Решетки с единственными несократимыми разложениями

Алгебра и логика, 39, N 1 (2000), 93-103

УДК 512.56

РЕШЕТКИ С ЕДИНСТВЕННЫМИ НЕСОКРАТИМЫМИ

РАЗЛОЖЕНИЯМИ*)

М- В„ СЕМЕНОВА Памяти Виктора Александровича Горбунова

Представление элемента а полной решетки L в виде а = \J В назы­ вается разложением, если элементы множества В вполне неразложимы. Говорят, что это разложение несократимо, если а ф \J(B — Ъ) для всех Ъ£В. Известно [1], что в дистрибутивной решетке каждый элемент име­ ет не более одного несократимого разложения. В каких решетках каждый ненулевой элемент имеет единственное несократимое разложение? Далее такие решетки будем называть решетками с единственными

несократи­

мыми разложениями. Для конечных решеток ответ на этот вопрос найден в 1940 г. Дилуорсом [2]. Он доказал, что конечная решетка L является ре­ шеткой с единственными несократимыми разложениями тогда и только тогда, когда L локально дистрибутивна. Известно также [3, 4], что класс конечных решеток с единственными несократимыми разложениями совпа­ дает с классом конечных выпуклых геометрий. В 1960 г. Дилуорс и Кроули [5] охарактеризовали класс коалгебраических сильно коатомных ре­ шеток с единственными несократимыми разложениями. Наконец, в 1978 г. Горбунов [б] дал описание класса дистрибутивных решеток с (единствен*' Работа выполнена при финансовой поддержке Госкомитета РФ по высшему обра­ зованию, проект 1998 г., Российского фонда фундаментальных исследований, проекты N 99-01-00485 и N 96-01-00097, Немецкого научно-исследовательского общества, проект N436113/2670.

©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

94

М. В, Семенова

ными) несократимыми разложениями. Близкие вопросы рассматривались в работах Эрне [7], Рихтера [8], Валендзяка [9—11]. В настоящей статье определяется понятие минимального разложения в решетке и доказывается, что все известные до сих пор решетки с един­ ственными несократимыми разложениями являются в действительности решетками с минимальными разложениями. Кроме того, дается характеризация класса решеток с минимальными разложениями. Как следствие, приводится новое доказательство отмеченной выше теоремы Дилуорса — Кроули. Все используемые здесь термины содержатся в [12, 13]. Везде далее предполагаем, что L — полная решетка, а 0 — ее наименьший элемент.

§ 1. Решетки с минимальными разложениями Напомним, что элемент а ф О решетки L называется вполне нераз­ ложимым, если для любого множества В С L равенство а = V В вле­ чет a G В. Множество всех вполне неразложимых элементов решет­ ки L обозначим CJ(L). а* ~\/{Ь

Очевидно, что для любого а Е CJ(L)

элемент

Е L :Ь < а} является единственным нижним покрытием элемен­

та а. Элемент а решетки L называется вполне

полудистрибутивным

вверх, если для любого В С L и любого элемента с £ L а = Ь V с для всех Ь € В влечет а = (/\В) Решетка L вполне полудистрибутивна

Vc.

вверх, если каждый ее элемент

вполне полудистрибутивен вверх. Разложение а — \J В, где В С

CJ(L),

называется минимальным, если для любого С С CJ(L) равенство а = V С влечет включение В С С. Из определения следует, что любое минимальное разложение является единственным несократимым. Элемент а решетки L полумодулярен вниз, если для любого d ~< а и любого с 6 CJ(L) из а = с V d следует с Л d = с*. Решетка L называется полумодулярной вниз, если а -< а V Ь влечет а Л Ь -< Ь для любых элемен­ тов a,b € L. Полумодулярные вверх решетки определяются двойственным образом.

Решетки с единственными несократимыми разложениями

95

Основная цель этого параграфа — доказать, что имеет место Т Е О Р Е М А 1.1. Пусть L — решетка с разложениями.

Элемент

а ф О решетки L имеет минимальное разложение тогда и только тогда, когда он вполне полудистрибутивен вверх, полумодулярен вниз, а интер­ вал [О, а] является коатомной решеткой. Доказательство этой теоремы опирается на характеризацию класса решеток с каноническими разложениями, которая была получена Горбу­ новым [6]. Представление а = V В элемента а в виде суммы элементов множества В называют каноническим разложением элемента а, если вы­ полняется следующие условия: 1) это представление несократимо; 2) если а = V С, то для любого b £ В существует с 6 С такой, что 6 В со свой­ ствами f(n) £ п для всех п Е Ua] f(n) < т для всех п,т £ Ua и п ф т. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 1.1. Пусть а = У В - минимальное разложение элемента а. Поскольку в решетке с разложениями любое ми­ нимальное разложение является каноническим, то а вполне полудистрибу­ тивен вверх, а решетка [0, а] коатомна, согласно теореме 1.2. Далее, пусть d-