Петров И. Б.
Дата: 08.03.2019 E-mail:
[email protected] Св-во о публикации № 219030800945
Абсурдное доказательство бинарной проблемы Гольдбаха. От автора: Доказательство приведенное в данной публикации одной из открытых задач современной математики (бинарной проблемы Гольдбаха), вероятнее всего, не обладает необходимой достаточностью, новизной и научностью. Оставаясь на уровне школьной арифметики, оно по сути своей является абсурдным, не серьезным и смешным. И можно сказать, что данная работа не выдерживает ни какой научной критики, как и то, что ее автор не претендует ни на какую серьезность суждений, оригинальность или полезность в данной теме. Но тем ни менее, даже не будучи научной статьей, эта публикация, с одной стороны, насквозь пронизанная абсурдизмом суждений — показывает всю эфемерность понимания глубины суждений в современной математики, а с другой — является логически и арифметически верной, показывая всю простоту решения сложных научных проблем. И в данном случае, цель публикации показать заинтересованной публике на сколько формальный подход к проблеме, может быть верным с точки зрения субъективной логики человеческого мышления, и в тоже время ошибочным с объективной точки зрения на проблему, являясь, как бы тестом на глубину миропонимания... Если кому-либо из читателей может показаться, что автор выражает сарказм или критику в сторону современного научного подхода к математике, то это ошибочное мнение! Все с точностью до наоборот. И данная статья вовсе не ставит целью ввести читателя в некое заблуждение, а наоборот , стремится спровоцировать его на критику формального подхода и поиски истинного решения, которое впрочем может быть намного проще, чем можно подумать… В любом случае, автор выражает признательность любому читателю данной статьи и просит отнестись к ней с пониманием: не как к строгим научным изысканиям, а скорее как к некому психологическому эксперименту в области субъективного восприятия абстрактных математических понятий, впрочем, согласитесь — верных со всех арифметических позиций. И еще: автор, этой публикацией, не претендует на лавры каких-то достижений, открытий или славы, даже простого формального вклада в области математики. Однако он признает, что на момент данной публикации ему не известен такой подход к решению озвученной проблемы, который был бы использован в иных опубликованных работах, хотя и не отрицает возможность отсутствия его новизны. В любом случае свое авторство он признает только в области литературного изложения данного математического подхода и в случае наличия на момент этой публикации уже существующих опубликованных работ, все авторские права и их приоритет остается за их авторами.
Бинарная проблема Гольдбаха (проблема Эйлера) формулируется как утверждение о том, что любое четное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел[1]. Однако прежде чем приступать к доказательству данного утверждения, дадим четкие определения для простого числа и числа четного. Как известно, простое число — это натуральное (целое положительное) число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя [2] . Четное число—это такое целое число, которое делится на 2 без остатка. Докажем простое утверждение: любое простое число является нечетным. Представим, что это утверждение ложно. Но если бы какое-либо простое число было бы четным, то оно бы делилось само на себя, на 1 и 2, что противоречит определению простого числа. Исключением является простое число 2. В итоге: для всех простых чисел кроме 2 данное утверждение верно. Теперь докажем следующее утверждение: сумма двух простых чисел (кроме 2) будет числом четным. Это утверждение следует из утверждения о том, что суммах нечетных чисел всегда будет числом четным. Докажем это: Представим первое нечетное число как: 2a + 1, а второе в виде - 2b + 1. Тогда их сумма будет равна: 2a + 1 + 2b + 1 = 2a + 2b + 2 = 2 * (a + b + 1), где a и b – натуральные числа. Легко заметить, что значение данной суммы — число четное, так как имеет сомножитель 2 (см. определение четного числа). При этом данное число, не будет являться простым (см. определение простого числа). Лемма 1: сумма простых чисел будет всегда являться числом четным и как следствие — составным. Вернемся к формулировке бинарной проблемы Гольдбаха: получается, что любое четное число принадлежащие множеству натуральных чисел {4,5,6,...,+∞}, можно представить в виде суммы двух простых чисел, то есть по определению принадлежащих множеству натуральных чисел {1,2,3,...,+∞}. Обозначим эти множества как: A = {4,5,6,...,+∞} и B = {1,2,3,...,+∞}. Легко доказать, что оба этих множества принадлежат ряду натуральных чисел расположенному на отрезке числовой оси [1; +∞):
Из теории множеств известно, что:
Рис. 1. Тогда в нашем случае - А U В = {1,2,3,...,+∞}, включающему в себя все четные числа {4,6,8,...,+∞} и все простые числа {2,3,5,...,+∞} (см. Рис. 1.). Лемма 2: значение суммы простых чисел всегда будет принадлежать множеству натуральных чисел {4,...,+∞}. Граница данного множества следует из того факта, что сумма первых двух простых чисел 1 и 3 будет равняться 4. Представим числовую прямую (1;+∞). Следуя математическому представлению нечетного числа (2a + 1) и четного (2a), становится понятно, что точки этой числовой прямой соответствующие четным числам, будут чередоваться с точками, которые соответствуют — нечетным. Докажем это: так как нечетное число имеет вид - 2a + 1, для любого четного числа a, следовательно число a в данной формуле может принимать любые четные значения. Тогда: a + 1 – число нечетное. Рассмотрим два числа на данной числовой оси: k – четное, d – нечетное. Тогда мы можем представить данные числа, как: k = 2a, d = 2b + 1, где a, b - четное число. Найдем сумму: k + d = 2a + 2b + 1 = 2(a + b) + 1. Мы знаем, что 2(a + b) – число четное, так как кратно (делится) двум. Однако сумма 2(a + b) + 1 – число нечетное, так как единица не кратна двум. Числа a, d принадлежат множеству натуральных чисел, следовательно и их сумма также принадлежит этому множеству, то есть справедливо утверждение (a + b) є N. Следовательно мы можем утверждать, что a + 1 – число нечетное, где a - любое четное число. Аналогично можно доказать, что a + 2 – число четное.
Вернемся к заданной числовой оси. Так как на ней расположен ряд натуральных чисел начиная с 4, то его можно представить в виде арифметической прогрессии вида: an = a1 + (n-1)d, где d – шаг прогрессии (равный 1). В нашем случае, в рамках поставленной задачи (см. условие проблемы Гольдбаха) эта формула принимает вид: an = 4 + (n-1) = n + 3. Для всех четных чисел эта прогрессия будет иметь вид: an = 2n + 2. Чтобы доказать верность утверждения проблемы Гольдбаха, нам фактически достаточно доказать, что сумма любых двух простых чисел будет принадлежать множеству всех чисел ряд, который соответствует прогрессии an = 2n + 2. Введем некое множество O = {a1,a2,a3,…,+∞}, для которого a1 = 1 (см. лемму 2), тогда: an = n. Объединим условия леммы 1 и леммы 2. Лемма 3: сумма (двух) простых чисел будет всегда являться числом четным и принадлежать множеству натуральных чисел {4,6,8,...,+∞}. Если мы докажем, что сумма двух простых чисел может всегда быть вычислена по формуле арифметической прогрессии an = 2n + 2, мы фактически решим проблему Гольдбаха. Лемма 4: сумма двух простых чисел всегда может быть вычислена по формуле арифметической прогрессии an = 2n + 2. Докажем это: возьмем два произвольных простых числа A и B є [1; +∞). Так как эти числа находятся на числовой прямой ряда натуральных чисел, то они являются членами арифметической прогрессии an = n. Пусть: A = anA= nA; B = anB = nB, где nA, nB – натуральные числа, при этом nA ≠ nB A + B = nA + nB. Примечание 1: Стоит заметить, что первый член арифметической прогрессии составляющей ряд таких сумм, в соответствие с условием леммы 2 будет равен 4.
Теперь рассмотрим три арифметические прогрессии: 1. Ряд натуральных чисел [1; +∞), для которого справедлива формула: anx = nx. 2. Ряд натуральных чисел [4; +∞), для которого справедлива формула: any = ny + 3. 3. Ряд четных натуральных чисел [4; +∞), для которого справедлива формула: anz = 2nz + 2.
Учтем, что nx, ny, nz – это натуральные числа. Мы знаем, что nx = ny + 3 (это следует из смещения на числовой оси множества чисел ряда [4; +∞) относительно [1; +∞)) и nx = 2nz + 2 (это следует из смещения на числовой оси множества четных числе ряда [4; +∞) относительно [1; +∞)). Выразим первую арифметическую прогрессию через данные значения: anx = ny + 3; ny = nx — 3, ny = (2nz + 2) – 3, ny = 2nz – 1; anx = (2nz – 1) + 3, anx = 2nz + 2. Мы подтвердили взаимосвязь между всеми тремя множествами чисел через формулы арифметической прогрессии их членов, а также выразили прогрессию ряда натуральных чисел [1; +∞) через прогрессию ряда [4; +∞). Таким образом мы доказали, что A + B соответствует ряду прогрессии anx = 2nz + 2. Это следует из примечания 1. Таким образом мы фактически доказали лемму 4. Нам только остается доказать, что множество ряда чисел, соответствующих прогрессии anx = 2nz + 2, фактически является множеством содержащим все четные натуральные числа начиная с 4. Но фактически нам достаточно просто проверить характеристическое свойство такой прогрессии, которое заключается в том, что: последовательность a1,a2,a3,… есть арифметическая прогрессия если для любого ее элемента выполняется условие an = (an-1 + an+1) / 2, при n ≥ 2. Произведем преобразования: an = (an-1 + an+1) / 2, an = 2n + 2, an = ( 2(n-1) + 2 + 2(n+1) + 2) / 2, an = ( 2n - 2 + 2 + 2n + 2 + 2) / 2, an = ( 2n + 2n + 4 ) / 2, an = ( 4n + 4 ) / 2, an = 2( 2n + 2 ) / 2, an = 2n + 2.
Что и требовалось доказать. Таким образом лемма 4 — верна и множество сумм двух простых чисел будет содержать все четные числа начиная с 4, а значит для любого четного числа начиная с 4, будет существовать хотя бы одна пара простых чисел, сумма которых будет равняться этому четному числу. Список использованной литературы: [1] Александров П.С., Демидов С.С. (Ред.) ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА. С докладом Гильберта «Математические проблемы», произнесенного на II Международном Конгрессе математиков (Париж, с 6 по 12 августа 1900 г.). Комментарии советских математиков к каждой задаче. 2000. 240 с. ISBN 5-1236-0064-7. [2] Простое число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 4.
