Некоторые аналоги формулы Планшереля-Ротаха для классических ортогональных многочленов(Автореферат)

nA PRAWAH RUKOPISI lARION^IKOW rOMAN sERGEEWI^

nekotorye analogi formuly plan{erelq{rotaha dlq klassi~eskih ortogonalxnyh mnogo~lenow sPECIALXNOSTX 01.01.01 | mATEMATI^ESKIJ ANALIZ

awtoreferat

DISSERTACII NA SOISKANIE U^ENOJ STEPENI KANDIDATA FIZIKO{MATEMATI^ESKIH NAUK

moskwa - 2004

dISSERTACIQ WYPOLNENA NA KAFEDRE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA mOSKOWSKOGO TEHNI^ESKOGO UNIWERSITETA SWQZI I INFORMATIKI. nAU^NYJ RUKOWODITELX | DOKTOR FIZIKO{MATEMATI^ESKIH NAUK, PROFESSOR sUETIN p.k. oFICIALXNYE OPPONENTY: | DOKTOR FIZIKO{MATEMATI^ESKIH NAUK, PROFESSOR oSILENKER b.p. | KANDIDAT FIZIKO{MATEMATI^ESKIH NAUK, DOCENT sOROKIN w.n.

wEDU]AQ ORGANIZACIQ | iNSTITUT PRIKLADNOJ MATEMATIKI IM. m.w.kELDYA ran zA]ITA DISSERTACII SOSTOITSQ " 13 " APRELQ 2004 G. W ^. NA ZASEDANII DISSERTACIONNOGO SOWETA k 212.133.01 PRI mOSKOWSKOM GOSUDARSTWENNOM INSTITUTE \LEKTRONIKI I MATEMATIKI (TEHNI^ESKIJ UNIWERSITET) PO ADRESU: G. mOSKWA, b.tREHSWQTITELXSKIJ PER., D.3/12, STR.8, mgi|m, FAKULXTET PRIKLADNOJ MATEMATIKI, AUD. s DISSERTACIEJ MOVNO OZNAKOMITXSQ W BIBLIOTEKE mOSKOWSKOGO GOSUDARSTWENNOGO INSTITUTA \LEKTRONIKI I MATEMATIKI. aWTOREFERAT RAZOSLAN " 9 " MARTA 2004 G. u^ENYJ SEKRETARX DISSERTACIONNOGO SOWETA k 212.133.01 KANDIDAT FIZIKO{MATEMATI^ESKIH NAUK DOCENT e.r.hAKIMULLIN

oB]AQ HARAKTERISTIKA RABOTY.

aKTUALXNOSTX TEMY.

kLASSI^ESKIE ORTOGONALXNYE MNOGO^LENY (kom), T.E. MNOGO^LENY ~EBYEWA, lEVANDRA, ~EBYEWA{|RMITA, ~EBYEWA{lAGERRA I OB]IE MNOGO^LENY qKOBI, IROKO PRIMENQ@TSQ W WY^ISLITELXNOJ MATEMATIKE, W MATEMATI^ESKOJ FIZIKE, W TEORETI^ESKOJ FIZIKE, W KWANTOWOJ MEHANIKE, A TAKVE WO MNOGIH TEHNI^ESKIH NAUKAH (W TEORII AWTOMATI^ESKOGO REGULIROWANIQ I UPRAWLENIQ, W TEORII ANTENN). pRI \TOM WO MNOGIH SLU^AQH WOZNIKAET WOPROS OB USLOWIQH RAZLOVENIQ FUNKCIJ W RQDY fURXE PO kom. aSIMPTOTI^ESKIE FORMULY DLQ kom QWLQ@TSQ \FFEKTIWNYM INSTRUMENTOM PRI REENII TAKOGO RODA ZADA^ 7, 8, 10, 16]. aSIMPTOTI^ESKIE SWOJSTWA ORTOGONALXNYH MNOGO^LENOW AKTIWNO ISSLEDU@TSQ WO MNOGIH RABOTAH PO TEORII SPECIALXNYH FUNKCIJ I PO TEORII ORTOGONALXNYH MNOGO^LENOW 1, 7, 8, 12, 11, 14, 15, 17, 19, 20]. tAKIM OBRAZOM, TEMA DISSERTACII PREDSTAWLQETSQ AKTUALXNOJ I AKTIWNO RAZRABATYWAEMOJ SOWREMENNYMI MATEMATIKAMI.

cELX RABOTY.

pRI ISSLEDOWANII ASIMPTOTI^ESKIH SWOJSTW kom PRIMENQ@TSQ METODY lIUWILLQ{sTEKLOWA, dARBU, sEGE, METOD PEREWALA I DRUGIE METODY 7, 8]. cELX@ DISSERTACII QWLQETSQ PRIMENENIE IZWESTNOJ LEMMY m.w. fEDOR@KA 2] DLQ ISSLEDOWANIQ ASIMPTOTI^ESKIH SWOJSTW kom I POLU^ENIE S POMO]X@ \TOJ LEMMY NOWYH ASIMPTOTI^ESKIH FORMUL.

oB]AQ METODIKA WYPOLNENIQ ISSLEDOWANIQ.

w RABOTE ISPOLXZUETSQ METOD POSLEDOWATELXNYH PRIBLIVENIJ (mpp) 4], SOWREMENNYE REZULXTATY TEORII OBYKNOWENNYH LINEJNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ 2, 9]. nAIBOLEE INTENSIWNO ISPOLXZU@TSQ OB_EKTY MATEMATI^ESKOGO ANALIZA, W ^ASTNOSTI, RQDY tEJLORA \LEMENTARNYH FUNKCIJ 3, 5].

nAU^NAQ NOWIZNA.

oSNOWNYMI REZULXTATAMI RABOTY QWLQ@TSQ: 1. fORMULIROWKA I DOKAZATELXSTWO ANALOGOW LEMMY m.w. fEDOR@KA. pRI \TOM DA@TSQ OCENKI DLQ ^ASTNYH REENIJ DIFFERENCIALXNOGO rABOTA WYPOLNENA PRI PODDERVKE rffi, GRANTY 1

01-01-00051

I

04-01-00192.

URAWNENIQ

yxx ; Q(x
)y = 0 (1) GDE
{ PARAMETR, Q(x
) 6= 0, x 2 a b] ILI x 2 1 +1). 2. pRIMENENIE ANALOGOW LEMMY m.w. fEDOR@KA W SLU^AE, KOGDA URAWNENI@ (1) UDOWLETWORQ@T kom. wYWODQTSQ ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY DLQ cn(x) I IH PROIZWODNYH A) MNOGO^LENOW ~EBYEWA { |RMITA ( m~| ) H p p W SLU^AQH, KOGDA x 2 0 2n + 1) I x 2 ( 2n + 1 +1) B) MNOGO^LENOW qKOBI (mq) Pn(x   )  > ;1  > ;1 I IH PROIZWODNYH PRI x 2 ;1 +  1 ; ]  > 0 W) MNOGO^LENOW lEVANDRA (ml) Pn(x) I IH PROIZWODNYH PRI x 2 ;1 +  1 ; ]  > 0 G) MNOGO^LENOW ~EBYEWA{lAGERRA (m~l) Lb n(x )  > ;1 I IH PROIZWODNYH PRI x > 4n + 2 + 2. 3. pOLU^ENIE ^ISLENNYH OCENOK DLQ OSTATO^NYH ^LENOW ASIMPTOTI^ESKIH FORMUL DLQ m~|, ml, m~l I PROIZWODNYH m~|, ml I m~l. 4. pOLU^ENIE WESOWYH OCENOK DLQ m~| I m~l. dOKAZYWAEMYE WESOWYE OCENKI ISPOLXZU@TSQ W TEORII RQDOW fURXE PO kom. 00

tEORETI^ESKAQ I PRAKTI^ESKAQ CENNOSTX.

tEORETI^ESKAQ ZNA^IMOSTX RABOTY ZAKL@^AETSQ W RAZWITII ASIMPTOTI^ESKIH METODOW, PRIMENQEMYH DLQ ISSLEDOWANIQ SPECIALXNYH FUNKCIJ. lEMMA m.w. fEDOR@KA WPERWYE PRIMENENA DLQ kom. rEZULXTATY RABOTY MOGUT SLUVITX DLQ ISSLEDOWANIQ RQDOW fURXE PO kom. pRAKTI^ESKAQ ZNA^IMOSTX RABOTY SOSTOIT W POLU^ENII KONKRETNYH ASIMPTOTI^ESKIH FORMUL DLQ kom I ^ISLENNYH OCENOK IH OSTATO^NYH ^LENOW.

aPROBACIQ REZULXTATOW.

rEZULXTATY DISSERTACII DOKLADYWALISX NA NAU^NOM SEMINARE "iZBRANNYE WOPROSY TEORII FUNKCIJ", PROWODIMOM NA MEHANIKO{MATEMATI^ESKOM FAKULXTETE mgu, (RUKOWODITELX SEMINARA { PROFESSOR a.i. aPTEKAREW) (2003 G.), NA XXIII kONFERENCII MOLODYH U^ENYH ME2

HANIKO{MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA mgu (2001 G.), NA 8{J WSEROSSIJSKOJ MEVWUZOWSKOJ NAU^NO{TEHNI^ESKOJ KONFERENCII STUDENTOW I ASPIRANTOW "mIKRO\LEKTRONIKA I INFORMATIKA { 2001" (mi|t, 2001 G.), NA nAU^NYH KONFERENCIQH PROFESSORSKO{PREPODAWATELXSKOGO, NAU^NOGO I INVENERNO{TEHNI^ESKOGO SOSTAWA mtusi (2001 G., 2003 G.).

pUBLIKACII.

oSNOWNYE REZULXTATY OPUBLIKOWANY W 5 RABOTAH I 2 RABOTY NAHODQTSQ W PE^ATI.

sTRUKTURA I OB_EM RABOTY.

dISSERTACIQ SOSTOIT IZ WWEDENIQ, PQTI GLAW, ZAKL@^ENIQ I SPISKA LITERATURY. pOLNYJ OB_EM DISSERTACII { 108 STRANIC, BIBLIOGRAFIQ WKL@^AET 27 NAIMENOWANIJ. sODERVANIE RABOTY.

wO WWEDENII OBOSNOWYWAETSQ TEORETI^ESKAQ ZNA^IMOSTX ISSLEDUEMYH OB_EKTOW, PROWODITSQ KRATKIJ OBZOR SU]ESTWU@]IH METODOW I REZULXTATOW, DAETSQ OPISANIE ISTORII FORMULY pLANERELQ{rOTAHA DLQ m~|. w PERWOJ GLAWE RASSMATRIWAETSQ LINEJNOE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE WTOROGO PORQDKA (1) pRI NEKOTORYH USLOWIQH NA Q(x
) MOVNO GOWORITX O SU]ESTWOWANII REENIQ URAWNENIQ (1) (SM. 2, 6]). dLQ SLU^AEW x 2 a b] I x 2 1 +1) DOKAZYWA@TSQ DWE LEMMY, QWLQ@]IESQ OBOB]ENIQMI LEMMY m.w. fEDOR@KA. wTORAQ GLAWA POSWQ]ENA ISSLEDOWANI@ ASIMPTOTI^ESKIH SWOJSTW ORTONORMIROWANNYH m~|. fUNKCII e s =2Hcn(s) UDOWLETWORQ@T DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@ ;

2

7, 8]

yss + (2n + 1 ; s2)y = 0 s 2 R : (2) |TO SWOJSTWO POZWOLQET PRIMENITX LEMMU GLAWY 1 K URAWNENI@ (2) NApOGRANI^ENNOM OTREZKE, SODERVA]EM NULX I NE SODERVA]EM TO^EK  2n + 1. s POMO]X@ LEMMY STROQTSQ DWA ^ASTNYH REENIQ y1
n = y1
n(s) I y2
n = y2
n(s) URAWNENIQ (2) NA \TOM OTREZKE I DOKAZYWAETSQ IH 00

3

LINEJNAQ NEZAWISIMOSTX. sOGLASNO IZWESTNOJ TEOREME IZ TEORII OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ 6] MOVNO PODOBRATX TAKIE KO\FFICIENTY C1(n) C2(n), ^TO e s =2Hcn(s) = C1(n)y1
n(s) + C2(n)y2
n(s) NA RASSMATRIWAEMOM OTREZKE. s POMO]X@ \TOGO FAKTA DOKAZYWAETSQ SLEDU@]AQ TEOREMA. pUSTX A(s n) = 4(2n + 1 ;10ss2)3=2 ; 5s B (s n) = 21 (2n + 1s; s2)3=2 : tEOREMA 2.1. pRI USLOWIQH n  2 s  0, ;

2

!2=3 5 s + 4 s < 2n + 1

(3)

j(B (s n) + 1)(A(s n) + 1)2 ; 1j < 1

(4)

2

SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY: 1)

e

2 ;s =2

v u u c Hn(s) = t 2 Kn p4

1   2n + 1 ; s2   1 + "1(n)  Zs q n 2  cos 2n + 1 ; d ; 2 + q1(s n) 1 + p(s n) (5) 0

GDE

8 q4 2n+1 > < PRI n = 2m Kn = >: r4 2n 2n 2n+1 PRI n = 2m + 1: 

2)

e

2 ;s =2

v u p4 u c Hn(s) = t 2 Kn 2n + 1 ; s2   Zs q n  

0

 ; sin

0

 1 + "1(n)

2n + 1 ; d ; 2 + q2(s n) 1 + p(s n) (6) 2

4

3)

v u u c Hn(s) = t 2 Kn

p

2n   2n ; 1 ; s2   1 + "1(n ; 1)  Zs q + q ( s n ; 1)  ; sin 2n ; 1 ; 2d ; n 1 2 1 + p(s n ; 1) ;

se

2 ;s =2

1

;

Zs q

 ; sin

4

v u p u ; t 2 Kn 4 2n + 1 ; s2 

0



p

0

   1 + "1(n) n 2 2n + 1 ; d ; 2 + q2(s n) 1 + p(s n) : (7)

oBLASTX OPREDELENIQ FORMULY (7) OGRANI^ENA USLOWIQMI (3) I (4) S ZAMENOJ W NIH n NA n ; 1 (n  3). dLQ FUNKCIJ "1(n), p(s n), q1 (s n), q2 (s n) DANY KONKRETNYE ^ISLENNYE OCENKI. s POMO]X@ FORMULY 8]

Hcn(;s) = (;1)nHcn(s) FORMULY

(5), (6), (7)

MOGUT BYTX WIDOIZMENENY DLQ

(8)

s < 0.

p w SLU^AE s > 2n + 1 S POMO]X@ LEMMY PERWOJ GLAWY STROITSQ REENIE yn(s), OPREDELENNOE I OGRANI^ENNOE PO s NA POLUOTREZKE p a(n) +1), GDE a(n) > 2n + 1. pO IZWESTNOJ TEOREME IZ TEORII OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ (2, 6]) SU]ESTWUET KO\FFICIENT C (n) TAKOJ, ^TO e s =2Hcn(s) = C (n)yn(s)8s 2 a(n) +1). tEOREMA 2.2. pRI n  1 SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE ASIMPTOTI^ESKIE ;

2

FORMULY: 1)

e

2 ;s =2

 p s s2 (2n+1)+ 2n+1 ln s+ ps2 ;(2n+1) 1 2 2n+1 q4 2 Hcn(s) =  e 2 1=2 (2) s ; (2n + 1) + (s 2n + 1)  (1 + (+11 2n + 1))(1 + "2(n)) (9) p

;

5

;

GDE

s2 

2)

GDE

r

e

2 ;s =2

,

2 ; (2n + 1) s c e Hn(s) = ; 1=2

s



0

s

s2

!

+1

2n + 1 + (2(2n + 1))

1=3

r

q4

(2)

;

2

ps

2 ;(2n+1)+ 2n+1 2

s+

p

ln

(2n+1) ps22;n+1





+  (s 2n + 1)  (1 + (+11 2n + 1))(1 + " (n)) (10) 2

!

(2n + 1) + (2(2n + 1))1=3 +1 . FUNKCIJ "2(n), (s 2n + 1), (+1 2n + 1),  (s 2n + 1)

dLQ DANY KONKRETNYE ^ISLENNYE OCENKI. c (s) = p2nH cn 1(s), 8s 2 R , pRIMENENIE IZWESTNOJ FORMULY 7, 8] H n K (9) I (10) DAET NOWU@ ASIMPTOTI^ESKU@ FORMULU. oNA I FORMULY (9) I (10) S POMO]X@ FORMULY (8) MOGUT BYTX WIDOIZMENENY DLQ SLU^AQ OTRICATELXNYH s. 0

;

tRETXQ GLAWA POSWQ]AETSQ WOPROSAM STANDARTIZO

ISSLEDOWANIQ 

WANNYH mq. dLQ FUNKCIJ u = sin 2 +1=2 cos 2 +1=2 Pn(cos    ) SPRAWEDLIWO 8] 21 !23 1 2 2 ;  ;   +  + 1 5 u = 0  2 (0 ): u +44 +4 + n+ 00

2 4 sin2 2 4 cos2 2 nA OTREZKE "  ; "] " > 0 K \TOMU URAWNENI@ MOVNO PRIMENITX LEMMU PERWOJ GLAWY. rASSUVDENIQ, ANALOGI^NYE PROWEDENNYM PRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY 2.1, W \TOM SLU^AE DA@T SLEDU@]IJ REZULXTAT. pUSTX  > ;1  > ;1. oBOZNA^IM 1 1 2 2 ;  4 A = 4 B = 4 ;4  N = n +  + 2 + 1 2 3 B A Q(cos  N ) = ; 4 2  + 2  + N 25 sin 2 cos 2 

I () = I ( n   ) =

Z q =2

6

jQ(cos  N )jd':

(11)

tEOREMA 3.1. pUSTX 0 < " < =2 OTREZKE

"  ; "]

tOGDA 9n1 = n1(" SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE FORMULY: .

  ) 8n  n1 NA

!+1=2 !+1=2   sin 2 cos 2 Pn(cos    ) = 2 ( !) 1 1 6 4C (n) cos I () + O 3 + =q n jQ(cos  N )j 1 4

3

!) 1 + C2(n) sin I () + O n3 75 (12) (

2 3 !+1=2 !+1=2   4 sin cos 2 Pn(cos    )5 = 2  2 ( !) q4 1 6 = jQ(cos  N )j4C1(n) ; sin I () + O 3 + 0

n

3 !) + C2(n) cos I () + O 13 75 (13) (

n

GDE

C1(n) = 2

;

+
+1 2

;

2 !! 64P (0   )q4 jQ(0 N )j 1 + O 1 ; n 3

( ; 

n

)

1 P n (0   ) ; Pn (0   ) q 2 jQ(0 N )j 0

4

2( ) +
+1 6  ;  C2(n) = 2 2 4 Pn(0   ) ; Pn(0   )  ;

3 ! O 13 75 (14)

n

0

2

3

!! ! q4 1 1 1  q4 jQ(0 N )j 1 + O n3 + Pn(0   ) jQ(0 N )jO n3 75: (15) 7

oCENKI W FORMULAH (12) I (13) QWLQ@TSQ RAWNOMERNYMI PO  2 "  ; "]. oCENKI W FORMULAH (12) { (15) NE QWLQ@TSQ RAWNOMERNYMI PO ".

dALEE W \TOJ GLAWE DLQ INTEGRALA (11) WYWODITSQ TO^NOE WYRAVENIE W \LEMENTARNYH FUNKCIQH. oBOZNA^IM t1 I t2 { KORNI MNOGO^LENA ;N 2t2 + 2(A ; B )t + 2(A + B ) + N 2 PRI^EM t1 < t2. pUSTX v u u x(t) = t tt2;;tt () = arctg x(cos ) ; arctg x(0) 1 '1 ( ) = ;

r r    2  1+t2  1+t2 3  x (cos  ) ; x (0) ; ;(1 + t1)(1 + t2) 64ln  r 1 t1  ; ln  r 1 t1 75   x(cos ) + 1+t2   x(0) + 1+t2  4 1 t1 1 t1

q

; ;

; ;

; ;

; ;

r 3 r   2  t2 1   x (0) ; t12 t11 7 x(cos ) ; 1 t1  (1 ; t  1 )(t2 ; 1) 6  r  ; ln  r 5 4ln  '2() = t 1   2 4  x(0) + t12 t11   x(cos ) + 1 t1  q

;

;

;

;

;

;

;

1() = ;

q

;

2 v u u (1 + t1)(1 + t2) 64 arctgft 1 + t1 x(cos )g ;

1 + t2

2

3 v u u ; arctgft 1 + t1 x(0)g75

1 + t2

2() = ;

2 v u (1 ; t1)(1 ; t2) 64arctgfu t 1 ; t1 x(cos )g ;

q

1 ; t2

2

3 v u u 1 ; t ; arctgft 1 x(0)g75:

1 ; t2

8

tEOREMA 3.2. 8" > 0 " 2 (0 =2) 9n ,

,

LIWY SLEDU@]IE FORMULY

2

= n2("   ) 8n  n2 SPRAWED-

8 > 2N () + '1() + '2()] PRI 2 +  2 < 1=2 > > 2 2 > > < 2N ()+ 1()2+ 2(2)] PRI  +  > 1=2 I () = > N  ; 2 PRI  =  = 1=4 > 2N () + '1() + 2()] PRI 2 +  2 = 1=2 jj > j j > > : 2N () + 1() + '2()] PRI 2 +  2 = 1=2 jj < j j

 2 "  ; "]. oTME^AETSQ, ^TO W SLU^AQH MNOGO^LENOW ~EBYEWA I RODA ( =  = ;1=2) I MNOGO^LENOW ~EBYEWA II RODA ( =  = 1=2) FORMULA (12) PRIWODIT K IZWESTNOMU OPREDELENI@ \TIH MNOGO^LENOW NA INTERWALE (;1 1). oTDELXNO W \TOJ GLAWE RASSMATRIWAETSQ SLU^AJ ml ( =  = 0). zDESX MOVNO WYWESTI BOLEE TO^NYE FORMULY. pUSTX 0 !21 j  ; 2  j 1 n() = 1 5 6 @1 + 6 n + 2 A 64 n + 2 sin 

GDE

n() = 1 ;42n(()) n

! 3 1 1 n() = n() + 8 sin3  n + 2 (1 + n()) tEOREMA 3.3. pRI USLOWIQH n() < 1=2 n  2 I jn()j + jn()j + jn()n()j < 1 GDE  2 (0  ), SPRAWEDLIWY FORMULY ;

v u u 1=2 1) (sin  ) Pn(cos ) = t 2 r

1  4 1 2 + n + 1 2  2 4 sin  9

0  !  1 q1 + (2n + 1)2 sin2  ; j cos j  +  @cos sign 2 ;  4 ln q 2 sin2  + j cos  j 1 + (2 n + 1) q 1  n  2 sin2  2 n + 1  n 1 + (2 n + 1) + arctg ; ; + + Rn()A 1 + "(n)

(2n + 1)j cos j

2

4

2

1 + n()

2

v v u !2 u u u 4 1 2 1 t 1=2 t 2) (sin  ) Pn(cos )  =  4 sin2  + n + 2  0 !  1 q1 + (2n + 1)2 sin2  ; j cos j    @; sin sign 2 ;  4 ln q + 2 sin2  + j cos  j 1 + (2 n + 1) q 1  n  2 sin2  2 n + 1 1 + (2 n + 1)  n + arctg ; ; + + Sn()A 1 + "(n) : h

i

0

2

dLQ FUNKCIJ OCENKI.

(2n + 1)j cos j 4 2 2 1 + n() "(n), n(), Rn(), Sn() DANY KONKRETNYE ^ISLENNYE

w ^ETWERTOJ GLAWE RASSMATRIWA@TSQ ORTONORMIROWANNYE m~l. iZWESTNO, ^TO FUNKCII w = e s =2s+1=2Lb n(s2 ) UDOWLETWORQ@T DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@ 7] 1 0 1 2 ;  wss + @4n + 2 + 2 ; s2 + 4 s2 A w = 0: (16) aNALOGI^NO DOKAZATELXSTWU TEOREMY 2.2 RASSMATRIWAETSQ PRIMENENIE LEMMY PERWOJ GLAWY K URAWNENI@ (16) NA BESKONE^NOM POLUOTREZKE. oBOZNA^IM8 

2 1  > s 1 s > +  ; 17 + 4 4 4(s ) = (s ) = > > 1 > < 2 3 2 PRI jj > 23

 E (s
) = > 1 4 2584s s 5 3 64 3  4 5 ;

2

00

3 2;

> > > > :

12675

p

488 +

3

3

3 2

(s2

3

;

65  64

)

3=2



2;

+4

65



1 2 4; 3

3 2

8+

p

(s2

3

) PRI jj < 21 ;

3=2 65 64 

 7(s2) + 1 
; D 2 D
7 (s ) I1(s) = 2( 2(s2) ; 1) ; 4 ln   (s2) ; 1  ; 2 K (7(s2)) 7 7 10

1!

D = D(
) =
2 ; 4 2 ; 4

v u u  D u t ; 2 u 7(t) = 7(t
) = t + D p

;

t;

p

2

 q ;pD  8 r >  y q +pD  > D < 21 + ln 2 ; 1=4 > 0  y+ ;ppD   D K (y) = > r  r+ D  > D+ : arctg y D+ 2 ; 1=4 < 0: p

;

p

;

p

p

p

p

D;

D;

tEOREMA 4.1. eSLI n  1  > ;1  6= 2

1 4

 2 1   ; 4 

1 s2 > 6465

=

4n + 2 + 2 E (s
) < 1=2, TO SPRAWEDLIWY FORMULY 1)

e

s

s2 =2 +1=2

;

=8 bLn(s2 ) = D q =2 =4

1 1 r4 2 e n!;( + n + 1) s2 ;
+ 2 21=4  s 0p 1  ( s
)  exp @ D2;
K (1)A exp (;I1(s)) 1 1++(+ 1
) ;

r4

2 ;
+  1=4 s D s  2) e s Lb n(s  ) s = ; 2=2e=4 q n !;( + n + 1) 0p 1  (s
) : D ;
 exp @ 2 K (1)A exp (;I1(s)) 1 1++(+ 1
) dLQ FUNKCIJ (s
),  (s
) (+1
) DANY KONKRETNYE ^ISLENNYE OCEN-



s2 =2 +1=2

;

2



0

=8

2; 2

KI.

w KONCE GLAWY ISSLEDUETSQ POWEDENIE KO\FFICIENTA K (1) PRI n ! +1.  2 1  uTWERVDENIE 4.1. eSLI  > ;1 0 <  ; 4  1
= 4n +2 +2 n  1, TO 1)

PRI

2 ; 41 > 0

2
K (1) = (;1) (1 + 1(
)) GDE 0 < 1(
) < 3(
4 ; 6;
22 + 2) 11

2)

PRI

2 ; 41 < 0





2 41 ; 2 1=2

K (1) = 1 21=2 (1 + 2(
)) GDE j2(
)j < (
2 ; 1) : 2 4 ; w PQTOJ GLAWE DAETSQ REENIE NEKOTORYH ZADA^, SFORMULIROWANNYH W STATXE 20] zADA^A 1. nAJTI POSLEDOWATELXNOSTX fAngn N MAKSIMALXNOGO ROSTA TAKU@, ^TO WYPOLNENO NERAWENSTWO  c  x =2 C1 Hn(x) e (17) n1=4 x 2 ;An An]: zADA^A 2. nAJTI NAIMENXEE !, DLQ KOTOROGO SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO  c  Hn(x) x =2 C2(!) n1=4 x 2 R : 1 + jxj! e zADA^A 3. nAJTI POSLEDOWATELXNOSTX fBngn N MAKSIMALXNOGO ROSTA TAKU@, ^TO WYPOLNENO NERAWENSTWO   ()  > ;1=2 x 2 0 B ]: x + e x Lb n(x ) Cn31=4 (18) n w ZADA^AH IMEETSQ W WIDU, ^TO C1 C2(!) C3() { NEKOTORYE KONSTANTY, NE ZAWISQ]IE OT n. dOKAZANO SLEDU@]EE. 2

;

2

;

2

2

2

1 4

;

2

tEOREMA 5.1. nERAWENSTWO KOGDA WYPOLNENO USLOWIE

(18)

Bn < 4: lim n + n !

sLEDSTWIE 5.1. nERAWENSTWO KOGDA WYPOLNENO USLOWIE

WYPOLNENO TOGDA I TOLXKO TOGDA,

1

(17)

WYPOLNENO TOGDA I TOLXKO TOGDA,

An < p2: p lim n + n !

1

12

w KONCE GLAWY DLQ ZADA^I 2 DOKAZYWAETSQ, ^TO ! = 1=3. aWTOR WYRAVAET GLUBOKU@ PRIZNATELXNOSTX SWOEMU NAU^NOMU RUKOWODITEL@ DOKTORU FIZIKO{MATEMATI^ESKIH NAUK PROFESSORU sUETINU pAWLU kONDRATXEWI^U ZA POSTANOWKU ZADA^ I CENNYE ZAME^ANIQ W PROCESSE RABOTY.

13

rABOTY AWTORA PO TEME DISSERTACII:

1] lARION^IKOW r.s. oB ODNOJ NOWOJ ASIMPTOTI^ESKOJ FORMULE DLQ MNOGO^LENOW qKOBI// tRUDY XXIII kONFERENCII MOLODYH U^ENYH MEHANIKO{MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA mgu (9{14 APRELQ 2001 G.) { m.: mEH.{MAT. mgu, 2001. { s 229{232. 2] lARION^IKOW r.s. wESOWAQ OCENKA MNOGO^LENOW ~EBYEWA{lAGERRA NA RASIRQ@]IHSQ SEGMENTAH// mIKRO\LEKTRONIKA I INFORMATIKA { 2001. wOSXMAQ WSEROSSIJSKAQ MEVWUZOWSKAQ NAUNO{TEHNI^ESKAQ KONFERENCIQ STUDENTOW I ASPIRANTOW. { m.: mi|t, 2001. { s. 145. 3] lARION^IKOW r.s. aNALOG FORMULY pLANERELQ-rOTAHA DLQ PROIZWODNYH FUNKCIJ ~EBYEWA-|RMITA// X MEVDUNARODNAQ KONFERENCIQ "mATEMATIKA.|KONOMIKA.oBRAZOWANIE". II MEVDUNARODNYJ SIMPOZIUM "rQDY fURXE I IH PRILOVENIQ". tEZISY DOKLADOW. { rOSTOW{NA{ dONU: siw, 2002. { s. 33. 4] lARION^IKOW r.s. fORMULA pLANERELQ-rOTAHA DLQ FUNKCIJ ~EBYEWA-|RMITA NA SUVA@]IHSQ K BESKONE^NOSTI POLUINTERWALAH// mATEMATI^ESKIE ZAMETKI. { 2002. { tOM 72. { wYP. 1. { s 74-83. 5] lARION^IKOW r.s. aSIMPTOTI^ESKAQ FORMULA DLQ MNOGO^LENOW lEVANDRA// mATERIALY X mEVDUNARODNOJ NAU^NOJ KOFERENCII STUDENTOW, ASPIRANTOW I MOLODYH U^ENYH "lOMONOSOW", 15-18 APRELQ 2003 G. { m.: iZD-WO mgu, 2003. { s. 305.

sPISOK OSNOWNOJ LITERATURY PO TEME DISSERTACII 1] bOGOL@BOW a.n., kRAWCOW w.w. zADA^I PO MATEMATI^ESKOJ FIZIKE. { m.: iZD-WO mgu, 1998. { 350 S. 2] wAZOW w. aSIMPTOTI^ESKIE RAZLOVENIQ REENIJ OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. { m.: mIR, 1968. { 464 S. 3] kAMYNIN l.i. kURS MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. tOM 2. { m.: iZD-WO mgu, 1995. { 624 S. 14

4] kOLMOGOROW a.n., fOMIN s.w. |LEMENTY TEORII FUNKCIJ I FUNKCIONALXNOGO ANALIZA. { 3-E IZD. { m.: nAUKA, 1972. { 496 S. 5] nIKOLXSKIJ C.m. kURS MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. tOM 1. { m.: nAUKA, 1973. { 432 S. 6] pETROWSKIJ i.g. lEKCII PO TEORII OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. { m.: iZD-WO mgu, 1984. 7] sEGE g. oRTOGONALXNYE MNOGO^LENY. { m.: fIZMATGIZ, 1962. { 500 S. 8] sUETIN p.k. kLASSI^ESKIE ORTOGONALXNYE MNOGO^LENY. { 2-E IZD. { m.: nAUKA, 1979. 9] fEDOR@K m.w. aSIMPTOTI^ESKIE METODY DLQ LINEJNYH OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. { m.: nAUKA, 1983. { 352 S. 10] Askey R., Wainger S. Mean convergence of expansions in Laguerre and Hermite series// Amer. J. Math. { 1965. { Vol. 87. { Pp. 695{708. 11] Erdelyi A. Asymptotic forms for Laguerre polynomials// J. Indian Math. Soc. { 1960. { Vol. 24. { Pp. 235{250. 12] Erdelyi A. Asymptotic solutions of dierential equations with transition points or singularities// Journal of Math. Phys. { 1960. { Vol. 1. { N 1. { Pp. 16{26. 13] Jereys H., Jereys B. Methods of mathematical physics. { 3d ed. { Cambridge, Univ.press, 1972. { 718 p. 14] Igashov S.Yu. Asymptotic approximation and weight estimate for the Laguerre polynomials// Integral Transforms and Special Functions. { 1999. { Vol. 8. { N 3-4. { Pp. 209-216. 15] Moecklin E. Asymptotische Entwicklungen der Laguerreschen Polynome// Commentarii Math. Helvetici. { 1934. { Vol. 7. { Pp. 2446. 16] Muckenhoupt B. Mean convergence of Hermite and Laguerre series. I// Trans. Amer. Math. Soc. { feb. 1970. { Vol. 147. { Pp. 419-431. 15

17] Plancherel M., Rotach W. Sur. les valeurs asymptotiques des n x2 =2 dn x2 =2 polynomes d'Hermite Hn(x) = (;1) e dxn e // Commentarii Math. Helvetici. { 1929. { Vol. 1. { Pp. 227-254. 18] Reinhard M. On Stirling's formula. { Amer. Math. Mon. { 2002. { Vol. 109. { N 4. { Pp. 388{390. 19] Scovgaard H. Asymptotic forms of Hermite polynomials// Technical Report 18, Contract Nonr-220(11). { Department of Mathematics, California Institute of Technology. { 1959. 20] Suetin P.K. The weight estimates for classical orthogonal polynomials// Integral Transforms and Special Functions. { 1994. { Vol. 2. { N. 3. { Pp. 239-242. ;

16