Об одной оценке Г. Вейля - И. М. Виноградова

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2002. Том 43, № 1

УДК 511.28

ОБ ОДНОЙ ОЦЕНКЕ Г. ВЕЙЛЯ ––– И. М. ВИНОГРАДОВА И. А. Аллаков Аннотация: Доказано, что если k ≥ 6, α = aq −1 + z, (a, q) = 1, |z| < q −2 , то X

e2πif (n)  P 1+ε P z0−1 q −1 + P −2 + qz0 P 1−k


4 ·2−k 3

,

n≤P

где f (x) = αk xk + αk−2 xk−2 + αk−3 xk−3 + · · · + α1 x + α0 — полином с действительными коэффициентами и z = max(1; P k |z|). Полученный результат при P 3 ≤ q ≤ P k−3 и |z| ≤ P −k является улучшением известной оценки Вейля о тригонометрической сумме. Библиогр. 4.

Пусть f (x) = αk xk +αk−1 xk−1 +· · ·+α1 x+α0 — полином k-й степени (k ≥ 2) с вещественными коэффициентами αk = α, αk−1 , . . . , α1 , α0 и X S(f ) = e(f (n)). (1) n≤P

Тогда согласно неравенству Вейля (см. [1, лемма 2.4]) при (a, q) = 1, |α−aq −1 | ≤ q −2 имеем 1−k S(f )  P 1+ε (q −1 + P −1 + qP −k )2 , (2) где ε — произвольное положительное число и постоянная в символе Виноградова  зависит от k и ε > 0. В настоящей работе доказана Теорема 1. Если k ≥ 6, α = aq −1 + z, (a, q) = 1, |z| < q −2 и αk−1 = 0, то S(f )  P 1+ε P z0−1 q −1 + P −2 + qz0 P 1−k


43 2−k

,

(3)

где z0 = max(1; P k |z|). Отсюда, в частности, следует, что 4

S(f )  P 1+ε (P q −1 + P −2 + qP 1−k ) 3 2

−k

.

(4)

Оценка (4) лучше, чем оценки (2) при P 3 ≤ q ≤ P k−3 . Таким образом, оценка (3) является усилением оценки Вейля (2) и обобщением результата из [2, 3]. Отметим также, что полученный результат, улучшающий ранее доказанную оценку S(f ) методом Виноградова [4] при 6 ≤ k ≤ 11, можно применять для оценки распределения дробных долей последовательности {f (n)}, а также в некоторых аддитивных задачах теории чисел. Из оценки (3), в частности, сле8 −k дует, что при k ≥ 6 неравенство kf (n)k ≤ nε− 3 2 имеет бесконечно много решений в натуральных числах. c 2002 Аллаков И. А.

10

И. А. Аллаков

Доказательство теоремы 1. Пусть f (x) = αxk + αk−1 xk−1 + αk−2 xk−2 + · · · + α1 x + α0 — произвольный полином степени k ≥ 6. Для того чтобы установить оценку (3), во-первых, используя симметричную разность ∆h (f (x)) = f (x + h) − f (x − h),

(5)

методом математической индукции покажем, что для 0 ≤ j ≤ k справедливо неравенство X X X j j j (6) e(∆j (n)) , |S(f )|2 ≤ 22 −1 P 2 −j−1 ··· |hj |