Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

И.С. Лобанова

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Учебное пособие по дисциплине: «Математика» для студентов заочной формы обучения для всех специальностей Семестр I

Тюмень 2010

Оглавление Введение

4

1. Матрицы и определители

5

1.1. Понятие матрицы

5

1.2. Алгебраические операции над матрицами

6

1.3. Определители и их свойства

8

1.4. Обратная матрица

11

1.5. Ранг матрицы

12

1.6. Системы линейных уравнений 2. Векторная алгебра 2.1. Понятие вектора 2.2. Линейные операции над векторами 2. 3. Проекция вектора на ось 2.4. Линейная зависимость векторов 2.5. Базис. Координаты вектора 2.6. Прямоугольная (декартова) система координат 2.7. Скалярное произведение векторов 2.8. Векторное произведение векторов 2.9. Смешанное произведение векторов 3. Прямые и плоскости 3.1. Определение прямой на плоскости 3.2. Виды уравнений прямой на плоскости 3.3. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых 3.4. Определение плоскости в пространстве 3.5. Виды уравнений плоскости 3.6. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей 3.7. Определение прямой в пространстве 3.8. Виды уравнений прямой в пространстве

14 21 21 22 23 24 24 25 26 27 28 30 30 30 31

2

31 32 33 33 34

3.9. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых 3.10. Условие принадлежности прямых одной плоскости

34

3.11. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости 4. Кривые второго порядка

37

4.1. Эллипс

37

4.2. Гипербола

38

4.3. Парабола

39

5. Поверхности второго порядка

40

5.1. Классификация поверхностей

40

5.2. Исследование поверхностей методом сечений

41

Пример контрольной работы и образец ее решения

45

Варианты контрольных работ

62

Рекомендуемая литература

92

3

35

37

ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие курса «Линейная алгебра. Аналитическая геометрия» предназначено для студентов, обучающихся по заочной форме обучения, изучающих курс высшей математики. Настоящее пособие разработано в соответствии с требованиями Государственного стандарта Министерства образования РФ 2005 года. Особенность учебного пособия состоит в том, что в нем в аккумулятивной форме отражены все основные положения курса. Каждый раздел пособия содержит все наиболее существенные определения и теоремы и снабжен большим количеством примеров. Необходимость в таком пособии обусловлена тем, что в настоящее время имеющиеся учебники, во-первых, объемны, во вторых, большинство из них содержат либо только теоретические положения, либо задания и не содержат примеров решения. Кроме того, студентам, особенно заочного отделения, бывает крайне затруднительно извлекать из множества источников необходимую информацию для усвоения вопросов курса высшей математики.

1. Матрицы и определители 1.1. Понятие матрицы Матрицей называется всякая таблица элементов, состоящая из m строк и n столбцов. Говорят, что число mn называется размерностью матрицы. Обозначение:

 а11 а 12 а13  а 1n     а 21 a 22 a 23  a 2 n  А        a a a a   m1 m 2 m 3 mn  Размерность: dimA=mn. аij-элемент матрицы, стоящий в i-той строке и j-том столбце. Пример. 1 8  4   А    5 7 10 

размерность матрицы: dimA=23, элементы матрицы: a23=10, a12=8.

4

В =(1 4 5 -6) - матрица-строка , dimB=14.  2   С  1  0  

- матрица-столбец, dimC=31 При m=n матрица называется квадратной, число n называется порядком матрицы. Пример. 0 1 2    А  3 4 5  6 7 8  

- квадратная матрица третьего порядка, n=3 Элементы квадратной матрицы диагональ матрицы.

аij

при

i=j образуют главную

Квадратная матрица, образованная элементами

1, если i  j, аij   0, если i  j. называется единичной матрицей. Пример. Единичная матрица 4-го порядка.

1 0 Е  0  0

0 0 0 1 0 0  0 1 0  0 0 1

Нулевая матрица - матрица, у которой все элементы равны нулю. Нулевая матрица может быть любой размерности. Матрица, все элементы которой выше либо ниже главной диагонали равны нулю, называется треугольной матрицей. Пример. А - треугольная матрица.

5 0 А 0  0

3 2 10  1 50 11  0 34 31   0 0 45  5

1.2. Алгебраические операции над матрицами 1.2.1. Сложение Суммой двух матриц А и В называется матрица С, каждый элемент которой сij=aij+bij. Из определения следует, что можно складывать матрицы только одинаковой размерности. Пример.

2 1  1 0  1 1  А , В  , С  А  В    3 2  1 7   4 5     Свойства операции сложения. 1) коммутативность A+B=B+A 2) ассоциативность (A+B)+C=A+(B+C)

1.2.2. Произведение матрицы на число Произведением матрицы А на число  называется матрица С, каждый элемент которой сij=aij. Свойства. 1) ассоциативность ()А=(А) 2) дистрибутивность - относительно сложения чисел (+)А=А+А; - относительно сложения матриц (А+В)= А+В. Пример.

 2 1  6 3 A , 3  A    9 12   3 4    1.2.3. Операция транспонирования матриц Матрица В называется транспонированной по отношению к матрице А, если строками матрицы В являются столбцы матрицы А, а столбцами – строки. Обозначение: В=АТ Свойство операции транспонирования – рефлексивность: (AT)T=A Пример.

2 3  АТ   0 5   1 7   

2 0 1  А   3 5 7 

6

dim A=23

, dim AT=32

Замечание. В случае, если АТ=А, матрица называется симметрической, например:

3 5 7  A   5 6 9  ,  7 9 0  

3 5 7  AT   5 6 9  .  7 9 0  

1.2.4. Произведение матриц Произведением матрицы А dim А=mp и матрицы B dim B=pn называется матрица C dim C=mn, каждый элемент которой сij равен «произведению i-той строки матрицы А на j-тый столбец матрицы В». p

сij   aik bkj k 1

Из определения следует, что умножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Свойства операции умножения. - ассоциативность (АВ)С=А(ВС); - дистрибутивность А(В+С)=АВ+АС; - существование нейтрального элемента (единичной матрицы): АЕ=ЕА=А; - связь между операцией транспонирования и произведением матриц: Т (АВ) =ВТАТ. Замечания. 1) Умножение матриц не коммутативно, то есть АВ  ВА; 2) Обратной операции - деления не существует. 3) Если АВ=ВА, то в этом случае матрицы А и В называются коммутатирующими. Пример.  5 0 1 2 0 1  В   1 3 0  А   1 3 4   0 4 1   Dim A=23, dim B=33.

 2  5  0  (1)  1  0 2  0  0  3  1  4 2  2  0  0  1  1 10 4 5  С  А В      8 25 3   5  (  3)  4  0  1  0  9  16  1  2  3  0  4  1     Dim C=23. 1. 3. Определители и их свойства

7

1.3.1. Правило вычисления определителей 2-го порядка Определитель матрицы второго порядка есть число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов второй диагонали.

det A 

a11 a21

a12  a11  a22  a12  a21 a22

1.3.2. Вычисление определителей 3-го порядка Правило треугольников:

a11

a12

a13

a21 a31

a22 a32

a23  a33

=а11а22а33 +а12а23а31+ а13а21а32-(а12а21а33+а11а23а32+а13а22а31). Пример.

1

0

2

1 2 3  3 5 4 =1(-2)4+2(-1)5+03(-3)-2(-2)(-3)+135+0(-1)4 = -27-18= -45 1.3.3. Вычисление определителей разложением по строке (столбцу) Пусть А- квадратная матрица порядка n. Алгебраическим дополнением Aij элемента матрицы aij называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием iтой строки и j-того столбца, взятый со знаком «+», если сумма i+j четная, и со знаком «-», если нечетная. Определитель порядка n>1 равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

a12 a22

a13  a1n a23  a2 n

  an1 an 2

  an 3  ann

a11 a21

n

 a11 А11  а12  А12   а1n  A1n   аij Аij i , j 1

Пример. Вычислить определитель разложением по строке либо столбцу:

1

0

2

1 2 3 3 5 84

Разложим определитель по первой строке.

1

0

2

1 2 3  a11 A11  a12 A12  a13 A13  3 5 4  1

2 3 5

4

 0

1 3 3 4

 2

1  2 3

5

 1  (23)  0  2  (11)  23  22  45

Ответ: -45.

1.3.4. Вычисление определителей путем приведения матрицы к треугольному виду. Этот метод называют также методом элементарных преобразований. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

a11

a12

a13  a1n

0 

a22 

a23  a2 n  a11а22  а33   аnn  

0

0

0

 ann

Произвольная матрица приводится к треугольному виду методом элементарных преобразований. Под элементарными преобразованиями понимают умножение какойлибо строки (столбца) на число 0 и добавление к другой строке (столбцу). Замечание. Элементарные преобразования обратимы, т.е. если матрица А может быть получена из матрицы В элементарными преобразованиями, то матрица В также может быть получена из А обратными им элементарными преобразованиями. Пример.

 1 2 3 (3)  1 2 3 2  1 2 3  1 2 3  5 А   2 0 4    2 0 4    0 4 2    0 4 2  3 1 1  0 5 8   0 5 8  4  0 0 5,5         

9

1. Умножим первую строку матрицы на (-3) и прибавим ее ко второй строке. Результат запишем во второй строке новой матрицы. 2. Умножим первую строку матрицы на 2 и прибавим ее к третьей строке. Результат запишем в третьей строке новой матрицы. 3. Умножим вторую строку матрицы на 5/4 и прибавим ее к третьей строке. Результат запишем в третьей строке новой матрицы. Получим треугольную матрицу, определитель которой равен произведению элементов главной диагонали. detA=14(-5,5)= -22 Ответ: -22. 1.3.5. Свойства определителей 1) При транспонировании матрицы определитель не изменяется, т.е. detA=det(AT) 2) При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на обратный. 3) При круговой перестановке строк (столбцов) определитель не изменяется. 4) Если в определителе есть две одинаковые строки (столбца), то определитель равен 0; если одна из строк (столбцов) матрицы получается из другой строки (столбца) умножением на некоторый множитель, то определитель равен 0. 5) При умножении матрицы порядка n на число  определитель умножается на n. 6) При умножении одной строки (столбца) на число  определитель умножается на это число. 1.4. Обратная матрица 1.4.1. Определение обратной матрицы Матрица В называется обратной для квадратной матрицы А, если AВ = ВА = Е, где Е - единичная матрица. Обозначение: В=А-1 Необходимоe и достаточноe условие существования обратной матрицы: для того, чтобы для матрицы А существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был отличен от нуля. Если обратная матрица существует, то она единственная. Элементы обратной матрицы даются формулой: aij = Aji / detA Замечание. Если detA = 0, то матрица называется вырожденной. Свойства обратной матрицы. 1) (А-1 )T = (АT )-1 10

2) (АВ)-1= В-1А-1 1.4.2. Методы вычисления обратной матрицы а) Метод присоединенной матрицы. 1) вычисляем det A; 2) находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы; 3) составляем матрицу алгебраических дополнений АV, которая и называется присоединенной матрицей; 4) транспонируем АV и делим каждый элемент матрицы на detA: А-1=(АV)Т/ detA. Пример. Найти обратную матрицу для заданной матрицы А.

 2 3  А   4 5  1) Вычисляем определитель: detA= -2. 2) Находим алгебраические дополнения элементов матрицы A11=5; A12=-(-4)=4; A21=-(-3)=3; A22=2. 3) Составляем матрицу алгебраических дополнений:  5 4 АV     3 2 4) Транспонируем матрицу алгебраических дополнений и делим каждый ее элемент на определитель матрицы А:

 5 3 ( AV )T     4 2

 5/ 2 3/ 2  А1   1   2

б) Метод элементарных преобразований. Берем матрицу А и составляем расширенную матрицу (A/E):  a11 a12 ... a1n 1 0... 0   1 0... 0  ОБРАТНАЯ      a21 a22 ... a2 n 0 1... 0    0 1... 0 МАТРИЦА   0 0... 1  a     n1 an 2 ... ann 0 0... 1  Элементарными преобразованиями над строками матрицы (A/E) она приводится к виду (E/A), т.е. слева стоит единичная матрица, а справа получаем обратную матрицу. Пример.

11

1 А   1  2  1 1 0 1  0 1 

1 2  1 1 2 0 1, А/ Е   1 0 1  2 1 3 1 3  2 1 0 0  1 0 1 3 1 1 0   0 1 3 7 2 0 1   0 0 4

1 0 0  0 1 0   0 0 1  0 1 0  1 0 0 1/4 5/4 1/4  1 1 0   0 1 3 1 1 0   1 1  1 1 1   0 0 4 1 1 0 0 1/4 5/4 1/4   1/4 5/4 1/4  0 1 0 1/4 5/4 3/4 , А1   1/4 5/4 3/4.     0 0 1 1/4 1/4 1/4   1/4 1/4 1/4      1.5. Ранг матрицы 1.5.1. Определение ранга матрицы Пусть А - произвольная матрица размерности m  n . Возьмем  столбцов и  строк матрицы А, где min (m,n). Определение. Минором М матрицы А называется определитель -го порядка, полученный на пересечении  строк и  столбцов матрицы А. Пример. Дана матрица А:

 1 3 0 9   11 4 16 5   А  41 2 7 7     3 8 6 1  11 16 0 9 2,3 1,2   733, М 3,4   144  миноры 2  го порядка М 1,3 41 7 16 5 2,3,4 М 1,2,4

11 4 5  41 2 7  0 3

М  det A 

 минор 3  го порядка

8 1 1

3

0

11 41

4 2

16 5 0 7 7

3

8

6

9

1

Максимальный порядок миноров данной матрицы равен четырем.

12

Рангом матрицы называется наивысший из порядков не равных нулю миноров этой матрицы. Обозначение: rang A или r(A). В примере r(A)=4. Пример. Дана матрица А.

1 2 3  А  1 2 3  1 2 3    detA=0, все миноры второго порядка равны 0. Минор 1-го порядка М= 3 =30, следовательно, r(A)=1. 1.5.2. Методы вычисления ранга матрицы а) Метод окаймляющих миноров. Суть метода: 1) берут не равный нулю минор небольшого, обычно 2-го порядка и рассматривают все миноры 3-го порядка, которые содержат (окаймляют) данный. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен 2; 2) если хотя бы один из миноров 3-го порядка не равен нулю, то берут те миноры 4-го – порядка, которые содержат данный ненулевой и вычисляют их. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен 3; 3) если хотя бы один из миноров 4-го порядка не равен нулю, то продолжают процесс. б) Метод элементарных преобразований. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется. Суть метода: элементарными преобразованиями обнуляют как можно большее число элементов матрицы, тогда вычисление ранга не вызывает затруднений. Пример.

 1 3 0 9   1 11 4 16 5   0  А  4 2 7 8   0     3 8 6 1   0 0 9  1  1 3 0 1 6 28   0    0 0 13 52   0     0 0 216 1064   0

3

0

9  1 37 16 94   0  14 7 28   0   1 6 28   0 3 0 9  1 1 6 28   0  1 0 4  0   0 27 133   0

13

3

0

1 2

6 1

37

6

3

0

1 0

6 1

0

0

9  28   4   28  9  28  4   25 

1) Умножим первую строку матрицы на (-11) и прибавим ко второй; умножим первую строку на (-4) и прибавим к третьей; умножим первую строку на (-3) и прибавим к четвертой. 2) Поменяем местами вторую и четвертую строки матрицы. 3) Умножим вторую строку матрицы на (-2) и прибавим к третьей; умножим вторую строку на (-37) и прибавим к четвертой. 4) Разделим третью строку на 13; разделим четвертую строку на 8. 5) Умножим третью строку матрицы на (-27) и прибавим к четвертой, получим треугольную матрицу, определитель которой не равен нулю. Rang (А)=4. 1.6. Системы линейных уравнений 1.6.1. Определение системы Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными.

 a11 x1  a12 x2   ax  b1   a21 x1  a22 x2   ax  b2      am1 x1  am2 x2   amn xn  bm В матричной форме записи: AX=B, где А-матрица коэффициентов, – столбец неизвестных, В – столбец свободных членов.

 a11  A   a 21 a  m1

a12 ...

a1n   a 22 ... a 2 n , a m 2 ... amn 

 b1   x1      X   x2 , B   b2  b  x   m  n

mn n1 m1 Решением системы линейных уравнений называется всякий столбец  x1  x  , Х  2   x   n удовлетворяющий матричному уравнению АХ=В. 1.6.2. Классификация систем 1) АХ=О (В=О) - однородная система. 2) АХ=В (ВО) - неоднородная система. 1.6.3. Крамеровские системы

14

Х

Неоднородная система линейных уравнений называется крамеровской, если выполнены следующие условия: 1) m = n , т.е. число уравнений равно числу неизвестных; 2) detА0 – определитель матрицы коэффициентов не равен нулю. Иначе: система линейных уравнений крамеровская, если А – квадратная невырожденная матрица. Т.к. А – квадратная матрица, то существует обратная матрица А-1, тогда решение системы дается формулой: Х=А-1В. Правило Крамера в матричной форме записи:

Хi 

i 

Здесь  равен определителю матрицы коэффициентов, I есть определитель матрицы коэффициентов, в котором на месте i-го столбца стоит столбец свободных членов. Пример. Решить систему уравнений:

 x1  x2 -2x3  6   2x1  3x2 -7x3  16 5x  2x  x  16 2 3  1 1) Вычисляем detА =  и определители i:

6

1 1 -2   2 3 -7 =2 5 2 1 1 1

1 2

1  16 3 7  6 16 2 1

1

6

6 2 2  3 ; x2=  1 ; x3=  13 . 2 2 2

Ответ: решение системы

3 Х   1  .  1   1.6.4. Произвольные неоднородные системы

15

2

 2  2 16 7  2 5 16 1

 3  2 3 16  2 5 2 16 x1=

6

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными.

a11 x1  a12 x2  ax n  b1  a21 x1  a22 x2  axn  b2     a x  a x   a x  b m2 2 mn n m  m1 1 Система называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение. Главную роль в определении совместности системы играет ранг матрицы. Составим матрицу (А/В), которая называется расширенной матрицей.  a11 a12  a1n b1     b a a a  22 2n 2  ( А / В)   21         a  b a a m2 mn m   m1 Теорема Кронекера – Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна (т.е. имела решение), необходимо и достаточно, чтобы rangA=rang (A/B). Теорема о числе решений неоднородной системы: пусть для системы из m уравнений с n неизвестными выполнено условие совместности, т.е. r(A)= r(A/B)= r. Тогда: если r =n , то система имеет единственное решение. Если r < n , то система имеет бесконечное множество решений. При этом (n - r) - неизвестным придают произвольное значение, они называются свободными неизвестными; r - число базисных неизвестных. Пример. Решить систему линейных уравнений.

 х1  2 х2  3 х3  5 х4  2 2 х  х  4 х  х  3  1 2 3 4  3 х1  3 х2  8 х3  2 х4  1 3 х1  х2  7 х3  4 х4  5 Составим расширенную матрицу:  1 2 3 5 2    2 1 4 1 3  (A/B)=  3 3 8 2 1     3 1 7 4 5  16

Определим ранги r(A) и r(A/B).

 1 2  2 1  3 3   3 1

3 5 2   1 2 3 5 2      1 2 3 5 20  4 1 3   0 5 2 11 1       0 5 2 11 1  8 2 1  0 3 1 13 7       0 0 0,2 6,4 6,6  7 4 5   0 5 2 11 1 

 1 2 3 5 20  1 2 3 1 2 20     0 5 2 11 1 , М  0 5 2  0, М ( А / В)  0 5 1  0  0 0 1 32 33  0 0 1 0 0 33   r(A) =r(A/B)=34, следовательно, система имеет бесконечное множество решений; n-r=4-3=1 - одна свободная неизвестная. r = 3 - три базисных неизвестных. Т.к. r = 3 , то выберем ненулевой минор третьего порядка, который назовем базисным минором. 1 2 3 1,2,3столбцы M 1,2,3 строки  2

1

4 1 0

3 3 8 Т.к. в базисный минор входили коэффициенты при х1, х2, х3, то эти неизвестные будут базисными, оставшаяся х4- свободной. Перепишем систему в виде: х1-2х2-3х3 =2+5х4 2х1+х2+4х3=3-х4 3х1-3х2+8х3=-1+2х4 Полученная система является крамеровской, т.к. определитель матрицы коэффициентов есть ненулевой минор третьего порядка. По правилу Крамера выразим х1, х2, х3 через х4. х1= 30 + 71х4 х2= -7-15х4 х3= -14-32х4 Обозначим х4=С (произвольная константа), тогда общее решение системы имеет вид:  30  71C   7  15C   X   14  32C    C   Придавая С различные значения, мы получим бесконечное множество частных решений системы.

17

 30   7   Например, X (C  0)    14     0 

 101   22  . X (C  1)   .  46     1 

1.6.5. Однородные системы Пусть дана однородная система m линейных уравнений с n неизвестными. a11 x1  a12 x2   axn  0  a21 x1  a22 x2  axn  0     a x  a x   a x  0  m1 1 m2 2 mn n Однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое (тривиальное) решение Х=0. Теорема о решении однородной системы. Для того чтобы однородная система с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r(A)0, в сечении X2 Y2   2Z . гипербола p q Сечение плоскостью, параллельной ХОY – при Z