Стрип-метод преобразования изображений и сигналов: Монография

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

Л. А. Мироновский, В. А. Слаев

СТРИПМЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ И СИГНАЛОВ

2006

УДК 621.39 ББК 32.811 М 64 Рецензенты: доктор физикоматематических наук, профессор МГУ им. М. В. Ломоносова Н. А. Парусников; доктор технических наук, профессор, начальник сектора ЦНИИ «Электроприбор» Н. В. Колесов Утверждено редакционноиздательским советом университета в качестве учебного пособия

Мироновский Л. А., Слаев В. А. М64

Стрипметод преобразования изображений и сигналов: Монография / СПб.: Политехника, СПб., 2006. 163 с.: ил. ISBN 5732504133

Рассмотрены матричные методы обработки непрерывных сигналов и изображений, использующие стриппреобразование. Решена задача оценки потенциальной помехоустойчивости и синтеза оптимального фильтра для случая импульсных помех. Исследованы возможности двумерного стриппреобразования для хранения и помехоустойчивой передачи изображений. Приведены примеры стриппреобразования изображений и описаны классы изображений, инвариантных относи тельно симметричных ортогональных преобразований. Для научных работников и специалистов, работающих в области компьютерной обработки изображений и сигналов, приборостроения и метрологии. Может использоваться в качестве учебного пособия маги странтами направлений 2301 «Информатика и вычислительная техни ка», 2103 «Радиотехника» и аспирантами технических вузов при изу чении компьютерных методов обработки изображений и сигналов.

УДК 621.39 ББК 32.811

ISBN 5732504133

2

© ©

ГОУ ВПО «СПбГУАП», 2006 Л. А. Мироновский, В. А. Слаев, 2006

ПРЕДИСЛОВИЕ Важной задачей при передаче сигналов по каналам связи являет ся уменьшение уровня помех и искажений, вносимых в различных звеньях канала, или, другими словами, повышение точности (или снижение погрешности) передачи сигнала по каналу. В монографии исследуется оригинальный метод повышения помехоустойчивости систем передачи и хранения информации, названный стрипметодом. Его суть заключается в предварительном преобразовании сигнала на передающем конце путем «разрезания» его на участки равной дли тельности, формирования их линейных комбинаций и обратного «склеивания» в единый сигнал той же (или большей) длительности. На приемном конце смесь сигнала с шумом, полученная из канала связи, подвергается обратной процедуре, в результате чего импульс ные помехи «растягиваются» по всей длительности сигнала с одно временным уменьшением их амплитуды. Это приводит к уменьше нию относительного уровня помех и, соответственно, к повышению помехоустойчивости. Аналогичное преобразование изображения сводится к его разбие нию на большое число одинаковых фрагментов (фрагментации), фор мированию их линейных комбинаций и обратному преобразованию (дефрагментации), в результате чего получается изображение, внеш не совершенно не похожее на исходное. Если оно в дальнейшем под вергнется воздействию импульсных помех, приводящих к искаже нию или полному пропаданию отдельных фрагментов, то после вос становления будет получено цельное исходное изображение, только несколько худшего качества. При изложении материала основное внимание уделено рассмотре нию следующих задач: – разработке метода изометрических предыскажений (стрипме тода), не изменяющего «объем» сигнала и повышающего его устой чивость к импульсным помехам, действующим в каналах связи, ко торый основан на прямом и обратном линейных преобразованиях сигнала, описываемых матрицами; – нахождению требований к операторам стриппреобразования, выполнение которых обеспечивает сохранение непрерывности и 3

«гладкости» преобразованного сигнала; равномерность распределе ния импульсных помех по длительности сигнала или площади изоб ражения; стационарность передаваемого сигнала по дисперсии; вы равнивание его информативности; сужение спектра передаваемого сигнала и сравнительную простоту технической реализации; – оценке потенциальной помехоустойчивости и эффективности стрипметода для случая однократных и r  кратных помех и синтезу соответствующих оптимальных алгоритмов предыскажения; – исследованию возможностей введения в передаваемый сигнал информационной избыточности для обнаружения, локализации, идентификации и коррекции импульсных помех; – отысканию инвариантов и оптимальных матриц двумерного стриппреобразования для хранения и помехоустойчивой передачи изображений; – созданию технических средств для реализации стрипметода линейных предыскажений и фильтрации передаваемого сигнала. Естественно, что стрипметод является лишь одним из многих методов, направленных на повышение точности передачи сигналов и изображений по каналам связи. Вопросам повышения помехоустой чивости систем передачи информации посвящено большое количе ство публикаций [29, 32, 35, 37, 40–43, 50, 58, 60, 64, 65, 68, 73, 74, 77, 113, 114, 119, 120, 122–124, 137–139, 142–146, 148, 152, 154, 157 и др.]. Необходимо также упомянуть смежные работы по групповой си стеме передачи сообщений и линейным предыскажениям сигнала Д. В. Агеева, В. К. Маригодова, Д. С. Лебедева, Б. С. Цыбакова, Ю. Н. Бабанова, С. А. Суслонова, Л. П. Ярославского и др.; по мето ду избыточных переменных – М. Б. Игнатьева, А. П. Бурякова, Г. С. Бритова и др.; работы по линейному преобразованию и блочно му кодированию сигналов и изображений – американских исследо вателей Г. Р. Лэнга, У. Х. Пирса, Д. Костаса, Х. П. Крамера, М. В. Мэтьюса, У. К. Пратта, Г. К. Эндрюса и др. Методы предыскажений на основе линейного матричного преоб разования широко применяются для дискретных сигналов [11, 17, 18, 20, 50, 56, 72, 115, 117, 118, 141, 153 и др.], кроме того, в последнее время много внимания уделяется созданию различных алгоритмов помехоустойчивой обработки изображений [46, 63, 131, 155 и др.]. Таким образом, борьба с помехами на основе введения предыска жений при передаче сигнала и оптимальной обработки (коррекции помех) при его приеме широко используется в системах передачи ин 4

формации. Однако большинство работ посвящено методам предыс кажений и коррекции с использованием среднеквадратического кри терия, в то время как методы, удовлетворяющие требованиям опти мизации систем передачи информации по минимаксному критерию, разработаны в значительно меньшей степени. Поэтому представля ется целесообразной разработка и исследование новых методов борь бы с импульсными помехами, опирающихся на использование ми нимаксного критерия и современные возможности компьютерной обработки изображений и сигналов. Монография подводит итог многолетней работы авторов в указан ной области и опирается на их научные публикации по исследова нию стрипметода за последние 20 лет [13, 99–110, 126, 127 и др.]. В разд. 3 использованы результаты компьютерного моделирования, выполненного магистрантами И. С. Селяковым и С.В. Юдовичем под руководством одного из авторов [123, 159]. Приоритет в исследова ниях закреплен рядом авторских свидетельств [86–98, 111, 128– 130]. Основная часть исследований проводилась в Ленинградском ин ституте авиационного приборостроения ныне СанктПетербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения и Всероссийский научноисследовательский институт метрологии им. Д. И. Менделеева, где авторы работают более 40 лет.

5

ВВЕДЕНИЕ Одна из центральных задач теории связи состоит в повышении точности передачи сигналов по каналам информационных измери тельных систем (ИИС) и систем передачи информации (СПИ). Оно может быть обеспечено, в частности, за счет помехоустойчивого пре образования сигналов при их передаче и приеме. Известные методы и средства повышения помехоустойчивости систем передачи информации можно классифицировать по различ ным признакам (рис. 1.1). Один из важных признаков – вид помех, характерных для данной технической реализации системы. Тип и параметры помех задаются при проектировании из физических соображений и априорной ин формации, а также по данным, полученным в процессе эксплуатации аналогичных по принципу действия систем, либо в результате прове дения специальных исследований [134], позволяющих определить статистические свойства помех. На практике наиболее часто встречаются помехи трех типов: – импульсные помехи, имеющие вид кратковременных пропада ний сигналов или пиков большой амплитуды и малой длительности и обладающие широким спектром частот; – флуктуационные помехи, которые характеризуются некото рым законом распределения плотности вероятностей их значений и спектральной плотностью мощности или автокорреляционной функцией; – узкополосные помехи, в частности – гармонические, отличаю щиеся тем, что их спектр располагается в узкой полосе частот.

12345673 1234 5627869 79 

  7 77   939

27 5627869 79 

  572

8394 56 2 2 

  9 939

5734 2 6 26 

559696 9 6293 9 

Рис. 1.1. Признаки классификации методов и средств повышения помехоустойчивости систем передачи информации 6

Помехи упомянутых типов могут быть как аддитивными, т. е. линейно складывающимися с полезным сигналом, так и мультипли кативными, т. е. зависящими от уровня полезного сигнала. Областями применения методов и средств борьбы с помехами (рис. 1.2) являются проводные каналы и радиоканалы связи, пред назначенные для передачи сигналов телефонной и телеграфной ин формации, фототелеграфных, телевизионных сигналов, а также дан ных телеметрии. Сюда же входят активные и пассивные радиолока ционные системы и устройства траекторных измерений и радио навигации. Кроме того, широкой областью применения методов борь бы с помехами является техника записи, хранения и воспроизведе ния информационных сигналов. К такого рода устройствам следует отнести электромеханические регистраторы и самопишущие изме рительные приборы, светолучевые осциллографы, аппаратуру маг нитной записивоспроизведения (АМЗ) на движущийся и неподвиж ный носитель и др. Эти устройства предназначены для регистрации в основном одно мерных сигналов, под которыми понимаются функции одного аргу

1234567 89    ! "   7

  

6773 32373

3236 3

1234567839  34 3  7 8 8  58 7 53238

75753236 3 323  73

 37 8 8  58 7 53238

3238356 34 3

7576  34 3

  7274  73

7276  34 3

Рис. 1.2. Области применения методов и средств борьбы с помехами 7

мента, чаще всего времени. Примером такого сигнала может служить телефонный сигнал либо телевизионный сигнал при растровой раз вертке. Для регистрации многомерных сигналов используются мно гоканальная АМЗ, фотографические системы, устройства голо графической записивоспроизведения и др. Многомерные сигналы яв ляются функциями нескольких аргументов. Например, неподвиж ное чернобелое изображение на плоскости можно рассматривать как двумерный сигнал. Объемное изображение, изменяющееся во време ни, представляет собой четырехмерный сигнал и т. д. По способу представления входные и выходные сигналы системы передачи информации делятся на дискретные (импульсные, цифро вые) и аналоговые (непрерывные, континуальные). Дискретные сиг налы имеют вид импульсов или «ступенек» постоянного напряже ния. Зачастую они представляют собой (рис. 1.3) кодовые комбина ции, соответствующие значениям информативного параметра сообщения в фиксированные моменты времени при заданном основа нии системы счисления. При аналоговой форме входного сигнала выходной сигнал систе мы передачи информации может иметь как аналоговый, так и диск ретный вид. В первом случае система содержит в себе аналоговые (в частности, масштабные) преобразователи. Во втором – аналого цифровой преобразователь, осуществляющий операции дискретиза



 56734 3

1234536 7895 

1234567389

344567389

!7634 4 526

 34365

6 343

!7634 4 76563

 276 69

6 276 

"34752 389 7567

3463386

363

52

4

 

67 47762 433 33

1

Рис. 1.3. Классификация каналов передачи информации по форме представления сигнала и его информативных параметров 8

ции и квантования реализации входного процесса. При дискретной форме входного сигнала выходной сигнал системы может иметь дис кретный или аналоговый вид. В первом случае в системе применяют ся цифровые кодеры, во втором – цифроаналоговые преобразовате ли, осуществляющие операции интерполяции и сглаживания выход ного сигнала. Информативными параметрами входного сигнала могут быть его мгновенные значения, амплитуда, частота, фаза, спектр или корре ляционная функция, а также их комбинации. Классификация методов преобразования информации в СПИ по поставленной цели приведена на рис. 1.4. Одной из целей преобразо вания является сжатие объема передаваемой информации, под кото

1234 5627869 79  5    ! "

#$  ! "

12345675 38 93 

3 837 998 2

%& 1 '("(

)' &   ! "

34 37 87 87 74 7 4

74

!7

9343  939 75

7 73 6733 72833 87

3  7

!7

 7 97

1

!7

7 7 33 7923

987 72675 97  7 3387 73 677

  8383 34 87 743

3  3 34 87

  94783 34 87

37 34733 87 33"7

Рис. 1.4. Классификация методов преобразования информации по поставленной цели 9

рым понимается произведение полосы частот, времени существова ния и динамического диапазона сигнала [147]. Такая задача акту альна при передаче сигналов, обладающих большой естественной информационной избыточностью [15, 44, 158 и др.], например дан ных телеметрии. Уменьшение объема сигнала приводит к увеличе нию скорости передачи информации. К тому же эффекту приводит декорреляция, т. е. устранение линейной стохастической зависимос ти элементов сигнала на передающем пункте и помех на приемном конце системы передачи информации. Другой важной целью является повышение помехоустойчивости систем передачи информации или борьба с помехами. Способы повы шения помехоустойчивости СПИ различны и включают в себя: изо ляцию канала от помех, сводящуюся к совершенствованию аппара туры; согласование характеристик сигнала и канала (по мощности, частоте, амплитуде); введение в передаваемый сигнал информацион ной избыточности (использование повторов, получение квитанций, применение избыточного помехоустойчивого кодирования); оптими зацию приема и обработки информации, которая предполагает при менение оптимальной фильтрации [1, 8] и коррекции принятого сиг нала. В частности, системы подавления импульсных помех по принци пу действия могут быть разделены на следующие шесть групп [52]: – ограничение амплитуды смеси помехи с сигналом; – прерывание прохождения смеси сигнала с помехой на приемном пункте во время действия помехи; – компенсация эффекта действия помехи; – сведение смеси сигнала с помехой с помощью регулирующего каскада к уровню сигнала, имеющемуся во время действия помехи; – ограничение в приемном устройстве скорости нарастания при нимаемых сигналов; – преобразование спектров сигналов с целью ослабления импульс ных помех при обратном преобразовании. Последняя из перечисленных групп основана на использовании достаточно универсального принципа введения предыскажений при передаче сигнала и обратного преобразования при его приеме. Это позволяет также решать часть других задач, таких как согласование характеристик сигнала и канала, фильтрацию и коррекцию помех, облегчает введение информационной избыточности и т. д. Эффект, получаемый от подавления помех, существенно зависит от выбираемого критерия оценки помехоустойчивости. На рис. 1.5 приведена классификация используемых критериев. Выбор крите 10

рия обусловливается задачами, решаемыми при передаче информа ции, из которых можно выделить две основные: – обнаружение сигнала или различение сигналов; – восстановление сигнала на приемном пункте или оценка его па раметров (идентификация). Вероятностные критерии [40, 50, 64, 74, 122, 142 и др.] находят широкое применение для решения первой задачи и строятся на осно ве условных плотностей вероятностей оценок принятого сигнала при условии реализации определенного сообщения, априорной плотнос ти вероятностей различных сообщений, а также совместной плотно сти вероятностей переданного и принятого сообщений. Известны раз личные виды критериев, в том числе критерии Байеса, Неймана– Пирсона, Гловера, Кузьмина, максимума правдоподобия и др. Так, при задании функции значимости совместной реализации сообщения и его оценки использование априорного распределения и условной плотности вероятности приводит к критериям Байеса и Неймана–Пирсона. Согласно критерию Байеса, минимизируется сред ний риск принятия неправильного решения (пропуска сигнала и лож ной тревоги). По критерию Неймана–Пирсона минимизируется ус ловная вероятность ошибочного принятия решения, соответствую щего вероятности пропуска сигнала при заданной условной

123456789  191

1234567 8 9 6 5 7  4 347382

24 3 32 64532455

3 252 571  2575265 577 3

425   

36 25

!4737 824 3 3

7427 7   ! 3

4222 687473526 2

36 252

 8237 824 3 3

1765    

36 25

" 5238 59 47 55

Рис. 1.5. Классификация критериев, используемых при передаче информации 11

вероятности ошибочного принятия решения, соответствующего ве роятности ложной тревоги, и т. д. При передаче сигналов измерительной информации существенный интерес представляет критерий, характеризующий уменьшение ин формации в канале СПИ [62, 65, 112, 120, 137, 152]. Затруднение, связанное с равенством количества информации аналоговых сигна лов бесконечности, удается обойти с помощью понятия eэнтропии. Для решения задачи восстановления сигнала и оценки его пара метров наиболее приемлемым критерием служит норма ошибки или погрешности передачи в некотором функциональном пространстве [66]. Широкое распространение получил среднеквадратический кри терий, который характеризует норму ошибки в функциональном про странстве L2: s = [Е(х¢ – х)2]1/2 , где s – среднее квадратическое отклонение; Е – символ математиче ского ожидания; х¢, х – принятый и переданный сигналы. Средний модуль отклонения (средняя погрешность) D1 = Е |х¢ – х| является метрикой в пространстве L1. Оптимизация по этому крите рию приводит к использованию метода наименьших модулей [49]. Для алгоритмов обработки по методу наименьших модулей харак терно игнорирование сигналов или результатов измерений с боль шой величиной помех. Максимум модуля отклонения D¥ = mаx |х¢(t) – х(t)|, 0 £ t £ ¥ является метрикой в пространстве L¥ (или С). Часто этот критерий называют критерием Чебышева. Оптимизация системы по этому кри терию обеспечивает получение минимальной допустимой погрешно сти, поэтому он известен также как минимаксный критерий. Широко применяемый на практике критерий отношения сигнал/ шум обычно трактуется как отношение их средних мощностей и ха рактеризует разрешающую способность аппаратуры, под которой понимается обеспечение возможности различения пороговых сигна лов на фоне помех. Классификация методов помехоустойчивого преобразования пе редаваемых сигналов приведена на рис. 1.6. Как было отмечено, рас пространенным принципом повышения помехоустойчивости СПИ служит введение предыскажений в передаваемый сигнал и обратное преобразование при его приеме [2, 3, 10–12, 17, 18, 20, 23, 27, 30, 31, 38, 39, 56, 59, 69, 70–72, 78–82, 115, 117, 118, 125, 132, 135, 12

136, 149, 150, 153, 156]. Методы предыскажения сигнала можно разделить на два больших класса, включающих линейные и нели нейные предыскажения.

7 )74 563674  !

123456 782498 4

 123456367839

34 456367839

42  334 4

 46463

 42  334 4

 46463

  38 73 34

3 39

 73 39

  38 3 4334 *648 66 4 4   3

 68

  6

643639

 643639

 2956 3  54 5 6344639

 6344639

 46463

67"

 2956 3

  38 464  46463   38 94"34   38 4  3%46

!94"39

 #63 3  94"34

 994"39

4"34 4

 46463

+2 4 646

!3 67834 #63 3

,46 6263 4 646

&7 6" 1 54

#63 3

 56

7 334 4

 46463

66 54$%% 34 '%%  31 67834

#63 3

(43 "341 63434

#63 3

Рис. 1.6. Классификация методов помехоустойчивого преобразования передаваемых сигналов 13

Классическими примерами устройств нелинейного предыскаже ния являются компрессоры и экспандеры динамического диапазона, а также схемы автоматической регулировки усиления (АРУ) [114]. Сжатие динамического диапазона осуществляется компрессорами с нелинейной амплитудной характеристикой. Коэффициент переда чи компрессора различен для разных мгновенных значений сигнала. При этом сама форма кривой передаваемого сигнала изменяется, при чем большие мгновенные значения «сжимаются» (ограничиваются), а небольшие – проходят через компрессор почти без искажений. На приемном пункте СПИ применяется экспандер с амплитудной ха рактеристикой, обратной по отношению к характеристике компрес сора. Следует отметить, что происходящее изменение формы кривой приводит к изменению ширины спектра передаваемого сигнала. Другой способ воздействия на динамический диапазон сигнала состоит в применении схем АРУ, т. е. нестационарных устройств с памятью, обладающих определенной постоянной времени. Коэф фициент передачи схем АРУ меняется с изменением уровня (огибаю щей) сигнала и не зависит от мгновенного его значения. К недостат кам устройств нелинейного предыскажения и восстановления сигна ла надо отнести то, что изменение формы сигнала, обусловленное частотными и фазовыми искажениями в канале связи, неизбежно вызывает искажения сигнала даже в том случае, если амплитудная характеристика восстанавливающего устройства (экспандера) в точ ности обратна соответствующей характеристике компрессора. Методы линейного предыскажения сигналов весьма многообразны. Большая часть из них основана на следующей общей идее (рис. 1.7). На передающем пункте СПИ ставится предыскажающий четырехпо люсник, часто в виде фильтра [2, 149] с характеристикой Н(w) такой, чтобы на приемном пункте канала, обладающего шумовыми помеха 3

1

2

2

1

11

3

5

1

21

6

31 1

4

4 Рис. 1.7. Блок&схема канала системы передачи информации: 1 – кодер (предыскажающее устройство или блок прямого преобразования сигнала х); 2 – передатчик; 3 – среда (линия связи, АМЗ и т. п.); 4 – источник помех; 5 – приемник; 6 – декодер (фильтр или блок обратного преобразования принятого сигнала y¢)

14

ми, можно было бы выбором коэффициента передачи G(w) корректиру ющего четырехполюсника улучшить отношение сигнал/помеха. Наиболее простым и широко применяемым методом линейных предыскажений являются амплитудночастотные предыскажения. К примеру, известно, что амплитудночастотная характеристика (АЧХ) системы магнитная головка – лента – головка АМЗ с прямой записью и индукционными головками воспроизведения линейно на растает до сравнительно высоких частот. Для получения равномер ной АЧХ сквозного канала в усилителях записи АМЗ применяются амплитудночастотные предыскажения [126, 133], целью которых является «подчеркивание» низких частот входного сигнала. Метод фазочастотных предыскажений основан на использовании двух фильтров [73], один – на передающем, другой – на приемном пункте СПИ, с равномерными амплитудночастотными, но сложны ми по форме и взаимно сопряженными фазочастотными характерис тиками (ФЧХ). Сигнал, проходящий через оба фильтра, будет толь ко задерживаться на фиксированное время, в то время как частотные компоненты шума будут «разбросаны» во временной области. В работе [136] используется метод амплитуднофазовых предыс кажений, которые состоят из амплитудночастотных и фазочастот ных искажений, примененных последовательно. Задача введения амплитуднофазовых предыскажений рассматривается для детерми нированных сигналов с сохранением их формы при наличии помех в заданном динамическом диапазоне при максимальном отношении сигнал/помеха. Метод времячастотных предыскажений [31] основан на свойстве человеческого слуха не замечать сдвигов во времени воспроизведе ния отдельных частотных компонент сложного звукового сигнала, если только эти сдвиги не превосходят определенного порога. Аппа ратурная реализация метода заключается во введении различных временных задержек в узкополосные сигналы, полученные с помо щью полосовых фильтров из исходного. Задержанные с помощью линий задержки сигналы затем смешиваются, и на выходе смесите ля получается предыскаженный сигнал. В работе [125] решается задача минимизации среднего квадрати ческого значения погрешности передачи стационарного гауссовского процесса по каналу связи. При этом на передающем пункте канала применяется предыскажение в виде линейного преобразования свер точного типа с ядром K(t), которое является одной из варьируемых функций при оптимизации. Таким образом, здесь применяется пре дыскажение, описываемое интегральным уравнением. 15

Зачастую используют предыскажения, описываемые дифференци альными уравнениями (предыскажения дифференциального типа). Примером может служить запись широтномодулированных импуль сов на магнитную ленту. Оптимальным способом восстановления временного положения фронтов воспроизводимых импульсов служит метод обработки сигнала «по нулю производной» [28, 86], предпола гающий двукратное дифференцирование сигнала, поступающего с головки. При этом все высокочастотные помехи «подчеркивают ся». Чтобы избежать двойного дифференцирования воспроизводи мого сигнала, в режиме записи используют импульсы, полученные дифференцированием широтномодулированных импульсов прямо угольной формы, т. е. используют предыскажение дифференциаль ного типа. В работах [15, 69] описывается вокодер для передачи n непрерыв ных коррелированных сигналов по m каналам (m £ n). Каждый из m сигналов является линейной комбинацией исходных n сигналов. Коэффициенты этого линейного преобразования, составляющие мат рицу размера m´n, постоянны. В описываемом вокодере речь переда ется с использованием набора сигналов, пропорциональных энергии речевого сигнала в различных полосах частот. Эти сигналы сильно коррелированны, и результатом предыскажения является существен ное уменьшение числа сигналов, необходимых для передачи разбор чивой речи. Аналоговый метод предыскажения на основе линейного преобра зования, состоящий в получении предыскаженного сигнала как ли нейной комбинации фрагментов исходного, рассматривается в рабо те [70]. К недостаткам этого метода следует отнести необходимость использования многоканальной аппаратуры хранения и передачи сигнала, поскольку в результате предыскажения получается m сиг налов. Кроме того, фрагменты исходного сигнала, используемые в линейной комбинации, создаются путем пропускания исходного сигнала через полосовые фильтры, что усложняет аппаратуру и предъявляет к каналам связи различные требования по необходи мой полосе пропускания. Далее основное внимание уделяется стрипметоду преобразования сигналов и изображений [107, 110 и др.]. Сопоставляя его с перечис ленными, можно отметить следующие характерные черты. Предыс кажение в стрипметоде осуществляется за счет линейного комбини рования фрагментов исходного сигнала или изображения. Это при водит к тому, что каждый фрагмент передаваемого сообщения несет информацию обо всех без исключения фрагментах исходного сооб 16

щения, что позволяет в случае потери или повреждения одного из фрагментов восстановить все изображение без заметных искажений. При этом отпадает необходимость в использовании какихлибо фильтров или предыскажающих четырехполюсников. Здесь можно провести аналогию с голографическим преобразованием изображе ний, только роль отдельных точек (пикселей) играют конечные уча стки сигнала или фрагменты изображения, на которые оно разреза ется (как в детских играх типа «puzzle»). Следует подчеркнуть, что в процессе фрагментации сигналов и изображений не происходит поте ри информации, как при преобразовании Фурье или аппроксимации, поэтому в отсутствие помех восстановление информации происходит без методической погрешности. Таким образом, стрипметод относится к группе методов, осуще ствляющих линейное предыскажение и ориентированных в первую очередь на борьбу с импульсными помехами. Степень их ослабления естественно оценивать минимаксным критерием. Процедура предыс кажения (и восстановления) при использовании стрипметода тре бует задержки на время длительности сигнала. Более подробное опи сание этого метода – цель данной монографии.

17

1. СТРИПМЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ

1.1. Стрипметод линейных предыскажений и решаемые им задачи Известно, что понятия памяти и связи тесно «переплетены» друг с другом. Если функция памяти – передача информации во времени, то функция связи – передача информации в пространстве. Обе функ ции имеют пассивный характер: информация лишь сохраняется и распространяется, но не подвергается активной, целенаправленной переработке [117]. Поэтому задачи, возникающие при разработке и эксплуатации систем передачи информации (каналов связи), с одной стороны, и хранения в аппаратуре записи информации – с другой сто роны, во многом схожи. В частности, и в том, и в другом случае боль шое значение имеет повышение помехоустойчивости, т. е. увеличе ние отношения сигнал/помеха, непосредственно влияющего на точ ностные параметры передачи сигнала. В технических приложениях довольно часто встречаются импуль сные помехи, которые имеют вид пиков шума малой длительности и большой амплитуды [66, 130, 142]. Другим видом импульсных по мех являются пропадания сигнала типа глубоких замираний при радиосвязи [27, 78] или «выпадений» сигнала изза дефектов маг нитного носителя при магнитной записивоспроизведении сигналов измерительной информации [45, 126]. Зачастую импульсные поме хи имеют спектр, близкий к спектру передаваемого или регистрируе мого сигнала, и не могут быть ослаблены традиционными способа ми, например методами оптимальной фильтрации [1, 3, 8, 26, 40]. Поэтому представляет интерес разработка метода, позволяющего уменьшить влияние импульсных помех без изменения полосы час тот, скорости передачи информации, средней мощности и длитель ности сигнала во временной области, т. е. без изменения «объема» передаваемого сигнала [147]. Как показано во введении, существует универсальный принцип борьбы с помехами канала связи путем предварительного преобразо вания (предыскажения) сигнала при передаче и обратного преобра зования его при приеме. Особенности применения этого принципа определяются конкретными ограничениями на предметную область и преследуемые цели. Рассмотрим возможности применения принципа предыскажения для решения следующей задачи. 18

Пусть имеется исходный сигнал х(t) Î X, предназначенный для передачи по каналу связи. Множество X содержит сигналы, характе ризующиеся следующими свойствами: – финитностью, т. е. ограниченностью во времени (0 £ t £ T) и по амплитуде (|x| £ D); – непрерывностью и дифференцируемостью (по крайней мере, от сутствием разрывов первого рода), обеспечивающими «гладкость» сигнала. Для передачи сигнала х(t) будем использовать систему связи (рис. 1.7). Применим в качестве кодера 1 устройство предыскажения, харак теризуемое оператором Ф, к которому предъявим следующие общие требования: – существование обратного оператора Ф–1, обеспечивающего точ ное восстановление сигнала при отсутствии помех; – сохранение непрерывности и «гладкости» сигнала; – достаточное количество варьируемых параметров для обеспече ния удобства настройки; – сравнительную простоту технической реализации. Оператор Ф, удовлетворяющий этим требованиям, можно исполь зовать для решения различных задач по согласованию характерис тик сигнала и канала связи, повышению помехоустойчивости пере дачи и т. д. Перейдем к описанию класса линейных предыскажающих опера торов Ф, удовлетворяющих перечисленным требованиям. Он был предложен в работах [86–88, 99, 102, 105, 123]; там же были рас смотрены вопросы технической реализации соответствующих опера торов. Отличительная особенность операторов этого класса – конеч номерный способ преобразования непрерывного сигнала. В соответ ствии с ним исходный скалярный сигнал х(t) разбивается на n участков одинаковой длительности и формируются n их линейных комбинаций, из которых составляется преобразованный сигнал у(t). При этом общая длительность сигнала не изменяется, однако те перь каждый из участков несет информацию обо всем сигнале х(t). На приемном конце происходит обратное преобразование (декодиро вание), в результате чего восстанавливается исходный вид сигнала. С точки зрения математики, оператор Ф описанного преобразова ния сигнала на передающем конце и обратный оператор Ф–1 восста новления сигнала на приемном конце описываются уравнениями Ф = S–1AS; Ф–1 = S–1A–1S,

(1.1) 19

где S – стрипоператор, осуществляющий преобразование исходного сигнала длительности Т в nмерную векторфункцию длительностью T/n; S–1 – обратный ему оператор; А – постоянная невырожденная n ´ n матрица, элементами которой служат коэффициенты линейных комбинаций участков преобразуемого сигнала. Схема, поясняющая процедуру линейных прямого и обратного пре образований аналогового (непрерывного) сигнала х(t), приведена на рис. 1.8. Ей соответствует цепочка равенств:

X 2 Sx,

Y 2 AX, y 2 S11 Y, y1 2 y 3 n,

Y 1 2 Sy1, X1 2 A 11 Y 1,

x 1 2 S11X1.

(1.2)

Для моделирования и исследования этой схемы удобно использо вать пакет MATLAB [57, 121]. В нем, в частности, имеется команда strips, которая действует аналогично стрипоператору. Она обеспе чивает вывод на экран «длинного» графика функции, разрезая его на участки (англ. strip – полоска). К сожалению, для дальнейшей обра 1 122

1

3122

111

4122

111

2

112 5122

 2

12324 56789

3334 122 1 122 1

3 122 1

112

111

4 122

5 122 1

1

212

111

1

Рис. 1.8. Стрип&метод линейных предыскажения, передачи и восста& новления сигнала: x(t) – исходный сигнал длительности Т; S – стрип&оператор «раз& резания» сигнала на участки длительности h=T/n; X(t) – вектор& функция длительности h; А, А–1 – прямой и обратный операторы матричного преобразования; Y(t) – вектор&функция преобразован& ного сигнала Y = AX; S –1 – обратный стрип&оператор («склеива& ния» сигнала); y(t) – сигнал длительности Т, передаваемый по каналу связи; y¢(t) – сумма сигнала y(t) и помехи n(t) на выходе канала связи; Y¢(t) – вектор&функция смеси сигнала с помехой; X¢(t) – вектор&функция сигнала после обратного линейного преоб& разования; x¢(t) – принятый сигнал длительности Т

20

ботки результат этой команды недоступен, поэтому для реализации стрипоператора необходимо писать пользовательскую функцию. Поясним действие стрипметода простым примером. Пример 1.1. На рис. 1.9, а показан график функции x(t) = e–0,1t + + 0,2sin6t, x(t) 1 e 10,1t 2 0,2sin6t, 0 3 t 3 8 c. «Разрезая» его на 8 участков длительностью 1 с каждый, получа ем векторфункцию X(t) Î R8 (рис. 1.9, б). Графики построены в па кете MATLAB с помощью команд t = 0:.01:8; x = exp(
.1*t) + .2*sin(6*t); plot(t,x), grid, strips(x, 100).

Последней командой исходный сигнал x(t), заданный массивом из 801 отсчета, «разрезается» на 8 участков длиной по 100 отсчетов. В общем случае применение стрипоператора S эквивалентно раз биению «длинного» исходного сигнала х(t), 0 £ t £ T, на n участков равной длительности h = T/n и получению n «коротких» сигналов вида х1(t) = х(t), х2(t) = х(t + T/n), ..., хn(t) = х(t + (n–1)T/n), 0 £ t £ T/n. Из них формируется nмерная векторфункция 3 x1 (t) 4 X 1 t 2 7 55 1 66 , 0 £ t £ T/n. 58xn (t) 69

а)

2 5

1 2 3 4 5 6 7 8

2 3 2 1 9 1 7 1 5 1 3 1

(1.4)

1

б)

3

(1.3)

1

2

3

4

5

6

7

8

9 12

1 1 3 1 5 1 7 1 9 2 2

Рис. 1.9. Пример стрип&преобразования: а – исходный скалярный сигнал х; б –векторный сигнал Х, полученный с помощью функции strips 21

При помощи неособенной квадратной матрицы А = [aij]1,n, элемен тами которой являются действительные числа, вектор Х(t) преобра зуется в вектор Y(t):

3 y1 (t) 4 Y 1 t 2 7 AX 1 t 2 7 55 1 66 , 0 £ t £ T/n. 58 yn (t) 69

(1.5)

Компоненты вектора Y(t) определяются формулами yi(t) = AiX(t); i = 1, 2, …, n,

(1.6)

где Аi – iя строка матрицы А. Оператор S–1 является обратным оператору S и производит опера цию «склеивания» сигналов yi(t), 0 £ t £ T/n, i = 1, 2, ..., n, в единый сигнал y(t) длительности Т. Этим завершается процедура кодирования (предыскажения) ис ходного сигнала. Далее сигнал у(t) передается по каналу связи с по мехами и на приемном конце подвергается процедуре декодирования, в которой используется матрица А–1 (см. рис. 1.8). Поскольку в основе описанного преобразования лежит использо вание стрипоператора, соответствующий метод предыскажения и восстановления сигналов был назван стрип&методом. Пример 1.2. Проиллюстрируем описанное преобразование, поло жив Т = 20, n = 4 и взяв в качестве исходного сигнала экспоненциаль 1 но затухающий синусоидальный сигнал x 2 e 10,1t sin t (рис. 1.10, а). 2 В результате стриппреобразования он превращается в векторный сигнал Х (рис. 1.10, б). Умножая его на матрицу А с единичным определителем 11 33 A53 34 3 362

1 1 12 3 2 144 , 3 2 14 4 2 2 147

получаем сигнал Y (рис. 1.10, в), который после преобразования обратным стрипоператором становится скалярным сигналом y (рис. 1.10, г). Этот сигнал передается по каналу связи и на приемном конце подвергается аналогичной цепочке преобразований с исполь зованием матрицы A–1 22

2 0 11 1 0 3 4 0 2 11 115 5. A 11 6 4 4 11 11 0 25 4 5 74 2 0 0 1185

(1.7)

При отсутствии помех он будет совпадать с исходным сигналом x(t). Реализация описанной процедуры в пакете MATLAB произво дилась с помощью следующей последовательности команд.

а)

б)

1

2

3

1

162

2

1 31 5162 53

32 1

2

31

32

в)

г)

2

41

1

177 3

4

8

9

2 11

3

9

1

4

72 1

31

54

32 177 3

4

8

9

2 11

59

1

2

31

32

41

1

Рис. 1.10. Преобразование исходного сигнала с помощью матрицы А (1.7): а – исходный сигнал x; б – векторный сигнал X=Sx; в – векторный сигнал Y=AX; г – передаваемый сигнал y=S–1Y 23

%Программа strip1 (предыскажение исходного сигнала) t=0:.01:20;tt=0:.01:5
.01; x=sin(.5*pi*t).*exp(
.1*t); % исходный сигнал x(t) figure(1);plot(t,x,ўLineWidthў,2),grid x1=x(1:500);x2=x(501:1000);x3=x(1001:1500);x4=x(1501:2000); % стрип
преоб
% разование X=[x1;x2;x3;x4]; figure(2);plot(tt,X) A =[1 1 1 1; 4 3 2 1; 3 3 2 1; 2 2 2 1]; Y=A*X; plot(tt,Y), y=[Y(:)ў 0]; % обратное стрип
преобразование figure(3);plot(t,y,ўLineWidthў,2),grid % передаваемый сигнал y(t)

Заметим, что в результате выполненного преобразования инфор мация о значении сигнала x(t) в любой момент времени 0 £ t £ T/n содержится в каждой составляющей yi(t). Именно этот факт, полно стью аналогичный голографической записи изображения [12], обес печивает высокую помехоустойчивость преобразованной информа ции по отношению к импульсным помехам. Даже в случае полной потери информации с одного из участков yi(t) исходный сигнал мо жет быть восстановлен (с некоторой погрешностью) в процессе вы полнения обратного преобразования, которому подвергается вектор Y + DY , где DY – векторфункция помехи. При этом погрешность DX восстановления сигнала определяется по формуле n

DX = A–1DY или 3xj 1 t 2 4 5 bij 3yi 1 t 2, i 11

где bij, i, j = 1, 2, ..., n – элементы матрицы A–1. Если в результате действия импульсной помехи одна из составля ющих вектора DY окажется отличной от нуля, то это приводит, в общем случае, к появлению вектора DX, все компоненты которого отличны от нуля. Таким образом, вместо помехи по одной составля ющей появляются помехи по всем составляющим, т. е. происходит «растягивание» импульсной помехи по всей длительности сигнала. Если матрица А ортогональная, то амплитуда помехи уменьшается. Пример 1.3. Вновь возьмем в качестве исходного сигнала затуха 1 ющую синусоиду x(t) 2 e 10,1t sin t (рис. 1.11, а). Результат его пре 2 образования в сигнал у(t) с помощью ортогональной матрицы Ада мара четвертого порядка 24

11 1 1 12 3 4 1 31 51 1 514 A6 6 A 11 2 31 1 51 514 3 4 731 51 51 184

(1.8)

приведен на рис. 1.11, б. На рис. 1.11, в показан сигнал у¢(t), отличающийся от сигнала у(t) полным пропаданием сигнала на втором участке. Восстановлен ный сигнал x¢(t) (рис. 1.11, г) отличается от исходного сигнала x(t) уже на всех участках, однако степень его искажения сравнительно невелика, поскольку помеха равномерно распределилась по всем че тырем участкам. а)

б) 3

1

3

152

152

1

1

6152

6152

63

1

2

31

32

г)

41 3

63

2

1

2

31

32

41 3

в) 2 3

1 3

152

152

1

1

1

1

6152

6152 63

1

2

31

32

41 3

63

1

2

31

32

41 3

Рис. 1.11. Иллюстрация стрип&метода (пример 1.3): а – исходный сиг& нал x; б – передаваемый сигнал y; в – принятый сигнал y¢; г – восстановленный сигнал x¢ 25

Графики построены в пакете MATLAB с помощью программы strip1, в которой использовалась матрица А (1.8) и программа istrip1, текст которой приводится ниже. %Программа istrip1 (восстановление исходного сигнала на приемном конце) ye=y.*(1
(t>5&t 0, получим d 3 n yy 5  rij dakm 57 i,j 11

1

d trR yy dakm

2

4 6 6 8 9

max ,

k, m = 1, 2, ..., n.

(1.51)

Элементы матрицы Ryy можно записать в следующем виде: n

rijyy 1 3 ail ajl 2l 1 Ai AjT ,

(1.52)

l 11

где Ai 5 1 ail 6l 2 5 3 ai161, ai262 , ..., ain 6n 4; AjT 3 15 ajl 4 l 26

T

и

1l 2 3l , l = 1, 2, ..., n.

Вычислим отдельно числитель и знаменатель дроби (1.51): 43

d 3 n yy 9  rij dakm 9 i,j 11

4 d 3 n n

7 9  ail ajl 8l

dakm 9 i, 

j 11 l11

n 4 T 6 ,

7 28m  5a pm sign A p Am

 p 11 

1

k, m = 1, 2, ..., n;

(1.53)

d d 3 n 2 4 trR yy 5 7  aij 6 j 8 5 26m akm , k, m = 1, 2, ..., n. 8 dakm dakm 79 i,j 11

1

2

2

(1.54)

Подставляя полученные выражения для производных в формулу (1.51), получим

9 35apm sign 1 A p AmT 2 46 n

akm 7

p 11

8max

, k, m = 1, 2, ..., n.

(1.55)

Это означает, что числа akm не зависят от k (номера строки матри цы А), т. е. в любом столбце все элементы одинаковы. Следователь но, матрица А должна иметь следующий вид: 1 a1 3a A53 1 3.... 3 36 a1

a2 a2 .... a2

.... .... .... ....

an 2 an 44 . ....4 4 an 47

(1.56)

Очевидно, что матрица (1.56) является особенной (имеет ранг, равный 1) и поэтому на практике неприменима. Необходимо искать класс неособенных матриц, достаточно близких по своим свойствам к матрицам вида (1.56). n

Заметим, что для любой матрицы А сумма 2 ail ajl 1l (а следова l 11

тельно, и значение критерия b) будет больше в том случае, если все элементы этой матрицы имеют один знак, например, все они поло жительные. Существует класс матриц, у которых замена знаков всех элементов на один не приводит к вырождению. Более того, можно указать на положительные матрицы (т. е. матрицы с положитель ными элементами [34]), которые, оставаясь неособенными, могут сколь угодно близко приближаться к матрице с одинаковыми эле ментами. Примером такой матрицы служит циркулянта, элемента ми которой является конечное число членов арифметической про 44

грессии a1 = a, a2 = a+h, a3 = a+2h, … . Очевидно, что для такой мат рицы aij 1 a при h 1 0. Таким образом, положительные матрицы являются представите лями класса неособенных матриц, достаточно близких по свойствам к матрицам вида (1.56). Полученный результат является частным случаем теоремы Шенберга [21, 48], смысл утверждения которой со стоит в следующем: «Для того чтобы число перемен знака в сигнале y(t), получаемом из сигнала x(t) с помощью линейного преобразования (1.6), было меньше или равно числу перемен знака в сигнале x(t), необ ходимо и достаточно, чтобы матрица А была знакоопределенной». Под знакоопределенной матрицей понимается такая матрица, у которой все отличные от нуля миноры рго порядка имеют один и тот же знак ep. Если при этом все миноры ргo порядка отличны от нуля, то такая матрица называется строго знакоопределенной. В частности, при e1 = e2 = … = en = 1 строго знакоопределенная матрица является положи тельной, что и соответствует рассмотренному выше случаю. Подводя итог изложенному, можно сделать вывод о том, что клас сом матриц, наилучшим образом сужающим спектр преобразованно го сигнала, т. е. максимизирующим критерий b (0 1 2 3 1) , оставаясь неособенными, является класс знакоопределенных матриц. К сожа лению, эти матрицы могут быть плохо обусловленными, что может приводить к проблемам при их обращении. В заключение остановимся на частотной (спектральной) интер претации стрипметода. Мгновенные значения преобразованного сигнала получаются здесь как результат скалярного произведения iй строки матрицы А на век торстолбец, составленный из отсчетов исходного сигнала х(t). Дру гими словами, они получаются как коэффициенты обобщенного пре образования Фурье. За систему базисных функций берется набор, получаемый из линейно независимых векторов, координаты кото рых составляют строки матрицы преобразования. Базисные функ ции представляют собой, тем самым, кусочнопостоянные и, в об щем случае, разрывные функции. Число разрывов первого рода та ких базисных функций может достигать (n – 1), не считая граничных. В линейном преобразовании сигнала берется заведомо конечное число членов ряда n. Для получения взаимнооднозначного соответ ствия сигналов x(t) и y(t), т. е. оригинала и изображения, коэффици енты разложения в ряд Фурье yi(t) с необходимостью должны быть функциями времени, а не постоянными величинами. В этом смысле такое разложение представляет собой функциональный ряд с конеч ным числом членов. 45

На примере использования матриц Адамара можно дать частот ную интерпретацию линейного преобразования, используя понятие обобщенной частоты, введенное в работах [7, 140], где под обобщен ной частотой понимается половина числа пересечений нулевого уров ня за секунду. В этом случае для матрицы Адамара под частотой понимается по ловина числа изменений знака вдоль каждой строки [127]. Можно построить матрицы Адамара порядка n = 2m, частоты которой пред ставляют собой все числа от нуля до n/2, следующие через 1/2. Та кая частотная интерпретация строк матрицы Адамара позволяет го ворить об эквивалентности ее строк прямоугольным колебаниям с амплитудой 1 и периодом 2/n. Такие функции называются функци ями Уолша [24] и могут быть сведены к функциям Радемахера [19]. Функции Уолша wal(0, Q), cal(i, Q), sal(i, Q) составляют полный

t 1 1 12 5 6 , . Преобразо T 79 2 2 8

1 1 вание Фурье–Уолша функции x(Q), заданной на интервале 1 2 3 4 , 2 2 выглядит следующим образом: 1 x 1 5 2 6 a 1 0 2 7 wal 1 0, 5 2 8  39 ac 1 i 2 7 cal 1 i, 5 2 8 as 1 i 2 7 sal 1 i, 5 2 4 , i 21 ортонормированный базис на интервале 3 4

где a 1 0 2 3 as 1 i 2 3

12

12

6

11 2

x 1 4 2 5 wal 1 0, 4 2 d4, ac 1 i 2 3

12

6 x 1 4 2 5 cal 1 i,4 2 d4,

11 2

6 x 1 4 2 5 sal 1i,4 2 d4.

11 2

Таким образом, с точки зрения частотной интерпретации, стрип преобразование с использованием матриц Адамара дает разложение исходного сигнала в ряд Фурье–Уолша с конечным числом членов, причем это разложение точное, а не приближенное. Подводя итоги разд. 1, отметим, что в нем были исследованы воз можности стрипметода при решении различных задач. Они каса лись выбора матрицы А, обеспечивающей «гладкость» преобразо ванного сигнала, выравнивание его дисперсии, равномерную инфор мативность и сужение частотного спектра. Во всех случаях получены необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетво рять матрица А, либо установлен ее конкретный вид. Следующий раздел посвящен исследованию и решению группы задач, связанных с достижением максимальной помехоустойчивос ти передачи сигнала в рамках стрипметода. 46