Проверка гипотез о характере распределения: Методические указания к лабораторному практикуму

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение "Оренбургский государственный университет" Кафедра математических методов и моделей в экономике

А.Г. РЕННЕР, О.А. ЗИНОВЬЕВА, Г.Г. АРАЛБАЕВА

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ХАРАКТЕРЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОМУ ПРАКТИКУМУ

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения "Оренбургский государственный университет"

Оренбург 2002

ББК 22.172я7 Р-39 УДК 519.233.5(076.5)

Введение Данные статистических обследований являются основой для принятия одного из нескольких альтернативных решений о свойствах и параметрах генеральной совокупности. При этом любое суждение о генеральной совокупности, сделанное на основе выборочных наблюдений, не может рассматриваться как достоверное утверждение, а лишь как предположительное в силу неполноты информации на основе выборки. Проверка статистической гипотезы заключается в том, чтобы установить, не противоречат ли данные выборочных наблюдений выдвинутой гипотезе. С этой целью производится количественная оценка степени достоверности предлагаемой гипотезы, которая осуществляется с помощью специально построенного статистического критерия. Для статистической проверки гипотез о теоретическом (модельном) виде закона распределения вероятностей исследуемой случайной величины ζ используют критерии согласия. На основании оценки закона распределения в форме ряда распределения, статистической функции распределения, полигона, гистограммы или иных соображений, порой априорного характера, делаем предположение о модельном виде закона распределения (выдвигаем нулевую гипотезу). Наша задача на основании n независимых наблюдений (выборки) случайной величины проверить справедливость гипотезы Н0 или отвергнуть ее. Для проверки гипотезы выбираются (строятся) критические статистики, измеряющие расстояния между эмпирическим законом распределения и гипотетическим семейством.

2

1 Описание лабораторной работы Лабораторная работа включает следующие этапы: - постановку задачи; - ознакомление с порядком выполнения работы в диалоговой системе STADIA; - выполнение расчетов индивидуальных задач; - подготовку письменного отчета; - защиту лабораторной работы.

2 Постановка задачи По выборочным значениям из генеральной совокупности визуально оценить закон распределения данной совокупности, для этого: - построить интервальный вариационный ряд частот (относительных частот); - построить гистограмму плотности относительных частот; - построить кумулятивную функцию (статистическую функцию) распределения относительных частот; На основании полученных оценок выдвинуть и проверить гипотезу о характере распределения с помощью: - проверки нулевой гипотезы соответствия нормальному распределению (если есть основание) по коэффициентам асимметрии и эксцесса; - критерия согласия Пирсона (χ2). Для одной из выборок с помощью критерия Пирсона проверить гипотезу на согласие эмпирического распределения с равномерным распределением. Задача. Даны три выборки, выполненные из различных генеральных совокупностей, распределенных по нормальному, экспоненциальному и равномерному законам, объемом n=50. Выдвинуть и проверить на уровне значимости α= 0,05 гипотезы о характере законов распределения генеральных совокупностей.

3

3 Порядок работы Запускаем систему STADIA. Вводим в электронную таблицу данные своего варианта (Рисунок 1).

Рисунок 1- Таблица данных Для выдвижения гипотезы о характере распределения генеральной совокупности будем использовать оценки числовых характеристик, таких как асимметрия и эксцесс, а также гистограмму. Для этого необходимо вызвать меню статистических методов (F9). Выбираем пункт "1=Описательная статистика", а в бланке выбора переменной можно выделить сразу все переменные. Выдвигаем нулевую гипотезу Н0: Аs=0, Ех=3 (совокупность распределена по нормальному закону) против альтернативной гипотезы Н1: Аs ≠0, Ех ≠3.

4

Рисунок 3- Результаты описательной статистики Для первой и третьей выборок значимость коэффициентов асимметрии и эксцесса больше 0,05. Таким образом, нет основания отвергнуть гипотезу о равенстве эмпирических коэффициентов асимметрии и эксцесса соответственно 0 и 3, что дает основание заподозрить нормальный характер распределения генеральной совокупности. Построим гистограмму и проверим гипотезу о нормальном характере распределения с помощью критериев согласия. В меню статистических методов (F9) выбираем кнопку «2=Гистограмма/нормальность». На странице результатов появится типовой бланк выбора переменой (Рисунок 3), в котором необходимо выбрать подлежащую анализу переменную из электронной таблицы.

Рисунок 3- Бланк выбора переменной По нажатию <Enter> или «Утвердить» появляется новый бланк «Гистограмма», в котором нужно указать число интервалов и область определения гистограммы. В качестве начального числа интервалов подсказывается значение, вычисленное по эвристической формуле: 1 int(1,5+3,3log10(N)) , а область определения принята равной диапазону выборочных значений в масштабе от 0 до 10 (Рисунок 4).

1

Можно указать любое количество интервалов, но не превышающее число значений в совокупности. 5

Рисунок 4- Бланк выбора параметров гистограммы После подтверждения параметров на этой же странице появляются результаты и запрос на сохранение данных в матрице данных (Рисунок 5).

Рисунок 5 Если запрос будет подтвержден, то на странице электронной таблицы в первый свободный столбец запишутся частоты значений в каждом интервале. На новой появившейся страничке графиков будет выведена гистограмма (Рисунок 6), при нажатии «No» программа сразу показывает график.

Рисунок 6 - Гистограмма переменной х1 Графическая выдача содержит изображение гистограммы с наложенной кривой нормального распределения с соответствующими параметрами а и σ. При нажатии на кнопку «Оставить» возвращаемся на страницу с результатами (Рисунок 7).

6

Рисунок 7- Результаты проверки нулевой гипотезы о нормальности заданного распределения Для каждого интервала гистограммы на экран выводятся: - Х-лев. – левая граница интервала в исходных единицах; - Х-станд. – левая граница интервала в единицах стандартного отклонения (из каждого элемента первого столбца вычитается среднее значение выборки и полученная разность делится на стандартное отклонение выборки); - Частота – число выборочных значений, попавших в интервал; - % - относительная частота; - Накопл – накопленное число выборочных значений до текущего интервала включительно; - % - относительная накопленная частота. Далее приводятся результаты проверки нулевой гипотезы об отсутствии различий между выборочным и нормальным распределениями и значения трех статистик: - Колмогорова D с уровнем значимости Р; - омега-квадрат ω2 (Мизеса) с уровнем значимости Р; - хи-квадрат χ2 (Пирсона) с уровнем значимости Р. Интервальный вариационный ряд частот был получен на страничке результатов. Интервалы представлены левыми границами, абсолютные частоты в графе "Частота", и относительная частота в следующей графе "%". На основании гистограммы подтверждаем выдвижение гипотезы о нормальном характере распределения х1. Проверка нулевой гипотезы по критерию Пирсона дала положительную оценку в сравнении с заданным уровнем значимости (0,84>0.05). Критерии Колмогорова и омега-квадрат также не выявили расхождения с нормальным распределением.

7

Оценка асимметрии и эксцесса для второй выборки не дала положительных результатов, таким образом, гипотеза о нормальном распределении была отвергнута. Построим для выборки х2 гистограмму. На основании полученной гистограммы и вариационного ряда делаем предположение, что генеральная совокупность распределена по экспоненциальному закону (рисунок 8).

Рисунок 8 - Гистограмма переменной х2 Для проверки соответствующей гипотезы вызываем меню статистических методов «Статистика» и в нем выбираем «U=Согласие распределений». При этом на экране появится типовой бланк выбора переменной из электронной таблицы (Рисунок 3). После выбора переменной система выдает меню теоретических распределений (Рисунок 9).

Рисунок 9 - Меню выбора теоретических распределений. В этом меню предлагается восемь теоретических распределений. Заданное распределение необходимо проверить на согласие с предполагаемым теоретическим распределением. Таким образом, в меню выбора нажимаем на вторую кнопку 2=экспоненциальное. После этого система выходит на графическую страничку, на которой точками изображена кумулятивная функция распреде8

ления с наложенной на нее линией теоретической функции распределения (Рисунок 10).

Рисунок 10 - График кумулятивной функции распределения и наложенной кривой экспоненциального распределения. После просмотра графика система выходит на страничку результатов. Результаты процедуры проверки на согласие с теоретическим распределением содержат: в строке Распределение – название распределения (в данном случае экспоненциальное), параметры распределения, а также значения статистик Колмогорова и омега-квадрат, их уровни значимости и число степ. своб. Сравнивая полученные значимости с 5%, система выдает заключение Гипотеза 0: Распределение не отличается от теоретического для каждого из указанных выше критериев (Рисунок 11).

Рисунок 11- Результаты проверки гипотезы о согласии с теоретическим распределением Сравнение графиков дает основание подтвердить наше предположение об экспоненциальном распределении переменной х2. значимость критериев согласия Колмогорова и омега-квадрат больше 0,05, таким образом нет оснований отвергнуть гипотезу об экспоненциальном законе распределения совокупности, из которой была сделана выборка х2. 9

Оценки асимметрии и эксцесса для переменной х3 дали основание предположить, что и третья совокупность распределена по нормальному закону распределения. Для подтверждения этой гипотезы мы строим гистограмму. Однако гистограмма дает основание выдвинуть гипотезу не о нормальном, а о равномерном характере распределении (Рисунок 12).

Рисунок 12- Гистограмма переменной х3 Поскольку процедура проверки гипотезы на согласие с равномерным законом распределения в Stadia не предусмотрена, то этот этап лабораторной работы необходимо выполнить самостоятельно (вручную либо с применением других программ, например, Excel). Для того, чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении Х, т.е. по закону  1 /(b − a ) в интервале (a, b) f ( x) =  вне интервала (a, b) 0 надо: 1. Оценить параметры a и b – концы интервала, в котором наблюдались возможные значения Х, по формулам (через а* и b* обозначены оценки параметров): a* = x − 3 ⋅ €s , b* = x + 3 ⋅ €s . 2. Найти плотность вероятности предполагаемого распределения f ( x ) = 1 /( b * −a*) . 3. Найти теоретические частоты:

10

n1′ = nP1 = n[ f ( x) ⋅ ( x1 − a*)] = n ⋅ n 2′ = n3′ = ... = n s −1′ = n ⋅

1 ( x1 − a*); b * −a *

1 ( xi − xi −1 ), (i = 2,3,..., s − 1); b * −a *

1 (b * − x s −1 ). b * −a * 4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k=s-3, где s – число интервалов, на которые разбита выборка. Значение выборочной средней и дисперсии возьмем из результатов описательной статистики для переменной х3 (Рисунок 13). Найдем тем самым оценки параметров равномерного распределения a и b: ns ′ = n ⋅

Рисунок 13- Результаты описательной статистики для переменной х3 a* = 175 − 3 ⋅ 11.3 = 155.43; b* = 175 + 3 ⋅ 11.3 = 194.57. Определим плотность предполагаемого распределения: f ( x ) = 1 /( b * −a*) = 1 /( 194.57 − 155.43 ) = 0.03. Далее определяются теоретические частоты: ′ n1 = 50 ⋅ 0.03 ⋅ ( 158 − 155.43 ) = 3.9 ; ′ n 2 = 50 ⋅ 0.03 ⋅ ( 163.5 − 158 ) = 8.3. Длины каждого следующего интервала, кроме последнего, равны длине второго интервала, поэтому их теоретические частоты совпадают, т.е. ′ ′ ′ ′ n3 = n4 = n5 = n6 = 8.3; ′ n7 = 50 ⋅ 0.03 ⋅ ( 194.57 − 191 ) = 5.4. Чтобы сравнить эмпирические и теоретические частоты, составим таблицу1. Таблица 1 i n n′ (n − n ′ ) (n − n ′ ) 2 (n − n ′ ) 2 /n ′ 1

i

i

i

i

i

i

i

1

6

3,9

2,1

4,41

1,13

2

9

8,3

0,7

0,49

0,06

3

7

8,3

-1,3

1,69

0,20

4

7

8,3

-1,3

1,69

0,20

5

5

8,3

-3,3

10,89

1,31

6

9

8,3

0,7

0,49

0,06

7

7

5,4

1,6

2,56

0,47

Σ

50

i

3,44 11

2 Из расчетной таблицы получаем χ набл = 3,44 . По таблице критических точек распределения χ2 по уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=s-3=7-3=4 находим критическую точку правосторонней критической области χ кр2 ( 0 ,05;4 ) = 9 ,5.

Сравнивая наблюдаемое значение χ2 с критическим (3,44