Сборник справочных материалов по курсу высшей математики

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"

Т. В. Тарбокова

Сборник справочных материалов по курсу высшей математики

Томск 2006

УДК 517 Т 19 Т 19

Тарбокова Т. В. Сборник справочных материалов по курсу высшей математики: Учебное пособие / Т.В. Тарбокова. – Томск: Изд-во ТПУ, 2006. – 92 с. Сборник справочных материалов содержит сведения по всем разделам курса высшей математики, изучаемого в вузе, и способствует развитию творческих способностей, математического мышления студентов, активизации их познавательной деятельности и самостоятельной работы. Включает теоретические сведения, оформленные в виде структурнологических схем, алгоритмов решения задач, крупноблочного представления материала. Для студентов всех специальностей вузов.

УДК 517

Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета

Рецензенты Кандидат физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики ТУСУР Л.И. Магазинников Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа ТГУ Л.С. Копанева

© Оформление. Издательство ТПУ, 2006 © Томский политехнический университет, 2006

2

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы

⎡ a11 a12 ⎢ A = ⎢ a21 a22 ... ... ⎢a ⎣ m1 am 2 Определение минора.

... a1n ⎤ ... a2 n ⎥ ... ... ⎥ ... amn ⎥⎦

Минором M k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых её «к» столбцов и любых её «к» строк

M 1 = a ij , M 2 = i, s = 1,..., m,

a ij

a ik

a sj

a sk

, и т. д.

j , k = 1,..., n

нет

A=0 Rang A = 0

∃M 1 ≠ 0 да нет

∃M 2 ≠ 0

Rang A = 1

да нет

∃M 3 ≠ 0

Rang A = 2

да

….. Определение ранга матрицы.

Рангом r матрицы А называется наибольший порядок r минора этой матрицы, отличного от нуля:

∃M r ≠ 0, ∀M k = 0 или ∃М k , k = r + 1, r + 2,... (существует минор порядка r, не равный нулю, а все миноры более высоких порядков равны нулю или не существуют).

3

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями Условимся называть рабочей строку, которая не изменяется на проводимом этапе элементарных преобразований (перестановке строк; умножении строки на число и сложении с соответствующими элементами другой строки; вычеркиванием всех пропорциональных строк, кроме одной из них). Рабочая строка первая. Получим нули в первом столбце на местах всех элементов первого столбца за исключением элемента в первой строке а11. Для этого умножим все элементы первой строки на такие числа, чтобы при сложении с элементами первого столбца остальных строк получить нули в первом столбце, за исключением элемента первой строки а11. Если в системе, которую Вы решаете, коэффициент при х1 в первом уравнении не равен единице, поменяйте местами строки, записав первой ту, в которой коэффициент при неизвестном х1 равен единице. Если при неизвестном х1 во всех уравнениях коэффициенты отличны от единицы, можно: 1) умножить первую строку расширенной матрицы системы на число, противоположное тому, на месте которого Вы хотите получить ноль; а строку, в которой хотите получить ноль, умножьте на коэффициент при х1 в первой строке; 2) сложите соответствующие элементы умноженной первой строки и умноженной другой строки. ⎡3 A = ⎢⎢5 ⎢⎣7

1

−2

−3 2

1 −3

2⎤ 3 ⎥⎥ 6 ⎥⎦

(−5)(−7 )

⎡3

1

−2

⎣⎢0

−1

5

(3) ∼ ⎢ ⎢0 − 14 13

+

2⎤ ∼ − 1⎥⎥ 4 ⎦⎥

Далее нужно получить нули во втором столбце ниже главной диагонали. Рабочая строка вторая. Получаем нули во втором столбце ниже элемента а22. Умножим третью строку на (–14) и сложим с соответствующими элементами второй строки. (Или можно было поменять местами вторую и третью строки, чтобы на главной диагонали оказалась единица (см. (∗))). −2 2⎤ ⎡3 1 −2 1 2⎤ ⎡3 ⎢0 − 14 13 ⎥ ∼ ; ⎢ − 1⎥ + −14 − 1 ⎥⎥ 13 ⎢ ⎢0 − 14 ( ) ⎢⎣0 − 1 ⎢⎣0 5 4 ⎥⎦ − 57 ⎥⎦ 0 − 57 ⎛ ⎡3 ⎜ ⎢ ⎜ ∼ ⎢0 ⎜ ⎢0 ⎝ ⎣

1 −1 − 14

−2 5 13

2⎤ 4 ⎥⎥ − 1 ⎥⎦

⎡1 (−14) ∼ ⎢⎢0 ⎢⎣0

2 −1 0

3 5 − 57

2 ⎤⎞ ⎟ (∗) 4 ⎥⎥ ⎟ − 57 ⎥⎦ ⎟⎠

Rang A = 3

З а м е ч а н и е . Полученная в скобках матрица (∗) также эквивалентна исходной матрице А , то есть имеет тот же ранг, а системы уравнений, соответствующие этим матрицам, имеют одинаковые решения. Вычисление определителей Правило треугольников для вычисления определителей третьего порядка:

• • • • • • • • •

• • • • • • • • •

+ – произведения элементов берутся с тем же знаком, ─ – произведения элементов берутся с противоположным знаком.

+ – Таблица Саррюса для вычисления определителей третьего порядка: 1 2 3 1 2 ─ столбцы.

⎡• • • • •⎤ ⎢• • • • •⎥ ⎢⎣• • • • •⎥⎦ Правило разложения определителя по элементам какой-либо его строки или столбца с использованием понятия минора и алгебраического дополнения Определение Минором M ij элемента a ij определителя n-го порядка называется минора M i j определитель (n–1)-го порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием элементов элемента a i j i-й строки и j-го столбца. определителя n-го порядка. Определение

Алгебраическим дополнением

4

Aij элемента a ij называется минор этого элемента,

алгебраического дополнения A i j элемента ai j оп-

умноженный на ( −1) Aij = ( −1)

(i + j )

(i + j )

:

⋅ M ij

ределителя n-го порядка. В соответствии со свойствами определитель порядка n может быть представлен в виде разложения этого определителя по элементам i-й строки: n

det A = ∑ ai j Ai j = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + + ain Ain = = ai1 (− 1)i +1 M i1 + ai 2 (− 1)i +2 M i 2 + + ain (− 1)i +n M in . j =1

То есть определитель квадратной матрицы А порядка n равен сумме произведений элементов какойлибо i-й его строки на алгебраические дополнения этих элементов. Аналогичным образом можно разложить этот же определитель по элементам любого его столбца. Так для определителя третьего порядка формула разложения определителя по элементам второго столбца получится следующей: a11 a12 a13

a21 a23 a11 a13 a11 a13 = a21 a22 a23 = a12 (− 1)1+2 + a22 (− 1)2+2 + a32 (− 1)3+2 a31 a33 a31 a33 a21 a23 a31 a32 a33

= − a12 (a 21a 33 − a 31a 23 ) + a 22 (a11a 33 − a 31a13 ) − a 32 (a11a 23 − a 21a13 ) . Определители второго порядка получаются, если вычеркнуть в определителе третьего порядка второй столбец и, соответственно, первую, потом вторую, потом третью строки. Действия над матрицами

( ) и B = (bij ) с одинаковым количеством m строк и n столбC = (cij ) , элементы которой равны сумме соответствующих эле-

Суммой двух матриц A = a ij цов называется матрица Определение суммы двух матриц.

ментов слагаемых матриц: C = A + B.

cij = a ij + bij ,

(i = 1, 2, …, m;

j = 1, 2, …, n.) . Обозначение:

3⎞ 4⎞ ⎛ 0 + 3 −1 + 4 ⎞ ⎛ 3 ⎛ 0 − 1⎞ ⎛ 3 ⎛ 0 −1⎞ ⎛ 3 4⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ C = A + B = ⎜ − 2 − 3⎟ + ⎜ − 5 0 ⎟ = ⎜ − 2 − 5 − 3 + 0 ⎟ = ⎜ − 7 − 3⎟ . Если A = ⎜ − 2 − 3⎟, B = ⎜ − 5 0⎟ , то ⎜ 5 4 ⎟⎠ 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 + 1 6 − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 ⎜ 5 6⎟ ⎜ 1 − 2⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Произведением матрицы A = a ij на число λ называется матрица, у которой каждый

( )

Определение произведения матрицы на число.

Например.

элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число λ : ⎛ i = 1, 2, …, m; ⎞ ⎟⎟ . λA = λ a ij = λa ij , ⎜⎜ ⎝ j = 1, 2, …, n. ⎠

( ) ( )

⎛ 2 0 − 1⎞ ⎛ − 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 0 − 1 ⋅ (−1) ⎞ ⎛ − 2 0 1⎞ ⎟. ⎟=⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ − 1 ⋅ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ − 3 − 1 0 ⎟⎠ ⎝ 3 1 0 ⎠ ⎝ − 1 ⋅ 3 − 1 ⋅1

λA = (−1) ⋅ ⎜⎜

Определение произведения матрицыстроки на матрицустолбец.

Произведением матрицы-строки, имеющей n столбцов, на матрицу-столбец, имеющий столько же строк, называется матрица, состоящая из одного элемента, который равен сумме произведений соответствующих элементов перемножаемых матриц: A1×n ⋅ Bn×1 = C1×1 ,

5

Или или

(a11

a12

⎛ b11 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ a1n )⎜ 21 ⎟ = (a11b11 + a12b21 + … + a1nbn1 ) . ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ n1 ⎠

⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ . ⎜ 2 ⎟ Например, C = (− 1 2 0 4 )⎜ ⎟ = (− 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 2 + 0 ⋅ (−4) + 4 ⋅ 3) = (16 ) −4 ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠

Условие существования произведения двух матриц.

Произведение матриц A ⋅ B существует только в тех случаях, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B , то есть Am×n ⋅ Bn× p = C m× p . При этом

Определение перестановочных матриц.

Квадратные матрицы, произведение которых коммутативно: AB = BA , называются перестановочными.

матрица-произведение имеет число строк матрицы A и число столбцов матрицы B .

( )

( )

имеющую n строк и p столбцов, называется матрица C = cij , имеющая m строк и p столбцов, у которой элемент cij равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы A и

то есть

( )

Произведением матрицы A = a ij , имеющей m строк и n столбцов, на матрицу B = bij ,

Определение произведения матриц.

j -го столбца матрицы B , ⎛ i = 1, 2, …, m; ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ j = 1, 2, …, p. ⎠ Am×n ⋅ Bn× p = C m× p .

cij = a i1b1 j + a i 2 b2 j + … + a in bnj ,

Произведение матриц обозначается

Замечание. Правило умножения матриц можно легко запомнить, если сформулировать его в следующем виде: элемент cij матрицы C , стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца, есть скалярное произ-

ведение

i -й вектор – строки матрицы A и j -го вектор – столбца матрицы B .

⎛ 7 10 13⎞ ⎟ ⎛ 0 ⋅ 7 + 2 ⋅ 8 + 3⋅ 9 0 ⋅10+ 2 ⋅11+ 3⋅12 0 ⋅13+ 2 ⋅14+ 3⋅15⎞ ⎛ 43 58 73 ⎞ . ⎛ 0 2 3⎞ ⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ 8 11 14⎟ = ⎜⎜ A⋅ B = ⎜⎜ ⎝ 4 5 6⎠ ⎜ 9 12 15⎟ ⎝ 4 ⋅ 7 + 5 ⋅ 8 + 6 ⋅ 9 4 ⋅10+ 5 ⋅11+ 6 ⋅12 4 ⋅13+ 5 ⋅14+ 6 ⋅15⎠ ⎝122 167 202 ⎠ ⎝ ⎠ Определение единичной матрицы.

Квадратная матрица, на главной диагонали которой все элементы равны единице, а все остальные элементы нули, называется единичной матрицей и обозначается буквой E.

Определение обратной матрицы.

Обратной для матрицы A называется такая матрица A −1 , что их произведение равно единичной матрице: A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = E .

Теорема существования обратной матрицы.

Для любой квадратной матрицы A , определитель которой не равен нулю (det A ≠ 0) ,

Определение невырожденной и вырожденной матриц.

Матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной. Матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной.

существует единственная обратная матрица A −1 .

6

Чтобы найти обратную для A матрицу A −1 , можно действовать следующим образом: 1. Вычислить определитель матрицы A (det A ≠ 0) .

2.

Если det A = 0 , то матрица A не имеет обратной A −1 . Составить союзную матрицу из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A : Aij .

3.

Транспонировать союзную матрицу, то есть заменить строки на столбцы с такими же номерами: Aij

4.

Разделить

( )

( )T .

(Aij )T A −1 =

det A

транспонированную =

союзную

матрицу

на

определитель

матрицы

A:

( )T .

1 Aij det A

Например. 1 −2 1. det A = = 3 − 0 = 3 ≠ 0 . 2. 0 3

(Aij ) = ⎛⎜⎜ 23

0⎞ ⎟ . Вспомните, что Aij = ( −1) i + j M ij . 1 ⎟⎠

⎝ 3 2 3 2 ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 1 ⎟⎟ 4. A −1 = ⎜⎜ ⎟. 3. Aij T = ⎜⎜ 0 1 3 ⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎝ ⎠ Проверим, правильно ли найдена обратная матрица:

( )

1 ⎛ 3 0⎞ ⎛1 0⎞ ⎟=⎜ ⎟=E. A −1 ⋅ A = 1 ⎛⎜ 3 2 ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ 1 − 2 ⎞⎟ = 1 ⎛⎜ 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 3 ⋅ (−2) + 2 ⋅ 3 ⎞⎟ = ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎝ 0 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ 3 ⎠ 3 ⎝ 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 0 ⋅ ( −2 ) + 1 ⋅ 3 ⎠ 3 ⎝ 0 1⎠ ⎝ 0 Определение Система строк (столбцов, векторов, решений) x1 , x2 ,..., xn называется линейно залинейной висимой, если линейная комбинация λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λn xn = 0 , когда не все зависимости (независимости) коэффициенты линейной комбинации λ1 , λ2 , ...λn ─ нули, системы и называется линейно независимой, если линейная комбинация λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λn xn = 0 , когда все коэффициенты линейной комбинации

λ1 , λ2 , ...λn

─ нули.

Исследование и решение произвольной системы линейных уравнений Определение базисного минора и базисных неизвестных.

Любой, не равный нулю минор, имеющий порядок ранга основной и расширенной матриц системы, называется базисным минором, а неизвестные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор – базисными неизвестными.

Определение свободных неизвестных.

Неизвестные, коэффициенты при которых не вошли в базисный минор, называются свободными.

Определение СОЛУ.

Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены во всех уравнениях этой системы равны нулю. AX = 0 – матричная запись СОЛУ.

Система однородных линейных уравнений всегда совместна, поскольку имеет так называемое тривиальное решение, когда все неизвестные равны нулю: X = 0, ⇒ A ⋅ 0 = 0 . Ранги основной и расширенной матриц системы однородных линейных уравнений всегда равны, так как вычеркивание нулевого столбца свободных членов не изменяет ранга матрицы, поэтому по теореме Кронекера-Капели СОЛУ всегда совместна. Фундаментальной системой частных решений системы однородных линейных уравнений называется система линейно независимых частных решений, число решений в Определение которой равно числу свободных неизвестных системы. ФСЧР СОЛУ. Если n – число неизвестных системы, r – её ранг, то ФСЧР СОЛУ должна содержать k = n – r линейно независимых частных решений. Фундаментальную систему частных решений получают обычно, последовательно приравнивая свободные неизвестные элементам строк единичной матрицы E порядка k = n − r . Замечание. ФСЧР СОЛУ можно получить также, приравнивая свободные неизвестные элементам строк произвольной квадратной матрицы А порядка k = n – r, если det A ≠ 0 .

7

Блок-схема исследования и решения произвольной системы линейных уравнений

R(А) – ранг основной матрицы системы; R(В) – ранг расширенной матрицы системы; Мr – базисный минор; n – число неизвестных.

Система совместна (имеет хотя бы одно решение)

R(A) = R(B) = =r =n

Начало R(A) =R(B)

Система несовместна (нет решений)

да

нет

да

Определённая система (имеет единственное решение)

нет

r n ≥ 0, 2)

х→ ∞

lim f ( x) = 0 ; x→∞

n = m ≥ 0,

3) n > m ≥ 0,

Pn ( x) a 0 x n + a1 x n −1 + a 2 x n − 2 + ... + a n , = Qm ( x) b0 x m + b1 x m −1 + b2 x m − 2 + ... + bm

lim f ( x) = x→∞

a0 b0

;

lim f ( x ) = ∞. x→∞

Более того, если функция f(x) представляет собой отношение линейных комбинаций степенных функций, показатели которых неотрицательны (то есть m и n не обязательно целые, но обязательно неотрицательные), то при х → ∞ можно оставить в числителе и в знаменателе только слагаемые наибольших степеней х, а остальными пренебречь. Предел функции при х → ∞ из-за отбрасывания слагаемых, содержащих меньшие степени х (в том числе и х0 = 1), не изменяется, то есть a 0 x n + a1 x n1 + ... + a k x 0 a0 x n lim = lim , x →∞ b x m + b x m1 + ... + b x 0 x →∞ b x m 0 0 1 l где n > n1 > n2 > … ≥ 0, m > m1 > m2 > … ≥ 0 (слагаемые записываются в порядке убывания степеней х).

Предел функции

1)

f ( x) =

a0 x n n > m ≥ 0 ⇒ lim = ∞; x →∞ b0 x m

a0 x n a0 = ; x →∞ b x m b0 0 n a0 x = 0. 3) m > n ≥ 0 ⇒ lim x →∞ b0 x m

2)

n = m ≥ 0 ⇒ lim

25

a0 x n b0 x m

при х → ∞

Пусть f(x) = qx, q = const.

Предел этой функции, если 1)

|q| < 1

⇒ lim q x = 0;

2)

q=1

⇒ lim q x =

3)

1 x2

+

Критическая точка первого порядка

⎯

( x 2 , y ( x 2 )) − точка максимума

Функция убывает

y x

y/

y

Функция возрастает

1.2.2. Если x 3 и x 4 – стационарные точки (все производные до (2к–1) порядка равны нулю), можно применить второе достаточное условие существования экстремума функции в точке: y ( 2 k ) ( x3 ) > 0 ⇒ ( x3 , y ( x3 )) − точка локального минимума;

y ( 2 k ) ( x4 ) < 0 ⇒ ( x4 , y ( x4 )) − точка локального максимума; y ( 2 k ) ( x5 ) = 0, y ( 2 k +1) ≠ 0 – в точке ( x5 , y ( x5 )) экстремума нет.

2

Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба

2.1. Найти критические точки второго порядка x j , j = 1,2,..., m : y // ( x j ) = 0 или y // ( x j ) = ∞ , или y // ( x j ) − не существует

(необходимое условие существования точки перегиба графика); 2.2. Применить достаточные условия выпуклости и вогнутости графика и существования точек перегиба: x x < x6 x6 x > x6

y //

y

+ График функции вогнутый

33

Критическая точка второго порядка, точка непрерывности ( x 6 , y ( x 6 )) − точка перегиба

⎯ График функции выпуклый

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Метод непосредственного интегрирования

du u x/

du = u x/ dx ⇒ dx =

u = ax + b ⇒ dx =

d (ax + b) ⇒ a

dx

∫

ax + b

d ( ax + b)

=∫

a ax + b

e − ax d (−ax 2 + b) − ax 2 + b = e x dx u = (−ax + b) ⇒ dx = ⇒ − 2ax

∫

2

u = sin x ⇒ dx =

∫

2

+b

=

2 ⋅ ax + b + c; a

2 xd (− ax 2 + b) 1 = − e − ax + b + c; − 2ax 2a

d (sin x) cos xdx cos x d (sin x) 1 sin x − a ⇒∫ 2 =∫ = ln + c; 2 2 2 cos x sin x − a (sin x − a ) cos x 2a sin x + a

u = mx ⇒ dx =

d (mx) sin mx d (mx ) 1 ⇒ ∫ sin mxdx = ∫ = − cos mx + c; m m m

Метод интегрирования по частям

∫ udv = uv − ∫ vdu; № п/п

Интеграл

1

∫ P ( x)e dx, α ∫ P ( x)a dx, ∫ P ( x) sin mxdx, ∫ P ( x) cos mxdx. αx

n

x

n n n

∫ P ( x) ln xdx, ∫ P ( x) arcsin xdx, ∫ P ( x) arccos xdx, ∫ P ( x)arctgxdx, ∫ P ( x)arcctgxdx. n

2

n

n

n

n

Циклические интегралы: 3

∫e

αx

sin mxdx, ∫ e αx cos mxdx

Разбиение подынтегрального выражения на части

du

u = Pn ( x)

v eαx

⎧ eαx ⎫ ⎪ αx ⎪ ⎪⎪ a ⎪⎪ dv = ⎨ sin mx ⎬dx ⎪cos mx ⎪ ⎪ ⎪ ⎭⎪ ⎩⎪

⎧ ln x ⎫ ⎪ ⎪ u = ⎨ ... ⎬, ⎪arcctgx⎪ ⎭ ⎩ dv = Pn ( x)dx

⎧ sin mx ⎫ dv = ⎨ ⎬dx ⎩cos mx ⎭ ⎛ ⎧ sin mx ⎫ ⎜ или u = ⎨ ⎬, ⎜ ⎩cos mx ⎭ ⎜ αx ⎝ dv = e dx

34

Pn −1 ( x)dx

a αx , α α ln a cos mx , − m sin mx m

dx , x ......... dx − 1+ х 2

Pn +1 ( x)

Получают интеграл от функций степеней х

cos mx , m sin mx m

Метод применяют 2 раза, получая уравнение относительно искомого интеграла

,

α e αx dx

u = eαx ,

− ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Результат применения метода Метод применяют n раз, пока степень многочлена не понизится до нулевой

План интегрирования рациональных дробей

Pn ( x) dx . m ( x)

∫Q

Рn (x)= a 0x n + a 1x n-1 + a2x n-2 + …….+ a n, Qm(x)= b0xm + b1xm-1 + b2xm-2 + ……. + bm. I. n ≥ m – дробь неправильная; n < m – дробь правильная (степень Рn(x) меньше)

⇓ (степень n Рn(x) больше или равна степени m Qm(x)) Рn (x)

Qm(x)

……

целая часть

Pn ( x) остаток = целая часть + Qm ( x ) Qm ( x )

⇒

⇓

rs(x) – остаток (s<m)

rs ( x) – прав. дробь. Qm ( x ) II. Знаменатель Qm(x) разложить на множители линейные – (x-a) и квадратичные – (x2+px+q). Правильную дробь разложить на сумму простых дробей в зависимости от множителей знаменателя. Вид множителя в Сколько знаменателе дроби дробей Сумма простых дробей, соответствующая множителю в знаменателе правильной рациональной дроби

(x-a)

k

A A1 A2 + + ... + k k k −1 x−a ( x − a) ( x − a) M x + Nw M 1 x + N1 M x + N2 + 2 2 + ... + 2 w 2 w w −1 ( x + px + q) ( x + px + q) x + px + q

k

(x2+px+q)w w III. Найти неопределенные коэффициенты A, M, N, приведя сумму дробей к общему знаменателю и приравняв числители исходной правильной дроби и суммы дробей. IV. Проинтегрировать простые дроби: A A а) дроби первого типа d ( x − a ) = A ln x − a + c; dx = б) дроби второго типа

∫ x−a

∫ x−a

A

∫ ( x − a)

k

dx = A

( x − a ) − k +1 + c; (k > 1) − k +1 x 2 + px + q =

в) дроби третьего типа

= (x +

p 2 p2 ) − +q 2 4

Mx + N p ∫ x 2 + px + q dx = x + 2 = t; dx = dt = ∫ x 2 + px + q = t 2 ± a 2

x 2 + px + q = ( x +

г) дроби четвертого типа ∫ (x

∫ (t

2

2

Mx + N dx = + px + q ) w

p )+N td (t 2 ± a 2 ) p dt 2 dt = M ∫ 2 + ( N − M )∫ 2 = .... 2 (t ± a 2 )2t 2 t ± a2 t ± a2

M (t −

p 2 p2 ) − +q 2 4

p = t ; dx = dt 2 2 x + px + q = t 2 ± a 2 x+

= ...

dt t 1 dt – рекуррентная формула ( 2 ) = 2 + (2n − 3) ∫ 2 2 n 2 n −1 2 n −1 2a (n − 1) (t + a ) (t + a ) +a )

35

Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций

3

4

5

= − R (sin x, cos x) Нечетная относительно сos x R (− sin x, cos x) = = − R (sin x, cos x) Нечетная относительно sin x R (− sin x,− cos x) = = R(sin x, cos x) Четная относительно сos x и sin x sin 2 m x ⋅ cos 2 n x Степени четные неотрицательные

sin mx cos nx cos mx cos nx

6

sin mx sin nx

Вспомогательные преобразования

Универсальная x t = tg 2

sin x =

dt = cos x dx

t = cos x

dt = − sin x dx

t = tgx

t = ctgx

cos2 x =

sin x =

t 1+ t2 1 1+ t

2

; cos x =

; cos x =

1 1+ t2 t 1+ t

2

; dx =

dt 1+ t2

; dx = −

dt 1+ t2

1 + cos 2 x 1 − cos 2 x 1 ; sin 2 x = ; sin x cos x = sin 2 x 2 2 2

1 (sin(m + n) x + sin(m − n) x) 2 1 cos mx cos nx = (cos(m + n) x + cos(m − n) x) 2 1 sin mx sin nx = (cos(m − n) x − cos(m + n) x) 2

sin mx cos nx =

e x − e−x e x + e−x shx chx e ix − e − ix e ix + e −ix ; chx = ; thx = ; cthx = ; sin x = ; cos x = ; chx shx 2 2 2i 2 ch2 x − 1 ch2 x + 1 1 ch 2 x − sh 2 x = 1; shxchx = sh 2 x; sh 2 x = ; ch 2 x = 2 2 2 Интегрирование гиперболических функций аналогично интегрированию тригонометрических функций shx =

7

2t 1− t2 2dt = ; cos ; dx = x 2 2 1+ t 1+ t 1+ t2

t = sin x

sin x =

Итог

Подынтегральная функция рациональная относительно х

2

R (sin x, cos x ) − рациональная функция относительно sin x, cos x R (sin x,− cos x) =

Подстановка

Понижение степени

1

Подынтегральная функция

Сумма функций

№ п/п

36

Подынтегральная функция p2 q2

ax + b ax + b ) ,( ) ,...) cx + d cx + d R – рациональная функция, p1 , p2 , q1 , q2 ,... − целые числа

R ( x, ( 1

p1 q1

Интегрирование иррациональностей Подстановка

Итог

ax + b = t k , где k ─ наименьшее общее кратное cx + d знаменателей показателей:

k = НОК (q1 , q2 ,...) x = a sin t или x = a cos t dx = a cos tdt или dx = − a sin tdt

R ( x, a 2 − x 2 )

( a 2 − x 2 = a 2 cos 2 t

2

2

Дифференциальный бином

x m (a + bx n ) p

m +1 − целое n m +1 + p− n − целое

a + bx n = t k , k − знаменатель дроби p n −1

dx = kt

k −1

dt ,

x (a + bx ) dx = x t m

n

5

−n

m kp

kt k −1 dt bnx n −1

Рациональная функция t

kt k −1 dt , где − anx − n −1

tk − b = a

1

ax 2 + bx + c

p

a + bx n = t k x n , k − знаменатель дроби p ax − n + b = t k , − anx − n −1 dx = kt k −1 dt ,

x

(mx + n) ax 2 + bx + c mx + n

cos t

dx = kt k −1dt

x m (a + bx n ) p dx = x m (t k x n ) p

4

sin t ,

x = t k , k = НОК ( знаменателей m, n)

bnx 3

Рациональная функция

a a или x = cos t sin t a sin t − a cos t dx = dt или dx = dt 2 cos t sin 2 t ( x 2 − a 2 = a 2 tg 2 t или x 2 − a 2 = a 2 ctg 2 t )

2

p ─ целое число, m,n ─ дроби

a 2 − x 2 = a 2 sin 2 t )

x=

R ( x, x − a ) 2

или

x = atgt или x = actgt adt − adt dx = или dx = 2 cos t sin 2 t a2 a2 2 2 или a x (a 2 + x 2 = + = ) cos2 t sin 2 t

R ( x, a + x ) 2

Рациональная функция t

t=

t = x+

1 mx + n

b b2 , ax 2 + bx + c = at 2 − +c 2a 4a

См. пункт 5 Два табл-х инт-ла

При нахождении первообразной функции можно пользоваться следующим алгоритмом: 1. Попытаться применить непосредственное интегрирование; 2. Если это не удается, определить класс функции (рац. дробь, тригонометрическая, иррациональная) и применить соответствующие подстановки, а если функция смешанных классов – интегрирование по частям.

37

Несобственные интегралы (н.и.) I рода II рода (от неограниченной (по бесконечному промежутку) на промежутке интегрирования функции) Определение н.и.

1

∫

+∞

a

2

∫

b

−∞

3

∫

+∞

f ( x)dx = lim

b

b → +∞ a

f ( x)dx = lim

∫

b

a → −∞ a

f ( x)dx = lim

−∞

∫

∫

c

a → −∞ a

f ( x)dx

lim f ( x) = ∞ ⇒

f ( x)dx

lim f ( x) = ∞ ⇒

f ( x)dx + lim

∫

b

b → +∞ c

x →b

x→a

b

f ( x)dx = lim ∫

∫

b −ε

ε →0 a

a b

f ( x)dx = lim ∫

b

ε →0 a +ε

a

f ( x)dx f ( x)dx

lim f ( x) = ∞ ⇒

f ( x)dx

x →c

∫

b

a

Определение сходимости н.и.

∫

c

b

a

c

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx

Несобственный интеграл сходится, если существуют конечные пределы в правых частях равенств, определяющих эти интегралы. Если эти пределы бесконечны или не существуют, то несобственный интеграл расходится.

⎧ А − конечное число ⇒ интеграл сходится; ⎪ ∫a f ( x)dx =⎨ ∞⎫⎬ − интеграл расходится. ⎪ ∃⎭ ⎩ 1 ϕ ( x), f ( x) непрерывны ∀х ∈ [а,+∞ ) ϕ ( x), f ( x) непрерывны ∀х ∈ [а, b ) lim ϕ ( x) = lim f ( x) = ∞ b

x →b

x →b

0 ≤ ϕ ( x) ≤ f ( x) Сходимость

∫

+∞

Признаки сходимости н.и.

a

∫

+∞

a

a

f ( x)dx

Расходимость

ϕ ( x) > 0, f ( x) > 0, ∀х ∈ [а,+∞ )

2

b

b

∫ ϕ ( x)dx ∫a

f ( x)dx

Расходимость

ϕ ( x), f ( x) непрерывны ∀х ∈ [а, b ) lim ϕ ( x) = lim f ( x) = ∞ x →b

f ( x) = A≠0 x → ∞ ϕ ( x)

x →b

f ( x) = A≠0 x →b ϕ ( x)

∃ lim

∃ lim

Несобственные интегралы от функций ϕ ( x ) и f ( x) ведут себя одинаково: или оба сходятся, или оба расходятся 3

∫

+∞

a

f ( x) dx ⇒ ∫

+∞

a

∫

f ( x)dx

b

a

b

f ( x) dx ⇒ ∫ f ( x)dx a

сходится ⇒ сходится абсолютно

сходится ⇒ сходится абсолютно

⎧сходится условно; расходится ⇒ ⎨ ⎩ расходится.

⎧сходится условно; расходится ⇒ ⎨ ⎩ расходится. ⎧ (b − a ) − k +1 dx ⎪ − сходится, если k < 1, ∫a (b − x)k = ⎨ − k + 1 ⎪⎩ ∞ − расходится, если k ≥ 1. b ⎧ (b − a) − k +1 dx ⎪ − сходится, если k < 1, ∫a ( x − a) k = ⎨ − k + 1 ⎪⎩ ∞ − расходится, если k ≥ 1. b

⎧ dx ⎪ a − сходится, если k > 1, ∫a >0 x k = ⎨ k − 1 ⎪⎩+ ∞ − расходится, если k ≤ 1. +∞

Эталонные н.и.

ϕ ( x)dx

Сходимость

− k +1

38

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Теорема. Если величина Q обладает на [a,b] 1. свойством аддитивности, а именно, если a = x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤…≤ xn = b, то Q=ΔQ1+ΔQ2+…+ΔQn, где ΔQi – значение Q на [xi-1,xi], i=1,2,…n; 2. свойством линейности Q в малом: ΔQ ≈ f(x)Δx, где f(x) – интегрируемая на [a,b] функция, то величину Q можно найти интегралом от ее элемента dQ = f(x)dx по промежутку [a,b]: b

Q = ∫ f ( x)dx a

Q S, п л о щ а д ь п л о с к о й ф и г у р ы D

№

Чертеж

Д. С. К. a≤ x≤b ⎫ ⎧ D=⎨ ⎬ f x y f x ( ) ≤ ≤ ( ) 1 ⎭ ⎩ 2

1

Д. С. К. c≤ y≤d ⎫ ⎧ D=⎨ ⎬ ⎩ f 2 ( y ) ≤ x ≤ f1 ( y )⎭

2

S = ∫ ( f 1 ( x) − f 2 ( x))dx

S,

b

a

d

S = ∫ ( f 1 ( y ) − f 2 ( y ))dy c

Одна кривая границы области D не левее другой.

Д. С. К. α≤t≤β x(α)=a, x(β)=b ( y(t)≥0, ∀ t∈ [α,β ] )

3

β

S = ∫ y (t ) xt/ dt α

Верхняя граница области задана параметрически

ρ1(φ)

ρ2(φ) 4 α

1

П. С. К. α ≤ϕ ≤ β

2

β

⎧ ⎫ D=⎨ ⎬ ρ ϕ ρ ρ ϕ ( ) ≤ ≤ ( ) 1 ⎩ 2 ⎭

1 S = ∫ ( ρ12 (ϕ ) − ρ 22 (ϕ ))dϕ 2α

Д. С. К. ⎧a ≤ x ≤ b ⎫ L=⎨ ⎬ ⎩ y = f (x) ⎭

l = ∫ 1 + ( y x/ ) 2 dx

Д. С. К. ⎧c ≤ y ≤ d ⎫ L=⎨ ⎬ ⎩ x = f ( y) ⎭

l,

к р и в о й

Q

Одна кривая границы области D не выше другой.

β

д л и н а

Формула

Система координат и пояснения

3

П. С. К. ⎧α ≤ ϕ ≤ β ⎫ L=⎨ ⎬ ⎩ ρ = ρ (ϕ ) ⎭

L

4

β

α

39

ф и г у р ы D

a

l, d

l = ∫ 1 + ( xt/ ) 2 dy c

β

l = ∫ ( xt/ ) 2 + ( yt/ ) 2 dt α

Линия L задана параметрически

ρ(φ)

п л о с к о й

b

Д. С. К. α ≤t≤β ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ L = ⎨ x = x(t ), y = y (t ) ⎬ ⎪ x(α ) = a, x( β ) = b⎪ ⎩ ⎭

п л о щ а д ь

β

l = ∫ ρ 2 + ( ρ / ) 2 dϕ α

д л и н а к р и в о й L

Q

№

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Система координат и пояснения Формула Q

Чертеж

Д. С. К. V, о б ъ е м

1

т е л а Т

V1 = ∫ S ( x)dx

⎧c ≤ y ≤ d ⎫ T2 = ⎨ ⎬ ⎩ S ( y ) ⊥ 0Y ⎭ ⎧e ≤ z ≤ f ⎫ T3 = ⎨ ⎬ ⎩ S ( z )⊥0 Z ⎭

V2 = ∫ S ( y ) dy

2

a f

V3 = ∫ S ( z )dz e

b

V = π ∫ y 2 ( x)dx a

Тело Т образовано вращением кривой у=f(х) вокруг оси 0Х

b

σ x = 2π ∫ y ( x) 1 + ( y x/ ) 2 dx a

Поверхность ϖ образована вращением кривой у=f(х) вокруг оси 0Х Д. С. К.

⎧ α ≤t≤β ⎫ ⎪ ⎪ ω x = ⎨ y = y (t ), x = x(t )⎬ ⎪ Δσ = 2π y (t )Δl ⎪ ⎩ ⎭

β

σ x = 2π ∫ y (t ) ( xt/ )2 + ( yx/ ) 2 dt α

Поверхность ϖ образована вращением кривой у=f(х (t)), заданной параметрически, вокруг оси 0Х Д. С. К.

⎧t ≤ t ≤ t 2 ⎫ V =⎨1 ⎬ ⎩ V = V (t ) ⎭

1

t1

Д. С. К.

⎧a ≤ x ≤ b⎫ F =⎨ ⎬ ⎩ F = F (x) ⎭

1

b

A = ∫ F ( x )dx a

Сила F направлена параллельно оси 0Х на промежутке [a,b] Д. С. К.

a≤x≤b ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ D=⎨ f 2 ( x) ≤ y ≤ f1 ( x) ⎬ ⎪ΔP = gxμ ( x)( f ( x) − f ( x))⎪ 1 2 ⎭ ⎩ μ – плотность жидкости, давящей на

1

т е л а

σ, п л о щ а д ь п о в е р х н. ω S, п у т ь

t2

s = ∫ V (t )dt

V – скорость прямолинейного движения тела на промежутке времени [t1,t2]

V, о б ъ е м

Т

Д. С. К.

⎧ a≤ x≤b ⎫ ⎪ ⎪ ω x = ⎨ y = f ( x) ⎬ ⎪Δσ = 2π y ( x)Δl ⎪ ⎩ ⎭ 1

Р, д а в л

b

⎧a ≤ x ≤ b, y = f ( x ) ⎫ T =⎨ ⎬ 2 ⎩ π y = S ( x ) ⊥0 X ⎭

п о в е р х н. ω

А, р а б о т а

a

Д. С. К.

σ, п л о щ а д ь

S, п у т ь

b

⎧a ≤ x ≤ b⎫ T1 = ⎨ ⎬ ⎩S ( x)⊥0 X ⎭

b

P = g ∫ xμ ( x)( f1 ( x) − f 2 ( x))dx a

А, р а б о т а Р, д а в л.

пластину D m, м а с с а

Д. С. К.

⎧a ≤ x ≤ b, y = f ( x)⎫ L=⎨ ⎬ ⎩ Δm = μ ( x)Δl ⎭

1

b

m = ∫ μ ( x) 1 + ( y ) dx / 2 x

a

μ – линейная плотность кривой L

m, м а с с а

Статические моменты относительно координатных осей Sx, Sy,, моменты инерции Мх,, Му, координаты центра тяжести хс, ус плоской кривой

y = f ( x), a ≤ x ≤ b, dl = 1 + ( y x/ ) 2 dx = ( x t/ ) 2 + ( y t/ ) 2 dt = ρ 2 + ( ρ ϕ/ ) 2 dϕ b

S x = ∫ μ ( x) ydl a

S y = ∫ μ ( x) xdl

b

M x = ∫ μ ( x) y 2 dl a

b

M y = ∫ μ ( x) x 2 dl a

40

xc =

Sy m

yc =

Sx m

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ФНП) Определение частной производной. Экстремум функции двух переменных Градиент функции F ( x, y, z ) : Если в точке М(х,у) существует предел отношения 1. Необходимое условие существования экстремума. ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F частного приращения ФНП z = f(x,y) по одному из Если функция f(x,y) имеет в точке М0(х0,у0) экстремум ; )= i+ j+ k grad F ( x, y, z ) = ( ; ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ее аргументов к приращению этого аргумента при и имеет в точке М0 частные производные первого постремлении приращения аргумента к нулю, то этот Градиент функции в точке характеризует направление рядка, то в этой точке частные производные первого предел называется частной производной ФНП по и величину максимальной скорости возрастания этой порядка равны нулю, т. е. функции в данной точке. этому аргументу в точке М(х,у): f x/ ( x 0 , y 0 ) = f y/ ( x 0 , y 0 ) = 0 . Производная по направлению Δ z f ( x + Δx, y ) − f ( x, y ) ∂z 2. Достаточные условия существования экстремума. ; = lim x = lim Вектор направления l = ( m , n , p ) ; Δx → 0 Δx Δx → 0 Δx ∂x f xx// ( x 0 , y 0 ) f xy// ( x 0 , y 0 ) . Тогда Пусть Δ = Орт направления: Δyz f ( x, y + Δy ) − f ( x, y ) ∂z f xy// ( x 0 , y 0 ) f yy// ( x 0 , y 0 ) ( m , n, p ) . lim = lim = = (cos α , cos β , cos γ ) ; l0 = Δy →0 Δy Δy →0 Δy ∂y а) если Δ> 0, то в точке М0 функция имеет экстремум, 2 2 2 m +n + p Правило. Чтобы найти частную производную ФНП причем при f xx// ( x 0 , y 0 ) < 0 – локальный максимум, Производная по направлению равна скалярному пропо одному из ее аргументов, надо все остальные изведению градиента на орт направления: при f xx// ( x 0 , y 0 ) > 0 – локальный минимум; аргументы ФНП считать постоянными и применять

правила дифференцирования и таблицу производных функции одного аргумента, по которому берется частная производная Производные сложных функций

z = f (u, v), u = u ( x, y ), v = v( x, y ) ; u, v – промежуточные аргументы, x,.y – основные аргументы. ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ; = = + + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y Производные неявно заданных функций F(x,y,z) = 0, ⇔ z = f(x,y). F y/ F/ ∂z ∂z = − x/ ; =− / . ∂y ∂x Fz Fz Полный дифференциал ФНП ∂z ∂z dz = dx + dy . ∂x ∂y Полный дифференциал ФНП равен сумме ее частных дифференциалов: dz = d x z + d y z .

∂F = ( grad F , l 0 ) = ∂l ∂F ∂F ∂F = cos α + cos β + cos γ ∂x ∂y ∂z Уравнение касательной плоскости к поверхности F(x,y,z)=0 в точке М0(х0,у0,z0)

Скалярное произведение ( grad F ( M 0 ), M 0 M ) = 0 , или F ( M 0 )( x − x0 ) + F ( M 0 )( y − y 0 ) + Fz/ ( M 0 )( z − z 0 ) = 0 / x

/ y

Уравнение нормали к поверхности F(x,y,z)=0 в точке М0(х0,у0,z0)

[

векторное произведение

grad F ( M 0 ), M 0 M x − x0 / x

F (M 0 )

=

или y − y0 / y

F (M 0 )

41

=

]= 0,

z − z0 Fz/ ( M 0 )

б) если Δ