Механика. Колебания и волны. Молекулярная физика: Лабораторный практикум

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ

Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àýðîêîñìè÷åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ

МЕХАНИКА. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Лабораторный практикум

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2001

УДК 531+534+539.1 ББК 22.3 М55

Кол. авт. М55 Механика. Колебания и волны. Молекулярная физика: Лабораторный практикум / Под ред. И. И. Коваленко. СПбГУАП. СПб., 2001. 124 с.: ил. В вводной части лабораторного практикума приведены: порядок проведения лабораторных работ, правила оформления отчета, краткие сведения из теории погрешностей, правила математической и графической обработки результатов измерений. В основной части приведены описания пятнадцати лабораторных работ, которые могут быть предложены студентам в первом учебном семестре. В описании каждой работы содержатся краткие теоретические сведения, описание и внешний вид лабораторной установки, предлагаемые задания и порядок их выполнения, а также контрольные вопросы. Лабораторный практикум предназначен для студентов всех специальностей, обучающихся на факультетах № 1, 2, 3 и 4. Рецензент: кандидат физико-математических наук А. С. Будагов Óòâåðæäåíî ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì ñîâåòîì óíèâåðñèòåòà â êà÷åñòâå ëàáîðàòîðíîãî ïðàêòèêóìà

© СПбГУАП, 2001

2

Порядок проведения лабораторных работ В течение семестра каждый студент должен выполнить установленное число лабораторных работ, которое определяется рабочей программой по дисциплине. На каждую лабораторную работу отводится по два занятия, одно – на выполнение, и одно – на защиту отчета. На первую вводную работу может быть отведено два или три занятия. К занятиям студенты допускаются лишь после инструктажа по технике безопасности проведения лабораторных работ. ВНИМАНИЕ! ЗАПРЕЩАЕТСЯ НАХОДИТЬСЯ В ЛАБОРАТОРИИ В ВЕРХНЕЙ ОДЕЖДЕ В лабораторию студенты должен приходить подготовленными к назначенной работе. Выполнять работу студенту разрешается, лишь получив допуск после беседы с преподавателем. В этой беседе преподаватель должен убедиться, что студент понимает: какие явления он будет наблюдать и исследовать, какая цель перед ним поставлена, какими приборами и как ведутся измерения, как следует проводить эксперимент. Получение допуска к работе отмечается преподавателем в журнале. В процессе выполнения лабораторной работы нужно обязательно заполнять протокол измерений, причем, каждому студенту свой; ведение одного протокола несколькими студентами вместе не допускается. Протокол ведется на листе формата А4. На этом листе должно быть отражено: точное полное название и номер лабораторной работы; фамилия, инициалы студента и номер студенческой группы; фамилия и инициалы преподавателя; таблица технических характеристик измерительных приборов (название прибора, рабочий диапазон, цена деления, класс точности и др.); параметры установки, на ней указанные; результаты измерений; дата и подпись студента. Все записи должны вестись авторучкой, шариковой, капиллярной или гелевой ручкой. Запись наблюдений и данных карандашом не допускается, карандашом можно лишь чертить таблицы и графики. В конце 3

занятия протокол измерений обязательно представляется на подпись преподавателю. Без нее протокол считается недействительным. Подпись студента под протоколом обозначает, что он отвечает за все проведенные измерения, а подпись преподавателя – что работа действительно выполнялась и указанные значения действительно получены во время эксперимента. По результатам, зафиксированным в протоколе измерений, студент дома пишет отчет и защищает его на следующем занятии. При защите отчета могут быть заданы любые вопросы по теории работы и полученным результатам. За принятый отчет преподаватель выставляет студенту оценку по пятибалльной системе и сообщает номер и название следующей лабораторной работы. Cодержание и оформление отчета Отчет по лабораторной работе должен выполняться на листах формата А4, записи на которых ведутся только с одной стороны. По краям листа должна быть оставлена рамка шириной не менее 20 мм. Все листы должны быть пронумерованы в верхнем поле. Отчет должен начинаться с титульного листа, за которым должен следовать подписанный студентом и преподавателем протокол измерений. Отчет должен содержать следующие разделы: 1. Цель работы Цель работы сформулирована в описании лабораторной работы. 2. Описание лабораторной установки Описание установки должно быть кратким. Не нужно приводить изображения внешнего вида приборов. Следует ограничиться функциональной или электрической схемой установки, описанием постановки эксперимента и таблицей технических характеристик измерительных приборов, перенесенной из протокола измерений. 3. Рабочие формулы Под рабочими формулами понимаются только те формулы, по которым непосредственно производятся вычисления исследуемых величин. Все приведенные формулы должны быть пронумерованы. Вывод формул и промежуточные выражения приводить в этом разделе не нужно. Формулы для вычисления погрешностей и проведения математической обработки результатов измерений в этом разделе тоже не приводятся. 4

4. Результаты измерений и вычислений В этом разделе отчета должны быть приведены все измеренные и вычисленные результаты. По возможности, их нужно представлять в виде наглядных таблиц. В приводимых значениях нельзя оставлять лишние десятичные разряды (подробнее об этом пойдет речь ниже). 5. Примеры вычислений В этом разделе отчета должны быть приведены подробные примеры вычислений по каждой рабочей формуле. Не нужно приводить всех вычислений, вполне достаточно одного примера вычисления по каждой формуле. 6. Вычисление погрешностей В этом разделе отчета должны быть представлены формулы, по которым проводилась математическая обработка результатов. Должны быть выведены формулы, по которым вычислялись систематические и случайные погрешности и представлены примеры вычислений по каждой из них. 7. Графики и рисунки Графики и рисунки формата А4 приводятся на отдельном листе. Они должны быть обязательно подписаны. Графики выполняются обязательно на миллиметровой бумаге. У каждой оси должно быть обозначено, какая величина и в каких единицах вдоль нее откладывается. На самих осях должны быть нанесены не измеренные на опыте значения, а узлы координатной сетки. Около одной или нескольких экспериментальных точек должны быть отложены систематические погрешности соответствующих измерений (подробнее об этом пойдет речь ниже). 8. Окончательные результаты, их обсуждение, выводы В этом разделе отчета нужно подвести итог проделанной работы. Написать, какие величины и с какими погрешностями получены. Если измерения проводились разными методами, то обязательно нужно сравнить эти результаты и их погрешности, сделать заключения, какой метод лучше, точнее, удобнее. Если известно табличное значение измеренной величины, то нужно обязательно сравнить его с полученным на опыте и дать аргументированное заключение об их совпадении или несовпадении. Если в работе значения одной и той же величины получены экспериментально и теоретически, то эти результаты нужно обязательно срав5

нить и дать аргументированное заключение об их совпадении или несовпадении. В случае, когда между сраниваемыми величинами имеются недопустимые расхождения, это нужно обязательно отметить в отчете и высказать предположение о возможных причинах этого несовпадения. Если в работе ставилось целью проверить какой-то физический закон или изучить явление, то в данном разделе необходимо дать обоснованный ответ на поставленный вопрос. Cведения из теории погрешностей Измеренное значение любой физической или технической величины отличается от истинного, т. е. в любом измеренном значении содержится ошибка. Сначала остановимся на ошибках прямых измерений, т. е. таких, в которых искомая величина определяется непосредственно прибором. Таковыми, например, являются измерения времени секундомером, длины линейкой, силы тока амперметром, напряжения вольтметром и т. п. Ошибки могут быть обусловлены природой измеряемой величины, несовершенством измерительных приборов или обеими причинами сразу. В том случае, когда измеряемая величина случайна по своей природе, т. е. не имеет точного значения, правильнее говорить не об ошибках, а о разбросе экспериментально измеренных значений. Ошибки, связанные с несовершенством измерительных средств, бывают случайными и неслучайными. Неслучайные ошибки корректируются введением соответствующих поправок. Случайные же ошибки приборов и других измерительных средств описываются погрешностями, т. е. интервалами возможного отклонения измеренного значения величины от ее истинного значения. Систематическая погрешность. Интервал допустимого отклонения измеренной величины от ее истинного значения называется систематической погрешностью прибора. Обычно систематическая погрешность обозначается большой греческой буквой "θ", нижним индексом около которой указывается измеряемая величина. Например, систематическая погрешность времени обозначается θt, тока – θI, напряжения – θU , длины – θl, массы – θm. Систематическую погрешность прямого измерения можно рассчитать по шкале прибора. Обычно на ней крупной цифрой указывается класс точности. Класс точнос6

ти – это число, показывающее, сколько процентов от максимального значения по шкале в выбранном диапазоне составляет систематическая погрешность. Таким образом, систематическая погрешность величины θX определяется пределом шкалы прибора Xmax и его классом точности К:

X max K . (1) 100 Если цифра, обозначающая класс точности, помещена в кружок, в формуле (1) вместо величины Xmax нужно брать измеренное значение X. В тех случаях, когда класс точности прибора не указан (линейка, секундомер, термометр), систематическую погрешность обычно принимают равной половине цены деления шкалы. По формуле (1) можно найти систематическую погрешность прямого измерения, однако чаще приходится проводить косвенные измерения. Косвенным называется такое измерение, которое сводится к определению по прибору величины или величин, не являющихся искомыми, и вычислению искомой по ним; измеряются величины X1, X2, X3… и по ним вычисляется искомая функция f(x1, x2, x3…). Например, определение электрического сопротивления резистора R, сводящееся к измерению силы тока I, напряжения U и вычислению R = U/I, является косвенным. В данном случае U = x1, I = x2, R = f. Систематическая погрешность косвенного измерения θf выражается через систематические погрешности прямых измерений θ X1 , θ X 2 , θ X 3 ... : θX =

θf =

∂f ∂f ∂f θ X1 + θX2 + θ X 3 + ... ∂x1 ∂x2 ∂x3

(2)

Здесь ∂f / ∂xi – частные производные функции по соответствующей переменной. Частной производной функции нескольких переменных называется производная по одной из них, взятая при условии, что другие переменные принимают в этот момент фиксированные значения. Вычисление погрешности по формуле (2) скорее является оценкой, поэтому полученное значение θƒ принято округлять до одной значащей цифры. Вторую цифру можно сохранять (можно и не сохранять) лишь в том случае, если первая оказалась единицей. Погрешность при округлении можно увеличивать, но лучше не уменьшать (об этом пойдет речь ниже). 7

П р и м е р 1. Измерение электрического тока проводится амперметром, имеющим предел измерения Im =10 A и класс точности КI =1. Напряжение измеряется вольтметром с пределом измерения Um = 250 B и классом точности КU = 2. Показания приборов: I = 4A, U = 220 B. Найти электрическую мощность и ее систематическую погрешность. Р е ш е н и е. Систематические погрешности прямых измерений тока и напряжения найдем по формуле (1).

θI =

I m K I 10 × 1 = = 0,1(A); 100 100

θU =

U m KU 250 × 2 = = 5(B). 100 100

Мощность электрического тока вычисляется по известной формуле: P = IU. Поскольку мы имеем дело с косвенным измерением, систематическую погрешность мощности θP выразим при помощи формулы (2) через погрешности тока θI и напряжения θU.

θP =

∂P ∂P θI + θU . ∂I ∂U

Найдем частные производные от мощности по току и по напряжению:

∂P ∂ ( IU ) ∂I = =U = U, ∂I ∂I ∂I

∂P ∂ ( IU ) ∂U = =I =I. ∂U ∂U ∂U

Таким образом, получаем окончательное выражение для систематической погрешности мощности электрического тока:

θ P = U θ I + I θU . θ P = 220 × 0,1 + 4 × 5 ≅ 40 (Bт).

Теперь найдем мощность электрического тока P = IU = 4 ×220 = 880 (Вт) О т в е т:

P = 880 ± 40 ( Вт ).

Случайная погрешность. При многократном повторении измерений полученные результаты будут отличаться друг от друга. В качестве результата серии из N измерений (как прямых, так и косвенных) в таком случае разумно взять среднее арифметическое: N

X + X 2 + X 3 + ... + X N = X = 1 N 8

∑ Xi i =1

N

.

(3)

Средняя квадратичная погрешность отдельно взятого измерения Xi обычно обозначается SX и вычисляется по формуле: N

( X1 − X ) + ( X 2 − X ) 2

SX =

+ ... + ( X N − X )

2

2

N −1

=

∑ (Xi − X ) i =1

2

N −1

. (4а)

Эта величина показывает стандартное отклонение результата отдельного опыта Xi от получившегося среднего значения X . Для вычисления по этой формуле нужно иметь известное значения X . Таким образом, обработку экспериментальных данных приходится проводить дважды – сначала по формуле (3) для нахождения X , а затем – по (4а) для нахождения SX. Удобнее пользоваться другой формулой: (4б). SX = X 2 − X 2 . 2 Преимущество этой формулы состоит в том, что величины X и X можно вычислять одновременно. С увеличением числа измерений N величины X и SX не должны сильно меняться, они должны лишь уточняться. Однако, если провести несколько серий измерений величины X, в каждой из них должно получиться свое среднее значение X k . Разброс этих средних значений определяется средним квадратичным отклонением S X . Интуитивно ясно, что эта величина должна быть существенно меньше, чем SX. С увеличением числа измерений N в каждой серии средние значения X k будут определяться точнее. Следовательно, они будут меньше отличаться друг от друга, и их разброс станет меньше. Таким образом, с увеличением числа измерений среднее квадратичное отклонение должно уменьшаться, а достоверность полученного результата – увеличиваться. Как следует из теории, SX = SX

. (5) N Окончательная формула для среднего квадратичного отклонения: N

∑ (Xi − X )

2

i =1

(6) . N ( N − 1) Рассмотрим серию косвенных измерений. Пусть в опыте с номером i измеряются величины X1i, X2i, X3i…, по которым вычисляется искомая SX =

9

величина – функция f(x1i, x2i, x3i…). Следует различать два случая при проведении таких измерений. Сначала рассмотрим случай, когда внешние условия не меняются от опыта к опыту. При такой постановке эксперимента значения каждой переменной меняются лишь вследствие случайных ошибок измерений. В таком случае по формуле (3) находят средние значения каждой переменной X1, X 2 , X 3 ... , а по формулам (4–6) – их случайные погрешности. Среднее значение величины f вычисляют по формуле (7) f = f ( x1 , x2 , x3 ...). Среднее квадратичное отклонение этой величины можно выразить через средние квадратичные отклонения каждой из переменных  ∂f  Sf =    ∂x1 

2

( ) SX

2

1

 ∂f  +   ∂x2 

2

(

SX 2

)

2

 ∂f  +   ∂x3 

2

(S X 3 )

2

+ ....

(8)

Отметим, что формула эта получена в предположении, что все случайные ошибки прямых измерений независимы, т. е. ошибка измерения одной величины не влечет за собой автоматически ошибки другой. Кроме описанного выше метода обработки серии косвенных измерений существует и другой, который применим в случае проведения серии измерений как при неизменных, так и при меняющихся внешних условиях. Состоит он в том, что по результатам i-го измерения сначала находится величина fi = f(x1i, x2i, x3i…), а затем получившийся набор значений fi обрабатывается так же, как и в случае прямых измерений. Это значит, что по формуле (3) находится среднее значение величины f , а по формулам (4–6) – средняя квадратичная погрешность Sf и среднее квадратичное отклонение S f . В случае, когда число измерений N невелико (~10 или меньше), среднее квадратичное отклонение округляют по тем же правилам, что и систематическую погрешность, т. е. сохраняют одну значащую цифру, вторую иногда сохраняют лишь в случае, когда первая равна единице. При записи средней квадратичной погрешности Sf сохраняют тот же десятичный разряд, что и в среднем квадратичном отклонении S f . П р и м е р 2. Определяется жесткость пружины k. Для этого проводится серия измерений деформации пружины x в зависимости от приложенной к ней силы F. В таблице приведена серия измеренных значений F от x.

10

F(H)

572

648

741

770

810

850

972

1045

1100

x, мм

11

12

13

14

16

17

18

19

20

Требуется найти жесткость пружины k в единицах Н/мм, среднее квадратичное отклонение S k и среднюю квадратичную погрешность Sk отдельного измерения. Р е ш е н и е. Очевидно, что серия опытов проводилась при меняющихся внешних условиях, т. е. при измерениях сила намеренно менялась в широком диапазоне значений. Значит, применим лишь второй метод обработки результатов измерений. Сначала найдем серию значений ki, где i – номер опыта. Для этого воспользуемся формулой ki = Fi / xi. k, H/мм

52

54

57

55

54

50

54

55

55

Теперь найдем среднее значение жесткости пружины.

52 + 54 + 57 + 55 + 54 + 50 + 54 + 55 + 55 486 = = 54,0 ( H мм). 9 9 Зная его, можно вычислить среднее квадратичное отклонение S k и сред-

k=

нюю квадратичную погрешность отдельного измерения Sk.

Sk =

N

∑ ( ki − k )

2

N ( N − 1);

i =1

Sk =

N

∑ ( ki − k )

Sk =

( N − 1).

i =1

(52 − 54 )2 + 3 (54 − 54 )2 + (57 − 54 )2 + 9 (9 − 1) +3 (55 − 54 ) + (50 − 54 ) 2

Sk =

2

2

= 0, 7 ( H мм ) ;

(52 − 54 )2 + 3 (54 − 54 )2 + (57 − 54 )2 + (9 − 1) +3 (55 − 54 ) + (50 − 54 ) 2

2

= 2, 0 ( H мм ).

О т в е т: k = 54, 0 H мм, S k = 0, 7 H мм, S k = 2, 0 H мм, при N = 9. 11

Результатами математической обработки серии измерений как прямых, так и косвенных, являются: среднее значение, вычисленное по формуле (3) или (7), среднее квадратичное отклонение, вычисленное по формулам (5), (6) или (8) и полное число измерений N. Полная погрешность измерений. Как уже отмечалось выше, ошибки могут быть обусловлены природой измеряемой величины, несовершенством измерительных приборов или обеими причинами сразу. Приборные ошибки и, соответственно, приборные погрешности полностью исключить невозможно. Можно лишь априори установить их границы с помощью систематической погрешности. Погрешности, обусловленные всеми возможными причинами вместе, называют полными. Обычно их обозначают большой греческой буквой "∆", нижним индексом около которой указывают измеряемую величину или записывают рядом с измеренным значением через знак "±". Договоримся считать, что полная погрешность задает интервал в который с вероятностью 95 % попадает истинное значение измеряемой величины. В большинстве лабораторных работ по курсу физики проводятся измерения неслучайных по своей природе величин, разброс значений которых обусловлен лишь случайными ошибками измерительных приборов. В таком случае средняя квадратичная погрешность измеряемой величины должна оказаться сравнимой или меньше интервала, определяемого систематической погрешностью. Sx < θx . (9) ~ Среднее квадратичное отклонение должно всегда получаться меньше этого интервала. (10) Sx < θx . Невыполнение этих условий обычно бывает связано с промахами, т. е. грубыми ошибками экспериментатора при измерениях. И наоборот, знак строгого неравенства в условии (9) и выполнение условия (10) в более жестком виде (10, а) S x ∆

( ) = 0, 06 (кг ⋅ см ); = 0, 08 (кг ⋅ см ); = 0, 04 (кг ⋅ см );

I1 − I = 2,54 − 2,59 = 0, 05 кг ⋅ см 2 < ∆ I1 = 0, 07 кг ⋅ см 2 ; I2 − I I3 − I I4 − I

18

2

2

I2

2

2

I3

2

2

I1

( ) = 2,56 − 2,59 = 0, 03 (кг ⋅ см ) < ∆

( ) = 0, 06 (кг ⋅ см ).

I 5 − I = 2,55 − 2,59 = 0, 04 кг ⋅ см 2 = ∆ I 2 = 0, 04 кг ⋅ см 2 ; I6 − I

2

2

I3

Как видно из приведенных оценок, неравенство (16) не выполняется для четвертого опыта. Поэтому нужно еще раз очень внимательно проверить вычисления самого значения и его погрешности в этом опыте. Нужно мысленно вернуться к проведенному опыту и проверить, не было ли в нем допущено какой-то ошибки. Если никакой ошибки нигде обнаружить не удалось, то результат этого опыта следует считать промахом и из дальнейшей обработки исключить. Именно так мы и поступим. Понятно, что заканчивать вычисления объединенной погрешности по результатам всех шести опытов уже бессмысленно. Нужно снова находить весовые множители gi, но уже по результатам пяти опытов. Повторим снова все вычисления:

( )

∑ ∆ Ii

−2

−2

( )

= ∆ I1

−2

−2

( )

+ ∆ I2

−2

( )

+ ∆ I3

−2

−2

( )

−2

+ ∆ I5

−2

−2

= (0, 07 ) + (0, 06 ) + ( 0, 08 ) + ( 0, 04 ) + ( 0, 06 ) Вычислим весовые множители gi:

( )

+ ∆ I6

−2

=

(

)

≅ 1540 кг –2 см –4 .

(∆ I ) = (0, 07 )−2 = 0,13 ≅ 0,1; g = (∆ I ) = (0, 06 )−2 = 0,18 ≅ 0, 2; g1 = 2 −2 −2 1540 1540 ∑ (∆ I ) ∑ (∆ I ) −2 −2 ∆I ) ∆I ) ( ( (0, 08)−2 (0, 04 )−2 g3 = g 0,10 0,1; = = = = = = 0, 41 ≅ 0, 4 . 5 −2 −2 1540 1540 ∑ (∆ I ) ∑ (∆ I ) −2

1

−2

2

i

i

3

5

i

i

Поскольку погрешности второго и шестого опытов равны, их весовые множители тоже должны быть равны, g6 = g 2 ≅ 0, 2. Найдем среднее взвешенное значение I по формуле (14). Результат, как и в прошлый раз, округлим до второй цифры после запятой, поскольку с такой точностью получены все экспериментальные данные.

I = ∑ gi I i = g1 I1 + g 2 I 2 + g3 I 3 + g5 I 5 + g6 I 6 = = 0,1× 2,54 + 0, 2 × 2,55 + 0,1× 2, 64 + 0, 4 × 2,55 + 0, 2 × 2,56 =

(

)

= 0, 254 + 0,510 + 0, 264 + 1, 020 + 0,512 = 2,56 кг ⋅ см 2 . Прежде чем вычислять погрешность полученной величины и давать окончательный ответ, нужно снова проверить выполнение критерия (16) в каждом из пяти оставшихся опытов:

19

( ) = 2,55 − 2,56 = 0, 01(кг ⋅ см ) < ∆ = 2, 64 − 2,56 = 0, 08 (кг ⋅ см ) = ∆ = 2,55 − 2,56 = 0, 01(кг ⋅ см ) < ∆ = 2,56 − 2,56 = 0, 00 (кг ⋅ см ) < ∆

( ) = 0, 06 (кг ⋅ см ); = 0, 08 (кг ⋅ см ); = 0, 04 (кг ⋅ см ); = 0, 06 (кг ⋅ см ).

I1 − I = 2,54 − 2,56 = 0, 02 кг ⋅ см 2 < ∆ I1 = 0, 07 кг ⋅ см 2 ; I2 − I I3 − I I5 − I I6 − I

2

2

I2

2

2

I3

2

2

I2

2

2

I3

Как видно из приведенных оценок, неравенство (16) строго выполняется для четырех опытов и выполняется на пределе для одного – для третьего. Таким образом, критерий (16) выполняется, можно вычислять погрешность ∆ I объединенного среднего взвешенного значения

∆ I = ∑ gi ∆ Ii = g1∆ I1 + g 2 ∆ I 2 + g3 ∆ I3 + g5 ∆ I5 + g6 ∆ I6 = = 0,1× 0, 07 + 0, 2 × 0, 06 + 0,1× 0, 08 + 0, 4 × 0, 04 + 0, 2 × 0, 06 =

(

)

= 0, 007 + 0, 012 + 0, 008 + 0, 016 + 0, 012 = 0, 055 ≅ 0, 06 кг ⋅ см 2 . Ответ

(

)

I = 2,56 ± 0, 06 кг ⋅ см 2 .

Графическая обработка результатов измерений Графики нужно обязательно строить на миллиметровой бумаге, которая выступает в роли одного из измерительных инструментов. 1. Сначала нужно решить, какая из наблюдаемых величин будет функцией и какая аргументом. В соответствии со сделанным выбором график нужно озаглавить. 2. После этого следует разумно выбрать масштабы по обеим осям. Их нужно выбирать с учетом значений тех величин, которые по этим осям будут откладываться. Единица масштабной сетки должна соответствовать 1, 2, 5, 10 и т. д. единицам измеряемой величины. Представляемые на осях интервалы значений должны быть такими, чтобы, по возможности, использовать все поле графика. В некоторых случаях координатные оси разумно изобразить с разрывом. 3. После выбора масштаба нужно начертить координатные оси и подписать, какие величины и в каких единицах вдоль них откладываются. На осях нужно нанести узлы координатной сетки. Под осью абсцисс и слева от оси ординат эти узлы нужно подписать. Подписываются только числа; единицы их измерения указываются на осях. Значения, полученные на опыте, на осях не отмечаются. 20

4. На график обязательГрафик зависимости момента но наносятся все экспериинерции от положения грузов I, ментальные точки. Около 2 них двумя вертикальным и кг·см двумя горизонтальным отрезками откладываются систематические погрешθI ности измеряемых величин. θl 5. Для большей наглядности, для возможности получения параметров функциональной зави2 3 4 5 6 7 8 l,см2 1 симости и для получения градуировочных графиРис. 1. Образец оформления графика ков через экспериментальные точки проводят линию. Ее следует проводить не через конкретные точки, а плавно вблизи них, избегая изломов и пересекая "крестики" погрешностей. Если известен теоретический закон, связывающий измеряемые величины, то линия на графике должна ему соотвествовать. Графическое определение параметров линейной зависимости Если теоретический закон, связывающий две измеряемые величины x и f , записывается в виде f = kx + b , (17) то на графике должна получиться прямая линия. Ее нужно провести по линейке через имеющийся набор точек. Разумеется, все точки не могут попасть на прямую, поэтому нужно проводить прямую таким образом, чтобы она проходила по возможности ближе к максимальному числу точек. Проводя прямую линию через набор экспериментальных точек (рис. 2), нужно руководствоваться следующими правилами: прямая должна пересечь все или почти все крестики, обозначающие систематические погрешности отложенных величин; число точек, оказавшихся выше и ниже проведенной прямой, должно быть примерно одинаковым; экспериментальные точки должны быть и выше, и ниже прямой во всем диапазоне значений х. 21

a)

б)

в)

f

f

f

x

x

г) f

x

д) f

x

x

Рис. 2. Прямая f = kx + b, проведенная через экспериментальные точки: а – неправильно, б – неправильно, в – правильно, г – промах, д – прямую провести невозможно

Иногда получается, что через набор точек невозможно провести прямую, руководствуясь сформулированными правилами (рис. 2, г, д). Если из общего набора выпадает только одна точка (рис. 2, г), то ее следует считать промахом и в дальнейшем не учитывать. Если же сильно выбиваются несколько точек или явно видна нелинейность (рис. 2, д), то следует сделать вывод, что экспериментальные данные противоречат теоретической зависимости (17). Если же наблюдаются случаи, показанные на рис. 2, в или 2, г, то можно говорить о том, что экспериментальные данные подтверждают теоретическую зависимость. В случае, когда через экспериментальные точки удалось провести прямую, по графику находят параметры k и b уравнения (17). Параметр b равен отрезку, отсекаемому на оси f при х = 0, а угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой, который можно найти по катетам треугольника, изображенного на рис. 3. Обратим внимание на то, что катеты ∆х и ∆f измеряются не между экспериментальными точками, а по проведенной линии. Оценка погрешностей величин k и b, определенных графически Систематическую погрешность величины b разумно принять равной значению систематической погрешности θf . 22

f

k = tgα =

∆f α

∆f ; ∆x

b = f( x =0 ) .

∆x

b x Рис. 3. Графическое определение параметров прямой

Систематическую погрешность величины k разумно принять равной  θf θ  θk = k  + x  , (18)  (∆ f ) (∆ x )  где ∆f и ∆ х – катеты треугольника на рис. 3, а θf и θ x – систематические погрешности величин f и х. Для оценки случайных погрешностей Sk и Sb проводят следующие действия: по имеющемуся набору точек проводят еще одну прямую; для нее находят новые значения величин k' и b'; считают, что Sk = k − k ′ , а Sb = b − b′ . Очень часто измеряемые величины должны быть прямо пропорциональны друг другу: f = kx. (19) Прямая пропорциональность является частным случаем линейной зависимости (17) при b = 0. График функции (19) должен обязательно проходить через начало координат. Проводя прямую линию через набор экспериментальных точек (рис. 4), нужно руководствоваться следующими правилами: прямая должна обязательно проходить через начало координат; прямая должна пересечь максимальное количество крестиков, обозначающих систематические погрешности отложенных величин; число точек, оказавшихся выше и ниже проведенной прямой, должно быть примерно одинаковым. В некоторых случаях (рис. 4, г, д, е) через имеющиеся экспериментальные точки невозможно провести прямую (19). Если из общего набора выбивается только одна точка (рис. 4, г), то ее следует считать 23

промахом и в дальнейшем не учитывать. Если же таких точек несколько или наблюдается нелинейность (рис. 4, д), или очевидно, что экспериментальная зависимость проходит мимо начала координат (рис. 4, е), то a)

б) f

в) f

f

x г)

x д)

f

x е)

f

f

x

x

x

Рис. 4. Прямая f = kx, проведенная через экспериментальные точки: а – неправильно, б – неправильно, в – правильно, г – промах, д и е – прямую провести невозможно

следует сделать вывод, что данные опыта противоречат теоретической формуле (19). Если наблюдаются случаи, показанные на рис. 4, в или 4, г, то можно говорить о том, что экспериментальные данные подтверждают эту теоретическую зависимость. Если через имеющийся набор данных прямую провести удалось, то величину b определять не нужно, поскольку она в этом случае обязана равняться нулю. Угловой коэффициент k = tgα находится также, как и в прошлом случае (см. рис. 3). Графическая обработка экспоненциальной зависимости На практике очень часто приходится иметь дело с теоретическими зависимостями, которые сводятся к формуле

f (t ) = Ae 24

−

t τ,

(20)

в которой t – время, а τ – константа, которая обычно называется постоянной времени или временем релаксации. Обработка экспериментальных данных может быть проведена одним из двух методов. Метод 1. Измеренные значения f(t) откладываются на графике. Через них проводится плавная кривая, как это показано на рис. 5. Эта линия не обязана проходить через все точки, она должна лишь пересекать f крестики, обозначающие систематические погрешности. По проведенной линии нужно определить или уточнить значение пара- A метра А, как это показано на рисунке. Кроме того нужно провести горизонA/e тальную линию f = А/е и найти точку t τ ее пересечения с построенной кривой. Рис. 5. Определение параметров Из найденной точки нужно опустить экспоненциальной зависимости перпендикуляр на ось t и найти значение τ. К достоинствам этого метода несомненно следует отнести его простоту и наглядность. Его недостатками являются отсутствие корректной процедуры оценки погрешностей и необходимость вручную проводить экспоненту. Проведенный вручную график функции часто слишком тяготеет к отдельным экспериментальным точкам. Другой метод свободен от этих недостатков, но более громоздок и требует логарифмирования. Метод 2. Получившиеся значения f логарифмируются; на графике откладывается набор точек lnf от t, как это показано на рис. 6. ln f

k = tgα=

ln A t0

ln A α

t0 t Рис. 6. Определение параметров уравнения (21)

25

Теоретически эта зависимость должна оказаться линейной

( τ )t ,

ln f = ln A − 1

(21)

поэтому через экспериментальные точки нужно провести прямую линию по правилам, описанным ранее. Определив по графику длину отрезка ln А, отсекаемого прямой на оси ординат, найдем параметр А уравнения ( 21 ). Экстраполируя получившуюся прямую до пересечения с осью абсцисс, находим время t0, угловой коэффициент k = tgα и постоянную времени τ: t (22) τ= 0 . ln A Отметим, что по оси ординат около каждой точки откладывается систематическая погрешность не самой величины ∆ f , а ее логарифма

θln ( ∆f ) =

θ( ∆f ) . ∆f

(23)

Достоинством этого метода является то, что через набор точек проводить нужно не экспоненту "тведым движением руки", а прямую линию по линейке. Эта линия опирается сразу на весь набор экспериментальных точек. Вторым важным достоинством описанного метода является возможность оценить погрешности найденных параметров. Систематическую погрешность величины А разумно принять равными значению систематической погрешности θf для значений, полученных при наименьшем значении времени t: (24) θА = θf при min t. Систематическую погрешность величины τ разумно принять равной

θf  θ θτ = τ  t + . (25)  t0 A ln A  Для оценки случайных погрешностей SА и Sτ проводят следующие действия: по имеющемуся набору точек проводят еще одну прямую; для нее находят новые значения величин А' и τ'; принимают S A = A − A′ , а Sτ = τ − τ′ . 26

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 Определение электрического сопротивления Цель работы: ознакомление с методикой обработки результатов измерений; определение электрического сопротивления; экспериментальная проверка закона Ома; определение удельного сопротивления нихрома. Теоретические сведения Напряжением или разностью потенциалов между двумя точками электрического поля называется отношение работы сил Кулона по переносу заряда из первой точки во вторую к величине перенесенного заряда: A U12 = ϕ1 − ϕ2 = 12 . (1.1) q Падением напряжения на проводнике называется напряжение между его концами. В международной системе единиц ( СИ) электрический заряд измеряется в кулонах (Кл), а напряжение – в вольтах (В). 1B = 1Дж

1Кл

Прибор, измеряющий напряжение, называется вольтметром. В электрических схемах он обозначается символом V . Силой тока или просто током называется отношение заряда, протекшего по проводнику, ко времени его протекания: q I= . (1.2а) t Написанная формула применима лишь для вычисления постоянного, т. е. неизменного во времени, тока. Для вычисления тока, меняющегося со временем, нужно пользоваться другой формулой: dq I= . (1.2 б) dt В международной системе единиц ( СИ) ток измеряется в амперах (А). 1Кл = 1А·1с Прибор, измеряющий силу тока, называется амперметром. В электрических схемах он обозначается символом А . Из закона Ома для участка цепи следует, что отношение падения напряжения на проводнике к силе тока в нем есть величина постоянная, называемая электрическим сопротивлением. 27

R =U

= const. (1.3) I Электрическое сопротивление проводника (резистора) не зависит от падения напряжения на нем и от величины протекающего по нему тока. Сопротивление зависит лишь от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он изготовлен. Для тонкого длинного проводника справедливо соотношение

l R=ρ . (1.4) s В этой формуле l – длина проводника, S – площадь его поперечного сечения, а ρ – удельное сопротивление материала. В международной системе единиц (СИ) электрическое сопротивление измеряется в омах (Ом). 1Ом =1В

1A Сопротивление проводников, соединенных последовательно, можно рассчитать по формуле (1.5) R = R1 + R2 + ...+RN . Для вычисления сопротивления параллельно соединенных проводников нужно пользоваться другой формулой:

1 1 1 1 = + + ... + . R R1 R2 RN

(1.6)

Электроизмерительные приборы – амперметр и вольтметр – имеют свои собственные внутренние сопротивления, поэтому, будучи включенными в электрическую цепь, они изменяют сопротивление этой цепи или ее отдельных участков и таким образом влияют на показания друг друга. Для того чтобы измерить силу тока в проводнике и падение напряжения на нем, амперметр нужно подключить к исследуемому проводнику последовательно, а вольтметр – параллельно. Таким образом, для внесения минимальных искажений в электрическую цепь, сопротивление амперметра должно быть как можно меньше, а вольтметра – как можно больше. Однако, это условие удается соблюсти не всегда, поэтому приходится учитывать падение напряжения на амперметре и ток через вольтметр. 28

Лабораторная установка Для определения неизвестного сопротивления необходимо измерить силу тока, текущего через проводник, и падение напряжения на нем. Для этого можно использовать одну из схем, приведенных на рисунке 1.1. При помощи амперметра можно измерить ток через резистор I, при помощи вольтметра падение напряжения на нем U; по этим данным при помощи формулы (1.3 ) можно рассчитать электрическое сопротивление. В случае, когда для сопротивлений амперметра RА, резистора R и вольтметра RV справедливо неравенство RA