Линейные коды и полилинейные рекурренты

á.á.îÅÞÁÅ×, ÷.ì.ëÕÒÁËÉÎ ìÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ É ÐÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ íÏÓË×Á, 1997 óÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÷×ÅÄÅÎÉÅ 4 1 ïÂÝÉÅ ÐÏÎÑÔÉ...

Author: Нечаев А.А. | Куракин В.Л.

13 downloads 286 Views 2MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

á.á.îÅÞÁÅ×, ÷.ì.ëÕÒÁËÉÎ

ìÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ É ÐÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ

íÏÓË×Á, 1997

óÏÄÅÒÖÁÎÉÅ

÷×ÅÄÅÎÉÅ

4

1 ïÂÝÉÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ËÏÄÏ×, ÉÓÐÒÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÏÛÉÂËÉ

6

1.1 ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ËÏÄÏ× . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 ïÂÝÉÅ ÏÃÅÎËÉ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× ËÏÄÏ× . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 çÒÕÐÐÁ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ËÏÄÙ. çÒÕÐÐÁ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ËÏÄÁ . . . . . . . . . .

2 ìÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÐÏÌÑÍÉ

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

ðÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ. çÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÊ ÒÁÎÇ É ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ËÏÄÁ ðÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÏÄ . . . ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÎÏ×ÙÈ ËÏÄÏ× ÉÚ ÚÁÄÁÎÎÙÈ . . . . . . . . . . . . . . . . ÷ÅÓÏ×ÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï íÁË-÷ÉÌØÑÍÓ . . . . . . . . . . . òÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ É ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÅ ËÏÄÙ . . . . . . . . . .

3 ìÉÎÅÊÎÙÅ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ÐÏÌÑÍÉ

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

ìÉÎÅÊÎÙÅ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ËÏÄÙ × ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÆÏÒÍÅ . . ìÉÎÅÊÎÙÅ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ËÏÄÙ × ÐÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ëÏÄ èÅÍÍÉÎÇÁ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÐÏÌÅÍ . . . . . . . . . . . ëÏÄÙ âþè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ëÏÄÙ òÉÄÁ|íÁÌÌÅÒÁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ëÏÄÙ çÏÐÐÙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

4 ìÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ËÏÌØÃÁÍÉ É ÍÏÄÕÌÑÍÉ

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÏÄ, ÚÁÍÙËÁÎÉÅ É ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ . . . . . . . ðÁÒÁÍÅÔÒÙ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ. . . . . . . . . . . . . . . . . òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ èÅÍÍÉÎÇÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ËÏÌØÃÁÍÉ É ÍÏÄÕÌÑÍÉ ìÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ÌÏËÁÌØÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ . . . . . . . . . . . . . . . ÷ÅÓÏ×ÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï íÁË-÷ÉÌØÑÍÓ . . . . . . . . . . . .

5 ðÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÑÍÉ

. . . . .

6 9

22 26

26 31 33 42 45

54

54 57 61 64 72 82

86

88 101 113 121 127 132

5.1 ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÐÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ. ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×Á 132 5.2 óÉÓÔÅÍÙ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ× . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.3 óÉÓÔÅÍÙ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÁ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×Á . . . . . . . . . . 150 2

3

óïäåòöáîéå

5.4 5.5 5.6 5.7

óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×ÁÍÉ É ÉÈ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÁÍÉ ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ . . . . . ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÉÄÅÁÌÙ É ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ . . . . . . . . . . . . . ëÏÄÙ É ÐÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ. ðÏÌÉÃÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ËÏÄÙ

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

153 158 163 170

6 ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ × ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÉ

180

7 äÏÐÏÌÎÅÎÉÅ: ËÏÌØÃÁ, ÍÏÄÕÌÉ, ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ

211

ìÉÔÅÒÁÔÕÒÁ

226

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ . . . . 181 ëÏÎ×ÏÌÀÃÉÑ É Ó×ÅÒÔËÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ . . . . . . . . . . . . . . 188 õÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÅÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ 193 õÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ . . . . . . . . . . . . . 199 ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ ÄÒÕÇÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.6 óÉÓÔÅÍÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ËÏÄÏ× . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

7.1 ëÏÌØÃÁ É ÍÏÄÕÌÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 7.2 ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Ù ÍÏÄÕÌÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 7.3 ìÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÐÏÌÑÍÉ . . . . . . . . . . . . . 217

÷×ÅÄÅÎÉÅ ãÅÌØ Á×ÔÏÒÏ× ÓÏÓÔÏÑÌÁ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÄÏÐÏÌÎÉÔØ ÉÍÅÀÝÕÀÓÑ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÕ ÐÏ ÔÅÏÒÉÉ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ [5, 17, 53, 10] É ÔÅÏÒÉÉ ËÏÄÏ×, ÉÓÐÒÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÏÛÉÂËÉ (ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÐÏÌÑÍÉ) [2, 7, 17, 18, 26, 47, 64, 65, 66, 46, 67] ÒÁÂÏÔÏÊ, × ËÏÔÏÒÏÊ ËÏÍÐÁËÔÎÏ ÉÚÌÁÇÁÀÔÓÑ ÏÓÎÏ×Ù ÜÔÉÈ ÔÅÏÒÉÊ, Á ÚÁÔÅÍ ÏÎÉ ÒÁÓÐÒÏÓÔÒÁÎÑÀÔÓÑ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÙÅ ËÏÌØÃÁ É ÍÏÄÕÌÉ. òÁÂÏÔÁ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÁ ÎÁ ÞÉÔÁÔÅÌÑ, ÉÍÅÀÝÅÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÙÓÏËÕÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÐÏÄÇÏÔÏ×ËÕ × ÏÂßÅÍÅ ËÕÒÓÁ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÐÒÅÐÏÄÁ×ÁÅÍÏÇÏ ÎÁ ÆÁËÕÌØÔÅÔÁÈ ÐÒÉËÌÁÄÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁÈ (ÓÍ., ÎÁÐÒÉÍÅÒ, [9]). ó ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÅÅ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÐÏÓÏÂÉÅ ÄÌÑ ÓÐÅÃÉÁÌÉÓÔÏ× É ÍÁÔÅÒÉÁÌ ÄÌÑ ÓÐÅÃËÕÒÓÏ×, ÒÁÓÓÞÉÔÁÎÎÙÈ ÎÁ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× É ÁÓÐÉÒÁÎÔÏ×, ÏÂÕÞÁÀÝÉÈÓÑ ÐÏ ÎÁÚ×ÁÎÎÏÍÕ ÐÒÏÆÉÌÀ. ÷ ÐÅÒ×ÙÈ ÔÒÅÈ ÇÌÁ×ÁÈ ÓÖÁÔÏ ÉÚÌÁÇÁÀÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÏÐÏÌÁÇÁÀÝÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ Ï ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÁÈ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÐÏÌÑÍÉ, É ÐÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÉ ËÏÄÏ×. ðÒÉ ÜÔÏÍ, × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÕÐÏÍÑÎÕÔÙÈ ×ÙÛÅ ÍÏÎÏÇÒÁÆÉÊ, ÛÉÒÏËÏ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÔÅÏÒÉÉ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ ÐÏÌÑÍÉ, ËÏÔÏÒÏÊ, ÎÁ ÎÁÛ ×ÚÇÌÑÄ, ÄÏ ÓÉÈ ÐÏÒ ÕÄÅÌÑÌÏÓØ ÍÁÌÏ ×ÎÉÍÁÎÉÑ. íÙ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÚÎÁËÏÍ Ó ÏÓÎÏ×ÁÍÉ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÉÉ É ÏÇÒÁÎÉÞÉÌÉÓØ ÌÉÛØ ÅÅ ËÒÁÔËÉÍ ÏÞÅÒËÏÍ × ÄÏÐÏÌÎÅÎÉÉ 7.3. úÁÔÅÍ × ÇÌÁ×ÁÈ 4, 5, ÞÉÔÁÔÅÌØ ÚÎÁËÏÍÉÔÓÑ Ó ÍÅÔÏÄÁÍÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× É ÐÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍÉ ËÏÌØÃÁÍÉ É ÍÏÄÕÌÑÍÉ. üÔÁ ÔÅÍÁÔÉËÁ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÎÏ×ÏÅ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÐÒÉËÌÁÄÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ, É ÚÄÅÓØ ÉÚÌÏÖÅÎÙ ÌÉÛØ ÐÅÒ×ÙÅ, ÎÅ ÓÁÍÙÅ ÓÌÏÖÎÙÅ, ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ. äÌÑ ÏÂÌÅÇÞÅÎÉÑ ÞÔÅÎÉÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ × ÄÏÐÏÌÎÅÎÉÑÈ 7.1, 7.2 ÐÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ Ï Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ ËÏÌÅÃ É ÍÏÄÕÌÅÊ ÎÁÄ ÎÉÍÉ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ××ÉÄÕ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁ ÏÂßÅÍ ÒÕËÏÐÉÓÉ É ÓÒÏËÉ ÅÅ ÎÁÐÉÓÁÎÉÑ ÎÁÍ ÐÒÉÛÌÏÓØ ÉÚÌÏÖÉÔØ ÌÉÛØ Ó×ÏÄËÕ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÂÅÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×. ÷ ÇÌÁ×Å 6, ÎÁÐÉÓÁÎÎÏÊ ÐÏ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁÍ ÐÕÂÌÉËÁÃÉÊ × ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÈ ÉÚÄÁÎÉÑÈ, ÉÚÌÁÇÁÀÔÓÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ É ËÏÄÏ× × ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÉ. úÄÅÓØ ÍÙ ÔÁËÖÅ ÂÙÌÉ ×ÙÎÕÖÄÅÎÙ ÔÝÁÔÅÌØÎÏ ÏÔÂÉÒÁÔØ ÍÁÔÅÒÉÁÌ, É ÔÏ, ÞÔÏ ÐÏÌÕÞÉÌÏÓØ, × ÉÔÏÇÅ ÍÏÖÎÏ ÕÓÌÏ×ÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÔÒÉ ÇÒÕÐÐÙ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×: | ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÏÂ ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÉ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ Ó ÃÅÌØÀ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÐÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ; | ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ, ÏÔÒÁÖÁÀÝÉÅ ×ËÕÓÙ Á×ÔÏÒÏ×; | ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ Ï ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÓÉÓÔÅÍ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ËÏÄÏ×, ÉÓÐÒÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÏÛÉÂËÉ. 4

÷÷åäåîéå

5

âÅÚÕÓÌÏ×ÎÏ, × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÜÔÁ ÇÌÁ×Á ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÒÁÓÛÉÒÅÎÁ. ïÄÎÁËÏ, ÅÅ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÀ ÄÏÌÖÎÏ ÎÅÉÚÂÅÖÎÏ ÓÏÐÕÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÐÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÇÌÁ× ÜÔÏÊ ÒÁÂÏÔÙ.

çÌÁ×Á 1 ïÂÝÉÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ËÏÄÏ×, ÉÓÐÒÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÏÛÉÂËÉ

1.1

ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ËÏÄÏ×

A. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ É ÐÒÉÍÅÒÙ ËÏÄÏ×. ëÏÄÏÍ ÄÌÉÎÙ n × ËÏÎÅÞÎÏÍ

ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï K n . ðÒÉ ÜÔÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔÙ K ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ËÏÄÏ×ÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ. òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ èÅÍÍÉÎÇÁ ÍÅÖÄÕ ÓÌÏ×ÁÍÉ a = (a1 ; :::; an ) 2 n É b = (b1 ; :::; bn ) 2 n ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÞÉÓÌÏ d(a; b) ÔÁËÉÈ i 2 1; n, ÞÔÏ ai 6= bi . îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÆÕÎËÃÉÑ d: n n ! R ÅÓÔØ ÍÅÔÒÉËÁ ÎÁ n , Ô.Å. ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï 1.1.1. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. äÌÑ ÌÀÂÙÈ a; b; c 2 n ×ÅÒÎÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ

,

d(a; b) = 0

a = b;

d(a; b) = d(b; a); d(a; c) d(a; b) + d(b; c): ëÏÄÏ×ÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ ÉÌÉ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ èÅÍÍÉÎÇÁ ËÏÄÁ K ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒ

d(K) = minfd(a; b) : a; b 2 K; a 6= bg: ëÏÄ K ÄÌÉÎÙ n × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ , ÉÍÅÀÝÉÊ ÍÏÝÎÏÓÔØ C É ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ d, ÎÁÚÏ×ÅÍ (n; C; d) -ËÏÄÏÍ. þÁÓÔÏ ÍÏÝÎÏÓÔØ ËÏÄÁ ÕÄÏÂÎÅÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÔØ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ k = logj j jKj (ÚÄÅÓØ k ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ). ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ K ÅÓÔØ [n; k; d] -ËÏÄ ÉÌÉ [n; k; d]q -ËÏÄ, ÇÄÅ q = j j. éÎÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ËÏÄÁ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÕÐÏÔÒÅÂÌÑÅÔÓÑ ÔÅÒÍÉÎÙ (n; C ) -ËÏÄ É [n; k] -ËÏÄ. 1.1.2. ðÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ = Z2 É K = f(0; 0; 0); (1; 1; 1)g. ôÏÇÄÁ K ÅÓÔØ [3; 1; 3]Z2-

ËÏÄ.

6

ïâýéå ðïîñôéñ ôåïòéé ëïäï÷

7

1.1.3. ðÒÉÍÅÒ (ËÏÄ Ó ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÅÍ, ÉÌÉ ËÏÄ ËÏÎÓÔÁÎÔ). ðÕÓÔØ |

ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. ëÏÄ K = f(a; :::; a) : a 2 g ÅÓÔØ [n; 1; n] -ËÏÄ.

1.1.4. ðÒÉÍÅÒ (ËÏÄ ÐÒÏ×ÅÒËÉ ÎÁ ÞÅÔÎÏÓÔØ). ðÕÓÔØ ( ; ) | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÇÒÕÐÐÁ Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ e. ëÏÄ K = f(a1 ; :::; an ) 2 n : a1 :::an = eg ÅÓÔØ [n; n 1; 2] -ËÏÄ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ a; b 2 n É d(a; b) = 1, ÔÏ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÅ ×ÈÏÖÄÅÎÉÅ a; b × K ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, Ô.Å. d(K) 2. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ËÏÄ K ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÌÏ×Á a = (a; a 1 ; e; :::; e) É b = (a; e; a 1 ; e; :::; e), ÇÄÅ a 2 n e, É d(K) d(a; b) = 2.

õËÁÚÁÎÎÏÅ × ÚÁÇÌÁ×ÉÉ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ËÏÄÁ ÓÏÈÒÁÎÅÎÏ ÏÔ ÐÅÒ×ÏÇÏ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÃÁ ÔÁËÏÇÏ ËÏÄÁ, ËÏÇÄÁ = Z2. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ K ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÓÌÏ× Ó ÞÅÔÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÅÄÉÎÉÃ. 1.1.5. ðÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ = Z2, K = f(0; 0; 0); (0; 1; 1); (1; 0; 1); (1; 1; 0)g Z32. ôÏÇÄÁ K ÅÓÔØ [3; 2; 2]Z -ËÏÄ. 2

1.1.6. ðÒÉÍÅÒ (ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ËÏÄ ). ðÕÓÔØ = R | ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØÃÏ Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ, F (x) 2 R[x] | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ m ÎÁÄ R É LR (F ) | ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ F (x). ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n m ËÏÄ K = L0R;n 1 (F ) = fu(0; n 1) : u 2 LR (F )g; ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ× u(0; n 1) = (u(0); :::; u(n 1)) ÄÌÉÎÙ n ×ÓÅÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ u 2 LR (F ), ÅÓÔØ [n; m]R -ËÏÄ. ëÏÄ K ÉÚ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÐÒÉÍÅÒÁ ÅÓÔØ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÔÁËÏÇÏ ËÏÄÁ ÐÒÉ R = Z2, F (x) = x2 + x + 1, n = 3. íÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) × ÕËÁÚÁÎÎÏÍ ×ÙÛÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ËÏÄÁ K ÎÁÚÏ×ÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÜÔÏÇÏ ËÏÄÁ.

ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ËÏÄ K n ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎ ÐÏ ÍÅÔÏÄÕ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ÐÒÁ×ÄÏÐÏÄÏÂÉÑ, ÚÁËÌÀÞÁÀÝÅÍÕÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÐÒÉÎÑÔÙÊ ×ÅËÔÏÒ b 2 n ÄÅËÏÄÉÒÕÅÔÓÑ × ÂÌÉÖÁÊÛÅÅ Ë ÎÅÍÕ ËÏÄÏ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï a 2 K, Ô.Å. × ×ÅËÔÏÒ a 2 K, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ d(a; b) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ. åÓÌÉ ÔÁËÉÈ ÓÌÏ× a ÎÅÓËÏÌØËÏ, ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÉÚ ÎÉÈ. îÅÄÏÓÔÁÔÏË ÜÔÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÅÒÅÂÏÒÁ ×ÓÅÈ ËÏÄÏ×ÙÈ ÓÌÏ× a 2 K. B. óÐÏÓÏÂÎÏÓÔØ ËÏÄÁ ÚÁÍÅÞÁÔØ É ÉÓÐÒÁ×ÌÑÔØ ÏÛÉÂËÉ. ðÁÒÁÍÅÔÒ k [n; k] -ËÏÄÁ K ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÅÔ ÄÏÌÀ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ, ÐÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÕÀ ËÏÄÏ×ÙÍ ÓÌÏ×ÏÍ ÄÌÉÎÙ n, ÐÏÜÔÏÍÕ ÐÁÒÁÍÅÔÒ k=n ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓËÏÒÏÓÔØÀ ÐÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ ËÏÄÏÍ K ÉÌÉ ÐÒÏÓÔÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ ËÏÄÁ K. åÓÌÉ k=n 1 ÉÌÉ k=n 1, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ K | ËÏÄ Ó ×ÙÓÏËÏÊ ÉÌÉ ÎÉÚËÏÊ ÓËÏÒÏÓÔØÀ ÐÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ. òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ èÅÍÍÉÎÇÁ d(K) ËÏÄÁ K ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ËÏÄÁ K ÚÁÍÅÞÁÔØ É ÉÓÐÒÁ×ÌÑÔØ ÏÛÉÂËÉ. åÓÌÉ d(K) > r, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ËÏÄ K ÚÁÍÅÞÁÅÔ r ÏÛÉÂÏË. åÓÌÉ d(K) > 2r, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ K ÉÓÐÒÁ×ÌÑÅÔ r ÏÛÉÂÏË. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÜÔÏÊ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÉ ÈÏÒÏÛÏ ÏÂßÑÓÎÑÅÔÓÑ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÐÏÎÑÔÉÑ.

8


ûÁÒÏÍ ÒÁÄÉÕÓÁ r ×ÏËÒÕÇ ÓÌÏ×Á a 2 n ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï

Or (a) = fb 2 n : d(a; b) rg: 1.1.7. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. äÌÑ ËÏÄÁ K n ×ÅÒÎÙ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ d(K) > r , 8a 2 K Or (a) \ K = fag; (1.1.1) d(K) 2r + 1 , 8a; b 2 K (a = 6 b) ) (Or (a) \ Or (b) = ?): (1.1.2) äÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ËÏÄ K ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÐÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ ÐÏ ËÁÎÁÌÕ Ó×ÑÚÉ Ó ÐÏÍÅÈÁÍÉ, É ÐÒÉ ÐÅÒÅÄÁÞÅ ÓÌÏ×Á a 2 K ÂÙÌÏ ÐÏÌÕÞÅÎÏ ÉÓËÁÖÅÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï a0 , ÐÒÉÞÅÍ ÓÌÏ×Ï a ÐÒÅÔÅÒÐÅÌÏ r ÉÓËÁÖÅÎÉÊ, Ô.Å. d(a; a0 ) = r. ôÏÇÄÁ, ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ r < d(K), ××ÉÄÕ (1.1.1), a0 2= K, É, ÕÂÅÄÉ×ÛÉÓØ × ÜÔÏÍ (ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÏÌÎÙÍ ÐÅÒÅÂÏÒÏÍ ÓÌÏ× ËÏÄÁ K), ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÐÅÒÅÄÁÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï ÂÙÌÏ ÉÓËÁÖÅÎÏ. åÓÌÉ ÖÅ r < d(K)=2, ÔÏ, ××ÉÄÕ (1.1.2), ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï b 2 K ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ 8c 2 K n b d(a0; b) < d(a0 ; c); É ÜÔÏ ÓÌÏ×Ï ÅÓÔØ b = a. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï a ÐÏ ÉÓËÁÖÅÎÎÏÍÕ ÓÌÏ×Õ a0 . ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ ËÏÄÏ× ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÄÌÉÎÙ ËÏÄÙ Ó ×ÙÓÏËÏÊ ÓËÏÒÏÓÔØÀ ÐÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ ÉÍÅÀÔ ÍÁÌÅÎØËÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, Á ËÏÄÙ Ó ÂÏÌØÛÉÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ ÍÅÄÌÅÎÎÏ ÐÅÒÅÄÁÀÔ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÀ. ðÏÜÔÏÍÕ ËÏÎËÒÅÔÎÙÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ËÏÄÁ ÐÏÄÂÉÒÁÀÔ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÃÅÎÎÏÓÔÉ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ É ËÁÞÅÓÔ×Á ËÁÎÁÌÁ Ó×ÑÚÉ. ôÁË, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, × ü÷í ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ×ÙÓÏËÏÓËÏÒÏÓÔÎÏÊ ËÏÄ ÐÒÏ×ÅÒËÉ ÎÁ ÞÅÔÎÏÓÔØ, Á ÄÌÑ ÐÅÒÅÄÁÞÉ ÆÏÔÏÇÒÁÆÉÊ íÁÒÓÁ ÓÏ ÓÐÕÔÎÉËÁ íÁÒÉÎÅÒ-9 ÂÙÌ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎ [32; 6; 16]Z ËÏÄ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ 6=32. ðÏÄÒÏÂÎÅÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ [n; k; d]-ËÏÄÁ ÏÂÓÕÖÄÁÀÔÓÑ × x 1.2. 2

C. ëÏÄ K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ËÏÄÏÍ ÒÁÎÇÁ k 2 N , ÅÓÌÉ ÍÏÖÎÏ ÕËÁÚÁÔØ ÎÏÍÅÒÁ 1 i1 < i2 < ::: < ik n ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ !1 ; :::; !k 2 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï a 2 K, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ ai = !1 , ..., aik = !k . ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ i1 , ..., ik | ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÅ ÐÏÚÉÃÉÉ ËÏÄÁ K, Á 1; n n fi1 ; :::; ik g = fik+1; :::; in g | ÅÇÏ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÅ ÐÏÚÉÃÉÉ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÁÚÏ×ÅÍ ai , ..., aik ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ ÉÌÉ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÍÉ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ ÓÌÏ×Á a 2 K, Á aik , ..., ain | ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÍÉ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ ÜÔÏÇÏ ÓÌÏ×Á. îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ 1

1

+1

1.1.8. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ K 2 n | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ k Ó ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ i1 , ..., ik , ÔÏ K ÅÓÔØ [n; k] -ËÏÄ, É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÉÓÔÅÍÁ ÆÕÎËÃÉÊ 'k+1 ; :::; 'n: k ! ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ

8a 2 n

(a 2 K) , (ais = 's (ai ; :::; aik ); s 2 k + 1; n): 1

2

(1.1.3)

9


óÉÓÔÅÍÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ× (1.1.3) ÐÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ËÏÄÁ K. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÕÓÌÏ×ÉÅ (1.1.3) ÄÁÅÔ ÓÐÏÓÏÂ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ËÏÄÏ×ÏÇÏ ÓÌÏ×Á a ÄÌÑ ÐÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÏÇÏ ÓÌÏ×Á (ai ; :::; aik ) É ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ b 2 K ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÏÌÅÅ ÐÒÏÓÔÏ, ÞÅÍ ÐÒÑÍÙÍ ÐÅÒÅÂÏÒÏÍ. îÅÔÒÕÄÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ËÏÄÙ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÏ× 1.1.2{1.1.6 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍÉ [n; k]-ËÏÄÁÍÉ Ó ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ 1; k. 1

D. ïÄÎÉÍ ÉÚ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× ËÏÄÏ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ.

ðÕÓÔØ = R M | ËÏÎÅÞÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ e. ìÀÂÏÊ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ K R-ÍÏÄÕÌÑ M n ×ÓÅÈ ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ËÏÄÏÍ ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M , ÉÌÉ ÌÉÎÅÊÎÙÍ [n; k]M -ËÏÄÏÍ, ÇÄÅ k = logjM j jKj. ïÄÎÏ ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÐÒÅÉÍÕÝÅÓÔ× ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. ÷ÅÓÏÍ èÅÍÍÉÎÇÁ ÓÌÏ×Á a 2 M n ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ kak = d(a; 0) ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × ÓÌÏ×Å a. ìÅÇËÏ ÄÏËÁÚÁÔØ 1.1.9. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ ×ÅÎÓÔ×Ï d(K) = minfkak : a 2 K n 0g:

K < M n ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ(1.1.4)

÷ÁÖÎÙÍ É ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÉÚÕÞÅÎÎÙÍ ÐÏÄËÌÁÓÓÏÍ ËÌÁÓÓÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ÐÏÌÑÍÉ. ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ, ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k]P -ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÅÓÔØ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï K < P n ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ k. îÅÔÒÕÄÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ËÏÄÙ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÏ× 1.1.2, 1.1.4{1.1.6 ÌÉÎÅÊÎÙ ÎÁÄ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÐÏÌÅÍ. 1.2

ïÂÝÉÅ ÏÃÅÎËÉ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× ËÏÄÏ×

A. çÒÁÎÉÃÁ óÉÎÇÌÔÏÎÁ, íäò-ËÏÄÙ. 1.2.1. ôÅÏÒÅÍÁ (ÇÒÁÎÉÃÁ óÉÎÇÌÔÏÎÁ). åÓÌÉ

K ÅÓÔØ [n; k; d] -ËÏÄ, ÔÏ

d n k + 1:

(1.2.1)

2 ðÅÒÅÎÕÍÅÒÕÅÍ ÓÌÏ×Á ËÏÄÁ K: ai = (ai1 ; :::; ain);

i 2 1; C; C = j jk ;

É ÓÏÓÔÁ×ÉÍ ÉÚ ÎÉÈ ÍÁÔÒÉÃÕ 0 B @

a11 : : : a1n .. .. . . aC 1 : : : aCn

1

0

C A

=B @

a11 : : : a1;d 1 a1d : : : a1n .. .. .. .. . . . . aC 1 : : : aC;d 1 aCd : : : aCn

1 C A:


10

ðÏÓËÏÌØËÕ d(K) = d, ÔÏ × ×ÙÄÅÌÅÎÎÏÊ ÇÒÕÐÐÅ ÐÏÓÌÅÄÎÉÈ n d + 1 ÓÔÏÌÂÃÏ× ÜÔÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÓÔÒÏËÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÏÄÏ×ÙÈ ÓÌÏ× ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ n d + 1 × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ , Ô.Å.

k = jC j j jn d+1 : 2 îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1.2.1) É ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÅ ÅÍÕ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï jKj j jn d+1

(1.2.2)

ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÇÒÁÎÉÃÁÍÉ óÉÎÇÌÔÏÎÁ [18, 7] ÄÌÑ ËÏÄÁ K. ëÏÄ K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÄÏÍ Ó ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ÄÏÓÔÉÖÉÍÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ, ÉÌÉ íäò-ËÏÄÏÍ ÅÓÌÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (1.2.1), (1.2.2) ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, Ô.Å. ÅÓÌÉ K ÅÓÔØ [n; k; n k + 1]-ËÏÄ. ôÒÉ×ÉÁÌØÎÙÍÉ ÐÒÉÍÅÒÁÍÉ íäò-ËÏÄÏ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ [n; n; 1] -ËÏÄ K = n , [n; 1; n] ËÏÄ Ó ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÅÍ (ÐÒÉÍÅÒ 1.1.3) É [n; n 1; 2] -ËÏÄ \ÞÅÔÎÙÈ" ÓÌÏ× ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.1.4. ðÒÉ q = 2 ÜÔÉÍÉ ÐÒÉÍÅÒÁÍÉ ÉÓÞÅÒÐÙ×ÁÀÔÓÑ ×ÓÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ íäò-ËÏÄÙ [18, Ó. 310]. íÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ (ÓÍ. [47, Ó. 192], [18, Ó. 312, ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ 7]), ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ íäò-ËÏÄ Ó n k q ÜË×É×ÁÌÅÎÔÅÎ [n; 1; n] -ËÏÄÕ Ó ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÅÍ. 1.2.2. ðÒÉÍÅÒ (ÏÂÏÂÝÅÎÎÙÊ ËÏÄ òÉÄÁ|óÏÌÏÍÏÎÁ). ðÕÓÔØ P | ÐÏÌÅ ÉÚ q ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, k 2 N É P [xjk] | ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÄ P ÓÔÅÐÅÎÉ ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÅÊ k. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË !1 ; :::; !n 2 P É ×ÙÂÅÒÅÍ n (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ) ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× u1 ; :::; un 2 P . ðÏÓÔÁ×ÉÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ a(x) 2 P [xjk] ÓÔÒÏËÕ

v (a(x)) = (u1 a(!1 ); :::; una(!n )) 2 P n: ôÏÇÄÁ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ k n ËÏÄ

K = fv(a(x)) : a(x) 2 P [xjk]g ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ [n; k; n k +1]P -ËÏÄ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÌÀÂÙÅ k ÐÏÚÉÃÉÊ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ.

äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ K | ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × P n, É ÔÁË ËÁË ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P [xjk] ÅÓÔØ e; x; :::; xk 1 , ÔÏ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á K ÅÓÔØ

v (e) = (u1; u2 ; :::; un); v (x) = (u1!1 ; u2!2 ; :::; un !n); ::: ::: v (xk 1 ) = (u1!1k 1 ; u2!2k 1; :::; un !nk 1): ìÉÎÅÊÎÁÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ×ÙÐÉÓÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÔÒÏË ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ k n ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ, ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÎÙÊ × ÌÀÂÙÈ k ÓÔÏÌÂÃÁÈ ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÅÓÔØ, Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÏÂÒÁÔÉÍÏÇÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ, ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÁÎÄÅÒÍÏÎÄÁ. åÓÌÉ a(x) 2 P [xjk] n 0, ÔÏ ÞÉÓÌÏ ÎÕÌÅ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × ÓÔÒÏËÅ v (a(x)) ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÞÉÓÌÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ a(x) × P , Ô.Å. ÎÅ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ k 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

11


kv(a(x))k n

(k 1) É d(K) n k + 1. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÅÓÌÉ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, a(x) = (x !1 ):::(x !k 1), ÔÏ kv (a(x))k = n (k 1). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, d(K) = n k +1 É K ÅÓÔØ íäò-ËÏÄ. üÔÏÔ ËÏÄ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÄÁÌÅÅ GRSP (n; k) É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÏÂÝÅÎÎÙÍ [n; k]-ËÏÄÏÍ òÉÄÁ|óÏÌÏÍÏÎÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ðÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÙÊ ËÏÄ òÉÄÁ|óÏÌÏÍÏÎÁ ÅÓÔØ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÏÐÉÓÁÎÎÏÇÏ ËÏÄÁ ÐÒÉ n = q , u1 = ::: = un = e. üÔÏ ÅÓÔØ [q; k; q k + 1]P -ËÏÄ. ïÎ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ RSP (k). B. çÒÁÎÉÃÁ èÅÍÍÉÎÇÁ (ÇÒÁÎÉÃÁ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ ÕÐÁËÏ×ËÉ). óÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÅ ËÏÄÙ. 1.2.3. ôÅÏÒÅÍÁ (ÇÒÁÎÉÃÁ èÅÍÍÉÎÇÁ). åÓÌÉ

ÍÏÝÎÏÓÔÉ q É d(K) > 2r, ÔÏ

K ÅÓÔØ [n; k]-ËÏÄ × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ

q k q n =sq (n; r); ÇÄÅ

sq (n; r) = 1 + (q

1)n + (q

(1.2.3)

n 1)2 + ::: + (q 2

1)r

n : r

(1.2.4)

2 îÅÔÒÕÄÎÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ sq (n; r) ÅÓÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÛÁÒÁ Or (a) ÒÁÄÉÕÓÁ r ×ÏËÒÕÇ ÓÌÏ×Á a 2 n . ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÔÁËÉÅ ÛÁÒÙ Ó ÃÅÎÔÒÁÍÉ × ÔÏÞËÁÈ a 2 K ÐÏÐÁÒÎÏ ÎÅ ÐÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÈ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÍÏÝÎÏÓÔØ jKj jOr (a)j = q k sq (n; r), É ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ×ÅÌÉÞÉÎÙ j jn = q n . 2 ðÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (1.2.3) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÒÁÎÉÃÅÊ èÅÍÍÉÎÇÁ, ÉÌÉ ÇÒÁÎÉÃÅÊ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ ÕÐÁËÏ×ËÉ ÄÌÑ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ËÏÄÁ. ëÏÄ K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÍ, ÅÓÌÉ

ÄÌÑ ÎÅÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1.2.3) ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ d(K) = 2r + 1). ëÁË ÎÉ ÓÔÒÁÎÎÏ, ÐÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ËÏÄ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.1.2, Ó×ÏÄÑÝÉÊÓÑ, ÐÏ ÓÕÔÉ, Ë ÔÒÏÅËÒÁÔÎÏÍÕ ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÀ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ, ÅÓÔØ ÎÅ ÔÏÌØËÏ íäò-ËÏÄ, ÎÏ É ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÊ ËÏÄ ÄÌÉÎÙ 3. óÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÐÏÎÑÔÉÑ \ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÊ ËÏÄ" ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÐÒÉÍÅÒ. 1.2.4. ðÒÉÍÅÒ (Ä×ÏÉÞÎÙÊ ËÏÄ èÅÍÍÉÎÇÁ). ðÕÓÔØ l 2 N , l > 1, n = 2l 1 É Hln | ÍÁÔÒÉÃÁ ÎÁÄ Z2, ÓÔÏÌÂÃÙ ËÏÔÏÒÏÊ ÅÓÔØ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ×ÓÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ

ÓÔÏÌÂÃÙ ÄÌÉÎÙ l ÎÁÄ Z2, ÎÁÐÒÉÍÅÒ 0

Hln =

B B B B @

1 0 1 0 ::: 1 0 1 1 0 ::: 1 0 0 0 1 ::: 1 .................. 0 0 0 0 ::: 1

1 C C C C A l(2l

: 1)

12


ðÕÓÔØ K ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ a# 2 Zn2 ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ H x# = 0: (1.2.5) ëÏÄ K ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ [n; n l; 3]Z ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÊ ËÏÄ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÌÉÎÅÊÎÏÓÔØ ËÏÄÁ K ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. ôÁË ËÁË rank H = l, ÔÏ dim K = n l. ëÏÄ K ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÌÏ×Ï (1; 1; 1; 0; :::; 0) ×ÅÓÁ 3 É ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÌÏ× ×ÅÓÁ 2, ÔÁË ËÁË ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÓÔÏÌÂÃÁ ÍÁÔÒÉÃÙ H ÒÁÚÌÉÞÎÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, d(K) = 3. óÉÓÔÅÍÏÊ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÈ ÐÏÚÉÃÉÊ ËÏÄÁ K Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ÎÏÍÅÒÏ× ÌÀÂÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (1.2.5). îÁËÏÎÅÃ, ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (1.2.3) × ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ÒÁ×ÎÁ 2n l , É ÐÒÁ×ÁÑ ÅÇÏ ÞÁÓÔØ ÅÓÔØ 2n 2n = = 2n l : l s2 (n; 1) 1 + (2 1) ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, K | ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÊ ËÏÄ. ïÎ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ H2 (l). îÅÔÒÕÄÎÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ËÏÄ H2 (l) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ íäò-ËÏÄÏÍ ÌÉÛØ ÐÒÉ l = 2, É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÎ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ËÏÄÏÍ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.1.2. 2

äÁÎÎÙÊ ÐÒÉÍÅÒ ÌÅÇËÏ ÏÂÏÂÝÁÅÔÓÑ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÐÏÌÑ P = GF (q ), ÓÍ. x 3.3. åÝÅ Ä×ÕÍÑ ÐÒÉÍÅÒÁÍÉ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÈ ËÏÄÏ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Ä×ÏÉÞÎÙÊ É ÔÒÏÉÞÎÙÊ [23; 12; 7]2 É [11; 6; 5]3-ËÏÄÙ çÏÌÅÑ (ÓÍ. [47, çÌÁ×Ù 9, 12]). óÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ×ÁÎ ìÉÎÔÁ|ôÉÅÔÁ×ÁÊÎÅÎÁ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÊ ËÏÄ × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ, ÍÏÝÎÏÓÔØ q mËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÅÐÅÎØÀ ÐÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ, ÉÍÅÅÔ ÔÅ ÖÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ, ÞÔÏ É m [ qq 11 ; qq 11 m; 3]q -ËÏÄ èÅÍÍÉÎÇÁ Hq (l) ÉÌÉ ÏÄÉÎ ÉÚ ËÏÄÏ× çÏÌÅÑ [18]. äÒÕÇÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ Ï ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÈ ËÏÄÁÈ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × [2, x 13.2], [18, çÌÁ×Á 20], [47, çÌÁ×Á 9]. C. çÒÁÎÉÃÁ ðÌÏÔËÉÎÁ. üË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÎÙÅ ËÏÄÙ. 1.2.5. ôÅÏÒÅÍÁ (ÇÒÁÎÉÃÁ ðÌÏÔËÉÎÁ). äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ [n; k]-ËÏÄÁ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÍÏÝÎÏÓÔÉ q ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÏÃÅÎËÁ

K

×

nq k 1 (q 1) q 1 jKj = n: (1.2.6) qk 1 q jKj 1 2 ðÕÓÔØ K n ÅÓÔØ [n; k; d] -ËÏÄ ÍÏÝÎÏÓÔÉ M = qk . íÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ d ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔØ ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÄÌÑ ÐÏÐÁÒÎÙÈ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÍÅÖÄÕ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ ËÏÄÁ K: X 1 d d(a; b): M (M 1) a;b2K ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ mij ÞÉÓÌÏ ÓÌÏ× ËÏÄÁ K, i-Ñ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÕ P j 2 . ôÏÇÄÁ j 2 mij = M ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ i 2 1; n. ðÕÓÔØ Æjl | ÓÉÍ×ÏÌ ëÒÏÎÅËÅÒÁ. éÍÅÅÍ: n X X X M (M 1)d d(a; b) = (1 Æai ;bi ) a;b2K a;b2K i=1 d

13


=

n X X

(1 i=1 j;l2

Æjl )mij mil = =

n X i=1

"

M2

n X i=1

2 4

X j 2

X

mij

j 2

#

!2

X j 2

3

m2ij 5

m2ij :

éÓÐÏÌØÚÕÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ëÏÛÉ|âÕÎÑËÏ×ÓËÏÇÏ|û×ÁÒÃÁ, ÐÏÌÕÞÉÍ 2 !2 3 n X X 1 q 1 2 4M 2 M (M 1)d mij 5 = M n; q j 2

q i=1 ÏÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÁÑ ÏÃÅÎËÁ. 2 äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ËÏÄ ÄÏÓÔÉÇÁÌ ÇÒÁÎÉÃÙ (1.2.6), ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ ÅÇÏ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÒÁ×ÎÑÌÏÓØ ÓÒÅÄÎÅÍÕ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÀ: X 1 d= d(a; b): M (M 1) a;b2K ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÌÀÂÙÍÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ËÏÄÏ×ÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï. ôÁËÉÅ ËÏÄÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÎÙÍÉ. ôÒÉ×ÉÁÌØÎÙÍ ÐÒÉÍÅÒÏÍ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÎÏÇÏ ËÏÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ [n; 1; n] -ËÏÄ Ó ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.1.3. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÐÒÉÍÅÒ. 1.2.6. ðÒÉÍÅÒ (ÓÉÍÐÌÅËÓÎÙÊ ËÏÄ ). ðÕÓÔØ P = GF (q ) | ÐÏÌÅ ÉÚ q ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, V | ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ k ÎÁÄ P Ó ÎÕÌÅÍ 0 É V n 0 = fv1 ; :::; vn g, n = q k 1. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ V ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ g : V ! P (ÓÏ-

ÐÒÑÖÅÎÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ë V ) É ÐÏÓÔÁ×ÉÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ g 2 V ÓÔÒÏËÕ g = (g (v1); :::; g (vn)) 2 P n: ôÏÇÄÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï SP (k) = fg 2 P n : g 2 V g ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÎÙÊ [n; k; q q 1 (n + 1)]-ËÏÄ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ SP (k) | ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × P n É jSP (k)j = jV j = qk . ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÌÉ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, v1 ; :::; vk ÅÓÔØ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V , ÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÓÌÏ×Ï g 2 SP (k) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ g (v1 ); :::; g (vk ), Ô.Å. SP (k) | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ Ó ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ 1; k. îÁËÏÎÅÃ, ÅÓÌÉ g 2 SP (k)n0, ÔÏ g : V ! P ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ V ÎÁ P (ÐÏÓËÏÌØËÕ g (V ) ÅÓÔØ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ker g ÅÓÔØ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ dimP V dimP P = k 1, É × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å V n 0 ÅÓÔØ ÒÏ×ÎÏ q k 1 1 ÔÏÞÅË vi ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ g (vi) = 0. ïÔÓÀÄÁ kgk = n (qk 1 1) = q q 1 (n + 1) É d(SP (k)) = q q 1 (n + 1). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÓÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÓÌÏ×Á ËÏÄÁ SP (k) ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ ×ÅÓ, ÒÁ×ÎÙÊ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÀ ËÏÄÁ. üÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï É ÏÐÒÅÄÅÌÉÌÏ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ËÏÄÁ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÜÔÏÔ ËÏÄ ÔÁËÖÅ Sq (k).

14


åÝÅ ÏÄÎÉÍ ÐÒÉÍÅÒÏÍ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÎÏÇÏ ËÏÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÇÉÓÔÒÏ×ÙÊ ËÏÎÓÔÁÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÊ × x 2.5B. ìÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ×Ï ×ÓÅÈ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÐÒÉÍÅÒÁÈ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÎÙÅ ËÏÄÙ ÄÏÓÔÉÇÁÀÔ ÇÒÁÎÉÃÙ ðÌÏÔËÉÎÁ. ïÄÎÁËÏ, ÇÒÁÎÉÃÁ (1.2.6) ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÎÅ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÎÏÇÏ ËÏÄÁ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÄÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ËÏÄ K ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÇÒÁÎÉÃÙ (1.2.6). ÷ÙÞÅÒËÎÕ× ÉÚ K ÏÄÎÏ ÓÌÏ×Ï, ÐÏÌÕÞÉÍ ÔÁËÖÅ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÎÙÊ ËÏÄ K Ó ÔÅÍ ÖÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ d, ÏÄÎÁËÏ jKjjKj 1 > jKjjKj 1 , ÐÏÜÔÏÍÕ ÚÁÍÅÎÁ K ÎÁ K × ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Å (1.2.6) ÄÅÌÁÅÔ ÅÇÏ ÓÔÒÏÇÉÍ. D. çÒÁÎÉÃÁ ÷ÁÒÛÁÍÏ×Á|çÉÌÂÅÒÔÁ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Aq (n; d) ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ C , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ (n; C; d)q -ËÏÄ × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÍÏÝÎÏÓÔÉ j j = q. ôÏÇÄÁ ÇÒÁÎÉÃÕ èÅÍÍÉÎÇÁ (1.2.3) ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ×ÉÄÅ: d ] [X n n (q 1)i : (1.2.7) Aq (n; d) q = i i=0 2

1

1.2.7. ôÅÏÒÅÍÁ (ÇÒÁÎÉÃÁ çÉÌÂÅÒÔÁ).

Aq (n; d)

qn=

d 1 X n

(q 1)i : (1.2.8) i i=0 2 ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ K | ÔÁËÏÊ (n; C; d)q -ËÏÄ, ÞÔÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÅËÔÏÒÏ×, ÎÅ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ K, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÏ ËÁÖÄÏÇÏ ËÏÄÏ×ÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÉÚ K ÂÏÌØÛÅ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏ d. ôÏÇÄÁ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, jKjsq (n; d 1) q n , ÇÄÅ sq (n; d 1) | ÏÂßÅÍ ÛÁÒÁ ÒÁÄÉÕÓÁ d 1 × n , ÓÍ. (1.2.4). üÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï. 2 ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÏËÁÚÁÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÉÍÅÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ: ÅÓÌÉ d 1 X n n C : q nd 21 (q 1)d 2 d n 2 (q 1)d 2 ðÅÒ×ÁÑ ÉÚ ÜÔÉÈ ÏÃÅÎÏË ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉ ÓÉÌØÎÅÅ ×ÔÏÒÏÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ q (1 d n 2 ) < 1. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏÂÅ ÏÃÅÎËÉ, Á ÔÁËÖÅ ÏÃÅÎËÁ (1.2.9), ÐÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÁÎÉÃÅ ÷ÁÒÛÁÍÏ×Á|çÉÌÂÅÒÔÁ. E. áÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÇÒÁÎÉÃÙ. äÌÑ [n; k; d]q -ËÏÄÁ

K × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÍÏÝ-

ÎÏÓÔÉ j j = q ÎÁÒÑÄÕ Ó ÅÇÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ R = k=n ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒ Æ = d=n, ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÝÉÊ ÄÏÌÀ ÏÛÉÂÏË × ÐÒÉÎÑÔÏÍ ÓÌÏ×Å, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÁÎÎÙÊ ËÏÄ ÓÐÏÓÏÂÅÎ ÏÂÎÁÒÕÖÉÔØ. èÏÒÏÛÉÊ ËÏÄ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÅÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ d=n É k=n, ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ ÅÄÉÎÉÞÎÏÍÕ ÏÔÒÅÚËÕ [0; 1], ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÂÏÌØÛÉÍÉ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ÜÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÄÌÑ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ n. ðÕÓÔØ Vq = f(Æ; R) 2 [0; 1]2 : ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ [n; k; d]q -ËÏÄ Ó d=n = Æ É k=n = Rg É Uq | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÒÅÄÅÌØÎÙÈ ÔÏÞÅË ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Vq . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ

q (Æ ) = supfR : (Æ; R) 2 Uq g; Æ 2 [0; 1]: åÓÌÉ q | ÓÔÅÐÅÎØ ÐÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ, ÔÏ, ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÑÓØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅÍ ÌÉÛØ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ×, ÍÏÖÎÏ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Vqlin , Uqlin É ÆÕÎËÃÉÀ qlin (Æ ). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, qlin (Æ ) q (Æ ). éÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÊ q (Æ ) É qlin (Æ ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ

17


ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÔÅÏÒÉÉ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ôÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÐÒÏ ÜÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÏ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ íÁÎÉÎÁ [64, ÔÅÏÒÅÍÁ 1.3.1], [32, çÌÁ×Á 2], ÆÕÎËÃÉÉ q (Æ ) É qlin (Æ ) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ É ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÀÔ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; (q 1)=q ], É q (Æ ) = qlin (Æ ) = 0 ÐÒÉ Æ 2 [(q 1)=q; 1]. óÌÅÄÕÀÝÉÅ ×ÏÐÒÏÓÙ ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÏÔËÒÙÔÙÍÉ [64]: Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉ ÆÕÎËÃÉÉ q (Æ ) É qlin (Æ ) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙÍÉ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (0; (q 1)=q ); Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉ ÜÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ ×ÙÐÕËÌÙÍÉ; ×ÅÒÎÏ ÌÉ, ÞÔÏ q (Æ ) = qlin (Æ )? ïÓÎÏ×ÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÀ Ï ÆÕÎËÃÉÑÈ q (Æ ) É qlin (Æ ) ÄÁÀÔ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÃÅÎËÉ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× ËÏÄÏ×, ËÏÔÏÒÙÍ É ÐÏÓ×ÑÝÅÎ ÄÁÎÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ. âÏÌÅÅ ÐÏÌÎÙÊ ÏÂÚÏÒ ÏÃÅÎÏË ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × ðÒÉÌÏÖÅÎÉÉ á ÍÏÎÏÇÒÁÆÉÉ [64]. óÌÅÄÕÅÔ ÏÔÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Uq É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÆÕÎËÃÉÑ q (Æ ) ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÔ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÎÅ ÏÔÄÅÌØÎÏ ×ÚÑÔÙÈ ËÏÄÏ×, Á ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ËÏÄÏ× ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÅÊ ÄÌÉÎÙ. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ [n; k; d]q -ËÏÄÁ ÅÝÅ ÎÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ (d=n; k=n) 2 Uq . ôÏÞËÁ (Æ; R) ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ Uq ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ [ni ; ki ; di]q -ËÏÄÏ× ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ni ! 1, di =ni ! Æ É ki =ni ! R ÐÒÉ i ! 1. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÕÎËÃÉÑ q (Æ ) ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÅÔ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉ ÎÁÉÌÕÞÛÉÅ ËÏÄÙ, Ô.Å. ËÏÄÙ, ÄÌÉÎÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÐÒÉÍÅÒ. 1.2.10. ðÒÉÍÅÒ. äÌÑ [n; 1; n]q -ËÏÄÁ Ó ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÅÍ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.1.3 ÉÍÅÅÍ Æ = 1, R = 1=n. ôÁË ËÁË q (1) = 0, ÔÏ (Æ; R) 2= Uq . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ÜÔÏÇÏ ËÏÄÁ ÌÅÖÁÔ ×ÙÛÅ ËÒÉ×ÏÊ q (Æ ). ôÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï É ÄÌÑ ÒÅÇÉÓÔÒÏ×ÙÈ ËÏÎÓÔÁÃÉËÌÉÞÅÓËÉÈ ËÏÄÏ× ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ ÄÌÉÎÙ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ × ÐÒÉÍÅÒÅ ÉÚ x 2.5B. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ÔÁËÏÇÏ ËÏÄÁ ÒÁ×ÎÙ: q m 1 (q 1) q 1 m(q 1) Æ= > ; R= m > 0; m q 1 q q 1

ÏÔËÕÄÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ (Æ; R) ÌÅÖÉÔ ×ÙÛÅ ËÒÉ×ÏÊ q (Æ ). îÁÞÎÅÍ Ó ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÐÒÏÓÔÏÊ ÏÃÅÎËÉ, ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÐÒÏ×ÅÄÅÍ ÂÏÌÅÅ ÐÏÄÒÏÂÎÏ ÐÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÐÏÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ. 1.2.11. ôÅÏÒÅÍÁ (ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÁÎÉÃÁ óÉÎÇÌÔÏÎÁ).

q (Æ ) 1 Æ:

2 ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ [ni ; ki; di]q -ËÏÄÏ× ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ni ! 1 É di =ni ! Æ ÐÒÉ i ! 1. óÏÇÌÁÓÎÏ ÇÒÁÎÉÃÅ óÉÎÇÌÔÏÎÁ (1.2.1) Ri 1 Æi + n1i . ðÒÉ i ! 1 ÐÏÌÕÞÉÍ ilim 1 Æ. üÔÏ É ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ q (Æ) 1 Æ. 2 !1 ïÐÒÅÄÅÌÉÍ q -ÉÞÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ ÜÎÔÒÏÐÉÉ Hq ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; q q 1 ] ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ Hq (0) = 0; Hq (x) = x logq (q

1) x logq x

(1 x) logq (1

x); 0 < x

q

q

1:

18


1.2.12. ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ n É t | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, t < q q 1 n, É ÐÕÓÔØ n; t ! 1 ÔÁË, ÞÔÏ t=n ! Æ. ôÏÇÄÁ

1 lim logq sq (n; t) = Hq (Æ ); n!1 n

ÇÄÅ ×ÅÌÉÞÉÎÁ sq (n; t) ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ (1.2.4).

2 äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ z 2 (0; 1) ÉÍÅÅÍ: sq (n; t) =

t X n

i

i=0 t X n

(q

1)i

t X n

i

i=0

(q

1)i z i t =

(q 1)i z i z t [1 + (q 1)z ]n : (1.2.11) i i=0 ÷ ÔÏÞËÅ z , ÐÒÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÁ, ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ, ÏÔËÕÄÁ tz t 1 [1 + (q 1)z ] + z t (q 1)n = 0, ÉÌÉ z = t=((q 1)(n t)). ôÁË ËÁË t < q q 1 n, ÔÏ z 2 (0; 1). ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ z × (1.2.11), ÐÏÌÕÞÉÍ

z

sq (n; t)

t

(q

1)t (n tt

ïÔÓÀÄÁ 1 t logq sq (n; t) logq (q n n

t)t

n

n t

n

=

(q 1)t : (t=n)t (1 t=n)n t

t t t t 1) logq 1 logq 1 : n n n n åÓÌÉ n; t ! 1 ÔÁË, ÞÔÏ t=n ! Æ , ÔÏ ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÍ: 1 lim logq sq (n; t) Hq (Æ ): n!1 n äÏËÁÖÅÍ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï. óÏÇÌÁÓÎÏ ÆÏÒÍÕÌÅ óÔÉÒÌÉÎÇÁ r n nn n e(n) (t) (n t) ; = 2t(n t) tt (n t)n t t ÇÄÅ j(k)j < 121k , k 2 N . ïÔÓÀÄÁ 1 1 n t t t logq sq (n; t) logq (q 1)t = logq (q 1) logq n n t n n n

t t 1 n 1 1 logq 1 + logq + ((n) (t) (n t)): n n n 2t(n t) n åÓÌÉ n; t ! 1, t=n ! Æ , ÔÏ ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÍ: 1 lim logq sq (n; t) Hq (Æ ): 2 n!1 n

19


1.2.13. ôÅÏÒÅÍÁ (ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÁÎÉÃÁ èÅÍÍÉÎÇÁ).

q (Æ ) 1 Hq (Æ=2); Æ 2 [0; 1]:

2 óÏÇÌÁÓÎÏ ÇÒÁÎÉÃÅ èÅÍÍÉÎÇÁ (1.2.3) k n logq sq (n; [ d 2 1 ]): òÁÚÄÅÌÉ× ÎÁ n É ÕÓÔÒÅÍÉ× n ! 1, ÐÏÌÕÞÉÍ, ××ÉÄÕ ÌÅÍÍÙ 1.2.12, ÔÒÅÂÕÅÍÕÀ ÏÃÅÎËÕ. 2 1.2.14. ôÅÏÒÅÍÁ (ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÁÎÉÃÁ ðÌÏÔËÉÎÁ). óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:

q

q (Æ ) 1

q

q (Æ ) = 0;

1

Æ; 0 Æ
: 1 q

ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ËÏÄ K0 ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1.2.12): q 1 1 0 jK j 1 Æ0q : ïÔÓÀÄÁ, ××ÉÄÕ (1.2.13) É (1.2.14),

qn

n0 k

jK0j 1 1 q Æ0q 1 1 d d 1 = d1 :

(1.2.13)

(1.2.14)

20


ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,

kn

n0 + logq d = n

(d 1)q + 1 + logq d: q 1

(d 1)q + logq d n q 1

òÁÚÄÅÌÉ× ÎÁ n É ÐÅÒÅÈÏÄÑ Ë ÐÒÅÄÅÌÕ ÐÒÉ n ! 1, ÐÏÌÕÞÉÍ

q

q (Æ ) 1

q

1

Æ: 2

íÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÐÒÉ q = 2 ÇÒÁÎÉÃÁ ðÌÏÔËÉÎÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏÊ ÐÒÉ ÍÁÌÙÈ ÓËÏÒÏÓÔÑÈ R, Á ÇÒÁÎÉÃÁ èÅÍÍÉÎÇÁ | ÐÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ (ÓÍ. ÒÉÓ. 1.1). ëÏÍÂÉÎÉÒÕÑ ÉÄÅÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÜÔÉÈ ÇÒÁÎÉÃ, ÍÏÖÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ ×ÅÒÈÎÉÅ ÏÃÅÎËÉ, ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÓËÏÒÏÓÔÅÊ ÐÅÒÅÄÁÞÉ. íÙ ÐÒÉ×ÅÄÅÍ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÏÃÅÎÏË (ÄÒÕÇÉÅ ÏÃÅÎËÉ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, × [2, x 13.6], [18, Ó. 98{101], [64], [32, çÌÁ×Á I.2]). 1.2.15. ôÅÏÒÅÍÁ (ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÁÎÉÃÁ âÁÓÓÁÌÙÇÏ|üÌÁÊÅÓÁ).

q (Æ ) 1 Hq

q

q

1

q

q

1

s

1

q

qÆ

!

1

:

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÎÉÖÎÉÅ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÇÒÁÎÉÃÙ. 1.2.16. ôÅÏÒÅÍÁ (ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÁÎÉÃÁ çÉÌÂÅÒÔÁ).

q (Æ ) 1 Hq (Æ ); Æ 2 0;

q

q

1

:

2 óÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 1.2.7 k n logq sq (n; d 1). òÁÚÄÅÌÉ× ÎÁ n É ÐÅÒÅÈÏÄÑ Ë ÐÒÅÄÅÌÕ ÐÒÉ n ! 1, Ó ÕÞÅÔÏÍ ÌÅÍÍÙ 1.2.12, ÐÏÌÕÞÉÍ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ. 2 áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ 1.2.17. ôÅÏÒÅÍÁ (ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÁÎÉÃÁ ÷ÁÒÛÁÍÏ×Á|çÉÌÂÅÒÔÁ).

lin (Æ ) q

q

1 Hq (Æ); Æ 2 0; q

1

:

ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ × ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÃÅÎËÉ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ËÏÄÏ× (q = 2) ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 1.1. áÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÁÎÉÃÁ ÷ÁÒÛÁÍÏ×Á|çÉÌÂÅÒÔÁ ÂÙÌÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ × 1952{1957 ÇÇ. É ÎÅ ÕÌÕÞÛÅÎÁ (ÐÒÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ q ) ÄÏ ÎÁÓÔÏÑÝÅÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ. îÁÊÄÅÎÎÏÅ × 1982 Ç. ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÁÌÇÅÂÒÏ-ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ËÏÄÏ×, ËÏÔÏÒÏÅ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ËÒÉ×ÙÈ Ó ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÍ ÒÏÄÏÍ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÍ ÞÉÓÌÏÍ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÔÏÞÅË ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ GF (q ), ÐÏÚ×ÏÌÉÌÏ ÕÌÕÞÛÉÔØ ÇÒÁÎÉÃÕ ÷ÁÒÛÁÍÏ×Á|çÉÌÂÅÒÔÁ ÄÌÑ ÒÑÄÁ ÚÎÁÞÅÎÉÊ q .

21


6R 1:0 A@

0

A@ 1 A@ A @ AA @@ A @2 AA @@ A 3 @ A @ AA @@ A 4 @ @@ AA A 5 @ A @@ AA @ AA @@ AA @@ 0:312

0:5

1:0

-Æ

òÉÓ. 1.1: áÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÇÒÁÎÉÃÙ ÄÌÑ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ËÏÄÏ× (q = 2). 1 | ×ÅÒÈÎÑÑ ÇÒÁÎÉÃÁ óÉÎÇÌÔÏÎÁ, 2 | ×ÅÒÈÎÑÑ ÇÒÁÎÉÃÁ ðÌÏÔËÉÎÁ, 3 | ×ÅÒÈÎÑÑ ÇÒÁÎÉÃÁ èÅÍÍÉÎÇÁ, 4 | ×ÅÒÈÎÑÑ ÇÒÁÎÉÃÁ âÁÓÓÁÌÙÇÏ|üÌÁÊÅÓÁ, 5 | ÎÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉÃÁ ÷ÁÒÛÁÍÏ×Á|çÉÌØÂÅÒÔÁ.

22


6R (Á) q < 49 1:0 e 2 ee e 5 @ ee @@ e @ ee @@ ee @ eq 1 -Æ 0 q

1:0

6R (Â) q 49 1:0 e 2 ee @ ee 5 @@ e @ ee @@ e @ ee @ eq 1 -Æ 0 Æ1

Æ2

q

1:0

òÉÓ. 1.2: îÉÖÎÑÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÁÎÉÃÁ ÁÌÇÅÂÒÏ-ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ GF (q ) (q | Ë×ÁÄÒÁÔ ÎÅÞÅÔÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ). 1.2.18. ôÅÏÒÅÍÁ (ÇÒÁÎÉÃÁ ÁÌÇÅÂÒÏ-ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ËÏÄÏ×). ðÕÓÔØ q | ÞÅÔÎÁÑ ÓÔÅÐÅÎØ ÐÒÏÓÔÏÇÏ ÎÅÞÅÔÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ. ôÏÇÄÁ

p qlin (Æ ) 1 Æ ( q 1) 1 : äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÜÔÏÊ ÏÃÅÎËÉ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÐÏÓ×ÑÝÅÎÁ ËÎÉÇÁ [66]. åÇÏ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÖÅ × ÍÏÎÏÇÒÁÆÉÑÈ [64], [32]. íÏÖÎÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ [66, x 6], [64, Ó. 352], ÞÔÏ ÐÒÉ q < 49 ÇÒÁÎÉÃÁ ÁÌÇÅÂÒÏ-ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ËÏÄÏ× ÌÅÖÉÔ ÎÉÖÅ ÇÒÁÎÉÃÙ ÷ÁÒÛÁÍÏ×Á|çÉÌÂÅÒÔÁ (É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÅ ÕÌÕÞÛÁÅÔ ÅÅ), Á ÐÒÉ q 49 ÐÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÇÒÁÎÉÃÕ ÷ÁÒÛÁÍÏ×Á|çÉÌÂÅÒÔÁ × Ä×ÕÈ ÔÏÞËÁÈ Æ1 É Æ2 , Ñ×ÌÑÀÝÉÈÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ p 1 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Hq (Æ ) = Æ + ( q 1) (ÓÍ. ÒÉÓ. 1.2). 1.3

çÒÕÐÐÁ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ËÏÄÙ.

çÒÕÐÐÁ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚ-

ÍÏ× ËÏÄÁ

A. éÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. îÁÚÏ×ÅÍ ÂÉÅËÃÉÀ : n ! n ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ (ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÍÅÔÒÉËÉ èÅÍÍÉÎÇÁ) ÉÌÉ ÉÚÏÍÅÔÒÉÅÊ,

ÅÓÌÉ

8a; b 2 n d((a); (b)) = d(a; b): (1.3.1) 1.3.1. ôÅÏÒÅÍÁ (íÁÒËÏ× á.á.). âÉÅËÃÉÑ : n ! n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÅÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ 1 , ..., n 2 S ( ), ' 2 Sn ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ

8a = (a(1); :::; a(n)) 2 n (a) = (1 (a('(1))); :::; n(a('(n)))):

(1.3.2)

23


2 ðÕÓÔØ S( n) ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÉÅËÃÉÊ ×ÉÄÁ (1.3.2). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ S( n)

| ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÐÐÙ S ( n ) ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÕÔØ ÉÚÏÍÅÔÒÉÉ. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÑ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ S( n ). äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ 1 2 2 S( n ) ÐÒÉ ÐÏÄÈÏÄÑÝÉÈ 1 ; 2 2 S( n ). ðÏÜÔÏÍÕ ÄÁÌÅÅ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ \ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ...", ÉÍÅÑ × ×ÉÄÕ, ÞÔÏ 1 2 ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÜÔÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÐÒÉ ÐÏÄÈÏÄÑÝÉÈ 1 ; 2 2 S( n ). îÅ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ = Zq = f0; 1; :::; q 1g É

(0) = 0:

(1.3.3)

äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a 2 Znq ÂÕÄÅÍ, ËÁË É ÒÁÎØÛÅ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ kak ÞÉÓÌÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × a. ôÏÇÄÁ, ××ÉÄÕ (1.3.3), ÉÍÅÅÍ

8a 2 Znq k(a)k = d((a); 0) = d(a; 0) = kak: ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÄÌÑ ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× es = (0; :::; 0; 1; 0; :::; 0), s ÐÏÌÕÞÁÅÍ k (es )k = 1, Ô.Å.

(1.3.4)

2 1; n, ÉÚ (1.3.4)

(es ) = use'(s) ; ÇÄÅ us 2 Zq n 0; s 2 1; n; ': 1; n ! 1; n:

(1.3.5)

ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ' | ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ ÎÁ 1; n. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ s; t 2 1; n É s 6= t, ÔÏ d(es ; et ) = 2. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, d( (es ); (et )) = 2 É, ××ÉÄÕ (1.3.5), '(s) 6= '(t). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ

(es ) = e'(s) ; s 2 1; n; ÇÄÅ ' 2 Sn :

(1.3.6)

÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ s 2 1; n É ÌÀÂÏÇÏ u 2 Zq n f0; 1g ÉÍÅÅÍ k (ues)k = kuesk = 1, d((ues); e'(s) ) = d(ues; es) = 1. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ u 2 Zq (ues ) = s (u)e'(s) ; ÇÄÅ s : ! ; (0) = 0; (1) = 1: ðÒÉ ÜÔÏÍ s 2 S ( ), ÔÁË ËÁË ÉÎÁÞÅ s (u) = s (v ) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ u; v 2

, É ÔÏÇÄÁ d(ues; v es) = 1; d( (ues); (v es )) = 0; Ô.Å. | ÎÅ ÂÉÅËÃÉÑ, É ÐÏÔÏÍÕ ÎÅ ÉÚÏÍÅÔÒÉÑ. ôÅÐÅÒØ, ËÁË ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ (1.3.7) 8n 2 Zq 8s 2 1; n (ues) = ues; É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ × ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ = " | ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ n . ðÕÓÔØ 6= ". ôÏÇÄÁ (a) = b 6= a ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ a 2 Znq n 0. ðÒÉ ÜÔÏÍ, ××ÉÄÕ (1.3.4), kbk = kak. ðÏ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÀ a(i) 6= b(i) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ i 2 1; n. éÍÅÅÍ Ä×Á ÓÌÕÞÁÑ. (a) åÓÌÉ a(i) = 0, ÔÏ b(i) 6= 0 É

d(a; b(i)ei ) = kak + 1 = kbk + 1;


24

d( (a); (b(i)ei )) = d(b; b(i)ei ) = kbk 1: ðÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÁÔ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ | ÉÚÏÍÅÔÒÉÑ. (b) åÓÌÉ a(i) 6= 0, ÔÏ d(a; a(i)ei ) = kak 1 = kbk 1; d( (a); (a(i)ei )) = d(b; a(i)ei ) kbk; É ÍÙ ÏÐÑÔØ ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ | ÎÅ ÉÚÏÍÅÔÒÉÑ. 2 ÷ ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÉ ÔÅÏÒÅÍÕ 1.3.1 ÉÎÏÇÄÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ \ÔÅÏÒÅÍÏÊ Ï ÛÉÆÒÁÈ, ÎÅ ÒÁÓÐÒÏÓÔÒÁÎÑÀÝÉÈ ÉÓËÁÖÅÎÉÊ", × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÓÍÙÓÌÅ. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÛÉÆÒÏÍ ÂÉÅËÃÉÀ : n ! n , ËÏÔÏÒÁÑ ËÁÖÄÏÍÕ \ÏÔËÒÙÔÏÍÕ" ÓÏÏÂÝÅÎÉÀ a 2 n ÓÔÁ×ÉÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ \ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ" ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ (a) 2 n . äÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÐÅÒÅÄÁÞÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ (a) ÐÏ ËÁÎÁÌÕ Ó×ÑÚÉ × ÎÅÍ ÉÓËÁÚÉÌÉÓØ r ÚÎÁËÏ×. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÎÁ ÐÒÉÅÍÎÏÍ ËÏÎÃÅ ×ÍÅÓÔÏ (a) ÂÕÄÅÔ ÐÏÌÕÞÅÎÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ (a)0 ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ d( (a); (a)0 ) = r. ðÒÉ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ (a)0 ×ÍÅÓÔÏ a ÂÕÄÅÔ ÐÏÌÕÞÅÎÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ a0 = 1 ( (a)0 ). åÓÌÉ | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÂÉÅËÃÉÑ, ÔÏ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ a0 ÍÏÖÅÔ ÏÔÌÉÞÁÔØÓÑ ÏÔ a ÕÖÅ ÎÅ × r, Á ×Ï ×ÓÅÈ n ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ, É a ÎÅ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÉÚÂÙÔÏÞÎÏÓÔØ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ. ÷ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÐÒÏÓ: ÐÒÉ ËÁËÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ d(a; a0 ) = d( (a); (a)0 )? ïÔ×ÅÔ ÎÁ ÎÅÇÏ É ÄÁÅÔ ÔÅÏÒÅÍÁ 1.3.1. ðÏÄÇÒÕÐÐÕ S( n ) < S ( n ) ÎÁÚÏ×ÅÍ ÇÒÕÐÐÏÊ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÌÏ× n . B. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ËÏÄÙ. çÒÕÐÐÁ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ËÏÄÁ. ëÏÄÙ K n É K0 n ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ É ÐÉÛÕÔ K K0 , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÚÏÍÅÔÒÉÑ 2 S( n ) ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ K0 = (K). åÓÌÉ ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÉÚÏÍÅÔÒÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ

×ÙÂÒÁÎÁ ÔÁË, ÞÔÏ × ÅÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ (1.3.2) ×ÓÅ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ 1 , ..., n Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ËÏÄÙ K É K0 ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. ðÏÄÇÒÕÐÐÁ ÇÒÕÐÐÙ S( n ) Aut(K) = f 2 S( n ) : (K) = Kg ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÒÕÐÐÏÊ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ËÏÄÁ K. ëÏÄ K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ, ÅÓÌÉ ÇÒÕÐÐÁ Aut(K) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ ÔÁËÕÀ, ÞÔÏ 8a = (a(1); :::; a(n)) 2 n (a) = (a(2); :::; a(n); a(1)): (1.3.8) 1.3.2. ðÒÉÍÅÒ (ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ). ðÕÓÔØ × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.1.6 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) 2 R[x] ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ F (0) 2 R (ÚÄÅÓØ É ÄÁÌÅÅ R | ÍÕÌØÔÉÐÌÉËÁÔÉ×ÎÁÑ ÇÒÕÐÐÁ ËÏÌØÃÁ R). ôÏÇÄÁ, ËÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ [22], ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÁËÉÅ t 2 N , ÞÔÏ F (x) j xt e. îÁÉÍÅÎØÛÅÅ t Ó ÔÁËÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÅÒÉÏÄÏÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x) É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ T (F ). ÷ÙÂÅÒÅÍ n 2 N ÔÁË, ÞÔÏ T (F ) j n. ôÏÇÄÁ ÌÀÂÁÑ ìòð u 2 LR (F ) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ xn u = u, É ÐÏÔÏÍÕ ËÏÄ K = L0R;n 1(F ) ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ ËÏÄÏÍ.

25


óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ 1.3.3. ôÅÏÒÅÍÁ. þÉÓÌÏ ËÏÄÏ× K0 n , ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ËÏÄÕ K n , ÒÁ×ÎÏ ÉÎÄÅËÓÕ [S( n ) : Aut(K)] ÐÏÄÇÒÕÐÐÙ Aut(K) × ÇÒÕÐÐÅ S( n ). åÓÌÉ K0 = (K), 2 S( n ), ÔÏ Aut(K0 ) = 1 Aut(K) É d(K0 ) = d(K). C. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ×. åÓÌÉ = R M | ËÏÎÅÞÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ

ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ e, ÔÏ M n | ÔÁËÖÅ R-ÍÏÄÕÌØ. ÷ ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ÄÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÂÕÄÅÍ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÔÁËÉÅ ÉÚÏÍÅÔÒÉÉ 2 S( n ), ËÏÔÏÒÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ (Á ÚÎÁÞÉÔ É ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ) ÍÏÄÕÌÑ M n . ðÕÓÔØ Aut(M ) | ÇÒÕÐÐÁ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÍÏÄÕÌÑ M . ôÏÇÄÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S( n ) \ Aut(M n ) ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÂÉÅËÃÉÊ ×ÉÄÁ (1.3.2), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ÏË s 2 S (M n ) ÅÓÔØ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ s 2 Aut(M ). âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÇÒÕÐÐÕ

LS(M n) = S( n) \ Aut(M n ) ÇÒÕÐÐÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÉÚÏÍÅÔÒÉÊ ÍÏÄÕÌÑ M n . ìÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÚÏ×ÅÍ (ÌÉÎÅÊÎÏ ) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ

K < M n É K0 < M n

9 2 LS(M n) (K) = K0 : çÒÕÐÐÏÊ (ÌÉÎÅÊÎÙÈ) Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ K ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÏÄÇÒÕÐÐÕ L Aut(K) = f 2 LS( n) : (K) = Kg = Aut(K) \ LS(M n) ÇÒÕÐÐÙ Aut(K). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ K | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ, ÔÏ ÉÚÏÍÅÔÒÉÑ (1.3.8) ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ L Aut(K). ÷ÙÄÅÌÉÍ ×ÁÖÎÙÊ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ M = R, Ô.Å. K < Rn ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R. ÷ ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ËÁÖÄÙÊ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍ 2 End(R R) ÏÄÎÏ-

ÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÏÍ (e) ÅÄÉÎÉÃÙ e ËÏÌØÃÁ R, ÐÏÓËÏÌØËÕ (r) = r (e), r 2 R. üÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍ , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ (e) = u 2 R, ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ub. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ 2 Aut(R R) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ u 2 R . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÇÒÕÐÐÁ LS(Rn) ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÉÚÏÍÅÔÒÉÊ ÍÏÄÕÌÑ Rn ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÂÉÅËÃÉÊ : Rn ! Rn ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ' 2 Sn É u1 ; :::; un 2 R ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ

8a 2 Rn (a) = (u1a('(1)); :::; una('(n))):

(1.3.9)

÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÍÙ ÉÍÅÅÍ 1.3.4. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ìÉÎÅÊÎÙÅ n-ËÏÄÙ K É K0 ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ ÌÉÎÅÊÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ K0 = (K), ÇÄÅ | ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ (1.3.9).

çÌÁ×Á 2 ìÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÐÏÌÑÍÉ üÔÏ, ÐÏÖÁÌÕÊ, ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÇÌÕÂÏËÏ ÉÚÕÞÅÎÎÙÊ ËÌÁÓÓ ËÏÄÏ×, ÐÏÄÒÏÂÎÏ ÏÐÉÓÁÎÎÙÊ × ÍÏÎÏÇÒÁÆÉÑÈ [2, 7, 18, 26, 35, 64, 65]. 2.1

ðÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ. çÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÊ ÒÁÎÇ É ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ËÏÄÁ

A. ïÂÝÉÅ ÐÏÎÑÔÉÑ. ðÕÓÔØ P = GF (q ) | ÐÏÌÅ ÉÚ q ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ìÉÎÅÊÎÙÍ ËÏÄÏÍ

ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÀÂÏÅ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï K < P n. åÓÌÉ dimP K = k, ÔÏ K ÅÓÔØ [n; k; d]P -ËÏÄ, ÉÌÉ [n; k; d]q -ËÏÄ, ÇÄÅ

d = d(K) = minfkak : a 2 K n 0g

(ÓÍ. ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 1.1.9). óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÅÓÔØ ÐÒÏÓÔÏÊ ÆÁËÔ ÉÚ ÔÅÏÒÉÉ ÓÉÓÔÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁÄ ÐÏÌÑÍÉ. 2.1.1. ôÅÏÒÅÍÁ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ [n; k]P -ËÏÄÁ K ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÁÔÒÉÃÁ Hln ÎÁÄ P ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ K = fa 2 P n : H a# = 0#g (2.1.1) ðÒÉ ÜÔÏÍ rank H = n k.

íÁÔÒÉÃÁ H ÉÚ (2.1.1) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ËÏÄÁ K. ðÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ËÏÄÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÌÅÚÎÙÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒ { (H ), ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÍ ÒÁÎÇÏÍ ÍÁÔÒÉÃÙ H É ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ËÁË ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ r 2 N 0 ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÐÏÄÓÉÓÔÅÍÁ ÉÚ r ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃÙ H ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÁ ÎÁÄ P . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, {P (H ) rank H .

2.1.2. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ K | ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k; d]P -ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ

H . ôÏÇÄÁ

d = {P (H ) + 1: 26

(2.1.2)

çìá÷á 2.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

27

K Ñ×ÌÑÅÔÓÑ íäò-ËÏÄÏÍ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ {P (H ) = rank H . 2 äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ a 2 P n ÕÓÌÏ×ÉÅ H a# = 0# ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ ÌÉÎÅÊ-

ëÏÄ

ÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ

H1# a(1) + H2# a(2) + ::: + Hn# a(n) = 0# ÍÅÖÄÕ ÓÔÏÌÂÃÁÍÉ ÍÁÔÒÉÃÙ H = (H1# :::Hn# ). ôÅÐÅÒØ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÎÁÌÉÞÉÅ × ËÏÄÅ K ×ÅËÔÏÒÁ a 6= 0 ×ÅÓÁ kak r ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÐÏÄÓÉÓÔÅÍÙ ÉÚ r ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃÙ H . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÕÓÌÏ×ÉÅ d(K) r + 1 ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ { (H ) r. 2 îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ × ÐÒÉÍÅÒÅ 1.2.3 ÍÁÔÒÉÃÁ H ÅÓÔØ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ËÏÄÁ èÅÍÍÉÎÇÁ, É ÅÅ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÊ ÒÁÎÇ ÒÁ×ÅÎ 2. 2.1.3. ðÒÉÍÅÒ. ÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.1.6 ÐÕÓÔØ f (x) = xm + fm 1 xm 1 + ::: +

f1 x + f0 2 P [x]. ôÏÇÄÁ ËÏÄ K = L0P;n 1 (f ) ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ 0 B

H(n m)n = B B @

f0 f1 : : : fm 1 e 0 f0 f1 : : : fm 1 .. ... . 0 ...... 0 f0

0 ::: 0 e ::: 0 ... e . . . . . . . fm 1

0 0 0 e

1

C C C; A

(2.1.3)

ÒÁÎÇ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁ×ÅÎ n m. çÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÊ ÒÁÎÇ ÜÔÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x). ÷ ÒÑÄÅ ÓÌÕÞÁÅ× ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ËÏÄÁ K < P n ÕÄÏÂÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÎÅ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , Á ÎÁÄ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÅÇÏ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅÍ Q = GF (q t ). íÁÔÒÉÃÕ Bsn ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÄÌÑ ËÏÄÁ K, ÅÓÌÉ

K = fa 2 P n : B a# = 0# g: (2.1.4) ðÒÉ ÔÁËÏÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ K ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ

ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÍÅÎØÛÅ ÓÔÒÏË, ÞÅÍ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÜÔÏÇÏ ËÏÄÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÐÅÒÉÒÏ×ÁÔØ Ó ÔÁËÉÍÉ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÍÉ ÍÁÔÒÉÃÁÍÉ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÉÎÏÇÄÁ Õ×ÉÄÅÔØ ÎÏ×ÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ËÏÄÁ. ðÒÅÖÄÅ, ÞÅÍ ÐÒÉ×ÅÓÔÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÐÒÉÍÅÒ, ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÚ ÍÁÔÒÉÃÙ B ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ (2.1.4) ÌÅÇËÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÙ H ËÏÄÁ K ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ðÕÓÔØ e = (e1 ; :::; et ) | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P Q. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ 2 Q ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ # ÓÔÏÌÂÅÃ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ×ÅËÔÏÒÁ × ÂÁÚÉÓÅ e. ôÏÇÄÁ # 2 P t É = e # . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÍÁÔÒÉÃÁ B = ( ij )sn ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ (2.1.4) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÍÁÔÒÉÃÁ 1 0 # 11 : : : 1#n .. C . H=B @ .. . A # # s1 : : : sn

çìá÷á 2.


28

ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ (2.1.1). íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ H ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ (ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ) ÍÁÔÒÉÃÙ B (× ÂÁÚÉÓÅ e) É ÐÉÓÁÔØ H = B + = Be+ . äÌÑ ÍÁÔÒÉÃÙ B ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÅÅ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÊ ÒÁÎÇ {P (B ) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÔÁË, ÞÔÏ ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ {P (B ) = {P (Be+ ) É ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ (2.1.4) d(K) = {P (B ) + 1. 2.1.4. ðÒÉÍÅÒ. (ä×ÏÉÞÎÙÊ ËÏÄ èÅÍÍÉÎÇÁ × ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ.)

ðÕÓÔØ Q = GF (2l ) | ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ÐÏÌÑ P = Z2 É ! | ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÐÏÌÑ Q: ord ! = 2l 1 = n. ôÏÇÄÁ Ä×ÏÉÞÎÙÊ ËÏÄ K < P n Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ B = (e; !; :::; ! n 1) (2.1.5) ÅÓÔØ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ [n; n l; 3]2 -ËÏÄ, ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÊ ËÏÄÕ èÅÍÍÉÎÇÁ H2 (l) ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.2.3. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÐÕÓÔØ e = (e1 ; :::; el ) | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ Q ÎÁÄ P . ôÏÇÄÁ ÍÁÔÒÉÃÁ B + ÒÁÚÍÅÒÏ× l n ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÉÚ ×ÓÅÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÔÏÌÂe

ÃÏ× ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P l , Ô.Å. ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ H ËÏÄÁ H2 (l) ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.2.3 ÌÉÛØ ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÓÔÏÌÂÃÏ×. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÄ K ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ËÏÄÁ H2 (l) ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ËÏÄÏ×ÙÈ ÓÌÏ×, Ô.Å. K H2 (l). ãÉËÌÉÞÎÏÓÔØ ËÏÄÁ K ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÕÓÔØ a 2 K. ôÏÇÄÁ a(1)! 0 + a(2)! 1 + ::: + a(n)! n 1 = 0, É ÔÁË ËÁË ! n = e, ÔÏ n

X a(2)! 0 + a(3)! 1 + ::: + a(n)! n 2 + a(1)! n 2 = ! 1 a(i)! i 1 = 0: i=1 óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (a(2); :::; a(n); a(1)) 2 K. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÙÂÒÁ× ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ËÏÄÁ èÅÍÍÉÎÇÁ ÎÁÄ ÂÏÌØÛÉÍ ÐÏÌÅÍ, ÍÙ ÓÕÍÅÌÉ ÐÒÏÓÔÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÅÇÏ ÃÉËÌÉÞÎÏÓÔØ.

éÚ ÔÅÏÒÉÉ ÓÉÓÔÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ É ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 1.3.4 ÌÅÇËÏ ×Ù×ÏÄÉÔÓÑ 2.1.5. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. íÁÔÒÉÃÙ Hln É Hs0 n ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÍÉ ÍÁÔÒÉÃÁÍÉ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÉÓÔÅÍÙ ÉÈ ÓÔÒÏË ÌÉÎÅÊÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. üÔÉ ÍÁÔÒÉÃÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÍÉ ÍÁÔÒÉÃÁÍÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ËÏÄÏ× ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÔÒÏË H 0 ÌÉÎÅÊÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉÃÙ, ÐÏÌÕÞÁÀÝÅÊÓÑ ÉÚ H ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÓÔÏÌÂÃÏ× É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÉÈ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ. 2.1.6. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ìÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k]-ËÏÄ K ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ. óÉÓÔÅÍÁ ÐÏÚÉÃÉÊ i1 ; :::; ik ËÏÄÁ K Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÅÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ × ÅÇÏ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅ H ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÔÏÌÂÃÏ× Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á 1; n n fi1 ; :::; ik g ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÂÁÚÉÓ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃÙ H . ëÏÄ K Ñ×ÌÑÅÔÓÑ íäò-ËÏÄÏÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÌÀÂÙÅ k ÅÇÏ ÐÏÚÉÃÉÊ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ.

çìá÷á 2.


29

éÔÁË, ÌÀÂÕÀ l n-ÍÁÔÒÉÃÕ ÒÁÎÇÁ l ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÍÏÖÎÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÓÔÒÏË É ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÓÔÏÌÂÃÏ× ÐÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ×ÉÄÕ 0 B

Hln = B @

r11 : : : r1k e 0 : : : 0 r21 : : : r2k 0 e ::: 0 ............................... rl1 : : : rlk 0 0 : : : e

1 C C A

= (H; Ell ):

(2.1.6)

ln

ëÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ (2.1.6) ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k]q -ËÏÄ Ó ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ 1; k. îÁÏÂÏÒÏÔ, ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ Ó ÜÔÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÉÍÅÅÔ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ×ÉÄÁ (2.1.6). íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÅÅ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÅ.

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ×ÉÄÁ (2.1.6) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ Ó ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÈ ÐÏÚÉÃÉÊ 1; k.

2.1.7. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k]q -ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÅÎ ËÏÄÕ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÅ. ëÏÄ K Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ (2.1.6) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ íäò-ËÏÄÏÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ × ÍÁÔÒÉÃÅ H ×ÓÅ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÅ ÐÏÄÍÁÔÒÉÃÙ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÙ.

2 ðÅÒ×ÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ. äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ×ÔÏÒÏÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 2.1.2 K ÅÓÔØ íäò-ËÏÄ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÌÀÂÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÚ l ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃÙ H ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÁ. ÷ÙÂÅÒÅÍ × H ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÎÕÀ ÐÏÄÍÁÔÒÉÃÕ H

0

i1 :::is =B @ j1 :::js

ri j : : : ri1 js .. .. . . ris j : : : ris js 1 1

1 C A

(2.1.7)

1

É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃÙ H

Hj# ; :::; Hj#s ; Ei#s ; ::: Ei#l ; 1

+1

(2.1.8)

ÇÄÅ fis+1 ; :::; il g = 1; l n fis ; :::; isg. îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÍÁÔÒÉÃÙ, i :::i s ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÓÔÏÌÂÃÏ×, ÒÁ×ÅÎ det H j :::js . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÒÉÔÅÒÉÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÓÉÓÔÅÍÙ (2.1.8) | ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÓÔØ ÍÁÔÒÉÃÙ (2.1.7). 2 1

1

2.1.8. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ ËÏÄÙ K É K0 ÉÍÅÀÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÅ ÍÁÔÒÉÃÙ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÅ H É H 0 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÔÏ

K = K0 , H = H 0 : 2 äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅÍ 2.1.5 É ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÓÔÒÏÞÎÁÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÍÁÔÒÉÃ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÉÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï. 2

çìá÷á 2.

30


2.1.9. ðÒÉÍÅÒ. òÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ËÏÄ

K = L0P;n 1(f ) ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 2.1.3 ÉÍÅÅÔ, ÎÁ-

ÒÑÄÕ Ó ÍÁÔÒÉÃÅÊ (2.1.3), ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ×ÉÄÁ 0

HÓÔ

B =B B @

f0(0) : : : fm(0) 1 e 0 : : : 0 f0(1) : : : fm(1) 1 0 e ::: 0 .................................... f0(l 1) : : : fm(l 1)1 0 0 : : : e

ÇÄÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ i-Ê ÓÔÒÏËÉ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á f0(i) + f1(i) x + ::: + fm(i) 1 xm 1 = Res(xi =f (x)); i 2 0; l

1 C C C A

;

(2.1.9)

ln

1;

(2.1.10)

ÇÄÅ Res(h(x)=f (x)) | ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ h(x) ÎÁ f (x). B. äÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÓÉÎÄÒÏÍÏ×. ïÐÉÛÅÍ ÏÂÝÉÊ ÍÅÔÏÄ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÐÏ ÓÉÎÄÒÏÍÕ. ðÕÓÔØ K < P n | ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k]q -ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H ÒÁÚÍÅÒÏ× (n k) n. óÉÎÄÒÏÍÏÍ ×ÅËÔÏÒÁ a 2 P n ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒ aH T 2 P n k . ðÏÓËÏÌØËÕ ÓÉÎÄÒÏÍ ×ÅËÔÏÒÁ a ÒÁ×ÅÎ 0 ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ a 2 K, ÔÏ ×ÓÅ ×ÅËÔÏÒÙ a + e, a 2 K, ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÓÍÅÖÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ËÏÄÁ K ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÓÉÎÄÒÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÓÉÎÄÒÏÍÏÍ ÓÍÅÖÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ, É ÉÍÅÅÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÓÍÅÖÎÙÍÉ ËÌÁÓÓÁÍÉ É ÉÈ ÓÉÎÄÒÏÍÁÍÉ | ×ÅËÔÏÒÁÍÉ ÉÚ P n k. äÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÓÉÎÄÒÏÍÕ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. úÁÒÁÎÅÅ, ÐÅÒÅÂÉÒÁÑ ×ÅËÔÏÒÙ ÉÚ P n , ÎÁÊÄÅÍ × ËÁÖÄÏÍ ÓÍÅÖÎÏÍ ËÌÁÓÓÅ ËÏÄÁ K ×ÅËÔÏÒ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ×ÅÓÁ, ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÌÉÄÅÒ ÓÍÅÖÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ. îÁÐÒÉÍÅÒ, × ÓÍÅÖÎÏÍ ËÌÁÓÓÅ K ÌÉÄÅÒÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÕÌÅ×ÏÊ ×ÅËÔÏÒ. åÓÌÉ × ÓÍÅÖÎÏÍ ËÌÁÓÓÅ ÅÓÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÌÏ× ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ×ÅÓÁ, ÔÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÌÉÄÅÒÁ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÌÀÂÏÅ ÉÚ ÎÉÈ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁÂÌÉÃÁ ÌÉÄÅÒÏ× ÓÍÅÖÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ×. ïÎÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔ q n k ÓÉÎÄÒÏÍÏ× | ×ÅËÔÏÒÏ× ÉÚ P n k , ÎÁÐÒÏÔÉ× ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÐÉÓÁÎ ÌÉÄÅÒ ÓÍÅÖÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ Ó ÜÔÉÍ ÓÉÎÄÒÏÍÏÍ. ôÅÐÅÒØ, ÐÒÉ ÐÏÌÕÞÅÎÉÉ ×ÅËÔÏÒÁ b 2 P n , ÍÙ ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÅÇÏ ÓÉÎÄÒÏÍ bH T , ÉÝÅÍ ÐÏ ÔÁÂÌÉÃÅ ÌÉÄÅÒ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÓÍÅÖÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ e 2 P n , É × ËÁÞÅÓÔ×Å ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÓÌÏ×Á ÂÅÒÅÍ ×ÅËÔÏÒ a = b e. ìÅÇËÏ ÐÏÎÑÔØ, ÞÔÏ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ×ÅËÔÏÒ b ÄÅËÏÄÉÒÕÅÔÓÑ × ÂÌÉÖÁÊÛÅÅ Ë ÎÅÍÕ ËÏÄÏ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï, Ô.Å. ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÍÁËÓÉÍÕÍÕ ÐÒÁ×ÄÏÐÏÄÏÂÉÑ. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÓÉÎÄÒÏÍÕ ÅÓÔØ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÍÁËÓÉÍÕÍÕ ÐÒÁ×ÄÏÐÏÄÏÂÉÑ, ÉÓÐÏÌØÚÕÀÝÅÅ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔØ ËÏÄÁ K. îÁ ÐÒÁËÔÉËÅ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÓÉÎÄÒÏÍÕ ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÏÂÙÞÎÏ ÄÌÑ ×ÙÓÏËÏÓËÏÒÏÓÔÎÙÈ ËÏÄÏ×. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÒÉ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ [63; 51]2 -ËÏÄÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ ÂÏÌÅÅ 1017 ÓÌÏ×, ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÓÉÎÄÒÏÍÕ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÔÁÂÌÉÃÅ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ×ÓÅÇÏ 2n k = 4096 ÓÉÎÄÒÏÍÏ×.

çìá÷á 2.

2.2


31

ðÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÏÄ

A. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ É Ó×ÏÊÓÔ×Á ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÙ. íÁÔÒÉÃÁ Gmn ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ K, ÅÓÌÉ ÓÉÓÔÅÍÁ ÅÅ

ÓÔÒÏË ÐÏÒÏÖÄÁÅÔ K ËÁË ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × P n. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ m rank G = dim K = k, É ÍÁÔÒÉÃÕ G ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏ m = k. åÓÌÉ ÐÒÉ ÜÔÏÍ Hln | ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ K, ÔÏ

HGT = 0; rank H + rank G = n:

(2.2.1)

íÅÔÏÄÁÍÉ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÌÅÇËÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ 2.2.1. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ K | ÌÉÎÅÊÎÙÊ n-ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P É Gmn , Hln | ÍÁÔÒÉÃÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ôÏÇÄÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ: (a) G | ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ, Á H | ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÙ ËÏÄÁ K; (b) G | ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ K É ×ÅÒÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (2.2.1); (c) H | ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÙ ËÏÄÁ K É ×ÅÒÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (2.2.1).

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ËÏÄ ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ H × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÅ (2.1.6), ÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ (2.2.1) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÍÁÔÒÉÃÁ

G = (Ekk ; H T )kn ;

(2.2.2)

ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ËÏÄÁ K × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÅ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÅÎ ËÏÄÕ Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ×ÉÄÁ (2.2.2). ðÏ ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó 2.1.8 ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ 2.2.2. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ ËÏÄÙ K É K0 ÉÍÅÀÔ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÅ ÍÁÔÒÉÃÙ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÅ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, G É G0 , ÔÏ K = K0 , G = G0 . 2.2.3. ðÒÉÍÅÒ. ïÂÏÂÝÅÎÎÙÊ ËÏÄ òÉÄÁ|óÏÌÏÍÏÎÁ GRSP (n; k) ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ

1.2.2 ÉÍÅÅÔ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ 0 B

G=B @

u1 u2 : : : un u1 !1 u2 !2 : : : un !n ............................. u1 !1k 1 u2 !2k 1 : : : un !nk 1

1 C C: A

(2.2.3)

B. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÏÄ. ïÐÒÅÄÅÌÉÍ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ× a = (a1 ; :::; an ) É b = (b1 ; :::; bn ) ÉÚ P n ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ ab = a1 b1 + ::: + an bn 2 P:

çìá÷á 2.


32

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ a; b; c 2 P n É 2 P ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ab = ba;

a(b + c) = ab + ac;

(a)b = a(b) = (ab);

, a = 0: ëÏÄÏÍ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍ Ë ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ËÏÄÕ K < P n ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÄ KÆ = fb 2 P n : bK = 0g: aP n = 0

(2.2.4)

íÅÔÏÄÁÍÉ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÌÅÇËÏ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ 2.2.4. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ K ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k]-ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ G É ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H . ôÏÇÄÁ (a) KÆ ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; n k]-ËÏÄ ÎÁÄ P Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H É ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ G; (b) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï KÆÆ = K; (c) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ K1 < P n ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

(K1 + K)Æ = K1Æ \ KÆ ; (K1 \ K)Æ = K1Æ + KÆ : úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ (a) ÔÅÏÒÅÍÙ 2.2.4 ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÄÒÕÇÉÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ËÏÄÁ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ËÏÄÁ ÎÅ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÄÌÉÎÙ, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ËÏÄÁ. ïÄÎÁËÏ, ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï 2.2.5. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ K ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k; n Æ K ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; n k; k + 1] íäò ËÏÄ.

k + 1] íäò ËÏÄ, ÔÏ

2 íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ËÏÄ K ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ (2.1.6). ôÏÇÄÁ ÐÏ

ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 2.1.7 × ÍÁÔÒÉÃÅ H ×ÓÅ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÅ ÐÏÄÍÁÔÒÉÃÙ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÙ. ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 2.2.4(a) ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ËÏÄÁ KÆ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉÃÁ (2.2.2), É ÔÁË T ËÁË × ÍÁÔÒÉÃÅ H ×ÓÅ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÅ ÐÏÄÍÁÔÒÉÃÙ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÙ, ÔÏ ÐÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 2.1.7 KÆ ÔÁËÖÅ ÅÓÔØ íäò-ËÏÄ. 2

2.2.6. ðÒÉÍÅÒ (ËÏÄ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ËÏÄÕ òÉÄÁ|óÏÌÏÍÏÎÁ). ðÕÓÔØ

K = GRSq (n; k) | ËÏÄ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÏ× 1.2.2, 2.2.3. ôÏÇÄÁ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 2.2.4(a) KÆ ÅÓÔØ ËÏÄ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÁÔÒÉÃÁ (2.2.3) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ËÏÄ KÆ , Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ËÏÄÕ GRSq (n; k), ÅÓÔØ ËÏÄ GRSq (n; n k). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÙ

Æi =

Y j 21;nnfig

(!i

!j ) 1 ; i 2 1; n;

(2.2.5)

çìá÷á 2.

33


É ÐÏÓÔÒÏÉÍ ÍÁÔÒÉÃÕ 0 B

H=B @

v1 v2 : : : vn v1 !1 v2 !2 : : : vn !n ........................... v1 !1l 1 v2 !2l 1 : : : vn !nl 1

1 C C A

;

(2.2.6)

ln

ÇÄÅ vi = Æi ui 1 2 P , i 2 1; n, l = n k. îÁÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ H | ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ K (ÔÏÇÄÁ ÏÎÁ | ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ ÄÌÑ ËÏÄÁ KÆ ). ôÁË ËÁË, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, rank H = l, ÔÏ ÐÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 2.2.1 ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

HGT = 0:

(2.2.7)

ðÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÌÀÂÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉÃÙ H ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÓÔÏÌÂÅÃ ÍÁÔÒÉÃÙ GT ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ n X i=1

Æi !it ; t 2 0; n 2;

(2.2.8)

É ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ (2.2.8) ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÁÔÒÉÃÕ 0 1 e e ::: e B !1 !2 : : : !n C C W =B @ ...................... A: !1n 1 !2n 1 : : : !nn 1 ðÕÓÔØ Wi | ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ ÄÏÐÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÜÌÅÍÅÎÔÕ !in 1 ÐÏÓÌÅÄÎÅÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉÃÙ W . ôÏÇÄÁ

jW j =

Y

(!s

1s < X

> : s=1

gs(j ) li+s (y0 ; : : : ; ym 1 ) = 0;

j 2 1; n; i 2 0; m 1:

(5.2.8)

üÔÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÔÁËÖÅ ÚÁÐÉÓÁÎÁ × ×ÉÄÅ

(y0; : : : ; ym 1 )(G1 (S (F )); : : : ; Gn(S (F ))) = (0; : : : ; 0):

(5.2.9)

2 2 LM (I ) , s = 0, s 2 1; n, ÇÄÅ s = Gs(x) , s(0; m 1) = (0; : : : ; 0), s 2 1; n , (5.2.8). 2

ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ R-ÍÏÄÕÌÑ LM (I ) Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÓÉÓÔÅÍÙ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ R-ÍÏÄÕÌÑ ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ (5.2.8). ï ÓÐÏÓÏÂÁÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ÔÁËÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÍ. [6]. B. óÉÓÔÅÍÙ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ k-ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ

ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ Fs (xs ) 2 Pk , s 2 1; k. ðÏÌÏÖÉÍ ms = deg Fs (xs ) É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LM (F1 ; : : : ; Fk ). ÷ÓÀÄÕ ÄÁÌÅÅ ÏÂÙÞÎÏÅ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á N 0 É ÉÎÄÕÃÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÉÍ ÞÁÓÔÉÞÎÏÅ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÉÅ ÎÁ N k0 ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ . äÌÑ m = (m1 ; : : : ; mk ), 1 = (1; : : : ; 1) ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÏÌÉÜÄÒ = (m) = fi 2 N k0 : i m 1g:

ëÁÖÄÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M hki ÓÏÐÏÓÔÁ×ÉÍ ÐÏÌÉÜÄÒ ÚÎÁÞÅÎÉÊ

() = f(i) : i 2 g:

çìá÷á 5.

143

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

ðÕÓÔØ M | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÐÏÌÉÜÄÒÏ×. ôÏÇÄÁ M ÅÓÔØ R-ÍÏÄÕÌØ, ÉÚÏÍÏÒÆÎÙÊ ÍÏÄÕÌÀ R M m ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ m = m1 : : : mk . ÷×ÅÄÅÍ ÎÁ N k0 ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÅ ÐÏÌÎÏÅ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÉÅ , ÐÏÌÁÇÁÑ i j ÄÌÑ i, j 2 N k0 , ÅÓÌÉ × ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÞÉÓÅÌ (j1 + : : : + jk ) (i1 + : : : + ik ); j1 i1 ; : : : ; jk ik ÐÅÒ×ÏÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÞÉÓÌÏ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ. ôÏÇÄÁ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÐÏÌÉÜÄÒÁ ÓÏÓÔÁ×ÑÔ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÃÅÐÏÞËÕ 0 = i0 i1 : : : im 1 ; (5.2.10) É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÕÐÏÒÑÄÏÞÁÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÁÖÄÏÇÏ ÐÏÌÉÜÄÒÁ (). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÜÔÏÔ ÐÏÌÉÜÄÒ ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ×ÅËÔÏÒÏÍ ((0); (i1); : : : ; (im 1)) 2 M m ÄÌÉÎÙ m. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ j 2 N k0 ÐÏÌÏÖÉÍ

H j (x)

=

m Y s=1

Res(xjss =Fs (xs )) =

X i2

hji xi :

(5.2.11)

5.2.6. ìÅÍÍÁ. äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ 2 LM (F1 ; : : : ; Fk ) É ÌÀÂÏÇÏ j 2 N k0 ÚÎÁÞÅÎÉÅ (j) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÉÜÄÒÏÍ () ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ X (j) = hji (i): (5.2.12) i2

2 (j) = (0), ÇÄÅ = xj = H j(x). 2 F ;:::;F äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ j 2 ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ej = eFj ÔÁËÕÀ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÕ u 2 1

k

LR (F1 ; : : : ; Fk ) ËÏÔÏÒÁÑ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ u(j) = e × u(). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, eFj (z) = eFj (z1 ) : : : eFjkk (zk ), Ô.Å., × ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÐÒÉÍÅÒÁ 5.1.25, 1 1

eFj = eFj

1 1

: : : eFj :

(5.2.13)

k k

òÅËÕÒÒÅÎÔÕ eF = eFm 1, ËÁË É ÄÌÑ 1-ìòð, ÎÁÚÏ×ÅÍ ÉÍÐÕÌØÓÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÏÊ ÉÚ LR (F1 ; : : : ; Fk ). þÅÒÅÚ M [x] = M [x1 ; : : : ; xk ] ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ Pk -ÍÏÄÕÌØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M ÏÔ k ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ Ó ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÉÚ Pk ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÉÚ M [x]. 5.2.7. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ M = R1 + : : : + Rr , ÔÏ ×ÅÒÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

LM (F1 ; : : : ; Fk ) =

r XX j2 s=1

ReFj s

=

r X s=1

LR (F1 ; : : : ; Fk )s =

X j2

eFj M;

(5.2.14)

LM (F1 ; : : : ; Fk ) = Pk eF 1 + : : : + Pk eF r = M [x]eF = M [x]LR (F1 ; : : : ; Fk ): (5.2.15) åÓÌÉ M | Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ ÒÁÎÇÁ r, ÔÏ LM (F1 ; : : : ; Fk ) | Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ RÍÏÄÕÌØ ÒÁÎÇÁ mr. åÓÌÉ R | ÁÒÔÉÎÏ×Ï ËÏÌØÃÏ, ÔÏ @P (LM (F1 ; : : : ; Fk )) = @R (M ), @R (LM (F1 ; : : : ; Fk )) = m@R (M ).

çìá÷á 5.


144

2 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÔÅÍÉ ÖÅ ÍÅÔÏÄÁÍÉ, ÞÔÏ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÐÒÅÄ-

ÌÏÖÅÎÉÑ 5.2.2, Ó ÕÞÅÔÏÍ ÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ, ÞÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ fxjeF : j 2 g = feF; xj eF; : : : ; xjm eFg ÅÓÔØ ÂÁÚÉÓ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ R-ÍÏÄÕÌÑ LR (F1 ; : : : ; Fk ) (ÓÍ. [23]). 2 ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Res(H (x)=F) ×ÙÞÅÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ H (x) 2 M [x] ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ ÉÄÅÁÌÁ (F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )) (Ô.Å. ÒÅÚÕÌØÔÁÔ k ÄÅÌÅÎÉÊ Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ H (x) ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )). 1

1

5.2.8. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. (a) ìÀÂÁÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÁ 2 LM (F1 ; : : : ; Fk ) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ

= (x)eF ; ÇÄÅ (x) 2 M [x]; degxs (x) < ms ; s 2 1; k: (5.2.16) íÎÏÇÏÞÌÅÎ (x) = (x) × ÜÔÏÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏÍ ìòð

É ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

(x) =

X i2

X tm i

1

(k) i (t)a(1) t1 +i1 +1 : : : atk +ik +1 x ;

(5.2.17)

ÇÄÅ Fs (xs ) = t0 a(ts) xts ÄÌÑ s 2 1; k. (b) åÓÌÉ = H (x), ÇÄÅ H (x) 2 Pk , ÔÏ (x) = Res(H (x) (x)=F). (c) äÌÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ u 2 LR (F1 ; : : : ; Fk ) ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï LM (F1 ; : : : ; Fk ) = M [x]u ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ P

F1 (x1 )M [x] + : : : + Fk (xk )M [x] + u (x)M [x] = M [x]; ÔÏ ÅÓÔØ ÕÓÌÏ×ÉÀ M [x]-ËÏÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÓÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× F1 , . . . , Fk , u . 2 æÏÒÍÕÌÁP(5.2.16) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ (5.2.15) É ÕÓÌÏ×ÉÑ An(eF ) = (F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )). P ôÁË ËÁË = i2 (i)eFi, ÔÏ (x) = i2 (i)i(x), ÇÄÅ i (x) = eFi (x). ôÅÐÅÒØ (5.2.17) ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ (5.2.6) É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á i (x) = i (x1 ) : : : ik (xk ), ÇÄÅ is (xs ) | ÇÅÎÅÒÁÔÏÒ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ eFiss , s 2 1; k. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ Ó ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÐÒÉÍÅÒÁ 5.1.24 ÉÚ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ eFi = eFi : : : eFikk = i (x1 ) : : : ik (xk ) (eF : : : eFk ) 1

1 1

1

1

= i (x1 ) : : : ik (xk ) eF : 2 ôÅÐÅÒØ ÏÐÉÛÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ R-ÍÏÄÕÌÑ LM (I ) ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ËÏÎÅÞÎÏ ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I / Pk , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ (5.1.4). íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ I ÉÍÅÅÔ ÓÉÓÔÅÍÕ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ×ÉÄÁ F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk ); G1 (x); : : : ; Gn(x); (5.2.18) ÇÄÅ X Gr (x) = gr;i xi ; r 2 1; n: (5.2.19) i2 òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Res(I=F) = fRes(H (x)=F(x) : H (x) 2 I g. 1

çìá÷á 5.


145

5.2.9. ìÅÍÍÁ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï Res(I=F) ÅÓÔØ R-ÍÏÄÕÌØ Ó ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ u 2 ;

Gur (x) = Res(xu Gr (x)=F);

r 2 1; n:

(5.2.20)

ðÒÉ ÜÔÏÍ × ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ (5.2.11), (5.2.19) ×ÅÒÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

Gur (x) =

X i2

X

gr;ui xi ; ÇÄÅ gr;ui =

j2

gr;j hui +j : 2

5.2.10. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ

H1 (x); : : : ; Hw (x)

(5.2.21)

| ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ R-ÍÏÄÕÌÑ Res(I=F), É

Hv (x) =

X i2

hv;i xi ;

v 2 1; w:

ôÏÇÄÁ k-ìòð 2 LM (F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )) ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ LM (I ) × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÅÅ ÐÏÌÉÜÄÒ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ () ÅÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ nX hv;i x(i) = 0; v 2 1; w; (5.2.22) i2 ÇÄÅ fx(i) : i 2 g | ÓÉÓÔÅÍÁ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÎÁ M .

2 óÉÓÔÅÍÁ (5.2.22) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÓÉÓÔÅÍÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ nX i2

gr;ui x(i) = 0;

u 2 ;

r 2 1; n:

(5.2.23)

ðÕÓÔØ Ær = Gr (x). ôÏÇÄÁ ÕÓÌÏ×ÉÅ 2 LM (I ) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ Æ1 = : : : = ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ () | Æn = 0, Ô.Å. ÕÓÌÏ×ÉÀ Ær () = 0, r 2 1; n. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ P ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ (5.2.23), ÔÁË ËÁË Ær (u) = i2 gr;ui (i). 2 5.2.11. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ðÕÓÔØ 01 ; : : : ; 0l 2 M | ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ R-ÍÏÄÕÌÑ ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (5.2.22). ôÏÇÄÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï f1 ; : : : ; l g LM (F1 ; : : : ; Fk ) ÒÅËÕÒÒÅÎÔ Ó ÎÁÞÁÌØÎÙÍÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ t () = 0t , t 2 1; l, ÐÏÒÏÖÄÁÅÔ R-ÍÏÄÕÌØ LM (I ). 5.2.12. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ M | ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ÎÅÔÅÒÏ×ÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I / Pk ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LM (I ) ÅÓÔØ ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÎÁÄ R Pk -ÐÏÄÍÏÄÕÌØ ÍÏÄÕÌÑ LM hki . äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÄÍÏÄÕÌÑ M Pk -ÍÏÄÕÌÑ M hki ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ: (a) M | ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ; (b) M | ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ Pk -ÍÏÄÕÌÑ LM hki ; (c) An(M) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ.

çìá÷á 5.


146

2 (a) ) (b) ëÁÖÄÁÑ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M ÅÓÔØ ìòð. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ s 2 1; k R-ÐÏÄÍÏÄÕÌØ (; xs; x2s ; : : :)R ÍÏÄÕÌÑ M ËÏÎÅÞÎÏ ÐÏÒÏÖÄÅÎ. m 1 ) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ m 2 N , Ô.Å. ÁÎÎÕÌÉóÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, xm s s 2 (; xs ; : : : ; xs ÒÕÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ Fs (xs ) 2 Pk ÓÔÅÐÅÎÉ ms . (b) ) (c) ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ M = Pk 1 + : : : + Pk l É An(t ) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ ÄÌÑ t 2 1; l. ôÏÇÄÁ An(M) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ An(1 ) : : : An(l ). (c) ) (a) ðÕÓÔØ An(M) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ (F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )). ôÏÇÄÁ M LM (An(M)) LM (F1 ; : : : ; Fk ). ðÏÓÌÅÄÎÉÊ R-ÍÏÄÕÌØ ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎ × ÓÉÌÕ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 5.2.7. 2 s

s

C. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ k-ìòð. 5.2.13. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M hki

ÎÁÚÏ×ÅÍ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ

S (x) =

X i2Nk0

(i)xi

ÉÚ Pk -ÍÏÄÕÌÑ M [[x]] ×ÓÅÈ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× ÎÁÄ M . ïÐÉÓÁÎÉÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÔÅÓÎÏ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÐÏÎÑÔÉÅÍ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÁ É ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ. 5.2.14. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ k-ìòð 2 LM hki Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk ) ÅÓÔØ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ (x) S(x) = F (x ) :: : F (x ) ; 1 k

1

k

m 1 (1=x ; : : : ; 1=x ). s ÇÄÅ Fs (xs ) = xm 1 k s Fs (1=xs ), ms = deg Fs (x), s 2 1; k , É (x) = x h k i îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ P i i2(m) i x S (x) = Qk : (s) (s) s=1 (e + b1

xs + : : : + bms xms s )

ÔÏ ÅÓÔØ k-ìòð Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÉÄÅÁÌÏÍ

(1) m 1 + : : : + b(1) ; : : : ; xmk + b(k) xmk 1 + : : : + b(k) ) (xm 1 + b 1 x1 1 k m mk k 1

1

1

É ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏÍ

(x) =

X i2(m)

m

i

1xi :

çìá÷á 5.


147

2 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï × ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ ÒÑÄÁ S(x) ÎÁ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÄÒÏÂÉ ÉÚ ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ. 2 D. âÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ É ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÉÔÕÁÃÉÀ, ËÏÇÄÁ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÕ 2 LM (F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )) ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ Ñ×ÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÔ i. âÏÌØÛÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÂÏÔ ÎÁ ÜÔÕ

ÔÅÍÕ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ æÉÂÏÎÁÞÞÉ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÐÏ ÓÕÝÅÓÔ×Õ, ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ Ó×ÏÊÓÔ× ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÊ (ÐÒÉÍÅÒÙ 5.1.2, 5.1.3, 5.1.18, 5.1.19). 5.2.15. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. äÌÑ ÌÀÂÙÈ a 2 R, l 2 N 0 ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ a[l] 2 h 1 R i , ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÕÀ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ

i i a[l](i) = a

a[l](0; l) = (0; : : : ; 0; e);

l

l

ÐÒÉ i > l;

ÎÁÚÏ×ÅÍ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÐÏÒÑÄËÁ l Ó ËÏÒÎÅÍ a. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, 0[l] = (0; : : : ; 0; e; 0; 0; : : :);

l+2 e[l] = (0; : : : ; 0; e; l+1 l e; l e; : : :): i = i ÄÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (x a)a[l] = a[l 1] , âÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï i+1 l l l 1 l 1, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÌÅÇËÏ ÓÌÅÄÕÅÔ 5.2.16. ìÅÍÍÁ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ a[l] ÅÓÔØ ÉÍÐÕÌØÓÎÁÑ ìòð Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ G(x) = (x a)l+1 , Ô.Å. a[l] = eG . óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á: An(a[l]) = P (x a)l+1 ; LR ((x a)l+1 ) = P a[l] = Ra[0] +_ : : : +_ Ra[l]:

5.2.17. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. óËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) 2 P ÉÍÅÅÔ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R, ÅÓÌÉ ÏÎ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ

F (x) = (x a1 )l +1 : : : (x at )lt +1 ; (5.2.24) ÇÄÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ (x a1 )l +1 , . . . , (x at )lt +1 2 P ÐÏÐÁÒÎÏ ËÏÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙ. 1

1

5.2.18. ôÅÏÒÅÍÁ. åÓÌÉ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) 2 P ÉÍÅÅÔ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ (5.2.24), ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ

[l ] [0] [lt] a[0] 1 ; : : : ; a1 ; a2 ; : : : ; at ÅÓÔØ ÂÁÚÉÓ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ R-ÍÏÄÕÌÑ LR (F ), É ÚÎÁËÉ ËÁÖÄÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ u 2 LR (F ) 1

ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ

u(i) =

t X ls X s=1 l=0

csl

i i l a ; l s

i 0:

(5.2.25)

çìá÷á 5.


148

ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ csl 2 R × ÜÔÏÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÅÓÔØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ t X ls X s=1 l=0

csl a[sl](0; m 1) = u(0; m 1);

ÇÄÅ m = l1 + : : : + lt + t = deg F (x).

2 éÚ ×ÚÁÉÍÎÏÊ ÐÒÏÓÔÏÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× (x ai)l , (x aj )l ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï LR (F ) = LR ((x a1 )l +1 ) +_ : : : +_ LR ((x at )l +1 ) (ÓÍ. ÎÉÖÅ x 5.4). äÁÌÅÅ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ i

j

t

1

ÌÅÍÍÁ 5.2.16, É ìòð u ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ

u=

t X s=1

us =

t X ls X s=1 l=0

csl a[sl] ;

csl 2 R: 2

(5.2.26)

÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÐÒÉÍÅÒÁ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ (5.2.25) ÕËÁÖÅÍ, ËÁË ÏÎÏ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÄÌÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ æÉÂÏÎÁÞÞÉ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ Z (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 5.1.5):

p

1 1+ 5 u(i) = p 2 5

!i

p

p1 1 2 5 5

!i

:

÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÔÅÏÒÅÍÙ 5.2.18 ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ (5.2.25) (ÉÌÉ (5.2.26)) ÎÁÚÏ×ÅÍ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ u. 5.2.19. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÔÅÏÒÅÍÙ 5.2.18 ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ u ÉÍÅÅÔ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ (5.2.26), É cs 2 Rh1i | ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ

cs = (cs0 ; cs1 ; : : : ; cs;ls ; 0; 0; : : :); s 2 1; t:

ôÏÇÄÁ

An(us) = fH (x) 2 P : H (x + as ) 2 An(cs )g; (5.2.27) An(u) = An(u1 ) : : : An(ut ): ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ Gs (x) | ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ìòð cs , deg Gs(x) = ms , s 2 1; t, ÔÏ G1 (x a1 ) : : : Gt (x at ) ÅÓÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ u, É rank u = m1 + : : : + mt . 2 äÌÑ G(x) 2 P ÉÚ (5.2.26) ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ G(x as)us = Plls=0 vs(l)a[sl], ÇÄÅ vs = G(x)cs . úÎÁÞÉÔ G(x as )us = 0 ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ vs(0) = : : : = vs (ls ) = 0, ÉÌÉ, ÞÔÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ, vs = G(x)cs = 0. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (5.2.27). 2 ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ

çìá÷á 5.

149


5.2.20. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk ) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÁÄ R ÉÍÅÀÝÉÅ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ

Fr (x) = (x ar1 )lr +1 : : : (x ar;tr )lr;tr +1 ; 1

r 2 1; k:

ðÕÓÔØ M = R1 + : : : + Rn . ôÏÇÄÁ R-ÍÏÄÕÌØ LM (F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )) ÐÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ

a[lsl ] : : : a[kslkk] j ; 1

1

1 s t;

0 l ls = (l1s1 ; : : : ; lksk );

j 2 1; n:

2 éÚ (5.2.14) É ÐÒÉÍÅÒÁ 5.1.24 ÉÍÅÅÍ LM (F1 ; : : : ; Fk ) =

n X j =1

LR (F1 ) : : : LR (Fk )j :

ôÅÐÅÒØ ÔÅÏÒÅÍÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 5.2.18. 2 ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ 2 LM (F1 ; : : : ; Fk ) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÁÂÏÒ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× cls;j 2 R (Ó ÔÅÍÉ ÖÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍÉ ÎÁ ÉÎÄÅËÓÙ, ÞÔÏ É × ÔÅÏÒÅÍÅ 5.2.20) ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ

(i) =

X j;s;l

cls;j

i1 i : : : k ai1s l : : : aiksk k lk j : l1 lk 1

1

1

(5.2.28)

5.2.21. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ (5.2.28) ÎÁÚÏ×ÅÍ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ k-ìòð ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M . 5.2.22. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ÏÚÍÏÖÎÁ ÓÉÔÕÁÃÉÑ, ËÏÇÄÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ F1 (x), ..., Fk (x)

ÎÅ ÉÍÅÀÔ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R, ÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ S ËÏÌØÃÁ R É ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ G1 (x); : : : ; Gk (x) 2 S [x], ÉÍÅÀÝÉÅ ÎÕÖÎÙÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁÄ S É ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ Fr (x) j Gr (x) ÄÌÑ r 2 1; k. ÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÌÀÂÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ u 2 LR (F1 ; : : : ; Fk ) ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ LS (G1 ; : : : ; Gk ) É ÉÍÅÅÔ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ S . ÷ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ÄÌÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 LM (F1 ; : : : ; Fk ) ÎÁÄ RÍÏÄÕÌÅÍ M ÔÁËÖÅ ÉÎÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÄÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ R-ÍÏÄÕÌÅÊ ': M ! S M , ÇÄÅ '() = e , R ÉÎßÅËÔÉ×ÅÎ (ÜÔÏ ÔÁË, ÅÓÌÉ M | ÐÌÏÓËÉÊ (ÐÒÏÅËÔÉ×ÎÙÊ, Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ) R-ÍÏÄÕÌØ [33] ÉÌÉ ÅÓÌÉ ÍÏÄÕÌØ R R ×ÙÄÅÌÑÅÔÓÑ ÐÒÑÍÙÍ ÓÌÁÇÁÅÍÙÍ × ÍÏÄÕÌÅ R S ). ôÏÇÄÁ ÌÀÂÕÀ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M hki ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÄ S -ÍÏÄÕÌÅÍ S M , ÅÓÌÉ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÔØ M É '(M ). ðÒÉ ÜÔÏÍ ÉÍÅÅÔ ÂÉÎÏÍÉÁÌØR ÎÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÎÁÄ S -ÍÏÄÕÌÅÍ S M . R

çìá÷á 5.

5.3

150


óÉÓÔÅÍÙ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÁ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×Á

÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÐÉÓÁÎÉÅ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÁ An() k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M hki | ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÓÌÏÖÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ (ÄÁÖÅ ÐÒÉ k = 1 É M = R). îÁÐÒÉÍÅÒ, ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÄÌÑ ÐÒÏ×ÅÒËÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á An() = 0, ÅÓÌÉ ÎÅÔ ÎÉËÁËÏÊ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ Ï ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ . ïÄÎÁËÏ, ÅÓÌÉ ÚÁÒÁÎÅÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÔØ ìòð Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ ÓÔÅÐÅÎÅÊ m1 ; : : : ; mk , ÔÏ ÏÐÉÓÁÎÉÅ An() Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M . A. ïÐÉÓÁÎÉÅ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÁ 1-ìòð. 5.3.1. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. íÁÔÒÉÃÕ 0 B

Gm () = B @

(0) (1) : : : (m 1) (1) (2) : : : (m) ................................ (m 1) (m) : : : (2m 2)

1

0

C C A

=B @

B

(0; m 1) (1; m) ::: (m 1; 2m 2)

1 C C A

ÎÁÚÏ×ÅÍ ÇÁÎËÅÌÅ×ÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ÐÏÒÑÄËÁ m ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M h1i . P 1 j 5.3.2. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. íÎÏÇÏÞÌÅÎ A(x) = m j =0 aj x 2 P ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M h1i ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ (a0 ; : : : ; am 1 )Gm (xt ) = (0; : : : ; 0) ÄÌÑ ×ÓÅÈ t 2 N 0 : åÓÌÉ ÅÓÔØ ìòð ÐÏÒÑÄËÁ m, ÔÏ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ (a0 ; : : : ; am 1 ) | ÒÅÛÅÎÉÅ × Rm ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

(y0 ; : : : ; ym 1 )Gm () = (0; : : : ; 0): (5.3.1) ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) = xm fm 1 xm 1 : : : f0 2 P ÅÓÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÔÒÏËÁ (f0 ; : : : ; fm 1 ) ÅÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ

(f0 ; : : : ; fm 1 )Gm () = (m; 2m 1):

(5.3.2)

åÓÌÉ R-ÍÏÄÕÌØ K(Gm ()) ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ (5.3.1) × Rm ÐÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÓÔÒÏË P As1 = (aj s0 ; : : : ; as;m 1 ), s 2 , ÔÏ An() = P (F (x); As (x) : s 2 ), ÇÄÅ As (x) = m j =0 asj x .

ðÒÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÅ F (x) 2 P ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 LM h1i , ÉÄÅÁÌ An() ÍÏÖÎÏ ÏÐÉÓÁÔØ ÔÁËÖÅ Ó ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÁ (x) ìòð .

çìá÷á 5.

151


5.3.3. ìÅÍÍÁ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x) 2 P ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ AnM [x](eF ) ÉÍÐÕÌØÓÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ eF × ÍÏÄÕÌÅ M [x] ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ AnM [x](eF ) = F (x)M [x].

2 äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ AnM [x](eF ) F (x)M [x] É ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ eF

ÎÅ ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÎÉËÁËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÉÚ M [x] ÓÔÅÐÅÎÉ ÍÅÎØÛÅÊ, ÞÅÍ deg F (x).

2

5.3.4. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. áÎÎÕÌÑÔÏÒ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ

2 LM (F ) × ËÏÌØÃÅ P

ÕÄÏ-

An() = (F (x)M [x] : (x)) = fH (x) 2 P : H (x) (x) 2 F (x)M [x]g: ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ F (x) É (x) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ M [x]-ËÏÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÍÉ:

F (x)M [x] + P (x) = M [x];

(5.3.3)

ÔÏ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

An() = P F (x): (5.3.4) äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M h1i ÕÓÌÏ×ÉÅ (5.3.4) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ: (a) | ìòð Ó ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ F (x); (b) óÉÓÔÅÍÁ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉÃÙ Gm () Ó×ÏÂÏÄÎÁ ÎÁÄ R, É ÓÔÒÏËÁ (f0 ; : : : ; fm 1 ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÓÉÓÔÅÍÙ (5.3.2).

5.3.5. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. åÓÌÉ R | ÐÏÌÅ, ÔÏ ÌÀÂÁÑ ìòð u 2 LR (F ) ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Mu (x) 2 P , ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ

Mu (x) =

F (x) : (F (x); u (x))

(5.3.5)

B. áÎÎÕÌÑÔÏÒ k-ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×Á. ïÐÉÛÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÁ An(M) ÓÅÍÅÊÓÔ×Á M = Pk 1 + : : : + Pk l (5.3.6) ÄÌÑ ÚÁÄÁÎÎÙÈ 1 ; : : : ; l 2 LM hki . äÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÓÔÅÐÅÎÉ m1 ; : : : ; mk ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk ) ÓÅÍÅÊÓÔ×Á M. ôÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÓÁÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÓÔÒÏËÁ (f0(1) , ..., fm(1) 1 ) ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F1 (x1 ) = xm1 fm(1) 1 xm 1 : : : f0(1) 2 R[x1 ] ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎÁ ËÁË ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÉÓÔÅÍÙ lm1 : : : mk ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁÄ M : 1

1

1

(

(y0 ; : : : ; ym 1 )Gm (t (z1 ; i2 ; : : : ; ik )) = t (m1 ; 2m1 t 2 1; l; (i2 ; : : : ; ik ) 2 (m2 ; : : : ; mk ); 1

1

1; i2 ; : : : ; ik );

çìá÷á 5.


152

ÇÄÅ ÄÌÑ ÚÁÄÁÎÎÙÈ t 2 1; l É (i2 ; : : : ; ik ) 2 (m2 ; : : : ; mk ) ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ t (z1 , i2 , ..., ik ) ÅÓÔØ 1-ìòð, ÐÏÌÕÞÁÀÝÁÑÓÑ ÉÚ k-ìòð t (z) ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ z2 , . . . , zk . äÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÕÖÅ ÎÁÊÄÅÎÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk ) 2 An(M):

(5.3.7)

ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ R ÎÅÔÅÒÏ×Ï. ôÏÇÄÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÉÄÅÁÌÁ An(M) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÁ ËÁË ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×

F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk );

H1 (x); : : : ; Hw (x);

(5.3.8)

ÇÄÅ H1 (x); : : : ; Hw (x) | ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ R-ÍÏÄÕÌÑ Res(An(M)=F) (ÓÍ. x 5.2B). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ, ××ÉÄÕ (5.3.6), (5.3.7), M ÅÓÔØ ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ Ó ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ u 2 = (m1 ; : : : ; mk );

su = xu s ;

s 2 1; l;

(5.3.9)

É, ××ÉÄÕ (5.3.7), (5.2.11), ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

su (j) =

X i2

s (i)hui +j ;

j 2 N k0 ;

u 2 ;

s 2 1; l:

(5.3.10)

5.3.6. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ 1 ; : : : ; lP | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ Pk -ÍÏÄÕÌÑ M. ôÏÇÄÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ H (x) = i2 hixi 2 Pk ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ An(M) ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ÐÏÌÉÜÄÒ H = fhi : i 2 g ÅÇÏ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ÅÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁÄ M : nX i2

yis(i) = 0;

s 2 1; l;

(5.3.11)

ÇÄÅ fyi : i 2 g | ÓÉÓÔÅÍÁ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÎÁ R. åÓÌÉ H1 ; : : : ; Hw | ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÍÏÄÕÌÑ ÒÅÛÅÎÉÊ × R ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (5.3.11), ÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× (5.3.8) ÐÏÒÏÖÄÁÅÔ An(M).

2 ðÕÓÔØ Æs = H (x)s, s 2 1; l. ôÏÇÄÁ ÕÓÌÏ×ÉÅ H (xP) 2 An(M) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ Æs (u) = 0 ÄÌÑ u 2 , s 2 1; l. ôÁË ËÁË Æs (u) = i2 hi su (i), ÔÏ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ H | ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ nX i2

yisu (i) = 0;

u 2 ;

s 2 1; l:

ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÓÉÓÔÅÍÅ (5.3.11). 2 ðÏ ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅÍ 5.3.4, ÍÏÖÎÏ ÏÐÉÓÁÔØ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ k-ìòð , ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÅÅ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒ (x).

çìá÷á 5.


153

5.3.7. ìÅÍÍÁ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× F1 (x1 ), ..., Fk (xk ) 2 Pk ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ ÉÍÐÕÌØÓÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ eF × ÍÏÄÕÌÅ M [x] ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

AnM [x](eF ) = F1 (x1 )M [x] + : : : + Fk (xk )M [x]:

2 éÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ eF ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÎÅ ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ P ÎÉËÁËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ (x) 2 M [x] ×ÉÄÁ (x) = i2 i xi . 2 5.3.8. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. áÎÎÕÌÑÔÏÒ ìòð

Pk ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

2 LM (F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )) × ËÏÌØÃÅ

An() = (F1 (x1 )M [x] + : : : + Fk (xk )M [x] : (x)): åÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ F1 (x1 ), . . . , Fk (xk ), (x) M [x]-ËÏÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙ, ÔÏ

An() = (F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )): C. k-ìòð Ó ÚÁÄÁÎÎÙÍ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÏÍ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ R | ÐÏÌÅ, ÔÏ ÌÀ-

ÂÏÊ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ I / P ÅÓÔØ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ìòð ÎÁÄ R: ÅÓÌÉ I = P F (x), ÔÏ I = An(eF ). åÓÌÉ R ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÅÍ, ÔÏ ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÎÅ×ÅÒÎÏ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u 2 Zh1i ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ An(u) = (x; 2). ÷ÏÚÎÉËÁÅÔ ÚÁÄÁÞÁ: ÐÏ ÄÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I / Pk ÐÏÓÔÒÏÉÔØ kÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ u 2 LRhki ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ An(u) = I , ÉÌÉ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÒÅÛÅÎÁ × ÓÌÕÞÁÅ ÁÒÔÉÎÏ×ÙÈ ËÏÌÅÃ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× × [21]. áÎÁÌÏÇÉÞÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R M . îÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ × ÜÔÏÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÓÍ. × x 5.5. úÄÅÓØ ÍÙ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ 5.3.9. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ I / Pk | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ, S = Pk =I , #s = xs + I 2 S ÄÌÑ s 2 1; k. ôÏÇÄÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R S ×ÉÄÁ (z) = z = #z11 : : : #zkk ÅÓÔØ k-ìòð, É An() = I .

2 ðÕÓÔØ H (x) 2 Pk É = H (x). ôÏÇÄÁ (z) = H ()z. ðÏÜÔÏÍÕ = 0 , H () = 0 , H (x) 2 I . 2 5.4

óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×ÁÍÉ É ÉÈ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÁÍÉ

A. óÌÕÞÁÊ 1-ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ. óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÚÕÞÁÀÔÓÑ × ÜÔÏÍ

ÐÁÒÁÇÒÁÆÅ, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÍÅÖÄÕ 1-ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×ÁÍÉ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ (ÓÍ., ÎÁÐÒÉÍÅÒ, [17, 21]).

çìá÷á 5.


154

5.4.1. ôÅÏÒÅÍÁ. äÌÑ ÌÀÂÙÈ ÕÎÉÔÁÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× F (x), G(x) 2 P = P [x] ×ÅÒÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á LP (F ) + LP (G) = LP ([F; G]); (5.4.1) LP (F ) \ LP (G) = LP ((F; G)): (5.4.2) ìÀÂÏÅ 1-ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï M ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ M = LP (F ) ÄÌÑ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x) 2 P , É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ P -ÍÏÄÕÌÅÍ: M = P eF . äÌÑ ÌÀÂÙÈ u, v 2 LP h1i ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ

v 2 Pu

, Mv (x) j Mu(x): (5.4.3) ìÀÂÏÊ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ (Ô.Å. ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ) ÉÄÅÁÌ I ËÏÌØÃÁ P ÅÓÔØ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ÎÁÄ P .

B. óÌÕÞÁÊ k-ìòð ÎÁÄ ÎÅÔÅÒÏ×ÙÍ ËÏÌØÃÏÍ. äÁÌÅÅ R | ÎÅÔÅÒÏ×Ï ËÏÌØÃÏ,

É R M | ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ. ðÕÓÔØ Ak = Ak (R) | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÕÎÉÔÁÒÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× ËÏÌØÃÁ Pk = R[x1 ; : : : ; xk ], É Mk = Mk (M ) | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ Pk -ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÊ ÍÏÄÕÌÑ M hki , ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÈ ÎÁÄ R. óÏÇÌÁÓÎÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 5.2.12, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ M 2 Mk ÅÓÔØ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ × LM hki , É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ An É LM ÚÁÄÁÀÔ ÐÁÒÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÊ çÁÌÕÁ An: Mk ! Ak ;

LM : Ak ! Mk :

(5.4.4)

üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ M 2 Mk , I 2 Ak ×ÅÒÎÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ

M LM (An(M));

I An(LM (I )):

(5.4.5)

éÎÏÇÄÁ ÜÔÉ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÓÔÒÏÇÉÅ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÕÓÔØ R = P [y1 ; y2 ]=J , ÇÄÅ P | ÐÏÌÅ, J = (y12; y22; y1 ; y2 ) (ÓÍ. [68]). ôÏÇÄÁ R = P [1 ; 2 ], s = ys + J , R ÅÓÔØ ÁÌÇÅÂÒÁ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ 3 ÎÁÄ P Ó ÂÁÚÉÓÏÍ e, 1 , 2 , É N(R) = P 1 + P 2 | ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÉÄÅÁÌ ËÏÌØÃÁ R, N(R)2 = 0. äÌÑ ÉÄÅÁÌÁ I = (x; 1 ) ËÏÌØÃÁ R[x] ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LR (I ) ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u = (u(0); 0; 0; : : :), ÇÄÅ u(0) 2 N(R). îÏ ÔÏÇÄÁ An(LR (I )) = (x; 1 ; 2 ) 6= I . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÐÒÉÍÅÒ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á M 2 M1 ÔÁËÏÇÏ, ÞÔÏ M 6= LM (An(M)). 5.4.2. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. äÌÑ ÌÀÂÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× I1 , I2 Mk ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ

2 Ak É ÍÏÄÕÌÅÊ M1, M2 2

An(M1 + M2 ) = An(M1 ) \ An(M2 );

(5.4.6)

LM (I1 + I2 ) = LM (I1 ) \ LM (I2 ); (5.4.7) An(M1 \ M2 ) An(M1 ) + An(M2 ); (5.4.8) LM (I1 \ I2 ) LM (I1 ) + LM (I2 ): (5.4.9) åÓÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ An É LM Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÂÉÅËÃÉÑÍÉ, ÔÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ (5.4.5), (5.4.8), (5.4.9) ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á.

çìá÷á 5.


155

÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ (5.4.8), (5.4.9) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÔÒÏÇÉÍÉ. ðÒÉÍÅÒÙ ÓÔÒÏÑÔÓÑ ÄÌÑ ÔÏÇÏ ÖÅ ËÏÌØÃÁ R = P [1 ; 2 ] ËÏÔÏÒÏÅ ××ÅÄÅÎÏ ×ÙÛÅ. ïÄÎÁËÏ, ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÙÄÅÌÉÔØ ×ÁÖÎÙÊ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ. 5.4.3. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ I1 , I2 | ËÏÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÅ ÉÄÅÁÌÙ ËÏÌØÃÁ Pk , ÔÏ LM (I1 \ I2 ) LM (I1 ) + LM (I2 ) (5.4.10) | ÐÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ LM (I1 \ I2 ) | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ÍÏÄÕÌØ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÔÁËÏ×Ù ÍÏÄÕÌÉ LM (Is ), s = 1; 2.

Pk -

C. ëÒÉÔÅÒÉÉ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÊ çÁÌÕÁ ÍÅÖÄÕ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×ÁÍÉ É ÕÎÉÔÁÒÎÙÍÉ ÉÄÅÁÌÁÍÉ. åÓÌÉ M = R | ÐÏÌÅ, É k = 1, ÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔ-

ÓÔ×ÉÑ (5.4.4) ÂÉÅËÔÉ×ÎÙ, É ×ËÌÀÞÅÎÉÑ (5.4.5), (5.4.8), (5.4.9) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÅÎ ×ÏÐÒÏÓ: ÄÌÑ ËÁËÉÈ ÍÏÄÕÌÅÊ R M ÜÔÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÏÓÔÁÀÔÓÑ ×ÅÒÎÙÍÉ, Ô.Å. ÄÌÑ ËÁËÉÈ ÍÏÄÕÌÅÊ ÔÅÏÒÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÁ ÔÅÏÒÉÉ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ? úÁÄÁÞÁ ÓÒÁÚÕ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÁÒÔÉÎÏ×ÙÍ ËÏÌØÃÁÍ É ÍÏÄÕÌÑÍ. 5.4.4. ìÅÍÍÁ. åÓÌÉ R M | ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ÎÅÔÅÒÏ×ÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ LM : A ! Mk ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏ, ÔÏ ËÏÌØÃÏ R ÁÒÔÉÎÏ×Ï.

2 R-ÍÏÄÕÌØ M = LM (x1 ; : : : ; xk ) ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ R M . åÓÌÉ × R ÅÓÔØ ÓÔÒÏÇÏ ÕÂÙ×ÁÀÝÁÑ ÃÅÐÏÞËÁ ÉÄÅÁÌÏ× R J1 J2 : : :, ÔÏ × M ÅÓÔØ ÓÔÒÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÁÑ ÃÅÐÏÞËÁ ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÊ 0 M1 M2 : : :, ÇÄÅ Ms = LM (x1 ; : : : ; xk ; Js). îÏ ÐÏÓÌÅÄÎÑÑ ÃÅÐÏÞËÁ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ. 2 äÌÑ ÌÀÂÙÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× J R, N M ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÙ AnM (J ) = f 2 M : J = 0g;

AnR (N ) = fr 2 R : rN = 0g:

5.4.5. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. óËÁÖÅÍ, ÞÔÏ R M | Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ× ÍÏÄÕÌØ (QFÍÏÄÕÌØ), ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× J R É ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÊ N R M ×ÅÒÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

AnR (AnM (J )) = J;

AnM (AnR (N )) = N:

ëÏÌØÃÏ R ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×ÙÍ, ÅÓÌÉ R R ÅÓÔØ QF-ÍÏÄÕÌØ. ðÒÉÍÅÒÁÍÉ QF-ËÏÌÅÃ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÐÏÌÑ, ËÏÌØÃÁ çÁÌÕÁ, ÁÒÔÉÎÏ×Ù (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ ËÏÎÅÞÎÙÅ) ËÏÌØÃÁ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×. üÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÏÇÌÁÓÕÀÔÓÑ Ó ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑÍÉ ÉÚ [34, 68]. éÚ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÜÔÉÈ ÒÁÂÏÔ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÁÒÔÉÎÏ×Á ËÏÌØÃÁ R ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ QF-ÍÏÄÕÌØ R Q. üÔÏÔ ÍÏÄÕÌØ Q Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙÍ ËÏÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍ × ËÁÔÅÇÏÒÉÉ R-ÍÏÄÕÌÅÊ, Á ÔÁËÖÅ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ

çìá÷á 5.


156

Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ íÏÒÉÔÙ × ÜÔÏÊ ËÁÔÅÇÏÒÉÉ. åÓÌÉ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ Ó ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÍ N(R), ÔÏ ÔÏÞÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ R M Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ× ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ ÌÀÂÏÅ ÉÚ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ: (a) AnM (N(R)) | ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ × R M ; (b) AnM (N(R)) | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ R-ÍÏÄÕÌØ; (c) AnM (N(R)) | ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÊ R M . 5.4.6. ôÅÏÒÅÍÁ. äÌÑ ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ R M ÎÁÄ ÁÒÔÉÎÏ×ÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ: (a) R M | Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ× ÍÏÄÕÌØ; (b) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÑ çÁÌÕÁ (5.4.4) ÂÉÅËÔÉ×ÎÙ; (c) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I ËÏÌØÃÁ Pk ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LM (I ) ÅÓÔØ QFÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× S = Pk =I , É ÌÀÂÏÊ ÍÏÄÕÌØ M 2 Mk ÅÓÔØ QFÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× S = Pk = An(M); (d) ×ËÌÀÞÅÎÉÑ (5.4.8) É (5.4.9) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ; (e) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ , 2 LM hki ×ÅÒÎÙ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ

2 Pk

,

An() An( ):

2 (a) ) (b) äÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÙÐÏÌÎÅÎÙ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 5.2.10 É ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ 5.2.11. ôÏÇÄÁ R-ÍÏÄÕÌØ M = LR (I ) ÐÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÓÅÍÅÊÓÔ×ÏÍ k-ìòð 1 ; : : : ; l ÔÁ-

ËÉÈ, ÞÔÏ 1 (); : : : ; l () | ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R-ÍÏÄÕÌÑ ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ (5.2.22) × ÍÏÄÕÌÅ M . ôÁË ËÁË M | Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ× ÍÏÄÕÌØ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ [24], ÞÔÏ R-ÍÏÄÕÌØ ÒÅÛÅÎÉÊ R Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ (5.3.11) ÐÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÓÔÒÏË (ÐÏÌÉÜÄÒÏ×) H1 ; : : : ; Hw ÍÁÔÒÉÃÙ ÓÉÓÔÅÍÙ (5.2.22). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 5.3.6, ÓÉÓÔÅÍÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× (5.3.8) ÐÏÒÏÖÄÁÅÔ ÉÄÅÁÌ An(M) = An(LM (I )), É ÐÏÔÏÍÕ An(LM (I )) = I . òÁ×ÅÎÓÔ×Ï LM (An(M)) = M ÄÌÑ M 2 Mk ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ. (b) ) (c) ðÕÓÔØ M = LM (I ). ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÄÍÏÄÕÌÑ K M ×ÅÒÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á: AnS (K) = J~ = J=I , ÇÄÅ J = An(K) I , É (b) AnM (AnS (K)) = AnM (J~) = LM (J ) = LM (An(K)) = K: òÁ×ÅÎÓÔ×Ï AnS (AnM (J~)) = J~ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ J~ ËÏÌØÃÁ S ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÚ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÈ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÊ. (c) ) (d) äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ × (5.4.9) ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÐÏÌÏÖÉÍ M = M1 + M2, I = An(M). ôÏÇÄÁ M ÅÓÔØ QF-ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ S = Pk =I . ôÁË ËÁË AnS (M1 \ M2 ) = An(M1 \ M2 )=I É AnS (Mt ) = An(Mt )=I ÄÌÑ t = 1; 2, ÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï AnS (M1 \ M2 ) = AnS (M1 ) + AnS (M2 ): ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á AnM (AnS (M1 ) + AnS (M2 )) = AnM (AnS (M1 )) \ AnM (AnS (M2 ))

çìá÷á 5.


157

É ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ QF-ÍÏÄÕÌÑ S M. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (5.4.8) ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍÉ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÍÉ. (d) ) (a) äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ÁÒÔÉÎÏ×Ï ËÏÌØÃÏ. ðÕÓÔØ R M ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ QF-ÍÏÄÕÌÅÍ. ôÏÇÄÁ AnM (N(R)) ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ R-ÍÏÄÕÌÅÍ, É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ 1 ; 2 2 M n 0 ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ N(R)1 = N(R)2 = 0, R1 \ R2 = 0. ðÕÓÔØ Ms, s = 1; 2, ÅÓÔØ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ×ÓÅÈ k-ìòð 2 LM hki ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ (0) 2 Rs É (i) = 0 ÄÌÑ ×ÓÅÈ i 6= 0. ôÏÇÄÁ M1 \ M2 = 0 É An(M1 \ M2 ) = Pk , ÎÏ An(M1 ) = An(M2 ) = (x1 ; : : : ; xk ; N(R)). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × (5.4.8) ÉÍÅÅÍ ÓÔÒÏÇÏÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ, É ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ (d) ÎÅ×ÅÒÎÏ. (a) ) (e) éÍÐÌÉËÁÃÉÑ 2 Pk ) An() An( ) ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. ðÕÓÔØ An() An( ). ôÏÇÄÁ LM (An()) LM (An( )), É ÔÁË ËÁË ×ÅÒÎÏ (b), ÔÏ LM (An()) = Pk , LM (An( )) = Pk . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 2 Pk . (e) ) (a) íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ. ðÕÓÔØ R M ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ QF-ÍÏÄÕÌÅÍ, É 1 , 2 | ÔÅ ÖÅ, ÞÔÏ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ (d) ) (a). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 1 , 2 2 LM hki ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ s (0) = s , (i) = 0 ÄÌÑ i 6= 0, s = 1; 2. ôÏÇÄÁ An(1 ) = An(2 ), ÎÏ Pk 1 6= Pk 2 ÔÁË ËÁË R1 6= R2 . üÔÏ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ (e). 2 ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Ó×ÏÊÓÔ×Á ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÐÏÌÎÏ ÏÂÏÂÝÁÀÔ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÍÏÄÕÌØ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×. óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÕÓÉÌÉ×ÁÅÔ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 5.3.9 É ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÉÎÔÅÒÅÓÎÕÀ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍÉ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×ÁÍÉ É Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×ÙÍÉ ËÏÌØÃÁÍÉ. 5.4.7. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ R Q | Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ× ÍÏÄÕÌØ. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I ËÏÌØÃÁ Pk ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ: (a) I = An() ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ 2 LQhki ; (b) M = LQ (I ) | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ Pk -ÍÏÄÕÌØ; (c) S = Pk =I | Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Ï ËÏÌØÃÏ.

2 (a) ) (b) LQ(I ) = LQ(An()) = Pk . (b) ) (c) ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5.4.6(c) M ÅÓÔØ QF-ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ S , É ÔÁË ËÁË S M | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ (ÔÏÞÎÙÊ) ÍÏÄÕÌØ, ÔÏ S M = S S. (c) ) (a) íÏÄÕÌÉ S S É S M Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Ù. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, S S = SM É M | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ Pk -ÍÏÄÕÌØ. åÓÌÉ M = Pk , ÔÏ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5.4.6(c) I = An(). 2 5.4.8. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ðÕÓÔØ F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk ) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÉÚ Pk , É S = Pk =(F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )). ôÏÇÄÁ S ÅÓÔØ QF-ËÏÌØÃÏ ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ R ÅÓÔØ QF-ËÏÌØÃÏ.

2 S -ÍÏÄÕÌØ M = LM (F1(x1 ); : : : ; Fk (xk )) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ: M = Pk eF = SeF . åÓÌÉ R ÅÓÔØ QF-ËÏÌØÃÏ, ÔÏ, ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5.4.6(c), S M ÅÓÔØ QF-ÍÏÄÕÌØ É, ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5.4.7, S ÅÓÔØ QF-ËÏÌØÃÏ.

çìá÷á 5.


158

ðÕÓÔØ S | QF-ËÏÌØÃÏ, Á R ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ QF-ËÏÌØÃÏÍ. íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ. ôÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ a1 , a2 2 AnR (N(R)) ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ Ra1 \ Ra2 = 0 (ÓÍ. x 7.2). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÏÄÍÏÄÕÌÉ Mt = Pk at eF = Sat eF (t = 1; 2) S -ÍÏÄÕÌÑ M. ôÏÇÄÁ M1 6= M2, ÎÏ AnS (M1) = AnS (M2) = N(R)S . ôÁË ËÁË S M | QFÍÏÄÕÌØ (ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ QF-ËÏÌØÃÏÍ), ÔÏ M1 = AnM (AnS (M1 )) = M2 . ðÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. 2 ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï (c) ÔÅÏÒÅÍÙ 5.4.6 ÄÁÅÔ ÓÐÏÓÏÂ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ QF-ÍÏÄÕÌÑ ÎÁÄ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ÁÒÔÉÎÏ×ÙÍ ËÏÌØÃÏÍ S × ×ÉÄÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á k-ìòð ÎÁÄ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ËÏÌØÃÏÍ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ËÏÌØÃÏ S ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ S = R[1 ; : : : ; k ], ÇÄÅ R | ÐÏÄËÏÌØÃÏ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× × S . ôÏÇÄÁ S = Pk =I ÄÌÑ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I ËÏÌØÃÁ Pk = R[x1 ; : : : ; xk ]. ôÁË ËÁË R ÅÓÔØ QF-ËÏÌØÃÏ, ÔÏ, ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5.4.6(c), LR (I ) ÅÓÔØ ÉÓËÏÍÙÊ QF-ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ S . 5.5

ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ

A. ðÅÒÉÏÄ É ÄÅÆÅËÔ 1-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. éÚÌÁÇÁÅÍÙÅ ÎÉÖÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ

| ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×, ÏÔÎÏÓÑÝÉÈÓÑ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ Ë ÒÅËÕÒÒÅÎÔÁÍ ÎÁÄ ÐÏÌÑÍÉ É ËÏÌØÃÁÍÉ. íÏÄÕÌØ M É ËÏÌØÃÏ R ÄÁÌÅÅ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÀÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M h1i ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ, ÅÓÌÉ

xd (xt

e) = 0:

(5.5.1)

ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ d 2 N 0 É t 2 N . äÌÑ ÔÁËÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ D() 2 N 0 (ÄÅÆÅËÔ ) É T () 2 N (ÐÅÒÉÏÄ ) ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ d 2 N 0 , t 2 N ÕÓÌÏ×ÉÅ (5.5.1) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ

d D();

T () j t: 2

5.5.1. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÚ M h1i ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ LM h1i ×ÓÅÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ (ËÏÎÅÞÎÙÍ) ÍÏÄÕÌÅÍ R M . âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÌÉ ìòð 2 M h1i ÉÍÅÅÔ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) 2 R[x] ÓÔÅÐÅÎÉ m, ÔÏ

D() + T () jM jm :

2 ÷ÓÑËÁÑ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M h1i ÅÓÔØ ìòð, ÔÁË ËÁË xD() (xT () e) 2 An(). îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ 2 M h1i | ìòð Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ F (x) 2 R[x] ÓÔÅÐÅÎÉ m, É n = jM jm , ÔÏ × ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ , x, ..., xn ÅÓÔØ ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÑ, É ÅÓÌÉ xd = xl , 0 d < l n, ÔÏ (xl xd ) = 0, Ô.Å. D() d, T () l d. 2

çìá÷á 5.

159


5.5.2. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ ; 2 LM h1i É = + . ôÏÇÄÁ

D() maxfD(); D( )g; T () j [T (); T ( )]: ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÌÉ D() 6= D( ), ÔÏ

D() = maxfD(); D( )g;

(5.5.2)

ÅÓÌÉ (T (); T ( )) = 1, ÔÏ

T () = [T (); T ( )]; (5.5.3) ÅÓÌÉ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÙ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ É ËÏÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙ, ÔÏ ×ÅÒÎÙ ÒÁ×ÅÎ-

2 îÁÚÏ×ÅÍ ìòð 2 LM h1i ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÏÊ (ÞÉÓÔÏ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ), ÅÓÌÉ D() = 0, É ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÅÊÓÑ, ÅÓÌÉ (i) = 0 ÄÌÑ ×ÓÅÈ i D(). íÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÓÅÈ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÈ ÓÔ×Á (5.5.2), (5.5.3).

É ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÉÈÓÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÁÄ M ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÅÒÅÚ RM h1i É DM h1i . P1 -ÍÏÄÕÌØ LM h1i ÅÓÔØ ÐÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÊ: LM h1i = DM h1i +_ RM h1i :

äÌÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 LM h1i × ÓÕÍÍÕ = (d) + (r) , ÇÄÅ (d) 2 DM h1i , (r) 2 RM h1i , ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ k 2 N ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ kT () = l D(). ôÏÇÄÁ (r) = xl . B. ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ðÕÓÔØ l

îÁÚÏ×ÅÍ 1-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ

[l;d](z ) = (l + dz )

2 N k0 ,

d

2 N k0 n 0. (5.5.4)

ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ (l; d)-×ÙÂÏÒËÏÊ (×ÙÂÏÒËÏÊ ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÀ d) ÉÚ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ . óËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (l; d)-ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÁ (ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÁ ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÀ d), ÅÓÌÉ [l;d] | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ l 2 N k0 ). âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ (ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁÑ ) ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÅÓÌÉ ÌÀÂÁÑ ÒÅÇÕÌÑÒÎÁÑ ×ÙÂÏÒËÁ ÉÚ ÅÓÔØ ÐÅÒÉÏÄÉ-

ÞÅÓËÁÑ (ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁÑ) ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï O() ×ÓÅÈ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ 2 M hki ×ÉÄÁ = xi , i 2 N k0 , ÎÁÚÏ×ÅÍ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÅÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ .

5.5.3. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. äÌÑ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M hki ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ: (a) | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ; (b) ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÁ ÐÏ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÊ e1 , ..., ek ; (c) ÉÄÅÁÌ An() ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÉÓÔÅÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× xl11 (xt11 e), ..., xlkk (xtkk e) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ls 2 N 0 , ts 2 N , s 2 1; k; (d) ÅÓÔØ k-ìòð; (e) ÔÒÁÅËÔÏÒÉÑ O() k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ËÏÎÅÞÎÁ.

çìá÷á 5.

160


2 éÍÐÌÉËÁÃÉÉ (a) ) (b) ) (c) ) (d) ÏÞÅ×ÉÄÎÙ. (d) ) (e). ðÕÓÔØ ÅÓÔØ k-ìòð, É F1 (x1 ), ..., Fk (xk ) | ÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÈÁÒÁË-

ÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÓÔÅÐÅÎÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÙ m1 , ..., mk ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ôÏÇÄÁ ËÁÖÄÁÑ ìòð xi ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÓÅÍÅÊÓÔ×Õ LM (F) = LM (F1 ; :::; FK ) É ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÏÊ Ó×ÏÉÈ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÐÁÒÁÌÌÅÌÅÐÉÐÅÄÅ = (m1 ; :::; mk ) ÏÂßÅÍÁ m = m1 :::mk . ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ jO()j jM jm . (e) ) (a). ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ (e) ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÒÅÇÕÌÑÒÎÁÑ (l; d)×ÙÂÏÒËÁ (5.5.4) ÉÚ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÁ. ðÕÓÔØ jO()j = n. ôÏÇÄÁ ÓÒÅÄÉ n + 1 k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ xl; xl+d ; :::; xl+dn 2 O() ÅÓÔØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ: xl+d = xl+d(+t) ;

2 N 0 ; t 2 N ; + t n:

õÍÎÏÖÁÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÎÁ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÍÏÎÏÍ xds , s ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ z ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï xl+dz = xl+d(z+t) ;

2 N0,

É, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ,

[l;d](z ) = (l + dz ) = (l + d(z + t)) = [l;d](z + t): üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ

x (xt

e)[l;d] = 0: 2

5.5.4. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M hki ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ: (a) | ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ; (b) ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁ ÐÏ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÊ e1 , ..., ek ; (c) ÉÄÅÁÌ An() ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÉÓÔÅÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× xt11 e, ..., xtkk e ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ t1 ; :::; tk 2 N ; (d) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ d 2 N k0 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ t 2 N ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ xdt = ;

O() ËÏÎÅÞÎÁ, É 8i 2 N k0 8j 2 N k0 xj(xi) = ; (f) ËÏÌØÃÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× S = Pk = An() k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ #s = xs + An(), s 2 1; k, ÏÂÒÁÔÉÍÙ × S ;

(5.5.5)

(e) ÔÒÁÅËÔÏÒÉÑ

(5.5.6) ËÏÎÅÞÎÏ, É

(g) ÉÄÅÁÌ An() ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ F1 (x1 ), ..., Fk (xk ) ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ Fs (0) 2 R , s 2 1; k.

çìá÷á 5.


161

2 éÍÐÌÉËÁÃÉÉ (a) ) (b) ) (c) ÏÞÅ×ÉÄÎÙ. (c) ) (d). éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ (c) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ c1 ; :::; ck 2 N 0 ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ

ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

x(t1 c1 ;:::;tk ck ) = :

(5.5.7) äÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ d 2 N k0 ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ c1 ; :::; ck 2 N 0 , t 2 N ÔÁË, ÞÔÏ (t1 c1 ; :::; tk ck ) = dt (ÎÁÐÒÉÍÅÒ, t = [t1 ; :::; tk ], cs = dst=ts ). ôÏÇÄÁ, ××ÉÄÕ (5.5.7), ×ÅÒÎÏ (5.5.5). (d) ) (e). ÷ÙÂÅÒÅÍ t1 ; :::; tk 2 N 0 ÔÁË, ÞÔÏ xes ts = , Ô.Å. xtss = , s 2 1; k. ôÏÇÄÁ 2 LM (xt1 e; :::; xtkk e) É jO()j jM jt :::tk . ðÕÓÔØ i 2 N k0 . ôÏÇÄÁ, ××ÉÄÕ (5.5.5), xit = ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ t 2 N , É (5.5.6) ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ j = i(t 1). (e) ) (f). ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ËÏÌØÃÁ S ÄÌÑ ×ÓÅÈ i 2 N k0 ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á i = xi , É ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ A(x) 2 Pk ×ÅÒÎÙ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ A() = 0 , A() = 0 ðÏÜÔÏÍÕ ÉÚ (e) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ i 2 S ÏÂÒÁÔÉÍ × S , Ô.Å. #1 , ..., #k 2 S , É, ÂÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, #1 , ..., #k | ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÐÏÒÑÄËÏ×, ÔÁË ËÁË jO()j < 1. åÓÌÉ ord #s = ts , s 2 1; k, ÔÏ jS j jRjt :::tk . (f) ) (g). íÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ Fx (xs ) = xtss e, ÇÄÅ ts = ord #s , s 2 1; k. (g) ) (f). ëÏÎÅÞÎÏÓÔØ ËÏÌØÃÁ S ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. ôÁË ËÁË Fs (#s ) = 0, s 2 1; k, É Fs (xs ) = xs Gs (xs ) + Fs (0), ÔÏ #s Gs (#s ) = Fs (0) 2 S , É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, #s 2 S . (f) ) (a). äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ [l; d]-×ÙÂÏÒËÉ [l;d] ÉÚ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï [l;d](z ) = (l+dz )(0): ðÕÓÔØ ord d = t. ôÏÇÄÁ [l;d](z + t) = [l;d](z ), Ô.Å. [l;d](z ) | ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. 2 äÌÑ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï T () ×ÓÅÈ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÅÅ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ O() ÎÁÚÏ×ÅÍ ÃÉËÌÏÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ , Á ÅÇÏ ÍÏÝÎÏÓÔØ T () = jT ()j ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÅÒÉÏÄÏÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ . íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÄÅÆÅËÔÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ O() ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ D(), É ÅÇÏ ÍÏÝÎÏÓÔØ D() = jD()j ÎÁÚÏ×ÅÍ ÄÅÆÅËÔÏÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ . îÁÚÏ×ÅÍ ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÅÊÓÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ, ÅÓÌÉ ÅÅ ÃÉËÌ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, Ô.Å. T () = f0g. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, D() + T () = jO()j, É ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ D() = 0, Ô.Å. T () = O(). ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÙÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ xi 2 An() ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ i 2 N k0 . ïÄÎÁËÏ, ËÏÎÓÔÁÎÔÙ D() É T () ÎÅ ÐÏÌÎÏÓÔØÀ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÔ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 LM hki × ÓÌÕÞÁÅ k > 1. îÅÎÕÌÅ×ÏÊ ×ÅËÔÏÒ t 2 N k0 ÎÁÚÏ×ÅÍ ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄÏÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M hki , ÅÓÌÉ xl (xt e) = 0 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ l 2 N k0 . ðÏÄÇÒÕÐÐÕ P() ÇÒÕÐÐÙ (Zk ; +), ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÕÀ ×ÓÅÍÉ ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄÁÍÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ , ÎÁÚÏ×ÅÍ ÅÅ ÇÒÕÐÐÏÊ ÐÅÒÉÏÄÏ×. åÓÌÉ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄÏ×, ÔÏ ÐÏÌÏÖÉÍ P() = 0. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÅÓÌÉ 2 LM h1i , ÔÏ P() = Z T (). ïÐÉÛÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÐÏÄÇÒÕÐÐÙ P() < (Zk; +). 1

1

1

çìá÷á 5.


162

5.5.5. ìÅÍÍÁ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ 2 M hki ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï P+ () ×ÓÅÈ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÎÅÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÉÚ P() ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄÏ× ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, P() = hP+ ()i.

2 ðÕÓÔØ t 2 P+ (). ôÏÇÄÁ ÐÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ t = t1 a1 + ::: + tr ar

tr+1ar+1

::: tr+sar+s 0;

ÇÄÅ t1 ; :::; tr+s | ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄÙ É a1 ; :::; ar+s 2 N . ÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ l 2 N k0 ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ xti (xl ) = xl ÄÌÑ i 2 1; r + s; P P É ÄÌÑ a = ri=1 ti ai , b = sj=1 tr+j ar+j ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ: a

ïÔÓÀÄÁ ÉÍÅÅÍ

b = t 0;

xa(xl ) = xl = xb (xl ):

xa b (xb+l ) = xb+l :

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, t = a b | ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄ . 2 úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ, ××ÉÄÕ 5.5.3(a,b), ÇÒÕÐÐÅ ÐÅÒÉÏÄÏ× P() ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ×ÉÄÁ t1 e1 , ..., tk ek , ÇÄÅ t1 ; :::; tk 2 N . ðÏÜÔÏÍÕ P() | ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ ÒÁÎÇÁ k ÇÒÕÐÐÙ (Zk; +). ïÄÎÁËÏ, ÅÓÌÉ 2 M hki É P() | ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ ÒÁÎÇÁ k ÇÒÕÐÐÙ (Zk; +), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÕÓÌÏ×ÉÀ P() = hP+ ()i, ÔÏ | ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M h2i ×ÉÄÁ

0 0 0 0 0 0 ::: 0 0 0 ::: 0 0 0 ::: ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÏÊ, ÏÄÎÁËÏ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ P() = Z2. ôÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï 5.5.6. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÐÏÄÇÒÕÐÐÙ G < Zk ÒÁÎÇÁ k ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ G = hG +i, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁÑ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M hki ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ P() = G .

2 ÷ÙÂÅÒÅÍ 2 M n 0, É ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ: ÄÌÑ i 2 N k0 + (i) = ; ÅÓÌÉ i 2 G [ f0g;

0; × ÐÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. ôÏÇÄÁ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ×ÓÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÉÚ G + Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄÁÍÉ . îÁÏÂÏÒÏÔ, ÐÕÓÔØ t | ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄ . ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ l 2 N k0 xt (xl ) = xl:

çìá÷á 5.

163


ôÁË ËÁË rank G = k, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÅËÔÏÒ a 2 G + ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ a l. ôÏÇÄÁ xt (xa ) = xa;

É ÔÁË ËÁË xa = , ÔÏ xt = . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, (t) = (0) = É t 2 G + . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, P() = G . ôÁË ËÁË P() | ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ ÒÁÎÇÁ k × Zk, ÔÏ ÄÌÑ ÐÏÄÈÏÄÑÝÉÈ t1 ; :::; tk 2 N ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ t1 e1 ; :::; tk ek 2 P+ () = G + . ôÅÐÅÒØ ÉÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ xt1 e, ..., xtkk e 2 An(), É, ××ÉÄÕ 5.5.4, | ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. 1

2

îÉÖÅ (ÓÍ. ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 5.6.22, 5.6.23) ÂÕÄÅÔ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ìòð 2 LM hki ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

T () = [Zk : P()];

(5.5.8)

| ÉÎÄÅËÓ ÐÏÄÇÒÕÐÐÙ P() × ÇÒÕÐÐÅ Zk. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ RM hki É DM hki Pk -ÍÏÄÕÌÉ ×ÓÅÈ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÈ É ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÉÈÓÑ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. 5.5.7. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

LM hki = RM hki +_ DM hki : (5.5.9) 2 äÌÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 LM hki × ÓÕÍÍÕ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÏÊ (r) É ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÅÊÓÑ (d) ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄ t 2 P() ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ xt | ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. ôÏÇÄÁ (r) = xt. 2 ðÒÉ ÏÐÉÓÁÎÉÉ ÃÉËÌÏ× ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÈ ìòð ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÌÅÚÎÙÍ

5.5.8. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ 2 RM hki É ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ: (a) M = M1 +_ M2 | ÐÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ R-ÍÏÄÕÌÅÊ, É = 1 + 2 , ÇÄÅ s 2 RMshki , s = 1; 2; (b) An() = I1 I2 , ÇÄÅ I1 + I2 = Pk , É = 1 + 2 , s 2 LM (Is ), s = 1; 2. ôÏÇÄÁ P() = P(1 ) \ P(2 ). ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ k = 1, ÔÏ T () = [T (1); T (2 )].

2 ÷ ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÕÓÌÏ×ÉÅ xt = ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ xts = s ÄÌÑ s = 1; 2. 2 5.6

ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÉÄÅÁÌÙ É ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

úÁÄÁÞÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÅÒÉÏÄÁ É ÄÅÆÅËÔÁ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÛÅÎÁ ËÁË ÚÁÄÁÞÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÈ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× ÉÄÅÁÌÁ An(). A. ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÉÄÅÁÌÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ ÏÄÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ

çìá÷á 5.

164


5.6.1. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. éÄÅÁÌ I ËÏÌØÃÁ P = P1 (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) 2 P ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÍ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÞÉÓÌÁ d 2 N 0 , t 2 N

ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ

xd (xt e) 2 I (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ F (x) j xd (xt e)): (5.6.1) îÁÉÍÅÎØÛÉÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ d É t ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ (5.6.1), × ÓÌÕÞÁÅ ÉÈ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÄÅÆÅËÔÏÍ É ÐÅÒÉÏÄÏÍ ÉÄÅÁÌÁ I (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x)) É ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ D(I ) É T (I ) (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ D(F ) É T (F )). 5.6.2. ìÅÍÍÁ. åÓÌÉ I | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ, ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ d 2 N 0 , t ÕÓÌÏ×ÉÅ (5.6.1) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ: d D(I ), T (I ) j t.

2N

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÌÀÂÏÊ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÎÉÔÁÒÎÙÍ, ÎÏ ÏÂÒÁÔÎÏÅ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ×ÅÒÎÏ. 5.6.3. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M h1i ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ An() | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ, É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ

D() = D(An());

T () = T (An()):

5.6.4. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ I | ÉÄÅÁÌ × P , S = P =I , É # = x + I 2 S . ôÏÇÄÁ I | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ u = (e; #; : : : ; #i ; : : :) ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ S ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÁ. åÓÌÉ u | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÔÏ

D(I ) = D(u);

T (I ) = T (u):

5.6.5. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. õÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) 2 P Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÁ eF 2 LR (F ) ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÁ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ

D(F ) = D(eF );

T (F ) = T (eF ):

5.6.6. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ R | ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÌØÃÏ. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÉÄÅÁÌÁ I ËÏÌØÃÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ: (a) S = P =I | ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÌØÃÏ; (b) I | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ; (c) I | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ. ðÒÉ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÉ ÜÔÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ×ÅÒÎÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ É ÅÓÌÉ jS j > 2, ÔÏ åÓÌÉ jS j > 2, ÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

P

D(I ) + T (I ) jS j;

(5.6.2)

D(I ) + T (I ) jS j 1:

(5.6.3)

D(I ) + T (I ) = jS j 1

(5.6.4)

çìá÷á 5.


165

×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÌÉÂÏ S = GF (2)[x]=(x2 ) É D(I ) + T (I ) = 3, ÌÉÂÏ S | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÐÏÌÅ, É ÉÄÅÁÌ I ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ I = (F (x); J ), ÇÄÅ J | ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÉÄÅÁÌ ËÏÌØÃÁ R (Ô.Å. R = R=J = GF (q )) É F (x) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ m ÎÁÄ R ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ÅÇÏ ÏÂÒÁÚ F (x) ÐÒÉ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÍ ÜÐÉÍÏÒÆÉÚÍÅ R[x] ! R [x] ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ T (F ) = q m 1. ÷ ÐÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÌÕÞÁÅ D(I ) = 0, T (I ) = q m 1.

2 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÕÓÌÏ×ÉÊ (a){(c) ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏ. ðÕÓÔØ D(I ) + T (I ) = N . ôÏÇÄÁ, × ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 5.6.4, N | ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u, É ÜÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÕÔØ e; #; : : : ; #N 1 . ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ (5.6.2). åÓÌÉ N jS j 1, ÔÏ N = jS j É S = fe; #; : : : ; #N 1 g, ÞÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÌÉÛØ ÐÒÉ N = 2, # = 0 É S = GF (2). ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ (5.6.3). ðÕÓÔØ ×ÅÒÎÏ (5.6.4), Ô.Å. N = jS j 1. åÓÌÉ # 62 S , ÔÏ N j#S j + 1 (jS j=2) + 1, É ÔÁË ËÁË N = jS j 1, ÔÏ jS j = 4, N = 3 É S = GF (2)[x]=(x2 ). åÓÌÉ # 2 S , ÔÏ S = fe; #; : : : ; #N 1 g É S | ÐÏÌÅ. ðÕÓÔØ ': P ! S = P =I | ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÜÐÉÍÏÒÆÉÚÍ. ôÏÇÄÁ '(R) = GF (q ) | ÐÏÄÐÏÌÅ × S É '(R) = R = R=J , ÇÄÅ J = I \ R | ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÉÄÅÁÌ × R. ðÕÓÔØ : R[x] ! R [x] | ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÜÐÉÍÏÒÆÉÚÍ, ÉÎÄÕÃÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÍ ÜÐÉÍÏÒÆÉÚÍÏÍ R ! R , É ÐÕÓÔØ I = (I ). ôÏÇÄÁ S = R [x]=I, É I | ÉÄÅÁÌ, ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÉÚ R[x]. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × I ÅÓÔØ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ I = (F (x)) É I = (F (x); J ). ðÕÓÔØ deg F (x) = m. ôÏÇÄÁ jS j = jR jm = q m , É ËÏÒÅÎØ # 2 S ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x) ÅÓÔØ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÐÏÌÑ S , Ô.Å. T (F ) = q m 1. 2 5.6.7. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ëÁÖÄÙÊ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÎ. åÓÌÉ deg F (x) = m, jRjm 2, ÔÏ D(F ) + T (F ) jRjm 1. 5.6.8. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. äÌÑ ÕÎÉÔÁÒÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× I1 , I2 ËÏÌØÃÁ P , ÉÄÅÁÌ I = I1 \ I2 ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÎ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÎ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÉÄÅÁÌÏ× I1 , I2 . ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ D(I ) = maxfD(I1 ); D(I2 )g, T (I ) = [T (I1 ); T (I2 )].

÷ ÜÔÏÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÉ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÉÄÅÁÌÏ× ÎÅÌØÚÑ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÉÄÅÁÌ I1 = (x 1) Z[x] ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÎ, ÎÏ I12 = ((x 1)2 ) | ÎÅ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÎ. 5.6.9. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. åÓÌÉ ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ F1 (x), F2 (x) 2 R[x] ×ÚÁÉÍÎÏ ÐÒÏÓÔÙ, ÔÏ F (x) = F1 (x)F2 (x) | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ F1 (x), F2 (x) | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ D(F ) = maxfD(F1 ); D(F2 )g, T (F ) = [T (F1 ); T (F2 )].

2 (F ) = (F1 ) (F2) = (F1) \ (F2). 2 5.6.10. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. îÁÚÏ×ÅÍ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ I (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x)) ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÍ, ÅÓÌÉ D(I ) = 0 (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ D(F ) = 0), É ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÉÍÓÑ, ÅÓÌÉ xD(I ) 2 I (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ F (x) j

xD(F ) ).

çìá÷á 5.


166

5.6.11. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ìÀÂÏÊ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ I / P ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ I = I (r) \ I (d) ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I (r) É ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÅÇÏÓÑ ÉÄÅÁÌÁ I (d) .

2 åÓÌÉ T (I ) = t, D(I ) = l, ÔÏ I (r) = I + (xt e)P , I (d) = I + xl P . 2

5.6.12. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

F (x) ÎÅÌØÚÑ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÏÇÏ É ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÅÇÏÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÔÁËÏÇÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÎÅÔ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x) = x2 4x 3 ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ Z6. ôÁËÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÄ ÌÏËÁÌØÎÙÍ ÁÒÔÉÎÏ×ÙÍ ËÏÌØÃÏÍ (ÓÍ. [53, x 16]). 5.6.13. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. õÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÅÎ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÅÇÏ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÞÌÅÎ ÏÂÒÁÔÉÍ × R. ôÅÐÅÒØ ÍÏÖÎÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÕÔÏÞÎÉÔØ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 5.5.5. 5.6.14. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ I | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ, ÔÏ LM (I ) = LM (I (r) ) +_ LM (I (d) ); ÇÄÅ LM (I (d) ) = LM (I ) \ DM h1i | ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÉÈÓÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÉÚ LM (I ) É LM (I (r) ) = LM (I ) \ RM h1i | ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÉÚ LM (I ). ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÅÒÉÏÄÁ É ÄÅÆÅËÔÁ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I / P ÐÏ ÅÇÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ | ×ÅÓØÍÁ ÓÌÏÖÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ. åÓÌÉ ÉÍÅÅÔÓÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R (ÓÍ. [6]), ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÏÂÝÉÊ ÓÐÏÓÏÂ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× D(I ) É T (I ). ðÕÓÔØ I = (F (x); G1 (x); : : : ; Gn(x)), ÇÄÅ F (x) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ. 5.6.15. ìÅÍÍÁ. íÎÏÇÏÞÌÅÎ H (x) 2 P ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÉÄÅÁÌÕ I ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÒÁÚÒÅÛÉÍÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

(G1 (S (F )); : : : ; Gn(S (F )))z = H (S (F ))#1; ÇÄÅ S (F ) | ÓÏÐÒÏ×ÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x) É H (S (F ))#1 | ÐÅÒ×ÙÊ ÓÔÏÌÂÅÃ ÍÁÔÒÉÃÙ H (S (F )). 2 åÓÌÉ z = (z0(1) ; : : : ; zm(1) 1 ; z0(2) ; : : : ; zm(n) 1) | ÒÅÛÅÎÉÅ ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ, ÔÏ H (x) = Z1 (x)G1 (x) + : : : + Zn (x)Gn (x) + Z (x)F (x), ÇÄÅ Z (x) 2 P , Zs (x) = z0(s) + z1(s) x + : : : + zm(s) 1 xm 1 . 2 ôÅÐÅÒØ, ÅÓÌÉ jP =I j = N , ÔÏ T (I ) ÅÓÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ t 2 N ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ Res(xt e=F ) Res(xN =F ) 2 I; É D(I ) | ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ l 2 N 0 ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ Res(xl =F ) Res(xT (I ) e=F ) 2 I: B. ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÉÄÅÁÌÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ k ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.

çìá÷á 5.


167

5.6.16. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. éÄÅÁÌ I / Pk ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÍ (ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÍ ),

ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÞÉÓÌÁ l1 ; : : : ; lk 2 N 0 , t1 ; : : : ; tk 2 N ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ

e) 2 I ÄÌÑ s 2 1; k

xlss (xtss

(5.6.5)

(ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ

(xtss e) 2 I ÄÌÑ s 2 1; k): (5.6.6) ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ ÎÁÚÏ×ÅÍ ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÉÍÓÑ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ l 2 N k0 n 0 ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅ xl 2 I: (5.6.7) ðÕÓÔØ S = Pk =I = R[#1 ; : : : ; #k ], ÇÄÅ #s = xs + I 2 S , ÅÓÔØ ËÏÌØÃÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× ÉÄÅÁÌÁ I (ÓÍ. 5.1.18). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ O(I ) ÐÏÄÐÏÌÕÇÒÕÐÐÕ [e; #1 ; : : : ; #k i ÐÏÌÕÇÒÕÐÐÙ (S; ), ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÕÀ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ e; #1 ; : : : ; #k , É ÎÁÚÏ×ÅÍ ÅÅ ÏÒÂÉÔÁÌØÎÏÊ ÐÏÌÕÇÒÕÐÐÏÊ ÉÄÅÁÌÁ I . 5.6.17. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ I | ÉÄÅÁÌ ËÏÌØÃÁ Pk . ôÏÇÄÁ (a) (I | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ) , (jO(I )j < 1); (b) (I | ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÊ ÉÄÅÁÌ) , (jO(I )j < 1, O(I ) < S ); (c) (I | ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÉÊÓÑ ÉÄÅÁÌ) , (jO(I )j < 1, 0 2 O(I )).

2 õÓÌÏ×ÉÑ (5.6.5){(5.6.7) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÕÓÌÏ×ÉÑÍ [e; #s i = fe; #s ; : : : ; #ls +t 1 g; s 2 1; k; #ts = e; s 2 1; k; l = #l1 : : : #lk = 0: 2 s

s

s

1

k

îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ æÒÏÂÅÎÉÕÓÁ [17] ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÐÏÌÕÇÒÕÐÐÙ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ ÅÓÔØ ÉÄÅÍÐÏÔÅÎÔ. äÌÑ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I , ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ "s = "s (I ), s 2 1; k, ÉÄÅÍÐÏÔÅÎÔ ÐÏÌÕÇÒÕÐÐÙ [#s i, Á ÞÅÒÅÚ " = "(I ) | ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÉÄÅÍÐÏÔÅÎÔÏ× ÐÏÌÕÇÒÕÐÐÙ O(I ). 5.6.18. ìÅÍÍÁ. åÓÌÉ I | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ ËÏÌØÃÁ Pk , ÔÏ " = "1 : : : "k , É "O(I ) = T (I ) | ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ ÐÏÌÕÇÒÕÐÐÙ O(I ) Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ ".

2 ðÕÓÔØ " = #a1 : : : #ak É #bs = "s, s 2 1; k. ôÏÇÄÁ " = "b :::b = "1 : : : "k . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ " | ÅÄÉÎÉÃÁ ÐÏÌÕÇÒÕÐÐÙ T (I ), É ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ T (I ) × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ ÒÁ×ÅÎ ". 2 1

k

s

1

k

5.6.19. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. çÒÕÐÐÕ T (I ) ÎÁÚÏ×ÅÍ ÃÉËÌÏ×ÏÊ ÇÒÕÐÐÏÊ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I , Á ÅÅ ÐÏÒÑÄÏË T (I ) = jT (I )j | ÐÅÒÉÏÄÏÍ ÉÄÅÁÌÁ I . ðÁÒÁÍÅÔÒ D(I ) = jO(I )j jT (I )j ÎÁÚÏ×ÅÍ ÄÅÆÅËÔÏÍ ÉÄÅÁÌÁ I . ÷ ÓÌÕÞÁÅ D(I ) > 0 ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ I | ÄÅÆÅËÔÎÙÊ ÉÄÅÁÌ.

çìá÷á 5.


168

5.6.20. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ I Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ T (I ) = O(I ) (Ô.Å. D(I ) = 0), É ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÉÍÓÑ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ T (I ) = 0. 2 5.6.21. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ÷ÅËÔÏÒ t 2 N k0 n 0 ÎÁÚÏ×ÅÍ ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄÏÍ ÉÄÅÁÌÁ I , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ l 2 N k0 n 0 ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ l+t = l (Ô.Å. xl (xt e) 2 I ). ðÏÄÇÒÕÐÐÕ

P(I ) ÇÒÕÐÐÙ (Zk; +), ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÕÀ ×ÓÅÍÉ ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄÁÍÉ ÉÄÅÁÌÁ I , ÎÁÚÏ×ÅÍ ÅÇÏ ÇÒÕÐÐÏÊ ÐÅÒÉÏÄÏ×.

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ I | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ, ÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ "#s ÇÒÕÐÐÙ T (I ) ÉÍÅÅÔ ËÏÎÅÞÎÙÊ ÐÏÒÑÄÏË, É ÐÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ t 2 Zk ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ "t = ("#1 )t : : : ("#k )tk : 1

5.6.22. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ I / Pk | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ, ÔÏ P(I ) | ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ ÒÁÎÇÁ k ÇÒÕÐÐÙ (Zk; +), É ×ÅÒÎÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:

P(I ) = ft 2 Zk : "t = "g;

T (I ) = Zk=P(I );

T (I ) = [Zk : P(I )]:

(5.6.8) (5.6.9)

2 úÁÄÁÄÉÍ ÜÐÉÍÏÒÆÉÚÍ ÇÒÕÐÐ ': Zk ! T (I ), ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ '(r) = "r. åÓÌÉ t 2 P(I ), ÔÏ "l = "l+t ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ l 2 N k0 n 0. ôÁË ËÁË " = #a1 : : : #ak ÄÌÑ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ a 2 N , ÔÏ " = "al = "al+t = "t, Ô.Å. t 2 Ker '. åÓÌÉ t 2 Ker ', ÔÏ "t = ", É ÔÁË ËÁË " = #a1 : : : #ak , ÔÏ t 2 P(I ). 2

îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LM (I ) ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË S -ÍÏÄÕÌØ, ÐÏÌÁÇÁÑ F () = F (x) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ F (x) 2 Pk , 2 LM (I ). 5.6.23. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ 2 M hki | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ (ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁÑ) ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÔÏ I = An() | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ (ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÊ) ÉÄÅÁÌ. åÓÌÉ I | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ ËÏÌØÃÁ Pk , ÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 LM (I ) ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÁ, ÐÒÉÞÅÍ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ = ". åÓÌÉ 2 LM (I ), ÔÏ O() = O(I ); (5.6.10)

T () = T (I );

(5.6.11)

P(I ) < P();

D() D(I ); åÓÌÉ, Ë ÔÏÍÕ ÖÅ, I = An(), ÔÏ

P() = P(I );

T () j T (I ):

D() = D(I );

T () = T (I ):

(5.6.12) (5.6.13) (5.6.14)

çìá÷á 5.


169

2 ðÅÒ×ÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÊ 5.5.3, 5.5.4 É ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ 5.6.16. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (5.6.10) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ O() ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ

, ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ 5.6.16 É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á xi = i . ìÀÂÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ = Æ, ÇÄÅ Æ 2 T (I ), ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁ, ÔÁË ËÁË ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ i 2 N k0 ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ×ËÌÀÞÅÎÉÅ i Æ 2 T (I ), É ÐÏÔÏÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ j 2 N k0 ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ j (i Æ ) = Æ . üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ xj (xi ) = , É ÐÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 5.5.3(e) 2 T (), Ô.Å. T (I ) T (). îÁÏÂÏÒÏÔ, ÐÕÓÔØ 2 T (). ôÏÇÄÁ = t ÄÌÑ ×ÓÅÈ t 2 P(), É ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ t 2 P() ÔÁË, ÞÔÏ t = ". óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, = " É 2 T (I ), ÐÏÓËÏÌØËÕ = l ÄÌÑ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ l 2 N k0 . üÔÉÍ ÄÏËÁÚÁÎÏ (5.6.11). åÓÌÉ t 2 P(I ), ÔÏ "t = ", "t = ", É ÔÁË ËÁË " = l , ÔÏ t 2 P(), Ô.Å. ×ÅÒÎÏ (5.6.12). åÓÌÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ xl ÎÅ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁ, Ô.Å. xl 2 O() n T (), ÔÏ "l 6= ". óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, l 62 T (I ), É D() D(I ). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ K() = fÆ 2 T (I ) : Æ = g | ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ × T (I ), É, ××ÉÄÕ (5.6.11), jT ()j = jT (I )=K()j. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, T (I ) = T ()jK()j, É ×ÅÒÎÏ (5.6.13). ðÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ I = An() ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ i, j 2 N k0 ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï xi = xj ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ i = j , ÐÏÜÔÏÍÕ ×ÅÒÎÏ (5.6.14). 2 ðÕÓÔØ R | ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÌØÃÏ, É I | ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÊ ÉÄÅÁÌ ÉÚ Pk Ó ËÏÌØÃÏÍ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× S . ôÏÇÄÁ S | ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÌØÃÏ, É, ÓÏÇÌÁÓÎÏ 5.6.17(b),

T (I ) = h#1; : : : ; #k i < S ;

T (I ) j jS j:

5.6.24. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. òÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÊ ÉÄÅÁÌ I/Pk ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÏÌÎÏÃÉËÌÏ×ÙÍ, ÅÓÌÉ I \ R = 0, LR (I ) | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ S -ÍÏÄÕÌØ É T (I ) = S . òÅ×ÅÒÓÉ×ÎÕÀ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÕ u 2 LR (I ) Ó ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÏÍ I = An(u) ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÏÌÎÏÃÉËÌÏ×ÏÊ, ÅÓÌÉ LR (I ) = Su É I | ÐÏÌÎÏÃÉËÌÏ×ÙÊ ÉÄÅÁÌ. 5.6.25. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ R | Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Ï ËÏÌØÃÏ, I / Pk | ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÊ ÉÄÅÁÌ ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ

I \ R = 0; ôÏÇÄÁ

LR (I ) = Su:

P(u) = P(I );

(5.6.15) (5.6.16)

É I | ÐÏÌÎÏÃÉËÌÏ×ÙÊ ÉÄÅÁÌ ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ

8v 2 LR (I )

(P(v ) = P(I )

) v 2 T (u)):

(5.6.17)

2 òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (5.6.16) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ (5.6.15). ðÕÓÔØ I | ÐÏÌÎÏÃÉËÌÏ×ÙÊ ÉÄÅÁÌ.

ôÏÇÄÁ

T (I ) = h#1; : : : ; #k i = S ; T (u) = S u: (5.6.18) äÏËÁÖÅÍ (5.6.17). ðÕÓÔØ v 62 T (u). ôÏÇÄÁ, ××ÉÄÕ (5.6.18), v = u, ÇÄÅ 2 S n S . íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ S = 6 GF (2). ôÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ Æ 2 S n e ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ Æ = .

çìá÷á 5.


170

÷×ÉÄÕ (5.6.18), Æ = t , ÐÒÉÞÅÍ t 2 N k0 n P(u). ïÄÎÁËÏ, t 2 P(v ), ÔÁË ËÁË Æv = Æu = u = v . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P(v ) 6= P(u), É ×ÅÒÎÏ (5.6.17). îÁÏÂÏÒÏÔ, ÐÕÓÔØ ×ÅÒÎÏ (5.6.17). åÓÌÉ T (I ) 6= S , ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ Æ 2 S n T (I ). ðÏÌÏÖÉÍ v = Æu. ôÏÇÄÁ v 62 T (u), ÎÏ P(v ) = P(u), ÐÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ t 2 N k0 ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ t 2 P(v )

, tv = v , tÆu = Æu , tu = u , t 2 P(u): 2

5.6.26. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ R, Q | ËÏÎÅÞÎÙÅ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Ù ËÏÌØÃÁ, É R < Q. ôÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÏÌÎÏÃÉËÌÏ×ÁÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÁ u ÎÁÄ R Ó ËÏÌØÃÏÍ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× S , ÉÚÏÍÏÒÆÎÙÍ Q.

2 ðÕÓÔØ Q = h1 ; : : : ; k i. ôÏÇÄÁ Q = R[1 ; : : : ; k ], É ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I / Pk ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ : Q ! Pk =I = S = R[#1 ; : : : ; #k ]; (s) = #s ; s 2 1; k: ôÁË ËÁË R R | QF-ÍÏÄÕÌØ, ÔÏ, ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5.4.7 (ÐÒÉ Q = R), LR (I ) = Su | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ S -ÍÏÄÕÌØ, É, ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5.4.6, An(u) = I . ïÓÔÁÅÔÓÑ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ I | ÐÏÌÎÏÃÉËÌÏ×ÙÊ ÉÄÅÁÌ ÐÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ. 2 ÷ÁÖÎÙÅ ÞÁÓÔÎÙÅ ÓÌÕÞÁÉ ÐÏÌÎÏÃÉËÌÏ×ÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ: k-ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ÎÁÄ ÐÏÌÑÍÉ É ËÏÌØÃÁÍÉ çÁÌÕÁ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ × [17, 20], [53, x 12, 19]. 5.7

ëÏÄÙ É ÐÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ. ðÏÌÉÃÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ËÏÄÙ

á. òÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÅ É k-ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÍÏÄÕÌÅÍ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÍÏÄÕÌÅÍ R M (É

×ÓÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ QF -ÍÏÄÕÌÅÍ R Q) ÍÏÖÎÏ ÏÐÉÓÁÔØ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÐÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ R M . ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï

F = fi1; : : : ; ing N k0 (5.7.1) ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÐÏÌÉÜÄÒÏÍ. ðÕÓÔØ F | ÐÏÌÉÜÄÒ É M F ÅÓÔØ R-ÍÏÄÕÌØ ×ÓÅÈ ÆÕÎËÃÉÊ Æ : F ! M . ìÀÂÁÑ ÔÁËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÏÊ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Æ [F ] = (Æ (i1); : : : ; Æ (in)) 2 M n . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÍÏÄÕÌØ R M F ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ R M n . äÌÑ ÌÀÂÏÊ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M hki ÍÙ ÔÁËÖÅ ÍÏÖÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÊ [F ] = ((i1); : : : ; (in)). ðÕÓÔØ

K = LFM (I ) = f[F ]: 2 LM (I )g:

(5.7.2) ïÞÅ×ÉÄÎÏ, K | ÐÏÄÍÏÄÕÌØ R-ÍÏÄÕÌÑ R M F , É ÐÒÉ ÎÕÍÅÒÁÃÉÉ (5.7.1) ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÐÏÌÉÜÄÒÁ F ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ K ËÁË ÐÏÄÍÏÄÕÌØ ÍÏÄÕÌÑ R M n . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, K | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ R M .

çìá÷á 5.


171

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÜÔÁ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÑ ÏÂÏÂÝÁÅÔ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÀ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÏÇÏ ËÏÄÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ ÉÚ x 2.5. íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ K < M n k-ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ×ÉÄÅ (5.7.2) ÐÒÉ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÍ ×ÙÂÏÒÅ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I ËÏÌØÃÁ Pk , ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ F N k0 É ÎÕÍÅÒÁÃÉÉ (5.7.1) ÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ÷ ÜÔÏÊ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÔÅÏÒÅÍÙ 2.5.1 ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÐÏÌÅÍ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÕÌÅ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, 1-ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅ ËÁÖÄÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ R M ÉÍÅÅÔ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ×ÉÄÁ (5.7.2). ïÄÎÁËÏ, ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ 2.5.1.

5.7.1. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ R-ÚÁÍËÎÕÔÏÇÏ ËÏÄÁ K < R M n ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒ k 2 1; n, ÐÏÌÉÜÄÒ F N k0 ÍÏÝÎÏÓÔÉ n É ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ I / Pk ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ K = LFM (I ): (5.7.3)

2 ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ËÏÄ K ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ H = (hij )ln ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R (ÓÍ. ÔÅÏÒÅÍÕ 4.1.9). üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ K ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ × M n

ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ht1 y1 + : : : + htn yn = 0; t 2 1; l: (5.7.4) áÓÓÏÃÉÉÒÕÅÍ Ó t-Ê ÓÔÒÏËÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ H ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Ht (x) = ht1 x1 + : : : + htn xn 2 Pn É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÄÅÁÌ I / Pn Ó ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ fxixj ; Ht(x) : i; j 2 1; n; t 2 1; lg: ôÁË ËÁË x2i 2 I , i 2 1; n, ÔÏ I | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ. ðÏÌÏÖÉÍ k = n É F = fe1 ; : : : ; eng N n0 , ÇÄÅ ei | i-Ñ ÓÔÒÏËÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ n n-ÍÁÔÒÉÃÙ ÎÁÄ Z. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ (5.7.3). ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M hni ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ LM (I ) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ xi xj = 0 ÄÌÑ i; j 2 1; n; (5.7.5) Ht (x) = 0 ÄÌÑ t 2 1; l: (5.7.6) õÓÌÏ×ÉÅ (5.7.5) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ (i) = 0 ÅÓÌÉ i = (i1 ; : : : ; in ) 2 N n0 É i1 + : : : + in 2: (5.7.7) ðÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ (5.7.7) ÕÓÌÏ×ÉÅ (5.7.6) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ [F ] = ((e1 ); : : : ; (en )) ÅÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ × M n ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (5.7.4), Ô. Å. [F ] 2 K. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, LFM (I ) K. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÐÕÓÔØ a = (1 ; : : : ; n) 2 K. ïÐÒÅÄÅÌÉÍ n-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M hni ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ (e1 ) = 1 , . . . , (en) = n É ÕÓÌÏ×ÉÅÍ (5.7.7). úÎÁÞÅÎÉÅ (0) ×ÙÂÅÒÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ. ôÏÇÄÁ ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (5.7.5), (5.7.6), Ô. Å. 2 LM (I ). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, [F ] = a 2 LFM (I ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, K LFM (I ). 2 òÅÚÕÌØÔÁÔ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÌÀÂÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ K < R M n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ n-ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÍ. ïÄÎÁËÏ, ÎÅ ÌÀÂÏÊ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÊ ËÏÄ ÚÁÍËÎÕÔ.

çìá÷á 5.


172

5.7.2. ðÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ÎÅ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Ï ËÏÌØÃÏ, |

ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÅÇÏ ÃÏËÏÌÑ É F (x) = x 2 R[x]. ôÏÇÄÁ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LR (F (x)) ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u = (u(0); u(0); 0; 0; : : :) 2 Rh1i É ËÏÄ K = LfR1g (F ) ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ, ÔÁË ËÁË K = R É R ? (R ? K) = R ? N(R) = S(R) 6= R. B. òÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ÒÁÎÇ ËÏÄÁ. òÅÚÕÌØÔÁÔ ÔÅÏÒÅÍÙ 2.5.1 ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅÓØÍÁ ÇÒÕÂÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÏÊ ËÏÄÁ É ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÅÔ ÂÏÌØÛÅ ÍÏÄÕÌØ, ÎÁÄ ËÏÔÏÒÙÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ËÏÄ, ÞÅÍ ÓÁÍ ËÏÄ. üÔÏ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÂÏÌØÛÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÌÏÍ × ×ÙÂÏÒÅ ÐÏÌÉÜÄÒÁ F × ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ (5.7.3). ÷ Ó×ÑÚÉ Ó ÜÔÉÍ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Ó ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏ ÎÅ ÐÒÏÓÔÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ËÏÄ K × ×ÉÄÅ (5.7.3) ÐÒÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÍÅÎØÛÅÍ k, ÎÏ É ÉÍÅÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÂÙÓÔÒÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÅÇÏ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÔÁËÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÖÅÌÁÔÅÌØÎÏ ÐÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÔÏÞËÉ ÐÏÌÉÜÄÒÁ F × (5.7.3) ÂÙÌÉ \ÐÌÏÔÎÏ ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÙ" ×ÏËÒÕÇ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ 0 2 N . îÁÐÒÉÍÅÒ, × ÓÌÕÞÁÅ k = 1 (Ô. Å. ÐÒÉ I / P1 ), ÎÁÉÌÕÞÛÉÊ ÐÏÌÉÜÄÒ F | ÜÔÏ ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ÏÔÒÅÚÏË F = 0; n 1 ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ k > 1 ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ÐÏÎÑÔÉÑ ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ æÅÒÒÅ. ôÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÌÉÜÄÒ F N k0 ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ i 2 F ÌÀÂÏÊ ×ÅËÔÏÒ j 2 N k0 ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ j i (ÐÏËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏ) ÔÁËÖÅ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ F . îÁÚÏ×ÅÍ ËÏÄ K < R M n k-ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÉÍÅÅÔ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ (5.7.3) ÐÒÉ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÍ ×ÙÂÏÒÅ ÉÄÅÁÌÁ I/Pk , ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ æÅÒÒÅ F N k0 É ÎÕÍÅÒÁÃÉÉ (5.7.1) ÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. îÁÉÍÅÎØÛÅÅ k Ó ÜÔÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍ ÒÁÎÇÏÍ ËÏÄÁ K. îÁÐÒÉÍÅÒ, ËÏÄÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P Ó ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍ ÒÁÎÇÏÍ 1 | ÜÔÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ËÏÄÙ, ÏÐÉÓÁÎÎÙÅ × ÐÒÉÍÅÒÅ 1.1.6. ðÅÒ×ÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ÏÐÉÓÙ×ÁÀÝÉÊ ×ÁÖÎÙÊ ËÌÁÓÓ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ËÏÄÏ×, ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. 5.7.3. ôÅÏÒÅÍÁ (áÓÔÕÒÉÊÓËÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ). ðÕÓÔØ K < R M n ÅÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ m ÎÁÄ M Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ 0

1 f0(1) : : : fm(1) 1 e 0 : : : 0 0 B (2) C (2) Bf0 C : : : f 0 e : : : 0 0 m 1 H=B ; l = n m: C @ ............... .................... A f0(l) : : : fm(l) 1 0 0 : : : 0 e ln ôÏÇÄÁ K ÅÓÔØ l-ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ËÏÄ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ K = LFP (I ); × ËÏÔÏÒÏÍ I / Pl | ÉÄÅÁÌ, ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× F1 (x1 ) = xm1 fm(1) 1 xm1 1 : : : f1(1) x1 f0(1) ; F2 (x1 ; x2 ) = x2 fm(2) 1 xm1 1 : : : f1(2) x1 f0(2) ; Fl (x1 ; xl ) = xl fm(l) 1 xm1 1 : : : f1(l) x1 f0(l) ;

(5.7.8)

(5.7.9)

(5.7.10)

çìá÷á 5.

173


F N l0 | ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ æÅÒÒÅ ×ÉÄÁ F = f0; e1; 2e1; : : : ; me1 ; e2; : : : ; el g: (5.7.11) 2 ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÏÐÉÛÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÉÄÅÁÌÁ I . 5.7.4. ìÅÍÍÁ. æÁËÔÏÒËÏÌØÃÏ S = Pl =I ÅÓÔØ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ ÒÁÎÇÁ m. éÄÅÁÌ I Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÎÉÔÁÒÎÙÍ, É ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ A(x) 2 Pl ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ (A(x)) 2 R[x1 ] ÓÔÅÐÅÎÉ ÍÅÎØÛÅÊ, ÞÅÍ m, ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ É

I

A(x) (A(x))

(5.7.12)

I

(ÚÄÅÓØ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÒÁ×ÎÉÍÏÓÔØ ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ ÉÄÅÁÌÁ I ).

2 ðÏÌÏÖÉÍ

Hs(x1 ) = f0(s) + f1(s) x1 + : : : + fm(s) 1 xm1 1 ; s 2 1; l:

ôÏÇÄÁ

F1 (x1 ) = xm1 É

H1 (x1 ); Fs (x1 ; xs ) = xs

Hs (x1 ); s 2 2; l

(5.7.13)

I

xs Hs(x1 ); s 2 2; l: (5.7.14) òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÜÐÉÍÏÒÆÉÚÍ ': Pl ! R[x1 ], ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÙ A(x) 2 Pl ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ '(A(x)) = A(x1 ; H2 (x1 ); : : : ; Hl (x1 )): (5.7.15) óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Ker ' = J , ÇÄÅ J = (F2 (x1 ; x2 ); : : : ; Fl (x1 ; xl )). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÉÚ (5.7.13) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ J

A(x) '(A(x)):

(5.7.16)

ðÏÜÔÏÍÕ Ker ' J . ïÂÒÁÔÎÏÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ÔÁËÖÅ ××ÉÄÕ (5.7.13). ôÁË ËÁË Ker ' = J I , ÔÏ '(I ) = R[x1 ]F1 (x1 ) É ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ

S = Pl =I = '(Pl )='(I ) = R[x1 ]=R[x1 ]F1 (x1 ):

ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, S | Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ ÒÁÎÇÁ m. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, S | ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÌØÃÏ, Ô. Å. I | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ. éÚ (5.7.16) É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á I = J + Pl F1 (x1 ) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

(A(x)) = Res('(A(x))=F1 (x1 ))

(5.7.17)

| ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ '(A(x)) ÎÁ F1 (x1 ), | ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ (5.7.12) É ÉÍÅÅÔ ÓÔÅÐÅÎØ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ m. ôÁË ËÁË S | Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ ÒÁÎÇÁ m, ÔÏ ÄÒÕÇÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Ó ÜÔÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ × R[x1 ] ÎÅÔ. 2

çìá÷á 5.

174


äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ 5.7.3 ÚÁÍÅÔÉÍ ÓÎÁÞÁÌÁ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ k-ìòð LM (I ) ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ (5.7.9) É ÐÏÜÔÏÍÕ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ

2

[F ] = ((0); (e1 ); : : : ; (me1 ); (e2); : : : ; (el )) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ

(me1 ) = (es ) =

m X1

ft(1) (te1 );

t=0 m X1 (1) ft (te1 ); t=0

s 2 2; l:

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÔÏÌÂÅÃ [F ]T ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ×ÉÄÁ (5.7.8) É [F ] 2 K, Ô. Å. LFM (I ) K. ôÁË ËÁË K | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ Ó ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ 1; m, ÔÏ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÔÅÐÅÒØ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× 0 ; : : : ; m 1 2 M m ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LM (I ) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÕ , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÕÀ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ

(0) = 0 ; (e1 ) = 1 ; : : : ; (me1 ) = m 1 :

(5.7.18)

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ 1-ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LM (F1 (x1 )) ÓÏÄÅÒÖÉÔ 1-ìòð u ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ

u(0; m 1) = (0 ; : : : ; m 1 ): úÁÄÁÄÉÍ l-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M hli ÕÓÌÏ×ÉÅÍ

(z) = uz (0); ÇÄÅ uz = (xz )u;

(5.7.19)

(xz ) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÉÚ R[x1 ], ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÙÊ ÉÚ (5.7.17). ôÁË ËÁË (xte ) = (xt1 ) = Res(xt1 =F1 (x1 )); 1

ÔÏ ute = xt1 u É ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ (5.7.18). ïÓÔÁÅÔÓÑ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ F1 (x1 ) = 0 É Fs (x1 ; xs ) = 0 ÄÌÑ s 2 2; l: (5.7.20) éÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ (xz ) ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ c 2 N l0 ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (xz+c ) = Res((xz )(xc )=F1 (x1 )); É ÔÁË ËÁË F1 (x1 )u = 0, ÔÏ (xz+c )u = (xz )(xc )u; 1

Ô. Å.

uz+c = (xc )uz:

çìá÷á 5.


175

ïÔÓÀÄÁ É ÉÚ (5.7.19) ÐÏÌÕÞÁÅÍ:

(z + c) = (xc )(z): ÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ A(x) =

A(x)(z) =

X

ac (z + c) =

X

P

ac xc 2 Pl ÉÍÅÅÍ

ac (xc )(z) = (A(x))(z):

ôÅÐÅÒØ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (5.7.20) ÓÌÅÄÕÀÔ ÉÚ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÈ ××ÉÄÕ ÌÅÍÍÙ 5.7.4 ÒÁ×ÅÎÓÔ× (Fs ) = 0, s 2 1; l. 2 C. ëÏÄ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÏÍÕ ËÏÄÕ. ÷×ÅÄÅÍ ÓÌÅ-

ÄÕÀÝÉÅ ÔÅÒÍÉÎÙ É ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÏÂÏÂÝÁÀÝÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÐÏÎÑÔÉÑ É ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÉÚ x 2.5C: P | ÐÏÌÉÜÄÒ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ A(x) = i2Nk ai xi 2 Pk ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï 0

F (A) = fi 2 N k0 : ai 6= 0g N k0 ; | ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ A(x) 2 Pk ÎÁ ÐÏÌÉÜÄÒÅ F N k0 ×ÉÄÁ

(5.7.1) ÅÓÔØ ÓÔÒÏËÁ

| ÓÌÅÄ ÉÄÅÁÌÁ I / Pk

AF = (ai ; : : : ; ain ) 2 Rn ; ÎÁ ÐÏÌÉÜÄÒÅ F N k0 ÅÓÔØ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ 1

IF = fAF : A(x) 2 I; F (A) Fg

ÍÏÄÕÌÑ R RF ; | ÓÌÅÄ ÐÏÄÍÏÄÕÌÑ M < R M hki ÎÁ ÐÏÌÉÜÄÒÅ F

N k0 ÅÓÔØ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ M[F ] = f[F ] : 2 Mg

ÍÏÄÕÌÑ R M F ; | ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ ÐÏÄÍÏÄÕÌÑ M < R M hki × Pk ÅÓÔØ ÉÄÅÁÌ

An(M) = fA(x) 2 Pk : A(x)M = 0g / Pk :

ðÏ ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó ÌÅÍÍÏÊ 2.5.6 ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ 5.7.5. ìÅÍÍÁ (ÓÍ. [24]). ðÕÓÔØ M ÅÓÔØ Pk -ÐÏÄÍÏÄÕÌØ ÍÏÄÕÌÑ M hki É N 0 ÅÓÔØ ÐÏÌÉÜÄÒ. ôÏÇÄÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ A(x) 2 Pk ×ÉÄÁ k

A(x) =

X i2F

ai xi

M × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ 8 2 M AF [F ] = 0: óÌÅÄ ÉÄÅÁÌÁ I = An(M) / Pk ÎÁ ÐÏÌÉÜÄÒÅ F ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ IF = RF ? M[F ]: 2

ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔ ÍÏÄÕÌØ

F

çìá÷á 5.


176

óÐÒÁ×ÅÄÌÉ× ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÁÎÁÌÏÇ ÔÅÏÒÅÍÙ 2.5.7. 5.7.6. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ R M ÅÓÔØ QF -ÍÏÄÕÌØ. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ K < R M n ×ÉÄÁ (5.7.3) Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ÎÅÍÕ ËÏÄ ÎÁÄ R ÅÓÔØ ÓÌÅÄ ÉÄÅÁÌÁ I ÎÁ

F:

Rn ? K = IF : (5.7.21) 2 ðÕÓÔØ M = LM (I ). ôÏÇÄÁ K = M[F ]. ôÁË ËÁË R M ÅÓÔØ QF -ÍÏÄÕÌØ, ÔÏ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï An(M) = I (ÓÍ. [53, 24]). ôÅÐÅÒØ (5.7.21) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÌÅÍÍÙ 5.7.5. 2 D. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÇÒÕÐÐÏ×ÙÅ ËÏÄÙ. ëÁË ÞÉÔÁÔÅÌØ ÕÖÅ ×ÉÄÅÌ ÐÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍ ÇÌÁ×Ù 3, ×ÁÖÎÙÍ ËÌÁÓÓÏÍ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ËÏÄÏ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ËÏÄÙ. íÙ ××ÅÄÅÍ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÅ ÐÏÎÑÔÉÅ: ÇÒÕÐÐÏ×ÏÊ ËÏÄ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ. ðÕÓÔØ G | ËÏÎÅÞÎÁÑ ÇÒÕÐÐÁ, RG | ÇÒÕÐÐÏ×ÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ É MG | RG-ÍÏÄÕÌØ ×ÓÅÈ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÕÍÍ P g g , ÇÄÅ g 2 M , Ó ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× g 2 MG ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÙ g2G

rg 0 2 RG ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ (rg 0 )g = (r)g 0g . ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ J < RG MG ÎÁÚÏ×ÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÍ G-ËÏÄÏÍ ÉÌÉ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÇÒÕÐÐÏ×ÙÍ ËÏÄÏÍ ÄÌÉÎÙ n = jGj. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÎÕÍÅÒÁÃÉÀ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÇÒÕÐÐÙ G: G = fg1 ; : : : ; gng. ôÏÇÄÁ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ 2 MG ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ =

n X i=1

igi ; 2 M;

É ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ×ÍÅÓÔÏ ÓÔÒÏËÕ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× a = (1 ; : : : ; n) 2 M n . äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ G-ËÏÄÁ J < RG MG ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ J~ = fa: 2 J g < R M n ÔÁËÖÅ ÌÉÎÅÊÎÙÍ G-ËÏÄÏÍ. åÓÌÉ G = hg i | ÃÉËÌÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÕÐÐÁ É g1 = g 0, g2 = g 1 ,. . . , gn = g n 1, ÔÏ J~ | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ × ÏÂÝÅÐÒÉÎÑÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ (ÓÍ. x 1.3B). ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ G | ËÏÎÅÞÎÁÑ ÁÂÅÌÅ×Á ÇÒÕÐÐÁ. ôÏÇÄÁ G ÅÓÔØ ÐÒÑÍÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ k ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÈ ÇÒÕÐÐ: _ gk i; ord gs = ts ; t1 : : : tk = jGj = n: G = hg1 i_ : : : h (5.7.22) ðÕÓÔØ N k0 | ÐÏÌÉÜÄÒ ×ÉÄÁ = (t) = 0; t1 1 : : : 0; tk 1 = fi 2 N k0 : 0 is ts 1; s 2 1; kg: (5.7.23) íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ t1 : : : tk -ÐÁÒÁÌÌÅÌÅÐÉÐÅÄÏÍ. ôÏÇÄÁ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ 2 MG ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ X = igi ; i2 i i ÇÄÅ i 2 M , gi = g1 : : : gkk . úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÎÕÍÅÒÁÃÉÀ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× : = fj1 ; : : : ; jn g (5.7.24) É ÐÏÌÏÖÉÍ a = (j ; : : : ; jn ). 1

1

çìá÷á 5.


5.7.7. ìÅÍÍÁ. ðÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ (5.7.22){(5.7.24) ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÉÎÅÊÎÙÊ G-ËÏÄ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ Pk -ÐÏÄÍÏÄÕÌÑ

177

J MG ÅÓÔØ

J~ = M[]

M k-ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×Á

L = LM (xt1 e; : : : ; xtk e): k

1

2 ìÀÂÁÑ k-ìòð 2 LM (xt1 e; : : : ; xtk e) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÏÊ [] É ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÔÁËÏÊ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ 2 MG ÔÁËÏÊ, k

1

ÞÔÏ [] = a. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ

': L ! MG;

ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÏÅ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ

'() = ; ÇÄÅ a = []; ÅÓÔØ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ R-ÍÏÄÕÌÅÊ. îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ '(xs ) = gs 1'() ÄÌÑ ×ÓÅÈ 2 L; s 2 1; k: ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, R-ÐÏÄÍÏÄÕÌØ M < L Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Pk -ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÍ, ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ R-ÐÏÄÍÏÄÕÌØ J = '(M) < MG Ñ×ÌÑÅÔÓÑ RG-ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÍ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ' ÚÁÄÁÅÔ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ M ! J = '(M) ÍÅÖÄÕ ÒÅÛÅÔËÁÍÉ ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÊ ÍÏÄÕÌÅÊ Pk L É RG MG. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ J~ = fa: 2 J g = M[]. 2 ðÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ (5.7.22){(5.7.24) ÌÀÂÏÊ ËÏÄ K < R M , ËÏÔÏÒÙÊ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

K = M[]

ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ Pk -ÐÏÄÍÏÄÕÌÑ M < LM (xt1 e; : : : ; xtkk e) (Ô. Å. ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ G-ËÏÄ ÎÁÄ M ), ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÁËÖÅ ÐÏÌÉÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ , ÉÌÉ k-ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ , ÉÌÉ (t1 : : : tk )-ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ ËÏÄÏÍ ÎÁÄ M . ÷ ÓÌÕÞÁÅ k = 1 ÜÔÏ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ. óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ 3.1.2 Ï ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÓÔÉ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ. 1

5.7.8. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ R Q ÅÓÔØ QF -ÍÏÄÕÌØ É ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (5.7.22){(5.7.24). ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ (t1 : : : tk )-ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÇÏ ËÏÄÁ K < R Q ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ I / Pk ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ

xt1

1

É

e; : : : ; xtkk

e2I

K = LQ(I ): Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ËÏÄÕ K ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R

ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ËÏÄ, ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ×ÉÄÁ

Rn ? K = I :

(5.7.25) (5.7.26) ÅÓÔØ (t1 : : : tk )(5.7.27)

çìá÷á 5.


178

2 ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ËÏÄ K ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ K = M[]; (5.7.28) ÇÄÅ M ÅÓÔØ Pk -ÐÏÄÍÏÄÕÌØ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á LQ (xt1 e; : : : ; xtk e). ôÏÇÄÁ ÉÄÅÁÌ I = An(M) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ (5.7.25). ôÁË ËÁË R Q ÅÓÔØ QF -ÍÏÄÕÌØ, ÔÏ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5.4.6 ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï M = LQ (I ). ôÅÐÅÒØ (5.7.26) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ (5.7.28). k

1

òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (5.7.27) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ (5.7.26) É ÔÅÏÒÅÍÙ 5.7.6. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ I ÅÓÔØ (t1 : : : tk )-ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ. ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ I ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÐÏÌÉÜÄÒÏ× ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× A ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× A(x) 2 I , ÉÍÅÀÝÉÈ ×ÉÄ X A(x) = aixi : i2 äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÔÁËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÐÕÓÔØ 2 QG | ÜÌÅÍÅÎÔ ×ÉÄÁ

=g=

X i2

ai gi;

É ÐÕÓÔØ J RG ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ I = J~ . âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ××ÉÄÕ ÕÓÌÏ×ÉÑ (5.7.25), J ÅÓÔØ RG-ÐÏÄÍÏÄÕÌØ RG, Ô. Å. J ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ G-ËÏÄ ÎÁÄ R. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, I ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ G-ËÏÄ. 2 ôÅÐÅÒØ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÄÏÐÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÔÅÏÒÅÍÅ 5.7.3 ÄÌÑ ÐÏÌÉÃÉËÌÉÞÅÓËÉÈ ËÏÄÏ×. 5.7.9. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ìÀÂÏÊ k-ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÎÁÄ QF -ÍÏÄÕÌÅÍ ÉÍÅÅÔ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ÒÁÎÇ ÎÅ ÂÏÌØÛÉÊ, ÞÅÍ k.

äÌÑ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÈ ËÏÄÏ× ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ÄÏÐÏÌÎÑÀÝÉÊ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ 4.3.8. 5.7.10. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ R M | ËÏÎÅÞÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ÌÏËÁÌØÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R, ÉÍÅÀÝÉÍ ÐÏÌÅ ×ÙÞÅÔÏ× R ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ p, É ÐÕÓÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ n ×ÚÁÉÍÎÏÐÒÏÓÔÏ Ó p. åÓÌÉ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ R ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ [n; m; d]-ËÏÄ, ÔÏ É ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ [n; m; d]-ËÏÄ.

2 ðÕÓÔØ L < R R n | ÕËÁÚÁÎÎÙÊ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ. ôÏÇÄÁ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5.7.3, L ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ L = L0R;n 1 (f (x)); (5.7.29) ÇÄÅ f (x) 2 R [x] | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ m = dimR L ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ f (x) j xn e É L | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ Ó ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ 0; m 1.

÷×ÉÄÕ ÕÓÌÏ×ÉÑ (n; p) = 1 ÄÌÑ f (x) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) 2 R[x] ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ

F (x) = f (x); F (x) j xn

e:

(5.7.30)

çìá÷á 5.


179

ïÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ f (x) (ÓÍ. [53, 20, 22]). ôÏÇÄÁ K = L0M;n 1(F ) (5.7.31) ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ M , É ÅÇÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÅÓÔØ d(K) = d(L): (5.7.32) äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ F (x) = xm fm 1 xm 1 : : : f0 , ÔÏ K ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ H ×ÉÄÁ 0

1

f0 f1 : : : : : : fm 1 e 0 ::: ::: 0 B 0 f0 f1 : : : : : : fm 1 e ::: ::: 0 C C H =B ; (5.7.33) @.................................................A 0 ::: ::: 0 f0 : : : fm 1 e (n m)n É ÍÁÔÒÉÃÁ H Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÄÌÑ ËÏÄÁ L. ôÅÐÅÒØ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÐÒÉÍÅÎÉÔØ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ 4.3.8. 2 ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ ËÏÄ (5.7.29) ÅÓÔØ ËÏÄ èÅÍÍÉÎÇÁ × ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ, ÔÏ ËÏÄ (5.7.31) ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ËÏÄÏÍ èÅÍÍÉÎÇÁ × ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R M . åÓÌÉ (5.7.29) ÅÓÔØ ËÏÄ âþè, ÔÏ (5.7.31) ÅÓÔØ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ (!) ËÏÄ âþè ÎÁÄ R M . ðÅÒ×ÙÅ, ÎÅÓËÏÌØËÏ ÂÏÌÅÅ ÇÒÏÍÏÚÄËÉÅ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÉ ÔÁËÉÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ËÏÌØÃÁÍÉ ×ÙÞÅÔÏ× É ËÏÌØÃÁÍÉ çÁÌÕÁ ÂÙÌÉ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÙ × [36, 37, 61, 62, 63].

çÌÁ×Á 6 ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ × ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÉ ïÄÎÏ ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×, ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÈ × ÐÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÇÌÁ×ÁÈ, | ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÅ \ÈÏÒÏÛÉÈ" ÐÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÉÈ × ÃÅÌÑÈ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. éÓÐÏÌØÚÕÅÍÙÅ × ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÉ ÐÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÏÌÖÎÙ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ, ÐÏ ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑÍ:

ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÏÌÖÎÁ ÉÍÅÔØ ÂÏÌØÛÏÊ ÐÅÒÉÏÄ;

ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÏÌÖÎÁ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚÍÅÎÑÔØÓÑ ÐÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ ËÌÀÞÁ (ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ÚÁÐÏÌÎÅÎÉÑ), Ô.Å. ÓÈÅÍÁ ×ÙÒÁÂÏÔËÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÏÌÖÎÁ ÎÅ ÉÍÅÔØ ÉÌÉ ÉÍÅÔØ ÍÁÌÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ;

ÎÅ ÄÏÌÖÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ ÐÒÏÓÔÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÐÏÌÕÞÅÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ Ï ËÌÀÞÁÈ ÐÏ ÏÔÒÅÚËÕ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÏÌÖÎÁ ÉÍÅÔØ ÂÏÌØÛÏÊ ÒÁÎÇ (ÓÔÅÐÅÎØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ, ÓÍ. x 7.3), ÅÓÌÉ ÅÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÕÀ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (ìòð) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ ÉÌÉ ËÏÌØÃÏÍ, ÞÔÏ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÔ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÐÒÏÓÔÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ËÌÀÞÁ;

ÚÎÁËÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÏÌÖÎÙ ×ÙÒÁÂÁÔÙ×ÁÔØÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÙÓÔÒÏ.

ÏÎÁ ÄÏÌÖÎÁ ÈÏÒÏÛÏ ÉÍÉÔÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÕÀ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÐÏ ÍÅÎØÛÅÊ ÍÅÒÅ Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÞÁÓÔÏÔ ×ÓÔÒÅÞÁÅÍÏÓÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× É ×ÅËÔÏÒÏ×;

ðÅÒ×ÙÍ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÉÅÍ Ë ÜÔÉÍ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑÍ ÍÏÖÅÔ ÓÌÕÖÉÔØ ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÐÏÌÅÍ (ÓÍ. x 7.3G). üÔÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ÂÏÌØÛÏÊ ÐÅÒÉÏÄ, ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÅ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× É ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÁ ÃÉËÌÅ, ÐÏÐÁÒÎÏ ÎÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ËÌÀÞÉ (ÎÁÞÁÌØÎÙÅ ÚÁÐÏÌÎÅÎÉÑ), ×ÙÓÏËÕÀ ÓËÏÒÏÓÔØ ×ÙÒÁÂÏÔËÉ, ÎÏ | ÎÉÚËÉÊ ÒÁÎÇ. òÁÚÌÉÞÎÙÅ ÓÐÏÓÏÂÙ ÅÅ ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÑ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÙ ÎÁ Õ×ÅÌÉÞÅÎÉÅ ÒÁÎÇÁ ÐÒÉ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÉ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ Ó×ÏÊÓÔ×. ÷ ÄÁÎÎÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÐÏÓÏÂÏ× ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÑ ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÐÏÌÅÍ. íÎÏÇÉÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ÓÐÏÓÏÂÏ× ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÑ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÙÈ 180

çìá÷á 6.

181

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ÞÅÍÕ É ÐÏÓ×ÑÝÅÎ ÐÅÒ×ÙÊ ÐÁÒÁÇÒÁÆ ÄÁÎÎÏÊ ÇÌÁ×Ù. 6.1

ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ

ðÕÓÔØ P h1i | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . îÁÐÏÍÎÉÍ (ÓÍ. x 7.3), ÞÔÏ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u; v 2 P h1i ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ uv 2 P h1i ÓÏ ÚÎÁËÁÍÉ (uv )(i) = u(i)v (i), i 0. ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U; V < P h1i ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÏÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ ×ÉÄÁ uv , u 2 U , v 2 V :

UV = P (uv : u 2 U; v 2 V ): äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f (x); g (x) 2 P [x] ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ LP (f )LP (g ) ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÍ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ, ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÄ×ÉÇÁ, É, ××ÉÄÕ x 7.3B, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×ÏÍ. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ h(x) 2 P [x] ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ LP (f )LP (g ) = LP (h). ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÐÕÎËÔÅ ÍÙ ÏÐÉÛÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ h(x) (ÓÍ. [69]). ðÕÓÔØ p | ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁ ÐÏÌÑ P . ÷×ÅÄÅÍ ÏÐÅÒÁÃÉÀ ÄÉÚßÀÎËÃÉÉ k _ l ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ k, l. åÓÌÉ p = 0, ÐÏÌÏÖÉÍ k _ l = k + l 1. åÓÌÉ ÖÅ p > 0 É ÞÉÓÌÁ k 1, l 1 ÉÍÅÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ p-ÉÞÎÙÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ:

k ÔÏ

k _ l = p +

1=

X s0

ksps ; l

1=

X s0

ls ps; 0 ks ; ls < p;

X s

(ks + ls )ps; ÇÄÅ = minft 0 : ks + ls < p ÐÒÉ s tg:

(6.1.1)

ìÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ maxfk; lg k _ l k + l 1. ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ f (x) É g (x) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍÉ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍÉ ÞÌÅÎÁÍÉ É ÎÅ ÒÁ×ÎÙÅ e, É

f (x) = (x a1 )k :::(x am )km ; g (x) = (x b1 )l :::(x bn )ln 1

1

(6.1.2)

| ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÄ ÉÈ ÏÂÝÉÍ ÐÏÌÅÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ, ÇÄÅ ai ; bj 2 P n 0. ôÏÇÄÁ ÄÉÚßÀÎËÃÉÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f É g ÎÁÚÏ×ÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

f _ g = îïë (x ai bj )ki _lj : i 2 1; m; j 2 1; n : äÉÚßÀÎËÃÉÀ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× xk f (x) 6= e É xl g (x) 6= e, ÇÄÅ k; l 2 N 0 , f (0)g (0) 6= 0, ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ËÁË xk f (x) _ xl g (x) = xmaxfk;lg f _ g . îÁËÏÎÅÃ, ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) 2 P [x] ÐÏÌÏÖÉÍ e _ f = f _ e = e.

çìá÷á 6.

182


6.1.1. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ f (x); g (x) 2 P [x] | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÔÏ f _ g | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P .

2 äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ f (0)g(0) 6= 0, f (x) 6= e, g(x) 6= e.

(1) åÓÌÉ P = GF (q ) | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÐÏÌÅ, ÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÏÒÎÅÍ ai bj ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f _ g ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ (ai bj )q , ÐÒÉÞÅÍ ÔÏÊ ÖÅ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÔÅÐÅÒØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÐÏÌÑ P . (2) ðÕÓÔØ ×ÎÁÞÁÌÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ f (x) É g (x) ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙ É ÓÅÐÁÒÁÂÅÌØÎÙ (Ô.Å. ÎÅ ÉÍÅÀÔ ËÒÁÔÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ × ÐÏÌÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Q). ôÏÇÄÁ × (6.1.2) k1 = ::: = km = j1 = ::: = jn = 1, É

f _ g = îïë[x ai bj : i 2 1; m; j 2 1; n ]: ïÂÝÅÅ ÐÏÌÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Q ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f (x) É g (x) ÅÓÔØ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ çÁÌÕÁ ÐÏÌÑ P , Ô.Å. ËÏÎÅÞÎÏÅ, ÎÏÒÍÁÌØÎÏÅ É ÓÅÐÁÒÁÂÅÌØÎÏÅ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ. åÓÌÉ | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ ÐÏÌÑ Q ÎÁÄ P , ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ i 2 1; m, j 2 1; n ÜÌÅÍÅÎÔÙ (ai ) É (bj ) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÒÎÑÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f (x) É g (x) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ðÏÜÔÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔ (ai bj ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f _ g . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f _ g ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÐÏÌÑ Q ÎÁÄ P . ðÏ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÔÅÏÒÉÉ çÁÌÕÁ [16, Ó. 219] ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f _ g ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÐÏÌÀ P . (3) ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØQ f (x); g (x) 2 P [x] | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, É f (x) = Q ks lt s fs (x) , g (x) = t gt (x) | ÉÈ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , ÇÄÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ fs (x); gt (x) 2 P [x] ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÔÏ ÎÅÓÅÐÁÒÁÂÅÌØÎÏÅ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ Q ÐÏÌÑ P , ÎÁÄ ËÏÔÏÒÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ fs(x) É gt (x) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ fs (x) = s (x)us , gt (x) = t (x)vt , ÄÌÑ ×ÓÅÈ s, t, ÇÄÅ s (x); t (x) 2 Q[x] | ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ É ÓÅÐÁÒÁÂÅÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, Á ÞÉÓÌÁ us É vt Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÃÅÌÙÍÉ ÎÅÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÍÉ ÓÔÅÐÅÎÑÍÉ ÞÉÓÌÁ p, ÅÓÌÉ p > 0, ÌÉÂÏ ÒÁ×ÎÙ 1, ÅÓÌÉ p = 0. ðÕÓÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ s (x) É t (x) ÉÍÅÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁÄ ÉÈ ÏÂÝÉÍ ÐÏÌÅÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ: s (x) = ôÏÇÄÁ É

f (x) =

Y

YY

i

s

i

(x

(x

asi ); t (x) = asi )ks us ; g (x) =

Y j

(x

YY t

j

btj ): (x

btj )lt vt

f _ g = îïë (x asi btj )(ks us )_(lt vt ) : i; j; s; t = îïë îïë[x asi btj : i; j ](ks us )_(lt vt ) : s; t = îïë (s _ t )(ks us )_(lt vt ) : s; t : îÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÐÏÄÐÏÌÅ Q1 ÐÏÌÑ Q, ËÏÔÏÒÏÍÕ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× s (x) É t (x) ÐÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ s, t, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÓÔÏ ÎÅÓÅÐÁÒÁÂÅÌØÎÙÍ

çìá÷á 6.

183


ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅÍ ÐÏÌÑ P ÓÔÅÐÅÎÉ [Q1 : P ] = w, ÇÄÅ w = maxfus; vt g. üÌÅÍÅÎÔÙ c 2 Q1 ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ cw 2 P . ðÏ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÍÕ × (1) s _ t ÅÓÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q1 . éÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÄÉÚßÀÎËÃÉÉ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ (ks us) _ (lt vt ) ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ w (ÎÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ us É vt | ÓÔÅÐÅÎÉ ÞÉÓÌÁ p ÐÒÉ p > 0). ðÏÜÔÏÍÕ (s _ t )(ks us )_(lt vt ) ÅÓÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, É f _ g ÅÓÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÐÏÌÅ P Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÍ (Ô.Å. ËÁÖÄÙÊ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÅÐÁÒÁÂÅÌÅÎ), ÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÕÐÒÏÝÁÅÔÓÑ: × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ us = vt = 1, fs(x) = s (x), gt (x) = t (x), Q = Q1 = P . îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÐÏÌÑ É ÐÏÌÑ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÍÉ. 2 ïÓÎÏ×ÎÏÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÄÁÎÎÏÇÏ ÐÕÎËÔÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. 6.1.2. ôÅÏÒÅÍÁ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÕÎÉÔÁÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f (x); g (x) 2 P [x] ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï LP (f )LP (g ) = LP (f _ g ).

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÜÔÁÐÏ×. ëÌÀÞÅ×ÙÍ ÍÏÍÅÎÔÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f (x) = (x e)k , g (x) = (x e)l . ðÒÉ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÊ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ^ äÌÑ ÞÉÓÅÌ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÍ. ðÒÉ p > 0 ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å N 0 ÏÐÅÒÁÃÉÀ +. m; n 2 0; p 1 ÐÏÌÏÖÉÍ ^n = m+

m + n; ÅÓÌÉ m + n < p; m + n + 1 p; ÅÓÌÉ m + n p:

åÓÌÉPm; n 2 N 0 | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ Ó p-ÉÞÎÙÍÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑÍÉ m = n = s0 ns ps, ms ; ns 2 0; p 1, ÔÏ ÐÏÌÏÖÉÍ

m +^ n =

P

s,

s0 ms p

X s0

^ ns )ps: (ms +

^ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÏÐÅÒÁÃÉÉ ÓÌÏÖÅÎÉÑ × p-ÉÞÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÞÉÓÌÅÎÉÑ, ÅÓÌÉ ïÐÅÒÁÃÉÑ + ÅÄÉÎÉÃÙ ÐÅÒÅÎÏÓÁ ÐÒÉÂÁ×ÌÑÔØ Ë ÔÏÍÕ ÖÅ ÒÁÚÒÑÄÕ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÎÁ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ (Á ÎÅ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÒÁÚÒÑÄÕ, ËÁË ÏÂÙÞÎÏ). 6.1.3. ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ k, l | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. ôÏÇÄÁ ÍÎÏ^ n : m 2 0; k 1; n 2 0; l 1g ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÏÔÒÅÚËÏÍ 0; (k _ l) 1. ÖÅÓÔ×Ï fm +

2 ðÕÓÔØ P m=

l 1= ms = ks É

P

2

s 0; k 1, n s0 ms p s ms ; ns; ks ; ls < p, s0 ls p , 0 ns = ls ÐÒÉ ×ÓÅÈ s , ÔÏ

P

P

= s0 ns ps 2 0; l 1, k 1 = s0 ks ps , É ÐÕÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÉÚ (6.1.1). åÓÌÉ

X ^ n (p 1) + (p 1)p + ::: + (p 1)p 1 + (ks + ls)ps = k _ l m+ s

1:

çìá÷á 6.

184


÷ ÐÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ mt < kt ÉÌÉ nt < lt ÐÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ t . âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ t | ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Ó ÔÁËÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. ôÏÇÄÁ X m +^ n (p 1) + (p 1)p + ::: + (p 1)pt 1 + (mt + nt )pt + (ms + ns )ps s>t

pt

1 + (kt + lt

1)pt +

X

X

s>t

st

(ks + ls )ps =

(ks + ls )ps

1 < k _ l:

äÏËÁÖÅÍ ÔÅÐÅÒØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ r 2 0; k _Pl 1 ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÞÉÓÌÁ m 2 ^ n = r. ðÕÓÔØ r = s0 rsps , 0 rs < p. åÓÌÉ 0; k 1, n 2 0; l 1 ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ m + rs = ks + ls ÐÒÉ ×ÓÅÈ s 0, ÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÚÑÔØ m = k 1, n = l 1. ÷ ÐÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ rt < kt + lt ÐÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ t 0. ðÕÓÔØ t | ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ Ó ÜÔÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. ôÏÇÄÁ kt > 0 ÉÌÉ lt > 0. âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ kt > 0. ôÏÇÄÁ ÞÉÓÌÁ X X m = r0 + r1 p + ::: + rt 1 pt 1 + ksps ; n = lt pt + ls ps s>t

s>t

| ÉÓËÏÍÙÅ. 2 óÏÇÌÁÓÎÏ x 7.3E, k ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ a[m] (i) = mi ai m , m 2 0; k 1, ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP ((x a)k ) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . äÌÑ ÐÏÌÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ p > 0 ÍÙ ÕËÁÖÅÍ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÂÁÚÉÓ LP ((x e)k ). äÌÑ P ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á s ÞÉÓÌÁ m 2 N 0 Ó p-ÉÞÎÙÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ m = s0 ms p , 0 ms < p, ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ efmg 2 P h1i ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ ms

Y i efmg = ps s0

=

Y s0

(e[p ])ms : s

6.1.4. ìÅÍÍÁ. åÓÌÉ p = char P > 0, ÔÏ ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ k 2 N ÓÉÓÔÅÍÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ efmg , m 2 0; k 1, ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP ((x e)k ) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P .

2 íÎÏÇÏÞÌÅÎ A(x) 2 Q [x] ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÃÅÌÏÚÎÁÞ x ÎÙÍ, ÅÓÌÉ A(i) 2 Z ÐÒÉ ×ÓÅÈ i 2 N 0 . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Al (x) = l | ÃÅÌÏÚÎÁÞÎÙÊ

ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ l ÓÏ ÓÔÁÒÛÉÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏÍ 1=l!, É ÅÓÌÉ ÞÉÓÌÏ l ÉÍÅÅÔ pP Q ÉÞÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ l = s0 ls ps, 0 ls < p, ÔÏ Bl (x) = s0 pxs ls | ÃÅÌÏÚÎÁÞÎÙÊ Q ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ l ÓÏ ÓÔÁÒÛÉÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏÍ 1=Dl , ÇÄÅ Dl = s0 (ps !)ls . ÷ÓÑËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ A(x) 2 Q [x] ÓÔÅÐÅÎÉ l ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÉ A(x) = c0 A0 (x) + c1 A1 (x) + ::: + cl Al (x), c0 ; :::; cl 2 Q , É ÅÓÌÉ A(x) | ÃÅÌÏÚÎÁÞÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, ÔÏ, ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ x = 0; 1; :::; l, ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ c0 ; :::; cl 2 Z. âÁÚÉÓÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP ((x e)k ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ËÁË ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ, ÓÉÓÔÅÍÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ e[0], e[1] , ..., e[k 1], ÇÄÅ e[l](i) = Al (i)e. ðÏÜÔÏÍÕ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï LP ((x e)k ) ÍÏÖÎÏ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÔØ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ v ×ÉÄÁ v = A(x)e, ÇÄÅ A(x) | ÃÅÌÏÚÎÁÞÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ deg A(x) < k.

çìá÷á 6.

185


äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÌÅÍÍÙ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ ÉÎÄÕËÃÉÅÊ ÐÏ k, ÞÔÏ ÜÔÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÓÉÓÔÅÍÕ ef0g , ef1g , ..., efk 1g , ÇÄÅ eflg (i) = Bl (i)e. ðÒÉ k = 1 ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ, ÔÁË ËÁË e[0] = ef0g . ðÕÓÔØ m > 1 É ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ k = m 1. äÏËÁÖÅÍ ÅÇÏ ÄÌÑ k = m. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ e[k 1] ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÓÉÓÔÅÍÕ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ e[0] , ..., e[k 2] , efk 1g . ðÏÓÌÅÄÎÅÅ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÂÕÄÅÔ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÅÓÌÉ ÄÏËÁÚÁÔØ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÞÉÓÅÌ Nl ; Ml 2 Z ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ (Nl ; p) = 1 É Nl Al (x) Ml Bl (x) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ ÍÅÎØÛÅÊ l. ðÕÓÔØ pa É pb | ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÅ ÓÔÅÐÅÎÉ ÞÉÓÌÁ p, ÄÅÌÑÝÉÅ ÞÉÓÌÁ l! É Dl ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ôÏÇÄÁ a = b, ÐÏÓËÏÌØËÕ X

s XX X X X X ps l s t s t= a= = l p = l p ls s s t t = b: p p t1 t1 st s1 t=1 s1 t1

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, l! = pa Ml É Dl = pa Nl , ÇÄÅ Ml , Nl | ÃÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ, ×ÚÁÉÍÎÏ ÐÒÏÓÔÙÅ Ó p. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÔÁÒÛÉÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Nl Al (x) É Ml Bl (x) ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ (É ÒÁ×ÎÙ 1=pa ), É ÒÁÚÎÏÓÔØ Nl Al (x) Ml Bl (x) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ ÍÅÎØÛÅÊ l, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. 2 6.1.5. ìÅÍÍÁ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ k, l ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï L ((x e)k )L ((x e)l ) = L ((x e)k_l ): P

P

P

2 ðÕÓÔØ p > 0. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ a 2 Zp ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

am an

= am+^ n , ÏÔËÕÄÁ

ms ns

Y i (efmg efng )(i) = ps s0

i ps

e

Y i ms +^ ns = e = efm+^ ng (i): s p s0

ôÅÐÅÒØ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÌÅÍÍ 6.1.4 É 6.1.3. ðÕÓÔØ p = 0. ôÁË ËÁË ÓÉÓÔÅÍÁ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ e[m] (i) = i k m e, m 2 0; k 1, ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP ((x e) ), ÔÏ ÂÁÚÉÓÏÍ ÜÔÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÂÕÄÅÔ ÔÁËÖÅ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ e<m> (i) = im e, m 2 0; k 1, ÐÏÓËÏÌØËÕ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ 0 ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ É ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÞÅÒÅÚ ÄÒÕÇÁ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

LP ((x e)k )LP ((x e)l ) = P (e<m> e : m 2 0; k 1; n 2 0; l 1) = : r 2 0; k + l 2) = L ((x e)k+l 1 ) = L ((x e)k_l ): 2 P (e P P

äÁÌØÎÅÊÛÅÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÒÁÓÐÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÌÅÍÍÙ 6.1.5 ÎÁ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ f (x); g (x) 2 P [x]. ðÏÓËÏÌØËÕ ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÐÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÀ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÐÏÌÑ P , ÎÁÍ ÐÏÔÒÅÂÕÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á.

çìá÷á 6.

186


6.1.6. ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ f (x); g (x) 2 P [x] | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, É Q | ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ÐÏÌÑ P . ôÏÇÄÁ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ. (a) LP (f ) = P h1i \ LQ (f ). (b) åÓÌÉ LP (f )LP (g ) = LP (h), ÇÄÅ h(x) 2 P [x], ÔÏ LQ (f )LQ(g ) = LQ (h). (c) LP (f )LP (g ) = P h1i \ LQ (f )LQ(g ).

2 (a) ëÁÖÄÏÅ ÉÚ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ É ÏÞÅ×ÉÄÎÏ.

(b) ðÕÓÔØ efs | ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ LP (f ) Ó ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ (0; :::; 0; e, 0; :::; 0), ÇÄÅ e ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÎÁ s-ÏÍ ÍÅÓÔÅ. ôÏÇÄÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ efs , 0 s < deg f (x) ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP (f ) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , Á ÔÁËÖÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LQ (f ) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q (ÓÍ. x 7.3B). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ deg f (x) = m, deg g (x) = n, deg h(x) = k. ôÏÇÄÁ ÉÚ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ efs egt 2 LP (h) LQ (h), s 2 0; m 1, t 2 0; n 1, ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ LQ (f )LQ(g ) LQ (h). ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÔÁË ËÁË LP (f )LP (g ) = LP (h), ÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ehr , r 2 0; k 1, ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ efs egt , s 2 0; m 1, t 2 0; n 1, ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ðÏÜÔÏÍÕ LQ (h) LQ (f )LQ(g ). (c) ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ (a) É (b). 2 6.1.7. ìÅÍÍÁ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ a 2 P n 0, k 2 N ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

LP ((x a)k ) = LP (x a)LP ((x e)k ): k 2 ðÒÉ i a 6= 0 ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP ((x a) ) ÏÂÒÁÚÕÀÔ k ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏi ÓÔÅÊ l a , l 2 0; k 1 (ÏÔÌÉÞÁÀÝÉÈÓÑ ÏÔ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ a[l]

ÍÎÏÖÉÔÅÌÑÍÉ al ). ÷ ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ LP (x a)LP ((x e)k ) ÅÓÔØ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÐÏÒÏÖÄÁÅÍÏÅ ÜÔÉÍÉ ÖÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ. 2 2 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 6.1.2. ðÕÓÔØ f (x) É g(x) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ÷ÎÁÞÁÌÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ f (0)g (0) 6= 0, f (x) 6= e, g (x) 6= e. ðÕÓÔØ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f (x) É g (x) ÎÁÄ ÏÂÝÉÍ ÐÏÌÅÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Q ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ (6.1.2). éÓÐÏÌØÚÕÑ (7.3.16) É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï U (V + W ) = UV + UW , U; V; W < P h1i , ÐÏÌÕÞÁÅÍ:

LQ (f )LQ (g ) = X i;j

m X i=1

LQ (x ai

)ki

n X j =1

LQ (x bj )lj =

LQ (x ai )ki LQ (x bj )lj :

ïÔÓÀÄÁ, ××ÉÄÕ ÌÅÍÍÙ 6.1.7,

LQ (f )LQ (g ) =

X i;j

LQ (x ai )LQ (x e)ki LQ (x bj )LQ (x e)lj :

çìá÷á 6.

187


ðÏÌØÚÕÑÓØ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔØÀ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ, ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ LQ (x LQ (x ai bj ) É ÌÅÍÍÁÍÉ 6.1.5, 6.1.7, ÐÏÌÕÞÁÅÍ

LQ (f )LQ(g ) =

X i;j

LQ (x ai bj )LQ ((x e)ki _lj ) =

X i;j

ai )LQ (x

bj ) =

LQ (x ai bj )ki _lj =

LQ îïë (x ai bj )ki _lj : i; j = LQ (f _ g ): ôÅÐÅÒØ ÉÚ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 6.1.1 É ÌÅÍÍÙ 6.1.6(a,c) ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï LP (f )LP (g ) = LP (f _ g ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ LP (xk f )LP (xl g ), ÇÄÅ f (x) É g (x) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , f (0)g (0) 6= 0, k; l 2 N 0 É xk f (x) 6= e, xl g (x) 6= e. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÃÅÐÏÞËÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ× LP (xk f )LP (xl g ) = (LP (xk ) + LP (f ))(LP (xl ) + LP (g )) = LP (xk )LP (xl ) + LP (xk )LP (g ) + LP (f )LP (xl ) + LP (f )LP (g ) = LP (xminfk;lg) + LP (xk ) + LP (xl ) + LP (f _ g ) = LP (xmaxfk;lg) + LP (f _ g ) = LP (xmaxfk;lgf _ g ) = LP (xk f _ xl g ): îÁËÏÎÅÃ, ÅÓÌÉ f (x) 2 P [x] | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, ÔÏ LP (e)LP (f ) = 0 LP (f ) = 0 = LP (e) = LP (e _ f );

É ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ LP (f )LP (e) = LP (f _ e). 2 ïÐÅÒÁÃÉÑ ÄÉÚßÀÎËÃÉÉ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å N ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁ É ÁÓÓÏÃÉÁÔÉ×ÎÁ. P ìÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ k1 , ..., kn 2 N É kt 1 = s0 kts ps , 0 kts < p, ÔÏ n _ t=1

ÇÄÅ

kt = p +

X s

(k1s + ::: + kns)ps ;

= minf t 0 : k1s + ::: + kns < p ÐÒÉ s t g: ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÐÅÒÁÃÉÑ ÄÉÚßÀÎËÃÉÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÕÎÉÔÁÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁ É ÁÓÓÏÃÉÁÔÉ×ÎÁ. åÓÌÉ xrt ft (x), ft (0) 6= 0, t 2 1; n | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , ÎÅ ÒÁ×ÎÙÅ e, Ó ËÁÎÏQ t k ÎÉÞÅÓËÉÍÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑÍÉ ft (x) = m ( x a ti ) ti ÎÁÄ ÏÂÝÉÍ ÐÏÌÅÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ, i=1 ÔÏ n _

t=1

xrt ft (x) = xmaxfr ;:::;rng îïë (x a1i :::anin )k i _:::_knin : i1 2 1; m1 ; :::; in 2 1; mn : 1

1

1 1

6.1.8. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. åÓÌÉ f1 (x), ..., fn (x) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , ÔÏ LP (f1 ):::LP (fn ) = LP (f1 _ ::: _ fn ), ÐÒÉÞÅÍ deg(f1 _ ::: _ fn ) deg f1 ::: deg fn .

÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÑ n-ËÒÁÔÎÕÀ ÄÉÚßÀÎËÃÉÀ f _ f _ ::: _ f ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) ÞÅÒÅÚ f _n, ÐÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ LP (f )n = LP (f _n ).

çìá÷á 6.

6.2

188


ëÏÎ×ÏÌÀÃÉÑ É Ó×ÅÒÔËÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ

A. ëÏÎ×ÏÌÀÃÉÅÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u; v u v 2 P h1i ÓÏ ÚÎÁËÁÍÉ

(u v )(i) =

2 P h1i

ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ

i X i

j j =0

u(j )v (i j ); i 0:

P h1i ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÏÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ ×ÉÄÁ u v , u 2 U , v 2 V : U V = P (u v : u 2 U; v 2 V ): (6.2.1)

ëÏÎ×ÏÌÀÃÉÅÊ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U; V

ëÏÎ×ÏÌÀÃÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ, ÁÓÓÏÃÉÁÔÉ×ÎÏÊ É ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÏÐÅÒÁÃÉÅÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å P h1i ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . óÄ×ÉÇ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÁÌÇÅÂÒÙ (P h1i ; +; ), Ô.Å. ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏÍ ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ

x(u v ) = xu v + u xv;

(6.2.2)

ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÐÒÏ×ÅÒËÏÊ. éÚ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (6.2.2) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ËÏÎ×ÏÌÀÃÉÑ LP (f ) LP (g ) Ä×ÕÈ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ× ÚÁÍËÎÕÔÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÄ×ÉÇÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×ÏÍ. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ h(x) 2 P [x] ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ LP (f ) LP (g ) = LP (h). ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÐÕÎËÔÅ ÍÙ ÏÐÉÛÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ h(x) (ÓÍ. [12]). ðÕÓÔØ f (x) É g (x) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , ÎÅ ÒÁ×ÎÙÅ e, ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÄ ÏÂÝÉÍ ÐÏÌÅÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ

f (x) = (x a1 )k :::(x am )km ; g (x) = (x b1 )l :::(x bn )ln ; 1

1

(6.2.3)

ÇÄÅ ai ; bj 2 P . ëÏÎ×ÏÌÀÃÉÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f É g ÎÁÚÏ×ÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

f g = îïë (x ai

bj )ki _lj : i 2 1; m; j 2 1; n ;

ÇÄÅ ki _ lj | ÄÉÚßÀÎËÃÉÑ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ × x 6.1. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) 2 P [x] ÐÏÌÏÖÉÍ e f = f e = e. ôÁË ÖÅ, ËÁË É × ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÉ 6.1.1, ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ f g | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, ÍÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ËÏÎ×ÏÌÀÃÉÀ ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ \ÁÄÄÉÔÉ×ÎÙÍ ÁÎÁÌÏÇÏÍ" ÄÉÚßÀÎËÃÉÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. îÁÛ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ: 6.2.1. ôÅÏÒÅÍÁ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÕÎÉÔÁÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f (x); g (x) 2 P [x] ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï LP (f ) LP (g ) = LP (f g ).

ðÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔÓÑ Ä×Á ×ÓÐÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ.

çìá÷á 6.

189


6.2.2. ìÅÍÍÁ. (ÔÅÏÒÅÍÁ ìÀËÁ, ÓÍ. [2, ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ 4.72]) ðÕÓÔØ p | ÐÒÏÓÔÏÅP ÞÉÓÌÏ É m, n | PÃÅÌÙÅ ÎÅÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ Ó p-ÉÞÎÙÍÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑÍÉ m = s0 ms ps, n = s0 ns ps , ms ; ns 2 0; p 1. ôÏÇÄÁ

m n

ms ns s0 Y

(mod p):

÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ mn ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ns ms ÐÒÉ ×ÓÅÈ s 0.

2 ðÕÓÔØ m = Mp + m0 , n = Np + n0, m0 ; n0 2 0; p 1. ôÏÇÄÁ (1 + x)m = (1 + x)Mp+m (1 + xp )M (1 + x)m (mod p); 0

ÉÌÉ

m X M n=0

n

xn

óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ

0

M X m0

i=0 ÐÒÉ xn

m n

i

xpi

m0 X m j =0

j

xj (mod p):

= xNp+n , ÐÏÌÕÞÉÍ 0

M N

É ÏÓÔÁÅÔÓÑ ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÉÎÄÕËÃÉÅÊ.

m0 n0

(mod p);

2

6.2.3. ìÅÍÍÁ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ a; b 2 P , k; l 2 N ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï LP ((x a)k ) LP ((x b)l ) = LP ((x a b)k_l ): (6.2.4)

2 îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÐÒÏ×ÅÒËÏÊ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ a[k](i) = ki ai k ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ

k+l a[k] b[l] = (a + b)[k_l]; a; b 2 P; k; l 2 N : k

(6.2.5)

ëÁË ÏÔÍÅÞÅÎÏ × x 7.3E, ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ a[0] , ..., a[k 1] ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP ((x a)k ) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ÷ ÓÌÕÞÁÅ p = char P = 0 ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (6.2.4) ÓÌÅÄÕÅÔ ÔÅÐÅÒØ ÉÚ (6.2.5) É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á k _ l = k + l 1 (ÐÒÉ p = 0). ðÕÓÔØ p > 0. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ U É V ÌÅ×ÕÀ É ÐÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (6.2.4). äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ×ËÌÀÞÅÎÉÑ U V ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ m 2 0; k 1, n 2 0; l 1 ËÏÎ×ÏÌÀÃÉÑ a[m] b[n] = mm+n (a + b)[m_n] ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ V . åÓÌÉ mm+n 0 (mod p), ÔÏ ÜÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ. ðÕÓÔØ mm+n 6 ^ n, 0 (mod p). ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ìÀËÁ ms + ns < p ÐÒÉ ×ÓÅÈ s 0. ôÏÇÄÁ m + n = m + [ m ] [ n ] ^ É ÐÏ ÌÅÍÍÅ 6.1.3 m + n < k _ l, ÏÔËÕÄÁ É ÓÌÅÄÕÅÔ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ a b 2 V . äÏËÁÖÅÍ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ V U . ÷×ÉÄÕ ÌÅÍÍÙ 6.1.3, ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ r 2 ^ n = r. ðÒÉ 0; k _ l 1 ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÞÉÓÌÁ m 2 0; k 1, n 2 0; l 1 ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ m +

çìá÷á 6.

190


ÜÔÏÍ ÉÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÌÅÍÍÙ 6.1.3 ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÁ m É n ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÔÁË, ^ n = r, É, ××ÉÄÕ (6.2.5), ÞÔÏ ms + ns < p ÐÒÉ ×ÓÅÈ s 0. ôÏÇÄÁ m + n = m + m + n m [ m ] [ n ] [ r ] a b = m (a + b) , ÐÒÉÞÅÍ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ìÀËÁ m+n ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p. ðÏÜÔÏÍÕ (a + b)[r] 2 U É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, V U . 2 2 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 6.2.1. ÷ ÐÅÒ×ÕÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÚÁÍÅÎÅ ÄÉÚßÀÎËÃÉÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁ ËÏÎ×ÏÌÀÃÉÀ ÏÓÔÁÅÔÓÑ × ÓÉÌÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ (É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï) ÌÅÍÍÙ 6.1.6(b,c). ðÕÓÔØ f (x) É g (x) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÎÅ ÒÁ×ÎÙÅ e ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P (ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ f (x) = e ÉÌÉ g (x) = e, ÏÞÅ×ÉÄÅÎ) Ó ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÍÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑÍÉ (6.2.3) ÎÁÄ ÏÂÝÉÍ ÐÏÌÅÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Q. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÌÅÍÍÏÊ 6.2.3 É ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÌÅÍÍÙ 6.1.6, ÐÏÌÕÞÉÍ:

LQ (f ) LQ (g ) = X

i;j

X i;j

LQ (x ai )ki

LQ (x ai

LQ (x bj )l

j

=

bj )ki _lj =

LQ îïë (x ai bj )ki _lj : i 2 1; m; j 2 1; n = LQ (f g ): ôÁË ËÁË f g | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , ÔÏ ÏÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ LP (f ) LP (g ) = LP (f g ). 2 6.2.4. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÕÓÔØ P = GF (q ) | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÐÏÌÅ, É f (x), g (x) | ÕÎÉ-

ÔÁÒÎÙÅ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , ÓÔÅÐÅÎÉ m É n ËÏÔÏÒÙÈ ×ÚÁÉÍÎÏ ÐÒÏÓÔÙ. ôÏÇÄÁ, ËÁË ÌÅÇËÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, f _ g É f g | ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÐÅÎÉ mn. üÔÏ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ ÄÁÅÔ ÓÐÏÓÏÂ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÂÏÌØÛÉÈ ÓÔÅÐÅÎÅÊ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÐÏÌÅÍ: ÅÓÌÉ ×ÙÂÒÁÔØ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u 2 LP (f ), v 2 LP (g ), ÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ f _ g É f g ÂÕÄÕÔ ÒÁ×ÎÙ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ uv É u v ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, É ÜÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÙ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ âÅÒÌÅËÜÍÐÁ|íÅÓÓÉ. ôÒÕÄÏÅÍËÏÓÔØ ÔÁËÏÇÏ ÓÐÏÓÏÂÁ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÓÔÅÐÅÎÉ mn ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ O((mn)2 ) ÏÐÅÒÁÃÉÊ ÐÏÌÑ GF (q ). ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f _ g ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÍ, ÔÏÇÄÁ ËÁË ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f g ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÍ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ P = GF (2), f (x) = x2 + x + 1, g (x) = x3 + x + 1, ÔÏ f g ÅÓÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÜÌÅÍÅÎÔÁ a + b ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ GF (2), ÇÄÅ a É b | ËÏÒÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f (x) É g (x) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÐÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ, ÞÔÏ f g = x6 + x5 + x3 + x2 +1, É ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÅÎ. äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ k-ÇÏ ÚÎÁËÁ ËÏÎ×ÏÌÀÃÉÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u É v Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ (6.2.1) ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÚÎÁÔØ ÚÎÁËÉ u(i), v (i) ÐÒÉ ×ÓÅÈ i 2 0; k. îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ËÁË ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ, ÚÎÁËÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u v ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏ, ÈÒÁÎÑ × ÐÁÍÑÔÉ ÍÁÔÒÉÃÕ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÒÁÚÍÅÒÁ m n. ÷ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÉ 6.2.5 ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÎÕÍÅÒÁÃÉÑ ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÎÕÌÑ. åÓÌÉ M | ÍÁÔÒÉÃÁ ÒÁÚÍÅÒÁ m n, ÔÏ ÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ Mij , i 2 0; m 1, j 2 0; n 1.

çìá÷á 6.

191


6.2.5. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ f (x); g (x) 2 P [x] | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÐÅÎÅÊ m É n ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. äÌÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u 2 LP (f ), v 2 LP (g ) ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÁÔÒÉÃ M (k) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÒÁÚÍÅÒÏ× m n, ÐÏÌÁÇÁÑ

Mij(0) = u(i)v (j ); i 2 0; m 1; j 2 0; n 1;

M (k+1) = S (f )T M (k) + M (k) S (g ); k 0;

ÇÄÅ

0

S (f )T

=

0 e 0 0

0 ::: e :::

0 0

B B B .................... B @ 0 0 0 ::: e

C C C C A

0

1

f0 f1 f2 : : : fm 1

É

1

0 0 0 ::: 0

g0

mm

B e 0 0 : : : 0 g1 C B C C S (g ) = B 0 e 0 : : : 0 g 2 B C @ .................... A 0 0 0 : : : e gn 1 nn Pm 1 s | ÓÏÐÒÏ×ÏÖÄÁÀÝÉÅ ÍÁÔÒÉÃÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f (x) = xm s=0 fs x É Pn 1 (k) t 0. t=0 gt x . ôÏÇÄÁ (u v )(k ) = M0;0 ÐÒÉ ×ÓÅÈ k

g (x) = xn 1

2 äÏËÁÖÅÍ ÉÎÄÕËÃÉÅÊ ÐÏ k, ÞÔÏ Mij(k) = ((xiu) (xj v))(k), i 2 0; m 1, j 2

0; n

1. ðÒÉ k = 0 ÉÍÅÅÍ: M (0) = u(i)v (j ) = ((xi u)(0))((xj v )(0)) = ((xi u) (xj v ))(0): ij

ðÕÓÔØ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÄÏËÁÚÁÎÏ ÐÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ k 2 N 0 . ïÂÏk) ÚÎÁÞÉÍ X = S (f )T M (k) , Y = M (k) S (g ). åÓÌÉ i 2 0; m 2, ÔÏ Xij = Mi(+1 ;j = i +1 j (x u x v )(k). åÓÌÉ ÖÅ i = m 1, ÔÏ m m X1 X1 ( k) Xij = fs Msj = fs (xs u xj v )(k) = s=0 s=0 m k k m X1 X X X1 t t fs u(t + s)v (k t + j ) = v (k t + j ) fs u(t + s) = s s s=0 t=0 t=0 s=0 k X t v (k t + j )u(t + m) = (xm u xj v )(k): s t=0 ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ i 2 0; m 1 ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Xij = (xi+1 u xj v )(k). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ Yij = (xi u xj +1 v )(k). ôÅÐÅÒØ, ××ÉÄÕ (6.2.1), Mij(k+1) = Xij + Yij = (xi+1 u xj v + xi u xj +1 v )(k) =

çìá÷á 6.

192


(x(xi u xj v ))(k) = (xi u xj v )(k + 1); ÞÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÛÁÇ ÉÎÄÕËÃÉÉ. 2 B. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÝÅ ÏÄÎÕ ÏÐÅÒÁÃÉÀ ÎÁÄ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ [45]. ó×ÅÒÔËÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u; v 2 P h1i ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ uOv 2 P h1i ÓÏ

ÚÎÁËÁÍÉ

(uOv )(i) =

i X j =0

u(j )v (i j ); i 0:

P h1i ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U OV = P (uOv : u 2 U; v 2 V ):

ó×ÅÒÔËÏÊ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U; V

ó×ÅÒÔËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ, ÁÓÓÏÃÉÁÔÉ×ÎÏÊ É ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÏÐÅÒÁÃÉÅÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å P h1i . áÌÇÅÂÒÁ (P h1i ; +; O) ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÁÌÇÅÂÒÅ (P [[x]]; +; ) ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . éÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ÁÌÇÅÂÒÁÍÉ ÓÏÐÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u 2 P h1i ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ P Gu (x) = i0 u(i)xi 2 P [[x]]. 6.2.6. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ f (x); g (x) 2 P [x] | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÎÅ ÒÁ×ÎÙÅ e ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÐÅÎÅÊ m É n ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ôÏÇÄÁ LP (f )OLP (g ) ÅÓÔØ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ m + n 1 × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å LP (fg ) (ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ m + n).

2 óÏÇÌÁÓÎÏ [17, ÔÅÏÒÅÍÁ 8.40], ÓÅÍÅÊÓÔ×Á LP (f ) É LP (g) ÓÕÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÐÏÓÌÅ-

ÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u É v , ÐÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ

Gu (x) = fA((xx)) ; óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

deg A(x) < m;

Gv (x) = gB((xx)) ;

deg B (x) < n:

(x)B (x) GuOv (x) = Gu(x)Gv (x) = A(fg : )(x)

ðÏÜÔÏÍÕ LP (f )OLP (g ) ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ w Ó ÐÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÍÉ ÆÕÎËÃÉÑÍÉ ×ÉÄÁ

Gw (x) = (fgC)(x()x) ;

deg C (x) < m + n 1;

Ô.Å. ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × LP (fg ) ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ m + n 1. 2 ìÅÇËÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï LP (f )OLP (g ) ÐÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ xi efg , i 2 1; m + n 1, ÔÏÇÄÁ ËÁË ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LP (fg ) | ÐÏÓÌÅÄÏ×Áfg ÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ xi efg i , i 2 0; m + n 1. úÄÅÓØ ÞÅÒÅÚ e ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÉÍÐÕÌØÓÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x)g (x) (ÓÍ. x 7.3B).

çìá÷á 6.

193


L

1 HH HH H

...

m

HH HHH - v(i)

òÉÓ. 6.1: õÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ìòð ÎÅÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ 6.3

õÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÅÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ

A. ðÕÓÔØ u

2 LP (f ) |

ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x) 2 P [x] ÓÔÅÐÅÎÉ m 1, É : P m ! P | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ. ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÆÕÎËÃÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ×ÉÄÁ (x1 ; :::; xm ) =

X

0k1 ;:::;kmq 1

bk :::km xk1 :::xkmm : 1

1

ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ v 2 P h1i ÓÏ ÚÎÁËÁÍÉ

v (i) = (u(i); :::; u(i + m 1)); i 0;

(6.3.1)

ÎÁÚÏ×ÅÍ ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÅÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u ÆÕÎËÃÉÅÊ . ôÁËÏÊ ÓÐÏÓÏÂ ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÓÈÅÍÏÊ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÊ ÎÁ ÒÉÓ. 6.1. ïÎ ÞÁÓÔÏ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÐÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ. 6.3.1. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ u 2 LP (f ), deg f (x) = m, É ÆÕÎËÃÉÑ : P m ! P ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) ÓÔÅÐÅÎÉ r 2 1; m(q 1). ôÏÇÄÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ v , ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÁÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (6.3.1), ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ LP (f ), ÇÄÅ

f (x) = îïë x e; f; f _2 ; :::; f _r :

2 úÎÁËÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ v ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ v (i) =

X

0k1 ;:::;kmq 1

bk :::km u(i)k :::u(i + m 1)km : 1

1

(6.3.2)

çìá÷á 6.

194


åÓÌÉ k1 + ::: + km = s, ÔÏ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ w Ó ÏÂÝÉÍ ÞÌÅÎÏÍ w(i) = u(i)k :::u(i + m 1)km , × ÓÉÌÕ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ 6.1.8, ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ LP (f _s ) ÐÒÉ s > 0 ÉÌÉ LP (x e) ÐÒÉ s = 0. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 1

v 2 LP (x e) +

r X s=1

LP (f _s) = LP (f ): 2

6.3.2. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ u | ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x) ÓÔÅÐÅÎÉ m, r 2 1; m(q 1), É V | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ×ÉÄÁ (6.3.1), ÐÏÌÕÞÁÀÝÉÈÓÑ ÐÒÉ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÑÈ (x1 ; :::; xm ) ÓÔÅÐÅÎÅÊ deg r. ôÏÇÄÁ V = LP (f ).

2 ÷ËÌÀÞÅÎÉÅ V LP (f ) ÄÏËÁÚÁÎÏ × ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÉ 6.3.1. äÏËÁÖÅÍ ÏÂÒÁÔ-

ÎÏÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ. ôÁË ËÁË f (x) | ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ìòð u, ÔÏ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u, xu, ..., xm 1 u ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP (f ). ðÏÜÔÏÍÕ ËÁÖÄÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ LP (f ) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÏÌÕÞÅÎÁ ËÁË ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ l(x1 ; :::; xm ). ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 6.1.2 ×ÓÑËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ LP (f _s ) ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÑ s-ËÒÁÔÎÙÈ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÚ LP (f ), É ÐÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÏÌÕÞÅÎÁ ËÁË ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ '(x1 ; :::; xm ) ÓÔÅÐÅÎÉ s. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÚ LP (x e) ÐÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÐÒÉ ' = const, Ô.Å. P s = 0. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÓÑËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ LP (f ) = LP (x e) + rs=1 LP (f _s ) ÅÓÔØ ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ (x1 ; :::; xm ) ÓÔÅÐÅÎÉ ÎÅ ×ÙÛÅ r. 2 äÁÄÉÍ ÔÅÐÅÒØ ×ÅÒÈÎÀÀ ÏÃÅÎËÕ ÒÁÎÇÁ (ÓÔÅÐÅÎÉ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ) ×Ù ÈÏÄÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÓÈÅÍÙ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÊ ÎÁ ÒÉÓ. 6.1. ðÕÓÔØ ms q É Mq (m; r) | ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÙÅ ÉÚ (3.5.5), (3.5.6). îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ms q ÒÁ×ÎÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ s ÐÒÅÄÍÅÔÏ× ÐÏ m ÑÝÉËÁÍ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, m ÞÔÏ × ËÁÖÄÙÊ ÑÝÉË ÐÏÐÁÄÁÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ q 1 ÐÒÅÄÍÅÔÏ×. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, s q ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ ÒÅÛÅÎÉÊ (x1 ; :::; xm ) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x1 + ::: + mx m = sm× ÃÅÌÙÈ m ÞÉÓÌÁÈ xi 2 0; q 1. ÷ ÞÁÓÔÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ q = 2 ×ÅÒÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï s 2 = s É 0 q = 1 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ q 2. 6.3.3. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ f (x) | ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ m ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) É r 2 1; m(q 1), ÔÏ

deg f (x)

Mq (m; r) =

r n o X m s=0

s

q

:

åÓÌÉ f (x) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ, ÔÏ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

deg f (x) = Mq (m; r):

çìá÷á 6.

195


2 ðÕÓÔØ a | ËÏÒÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) × ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÉ GF (qm) ÐÏÌÑ P . ôÏÇÄÁ ×ÓÅ m ËÏÒÎÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) ÒÁÚÌÉÞÎÙ É ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ aq , i 2 0; m 1. ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ i

ÄÉÚßÀÎËÃÉÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ f (x) | ÓÅÐÁÒÁÂÅÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, É i i s ÅÇÏ ËÏÒÎÉ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ aq :::aq , i1 ; :::; is 2 0; m 1, s 2 0; r. õÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ aqm = a, ÐÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÏÒÎÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ×ÉÄÁ ak +k q+:::+km qm , ÇÄÅ k0 ; :::; km 1 2 0; q 1, 0 k0 + ::: + km 1 r. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÞÉÓÌÏ ËÏÒÎÅÊ ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÞÉÓÌÁ ÎÁÂÏÒÏ× (k0 ; :::; km 1 ) Ó ÕËÁÚÁÎÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, Ô.Å. deg f (x) Mq (m; r). åÓÌÉ f (x) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ, ÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ak +k q+:::+km qm ÒÁÚÌÉÞÎÙ ÄÌÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× (k0 ; :::; km 1 ), É deg f (x) = Mq (m; r). 2 1

0

1

1

1

0

1

1

1

6.3.4. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ u | ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÒÁÎÇÁ m ÎÁÄ ÐÏ-

ÌÅÍ GF (q ), ÔÏ ÏÔÒÅÚÏË ÄÌÉÎÙ n = q m 1 ÕÓÌÏÖÎÅÎÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ v ×ÉÄÁ (6.3.1) ÅÓÔØ ËÏÄÏ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï ËÏÄÁ òÉÄÁ|íÁÌÌÅÒÁ ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ GF (q ) ÐÏÒÑÄËÁ r = deg (ÓÍ. x 3.5). ðÒÏÃÅÄÕÒÁ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ òí-ËÏÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÎÁ ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÍ ÑÚÙËÅ, ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ËÌÀÞÁ × ÓÈÅÍÅ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÊ ÎÁ ÒÉÓ. 6.1, ÐÏ ×ÙÈÏÄÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ v . ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÉ, ÏÄÎÁËÏ, ÔÁËÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÎÅÐÒÉÇÏÄÅÎ ÄÌÑ ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ. äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÉ òí-ËÏÄÁ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ×ÓÅ ËÏÄÏ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï v (0; n 1), Ô.Å. ×ÅÓØ ÐÅÒÉÏÄ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ v . é ÅÓÌÉ ÄÌÉÎÁ òí-ËÏÄÁ n ÎÁ ÐÒÁËÔÉËÅ, ËÁË ÐÒÁ×ÉÌÏ, ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ 4096, ÔÏ × ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÑÈ n ÉÍÅÅÔ ÐÏÒÑÄÏË 1020 É ×ÙÛÅ. îÁ ÜÔÏÍ ÐÒÉÍÅÒÅ ÈÏÒÏÛÏ ÐÒÏÓÌÅÖÉ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÌÉÞÉÅ ÔÅÏÒÉÉ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÉ. ÷ ÔÅÏÒÉÉ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÍÙ ÓÔÒÅÍÉÍÓÑ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ËÏÄÙ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÅ, ÐÏÍÉÍÏ ÄÒÕÇÉÈ ×ÁÖÎÙÈ ËÁÞÅÓÔ×, ÐÒÏÓÔÏÊ ÐÒÏÃÅÄÕÒÏÊ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ, Ô.Å. ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÐÏ ËÏÄÏ×ÏÍÕ ÓÌÏ×Õ. ëÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÑ, ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÔÁËÏÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÅÅ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÅ ÂÙÌÏ ÂÙ ËÁË ÍÏÖÎÏ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÍ (ÐÒÉ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ËÌÀÞÅ). óÈÏÄÓÔ×Ï ÔÅÏÒÉÉ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÉ ÏÂÕÓÌÏ×ÌÅÎÏ ÓËÏÒÅÅ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÏÂÝÅÇÏ ÁÐÐÁÒÁÔÁ (ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ, ÐÏÌÑ, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ), ÈÏÔÑ ÉÍÅÀÔÓÑ É ÐÒÉÍÅÒÙ ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ É ÏÃÅÎËÉ ËÒÉÐÔÏÓÉÓÔÅÍ (ÓÍ. x 6.6). îÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÏÌØÚÕÑÓØ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍÉ ÔÅÏÒÅÍÙ 3.5.9, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ×ÙÈÏÄÎÙÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÌÉÎÙ q m 1 Á×ÔÏÍÁÔÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 6.1, ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ deg (x) = r < (q 1)m ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÞÅÍ × dq (m; r) (ÓÍ. (3.5.27)) ÔÁËÔÁÈ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ q = 2, ÔÏ d2 (m; r) = 2m r . B. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 6.3.1 É 6.3.3 ÐÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÏÃÅÎÉÔØ ÒÁÎÇ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ v ×ÉÄÁ (6.3.1) Ó×ÅÒÈÕ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ u | ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) É ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ, ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÔÏÞÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÁÎÇÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ v . ðÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏ ××ÅÄÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ.

çìá÷á 6.

196


ðÕÓÔØ q = pr , ÇÄÅ p = char P , É ÐÕÓÔØ

k=

X s0

ksps =

X t0

kt0 q t ; 0 ks < p; 0 kt0 < q; s; t 0;

| p-ÉÞÎÏÅ É q -ÉÞÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ k ÄÌÑ ×ÓÅÈ t 0. ÷ÅÌÉÞÉÎÙ

wp (k) =

X s0

2 N0.

(6.3.3)

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ kt0 =

ks ; wq (k) =

X t0

Pr 1 j j =0 krt+j p

kt0

(6.3.4)

ÎÁÚÏ×ÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ p-ÉÞÎÙÍ É q -ÉÞÎÙÍ ×ÅÓÏÍ ÞÉÓÌÁ k. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÉÓÅÌ k 2 N 0 , p-ÉÞÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ks ËÏÔÏÒÙÈ P ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ t0 krt+j < p ÐÒÉ j 2 0; r 1. üÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á

ÍÏÖÎÏ ÔÁËÖÅ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÔØ ËÁË ÞÉÓÌÁ k 2 N 0 , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÐÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ P 0 ÓÕÍÍÙ wq (k) = t0 kt × p-ÉÞÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÅ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÐÅÒÅÎÏÓÏ×. äÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ f (x) 2 P [x] ÓÔÅÐÅÎÉ m > 1 Ó ËÏÒÎÅÍ a 2 GF (q m ) ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ f (0) (x) = x e;

f (l) (x) =

Q

f x ak : k 2 ; 0 k < qm

1; wq (k) = l g; l 2 1; q

1:

ôÁË ËÁË ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÏÒÎÅÍ ak ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (l) (x) ÉÍÅÅÔ ÔÁËÖÅ ËÏÒÅÎØ akq , ÔÏ f (l) (x) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ ÉÓÈÏÄÎÙÍ ÐÏÌÅÍ P . 6.3.5. ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ u 2 LP (f ) | ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ), q = pr , Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x) ÓÔÅÐÅÎÉ m > 1. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ l 2 0; q 1 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (l) (x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ìòð ul , É r 1 Y m + ls 1 ( l ) = deg f (x) = : l 1 s s=0 l ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ q = p, ÔÏ rank u = deg f (l) (x) = ml+l1 1 .

rank ul

(6.3.5)

2 åÓÌÉ l = 0, ÔÏ u0 = (e; e; e; :::) É ÌÅÍÍÁ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. ðÕÓÔØ l 2 1; q 1. óÏÇÌÁÓÎÏ x 7.3E, ÚÎÁËÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ u(i) = trqq (cai), i 0, ÇÄÅ a 2 GF (q m ) | ËÏÒÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x), É c 2 GF (q m ) | ËÏÎÓÔÁÎÔÁ, ÎÅ ÒÁ×ÎÁÑ m

ÎÕÌÀ. ôÏÇÄÁ

u(i)l =

m X1 j =0

(cai )q

!l j

=

X

jt l

0

j0 +:::+jm 1 =l

l! m (cai )j +qj +:::+q j0 !:::jm 1 ! 0

1

1

jm

1

=

çìá÷á 6.


l!

X

kqm

0

1

k0 !:::k0 0

m

1!

197

(cai )k ;

wq (k)=l

ÇÄÅ k00 , ..., km0 1 | ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ q -ÉÞÎÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ k. óÏÇÌÁÓÎÏ x 7.3E, ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ìòð ul ÅÓÔØ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÔÁËÉÈ x ak , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ (ak )i ×ÈÏÄÉÔ × ÐÏÓÌÅÄÎÀÀ ÓÕÍÍÕ Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏÍ. ÷×ÉÄÕ ÔÅÏÒÅÍÙ ìÀËÁ (ÌÅÍÍÁ 6.2.2), ÐÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÉÚ ÐÏÓÌÅÄÎÅÊ ÓÕÍÍÙ ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ k 2 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Y Mul (x) = f x ak : k 2 ; 0 k q m 1; wq (k) = l g = f (l) (x) (ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÅÒÎÏ, ÐÏÓËÏÌØËÕ ÅÓÌÉ 0 k q m 1 É wq (k) = l 2 1; q 1, ÔÏ k < q m 1 ××ÉÄÕ ÕÓÌÏ×ÉÑ m > 1). äÏËÁÖÅÍ ÔÅÐÅÒØ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (6.3.5), Ô.Å. ÎÁÊÄÅÍ ÓÔÅÐÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (l) (x). äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ k 2 N 0 ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ k 2 , 0 k < q m 1, wq (k) = l ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÅÇÏ p-ÉÞÎÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

k0 + kr + ::: + k(m 1)r = l0 ; k1 + kr+1 + ::: + k(m 1)r+1 = l1 ; ::: kr 1 + k2r 1 + ::: + k(m 1)r+r 1 = lr 1 ; 0 kt < p; t 2 0; mr

1:

Q þÉÓÌÏ ÒÅÛÅÎÉÊ (k0 ; :::; kmr 1 ) ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÒÁ×ÎÏ rs=01 ml+s ls1 1 . 2 6.3.6. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ u 2 LP (f ) | ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ), q = pr , Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x) ÓÔÅÐÅÎÉ m > 1, É ÐÕÓÔØ Pq 1 :l P ! P | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ (x) = l=0 bl x , bl 2 P . ôÏÇÄÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ É ÒÁÎÇ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ v = (u) ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ r 1 Y X Y m + ls 1 ( l ) Mv (x) = f (x); rank v = ; ls l 2L l2L s=0 ÇÄÅ L = fl 2 0; q 1 : bl 6= 0g.

2 ôÁË ËÁË ËÏÒÅÎØ a ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÐÏÌÑ P , ÔÏ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ak , 0 k < q m 1, ÒÁÚÌÉÞÎÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ f (l) (x), l 2 0; q 1, ÐÏÐÁÒÎÏ ×ÚÁÉÍÎÏ ÐÒÏÓÔÙ. ôÏÇÄÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ v = (u) = P l l l2L bl u ÅÓÔØ ÓÕÍÍÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ bl u , l 2 L, Ó ÐÏÐÁÒÎÏ ×ÚÁÉÍÎÏ ÐÒÏÓÔÙÍÉ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ f (l) (x). ðÏÜÔÏÍÕ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ìòð v ÒÁ×ÅÎ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f (l) (x), l 2 L. æÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÒÁÎÇÁ ìòð v ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ (6.3.5). 2

çìá÷á 6.

198


6.3.7. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 6.3.6 ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

rank v

m+p 1 r ; p 1

É ÜÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ L = 0; q 1, Ô.Å. ËÏÇÄÁ ×ÓÅ q ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ (x) ÏÔÌÉÞÎÙ ÏÔ ÎÕÌÑ.

2 óÏÇÌÁÓÎÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 6.3.6, rank v Qr , ÇÄÅ Qr =

r 1 r 1 pX Y m + ls

l=0 s=0 a + pr 1 b,

ls

1

:

ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÞÉÓÌÏ l × ×ÉÄÅ l = 0 a < pr 1 , 0 b < p. ôÏÇÄÁ ! prX 1 X p 1 Y r 2 m + as 1 m+b 1 Qr = = a b s a=0 b=0 s=0 p 1 X m+b 1 m+p 1 Qr 1 = Qr 1 b p 1 b=0 (ÓÍ. [27, Ó. 45]). ïÔÓÀÄÁ Qr = mp+p1 1 r , É ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÔÒÅÂÕÅÍÕÀ ÏÃÅÎËÕ. 2 6.3.8. ðÒÉÍÅÒ. ÷ÙÑÓÎÉÍ, ËÁËÏÊ ÂÕÄÅÔ ÒÁÎÇ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ v1 , v2 , v3 , v4 , ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÉÚ ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ u ÒÁÎÇÁ m ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) = GF (pr ) ÚÁÍÅÎÏÊ ×ÓÅÈ ÅÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ (ÎÕÌÅ×ÙÈ) ÚÎÁËÏ× ÎÁ ÎÕÌØ (ÅÄÉÎÉÃÕ) ÐÏÌÑ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ : P ! P , ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÙÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ 0 ; x = 0 ; 0; 1 (x) = 1; x 6= 0; 2 (x) = 10;; xx = 6= 0; 0; x = 1; 1; x = 1; 3 (x) = 1; x 6= 1; 4 (x) = 0; x 6= 1: íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÅ ÜÔÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ 1 (x) = xq 1 ; 2 (x) = 1 xq 1 ; 3 (x) = 1 + x + ::: + xq 1 ; 4 (x) = x ::: xq 1 : ÷ÙÞÉÓÌÑÑ ÒÁÎÇÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ vi = i (u), i 2 1; 4, ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 6.3.6, ÐÏÌÕÞÉÍ: m+p 2 r m+p 2 r rank v1 = ; rank v2 = 1; p 1 p 1 m+p 1 r m+p 1 r rank v3 = ; rank v4 = 1: p 1 p 1 äÌÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ v3 ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ×ÅÒÈÎÑÑ ÏÃÅÎËÁ ÒÁÎÇÁ ÉÚ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ 6.3.7. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ vi , i 2 1; 4, ÍÏÖÎÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, É ÇÏ×ÏÒÉÔØ ÏÂ ÉÈ ÒÁÎÇÅ ÎÁÄ GF (2). íÙ ×ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ × x 6.5 (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 6.5.9). 1

çìá÷á 6.

199


L

1 ( )

v i

@@ @

n1

... q

q

q

L

@ @

@@ 1

nm

...

òÉÓ. 6.2: õÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ìòð ÎÅÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ 6.4

õÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ

ðÕÓÔØ u1 , ..., um | ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ f1 (x), ..., fm (x) ÓÔÅÐÅÎÅÊ n1 , ..., nm ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, É : P m ! P | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ v 2 P h1i ÓÏ ÚÎÁËÁÍÉ

v (i) = (u1 (i); :::; um (i)); i 0;

(6.4.1)

Ñ×ÌÑÀÝÕÀÓÑ ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÅÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u1 , ..., um ÆÕÎËÃÉÅÊ , ÓÍ. ÒÉÓ. 6.2. õËÁÖÅÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÖÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÔÏÞÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÁÎÇÁ ×ÙÈÏÄÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. æÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍÙÊ ÎÉÖÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ×ÐÅÒ×ÙÅ ÐÏÌÕÞÅÎ î. î. óÉÔÎÉËÏ×ÙÍ × 1984 Ç., É ÚÁÔÅÍ ÂÙÌ ÏÐÕÂÌÉËÏ×ÁÎ ÔÁËÖÅ × [60]. 6.4.1. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ: (1) f1 (x), ..., fm (x) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÓÔÅÐÅÎÅÊ n1 , ..., nm ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ni > 1, i 2 1; m; (2) (ni ; nj ) = 1 ÐÒÉ 1 i < j m; (3) (0; :::; 0) = 0; (4) ÆÕÎËÃÉÑ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ), Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÏÔ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×, Ô.Å.

(x1 ; :::; xm ) =

m X

X

s=1 1i1

Линейные коды и полилинейные рекурренты

Recommend Documents