Алгоритмы на графах

Программа учебного курса АЛГОРИТМЫ НА ГРАФАХ специальная дисциплина в рамках стандарта по направлению подготовки инженера 654600 «Информатика и вычислительная техника» I.

Организационно-методический раздел.

1.1.Цели и задачи курса Цель курса – обучение основам современной теории графов и сравнительный анализ алгоритмов, используемых при решении задач на графах. Задачи курса - обзор основных понятий теории графов, исследование различных типов объектов и подструктур в графах. - рассмотрение ряда классических задач на графах и сетях, описание алгоритмов их решения, анализ трудоемкости алгоритмов. 1.2.Требования к уровню освоения содержания курса По окончании изучения указанной дисциплины студент должен иметь представление - об основных понятиях и методах, используемых в современной теории графов - о многообразии задач, возникающих на графах и сетях, и алгоритмах их решения - об особенностях применения алгоритмов при решении прикладных и теоретических задач - о взаимосвязи между различными разделами теории графов знать - основные типы объектов и структур, изучаемых теорией графов - различные свойства графов и связанных с ними объектов в рамках предлагаемого курса - типовые методы, используемые при работе с графами, орграфами, мультиграфами и сетями - постановки наиболее известных задач на графах и сетях и эффективные алгоритмы их решения уметь - формулировать прикладные и теоретические задачи на языке графов и сетей, осуществлять подбор эффективных алгоритмов для их решения - разработать программную реализацию выбранного алгоритма, произвести отладку программы и интерпретировать результаты ее работы - применять полученные теоретические знания для доказательства различных свойств графов и связанных с ними объектов

1.3.Формы контроля Итоговый контроль. Для контроля усвоения дисциплины учебным планом предусмотрены зачет и экзамен. Текущий контроль. В течение семестра выполняются 2 вида индивидуальных семестровых заданий, носящих как теоретический, так и прикладной характер. Выполнение указанных заданий является обязательным для всех студентов. Результаты текущего контроля служат основанием для выставления оценок в ведомость контрольной недели на факультете. 2. Содержание дисциплины. 2.1.Новизна и актуальность курса Концентрируя внимание на алгоритмическом подходе к задачам теории графов, учебный курс раскрывает органическую взаимосвязь между различными типами структур на графах и сетях, проявляющуюся в единстве алгоритмических моделей, применяемых для исследования этих структур. 2.2.Тематический план курса (распределение часов). Наименование разделов и тем Лекции Раздел 1. История развития теории графов Раздел 2. Основные понятия. Классификация типов графов. Раздел 3. Простейшие алгоритмы на графах и сетях Раздел 4. Связность и факторизации. Обходы графов Раздел 5. Планарность и раскраски Раздел 6. Перечисление и кодирование графов. Вопросы алгоритмической слоложности Итого по курсу:

Количество ЛабораторСеминар ные работы ы

часов Самостоятельная работа

2

Всего часов 2

10

2

4

16

14

8

16

38

10

4

8

22

12

2

6

20

6

2

4

12

54

18

38

110

2.3.Содержание отдельных разделов и тем. А) Теоретическая часть 1. История развития теории графов. Возникновение понятия графа. Графы как модели при решении задач. Задача Эйлера о кенигсбергских мостах. Задача Гамильтона. Исследования деревьев Кирхгофом и Кэли. Мультиграфы, ориентированные графы и сети. Алгоритмы на графах и сетях. Современное состояние развития теории графов. 2. Основные понятия. Классификация типов графов.

Основные определения и обозначения, связанные с графами, орграфами и мультиграфами. Способы задания графов. Матрицы смежности и инцидентности, их свойства. Изоморфизм графов. Двудольные графы. Критерий двудольности графа. Леса и деревья. Эквивалентные определения дерева. Корневые и остовные деревья. Бинарные деревья. Хранение и поиск информации в бинарных деревьях. Добавление и удаление элементов. Деревья, сбалансированные по высоте (AVL-деревья) и по весу. Точки сочленения, мосты и блоки графа. Вершинная и реберная связность. Характеризация двусвязных графов. Взаимное расположение двух блоков в графе. Дерево блоков и точек сочленения. Независимые множества вершин и ребер графа. Вершинные и реберные покрытия, факторы и паросочетания. Числовые параметры, связанные с независимостью и покрытиями, их свойства. Теорема Галлаи. 3. Простейшие алгоритмы на графах и сетях. Поиск по графу в ширину и глубину. Дерево поиска. Связь поиска в ширину с нахождением кратчайших цепей. Модифицированный алгоритм поиска в глубину. Поиск блоков в связном графе. Нахождение минимального остова: алгоритмы Примы и Краскала. Кратчайшие пути во взвешенных орграфах. Алгоритмы Дейкстры и ФлойдаУоршелла. Сети и потоки в сетях. Задача о максимальном потоке. Остаточные сети, дополняющие пути и разрезы. Теорема и обобщенный алгоритм Форда-Фалкерсона. Анализ работы алгоритма в случае целых и рациональных пропускных способностей. Случай иррациональных пропускных способностей. Пример Форда и Фалкерсона. Метод кратчайших путей. 4. Связность и факторизации. Обходы графов Наборы непересекающихся цепей, соединяющих два подмножества вершин графа (орграфа). Вершинная и реберная теоремы Менгера. Критерии вершинной и реберной kсвязности графов (теорема Уитни). Обходы графов. Эйлеровы и гамильтоновы графы. Теорема Эйлера и алгоритм Флери. Достаточные условия гамильтоновости. Теоремы Дирака и Оре. Гамильтоновы циклы и задача коммивояжера. Наибольшие паросочетания и чередующиеся цепи. Характеризация наибольших паросочетаний в терминах чередующиеся цепей. Паросочетания, покрывающие долю двудольного графа. Связь с системами различных представителей и теоремой Холла. Теоремы Кенига о числе реберной независимости двудольного графа и (0,1)-матрицах. Алгоритм поиска наибольшего паросочетания и наименьшего вершинного покрытия в двудольном графе. Задача о назначениях. Критерий Татта существования 1-фактора в произвольном графе. Теоремы Петерсена о 2-факторах. 5. Планарность и раскраски. Плоские и планарные графы. Нормальные карты и эйлеровы многогранники. Формула Эйлера и ее следствия. Критерий планарности Понтрягина-Куратовского. Алгоритм укладки графа на плоскости. Понятие геометрически двойственного графа. Раскраски вершин графов. Простейшие оценки хроматического числа. Теорема Брукса. Хроматические полиномы, их свойства. Нерешенные задачи о хроматических полиномах. Раскраски планарных графов и карт. Теорема о четырех красках. Доказательство теоремы о пяти красках. Вопросы 3-раскрашиваемости планарных графов. Теоремы Грецша и Грюнбаума. Реберные раскраски графов и мультиграфов. Теоремы Визинга и Шэннона. Хроматический индекс двудольного графа. Интервальные раскраски. Связь с задачами теории расписаний. Предписанные раскраски. Теорема Томассена о предписанной 5-раскрашиваемости плоских графов. 6. Перечисление и кодирование графов. Вопросы алгоритмической сложности.

Перечисление и кодирование графов. Проблема изоморфизма. Кодирование деревьев. Код Прюфера. Теорема Кэли о числе помеченных деревьев. Классы труднорешаемых задач на графах. Классы P, NP и NPC. Связь между задачами “Клика” и “Выполнимость”. NP-полнота задач “Изоморфный подграф”, “Независимость’’, “Вершинное покрытие’’, “Гамильтонов цикл”, “Гамильтонова цепь”, “3-раскрашиваемость”. Б) Практические занятия по курсу не предусмотрены. 2.1.Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы – см. раздел 3.2 (вопросы для подготовки к экзамену). 3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины 3.1. 3.2. Образцы вопросов для подготовки к экзамену Раздел 1. 1) Исторический путь развития теории графов. Исследования Эйлера, Кирхгофа и Кэли. Задача Гамильтона. Современное состояние теории графов. 2) Графы как модели при решении задач. Наиболее распространенные задачи на графах и сетях, алгоритмы их решения. Раздел 2 1) Основные определения и обозначения, связанные с графами. Лемма о рукопожатиях. 2) Способы задания графов и орграфов. Теорема о числе маршрутов, соединяющих две вершины графа. 3) Двудольные графы. Критерий двудольности графа. 4) Леса и деревья. Теорема об эквивалентных определениях дерева. Корневые деревья. Раздел 3. 1) Поиск по графу в глубину и ширину. Использование поиска в ширину для нахождения кратчайших цепей. 2) Алгоритм поиска блоков в связном графе. 3) Алгоритм Примы поиска минимального остова. 4) Кратчайшие пути во взвешенных орграфах. Алгоритм Дейкстры. 5) Задача о максимальном потоке. Метод кратчайших путей. Раздел 4. 1) Вершинная теорема Менгера. 2) Понятия эйлеровых цикла и цепи. Критерий эйлеровости графа. Алгоритм Флери. 3) Теорема о паросочетании, покрывающем долю двудольного графа, ее следствия. Связь с системами различных представителей и теоремой Холла. 4) Теоремы Кенига о числе реберной независимости двудольного графа и (0,1)матрицах. 5) Понятие r-фактора. Критерий Татта существования 1-фактора (доказательство необходимости). Теоремы Петерсена о 2-факторах. Раздел 5. 1) Верхняя оценка для числа ребер планарного графа. Максимальные планарные графы. 2) Критерий планарности Понтрягина-Куратовского.

3) Раскраски вершин графов. Простейшие оценки хроматического числа. Хроматическое число k-вырожденного графа. 4) Теорема Брукса. 5) Реберные раскраски графов и мультиграфов. Хроматический индексе двудольного графа. Раздел 6. 1) Кодирование деревьев. Код Прюфера. Теорема Кэли о числе помеченных деревьев. 2) Классы P, NP и NPC. Полиномиальная сводимость задач. Связь между задачами “Клика” и “Выполнимость”. 3) NP-полные задачи на графах. NP-полнота задач “Независимость’’, “Вершинное покрытие’’, “Гамильтонов цикл”, “Гамильтонова цепь”, “3-раскрашиваемость”. 3.3.Список основной и дополнительной литературы 1. Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов - М.: Наука, 1990. 2. Харари Ф. Теория графов - М.: Мир, 1973. 3. Косточка А. В. Дискретная математика. Часть 2 - Новосибирск: НГУ, 2001. 4. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. - Алгоритмы: построение и анализ // М.: МЦНМО, 2001. 5. Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. - М.: Мир, 1985. 6. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. – М.: Мир, 1978. 7. Дистель Р. Теория графов. – Новосибирск: Издательство Института математики СО РАН, 2002.

Программу подготовил: к.ф.-м.н.

Глебов А.Н.

Программа утверждена на заседании Ученого совета факультета информационных технологий Новосибирского государственного университета 18 декабря 2003 г., протокол заседания №16. Декан ФИТ НГУ, д.ф.-м.н.

М.М.Лаврентьев