Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 347-358
УДК 512.544.2
П Р О М Е Ж У Т О Ч Н Ы Е ПОДГРУППЫ ГРУПП Ш Е В А Л Л Е Н А Д ...
10 downloads
173 Views
690KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 347-358
УДК 512.544.2
П Р О М Е Ж У Т О Ч Н Ы Е ПОДГРУППЫ ГРУПП Ш Е В А Л Л Е Н А Д ПОЛЕМ ЧАСТНЫХ КОЛЬЦА Г Л А В Н Ы Х ИДЕАЛОВ*) Я. Н. НУЖИН, А. В. ЯКУШЕВИЧ Пусть К — поле частных кольца главных идеалов R, GK — группа Шевалле (нормального типа) над полем К. Для любого подкольца Р С С К через Gp обозначим подгруппу всех элементов из GK , коэффициенты которых лежат в Р. Пусть М — промежуточная подгруппа между GR И GK, Т. е. GRQMC
GK.
(1)
Основным результатом статьи является ТЕОРЕМА. Если подгруппа М удовлетворяет условию (1), то для некоторого промежуточного подкольца Р (R С Р С К) выполняется M = GP. Ранее для группы Шевалле типа Ai аналог этой теоремы был полу чен в случаях, когда R является: евклидовым кольцом (см. [1]), кольцом главных идеалов (см. [2]), дедекиндовым кольцом (см. [3]) и кольцом Везу (см. [4]). Для группы Шевалле типа С\ и евклидова кольца R аналогичный результат установлен в [5]. На важность исследования групп с условием (1) обращал внимание Ю. И. Мерзляков. В 1971 г. он выдвинул следующую проблему: *' Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проект N 96-01-00409. ©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
348
Я. Н. Нужин, А. В. Якушевич Дать описание (решетки) подгрупп, заключенных между заданной
классической группой матриц над кольцом и подгруппой всех ее матриц с коэффициентами в подкольце. Основная теорема настоящей статьи дает исчерпывающее решение указанной проблемы для групп Шевалле в случае, когда основное кольцо является полем частных своего подкольца главных идеалов, но трудно на деяться, что подобное описание можно получить для достаточно широких классов колец.
§ 1. Обозначения и вспомогательные результаты Пусть К — коммутативное кольцо с единицей, К* — его мульти пликативная группа. Через G(K) будем обозначать элементарную группу Шевалле над кольцом К, ассоциированную с системой корней Ф. Она по рождается своими корневыми подгруппами ХТ = хТ{К),
г€Ф.
Для любого * Е А * положим nr(t) =
Xr{t)x„r(-t~X)xr{t),
hr(t) = n r ( * ) n r ( - l ) , H(K) =
(hr((t)\re*,t€K*).
Бели К — поле и ? - его подкольцо, то через Gp обозначим под группу всех элементов из G(K), коэффициенты которых лежат в Р. Имеет место включение G(P) С Gp, если же Р — поле, то группы G(P) и Gp совпадают. В следующих трех леммах предполагаем, что К — поле частных коль ца главных идеалов R. Л Е М М А 1 ([6, лемма 49(д), с. 106]). Пусть фг — канонический го моморфизм группы SLi2(K) на группу (хг(К),х„г(К)),
продолжающий
349
Промежуточные подгруппы групп Шевалле отображение
V ° rl У
\t Ч
Vо 1У
Положим GrR = GRn (xr(K),х-г(К)),
г е Ф. Тогда <j>rSL2{R) = ^ я *
Л Е М М А 2([6, следствие 2, с. 107]). Пусть GrR — подгруппа из лем мы 1. Тогда *Г *2*з S F , . . . , *|L2'i—i*i"
^ > *Г-1*/ ^ ^ *i*|Li*/ £ Р-
Возведем в квадрат элемент из (Со) и умножим на (t^^tf)"1^
получим
£? € Р . Отсюда в силу предположения леммы t\ G Р . Из указанных выше включений находим, что все £, лежат в кольце Р , т . е . / i E C ( P ) . Т и п J5/. В силу (-Di), (Д2), • • ч ( А ) и (Do) имеем соответственно txt2
6 Р, tj t2t3
Е Р , . . . , *|_4*#—3*/—2 ^ ^
*Г-2^-1 ^ ^ */1г*/ ^ ^
*/-3**-2*/-1*/
^ -Р»
*i*/l2*/-i*/ £ ^
Из (D/-i) и ( Д ) имеем *?-1*Г2 е Р>
PI)
*1*ГЛ*1 е Р (из (А_!) и (D 0 )),
№5)
354
Я. Н. Нужин, А. В. Якушевич *? € Р (из (DJ) и (£>;)).
По условию леммы п — 2, поэтому и ti G Р , следовательно, все U лежат в кольце Р, т. е. ft 6 G(P). Т и п j£ 6 . В силу (Ei), (j£2), • • •, (E6) и (Е0) имеем соответственно
Фг1 € Р, «Г1'!*^1 € р> ЧХ*Ъ?Ч1 е Р «J1^ е Р, *з *5*ё" € Р , tij" £6 б Р) *1*з *4*б 6 Р . И з (Еъ) и (£?б) получаем
«г1*!*:2'?2 6 р,
(^г)
« Г ' Ф б 2 € Р (из (Я 4 ) и (Я?)),
(Щ)
ф \ € Р (из (Еъ) и (Я 6 )),
(£5)
^
(Я4*)
€ Р (из (Я 4 ) и (£?|)),
' Г ' Ф б ' 4 € Р (из (Я 6 ) и (Я 2 *)),
(2?5*)
МЗ'б 2 € Р (из (£-0) и (Я|)),
(££)
*1*Гх*в € Р (из (Я4) и (£*,)),
(Я?)
*Г2*6 € Р (из (Д|) и (Я?)),
(2?8*)
«ate G Р (из (Я4*) и ( £ £ ) ) ,
(££)
*? 6 Р (из (Я8*) и (££)). По условию леммы п = 3, поэтому и fi E Р . Из равенств ( £ i ) , (#г)> • • • . . . , (Ее) и (EQ) легко получаем, что и все оставшиеся элементы ^ *з> *4> £5, ^6 лежат в подкольце Р , т.е. Л Е G(P). Далее выражения (Ф«) для типа Ej обозначим через (25,*), а для типа Е8 — через ( Д ) . Т и п Ег. В силу (2?i), (^2)1 • • •»(-Ё7) и (2?о) имеем соответственно ^1*2
€ Р, . . . ,
^3 *4*5 ^6
^ ^
^4 ^5 £ Р ,
355
Промежуточные подгруппы групп Шевалле Из (Ех) и (Е2) получаем Фз 2 € Р, t\tf
(Щ)
€ Р (из (Я?) и (Я 3 )),
(Я2*)
*з*5 3 *в 3 G Р ( и з (^*) и (Я 4 )),
(^з)
G Р ( из Ш и (Я5)),
(Я|)
^Фе*
*^б 4 € Р (из (Я3*) и (Я4*)),
(Я5*)
Ф з 1 6 Р (из (Яг) и (Я 2 )),
(Щ)
q2t4t~2 е Р (из (Я5) и (Я0)),
(Я?)
*Г2Ф73 б Р (из да и (Ёв)),
да
q%
G Р (из (Я8*) и (Я 7 )),
^з4*1 € Р (из да и *6ер (из да) и да).
(Я9*)
да),
да)
В силу (£V) имеем if £ Р> следовательно, и *5 *6 £ Р» *5 *7*8
е
Р>
tf Ч | е р и ti*B ^ « e e Р. Из {Ei) и (Яг) получаем
tjtf
Фз 2 € Р,
(Я?)
Фз1 е Р,
да
G Р (из (ЯГ) и (Я3)),
^ 4 - з ер(изда и да), Ф5-4 G p (из да и Фе V е р (из да и *4 "Фт"1 е р (из да и
(Й%)
да),
да да
да), да),
да да
356
Я. Н. Нужин, А. В. t\tf
Якушевич
б Р (из ( Р | ) и (Р?)),
(Щ)
*Г2*5*82 € Р (из (Ее) и (So)),
(Р|)
*Г 2 Фв 3 € Р (из (Р 7 ) и (Ё9*)),
(А*о)
*Г4*т € Р (из (Ё*ю) и (Р 8 )),
(ВД
t4~3t? 6 Р (из (S4*) и (Ё*п)).
(Ё*12)
Наконец, из (Eg) и (Р*2) получаем Щ € Р. Значит, в силу предположения t-i € Р, а следовательно, t\ G Р ,