вид, что и собственные функции оператора Lz (10.14): Φ (ϕ) = Cm ⋅ e imϕ , m = 0, ± 1, ± 2, K

(10.26)

Теперь уравнение для Ρ (θ ) в (10.25) можно представить в виде

(

)

d ⎛ dΡ ⎞ ⎛ m2 ⎞ ⎟ ⋅ Ρ = 0, ⎜⎜ 1 − ξ 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ l ⋅ (l + 1) − dξ ⎝ dξ ⎠ ⎝ 1 − ξ 2 ⎟⎠ ξ = cos θ.

(10.27)

Это уравнение для так называемых присоединенных полиномов Лежандра, которые описываются формулой

Ρlm (cos θ) =

(

)

sin m θ d l+ m cos 2 θ − 1 l . ⋅ l l+m 2 ⋅ l! (d cos θ)

(10.28)

Функции Υlm (θ, ϕ) = Ρlm (cos θ) ⋅ Φ (ϕ) ,

(10.29)

нормированные на единицу, называют шаровыми. Оставляя вычисление нормировочных множителей (с подстановкой в (10.29) выражений (10.26) и (10.28)) для курса математической физики, приведем окончательный результат: Υlm (θ, ϕ) =

2l + 1 (l − m !) m ⋅ Ρl (cos θ) ⋅ e imϕ . ⋅ l + m! 4π

(10.30)

Их явный вид при малых значениях l, m дается формулами 1 4π 3 Υ10 = ⋅ cos θ 4π 5 Υ20 = ⋅ 3 cos 2 θ − 1 16π Υ00 =

(

)

3 ⋅ sin θ ⋅ e ±iϕ , 8π 15 Υ2±1 = m ⋅ sin θ ⋅ cos θ ⋅ e ±iϕ , 8π 15 Υ2± 2 = ⋅ sin 2 θ ⋅ e ±i 2ϕ . 32π Υ1±1 = m

132

(10.31)

В теории полиномов Лежандра показывается, что индексы m и l связаны условием m ≤l,

(10.32)

что совпадает с (10.15). Таким образом, завершается физическая картина всего математического § 10.4: шаровые функции Υlm (θ, ϕ) , являющиеся собственными функциями оператора Lˆ2 , зависят как от значения модуля момента импульса L = h l(l + 1) , так и от значения его проекции на ось z: Lz = mh. Сама шаровая

функция содержит в качестве сомножителя собственную функцию оператора Lˆ z . Из формул (10.28 ÷ 10.30) следуют свойства симметрии шаровых функций. Их выясним, заметив, что при операции инверсии угловые координаты θ и ϕ преобразуются (рис. 9.1) в соответствии с (9.3). А т.к.

sin (π − θ) = sin θ,

cos(π − θ ) = − cos θ , то из (10.28) найдем:

Ρlm (cos(π − θ)) = (+ 1)m ⋅ (− 1)l+ m ⋅ Ρlm (cos θ) ,

(10.33)

а из (10.30) e im (ϕ+ π ) = (− 1) ⋅ e imϕ . m

В результате получим: Ρˆ Υlm (θ, ϕ) = (− 1)l ⋅ Υlm (θ, ϕ) ,

(10.34)

т.е. четность шаровых функций определяется квантовым числом l: функции Υlm

четные для четных l, нечетные − для нечетных.

§ 10.5. Правила сложения моментов Все рассмотрение в §§ 10.1−10.4 относится к одной частице. Рассмотрим теперь систему из двух независимых частиц. Если каждая из них описывается своей

волновой

функцией,

то

тогда

133

система

из двух

частиц,

не

взаимодействующих друг с другом, будет описываться функцией, равной произведению волновых функций частиц: r r r r ψ12 (r1 , r2 ) = ψ1 (r1 ) ⋅ ψ 2 (r2 ) .

(10.35)

Это следует из вероятностного характера ψ-функции: вероятность того, что два независимых

события

происходят

одновременно,

равна

произведению

вероятностей свершения каждого из событий. Применим формулу (10.35) к шаровым функциям и учтем, что оператор Lˆ z действует только на координату ϕ. Тогда оператор Lˆ z двух частиц, равный

Lˆ z = Lˆ1z + Lˆ 2 z , действуя на свою собственную функцию, дает (см. 10.12−10.14)): Lˆ z ⋅ Υ12 (θ1 , ϕ1 , θ2 , ϕ2 ) = Lˆ z ⋅ Υ1 (θ1 , ϕ1 ) ⋅ Υ2 (θ2 , ϕ2 ) = = Lˆ1z ⋅ Υ1 ⋅ Υ2 + Υ1 ⋅ Lˆ2 z ⋅ Υ2 (θ2 , ϕ2 ) = (m1 + m2 ) ⋅ h ⋅ Υ12 .

(

)

(10.36)

Таким образом, магнитное квантовое число системы из двух независимых частиц равно сумме этих чисел каждой из частиц: m12 = m1 + m2 ,

(L12 )z = (m1 + m2 ) ⋅ h . Всего m12 имеет

(2l 1 + 1) ⋅ (2l 2 + 1)

(10.37)

возможных значений. Несколько сложнее

обстоит дело с полным моментом и его квантовым числом l12. Результат (10.37) означает ни что иное, как обычное (классическое) сложение проекций моментов двух частиц на ось z. Однако, применять правило сложения векторов к полным моментам нельзя, т.к. их положение в пространстве известно с некоторой неопределенностью (см. формулу (10.20) и текст перед ней). Но здесь на помощь приходит результат (10.37). Пусть у нас заданы квантовые числа векторов r r L1 и L2 : l1, m1, l2, m2. Этот набор квантовых чисел, характеризующих

состояние системы, принято обозначать l 1 , m1 , l 2 , m2 .

(10.38)

Далее мы поясним это обозначение подробнее. Если m1 и m2 известны (измерены), то известно также значение их суммы 134

m12 = m1 + m2. r Поэтому суммарный момент L12 может принимать такое значение, что соответствующее ему квантовое число l 12 ≥ m12 ,

(10.39)

т.к. вектор всегда не короче своей проекции. Соответственно, модуль этого вектора есть (см. (10.18)) L12 = h l 12 (l 12 + 1) .

(10.40)

(l 12 )min = m12 , (l 12 )max = (m1 )max + (m2 )max = l 1 + l 2 .

(10.41)

Очевидно, что

Таким образом, l12 может принимать все значения из целочисленного ряда l 12 = m12 , m12 + 1, K, l 1 + l 2 .

Теперь зададим вопрос, какие значения может принимать l12 при заданных l1 и l2 и всех возможных при этом значениях m1 и m2. Максимальное значение l12 определено в (10.41). С минимальным несколько сложнее. Выберем номера 1 и 2, например, так, что

l1 > l2 .

(10.42)

Очевидно, минимальному значению l12 соответствует случай, когда вектора r r L1 и L2 антипараллельны, т.е. в нашем случае (l12)min = l1 − l2.

В этом нетрудно убедится, вспомнив, что l12 может принимать любые целочисленные значения от (l 12 )max до (l 12 )min : l 12 = l 1 + l 2 , l 1 + l 2 − 1, K, l 1 − l 2 ,

(10.43)

но значения меньше l 1 − l 2 запрещены, т.к. тогда соответствующее максимальное значение проекции на ось z не достигает значения величины m1 − m2. При произвольном выборе номеров 1, 2 всегда справедливо утверждение

(l 12 )min =

l1 − l 2 .

Таким образом, мы установили, что 135

l 1 − l 2 ≤ l 12 ≤ l 1 + l 2 .

(10.44)

Закон сложения моментов удобно пояснить на векторной модели r r (рис. 10.5). Рассмотрим, для простоты, случай, когда два вектора, L1 и L2 , лежат ("мгновенно") в одной плоскости. В том случае, когда проекции обоих векторов на ось z имеют максимальное и положительное значение (рис. 10.5, а), суммарный вектор может иметь только одно значение, когда l = l 1 + l 2 , т.к. m = m1 + m2 = l 1 + l 2 в данном случае. Это соответствует в классической r r механике параллельным векторам L1 и L2 . Если же m1 или/и m2 меньше своих

максимальных значений l1 и l2, суммарный вектор L может иметь несколько r значений, соответствующих l12 между l1 + l2 и m12, но таких, что проекция L на ось z равна h⋅(m1 + m2) (рис. 10.5, б). И, наконец, при m1 = l1, m2 = −l2 имеет место случай "антипараллельных" векторов момента. а) r L1

z 3 2 1

−1

r L(3)

r L (2)

r L2 1

б)

x

−2

в)

z

z

3

3

2

2

1 r −1 L 2

r L (1)

r L1

r L (3)

1

2

3

1 x −1

r L1 r L (1) 1 r L2

2

Рис. 10.5. Сложение двух моментов с квантовыми числами l1 = 2, l2 = 1. Рассмотрен случай, когда оба вектора лежат в плоскости (x, z) а) "параллельные" моменты: m1 = 2, m2 = 1; б) m1 = 1, m2 = 0; в) "антипараллельные" моменты: m1 = 2, m2 = −1. В скобках на рисунке указаны значения l12. Подчеркнём, что значения Lx здесь определены с точностью до знака

136

x

Задача

10.5.

Найти

возможные

собственные

значения

вектора

r r r L = L1 + L2 ,

если

l1 = 5, l2 = 10, m1 = 2, m2 = −9. Поскольку m = m1 + m2 = −7, то среди значений l (10.40) реализуются только те, для которых l ≥ |m|. В рассматриваемом случае найдем: l = 15, 14, 13, …, 7.

Проведенное рассмотрение показывает, что правила сложения квантовых моментов независимых частиц не имеют ничего общего с правилами сложения обычных (классических) векторов. Кроме того, употребляя слово "мгновенно" r применительно к положениям векторов L в пространстве, мы имели в виду r результат мгновенного измерения этого положения. Вектор момента L может занимать в пространстве все возможные положения, при которых значение m равно сумме m1 + m2, а угол ϕ лежит между 0 и 2π. Задача 10.6. Найти правило сложения чётностей в системе из двух независимых частиц. Поскольку Υ12 = Υ1 ⋅ Υ2 (см. 10.35)), то действие оператора чётности на функцию Υ12(θ, ϕ) можно представить в виде (см. (10.33)) Ρˆ Υ12 (θ, ϕ) = Ρˆ Υ1 (θ, ϕ) ⋅ Υ2 (θ, ϕ) = Υ1 (π − θ, ϕ + π ) ⋅ Υ2 (π − θ, ϕ + π) = = (− 1) 1 Υ1 (θ, ϕ) ⋅ (− 1) 2 ⋅ Υ2 (θ, ϕ) = (− 1) 1 l

l +l 2

l

⋅ Υ12 (θ, ϕ).

Таким образом, чётность состояния из двух независимых частиц есть Ρ12 = (− 1) 1

l +l 2

Сложение

моментов

последовательного

N

независимых

применения

(10.45)

.

описанных

частиц выше

производится правил.

путём

Задача 10.7

иллюстрирует это на примере системы из трёх частиц. Задача 10.7. Сформулировать правило сложения моментов трех независимых частиц. Рассматривая суммарный момент двух частиц как момент единой системы, запишем:

137

r r r L123 = L12 + L3 , l 12 + l 3 ≤ l 123 ≤ l 12 − l 3 , m123 = m12 + m3 .

Отсюда: m123 = m1 + m 2 + m 3 ,

(10.46)

l 123 = l 1 + l 2 + l 3 , l 1 + l 2 + l 3 − 1, K , l 1 − l 2 − l 3 .

В заключение этой главы скажем, что рассмотренный

здесь момент

частицы называют орбитальным моментом − термин, заимствованный в "старой" квантовой механике Бора из классической механики. Он сохранился в "новой" квантовой механике и перешёл в физику атомного ядра и частиц, хотя, как мы уже знаем, никаких орбит электрона в атоме не существует. Правильнее говорить, что орбитальный момент – характеристика взаимодействия между ядром и электроном, которая описывается так, как если бы электрон-частица имел орбитальный механический момент. Но определяет эта характеристика вид волновой функции (т.е. вероятностную величину!). В следующей главе появляется собственный момент частицы, или спин.

ГЛАВА 11. СПИН § 11.1. Гипотеза Уленбека и Гаудсмита. Спин частицы. Фермионы и бозоны. Полный момент частицы Предположение о существовании собственного механического момента импульса у частиц было впервые высказано в 1925 г. голландскими физиками Дж. Уленбеком (G. Uhlenbeck) и С. Гаудсмитом (S. Goudsmit) на основе анализа спектров излучения атомов − их тонкой структуры (см. Главу 14). Они предложили модель электрона в виде вращающегося заряженного шарика, или волчка − отсюда название "спин" (от англ. spin − верчение, волчок). Эта модель не укладывается в современные представления об электроне − точечной заряженной 138