Функциональные последовательности и ряды: Методические указания

Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные

последовательности и ряды»

Ростов–на–Дону 2007

Р. М. Г а в р и л о в а, Г. С. К о с т е ц к а я. Методические указания по теме «Функциональные последовательности и ряды». Ростов н/Д: УПЛ ЮФУ, 2007.

Печатается по решению кафедры дифференциальных и интегральных уравнений факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ от

апреля 2007 г. (протокол №

)

Оглавление 1 Функциональные последовательности и ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Свойства функциональных последовательностей и рядов . . . . . . . . . 8 3 Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4 Функциональные свойства степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5 Разложение функций в степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 Разложение основных элементарных функций в степенные ряды . 21 7 Применение степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3

п. 1 Функциональные последовательности и ряды Рассмотрим последовательность {fn (x)}. Членами этой последовательности являются функции, определенные на некотором [a, b]. Зафиксируем произвольно x0 ∈ [a, b] и рассмотрим числовую последовательность {fn (x0 )}. Определение 1. Последовательность {fn (x)} называется сходящейся в точке x = x0 , если сходится числовая последовательность {fn (x0 )}. Если {fn (x)} сходится в любой точке [a, b], то очевидно, что ее пределом будет некоторая функция переменного x, которую мы обозначим f (x). Определение 2. Последовательность {fn (x)} называется сходящейся к функции f (x) на [a, b], если для ∀ ε > 0 ∃ N = N (ε, x) : |f (x) − fn (x)| < ε,

n > N = N (ε, x).

Определение 3. Последовательность {fn (x)} называется равномерно сходящейся к функции f (x) на [a, b], если для ∀ ε > 0 ∃ N = N (ε) : |f (x) − fn (x)| < ε,

n > N = N (ε),

∀ x ∈ [a, b].

Понятие равномерной сходимости имеет простую геометрическую интерпретацию: f (x) − ε < fn (x) < f (x) + ε,

y

y = f (x) + ε y = f (x) y = f (x) − ε

n > N (ε).

(1)

Двойное неравенство (1) утверждает, что все функции данной последовательности, начиная с некоторого номера N , зависящего только от ε,

0

a

b

x

шириной 2ε сразу на всем протяжении [a, b]. 4

попадут в нарисованную криволинейную полосу

sin nx Пример 1. Пусть fn (x) = 5/7 , x ∈ (−∞, +∞). Покажем, что {fn (x)} n сходится равномерно к f (x) ≡ 0. Действительно, зададим ε > 0 и укажем N = N (ε): ¯ ¯ ¯ sin nx ¯ 1 |fn (x) − f (x)| = ¯¯ 5/7 ¯¯ 6 5/7 < ε при n > N. n n · ¸ 1 1 Значит n5/7 > ⇒ n > N = 7/5 . ε ε Поскольку N зависит только от ε, то данная последовательность сходится к f (x) ≡ 0 равномерно на всей прямой. Пример 2. Пусть fn (x) = xn , x ∈ [0, 1]. Предельной функцией является   0, x ∈ [0, 1) f (x) =  1, x = 1 Нарисуем график этой предельной функции. Из графика предельной функции f (x) и геометрической интерпретации равномерной

y ε

сходимости следует, что в данном примере сходимость последовательности {fn (x)} к функции f (x) равномерной не будет, так как

1 −ε ε 0 −ε

1

x

каким бы большим мы не выбрали номер n все функции fn (x) «выскочат» за пределы

горизонтальной полосы шириной 2ε, чтобы попасть в точку (1, 1). 2nx Пример 3. Пусть fn (x) = , 0 6 x < ∞; f (x) ≡ 0. 1 + n 2 x2 Рассмотрим 2nx |f (x) − fn (x)| = . 1 + n2 x2 Найдем максимальное значение этого отклонения µ ¶0 2nx 2n − 2n3 x2 2n(1 + n2 x2 ) − 2nx · 2n2 x = ; = 1 + n2 x2 x (1 + n2 x2 )2 (1 + n2 x2 )2 5

µ ¶ 1 2nx 2n − 2n3 x2 = 0 → 1 − n2 x2 = 0 → x = = 1. ⇒ n 1 + n2 x2 max Отсюда следует, что сходимость данной последовательности к функции f (x) равномерной не будет. Все сказанное выше легко распространяется на функциональные ряды. Рассмотрим ряд ∞ X uk (x), (2) k=1

где uk (x) есть некоторые функции, определенные на [a, b]. Рассмотрим функциональную последовательность частичных сумм Sn (x) =

n X

uk (x),

{Sn (x)}.

k=1

Определение 4. Ряд (2) называется сходящимся на [a, b] к S(x), если на этом сегменте последовательность его частичных сумм {Sn (x)} сходится к функции S(x), то есть ∞ ¯X ¯ ¯ ¯ ∀ ε > 0 ∃ N = N (ε, x) : |S(x) − Sn (x)| = ¯ uk (x)¯ < ε, n > N (ε, x), k=n+1

где S(x) =

∞ P n=1

un (x).

Определение 5. Ряд (2) называется равномерно сходящимся на [a, b] к функции S(x), если ∞ ¯X ¯ ¯ ¯ ∀ ε > 0 ∃ N = N (ε) : |S(x) − Sn (x)| = ¯ uk (x)¯ < ε, k=n+1

n > N (ε),

∀ x ∈ [a, b].

Сформулируем достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда. Сначала введем вспомогательное утверждение. Наряду с (2) рассмотрим числовой ряд ∞ X

ak .

k=1

6

(3)

Определение 6. Ряд (3) называется мажорирующим для функционального ряда (2) на [a, b], если имеет место неравенство |uk (x)| 6 ak ,

∀ k,

∀ x ∈ [a, b].

Теорема 1 (мажорантный признак Вейерштрасса). Ряд (2) будет равномерно сходиться на [a, b], если для него на этом отрезке существует сходящийся мажорирующий ряд (3). Доказательство. Зададим произвольное ε > 0 и покажем, что ∞ ¯ ¯X ¯ ¯ ∃ N = N (ε) : ¯ uk (x)¯ < ε,

n > N (ε).

k=n+1

Оценим ∞ ∞ ∞ ¯X ¯ X X ¯ ¯ uk (x)¯ 6 |uk (x)| 6 ak < ∞, ¯ k=n+1

k=n+1

n > N (ε)

k=n+1

(так как (3) сходится, то для выбранного ε > 0 ∃ N = N (ε), такой что ∞ P будет выполняться ak < ε, n > N (ε)). k=n+1

Значит, в силу определения 5, данный ряд сходится равномерно. Пример 4.

∞ X cos n2 x n=1

n3/2

,

−∞ < x < ∞.

Воспользуемся признаком Вейерштрасса: ¯ ¯ ¯ cos n2 x ¯ 1 |un (x)| = ¯¯ 3/2 ¯¯ 6 3/2 = an , n n Очевидно, что мажорирующий ряд

∞ P n=1

an =

∀ x ∈ (−∞, +∞). ∞ P n=1

1 n3/2

сходится (α = 3/2 > 1)

⇒ исходный ряд сходится равномерно на всей прямой. Пример 5.

∞ X (−1)k+1 k=1

x+k

,

0 6 x < ∞.

7

Построим мажорирующий ряд |uk (x)| = ∞ P

Ряд

1 1 6 . x+k k

1/k расходится. Значит, равномерная сходимость исходного ряда

k=1

неизвестна. Воспользуемся тем, что исходный ряд знакочередующийся, следовательно для него справедлива следующая оценка |S −Sn | 6 un . В нашем случае ∞ ¯X (−1)k+1 ¯¯ 1 1 ¯ |S − Sn | = ¯ 6 < ε, ¯6 x+k x+n n k=n+1

· ¸ 1 n>N = . ε

Таким образом, мы нашли номер N (ε) и, следовательно, исходный ряд сходится равномерно по определению 5. Значит признак Вейерштрасса носит достаточный характер и не является необходимым условием сходимости. п. 2 Свойства функциональных последовательностей и рядов Теорема 2 (непрерывность). I. Если все члены функциональной последовательности {fn (x)} непрерывны на [a, b] и {fn (x)} сходится равномерно на этом сегменте, то предельная функция f (x) также непрерывна на [a, b]. II. Если все члены ряда

∞ P

uk (x) непрерывны на [a, b] и ряд сходится

k=1

равномерно на этом сегменте, то сумма этого ряда S(x) также непрерывна на [a, b]. Доказательство. Докажем I. Покажем непрерывность f (x) в любой точке x ∈ (a, b). Воспользуемся определением непрерывности по Коши. Зададим произвольное ε > 0 и найдем такое δ(ε), что будет выполняться |f (x + ∆x) − f (x)| < ε,

|∆x| < δ.

Оценим разность |f (x + ∆x) − f (x)| = |f (x + ∆x) − fN +1 (x + ∆x) + fN +1 (x + ∆x) − − fN +1 (x) + fN +1 (x) − f (x)| 6 |f (x + ∆x) − fN +1 (x + ∆x)| + + |fN +1 (x + ∆x) − fN +1 (x)| + |fN +1 (x) − f (x)| ° < (4) 8

В силу равномерной сходимости функциональной последовательности первое и третье слагаемые могут быть сделаны меньше ε/3 каждое и это будет при n > N (ε), ∀ x ∈ [a, b]. Оценим второе слагаемое, для чего воспользуемся непрерывностью функции fN +1 (x) в точке x. По выбранному ε найдется такое δ, зависящее от ε, что будет выполняться неравенство ε |fN +1 (x + ∆x) − fN +1 (x)| < , 3

|∆x| < δ(ε).

Возвращаясь к исходному неравенству (4), получим

°
0, по нему найдется N , так чтобы ∞ ¯X ¯ ¯ ¯ uk (x)¯ < ε, n > N, ∀ x ∈ [a, b]. ¯ k=n+1

Тогда ¯Zx ³ ∞ Zx ∞ ¯ ´ ¯¯ Zx ¯ X X ¯ ¯ ¯ ¯ uk (x) dx¯¯ 6 ¯ uk (x)¯ dx < ε dx − ε(x − x0 ) 6 ε(b − a). ¯ x0

k=n+1

x0

k=n+1

x0

Возвращаясь к равенству (6), запишем ¯Zx ¯ n X ¯ ¯ ¯ S(x) dx − ¯ < ε(b − a) = ε1 , u (x) dx k ¯ ¯ x0

k=1

Отсюда следует, что число чины

n Rx P

n > N.

Rx

S(x) dx является пределом переменной вели-

x0

uk (x) dx, что и означает справедливость равенства (5).

k=1 x0

10

Теорема 4 (дифференцируемость). Если все функции uk (x) непрерыв∞ ∞ P P но дифференцируемы на [a, b], причем ряд uk (x) сходится, а ряд u0k (x) k=1

сходится равномерно на [a, b], то сумма ряда

S (x) =

∞ X

k=1

uk (x) = S(x) дифферен-

k=1

цируема на [a, b] и имеет место равенство 0

∞ P

u0k (x).

(7)

k=1

Доказательство. Напомним, что непрерывная дифференцируемость uk (x) на [a, b] означает, что на [a, b] существуют u0k (x) и они непрерывны на [a, b]. ∞ P Рассмотрим ряд u0k (x). Так как его члены — непрерывные на [a, b] функk=1 ции и ряд по условию теоремы сходится равномерно, то сумма этого ряда ∞ P S ∗ (x) = u0k (x) в силу предыдущей теоремы интегрируема на [a, b]: k=1

Zx

∞ Z X

x

∗

S (t) dt =

k=1 x

x0

=

∞ X

u0k (t) dt

где S(x) — сумма ряда

¯x ¯ uk (t)¯ =

k=1

0

uk (x) −

k=1 ∞ P

=

∞ X

∞ X

x0

uk (x0 ) = S(x) − S(x0 ),

(8)

k=1

uk (x).

k=1

Воспользуемся свойством интеграла с переменным верхним пределом: Rx ∗ ∗ S (t) непрерывна на [a, b] ⇒ S (t) dt — дифференцируемая функция пеx0

ременного x на этом сегменте, причем справедливо равенство: d dx

µZx

¶ ∗

S (t) dt

= S ∗ (x).

x0

Поэтому продифференцировав равенство (8) по x, мы получим: S ∗ (x) = (S(x) − S(x0 ))0 = S 0 (x), что и требовалось доказать. 11

п. 3 Степенные ряды Частным случаем общих функциональных рядов являются степенные ряды:

∞ X

ak (x − x0 )k = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + . . . ,

(9)

k=0

где ak — заданные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; x0 — некоторая фиксированная точка. Мы будем рассматривать также частный случай, когда x0 = 0: ∞ X ak xk = a0 + a1 x + a2 (x)2 + . . . (10) k=0

Очевидно, что всякий ряд (10) сходится в точке x = 0, поскольку он вырождается в постоянную a0 ; а ряд вида (9) сходится в точке x = x0 . Пример 6.

∞ X xk k=0

k!

;

ak =

1 . k!

Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость, используя признак Даламбера: |x|k+1 k! 1 lim = |x| lim = 0, x ∈ (−∞, +∞). k→∞ (k + 1)! |x|k k→∞ k + 1 То есть данный ряд сходится абсолютно на всей прямой. Пример 7.

∞ X

k! xk ,

ak = k! .

k=0

Аналогично примеру 6: |x|k+1 (k + 1)! lim = |x| lim (k + 1) = ∞, x 6= 0. k→∞ k→∞ |x|k k! Ряд сходится только в одной точке x = 0. ∞ P Теорема 5 (первая теорема Абеля). Если ряд ak xk сходится в некоk=0

торой точке x1 6= 0, то он сходится абсолютно во всякой точке x, такой что |x| < |x1 |. Если ряд расходится в точке x2 , то он расходится для всех x: |x| > |x2 |. 12

Доказательство. Рассмотрим числовой ряд

∞ P k=0

ak xk1

ak xk1 , он сходится по усло-

вию, поэтому → 0 при k → ∞, то есть последовательность {ak xk1 } сходится, значит она ограничена, то есть ∃ M > 0: |ak xk1 | 6 M , ∀ k. Покажем теперь абсолютную сходимость исходного ряда для всех x: |x| < |x1 |. Воспользуемся признаком сравнения: ¯ ¯ µ ¶k k¯ ¯ |x| x |ak xk | = ¯¯ak xk1 k ¯¯ = |ak xk1 | 6M |x1 | x1 Ряд

∞ P

¯ ¯k ¯x¯ · ¯¯ ¯¯ . x1

M (|x/x1 |)k — сходится, так как |x/x1 | < 1 — геометрическая про-

k=0

грессия со знаменателем q < 1, следовательно исходный ряд сходится абсолютно. Пусть теперь |x| > |x2 |, покажем что в этом случае степенной ∞ P ряд расходится. Предположим, что это не так и ряд ak xk сходится при k=0

|x| > |x2 |, но тогда по только что доказанному выше этот ряд должен сходиться в точке x2 , что противоречит условию теоремы. Значит, наше предложение не верно и ряд расходится при |x| > |x2 |. Замечание 1. Из теоремы следует, что если ряд

∞ P

ak xk сходится в неко-

k=0

торой точке x = α, то он сходится также на интервале (−|α|; |α|). Теорема 6 (об области сходимости). Если область сходимости степенного ряда (10) не стягивается в точку x = 0 и не вырождается во всю прямую, то существует такой интервал (−R; R), во всех точках которого ряд сходится абсолютно; вне сегмента [−R; R] ряд расходится; в точках x = ±R нужны дополнительные исследования. Интервал (−R; R) называют интервалом сходимости степенного ряда; число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Если область сходимости вырождается в точку x = 0, то полагают R = 0; если область сходимости есть вся прямая (−∞; +∞), то считают R = ∞. (без доказательства) Выведем формулы для вычисления радиуса сходимости. 13

Теорема 7. Пусть существует предел |ak+1 | = `. k→∞ |ak | lim

Тогда 1) если ` = 0, то R = ∞; 2] если ` = ∞, то R = 0; 3) если 0 < ` < ∞, то R = 1/`. ∞ P Доказательство. Рассмотрим ak xk и исследуем его на абсолютную схоk=0

димость, пользуясь признаком Даламбера. |ak+1 | |ak+1 ||x|k+1 = |x| · lim = |x| · `. lim k→∞ k→∞ |ak | |ak ||x|k 1) пусть ` = 0, тогда для любого конечного x, |x| · ` = 0 < 1 и ряд сходится абсолютно на всей прямой, R = ∞. 2) пусть ` = ∞, тогда для ∀ x 6= 0, |x| · ` > 1 и ряд расходится во всех точках, кроме x = 0, то есть R = 0. 3) пусть 0 < ` < ∞, тогда сходимость будет иметь место для всех |x| < 1/` → −1/` < x < 1/`, следовательно, для этих x ряд будет сходиться абсолютно, то есть R = 1/`. p Теорема 8. Если ∃ lim k |ak | = `, тогда k→∞ 1) если ` = 0, то R = ∞; 2) если ` = ∞, то R = 0; 3) если 0 < ` < ∞, то R = 1/`. (без доказательства.) Обобщая теоремы 7 и 8, мы можем записать следующие формулы для вычисления радиуса ¯ ¯ ¯ an ¯ ¯ ; R = lim p1 . (11) R = lim ¯¯ n→∞ an+1 ¯ n→∞ n |a | n

Отметим, что формулы (11) можно применять только к полным рядам, т. е. у которых an 6= 0 ∀ n. Если это не так, то к самому степенному ряду применяют признаки Даламбера или Коши. 14

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд ∞ X 2n n! n=1

nn

· x2n .

Воспользуемся признаком Даламбера 2n n! 2n un (x) = n · x ; n

2n+1 (n + 1)! 2n+2 un+1 (x) = x ; (n + 1)n+1

¯ ¯ n+1 ¯ ¯ ¯ 2 (n + 1)! x2n+2 nn ¯ ¯ un+1 (x) ¯ n! (n + 1)nn 2 ¯ ¯ ¯ ¯ lim = lim ¯ = 2|x| lim = n→∞ ¯ un (x) ¯ n→∞ (n + 1)n+1 2n n! x2n ¯ n→∞ (n + 1)n (n + 1)n! 1 2|x|2 ¢ . = 2|x|2 lim ¡ = n n→∞ 1 + 1 e n Если 2|x|2 /e < 1, то ряд сходится абсолютно, то есть |x| < p p − e/2 < x < e/2 — интервал сходимости.

p e/2 или

Исследуем сходимость на концах: r ∞ ∞ X e 2n n! en X n! en x= → = . n nn n 2 2 n n=1 n=1 Проверим необходимое условие сходимости, используя формулу Стирлинга √ ¡ ¢n n! ∼ 2π ne , n → ∞. Имеем √ n! en 2πn nn en √ un = n ∼ = 2πn 9 0 n n→∞ en n n при n → ∞, следовательно, ряд расходится. p Аналогично на конце x = − e/2 ряд расходится. п. 4 Функциональные свойства степенного ряда Теорема 9 (вторая теорема Абеля). Степенной ряд

∞ P k=0

ak xk сходится

равномерно на всяком [α, β], целиком принадлежащим интервалу сходимости (−R; R).

15

Доказательство. Выберем произвольно x0 ∈ (−R; R), так чтобы |x0 | > ∞ P max{|α|; |β|}. Очевидно ряд ak xk0 сходится абсолютно, кроме того для k=0

любого x ∈ [α, β] имеет место неравенство |ak xk | 6 |ak xk0 |. Следовательно, ∞ P по признаку Вейерштрасса ряд ak xk сходится равномерно на [α; β]. k=0

Если степенной ряд сходится на каком-то интервале, то его сумма будет ∞ P функцией переменного x, обозначим ее S(x) = ak xk . k=0

Теорема 10 (непрерывность суммы). Сумма степенного ряда S(x) есть функция непрерывная во всякой точке x, принадлежащей интервалу сходимости (−R; R). Доказательство. Выберем произвольное x ∈ (−R; R). Рассмотрим [α; β] ∞ P такой, что [α; β] ⊂ (−R; R) и x ∈ [α; β]. Так как по теореме 9 ряд ak xk k=0

сходится равномерно на [α; β] и члены ряда ak xk есть функции непрерывные на [α; β], то в силу соответствующей теоремы (теорема 2) для общих функциональных рядов функция S(x) непрерывна на [α; β], следовательно и подавно в точке x. Теорема 11 (интегрируемость суммы). Сумма степенного ряда S(x) есть функция интегрируемая на (−R; R), причем имеет место равенство

Zx 0

и ряд

∞ X ak k+1 S(t) dt = x k+1 k=0

∞ X ak k+1 x k+1

(12)

k=0

имеет тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд. Доказательство. Пусть x ∈ (−R; R). Рассмотрим [α; β] такой, что [α; β] ⊂ ∞ P (−R; R) и x ∈ [α; β]. Как и в предыдущей теореме ряд ak xk сходится k=0

16

равномерно; члены ряда — функции непрерывные и, следовательно, по теореме 3 для общих функциональных рядов степенной ряд можно интегрировать почленно. Теперь покажем что R0 = R, где R0 — радиус сходимости ∞ P ряда (12), а R — радиус сходимости ряда ak xk . Вычислим R0 , используя k=0

первую из формул (11) ¯ ¯ ¯ ¯ a a n+1 n ¯ = lim |an ||n + 2| = lim |an | = R. R0 = lim ¯¯ : n→∞ |an+1 ||n + 1| n→∞ n + 1 n + 2 ¯ n→∞ |an+1 |

Теорема 12 (дифференцируемость суммы). Функция S(x) есть функция дифференцируемая во всякой точке интервала сходимости, причем имеет место равенство 0

S (x) =

∞ X

kak xk−1

k=1

и радиус сходимости ряда

∞ X

kak xk−1

(13)

k=1

совпадает с радиусом сходимости исходного ряда. Доказательство. Прежде всего докажем, что радиус сходимости ряда (13) (обозначим его R00 ) совпадает с радиусом сходимости исходного ряда (R). (11)

|an | |an | = lim = R. n→∞ |an+1 ( + 1)| n→∞ |an+1 |

R00 = lim

Теперь докажем дифференцируемость S(x) в произвольной точке x ∈ (−R; R). Рассмотрим [α; β] ⊂ (−R, R), такой что x ∈ [α; β]. Для этого сегмента выполнены все условия теоремы 4 о дифференцируемости общего функционального ряда. Поэтому S(x) можно дифференцировать и имеет место равенство 0

S (x) =

∞ X k=1

17

kak xk−1 .

Замечание 1. Рассмотрим ряд (13) — это степенной ряд, который сходится по-прежнему на (−R; R), поэтому к нему можно применить только что доказанную теорему, то есть продифференцировать почленно, при этом вновь полученный ряд будет снова иметь радиус сходимости такой же, что и (13), то есть R: ∞ X 00 S (x) = k(k − 1)ak xk−2 . (14) k=2

Вновь полученный ряд (14) опять удовлетворяет условиям теоремы 12 и его можно дифференцировать почленно вновь 000

S (x) =

∞ X

k(k − 1)(k − 2)ak xk−3

k=3

и так далее S

(n)

(x) =

∞ X

k(k − 1) . . . (k − n + 1)ak xk−n .

k=n

Таким образом, сумма степенного ряда есть бесконечно дифференцируемая функция и полученные при дифференцировании ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд. п. 5 Разложение функций в степенные ряды Определение 7. Говорят, что функция f (x) на (−r, r) разлагается в ∞ P степенной ряд ak xk , если этот ряд сходится на (−r, r) и его сумма k=0

совпадает с функцией f (x). Теорема 13 (единственности). Если функция y = f (x) на (−r, r) разлагается в степенной ряд, то это разложение единственно. Доказательство. Пусть f (x) разлагается в степенной ряд, то есть f (x) =

∞ X

ak xk = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . .

k=0

Положим в этом равенстве x = 0, тогда получим f (0) = a0 , то есть a0 = f (0). 18

Продифференцируем степенной ряд (это можно делать в силу теорему 12): f 0 (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + . . . и положим x = 0 → f 0 (0) = a1 ⇒ a1 = f 0 (0). Продифференцируем еще раз (это можно делать в силу замечания к теореме 12) f 00 (x) = 2a2 + 3 · 2a3 x + 4 · 3a4 x2 + . . . f 00 (0) и положим x = 0 → f (0) = 2a2 → a2 = . 2! 00

f (n) (0) Продолжая этот процесс, мы получим an = . Таким образом, n! коэффициенты степенного ряда ak однозначно определяются с помощью функции и ее производных, вычисленных в нуле и, следовательно, разложение функции в степенной ряд единственно. Замечание 1. В ходе доказательства мы получим, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд будет рядом Тейлора: f 0 (0) f 00 (0) 2 f (n) (0) n f (x) = f (0) + x+ x + ... + x + ... 1! 2! n!

(15)

Замечание 2. Из равенства (15) вытекает, что любой бесконечно дифференцируемой функции легко поставить в соответствие степенной ряд Тейлора. Однако при этом остается открытым вопрос будет ли этот ряд сходящимся и если да, то будет ли его сумма совпадать с исходной функций f (x)? Теорема 14 (необходимое и достаточное условие разложимости функции в степенной ряд). Для того, чтобы функция y = f (x) на (−r, r) разлагалась в степенной ряд необходимо и достаточно, чтобы она была бесконечно дифференцируемой на этом интервале и чтобы остаточный член формулы Тейлора Rn (x) → 0, n → ∞, ∀ x ∈ (−r; r). Доказательство. Необходимость. Функция разлагается в степенной ряд, тогда из доказанных ранее теорем (каких?) она бесконечно дифференци19

руема. В силу того, это разложение единственно (почему?) и имеет вид f 0 (0) f 00 (0) 2 f (n) (0) n f (x) = f (0) + x+ x + ··· + x + .... 1! 2! n! Отсюда ¯ · ¸¯ 0 00 (n) ¯ ¯ f (0) f (0) f (0) 2 n ¯ ¯f (x) − f (0) + x + x + · · · + x ¯ ¯ = |f (x) − Sn (x)| = 1! 2! n! = |Rn (x)| → 0 при n → ∞, ∀ x ∈ (−r, r). Достаточность. Функция бесконечно дифференцируема, поэтому ее можно разложить по формуле Тейлора f 0 (0) f 00 (0) 2 f (n) (0) n f (x) = f (0) + x+ x + ··· + x + Rn (x), 1! 2! n!

∀ n.

Кроме того, дано, что Rn (x) → 0 при n → ∞, ∀ x ∈ (−r, r). Поэтому ¯ ¸¯ · 00 (n) 0 ¯ ¯ f (0) f (0) f (0) 2 n ¯ ¯f (x) − f (0) + x + x + · · · + x ¯ ¯→0 1! 2! n! при n → ∞, ∀ x ∈ (−r, r). Отсюда следует, что ряд

∞ X f (k) (0)

xk сходится во всякой точке

k! x ∈ (−r, r) и его сумма равна f (x), что и требовалось доказать. k=0

Теорема 15 (достаточное условие разложимости функции в степенной ряд). Для того, чтобы функция y = f (x) на интервале (−r, r) разлагалась в степенной ряд достаточно, чтобы она была бесконечно дифференцируемой на этом и чтобы имело место равенство |f (n) (x)| 6 M,

∀ n,

∀ x ∈ (−r, r).

(16)

Доказательство. Поскольку бесконечная дифференцируемость f (x) у нас уже есть согласно условию теоремы, то в силу теоремы 14 достаточно показать только, что Rn (x) → 0, n → ∞, ∀ x ∈ (−r, r). Запишем остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа: ¯ (n+1) ¯ ¯f ¯ (θx) rn+1 n+1 ¯ ¯ |Rn (x)| = ¯ x ¯<M , 0 < θ < 1. (n + 1)! (n + 1)! 20

Покажем, что ряд ком Даламбера:

∞ X n=0

rn+1 сходится. Для этого воспользуемся призна(n + 1)!

rn+1 n! r lim · n = lim =0