Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье: Методические указания по решению задач математического анализа

Ф и зи ческ и й ф ак у л ьтет К аф едра м атем ати ческ ой ф и зи к и

Р Я Д Ы Ф У Р ЬЕ. ИНТЕГР А Л Ф У Р ЬЕ. ПР ЕОБР А ЗОВА НИЯ Ф У Р ЬЕ М етод и ч еск и е у к а за ни я пореш ени ю за д а ч м а тем а ти ч еск ог оа на л и за д л я сту д ентов 2 к у рса фи зи ч еск ог офа к у л ьтета

С оста ви тел и : А.А.Коса рев Е.А.В ервейк о

Воронеж –2002

2

АН Н ОТАЦИ Я Ра бота сод ержи т и зл ожени е теори и , под робное реш ени е на и бол ее ти пи ч ных за д а ч , а та к же за д а ч и д л я са м остоятел ьног ореш ени я. За д а ч и сна бженыответа м и и у к а за ни ям и пои хреш ени ю . В ни м а тел ьное и зу ч ени е д а нной ра ботыи выпол нени е всеху пра жнени й в ней д а ет сту д ента м возм ожность под г отови ться к сд а ч е за ч ета пора зд ел а м м а тем а ти ч еск ог оа на л и за « Ряд ыФ у рье. П реобра зова ни я Ф у рье. И нтег ра л Ф у рье»

С ОД ЕРЖ АН И Е Ряд ыФ у рье П ри м ерыза д а ч с реш ени ям и За д а ч и д л я са м остоятел ьног ореш ени я И нтег ра л Ф у рье П ри м ерыза д а ч с реш ени ям и За д а ч и д л я са м остоятел ьног ореш ени я П реобра зова ни е Ф у рье П ри м ерыза д а ч с реш ени ям и За д а ч и д л я са м остоятел ьног ореш ени я С пек тра л ьна я ха ра к тери сти к а (спек тр) фу нк ци и П ри м ерыза д а ч с реш ени ям и За д а ч и д л я са м остоятел ьног ореш ени я

3 6 14 16 16 19 20 21 23 24 24 27

3

Р яд Ф у рье 1. Три г оном етри ч еск и м ряд ом на зыва ю т ряд ви д а a0 ∞ kπ kπ + ∑ ( ak cos X + bk sin X ), 2 k =1 l l

(1.1)

г д е a k , bk -ч и сл овые к оэффи ци енты. С л ед у ет отм ети ть, ч товсе три г оном етри ч еск и е фу нк ци и , вход ящ и е в (1.1) и м ею т общ и й пери од 2l , и есл и ряд (1.1) сход и тся и f * ( x) ег осу м м а , то f * ( x) опред ел ена на ( −∞,+∞) и та к же явл яется пери од и ч еск ой фу нк ци ей с тем же пери од ом 2l. Та к ое опред ел ени е три г оном етри ч еск ог о ряд а д оста точ но форм а л ьно. Б ол ее естественным явл яется д ру г ой “ фи зи ч еск и й “ под ход . Ра ссм отри м посл ед ова тел ьность простейш и х г а рм они ч еск и х фу нк ци й (г а рм они к ) ви д а Ak sin(

2κπ X + ϕ k ); k = 1,2,...; − ∞ + ∞ T

(1.2)

Они на зыва ю тся г а рм они к а м и с к ра тным и ч а стота м и . У всех у ни х Т-общ и й пери од . Ра ссм отри м су перпози ци ю эти х г а рм они к ∞ ∞ 2πκ 2πκ 2πκ A0 + ∑ Ak sin( X + ϕ k ) = A0 + ∑ ( Ak sin ϕ k cos + Ak cos ϕ k sin X ) (1.3) T T T k =1 k =1 П ол а г а я

a0 = A0 , ak = Ak sin ϕ k , bk = Ak cosϕ k , 2l = T , пол у ч и м 2

A0 +

∞

∑ Ak sin(

k =1

∞ a 2πκ κπ κπ X + ϕ k ) = 0 + ∑ ak cos X + bk sin X, T 2 k =1 l l

при ход и м к ряд у (1.1). ( −∞,+∞) и 2. П у сть теперь и м еется фу нк ци я f * ( x), опред ел енна я на пери од и ч еск а я с пери од ом 2l. П острои м ряд (1.1), в к отором к оэффи ци енты ak ,bk выч и сл еныспеци а л ьным обра зом поформ у л а м

4

κπ 1l * f ( x) cos Xdx ∫ l −l l

( k = 0,1,2,...);

κπ 1l * bk = ∫ f ( x) sin Xdx l −l l

( k = 0,1,2,...).

ak =

(1.4)

Э ти к оэффи ци ентына зыва ю тся к оэффи ци ента м и Ф у рье фу нк ци и f * ( x), а са м ряд (1.1) в этом сл у ч а е на зыва ется ряд ом Ф у рье фу нк ци и та к :

f * ( x) ~

a0 ∞ κπ κπ + ∑ ak cos X + bk sin X 2 k =1 l l

f * ( x). За пи сыва ю т это

(1.5)

Есл и ряд (1.5) сход и тся (об у сл ови яхег осход и м ости ни же), тоег осу м м а S (x) ра вна : f ( x), е сли Х т очкан е п р е р ы вн о ст и   a κπ κπ  f ( x + 0) + f ( x − 0) S ( x) = 0 + ∑ a k cos X + bk sin X = , е сли Х т очкар азр ы ва 2 k =1 l l 2  п е р вог о р ода.  ∞

(1.6)

3. Н а пра к ти к е при ход и тся ра ск л а д ыва ть в ряд Ф у рье ф у нк ци ю f (x), за д а нну ю на пром ежу тк е [− l , l ] [(0,2l ) ]и т .д. ( в фи зи к е ее на зыва ю т “си г на л ом ”) Д л я этог осна ч а л а при ход и тся д ел а ть ее пери од и ч еск ое прод ол жени е на всю ч и сл ову ю осью (см .ри с.1) и ра ск л а д ыва ть в ряд Ф у рье фу нк ци ю f ∗ ( x ).

П оэтом у на всей оси ( −∞,+∞) су м м ой ряд а бу д ет f * ( x ) (с у ч етом (1.6)), а на пром ежу тк е [− l, l ] - f (x) (опять та к и с у ч етом (1.6)) Есл и f (x) за д а на на пром ежу тк е [0, l ] (a, a + l , и т .д), тоее возм ожно ра зл ожи ть в ряд Ф у рье, вообщ е г оворя, бесч и сл енным к ол и ч еством способов. Н а пра к ти к е ,од на к о, и спол ьзу ю тся д ва :

5

а ) П род ол жи м f (x) на пром ежу ток

Тог д а , сог л а сно(1.4)

[− l ,0 ] ч етным обра зом (см . ри с2).

2l κπ ak = ∫ f ( x) cos X dx l0 l

(

k = 0,1, ...)

bk = 0 и ряд Ф у рье при ни м а ет ви д г д е он пред ста вл яет f (x) на б) П род ол жи м f (x) на a k = 0 (k = 1,2,...

bk =

)

[0, l ] .

a0 ∞ κπ f ( x) ~ + ∑ ak cos X, 2 k =1 l

(1.7)

[− l ,0 ] неч етным обра зом (см .ри с.3). Тог д а

( a0 м ожет быть отл и ч ным от ну л я), а

2l κπ f ( x) sin X dx ∫ l0 l

и ряд Ф у рье в этом сл у ч а е бу д ет и м еть ви д ∞

f ( x) ~

∑ bk sin

k =1

κπ X l

(1.8)

4. Ч а сто, особеннов ра д и офи зи к е, ряд Ф у рье за пи сыва ю т в к ом пл ек сной форм е: +∞ i a0 ∞ κπ κπ + ∑ ak cos X + bk sin X = ∑ ck e 2 k =1 l l k = −∞ −i 1 l 1 l c0 = ∫ f ( x) dx, ck = ∫ f ( x)e 2l − l 2l − l

κπ X l dx,

κπ X l

c− k

, г де i 1 l = ∫ f ( x)e 2l − l

κπ X l dx.

(1.9)

6

5. У сл ови ясходи м ости ряда Ф у рье С у щ еству ет д овол ьном ног од оста точ ных при зна к ов сход и м ости ряд а Ф у рье. Н а пра к ти к е,обыч но, при м еняю тся д ва : а ) Теорем а 1. Есл и f (x) явл яется к у соч но-непрерывной и к у соч но-г л а д к ой на [− l, l ] тоее ряд Ф у рье сход и тся в к а жд ой точ к е этог оотрезк а , при ч ем д л я су м м ы S (x) этог о ряд а выпол няю тся ра венства : 1). S ( x) = f ( x), е сли − l <X> l и Х точ к а непрерывности f (x), f ( x + 0) + f ( x − 0) , е сли − l l и Х - точ к а ра зрыва первог ород а , 2). S ( x) = 2 f ( −l + 0) + f (l − 0) (1.10) 3). S (−l ) = S (l ) = 2 б) Теорем а 2. (У сл ови яД и ри хл е). Есл и f (x) к у соч но-непрерывна и к у соч но-м онотонна на [− l, l ] , тог д а ее ряд Ф у рье сход и тся в к а жд ой точ к е X Є [− l, l ] (с у ч етом (1.10)).

При м еры задач среш ени ям и При м ер 1. Ра зл ожи ть в ряд Ф у рье ф у нк ци ю , за д а нну ю на сег м енте [− π ,π ] у ра внени ем f ( x) = π + X . Реш ени е. Гра фи к ом этой фу нк ци и явл яется отрезок , соед и няю щ и й точ к и (− π ; 0 ) и (π ; 2π ).Н а ри су нк е 4 пок а за н г ра фи к фу нк ци и ряд а Ф у рье фу нк ци и у = S ( x), г де S ( x) − су м м а f (x).

Э та cу м м а явл яется пери од и ч еск ой фу нк ци ей с пери од ом 2π и совпа д а ет с фу нк ци ей f (x) на сег м енте [− π ,π ]. Опред ел яем к оэффи ци ентыряд а Ф у рье. С на ч а л а на ход и м π 1 π 1 π 1 π a 0 = ∫ f ( x ) dx = ∫ (π + X )dx = ∫ dx + ∫ Xdx π −π π −π π −π −π

7

В торой и нтег ра л ра вен ну л ю к а к и нтег ра л от неч етной фу нк ци и , взятый по и нтерва л у , си м м етри ч ном у относи тел ьно на ч а л а к оорд и на т. Та к и м обра зом , a0 =

π

∫ dx = 2π .

−π

Д а л ее на ход и м к оэффи ци енты a m . И м еем 1 π 1 π am = ∫ f ( x) cos mX dx = ∫ (π + X ) cos mX dx = π −π π −π 1 π ∫ ∫ X cos mX dx. π −π −π Н етру д но ви д еть,ч то оба и нтег ра л а ра вны ну л ю (под ынтег ра л ьна я фу нк ци я второг о и нтег ра л а явл яется неч етной к а к прои звед ени е ч етной фу нк ци и на неч етну ю ). И та к , a m = 0 , т .е . a1 = a 2 = a3 = ... = 0. Опред ел яем теперь к оэффи ци енты bm : =

π

cos mX dx +

π 1 π 1 π 1 π bm = ∫ f ( x) sin mX dx = ∫ (π + X ) sin mX dx = ∫ sin mX dx + ∫ X sin mX dx. π −π π −π π −π −π

П ервый и нтег ра л ра вен ну л ю . П од ынтег ра л ьна я фу нк ци я второг о и нтег ра л а – ч етна я к а к прои звед ени е д ву х неч етных фу нк ци й. Та к и м обра зом , 2π bm = ∫ X sin mX dx. π0 и нтег ри ру я по ч а стям , пол у ч и м 1 u = X , dv = sin mX dx, du = dx, v = −( ) cos mX , т .е . m π π 2X 2 π 2 2 2 bm = − cos mX + cos m Xdx = − cos mπ + sin mX = − (−1) m = ∫ 2 mπ mπ 0 m m πm 0 0

=

2 (−1) m +1. m

С л ед ова тел ьно, ра зл ожени е фу нк ци и f (x) в ряд Ф у рье и м еет ви д ( −1) m +1 sin 2 X sin 3 X sin 4 X sin mX = π + 2(sin X − + − + ...). m 2 3 4 m =1 ∞

f ( x) = π + 2 ∑

8

При м ер 2. Ра зл ожи ть в ряд Ф у рье фу нк ци ю ток а , г ра фи к к оторой выра жа ет тел ег ра фные си г на л ыв сл у ч а е пери од и ч еск ой перед а ч и точ ек (ри с.5).

Реш ени е. Ф у нк ци я i (ω t ) в пред ел а х пери од а [0, 2π ] и м еет ви д I 2 п р и 0 < ω t ≤ π , i (ω t ) =   I1 п р и π < ω t ≤ 2π Ф у нк ци я i (ω t ) терпи т ра зрыв первог ород а при ω t = π . Та к к а к у сл ови я Д и ри хл е у д овл етворяю тся, топри м ени м ыформ у л ы ∞ a f (ω t ) = 0 + ∑ an cos nω t + bn sin nω t , (1.11) 2 n =1 a0 =

1 π

2π

∫

0

f (ω t ) d (ω t ), a n =

1 π

2π

∫ f (ω t ) cos nω td (ω t ), 0

1 2π bn = ∫ f (ω t ) sin nω t d (ω t ). π 0 П ри д ется л и ш ь и нтерва л и нтег ри рова ни я ра зби ть на д ве ч а сти (от 0 до π и от π до 2π ), та к к а к в к а жд ой и з ни хфу нк ци я выра жа ется пора зном у : a0 =

π I + π I1 1π 1 2π I d ω t I1d (ω t ) = 2 ( ) + = I1 + I 2 , ` 2 ∫ ∫ π0 π π π

I sin n ω t 1π 1 2π a n = ∫ I 2 cos nω t d (ω t ) + ∫ I1 cos nω t d (ω t ) = 2 n π0 π π π

π

I cos nω t 1π 1 2π bn = ∫ I 2 sin nω t d (ω t ) + ∫ I1 sin nω t d (ω t ) = − 2 π0 π π π n

π

=−

0

0

I sin nω t + 1 π n

I cos nω t − 1 π n

2π

= 0,

0 2π π

[

=

]

I2 I I −I I −I I −I (cos nπ − 1) − 1 (cos 2nπ − cos nπ ) = 2 1 + 1 2 (−1) n = 2 1 1 + ( −1) n −1 . nπ nπ nπ nπ nπ

Та к к а к выра жени е в к ва д ра тных ск обк а хра вно2 при n неч етном и 0 при n ч етном , топод ста вл яя зна ч ени я a0 и bn в форм у л у (1.11) пол у ч и м

9

I1 + I 2 2( I 2 − I1 ) ∞ sin nω t i (ω t ) = + ∑ 2 π n n =1,3,5,...

или

I1 + I 2 2( I 2 − I1 ) sin 3ω t sin 5ω t + (sin ω t + + + ...) . 2 π 3 5 П ол у ч енный ряд д а ет за д а нну ю фу нк ци ю вовсех точ к а х, к ром е точ ек ра зрыва i (ω t ) =

( т .е . ω t = 0, ω t = π , ω t = 2π , ω t = 3π ,...). В точ к а хра зрыва су м м а ряд а ра вна I +I сред не а ри фм ети ч еск ом у пред ел ьных зна ч ени й фу нк ци и , т.е. 1 2 . 2 При м ер 3. Ра зл ожи ть в ряд Ф у рье фу нк ци ю на пряжени я на сетк е л а м пы, г ра фи к

к оторой и зобра жен на ри су нк е 6. Реш ени е. Ра ссм а три ва ем а я фу нк ци я на отрезк е [0,π ] опред ел яется у ра внени ем U ω t. П род ол жи в фу нк ци ю ч етным обра зом на отрезок [− π , o] (см . π пу нк ти р на ри с. 6),м ым ожем ра зл ожи ть ее в ряд Ф у рье поформ у л а м u (ω t ) =

a0 ∞ 2π f ( x) = + ∑ an cos nX , a0 = ∫ f ( x)dx, 2 n =1 π0 к оторые д л я а рг у м ента ω t при ни м а ю т ви д :

2π an = ∫ f ( x) cos nXdx n = 1,2,... , π0

a0 ∞ 2π f (ω t ) = + ∑ an cos nω t , a0 = ∫ f (ω t ) d (ω t ), 2 n =1 π0 2π a n = ∫ f (ω t ) cos nω t d (ω t ) π0

n = 1,2,...

И м еем : 2π U 2U π 2 a0 = ∫ ω t d (ω t ) = 2 = U ; a0 = U , π0π π 2

10

an =

π 2π U 2U π 2U X sin nX 1 t cos n t d ( t ) X cos nXdx ( cos ) = = + nX = ω ω ω ∫ ∫ n π0π n2 π2 0 π2 0

[

1 2U  n 0 + n 2 (cos nπ − 1)] = n 2π 2 ( −1) − 1] , 0 п р и n че т н ом,  an =  4U − n 2π 2 п р и n н е че т н ом. 

=

2U π2

или

U 4U ∞ cos nω t − или ∑ 2 π 2 n =1,3,5,... n 2 U 4U cos 3ω t cos 5ω t u (ω t ) = − − 2 (cos ω t + + + ...) 2 π 32 52

С л ед ова тел ьно,

u (ω t ) = −

П оск ол ьк у точ ек ра зрыва нет, пол у ч енный ряд д а ет зна ч ени е за д а нной фу нк ци и при л ю быхω t. С у м м а первых трехч л енов ряд а и зобра жена на ри с.7.

При м ер 4. Ра зл ожи ть в ряд Ф у рье фу нк ци ю , за д а нну ю на пол у пери од е в сег м енте X2 f ( x) = X − [0, 2] у ра внени ем 2 Реш ени е. Ф у нк ци я м ожет быть ра зл ожена в ряд Ф у рье бесч и сл енным к ол и ч еством способов. М ызд есь при вед ем д ва на и бол ее ва жных ва ри а нта ра зл ожени я. 1). Д оопред ел и м фу нк ци ю f (x) на сег м енте [− 2, 0] ч етным обра зом (ри с.8).

И м еем l = 2.

11

X 2 X3 2 2 1 2 X ) dx =  −  = , 2 2 6 0  0 3 2 1 mπ X am = ∫ ( X − X 2 ) cos dx. И нтег ри ру я поч а стям , пол у ч и м : 2 2 0 1 mπ X mπ X 2 . u = X − X 2 , dv = cos dx, du = (1 − X ) dx, v = sin ; 2 2 mπ 2 2 1 mπ X 2 2 2 mπ X 2 2 mπ X am = ( X − X 2 ) sin − ( 1 − X ) sin dx = − (1 − X ) sin dx. ∫ ∫ mπ 2 2 0 mπ 0 2 mπ 0 2 Ещ е ра з и нтег ри ру ем поч а стям : 2

a0 = ∫ ( X −

u = 1 − X , dv = cos

mπ X 2 mπ X dx, du = dx, v = − cos ; 2 mπ 2

4 mπ X am = 2 2 (1 − X ) cos 2 mπ

=−

2 0

+

2

4 mπ 2

[

2

∫ cos

0

mπ X dx = 2

]

4 4 4 cos m π − = − 1 + ( −1) m , 2 2 2 2 2 2 mπ mπ mπ

bm = 0.

И та к , 1 4 ∞ 1 + (−1) m 1 mπ X 1 8 1 1 ( − 2 ∑ cos = − cos + + X cos 2 X π π cos 3π X + ...). 2 3 π 2 22 3 π m =1 m 2 42 62 2) Д оопред ел и м фу нк ци ю f (x) на сег м енте [− 2, 0] неч етным обра зом (ри с.9): f ( x) =

1 2 mπ X 1 mπ X u = X − X 2 , dv = sin dx, X ) sin dx; 2 2 2 2 0 2 mπ X du = (1 − X ) dx, v=− cos ; mπ 2 2

bm = ∫ ( X −

12

bm = −

2 1 mπ X ( X − X 2 ) cos mπ 2 2

2 0

+

2 2 mπ X 2 2 mπ X ( 1 − X ) cos dx = (1 − X ) cos dx; ∫ ∫ mπ 0 2 mπ 0 2

mπ X 2 mπ X dx, du = −dx, v = sin ; 2 mπ 2 4 mπ X 2 4 2 mπ X bm = 2 2 (1 − X ) sin sin dx = + 2 0 m 2π 2 ∫0 2 mπ

u = (1 − X ),

=−

8 mπ 3

am = 0 И та к ,

cos 3

dv = cos

mπ X 2

2

=−

0

8 mπ 3

cos mπ + 3

8 mπ

3 3

=

8 mπ

3 3

[1 − (−1) ] ; m

(m = 0,1,2,...).

3π X 1 8 ∞ 1 − (−1) m mπ X 16 πX 1 5π X sin = 3 (sin + 3 sin + 3 sin + ...). f ( x) = 3 ∑ 2 2 2 m 2 3 5 π m =1 π При м ер 5. Ра зл ожи ть в ряд Ф у рье ф у нк ци ю д ву хпол у пери од нног о выпрям л енног оток а , г ра фи к к оторой и зобра жен на ри су нк е 10.

Реш ени е. Ф у нк ци я опред ел яется у ра внени ем i(ω t ) = I sin ω t . П ери од T = 2l = π . П род ол жи м фу нк ци ю ч етным обра зом на отрезок nπ ω t [-π ,0] . Ка к и в пред ыд у щ ем при м ере = 2nω t. l П оформ у л а м : ∞ a nπω t f (ω t ) = 0 + ∑ an cos , 2 n =1 l 2l a0 = ∫ f (ω t )d (ω t ), l0

2l nπω t an = ∫ f (ωt ) cos d (ω t ), ( n = 1,2,...) l0 l

13

пол у ч и м : a0 =

an =

π 2

π 2

2 4I 4I sin Xdx = − cos X I sin ω td (ω t ) = ∫ ∫ π /2 0 π 0 π π 2

π 2 0

=

4I , π

π 2

2 4I I sin ω t cos 2nω td (ω t ) = ∫ ∫ 2 sin X cos 2nXdx = π /2 0 2π 0

π  2 I  cos(2n + 1) X cos(2n − 1) X  2 2 I 1 1 4I 1 = − + = − = − ( ) . π  π (4n 2 − 1) 2n + 1 2n − 1  0 π 2n + 1 2n − 1 

С л ед ова тел ьно, 2 I 4 I ∞ cos 2nω t или i (ω t ) = − ∑ π π n =1 4n 2 − 1 4 I 1 cos 2ω t cos 4ω t cos 6ω t cos 8ω t i (ω t ) = ( − − − − − ...). π 2 3 3⋅5 5⋅7 7⋅9 Ра зл ожени е спра вед л и вопри л ю бом ω t. П остоянна я соста вл яю щ а я, 2I выпрям л енног оток а ра вна . π π−X При м ер 6. Ра зл ожи ть фу нк ци ю f ( x) = в пром ежу тк е (0,2π ). 2 Реш ени е. В ыч и сл яем к оэффи ци ентыряд а Ф у рье 1 2π 1 2π π − X 1 1 2 2π (π X − X ) = 0, a0 = ∫ f ( x )dx = ∫ dx = π 0 π 0 2 2π 2 0

an = −

1 2π 1 2π π − X 1 sin nX f ( x ) cos nXdx = cos nXdx = (π − X ) ∫ ∫ π 0 π 0 2 2π n

1 2nπ

2π

∫ sin nXdx = 0,

2π

−

0

( n = 1,2,3,...).

0

1 2π 1 2π π − X 1 cos nX 2π 1 2π 1 f ( x ) sin nXdx = sin nXdx = − ( π − X ) − cos nXdx = . ∫ ∫ ∫ π 0 π 0 2 2π n 2nπ 0 n 0 Та к и м обра зом , м ыпри ход и м к за м еч а тел ьном у попростоте ра зл ожени ю , сод ержа щ ем у од ни л и ш ь си ну сы: bn =

14 ∞ sin nX π −X =∑ (0 < Х > 2π ). 2 n =1 n П ри Х =0 ( и л и 2π ) су м м а ряд а ра вна ну л ю , и ра венствона ру ш а ется. Н е бу д ет ра венства и вне у к а за нног опром ежу тк а . Гра фи к су м м ыряд а S(x) состои т и з бесч и сл енног ом ножества па ра л л ел ьных отрезк ов и ряд а отд ел ьных точ ек на оси Х . (Ри с.11)

Задачи дл ясам остоятел ьног о реш ени я При м ер 1. Ра зл ожи ть фу нк ци ю f ( x ) = e ax в пром ежу тк е (0, π ) а ) в ряд пок оси ну са м и б) в ряд поси ну са м При м ер 2. Ра зл ожи ть в ряд Ф у рье фу нк ци ю , за д а нну ю в сег м енте [-π , π ] у ра внени ем f ( x ) = X 3 . При м ер 3. Ра зл ожи ть в ряд Ф у рье фу нк ци ю на пряжени я, г ра фи к к оторой и зобра жен на ри с.(12).

При м ер 4. Ра зл ожи ть в ряд Ф у рье фу нк ци ю д ву хпол у пери од ног овыпрям л енног о ток а , г ра фи к к оторой и зобра жен на ри с.(13).

При м ер 5. Ра зл ожи ть в ряд Ф у рье фу нк ци ю , за д а нну ю в сег м енте [-π , π ] та к : − 2 X , е сли − π ≤ X ≤ 0; f ( x) =   3 X , е сли 0 ≤ X ≤ π .

15

При м ер 6 Ра зл ожи ть в ряд Ф у рье пок оси ну са м в сег м енте [0, 2 ] фу нк ци ю  X , е сли 0 < X ≤ 1; f ( x) =  2 − X , е сли 1 < X ≤ 2.

e aπ − 1 e aπ − 1 2 a ∞ n Ответы : 1) a) e = + ∑ (−1) 2 2 cos nX (0 ≤ X ≤ π ), aπ π n =1 a +n 2 ∞ n б) е ax = ∑ 1 − ( −1) n e aπ 2 sin nX (0 < X < π ). π n =1 a + n2 ax

[

∞

]

12 2π 2 2). f ( x) = ∑ ( −1) ( 3 − ) sin mX . m m m =1 3). u (ω t ) =

U 2U − 4 π2

m

∞

cos nπ ω t

n =1,3,5,...

n2

∑

+

U π

(−1) n −1 ∑ n sin nπ ω t n =1 ∞

Ил и

U 2U cos 3πω t cos 5πω t − 2 (cosπω t + + + ...) + 4 π 32 52 U sin 2πω t sin 3πω t + (sin πω t − + − ...). π 2 3

u (ω t ) =

В точ к а хра зрыва ( ω t = 1, ω t = 3,...) су м м а ряд а ра вна 4). i (ω t ) = л ю бом ω t . 5). f ( x) =

+(

4I  1 ∞ cos 2nω t  Ра зл ожени е спра вед л и вопри + ∑ (−1) n −1  π  2 n =1 4n 2 − 1  5π 10 cos X cos 3 X cos 5 X − ( + + + ...) + 4 π 12 32 52

sin X sin 2 X sin 3 X − + − ...). 1 2 3

6. f ( x) =

U . 2

1 4 ∞ cos (2m + 1)π X ) − . ∑ 2 π 2 m=0 (2m + 1) 2

16

Интег рал Ф у рье Есл и f (x) за д а на и зна ч а л ьнона всей оси (-∞ , ∞ ) и не пери од и ч на на ней, тора зл ожи ть ее в ряд Ф у рье нел ьзя. Од на к о, при нек оторых пред пол ожени ях ее м ожнопред ста ви ть в ви д е нек оторог оа на л ог а ряд а Ф у рье, а и м еннов ви д е и нтег ра л а Ф у рье. Есл и f (x) у д овл етворяет у сл ови ям теорем ы1 пред ыд у щ ег ора зд ел а на л ю бом к онеч ном пром ежу тк е [− l, l ] и а бсол ю тнои нтег ри ру ем а на всей оси , тод л я нее спра вед л и ва и нтег ра л ьна я форм у л а Ф у рье: 1 +∞ +∞ ∗ f ( x ) = ∫ dλ ∫ f (u ) cos( u − λ )du , (2.1) г де π 0 −∞ е сли Х − т очка н е п р е р ы вн о ст и f ( x)  f ( x),  f ( x) =  f ( x + 0) + f ( x − 0) (2.2) − е сли Х т очка р а зр ы в а п е р в ог о р ода ,  2 ∗

Ф орм у л а (2.1), вообщ е г оворя, пол у ч а ется пред ел ьным переход ом и з ряд а Ф у рье при l → ∞ . В этом см ысл е и нтег ра л Ф у рье пони м а ю т к а к пред ел ьну ю форм у ряд а Ф у рье. И нтег ра л Ф у рье ч а стоза пи сыва ю т в к ом пл ек сной форм е: +∞ 1 +∞ ∗ f ( x) = dλ ∫ f (u ) e iλ ( u − x ) du (2.3) ∫ 2π − ∞ −∞ Ч а стои нтег ра л Ф у рье за пи сыва ю т в ви д е: +∞

f ∗ ( x ) = ∫ (a (λ ) cos λ X + b (λ ) sin λX )dλ ,

( 2.4)

0

г де

a (λ ) =

1 +∞ f (u ) cos λudu, π −∫∞

b (λ ) =

1 +∞ f (u ) sin λudu π −∫∞

При м еры задач среш ени ем П ред ста ви ть и нтег ра л ом Ф у рье сл ед у ю щ и е фу нк ци и . При м ер 1. 1, е сли X < 1; f ( x) =  0, е сли X > 1.

(2.5)

17

Реш ени е. Д а нна я фу нк ци я у д овл етворяет всем у сл ови ям теорем ы1, и сл ед ова тел ьно, ее м ожнопред ста ви ть и нтег ра л ом Ф у рье. Л ег к ови д еть, ч то b(λ ) = 0 ( в си л у ч етности фу нк ци и f (x)), а 2 +∞ 21 2 sin λ a(λ ) = ∫ f ( x) cos λ Xdx = ∫ cos λ Xdx = . π 0 π0 πλ Та к и м обра зом , 2 +∞ sin λ f ( x) = ∫ cos λXdx, X ≠ 1, ч тои требова л ось д ок а за ть. π 0 λ С л ед у ет за м ети ть, ч тов точ к а х X = ±1 ра зрыва фу нк ци и f (x) и нтег ра л Ф у рье, 1 сог л а снотеори и , ра вен . Д ействи тел ьно, поск ол ьк у 2 +∞ +∞ 2 sin λ cos λ X 1 +∞ sin λ (1 + X ) sin λ (1 − X ) d = ( d λ + λ dλ ), ∫ ∫ ∫ λ λ π 0 λ π 0 0 топри м енени е форм у л (2.2) д а ет 2 +∞ sin λ 1 cos λ X dλ = (sgn(1 + X ) + (sgn(1 − X )), ∫ π 0 λ 2 отк у д а и сл ед у ет у к а за нный резу л ьта т. (b > a ). При м ер 2. f ( x) = sgn( X − a ) − sgn( X − b) 0, е сли X < a; 1, е сли X = a;  Реш ени е. За м еч а я, ч то f ( x) = 2, е сли a < X < b; 1, е сли X = b;  0, е сли X > b, и м еем : a (λ ) =

1 +∞ 2b 2 f ( x ) cos λ Xdx = cos λ Xdx = (sin λ b − sin λ a ), ∫ ∫ π −∞ πa πλ

1 +∞ 2b 2 b(λ ) = ∫ f ( x) sin λ Xdx = ∫ sin λ Xdx = (cos λ a − cos λ b). π −∞ πa πλ С л ед ова тел ьно, и нтег ра л Ф у рье и м еет ви д :

18

2 +∞ 1 f ( x) = ∫ ((sin λ b − sin λ a ) cos λ X + (cos λ a − cos λ b) sin λ X ) dλ = π 0 λ

2 +∞ sin λ (b − X ) + sin λ ( X − a) dλ . ∫ π 0 λ В д а нном при м ере фу нк ци я f (x) совпа д а ет с ее и нтег ра л ом Ф у рье вовсех точ к а х ч и сл овой оси . 1 . a2 + X 2 Реш ени е. Ф у нк ци я f (x) при a ≠ 0 д и фференци ру ем а и а бсол ю тнои нтег ри ру ем а на и нтерва л е ( −∞,+∞). С л ед ова тел ьно, она пред ста ви м а и нтег ра л ом Ф у рье. И м еем : b(λ ) = 0 (в си л у ч етности фу нк ци и f (x)), При м ер 3. f ( x) =

a (λ ) =

2 + ∞ cos λXdx 2 = = ( X a t ) ∫ π 0 a2 + X 2 πa

+ ∞ cos (λ

∫

0

a t )dt

1+ t2

=

1 −λ a , a ≠ 0. e a

За пи ш ем теперь и нтег ра л Ф у рье д а нной фу нк ци и : 1 f ( x) = a

+∞

∫e

−λ a

cos λ xdλ ,

е сли ( a ≠ 0).

0

При м ер 4. f ( x) =

X

(a ≠ 0). a + X2 Реш ени е. Ф у нк ци я f (x) д и фференци ру ем а и не явл яется а бсол ю тнои нтег ри ру ем ой на и нтерва л е ( −∞,+∞), од на к оона и нтег ри ру ем а на нем в см ысл е г л а вног озна ч ени я Кош и . Ка к пок а за л Кош и (см ., на при м ер: Ф и хтенг ол ьц Г.М . Основым а тем а ти ч еск ог оа на л и за . Т.2, М .: Н а у к а , 1968), та к а я фу нк ци я тоже м ожет быть пред ста вл ена и нтег ра л ом Ф у рье. 2 +∞ X sin λ X Л ег к ови д еть, ч то a(λ ) = 0, а b(λ ) = ∫ 2 dx. π 0 a + X2 X Э тот и нтег ра л ра вном ерносход и тся попа ра м етру λ ≥ λ0 > 0 ( зд есь 2 a + X2 x 2 м онотоннострем и тся к ну л ю при X → +∞, a ∫ sin λ td t ≤ ). С л ед ова тел ьно, λ0 0 ег ом ожнора ссм а три ва ть к а к прои звод ну ю (с точ ностью д озна к а ) от фу нк ци и a(λ ) пред ыд у щ ег опри м ера , т.е. 2

19

2 +∞ cos λ Xdx ' −λ a b( λ ) = −( ∫ 2 )λ = e . 2 π 0 a +X

И нтег ра л Ф у рье ф у нк ци и

X a +X 2

2

и м еет ви д :

+∞

∫e

−λ a

sin λ Xdλ

(a ≠ 0).

0

−α X

При м ер 5. f ( x) = e (α > 0). Реш ени е. Ра ссм а три ва ем а я фу нк ци я непрерывна , д и фференци ру ем а всю д у , за и ск л ю ч ени ем точ к и Х =0, и а бсол ю тнои нтег ри ру ем а на всей ч и сл овой оси . С л ед ова тел ьно, она пред ста ви м а и нтег ра л ом Ф у рье. П оск ол ьк у ф у нк ци я f (x) ч етна я, тоb(λ ) = 0, а 2 −∞ −α X 2α e cos λ Xdx = . ∫ π 0 π (α 2 + λ2 ) Та к и м обра зом , и ск ом ое пред ста вл ени е д а нной фу нк ци и и нтег ра л ом Ф у рье и м еет ви д a (λ ) =

e

−α X

2α +∞ cos λ X dλ = ∫ π 0 α 2 + λ2

(α > 0).

При м еры дл ясам остоятел ьног о реш ени я П ред ста ви ть и нтег ра л ом Ф у рье сл ед у ю щ и е фу нк ци и :  X h (1 − ), При м ер 1. f ( x) =  a 0, 

е сли Х ≤ а; е сли Х > a.

sin X , е сли Х ≤ π ; При м ер 2. f ( x) =   0, е сли X > π . π  е сли X ≤ ; cos X , 2 При м ер3. f ( x) =  π  0, е сли X > .  2 2π n  A sin ω t , е сли t ≤ ;  ω f ( x) =  При м ер4. 2π n 0, е сли t > .  ω При м ер 5.

f ( x) = e

−α X

sin β X

(α > 0).

20

, +∞ Ответы : 1) f ( x) = 2h 1 − cos aλ cos λXdλ ∫ λ2 πa 0

2 ∞ sin λ π sin λ Xdλ ∫ π 0 1 − λ2 λπ cos 2 +∞ 2 cos λ Xdλ . 3). f ( x) = ∫ π 0 1 − λ2 2). f ( x) =

4). f (t ) =

2 Aω π

+∞

∫

0

4α β 5). f ( x) = π

+∞

∫

0

2π n λ ω sin λ tdλ . 2 λ −ω 2

sin

λ sin λ X dλ . (α > 0). (λ − β ) + α 2 ⋅ (λ + β ) 2 + α 2

[

2

][

]

Преобразовани я Ф у рье И нтег ра л Ф у рье (2.3) м ожноперепи са ть в ви д е: 1 +∞ − i λ X 1 +∞ ∗ f ( x) = e dλ ( f (u )e i λ u du ) (3.1) ∫ ∫ 2π − ∞ 2π − ∞ Ра ссм отри м и нтег ра л ы +∞ 1 +∞ − i λ X iλu ∗ 1 F (λ ) = f (u ) e du и f ( x) = F (λ )dλ (3.2) ∫e 2π ∫ 2 π −∞ −∞ П ервый и з ни х на зыва ется прям ым преобра зова ни ем Ф у рье фу нк ци и f (u ) (а F (λ ) − обра зом Ф у рье f (u )) , второй - обра тным преобра зова ни ем Ф у рье (а f (u ) − прообра зом ). Есл и f (u ) − ч етна я фу нк ци я, то 2 +∞ 2 +∞ F (λ ) = f (u ) cos λ udu , а f (u ) = F (λ ) cos λ udλ (3.3) π ∫0 π ∫0 F (λ ) и f (u ) на зыва ю тся к оси ну с преобра зова ни ям и Ф у рье (прям ым и обра тным соответственно). Есл и f (u ) − неч етна я ф у нк ци я, тои м еем си ну с - преобра зова ни я Ф у рье (прям ое и обра тное):

21

2 +∞ F (λ ) = ∫ f (u ) sin λ udu и π 0

2 +∞ f (u ) = ∫ F (λ ) sin λ udλ π 0

(3.4) ∧

За м еч а ни е. Ф у нк ци ю F (λ ) ч а стообозна ч а ю т f (λ ) и л и

f (λ ).

При м еры задач среш ени ям и 1 +∞ Н а йти преобра зова ни е Ф у рье F ( x) = f (t ) e − i t x dt д л я фу нк ци и ∫ 2π − ∞ f (t ), есл и : При м ер1. f ( x) = e

−α x

(α > 0).

Реш ени е. П од ста вл яя д а нну ю фу нк ци ю в у к а за нну ю форм у л у преобра зова ни я, пол у ч а ем : F ( x) = =

1 2π

+∞

∫

e

−α t − i t x

dt =

−∞

1 2π

+∞

∫

e

−α t

cos tXdt −

−∞

2 + ∞ −α t 2 α cos tXdt = e ∫ π 0 π α 2 + t2

+∞

i 2π

∫e

−α t

sin tXdt =

−∞

(α > 0).

−α x

При м ер 2. f ( x) = xe (α > 0). Реш ени е. Ка к и в пред ыд у щ ем при м ере, на ход и м : F ( x) = = −i

1 2π

+∞

∫

te

−α t − i t x

dt =

−∞

1 2π

+∞

+∞

∫

te

−α t

cos tXdt −

−∞

2 8 αx te −α t sin tXdt = −i ∫ 2 π 0 π (x + α 2 )2

i 2π

+∞

∫ te

−α t

sin tXdt =

−∞

(α > 0).

За м ети м , ч топосл ед ни й и нтег ра л м ожнопол у ч и ть д и фференци рова ни ем и нтег ра л а и з пред ыд у щ ег опри м ера попа ра м етру х (д и фференци рова ни е под зна к ом и нтег ра л а спра вед л и вов си л у ра вном ерной сход и м ости и нтег ра л а +∞

∫ te

−α t

sin tXdt относи тел ьнох).

0

При м ер3. Н а йти к оси ну с- и си ну с- преобра зова ни я ф у нк ци и f ( x) = e − x ( x ≥ 0). Реш ени е. И м еем

fc ( z) =

2 +∞ − u e cos zudu. Та к к а к π ∫0

+∞

∫e 0

−u

cos zudu =

1 , z2 +1

22

2 1 2 z . Ана л ог и ч нопол у ч а ем f s ( z ) = . 2 π z +1 π z2 + 1 В свою оч еред ь, при м ени в к оси ну с- и си ну с- преобра зова ни я Ф у рье к фу нк ци ям f c ( z ) и f s ( z ), пол у ч и м ф у нк ци ю f (x), т.е.

то f c ( z ) =

2 +∞ cos zX 2 +∞ z sin zX −x dz = e , dz = e − x . ∫ ∫ 2 2 π 0 z +1 π 0 z +1 Отсю д а пол у ч а ем и нтег ра л ыЛ а пл а са : +∞

∫

0

π cos zX dz = e − x , 2 2 z +1

+∞

∫

0

π z sin zX dz = e − x . 2 2 z +1

При м ер 4. П у сть фу нк ци я f (x) опред ел ена ра венства м и 1, е сли 0 ≤ x < a;  1 f ( x) =  , е сли x = a; 2 0, е сли x > a. Н а йти ее к оси ну с- и си ну с- преобра зова ни я ( ри с. 14).

Реш ени е. Н а ход и м к оси ну с- преобра зова ни е д а нной ф у нк ци и : fc (z) =

2 +∞ 2a 2 +∞ f ( u ) cos zudu = cos zudu + 0 ⋅ cos zudu = π 0∫ π 0∫ π a∫

2a 2 sin az cos zudu = . ∫ π0 π z Н а йд ем теперь си ну с- преобра зова ни е: =

2 +∞ 2a 2∞ f s ( z) = f (u ) sin zudu = sin zudu + 0 ⋅ sin zudu = π ∫0 π ∫0 π a∫ 2a 2 1 − cos az = sin zudu = ⋅ . ∫ π0 π z Отсю д а пол у ч а ем

23

1, е сли 0 ≤ x < a;  1 2 + ∞ sin az = cos Xzdz  , е сли x = a; ∫ π 0 z 2 0, е сли x > a.

(ра зрывный м ножи тел ь Д и ри хл е) и

2 π

+∞

∫

0

1, е сли 0 ≤ x < a;  1 1 − cos az sin Xzdz =  , е сли x = a; z 2 0, е сли x > a.

При м еры дл ясам остоятел ьног о реш ени я Н а йти преобра зова ни я Ф у рье д л я ф у нк ци и cos( X / 2), При м ер 1. f ( x) =  е сли 0,

При м ер 2.

При м ер 3. При м ер 4. При м ер 5.

− e x ,  f ( x) =  e − x ,  0, f ( x) = e f ( x) = e

−

x2 2

−

x2 2

е сли

x π.

е сли − 1 ≤ x < 0; е сли 0 ≤ x ≤ 1; е сли

x > 1.

cosα X .

Н а йти си ну с- и к оси ну с- преобра зова ни я Ф у рье фу нк ци и  − 1,   f ( y ) =  0,    1,

1 е сли − 1 ≤ x ≤ − ; 2 1 1 е сли − ≤ x < ; 2 2 1 е сли ≤ x ≤ 1. 2

24

1 4 ⋅ cos π z 2π 1 − 4 z 2 2i ze − sin z − z cos z 2) F ( z ) = . 2π e(1 + z 2 )

Ответы : 1) F ( z ) =

3) F ( z ) = e

−

z2 2. −

z 2 +α 2 2 chα

4)

F ( z) = e

5)

sin z − sin ( z / 2) ⋅ z cos ( z / 2) − cos ( z ) f s ( z) = z fc ( z) =

z. 2 , π 2 . π

С пек трал ьнаяхарак тери сти к а (спек тр) ф у нк ци и Вернем ся к первом у и нтег ра л у в форм у л е (3.2). П рям ое преобра зова ни е Ф у рье фу нк ци и и г ра ет бол ьш у ю рол ь в ра д и офи зи к е. Зд есь при нято перем енные x,λ , F обозна ч а ть u = x = t , λ = ω , F (λ ) = S (ω ). С а м у фу нк ци ю f (t ) на зыва ю т си г на л ом . Теперь прям ое преобра зова ни е Ф у рье (3.2) при ни м а ет ви д S (ω ) =

1 2π

+∞

∫

f (t )ei ω t dt

−∞

(и ног д а S (ω ) =

1 2π

+∞

∫ f (t )e

−i ω t

dt )

(4.1)

−∞

и на зыва ю т спек тра л ьной ха ра к тери сти к ой (и л и спек тром ) си г на л а . Ф у нк ци ю S (ω ) на зыва ю т а м пл и ту д ным спек тром , а са м у S (ω ) - ч а стотно- фа зовым спек тром . При м еры среш ени ем В к а ч естве при м еров при м енени я и нтег ра л а Ф у рье ра ссм отри м спек тры нек оторыхфу нк ци й. При м ер 1. С пек тр ед и ни ч ног оск а ч к а . Ед и ни ч ный ск а ч ок опред ел яется у ра внени ям и 1, е сли t ≥ 0; f (t ) =  0, е сли t < 0.

25

(см . ри с.15). Та к к а к д л я этой фу нк ци и

∞

∫

f (t ) dt → ∞, тоформ у л а (4.1) (она

0

м ожет быть ещ е в ви д е S (ω ) =

+∞

∫ f (t )e

−i ω t

dt ) не

−∞

м ожет быть при м енена непосред ственно. Ч тобыобойти этоза тру д нени е, ра ссм отри м вм есто f (t ) ф у нк ци ю f (t )e −α t при α → 0. П од ста вл яя f (t )e −α t в форм у л у (4.1) и за м еч а я, ч то f (t ) = 1 при t ≥ 0 и f (t ) = 0 п р и t < 0, пол у ч и м ∞

S (ω ) = lim ∫ e α →0

−α t − i ω t

e

dt = lim ∫ e − (α + iω ) t dt = α →0

0

e − (α + i ω ) t = lim α → 0 − (α + iω ) И м еем , сл ед ова тел ьно,

∞

∞ 0

0

π

1 1 i −i = lim = =− e 2. α →0 α + iω iω ω

π

1 −i S (ω ) = e 2 , отк у д а на ход и м м од у л ь и фа зу : ω 1 π S (ω ) = ; ϕ (ω ) = . Гра фи к и эти хфу нк ци й и зобра женына ри с.16. ω 2

При м ер 2. С пек тр прям оу г ол ьног ои м пу л ьса . П рям оу г ол ьный и м пу л ьс (см . ри с. 17) высотой h и д л и тел ьностью τ за д а н π π  0 , п р и t < 2 и t > 2 , у ра внени ям и : f (t ) =  π π h , п р и − 0, α > 0, f ( x) =  п р и X < 0. 0 ,

28

Ответы .

1). S (ω ) =

2 i sin ω ( − 1). ω ω

2). S (ω ) =

1 2π α + ω 2

2

.