Обобщенная задача Коши для сингулярно возмущенных импульсных систем в критическом случае

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2006. Том 47, № 2

УДК 517.925

ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ Л. И. Каранджулов, Я. П. Стоянова Аннотация: Построено асимптотическое разложение решения нелинейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. Последовательно определены все члены асимптотического разложения с помощью псевдообратных матриц и ортопроекторов. Ключевые слова: сингулярное возмущение, асимптотическое разложение, пограничные функции, псевдообратные матрицы, ортопроекторы.

1. Постановка задачи Рассмотрим сингулярно возмущенную систему ε

dx = f (t, x, ε), dt

t ∈ [a, b], t 6= τi , i = 1, p, 0 < ε  1,

(1)

a = τ0 < τ1 < · · · < τp < τp+1 = b, с обобщенным начальным условием Dx(a) = v

(2)

и с обобщенными импульсными условиями в фиксированные моменты времени: Ni x(τi + 0) + Mi x(τi − 0) = hi ,

i = 1, p.

(3)

Пусть выполнены следующие условия. (У1) Вектор-функция f (t, x, ε) кусочно непрерывна с точками разрыва первого рода τi , i = 1, p, и имеет непрерывные частные производные по всем аргументам до (µ + 2)-го порядка включительно в области Š1 ≡ {(t, x, ε) | t ∈ [a, b] \ {τ1 , τ2 , . . . , τp }, kxk ≤ ρ1 , 0 < ε ≤ ε0 }. (У2) D — (¯ s ×n)-матрица с постоянными элементами, v — вектор-столбец из Rs¯; Mi , Ni , i = 1, p, — (ki × n)-матрицы с постоянными элементами, hi ∈ Rki — вектор-столбец. (У3) Вырожденная система (ε = 0) f (t, x, 0) = 0 c 2006 Каранджулов Л. И., Стоянова Я. П.

(4)

330

Л. И. Каранджулов, Я. П. Стоянова

имеет решение x0 (t) = ϕ(t, α0 (t)),

t ∈ [τ0 , τ1 ], t ∈ (τi−1 , τi ], i = 2, p + 1,

(5)

где α0 (t) — произвольная вектор-функция. (У4) Вектор-функция ϕ(t, α0 (t)) кусочно непрерывна с точками разрыва первого рода τi , i = 1, p, и имеет непрерывные частные производные по всем аргументам до (µ + 2)-го порядка включительно в области Š2 ≡ {(t, α0 (t)) | t ∈ [a, b]\{τ1 , τ2 , . . . , τp }, kα0 (t)k ≤ ρ2 }. (У5) fx0 (t, x0 (t), 0) — (n × n)-матрица, имеющая r нулевых собственных чисел, которым соответствуют r линейно независимых собственных векторов. Остальные n − r собственных чисел имеют отрицательные вещественные части, т. е. λj (t, α0 (t)) = 0, j = n − r + 1, n, Re λj (t, α0 (t)) < 0, j = 1, n − r, (t, α0 (t)) ∈ Š2 . Условие (У3) показывает, что рассматривается критический случай [1]. Построим асимптотическое разложение решения задачи (1)–(3) так, чтобы при ε → 0 оно стремилось к одному из решений (5) вырожденной системы (4) при t ∈ (a, b] \ {τ1 , . . . , τp }. В [1] система (1) рассмотрена в критическом случае с начальным условием вида x(a) = v. Система с импульсными условиями x˙ = f (t, x, y),

εy˙ = g(t, x, y),

x|t=τi = Si x + ai ,

i = 1, p,

(6)

исследована в [2] в устойчивом случае, т. е. когда (n × n)-матрица fx0 (t, x0 (t), 0) имеет n собственных чисел с отрицательными вещественными частями. Там же рассмотрена и система (1) с импульсными условиями (6) в критическом случае. В [2] существенную роль играет фундаментальная матрица системы [3] x˙ = A(t)x, t 6= τi ,

x|t=τi = Si x,

i = 1, p,

если det(Si + E) 6= 0. С помощью этой фундаментальной матрицы строится решение системы (1) или (6). В настоящей работе рассматриваются обобщенные начальные и импульсные условия. Тогда решение на каждом промежутке зависит от произвольного вектора. Фундаментальная матрица из [3] и [2] в этом случае неприменима. 2. Вспомогательные результаты Лемма 1 [1]. В достаточно малой окрестности точки x = 0 существует (n − r)-мерное многообразие S + (α0 ) системы dx = f (c, ϕ(c, α0 (c) + x, 0)), dτ

c ∈ [a, b],

(7)

такое, что если начальное значение решения x(c) принадлежит S + (α0 ), то найдутся такие постоянные γ > 0 и σ > 0, что при τ ≥ 0 решение x(τ ) удовлетворяет неравенству kx(τ )k ≤ γ exp(−στ ). Пусть выполнено следующее условие.

Обобщенная задача Коши

331

(У6) В области Š3 ≡ {(x, α0 (t)) | kxk ≤ ρ1 , kα0 (t)k ≤ ρ2 } многообразие S + (α0 ) системы (7) представимо в виде ¯¯ = Pe(¯ S + (α0 ) : x x, α0 ), ¯¯ — (n−r)- и r-мерные векторы ¯иx где Pe — достаточно гладкая функция в Š3 , а x T ¯ x, x ¯) . такие, что x = (¯ Рассмотрим систему dy = fx0 (c, ϕ(c, α0 (c)) + x(τ ), 0)y + Y (τ ). dτ Введем обозначения:  En−r S(τ ) = H(τ )

0 Er



 ,

A(τ ) =

(8)

f¯11 + f¯12 H(τ ) f¯12 ¯ 0 f22 − H(τ )f¯12

 ,

где H(τ ) = Pex¯0 (¯ x(τ )), Pe — многообразие из условия (У6), En−r и Er — единичные матрицы размерами n − r и r соответственно, а fij , i, j = 1, 2, — блоки матрицы fx0 (c, ϕ(c, α0 (c) + x(τ ), 0)). Через X(τ ) обозначим нормальную фундаментальную матрицу системы dx = A(τ )x. Пусть dτ Y (τ ) = (Y1 (τ ), Y2 (τ ) − H(τ )Y1 (τ ))T , где Y (τ ) = (Y1 (τ ), Y2 (τ ))T , Y1 (τ ) и Y2 (τ ) — (n − r)- и r-мерные вектор-функции. Введем обозначения: Xn−r (τ ) = S(τ )X n−r (τ ), K(τ, s) = S(τ )K(τ, s), где X n−r (τ ) — матрица, составленная из первых n − r столбцов матрицы X(τ ), а матрица K(τ, s) имеет вид ( −1 X(τ )P X (s), 0 ≤ s ≤ τ < +∞, K(τ, s) = −1 −X(τ )(I − P )X (s), 0 ≤ τ ≤ s < +∞, P — спектральный проектор матрицы A(τ ) на левую полуплоскость. Лемма 2. Пусть выполнены условия (У5) и (У6). Если ∗

∗

∗

lim x(τ ) = 0 и

τ →+∞

∗

kY (τ )k ≤ c exp(−α τ ), c > 0, α > 0, τ ≥ 0, то система (8) имеет экспоненциально убывающее решение вида +∞ Z y(τ ) = Xn−r (τ )yn−r (0) + K(τ, s)Y (s) ds,

τ ≥ 0.

(9)

0

Доказательство. В (8) выполним замену переменных y(τ ) = S(τ )z(τ )

(10)

и получим систему dz = A(τ )z + Y (τ ). dτ Решение последней системы можно записать в виде +∞ Z z(τ ) = X n−r (τ )zn−r (0) + K(τ, s)Y (s) ds. 0

(11)

332

Л. И. Каранджулов, Я. П. Стоянова

Согласно (10) yn−r (0) = zn−r (0). Подставляя (11) в (10), получаем (9). ¯ ¯ Фундаментальная матрица ˆ(τ ) системы dx dτ = (f11 + f12 H(τ ))x удовлетворяет неравенству [1] kˆ(τ )ˆ−1 (s)k ≤ β ∗ exp(−κ∗ (τ − s)),

0 ≤ s ≤ τ.

Тогда непосредственно можно проверить, что решение (9) экспоненциально убывает.  Рассмотрим для (t, α0 (t)) ∈ Š2 ортопроекторы PA (t, α0 (t)) : Rn → ker A(t, α0 (t)),

PA∗ (t, α0 (t)) : Rn → ker A∗ (t, α0 (t)),

где A(t, α0 (t)) — (n×n)-матрица и rank A(t, α0 (t)) = n−r. Тогда rank PA (t, α0 (t)) = rank PA∗ (t, α0 (t)) = r. Следовательно, в (n × n)-матрице PA (t, α0 (t)) существуют r линейно независимых столбцов, а в (n × n)-матрице PA∗ (t, α0 (t)) — r линейно независимых строк. Пусть PAr (t, α0 (t)) — (n × r)-матрица, составленная из произвольных r линейно независимых столбцов матрицы PA (t, α0 (t)), а PAr ∗ (t, α0 (t)) — (r × n)-матрица, составленная из произвольных r линейно независимых строк матрицы PA∗ (t, α0 (t)). Обозначим через D(t) (r × r)-матрицу D(t) = PAr ∗ (t, α0 (t))PAr (t, α0 (t)). Лемма 3. Пусть матрица A(t, α0 (t)) удовлетворяет условию (У5). Тогда rank D(t) = r для любого t ∈ [a, b] \ {τ1 , τ2 , . . . , τp }. 3. Формальное асимптотическое разложение Формальное асимптотическое разложение решения задачи (1)–(3) будем искать в виде x(t, ε) ≡ xi (t, ε) =

∞ X


εk xik (t) + …ik (νi ) ,

νi =

k=0

t − τi−1 , ε

(12)

где t ∈ [τ0 , τ1 ] при i = 1 и t ∈ (τi−1 , τi ] при i = 2, p + 1, xik (t) — элементы регулярного ряда, …ik (νi ) — пограничные функции в окрестности t = τi−1 . Представляя f (t, x, ε) в виде [1] ∞ X

f (t, x, ε) =

εk f¯ki (t) +

k=0

∞ X

εk …ik f (νi )

k=0

и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ε, причем отдельно зависящие от t и отдельно зависящие от νi , для определения коэффициентов xik (t) получаем систему
f t, xi0 (t), 0) = 0, (13)

dxi fx0 t, xi0 (t), 0 xik (t) = k−1 − gki t, xi0 (t), . . . , xik−1 (t) , dt k = 1, 2, 3, . . . , а для элементов d…i0 (νi )

…ik (νi ),

i = 1, p + 1,

k = 1, 2, 3, . . . , i = 1, p + 1, сингулярного ряда — системы

= f (τi−1 , xi0 (τi−1 ) + …i0 (νi ), 0), (14) dνi
d…ik (νi ) = fx0 τi−1 , xi0 (τi−1 + …i0 (νi ), 0)…ik (νi ) + Gik (νi , …i0 (νi ), . . . , …ik−1 (νi )), dνi

Обобщенная задача Коши

333

3.1. Модификация задачи. Обобщенный характер импульсных и начальных условий показывает необходимость модификации задачи, которая заключается в объединении начальных и импульсных условий, как это сделано в [4]. Введем обозначения: Q0 = [D, ‚1 , . . . , ‚p ]T — (ν × n)-матрица, Qi = [‚0 , . . . , ‚i−1 , Ni , ‚i+1 , . . . , ‚p ]T — (ν × n)-матрица, i = 1, p − 1,

(15)

T

Qp = [‚0 , ‚1 , ‚2 , . . . , ‚p−1 , Np ] — (ν × n)-матрица, s × n)-матрица с нулевыми элементами, а где ν = s¯ + k1 + k2 + · · · + kp , ‚0 — (¯ ‚i , i = 1, 2, . . . , p, — (ki × n)-матрица с нулевыми элементами, R1 = [‚0 , M1 , ‚2 , . . . , ‚p ]T — (ν × n)-матрица, Ri = [‚0 , . . . , ‚i−1 , Mi , ‚i+1 , . . . , ‚p ]T — (ν × n)-матрица, i = 2, p − 1,

(16)

T

Rp = [‚0 , ‚1 , ‚2 , . . . , ‚p−1 , Mp ] — (ν × n)-матрица; h = [v, h1 , h2 , . . . , hp ]T — ν-мерный вектор.

(17)

С учетом обозначений (15)–(17) начальные и импульсные условия объединяются следующим образом: p X i=0

Qi xi+1 (τi , ε) +

p X

Ri xi (τi , ε) = h.

i=1

Подставляя (12) в последнее равенство и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ε, находим    p p X
X τi − τi−1 i+1 i i Qi xi+1 (τ ) + … (0) + R x (τ ) + … = h, (18) i i 0 i 0 0 0 ε i=0 i=1    p
X τi − τi−1 i+1 i i Qi xi+1 (τ ) + … (0) + R x (τ ) + … = 0, i i i k k k k ε i=0 i=1

p X

(19)

k = 1, 2, 3, . . . . 3.2. Определение xi0 (t), …i0 (νi ), i = 1, p + 1. Система для определения — это вырожденная система (4). В силу условия (У3) она имеет решение (5), которое можно записать в виде
xi0 (t) = ϕi0 t, α0i (t) , t ∈ [τ0 , τ1 ] при i = 1 и t ∈ (τi−1 , τi ] при i = 2, p + 1, (20) где α0i (t) — произвольные r-мерные вектор-функции. Полностью xi0 (t) определяются из условия разрешимости  
dxi0 (t)
r i i i PA∗i t, α0 (t) − g1 t, x0 (t) = 0, i = 1, p + 1, dt xi0 (t)

системы (13) при k = 1:

dxi (t) Ai t, α0i (t) xi1 (t) = 0 − g1i t, xi0 (t) , dt

i = 1, p + 1,

334

Л. И. Каранджулов, Я. П. Стоянова



где Ai t, α0i (t) = fx0 t, ϕi0 (t, α0i (t)), 0 , i = 1, p + 1, и равенства (18). Для α0i (t) получаем систему

dα0i (t) Bi t, α0i (t) = E0i t, α0i (t) , dt где Bi (t, α0 (t)) — (r × r)-матрица вида

i = 1, p + 1,



dϕi0
Bi t, α0i (t) = PAr ∗i t, α0i (t) t, α0i (t) , i dα0

i = 1, p + 1,


а E0i t, α0i (t) — r-мерная вектор-функция вида  



dϕi0 t, α0i (t) − g1i t, α0i (t) , E0i t, α0i (t) = PAr ∗i t, α0i (t) dt Согласно условиям (У3) и (У5) имеем

rank Bi t, α0i (t) = r ∀ t, α0i (t) ∈ Š2 ,

(21)

i = 1, p + 1.

i = 1, p + 1.

Тогда систему (21) можно записать в виде

dα0i = Bi−1 t, α0i (t) E0i t, α0i (t) , i = 1, p + 1. (22) dt Пусть система (22) с начальными α0i (τi−1 ) = η0i ∈ Rr , i = 1, p + 1,

i условиями i

имеет решение α0 (t) такое, что α0 (t) ≤ ρ2 , t ∈ [τ0 , τ1 ] при i = 1 и t ∈ (τi−1 , τi ] при i = 2, p + 1. Для …i0 (νi ) из (14) получаем систему
d…i0 (νi ) = f τi−1 , xi0 (τi−1 ) + …i0 (νi ), 0 , dνi

i = 1, p + 1.

(23)

В силу леммы 1 система (23) имеет экспоненциально убывающее решение при νi → +∞, если начальный вектор …i0 (0) удовлетворяет равенству i
i …0 (0) = Pei …0 (0), α0i (τi−1 ) , (24)  τ1 −τ0   τi −τi−1  где ν1 ∈ 0, ε при i = 1 и νi ∈ 0, при i = 2, p + 1, …i0 (0) = ε i i
i i T …0 (0), …0 (0) , …0 (0) — (n − r)-мерный вектор, …0 (0) — r-мерный вектор, а i
i Si+ : …0 (νi ) = Pei …0 (νi ), α0i (τi−1 ) , i = 1, p + 1, — (n − r)-мерное устойчивое многообразие системы (23) на каждом промежутке [τi−1 , τi ], i = 1, p + 1. i Пусть …0 (0) = ci0 ∈ Rn−r , i = 1, p + 1. Тогда для окончательного определения xi0 (t) и …i0 (νi ) необходимо найти неизвестные постоянные векторы η0i , ci0 , i = 1, p + 1. Подставляя xi0 (t) из (20) в (18) и учитывая (24), получаем систему p X





i+1 i+1 T e Qi ϕi+1 τi , η0i+1 + ci+1 0 0 , Pi+1 c0 , η0

i=0 p X

+

       T 
i τi − τi−1 i τi − τi−1 Ri ϕi0 τi , α0i (τi ) + …0 , Pei …0 , α0i (τi ) = h. ε ε i=1 (25)

Система (25) является нелинейной системой ν уравнений относительно n(p + 1) неизвестных ci0 ∈ Rn−r , η0i ∈ Rr , i = 1, p + 1. Она может иметь единственное решение, параметрическое решение или не иметь решения.

Обобщенная задача Коши

335

Теорема 1. Пусть выполнены условия (У1)–(У6). Тогда элементы xi0 (t), i = 1, p + 1, регулярного ряда имеют вид (20), где функции α0i (t), i = 1, p + 1, определяются из системы дифференциальных уравнений (22) с начальными условиями α0i (τi−1 ) = η0i , i = 1, p + 1. Пограничные функции …i0 (νi ), i = 1, p + 1, удовлетворяют системе дифференциальных уравнений (14) при k = 0 и экспоненциально убывают. Постоянные векторы η0i , ci0 , i = 1, p + 1, удовлетворяют нелинейной системе (25). 3.3. Определение xi1 (t), …i1 (νi ), i = 1, p + 1. Из (13) получаем систему для определения xi1 (t): Ai (t)xi1 (t) =


dxi0 − g1i t, xi0 (t) , dt

i = 1, p + 1,

(26)


где Ai (t) = Ai t, α0i (t) , вектор-функция α0i (t) определена из (22) и (25). Система (26) имеет решение  i 
dx0 + i r i i i x1 (t) = PAi (t)α1 (t) + Ai (t) − g1 t, x0 (t) , i = 1, p + 1, dt

(27)

тогда и только тогда, когда справедливо равенство   i
dx0 i i r − g1 t, x0 (t) = 0, i = 1, p + 1. PA∗i (t) dt Последнее равенство выполнено, потому что из него были определены функции α0i (t), i = 1, p + 1. В (27) через A+ i (t) обозначена единственная по Муру — Пенроузу псевдообратная матрица матрицы Ai (t) [5, 6]. Из условия разрешимости  i 
dx1 PAr ∗i (t) − g2i t, xi0 (t), xi1 (t) = 0 dt системы (9) относительно xi2 (t) для α1i (t) получаем систему Di (t)


dα1i = E1i t, α1i (t) , dt

t ∈ [τ0 , τ1 ], t ∈ (τi−1 , τi ], i = 2, p + 1,

(28)

где

E1i t, α1i (t) = PAr ∗i (t)g2i t, xi0 (t), xi1 (t)   i 
dP r (t) d dx0 + r i i − PA∗i (t) Ai (t) − g1 t, x0 (t) − PAr ∗i (t) Ai α1i (t), dt dt dt Di (t) = PAr ∗ (t)PAr i (t) — (r × r)-матрица. i В силу леммы 3 имеем rank Di (t) = r для любого t ∈ [a, b] \ {τ1 , τ2 , . . . , τp }, i = 1, p + 1. Тогда система (28) принимает вид
dα1i = Di−1 (t)E1i t, α1i (t) , dt

i = 1, p + 1.

(29)

Из (14) для пограничных функций …i1 (νi ) получим

d…i1 (νi ) = fx0 τi−1 , xi0 (τi−1 )+…i0 (νi ), 0 …i1 (νi )+Gi1 νi , …i0 (νi ) , dνi

i = 1, p + 1. (30)

336

Л. И. Каранджулов, Я. П. Стоянова



Для Gi1 τ, …i0 (νi ) верна оценка [1] Gi1 νi , …i0 (νi ) ≤ c∗ exp(−α∗ νi ), а для …i0 (νi ) согласно теореме 1 выполнено lim …i0 (νi ) = 0. Тогда система (30) в силу лемνi →∞

мы 2 имеет экспоненциально убывающее решение вида Z∞ …i1 (νi )

=

i Xn−r (νi )ci1

i

νi ≥ 0, ci1 ∈ Rn−r .

K i (νi , s)G1 (s) ds,

+

(31)

0

Здесь
T i G1 (νi ) = Gi11 (νi ), Gi12 (νi ) − Hi (νi )Gi11 (νi ) ,

Gi1 (νi ) = (Gi11 (νi ), Gi12 (νi ))T ,


∂ Pei i …0 (νi ), α0i (τi−1 ) , ∂t

Hi (νi ) =

i (νi ) — (n×(n−r))-матрица, составленная из первых n−r столбцов матрицы Xn−r i

i

X i (νi ) = S (νi )X (νi ),

 i

S (νi ) =

En−r 0 Hi (νi ) Er

 ,

i

dx X (νi ) — нормальная матрица системы dν = Ai (νi )x, i   f¯11 + f¯12 Hi (νi ) f¯12 Ai (νi ) = , 0 f¯22 − Hi (νi )f¯12 i

i

i

K i (νi , s) = S (νi )K (νi , s) и матрица K (νi , s) имеет вид ( i i X (νi )P i (X )−1 (s), 0 ≤ s ≤ νi < +∞, i K (νi , s) = i i −X (νi )(I − P i )(X )−1 (s), 0 ≤ νi ≤ s < +∞, P i , i = 1, p + 1, — спектральный проектор матрицы Ai (νi ) на левую полуплоскость. Подставляя (27) и (31) в (19) при k = 1, получаем p+1 X


li α1i (·) + D1i (ε)ci1 = h1 (ε),

(32)

i=1

где li xi (·) = Qi−1 PAr i (τi−1 )xi (τi−1 ) + Ri PAr i (τi )xi (τi ), lp+1 xp+1 (·) = Qp PAr p+1 (τp )xp+1 (τp ),   τi − τi−1 i i D1i (ε) = Qi−1 Xn−r (0) + Ri Xn−r , ε

i = 1, p,

i = 1, p,

p+1 (0), D1p+1 (ε) = Qp Xn−r

 p X

h1 (ε) = −



Z∞

i+1 K i+1 (0, s)G1 (s) ds

¯i+1 Qi x 1 (τi ) +

i=0

0 p X

− i=1





Z∞

¯i1 (τi ) + R i x

Ki 0

  τi − τi−1 i , s G1 (s) ds , ε

Обобщенная задача Коши

337



x ¯i1 (t) = A+ ˙ i0 (t) − g1i t, xi0 (t) . i (t) x Введем обозначения:
1 p+1 D1 (ε) = D1 (ε), . . . , D1 (ε) — (ν × (n − r)(p + 1))-матрица;
T c1 = c11 , c21 , . . . , cp+1 — (n − r)(p + 1)-мерный вектор; 1 E = (Eν , Eν , . . . , Eν ) — (ν × (p + 1)ν)-матрица; | {z } Eν — единичная (ν × ν)-матрица;
T lα1 (·) = l1 α11 (·), l2 α12 (·), . . . , lp+1 α1p+1 (·) — ν(p + 1)-мерный вектор. С учетом обозначений (33) систему (32) можно записать так:   lα1 (·) (E D1 (ε)) = h1 (ε). c1

(33)

(34)

Поскольку мы рассматриваем задачи с начальными данными, матрица D1 (ε)

γ q имеет структуру D1 (ε) = D10 + O ε exp − ε , а вектор h1 (ε) — структу

ру h1 (ε) = h10 + O εs exp − δε , где D10 — постоянная (ν × (n − r)(p + 1))

матрица, h10 — ν-мерный постоянный вектор, s, q ∈ N, γ > 0, а O εq exp − γε

и O εs exp − δε — здесь и в дальнейшем матрицы соответствующих размерностей, компоненты которых бесконечно малые по отношению к произвольной степени ε.



Так как элементы O εq exp − γε и O εs exp − δε сколь угодно малы при
ε → 0, для D1 (ε) получаем kD1 (ε)k = O(1) + O εq exp(− γε ) . Последнее равенство при ε → 0 принимает вид kD1 (ε)k = O(1). Аналогично kh1 (ε)k = O(1). Поэтому для упрощения выкладок можно опустить экспоненциально малые элементы в D1 (ε) и h1 (ε). Тогда система (34) примет вид   lα1 (·) (E D10 ) = h10 . (35) c1 Разность решений систем экспоненциально малым элемен

(35) и (34) является

том вида O εq exp − γε и O εs exp − δε . Тогда при ε → 0 решение системы (35) — это решение системы (34). С учетом обозначений (33) (E D10 ) — (ν × (n − r + ν)(p + 1))-матрица ранга ν. Тогда система (35) имеет параметрическое решение   lα1 (·) + k = PD ξ + D10 h10 , ξ1 ∈ Rk , k = (n − r + ν)(p + 1) − ν. (36) 10 1 c1 k Здесь D10 = (E D10 ), а через PD обозначена ((n − r + ν)(p + 1) × k)-матрица, 10 составленная из k произвольных линейно независимых столбцов матрицы PD10 , + PD10 : R(n−r+ν)(p+1) → ker D10 ; D10 — единственная псевдообратная матрица ∗ ∗ h10 = 0 матрицы D10 . В этом случае PD10 = 0 и условие разрешимости PD10 системы (35) всегда выполнено. Из (36) получаем

 k ν(p+1)  + ν(p+1) lα1 (·) = PD ξ1 + D10 h10 , 10  k (n−r)(p+1)  + (n−r)(p+1) c1 = PD10 ξ1 + D10 h10 ,

338

Л. И. Каранджулов, Я. П. Стоянова

k где индекс ν(p + 1) показывает, что взяты первые ν(p + 1) строк матрицы PD 10 + и первые ν(p + 1) компонент вектора D10 h10 , а индекс (n − r)(p + 1) — что взяты + k последние (n − r)(p + 1) строк матрицы PD и компонент вектора D10 h10 . 10 С учетом обозначений (33) получаем  +  k ν(p+1) ν(p+1) ξ1 + D10 h10 νi , li α1i (·) = PD 10 νi (37)  k (n−r)(p+1)  + (n−r)(p+1) c1 = PD10 (n−r) ξ1 + D10 h10 (n−r) , i = 1, p + 1, i

i

 k ν(p+1) и первые ν компонент вектора где ν1 — первые ν строк матрицы PD 10  + ν(p+1) D10 h10 , ν2 — вторые ν строк и т. д., а (n − r)1 — первые n − r строк  + (n−r)(p+1)  k (n−r)(p+1) и компонент вектора D10 h10 , (n − r)2 — матрицы PD10 вторые n − r компонент и т. д. Подставляя (37) в (31), для …i1 (νi ) получаем i

i en−r …i1 (νi ) = X (νi )ξ1 + …1 (νi ),

где

i = 1, p + 1,

(38)

 k (n−r)(p+1) i i en−r X (νi ) = Xn−r (νi ) PD , 10 (n−r)i i …1 (νi )

=

 + (n−r)(p+1) D10 h10 (n−r) +

i Xn−r (νi )

Z∞ i

K i (νi , s)G1 (s) ds.

i

0

Учитывая (29) и (37), для dα1i (t) dt

α1i (t)

получаем нелинейную краевую задачу


i = E 1 t, α1i (t) ,

li α1i (·) = hi1 (ξ1 ),

(39)

где t ∈ [τ0 , τ1 ] при i = 1 и t ∈ (τi−1 , τi ] при i = 2, p + 1,

i E 1 t, α1i (t) = Di−1 (t)E1i t, α1i (t) , hi1 (ξ1 ) = B1i ξ1 + bi1 ,  k ν(p+1) B1i = PD , 10 ν i

 + ν(p+1) bi1 = D10 h10 ν , i

i = 1, p + 1. +

Введем обозначения: Qi = li E — (ν × r)-матрица, rank Qi = ni ; Qi — псевдообратная (r × ν)-матрица матрицы Qi ; PQmi — (r × mi )-матрица, составi

ленная из произвольных mi (mi = r − ni ) линейно независимых столбцов матрицы PQ : Rr → ker Qi ; PQdi∗ — (di × ν)-матрица, составленная из произвольi

i

∗

ных di (di = ν − ni ) линейно независимых строк матрицы PQ∗ : Rν → ker Qi ; i α10 = PQmi cmi , cmi ∈ Rmi — решение порождающей системы i

Ai1 (t, cmi )

dαi1 dt

i

= 0, li α1i (·) = 0;


 i 1, τi−1 ≤ τ ≤ t ≤ τi , ∂E 1 t, α1i (t) = ; g(t, τ ) = i ∂α1 0, τi−1 ≤ t ≤ τ ≤ τi ; αi1 =αi10 (t,cmi )   Zτi B0i = PQdi∗ li E − li g(·, τ )Ai1 (τ ) dτ  PQmi i

i

τi−1 d ∗ ∗ : R i → ker B , i = — (di × mi )-мерная матрица; PB0i : Rmi → ker B0i , PB0i 0i 1, p + 1.

Обобщенная задача Коши

339

Согласно теореме 2 из [7] для любого корня cmi = c∗mi ∈ Rmi уравнения   Zτi
i di  i i g(·, τ )E 1 α10 (cmi ), τ dτ  = 0 PQ∗ h1 (ξ1 ) − li i

τi−1 di i i ∗ ∗ P ∗ = 0 существует единственное решение α (t) = α (c при PB0i = 0, PB0i 1 1 mi , t) Q i

краевой задачи (39) в достаточно малой окрестности порождающего решения i α10 = PQmi cmi . i Введем обозначения: Pi (ξ1 ) = li ˆi (·, ξ1 )ˆ−1 i (τi−1 , ξ1 ) — (ν × r)-матрица, i = 1, p + 1;
T η2 = η21 , η22 , . . . , η2p+1 — (p + 1)r-мерный вектор;
T c2 = c12 , c22 , . . . , cp+1 — (p + 1)(n − r)-мерный вектор; 2 p+1 X

h20 (ξ1 ) = −

¯i2 (·, ξ1 ) — ν-мерный вектор; li x

(40)

i=1

P (ξ1 ) = (P1 (ξ1 )P2 (ξ1 ) . . . Pp+1 (ξ1 )) — (ν × (p + 1)r)-матрица; R(ξ1 , ε) = (P (ξ1 ) D1 (ε)) — (ν × (p + 1)n)-матрица; z2 = (η2 , c2 )T — (p + 1)n-мерный вектор. Лемма 4. Постоянный вектор ξ1 ∈ Rk удовлетворяет нелинейному уравнению PRs 0∗ (ξ1 )h20 (ξ1 ) = 0. (41) Доказательство. Система (13) при k = 2 имеет решение   i
dx1 + i i i r i − g2 t, x0 (t), x1 (t) , i = 1, p + 1, (42) x2 (t) = PAi (t)α2 (t) + Ai (t) dt
где функция g2i t, xi0 (t), xi1 (t) = g2i (t, ξ1 ) нелинейна относительно xi1 (t) [1, 2], следовательно, она нелинейна относительно ξ1 . Решение (42) можно записать в виде xi2 (t) = PAr i (t)α2i (t) + x ¯i2 (t, ξ1 ),

i = 1, p + 1,

(43)



dxi1 i i ¯i2 (t, ξ1 ) = A+ где x i (t) dt − g2 t, x0 (t), x1 (t) . Согласно лемме 2 решение системы (14) при k = 2 имеет вид Z∞ …i2 (νi )

=

i Xn−r (νi )ci2

i

K i (νi , s)G2 (s) ds,

+

ν ≥ 0, ci2 ∈ Rn−r , i = 1, p + 1. (44)

0

Здесь
T i G2 (νi ) = Gi21 (νi ), G22 (νi ) − Hi (νi )Gi21 (νi ) ,


T Gi2 (ν) = Gi21 (νi ), Gi22 (νi ) .

Подставляя (43) и (44) в (19) при k = 2, получаем p+1 X i=1


i ¯ 2 (ξ1 , ε), li α2i (·) + D1 (ε)ci2 = h

(45)

340

Л. И. Каранджулов, Я. П. Стоянова

где



¯ 2 (ξ1 , ε) = − h

p X



Z∞

i+1 K i+1 (0, s)G2 (s, ξ1 ) ds

¯i+1 Qi x 2 (τi , ξ1 ) +

i=0

 p X

−

0



Z∞

¯i2 (τi , ξ1 ) + Ri x

i=1

Ki

  τi − τi−1 i , s G2 (s, ξ1 ) ds . ε

0

Из условия разрешимости системы (13) для xi3 (t) получаем уравнение для α2i (t) вида dα2i = Hi (t, ξ1 )α2i (t) + E2i (t, ξ1 ), i = 1, p + 1, (46) dt где Hi (t, ξ1 ) = Di−1 (t)PAr ∗i (t)bi (t, ξ1 )PAr i (t),   d¯ xi2 −1 i r i i x2 (t, ξ1 ) + g¯3 (t, ξ1 ) − (t, ξ1 ) E2 (t, ξ1 ) = Di (t)PA∗i (t) bi (t, ξ1 )¯ dt и функции bi (t, ξ1 ) и g¯3i (t, ξ1 ) выражаются определенным образом через xi0 (t) и xi1 (t). Решение дифференциальной системы (46) имеет вид Zt α2i (t, ξ1 )

=

i ˆi (t, ξ1 )ˆ−1 i (τi−1 , ξ1 )η2

+

i ˆi (t, ξ1 )ˆ−1 i (s, ξ1 )E2 (s, ξ1 ) ds,

(47)

τi−1

η2i ∈ Rr , t ∈ [τ0 , τ1 ] при i = 1, t ∈ (τi−1 , τi ] при i = 2, p + 1, а ˆi (t, ξ1 ) — фундаментальная матрица решения системы dx dt = Hi (t, ξ1 )x. Согласно обозначению (40) система (45) принимает вид ¯ 2 (ξ1 , ε). R(ξ1 , ε)z2 = h

(48) s

− αε





, а вектор Матрица R(ξ1 , ε) имеет структуру R(ξ1 , ε) = R0 (ξ1 ) + O ε exp

¯ 2 (ξ1 , ε) — структуру h ¯ 2 (ξ1 , ε) = h20 (ξ1 ) + O εs exp − α , где R0 (ξ1 ) — постоh ε янная (ν × (p + 1)n)-матрица, h20 (ξ1 ) — ν-мерный постоянный вектор, s ∈ N. ¯ 2 (ξ1 , ε). Тогда система Опустим экспоненциально малые элементы в R(ξ1 , ε) и h (48) примет вид R0 (ξ1 )z2 = h20 (ξ1 ). (49) Пусть rank R0 (ξ1 ) = s1 ≤ min(ν, (p + 1)n) для всех ξ1 ∈ Rk . Тогда rank PR0 (ξ1 ) = (p + 1)n − s1 = q, а rank PR0∗ (ξ1 ) = ν − s1 = s для всех ξ1 ∈ Rk , где PR0 (ξ1 ) : R(p+1)n → ker R0 (ξ1 ), PR0∗ (ξ1 ) : Rν → ker R0∗ (ξ1 ). Через PRq 0 (ξ1 ) обозначим ((p + 1)n × q)-матрицу, столбцы которой являются произвольными q линейно независимыми столбцами матрицы PR0 (ξ1 ), а через PRs ∗ (ξ1 ) — (s × ν)-матрицу, 0 строки которой являются произвольными s линейно независимыми строками матрицы PR0∗ (ξ1 ). Система (49) имеет решение z2 = PRq 0 (ξ1 )ξ2 + R0+ h20 (ξ1 ) тогда и только тогда, когда выполнено PRs 0∗ (ξ1 )h20 (ξ1 ) = 0, т. е. ξ1 определяется из этого уравнения. 

Обобщенная задача Коши

341

Теорема 2. Пусть выполнены условия (У1)–(У6), условия теоремы 1, PBi0 d k ∗ P ∗ = 0 и rank R0 (ξ1 ) = s1 ≤ min(ν, (p + 1)n) при всех ξ1 ∈ R . Тогда = 0, PBi0 Qi i i коэффициенты ряда (12) x1 (t), …1 (νi ), i = 1, p + 1, имеют вид (27), (31). Функции α1i (t), i = 1, p + 1, удовлетворяют нелинейной краевой задаче (39), а вектор ξ1 ∈ Rk — уравнению (41). Пограничные функции …i1 (νi ), i = 1, p + 1, имеют экспоненциальную оценку

i

…1 (νi ) ≤ c∗ exp(−α∗ νi ), νi ≥ 0, i = 1, p + 1, где c∗ , α∗ — положительные постоянные. 3.4. Определение элементов xik (t), …ik (νi ), k = 2, 3, 4, . . . , i = 1, p + 1. Системы (13) при k = 2, 3, 4, . . . имеют решения xik (t) = PAr i (t)αki (t) + x ¯ik (t),

(50)

t ∈ [τ0 , τ1 ] при i = 1 и t ∈ (τi−1 , τi ] при i = 2, p + 1, где  i 
dxk−1 i i i ¯ik (t) = A+ x (t) − g t, x (t), . . . , x (t) . k 0 k−1 i dt Из условия разрешимости систем (13) относительно xik (t), k = 3, 4, . . . , для функции αki (t), k = 2, 3, 4, . . . , получаем dαki = Hi (t)αki + Eki (t), dt

k = 2, 3, 4, . . . , i = 1, p + 1,

(51)

где Eki (t) выражаются определенным образом через xi0 (t), xi1 (t), . . . , xik−1 (t), Hi (t) ≡ Hi (t, ξ1 ), a ξ1 уже определено из (41). Решение систем (51) при k = 2, 3, 4, . . . можно записать в виде Zt αki (t)

=

i ˆi (t)ˆ−1 i (τi−1 )ηk

i ˆi (t)ˆ−1 i (s)Ek (s) ds,

+

ηki ∈ Rr , i = 1, p + 1. (52)

τi−1

Подставим (52) в (50). Тогда xik (t) примут вид ¯¯ik (t), xik (t) = ˆri (t, τi−1 )ηki + x

k = 2, 3, 4, . . . , i = 1, p + 1,

(53)

где Zt ¯¯ik (t) = PAr (t) ˆri (t, τi−1 ) = PAr i (t)ˆi (t)ˆ−1 i (τi−1 ), x i

i ¯ik (t). ˆi (t)ˆ−1 i (s)Ek (s) ds + x

τi−1

Согласно лемме 3 для …ik (νi ) получаем Z∞ …ik (νi )

=

i Xn−k (νi )cik

i

K i (νi , s)Gk (s) ds,

+

k = 2, 3, 4, . . . , i = 1, p + 1,

(54)

0

где

cik

∈R

n−r

,


T i Gk (νi ) = Gik1 (νi ), Gik2 (νi ) − Hi (νi )Gik1 (νi ) ,


T Gik (νi ) = Gik1 (νi ), Gik2 (νi ) .

Подставляя (53) и (54) в (19), получаем систему, аналогичную системе (48): R(ε)zk = hk (ε),

k = 2, 3, 4, . . . ,

(55)

342

Л. И. Каранджулов, Я. П. Стоянова


T где R(ε) ≡ R(ξ1 , ε) и ξ1 уже определены, zk = ηk , ck — (p + 1)n-мерный

вектор, ηk = ηk1 , ηk2 , . . . , ηkp+1 — (p + 1)r-мерный вектор, ck = c1k , . . . , cp+1 — k (p + 1)(n − r)-мерный вектор,   Z∞ p X i+1 ¯ k (ε) = − ¯i+1 h Qi x K i+1 (0, s)Gk (s) ds k (τi ) + i=0

0

 p X

− i=1



Z∞

¯ik (τi ) + Ri x

Ki

  τi − τi−1 i , s Gk (s) ds , ε

k = 2, 3, 4, . . . .

0



Матрица R(ε) имеет структуру R(ε) = R0 + O εs exp − αε , а вектор hk (ε)

— структуру hk (ε) = hk0 + O εs exp − αε . Опуская экспоненциально малые элементы в (55), получаем линейную систему R0 zk = hk0 ,

k = 2, 3, 4, . . . .

(56)

Поскольку rank R0 = s1 ≤ min(ν, (p + 1)n), для решения системы (56) имеем zk = PRq 0 ξk + R0+ hk0 ,

k = 2, 3, 4, . . . , ξk ∈ Rq ,

(57)

тогда и только тогда, когда выполнено условие PRs 0∗ hk0 = 0,

k = 2, 3, 4, . . . .

(58)

Подставим (57) в (53) и (54). Тогда e ri (t, τi−1 )ξk + x ˜ik (t), xik (t) = ˆ

i en−k e ik (νi ), …ik (νi ) = X (νi )ξk + …

k = 2, 3, 4, . . . ,

i = 1, p + 1,

(59)

где ¯¯ik (t), x ˜ik (t) = ˆri (t, τi−1 )R0+ hk0 + x

e r (t, τi−1 ) = ˆr (t, τi−1 )P q , ˆ i i R0 i i en−k X (νi ) = Xn−k PRq 0 ,

i i e ik (νi ) = Xn−k … R0+ hk0 + …k (νi ).

Замечание 1. Постоянный вектор ξ2 ∈ Rq удовлетворяет системе (58) при k = 3: PRs 0∗ hk0 (ξ2 ) = 0. (60) Система (60) нелинейная относительно ξ2 в силу того, что функции E3i , i = 1, p + 1, нелинейны относительно xi2 (t), а следовательно, ξ2 . Далее, из условия разрешимости (58) системы (56) получаем линейную систему относительно ξk , k = 3, 4, 5, . . . : V ξk = −PRs 0∗ dk+1,0 ,

k = 3, 4, 5, . . . ,

(61)

где V = PRs ∗ R0 — постоянная (s × q)-матрица, dk+1,0 — ν-мерный постоянный 0 вектор, а hk+1,0 = R0 ξk + dk+1,0 , k = 3, 4, 5, . . . . Пусть rank V = s = q. Тогда система (61) имеет единственное решение вида ξk = −V −1 PRs 0∗ dk+1,0 , Таким образом, доказана следующая

k = 3, 4, 5, . . . .

(62)

Обобщенная задача Коши

343

Теорема 3. Пусть выполнены условия (У1)–(У6), условия теорем 1, 2 и rank V = s = q. Тогда задача (1)–(3) имеет формальное асимптотическое разложение решения вида (12). Элементы xi0 (t), …i0 (νi ), i = 1, p + 1, определяются из (20), (22) и (25). Элементы xi1 (t), …i1 (νi ), i = 1, p + 1, имеют вид (27), (31), где функции α1i (t), i = 1, p + 1, удовлетворяют нелинейной краевой задаче (39), а вектор ξ1 ∈ Rk — уравнению (41). Все остальные элементы разложения (12) имеют представление (59), где вектор ξ2 ∈ Rq удовлетворяет уравнению (60), а векторы ξk ∈ Rq , k = 3, 4, 5, . . . , имеют вид (62). Пограничные функции удовлетворяют неравенству

i

…k (νi ) ≤ c∗ exp(−α∗ νi ), νi ≥ 0, k = 0, 1, 2 . . . , i = 1, p + 1, где c∗ и α∗ — положительные постоянные. 4. Оценка остаточного члена асимптотического ряда Пусть u(t, ε) = x(t, ε) − Xµ+1 (t, ε),

(63)

где x(t, ε) — решение задачи (1)–(3) и µ+1 X

Xµ+1 (t, ε) =


εk xik (t) + …ik (νi ) ,

i = 1, p + 1.

k=0

Используя схему доказательства из [1, 2] и необходимые изменения, следующие из обобщенных начальных и импульсных условий, покажем, что при определенных условиях выполнено kx(t, ε) − Xµ (t, ε)k ≤ cεµ+1 . Подставляя (63) в (1)–(3), получаем, что u(t, ε) удовлетворяет начально-импульсной задаче du = F (t, ε) + G(t, u, ε), Du(a, ε) = 0, dt Ni u(τi + 0) + Mi u(τi − 0) = 0, i = 1, p,

ε

(64)

i где u(t, ε) = ui (t, ε) = xi (t, ε) − Xµ+1 (t, ε), i = 1, p + 1, при этом t ∈ [τ0 , τ1 ] для i = 1, t ∈ (τi−1 , τi ] для i = 2, p + 1. Функция F (t, ε) имеет вид F (t, ε) = F i (t, ε) = fx0 (t, xi0 (t) + …i0 (νi ) + ui (t, ε), ε), а функция G(t, u, ε) — вид ! µ+1 X
k i i i G(t, u, ε) = f t, ε xk (t) + …k (νi ) + u (t, ε), ε k=0 µ+1
d X k i − F (t, ε)u (t, ε) − ε ε xk (t) + …ik (νi ) . dt i

i

k=0

Выполняются следующие свойства [1, 2]: (a) kG(t, 0, ε)k ≤ c1 εµ+2 ; (b) если ku0 k ≤ c¯1 ε2 , ku00 k ≤ c¯1 ε2 , то существуют положительные постоянные c0 и ε0 такие, что при t ∈ [a, b]\{τ1 , τ2 , . . . , τp } и 0 < ε ≤ ε0 выполнено неравенство kG(t, u0 , ε) − G(t, u00 , ε)k ≤ c0 ε2 ku0 − u00 k. Если Ni и Mi — постоянные (n × n)-матрицы и det Ni 6= 0, i = 1, p, то, очевидно, (64) можно рассматривать так, как это сделано в [2]. В рассматриваемом случае

344

Л. И. Каранджулов, Я. П. Стоянова

вследствие обобщенных импульсных условий нужен другой подход, при котором предварительно надо рассмотреть начально-импульсные сингулярные задачи ε

dx = B(t, ε)x + ϕ(t, ε), dt

t ∈ [a, b], t 6= τi , 0 < ε  1,

(65)

Dx(a) = 0,

(66)

Mi x(τi − 0) + Ni x(τi + 0) = 0,

i = 1, p.

(67)

Начальные и импульсные условия (66), (67) представим в виде p+1 X

li xi (·, ε) = 0,

(68)

i=1

где li xi (·, ε) = Qi−1 xi (τi−1 , ε) + Ri xi (τi , ε), i = 1, p,

lp+1 xp+1 (·, ε) = Qp xp+1 (τp , ε),

Qi , i = 0, p, и Ri , i = 1, p + 1, — матрицы из (15) и (16). Введем обозначения: Qi = ¯li W (·, τi−1 , ε), i = 1, p + 1, — (ν × n)-матрицы; x ¯ = (x1 (τ0 , ε), x2 (τ1 , ε), . . . , xp+1 (τp , ε))T — ν-мерный вектор; Q(ε) = (Q1 (ε), Q2 (ε), . . . , Qp+1 (ε)) — (ν × (p + 1)n)-матрица; ¯ h(ε) =−

Zt

p+1 X

li i=1

(69)

1 W (·, s, ε) ϕ(s, ε) ds — ν-мерный вектор, ε

τi−1

где W (t, s, ε) — фундаментальная матрица системы ε dx dt = B(t, ε)x и W (s, s, ε) = En . Матрица Q(ε) имеет структуру Q(ε) = Q0 + O(εq exp(− αε )), где Q0 — постоянная (ν × (p + 1)n)-матрица, q ∈ N, α — положительная постоянная. Пусть выполнены условия: (У7) rank Q0 = q0 ≤ min(ν, (p + 1)n); ∗ ¯ (У8) PQ∗ h(ε) = 0, здесь PQ∗ — ортопроектор PQ∗ : Rν → ker Q0 . 0

0

0

Лемма 5. Пусть выполнены условия (У7), (У8). Тогда начально-импульсная задача (65)–(67) имеет решение вида Zt i

i

x (t, ε) = W (t, τi−1 , ε)x (τi−1 , ε) +

1 W (t, s, ε) ϕ(s, ε) ds, ε

(70)

τi−1

где

 +  ¯ xi (τi−1 , ε) = [PQ ]ni η¯ + Q0 h(ε) , ni

(71)

0

η¯ ∈ Rn(p+1) , t ∈ [τ0 , τ1 ] для i = 1, t ∈ (τi−1 , τi ] для i = 2, p + 1, PQ — ор+

0

топроектор PQ : R(p+1)n ker Q0 , а Q0 — единственная по Муру — Пенроузу 0 псевдообратная матрица матрицы Q0 . Доказательство. Согласно формуле Коши решение системы (65)–(67) имеет вид (70). Следовательно, достаточно показать, что xi (τi−1 , ε), 1, p + 1, имеют представление (71).

Обобщенная задача Коши

345

Неизвестные постоянные векторы xi (τi−1 , ε), 1, p + 1, представляют собой решение системы p+1 X

Z(·)

p+1 X

i

li W (·, τi−1 , ε)x (τi−1 , ε) = − i=1

li i=1

1 W (·, s, ε) ϕ(s, ε) ds, ε

τi−1

которая получается после подстановки (70) в (68). Согласно обозначению (69) последнее равенство принимает вид ¯ Q(ε)¯ x = h(ε).

(72)

Опустим экспоненциально малые элементы матрицы Q(ε). Тогда система (72) будет иметь вид ¯ ¯ = h(ε). Q0 x (73) Решение (73) при выполнении условий (У7) и (У8) таково: + ¯ ¯ = PQ η¯ + Q0 h(ε), x

η¯ ∈ R(p+1)n .

0

(74)

¯ получаем (71).  Из (74) для компонент xi (τi−1 , ε), 1, p + 1, вектора x В задаче (64) выполним замену переменных, положив u = T (t)w, где T (t) — (n × n)-матрица с нерегулярными
элементами для t ∈ [a, b]\{τ1 , τ2 , . . . , τp }, преобразующая матрицу fx0 t, xi0 (t), 0 к клеточно-диагональному виду
T −1 (t)fx0 t, xi0 (t), 0 T (t) = diag{A(t), ‚}, где A(t) — ((n − r) × (n − r))-матрица, собственные числа которой имеют отрицательные вещественные части, ‚ — (r × r)-матрица с нулевыми элементами. При этом T (t) = Ti (t), A(t) = Ai (t), где t ∈ [τ0 , τ1 ] при i = 1, t ∈ (τi−1 , τi ] при i = 2, p + 1. Тогда задача (64) принимает вид dw = E(t, ε)w + G(t, w, ε), dt N i w(τi + 0) + M i w(τi − 0) = 0,

ε Dw(a, ε) = 0,

(75) i = 1, p,

где E(t, ε) = T −1 (t)F (t, ε)T (t) − εT −1 (t) D = DT (a),

N i = Ni T (τi ),

dT , dt

G(t, w, ε) = T −1 (t)G(t, w, ε),

M i = Mi T (τi ),

i = 1, p.

Матрица F (t, ε) имеет вид


F (t, ε) = fx0 t, xi0 (t), 0 + fx0 τi−1 , xi0 (τi−1 ) − …i0 (νi ), 0 − fx0 τi−1 , xi0 (τi−1 ), 0 + O(ε). В силу последнего равенства имеем E(t, ε) = T −1 (t)F (t, ε)T (t) − εT −1 (t)

dT = diag{A(t), ‚} + A(t, ε) + εB(t), dt


где kA(t, ε)k ≤ K exp −κ t−τεi−1 , i = 1, p + 1. Фундаментальная матрица V (t, s, ε) системы ε dw dt = E(t, ε)w удовлетворяет неравенству kV (t, s, ε)k ≤ c2 , где c2 — положительная постоянная. Функция G(t, w, ε) удовлетворяет свойствам (a) и (b) функции G(t, w, ε).

346

Л. И. Каранджулов, Я. П. Стоянова

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3, условия (У7), (У8) и c0 –c8 , d, ei , i = 1, p + 1, — положительные постоянные такие, что kG(t, 0, ε)k ≤ c1 εµ+2 ,

kG(t, w0 , ε) − G(t, w00 , ε)k ≤ c0 ε2 kw0 − w00 k,

kG(t, w, ε)k ≤ kG(t, 0, ε)k + c0 ε2 kwk, kwi (τi−1 , ε)k ≤ c3 εµ+1 , d = max (τi − τi−1 ),

c4 = c2 c3 + c1 c2 d,

kV (t, s, ε)k ≤ c2 ,

i = 1, p + 1, kli ψ(·)k ≤ ei kψ(·)k,

i = 1, p + 1,

i=1,p+1 p+1 X

ei = c5 ,

kPQ k ≤ c6 , 0

k¯ η k ≤ c7 ,

+

Q ≤ c8 , 0

c7 ≤

i=1

Если

 ε0 ≤ min

εµ+2 , c6

c3 > c8 c5 c2 c1 d.

 c3 − c8 c5 c2 c1 d 1 , , 2c2 c0 d 1 + 2c8 c5 c4 c2 c0 d

то kx(t, ε) − Xµ (t, ε)k ≤ cεµ+1 для t ∈ [a, b] \ {τ1 , τ2 , . . . , τp } и 0 < ε ≤ ε0 . Доказательство. Решение задачи (75) ищем в виде Zt i

i

w (t, ε) = V (t, τi−1 , ε)w (τi−1 , ε) +

1 V (t, s, ε) G(s, wi , ε) ds. ε

(76)

i = 1, p + 1.

(77)

τi−1

Пусть выполнено kwi (τi−1 , ε)k ≤ c3 εµ+1 ,

К интегральному уравнению (76) применим метод последовательных приближений: Zt w0i (t, ε)

= 0,

wji (t, ε)

i

= V (t, τi−1 , ε)w (τi−1 , ε) +


1 i V (t, s, ε) G s, wj−1 , ε ds. ε

τi−1

Для w1i (t, ε) получим

i

w1 (t, ε) ≤ c2 c3 εµ+1 +

Zt

1 c2 c1 εµ+2 ≤ (c2 c3 + c1 c2 d)εµ+1 = c4 εµ+1 . ε

τi−1

Следовательно,

D1 = w1i − w0i ≤ c4 εµ+1 .

i

Для Dj+1 = wj+1 − wji имеем Zt Dj+1 ≤

1 1 c2 c0 ε2 Dj ds ≤ c2 c0 dεDj ≤ Dj ε 2

(ε0 ≤ 1/(2c2 c0 d)).

τi−1

Тогда



i i

wj+1 ≤ wj+1 − wji + · · · + w1i − w0i = Dj+1 + Dj + · · · + D1   1 1 1 ≤ + + · · · + + 1 D1 ≤ 2D1 ≤ 2c4 εµ+1 . 2j 2j−1 2

Обобщенная задача Коши

347

Значит, kw(t, ε)k ≤ 2c4 εµ+1 ,

t ∈ [a, b]\{τ1 , τ2 , . . . , τp },

0 < ε ≤ ε0 .

Осталось проверить, что предположение (77) выполнено. Согласно лемме 5 для wi (τi−1 , ε) получаем систему ¯ x = h(ε), Q(ε)¯ где Q(ε) имеет вид (69), Qi = li V (·, τi−1 , ε), i = 1, p + 1, ¯ h(ε) =−

Zt

p+1 X

li i=1

x ¯ = (w1 (τ0 , ε), w2 (τ1 , ε), . . . , wp+1 (τp , ε))T ,

1 V (·, s, ε) G(s, wi , ε) ds, ε

  α  Q(ε) = Q0 + O εq exp − . ε

τi−1

Опуская экспоненциально малые элементы в Q(ε), получаем  +  ¯ wi (τi−1 , ε) = [PQ ]ni η¯ + Q0 h(ε) . ni 0

¯ Для вектора h(ε) имеем оценку ¯ kh(ε)k ≤

Z(·)

p+1 X

ei i=1

1 c2 (c1 εµ+2 + c0 ε2 2c4 εµ+1 ) ds ε

τi−1 p+1 X

≤

ei (c2 c1 + 2c4 c2 c0 ε)dεµ+1 = c5 d(c2 c1 + 2c4 c2 c0 ε)εµ+1 .

i=1

Тогда xk ≤ c6 c7 + c8 c5 d(c2 c1 + 2c4 c2 c0 ε)εµ+1 ≤ c3 εµ+1 . kwi (τi−1 , ε)k ≤ k¯ В силу того, что Xµ+1 (t, ε) = Xµ (t, ε) + O(εµ+1 ), находим kx(t, ε) − Xµ (t, ε)k ≤ cεµ+1 ,

t ∈ [a, b] \ {τ1 , τ2 , . . . , τp }, 0 < ε ≤ ε0 . 

Очевидно, x(t, ε) → x0 (t), когда ε → 0 и t ∈ (a, b] \ {τ1 , τ2 , . . . , τp }. 5. Пример Пусть t ∈ [0, 2], t 6= τ1 = 1, x = (x1 , x2 )T и в задаче (1)–(3)  (x1 x2 + εx2 , −x2 + ε)T , t ∈ [0, 1], f (t, x, ε) = (−x1 + 2x2 + 3ε(−x1 + 2x2 ) + 1, x1 − 2x2 − 1)T , t ∈ (1, 2], D = (2, 0), v = 2e, 

 1 1 N1 =  −1 2  , −1 2



 −1 2 M1 =  1 1  , 0 1

2

 −e h1 =  e − 4  . −4 5

Решение ищем в виде i

1 X

x(t, ε) = x (t, ε) = k=0


εk xik (t) + …ik (νi ) + O(ε2 ),

348

Л. И. Каранджулов, Я. П. Стоянова

где t ∈ [0, 1], ν1 = εt для i = 1 и t ∈ (1, 2], ν2 = t−1 ε для i = 2. Пусть t ∈ [0, 1]. Тогда система (13) при k = 0 принимает вид  1 1 
T x01 x02 = 0, x10 = x101 , x102 1 −x02 и имеет решение вида (20) x10 (t) ≡ ϕ10 (t) =

  1 α01 (t), 0

где α01 (t) — пока неизвестная функция.

 0 α01 (t) Матрица такова: = . Следовательно, 0 1  
1 0 0 1 , A+ t, α (t) =
1 0 1 2 α01 (t) + 1 α0 (t) 1  
1 1 1 1 1 1 α0 (t) , PA1 (t, α0 (t)) = , PA∗1 (t, α0 (t)) =
2 0 1 α0 (t) + 1 A1 (t, α01 (t))

B1 (t, α01 (t)) =



A1 (t, α01 (t))

1 ,
2 1 α0 (t) + 1

E01 (t, α01 (t)) =

α01 (t) .
2 α01 (t) + 1

dα1 (t)

0 Из системы (21) получаем уравнение dt = α01 (t), решение которого имеет 1 1 t 1 вид α0 (t) = η0 e , где η0 ∈ R. Для …10 (ν1 ) из (14) приходим к системе   1 d…10 (ν1 ) (η0 + …101 (ν1 ))…102 (ν1 ) , где …10 (ν1 ) = (…101 (ν1 ), …102 (ν1 ))T . = −…102 (ν1 ) dν1

Устойчивое многообразие S1+ этой системы имеет вид
1 …101 (ν1 ) = η01 e−…02 (ν1 ) − 1 . Пусть …102 (0) = c10 . Тогда последняя система согласно лемме 1 имеет экспоненциально убывающее решение   1 −ν1 η01 (ec0 e − 1) …10 (ν1 ) = , −c10 e−ν1
T 1 так как начальное условие …10 (0) = η01 (ec0 − 1), −c10 принадлежит многообразию S1+ . Аналогично при t ∈ (1, 2] получаем      −3ν  1 2 1 10t − 11 e 2 x20 (t) = η02 − , …20 (ν2 ) = c20 , −e−3ν2 5t − 3 5 1 5 где η02 , c20 ∈ R. Для окончательного вычисления xi0 (t), …i0 (νi ), i = 1, 2, надо определить η01 , 2 η0 , c10 и c20 . Это сделаем с помощью модификации задачи. Матрицы из (15) и (16) имеют вид       2 0 0 0 0 0 0 0  −1 2   1 1 Q0 =   , R1 =   , Q1 =  , 0 0 1 1 −1 2 0 0 0 1 −1 2

Обобщенная задача Коши

349


T а вектор h равен 2e, 52 − e, e − 4, −4 . Тогда из равенства (18) получаем систему вида (24)     2 0    0 0 !!   1 1 1 1 c10 e− ε η01 eη0 0 0  −1 2  η01 (ec0 − 1) − 1) η (e 0 + + +    1 0 0 0 1 1 0 −c10 −c10 e− ε 0 0 0 1     0 0    2e      2 1 −1 1  1 1 1 2  − e + η02 − + c20 =  5  . −1 2 2 −1 e−4 5 1 5 −1 2 −4 Опустим экспоненциально малые элементы. Тогда последняя система принимает вид 1

2η01 ec0 = 2e, 2 1 3 −eη01 + η02 − = −e + , 5 5 5 −1 − 3c20 + eη01 = −4 + e, −1 − 3c20 = −4. Следовательно, c20 = 1, η01 = 1, η02 = 1, c10 = 1. Тогда  t  −ν1  e ee −1 1 1 x0 (t) = , …0 (ν1 ) = , 0 −e−ν1  13   −3ν  − 2t e 2 2 2 5 x0 (t) = , …0 (ν2 ) = . −3ν2 4 −e 5 −t Для A1 (t) и A2 (t) получаем   0 et A1 (t) = , 0 −1

 A2 (t) =

−1 2 1 −2

 .

Пусть снова t ∈ [0, 1]. Для x11 (t) согласно (27) имеем     1 0 x11 (t) = α11 (t) + . 0 1 Для α11 (t) из (28) получаем систему e2t где D1 (t) =

1 e2t +1 ,

1 dα11 (t) 1 1 = 2t α1 (t) + 2t , + 1 dt e +1 1 e +1

D1−1 (t) = e2t + 1. Тогда последняя система принимает вид dα11 (t) = α11 (t) + 1 dt

и имеет решение α11 (t) = et η11 + et − 1, Следовательно,

 x11 (t) =

et 0



 η11 +

η11 ∈ R. et − 1 1

 .

350

Л. И. Каранджулов, Я. П. Стоянова

Система (30) относительно …11 (ν1 ) выглядит так:   
−ν1  −ν1 …1 (ν1 ) −e−ν1 ee − η11 + 1 + ν1 e−ν1 + ee −1 1 = …1 (ν1 ) + . 0 −1 0 dν1 1

1

(78)

Получаем S1+ : …101 (ν1 ) = e−…02 (ν1 ) − 1. Тогда H1 (ν1 ) = −e−…02 (ν1 ) = −ee Таким образом,     −ν1 −1 0 −ee 1 S 1 (ν1 ) = , , A1 (ν1 ) = 0 −e−ν1 1 0     1 0 0 0 P1 = , I − P1 = , 0 0 0 1   −ν1  −ν1  −ν1 −e−ν1 +e −ee −e−ν1 +e 1 X 1 (ν1 ) = , X (ν ) = , 1 1 e−ν1 0 e−ν1  −ν   ν  1 1 −1 e 1 0 e 1 0 −ν1 −ν1 X (ν1 ) = , (X ) (ν ) = , 1 0 −ee 0 −e−e    e−ν1 +s 0  , 0 ≤ s ≤ ν1 < +∞,   0 0 1 K (ν1 , s) =    0 0   , 0 ≤ ν1 ≤ s < +∞, −ν1 −s 0 ee −e   −ν1 +e−ν1 +s  −e 0   , 0 ≤ s ≤ ν1 < +∞,   e−ν1 +s 0 1 K (ν1 , s) =  −ν1 −s   0 ee −e   , 0 ≤ ν1 ≤ s < +∞,  0 0   1 0
−ν G1 (ν1 ) = . 1 η11 + 1 + ν1 e−ν1 + ee

−ν1

Согласно лемме 2 система (78) имеет решение вида  −ν1 
 −ν1  (ee − 1) η11 + 1 + ν1 −e−ν1 +e 1 1 , c11 ∈ R. c1 + …1 (ν1 ) = e−ν1 0 Аналогично     1 10t − 11 1 2 2 2 x1 (t) = η1 + , 5t − 3 5 1 5  −3ν    e 2 2 − 3ν2 c21 + e−3ν2 . …21 (ν2 ) = −e−3ν2 1 + 3ν2 Тогда равенство (19) при k = 1 принимает вид   2 0     η11 −ec11 + (e − 1)(η11 + 1) 0 0 +   0 0 1 c11 0 0   0 0  1 
!! −1 −1 1 eη1 + e − 1  −1 2  c − c11 e− ε +e ε + (ee ε − 1) η11 + 1 + 1ε + +  1 1 1 1 c11 e− ε 0 1     0 0    0    2  1 −1 c + 2 0  1 1 1 2  1 + η12 − + =  .  −1 2 2 −c21 + 1 0 5 1 5 −1 2 0

.

Обобщенная задача Коши

351

Опустим экспоненциально малые элементы. Тогда последняя система будет иметь вид   1    2e −e e 0 η1 2 − 2e 31 1 0 0   c1   e − 5   −2e 0   2  =   3 0 0 0 η1 −e − 1 5 2 0 0 −3 −3 c1 −2 и имеет решение  1   1−e  η1 e 0   c11    =  2   − 26  . η1 3 2 c21 3 Следовательно, применение изложенного подхода приводит к решению    t t
 1 t t e− ε t−1 e− ε e + e − 1 e − 1 + (e − 1) + 1 e ε + O(ε2 ) x (t, ε) = +ε t −e− ε 1 при t ∈ [0, 1],  13  17 t−1  t−1  − 2t + e−3 ε − 3 + 2t + ( 83 − 3 t−1 )e−3 ε 2 5 ε x (t, ε) = +ε + O(ε2 ) 4 7 1 t−1 −3 t−1 −3 t−1 ε ε − t − e − + t + ( + 3 )e 5 3 3 ε при t ∈ (1, 2]. ЛИТЕРАТУРА 1. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976. 2. Bainov D. D., Covachev V. Impulsive differential equations with small parameter. Singapore: World Sci. Publ., 1994. 3. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев: Вища шк., 1987. 4. Karandjulov L. I. Generalized Cauchy problem for linear pulse differential systems, Mathematics and education in mathematics // Proc. Twenty first spring conf. of the Union of Bulgarian mathematicians. Montana, 1999. P. 120–127. 5. Generalize inverse and applications / Ed. by M. Z. Nashed. New York; San Francisco; London: Acad. Press, 1967. 6. Penrose R. A generalize inverse for matrices // Proc. Cambridge Phil. Soc.. 1955. V. 51. P. 406–413. 7. Бойчук А. А. Нелинейные краевые задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн.. 1998. Т. 50. С. 162–171. Статья поступила 16 декабря 2003 г., окончательный вариант — 14 ноября 2004 г. Каранджулов Людмил Иванов, Стоянова Яна Петрова Технически университет — София, Факултет по Приложна Математика и Информатика, Катедра “Дифференциални уравнения” ПК 384, София 1000, България [email protected], [email protected]