Алгебра и логика, 43, N 3 (2004), 353—363
УДК 512.540+510.5
О КОНСТРУКТИВНЫХ МАТРИЧНЫХ И УПОРЯДОЧИВАЕМЫХ ГРУППАХ∗) В. А. РОМАНЬКОВ, Н. Г. ХИСАМИЕВ Введение
Изучение конструктивных групп начато в [1], где А. И. Мальцев описал все конструктивизируемые абелевы группы без кручения ранга 1 и поставил общую задачу ”определить, какие конструктивные нумерации допускают те или иные абстрактно заданные группы“. Ю. Л. Ершов [2] доказал, что конструктивизация локально нильпотентной группы без кручения продолжается единственным образом до ее пополнения. С. С. Гончаров [3] дал описание автоустойчивых абелевых p-групп. В. П. Добрица [4] охарактеризовал конструктивизируемые абелевы группы без кручения конечных рангов, А. Т. Нуртазин [5] установил, что фактор-группа конструктивизируемой абелевой группы по ее периодической части конструктивизируема. Н. Г. Хисамиев [6] предложил критерий конструктивизируемости абелевой p-группы конечного ульмового ранга. Основы теории конструктивных моделей изложены в [7, 8], общие теоретико-групповые факты содержатся в [9]. В первом параграфе настоящей работы изучается связь между конструктивизациями коммутативного ассоциативного кольца K с единицей и конструктивизациями матричных групп GLn (K), SLn (K) и U Tn (K). Во ∗)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-
ных исследований, проект N 01.01.00674, и Фонда науки МОИН РК, грант N 1-1-1.31(71).
c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005
354
В. А. Романьков, Н. Г. Хисамиев
втором параграфе рассматриваются конструктивные упорядоченные группы.
§ 1. О конструктивных матричных группах Пусть K — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Как обычно, GLn (K) — группа всех обратимых (SLn (K) — специальных, U Tn (K) — унитреугольных) матриц степени n над K. Для определенности считаем, что U Tn (K) — группа верхних унитреугольных матриц. Пусть вначале G = U Tn (K). Через Ci (i = 0, 1, . . .) обозначается i-й гиперцентр группы G, т. е. C0 = 1, C1 — центр группы G, Ci+1 — полный прообраз в G центра группы G/Ci (i = 0, 1, . . .). На самом деле хорошо известно и легко доказывается (см., напр., [9]), что Ci состоит из матриц, имеющих в точности n−i−1 (i = 1, 2, . . . , n−1) нулевых побочных диагоналей, начиная от главной. Значит, Cn−1 = G. Тогда справедливо ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Если группа G = U Tn (K) конструктивна, то любой ее гиперцентр Ci (i = 0, 1, . . . , n − 1) вычислим. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Известно, что в группе G гиперцентры совпадают с соответствующими членами нижнего центрального ряда γ1 G = G, γi+1 G = [γi G, G], i = 1, 2, . . . , n − 1, а именно: Ci = γn−i G, i = 0, 1, . . . , n − 1. Поэтому каждая группа Ci вычислимо перечислима как вербальная подгруппа. Индукцией по i покажем, что для любого числа i = 0, 1, . . . , n − 1 дополнение G \ Ci подгруппы Ci в группе G также вычислимо перечислимо. Пусть уже установлено, что множество G\Ci вычислимо перечислимо. В силу эквивалентности X ∈ G \ Ci+1 ⇔ ∃Y ∈ G(X −1 Y −1 XY ∈ G \ Ci ) множество G \ Ci+1 вычислимо перечислимо. По теореме Поста получаем требуемое. Заметим, что группа U T2 (K) изоморфна аддитивной группе кольца K, поэтому конструктивизируемость первой равносильна конструктивизируемости второй. В общем случае из конструктивизируемости U T2 (K) не
О конструктивных матричных и упорядочиваемых группах
355
следует конструктивизируемость K. Действительно, в [10] доказано, что поле примитивно рекурсивных вещественных чисел не конструктивизируемо. Аддитивная группа этого поля является делимой абелевой группой без кручения. Поэтому она конструктивизируема. ТЕОРЕМА 1. Группа G = U Tn (K) всех унитреугольных матриц степени n > 3 над коммутативным ассоциативным кольцом K с единицей конструктивизируема тогда и только тогда, когда кольцо K конструктивизируемо. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Легко проверить, что любая конструктивизация кольца K естественным образом определяет конструктивизацию группы G. Пусть, наоборот, группа G конструктивизируема. Воспользуемся аналогом соответствия Мальцева между группами и кольцами из [11]. Пусть (G, ν) — конструктивная группа. По предложению 1 ее (n − 3)-й гиперцентр Cn−3 вычислим. Поэтому существует такая конструктивная нумерация ν фактор-группы G = G/Cn−3 , что для естественного гомоморфизма ϕ : G → G выполняется равенство ϕνn = νn. Рассуждения проводятся внутри нумерованной группы (G, ν), которая обозначается через G. В этих случаях смежные классы обозначаются как и их представители, а равенство матриц рассматривается по модулю подгруппы Cn−3 . Определим подгруппы Gi (i = 1, 2), H и установим ряд свойств, аналогичных ключевым свойствам из [11]. 1. Группа G конструктивна и 2-ступенно нильпотентна. Пусть A —клетка Жордана порядка n − 2 с единицей кольца K по диагонали и
A1 =
0
0
0 0 , где C1 = . ... ... E 1 0
A C1 0
Из прямых вычислений следует, что матрица, перестановочная с A1 в группе G, имеет вид
356
В. А. Романьков, Н. Г. Хисамиев
Bx =
B
x
Yx
0
E
,
где
∗ ∗
1 x ∗
∗
∗ ∗ 1 x ∗ x Yx = . . . .. . , B = ∗ ∗ 1 x x ∗ 0 1
.
Рассмотрим матрицу E D1 0 0 ... 0 , где D1 = . A2 = 0 A 1 0 ... 0 Как и выше, матрица, перестановочная с A2 в G, имеет вид ∗ ∗ ... ∗ E Zx , где Zx = . Cx = x x ∗ ... ∗ 0 B Пусть Gi — централизатор матрицы Ai (i = 1, 2) в группе G. Легко проверить, что справедливы следующие свойства. 2. Gi — абелева подгруппа в G. T 3. Пересечение G1 G2 есть центр группы G.
Пусть подгруппа H группы G состоит из матриц вида 1 0 x ∗ 1 0 0 . . . . . Dx = 1 0 0 1 0 x 1 0 0 1 Справедливость следующих свойств также проверяется без труда. 4. Подгруппа H содержится в центре группы G.
О конструктивных матричных и упорядочиваемых группах
357
5. Для каждого элемента Dx ∈ H существуют элементы X1 ∈ G2 , X2 ∈ G1 такие, что −1 A−1 i Xi Ai Xi = Dx , i = 1, 2.
Для проверки свойства 5 достаточно положить X1 = C x , X2 = B −x . Определим операции + и × для произвольных элементов Dh1 , Dh2 ∈ ∈ H, положив D h 1 + D h 2 = D h 1 D h2 ,
(1)
Dh1 × Dh2 = X1−1 X2−1 X1 X2 ,
(2)
где X1 , X2 — элементы из G, которые удовлетворяют условиям −1 X1 A2 = A2 X1 , X2 A1 = A1 X2 , A−1 i Xi Ai Xi = Dhi .
Используя свойства 1—5, аналогично работе [11] доказывается, что операция умножения определена корректно, а множество H относитель−1
но введенных операций является кольцом с единицей A−1 2 B −1 A2 B −1 , изоморфным кольцу K. Так как подгруппа Gi (i = 1, 2) вычислимо перечислима в G, то из свойства 5 следует, что подгруппа H также вычислимо перечислима. В силу свойства 5 и равенств (1), (2) операции + и × вычислимы. Поэтому кольцо H, а следовательно, и кольцо K, конструктивизируемы. Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Теорема 1 остается справедливой, если ослабить требование на кольцо K, убрав условие его коммутативности. Доказательство от этого не изменяется. Правда, свойство 2 при этом перестает быть верным, и в общем случае подгруппы Gi (i = 1, 2) не будут абелевы. Пусть теперь G = GLn (K) — группа всех обратимых матриц порядка n > 3 над K. Непосредственные вычисления показывают, что централизатор трансвекции tij состоит из тех и только тех матриц A = (aij ), у которых ajl = ati = 0, если l 6= j, t 6= i, и ajj = aii , i, j ∈ {1, 2, . . . , n}. Поэтому в группе G справедливы равенства C(t12 , . . . , t1n , t2n , . . . , tn−1n ) = {αt1n (x) : α ∈ K ∗ , x ∈ K},
358
В. А. Романьков, Н. Г. Хисамиев C(tn1 , . . . , tnn−1 , t31 , . . . , tn−11 , t12 ) = {βtn2 (y) : β ∈ K ∗ , y ∈ K}. Следовательно, подгруппа G1 = T12 = {t12 (z) = [αt1n (z), tn2 ] : z ∈ K}
группы U Tn (K) является вычислимой. Аналогично устанавливается вычислимость подгруппы G2 = T2n = {t2n (z) : z ∈ K}. Далее получаем вычислимость подгруппы H = T1n = {t1n (z) : z ∈ ∈ K}, при этом выполняется равенство H = [G1 , G2 ]. ТЕОРЕМА 2. Группа G = GLn (K) (SLn (K)) всех матриц (определителя 1) степени n > 3 над коммутативным ассоциативным кольцом K с единицей конструктивизируема тогда и только тогда, когда кольцо K конструктивизируемо. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Легко проверяется, что любая конструктивизация кольца K естественным образом определяет конструктивизацию группы G. Пусть, наоборот, группа G конструктивизируема. Опять воспользуемся аналогом соответствия Мальцева между группами и кольцами из [11]. Пусть (G, ν) — конструктивная группа. Из приведенных выше рассуждений следует, что группа G = гр(G1 , G2 ) вычислима. Очевидно, что она изоморфна группе U T3 (K). Поэтому кольцо K конструктивизируемо. Теорема доказана.
§ 2. О конструктивных упорядоченных группах Пусть hA, ≤i — упорядоченная группа, а ν : ω → A — ее нумерация. Система hA ≤, νi называется упорядоченно конструктивной, если существует алгоритм, который по любым числам n, m, s ∈ ω определяет, верны ли соотношения νn.νm = νs, νn ≤ νm в группе A. Группа A называется упорядоченно конструктивизируемой, если существуют упорядочение ≤ и нумерация ν группы A такие, что hA, ≤, νi является упорядоченно конструктивной группой.
О конструктивных матричных и упорядочиваемых группах
359
В этом параграфе рассматривается вопрос, какие группы являются упорядоченно конструктивизируемыми. Доказывается, что таковыми будут конструктивизируемые абелевы группы без кручения, конечно порожденные нильпотентные группы без кручения, свободные нильпотентные группы, группа U Tn (K) всех унитреугольных матриц степени n над конструктивизируемым упорядоченным ассоциативным коммутативным кольцом K с единицей. Также устанавливается: если фактор-группа G/C конструктивизируемой группы G по центру C = C(G) конечно порождена, то центр C вычислим, а сама фактор-группа G/C конструктивизируема. Все используемые и неопределяемые понятия можно найти в [7—9]. Упорядоченно конструктивизируемые группы до сих пор мало исследованы. Из близких результатов отметим доказанное Ю. Л. Ершовым существование линейно упорядоченного конструктивного поля, на котором нет конструктивного упорядочения (см. [8, предлож. 2.3.1]). ТЕОРЕМА 3. Конструктивизируемая абелева группа без кручения A является упорядоченно конструктивизируемой. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме Добрицы–Нуртазина [4, 5] существует такая конструктивизация ν группы A, что в (A, ν) имеется вычислимо перечислимый базис a0 , a1 , . . . . Тогда любой x ∈ A имеет единственное представление вида x = n0 a0 + . . . + nk ak /m, где m, nk 6= 0, ni ∈ Z, m ∈ ω, (n0 , . . . , nk , m) = 1. Полагаем, что x > 0, если первый отличный от нуля коэффициент ni больше 0. Легко проверить, что это отношение определяет порядок, а система hA, ≤, νi является упорядоченно конструктивной группой. Теорема доказана. ТЕОРЕМА 4. Пусть K — упорядоченно конструктивизируемое ассоциативное коммутативное кольцо с 1. Тогда для любого ненулевого n ∈ ω группа U Tn (K) всех унитреугольных матриц степени n над K упорядоченно конструктивизируема. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть hK, ≤, νi — упорядоченно конструктивное кольцо. Через µ обозначается естественная нумерация группы U Tn (K), полученная из нумерации ν. Ясно, что hU Tn (K), µi — конструктивная группа. Определим порядок на группе U Tn (K) следующим образом. Пусть
360
В. А. Романьков, Н. Г. Хисамиев
дана матрица A=e+
X
dij (αij )
(3)
j>i
степени n, где dij (αij ) — матрица, у которой на i-й диагонали справа от главной диагонали в j-м столбце находится элемент αij , а остальные элементы — нули. Иногда, когда не возникает двусмысленность, вместо dij (αij ) будем записывать dij (α). Заметим, что матрицы dij хотя и являются матричными единицами в обычном понимании, но отличаются от них способом выбора индексов, более естественным для групп унитреугольных матриц. Упорядочим все пары натуральных чисел лексикографически, т. е. полагаем (i, j) < (s, t) тогда и только тогда, когда i < s или i = s, j < t. Пусть (r, m) — наименьшая пара такая, что αrm 6= 0. Положим A > e ⇔ αrm > 0.
(4)
Пару (r, m) и соответствующую r-ю диагональ назовем лидирующими. Обозначим это как l(A) = (r, m), L(A) = r. Достаточно показать, что для множества P = {A ∈ U Tn (K) : A > e} справедливы свойства: a) P · P ⊆ P , b) P ∩ P −1 = e, c) B −1 P B ⊆ P , d) P ∪ P −1 = U Tn (K). Свойства ”b“, ”d“ очевидны. a) В первом параграфе определено строение нижнего центрального ряда группы U Tn (K), элементы которого соответствуют побочным диагоналям. Пусть A, B ∈ P, (r, m) = l(A), (s, t) = l(B) и AB = e +
X
dij (γij ).
(5)
j>i
Если r 6= s, то лидирующая диагональ матрицы AB совпадает с той лидирующей диагональю из L(A), L(B), которая имеет наименьший номер. Если r = s, то лидирующая диагональ матрицы AB является суммой лидирующих диагоналей L(A), L(B). В любом случае очевидно, что AB ∈ P . c) Так как члены нижнего центрального ряда группы U Tn (K) инвариантны относительно сопряжений, лидирующая диагональ матрицы
О конструктивных матричных и упорядочиваемых группах
361
A ∈ P при сопряжении B −1 AB остается неизменной. Следовательно, B −1 AB ∈ P . Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ 1. Любая конечно порожденная нильпотентная группа без кручения упорядоченно конструктивизируема. Действительно, пусть G — конечно порожденная нильпотентная группа без кручения. Известно (см. [9]): существует такое число n, что G изоморфна некоторой подгруппе группы U Tn (Z) над кольцом Z целых чисел. Отсюда по теореме 4 получаем требуемое. СЛЕДСТВИЕ 2. Свободная нильпотентная группа с не более чем счетным числом порождающих упорядоченно конструктивизируема. Пусть G — свободная нильпотентная группа ступени s − 1 со счетi , α i , . . . , αi , ным числом свободных порождающих g0 , g1 , . . . . Пусть α12 13 1s
i ∈ ω, — алгебраически независимые вещественные числа. Тогда кольцо 0 , . . . , α0 , α1 , . . .] упорядоченно конструктивизируемо. Известно K = [α12 12 1s
[12], что отображение f : G → U Ts (K), где i 0 1 α12 i 1 α13 1 . f (gi ) = . . . . i . α1s 0
1
, i = 0, 1, . . . ,
является вложением. По теореме 4, hU Ts (K), ≤, µi – упорядоченно конструктивная группа. Подгруппа f G вычислимо перечислима в hU Ts (K), ≤, µi. Тогда группа G упорядоченно конструктивизируема. Пусть (G, ν) — нумерованная группа. Через Gν обозначается обогащение группы G константами ci , i ∈ ω, где νi = ci . Открытую диаграмму модели Gν обозначим через OD(Gν ). Если множество A (⊆ ω) T -сводится к OD(Gν ), то будем говорить, что оно Gν -рекурсивно. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть (G, ν) — нумерованная группа, а фактор-группа G/C группы G по ее центру C = C(G) конечно порождена. Тогда подгруппа C является Gν -рекурсивной.
362
В. А. Романьков, Н. Г. Хисамиев ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что фактор-группа G/C порожде-
на элементами a1 , . . . , an , где ai ∈ G. Справедлива эквивалентность x ∈ C ⇔ xa1 = a1 x ∧ xa2 = a2 x ∧ . . . ∧ xan = an x.
(6)
Действительно, необходимость очевидна. Пусть теперь для элемента x справедлива правая часть эквивалентности (6). Группа G порождена элементами a1 , . . . , an и элементами центра C. Так как элемент x перестановочен с каждым из них, он перестановочен с любым элементом группы G. Правая часть эквивалентности (6) Gν -рекурсивна. Отсюда получаем требуемое. СЛЕДСТВИЕ 3. Пусть (G, ν) — конструктивная группа, а фактор-группа G/C группы G по центру C = C(G) конечно порождена. Тогда центр C вычислим в (G, ν) и, следовательно, группа G/C конструктивизируема.
ЛИТЕРАТУРА 1. А. И. Мальцев, О рекурсивных абелевых группах, Докл. АН СССР, 146, N 5 (1962), 1009—1012. 2. Ю. Л. Ершов, Существование конструктивизаций, Докл. АН СССР, 204, N 5 (1972), 1041—1044. 3. С. С. Гончаров, Автоустойчивость модели и абелевых p-групп, Алгебра и логика, 19, N 1 (1980), 23—44. 4. В. П. Добрица, О конструктивизациях абелевых групп, Сиб. матем. ж., 22, N 3 (1981), 208—213. 5. А. Т. Нуртазин, Вычислимые классы и алгебраические критерии автоустойчивости, Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук, Алма-Ата, 1974. 6. Н. Г. Хисамиев, Конструктивные абелевы p-группы, Докл. АН СССР, 313, N 6 (1990), 1365—1367. 7. Ю. Л. Ершов, Проблемы разрешимости и конструктивные модели, М., Наука, 1980. 8. С. С. Гончаров, Ю. Л. Ершов, Конструктивные модели (Сибирская школа алгебры и логики), Новосибирск, Научная книга (НИИ МИОО НГУ), 1996.
О конструктивных матричных и упорядочиваемых группах
363
9. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, 4-е изд., М., Наука, 1996. 10. Н. Г. Хисамиев, Неконструктивизируемость некоторых упорядоченных полей вещественных чисел, Сиб. матем. ж., 28, N 5 (1987), 193—195. 11. А. И. Мальцев, Об одном соответствии между кольцами и группами, в сб. ”Избранные труды“, т. 2: Математическая логика и общая теория алгебраических систем, М., Наука, 1976, 120—129. 12. Н. С. Романовский, Базы тождеств некоторых матричных групп, Алгебра и логика, 10, N 4 (1971), 401—406.
Поступило 5 июня 2002 г. Адреса авторов: РОМАНЬКОВ Виталий Анатольевич, пр. Мира, д. 55-В, кв. 27, г. Омск, 644077, РОССИЯ. e-mail:
[email protected] ХИСАМИЕВ Назиф Гарифуллинович, пр. Ленина, д. 51, кв. 316, г. УстьКаменогорск, 492010, КАЗАХСТАН. e-mail:
[email protected] 