ОБЩАЯ ФИЗИКА РУКОВОДСТВО ПО ЛАБОРАТОРНОМУ ПРАКТИКУМУ Учебное пособие Под редакцией И.Б. Крынецкого и Б.А. Струкова
Допу...
54 downloads
252 Views
10MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ОБЩАЯ ФИЗИКА РУКОВОДСТВО ПО ЛАБОРАТОРНОМУ ПРАКТИКУМУ Учебное пособие Под редакцией И.Б. Крынецкого и Б.А. Струкова
Допущено Научно-методическим советом по физике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по естественно-научным, техническим и педагогическим направлениям и специальностям
Москва ИНФРА-М 2008
УДК 53(075.8) ББК 22.3я73 О28 Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. С.Д. Бенеславский (зав. кафедрой физики Академии ФСБ); д-р физ.-мат. наук, проф. Ю.К. Фетисов (МИРЭА — Технический университет).
О28
Общая физика: руководство по лабораторному практикуму: Учеб. пособие / Под ред. И.Б. Крынецкого и Б.А. Струкова. — М.: ИНФРА-М, 2008. — 599 с. — (Высшее образование). ISBN 978-5-16-003288-7 Содержит подробное описание 66 лабораторных работ по всем основным разделам курса общей физики: механика, молекулярная физика, электричество и магнетизм, оптика, строение вещества, в том числе атомная физика и физика твердого тела. Для студентов вузов и преподавателей кафедр общей физики при организации лабораторного практикума. ББК 22.3я73
ISBN 978-5-16-003288-7
© Коллектив авторов, 2008
ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ Ïðåäëàãàåìàÿ âíèìàíèþ ÷èòàòåëåé íàñòîÿùàÿ êíèãà ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì ìíîãîëåòíåé ðàáîòû êîëëåêòèâà ñîòðóäíèêîâ êàôåäðû îáùåé ôèçèêè è ìàãíèòîóïîðÿäî÷åííûõ ñðåä ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà ïî ñîçäàíèþ ëàáîðàòîðíîãî ôèçè÷åñêîãî ïðàêòèêóìà äëÿ ñòóäåíòîâ íåôèçè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé óíèâåðñèòåòîâ. Ñîçäàíèå ïðàêòèêóìà ñòàâèëî ñâîåé öåëüþ, âî-ïåðâûõ, îáåñïå÷åíèå âîçìîæíîñòè ñàìîñòîÿòåëüíîé ýêñïåðèìåíòàëüíîé ïðîâåðêè ñòóäåíòàìè îñíîâíûõ ôèçè÷åñêèõ çàêîíîìåðíîñòåé è, âî-âòîðûõ, îáó÷åíèå ñòóäåíòîâ íàâûêàì ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû íà ýêñïåðèìåíòàëüíûõ óñòàíîâêàõ.  ñîîòâåòñòâèè ñ äåéñòâóþùåé â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðîãðàììîé ïî îáùåé ôèçèêå äëÿ óêàçàííûõ ñïåöèàëüíîñòåé çàäà÷è ëàáîðàòîðíîãî ïðàêòèêóìà ñãðóïïèðîâàíû â ïÿòè ðàçäåëàõ: Ìåõàíèêà Ýëåêòðè÷åñòâî è ìàãíåòèçì Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà Îïòèêà Ñòðîåíèå âåùåñòâà.  ñâîþ î÷åðåäü, êàæäûé ðàçäåë ïðàêòèêóìà ñîäåðæèò çàäà÷è, îòíåñåííûå ê ðàçëè÷íûì òåìàì. Âñåãî ëàáîðàòîðíûé ïðàêòèêóì ñîäåðæèò 66 çàäà÷. Äëÿ óäîáñòâà ñòóäåíòîâ âñå çàäà÷è ïîìèìî äåòàëüíîãî îïèñàíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ óñòàíîâîê è ïðîöåññà âûïîëíåíèÿ ñîïðîâîæäàþòñÿ äîñòàòî÷íî ïîäðîáíûì âûâîäîì îñíîâíûõ ñîîòíîøåíèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ àíàëèçà èçó÷àåìûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Ëàáîðàòîðíûé ïðàêòèêóì íà êàôåäðå îáùåé ôèçèêè è ìàãíèòîóïîðÿäî÷åííûõ ñðåä íåïðåðûâíî ñîâåðøåíñòâóåòñÿ â òå÷åíèå áîëåå 50 ëåò, â ñâÿçè ñ ÷åì ýêñïåðèìåíòàëüíûå óñòàíîâêè óñëîâíî ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå ãðóïïû. Ê ïåðâîé îòíîñÿòñÿ çàäà÷è, â êîòîðûõ ñòóäåíòû èìåþò âîçìîæíîñòü ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðîñòåéøèõ ïðèáîðîâ ïðîâîäèòü èçìåðåíèÿ è ïðîâåðÿòü òåîðåòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ. Ýòè óñòàíîâêè â ñâîå âðåìÿ áûëè èçãîòîâëåíû íà Ýêñïåðèìåíòàëüíîì çàâîäå ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ. Êî âòîðîé ãðóïïå îòíîñÿòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûå óñòàíîâêè ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîâðåìåííûõ ìåòîäîâ íàáëþäåíèÿ è ðåãèñòðàöèè (ýëåêòðîííûå ìèëëèñåêóíäîìåðû, ôîòîýëåêòðîííûå çàòâîðû è ò.ä.). Ïîñêîëüêó óñòàíîâêè, îòíîñÿùèåñÿ ê ïåðâîé ãðóïïå, äàþò íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå îá èçó÷àåìîì ïðîöåññå, àâòîðû ñî÷ëè íåöåëåñîîáðàçíûì ïðîâîäèòü èõ ìîäåðíèçàöèþ. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ðÿä çàäà÷ íàñòîÿùåé êíèãè ñîäåðæèò äâà âàðèàíòà îïèñàíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíîé ÷àñòè è ïðîöåññà âûïîëíåíèÿ çàäà÷è.
Íèæå ïðèâîäèòñÿ ñïèñîê ïðåïîäàâàòåëåé, ó÷àñòâîâàâøèõ â ñîçäàíèè çàäà÷. Ïîâòîðíîå óïîìèíàíèå íîìåðîâ çàäà÷ ïîñëå ôàìèëèé ïðåïîäàâàòåëåé ñâèäåòåëüñòâóåò î ñîâìåñòíîé ðàáîòå: Þ.È. Àâêñåíòüåâ (25, 27, 37, 39, 41, 42, 4749, 54, 61), À.Ñ. Àíäðååíêî (11), Ñ.Ä. Àíòèïîâ (24, 63), Ë.Ã. Àíòîøèíà (16, 18, 57), Ä.Â. Áåëîâ (5, 15, 18, 19, 23, 33, 38, 40, 4346, 56), À.Å. Áîãäàíîâ (31, 45), È.Þ. Ãàéäóêîâà (48, 49), Ñ.Í. Ãîðøêîâ (59, 60), Ò.È. Èâàíîâà (30, 36, 37), À.Ê. Êóïðèÿíîâ (28), À.Â. Ìè÷óðèí (57), Â.È. Íåäåëüêî (20, 21, 23, 25, 66), Ñ.À. Íèêèòèí (15), Þ.À. Îâ÷åíêîâà (32), Ò.Ë. Îâ÷èííèêîâà (10, 29, 62), Þ.Ô. Ïîïîâ (20, 21, 23, 25, 26), Ã.Å. Ïóñòîâàëîâ (1, 2, 17, 28, 35, 36, 38, 39, 43, 44, 46, 50, 52, 55, 56), Å.Ï. Ñâèðèíà (50, 58, 61), Ë.À. Ñêèïåòðîâà (9, 14), À.À. Ñêëÿíêèí (12), Á.À. Ñòðóêîâ (253), Å.Â. Òàëàëàåâà (22), Ë.Ï. Øëÿõèíà (3, 4).
ÒÅÌÀ 1
ÂÂÅÄÅÍÈÅ ÐÀÇÄÅË 1 ÏÎÃÐÅØÍÎÑÒÈ ÈÇÌÅÐÅÍÈÉ
1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ Ïîíÿòèå î ïîãðåøíîñòÿõ. Èçìåðåíèÿ íå ìîãóò áûòü âûïîëíåíû àáñîëþòíî òî÷íî. Âñåãäà èìååòñÿ íåêîòîðàÿ íåîïðåäåëåííîñòü â çíà÷åíèè èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû. Ýòà íåîïðåäåëåííîñòü õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ îòêëîíåíèåì èçìåðåííîãî çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû îò åå èñòèííîãî çíà÷åíèÿ. Íåêîòîðûå èç ïðè÷èí, ïðèâîäÿùèå ê ïîÿâëåíèþ ïîãðåøíîñòåé: îãðàíè÷åííàÿ òî÷íîñòü èçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðîâ; âëèÿíèå íà èçìåðåíèå íåêîíòðîëèðóåìûõ èçìåíåíèé âíåøíèõ óñëîâèé (íàïðÿæåíèÿ â ýëåêòðè÷åñêîé ñåòè, òåìïåðàòóðû è ò.ä.); äåéñòâèÿ ýêñïåðèìåíòàòîðà (âêëþ÷åíèå ñåêóíäîìåðà ñ íåêîòîðûì çàïàçäûâàíèåì, ðàçëè÷íîå ïîëîæåíèå ãëàç ïî îòíîøåíèþ ê øêàëå ïðèáîðà è ò.ï.); íåïîëíîå ñîîòâåòñòâèå èçìåðÿåìîãî îáúåêòà òîé ìîäåëè, êîòîðàÿ ïðèíÿòà äëÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû (íàïðèìåð, ïðè èçìåðåíèè îáúåìà ïëàñòèíêà ñ÷èòàåòñÿ ïàðàëëåëåïèïåäîì, â òî âðåìÿ êàê ó íåå ìîãóò áûòü çàêðóãëåíèÿ íà ðåáðàõ); ïðèáëèæåííûé õàðàêòåð çàêîíîâ, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû èëè ëåæàò â îñíîâå óñòðîéñòâà ïðèáîðà. Êëàññèôèêàöèÿ ïîãðåøíîñòåé.  çàâèñèìîñòè îò ïðè÷èí, ïðèâîäÿùèõ ê âîçíèêíîâåíèþ ïîãðåøíîñòåé, ðàçëè÷àþò èõ ñëåäóþùèå âèäû. Ïðîìàõè ãðóáûå îøèáêè â çíà÷åíèÿõ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû. Ñèñòåìàòè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè ïîãðåøíîñòè, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò îòêëîíåíèþ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû îò åå èñòèííîãî çíà÷åíèÿ âñåãäà â îäíó ñòîðîíó ëèáî â ñòîðîíó çàâûøåíèÿ, ëèáî â ñòîðîíó çàíèæåíèÿ. Ïðè ïîâòîðíûõ èçìåðåíèÿõ â òåõ æå 5
Íèæå ïðèâîäèòñÿ ñïèñîê ïðåïîäàâàòåëåé, ó÷àñòâîâàâøèõ â ñîçäàíèè çàäà÷. Ïîâòîðíîå óïîìèíàíèå íîìåðîâ çàäà÷ ïîñëå ôàìèëèé ïðåïîäàâàòåëåé ñâèäåòåëüñòâóåò î ñîâìåñòíîé ðàáîòå: Þ.È. Àâêñåíòüåâ (25, 27, 37, 39, 41, 42, 4749, 54, 61), À.Ñ. Àíäðååíêî (11), Ñ.Ä. Àíòèïîâ (24, 63), Ë.Ã. Àíòîøèíà (16, 18, 57), Ä.Â. Áåëîâ (5, 15, 18, 19, 23, 33, 38, 40, 4346, 56), À.Å. Áîãäàíîâ (31, 45), È.Þ. Ãàéäóêîâà (48, 49), Ñ.Í. Ãîðøêîâ (59, 60), Ò.È. Èâàíîâà (30, 36, 37), À.Ê. Êóïðèÿíîâ (28), À.Â. Ìè÷óðèí (57), Â.È. Íåäåëüêî (20, 21, 23, 25, 66), Ñ.À. Íèêèòèí (15), Þ.À. Îâ÷åíêîâà (32), Ò.Ë. Îâ÷èííèêîâà (10, 29, 62), Þ.Ô. Ïîïîâ (20, 21, 23, 25, 26), Ã.Å. Ïóñòîâàëîâ (1, 2, 17, 28, 35, 36, 38, 39, 43, 44, 46, 50, 52, 55, 56), Å.Ï. Ñâèðèíà (50, 58, 61), Ë.À. Ñêèïåòðîâà (9, 14), À.À. Ñêëÿíêèí (12), Á.À. Ñòðóêîâ (253), Å.Â. Òàëàëàåâà (22), Ë.Ï. Øëÿõèíà (3, 4).
ÒÅÌÀ 1
ÂÂÅÄÅÍÈÅ ÐÀÇÄÅË 1 ÏÎÃÐÅØÍÎÑÒÈ ÈÇÌÅÐÅÍÈÉ
1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ Ïîíÿòèå î ïîãðåøíîñòÿõ. Èçìåðåíèÿ íå ìîãóò áûòü âûïîëíåíû àáñîëþòíî òî÷íî. Âñåãäà èìååòñÿ íåêîòîðàÿ íåîïðåäåëåííîñòü â çíà÷åíèè èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû. Ýòà íåîïðåäåëåííîñòü õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ îòêëîíåíèåì èçìåðåííîãî çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû îò åå èñòèííîãî çíà÷åíèÿ. Íåêîòîðûå èç ïðè÷èí, ïðèâîäÿùèå ê ïîÿâëåíèþ ïîãðåøíîñòåé: îãðàíè÷åííàÿ òî÷íîñòü èçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðîâ; âëèÿíèå íà èçìåðåíèå íåêîíòðîëèðóåìûõ èçìåíåíèé âíåøíèõ óñëîâèé (íàïðÿæåíèÿ â ýëåêòðè÷åñêîé ñåòè, òåìïåðàòóðû è ò.ä.); äåéñòâèÿ ýêñïåðèìåíòàòîðà (âêëþ÷åíèå ñåêóíäîìåðà ñ íåêîòîðûì çàïàçäûâàíèåì, ðàçëè÷íîå ïîëîæåíèå ãëàç ïî îòíîøåíèþ ê øêàëå ïðèáîðà è ò.ï.); íåïîëíîå ñîîòâåòñòâèå èçìåðÿåìîãî îáúåêòà òîé ìîäåëè, êîòîðàÿ ïðèíÿòà äëÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû (íàïðèìåð, ïðè èçìåðåíèè îáúåìà ïëàñòèíêà ñ÷èòàåòñÿ ïàðàëëåëåïèïåäîì, â òî âðåìÿ êàê ó íåå ìîãóò áûòü çàêðóãëåíèÿ íà ðåáðàõ); ïðèáëèæåííûé õàðàêòåð çàêîíîâ, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû èëè ëåæàò â îñíîâå óñòðîéñòâà ïðèáîðà. Êëàññèôèêàöèÿ ïîãðåøíîñòåé.  çàâèñèìîñòè îò ïðè÷èí, ïðèâîäÿùèõ ê âîçíèêíîâåíèþ ïîãðåøíîñòåé, ðàçëè÷àþò èõ ñëåäóþùèå âèäû. Ïðîìàõè ãðóáûå îøèáêè â çíà÷åíèÿõ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû. Ñèñòåìàòè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè ïîãðåøíîñòè, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò îòêëîíåíèþ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû îò åå èñòèííîãî çíà÷åíèÿ âñåãäà â îäíó ñòîðîíó ëèáî â ñòîðîíó çàâûøåíèÿ, ëèáî â ñòîðîíó çàíèæåíèÿ. Ïðè ïîâòîðíûõ èçìåðåíèÿõ â òåõ æå 5
óñëîâèÿõ âåëè÷èíà ïîãðåøíîñòè îñòàåòñÿ íåèçìåííîé. Ïðè çàêîíîìåðíûõ èçìåíåíèÿõ óñëîâèé ïîãðåøíîñòü òàêæå ìåíÿåòñÿ çàêîíîìåðíî. Ñëó÷àéíûå ïîãðåøíîñòè. Äàæå ïðè î÷åíü ñòðîãîì ñîáëþäåíèè îäíèõ è òåõ æå óñëîâèé ïîâòîðíûå èçìåðåíèÿ îäíîé è òîé æå âåëè÷èíû, êàê ïðàâèëî, ïðèâîäÿò ê çíà÷åíèåì, îòëè÷àþùèìñÿ äðóã îò äðóãà. Ýòà ðàçíèöà â çíà÷åíèÿõ ìîæåò âûçûâàòüñÿ ïðè÷èíàìè ñàìîé ðàçëè÷íîé ïðèðîäû. Îòêëîíåíèÿ îò èñòèííîãî çíà÷åíèÿ ïðè ýòîì ìîãóò áûòü êàê â ñòîðîíó óâåëè÷åíèÿ, òàê è â ñòîðîíó óìåíüøåíèÿ, ïðè÷åì âåëè÷èíà îòêëîíåíèÿ òàêæå ìîæåò áûòü ðàçëè÷íîé. Ïðèáîðíûå ïîãðåøíîñòè ïîãðåøíîñòè, ñâÿçàííûå ñ òî÷íîñòüþ èçãîòîâëåíèÿ ïðèáîðà, èñïîëüçóåìîãî äëÿ èçìåðåíèÿ. Îíè ìîãóò íîñèòü êàê ñèñòåìàòè÷åñêèé, òàê è ñëó÷àéíûé õàðàêòåð.  çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêèì ñïîñîáîì ïîëó÷àþò çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû, ðàçëè÷àþò ïîãðåøíîñòè ïðÿìûõ (íåïîñðåäñòâåííûõ) è êîñâåííûõ èçìåðåíèé. Ïðÿìûìè íàçûâàþòñÿ èçìåðåíèÿ, â ðåçóëüòàòå êîòîðûõ çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû ïîëó÷àþò ñðàçó ïî øêàëå ïðèáîðà (íàïðèìåð, èçìåðåíèå äëèíû øòàíãåíöèðêóëåì) èëè ïðè ïîìîùè êàêîãî-ëèáî ñïîñîáà ñðàâíåíèÿ ñ ýòàëîíîì (íàïðèìåð, âçâåøèâàíèå íà ðû÷àæíûõ âåñàõ). Êîñâåííûå ýòî òàêèå èçìåðåíèÿ, êîãäà äëÿ íàõîæäåíèÿ íåêîòîðîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû ñíà÷àëà èçìåðÿþò ïðÿìûìè èçìåðåíèÿìè íåñêîëüêî äðóãèõ âåëè÷èí, à çàòåì ïî èõ çíà÷åíèÿì ñ ïîìîùüþ êàêèõ-ëèáî ôîðìóë âû÷èñëÿþò çíà÷åíèå èñêîìîé âåëè÷èíû. Îäíó è òó æå âåëè÷èíó ÷àñòî ìîæíî íàéòè ïóòåì êàê ïðÿìûõ, òàê è êîñâåííûõ èçìåðåíèé. Íàïðèìåð, ñêîðîñòü àâòîìîáèëÿ ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà ïî ñïèäîìåòðó (ïðÿìîå èçìåðåíèå) èëè íàéäåíà äåëåíèåì ïðîéäåííîãî ðàññòîÿíèÿ íà âðåìÿ äâèæåíèÿ (êîñâåííîå èçìåðåíèå). 2. Ïðîìàõè Ïðîìàõè, êàê ïðàâèëî, âûçûâàþòñÿ íåâíèìàòåëüíîñòüþ (íàïðèìåð, ïðè èçìåðåíèè äèàìåòðà îòâåðñòèÿ øòàíãåíöèðêóëåì ÷àñòî çàáûâàþò ó÷åñòü òîëùèíó åãî íîæåê). Îíè ìîãóò âîçíèêàòü òàêæå âñëåäñòâèå íåèñïðàâíîñòè ïðèáîðà. Îò ïðîìàõîâ íå çàñòðàõîâàí íèêòî, îäíàêî ïî ìåðå ïðèîáðåòåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ íàâûêîâ âåðîÿòíîñòü ïðîìàõîâ çàìåòíî óìåíüøàåòñÿ. 6
3. Ñèñòåìàòè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè Ñèñòåìàòè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè ìîãóò âîçíèêàòü ïî ðÿäó ïðè÷èí: íåñîîòâåòñòâèå ïðèáîðà ýòàëîíó (íàïðèìåð, ïëàñòìàññîâûå ëèíåéêè ñ òå÷åíèåì âðåìåíè îáû÷íî óêîðà÷èâàþòñÿ íà íåñêîëüêî ìèëëèìåòðîâ, ñåêóíäîìåð ìîæåò èìåòü íåïðàâèëüíûé õîä ñïåøèòü èëè îòñòàâàòü íà íåñêîëüêî ñåêóíä â ñóòêè); íåïðàâèëüíîå èñïîëüçîâàíèå ïðèáîðà (íàïðèìåð, ïåðåä âçâåøèâàíèåì íå óñòàíîâëåíî ðàâíîâåñèå íåíàãðóæåííûõ âåñîâ); ïðåíåáðåæåíèå ïîïðàâêàìè, êîòîðûå íóæíî ââåñòè â ðåçóëüòàòû èçìåðåíèÿ äëÿ äîñòèæåíèÿ òðåáóåìîé òî÷íîñòè (íàïðèìåð, íå ó÷òåíà çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû êèïåíèÿ âîäû îò àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ). Ïîãðåøíîñòè, îáóñëîâëåííûå íåêîòîðûìè èç ýòèõ ïðè÷èí, ìîãóò áûòü ñâåäåíû ê ìèíèìóìó ïðîâåðêîé ïðèáîðîâ, èõ òùàòåëüíîé óñòàíîâêîé, àíàëèçîì íåîáõîäèìûõ ïîïðàâîê è ò.ä. Ñèñòåìàòè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè ìîãóò áûòü ñêðûòû â òå÷åíèå äëèòåëüíîãî âðåìåíè è îáû÷íî îáíàðóæèâàþòñÿ ïðè íàõîæäåíèè òåõ æå ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ïðèíöèïèàëüíî äðóãèìè ìåòîäàìè. Àíàëèç ïîäîáíîãî ðîäà ñèñòåìàòè÷åñêèõ ïîãðåøíîñòåé ìîæåò â ðÿäå ñëó÷àåâ ïðèâåñòè ê îòêðûòèþ íåèçâåñòíûõ ðàíåå ÿâëåíèé ïðèðîäû.  ó÷åáíûõ ëàáîðàòîðèÿõ ñèñòåìàòè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè ïðèíÿòî íå ó÷èòûâàòü è ïîýòîìó èõ àíàëèç íå ïðîèçâîäèòñÿ.
4. Ñëó÷àéíûå ïîãðåøíîñòè Ñëó÷àéíûå ïîãðåøíîñòè âûçûâàþòñÿ íåêîíòðîëèðóåìûìè ïðè÷èíàìè, âëèÿþùèìè íà ïðîöåññ èçìåðåíèÿ. Òàêèå ïðè÷èíû ìîãóò áûòü îáúåêòèâíûìè (íåðîâíîñòè íà ïîâåðõíîñòè èçìåðÿåìîãî ïðåäìåòà; äóíîâåíèå âîçäóõà, âåäóùåå ê èçìåíåíèþ òåìïåðàòóðû; ñêà÷êîîáðàçíîå èçìåíåíèå íàïðÿæåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé ñåòè è ò.ï.) è ñóáúåêòèâíûìè (ðàçíàÿ ñèëà çàæèìà ïðåäìåòà ìåæäó íîæêàìè øòàíãåíöèðêóëÿ, íåîäèíàêîâîå ïîëîæåíèå ãëàç ïî îòíîøåíèþ ê øêàëå ïðèáîðà, ðàçëè÷íîå çàïàçäûâàíèå ïðè âêëþ÷åíèè ñåêóíäîìåðà è ò.ï.). Ýòè ïðè÷èíû ìîãóò ñî÷åòàòüñÿ â ðàçëè÷íûõ êîìáèíàöèÿõ, âûçûâàÿ òî óâåëè÷åíèå, òî óìåíüøåíèå çíà÷åíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû. Ïîýòîìó ïðè èçìåðåíèÿõ îäíîé è òîé æå âåëè÷èíû íåñêîëüêî ðàç ïîëó÷àåòñÿ, êàê ïðàâè7
óñëîâèÿõ âåëè÷èíà ïîãðåøíîñòè îñòàåòñÿ íåèçìåííîé. Ïðè çàêîíîìåðíûõ èçìåíåíèÿõ óñëîâèé ïîãðåøíîñòü òàêæå ìåíÿåòñÿ çàêîíîìåðíî. Ñëó÷àéíûå ïîãðåøíîñòè. Äàæå ïðè î÷åíü ñòðîãîì ñîáëþäåíèè îäíèõ è òåõ æå óñëîâèé ïîâòîðíûå èçìåðåíèÿ îäíîé è òîé æå âåëè÷èíû, êàê ïðàâèëî, ïðèâîäÿò ê çíà÷åíèåì, îòëè÷àþùèìñÿ äðóã îò äðóãà. Ýòà ðàçíèöà â çíà÷åíèÿõ ìîæåò âûçûâàòüñÿ ïðè÷èíàìè ñàìîé ðàçëè÷íîé ïðèðîäû. Îòêëîíåíèÿ îò èñòèííîãî çíà÷åíèÿ ïðè ýòîì ìîãóò áûòü êàê â ñòîðîíó óâåëè÷åíèÿ, òàê è â ñòîðîíó óìåíüøåíèÿ, ïðè÷åì âåëè÷èíà îòêëîíåíèÿ òàêæå ìîæåò áûòü ðàçëè÷íîé. Ïðèáîðíûå ïîãðåøíîñòè ïîãðåøíîñòè, ñâÿçàííûå ñ òî÷íîñòüþ èçãîòîâëåíèÿ ïðèáîðà, èñïîëüçóåìîãî äëÿ èçìåðåíèÿ. Îíè ìîãóò íîñèòü êàê ñèñòåìàòè÷åñêèé, òàê è ñëó÷àéíûé õàðàêòåð.  çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêèì ñïîñîáîì ïîëó÷àþò çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû, ðàçëè÷àþò ïîãðåøíîñòè ïðÿìûõ (íåïîñðåäñòâåííûõ) è êîñâåííûõ èçìåðåíèé. Ïðÿìûìè íàçûâàþòñÿ èçìåðåíèÿ, â ðåçóëüòàòå êîòîðûõ çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû ïîëó÷àþò ñðàçó ïî øêàëå ïðèáîðà (íàïðèìåð, èçìåðåíèå äëèíû øòàíãåíöèðêóëåì) èëè ïðè ïîìîùè êàêîãî-ëèáî ñïîñîáà ñðàâíåíèÿ ñ ýòàëîíîì (íàïðèìåð, âçâåøèâàíèå íà ðû÷àæíûõ âåñàõ). Êîñâåííûå ýòî òàêèå èçìåðåíèÿ, êîãäà äëÿ íàõîæäåíèÿ íåêîòîðîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû ñíà÷àëà èçìåðÿþò ïðÿìûìè èçìåðåíèÿìè íåñêîëüêî äðóãèõ âåëè÷èí, à çàòåì ïî èõ çíà÷åíèÿì ñ ïîìîùüþ êàêèõ-ëèáî ôîðìóë âû÷èñëÿþò çíà÷åíèå èñêîìîé âåëè÷èíû. Îäíó è òó æå âåëè÷èíó ÷àñòî ìîæíî íàéòè ïóòåì êàê ïðÿìûõ, òàê è êîñâåííûõ èçìåðåíèé. Íàïðèìåð, ñêîðîñòü àâòîìîáèëÿ ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà ïî ñïèäîìåòðó (ïðÿìîå èçìåðåíèå) èëè íàéäåíà äåëåíèåì ïðîéäåííîãî ðàññòîÿíèÿ íà âðåìÿ äâèæåíèÿ (êîñâåííîå èçìåðåíèå). 2. Ïðîìàõè Ïðîìàõè, êàê ïðàâèëî, âûçûâàþòñÿ íåâíèìàòåëüíîñòüþ (íàïðèìåð, ïðè èçìåðåíèè äèàìåòðà îòâåðñòèÿ øòàíãåíöèðêóëåì ÷àñòî çàáûâàþò ó÷åñòü òîëùèíó åãî íîæåê). Îíè ìîãóò âîçíèêàòü òàêæå âñëåäñòâèå íåèñïðàâíîñòè ïðèáîðà. Îò ïðîìàõîâ íå çàñòðàõîâàí íèêòî, îäíàêî ïî ìåðå ïðèîáðåòåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ íàâûêîâ âåðîÿòíîñòü ïðîìàõîâ çàìåòíî óìåíüøàåòñÿ. 6
3. Ñèñòåìàòè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè Ñèñòåìàòè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè ìîãóò âîçíèêàòü ïî ðÿäó ïðè÷èí: íåñîîòâåòñòâèå ïðèáîðà ýòàëîíó (íàïðèìåð, ïëàñòìàññîâûå ëèíåéêè ñ òå÷åíèåì âðåìåíè îáû÷íî óêîðà÷èâàþòñÿ íà íåñêîëüêî ìèëëèìåòðîâ, ñåêóíäîìåð ìîæåò èìåòü íåïðàâèëüíûé õîä ñïåøèòü èëè îòñòàâàòü íà íåñêîëüêî ñåêóíä â ñóòêè); íåïðàâèëüíîå èñïîëüçîâàíèå ïðèáîðà (íàïðèìåð, ïåðåä âçâåøèâàíèåì íå óñòàíîâëåíî ðàâíîâåñèå íåíàãðóæåííûõ âåñîâ); ïðåíåáðåæåíèå ïîïðàâêàìè, êîòîðûå íóæíî ââåñòè â ðåçóëüòàòû èçìåðåíèÿ äëÿ äîñòèæåíèÿ òðåáóåìîé òî÷íîñòè (íàïðèìåð, íå ó÷òåíà çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû êèïåíèÿ âîäû îò àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ). Ïîãðåøíîñòè, îáóñëîâëåííûå íåêîòîðûìè èç ýòèõ ïðè÷èí, ìîãóò áûòü ñâåäåíû ê ìèíèìóìó ïðîâåðêîé ïðèáîðîâ, èõ òùàòåëüíîé óñòàíîâêîé, àíàëèçîì íåîáõîäèìûõ ïîïðàâîê è ò.ä. Ñèñòåìàòè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè ìîãóò áûòü ñêðûòû â òå÷åíèå äëèòåëüíîãî âðåìåíè è îáû÷íî îáíàðóæèâàþòñÿ ïðè íàõîæäåíèè òåõ æå ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ïðèíöèïèàëüíî äðóãèìè ìåòîäàìè. Àíàëèç ïîäîáíîãî ðîäà ñèñòåìàòè÷åñêèõ ïîãðåøíîñòåé ìîæåò â ðÿäå ñëó÷àåâ ïðèâåñòè ê îòêðûòèþ íåèçâåñòíûõ ðàíåå ÿâëåíèé ïðèðîäû.  ó÷åáíûõ ëàáîðàòîðèÿõ ñèñòåìàòè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè ïðèíÿòî íå ó÷èòûâàòü è ïîýòîìó èõ àíàëèç íå ïðîèçâîäèòñÿ.
4. Ñëó÷àéíûå ïîãðåøíîñòè Ñëó÷àéíûå ïîãðåøíîñòè âûçûâàþòñÿ íåêîíòðîëèðóåìûìè ïðè÷èíàìè, âëèÿþùèìè íà ïðîöåññ èçìåðåíèÿ. Òàêèå ïðè÷èíû ìîãóò áûòü îáúåêòèâíûìè (íåðîâíîñòè íà ïîâåðõíîñòè èçìåðÿåìîãî ïðåäìåòà; äóíîâåíèå âîçäóõà, âåäóùåå ê èçìåíåíèþ òåìïåðàòóðû; ñêà÷êîîáðàçíîå èçìåíåíèå íàïðÿæåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé ñåòè è ò.ï.) è ñóáúåêòèâíûìè (ðàçíàÿ ñèëà çàæèìà ïðåäìåòà ìåæäó íîæêàìè øòàíãåíöèðêóëÿ, íåîäèíàêîâîå ïîëîæåíèå ãëàç ïî îòíîøåíèþ ê øêàëå ïðèáîðà, ðàçëè÷íîå çàïàçäûâàíèå ïðè âêëþ÷åíèè ñåêóíäîìåðà è ò.ï.). Ýòè ïðè÷èíû ìîãóò ñî÷åòàòüñÿ â ðàçëè÷íûõ êîìáèíàöèÿõ, âûçûâàÿ òî óâåëè÷åíèå, òî óìåíüøåíèå çíà÷åíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû. Ïîýòîìó ïðè èçìåðåíèÿõ îäíîé è òîé æå âåëè÷èíû íåñêîëüêî ðàç ïîëó÷àåòñÿ, êàê ïðàâè7
ëî, ðÿä çíà÷åíèé ýòîé âåëè÷èíû, îòëè÷àþùèõñÿ îò èñòèííîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì. Çàêîíîìåðíîñòè, îïèñûâàþùèå ïîâåäåíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èçó÷àþòñÿ òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé. Ïîä âåðîÿòíîñòüþ çäåñü ïîäðàçóìåâàåòñÿ îòíîøåíèå ÷èñëà ñëó÷àåâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ êàêîìó-ëèáî óñëîâèþ, ê îáùåìó ÷èñëó ñëó÷àåâ, åñëè îáùåå ÷èñëî ñëó÷àåâ î÷åíü âåëèêî (ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè). Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè ðàâíî åäèíèöå (âñå ñëó÷àè óäîâëåòâîðÿþò çàäàííîìó óñëîâèþ). Ïðè îïèñàíèè ñëó÷àéíûõ ïîãðåøíîñòåé îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ: ïîãðåøíîñòè ìîãóò ïðèíèìàòü íåïðåðûâíûé ðÿä çíà÷åíèé; áîëüøèå îòêëîíåíèÿ èçìåðåííûõ çíà÷åíèé îò èñòèííîãî çíà÷åíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû âñòðå÷àþòñÿ ðåæå (ìåíåå âåðîÿòíû), ÷åì ìàëûå; îòêëîíåíèÿ â îáå ñòîðîíû îò èñòèííîãî çíà÷åíèÿ ðàâíîâåðîÿòíû. Ýòè ïðåäïîëîæåíèÿ ñïðàâåäëèâû íå âñåãäà. Îïûò, îäíàêî, ïîêàçûâàåò, ÷òî âñå æå â ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ îíè âûïîëíÿþòñÿ äîñòàòî÷íî õîðîøî. Ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå. Ïóñòü ïðè èçìåðåíèè ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû à ïîëó÷åíî n çíà÷åíèé: a1, a2, ..., ai, ..., an. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ýòèõ çíà÷åíèé (îáîçíà÷àåìîå ÷åðòîé íàä áóêâîé)
a=
å ai
(1) n ñòðåìèòñÿ ê èñòèííîìó çíà÷åíèþ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû, åñëè n ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Ïðè êîíå÷íîì ÷èñëå èçìåðåíèé ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàèáîëåå âåðîÿòíîå çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé ïîçâîëÿåò îöåíèòü âîçìîæíîå îòêëîíåíèå ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî îò èñòèííîãî çíà÷åíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû. Ïîãðåøíîñòè îòäåëüíûõ èçìåðåíèé. Çà ìåðó ïîãðåøíîñòè çíà÷åíèÿ ai , ïîëó÷åííîãî ïðè îòäåëüíîì èçìåðåíèè, ïðèíèìàþò ðàçíîñòü ìåæäó ýòèì çíà÷åíèåì è èñòèííûì çíà÷åíèåì à. Íî òàê êàê èñòèííîå çíà÷åíèå à íåèçâåñòíî, òî âìåñòî íåãî áåðóò ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå a ñåðèè èçìåðåíèé. Ðàçíîñòè Da1 = a1 - a , Da2 = a2 - a , .................... Dan = an - a 8
(2)
ïðèíÿòî íàçûâàòü àáñîëþòíûìè ïîãðåøíîñòÿìè îòäåëüíûõ èçìåðåíèé. Ñðåäè ïîãðåøíîñòåé Da1, Da2, ..., Dan âñòðå÷àþòñÿ êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà àáñîëþòíûõ ïîãðåøíîñòåé ðàâíà íóëþ. Ñðåäíåé êâàäðàòè÷íîé ïîãðåøíîñòüþ èëè ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì îòäåëüíîãî èçìåðåíèÿ íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà
Sa = i
Da + Da + ... + Dan = n -
å Dai
n -
,
(3)
ãäå n ÷èñëî èçìåðåííûõ çíà÷åíèé. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïðîâåäåíî ëèøü îäíî èçìåðåíèå (n = 1), ôîðìóëà (3) íåïðèìåíèìà, è äëÿ îöåíêè ïîãðåøíîñòè ñëåäóåò ïîëüçîâàòüñÿ äðóãèìè ñîîáðàæåíèÿìè. Îäíèì èçìåðåíèåì îãðàíè÷èâàþòñÿ, åñëè çàâåäîìî èçâåñòíî, ÷òî ïðèáîðíàÿ ïîãðåøíîñòü çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò ñëó÷àéíóþ. Ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå èìååò ñëåäóþùèé ñìûñë. Ïðè áîëüøîì ÷èñëå èçìåðåíèé âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ìîäóëü çíà÷åíèÿ Dai íå ïðåâûøàåò Sa èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ÷òî çíà÷åíèå ai ëåæèò i â ïðåäåëàõ îò a - S a äî a + S a , ñîñòàâëÿåò 0,67»2/3. Èíà÷å ãîi i âîðÿ, åñëè âåëè÷èíà a èçìåðåíà, íàïðèìåð, 100 ðàç, òî îêîëî 67 ñëó÷àåâ áóäåò òàêèõ, ÷òî a - Sa < ai < a + Sa . i i Ïîãðåøíîñòü ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî. Ñðåäíÿÿ êâàäðàòè÷íàÿ ïîãðåøíîñòü Sa îòäåëüíîãî èçìåðåíèÿ, îïðåäåëÿåìàÿ ôîði ìóëîé (3), ñ âîçðàñòàíèåì n ñòðåìèòñÿ ê íåêîòîðîé îïðåäåëåííîé âåëè÷èíå (ñîáñòâåííî ïîãðåøíîñòüþ ñîãëàñíî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ÿâëÿåòñÿ ýòîò ïðåäåë). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå a ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ n äîëæíî ïðèáëèæàòüñÿ ê èñòèííîìó çíà÷åíèþ à (åñëè, êîíå÷íî, óñòðàíåíû ñèñòåìàòè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè). Ñëåäîâàòåëüíî, ïîãðåøíîñòü ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî äîëæíà ïðè ýòîì óìåíüøàòüñÿ. Ñîãëàñíî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñðåäíÿÿ êâàäðàòè÷íàÿ ïîãðåøíîñòü, èëè ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå, ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
Sa =
Sa
i
n
=
å Dai
n(n - 1)
,
(4)
ò.å. Sa ñ âîçðàñòàíèåì ÷èñëà èçìåðåíèé n óáûâàåò îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî n . Ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî èìååò ñëåäóþùèé ñìûñë. Åñëè ïðîâåäåíî äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî 9
ëî, ðÿä çíà÷åíèé ýòîé âåëè÷èíû, îòëè÷àþùèõñÿ îò èñòèííîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì. Çàêîíîìåðíîñòè, îïèñûâàþùèå ïîâåäåíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èçó÷àþòñÿ òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé. Ïîä âåðîÿòíîñòüþ çäåñü ïîäðàçóìåâàåòñÿ îòíîøåíèå ÷èñëà ñëó÷àåâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ êàêîìó-ëèáî óñëîâèþ, ê îáùåìó ÷èñëó ñëó÷àåâ, åñëè îáùåå ÷èñëî ñëó÷àåâ î÷åíü âåëèêî (ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè). Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè ðàâíî åäèíèöå (âñå ñëó÷àè óäîâëåòâîðÿþò çàäàííîìó óñëîâèþ). Ïðè îïèñàíèè ñëó÷àéíûõ ïîãðåøíîñòåé îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ: ïîãðåøíîñòè ìîãóò ïðèíèìàòü íåïðåðûâíûé ðÿä çíà÷åíèé; áîëüøèå îòêëîíåíèÿ èçìåðåííûõ çíà÷åíèé îò èñòèííîãî çíà÷åíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû âñòðå÷àþòñÿ ðåæå (ìåíåå âåðîÿòíû), ÷åì ìàëûå; îòêëîíåíèÿ â îáå ñòîðîíû îò èñòèííîãî çíà÷åíèÿ ðàâíîâåðîÿòíû. Ýòè ïðåäïîëîæåíèÿ ñïðàâåäëèâû íå âñåãäà. Îïûò, îäíàêî, ïîêàçûâàåò, ÷òî âñå æå â ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ îíè âûïîëíÿþòñÿ äîñòàòî÷íî õîðîøî. Ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå. Ïóñòü ïðè èçìåðåíèè ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû à ïîëó÷åíî n çíà÷åíèé: a1, a2, ..., ai, ..., an. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ýòèõ çíà÷åíèé (îáîçíà÷àåìîå ÷åðòîé íàä áóêâîé)
a=
å ai
(1) n ñòðåìèòñÿ ê èñòèííîìó çíà÷åíèþ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû, åñëè n ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Ïðè êîíå÷íîì ÷èñëå èçìåðåíèé ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàèáîëåå âåðîÿòíîå çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé ïîçâîëÿåò îöåíèòü âîçìîæíîå îòêëîíåíèå ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî îò èñòèííîãî çíà÷åíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû. Ïîãðåøíîñòè îòäåëüíûõ èçìåðåíèé. Çà ìåðó ïîãðåøíîñòè çíà÷åíèÿ ai , ïîëó÷åííîãî ïðè îòäåëüíîì èçìåðåíèè, ïðèíèìàþò ðàçíîñòü ìåæäó ýòèì çíà÷åíèåì è èñòèííûì çíà÷åíèåì à. Íî òàê êàê èñòèííîå çíà÷åíèå à íåèçâåñòíî, òî âìåñòî íåãî áåðóò ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå a ñåðèè èçìåðåíèé. Ðàçíîñòè Da1 = a1 - a , Da2 = a2 - a , .................... Dan = an - a 8
(2)
ïðèíÿòî íàçûâàòü àáñîëþòíûìè ïîãðåøíîñòÿìè îòäåëüíûõ èçìåðåíèé. Ñðåäè ïîãðåøíîñòåé Da1, Da2, ..., Dan âñòðå÷àþòñÿ êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà àáñîëþòíûõ ïîãðåøíîñòåé ðàâíà íóëþ. Ñðåäíåé êâàäðàòè÷íîé ïîãðåøíîñòüþ èëè ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì îòäåëüíîãî èçìåðåíèÿ íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà
Sa = i
Da + Da + ... + Dan = n -
å Dai
n -
,
(3)
ãäå n ÷èñëî èçìåðåííûõ çíà÷åíèé. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïðîâåäåíî ëèøü îäíî èçìåðåíèå (n = 1), ôîðìóëà (3) íåïðèìåíèìà, è äëÿ îöåíêè ïîãðåøíîñòè ñëåäóåò ïîëüçîâàòüñÿ äðóãèìè ñîîáðàæåíèÿìè. Îäíèì èçìåðåíèåì îãðàíè÷èâàþòñÿ, åñëè çàâåäîìî èçâåñòíî, ÷òî ïðèáîðíàÿ ïîãðåøíîñòü çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò ñëó÷àéíóþ. Ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå èìååò ñëåäóþùèé ñìûñë. Ïðè áîëüøîì ÷èñëå èçìåðåíèé âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ìîäóëü çíà÷åíèÿ Dai íå ïðåâûøàåò Sa èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ÷òî çíà÷åíèå ai ëåæèò i â ïðåäåëàõ îò a - S a äî a + S a , ñîñòàâëÿåò 0,67»2/3. Èíà÷å ãîi i âîðÿ, åñëè âåëè÷èíà a èçìåðåíà, íàïðèìåð, 100 ðàç, òî îêîëî 67 ñëó÷àåâ áóäåò òàêèõ, ÷òî a - Sa < ai < a + Sa . i i Ïîãðåøíîñòü ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî. Ñðåäíÿÿ êâàäðàòè÷íàÿ ïîãðåøíîñòü Sa îòäåëüíîãî èçìåðåíèÿ, îïðåäåëÿåìàÿ ôîði ìóëîé (3), ñ âîçðàñòàíèåì n ñòðåìèòñÿ ê íåêîòîðîé îïðåäåëåííîé âåëè÷èíå (ñîáñòâåííî ïîãðåøíîñòüþ ñîãëàñíî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ÿâëÿåòñÿ ýòîò ïðåäåë). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå a ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ n äîëæíî ïðèáëèæàòüñÿ ê èñòèííîìó çíà÷åíèþ à (åñëè, êîíå÷íî, óñòðàíåíû ñèñòåìàòè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè). Ñëåäîâàòåëüíî, ïîãðåøíîñòü ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî äîëæíà ïðè ýòîì óìåíüøàòüñÿ. Ñîãëàñíî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñðåäíÿÿ êâàäðàòè÷íàÿ ïîãðåøíîñòü, èëè ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå, ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
Sa =
Sa
i
n
=
å Dai
n(n - 1)
,
(4)
ò.å. Sa ñ âîçðàñòàíèåì ÷èñëà èçìåðåíèé n óáûâàåò îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî n . Ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî èìååò ñëåäóþùèé ñìûñë. Åñëè ïðîâåäåíî äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî 9
ñåðèé èçìåðåíèÿ íåêîòîðîé âåëè÷èíû à è êàæäàÿ èç ýòèõ ñåðèé ñîäåðæèò îäèíàêîâîå äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî îòäåëüíûõ èçìåðåíèé, òî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå a ñåðèè îòëè÷àåòñÿ îò èñòèííîãî çíà÷åíèÿ a íå áîëåå, ÷åì íà Sa , ñîñòàâëÿåò 0,67 = 67%. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë è äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èñòèííîå çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû ëåæèò âíóòðè íåêîòîðîãî èíòåðâàëà, íàçûâàåòñÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ èëè êîýôôèöèåíòîì íàäåæíîñòè, à ñàì èíòåðâàë äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì. Êàæäîé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè ñîîòâåòñòâóåò ñâîé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë.  ÷àñòíîñòè, äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè 0,67 ñîîòâåòñòâóåò äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë îò = - 5 = äî = + 5 = . Îäíàêî ýòî óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî òîëüêî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì ÷èñëå èçìåðåíèé (áîëåå 10), äà è âåðîÿòíîñòü 0,67 íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî íàäåæíîé ïðèìåðíî â êàæäîé èç òðåõ ñåðèé èçìåðåíèé a ìîæåò îêàçàòüñÿ çà ïðåäåëàìè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ áîëüøåé óâåðåííîñòè â òîì, ÷òî çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû ëåæèò âíóòðè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà, îáû÷íî çàäàþòñÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ 0,950,99. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ çàäàííîé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè a ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ ÷èñëà èçìåðåíèé n ìîæíî íàéòè, óìíîæèâ ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî íà òàê íàçûâàåìûé êîýôôèöèåíò Ñòüþäåíòà ta . Êîýôôèöèåíòû Ñòüþäåíòà äëÿ ðÿäà çíà÷åíèé a n è n ïðèâåäåíû â òàáëèöå. ×èñëî èçìåðåíèé n
0,67 2,0 1,3 1,2 1,2 1,1 1,0
2 4 5 6 10 100
Äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü a 0,90 0,95 6,3 12,7 2,4 3,2 2,1 2,8 2,0 2,6 1,8 2,3 1,7 2,0
0,99 63,7 5,8 4,6 4,0 3,3 2,6
Îêîí÷àòåëüíî äëÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû à ïðè çàäàííîé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè a è ÷èñëå èçìåðåíèé n ïîëó÷àåòñÿ óñëîâèå
a - t= Sa < a < a + t= Sa . n
n
(5)
Âåëè÷èíà Dañë = t= Sa íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíîé ïîãðåøíîñòüþ n âåëè÷èíû à. 10
5. Ïðèáîðíûå ïîãðåøíîñòè Ïðèáîðíûå ïîãðåøíîñòè ïðèíÿòî îòíîñèòü ê ñëó÷àéíûì, åñëè óñòðàíåíû ïðèáîðíûå ïîãðåøíîñòè, èìåþùèå ñèñòåìàòè÷åñêèé õàðàêòåð (âåñû âûñòàâëåíû ïî îòâåñó è óðàâíîâåøåíû â îòñóòñòâèå íàãðóçêè, ñòðåëêà îòêëþ÷åííîãî ýëåêòðîèçìåðèòåëüíîãî ïðèáîðà ïîêàçûâàåò íà íóëü, ÷àñû âûâåðåíû ïî ñèãíàëàì òî÷íîãî âðåìåíè è ò.ä.). Òàêèå ïîãðåøíîñòè ìîãóò âîçíèêàòü ïðè èçãîòîâëåíèè ïðèáîðîâ èëè ïðè èõ ãðàäóèðîâêå. Îáû÷íî äîâîëüñòâóþòñÿ ñâåäåíèÿìè î äîïóñòèìûõ ïðèáîðíûõ ïîãðåøíîñòÿõ, ñîîáùàåìûõ çàâîäàìè-èçãîòîâèòåëÿìè â ïàñïîðòàõ, ïðèëàãàåìûõ ê ïðèáîðàì. Çàâîä ãàðàíòèðóåò, ÷òî ïîãðåøíîñòè îòñ÷åòà ïî ïðèáîðó íå âûõîäÿò çà ïðåäåëû, óêàçûâàåìûå â ïàñïîðòå. Ïðè ýòîì îñòàþòñÿ íåèçâåñòíûìè íè êîíêðåòíàÿ âåëè÷èíà, íè çíàê ïîãðåøíîñòè, ïîëó÷àþùåéñÿ â ðåçóëüòàòå îòäåëüíîãî èçìåðåíèÿ äàííûì ïðèáîðîì. Ïîýòîìó òàêèå ïîãðåøíîñòè ñëåäóåò îòíîñèòü ê ñëó÷àéíûì ïîãðåøíîñòÿì ñ äîñòàòî÷íî áîëüøîé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ (ïîðÿäêà 0,95 è âûøå). Äîïóñòèìûå ïîãðåøíîñòè îáû÷íî âêëþ÷àþò â ñåáÿ è òå, êîòîðûå ìîãóò âîçíèêíóòü ïðè ïðèâåäåíèè ïðèáîðîâ â ðàáî÷åå ñîñòîÿíèå (óñòàíîâêå íà íóëü è ò.ï.) ïðè óñëîâèè âûïîëíåíèÿ çàâîäñêîé èíñòðóêöèè. Äîïóñòèìûå ïîãðåøíîñòè íåêîòîðûõ ïðèáîðîâ, èñïîëüçóåìûõ â ëàáîðàòîðèÿõ ôèçè÷åñêîãî ïðàêòèêóìà: Ñòðåëî÷íûå ýëåêòðîèçìåðèòåëüíûå ïðèáîðû ïî âåëè÷èíå äîïóñòèìîé ïîãðåøíîñòè äåëÿòñÿ íà êëàññû òî÷íîñòè, êîòîðûå îáîçíà÷àþòñÿ íà øêàëàõ ïðèáîðîâ öèôðàìè 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1. Ïðèáîðû, ñíàáæåííûå íîíèóñîì (øòàíãåíöèðêóëè, óãëîìåðíûå èíñòðóìåíòû è ïð.), êàê ïðàâèëî, èìåþò äîïóñòèìóþ ïîãðåøíîñòü, ðàâíóþ öåíå äåëåíèÿ íîíèóñà: à) øòàíãåíöèðêóëè ñ ïðåäåëàìè èçìåðåíèÿ 0125 ìì è öåíîé äåëåíèÿ íîíèóñà 0,1 ìì á) øòàíãåíöèðêóëè ñ ïðåäåëàìè èçìåðåíèÿ 0150 ìì è öåíîé äåëåíèÿ íîíèóñà 0,05 ìì â) øòàíãåíöèðêóëè ñ ïðåäåëàìè èçìåðåíèÿ 0250 ìì è öåíîé äåëåíèÿ íîíèóñà 0,05 ìì 2. Ìèêðîìåòðû 3. Èíäèêàòîðû ÷àñîâîãî òèïà äëÿ èçìåðåíèÿ ìàëûõ ðàçìåðîâ ñ öåíîé äåëåíèÿ 0,01 ìì: à) ñ ïðåäåëàìè èçìåðåíèÿ 02 ìì á) ñ ïðåäåëàìè èçìåðåíèÿ 010 ìì
0,1 ìì 0,05 ìì 0,1 ìì 0,004 ìì
0,012 ìì 0,022 ìì
11
ñåðèé èçìåðåíèÿ íåêîòîðîé âåëè÷èíû à è êàæäàÿ èç ýòèõ ñåðèé ñîäåðæèò îäèíàêîâîå äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî îòäåëüíûõ èçìåðåíèé, òî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå a ñåðèè îòëè÷àåòñÿ îò èñòèííîãî çíà÷åíèÿ a íå áîëåå, ÷åì íà Sa , ñîñòàâëÿåò 0,67 = 67%. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë è äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èñòèííîå çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû ëåæèò âíóòðè íåêîòîðîãî èíòåðâàëà, íàçûâàåòñÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ èëè êîýôôèöèåíòîì íàäåæíîñòè, à ñàì èíòåðâàë äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì. Êàæäîé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè ñîîòâåòñòâóåò ñâîé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë.  ÷àñòíîñòè, äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè 0,67 ñîîòâåòñòâóåò äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë îò = - 5 = äî = + 5 = . Îäíàêî ýòî óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî òîëüêî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì ÷èñëå èçìåðåíèé (áîëåå 10), äà è âåðîÿòíîñòü 0,67 íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî íàäåæíîé ïðèìåðíî â êàæäîé èç òðåõ ñåðèé èçìåðåíèé a ìîæåò îêàçàòüñÿ çà ïðåäåëàìè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ áîëüøåé óâåðåííîñòè â òîì, ÷òî çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû ëåæèò âíóòðè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà, îáû÷íî çàäàþòñÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ 0,950,99. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ çàäàííîé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè a ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ ÷èñëà èçìåðåíèé n ìîæíî íàéòè, óìíîæèâ ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî íà òàê íàçûâàåìûé êîýôôèöèåíò Ñòüþäåíòà ta . Êîýôôèöèåíòû Ñòüþäåíòà äëÿ ðÿäà çíà÷åíèé a n è n ïðèâåäåíû â òàáëèöå. ×èñëî èçìåðåíèé n
0,67 2,0 1,3 1,2 1,2 1,1 1,0
2 4 5 6 10 100
Äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü a 0,90 0,95 6,3 12,7 2,4 3,2 2,1 2,8 2,0 2,6 1,8 2,3 1,7 2,0
0,99 63,7 5,8 4,6 4,0 3,3 2,6
Îêîí÷àòåëüíî äëÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû à ïðè çàäàííîé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè a è ÷èñëå èçìåðåíèé n ïîëó÷àåòñÿ óñëîâèå
a - t= Sa < a < a + t= Sa . n
n
(5)
Âåëè÷èíà Dañë = t= Sa íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíîé ïîãðåøíîñòüþ n âåëè÷èíû à. 10
5. Ïðèáîðíûå ïîãðåøíîñòè Ïðèáîðíûå ïîãðåøíîñòè ïðèíÿòî îòíîñèòü ê ñëó÷àéíûì, åñëè óñòðàíåíû ïðèáîðíûå ïîãðåøíîñòè, èìåþùèå ñèñòåìàòè÷åñêèé õàðàêòåð (âåñû âûñòàâëåíû ïî îòâåñó è óðàâíîâåøåíû â îòñóòñòâèå íàãðóçêè, ñòðåëêà îòêëþ÷åííîãî ýëåêòðîèçìåðèòåëüíîãî ïðèáîðà ïîêàçûâàåò íà íóëü, ÷àñû âûâåðåíû ïî ñèãíàëàì òî÷íîãî âðåìåíè è ò.ä.). Òàêèå ïîãðåøíîñòè ìîãóò âîçíèêàòü ïðè èçãîòîâëåíèè ïðèáîðîâ èëè ïðè èõ ãðàäóèðîâêå. Îáû÷íî äîâîëüñòâóþòñÿ ñâåäåíèÿìè î äîïóñòèìûõ ïðèáîðíûõ ïîãðåøíîñòÿõ, ñîîáùàåìûõ çàâîäàìè-èçãîòîâèòåëÿìè â ïàñïîðòàõ, ïðèëàãàåìûõ ê ïðèáîðàì. Çàâîä ãàðàíòèðóåò, ÷òî ïîãðåøíîñòè îòñ÷åòà ïî ïðèáîðó íå âûõîäÿò çà ïðåäåëû, óêàçûâàåìûå â ïàñïîðòå. Ïðè ýòîì îñòàþòñÿ íåèçâåñòíûìè íè êîíêðåòíàÿ âåëè÷èíà, íè çíàê ïîãðåøíîñòè, ïîëó÷àþùåéñÿ â ðåçóëüòàòå îòäåëüíîãî èçìåðåíèÿ äàííûì ïðèáîðîì. Ïîýòîìó òàêèå ïîãðåøíîñòè ñëåäóåò îòíîñèòü ê ñëó÷àéíûì ïîãðåøíîñòÿì ñ äîñòàòî÷íî áîëüøîé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ (ïîðÿäêà 0,95 è âûøå). Äîïóñòèìûå ïîãðåøíîñòè îáû÷íî âêëþ÷àþò â ñåáÿ è òå, êîòîðûå ìîãóò âîçíèêíóòü ïðè ïðèâåäåíèè ïðèáîðîâ â ðàáî÷åå ñîñòîÿíèå (óñòàíîâêå íà íóëü è ò.ï.) ïðè óñëîâèè âûïîëíåíèÿ çàâîäñêîé èíñòðóêöèè. Äîïóñòèìûå ïîãðåøíîñòè íåêîòîðûõ ïðèáîðîâ, èñïîëüçóåìûõ â ëàáîðàòîðèÿõ ôèçè÷åñêîãî ïðàêòèêóìà: Ñòðåëî÷íûå ýëåêòðîèçìåðèòåëüíûå ïðèáîðû ïî âåëè÷èíå äîïóñòèìîé ïîãðåøíîñòè äåëÿòñÿ íà êëàññû òî÷íîñòè, êîòîðûå îáîçíà÷àþòñÿ íà øêàëàõ ïðèáîðîâ öèôðàìè 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1. Ïðèáîðû, ñíàáæåííûå íîíèóñîì (øòàíãåíöèðêóëè, óãëîìåðíûå èíñòðóìåíòû è ïð.), êàê ïðàâèëî, èìåþò äîïóñòèìóþ ïîãðåøíîñòü, ðàâíóþ öåíå äåëåíèÿ íîíèóñà: à) øòàíãåíöèðêóëè ñ ïðåäåëàìè èçìåðåíèÿ 0125 ìì è öåíîé äåëåíèÿ íîíèóñà 0,1 ìì á) øòàíãåíöèðêóëè ñ ïðåäåëàìè èçìåðåíèÿ 0150 ìì è öåíîé äåëåíèÿ íîíèóñà 0,05 ìì â) øòàíãåíöèðêóëè ñ ïðåäåëàìè èçìåðåíèÿ 0250 ìì è öåíîé äåëåíèÿ íîíèóñà 0,05 ìì 2. Ìèêðîìåòðû 3. Èíäèêàòîðû ÷àñîâîãî òèïà äëÿ èçìåðåíèÿ ìàëûõ ðàçìåðîâ ñ öåíîé äåëåíèÿ 0,01 ìì: à) ñ ïðåäåëàìè èçìåðåíèÿ 02 ìì á) ñ ïðåäåëàìè èçìåðåíèÿ 010 ìì
0,1 ìì 0,05 ìì 0,1 ìì 0,004 ìì
0,012 ìì 0,022 ìì
11
4. Òåõíè÷åñêèå âåñû ñ íàãðóçêîé äî 5 êã è íàèìåíüøèì ðàçíîâåñêîì â 100 ìã 5. Ñåêóíäîìåðû ìåõàíè÷åñêèå ñ öåíîé äåëåíèÿ 0,2 è 0,1 ñ (ïðè èçìåðåíèè ïðîìåæóòêà âðåìåíè 120 ñ ïîãðåøíîñòü õîäà ïî ñðàâíåíèþ ñ ýòàëîííûìè ÷àñàìè) 6. Ëàáîðàòîðíûå ðòóòíûå òåðìîìåòðû (áåç óêàçàíèÿ êëàññà òî÷íîñòè)
0,1 ã 0,1 ñ
1°Ñ
1,5; 2,5; 4,0 (öèôðû ìîãóò áûòü ïîìåùåíû â êðóæîê èëè ðîìáèê). Êëàññ òî÷íîñòè ïîêàçûâàåò âåëè÷èíó äîïóñòèìîé ïîãðåøíîñòè â ïðîöåíòàõ îò çíà÷åíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû, ñîîòâåòñòâóþùåãî îòêëîíåíèþ ñòðåëêè äî ïîñëåäíåãî äåëåíèÿ øêàëû. Íàïðèìåð, åñëè ó ïðèáîðà ïîñëåäíåå äåëåíèå øêàëû 300 Â, à êëàññ åãî òî÷íîñòè 0,5, òî äîïóñòèìàÿ ïîãðåøíîñòü ðàâíà 0,5% îò 300 Â, èëè 300×0,5/100  = 1,5 Â. Òàêàÿ æå äîïóñòèìàÿ ïîãðåøíîñòü 1,5  áóäåò è äëÿ ëþáîãî äðóãîãî çíà÷åíèÿ, èçìåðÿåìîãî ïî ýòîé øêàëå.  ñëó÷àå ìíîãîôóíêöèîíàëüíîãî ïðèáîðà, èìåþùåãî ðàçíûå ïðåäåëû èçìåðåíèÿ è äàþùåãî âîçìîæíîñòü èçìåðÿòü ðàçëè÷íîãî ðîäà âåëè÷èíû (ñèëó òîêà, íàïðÿæåíèå, ñîïðîòèâëåíèå è ò.ä.), êëàññ òî÷íîñòè îáû÷íî íå çàâèñèò îò ïðåäåëà èçìåðåíèÿ, íî ìîæåò çàâèñåòü îò ðîäà òîêà (ïîñòîÿííûé èëè ïåðåìåííûé) è îò ðîäà èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû. Íà øêàëå òàêîãî ïðèáîðà óêàçûâàåòñÿ íåñêîëüêî êëàññîâ òî÷íîñòè ñ óñëîâíûìè îáîçíà÷åíèÿìè ó êàæäîãî èç íèõ («» èëè «=» ïîñòîÿííûé òîê, «~» èëè «»» ïåðåìåííûé òîê, «@» è ïîñòîÿííûé è ïåðåìåííûé òîê, «W» ñîïðîòèâëåíèå, «mF» èëè «Cx » åìêîñòü è ò.ä.). Öèôðîâûå ýëåêòðîèçìåðèòåëüíûå è ïðî÷èå ïðèáîðû èìåþò, êàê ïðàâèëî äîïóñòèìóþ ïîãðåøíîñòü, ñîñòàâëÿþùóþ 12 åäèíèöû ïîñëåäíåãî èíäèöèðóåìîãî ðàçðÿäà. Åñëè ñâåäåíèé î äîïóñòèìîé ïðèáîðíîé ïîãðåøíîñòè íåò, òî â êà÷åñòâå íåå ìîæíî ïðèíÿòü ïîëîâèíó íàèìåíüøåãî äåëåíèÿ øêàëû ïðèáîðà èëè ïîëîâèíó íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû, êîòîðîå åùå ìîæíî íàéòè ïðè ïîìîùè ýòîãî ïðèáîðà. Íàïðèìåð, ïðè èçìåðåíèè äëèíû ëèíåéêîé ñ ìèëëèìåòðîâûìè äåëåíèÿìè çà äîïóñòèìóþ ïîãðåøíîñòü ïðèíèìàåòñÿ 0,5 ìì. Äîïóñòèìûå ïîãðåøíîñòè, ïðèâåäåííûå çäåñü, îòíîñÿòñÿ ê òî÷íîñòè èçãîòîâëåíèÿ ñàìîãî ïðèáîðà. Ïðè èçìåðåíèè ïðèáîðîì â ðÿäå ñëó÷àåâ ïîãðåøíîñòü ìîæåò áûòü çàìåòíî áîëüøå. Íàïðèìåð, èç-çà òðóäíîñòè îòñ÷åòà íà ãëàç äåñÿòûõ äîëåé ìèëëèìåòðà ïîãðåøíîñòü ïðè èçìåðåíèè ìåòàëëè÷åñêîé ëèíåéêîé 12
ìîæåò ñîñòàâëÿòü 0,20,3 ìì, õîòÿ ñàìà ëèíåéêà èçãîòîâëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî 0,1 ìì. Ïðè èçìåðåíèè ñåêóíäîìåðîì íåáîëüøèõ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè (ìåíåå 5 ìèí) ïîãðåøíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ íå òî÷íîñòüþ õîäà ñåêóíäîìåðà, à çàïàçäûâàíèåì ïðè âêëþ÷åíèè è âûêëþ÷åíèè è ñîñòàâëÿåò îáû÷íî 0,20,4 ñ. Ïîäîáíûå ïîãðåøíîñòè ðàññìàòðèâàþòñÿ íå êàê ïðèáîðíûå, à êàê ñëó÷àéíûå. 6. Ïîëíàÿ ïîãðåøíîñòü Ñëîæåíèå ïîãðåøíîñòåé.  òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ïîãðåøíîñòè âûçûâàþòñÿ íåñêîëüêèìè íåçàâèñèìûìè äðóã îò äðóãà ñëó÷àéíûìè ïðè÷èíàìè, òî ñêëàäûâàþòñÿ íå ñàìè ïîãðåøíîñòè, à èõ êâàäðàòû. Ïîýòîìó ïîëíàÿ àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü Da èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû âûðàæàåòñÿ ÷åðåç åå ñëó÷àéíóþ Dañë è ïðèáîðíóþ Daïð ïîãðåøíîñòè ôîðìóëîé Da =
2 2 . Dañë + Daïð
(6)
Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïîãðåøíîñòÿì Dañë è Daïð ñîîòâåòñòâóþò ïðèáëèçèòåëüíî îäèíàêîâûå äîâåðèòåëüíûå âåðîÿòíîñòè. Òàêóþ æå äîâåðèòåëüíóþ âåðîÿòíîñòü áóäåò èìåòü è Da. Èç ôîðìóëû (6) ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà îäíà èç ïîãðåøíîñòåé Dañë èëè Daïð äàæå â íåáîëüøîå ÷èñëî ðàç ìåíüøå äðóãîé, òî åå âêëàä â ïîëíóþ ïîãðåøíîñòü îêàçûâàåòñÿ íåçíà÷èòåëüíûì.  ÷àñòíîñòè, åñëè îäíà èç ïîãðåøíîñòåé ñîñòàâëÿåò ìåíåå 1/5 äðóãîé, òî åå êâàäðàò áóäåò óæå ìåíåå 1/25 êâàäðàòà äðóãîé, à âêëàä â ïîëíóþ ïîãðåøíîñòü ìåíåå 1/50. ßñíî, ÷òî â òàêîì ñëó÷àå ìåíüøåé ïîãðåøíîñòüþ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïðè ìíîãîêðàòíûõ èçìåðåíèÿõ ïîëó÷àåòñÿ îäíî è òî æå çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ ïîãðåøíîñòü íå ïðåâûøàåò íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ, êîòîðîå ìîæåò áûòü èçìåðåíî äàííûì ïðèáîðîì.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ïîëíàÿ ïîãðåøíîñòü öåëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ äîïóñòèìîé ïðèáîðíîé ïîãðåøíîñòüþ. Îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü. Êðîìå àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè ðåçóëüòàò òàêæå õàðàêòåðèçóåòñÿ è îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ, ò.å. îòíîøåíèåì Da ê ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó çíà÷åíèþ a . Îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü Da / a âûðàæàåòñÿ â âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè èëè â ïðîöåíòàõ è ïîêàçûâàåò êà÷åñòâî èçìåðåíèÿ. 13
4. Òåõíè÷åñêèå âåñû ñ íàãðóçêîé äî 5 êã è íàèìåíüøèì ðàçíîâåñêîì â 100 ìã 5. Ñåêóíäîìåðû ìåõàíè÷åñêèå ñ öåíîé äåëåíèÿ 0,2 è 0,1 ñ (ïðè èçìåðåíèè ïðîìåæóòêà âðåìåíè 120 ñ ïîãðåøíîñòü õîäà ïî ñðàâíåíèþ ñ ýòàëîííûìè ÷àñàìè) 6. Ëàáîðàòîðíûå ðòóòíûå òåðìîìåòðû (áåç óêàçàíèÿ êëàññà òî÷íîñòè)
0,1 ã 0,1 ñ
1°Ñ
1,5; 2,5; 4,0 (öèôðû ìîãóò áûòü ïîìåùåíû â êðóæîê èëè ðîìáèê). Êëàññ òî÷íîñòè ïîêàçûâàåò âåëè÷èíó äîïóñòèìîé ïîãðåøíîñòè â ïðîöåíòàõ îò çíà÷åíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû, ñîîòâåòñòâóþùåãî îòêëîíåíèþ ñòðåëêè äî ïîñëåäíåãî äåëåíèÿ øêàëû. Íàïðèìåð, åñëè ó ïðèáîðà ïîñëåäíåå äåëåíèå øêàëû 300 Â, à êëàññ åãî òî÷íîñòè 0,5, òî äîïóñòèìàÿ ïîãðåøíîñòü ðàâíà 0,5% îò 300 Â, èëè 300×0,5/100  = 1,5 Â. Òàêàÿ æå äîïóñòèìàÿ ïîãðåøíîñòü 1,5  áóäåò è äëÿ ëþáîãî äðóãîãî çíà÷åíèÿ, èçìåðÿåìîãî ïî ýòîé øêàëå.  ñëó÷àå ìíîãîôóíêöèîíàëüíîãî ïðèáîðà, èìåþùåãî ðàçíûå ïðåäåëû èçìåðåíèÿ è äàþùåãî âîçìîæíîñòü èçìåðÿòü ðàçëè÷íîãî ðîäà âåëè÷èíû (ñèëó òîêà, íàïðÿæåíèå, ñîïðîòèâëåíèå è ò.ä.), êëàññ òî÷íîñòè îáû÷íî íå çàâèñèò îò ïðåäåëà èçìåðåíèÿ, íî ìîæåò çàâèñåòü îò ðîäà òîêà (ïîñòîÿííûé èëè ïåðåìåííûé) è îò ðîäà èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû. Íà øêàëå òàêîãî ïðèáîðà óêàçûâàåòñÿ íåñêîëüêî êëàññîâ òî÷íîñòè ñ óñëîâíûìè îáîçíà÷åíèÿìè ó êàæäîãî èç íèõ («» èëè «=» ïîñòîÿííûé òîê, «~» èëè «»» ïåðåìåííûé òîê, «@» è ïîñòîÿííûé è ïåðåìåííûé òîê, «W» ñîïðîòèâëåíèå, «mF» èëè «Cx » åìêîñòü è ò.ä.). Öèôðîâûå ýëåêòðîèçìåðèòåëüíûå è ïðî÷èå ïðèáîðû èìåþò, êàê ïðàâèëî äîïóñòèìóþ ïîãðåøíîñòü, ñîñòàâëÿþùóþ 12 åäèíèöû ïîñëåäíåãî èíäèöèðóåìîãî ðàçðÿäà. Åñëè ñâåäåíèé î äîïóñòèìîé ïðèáîðíîé ïîãðåøíîñòè íåò, òî â êà÷åñòâå íåå ìîæíî ïðèíÿòü ïîëîâèíó íàèìåíüøåãî äåëåíèÿ øêàëû ïðèáîðà èëè ïîëîâèíó íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû, êîòîðîå åùå ìîæíî íàéòè ïðè ïîìîùè ýòîãî ïðèáîðà. Íàïðèìåð, ïðè èçìåðåíèè äëèíû ëèíåéêîé ñ ìèëëèìåòðîâûìè äåëåíèÿìè çà äîïóñòèìóþ ïîãðåøíîñòü ïðèíèìàåòñÿ 0,5 ìì. Äîïóñòèìûå ïîãðåøíîñòè, ïðèâåäåííûå çäåñü, îòíîñÿòñÿ ê òî÷íîñòè èçãîòîâëåíèÿ ñàìîãî ïðèáîðà. Ïðè èçìåðåíèè ïðèáîðîì â ðÿäå ñëó÷àåâ ïîãðåøíîñòü ìîæåò áûòü çàìåòíî áîëüøå. Íàïðèìåð, èç-çà òðóäíîñòè îòñ÷åòà íà ãëàç äåñÿòûõ äîëåé ìèëëèìåòðà ïîãðåøíîñòü ïðè èçìåðåíèè ìåòàëëè÷åñêîé ëèíåéêîé 12
ìîæåò ñîñòàâëÿòü 0,20,3 ìì, õîòÿ ñàìà ëèíåéêà èçãîòîâëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî 0,1 ìì. Ïðè èçìåðåíèè ñåêóíäîìåðîì íåáîëüøèõ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè (ìåíåå 5 ìèí) ïîãðåøíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ íå òî÷íîñòüþ õîäà ñåêóíäîìåðà, à çàïàçäûâàíèåì ïðè âêëþ÷åíèè è âûêëþ÷åíèè è ñîñòàâëÿåò îáû÷íî 0,20,4 ñ. Ïîäîáíûå ïîãðåøíîñòè ðàññìàòðèâàþòñÿ íå êàê ïðèáîðíûå, à êàê ñëó÷àéíûå. 6. Ïîëíàÿ ïîãðåøíîñòü Ñëîæåíèå ïîãðåøíîñòåé.  òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ïîãðåøíîñòè âûçûâàþòñÿ íåñêîëüêèìè íåçàâèñèìûìè äðóã îò äðóãà ñëó÷àéíûìè ïðè÷èíàìè, òî ñêëàäûâàþòñÿ íå ñàìè ïîãðåøíîñòè, à èõ êâàäðàòû. Ïîýòîìó ïîëíàÿ àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü Da èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû âûðàæàåòñÿ ÷åðåç åå ñëó÷àéíóþ Dañë è ïðèáîðíóþ Daïð ïîãðåøíîñòè ôîðìóëîé Da =
2 2 . Dañë + Daïð
(6)
Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïîãðåøíîñòÿì Dañë è Daïð ñîîòâåòñòâóþò ïðèáëèçèòåëüíî îäèíàêîâûå äîâåðèòåëüíûå âåðîÿòíîñòè. Òàêóþ æå äîâåðèòåëüíóþ âåðîÿòíîñòü áóäåò èìåòü è Da. Èç ôîðìóëû (6) ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà îäíà èç ïîãðåøíîñòåé Dañë èëè Daïð äàæå â íåáîëüøîå ÷èñëî ðàç ìåíüøå äðóãîé, òî åå âêëàä â ïîëíóþ ïîãðåøíîñòü îêàçûâàåòñÿ íåçíà÷èòåëüíûì.  ÷àñòíîñòè, åñëè îäíà èç ïîãðåøíîñòåé ñîñòàâëÿåò ìåíåå 1/5 äðóãîé, òî åå êâàäðàò áóäåò óæå ìåíåå 1/25 êâàäðàòà äðóãîé, à âêëàä â ïîëíóþ ïîãðåøíîñòü ìåíåå 1/50. ßñíî, ÷òî â òàêîì ñëó÷àå ìåíüøåé ïîãðåøíîñòüþ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïðè ìíîãîêðàòíûõ èçìåðåíèÿõ ïîëó÷àåòñÿ îäíî è òî æå çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ ïîãðåøíîñòü íå ïðåâûøàåò íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ, êîòîðîå ìîæåò áûòü èçìåðåíî äàííûì ïðèáîðîì.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ïîëíàÿ ïîãðåøíîñòü öåëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ äîïóñòèìîé ïðèáîðíîé ïîãðåøíîñòüþ. Îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü. Êðîìå àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè ðåçóëüòàò òàêæå õàðàêòåðèçóåòñÿ è îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ, ò.å. îòíîøåíèåì Da ê ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó çíà÷åíèþ a . Îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü Da / a âûðàæàåòñÿ â âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè èëè â ïðîöåíòàõ è ïîêàçûâàåò êà÷åñòâî èçìåðåíèÿ. 13
Åñëè ïðè èçìåðåíèÿõ ïîëó÷åíà îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü áîëåå 10%, òî ãîâîðÿò, ÷òî ïðîèçâåäåíî íå èçìåðåíèå, à ëèøü îöåíêà èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû.  ëàáîðàòîðèÿõ ôèçè÷åñêîãî ïðàêòèêóìà îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü îáû÷íî ñîñòàâëÿåò 110%.  íàó÷íûõ æå ëàáîðàòîðèÿõ èçìåðåíèÿ íåêîòîðûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, òàêèõ, íàïðèìåð, êàê äëèíà ñâåòîâîé âîëíû, îñóùåñòâëÿþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ ïîðÿäêà ìèëëèîííîé äîëè ïðîöåíòà. Çàïèñü ïðèáëèæåííûõ ÷èñåë. Ïîñêîëüêó çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå èçìåðåíèé, èìåþò ïîãðåøíîñòè, îíè âûðàæàþòñÿ íå òî÷íûìè, à ïðèáëèæåííûìè ÷èñëàìè. Íåçíà÷àùèìè öèôðàìè ïðèáëèæåííîãî ÷èñëà íàçûâàþòñÿ íóëè, ñòîÿùèå ñëåâà â äåñÿòè÷íûõ äðîáÿõ äî ïåðâîé îòëè÷íîé îò íóëÿ öèôðû, è íóëè, ïîñòàâëåííûå â êîíöå ÷èñëà, âìåñòî öèôð, îòáðîøåííûõ ïðè îêðóãëåíèè. Îñòàëüíûå öèôðû íàçûâàþòñÿ çíà÷àùèìè. Íàïðèìåð, â ÷èñëå 0,0123 çíà÷àùèå öèôðû 1, 2, 3; â ÷èñëå 508000, ïîëó÷åííîì îêðóãëåíèåì ÷èñëà 507893, òðè íóëÿ íåçíà÷àùèå (íåçíà÷àùèå íóëè ïîä÷åðêíóòû).  êîíöå ÷èñëà ìîãóò áûòü è çíà÷àùèå íóëè. Òàê, íàïðèìåð, âî âòîðîì ÷èñëå âûðàæåíèÿ 5 êì = 5000 ì íóëè íå çàìåíÿþò îòáðîøåííûå ïðè îêðóãëåíèè öèôðû, à âûðàæàþò òî÷íîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó åäèíèöàìè äëèíû. Äëÿ òîãî ÷òîáû ÷èñëà íå ñîäåðæàëè íåçíà÷àùèõ íóëåé, èõ ïðèíÿòî çàïèñûâàòü â ïîêàçàòåëüíîé (ýêñïîíåíöèàëüíîé) ôîðìå ñ çàïÿòîé ïîñëå ïåðâîé çíà÷àùåé öèôðû.  ýòîì ñëó÷àå ÷èñëà ïðåäûäóùèõ ïðèìåðîâ èìåþò âèä: 0,0123 = 1,23×10-2; 508000 = 5,08×105. Çíà÷àùèå íóëè ïðè òàêîé çàïèñè íå îòáðàñûâàþòñÿ: 5 êì = 5,000×103 ì.  ÷èñëàõ, âûðàæàþùèõ çíà÷åíèÿ, äëÿ êîòîðûõ óêàçàíà ïîãðåøíîñòü, ïîñëåäíÿÿ öèôðà (ñîìíèòåëüíàÿ) ñòîèò â òîì æå ðàçðÿäå, ÷òî è ïåðâàÿ çíà÷àùàÿ öèôðà ïîãðåøíîñòè. Öèôðû, íàõîäÿùèåñÿ â ñëåäóþùèõ ðàçðÿäàõ êàê ñàìîãî ÷èñëà, òàê è åãî ïîãðåøíîñòè, äîëæíû áûòü îòáðîøåíû êàê íåâåðíûå ïî ïðàâèëàì îêðóãëåíèÿ, ïðè÷åì ïîãðåøíîñòü îêðóãëÿþò âñåãäà â ñòîðîíó óâåëè÷åíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ñàìà ïîãðåøíîñòü ñîäåðæèò òîëüêî îäíó çíà÷àùóþ öèôðó. Îäíàêî åñëè ïåðâàÿ öèôðà ïîãðåøíîñòè åäèíèöà, òî â ïîãðåøíîñòè îñòàâëÿþò äâå öèôðû, à â ñàìîì ÷èñëå ñîõðàíÿþò ëèøíèé ðàçðÿä. Íàêîíåö, åñëè äàííîå ÷èñëî íå ÿâëÿåòñÿ îêîí÷àòåëüíûì ðåçóëüòàòîì, à áóäåò ó÷àñòâîâàòü â êàêèõ-ëèáî âû÷èñëåíèÿõ, òî â íåì, êàê è â åãî ïîãðåøíîñòè, ñîõðàíÿþò ëèøíèé ðàçðÿä. Çàïèñü îêîí÷àòåëüíîãî ðåçóëüòàòà èçìåðåíèÿ.  çàïèñè îêîí÷àòåëüíîãî ðåçóëüòàòà èçìåðåíèÿ äîëæíû ñîäåðæàòüñÿ: 14
íàçâàíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû è åå áóêâåííîå îáîçíà÷åíèå; íàèáîëåå âåðîÿòíîå çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû, ò.å. çíà÷åíèå, ïîëó÷àþùååñÿ â ðåçóëüòàòå îòñ÷åòà ïî ïðèáîðó, åñëè èçìåðåíèå ïðîâîäèëîñü îäíîêðàòíî, èëè ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ýòèõ îòñ÷åòîâ, åñëè èçìåðåíèå ïðîâîäèëîñü íåñêîëüêî ðàç; ïîëíàÿ àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû; åäèíèöà èçìåðåíèÿ, â êîòîðîé âûðàæåíà èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà è åå ïîëíàÿ àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü; äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü ðåçóëüòàòà; îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü, âûðàæåííàÿ â âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè èëè â ïðîöåíòàõ. Ïðè çàïèñè ðåçóëüòàòà èçìåðåíèÿ ñëåäóåò ñîáëþäàòü ïðèâåäåííûå âûøå ïðàâèëà çàïèñè ïðèáëèæåííûõ ÷èñåë. Ï ð è ì å ð . Ïóñòü ïðè èçìåðåíèè ïÿòü ðàç äëèíû L ïðåäìåòà ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (1), (2) è (4) ïîëó÷åíû ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå çíà÷åíèå äëèíû L = 64,945 ìì è ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî SL = 0,057879186 ìì. Èçìåðåíèÿ ïðîâîäèëèñü ñ ïîìîùüþ øòàíãåíöèðêóëÿ ñ äîïóñòèìîé ïðèáîðíîé ïîãðåøíîñòüþ DLïð = 0,05 ìì. Çàäàâøèñü äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ a = 0,95, íàõîäèì ïî òàáëèöå êîýôôèöèåíò Ñòüþäåíòà (ñì. ñ. 10) äëÿ ïÿòè èçìåðåíèé tan = 2, 8. Óìíîæèâ íà íåãî SL, ïîëó÷èì ñëó÷àéíóþ ïîãðåøíîñòü DLñë = 0,16206172 ìì. Ïîëàãàÿ, ÷òî äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü ïðèáîðíîé ïîãðåøíîñòè íå ìåíåå 0,95, ïî ôîðìóëå (6) íàéäåì ïîëíóþ àáñîëþòíóþ ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ DL = 0,16959953 ìì è åãî îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü DL / L = 0, 0026114332 . Çäåñü ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ðàñ÷åò ïðîâîäèëñÿ íà êàëüêóëÿòîðå ñ âîñåìüþ çíà÷àùèìè öèôðàìè. Ïåðåä îêîí÷àòåëüíîé çàïèñüþ ðåçóëüòàòà ïîëó÷åííûå ïðè ðàñ÷åòå ÷èñëà ñëåäóåò îêðóãëèòü. Ïðè ýòîì â àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè DL, ïåðâàÿ çíà÷àùàÿ öèôðà êîòîðîé 1, ñëåäóåò îñòàâèòü äâå çíà÷àùèõ öèôðû, à â îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè DL / L îäíó, ò.å. çàïèñàòü DL = 0,17 ìì è DL / L = 0, 003. Òàê êàê ïîñëåäíÿÿ çíà÷àùàÿ öèôðà àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè 7 íàõîäèòñÿ â ðàçðÿäå ñîòûõ, òî ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ äëèíû òàêæå ñëåäóåò îêðóãëèòü äî ñîòûõ, ò.å. çàïèñàòü L = 64,95 ìì. Òàêèì îáðàçîì, çàïèñü îêîí÷àòåëüíîãî ðåçóëüòàòà èçìåðåíèÿ äîëæíà èìåòü ñëåäóþùèé âèä: L = (64,95 ± 0,17) ìì,
DL / L = 0, 03 = 3%
(7)
(äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü 0,95). 15
Åñëè ïðè èçìåðåíèÿõ ïîëó÷åíà îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü áîëåå 10%, òî ãîâîðÿò, ÷òî ïðîèçâåäåíî íå èçìåðåíèå, à ëèøü îöåíêà èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû.  ëàáîðàòîðèÿõ ôèçè÷åñêîãî ïðàêòèêóìà îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü îáû÷íî ñîñòàâëÿåò 110%.  íàó÷íûõ æå ëàáîðàòîðèÿõ èçìåðåíèÿ íåêîòîðûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, òàêèõ, íàïðèìåð, êàê äëèíà ñâåòîâîé âîëíû, îñóùåñòâëÿþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ ïîðÿäêà ìèëëèîííîé äîëè ïðîöåíòà. Çàïèñü ïðèáëèæåííûõ ÷èñåë. Ïîñêîëüêó çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå èçìåðåíèé, èìåþò ïîãðåøíîñòè, îíè âûðàæàþòñÿ íå òî÷íûìè, à ïðèáëèæåííûìè ÷èñëàìè. Íåçíà÷àùèìè öèôðàìè ïðèáëèæåííîãî ÷èñëà íàçûâàþòñÿ íóëè, ñòîÿùèå ñëåâà â äåñÿòè÷íûõ äðîáÿõ äî ïåðâîé îòëè÷íîé îò íóëÿ öèôðû, è íóëè, ïîñòàâëåííûå â êîíöå ÷èñëà, âìåñòî öèôð, îòáðîøåííûõ ïðè îêðóãëåíèè. Îñòàëüíûå öèôðû íàçûâàþòñÿ çíà÷àùèìè. Íàïðèìåð, â ÷èñëå 0,0123 çíà÷àùèå öèôðû 1, 2, 3; â ÷èñëå 508000, ïîëó÷åííîì îêðóãëåíèåì ÷èñëà 507893, òðè íóëÿ íåçíà÷àùèå (íåçíà÷àùèå íóëè ïîä÷åðêíóòû).  êîíöå ÷èñëà ìîãóò áûòü è çíà÷àùèå íóëè. Òàê, íàïðèìåð, âî âòîðîì ÷èñëå âûðàæåíèÿ 5 êì = 5000 ì íóëè íå çàìåíÿþò îòáðîøåííûå ïðè îêðóãëåíèè öèôðû, à âûðàæàþò òî÷íîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó åäèíèöàìè äëèíû. Äëÿ òîãî ÷òîáû ÷èñëà íå ñîäåðæàëè íåçíà÷àùèõ íóëåé, èõ ïðèíÿòî çàïèñûâàòü â ïîêàçàòåëüíîé (ýêñïîíåíöèàëüíîé) ôîðìå ñ çàïÿòîé ïîñëå ïåðâîé çíà÷àùåé öèôðû.  ýòîì ñëó÷àå ÷èñëà ïðåäûäóùèõ ïðèìåðîâ èìåþò âèä: 0,0123 = 1,23×10-2; 508000 = 5,08×105. Çíà÷àùèå íóëè ïðè òàêîé çàïèñè íå îòáðàñûâàþòñÿ: 5 êì = 5,000×103 ì.  ÷èñëàõ, âûðàæàþùèõ çíà÷åíèÿ, äëÿ êîòîðûõ óêàçàíà ïîãðåøíîñòü, ïîñëåäíÿÿ öèôðà (ñîìíèòåëüíàÿ) ñòîèò â òîì æå ðàçðÿäå, ÷òî è ïåðâàÿ çíà÷àùàÿ öèôðà ïîãðåøíîñòè. Öèôðû, íàõîäÿùèåñÿ â ñëåäóþùèõ ðàçðÿäàõ êàê ñàìîãî ÷èñëà, òàê è åãî ïîãðåøíîñòè, äîëæíû áûòü îòáðîøåíû êàê íåâåðíûå ïî ïðàâèëàì îêðóãëåíèÿ, ïðè÷åì ïîãðåøíîñòü îêðóãëÿþò âñåãäà â ñòîðîíó óâåëè÷åíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ñàìà ïîãðåøíîñòü ñîäåðæèò òîëüêî îäíó çíà÷àùóþ öèôðó. Îäíàêî åñëè ïåðâàÿ öèôðà ïîãðåøíîñòè åäèíèöà, òî â ïîãðåøíîñòè îñòàâëÿþò äâå öèôðû, à â ñàìîì ÷èñëå ñîõðàíÿþò ëèøíèé ðàçðÿä. Íàêîíåö, åñëè äàííîå ÷èñëî íå ÿâëÿåòñÿ îêîí÷àòåëüíûì ðåçóëüòàòîì, à áóäåò ó÷àñòâîâàòü â êàêèõ-ëèáî âû÷èñëåíèÿõ, òî â íåì, êàê è â åãî ïîãðåøíîñòè, ñîõðàíÿþò ëèøíèé ðàçðÿä. Çàïèñü îêîí÷àòåëüíîãî ðåçóëüòàòà èçìåðåíèÿ.  çàïèñè îêîí÷àòåëüíîãî ðåçóëüòàòà èçìåðåíèÿ äîëæíû ñîäåðæàòüñÿ: 14
íàçâàíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû è åå áóêâåííîå îáîçíà÷åíèå; íàèáîëåå âåðîÿòíîå çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû, ò.å. çíà÷åíèå, ïîëó÷àþùååñÿ â ðåçóëüòàòå îòñ÷åòà ïî ïðèáîðó, åñëè èçìåðåíèå ïðîâîäèëîñü îäíîêðàòíî, èëè ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ýòèõ îòñ÷åòîâ, åñëè èçìåðåíèå ïðîâîäèëîñü íåñêîëüêî ðàç; ïîëíàÿ àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû; åäèíèöà èçìåðåíèÿ, â êîòîðîé âûðàæåíà èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà è åå ïîëíàÿ àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü; äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü ðåçóëüòàòà; îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü, âûðàæåííàÿ â âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè èëè â ïðîöåíòàõ. Ïðè çàïèñè ðåçóëüòàòà èçìåðåíèÿ ñëåäóåò ñîáëþäàòü ïðèâåäåííûå âûøå ïðàâèëà çàïèñè ïðèáëèæåííûõ ÷èñåë. Ï ð è ì å ð . Ïóñòü ïðè èçìåðåíèè ïÿòü ðàç äëèíû L ïðåäìåòà ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (1), (2) è (4) ïîëó÷åíû ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå çíà÷åíèå äëèíû L = 64,945 ìì è ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî SL = 0,057879186 ìì. Èçìåðåíèÿ ïðîâîäèëèñü ñ ïîìîùüþ øòàíãåíöèðêóëÿ ñ äîïóñòèìîé ïðèáîðíîé ïîãðåøíîñòüþ DLïð = 0,05 ìì. Çàäàâøèñü äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ a = 0,95, íàõîäèì ïî òàáëèöå êîýôôèöèåíò Ñòüþäåíòà (ñì. ñ. 10) äëÿ ïÿòè èçìåðåíèé tan = 2, 8. Óìíîæèâ íà íåãî SL, ïîëó÷èì ñëó÷àéíóþ ïîãðåøíîñòü DLñë = 0,16206172 ìì. Ïîëàãàÿ, ÷òî äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü ïðèáîðíîé ïîãðåøíîñòè íå ìåíåå 0,95, ïî ôîðìóëå (6) íàéäåì ïîëíóþ àáñîëþòíóþ ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ DL = 0,16959953 ìì è åãî îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü DL / L = 0, 0026114332 . Çäåñü ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ðàñ÷åò ïðîâîäèëñÿ íà êàëüêóëÿòîðå ñ âîñåìüþ çíà÷àùèìè öèôðàìè. Ïåðåä îêîí÷àòåëüíîé çàïèñüþ ðåçóëüòàòà ïîëó÷åííûå ïðè ðàñ÷åòå ÷èñëà ñëåäóåò îêðóãëèòü. Ïðè ýòîì â àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè DL, ïåðâàÿ çíà÷àùàÿ öèôðà êîòîðîé 1, ñëåäóåò îñòàâèòü äâå çíà÷àùèõ öèôðû, à â îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè DL / L îäíó, ò.å. çàïèñàòü DL = 0,17 ìì è DL / L = 0, 003. Òàê êàê ïîñëåäíÿÿ çíà÷àùàÿ öèôðà àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè 7 íàõîäèòñÿ â ðàçðÿäå ñîòûõ, òî ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ äëèíû òàêæå ñëåäóåò îêðóãëèòü äî ñîòûõ, ò.å. çàïèñàòü L = 64,95 ìì. Òàêèì îáðàçîì, çàïèñü îêîí÷àòåëüíîãî ðåçóëüòàòà èçìåðåíèÿ äîëæíà èìåòü ñëåäóþùèé âèä: L = (64,95 ± 0,17) ìì,
DL / L = 0, 03 = 3%
(7)
(äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü 0,95). 15
Åñëè ðåçóëüòàò æåëàòåëüíî ïðåäñòàâèòü â ìåòðàõ, òî ïåðâàÿ ñòðîêà ïðèìåò âèä L = (6,495 ± 0,017)×10-2 ì. 7. Ïîãðåøíîñòè êîñâåííûõ èçìåðåíèé Îöåíêà ïîãðåøíîñòåé, âîçíèêàþùèõ ïðè êîñâåííûõ èçìåðåíèÿõ, îñíîâûâàåòñÿ íà ñëåäóþùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ: îòíîñèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè âåëè÷èí, ïîëó÷åííûõ ïðÿìûìè èçìåðåíèÿìè è ó÷àñòâóþùèõ â ðàñ÷åòå èñêîìîé âåëè÷èíû, äîëæíû áûòü ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ åäèíèöåé (íà ïðàêòèêå îíè íå äîëæíû ïðåâûøàòü 10%); äëÿ ïîãðåøíîñòåé âñåõ âåëè÷èí, ó÷àñòâóþùèõ â ðàñ÷åòå, ïðèíÿòà îäíà è òà æå äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü. Ýòó æå äîâåðèòåëüíóþ âåðîÿòíîñòü áóäåò èìåòü è ïîãðåøíîñòü èñêîìîé âåëè÷èíû; íàèáîëåå âåðîÿòíîå çíà÷åíèå èñêîìîé âåëè÷èíû ïîëó÷àåòñÿ, åñëè äëÿ åå ðàñ÷åòà èñïîëüçóþòñÿ íàèáîëåå âåðîÿòíûå çíà÷åíèÿ èñõîäíûõ âåëè÷èí, ò.å. èõ ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ. Ïîãðåøíîñòü â ñëó÷àå îäíîé èñõîäíîé âåëè÷èíû. Êàê áóäåò âèäíî èç äàëüíåéøåãî, â îäíèõ ñëó÷àÿõ íàõîæäåíèå ïîãðåøíîñòè âåëè÷èíû ïðè åå êîñâåííîì èçìåðåíèè óäîáíî íà÷èíàòü ñ àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè, â äðóãèõ ñ îòíîñèòåëüíîé. Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü. Ïóñòü èñêîìàÿ âåëè÷èíà y, èçìåðÿåìàÿ êîñâåííî, çàâèñèò òîëüêî îò îäíîé âåëè÷èíû a, ïîëó÷åííîé ïðÿìûì èçìåðåíèåì. Ãðàíèöû èíòåðâàëà, â êîòîðîì ñ çàäàííîé âåðîÿòíîñòüþ ëåæèò âåëè÷èíà a, îïðåäåëÿþòñÿ ñðåäíèì àðèôìåòè÷åñêèì çíà÷åíèåì a è ïîëíîé àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ Da âåëè÷èíû a. Ýòî çíà÷èò, ÷òî çíà÷åíèå a ìîæåò ëåæàòü âíóòðè èíòåðâàëà ñ ãðàíèöàìè a ± Da. Ïðè êîñâåííîì èçìåðåíèè äëÿ âåëè÷èíû y(a) òàêèå ãðàíèöû áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ åå íàèáîëåå âåðîÿòíûì çíà÷åíèåì y = y(a ) è ïîãðåøíîñòüþ Dy, ò.å. çíà÷åíèÿ y ëåæàò âíóòðè èíòåðâàëà ñ ãðàíèöàìè O ± DO. Âåðõíåé ãðàíèöåé äëÿ y (ïðè ìîíîòîííîì âîçðàñòàíèè) áóäåò çíà÷åíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå âåðõíåé ãðàíèöå a, ò.å. çíà÷åíèå y ± Dy = y(a + Da). Òàêèì îáðàçîì, àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü Dy âåëè÷èíû y èìååò âèä ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè y(a), âûçâàííîãî ïðèðàùåíèåì åå àðãóìåíòà a íà âåëè÷èíó Da åãî àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëàìè äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ, ñîãëàñíî êî16
òîðîìó ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ Da ïðèðàùåíèå Dy ìîæíî ïðèáëèæåííî âûðàçèòü â âèäå Dy =
dy Da, da
(8)
dy ïðîèçâîäíàÿ ïî a ôóíêöèè y(a) ïðè a = a . da Òàêèì îáðàçîì, àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü îêîí÷àòåëüíîãî
ãäå
ðåçóëüòàòà ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (8), ïðè÷åì äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîîòâåòñòâóåò òîé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè, êîòîðóþ èìååò Da. Îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü. ×òîáû íàéòè îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü çíà÷åíèÿ y, ïîäåëèì (8) íà y è ïðèìåì âî âíèìàíèå, 1 dy ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîèçâîäíóþ ïî a íàòóðàëüíîãî ÷òî y da ëîãàðèôìà y.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ
d (ln y) Dy 1 dy = Da = Da. y y da da
(9)
Åñëè â ýòî âûðàæåíèå ïîäñòàâèòü a = a è O = O , òî åãî çíà÷åíèå è áóäåò îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ âåëè÷èíû y. Ïîãðåøíîñòü â ñëó÷àå íåñêîëüêèõ èñõîäíûõ âåëè÷èí.  îáùåì ñëó÷àå â ôîðìóëó, ïî êîòîðîé âû÷èñëÿåòñÿ âåëè÷èíà y, èçìåðÿåìàÿ êîñâåííî, ìîæåò âõîäèòü íåñêîëüêî èñõîäíûõ âåëè÷èí a, b, c, ..., äëÿ êîòîðûõ ïðÿìûìè èçìåðåíèÿìè ïîëó÷åíû ñðåäíèå çíà÷åíèÿ a , b , c , ... è ïîëíûå àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè Da, Db, Dc, .... Íàõîæäåíèå ïîãðåøíîñòè Dy âåëè÷èíû y â ýòîì ñëó÷àå îñíîâûâàåòñÿ íà ñëåäóþùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ: íàëè÷èå ïîãðåøíîñòè îäíîé èç èñõîäíûõ âåëè÷èí íå âëå÷åò çà ñîáîé îáÿçàòåëüíîãî ïîÿâëåíèÿ ïîãðåøíîñòåé äðóãèõ èñõîäíûõ âåëè÷èí, ò.å. ïîãðåøíîñòè ðàçëè÷íûõ âåëè÷èí, íàéäåííûõ ïðÿìûìè èçìåðåíèÿìè, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå ÷èñëà. Ïîýòîìó ÷àñòíóþ ïîãðåøíîñòü (âêëàä â îáùóþ ïîãðåøíîñòü îäíîé èç èñõîäíûõ âåëè÷èí) ìîæíî íàõîäèòü, ïîëàãàÿ ïîãðåøíîñòè âñåõ äðóãèõ èñõîäíûõ âåëè÷èí ðàâíûìè íóëþ; ïðè íàõîæäåíèè îáùåé ïîãðåøíîñòè èñêîìîé âåëè÷èíû ñêëàäûâàòüñÿ äîëæíû êâàäðàòû åå ÷àñòíûõ ïîãðåøíîñòåé òàê, êàê ýòî äåëàåòñÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîëíîé àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè ïðÿìîãî èçìåðåíèÿ, îáóñëîâëåííîé íåçàâèñèìûìè ìåæäó ñîáîé ñëó÷àéíîé è ïðèáîðíîé ïîãðåøíîñòÿìè. 17
Åñëè ðåçóëüòàò æåëàòåëüíî ïðåäñòàâèòü â ìåòðàõ, òî ïåðâàÿ ñòðîêà ïðèìåò âèä L = (6,495 ± 0,017)×10-2 ì. 7. Ïîãðåøíîñòè êîñâåííûõ èçìåðåíèé Îöåíêà ïîãðåøíîñòåé, âîçíèêàþùèõ ïðè êîñâåííûõ èçìåðåíèÿõ, îñíîâûâàåòñÿ íà ñëåäóþùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ: îòíîñèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè âåëè÷èí, ïîëó÷åííûõ ïðÿìûìè èçìåðåíèÿìè è ó÷àñòâóþùèõ â ðàñ÷åòå èñêîìîé âåëè÷èíû, äîëæíû áûòü ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ åäèíèöåé (íà ïðàêòèêå îíè íå äîëæíû ïðåâûøàòü 10%); äëÿ ïîãðåøíîñòåé âñåõ âåëè÷èí, ó÷àñòâóþùèõ â ðàñ÷åòå, ïðèíÿòà îäíà è òà æå äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü. Ýòó æå äîâåðèòåëüíóþ âåðîÿòíîñòü áóäåò èìåòü è ïîãðåøíîñòü èñêîìîé âåëè÷èíû; íàèáîëåå âåðîÿòíîå çíà÷åíèå èñêîìîé âåëè÷èíû ïîëó÷àåòñÿ, åñëè äëÿ åå ðàñ÷åòà èñïîëüçóþòñÿ íàèáîëåå âåðîÿòíûå çíà÷åíèÿ èñõîäíûõ âåëè÷èí, ò.å. èõ ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ. Ïîãðåøíîñòü â ñëó÷àå îäíîé èñõîäíîé âåëè÷èíû. Êàê áóäåò âèäíî èç äàëüíåéøåãî, â îäíèõ ñëó÷àÿõ íàõîæäåíèå ïîãðåøíîñòè âåëè÷èíû ïðè åå êîñâåííîì èçìåðåíèè óäîáíî íà÷èíàòü ñ àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè, â äðóãèõ ñ îòíîñèòåëüíîé. Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü. Ïóñòü èñêîìàÿ âåëè÷èíà y, èçìåðÿåìàÿ êîñâåííî, çàâèñèò òîëüêî îò îäíîé âåëè÷èíû a, ïîëó÷åííîé ïðÿìûì èçìåðåíèåì. Ãðàíèöû èíòåðâàëà, â êîòîðîì ñ çàäàííîé âåðîÿòíîñòüþ ëåæèò âåëè÷èíà a, îïðåäåëÿþòñÿ ñðåäíèì àðèôìåòè÷åñêèì çíà÷åíèåì a è ïîëíîé àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ Da âåëè÷èíû a. Ýòî çíà÷èò, ÷òî çíà÷åíèå a ìîæåò ëåæàòü âíóòðè èíòåðâàëà ñ ãðàíèöàìè a ± Da. Ïðè êîñâåííîì èçìåðåíèè äëÿ âåëè÷èíû y(a) òàêèå ãðàíèöû áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ åå íàèáîëåå âåðîÿòíûì çíà÷åíèåì y = y(a ) è ïîãðåøíîñòüþ Dy, ò.å. çíà÷åíèÿ y ëåæàò âíóòðè èíòåðâàëà ñ ãðàíèöàìè O ± DO. Âåðõíåé ãðàíèöåé äëÿ y (ïðè ìîíîòîííîì âîçðàñòàíèè) áóäåò çíà÷åíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå âåðõíåé ãðàíèöå a, ò.å. çíà÷åíèå y ± Dy = y(a + Da). Òàêèì îáðàçîì, àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü Dy âåëè÷èíû y èìååò âèä ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè y(a), âûçâàííîãî ïðèðàùåíèåì åå àðãóìåíòà a íà âåëè÷èíó Da åãî àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëàìè äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ, ñîãëàñíî êî16
òîðîìó ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ Da ïðèðàùåíèå Dy ìîæíî ïðèáëèæåííî âûðàçèòü â âèäå Dy =
dy Da, da
(8)
dy ïðîèçâîäíàÿ ïî a ôóíêöèè y(a) ïðè a = a . da Òàêèì îáðàçîì, àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü îêîí÷àòåëüíîãî
ãäå
ðåçóëüòàòà ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (8), ïðè÷åì äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîîòâåòñòâóåò òîé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè, êîòîðóþ èìååò Da. Îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü. ×òîáû íàéòè îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü çíà÷åíèÿ y, ïîäåëèì (8) íà y è ïðèìåì âî âíèìàíèå, 1 dy ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîèçâîäíóþ ïî a íàòóðàëüíîãî ÷òî y da ëîãàðèôìà y.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ
d (ln y) Dy 1 dy = Da = Da. y y da da
(9)
Åñëè â ýòî âûðàæåíèå ïîäñòàâèòü a = a è O = O , òî åãî çíà÷åíèå è áóäåò îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ âåëè÷èíû y. Ïîãðåøíîñòü â ñëó÷àå íåñêîëüêèõ èñõîäíûõ âåëè÷èí.  îáùåì ñëó÷àå â ôîðìóëó, ïî êîòîðîé âû÷èñëÿåòñÿ âåëè÷èíà y, èçìåðÿåìàÿ êîñâåííî, ìîæåò âõîäèòü íåñêîëüêî èñõîäíûõ âåëè÷èí a, b, c, ..., äëÿ êîòîðûõ ïðÿìûìè èçìåðåíèÿìè ïîëó÷åíû ñðåäíèå çíà÷åíèÿ a , b , c , ... è ïîëíûå àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè Da, Db, Dc, .... Íàõîæäåíèå ïîãðåøíîñòè Dy âåëè÷èíû y â ýòîì ñëó÷àå îñíîâûâàåòñÿ íà ñëåäóþùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ: íàëè÷èå ïîãðåøíîñòè îäíîé èç èñõîäíûõ âåëè÷èí íå âëå÷åò çà ñîáîé îáÿçàòåëüíîãî ïîÿâëåíèÿ ïîãðåøíîñòåé äðóãèõ èñõîäíûõ âåëè÷èí, ò.å. ïîãðåøíîñòè ðàçëè÷íûõ âåëè÷èí, íàéäåííûõ ïðÿìûìè èçìåðåíèÿìè, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå ÷èñëà. Ïîýòîìó ÷àñòíóþ ïîãðåøíîñòü (âêëàä â îáùóþ ïîãðåøíîñòü îäíîé èç èñõîäíûõ âåëè÷èí) ìîæíî íàõîäèòü, ïîëàãàÿ ïîãðåøíîñòè âñåõ äðóãèõ èñõîäíûõ âåëè÷èí ðàâíûìè íóëþ; ïðè íàõîæäåíèè îáùåé ïîãðåøíîñòè èñêîìîé âåëè÷èíû ñêëàäûâàòüñÿ äîëæíû êâàäðàòû åå ÷àñòíûõ ïîãðåøíîñòåé òàê, êàê ýòî äåëàåòñÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîëíîé àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè ïðÿìîãî èçìåðåíèÿ, îáóñëîâëåííîé íåçàâèñèìûìè ìåæäó ñîáîé ñëó÷àéíîé è ïðèáîðíîé ïîãðåøíîñòÿìè. 17
Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü. Èç ïóíêòà 1 ñëåäóåò, ÷òî ïðàâèëî äëÿ íàõîæäåíèÿ ëþáîé ÷àñòíîé ïîãðåøíîñòè âåëè÷èíû y òàêîå æå, êàê è â òîì ñëó÷àå, êîãäà y çàâèñèò òîëüêî îò îäíîé èñõîäíîé âåëè÷èíû. Íî ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè â ôîðìóëå (8) ñëåäóåò áðàòü ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ y ïî äàííîé èñõîäíîé âåëè÷èíå, òàê êàê ïðåäïîëîæåíèå îá îòñóòñòâèè ïîãðåøíîñòåé ó äðóãèõ èñõîäíûõ âåëè÷èí ñîîòâåòñòâóåò ïîñòîÿíñòâó ýòèõ âåëè÷èí. Òàêèì îáðàçîì, ÷àñòíûå ïîãðåøíîñòè Dya, Dyb, Dyc, ... âåëè÷èíû y (a, b, c, ...) âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì Dya =
¶y ¶y ¶y Da, Dyb = Db, Dyc = Dc, ... . ¶a ¶b ¶c
(10)
Çäåñü â âûðàæåíèÿ (10), ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, ñëåäóåò ïîäñòàâèòü ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ èñõîäíûõ âåëè÷èí a , b , c ,... . Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü âåëè÷èíû y, îáóñëîâëåííàÿ âñåìè ÷àñòíûìè ïîãðåøíîñòÿìè, êàê ýòî ñëåäóåò èç ïóíêòà 2, ðàâíà
Dy = Dya + Dyb + Dyc + ...
(11)
èëè
Ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñþäà ñëåäóåò ïîäñòàâèòü íà ìåñòî âåëè÷èí a, b, c, ... èõ ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ a , b , c , ... . Îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü, îáóñëîâëåííàÿ âñåìè ÷àñòíûìè ïîãðåøíîñòÿìè (13), âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå æ Dy ö æ Dy ö æ Dy ö Dy = ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ + ... . y è y øa è y øb è y øc
(14)
Îñîáûé ñëó÷àé âû÷èñëåíèÿ ïîãðåøíîñòåé. Ðàíåå ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ïðè ïðÿìûõ èçìåðåíèÿõ êàæäàÿ èç âåëè÷èí a, b, c, ... èçìåðÿåòñÿ ïî íåñêîëüêî ðàç â íåèçìåííûõ óñëîâèÿõ è ÷òî â åå ïîëíóþ ïîãðåøíîñòü âêëþ÷åíà ïðèáîðíàÿ ïîãðåøíîñòü. Îäíàêî âîçìîæíû ñëó÷àè, êîãäà âåëè÷èíû a, b, c, ... èìåþò ïðèíöèïèàëüíî ðàçíûå çíà÷åíèÿ, ñîçíàòåëüíî èçìåíÿåìûå â ïðîöåññå îïûòà (íàïðèìåð, óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïåðèîäàì êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêèõ ìàÿòíèêîâ íåñêîëüêèõ ðàçíûõ äëèí).  òàêèõ ñëó÷àÿõ ðåêîìåíäóåòñÿ âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ èñêîìîé âåëè÷èíû y äëÿ êàæäîãî èç n îïûòîâ ïî îòäåëüíîñòè: y1 = y (a1, b1, c1, ...), y2 = y (a2, b2, c2, ...), ..., yn = y (an, bn, cn, ...).
æ ¶y ö æ ¶y ö æ ¶y ö Dy = ç Da ÷ + ç Db ÷ + ç Dc ÷ + ... . è ¶a ø è ¶b ø è ¶c ø
(12)
Òàê êàê âûðàæåíèÿ (10) äëÿ ÷àñòíûõ ïîãðåøíîñòåé ìîãóò áûòü äîâîëüíî ãðîìîçäêèìè, òî ëåã÷å ñíà÷àëà ïî ôîðìóëàì (10) íàéòè èõ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ, à çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (11). Ôîðìóëó æå (12) âîîáùå ïðè ýòîì ïèñàòü íå òðåáóåòñÿ. Îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü. Âû÷èñëåíèå îòíîñèòåëüíîé ïîDy âåëè÷èíû y, èçìåðÿåìîé êîñâåííî, â ñëó÷àå åå ãðåøíîñòè y çàâèñèìîñòè îò íåñêîëüêèõ èñõîäíûõ âåëè÷èí a, b, c, ... àíàëîãè÷íî âû÷èñëåíèþ àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè ñ òåì ëèøü îòëè÷èåì, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ ÷àñòíûõ îòíîñèòåëüíûõ ïîãðåøíîñòåé áåðóòñÿ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå îò íàòóðàëüíîãî ëîãàðèôìà y (a, b, c, ...):
æ Dy ö ¶(ln y ) Da , ç ÷ = ¶a è y ø æ Dy ö ¶(ln y ) Dc, ç ÷ = ¶c è y ø a
æ Dy ö ¶(ln y) Db , ç ÷ = ¶b è y ø
 êà÷åñòâå íàèáîëåå âåðîÿòíîãî çíà÷åíèÿ áåðåòñÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå:
y + y2 + ... + yn . (15) n Ñëó÷àéíàÿ ïîãðåøíîñòü Dyñë âåëè÷èíû y âû÷èñëÿåòñÿ òàê æå, êàê è ñëó÷àéíàÿ ïîãðåøíîñòü ïðè ïðÿìîì èçìåðåíèè (ôîðìóëû (2), (4), (5), â êîòîðûõ âìåñòî a1, a2 , ..., an ôèãóðèðóþò y1, y2, ..., yn). Âû÷èñëåíèå ïðèáîðíîé ïîãðåøíîñòè Dyïð ïðîèçâîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïî ôîðìóëàì (10) âû÷èñëÿþò ÷àñòíûå àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè âåëè÷èíû y.  ýòè ôîðìóëû â êà÷åñòâå Da, Db, Dc, ... ïîäñòàâëÿþò ïðèáîðíûå ïîãðåøíîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí, à äëÿ a, b, c, ... áåðóò èõ ñðåäíèå çíà÷åíèÿ. Çà êâàäðàò ïðèáîðíîé ïîãðåøíîñòè âåëè÷èíû y ïðèíèìàþò ñóììó êâàäðàòîâ ÷àñòíûõ ïîãðåøíîñòåé. Îêîí÷àòåëüíî ïîëíàÿ ïîãðåøíîñòü âåëè÷èíû y ïîäñ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå y =
b
....
(13)
Dy =
2 2 Dyñë + Dyïð .
(16)
c
18
19
Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü. Èç ïóíêòà 1 ñëåäóåò, ÷òî ïðàâèëî äëÿ íàõîæäåíèÿ ëþáîé ÷àñòíîé ïîãðåøíîñòè âåëè÷èíû y òàêîå æå, êàê è â òîì ñëó÷àå, êîãäà y çàâèñèò òîëüêî îò îäíîé èñõîäíîé âåëè÷èíû. Íî ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè â ôîðìóëå (8) ñëåäóåò áðàòü ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ y ïî äàííîé èñõîäíîé âåëè÷èíå, òàê êàê ïðåäïîëîæåíèå îá îòñóòñòâèè ïîãðåøíîñòåé ó äðóãèõ èñõîäíûõ âåëè÷èí ñîîòâåòñòâóåò ïîñòîÿíñòâó ýòèõ âåëè÷èí. Òàêèì îáðàçîì, ÷àñòíûå ïîãðåøíîñòè Dya, Dyb, Dyc, ... âåëè÷èíû y (a, b, c, ...) âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì Dya =
¶y ¶y ¶y Da, Dyb = Db, Dyc = Dc, ... . ¶a ¶b ¶c
(10)
Çäåñü â âûðàæåíèÿ (10), ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, ñëåäóåò ïîäñòàâèòü ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ èñõîäíûõ âåëè÷èí a , b , c ,... . Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü âåëè÷èíû y, îáóñëîâëåííàÿ âñåìè ÷àñòíûìè ïîãðåøíîñòÿìè, êàê ýòî ñëåäóåò èç ïóíêòà 2, ðàâíà
Dy = Dya + Dyb + Dyc + ...
(11)
èëè
Ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñþäà ñëåäóåò ïîäñòàâèòü íà ìåñòî âåëè÷èí a, b, c, ... èõ ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ a , b , c , ... . Îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü, îáóñëîâëåííàÿ âñåìè ÷àñòíûìè ïîãðåøíîñòÿìè (13), âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå æ Dy ö æ Dy ö æ Dy ö Dy = ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ + ... . y è y øa è y øb è y øc
(14)
Îñîáûé ñëó÷àé âû÷èñëåíèÿ ïîãðåøíîñòåé. Ðàíåå ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ïðè ïðÿìûõ èçìåðåíèÿõ êàæäàÿ èç âåëè÷èí a, b, c, ... èçìåðÿåòñÿ ïî íåñêîëüêî ðàç â íåèçìåííûõ óñëîâèÿõ è ÷òî â åå ïîëíóþ ïîãðåøíîñòü âêëþ÷åíà ïðèáîðíàÿ ïîãðåøíîñòü. Îäíàêî âîçìîæíû ñëó÷àè, êîãäà âåëè÷èíû a, b, c, ... èìåþò ïðèíöèïèàëüíî ðàçíûå çíà÷åíèÿ, ñîçíàòåëüíî èçìåíÿåìûå â ïðîöåññå îïûòà (íàïðèìåð, óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïåðèîäàì êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêèõ ìàÿòíèêîâ íåñêîëüêèõ ðàçíûõ äëèí).  òàêèõ ñëó÷àÿõ ðåêîìåíäóåòñÿ âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ èñêîìîé âåëè÷èíû y äëÿ êàæäîãî èç n îïûòîâ ïî îòäåëüíîñòè: y1 = y (a1, b1, c1, ...), y2 = y (a2, b2, c2, ...), ..., yn = y (an, bn, cn, ...).
æ ¶y ö æ ¶y ö æ ¶y ö Dy = ç Da ÷ + ç Db ÷ + ç Dc ÷ + ... . è ¶a ø è ¶b ø è ¶c ø
(12)
Òàê êàê âûðàæåíèÿ (10) äëÿ ÷àñòíûõ ïîãðåøíîñòåé ìîãóò áûòü äîâîëüíî ãðîìîçäêèìè, òî ëåã÷å ñíà÷àëà ïî ôîðìóëàì (10) íàéòè èõ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ, à çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (11). Ôîðìóëó æå (12) âîîáùå ïðè ýòîì ïèñàòü íå òðåáóåòñÿ. Îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü. Âû÷èñëåíèå îòíîñèòåëüíîé ïîDy âåëè÷èíû y, èçìåðÿåìîé êîñâåííî, â ñëó÷àå åå ãðåøíîñòè y çàâèñèìîñòè îò íåñêîëüêèõ èñõîäíûõ âåëè÷èí a, b, c, ... àíàëîãè÷íî âû÷èñëåíèþ àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè ñ òåì ëèøü îòëè÷èåì, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ ÷àñòíûõ îòíîñèòåëüíûõ ïîãðåøíîñòåé áåðóòñÿ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå îò íàòóðàëüíîãî ëîãàðèôìà y (a, b, c, ...):
æ Dy ö ¶(ln y ) Da , ç ÷ = ¶a è y ø æ Dy ö ¶(ln y ) Dc, ç ÷ = ¶c è y ø a
æ Dy ö ¶(ln y) Db , ç ÷ = ¶b è y ø
 êà÷åñòâå íàèáîëåå âåðîÿòíîãî çíà÷åíèÿ áåðåòñÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå:
y + y2 + ... + yn . (15) n Ñëó÷àéíàÿ ïîãðåøíîñòü Dyñë âåëè÷èíû y âû÷èñëÿåòñÿ òàê æå, êàê è ñëó÷àéíàÿ ïîãðåøíîñòü ïðè ïðÿìîì èçìåðåíèè (ôîðìóëû (2), (4), (5), â êîòîðûõ âìåñòî a1, a2 , ..., an ôèãóðèðóþò y1, y2, ..., yn). Âû÷èñëåíèå ïðèáîðíîé ïîãðåøíîñòè Dyïð ïðîèçâîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïî ôîðìóëàì (10) âû÷èñëÿþò ÷àñòíûå àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè âåëè÷èíû y.  ýòè ôîðìóëû â êà÷åñòâå Da, Db, Dc, ... ïîäñòàâëÿþò ïðèáîðíûå ïîãðåøíîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí, à äëÿ a, b, c, ... áåðóò èõ ñðåäíèå çíà÷åíèÿ. Çà êâàäðàò ïðèáîðíîé ïîãðåøíîñòè âåëè÷èíû y ïðèíèìàþò ñóììó êâàäðàòîâ ÷àñòíûõ ïîãðåøíîñòåé. Îêîí÷àòåëüíî ïîëíàÿ ïîãðåøíîñòü âåëè÷èíû y ïîäñ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå y =
b
....
(13)
Dy =
2 2 Dyñë + Dyïð .
(16)
c
18
19
Ïîãðåøíîñòè òàáëè÷íûõ çíà÷åíèé. Åñëè â ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåëè÷èíû, èçìåðÿåìîé êîñâåííî, âõîäÿò âåëè÷èíû, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ áåðóòñÿ èç ìàòåìàòè÷åñêèõ èëè ôèçè÷åñêèõ òàáëèö, òî èõ âêëàäû â ïîãðåøíîñòü èñêîìîé âåëè÷èíû ó÷èòûâàþòñÿ íà îáùèõ îñíîâàíèÿõ íàðÿäó ñ ïîãðåøíîñòÿìè âåëè÷èí, ïîëó÷åííûõ ïðÿìûìè èçìåðåíèÿìè.  îïèñàíèÿõ ðàáîò ôèçè÷åñêîãî ïðàêòèêóìà è â òàáëè÷êàõ íà ëàáîðàòîðíûõ ñòîëàõ óêàçàíû ïîãðåøíîñòè ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ 0,95. Åñëè äëÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, ïðèâîäèìûõ â ñïðàâî÷íèêàõ, óêàçûâàþòñÿ ïîãðåøíîñòè, òî ïîä íèìè, êàê ïðàâèëî, ïîäðàçóìåâàþòñÿ ñòàíäàðòíûå îòêëîíåíèÿ, èìåþùèå äîâåðèòåëüíóþ âåðîÿòíîñòü 0,67. Äëÿ òîãî ÷òîáû äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîñòàâëÿëà 0,95, çíà÷åíèÿ ýòèõ ïîãðåøíîñòåé ñëåäóåò óìíîæàòü íà 2. Åñëè äëÿ âåëè÷èí, ïðèâîäèìûõ â ôèçè÷åñêèõ èëè ìàòåìàòè÷åñêèõ ñïðàâî÷íèêàõ, ïîãðåøíîñòü íå óêàçàíà, òî ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî ïîãðåøíîñòü íå ïðåâûøàåò ïîëîâèíû åäèíèöû ïîñëåäíåãî ðàçðÿäà ÷èñëà. Íàïðèìåð, â çíà÷åíèè ñèíóñà 0,479 ïîñëåäíÿÿ öèôðà 9 ñòîèò â ðàçðÿäå òûñÿ÷íûõ. Ïîýòîìó ïîãðåøíîñòü äàííîãî çíà÷åíèÿ íå ïðåâûøàåò 0,0005 ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ 1.  ñëó÷àÿõ êîãäà äëÿ ðàñ÷åòîâ â ôèçè÷åñêîì ïðàêòèêóìå èñïîëüçóþòñÿ êàëüêóëÿòîðû èëè êîìïüþòåðû, ïîãðåøíîñòåé ìàòåìàòè÷åñêèõ âåëè÷èí (÷èñëà p, çíà÷åíèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé è ò.ï.) ó÷èòûâàòü íå ñëåäóåò îíè ïðåíåáðåæèìî ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ ïîãðåøíîñòÿìè èçìåðÿåìûõ âåëè÷èí. 8. Îáùèå ñîâåòû ê ðàñ÷åòó ïîãðåøíîñòåé Ðàñ÷åò ïîãðåøíîñòåé îáû÷íî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äîñòàòî÷íî òðóäîåìêóþ ÷àñòü ýêñïåðèìåíòàëüíîé ðàáîòû. Ýòîò ðàñ÷åò ìîæíî çàìåòíî îáëåã÷èòü, èñïîëüçóÿ ïðèâîäèìûå äàëåå ïðèåìû. 1. Åñëè â ðàñ÷åòíóþ ôîðìóëó â êà÷åñòâå ñëàãàåìîãî âõîäèò ïîïðàâî÷íûé ÷ëåí, ÷èñëåííàÿ âåëè÷èíà êîòîðîãî çíà÷èòåëüíî ìåíüøå îñòàëüíûõ ÷ëåíîâ, òî ïðè âûâîäå ôîðìóë (10) èëè (14) äëÿ ÷àñòíûõ ïîãðåøíîñòåé åãî ìîæíî çàðàíåå îòáðîñèòü. Íàëè÷èå òàêîãî ÷ëåíà ìîæåò áûòü îãîâîðåíî â òåîðèè, èëè îí ìîæåò áûòü îáíàðóæåí ïðè ÷èñëåííîì ðàñ÷åòå èñêîìîé âåëè÷èíû. 2.  ñëó÷àå ðàñ÷åòíûõ ôîðìóë, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ñóììó ðàçëè÷íûõ ÷ëåíîâ, âû÷èñëåíèå ïîãðåøíîñòåé ñëåäóåò íà÷èíàòü ñ íàõîæäåíèÿ ôîðìóë (10) äëÿ ÷àñòíûõ àáñîëþòíûõ ïîãðåøíîñ20
òåé. Îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü ïîëó÷àþò äåëåíèåì àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè íà èñêîìóþ âåëè÷èíó óæå ïîñëå íàõîæäåíèÿ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé. 3. Åñëè ðàñ÷åòíàÿ ôîðìóëà ñîñòîèò èç ìíîæèòåëåé è äåëèòåëåé â ðàçíûõ ñòåïåíÿõ (ôîðìóëà óäîáíà äëÿ ëîãàðèôìèðîâàíèÿ), òî âû÷èñëåíèå ïîãðåøíîñòåé íà÷èíàþò ñ íàõîæäåíèÿ ôîðìóë (13) äëÿ ÷àñòíûõ îòíîñèòåëüíûõ ïîãðåøíîñòåé.  ýòîì ñëó÷àå àáñîëþòíóþ ïîãðåøíîñòü íàõîäÿò ïîñëå ðàñ÷åòà ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé óìíîæåíèåì îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè íà èñêîìóþ âåëè÷èíó. 4. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ ïîñëå íàõîæäåíèÿ ôîðìóë (10) èëè (13) äëÿ ÷àñòíûõ ïîãðåøíîñòåé íóæíî íàéòè èõ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå è ñëåäóåò ïîäñòàâèòü â ôîðìóëû (11) èëè (14) ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ýòîì ïîãðåøíîñòè, âåëè÷èíà êîòîðûõ ìåíüøå íàèáîëüøåé èç ïîãðåøíîñòåé â ïÿòü ðàç è áîëåå, îòáðàñûâàþòñÿ. 5. Ïðè âû÷èñëåíèè ïîãðåøíîñòåé â ÷èñëàõ, ó÷àñòâóþùèõ â àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèÿõ, ñîõðàíÿþò íå áîëåå òðåõ çíà÷àùèõ öèôð. Ïðèìåíåíèå ïðàâèë íàõîæäåíèÿ ïîãðåøíîñòåé â êîíêðåòíûõ ñëó÷àÿõ ïîäðîáíî ðàçáèðàåòñÿ â çàäà÷å ¹ 1. Ëèòåðàòóðà 1. Çàéäåëü À. Í. Îøèáêè èçìåðåíèé ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí: Ó÷åá. ïîñîáèå. 2-å èçä. ñòåð. ÑÏá.: Ëàíü, 2005. 2. Äåäåíêî Ë. Ã., Êåðæåíöåâ Â. Â. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ îáðàáîòêà è îôîðìëåíèå ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðèìåíòà. Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1977. 3. Òåéëîð Äæ. Ââåäåíèå â òåîðèþ îøèáîê. Ì.: Ìèð, 1985.
Ïîãðåøíîñòè òàáëè÷íûõ çíà÷åíèé. Åñëè â ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåëè÷èíû, èçìåðÿåìîé êîñâåííî, âõîäÿò âåëè÷èíû, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ áåðóòñÿ èç ìàòåìàòè÷åñêèõ èëè ôèçè÷åñêèõ òàáëèö, òî èõ âêëàäû â ïîãðåøíîñòü èñêîìîé âåëè÷èíû ó÷èòûâàþòñÿ íà îáùèõ îñíîâàíèÿõ íàðÿäó ñ ïîãðåøíîñòÿìè âåëè÷èí, ïîëó÷åííûõ ïðÿìûìè èçìåðåíèÿìè.  îïèñàíèÿõ ðàáîò ôèçè÷åñêîãî ïðàêòèêóìà è â òàáëè÷êàõ íà ëàáîðàòîðíûõ ñòîëàõ óêàçàíû ïîãðåøíîñòè ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ 0,95. Åñëè äëÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, ïðèâîäèìûõ â ñïðàâî÷íèêàõ, óêàçûâàþòñÿ ïîãðåøíîñòè, òî ïîä íèìè, êàê ïðàâèëî, ïîäðàçóìåâàþòñÿ ñòàíäàðòíûå îòêëîíåíèÿ, èìåþùèå äîâåðèòåëüíóþ âåðîÿòíîñòü 0,67. Äëÿ òîãî ÷òîáû äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîñòàâëÿëà 0,95, çíà÷åíèÿ ýòèõ ïîãðåøíîñòåé ñëåäóåò óìíîæàòü íà 2. Åñëè äëÿ âåëè÷èí, ïðèâîäèìûõ â ôèçè÷åñêèõ èëè ìàòåìàòè÷åñêèõ ñïðàâî÷íèêàõ, ïîãðåøíîñòü íå óêàçàíà, òî ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî ïîãðåøíîñòü íå ïðåâûøàåò ïîëîâèíû åäèíèöû ïîñëåäíåãî ðàçðÿäà ÷èñëà. Íàïðèìåð, â çíà÷åíèè ñèíóñà 0,479 ïîñëåäíÿÿ öèôðà 9 ñòîèò â ðàçðÿäå òûñÿ÷íûõ. Ïîýòîìó ïîãðåøíîñòü äàííîãî çíà÷åíèÿ íå ïðåâûøàåò 0,0005 ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ 1.  ñëó÷àÿõ êîãäà äëÿ ðàñ÷åòîâ â ôèçè÷åñêîì ïðàêòèêóìå èñïîëüçóþòñÿ êàëüêóëÿòîðû èëè êîìïüþòåðû, ïîãðåøíîñòåé ìàòåìàòè÷åñêèõ âåëè÷èí (÷èñëà p, çíà÷åíèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé è ò.ï.) ó÷èòûâàòü íå ñëåäóåò îíè ïðåíåáðåæèìî ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ ïîãðåøíîñòÿìè èçìåðÿåìûõ âåëè÷èí. 8. Îáùèå ñîâåòû ê ðàñ÷åòó ïîãðåøíîñòåé Ðàñ÷åò ïîãðåøíîñòåé îáû÷íî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äîñòàòî÷íî òðóäîåìêóþ ÷àñòü ýêñïåðèìåíòàëüíîé ðàáîòû. Ýòîò ðàñ÷åò ìîæíî çàìåòíî îáëåã÷èòü, èñïîëüçóÿ ïðèâîäèìûå äàëåå ïðèåìû. 1. Åñëè â ðàñ÷åòíóþ ôîðìóëó â êà÷åñòâå ñëàãàåìîãî âõîäèò ïîïðàâî÷íûé ÷ëåí, ÷èñëåííàÿ âåëè÷èíà êîòîðîãî çíà÷èòåëüíî ìåíüøå îñòàëüíûõ ÷ëåíîâ, òî ïðè âûâîäå ôîðìóë (10) èëè (14) äëÿ ÷àñòíûõ ïîãðåøíîñòåé åãî ìîæíî çàðàíåå îòáðîñèòü. Íàëè÷èå òàêîãî ÷ëåíà ìîæåò áûòü îãîâîðåíî â òåîðèè, èëè îí ìîæåò áûòü îáíàðóæåí ïðè ÷èñëåííîì ðàñ÷åòå èñêîìîé âåëè÷èíû. 2.  ñëó÷àå ðàñ÷åòíûõ ôîðìóë, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ñóììó ðàçëè÷íûõ ÷ëåíîâ, âû÷èñëåíèå ïîãðåøíîñòåé ñëåäóåò íà÷èíàòü ñ íàõîæäåíèÿ ôîðìóë (10) äëÿ ÷àñòíûõ àáñîëþòíûõ ïîãðåøíîñ20
òåé. Îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü ïîëó÷àþò äåëåíèåì àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè íà èñêîìóþ âåëè÷èíó óæå ïîñëå íàõîæäåíèÿ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé. 3. Åñëè ðàñ÷åòíàÿ ôîðìóëà ñîñòîèò èç ìíîæèòåëåé è äåëèòåëåé â ðàçíûõ ñòåïåíÿõ (ôîðìóëà óäîáíà äëÿ ëîãàðèôìèðîâàíèÿ), òî âû÷èñëåíèå ïîãðåøíîñòåé íà÷èíàþò ñ íàõîæäåíèÿ ôîðìóë (13) äëÿ ÷àñòíûõ îòíîñèòåëüíûõ ïîãðåøíîñòåé.  ýòîì ñëó÷àå àáñîëþòíóþ ïîãðåøíîñòü íàõîäÿò ïîñëå ðàñ÷åòà ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé óìíîæåíèåì îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè íà èñêîìóþ âåëè÷èíó. 4. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ ïîñëå íàõîæäåíèÿ ôîðìóë (10) èëè (13) äëÿ ÷àñòíûõ ïîãðåøíîñòåé íóæíî íàéòè èõ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå è ñëåäóåò ïîäñòàâèòü â ôîðìóëû (11) èëè (14) ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ýòîì ïîãðåøíîñòè, âåëè÷èíà êîòîðûõ ìåíüøå íàèáîëüøåé èç ïîãðåøíîñòåé â ïÿòü ðàç è áîëåå, îòáðàñûâàþòñÿ. 5. Ïðè âû÷èñëåíèè ïîãðåøíîñòåé â ÷èñëàõ, ó÷àñòâóþùèõ â àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèÿõ, ñîõðàíÿþò íå áîëåå òðåõ çíà÷àùèõ öèôð. Ïðèìåíåíèå ïðàâèë íàõîæäåíèÿ ïîãðåøíîñòåé â êîíêðåòíûõ ñëó÷àÿõ ïîäðîáíî ðàçáèðàåòñÿ â çàäà÷å ¹ 1. Ëèòåðàòóðà 1. Çàéäåëü À. Í. Îøèáêè èçìåðåíèé ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí: Ó÷åá. ïîñîáèå. 2-å èçä. ñòåð. ÑÏá.: Ëàíü, 2005. 2. Äåäåíêî Ë. Ã., Êåðæåíöåâ Â. Â. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ îáðàáîòêà è îôîðìëåíèå ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðèìåíòà. Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1977. 3. Òåéëîð Äæ. Ââåäåíèå â òåîðèþ îøèáîê. Ì.: Ìèð, 1985.
ÐÀÇÄÅË 2 ÏÐÎÑÒÅÉØÈÅ ÈÇÌÅÐÈÒÅËÜÍÛÅ ÏÐÈÁÎÐÛ
1. Íîíèóñ Ïðèáîðû, â êîòîðûõ îòñ÷åò çíà÷åíèé èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû ïðîèçâîäèòñÿ ïî ëèíåéíûì è óãëîâûì (êðóãîâûì) øêàëàì, ñíàáæàþòñÿ äîïîëíèòåëüíûìè îòñ÷åòíûìè ïðèñïîñîáëåíèÿìè íîíèóñàìè äëÿ óâåëè÷åíèÿ òî÷íîñòè îòñ÷åòà äîëåé äåëåíèÿ ïî ýòèì øêàëàì. Èõ ïðèìåíåíèå îñíîâàíî íà òîì, ÷òî îöåíêà äîëè äåëåíèÿ íà ãëàç íå ñëèøêîì òî÷íà, â òî âðåìÿ êàê çàìåòèòü, ñîñòàâëÿþò ëè äâà øòðèõà ïðîäîëæåíèå îäèí äðóãîãî èëè îíè íåñêîëüêî ñäâèíóòû, íå ñîñòàâëÿåò òðóäà. Íîíèóñ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåáîëüøóþ øêàëó, êîòîðàÿ ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ âäîëü îñíîâíîé øêàëû (ðèñ. 1). Øêàëà íîíèóñà ñîäåðæèò M äåëåíèé, êàæäîå èç êîòîðûõ ìåíüøå K (K ðàâíî 1 èëè 2) äåëåíèé îñíîâíîé øêàëû íà X/M, ãäå X öåíà (äëèíà) äåëåíèÿ îñíîâíîé øêàëû. Ïðè ýòîì äëèíà âñåé øêàëû íîíèóñà ñîñòàâëÿåò Y = (KX X/M)M = (KM 1)X, ò.å. ðàâíà öåëîìó ÷èñëó äåëåíèé îñíîâíîé øêàëû. Âåëè÷èíà X/M íàçûâàåòñÿ òî÷íîñòüþ íîíèóñà è ðàâíà îòíîøåíèþ öåíû íàèìåíüøåãî äåëåíèÿ îñíîâíîé øêàëû ê ÷èñëó äåëåíèé íîíèóñà. Èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 1 íîíèóñ èìååò 10 äåëåíèé, ïðè÷åì äëèíà åãî äåëåíèÿ îòëè÷àåòñÿ îò äâóõ äåëåíèé îñíîâíîé øêàëû íà 1/10 äåëåíèÿ îñíîâíîé øêàëû. Åãî ïîëíàÿ äëèíà Y = (2×10 1) = 19 äåëåíèé îñíîâíîé øêàëû. à
á
Ðèñ. 1
22
Íóëåâîé îòñ÷åò ïî øêàëå ïðèáîðà, ñíàáæåííîãî íîíèóñîì, ñîîòâåòñòâóåò ñîâïàäåíèþ íà÷àëüíûõ (íóëåâûõ) øòðèõîâ îñíîâíîé øêàëû è íîíèóñà (ðèñ. 1à). Ïðè èçìåðåíèè íîíèóñ ñäâèãàåòñÿ âäîëü îñíîâíîé øêàëû. Îòñ÷åò çíà÷åíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû ñîîòâåòñòâóåò öåëîìó ÷èñëó äåëåíèé îñíîâíîé øêàëû, çà êîòîðûå ñäâèíóëñÿ íóëåâîé øòðèõ íîíèóñà, è íåêîòîðîé äîáàâêè DL, åñëè íóëåâîé øòðèõ íîíèóñà ñòðîãî íå ñîâïàäàåò ñî øòðèõîì îñíîâíîé øêàëû (íà ðèñ. 1á íóëåâîé øòðèõ íîíèóñà ðàñïîëîæåí çà 11-ì äåëåíèåì îñíîâíîé øêàëû). Äëÿ íàõîæäåíèÿ âåëè÷èíû DL èùóò øòðèõ íîíèóñà, ïî âîçìîæíîñòè òî÷íî ñîâïàäàþùèé ñ êàêèì-ëèáî øòðèõîì îñíîâíîé øêàëû. Ïóñòü ýòî øòðèõ íîíèóñà ñ íîìåðîì N (íà ðèñ. 1á ýòî øòðèõ ñ íîìåðîì N3). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðåäûäóùèé øòðèõ íîíèóñà ñ íîìåðîì N1 ñäâèíóò îòíîñèòåëüíî áëèæàéøåãî ê íåìó (â ñòîðîíó óìåíüøåíèÿ îòñ÷åòà) øòðèõà îñíîâíîé øêàëû íà âåëè÷èíó X/M. Øòðèõ íîíèóñà ñ íîìåðîì N2 ñìåùåí îò ñîîòâåòñòâóþùåãî øòðèõà îñíîâíîé øêàëû íà 2×X/M è ò.ä.  ðåçóëüòàòå íóëåâîé øòðèõ íîíèóñà îêàçûâàåòñÿ ñìåùåííûì îò ïðåäûäóùåãî øòðèõà îñíîâíîé øêàëû íà âåëè÷èíó DL = N×X/M. Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà äîáàâêè DL ðàâíà òî÷íîñòè íîíèóñà, óìíîæåííîé íà íîìåð øòðèõà íîíèóñà, ñîâïàäàþùåãî ñî øòðèõîì îñíîâíîé øêàëû. 2. Øòàíãåíöèðêóëü Øòàíãåíöèðêóëü (ðèñ. 2) ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ èçìåðåíèÿ ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ ñ òî÷íîñòüþ îò 0,1 äî 0,02 ìì. Øòàíãåíöèðêóëü ñîñòîèò èç ëèíåéêè (øòàíãè) (1) ñ ìèëëèìåòðîâûìè äåëåíèÿìè è ïîäâèæíîé ðàìêè (2) ñ íîíèóñîì (3) è çàêðåïëÿþùèì âèíòîì (4). Íà øòàíãå è ðàìêå èìåþòñÿ íîæêè (ãóáêè) (5) è (6). Âíóòðåííèå ïîâåðõíîñòè íîæåê ïëîñêèå. Ïðè ñîìêíóòûõ íîæêàõ îòñ÷åò ïî íîíèóñó ðàâåí íóëþ. ×àñòî øòàíãåíöèðêóëè ñíàáæàþòñÿ åùå îäíîé ðàìêîé (7) ñ çàêðåïëÿþùèì âèíòîì (8) è ãàéêîé (9). Ïðè çàêðåïëåííîì âèíòå (8) âðàùåíèåì ãàéêè (9) ðàìêó (3) ìîæíî ïëàâíî ïåðåìåùàòü íà íåáîëüøîå ðàññòîÿíèå. Ðÿäîì ñ äåëåíèÿìè íîíèóñîâ, òî÷íîñòü êîòîðûõ 0,050,02 ìì, óêàçûâàåòñÿ îáû÷íî íå íîìåð äåëåíèÿ, à ÷èñëî ñîòûõ ìèëëèìåòðà, îòñ÷èòûâàåìûõ ïðè ñîâïàäåíèè äàííîãî äåëåíèÿ ñ êàêèìëèáî äåëåíèåì øêàëû. Íà íîíèóñàõ, òî÷íîñòü êîòîðûõ 0,1 ìì, öèôð âîîáùå íå ñòàâÿò, íî äåëàþò íåñêîëüêî äëèííåå øòðèõè, ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðâîìó, ïÿòîìó è äåñÿòîìó äåëåíèÿì. 23
ÐÀÇÄÅË 2 ÏÐÎÑÒÅÉØÈÅ ÈÇÌÅÐÈÒÅËÜÍÛÅ ÏÐÈÁÎÐÛ
1. Íîíèóñ Ïðèáîðû, â êîòîðûõ îòñ÷åò çíà÷åíèé èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû ïðîèçâîäèòñÿ ïî ëèíåéíûì è óãëîâûì (êðóãîâûì) øêàëàì, ñíàáæàþòñÿ äîïîëíèòåëüíûìè îòñ÷åòíûìè ïðèñïîñîáëåíèÿìè íîíèóñàìè äëÿ óâåëè÷åíèÿ òî÷íîñòè îòñ÷åòà äîëåé äåëåíèÿ ïî ýòèì øêàëàì. Èõ ïðèìåíåíèå îñíîâàíî íà òîì, ÷òî îöåíêà äîëè äåëåíèÿ íà ãëàç íå ñëèøêîì òî÷íà, â òî âðåìÿ êàê çàìåòèòü, ñîñòàâëÿþò ëè äâà øòðèõà ïðîäîëæåíèå îäèí äðóãîãî èëè îíè íåñêîëüêî ñäâèíóòû, íå ñîñòàâëÿåò òðóäà. Íîíèóñ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåáîëüøóþ øêàëó, êîòîðàÿ ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ âäîëü îñíîâíîé øêàëû (ðèñ. 1). Øêàëà íîíèóñà ñîäåðæèò M äåëåíèé, êàæäîå èç êîòîðûõ ìåíüøå K (K ðàâíî 1 èëè 2) äåëåíèé îñíîâíîé øêàëû íà X/M, ãäå X öåíà (äëèíà) äåëåíèÿ îñíîâíîé øêàëû. Ïðè ýòîì äëèíà âñåé øêàëû íîíèóñà ñîñòàâëÿåò Y = (KX X/M)M = (KM 1)X, ò.å. ðàâíà öåëîìó ÷èñëó äåëåíèé îñíîâíîé øêàëû. Âåëè÷èíà X/M íàçûâàåòñÿ òî÷íîñòüþ íîíèóñà è ðàâíà îòíîøåíèþ öåíû íàèìåíüøåãî äåëåíèÿ îñíîâíîé øêàëû ê ÷èñëó äåëåíèé íîíèóñà. Èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 1 íîíèóñ èìååò 10 äåëåíèé, ïðè÷åì äëèíà åãî äåëåíèÿ îòëè÷àåòñÿ îò äâóõ äåëåíèé îñíîâíîé øêàëû íà 1/10 äåëåíèÿ îñíîâíîé øêàëû. Åãî ïîëíàÿ äëèíà Y = (2×10 1) = 19 äåëåíèé îñíîâíîé øêàëû. à
á
Ðèñ. 1
22
Íóëåâîé îòñ÷åò ïî øêàëå ïðèáîðà, ñíàáæåííîãî íîíèóñîì, ñîîòâåòñòâóåò ñîâïàäåíèþ íà÷àëüíûõ (íóëåâûõ) øòðèõîâ îñíîâíîé øêàëû è íîíèóñà (ðèñ. 1à). Ïðè èçìåðåíèè íîíèóñ ñäâèãàåòñÿ âäîëü îñíîâíîé øêàëû. Îòñ÷åò çíà÷åíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû ñîîòâåòñòâóåò öåëîìó ÷èñëó äåëåíèé îñíîâíîé øêàëû, çà êîòîðûå ñäâèíóëñÿ íóëåâîé øòðèõ íîíèóñà, è íåêîòîðîé äîáàâêè DL, åñëè íóëåâîé øòðèõ íîíèóñà ñòðîãî íå ñîâïàäàåò ñî øòðèõîì îñíîâíîé øêàëû (íà ðèñ. 1á íóëåâîé øòðèõ íîíèóñà ðàñïîëîæåí çà 11-ì äåëåíèåì îñíîâíîé øêàëû). Äëÿ íàõîæäåíèÿ âåëè÷èíû DL èùóò øòðèõ íîíèóñà, ïî âîçìîæíîñòè òî÷íî ñîâïàäàþùèé ñ êàêèì-ëèáî øòðèõîì îñíîâíîé øêàëû. Ïóñòü ýòî øòðèõ íîíèóñà ñ íîìåðîì N (íà ðèñ. 1á ýòî øòðèõ ñ íîìåðîì N3). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðåäûäóùèé øòðèõ íîíèóñà ñ íîìåðîì N1 ñäâèíóò îòíîñèòåëüíî áëèæàéøåãî ê íåìó (â ñòîðîíó óìåíüøåíèÿ îòñ÷åòà) øòðèõà îñíîâíîé øêàëû íà âåëè÷èíó X/M. Øòðèõ íîíèóñà ñ íîìåðîì N2 ñìåùåí îò ñîîòâåòñòâóþùåãî øòðèõà îñíîâíîé øêàëû íà 2×X/M è ò.ä.  ðåçóëüòàòå íóëåâîé øòðèõ íîíèóñà îêàçûâàåòñÿ ñìåùåííûì îò ïðåäûäóùåãî øòðèõà îñíîâíîé øêàëû íà âåëè÷èíó DL = N×X/M. Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà äîáàâêè DL ðàâíà òî÷íîñòè íîíèóñà, óìíîæåííîé íà íîìåð øòðèõà íîíèóñà, ñîâïàäàþùåãî ñî øòðèõîì îñíîâíîé øêàëû. 2. Øòàíãåíöèðêóëü Øòàíãåíöèðêóëü (ðèñ. 2) ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ èçìåðåíèÿ ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ ñ òî÷íîñòüþ îò 0,1 äî 0,02 ìì. Øòàíãåíöèðêóëü ñîñòîèò èç ëèíåéêè (øòàíãè) (1) ñ ìèëëèìåòðîâûìè äåëåíèÿìè è ïîäâèæíîé ðàìêè (2) ñ íîíèóñîì (3) è çàêðåïëÿþùèì âèíòîì (4). Íà øòàíãå è ðàìêå èìåþòñÿ íîæêè (ãóáêè) (5) è (6). Âíóòðåííèå ïîâåðõíîñòè íîæåê ïëîñêèå. Ïðè ñîìêíóòûõ íîæêàõ îòñ÷åò ïî íîíèóñó ðàâåí íóëþ. ×àñòî øòàíãåíöèðêóëè ñíàáæàþòñÿ åùå îäíîé ðàìêîé (7) ñ çàêðåïëÿþùèì âèíòîì (8) è ãàéêîé (9). Ïðè çàêðåïëåííîì âèíòå (8) âðàùåíèåì ãàéêè (9) ðàìêó (3) ìîæíî ïëàâíî ïåðåìåùàòü íà íåáîëüøîå ðàññòîÿíèå. Ðÿäîì ñ äåëåíèÿìè íîíèóñîâ, òî÷íîñòü êîòîðûõ 0,050,02 ìì, óêàçûâàåòñÿ îáû÷íî íå íîìåð äåëåíèÿ, à ÷èñëî ñîòûõ ìèëëèìåòðà, îòñ÷èòûâàåìûõ ïðè ñîâïàäåíèè äàííîãî äåëåíèÿ ñ êàêèìëèáî äåëåíèåì øêàëû. Íà íîíèóñàõ, òî÷íîñòü êîòîðûõ 0,1 ìì, öèôð âîîáùå íå ñòàâÿò, íî äåëàþò íåñêîëüêî äëèííåå øòðèõè, ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðâîìó, ïÿòîìó è äåñÿòîìó äåëåíèÿì. 23
à
á
Ðèñ. 2
Ðèñ. 3
Ïðè èçìåðåíèÿõ íàðóæíûõ ðàçìåðîâ èçìåðÿåìûé ïðåäìåò áåç áîëüøîãî óñèëèÿ çàæèìàåòñÿ ìåæäó ïëîñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè íîæåê (ðèñ. 3à). ×òîáû íå ñäâèíóòü ðàìêó ïðè îòñ÷åòå, åå ìîæíî çàêðåïèòü âèíòîì (4). Äëÿ èçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèé ìåæäó òî÷êàìè èëè ëèíèÿìè íà ïîâåðõíîñòè ïðåäìåòîâ ïîëüçóþòñÿ çàîñòðåííûìè êîíöàìè íîæåê. Äëÿ èçìåðåíèÿ âíóòðåííèõ ðàçìåðîâ ñëóæàò êîíöû íîæåê, èìåþùèå çàêðóãëåííûå âíåøíèå ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 3á).  ýòîì ñëó÷àå ê îòñ÷åòó ïî íîíèóñó ñëåäóåò ïðèáàâëÿòü ñóììàðíóþ òîëùèíó íîæåê (åå çíà÷åíèå â ìèëëèìåòðàõ ÷àñòî óêàçàíî íà ñàìèõ íîæêàõ). Åñëè âíóòðåííèé ðàçìåð ìåíüøå òîëùèíû íîæåê, òî ñ ïîìîùüþ òàêîãî øòàíãåíöèðêóëÿ åãî èçìåðèòü íåâîçìîæíî. Ó íåêîòîðûõ øòàíãåíöèðêóëåé çàîñòðåííûì íîæêàì ïðèäàíà ñïåöèàëüíàÿ ôîðìà (îíè çàõîäÿò äðóã çà äðóãà). Îáû÷íî ýòî øòàíãåíöèðêóëè ñ òî÷íîñòüþ íîíèóñà 0,1 ìì. Ïðè èçìåðåíèè âíóòðåííèõ ðàçìåðîâ òàêèìè øòàíãåíöèðêóëÿìè ê îòñ÷åòó ïî íîíèóñó ïðèáàâëÿòü íè÷åãî íå íóæíî. 3. Ìèêðîìåòð Ìèêðîìåòð (ðèñ. 4) ñëóæèò äëÿ èçìåðåíèÿ ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ îáû÷íî ñ òî÷íîñòüþ 0,01 ìì. Îí ñîñòîèò èç ñêîáû (1) ñ ïÿòêîé (2) è òðóáêîé (ñòåðæíåì) (3).  òðóáêå èìååòñÿ ðåçüáà, â êîòîðóþ ââèí÷åí ìèêðîìåòðè÷åñêèé âèíò (4). Îäèí êîíåö âèíòà âûõîäèò âíóòðü ñêîáû ïðîòèâ ïÿòêè, à íà äðóãîì åãî êîíöå çàêðåïëåí áàðàáàí (5). Áàðàáàí îêàí÷èâàåòñÿ ôðèêöèîííîé ãîëîâêîé (òðåùîòêîé) (6). Íà ñêîáå îêîëî òðóáêè èìååòñÿ âèíò (7), 24
ïðåïÿòñòâóþùèé âðàùåíèþ áàðàáàíà (ó ðàçíûõ ìèêðîìåòðîâ ýòîò âèíò ìîæåò áûòü ðàçíîé ôîðìû). ×òîáû ýòîò âèíò íå ìåøàë âðàùåíèþ áàðàáàíà, åãî íå íóæíî çàòÿãèâàòü. Äëÿ èçìåðåíèÿ ïðåäìåò ïîìåùàåòñÿ ìåæäó ìèêðîìåòðè÷åñêèì âèíòîì è ïÿòêîé (ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè äîëæíî áûòü äîñòàòî÷íûì äëÿ ïîìåùåíèÿ ïðåäìåòà). Çàòåì âðàùåíèåì âèíòà ïðåäìåò çàæèìàåòñÿ ìåæäó âèíòîì è Ðèñ. 4 ïÿòêîé. Ñíà÷àëà âèíò âðàùàåòñÿ çà áàðàáàí, îêîí÷àòåëüíûé æå çàæèì (ïîñëåäíèå 12 îáîðîòà) ïðîèçâîäèòñÿ âðàùåíèåì âèíòà çà ôðèêöèîííóþ ãîëîâêó. Ïîñëå òîãî êàê äîñòèãíóòà îïðåäåëåííàÿ ñòåïåíü íàæàòèÿ âèíòà íà ïðåäìåò (56 Í), ôðèêöèîííàÿ ãîëîâêà íà÷èíàåò ïðîñêàêèâàòü ñ õàðàêòåðíûì òðåñêîì. Áëàãîäàðÿ ýòîìó èçìåðÿåìûé ïðåäìåò äåôîðìèðóåòñÿ ñðàâíèòåëüíî ìàëî (åãî ðàçìåðû çàìåòíî íå èñêàæàþòñÿ), âäîáàâîê ìèêðîìåòðè÷åñêèé âèíò ïðåäîõðàíÿåòñÿ îò ïîð÷è. Ïðè êàæäîì îáîðîòå âèíòà ðàññòîÿíèå ìåæäó âèíòîì è ïÿòêîé èçìåíÿåòñÿ íà âåëè÷èíó øàãà âèíòà, ðàâíóþ 0,5 ìì. Òàê êàê øêàëà, èäóùàÿ âäîëü êðàÿ áàðàáàíà, ñîäåðæèò 50 äåëåíèé, òî ïîâîðîòó âèíòà íà îäíî äåëåíèå áàðàáàíà ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó âèíòîì è ïÿòêîé íà 0,01 ìì. Íà òðóáêå èìååòñÿ ìèëëèìåòðîâàÿ øêàëà, ðàçäåëåííàÿ íà äâå ÷àñòè ÷åðòîé, èäóùåé âäîëü òðóáêè. Äåëåíèÿ ýòîé øêàëû, íàõîäÿùèåñÿ íàä ÷åðòîé, ñäâèíóòû îòíîñèòåëüíî äåëåíèé, íàõîäÿùèõñÿ ïîä ÷åðòîé, íà 0,5 ìì. Êîãäà âèíò êàñàåòñÿ ïÿòêè (èçìåðÿåìûé ðàçìåð ðàâåí íóëþ), èç-ïîä êðàÿ áàðàáàíà âèäíî ëèøü íóëåâîå äåëåíèå íèæå ÷åðòû, à íóëåâîå äåëåíèå íà áàðàáàíå äîëæíî ñîâïàäàòü ñ ÷åðòîé (åñëè ýòî íå âûïîëíÿåòñÿ, ñëåäóåò îáðàòèòüñÿ ê ïðåïîäàâàòåëþ èëè ëàáîðàíòó). Ïðè èçìåðåíèè ðàçìåðîâ ïðåäìåòà öåëîå ÷èñëî ìèëëèìåòðîâ îïðåäåëÿåòñÿ ïîñëåäíèì ïîêàçàâøèìñÿ èç-ïîä êðàÿ áàðàáàíà íèæíèì äåëåíèåì íà òðóáêå. Ñîòûå äîëè ìèëëèìåòðà îòñ÷èòûâàþòñÿ íà øêàëå áàðàáàíà ïðîòèâ ÷åðòû. Åñëè èç-ïîä êðàÿ áàðàáàíà ïîêàçàëîñü åùå è î÷åðåäíîå âåðõíåå äåëåíèå, òî ê ïîëó÷åííîìó çíà÷åíèþ íóæíî ïðèáàâèòü 0,50 ìì. Îäíàêî ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî î÷åðåäíîå äåëåíèå èç-ïîä êðàÿ áàðàáàíà ïîêàçûâàåòñÿ åùå äî òîãî, êàê áàðàáàí ñäåëàë ïîëíûé îáîðîò 25
à
á
Ðèñ. 2
Ðèñ. 3
Ïðè èçìåðåíèÿõ íàðóæíûõ ðàçìåðîâ èçìåðÿåìûé ïðåäìåò áåç áîëüøîãî óñèëèÿ çàæèìàåòñÿ ìåæäó ïëîñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè íîæåê (ðèñ. 3à). ×òîáû íå ñäâèíóòü ðàìêó ïðè îòñ÷åòå, åå ìîæíî çàêðåïèòü âèíòîì (4). Äëÿ èçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèé ìåæäó òî÷êàìè èëè ëèíèÿìè íà ïîâåðõíîñòè ïðåäìåòîâ ïîëüçóþòñÿ çàîñòðåííûìè êîíöàìè íîæåê. Äëÿ èçìåðåíèÿ âíóòðåííèõ ðàçìåðîâ ñëóæàò êîíöû íîæåê, èìåþùèå çàêðóãëåííûå âíåøíèå ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 3á).  ýòîì ñëó÷àå ê îòñ÷åòó ïî íîíèóñó ñëåäóåò ïðèáàâëÿòü ñóììàðíóþ òîëùèíó íîæåê (åå çíà÷åíèå â ìèëëèìåòðàõ ÷àñòî óêàçàíî íà ñàìèõ íîæêàõ). Åñëè âíóòðåííèé ðàçìåð ìåíüøå òîëùèíû íîæåê, òî ñ ïîìîùüþ òàêîãî øòàíãåíöèðêóëÿ åãî èçìåðèòü íåâîçìîæíî. Ó íåêîòîðûõ øòàíãåíöèðêóëåé çàîñòðåííûì íîæêàì ïðèäàíà ñïåöèàëüíàÿ ôîðìà (îíè çàõîäÿò äðóã çà äðóãà). Îáû÷íî ýòî øòàíãåíöèðêóëè ñ òî÷íîñòüþ íîíèóñà 0,1 ìì. Ïðè èçìåðåíèè âíóòðåííèõ ðàçìåðîâ òàêèìè øòàíãåíöèðêóëÿìè ê îòñ÷åòó ïî íîíèóñó ïðèáàâëÿòü íè÷åãî íå íóæíî. 3. Ìèêðîìåòð Ìèêðîìåòð (ðèñ. 4) ñëóæèò äëÿ èçìåðåíèÿ ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ îáû÷íî ñ òî÷íîñòüþ 0,01 ìì. Îí ñîñòîèò èç ñêîáû (1) ñ ïÿòêîé (2) è òðóáêîé (ñòåðæíåì) (3).  òðóáêå èìååòñÿ ðåçüáà, â êîòîðóþ ââèí÷åí ìèêðîìåòðè÷åñêèé âèíò (4). Îäèí êîíåö âèíòà âûõîäèò âíóòðü ñêîáû ïðîòèâ ïÿòêè, à íà äðóãîì åãî êîíöå çàêðåïëåí áàðàáàí (5). Áàðàáàí îêàí÷èâàåòñÿ ôðèêöèîííîé ãîëîâêîé (òðåùîòêîé) (6). Íà ñêîáå îêîëî òðóáêè èìååòñÿ âèíò (7), 24
ïðåïÿòñòâóþùèé âðàùåíèþ áàðàáàíà (ó ðàçíûõ ìèêðîìåòðîâ ýòîò âèíò ìîæåò áûòü ðàçíîé ôîðìû). ×òîáû ýòîò âèíò íå ìåøàë âðàùåíèþ áàðàáàíà, åãî íå íóæíî çàòÿãèâàòü. Äëÿ èçìåðåíèÿ ïðåäìåò ïîìåùàåòñÿ ìåæäó ìèêðîìåòðè÷åñêèì âèíòîì è ïÿòêîé (ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè äîëæíî áûòü äîñòàòî÷íûì äëÿ ïîìåùåíèÿ ïðåäìåòà). Çàòåì âðàùåíèåì âèíòà ïðåäìåò çàæèìàåòñÿ ìåæäó âèíòîì è Ðèñ. 4 ïÿòêîé. Ñíà÷àëà âèíò âðàùàåòñÿ çà áàðàáàí, îêîí÷àòåëüíûé æå çàæèì (ïîñëåäíèå 12 îáîðîòà) ïðîèçâîäèòñÿ âðàùåíèåì âèíòà çà ôðèêöèîííóþ ãîëîâêó. Ïîñëå òîãî êàê äîñòèãíóòà îïðåäåëåííàÿ ñòåïåíü íàæàòèÿ âèíòà íà ïðåäìåò (56 Í), ôðèêöèîííàÿ ãîëîâêà íà÷èíàåò ïðîñêàêèâàòü ñ õàðàêòåðíûì òðåñêîì. Áëàãîäàðÿ ýòîìó èçìåðÿåìûé ïðåäìåò äåôîðìèðóåòñÿ ñðàâíèòåëüíî ìàëî (åãî ðàçìåðû çàìåòíî íå èñêàæàþòñÿ), âäîáàâîê ìèêðîìåòðè÷åñêèé âèíò ïðåäîõðàíÿåòñÿ îò ïîð÷è. Ïðè êàæäîì îáîðîòå âèíòà ðàññòîÿíèå ìåæäó âèíòîì è ïÿòêîé èçìåíÿåòñÿ íà âåëè÷èíó øàãà âèíòà, ðàâíóþ 0,5 ìì. Òàê êàê øêàëà, èäóùàÿ âäîëü êðàÿ áàðàáàíà, ñîäåðæèò 50 äåëåíèé, òî ïîâîðîòó âèíòà íà îäíî äåëåíèå áàðàáàíà ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó âèíòîì è ïÿòêîé íà 0,01 ìì. Íà òðóáêå èìååòñÿ ìèëëèìåòðîâàÿ øêàëà, ðàçäåëåííàÿ íà äâå ÷àñòè ÷åðòîé, èäóùåé âäîëü òðóáêè. Äåëåíèÿ ýòîé øêàëû, íàõîäÿùèåñÿ íàä ÷åðòîé, ñäâèíóòû îòíîñèòåëüíî äåëåíèé, íàõîäÿùèõñÿ ïîä ÷åðòîé, íà 0,5 ìì. Êîãäà âèíò êàñàåòñÿ ïÿòêè (èçìåðÿåìûé ðàçìåð ðàâåí íóëþ), èç-ïîä êðàÿ áàðàáàíà âèäíî ëèøü íóëåâîå äåëåíèå íèæå ÷åðòû, à íóëåâîå äåëåíèå íà áàðàáàíå äîëæíî ñîâïàäàòü ñ ÷åðòîé (åñëè ýòî íå âûïîëíÿåòñÿ, ñëåäóåò îáðàòèòüñÿ ê ïðåïîäàâàòåëþ èëè ëàáîðàíòó). Ïðè èçìåðåíèè ðàçìåðîâ ïðåäìåòà öåëîå ÷èñëî ìèëëèìåòðîâ îïðåäåëÿåòñÿ ïîñëåäíèì ïîêàçàâøèìñÿ èç-ïîä êðàÿ áàðàáàíà íèæíèì äåëåíèåì íà òðóáêå. Ñîòûå äîëè ìèëëèìåòðà îòñ÷èòûâàþòñÿ íà øêàëå áàðàáàíà ïðîòèâ ÷åðòû. Åñëè èç-ïîä êðàÿ áàðàáàíà ïîêàçàëîñü åùå è î÷åðåäíîå âåðõíåå äåëåíèå, òî ê ïîëó÷åííîìó çíà÷åíèþ íóæíî ïðèáàâèòü 0,50 ìì. Îäíàêî ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî î÷åðåäíîå äåëåíèå èç-ïîä êðàÿ áàðàáàíà ïîêàçûâàåòñÿ åùå äî òîãî, êàê áàðàáàí ñäåëàë ïîëíûé îáîðîò 25
à
á
Ðèñ. 5
(èíà÷å äåëåíèÿ ïðèøëîñü áû äåëàòü áåñêîíå÷íî òîíêèìè). Ïîýòîìó åñëè îòñ÷åò ïî øêàëå áàðàáàíà ïðåâûøàåò 30 äåëåíèé, òî ïîêàçàâøååñÿ èç-ïîä êðàÿ áàðàáàíà äåëåíèå (âåðõíåå èëè íèæíåå) ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå íå íóæíî. Íà ðèñ. 5 ïîêàçàíû îòñ÷åòû: 8,62 ìì (à) è 6,48 ìì (á). Ïåðåä íà÷àëîì ðàáîòû ñëåäóåò óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ïðè ñîìêíóòûõ âèíòå è ïÿòêå ìèêðîìåòð äàåò íóëåâîé îòñ÷åò.
4. Ñåêóíäîìåð Ñòðåëî÷íûé ìåõàíè÷åñêèé ñåêóíäîìåð ïðåäíàçíà÷åí äëÿ èçìåðåíèÿ ìàëûõ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè (äî 30 ìèí). Ó ñåêóíäîìåðà èìååòñÿ äâå ñòðåëêè: áîëüøàÿ ñåêóíäíàÿ è ìàëàÿ ìèíóòíàÿ. Öåíà ñàìîãî ìàëåíüêîãî äåëåíèÿ ñåêóíäíîé øêàëû 0,2 ñ. Ñåêóíäíàÿ ñòðåëêà äâèæåòñÿ ñêà÷êàìè òàêæå ÷åðåç 0,2 ñ. Ïîýòîìó íàèáîëüøàÿ àáñîëþòíàÿ òî÷íîñòü, êîòîðóþ ìîæíî äîñòè÷ü ñåêóíäîìåðîì, ñîñòàâëÿåò 0,2 ñ. Îäèí îáîðîò ñåêóíäíîé ñòðåëêè äëèòñÿ 1 ìèí = 60 ñ. Çà ýòî âðåìÿ ìèíóòíàÿ ñòðåëêà ïåðåìåùàåòñÿ íà îäíî äåëåíèå. Óïðàâëÿåò âñåìè äåéñòâèÿìè ñåêóíäîìåðà òàê íàçûâàåìàÿ ãîëîâêà. Ïðè åå âðàùåíèè çàâîäèòñÿ ïðóæèíà. ×òîáû ñòðåëêè ïðèøëè â äâèæåíèå, íàæèìàþò ãîëîâêó äî óïîðà (íà÷àëî èçìåðåíèÿ ïðîìåæóòêà âðåìåíè). Ïðè âòîðè÷íîì íàæàòèè ãîëîâêè ñòðåëêè îñòàíàâëèâàþòñÿ (êîíåö èçìåðåíèÿ ïðîìåæóòêà âðåìåíè). Ïðîèçâîäèòñÿ îòñ÷åò âðåìåíè. Òðåòüå íàæàòèå íà ãîëîâêó âîçâðàùàåò ñòðåëêè ê èñõîäíûì (íóëåâûì) äåëåíèÿì ñâîèõ øêàë ñåêóíäîìåð ãîòîâ ê ñëåäóþùåìó èçìåðåíèþ. Åñòü ñåêóíäîìåðû ñ äâóìÿ ãîëîâêàìè. Ñ ïîìîùüþ îäíîé èç íèõ îñóùåñòâëÿþòñÿ çàâîä ñåêóíäîìåðà, ïóñê è îñòàíîâêà ñòðåëîê (òàê æå, êàê è ó ñåêóíäîìåðà ñ îäíîé ãîëîâêîé), äðóãàÿ ñëóæèò òîëüêî äëÿ âîçâðàòà ñòðåëîê â íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå. Çàâîäèòü ñåêóíäîìåð ðåêîìåíäóåòñÿ ïåðåä íà÷àëîì ïîëüçîâàíèÿ. Ïîñëå ïîëüçîâàíèÿ íå ñëåäóåò îñòàíàâëèâàòü ñåêóíäîìåð îí äîëæåí èäòè äî ïîëíîãî ñïóñêà çàâîäíîé ïðóæèíû. 5. Òåõíè÷åñêèå âåñû Òî÷êîé îïîðû êîðîìûñëà (ðàâíîïëå÷åãî ðû÷àãà) òåõíè÷åñêèõ âåñîâ ÿâëÿåòñÿ ñòàëüíàÿ ïðèçìà, íàõîäÿùàÿñÿ íà ñåðåäèíå êîðî26
ìûñëà è îáðàùåííàÿ îñòðûì ðåáðîì âíèç. Ïðèçìà îïèðàåòñÿ íà ñòàëüíóþ ïëàñòèíêó, ðàñïîëîæåííóþ íàâåðõó öåíòðàëüíîé êîëîíêè. Íà êîíöàõ êîðîìûñëà íàõîäÿòñÿ ïðèçìû, îáðàùåííûå îñòðûì ðåáðîì ââåðõ. Íà ýòè ïðèçìû îïèðàþòñÿ ïîäâåñû ÷àøåê. Ïîñåðåäèíå êîðîìûñëà çàêðåïëåíà äëèííàÿ ñòðåëêà, ïîëîæåíèå êîòîðîé ìîæíî îòñ÷èòûâàòü ïðè ïîìîùè íåáîëüøîé øêàëû, íàõîäÿùåéñÿ â íèæíåé ÷àñòè êîëîíêè. Âåñû ñíàáæåíû àððåòèðîì ïðèñïîñîáëåíèåì, çàêðåïëÿþùèì êîðîìûñëî è ÷àøêè âåñîâ è ïðåäîõðàíÿþùèì ïðèçìû îò èçíàøèâàíèÿ. Âñå äåéñòâèÿ ñ âåñàìè ïîìåùåíèå âçâåøèâàåìîãî ïðåäìåòà íà ÷àøêó, äîáàâëåíèå ëþáûõ (äàæå ñàìûõ ìàëåíüêèõ) ðàçíîâåñîâ äîëæíû ïðîèçâîäèòüñÿ òîëüêî ñ àððåòèðîâàííûìè âåñàìè. Ïðîâåðêà âåñîâ. Íà ÷àøêàõ íè÷åãî íå äîëæíî íàõîäèòüñÿ. Ìåäëåííûì ïëàâíûì âðàùåíèåì ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå ðó÷êè, íàõîäÿùåéñÿ ïîñåðåäèíå îñíîâàíèÿ âåñîâ, âåñû îñâîáîæäàþò îò àððåòèðà. Êîðîìûñëî âåñîâ íà÷èíàåò ìåäëåííî êîëåáàòüñÿ. Åñëè îñâîáîæäåíèå îò àððåòèðà ïðîèçâåäåíî äîñòàòî÷íî ïëàâíî, òî êîíåö ñòðåëêè êîëåáëåòñÿ â ïðåäåëàõ øêàëû. Íå íóæíî äîæèäàòüñÿ ïðåêðàùåíèÿ êîëåáàíèé. Ó èñïðàâíûõ õîðîøî óðàâíîâåøåííûõ âåñîâ ðàçíèöà â àìïëèòóäå êîëåáàíèé ñòðåëêè âïðàâî è âëåâî îò ñåðåäèíû øêàëû íå äîëæíà ïðåâûøàòü òðåõ äåëåíèé. Ïëàâíî âðàùàÿ ðó÷êó àððåòèðà â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè àððåòèðóþò âåñû. Åñëè âåñû íå óðàâíîâåøåíû, òî ñëåäóåò îáðàòèòüñÿ ê ïðåïîäàâàòåëþ èëè ëàáîðàíòó. Ïîðÿäîê âçâåøèâàíèÿ:
1. Íà îäíó èç ÷àøåê àððåòèðîâàííûõ âåñîâ êëàäóò ïðåäìåò, ïîäëåæàùèé âçâåøèâàíèþ, à ðàçíîâåñ íà äðóãóþ. 2. Ñíÿòûé ñ ÷àøêè âåñîâ ðàçíîâåñ äîëæåí áûòü ñðàçó æå ïîìåùåí â ñîîòâåòñòâóþùåå ãíåçäî ÿùèêà äëÿ ðàçíîâåñà. 3. Îïðåäåëèòü, êàêàÿ èç ÷àøåê ïåðåâåøèâàåò, ìîæíî, ñëåãêà îñâîáîäèâ àððåòèð, íî íå âûâîäÿ åãî ïîëíîñòüþ, ïî îòêëîíåíèþ ñòðåëêè. 4. Îñâîáîæäàòü ïîëíîñòüþ îò àððåòèðà ìîæíî òîëüêî ïî÷òè óðàâíîâåøåííûå âåñû (ïðè ýòîì ñòðåëêà äîëæíà êîëåáàòüñÿ â ïðåäåëàõ øêàëû). 5. Ïðè âçâåøèâàíèè ñëåäóåò ïðèäåðæèâàòüñÿ îïðåäåëåííîãî ïîðÿäêà. Ïåðâûì íà ÷àøêó âåñîâ êëàäóò òîò ðàçíîâåñ (ãèðüêó), êîòîðûé, ïî ìíåíèþ âçâåøèâàþùåãî, íàâåðíÿêà ïåðåâåøèâàåò òåëî. Ñëåãêà îñâîáîæäàÿ àððåòèð, óáåæäàþòñÿ â ýòîì (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñëåäóåò âçÿòü áîëåå òÿæåëûé ðàçíîâåñ). Âåñû àððåòèðóþò, ðàçíîâåñ ñíèìàþò è íà åãî ìåñòî êëàäóò ñëåäóþùèé â ïî27
à
á
Ðèñ. 5
(èíà÷å äåëåíèÿ ïðèøëîñü áû äåëàòü áåñêîíå÷íî òîíêèìè). Ïîýòîìó åñëè îòñ÷åò ïî øêàëå áàðàáàíà ïðåâûøàåò 30 äåëåíèé, òî ïîêàçàâøååñÿ èç-ïîä êðàÿ áàðàáàíà äåëåíèå (âåðõíåå èëè íèæíåå) ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå íå íóæíî. Íà ðèñ. 5 ïîêàçàíû îòñ÷åòû: 8,62 ìì (à) è 6,48 ìì (á). Ïåðåä íà÷àëîì ðàáîòû ñëåäóåò óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ïðè ñîìêíóòûõ âèíòå è ïÿòêå ìèêðîìåòð äàåò íóëåâîé îòñ÷åò.
4. Ñåêóíäîìåð Ñòðåëî÷íûé ìåõàíè÷åñêèé ñåêóíäîìåð ïðåäíàçíà÷åí äëÿ èçìåðåíèÿ ìàëûõ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè (äî 30 ìèí). Ó ñåêóíäîìåðà èìååòñÿ äâå ñòðåëêè: áîëüøàÿ ñåêóíäíàÿ è ìàëàÿ ìèíóòíàÿ. Öåíà ñàìîãî ìàëåíüêîãî äåëåíèÿ ñåêóíäíîé øêàëû 0,2 ñ. Ñåêóíäíàÿ ñòðåëêà äâèæåòñÿ ñêà÷êàìè òàêæå ÷åðåç 0,2 ñ. Ïîýòîìó íàèáîëüøàÿ àáñîëþòíàÿ òî÷íîñòü, êîòîðóþ ìîæíî äîñòè÷ü ñåêóíäîìåðîì, ñîñòàâëÿåò 0,2 ñ. Îäèí îáîðîò ñåêóíäíîé ñòðåëêè äëèòñÿ 1 ìèí = 60 ñ. Çà ýòî âðåìÿ ìèíóòíàÿ ñòðåëêà ïåðåìåùàåòñÿ íà îäíî äåëåíèå. Óïðàâëÿåò âñåìè äåéñòâèÿìè ñåêóíäîìåðà òàê íàçûâàåìàÿ ãîëîâêà. Ïðè åå âðàùåíèè çàâîäèòñÿ ïðóæèíà. ×òîáû ñòðåëêè ïðèøëè â äâèæåíèå, íàæèìàþò ãîëîâêó äî óïîðà (íà÷àëî èçìåðåíèÿ ïðîìåæóòêà âðåìåíè). Ïðè âòîðè÷íîì íàæàòèè ãîëîâêè ñòðåëêè îñòàíàâëèâàþòñÿ (êîíåö èçìåðåíèÿ ïðîìåæóòêà âðåìåíè). Ïðîèçâîäèòñÿ îòñ÷åò âðåìåíè. Òðåòüå íàæàòèå íà ãîëîâêó âîçâðàùàåò ñòðåëêè ê èñõîäíûì (íóëåâûì) äåëåíèÿì ñâîèõ øêàë ñåêóíäîìåð ãîòîâ ê ñëåäóþùåìó èçìåðåíèþ. Åñòü ñåêóíäîìåðû ñ äâóìÿ ãîëîâêàìè. Ñ ïîìîùüþ îäíîé èç íèõ îñóùåñòâëÿþòñÿ çàâîä ñåêóíäîìåðà, ïóñê è îñòàíîâêà ñòðåëîê (òàê æå, êàê è ó ñåêóíäîìåðà ñ îäíîé ãîëîâêîé), äðóãàÿ ñëóæèò òîëüêî äëÿ âîçâðàòà ñòðåëîê â íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå. Çàâîäèòü ñåêóíäîìåð ðåêîìåíäóåòñÿ ïåðåä íà÷àëîì ïîëüçîâàíèÿ. Ïîñëå ïîëüçîâàíèÿ íå ñëåäóåò îñòàíàâëèâàòü ñåêóíäîìåð îí äîëæåí èäòè äî ïîëíîãî ñïóñêà çàâîäíîé ïðóæèíû. 5. Òåõíè÷åñêèå âåñû Òî÷êîé îïîðû êîðîìûñëà (ðàâíîïëå÷åãî ðû÷àãà) òåõíè÷åñêèõ âåñîâ ÿâëÿåòñÿ ñòàëüíàÿ ïðèçìà, íàõîäÿùàÿñÿ íà ñåðåäèíå êîðî26
ìûñëà è îáðàùåííàÿ îñòðûì ðåáðîì âíèç. Ïðèçìà îïèðàåòñÿ íà ñòàëüíóþ ïëàñòèíêó, ðàñïîëîæåííóþ íàâåðõó öåíòðàëüíîé êîëîíêè. Íà êîíöàõ êîðîìûñëà íàõîäÿòñÿ ïðèçìû, îáðàùåííûå îñòðûì ðåáðîì ââåðõ. Íà ýòè ïðèçìû îïèðàþòñÿ ïîäâåñû ÷àøåê. Ïîñåðåäèíå êîðîìûñëà çàêðåïëåíà äëèííàÿ ñòðåëêà, ïîëîæåíèå êîòîðîé ìîæíî îòñ÷èòûâàòü ïðè ïîìîùè íåáîëüøîé øêàëû, íàõîäÿùåéñÿ â íèæíåé ÷àñòè êîëîíêè. Âåñû ñíàáæåíû àððåòèðîì ïðèñïîñîáëåíèåì, çàêðåïëÿþùèì êîðîìûñëî è ÷àøêè âåñîâ è ïðåäîõðàíÿþùèì ïðèçìû îò èçíàøèâàíèÿ. Âñå äåéñòâèÿ ñ âåñàìè ïîìåùåíèå âçâåøèâàåìîãî ïðåäìåòà íà ÷àøêó, äîáàâëåíèå ëþáûõ (äàæå ñàìûõ ìàëåíüêèõ) ðàçíîâåñîâ äîëæíû ïðîèçâîäèòüñÿ òîëüêî ñ àððåòèðîâàííûìè âåñàìè. Ïðîâåðêà âåñîâ. Íà ÷àøêàõ íè÷åãî íå äîëæíî íàõîäèòüñÿ. Ìåäëåííûì ïëàâíûì âðàùåíèåì ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå ðó÷êè, íàõîäÿùåéñÿ ïîñåðåäèíå îñíîâàíèÿ âåñîâ, âåñû îñâîáîæäàþò îò àððåòèðà. Êîðîìûñëî âåñîâ íà÷èíàåò ìåäëåííî êîëåáàòüñÿ. Åñëè îñâîáîæäåíèå îò àððåòèðà ïðîèçâåäåíî äîñòàòî÷íî ïëàâíî, òî êîíåö ñòðåëêè êîëåáëåòñÿ â ïðåäåëàõ øêàëû. Íå íóæíî äîæèäàòüñÿ ïðåêðàùåíèÿ êîëåáàíèé. Ó èñïðàâíûõ õîðîøî óðàâíîâåøåííûõ âåñîâ ðàçíèöà â àìïëèòóäå êîëåáàíèé ñòðåëêè âïðàâî è âëåâî îò ñåðåäèíû øêàëû íå äîëæíà ïðåâûøàòü òðåõ äåëåíèé. Ïëàâíî âðàùàÿ ðó÷êó àððåòèðà â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè àððåòèðóþò âåñû. Åñëè âåñû íå óðàâíîâåøåíû, òî ñëåäóåò îáðàòèòüñÿ ê ïðåïîäàâàòåëþ èëè ëàáîðàíòó. Ïîðÿäîê âçâåøèâàíèÿ:
1. Íà îäíó èç ÷àøåê àððåòèðîâàííûõ âåñîâ êëàäóò ïðåäìåò, ïîäëåæàùèé âçâåøèâàíèþ, à ðàçíîâåñ íà äðóãóþ. 2. Ñíÿòûé ñ ÷àøêè âåñîâ ðàçíîâåñ äîëæåí áûòü ñðàçó æå ïîìåùåí â ñîîòâåòñòâóþùåå ãíåçäî ÿùèêà äëÿ ðàçíîâåñà. 3. Îïðåäåëèòü, êàêàÿ èç ÷àøåê ïåðåâåøèâàåò, ìîæíî, ñëåãêà îñâîáîäèâ àððåòèð, íî íå âûâîäÿ åãî ïîëíîñòüþ, ïî îòêëîíåíèþ ñòðåëêè. 4. Îñâîáîæäàòü ïîëíîñòüþ îò àððåòèðà ìîæíî òîëüêî ïî÷òè óðàâíîâåøåííûå âåñû (ïðè ýòîì ñòðåëêà äîëæíà êîëåáàòüñÿ â ïðåäåëàõ øêàëû). 5. Ïðè âçâåøèâàíèè ñëåäóåò ïðèäåðæèâàòüñÿ îïðåäåëåííîãî ïîðÿäêà. Ïåðâûì íà ÷àøêó âåñîâ êëàäóò òîò ðàçíîâåñ (ãèðüêó), êîòîðûé, ïî ìíåíèþ âçâåøèâàþùåãî, íàâåðíÿêà ïåðåâåøèâàåò òåëî. Ñëåãêà îñâîáîæäàÿ àððåòèð, óáåæäàþòñÿ â ýòîì (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñëåäóåò âçÿòü áîëåå òÿæåëûé ðàçíîâåñ). Âåñû àððåòèðóþò, ðàçíîâåñ ñíèìàþò è íà åãî ìåñòî êëàäóò ñëåäóþùèé â ïî27
ðÿäêå óáûâàíèÿ âåñà (â ãíåçäàõ ÿùèêà ðàçíîâåñû ëåæàò îáû÷íî â òàêîì æå ïîðÿäêå). Ñëåãêà îñâîáîæäàÿ âåñû îò àððåòèðà, óçíàþò, ÷òî ïåðåâåøèâàåò òåëî èëè ðàçíîâåñ. Åñëè ðàçíîâåñ, òî åãî ñíèìàþò è êëàäóò âìåñòî íåãî ñëåäóþùèé, åñëè æå òåëî, òî, îñòàâëÿÿ ðàçíîâåñ íà ÷àøêå, äîáàâëÿþò ê íåìó ñëåäóþùèé. Òåïåðü íà ÷àøêå óæå äâå ãèðüêè. Ñíîâà ïðîáóþò, ÷òî òÿæåëåå. Åñëè ïåðåâåøèâàåò ðàçíîâåñ, òî ñíèìàþò ãèðüêó, ïîëîæåííóþ ïîñëåäíåé, è êëàäóò âìåñòî íåå ñëåäóþùóþ â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ âåñà. Åñëè ïåðåâåøèâàåò òåëî, òî ê ïîëîæåííûì ðàíåå ðàçíîâåñàì äîáàâëÿþò ñëåäóþùèé. Ýòó îïåðàöèþ ïîñëåäîâàòåëüíî ïîâòîðÿþò, ïîêà íå äîéäóò äî ðàçíîâåñà ìàññîé ìåíåå 500 ìã. Òîëüêî ïîñëå ýòîãî ìîæíî àððåòèð âûâîäèòü ïîëíîñòüþ. Ðàâíîâåñèå ñ÷èòàåòñÿ äîñòèãíóòûì, åñëè ðàçíèöà â àìïëèòóäå êîëåáàíèé ñòðåëêè âïðàâî è âëåâî îò ñåðåäèíû øêàëû íå ïðåâûøàåò òðåõ äåëåíèé. Ïðè âçâåøèâàíèè íà òàêèõ âåñàõ ñ èìåþùèìñÿ ðàçíîâåñîì íàèáîëüøàÿ äîñòèæèìàÿ òî÷íîñòü ñîñòàâëÿåò 100 ìã. Âçâåøèâàíèå îáû÷íî ïðîèçâîäèòñÿ îäèí ðàç, åñëè íåò ñïåöèàëüíîãî óêàçàíèÿ ïðåïîäàâàòåëÿ.
Çàäà÷à ¹ 1 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÏËÎÒÍÎÑÒÈ ÒÅË ÏÐÎÑÒÅÉØÅÉ ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÎÐÌÛ
Öåëü çàäà÷è: îçíàêîìëåíèå ñ ïðîñòåéøèìè èçìåðèòåëüíûìè ïðèáîðàìè øòàíãåíöèðêóëåì, ìèêðîìåòðîì, òåõíè÷åñêèìè âåñàìè. Íà ïðèìåðå èçìåðåíèÿ ïëîòíîñòè òåë ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêîé ôîðìû èçó÷àþòñÿ îñíîâíûå ìåòîäû ó÷åòà ïîãðåøíîñòåé èçìåðåíèé. Ïðèáîðû è ïðèíàäëåæíîñòè: ïîëûé öèëèíäð è ïàðàëëåëåïèïåä (ïëàñòèíêà), èçãîòîâëåííûå èç îäíîðîäíûõ ìàòåðèàëîâ; øòàíãåíöèðêóëü, ìèêðîìåòð, òåõíè÷åñêèå âåñû, íàáîð ðàçíîâåñîâ. Ïðåäâàðèòåëüíî ñëåäóåò îçíàêîìèòüñÿ ñ ðàçäåëàìè «Ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé» è «Ïðîñòåéøèå èçìåðèòåëüíûå ïðèáîðû». Ïî îêîí÷àíèè èçìåðåíèé ñëåäóåò ïðåäñòàâèòü îò÷åò â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåêîìåíäóåìîé ôîðìîé îò÷åòà çàäà÷è ¹ 1 (ñì. äàëåå). Óïðàæíåíèå 1
Îïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè ïîëîãî öèëèíäðà Îáîçíà÷åíèÿ âåëè÷èí, õàðàêòåðèçóþùèõ öèëèíäð (ðèñ. 1): H âûñîòà; D1 íàðóæíûé äèàìåòð; D2 âíóòðåííèé äèàìåòð; V îáúåì; m ìàññà; r ïëîòíîñòü. Îáúåì ïîëîãî öèëèíäðà ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå
V =
1 pH (D12 - D22 ). 4 Îòñþäà åãî ïëîòíîñòü r=
4m m . = V pH (D12 - D22 )
(1)
Èçìåðåíèÿ
Ðèñ. 1
Íàõîæäåíèå ìàññû. Ìàññà öèëèíäðà îïðåäåëÿåòñÿ âçâåøèâàíèåì íà òåõíè÷åñêèõ âåñàõ. Âçâåøèâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ îäèí ðàç ñ òî÷íîñòüþ äî 0,1 ã. Íàéäåííîå çíà÷åíèå çàïèñûâàåòñÿ â ñèñòåìå åäèíèö ÑÈ ñ ó÷åòîì ïðèáîðíîé ïîãðåøíîñòè. Óêàçûâàåòñÿ òàêæå îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ ìàññû. Èçìåðåíèå âûñîòû H, âíåøíåãî D1 è âíóòðåííåãî D2 äèàìåòðîâ öèëèíäðà. Âåëè÷èíû H, D1 è D2 èçìåðÿþò øòàíãåí29
ðÿäêå óáûâàíèÿ âåñà (â ãíåçäàõ ÿùèêà ðàçíîâåñû ëåæàò îáû÷íî â òàêîì æå ïîðÿäêå). Ñëåãêà îñâîáîæäàÿ âåñû îò àððåòèðà, óçíàþò, ÷òî ïåðåâåøèâàåò òåëî èëè ðàçíîâåñ. Åñëè ðàçíîâåñ, òî åãî ñíèìàþò è êëàäóò âìåñòî íåãî ñëåäóþùèé, åñëè æå òåëî, òî, îñòàâëÿÿ ðàçíîâåñ íà ÷àøêå, äîáàâëÿþò ê íåìó ñëåäóþùèé. Òåïåðü íà ÷àøêå óæå äâå ãèðüêè. Ñíîâà ïðîáóþò, ÷òî òÿæåëåå. Åñëè ïåðåâåøèâàåò ðàçíîâåñ, òî ñíèìàþò ãèðüêó, ïîëîæåííóþ ïîñëåäíåé, è êëàäóò âìåñòî íåå ñëåäóþùóþ â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ âåñà. Åñëè ïåðåâåøèâàåò òåëî, òî ê ïîëîæåííûì ðàíåå ðàçíîâåñàì äîáàâëÿþò ñëåäóþùèé. Ýòó îïåðàöèþ ïîñëåäîâàòåëüíî ïîâòîðÿþò, ïîêà íå äîéäóò äî ðàçíîâåñà ìàññîé ìåíåå 500 ìã. Òîëüêî ïîñëå ýòîãî ìîæíî àððåòèð âûâîäèòü ïîëíîñòüþ. Ðàâíîâåñèå ñ÷èòàåòñÿ äîñòèãíóòûì, åñëè ðàçíèöà â àìïëèòóäå êîëåáàíèé ñòðåëêè âïðàâî è âëåâî îò ñåðåäèíû øêàëû íå ïðåâûøàåò òðåõ äåëåíèé. Ïðè âçâåøèâàíèè íà òàêèõ âåñàõ ñ èìåþùèìñÿ ðàçíîâåñîì íàèáîëüøàÿ äîñòèæèìàÿ òî÷íîñòü ñîñòàâëÿåò 100 ìã. Âçâåøèâàíèå îáû÷íî ïðîèçâîäèòñÿ îäèí ðàç, åñëè íåò ñïåöèàëüíîãî óêàçàíèÿ ïðåïîäàâàòåëÿ.
Çàäà÷à ¹ 1 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÏËÎÒÍÎÑÒÈ ÒÅË ÏÐÎÑÒÅÉØÅÉ ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÎÐÌÛ
Öåëü çàäà÷è: îçíàêîìëåíèå ñ ïðîñòåéøèìè èçìåðèòåëüíûìè ïðèáîðàìè øòàíãåíöèðêóëåì, ìèêðîìåòðîì, òåõíè÷åñêèìè âåñàìè. Íà ïðèìåðå èçìåðåíèÿ ïëîòíîñòè òåë ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêîé ôîðìû èçó÷àþòñÿ îñíîâíûå ìåòîäû ó÷åòà ïîãðåøíîñòåé èçìåðåíèé. Ïðèáîðû è ïðèíàäëåæíîñòè: ïîëûé öèëèíäð è ïàðàëëåëåïèïåä (ïëàñòèíêà), èçãîòîâëåííûå èç îäíîðîäíûõ ìàòåðèàëîâ; øòàíãåíöèðêóëü, ìèêðîìåòð, òåõíè÷åñêèå âåñû, íàáîð ðàçíîâåñîâ. Ïðåäâàðèòåëüíî ñëåäóåò îçíàêîìèòüñÿ ñ ðàçäåëàìè «Ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé» è «Ïðîñòåéøèå èçìåðèòåëüíûå ïðèáîðû». Ïî îêîí÷àíèè èçìåðåíèé ñëåäóåò ïðåäñòàâèòü îò÷åò â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåêîìåíäóåìîé ôîðìîé îò÷åòà çàäà÷è ¹ 1 (ñì. äàëåå). Óïðàæíåíèå 1
Îïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè ïîëîãî öèëèíäðà Îáîçíà÷åíèÿ âåëè÷èí, õàðàêòåðèçóþùèõ öèëèíäð (ðèñ. 1): H âûñîòà; D1 íàðóæíûé äèàìåòð; D2 âíóòðåííèé äèàìåòð; V îáúåì; m ìàññà; r ïëîòíîñòü. Îáúåì ïîëîãî öèëèíäðà ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå
V =
1 pH (D12 - D22 ). 4 Îòñþäà åãî ïëîòíîñòü r=
4m m . = V pH (D12 - D22 )
(1)
Èçìåðåíèÿ
Ðèñ. 1
Íàõîæäåíèå ìàññû. Ìàññà öèëèíäðà îïðåäåëÿåòñÿ âçâåøèâàíèåì íà òåõíè÷åñêèõ âåñàõ. Âçâåøèâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ îäèí ðàç ñ òî÷íîñòüþ äî 0,1 ã. Íàéäåííîå çíà÷åíèå çàïèñûâàåòñÿ â ñèñòåìå åäèíèö ÑÈ ñ ó÷åòîì ïðèáîðíîé ïîãðåøíîñòè. Óêàçûâàåòñÿ òàêæå îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ ìàññû. Èçìåðåíèå âûñîòû H, âíåøíåãî D1 è âíóòðåííåãî D2 äèàìåòðîâ öèëèíäðà. Âåëè÷èíû H, D1 è D2 èçìåðÿþò øòàíãåí29
öèðêóëåì ïî ïÿòü ðàç â ðàçíûõ ìåñòàõ ñ ìàêñèìàëüíîé òî÷íîñòüþ, êîòîðóþ äîïóñêàåò øòàíãåíöèðêóëü. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé è ñîîòâåòñòâóþùèå ïîãðåøíîñòè çàíîñÿò â òàáëèöû, àíàëîãè÷íûå òàáë. 1, ïðèâåäåííîé íèæå. Îêîí÷àòåëüíûå çíà÷åíèÿ âñåõ èçìåðÿåìûõ âåëè÷èí äîëæíû áûòü ïðèâåäåíû â ñèñòåìå åäèíèö ÑÈ. Òàáëèöû ìîãóò áûòü çàãîòîâëåíû çàðàíåå â ïðîöåññå ïîäãîòîâêè ê âûïîëíåíèþ çàäà÷è è çàïîëíåíû ïðè ïðîâåäåíèè èçìåðåíèé. Óïðàæíåíèå 2
Îïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè ïëàñòèíêè Îáîçíà÷åíèÿ âåëè÷èí, õàðàêòåðèçóþùèõ ïëàñòèíêó (ðèñ. 2): À äëèíà, B øèðèíà, C òîëùèíà, m ìàññà. Ìàññó m ïëàñòèíêè íàõîäÿò âçâåøèâàíèåì íà òåõíè÷åñêèõ âåñàõ ñ òî÷íîñòüþ äî 0,1 ã. Äëèíó À è øèðèíó B ïëàñòèíêè èçìåðÿþò ïî ïÿòü ðàç øòàíãåíöèðêóëåì â ðàçíûõ ìåñòàõ. Òîëùèíó C èçìåðÿþò ìèêðîìåòðîì 10 ðàç â ðàçíûõ ìåñòàõ. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé çàïèñûâàþò â òàáëèöû, àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî äåëàëîñü â óïðàæíåíèè 1. Îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé Èñïîëüçóÿ äàííûå òàáëèö, â êîòîðûå çàíîñèëèñü ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé, ïîäñ÷èòûâàþò ñðåäíèå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí è ïîãðåøíîñòè, äîïóùåííûå ïðè èõ èçìåðåíèÿõ, çàïîëíÿÿ òåì ñàìûì ñâîáîäíûå ìåñòà â òàáëèöàõ. Ðàññ÷èòûâàþò ïëîòíîñòü âåùåñòâà, èç êîòîðîãî èçãîòîâëåí öèëèíäð. Äëÿ ýòîãî íà ìåñòî ñîîòâåòñòâóþùèõ îáîçíà÷åíèé â ôîðìóëó (1) ïîäñòàâëÿþò ñðåäíèå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí H, D1, D2, à òàêæå çíà÷åíèå m. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîãðåøíîñòè â âåëè÷èíå ïëîòíîñòè, èçìåðÿåìîé êîñâåííî, èñïîëüçóþò ôîðìóëû äëÿ ÷àñòíûõ îòíîñèòåëüíûõ ïîãðåøíîñòåé â èçìåðÿåìûõ âåëè÷èíàõ, ïðèâåäåííûå â Ðåêîìåíäóåìîé ôîðìå îò÷åòà çàäà÷è ¹ 1 (ôîðìóëó äëÿ ÷àñòíîé ïîãðåøíîñÐèñ. 2 òè âåëè÷èíû D2 ñëåäóåò íàéòè ñàìîñòîÿòåëüíî). Îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü ïëîòíîñòè ïîëó÷àþò, èçâëåêàÿ êâàäðàòíûé êîðåíü èç ñóììû êâàäðàòîâ ÷àñòíûõ îòíîñèòåëüíûõ ïîãðåøíîñòåé. Íàêîíåö, ÷òîáû íàéòè àáñîëþòíóþ ïîãðåøíîñòü ïëîòíîñòè, îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü óìíîæàþò íà âåëè÷èíó ïëîòíîñòè. Äàëåå çàïèñûâàþò îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ ïëîòíîñòè ñ ó÷åòîì ïîãðåøíîñòè, ñîõðàíÿÿ 30
êàê â ðåçóëüòàòå, òàê è â ïîãðåøíîñòè íåîáõîäèìîå ÷èñëî çíà÷àùèõ öèôð. Íàõîæäåíèå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîòíîñòè âåùåñòâà, èç êîòîðîãî èçãîòîâëåíà ïëàñòèíêà, è âåñü ðàñ÷åò êàê ÷àñòíûõ ïîãðåøíîñòåé âåëè÷èí A, B, C è m, òàê è ïîëíîé ïîãðåøíîñòè âåëè÷èíû r ïðåäëàãàåòñÿ ïðîäåëàòü ñàìîñòîÿòåëüíî. Ðåêîìåíäóåìàÿ ôîðìà îò÷åòà çàäà÷è ¹ 1 Ñîäåðæàíèå îò÷åòà Çàäà÷à 1. Îïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè òåë ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêîé ôîðìû Êîíñïåêò îïèñàíèÿ «Ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèÿ». Êðàòêèé êîíñïåêò òåîðèè íîíèóñîâ Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ÷àñòü
Ïîÿñíåíèÿ Äàòà âûïîëíåíèÿ Íîìåð è íàçâàíèå çàäà÷è Êðàòêîå èçëîæåíèå òåîðèè Ïåðå÷åíü ïðèíàäëåæíîñòåé, ðèñóíîê óñòàíîâêè, ýëåêòðè÷åñêàÿ èëè îïòè÷åñêàÿ ñõåìà
Ïðèíàäëåæíîñòè: ïîëûé öèëèíäð, ïëàñòèíêà â ôîðìå ïàðàëëåëåïèïåäà, øòàíãåíöèðêóëü, ìèêðîìåòð, òåõíè÷åñêèå âåñû Óïðàæíåíèå 1 Îïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè ïîëîãî öèëèíäðà Ðàñ÷åòíûå ôîðìóëû 4m , r= ñ îáÿçàòåëüíûì óêàçàp H ( D12 - D 22 ) íèåì îáîçíà÷åíèé ãäå r ïëîòíîñòü âåùåñòâà öèëèíäðà; m åãî ìàññà; H âûñîòà; D1 âíåøíèé äèàìåòð; D2 âíóòðåííèé äèàìåòð Èçìåðåíèå ìàññû m (âçâåøèâàíèå): Ðåçóëüòàò íåïîñðåäÐàçíîâåñû íà ÷àøêå âåñîâ: ñòâåííûõ èçìåðåíèé (200 + 20 + 5 + 2 + 0,2) ã = 227,2 ã. âåëè÷èíû, èçìåðÿåìîé îäèí ðàç, è îöåíêà Ïðèáîðíàÿ ïîãðåøíîñòü âåñîâ Dmïð = 0,1 ã. åå ïîãðåøíîñòè m = (2,272 ± 0,001)×10-1 êã, Dm/m = 4,4 ×10-4 = 0,04% Èçìåðåíèå âûñîòû H Òàáëèöà 1 H SH ¹ Hi, DHi DHñë DHïð DH DH/H Òàáë. 1 çàïîëíÿåòñÿ ï/ï ìì ðåçóëüòàòàìè èçìåðå1 65,00 64,91 +0,09 0,0600 0,168 0,05 0,1753 0,0027 íèé âåëè÷èíû H, êîòî0,11 2 64,80 ðàÿ èçìåðÿåòñÿ íå3 65,10 +0,19 ñêîëüêî ðàç è ñîäåð0,11 4 64,80 æèò ñëó÷àéíóþ è ïðè0,06 5 64,85 áîðíóþ ïîãðåøíîñòè. H ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå; Òàêèå òàáëèöû äîëæíû DHi = Hi H àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü; áûòü ñîñòàâëåíû äëÿ SH ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå ñðåäíåãî àðèôìåâñåõ âåëè÷èí, èçìåðÿòè÷åñêîãî; åìûõ ïî íåñêîëüêî ðàç DHñë ñëó÷àéíàÿ ïîãðåøíîñòü (äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë); DHïð ïðèáîðíàÿ ïîãðåøíîñòü; DH ïîëíàÿ àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü; DH/H ïîëíàÿ îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü. H = (6,491 ± 0,018)×10-2 ì; DH/H = 0,27%
31
öèðêóëåì ïî ïÿòü ðàç â ðàçíûõ ìåñòàõ ñ ìàêñèìàëüíîé òî÷íîñòüþ, êîòîðóþ äîïóñêàåò øòàíãåíöèðêóëü. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé è ñîîòâåòñòâóþùèå ïîãðåøíîñòè çàíîñÿò â òàáëèöû, àíàëîãè÷íûå òàáë. 1, ïðèâåäåííîé íèæå. Îêîí÷àòåëüíûå çíà÷åíèÿ âñåõ èçìåðÿåìûõ âåëè÷èí äîëæíû áûòü ïðèâåäåíû â ñèñòåìå åäèíèö ÑÈ. Òàáëèöû ìîãóò áûòü çàãîòîâëåíû çàðàíåå â ïðîöåññå ïîäãîòîâêè ê âûïîëíåíèþ çàäà÷è è çàïîëíåíû ïðè ïðîâåäåíèè èçìåðåíèé. Óïðàæíåíèå 2
Îïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè ïëàñòèíêè Îáîçíà÷åíèÿ âåëè÷èí, õàðàêòåðèçóþùèõ ïëàñòèíêó (ðèñ. 2): À äëèíà, B øèðèíà, C òîëùèíà, m ìàññà. Ìàññó m ïëàñòèíêè íàõîäÿò âçâåøèâàíèåì íà òåõíè÷åñêèõ âåñàõ ñ òî÷íîñòüþ äî 0,1 ã. Äëèíó À è øèðèíó B ïëàñòèíêè èçìåðÿþò ïî ïÿòü ðàç øòàíãåíöèðêóëåì â ðàçíûõ ìåñòàõ. Òîëùèíó C èçìåðÿþò ìèêðîìåòðîì 10 ðàç â ðàçíûõ ìåñòàõ. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé çàïèñûâàþò â òàáëèöû, àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî äåëàëîñü â óïðàæíåíèè 1. Îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé Èñïîëüçóÿ äàííûå òàáëèö, â êîòîðûå çàíîñèëèñü ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé, ïîäñ÷èòûâàþò ñðåäíèå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí è ïîãðåøíîñòè, äîïóùåííûå ïðè èõ èçìåðåíèÿõ, çàïîëíÿÿ òåì ñàìûì ñâîáîäíûå ìåñòà â òàáëèöàõ. Ðàññ÷èòûâàþò ïëîòíîñòü âåùåñòâà, èç êîòîðîãî èçãîòîâëåí öèëèíäð. Äëÿ ýòîãî íà ìåñòî ñîîòâåòñòâóþùèõ îáîçíà÷åíèé â ôîðìóëó (1) ïîäñòàâëÿþò ñðåäíèå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí H, D1, D2, à òàêæå çíà÷åíèå m. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîãðåøíîñòè â âåëè÷èíå ïëîòíîñòè, èçìåðÿåìîé êîñâåííî, èñïîëüçóþò ôîðìóëû äëÿ ÷àñòíûõ îòíîñèòåëüíûõ ïîãðåøíîñòåé â èçìåðÿåìûõ âåëè÷èíàõ, ïðèâåäåííûå â Ðåêîìåíäóåìîé ôîðìå îò÷åòà çàäà÷è ¹ 1 (ôîðìóëó äëÿ ÷àñòíîé ïîãðåøíîñÐèñ. 2 òè âåëè÷èíû D2 ñëåäóåò íàéòè ñàìîñòîÿòåëüíî). Îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü ïëîòíîñòè ïîëó÷àþò, èçâëåêàÿ êâàäðàòíûé êîðåíü èç ñóììû êâàäðàòîâ ÷àñòíûõ îòíîñèòåëüíûõ ïîãðåøíîñòåé. Íàêîíåö, ÷òîáû íàéòè àáñîëþòíóþ ïîãðåøíîñòü ïëîòíîñòè, îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü óìíîæàþò íà âåëè÷èíó ïëîòíîñòè. Äàëåå çàïèñûâàþò îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ ïëîòíîñòè ñ ó÷åòîì ïîãðåøíîñòè, ñîõðàíÿÿ 30
êàê â ðåçóëüòàòå, òàê è â ïîãðåøíîñòè íåîáõîäèìîå ÷èñëî çíà÷àùèõ öèôð. Íàõîæäåíèå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîòíîñòè âåùåñòâà, èç êîòîðîãî èçãîòîâëåíà ïëàñòèíêà, è âåñü ðàñ÷åò êàê ÷àñòíûõ ïîãðåøíîñòåé âåëè÷èí A, B, C è m, òàê è ïîëíîé ïîãðåøíîñòè âåëè÷èíû r ïðåäëàãàåòñÿ ïðîäåëàòü ñàìîñòîÿòåëüíî. Ðåêîìåíäóåìàÿ ôîðìà îò÷åòà çàäà÷è ¹ 1 Ñîäåðæàíèå îò÷åòà Çàäà÷à 1. Îïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè òåë ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêîé ôîðìû Êîíñïåêò îïèñàíèÿ «Ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèÿ». Êðàòêèé êîíñïåêò òåîðèè íîíèóñîâ Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ÷àñòü
Ïîÿñíåíèÿ Äàòà âûïîëíåíèÿ Íîìåð è íàçâàíèå çàäà÷è Êðàòêîå èçëîæåíèå òåîðèè Ïåðå÷åíü ïðèíàäëåæíîñòåé, ðèñóíîê óñòàíîâêè, ýëåêòðè÷åñêàÿ èëè îïòè÷åñêàÿ ñõåìà
Ïðèíàäëåæíîñòè: ïîëûé öèëèíäð, ïëàñòèíêà â ôîðìå ïàðàëëåëåïèïåäà, øòàíãåíöèðêóëü, ìèêðîìåòð, òåõíè÷åñêèå âåñû Óïðàæíåíèå 1 Îïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè ïîëîãî öèëèíäðà Ðàñ÷åòíûå ôîðìóëû 4m , r= ñ îáÿçàòåëüíûì óêàçàp H ( D12 - D 22 ) íèåì îáîçíà÷åíèé ãäå r ïëîòíîñòü âåùåñòâà öèëèíäðà; m åãî ìàññà; H âûñîòà; D1 âíåøíèé äèàìåòð; D2 âíóòðåííèé äèàìåòð Èçìåðåíèå ìàññû m (âçâåøèâàíèå): Ðåçóëüòàò íåïîñðåäÐàçíîâåñû íà ÷àøêå âåñîâ: ñòâåííûõ èçìåðåíèé (200 + 20 + 5 + 2 + 0,2) ã = 227,2 ã. âåëè÷èíû, èçìåðÿåìîé îäèí ðàç, è îöåíêà Ïðèáîðíàÿ ïîãðåøíîñòü âåñîâ Dmïð = 0,1 ã. åå ïîãðåøíîñòè m = (2,272 ± 0,001)×10-1 êã, Dm/m = 4,4 ×10-4 = 0,04% Èçìåðåíèå âûñîòû H Òàáëèöà 1 H SH ¹ Hi, DHi DHñë DHïð DH DH/H Òàáë. 1 çàïîëíÿåòñÿ ï/ï ìì ðåçóëüòàòàìè èçìåðå1 65,00 64,91 +0,09 0,0600 0,168 0,05 0,1753 0,0027 íèé âåëè÷èíû H, êîòî0,11 2 64,80 ðàÿ èçìåðÿåòñÿ íå3 65,10 +0,19 ñêîëüêî ðàç è ñîäåð0,11 4 64,80 æèò ñëó÷àéíóþ è ïðè0,06 5 64,85 áîðíóþ ïîãðåøíîñòè. H ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå; Òàêèå òàáëèöû äîëæíû DHi = Hi H àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü; áûòü ñîñòàâëåíû äëÿ SH ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå ñðåäíåãî àðèôìåâñåõ âåëè÷èí, èçìåðÿòè÷åñêîãî; åìûõ ïî íåñêîëüêî ðàç DHñë ñëó÷àéíàÿ ïîãðåøíîñòü (äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë); DHïð ïðèáîðíàÿ ïîãðåøíîñòü; DH ïîëíàÿ àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü; DH/H ïîëíàÿ îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü. H = (6,491 ± 0,018)×10-2 ì; DH/H = 0,27%
31
Ñîäåðæàíèå îò÷åòà SH =
Ïîÿñíåíèÿ
Ïîëíàÿ îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü âåëè÷èíû r:
å ( DH ) i
D H ñë
; 4 ×5 = t 0,95×5 × S H = , 8 × S H ;
DH =
( D H ñë ) + ( DH ïð )
Dr = 1, 94 × 10-7 + 7, 3 × 10-6 + 3, 3 × 10-5 + , 84 × 10-4 = r = 0, 0180
Èçìåðåíèå âíåøíåãî äèàìåòðà D1 D1 = ( ,849 ± 0,005 ) × 10- ì; DD1 /D1 = 0,18% Èçìåðåíèå âíóòðåííåãî äèàìåòðà D2 D = (1,71 ± 0,0 6) × 10- ì; DD /D = 1,5% Âû÷èñëåíèå ïëîòíîñòè r r=
4 × , 7 × 103,14 × 6, 491 × 10- é , 849 × 10êë
- (1, 71 × 10- ) ù úû
=
Ïðè èçìåðåíèÿõ çàïîëíÿþòñÿ òàáë. 2 äëÿ D 1 òàáë. 3 äëÿ D 2, àíàëîãè÷íûå òàáë. 1. Çäåñü ïðèâîäÿòñÿ ëèøü îêîí÷àòåëüíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ïðè îáðàáîòêå òàáë. 2 è 3 Âû÷èñëåíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû (ñ ïîäñòàíîâêîé â ôîðìóëó ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé âõîäÿùèõ â íåå âåëè÷èí â ñèñòåìå ÑÈ)
= 8,574 × 103 êã/ì3 Îöåíêà ïîãðåøíîñòè ïëîòíîñòè. Ëîãàðèôì ôîðìóëû äëÿ ïëîòíîñòè: ln r = ln 4 + ln m - ln p - ln H - ln( D1 - D ). Êâàäðàòû ÷àñòíûõ ïîãðåøíîñòåé: 1 ¶ ( ln r ) = ; m ¶m ¶(ln r) Dm Dm = m ¶m
= (4, 4 × 10-4 ) = 1, 94 × 10-7.
1 ¶(ln r) ¶(ln r) =- ; DH H ¶H ¶H
= -
DH H
=
= ( , 7 × 10-3 ) = 7, 3 × 10-6. D1 ¶(ln r) ¶(ln r) =DD1 ; D1 - D ¶D1 ¶D1 =
× , 849 × 10 - × 5, 4 × 10 -5 ( , 849 × 10 - ) - (1, 709 × 10 - )
¶(ln r) DD ¶D
32
Ñîäåðæàíèå îò÷åòà
= ... = , 84 × 10 -4
= -
Îöåíêà ïîãðåøíîñòåé ñ ïðèâåäåíèåì ôîðìóë äëÿ ÷àñòíûõ ïîãðåøíîñòåé è âû÷èñëåíèåì êàæäîé èç íèõ.  äàííîì ñëó÷àå óäîáíåå íàõîäèòü ñíà÷àëà îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü. Ïîãðåøíîñòü öèôðû 4 ðàâíà íóëþ, ïîãðåøíîñòü p ïðè ðàñ÷åòå íà êàëüêóëÿòîðå ó÷èòûâàòü íå ñëåäóåò
D1DD1 = D1 - D
= 3, 30 × 10 -5
×àñòíóþ ïîãðåøíîñòü, âîçíèêàþùóþ âñëåäñòâèå ïîãðåøíîñòè â D2, ïðåäëàãàåòñÿ âû÷èñëèòü ñàìîñòîÿòåëüíî
Ïîëíàÿ àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü âåëè÷èíû r: æ Dr ö 3 3 3 ç ÷ × r = 0, 018 × 8, 57 × 10 = 0,154 × 10 êã/ì èrø
Çíà÷åíèå ïëîòíîñòè r ñ ó÷åòîì ïîãðåøíîñòè: 3
3
r = (8,57 ± 0,16) ·10 êã/ì , Dr/r = 1,8%
Ñîäåðæàíèå îò÷åòà
Ïîÿñíåíèÿ Âû÷èñëåíèå îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè
Âû÷èñëåíèå àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè
Çàïèñü îêîí÷àòåëüíîãî ðåçóëüòàòà ñ ó÷åòîì ïîãðåøíîñòè Ïîÿñíåíèÿ
Óïðàæíåíèå 2 Îïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè ïàðàëëåëåïèïåäà Ïðåäëàãàåòñÿ îôîðìèòü ñàìîñòîÿòåëüíî, àíàëîãè÷íî Óïðàæíåíèþ 1
Ñîäåðæàíèå îò÷åòà SH =
Ïîÿñíåíèÿ
Ïîëíàÿ îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü âåëè÷èíû r:
å ( DH ) i
D H ñë
; 4 ×5 = t 0,95×5 × S H = , 8 × S H ;
DH =
( D H ñë ) + ( DH ïð )
Dr = 1, 94 × 10-7 + 7, 3 × 10-6 + 3, 3 × 10-5 + , 84 × 10-4 = r = 0, 0180
Èçìåðåíèå âíåøíåãî äèàìåòðà D1 D1 = ( ,849 ± 0,005 ) × 10- ì; DD1 /D1 = 0,18% Èçìåðåíèå âíóòðåííåãî äèàìåòðà D2 D = (1,71 ± 0,0 6) × 10- ì; DD /D = 1,5% Âû÷èñëåíèå ïëîòíîñòè r r=
4 × , 7 × 103,14 × 6, 491 × 10- é , 849 × 10êë
- (1, 71 × 10- ) ù úû
=
Ïðè èçìåðåíèÿõ çàïîëíÿþòñÿ òàáë. 2 äëÿ D 1 òàáë. 3 äëÿ D 2, àíàëîãè÷íûå òàáë. 1. Çäåñü ïðèâîäÿòñÿ ëèøü îêîí÷àòåëüíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ïðè îáðàáîòêå òàáë. 2 è 3 Âû÷èñëåíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû (ñ ïîäñòàíîâêîé â ôîðìóëó ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé âõîäÿùèõ â íåå âåëè÷èí â ñèñòåìå ÑÈ)
= 8,574 × 103 êã/ì3 Îöåíêà ïîãðåøíîñòè ïëîòíîñòè. Ëîãàðèôì ôîðìóëû äëÿ ïëîòíîñòè: ln r = ln 4 + ln m - ln p - ln H - ln( D1 - D ). Êâàäðàòû ÷àñòíûõ ïîãðåøíîñòåé: 1 ¶ ( ln r ) = ; m ¶m ¶(ln r) Dm Dm = m ¶m
= (4, 4 × 10-4 ) = 1, 94 × 10-7.
1 ¶(ln r) ¶(ln r) =- ; DH H ¶H ¶H
= -
DH H
=
= ( , 7 × 10-3 ) = 7, 3 × 10-6. D1 ¶(ln r) ¶(ln r) =DD1 ; D1 - D ¶D1 ¶D1 =
× , 849 × 10 - × 5, 4 × 10 -5 ( , 849 × 10 - ) - (1, 709 × 10 - )
¶(ln r) DD ¶D
32
Ñîäåðæàíèå îò÷åòà
= ... = , 84 × 10 -4
= -
Îöåíêà ïîãðåøíîñòåé ñ ïðèâåäåíèåì ôîðìóë äëÿ ÷àñòíûõ ïîãðåøíîñòåé è âû÷èñëåíèåì êàæäîé èç íèõ.  äàííîì ñëó÷àå óäîáíåå íàõîäèòü ñíà÷àëà îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü. Ïîãðåøíîñòü öèôðû 4 ðàâíà íóëþ, ïîãðåøíîñòü p ïðè ðàñ÷åòå íà êàëüêóëÿòîðå ó÷èòûâàòü íå ñëåäóåò
D1DD1 = D1 - D
= 3, 30 × 10 -5
×àñòíóþ ïîãðåøíîñòü, âîçíèêàþùóþ âñëåäñòâèå ïîãðåøíîñòè â D2, ïðåäëàãàåòñÿ âû÷èñëèòü ñàìîñòîÿòåëüíî
Ïîëíàÿ àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü âåëè÷èíû r: æ Dr ö 3 3 3 ç ÷ × r = 0, 018 × 8, 57 × 10 = 0,154 × 10 êã/ì èrø
Çíà÷åíèå ïëîòíîñòè r ñ ó÷åòîì ïîãðåøíîñòè: 3
3
r = (8,57 ± 0,16) ·10 êã/ì , Dr/r = 1,8%
Ñîäåðæàíèå îò÷åòà
Ïîÿñíåíèÿ Âû÷èñëåíèå îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè
Âû÷èñëåíèå àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè
Çàïèñü îêîí÷àòåëüíîãî ðåçóëüòàòà ñ ó÷åòîì ïîãðåøíîñòè Ïîÿñíåíèÿ
Óïðàæíåíèå 2 Îïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè ïàðàëëåëåïèïåäà Ïðåäëàãàåòñÿ îôîðìèòü ñàìîñòîÿòåëüíî, àíàëîãè÷íî Óïðàæíåíèþ 1
ÒÅÌÀ 2
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (1)(3) ëåãêî ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g (íàïðèìåð, ïîäñòàíîâêîé t1 èç òðåòüåãî óðàâíåíèÿ âî âòîðîå, çàòåì, âûðàçèâ a, ïîäñòàâèòü åãî â ïåðâîå óðàâíåíèå):
ÌÅÕÀÍÈÊÀ ÒÎ×ÊÈ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ ÒÂÅÐÄÎÃÎ ÒÅËÀ
g = (2M + m) S22/m 2S1t 2,
ÐÀÇÄÅË 1 ÄÈÍÀÌÈÊÀ ÌÀÒÅÐÈÀËÜÍÎÉ ÒÎ×ÊÈ Çàäà÷à ¹ 2
Ðèñ. 1
ÈÇÌÅÐÅÍÈÅ ÓÑÊÎÐÅÍÈß ÑÂÎÁÎÄÍÎÃÎ ÏÀÄÅÍÈß Ñ ÏÎÌÎÙÜÞ ÏÐÈÁÎÐÀ ÀÒÂÓÄÀ
Öåëü çàäà÷è: îïðåäåëåíèå óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g ñ ïîìîùüþ ïðèáîðà Àòâóäà. Ïðèáîð Àòâóäà ïðåäíàçíà÷åí äëÿ èçó÷åíèÿ ïðÿìîëèíåéíîãî ðàâíîóñêîðåííîãî äâèæåíèÿ. Ïðèíöèï ðàáîòû ïðèáîðà îñíîâàí íà èñïîëüçîâàíèè çàêîíîâ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ òåëà. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû ×åðåç ðîëèê, ñìîíòèðîâàííûé íà ïîäøèïíèêå òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îí ìîã âðàùàòüñÿ ñ âîçìîæíî ìàëûì òðåíèåì, ïðîõîäèò íèòêà ñ äâóìÿ îäèíàêîâûìè ãðóçàìè ìàññîé Ì êàæäûé (ðèñ. 1). Âûâåäåì âûðàæåíèå äëÿ óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî íèòü íåðàñòÿæèìà, ìàññà ðîëèêà è ìàññà íèòè ìàëû è ñèëîé òðåíèÿ â çàäà÷å ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Åñëè íà ïðàâûé ãðóç Ì, íàõîäÿùèéñÿ â âåðõíåì ïîëîæåíèè, ïîëîæèòü íåáîëüøîé ãðóç ìàññîé m, òî ñèñòåìà ãðóçîâ (2Ì + m) ïîëó÷èò óñêîðåíèå a ïîä âëèÿíèåì ñèëû F = mg è, ïåðåäâèãàÿñü óñêîðåííî, ïðîéäåò ïóòü S1 çà âðåìÿ t1: (2M + m) a = mg,
(1)
S1 = 1/2at12.
(2)
Íà êîëüöå, îáîçíà÷åííîì íà ðèñ. 1 áóêâîé Ê, äîïîëíèòåëüíûé ãðóç áóäåò îòöåïëåí, è ãðóçû ïðîéäóò, òåïåðü óæå äâèãàÿñü ðàâíîìåðíî ñî ñêîðîñòüþ v1 = at1, çà âðåìÿ t ïóòü S2: S2 = v1t = at1t. 34
(3)
(4)
ãäå t âðåìÿ (â ñåêóíäàõ), â òå÷åíèå êîòîðîãî ãðóçû ïðîéäóò ïóòü S2. Èçìåðåíèå âðåìåíè ïðîèçâîäèòñÿ ìèëëèñåêóíäîìåðîì, ðàñïîëîæåííûì â îñíîâàíèè ïðèáîðà. Ëèöåâàÿ ïàíåëü ìèëëèñåêóíäîìåðà òàêæå èçîáðàæåíà íà ðèñ. 1.
Ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ ðàáîòû ÂÍÈÌÀÍÈÅ! Âêëþ÷åíèå ïðèáîðà â ñåòü îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðåïîäàâàòåëåì èëè ëàáîðàíòîì. Íàæàòü êëàâèøó «ÑÅÒÜ» ìèëëèñåêóíäîìåðà. Ïðè ýòîì ïðîèçâîäèòñÿ àâòîìàòè÷åñêèé ñáðîñ ïîêàçàíèé ïðèáîðà (âñå èíäèêàòîðû âûñâå÷èâàþò öèôðó «0») è çàæèãàþòñÿ ëàìïî÷êè ôîòîýëåêòðè÷åñêèõ äàò÷èêîâ â íà÷àëå è êîíöå ïóòè S2. Íà ïðàâûé ãðóç Ì ïîëîæèòü îäèí èç òðåõ äîïîëíèòåëüíûõ ãðóçîâ m1 (ñ ìåíüøåé ìàññîé). Ëåâûé ãðóç Ì äîëæåí çàíèìàòü íèæíåå ïîëîæåíèå (íà îïîðå). Ïðîâåðèòü ñîâïàäåíèå íèæíåé ãðàíè ïðàâîãî ãðóçà Ì ñ ÷åðòîé, íàíåñåííîé íà âåðõíåì êðîíøòåéíå. Èçìåðèòü ñ ïîìîùüþ ìèëëèìåòðîâîé øêàëû íà êîëîíêå çàäàííûå ïóòè ðàâíîóñêîðåííîãî S1 è ðàâíîìåðíîãî S2 äâèæåíèé ãðóçà Ì. Íàæàòü êëàâèøó «ÏÓÑÊ». Ïðè ýòîì ýëåêòðîìàãíèò îòïóñêàåò ãðóçû è îíè íà÷èíàþò äâèæåíèå. Íà òàáëî ñåêóíäîìåðà èíäèöèðóþòñÿ íóëè. Ñåêóíäîìåð çàïóñêàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîòîýëåêòðè÷åñêîãî äàò÷èêà (ó êîëüöà Ê) â ìîìåíò îòöåïëåíèÿ ãðóçà m1. Ñåêóíäîìåð ïðåêðàùàåò îòñ÷åò âðåìåíè ñ ïîìîùüþ íèæíåãî ôîòîýëåêòðè÷åñêîãî äàò÷èêà. Ïðî÷èòàòü è çàïèñàòü èçìåðåííîå çíà÷åíèå âðåìåíè äâèæåíèÿ áîëüøîãî ãðóçà Ì íà ïóòè S2. Íàæàòü êëàâèøó «ÑÁÐÎÑ». Öèôðîâûå èíäèêàòîðû äîëæíû âûñâåòèòü íóëè. Èçìåðåíèå ïîâòîðèòü íå ìåíåå ïÿòè ðàç, îáðàùàÿ îñîáîå âíèìàíèå íà ïîëíûé ïîêîé ãðóçîâ â ìîìåíò çàïóñêà. Îïðåäå35
ÒÅÌÀ 2
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (1)(3) ëåãêî ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g (íàïðèìåð, ïîäñòàíîâêîé t1 èç òðåòüåãî óðàâíåíèÿ âî âòîðîå, çàòåì, âûðàçèâ a, ïîäñòàâèòü åãî â ïåðâîå óðàâíåíèå):
ÌÅÕÀÍÈÊÀ ÒÎ×ÊÈ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ ÒÂÅÐÄÎÃÎ ÒÅËÀ
g = (2M + m) S22/m 2S1t 2,
ÐÀÇÄÅË 1 ÄÈÍÀÌÈÊÀ ÌÀÒÅÐÈÀËÜÍÎÉ ÒÎ×ÊÈ Çàäà÷à ¹ 2
Ðèñ. 1
ÈÇÌÅÐÅÍÈÅ ÓÑÊÎÐÅÍÈß ÑÂÎÁÎÄÍÎÃÎ ÏÀÄÅÍÈß Ñ ÏÎÌÎÙÜÞ ÏÐÈÁÎÐÀ ÀÒÂÓÄÀ
Öåëü çàäà÷è: îïðåäåëåíèå óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g ñ ïîìîùüþ ïðèáîðà Àòâóäà. Ïðèáîð Àòâóäà ïðåäíàçíà÷åí äëÿ èçó÷åíèÿ ïðÿìîëèíåéíîãî ðàâíîóñêîðåííîãî äâèæåíèÿ. Ïðèíöèï ðàáîòû ïðèáîðà îñíîâàí íà èñïîëüçîâàíèè çàêîíîâ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ òåëà. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû ×åðåç ðîëèê, ñìîíòèðîâàííûé íà ïîäøèïíèêå òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îí ìîã âðàùàòüñÿ ñ âîçìîæíî ìàëûì òðåíèåì, ïðîõîäèò íèòêà ñ äâóìÿ îäèíàêîâûìè ãðóçàìè ìàññîé Ì êàæäûé (ðèñ. 1). Âûâåäåì âûðàæåíèå äëÿ óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî íèòü íåðàñòÿæèìà, ìàññà ðîëèêà è ìàññà íèòè ìàëû è ñèëîé òðåíèÿ â çàäà÷å ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Åñëè íà ïðàâûé ãðóç Ì, íàõîäÿùèéñÿ â âåðõíåì ïîëîæåíèè, ïîëîæèòü íåáîëüøîé ãðóç ìàññîé m, òî ñèñòåìà ãðóçîâ (2Ì + m) ïîëó÷èò óñêîðåíèå a ïîä âëèÿíèåì ñèëû F = mg è, ïåðåäâèãàÿñü óñêîðåííî, ïðîéäåò ïóòü S1 çà âðåìÿ t1: (2M + m) a = mg,
(1)
S1 = 1/2at12.
(2)
Íà êîëüöå, îáîçíà÷åííîì íà ðèñ. 1 áóêâîé Ê, äîïîëíèòåëüíûé ãðóç áóäåò îòöåïëåí, è ãðóçû ïðîéäóò, òåïåðü óæå äâèãàÿñü ðàâíîìåðíî ñî ñêîðîñòüþ v1 = at1, çà âðåìÿ t ïóòü S2: S2 = v1t = at1t. 34
(3)
(4)
ãäå t âðåìÿ (â ñåêóíäàõ), â òå÷åíèå êîòîðîãî ãðóçû ïðîéäóò ïóòü S2. Èçìåðåíèå âðåìåíè ïðîèçâîäèòñÿ ìèëëèñåêóíäîìåðîì, ðàñïîëîæåííûì â îñíîâàíèè ïðèáîðà. Ëèöåâàÿ ïàíåëü ìèëëèñåêóíäîìåðà òàêæå èçîáðàæåíà íà ðèñ. 1.
Ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ ðàáîòû ÂÍÈÌÀÍÈÅ! Âêëþ÷åíèå ïðèáîðà â ñåòü îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðåïîäàâàòåëåì èëè ëàáîðàíòîì. Íàæàòü êëàâèøó «ÑÅÒÜ» ìèëëèñåêóíäîìåðà. Ïðè ýòîì ïðîèçâîäèòñÿ àâòîìàòè÷åñêèé ñáðîñ ïîêàçàíèé ïðèáîðà (âñå èíäèêàòîðû âûñâå÷èâàþò öèôðó «0») è çàæèãàþòñÿ ëàìïî÷êè ôîòîýëåêòðè÷åñêèõ äàò÷èêîâ â íà÷àëå è êîíöå ïóòè S2. Íà ïðàâûé ãðóç Ì ïîëîæèòü îäèí èç òðåõ äîïîëíèòåëüíûõ ãðóçîâ m1 (ñ ìåíüøåé ìàññîé). Ëåâûé ãðóç Ì äîëæåí çàíèìàòü íèæíåå ïîëîæåíèå (íà îïîðå). Ïðîâåðèòü ñîâïàäåíèå íèæíåé ãðàíè ïðàâîãî ãðóçà Ì ñ ÷åðòîé, íàíåñåííîé íà âåðõíåì êðîíøòåéíå. Èçìåðèòü ñ ïîìîùüþ ìèëëèìåòðîâîé øêàëû íà êîëîíêå çàäàííûå ïóòè ðàâíîóñêîðåííîãî S1 è ðàâíîìåðíîãî S2 äâèæåíèé ãðóçà Ì. Íàæàòü êëàâèøó «ÏÓÑÊ». Ïðè ýòîì ýëåêòðîìàãíèò îòïóñêàåò ãðóçû è îíè íà÷èíàþò äâèæåíèå. Íà òàáëî ñåêóíäîìåðà èíäèöèðóþòñÿ íóëè. Ñåêóíäîìåð çàïóñêàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîòîýëåêòðè÷åñêîãî äàò÷èêà (ó êîëüöà Ê) â ìîìåíò îòöåïëåíèÿ ãðóçà m1. Ñåêóíäîìåð ïðåêðàùàåò îòñ÷åò âðåìåíè ñ ïîìîùüþ íèæíåãî ôîòîýëåêòðè÷åñêîãî äàò÷èêà. Ïðî÷èòàòü è çàïèñàòü èçìåðåííîå çíà÷åíèå âðåìåíè äâèæåíèÿ áîëüøîãî ãðóçà Ì íà ïóòè S2. Íàæàòü êëàâèøó «ÑÁÐÎÑ». Öèôðîâûå èíäèêàòîðû äîëæíû âûñâåòèòü íóëè. Èçìåðåíèå ïîâòîðèòü íå ìåíåå ïÿòè ðàç, îáðàùàÿ îñîáîå âíèìàíèå íà ïîëíûé ïîêîé ãðóçîâ â ìîìåíò çàïóñêà. Îïðåäå35
ëèòü ñðåäíåå çíà÷åíèå âðåìåíè äâèæåíèÿ áîëüøîãî ãðóçà Ì íà ïóòè S2 ïî ôîðìóëå tñð =
n
1 å ti , n i =1
(5)
ãäå n êîëè÷åñòâî âûïîëíåííûõ èçìåðåíèé; ti âðåìÿ i-ãî èçìåðåíèÿ. Ïî ôîðìóëå (4) âû÷èñëèòü g1, èñïîëüçóÿ tñð. Îïðåäåëèòü ïîãðåøíîñòü èçìåðåííîãî çíà÷åíèÿ óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g1 îòíîñèòåëüíî òàáëè÷íîé âåëè÷èíû g0 ïî ôîðìóëå | g - g | Dg = × %, g g
(6)
ãäå g0 = 981,56 ñì/ñ2 óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ íà øèðîòå Ìîñêâû; g1 óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, îïðåäåëåííîå â îïûòàõ ñ ìàññîé m1. Äàííûé ëàáîðàòîðíûé ïðèáîð Àòâóäà îáåñïå÷èâàåò îïðåäåëåíèå g ñ ïîãðåøíîñòüþ íå áîëåå 15%. Åñëè ïîëó÷èëàñü îøèáêà áîëüøå 15%, èçìåðåíèÿ ñëåäóåò ïðåêðàòèòü è îáðàòèòüñÿ çà êîíñóëüòàöèåé ê ïðåïîäàâàòåëþ èëè ëàáîðàíòó. Åñëè îøèáêà ïîëó÷èëàñü ìåíåå 15%, èçìåðåíèÿ ïðîäîëæèòü ñ ãðóçàìè ìàññàìè m2 è m3. Ìàññû ãðóçîâ m1, m2 è m3 óêàçàíû íà ñàìèõ ãðóçàõ ñ òî÷íîñòüþ ±0,01 ã. Ìàññó Ì íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü âçâåøèâàíèåì îáîèõ ãðóçîâ Ì âìåñòå ñ íèòüþ (ïðè ðàñ÷åòàõ ìàññîé íèòè ïðåíåáðå÷ü) ñ òî÷íîñòüþ äî 0,1 ã. Ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ ïóòè S íå áîëåå ±1 ìì. Ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ âðåìåíè íå áîëåå 0,02%. Ñ ïîìîùüþ äèôôåðåíöèàëüíîãî ìåòîäà íàõîæäåíèÿ îøèáîê êîñâåííûõ èçìåðåíèé ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ðàñ÷åòà îòíîñèòåëüíîé îøèáêè îïðåäåëåíèÿ g ïî ôîðìóëå (4): Dg mDM + M Dm DS DS1 Dt = +2 2 + +2 . g m(2M + m) S2 S1 t
(7)
Ïîãðåøíîñòü â 15% îáóñëîâëåíà îáû÷íûìè äëÿ çàäà÷ ñ áëîêàìè ïðèáëèæåíèÿìè: ïðåíåáðåãàëè ñèëàìè òðåíèÿ, ìàññîé áëîêà, íèòü ñ÷èòàëàñü íåâåñîìîé è íåðàñòÿæèìîé è ò.ä. Ñ öåëüþ óìåíüøåíèÿ ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé íåîáõîäèìî êîíòðîëèðîâàòü, ÷òîáû ïëîñêîñòü áëîêà áûëà ñòðîãî âåðòèêàëüíîé, çàïóñê ïðîèçâîäèòü ïëàâíî è òîëüêî â ìîìåíò ïîëíîé îñòàíîâêè îáîèõ ãðóçîâ Ì. 36
Ëèòåðàòóðà Ñàâåëüåâ È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 1. Ìåõàíèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 2. Äèíàìèêà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. § 2.11. Ñèëà òÿæåñòè è âåñ.
ëèòü ñðåäíåå çíà÷åíèå âðåìåíè äâèæåíèÿ áîëüøîãî ãðóçà Ì íà ïóòè S2 ïî ôîðìóëå tñð =
n
1 å ti , n i =1
(5)
ãäå n êîëè÷åñòâî âûïîëíåííûõ èçìåðåíèé; ti âðåìÿ i-ãî èçìåðåíèÿ. Ïî ôîðìóëå (4) âû÷èñëèòü g1, èñïîëüçóÿ tñð. Îïðåäåëèòü ïîãðåøíîñòü èçìåðåííîãî çíà÷åíèÿ óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g1 îòíîñèòåëüíî òàáëè÷íîé âåëè÷èíû g0 ïî ôîðìóëå | g - g | Dg = × %, g g
(6)
ãäå g0 = 981,56 ñì/ñ2 óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ íà øèðîòå Ìîñêâû; g1 óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, îïðåäåëåííîå â îïûòàõ ñ ìàññîé m1. Äàííûé ëàáîðàòîðíûé ïðèáîð Àòâóäà îáåñïå÷èâàåò îïðåäåëåíèå g ñ ïîãðåøíîñòüþ íå áîëåå 15%. Åñëè ïîëó÷èëàñü îøèáêà áîëüøå 15%, èçìåðåíèÿ ñëåäóåò ïðåêðàòèòü è îáðàòèòüñÿ çà êîíñóëüòàöèåé ê ïðåïîäàâàòåëþ èëè ëàáîðàíòó. Åñëè îøèáêà ïîëó÷èëàñü ìåíåå 15%, èçìåðåíèÿ ïðîäîëæèòü ñ ãðóçàìè ìàññàìè m2 è m3. Ìàññû ãðóçîâ m1, m2 è m3 óêàçàíû íà ñàìèõ ãðóçàõ ñ òî÷íîñòüþ ±0,01 ã. Ìàññó Ì íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü âçâåøèâàíèåì îáîèõ ãðóçîâ Ì âìåñòå ñ íèòüþ (ïðè ðàñ÷åòàõ ìàññîé íèòè ïðåíåáðå÷ü) ñ òî÷íîñòüþ äî 0,1 ã. Ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ ïóòè S íå áîëåå ±1 ìì. Ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ âðåìåíè íå áîëåå 0,02%. Ñ ïîìîùüþ äèôôåðåíöèàëüíîãî ìåòîäà íàõîæäåíèÿ îøèáîê êîñâåííûõ èçìåðåíèé ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ðàñ÷åòà îòíîñèòåëüíîé îøèáêè îïðåäåëåíèÿ g ïî ôîðìóëå (4): Dg mDM + M Dm DS DS1 Dt = +2 2 + +2 . g m(2M + m) S2 S1 t
(7)
Ïîãðåøíîñòü â 15% îáóñëîâëåíà îáû÷íûìè äëÿ çàäà÷ ñ áëîêàìè ïðèáëèæåíèÿìè: ïðåíåáðåãàëè ñèëàìè òðåíèÿ, ìàññîé áëîêà, íèòü ñ÷èòàëàñü íåâåñîìîé è íåðàñòÿæèìîé è ò.ä. Ñ öåëüþ óìåíüøåíèÿ ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé íåîáõîäèìî êîíòðîëèðîâàòü, ÷òîáû ïëîñêîñòü áëîêà áûëà ñòðîãî âåðòèêàëüíîé, çàïóñê ïðîèçâîäèòü ïëàâíî è òîëüêî â ìîìåíò ïîëíîé îñòàíîâêè îáîèõ ãðóçîâ Ì. 36
Ëèòåðàòóðà Ñàâåëüåâ È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 1. Ìåõàíèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 2. Äèíàìèêà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. § 2.11. Ñèëà òÿæåñòè è âåñ.
Çàäà÷à ¹ 3
Îòêóäà
ÈÇÓ×ÅÍÈÅ ÓÏÐÓÃÎÃÎ È ÍÅÓÏÐÓÃÎÃÎ ÑÎÓÄÀÐÅÍÈß ÒÅË
Öåëü çàäà÷è: èçó÷åíèå ïðîöåññà óïðóãîãî è íåóïðóãîãî ñîóäàðåíèÿ øàðîâ ñ ïðèâëå÷åíèåì çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è èìïóëüñà. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ Àáñîëþòíî óïðóãèì íàçûâàåòñÿ óäàð, ïðè êîòîðîì ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òåë íå ïåðåõîäèò â äðóãèå, íåìåõàíè÷åñêèå âèäû ýíåðãèè. Ïðè òàêîì óäàðå êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïåðåõîäèò ïîëíîñòüþ èëè ÷àñòè÷íî â ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ óïðóãîé äåôîðìàöèè. Çàòåì òåëà âîññòàíàâëèâàþò ñâîþ ïåðâîíà÷àëüíóþ ôîðìó, îòòàëêèâàÿ äðóã äðóãà.  èòîãå ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ óïðóãîé äåôîðìàöèè ñíîâà ïåðåõîäèò â êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ è òåëà ðàçëåòàþòñÿ ñî ñêîðîñòÿìè, âåëè÷èíà è íàïðàâëåíèå êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ äâóìÿ óñëîâèÿìè: ñîõðàíåíèåì ïîëíîé ýíåðãèè è ñîõðàíåíèåì ïîëíîãî èìïóëüñà ñèñòåìû òåë. Àáñîëþòíî íåóïðóãèé óäàð õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òî ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè äåôîðìàöèè íå âîçíèêàåò. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òåë ïîëíîñòüþ èëè ÷àñòè÷íî ïðåâðàùàåòñÿ âî âíóòðåííþþ ýíåðãèþ. Ïîñëå óäàðà ñòîëêíóâøèåñÿ òåëà ëèáî äâèæóòñÿ ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ, ëèáî ïîêîÿòñÿ. Ïðè àáñîëþòíî íåóïðóãîì óäàðå âûïîëíÿåòñÿ ëèøü çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà; çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè íå âûïîëíÿåòñÿ, òàê êàê ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòè÷íî ïåðåõîäèò â òåïëîâóþ. Óäàð íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíûì, åñëè øàðû äî óäàðà äâèæóòñÿ âäîëü ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç èõ öåíòðû. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû 1. Àáñîëþòíî íåóïðóãèé óäàð. Ïóñòü ìàññû øàðîâ m1 è m2, ñêîðîñòè äî óäàðà v10 è v20, à èõ èìïóëüñû, ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû mv10 è mv20. Ïîñëå ñîóäàðåíèÿ øàðû äâèæóòñÿ ñî ñêîðîñòüþ, êîòîðóþ ìîæíî íàéòè, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñóììàðíûé èìïóëüñ øàðîâ ïîñëå óäàðà äîëæåí áûòü ðàâåí ñóììàðíîìó èìïóëüñó äî óäàðà (çàêîí ñîõðàíåíèÿ): mv + m v
= (m + m )v.
v=
m1v10 + m2v20 . m1 + m2
 ñëó÷àå êîãäà îäèí øàð äî ñòîëêíîâåíèÿ ïîêîèëñÿ (v ïîëó÷àåì v=
= ) ,
(2)
2. Àáñîëþòíî óïðóãèé óäàð. Îáîçíà÷èì ìàññû øàðîâ m1 è m2, ñêîðîñòè øàðîâ äî óäàðà v10 è v20, ñêîðîñòè øàðîâ ïîñëå óäàðà v1 è v 2. Óäàð öåíòðàëüíûé. Ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà (3) mv + m v = mv + m v . Ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè 2 m1v10 m v2 m v2 m v2 + 2 20 = 1 1 + 2 2 . 2 2 2 2
(4)
Óðàâíåíèå (3) ïðåîáðàçóåì: (5) Ó÷èòûâàÿ, ÷òî À  = (À Â)(À + Â), óðàâíåíèå (4) ïðèâîäèì ê âèäó m(v - v ) = m (v - v ).
2
2
m(v - v )(v + v ) = m (v - v )(v + v ).
(6)
Èç âûðàæåíèé (5) è (6) ïîëó÷àåì (7) Óìíîæàÿ óðàâíåíèå (7) íà m2, è âû÷èòàÿ ðåçóëüòàò èç (5), à çàòåì, óìíîæàÿ (7) íà m1 è ñêëàäûâàÿ ñ (5), ïîëó÷èì âåêòîðû ñêîðîñòåé øàðîâ ïîñëå óäàðà: v + v = v + v .
v1 =
2m2v20 + (m1 - m2 )v10 , m1 + m2
(8)
v2 =
2m1v10 + (m2 - m1 )v20 . m1 + m2
(9)
Äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ, êîãäà v v1 =
= , ïîëó÷àåì
(m1 - m2 )v10 , m1 + m2
(10)
2m1v10 . m1 + m2
(11)
v2 = 38
mv . m + m
(1)
39
Çàäà÷à ¹ 3
Îòêóäà
ÈÇÓ×ÅÍÈÅ ÓÏÐÓÃÎÃÎ È ÍÅÓÏÐÓÃÎÃÎ ÑÎÓÄÀÐÅÍÈß ÒÅË
Öåëü çàäà÷è: èçó÷åíèå ïðîöåññà óïðóãîãî è íåóïðóãîãî ñîóäàðåíèÿ øàðîâ ñ ïðèâëå÷åíèåì çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è èìïóëüñà. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ Àáñîëþòíî óïðóãèì íàçûâàåòñÿ óäàð, ïðè êîòîðîì ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òåë íå ïåðåõîäèò â äðóãèå, íåìåõàíè÷åñêèå âèäû ýíåðãèè. Ïðè òàêîì óäàðå êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïåðåõîäèò ïîëíîñòüþ èëè ÷àñòè÷íî â ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ óïðóãîé äåôîðìàöèè. Çàòåì òåëà âîññòàíàâëèâàþò ñâîþ ïåðâîíà÷àëüíóþ ôîðìó, îòòàëêèâàÿ äðóã äðóãà.  èòîãå ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ óïðóãîé äåôîðìàöèè ñíîâà ïåðåõîäèò â êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ è òåëà ðàçëåòàþòñÿ ñî ñêîðîñòÿìè, âåëè÷èíà è íàïðàâëåíèå êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ äâóìÿ óñëîâèÿìè: ñîõðàíåíèåì ïîëíîé ýíåðãèè è ñîõðàíåíèåì ïîëíîãî èìïóëüñà ñèñòåìû òåë. Àáñîëþòíî íåóïðóãèé óäàð õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òî ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè äåôîðìàöèè íå âîçíèêàåò. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òåë ïîëíîñòüþ èëè ÷àñòè÷íî ïðåâðàùàåòñÿ âî âíóòðåííþþ ýíåðãèþ. Ïîñëå óäàðà ñòîëêíóâøèåñÿ òåëà ëèáî äâèæóòñÿ ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ, ëèáî ïîêîÿòñÿ. Ïðè àáñîëþòíî íåóïðóãîì óäàðå âûïîëíÿåòñÿ ëèøü çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà; çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè íå âûïîëíÿåòñÿ, òàê êàê ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòè÷íî ïåðåõîäèò â òåïëîâóþ. Óäàð íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíûì, åñëè øàðû äî óäàðà äâèæóòñÿ âäîëü ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç èõ öåíòðû. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû 1. Àáñîëþòíî íåóïðóãèé óäàð. Ïóñòü ìàññû øàðîâ m1 è m2, ñêîðîñòè äî óäàðà v10 è v20, à èõ èìïóëüñû, ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû mv10 è mv20. Ïîñëå ñîóäàðåíèÿ øàðû äâèæóòñÿ ñî ñêîðîñòüþ, êîòîðóþ ìîæíî íàéòè, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñóììàðíûé èìïóëüñ øàðîâ ïîñëå óäàðà äîëæåí áûòü ðàâåí ñóììàðíîìó èìïóëüñó äî óäàðà (çàêîí ñîõðàíåíèÿ): mv + m v
= (m + m )v.
v=
m1v10 + m2v20 . m1 + m2
 ñëó÷àå êîãäà îäèí øàð äî ñòîëêíîâåíèÿ ïîêîèëñÿ (v ïîëó÷àåì v=
= ) ,
(2)
2. Àáñîëþòíî óïðóãèé óäàð. Îáîçíà÷èì ìàññû øàðîâ m1 è m2, ñêîðîñòè øàðîâ äî óäàðà v10 è v20, ñêîðîñòè øàðîâ ïîñëå óäàðà v1 è v 2. Óäàð öåíòðàëüíûé. Ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà (3) mv + m v = mv + m v . Ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè 2 m1v10 m v2 m v2 m v2 + 2 20 = 1 1 + 2 2 . 2 2 2 2
(4)
Óðàâíåíèå (3) ïðåîáðàçóåì: (5) Ó÷èòûâàÿ, ÷òî À  = (À Â)(À + Â), óðàâíåíèå (4) ïðèâîäèì ê âèäó m(v - v ) = m (v - v ).
2
2
m(v - v )(v + v ) = m (v - v )(v + v ).
(6)
Èç âûðàæåíèé (5) è (6) ïîëó÷àåì (7) Óìíîæàÿ óðàâíåíèå (7) íà m2, è âû÷èòàÿ ðåçóëüòàò èç (5), à çàòåì, óìíîæàÿ (7) íà m1 è ñêëàäûâàÿ ñ (5), ïîëó÷èì âåêòîðû ñêîðîñòåé øàðîâ ïîñëå óäàðà: v + v = v + v .
v1 =
2m2v20 + (m1 - m2 )v10 , m1 + m2
(8)
v2 =
2m1v10 + (m2 - m1 )v20 . m1 + m2
(9)
Äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ, êîãäà v v1 =
= , ïîëó÷àåì
(m1 - m2 )v10 , m1 + m2
(10)
2m1v10 . m1 + m2
(11)
v2 = 38
mv . m + m
(1)
39
Êàê ñëåäóåò èç ôîðìóë (10) è (11), âòîðîé øàð ïîñëå óäàðà äâèæåòñÿ â òó æå ñòîðîíó, êóäà äâèãàëñÿ ïåðâûé øàð äî óäàðà. Ïîâåäåíèå ïåðâîãî øàðà çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ ìàññ. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ñëó÷àè: 1. m1>m2. Ïåðâûé øàð ïðîäîëæàåò äâèãàòüñÿ â òîì æå íàïðàâëåíèè, ÷òî è äî óäàðà, íî ñ ìåíüøåé ñêîðîñòüþ; ïðè ýòîì v > v.
2. m1<m2. Ïåðâûé øàð îòñêàêèâàåò îáðàòíî. Ïðè ýòîì
v < v .
3. m1 = m2.  ýòîì ñëó÷àå v = v = , v = v , ò.å. øàðû ðàâíîé ìàññû ïðè óäàðå îáìåíèâàþòñÿ ñêîðîñòÿìè.  çàäà÷å âåëè÷èíà ñêîðîñòè øàðà îïðåäåëÿåòñÿ ïî óãëó îòêëîíåíèÿ íèòè, íà êîòîðîé ïîäâåøåí øàð. Ðàññìîòðèì øàð ìàññû m, ïîäâåøåííûé â òî÷êå Î íà íèòè äëèíîé l (ðèñ. 1). Åñëè øàð âûâåñòè èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, îòêëîíèâ íèòü íà óãîë a, à çàòåì îòïóñòèòü, òî â íèæíåì ïîëîæåíèè øàð áóäåò èìåòü ñêîðîñòü v, âåëè÷èíó êîòîðîé ìîæíî Ðèñ. 1 íàéòè èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè mgh =
2
mv . 2
(12)
Èç DÀΠíàéäåì ÀÎ = l cosa, òîãäà h = l (1 cosa) = = 2 l sin2(a/2). Ïîäñòàâëÿÿ h â óðàâíåíèå (12), ïîëó÷àåì v = 2 gl × sin
a . 2
(13)
Ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ ðàáîòû Ïðèáîðû è ïðèíàäëåæíîñòè: ïðèáîð äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñîóäàðåíèÿ øàðîâ ñ ìèëëèñåêóíäîìåðîì, íàáîð øàðîâ. Îáùèé âèä ïðèáîðà äëÿ èçó÷åíèÿ ñòîëêíîâåíèÿ øàðîâ ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 2. Íà îñíîâàíèè (1) çàêðåïëåíà êîëîíêà (2) ñ âåðõíèì è íèæíèì êðîíøòåéíàìè. Íà âåðõíåì êðîíøòåéíå óêðåïëåíû ñòåðæíè (3) è âîðîòîê (4), ñëóæàùèé äëÿ óñòàíîâêè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó øàðàìè. Ê ñòåðæíÿì (3) ïîäâåøåíû øàðû (5) íà ïðîâîäàõ, ïî êîòîðûì ïîäâîäèòñÿ íàïðÿæåíèå ê øàðàì ñ öåëüþ ðåãèñòðàöèè âðåìåíè ñîóäàðåíèÿ. Íà íèæíåì êðîíøòåéíå çàêðåïëåíû óãîëüíèêè ñî øêàëàìè (6) è íà ñïåöèàëüíûõ íàïðàâëÿþùèõ ýëåêòðîìàãíèò (7). Áîë40
Ðèñ. 2
òû (8) ïîçâîëÿþò ïåðåäâèãàòü ýëåêòðîìàãíèò âäîëü øêàëû è ôèêñèðîâàòü åãî âûñîòó. Ñèëó, ñ êîòîðîé ýëåêòðîìàãíèò ïðèòÿãèâàåò øàð, ìîæíî ðåãóëèðîâàòü âîðîòêîì (9). Øêàëó ìîæíî ïåðåäâèãàòü âäîëü íèæíåãî êðîíøòåéíà, îñëàáèâ âèíò (10). Íà îñíîâàíèè ïðèáîðà óêðåïëåí ìèëëèñåêóíäîìåð (11). Íà ëèöåâîé ïàíåëè ìèëëèñåêóíäîìåðà íàõîäÿòñÿ ñëåäóþùèå êëàâèøè: (12) «ÑÅÒÜ» âûêëþ÷àòåëü ñåòè. Íàæàòèå ýòîé êëàâèøè âûçûâàåò âêëþ÷åíèå ïèòàþùåãî íàïðÿæåíèÿ, ñîïðîâîæäàþùååñÿ ñâå÷åíèåì öèôðîâûõ èíäèêàòîðîâ (âûñâå÷èâàþùèõ öèôðó «0»); (13) «ÑÁÐÎÑ» ñáðîñ èçìåðèòåëÿ. Íàæàòèå ýòîé êëàâèøè âûçûâàåò ñáðàñûâàíèå ïîêàçàíèé ñåêóíäîìåðà (öèôðîâûå èíäèêàòîðû ñíîâà âûñâå÷èâàþò öèôðó «0»); (14) «ÏÓÑÊ» óïðàâëåíèå ýëåêòðîìàãíèòîì. Íàæàòèå ýòîé êëàâèøè îòêëþ÷àåò ýëåêòðîìàãíèò, à ñëåäóþùåå íàæàòèå âêëþ÷àåò åãî. Ïîäãîòîâêà ïðèáîðà ê èçìåðåíèÿì: íàæàòü êëàâèøó «ÑÅÒÜ». Âñå èíäèêàòîðû èçìåðèòåëÿ ïîêàçûâàþò öèôðó «0». Ïðèáîð íå íóæäàåòñÿ â ïðîãðåâå è ãîòîâ ê èçìåðåíèÿì. 41
Êàê ñëåäóåò èç ôîðìóë (10) è (11), âòîðîé øàð ïîñëå óäàðà äâèæåòñÿ â òó æå ñòîðîíó, êóäà äâèãàëñÿ ïåðâûé øàð äî óäàðà. Ïîâåäåíèå ïåðâîãî øàðà çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ ìàññ. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ñëó÷àè: 1. m1>m2. Ïåðâûé øàð ïðîäîëæàåò äâèãàòüñÿ â òîì æå íàïðàâëåíèè, ÷òî è äî óäàðà, íî ñ ìåíüøåé ñêîðîñòüþ; ïðè ýòîì v > v.
2. m1<m2. Ïåðâûé øàð îòñêàêèâàåò îáðàòíî. Ïðè ýòîì
v < v .
3. m1 = m2.  ýòîì ñëó÷àå v = v = , v = v , ò.å. øàðû ðàâíîé ìàññû ïðè óäàðå îáìåíèâàþòñÿ ñêîðîñòÿìè.  çàäà÷å âåëè÷èíà ñêîðîñòè øàðà îïðåäåëÿåòñÿ ïî óãëó îòêëîíåíèÿ íèòè, íà êîòîðîé ïîäâåøåí øàð. Ðàññìîòðèì øàð ìàññû m, ïîäâåøåííûé â òî÷êå Î íà íèòè äëèíîé l (ðèñ. 1). Åñëè øàð âûâåñòè èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, îòêëîíèâ íèòü íà óãîë a, à çàòåì îòïóñòèòü, òî â íèæíåì ïîëîæåíèè øàð áóäåò èìåòü ñêîðîñòü v, âåëè÷èíó êîòîðîé ìîæíî Ðèñ. 1 íàéòè èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè mgh =
2
mv . 2
(12)
Èç DÀΠíàéäåì ÀÎ = l cosa, òîãäà h = l (1 cosa) = = 2 l sin2(a/2). Ïîäñòàâëÿÿ h â óðàâíåíèå (12), ïîëó÷àåì v = 2 gl × sin
a . 2
(13)
Ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ ðàáîòû Ïðèáîðû è ïðèíàäëåæíîñòè: ïðèáîð äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñîóäàðåíèÿ øàðîâ ñ ìèëëèñåêóíäîìåðîì, íàáîð øàðîâ. Îáùèé âèä ïðèáîðà äëÿ èçó÷åíèÿ ñòîëêíîâåíèÿ øàðîâ ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 2. Íà îñíîâàíèè (1) çàêðåïëåíà êîëîíêà (2) ñ âåðõíèì è íèæíèì êðîíøòåéíàìè. Íà âåðõíåì êðîíøòåéíå óêðåïëåíû ñòåðæíè (3) è âîðîòîê (4), ñëóæàùèé äëÿ óñòàíîâêè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó øàðàìè. Ê ñòåðæíÿì (3) ïîäâåøåíû øàðû (5) íà ïðîâîäàõ, ïî êîòîðûì ïîäâîäèòñÿ íàïðÿæåíèå ê øàðàì ñ öåëüþ ðåãèñòðàöèè âðåìåíè ñîóäàðåíèÿ. Íà íèæíåì êðîíøòåéíå çàêðåïëåíû óãîëüíèêè ñî øêàëàìè (6) è íà ñïåöèàëüíûõ íàïðàâëÿþùèõ ýëåêòðîìàãíèò (7). Áîë40
Ðèñ. 2
òû (8) ïîçâîëÿþò ïåðåäâèãàòü ýëåêòðîìàãíèò âäîëü øêàëû è ôèêñèðîâàòü åãî âûñîòó. Ñèëó, ñ êîòîðîé ýëåêòðîìàãíèò ïðèòÿãèâàåò øàð, ìîæíî ðåãóëèðîâàòü âîðîòêîì (9). Øêàëó ìîæíî ïåðåäâèãàòü âäîëü íèæíåãî êðîíøòåéíà, îñëàáèâ âèíò (10). Íà îñíîâàíèè ïðèáîðà óêðåïëåí ìèëëèñåêóíäîìåð (11). Íà ëèöåâîé ïàíåëè ìèëëèñåêóíäîìåðà íàõîäÿòñÿ ñëåäóþùèå êëàâèøè: (12) «ÑÅÒÜ» âûêëþ÷àòåëü ñåòè. Íàæàòèå ýòîé êëàâèøè âûçûâàåò âêëþ÷åíèå ïèòàþùåãî íàïðÿæåíèÿ, ñîïðîâîæäàþùååñÿ ñâå÷åíèåì öèôðîâûõ èíäèêàòîðîâ (âûñâå÷èâàþùèõ öèôðó «0»); (13) «ÑÁÐÎÑ» ñáðîñ èçìåðèòåëÿ. Íàæàòèå ýòîé êëàâèøè âûçûâàåò ñáðàñûâàíèå ïîêàçàíèé ñåêóíäîìåðà (öèôðîâûå èíäèêàòîðû ñíîâà âûñâå÷èâàþò öèôðó «0»); (14) «ÏÓÑÊ» óïðàâëåíèå ýëåêòðîìàãíèòîì. Íàæàòèå ýòîé êëàâèøè îòêëþ÷àåò ýëåêòðîìàãíèò, à ñëåäóþùåå íàæàòèå âêëþ÷àåò åãî. Ïîäãîòîâêà ïðèáîðà ê èçìåðåíèÿì: íàæàòü êëàâèøó «ÑÅÒÜ». Âñå èíäèêàòîðû èçìåðèòåëÿ ïîêàçûâàþò öèôðó «0». Ïðèáîð íå íóæäàåòñÿ â ïðîãðåâå è ãîòîâ ê èçìåðåíèÿì. 41
Ïîðÿäîê èçìåðåíèé 1. Íà ïîäâåñû (15) íàâèíòèòü äâà øàðà òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû èõ îñåâûå ëèíèè íàõîäèëèñü íà îäíîé âûñîòå. 2. Âîðîòêîì (4) óñòàíîâèòü òàêîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ñòåðæíÿìè, ÷òîáû øàðû ñëåãêà ñîïðèêàñàëèñü äðóã ñ äðóãîì. 3. Îñòðèÿ ïîäâåñîâ äîëæíû ïðè ýòîì óêàçûâàòü íà íóëè øêàë. Ïðè íåîáõîäèìîñòè îñëàáèòü âèíò (10), ñäâèíóòü ëåâóþ øêàëó è ñíîâà çàêðóòèòü âèíò. 4. Îñëàáèâ âèíò (8), óñòàíîâèòü íóæíîå ïîëîæåíèå ýëåêòðîìàãíèòà (ïî óêàçàíèþ ïðåïîäàâàòåëÿ) è çàêðåïèòü âèíò. 5. Âêëþ÷èòü ìèëëèñåêóíäîìåð â ñåòü. 6. Íàæàòü êëàâèøó «ÑÅÒÜ» ìèëëèñåêóíäîìåðà. 7. Ïðèâåñòè ïðàâûé øàð (åìó áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü èíäåêñ «1») â ñîïðèêîñíîâåíèå ñî ñòåðæíåì ýëåêòðîìàãíèòà (åñëè ýëåêòðîìàãíèò íå ïðèòÿãèâàåò øàð, òî íàæàòü êëàâèøó «ÏÓÑÊ»). 8. Îòðåãóëèðîâàòü ñèëó ïðèòÿæåíèÿ øàðà ê ýëåêòðîìàãíèòó âîðîòêîì (9). Ýëåêòðîìàãíèò äîëæåí óäåðæèâàòü øàð. 9. Ïðàâûé øàð îòîäâèíóòü â ñòîðîíó ýëåêòðîìàãíèòà è áëîêèðîâàòü åãî â ýòîì ïîëîæåíèè, ëåâûé óñòàíîâèòü íåïîäâèæíî. Îñòðèå ïîäâåñà ëåâîãî øàðà äîëæíî óêàçûâàòü íà íóëü øêàëû (ëåâîìó øàðó áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü èíäåêñ «2»). 10. Çàïèñàòü çíà÷åíèå óãëà a10, íà êîòîðîå óêàçûâàåò îñòðèå ïîäâåñà ïðàâîãî øàðà. 11. Íàæàòü êëàâèøó «ÑÁÐÎÑ». 12. Íàæàòü êëàâèøó «ÏÓÑÊ». Ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ øàðîâ çàïèñàòü óãëû a1 è a2, íà êîòîðûå îòñêî÷àò øàðû (ïîñêîëüêó ñëåäèòü çà äâóìÿ øàðàìè îäíîâðåìåííî ñëîæíî, òî ñíà÷àëà ïðîäåëàòü äåñÿòü îïûòîâ, çàïèñûâàÿ a1, a çàòåì åùå äåñÿòü îïûòîâ ïðè òåõ æå óñëîâèÿõ, çàïèñûâàÿ a2). Ïðè ñîóäàðåíèÿõ ðàâíûõ ïî ìàññå øàðîâ çàïèñûâàòü òîëüêî çíà÷åíèÿ a10 è a2. Ïðîäîëæèòåëüíîñòü t ñòîëêíîâåíèé øàðîâ ïðî÷èòàòü íà öèôðîâîì òàáëî è çàïèñàòü. Ñëåäèòü çà òåì, ÷òîáû ñòîëêíîâåíèå áûëî öåíòðàëüíûì, ò.å. òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ äîëæíà íàõîäèòüñÿ â ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ ïðàâîãî øàðà äî ñòîëêíîâåíèÿ. Îñòðèÿ ïîäâåñîâ äîëæíû äâèãàòüñÿ ïàðàëëåëüíî øêàëàì, íå çàäåâàÿ èõ è íå ïåðåñåêàÿ èõ ïëîñêîñòü. Øàðû íåîáõîäèìî âçâåñèòü. Ðàññòîÿíèå l îò òî÷êè ïîäâåñà äî öåíòðà øàðà èçìåðèòü ëèíåéêîé. 42
Âñå äàííûå èçìåðåíèé çàíåñòè â òàáëèöó. Îïðåäåëèòü ñðåäíèå çíà÷åíèÿ a1, a2 è t. ¹ îïûòà 1 2 . . . 10 Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ
výêñï vòåîð
F Èìïóëüñ äî ñîóäàðåíèÿ Èìïóëüñ ïîñëå ñîóäàðåíèÿ
a
Da
v =
a2
Da2
v2ýêñï = v2òåîð =
t
Dt
a
Da
výêñï = vòåîð =
P = mv P = mv + m2v2
Ïî ôîðìóëå (13), èñïîëüçóÿ ñðåäíèå çíà÷åíèÿ a, îïðåäåëèòü ñêîðîñòè øàðîâ è çàïèñàòü â òàáëèöó â ãðàôó výêñï. Ïî ôîðìóëàì (10) è (11) è ýêñïåðèìåíòàëüíîìó çíà÷åíèþ v10 îïðåäåëèòü òåîðåòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ñêîðîñòåé v1 è v2 è çàïèñàòü â òàáëèöó â ãðàôó vòåîð. Çíà÷åíèÿ m1 è m2, âõîäÿùèå â ôîðìóëû (10) è (11), ðàâíû ìàññå ñîîòâåòñòâóþùåãî øàðà ñ ó÷åòîì ìàññû ïîäâåñà mn (mn = 22 ã).  ñëó÷àå ðàçíèöû ìåæäó ýêñïåðèìåíòàëüíûìè è òåîðåòè÷åñêèìè çíà÷åíèÿìè ñêîðîñòåé îáúÿñíèòü åå ïðè÷èíó. Äëÿ ëåâîãî øàðà, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó P2 - P1 = F t, ãäå Ð èìïóëüñ øàðà, ìîæíî ïîäñ÷èòàòü ñðåäíåå çíà÷åíèå ñèëû, äåéñòâóþùåé âî âðåìÿ ñîóäàðåíèÿ. Ñëåäóåò ó÷åñòü, ÷òî ëåâûé øàð äî ñîóäàðåíèÿ ïîêîèëñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, Ð1 = 0 è òîãäà m2v2ýêñï = = Ft, îòêóäà F =
m2v2ýêñï . t
Ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå ñèëû çàïèñàòü â òàáëèöó. Ïîäñ÷èòàòü èìïóëüñ øàðîâ äî ñîóäàðåíèÿ è ïîñëå ñîóäàðåíèÿ è çàïèñàòü â òàáëèöó (èñïîëüçîâàòü çíà÷åíèÿ výêñï). Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ èìïóëüñà è çàíåñòè â òàáëèöó. Ðåêîìåíäóåòñÿ ïðîäåëàòü ñëåäóþùèé êîìïëåêñ èçìåðåíèé. 43
Ïîðÿäîê èçìåðåíèé 1. Íà ïîäâåñû (15) íàâèíòèòü äâà øàðà òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû èõ îñåâûå ëèíèè íàõîäèëèñü íà îäíîé âûñîòå. 2. Âîðîòêîì (4) óñòàíîâèòü òàêîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ñòåðæíÿìè, ÷òîáû øàðû ñëåãêà ñîïðèêàñàëèñü äðóã ñ äðóãîì. 3. Îñòðèÿ ïîäâåñîâ äîëæíû ïðè ýòîì óêàçûâàòü íà íóëè øêàë. Ïðè íåîáõîäèìîñòè îñëàáèòü âèíò (10), ñäâèíóòü ëåâóþ øêàëó è ñíîâà çàêðóòèòü âèíò. 4. Îñëàáèâ âèíò (8), óñòàíîâèòü íóæíîå ïîëîæåíèå ýëåêòðîìàãíèòà (ïî óêàçàíèþ ïðåïîäàâàòåëÿ) è çàêðåïèòü âèíò. 5. Âêëþ÷èòü ìèëëèñåêóíäîìåð â ñåòü. 6. Íàæàòü êëàâèøó «ÑÅÒÜ» ìèëëèñåêóíäîìåðà. 7. Ïðèâåñòè ïðàâûé øàð (åìó áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü èíäåêñ «1») â ñîïðèêîñíîâåíèå ñî ñòåðæíåì ýëåêòðîìàãíèòà (åñëè ýëåêòðîìàãíèò íå ïðèòÿãèâàåò øàð, òî íàæàòü êëàâèøó «ÏÓÑÊ»). 8. Îòðåãóëèðîâàòü ñèëó ïðèòÿæåíèÿ øàðà ê ýëåêòðîìàãíèòó âîðîòêîì (9). Ýëåêòðîìàãíèò äîëæåí óäåðæèâàòü øàð. 9. Ïðàâûé øàð îòîäâèíóòü â ñòîðîíó ýëåêòðîìàãíèòà è áëîêèðîâàòü åãî â ýòîì ïîëîæåíèè, ëåâûé óñòàíîâèòü íåïîäâèæíî. Îñòðèå ïîäâåñà ëåâîãî øàðà äîëæíî óêàçûâàòü íà íóëü øêàëû (ëåâîìó øàðó áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü èíäåêñ «2»). 10. Çàïèñàòü çíà÷åíèå óãëà a10, íà êîòîðîå óêàçûâàåò îñòðèå ïîäâåñà ïðàâîãî øàðà. 11. Íàæàòü êëàâèøó «ÑÁÐÎÑ». 12. Íàæàòü êëàâèøó «ÏÓÑÊ». Ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ øàðîâ çàïèñàòü óãëû a1 è a2, íà êîòîðûå îòñêî÷àò øàðû (ïîñêîëüêó ñëåäèòü çà äâóìÿ øàðàìè îäíîâðåìåííî ñëîæíî, òî ñíà÷àëà ïðîäåëàòü äåñÿòü îïûòîâ, çàïèñûâàÿ a1, a çàòåì åùå äåñÿòü îïûòîâ ïðè òåõ æå óñëîâèÿõ, çàïèñûâàÿ a2). Ïðè ñîóäàðåíèÿõ ðàâíûõ ïî ìàññå øàðîâ çàïèñûâàòü òîëüêî çíà÷åíèÿ a10 è a2. Ïðîäîëæèòåëüíîñòü t ñòîëêíîâåíèé øàðîâ ïðî÷èòàòü íà öèôðîâîì òàáëî è çàïèñàòü. Ñëåäèòü çà òåì, ÷òîáû ñòîëêíîâåíèå áûëî öåíòðàëüíûì, ò.å. òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ äîëæíà íàõîäèòüñÿ â ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ ïðàâîãî øàðà äî ñòîëêíîâåíèÿ. Îñòðèÿ ïîäâåñîâ äîëæíû äâèãàòüñÿ ïàðàëëåëüíî øêàëàì, íå çàäåâàÿ èõ è íå ïåðåñåêàÿ èõ ïëîñêîñòü. Øàðû íåîáõîäèìî âçâåñèòü. Ðàññòîÿíèå l îò òî÷êè ïîäâåñà äî öåíòðà øàðà èçìåðèòü ëèíåéêîé. 42
Âñå äàííûå èçìåðåíèé çàíåñòè â òàáëèöó. Îïðåäåëèòü ñðåäíèå çíà÷åíèÿ a1, a2 è t. ¹ îïûòà 1 2 . . . 10 Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ
výêñï vòåîð
F Èìïóëüñ äî ñîóäàðåíèÿ Èìïóëüñ ïîñëå ñîóäàðåíèÿ
a
Da
v =
a2
Da2
v2ýêñï = v2òåîð =
t
Dt
a
Da
výêñï = vòåîð =
P = mv P = mv + m2v2
Ïî ôîðìóëå (13), èñïîëüçóÿ ñðåäíèå çíà÷åíèÿ a, îïðåäåëèòü ñêîðîñòè øàðîâ è çàïèñàòü â òàáëèöó â ãðàôó výêñï. Ïî ôîðìóëàì (10) è (11) è ýêñïåðèìåíòàëüíîìó çíà÷åíèþ v10 îïðåäåëèòü òåîðåòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ñêîðîñòåé v1 è v2 è çàïèñàòü â òàáëèöó â ãðàôó vòåîð. Çíà÷åíèÿ m1 è m2, âõîäÿùèå â ôîðìóëû (10) è (11), ðàâíû ìàññå ñîîòâåòñòâóþùåãî øàðà ñ ó÷åòîì ìàññû ïîäâåñà mn (mn = 22 ã).  ñëó÷àå ðàçíèöû ìåæäó ýêñïåðèìåíòàëüíûìè è òåîðåòè÷åñêèìè çíà÷åíèÿìè ñêîðîñòåé îáúÿñíèòü åå ïðè÷èíó. Äëÿ ëåâîãî øàðà, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó P2 - P1 = F t, ãäå Ð èìïóëüñ øàðà, ìîæíî ïîäñ÷èòàòü ñðåäíåå çíà÷åíèå ñèëû, äåéñòâóþùåé âî âðåìÿ ñîóäàðåíèÿ. Ñëåäóåò ó÷åñòü, ÷òî ëåâûé øàð äî ñîóäàðåíèÿ ïîêîèëñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, Ð1 = 0 è òîãäà m2v2ýêñï = = Ft, îòêóäà F =
m2v2ýêñï . t
Ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå ñèëû çàïèñàòü â òàáëèöó. Ïîäñ÷èòàòü èìïóëüñ øàðîâ äî ñîóäàðåíèÿ è ïîñëå ñîóäàðåíèÿ è çàïèñàòü â òàáëèöó (èñïîëüçîâàòü çíà÷åíèÿ výêñï). Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ èìïóëüñà è çàíåñòè â òàáëèöó. Ðåêîìåíäóåòñÿ ïðîäåëàòü ñëåäóþùèé êîìïëåêñ èçìåðåíèé. 43
1. Äëÿ äâóõ ñòàëüíûõ øàðîâ îäíîãî äèàìåòðà. 2. Äëÿ äâóõ øàðîâ èç ïëàñòèëèíà.  ýòîì îïûòå âðåìÿ t íå èçìåðÿåòñÿ. Ðàñ÷åò òåîðåòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè ïðîèçâîäèòñÿ ïî ôîðìóëå (2). 3. Äëÿ äâóõ ñòàëüíûõ øàðîâ ðàçíîãî äèàìåòðà. Øàð ìåíüøåãî äèàìåòðà ïîâåñèòü ñïðàâà. Äëÿ êàæäîãî ñëó÷àÿ ñîñòàâèòü îòäåëüíóþ òàáëèöó. Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 1. Ìåõàíèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 3. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ. § 3.2. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ è ðàáîòà. § 3.5. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âî âíåøíåì ïîëå ñèë. § 3.7. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. § 3.10. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà. § 3.11. Ñîóäàðåíèå äâóõ òåë.
3àäà÷à
¹ 4
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÑÊÎÐÎÑÒÈ ÏÓËÈ ÏÐÈ ÏÎÌÎÙÈ ÁÀËËÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÌÀßÒÍÈÊÀ
Öåëü ðàáîòû: îïðåäåëåíèå ñ ïîìîùüþ áàëëèñòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñêîðîñòè ïóëè ñ èñïîëüçîâàíèåì çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è èìïóëüñà. Ïðèáîðû è ïðèíàäëåæíîñòè: áàëëèñòè÷åñêèé ìàÿòíèê â âèäå öèëèíäðà íà äëèííûõ íèòÿõ, èçìåðèòåëüíàÿ øêàëà, ïóøêà, âåñû, òðè ïóëè, ìåòàëëè÷åñêàÿ ïàëî÷êà, ñåêóíäîìåð. Îïèñàíèå óñòàíîâêè Áàëëèñòè÷åñêèì ìàÿòíèêîì íàçûâàåòñÿ òâåðäîå òåëî, ñïîñîáíîå ñîâåðøàòü êîëåáàíèÿ è èñïîëüçóåìîå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè áûñòðî äâèæóùèõñÿ òåë. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà (ðèñ. 1) ñîñòîèò èç áàëëèñòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà (1), ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé îòêðûòûé ñ îáîèõ êîíöîâ ìåòàëëè÷åñêèé öèëèíäð, íàïîëíåííûé ïëàñòèëèíîì è ïîäâåøåííûé íà ÷åòûðåõ äëèííûõ íèòÿõ (2). Ê öèëèíäðó ïðèêðåïëåíà óêàçàòåëüíàÿ ñòðåëêà (3). Âûñòðåëû ïðîèçâîäÿòñÿ èç ïðóæèííîé ïóøêè (4) âíóòðü öèëèíäðà. Ïóëÿ ïîïàäàåò â ïëàñòèëèí è çàñòðåâàåò â íåì, âûçûâàÿ îòêëîíåíèå öèëèíäðà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, êîòîðîå ìîæíî èçìåðèòü, íàáëþäàÿ ïåðåìåùåíèå ñòðåëêè (3) âäîëü øêàëû (5). Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Äëèíà íèòåé ïîäâåñà çíà÷èòåëüíî áîëüøå ðàçìåðîâ öèëèíäðà, ïîýòîìó ìàÿòíèê ìîæíî ñ÷èòàòü ìàòåìàòè÷åñêèì. Äëÿ ðàñ÷åòà âåëè÷èíû ñêîðîñòè ïóëè ïî ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì ïðèìåíÿþòñÿ çàêîíû ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà è ýíåðãèè. 1. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç öèëèíäðà è ïóëè, êîòîðàÿ ëåòèò ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ v, çàòåì çàñòðåâàåò â ïëàñòèëèíå è íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ âìåñòå ñ öèëèíäðîì ïðîèñõîäèò àáñîëþòíî íåóïðóãèé óäàð. Åñëè âðåìÿ t ñîóäàðåíèÿ ïóëè ñ öèëèíäðîì ìíîãî ìåíüøå ïåðèîäà Ò êîëåáàíèé ìàÿòíèêà (óñëîâèå ïðèìåíèìîñòè áàëëèñòè÷åñêîãî ìåòîäà), òî çà âðåìÿ t ìàÿòíèê ïðàêòè÷åñêè íå óñïåâàåò âûéòè èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.  ýòîì ïîëîæåíèè íà öèëèíäð äåéñòâóþò ñèëà òÿæåñòè è ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòåé. Íà ïóëþ íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä ñîóäàðåíèåì äåéñòâóåò òîëüêî ñèëà òÿæåñòè. Ïîñêîëüêó ïðîåêöèè âñåõ ýòèõ ñèë íà ãîðèçîíòàëüíîå íàïðàâëåíèå ðàâíû íóëþ, òî ñïðàâåäëèâ çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ñèñòåìû «öèëèíäðïóëÿ» äëÿ ïðîåêöèé íà ýòî íàïðàâëåíèå. 45
1. Äëÿ äâóõ ñòàëüíûõ øàðîâ îäíîãî äèàìåòðà. 2. Äëÿ äâóõ øàðîâ èç ïëàñòèëèíà.  ýòîì îïûòå âðåìÿ t íå èçìåðÿåòñÿ. Ðàñ÷åò òåîðåòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè ïðîèçâîäèòñÿ ïî ôîðìóëå (2). 3. Äëÿ äâóõ ñòàëüíûõ øàðîâ ðàçíîãî äèàìåòðà. Øàð ìåíüøåãî äèàìåòðà ïîâåñèòü ñïðàâà. Äëÿ êàæäîãî ñëó÷àÿ ñîñòàâèòü îòäåëüíóþ òàáëèöó. Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 1. Ìåõàíèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 3. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ. § 3.2. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ è ðàáîòà. § 3.5. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âî âíåøíåì ïîëå ñèë. § 3.7. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. § 3.10. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà. § 3.11. Ñîóäàðåíèå äâóõ òåë.
3àäà÷à
¹ 4
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÑÊÎÐÎÑÒÈ ÏÓËÈ ÏÐÈ ÏÎÌÎÙÈ ÁÀËËÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÌÀßÒÍÈÊÀ
Öåëü ðàáîòû: îïðåäåëåíèå ñ ïîìîùüþ áàëëèñòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñêîðîñòè ïóëè ñ èñïîëüçîâàíèåì çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è èìïóëüñà. Ïðèáîðû è ïðèíàäëåæíîñòè: áàëëèñòè÷åñêèé ìàÿòíèê â âèäå öèëèíäðà íà äëèííûõ íèòÿõ, èçìåðèòåëüíàÿ øêàëà, ïóøêà, âåñû, òðè ïóëè, ìåòàëëè÷åñêàÿ ïàëî÷êà, ñåêóíäîìåð. Îïèñàíèå óñòàíîâêè Áàëëèñòè÷åñêèì ìàÿòíèêîì íàçûâàåòñÿ òâåðäîå òåëî, ñïîñîáíîå ñîâåðøàòü êîëåáàíèÿ è èñïîëüçóåìîå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè áûñòðî äâèæóùèõñÿ òåë. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà (ðèñ. 1) ñîñòîèò èç áàëëèñòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà (1), ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé îòêðûòûé ñ îáîèõ êîíöîâ ìåòàëëè÷åñêèé öèëèíäð, íàïîëíåííûé ïëàñòèëèíîì è ïîäâåøåííûé íà ÷åòûðåõ äëèííûõ íèòÿõ (2). Ê öèëèíäðó ïðèêðåïëåíà óêàçàòåëüíàÿ ñòðåëêà (3). Âûñòðåëû ïðîèçâîäÿòñÿ èç ïðóæèííîé ïóøêè (4) âíóòðü öèëèíäðà. Ïóëÿ ïîïàäàåò â ïëàñòèëèí è çàñòðåâàåò â íåì, âûçûâàÿ îòêëîíåíèå öèëèíäðà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, êîòîðîå ìîæíî èçìåðèòü, íàáëþäàÿ ïåðåìåùåíèå ñòðåëêè (3) âäîëü øêàëû (5). Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Äëèíà íèòåé ïîäâåñà çíà÷èòåëüíî áîëüøå ðàçìåðîâ öèëèíäðà, ïîýòîìó ìàÿòíèê ìîæíî ñ÷èòàòü ìàòåìàòè÷åñêèì. Äëÿ ðàñ÷åòà âåëè÷èíû ñêîðîñòè ïóëè ïî ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì ïðèìåíÿþòñÿ çàêîíû ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà è ýíåðãèè. 1. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç öèëèíäðà è ïóëè, êîòîðàÿ ëåòèò ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ v, çàòåì çàñòðåâàåò â ïëàñòèëèíå è íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ âìåñòå ñ öèëèíäðîì ïðîèñõîäèò àáñîëþòíî íåóïðóãèé óäàð. Åñëè âðåìÿ t ñîóäàðåíèÿ ïóëè ñ öèëèíäðîì ìíîãî ìåíüøå ïåðèîäà Ò êîëåáàíèé ìàÿòíèêà (óñëîâèå ïðèìåíèìîñòè áàëëèñòè÷åñêîãî ìåòîäà), òî çà âðåìÿ t ìàÿòíèê ïðàêòè÷åñêè íå óñïåâàåò âûéòè èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.  ýòîì ïîëîæåíèè íà öèëèíäð äåéñòâóþò ñèëà òÿæåñòè è ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòåé. Íà ïóëþ íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä ñîóäàðåíèåì äåéñòâóåò òîëüêî ñèëà òÿæåñòè. Ïîñêîëüêó ïðîåêöèè âñåõ ýòèõ ñèë íà ãîðèçîíòàëüíîå íàïðàâëåíèå ðàâíû íóëþ, òî ñïðàâåäëèâ çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ñèñòåìû «öèëèíäðïóëÿ» äëÿ ïðîåêöèé íà ýòî íàïðàâëåíèå. 45
âðåìåíè ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû «Çåìëÿöèëèíäð» ðàâíà åå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè: E1 = W = 1 2 (m + M )v12 .
3. Ïóñòü êîíå÷íûì ìîìåíòîì âðåìåíè ÿâëÿåòñÿ ìîìåíò, êîãäà îòêëîíåíèå ìàÿòíèêà íàèáîëüøåå.  ýòîò ìîìåíò ñêîðîñòü öèëèíäðà è, ñëåäîâàòåëüíî, åãî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ðàâíû íóëþ. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U ñèñòåìû â ýòîò ìîìåíò îïðåäåëÿåòñÿ, êàê èçâåñòíî, âûñîòîé h, íà êîòîðóþ ïîäíÿëñÿ öåíòð ìàññ öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî ïîëîæåíèÿ, ïðè êîòîðîì ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ áûëà ïðèíÿòà çà íóëü. Òàêèì îáðàçîì, â êîíå÷íûé ìîìåíò âðåìåíè ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû E 2 = U = ( m + M) g h . Ðèñ. 1
Ïóñòü m ìàññà ïóëè, Ì ìàññà öèëèíäðà ñ ïëàñòèëèíîì. Íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä ñîóäàðåíèåì èìïóëüñ öèëèíäðà ðàâåí íóëþ, ïðîåêöèÿ èìïóëüñà ïóëè íà ãîðèçîíòàëüíîå íàïðàâëåíèå ðàâíà mv. Ñðàçó ïîñëå ñîóäàðåíèÿ, êîãäà ïóëÿ çàñòðÿëà âíóòðè öèëèíäðà, öèëèíäð è ïóëÿ äâèæóòñÿ âìåñòå ñ íåêîòîðîé ñêîðîñòüþ v1 è èìåþò ïðîåêöèþ èìïóëüñà íà ãîðèçîíòàëüíîå íàïðàâëåíèå (m + M)v1. Ñîãëàñíî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà mv = (m + M)v1.
1 2 (m + M )v12 = (m + M ) gh.
Îòñþäà íàõîäèì ñêîðîñòü ïóëè Mù é × v. v = ê + m úû ë
(1)
2. Ïðèìåì ìîìåíò âðåìåíè ñðàçó ïîñëå çàñòðåâàíèÿ ïóëè çà íà÷àëüíûé ìîìåíò. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ öèëèíäðà ñ çàñòðÿâøåé ïóëåé â ýòîò ìîìåíò ðàâíà W = 1 2 (m + M )v12 .
Ïðè ýòîì öèëèíäð íàõîäèòñÿ â ñâîåì íèæíåì ïîëîæåíèè è ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû «Çåìëÿ öèëèíäð» â ýòîì ïîëîæåíèè ðàâíà íóëþ. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ çäåñü îáóñëîâëåíà ñèëîé òÿæåñòè è çàâèñèò îò âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ öèëèíäðà è Çåìëè. Çåìëÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê èíåðöèàëüíàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà, ñëåäîâàòåëüíî, åå ïîëîæåíèå íåèçìåííî, à ñêîðîñòü ðàâíà íóëþ. Ïîýòîìó â íà÷àëüíûé ìîìåíò 46
Äëÿ ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç Çåìëè è öèëèíäðà, âíåøíèìè ñèëàìè ÿâëÿþòñÿ ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòåé, à âíóòðåííåé ñèëîé ñèëà òÿæåñòè (ñèëîé òðåíèÿ â ïîäâåñå è ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðè äâèæåíèè ìàÿòíèêà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü). Âíåøíèå ñèëû íå ñîâåðøàþò ðàáîòû íàä òåëàìè ñèñòåìû (òî÷êà ïîäâåñà íåïîäâèæíà, öèëèíäð äâèæåòñÿ ïî äóãå è ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòåé ïåðïåíäèêóëÿðíû äâèæåíèþ öèëèíäðà). Âíóòðåííÿÿ ñèëà ñèëà òÿæåñòè ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíîé. Ïîýòîìó ïðè äâèæåíèè ìàÿòíèêà äëÿ ñèñòåìû «öèëèíäðÇåìëÿ» âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè, ñëåäîâàòåëüíî, E1 = Å2, ò.å. (2)
Èç âûðàæåíèé (1) è (2) íàéäåì ñêîðîñòü ïóëè: Mù é × 2 gh . v = ê1 + m úû ë
(3)
4. Âåëè÷èíó h ìîæíî íàéòè, èçìåðèâ íàèáîëüøåå îòêëîíåíèå ìàÿòíèêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Êàê âèäíî èç ðèñ. 1, h = l - l cos a = 2l sin 2
a . 2
(4)
ãäå l ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ìàññ öèëèíäðà äî òî÷êè ïîäâåñà; a óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè R = l + b ðàññòîÿíèå îò êîíöà ñòðåëêè äî òî÷êè ïîäâåñà, à n0 âåëè÷èíà ñìåùåíèÿ êîíöà ñòðåëêè âäîëü øêàëû, òî, êàê âèäíî èç ðèñ. 1, sin a =
n0 n = 0 . R l +b 47
âðåìåíè ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû «Çåìëÿöèëèíäð» ðàâíà åå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè: E1 = W = 1 2 (m + M )v12 .
3. Ïóñòü êîíå÷íûì ìîìåíòîì âðåìåíè ÿâëÿåòñÿ ìîìåíò, êîãäà îòêëîíåíèå ìàÿòíèêà íàèáîëüøåå.  ýòîò ìîìåíò ñêîðîñòü öèëèíäðà è, ñëåäîâàòåëüíî, åãî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ðàâíû íóëþ. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U ñèñòåìû â ýòîò ìîìåíò îïðåäåëÿåòñÿ, êàê èçâåñòíî, âûñîòîé h, íà êîòîðóþ ïîäíÿëñÿ öåíòð ìàññ öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî ïîëîæåíèÿ, ïðè êîòîðîì ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ áûëà ïðèíÿòà çà íóëü. Òàêèì îáðàçîì, â êîíå÷íûé ìîìåíò âðåìåíè ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû E 2 = U = ( m + M) g h . Ðèñ. 1
Ïóñòü m ìàññà ïóëè, Ì ìàññà öèëèíäðà ñ ïëàñòèëèíîì. Íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä ñîóäàðåíèåì èìïóëüñ öèëèíäðà ðàâåí íóëþ, ïðîåêöèÿ èìïóëüñà ïóëè íà ãîðèçîíòàëüíîå íàïðàâëåíèå ðàâíà mv. Ñðàçó ïîñëå ñîóäàðåíèÿ, êîãäà ïóëÿ çàñòðÿëà âíóòðè öèëèíäðà, öèëèíäð è ïóëÿ äâèæóòñÿ âìåñòå ñ íåêîòîðîé ñêîðîñòüþ v1 è èìåþò ïðîåêöèþ èìïóëüñà íà ãîðèçîíòàëüíîå íàïðàâëåíèå (m + M)v1. Ñîãëàñíî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà mv = (m + M)v1.
1 2 (m + M )v12 = (m + M ) gh.
Îòñþäà íàõîäèì ñêîðîñòü ïóëè Mù é × v. v = ê + m úû ë
(1)
2. Ïðèìåì ìîìåíò âðåìåíè ñðàçó ïîñëå çàñòðåâàíèÿ ïóëè çà íà÷àëüíûé ìîìåíò. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ öèëèíäðà ñ çàñòðÿâøåé ïóëåé â ýòîò ìîìåíò ðàâíà W = 1 2 (m + M )v12 .
Ïðè ýòîì öèëèíäð íàõîäèòñÿ â ñâîåì íèæíåì ïîëîæåíèè è ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû «Çåìëÿ öèëèíäð» â ýòîì ïîëîæåíèè ðàâíà íóëþ. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ çäåñü îáóñëîâëåíà ñèëîé òÿæåñòè è çàâèñèò îò âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ öèëèíäðà è Çåìëè. Çåìëÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê èíåðöèàëüíàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà, ñëåäîâàòåëüíî, åå ïîëîæåíèå íåèçìåííî, à ñêîðîñòü ðàâíà íóëþ. Ïîýòîìó â íà÷àëüíûé ìîìåíò 46
Äëÿ ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç Çåìëè è öèëèíäðà, âíåøíèìè ñèëàìè ÿâëÿþòñÿ ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòåé, à âíóòðåííåé ñèëîé ñèëà òÿæåñòè (ñèëîé òðåíèÿ â ïîäâåñå è ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðè äâèæåíèè ìàÿòíèêà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü). Âíåøíèå ñèëû íå ñîâåðøàþò ðàáîòû íàä òåëàìè ñèñòåìû (òî÷êà ïîäâåñà íåïîäâèæíà, öèëèíäð äâèæåòñÿ ïî äóãå è ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòåé ïåðïåíäèêóëÿðíû äâèæåíèþ öèëèíäðà). Âíóòðåííÿÿ ñèëà ñèëà òÿæåñòè ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíîé. Ïîýòîìó ïðè äâèæåíèè ìàÿòíèêà äëÿ ñèñòåìû «öèëèíäðÇåìëÿ» âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè, ñëåäîâàòåëüíî, E1 = Å2, ò.å. (2)
Èç âûðàæåíèé (1) è (2) íàéäåì ñêîðîñòü ïóëè: Mù é × 2 gh . v = ê1 + m úû ë
(3)
4. Âåëè÷èíó h ìîæíî íàéòè, èçìåðèâ íàèáîëüøåå îòêëîíåíèå ìàÿòíèêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Êàê âèäíî èç ðèñ. 1, h = l - l cos a = 2l sin 2
a . 2
(4)
ãäå l ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ìàññ öèëèíäðà äî òî÷êè ïîäâåñà; a óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè R = l + b ðàññòîÿíèå îò êîíöà ñòðåëêè äî òî÷êè ïîäâåñà, à n0 âåëè÷èíà ñìåùåíèÿ êîíöà ñòðåëêè âäîëü øêàëû, òî, êàê âèäíî èç ðèñ. 1, sin a =
n0 n = 0 . R l +b 47
Tàê êàê óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìàë, òî a » sin a =
n0 . l +b
Ñëåäîâàòåëüíî, sin
n0 a a » » . 2 2 2(l + b)
(5)
Îòñþäà, ó÷òÿ âûðàæåíèå (4), h=
ln02
2(l + b)2
.
(6)
Äëÿ ñêîðîñòè ïóëè èç óðàâíåíèé (3) è (6) ïîëó÷àåì M ù n é v = ê1 + × × gl . m úû l + b ë
(7)
5. Ïîñêîëüêó öèëèíäð íà íèòÿõ ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê, òî l íàõîäèì èç ôîðìóëû äëÿ ïåðèîäà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà: T = 2p
l gT 2 , l = . g 4 p2
(8)
Ïîðÿäîê èçìåðåíèé 1. Óñòàíàâèòü áàëëèñòè÷åñêèé ìàÿòíèê òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íèòè ïîäâåñà íå ïåðåêðåùèâàëèñü. 2. Øêàëó óñòàíîâèòü òàê, ÷òîáû åå íóëåâîå äåëåíèå íàõîäèëîñü ïðîòèâ ñòðåëêè (3) è ïðè äâèæåíèè öèëèíäðà ñòðåëêà íå çàäåâàëà çà øêàëó. 3. Ñëåãêà îòêëîíèòü öèëèíäð èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è èçìåðèòü ïðè ïîìîùè ñåêóíäîìåðà âðåìÿ t äåñÿòè ïîëíûõ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà (n = 10). Ïðîäåëàòü èçìåðåíèÿ ïÿòü ðàç. Èñïîëüçóÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå âðåìåíè t, íàéòè âåëè÷èíó l (ñì. ôîðìóëó (8)): l =
gT 4p n
.
Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ âåëè÷èíû l. 4. Âçâåñèòü ïóëþ íà òåõíè÷åñêèõ âåñàõ (òî÷íîñòü âåñîâ 0,1 ã). 5. Çàðÿäèòü ïóøêó. Äëÿ ýòîãî îòòÿíóòü ðó÷êó ïóøêè äî êîíöà è ïîâåðíóòü åå òàê, ÷òîáû îíà çàöåïèëàñü çà âûñòóï ïàçà.
48
Âñòàâèòü â ñòâîë ïóøêè ïóëþ è ïðîòîëêíóòü åå äî óïîðà ìåòàëëè÷åñêîé ïàëî÷êîé. ÂÍÈÌÀÍÈÅ! Ïðè çàðÿäêå ïóøêó ñëåäóåò äåðæàòü ñòâîëîì ê ñòåíå àóäèòîðèè! Óñòàíîâèòü ïóøêó òàê, ÷òîáû ïóëÿ ìîãëà ïîïàñòü â öåíòð öèëèíäðà â ïëàñòèëèí. Ïðîèçâåñòè âûñòðåë, íàæèìàÿ íà ðó÷êó ïóøêè è âûâîäÿ ðó÷êó èç-çà âûñòóïà ïàçà. Îòñ÷èòàòü ìàêñèìàëüíîå îòêëîíåíèå n0 ñòðåëêè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Âûíóòü ïóëþ èç öèëèíäðà è ïðîäåëàòü îïûò åùå ÷åòûðå ðàçà ñ ýòîé æå ïóëåé. Íàéòè ñðåäíåå çíà÷åíèå n0 è ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëå (7) ñêîðîñòü ïóëè. Ìàññà öèëèíäðà ñ ïëàñòèëèíîì è âåëè÷èíà b óêàçàíû â òàáëèöå íà ñòîëå. Èçìåðåíèÿ ïðîâåñòè äëÿ òðåõ ïóëü ñ ðàçëè÷íûìè ìàññàìè. Äëÿ îäíîé èç ïóëü (ñ ïðîìåæóòî÷íûì çíà÷åíèåì ìàññû) îöåíèòü ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ ñêîðîñòè è çàïèñàòü ðåçóëüòàò ñ ó÷åòîì ïîãðåøíîñòè, ïðè ýòîì ïðèíÿòü âî âíèìàíèå, ÷òî M>>m è ïðåíåáðå÷ü åäèíèöåé â ôîðìóëå (7). Ñ÷èòàÿ, ÷òî îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ îñòàåòñÿ ïðèìåðíî îäèíàêîâîé äëÿ âñåõ ïóëü â äàííîì ìåòîäå, íàéòè àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè è çàïèñàòü îêîí÷àòåëüíûå ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé v äëÿ âñåõ òðåõ ïóëü ñ ó÷åòîì ïîãðåøíîñòè. Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 1. Ìåõàíèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 3. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ. § 3.2. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ è ðàáîòà. § 3.5. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âî âíåøíåì ïîëå ñèë. § 3.7. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. § 3.10. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà. § 3.11. Ñîóäàðåíèå äâóõ òåë.
Tàê êàê óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìàë, òî a » sin a =
n0 . l +b
Ñëåäîâàòåëüíî, sin
n0 a a » » . 2 2 2(l + b)
(5)
Îòñþäà, ó÷òÿ âûðàæåíèå (4), h=
ln02
2(l + b)2
.
(6)
Äëÿ ñêîðîñòè ïóëè èç óðàâíåíèé (3) è (6) ïîëó÷àåì M ù n é v = ê1 + × × gl . m úû l + b ë
(7)
5. Ïîñêîëüêó öèëèíäð íà íèòÿõ ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê, òî l íàõîäèì èç ôîðìóëû äëÿ ïåðèîäà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà: T = 2p
l gT 2 , l = . g 4 p2
(8)
Ïîðÿäîê èçìåðåíèé 1. Óñòàíàâèòü áàëëèñòè÷åñêèé ìàÿòíèê òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íèòè ïîäâåñà íå ïåðåêðåùèâàëèñü. 2. Øêàëó óñòàíîâèòü òàê, ÷òîáû åå íóëåâîå äåëåíèå íàõîäèëîñü ïðîòèâ ñòðåëêè (3) è ïðè äâèæåíèè öèëèíäðà ñòðåëêà íå çàäåâàëà çà øêàëó. 3. Ñëåãêà îòêëîíèòü öèëèíäð èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è èçìåðèòü ïðè ïîìîùè ñåêóíäîìåðà âðåìÿ t äåñÿòè ïîëíûõ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà (n = 10). Ïðîäåëàòü èçìåðåíèÿ ïÿòü ðàç. Èñïîëüçóÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå âðåìåíè t, íàéòè âåëè÷èíó l (ñì. ôîðìóëó (8)): l =
gT 4p n
.
Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ âåëè÷èíû l. 4. Âçâåñèòü ïóëþ íà òåõíè÷åñêèõ âåñàõ (òî÷íîñòü âåñîâ 0,1 ã). 5. Çàðÿäèòü ïóøêó. Äëÿ ýòîãî îòòÿíóòü ðó÷êó ïóøêè äî êîíöà è ïîâåðíóòü åå òàê, ÷òîáû îíà çàöåïèëàñü çà âûñòóï ïàçà.
48
Âñòàâèòü â ñòâîë ïóøêè ïóëþ è ïðîòîëêíóòü åå äî óïîðà ìåòàëëè÷åñêîé ïàëî÷êîé. ÂÍÈÌÀÍÈÅ! Ïðè çàðÿäêå ïóøêó ñëåäóåò äåðæàòü ñòâîëîì ê ñòåíå àóäèòîðèè! Óñòàíîâèòü ïóøêó òàê, ÷òîáû ïóëÿ ìîãëà ïîïàñòü â öåíòð öèëèíäðà â ïëàñòèëèí. Ïðîèçâåñòè âûñòðåë, íàæèìàÿ íà ðó÷êó ïóøêè è âûâîäÿ ðó÷êó èç-çà âûñòóïà ïàçà. Îòñ÷èòàòü ìàêñèìàëüíîå îòêëîíåíèå n0 ñòðåëêè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Âûíóòü ïóëþ èç öèëèíäðà è ïðîäåëàòü îïûò åùå ÷åòûðå ðàçà ñ ýòîé æå ïóëåé. Íàéòè ñðåäíåå çíà÷åíèå n0 è ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëå (7) ñêîðîñòü ïóëè. Ìàññà öèëèíäðà ñ ïëàñòèëèíîì è âåëè÷èíà b óêàçàíû â òàáëèöå íà ñòîëå. Èçìåðåíèÿ ïðîâåñòè äëÿ òðåõ ïóëü ñ ðàçëè÷íûìè ìàññàìè. Äëÿ îäíîé èç ïóëü (ñ ïðîìåæóòî÷íûì çíà÷åíèåì ìàññû) îöåíèòü ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ ñêîðîñòè è çàïèñàòü ðåçóëüòàò ñ ó÷åòîì ïîãðåøíîñòè, ïðè ýòîì ïðèíÿòü âî âíèìàíèå, ÷òî M>>m è ïðåíåáðå÷ü åäèíèöåé â ôîðìóëå (7). Ñ÷èòàÿ, ÷òî îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ îñòàåòñÿ ïðèìåðíî îäèíàêîâîé äëÿ âñåõ ïóëü â äàííîì ìåòîäå, íàéòè àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè è çàïèñàòü îêîí÷àòåëüíûå ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé v äëÿ âñåõ òðåõ ïóëü ñ ó÷åòîì ïîãðåøíîñòè. Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 1. Ìåõàíèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 3. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ. § 3.2. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ è ðàáîòà. § 3.5. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âî âíåøíåì ïîëå ñèë. § 3.7. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. § 3.10. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà. § 3.11. Ñîóäàðåíèå äâóõ òåë.
ÐÀÇÄÅË 2
âåêòîð òî÷êè ïðèëîæåíèÿ ñèëû, ÷èñëåííî ðàâíûé ðàäèóñó øêèâà. Äåéñòâèòåëüíî, ìîìåíòû ñèëû òÿæåñòè mg è ñèëû N ðåàêöèè îñè, íà êîòîðîé çàêðåïëåí ìàÿòíèê, ðàâíû íóëþ, òàê êàê îíè íàïðàâëåíû ïî ëèíèè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îñü âðàùåíèÿ; âñåìè ñèëàìè òðåíèÿ â ýòîé çàäà÷å ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà èìååò âèä
ÂÐÀÙÀÒÅËÜÍÎÅ ÄÂÈÆÅÍÈÅ Çàäà÷à ¹ 5 ÏÐÎÂÅÐÊÀ ÇÀÊÎÍΠÂÐÀÙÀÒÅËÜÍÎÃÎ ÄÂÈÆÅÍÈß ÏÐÈ ÏÎÌÎÙÈ ÌÀßÒÍÈÊÀ ÎÁÅÐÁÅÊÀ
J b = [R T ],
Öåëü çàäà÷è: ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ïðîâåðêà îñíîâíîãî çàêîíà äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ óðàâíåíèÿ ìîìåíòîâ. Îïèñàíèå óñòàíîâêè (ïåðâûé âàðèàíò) Ïðèáîð ìàÿòíèê Îáåðáåêà ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ ñòåðæíåé è øêèâîâ ðàçëè÷íûõ ðàäèóñîâ, âðàùàþùèõñÿ îòíîñèòåëüíî ãîðèçîíòàëüíîé îñè (ðèñ. 1). Íà ñòåðæíè íàñàæåíû îäèíàêîâûå ãðóçû öèëèíäðè÷åñêîé ôîðìû, êîòîðûå ìîæíî ïåðåìåùàòü è çàêðåïëÿòü â íóæíîì ïîëîæåíèè ïðè ïîìîùè âèíòîâ. Åñëè íà êîíöå íèòè, íàìîòàííîé íà îäèí èç øêèâîâ, óêðåïèòü ãðóç, òî ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè ïîñëåäíèé íà÷íåò îïóñêàòüñÿ, ïðèâîäÿ Ðèñ. 1 ìàÿòíèê âî âðàùåíèå. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû ×òîáû îïðåäåëèòü, êàê áóäåò äâèãàòüñÿ ñèñòåìà «ãðóçìàÿòíèê», íåîáõîäèìî íàïèñàòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ: âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèè íà âåðòèêàëüíóþ îñü äëÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ãðóçà è óðàâíåíèå ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ äëÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà. Íà ãðóç äåéñòâóþò (ïðè ïðåíåáðåæåíèè ñèëàìè òðåíèÿ) ñèëà òÿæåñòè mg, ãäå m ìàññà ãðóçà Ðèñ. 2 è g óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, è ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè T (ðèñ. 2), òàê ÷òî óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ãðóçà (â ïðîåêöèè íà âåðòèêàëü) èìååò âèä ma=mgÒ,
(1)
ãäå à óñêîðåíèå ãðóçà. Èç ìîìåíòîâ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ìàÿòíèê, îòëè÷åí îò íóëÿ ëèøü ìîìåíò ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòè M= [R T ], ãäå R ðàäèóñ50
(2)
ãäå J ìîìåíò èíåðöèè ìàÿòíèêà îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ; b óãëîâîå óñêîðåíèå ìàÿòíèêà. Óñêîðåíèÿ ãðóçà è ìàÿòíèêà ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì a=bR.
(3)
Ñ ó÷åòîì ñèíóñà óãëà ìåæäó âåêòîðàìè R, T è R, b â óðàâíåíèÿõ (2)(3) óðàâíåíèÿ (1), (2) è (3) ïðèíèìàþò ñëåäóþùèé âèä: ma = mgT, Jb = RT, (4) a = bR. Èñêëþ÷àÿ èç ýòèõ óðàâíåíèé b è Ò, íàõîäèì óñêîðåíèå: a=
g 1+
J
,
(5)
mR 2
êîòîðîå, êàê âèäíî èç ýòîé ôîðìóëû, ïîñòîÿííî. Ïî ôîðìóëå ðàâíîóñêîðåííîãî äâèæåíèÿ h = a t 2 /2 óñêîðåíèå ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ïóòü ãðóçà h è âðåìÿ äâèæåíèÿ t : a=
2h t2
.
(6)
Ïðèðàâíÿâ ïðàâûå ÷àñòè âûðàæåíèé (5) è (6), ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ ìîìåíòà èíåðöèè ìàÿòíèêà J =
æ gt 2 ö 1 mD 2 ç - 1÷ , ç ÷ 4 è 2h ø
(7)
ãäå âìåñòî ðàäèóñà øêèâà ââåäåí åãî äèàìåòð D = 2 R . Âûâåäåì äâà ñëåäñòâèÿ èç ôîðìóëû (7). Ïåðâîå ñëåäñòâèå. Ïóñòü â äâóõ îïûòàõ ãðóç, îïóñêàÿñü, ïðîõîäèò îäèí è òîò æå ïóòü h, ïðè÷åì ìîìåíòû ñèë ðàçëè÷íû (â ïåðâîì îïûòå áåðåòñÿ ãðóç ìàññû m1 è íèòü íàìàòûâàåòñÿ íà øêèâ äèàìåòðîì D1, âî âòîðîì îïûòå èñïîëüçóþòñÿ ãðóç 51
ÐÀÇÄÅË 2
âåêòîð òî÷êè ïðèëîæåíèÿ ñèëû, ÷èñëåííî ðàâíûé ðàäèóñó øêèâà. Äåéñòâèòåëüíî, ìîìåíòû ñèëû òÿæåñòè mg è ñèëû N ðåàêöèè îñè, íà êîòîðîé çàêðåïëåí ìàÿòíèê, ðàâíû íóëþ, òàê êàê îíè íàïðàâëåíû ïî ëèíèè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îñü âðàùåíèÿ; âñåìè ñèëàìè òðåíèÿ â ýòîé çàäà÷å ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà èìååò âèä
ÂÐÀÙÀÒÅËÜÍÎÅ ÄÂÈÆÅÍÈÅ Çàäà÷à ¹ 5 ÏÐÎÂÅÐÊÀ ÇÀÊÎÍΠÂÐÀÙÀÒÅËÜÍÎÃÎ ÄÂÈÆÅÍÈß ÏÐÈ ÏÎÌÎÙÈ ÌÀßÒÍÈÊÀ ÎÁÅÐÁÅÊÀ
J b = [R T ],
Öåëü çàäà÷è: ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ïðîâåðêà îñíîâíîãî çàêîíà äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ óðàâíåíèÿ ìîìåíòîâ. Îïèñàíèå óñòàíîâêè (ïåðâûé âàðèàíò) Ïðèáîð ìàÿòíèê Îáåðáåêà ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ ñòåðæíåé è øêèâîâ ðàçëè÷íûõ ðàäèóñîâ, âðàùàþùèõñÿ îòíîñèòåëüíî ãîðèçîíòàëüíîé îñè (ðèñ. 1). Íà ñòåðæíè íàñàæåíû îäèíàêîâûå ãðóçû öèëèíäðè÷åñêîé ôîðìû, êîòîðûå ìîæíî ïåðåìåùàòü è çàêðåïëÿòü â íóæíîì ïîëîæåíèè ïðè ïîìîùè âèíòîâ. Åñëè íà êîíöå íèòè, íàìîòàííîé íà îäèí èç øêèâîâ, óêðåïèòü ãðóç, òî ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè ïîñëåäíèé íà÷íåò îïóñêàòüñÿ, ïðèâîäÿ Ðèñ. 1 ìàÿòíèê âî âðàùåíèå. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû ×òîáû îïðåäåëèòü, êàê áóäåò äâèãàòüñÿ ñèñòåìà «ãðóçìàÿòíèê», íåîáõîäèìî íàïèñàòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ: âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèè íà âåðòèêàëüíóþ îñü äëÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ãðóçà è óðàâíåíèå ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ äëÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà. Íà ãðóç äåéñòâóþò (ïðè ïðåíåáðåæåíèè ñèëàìè òðåíèÿ) ñèëà òÿæåñòè mg, ãäå m ìàññà ãðóçà Ðèñ. 2 è g óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, è ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè T (ðèñ. 2), òàê ÷òî óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ãðóçà (â ïðîåêöèè íà âåðòèêàëü) èìååò âèä ma=mgÒ,
(1)
ãäå à óñêîðåíèå ãðóçà. Èç ìîìåíòîâ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ìàÿòíèê, îòëè÷åí îò íóëÿ ëèøü ìîìåíò ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòè M= [R T ], ãäå R ðàäèóñ50
(2)
ãäå J ìîìåíò èíåðöèè ìàÿòíèêà îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ; b óãëîâîå óñêîðåíèå ìàÿòíèêà. Óñêîðåíèÿ ãðóçà è ìàÿòíèêà ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì a=bR.
(3)
Ñ ó÷åòîì ñèíóñà óãëà ìåæäó âåêòîðàìè R, T è R, b â óðàâíåíèÿõ (2)(3) óðàâíåíèÿ (1), (2) è (3) ïðèíèìàþò ñëåäóþùèé âèä: ma = mgT, Jb = RT, (4) a = bR. Èñêëþ÷àÿ èç ýòèõ óðàâíåíèé b è Ò, íàõîäèì óñêîðåíèå: a=
g 1+
J
,
(5)
mR 2
êîòîðîå, êàê âèäíî èç ýòîé ôîðìóëû, ïîñòîÿííî. Ïî ôîðìóëå ðàâíîóñêîðåííîãî äâèæåíèÿ h = a t 2 /2 óñêîðåíèå ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ïóòü ãðóçà h è âðåìÿ äâèæåíèÿ t : a=
2h t2
.
(6)
Ïðèðàâíÿâ ïðàâûå ÷àñòè âûðàæåíèé (5) è (6), ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ ìîìåíòà èíåðöèè ìàÿòíèêà J =
æ gt 2 ö 1 mD 2 ç - 1÷ , ç ÷ 4 è 2h ø
(7)
ãäå âìåñòî ðàäèóñà øêèâà ââåäåí åãî äèàìåòð D = 2 R . Âûâåäåì äâà ñëåäñòâèÿ èç ôîðìóëû (7). Ïåðâîå ñëåäñòâèå. Ïóñòü â äâóõ îïûòàõ ãðóç, îïóñêàÿñü, ïðîõîäèò îäèí è òîò æå ïóòü h, ïðè÷åì ìîìåíòû ñèë ðàçëè÷íû (â ïåðâîì îïûòå áåðåòñÿ ãðóç ìàññû m1 è íèòü íàìàòûâàåòñÿ íà øêèâ äèàìåòðîì D1, âî âòîðîì îïûòå èñïîëüçóþòñÿ ãðóç 51
ìàññû m2 è øêèâ äèàìåòðîì D2), à ìîìåíòû èíåðöèè îäèíàêîâû (ïîëîæåíèå öèëèíäðîâ íà ñòåðæíÿõ ìàÿòíèêîâ îñòàåòñÿ íåèçìåííûì). Îáîçíà÷àÿ ÷åðåç t1 è t2 âðåìÿ ïàäåíèÿ ãðóçà ñîîòâåòñòâåííî â ïåðâîì è âòîðîì îïûòàõ, èç ôîðìóëû (7) èìååì m1D12
æ gt12 ö æ gt 2 ö - 1 ÷ = m2D22 ç 2 - 1 ÷ . çç ÷ ç ÷ è 2h ø è 2h ø
Ïî òåîðåìå Øòåéíåðà ìîìåíò èíåðöèè J¢ öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ (íà ðèñ. 3 îñü âðàùåíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ÷åðòåæà è èçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé Î) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå J ¢ = J 0¢ + m¢l 2,
(10)
ãäå J ¢ ìîìåíò èíåðöèè öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî îñè, ïàðàëëåëüíîé îñè âðàùåíèÿ è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ (íà ðèñ. 3 ýòà îñü èçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé O¢); l = OO¢ ðàññòîÿíèå ìåæäó îáåèìè îñÿìè; m¢ ìàññà öèëèíäðà. Ñ ó÷åòîì (10) ôîðìóëà (9) äàåò J = J 0 + 4J 0¢ m¢l 2 .
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â ôîðìóëó (7), èìååì äëÿ ïåðâîãî îïûòà (l = l 1, t = t 1) è äëÿ âòîðîãî îïûòà (l = l 2 , t = t 2 ): 2
æ gt12 ö - 1÷ , ç ç 2h ÷ è ø 2 ö mD 2 æ gt2 = - 1÷ . ç ç ÷ 4 è 2h ø
J 0 + 4J 0¢ m¢l1 = J 0 + 4J 0¢ m¢l2
52
2
mD 2 4
2
(11)
2
4m¢(l1 - l2 ) =
2
2
mgD 2 (t1 - t2 ) , 8h
îòêóäà
(8)
Âòîðîå ñëåäñòâèå. Ïóñòü òåïåðü â äâóõ îïûòàõ ìîìåíòû ñèë îäèíàêîâû (â îáîèõ ñëó÷àÿõ èñïîëüçóåòñÿ îäèí è òîò æå ãðóç ìàññû m è øêèâ äèàìåòðîì D), à ìîìåíòû èíåðöèè ðàçëè÷íû (â ïåðâîì îïûòå öèëèíäðû íà ñòåðæíÿõ ðàñïîëàãàþòñÿ íà ðàññòîÿíèè l1, à âî âòîðîì îïûòå íà ðàññòîÿíèè l2 îò îñè âðàùåíèÿ). Ìîìåíò èíåðöèè ìàÿòíèêà J ñêëàäûâàåòñÿ èç ìîìåíòà èíåðöèè J0 ìàÿòíèêà áåç öèëèíäðîâ è èç ÷åòûðåõ îäèíàêîâûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè J¢ êàæäîãî öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ: J = J0+ 4J¢. (9)
Ðèñ. 3
Âû÷èòàÿ âòîðîå ðàâåíñòâî èç ïåðâîãî, íàéäåì
2
2
t1 - t2 =
2 2 32hm¢(l1 - l2 )
mgD 2
.
(12)
Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ïðîâåðêà ôîðìóë (8) è (12) è ÿâëÿåòñÿ öåëüþ çàäà÷è. Óïðàæíåíèå 1
Ïåðâûé ñëó÷àé ïðîâåðêè  ýòîì óïðàæíåíèè ïðîâåðÿåòñÿ ïåðâîå ñëåäñòâèå, ò.å. ôîðìóëà (8). Èçìåðåíèþ ïîäëåæàò âåëè÷èíû m1, m2, D1, D2, h, t1, t2. Ïðåæäå ÷åì ïðèñòóïèòü ê èçìåðåíèÿì, ðàñïîëàãàþò öèëèíäðû âáëèçè óäàëåííûõ îò îñè âðàùåíèÿ êîíöîâ ñòåðæíåé íà ðàâíûõ ðàññòîÿíèÿõ îò îñè ìàÿòíèêà. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî, ÷òîáû ïðè íåíàòÿíóòîé íèòè ëþáîå ïîëîæåíèå ìàÿòíèêà ÿâëÿëîñü ïîëîæåíèåì áåçðàçëè÷íîãî ðàâíîâåñèÿ. Åñëè ðàâíîâåñèå îòñóòñòâóåò, åãî ìîæíî äîáèòüñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ðàñïîëàãàþò äâà ñòåðæíÿ ìàÿòíèêà ãîðèçîíòàëüíî è ñëåãêà ïåðåìåùàþò îäèí èç öèëèíäðîâ íà íèõ, ïîêà íå íàñòóïèò ðàâíîâåñèå. Çàòåì, ïîâåðíóâ ìàÿòíèê íà 90°, ïðè íåîáõîäèìîñòè ïîâòîðÿþò àíàëîãè÷íóþ îïåðàöèþ. Äèàìåòðû D1 è D2 øêèâîâ èçìåðÿþò øòàíãåíöèðêóëåì íå ìåíåå ïÿòè ðàç â ðàçëè÷íûõ ìåñòàõ. Ìàññû m1 è m2 ãðóçîâ îïðåäåëÿþò âçâåøèâàíèåì è íóìåðóþò òàê, ÷òîáû áîëüøàÿ ìàññà èìåëà òîò æå èíäåêñ, ÷òî è ìåíüøèé äèàìåòð øêèâà. Ïóòü ãðóçà h èçìåðÿþò ìåòðîâîé ëèíåéêîé êàê ðàññòîÿíèå îò ïîëà äî íèæíåãî îñíîâàíèÿ ãðóçà Ðèñ. 4 (ðèñ. 4), êîòîðîå âî âñåõ îïûòàõ â íà÷àëüíûé ìîìåíò äîëæíî íàõîäèòüñÿ íà îäíîì óðîâíå. Íàìîòàâ ïî÷òè öåëèêîì íèòü íà øêèâ äèàìåòðîì D1 è ïîäâåñèâ íà åå êîíåö ãðóç ìàññîé m1, èçìåðÿþò ñåêóíäîìåðîì âðåìÿ t1 îïóñêàíèÿ ãðóçà. Âêëþ÷àþò ñåêóíäîìåð â ìîìåíò îòïóñêàíèÿ ãðóçà, êîãäà îí íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè h îò ïîëà, à âûêëþ÷àþò â ìîìåíò óäàðà ãðóçà î ïîë. Îïûò ïîâòîðÿþò íå ìåíåå ïÿòè ðàç.
53
ìàññû m2 è øêèâ äèàìåòðîì D2), à ìîìåíòû èíåðöèè îäèíàêîâû (ïîëîæåíèå öèëèíäðîâ íà ñòåðæíÿõ ìàÿòíèêîâ îñòàåòñÿ íåèçìåííûì). Îáîçíà÷àÿ ÷åðåç t1 è t2 âðåìÿ ïàäåíèÿ ãðóçà ñîîòâåòñòâåííî â ïåðâîì è âòîðîì îïûòàõ, èç ôîðìóëû (7) èìååì m1D12
æ gt12 ö æ gt 2 ö - 1 ÷ = m2D22 ç 2 - 1 ÷ . çç ÷ ç ÷ è 2h ø è 2h ø
Ïî òåîðåìå Øòåéíåðà ìîìåíò èíåðöèè J¢ öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ (íà ðèñ. 3 îñü âðàùåíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ÷åðòåæà è èçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé Î) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå J ¢ = J 0¢ + m¢l 2,
(10)
ãäå J ¢ ìîìåíò èíåðöèè öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî îñè, ïàðàëëåëüíîé îñè âðàùåíèÿ è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ (íà ðèñ. 3 ýòà îñü èçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé O¢); l = OO¢ ðàññòîÿíèå ìåæäó îáåèìè îñÿìè; m¢ ìàññà öèëèíäðà. Ñ ó÷åòîì (10) ôîðìóëà (9) äàåò J = J 0 + 4J 0¢ m¢l 2 .
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â ôîðìóëó (7), èìååì äëÿ ïåðâîãî îïûòà (l = l 1, t = t 1) è äëÿ âòîðîãî îïûòà (l = l 2 , t = t 2 ): 2
æ gt12 ö - 1÷ , ç ç 2h ÷ è ø 2 ö mD 2 æ gt2 = - 1÷ . ç ç ÷ 4 è 2h ø
J 0 + 4J 0¢ m¢l1 = J 0 + 4J 0¢ m¢l2
52
2
mD 2 4
2
(11)
2
4m¢(l1 - l2 ) =
2
2
mgD 2 (t1 - t2 ) , 8h
îòêóäà
(8)
Âòîðîå ñëåäñòâèå. Ïóñòü òåïåðü â äâóõ îïûòàõ ìîìåíòû ñèë îäèíàêîâû (â îáîèõ ñëó÷àÿõ èñïîëüçóåòñÿ îäèí è òîò æå ãðóç ìàññû m è øêèâ äèàìåòðîì D), à ìîìåíòû èíåðöèè ðàçëè÷íû (â ïåðâîì îïûòå öèëèíäðû íà ñòåðæíÿõ ðàñïîëàãàþòñÿ íà ðàññòîÿíèè l1, à âî âòîðîì îïûòå íà ðàññòîÿíèè l2 îò îñè âðàùåíèÿ). Ìîìåíò èíåðöèè ìàÿòíèêà J ñêëàäûâàåòñÿ èç ìîìåíòà èíåðöèè J0 ìàÿòíèêà áåç öèëèíäðîâ è èç ÷åòûðåõ îäèíàêîâûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè J¢ êàæäîãî öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ: J = J0+ 4J¢. (9)
Ðèñ. 3
Âû÷èòàÿ âòîðîå ðàâåíñòâî èç ïåðâîãî, íàéäåì
2
2
t1 - t2 =
2 2 32hm¢(l1 - l2 )
mgD 2
.
(12)
Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ïðîâåðêà ôîðìóë (8) è (12) è ÿâëÿåòñÿ öåëüþ çàäà÷è. Óïðàæíåíèå 1
Ïåðâûé ñëó÷àé ïðîâåðêè  ýòîì óïðàæíåíèè ïðîâåðÿåòñÿ ïåðâîå ñëåäñòâèå, ò.å. ôîðìóëà (8). Èçìåðåíèþ ïîäëåæàò âåëè÷èíû m1, m2, D1, D2, h, t1, t2. Ïðåæäå ÷åì ïðèñòóïèòü ê èçìåðåíèÿì, ðàñïîëàãàþò öèëèíäðû âáëèçè óäàëåííûõ îò îñè âðàùåíèÿ êîíöîâ ñòåðæíåé íà ðàâíûõ ðàññòîÿíèÿõ îò îñè ìàÿòíèêà. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî, ÷òîáû ïðè íåíàòÿíóòîé íèòè ëþáîå ïîëîæåíèå ìàÿòíèêà ÿâëÿëîñü ïîëîæåíèåì áåçðàçëè÷íîãî ðàâíîâåñèÿ. Åñëè ðàâíîâåñèå îòñóòñòâóåò, åãî ìîæíî äîáèòüñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ðàñïîëàãàþò äâà ñòåðæíÿ ìàÿòíèêà ãîðèçîíòàëüíî è ñëåãêà ïåðåìåùàþò îäèí èç öèëèíäðîâ íà íèõ, ïîêà íå íàñòóïèò ðàâíîâåñèå. Çàòåì, ïîâåðíóâ ìàÿòíèê íà 90°, ïðè íåîáõîäèìîñòè ïîâòîðÿþò àíàëîãè÷íóþ îïåðàöèþ. Äèàìåòðû D1 è D2 øêèâîâ èçìåðÿþò øòàíãåíöèðêóëåì íå ìåíåå ïÿòè ðàç â ðàçëè÷íûõ ìåñòàõ. Ìàññû m1 è m2 ãðóçîâ îïðåäåëÿþò âçâåøèâàíèåì è íóìåðóþò òàê, ÷òîáû áîëüøàÿ ìàññà èìåëà òîò æå èíäåêñ, ÷òî è ìåíüøèé äèàìåòð øêèâà. Ïóòü ãðóçà h èçìåðÿþò ìåòðîâîé ëèíåéêîé êàê ðàññòîÿíèå îò ïîëà äî íèæíåãî îñíîâàíèÿ ãðóçà Ðèñ. 4 (ðèñ. 4), êîòîðîå âî âñåõ îïûòàõ â íà÷àëüíûé ìîìåíò äîëæíî íàõîäèòüñÿ íà îäíîì óðîâíå. Íàìîòàâ ïî÷òè öåëèêîì íèòü íà øêèâ äèàìåòðîì D1 è ïîäâåñèâ íà åå êîíåö ãðóç ìàññîé m1, èçìåðÿþò ñåêóíäîìåðîì âðåìÿ t1 îïóñêàíèÿ ãðóçà. Âêëþ÷àþò ñåêóíäîìåð â ìîìåíò îòïóñêàíèÿ ãðóçà, êîãäà îí íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè h îò ïîëà, à âûêëþ÷àþò â ìîìåíò óäàðà ãðóçà î ïîë. Îïûò ïîâòîðÿþò íå ìåíåå ïÿòè ðàç.
53
Ïîñëå ýòîãî ïåðåêèäûâàþò íèòü íà äðóãîé øêèâ äèàìåòðîì D2 è ïîäâåøèâàþò ê íåé äðóãîé ãðóç ìàññîé m2. Ïîâòîðÿþò àíàëîãè÷íóþ ñåðèþ èç ïÿòè îïûòîâ, èçìåðÿÿ âðåìÿ t2. Ïîäñòàâëÿÿ èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí â ôîðìóëó (8), âû÷èñëÿþò åå ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè: æ gt 2 ö æ gt 2 ö A1 = m1D12 ç 1 - 1 ÷ , A2 = m2D22 ç 2 - 1 ÷ . ç 2h ÷ ç 2h ÷ è ø è ø
Îöåíèâ ïîãðåøíîñòè âûðàæåíèé A1 è A2, ñðàâíèâàþò ýòè äâà âûðàæåíèÿ: A1 = (... ± ...) êã × ì 2,
DA1 = ...%, A1
DA2 A2 = (... ± ...) êã × ì , = ...%. A2 2
Ïðè âûâîäå ôîðìóëû äëÿ ïîãðåøíîñòè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü åäèíèöåé â ñêîáêàõ, òàê êàê ïðè óñëîâèè îïûòà gt 2 /2h >> 1.
Âòîðîé ñëó÷àé ïðîâåðêè  ýòîì óïðàæíåíèè ïðîâåðÿåòñÿ âòîðîå ñëåäñòâèå, ò.å. ôîðìóëà (12). Íèòü íàìàòûâàåòñÿ íà øêèâ ìåíüøåãî ðàäèóñà è íà åå êîíåö ïîäâåøèâàåòñÿ ãðóç ìåíüøåé ìàññû. Ìàññà m¢ êàæäîãî öèëèíäðà íà ñòåðæíå óêàçàíà, à âûñîòà h èçìåðåíà ðàíåå, òàê ÷òî äëÿ ïðîâåðêè ôîðìóëû (12) îñòàåòñÿ èçìåðèòü ðàññòîÿíèÿ l1 è l2 è ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ âðåìåíè t1 è t2. Íå èçìåíÿÿ ðàñïîëîæåíèÿ öèëèíäðîâ, îïðåäåëÿþò ñðåäíåå ðàññòîÿíèå l1 îò öåíòðà ìàññ öèëèíäðà äî îñè âðàùåíèÿ. Äëÿ ýòîãî èçìåðÿþò ëèíåéêîé ðàññòîÿíèÿ L1 è L2 ìåæäó ñîîòâåòñòâåííûìè îñíîâàíèÿìè Ðèñ. 5 êàæäîé ïàðû ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåííûõ öèëèíäðîâ (ðèñ. 5).
L1¢ + L2¢ . 4
Ïîäñòàâëÿÿ èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí â ôîðìóëó (12), âû÷èñëÿþò åå ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè: 2
2
B = t1 - t2 , C =
2
2
32hm¢(l1 - l2 ) mgD
2
.
Îöåíèâ ïîãðåøíîñòè, ñðàâíèâàþò ðåçóëüòàòû: DB = ...%, B DC C = (... ± ...) c2, = ...%. C B = (... ± ...) c2,
Íà âåðòèêàëüíîé êîëîííå (2) (ðèñ. 6) ïðèêðåïëåíû äâà êðîíøòåéíà íèæíèé íåïîäâèæíûé (1) è âåðõíèé ïîäâèæíûé (6)
L1 + L2 . 4
Èçìåðÿþò âðåìÿ ïàäåíèÿ ãðóçà t1 òî÷íî òàê æå, êàê â óïðàæíåíèè 1. Âòîðóþ ñåðèþ èç ïÿòè îïûòîâ ïðîâîäÿò ïðè íîâîì ðàññòîÿíèè l2 öèëèíäðîâ îò îñè âðàùåíèÿ (l2 < l1), ðàñïîëàãàÿ öèëèíä54
l2 =
Îïèñàíèå óñòàíîâêè (âòîðîé âàðèàíò)
Óïðàæíåíèå 2
Î÷åâèäíî, l1 =
ðû ñóùåñòâåííî áëèæå ê îñè âðàùåíèÿ, íî òàê, ÷òîáû âðåìÿ ïàäåíèÿ ãðóçà áûëî íå ìåíåå 58 ñ. Äîáèâøèñü ïîëîæåíèÿ áåçðàçëè÷íîãî ðàâíîâåñèÿ ïðè íîâîì ðàñïîëîæåíèè öèëèíäðîâ, îïðåäåëÿþò ðàññòîÿíèå l2 è âðåìÿ ïàäåíèÿ t2 òî÷íî òàê æå, êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå:
Ðèñ. 6
55
Ïîñëå ýòîãî ïåðåêèäûâàþò íèòü íà äðóãîé øêèâ äèàìåòðîì D2 è ïîäâåøèâàþò ê íåé äðóãîé ãðóç ìàññîé m2. Ïîâòîðÿþò àíàëîãè÷íóþ ñåðèþ èç ïÿòè îïûòîâ, èçìåðÿÿ âðåìÿ t2. Ïîäñòàâëÿÿ èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí â ôîðìóëó (8), âû÷èñëÿþò åå ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè: æ gt 2 ö æ gt 2 ö A1 = m1D12 ç 1 - 1 ÷ , A2 = m2D22 ç 2 - 1 ÷ . ç 2h ÷ ç 2h ÷ è ø è ø
Îöåíèâ ïîãðåøíîñòè âûðàæåíèé A1 è A2, ñðàâíèâàþò ýòè äâà âûðàæåíèÿ: A1 = (... ± ...) êã × ì 2,
DA1 = ...%, A1
DA2 A2 = (... ± ...) êã × ì , = ...%. A2 2
Ïðè âûâîäå ôîðìóëû äëÿ ïîãðåøíîñòè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü åäèíèöåé â ñêîáêàõ, òàê êàê ïðè óñëîâèè îïûòà gt 2 /2h >> 1.
Âòîðîé ñëó÷àé ïðîâåðêè  ýòîì óïðàæíåíèè ïðîâåðÿåòñÿ âòîðîå ñëåäñòâèå, ò.å. ôîðìóëà (12). Íèòü íàìàòûâàåòñÿ íà øêèâ ìåíüøåãî ðàäèóñà è íà åå êîíåö ïîäâåøèâàåòñÿ ãðóç ìåíüøåé ìàññû. Ìàññà m¢ êàæäîãî öèëèíäðà íà ñòåðæíå óêàçàíà, à âûñîòà h èçìåðåíà ðàíåå, òàê ÷òî äëÿ ïðîâåðêè ôîðìóëû (12) îñòàåòñÿ èçìåðèòü ðàññòîÿíèÿ l1 è l2 è ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ âðåìåíè t1 è t2. Íå èçìåíÿÿ ðàñïîëîæåíèÿ öèëèíäðîâ, îïðåäåëÿþò ñðåäíåå ðàññòîÿíèå l1 îò öåíòðà ìàññ öèëèíäðà äî îñè âðàùåíèÿ. Äëÿ ýòîãî èçìåðÿþò ëèíåéêîé ðàññòîÿíèÿ L1 è L2 ìåæäó ñîîòâåòñòâåííûìè îñíîâàíèÿìè Ðèñ. 5 êàæäîé ïàðû ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåííûõ öèëèíäðîâ (ðèñ. 5).
L1¢ + L2¢ . 4
Ïîäñòàâëÿÿ èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí â ôîðìóëó (12), âû÷èñëÿþò åå ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè: 2
2
B = t1 - t2 , C =
2
2
32hm¢(l1 - l2 ) mgD
2
.
Îöåíèâ ïîãðåøíîñòè, ñðàâíèâàþò ðåçóëüòàòû: DB = ...%, B DC C = (... ± ...) c2, = ...%. C B = (... ± ...) c2,
Íà âåðòèêàëüíîé êîëîííå (2) (ðèñ. 6) ïðèêðåïëåíû äâà êðîíøòåéíà íèæíèé íåïîäâèæíûé (1) è âåðõíèé ïîäâèæíûé (6)
L1 + L2 . 4
Èçìåðÿþò âðåìÿ ïàäåíèÿ ãðóçà t1 òî÷íî òàê æå, êàê â óïðàæíåíèè 1. Âòîðóþ ñåðèþ èç ïÿòè îïûòîâ ïðîâîäÿò ïðè íîâîì ðàññòîÿíèè l2 öèëèíäðîâ îò îñè âðàùåíèÿ (l2 < l1), ðàñïîëàãàÿ öèëèíä54
l2 =
Îïèñàíèå óñòàíîâêè (âòîðîé âàðèàíò)
Óïðàæíåíèå 2
Î÷åâèäíî, l1 =
ðû ñóùåñòâåííî áëèæå ê îñè âðàùåíèÿ, íî òàê, ÷òîáû âðåìÿ ïàäåíèÿ ãðóçà áûëî íå ìåíåå 58 ñ. Äîáèâøèñü ïîëîæåíèÿ áåçðàçëè÷íîãî ðàâíîâåñèÿ ïðè íîâîì ðàñïîëîæåíèè öèëèíäðîâ, îïðåäåëÿþò ðàññòîÿíèå l2 è âðåìÿ ïàäåíèÿ t2 òî÷íî òàê æå, êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå:
Ðèñ. 6
55
è äâå íåïîäâèæíûå âòóëêè (3) è (7). ×åðåç âåðõíèé äèñê (11) ïåðåêèäûâàåòñÿ íèòü (5), îäèí êîíåö êîòîðîé ïðèêðåïëåí ê äâóõñòóïåí÷àòîìó äèñêó (8), à íà äðóãîì êîíöå çàêðåïëåíû ãðóçû (10). Íà íèæíåì êðîíøòåéíå ïðèêðåïëåí òîðìîçíîé ìàãíèò (4), êîòîðûé ìîæåò óäåðæèâàòü ñèñòåìó êðåñòîâèíû âìåñòå ñ ãðóçàìè â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ. Äëÿ îòñ÷åòà äëèíû ïóòè íà êîëîííå íàíåñåíà ìèëëèìåòðîâàÿ øêàëà (9). Íà êðîíøòåéíàõ (6) è (1) çàêðåïëåíû ôîòîýëåêòðè÷åñêèå äàò÷èêè, ôèêñèðóþùèå âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ ãðóçîì ó÷àñòêà ïóòè ìåæäó äàò÷èêàìè. Íà ëèöåâîé ïàíåëè ìèëëèñåêóíäîìåðà ðàñïîëîæåíû ñëåäóþùèå ýëåìåíòû óïðàâëåíèÿ: (12) «ÑÅÒÜ» íàæàòèå êëàâèøè âêëþ÷àåò íàïðÿæåíèå ïèòàíèÿ (âñå èíäèêàòîðû âûñâå÷èâàþò öèôðó «0» è ñâåòÿòñÿ ëàìïî÷êè ôîòîýëåêòðè÷åñêèõ äàò÷èêîâ); (13) «ÑÁÐÎÑ» íàæàòèå êëàâèøè ïðèâîäèò ê ñáðîñó ïðåäûäóùåãî ïîêàçàíèÿ; (14) «ÏÓÑÊ» óïðàâëåíèå ýëåêòðîìàãíèòîì íàæàòèå êëàâèøè âûçûâàåò îòêëþ÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòà è ïðèâîäèò â äâèæåíèå ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó. Óïðàæíåíèå 1
 ýòîì óïðàæíåíèè ïðîâåðÿåòñÿ ïåðâîå ñëåäñòâèå ôîðìóëû äëÿ íàõîæäåíèÿ ìîìåíòà èíåðöèè ìàÿòíèêà Îáåðáåêà, ò.å. ôîðìóëà (8). Íåîáõîäèìî çíàòü âåëè÷èíû m1, m2, R1, R2, t1 è t2, ãäå m1 ìàññà ãðóçà, ïðèâÿçàííîãî ê íèòêå (m1 = 53 ã); m2 ñêëàäûâàåòñÿ èç m1 è ìàññû äâóõ äîïîëíèòåëüíûõ ãðóçîâ ïî 40 ã; D 1 = 42 ìì; D 2 = 84 ìì; h = 40 ñì; t1 è t2 èçìåðÿþòñÿ â ïðîöåññå ýêñïåðèìåíòà. Ïðåæäå ÷åì ïðèñòóïèòü ê èçìåðåíèÿì, ðàñïîëàãàþò öèëèíäðû âáëèçè óäàëåííûõ îò îñè âðàùåíèÿ êîíöîâ ñòåðæíåé íà ðàâíûõ ðàññòîÿíèÿõ îò îñè ìàÿòíèêà. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî, ÷òîáû ïðè íåíàòÿíóòîé íèòè ëþáîå ïîëîæåíèå ìàÿòíèêà ÿâëÿëîñü ïîëîæåíèåì áåçðàçëè÷íîãî ðàâíîâåñèÿ. Ïîðÿäîê èçìåðåíèé 1. Âêëþ÷èòü ïðèáîð â ñåòü. 2. Çàêðåïèòü íèòü óçåëêîì íà ùå÷êå øêèâà R1. 3. Ïîäâåñèòü ãðóç m1. 4. Íàìàòûâàÿ íèòü íà øêèâ R1, óñòàíîâèòü íèæíèé êðàé ãðóçà òî÷íî íà óðîâíå ÷åðòû íà êîðïóñå âåðõíåãî ôîòîýëåêòðè÷åñêîãî äàò÷èêà. 56
5. Íàæàâ êíîïêó «ÑÅÒÜ», çàôèêñèðîâàòü ìàãíèòîì ãðóç â ýòîì ïîëîæåíèè. 6. Íàæàòü êíîïêó «ÏÓÑÊ». 7. Çàïèñàòü çíà÷åíèå t1, âûñâåòèâøååñÿ íà äèñïëåå ìèëëèñåêóíäîìåðà. 8. Íàæàòü êíîïêó «ÑÁÐÎÑ». 9. Ïîâòîðíî ïîäíÿòü ãðóç äî âåðõíåé ÷åðòû, ãäå çàôèêñèðîâàòü åãî, îòïóñòèâ êíîïêó «ÏÓÑÊ». 10. Ïîâòîðèòü èçìåðåíèÿ äåñÿòü ðàç. 11. Ïðîäåëàòü òî æå ñàìîå äëÿ øêèâà ðàäèóñà R2 è ìàññû m2. Ïîäñòàâëÿÿ èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ â ôîðìóëó (8), âû÷èñëèòü åå ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè. Óïðàæíåíèå 2
 ýòîì óïðàæíåíèè ïðîâåðÿåòñÿ ôîðìóëà (12). Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî èçìåðèòü ðàññòîÿíèÿ l1 è l2 è ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ âðåìåíè t1 è t2. Íå èçìåíÿÿ ðàñïîëîæåíèÿ öèëèíäðîâ, êîòîðîå áûëî ïðè âûïîëíåíèè óïðàæíåíèÿ 1, îïðåäåëÿþò ñðåäíåå ðàññòîÿíèå l1 îò öåíòðà ìàññ öèëèíäðà äî îñè âðàùåíèÿ. Èçìåðÿþò äåñÿòü ðàç âðåìÿ ïàäåíèÿ ãðóçà t1, òî÷íî òàê æå, êàê â óïðàæíåíèè 1. Âòîðóþ ñåðèþ èç ïÿòè îïûòîâ ïðîâîäÿò ïðè íîâîì ðàññòîÿíèè l2 öèëèíäðîâ îò îñè âðàùåíèÿ (l2 < l1). Äîáèâøèñü ïîëîæåíèÿ áåçðàçëè÷íîãî ðàâíîâåñèÿ ïðè íîâîì ðàñïîëîæåíèè öèëèíäðîâ, îïðåäåëÿþò çíà÷åíèå l2 è âðåìÿ ïàäåíèÿ t2 òî÷íî òàê æå, êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå. Ïîäñòàâëÿÿ èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí â ôîðìóëó (12), âû÷èñëÿþò åå ëåâóþ è ïðàâûå ÷àñòè è ñðàâíèâàþò ðåçóëüòàòû. Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 1. Ìåõàíèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 5. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. § 5.3. Âðàùåíèå òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè. § 5.4. Ìîìåíò èíåðöèè.
è äâå íåïîäâèæíûå âòóëêè (3) è (7). ×åðåç âåðõíèé äèñê (11) ïåðåêèäûâàåòñÿ íèòü (5), îäèí êîíåö êîòîðîé ïðèêðåïëåí ê äâóõñòóïåí÷àòîìó äèñêó (8), à íà äðóãîì êîíöå çàêðåïëåíû ãðóçû (10). Íà íèæíåì êðîíøòåéíå ïðèêðåïëåí òîðìîçíîé ìàãíèò (4), êîòîðûé ìîæåò óäåðæèâàòü ñèñòåìó êðåñòîâèíû âìåñòå ñ ãðóçàìè â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ. Äëÿ îòñ÷åòà äëèíû ïóòè íà êîëîííå íàíåñåíà ìèëëèìåòðîâàÿ øêàëà (9). Íà êðîíøòåéíàõ (6) è (1) çàêðåïëåíû ôîòîýëåêòðè÷åñêèå äàò÷èêè, ôèêñèðóþùèå âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ ãðóçîì ó÷àñòêà ïóòè ìåæäó äàò÷èêàìè. Íà ëèöåâîé ïàíåëè ìèëëèñåêóíäîìåðà ðàñïîëîæåíû ñëåäóþùèå ýëåìåíòû óïðàâëåíèÿ: (12) «ÑÅÒÜ» íàæàòèå êëàâèøè âêëþ÷àåò íàïðÿæåíèå ïèòàíèÿ (âñå èíäèêàòîðû âûñâå÷èâàþò öèôðó «0» è ñâåòÿòñÿ ëàìïî÷êè ôîòîýëåêòðè÷åñêèõ äàò÷èêîâ); (13) «ÑÁÐÎÑ» íàæàòèå êëàâèøè ïðèâîäèò ê ñáðîñó ïðåäûäóùåãî ïîêàçàíèÿ; (14) «ÏÓÑÊ» óïðàâëåíèå ýëåêòðîìàãíèòîì íàæàòèå êëàâèøè âûçûâàåò îòêëþ÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòà è ïðèâîäèò â äâèæåíèå ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó. Óïðàæíåíèå 1
 ýòîì óïðàæíåíèè ïðîâåðÿåòñÿ ïåðâîå ñëåäñòâèå ôîðìóëû äëÿ íàõîæäåíèÿ ìîìåíòà èíåðöèè ìàÿòíèêà Îáåðáåêà, ò.å. ôîðìóëà (8). Íåîáõîäèìî çíàòü âåëè÷èíû m1, m2, R1, R2, t1 è t2, ãäå m1 ìàññà ãðóçà, ïðèâÿçàííîãî ê íèòêå (m1 = 53 ã); m2 ñêëàäûâàåòñÿ èç m1 è ìàññû äâóõ äîïîëíèòåëüíûõ ãðóçîâ ïî 40 ã; D 1 = 42 ìì; D 2 = 84 ìì; h = 40 ñì; t1 è t2 èçìåðÿþòñÿ â ïðîöåññå ýêñïåðèìåíòà. Ïðåæäå ÷åì ïðèñòóïèòü ê èçìåðåíèÿì, ðàñïîëàãàþò öèëèíäðû âáëèçè óäàëåííûõ îò îñè âðàùåíèÿ êîíöîâ ñòåðæíåé íà ðàâíûõ ðàññòîÿíèÿõ îò îñè ìàÿòíèêà. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî, ÷òîáû ïðè íåíàòÿíóòîé íèòè ëþáîå ïîëîæåíèå ìàÿòíèêà ÿâëÿëîñü ïîëîæåíèåì áåçðàçëè÷íîãî ðàâíîâåñèÿ. Ïîðÿäîê èçìåðåíèé 1. Âêëþ÷èòü ïðèáîð â ñåòü. 2. Çàêðåïèòü íèòü óçåëêîì íà ùå÷êå øêèâà R1. 3. Ïîäâåñèòü ãðóç m1. 4. Íàìàòûâàÿ íèòü íà øêèâ R1, óñòàíîâèòü íèæíèé êðàé ãðóçà òî÷íî íà óðîâíå ÷åðòû íà êîðïóñå âåðõíåãî ôîòîýëåêòðè÷åñêîãî äàò÷èêà. 56
5. Íàæàâ êíîïêó «ÑÅÒÜ», çàôèêñèðîâàòü ìàãíèòîì ãðóç â ýòîì ïîëîæåíèè. 6. Íàæàòü êíîïêó «ÏÓÑÊ». 7. Çàïèñàòü çíà÷åíèå t1, âûñâåòèâøååñÿ íà äèñïëåå ìèëëèñåêóíäîìåðà. 8. Íàæàòü êíîïêó «ÑÁÐÎÑ». 9. Ïîâòîðíî ïîäíÿòü ãðóç äî âåðõíåé ÷åðòû, ãäå çàôèêñèðîâàòü åãî, îòïóñòèâ êíîïêó «ÏÓÑÊ». 10. Ïîâòîðèòü èçìåðåíèÿ äåñÿòü ðàç. 11. Ïðîäåëàòü òî æå ñàìîå äëÿ øêèâà ðàäèóñà R2 è ìàññû m2. Ïîäñòàâëÿÿ èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ â ôîðìóëó (8), âû÷èñëèòü åå ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè. Óïðàæíåíèå 2
 ýòîì óïðàæíåíèè ïðîâåðÿåòñÿ ôîðìóëà (12). Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî èçìåðèòü ðàññòîÿíèÿ l1 è l2 è ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ âðåìåíè t1 è t2. Íå èçìåíÿÿ ðàñïîëîæåíèÿ öèëèíäðîâ, êîòîðîå áûëî ïðè âûïîëíåíèè óïðàæíåíèÿ 1, îïðåäåëÿþò ñðåäíåå ðàññòîÿíèå l1 îò öåíòðà ìàññ öèëèíäðà äî îñè âðàùåíèÿ. Èçìåðÿþò äåñÿòü ðàç âðåìÿ ïàäåíèÿ ãðóçà t1, òî÷íî òàê æå, êàê â óïðàæíåíèè 1. Âòîðóþ ñåðèþ èç ïÿòè îïûòîâ ïðîâîäÿò ïðè íîâîì ðàññòîÿíèè l2 öèëèíäðîâ îò îñè âðàùåíèÿ (l2 < l1). Äîáèâøèñü ïîëîæåíèÿ áåçðàçëè÷íîãî ðàâíîâåñèÿ ïðè íîâîì ðàñïîëîæåíèè öèëèíäðîâ, îïðåäåëÿþò çíà÷åíèå l2 è âðåìÿ ïàäåíèÿ t2 òî÷íî òàê æå, êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå. Ïîäñòàâëÿÿ èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí â ôîðìóëó (12), âû÷èñëÿþò åå ëåâóþ è ïðàâûå ÷àñòè è ñðàâíèâàþò ðåçóëüòàòû. Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 1. Ìåõàíèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 5. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. § 5.3. Âðàùåíèå òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè. § 5.4. Ìîìåíò èíåðöèè.
Çàäà÷à ¹ 6 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÌÎÌÅÍÒÀ ÈÍÅÐÖÈÈ ÒÅË È ÏÐÎÂÅÐÊÀ ÒÅÎÐÅÌÛ ØÒÅÉÍÅÐÀ ÌÅÒÎÄÎÌ ÊÐÓÒÈËÜÍÛÕ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ
Öåëü çàäà÷è: îïðåäåëåíèå ìîìåíòà èíåðöèè òåë è ïðîâåðêà òåîðåìû î ïàðàëëåëüíûõ îñÿõ (òåîðåìû Øòåéíåðà) ìåòîäîì êðóòèëüíûõ êîëåáàíèé. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Åñëè äëÿ îäíîðîäíûõ òåë ïðîñòîé ôîðìû ìîìåíò èíåðöèè ìîæíî áåç îñîáûõ çàòðóäíåíèé âû÷èñëèòü òåîðåòè÷åñêè, ò.å. ïî îïðåäåëåíèþ, òî äëÿ òåë ñëîæíîé ôîðìû èëè ñ íåðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì ìàññû ïðÿìîé òåîðåòè÷åñêèé ðàñ÷åò ìîæåò îêàçàòüñÿ ñëîæíûì è äàæå ïðàêòè÷åñêè íåîñóùåñòâèìûì. Ïîýòîìó áîëüøîé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ýêñïåðèìåíòàëüíûå ìåòîäû îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà èíåðöèè. Îäèí èç íèõ ìåòîä êðóòèëüíûõ êîëåáàíèé òðèôèëÿðíîãî ïîäâåñà èçó÷àåòñÿ â íàñòîÿùåé çàäà÷å. Òðèôèëÿðíûé ïîäâåñ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êðóãëóþ ïëàòôîðìó, ïîäâåøåííóþ íà òðåõ íèòÿõ ê íåïîäâèæíîìó äèñêó ìåíüøåãî ðàäèóñà (ðèñ. 1). Åñëè ïëàòôîðìó, ïóñòóþ èëè ñ ãðóçîì, ïîâåðíóòü íà ìàëûé óãîë âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè è îòïóñòèòü, òî îíà áóäåò ñîâåðøàòü äâèæåíèå, ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé äâà îäíîâðåìåííî ïðîèñõîäÿùèõ êîëåáàíèÿ: êîëåáàíèå «ââåðõâíèç» â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè è êðóòèëüíîå êîëåáàíèå îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëü-
íîé îñè ñèììåòðèè ïîäâåñà. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïåðèîä Ò êðóòèëüíûõ êîëåáàíèé âäâîå áîëüøå ïåðèîäà âåðòèêàëüíûõ êîëåáàíèé (ðèñ. 2): çà îäèí è òîò æå ïðîìåæóòîê âðåìåíè (t3 t1) ïîäâåñ ñîâåðøèò ïîëîâèíó êðóòèëüíîãî êîëåáàíèÿ (ïðîéäÿ èç ïîëîæåíèÿ ñ ìàêñèìàëüíûì óãëîì îòêëîíåíèÿ +j0 â ïîëîæåíèå ñ ìàêñèìàëüíûì óãëîì îòêëîíåíèÿ j0 â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè) è îäíîâðåìåííî ïîëíîå êîëåáàíèå â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè (èç íàèâûñøåãî ïîëîæåíèÿ ñ h = h 0 ÷åðåç íàèíèçøåå ïîëîæåíèå ñ h = 0 ñíîâà â íàèâûñøåå ïîëîæåíèå). Âûâåäåì ôîðìóëó, ñâÿçûâàþùóþ ìîìåíò èíåðöèè ñèñòåìû «ïëàòôîðìà + ãðóç» ñ ïåðèîäîì êðóòèëüíûõ êîëåáàíèé. Ñíà÷àëà âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè. Íà ñèñòåìó «ïëàòôîðìà + ãðóç» äåéñòâóþò ñèëû òÿæåñòè, ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòåé è ñèëû òðåíèÿ. Ñèëû òÿæåñòè êîíñåðâàòèâíû; ðàáîòà ñèë íàòÿæåíèÿ ðàâíà íóëþ, òàê êàê ñèëà íàòÿæåíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ òî÷êè åå ïðèëîæåíèÿ, ò.å. òî÷êè çàêðåïëåíèÿ íèòè; ñèëàìè òðåíèÿ ââèäó èõ ìàëîñòè ïðåíåáðåãàåì. Ïîýòîìó ñîãëàñíî çàêîíó èçìåíåíèÿ è ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû äîëæíà ñîõðàíÿòüñÿ.  òîò ìîìåíò (t1 íà ðèñ. 2), êîãäà ïëàòôîðìà íàõîäèòñÿ â íàèâûñøåì ïîëîæåíèè, ñèñòåìà îáëàäàåò ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé (1) = mgh0 , E ïîò
ãäå m ìàññà ñèñòåìû; g óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, â òî (1) âðåìÿ êàê åå êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ E êèí = 0 , òàê êàê â ýòîò ìîìåíò ñèñòåìà îñòàíàâëèâàåòñÿ.  äðóãîé ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà ñèñòåìà ïðîõîäèò ïîëîæå(1) íèå ðàâíîâåñèÿ (t2 íà ðèñ. 2), íàîáîðîò, E ïîò = 0 , òàê êàê h(t2) = 0, â òî âðåìÿ êàê êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû (2) = E êèí
I w02 , 2
ãäå I ìîìåíò èíåðöèè ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ; w0 åå óãëîâàÿ ñêîðîñòü â ìîìåíò ïðîõîæäåíèÿ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ïðèðàâíèâàÿ ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè çíà÷åíèÿ ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè â ìîìåíòû t1 è t2, èìååì Ðèñ. 1
58
Ðèñ. 2
mgh0 =
I w02 . 2
(1)
59
Çàäà÷à ¹ 6 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÌÎÌÅÍÒÀ ÈÍÅÐÖÈÈ ÒÅË È ÏÐÎÂÅÐÊÀ ÒÅÎÐÅÌÛ ØÒÅÉÍÅÐÀ ÌÅÒÎÄÎÌ ÊÐÓÒÈËÜÍÛÕ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ
Öåëü çàäà÷è: îïðåäåëåíèå ìîìåíòà èíåðöèè òåë è ïðîâåðêà òåîðåìû î ïàðàëëåëüíûõ îñÿõ (òåîðåìû Øòåéíåðà) ìåòîäîì êðóòèëüíûõ êîëåáàíèé. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Åñëè äëÿ îäíîðîäíûõ òåë ïðîñòîé ôîðìû ìîìåíò èíåðöèè ìîæíî áåç îñîáûõ çàòðóäíåíèé âû÷èñëèòü òåîðåòè÷åñêè, ò.å. ïî îïðåäåëåíèþ, òî äëÿ òåë ñëîæíîé ôîðìû èëè ñ íåðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì ìàññû ïðÿìîé òåîðåòè÷åñêèé ðàñ÷åò ìîæåò îêàçàòüñÿ ñëîæíûì è äàæå ïðàêòè÷åñêè íåîñóùåñòâèìûì. Ïîýòîìó áîëüøîé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ýêñïåðèìåíòàëüíûå ìåòîäû îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà èíåðöèè. Îäèí èç íèõ ìåòîä êðóòèëüíûõ êîëåáàíèé òðèôèëÿðíîãî ïîäâåñà èçó÷àåòñÿ â íàñòîÿùåé çàäà÷å. Òðèôèëÿðíûé ïîäâåñ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êðóãëóþ ïëàòôîðìó, ïîäâåøåííóþ íà òðåõ íèòÿõ ê íåïîäâèæíîìó äèñêó ìåíüøåãî ðàäèóñà (ðèñ. 1). Åñëè ïëàòôîðìó, ïóñòóþ èëè ñ ãðóçîì, ïîâåðíóòü íà ìàëûé óãîë âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè è îòïóñòèòü, òî îíà áóäåò ñîâåðøàòü äâèæåíèå, ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé äâà îäíîâðåìåííî ïðîèñõîäÿùèõ êîëåáàíèÿ: êîëåáàíèå «ââåðõâíèç» â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè è êðóòèëüíîå êîëåáàíèå îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëü-
íîé îñè ñèììåòðèè ïîäâåñà. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïåðèîä Ò êðóòèëüíûõ êîëåáàíèé âäâîå áîëüøå ïåðèîäà âåðòèêàëüíûõ êîëåáàíèé (ðèñ. 2): çà îäèí è òîò æå ïðîìåæóòîê âðåìåíè (t3 t1) ïîäâåñ ñîâåðøèò ïîëîâèíó êðóòèëüíîãî êîëåáàíèÿ (ïðîéäÿ èç ïîëîæåíèÿ ñ ìàêñèìàëüíûì óãëîì îòêëîíåíèÿ +j0 â ïîëîæåíèå ñ ìàêñèìàëüíûì óãëîì îòêëîíåíèÿ j0 â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè) è îäíîâðåìåííî ïîëíîå êîëåáàíèå â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè (èç íàèâûñøåãî ïîëîæåíèÿ ñ h = h 0 ÷åðåç íàèíèçøåå ïîëîæåíèå ñ h = 0 ñíîâà â íàèâûñøåå ïîëîæåíèå). Âûâåäåì ôîðìóëó, ñâÿçûâàþùóþ ìîìåíò èíåðöèè ñèñòåìû «ïëàòôîðìà + ãðóç» ñ ïåðèîäîì êðóòèëüíûõ êîëåáàíèé. Ñíà÷àëà âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè. Íà ñèñòåìó «ïëàòôîðìà + ãðóç» äåéñòâóþò ñèëû òÿæåñòè, ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòåé è ñèëû òðåíèÿ. Ñèëû òÿæåñòè êîíñåðâàòèâíû; ðàáîòà ñèë íàòÿæåíèÿ ðàâíà íóëþ, òàê êàê ñèëà íàòÿæåíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ òî÷êè åå ïðèëîæåíèÿ, ò.å. òî÷êè çàêðåïëåíèÿ íèòè; ñèëàìè òðåíèÿ ââèäó èõ ìàëîñòè ïðåíåáðåãàåì. Ïîýòîìó ñîãëàñíî çàêîíó èçìåíåíèÿ è ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû äîëæíà ñîõðàíÿòüñÿ.  òîò ìîìåíò (t1 íà ðèñ. 2), êîãäà ïëàòôîðìà íàõîäèòñÿ â íàèâûñøåì ïîëîæåíèè, ñèñòåìà îáëàäàåò ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé (1) = mgh0 , E ïîò
ãäå m ìàññà ñèñòåìû; g óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, â òî (1) âðåìÿ êàê åå êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ E êèí = 0 , òàê êàê â ýòîò ìîìåíò ñèñòåìà îñòàíàâëèâàåòñÿ.  äðóãîé ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà ñèñòåìà ïðîõîäèò ïîëîæå(1) íèå ðàâíîâåñèÿ (t2 íà ðèñ. 2), íàîáîðîò, E ïîò = 0 , òàê êàê h(t2) = 0, â òî âðåìÿ êàê êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû (2) = E êèí
I w02 , 2
ãäå I ìîìåíò èíåðöèè ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ; w0 åå óãëîâàÿ ñêîðîñòü â ìîìåíò ïðîõîæäåíèÿ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ïðèðàâíèâàÿ ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè çíà÷åíèÿ ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè â ìîìåíòû t1 è t2, èìååì Ðèñ. 1
58
Ðèñ. 2
mgh0 =
I w02 . 2
(1)
59
Âûðàçèì òåïåðü óãëîâóþ ñêîðîñòü w0 ÷åðåç ìàêñèìàëüíûé óãîë îòêëîíåíèÿ j0. Ñ÷èòàÿ êðóòèëüíûå êîëåáàíèÿ ãàðìîíè÷åñêèìè, èìååì æ 2p ö j(t ) = j0 sin ç t + a÷, èT ø
2Rr (1 - cos j0 ) = h0 = 2l
æ 2p ö Èç ïîñëåäíåé ôîðìóëû, ïîëàãàÿ cos ç t + a ÷ = 1, äëÿ ìàêñèèT ø 2p . T
h0 =
(BC )2 - (BC1 )2 . BC + BC1
(3)
Âõîäÿùèå ñþäà âåëè÷èíû ëåãêî âû÷èñëèòü (ÂÑ)2 íàéäåì ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà èç DABC: (ÂÑ) 2 = (ÀÂ) 2 (ÀÑ) 2 = l 2 (R r) 2 ,
(4)
(ÂÑ1)2 âûðàçèì ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà èç DA1BC1, èñïîëüçóÿ òåîðåìó êîñèíóñîâ äëÿ ñòîðîíû A1C1 DA1C1O1: 60
mg
(2)
Íàêîíåö, íàéäåì ñâÿçü ìåæäó âåëè÷èíàìè h0 è j0 â ôîðìóëå (2). Íà ðèñ. 3 èçîáðàæåíû ïîëîæåíèÿ òî÷êè çàêðåïëåíèÿ íèòè â ìîìåíò ïðîõîæäåíèÿ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (À) è â ìîìåíò ìàêñèìàëüíîãî ïîäúåìà (À1). Çäåñü R = AO = A 1 O 1 ðàäèóñ ïëàòôîðìû; r = C 1 O 1 ðàäèóñ âåðõíåãî äèñêà; l = AB = =A 1 B äëèíà íèòè; h 0 = OO 1 = ÑÑ 1 ìàêñèìàëüíàÿ âûñîòà ïîäúåìà; j0 ìàêñèìàëüíûé óãîë ïîâîðîòà. Êàê âèäíî èç ðèñóíêà, Ðèñ. 3 h 0 = ÑÑ 1 = ÂÑ BC 1 . Èñïîëüçóåì ôîðìóëó äëÿ ðàçíîñòè êâàäðàòîâ: h0 = BC - BC1 =
l
j0 2 . j0 j02 = , òàê ÷òî 2 4
Rr j02 . 2l
(7)
Ïîäñòàâëÿÿ ñîîòíîøåíèå (7) â ôîðìóëó (2), ïîëó÷èì
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â ôîðìóëó (1), ïîëó÷èì 2
Rr sin 2
Òàê êàê äëÿ ìàëûõ óãëîâ sina ~ a, òî sin 2
ìàëüíîãî çíà÷åíèÿ w èìååì
1 æ 2pj0 ö mgh0 = I ç . 2 è T ÷ø
(6)
Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ (4)(6) â ôîðìóëó (3), èìååì
dj 2p æ 2p ö = j0 t + a÷. cos ç dt T èT ø
w0 = j0
(5)
Ïðè ìàëûõ óãëàõ îòêëîíåíèÿ è ïðè óñëîâèè R ~ r âûðàæåíèå â çíàìåíàòåëå ôîðìóëû (3) BC + BC1 ~ 2l.
ãäå j0 àìïëèòóäà; Ò ïåðèîä; a íà÷àëüíàÿ ôàçà. Óãëîâàÿ ñêîðîñòü w ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ âûðàçèòñÿ òàê: w(t ) =
(BC 1 ) 2 = (A 1 B) 2 (A 1 C 1 ) 2 = l 2 (R 2 + r 2 2Rrcosj 0 ).
Rr j02 1 4 p2j02 = I , 2l 2 T2
îòêóäà I =
mgRr 4 p2l
T 2.
(8)
Ïî ýòîé ôîðìóëå, çíàÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ïàðàìåòðû ñèñòåìû è èçìåðèâ ïåðèîä êîëåáàíèé, ìîæíî âû÷èñëÿòü ìîìåíòû èíåðöèè. Óïðàæíåíèå 1 Îïðåäåëåíèå ìîìåíòà èíåðöèè íåíàãðóæåííîé ïëàòôîðìû Ïðåäâàðèòåëüíî óñïîêîèâ ïëàòôîðìó, ñîîáùàþò åé ñëàáûé âðàùàòåëüíûé èìïóëüñ, ñëåãêà äåðíóâ çà âåðåâêó, ïðèêðåïëåííóþ ê âåðõíåìó äèñêó. Àìïëèòóäà âîçíèêøèõ êðóòèëüíûõ êîëåáàíèé äîëæíà áûòü ñòîëü ìàëîé, ÷òîáû ìàêñèìàëüíîå îòêëîíåíèå òî÷êè çàêðåïëåíèÿ íèòè â êàæäóþ ñòîðîíó íå ïðåâûøàëî 1 ñì, ïîñêîëüêó ïðè áîëüøèõ àìïëèòóäàõ êîëåáàíèÿ ìîãóò ñóùåñòâåííî îòëè÷àòüñÿ îò ãàðìîíè÷åñêèõ. Êðîìå òîãî, ñëåäóåò ïî âîçìîæíîñòè èçáåãàòü ïîïåðå÷íûõ êîëåáàíèé ïëàòôîðìû.  îäèí èç ìîìåíòîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàêñèìàëüíîìó îòêëîíåíèþ ïëàòôîðìû îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, âêëþ÷àþò ñåêóíäîìåð è èçìåðÿþò âðåìÿ t äâàäöàòè ïîëíûõ êîëåáàíèé. ×òîáû èñ61
Âûðàçèì òåïåðü óãëîâóþ ñêîðîñòü w0 ÷åðåç ìàêñèìàëüíûé óãîë îòêëîíåíèÿ j0. Ñ÷èòàÿ êðóòèëüíûå êîëåáàíèÿ ãàðìîíè÷åñêèìè, èìååì æ 2p ö j(t ) = j0 sin ç t + a÷, èT ø
2Rr (1 - cos j0 ) = h0 = 2l
æ 2p ö Èç ïîñëåäíåé ôîðìóëû, ïîëàãàÿ cos ç t + a ÷ = 1, äëÿ ìàêñèèT ø 2p . T
h0 =
(BC )2 - (BC1 )2 . BC + BC1
(3)
Âõîäÿùèå ñþäà âåëè÷èíû ëåãêî âû÷èñëèòü (ÂÑ)2 íàéäåì ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà èç DABC: (ÂÑ) 2 = (ÀÂ) 2 (ÀÑ) 2 = l 2 (R r) 2 ,
(4)
(ÂÑ1)2 âûðàçèì ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà èç DA1BC1, èñïîëüçóÿ òåîðåìó êîñèíóñîâ äëÿ ñòîðîíû A1C1 DA1C1O1: 60
mg
(2)
Íàêîíåö, íàéäåì ñâÿçü ìåæäó âåëè÷èíàìè h0 è j0 â ôîðìóëå (2). Íà ðèñ. 3 èçîáðàæåíû ïîëîæåíèÿ òî÷êè çàêðåïëåíèÿ íèòè â ìîìåíò ïðîõîæäåíèÿ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (À) è â ìîìåíò ìàêñèìàëüíîãî ïîäúåìà (À1). Çäåñü R = AO = A 1 O 1 ðàäèóñ ïëàòôîðìû; r = C 1 O 1 ðàäèóñ âåðõíåãî äèñêà; l = AB = =A 1 B äëèíà íèòè; h 0 = OO 1 = ÑÑ 1 ìàêñèìàëüíàÿ âûñîòà ïîäúåìà; j0 ìàêñèìàëüíûé óãîë ïîâîðîòà. Êàê âèäíî èç ðèñóíêà, Ðèñ. 3 h 0 = ÑÑ 1 = ÂÑ BC 1 . Èñïîëüçóåì ôîðìóëó äëÿ ðàçíîñòè êâàäðàòîâ: h0 = BC - BC1 =
l
j0 2 . j0 j02 = , òàê ÷òî 2 4
Rr j02 . 2l
(7)
Ïîäñòàâëÿÿ ñîîòíîøåíèå (7) â ôîðìóëó (2), ïîëó÷èì
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â ôîðìóëó (1), ïîëó÷èì 2
Rr sin 2
Òàê êàê äëÿ ìàëûõ óãëîâ sina ~ a, òî sin 2
ìàëüíîãî çíà÷åíèÿ w èìååì
1 æ 2pj0 ö mgh0 = I ç . 2 è T ÷ø
(6)
Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ (4)(6) â ôîðìóëó (3), èìååì
dj 2p æ 2p ö = j0 t + a÷. cos ç dt T èT ø
w0 = j0
(5)
Ïðè ìàëûõ óãëàõ îòêëîíåíèÿ è ïðè óñëîâèè R ~ r âûðàæåíèå â çíàìåíàòåëå ôîðìóëû (3) BC + BC1 ~ 2l.
ãäå j0 àìïëèòóäà; Ò ïåðèîä; a íà÷àëüíàÿ ôàçà. Óãëîâàÿ ñêîðîñòü w ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ âûðàçèòñÿ òàê: w(t ) =
(BC 1 ) 2 = (A 1 B) 2 (A 1 C 1 ) 2 = l 2 (R 2 + r 2 2Rrcosj 0 ).
Rr j02 1 4 p2j02 = I , 2l 2 T2
îòêóäà I =
mgRr 4 p2l
T 2.
(8)
Ïî ýòîé ôîðìóëå, çíàÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ïàðàìåòðû ñèñòåìû è èçìåðèâ ïåðèîä êîëåáàíèé, ìîæíî âû÷èñëÿòü ìîìåíòû èíåðöèè. Óïðàæíåíèå 1 Îïðåäåëåíèå ìîìåíòà èíåðöèè íåíàãðóæåííîé ïëàòôîðìû Ïðåäâàðèòåëüíî óñïîêîèâ ïëàòôîðìó, ñîîáùàþò åé ñëàáûé âðàùàòåëüíûé èìïóëüñ, ñëåãêà äåðíóâ çà âåðåâêó, ïðèêðåïëåííóþ ê âåðõíåìó äèñêó. Àìïëèòóäà âîçíèêøèõ êðóòèëüíûõ êîëåáàíèé äîëæíà áûòü ñòîëü ìàëîé, ÷òîáû ìàêñèìàëüíîå îòêëîíåíèå òî÷êè çàêðåïëåíèÿ íèòè â êàæäóþ ñòîðîíó íå ïðåâûøàëî 1 ñì, ïîñêîëüêó ïðè áîëüøèõ àìïëèòóäàõ êîëåáàíèÿ ìîãóò ñóùåñòâåííî îòëè÷àòüñÿ îò ãàðìîíè÷åñêèõ. Êðîìå òîãî, ñëåäóåò ïî âîçìîæíîñòè èçáåãàòü ïîïåðå÷íûõ êîëåáàíèé ïëàòôîðìû.  îäèí èç ìîìåíòîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàêñèìàëüíîìó îòêëîíåíèþ ïëàòôîðìû îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, âêëþ÷àþò ñåêóíäîìåð è èçìåðÿþò âðåìÿ t äâàäöàòè ïîëíûõ êîëåáàíèé. ×òîáû èñ61
êëþ÷èòü âîçìîæíóþ îøèáêó â ñ÷åòå ÷èñëà êîëåáàíèé, îïûò ïîâòîðÿþò ïÿòü ðàç, äîáèâàÿñü òîãî, ÷òîáû èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ âðåìåíè t îòëè÷àëèñü äðóã îò äðóãà íå áîëåå ÷åì íà 0,20,4 ñ. ×òîáû èçáåæàòü âû÷èñëåíèÿ ïåðèîäà êîëåáàíèé è óïðîñòèòü ïðîöåäóðó îöåíêè ïîãðåøíîñòè, öåëåñîîáðàçíî ââåñòè â ôîðìóëó (8) âìåñòî ïåðèîäà Ò íåïîñðåäñòâåííî èçìåðÿåìîå âðåìÿ t (T = t/20): I ïë =
mgRrt 2 1600p2l
.
(8a)
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà ñðåäíåå çíà÷åíèå t è äðóãèõ âåëè÷èí, âõîäÿùèõ â ôîðìóëó (óêàçàíû â òàáëè÷êå íà ñòîëå), âû÷èñëÿþò ìîìåíò èíåðöèè ïëàòôîðìû Iïë. Îöåíèâ ïîãðåøíîñòè, çàïèñûâàþò îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò: I ïë = (... ± ...) êã × ì 2;
DI = ...%. I
Óïðàæíåíèå 2 Îïðåäåëåíèå ìîìåíòà èíåðöèè öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî åãî îñè Äâà îäèíàêîâûõ öèëèíäðà ðàñïîëàãàþò íà ïëàòôîðìå îäèí íà äðóãîì òàê, ÷òîáû èõ îñè ñîâïàäàëè ñ îñüþ ñèììåòðèè ïëàòôîðìû (äëÿ ýòîé öåëè íà ïëàòôîðìå íàíåñåíà ñèñòåìà êîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé). Ôîðìóëà (8à), ãäå â êà÷åñòâå ìàññû ñèñòåìû òåïåðü ñëåäóåò âçÿòü ñóììó ìàññ (m + 2M) ïëàòôîðìû m è äâóõ öèëèíäðîâ 2Ì, îïðåäåëèò ìîìåíò èíåðöèè âñåé ñèñòåìû, ò.å. ñóììó ìîìåíòà èíåðöèè ïëàòôîðìû Iïë è äâóõ îäèíàêîâûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè I0 öèëèíäðîâ îòíîñèòåëüíî èõ îñåé: I ïë + 2I 0 = (m + 2M)gRrt 2 /1600p 2 l. Îòñþäà äëÿ èñêîìîãî ìîìåíòà èíåðöèè öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî åãî îñè èìååì I0 =
1é (m + 2M ) gRrt 2 / 1600p2l - I ïë ùû . 2ë
(8á)
Ñóììàðíàÿ ìàññà äâóõ öèëèíäðîâ 2Ì îïðåäåëÿåòñÿ âçâåøèâàíèåì. Âðåìÿ t äâàäöàòè êîëåáàíèé ñèñòåìû èçìåðÿåòñÿ òàê æå, êàê â óïðàæíåíèè 1. Îöåíèâ ïîãðåøíîñòè, ïðåäñòàâëÿþò îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò â âèäå I 0 = (... ± ...) êã × ì 2; 62
DI 0 = ...%. I0
Ðåêîìåíäóåòñÿ òàêæå, èçìåðèâ äèàìåòð D öèëèíäðà, ðàññ÷èòàòü ìîìåíò èíåðöèè öèëèíäðà I 0 = 1/2m(D/2) 2 è ðåçóëüòàòû ñîïîñòàâèòü. Óïðàæíåíèå 3 Ïðîâåðêà òåîðåìû î ïàðàëëåëüíûõ îñÿõ Öèëèíäðû ðàñïîëàãàþò ïî îáå ñòîðîíû îò îñè ïëàòôîðìû òàê, ÷òîáû èõ öåíòðû íàõîäèëèñü íà îäíîé ïðÿìîé ñ öåíòðîì ïëàòôîðìû íà îäèíàêîâûõ ðàññòîÿíèÿõ îò íåãî (ðèñ. 4). Îïðåäåëÿþò ðàññòîÿíèå d îò îñè öèëèíäðîâ äî îñè âðàùåíèÿ, ãäå D äèàìåòð öèëèíäðà; D¢ ðàññòîÿíèå ìåæäó ìàêñèìàëüíî óäàëåííûìè äðóã îò äðóãà òî÷êàìè öèëèíäðîâ. Äèàìåòð D èçìåðÿåòñÿ øòàíãåíöèðêóëåì, ðàññòîÿíèå D¢ ëèíåéêîé. Òî÷íî òàê æå, êàê â ïðåäûäóùåì óïðàæíåíèè, èçìåðÿþò â ïÿòè îïûòàõ âðåìÿ t äâàäöàòè êîëåáàíèé ñèñòåìû è ïî ôîðìóëå (8á) âû÷èñëÿþò ìîìåíò èíåðöèè Iýêñï öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî îñè, ïàðàëëåëüíîé îñè öèëèíäðà è îòñòîÿùåé íà ðàññòîÿíèè d îò íåå. Çàòåì ðàññ÷èòûâàþò òîò æå ìîìåíò èíåðöèè Ðèñ. 4 òåîðåòè÷åñêè, ïîëüçóÿñü òåîðåìîé î ïàðàëëåëüíûõ îñÿõ: I òåîð = I 0 + Md 2. Âõîäÿùèå ñþäà ìàññà öèëèíäðà Ì è ðàññòîÿíèå d èçìåðåíû ðàíåå, à ìîìåíò èíåðöèè I0 öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî åãî îñè âû÷èñëåí â óïðàæíåíèè 2. Îöåíèâ ïîãðåøíîñòè äëÿ îáîèõ ñïîñîáîâ, ñîïîñòàâëÿþò ðåçóëüòàòû: I ýêñï = (... ± ...) êã × ì 2; I òåîð = (... ± ...) êã × ì 2;
DI ýêñï = ...%, I ýêñï DI òåîð I òåîð
= ...%.
Óïðàæíåíèå 4 Îïðåäåëåíèå ìîìåíòîâ èíåðöèè ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà îòíîñèòåëüíî åãî îñåé ñèììåòðèè Ðàñïîëàãàÿ ïàðàëëåëåïèïåä íà ïëàòôîðìå òàê, ÷òîáû ñ îñüþ ñèììåòðèè ïîäâåñà ñîâïàäàëà îäíà èç åãî îñåé ñèììåòðèè, íà63
êëþ÷èòü âîçìîæíóþ îøèáêó â ñ÷åòå ÷èñëà êîëåáàíèé, îïûò ïîâòîðÿþò ïÿòü ðàç, äîáèâàÿñü òîãî, ÷òîáû èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ âðåìåíè t îòëè÷àëèñü äðóã îò äðóãà íå áîëåå ÷åì íà 0,20,4 ñ. ×òîáû èçáåæàòü âû÷èñëåíèÿ ïåðèîäà êîëåáàíèé è óïðîñòèòü ïðîöåäóðó îöåíêè ïîãðåøíîñòè, öåëåñîîáðàçíî ââåñòè â ôîðìóëó (8) âìåñòî ïåðèîäà Ò íåïîñðåäñòâåííî èçìåðÿåìîå âðåìÿ t (T = t/20): I ïë =
mgRrt 2 1600p2l
.
(8a)
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà ñðåäíåå çíà÷åíèå t è äðóãèõ âåëè÷èí, âõîäÿùèõ â ôîðìóëó (óêàçàíû â òàáëè÷êå íà ñòîëå), âû÷èñëÿþò ìîìåíò èíåðöèè ïëàòôîðìû Iïë. Îöåíèâ ïîãðåøíîñòè, çàïèñûâàþò îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò: I ïë = (... ± ...) êã × ì 2;
DI = ...%. I
Óïðàæíåíèå 2 Îïðåäåëåíèå ìîìåíòà èíåðöèè öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî åãî îñè Äâà îäèíàêîâûõ öèëèíäðà ðàñïîëàãàþò íà ïëàòôîðìå îäèí íà äðóãîì òàê, ÷òîáû èõ îñè ñîâïàäàëè ñ îñüþ ñèììåòðèè ïëàòôîðìû (äëÿ ýòîé öåëè íà ïëàòôîðìå íàíåñåíà ñèñòåìà êîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé). Ôîðìóëà (8à), ãäå â êà÷åñòâå ìàññû ñèñòåìû òåïåðü ñëåäóåò âçÿòü ñóììó ìàññ (m + 2M) ïëàòôîðìû m è äâóõ öèëèíäðîâ 2Ì, îïðåäåëèò ìîìåíò èíåðöèè âñåé ñèñòåìû, ò.å. ñóììó ìîìåíòà èíåðöèè ïëàòôîðìû Iïë è äâóõ îäèíàêîâûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè I0 öèëèíäðîâ îòíîñèòåëüíî èõ îñåé: I ïë + 2I 0 = (m + 2M)gRrt 2 /1600p 2 l. Îòñþäà äëÿ èñêîìîãî ìîìåíòà èíåðöèè öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî åãî îñè èìååì I0 =
1é (m + 2M ) gRrt 2 / 1600p2l - I ïë ùû . 2ë
(8á)
Ñóììàðíàÿ ìàññà äâóõ öèëèíäðîâ 2Ì îïðåäåëÿåòñÿ âçâåøèâàíèåì. Âðåìÿ t äâàäöàòè êîëåáàíèé ñèñòåìû èçìåðÿåòñÿ òàê æå, êàê â óïðàæíåíèè 1. Îöåíèâ ïîãðåøíîñòè, ïðåäñòàâëÿþò îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò â âèäå I 0 = (... ± ...) êã × ì 2; 62
DI 0 = ...%. I0
Ðåêîìåíäóåòñÿ òàêæå, èçìåðèâ äèàìåòð D öèëèíäðà, ðàññ÷èòàòü ìîìåíò èíåðöèè öèëèíäðà I 0 = 1/2m(D/2) 2 è ðåçóëüòàòû ñîïîñòàâèòü. Óïðàæíåíèå 3 Ïðîâåðêà òåîðåìû î ïàðàëëåëüíûõ îñÿõ Öèëèíäðû ðàñïîëàãàþò ïî îáå ñòîðîíû îò îñè ïëàòôîðìû òàê, ÷òîáû èõ öåíòðû íàõîäèëèñü íà îäíîé ïðÿìîé ñ öåíòðîì ïëàòôîðìû íà îäèíàêîâûõ ðàññòîÿíèÿõ îò íåãî (ðèñ. 4). Îïðåäåëÿþò ðàññòîÿíèå d îò îñè öèëèíäðîâ äî îñè âðàùåíèÿ, ãäå D äèàìåòð öèëèíäðà; D¢ ðàññòîÿíèå ìåæäó ìàêñèìàëüíî óäàëåííûìè äðóã îò äðóãà òî÷êàìè öèëèíäðîâ. Äèàìåòð D èçìåðÿåòñÿ øòàíãåíöèðêóëåì, ðàññòîÿíèå D¢ ëèíåéêîé. Òî÷íî òàê æå, êàê â ïðåäûäóùåì óïðàæíåíèè, èçìåðÿþò â ïÿòè îïûòàõ âðåìÿ t äâàäöàòè êîëåáàíèé ñèñòåìû è ïî ôîðìóëå (8á) âû÷èñëÿþò ìîìåíò èíåðöèè Iýêñï öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî îñè, ïàðàëëåëüíîé îñè öèëèíäðà è îòñòîÿùåé íà ðàññòîÿíèè d îò íåå. Çàòåì ðàññ÷èòûâàþò òîò æå ìîìåíò èíåðöèè Ðèñ. 4 òåîðåòè÷åñêè, ïîëüçóÿñü òåîðåìîé î ïàðàëëåëüíûõ îñÿõ: I òåîð = I 0 + Md 2. Âõîäÿùèå ñþäà ìàññà öèëèíäðà Ì è ðàññòîÿíèå d èçìåðåíû ðàíåå, à ìîìåíò èíåðöèè I0 öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî åãî îñè âû÷èñëåí â óïðàæíåíèè 2. Îöåíèâ ïîãðåøíîñòè äëÿ îáîèõ ñïîñîáîâ, ñîïîñòàâëÿþò ðåçóëüòàòû: I ýêñï = (... ± ...) êã × ì 2; I òåîð = (... ± ...) êã × ì 2;
DI ýêñï = ...%, I ýêñï DI òåîð I òåîð
= ...%.
Óïðàæíåíèå 4 Îïðåäåëåíèå ìîìåíòîâ èíåðöèè ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà îòíîñèòåëüíî åãî îñåé ñèììåòðèè Ðàñïîëàãàÿ ïàðàëëåëåïèïåä íà ïëàòôîðìå òàê, ÷òîáû ñ îñüþ ñèììåòðèè ïîäâåñà ñîâïàäàëà îäíà èç åãî îñåé ñèììåòðèè, íà63
ïðèìåð, îñü (1) íà ðèñ. 5, îïðåäåëÿþò åãî ìîìåíò èíåðöèè I1 îòíîñèòåëüíî ýòîé îñè òåì æå ñïîñîáîì, êàêèì îïðåäåëÿëñÿ ìîìåíò èíåðöèè öèëèíäðà â óïðàæíåíèè 2: I0 =
1é (m + 2M ) gRrt 2 / 1600p2l - I ïë ùû . 2ë
Çàäà÷à ¹ 7 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÌÎÌÅÍÒÀ ÈÍÅÐÖÈÈ ÊÎËÅÑÀ
Ðèñ. 5
Ìàññà ïàðàëëåëåïèïåäà Ì îïðåäåëÿåòñÿ âçâåøèâàíèåì. Àíàëîãè÷íî íàõîäÿò ìîìåíòû èíåðöèè I2 è I3 ïàðàëëåëåïèïåäà îòíîñèòåëüíî îñåé (2) è (3). Îöåíèâàþò ïîãðåøíîñòè è ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëÿþò â âèäå I 1 = (... ± ...) êã × ì 2;
DI 1 = ...%, I1
I 2 = (... ± ...) êã × ì 2;
DI 2 = ...%, I2
I 3 = (... ± ...) êã × ì 2;
DI 3 = ...%. I3
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ. Îöåíêà âñåõ ïîãðåøíîñòåé â ýòîé çàäà÷å ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äîâîëüíî òðóäîåìêóþ îïåðàöèþ, ïîýòîìó âû÷èñëåíèå íåêîòîðûõ ïîãðåøíîñòåé, ïî ñîãëàñîâàíèþ ñ ïðåïîäàâàòåëåì, ìîæíî îïóñòèòü. Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 1. Ìåõàíèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 5. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. § 5.3. Âðàùåíèå òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè. § 5.4. Ìîìåíò èíåðöèè.
Öåëü çàäà÷è: èçìåðåíèå ìîìåíòà èíåðöèè âåëîñèïåäíîãî êîëåñà äâóìÿ ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Îïèñàíèå óñòàíîâêè Âåëîñèïåäíîå êîëåñî ìîæåò âðàùàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè (ðèñ. 1). Íà øêèâ, æåñòêî ñâÿçàííûé ñ êîëåñîì, íàìîòàíà íèòü; îäèí åå êîíåö çàêðåïëåí íà øêèâå, à ê äðóãîìó ïðèâÿçàí ìåòàëëè÷åñêèé øàðèê.  äâóõ äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷êàõ íà âíóòðåííåé ñòîðîíå îáîäà êîëåñà èìåþòñÿ ÿ÷åéêè, â êîòîðûå ìîæíî ïîìåùàòü øàðèê. Óãîë îòêëîíåíèÿ êîëåñà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïîëîæåíèþ óêàçàòåëÿ, ñâÿçàííîãî ñ êîëåñîì, ïî óãëîìåðíîé øêàëå. Ðèñ. 1 Óïðàæíåíèå 1 Îïðåäåëåíèå ìîìåíòà èíåðöèè êîëåñà ìåòîäîì êîëåáàíèé Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Åñëè øàðèê ïîìåñòèòü â îäíó èç ÿ÷ååê, òî öåíòð òÿæåñòè ñèñòåìû «êîëåñîøàðèê» íå áóäåò íàõîäèòüñÿ íà îñè âðàùåíèÿ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò òèïè÷íîìó ôèçè÷åñêîìó ìàÿòíèêó. Áóäó÷è âûâåäåí èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ìàÿòíèê íà÷íåò ñîâåðøàòü ïðèáëèçèòåëüíî ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, êðóãîâàÿ ÷àñòîòà êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé w2 =
mgl , I
(1)
ãäå g óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ; I ìîìåíò èíåðöèè ìàÿòíèêà; l ðàññòîÿíèå îò îñè âðàùåíèÿ äî öåíòðà øàðèêà; m ìàññà øàðèêà (à íå ìàññà âñåãî ìàÿòíèêà è, ñîîòâåòñòâåííî, ðàññòîÿíèå îò îñè âðàùåíèÿ äî öåíòðà ìàññ ìàÿòíèêà, êàê â îáùåé òåîðèè ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà). Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå ìîìåíò ñèë òÿæåñòè ñâîäèòñÿ ëèøü ê ìîìåíòó Ì = mgl sinj ñèë òÿæåñòè, äåéñòâóþùèõ íà øàðèê; ìîìåíò ñèë òÿæåñòè, äåéñòâóþùèõ íà êîëåñî, ðàâåí íóëþ, òàê êàê âñëåäñòâèå ñèììåòðèè êîëåñà åãî öåíòð òÿæåñòè íàõîäèòñÿ íà îñè âðàùåíèÿ). Ìîìåíò èíåðöèè I ìàÿòíèêà îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ ñêëàäûâàåòñÿ èç ìîìåíòîâ èíåðöèè êîëåñà Iê è øàðèêà Iø: I = I ê + I ø. (2) 65
ïðèìåð, îñü (1) íà ðèñ. 5, îïðåäåëÿþò åãî ìîìåíò èíåðöèè I1 îòíîñèòåëüíî ýòîé îñè òåì æå ñïîñîáîì, êàêèì îïðåäåëÿëñÿ ìîìåíò èíåðöèè öèëèíäðà â óïðàæíåíèè 2: I0 =
1é (m + 2M ) gRrt 2 / 1600p2l - I ïë ùû . 2ë
Çàäà÷à ¹ 7 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÌÎÌÅÍÒÀ ÈÍÅÐÖÈÈ ÊÎËÅÑÀ
Ðèñ. 5
Ìàññà ïàðàëëåëåïèïåäà Ì îïðåäåëÿåòñÿ âçâåøèâàíèåì. Àíàëîãè÷íî íàõîäÿò ìîìåíòû èíåðöèè I2 è I3 ïàðàëëåëåïèïåäà îòíîñèòåëüíî îñåé (2) è (3). Îöåíèâàþò ïîãðåøíîñòè è ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëÿþò â âèäå I 1 = (... ± ...) êã × ì 2;
DI 1 = ...%, I1
I 2 = (... ± ...) êã × ì 2;
DI 2 = ...%, I2
I 3 = (... ± ...) êã × ì 2;
DI 3 = ...%. I3
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ. Îöåíêà âñåõ ïîãðåøíîñòåé â ýòîé çàäà÷å ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äîâîëüíî òðóäîåìêóþ îïåðàöèþ, ïîýòîìó âû÷èñëåíèå íåêîòîðûõ ïîãðåøíîñòåé, ïî ñîãëàñîâàíèþ ñ ïðåïîäàâàòåëåì, ìîæíî îïóñòèòü. Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 1. Ìåõàíèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 5. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. § 5.3. Âðàùåíèå òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè. § 5.4. Ìîìåíò èíåðöèè.
Öåëü çàäà÷è: èçìåðåíèå ìîìåíòà èíåðöèè âåëîñèïåäíîãî êîëåñà äâóìÿ ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Îïèñàíèå óñòàíîâêè Âåëîñèïåäíîå êîëåñî ìîæåò âðàùàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè (ðèñ. 1). Íà øêèâ, æåñòêî ñâÿçàííûé ñ êîëåñîì, íàìîòàíà íèòü; îäèí åå êîíåö çàêðåïëåí íà øêèâå, à ê äðóãîìó ïðèâÿçàí ìåòàëëè÷åñêèé øàðèê.  äâóõ äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷êàõ íà âíóòðåííåé ñòîðîíå îáîäà êîëåñà èìåþòñÿ ÿ÷åéêè, â êîòîðûå ìîæíî ïîìåùàòü øàðèê. Óãîë îòêëîíåíèÿ êîëåñà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïîëîæåíèþ óêàçàòåëÿ, ñâÿçàííîãî ñ êîëåñîì, ïî óãëîìåðíîé øêàëå. Ðèñ. 1 Óïðàæíåíèå 1 Îïðåäåëåíèå ìîìåíòà èíåðöèè êîëåñà ìåòîäîì êîëåáàíèé Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Åñëè øàðèê ïîìåñòèòü â îäíó èç ÿ÷ååê, òî öåíòð òÿæåñòè ñèñòåìû «êîëåñîøàðèê» íå áóäåò íàõîäèòüñÿ íà îñè âðàùåíèÿ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò òèïè÷íîìó ôèçè÷åñêîìó ìàÿòíèêó. Áóäó÷è âûâåäåí èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ìàÿòíèê íà÷íåò ñîâåðøàòü ïðèáëèçèòåëüíî ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, êðóãîâàÿ ÷àñòîòà êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé w2 =
mgl , I
(1)
ãäå g óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ; I ìîìåíò èíåðöèè ìàÿòíèêà; l ðàññòîÿíèå îò îñè âðàùåíèÿ äî öåíòðà øàðèêà; m ìàññà øàðèêà (à íå ìàññà âñåãî ìàÿòíèêà è, ñîîòâåòñòâåííî, ðàññòîÿíèå îò îñè âðàùåíèÿ äî öåíòðà ìàññ ìàÿòíèêà, êàê â îáùåé òåîðèè ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà). Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå ìîìåíò ñèë òÿæåñòè ñâîäèòñÿ ëèøü ê ìîìåíòó Ì = mgl sinj ñèë òÿæåñòè, äåéñòâóþùèõ íà øàðèê; ìîìåíò ñèë òÿæåñòè, äåéñòâóþùèõ íà êîëåñî, ðàâåí íóëþ, òàê êàê âñëåäñòâèå ñèììåòðèè êîëåñà åãî öåíòð òÿæåñòè íàõîäèòñÿ íà îñè âðàùåíèÿ). Ìîìåíò èíåðöèè I ìàÿòíèêà îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ ñêëàäûâàåòñÿ èç ìîìåíòîâ èíåðöèè êîëåñà Iê è øàðèêà Iø: I = I ê + I ø. (2) 65
Òàê êàê ðàçìåðû øàðèêà ñóùåñòâåííî ìåíüøå ðàññòîÿíèÿ äî îñè âðàùåíèÿ, òî åãî ìîæíî ñ÷èòàòü ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé, òàê ÷òî I ø = ml 2 è ïîëíûé ìîìåíò èíåðöèè ìàÿòíèêà çàïèøåòñÿ â âèäå I = I ê + ml 2 . w2 =
I ê + ml 2
T
2
=
mgl I ê + ml 2
.
,
îòêóäà äëÿ ìîìåíòà èíåðöèè êîëåñà ïîëó÷àåì ôîðìóëó æ gT 2 ö I ê = ml 2 ç 2 - 1 ÷ . ç 4p l ÷ è ø
(4)
Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ÷àñòü Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìîìåíòà èíåðöèè êîëåñà ïî ôîðìóëå (4) íåîáõîäèìî çíàòü çíà÷åíèÿ âåëè÷èí m, l è Ò. Ìàññà m øàðèêà óêàçàíà â òàáëè÷êå. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðàññòîÿíèÿ l îò öåíòðà øàðèêà äî îñè âðàùåíèÿ ðåêîìåíäóåòñÿ ñíà÷àëà èçìåðèòü êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïîâåðõíîñòÿìè øàðèêà è âòóëêè è ïðèáàâèòü ê íåìó ñóììó ðàäèóñîâ øàðèêà è âòóëêè, èçìåðèâ äèàìåòðû ïîñëåäíèõ øòàíãåíöèðêóëåì. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïåðèîäà êîëåáàíèé Ò èçìåðÿåòñÿ âðåìÿ t äâàäöàòè êîëåáàíèé. Êîëåáàíèÿ âîçáóæäàþò, îòêëîíÿÿ êîëåñî íà íåáîëüøîé (íå áîëåå 10°) óãîë îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è îòïóñêàÿ. Åñëè èç-çà áîëüøîãî òðåíèÿ êîëåñî îñòàíàâëèâàåòñÿ ïðåæäå, ÷åì ñîâåðøèòñÿ äâàäöàòü êîëåáàíèé, òî óâåëè÷èâàþò íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå êîëåñà äî 1520°. ×òîáû èñêëþ÷èòü âîçìîæíóþ îøèáêó â ñ÷åòå ÷èñëà êîëåáàíèé, îïûò ïîâòîðÿþò íå ìåíåå ïÿòè ðàç, äîáèâàÿñü òîãî, ÷òîáû èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ âðåìåíè t îòëè÷àëèñü äðóã îò äðóãà íå áîëåå ÷åì íà 0,20,4 ñ. ×òîáû èçáåæàòü âû÷èñëåíèÿ ïåðèîäà êîëåáàíèé è óïðîñòèòü ïðîöåäóðó îöåíêè ïîãðåøíîñòè, öåëåñîîáðàçíî âûðàçèòü â ôîðìóëå (4) ïåðèîä ÷åðåç íåïîñðåäñòâåííî èçìåðÿåìîå âðåìÿ Ò = t/20: 2
æ gt ö I ê = ml 2 ç - 1÷ . ç 1600p2l ÷ è ø 66
DI ê = ...%. Iê
Óïðàæíåíèå 2 Ïåðâûé âàðèàíò. Îïðåäåëåíèå ìîìåíòà èíåðöèè êîëåñà ìåòîäîì âðàùåíèÿ áåç ó÷åòà ñèë òðåíèÿ
Âûðàæàÿ êðóãîâóþ ÷àñòîòó w ÷åðåç ïåðèîä êîëåáàíèé Ò ïî ôîðìóëå w = 2p/T, íàõîäèì 4 p2
I ê = (... ± ...) êã × ì 2;
(3)
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â ôîðìóëó (1), èìååì mgl
Ïîäñòàâëÿÿ â ýòó ôîðìóëó çíà÷åíèÿ âåëè÷èí m, l è t, âû÷èñëÿþò Iê. Îöåíèâàþò ïîãðåøíîñòè è îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò ïðåäñòàâëÿþò â âèäå
(4a)
Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Åñëè, âûíóâ øàðèê èç ÿ÷åéêè, íàìîòàòü íèòü íà øêèâ è îòïóñòèòü øàðèê, òî îí íà÷íåò îïóñêàòüñÿ, ïðèâîäÿ êîëåñî âî âðàùåíèå. Ïðåäïîëàãàÿ íèòü íåâåñîìîé è íåðàñòÿæèìîé è ïðåíåáðåãàÿ ñèëàìè òðåíèÿ, çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ: äëÿ øàðèêà âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèè íà âåðòèêàëüíóþ îñü è äëÿ êîëåñà óðàâíåíèå ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ, à òàêæå êèíåìàòè÷åñêóþ ñâÿçü ìåæäó óñêîðåíèÿìè øàðèêà è êîëåñà: ma = mg - f í , I b = rf í , a = br ,
ãäå a óñêîðåíèå øàðèêà; g óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ; fí ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè; b óãëîâîå óñêîðåíèå êîëåñà; r ðàäèóñ øêèâà. Ñèëû, äåéñòâóþùèå íà êîëåñî è øàðèê, èçîáðàæåíû íà ðèñ. 2. Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷àåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ a t = br ìåæäó óãëîâûì è òàíãåíöèàëüíûì óñÐèñ. 2 êîðåíèÿìè òî÷êè ïîâåðõíîñòè øêèâà, åñëè ó÷åñòü, ÷òî ýòî òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå ðàâíî óñêîðåíèþ øàðèêà a t = à. Èñêëþ÷àÿ èç ýòîé ñèñòåìû íåèçâåñòíûå b è fí, íàõîäèì óñêîðåíèå øàðèêà: a=
g 1+
Iê
,
mr 2
îòêóäà æg ö I ê = mr 2 ç - 1 ÷ . èa ø
67
Òàê êàê ðàçìåðû øàðèêà ñóùåñòâåííî ìåíüøå ðàññòîÿíèÿ äî îñè âðàùåíèÿ, òî åãî ìîæíî ñ÷èòàòü ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé, òàê ÷òî I ø = ml 2 è ïîëíûé ìîìåíò èíåðöèè ìàÿòíèêà çàïèøåòñÿ â âèäå I = I ê + ml 2 . w2 =
I ê + ml 2
T
2
=
mgl I ê + ml 2
.
,
îòêóäà äëÿ ìîìåíòà èíåðöèè êîëåñà ïîëó÷àåì ôîðìóëó æ gT 2 ö I ê = ml 2 ç 2 - 1 ÷ . ç 4p l ÷ è ø
(4)
Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ÷àñòü Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìîìåíòà èíåðöèè êîëåñà ïî ôîðìóëå (4) íåîáõîäèìî çíàòü çíà÷åíèÿ âåëè÷èí m, l è Ò. Ìàññà m øàðèêà óêàçàíà â òàáëè÷êå. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðàññòîÿíèÿ l îò öåíòðà øàðèêà äî îñè âðàùåíèÿ ðåêîìåíäóåòñÿ ñíà÷àëà èçìåðèòü êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïîâåðõíîñòÿìè øàðèêà è âòóëêè è ïðèáàâèòü ê íåìó ñóììó ðàäèóñîâ øàðèêà è âòóëêè, èçìåðèâ äèàìåòðû ïîñëåäíèõ øòàíãåíöèðêóëåì. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïåðèîäà êîëåáàíèé Ò èçìåðÿåòñÿ âðåìÿ t äâàäöàòè êîëåáàíèé. Êîëåáàíèÿ âîçáóæäàþò, îòêëîíÿÿ êîëåñî íà íåáîëüøîé (íå áîëåå 10°) óãîë îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è îòïóñêàÿ. Åñëè èç-çà áîëüøîãî òðåíèÿ êîëåñî îñòàíàâëèâàåòñÿ ïðåæäå, ÷åì ñîâåðøèòñÿ äâàäöàòü êîëåáàíèé, òî óâåëè÷èâàþò íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå êîëåñà äî 1520°. ×òîáû èñêëþ÷èòü âîçìîæíóþ îøèáêó â ñ÷åòå ÷èñëà êîëåáàíèé, îïûò ïîâòîðÿþò íå ìåíåå ïÿòè ðàç, äîáèâàÿñü òîãî, ÷òîáû èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ âðåìåíè t îòëè÷àëèñü äðóã îò äðóãà íå áîëåå ÷åì íà 0,20,4 ñ. ×òîáû èçáåæàòü âû÷èñëåíèÿ ïåðèîäà êîëåáàíèé è óïðîñòèòü ïðîöåäóðó îöåíêè ïîãðåøíîñòè, öåëåñîîáðàçíî âûðàçèòü â ôîðìóëå (4) ïåðèîä ÷åðåç íåïîñðåäñòâåííî èçìåðÿåìîå âðåìÿ Ò = t/20: 2
æ gt ö I ê = ml 2 ç - 1÷ . ç 1600p2l ÷ è ø 66
DI ê = ...%. Iê
Óïðàæíåíèå 2 Ïåðâûé âàðèàíò. Îïðåäåëåíèå ìîìåíòà èíåðöèè êîëåñà ìåòîäîì âðàùåíèÿ áåç ó÷åòà ñèë òðåíèÿ
Âûðàæàÿ êðóãîâóþ ÷àñòîòó w ÷åðåç ïåðèîä êîëåáàíèé Ò ïî ôîðìóëå w = 2p/T, íàõîäèì 4 p2
I ê = (... ± ...) êã × ì 2;
(3)
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â ôîðìóëó (1), èìååì mgl
Ïîäñòàâëÿÿ â ýòó ôîðìóëó çíà÷åíèÿ âåëè÷èí m, l è t, âû÷èñëÿþò Iê. Îöåíèâàþò ïîãðåøíîñòè è îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò ïðåäñòàâëÿþò â âèäå
(4a)
Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Åñëè, âûíóâ øàðèê èç ÿ÷åéêè, íàìîòàòü íèòü íà øêèâ è îòïóñòèòü øàðèê, òî îí íà÷íåò îïóñêàòüñÿ, ïðèâîäÿ êîëåñî âî âðàùåíèå. Ïðåäïîëàãàÿ íèòü íåâåñîìîé è íåðàñòÿæèìîé è ïðåíåáðåãàÿ ñèëàìè òðåíèÿ, çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ: äëÿ øàðèêà âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèè íà âåðòèêàëüíóþ îñü è äëÿ êîëåñà óðàâíåíèå ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ, à òàêæå êèíåìàòè÷åñêóþ ñâÿçü ìåæäó óñêîðåíèÿìè øàðèêà è êîëåñà: ma = mg - f í , I b = rf í , a = br ,
ãäå a óñêîðåíèå øàðèêà; g óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ; fí ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè; b óãëîâîå óñêîðåíèå êîëåñà; r ðàäèóñ øêèâà. Ñèëû, äåéñòâóþùèå íà êîëåñî è øàðèê, èçîáðàæåíû íà ðèñ. 2. Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷àåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ a t = br ìåæäó óãëîâûì è òàíãåíöèàëüíûì óñÐèñ. 2 êîðåíèÿìè òî÷êè ïîâåðõíîñòè øêèâà, åñëè ó÷åñòü, ÷òî ýòî òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå ðàâíî óñêîðåíèþ øàðèêà a t = à. Èñêëþ÷àÿ èç ýòîé ñèñòåìû íåèçâåñòíûå b è fí, íàõîäèì óñêîðåíèå øàðèêà: a=
g 1+
Iê
,
mr 2
îòêóäà æg ö I ê = mr 2 ç - 1 ÷ . èa ø
67
Òàê êàê óñêîðåíèå øàðèêà ïîñòîÿííî, òî åãî ìîæíî âûðàçèòü ïî èçâåñòíîé ôîðìóëå ðàâíîóñêîðåííîãî äâèæåíèÿ h=
at 2 2
÷åðåç ïóòü h øàðèêà è âðåìÿ äâèæåíèÿ t: a=
2h t2
.
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â ïðåäûäóùóþ ôîðìóëó, íàõîäèì îêîí÷àòåëüíóþ ôîðìóëó äëÿ ìîìåíòà èíåðöèè êîëåñà Iê =
mD 2 4
æ gt 2 ö - 1÷ , çç ÷ è 2h ø
(5)
ãäå âìåñòî ðàäèóñà ââåäåí äèàìåòð øêèâà D = 2r. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ÷àñòü Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìîìåíòà èíåðöèè êîëåñà ïî ôîðìóëå (5), íåîáõîäèìî èçìåðèòü âåëè÷èíû D, h è t. Äèàìåòð D øêèâà èçìåðÿþò øòàíãåíöèðêóëåì íå ìåíåå ïÿòè ðàç â ðàçëè÷íûõ ìåñòàõ. Ïóòü h ìîæíî èçìåðèòü êàê ðàññòîÿíèå îò íèæíåé òî÷êè ïîâåðõíîñòè øêèâà äî âåðõíåé òî÷êè øàðèêà â åãî íàèíèçøåì ïîëîæåíèè, êîãäà íèòü ïîëíîñòüþ ðàçìîòàíà (ðèñ. 3). Òàêîå îïðåäåëåíèå h ïðåäïîëàãàåò, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò, êîãäà øàðèê îòïóñêàþò è âêëþ÷àþò ñåêóíäîÐèñ. 3 ìåð, âåðõíÿÿ òî÷êà øàðèêà äîëæíà íàõîäèòüñÿ íà îäíîì óðîâíå ñ íèæíåé òî÷êîé ïîâåðõíîñòè øêèâà (ðèñ. 3), à âûêëþ÷àòü ñåêóíäîìåð ñëåäóåò â ìîìåíò äîñòèæåíèÿ øàðèêîì íàèíèçøåé òî÷êè åãî ïóòè. Îïûò ñ îïóñêàíèåì øàðèêà ïîâòîðÿþò íå ìåíåå ïÿòè ðàç. Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ m, D, h è t â ôîðìóëó (5), âû÷èñëÿþò ìîìåíò èíåðöèè êîëåñà. Îöåíèâàþò ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé, ïðè÷åì ïðè âûâîäå ôîðìóëû äëÿ ïîãðåøíîñòè åäèíèöåé â ñêîáêàõ ôîðìóëû (5) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, òàê êàê ïðè óñëîâèÿõ îïûòà gt 2 ? 1. 2h
Êàê îêîí÷àòåëüíûé èòîã, ñîïîñòàâëÿþò ðåçóëüòàòû îáîèõ ìåòîäîâ: DI ê ìåòîä âðàùåíèÿ = ...%, I ê = (... ± ...) êã × ì 2; ìåòîä êîëåáàíèé 68
Iê 2 DI ê I ê = (... ± ...) êã × ì ; = ...%. Iê
Óïðàæíåíèå 2 Âòîðîé âàðèàíò. Îïðåäåëåíèå ìîìåíòà èíåðöèè êîëåñà ìåòîäîì âðàùåíèÿ ñ ó÷åòîì ñèë òðåíèÿ Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Ïðåíåáðåæåíèå ñèëàìè òðåíèÿ äîïóñòèìî ëèøü â òîì ñëó÷àå, åñëè ñâÿçàííàÿ ñ èõ íåó÷åòîì ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü ìåíüøå ïîãðåøíîñòè ìåòîäà èçìåðåíèÿ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñèëàìè òðåíèÿ ïðåíåáðåãàòü íåëüçÿ. Íèæå èçëàãàåòñÿ ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà èíåðöèè êîëåñà ñ ó÷åòîì ñèë òðåíèÿ. Ðå÷ü èäåò î ñèëàõ òðåíèÿ â îñè êîëåñà. Ïðî÷èå ñèëû òðåíèÿ, â ÷àñòíîñòè ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà, ââèäó èõ ìàëîñòè ïðàêòè÷åñêè íå ñêàçûâàþòñÿ íà ðåçóëüòàòàõ îïûòà.  ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà óðàâíåíèé, îïèñûâàþùàÿ äâèæåíèå øàðèêà è êîëåñà (â ïðîåêöèÿõ íà ñîîòâåòñòâóþùèå íàïðàâëåíèÿ), áóäåò èìåòü âèä ma = mg - f í ,
I êb = rfí - M òð , a = br .
Ñ÷èòàÿ ìîìåíò ñèë òðåíèÿ Ìòð ïîñòîÿííûì è ïðîâîäÿ àíàëîãè÷íûå âûêëàäêè, ïîëó÷àþò âìåñòî ôîðìóëû (5) ñëåäóþùóþ ôîðìóëó äëÿ ìîìåíòà èíåðöèè êîëåñà: é gt 2 æ ù M òð ö I ê = mr 2 ê ç1 ÷ - 1ú . mgr ø ëê 2h è ûú
(6)
Ìîìåíò ñèë òðåíèÿ Ìòð ìîæíî îïðåäåëèòü, ïîëüçóÿñü çàêîíîì èçìåíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè. Ïîñëå òîãî êàê øàðèê îïóñòèòñÿ íà ïîëíóþ äëèíó íèòè, êîëåñî áóäåò ïðîäîëæàòü âðàùàòüñÿ â ïðåæíåì íàïðàâëåíèè, íèòü áóäåò íàìàòûâàòüñÿ íà øêèâ è øàðèê ïîäíèìåòñÿ ââåðõ íà íåêîòîðóþ ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó h1 (ðèñ. 4). Òàê êàê êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ øàðèêà â íà÷àëüíîì (íà âûñîòå h) è êîíå÷íîì (íà âûñîòå h1) ïîëîæåíèÿõ ðàâíà íóëþ, òî èçìåíåíèå ïîëíîé Ðèñ. 4 ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè øàðèêà DÅ îïðåäåëèòñÿ èçìåíåíèåì åãî ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè DÅ = mgh mgh 1 .
(7)
69
Òàê êàê óñêîðåíèå øàðèêà ïîñòîÿííî, òî åãî ìîæíî âûðàçèòü ïî èçâåñòíîé ôîðìóëå ðàâíîóñêîðåííîãî äâèæåíèÿ h=
at 2 2
÷åðåç ïóòü h øàðèêà è âðåìÿ äâèæåíèÿ t: a=
2h t2
.
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â ïðåäûäóùóþ ôîðìóëó, íàõîäèì îêîí÷àòåëüíóþ ôîðìóëó äëÿ ìîìåíòà èíåðöèè êîëåñà Iê =
mD 2 4
æ gt 2 ö - 1÷ , çç ÷ è 2h ø
(5)
ãäå âìåñòî ðàäèóñà ââåäåí äèàìåòð øêèâà D = 2r. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ÷àñòü Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìîìåíòà èíåðöèè êîëåñà ïî ôîðìóëå (5), íåîáõîäèìî èçìåðèòü âåëè÷èíû D, h è t. Äèàìåòð D øêèâà èçìåðÿþò øòàíãåíöèðêóëåì íå ìåíåå ïÿòè ðàç â ðàçëè÷íûõ ìåñòàõ. Ïóòü h ìîæíî èçìåðèòü êàê ðàññòîÿíèå îò íèæíåé òî÷êè ïîâåðõíîñòè øêèâà äî âåðõíåé òî÷êè øàðèêà â åãî íàèíèçøåì ïîëîæåíèè, êîãäà íèòü ïîëíîñòüþ ðàçìîòàíà (ðèñ. 3). Òàêîå îïðåäåëåíèå h ïðåäïîëàãàåò, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò, êîãäà øàðèê îòïóñêàþò è âêëþ÷àþò ñåêóíäîÐèñ. 3 ìåð, âåðõíÿÿ òî÷êà øàðèêà äîëæíà íàõîäèòüñÿ íà îäíîì óðîâíå ñ íèæíåé òî÷êîé ïîâåðõíîñòè øêèâà (ðèñ. 3), à âûêëþ÷àòü ñåêóíäîìåð ñëåäóåò â ìîìåíò äîñòèæåíèÿ øàðèêîì íàèíèçøåé òî÷êè åãî ïóòè. Îïûò ñ îïóñêàíèåì øàðèêà ïîâòîðÿþò íå ìåíåå ïÿòè ðàç. Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ m, D, h è t â ôîðìóëó (5), âû÷èñëÿþò ìîìåíò èíåðöèè êîëåñà. Îöåíèâàþò ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé, ïðè÷åì ïðè âûâîäå ôîðìóëû äëÿ ïîãðåøíîñòè åäèíèöåé â ñêîáêàõ ôîðìóëû (5) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, òàê êàê ïðè óñëîâèÿõ îïûòà gt 2 ? 1. 2h
Êàê îêîí÷àòåëüíûé èòîã, ñîïîñòàâëÿþò ðåçóëüòàòû îáîèõ ìåòîäîâ: DI ê ìåòîä âðàùåíèÿ = ...%, I ê = (... ± ...) êã × ì 2; ìåòîä êîëåáàíèé 68
Iê 2 DI ê I ê = (... ± ...) êã × ì ; = ...%. Iê
Óïðàæíåíèå 2 Âòîðîé âàðèàíò. Îïðåäåëåíèå ìîìåíòà èíåðöèè êîëåñà ìåòîäîì âðàùåíèÿ ñ ó÷åòîì ñèë òðåíèÿ Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Ïðåíåáðåæåíèå ñèëàìè òðåíèÿ äîïóñòèìî ëèøü â òîì ñëó÷àå, åñëè ñâÿçàííàÿ ñ èõ íåó÷åòîì ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü ìåíüøå ïîãðåøíîñòè ìåòîäà èçìåðåíèÿ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñèëàìè òðåíèÿ ïðåíåáðåãàòü íåëüçÿ. Íèæå èçëàãàåòñÿ ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà èíåðöèè êîëåñà ñ ó÷åòîì ñèë òðåíèÿ. Ðå÷ü èäåò î ñèëàõ òðåíèÿ â îñè êîëåñà. Ïðî÷èå ñèëû òðåíèÿ, â ÷àñòíîñòè ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà, ââèäó èõ ìàëîñòè ïðàêòè÷åñêè íå ñêàçûâàþòñÿ íà ðåçóëüòàòàõ îïûòà.  ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà óðàâíåíèé, îïèñûâàþùàÿ äâèæåíèå øàðèêà è êîëåñà (â ïðîåêöèÿõ íà ñîîòâåòñòâóþùèå íàïðàâëåíèÿ), áóäåò èìåòü âèä ma = mg - f í ,
I êb = rfí - M òð , a = br .
Ñ÷èòàÿ ìîìåíò ñèë òðåíèÿ Ìòð ïîñòîÿííûì è ïðîâîäÿ àíàëîãè÷íûå âûêëàäêè, ïîëó÷àþò âìåñòî ôîðìóëû (5) ñëåäóþùóþ ôîðìóëó äëÿ ìîìåíòà èíåðöèè êîëåñà: é gt 2 æ ù M òð ö I ê = mr 2 ê ç1 ÷ - 1ú . mgr ø ëê 2h è ûú
(6)
Ìîìåíò ñèë òðåíèÿ Ìòð ìîæíî îïðåäåëèòü, ïîëüçóÿñü çàêîíîì èçìåíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè. Ïîñëå òîãî êàê øàðèê îïóñòèòñÿ íà ïîëíóþ äëèíó íèòè, êîëåñî áóäåò ïðîäîëæàòü âðàùàòüñÿ â ïðåæíåì íàïðàâëåíèè, íèòü áóäåò íàìàòûâàòüñÿ íà øêèâ è øàðèê ïîäíèìåòñÿ ââåðõ íà íåêîòîðóþ ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó h1 (ðèñ. 4). Òàê êàê êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ øàðèêà â íà÷àëüíîì (íà âûñîòå h) è êîíå÷íîì (íà âûñîòå h1) ïîëîæåíèÿõ ðàâíà íóëþ, òî èçìåíåíèå ïîëíîé Ðèñ. 4 ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè øàðèêà DÅ îïðåäåëèòñÿ èçìåíåíèåì åãî ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè DÅ = mgh mgh 1 .
(7)
69
Ðàáîòà ñèë òðåíèÿ A=
j2
ò M òðd j
j1
â íàøåì ñëó÷àå (Ìòð = const) ïðèíèìàåò ïðîñòîé âèä A = Ì òð j, (8) ãäå j ïîëíûé óãîë, íà êîòîðûé ïîâåðíóëîñü êîëåñî çà âðåìÿ ïåðåõîäà øàðèêà èç íà÷àëüíîãî â êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî j=
D + D . H
(9)
Äåéñòâèòåëüíî, j = l/r, ãäå l ïîëíûé ïóòü, ïðîéäåííûé êàêîé-ëèáî òî÷êîé ïîâåðõíîñòè øêèâà, è ýòîò ïóòü ðàâåí ïóòè h+h1, ïðîéäåííîìó øàðèêîì. Ñ ó÷åòîì (9) ôîðìóëà (8) äëÿ ðàáîòû ñèë òðåíèÿ ïðèìåò âèä A = M òð
h + h1 . r
(10)
Ñîãëàñíî çàêîíó èçìåíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè DE = A.
ðóêîé è èçìåðÿþò ðàññòîÿíèå H îò âåðõíåé òî÷êè øàðèêà äî øêèâà (ñì. ðèñ. 4). Î÷åâèäíî, h 1 = h H. Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ èçìåðåííûõ âåëè÷èí â ôîðìóëû (5) è (13), âû÷èñëÿþò ìîìåíò èíåðöèè êîëåñà ñîîòâåòñòâåííî áåç ó÷åòà è ñ ó÷åòîì ñèë òðåíèÿ. Ïðè âûâîäå ôîðìóëû äëÿ ïîãðåøíîñòè ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ìîìåíòà èíåðöèè ïðèáëèæåííóþ ôîðìóëó I ê=
ïîñêîëüêó h=
(11)
I ê = (... ± ...) êã × ì 2;
h - h1 . h + h1
I ê = (... ± ...) êã × ì 2;
(12)
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â ôîðìóëó (6), îêîí÷àòåëüíî èìååì Iê =
é gt 2 1 mD 2 ê 4 ëê 2h
ù æ h - h1 ö ç1 ÷ - 1ú . h + h 1ø è ûú
(13)
Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ÷àñòü Èçìåðåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ òàê æå, êàê â ïåðâîì âàðèàíòå óïðàæíåíèÿ 2, ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî òåïåðü êðîìå âðåìåíè îïóñêàíèÿ øàðèêà t íåîáõîäèìî èçìåðÿòü òàêæå âûñîòó h1 åãî ïîñëåäóþùåãî ïîäúåìà. Ýòó âûñîòó ðåêîìåíäóåòñÿ íàõîäèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Êîãäà øàðèê äîñòèãíåò íàèâûñøåé òî÷êè ïîäúåìà è êîëåñî îñòàíîâèòñÿ, ôèêñèðóþò ïîëîæåíèå êîëåñà 70
DI ê = ...%, Iê
ñ ó÷åòîì ñèë òðåíèÿ
h + h1 , r
îòêóäà M òð = mgr
h - h1 gt 2 = 1. ?1è h + h1 2h
Òåì ñàìûì ïîãðåøíîñòè DIê â îáîèõ âàðèàíòàõ óïðàæíåíèÿ 2 îêàçûâàþòñÿ îäèíàêîâûìè. Îöåíèâ ïîãðåøíîñòè, ïðåäñòàâëÿþò îêîí÷àòåëüíûå ðåçóëüòàòû, âûïèñàâ ðÿäîì äëÿ óäîáñòâà ñîïîñòàâëåíèÿ ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé ìåòîäîì êîëåáàíèé: ìåòîä âðàùåíèÿ áåç ó÷åòà ñèë òðåíèÿ
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âûðàæåíèÿ (7) è (10) äëÿ DE è À, èìååì mg (h - h1 ) = M òð
mD 2 gt 2 , 8h
DI ê = ...%, Iê
ìåòîä êîëåáàíèé I ê = (... ± ...) êã × ì 2;
DI ê = ...%. Iê
Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 1. Ìåõàíèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 2. Äèíàìèêà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. § 2.10. Ñèëû òðåíèÿ. Ãëàâà 5. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. § 5.3. Âðàùåíèå òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè. § 5.4. Ìîìåíò èíåðöèè. Ãëàâà 8. Êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå. § 8.5. Ìàÿòíèê.
Ðàáîòà ñèë òðåíèÿ A=
j2
ò M òðd j
j1
â íàøåì ñëó÷àå (Ìòð = const) ïðèíèìàåò ïðîñòîé âèä A = Ì òð j, (8) ãäå j ïîëíûé óãîë, íà êîòîðûé ïîâåðíóëîñü êîëåñî çà âðåìÿ ïåðåõîäà øàðèêà èç íà÷àëüíîãî â êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî j=
D + D . H
(9)
Äåéñòâèòåëüíî, j = l/r, ãäå l ïîëíûé ïóòü, ïðîéäåííûé êàêîé-ëèáî òî÷êîé ïîâåðõíîñòè øêèâà, è ýòîò ïóòü ðàâåí ïóòè h+h1, ïðîéäåííîìó øàðèêîì. Ñ ó÷åòîì (9) ôîðìóëà (8) äëÿ ðàáîòû ñèë òðåíèÿ ïðèìåò âèä A = M òð
h + h1 . r
(10)
Ñîãëàñíî çàêîíó èçìåíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè DE = A.
ðóêîé è èçìåðÿþò ðàññòîÿíèå H îò âåðõíåé òî÷êè øàðèêà äî øêèâà (ñì. ðèñ. 4). Î÷åâèäíî, h 1 = h H. Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ èçìåðåííûõ âåëè÷èí â ôîðìóëû (5) è (13), âû÷èñëÿþò ìîìåíò èíåðöèè êîëåñà ñîîòâåòñòâåííî áåç ó÷åòà è ñ ó÷åòîì ñèë òðåíèÿ. Ïðè âûâîäå ôîðìóëû äëÿ ïîãðåøíîñòè ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ìîìåíòà èíåðöèè ïðèáëèæåííóþ ôîðìóëó I ê=
ïîñêîëüêó h=
(11)
I ê = (... ± ...) êã × ì 2;
h - h1 . h + h1
I ê = (... ± ...) êã × ì 2;
(12)
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â ôîðìóëó (6), îêîí÷àòåëüíî èìååì Iê =
é gt 2 1 mD 2 ê 4 ëê 2h
ù æ h - h1 ö ç1 ÷ - 1ú . h + h 1ø è ûú
(13)
Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ÷àñòü Èçìåðåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ òàê æå, êàê â ïåðâîì âàðèàíòå óïðàæíåíèÿ 2, ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî òåïåðü êðîìå âðåìåíè îïóñêàíèÿ øàðèêà t íåîáõîäèìî èçìåðÿòü òàêæå âûñîòó h1 åãî ïîñëåäóþùåãî ïîäúåìà. Ýòó âûñîòó ðåêîìåíäóåòñÿ íàõîäèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Êîãäà øàðèê äîñòèãíåò íàèâûñøåé òî÷êè ïîäúåìà è êîëåñî îñòàíîâèòñÿ, ôèêñèðóþò ïîëîæåíèå êîëåñà 70
DI ê = ...%, Iê
ñ ó÷åòîì ñèë òðåíèÿ
h + h1 , r
îòêóäà M òð = mgr
h - h1 gt 2 = 1. ?1è h + h1 2h
Òåì ñàìûì ïîãðåøíîñòè DIê â îáîèõ âàðèàíòàõ óïðàæíåíèÿ 2 îêàçûâàþòñÿ îäèíàêîâûìè. Îöåíèâ ïîãðåøíîñòè, ïðåäñòàâëÿþò îêîí÷àòåëüíûå ðåçóëüòàòû, âûïèñàâ ðÿäîì äëÿ óäîáñòâà ñîïîñòàâëåíèÿ ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé ìåòîäîì êîëåáàíèé: ìåòîä âðàùåíèÿ áåç ó÷åòà ñèë òðåíèÿ
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âûðàæåíèÿ (7) è (10) äëÿ DE è À, èìååì mg (h - h1 ) = M òð
mD 2 gt 2 , 8h
DI ê = ...%, Iê
ìåòîä êîëåáàíèé I ê = (... ± ...) êã × ì 2;
DI ê = ...%. Iê
Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 1. Ìåõàíèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 2. Äèíàìèêà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. § 2.10. Ñèëû òðåíèÿ. Ãëàâà 5. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. § 5.3. Âðàùåíèå òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè. § 5.4. Ìîìåíò èíåðöèè. Ãëàâà 8. Êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå. § 8.5. Ìàÿòíèê.
Çàäà÷à ¹ 8 ÊÐÓÒÈËÜÍÛÉ ÁÀËËÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÌÀßÒÍÈÊ
Öåëü çàäà÷è: îïðåäåëåíèå ñêîðîñòè ïóëè ñ ïîìîùüþ êðóòèëüíîãî áàëëèñòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà íà ïðèìåðå íåóïðóãîãî ñîóäàðåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è ìîìåíòà èìïóëüñà. Ïåðâûé âàðèàíò ýêñïåðèìåíòàëüíîé óñòàíîâêè Îïèñàíèå óñòàíîâêè. Êðóòèëüíûé ìàÿòíèê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òåëî, ñïîñîáíîå ñîâåðøàòü óïðóãèå êðóòèëüíûå êîëåáàíèÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà èçîáðàæåíà íà ðèñ. 1. 1 3
24 5 6
4
Ðèñ. 1
Ìàÿòíèê óñòðîåí ñëåäóþùèì îáðàçîì. Íà âåðòèêàëüíîì ñòåðæíå (1), ïîäâåøåííîì íà óïðóãîé ïðîâîëîêå (2), çàêðåïëåí ãîðèçîíòàëüíûé ñòåðæåíü (3), ïî êîòîðîìó ìîãóò ïåðåìåùàòüñÿ äâà öèëèíäðè÷åñêèõ ãðóçà (4). Íà êîíöå ñòåðæíÿ (3) óêðåïëåíà ÷àøå÷êà ñ ïëàñòèëèíîì (5). Âûñòðåë ïðîèçâîäèòñÿ èç ïðóæèííîé ïóøêè (6) òàê, ÷òî ïóëÿ, âûëåòåâøàÿ èç ïóøêè ïåðïåíäèêóëÿðíî ãîðèçîíòàëüíîìó ñòåðæíþ, ïîïàäàåò â ÷àøå÷êó ñ ïëàñòèëèíîì è çàñòðåâàåò â íåì. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç ïóëè è ìàÿòíèêà. Âíà÷àëå ìàÿòíèê íåïîäâèæåí, à ïóëÿ ìàññîé m ëåòèò ãîðèçîíòàëüíî â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ñòåðæíþ ñî ñêîðîñòüþ v1. Âåëè÷èíà ìîìåíòà èìïóëüñà ïóëè îòíîñèòåëüíî îñè ìàÿòíèêà ðàâíà L 1 = mv 1l, ãäå l ðàññòîÿíèå îò îñè ìàÿòíèêà äî ëèíèè, ïî êîòîðîé ïðîèñõîäèò äâèæåíèå ïóëè. Çàòåì ïóëÿ çàñòðåâàåò â ïëàñòèëèíå, ò.å. ïðîèñõîäèò àáñîëþòíî íåóïðóãèé óäàð. Ìàÿò72
íèê âìåñòå ñ çàñòðÿâøåé â íåì ïóëåé íà÷èíàåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ w0. Ñðàçó ïîñëå ñîóäàðåíèÿ ìîìåíò èìïóëüñà ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî îñè ìàÿòíèêà áóäåò ðàâåí L 2 = Iw 0 , ãäå I ìîìåíò èíåðöèè ìàÿòíèêà âìåñòå ñ çàñòðÿâøåé â íåì ïóëåé. Âûÿñíèì, ìîæíî ëè â äàííîé çàäà÷å ïðèìåíèòü çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà. Âíåøíèìè ñèëàìè äëÿ ñèñòåìû «ìàÿòíèêïóëÿ» ÿâëÿþòñÿ ñèëû òÿæåñòè, äåéñòâóþùèå íà ïóëþ è ìàÿòíèê, óïðóãèå ñèëû, îáóñëîâëåííûå ðàñòÿæåíèåì ïðîâîëîêè, è óïðóãèå ñèëû, ñâÿçàííûå ñ äåôîðìàöèåé êðó÷åíèÿ ïðîâîëîêè. Ñèëà íàòÿæåíèÿ óðàâíîâåøèâàåò ñèëó òÿæåñòè è äåéñòâóåò âåðòèêàëüíî ââåðõ ïðè ëþáîì ïîëîæåíèè ìàÿòíèêà; ýòè ñèëû íàïðàâëåíû âäîëü îñè ìàÿòíèêà, ñëåäîâàòåëüíî, ìîìåíòû ýòèõ ñèë îòíîñèòåëüíî îñè ìàÿòíèêà ðàâíû íóëþ. Ñèëû, ñâÿçàííûå ñ äåôîðìàöèåé êðó÷åíèÿ, ïîÿâëÿþòñÿ ïðè ïîâîðîòå ìàÿòíèêà íà íåêîòîðûé óãîë a îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, âûçûâàÿ ìîìåíò ñèë Ì, ñòðåìÿùèéñÿ âåðíóòü ìàÿòíèê â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ. Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî âðåìÿ t ñîóäàðåíèÿ ïóëè ñ ìàÿòíèêîì ìíîãî ìåíüøå ïåðèîäà êîëåáàíèé Ò ñàìîãî ìàÿòíèêà (óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè áàëëèñòè÷åñêîãî ìåòîäà), çàïèøåì äëÿ ñèñòåìû «ìàÿòíèêïóëÿ» çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà: L 1 =L 2 , ò.å mv 1 l = Iw 0 . (1) Ðàññìîòðèì òåïåðü äàëüíåéøåå äâèæåíèå ñèñòåìû è äëÿ åãî îïèñàíèÿ ïðèìåíèì çàêîí èçìåíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè. Ïîñëå ñîóäàðåíèÿ ñèñòåìà èìååò êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ E = I w02 / 2 . Ïî ìåðå òîãî êàê ìàÿòíèê ïîâîðà÷èâàåòñÿ è çàêðó÷èâàåòñÿ ïðîâîëîêà, íà êîòîðîé îí ïîäâåøåí, âîçðàñòàåò ìîìåíò ñèë êðó÷åíèÿ Ì = Da, ãäå a óãîë ïîâîðîòà ìàÿòíèêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ; D ìîäóëü êðó÷åíèÿ. Ïîëíàÿ ðàáîòà À, êîòîðóþ ñîâåðøàþò ñèëû êðó÷åíèÿ ïðè èçìåíåíèè óãëà ïîâîðîòà ìàÿòíèêà îò íóëÿ äî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ a0, îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì A=
a0
2
ò D ad a = 1 / 2a0 . 0
Êîãäà óãîë ïîâîðîòà ìàÿòíèêà äîñòèãíåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ a0, óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ìàÿòíèêà ñòàíåò ðàâíîé íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì: I w02 D a02 . = 2 2
(2) 73
Çàäà÷à ¹ 8 ÊÐÓÒÈËÜÍÛÉ ÁÀËËÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÌÀßÒÍÈÊ
Öåëü çàäà÷è: îïðåäåëåíèå ñêîðîñòè ïóëè ñ ïîìîùüþ êðóòèëüíîãî áàëëèñòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà íà ïðèìåðå íåóïðóãîãî ñîóäàðåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è ìîìåíòà èìïóëüñà. Ïåðâûé âàðèàíò ýêñïåðèìåíòàëüíîé óñòàíîâêè Îïèñàíèå óñòàíîâêè. Êðóòèëüíûé ìàÿòíèê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òåëî, ñïîñîáíîå ñîâåðøàòü óïðóãèå êðóòèëüíûå êîëåáàíèÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà èçîáðàæåíà íà ðèñ. 1. 1 3
24 5 6
4
Ðèñ. 1
Ìàÿòíèê óñòðîåí ñëåäóþùèì îáðàçîì. Íà âåðòèêàëüíîì ñòåðæíå (1), ïîäâåøåííîì íà óïðóãîé ïðîâîëîêå (2), çàêðåïëåí ãîðèçîíòàëüíûé ñòåðæåíü (3), ïî êîòîðîìó ìîãóò ïåðåìåùàòüñÿ äâà öèëèíäðè÷åñêèõ ãðóçà (4). Íà êîíöå ñòåðæíÿ (3) óêðåïëåíà ÷àøå÷êà ñ ïëàñòèëèíîì (5). Âûñòðåë ïðîèçâîäèòñÿ èç ïðóæèííîé ïóøêè (6) òàê, ÷òî ïóëÿ, âûëåòåâøàÿ èç ïóøêè ïåðïåíäèêóëÿðíî ãîðèçîíòàëüíîìó ñòåðæíþ, ïîïàäàåò â ÷àøå÷êó ñ ïëàñòèëèíîì è çàñòðåâàåò â íåì. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç ïóëè è ìàÿòíèêà. Âíà÷àëå ìàÿòíèê íåïîäâèæåí, à ïóëÿ ìàññîé m ëåòèò ãîðèçîíòàëüíî â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ñòåðæíþ ñî ñêîðîñòüþ v1. Âåëè÷èíà ìîìåíòà èìïóëüñà ïóëè îòíîñèòåëüíî îñè ìàÿòíèêà ðàâíà L 1 = mv 1l, ãäå l ðàññòîÿíèå îò îñè ìàÿòíèêà äî ëèíèè, ïî êîòîðîé ïðîèñõîäèò äâèæåíèå ïóëè. Çàòåì ïóëÿ çàñòðåâàåò â ïëàñòèëèíå, ò.å. ïðîèñõîäèò àáñîëþòíî íåóïðóãèé óäàð. Ìàÿò72
íèê âìåñòå ñ çàñòðÿâøåé â íåì ïóëåé íà÷èíàåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ w0. Ñðàçó ïîñëå ñîóäàðåíèÿ ìîìåíò èìïóëüñà ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî îñè ìàÿòíèêà áóäåò ðàâåí L 2 = Iw 0 , ãäå I ìîìåíò èíåðöèè ìàÿòíèêà âìåñòå ñ çàñòðÿâøåé â íåì ïóëåé. Âûÿñíèì, ìîæíî ëè â äàííîé çàäà÷å ïðèìåíèòü çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà. Âíåøíèìè ñèëàìè äëÿ ñèñòåìû «ìàÿòíèêïóëÿ» ÿâëÿþòñÿ ñèëû òÿæåñòè, äåéñòâóþùèå íà ïóëþ è ìàÿòíèê, óïðóãèå ñèëû, îáóñëîâëåííûå ðàñòÿæåíèåì ïðîâîëîêè, è óïðóãèå ñèëû, ñâÿçàííûå ñ äåôîðìàöèåé êðó÷åíèÿ ïðîâîëîêè. Ñèëà íàòÿæåíèÿ óðàâíîâåøèâàåò ñèëó òÿæåñòè è äåéñòâóåò âåðòèêàëüíî ââåðõ ïðè ëþáîì ïîëîæåíèè ìàÿòíèêà; ýòè ñèëû íàïðàâëåíû âäîëü îñè ìàÿòíèêà, ñëåäîâàòåëüíî, ìîìåíòû ýòèõ ñèë îòíîñèòåëüíî îñè ìàÿòíèêà ðàâíû íóëþ. Ñèëû, ñâÿçàííûå ñ äåôîðìàöèåé êðó÷åíèÿ, ïîÿâëÿþòñÿ ïðè ïîâîðîòå ìàÿòíèêà íà íåêîòîðûé óãîë a îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, âûçûâàÿ ìîìåíò ñèë Ì, ñòðåìÿùèéñÿ âåðíóòü ìàÿòíèê â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ. Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî âðåìÿ t ñîóäàðåíèÿ ïóëè ñ ìàÿòíèêîì ìíîãî ìåíüøå ïåðèîäà êîëåáàíèé Ò ñàìîãî ìàÿòíèêà (óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè áàëëèñòè÷åñêîãî ìåòîäà), çàïèøåì äëÿ ñèñòåìû «ìàÿòíèêïóëÿ» çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà: L 1 =L 2 , ò.å mv 1 l = Iw 0 . (1) Ðàññìîòðèì òåïåðü äàëüíåéøåå äâèæåíèå ñèñòåìû è äëÿ åãî îïèñàíèÿ ïðèìåíèì çàêîí èçìåíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè. Ïîñëå ñîóäàðåíèÿ ñèñòåìà èìååò êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ E = I w02 / 2 . Ïî ìåðå òîãî êàê ìàÿòíèê ïîâîðà÷èâàåòñÿ è çàêðó÷èâàåòñÿ ïðîâîëîêà, íà êîòîðîé îí ïîäâåøåí, âîçðàñòàåò ìîìåíò ñèë êðó÷åíèÿ Ì = Da, ãäå a óãîë ïîâîðîòà ìàÿòíèêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ; D ìîäóëü êðó÷åíèÿ. Ïîëíàÿ ðàáîòà À, êîòîðóþ ñîâåðøàþò ñèëû êðó÷åíèÿ ïðè èçìåíåíèè óãëà ïîâîðîòà ìàÿòíèêà îò íóëÿ äî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ a0, îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì A=
a0
2
ò D ad a = 1 / 2a0 . 0
Êîãäà óãîë ïîâîðîòà ìàÿòíèêà äîñòèãíåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ a0, óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ìàÿòíèêà ñòàíåò ðàâíîé íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì: I w02 D a02 . = 2 2
(2) 73
Ì = mgd/2, ãäå d äèàìåòð áàðàáàíà, èçìåðÿåòñÿ øòàíãåíöèðêóëåì. Çíàÿ, ÷òî Ì = Da, à óãîë a îïðåäåëÿåòñÿ êàê a = n/2 b, ïîëó÷àåì
Èç óðàâíåíèé (1) è (2) ìîæíî ñîñòàâèòü ñèñòåìó ì m v 1l = Iw 0 ï 2 í Iw 0 D a 02 , = ï 2 î 2
D=
ðåøàÿ êîòîðóþ, íàéäåì ñêîðîñòü ïóëè a TD v1 = 0 . 2pml
(3)
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èçâåñòíî, ÷òî ïåðèîä êîëåáàíèé êðóòèëüíîãî ìàÿòíèêà Ò ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå T =2p I D , ñëåäîâàòåëüíî, ìîìåíò èíåðöèè I=T 2 D/4p 2 . Îêîí÷àòåëüíàÿ ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñêîðîñòè ïóëè áóäåò (4) v 1 =a 0 TD/2 pml. Óïðàæíåíèå 1 Îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ êðó÷åíèÿ Ìîäóëü êðó÷åíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñòàòè÷åñêèì ìåòîäîì (ñì. ðèñ. 1). Èçìåðÿþò ëèíåéêîé ðàññòîÿíèå b îò çåðêàëüöà (7) äî øêàëû (8). Ïåòåëüêó íà êîíöå íèòè íàäåâàþò íà âèíò, ââåðíóòûé â æåëîáîê áàðàáàíà (9). Îáîðà÷èâàþò íèòü âîêðóã áàðàáàíà ïî æåëîáêó è ïåðåêèäûâàþò åå ÷åðåç áëîê (10). Ïëàòôîðìà (11), ïðèâÿçàííàÿ ê äðóãîìó êîíöó íèòè, äîëæíà âèñåòü íàä ñòîëîì. Íà ïëàòôîðìó ïîìåùàþò ãðóç ìàññû m.  ðåçóëüòàòå ýòîãî ìàÿòíèê ïîâîðà÷èâàåòñÿ. Íàõîäÿò âåëè÷èíó îòêëîíåíèÿ n ñâåòîâîãî ëó÷à íà øêàëå (8) îò íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ. Ïîäîáíûå èçìåðåíèÿ ïðîâîäÿò, ïîìåùàÿ íà ïëàòôîðìó ïîñëåäîâàòåëüíî ïÿòü ãðóçîâ. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé çàíîñÿò â òàáë. 1. Òàáëèöà 1 ¹ ï/ï 1 . . . 5
m, êã
n, ì
D, Í×ì
Ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîäóëÿ êðó÷åíèÿ. Ïðè íåïîäâèæíîì ìàÿòíèêå ìîìåíò ñèë Ì, äåéñòâóþùèõ íà ìàÿòíèê ñî ñòîðîíû ïðîâîëîêè ïîäâåñà, óðàâíîâåøèâàåòñÿ ìîìåíòîì ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòè, ïåðåêèíóòîé ÷åðåç áëîê. Ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè ðàâíà ñèëå òÿæåñòè mg ãðóçà íà ïëàòôîðìå. Ïëå÷î ýòîé ñèëû ðàâíî ðàäèóñó áàðàáàíà (9). Ñëåäîâàòåëüíî, 74
mgbd . n
Òàêèì îáðàçîì, ïðîâåäÿ âñå íåîáõîäèìûå èçìåðåíèÿ, îïðåäåëÿþò ìîäóëü êðó÷åíèÿ D. Îöåíèâ ïîãðåøíîñòè, çàïèñûâàþò ðåçóëüòàò â âèäå D = (D ± DD), [Í×ì], DD/D = ...%.
Óïðàæíåíèå 2 Îïðåäåëåíèå ñêîðîñòè ïóëè Ñíèìàþò íèòü ñ áàðàáàíà è óáèðàþò áëîê (ñì. ðèñ. 1). Èçìåðÿþò ëèíåéêîé ðàññòîÿíèå l îò îñè ìàÿòíèêà äî ñåðåäèíû ÷àøå÷êè ñ ïëàñòèëèíîì. Ðàçäâèãàþò öèëèíäðû (4) íà ñòåðæíå (3) äî äàëüíèõ ìåòîê. Óñòàíàâëèâàþò ïóøêó (6) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû åå ñòâîë áûë ïåðïåíäèêóëÿðåí ñòåðæíþ (3) è íàïðàâëåí íà ñåðåäèíó ÷àøå÷êè ñ ïëàñòèëèíîì. Çàðÿæàþò ïóøêó è ïðîèçâîäÿò âûñòðåë. Èçìåðÿþò ìàêñèìàëüíîå îòêëîíåíèå n0 ñâåòîâîãî ëó÷à ïî øêàëå îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ïðè ïîìîùè ñåêóíäîìåðà îïðåäåëÿþò âðåìÿ t äâàäöàòè ïîëíûõ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà. Ìàññó ïóëè m îïðåäåëÿþò âçâåøèâàíèåì. Âûñòðåë ïðîèçâåñòè ïÿòü ðàç. Çàòåì ñäâèãàþò öèëèíäðû íà ñòåðæíå äî áëèæíèõ ìåòîê è ñíîâà ïðîäåëûâàþò âñå èçìåðåíèÿ. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé ìîãóò áûòü ñâåäåíû â òàáë. 2. Òàáëèöà 2 l= ,m=
n0 , ì Öèëèíäðû íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè 41
t, ñ
v, ì/c
1 . . . 5 Öèëèíäðû íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè 42 1 . . . 5
75
Ì = mgd/2, ãäå d äèàìåòð áàðàáàíà, èçìåðÿåòñÿ øòàíãåíöèðêóëåì. Çíàÿ, ÷òî Ì = Da, à óãîë a îïðåäåëÿåòñÿ êàê a = n/2 b, ïîëó÷àåì
Èç óðàâíåíèé (1) è (2) ìîæíî ñîñòàâèòü ñèñòåìó ì m v 1l = Iw 0 ï 2 í Iw 0 D a 02 , = ï 2 î 2
D=
ðåøàÿ êîòîðóþ, íàéäåì ñêîðîñòü ïóëè a TD v1 = 0 . 2pml
(3)
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èçâåñòíî, ÷òî ïåðèîä êîëåáàíèé êðóòèëüíîãî ìàÿòíèêà Ò ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå T =2p I D , ñëåäîâàòåëüíî, ìîìåíò èíåðöèè I=T 2 D/4p 2 . Îêîí÷àòåëüíàÿ ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñêîðîñòè ïóëè áóäåò (4) v 1 =a 0 TD/2 pml. Óïðàæíåíèå 1 Îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ êðó÷åíèÿ Ìîäóëü êðó÷åíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñòàòè÷åñêèì ìåòîäîì (ñì. ðèñ. 1). Èçìåðÿþò ëèíåéêîé ðàññòîÿíèå b îò çåðêàëüöà (7) äî øêàëû (8). Ïåòåëüêó íà êîíöå íèòè íàäåâàþò íà âèíò, ââåðíóòûé â æåëîáîê áàðàáàíà (9). Îáîðà÷èâàþò íèòü âîêðóã áàðàáàíà ïî æåëîáêó è ïåðåêèäûâàþò åå ÷åðåç áëîê (10). Ïëàòôîðìà (11), ïðèâÿçàííàÿ ê äðóãîìó êîíöó íèòè, äîëæíà âèñåòü íàä ñòîëîì. Íà ïëàòôîðìó ïîìåùàþò ãðóç ìàññû m.  ðåçóëüòàòå ýòîãî ìàÿòíèê ïîâîðà÷èâàåòñÿ. Íàõîäÿò âåëè÷èíó îòêëîíåíèÿ n ñâåòîâîãî ëó÷à íà øêàëå (8) îò íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ. Ïîäîáíûå èçìåðåíèÿ ïðîâîäÿò, ïîìåùàÿ íà ïëàòôîðìó ïîñëåäîâàòåëüíî ïÿòü ãðóçîâ. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé çàíîñÿò â òàáë. 1. Òàáëèöà 1 ¹ ï/ï 1 . . . 5
m, êã
n, ì
D, Í×ì
Ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîäóëÿ êðó÷åíèÿ. Ïðè íåïîäâèæíîì ìàÿòíèêå ìîìåíò ñèë Ì, äåéñòâóþùèõ íà ìàÿòíèê ñî ñòîðîíû ïðîâîëîêè ïîäâåñà, óðàâíîâåøèâàåòñÿ ìîìåíòîì ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòè, ïåðåêèíóòîé ÷åðåç áëîê. Ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè ðàâíà ñèëå òÿæåñòè mg ãðóçà íà ïëàòôîðìå. Ïëå÷î ýòîé ñèëû ðàâíî ðàäèóñó áàðàáàíà (9). Ñëåäîâàòåëüíî, 74
mgbd . n
Òàêèì îáðàçîì, ïðîâåäÿ âñå íåîáõîäèìûå èçìåðåíèÿ, îïðåäåëÿþò ìîäóëü êðó÷åíèÿ D. Îöåíèâ ïîãðåøíîñòè, çàïèñûâàþò ðåçóëüòàò â âèäå D = (D ± DD), [Í×ì], DD/D = ...%.
Óïðàæíåíèå 2 Îïðåäåëåíèå ñêîðîñòè ïóëè Ñíèìàþò íèòü ñ áàðàáàíà è óáèðàþò áëîê (ñì. ðèñ. 1). Èçìåðÿþò ëèíåéêîé ðàññòîÿíèå l îò îñè ìàÿòíèêà äî ñåðåäèíû ÷àøå÷êè ñ ïëàñòèëèíîì. Ðàçäâèãàþò öèëèíäðû (4) íà ñòåðæíå (3) äî äàëüíèõ ìåòîê. Óñòàíàâëèâàþò ïóøêó (6) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû åå ñòâîë áûë ïåðïåíäèêóëÿðåí ñòåðæíþ (3) è íàïðàâëåí íà ñåðåäèíó ÷àøå÷êè ñ ïëàñòèëèíîì. Çàðÿæàþò ïóøêó è ïðîèçâîäÿò âûñòðåë. Èçìåðÿþò ìàêñèìàëüíîå îòêëîíåíèå n0 ñâåòîâîãî ëó÷à ïî øêàëå îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ïðè ïîìîùè ñåêóíäîìåðà îïðåäåëÿþò âðåìÿ t äâàäöàòè ïîëíûõ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà. Ìàññó ïóëè m îïðåäåëÿþò âçâåøèâàíèåì. Âûñòðåë ïðîèçâåñòè ïÿòü ðàç. Çàòåì ñäâèãàþò öèëèíäðû íà ñòåðæíå äî áëèæíèõ ìåòîê è ñíîâà ïðîäåëûâàþò âñå èçìåðåíèÿ. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé ìîãóò áûòü ñâåäåíû â òàáë. 2. Òàáëèöà 2 l= ,m=
n0 , ì Öèëèíäðû íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè 41
t, ñ
v, ì/c
1 . . . 5 Öèëèíäðû íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè 42 1 . . . 5
75
Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿ ýòîãî óïðàæíåíèÿ, ôîðìóëó äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè ïóëè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå v=
n0tD n0tD = . 2b 20ml 2p 4 p20bml
Îöåíèâàþò àáñîëþòíóþ è îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòè â îïðåäåëåíèè ñêîðîñòè è çàïèñûâàþò îòâåò ñ èõ ó÷åòîì. Âòîðîé âàðèàíò ýêñïåðèìåíòàëüíîé óñòàíîâêè Îïèñàíèå óñòàíîâêè Óñòàíîâêà ñîñòîèò èç êðóòèëüíîãî ìàÿòíèêà, ñòðåëÿþùåãî óñòðîéñòâà (ïèñòîëåòà) è ýëåêòðîííîãî áëîêà, âêëþ÷àþùåãî â ñåáÿ óíèâåðñàëüíûé ìèëëèñåêóíäîìåð è ôîòîýëåêòðè÷åñêèé äàò÷èê äëÿ ðåãèñòðàöèè âðåìåíè è ÷èñëà ïîëíûõ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà. Îáùèé âèä áàëëèñòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ïîêàçàí íà ðèñ. 2.
Ðèñ. 2
Ìàÿòíèê ñîáðàí èç ìàññèâíîãî âåðòèêàëüíîãî ñòåðæíÿ (1), íà êîòîðîì íàõîäÿòñÿ òðè êðîíøòåéíà: âåðõíèé (2), íèæíèé (3) è ñðåäíèé (4). Ê ñðåäíåìó êðîíøòåéíó ïðèêðåïëåíî ñòðåëÿþùåå óñòðîéñòâî (5), ïðîçðà÷íûé ýêðàí ñ íàíåñåííîé íà íåãî óãëîâîé øêàëîé (6), ïî êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ óãîë ïîâîðîòà ìàÿòíèêà, è ôîòîýëåêòðè÷åñêèé äàò÷èê (7). Ïèñòîëåò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàêðåïëåííóþ íà óñòàíîâêå òðóáêó-ñòâîë, âíóòðè êîòî76
ðîé íàõîäèòñÿ óïðóãàÿ ïðóæèíà ñ íàïðàâëÿþùèì ñòåðæíåì. Ïðóæèíà ñæèìàåòñÿ, ïóëÿ, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé êîðîòêèé ïîëûé ìåòàëëè÷åñêèé öèëèíäðèê, íàäåâàåòñÿ íà íàïðàâëÿþùèé ñòåðæåíü è îïóñêàåòñÿ â ñòâîë. Ïîñëå îñâîáîæäåíèÿ ïðóæèíû ïóëÿ âûáðàñûâàåòñÿ. Êðîíøòåéíû (2) è (3) èìåþò çàæèìû, ñëóæàùèå äëÿ êðåïëåíèÿ ñòàëüíîé ïðîâîëîêè (8), äåôîðìàöèÿ êîòîðîé ñîçäàåò ìîìåíò óïðóãèõ ñèë. Íà ïðîâîëîêå ïîäâåøåí ìàÿòíèê, ñîñòîÿùèé èç äâóõ ïîëûõ ÷àøå÷åê (9), íàïîëíåííûõ ïëàñòèëèíîì, äâóõ ïåðåìåùàåìûõ ãðóçîâ (10), äâóõ ñòåðæíåé (11) è ïîâîäêà (12). Âêëþ÷åíèå ýëåêòðîííîãî áëîêà îñóùåñòâëÿåòñÿ íàæàòèåì íà êëàâèøó «ÑÅÒÜ». Ïðè íàæàòèè íà êëàâèøó «ÑÁÐÎÑ» ïðîèñõîäèò îáíóëåíèå îáîèõ òàáëî ýëåêòðîííîãî áëîêà. Ïðè ïåðâîì æå ïåðåñå÷åíèè ìàÿòíèêîì ñâåòîâîãî ïó÷êà ôîòîýëåêòðè÷åñêîé ñèñòåìû ïðîèñõîäèò çàïóñê ýëåêòðîííîãî ñåêóíäîìåðà è ñèñòåìû ñ÷åòà ÷èñëà ïîëíûõ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà. Ïðè íàæàòèè íà êëàâèøó «ÑÒÎÏ» ïðîèñõîäèò âûêëþ÷åíèå ñåêóíäîìåðà è ñèñòåìû ñ÷åòà ÷èñëà ïåðèîäîâ ïîñëå çàâåðøåíèÿ î÷åðåäíîãî êîëåáàíèÿ. Ïðè ýòîì íà òàáëî ýëåêòðîííîãî áëîêà âûñâå÷èâàåòñÿ ÷èñëî ïîëíûõ êîëåáàíèé N è ñîîòâåòñòâóþùåå èì çíà÷åíèå âðåìåíè t. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Âûâåäåì ôîðìóëó äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè ïóëè. Ïîñëå ïîïàäàíèÿ ïóëè â ìàÿòíèê îí íà÷èíàåò âðàùàòüñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè. Åñëè ïðåíåáðå÷ü ïðè åãî äâèæåíèè ìîìåíòîì ñèë òðåíèÿ, òî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ äâóìÿ çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ: çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà è çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè. Íà îñíîâàíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà, ñ÷èòàÿ óäàð ïîëíîñòüþ íåóïðóãèì, à ïóëþ ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé, ìîæíî íàïèñàòü, ÷òî âåëè÷èíà ìîìåíòà èìïóëüñà ñèñòåìû «ïóëÿ ìàÿòíèê» äî óäàðà ðàâíà ñóììàðíîìó ìîìåíòó èìïóëüñà ñèñòåìû ïîñëå óäàðà: m v r = ( I1 + mr 2 ) w, (1) ãäå ò ìàññà ïóëè; v âåëè÷èíà åå ñêîðîñòè; r ðàäèóñ-âåêòîð ìåñòà ïîïàäàíèÿ ïóëè ïåðåä óäàðîì; I1 ìîìåíò èíåðöèè ìàÿòíèêà; w óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ìàÿòíèêà ñ ïóëåé ñðàçó ïîñëå óäàðà. Ïîñëå óäàðà ìàÿòíèê ïîâîðà÷èâàåòñÿ íà íåêîòîðûé óãîë a. Íà îñíîâàíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ïîëó÷à77
Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿ ýòîãî óïðàæíåíèÿ, ôîðìóëó äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè ïóëè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå v=
n0tD n0tD = . 2b 20ml 2p 4 p20bml
Îöåíèâàþò àáñîëþòíóþ è îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòè â îïðåäåëåíèè ñêîðîñòè è çàïèñûâàþò îòâåò ñ èõ ó÷åòîì. Âòîðîé âàðèàíò ýêñïåðèìåíòàëüíîé óñòàíîâêè Îïèñàíèå óñòàíîâêè Óñòàíîâêà ñîñòîèò èç êðóòèëüíîãî ìàÿòíèêà, ñòðåëÿþùåãî óñòðîéñòâà (ïèñòîëåòà) è ýëåêòðîííîãî áëîêà, âêëþ÷àþùåãî â ñåáÿ óíèâåðñàëüíûé ìèëëèñåêóíäîìåð è ôîòîýëåêòðè÷åñêèé äàò÷èê äëÿ ðåãèñòðàöèè âðåìåíè è ÷èñëà ïîëíûõ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà. Îáùèé âèä áàëëèñòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ïîêàçàí íà ðèñ. 2.
Ðèñ. 2
Ìàÿòíèê ñîáðàí èç ìàññèâíîãî âåðòèêàëüíîãî ñòåðæíÿ (1), íà êîòîðîì íàõîäÿòñÿ òðè êðîíøòåéíà: âåðõíèé (2), íèæíèé (3) è ñðåäíèé (4). Ê ñðåäíåìó êðîíøòåéíó ïðèêðåïëåíî ñòðåëÿþùåå óñòðîéñòâî (5), ïðîçðà÷íûé ýêðàí ñ íàíåñåííîé íà íåãî óãëîâîé øêàëîé (6), ïî êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ óãîë ïîâîðîòà ìàÿòíèêà, è ôîòîýëåêòðè÷åñêèé äàò÷èê (7). Ïèñòîëåò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàêðåïëåííóþ íà óñòàíîâêå òðóáêó-ñòâîë, âíóòðè êîòî76
ðîé íàõîäèòñÿ óïðóãàÿ ïðóæèíà ñ íàïðàâëÿþùèì ñòåðæíåì. Ïðóæèíà ñæèìàåòñÿ, ïóëÿ, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé êîðîòêèé ïîëûé ìåòàëëè÷åñêèé öèëèíäðèê, íàäåâàåòñÿ íà íàïðàâëÿþùèé ñòåðæåíü è îïóñêàåòñÿ â ñòâîë. Ïîñëå îñâîáîæäåíèÿ ïðóæèíû ïóëÿ âûáðàñûâàåòñÿ. Êðîíøòåéíû (2) è (3) èìåþò çàæèìû, ñëóæàùèå äëÿ êðåïëåíèÿ ñòàëüíîé ïðîâîëîêè (8), äåôîðìàöèÿ êîòîðîé ñîçäàåò ìîìåíò óïðóãèõ ñèë. Íà ïðîâîëîêå ïîäâåøåí ìàÿòíèê, ñîñòîÿùèé èç äâóõ ïîëûõ ÷àøå÷åê (9), íàïîëíåííûõ ïëàñòèëèíîì, äâóõ ïåðåìåùàåìûõ ãðóçîâ (10), äâóõ ñòåðæíåé (11) è ïîâîäêà (12). Âêëþ÷åíèå ýëåêòðîííîãî áëîêà îñóùåñòâëÿåòñÿ íàæàòèåì íà êëàâèøó «ÑÅÒÜ». Ïðè íàæàòèè íà êëàâèøó «ÑÁÐÎÑ» ïðîèñõîäèò îáíóëåíèå îáîèõ òàáëî ýëåêòðîííîãî áëîêà. Ïðè ïåðâîì æå ïåðåñå÷åíèè ìàÿòíèêîì ñâåòîâîãî ïó÷êà ôîòîýëåêòðè÷åñêîé ñèñòåìû ïðîèñõîäèò çàïóñê ýëåêòðîííîãî ñåêóíäîìåðà è ñèñòåìû ñ÷åòà ÷èñëà ïîëíûõ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà. Ïðè íàæàòèè íà êëàâèøó «ÑÒÎÏ» ïðîèñõîäèò âûêëþ÷åíèå ñåêóíäîìåðà è ñèñòåìû ñ÷åòà ÷èñëà ïåðèîäîâ ïîñëå çàâåðøåíèÿ î÷åðåäíîãî êîëåáàíèÿ. Ïðè ýòîì íà òàáëî ýëåêòðîííîãî áëîêà âûñâå÷èâàåòñÿ ÷èñëî ïîëíûõ êîëåáàíèé N è ñîîòâåòñòâóþùåå èì çíà÷åíèå âðåìåíè t. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Âûâåäåì ôîðìóëó äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè ïóëè. Ïîñëå ïîïàäàíèÿ ïóëè â ìàÿòíèê îí íà÷èíàåò âðàùàòüñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè. Åñëè ïðåíåáðå÷ü ïðè åãî äâèæåíèè ìîìåíòîì ñèë òðåíèÿ, òî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ äâóìÿ çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ: çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà è çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè. Íà îñíîâàíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà, ñ÷èòàÿ óäàð ïîëíîñòüþ íåóïðóãèì, à ïóëþ ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé, ìîæíî íàïèñàòü, ÷òî âåëè÷èíà ìîìåíòà èìïóëüñà ñèñòåìû «ïóëÿ ìàÿòíèê» äî óäàðà ðàâíà ñóììàðíîìó ìîìåíòó èìïóëüñà ñèñòåìû ïîñëå óäàðà: m v r = ( I1 + mr 2 ) w, (1) ãäå ò ìàññà ïóëè; v âåëè÷èíà åå ñêîðîñòè; r ðàäèóñ-âåêòîð ìåñòà ïîïàäàíèÿ ïóëè ïåðåä óäàðîì; I1 ìîìåíò èíåðöèè ìàÿòíèêà; w óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ìàÿòíèêà ñ ïóëåé ñðàçó ïîñëå óäàðà. Ïîñëå óäàðà ìàÿòíèê ïîâîðà÷èâàåòñÿ íà íåêîòîðûé óãîë a. Íà îñíîâàíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ïîëó÷à77
åì, ÷òî âñÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïåðåõîäèò â ïîòåíöèàëüíóþ, ò.å. 1/2(I 1 + mr 2 )w2 = 1/2Da 02 , (2) ãäå a0 íàèáîëüøèé óãîë ïîâîðîòà ìàÿòíèêà; D ìîäóëü êðó÷åíèÿ. Èç óðàâíåíèé (1) è (2) ïîëó÷àåì v2 =
D a02
m 2r 2
(3)
(I 1 + mr 2 ).
Òàê êàê ìîìåíò èíåðöèè ïóëè mr 2 âî ìíîãî ðàç ìåíüøå ìîìåíòà èíåðöèè ìàÿòíèêà I1, ò.å. mr 2 R 2. Èçìåðåíèå ñêîðîñòè ñíàðÿäà ïðîâîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: 1. Ìàêñèìàëüíî ïðèáëèçèòü ãðóçû äðóã ê äðóãó (R2 min). 2. Óñòàíîâèòü ìàÿòíèê â òàêîì ïîëîæåíèè, ÷òîáû ÷åðòà íà øêàëå ïîêàçûâàëà óãîë a = 0. 3. Âûñòðåëèòü ñíàðÿä èç ñòðåëÿþùåãî óñòðîéñòâà. 4. Èçìåðèòü ìàêñèìàëüíûé óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà a0. 5. Âêëþ÷èòü è îáíóëèòü ñ÷åò÷èê âðåìåíè. 6. Îòêëîíèòü ìàÿòíèê íà óãîë a0 è ïóñòèòü åãî. 7. Èçìåðèòü âðåìÿ äëÿ äåñÿòè êîëåáàíèé è âû÷èñëèòü Ò2. 8. Ìàêñèìàëüíî îòäàëèòü äðóã îò äðóãà ãðóçû (R1 max) è ïîâòîðèòü äåéñòâèÿ ñîãëàñíî ïóíêòàì ñî 2 ïî 6. 9. Èçìåðèòü âðåìÿ äëÿ äåñÿòè êîëåáàíèé è âû÷èñëèòü Ò1. 10. Ñêîðîñòü ñíàðÿäà vi , âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå (10).
åì, ÷òî âñÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïåðåõîäèò â ïîòåíöèàëüíóþ, ò.å. 1/2(I 1 + mr 2 )w2 = 1/2Da 02 , (2) ãäå a0 íàèáîëüøèé óãîë ïîâîðîòà ìàÿòíèêà; D ìîäóëü êðó÷åíèÿ. Èç óðàâíåíèé (1) è (2) ïîëó÷àåì v2 =
D a02
m 2r 2
(3)
(I 1 + mr 2 ).
Òàê êàê ìîìåíò èíåðöèè ïóëè mr 2 âî ìíîãî ðàç ìåíüøå ìîìåíòà èíåðöèè ìàÿòíèêà I1, ò.å. mr 2 R 2. Èçìåðåíèå ñêîðîñòè ñíàðÿäà ïðîâîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: 1. Ìàêñèìàëüíî ïðèáëèçèòü ãðóçû äðóã ê äðóãó (R2 min). 2. Óñòàíîâèòü ìàÿòíèê â òàêîì ïîëîæåíèè, ÷òîáû ÷åðòà íà øêàëå ïîêàçûâàëà óãîë a = 0. 3. Âûñòðåëèòü ñíàðÿä èç ñòðåëÿþùåãî óñòðîéñòâà. 4. Èçìåðèòü ìàêñèìàëüíûé óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà a0. 5. Âêëþ÷èòü è îáíóëèòü ñ÷åò÷èê âðåìåíè. 6. Îòêëîíèòü ìàÿòíèê íà óãîë a0 è ïóñòèòü åãî. 7. Èçìåðèòü âðåìÿ äëÿ äåñÿòè êîëåáàíèé è âû÷èñëèòü Ò2. 8. Ìàêñèìàëüíî îòäàëèòü äðóã îò äðóãà ãðóçû (R1 max) è ïîâòîðèòü äåéñòâèÿ ñîãëàñíî ïóíêòàì ñî 2 ïî 6. 9. Èçìåðèòü âðåìÿ äëÿ äåñÿòè êîëåáàíèé è âû÷èñëèòü Ò1. 10. Ñêîðîñòü ñíàðÿäà vi , âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå (10). 79
Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè ïóëè ñëåäóåò âû÷èñëèòü ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèé è çàïèñàòü ðåçóëüòàò ñ ó÷åòîì ïîãðåøíîñòè. Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 1. Ìåõàíèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 3. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ. § 3.11. Ñîóäàðåíèå äâóõ òåë. § 3.12. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà. Ãëàâà 5. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. § 5.4. Ìîìåíò èíåðöèè. § 5.6. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âðàùàþùåãîñÿ òâåðäîãî òåëà. Ãëàâà 8. Êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå. § 8.5. Ìàÿòíèê.
Çàäà÷à ¹ 9 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÌÎÌÅÍÒÀ ÈÍÅÐÖÈÈ ÌÀßÒÍÈÊÀ ÌÀÊÑÂÅËËÀ
Öåëü çàäà÷è: ýêñïåðèìåíòàëüíîå îçíàêîìëåíèå ñ äâèæåíèåì òâåðäîãî òåëà íà ïðèìåðå ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà Ìàêñâåëëà è îïðåäåëåíèå åãî ìîìåíòà èíåðöèè. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Äâèæåíèå ìàÿòíèêà Ìàêñâåëëà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðèìåð ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà, êîòîðîå ìîæåò áûòü ñâåäåíî ê ïîñòóïàòåëüíîìó äâèæåíèþ òåëà âìåñòå ñ êàêîé-ëèáî òî÷êîé è âðàùåíèþ âñåãî òåëà îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîâåäåííîé ÷åðåç ýòó òî÷êó. Òàêîé òèï äâèæåíèÿ äîâîëüíî øèðîêî ðàñïðîñòðàíåí â ïðèðîäå è òåõíèêå: êîëåñî äâèæóùåãîñÿ àâòîìîáèëÿ, êàòîê äîðîæíîé ìàøèíû è ò.ä. Ìàÿòíèê Ìàêñâåëëà ýòî íåáîëüøîé äèñê (ìàõîâèê), ïëîòíî íàñàæåííûé íà îñü. Ìàÿòíèê ìîæåò îïóñêàòüñÿ (ïîä äåéñòâèåì Ðèñ. 1 ñèëû òÿæåñòè) íà äâóõ íèòÿõ, ïðåäâàðèòåëüíî íàìîòàííûõ íà îñü ìàõîâèêà (ðèñ. 1). Íèòè âî âðåìÿ äâèæåíèÿ âíèç ðàçìàòûâàþòñÿ äî ïîëíîé äëèíû, ðàñêðóòèâøèéñÿ ìàõîâèê ïðîäîëæàåò âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå â òîì æå íàïðàâëåíèè è íàìàòûâàåò íèòè íà îñü, âñëåäñòâèå ÷åãî îí ïîäíèìàåòñÿ ââåðõ, çàìåäëÿÿ ïðè ýòîì ñâîå äâèæåíèå. Äîéäÿ äî âåðõíåé òî÷êè, äèñê îïÿòü áóäåò îïóñêàòüñÿ âíèç è ò.ä. Äèñê áóäåò ñîâåðøàòü ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùååñÿ äâèæåíèå, ïîýòîìó îí ïîëó÷èë íàçâàíèå ìàÿòíèêà. Òàêèì îáðàçîì, äâèæåíèå ìàÿòíèêà Ìàêñâåëëà ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå ñòàäèè: îïóñêàíèå è ïîäúåì. Ñîãëàñíî îñíîâíûì çàêîíàì äèíàìèêè ïîñòóïàòåëüíîãî è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèé, ïðåíåáðåãàÿ ñèëàìè òðåíèÿ è îòêëîíåíèåì íèòåé îò âåðòèêàëè, çàïèøåì (â ïðîåêöèÿõ íà ñîîòâåòñòâóþùèå îñè): ma = mg2 Ò, (1) Ib = 2rT ,
(2)
a = b r,
(3)
81
Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè ïóëè ñëåäóåò âû÷èñëèòü ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèé è çàïèñàòü ðåçóëüòàò ñ ó÷åòîì ïîãðåøíîñòè. Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 1. Ìåõàíèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 3. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ. § 3.11. Ñîóäàðåíèå äâóõ òåë. § 3.12. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà. Ãëàâà 5. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. § 5.4. Ìîìåíò èíåðöèè. § 5.6. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âðàùàþùåãîñÿ òâåðäîãî òåëà. Ãëàâà 8. Êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå. § 8.5. Ìàÿòíèê.
Çàäà÷à ¹ 9 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÌÎÌÅÍÒÀ ÈÍÅÐÖÈÈ ÌÀßÒÍÈÊÀ ÌÀÊÑÂÅËËÀ
Öåëü çàäà÷è: ýêñïåðèìåíòàëüíîå îçíàêîìëåíèå ñ äâèæåíèåì òâåðäîãî òåëà íà ïðèìåðå ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà Ìàêñâåëëà è îïðåäåëåíèå åãî ìîìåíòà èíåðöèè. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Äâèæåíèå ìàÿòíèêà Ìàêñâåëëà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðèìåð ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà, êîòîðîå ìîæåò áûòü ñâåäåíî ê ïîñòóïàòåëüíîìó äâèæåíèþ òåëà âìåñòå ñ êàêîé-ëèáî òî÷êîé è âðàùåíèþ âñåãî òåëà îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîâåäåííîé ÷åðåç ýòó òî÷êó. Òàêîé òèï äâèæåíèÿ äîâîëüíî øèðîêî ðàñïðîñòðàíåí â ïðèðîäå è òåõíèêå: êîëåñî äâèæóùåãîñÿ àâòîìîáèëÿ, êàòîê äîðîæíîé ìàøèíû è ò.ä. Ìàÿòíèê Ìàêñâåëëà ýòî íåáîëüøîé äèñê (ìàõîâèê), ïëîòíî íàñàæåííûé íà îñü. Ìàÿòíèê ìîæåò îïóñêàòüñÿ (ïîä äåéñòâèåì Ðèñ. 1 ñèëû òÿæåñòè) íà äâóõ íèòÿõ, ïðåäâàðèòåëüíî íàìîòàííûõ íà îñü ìàõîâèêà (ðèñ. 1). Íèòè âî âðåìÿ äâèæåíèÿ âíèç ðàçìàòûâàþòñÿ äî ïîëíîé äëèíû, ðàñêðóòèâøèéñÿ ìàõîâèê ïðîäîëæàåò âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå â òîì æå íàïðàâëåíèè è íàìàòûâàåò íèòè íà îñü, âñëåäñòâèå ÷åãî îí ïîäíèìàåòñÿ ââåðõ, çàìåäëÿÿ ïðè ýòîì ñâîå äâèæåíèå. Äîéäÿ äî âåðõíåé òî÷êè, äèñê îïÿòü áóäåò îïóñêàòüñÿ âíèç è ò.ä. Äèñê áóäåò ñîâåðøàòü ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùååñÿ äâèæåíèå, ïîýòîìó îí ïîëó÷èë íàçâàíèå ìàÿòíèêà. Òàêèì îáðàçîì, äâèæåíèå ìàÿòíèêà Ìàêñâåëëà ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå ñòàäèè: îïóñêàíèå è ïîäúåì. Ñîãëàñíî îñíîâíûì çàêîíàì äèíàìèêè ïîñòóïàòåëüíîãî è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèé, ïðåíåáðåãàÿ ñèëàìè òðåíèÿ è îòêëîíåíèåì íèòåé îò âåðòèêàëè, çàïèøåì (â ïðîåêöèÿõ íà ñîîòâåòñòâóþùèå îñè): ma = mg2 Ò, (1) Ib = 2rT ,
(2)
a = b r,
(3)
81
ãäå m ìàññà ìàÿòíèêà; I ìîìåíò èíåðöèè ìàÿòíèêà îòíîñèòåëüíî îñè; r ðàäèóñ ìàÿòíèêà; Ò ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè (îäíîé); g óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè; à óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ ìàÿòíèêà; b óãëîâîå óñêîðåíèå. Ýòè óðàâíåíèÿ ïðèìåíèìû êàê ê ïåðâîé, òàê è êî âòîðîé ñòàäèè äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ íèõ â ðàçíûõ ñòàäèÿõ ðàçëè÷íû. Ïðè îïóñêàíèè ìàÿòíèêà íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü åãî öåíòðà ìàññ ðàâíà íóëþ, ïðè åãî ïîäúåìå îíà îòëè÷íà îò íóëÿ. Èç óðàâíåíèé (1), (2), (3) ñëåäóåò: m ( g - a)r 2 , a
(4)
2T = m( g - a),
(5)
I =
a=
2h t2
,
(6)
ãäå t âðåìÿ äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà îò ìîìåíòà îñâîáîæäåíèÿ äî ìîìåíòà ïðîõîæäåíèÿ èì íèæíåé òî÷êè; h ðàññòîÿíèå, ïðîõîäèìîå ìàÿòíèêîì çà ýòî âðåìÿ. Ïðè a w1 (ðèñ. 3á) ýòè âåëè÷èíû ñâÿçàíû ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì: a = a 0 g.
è ñäâèãîì ôàç tgj = -
pb w - p
.
(24)
Îïèñàíèå óñòàíîâêè  íàñòîÿùåé ðàáîòå äëÿ ïîëó÷åíèÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé èñïîëüçóåòñÿ áîëüøîé ôèçè÷åñêèé ìàÿòíèê (ðèñ. 2). Îí ñîñòîèò èç ñòåðæíÿ ÀÂ, óêðåïëåííîãî íà ñòàëüíîé ïðèçìå, è äâóõ ìàññèâíûõ ÷å÷åâèö Ñ, çàêðåïëÿåìûõ íà íåì. Îïèðàÿñü ïðèçìîé â òî÷êå O íà ïîäñòàâêó, ìàÿòíèê ìîæåò ñîâåðøàòü êîëåáàíèÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Ïåðåìåùåíèå ÷å÷åâèö ïî ñòåðæíþ ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü ðàçëè÷íûå ïåðèîäû êîëåáàíèé. Óãîë g îòêëîíåíèÿ ïðîäîëüíîé îñè ñòåðæíÿ îò âåðòèêàëè îïðåäåëÿåòñÿ ïî øêàëå Ì. Øàðèê Ð íà ñòàëüíîé ñïèöå (ìàëûé ìàÿòíèê) ïîäâåøåí â òî÷êå Å íà ðàññòîÿíèè d îò îñè âðàùåíèÿ áîëüøîãî ìàÿòíèêà. Ïðè êîëåáàíèÿõ ïîñëåäíåãî ìàëûé ìàÿòíèê ñ äâèæóùåéñÿ òî÷êîé ïîäâåñà ñîâåðøàåò âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ. Åñëè óãîë îòêëîíåíèÿ áîëüøîãî ìàÿòíèêà íåçíà÷èòåëåí, òî òî÷êó ïîäâåñà ìîæíî ñ÷èòàòü äâèæóùåéñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé ñ àìïëèòóäîé b = gd, ïîëàãàÿ ïðè ýòîì, ÷òî äâèæåíèÿ ìàëîãî ìàÿòíèêà îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì (21). Ó÷åò âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ òî÷êè ïîäâåñà ìàëîãî ìàÿòíèêà (òî÷êà Å) ïðèâîäèò ê óñëîæíåíèþ óðàâíåíèÿ (21) è íåçíà÷èòåëüíîìó ñäâèãó ôàç, ÷òî â äàííîé çàäà÷å íå ó÷èòûâàåòñÿ. 136
Ðèñ. 2
Ðèñ. 3
137
Òàê êàê óãîë îòêëîíåíèÿ áîëüøîãî ìàÿòíèêà íåâåëèê (g~5°), òî â äàëüíåéøåì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ðàéîíå ðåçîíàíñà a~a0, è àìïëèòóäó âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ìàëîãî ìàÿòíèêà a0 áóäåì èçìåðÿòü ïî øêàëå N. Íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå áîëüøîãî ìàÿòíèêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïðè âñåõ ÷àñòîòàõ åãî êîëåáàíèé äîëæíî áûòü ñòðîãî ïîñòîÿííûì. Âî èçáåæàíèå ïîð÷è ëåçâèÿ ïðèçìû îñâîáîæäåíèå è çàêðåïëåíèå ÷å÷åâèö íà ñòåðæíå ñëåäóåò ïðîèçâîäèòü òîëüêî òîãäà, êîãäà ìàÿòíèê ïîâåðíóò íà 90° âîêðóã ñâîåé ïðîäîëüíîé îñè è ïëîñêîñòè åãî ïðèçìû îïèðàþòñÿ íà ïîäñòàâêó. Êàæäûé ðàç, âîçâðàùàÿ ìàÿòíèê â ðàáî÷åå ïîëîæåíèå, íåîáõîäèìî óáåäèòüñÿ, ÷òî îí óñòàíîâëåí â íóæíîé ïëîñêîñòè, à ëåçâèå ïðèçìû çàíÿëî ïðàâèëüíîå (íèçøåå) ïîëîæåíèå íà îïîðíîé ïëîùàäêå. ×å÷åâèöû ëó÷øå ïåðåìåùàòü îòäåëüíî äðóã îò äðóãà. Çàêðåïëÿåòñÿ íèæíÿÿ, ïîòîì âåðõíÿÿ îïóñêàåòñÿ íà íåå. Óïðàæíåíèå 1 Ïîëó÷åíèå àìïëèòóäíîé õàðàêòåðèñòèêè a0 = f1(p) Ïðåäâàðèòåëüíî íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó w1 è êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ìàëîãî ìàÿòíèêà, à òàêæå èçìåðèòü âðåìÿ t0, çà êîòîðîå îíè ïîëíîñòüþ çàòóõíóò. Äëÿ ýòîãî ïðè ïîêîÿùåìñÿ áîëüøîì ìàÿòíèêå îòêëîíÿþò ìàëûé íà óãîë 1015°. Ìàÿòíèê îòïóñêàþò, âêëþ÷àÿ îäíîâðåìåííî ñåêóíäîìåð. Ñåêóíäîìåð îñòàíàâëèâàþò, êîãäà îñòàíàâëèâàåòñÿ ìàÿòíèê. Èçìåðåíèå âðåìåíè t ïðîèçâîäÿò íå ìåíåå òðåõ ðàç. Âû÷èñëÿþò ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå çíà÷åíèå (t0)cp, êîòîðûì ïîëüçóþòñÿ â äàëüíåéøåì:
t0 ñð
=
¢ tñð ¢ t1¢ + t2¢ + ... + t10 = ...; T1 = = .... 10 3
Äàëåå âû÷èñëÿþò ñðåäíåå çíà÷åíèå öèêëè÷åñêîé ÷àñòîòû w1 ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ìàëîãî ìàÿòíèêà: 138
2p = .... T1
(25)
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ b ìàëîãî ìàÿòíè¢ = t öåëîãî ÷èñëà êà ìîæíî èñïîëüçîâàòü íàéäåííîå âðåìÿ tñð n1 = 3 åãî ïîëíûõ ïåðèîäîâ, çà êîòîðîå àìïëèòóäà êîëåáàíèé óìåíüøèòñÿ îò a1 äî at. Âåëè÷èíû a1 è at îòñ÷èòûâàþòñÿ ïî øêàëå N. Êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b âû÷èñëÿþò ïî ôîðìóëå b=
1 a1 1 a ln = × 2, 30 log 1 = .... t a2 t a2
(26)
Èçìåðåíèÿ âåëè÷èí a1 è at ïðîèçâîäÿò íå ìåíåå òðåõ ðàç. Ïî íèì âû÷èñëÿþò çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ. Îêîí÷àòåëüíî ñðåäíåå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ áóäåò bñð =
b1 + b2 + b3 = .... 3
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðåíèé a0 è p ñëåäóþùàÿ. Óêðåïëÿþò íèæíþþ ÷å÷åâèöó â ñàìîé íèæíåé òî÷êå ñòåðæíÿ. Ïîòîì âåðõíþþ îïóñêàþò íà íèæíþþ. Ïðîâåðÿþò ïðàâèëüíîñòü ïîëîæåíèÿ ïðèçìû áîëüøîãî ìàÿòíèêà íà ïîäñòàâêå. Óñòðàíÿþò êîëåáàíèÿ ìàëîãî ìàÿòíèêà. Áîëüøîé ìàÿòíèê îòêëîíÿþò íà 5° è, îòïóñêàÿ åãî, âêëþ÷àþò ñåêóíäîìåð. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïåðèîäà Ò êîëåáàíèé áîëüøîãî ìàÿòíèêà îòñ÷èòûâàþ öåëîå ÷èñëî (n = 20) ïîëíûõ ïåðèîäîâ çà âðåìÿ t > (t0)cp è âûêëþ÷àþò ñåêóíäîìåð. Çà ýòî âðåìÿ çàòóõíóò ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ ìàëîãî ìàÿòíèêà, à àìïëèòóäà êîëåáàíèé áîëüøîãî ïðàêòè÷åñêè íå èçìåíÿåòñÿ. Ïî øêàëå N èçìåðÿþò àìïëèòóäó óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé a0 ìàëîãî ìàÿòíèêà. Âñå èçìåðåíèÿ ñëåäóåò ïðîäåëàòü íå ìåíåå ïÿòè ðàç è çàíåñòè â òàáëèöó.
t01 + t02 + t03 = .... 3
Îïðåäåëÿþò ïåðèîä Ò1 ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ìàëîãî ìàÿòíèêà. Ïåðèîä îïðåäåëÿåòñÿ èç òðåõ ïîëíûõ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà. Âðåìÿ t ¢, çàòðà÷åííîå íà ýòè êîëåáàíèÿ, èçìåðÿåòñÿ ñåêóíäîìåðîì íå ìåíåå äåñÿòè ðàç: ¢ = tñð
w1 =
tcp, ñ 1
Òñð=tcp/N, ñ
ðñð= p/Òñð, ñ-1
(a0)ñð, ãðàä
t a0 t a0
3
t a0
Âû÷èñëÿþò ñðåäíåå çíà÷åíèå öèêëè÷åñêîé ÷àñòîòû p = 2p/Tñð êîëåáàíèé áîëüøîãî ìàÿòíèêà (÷àñòîòû âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ 139
Òàê êàê óãîë îòêëîíåíèÿ áîëüøîãî ìàÿòíèêà íåâåëèê (g~5°), òî â äàëüíåéøåì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ðàéîíå ðåçîíàíñà a~a0, è àìïëèòóäó âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ìàëîãî ìàÿòíèêà a0 áóäåì èçìåðÿòü ïî øêàëå N. Íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå áîëüøîãî ìàÿòíèêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïðè âñåõ ÷àñòîòàõ åãî êîëåáàíèé äîëæíî áûòü ñòðîãî ïîñòîÿííûì. Âî èçáåæàíèå ïîð÷è ëåçâèÿ ïðèçìû îñâîáîæäåíèå è çàêðåïëåíèå ÷å÷åâèö íà ñòåðæíå ñëåäóåò ïðîèçâîäèòü òîëüêî òîãäà, êîãäà ìàÿòíèê ïîâåðíóò íà 90° âîêðóã ñâîåé ïðîäîëüíîé îñè è ïëîñêîñòè åãî ïðèçìû îïèðàþòñÿ íà ïîäñòàâêó. Êàæäûé ðàç, âîçâðàùàÿ ìàÿòíèê â ðàáî÷åå ïîëîæåíèå, íåîáõîäèìî óáåäèòüñÿ, ÷òî îí óñòàíîâëåí â íóæíîé ïëîñêîñòè, à ëåçâèå ïðèçìû çàíÿëî ïðàâèëüíîå (íèçøåå) ïîëîæåíèå íà îïîðíîé ïëîùàäêå. ×å÷åâèöû ëó÷øå ïåðåìåùàòü îòäåëüíî äðóã îò äðóãà. Çàêðåïëÿåòñÿ íèæíÿÿ, ïîòîì âåðõíÿÿ îïóñêàåòñÿ íà íåå. Óïðàæíåíèå 1 Ïîëó÷åíèå àìïëèòóäíîé õàðàêòåðèñòèêè a0 = f1(p) Ïðåäâàðèòåëüíî íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó w1 è êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ìàëîãî ìàÿòíèêà, à òàêæå èçìåðèòü âðåìÿ t0, çà êîòîðîå îíè ïîëíîñòüþ çàòóõíóò. Äëÿ ýòîãî ïðè ïîêîÿùåìñÿ áîëüøîì ìàÿòíèêå îòêëîíÿþò ìàëûé íà óãîë 1015°. Ìàÿòíèê îòïóñêàþò, âêëþ÷àÿ îäíîâðåìåííî ñåêóíäîìåð. Ñåêóíäîìåð îñòàíàâëèâàþò, êîãäà îñòàíàâëèâàåòñÿ ìàÿòíèê. Èçìåðåíèå âðåìåíè t ïðîèçâîäÿò íå ìåíåå òðåõ ðàç. Âû÷èñëÿþò ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå çíà÷åíèå (t0)cp, êîòîðûì ïîëüçóþòñÿ â äàëüíåéøåì:
t0 ñð
=
¢ tñð ¢ t1¢ + t2¢ + ... + t10 = ...; T1 = = .... 10 3
Äàëåå âû÷èñëÿþò ñðåäíåå çíà÷åíèå öèêëè÷åñêîé ÷àñòîòû w1 ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ìàëîãî ìàÿòíèêà: 138
2p = .... T1
(25)
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ b ìàëîãî ìàÿòíè¢ = t öåëîãî ÷èñëà êà ìîæíî èñïîëüçîâàòü íàéäåííîå âðåìÿ tñð n1 = 3 åãî ïîëíûõ ïåðèîäîâ, çà êîòîðîå àìïëèòóäà êîëåáàíèé óìåíüøèòñÿ îò a1 äî at. Âåëè÷èíû a1 è at îòñ÷èòûâàþòñÿ ïî øêàëå N. Êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b âû÷èñëÿþò ïî ôîðìóëå b=
1 a1 1 a ln = × 2, 30 log 1 = .... t a2 t a2
(26)
Èçìåðåíèÿ âåëè÷èí a1 è at ïðîèçâîäÿò íå ìåíåå òðåõ ðàç. Ïî íèì âû÷èñëÿþò çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ. Îêîí÷àòåëüíî ñðåäíåå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ áóäåò bñð =
b1 + b2 + b3 = .... 3
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðåíèé a0 è p ñëåäóþùàÿ. Óêðåïëÿþò íèæíþþ ÷å÷åâèöó â ñàìîé íèæíåé òî÷êå ñòåðæíÿ. Ïîòîì âåðõíþþ îïóñêàþò íà íèæíþþ. Ïðîâåðÿþò ïðàâèëüíîñòü ïîëîæåíèÿ ïðèçìû áîëüøîãî ìàÿòíèêà íà ïîäñòàâêå. Óñòðàíÿþò êîëåáàíèÿ ìàëîãî ìàÿòíèêà. Áîëüøîé ìàÿòíèê îòêëîíÿþò íà 5° è, îòïóñêàÿ åãî, âêëþ÷àþò ñåêóíäîìåð. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïåðèîäà Ò êîëåáàíèé áîëüøîãî ìàÿòíèêà îòñ÷èòûâàþ öåëîå ÷èñëî (n = 20) ïîëíûõ ïåðèîäîâ çà âðåìÿ t > (t0)cp è âûêëþ÷àþò ñåêóíäîìåð. Çà ýòî âðåìÿ çàòóõíóò ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ ìàëîãî ìàÿòíèêà, à àìïëèòóäà êîëåáàíèé áîëüøîãî ïðàêòè÷åñêè íå èçìåíÿåòñÿ. Ïî øêàëå N èçìåðÿþò àìïëèòóäó óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé a0 ìàëîãî ìàÿòíèêà. Âñå èçìåðåíèÿ ñëåäóåò ïðîäåëàòü íå ìåíåå ïÿòè ðàç è çàíåñòè â òàáëèöó.
t01 + t02 + t03 = .... 3
Îïðåäåëÿþò ïåðèîä Ò1 ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ìàëîãî ìàÿòíèêà. Ïåðèîä îïðåäåëÿåòñÿ èç òðåõ ïîëíûõ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà. Âðåìÿ t ¢, çàòðà÷åííîå íà ýòè êîëåáàíèÿ, èçìåðÿåòñÿ ñåêóíäîìåðîì íå ìåíåå äåñÿòè ðàç: ¢ = tñð
w1 =
tcp, ñ 1
Òñð=tcp/N, ñ
ðñð= p/Òñð, ñ-1
(a0)ñð, ãðàä
t a0 t a0
3
t a0
Âû÷èñëÿþò ñðåäíåå çíà÷åíèå öèêëè÷åñêîé ÷àñòîòû p = 2p/Tñð êîëåáàíèé áîëüøîãî ìàÿòíèêà (÷àñòîòû âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ 139
íà ìàëûé ìàÿòíèê), à òàêæå ñðåäíåå çíà÷åíèå àìïëèòóäû (a0)ñð âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ìàëîãî ìàÿòíèêà. Àíàëîãè÷íûì ñïîñîáîì èçìåðÿþò âåëè÷èíû a0 è ð, ïîìåùàÿ ÷å÷åâèöû ïîñëåäîâàòåëüíî íà äåëåíèÿ: 5, 10, 15, 20, 25, 30; íà ýòèõ äåëåíèÿõ çàêðåïëÿåòñÿ ñòîïîð íèæíåé ÷å÷åâèöû.  ðàéîíå ðåçîíàíñà íåîáõîäèìî ïðîèçâåñòè äîïîëíèòåëüíûå èçìåðåíèÿ è ïîëó÷èòü åùå 34 òî÷êè äëÿ íóæíûõ ÷àñòîò. Ïîëó÷åííûé ýêñïåðèìåíòàëüíûé ìàòåðèàë íåîáõîäèìî ïðåäñòàâèòü â âèäå ãðàôèêà íà ìèëëèìåòðîâîé áóìàãå, îòêëàäûâàÿ ïî îñè àáñöèññ ÷àñòîòó ðcp, à ïî îñè îðäèíàò àìïëèòóäó (a0)cp. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè pcp » w1cp (ðåçîíàíñ) êîëåáàíèÿ òî÷êè ïîäâåñà ìàëîãî ìàÿòíèêà ïåðåñòàþò áûòü ëèíåéíûìè (sina ¹ a). Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (21) ìàëîãî ìàÿòíèêà äëÿ âåðõíåé ÷àñòè àìïëèòóäíîé êðèâîé íåïðèìåíèìî. Óïðàæíåíèå 2 Ïîëó÷åíèå ôàçîâîé õàðàêòåðèñòèêè j = f2(p) Ñäâèã ôàç j ìåæäó ñìåùåíèåì ìàëîãî ìàÿòíèêà è ñìåùåíèåì åãî òî÷êè ïîäâåñà ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå (24): tgj = -
pb w - p
=-
pb w + b - p
.
Íàáëþäàÿ êîëåáàíèÿ ìàëîãî ìàÿòíèêà, íåîáõîäèìî óáåäèòüñÿ, ÷òî: 1) ïðè ìàëûõ ÷àñòîòàõ (ð >w0) tgj » 2b/p; ñìåùåíèå ìàëîãî ìàÿòíèêà íàõîäèòñÿ ïðàêòè÷åñêè â ïðîòèâîôàçå ñî ñìåùåíèåì òî÷êè ïîäâåñà. Ôàçà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ïî÷òè ïðîòèâîïîëîæíà ôàçå âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ñäâèã ôàç j®-p. Íàïðàâëåíèÿ ñìåùåíèé ìàëîãî ìàÿòíèêà è òî÷êè ïîäâåñà äî ðåçîíàíñà è ïîñëå íåãî óêàçàíû ïóíêòèðíûìè ñòðåëêàìè íà ðèñ. 3à è 3á ñîîòâåòñòâåííî.
140
Çíàÿ âåëè÷èíû w1 è b, ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (24), ðàññ÷èòûâàþò çíà÷åíèÿ óãëà ñäâèãà ôàç äëÿ âñåõ èçìåðåííûõ ÷àñòîò ði êîëåáàíèé áîëüøîãî ìàÿòíèêà. Âû÷èñëåííûå âåëè÷èíû óãëà ñäâèãà ôàç íåîáõîäèìî ïðåäñòàâèòü â âèäå ãðàôèêà íà ìèëëèìåòðîâîé áóìàãå, îòêëàäûâàÿ ïî îñè àáñöèññ ÷àñòîòó ð, ïî îñè îðäèíàò óãîë ñäâèãà ôàç j. Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 1. Ìåõàíèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò. 1998. Ãëàâà 8. Êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå. § 8.1. Îáùèå ñâåäåíèÿ î êîëåáàíèÿõ. § 8.2. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà. § 8.3. Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. § 8.6. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà. § 8.11. Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ. § 8.12. Ïàðàìåòðè÷åñêèé ðåçîíàíñ.
íà ìàëûé ìàÿòíèê), à òàêæå ñðåäíåå çíà÷åíèå àìïëèòóäû (a0)ñð âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ìàëîãî ìàÿòíèêà. Àíàëîãè÷íûì ñïîñîáîì èçìåðÿþò âåëè÷èíû a0 è ð, ïîìåùàÿ ÷å÷åâèöû ïîñëåäîâàòåëüíî íà äåëåíèÿ: 5, 10, 15, 20, 25, 30; íà ýòèõ äåëåíèÿõ çàêðåïëÿåòñÿ ñòîïîð íèæíåé ÷å÷åâèöû.  ðàéîíå ðåçîíàíñà íåîáõîäèìî ïðîèçâåñòè äîïîëíèòåëüíûå èçìåðåíèÿ è ïîëó÷èòü åùå 34 òî÷êè äëÿ íóæíûõ ÷àñòîò. Ïîëó÷åííûé ýêñïåðèìåíòàëüíûé ìàòåðèàë íåîáõîäèìî ïðåäñòàâèòü â âèäå ãðàôèêà íà ìèëëèìåòðîâîé áóìàãå, îòêëàäûâàÿ ïî îñè àáñöèññ ÷àñòîòó ðcp, à ïî îñè îðäèíàò àìïëèòóäó (a0)cp. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè pcp » w1cp (ðåçîíàíñ) êîëåáàíèÿ òî÷êè ïîäâåñà ìàëîãî ìàÿòíèêà ïåðåñòàþò áûòü ëèíåéíûìè (sina ¹ a). Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (21) ìàëîãî ìàÿòíèêà äëÿ âåðõíåé ÷àñòè àìïëèòóäíîé êðèâîé íåïðèìåíèìî. Óïðàæíåíèå 2 Ïîëó÷åíèå ôàçîâîé õàðàêòåðèñòèêè j = f2(p) Ñäâèã ôàç j ìåæäó ñìåùåíèåì ìàëîãî ìàÿòíèêà è ñìåùåíèåì åãî òî÷êè ïîäâåñà ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå (24): tgj = -
pb w - p
=-
pb w + b - p
.
Íàáëþäàÿ êîëåáàíèÿ ìàëîãî ìàÿòíèêà, íåîáõîäèìî óáåäèòüñÿ, ÷òî: 1) ïðè ìàëûõ ÷àñòîòàõ (ð >w0) tgj » 2b/p; ñìåùåíèå ìàëîãî ìàÿòíèêà íàõîäèòñÿ ïðàêòè÷åñêè â ïðîòèâîôàçå ñî ñìåùåíèåì òî÷êè ïîäâåñà. Ôàçà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ïî÷òè ïðîòèâîïîëîæíà ôàçå âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ñäâèã ôàç j®-p. Íàïðàâëåíèÿ ñìåùåíèé ìàëîãî ìàÿòíèêà è òî÷êè ïîäâåñà äî ðåçîíàíñà è ïîñëå íåãî óêàçàíû ïóíêòèðíûìè ñòðåëêàìè íà ðèñ. 3à è 3á ñîîòâåòñòâåííî.
140
Çíàÿ âåëè÷èíû w1 è b, ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (24), ðàññ÷èòûâàþò çíà÷åíèÿ óãëà ñäâèãà ôàç äëÿ âñåõ èçìåðåííûõ ÷àñòîò ði êîëåáàíèé áîëüøîãî ìàÿòíèêà. Âû÷èñëåííûå âåëè÷èíû óãëà ñäâèãà ôàç íåîáõîäèìî ïðåäñòàâèòü â âèäå ãðàôèêà íà ìèëëèìåòðîâîé áóìàãå, îòêëàäûâàÿ ïî îñè àáñöèññ ÷àñòîòó ð, ïî îñè îðäèíàò óãîë ñäâèãà ôàç j. Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 1. Ìåõàíèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò. 1998. Ãëàâà 8. Êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå. § 8.1. Îáùèå ñâåäåíèÿ î êîëåáàíèÿõ. § 8.2. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà. § 8.3. Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. § 8.6. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà. § 8.11. Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ. § 8.12. Ïàðàìåòðè÷åñêèé ðåçîíàíñ.
Çàäà÷à ¹ 18 ÈÇÓ×ÅÍÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ ÑÂßÇÀÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Öåëü çàäà÷è: èçó÷åíèå ñîáñòâåííûõ è âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ñèñòåìû èç äâóõ îäèíàêîâûõ ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ. Îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ íîðìàëüíûõ è ïàðöèàëüíûõ ÷àñòîò. Íàáëþäàþòñÿ ÿâëåíèÿ áèåíèé è ðåçîíàíñà ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ Ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû èç äâóõ ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ. Ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì ñâÿçàííîé ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ äâà îäèíàêîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìàÿòíèêà, ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé ëåãêîé ïðóæèíîé (ðèñ. 1). Ëþáóþ ñëîæíóþ ñâÿçàííóþ ñèñòåìó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñîñòîÿùóþ èç áîëåå ïðîñòûõ ñèñòåì, íàçûâàåìûõ ïàðöèàëüíûìè ñèñòåìàìè.
Ðèñ. 1
 ñëó÷àå ñèñòåìû, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 1, ìîæíî âûäåëèòü äâå ïàðöèàëüíûå ñèñòåìû. Êàæäóþ èç íèõ ïîëó÷àþò, çàêðåïèâ îäèí èç ìàÿòíèêîâ â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ. «Îñòàòîê» ñèñòåìû, âêëþ÷àþùèé íåçàêðåïëåííûé ìàÿòíèê è ïðóæèíó, ñîåäèíÿþùóþ ìàÿòíèêè, è ïðåäñòàâèò ñîáîé ïàðöèàëüíóþ ñèñòåìó. Çàêðåïèâ âòîðîé ìàÿòíèê, ïîëó÷àþò âòîðóþ ïàðöèàëüíóþ ñèñòåìó. Î÷åâèäíî, ïðè îäèíàêîâîé äëèíå ìàÿòíèêîâ ÷àñòîòû îáåèõ ïàðöèàëüíûõ ñèñòåì ñîâïàäàþò. Ïàðöèàëüíàÿ ÷àñòîòà îòëè÷àåòñÿ îò ÷àñòîòû êîëåáàíèé ñâîáîäíîãî ìàÿòíèêà. Íîðìàëüíûå ÷àñòîòû è íîðìàëüíûå êîëåáàíèÿ. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà îáà ìàÿòíèêà íå çàêðåïëåíû. ×òîáû âîçáóäèòü ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ â ñèñòåìå èç äâóõ ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ, íóæíî âûâåñòè èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ îáà ìàÿòíèêà è çàòåì 142
îòïóñòèòü. Êàê ïîêàçûâàåò îïûò, âîçíèêàþùèå â ñèñòåìå êîëåáàíèÿ, êàê ïðàâèëî, îêàçûâàþòñÿ íåãàðìîíè÷åñêèìè (àìïëèòóäû êîëåáàíèé îáîèõ ìàÿòíèêîâ áóäóò íåïîñòîÿííûìè). Ëèøü â äâóõ ñïåöèàëüíûõ ñëó÷àÿõ íà÷àëüíûõ îòêëîíåíèé â ñèñòåìå íàáëþäàþòñÿ êîëåáàíèÿ ñ ïîñòîÿííîé àìïëèòóäîé ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ: 1) îáîèì ìàÿòíèêàì ñîîáùåíû îäèíàêîâûå îòêëîíåíèÿ â îäíó è òó æå ñòîðîíó (ðèñ. 1à); 2) îáîèì ìàÿòíèêàì ñîîáùåíû îäèíàêîâûå îòêëîíåíèÿ â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû (ðèñ. 1á). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå ïðóæèíà, ñâÿçûâàþùàÿ ìàÿòíèêè, â ïðîöåññå êîëåáàíèé îñòàåòñÿ íåäåôîðìèðîâàííîé (îíà íå ñæàòà è íå ðàñòÿíóòà) è íå ñîçäàåò ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ìàÿòíèêè. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàÿòíèêè áóäóò êîëåáàòüñÿ òàê, êàê áóäòî ïðóæèíà îòñóòñòâóåò, ò.å. ñ ÷àñòîòîé, ðàâíîé ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå ñâîáîäíîãî ìàÿòíèêà. Ïðè ýòîì êîëåáàíèÿ îáîèõ ìàÿòíèêîâ áóäóò ñèíôàçíûìè, ò.å. ñîâïàäàòü ïî ôàçå. Âî âòîðîì ñëó÷àå îáà ìàÿòíèêà áóäóò ñîâåðøàòü òàêæå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ (ò.å. êîëåáàíèÿ ñ ïîñòîÿííîé àìïëèòóäîé), íî óæå â ïðîòèâîôàçå. Ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, êîòîðûå ñîâåðøàþò êàæäûé èç ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ ïðè ñïåöèàëüíîì âûáîðå íà÷àëüíûõ óñëîâèé, íàçûâàþòñÿ íîðìàëüíûìè êîëåáàíèÿìè ñâÿçàííîé ñèñòåìû, à ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòîòû íîðìàëüíûìè ÷àñòîòàìè. Áóäåì îáîçíà÷àòü ïåðâóþ íîðìàëüíóþ ÷àñòîòó (ñèíôàçíûå êîëåáàíèÿ) ÷åðåç wñô, âòîðóþ íîðìàëüíóþ ÷àñòîòó (ïðîòèâîôàçíûå êîëåáàíèÿ) ÷åðåç wïô. Ðàñ÷åò ïàðöèàëüíûõ è íîðìàëüíûõ ÷àñòîò. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è óäîáíî ïîëîæèòü â îñíîâó âûâîäîâ ypàâíåíèå ìîìåíòîâ (âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ): I
d 2a dt 2
=
å Mi ,
ãäå I = ml 2 ìîìåíò èíåðöèè ìàÿòíèêà;
(1) d 2a
óãëîâîå óñêîðå-
dt 2 íèå (a óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà); å M E ñóììà ìîìåíòîâ
äåéñòâóþùèõ ñèë.  äàëüíåéøåì áóäåì îïèðàòüñÿ íà ðèñ. 2. Ïðè ìàëûõ óãëàõ îòêëîíåíèÿ ìîæíî ïîëîæèòü: a) sina @ a; á) îòðåçîê õ íà ðèñóíêå ïåðïåíäèêóëÿðåí îòâåñó, òîãäà x @ d sina @ da; â) ïëå÷î óïðóãîé ñèëû ðàâíî îòðåçêó d. Äëÿ ñâîáîäíîãî ìàÿòíèêà (áåç ïðóæèíû) âåëè÷èíà ìîìåíòà, ñîçäàâàåìîãî ñèëîé òÿæåñòè, ðàâíà 143
Çàäà÷à ¹ 18 ÈÇÓ×ÅÍÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ ÑÂßÇÀÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Öåëü çàäà÷è: èçó÷åíèå ñîáñòâåííûõ è âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ñèñòåìû èç äâóõ îäèíàêîâûõ ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ. Îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ íîðìàëüíûõ è ïàðöèàëüíûõ ÷àñòîò. Íàáëþäàþòñÿ ÿâëåíèÿ áèåíèé è ðåçîíàíñà ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ Ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû èç äâóõ ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ. Ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì ñâÿçàííîé ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ äâà îäèíàêîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìàÿòíèêà, ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé ëåãêîé ïðóæèíîé (ðèñ. 1). Ëþáóþ ñëîæíóþ ñâÿçàííóþ ñèñòåìó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñîñòîÿùóþ èç áîëåå ïðîñòûõ ñèñòåì, íàçûâàåìûõ ïàðöèàëüíûìè ñèñòåìàìè.
Ðèñ. 1
 ñëó÷àå ñèñòåìû, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 1, ìîæíî âûäåëèòü äâå ïàðöèàëüíûå ñèñòåìû. Êàæäóþ èç íèõ ïîëó÷àþò, çàêðåïèâ îäèí èç ìàÿòíèêîâ â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ. «Îñòàòîê» ñèñòåìû, âêëþ÷àþùèé íåçàêðåïëåííûé ìàÿòíèê è ïðóæèíó, ñîåäèíÿþùóþ ìàÿòíèêè, è ïðåäñòàâèò ñîáîé ïàðöèàëüíóþ ñèñòåìó. Çàêðåïèâ âòîðîé ìàÿòíèê, ïîëó÷àþò âòîðóþ ïàðöèàëüíóþ ñèñòåìó. Î÷åâèäíî, ïðè îäèíàêîâîé äëèíå ìàÿòíèêîâ ÷àñòîòû îáåèõ ïàðöèàëüíûõ ñèñòåì ñîâïàäàþò. Ïàðöèàëüíàÿ ÷àñòîòà îòëè÷àåòñÿ îò ÷àñòîòû êîëåáàíèé ñâîáîäíîãî ìàÿòíèêà. Íîðìàëüíûå ÷àñòîòû è íîðìàëüíûå êîëåáàíèÿ. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà îáà ìàÿòíèêà íå çàêðåïëåíû. ×òîáû âîçáóäèòü ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ â ñèñòåìå èç äâóõ ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ, íóæíî âûâåñòè èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ îáà ìàÿòíèêà è çàòåì 142
îòïóñòèòü. Êàê ïîêàçûâàåò îïûò, âîçíèêàþùèå â ñèñòåìå êîëåáàíèÿ, êàê ïðàâèëî, îêàçûâàþòñÿ íåãàðìîíè÷åñêèìè (àìïëèòóäû êîëåáàíèé îáîèõ ìàÿòíèêîâ áóäóò íåïîñòîÿííûìè). Ëèøü â äâóõ ñïåöèàëüíûõ ñëó÷àÿõ íà÷àëüíûõ îòêëîíåíèé â ñèñòåìå íàáëþäàþòñÿ êîëåáàíèÿ ñ ïîñòîÿííîé àìïëèòóäîé ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ: 1) îáîèì ìàÿòíèêàì ñîîáùåíû îäèíàêîâûå îòêëîíåíèÿ â îäíó è òó æå ñòîðîíó (ðèñ. 1à); 2) îáîèì ìàÿòíèêàì ñîîáùåíû îäèíàêîâûå îòêëîíåíèÿ â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû (ðèñ. 1á). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå ïðóæèíà, ñâÿçûâàþùàÿ ìàÿòíèêè, â ïðîöåññå êîëåáàíèé îñòàåòñÿ íåäåôîðìèðîâàííîé (îíà íå ñæàòà è íå ðàñòÿíóòà) è íå ñîçäàåò ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ìàÿòíèêè. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàÿòíèêè áóäóò êîëåáàòüñÿ òàê, êàê áóäòî ïðóæèíà îòñóòñòâóåò, ò.å. ñ ÷àñòîòîé, ðàâíîé ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå ñâîáîäíîãî ìàÿòíèêà. Ïðè ýòîì êîëåáàíèÿ îáîèõ ìàÿòíèêîâ áóäóò ñèíôàçíûìè, ò.å. ñîâïàäàòü ïî ôàçå. Âî âòîðîì ñëó÷àå îáà ìàÿòíèêà áóäóò ñîâåðøàòü òàêæå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ (ò.å. êîëåáàíèÿ ñ ïîñòîÿííîé àìïëèòóäîé), íî óæå â ïðîòèâîôàçå. Ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, êîòîðûå ñîâåðøàþò êàæäûé èç ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ ïðè ñïåöèàëüíîì âûáîðå íà÷àëüíûõ óñëîâèé, íàçûâàþòñÿ íîðìàëüíûìè êîëåáàíèÿìè ñâÿçàííîé ñèñòåìû, à ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòîòû íîðìàëüíûìè ÷àñòîòàìè. Áóäåì îáîçíà÷àòü ïåðâóþ íîðìàëüíóþ ÷àñòîòó (ñèíôàçíûå êîëåáàíèÿ) ÷åðåç wñô, âòîðóþ íîðìàëüíóþ ÷àñòîòó (ïðîòèâîôàçíûå êîëåáàíèÿ) ÷åðåç wïô. Ðàñ÷åò ïàðöèàëüíûõ è íîðìàëüíûõ ÷àñòîò. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è óäîáíî ïîëîæèòü â îñíîâó âûâîäîâ ypàâíåíèå ìîìåíòîâ (âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ): I
d 2a dt 2
=
å Mi ,
ãäå I = ml 2 ìîìåíò èíåðöèè ìàÿòíèêà;
(1) d 2a
óãëîâîå óñêîðå-
dt 2 íèå (a óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà); å M E ñóììà ìîìåíòîâ
äåéñòâóþùèõ ñèë.  äàëüíåéøåì áóäåì îïèðàòüñÿ íà ðèñ. 2. Ïðè ìàëûõ óãëàõ îòêëîíåíèÿ ìîæíî ïîëîæèòü: a) sina @ a; á) îòðåçîê õ íà ðèñóíêå ïåðïåíäèêóëÿðåí îòâåñó, òîãäà x @ d sina @ da; â) ïëå÷î óïðóãîé ñèëû ðàâíî îòðåçêó d. Äëÿ ñâîáîäíîãî ìàÿòíèêà (áåç ïðóæèíû) âåëè÷èíà ìîìåíòà, ñîçäàâàåìîãî ñèëîé òÿæåñòè, ðàâíà 143
ìîìåíò èíåðöèè
M = mgl sina = mgla, I = ml 2 .
Ïîäñòàâèâ ýòè âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèå (1), íàõîäèì óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà d 2a dt 2
ãäå w =
+ w2a = 0,
(2)
g êðóãîâàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé ñâîáîäíîãî ìàÿòíèêà l
è ðàâíàÿ åé ïåðâàÿ íîðìàëüíàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé ñèñòåìû ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ (÷àñòîòà ñèíôàçíûõ êîëåáàíèé wñô). Ïðè ðàñ÷åòå âòîðîé íîðìàëüíîé ÷àñòîòû (ïðîòèâîôàçíûå êîëåáàíèÿ) è ïàðöèàëüíûõ ÷àñòîò íåîáõîäèìî ââåñòè â óðàâíåíèå ìîìåíòîâ ìîìåíò óïðóãîé ñèëû, äåéñòâóþùåé íà ìàÿòíèêè ñî ñòîðîíû ïðóæèíû è ðàâíîé, ñîãëàñíî çàêîíó Ãóêà, f óï ð = kx (ãäå k êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè ïðóæèíû; õ ðàñòÿæåíèå). Îòðåçîê, îáîçíà÷åííûé íà ðèñ. 2 ÷åðåç õ, ðàâåí ðàñòÿæåíèþ ïðóæèíû â ñëó÷àå, êîãäà ëåâûé ìàÿòíèê (íå ïîêàçàí íà ðèñóíêå) çàôèêñèðîâàí â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ, è òîëüêî ïîëîâèíå ðà-
Ðèñ. 3
ñòÿæåíèÿ â ñëó÷àå, êîãäà îáà ìàÿòíèêà îòêëîíåíû íà óãîë a â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû. Ñ ó÷åòîì ïðèíÿòûõ âûøå äîïóùåíèé ïîëó÷àþò: äëÿ ïàðöèàëüíûõ êîëåáàíèé f óïð = kx kda, M óïð = kd 2 a, äëÿ íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé f óïð = k2x 2kda, M óïð = 2kd 2 a.
(3)
Ââåäÿ ïîëó÷åííûå âåëè÷èíû ìîìåíòîâ óïðóãèõ ñèë â óðàâíåíèå ìîìåíòîâ (1) è ïðîâåäÿ íåñëîæíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïðèäåì â òîì è äðóãîì ñëó÷àå ê óðàâíåíèþ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé (2), íî ñ ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè êðóãîâûõ ÷àñòîò: ïàðöèàëüíàÿ ÷àñòîòà wï =
g kd 2 + , l ml 2
(4)
g 2kd 2 + . l ml 2
(5)
âòîðàÿ íîðìàëüíàÿ ÷àñòîòà wïô =
Ðèñ. 2
144
Ïðè ëþáîì äðóãîì âûáîðå íà÷àëüíûõ îòêëîíåíèé â êàæäîì èç ìàÿòíèêîâ âîçíèêàþò ñðàçó îáà íîðìàëüíûõ êîëåáàíèÿ, äðóãèìè ñëîâàìè, âîçíèêàþùèå êîëåáàíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ äâóõ íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ëþáûå íà÷àëüíûå îòêëîíåíèå äâóõ ìàÿòíèêîâ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó äâóõ íà÷àëüíûõ îòêëîíåíèé: îäíîãî, ïðè êîòîðîì îáà ìàÿòíèêà îòêëîíåíû îäèíàêîâî â îäíó ñòîðîíó, è äðóãîãî, ïðè êîòîðîì îáà ìàÿòíèêà îäèíàêîâî îòêëîíåíû â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû. ×åì ñëàáåå ïðóæèíà, ñâÿçûâàþùàÿ ìà145
ìîìåíò èíåðöèè
M = mgl sina = mgla, I = ml 2 .
Ïîäñòàâèâ ýòè âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèå (1), íàõîäèì óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà d 2a dt 2
ãäå w =
+ w2a = 0,
(2)
g êðóãîâàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé ñâîáîäíîãî ìàÿòíèêà l
è ðàâíàÿ åé ïåðâàÿ íîðìàëüíàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé ñèñòåìû ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ (÷àñòîòà ñèíôàçíûõ êîëåáàíèé wñô). Ïðè ðàñ÷åòå âòîðîé íîðìàëüíîé ÷àñòîòû (ïðîòèâîôàçíûå êîëåáàíèÿ) è ïàðöèàëüíûõ ÷àñòîò íåîáõîäèìî ââåñòè â óðàâíåíèå ìîìåíòîâ ìîìåíò óïðóãîé ñèëû, äåéñòâóþùåé íà ìàÿòíèêè ñî ñòîðîíû ïðóæèíû è ðàâíîé, ñîãëàñíî çàêîíó Ãóêà, f óï ð = kx (ãäå k êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè ïðóæèíû; õ ðàñòÿæåíèå). Îòðåçîê, îáîçíà÷åííûé íà ðèñ. 2 ÷åðåç õ, ðàâåí ðàñòÿæåíèþ ïðóæèíû â ñëó÷àå, êîãäà ëåâûé ìàÿòíèê (íå ïîêàçàí íà ðèñóíêå) çàôèêñèðîâàí â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ, è òîëüêî ïîëîâèíå ðà-
Ðèñ. 3
ñòÿæåíèÿ â ñëó÷àå, êîãäà îáà ìàÿòíèêà îòêëîíåíû íà óãîë a â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû. Ñ ó÷åòîì ïðèíÿòûõ âûøå äîïóùåíèé ïîëó÷àþò: äëÿ ïàðöèàëüíûõ êîëåáàíèé f óïð = kx kda, M óïð = kd 2 a, äëÿ íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé f óïð = k2x 2kda, M óïð = 2kd 2 a.
(3)
Ââåäÿ ïîëó÷åííûå âåëè÷èíû ìîìåíòîâ óïðóãèõ ñèë â óðàâíåíèå ìîìåíòîâ (1) è ïðîâåäÿ íåñëîæíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïðèäåì â òîì è äðóãîì ñëó÷àå ê óðàâíåíèþ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé (2), íî ñ ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè êðóãîâûõ ÷àñòîò: ïàðöèàëüíàÿ ÷àñòîòà wï =
g kd 2 + , l ml 2
(4)
g 2kd 2 + . l ml 2
(5)
âòîðàÿ íîðìàëüíàÿ ÷àñòîòà wïô =
Ðèñ. 2
144
Ïðè ëþáîì äðóãîì âûáîðå íà÷àëüíûõ îòêëîíåíèé â êàæäîì èç ìàÿòíèêîâ âîçíèêàþò ñðàçó îáà íîðìàëüíûõ êîëåáàíèÿ, äðóãèìè ñëîâàìè, âîçíèêàþùèå êîëåáàíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ äâóõ íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ëþáûå íà÷àëüíûå îòêëîíåíèå äâóõ ìàÿòíèêîâ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó äâóõ íà÷àëüíûõ îòêëîíåíèé: îäíîãî, ïðè êîòîðîì îáà ìàÿòíèêà îòêëîíåíû îäèíàêîâî â îäíó ñòîðîíó, è äðóãîãî, ïðè êîòîðîì îáà ìàÿòíèêà îäèíàêîâî îòêëîíåíû â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû. ×åì ñëàáåå ïðóæèíà, ñâÿçûâàþùàÿ ìà145
ÿòíèêè, òåì, î÷åâèäíî, áëèæå äðóã ê äðóãó áóäóò îáå íîðìàëüíûå ÷àñòîòû. Èç îáùåé òåîðèè êîëåáàíèé èçâåñòíî, ÷òî ïðè íàëîæåíèè äâóõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñ áëèçêèìè ÷àñòîòàìè ðåçóëüòèðóþùèå êîëåáàíèÿ íîñÿò õàðàêòåð «áèåíèé». Àìïëèòóäû êîëåáàíèé êàæäîãî èç ìàÿòíèêîâ ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþòñÿ ñî ñäâèãîì ïî ôàçå íà p/2: êîãäà îäíà èç íèõ äîñòèãàåò ìàêñèìóìà, äðóãàÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü, è íàîáîðîò (ðèñ. 3). Ïåðèîä áèåíèé (âðåìÿ ìåæäó äâóìÿ îáðàùåíèÿìè â íóëü àìïëèòóäû îäíîãî èç ìàÿòíèêîâ) ðàâåí ts =
2p . wïô - wñô
(6)
Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ â ñâÿçàííûõ ñèñòåìàõ. Ðåçîíàíñ. Ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííîé ê îäíîìó èç ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ âíåøíåé ãàðìîíè÷åñêîé ñèëû êàêîé-ëèáî ÷àñòîòû wâ îáà ìàÿòíèêà áóäóò ñîâåðøàòü ãàðìîíè÷åñêèå âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé âíåøíåé ñèëû. Àìïëèòóäû êîëåáàíèé êàæäîãî èç ìàÿòíèêîâ áóäóò çàâèñåòü îò ÷àñòîòû âíåøíåé ñèëû. Êîãäà ÷àñòîòà ãàðìîíè÷åñêîé âíåøíåé ñèëû ïðèáëèæàåòñÿ ê ÷àñòîòå ñîáñòâåííûõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé, êîòîðûå ñïîñîáíà ñîâåðøàòü ñèñòåìà, íàñòóïàåò ðåçîíàíñ ÿâëåíèå ðåçêîãî âîçðàñòàíèÿ àìïëèòóäû êîëåáàíèé. Ïîñêîëüêó òàêèìè ãàðìîíè÷åñêèìè êîëåáàíèÿìè äëÿ ñèñòåìû äâóõ ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ ÿâëÿþòñÿ íîðìàëüíûå êîëåáàíèÿ, ò.å. êîëåáàíèÿ ñ îäíîé èç äâóõ íîðìàëüíûõ ÷àñòîò (ñèíôàçíûå èëè àíòèôàçíûå), ðåçîíàíñ íàñòóïàåò, êîãäà ÷àñòîòà âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ ïðèáëèæàåòñÿ ê îäíîé èç äâóõ íîðìàëüíûõ ÷àñòîò wñô è wïô ñèñòåìû. Åñëè ðåçîíàíñ â ñèñòåìå äîñòàòî÷íî îñòðûé (ïîòåðè íà òðåíèå ìàëû), òî ïðè äîñòàòî÷íî ìåäëåííîì èçìåíåíèè ÷àñòîòû âíåøíåé ñèëû ðåçîíàíñ ìîæíî íàáëþäàòü äâàæäû ðåçîíàíñíàÿ êðèâàÿ áóäåò èìåòü äâóãîðáûé õàðàêòåð (ðèñ. 4). Ðèñ. 4 Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ÷àñòü Óñòàíîâêà. Îáùèé âèä ïðèáîðà ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 5 è 6. Îñíîâàíèå (1) ñíàáæåíî ðåãóëèðîâî÷íûìè âèíòàìè-íîæêàìè äëÿ âûðàâíèâàíèÿ ïðèáîðà. Íà îñíîâàíèè çàêðåïëåíà êîëîííà (2), â âåðõíåé ÷àñòè êîòîðîé íàõîäèòñÿ âòóëêà (3), à âíèçó êðîíøòåéí (4). Íà ñòåðæíå (5) âòóëêè ïðèêðåïëåíû òðè ïîäâåñ146
Ðèñ. 5
êè (6), â êîòîðûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì øàðèêîïîäøèïíèêîâ ïîäâåøåíû äâà ìàÿòíèêà è ñòåðæåíü (7) äëÿ ñîçäàíèÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé. Êàæäûé ìàÿòíèê ñîñòîèò èç ëåãêîãî ñòåðæíÿ (8) ñ äåëåíèÿìè ÷åðåç êàæäûå 5 ñì, ñ÷èòàÿ îò îñè âðàùåíèÿ, è ïåðåìåùàåìîãî ãðóçà (9). Ìàÿòíèêè ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì ïðè ïîìîùè äâóõ ïðóæèí. Ïðóæèíû ïðèêðåïëåíû íàðóæíûìè êîíöàìè ê êîíöàì ñïåöèàëüíîé îáîéìû (11), èçîãíóòîé Ñ-îáðàçíî â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè è çàêðåïëåííîé ïî ñâîåìó öåíòðó çà ñòåðæåíü îäíîãî èç ìàÿòíèêîâ. Âíóòðåííèå êîíöû ïðóæèí ïðèêðåïëÿþòñÿ ê ñòåðæíþ äðóãîãî ìàÿòíèêà. Îáîéìó ïðè íåîáõîäèìîñòè ìîæíî ïåðåìåùàòü âäîëü ñòåðæíÿ ìàÿòíèêîâ. Ñîçäàíèå âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðèâîäíûì äèñêîì, íàõîäÿùèìñÿ íà çàäíåé ñòîðîíå áëîêà óïðàâëåíèÿ (12). Ýëåêòðîäâèãàòåëü, âðàùàþùèé äèñê, íàõîäèòñÿ âíóòðè áëîêà. Ñòåðæåíü (7) èìååò ïðîðåçü, â êîòîðóþ âõîäèò êðèâîøèï ïðèâîäíîãî äèñêà. Ïðè âðàùåíèè äèñêà ñòåðæåíü (7) ïðèõîäèò â ìàÿòíèêîîáðàçíîå äâèæåíèå, êîòîðîå ïåðåäàåòñÿ âòîðîìó (îò ýêñïåðèìåíòàòîðà) ìàÿòíèêó ñ ïîìîùüþ âåðõíåé îáîéìû (10) è äâóõ çàêðåïëåííûõ íà íåé ïðóæèí. Óãëîâàÿ øêàëà (13) ñëóæèò äëÿ îïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä êîëåáàíèé ìàÿòíèêîâ. Ê íèæíåìó êðîíøòåéíó (4) ïðèêðåïëåí òàêæå ôîòîýëåêòðè÷åñêèé äàò÷èê. Ïðè êà÷àíèÿõ âòîðîãî ìàÿòíèêà íèæíèé êîíåö åãî ñòåðæíÿ ïåðåñåêàåò ñâåòîâîé ïîòîê, ïàäàþùèé íà äàò÷èê îò ëàìïû. 147
ÿòíèêè, òåì, î÷åâèäíî, áëèæå äðóã ê äðóãó áóäóò îáå íîðìàëüíûå ÷àñòîòû. Èç îáùåé òåîðèè êîëåáàíèé èçâåñòíî, ÷òî ïðè íàëîæåíèè äâóõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñ áëèçêèìè ÷àñòîòàìè ðåçóëüòèðóþùèå êîëåáàíèÿ íîñÿò õàðàêòåð «áèåíèé». Àìïëèòóäû êîëåáàíèé êàæäîãî èç ìàÿòíèêîâ ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþòñÿ ñî ñäâèãîì ïî ôàçå íà p/2: êîãäà îäíà èç íèõ äîñòèãàåò ìàêñèìóìà, äðóãàÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü, è íàîáîðîò (ðèñ. 3). Ïåðèîä áèåíèé (âðåìÿ ìåæäó äâóìÿ îáðàùåíèÿìè â íóëü àìïëèòóäû îäíîãî èç ìàÿòíèêîâ) ðàâåí ts =
2p . wïô - wñô
(6)
Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ â ñâÿçàííûõ ñèñòåìàõ. Ðåçîíàíñ. Ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííîé ê îäíîìó èç ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ âíåøíåé ãàðìîíè÷åñêîé ñèëû êàêîé-ëèáî ÷àñòîòû wâ îáà ìàÿòíèêà áóäóò ñîâåðøàòü ãàðìîíè÷åñêèå âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé âíåøíåé ñèëû. Àìïëèòóäû êîëåáàíèé êàæäîãî èç ìàÿòíèêîâ áóäóò çàâèñåòü îò ÷àñòîòû âíåøíåé ñèëû. Êîãäà ÷àñòîòà ãàðìîíè÷åñêîé âíåøíåé ñèëû ïðèáëèæàåòñÿ ê ÷àñòîòå ñîáñòâåííûõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé, êîòîðûå ñïîñîáíà ñîâåðøàòü ñèñòåìà, íàñòóïàåò ðåçîíàíñ ÿâëåíèå ðåçêîãî âîçðàñòàíèÿ àìïëèòóäû êîëåáàíèé. Ïîñêîëüêó òàêèìè ãàðìîíè÷åñêèìè êîëåáàíèÿìè äëÿ ñèñòåìû äâóõ ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ ÿâëÿþòñÿ íîðìàëüíûå êîëåáàíèÿ, ò.å. êîëåáàíèÿ ñ îäíîé èç äâóõ íîðìàëüíûõ ÷àñòîò (ñèíôàçíûå èëè àíòèôàçíûå), ðåçîíàíñ íàñòóïàåò, êîãäà ÷àñòîòà âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ ïðèáëèæàåòñÿ ê îäíîé èç äâóõ íîðìàëüíûõ ÷àñòîò wñô è wïô ñèñòåìû. Åñëè ðåçîíàíñ â ñèñòåìå äîñòàòî÷íî îñòðûé (ïîòåðè íà òðåíèå ìàëû), òî ïðè äîñòàòî÷íî ìåäëåííîì èçìåíåíèè ÷àñòîòû âíåøíåé ñèëû ðåçîíàíñ ìîæíî íàáëþäàòü äâàæäû ðåçîíàíñíàÿ êðèâàÿ áóäåò èìåòü äâóãîðáûé õàðàêòåð (ðèñ. 4). Ðèñ. 4 Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ÷àñòü Óñòàíîâêà. Îáùèé âèä ïðèáîðà ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 5 è 6. Îñíîâàíèå (1) ñíàáæåíî ðåãóëèðîâî÷íûìè âèíòàìè-íîæêàìè äëÿ âûðàâíèâàíèÿ ïðèáîðà. Íà îñíîâàíèè çàêðåïëåíà êîëîííà (2), â âåðõíåé ÷àñòè êîòîðîé íàõîäèòñÿ âòóëêà (3), à âíèçó êðîíøòåéí (4). Íà ñòåðæíå (5) âòóëêè ïðèêðåïëåíû òðè ïîäâåñ146
Ðèñ. 5
êè (6), â êîòîðûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì øàðèêîïîäøèïíèêîâ ïîäâåøåíû äâà ìàÿòíèêà è ñòåðæåíü (7) äëÿ ñîçäàíèÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé. Êàæäûé ìàÿòíèê ñîñòîèò èç ëåãêîãî ñòåðæíÿ (8) ñ äåëåíèÿìè ÷åðåç êàæäûå 5 ñì, ñ÷èòàÿ îò îñè âðàùåíèÿ, è ïåðåìåùàåìîãî ãðóçà (9). Ìàÿòíèêè ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì ïðè ïîìîùè äâóõ ïðóæèí. Ïðóæèíû ïðèêðåïëåíû íàðóæíûìè êîíöàìè ê êîíöàì ñïåöèàëüíîé îáîéìû (11), èçîãíóòîé Ñ-îáðàçíî â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè è çàêðåïëåííîé ïî ñâîåìó öåíòðó çà ñòåðæåíü îäíîãî èç ìàÿòíèêîâ. Âíóòðåííèå êîíöû ïðóæèí ïðèêðåïëÿþòñÿ ê ñòåðæíþ äðóãîãî ìàÿòíèêà. Îáîéìó ïðè íåîáõîäèìîñòè ìîæíî ïåðåìåùàòü âäîëü ñòåðæíÿ ìàÿòíèêîâ. Ñîçäàíèå âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðèâîäíûì äèñêîì, íàõîäÿùèìñÿ íà çàäíåé ñòîðîíå áëîêà óïðàâëåíèÿ (12). Ýëåêòðîäâèãàòåëü, âðàùàþùèé äèñê, íàõîäèòñÿ âíóòðè áëîêà. Ñòåðæåíü (7) èìååò ïðîðåçü, â êîòîðóþ âõîäèò êðèâîøèï ïðèâîäíîãî äèñêà. Ïðè âðàùåíèè äèñêà ñòåðæåíü (7) ïðèõîäèò â ìàÿòíèêîîáðàçíîå äâèæåíèå, êîòîðîå ïåðåäàåòñÿ âòîðîìó (îò ýêñïåðèìåíòàòîðà) ìàÿòíèêó ñ ïîìîùüþ âåðõíåé îáîéìû (10) è äâóõ çàêðåïëåííûõ íà íåé ïðóæèí. Óãëîâàÿ øêàëà (13) ñëóæèò äëÿ îïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä êîëåáàíèé ìàÿòíèêîâ. Ê íèæíåìó êðîíøòåéíó (4) ïðèêðåïëåí òàêæå ôîòîýëåêòðè÷åñêèé äàò÷èê. Ïðè êà÷àíèÿõ âòîðîãî ìàÿòíèêà íèæíèé êîíåö åãî ñòåðæíÿ ïåðåñåêàåò ñâåòîâîé ïîòîê, ïàäàþùèé íà äàò÷èê îò ëàìïû. 147
Íà ëèöåâîé ïàíåëè áëîêà (12) íàõîäèòñÿ âûêëþ÷àòåëü «ÑÅÒÜ». Ïðè åãî âêëþ÷åíèè çàãîðàþòñÿ íóëè ïÿòèçíà÷íîãî öèôðîâîãî èíäèêàòîðà-ìèëëèñåêóíäîìåðà «ÂÐÅÌß» è äâóçíà÷íîãî «ÏÅÐÈÎÄÛ», à òàêæå ëàìïà (15). Ïðè âêëþ÷åíèè òóìáëåðà «ÂÊË. ÄÂÈÃÀÒÅËß» äâèãàòåëü íà÷èíàåò ðàáîòàòü, ïðè÷åì ÷èñëî îáîðîòîâ ïðèâîäíîãî äèñêà ðåãóëèðóåòñÿ ðó÷êîé «×ÀÑÒÎÒÀ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ» îò 15 äî 60 îá./ìèí. Çàãîðàåòñÿ òàêæå ëàìïî÷êà â îêîøêå íàä òóìáëåðîì.
Ðèñ. 6
Íàæàòèå êëàâèøè «ÑÁÐÎÑ» â íà÷àëå ðàáîòû íåîáõîäèìî äëÿ ïîäãîòîâêè ñõåìû ê ñ÷åòó âðåìåíè è ïåðèîäîâ, à ïîâòîðíî äëÿ ñáðîñà ïîêàçàíèé îáîèõ èíäèêàòîðîâ äî íóëÿ. Ñ÷åò âðåìåíè íà÷èíàåòñÿ ñ ïåðâîãî ïðîõîæäåíèÿ ìàÿòíèêà ïåðåä ôîòîýëåìåíòîì, à ñ÷åò ïåðèîäîâ ñî âòîðîãî ïðîõîæäåíèÿ «òóäà» (ñ ïðîïóñêîì ïðîõîæäåíèÿ «îáðàòíî»). Ïîñëå íàæàòèÿ êëàâèøè «ÑÒÎÏ» ñ÷åò ïðåêðàùàåòñÿ, íî íå ñðàçó, à ïîñëå ôèêñèðîâàíèÿ îêîí÷àíèÿ ïîñëåäíåãî ïåðèîäà. Áåç çàçåìëåíèÿ ïðèáîðà êëàâè148
øà «ÑÒÎÏ» íå ðàáîòàåò. Êëåììà çàçåìëåíèÿ íàõîäèòñÿ íà çàäíåé ñòåíêå áëîêà (12). Ïîäãîòîâêà ê èçìåðåíèÿì. Ïîñëå âêëþ÷åíèÿ â ñåòü ïðèáîð â ïðîãðåâå íå íóæäàåòñÿ. Íàæàâ êëàâèøó «ÑÅÒÜ», ïðîâåðÿþò âûñâå÷èâàíèå íóëåé íà èíäèêàòîðàõ è ãîðåíèå ëàìïî÷êè ôîòîýëåìåíòà. Âêëþ÷èâ òóìáëåð «ÂÊË. ÄÂÈÃÀÒÅËß», óáåæäàþòñÿ, ðàáîòàåò ëè îí, ðåãóëèðóåòñÿ ëè ñ ïîìîùüþ ðó÷êè «×ÀÑÒÎÒÀ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ» ñêîðîñòü åãî âðàùåíèÿ è êàê ýòî âëèÿåò íà êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêîâ. Óïðàæíåíèå 1 Îïðåäåëåíèå ÷àñòîò íîðìàëüíûõ è ïàðöèàëüíûõ êîëåáàíèé ñâÿçàííîé ñèñòåìû èç äâóõ îäèíàêîâûõ ìàÿòíèêîâ Ñîãëàñíî ñêàçàííîìó â òåîðåòè÷åñêîì ââåäåíèè, â ñâÿçàííîé ñèñòåìå, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 1, ìîãóò èìåòü ìåñòî äâà òèïà íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé: ñèíôàçíûå ñ ÷àñòîòîé wï = g l , ïðîòèâîôàçíûå ñ ÷àñòîòîé wïô = g l + 2kd 2 ml 2 , è äâà ïàðöèàëüíûõ êîëåáàíèÿ ñ îäèíàêîâîé ÷àñòîòîé wïô = g l + kd 2 ml 2 . Îäíàêî â èñïîëüçóåìîé ýêñïåðèìåíòàëüíîé óñòàíîâêå ñâÿçü ìåæäó ìàÿòíèêàìè ðåàëèçîâàíà ñ ïîìîùüþ íå îäíîé, à äâóõ ëåãêèõ ïðóæèí, êàê ýòî ïîêàçàíî íà ðèñ. 5. Âíóòðåííèå êîíöû ïðóæèí ïðèñîåäèíåíû ê ñòåðæíþ îäíîãî èç ìàÿòíèêîâ, íàðóæíûå êîíöû ðàñòÿíóòûõ ïðóæèí ïðèêðåïëåíû ê êîíöàì Ñ-îáðàçíîé îáîéìû, öåíòð êîòîðîé çàêðåïëåí íà ñòåðæíå äðóãîãî ìàÿòíèêà. Âîçíèêàåò âîïðîñ, îñòàþòñÿ ëè ñïðàâåäëèâûìè ïîëó÷åííûå ðàíåå ôîðìóëû äëÿ ÷àñòîò íîðìàëüíûõ è ïàðöèàëüíûõ êîëåáàíèé, èíà÷å ãîâîðÿ, ñîõðàíÿåòñÿ ëè çàâèñèìîñòü ýòèõ ÷àñòîò îò æåñòêîñòè k ïðóæèí. Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé ñëó÷àé ïàðöèàëüíûå êîëåáàíèÿ. Äëÿ èõ âîçáóæäåíèÿ ôèêñèðóåì ìàÿòíèê, íåñóùèé èçîãíóòóþ îáîéìó â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ, âòîðîé ìàÿòíèê îòêëîíÿåì íà íåêîòîðûé óãîë è îòïóñêàåì. Îáîçíà÷èì íà÷àëüíîå óäëèíåíèå (ðàñòÿæåíèå) ïðóæèí ÷åðåç õ. Òîãäà ñèëû, äåéñòâóþùèå ñî ñòîðîíû ïðóæèí íà âòîðîé ìàÿòíèê, ò.å. ñëåâà è ñïðàâà áóäóò f óïð = kx. Äîïóñòèì, ÷òî ïðè îòêëîíåíèè âòîðîãî ìàÿòíèêà ñëåâà íàïðàâî íà íåêîòîðûé ìàëûé óãîë a ëåâàÿ ïðóæèíà ïîëó÷àåò äîïîëíèòåëüíîå óäëèíåíèå Dõ, òàê ÷òî óïðóãàÿ ñèëà ïðóæèíû ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé f óïð = k(x + Dõ). Ïðàâàÿ ïðóæèíà ñîæìåòñÿ íà âåëè÷èíó Dõ, è åå óïðóãàÿ ñèëà ñòàíåò ðàâíîé k(x Dx). 149
Íà ëèöåâîé ïàíåëè áëîêà (12) íàõîäèòñÿ âûêëþ÷àòåëü «ÑÅÒÜ». Ïðè åãî âêëþ÷åíèè çàãîðàþòñÿ íóëè ïÿòèçíà÷íîãî öèôðîâîãî èíäèêàòîðà-ìèëëèñåêóíäîìåðà «ÂÐÅÌß» è äâóçíà÷íîãî «ÏÅÐÈÎÄÛ», à òàêæå ëàìïà (15). Ïðè âêëþ÷åíèè òóìáëåðà «ÂÊË. ÄÂÈÃÀÒÅËß» äâèãàòåëü íà÷èíàåò ðàáîòàòü, ïðè÷åì ÷èñëî îáîðîòîâ ïðèâîäíîãî äèñêà ðåãóëèðóåòñÿ ðó÷êîé «×ÀÑÒÎÒÀ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ» îò 15 äî 60 îá./ìèí. Çàãîðàåòñÿ òàêæå ëàìïî÷êà â îêîøêå íàä òóìáëåðîì.
Ðèñ. 6
Íàæàòèå êëàâèøè «ÑÁÐÎÑ» â íà÷àëå ðàáîòû íåîáõîäèìî äëÿ ïîäãîòîâêè ñõåìû ê ñ÷åòó âðåìåíè è ïåðèîäîâ, à ïîâòîðíî äëÿ ñáðîñà ïîêàçàíèé îáîèõ èíäèêàòîðîâ äî íóëÿ. Ñ÷åò âðåìåíè íà÷èíàåòñÿ ñ ïåðâîãî ïðîõîæäåíèÿ ìàÿòíèêà ïåðåä ôîòîýëåìåíòîì, à ñ÷åò ïåðèîäîâ ñî âòîðîãî ïðîõîæäåíèÿ «òóäà» (ñ ïðîïóñêîì ïðîõîæäåíèÿ «îáðàòíî»). Ïîñëå íàæàòèÿ êëàâèøè «ÑÒÎÏ» ñ÷åò ïðåêðàùàåòñÿ, íî íå ñðàçó, à ïîñëå ôèêñèðîâàíèÿ îêîí÷àíèÿ ïîñëåäíåãî ïåðèîäà. Áåç çàçåìëåíèÿ ïðèáîðà êëàâè148
øà «ÑÒÎÏ» íå ðàáîòàåò. Êëåììà çàçåìëåíèÿ íàõîäèòñÿ íà çàäíåé ñòåíêå áëîêà (12). Ïîäãîòîâêà ê èçìåðåíèÿì. Ïîñëå âêëþ÷åíèÿ â ñåòü ïðèáîð â ïðîãðåâå íå íóæäàåòñÿ. Íàæàâ êëàâèøó «ÑÅÒÜ», ïðîâåðÿþò âûñâå÷èâàíèå íóëåé íà èíäèêàòîðàõ è ãîðåíèå ëàìïî÷êè ôîòîýëåìåíòà. Âêëþ÷èâ òóìáëåð «ÂÊË. ÄÂÈÃÀÒÅËß», óáåæäàþòñÿ, ðàáîòàåò ëè îí, ðåãóëèðóåòñÿ ëè ñ ïîìîùüþ ðó÷êè «×ÀÑÒÎÒÀ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ» ñêîðîñòü åãî âðàùåíèÿ è êàê ýòî âëèÿåò íà êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêîâ. Óïðàæíåíèå 1 Îïðåäåëåíèå ÷àñòîò íîðìàëüíûõ è ïàðöèàëüíûõ êîëåáàíèé ñâÿçàííîé ñèñòåìû èç äâóõ îäèíàêîâûõ ìàÿòíèêîâ Ñîãëàñíî ñêàçàííîìó â òåîðåòè÷åñêîì ââåäåíèè, â ñâÿçàííîé ñèñòåìå, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 1, ìîãóò èìåòü ìåñòî äâà òèïà íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé: ñèíôàçíûå ñ ÷àñòîòîé wï = g l , ïðîòèâîôàçíûå ñ ÷àñòîòîé wïô = g l + 2kd 2 ml 2 , è äâà ïàðöèàëüíûõ êîëåáàíèÿ ñ îäèíàêîâîé ÷àñòîòîé wïô = g l + kd 2 ml 2 . Îäíàêî â èñïîëüçóåìîé ýêñïåðèìåíòàëüíîé óñòàíîâêå ñâÿçü ìåæäó ìàÿòíèêàìè ðåàëèçîâàíà ñ ïîìîùüþ íå îäíîé, à äâóõ ëåãêèõ ïðóæèí, êàê ýòî ïîêàçàíî íà ðèñ. 5. Âíóòðåííèå êîíöû ïðóæèí ïðèñîåäèíåíû ê ñòåðæíþ îäíîãî èç ìàÿòíèêîâ, íàðóæíûå êîíöû ðàñòÿíóòûõ ïðóæèí ïðèêðåïëåíû ê êîíöàì Ñ-îáðàçíîé îáîéìû, öåíòð êîòîðîé çàêðåïëåí íà ñòåðæíå äðóãîãî ìàÿòíèêà. Âîçíèêàåò âîïðîñ, îñòàþòñÿ ëè ñïðàâåäëèâûìè ïîëó÷åííûå ðàíåå ôîðìóëû äëÿ ÷àñòîò íîðìàëüíûõ è ïàðöèàëüíûõ êîëåáàíèé, èíà÷å ãîâîðÿ, ñîõðàíÿåòñÿ ëè çàâèñèìîñòü ýòèõ ÷àñòîò îò æåñòêîñòè k ïðóæèí. Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé ñëó÷àé ïàðöèàëüíûå êîëåáàíèÿ. Äëÿ èõ âîçáóæäåíèÿ ôèêñèðóåì ìàÿòíèê, íåñóùèé èçîãíóòóþ îáîéìó â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ, âòîðîé ìàÿòíèê îòêëîíÿåì íà íåêîòîðûé óãîë è îòïóñêàåì. Îáîçíà÷èì íà÷àëüíîå óäëèíåíèå (ðàñòÿæåíèå) ïðóæèí ÷åðåç õ. Òîãäà ñèëû, äåéñòâóþùèå ñî ñòîðîíû ïðóæèí íà âòîðîé ìàÿòíèê, ò.å. ñëåâà è ñïðàâà áóäóò f óïð = kx. Äîïóñòèì, ÷òî ïðè îòêëîíåíèè âòîðîãî ìàÿòíèêà ñëåâà íàïðàâî íà íåêîòîðûé ìàëûé óãîë a ëåâàÿ ïðóæèíà ïîëó÷àåò äîïîëíèòåëüíîå óäëèíåíèå Dõ, òàê ÷òî óïðóãàÿ ñèëà ïðóæèíû ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé f óïð = k(x + Dõ). Ïðàâàÿ ïðóæèíà ñîæìåòñÿ íà âåëè÷èíó Dõ, è åå óïðóãàÿ ñèëà ñòàíåò ðàâíîé k(x Dx). 149
Ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ ñî ñòîðîíû ïðóæèí íà ìàÿòíèê, ðàâíà k(x + D x) k(x D x) = 2kD x, èëè, ó÷èòûâàÿ, ÷òî Dx @ d sina @ da, f óïð = 2kda. Ìîìåíò ñèëû, êîòîðûé íåîáõîäèìî ââåñòè â óðàâíåíèå ìîìåíòîâ, ðàâåí Ì = 2kd 2 a, è ïàðöèàëüíàÿ êðóãîâàÿ ÷àñòîòà îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé wï =
g 2kd 2 + . l ml 2
(7)
Ôîðìóëà îòëè÷àåòñÿ îò (4) ïîÿâëåíèåì ìíîæèòåëÿ 2.  ñëó÷àå ïðîòèâîôàçíûõ êîëåáàíèé èçìåíåíèå äëèíû ïåðâîé ïðóæèíû ïðè îòêëîíåíèè âòîðîãî ìàÿòíèêà âïðàâî, à ïåðâîãî âëåâî íà îäèí è òîò æå óãîë áóäåò âäâîå áîëüøå, ÷åì ïðè ôèêñèðîâàííîì ïîëîæåíèè ïåðâîãî ìàÿòíèêå, ò.å. ðàâíî 2Dõ. Òàêîé æå âåëè÷èíå ðàâíî èçìåíåíèå äëèíû âòîðîé ïðóæèíû óêîðà÷èâàíèå. Ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà âòîðîé ìàÿòíèê ñî ñòîðîíû ïðóæèíû, ðàâíà f óïð = k(x + 2Dx) k(x 2Dx) = 4Dx. Äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ ïðèâîäÿò äëÿ ÷àñòîòû ïðîòèâîôàçíûõ êîëåáàíèé (âòîðîé íîðìàëüíîé ÷àñòîòû) ê âûðàæåíèþ wï =
g 4kd 2 + , l ml 2
(8)
òàêæå îòëè÷íîìó îò ôîðìóëû (5). Èçìåðåíèå ïåðâîé íîðìàëüíîé ÷àñòîòû. Îòñîåäèíèòü ïðóæèíû, ñîåäèíÿþùèå ìàÿòíèêè ñî ñòåðæíåì (7), âîçáóæäàþùèì êîëåáàíèÿ. Óñòàíîâèòü îáîéìû, êðåïÿùèå ïðóæèíû, â ñðåäíåé ÷àñòè ñòåðæíåé ìàÿòíèêîâ. Íàæàòü íà êíîïêó «ÑÅÒÜ». Îòêëîíèòü îáà ìàÿòíèêà â îäíó è òó æå ñòîðîíó íà óãîë ~6° è îòïóñòèòü èõ. Íàæàòü íà êíîïêó «ÑÁÐÎÑ». Ïîñëå ïîäñ÷åòà äåñÿòè ïåðèîäîâ êîëåáàíèé, íàæàòü íà êíîïêó «ÑÒÎÏ». Çàïèñàòü ñ èíäèêàòîðîâ âðåìÿ t è êîëè÷åñòâî ïåðèîäîâ êîëåáàíèé n è âû÷èñëèòü ÷àñòîòó êîëåáàíèé ïî ôîðìóëå w=
2pn . t
Çäåñü è â äàëüíåéøåì âñå èçìåðåíèÿ ÷àñòîò ïðîâîäÿò íå ìåíüøå ïÿòè ðàç è çàòåì íàõîäÿò ñðåäíèå çíà÷åíèÿ. Èçìåðåíèÿ âòîðîé íîðìàëüíîé ÷àñòîòû è ïàðöèàëüíîé ÷àñòîòû. Èçìåðåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ â ïîðÿäêå, ðåêîìåíäîâàííîì âûøå, ñ 150
òåì îòëè÷èåì, ÷òî ïðè îïðåäåëåíèè âòîðîé íîðìàëüíîé ÷àñòîòû äëÿ âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé îòêëîíÿþò ìàÿòíèêè â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû íà îäèíàêîâûé óãîë ~6° è îòïóñêàþò. Ïðè îïðåäåëåíèè ïàðöèàëüíîé ÷àñòîòû ôèêñèðóþò â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ áëèæàéøèé ê íàáëþäàòåëþ ìàÿòíèê, âòîðîé æå ìàÿòíèê îòêëîíÿþò íà óãîë ~6° è îòïóñêàþò. Ïî îêîí÷àíèè èçìåðåíèé ñëåäóåò ñðàâíèòü ïîëó÷åííûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå çíà÷åíèÿ ÷àñòîò ñ òåîðåòè÷åñêèìè çíà÷åíèÿìè, âû÷èñëåííûìè ïî ôîðìóëàì (3), (4) è (5). Âõîäÿùèå â ôîðìóëû âåëè÷èíû: ìàññà ãðóçîâ è êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè ïðóæèí k ñ÷èòàòü çàäàííûìè (èõ ìîæíî óçíàòü ó ëàáîðàíòà). Âåëè÷èíó d ðàññòîÿíèå îò îñè âðàùåíèÿ äî ìåñòà êðåïëåíèÿ ïðóæèí èçìåðèòü ñ ïîìîùüþ ëèíåéêè. Óïðàæíåíèå 2 Íàáëþäåíèå ÿâëåíèÿ «áèåíèé» Óñòàíîâèòü îáîéìû, êðåïÿùèå ïðóæèíû, â ñðåäíåé ÷àñòè ñòåðæíåé ìàÿòíèêîâ. Îäèí èç ìàÿòíèêîâ îòêëîíèòü íà óãîë ~10° è îòïóñòèòü. Îïðåäåëèòü ïî èíäèêàòîðó ìèëëèñåêóíäîìåðà âðåìÿ ìåæäó äâóìÿ îáðàùåíèÿìè â íóëü àìïëèòóäû êîëåáàíèé îäíîãî èç ìàÿòíèêîâ ïåðèîä áèåíèé t è âû÷èñëèòü ÷àñòîòó áèåíèé ná =1/t. Ñðàâíèòü ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå ÷àñòîòû ñ òåîðåòè÷åñêèì çíà÷åíèåì n á = n ïô n ïñ . Óïðàæíåíèå 3 Íàáëþäåíèå ðåçîíàíñà ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ Ïðèñîåäèíèòü ê îáîéìå (10) ïðóæèíû, ñâÿçûâàþùèå îäèí èç ìàÿòíèêîâ ñî ñòåðæíåì (7). Âêëþ÷èòü ïèòàíèå äâèãàòåëÿ. Ìåäëåííî óâåëè÷èâàòü îáîðîòû äâèãàòåëÿ, íàáëþäàÿ çà èçìåíåíèåì àìïëèòóäû êîëåáàíèé ìàÿòíèêîâ. Ïðè ýòîì äâàæäû ïðè äâóõ çíà÷åíèÿõ ÷àñòîòû îáîðîòîâ äîëæíî íàñòóïàòü ÿâëåíèå ðåçîíàíñà. Ìåäëåííî âîçâðàòèòü ðåãóëÿòîð îáîðîòîâ äâèãàòåëÿ â íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå. Ïîâòîðèòü ýêñïåðèìåíò, ôèêñèðóÿ âåëè÷èíû àìïëèòóäû êîëåáàíèé îäíîãî èç ìàÿòíèêîâ (áëèæàéøåãî ê íàáëþäàòåëþ) äëÿ ðÿäà çíà÷åíèé ÷àñòîòû âûíóæäàþùåé ñèëû, äîñòàòî÷íûõ äëÿ òîãî, ÷òîáû ìîæíî áûëî ïîñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè àìïëèòóäû îò ÷àñòîòû âûíóæäàþùåé ñèëû. ×àñòîòó êîëåáàíèé âû÷èñëÿòü ïî âðåìåíè äåñÿòè êîëåáàíèé, îòñ÷èòàííûõ èçìåðèòåëåì âðåìåíè. Ïåðåä êàæäûì îòñ÷åòîì ñëåäóåò âûæäàòü 12 ìèí, ÷òîáû êîëåáàíèÿ óñòàíîâèëèñü. 151
Ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ ñî ñòîðîíû ïðóæèí íà ìàÿòíèê, ðàâíà k(x + D x) k(x D x) = 2kD x, èëè, ó÷èòûâàÿ, ÷òî Dx @ d sina @ da, f óïð = 2kda. Ìîìåíò ñèëû, êîòîðûé íåîáõîäèìî ââåñòè â óðàâíåíèå ìîìåíòîâ, ðàâåí Ì = 2kd 2 a, è ïàðöèàëüíàÿ êðóãîâàÿ ÷àñòîòà îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé wï =
g 2kd 2 + . l ml 2
(7)
Ôîðìóëà îòëè÷àåòñÿ îò (4) ïîÿâëåíèåì ìíîæèòåëÿ 2.  ñëó÷àå ïðîòèâîôàçíûõ êîëåáàíèé èçìåíåíèå äëèíû ïåðâîé ïðóæèíû ïðè îòêëîíåíèè âòîðîãî ìàÿòíèêà âïðàâî, à ïåðâîãî âëåâî íà îäèí è òîò æå óãîë áóäåò âäâîå áîëüøå, ÷åì ïðè ôèêñèðîâàííîì ïîëîæåíèè ïåðâîãî ìàÿòíèêå, ò.å. ðàâíî 2Dõ. Òàêîé æå âåëè÷èíå ðàâíî èçìåíåíèå äëèíû âòîðîé ïðóæèíû óêîðà÷èâàíèå. Ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà âòîðîé ìàÿòíèê ñî ñòîðîíû ïðóæèíû, ðàâíà f óïð = k(x + 2Dx) k(x 2Dx) = 4Dx. Äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ ïðèâîäÿò äëÿ ÷àñòîòû ïðîòèâîôàçíûõ êîëåáàíèé (âòîðîé íîðìàëüíîé ÷àñòîòû) ê âûðàæåíèþ wï =
g 4kd 2 + , l ml 2
(8)
òàêæå îòëè÷íîìó îò ôîðìóëû (5). Èçìåðåíèå ïåðâîé íîðìàëüíîé ÷àñòîòû. Îòñîåäèíèòü ïðóæèíû, ñîåäèíÿþùèå ìàÿòíèêè ñî ñòåðæíåì (7), âîçáóæäàþùèì êîëåáàíèÿ. Óñòàíîâèòü îáîéìû, êðåïÿùèå ïðóæèíû, â ñðåäíåé ÷àñòè ñòåðæíåé ìàÿòíèêîâ. Íàæàòü íà êíîïêó «ÑÅÒÜ». Îòêëîíèòü îáà ìàÿòíèêà â îäíó è òó æå ñòîðîíó íà óãîë ~6° è îòïóñòèòü èõ. Íàæàòü íà êíîïêó «ÑÁÐÎÑ». Ïîñëå ïîäñ÷åòà äåñÿòè ïåðèîäîâ êîëåáàíèé, íàæàòü íà êíîïêó «ÑÒÎÏ». Çàïèñàòü ñ èíäèêàòîðîâ âðåìÿ t è êîëè÷åñòâî ïåðèîäîâ êîëåáàíèé n è âû÷èñëèòü ÷àñòîòó êîëåáàíèé ïî ôîðìóëå w=
2pn . t
Çäåñü è â äàëüíåéøåì âñå èçìåðåíèÿ ÷àñòîò ïðîâîäÿò íå ìåíüøå ïÿòè ðàç è çàòåì íàõîäÿò ñðåäíèå çíà÷åíèÿ. Èçìåðåíèÿ âòîðîé íîðìàëüíîé ÷àñòîòû è ïàðöèàëüíîé ÷àñòîòû. Èçìåðåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ â ïîðÿäêå, ðåêîìåíäîâàííîì âûøå, ñ 150
òåì îòëè÷èåì, ÷òî ïðè îïðåäåëåíèè âòîðîé íîðìàëüíîé ÷àñòîòû äëÿ âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé îòêëîíÿþò ìàÿòíèêè â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû íà îäèíàêîâûé óãîë ~6° è îòïóñêàþò. Ïðè îïðåäåëåíèè ïàðöèàëüíîé ÷àñòîòû ôèêñèðóþò â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ áëèæàéøèé ê íàáëþäàòåëþ ìàÿòíèê, âòîðîé æå ìàÿòíèê îòêëîíÿþò íà óãîë ~6° è îòïóñêàþò. Ïî îêîí÷àíèè èçìåðåíèé ñëåäóåò ñðàâíèòü ïîëó÷åííûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå çíà÷åíèÿ ÷àñòîò ñ òåîðåòè÷åñêèìè çíà÷åíèÿìè, âû÷èñëåííûìè ïî ôîðìóëàì (3), (4) è (5). Âõîäÿùèå â ôîðìóëû âåëè÷èíû: ìàññà ãðóçîâ è êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè ïðóæèí k ñ÷èòàòü çàäàííûìè (èõ ìîæíî óçíàòü ó ëàáîðàíòà). Âåëè÷èíó d ðàññòîÿíèå îò îñè âðàùåíèÿ äî ìåñòà êðåïëåíèÿ ïðóæèí èçìåðèòü ñ ïîìîùüþ ëèíåéêè. Óïðàæíåíèå 2 Íàáëþäåíèå ÿâëåíèÿ «áèåíèé» Óñòàíîâèòü îáîéìû, êðåïÿùèå ïðóæèíû, â ñðåäíåé ÷àñòè ñòåðæíåé ìàÿòíèêîâ. Îäèí èç ìàÿòíèêîâ îòêëîíèòü íà óãîë ~10° è îòïóñòèòü. Îïðåäåëèòü ïî èíäèêàòîðó ìèëëèñåêóíäîìåðà âðåìÿ ìåæäó äâóìÿ îáðàùåíèÿìè â íóëü àìïëèòóäû êîëåáàíèé îäíîãî èç ìàÿòíèêîâ ïåðèîä áèåíèé t è âû÷èñëèòü ÷àñòîòó áèåíèé ná =1/t. Ñðàâíèòü ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå ÷àñòîòû ñ òåîðåòè÷åñêèì çíà÷åíèåì n á = n ïô n ïñ . Óïðàæíåíèå 3 Íàáëþäåíèå ðåçîíàíñà ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ Ïðèñîåäèíèòü ê îáîéìå (10) ïðóæèíû, ñâÿçûâàþùèå îäèí èç ìàÿòíèêîâ ñî ñòåðæíåì (7). Âêëþ÷èòü ïèòàíèå äâèãàòåëÿ. Ìåäëåííî óâåëè÷èâàòü îáîðîòû äâèãàòåëÿ, íàáëþäàÿ çà èçìåíåíèåì àìïëèòóäû êîëåáàíèé ìàÿòíèêîâ. Ïðè ýòîì äâàæäû ïðè äâóõ çíà÷åíèÿõ ÷àñòîòû îáîðîòîâ äîëæíî íàñòóïàòü ÿâëåíèå ðåçîíàíñà. Ìåäëåííî âîçâðàòèòü ðåãóëÿòîð îáîðîòîâ äâèãàòåëÿ â íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå. Ïîâòîðèòü ýêñïåðèìåíò, ôèêñèðóÿ âåëè÷èíû àìïëèòóäû êîëåáàíèé îäíîãî èç ìàÿòíèêîâ (áëèæàéøåãî ê íàáëþäàòåëþ) äëÿ ðÿäà çíà÷åíèé ÷àñòîòû âûíóæäàþùåé ñèëû, äîñòàòî÷íûõ äëÿ òîãî, ÷òîáû ìîæíî áûëî ïîñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè àìïëèòóäû îò ÷àñòîòû âûíóæäàþùåé ñèëû. ×àñòîòó êîëåáàíèé âû÷èñëÿòü ïî âðåìåíè äåñÿòè êîëåáàíèé, îòñ÷èòàííûõ èçìåðèòåëåì âðåìåíè. Ïåðåä êàæäûì îòñ÷åòîì ñëåäóåò âûæäàòü 12 ìèí, ÷òîáû êîëåáàíèÿ óñòàíîâèëèñü. 151
Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 1. Ìåõàíèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò. 1998. Ãëàâà 5. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. § 5.3. Âðàùåíèå òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè. Ãëàâà 8. Êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå. § 8.1. Îáùèå ñâåäåíèÿ î êîëåáàíèÿõ. § 8.4. Ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. § 8.7. Áèåíèÿ.
ÐÀÇÄÅË 4 ÄÅÔÎÐÌÀÖÈß Â ÒÂÅÐÄÎÌ ÒÅËÅ
Çàäà÷à ¹ 19 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÌÎÄÓËß ÑÄÂÈÃÀ ÏÎ ÄÅÔÎÐÌÀÖÈÈ ÊÐÓ×ÅÍÈß
Öåëü çàäà÷è: ýêñïåðèìåíòàëüíîå èçó÷åíèå äåôîðìàöèè êðó÷åíèÿ è íà åãî îñíîâå îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ ñäâèãà èññëåäóåìîãî îáðàçöà. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ Õàðàêòåðíîé îñîáåííîñòüþ óïðóãèõ òåë ÿâëÿåòñÿ èõ ñïîñîáíîñòü ïðîòèâîäåéñòâîâàòü äåôîðìàöèÿì, âûçûâàåìûì âíåøíèìè ñèëàìè. Îíà ïðîÿâëÿåòñÿ â âîçíèêíîâåíèè óïðóãèõ âíóòðåííèõ ñèë, ñòðåìÿùèõñÿ âåðíóòü ÷àñòèöû òåëà â ïîëîæåíèå, êîòîðîå îíè çàíèìàëè äî äåôîðìàöèè. Äëÿ êîëè÷åñòâåííîãî îïèñàíèÿ óïðóãèõ ñèë, âîçíèêàþùèõ â äåôîðìèðîâàííîì òåëå, ââîäèòñÿ ïîíÿòèå óïðóãèõ íàïðÿæåíèé: íàïðÿæåíèåì íàçûâàþò âåêòîðíóþ âåëè÷èíó, ðàâíóþ îòíîøåíèþ ñèëû óïðóãîñòè, äåéñòâóþùåé íà äàííîé ïëîùàäêå âíóòðè òåëà, ê åå ïëîùàäè. Ìîäóëÿìè óïðóãîñòè íàçûâàþòñÿ âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå óïðóãèå ñâîéñòâà ìàòåðèàëîâ.  çàâèñèìîñòè îò òèïà äåôîðìàöèè ðàçëè÷àþò: 1. Ìîäóëü ïðîäîëüíîé óïðóãîñòè (ìîäóëü Þíãà) Å â ñëó÷àå äåôîðìàöèè ðàñòÿæåíèÿ. 2. Ìîäóëü ñäâèãà G â ñëó÷àå äåôîðìàöèè ñäâèãà. 3. Ìîäóëü êðó÷åíèÿ D â ñëó÷àå äåôîðìàöèè êðó÷åíèÿ. Äëÿ ïåðâûõ äâóõ òèïîâ äåôîðìàöèè (â ñëó÷àå ìàëûõ äåôîðìàöèé) çàâèñèìîñòü ìåæäó óïðóãèì íàïðÿæåíèåì è ñîîòâåòñòâóþùåé äåôîðìàöèåé îïðåäåëÿåòñÿ ïðîñòîé ôîðìóëîé: íàïðÿæåíèå ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ äåôîðìàöèè íà ñîîòâåòñòâóþùèé ìîäóëü óïðóãîñòè (çàêîí Ãóêà). Òàê, äëÿ äåôîðìàöèè ïðîñòîãî ðàñòÿæåíèÿ (ñæàòèÿ) (ðèñ. 1) ôîðìóëà çàêîíà Ãóêà èìååò âèä s = Ee,
(1)
ãäå s íîðìàëüíîå íàïðÿæåíèå, ðàâíîå îòíîøåíèþ ðàñòÿãèâàþùåé îáðàçåö ñèëû ê ïëîùàäè åãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ 153
s = f/S; e îòíîñèòåëüíîå óäëèíåíèå, ðàâíîå îòíîøåíèþ óäëèíåíèÿ ê ïåðâîíà÷àëüíîé äëèíå îáðàçöà e = Dl/l. Çàêîí Ãóêà äëÿ äåôîðìàöèè ñäâèãà çàïèñûâàåòñÿ â âèäå t = Gg,
(2)
ãäå t êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå, ðàâíîå îòíîøåíèþ êàñàòåëüíîé ñèëû, âûçûâàþùåé ñäâèã, ê ïëîùàäè S (ðèñ. 2); g óãîë ñäâèãà. Çàìåòèì, ÷òî íàïðÿæåíèÿ, îïðåäåëÿåìûå ôîðìóëàìè (1) è (2), äåéñòâóþò íà ëþáîì ñå÷åíèè âíóòðè îáðàçöà, ïàðàëëåëüíîì âíåÐèñ. 1 øíèì ïëîùàäêàì, îáîçíà÷åííûì íà ðèñóíêàõ ÷åðåç S. Îòëè÷èå ôîðìóëû çàêîíà Ãóêà äëÿ äåôîðìàöèè êðó÷åíèÿ (ðèñ. 3) îò ïåðâûõ äâóõ ôîðìóë ñîñòîèò â òîì, ÷òî âìåñòî ñèëû (íàïðÿæåíèÿ) â íåå âõîäèò ìîìåíò ñèë (íà ðèÐèñ. 2 ñóíêå ýòîò âðàùàþùèé ìîìåíò ñîçäàåòñÿ ïàðîé ñèë f1 è f2, ïðèëîæåííûõ ê âåðõíåìó îñíîâàíèþ öèëèíäðè÷åñêîãî ñòåðæíÿ, íèæíåå îñíîâàíèå êîòîðîãî íåïîäâèæíî): M = Dj, (3) ãäå Ì âåëè÷èíà ìîìåíòà ñèë; j óãîë çàêðó÷èâàíèÿ, ðàâíûé óãëó ïîâîðîòà âåðõíåãî îñíîâàíèÿ çàêðó÷èâàåìîãî ñòåðæíÿ îòíîñèòåëüíî íèæíåãî îñíîâàíèÿ. Èç ôîðìóëû (1) ñëåäóåò, ÷òî ìîäóëü ïðîäîëüíîé óïðóãîñòè (ìîäóëü Þíãà) Å ðàâåí îòíîøåíèþ íîðìàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ ê îòíîñèòåëüíîìó óäëèíåíèþ E = s/e è õàðàêòåðèçóåò ñïîñîáíîñòü ìàòåðèàëîâ ñîïðîòèâëÿòüñÿ äåôîðìàöèè ðàñòÿæåíèÿ. Àíàëîãè÷íî èç ôîðìóëû (2) ñëåäóåò, ÷òî ìîäóëü ñäâèãà G ïî âåëè÷èíå ðàâåí îòíîøåíèþ êàñàòåëüíîãî íàïðÿæåíèÿ ê âåëè÷èíå óãëà ñäâèãà G = t/g è îïðåäåëÿåò ñïîñîáíîñòü ìàòåðèàëîâ ñîïðîòèâëÿòüñÿ äåôîðìàöèè ñäâèãà. Îòëè÷èå ìîäóëÿ êðó÷åíèÿ D îò ìîäóëåé Þíãà è ñäâèãà ñîñòîèò â òîì, ÷òî îí çàâèñèò íå òîëüêî îò ñâîéñòâ ìàòåðèàëà, íî è îò ãåîìåòðè÷åñêèõ ðàçìåðîâ òåëà: â ñëó÷àå öèëèíäðà îò åãî ðàäèóñà R è äëèíû l. Ïîñêîëüêó êðó÷åíèå ñâîäèòñÿ ê íåîäíîðîäíîìó ñäâèãó, ìîäóëü êðó÷åíèÿ D Ðèñ. 3 154
îêàçûâàåòñÿ çàâèñèìûì îò ìîäóëÿ ñäâèãà G. Ðàñ÷åò, êîòîðûé ïðèâåäåí íèæå äëÿ òåë öèëèíäðè÷åñêîé ôîðìû ñ ðàäèóñîì R è äëèíîé l èç ìàòåðèàëà ñ ìîäóëåì ñäâèãà G, ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåé ôîðìóëå äëÿ ìîäóëÿ êðó÷åíèÿ: D=
pGR 4 . 2l
(4)
Êðó÷åíèå êðóãëîãî ñòåðæíÿ. Ñâÿçü ìåæäó ìîäóëåì êðó÷åíèÿ è ìîäóëåì ñäâèãà. Öèëèíäðè÷åñêèé ñòåðæåíü ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ñîñòîÿùèé èç òîíêèõ öèëèíäðè÷åñêèõ ñëîåâ, êàæäûé èç êîòîðûõ èìååò òîëùèíó dr (ðèñ. 4à).  ðåçóëüòàòå çàêðó÷èâàíèÿ îáðàçóþùàÿ öèëèíäðà DC ïðèîáðåòàåò ïîëîæåíèå DC¢. Ìûñëåííî ðàçðåæåì íàðóæíûé ñëîé äî äåôîðìàöèè ïî ëèíèè DC è çàòåì ðàçâåðíåì åãî, ñäåëàâ ïëîñêèì. Î÷åâèäíî, îí ïðåâðàòèòñÿ â òîíêèé ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä. Åñëè òàêîé ðàçðåç íàðóæíîãî ñëîÿ ñäåëàòü ïîñëå äåôîðìàöèè ïî íîâîìó ïîëîæåíèþ ëèíèè DC è ðàçâåðíóòü ñëîé, òî ïîëó÷èòñÿ óæå êîñîé ïàðàëëåëåïèïåä (ðèñ. 4á). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî öèëèíäðè÷åñêèé ñëîé èñïûòàë äåôîðìàöèþ ñäâèãà. Âåëè÷èíà ñìåùåíèÿ âåðõíåé ãðàíè ñëîÿ îïðåäåëÿåòñÿ ðàññòîÿíèåì à = ÑÑ¢, îòíîøåíèå ýòîé âåëè÷èíû ê äëèíå öèëèíäðà äàåò óãîë ñäâèãà g. Åñëè îïèñàííûå îïåðàöèè ðàçðåçàíèÿ è ðàçâåðòûâàíèÿ ïðîäåëàòü ñî âñåìè öèëèíäðè÷åñêèìè ñëîÿìè, òî ïðèâåäåííûå ðàññóæäåíèÿ ïðèâîäÿò ê âûâîäó, ÷òî âñå ñëîè òàêæå èñïûòûâàþò ïðè êðó÷åíèè äåôîðìàöèþ ñäâèãà. Îäíàêî ñìåùåíèÿ âåðõíèõ ãðàíåé ñëîåâ è, ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíà óãëà ñäâèãà îêàçûâàåòñÿ íåîäèíàêîâîé äëÿ ðàçëè÷íûõ ñëîåâ,
Ðèñ. 4
155
s = f/S; e îòíîñèòåëüíîå óäëèíåíèå, ðàâíîå îòíîøåíèþ óäëèíåíèÿ ê ïåðâîíà÷àëüíîé äëèíå îáðàçöà e = Dl/l. Çàêîí Ãóêà äëÿ äåôîðìàöèè ñäâèãà çàïèñûâàåòñÿ â âèäå t = Gg,
(2)
ãäå t êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå, ðàâíîå îòíîøåíèþ êàñàòåëüíîé ñèëû, âûçûâàþùåé ñäâèã, ê ïëîùàäè S (ðèñ. 2); g óãîë ñäâèãà. Çàìåòèì, ÷òî íàïðÿæåíèÿ, îïðåäåëÿåìûå ôîðìóëàìè (1) è (2), äåéñòâóþò íà ëþáîì ñå÷åíèè âíóòðè îáðàçöà, ïàðàëëåëüíîì âíåÐèñ. 1 øíèì ïëîùàäêàì, îáîçíà÷åííûì íà ðèñóíêàõ ÷åðåç S. Îòëè÷èå ôîðìóëû çàêîíà Ãóêà äëÿ äåôîðìàöèè êðó÷åíèÿ (ðèñ. 3) îò ïåðâûõ äâóõ ôîðìóë ñîñòîèò â òîì, ÷òî âìåñòî ñèëû (íàïðÿæåíèÿ) â íåå âõîäèò ìîìåíò ñèë (íà ðèÐèñ. 2 ñóíêå ýòîò âðàùàþùèé ìîìåíò ñîçäàåòñÿ ïàðîé ñèë f1 è f2, ïðèëîæåííûõ ê âåðõíåìó îñíîâàíèþ öèëèíäðè÷åñêîãî ñòåðæíÿ, íèæíåå îñíîâàíèå êîòîðîãî íåïîäâèæíî): M = Dj, (3) ãäå Ì âåëè÷èíà ìîìåíòà ñèë; j óãîë çàêðó÷èâàíèÿ, ðàâíûé óãëó ïîâîðîòà âåðõíåãî îñíîâàíèÿ çàêðó÷èâàåìîãî ñòåðæíÿ îòíîñèòåëüíî íèæíåãî îñíîâàíèÿ. Èç ôîðìóëû (1) ñëåäóåò, ÷òî ìîäóëü ïðîäîëüíîé óïðóãîñòè (ìîäóëü Þíãà) Å ðàâåí îòíîøåíèþ íîðìàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ ê îòíîñèòåëüíîìó óäëèíåíèþ E = s/e è õàðàêòåðèçóåò ñïîñîáíîñòü ìàòåðèàëîâ ñîïðîòèâëÿòüñÿ äåôîðìàöèè ðàñòÿæåíèÿ. Àíàëîãè÷íî èç ôîðìóëû (2) ñëåäóåò, ÷òî ìîäóëü ñäâèãà G ïî âåëè÷èíå ðàâåí îòíîøåíèþ êàñàòåëüíîãî íàïðÿæåíèÿ ê âåëè÷èíå óãëà ñäâèãà G = t/g è îïðåäåëÿåò ñïîñîáíîñòü ìàòåðèàëîâ ñîïðîòèâëÿòüñÿ äåôîðìàöèè ñäâèãà. Îòëè÷èå ìîäóëÿ êðó÷åíèÿ D îò ìîäóëåé Þíãà è ñäâèãà ñîñòîèò â òîì, ÷òî îí çàâèñèò íå òîëüêî îò ñâîéñòâ ìàòåðèàëà, íî è îò ãåîìåòðè÷åñêèõ ðàçìåðîâ òåëà: â ñëó÷àå öèëèíäðà îò åãî ðàäèóñà R è äëèíû l. Ïîñêîëüêó êðó÷åíèå ñâîäèòñÿ ê íåîäíîðîäíîìó ñäâèãó, ìîäóëü êðó÷åíèÿ D Ðèñ. 3 154
îêàçûâàåòñÿ çàâèñèìûì îò ìîäóëÿ ñäâèãà G. Ðàñ÷åò, êîòîðûé ïðèâåäåí íèæå äëÿ òåë öèëèíäðè÷åñêîé ôîðìû ñ ðàäèóñîì R è äëèíîé l èç ìàòåðèàëà ñ ìîäóëåì ñäâèãà G, ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåé ôîðìóëå äëÿ ìîäóëÿ êðó÷åíèÿ: D=
pGR 4 . 2l
(4)
Êðó÷åíèå êðóãëîãî ñòåðæíÿ. Ñâÿçü ìåæäó ìîäóëåì êðó÷åíèÿ è ìîäóëåì ñäâèãà. Öèëèíäðè÷åñêèé ñòåðæåíü ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ñîñòîÿùèé èç òîíêèõ öèëèíäðè÷åñêèõ ñëîåâ, êàæäûé èç êîòîðûõ èìååò òîëùèíó dr (ðèñ. 4à).  ðåçóëüòàòå çàêðó÷èâàíèÿ îáðàçóþùàÿ öèëèíäðà DC ïðèîáðåòàåò ïîëîæåíèå DC¢. Ìûñëåííî ðàçðåæåì íàðóæíûé ñëîé äî äåôîðìàöèè ïî ëèíèè DC è çàòåì ðàçâåðíåì åãî, ñäåëàâ ïëîñêèì. Î÷åâèäíî, îí ïðåâðàòèòñÿ â òîíêèé ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä. Åñëè òàêîé ðàçðåç íàðóæíîãî ñëîÿ ñäåëàòü ïîñëå äåôîðìàöèè ïî íîâîìó ïîëîæåíèþ ëèíèè DC è ðàçâåðíóòü ñëîé, òî ïîëó÷èòñÿ óæå êîñîé ïàðàëëåëåïèïåä (ðèñ. 4á). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî öèëèíäðè÷åñêèé ñëîé èñïûòàë äåôîðìàöèþ ñäâèãà. Âåëè÷èíà ñìåùåíèÿ âåðõíåé ãðàíè ñëîÿ îïðåäåëÿåòñÿ ðàññòîÿíèåì à = ÑÑ¢, îòíîøåíèå ýòîé âåëè÷èíû ê äëèíå öèëèíäðà äàåò óãîë ñäâèãà g. Åñëè îïèñàííûå îïåðàöèè ðàçðåçàíèÿ è ðàçâåðòûâàíèÿ ïðîäåëàòü ñî âñåìè öèëèíäðè÷åñêèìè ñëîÿìè, òî ïðèâåäåííûå ðàññóæäåíèÿ ïðèâîäÿò ê âûâîäó, ÷òî âñå ñëîè òàêæå èñïûòûâàþò ïðè êðó÷åíèè äåôîðìàöèþ ñäâèãà. Îäíàêî ñìåùåíèÿ âåðõíèõ ãðàíåé ñëîåâ è, ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíà óãëà ñäâèãà îêàçûâàåòñÿ íåîäèíàêîâîé äëÿ ðàçëè÷íûõ ñëîåâ,
Ðèñ. 4
155
óáûâàÿ îò âíåøíèõ ñëîåâ ê âíóòðåííèì. Îòñþäà è ñëåäóåò, ÷òî êðó÷åíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê íåîäíîðîäíûé ñäâèã öèëèíäðè÷åñêèõ ñëîåâ (ñì. ðèñ. 4á). Ðàññìîòðèì òåïåðü âíóòðè öèëèíäðà îäèí èç òîíêèõ ñëîåâ ñ âíóòðåííèì ðàäèóñîì r è âíåøíèì r + dr. Äëÿ ñìåùåíèÿ âåðõíåé ãðàíè ñëîÿ à ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû äâà î÷åâèäíûõ âûðàæåíèÿ: à) ÷åðåç óãîë ñäâèãà è äëèíó öèëèíäðà (èç òðåóãîëüíèêà ÑDÑ¢) à = l tg g @ l g äëÿ ìàëûõ äåôîðìàöèé; á) ÷åðåç óãîë çàêðó÷èâàíèÿ j è ðàäèóñ ñëîÿ r (èç òðåóãîëüíèêà ÑÎÑ¢) a = rj. Ïðèðàâíèâàÿ îáà âûðàæåíèÿ, ïîëó÷àåì äëÿ óãëà ñäâèãà g=r
j . l
(5)
Óãîë ñäâèãà äàííîãî ñëîÿ ðàâåí åãî ðàäèóñó, óìíîæåííîìó íà îòíîøåíèå óãëà çàêðó÷èâàíèÿ ê äëèíå öèëèíäðà. Óãîë ñäâèãà ïðîïîðöèîíàëåí ðàäèóñó ñëîåâ. Êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå íà âåðõíåì îñíîâàíèè öèëèíäðè÷åñêîé òðóáêè (ñëîÿ) íàõîäèì, ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé çàêîíà Ãóêà (2): t = Gr
j . l
(6)
Ñèëó óïðóãîñòè, äåéñòâóþùóþ íà ýòîì îñíîâàíèè, ïîëó÷èì, óìíîæèâ t íà åãî ïëîùàäü, ðàâíóþ 2prdr : fH = t pH dH = pG
j H dH . l
(7)
Ìîìåíò ýòîé ñèëû îòíîñèòåëüíî îñè öèëèíäðà áóäåò M t = 2pG
j 3 r dr . l
(8)
Êàæäûé ñëîé âíîñèò ñâîé âêëàä â ïîëíûé ìîìåíò ñèë, äåéñòâóþùèõ íà âñåé ïîâåðõíîñòè âåðõíåãî òîðöà öèëèíäðà. Âåëè÷èíó ïîëíîãî ìîìåíòà ïîëó÷èì, ïåðåéäÿ îò dr ê áåñêîíå÷íî ìàëûì âåëè÷èíàì dr è ïðîèíòåãðèðîâàâ âûðàæåíèå (8) ïî r îò 0 äî R: M = 2pG
156
4
j ! pG " r dr = 4 j. ò l 2l
(9)
Ýòîò ìîìåíò óïðóãèõ ñèë äîëæåí áûòü ðàâåí ìîìåíòó ñèë, çàêðó÷èâàþùèõ ñòåðæåíü (óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ). Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ (9) è (3), ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî âåëè÷èíà
pG " R 2l
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íå ÷òî èíîå, êàê ìîäóëü êðó÷åíèÿ D. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè âûðàæåíèå D=
pG 4 R , 2l
(10)
ò.å. ôîðìóëó (4). Îòìåòèì, ÷òî â ëþáîì ñå÷åíèè ñòåðæíÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ê îñè, ìîìåíò âíóòðåííèõ óïðóãèõ ñèë îòíîñèòåëüíî îñè ñòåðæíÿ îäèíàêîâ è ðàâåí ìîìåíòó âíåøíèõ ñèë, çàêðó÷èâàþùèõ ñòåðæåíü. ×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, ìûñëåííî ïðåäñòàâèì ñåáå îòðåçàííîé êàêóþ-òî ÷àñòü çàêðó÷åííîãî ñòåðæíÿ (ñ âåðõíåãî êîíöà íà íàøèõ ðèñóíêàõ). Ïîñêîëüêó ýòà ÷àñòü ñòåðæíÿ íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè, òî ñóììà ìîìåíòîâ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà íåå, äîëæíà ðàâíÿòüñÿ íóëþ. Ñ îäíîãî êîíöà íà ýòó ÷àñòü äåéñòâóåò ìîìåíò âíåøíèõ ñèë, à ñ äðóãîãî ìîìåíò âíóòðåííèõ óïðóãèõ ñèë, êàñàòåëüíûõ ê ñå÷åíèþ. Ñëåäîâàòåëüíî, îáà ìîìåíòà ðàâíû ïî âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó. Ôîðìóëà (4), â êîòîðîé ñîäåðæèòñÿ ñâÿçü ìåæäó ìîäóëÿìè D è G, ïîçâîëÿåò, çíàÿ îäèí èç íèõ, âû÷èñëèòü äðóãîé. Ýêñïåðèìåíòàëüíî ëåãêî îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíà ìîäóëÿ êðó÷åíèÿ. Ïîýòîìó çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ìîäóëÿ ñäâèãà öåëåñîîáðàçíî ðåøàòü ïóòåì ýêñïåðèìåíòàëüíîãî èçìåðåíèÿ ìîäóëÿ êðó÷åíèÿ ñ ïîñëåäóþùèì âû÷èñëåíèåì âåëè÷èíû G â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (4). Èçìåðåíèå ìîäóëÿ êðó÷åíèÿ ìîæåò áûòü âûïîëíåíî äâóìÿ ìåòîäàìè: ñòàòè÷åñêèì è äèíàìè÷åñêèì.  ïåðâîì ñëó÷àå èçìåðÿåòñÿ óãîë çàêðó÷èâàíèÿ öèëèíäðè÷åñêîãî ñòåðæíÿ (ïðîâîëîêè) ïðè îïðåäåëåííîì çàêðó÷èâàþùåì ìîìåíòå. Âî âòîðîì ñëó÷àå íåïîñðåäñòâåííî èçìåðÿåòñÿ ïåðèîä êîëåáàíèé êðóòèëüíîãî ìàÿòíèêà ïîäâåøåííîãî íà ïðîâîëîêå òåëà. Ýòîò ïåðèîä, êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, çàâèñèò îò óïðóãèõ ñâîéñòâ ïðîâîëîêè (ìîäóëÿ êðó÷åíèÿ). Óïðàæíåíèå 1 Îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ ñäâèãà ñòàòè÷åñêèì ìåòîäîì Ïðèáîðû è ïðèíàäëåæíîñòè: ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà, îñâåòèòåëü ñ ïîëóïðîçðà÷íîé øêàëîé, ìàñøòàáíàÿ ëèíåéêà, íàáîð ãðóçîâ. 157
óáûâàÿ îò âíåøíèõ ñëîåâ ê âíóòðåííèì. Îòñþäà è ñëåäóåò, ÷òî êðó÷åíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê íåîäíîðîäíûé ñäâèã öèëèíäðè÷åñêèõ ñëîåâ (ñì. ðèñ. 4á). Ðàññìîòðèì òåïåðü âíóòðè öèëèíäðà îäèí èç òîíêèõ ñëîåâ ñ âíóòðåííèì ðàäèóñîì r è âíåøíèì r + dr. Äëÿ ñìåùåíèÿ âåðõíåé ãðàíè ñëîÿ à ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû äâà î÷åâèäíûõ âûðàæåíèÿ: à) ÷åðåç óãîë ñäâèãà è äëèíó öèëèíäðà (èç òðåóãîëüíèêà ÑDÑ¢) à = l tg g @ l g äëÿ ìàëûõ äåôîðìàöèé; á) ÷åðåç óãîë çàêðó÷èâàíèÿ j è ðàäèóñ ñëîÿ r (èç òðåóãîëüíèêà ÑÎÑ¢) a = rj. Ïðèðàâíèâàÿ îáà âûðàæåíèÿ, ïîëó÷àåì äëÿ óãëà ñäâèãà g=r
j . l
(5)
Óãîë ñäâèãà äàííîãî ñëîÿ ðàâåí åãî ðàäèóñó, óìíîæåííîìó íà îòíîøåíèå óãëà çàêðó÷èâàíèÿ ê äëèíå öèëèíäðà. Óãîë ñäâèãà ïðîïîðöèîíàëåí ðàäèóñó ñëîåâ. Êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå íà âåðõíåì îñíîâàíèè öèëèíäðè÷åñêîé òðóáêè (ñëîÿ) íàõîäèì, ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé çàêîíà Ãóêà (2): t = Gr
j . l
(6)
Ñèëó óïðóãîñòè, äåéñòâóþùóþ íà ýòîì îñíîâàíèè, ïîëó÷èì, óìíîæèâ t íà åãî ïëîùàäü, ðàâíóþ 2prdr : fH = t pH dH = pG
j H dH . l
(7)
Ìîìåíò ýòîé ñèëû îòíîñèòåëüíî îñè öèëèíäðà áóäåò M t = 2pG
j 3 r dr . l
(8)
Êàæäûé ñëîé âíîñèò ñâîé âêëàä â ïîëíûé ìîìåíò ñèë, äåéñòâóþùèõ íà âñåé ïîâåðõíîñòè âåðõíåãî òîðöà öèëèíäðà. Âåëè÷èíó ïîëíîãî ìîìåíòà ïîëó÷èì, ïåðåéäÿ îò dr ê áåñêîíå÷íî ìàëûì âåëè÷èíàì dr è ïðîèíòåãðèðîâàâ âûðàæåíèå (8) ïî r îò 0 äî R: M = 2pG
156
4
j ! pG " r dr = 4 j. ò l 2l
(9)
Ýòîò ìîìåíò óïðóãèõ ñèë äîëæåí áûòü ðàâåí ìîìåíòó ñèë, çàêðó÷èâàþùèõ ñòåðæåíü (óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ). Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ (9) è (3), ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî âåëè÷èíà
pG " R 2l
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íå ÷òî èíîå, êàê ìîäóëü êðó÷åíèÿ D. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè âûðàæåíèå D=
pG 4 R , 2l
(10)
ò.å. ôîðìóëó (4). Îòìåòèì, ÷òî â ëþáîì ñå÷åíèè ñòåðæíÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ê îñè, ìîìåíò âíóòðåííèõ óïðóãèõ ñèë îòíîñèòåëüíî îñè ñòåðæíÿ îäèíàêîâ è ðàâåí ìîìåíòó âíåøíèõ ñèë, çàêðó÷èâàþùèõ ñòåðæåíü. ×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, ìûñëåííî ïðåäñòàâèì ñåáå îòðåçàííîé êàêóþ-òî ÷àñòü çàêðó÷åííîãî ñòåðæíÿ (ñ âåðõíåãî êîíöà íà íàøèõ ðèñóíêàõ). Ïîñêîëüêó ýòà ÷àñòü ñòåðæíÿ íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè, òî ñóììà ìîìåíòîâ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà íåå, äîëæíà ðàâíÿòüñÿ íóëþ. Ñ îäíîãî êîíöà íà ýòó ÷àñòü äåéñòâóåò ìîìåíò âíåøíèõ ñèë, à ñ äðóãîãî ìîìåíò âíóòðåííèõ óïðóãèõ ñèë, êàñàòåëüíûõ ê ñå÷åíèþ. Ñëåäîâàòåëüíî, îáà ìîìåíòà ðàâíû ïî âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó. Ôîðìóëà (4), â êîòîðîé ñîäåðæèòñÿ ñâÿçü ìåæäó ìîäóëÿìè D è G, ïîçâîëÿåò, çíàÿ îäèí èç íèõ, âû÷èñëèòü äðóãîé. Ýêñïåðèìåíòàëüíî ëåãêî îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíà ìîäóëÿ êðó÷åíèÿ. Ïîýòîìó çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ìîäóëÿ ñäâèãà öåëåñîîáðàçíî ðåøàòü ïóòåì ýêñïåðèìåíòàëüíîãî èçìåðåíèÿ ìîäóëÿ êðó÷åíèÿ ñ ïîñëåäóþùèì âû÷èñëåíèåì âåëè÷èíû G â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (4). Èçìåðåíèå ìîäóëÿ êðó÷åíèÿ ìîæåò áûòü âûïîëíåíî äâóìÿ ìåòîäàìè: ñòàòè÷åñêèì è äèíàìè÷åñêèì.  ïåðâîì ñëó÷àå èçìåðÿåòñÿ óãîë çàêðó÷èâàíèÿ öèëèíäðè÷åñêîãî ñòåðæíÿ (ïðîâîëîêè) ïðè îïðåäåëåííîì çàêðó÷èâàþùåì ìîìåíòå. Âî âòîðîì ñëó÷àå íåïîñðåäñòâåííî èçìåðÿåòñÿ ïåðèîä êîëåáàíèé êðóòèëüíîãî ìàÿòíèêà ïîäâåøåííîãî íà ïðîâîëîêå òåëà. Ýòîò ïåðèîä, êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, çàâèñèò îò óïðóãèõ ñâîéñòâ ïðîâîëîêè (ìîäóëÿ êðó÷åíèÿ). Óïðàæíåíèå 1 Îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ ñäâèãà ñòàòè÷åñêèì ìåòîäîì Ïðèáîðû è ïðèíàäëåæíîñòè: ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà, îñâåòèòåëü ñ ïîëóïðîçðà÷íîé øêàëîé, ìàñøòàáíàÿ ëèíåéêà, íàáîð ãðóçîâ. 157
Ïîðÿäîê èçìåðåíèé. Óñòàíàâëèâàþò òðóáó îñâåòèòåëÿ òàê, ÷òîáû îòðàæåííûé îò çåðêàëüöà çàé÷èê ïîïàäàë íà ñåðåäèíó øêàëû, è ôèêñèðóþò ïîëîæåíèå ðèñêè çàé÷èêà. Ðàñïîëàãàþò íèòè ñ ïëàòôîðìàìè äëÿ ãðóçîâ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 5. Ïîìåùàÿ íà ïëàòôîðìû ïî îäíîìó, äâà è ò.ä. ãðóçà, ôèêñèðóþò è çàïèñûâàþò äëÿ êàæäîé íàãðóçêè îòêëîíåíèå n çàé÷èêà ïî øêàëå îò íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ. Ïîâòîðÿþò ýêñïåðèìåíò â îáðàòíîì ïîðÿäêå, ñíèìàÿ ãðóçû ñ ïëàòôîðì, è íàõîäÿò äëÿ êàæäîé íàãðóçêè ñðåäíåå îòêëîíåíèå nñð. Ïðè ðàâíîâåñèè ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòåé ðàâíà ñèëå òÿæåñòè mg ãðóçîâ íà ïëàòôîðìå (âêëþ÷àÿ ïëàòôîðìó). Ïëå÷î ýòîé ñèëû ðàâíî ðàäèóñó äèñêà d/2 (d äèàìåòð). Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå ìîìåíòà ïàðû ñèë M = mgd è j èç (12) â ðàâåíñòâî (3) è ðåøàÿ åãî îòíîñèòåëüíî D, ïîëó÷àåì D=
Ðèñ. 5
Îïèñàíèå óñòàíîâêè: îñíîâà ýêñïåðèìåíòàëüíîé óñòàíîâêè ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 5. Âåðõíèé êîíåö âåðòèêàëüíîãî ñòåðæíÿ (1) (ñòàëüíîé ïðîâîëîêè) æåñòêî çàêðåïëåí íà âåðõíåé ïåðåêëàäèíå äåðåâÿííîé ðàìû. Ê åãî íèæíåìó êîíöó ïðèêðåïëåí ìåòàëëè÷åñêèé äèñê (2). Ìîìåíò Ì, çàêðó÷èâàþùèé ñòåðæåíü, ñîçäàåòñÿ äâóìÿ íàâèòûìè íà äèñê è ïåðåêèíóòûìè ÷åðåç áëîê (3) íèòÿìè (4), ê êîíöàì êîòîðûõ ïîäâåøèâàþòñÿ îäèíàêîâûå ãðóçû (5). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ óãëà çàêðó÷èâàíèÿ ïðîâîëîêè èñïîëüçóåòñÿ çåðêàëüíûé îòñ÷åò ñ ïîìîùüþ çåðêàëüöà (6), æåñòêî ñâÿçàííîãî ñ äèñêîì, è îñâåòèòåëÿ (7) ñ ïîëóïðîçðà÷íîé øêàëîé (8). Ëó÷ ñâåòà îò îñâåòèòåëÿ, îòðàæàÿñü îò çåðêàëüöà, ïîïàäàåò íà øêàëó è ïðè ïîâîðîòå çåðêàëüöà ñêîëüçèò ïî øêàëå. Ïðè ýòîì, êàê âèäíî èç ðèñ. 6, ïðè ïîâîðîòå çåðêàëüöà íà óãîë j ëó÷ îòêëîíÿåòñÿ íà óãîë 2j. Åñëè ñâåòîâîé çàé÷èê íà øêàëå ñìåñòèòñÿ íà n äåëåíèé, òî tg2j =
n , b
(11)
ãäå b ðàññòîÿíèå îò çåðêàëüöà äî øêàëû. Ïðè ìàëûõ óãëàõ îòêëîíåíèÿ tg2j ~ 2j. Òîãäà j= 158
n . 2b
(12)
2mgdb . n
Ïîëüçóÿñü ýòîé ôîðìóëîé, âû÷èñëÿþò ìîäóëü êðó÷åíèÿ äëÿ êàæäîé íàãðóçêè è çàòåì ñðåäíåå çíà÷åíèå Dcp. Íà êàæäîì èç ãðóçîâ óêàçàíà åãî ìàññà, äèàìåòð äèñêà çàäàí, ðàññòîÿíèå b îò çåðêàëüöà äî øêàëû èçìåðÿåòñÿ ëèíåéêîé. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèÿ ìîäóëÿ êðó÷åíèÿ çàïèñàòü â âèäå òàáë. 1. Òàáëèöà 1 ¹ ï/ï
Ìàññà ãðóçà, êã
Îòêëîíåíèå ïî øêàëå, ì ncp n¯ n
Ìîäóëü D, Í×ì
DD = Dcp D
 çàêëþ÷åíèå, ïîäñòàâèâ Dcp â ôîðìóëó (4), âû÷èñëÿþò ìîäóëü ñäâèãà G. Îöåíèâàþò ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèé. Óïðàæíåíèå 2 Îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ ñäâèãà èç êðóòèëüíûõ êîëåáàíèé Äëÿ èçìåðåíèé èñïîëüçóåòñÿ òà æå ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà, ÷òî è â óïðàæíåíèè 1. Ê ïðèíàäëåæíîñòÿì äîáàâëÿåòñÿ âòîðîé íàáîð öèëèíäðè÷åñêèõ ãðóçîâ è ñåêóíäîìåð. Âûâîä ðàñ÷åòíûõ ôîðìóë. Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî òåëî, ïîäâåøåííîå íà ñòàëüíîé ïðîâîëîêå, âûâåäåííîå èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è ïðåäîñòàâëåííîå ñàìîìó ñåáå, íà÷èíàåò ïîä äåéñòâèåì óïðóãèõ ñèë, âîçíèêàþùèõ â óïðóãîé ïðîâîëîêå, ñîâåðøàòü êðóòèëüíûå êîëåáàíèÿ. Ïðè ïîâîðîòå òåëà íà óãîë j ìîìåíò óïðóãèõ ñèë, ñòðåìÿùèéñÿ âåðíóòü òåëî â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, ñîãëàñíî ôîðìóëå (3) áóäåò Dj = M. 159
Ïîðÿäîê èçìåðåíèé. Óñòàíàâëèâàþò òðóáó îñâåòèòåëÿ òàê, ÷òîáû îòðàæåííûé îò çåðêàëüöà çàé÷èê ïîïàäàë íà ñåðåäèíó øêàëû, è ôèêñèðóþò ïîëîæåíèå ðèñêè çàé÷èêà. Ðàñïîëàãàþò íèòè ñ ïëàòôîðìàìè äëÿ ãðóçîâ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 5. Ïîìåùàÿ íà ïëàòôîðìû ïî îäíîìó, äâà è ò.ä. ãðóçà, ôèêñèðóþò è çàïèñûâàþò äëÿ êàæäîé íàãðóçêè îòêëîíåíèå n çàé÷èêà ïî øêàëå îò íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ. Ïîâòîðÿþò ýêñïåðèìåíò â îáðàòíîì ïîðÿäêå, ñíèìàÿ ãðóçû ñ ïëàòôîðì, è íàõîäÿò äëÿ êàæäîé íàãðóçêè ñðåäíåå îòêëîíåíèå nñð. Ïðè ðàâíîâåñèè ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòåé ðàâíà ñèëå òÿæåñòè mg ãðóçîâ íà ïëàòôîðìå (âêëþ÷àÿ ïëàòôîðìó). Ïëå÷î ýòîé ñèëû ðàâíî ðàäèóñó äèñêà d/2 (d äèàìåòð). Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå ìîìåíòà ïàðû ñèë M = mgd è j èç (12) â ðàâåíñòâî (3) è ðåøàÿ åãî îòíîñèòåëüíî D, ïîëó÷àåì D=
Ðèñ. 5
Îïèñàíèå óñòàíîâêè: îñíîâà ýêñïåðèìåíòàëüíîé óñòàíîâêè ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 5. Âåðõíèé êîíåö âåðòèêàëüíîãî ñòåðæíÿ (1) (ñòàëüíîé ïðîâîëîêè) æåñòêî çàêðåïëåí íà âåðõíåé ïåðåêëàäèíå äåðåâÿííîé ðàìû. Ê åãî íèæíåìó êîíöó ïðèêðåïëåí ìåòàëëè÷åñêèé äèñê (2). Ìîìåíò Ì, çàêðó÷èâàþùèé ñòåðæåíü, ñîçäàåòñÿ äâóìÿ íàâèòûìè íà äèñê è ïåðåêèíóòûìè ÷åðåç áëîê (3) íèòÿìè (4), ê êîíöàì êîòîðûõ ïîäâåøèâàþòñÿ îäèíàêîâûå ãðóçû (5). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ óãëà çàêðó÷èâàíèÿ ïðîâîëîêè èñïîëüçóåòñÿ çåðêàëüíûé îòñ÷åò ñ ïîìîùüþ çåðêàëüöà (6), æåñòêî ñâÿçàííîãî ñ äèñêîì, è îñâåòèòåëÿ (7) ñ ïîëóïðîçðà÷íîé øêàëîé (8). Ëó÷ ñâåòà îò îñâåòèòåëÿ, îòðàæàÿñü îò çåðêàëüöà, ïîïàäàåò íà øêàëó è ïðè ïîâîðîòå çåðêàëüöà ñêîëüçèò ïî øêàëå. Ïðè ýòîì, êàê âèäíî èç ðèñ. 6, ïðè ïîâîðîòå çåðêàëüöà íà óãîë j ëó÷ îòêëîíÿåòñÿ íà óãîë 2j. Åñëè ñâåòîâîé çàé÷èê íà øêàëå ñìåñòèòñÿ íà n äåëåíèé, òî tg2j =
n , b
(11)
ãäå b ðàññòîÿíèå îò çåðêàëüöà äî øêàëû. Ïðè ìàëûõ óãëàõ îòêëîíåíèÿ tg2j ~ 2j. Òîãäà j= 158
n . 2b
(12)
2mgdb . n
Ïîëüçóÿñü ýòîé ôîðìóëîé, âû÷èñëÿþò ìîäóëü êðó÷åíèÿ äëÿ êàæäîé íàãðóçêè è çàòåì ñðåäíåå çíà÷åíèå Dcp. Íà êàæäîì èç ãðóçîâ óêàçàíà åãî ìàññà, äèàìåòð äèñêà çàäàí, ðàññòîÿíèå b îò çåðêàëüöà äî øêàëû èçìåðÿåòñÿ ëèíåéêîé. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèÿ ìîäóëÿ êðó÷åíèÿ çàïèñàòü â âèäå òàáë. 1. Òàáëèöà 1 ¹ ï/ï
Ìàññà ãðóçà, êã
Îòêëîíåíèå ïî øêàëå, ì ncp n¯ n
Ìîäóëü D, Í×ì
DD = Dcp D
 çàêëþ÷åíèå, ïîäñòàâèâ Dcp â ôîðìóëó (4), âû÷èñëÿþò ìîäóëü ñäâèãà G. Îöåíèâàþò ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèé. Óïðàæíåíèå 2 Îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ ñäâèãà èç êðóòèëüíûõ êîëåáàíèé Äëÿ èçìåðåíèé èñïîëüçóåòñÿ òà æå ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà, ÷òî è â óïðàæíåíèè 1. Ê ïðèíàäëåæíîñòÿì äîáàâëÿåòñÿ âòîðîé íàáîð öèëèíäðè÷åñêèõ ãðóçîâ è ñåêóíäîìåð. Âûâîä ðàñ÷åòíûõ ôîðìóë. Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî òåëî, ïîäâåøåííîå íà ñòàëüíîé ïðîâîëîêå, âûâåäåííîå èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è ïðåäîñòàâëåííîå ñàìîìó ñåáå, íà÷èíàåò ïîä äåéñòâèåì óïðóãèõ ñèë, âîçíèêàþùèõ â óïðóãîé ïðîâîëîêå, ñîâåðøàòü êðóòèëüíûå êîëåáàíèÿ. Ïðè ïîâîðîòå òåëà íà óãîë j ìîìåíò óïðóãèõ ñèë, ñòðåìÿùèéñÿ âåðíóòü òåëî â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, ñîãëàñíî ôîðìóëå (3) áóäåò Dj = M. 159
Íàïîìíèì: ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà äëÿ ìàëûõ êîëåáàíèé (ìàëûõ óãëîâ j). Ñîãëàñíî îñíîâíîìó çàêîíó äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ I
d 2j dt 2
(13)
= -M ,
ãäå I ìîìåíò èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ. Çíàê ìèíóñ ïîñòàâëåí ïîòîìó, ÷òî ìîìåíò ñèë âûçûâàåò âðàùåíèå â ñòîðîíó óìåíüøåíèÿ óãëà j. Äëÿ íàøåãî êðóòèëüíîãî ìàÿòíèêà ìîæíî çàïèñàòü I
d j dt
= -D j èëè
d 2j dt 2
D + j = 0. I
çàìè, ðàçìåùåííûìè íà íåì îäèí ðàç íà ðàññòîÿíèÿõ l1 îò îñè äèñêà, âòîðîé ðàç íà ðàññòîÿíèÿõ l2. Ìîìåíò èíåðöèè ñèñòåìû ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó ìîìåíòà èíåðöèè äèñêà (ñ ïðîâîëîêîé) I0 è ìîìåíòîâ èíåðöèè ãðóçîâ, ò.å. äëÿ äâóõ ñëó÷àåâ: I 1 = I 0 + 4ml12 ; I 2 = I 0 + 4ml22 .
Ïåðèîäû êîëåáàíèé Ò1 è Ò2 ñèñòåìû ïðè äâóõ ïîëîæåíèÿõ ãðóçîâ, ñîãëàñíî ôîðìóëå (16), áóäóò
d t
+
g a = 0, l
(14)
I . D
(18)
Èç ýòèõ âûðàæåíèé íåñëîæíî ïîëó÷èòü D=
(15)
îïèñûâàþùåìó äâèæåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Çíà÷èò, òåëî áóäåò ñîâåðøàòü ãàðìîíè÷åñêèå êðóòèëüíûå êîëåáàíèÿ ñ ïåðèîäîì T = 2p
I + 4ml I + 4ml ;T = p . D D
T = p
Ýòî óðàâíåíèå ìàòåìàòè÷åñêè òîæäåñòâåííî óðàâíåíèþ d a
(17)
(16)
Åñëè ìîìåíò èíåðöèè I òåëà èçâåñòåí, òî, èçìåðèâ ïåðèîä êîëåáàíèé, ìîæíî, ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (16), âû÷èñëèòü ìîäóëü êðó÷åíèÿ D. Îäíàêî ìîìåíò èíåðöèè êðóòèëüíîãî ìàÿòíèêà (äèñêà), èñïîëüçóåìîãî â çàäà÷å, íåèçâåñòåí. Ñëåäîâàòåëüíî, îí äîëæåí áûòü èñêëþ÷åí èç ðàñ÷åòîâ. Ýòà öåëü ìîæåò áûòü äîñòèãíóòà ïóòåì èçìåðåíèÿ äâóõ ïåðèîäîâ êîëåáàíèé ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç äèñêà, ïîäâåøåííîãî íà ïðîâîëîêå, ñ ÷åòûðüìÿ ãðó-
6p m(l - l ) T - T
(19)
.
Ïîðÿäîê èçìåðåíèé. Ïîä âåëè÷èíàìè l1, è l2 ïîäðàçóìåâàþòñÿ ðàññòîÿíèÿ îò îñè âðàùåíèÿ äî öåíòðà ìàññ ãðóçîâ. Äëÿ ðàçìåùåíèÿ ãðóçîâ íà äèñêå ïðåäóñìîòðåíû ñïåöèàëüíûå øòèôòû, ðàñïîëîæåííûå ïî äâóì êîíöåíòðè÷åñêèì îêðóæíîñòÿì ñ ðàäèóñàìè l1 è l2. Ñíà÷àëà ãðóçû íàäåâàþò íà øòèôòû, áîëåå óäàëåííûå îò îñè âðàùåíèÿ. Ïëàòôîðìû ñ ãðóçàìè, èñïîëüçóåìûå â ïåðâîì óïðàæíåíèè, îòñîåäèíÿþò îò íèòåé. Íàñòðàèâàþò óñòàíîâêó ñâåòîâîãî çàé÷èêà ïðèìåðíî íà ñåðåäèíó øêàëû (ñì. ðèñ. 6). Ñîîáùàþò ñèñòåìå âðàùàòåëüíûé èìïóëüñ (ëåãêèì ðûâêîì ïîòÿíóâ çà øíóðîê, ñîåäèíåííûé ñ âåðõíèì êðåïëåíèåì ïðîâîëîêè). Ïðåäâàðèòåëüíî äîëæåí áûòü ñëåãêà îòâåðíóò âèíò (9). Âîçíèêøèå êîëåáàíèÿ äîëæíû èìåòü íåáîëüøóþ àìïëèòóäó. Ñ ïîìîùüþ ñåêóíäîìåðà èçìåðÿþò âðåìÿ 2025 ïîëíûõ êîëåáàíèé. Èçìåðåíèÿ ñëåäóåò ïîâòîðèòü ïÿòü ðàç è íàéòè ñðåäíåå çíà÷åíèå âðåìåíè t. Ðàçäåëèâ tcp íà ÷èñëî êîëåáàíèé n, âû÷èñëÿþò ïåðèîä êîëåáàíèé Ò1. Ïåðåìåñòèâ ãðóçû íà âíóòðåííèå, áëèæíèå øòèôòû, ïîâòîðÿþò èçìåðåíèÿ è îïðåäåëÿþò íîâûé ïåðèîä êîëåáàíèé T2. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé çàïèñûâàþò â âèäå òàáë. 2. Òàáëèöà 2
l1 l2 Ðèñ. 6
160
¹ îïûòà t Dt t Dt
1
2
3
4
5
tcp = Dtcp = tcp = Dtcp =
161
Íàïîìíèì: ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà äëÿ ìàëûõ êîëåáàíèé (ìàëûõ óãëîâ j). Ñîãëàñíî îñíîâíîìó çàêîíó äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ I
d 2j dt 2
(13)
= -M ,
ãäå I ìîìåíò èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ. Çíàê ìèíóñ ïîñòàâëåí ïîòîìó, ÷òî ìîìåíò ñèë âûçûâàåò âðàùåíèå â ñòîðîíó óìåíüøåíèÿ óãëà j. Äëÿ íàøåãî êðóòèëüíîãî ìàÿòíèêà ìîæíî çàïèñàòü I
d j dt
= -D j èëè
d 2j dt 2
D + j = 0. I
çàìè, ðàçìåùåííûìè íà íåì îäèí ðàç íà ðàññòîÿíèÿõ l1 îò îñè äèñêà, âòîðîé ðàç íà ðàññòîÿíèÿõ l2. Ìîìåíò èíåðöèè ñèñòåìû ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó ìîìåíòà èíåðöèè äèñêà (ñ ïðîâîëîêîé) I0 è ìîìåíòîâ èíåðöèè ãðóçîâ, ò.å. äëÿ äâóõ ñëó÷àåâ: I 1 = I 0 + 4ml12 ; I 2 = I 0 + 4ml22 .
Ïåðèîäû êîëåáàíèé Ò1 è Ò2 ñèñòåìû ïðè äâóõ ïîëîæåíèÿõ ãðóçîâ, ñîãëàñíî ôîðìóëå (16), áóäóò
d t
+
g a = 0, l
(14)
I . D
(18)
Èç ýòèõ âûðàæåíèé íåñëîæíî ïîëó÷èòü D=
(15)
îïèñûâàþùåìó äâèæåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Çíà÷èò, òåëî áóäåò ñîâåðøàòü ãàðìîíè÷åñêèå êðóòèëüíûå êîëåáàíèÿ ñ ïåðèîäîì T = 2p
I + 4ml I + 4ml ;T = p . D D
T = p
Ýòî óðàâíåíèå ìàòåìàòè÷åñêè òîæäåñòâåííî óðàâíåíèþ d a
(17)
(16)
Åñëè ìîìåíò èíåðöèè I òåëà èçâåñòåí, òî, èçìåðèâ ïåðèîä êîëåáàíèé, ìîæíî, ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (16), âû÷èñëèòü ìîäóëü êðó÷åíèÿ D. Îäíàêî ìîìåíò èíåðöèè êðóòèëüíîãî ìàÿòíèêà (äèñêà), èñïîëüçóåìîãî â çàäà÷å, íåèçâåñòåí. Ñëåäîâàòåëüíî, îí äîëæåí áûòü èñêëþ÷åí èç ðàñ÷åòîâ. Ýòà öåëü ìîæåò áûòü äîñòèãíóòà ïóòåì èçìåðåíèÿ äâóõ ïåðèîäîâ êîëåáàíèé ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç äèñêà, ïîäâåøåííîãî íà ïðîâîëîêå, ñ ÷åòûðüìÿ ãðó-
6p m(l - l ) T - T
(19)
.
Ïîðÿäîê èçìåðåíèé. Ïîä âåëè÷èíàìè l1, è l2 ïîäðàçóìåâàþòñÿ ðàññòîÿíèÿ îò îñè âðàùåíèÿ äî öåíòðà ìàññ ãðóçîâ. Äëÿ ðàçìåùåíèÿ ãðóçîâ íà äèñêå ïðåäóñìîòðåíû ñïåöèàëüíûå øòèôòû, ðàñïîëîæåííûå ïî äâóì êîíöåíòðè÷åñêèì îêðóæíîñòÿì ñ ðàäèóñàìè l1 è l2. Ñíà÷àëà ãðóçû íàäåâàþò íà øòèôòû, áîëåå óäàëåííûå îò îñè âðàùåíèÿ. Ïëàòôîðìû ñ ãðóçàìè, èñïîëüçóåìûå â ïåðâîì óïðàæíåíèè, îòñîåäèíÿþò îò íèòåé. Íàñòðàèâàþò óñòàíîâêó ñâåòîâîãî çàé÷èêà ïðèìåðíî íà ñåðåäèíó øêàëû (ñì. ðèñ. 6). Ñîîáùàþò ñèñòåìå âðàùàòåëüíûé èìïóëüñ (ëåãêèì ðûâêîì ïîòÿíóâ çà øíóðîê, ñîåäèíåííûé ñ âåðõíèì êðåïëåíèåì ïðîâîëîêè). Ïðåäâàðèòåëüíî äîëæåí áûòü ñëåãêà îòâåðíóò âèíò (9). Âîçíèêøèå êîëåáàíèÿ äîëæíû èìåòü íåáîëüøóþ àìïëèòóäó. Ñ ïîìîùüþ ñåêóíäîìåðà èçìåðÿþò âðåìÿ 2025 ïîëíûõ êîëåáàíèé. Èçìåðåíèÿ ñëåäóåò ïîâòîðèòü ïÿòü ðàç è íàéòè ñðåäíåå çíà÷åíèå âðåìåíè t. Ðàçäåëèâ tcp íà ÷èñëî êîëåáàíèé n, âû÷èñëÿþò ïåðèîä êîëåáàíèé Ò1. Ïåðåìåñòèâ ãðóçû íà âíóòðåííèå, áëèæíèå øòèôòû, ïîâòîðÿþò èçìåðåíèÿ è îïðåäåëÿþò íîâûé ïåðèîä êîëåáàíèé T2. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé çàïèñûâàþò â âèäå òàáë. 2. Òàáëèöà 2
l1 l2 Ðèñ. 6
160
¹ îïûòà t Dt t Dt
1
2
3
4
5
tcp = Dtcp = tcp = Dtcp =
161
Ìàññà ãðóçîâ íàõîäèòñÿ âçâåøèâàíèåì íà òåõíè÷åñêèõ âåñàõ ñ òî÷íîñòüþ äî 0,1 ã. Ðàññòîÿíèÿ l1 è l2 çàäàíû. Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (19), âû÷èñëÿþò ìîäóëü êðó÷åíèÿ. Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå ìîäóëÿ êðó÷åíèÿ â ôîðìóëó (10), âû÷èñëÿþò ìîäóëü ñäâèãà G. Âõîäÿùèå â ôîðìóëó ðàäèóñ è äëèíà ïðîâîëîêè çàäàíû. Ñëåäóåò îöåíèòü îøèáêè, äîïóùåííûå ïðè îïðåäåëåíèè âåëè÷èí D è G, çàïèñàòü ðåçóëüòàòû ñ ó÷åòîì ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé.  çàêëþ÷åíèå ñîïîñòàâëÿþò çíà÷åíèÿ âåëè÷èí D è G, ïîëó÷åííûå îáîèìè ìåòîäàìè (ò.å. â óïðàæíåíèÿõ 1 è 2): ñòàòè÷åñêèì è äèíàìè÷åñêèì. Ïî ñîãëàñîâàíèþ ñ ïðåïîäàâàòåëåì ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ âû÷èñëåíèåì ïîãðåøíîñòåé òîëüêî äëÿ óïðàæíåíèÿ 1. Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 1. Ìåõàíèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 2. Äèíàìèêà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. § 29. Óïðóãèå ñèëû.
ÒÅÌÀ 3
ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ ÐÀÇÄÅË 1 ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÎÅ ÏÎËÅ. ÑÂÎÉÑÒÂÀ È ÎÏÈÑÀÍÈÅ
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ 1. Ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä. Íîñèòåëÿìè ýëåêòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ â âåùåñòâàõ ÿâëÿþòñÿ ýëåêòðîíû è âõîäÿùèå â ñîñòàâ àòîìíîãî ÿäðà ïðîòîíû, ïðè÷åì èõ çàðÿäû (±1,6×1019 Ê) íå ïðèîáðåòàþòñÿ â ðåçóëüòàòå ýëåêòðèçàöèè èëè êàêèõ-ëèáî äðóãèõ ïðîöåññîâ, à ÿâëÿþòñÿ íåîòúåìëåìûì ñòàáèëüíûì ñâîéñòâîì, êîëè÷åñòâåííî ïîñòîÿííûì â òå÷åíèå âñåé æèçíè ÷àñòèöû è îòâåòñòâåííûì çà åå ýëåêòðè÷åñêèå (èëè â áîëåå øèðîêîì àñïåêòå ýëåêòðîìàãíèòíûå) âçàèìîäåéñòâèÿ. Èìåííî ýòè ñâîéñòâà è ëåæàò â îïðåäåëåíèè ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà.  ñîâðåìåííîé òðàêòîâêå ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä îïðåäåëÿåòñÿ êàê âíóòðåííÿÿ õàðàêòåðèñòèêà ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû, îïðåäåëÿþùàÿ åå ýëåêòðîìàãíèòíîå âçàèìîäåéñòâèå. Ê ÷èñëó ôóíäàìåíòàëüíûõ çàêîíîâ, îïèñûâàþùèõ ñâîéñòâà è ïîâåäåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ, îòíîñÿòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà è çàêîí âçàèìîäåéñòâèÿ òî÷å÷íûõ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ (çàêîí Êóëîíà): F =k
q1q2 R2
,
(1)
ãäå F ìîäóëü ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ; k êîýôôèöèåíò, çàâèñÿùèé îò âûáîðà åäèíèö èçìåðåíèé; q1, q2 çàðÿäû; R ðàññòîÿíèå ìåæäó çàðÿäàìè. 2. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Âîïðîñ: ÿâëÿåòñÿ ëè óåäèíåííûé çàðÿä èñòî÷íèêîì ýëåêòðè÷åñêèõ ñèë â ïðîñòðàíñòâå èëè íèêàê íå äåéñòâóåò íà ïðîñòðàíñòâî? Äëÿ îòâåòà ñëåäóåò ïðîâåñòè èçìåðåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ ñèë âîêðóã óåäèíåííîãî çàðÿäà, íå ïîëüçóÿñü äðóãèìè ýëåêòðè÷åñêèìè çàðÿäàìè (ñîõðàíèòü óåäèíåííîñòü, èíà÷å âîçíèêíåò âçàèìîäåéñòâèå ïî çàêîíó Êóëîíà), à òàêèå 163
ñïîñîáû èçìåðåíèé íåèçâåñòíû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîëîæåíèå î çàðÿäå êàê èñòî÷íèêå ýëåêòðè÷åñêèõ ñèë â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå íå ïðîòèâîðå÷èò ôóíäàìåíòàëüíûì ïðèíöèïàì ïðèðîäû. È ìîæíî ââåñòè ìîäåëü, ñîãëàñíî êîòîðîé âîêðóã óåäèíåííîãî çàðÿäà âñåãäà ñóùåñòâóåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, îïðåäåëÿþùåå ñîñòîÿíèå ïðîñòðàíñòâà. Òàêèì îáðàçîì, â ýëåêòðîñòàòèêå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê óäîáíàÿ ìîäåëü, îäíàêî â ó÷åíèè î äâèæóùèõñÿ çàðÿäàõ «ïîëå» èìååò ãëóáîêèé ôèçè÷åñêèé ñìûñë è ÿâëÿåòñÿ ìàòåðèàëüíûì íîñèòåëåì âçàèìîäåéñòâèÿ. Ñèëû ïîëÿ áóäóò îïðåäåëåíû, åñëè îïðåäåëåíà â êàæäîé òî÷êå ýòîãî ïîëÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ïîìåùåííûé â íåå ïðîáíûé çàðÿä (åäèíè÷íûé ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä). Ýòà ñèëà íàçûâàåòñÿ íàïðÿæåííîñòüþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ -=
. . G
(2)
Ïðè ïåðåìåùåíèè ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà q â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå èç òî÷êè R1 â òî÷êó R2 ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà R
A =
ò Fdl = q ò El dl,
(3)
R
(åñëè q = 1, òî R
A =
(4)
ò El dl,
R
ãäå F ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà çàðÿä; dl ïåðåìåùåíèå; Ål ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà Å íà íàïðàâëåíèå dl. Ýëåìåíòàðíûì ðàñ÷åòîì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ðàáîòà ýëåêòðè÷åñêèõ ñèë ïî ïåðåìåùåíèþ åäèíè÷íîãî çàðÿäà íà ïðîèçâîëüíîì ïóòè â ïîëå, ñîçäàííîì íåïîäâèæíûì çàðÿäîì Q, ðàâíà R
A =
æQ
ò El dl = - çè R
R
-
Qö ÷ R ø
(5)
è íå çàâèñèò îò ôîðìû ïóòè. Äëÿ çàìêíóòîãî ïóòè A= À ò E l dl = 0.
(6)
Òàêèì îáðàçîì, âñÿêîå ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå åñòü ïîëå ïîòåíöèàëüíîå. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü ââåñòè ïîíÿòèå ïîòåíöèàëà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ: ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè (R2 è R1) ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ ðàâíà âçÿòîé ñ îá164
R
j - j = - ò Edl .
(7)
R
Î÷åâèäíî, ÷òî ïîòåíöèàëó j0 ïðîèçâîëüíîé òî÷êè ïîëÿ R0 âñåãäà ìîæíî ïðèïèñàòü ëþáîå íàïåðåä âûáðàííîå çíà÷åíèå. Äåëî â òîì, ÷òî ïóòåì èçìåðåíèÿ ðàáîòû ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà òîëüêî ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, íî íå àáñîëþòíàÿ åãî âåëè÷èíà. Îäíàêî, êàê òîëüêî çàôèêñèðîâàíî çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà â êàêîé-ëèáî òî÷êå ïîëÿ, çíà÷åíèå åãî âî âñåõ îñòàëüíûõ òî÷êàõ îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíî (6). Îáû÷íî àääèòèâíóþ ïîñòîÿííóþ â âûðàæåíèè ïîòåíöèàëà âûáèðàþò òàê, ÷òîáû ïîòåíöèàë áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷åê (j¥) áûë ðàâåí íóëþ. Ïðè ýòîì óñëîâèè ôîðìóëà (7) ïðèíèìàåò âèä ¥
R
j = j¥ -
R
R
ðàòíûì çíàêîì ðàáîòå, ñîâåðøàåìîé ñèëàìè ïîëÿ ïðè ïåðåìåùåíèè åäèíè÷íîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà èç ïåðâîé òî÷êè âî âòîðóþ:
ò
R¥
=
ò El dl,
òàê êàê (j¥ = 0),
(8)
R
ò.å. ïîòåíöèàë òî÷êè R0 ðàâåí ðàáîòå, ñîâåðøàåìîé ñèëàìè ïîëÿ ïðè óäàëåíèè åäèíè÷íîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà èç òî÷êè R0 â áåñêîíå÷íîñòü. Ñâÿçü âåëè÷èí E è j: íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E ðàâíà ãðàäèåíòó ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà j, âçÿòîìó ñ îáðàòíûì çíàêîì: E = gradj.
(9)
3. Ãðàôè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Îäíèì èç ñïîñîáîâ ïðåäñòàâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ñèëîâûõ ëèíèé è ýêâèïîòåíöèàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ñèëîâîé ëèíèåé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íàçûâàåòñÿ ëèíèÿ, êàñàòåëüíûå ê êîòîðîé â êàæäîé åå òî÷êå ñîâïàäàþò ïî íàïðàâëåíèþ ñ âåêòîðîì íàïðÿæåííîñòè E ïîëÿ â òîé æå òî÷êå. Î÷åâèäíî, ÷òî ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ïîëÿ, â êîòîðîé E ¹ 0, ìîæíî ïðîâåñòè òîëüêî îäíó ñèëîâóþ ëèíèþ. Íà ðèñ. 1 ïîêàçàíû ñèëîâûå ëèíèè è ýêâèïîòåíöèàëüíûå ïîâåðõíîñòè ñèñòåìû äâóõ ðàâíûõ îäíîèìåííûõ (ðèñ. 1à) è ðàçíîèìåííûõ (ðèñ. 1á) òî÷å÷íûõ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà ðàññòîÿíèè R äðóã îò äðóãà. Ïðè ïîñòðîåíèè ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ñèëîâûå ëèíèè íà÷èíàþòñÿ íà ïîëîæèòåëüíîì è çàêàí÷èâàþòñÿ íà îòðèöàòåëüíîì çàðÿäàõ èëè îäíèì 165
ñïîñîáû èçìåðåíèé íåèçâåñòíû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîëîæåíèå î çàðÿäå êàê èñòî÷íèêå ýëåêòðè÷åñêèõ ñèë â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå íå ïðîòèâîðå÷èò ôóíäàìåíòàëüíûì ïðèíöèïàì ïðèðîäû. È ìîæíî ââåñòè ìîäåëü, ñîãëàñíî êîòîðîé âîêðóã óåäèíåííîãî çàðÿäà âñåãäà ñóùåñòâóåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, îïðåäåëÿþùåå ñîñòîÿíèå ïðîñòðàíñòâà. Òàêèì îáðàçîì, â ýëåêòðîñòàòèêå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê óäîáíàÿ ìîäåëü, îäíàêî â ó÷åíèè î äâèæóùèõñÿ çàðÿäàõ «ïîëå» èìååò ãëóáîêèé ôèçè÷åñêèé ñìûñë è ÿâëÿåòñÿ ìàòåðèàëüíûì íîñèòåëåì âçàèìîäåéñòâèÿ. Ñèëû ïîëÿ áóäóò îïðåäåëåíû, åñëè îïðåäåëåíà â êàæäîé òî÷êå ýòîãî ïîëÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ïîìåùåííûé â íåå ïðîáíûé çàðÿä (åäèíè÷íûé ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä). Ýòà ñèëà íàçûâàåòñÿ íàïðÿæåííîñòüþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ -=
. . G
(2)
Ïðè ïåðåìåùåíèè ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà q â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå èç òî÷êè R1 â òî÷êó R2 ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà R
A =
ò Fdl = q ò El dl,
(3)
R
(åñëè q = 1, òî R
A =
(4)
ò El dl,
R
ãäå F ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà çàðÿä; dl ïåðåìåùåíèå; Ål ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà Å íà íàïðàâëåíèå dl. Ýëåìåíòàðíûì ðàñ÷åòîì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ðàáîòà ýëåêòðè÷åñêèõ ñèë ïî ïåðåìåùåíèþ åäèíè÷íîãî çàðÿäà íà ïðîèçâîëüíîì ïóòè â ïîëå, ñîçäàííîì íåïîäâèæíûì çàðÿäîì Q, ðàâíà R
A =
æQ
ò El dl = - çè R
R
-
Qö ÷ R ø
(5)
è íå çàâèñèò îò ôîðìû ïóòè. Äëÿ çàìêíóòîãî ïóòè A= À ò E l dl = 0.
(6)
Òàêèì îáðàçîì, âñÿêîå ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå åñòü ïîëå ïîòåíöèàëüíîå. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü ââåñòè ïîíÿòèå ïîòåíöèàëà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ: ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè (R2 è R1) ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ ðàâíà âçÿòîé ñ îá164
R
j - j = - ò Edl .
(7)
R
Î÷åâèäíî, ÷òî ïîòåíöèàëó j0 ïðîèçâîëüíîé òî÷êè ïîëÿ R0 âñåãäà ìîæíî ïðèïèñàòü ëþáîå íàïåðåä âûáðàííîå çíà÷åíèå. Äåëî â òîì, ÷òî ïóòåì èçìåðåíèÿ ðàáîòû ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà òîëüêî ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, íî íå àáñîëþòíàÿ åãî âåëè÷èíà. Îäíàêî, êàê òîëüêî çàôèêñèðîâàíî çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà â êàêîé-ëèáî òî÷êå ïîëÿ, çíà÷åíèå åãî âî âñåõ îñòàëüíûõ òî÷êàõ îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíî (6). Îáû÷íî àääèòèâíóþ ïîñòîÿííóþ â âûðàæåíèè ïîòåíöèàëà âûáèðàþò òàê, ÷òîáû ïîòåíöèàë áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷åê (j¥) áûë ðàâåí íóëþ. Ïðè ýòîì óñëîâèè ôîðìóëà (7) ïðèíèìàåò âèä ¥
R
j = j¥ -
R
R
ðàòíûì çíàêîì ðàáîòå, ñîâåðøàåìîé ñèëàìè ïîëÿ ïðè ïåðåìåùåíèè åäèíè÷íîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà èç ïåðâîé òî÷êè âî âòîðóþ:
ò
R¥
=
ò El dl,
òàê êàê (j¥ = 0),
(8)
R
ò.å. ïîòåíöèàë òî÷êè R0 ðàâåí ðàáîòå, ñîâåðøàåìîé ñèëàìè ïîëÿ ïðè óäàëåíèè åäèíè÷íîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà èç òî÷êè R0 â áåñêîíå÷íîñòü. Ñâÿçü âåëè÷èí E è j: íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E ðàâíà ãðàäèåíòó ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà j, âçÿòîìó ñ îáðàòíûì çíàêîì: E = gradj.
(9)
3. Ãðàôè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Îäíèì èç ñïîñîáîâ ïðåäñòàâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ñèëîâûõ ëèíèé è ýêâèïîòåíöèàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ñèëîâîé ëèíèåé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íàçûâàåòñÿ ëèíèÿ, êàñàòåëüíûå ê êîòîðîé â êàæäîé åå òî÷êå ñîâïàäàþò ïî íàïðàâëåíèþ ñ âåêòîðîì íàïðÿæåííîñòè E ïîëÿ â òîé æå òî÷êå. Î÷åâèäíî, ÷òî ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ïîëÿ, â êîòîðîé E ¹ 0, ìîæíî ïðîâåñòè òîëüêî îäíó ñèëîâóþ ëèíèþ. Íà ðèñ. 1 ïîêàçàíû ñèëîâûå ëèíèè è ýêâèïîòåíöèàëüíûå ïîâåðõíîñòè ñèñòåìû äâóõ ðàâíûõ îäíîèìåííûõ (ðèñ. 1à) è ðàçíîèìåííûõ (ðèñ. 1á) òî÷å÷íûõ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà ðàññòîÿíèè R äðóã îò äðóãà. Ïðè ïîñòðîåíèè ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ñèëîâûå ëèíèè íà÷èíàþòñÿ íà ïîëîæèòåëüíîì è çàêàí÷èâàþòñÿ íà îòðèöàòåëüíîì çàðÿäàõ èëè îäíèì 165
êîíöîì óõîäÿò â áåñêîíå÷íîñòü. Ñèëîâûå ëèíèè íå ìîãóò áûë çàìêíóòûìè, òàê êàê â ñëó÷àå çàìêíóòîé ëèíèè ïîëå íå áóäåò ïîòåíöèàëüíûì è ñèëîâûå ëèíèè íå ìîãóò óõîäèòü äâóìÿ êîíöàìè â áåñêîíå÷íîñòü, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå ò El dl ® ¥. Íàíåñòè íà ÷åðòåæ âñå ñèëîâûå ëèíèè íåâîçìîæíî, ïîýòîìó îíè ÷åðòÿòñÿ òàê, ÷òîáû â ëþáîì ó÷àñòêå ïîëÿ ÷èñëî ëèíèé, ïåðåñåêàþùèõ ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê íèì ïëîùàäêó åäèíè÷íîé ïëîùàäè, áûëî ïðîïîðöèîíàëüíî ÷èñëåííîé âåëè÷èíå íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ íà ýòîé ïëîùàäêå.  êàæäîì ñëó÷àå ãóñòîòà ðàñïîëîæåíèÿ ñèëîâûõ ëèíèé ñëóæèò ìåðîé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ. Òàê êàê ÷èñëî ñèëîâûõ ëèíèé îïðåäåëÿåòñÿ íàïðÿæåííîñòüþ Å, à íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ïðîïîðöèîíàëüíà çàðÿäó, îáùåå ÷èñëî ñèëîâûõ ëèíèé, èäóùèõ îò çàðÿäà, äîëæíî áûòü ïðîïîðöèîíàëüíî åãî âåëè÷èíå. Åñëè íà ëèíèÿõ íàïðÿæåííîñòè îòìåòèòü òî÷êè îäèíàêîâîãî ïîòåíöèàëà è ñîåäèíèòü èõ ìåæäó ñîáîé, òî ïîëó÷åííûå ïðè ýòîì ïîâåðõíîñòè (â ïëîñêîñòè ðèñóíêà ýòî áóäóò êðèâûå) íàçûâàþòñÿ ýêâèïîòåíöèàëüíûìè. 4. Ïðîâîäíèêè â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå. Êîãäà ãîâîðÿò îá ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäàõ, òî èìåþò â âèäó çàðÿæåííûå òåëà. Ïðè ýòîì
Ðèñ. 1
ïîä òî÷å÷íûìè çàðÿäàìè ïîíèìàþò çàðÿæåííûå òåëà, ðàçìåðàìè êîòîðûõ â óñëîâèÿõ äàííîé çàäà÷è ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Âñå òåëà ïî ýëåêòðè÷åñêèì ñâîéñòâàì ðàçäåëÿþòñÿ íà òåëà, âåùåñòâî êîòîðûõ ñîäåðæèò çàðÿäû, ñâîáîäíî äâèæóùèåñÿ âíóòðè ïî âñåìó îáúåìó òåëà (ïðîâîäíèêè), è òåëà, çàðÿäû êîòîðûõ ïðè ñâîåì äâèæåíèè îñòàþòñÿ â ïðåäåëàõ àòîìà èëè ìîëåêóë, â ñîñòàâ êîòîðûõ îíè âõîäÿò (èçîëÿòîðû). Ïðè ïîìåùåíèè ïðîâîäíèêà â ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå èëè ïðè ñîîáùåíèè åìó çàðÿäà â íåì ïðîèñõîäèò ïåðåðàñïðåäåëåíèå 166
çàðÿäîâ, ïðèâîäÿùåå ê íîâîìó ðàâíîâåñèþ çàðÿäîâ. Ðàâíîâåñèå çàðÿäîâ îçíà÷àåò, ÷òî âíóòðè ïðîâîäíèêà íà íèõ íå äåéñòâóþò ñèëû, ò.å. íàïðÿæåííîñòü E âíóòðè ïðîâîäíèêà ðàâíà íóëþ. Íàïðàâëåíèå E íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà ïåðïåíäèêóëÿðíî ïîâåðõíîñòè (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âîçíèêíåò ñëàãàþùàÿ íàïðÿæåííîñòè E, íàïðàâëåííàÿ âäîëü ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà, âûçûâàþùàÿ äâèæåíèå çàðÿäîâ).  ýòîì ñëó÷àå ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè ïðîâîäíèêà, ëåæàùèìè íà ïîâåðõíîñòè è âíóòðè íåãî, ðàâíà íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, ïîòåíöèàë âñåõ òî÷åê ïðîâîäíèêà îäèí è òîò æå, è ïîâåðõíîñòü ïðîâîäíèêà ÿâëÿåòñÿ ýêâèïîòåíöèàëüíîé.
êîíöîì óõîäÿò â áåñêîíå÷íîñòü. Ñèëîâûå ëèíèè íå ìîãóò áûë çàìêíóòûìè, òàê êàê â ñëó÷àå çàìêíóòîé ëèíèè ïîëå íå áóäåò ïîòåíöèàëüíûì è ñèëîâûå ëèíèè íå ìîãóò óõîäèòü äâóìÿ êîíöàìè â áåñêîíå÷íîñòü, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå ò El dl ® ¥. Íàíåñòè íà ÷åðòåæ âñå ñèëîâûå ëèíèè íåâîçìîæíî, ïîýòîìó îíè ÷åðòÿòñÿ òàê, ÷òîáû â ëþáîì ó÷àñòêå ïîëÿ ÷èñëî ëèíèé, ïåðåñåêàþùèõ ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê íèì ïëîùàäêó åäèíè÷íîé ïëîùàäè, áûëî ïðîïîðöèîíàëüíî ÷èñëåííîé âåëè÷èíå íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ íà ýòîé ïëîùàäêå.  êàæäîì ñëó÷àå ãóñòîòà ðàñïîëîæåíèÿ ñèëîâûõ ëèíèé ñëóæèò ìåðîé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ. Òàê êàê ÷èñëî ñèëîâûõ ëèíèé îïðåäåëÿåòñÿ íàïðÿæåííîñòüþ Å, à íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ïðîïîðöèîíàëüíà çàðÿäó, îáùåå ÷èñëî ñèëîâûõ ëèíèé, èäóùèõ îò çàðÿäà, äîëæíî áûòü ïðîïîðöèîíàëüíî åãî âåëè÷èíå. Åñëè íà ëèíèÿõ íàïðÿæåííîñòè îòìåòèòü òî÷êè îäèíàêîâîãî ïîòåíöèàëà è ñîåäèíèòü èõ ìåæäó ñîáîé, òî ïîëó÷åííûå ïðè ýòîì ïîâåðõíîñòè (â ïëîñêîñòè ðèñóíêà ýòî áóäóò êðèâûå) íàçûâàþòñÿ ýêâèïîòåíöèàëüíûìè. 4. Ïðîâîäíèêè â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå. Êîãäà ãîâîðÿò îá ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäàõ, òî èìåþò â âèäó çàðÿæåííûå òåëà. Ïðè ýòîì
Ðèñ. 1
ïîä òî÷å÷íûìè çàðÿäàìè ïîíèìàþò çàðÿæåííûå òåëà, ðàçìåðàìè êîòîðûõ â óñëîâèÿõ äàííîé çàäà÷è ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Âñå òåëà ïî ýëåêòðè÷åñêèì ñâîéñòâàì ðàçäåëÿþòñÿ íà òåëà, âåùåñòâî êîòîðûõ ñîäåðæèò çàðÿäû, ñâîáîäíî äâèæóùèåñÿ âíóòðè ïî âñåìó îáúåìó òåëà (ïðîâîäíèêè), è òåëà, çàðÿäû êîòîðûõ ïðè ñâîåì äâèæåíèè îñòàþòñÿ â ïðåäåëàõ àòîìà èëè ìîëåêóë, â ñîñòàâ êîòîðûõ îíè âõîäÿò (èçîëÿòîðû). Ïðè ïîìåùåíèè ïðîâîäíèêà â ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå èëè ïðè ñîîáùåíèè åìó çàðÿäà â íåì ïðîèñõîäèò ïåðåðàñïðåäåëåíèå 166
çàðÿäîâ, ïðèâîäÿùåå ê íîâîìó ðàâíîâåñèþ çàðÿäîâ. Ðàâíîâåñèå çàðÿäîâ îçíà÷àåò, ÷òî âíóòðè ïðîâîäíèêà íà íèõ íå äåéñòâóþò ñèëû, ò.å. íàïðÿæåííîñòü E âíóòðè ïðîâîäíèêà ðàâíà íóëþ. Íàïðàâëåíèå E íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà ïåðïåíäèêóëÿðíî ïîâåðõíîñòè (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âîçíèêíåò ñëàãàþùàÿ íàïðÿæåííîñòè E, íàïðàâëåííàÿ âäîëü ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà, âûçûâàþùàÿ äâèæåíèå çàðÿäîâ).  ýòîì ñëó÷àå ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè ïðîâîäíèêà, ëåæàùèìè íà ïîâåðõíîñòè è âíóòðè íåãî, ðàâíà íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, ïîòåíöèàë âñåõ òî÷åê ïðîâîäíèêà îäèí è òîò æå, è ïîâåðõíîñòü ïðîâîäíèêà ÿâëÿåòñÿ ýêâèïîòåíöèàëüíîé.
Çàäà÷à ¹ 20 ÈÇÓ×ÅÍÈÅ ÑÂÎÉÑÒ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÎËß
Öåëü ðàáîòû: ïîñòðîåíèå ýêâèïîòåíöèàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé è ñèëîâûõ ëèíèé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ñîçäàííîãî çàðÿæåííûìè òåëàìè. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà: ýëåêòðîëèòè÷åñêàÿ âàííà1, ìàñøòàáíàÿ ñåòêà ñ ýëåêòðîäàìè, ãåíåðàòîð, âîëüòìåòð, ëèñò ìèëëèìåòðîâîé áóìàãè2. Óïðàæíåíèå 1 Ïîñòðîåíèå ýêâèïîòåíöèàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé ïîëÿ äâóõ ðàçíîèìåííûõ òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ Ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ ðàáîòû 1. Ïîëîæèòü ìàñøòàáíóþ ñåòêó ñ ýëåêòðîäàìè íà äíî ýëåêòðîëèòè÷åñêîé âàííû è íàëèòü âîäó òàê, ÷òîáû ýëåêòðîäû îêàçàëèñü íà 34 ìì íèæå óðîâíÿ âîäû. Ïðîâîäíèêè, ïîäâîäÿùèå íàïðÿæåíèå ê ýëåêòðîäàì, äîëæíû ðàñïîëàãàòüñÿ âíèçó ïîä ñåòêîé. 2. Ñîåäèíèòü ïðèáîðû è ýëåêòðîäû ñîãëàñíî ñõåìå, ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 1: à ãåíåðàòîð,  âîëüòìåòð, Ý ýëåêòðîëèòè÷åñêàÿ âàííà, Ý ýëåêòðîäû, Ù ùóï. Ïðè ýòîì ÷åðíûå ïðîâîäà, èäóùèå îò ãåíåðàòîðà è âîëüòìåòðà, íåîáõîäèìî ïîä-
Ðèñ. 1
êëþ÷èòü ê îäíîìó ýëåêòðîäó3 , ïîòåíöèàë êîòîðîãî áóäåò ðàâåí íóëþ, òàê êàê ïðèáîðû çàçåìëåíû. 1
2
3
Ýëåêòðîëèòè÷åñêàÿ âàííà ÿâëÿåòñÿ óäîáíîé ìîäåëüþ äëÿ èçó÷åíèÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ. Ýòî îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëîâ â ñðåäå, ïî êîòîðîé òå÷åò òîê ìåæäó óñòàíîâëåííûìè â íåé ýëåêòðîäàìè, ìîæåò áûòü òîæäåñòâåííî ðàñïðåäåëåíèþ ïîòåíöèàëîâ ìåæäó òåìè æå ýëåêòðîäàìè, íàõîäÿùèìèñÿ â âàêóóìå. Ðàñïîëîæåíèå è ôóíêöèîíàëüíîå íàçíà÷åíèå îñíîâíûõ ýëåìåíòîâ óïðàâëåíèÿ ïðèáîðàìè, à òàêæå êðàòêèå ðåêîìåíäàöèè ïî ýêñïëóàòàöèè ïðèáîðîâ, èñïîëüçóåìûõ â ýòîé è â ñëåäóþùèõ ðàáîòàõ, ñì. ñ. 244245.  íàñòîÿùåé çàäà÷å ýòîò ýëåêòðîä âûïîëíÿåò ôóíêöèè îòðèöàòåëüíîãî çàðÿäà.
168
3. Óñòàíîâèòü íà ãåíåðàòîðå ÷àñòîòó 60 Ãö (ïåðåêëþ÷àòåëü «ìíîæèòåëü» â ïîëîæåíèè «´l», äåêàäíûå ïåðåêëþ÷àòåëè èëè øêàëà ïëàâíîãî èçìåíåíèÿ ÷àñòîòû â ïîëîæåíèè 60,0 Ãö). Ðåãóëÿòîð âåëè÷èíû âûõîäíîãî íàïðÿæåíèÿ â ñðåäíåì ïîëîæåíèè (íà âûõîäå ãåíåðàòîðà óñòàíàâëèâàåòñÿ íàïðÿæåíèå 5 6 Â). 4. Óíèâåðñàëüíûé ïðèáîð âîëüòàìïåðìåòð âêëþ÷èòü â ðåæèìå âîëüòìåòðà (êíîïêà «U») äëÿ èçìåðåíèÿ ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ (êíîïêà «=/@» â óòîïëåííîì ïîëîæåíèè). Âêëþ÷èòü ïðåäåë èçìåðåíèÿ 20  (êíîïêà «20»). Ùóï ñ ÷åðíûì ïðîâîäîì âêëþ÷èòü â ãíåçäî «*», ùóï ñ êðàñíûì ïðîâîäîì â ãíåçäî «U». 5. Èçìåðèòü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó ýëåêòðîäàìè, äëÿ ÷åãî ùóïîì íà êðàñíîì ïðîâîäå êîñíóòüñÿ ýëåêòðîäà1, ñîåäèíåííîãî ñ áåëûì ïðîâîäíèêîì ãåíåðàòîðà. Îòìåòèòü íà ìèëëèìåòðîâîé áóìàãå ðàñïîëîæåíèå ýëåêòðîäîâ (ìàñøòàá 1:1). 6. Íà ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé ýëåêòðîäû, îòìåòèòü òî÷êè, îòñòîÿùèå äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèå 12 ñì. Ïîìåùàÿ ùóï (ñ êðàñíûì ïðîâîäîì) â òî÷êè ýëåêòðîëèòè÷åñêîé âàííû, ñîîòâåòñòâóþùèå îòîáðàæåííûì íà ãðàôèêå, èçìåðèòü ïîòåíöèàë â ýòèõ òî÷êàõ. Ùóï íóæíî ðàñïîëàãàòü ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïîâåðõíîñòè âîäû, à ïåðåä ñ÷èòûâàíèåì ïîêàçàíèé âîëüòìåòðà ïîäîæäàòü 56 ñ, ÷òîáû óñòàíîâèëèñü ïîêàçàíèÿ íà ñâåòîâîì òàáëî ïðèáîðà. Èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëà ôèêñèðóþòñÿ íà ìèëëèìåòðîâîé ñåòêå ðÿäîì ñ òî÷êàìè, â êîòîðûõ îíè èçìåðÿëèñü. 7. Äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ èçìåðåííîãî ïîòåíöèàëà íàéòè åùå 810 òî÷åê ñ òàêèì æå ïîòåíöèàëîì (ïî 45 ñ êàæäîé ñòîðîíû îò öåíòðàëüíîé ïðÿìîé, ÿâëÿþùåéñÿ îñüþ ñèììåòðèè). Äëÿ ýòîãî ùóï ìåäëåííî ïåðåìåùàþò ìåæäó ýëåêòðîäàìè äî òåõ ïîð, ïîêà ïîêàçàíèå âîëüòìåòðà íå áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü çíà÷åíèþ ïîòåíöèàëà, ïîëó÷åííîìó â òî÷êå íà ïðÿìîé ëèíèè. Íàéäåííûå òî÷êè îòìå÷àþòñÿ íà ìàñøòàáíîé ñåòêå è âñå òî÷êè ñ îäèíàêîâûì çíà÷åíèåì ïîòåíöèàëà ñîåäèíÿþòñÿ ïëàâíîé êðèâîé. Óïðàæíåíèå 2 Ïîñòðîåíèå ýêâèïîòåíöèàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé ïîëÿ ïðè âíåñåíèè ïðîâîäÿùåãî òåëà 1. Äëÿ èçó÷åíèÿ âëèÿíèÿ ïðîâîäÿùèõ òåë íà ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â ïðîñòðàíñòâå ìåæäó ýëåêòðîäàìè â ïðîèçâîëüíîì ìåñòå âàííû ïîìåùàåòñÿ ìåòàëëè÷åñêîå êîëüöî.  ýòîì ñëó÷àå íà ãðà1
Ýòîò ýëåêòðîä âûïîëíÿåò ôóíêöèè ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà.
169
Çàäà÷à ¹ 20 ÈÇÓ×ÅÍÈÅ ÑÂÎÉÑÒ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÎËß
Öåëü ðàáîòû: ïîñòðîåíèå ýêâèïîòåíöèàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé è ñèëîâûõ ëèíèé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ñîçäàííîãî çàðÿæåííûìè òåëàìè. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà: ýëåêòðîëèòè÷åñêàÿ âàííà1, ìàñøòàáíàÿ ñåòêà ñ ýëåêòðîäàìè, ãåíåðàòîð, âîëüòìåòð, ëèñò ìèëëèìåòðîâîé áóìàãè2. Óïðàæíåíèå 1 Ïîñòðîåíèå ýêâèïîòåíöèàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé ïîëÿ äâóõ ðàçíîèìåííûõ òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ Ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ ðàáîòû 1. Ïîëîæèòü ìàñøòàáíóþ ñåòêó ñ ýëåêòðîäàìè íà äíî ýëåêòðîëèòè÷åñêîé âàííû è íàëèòü âîäó òàê, ÷òîáû ýëåêòðîäû îêàçàëèñü íà 34 ìì íèæå óðîâíÿ âîäû. Ïðîâîäíèêè, ïîäâîäÿùèå íàïðÿæåíèå ê ýëåêòðîäàì, äîëæíû ðàñïîëàãàòüñÿ âíèçó ïîä ñåòêîé. 2. Ñîåäèíèòü ïðèáîðû è ýëåêòðîäû ñîãëàñíî ñõåìå, ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 1: à ãåíåðàòîð,  âîëüòìåòð, Ý ýëåêòðîëèòè÷åñêàÿ âàííà, Ý ýëåêòðîäû, Ù ùóï. Ïðè ýòîì ÷åðíûå ïðîâîäà, èäóùèå îò ãåíåðàòîðà è âîëüòìåòðà, íåîáõîäèìî ïîä-
Ðèñ. 1
êëþ÷èòü ê îäíîìó ýëåêòðîäó3 , ïîòåíöèàë êîòîðîãî áóäåò ðàâåí íóëþ, òàê êàê ïðèáîðû çàçåìëåíû. 1
2
3
Ýëåêòðîëèòè÷åñêàÿ âàííà ÿâëÿåòñÿ óäîáíîé ìîäåëüþ äëÿ èçó÷åíèÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ. Ýòî îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëîâ â ñðåäå, ïî êîòîðîé òå÷åò òîê ìåæäó óñòàíîâëåííûìè â íåé ýëåêòðîäàìè, ìîæåò áûòü òîæäåñòâåííî ðàñïðåäåëåíèþ ïîòåíöèàëîâ ìåæäó òåìè æå ýëåêòðîäàìè, íàõîäÿùèìèñÿ â âàêóóìå. Ðàñïîëîæåíèå è ôóíêöèîíàëüíîå íàçíà÷åíèå îñíîâíûõ ýëåìåíòîâ óïðàâëåíèÿ ïðèáîðàìè, à òàêæå êðàòêèå ðåêîìåíäàöèè ïî ýêñïëóàòàöèè ïðèáîðîâ, èñïîëüçóåìûõ â ýòîé è â ñëåäóþùèõ ðàáîòàõ, ñì. ñ. 244245.  íàñòîÿùåé çàäà÷å ýòîò ýëåêòðîä âûïîëíÿåò ôóíêöèè îòðèöàòåëüíîãî çàðÿäà.
168
3. Óñòàíîâèòü íà ãåíåðàòîðå ÷àñòîòó 60 Ãö (ïåðåêëþ÷àòåëü «ìíîæèòåëü» â ïîëîæåíèè «´l», äåêàäíûå ïåðåêëþ÷àòåëè èëè øêàëà ïëàâíîãî èçìåíåíèÿ ÷àñòîòû â ïîëîæåíèè 60,0 Ãö). Ðåãóëÿòîð âåëè÷èíû âûõîäíîãî íàïðÿæåíèÿ â ñðåäíåì ïîëîæåíèè (íà âûõîäå ãåíåðàòîðà óñòàíàâëèâàåòñÿ íàïðÿæåíèå 5 6 Â). 4. Óíèâåðñàëüíûé ïðèáîð âîëüòàìïåðìåòð âêëþ÷èòü â ðåæèìå âîëüòìåòðà (êíîïêà «U») äëÿ èçìåðåíèÿ ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ (êíîïêà «=/@» â óòîïëåííîì ïîëîæåíèè). Âêëþ÷èòü ïðåäåë èçìåðåíèÿ 20  (êíîïêà «20»). Ùóï ñ ÷åðíûì ïðîâîäîì âêëþ÷èòü â ãíåçäî «*», ùóï ñ êðàñíûì ïðîâîäîì â ãíåçäî «U». 5. Èçìåðèòü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó ýëåêòðîäàìè, äëÿ ÷åãî ùóïîì íà êðàñíîì ïðîâîäå êîñíóòüñÿ ýëåêòðîäà1, ñîåäèíåííîãî ñ áåëûì ïðîâîäíèêîì ãåíåðàòîðà. Îòìåòèòü íà ìèëëèìåòðîâîé áóìàãå ðàñïîëîæåíèå ýëåêòðîäîâ (ìàñøòàá 1:1). 6. Íà ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé ýëåêòðîäû, îòìåòèòü òî÷êè, îòñòîÿùèå äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèå 12 ñì. Ïîìåùàÿ ùóï (ñ êðàñíûì ïðîâîäîì) â òî÷êè ýëåêòðîëèòè÷åñêîé âàííû, ñîîòâåòñòâóþùèå îòîáðàæåííûì íà ãðàôèêå, èçìåðèòü ïîòåíöèàë â ýòèõ òî÷êàõ. Ùóï íóæíî ðàñïîëàãàòü ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïîâåðõíîñòè âîäû, à ïåðåä ñ÷èòûâàíèåì ïîêàçàíèé âîëüòìåòðà ïîäîæäàòü 56 ñ, ÷òîáû óñòàíîâèëèñü ïîêàçàíèÿ íà ñâåòîâîì òàáëî ïðèáîðà. Èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëà ôèêñèðóþòñÿ íà ìèëëèìåòðîâîé ñåòêå ðÿäîì ñ òî÷êàìè, â êîòîðûõ îíè èçìåðÿëèñü. 7. Äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ èçìåðåííîãî ïîòåíöèàëà íàéòè åùå 810 òî÷åê ñ òàêèì æå ïîòåíöèàëîì (ïî 45 ñ êàæäîé ñòîðîíû îò öåíòðàëüíîé ïðÿìîé, ÿâëÿþùåéñÿ îñüþ ñèììåòðèè). Äëÿ ýòîãî ùóï ìåäëåííî ïåðåìåùàþò ìåæäó ýëåêòðîäàìè äî òåõ ïîð, ïîêà ïîêàçàíèå âîëüòìåòðà íå áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü çíà÷åíèþ ïîòåíöèàëà, ïîëó÷åííîìó â òî÷êå íà ïðÿìîé ëèíèè. Íàéäåííûå òî÷êè îòìå÷àþòñÿ íà ìàñøòàáíîé ñåòêå è âñå òî÷êè ñ îäèíàêîâûì çíà÷åíèåì ïîòåíöèàëà ñîåäèíÿþòñÿ ïëàâíîé êðèâîé. Óïðàæíåíèå 2 Ïîñòðîåíèå ýêâèïîòåíöèàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé ïîëÿ ïðè âíåñåíèè ïðîâîäÿùåãî òåëà 1. Äëÿ èçó÷åíèÿ âëèÿíèÿ ïðîâîäÿùèõ òåë íà ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â ïðîñòðàíñòâå ìåæäó ýëåêòðîäàìè â ïðîèçâîëüíîì ìåñòå âàííû ïîìåùàåòñÿ ìåòàëëè÷åñêîå êîëüöî.  ýòîì ñëó÷àå íà ãðà1
Ýòîò ýëåêòðîä âûïîëíÿåò ôóíêöèè ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà.
169
ôèêå îòìå÷àåòñÿ ïîëîæåíèå ýëåêòðîäîâ è êîëüöà.  îñòàëüíîì ïîñòðîåíèå ýêâèïîòåíöèàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé îñóùåñòâëÿåòñÿ òàê æå, êàê è â îòñóòñòâèå ïðîâîäÿùåãî òåëà. 2. Ïîñëå îêîí÷àíèÿ èçìåðåíèé âûêëþ÷èòü ïðèáîðû è âûëèòü âîäó èç âàííû. Ëèòåðàòóðà 1. Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå. Êí. 2. Ýëåêòðè÷åñòâî è ìàãíåòèçì. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 1. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â âàêóóìå. 1.1. Ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä. 1.2. Çàêîí Êóëîíà. 1.3. Ñèñòåìà åäèíèö. 1.4. Ðàöèîíàëèçèðîâàííàÿ çàïèñü ôîðìóë. 1.5. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ. 1.6. Ïîòåíöèàë. 1.8. Ñâÿçü ìåæäó íàïðÿæåííîñòüþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ è ïîòåíöèàëîì. 1.9. Äèïîëü. Ãëàâà 3. Ïðîâîäíèêè â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå. 3.1. Ðàâíîâåñèå çàðÿäîâ íà ïðîâîäíèêå. 3.2. Ïðîâîäíèê âî âíåøíåì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå.
ÐÀÇÄÅË 2 ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÎÊ
Çàäà÷à ¹ 21 ÇÀÊÎÍÛ ÎÌÀ È ÏÐÀÂÈËÀ ÊÈÐÕÃÎÔÀ
Öåëü ðàáîòû: ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ïðîâåðêà çàêîíîâ Îìà è ïðàâèë Êèðõãîôà äëÿ ðàçâåòâëåííûõ öåïåé. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ 1. Òîê è íàïðÿæåíèå. Åñëè âíóòðè ïðîâîäíèêà ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå îòëè÷íî îò íóëÿ, òî â ïðîâîäíèêå âîçíèêàåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê, ò.å. íàïðàâëåííîå äâèæåíèå çàðÿäîâ. Ìåðîé ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ÿâëÿåòñÿ ñèëà òîêà I êîëè÷åñòâî ýëåêòðè÷åñòâà, ïðîòåêàþùåå ÷åðåç ñå÷åíèå ïðîâîäíèêà â åäèíèöó âðåìåíè. Åñëè I íå çàâèñèò îò âðåìåíè, òîê íàçûâàþò ïîñòîÿííûì. Îñíîâíîé çàêîí ïîñòîÿííîãî òîêà çàêîí Îìà âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé I =
j1 - j2 , R
(1)
ãäå j1 è j2 çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëà ó íà÷àëà è êîíöà ïðîâîäíèêà (ñ÷èòàÿ ïî íàïðàâëåíèþ òîêà); R ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäíèêà. Íàïðàâëåíèåì òîêà ñ÷èòàåòñÿ òî íàïðàâëåíèå, â êîòîðîì ïîä äåéñòâèåì ïîëÿ äîëæíû áûëè áû äâèãàòüñÿ ïîëîæèòåëüíûå çàðÿäû. Äðóãèìè ñëîâàìè: ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî òîê òå÷åò îò áîëüøåãî ïîòåíöèàëà ê ìåíüøåìó (j1> j2). Ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìîæíî âûðàçèòü òàê: 2
j1 - j2 = ò El dl , 1
ãäå dl ýëåìåíò äëèíû ïðîâîäíèêà (ñì. çàäà÷ó ¹ 20). Ëèíåéíûé èíòåãðàë ïîëÿ íîñèò íàçâàíèå íàïðÿæåíèÿ ìåæäó òî÷êàìè: 2
U 12 = ò El dl .
(2)
1
Ñðàâíèâàÿ (1) è (2), ïîëó÷àþò IR = U 12. 171
Ýòî ñîîòíîøåíèå âûïîëíÿåòñÿ íå òîëüêî â ñëó÷àå ïîñòîÿííîãî òîêà (1), íî è äëÿ áûñòðîïåðåìåííûõ òîêîâ. Ïî÷åìó ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïîñòîÿííûõ òîêîâ ïîòåíöèàëüíî? Äåëî â òîì, ÷òî â ïîëå ïîñòîÿííûõ òîêîâ ðàñïðåäåëåíèå çàðÿäà â ïðîñòðàíñòâå äîëæíî îñòàâàòüñÿ ñòàöèîíàðíûì, ò.å. íåèçìåííûì âî âðåìåíè, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà òîêîâ íå âûïîëíÿåòñÿ. Íî åñëè ðàñïðåäåëåíèå çàðÿäîâ ñòàöèîíàðíî, òî ïîëå èõ äîëæíî áûòü òîæäåñòâåííî ïîëþ ñîîòâåòñòâåííî ðàñïðåäåëåííûõ íåïîäâèæíûõ çàðÿäîâ. Òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî â äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà îäíè ýëåìåíòû çàðÿäà áëàãîäàðÿ òîêó ñìåíÿþòñÿ äðóãèìè, íå ìîæåò ñêàçûâàòüñÿ íà íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ E. Òàêèì îáðàçîì, ñòàöèîíàðíîå ïîëå ïîñòîÿííûõ òîêîâ, êàê è ïîëå ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå, äîëæíî áûòü ïîëåì ïîòåíöèàëüíûì. Èç ñòàöèîíàðíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäà ñëåäóåò, ÷òî òîêè äîëæíû áûòü ëèáî çàìêíóòû, ëèáî óõîäèòü â áåñêîíå÷íîñòü, èáî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå â ìåñòå íà÷àëà èëè îêîí÷àíèÿ òîêà ïðîèñõîäèëî áû íàêîïëåíèå èëè óáûâàíèå çàðÿäà. Ïî òîé æå ïðè÷èíå ÷åðåç ðàçëè÷íûå ñå÷åíèÿ ïðîâîäíèêà (ïðè îòñóòñòâèè ðàçâåòâëåíèé) äîëæåí ïðîòåêàòü òîê îäèíàêîâîé ñèëû. Íàêîíåö, â êàæäîé òî÷êå ðàçâåòâëåíèÿ öåïè òîêà (óçëå) äîëæåí âûïîëíÿòüñÿ ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà:
åI1 = 0, ò.å. àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà òîêîâ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç óçåë, ðàâíà íóëþ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå â óçëå ïðîèñõîäèëî áû íàêîïëåíèå çàðÿäîâ. Ïðè äâèæåíèè çàðÿäîâ íà íèõ äåéñòâóåò ïîñòîÿííàÿ ñèëà ñî ñòîðîíû ïîëÿ (E = const), êîòîðàÿ âûçûâàåò óñêîðåíèå, íî óñëîâèå I = const îçíà÷àåò, ÷òî çàðÿäû äâèæóòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ. Åñëè ñèñòåìà ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó Îìà, òî ýòî äîëæíî ïðîèñõîäèòü èç-çà òîãî, ÷òî äëÿ òàêèõ íîñèòåëåé ñêîðîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà ñèëå. Ñëåäîâàòåëüíî, çàðÿäû íå ìîãóò äâèãàòüñÿ ñâîáîäíî, ÷òî-òî äîëæíî ìåøàòü äâèæåíèþ, âûçûâàåìîìó ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì. Ñîïðîòèâëåíèå äâèæåíèþ çàðÿäîâ îáóñëîâëåíî ñòîëêíîâåíèÿìè íîñèòåëåé çàðÿäà äðóã ñ äðóãîì è ñ ëþáûìè ÷àñòèöàìè ñðåäû. 2. Ýëåêòðîäâèæóùèå ñèëû. Òàê êàê ëèíèè ïîñòîÿííîãî òîêà çàìêíóòû èëè óõîäÿò â áåñêîíå÷íîñòü, òî ðåàëüíî ñîçäàòü ïîñòîÿííûé òîê ìîæíî òîëüêî â çàìêíóòûõ öåïÿõ. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîñòîÿííîãî òîêà íåîáõîäèìî ëþáûì ñïîñîáîì çàðÿä, ïðèøåäøèé èç òî÷êè 1 â òî÷êó 2 (ïî ïóòè 1a2) ïåðåíåñòè, ïðåîäîëåâ ýëåêòðîñòàòè÷åñêèå ñèëû, îïÿòü â 1 äëÿ ñëåäóþùåãî ïðîõîæäåíèÿ ýòèõ çàðÿäîâ ïî ïóòè 1a2 è ò.ä. (ðèñ. 1). 172
Ðèñ. 1
Òàêèì îáðàçîì, íà ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû, äâèæóùèåñÿ â ïðîâîäíèêàõ, äåéñòâóþò ñèëû ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ (èñòî÷íèêîì êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ñàìè çàðÿäû) è ñèëû íå ýëåêòðîñòàòè÷åñêèå (èõ íàçûâàþò ñòîðîííèìè). Ñâÿçü îáùåé ñèëû, îòíåñåííîé ê åäèíèöå çàðÿäà, ò.å. îáùåé íàïðÿæåííîñòè, ïåðåìåùàþùåé çàðÿäû E = E ñòàò+ E ñòîð, è íàïðÿæåíèåì ìåæäó òî÷êàìè 1 è 2 ìîæåò áûòü âûðàæåíà ôîðìóëîé 2
2
1
1
-12 = ò Elñòàòdl + ò Elñòîðdl = -12ñòàò + -12ñòîð ,
(3)
ãäå -12ñòîð íàïðÿæåíèå ñòîðîííèõ ñèë íàçûâàþò ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëîé (ýäñ) è ïî îïðåäåëåíèþ [ñì. (1)] -12ñòîð = j1 j2.  ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ çàêîí Îìà èìååò âèä IR12 = j1 - j2 + -12ñòîð .
(4)
ñòîð ñòîð Äëÿ çàìêíóòîé öåïè j1 = j2 è IR = -12ñòîð , ãäå -12 = ò El dl
ïîëíàÿ ýäñ â öåïè òîêà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â çàìêíóòîé öåïè ïðè îòñóòñòâèè ýäñ ñèëà ïîñòîÿííîãî òîêà ðàâíà íóëþ. Çàìåòèì, ÷òî íàçâàíèå ýäñ íå îòðàæàåò åå ôèçè÷åñêîãî ñîäåðæàíèÿ, òàê êàê ïî ñìûñëó ýäñ íå ñèëà, à, êàê ýòî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ, ðàáîòà ïî ïåðåìåùåíèþ åäèíè÷íîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà ïî çàìêíóòîé öåïè. 3. Ïðàâèëà Êèðõãîôà. Ïåðâîå ïðàâèëî:
åI i = 0.
(5)
Òîêè, âõîäÿùèå â óçåë, ñ÷èòàþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè, à âûõîäÿùèå èç óçëà îòðèöàòåëüíûìè. Åñëè ïîëíàÿ ñõåìà ñîäåðæèò m óçëîâ, òî óðàâíåíèå (6) ñîñòàâëÿåòñÿ äëÿ m 1 óçëîâ. Ñëåäñòâèåì çàêîíà Îìà (4) ÿâëÿåòñÿ âòîðîå ïðàâèëî Êèðõãîôà: â çàìêíóòîì êîíòóðå àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ïàäåíèé íàïðÿæåíèÿ íà ó÷àñòêàõ öåïè ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ýäñ, íàõîäÿùèõñÿ â äàííîì êîíòóðå:
å I i Ri = å -kñòîð .
(6)
k
Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèÿ (6) ñëåäóåò îáîéòè çàìêíóòûé êîíòóð, âûäåëåííûé â îáùåé öåïè. Ïðè îáõîäå êîíòóðà íàïðàâëåíèå (ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå èëè ïðîòèâ íåå) âûáèðàåòñÿ ïðîèçâîëüíî. Ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, åñëè 173
Ýòî ñîîòíîøåíèå âûïîëíÿåòñÿ íå òîëüêî â ñëó÷àå ïîñòîÿííîãî òîêà (1), íî è äëÿ áûñòðîïåðåìåííûõ òîêîâ. Ïî÷åìó ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïîñòîÿííûõ òîêîâ ïîòåíöèàëüíî? Äåëî â òîì, ÷òî â ïîëå ïîñòîÿííûõ òîêîâ ðàñïðåäåëåíèå çàðÿäà â ïðîñòðàíñòâå äîëæíî îñòàâàòüñÿ ñòàöèîíàðíûì, ò.å. íåèçìåííûì âî âðåìåíè, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà òîêîâ íå âûïîëíÿåòñÿ. Íî åñëè ðàñïðåäåëåíèå çàðÿäîâ ñòàöèîíàðíî, òî ïîëå èõ äîëæíî áûòü òîæäåñòâåííî ïîëþ ñîîòâåòñòâåííî ðàñïðåäåëåííûõ íåïîäâèæíûõ çàðÿäîâ. Òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî â äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà îäíè ýëåìåíòû çàðÿäà áëàãîäàðÿ òîêó ñìåíÿþòñÿ äðóãèìè, íå ìîæåò ñêàçûâàòüñÿ íà íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ E. Òàêèì îáðàçîì, ñòàöèîíàðíîå ïîëå ïîñòîÿííûõ òîêîâ, êàê è ïîëå ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå, äîëæíî áûòü ïîëåì ïîòåíöèàëüíûì. Èç ñòàöèîíàðíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäà ñëåäóåò, ÷òî òîêè äîëæíû áûòü ëèáî çàìêíóòû, ëèáî óõîäèòü â áåñêîíå÷íîñòü, èáî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå â ìåñòå íà÷àëà èëè îêîí÷àíèÿ òîêà ïðîèñõîäèëî áû íàêîïëåíèå èëè óáûâàíèå çàðÿäà. Ïî òîé æå ïðè÷èíå ÷åðåç ðàçëè÷íûå ñå÷åíèÿ ïðîâîäíèêà (ïðè îòñóòñòâèè ðàçâåòâëåíèé) äîëæåí ïðîòåêàòü òîê îäèíàêîâîé ñèëû. Íàêîíåö, â êàæäîé òî÷êå ðàçâåòâëåíèÿ öåïè òîêà (óçëå) äîëæåí âûïîëíÿòüñÿ ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà:
åI1 = 0, ò.å. àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà òîêîâ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç óçåë, ðàâíà íóëþ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå â óçëå ïðîèñõîäèëî áû íàêîïëåíèå çàðÿäîâ. Ïðè äâèæåíèè çàðÿäîâ íà íèõ äåéñòâóåò ïîñòîÿííàÿ ñèëà ñî ñòîðîíû ïîëÿ (E = const), êîòîðàÿ âûçûâàåò óñêîðåíèå, íî óñëîâèå I = const îçíà÷àåò, ÷òî çàðÿäû äâèæóòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ. Åñëè ñèñòåìà ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó Îìà, òî ýòî äîëæíî ïðîèñõîäèòü èç-çà òîãî, ÷òî äëÿ òàêèõ íîñèòåëåé ñêîðîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà ñèëå. Ñëåäîâàòåëüíî, çàðÿäû íå ìîãóò äâèãàòüñÿ ñâîáîäíî, ÷òî-òî äîëæíî ìåøàòü äâèæåíèþ, âûçûâàåìîìó ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì. Ñîïðîòèâëåíèå äâèæåíèþ çàðÿäîâ îáóñëîâëåíî ñòîëêíîâåíèÿìè íîñèòåëåé çàðÿäà äðóã ñ äðóãîì è ñ ëþáûìè ÷àñòèöàìè ñðåäû. 2. Ýëåêòðîäâèæóùèå ñèëû. Òàê êàê ëèíèè ïîñòîÿííîãî òîêà çàìêíóòû èëè óõîäÿò â áåñêîíå÷íîñòü, òî ðåàëüíî ñîçäàòü ïîñòîÿííûé òîê ìîæíî òîëüêî â çàìêíóòûõ öåïÿõ. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîñòîÿííîãî òîêà íåîáõîäèìî ëþáûì ñïîñîáîì çàðÿä, ïðèøåäøèé èç òî÷êè 1 â òî÷êó 2 (ïî ïóòè 1a2) ïåðåíåñòè, ïðåîäîëåâ ýëåêòðîñòàòè÷åñêèå ñèëû, îïÿòü â 1 äëÿ ñëåäóþùåãî ïðîõîæäåíèÿ ýòèõ çàðÿäîâ ïî ïóòè 1a2 è ò.ä. (ðèñ. 1). 172
Ðèñ. 1
Òàêèì îáðàçîì, íà ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû, äâèæóùèåñÿ â ïðîâîäíèêàõ, äåéñòâóþò ñèëû ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ (èñòî÷íèêîì êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ñàìè çàðÿäû) è ñèëû íå ýëåêòðîñòàòè÷åñêèå (èõ íàçûâàþò ñòîðîííèìè). Ñâÿçü îáùåé ñèëû, îòíåñåííîé ê åäèíèöå çàðÿäà, ò.å. îáùåé íàïðÿæåííîñòè, ïåðåìåùàþùåé çàðÿäû E = E ñòàò+ E ñòîð, è íàïðÿæåíèåì ìåæäó òî÷êàìè 1 è 2 ìîæåò áûòü âûðàæåíà ôîðìóëîé 2
2
1
1
-12 = ò Elñòàòdl + ò Elñòîðdl = -12ñòàò + -12ñòîð ,
(3)
ãäå -12ñòîð íàïðÿæåíèå ñòîðîííèõ ñèë íàçûâàþò ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëîé (ýäñ) è ïî îïðåäåëåíèþ [ñì. (1)] -12ñòîð = j1 j2.  ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ çàêîí Îìà èìååò âèä IR12 = j1 - j2 + -12ñòîð .
(4)
ñòîð ñòîð Äëÿ çàìêíóòîé öåïè j1 = j2 è IR = -12ñòîð , ãäå -12 = ò El dl
ïîëíàÿ ýäñ â öåïè òîêà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â çàìêíóòîé öåïè ïðè îòñóòñòâèè ýäñ ñèëà ïîñòîÿííîãî òîêà ðàâíà íóëþ. Çàìåòèì, ÷òî íàçâàíèå ýäñ íå îòðàæàåò åå ôèçè÷åñêîãî ñîäåðæàíèÿ, òàê êàê ïî ñìûñëó ýäñ íå ñèëà, à, êàê ýòî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ, ðàáîòà ïî ïåðåìåùåíèþ åäèíè÷íîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà ïî çàìêíóòîé öåïè. 3. Ïðàâèëà Êèðõãîôà. Ïåðâîå ïðàâèëî:
åI i = 0.
(5)
Òîêè, âõîäÿùèå â óçåë, ñ÷èòàþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè, à âûõîäÿùèå èç óçëà îòðèöàòåëüíûìè. Åñëè ïîëíàÿ ñõåìà ñîäåðæèò m óçëîâ, òî óðàâíåíèå (6) ñîñòàâëÿåòñÿ äëÿ m 1 óçëîâ. Ñëåäñòâèåì çàêîíà Îìà (4) ÿâëÿåòñÿ âòîðîå ïðàâèëî Êèðõãîôà: â çàìêíóòîì êîíòóðå àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ïàäåíèé íàïðÿæåíèÿ íà ó÷àñòêàõ öåïè ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ýäñ, íàõîäÿùèõñÿ â äàííîì êîíòóðå:
å I i Ri = å -kñòîð .
(6)
k
Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèÿ (6) ñëåäóåò îáîéòè çàìêíóòûé êîíòóð, âûäåëåííûé â îáùåé öåïè. Ïðè îáõîäå êîíòóðà íàïðàâëåíèå (ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå èëè ïðîòèâ íåå) âûáèðàåòñÿ ïðîèçâîëüíî. Ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, åñëè 173
âûáðàííîå çàðàíåå íàïðàâëåíèå òîêà íà ýòîì ó÷àñòêå ìåæäó äâóìÿ óçëàìè ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì îáõîäà êîíòóðà, è îòðèöàòåëüíûì, åñëè íàïðàâëåíèå òîêà ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ îáõîäà. Ýäñ ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé, åñëè ïðè îáõîäå ïî êîíòóðó èñòî÷íèê òîêà ïðîõîäèòñÿ îò îòðèöàòåëüíîãî ïîëþñà ê ïîëîæèòåëüíîìó, è îòðèöàòåëüíîé â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé äëÿ êîíòóðîâ íóæíî ñëåäèòü çà òåì, ÷òîáû êàæäûé âíîâü âçÿòûé êîíòóð íå ìîã áûòü ïîëó÷åí ñëîæåíèåì èëè âû÷èòàíèåì óæå ðàññìîòðåííûõ êîíòóðîâ. Ïîëíîå ÷èñëî óðàâíåíèé, ñîñòàâëåííûõ ïî ïðàâèëàì Êèðõãîôà, äîëæíî ñîâïàäàòü ñ ÷èñëîì ó÷àñòêîâ ìåæäó óçëàìè, ò.å. ñ ÷èñëîì ðàçëè÷íûõ òîêîâ â äàííîé ñõåìå. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà: ìàêåò ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû ñ èñòî÷íèêàìè ýäñ, âîëüòàìïåðîììåòð. Óïðàæíåíèå 1 Èçìåðåíèå ñîïðîòèâëåíèé è ýäñ 1. Âêëþ÷èòü óíèâåðñàëüíûé ïðèáîð â ðåæèì èçìåðåíèÿ ñîïðîòèâëåíèÿ (êíîïêó «=» îòæàòü, êíîïêó «R» íàæàòü), óñòàíîâèòü ïðåäåë èçìåðåíèÿ «2 êÎì». Ïîäêëþ÷èòü ïðîâîäà ñî ùóïàìè ê ñîîòâåòñòâóþùèì ãíåçäàì íà âõîäå ïðèáîðà (êðàñíûé ïðîâîä ê ãíåçäó «R», ÷åðíûé ê ãíåçäó «*»). ÂÍÈÌÀÍÈÅ! Ïðè èçìåðåíèè ïîñòîÿííûõ âåëè÷èí U, I, R êíîïêà («=») îòæàòà. 2. Ïðîèçâåñòè èçìåðåíèå ñîïðîòèâëåíèé R1, R2, R3, âêëþ÷åííûõ íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ó÷àñòêàõ öåïè 14, 25, 37 ìàêåòà ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû (ðèñ. 2). Ïðèáîð ïîêàçûâàåò ñîïðîòèâëåíèå ó÷àñòêà öåïè ìåæäó òî÷êàìè, ê êîòîðûì ïîäêëþ÷àþòñÿ ùóïû. Ïîêàçàíèÿ ïðèáîðà ïðè âûáðàííîì ïðåäåëå áóäóò âûðàæåíû â êèëîîìàõ. Èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ ñîïðîòèâëåíèé çàïèñàòü â òåòðàäü: R1 = ...; R2 = ...; R3 = ....
Ðèñ. 2
174
3. Âêëþ÷èòü ñõåìó-ìàêåò â ñåòü ïðè ðàçîìêíóòûõ ïåðåìû÷êàõ 10, 20, 30. Óñòàíîâèòü ïðèáîð â ðåæèì èçìåðåíèÿ ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ (êíîïêè «U», «=», êðàñíûé ïðîâîä â ãíåçäå ñ ñèìâîëîì «U», ïðåäåë èçìåðåíèÿ 20 Â). 4. Èçìåðèòü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ â òî÷êàõ 64 è 85. Ïðè ïîëíîñòüþ ðàçîìêíóòîé öåïè ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ ðàâíû äåéñòâóþùèì íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ó÷àñòêàõ ñõåìû ýäñ. Èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ ýäñ çàïèñàòü: -2 = ...; -2 = .... Óïðàæíåíèå 2 Ïðîâåðêà çàêîíà Îìà äëÿ îäíîðîäíîãî ó÷àñòêà öåïè
Ðèñ. 3
1. Çàìêíóòü öåïü ïåðåìû÷êàìè 10, 03 (ïåðåìû÷êà 02 ðàçîìêíóòà). Ýòî ïîçâîëÿåò ìîäåëèðîâàòü îäíîðîäíûé ó÷àñòîê öåïè (áåç ýäñ), èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 3. Ïîëîæåíèå ïåðåêëþ÷àòåëÿ «Ï» ââåðõ (+-1). 2. Âêëþ÷èòü ìàêåò-ñõåìó â ñåòü. Óñòàíîâèòü âîëüòàìïåðîììåòð â ðåæèì èçìåðåíèÿ ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ (êíîïêè «U», «=»), óñòàíîâèòü ïðåäåë èçìåðåíèÿ 20 Â. Âêëþ÷èòü ïðîâîäà ñî ùóïàìè â ãíåçäà (êðàñíûé â ãíåçäî «U», ÷åðíûé â ãíåçäî «*») ïðèáîðà. Ïîäêëþ÷èòü ùóïû ê òî÷êàì 14 (ñì. ðèñ. 3) è èçìåðèòü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ íà ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì R. Çàïèñàòü ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå. Çíàê èçìåðåííîé ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ çàâèñèò îò ïîðÿäêà ïîäêëþ÷åíèÿ ùóïîâ ê òî÷êàì 14. Åñëè íà øêàëå ïðèáîðà âûñâå÷èâàþòñÿ òîëüêî öèôðû áåç çíàêà, òî èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà ïîëîæèòåëüíà (>0), ò.å. ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîòåíöèàë òî÷êè, ê êîòîðîé ïîäêëþ÷åí êðàñíûé ùóï, áîëüøå ïîòåíöèàëà òî÷êè, êîòîðîé êàñàåòñÿ ÷åðíûé ùóï, íà âåëè÷èíó ïîêàçàíèÿ ïðèáîðà. Åñëè ïîìåíÿòü òî÷êè ïðèñîåäèíåíèÿ ùóïîâ, òî íà øêàëå ïðèáîðà ïîÿâèòñÿ ïðèìåðíî òî æå çíà÷åíèå (ñ ó÷åòîì ïîãðåøíîñòè ïðèáîðà), íî ñî çíàêîì «», ò.å. â ýòîì ñëó÷àå èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ îòðèöàòåëüíà. Òàêèì îáðàçîì, ïðèáîð âñåãäà ïîêàçûâàåò ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè, ïðè÷åì ñ ó÷åòîì çíàêà «+» èëè «» èçìåðÿþò ïîòåíöèàë òî÷êè, êàñàÿñü åå êðàñíûì ùóïîì, ïî îòíîøåíèþ ê ïîòåíöèàëó òî÷êè, ñîåäèíåííîé ñ ÷åðíûì ùóïîì.  áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ 175
âûáðàííîå çàðàíåå íàïðàâëåíèå òîêà íà ýòîì ó÷àñòêå ìåæäó äâóìÿ óçëàìè ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì îáõîäà êîíòóðà, è îòðèöàòåëüíûì, åñëè íàïðàâëåíèå òîêà ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ îáõîäà. Ýäñ ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé, åñëè ïðè îáõîäå ïî êîíòóðó èñòî÷íèê òîêà ïðîõîäèòñÿ îò îòðèöàòåëüíîãî ïîëþñà ê ïîëîæèòåëüíîìó, è îòðèöàòåëüíîé â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé äëÿ êîíòóðîâ íóæíî ñëåäèòü çà òåì, ÷òîáû êàæäûé âíîâü âçÿòûé êîíòóð íå ìîã áûòü ïîëó÷åí ñëîæåíèåì èëè âû÷èòàíèåì óæå ðàññìîòðåííûõ êîíòóðîâ. Ïîëíîå ÷èñëî óðàâíåíèé, ñîñòàâëåííûõ ïî ïðàâèëàì Êèðõãîôà, äîëæíî ñîâïàäàòü ñ ÷èñëîì ó÷àñòêîâ ìåæäó óçëàìè, ò.å. ñ ÷èñëîì ðàçëè÷íûõ òîêîâ â äàííîé ñõåìå. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà: ìàêåò ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû ñ èñòî÷íèêàìè ýäñ, âîëüòàìïåðîììåòð. Óïðàæíåíèå 1 Èçìåðåíèå ñîïðîòèâëåíèé è ýäñ 1. Âêëþ÷èòü óíèâåðñàëüíûé ïðèáîð â ðåæèì èçìåðåíèÿ ñîïðîòèâëåíèÿ (êíîïêó «=» îòæàòü, êíîïêó «R» íàæàòü), óñòàíîâèòü ïðåäåë èçìåðåíèÿ «2 êÎì». Ïîäêëþ÷èòü ïðîâîäà ñî ùóïàìè ê ñîîòâåòñòâóþùèì ãíåçäàì íà âõîäå ïðèáîðà (êðàñíûé ïðîâîä ê ãíåçäó «R», ÷åðíûé ê ãíåçäó «*»). ÂÍÈÌÀÍÈÅ! Ïðè èçìåðåíèè ïîñòîÿííûõ âåëè÷èí U, I, R êíîïêà («=») îòæàòà. 2. Ïðîèçâåñòè èçìåðåíèå ñîïðîòèâëåíèé R1, R2, R3, âêëþ÷åííûõ íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ó÷àñòêàõ öåïè 14, 25, 37 ìàêåòà ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû (ðèñ. 2). Ïðèáîð ïîêàçûâàåò ñîïðîòèâëåíèå ó÷àñòêà öåïè ìåæäó òî÷êàìè, ê êîòîðûì ïîäêëþ÷àþòñÿ ùóïû. Ïîêàçàíèÿ ïðèáîðà ïðè âûáðàííîì ïðåäåëå áóäóò âûðàæåíû â êèëîîìàõ. Èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ ñîïðîòèâëåíèé çàïèñàòü â òåòðàäü: R1 = ...; R2 = ...; R3 = ....
Ðèñ. 2
174
3. Âêëþ÷èòü ñõåìó-ìàêåò â ñåòü ïðè ðàçîìêíóòûõ ïåðåìû÷êàõ 10, 20, 30. Óñòàíîâèòü ïðèáîð â ðåæèì èçìåðåíèÿ ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ (êíîïêè «U», «=», êðàñíûé ïðîâîä â ãíåçäå ñ ñèìâîëîì «U», ïðåäåë èçìåðåíèÿ 20 Â). 4. Èçìåðèòü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ â òî÷êàõ 64 è 85. Ïðè ïîëíîñòüþ ðàçîìêíóòîé öåïè ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ ðàâíû äåéñòâóþùèì íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ó÷àñòêàõ ñõåìû ýäñ. Èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ ýäñ çàïèñàòü: -2 = ...; -2 = .... Óïðàæíåíèå 2 Ïðîâåðêà çàêîíà Îìà äëÿ îäíîðîäíîãî ó÷àñòêà öåïè
Ðèñ. 3
1. Çàìêíóòü öåïü ïåðåìû÷êàìè 10, 03 (ïåðåìû÷êà 02 ðàçîìêíóòà). Ýòî ïîçâîëÿåò ìîäåëèðîâàòü îäíîðîäíûé ó÷àñòîê öåïè (áåç ýäñ), èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 3. Ïîëîæåíèå ïåðåêëþ÷àòåëÿ «Ï» ââåðõ (+-1). 2. Âêëþ÷èòü ìàêåò-ñõåìó â ñåòü. Óñòàíîâèòü âîëüòàìïåðîììåòð â ðåæèì èçìåðåíèÿ ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ (êíîïêè «U», «=»), óñòàíîâèòü ïðåäåë èçìåðåíèÿ 20 Â. Âêëþ÷èòü ïðîâîäà ñî ùóïàìè â ãíåçäà (êðàñíûé â ãíåçäî «U», ÷åðíûé â ãíåçäî «*») ïðèáîðà. Ïîäêëþ÷èòü ùóïû ê òî÷êàì 14 (ñì. ðèñ. 3) è èçìåðèòü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ íà ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì R. Çàïèñàòü ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå. Çíàê èçìåðåííîé ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ çàâèñèò îò ïîðÿäêà ïîäêëþ÷åíèÿ ùóïîâ ê òî÷êàì 14. Åñëè íà øêàëå ïðèáîðà âûñâå÷èâàþòñÿ òîëüêî öèôðû áåç çíàêà, òî èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà ïîëîæèòåëüíà (>0), ò.å. ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîòåíöèàë òî÷êè, ê êîòîðîé ïîäêëþ÷åí êðàñíûé ùóï, áîëüøå ïîòåíöèàëà òî÷êè, êîòîðîé êàñàåòñÿ ÷åðíûé ùóï, íà âåëè÷èíó ïîêàçàíèÿ ïðèáîðà. Åñëè ïîìåíÿòü òî÷êè ïðèñîåäèíåíèÿ ùóïîâ, òî íà øêàëå ïðèáîðà ïîÿâèòñÿ ïðèìåðíî òî æå çíà÷åíèå (ñ ó÷åòîì ïîãðåøíîñòè ïðèáîðà), íî ñî çíàêîì «», ò.å. â ýòîì ñëó÷àå èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ îòðèöàòåëüíà. Òàêèì îáðàçîì, ïðèáîð âñåãäà ïîêàçûâàåò ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè, ïðè÷åì ñ ó÷åòîì çíàêà «+» èëè «» èçìåðÿþò ïîòåíöèàë òî÷êè, êàñàÿñü åå êðàñíûì ùóïîì, ïî îòíîøåíèþ ê ïîòåíöèàëó òî÷êè, ñîåäèíåííîé ñ ÷åðíûì ùóïîì.  áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ 175
ïîòåíöèàë âòîðîé òî÷êè ìîæíî ñ÷èòàòü ðàâíûì íóëþ ëèáî îí äåéñòâèòåëüíî ðàâåí íóëþ, åñëè ïðèáîðû çàçåìëåíû. Òàê êàê çà ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå òîêà ïðèíÿòî ñ÷èòàòü íàïðàâëåíèå â ñòîðîíó óìåíüøåíèÿ ïîòåíöèàëà, òî âñå âûøå óïîìÿíóòîå îñòàåòñÿ â ñèëå è ïðè èçìåðåíèè ïîñòîÿííûõ òîêîâ. 3. Ïåðåâåñòè ïðèáîð â ðåæèì èçìåðåíèÿ ïîñòîÿííîãî òîêà (êíîïêè «I», «=», êðàñíûé ùóï â ãíåçäå «I»). Óñòàíîâèòü ïðåäåë èçìåðåíèÿ 20 ìÀ. Ðàçîìêíóòü ïåðåìû÷êó 1 0 (ñì. ðèñ. 2) è ïîäñîåäèíèòü êðàñíûé ùóï ê òî÷êå 1, à ÷åðíûé ùóï ê òî÷êå 0. Ïðè ýòîì ïîêàçàíèå ïðèáîðà áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ïîëîæèòåëüíîìó çíà÷åíèþ òîêà (òîê ÷åðåç ñîïðîòèâëåíèå R èäåò ñëåâà íàïðàâî). Ïîìåíÿâ ùóïû ìåñòàìè, óáåäèòüñÿ, ÷òî ïîêàçàíèå ïðèáîðà ñìåíèò çíàê íà ïðîòèâîïîëîæíûé. Ðàçîáðàòüñÿ, êàê ñ ó÷åòîì ïîðÿäêà ïðèñîåäèíåíèÿ ùóïîâ è çíàêà ïîêàçàíèé ïðèáîðà óâåðåííî îïðåäåëÿòü íàïðàâëåíèå òîêà â öåïè, ñòðåëêîé îòìåòèòü íàïðàâëåíèå òîêà è çàïèñàòü åãî âåëè÷èíó I = ... . 4. Èñïîëüçóÿ èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ UR1 è çàêîí Îìà äëÿ ó÷àñòêà öåïè, íàéòè ñîïðîòèâëåíèå ýòîãî ó÷àñòêà ïî ôîðìóëå R1 =
U R1 I R1
.
Ñðàâíèòü ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå R1 ñî çíà÷åíèåì, èçìåðåííûì ðàíåå íåïîñðåäñòâåííî. 5. Ïîâòîðèòü àíàëîãè÷íûå èçìåðåíèÿ íà ó÷àñòêå öåïè 07, ñîäåðæàùåì R3. Äëÿ ýòîãî çàìêíóòü ïåðåìû÷êó 03. Ïðèñîåäèíèòü êðàñíûé ùóï ê òî÷êå 3, à ÷åðíûé ê òî÷êå 0 è èçìåðèòü òîê I3. Ïðè ýòîì óíèâåðñàëüíûé ïðèáîð ðàáîòàåò â ðåæèìå èçìåðåíèÿ ïîñòîÿííîãî òîêà. Äëÿ èçìåðåíèÿ íàïðÿæåíèÿ U3 çàìêíóòü ïåðåìû÷êó 03. Ïåðåâåñòè óíèâåðñàëüíûé ïðèáîð â ðåæèì èçìåðåíèÿ ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ (êíîïêà «U» íàæàòà, êðàñíûé ùóï íà ïðèáîðå ïåðåíîñèòñÿ â ãíåçäî «U, R». Íà ñõåìå ïîäêëþ÷èòü ùóïû ê òî÷êàì 37 è èçìåðèòü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ íà ó÷àñòêå R3. Çàïèñàòü ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå U R3 . 6. Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ U R3 , òîêà I3 íà îñíîâàíèè çàêîíà Îìà äëÿ ó÷àñòêà öåïè, íàéòè ñîïðîòèâëåíèå äàííîãî ó÷àñòêà ïî ôîðìóëå R3 = U R3 I 3 . Óïðàæíåíèå 3 Ïðîâåðêà çàêîíà Îìà äëÿ íåîäíîðîäíîãî ó÷àñòêà öåïè 1. Çàìêíóòü ïåðåìû÷êè 10 è 20, ïåðåìû÷êó 03 ðàçîìêíóòü. Ïåðåêëþ÷àòåëü «Ï» â ïîëîæåíèè «ââåðõ». Ïðè ýòîì ìîäåëèðóåòñÿ ó÷àñòîê öåïè, ñîäåðæàùåé ýäñ (ðèñ. 4à). 176
Ðèñ. 4
2. Ïðèáîðîì â ðåæèìå âîëüòìåòðà (ïðåäåë 20 Â) èçìåðèòü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó òî÷êàìè 16, çàïèñàòü ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå ñ ó÷åòîì çíàêà U16 = j1 j6. 3. Ïåðåâåñòè ïðèáîð â ðåæèì èçìåðåíèÿ òîêà (ïðåäåë èçìåðåíèÿ 20 ìÀ), ðàçîìêíóòü ïåðåìû÷êó 10, ïîäñîåäèíèòü ùóïû ïðèáîðà ê òî÷êàì 1 è 0. Èçìåðèòü è çàïèñàòü çíà÷åíèå òîêà íà ýòîì ó÷àñòêå öåïè (16). Ñ ó÷åòîì ïîðÿäêà ïîäêëþ÷åíèÿ ùóïîâ è çíàêà ïîêàçàíèÿ ïðèáîðà îïðåäåëèòü íàïðàâëåíèå òîêà, îòìåòèòü åãî ñòðåëêîé è çàïèñàòü åãî âåëè÷èíó I1 = .... 4. Èìåÿ çíà÷åíèÿ âåëè÷èí -, I, R è j1 j6 = U16, ïðîâåðèòü ñïðàâåäëèâîñòü çàêîíà Îìà äëÿ ó÷àñòêà öåïè ñ ýäñ: I1 R 1 = j 1 j 6 ± - 1 . 5. Ïðîâåñòè àíàëîãè÷íûå èçìåðåíèÿ è ïðîâåðêó çàêîíà Îìà, èçìåíèâ ïîëÿðíîñòü âêëþ÷åíèÿ -1 (ðèñ. 4á), äëÿ ÷åãî ïåðåâåñòè ïåðåêëþ÷àòåëü «Ï» íà ñõåìå-ìàêåòå â ïîëîæåíèå «âíèç» (-1). Äàëüíåéøèé ïîðÿäîê äåéñòâèé, êàê â ï. 24 äàííîãî óïðàæíåíèÿ. Óïðàæíåíèå 4 Ïðîâåðêà çàêîíà Îìà äëÿ çàìêíóòîé öåïè è îïðåäåëåíèå âíóòðåííåãî ñîïðîòèâëåíèÿ èñòî÷íèêà ýäñ 1. Ñìîäåëèðîâàòü öåïü, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 5à, äëÿ ÷åãî çàìêíóòü ïåðåìû÷êè 10, 30, ïåðåìû÷êà 20 ðàçîìêíóòà, ïåðåêëþ÷àòåëü «Ï» â ïîëîæåíèè «ââåðõ» (+-1). 2. Èçìåðèòü íàïðÿæåíèå UR â òî÷êàõ 46. Ïåðåâåñòè ïðèáîð â ðåæèì èçìåðåíèÿ òîêà, ðàçîìêíóòü ïåðåìû÷êó 10 èëè 03, èçìåðèòü òîê â öåïè è îïðåäåëèòü åãî íàïðàâëåíèå. Çàïèñàòü ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ UR è I1 (ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ U46 = UR ÿâëÿåòñÿ ïàäåíèåì íàïðÿæåíèÿ âî âíåøíåé (ïî îòíîøåíèþ ê èñòî÷íèêó ýäñ) öåïè, ò.å. íà ñîïðîòèâëåíèÿõ R1 è R3, â ÷åì ëåãêî óáåäèòüñÿ, èçìåðèâ ïî îòäåëüíîñòè U R1 è U R3 .  òî æå âðåìÿ ýòî çíà÷åíèå ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ, êàê ñëåäóåò èç çàêîíà Îìà äëÿ çàìêíóòîé öåïè, ðàâíî U 4 6 = I 1 (R 1 + R 3 ) = - 1 Ir 1 , ãäå r1 âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà ýäñ -1. 177
ïîòåíöèàë âòîðîé òî÷êè ìîæíî ñ÷èòàòü ðàâíûì íóëþ ëèáî îí äåéñòâèòåëüíî ðàâåí íóëþ, åñëè ïðèáîðû çàçåìëåíû. Òàê êàê çà ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå òîêà ïðèíÿòî ñ÷èòàòü íàïðàâëåíèå â ñòîðîíó óìåíüøåíèÿ ïîòåíöèàëà, òî âñå âûøå óïîìÿíóòîå îñòàåòñÿ â ñèëå è ïðè èçìåðåíèè ïîñòîÿííûõ òîêîâ. 3. Ïåðåâåñòè ïðèáîð â ðåæèì èçìåðåíèÿ ïîñòîÿííîãî òîêà (êíîïêè «I», «=», êðàñíûé ùóï â ãíåçäå «I»). Óñòàíîâèòü ïðåäåë èçìåðåíèÿ 20 ìÀ. Ðàçîìêíóòü ïåðåìû÷êó 1 0 (ñì. ðèñ. 2) è ïîäñîåäèíèòü êðàñíûé ùóï ê òî÷êå 1, à ÷åðíûé ùóï ê òî÷êå 0. Ïðè ýòîì ïîêàçàíèå ïðèáîðà áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ïîëîæèòåëüíîìó çíà÷åíèþ òîêà (òîê ÷åðåç ñîïðîòèâëåíèå R èäåò ñëåâà íàïðàâî). Ïîìåíÿâ ùóïû ìåñòàìè, óáåäèòüñÿ, ÷òî ïîêàçàíèå ïðèáîðà ñìåíèò çíàê íà ïðîòèâîïîëîæíûé. Ðàçîáðàòüñÿ, êàê ñ ó÷åòîì ïîðÿäêà ïðèñîåäèíåíèÿ ùóïîâ è çíàêà ïîêàçàíèé ïðèáîðà óâåðåííî îïðåäåëÿòü íàïðàâëåíèå òîêà â öåïè, ñòðåëêîé îòìåòèòü íàïðàâëåíèå òîêà è çàïèñàòü åãî âåëè÷èíó I = ... . 4. Èñïîëüçóÿ èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ UR1 è çàêîí Îìà äëÿ ó÷àñòêà öåïè, íàéòè ñîïðîòèâëåíèå ýòîãî ó÷àñòêà ïî ôîðìóëå R1 =
U R1 I R1
.
Ñðàâíèòü ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå R1 ñî çíà÷åíèåì, èçìåðåííûì ðàíåå íåïîñðåäñòâåííî. 5. Ïîâòîðèòü àíàëîãè÷íûå èçìåðåíèÿ íà ó÷àñòêå öåïè 07, ñîäåðæàùåì R3. Äëÿ ýòîãî çàìêíóòü ïåðåìû÷êó 03. Ïðèñîåäèíèòü êðàñíûé ùóï ê òî÷êå 3, à ÷åðíûé ê òî÷êå 0 è èçìåðèòü òîê I3. Ïðè ýòîì óíèâåðñàëüíûé ïðèáîð ðàáîòàåò â ðåæèìå èçìåðåíèÿ ïîñòîÿííîãî òîêà. Äëÿ èçìåðåíèÿ íàïðÿæåíèÿ U3 çàìêíóòü ïåðåìû÷êó 03. Ïåðåâåñòè óíèâåðñàëüíûé ïðèáîð â ðåæèì èçìåðåíèÿ ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ (êíîïêà «U» íàæàòà, êðàñíûé ùóï íà ïðèáîðå ïåðåíîñèòñÿ â ãíåçäî «U, R». Íà ñõåìå ïîäêëþ÷èòü ùóïû ê òî÷êàì 37 è èçìåðèòü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ íà ó÷àñòêå R3. Çàïèñàòü ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå U R3 . 6. Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ U R3 , òîêà I3 íà îñíîâàíèè çàêîíà Îìà äëÿ ó÷àñòêà öåïè, íàéòè ñîïðîòèâëåíèå äàííîãî ó÷àñòêà ïî ôîðìóëå R3 = U R3 I 3 . Óïðàæíåíèå 3 Ïðîâåðêà çàêîíà Îìà äëÿ íåîäíîðîäíîãî ó÷àñòêà öåïè 1. Çàìêíóòü ïåðåìû÷êè 10 è 20, ïåðåìû÷êó 03 ðàçîìêíóòü. Ïåðåêëþ÷àòåëü «Ï» â ïîëîæåíèè «ââåðõ». Ïðè ýòîì ìîäåëèðóåòñÿ ó÷àñòîê öåïè, ñîäåðæàùåé ýäñ (ðèñ. 4à). 176
Ðèñ. 4
2. Ïðèáîðîì â ðåæèìå âîëüòìåòðà (ïðåäåë 20 Â) èçìåðèòü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó òî÷êàìè 16, çàïèñàòü ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå ñ ó÷åòîì çíàêà U16 = j1 j6. 3. Ïåðåâåñòè ïðèáîð â ðåæèì èçìåðåíèÿ òîêà (ïðåäåë èçìåðåíèÿ 20 ìÀ), ðàçîìêíóòü ïåðåìû÷êó 10, ïîäñîåäèíèòü ùóïû ïðèáîðà ê òî÷êàì 1 è 0. Èçìåðèòü è çàïèñàòü çíà÷åíèå òîêà íà ýòîì ó÷àñòêå öåïè (16). Ñ ó÷åòîì ïîðÿäêà ïîäêëþ÷åíèÿ ùóïîâ è çíàêà ïîêàçàíèÿ ïðèáîðà îïðåäåëèòü íàïðàâëåíèå òîêà, îòìåòèòü åãî ñòðåëêîé è çàïèñàòü åãî âåëè÷èíó I1 = .... 4. Èìåÿ çíà÷åíèÿ âåëè÷èí -, I, R è j1 j6 = U16, ïðîâåðèòü ñïðàâåäëèâîñòü çàêîíà Îìà äëÿ ó÷àñòêà öåïè ñ ýäñ: I1 R 1 = j 1 j 6 ± - 1 . 5. Ïðîâåñòè àíàëîãè÷íûå èçìåðåíèÿ è ïðîâåðêó çàêîíà Îìà, èçìåíèâ ïîëÿðíîñòü âêëþ÷åíèÿ -1 (ðèñ. 4á), äëÿ ÷åãî ïåðåâåñòè ïåðåêëþ÷àòåëü «Ï» íà ñõåìå-ìàêåòå â ïîëîæåíèå «âíèç» (-1). Äàëüíåéøèé ïîðÿäîê äåéñòâèé, êàê â ï. 24 äàííîãî óïðàæíåíèÿ. Óïðàæíåíèå 4 Ïðîâåðêà çàêîíà Îìà äëÿ çàìêíóòîé öåïè è îïðåäåëåíèå âíóòðåííåãî ñîïðîòèâëåíèÿ èñòî÷íèêà ýäñ 1. Ñìîäåëèðîâàòü öåïü, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 5à, äëÿ ÷åãî çàìêíóòü ïåðåìû÷êè 10, 30, ïåðåìû÷êà 20 ðàçîìêíóòà, ïåðåêëþ÷àòåëü «Ï» â ïîëîæåíèè «ââåðõ» (+-1). 2. Èçìåðèòü íàïðÿæåíèå UR â òî÷êàõ 46. Ïåðåâåñòè ïðèáîð â ðåæèì èçìåðåíèÿ òîêà, ðàçîìêíóòü ïåðåìû÷êó 10 èëè 03, èçìåðèòü òîê â öåïè è îïðåäåëèòü åãî íàïðàâëåíèå. Çàïèñàòü ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ UR è I1 (ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ U46 = UR ÿâëÿåòñÿ ïàäåíèåì íàïðÿæåíèÿ âî âíåøíåé (ïî îòíîøåíèþ ê èñòî÷íèêó ýäñ) öåïè, ò.å. íà ñîïðîòèâëåíèÿõ R1 è R3, â ÷åì ëåãêî óáåäèòüñÿ, èçìåðèâ ïî îòäåëüíîñòè U R1 è U R3 .  òî æå âðåìÿ ýòî çíà÷åíèå ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ, êàê ñëåäóåò èç çàêîíà Îìà äëÿ çàìêíóòîé öåïè, ðàâíî U 4 6 = I 1 (R 1 + R 3 ) = - 1 Ir 1 , ãäå r1 âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà ýäñ -1. 177
Ðèñ. 5
þòñÿ äâà óçëà òî÷êè 0 è 7 è òðè çàìêíóòûõ êîíòóðà: 4058 76, 4076 è 0587. 2. Ïðèáîðîì â ðåæèìå âîëüòìåòðà èçìåðèòü ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ U R1 ,U R2 è U R3 íà ñîïðîòèâëåíèÿõ (òî÷êè 41, 25 è 37 ñîîòâåòñòâåííî). Ïåðåâåñòè ïðèáîð â ðåæèì èçìåðåíèÿ òîêà (ïðåäåë 20 ìÀ). Ïîî÷åðåäíî ðàçìûêàÿ ïåðåìû÷êè 10, 02 è 03 è ïîäêëþ÷àÿ ïðèáîð, èçìåðèòü çíà÷åíèÿ òîêîâ I1, I2 è I3 ÷åðåç ñîîòâåòñòâóþùèå ñîïðîòèâëåíèÿ. Ñòðåëêàìè îòìåòèòü íà ñõåìå â òåòðàäè íàïðàâëåíèå òîêîâ. 3. Ïðîèçâåñòè ïðîâåðêó 1-ãî ïðàâèëà Êèðõãîôà äëÿ îäíîãî èç óçëîâ
Ýòà ôîðìóëà ïîçâîëÿåò êîñâåííûì ñïîñîáîì ïîëó÷èòü çíà÷åíèå âíóòðåííåãî ñîïðîòèâëåíèÿ èñòî÷íèêà ýäñ, êîòîðîå íåëüçÿ èçìåðèòü ïðèáîðîì íåïîñðåäñòâåííî, êàê ýòî äåëàëîñü â óïðàæíåíèè 1. 3. Èñïîëüçóÿ ðàíåå ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ R1, R3 è -1 è èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ I1 è U16, îöåíèòü âåëè÷èíó âíóòðåííåãî ñîïðîòèâëåíèÿ èñòî÷íèêà ýäñ -1 ïî îäíîé èç ôîðìóë:
×åì áóäåò îòëè÷àòüñÿ àíàëîãè÷íîå óðàâíåíèå, çàïèñàííîå äëÿ äðóãîãî óçëà? 4. Èñïîëüçóÿ èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ Ui, Ii è ðàíåå ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ Ri, ri è -i, ñîñòàâèòü ñ ó÷åòîì íàïðàâëåíèÿ òîêîâ è íàïðàâëåíèÿ îáõîäà êîíòóðà óðàâíåíèÿ 2-ãî ïðàâèëà Êèðõãîôà äëÿ êàæäîãî èç òðåõ êîíòóðîâ
r1 =
e1 - U 4 -6 e , r1 = 1 - R1 - R3 . I1 I1
Òàê êàê r1 ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ (R1 + R3), òî â ïðåäåëàõ 10% òî÷íîñòè äîëæíî ñîâïàäàòü èçìåðåííîå çíà÷åíèå òîêà I1 ñî çíà÷åíèåì, ïîëó÷åííûì ïî ôîðìóëå I1 =
-1 . R1 + R3
4. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà ýäñ -2 â çàìêíóòîé öåïè 0258730 (ðèñ. 5á). Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ðàçîìêíóòü ïåðåìû÷êó 10 è çàìêíóòü ïåðåìû÷êè 02, 03 è èçìåðèòü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U58 è òîê I2 òàê, êàê ýòî äåëàëîñü â ïðåäûäóùèõ ïóíêòàõ äëÿ -1. Âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà ýäñ -2 ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëàì r2 =
-2 - U 5-8 èëè r2 = 2 - R2 - R3 . I2 I2
Óïðàæíåíèå 5 Ïðîâåðêà ïðàâèë Êèðõãîôà 1. Ñìîäåëèðîâàòü ðàçâåòâëåííóþ ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, äëÿ ÷åãî çàìêíóòü âñå òðè ïåðåìû÷êè (ñì. ðèñ. 2).  ýòîé öåïè èìå178
å Ii
= 0.
å I i Ri + å I k rk = å -k . i
k
k
Óáåäèòüñÿ, ÷òî òðåòüå èç ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ïåðâûõ äâóõ (ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî èç íèõ). 5. Ïîâòîðèòü àíàëîãè÷íûå èçìåðåíèÿ è ðàñ÷åòû, îïèñàííûå â ïóíêòàõ 14, èçìåíèâ ïîëÿðíîñòü âêëþ÷åíèÿ èñòî÷íèêà ýäñ -1 íà ïðîòèâîïîëîæíîå [ïåðåâåñòè ïåðåêëþ÷àòåëü «Ï» â ïîëîæåíèå «âíèç» (-1)]. 6. Ïî îêîí÷àíèè ðàáîòû âûêëþ÷èòü ïðèáîðû è îòñîåäèíèòü ìàêåòíóþ ñõåìó îò ñåòè. Ëèòåðàòóðà 1. Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 2. Ýëåêòðè÷åñòâî è ìàãíåòèçì. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 5. Ïîñòîÿííûé ýëåêòðè÷åñêèé òîê. 5.1. Ýëåêòðè÷åñêèé òîê. 5.3. Ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà. 5.4. Çàêîí Îìà. Ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäíèêîâ. 5.5. Çàêîí Îìà äëÿ íåîäíîðîäíîãî ó÷àñòêà öåïè. 5.6. Ðàçâåòâëåííûå öåïè. Ïðàâèëà Êèðõãîôà. 179
Ðèñ. 5
þòñÿ äâà óçëà òî÷êè 0 è 7 è òðè çàìêíóòûõ êîíòóðà: 4058 76, 4076 è 0587. 2. Ïðèáîðîì â ðåæèìå âîëüòìåòðà èçìåðèòü ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ U R1 ,U R2 è U R3 íà ñîïðîòèâëåíèÿõ (òî÷êè 41, 25 è 37 ñîîòâåòñòâåííî). Ïåðåâåñòè ïðèáîð â ðåæèì èçìåðåíèÿ òîêà (ïðåäåë 20 ìÀ). Ïîî÷åðåäíî ðàçìûêàÿ ïåðåìû÷êè 10, 02 è 03 è ïîäêëþ÷àÿ ïðèáîð, èçìåðèòü çíà÷åíèÿ òîêîâ I1, I2 è I3 ÷åðåç ñîîòâåòñòâóþùèå ñîïðîòèâëåíèÿ. Ñòðåëêàìè îòìåòèòü íà ñõåìå â òåòðàäè íàïðàâëåíèå òîêîâ. 3. Ïðîèçâåñòè ïðîâåðêó 1-ãî ïðàâèëà Êèðõãîôà äëÿ îäíîãî èç óçëîâ
Ýòà ôîðìóëà ïîçâîëÿåò êîñâåííûì ñïîñîáîì ïîëó÷èòü çíà÷åíèå âíóòðåííåãî ñîïðîòèâëåíèÿ èñòî÷íèêà ýäñ, êîòîðîå íåëüçÿ èçìåðèòü ïðèáîðîì íåïîñðåäñòâåííî, êàê ýòî äåëàëîñü â óïðàæíåíèè 1. 3. Èñïîëüçóÿ ðàíåå ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ R1, R3 è -1 è èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ I1 è U16, îöåíèòü âåëè÷èíó âíóòðåííåãî ñîïðîòèâëåíèÿ èñòî÷íèêà ýäñ -1 ïî îäíîé èç ôîðìóë:
×åì áóäåò îòëè÷àòüñÿ àíàëîãè÷íîå óðàâíåíèå, çàïèñàííîå äëÿ äðóãîãî óçëà? 4. Èñïîëüçóÿ èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ Ui, Ii è ðàíåå ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ Ri, ri è -i, ñîñòàâèòü ñ ó÷åòîì íàïðàâëåíèÿ òîêîâ è íàïðàâëåíèÿ îáõîäà êîíòóðà óðàâíåíèÿ 2-ãî ïðàâèëà Êèðõãîôà äëÿ êàæäîãî èç òðåõ êîíòóðîâ
r1 =
e1 - U 4 -6 e , r1 = 1 - R1 - R3 . I1 I1
Òàê êàê r1 ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ (R1 + R3), òî â ïðåäåëàõ 10% òî÷íîñòè äîëæíî ñîâïàäàòü èçìåðåííîå çíà÷åíèå òîêà I1 ñî çíà÷åíèåì, ïîëó÷åííûì ïî ôîðìóëå I1 =
-1 . R1 + R3
4. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà ýäñ -2 â çàìêíóòîé öåïè 0258730 (ðèñ. 5á). Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ðàçîìêíóòü ïåðåìû÷êó 10 è çàìêíóòü ïåðåìû÷êè 02, 03 è èçìåðèòü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U58 è òîê I2 òàê, êàê ýòî äåëàëîñü â ïðåäûäóùèõ ïóíêòàõ äëÿ -1. Âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà ýäñ -2 ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëàì r2 =
-2 - U 5-8 èëè r2 = 2 - R2 - R3 . I2 I2
Óïðàæíåíèå 5 Ïðîâåðêà ïðàâèë Êèðõãîôà 1. Ñìîäåëèðîâàòü ðàçâåòâëåííóþ ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, äëÿ ÷åãî çàìêíóòü âñå òðè ïåðåìû÷êè (ñì. ðèñ. 2).  ýòîé öåïè èìå178
å Ii
= 0.
å I i Ri + å I k rk = å -k . i
k
k
Óáåäèòüñÿ, ÷òî òðåòüå èç ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ïåðâûõ äâóõ (ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî èç íèõ). 5. Ïîâòîðèòü àíàëîãè÷íûå èçìåðåíèÿ è ðàñ÷åòû, îïèñàííûå â ïóíêòàõ 14, èçìåíèâ ïîëÿðíîñòü âêëþ÷åíèÿ èñòî÷íèêà ýäñ -1 íà ïðîòèâîïîëîæíîå [ïåðåâåñòè ïåðåêëþ÷àòåëü «Ï» â ïîëîæåíèå «âíèç» (-1)]. 6. Ïî îêîí÷àíèè ðàáîòû âûêëþ÷èòü ïðèáîðû è îòñîåäèíèòü ìàêåòíóþ ñõåìó îò ñåòè. Ëèòåðàòóðà 1. Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 2. Ýëåêòðè÷åñòâî è ìàãíåòèçì. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 5. Ïîñòîÿííûé ýëåêòðè÷åñêèé òîê. 5.1. Ýëåêòðè÷åñêèé òîê. 5.3. Ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà. 5.4. Çàêîí Îìà. Ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäíèêîâ. 5.5. Çàêîí Îìà äëÿ íåîäíîðîäíîãî ó÷àñòêà öåïè. 5.6. Ðàçâåòâëåííûå öåïè. Ïðàâèëà Êèðõãîôà. 179
3àäà÷à ¹ 22 ÈÇÓ×ÅÍÈÅ ÐÀÁÎÒÛ ÂÀÊÓÓÌÍÎÃÎ ÒÐÈÎÄÀ
Öåëü çàäà÷è: èçó÷åíèå ðàáîòû âàêóóìíîãî òðèîäà â ñòàòè÷åñêîì è äèíàìè÷åñêîì ðåæèìàõ. Óñòðîéñòâî è ïðèíöèï äåéñòâèÿ òðèîäà. Âíóòðè ñòåêëÿííîãî áàëëîíà, èç êîòîðîãî óäàëåí âîçäóõ (äàâëåíèå 103104 Ïà), íàõîäÿòñÿ òðè ýëåêòðîäà (ðèñ. 1). Îäèí èç ýëåêòðîäîâ (íèòü Ê) âûïîëíåí â âèäå ìåòàëëè÷åñêîé ïðîâîëî÷êè, íàêàëèâàåìîé ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì îò íèçêîâîëüòíîãî òðàíñôîðìàòîðà íàêàëà èëè îò áàòàðåè. Âòîðîé ýëåêòðîä ìåòàëëè÷åñêèé öèëèíäð À îõâàòûâàåò ïåðâûé. Òðåòèé ýëåêòðîä Ñ ñïèðàëü, îêðóæàþùàÿ ýëåêòðîä Ê. Ýëåêòðîä Ê (êàòîä) ïðè ðàáîòå íàãðåâàåòñÿ äî òåìïåðàòóðû ïîðÿäêà ñîòåí ãðàäóñîâ, è íà íåãî ïîäàåòñÿ îòðèöàòåëüíûé ïîòåíöèàë. Íà ýëåêòðîä À (àíîä) ïîäàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûé ïîòåíöèàë. Íà ýëåêòðîä Ñ (ñåòêà) â çàâèñèìîñòè îò Ðèñ. 1 óñëîâèé ìîæåò ïîäàâàòüñÿ ïîòåíöèàë ëþáîãî çíàêà.  ìåòàëëàõ äîñòàòî÷íî ìíîãî (10221023 ýë/ñì3) ïðàêòè÷åñêè ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ñâîáîäíî ïåðåìåùàåòñÿ ïî âñåìó îáúåìó íåéòðàëüíîãî ïðîâîäíèêà, îäíàêî êàê òîëüêî îí âûõîäèò çà ãðàíèöó ìåòàëëà, óíîñÿ ñ ñîáîé çàðÿä «å», â ìåòàëëå âîçíèêàåò çàðÿä «+å». Èõ âçàèìîäåéñòâèå «çàòàëêèâàåò» ýëåêòðîí îáðàòíî â ìåòàëë. Åñëè ìåòàëë íàãðåòü, òî ïðè äîñòàòî÷íî âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíîâ ïîçâîëÿåò èì ïðåîäîëåòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ êóëîíîâñêîãî ïðèòÿæåíèÿ è êàêîå-òî âðåìÿ íàõîäèòüñÿ âáëèçè ïîâåðõíîñòè ðàñêàëåííîãî ìåòàëëà. Îáðàçóåòñÿ òàê íàçûâàåìîå «ýëåêòðîííîå îáëàêî» (ïðîñòðàíñòâåííûé çàðÿä), ïëîòíîñòü êîòîðîãî òåì áîëüøå, ÷åì âûøå òåìïåðàòóðà. Òàêèì îáðàçîì, âîêðóã êàòîäà ïðè ðàáîòå ñîçäàåòñÿ ïðîñòðàíñòâåííûé çàðÿä, è åñëè ïðè ýòîì ïîäàòü íà ýëåêòðîäû íàïðÿæåíèå, òî îò êàòîäà ê àíîäó ïîéäåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê, ïðè ýòîì áóäåò íàáëþäàòüñÿ ñëîæíàÿ çàâèñèìîñòü òîêà îò ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ. Òîê â òðèîäå çàâèñèò íå òîëüêî îò íàïðÿæåíèÿ, ïðèëîæåííîãî ê àíîäó, íî è îò çíàêà è âåëè÷èíû ïîòåíöèàëà ýëåêòðîäà Ñ (ñåòêè): Ià = f (Uà, Uñ). Ýòó çàâèñèìîñòü ìîæíî çàïèñàòü òàêæå â äèôôåðåíöèàëüíîì âèäå: dI à = ¶I à /¶U ñ dU ñ + ¶I à /¶U à dU à . 180
(1)
Òàêèì îáðàçîì, îñòàâëÿÿ íàïðÿæåíèå íà àíîäå ïîñòîÿííûì, ìîæíî â øèðîêèõ ïðåäåëàõ èçìåíÿòü àíîäíûé òîê, ðåãóëèðóÿ óïðàâëÿþùåå íàïðÿæåíèå çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ ïîòåíöèàëà ñåòêè. Èç ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî ïðè îïðåäåëåííîì îòðèöàòåëüíîì ïîòåíöèàëå íà ñåòêå òîê ÷åðåç ëàìïó èäòè íå áóäåò (ëàìïà «çàïåðòà»). Õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû òðèîäà. Õàðàêòåðèñòèêè ëàìï ïðåäñòàâëÿþò â âèäå ãðàôèêîâ çàâèñèìîñòè òîêà àíîäà îò íàïðÿæåíèÿ íà ñåòêå (ñåòî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè) èëè çàâèñèìîñòè àíîäíîãî òîêà îò íàïðÿæåíèÿ íà àíîäå (àíîäíûå õàðàêòåðèñòèêè) (ðèñ. 2, 3).
Ðèñ. 2
Ðèñ. 3
Ïîëüçóÿñü õàðàêòåðèñòèêàìè, ìîæíî ëåãêî âû÷èñëèòü ïàðàìåòðû ëàìïû, îïðåäåëÿþùèå åå ôóíêöèîíàëüíûå âîçìîæíîñòè: êðóòèçíó ñåòî÷íîé õàðàêòåðèñòèêè (S), âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå (R) è êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ (m). Êðóòèçíà ñåòî÷íîé õàðàêòåðèñòèêè ëàìïû S =
DI a , DU a
(2)
ïðè U à = const âåëè÷èíà, ðàâíàÿ îòíîøåíèþ èçìåíåíèÿ àíîäíîãî òîêà ê âûçâàâøåìó åãî èçìåíåíèþ ñåòî÷íîãî íàïðÿæåíèÿ ïðè ïîñòîÿííîì íàïðÿæåíèè íà àíîäå. Íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ ãðàôèê I à = f(U ñ ) (ðèñ. 4à), ìîæíî íàéòè DUñ = 21 = 1B; DI à = 6,5 3,2 = 3,3 ìA; S = 3,3:1 = 3,3 ìA/B. Âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå òðèîäà Ri =
DI a , DU a
(3) 181
3àäà÷à ¹ 22 ÈÇÓ×ÅÍÈÅ ÐÀÁÎÒÛ ÂÀÊÓÓÌÍÎÃÎ ÒÐÈÎÄÀ
Öåëü çàäà÷è: èçó÷åíèå ðàáîòû âàêóóìíîãî òðèîäà â ñòàòè÷åñêîì è äèíàìè÷åñêîì ðåæèìàõ. Óñòðîéñòâî è ïðèíöèï äåéñòâèÿ òðèîäà. Âíóòðè ñòåêëÿííîãî áàëëîíà, èç êîòîðîãî óäàëåí âîçäóõ (äàâëåíèå 103104 Ïà), íàõîäÿòñÿ òðè ýëåêòðîäà (ðèñ. 1). Îäèí èç ýëåêòðîäîâ (íèòü Ê) âûïîëíåí â âèäå ìåòàëëè÷åñêîé ïðîâîëî÷êè, íàêàëèâàåìîé ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì îò íèçêîâîëüòíîãî òðàíñôîðìàòîðà íàêàëà èëè îò áàòàðåè. Âòîðîé ýëåêòðîä ìåòàëëè÷åñêèé öèëèíäð À îõâàòûâàåò ïåðâûé. Òðåòèé ýëåêòðîä Ñ ñïèðàëü, îêðóæàþùàÿ ýëåêòðîä Ê. Ýëåêòðîä Ê (êàòîä) ïðè ðàáîòå íàãðåâàåòñÿ äî òåìïåðàòóðû ïîðÿäêà ñîòåí ãðàäóñîâ, è íà íåãî ïîäàåòñÿ îòðèöàòåëüíûé ïîòåíöèàë. Íà ýëåêòðîä À (àíîä) ïîäàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûé ïîòåíöèàë. Íà ýëåêòðîä Ñ (ñåòêà) â çàâèñèìîñòè îò Ðèñ. 1 óñëîâèé ìîæåò ïîäàâàòüñÿ ïîòåíöèàë ëþáîãî çíàêà.  ìåòàëëàõ äîñòàòî÷íî ìíîãî (10221023 ýë/ñì3) ïðàêòè÷åñêè ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ñâîáîäíî ïåðåìåùàåòñÿ ïî âñåìó îáúåìó íåéòðàëüíîãî ïðîâîäíèêà, îäíàêî êàê òîëüêî îí âûõîäèò çà ãðàíèöó ìåòàëëà, óíîñÿ ñ ñîáîé çàðÿä «å», â ìåòàëëå âîçíèêàåò çàðÿä «+å». Èõ âçàèìîäåéñòâèå «çàòàëêèâàåò» ýëåêòðîí îáðàòíî â ìåòàëë. Åñëè ìåòàëë íàãðåòü, òî ïðè äîñòàòî÷íî âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíîâ ïîçâîëÿåò èì ïðåîäîëåòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ êóëîíîâñêîãî ïðèòÿæåíèÿ è êàêîå-òî âðåìÿ íàõîäèòüñÿ âáëèçè ïîâåðõíîñòè ðàñêàëåííîãî ìåòàëëà. Îáðàçóåòñÿ òàê íàçûâàåìîå «ýëåêòðîííîå îáëàêî» (ïðîñòðàíñòâåííûé çàðÿä), ïëîòíîñòü êîòîðîãî òåì áîëüøå, ÷åì âûøå òåìïåðàòóðà. Òàêèì îáðàçîì, âîêðóã êàòîäà ïðè ðàáîòå ñîçäàåòñÿ ïðîñòðàíñòâåííûé çàðÿä, è åñëè ïðè ýòîì ïîäàòü íà ýëåêòðîäû íàïðÿæåíèå, òî îò êàòîäà ê àíîäó ïîéäåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê, ïðè ýòîì áóäåò íàáëþäàòüñÿ ñëîæíàÿ çàâèñèìîñòü òîêà îò ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ. Òîê â òðèîäå çàâèñèò íå òîëüêî îò íàïðÿæåíèÿ, ïðèëîæåííîãî ê àíîäó, íî è îò çíàêà è âåëè÷èíû ïîòåíöèàëà ýëåêòðîäà Ñ (ñåòêè): Ià = f (Uà, Uñ). Ýòó çàâèñèìîñòü ìîæíî çàïèñàòü òàêæå â äèôôåðåíöèàëüíîì âèäå: dI à = ¶I à /¶U ñ dU ñ + ¶I à /¶U à dU à . 180
(1)
Òàêèì îáðàçîì, îñòàâëÿÿ íàïðÿæåíèå íà àíîäå ïîñòîÿííûì, ìîæíî â øèðîêèõ ïðåäåëàõ èçìåíÿòü àíîäíûé òîê, ðåãóëèðóÿ óïðàâëÿþùåå íàïðÿæåíèå çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ ïîòåíöèàëà ñåòêè. Èç ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî ïðè îïðåäåëåííîì îòðèöàòåëüíîì ïîòåíöèàëå íà ñåòêå òîê ÷åðåç ëàìïó èäòè íå áóäåò (ëàìïà «çàïåðòà»). Õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû òðèîäà. Õàðàêòåðèñòèêè ëàìï ïðåäñòàâëÿþò â âèäå ãðàôèêîâ çàâèñèìîñòè òîêà àíîäà îò íàïðÿæåíèÿ íà ñåòêå (ñåòî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè) èëè çàâèñèìîñòè àíîäíîãî òîêà îò íàïðÿæåíèÿ íà àíîäå (àíîäíûå õàðàêòåðèñòèêè) (ðèñ. 2, 3).
Ðèñ. 2
Ðèñ. 3
Ïîëüçóÿñü õàðàêòåðèñòèêàìè, ìîæíî ëåãêî âû÷èñëèòü ïàðàìåòðû ëàìïû, îïðåäåëÿþùèå åå ôóíêöèîíàëüíûå âîçìîæíîñòè: êðóòèçíó ñåòî÷íîé õàðàêòåðèñòèêè (S), âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå (R) è êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ (m). Êðóòèçíà ñåòî÷íîé õàðàêòåðèñòèêè ëàìïû S =
DI a , DU a
(2)
ïðè U à = const âåëè÷èíà, ðàâíàÿ îòíîøåíèþ èçìåíåíèÿ àíîäíîãî òîêà ê âûçâàâøåìó åãî èçìåíåíèþ ñåòî÷íîãî íàïðÿæåíèÿ ïðè ïîñòîÿííîì íàïðÿæåíèè íà àíîäå. Íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ ãðàôèê I à = f(U ñ ) (ðèñ. 4à), ìîæíî íàéòè DUñ = 21 = 1B; DI à = 6,5 3,2 = 3,3 ìA; S = 3,3:1 = 3,3 ìA/B. Âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå òðèîäà Ri =
DI a , DU a
(3) 181
Ðèñ. 5
Ðèñ. 6
ïðè Uñ = const âåëè÷èíà, ðàâíàÿ îòíîøåíèþ èçìåíåíèÿ àíîäíîãî íàïðÿæåíèÿ ê âûçâàííîìó èì èçìåíåíèþ àíîäíîãî òîêà ïðè ïîñòîÿííîì íàïðÿæåíèè íà ñåòêå. Íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ ãðàôèê I à = f(U ñ ) ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ Uà (ðèñ. 4á), ìîæíî íàéòè DU à = 100 80 = 20 Â; DI à = 8,6 3=5,6 ìA = 0,0056 A; R i = 20 : 0,0056 = 3540 Îì. Êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ m ñò = -
DU a , DU c
(4)
ïðè Ià = const âåëè÷èíà, ðàâíàÿ îòíîøåíèþ èçìåíåíèÿ àíîäíîãî íàïðÿæåíèÿ Ðèñ. 4 ê ñîîòâåòñòâóþùåìó èçìåíåíèþ ñåòî÷íîãî íàïðÿæåíèÿ, íåîáõîäèìîìó äëÿ òîãî, ÷òîáû âåëè÷èíà òîêà îñòàëàñü ïîñòîÿííîé. Íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ ãðàôèê I à = f(U ñ ) , (ðèñ. 4â) íàéäåì DU ñ = 2,4 B, DU à = 20 B, m ñò = 8,3. Ñâÿçü ìåæäó ïàðàìåòðàìè òðèîäà: R i S = m. (5) Ðåæèìû ðàáîòû òðèîäà. Õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû òðèîäà çàâèñÿò îò ðåæèìà ðàáîòû ëàìïû: ñòàòè÷åñêîãî (ðèñ. 5) è äèíàìè÷åñêîãî (ðèñ. 6). Îíè îòëè÷àþòñÿ íàëè÷èåì (â äèíàìè÷åñêîì ðåæèìå) â àíîäíîé öåïè ñîïðîòèâëåíèÿ íàãðóçêè Rà.  îòñóòñòâèå Rà (ñòàòè÷åñêèé ðåæèì) àíîäíîå íàïðÿæåíèå Uà ðàâíî ýäñ èñòî÷íèêà Eà è îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì, íåñìîòðÿ íà êîëåáàíèÿ àíîäíîãî òîêà. Ïðè íàëè÷èè àíîäíîé íàãðóçêè àíîäíîå íàïðÿæåíèå 182
U à =E à I à R à . (6) Ïðè ýòîì, åñëè â ðåçóëüòàòå èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà ñåòêå Uñ èçìåíèòñÿ àíîäíûé òîê Ià, òî âìåñòå ñ íèì èçìåíèòñÿ íàïðÿæåíèå íà Rà (DU R = R àDI à), â ñîîòâåòñòâèè ñ (6) àíîäíîå íàïðÿæåíèå èçìåíèòñÿ íà âåëè÷èíó (DU à = RDI à ). Òàêèì îáðàçîì, ïðè ðàáîòå ëàìïû â äèíàìè÷åñêîì ðåæèìå òðè âåëè÷èíû Uñ, Ià, Uà ñâÿçàíû è ìåíÿþòñÿ îäíîâðåìåííî. Îòìåòèì, ÷òî óâåëè÷åíèå Uñ âûçûâàåò óâåëè÷åíèå àíîäíîãî òîêà Ià, ÷òî óâåëè÷èâàåò IàRà è, ñëåäîâàòåëüíî, óìåíüøàåò Uà. Ïîýòîìó ïî ñðàâíåíèþ ñî ñòàòè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè äèíàìè÷åñêèå àíîäíî-ñåòî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè áîëåå ïîëîãè, ïðè÷åì, ÷åì áîëüøå Rà, òåì áîëåå ïîëîãà äèíàìè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà (ðèñ. 7, 8).
Ðèñ. 7
Ðèñ. 8
Êàæäîé òî÷êå äèíàìè÷åñêîé àíîäíî-ñåòî÷íîé õàðàêòåðèñòèêè ñîîòâåòñòâóåò ñâîå çíà÷åíèå àíîäíîãî íàïðÿæåíèÿ. Èç (6) ñëåäóåò, ÷òî Ia =
-a U a , Ra Ra
(7)
ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ íàãðóçî÷íîé ïðÿìîé (ðèñ. 8). Ñ ïîìîùüþ äèíàìè÷åñêîé àíîäíîé õàðàêòåðèñòèêè ìîæíî îïðåäåëèòü àíîäíûé òîê (à çíà÷èò, è ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà íàãðóçêå) è àíîäíîå íàïðÿæåíèå ïðè ëþáîì íàïðÿæåíèè íà ñåòêå. Âñëåäñòâèå òîãî ÷òî ýòà õàðàêòåðèñòèêà ñòðîèòñÿ ïðîñòî è ïîçâîëÿåò óäîáíî íàõîäèòü âåëè÷èíû Uà è UR, èìåííî åå ÷àùå âñåãî èñïîëüçóþò äëÿ ðàçëè÷íûõ ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ ñ ëàìïàìè (ðèñ. 8). Äèíàìè÷åñêàÿ êðóòèçíà ñåòî÷íîé õàðàêòåðèñòèêè ëàìïû S äèí =
DI a Uc
(8) 183
Ðèñ. 5
Ðèñ. 6
ïðè Uñ = const âåëè÷èíà, ðàâíàÿ îòíîøåíèþ èçìåíåíèÿ àíîäíîãî íàïðÿæåíèÿ ê âûçâàííîìó èì èçìåíåíèþ àíîäíîãî òîêà ïðè ïîñòîÿííîì íàïðÿæåíèè íà ñåòêå. Íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ ãðàôèê I à = f(U ñ ) ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ Uà (ðèñ. 4á), ìîæíî íàéòè DU à = 100 80 = 20 Â; DI à = 8,6 3=5,6 ìA = 0,0056 A; R i = 20 : 0,0056 = 3540 Îì. Êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ m ñò = -
DU a , DU c
(4)
ïðè Ià = const âåëè÷èíà, ðàâíàÿ îòíîøåíèþ èçìåíåíèÿ àíîäíîãî íàïðÿæåíèÿ Ðèñ. 4 ê ñîîòâåòñòâóþùåìó èçìåíåíèþ ñåòî÷íîãî íàïðÿæåíèÿ, íåîáõîäèìîìó äëÿ òîãî, ÷òîáû âåëè÷èíà òîêà îñòàëàñü ïîñòîÿííîé. Íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ ãðàôèê I à = f(U ñ ) , (ðèñ. 4â) íàéäåì DU ñ = 2,4 B, DU à = 20 B, m ñò = 8,3. Ñâÿçü ìåæäó ïàðàìåòðàìè òðèîäà: R i S = m. (5) Ðåæèìû ðàáîòû òðèîäà. Õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû òðèîäà çàâèñÿò îò ðåæèìà ðàáîòû ëàìïû: ñòàòè÷åñêîãî (ðèñ. 5) è äèíàìè÷åñêîãî (ðèñ. 6). Îíè îòëè÷àþòñÿ íàëè÷èåì (â äèíàìè÷åñêîì ðåæèìå) â àíîäíîé öåïè ñîïðîòèâëåíèÿ íàãðóçêè Rà.  îòñóòñòâèå Rà (ñòàòè÷åñêèé ðåæèì) àíîäíîå íàïðÿæåíèå Uà ðàâíî ýäñ èñòî÷íèêà Eà è îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì, íåñìîòðÿ íà êîëåáàíèÿ àíîäíîãî òîêà. Ïðè íàëè÷èè àíîäíîé íàãðóçêè àíîäíîå íàïðÿæåíèå 182
U à =E à I à R à . (6) Ïðè ýòîì, åñëè â ðåçóëüòàòå èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà ñåòêå Uñ èçìåíèòñÿ àíîäíûé òîê Ià, òî âìåñòå ñ íèì èçìåíèòñÿ íàïðÿæåíèå íà Rà (DU R = R àDI à), â ñîîòâåòñòâèè ñ (6) àíîäíîå íàïðÿæåíèå èçìåíèòñÿ íà âåëè÷èíó (DU à = RDI à ). Òàêèì îáðàçîì, ïðè ðàáîòå ëàìïû â äèíàìè÷åñêîì ðåæèìå òðè âåëè÷èíû Uñ, Ià, Uà ñâÿçàíû è ìåíÿþòñÿ îäíîâðåìåííî. Îòìåòèì, ÷òî óâåëè÷åíèå Uñ âûçûâàåò óâåëè÷åíèå àíîäíîãî òîêà Ià, ÷òî óâåëè÷èâàåò IàRà è, ñëåäîâàòåëüíî, óìåíüøàåò Uà. Ïîýòîìó ïî ñðàâíåíèþ ñî ñòàòè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè äèíàìè÷åñêèå àíîäíî-ñåòî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè áîëåå ïîëîãè, ïðè÷åì, ÷åì áîëüøå Rà, òåì áîëåå ïîëîãà äèíàìè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà (ðèñ. 7, 8).
Ðèñ. 7
Ðèñ. 8
Êàæäîé òî÷êå äèíàìè÷åñêîé àíîäíî-ñåòî÷íîé õàðàêòåðèñòèêè ñîîòâåòñòâóåò ñâîå çíà÷åíèå àíîäíîãî íàïðÿæåíèÿ. Èç (6) ñëåäóåò, ÷òî Ia =
-a U a , Ra Ra
(7)
ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ íàãðóçî÷íîé ïðÿìîé (ðèñ. 8). Ñ ïîìîùüþ äèíàìè÷åñêîé àíîäíîé õàðàêòåðèñòèêè ìîæíî îïðåäåëèòü àíîäíûé òîê (à çíà÷èò, è ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà íàãðóçêå) è àíîäíîå íàïðÿæåíèå ïðè ëþáîì íàïðÿæåíèè íà ñåòêå. Âñëåäñòâèå òîãî ÷òî ýòà õàðàêòåðèñòèêà ñòðîèòñÿ ïðîñòî è ïîçâîëÿåò óäîáíî íàõîäèòü âåëè÷èíû Uà è UR, èìåííî åå ÷àùå âñåãî èñïîëüçóþò äëÿ ðàçëè÷íûõ ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ ñ ëàìïàìè (ðèñ. 8). Äèíàìè÷åñêàÿ êðóòèçíà ñåòî÷íîé õàðàêòåðèñòèêè ëàìïû S äèí =
DI a Uc
(8) 183
ïðè R = const, E = const õàðàêòåðèçóåò çàâèñèìîñòü àíîäíîãî òîêà îò íàïðÿæåíèÿ íà ñåòêå â ðåæèìå ñ íàãðóçêîé â àíîäíîé öåïè. Ñâÿçü Säèí ñî ñòàòè÷åñêîé êðóòèçíîé Sñò: S äèí =
S ñò . 1 + Ra Ri
(9)
Äèíàìè÷åñêèé êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ mäèí âåëè÷èíà, ðàâíàÿ îòíîøåíèþ óñèëåííîãî ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ UR(t), ðåãèñòðèðóåìîãî íà ñîïðîòèâëåíèè íàãðóçêè, è ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ, äåéñòâóþùåãî â öåïè ñåòêè. Íàïðèìåð, åñëè íà ñåòêó ïîäàòü íàïðÿæåíèå U c (t ) = U c0 sin wt , òî íà àíîäíîé íàãðóçêå ïîÿâèòñÿ íàïðÿæåíèå U a (t ) = U R0 sin wt .  ýòîì ñëó÷àå m äèí =
U R0 U c0
.
(10)
Ñâÿçü mäèí ñî ñòàòè÷åñêèì êîýôôèöèåíòîì óñèëåíèÿ mñò (4) âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé m äèí =
m ñò . 1 + Ra Ri
(11)
Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà: òðåõýëåêòðîäíàÿ ëàìïà (òðèîä), óêðåïëåííàÿ íà ìîíòàæíîé ïàíåëè; ñòàáèëèçèðîâàííûé èñòî÷íèê ïîñòîÿííûõ íàïðÿæåíèé: ±300 Â, ±15  è ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ 6,3 Â; òðàíñôîðìàòîð; îñöèëëîãðàô Ñ1-70; ìíîãîøêàëüíûå âîëüòìåòðû íà 15 è 300 Â; àìïåðìåòð; âûñîêîîìíûé ðåîñòàò, èñïîëüçóåìûé â êà÷åñòâå ïîòåíöèîìåòðà Ð; êëþ÷ «Êë»; ïåðåêëþ÷àòåëü «Ïåðåêë»; ñîïðîòèâëåíèå R; ïàíåëü ñ êëåììàìè, íà êîòîðóþ ïîäàåòñÿ îáùèé ìèíóñ ñõåìû. Äëÿ âûïîëíåíèÿ ðàáîòû ñëåäóåò ñîáðàòü ñõåìó, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 9. Àíàëèç ñõåìû ïîêàçûâàåò, ÷òî îíà ñîñòîèò èç äâóõ îñíîâíûõ ÷àñòåé: àíîäíîé öåïè, ñîçäàþùåé ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó àíîäîì è êàòîäîì Uà, è öåïè, ñîçäàþùåé ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó ñåòêîé è êàòîäîì. Íà íàêàë ëàìïû ïîäàåòñÿ ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå 6,3 Â. Ïðè ñáîðå ñõåìû ñíà÷àëà ñîáèðàþò îäíó öåïü, à çàòåì äðóãóþ. Ïðè ýòîì èñòî÷íèê àíîäíîãî íàïðÿæåíèÿ (êëåììû ±300 Â) ïîäêëþ÷àþò òîëüêî â ïðèñóòñòâèè ïðåïîäàâàòåëÿ èëè ëàáîðàíòà. Èç ðèñ. 9 ÿñíî, ÷òî ñ ïîìîùüþ ïîòåíöèîìåòðà Ð ìîæíî ïëàâíî èçìåíÿòü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó àíîäîì è êàòîäîì Uà îò 0 äî 300 Â, ïåðåìåùàÿ äâèæîê ïîòåíöèîìåòðà ñíèçó ââåðõ (ñì. ðèñ. 9). 184
Ðèñ. 9
Ïîòåíöèîìåòð äëÿ èçìåíåíèÿ ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ ìåæäó êàòîäîì è ñåòêîé âìîíòèðîâàí â êîðïóñ ñòàáèëèçèðîâàííîãî âûïðÿìèòåëÿ è èìååò íà ïåðåäíåé ïàíåëè ðó÷êó «Peã. Uñ» (015 B). Ïåðåêëþ÷àòåëü «Ïåðåêë» èìååò øåñòü êëåìì, óêðåïëåííûõ íà ïîäñòàâêå èç ýáîíèòà. Íàïðÿæåíèå ïîäâîäèòñÿ ê ñðåäíèì êëåììàì ïåðåêëþ÷àòåëÿ, à ñíèìàåòñÿ ñ êðàéíèõ (ïðàâûõ èëè ëåâûõ áåçðàçëè÷íî). Ïðèíöèï ðàáîòû ïåðåêëþ÷àòåëÿ ÿñåí èç ðèñ. 10, íà êîòîðîì èçîáðàæåí âèä ñâåðõó è âèä ñíèçó. Îòìåòèì, ÷òî â öåïü ñåòêè ïîñòîÿííî âêëþ÷åíà âòîðè÷íàÿ îáìîòêà òðàíñôîðìàòîðà, êîòîðàÿ èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ïîäà÷è ïåðåìåííîãî ñèãíàëà íà ñåòêó ïðè ýêñïåðèìåíòàëüíîì îïðåäåëåíèè äèíàìè÷åñêîãî êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ ëàìïû (ñì. óïðàæíåíèå 4). Âî âñåõ äðóãèõ óïðàæíåíèÿõ ýòà âòîðè÷íàÿ îáìîòêà (24 âèòêà) èãðàåò ðîëü íåêîòîðîãî äîïîëíèòåëüíîãî, ìàëîãî ïî âåëè÷èíå, àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, òàê êàê íà ïåðâè÷íóþ îáìîòêó òðàíñôîðìàòîðà â ýòèõ óïðàæíåíèÿõ íàïðÿæåíèå íå ïîäàåòñÿ.
Ðèñ. 10
185
ïðè R = const, E = const õàðàêòåðèçóåò çàâèñèìîñòü àíîäíîãî òîêà îò íàïðÿæåíèÿ íà ñåòêå â ðåæèìå ñ íàãðóçêîé â àíîäíîé öåïè. Ñâÿçü Säèí ñî ñòàòè÷åñêîé êðóòèçíîé Sñò: S äèí =
S ñò . 1 + Ra Ri
(9)
Äèíàìè÷åñêèé êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ mäèí âåëè÷èíà, ðàâíàÿ îòíîøåíèþ óñèëåííîãî ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ UR(t), ðåãèñòðèðóåìîãî íà ñîïðîòèâëåíèè íàãðóçêè, è ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ, äåéñòâóþùåãî â öåïè ñåòêè. Íàïðèìåð, åñëè íà ñåòêó ïîäàòü íàïðÿæåíèå U c (t ) = U c0 sin wt , òî íà àíîäíîé íàãðóçêå ïîÿâèòñÿ íàïðÿæåíèå U a (t ) = U R0 sin wt .  ýòîì ñëó÷àå m äèí =
U R0 U c0
.
(10)
Ñâÿçü mäèí ñî ñòàòè÷åñêèì êîýôôèöèåíòîì óñèëåíèÿ mñò (4) âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé m äèí =
m ñò . 1 + Ra Ri
(11)
Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà: òðåõýëåêòðîäíàÿ ëàìïà (òðèîä), óêðåïëåííàÿ íà ìîíòàæíîé ïàíåëè; ñòàáèëèçèðîâàííûé èñòî÷íèê ïîñòîÿííûõ íàïðÿæåíèé: ±300 Â, ±15  è ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ 6,3 Â; òðàíñôîðìàòîð; îñöèëëîãðàô Ñ1-70; ìíîãîøêàëüíûå âîëüòìåòðû íà 15 è 300 Â; àìïåðìåòð; âûñîêîîìíûé ðåîñòàò, èñïîëüçóåìûé â êà÷åñòâå ïîòåíöèîìåòðà Ð; êëþ÷ «Êë»; ïåðåêëþ÷àòåëü «Ïåðåêë»; ñîïðîòèâëåíèå R; ïàíåëü ñ êëåììàìè, íà êîòîðóþ ïîäàåòñÿ îáùèé ìèíóñ ñõåìû. Äëÿ âûïîëíåíèÿ ðàáîòû ñëåäóåò ñîáðàòü ñõåìó, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 9. Àíàëèç ñõåìû ïîêàçûâàåò, ÷òî îíà ñîñòîèò èç äâóõ îñíîâíûõ ÷àñòåé: àíîäíîé öåïè, ñîçäàþùåé ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó àíîäîì è êàòîäîì Uà, è öåïè, ñîçäàþùåé ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó ñåòêîé è êàòîäîì. Íà íàêàë ëàìïû ïîäàåòñÿ ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå 6,3 Â. Ïðè ñáîðå ñõåìû ñíà÷àëà ñîáèðàþò îäíó öåïü, à çàòåì äðóãóþ. Ïðè ýòîì èñòî÷íèê àíîäíîãî íàïðÿæåíèÿ (êëåììû ±300 Â) ïîäêëþ÷àþò òîëüêî â ïðèñóòñòâèè ïðåïîäàâàòåëÿ èëè ëàáîðàíòà. Èç ðèñ. 9 ÿñíî, ÷òî ñ ïîìîùüþ ïîòåíöèîìåòðà Ð ìîæíî ïëàâíî èçìåíÿòü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó àíîäîì è êàòîäîì Uà îò 0 äî 300 Â, ïåðåìåùàÿ äâèæîê ïîòåíöèîìåòðà ñíèçó ââåðõ (ñì. ðèñ. 9). 184
Ðèñ. 9
Ïîòåíöèîìåòð äëÿ èçìåíåíèÿ ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ ìåæäó êàòîäîì è ñåòêîé âìîíòèðîâàí â êîðïóñ ñòàáèëèçèðîâàííîãî âûïðÿìèòåëÿ è èìååò íà ïåðåäíåé ïàíåëè ðó÷êó «Peã. Uñ» (015 B). Ïåðåêëþ÷àòåëü «Ïåðåêë» èìååò øåñòü êëåìì, óêðåïëåííûõ íà ïîäñòàâêå èç ýáîíèòà. Íàïðÿæåíèå ïîäâîäèòñÿ ê ñðåäíèì êëåììàì ïåðåêëþ÷àòåëÿ, à ñíèìàåòñÿ ñ êðàéíèõ (ïðàâûõ èëè ëåâûõ áåçðàçëè÷íî). Ïðèíöèï ðàáîòû ïåðåêëþ÷àòåëÿ ÿñåí èç ðèñ. 10, íà êîòîðîì èçîáðàæåí âèä ñâåðõó è âèä ñíèçó. Îòìåòèì, ÷òî â öåïü ñåòêè ïîñòîÿííî âêëþ÷åíà âòîðè÷íàÿ îáìîòêà òðàíñôîðìàòîðà, êîòîðàÿ èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ïîäà÷è ïåðåìåííîãî ñèãíàëà íà ñåòêó ïðè ýêñïåðèìåíòàëüíîì îïðåäåëåíèè äèíàìè÷åñêîãî êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ ëàìïû (ñì. óïðàæíåíèå 4). Âî âñåõ äðóãèõ óïðàæíåíèÿõ ýòà âòîðè÷íàÿ îáìîòêà (24 âèòêà) èãðàåò ðîëü íåêîòîðîãî äîïîëíèòåëüíîãî, ìàëîãî ïî âåëè÷èíå, àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, òàê êàê íà ïåðâè÷íóþ îáìîòêó òðàíñôîðìàòîðà â ýòèõ óïðàæíåíèÿõ íàïðÿæåíèå íå ïîäàåòñÿ.
Ðèñ. 10
185
Óïðàæíåíèå 1 Ñíÿòèå ñòàòè÷åñêèõ àíîäíûõ õàðàêòåðèñòèê òðèîäà Äëÿ ïîëó÷åíèÿ çàâèñèìîñòè Ià = f (Uà) ïðè U ñ = const ñëåäóåò èçìåíÿòü àíîäíîå íàïðÿæåíèå è çàïèñûâàòü äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ Uà ñèëó àíîäíîãî òîêà Ià. Ïîðÿäîê èçìåðåíèé 1. Ïåðåäâèãàþò äâèæîê ïîòåíöèîìåòðà â òî íèæíåå ïîëîæåíèå, ïðè êîòîðîì U à = 0 . 2. Ðó÷êó ñåòî÷íîãî ïîòåíöèîìåòðà «Peã. Uñ» ïîâîðà÷èâàþò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè äî óïîðà (ïðè ýòîì Uñ = 0). 3. Ïðè ðàçîìêíóòîì êëþ÷å «Êë» âêëþ÷àþò â ñåòü ñòàáèëèçèðîâàííûé âûïðÿìèòåëü íà 220  è âûæèäàþò 23 ìèí, ïîêà ïðîãðåâàþòñÿ ëàìïû ïðèáîðà. 4. Çàìûêàþò êëþ÷ «Êë» Ïîñòåïåííî ïîâûøàþò àíîäíîå íàïðÿæåíèå Uà è íàáëþäàþò ïî ìèëëèàìïåðìåòðó çà ïîÿâëåíèåì òîêà Ià. 5. Ïðè íåêîòîðîì (íåáîëüøîì) òîêå Ià, òåêóùåì ÷åðåç ëàìïó, çàìûêàþò ïåðåêëþ÷àòåëü «Ïåðåêë» â îäíî èç êðàéíèõ ïîëîæåíèé. Íåìíîãî óâåëè÷èâàÿ ïîòåíöèàë ñåòêè ñ ïîìîùüþ ðó÷êè «Peã. Uc» (015 Â), íàáëþäàþò çà èçìåíåíèåì àíîäíîãî òîêà Ià. Ïåðåêëþ÷àòåëü îñòàâëÿþò çàìêíóòûì â òîì êðàéíåì ïîëîæåíèè, ïðè êîòîðîì óâåëè÷åíèå Uñ ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ Ià, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò îòðèöàòåëüíîìó íàïðÿæåíèþ íà ñåòêå. Äâèæîê ïîòåíöèîìåòðà Ð âîçâðàùàþò âíèç (Uà = 0). 6. Ñíèìàþò àíîäíóþ õàðàêòåðèñòèêó ïðè Uñ = 0. Äëÿ ýòîãî ðó÷êîé «Peã. Uñ» óñòàíàâëèâàþò Uñ = 0 (ïðè çàìêíóòîì ïåðåêëþ÷àòåëå). Ïîñòåïåííî óâåëè÷èâàÿ àíîäíîå íàïðÿæåíèå Uà îò 0 äî 220  (èëè îò 0 äî 120  â çàâèñèìîñòè îò òèïà ëàìïû), èçìåðÿþò ñîîòâåòñòâóþùèå êàæäîìó ôèêñèðîâàííîìó çíà÷åíèþ Uà çíà÷åíèÿ Ià àíîäíîãî òîêà. Èçìåðåíèÿ îò 0 äî 100  ïðîâîäÿò ÷åðåç êàæäûå 10 Â, à îò 100 äî 220  ÷åðåç 20 Â. Çíà÷åíèÿ Uà è ñîîòâåòñòâóþùèå èì çíà÷åíèÿ Ià çàïèñûâàþò â òàáë. 1. Òàáëèöà 1 Uà, B 0 10 20 . . . 220 Â
186
Uñ = 0 B Ià, ìA
Uñ = 2 B Ià, ìA
Uñ = +1 B Ià, ìA
7. Ïîâòîðÿþò èçìåðåíèÿ è ñíèìàþò åùå äâå àíîäíûõ õàðàêòåðèñòèêè ïðè ðàçíûõ ñìåùåíèÿõ íà ñåòêå: 1, 2, 3, 4, +1  ïî óêàçàíèþ ïðåïîäàâàòåëÿ. ÓÊÀÇÀÍÈÅ. Íå ñëåäóåò ïîäàâàòü ïîëîæèòåëüíûå ñìåùåíèÿ, ïðåâûøàþùèå +2 Â, íà ñåòêè áîëüøèíñòâà ñîâðåìåííûõ ëàìï, òàê êàê ïðè ýòîì ðåçêî âîçðàñòàåò òîê ñåòêè è ëàìïà ìîæåò âûéòè èç ñòðîÿ. Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå äàííûå, íà ìèëëèìåòðîâîé áóìàãå ñòðîÿò ãðàôèê äëÿ ñåìåéñòâà àíîäíûõ õàðàêòåðèñòèê òðèîäà, îòêëàäûâàÿ ïî îñè àáñöèññ çíà÷åíèÿ Uà, à ïî îñè îðäèíàò Ià (ñì. ðèñ. 4). Óïðàæíåíèå 2 Ñíÿòèå ñòàòè÷åñêèõ ñåòî÷íûõ õàðàêòåðèñòèê òðèîäà. Îïðåäåëåíèå ñòàòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ëàìïû Ñåìåéñòâî ñåòî÷íûõ õàðàêòåðèñòèê òðèîäà èçîáðàæåíî íà ðèñ. 2. Äëÿ ñíÿòèÿ ñåòî÷íîé õàðàêòåðèñòèêè íåîáõîäèìî ïðè íåêîòîðîì ïîñòîÿííîì àíîäíîì íàïðÿæåíèè èçìåíÿòü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, ïîäàâàåìóþ íà ñåòêó, èçìåðÿÿ äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ Uñ àíîäíûé òîê Ià. Ñíÿòèå ñåòî÷íûõ õàðàêòåðèñòèê îáû÷íî íà÷èíàþò ñ òàêîãî äîñòàòî÷íî áîëüøîãî îòðèöàòåëüíîãî ïîòåíöèàëà íà ñåòêå, ïðè êîòîðîì ëàìïà çàïåðòà (I à = 0). Íàïðèìåð, íà ðèñ. 2 äëÿ U à = 60  çàïèðàþùåå íàïðÿæåíèå íà ñåòêå U ñ = 4 Â, à ïðè Uà = 100  çàïèðàþùåå ñåòî÷íîå íàïðÿæåíèå ðàâíî ïðèìåðíî 13 Â. Òàêèì îáðàçîì, Uñ, ïðè êîòîðîì Ià = 0, çàâèñèò îò ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ ìåæäó àíîäîì è êàòîäîì. Ïîðÿäîê èçìåðåíèé 1. Óñòàíàâëèâàþò îïðåäåëåííîå àíîäíîå íàïðÿæåíèå Uà = const (ïî óêàçàíèþ ïðåïîäàâàòåëÿ èëè ëàáîðàíòà, ïîñêîëüêó çíà÷åíèÿ Uà = const, ïðè êîòîðûõ ñíèìàþòñÿ ñåòî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè, çàâèñÿò îò òèïà ëàìïû). 2. Ïåðåêëþ÷àòåëü «Ïåðåêë» çàìûêàþò â òîì ïîëîæåíèè, ïðè êîòîðîì íà ñåòêó ïîäàåòñÿ îòðèöàòåëüíîå íàïðÿæåíèå. Ïîñòåïåííî óâåëè÷èâàÿ ðó÷êîé «Peã. Uñ» îòðèöàòåëüíîå íàïðÿæåíèå íà ñåòêå, íàõîäÿò òàêîå çíà÷åíèå Uñ, ïðè êîòîðîì I à = 0 . Ýòè çíà÷åíèÿ Uñ è I à = 0 çàïèñûâàþò â òàáë. 2. 3. Íà÷èíàÿ ñî çíà÷åíèÿ Uñ, óñòàíîâëåííîãî â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, óìåíüøàþò Uñ êàæäûé ðàç íà 1  è çàïèñûâàþò ñîîòâåòñòâóþùèå èì çíà÷åíèÿ Ià â òàáë. 2. 187
Óïðàæíåíèå 1 Ñíÿòèå ñòàòè÷åñêèõ àíîäíûõ õàðàêòåðèñòèê òðèîäà Äëÿ ïîëó÷åíèÿ çàâèñèìîñòè Ià = f (Uà) ïðè U ñ = const ñëåäóåò èçìåíÿòü àíîäíîå íàïðÿæåíèå è çàïèñûâàòü äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ Uà ñèëó àíîäíîãî òîêà Ià. Ïîðÿäîê èçìåðåíèé 1. Ïåðåäâèãàþò äâèæîê ïîòåíöèîìåòðà â òî íèæíåå ïîëîæåíèå, ïðè êîòîðîì U à = 0 . 2. Ðó÷êó ñåòî÷íîãî ïîòåíöèîìåòðà «Peã. Uñ» ïîâîðà÷èâàþò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè äî óïîðà (ïðè ýòîì Uñ = 0). 3. Ïðè ðàçîìêíóòîì êëþ÷å «Êë» âêëþ÷àþò â ñåòü ñòàáèëèçèðîâàííûé âûïðÿìèòåëü íà 220  è âûæèäàþò 23 ìèí, ïîêà ïðîãðåâàþòñÿ ëàìïû ïðèáîðà. 4. Çàìûêàþò êëþ÷ «Êë» Ïîñòåïåííî ïîâûøàþò àíîäíîå íàïðÿæåíèå Uà è íàáëþäàþò ïî ìèëëèàìïåðìåòðó çà ïîÿâëåíèåì òîêà Ià. 5. Ïðè íåêîòîðîì (íåáîëüøîì) òîêå Ià, òåêóùåì ÷åðåç ëàìïó, çàìûêàþò ïåðåêëþ÷àòåëü «Ïåðåêë» â îäíî èç êðàéíèõ ïîëîæåíèé. Íåìíîãî óâåëè÷èâàÿ ïîòåíöèàë ñåòêè ñ ïîìîùüþ ðó÷êè «Peã. Uc» (015 Â), íàáëþäàþò çà èçìåíåíèåì àíîäíîãî òîêà Ià. Ïåðåêëþ÷àòåëü îñòàâëÿþò çàìêíóòûì â òîì êðàéíåì ïîëîæåíèè, ïðè êîòîðîì óâåëè÷åíèå Uñ ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ Ià, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò îòðèöàòåëüíîìó íàïðÿæåíèþ íà ñåòêå. Äâèæîê ïîòåíöèîìåòðà Ð âîçâðàùàþò âíèç (Uà = 0). 6. Ñíèìàþò àíîäíóþ õàðàêòåðèñòèêó ïðè Uñ = 0. Äëÿ ýòîãî ðó÷êîé «Peã. Uñ» óñòàíàâëèâàþò Uñ = 0 (ïðè çàìêíóòîì ïåðåêëþ÷àòåëå). Ïîñòåïåííî óâåëè÷èâàÿ àíîäíîå íàïðÿæåíèå Uà îò 0 äî 220  (èëè îò 0 äî 120  â çàâèñèìîñòè îò òèïà ëàìïû), èçìåðÿþò ñîîòâåòñòâóþùèå êàæäîìó ôèêñèðîâàííîìó çíà÷åíèþ Uà çíà÷åíèÿ Ià àíîäíîãî òîêà. Èçìåðåíèÿ îò 0 äî 100  ïðîâîäÿò ÷åðåç êàæäûå 10 Â, à îò 100 äî 220  ÷åðåç 20 Â. Çíà÷åíèÿ Uà è ñîîòâåòñòâóþùèå èì çíà÷åíèÿ Ià çàïèñûâàþò â òàáë. 1. Òàáëèöà 1 Uà, B 0 10 20 . . . 220 Â
186
Uñ = 0 B Ià, ìA
Uñ = 2 B Ià, ìA
Uñ = +1 B Ià, ìA
7. Ïîâòîðÿþò èçìåðåíèÿ è ñíèìàþò åùå äâå àíîäíûõ õàðàêòåðèñòèêè ïðè ðàçíûõ ñìåùåíèÿõ íà ñåòêå: 1, 2, 3, 4, +1  ïî óêàçàíèþ ïðåïîäàâàòåëÿ. ÓÊÀÇÀÍÈÅ. Íå ñëåäóåò ïîäàâàòü ïîëîæèòåëüíûå ñìåùåíèÿ, ïðåâûøàþùèå +2 Â, íà ñåòêè áîëüøèíñòâà ñîâðåìåííûõ ëàìï, òàê êàê ïðè ýòîì ðåçêî âîçðàñòàåò òîê ñåòêè è ëàìïà ìîæåò âûéòè èç ñòðîÿ. Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå äàííûå, íà ìèëëèìåòðîâîé áóìàãå ñòðîÿò ãðàôèê äëÿ ñåìåéñòâà àíîäíûõ õàðàêòåðèñòèê òðèîäà, îòêëàäûâàÿ ïî îñè àáñöèññ çíà÷åíèÿ Uà, à ïî îñè îðäèíàò Ià (ñì. ðèñ. 4). Óïðàæíåíèå 2 Ñíÿòèå ñòàòè÷åñêèõ ñåòî÷íûõ õàðàêòåðèñòèê òðèîäà. Îïðåäåëåíèå ñòàòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ëàìïû Ñåìåéñòâî ñåòî÷íûõ õàðàêòåðèñòèê òðèîäà èçîáðàæåíî íà ðèñ. 2. Äëÿ ñíÿòèÿ ñåòî÷íîé õàðàêòåðèñòèêè íåîáõîäèìî ïðè íåêîòîðîì ïîñòîÿííîì àíîäíîì íàïðÿæåíèè èçìåíÿòü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, ïîäàâàåìóþ íà ñåòêó, èçìåðÿÿ äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ Uñ àíîäíûé òîê Ià. Ñíÿòèå ñåòî÷íûõ õàðàêòåðèñòèê îáû÷íî íà÷èíàþò ñ òàêîãî äîñòàòî÷íî áîëüøîãî îòðèöàòåëüíîãî ïîòåíöèàëà íà ñåòêå, ïðè êîòîðîì ëàìïà çàïåðòà (I à = 0). Íàïðèìåð, íà ðèñ. 2 äëÿ U à = 60  çàïèðàþùåå íàïðÿæåíèå íà ñåòêå U ñ = 4 Â, à ïðè Uà = 100  çàïèðàþùåå ñåòî÷íîå íàïðÿæåíèå ðàâíî ïðèìåðíî 13 Â. Òàêèì îáðàçîì, Uñ, ïðè êîòîðîì Ià = 0, çàâèñèò îò ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ ìåæäó àíîäîì è êàòîäîì. Ïîðÿäîê èçìåðåíèé 1. Óñòàíàâëèâàþò îïðåäåëåííîå àíîäíîå íàïðÿæåíèå Uà = const (ïî óêàçàíèþ ïðåïîäàâàòåëÿ èëè ëàáîðàíòà, ïîñêîëüêó çíà÷åíèÿ Uà = const, ïðè êîòîðûõ ñíèìàþòñÿ ñåòî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè, çàâèñÿò îò òèïà ëàìïû). 2. Ïåðåêëþ÷àòåëü «Ïåðåêë» çàìûêàþò â òîì ïîëîæåíèè, ïðè êîòîðîì íà ñåòêó ïîäàåòñÿ îòðèöàòåëüíîå íàïðÿæåíèå. Ïîñòåïåííî óâåëè÷èâàÿ ðó÷êîé «Peã. Uñ» îòðèöàòåëüíîå íàïðÿæåíèå íà ñåòêå, íàõîäÿò òàêîå çíà÷åíèå Uñ, ïðè êîòîðîì I à = 0 . Ýòè çíà÷åíèÿ Uñ è I à = 0 çàïèñûâàþò â òàáë. 2. 3. Íà÷èíàÿ ñî çíà÷åíèÿ Uñ, óñòàíîâëåííîãî â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, óìåíüøàþò Uñ êàæäûé ðàç íà 1  è çàïèñûâàþò ñîîòâåòñòâóþùèå èì çíà÷åíèÿ Ià â òàáë. 2. 187
Òàáëèöà 2 Uñ 3 Â 2 Â 1 Â 0 +1 Â +2 Â
Uà1 =
B Ià, ìA
Uà2 =
B Ià, ìA
4. Çàïèñàâ çíà÷åíèå Ià ïðè U ñ = 0, ïåðåêèäûâàþò ðó÷êó ïåðåêëþ÷àòåëÿ â ïðîòèâîïîëîæíîå ïîëîæåíèå (ïðè êîòîðîì íà ñåòêó ïîäàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîå íàïðÿæåíèå) è çàïèñûâàþò çíà÷åíèÿ Ià ïðè U 0 = +1  è ïðè U 0 = +2 Â. ÓÊÀÇÀÍÈÅ. Ïîñêîëüêó êàæäîå èçìåíåíèå ïîòåíöèàëà íà ñåòêå èçìåíÿåò âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå ëàìïû, òî áóäåò èçìåíÿòüñÿ è àíîäíîå íàïðÿæåíèå Uà. Ïîýòîìó, ïðåæäå ÷åì çàïèñàòü çíà÷åíèå Ià ïðè äàííîì Uñ, ñëåäóåò ñíà÷àëà ïîäðåãóëèðîâàòü Uà äî çíà÷åíèÿ Uà1 = const, ïðè êîòîðîì ñíèìàåòñÿ õàðàêòåðèñòèêà, è òîëüêî ïîñëå ýòîãî çàïèñàòü çíà÷åíèå Ià. 5. Ñíèìàþò âòîðóþ ñåòî÷íóþ õàðàêòåðèñòèêó, ïîâòîðÿÿ âñå èçìåðåíèÿ ïðè äðóãîì àíîäíîì íàïðÿæåíèè Uà2. Îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé. Ïî ïîëó÷åííûì äàííûì ñòðîÿò ãðàôèê íà ìèëëèìåòðîâîé áóìàãå, îòêëàäûâàÿ ïî îñè àáñöèññ ±Uñ (âïðàâî è âëåâî îò íóëÿ), à ïî îñè îðäèíàò çíà÷åíèÿ Iñ. Îáå ñíÿòûå õàðàêòåðèñòèêè ñòðîÿò íà îäíîì ãðàôèêå. Ïî ãðàôèêó (íà ëèíåéíîì ó÷àñòêå õàðàêòåðèñòèêè) îïðåäåëÿþò ñòàòè÷åñêèå ïàðàìåòðû ëàìïû: 1) êðóòèçíó ñåòî÷íîé õàðàêòåðèñòèêè S = DI à /DU ñ ïðè U à = const; 2) ñòàòè÷åñêèé êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ m = (DU à /DU ñ ) ïðè Ià = const; 3) âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå ëàìïû R i = DU à /DI à ïðè Uñ = const. Ïðîâåðÿþò ñâÿçü, ñóùåñòâóþùóþ ìåæäó ïàðàìåòðàìè ëàìïû, íàéäåííûìè íà îäíîì è òîì æå ó÷àñòêå ñåòî÷íûõ õàðàêòåðèñòèê Óïðàæíåíèå 3 Ñíÿòèå äèíàìè÷åñêèõ ñåòî÷íûõ õàðàêòåðèñòèê òðèîäà. Îïðåäåëåíèå äèíàìè÷åñêîé êðóòèçíû òðèîäà Èçìåðåíèÿ è îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ 1.  àíîäíóþ öåïü ëàìïû ìåæäó òî÷êàìè À è  (ñì. ðèñ. 9) âêëþ÷àþò ñîïðîòèâëåíèå Rà (íàãðóçêó) ïîðÿäêà 1025 êÎì. Äëÿ ýòîãî ïðîâîä, èäóùèé ê òî÷êå À, ïåðåêëþ÷àþò â òî÷êó  ñõåìû. 188
2. Ñíèìàþò ñåòî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè ëàìïû ïðè äâóõ çíà÷åíèÿõ íàïðÿæåíèÿ Uà, ïîêàçûâàåìîãî âîëüòìåòðîì, êàê óêàçàíî â óïðàæíåíèè 2. Äàííûå èçìåðåíèé çàïèñûâàþò â òàáë. 3, àíàëîãè÷íóþ òàáë. 2 èç óïðàæíåíèÿ 2. 3. Ïî äàííûì èçìåðåíèé íà îäíîì ãðàôèêå ñòðîÿò îáå äèíàìè÷åñêèå ñåòî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè. 4. Îïðåäåëÿþò íà ëèíåéíîé ÷àñòè õàðàêòåðèñòèê (íàïðèìåð, ïðè U ñ = 2 Â) äèíàìè÷åñêóþ êðóòèçíó õàðàêòåðèñòèêè Säèí (òàê æå, êàê áûëî îïèñàíî âûøå äëÿ ñòàòè÷åñêîé êðóòèçíû). ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ. Ïîñêîëüêó â àíîäíóþ öåïü âêëþ÷åíà íàãðóçêà Rà, òî âîëüòìåòð Uà ïîêàçûâàåò â ýòîì ñëó÷àå íå ïàäåíèå ïîòåíöèàëà Uà íà ëàìïå, à ñóììàðíîå ïàäåíèå ïîòåíöèàëà U íà ëàìïå è íà íàãðóçêå: U = U à + U R = U à + I àR à. Ïðè ñíÿòèè äèíàìè÷åñêîé ñåòî÷íîé õàðàêòåðèñòèêè èìåííî âåëè÷èíà U ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿííîé, òîãäà êàê Uà ìåíÿåòñÿ. Óïðàæíåíèå 4 Îïðåäåëåíèå äèíàìè÷åñêîãî êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ òðèîäà ñ ïîìîùüþ îñöèëëîãðàôà Äèíàìè÷åñêèì êîýôôèöèåíòîì óñèëåíèÿ mäèí íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà, ïîêàçûâàþùàÿ, âî ñêîëüêî ðàç àìïëèòóäà ïåðåìåííîé ñîñòàâëÿþùåé íàïðÿæåíèÿ íà íàãðóçêå UR max áîëüøå àìïëèòóäû ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ íà ñåòêå UC max: m äèí =
U R max U C max
=
U âûõ . U âõ
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ Uâõ è Uâûõ èñïîëüçóþò îñöèëëîãðàô Ñ1-72. Äëÿ ïîäà÷è ïåðåìåííîãî ñèãíàëà ìåæäó ñåòêîé è êàòîäîì â öåïü ñåòêè âêëþ÷åíà âòîðè÷íàÿ îáìîòêà òðàíñôîðìàòîðà (ñì. ðèñ. 9). Ïîðÿäîê èçìåðåíèé Ïðåæäå ÷åì íà÷àòü èçìåðåíèÿ, ñëåäóåò îçíàêîìèòüñÿ ñ óñòðîéñòâîì ïåðåäíåé ïàíåëè îñöèëëîãðàôà Ñ1-72 è îðãàíàìè åãî óïðàâëåíèÿ (ïî ñïåöèàëüíîìó îïèñàíèþ). 1. Óñòàíàâëèâàþò ïðè äèíàìè÷åñêîì ðåæèìå ðàáîòû ëàìïû Uà = 140 èëè Uà = 160  (èëè 80100  ïî óêàçàíèþ ïðåïîäàâàòåëÿ). 2. Ïåðåêëþ÷àòåëü çàìûêàþò â òî êðàéíåå ïîëîæåíèå, ïðè êîòîðîì íà ñåòêó ïîäàåòñÿ îòðèöàòåëüíîå ñìåùåíèå, è óñòàíàâëèâàþò U ñ = 2  èëè 4  (â çàâèñèìîñòè îò òèïà ëàìïû). 189
Òàáëèöà 2 Uñ 3 Â 2 Â 1 Â 0 +1 Â +2 Â
Uà1 =
B Ià, ìA
Uà2 =
B Ià, ìA
4. Çàïèñàâ çíà÷åíèå Ià ïðè U ñ = 0, ïåðåêèäûâàþò ðó÷êó ïåðåêëþ÷àòåëÿ â ïðîòèâîïîëîæíîå ïîëîæåíèå (ïðè êîòîðîì íà ñåòêó ïîäàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîå íàïðÿæåíèå) è çàïèñûâàþò çíà÷åíèÿ Ià ïðè U 0 = +1  è ïðè U 0 = +2 Â. ÓÊÀÇÀÍÈÅ. Ïîñêîëüêó êàæäîå èçìåíåíèå ïîòåíöèàëà íà ñåòêå èçìåíÿåò âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå ëàìïû, òî áóäåò èçìåíÿòüñÿ è àíîäíîå íàïðÿæåíèå Uà. Ïîýòîìó, ïðåæäå ÷åì çàïèñàòü çíà÷åíèå Ià ïðè äàííîì Uñ, ñëåäóåò ñíà÷àëà ïîäðåãóëèðîâàòü Uà äî çíà÷åíèÿ Uà1 = const, ïðè êîòîðîì ñíèìàåòñÿ õàðàêòåðèñòèêà, è òîëüêî ïîñëå ýòîãî çàïèñàòü çíà÷åíèå Ià. 5. Ñíèìàþò âòîðóþ ñåòî÷íóþ õàðàêòåðèñòèêó, ïîâòîðÿÿ âñå èçìåðåíèÿ ïðè äðóãîì àíîäíîì íàïðÿæåíèè Uà2. Îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé. Ïî ïîëó÷åííûì äàííûì ñòðîÿò ãðàôèê íà ìèëëèìåòðîâîé áóìàãå, îòêëàäûâàÿ ïî îñè àáñöèññ ±Uñ (âïðàâî è âëåâî îò íóëÿ), à ïî îñè îðäèíàò çíà÷åíèÿ Iñ. Îáå ñíÿòûå õàðàêòåðèñòèêè ñòðîÿò íà îäíîì ãðàôèêå. Ïî ãðàôèêó (íà ëèíåéíîì ó÷àñòêå õàðàêòåðèñòèêè) îïðåäåëÿþò ñòàòè÷åñêèå ïàðàìåòðû ëàìïû: 1) êðóòèçíó ñåòî÷íîé õàðàêòåðèñòèêè S = DI à /DU ñ ïðè U à = const; 2) ñòàòè÷åñêèé êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ m = (DU à /DU ñ ) ïðè Ià = const; 3) âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå ëàìïû R i = DU à /DI à ïðè Uñ = const. Ïðîâåðÿþò ñâÿçü, ñóùåñòâóþùóþ ìåæäó ïàðàìåòðàìè ëàìïû, íàéäåííûìè íà îäíîì è òîì æå ó÷àñòêå ñåòî÷íûõ õàðàêòåðèñòèê Óïðàæíåíèå 3 Ñíÿòèå äèíàìè÷åñêèõ ñåòî÷íûõ õàðàêòåðèñòèê òðèîäà. Îïðåäåëåíèå äèíàìè÷åñêîé êðóòèçíû òðèîäà Èçìåðåíèÿ è îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ 1.  àíîäíóþ öåïü ëàìïû ìåæäó òî÷êàìè À è  (ñì. ðèñ. 9) âêëþ÷àþò ñîïðîòèâëåíèå Rà (íàãðóçêó) ïîðÿäêà 1025 êÎì. Äëÿ ýòîãî ïðîâîä, èäóùèé ê òî÷êå À, ïåðåêëþ÷àþò â òî÷êó  ñõåìû. 188
2. Ñíèìàþò ñåòî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè ëàìïû ïðè äâóõ çíà÷åíèÿõ íàïðÿæåíèÿ Uà, ïîêàçûâàåìîãî âîëüòìåòðîì, êàê óêàçàíî â óïðàæíåíèè 2. Äàííûå èçìåðåíèé çàïèñûâàþò â òàáë. 3, àíàëîãè÷íóþ òàáë. 2 èç óïðàæíåíèÿ 2. 3. Ïî äàííûì èçìåðåíèé íà îäíîì ãðàôèêå ñòðîÿò îáå äèíàìè÷åñêèå ñåòî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè. 4. Îïðåäåëÿþò íà ëèíåéíîé ÷àñòè õàðàêòåðèñòèê (íàïðèìåð, ïðè U ñ = 2 Â) äèíàìè÷åñêóþ êðóòèçíó õàðàêòåðèñòèêè Säèí (òàê æå, êàê áûëî îïèñàíî âûøå äëÿ ñòàòè÷åñêîé êðóòèçíû). ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ. Ïîñêîëüêó â àíîäíóþ öåïü âêëþ÷åíà íàãðóçêà Rà, òî âîëüòìåòð Uà ïîêàçûâàåò â ýòîì ñëó÷àå íå ïàäåíèå ïîòåíöèàëà Uà íà ëàìïå, à ñóììàðíîå ïàäåíèå ïîòåíöèàëà U íà ëàìïå è íà íàãðóçêå: U = U à + U R = U à + I àR à. Ïðè ñíÿòèè äèíàìè÷åñêîé ñåòî÷íîé õàðàêòåðèñòèêè èìåííî âåëè÷èíà U ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿííîé, òîãäà êàê Uà ìåíÿåòñÿ. Óïðàæíåíèå 4 Îïðåäåëåíèå äèíàìè÷åñêîãî êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ òðèîäà ñ ïîìîùüþ îñöèëëîãðàôà Äèíàìè÷åñêèì êîýôôèöèåíòîì óñèëåíèÿ mäèí íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà, ïîêàçûâàþùàÿ, âî ñêîëüêî ðàç àìïëèòóäà ïåðåìåííîé ñîñòàâëÿþùåé íàïðÿæåíèÿ íà íàãðóçêå UR max áîëüøå àìïëèòóäû ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ íà ñåòêå UC max: m äèí =
U R max U C max
=
U âûõ . U âõ
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ Uâõ è Uâûõ èñïîëüçóþò îñöèëëîãðàô Ñ1-72. Äëÿ ïîäà÷è ïåðåìåííîãî ñèãíàëà ìåæäó ñåòêîé è êàòîäîì â öåïü ñåòêè âêëþ÷åíà âòîðè÷íàÿ îáìîòêà òðàíñôîðìàòîðà (ñì. ðèñ. 9). Ïîðÿäîê èçìåðåíèé Ïðåæäå ÷åì íà÷àòü èçìåðåíèÿ, ñëåäóåò îçíàêîìèòüñÿ ñ óñòðîéñòâîì ïåðåäíåé ïàíåëè îñöèëëîãðàôà Ñ1-72 è îðãàíàìè åãî óïðàâëåíèÿ (ïî ñïåöèàëüíîìó îïèñàíèþ). 1. Óñòàíàâëèâàþò ïðè äèíàìè÷åñêîì ðåæèìå ðàáîòû ëàìïû Uà = 140 èëè Uà = 160  (èëè 80100  ïî óêàçàíèþ ïðåïîäàâàòåëÿ). 2. Ïåðåêëþ÷àòåëü çàìûêàþò â òî êðàéíåå ïîëîæåíèå, ïðè êîòîðîì íà ñåòêó ïîäàåòñÿ îòðèöàòåëüíîå ñìåùåíèå, è óñòàíàâëèâàþò U ñ = 2  èëè 4  (â çàâèñèìîñòè îò òèïà ëàìïû). 189
3. Âêëþ÷àþò îñöèëëîãðàô (â ñåòü 220 Â). 4. Âêëþ÷àþò íà 220  ïåðâè÷íóþ îáìîòêó òðàíñôîðìàòîðà. 5. Ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíîãî êîàêñèàëüíîãî êàáåëÿ ñî øòåêåðàìè íà êîíöàõ (èìåþùåãî ðàçäåëèòåëüíûé êîíäåíñàòîð) ïîäàþò íà âõîä îñöèëëîãðàôà Y ïåðåìåííóþ ñîñòàâëÿþùóþ ñèãíàëà Uâõ, ïîäàâàåìîãî íà ñåòêó ëàìïû (ñì. ðèñ. 9). 6. Èçìåíÿÿ ÷àñòîòó ãåíåðàòîðà ðàçâåðòêè îñöèëëîãðàôà ñ ïîìîùüþ ðó÷êè «Âðåìÿ/äåëåíèÿ», äîáèâàþòñÿ ïîÿâëåíèÿ íà ýêðàíå îñöèëëîãðàôà ñèíóñîèäàëüíîãî ñèãíàëà. Ðåêîìåíäóåìîå ïîëîæåíèå ðó÷êè 5 ìñ. 7. Äîáèâàþòñÿ óñòîé÷èâîé, íåïîäâèæíîé êàðòèíû ñèãíàëà íà ýêðàíå ñ ïîìîùüþ íåáîëüøîãî ïîâîðîòà ðó÷êè «ñòàáèëüíîñòü». 8. Èçîáðàæåíèå ôîêóñèðóþò è óñòàíàâëèâàþò íåîáõîäèìóþ äëÿ ÷åòêîé êàðòèíû ÿðêîñòü ñ ïîìîùüþ ðó÷åê (ôîêóñèðîâêà è ÿðêîñòü). 9. Ïîâîðîòîì ðó÷êè «V/ÄÅË» âûáèðàþò òî ìàêñèìàëüíîå óñèëåíèå ñèãíàëà, ïðè êîòîðîì ýòîò ñèãíàë ïîëíîñòüþ óêëàäûâàåòñÿ â ïðåäåëàõ øêàëû îñöèëëîãðàôà (ðèñ. 11). Ðåêîìåíäóåìîå ïîëîæåíèå ðó÷êè 0,1 èëè 0,2. 10. Èçìåðÿþò àìïëèòóäó ñèãíàëà Uâõ â äåëåíèÿõ øêàëû è ïåðåâîäÿò ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå â âîëüòû, óìíîæàÿ äëÿ ýòîãî ÷èñëî äåëåíèé íà ïîêàçàòåëü ïîëîæåíèÿ ðó÷êè «V/ÄÅË».
Ðèñ. 11
Ðèñ. 12
ÓÊÀÇÀÍÈÅ. Äëÿ óäîáñòâà îòñ÷åòà ìîæíî âûêëþ÷èòü ðàçâåðòêó ñèãíàëà ïî ãîðèçîíòàëè, äëÿ ÷åãî ñëåäóåò íàæàòü êíîïêó «Âõîä X», è çàòåì, ïîëüçóÿñü ðó÷êàìè âåðòèêàëüíîãî è ãîðèçîíòàëüíîãî ñìåùåíèÿ ëó÷à, ñîâìåñòèòü èçîáðàæåíèå ñ öåíòðîì øêàëû ýêðàíà (ðèñ. 12). 11. Íà âõîä Y îñöèëëîãðàôà ïîäàþò íàïðÿæåíèå ñ âûõîäà óñèëèòåëÿ, ò.å. ñ àíîäíîé íàãðóçêè Rà (êëåììû À è Â, ðèñ. 9). 12. Ïåðåêëþ÷àÿ ðó÷êó «V/ÄÅË», ïîäáèðàþò íåîáõîäèìîå óñèëåíèå ñèãíàëà Uâûõ (îáû÷íî ïîëîæåíèå ðó÷êè 1 èëè 2). 13. Èçìåðÿþò àìïëèòóäó ñèãíàëà Uâûõ â äåëåíèÿõ, à çàòåì ïåðåâîäÿò ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå â âîëüòû. 190
14. Íàõîäÿò çíà÷åíèå mäèí = Uâûõ/Uâõ. 15. Íàõîäÿò çíà÷åíèå mäèí ïî ôîðìóëàì m äèí = RAS äèí , m äèí = m
Ra . Ra + Ri
Ñðàâíèâàþò âñå òðè çíà÷åíèÿ mäèí.  ñïðàâåäëèâîñòè ôîðìóëû mäèí = RàSäèí ëåãêî óáåäèòüñÿ. Äåéñòâèòåëüíî, DU R = DI à R à, íî S äè í = DI à /DU ñ, îòêóäà DI à = S äèí DU ñ . Ñëåäîâàòåëüíî, DU R = R à S äèí DU ñ , m äèí =
DU R = RAS äèí . DU c
Ëèòåðàòóðà 1. Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 5. Êâàíòîâàÿ îïòèêà. Àòîìíàÿ ôèçèêà. Ôèçèêà òâåðäîãî òåëà. Ôèçèêà àòîìíîãî ÿäðà è ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 9. Êîíòàêòíûå è òåðìîýëåêòðè÷åñêèå ÿâëåíèÿ. 9.1. Ðàáîòà âûõîäà. 9.2. Òåðìîýëåêòðîííàÿ ýìèññèÿ. Ýëåêòðîííûå ëàìïû.
3. Âêëþ÷àþò îñöèëëîãðàô (â ñåòü 220 Â). 4. Âêëþ÷àþò íà 220  ïåðâè÷íóþ îáìîòêó òðàíñôîðìàòîðà. 5. Ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíîãî êîàêñèàëüíîãî êàáåëÿ ñî øòåêåðàìè íà êîíöàõ (èìåþùåãî ðàçäåëèòåëüíûé êîíäåíñàòîð) ïîäàþò íà âõîä îñöèëëîãðàôà Y ïåðåìåííóþ ñîñòàâëÿþùóþ ñèãíàëà Uâõ, ïîäàâàåìîãî íà ñåòêó ëàìïû (ñì. ðèñ. 9). 6. Èçìåíÿÿ ÷àñòîòó ãåíåðàòîðà ðàçâåðòêè îñöèëëîãðàôà ñ ïîìîùüþ ðó÷êè «Âðåìÿ/äåëåíèÿ», äîáèâàþòñÿ ïîÿâëåíèÿ íà ýêðàíå îñöèëëîãðàôà ñèíóñîèäàëüíîãî ñèãíàëà. Ðåêîìåíäóåìîå ïîëîæåíèå ðó÷êè 5 ìñ. 7. Äîáèâàþòñÿ óñòîé÷èâîé, íåïîäâèæíîé êàðòèíû ñèãíàëà íà ýêðàíå ñ ïîìîùüþ íåáîëüøîãî ïîâîðîòà ðó÷êè «ñòàáèëüíîñòü». 8. Èçîáðàæåíèå ôîêóñèðóþò è óñòàíàâëèâàþò íåîáõîäèìóþ äëÿ ÷åòêîé êàðòèíû ÿðêîñòü ñ ïîìîùüþ ðó÷åê (ôîêóñèðîâêà è ÿðêîñòü). 9. Ïîâîðîòîì ðó÷êè «V/ÄÅË» âûáèðàþò òî ìàêñèìàëüíîå óñèëåíèå ñèãíàëà, ïðè êîòîðîì ýòîò ñèãíàë ïîëíîñòüþ óêëàäûâàåòñÿ â ïðåäåëàõ øêàëû îñöèëëîãðàôà (ðèñ. 11). Ðåêîìåíäóåìîå ïîëîæåíèå ðó÷êè 0,1 èëè 0,2. 10. Èçìåðÿþò àìïëèòóäó ñèãíàëà Uâõ â äåëåíèÿõ øêàëû è ïåðåâîäÿò ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå â âîëüòû, óìíîæàÿ äëÿ ýòîãî ÷èñëî äåëåíèé íà ïîêàçàòåëü ïîëîæåíèÿ ðó÷êè «V/ÄÅË».
Ðèñ. 11
Ðèñ. 12
ÓÊÀÇÀÍÈÅ. Äëÿ óäîáñòâà îòñ÷åòà ìîæíî âûêëþ÷èòü ðàçâåðòêó ñèãíàëà ïî ãîðèçîíòàëè, äëÿ ÷åãî ñëåäóåò íàæàòü êíîïêó «Âõîä X», è çàòåì, ïîëüçóÿñü ðó÷êàìè âåðòèêàëüíîãî è ãîðèçîíòàëüíîãî ñìåùåíèÿ ëó÷à, ñîâìåñòèòü èçîáðàæåíèå ñ öåíòðîì øêàëû ýêðàíà (ðèñ. 12). 11. Íà âõîä Y îñöèëëîãðàôà ïîäàþò íàïðÿæåíèå ñ âûõîäà óñèëèòåëÿ, ò.å. ñ àíîäíîé íàãðóçêè Rà (êëåììû À è Â, ðèñ. 9). 12. Ïåðåêëþ÷àÿ ðó÷êó «V/ÄÅË», ïîäáèðàþò íåîáõîäèìîå óñèëåíèå ñèãíàëà Uâûõ (îáû÷íî ïîëîæåíèå ðó÷êè 1 èëè 2). 13. Èçìåðÿþò àìïëèòóäó ñèãíàëà Uâûõ â äåëåíèÿõ, à çàòåì ïåðåâîäÿò ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå â âîëüòû. 190
14. Íàõîäÿò çíà÷åíèå mäèí = Uâûõ/Uâõ. 15. Íàõîäÿò çíà÷åíèå mäèí ïî ôîðìóëàì m äèí = RAS äèí , m äèí = m
Ra . Ra + Ri
Ñðàâíèâàþò âñå òðè çíà÷åíèÿ mäèí.  ñïðàâåäëèâîñòè ôîðìóëû mäèí = RàSäèí ëåãêî óáåäèòüñÿ. Äåéñòâèòåëüíî, DU R = DI à R à, íî S äè í = DI à /DU ñ, îòêóäà DI à = S äèí DU ñ . Ñëåäîâàòåëüíî, DU R = R à S äèí DU ñ , m äèí =
DU R = RAS äèí . DU c
Ëèòåðàòóðà 1. Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 5. Êâàíòîâàÿ îïòèêà. Àòîìíàÿ ôèçèêà. Ôèçèêà òâåðäîãî òåëà. Ôèçèêà àòîìíîãî ÿäðà è ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 9. Êîíòàêòíûå è òåðìîýëåêòðè÷åñêèå ÿâëåíèÿ. 9.1. Ðàáîòà âûõîäà. 9.2. Òåðìîýëåêòðîííàÿ ýìèññèÿ. Ýëåêòðîííûå ëàìïû.
Çàäà÷à ¹ 23 ÈÇÓ×ÅÍÈÅ ÐÀÁÎÒÛ ÏÎËÓÏÐÎÂÎÄÍÈÊÎÂÎÃÎ ÄÈÎÄÀ
Öåëü çàäà÷è: èçó÷åíèå ïðèíöèïà äåéñòâèÿ ïîëóïðîâîäíèêîâîãî äèîäà è ðàáîòû âûïðÿìèòåëÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ 1. Êîíòàêòíûé ñëîé ñ îäíîñòîðîííåé ïðîâîäèìîñòüþ. Ðàññìîòðèì êðàòêî ñóòü ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé, ëåæàùèõ â îñíîâå äåéñòâèÿ ïîëóïðîâîäíèêîâîãî äèîäà. Åñëè â ìàòðèöó ÷åòûðåõâàëåíòíîãî ãåðìàíèÿ (Ge4+) äîáàâèòü â êà÷åñòâå ïðèìåñè àòîìû ïÿòèâàëåíòíîãî ìûøüÿêà (As5+), òî îáðàçóåòñÿ ñïëàâ â ýëåêòðè÷åñêîì îòíîøåíèè íåéòðàëüíûé. Îäíàêî â ìåñòå íàõîæäåíèÿ àòîìà ìûøüÿêà îäèí ýëåêòðîí îêàçûâàåòñÿ ëèøíèì, îí ëåãêî îòðûâàåòñÿ è ñòàíîâèòñÿ ñâîáîäíûì. Åñëè â Ge4+ äîáàâèòü â êà÷åñòâå ïðèìåñè àòîìû òðåõâàëåíòíîãî èíäèÿ (In3+), òî ñíîâà îáðàçóåòñÿ íåéòðàëüíûé ñïëàâ, îäíàêî â ìåñòå íàõîæäåíèÿ àòîìà èíäèÿ îäíà èç åãî ýëåêòðîííûõ îáîëî÷åê îñòàåòñÿ íå ïîëíîñòüþ çàïîëíåííîé è ìîæåò âñòóïàòü â õèìè÷åñêóþ ñâÿçü ñ ýëåêòðîíîì. Åñëè îñóùåñòâèòü ïîñðåäñòâîì ñâàðêè èëè ïàéêè êîíòàêò ìåæäó ýòèìè ñïëàâàìè, òî ýëåêòðîíû ïðèìåñíîé îáëàñòè GeAs, áóäó÷è ñâîáîäíûìè â ïðîöåññå òåïëîâîãî äâèæåíèÿ, äîñòèãàþò íåçàïîëíåííûõ îáîëî÷åê ïðèìåñíîé îáëàñòè GeIn â êîíòàêòíîì ñëîå è âñòóïàþò ñ íèìè â ñâÿçü. Òàê êàê ïðè ýòîì ýëåêòðîíû ïîêèäàþò ïåðâîíà÷àëüíî íåéòðàëüíûé GeAs è ïðèõîäÿò â ïåðâîíà÷àëüíî íåéòðàëüíûé GeIn, òî â ïðèêîíòàêòíîì ñëîå ñî ñòîðîíû GeAs îáðàçóåòñÿ ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä, à ñî ñòîðîíû GeIn îòðèöàòåëüíûé. Ìåæäó ýòèìè çàðÿäàìè âîçíèêàåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå è, òàê êàê îíî âñåãäà íàïðàâëåíî îò ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà ê îòðèöàòåëüíîìó, ïðåïÿòñòâóåò äàëüíåéøåìó ïåðåõîäó ýëåêòðîíîâ â GeIn; íàñòóïàåò äèíàìè÷åñêîå ðàâíîâåñèå çàðÿäîâ. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå îáðàçóåòñÿ â ðåçóëüòàòå ðàçäåëåíèÿ çàðÿäîâ õèìè÷åñêèìè ñèëàìè, è â ìåñòå êîíòàêòà âîçíèêàåò êîíòàêòíàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, èìåþùàÿ ïîëîæèòåëüíûé ïîëþñ ñî ñòîðîíû GeAs è îòðèöàòåëüíûé ñî ñòîðîíû GeIn (ðèñ. 1). Òîëùèíà çàðÿæåííîãî êîíòàêòíîãî ñëîÿ îáû÷íî ñîñòàâëÿåò 104105 ñì. Ñõåìàòè÷íî ýòî ïîêàçàíî íà ðèñ. 1. Åñëè ê ãðàíè÷íûì ó÷àñòêàì ñïëàâà ñ äàííûì êîíòàêòíûì ñëîåì ïðèëîæèòü íàïðÿæåíèå, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 2, òî ýëåêòðîíû èç GeAs áóäóò ñòðåìèòüñÿ ê ïîëîæèòåëüíîìó ïîëþñó ýäñ, à ýëåêòðîíû îòðèöàòåëüíîãî ïîëþñà ýäñ óñòðåìÿòñÿ ê èçáûòî÷íûì ñâÿçÿì 192
Ðèñ. 1
Ðèñ. 2
Ðèñ. 3
GeIn.  ðåçóëüòàòå êîíòàêòíàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ âîçðàñòåò è ÷åðåç êîíòàêò òîêà íå áóäåò. Åñëè ïðèëîæèòü íàïðÿæåíèå, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3, òî ýëåêòðîíû ñ îòðèöàòåëüíîãî ïîëþñà ýäñ ïîéäóò ê ïîëîæèòåëüíîìó ïîëþñó êîíòàêòà, à ñ îòðèöàòåëüíîãî ïîëþñà êîíòàêòà íà ïîëîæèòåëüíûé ïîëþñ ýäñ. Ïðè ýòîì çàïèðàþùèé ñëîé íåéòðàëèçóåòñÿ, êîíòàêòíàÿ ðàçíîñòü - óìåíüøàåòñÿ è èäåò òîê I, íàïðàâëåíèå êîòîðîãî ïîêàçàíî ñòðåëêîé. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè òîêà I, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç ñïëàâ ñ êîíòàêòíûì ñëîåì â çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû è çíàêà ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ áóäåò èìåòü âèä, êàê íà ðèñ. 4. Âåðòèêàëüíàÿ ïðÿìàÿ íà ðèñ. 4 îáóñëîâëåíà òåì, ÷òî ïðè äîñòèæåíèè îáðàòíûì (îòðèöàòåëüíûì) íàïðÿæåíèåì íåêîòîðîé êðèòè÷åñêîé âåëè÷èíû Uêp ïðîèñõîäèò ðåçêîå óìåíüøåíèå ñîïðîòèâëåíèÿ êîíòàêòíîãî ñëîÿ è ëàâèíîîáðàçíîå âîçðàñòàíèå òîêà. Ýòî ÿâëåíèå íîñèò íàçâàíèå ïðîáîÿ, Uêp íàïðÿæåíèå ïðîáîÿ. 2. Âûïðÿìëåíèå ïåðåìåííîãî òîêà. Ñâîéñòâà ðàññìîòðåííîãî êîíòàêòíîãî ñëîÿ èñïîëüçóþòñÿ â óñòðîéñòâàõ äëÿ âûïðÿìëåíèÿ
Ðèñ. 4
193
Çàäà÷à ¹ 23 ÈÇÓ×ÅÍÈÅ ÐÀÁÎÒÛ ÏÎËÓÏÐÎÂÎÄÍÈÊÎÂÎÃÎ ÄÈÎÄÀ
Öåëü çàäà÷è: èçó÷åíèå ïðèíöèïà äåéñòâèÿ ïîëóïðîâîäíèêîâîãî äèîäà è ðàáîòû âûïðÿìèòåëÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ 1. Êîíòàêòíûé ñëîé ñ îäíîñòîðîííåé ïðîâîäèìîñòüþ. Ðàññìîòðèì êðàòêî ñóòü ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé, ëåæàùèõ â îñíîâå äåéñòâèÿ ïîëóïðîâîäíèêîâîãî äèîäà. Åñëè â ìàòðèöó ÷åòûðåõâàëåíòíîãî ãåðìàíèÿ (Ge4+) äîáàâèòü â êà÷åñòâå ïðèìåñè àòîìû ïÿòèâàëåíòíîãî ìûøüÿêà (As5+), òî îáðàçóåòñÿ ñïëàâ â ýëåêòðè÷åñêîì îòíîøåíèè íåéòðàëüíûé. Îäíàêî â ìåñòå íàõîæäåíèÿ àòîìà ìûøüÿêà îäèí ýëåêòðîí îêàçûâàåòñÿ ëèøíèì, îí ëåãêî îòðûâàåòñÿ è ñòàíîâèòñÿ ñâîáîäíûì. Åñëè â Ge4+ äîáàâèòü â êà÷åñòâå ïðèìåñè àòîìû òðåõâàëåíòíîãî èíäèÿ (In3+), òî ñíîâà îáðàçóåòñÿ íåéòðàëüíûé ñïëàâ, îäíàêî â ìåñòå íàõîæäåíèÿ àòîìà èíäèÿ îäíà èç åãî ýëåêòðîííûõ îáîëî÷åê îñòàåòñÿ íå ïîëíîñòüþ çàïîëíåííîé è ìîæåò âñòóïàòü â õèìè÷åñêóþ ñâÿçü ñ ýëåêòðîíîì. Åñëè îñóùåñòâèòü ïîñðåäñòâîì ñâàðêè èëè ïàéêè êîíòàêò ìåæäó ýòèìè ñïëàâàìè, òî ýëåêòðîíû ïðèìåñíîé îáëàñòè GeAs, áóäó÷è ñâîáîäíûìè â ïðîöåññå òåïëîâîãî äâèæåíèÿ, äîñòèãàþò íåçàïîëíåííûõ îáîëî÷åê ïðèìåñíîé îáëàñòè GeIn â êîíòàêòíîì ñëîå è âñòóïàþò ñ íèìè â ñâÿçü. Òàê êàê ïðè ýòîì ýëåêòðîíû ïîêèäàþò ïåðâîíà÷àëüíî íåéòðàëüíûé GeAs è ïðèõîäÿò â ïåðâîíà÷àëüíî íåéòðàëüíûé GeIn, òî â ïðèêîíòàêòíîì ñëîå ñî ñòîðîíû GeAs îáðàçóåòñÿ ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä, à ñî ñòîðîíû GeIn îòðèöàòåëüíûé. Ìåæäó ýòèìè çàðÿäàìè âîçíèêàåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå è, òàê êàê îíî âñåãäà íàïðàâëåíî îò ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà ê îòðèöàòåëüíîìó, ïðåïÿòñòâóåò äàëüíåéøåìó ïåðåõîäó ýëåêòðîíîâ â GeIn; íàñòóïàåò äèíàìè÷åñêîå ðàâíîâåñèå çàðÿäîâ. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå îáðàçóåòñÿ â ðåçóëüòàòå ðàçäåëåíèÿ çàðÿäîâ õèìè÷åñêèìè ñèëàìè, è â ìåñòå êîíòàêòà âîçíèêàåò êîíòàêòíàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, èìåþùàÿ ïîëîæèòåëüíûé ïîëþñ ñî ñòîðîíû GeAs è îòðèöàòåëüíûé ñî ñòîðîíû GeIn (ðèñ. 1). Òîëùèíà çàðÿæåííîãî êîíòàêòíîãî ñëîÿ îáû÷íî ñîñòàâëÿåò 104105 ñì. Ñõåìàòè÷íî ýòî ïîêàçàíî íà ðèñ. 1. Åñëè ê ãðàíè÷íûì ó÷àñòêàì ñïëàâà ñ äàííûì êîíòàêòíûì ñëîåì ïðèëîæèòü íàïðÿæåíèå, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 2, òî ýëåêòðîíû èç GeAs áóäóò ñòðåìèòüñÿ ê ïîëîæèòåëüíîìó ïîëþñó ýäñ, à ýëåêòðîíû îòðèöàòåëüíîãî ïîëþñà ýäñ óñòðåìÿòñÿ ê èçáûòî÷íûì ñâÿçÿì 192
Ðèñ. 1
Ðèñ. 2
Ðèñ. 3
GeIn.  ðåçóëüòàòå êîíòàêòíàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ âîçðàñòåò è ÷åðåç êîíòàêò òîêà íå áóäåò. Åñëè ïðèëîæèòü íàïðÿæåíèå, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3, òî ýëåêòðîíû ñ îòðèöàòåëüíîãî ïîëþñà ýäñ ïîéäóò ê ïîëîæèòåëüíîìó ïîëþñó êîíòàêòà, à ñ îòðèöàòåëüíîãî ïîëþñà êîíòàêòà íà ïîëîæèòåëüíûé ïîëþñ ýäñ. Ïðè ýòîì çàïèðàþùèé ñëîé íåéòðàëèçóåòñÿ, êîíòàêòíàÿ ðàçíîñòü - óìåíüøàåòñÿ è èäåò òîê I, íàïðàâëåíèå êîòîðîãî ïîêàçàíî ñòðåëêîé. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè òîêà I, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç ñïëàâ ñ êîíòàêòíûì ñëîåì â çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû è çíàêà ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ áóäåò èìåòü âèä, êàê íà ðèñ. 4. Âåðòèêàëüíàÿ ïðÿìàÿ íà ðèñ. 4 îáóñëîâëåíà òåì, ÷òî ïðè äîñòèæåíèè îáðàòíûì (îòðèöàòåëüíûì) íàïðÿæåíèåì íåêîòîðîé êðèòè÷åñêîé âåëè÷èíû Uêp ïðîèñõîäèò ðåçêîå óìåíüøåíèå ñîïðîòèâëåíèÿ êîíòàêòíîãî ñëîÿ è ëàâèíîîáðàçíîå âîçðàñòàíèå òîêà. Ýòî ÿâëåíèå íîñèò íàçâàíèå ïðîáîÿ, Uêp íàïðÿæåíèå ïðîáîÿ. 2. Âûïðÿìëåíèå ïåðåìåííîãî òîêà. Ñâîéñòâà ðàññìîòðåííîãî êîíòàêòíîãî ñëîÿ èñïîëüçóþòñÿ â óñòðîéñòâàõ äëÿ âûïðÿìëåíèÿ
Ðèñ. 4
193
ïåðåìåííîãî òîêà, íàçûâàåìûõ ïîëóïðîâîäíèêîâûìè äèîäàìè. Ïðè ýòîì äèîä ïðîïóñêàåò òîê â íàïðàâëåíèè, óêàçàííîì ñòðåëêîé, è íå ïðîïóñêàåò â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Åñëè íà äèîä ïîäàòü ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå, òî ÷åðåç íàãðóçêó ïîéäåò ïóëüñèðóþùèé òîê. Ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà âðåìåííîé çàâèñèìîñòè òîêà ïîêàçàí íà ðèñ. 5. Ïîäàâàåìîå íàïðÿæåíèå ðàçâåðíóòî ïî îñè âðåìåíè âíèç. Òîê ðàçâåðíóò ïî îñè âðåìåíè âïðàâî. Êðèâàÿ òîêà èìååò âèä ïîëîæèòåëüíîé ïîëóñèíóñîèäû. Îäíîïîëóïåðèîäíîå âûïðÿìëåíèå, ðàññìîòðåííîå âûøå, íà ïðàêòèêå ïðèìåíÿòü íåâûãîäíî, òàê êàê íå èñïîëüçóåòñÿ îòðèöàòåëüíàÿ ïîëóñèíóñîèäà. Ïîýòîìó ïðèìåíÿåòñÿ äâóõïîëóïåðèîäíîå âûïðÿìëåíèå, ïîçâîëÿþùåå èñïîëüçîâàòü îáà ïîëóïåðèîäà ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ. Ñõåìà äâóõïîëóïåðèîäíîãî âûïðÿìèòåëÿ ïîêàçàíà íà ðèñ. 6.
Ðèñ. 5
194
Ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ ðàáîòû Óïðàæíåíèå 1 Íàáëþäåíèå âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêè äèîäà 1. Âêëþ÷èòü ìàêåò âûïðÿìèòåëÿ â ñåòü. Óñòàíîâèòü ïåðåêëþ÷àòåëü íà ìàêåòå â ïîëîæåíèå «Îäíîïîëóïåðèîäíûé âûïðÿìèòåëü». Ïðè ýòîì ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå îò âñòðîåííîãî òðàíñôîðìàòîðà ïîäàåòñÿ â òî÷êè ñõåìû 13 (ðèñ. 9).
Ðèñ. 6
Ïðè ïîëîæèòåëüíîé ïîëóñèíóñîèäå íàïðÿæåíèÿ íà âõîäå âûïðÿìèòåëÿ òîê èäåò ïî öåïè â íàïðàâëåíèè, óêàçàííîì ñïëîøíûìè ñòðåëêàìè; ïðè îòðèöàòåëüíîé ïóíêòèðíûìè ñòðåëêàìè. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî íàïðàâëåíèå òîêà ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ ïåðåìåùåíèÿ ýëåêòðîíîâ. Íà ðèñ. 7
Ðèñ. 7
ïîêàçàí ãðàôèê èçìåíåíèé ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ, ïîäàâàåìîãî íà âõîä, è ãðàôèêè âûïðÿìëåííîãî òîêà ïðè äâóõïîëóïåðèîäíîì âûïðÿìëåíèè. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ âûïðÿìëåííûé òîê íåïðèãîäåí äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ. ×òîáû îñëàáèòü ïóëüñàöèè òîêà, ìåæäó âûïðÿìèòåëåì è íàãðóçêîé âêëþ÷àþòñÿ ôèëüòðû. Ïðîñòåéøèì ôèëüòðîì ÿâëÿåòñÿ êîíäåíñàòîð, âêëþ÷åííûé ïàðàëëåëüíî íàãðóçêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì R. Ïîäáîðîì íîìèíàëîâ R è Ñ ìîæíî äîáèòüñÿ ïîëîæåíèÿ, ïðè êîòîðîì âûõîäíîå íàïðÿæåíèå Uñ èìååò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 8 (ëîìàíàÿ êðèâàÿ). Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà: ìàêåòíàÿ ñõåìà âûïðÿìèòåëÿ, îñöèëëîãðàô.
Ðèñ. 8
Ðèñ. 9
2. Âêëþ÷èòü îñöèëëîãðàô, ïåðåêëþ÷èòü åãî â ðåæèì ðàçâåðòêè ïî «X» îò âíåøíåãî íàïðÿæåíèÿ (íàæàòü êíîïêó «Õ»). Ïðè ýòîì ëó÷ íà ýêðàíå îñöèëëîãðàôà ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó è åå ìîæíî ïåðåìåùàòü ïî ýêðàíó îñöèëëîãðàôà ïî âåðòèêàëè (ðó÷êîé âåðòèêàëüíîãî ñìåùåíèÿ ïåðâîãî êàíàëà) è ïî ãîðèçîíòàëè (ðó÷êîé âåðòèêàëüíîãî ñìåùåíèÿ âòîðîãî êàíàëà). Ïåðåìåùàÿ òî÷êó, ïîìåñòèòü åå â öåíòðå ýêðàíà. 3. Ïîäàòü íàïðÿæåíèå ñ òî÷åê 23 íà Y-âõîä ïåðâîãî êàíàëà îñöèëëîãðàôà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 9, ñîáëþäàÿ ïîðÿäîê ïîäñîåäèíåíèÿ äëèííîãî è êîðîòêîãî êîíöîâ íà êàáåëå Y1. Îòäåëüíûì ïðîâîäîì ñîåäèíèòü òî÷êó 1 ñ Õ-âõîäîì îñöèëëîãðàôà (â ïðàâîì íèæíåì óãëó). Ïðè òàêîì âêëþ÷åíèè ðàçâåðòêà ïî ãîðèçîíòàëè îáåñïå÷èâàåòñÿ íàïðÿæåíèåì ìåæäó òî÷êà195
ïåðåìåííîãî òîêà, íàçûâàåìûõ ïîëóïðîâîäíèêîâûìè äèîäàìè. Ïðè ýòîì äèîä ïðîïóñêàåò òîê â íàïðàâëåíèè, óêàçàííîì ñòðåëêîé, è íå ïðîïóñêàåò â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Åñëè íà äèîä ïîäàòü ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå, òî ÷åðåç íàãðóçêó ïîéäåò ïóëüñèðóþùèé òîê. Ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà âðåìåííîé çàâèñèìîñòè òîêà ïîêàçàí íà ðèñ. 5. Ïîäàâàåìîå íàïðÿæåíèå ðàçâåðíóòî ïî îñè âðåìåíè âíèç. Òîê ðàçâåðíóò ïî îñè âðåìåíè âïðàâî. Êðèâàÿ òîêà èìååò âèä ïîëîæèòåëüíîé ïîëóñèíóñîèäû. Îäíîïîëóïåðèîäíîå âûïðÿìëåíèå, ðàññìîòðåííîå âûøå, íà ïðàêòèêå ïðèìåíÿòü íåâûãîäíî, òàê êàê íå èñïîëüçóåòñÿ îòðèöàòåëüíàÿ ïîëóñèíóñîèäà. Ïîýòîìó ïðèìåíÿåòñÿ äâóõïîëóïåðèîäíîå âûïðÿìëåíèå, ïîçâîëÿþùåå èñïîëüçîâàòü îáà ïîëóïåðèîäà ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ. Ñõåìà äâóõïîëóïåðèîäíîãî âûïðÿìèòåëÿ ïîêàçàíà íà ðèñ. 6.
Ðèñ. 5
194
Ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ ðàáîòû Óïðàæíåíèå 1 Íàáëþäåíèå âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêè äèîäà 1. Âêëþ÷èòü ìàêåò âûïðÿìèòåëÿ â ñåòü. Óñòàíîâèòü ïåðåêëþ÷àòåëü íà ìàêåòå â ïîëîæåíèå «Îäíîïîëóïåðèîäíûé âûïðÿìèòåëü». Ïðè ýòîì ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå îò âñòðîåííîãî òðàíñôîðìàòîðà ïîäàåòñÿ â òî÷êè ñõåìû 13 (ðèñ. 9).
Ðèñ. 6
Ïðè ïîëîæèòåëüíîé ïîëóñèíóñîèäå íàïðÿæåíèÿ íà âõîäå âûïðÿìèòåëÿ òîê èäåò ïî öåïè â íàïðàâëåíèè, óêàçàííîì ñïëîøíûìè ñòðåëêàìè; ïðè îòðèöàòåëüíîé ïóíêòèðíûìè ñòðåëêàìè. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî íàïðàâëåíèå òîêà ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ ïåðåìåùåíèÿ ýëåêòðîíîâ. Íà ðèñ. 7
Ðèñ. 7
ïîêàçàí ãðàôèê èçìåíåíèé ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ, ïîäàâàåìîãî íà âõîä, è ãðàôèêè âûïðÿìëåííîãî òîêà ïðè äâóõïîëóïåðèîäíîì âûïðÿìëåíèè. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ âûïðÿìëåííûé òîê íåïðèãîäåí äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ. ×òîáû îñëàáèòü ïóëüñàöèè òîêà, ìåæäó âûïðÿìèòåëåì è íàãðóçêîé âêëþ÷àþòñÿ ôèëüòðû. Ïðîñòåéøèì ôèëüòðîì ÿâëÿåòñÿ êîíäåíñàòîð, âêëþ÷åííûé ïàðàëëåëüíî íàãðóçêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì R. Ïîäáîðîì íîìèíàëîâ R è Ñ ìîæíî äîáèòüñÿ ïîëîæåíèÿ, ïðè êîòîðîì âûõîäíîå íàïðÿæåíèå Uñ èìååò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 8 (ëîìàíàÿ êðèâàÿ). Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà: ìàêåòíàÿ ñõåìà âûïðÿìèòåëÿ, îñöèëëîãðàô.
Ðèñ. 8
Ðèñ. 9
2. Âêëþ÷èòü îñöèëëîãðàô, ïåðåêëþ÷èòü åãî â ðåæèì ðàçâåðòêè ïî «X» îò âíåøíåãî íàïðÿæåíèÿ (íàæàòü êíîïêó «Õ»). Ïðè ýòîì ëó÷ íà ýêðàíå îñöèëëîãðàôà ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó è åå ìîæíî ïåðåìåùàòü ïî ýêðàíó îñöèëëîãðàôà ïî âåðòèêàëè (ðó÷êîé âåðòèêàëüíîãî ñìåùåíèÿ ïåðâîãî êàíàëà) è ïî ãîðèçîíòàëè (ðó÷êîé âåðòèêàëüíîãî ñìåùåíèÿ âòîðîãî êàíàëà). Ïåðåìåùàÿ òî÷êó, ïîìåñòèòü åå â öåíòðå ýêðàíà. 3. Ïîäàòü íàïðÿæåíèå ñ òî÷åê 23 íà Y-âõîä ïåðâîãî êàíàëà îñöèëëîãðàôà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 9, ñîáëþäàÿ ïîðÿäîê ïîäñîåäèíåíèÿ äëèííîãî è êîðîòêîãî êîíöîâ íà êàáåëå Y1. Îòäåëüíûì ïðîâîäîì ñîåäèíèòü òî÷êó 1 ñ Õ-âõîäîì îñöèëëîãðàôà (â ïðàâîì íèæíåì óãëó). Ïðè òàêîì âêëþ÷åíèè ðàçâåðòêà ïî ãîðèçîíòàëè îáåñïå÷èâàåòñÿ íàïðÿæåíèåì ìåæäó òî÷êà195
ìè 13, à âåðòèêàëüíîå ñìåùåíèå íàïðÿæåíèåì íà ðåçèñòîðå R (òî÷êè 23). Çàðèñîâàòü è îáúÿñíèòü íàáëþäàåìóþ íà ýêðàíå êàðòèíó. Óïðàæíåíèå 2 Íàáëþäåíèå âûïðÿìëÿþùåãî äåéñòâèÿ äèîäà Ïåðåêëþ÷èòü îñöèëëîãðàô â ðåæèì âíóòðåííåé ðàçâåðòêè (êíîïêà «Ñèíõðîíèçàöèÿ âíóòðåííÿÿ 1», êíîïêó «X» îòæàòü). Íàæàòü êíîïêó ñîâìåñòíîé ðàáîòû îáîèõ êàíàëîâ «...». Ñ òî÷êè 1 íàïðÿæåíèå ïîäàòü íà Y-âõîä âòîðîãî êàíàëà îñöèëëîãðàôà. Ïðè ýòîì ëó÷ âòîðîãî êàíàëà áóäåò âîñïðîèçâîäèòü ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå U13 (t) â òî÷êàõ 13, a ëó÷ ïåðâîãî êàíàëà íàïðÿæåíèå íà ðåçèñòîðå UR (t). Çàðèñîâàòü è îáúÿñíèòü íàáëþäàåìóþ êàðòèíó. Óïðàæíåíèå 3 Ðàáîòà äâóõïîëóïåðèîäíîãî âûïðÿìèòåëÿ 1. Ïåðåâåñòè ïåðåêëþ÷àòåëü íà ìàêåòå â ïîëîæåíèå «Äâóõïîëóïåðèîäíûé âûïðÿìèòåëü». Ïðè ýòîì ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå ñ òðàíñôîðìàòîðà ïîñòóïàåò â òî÷êè 47 (ñì. ðèñ. 10).
Ðèñ. 10
2. Äàííàÿ ñõåìà è ïðèìåíÿåìûé îñöèëëîãðàô íå ïîçâîëÿþò îäíîâðåìåííî íàáëþäàòü äâà íàïðÿæåíèÿ â òî÷êàõ 47 è 910, òàê êàê ïðè ýòîì øóíòèðóåòñÿ çàçåìëåííûì ïðîâîäîì îäíî ïëå÷î äèîäíîãî ìîñòà. Ïîýòîìó íà ïåðâûé (èëè âòîðîé) êàíàë îñöèëëîãðàôà ïîäàåòñÿ íàïðÿæåíèå ñî âõîäà âûïðÿìèòåëÿ (òî÷êè 47). ×óâñòâèòåëüíîñòü îñöèëëîãðàôà ïî ýòîìó êàíàëó óñòàíàâëèâàåòñÿ 25 Â. Íàáëþäàåìàÿ êàðòèíà çàðèñîâûâàåòñÿ. Çàòåì íà òîò æå êàíàë ïîäàåòñÿ íàïðÿæåíèå ñ âûõîäà âûïðÿìèòåëÿ Rí (òî÷êè 910) ïðè îòêëþ÷åííîì êîíäåíñàòîðå Ñô. Çàðèñîâàòü íàáëþäàåìóþ êàðòèíó ïîä ïðåäûäóùèì ãðàôèêîì, ïðèíèìàÿ çà íà÷àëî îòñ÷åòà âðåìåíè íà÷àëî íàáëþäàåìûõ êàðòèí. 3. Âêëþ÷èòü Ñô è íàáëþäàòü èçìåíåíèå êàðòèíû íà ýêðàíå. 196
Çàðèñîâàòü íàáëþäàåìóþ êàðòèíó ïîä ïðåäûäóùèìè äâóìÿ ãðàôèêàìè. Ðàçîáðàòüñÿ, ÷òî îòêëàäûâàåòñÿ ïî îñè îðäèíàò, à ÷òî ïî îñè àáñöèññ. Îáúÿñíèòü íàáëþäàåìûå ãðàôèêè è èõ îòëè÷èå îò ãðàôèêîâ, íàáëþäàåìûõ â óïðàæíåíèè 2. Ëèòåðàòóðà 1. Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 5. Êâàíòîâàÿ îïòèêà. Àòîìíàÿ ôèçèêà. Ôèçèêà òâåðäîãî òåëà. Ôèçèêà àòîìíîãî ÿäðà è ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 8. Ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ìåòàëëîâ è ïîëóïðîâîäíèêîâ. 8.6. Ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ïîëóïðîâîäíèêîâ. Ãëàâà 9. Êîíòàêòíûå è òåðìîýëåêòðè÷åñêèå ÿâëåíèÿ. 9.3. Êîíòàêòíàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ. 9.5. Ïîëóïðîâîäíèêîâûå äèîäû è òðèîäû.
ìè 13, à âåðòèêàëüíîå ñìåùåíèå íàïðÿæåíèåì íà ðåçèñòîðå R (òî÷êè 23). Çàðèñîâàòü è îáúÿñíèòü íàáëþäàåìóþ íà ýêðàíå êàðòèíó. Óïðàæíåíèå 2 Íàáëþäåíèå âûïðÿìëÿþùåãî äåéñòâèÿ äèîäà Ïåðåêëþ÷èòü îñöèëëîãðàô â ðåæèì âíóòðåííåé ðàçâåðòêè (êíîïêà «Ñèíõðîíèçàöèÿ âíóòðåííÿÿ 1», êíîïêó «X» îòæàòü). Íàæàòü êíîïêó ñîâìåñòíîé ðàáîòû îáîèõ êàíàëîâ «...». Ñ òî÷êè 1 íàïðÿæåíèå ïîäàòü íà Y-âõîä âòîðîãî êàíàëà îñöèëëîãðàôà. Ïðè ýòîì ëó÷ âòîðîãî êàíàëà áóäåò âîñïðîèçâîäèòü ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå U13 (t) â òî÷êàõ 13, a ëó÷ ïåðâîãî êàíàëà íàïðÿæåíèå íà ðåçèñòîðå UR (t). Çàðèñîâàòü è îáúÿñíèòü íàáëþäàåìóþ êàðòèíó. Óïðàæíåíèå 3 Ðàáîòà äâóõïîëóïåðèîäíîãî âûïðÿìèòåëÿ 1. Ïåðåâåñòè ïåðåêëþ÷àòåëü íà ìàêåòå â ïîëîæåíèå «Äâóõïîëóïåðèîäíûé âûïðÿìèòåëü». Ïðè ýòîì ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå ñ òðàíñôîðìàòîðà ïîñòóïàåò â òî÷êè 47 (ñì. ðèñ. 10).
Ðèñ. 10
2. Äàííàÿ ñõåìà è ïðèìåíÿåìûé îñöèëëîãðàô íå ïîçâîëÿþò îäíîâðåìåííî íàáëþäàòü äâà íàïðÿæåíèÿ â òî÷êàõ 47 è 910, òàê êàê ïðè ýòîì øóíòèðóåòñÿ çàçåìëåííûì ïðîâîäîì îäíî ïëå÷î äèîäíîãî ìîñòà. Ïîýòîìó íà ïåðâûé (èëè âòîðîé) êàíàë îñöèëëîãðàôà ïîäàåòñÿ íàïðÿæåíèå ñî âõîäà âûïðÿìèòåëÿ (òî÷êè 47). ×óâñòâèòåëüíîñòü îñöèëëîãðàôà ïî ýòîìó êàíàëó óñòàíàâëèâàåòñÿ 25 Â. Íàáëþäàåìàÿ êàðòèíà çàðèñîâûâàåòñÿ. Çàòåì íà òîò æå êàíàë ïîäàåòñÿ íàïðÿæåíèå ñ âûõîäà âûïðÿìèòåëÿ Rí (òî÷êè 910) ïðè îòêëþ÷åííîì êîíäåíñàòîðå Ñô. Çàðèñîâàòü íàáëþäàåìóþ êàðòèíó ïîä ïðåäûäóùèì ãðàôèêîì, ïðèíèìàÿ çà íà÷àëî îòñ÷åòà âðåìåíè íà÷àëî íàáëþäàåìûõ êàðòèí. 3. Âêëþ÷èòü Ñô è íàáëþäàòü èçìåíåíèå êàðòèíû íà ýêðàíå. 196
Çàðèñîâàòü íàáëþäàåìóþ êàðòèíó ïîä ïðåäûäóùèìè äâóìÿ ãðàôèêàìè. Ðàçîáðàòüñÿ, ÷òî îòêëàäûâàåòñÿ ïî îñè îðäèíàò, à ÷òî ïî îñè àáñöèññ. Îáúÿñíèòü íàáëþäàåìûå ãðàôèêè è èõ îòëè÷èå îò ãðàôèêîâ, íàáëþäàåìûõ â óïðàæíåíèè 2. Ëèòåðàòóðà 1. Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 5. Êâàíòîâàÿ îïòèêà. Àòîìíàÿ ôèçèêà. Ôèçèêà òâåðäîãî òåëà. Ôèçèêà àòîìíîãî ÿäðà è ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 8. Ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ìåòàëëîâ è ïîëóïðîâîäíèêîâ. 8.6. Ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ïîëóïðîâîäíèêîâ. Ãëàâà 9. Êîíòàêòíûå è òåðìîýëåêòðè÷åñêèå ÿâëåíèÿ. 9.3. Êîíòàêòíàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ. 9.5. Ïîëóïðîâîäíèêîâûå äèîäû è òðèîäû.
Çàäà÷à
¹ 24
ÈÇÓ×ÅÍÈÅ ÐÀÁÎÒÛ ÓÑÈËÈÒÅËß ÍÀÏÐßÆÅÍÈß ÍÀ ÒÐÀÍÇÈÑÒÎÐÅ
Öåëü ðàáîòû: èçó÷åíèå ðàáîòû òðàíçèñòîðà â êà÷åñòâå óñèëèòåëüíîãî êàñêàäà ïî íàïðÿæåíèþ â ñõåìå ñ îáùèì ýìèòòåðîì1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ Ïî ñâîåé ñóòè òðàíçèñòîð ÿâëÿåòñÿ óñèëèòåëåì òîêà, òàê êàê íåáîëüøîé ïî âåëè÷èíå òîê áàçû Iá óïðàâëÿåò çíà÷èòåëüíî áîëüøèì òîêîì êîëëåêòîðà Iê, ò.å. òðàíçèñòîð óñèëèâàåò òîê áàçû è îáû÷íî Iá » 0,05Iê. Îäíàêî òðàíçèñòîð ìîæíî èñïîëüçîâàòü è â êà÷åñòâå óñèëèòåëÿ íàïðÿæåíèÿ. Îäíèì èç íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ óñèëèòåëüíûõ êàñêàäîâ ïî íàïðÿæåíèþ ÿâëÿåòñÿ êàñêàä ñ îáùèì ýìèòòåðîì (ÎÝ), êîãäà ýìèòòåð ÿâëÿåòñÿ îáùèì ýëåêòðîäîì äëÿ âõîäíîé è âûõîäíîé öåïåé òðàíçèñòîðà. Íàïðÿæåíèÿ, ïðèëîæåííûå ê êîëëåêòîðó (Uêý) è ê áàçå (Uáý), îòñ÷èòûâàþòñÿ îòíîñèòåëüíî ýìèòòåðà è íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âûõîäíûì è âõîäíûì (ðèñ. 1).
Ðèñ. 1
Äëÿ ëþáîãî óñèëèòåëüíîãî óñòðîéñòâà ìåðîé óñèëåíèÿ ñëóæèò êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ êàê îòíîøåíèå âûõîäíîé âåëè÷èíû ê âõîäíîé. Òîãäà êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ ïî íàïðÿæåíèþ îïðåäåëÿåòñÿ òàê: KU =
U âûõ , U âõ
à êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ ïî òîêó: KI = 1
I âûõ . I âõ
Åñëè ïðîâåñòè ñîïîñòàâëåíèå ìåæäó òðèîäîì (âàêóóìíîé òðåõýëåêòðîäíîé ëàìïîé ñì. çàäà÷ó ¹ 22) è òðàíçèñòîðîì, òî ìîæíî âûäåëèòü ñëåäóþùèå ôóíêöèîíàëüíûå àíàëîãè: êàòîä ýìèòòåð, óïðàâëÿþùàÿ ñåòêà áàçà, àíîä êîëëåêòîð.
198
 óñèëèòåëüíûõ êàñêàäàõ ñ ÎÝ îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ ðåæèì ïîäà÷è íàïðÿæåíèÿ íà êîëëåêòîð è áàçó òàêîé, ÷òî Uêý . p 2 c c cT è ø
(2)
Äîïóùåíèå êâàçèñòàöèîíàðíîñòè òîêà ïîçâîëÿåò ïðèìåíÿòü çàêîíû Îìà è Êèðõãîôà ê ìãíîâåííûì çíà÷åíèÿì òîêà â ôîðìóëèðîâêå, äàííîé äëÿ ïîñòîÿííîãî òîêà. Ïðè ýòîì ìîæíî ðàññìàòðèâàòü âñþ öåïü. 2. Ãðàôè÷åñêèé ñïîñîá çàäàíèÿ ïåðåìåííûõ òîêîâ. Ñèíóñîèäàëüíûå ïåðåìåííûå òîêè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñîîòíîøåíèå (1). Ýòîò ñïîñîá çàäàíèÿ íàçûâàåòñÿ àíàëèòè÷åñêèì. ×àñòî, îäíàêî, ïîëüçóþòñÿ ãðàôè÷åñêèì ìåòîäîì, êîòîðûé óïðîùàåò ðàñ÷åòû ñîïðîòèâëåíèé â öåïÿõ ïåðåìåííîãî òîêà. Ðàññìîòðèì ãðàôè÷åñêèé ìåòîä èçîáðàæåíèÿ ïåðåìåííûõ òîêîâ.  ïðÿìîóãîëüíîé 205
ñèñòåìå êîîðäèíàò èçîáðàçèì ïåðåìåííûé òîê â âèäå îòðåçêà âåëè÷èíû I0 òàê, ÷òîáû îí îáðàçîâàë óãîë j0 ñ îñüþ X. Îòðåçîê íàçîâåì âåêòîðîì òîêà. Ýòî íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå âåêòîðà òîêà (ðèñ. 1).
Ðèñ. 2
Ðèñ. 1
Áóäåì âðàùàòü âåêòîð òîêà âîêðóã íà÷àëà êîîðäèíàò ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ 2p w= = 2pn. T
×åðåç âðåìÿ t âåêòîð I0 áóäåò ñîñòàâëÿòü óãîë wt ñ ïåðâîíà÷àëüíûì ïîëîæåíèåì âåêòîðà òîêà è óãîë (wt + j0) ñ îñüþ X. Ïðîåêöèÿ âåêòîðà íà îñü Y ðàâíà
Ðèñ. 3
 ãðàôè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè I0 è -0 áóäóò èìåòü âèä, êàê íà ðèñ. 2á. á) Öåïü ñ åìêîñòüþ Ñ (ðèñ. 3à): UÑ = èëè U Ñ = - 0 sinwt.
I = I 0 sin(wt + j 0), ò.å. â ëþáîé ìîìåíò îíà ðàâíà ìãíîâåííîìó çíà÷åíèþ òîêà. Òàêèì ñïîñîáîì ìîæíî èçîáðàæàòü îäíîâðåìåííî òîêè è íàïðÿæåíèÿ â öåïÿõ ïåðåìåííîãî òîêà. Âåêòîðíûé ìåòîä èçîáðàæåíèÿ âåëè÷èí, õàðàêòåðèçóþùèõ ïðîöåññû â öåïÿõ ïåðåìåííîãî òîêà, ïðèìåíÿåòñÿ òîãäà, êîãäà èìååòñÿ íåñêîëüêî âåëè÷èí, èçìåíÿþùèõñÿ ñî âðåìåíåì ãàðìîíè÷åñêè ñ îäíîé è òîé æå ÷àñòîòîé.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ ñëîæåíèÿ îäíîðîäíûõ âåëè÷èí íóæíî ñíà÷àëà ñëîæèòü èçîáðàæàþùèå èõ âåêòîðû, à çàòåì ïîëó÷åííûé âåêòîð ñóììû ñïðîåêòèðîâàòü íà îñü Y. Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ êâàçèñòàöèîíàðíûõ òîêîâ èñïîëüçóþòñÿ ïðàâèëà Êèðõãîôà. à) Öåïü ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì R 0 (ðèñ. 2à) UR = - èëè IR 0 = - 0 sinwt, èëè I =
206
-0 R0
sin wt = I 0 sin wt .
(3)
I =
-0 dQ sin(wt + p 2), = - 0C w cos wt = dt 1 Cw
ãäå Q çàðÿä íà åìêîñòè. Ââåäåì åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå ZÑ = 1/Cw. Îêîí÷àòåëüíî èìååì I =
-0 ZC
sin(wt + p 2) = I 0 sin(wt + p 2).
(4)
Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà òîêà è íàïðÿæåíèÿ èìååò âèä, êàê íà ðèñ. 3á. â) Öåïü ñ èíäóêòèâíîñòüþ L (ðèñ. 4à): U L = - + - L, ãäå UL = IR (R àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè); -L = -L
dI ýäñ ñàìîèíäóêöèè (ãäå L èíäóêòèâíîñòü). dt 207
ñèñòåìå êîîðäèíàò èçîáðàçèì ïåðåìåííûé òîê â âèäå îòðåçêà âåëè÷èíû I0 òàê, ÷òîáû îí îáðàçîâàë óãîë j0 ñ îñüþ X. Îòðåçîê íàçîâåì âåêòîðîì òîêà. Ýòî íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå âåêòîðà òîêà (ðèñ. 1).
Ðèñ. 2
Ðèñ. 1
Áóäåì âðàùàòü âåêòîð òîêà âîêðóã íà÷àëà êîîðäèíàò ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ 2p w= = 2pn. T
×åðåç âðåìÿ t âåêòîð I0 áóäåò ñîñòàâëÿòü óãîë wt ñ ïåðâîíà÷àëüíûì ïîëîæåíèåì âåêòîðà òîêà è óãîë (wt + j0) ñ îñüþ X. Ïðîåêöèÿ âåêòîðà íà îñü Y ðàâíà
Ðèñ. 3
 ãðàôè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè I0 è -0 áóäóò èìåòü âèä, êàê íà ðèñ. 2á. á) Öåïü ñ åìêîñòüþ Ñ (ðèñ. 3à): UÑ = èëè U Ñ = - 0 sinwt.
I = I 0 sin(wt + j 0), ò.å. â ëþáîé ìîìåíò îíà ðàâíà ìãíîâåííîìó çíà÷åíèþ òîêà. Òàêèì ñïîñîáîì ìîæíî èçîáðàæàòü îäíîâðåìåííî òîêè è íàïðÿæåíèÿ â öåïÿõ ïåðåìåííîãî òîêà. Âåêòîðíûé ìåòîä èçîáðàæåíèÿ âåëè÷èí, õàðàêòåðèçóþùèõ ïðîöåññû â öåïÿõ ïåðåìåííîãî òîêà, ïðèìåíÿåòñÿ òîãäà, êîãäà èìååòñÿ íåñêîëüêî âåëè÷èí, èçìåíÿþùèõñÿ ñî âðåìåíåì ãàðìîíè÷åñêè ñ îäíîé è òîé æå ÷àñòîòîé.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ ñëîæåíèÿ îäíîðîäíûõ âåëè÷èí íóæíî ñíà÷àëà ñëîæèòü èçîáðàæàþùèå èõ âåêòîðû, à çàòåì ïîëó÷åííûé âåêòîð ñóììû ñïðîåêòèðîâàòü íà îñü Y. Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ êâàçèñòàöèîíàðíûõ òîêîâ èñïîëüçóþòñÿ ïðàâèëà Êèðõãîôà. à) Öåïü ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì R 0 (ðèñ. 2à) UR = - èëè IR 0 = - 0 sinwt, èëè I =
206
-0 R0
sin wt = I 0 sin wt .
(3)
I =
-0 dQ sin(wt + p 2), = - 0C w cos wt = dt 1 Cw
ãäå Q çàðÿä íà åìêîñòè. Ââåäåì åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå ZÑ = 1/Cw. Îêîí÷àòåëüíî èìååì I =
-0 ZC
sin(wt + p 2) = I 0 sin(wt + p 2).
(4)
Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà òîêà è íàïðÿæåíèÿ èìååò âèä, êàê íà ðèñ. 3á. â) Öåïü ñ èíäóêòèâíîñòüþ L (ðèñ. 4à): U L = - + - L, ãäå UL = IR (R àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè); -L = -L
dI ýäñ ñàìîèíäóêöèè (ãäå L èíäóêòèâíîñòü). dt 207
çíà÷åíèå ýäñ íà êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè âåêòîðîì LwI0 è àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå âåêòîðîì I0/wÑ. Äëÿ àìïëèòóäíîãî çíà÷åíèÿ ïîëíîãî íàïðÿæåíèÿ U0 = - 0 íà êîíöàõ ó÷àñòêà èìååì - 02 = R 2 I 02 + I 02 ( w L - 1 w C )2 .
Îòñþäà - 0 = I 0 R 2 + (wL - 1 wC )2
èëè
Ðèñ. 4
Ïðåíåáðåãàÿ R, èìååì
I0 =
- 0 sin wt = L
dI dt
I =
wL
tgj =
(5)
sin(wt - p 2).
Ââåäåì èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå Z L = wL. Òîãäà I =
-0 ZL
sin(wt - p 2) = I 0 sin(wt - p 2).
Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà èìååò âèä, êàê íà ðèñ. 4á. ã) Öåïü èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ åìêîñòè, èíäóêòèâíîñòè è àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ (ðèñ. 5). Ïî çàêîíó Êèðõãîôà U R + U L + U C = - + - L. (6) Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè ìàëî, ò.å. UL = 0. Òîãäà U R + U C - L = -. Ïîñòðîèì âåêòîðíóþ äèàãðàììó äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ, íàïðàâèâ ïî îñè X âåêòîð òîêà I0 (ðèñ. 6). Àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íà ñîïðîòèâëåíèè ïðåäñòàâèòñÿ âåêòîðîì I0R, àìïëèòóäíîå
Ðèñ. 5
208
R + (wL - 1 wC )2
(7)
è
èëè, èíòåãðèðóÿ, -0
-0 2
Ðèñ. 6
L w - 1 wC . R
(8)
Èòàê, åñëè íà êîíöàõ öåïè êâàçèñòàöèîíàðíîãî òîêà, ñîñòîÿùåé èç ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííûõ R, L, C èìååòñÿ íàïðÿæåíèå U = - = - 0 sinwt, òî â öåïè èìååò ìåñòî ýëåêòðè÷åñêèé òîê I = =I 0 sin(wt + j), ãäå òîê I0 îïðåäåëåí âûðàæåíèåì (7), à óãîë j âûðàæåíèåì (8).
Ðèñ. 7
Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà: âîëüòàìïåðìåòð, ãåíåðàòîð ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ, îñöèëëîãðàô, ìàêåòíàÿ ñõåìà ñ ýëåìåíòàìè L, R è Ñ (ðèñ. 7). Óïðàæíåíèå 1 Èçìåðåíèå àêòèâíûõ ñîïðîòèâëåíèé R è RL (RL ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäíèêà, êîòîðûì íàìîòàíà êàòóøêà èíäóêòèâíîñòè) Ïðèáîð óñòàíîâèòü â ðåæèì èçìåðåíèÿ «R», ðåæèì èçìåðåíèÿ ïîñòîÿííûõ âåëè÷èí «=». Ïðåäåë èçìåðåíèÿ 20 êÎì ïðè 209
çíà÷åíèå ýäñ íà êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè âåêòîðîì LwI0 è àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå âåêòîðîì I0/wÑ. Äëÿ àìïëèòóäíîãî çíà÷åíèÿ ïîëíîãî íàïðÿæåíèÿ U0 = - 0 íà êîíöàõ ó÷àñòêà èìååì - 02 = R 2 I 02 + I 02 ( w L - 1 w C )2 .
Îòñþäà - 0 = I 0 R 2 + (wL - 1 wC )2
èëè
Ðèñ. 4
Ïðåíåáðåãàÿ R, èìååì
I0 =
- 0 sin wt = L
dI dt
I =
wL
tgj =
(5)
sin(wt - p 2).
Ââåäåì èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå Z L = wL. Òîãäà I =
-0 ZL
sin(wt - p 2) = I 0 sin(wt - p 2).
Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà èìååò âèä, êàê íà ðèñ. 4á. ã) Öåïü èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ åìêîñòè, èíäóêòèâíîñòè è àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ (ðèñ. 5). Ïî çàêîíó Êèðõãîôà U R + U L + U C = - + - L. (6) Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè ìàëî, ò.å. UL = 0. Òîãäà U R + U C - L = -. Ïîñòðîèì âåêòîðíóþ äèàãðàììó äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ, íàïðàâèâ ïî îñè X âåêòîð òîêà I0 (ðèñ. 6). Àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íà ñîïðîòèâëåíèè ïðåäñòàâèòñÿ âåêòîðîì I0R, àìïëèòóäíîå
Ðèñ. 5
208
R + (wL - 1 wC )2
(7)
è
èëè, èíòåãðèðóÿ, -0
-0 2
Ðèñ. 6
L w - 1 wC . R
(8)
Èòàê, åñëè íà êîíöàõ öåïè êâàçèñòàöèîíàðíîãî òîêà, ñîñòîÿùåé èç ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííûõ R, L, C èìååòñÿ íàïðÿæåíèå U = - = - 0 sinwt, òî â öåïè èìååò ìåñòî ýëåêòðè÷åñêèé òîê I = =I 0 sin(wt + j), ãäå òîê I0 îïðåäåëåí âûðàæåíèåì (7), à óãîë j âûðàæåíèåì (8).
Ðèñ. 7
Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà: âîëüòàìïåðìåòð, ãåíåðàòîð ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ, îñöèëëîãðàô, ìàêåòíàÿ ñõåìà ñ ýëåìåíòàìè L, R è Ñ (ðèñ. 7). Óïðàæíåíèå 1 Èçìåðåíèå àêòèâíûõ ñîïðîòèâëåíèé R è RL (RL ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäíèêà, êîòîðûì íàìîòàíà êàòóøêà èíäóêòèâíîñòè) Ïðèáîð óñòàíîâèòü â ðåæèì èçìåðåíèÿ «R», ðåæèì èçìåðåíèÿ ïîñòîÿííûõ âåëè÷èí «=». Ïðåäåë èçìåðåíèÿ 20 êÎì ïðè 209
èçìåðåíèè R (òî÷êè 36) è 200 Îì ïðè èçìåðåíèè RL (òî÷êè 23). Ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ çàïèñàòü. Óïðàæíåíèå 2 Íàáëþäåíèå è èçìåðåíèå ñäâèãà ôàç ìåæäó òîêîì è íàïðÿæåíèåì â öåïÿõ ñ ýëåìåíòàìè L è Ñ Ñäâèã ôàçû ìåæäó òîêîì è íàïðÿæåíèåì â öåïè ñ èíäóêòèâíîñòüþ 1. Îçíàêîìèòüñÿ ñ íàçíà÷åíèåì îñíîâíûõ ýëåìåíòîâ óïðàâëåíèÿ íà ëèöåâîé ïàíåëè îñöèëëîãðàôà (ñì. êðàòêîå îïèñàíèå â êîíöå ãëàâû). Âêëþ÷èòü îñöèëëîãðàô íà îäíîâðåìåííóþ ðàáîòó îáîèõ êàíàëîâ. Ïåðåêëþ÷àòåëè ñòóïåí÷àòîé ðåãóëèðîâêè ÷óâñòâèòåëüíîñòè óñòàíîâèòü â ïîëîæåíèå «2» èëè «5» Â/ñì. Ðó÷êàìè âåðòèêàëüíîãî ñìåùåíèÿ ëó÷åé « b » ñâåñòè îáà ëó÷à, óñòàíîâèâ èõ âäîëü ñðåäíåé ëèíèè ýêðàíà (ýòà ñðåäíÿÿ ëèíèÿ ÿâëÿåòñÿ íóëåâûì óðîâíåì ñèãíàëîâ (íàïðÿæåíèé), ïîäàâàåìûõ íà Y-âõîä îñöèëëîãðàôà). 2. Óñòàíîâèòü ÷àñòîòó ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ ãåíåðàòîðà 60,0 Ãö (äåêàäíûìè ïåðåêëþ÷àòåëÿìè èëè ïëàâíîé ðåãóëèðîâêîé â çàâèñèìîñòè îò òèïà ãåíåðàòîðà). Ïåðåêëþ÷àòåëü «Ìíîæèòåëü» óñòàíîâèòü â ïîëîæåíèå «´1». Ïîäàòü ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå 56  ñ ãåíåðàòîðà â òî÷êè ñõåìû 26 (ðèñ. 8).
äëèòåëüíîñòüþ 12 ïåðèîäà. Ïðè ýòîì êàðòèíà íà ýêðàíå îñöèëëîãðàôà ìîæåò áûòü ñëåãêà ðàçäâîåíà, ÷òî ëåãêî óñòðàíÿåòñÿ íåáîëüøèì ñìåùåíèåì îäíîãî èç ëó÷åé ïî âåðòèêàëè. Ïîëíîå ñîâìåùåíèå äâóõ ñèíóñîèä îçíà÷àåò îòñóòñòâèå ñäâèãà ôàç ìåæäó íèìè, ò.å. ìåæäó ïîëíûì íàïðÿæåíèåì è òîêîì â öåïè. 4. Èçìåíÿÿ ÷àñòîòó (ñ ïîìîùüþ ïåðåêëþ÷àòåëÿ «Ìíîæèòåëü») â 10, 100 è 1000 ðàç è, ñîîòâåòñòâåííî, óìåíüøàÿ äëèòåëüíîñòü ãîðèçîíòàëüíîé ðàçâåðòêè, ìîæíî íàáëþäàòü ïîÿâëåíèå ñäâèãà ôàç ìåæäó U 26 = U ï è U 36 = U R . Ñäâèã ïî ôàçå ñîïðîâîæäàåòñÿ óìåíüøåíèåì àìïëèòóäû íàïðÿæåíèÿ UR, òàê êàê ðåàêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ èíäóêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, ðàâíàÿ 2pnL, ðàñòåò ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû. Äëÿ óäîáñòâà ðàáîòû ïðè îïðåäåëåíèè ñäâèãà ôàçû ýòî óìåíüøåíèå àìïëèòóäû UR êîìïåíñèðóåòñÿ óâåëè÷åíèåì ÷óâñòâèòåëüíîñòè Y-âõîäà âòîðîãî êàíàëà (ïåðåêëþ÷àòåëü ÷óâñòâèòåëüíîñòè ïî ìåðå íåîáõîäèìîñòè ïåðåâîäèòñÿ â ïîëîæåíèå 1 èëè 0,5 Â/ñì è ò.ä.). 5. Ñäâèã ôàçû ìåæäó Uï è I îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñì. ðèñ. 9à). Ïîëüçóÿñü ìàñøòàáíîé øêàëîé íà ýêðàíå îñöèëëîãðàôà, îïðåäåëÿåì äëèòåëüíîñòü ïåðèîäà îäíîé èç ñèíóñîèä â äåëåíèÿõ øêàëû ï è äëèòåëüíîñòü èíòåðâàëà ñîîòâåòñòâóþùåãî ñäâèãà ìåæäó ñèíóñîèäàìè Dn. Òàê êàê ïåðèîä ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèþ ôàçû íà 2p, òî ñäâèã ïî ôàçå ìåæäó Uï è I ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå j=
Ðèñ. 8
Ýòî æå íàïðÿæåíèå ñ òî÷åê 26 ïîäàòü íà Y1 âõîä ïåðâîãî êàíàëà îñöèëëîãðàôà, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ïîëíîìó íàïðÿæåíèþ, äåéñòâóþùåìó íà ó÷àñòêå öåïè 26 (êîðîòêèé êîíåö âõîäíîãî êàáåëÿ îñöèëëîãðàôà ïîäñîåäèíèòü ê òî÷êå 2, äëèííûé ê òî÷êå 6, ñì. ðèñ. 8). Ñ òî÷åê 36 íàïðÿæåíèå ïîäàòü íà Y âõîä âòîðîãî êàíàëà îñöèëëîãðàôà. Ýòî íàïðÿæåíèå íà àêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè ïðîïîðöèîíàëüíî òîêó â äàííîì ó÷àñòêå öåïè è ñîâïàäàåò ñ íèì ïî ôàçå. 3. Ïîëüçóÿñü ñòóïåí÷àòûì ïåðåêëþ÷àòåëåì äëèòåëüíîñòè ðàçâåðòêè ïî ãîðèçîíòàëè, óñòàíîâèòü ðàçâåðòêó îñöèëëîãðàôà 5 ìñ. Ïëàâíîé ðåãóëèðîâêîé ðàçâåðòêè äîáèòüñÿ óñòîé÷èâîé êàðòèíû ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ íà ýêðàíå îñöèëëîãðàôà 210
2p Dn, [ðàä]. n
Ñäâèã ïî ôàçå îïðåäåëèòü íà ÷àñòîòàõ 600, 6000, 60 000 Ãö. Ïîñòðîèòü âåêòîðíóþ äèàãðàììó (ðèñ. 9á).
Ðèñ. 9
Ñäâèã ôàçû ìåæäó íàïðÿæåíèåì è òîêîì â öåïè ñ åìêîñòüþ 1. Ïîäêëþ÷èòü ãåíåðàòîð è îñöèëëîãðàô ê ó÷àñòêó öåïè 35, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 10. 211
èçìåðåíèè R (òî÷êè 36) è 200 Îì ïðè èçìåðåíèè RL (òî÷êè 23). Ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ çàïèñàòü. Óïðàæíåíèå 2 Íàáëþäåíèå è èçìåðåíèå ñäâèãà ôàç ìåæäó òîêîì è íàïðÿæåíèåì â öåïÿõ ñ ýëåìåíòàìè L è Ñ Ñäâèã ôàçû ìåæäó òîêîì è íàïðÿæåíèåì â öåïè ñ èíäóêòèâíîñòüþ 1. Îçíàêîìèòüñÿ ñ íàçíà÷åíèåì îñíîâíûõ ýëåìåíòîâ óïðàâëåíèÿ íà ëèöåâîé ïàíåëè îñöèëëîãðàôà (ñì. êðàòêîå îïèñàíèå â êîíöå ãëàâû). Âêëþ÷èòü îñöèëëîãðàô íà îäíîâðåìåííóþ ðàáîòó îáîèõ êàíàëîâ. Ïåðåêëþ÷àòåëè ñòóïåí÷àòîé ðåãóëèðîâêè ÷óâñòâèòåëüíîñòè óñòàíîâèòü â ïîëîæåíèå «2» èëè «5» Â/ñì. Ðó÷êàìè âåðòèêàëüíîãî ñìåùåíèÿ ëó÷åé « b » ñâåñòè îáà ëó÷à, óñòàíîâèâ èõ âäîëü ñðåäíåé ëèíèè ýêðàíà (ýòà ñðåäíÿÿ ëèíèÿ ÿâëÿåòñÿ íóëåâûì óðîâíåì ñèãíàëîâ (íàïðÿæåíèé), ïîäàâàåìûõ íà Y-âõîä îñöèëëîãðàôà). 2. Óñòàíîâèòü ÷àñòîòó ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ ãåíåðàòîðà 60,0 Ãö (äåêàäíûìè ïåðåêëþ÷àòåëÿìè èëè ïëàâíîé ðåãóëèðîâêîé â çàâèñèìîñòè îò òèïà ãåíåðàòîðà). Ïåðåêëþ÷àòåëü «Ìíîæèòåëü» óñòàíîâèòü â ïîëîæåíèå «´1». Ïîäàòü ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå 56  ñ ãåíåðàòîðà â òî÷êè ñõåìû 26 (ðèñ. 8).
äëèòåëüíîñòüþ 12 ïåðèîäà. Ïðè ýòîì êàðòèíà íà ýêðàíå îñöèëëîãðàôà ìîæåò áûòü ñëåãêà ðàçäâîåíà, ÷òî ëåãêî óñòðàíÿåòñÿ íåáîëüøèì ñìåùåíèåì îäíîãî èç ëó÷åé ïî âåðòèêàëè. Ïîëíîå ñîâìåùåíèå äâóõ ñèíóñîèä îçíà÷àåò îòñóòñòâèå ñäâèãà ôàç ìåæäó íèìè, ò.å. ìåæäó ïîëíûì íàïðÿæåíèåì è òîêîì â öåïè. 4. Èçìåíÿÿ ÷àñòîòó (ñ ïîìîùüþ ïåðåêëþ÷àòåëÿ «Ìíîæèòåëü») â 10, 100 è 1000 ðàç è, ñîîòâåòñòâåííî, óìåíüøàÿ äëèòåëüíîñòü ãîðèçîíòàëüíîé ðàçâåðòêè, ìîæíî íàáëþäàòü ïîÿâëåíèå ñäâèãà ôàç ìåæäó U 26 = U ï è U 36 = U R . Ñäâèã ïî ôàçå ñîïðîâîæäàåòñÿ óìåíüøåíèåì àìïëèòóäû íàïðÿæåíèÿ UR, òàê êàê ðåàêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ èíäóêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, ðàâíàÿ 2pnL, ðàñòåò ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû. Äëÿ óäîáñòâà ðàáîòû ïðè îïðåäåëåíèè ñäâèãà ôàçû ýòî óìåíüøåíèå àìïëèòóäû UR êîìïåíñèðóåòñÿ óâåëè÷åíèåì ÷óâñòâèòåëüíîñòè Y-âõîäà âòîðîãî êàíàëà (ïåðåêëþ÷àòåëü ÷óâñòâèòåëüíîñòè ïî ìåðå íåîáõîäèìîñòè ïåðåâîäèòñÿ â ïîëîæåíèå 1 èëè 0,5 Â/ñì è ò.ä.). 5. Ñäâèã ôàçû ìåæäó Uï è I îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñì. ðèñ. 9à). Ïîëüçóÿñü ìàñøòàáíîé øêàëîé íà ýêðàíå îñöèëëîãðàôà, îïðåäåëÿåì äëèòåëüíîñòü ïåðèîäà îäíîé èç ñèíóñîèä â äåëåíèÿõ øêàëû ï è äëèòåëüíîñòü èíòåðâàëà ñîîòâåòñòâóþùåãî ñäâèãà ìåæäó ñèíóñîèäàìè Dn. Òàê êàê ïåðèîä ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèþ ôàçû íà 2p, òî ñäâèã ïî ôàçå ìåæäó Uï è I ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå j=
Ðèñ. 8
Ýòî æå íàïðÿæåíèå ñ òî÷åê 26 ïîäàòü íà Y1 âõîä ïåðâîãî êàíàëà îñöèëëîãðàôà, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ïîëíîìó íàïðÿæåíèþ, äåéñòâóþùåìó íà ó÷àñòêå öåïè 26 (êîðîòêèé êîíåö âõîäíîãî êàáåëÿ îñöèëëîãðàôà ïîäñîåäèíèòü ê òî÷êå 2, äëèííûé ê òî÷êå 6, ñì. ðèñ. 8). Ñ òî÷åê 36 íàïðÿæåíèå ïîäàòü íà Y âõîä âòîðîãî êàíàëà îñöèëëîãðàôà. Ýòî íàïðÿæåíèå íà àêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè ïðîïîðöèîíàëüíî òîêó â äàííîì ó÷àñòêå öåïè è ñîâïàäàåò ñ íèì ïî ôàçå. 3. Ïîëüçóÿñü ñòóïåí÷àòûì ïåðåêëþ÷àòåëåì äëèòåëüíîñòè ðàçâåðòêè ïî ãîðèçîíòàëè, óñòàíîâèòü ðàçâåðòêó îñöèëëîãðàôà 5 ìñ. Ïëàâíîé ðåãóëèðîâêîé ðàçâåðòêè äîáèòüñÿ óñòîé÷èâîé êàðòèíû ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ íà ýêðàíå îñöèëëîãðàôà 210
2p Dn, [ðàä]. n
Ñäâèã ïî ôàçå îïðåäåëèòü íà ÷àñòîòàõ 600, 6000, 60 000 Ãö. Ïîñòðîèòü âåêòîðíóþ äèàãðàììó (ðèñ. 9á).
Ðèñ. 9
Ñäâèã ôàçû ìåæäó íàïðÿæåíèåì è òîêîì â öåïè ñ åìêîñòüþ 1. Ïîäêëþ÷èòü ãåíåðàòîð è îñöèëëîãðàô ê ó÷àñòêó öåïè 35, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 10. 211
Òàáëèöà 1 n, Ãö 600 6000
Ðèñ. 10
2. Íàáëþäåíèå ñäâèãà ôàç ìåæäó òîêîì è íàïðÿæåíèåì îñóùåñòâëÿåòñÿ, êàê è â ñëó÷àå öåïè ñ èíäóêòèâíîñòüþ. Îòëè÷èå ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîððåêöèè ÷óâñòâèòåëüíîñòè âòîðîãî êàíàëà áóäåò îáðàòíîé, ò.å. åå íàäî óìåíüøàòü ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû. Ýòî îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå åìêîñòè ðàâíî 1/wÑ è óáûâàåò ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû. Íàáëþäåíèå ñäâèãà ôàç ïðîèçâîäèòü íà ÷àñòîòàõ 60, 600, 6000 è 60 000 Ãö, à èçìåðåíèå j ïðîâåñòè íà ÷àñòîòàõ 60 è 600 Ãö è ïîñòðîèòü âåêòîðíóþ äèàãðàììó (ðèñ. 11).
I, ìÀ
UL, Â
UR, Â
UC, Â
Uï, Â
2. Íå ìåíÿÿ âåëè÷èíó íàïðÿæåíèÿ íà âûõîäå ãåíåðàòîðà, ïåðåêëþ÷èòü âõîä ãåíåðàòîðà ê òî÷êàì 25. Ïåðåâåñòè ïðèáîð â ðåæèì èçìåðåíèÿ ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ (êíîïêè «U», «@»), óñòàíîâèòü ïðåäåë èçìåðåíèÿ 20 Â. Íà êàæäîé ÷àñòîòå (600 è 6000 Ãö) èçìåðèòü çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèé íà èíäóêòèâíîñòè UL (â òî÷êàõ 23), íà àêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè UR (â òî÷êàõ 36), íà åìêîñòè UC (â òî÷êàõ 65) è ïîëíîãî íàïðÿæåíèÿ â öåïè Uï (òî÷êè 25). Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé çàíåñòè â òàáë. 1. Ïðîâåðèòü, ÷òî ñóììà UL, UR è UC íå ðàâíà Uï. Îáúÿñíèòå ïî÷åìó. 3. Îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ öåïè R, L, C. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé íàïðÿæåíèé è òîêà èç òàáë. 1, ïðîâåñòè ðàñ÷åò âåëè÷èíû àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ R, èíäóêòèâíîñòè L è åìêîñòè C ïî ôîðìóëàì: 2
R=
UR 1 æU L ö I ,L= - RL2 , C = . I 2pn çè I ÷ø U C 2pn
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà çàïèñàòü â òàáë. 2 è ñðàâíèòü ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå R ñ èçìåðåííûì ðàíåå. Òàáëèöà 2
Ðèñ. 11
Óïðàæíåíèå 3 Èçìåðåíèå òîêà è íàïðÿæåíèé â öåïè ñ èíäóêòèâíîñòüþ è åìêîñòüþ. Îïðåäåëåíèå âåëè÷èí L è Ñ 1. Ïîäàòü íàïðÿæåíèå 56  ñ ãåíåðàòîðà â òî÷êè 15 ìàêåòíîé ñõåìû (ñì. ðèñ. 7). Óñòàíîâèòü ïðèáîð â ðåæèì èçìåðåíèÿ ïåðåìåííîãî òîêà (êíîïêè «I», «@»), ïðåäåë èçìåðåíèÿ 20 ìÀ, ïîäêëþ÷èòü åãî ê òî÷êàì 12 è èçìåðèòü âåëè÷èíó òîêà ïðè äâóõ çíà÷åíèÿõ ÷àñòîòû 600 è 6000 Ãö. Ïðè ýòîì íàïðÿæåíèå íà âûõîäå ãåíåðàòîðà äîëæíî îñòàâàòüñÿ íåèçìåííûì (ïîëîæåíèå ðåãóëÿòîðà U íå ìåíÿòü). Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé òîêà çàíåñòè â òàáë. 1.
n, Ãö 600 6000
R, Îì Rñð
L, Ãí
C, Ô
Lcp
Ccp
4. Îïðåäåëåíèå ïîëíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè è ñäâèãà ôàçû ìåæäó íàïðÿæåíèåì â öåïè Uï è òîêîì I. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé èç òàáë. 1 è 2, íàéòè ïîëíîå çíà÷åíèå ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè: RZýêñï =
Uï ; I
ðàñ÷åòíîå çíà÷åíèå ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè: 1 ö æ RZòåîð = R 2 + ç 2pnL 2pnC ÷ø è
2
è ñäâèã ïî ôàçå ìåæäó Uï è òîêîì I: 212
213
Òàáëèöà 1 n, Ãö 600 6000
Ðèñ. 10
2. Íàáëþäåíèå ñäâèãà ôàç ìåæäó òîêîì è íàïðÿæåíèåì îñóùåñòâëÿåòñÿ, êàê è â ñëó÷àå öåïè ñ èíäóêòèâíîñòüþ. Îòëè÷èå ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîððåêöèè ÷óâñòâèòåëüíîñòè âòîðîãî êàíàëà áóäåò îáðàòíîé, ò.å. åå íàäî óìåíüøàòü ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû. Ýòî îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå åìêîñòè ðàâíî 1/wÑ è óáûâàåò ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû. Íàáëþäåíèå ñäâèãà ôàç ïðîèçâîäèòü íà ÷àñòîòàõ 60, 600, 6000 è 60 000 Ãö, à èçìåðåíèå j ïðîâåñòè íà ÷àñòîòàõ 60 è 600 Ãö è ïîñòðîèòü âåêòîðíóþ äèàãðàììó (ðèñ. 11).
I, ìÀ
UL, Â
UR, Â
UC, Â
Uï, Â
2. Íå ìåíÿÿ âåëè÷èíó íàïðÿæåíèÿ íà âûõîäå ãåíåðàòîðà, ïåðåêëþ÷èòü âõîä ãåíåðàòîðà ê òî÷êàì 25. Ïåðåâåñòè ïðèáîð â ðåæèì èçìåðåíèÿ ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ (êíîïêè «U», «@»), óñòàíîâèòü ïðåäåë èçìåðåíèÿ 20 Â. Íà êàæäîé ÷àñòîòå (600 è 6000 Ãö) èçìåðèòü çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèé íà èíäóêòèâíîñòè UL (â òî÷êàõ 23), íà àêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè UR (â òî÷êàõ 36), íà åìêîñòè UC (â òî÷êàõ 65) è ïîëíîãî íàïðÿæåíèÿ â öåïè Uï (òî÷êè 25). Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé çàíåñòè â òàáë. 1. Ïðîâåðèòü, ÷òî ñóììà UL, UR è UC íå ðàâíà Uï. Îáúÿñíèòå ïî÷åìó. 3. Îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ öåïè R, L, C. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé íàïðÿæåíèé è òîêà èç òàáë. 1, ïðîâåñòè ðàñ÷åò âåëè÷èíû àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ R, èíäóêòèâíîñòè L è åìêîñòè C ïî ôîðìóëàì: 2
R=
UR 1 æU L ö I ,L= - RL2 , C = . I 2pn çè I ÷ø U C 2pn
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà çàïèñàòü â òàáë. 2 è ñðàâíèòü ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå R ñ èçìåðåííûì ðàíåå. Òàáëèöà 2
Ðèñ. 11
Óïðàæíåíèå 3 Èçìåðåíèå òîêà è íàïðÿæåíèé â öåïè ñ èíäóêòèâíîñòüþ è åìêîñòüþ. Îïðåäåëåíèå âåëè÷èí L è Ñ 1. Ïîäàòü íàïðÿæåíèå 56  ñ ãåíåðàòîðà â òî÷êè 15 ìàêåòíîé ñõåìû (ñì. ðèñ. 7). Óñòàíîâèòü ïðèáîð â ðåæèì èçìåðåíèÿ ïåðåìåííîãî òîêà (êíîïêè «I», «@»), ïðåäåë èçìåðåíèÿ 20 ìÀ, ïîäêëþ÷èòü åãî ê òî÷êàì 12 è èçìåðèòü âåëè÷èíó òîêà ïðè äâóõ çíà÷åíèÿõ ÷àñòîòû 600 è 6000 Ãö. Ïðè ýòîì íàïðÿæåíèå íà âûõîäå ãåíåðàòîðà äîëæíî îñòàâàòüñÿ íåèçìåííûì (ïîëîæåíèå ðåãóëÿòîðà U íå ìåíÿòü). Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé òîêà çàíåñòè â òàáë. 1.
n, Ãö 600 6000
R, Îì Rñð
L, Ãí
C, Ô
Lcp
Ccp
4. Îïðåäåëåíèå ïîëíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè è ñäâèãà ôàçû ìåæäó íàïðÿæåíèåì â öåïè Uï è òîêîì I. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé èç òàáë. 1 è 2, íàéòè ïîëíîå çíà÷åíèå ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè: RZýêñï =
Uï ; I
ðàñ÷åòíîå çíà÷åíèå ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè: 1 ö æ RZòåîð = R 2 + ç 2pnL 2pnC ÷ø è
2
è ñäâèã ïî ôàçå ìåæäó Uï è òîêîì I: 212
213
tgj =
2pnL - 1 2pnC ; j = arctgj. R
Ðåçóëüòàòû ðàáîòû ïðåäñòàâèòü â âèäå òàáë. 3. Òàáëèöà 3 n, Ãö
RZýêñï , Îì
RZòåîð , Îì
j, ðàä
600 6000
Ëèòåðàòóðà 1. Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 2. Ýëåêòðè÷åñòâî è ìàãíåòèçì. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 13. Ýëåêòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. 13.1. Êâàçèñòàöèîíàðíûå òîêè. 13.3. Ñâîáîäíûå çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ. 13.4. Âûíóæäåííûå ýëåêòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. 13.5. Ïåðåìåííûé òîê.
Çàäà÷à ¹ 26 ÈÇÓ×ÅÍÈÅ ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÉ ÈÍÄÓÊÖÈÈ
Öåëü çàäà÷è: èññëåäîâàíèå ÿâëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè, çàêîíà Ôàðàäåÿ, ïðàâèëà Ëåíöà, îñíîâíûõ ñâîéñòâ âèõðåâîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ ßâëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè (ÝÌÈ), îòêðûòîå Ì. Ôàðàäååì â 1831 ã., èëëþñòðèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îïûòîì. Åñëè ê ïðîâîäÿùåìó âèòêó áûñòðî ïîäíåñòè ïîñòîÿííûé ìàãíèò, òî â íåì âîçáóæäàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèé òîê, ðåãèñòðèðóåìûé ãàëüâàíîìåòðîì (ðèñ. 1à). Êîãäà ìàãíèò áûñòðî óäàëÿþò îò âèòêà, âîçíèêàþùèé òîê èìååò ïðîòèâîïîëîæíîå íàïðàâëåíèå (ðèñ. 1á). Èíäóêöèîííûå òîêè ñîîòâåòñòâóþùèõ íàïðàâëåíèé âîçíèêàþò è â òîì ñëó÷àå, åñëè ìàãíèò íåïîäâèæåí, à âèòîê ïðèáëèæàåòñÿ èëè óäàëÿåòñÿ îò íåãî. Êîëè÷åñòâåííûå èññëåäîâàíèÿ, ïðîâåäåííûå Ôàðàäååì, ïîçâîëèëè óñòàíîâèòü, ÷òî âåëè÷èíà ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëû
à
á Ðèñ. 1
215
(ýäñ), èíäóêöèè çàâèñèò îò ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà Ô: . = ò BndS ,
(1)
S
ãäå Bn ïðîåêöèÿ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè íà íîðìàëü ê ýëåìåíòó ïîâåðõíîñòè dS, à èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî ëþáîé ïîâåðõíîñòè S, îãðàíè÷åííîé ïðîâîäÿùèì âèòêîì. Åäèíèöåé ìàãíèòíîãî ïîòîêà ÿâëÿåòñÿ âåáåð (Âá): 1 Âá =1 Òë × ì2. Òàê êàê èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ B ðàâíà ìàãíèòíîìó ïîòîêó ÷åðåç åäèíèöó ïëîùàäè: B = Ô/S, åå èíîãäà íàçûâàþò ïëîòíîñòüþ ìàãíèòíîãî ïîòîêà. Èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà, ðåçóëüòàò îïûòîâ Ôàðàäåÿ ìîæíî çàïèñàòü ìàòåìàòè÷åñêè, à èìåííî: ýäñ èíäóêöèè â êîíòóðå ðàâíà ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç ñå÷åíèå êîíòóðà: - =-
dÔ . dt
(2)
Âåëè÷èíà ýäñ èíäóêöèè ïîëó÷àåòñÿ â âîëüòàõ, åñëè ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà dÔ/dt âûðàæåíà â âåáåðàõ â ñåêóíäó (Âá/ñ). Ýòî óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ çàêîíîì ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè Ôàðàäåÿ è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäèí èç ôóíäàìåíòàëüíûõ çàêîíîâ ýëåêòðîìàãíåòèçìà. Åñëè êîíòóð ñîñòîèò èç N îäèíàêîâûõ âèòêîâ, òî èíäóöèðîâàííûå â êàæäîì âèòêå ýäñ ñêëàäûâàþòñÿ è ôîðìóëà (2) ïðèíèìàåò âèä - = -N
dÔ . dt
216
d dt
ò B cos adS ,
S
Ðèñ. 2
(3)
Çíàê «» â (2) è (3) óêàçûâàåò íàïðàâëåíèå, â êîòîðîì äåéñòâóåò ýäñ èíäóêöèè, ò.å. åå ïîëÿðíîñòü. Ñîãëàñíî ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì ýäñ èíäóêöèè âîçáóæäàåò â êîíòóðå òîê, èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ êîòîðîãî âñåãäà ïðîòèâîäåéñòâóåò ïåðâîíà÷àëüíîìó èçìåíåíèþ ìàãíèòíîãî ïîòîêà. Ýòî ïîëîæåíèå èçâåñòíî êàê ïðàâèëî Ëåíöà. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ýäñ èíäóêöèè âîçíèêàåò âñåãäà, êîãäà ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà. Ïîñêîëüêó ìàãíèòíûé ïîòîê ðàâåí Ô = ò BndS = ò B cos adS , òî çàêîí Ôàðàäåÿ ìîæS S íî çàïèñàòü â âèäå - =-
ãäå a óãîë ìåæäó âåêòîðîì B è íîðìàëüþ ê ýëåìåíòó dS ïîâåðõíîñòè S, ÷åðåç êîòîðóþ ñ÷èòàåòñÿ ïîòîê. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ýäñ èíäóêöèè ìîæåò áûòü èíäóöèðîâàíà ñëåäóþùèìè ñïîñîáàìè: 1. Èçìåíåíèåì èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ: dB/dt ¹ 0. 2. Èçìåíåíèåì îðèåíòàöèè êîíòóðà ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðó B: da/dt ¹ 0. 3. Èçìåíåíèåì ïëîùàäè ñå÷åíèÿ êîíòóðà: dS/dt ¹ 0. Ïåðâûé ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ ýäñ èíäóêöèè ïîäðîáíî ðàññìîòðåí âûøå íà ïðèìåðå îïûòà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 1. Âòîðîé ñïîñîá, ò.å. èçìåíåíèå îðèåíòàöèè êîíòóðà ïî îòíîøåíèþ ê Â, ïîëîæåí â îñíîâó òàêîãî ïðàêòè÷åñêîãî óñòðîéñòâà, êàê ãåíåðàòîð ïåðåìåííîãî òîêà (íàïðÿæåíèÿ). Åñëè ïðîâîäÿùóþ ðàìêó ïîìåñòèòü â ïîñòîÿííîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé  è âðàùàòü âîêðóã îñè, ëåæàùåé â ïëîñêîñòè ðàìêè, ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ w (ðèñ. 2), òî ïîòîê ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÷åðåç ñå÷åíèå ðàìêè S áóäåò èçìåíÿòüñÿ çà ïîëîâèíó ïåðèîäà îò çíà÷åíèÿ Ô = BS äî çíà÷åíèÿ Ô = BS ïî çàêîíó Ô = BScoswt.
(4)
Ïðè ýòîì ýäñ èíäóêöèè, íàâîäèìàÿ â ðàìêå, áóäåò èçìåíÿòüñÿ ïî çàêîíó - =-
dÔ = wBS sin wt . dt
(5)
Èçìåíåíèå ïëîùàäè êîíòóðà íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàíî ñ äâèæåíèåì ýëåìåíòîâ ïðîâîäíèêà â ìàãíèòíîì ïîëå, ÷òî òàêæå ñîïðîâîæäàåòñÿ âîçíèêíîâåíèåì ýäñ èíäóêöèè. Àíàëèç ýòîãî ñëó÷àÿ ïîçâîëÿåò áîëåå ïîëíî ïîíÿòü ïðèðîäó íàâîäèìîé ýäñ. Ïóñòü îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé  ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîùàäè, îãðàíè÷åííîé Ï-îáðàçíûì ïðîâîäíèêîì è ëåæàùèì íà íåì ïîäâèæíûì ñòåðæíåì (ðèñ. 3). Ïîëå  ïåðïåíäèêóëÿðíî ðàìêå è íàïðàâëåíî îò íàñ. Êîãäà ñòåðæåíü ñêîëüçèò ïî ïðîâîäíèêó ñî ñêîðîñòüþ v, îí ïðîõîäèò çà âðåìÿ dt ðàññòîÿíèå dx = v dt . Ïëîùàäü êîíòóðà 217
(ýäñ), èíäóêöèè çàâèñèò îò ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà Ô: . = ò BndS ,
(1)
S
ãäå Bn ïðîåêöèÿ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè íà íîðìàëü ê ýëåìåíòó ïîâåðõíîñòè dS, à èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî ëþáîé ïîâåðõíîñòè S, îãðàíè÷åííîé ïðîâîäÿùèì âèòêîì. Åäèíèöåé ìàãíèòíîãî ïîòîêà ÿâëÿåòñÿ âåáåð (Âá): 1 Âá =1 Òë × ì2. Òàê êàê èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ B ðàâíà ìàãíèòíîìó ïîòîêó ÷åðåç åäèíèöó ïëîùàäè: B = Ô/S, åå èíîãäà íàçûâàþò ïëîòíîñòüþ ìàãíèòíîãî ïîòîêà. Èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà, ðåçóëüòàò îïûòîâ Ôàðàäåÿ ìîæíî çàïèñàòü ìàòåìàòè÷åñêè, à èìåííî: ýäñ èíäóêöèè â êîíòóðå ðàâíà ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç ñå÷åíèå êîíòóðà: - =-
dÔ . dt
(2)
Âåëè÷èíà ýäñ èíäóêöèè ïîëó÷àåòñÿ â âîëüòàõ, åñëè ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà dÔ/dt âûðàæåíà â âåáåðàõ â ñåêóíäó (Âá/ñ). Ýòî óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ çàêîíîì ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè Ôàðàäåÿ è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäèí èç ôóíäàìåíòàëüíûõ çàêîíîâ ýëåêòðîìàãíåòèçìà. Åñëè êîíòóð ñîñòîèò èç N îäèíàêîâûõ âèòêîâ, òî èíäóöèðîâàííûå â êàæäîì âèòêå ýäñ ñêëàäûâàþòñÿ è ôîðìóëà (2) ïðèíèìàåò âèä - = -N
dÔ . dt
216
d dt
ò B cos adS ,
S
Ðèñ. 2
(3)
Çíàê «» â (2) è (3) óêàçûâàåò íàïðàâëåíèå, â êîòîðîì äåéñòâóåò ýäñ èíäóêöèè, ò.å. åå ïîëÿðíîñòü. Ñîãëàñíî ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì ýäñ èíäóêöèè âîçáóæäàåò â êîíòóðå òîê, èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ êîòîðîãî âñåãäà ïðîòèâîäåéñòâóåò ïåðâîíà÷àëüíîìó èçìåíåíèþ ìàãíèòíîãî ïîòîêà. Ýòî ïîëîæåíèå èçâåñòíî êàê ïðàâèëî Ëåíöà. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ýäñ èíäóêöèè âîçíèêàåò âñåãäà, êîãäà ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà. Ïîñêîëüêó ìàãíèòíûé ïîòîê ðàâåí Ô = ò BndS = ò B cos adS , òî çàêîí Ôàðàäåÿ ìîæS S íî çàïèñàòü â âèäå - =-
ãäå a óãîë ìåæäó âåêòîðîì B è íîðìàëüþ ê ýëåìåíòó dS ïîâåðõíîñòè S, ÷åðåç êîòîðóþ ñ÷èòàåòñÿ ïîòîê. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ýäñ èíäóêöèè ìîæåò áûòü èíäóöèðîâàíà ñëåäóþùèìè ñïîñîáàìè: 1. Èçìåíåíèåì èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ: dB/dt ¹ 0. 2. Èçìåíåíèåì îðèåíòàöèè êîíòóðà ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðó B: da/dt ¹ 0. 3. Èçìåíåíèåì ïëîùàäè ñå÷åíèÿ êîíòóðà: dS/dt ¹ 0. Ïåðâûé ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ ýäñ èíäóêöèè ïîäðîáíî ðàññìîòðåí âûøå íà ïðèìåðå îïûòà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 1. Âòîðîé ñïîñîá, ò.å. èçìåíåíèå îðèåíòàöèè êîíòóðà ïî îòíîøåíèþ ê Â, ïîëîæåí â îñíîâó òàêîãî ïðàêòè÷åñêîãî óñòðîéñòâà, êàê ãåíåðàòîð ïåðåìåííîãî òîêà (íàïðÿæåíèÿ). Åñëè ïðîâîäÿùóþ ðàìêó ïîìåñòèòü â ïîñòîÿííîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé  è âðàùàòü âîêðóã îñè, ëåæàùåé â ïëîñêîñòè ðàìêè, ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ w (ðèñ. 2), òî ïîòîê ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÷åðåç ñå÷åíèå ðàìêè S áóäåò èçìåíÿòüñÿ çà ïîëîâèíó ïåðèîäà îò çíà÷åíèÿ Ô = BS äî çíà÷åíèÿ Ô = BS ïî çàêîíó Ô = BScoswt.
(4)
Ïðè ýòîì ýäñ èíäóêöèè, íàâîäèìàÿ â ðàìêå, áóäåò èçìåíÿòüñÿ ïî çàêîíó - =-
dÔ = wBS sin wt . dt
(5)
Èçìåíåíèå ïëîùàäè êîíòóðà íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàíî ñ äâèæåíèåì ýëåìåíòîâ ïðîâîäíèêà â ìàãíèòíîì ïîëå, ÷òî òàêæå ñîïðîâîæäàåòñÿ âîçíèêíîâåíèåì ýäñ èíäóêöèè. Àíàëèç ýòîãî ñëó÷àÿ ïîçâîëÿåò áîëåå ïîëíî ïîíÿòü ïðèðîäó íàâîäèìîé ýäñ. Ïóñòü îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé  ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîùàäè, îãðàíè÷åííîé Ï-îáðàçíûì ïðîâîäíèêîì è ëåæàùèì íà íåì ïîäâèæíûì ñòåðæíåì (ðèñ. 3). Ïîëå  ïåðïåíäèêóëÿðíî ðàìêå è íàïðàâëåíî îò íàñ. Êîãäà ñòåðæåíü ñêîëüçèò ïî ïðîâîäíèêó ñî ñêîðîñòüþ v, îí ïðîõîäèò çà âðåìÿ dt ðàññòîÿíèå dx = v dt . Ïëîùàäü êîíòóðà 217
Èç ðàññìîòðåííûõ âûøå ïðèìåðîâ ñëåäóåò âàæíûé âûâîä: èçìåíåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà âåäåò ê âîçíèêíîâåíèþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ýòî îòíîñèòñÿ íå òîëüêî ê ïðîâîäíèêàì, â ñîîòâåòñòâèè ñ ãèïîòåçîé Ìàêñâåëëà ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå âîçíèêàåò â ëþáîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, ãäå ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà. Ýòî ïîëå íåýëåêòðîñòàòè÷åñêîé ïðèðîäû, ò.å. äëÿ åãî âîçíèêíîâåíèÿ íå òðåáóåòñÿ íàëè÷èÿ ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ; ÷àñòî ýòî ïîëå íàçûâàåòñÿ âèõðåâûì ïîëåì. Ñèëîâûå ëèíèè âèõðåâîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ çàìêíóòûìè (íåïðåðûâíûìè) ëèíèÿìè (ðèñ. 4). Ðèñ. 3
ïðè ýòîì óâåëè÷èâàåòñÿ íà âåëè÷èíó dS = lvdt. Ñîãëàñíî çàêîíó Ôàðàäåÿ (2) â êîíòóðå íàâîäèòñÿ ýäñ èíäóêöèè - =-
dÔ BdS == -Blv. dt dt
(6)
Ýòî ñîîòíîøåíèå ñïðàâåäëèâî ïðè óñëîâèè, ÷òî Â, l è v âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Åñëè îíè íå ïåðïåíäèêóëÿðíû, òî ó÷èòûâàþòñÿ ëèøü èõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå êîìïîíåíòû. Òî æå ñàìîå ñîîòíîøåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü ïîìèìî çàêîíà Ôàðàäåÿ. Èçâåñòíî, ÷òî íà äâèæóùèéñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå çàðÿä äåéñòâóåò ñèëà Ëîðåíöà F ë = q[vB]. Ïðè äâèæåíèè ïðîâîäÿùåãî ñòåðæíÿ âìåñòå ñ íèì äâèæóòñÿ íàõîäÿùèåñÿ â íåì íîñèòåëè çàðÿäà ýëåêòðîíû.  ðåçóëüòàòå íà êàæäûé ýëåêòðîí íà÷èíàåò äåéñòâîâàòü ñèëà Ëîðåíöà F || = evB. Èíäåêñ «||» óêàçûâàåò, ÷òî ñèëà íàïðàâëåíà âäîëü ïðîâîäíèêà (ðèñ. 3à). Äåéñòâèå ýòîé ñèëû ýêâèâàëåíòíî äåéñòâèþ ýëåêòðè÷åñêîé ñèëû, îáóñëîâëåííîé ïîëåì íàïðÿæåííîñòüþ E = v B. Ïîä äåéñòâèåì ýòîé ñèëû ýëåêòðîíû ïåðåìåùàþòñÿ âäîëü ïðîâîäíèêà ñî ñêîðîñòüþ u (ðèñ. 3á). Âñëåäñòâèå ýòîãî ïîÿâëÿåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû Ëîðåíöà F ^ =euB. Òàêèì îáðàçîì, ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà Ëîðåíöà, äåéñòâóþùàÿ íà ýëåêòðîí, ðàâíà F ë = F || + F ^ . Ðàáîòà ýòîé ñèëû çà âðåìÿ dt ðàâíà dA = F || udt`F ^ vdt. Ñ ó÷åòîì íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ F || , F ^ , v è u ïîëíàÿ ðàáîòà ñèëû Ëîðåíöà îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé íóëþ. Òàê êàê ñèëà F ^ íàïðàâëåíà ïðîòèâîïîëîæíî ñêîðîñòè v ïîäâèæíîãî ïðîâîäíèêà, òî äëÿ åãî ïåðåìåùåíèÿ ê íåìó íåîáõîäèìî ïðèëîæèòü âíåøíþþ ñèëó F âí, ðàâíóþ ñóììå âñåõ ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ñîñòàâëÿþùèõ F ^ , äåéñòâóþùèõ íà ýëåêòðîíû â ïðîâîäíèêå. Çà ñ÷åò ðàáîòû ýòîé ñèëû â êîíòóðå áóäåò âîçíèêàòü ýäñ èíäóêöèè. 218
Ðèñ. 4.
Âåêòîð íàïðÿæåííîñòè âèõðåâîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê ñèëîâûì ëèíèÿì, à èõ ïëîòíîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà âåëè÷èíå E. Îñíîâíûì îòëè÷èåì âèõðåâîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ îò ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî (ïîòåíöèàëüíîãî) çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ðàáîòà ïî ïåðåìåùåíèþ çàðÿäà ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó â âèõðåâîì ïîëå îòëè÷íà îò íóëÿ. Äåéñòâèòåëüíî, íàâîäèìàÿ â êîíòóðå ýäñ èíäóêöèè ðàâíà ðàáîòå ïî ïåðåìåùåíèþ åäèíè÷íîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà ïî êîíòóðó, ò.å. ðàâíà öèðêóëÿöèè âåêòîðà E ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó l : -=À ò El dl = l
dÔ . dt
(7)
Îïèñàíèå óñòàíîâêè Ïðàêòè÷åñêàÿ ÷àñòü ðàáîòû âûïîëíÿåòñÿ íà ìíîãîôóíêöèîíàëüíîì ëàáîðàòîðíîì êîìïëåêñå ËÊÝ-1.  íàñòîÿùåé ðàáîòå èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå ýëåìåíòû êîìïëåêñà (ðèñ. 5): 219
Èç ðàññìîòðåííûõ âûøå ïðèìåðîâ ñëåäóåò âàæíûé âûâîä: èçìåíåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà âåäåò ê âîçíèêíîâåíèþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ýòî îòíîñèòñÿ íå òîëüêî ê ïðîâîäíèêàì, â ñîîòâåòñòâèè ñ ãèïîòåçîé Ìàêñâåëëà ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå âîçíèêàåò â ëþáîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, ãäå ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà. Ýòî ïîëå íåýëåêòðîñòàòè÷åñêîé ïðèðîäû, ò.å. äëÿ åãî âîçíèêíîâåíèÿ íå òðåáóåòñÿ íàëè÷èÿ ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ; ÷àñòî ýòî ïîëå íàçûâàåòñÿ âèõðåâûì ïîëåì. Ñèëîâûå ëèíèè âèõðåâîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ çàìêíóòûìè (íåïðåðûâíûìè) ëèíèÿìè (ðèñ. 4). Ðèñ. 3
ïðè ýòîì óâåëè÷èâàåòñÿ íà âåëè÷èíó dS = lvdt. Ñîãëàñíî çàêîíó Ôàðàäåÿ (2) â êîíòóðå íàâîäèòñÿ ýäñ èíäóêöèè - =-
dÔ BdS == -Blv. dt dt
(6)
Ýòî ñîîòíîøåíèå ñïðàâåäëèâî ïðè óñëîâèè, ÷òî Â, l è v âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Åñëè îíè íå ïåðïåíäèêóëÿðíû, òî ó÷èòûâàþòñÿ ëèøü èõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå êîìïîíåíòû. Òî æå ñàìîå ñîîòíîøåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü ïîìèìî çàêîíà Ôàðàäåÿ. Èçâåñòíî, ÷òî íà äâèæóùèéñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå çàðÿä äåéñòâóåò ñèëà Ëîðåíöà F ë = q[vB]. Ïðè äâèæåíèè ïðîâîäÿùåãî ñòåðæíÿ âìåñòå ñ íèì äâèæóòñÿ íàõîäÿùèåñÿ â íåì íîñèòåëè çàðÿäà ýëåêòðîíû.  ðåçóëüòàòå íà êàæäûé ýëåêòðîí íà÷èíàåò äåéñòâîâàòü ñèëà Ëîðåíöà F || = evB. Èíäåêñ «||» óêàçûâàåò, ÷òî ñèëà íàïðàâëåíà âäîëü ïðîâîäíèêà (ðèñ. 3à). Äåéñòâèå ýòîé ñèëû ýêâèâàëåíòíî äåéñòâèþ ýëåêòðè÷åñêîé ñèëû, îáóñëîâëåííîé ïîëåì íàïðÿæåííîñòüþ E = v B. Ïîä äåéñòâèåì ýòîé ñèëû ýëåêòðîíû ïåðåìåùàþòñÿ âäîëü ïðîâîäíèêà ñî ñêîðîñòüþ u (ðèñ. 3á). Âñëåäñòâèå ýòîãî ïîÿâëÿåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû Ëîðåíöà F ^ =euB. Òàêèì îáðàçîì, ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà Ëîðåíöà, äåéñòâóþùàÿ íà ýëåêòðîí, ðàâíà F ë = F || + F ^ . Ðàáîòà ýòîé ñèëû çà âðåìÿ dt ðàâíà dA = F || udt`F ^ vdt. Ñ ó÷åòîì íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ F || , F ^ , v è u ïîëíàÿ ðàáîòà ñèëû Ëîðåíöà îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé íóëþ. Òàê êàê ñèëà F ^ íàïðàâëåíà ïðîòèâîïîëîæíî ñêîðîñòè v ïîäâèæíîãî ïðîâîäíèêà, òî äëÿ åãî ïåðåìåùåíèÿ ê íåìó íåîáõîäèìî ïðèëîæèòü âíåøíþþ ñèëó F âí, ðàâíóþ ñóììå âñåõ ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ñîñòàâëÿþùèõ F ^ , äåéñòâóþùèõ íà ýëåêòðîíû â ïðîâîäíèêå. Çà ñ÷åò ðàáîòû ýòîé ñèëû â êîíòóðå áóäåò âîçíèêàòü ýäñ èíäóêöèè. 218
Ðèñ. 4.
Âåêòîð íàïðÿæåííîñòè âèõðåâîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê ñèëîâûì ëèíèÿì, à èõ ïëîòíîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà âåëè÷èíå E. Îñíîâíûì îòëè÷èåì âèõðåâîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ îò ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî (ïîòåíöèàëüíîãî) çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ðàáîòà ïî ïåðåìåùåíèþ çàðÿäà ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó â âèõðåâîì ïîëå îòëè÷íà îò íóëÿ. Äåéñòâèòåëüíî, íàâîäèìàÿ â êîíòóðå ýäñ èíäóêöèè ðàâíà ðàáîòå ïî ïåðåìåùåíèþ åäèíè÷íîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà ïî êîíòóðó, ò.å. ðàâíà öèðêóëÿöèè âåêòîðà E ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó l : -=À ò El dl = l
dÔ . dt
(7)
Îïèñàíèå óñòàíîâêè Ïðàêòè÷åñêàÿ ÷àñòü ðàáîòû âûïîëíÿåòñÿ íà ìíîãîôóíêöèîíàëüíîì ëàáîðàòîðíîì êîìïëåêñå ËÊÝ-1.  íàñòîÿùåé ðàáîòå èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå ýëåìåíòû êîìïëåêñà (ðèñ. 5): 219
(1) äâà ñîîñíî çàêðåïëåííûõ ñîëåíîèäà L1 è L2 ñ íåáîëüøèì çàçîðîì ìåæäó íèìè. Âêëþ÷åííûå ïîñëåäîâàòåëüíî îíè ïîçâîëÿþò ìîäåëèðîâàòü áåñêîíå÷íî ïðîòÿæåííûé ñîëåíîèä (d d. Ðåàëüíûé ñîëåíîèä èìååò îòíîøåíèå l/d » 5, êðîìå òîãî, ìåæäó äâóìÿ åãî ïîëîâèíàìè èìååòñÿ çàçîð, ÷òî çíà÷èòåëüíî ñíèæàåò âåëè÷èíó Bm. Ñëåäîâàòåëüíî, çíà÷åíèÿ Bm, ïîëó÷åííûå èíäóêöèîííûì ìåòîäîì (ôîðìóëû (9), (10)), áîëåå òî÷íî ñîîòâåòñòâóþò èñòèííîìó çíà÷åíèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñîëåíîèäà. Óïðàæíåíèå 2 Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ïðîâåðêà çàêîíà ÝÌÈ Ôàðàäåÿ Èçìåðåíèÿ âûïîëíÿþòñÿ ïðè ïèëîîáðàçíîé ôîðìå èçìåíåíèÿ òîêà â ñîëåíîèäå (ñì. óïðàæíåíèå 1, ïóíêò 3). Ðåãóëèðîâêîé âûõîäíîãî íàïðÿæåíèÿ ãåíåðàòîðà óñòàíîâèòü DUR íà ýêðàíå îñöèëëîãðàôà, ðàâíîé 23 äåëåíèÿì ïðè ÷óâñòâèòåëüíîñòè ïî Y1 100 ìÂ/äåë. Ïðè äàëüíåéøåé ðàáîòå ñëåäóåò ñëåäèòü çà òåì, ÷òîáû ýòî çíà÷åíèå DU1 îñòàâàëîñü íåèçìåííûì. Óñòàíîâèòü ÷àñòîòó ãåíåðàòîðà n » 100 Ãö è ïðîâåñòè èçìåðåíèå DUL â äåëåíèÿõ øêàëû, ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå çàíåñòè â òàáë. 1. Èçìåíÿÿ ÷àñòîòó ãåíåðàòîðà ñ øàãîì »100 Ãö, ïðîèçâåñòè àíàëîãè÷íîå èçìåðåíèå DUL. (Ïðè óñòàíîâêå ÷àñòîòû »400 Ãö è âûøå ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ äîïîëíèòåëüíûì ìíîæèòåëåì ´3, äëÿ ÷åãî íåîáõîäèìî íàæàòü êíîïêó ñ ñèìâîëîì «´3».) Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû óâåëè÷èâàåòñÿ ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîé èíäóêöèè dB/dt è, ñîîòâåòñòâåííî, DUL. Ïðè ýòîì äëÿ ïðîâåäåíèÿ èçìåðåíèé íåîáõîäèìî êîððåêòèðîâàòü ÷óâñòâèòåëüíîñòü âòîðîãî êàíàëà îñöèëëîãðàôà Y2 è äëèòåëüíîñòü ðàçâåðòêè ïî îñè X. Ñ ýòîé öåëüþ â òàáë. 1 ïðèâåäåíû ðåêîìåíäóåìûå çíà÷åíèÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòè ïî Y2 è ïî X äëÿ ðàçëè÷íûõ ÷àñòîò. Ïðè ïðîâåäåíèè ðåàëüíûõ èçìåðåíèé âîçìîæíû îòêëîíåíèÿ îò ðåêîìåíäîâàííûõ çíà228
÷åíèé â òó èëè èíóþ ñòîðîíó.  ýòîì ñëó÷àå ýòè îòêëîíåíèÿ ñëåäóåò çàíåñòè â òàáëèöó. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî óñëîâèÿ ïðîâåäåíèÿ èçìåðåíèé DUL îïòèìàëüíû, åñëè DU2 íå ìåíüøå 23 äåëåíèé, íî íå áîëüøå 67 äåëåíèé, ïðè÷åì èçìåðÿåìûé ó÷àñòîê êàðòèíêè íå âûõîäèò çà ïðåäåëû ñåòêè ýêðàíà îñöèëëîãðàôà. Òàáëèöà 1 n, Ãö
100 200 300 400 500 600 700 800
ðàçâ. ïî X 103 ñ/äåë. 2,0 1,0 1,0 0,5 0,5 0,5 0,2 0,2
DUL, äåë. ... ... ... ... ... ... ... ...
öåíà äåë., ìÂ/äåë. 5 10 20 20 50 50 50 100
DUL, ìÂ
d./dt, Âá/ñ
... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
Òàê êàê ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ â ñîëåíîèäå ìåíÿåòñÿ ïî ëèíåéíîìó çàêîíó, ò.å. ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ îò Bm äî +Bm çà ïîëîâèíó ïåðèîäà, òî ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ïîòîêà ìàãíèòíîé èíäóêöèè â êàòóøêå äàò÷èêà ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëå dÔ = 4Bm N1S1n, [Âá ñ]. dt
(12)
Ïîñêîëüêó àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå òîêà â ñîëåíîèäå íå èçìåíÿåòñÿ ïî âåëè÷èíå (DUR= const) ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû ãåíåðàòîðà, òî Bm ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé (çíà÷åíèå Bm îïðåäåëÿëîñü â óïðàæíåíèè 1, ïóíêò 3). Ñëåäîâàòåëüíî, dÔ/dt îêàçûâàåòñÿ ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî ÷àñòîòå n, à - m = DU L/2. Ïîñòðîèòü çàâèñèìîñòü -m îò dÔ/dt. Óïðàæíåíèå 3 Èññëåäîâàíèå âèõðåâîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Âûäâèíóòü èç ñîëåíîèäîâ äàò÷èê D1 è îòñîåäèíèòü åãî êàáåëü îò âõîäà âòîðîãî êàíàëà Y2 îñöèëëîãðàôà.  çàçîð ìåæäó ñîëåíîèäàìè âñòàâèòü ïëîñêèé êîëüöåâîé äàò÷èê D2 òàê, ÷òîáû åãî öåíòð îêàçàëñÿ íà îñè ñîëåíîèäîâ. Èñïîëüçóÿ çàïàñíîé êîàêñèàëüíûé êàáåëü (ñèíèé) ñî øòåêåðàìè íà êîíöå, ïîäñîåäèíèòü êî âòîðîìó êàíàëó Y2 îñöèëëîãðàôà ïåðâûé êîíòóð (êëåììû 1, 2). Óñòàíîâèòü ÷àñòîòó ãåíåðàòîðà n » 100 Ãö. Èçìåðèòü âåëè÷èíó DUL â äåëåíèÿõ øêàëû ýêðàíà è çàíåñòè ðåçóëüòàò â òàáë. 2. (Ðåêîìåíäóåìàÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòü ïî Y2 5 ìÂ/äåë., ñì. òàáë. 2). Äëÿ ïîäêëþ÷åíèÿ âòîðîãî êîíòóðà äîñòàòî÷íî ïåðåñòàâèòü øòåêåð ñ êëåììû 1 íà 229
ãäå m 0 = 4p×10 7 ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ, [Òë/ì]; n ÷èñëî âèòêîâ íà åäèíèöó äëèíû ñîëåíîèäà: n = N/l, ãäå N = 422 ÷èñëî âèòêîâ â êàæäîì ñîëåíîèäå, l = 120 ìì = 0,12 ì äëèíà êàæäîãî ñîëåíîèäà. 3) Bm = ..., [Òë]. Ñðàâíåíèå òðåõ ïîëó÷åííûõ çíà÷åíèé ìàãíèòíîé èíäóêöèè Bm â ñîëåíîèäå ïîêàçûâàåò, ÷òî äâà ïåðâûõ çíà÷åíèÿ îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà â ïðåäåëàõ ïîãðåøíîñòè ýêñïåðèìåíòà, êîòîðàÿ ìîæåò ñîñòàâëÿòü ~15%. (Ïðåäëàãàåòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî îöåíèòü ðåàëüíóþ ïîãðåøíîñòü ðåçóëüòàòà îïðåäåëåíèÿ Bm). Òðåòüå çíà÷åíèå Bm áîëåå ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ïåðâûõ äâóõ: îíî íåñêîëüêî çàâûøåíî, ÷òî âïîëíå îáúÿñíèìî. Äåëî â òîì, ÷òî ýòî çíà÷åíèå ïîëó÷åíî ïî ôîðìóëå (11) äëÿ èäåàëüíîãî áåñêîíå÷íî äëèííîãî ñîëåíîèäà, äëÿ êîòîðîãî l >> d. Ðåàëüíûé ñîëåíîèä èìååò îòíîøåíèå l/d » 5, êðîìå òîãî, ìåæäó äâóìÿ åãî ïîëîâèíàìè èìååòñÿ çàçîð, ÷òî çíà÷èòåëüíî ñíèæàåò âåëè÷èíó Bm. Ñëåäîâàòåëüíî, çíà÷åíèÿ Bm, ïîëó÷åííûå èíäóêöèîííûì ìåòîäîì (ôîðìóëû (9), (10)), áîëåå òî÷íî ñîîòâåòñòâóþò èñòèííîìó çíà÷åíèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñîëåíîèäà. Óïðàæíåíèå 2 Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ïðîâåðêà çàêîíà ÝÌÈ Ôàðàäåÿ Èçìåðåíèÿ âûïîëíÿþòñÿ ïðè ïèëîîáðàçíîé ôîðìå èçìåíåíèÿ òîêà â ñîëåíîèäå (ñì. óïðàæíåíèå 1, ïóíêò 3). Ðåãóëèðîâêîé âûõîäíîãî íàïðÿæåíèÿ ãåíåðàòîðà óñòàíîâèòü DUR íà ýêðàíå îñöèëëîãðàôà, ðàâíîé 23 äåëåíèÿì ïðè ÷óâñòâèòåëüíîñòè ïî Y1 100 ìÂ/äåë. Ïðè äàëüíåéøåé ðàáîòå ñëåäóåò ñëåäèòü çà òåì, ÷òîáû ýòî çíà÷åíèå DU1 îñòàâàëîñü íåèçìåííûì. Óñòàíîâèòü ÷àñòîòó ãåíåðàòîðà n » 100 Ãö è ïðîâåñòè èçìåðåíèå DUL â äåëåíèÿõ øêàëû, ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå çàíåñòè â òàáë. 1. Èçìåíÿÿ ÷àñòîòó ãåíåðàòîðà ñ øàãîì »100 Ãö, ïðîèçâåñòè àíàëîãè÷íîå èçìåðåíèå DUL. (Ïðè óñòàíîâêå ÷àñòîòû »400 Ãö è âûøå ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ äîïîëíèòåëüíûì ìíîæèòåëåì ´3, äëÿ ÷åãî íåîáõîäèìî íàæàòü êíîïêó ñ ñèìâîëîì «´3».) Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû óâåëè÷èâàåòñÿ ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîé èíäóêöèè dB/dt è, ñîîòâåòñòâåííî, DUL. Ïðè ýòîì äëÿ ïðîâåäåíèÿ èçìåðåíèé íåîáõîäèìî êîððåêòèðîâàòü ÷óâñòâèòåëüíîñòü âòîðîãî êàíàëà îñöèëëîãðàôà Y2 è äëèòåëüíîñòü ðàçâåðòêè ïî îñè X. Ñ ýòîé öåëüþ â òàáë. 1 ïðèâåäåíû ðåêîìåíäóåìûå çíà÷åíèÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòè ïî Y2 è ïî X äëÿ ðàçëè÷íûõ ÷àñòîò. Ïðè ïðîâåäåíèè ðåàëüíûõ èçìåðåíèé âîçìîæíû îòêëîíåíèÿ îò ðåêîìåíäîâàííûõ çíà228
÷åíèé â òó èëè èíóþ ñòîðîíó.  ýòîì ñëó÷àå ýòè îòêëîíåíèÿ ñëåäóåò çàíåñòè â òàáëèöó. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî óñëîâèÿ ïðîâåäåíèÿ èçìåðåíèé DUL îïòèìàëüíû, åñëè DU2 íå ìåíüøå 23 äåëåíèé, íî íå áîëüøå 67 äåëåíèé, ïðè÷åì èçìåðÿåìûé ó÷àñòîê êàðòèíêè íå âûõîäèò çà ïðåäåëû ñåòêè ýêðàíà îñöèëëîãðàôà. Òàáëèöà 1 n, Ãö
100 200 300 400 500 600 700 800
ðàçâ. ïî X 103 ñ/äåë. 2,0 1,0 1,0 0,5 0,5 0,5 0,2 0,2
DUL, äåë. ... ... ... ... ... ... ... ...
öåíà äåë., ìÂ/äåë. 5 10 20 20 50 50 50 100
DUL, ìÂ
d./dt, Âá/ñ
... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
Òàê êàê ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ â ñîëåíîèäå ìåíÿåòñÿ ïî ëèíåéíîìó çàêîíó, ò.å. ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ îò Bm äî +Bm çà ïîëîâèíó ïåðèîäà, òî ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ïîòîêà ìàãíèòíîé èíäóêöèè â êàòóøêå äàò÷èêà ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëå dÔ = 4Bm N1S1n, [Âá ñ]. dt
(12)
Ïîñêîëüêó àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå òîêà â ñîëåíîèäå íå èçìåíÿåòñÿ ïî âåëè÷èíå (DUR= const) ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû ãåíåðàòîðà, òî Bm ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé (çíà÷åíèå Bm îïðåäåëÿëîñü â óïðàæíåíèè 1, ïóíêò 3). Ñëåäîâàòåëüíî, dÔ/dt îêàçûâàåòñÿ ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî ÷àñòîòå n, à - m = DU L/2. Ïîñòðîèòü çàâèñèìîñòü -m îò dÔ/dt. Óïðàæíåíèå 3 Èññëåäîâàíèå âèõðåâîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Âûäâèíóòü èç ñîëåíîèäîâ äàò÷èê D1 è îòñîåäèíèòü åãî êàáåëü îò âõîäà âòîðîãî êàíàëà Y2 îñöèëëîãðàôà.  çàçîð ìåæäó ñîëåíîèäàìè âñòàâèòü ïëîñêèé êîëüöåâîé äàò÷èê D2 òàê, ÷òîáû åãî öåíòð îêàçàëñÿ íà îñè ñîëåíîèäîâ. Èñïîëüçóÿ çàïàñíîé êîàêñèàëüíûé êàáåëü (ñèíèé) ñî øòåêåðàìè íà êîíöå, ïîäñîåäèíèòü êî âòîðîìó êàíàëó Y2 îñöèëëîãðàôà ïåðâûé êîíòóð (êëåììû 1, 2). Óñòàíîâèòü ÷àñòîòó ãåíåðàòîðà n » 100 Ãö. Èçìåðèòü âåëè÷èíó DUL â äåëåíèÿõ øêàëû ýêðàíà è çàíåñòè ðåçóëüòàò â òàáë. 2. (Ðåêîìåíäóåìàÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòü ïî Y2 5 ìÂ/äåë., ñì. òàáë. 2). Äëÿ ïîäêëþ÷åíèÿ âòîðîãî êîíòóðà äîñòàòî÷íî ïåðåñòàâèòü øòåêåð ñ êëåììû 1 íà 229
êëåììó 3 (òàê êàê ïîëÿðíîñòü DUL äëÿ íàñòîÿùèõ èçìåðåíèé çíà÷åíèÿ íå èìååò) è ïîâòîðèòü èçìåðåíèå DUL. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïåðåõîäÿ ê ñëåäóþùåìó êîíòóðó, ïîâòîðÿþò èçìåðåíèå DUL è äàííûå çàïèñûâàþò â òàáë. 2. Ïðè ïîäêëþ÷åíèè i-ãî êîíòóðà øòåêåðû äîëæíû íàõîäèòüñÿ íà êëåììàõ ñ íîìåðàìè i è i + 1. Òàáëèöà 2 r, ìì
110
115
220
225
!!0
440
550
660
770
55
55
110
110
220
220
220
220
220
DUL, äåë. öåíà äåë. ïî Y2, ìÂ/äåë. 2pNr Em, ìÂ/ì
Íàïðÿæåííîñòü âèõðåâîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ
òåîðåìîé î öèðêóëÿöèè ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå E (r ) =
DU L , 4 pNr
(13)
ãäå r ðàäèóñ ñîîòâåòñòâóþùåãî êîíòóðà (ñì. òàáë. 2); N = 50 ÷èñëî âèòêîâ â êàæäîì êîíòóðå. Ïîñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè íàïðÿæåííîñòè âèõðåâîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ îò ðàäèóñà êîíòóðà E(r) è îáúÿñíèòü ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò. Ðàäèóñ ñîëåíîèäà R ñ= 26 ìì. Ëèòåðàòóðà 1. Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 2. Ýëåêòðè÷åñòâî è ìàãíåòèçì. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 8. Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ. 8.1. ßâëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè. 8.2. Ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà èíäóêöèè. 8.3. Ìåòîäû èçìåðåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè. Ãëàâà 9. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà. 9.1. Âèõðåâîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå.
3àäà÷à ¹ 27 ÈÇÓ×ÅÍÈÅ ÂÛÍÓÆÄÅÍÍÛÕ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ Â ÊÎËÅÁÀÒÅËÜÍÎÌ ÊÎÍÒÓÐÅ
Öåëü çàäà÷è: èçìåðåíèå ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ êîëåáàòåëüíûõ êîíòóðîâ è îïðåäåëåíèå ïî íèì õàðàêòåðèñòèê êîíòóðîâ: ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòû, øèðèíû ðåçîíàíñíîé êðèâîé, äîáðîòíîñòè, ëîãàðèôìè÷åñêîãî äåêðåìåíòà, à òàêæå ðàñ÷åò íîìèíàëüíûõ çíà÷åíèé åìêîñòè è ñîïðîòèâëåíèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ Ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå â ýëåêòðè÷åñêîì êîíòóðå ïðè ïîäà÷å íà åãî âõîä ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ (ðèñ. 1).  çàäà÷å ¹ 22 ðàññìîòðåíèå ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ â àíàëîãè÷íîì ýëåêòðè÷åñêîì êîíòóðå, è îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ öåïè ïðîèçâîäèëîñü ñ èñïîëüçîâàíèåì ãðàôè÷åñêîãî ìåòîäà (âåêòîðíûõ äèàãðàìì).  íàñòîÿùåé çàäà÷å äëÿ îïèñàíèÿ ïðîöåññîâ â êîíòóÐèñ. 1 ðå è îïðåäåëåíèÿ åãî õàðàêòåðèñòèê èñïîëüçóåòñÿ àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä (ðåøåíèå óðàâíåíèÿ). Íà îñíîâàíèè 2-ãî çàêîíà Êèðõãîôà çàïèøåì óðàâíåíèå: (1) U R + U C = - + - L, ãäå U R = IR, U C =
q dI , -L = -L , C dt
(2)
- = - 0 sinwt. (3) Ïðèâåäåì óðàâíåíèå ê îäíîìó íåèçâåñòíîìó çàðÿäó. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî I =
dI d 2q dq è = 2, dt dt dt
(4)
óðàâíåíèå (1) çàïèøåì â âèäå q dq d q +R +L = - sin wt . C dt dt
(5)
Ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ b=
R 1 è w0 = , 2L LC
ïåðåïèøåì q ¢¢ + 2b q ¢ + w02q =
-0 sin Wt . L
(5a) 231
êëåììó 3 (òàê êàê ïîëÿðíîñòü DUL äëÿ íàñòîÿùèõ èçìåðåíèé çíà÷åíèÿ íå èìååò) è ïîâòîðèòü èçìåðåíèå DUL. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïåðåõîäÿ ê ñëåäóþùåìó êîíòóðó, ïîâòîðÿþò èçìåðåíèå DUL è äàííûå çàïèñûâàþò â òàáë. 2. Ïðè ïîäêëþ÷åíèè i-ãî êîíòóðà øòåêåðû äîëæíû íàõîäèòüñÿ íà êëåììàõ ñ íîìåðàìè i è i + 1. Òàáëèöà 2 r, ìì
110
115
220
225
!!0
440
550
660
770
55
55
110
110
220
220
220
220
220
DUL, äåë. öåíà äåë. ïî Y2, ìÂ/äåë. 2pNr Em, ìÂ/ì
Íàïðÿæåííîñòü âèõðåâîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ
òåîðåìîé î öèðêóëÿöèè ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå E (r ) =
DU L , 4 pNr
(13)
ãäå r ðàäèóñ ñîîòâåòñòâóþùåãî êîíòóðà (ñì. òàáë. 2); N = 50 ÷èñëî âèòêîâ â êàæäîì êîíòóðå. Ïîñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè íàïðÿæåííîñòè âèõðåâîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ îò ðàäèóñà êîíòóðà E(r) è îáúÿñíèòü ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò. Ðàäèóñ ñîëåíîèäà R ñ= 26 ìì. Ëèòåðàòóðà 1. Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 2. Ýëåêòðè÷åñòâî è ìàãíåòèçì. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 8. Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ. 8.1. ßâëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè. 8.2. Ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà èíäóêöèè. 8.3. Ìåòîäû èçìåðåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè. Ãëàâà 9. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà. 9.1. Âèõðåâîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå.
3àäà÷à ¹ 27 ÈÇÓ×ÅÍÈÅ ÂÛÍÓÆÄÅÍÍÛÕ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ Â ÊÎËÅÁÀÒÅËÜÍÎÌ ÊÎÍÒÓÐÅ
Öåëü çàäà÷è: èçìåðåíèå ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ êîëåáàòåëüíûõ êîíòóðîâ è îïðåäåëåíèå ïî íèì õàðàêòåðèñòèê êîíòóðîâ: ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòû, øèðèíû ðåçîíàíñíîé êðèâîé, äîáðîòíîñòè, ëîãàðèôìè÷åñêîãî äåêðåìåíòà, à òàêæå ðàñ÷åò íîìèíàëüíûõ çíà÷åíèé åìêîñòè è ñîïðîòèâëåíèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ Ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå â ýëåêòðè÷åñêîì êîíòóðå ïðè ïîäà÷å íà åãî âõîä ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ (ðèñ. 1).  çàäà÷å ¹ 22 ðàññìîòðåíèå ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ â àíàëîãè÷íîì ýëåêòðè÷åñêîì êîíòóðå, è îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ öåïè ïðîèçâîäèëîñü ñ èñïîëüçîâàíèåì ãðàôè÷åñêîãî ìåòîäà (âåêòîðíûõ äèàãðàìì).  íàñòîÿùåé çàäà÷å äëÿ îïèñàíèÿ ïðîöåññîâ â êîíòóÐèñ. 1 ðå è îïðåäåëåíèÿ åãî õàðàêòåðèñòèê èñïîëüçóåòñÿ àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä (ðåøåíèå óðàâíåíèÿ). Íà îñíîâàíèè 2-ãî çàêîíà Êèðõãîôà çàïèøåì óðàâíåíèå: (1) U R + U C = - + - L, ãäå U R = IR, U C =
q dI , -L = -L , C dt
(2)
- = - 0 sinwt. (3) Ïðèâåäåì óðàâíåíèå ê îäíîìó íåèçâåñòíîìó çàðÿäó. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî I =
dI d 2q dq è = 2, dt dt dt
(4)
óðàâíåíèå (1) çàïèøåì â âèäå q dq d q +R +L = - sin wt . C dt dt
(5)
Ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ b=
R 1 è w0 = , 2L LC
ïåðåïèøåì q ¢¢ + 2b q ¢ + w02q =
-0 sin Wt . L
(5a) 231
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ñëó÷àè. à) Ïóñòü R = 0, b = 0, - 0 = 0; ôîðìóëà (5à) ïðèíèìàåò âèä q ¢¢ + w02q = 0.
(6)
Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ: q = q 0 sin(w 0 t + j).
 ýòîì ñëó÷àå â êîíòóðå èìåþò ìåñòî ñâîáîäíûå íåçàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ çàðÿäà, íàïðÿæåíèÿ è òîêà ñ ÷àñòîòîé w0. á) Ïóñòü R ¹ 0, -0 = 0; òîãäà ôîðìóëà (5à) èìååò âèä (7) q ¢¢ + 2b q ¢ + w02q = 0. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ: q = q 0 e b t sin( w t + j ),
q (t ) = e bt , q (t + T )
ãäå Ò ïåðèîä êîëåáàíèé çàðÿäà. Îáû÷íî áåðóò íàòóðàëüíûé ëîãàðèôì âåëè÷èíû D ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ: l = lnD = bT. (8) Õàðàêòåðèñòèêîé êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíà Q, íàçûâàåìàÿ äîáðîòíîñòüþ: p w . Q= = l 2b
(9)
 ðåàëüíûõ êîíòóðàõ b 150 ìì âîäÿíîãî ñòîëáà. Ïðè ñêà÷êîîáðàçíîì èçìåíåíèè ïîêàçàíèé ìàíîìåòðà âî âðåìÿ èñòå÷åíèÿ âîçäóõà ÷åðåç êàïèëëÿð ïîâòîðèòü îïûò, ïðåäâàðèòåëüíî íåñêîëüêî ðàç ïîâûñèâ è ñáðîñèâ äàâëåíèå â ìàíîìåòðå ïðè ïîìîùè ðåçèíîâîé ãðóøè. ËÊÒ-2. Ýëåìåíòû êîìïëåêñà ËÊÒ-2 ðàçìåùåíû â òðåõ ÿðóñàõ êàðêàñà (ðèñ. 2). Íèæíèé ÿðóñ ñëóæåáíûé.  íåãî âñòðîåíû ïðèáîðû è ðàçìåùàþòñÿ áëîêè, íåèñïîëüçóåìûå â äàííûé ìîìåíò, è ÿùèêè äëÿ ïðèíàäëåæíîñòåé, êîòîðûå âäâèãàþòñÿ â êàðêàñ ïî íàïðàâëÿþùèì.  ñðåäíåì ÿðóñå ðàçìåùåíû êîìïðåññîð, áëîê áàëëîíîâ è íåêîòîðûå ôóíêöèîíàëüíûå ìîäóëè. Íóæíûå äëÿ ðàáîòû áëîêè óñòàíàâëèâàþòñÿ âåðòèêàëüíî â ñðåäíåì ÿðóñå íà øòûðÿõ äâóõ áàëîê, îãðàíè÷èâàþùèõ ðàáî÷óþ çîíó ñâåðõó è ñíèçó. Áëîêè çàêðåïëÿþòñÿ ãàéêàìè, íàâèí÷èâàþùèìèñÿ íà øòûðè. Íà çàäíåé ñòåíêå óñòàíîâëåíû ðîçåòêè ýëåêòðîïèòàíèÿ (ñåòü 220 Â). Íà ïðàâîé áîêîâèíå (ñ âíóòðåííåé ñòîðîíû) èìååòñÿ êëåììà çàçåìëåíèÿ. Âåðõíèé ÿðóñ êàðêàñà ïîëêà, íà êîòîðîé ðàçìåùàåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå îñíàùåíèå. Êîìïðåññîð (1) ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ñîçäàíèÿ ïîòîêà âîçäóõà ñ íàïîðîì äî 30 êÏà è ðàñõîäîì äî 90 ìë/ñ. Êîìïðåññîð ñíàáæåí 270
Ðèñ. 2
áàëëàñòíûì îáúåìîì 0,65 ë äëÿ ñãëàæèâàíèÿ ïóëüñàöèé äàâëåíèÿ. Îñóøèòåëü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áàëëîí÷èê ñ ñèëèêàãåëåì, óäåðæèâàåìûé ïðóæèíîé. Ïîñëå áàëëàñòíîãî îáúåìà è îñóøèòåëÿ âîçäóõ ïîñòóïàåò íà øòóöåð, óñòàíîâëåííûé íà ïåðåäíåé âåðõíåé áàëêå êàðêàñà è îáîçíà÷åííûé (2). Äâà áëîêà áàëëîíîâ ñîäåðæàò ïî äâà áàëëîíà îáúåìîì 1,06 ë êàæäûé. Âûõîäû áëîêîâ âûâåäåíû íà øòóöåðû íà âåðõíåé ïåðåäíåé áàëêå êàðêàñà è îáîçíà÷åíû (3). Èçìåðèòåëüíàÿ ñèñòåìà ÈÑÒ-2 (4) çàíèìàåò îäíó ñåêöèþ íèæíåãî ýòàæà êàðêàñà. Îíà ñëóæèò äëÿ ýëåêòðîïèòàíèÿ íàãðåâàòåëåé, óïðàâëåíèÿ òåìïåðàòóðîé èçó÷àåìûõ îáúåêòîâ (â ÷àñòíîñòè, òåðìîñòàòèðîâàíèÿ) è ò.ä. Èçìåðåíèå òåìïåðàòóðû îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðè ïîìîùè äàò÷èêîâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ïîëóïðîâîäíèêîâûå äèîäû. Ïðè ïðîòåêàíèè ÷åðåç äèîä ôèêñèðîâàííîãî òîêà â ïðÿìîì íàïðàâëåíèè íàïðÿæåíèå íà íåì ïðàêòè÷åñêè ëèíåéíî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû. Ñèñòåìà ÈÑÒ-2 çàäàåò òîê è èçìåðÿåò íàïðÿæåíèå íà äèîäå, à çàòåì ïðåîáðàçóåò ýòî íàïðÿæåíèå òàê, ÷òîáû ïîêàçàíèÿ öèôðîâîãî èíäèêàòîðà äàâàëè çíà÷åíèÿ òåìïåðàòóðû ñ ðàçðåøåíèåì 0,1°Ñ. Ïåðåä ïðîâåäåíèåì èçìåðåíèé íà êîìïëåêñå ËÊÒ-2 äîëæåí áûòü óñòàíîâëåí âåðòèêàëüíî íà øòûðÿõ è çàêðåïëåí ãàéêàìè (5) áëîê «ÃÀÇ ÆÈÄÊÎÑÒÜ» (6). Íà íåì ðàñïîëîæåíû ðåîìåòð (7) óñòðîéñòâî äëÿ èçìåðåíèÿ ðàñõîäà ãàçà, ìàíîìåòð (8) 271
6.2. Îòêðûòü êðàí Ê2 (9), ïðè ýòîì âîçäóõ íà÷íåò âûõîäèòü èç áàëëîíà ÷åðåç êàïèëëÿð â àòìîñôåðó è ïîêàçàíèÿ ìàíîìåòðà (2) áóäóò óìåíüøàòüñÿ. Ïðè ïîäõîäå äàâëåíèÿ ê âûáðàííîìó çíà÷åíèþ DÐíà÷ (ìîæíî âçÿòü DÐíà÷ = 160180 ìì âîäÿíîãî ñòîëáà) âêëþ÷èòü ñåêóíäîìåð êíîïêîé «ADVANCE». 6.3. Ïðè äîñòèæåíèè ñòîëáèêîì ìàíîìåòðà ïåðâîãî çàäàííîãî çíà÷åíèÿ DÐ (ñì. òàáëèöó â ðàçäåëå «Îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé») çàôèêñèðîâàòü ïîêàçàíèÿ ñåêóíäîìåðà êíîïêîé «SET» è çàïèñàòü èõ â òàáëèöó, çàòåì ñíîâà íàæàòü «SET», çàôèêñèðîâàòü âòîðîå çíà÷åíèå è ò.ä. Âñåãî íåîáõîäèìî çàôèêñèðîâàòü 810 çíà÷åíèé äàâëåíèÿ è ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèé âðåìåíè. 7. Ïîâòîðèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïåðàöèé ïóíêòîâ 5, 6 íå ìåíåå ïÿòè ðàç ñíà÷àëà äëÿ êàïèëëÿðà (8), à çàòåì äëÿ êàïèëëÿðà (12), ïðåäâàðèòåëüíî ñîåäèíèâ åãî ñ âûõîäîì áàëëîíà (øòóöåð (7)) ñèëèêîíîâûì øëàíãîì. Ïðè èñïîëüçîâàíèè êàïèëëÿðà ñ áóëüøèì çíà÷åíèåì ðàäèóñà äàâëåíèå â áàëëîíå ïàäàåò äîâîëüíî áûñòðî, ïîýòîìó ìîæíî íå ôèêñèðîâàòü ïîêàçàíèÿ ñåêóíäîìåðà äëÿ ðàçíîñòè äàâëåíèé DÐ > 150 ìì âîäÿíîãî ñòîëáà. Ïðè ñêà÷êîîáðàçíîì èçìåíåíèè ïîêàçàíèé ìàíîìåòðà âî âðåìÿ èñòå÷åíèÿ âîçäóõà ÷åðåç êàïèëëÿð ïîâòîðèòü îïûò, ïðåäâàðèòåëüíî íåñêîëüêî ðàç ïîâûñèâ è ñáðîñèâ äàâëåíèå â ìàíîìåòðå ïðè ïîìîùè ðåçèíîâîé ãðóøè. ËÊÒ-2. Ýëåìåíòû êîìïëåêñà ËÊÒ-2 ðàçìåùåíû â òðåõ ÿðóñàõ êàðêàñà (ðèñ. 2). Íèæíèé ÿðóñ ñëóæåáíûé.  íåãî âñòðîåíû ïðèáîðû è ðàçìåùàþòñÿ áëîêè, íåèñïîëüçóåìûå â äàííûé ìîìåíò, è ÿùèêè äëÿ ïðèíàäëåæíîñòåé, êîòîðûå âäâèãàþòñÿ â êàðêàñ ïî íàïðàâëÿþùèì.  ñðåäíåì ÿðóñå ðàçìåùåíû êîìïðåññîð, áëîê áàëëîíîâ è íåêîòîðûå ôóíêöèîíàëüíûå ìîäóëè. Íóæíûå äëÿ ðàáîòû áëîêè óñòàíàâëèâàþòñÿ âåðòèêàëüíî â ñðåäíåì ÿðóñå íà øòûðÿõ äâóõ áàëîê, îãðàíè÷èâàþùèõ ðàáî÷óþ çîíó ñâåðõó è ñíèçó. Áëîêè çàêðåïëÿþòñÿ ãàéêàìè, íàâèí÷èâàþùèìèñÿ íà øòûðè. Íà çàäíåé ñòåíêå óñòàíîâëåíû ðîçåòêè ýëåêòðîïèòàíèÿ (ñåòü 220 Â). Íà ïðàâîé áîêîâèíå (ñ âíóòðåííåé ñòîðîíû) èìååòñÿ êëåììà çàçåìëåíèÿ. Âåðõíèé ÿðóñ êàðêàñà ïîëêà, íà êîòîðîé ðàçìåùàåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå îñíàùåíèå. Êîìïðåññîð (1) ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ñîçäàíèÿ ïîòîêà âîçäóõà ñ íàïîðîì äî 30 êÏà è ðàñõîäîì äî 90 ìë/ñ. Êîìïðåññîð ñíàáæåí 270
Ðèñ. 2
áàëëàñòíûì îáúåìîì 0,65 ë äëÿ ñãëàæèâàíèÿ ïóëüñàöèé äàâëåíèÿ. Îñóøèòåëü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áàëëîí÷èê ñ ñèëèêàãåëåì, óäåðæèâàåìûé ïðóæèíîé. Ïîñëå áàëëàñòíîãî îáúåìà è îñóøèòåëÿ âîçäóõ ïîñòóïàåò íà øòóöåð, óñòàíîâëåííûé íà ïåðåäíåé âåðõíåé áàëêå êàðêàñà è îáîçíà÷åííûé (2). Äâà áëîêà áàëëîíîâ ñîäåðæàò ïî äâà áàëëîíà îáúåìîì 1,06 ë êàæäûé. Âûõîäû áëîêîâ âûâåäåíû íà øòóöåðû íà âåðõíåé ïåðåäíåé áàëêå êàðêàñà è îáîçíà÷åíû (3). Èçìåðèòåëüíàÿ ñèñòåìà ÈÑÒ-2 (4) çàíèìàåò îäíó ñåêöèþ íèæíåãî ýòàæà êàðêàñà. Îíà ñëóæèò äëÿ ýëåêòðîïèòàíèÿ íàãðåâàòåëåé, óïðàâëåíèÿ òåìïåðàòóðîé èçó÷àåìûõ îáúåêòîâ (â ÷àñòíîñòè, òåðìîñòàòèðîâàíèÿ) è ò.ä. Èçìåðåíèå òåìïåðàòóðû îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðè ïîìîùè äàò÷èêîâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ïîëóïðîâîäíèêîâûå äèîäû. Ïðè ïðîòåêàíèè ÷åðåç äèîä ôèêñèðîâàííîãî òîêà â ïðÿìîì íàïðàâëåíèè íàïðÿæåíèå íà íåì ïðàêòè÷åñêè ëèíåéíî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû. Ñèñòåìà ÈÑÒ-2 çàäàåò òîê è èçìåðÿåò íàïðÿæåíèå íà äèîäå, à çàòåì ïðåîáðàçóåò ýòî íàïðÿæåíèå òàê, ÷òîáû ïîêàçàíèÿ öèôðîâîãî èíäèêàòîðà äàâàëè çíà÷åíèÿ òåìïåðàòóðû ñ ðàçðåøåíèåì 0,1°Ñ. Ïåðåä ïðîâåäåíèåì èçìåðåíèé íà êîìïëåêñå ËÊÒ-2 äîëæåí áûòü óñòàíîâëåí âåðòèêàëüíî íà øòûðÿõ è çàêðåïëåí ãàéêàìè (5) áëîê «ÃÀÇ ÆÈÄÊÎÑÒÜ» (6). Íà íåì ðàñïîëîæåíû ðåîìåòð (7) óñòðîéñòâî äëÿ èçìåðåíèÿ ðàñõîäà ãàçà, ìàíîìåòð (8) 271
íà 300 ìì ðò. ñò. (40 êÏà) ñ ðàçâåòâèòåëåì (9), äâà êðàíà (10) è (11) ñî øòóöåðàìè è ýëåêòðîííûå ÷àñû (12). Ðàáî÷èå áàëëîíû (3) ñîåäèíÿþòñÿ ñ êàïèëëÿðîì (13), ðàçâåòâèòåëåì ìàíîìåòðà (9) è âûõîäîì êîìïðåññîðà (2) ñèëèêîíîâûìè øëàíãàìè. Ñõåìà ïðèâîäèòñÿ â ïðèëîæåíèè ê óñòàíîâêå. Ñáîðêà ñõåìû âûïîëíÿåòñÿ ëàáîðàíòîì. Ïðè ïðîâåäåíèè èçìåðåíèé íà ËÊÒ-2 íåîáõîäèìî âûïîëíèòü ñëåäóþùèå îïåðàöèè: 1. Îçíàêîìèòüñÿ ñ óñòðîéñòâîì êîìïëåêñà è ðàñïîëîæåíèåì åãî îñíîâíûõ óçëîâ (êîìïðåññîðà, èçìåðèòåëüíîé ñèñòåìû ÈÑÒ-2 è ïð.). 2. Îçíàêîìèòüñÿ ñ ðàáîòîé ýëåêòðîííûõ ÷àñîâ (12) è óñòàíîâèòü ðåæèì «ñåêóíäîìåð» êíîïêîé «MODE».  ýòîì ðåæèìå íà ýêðàíå äèñïëåÿ ìèãàåò íàäïèñü «SAN
SAT».  ìîäåëè ñåêóíäîìåðà íà ËÊÒ-2 ñðåäíÿÿ êíîïêà «D D» îáúåäèíÿåò ôóíêöèè «SET» è «ADVANCE». Íàæàòèå íà ëåâûé êðàé êíîïêè «D D» ñîîòâåòñòâóåò «SET», íà ïðàâûé «ADVANCE». 3. Íàêà÷àòü âîçäóõ â áàëëîíû. 3.1. Çàêðûòü êðàí (11), âðàùàÿ åãî ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå äî óïîðà, ïðè ýòîì ïåðåêðûâàåòñÿ âûõîä áàëëîíîâ ÷åðåç êàïèëëÿð. 3.2. Îòêðûòü êðàí (10), âðàùàÿ åãî ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè íà íåñêîëüêî îáîðîòîâ, ïðè ýòîì áàëëîíû ñîåäèíÿþòñÿ ñ êîìïðåññîðîì. 3.3. Ïîñòàâèòü ðåãóëÿòîð (14) êîìïðåññîðà â êðàéíåå ïîëîæåíèå, âðàùàÿ åãî ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè äî óïîðà, îáåñïå÷èâ ìèíèìàëüíûé íà÷àëüíûé íàïîð âîçäóõà. Âêëþ÷èòü êîìïðåññîð òóìáëåðîì (15) è, ñëåäÿ çà ïîêàçàíèÿìè ìàíîìåòðà, íàêà÷àòü â áàëëîíû âîçäóõ äî äàâëåíèÿ ïðèáëèçèòåëüíî 180200 ìì ðò. ñò. Ïðè íåîáõîäèìîñòè óâåëè÷èòü ìîùíîñòü ðàáîòû êîìïðåññîðà ðåãóëÿòîðîì (14). 3.4. Çàêðûòü êðàí (10) è âûêëþ÷èòü êîìïðåññîð. Ïîêàçàíèÿ ìàíîìåòðà íå äîëæíû ìåíÿòüñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè. 4. Ñíÿòü çàâèñèìîñòü äàâëåíèÿ â áàëëîíàõ îò âðåìåíè. 4.1. Îñòàíîâèòü ñåêóíäîìåð êíîïêîé «ADVANCE» (íàæàòèåì íà ïðàâûé êðàé êíîïêè «D D») è ñáðîñèòü åãî ïîêàçàíèÿ êíîïêîé «SET» íàæàòèåì íà ëåâûé êðàé êíîïêè «D D»). Íà ýêðàíå äîëæíî ïîÿâèòüñÿ çíà÷åíèå «0-0000». 4.2. Îòêðûòü êðàí (11), ïðè ýòîì âîçäóõ íà÷íåò âûõîäèòü èç áàëëîíîâ ÷åðåç êàïèëëÿð â àòìîñôåðó è ïîêàçàíèÿ ìàíîìåòðà (8) áóäóò óìåíüøàòüñÿ. Ïðè ïîäõîäå äàâëåíèÿ ê âûáðàííîìó çíà÷åíèþ DÐíà÷ (ìîæíî âçÿòü DÐíà÷ = 160 ìì ðò. ñò.) âêëþ÷èòü ñåêóíäî272
ìåð êíîïêîé «ADVANCE» (íàæàòèåì íà ïðàâûé êðàé êíîïêè «D D»). 4.3. Ïðè äîñòèæåíèè ñòîëáèêîì ìàíîìåòðà ïåðâîãî çàäàííîãî çíà÷åíèÿ DÐ (140 ìì. ðò. ñò., ñì. òàáëèöó â ðàçäåëå «Îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé») çàôèêñèðîâàòü ïîêàçàíèÿ ñåêóíäîìåðà êíîïêîé «SET» (íàæàòèåì íà ëåâûé êðàé êíîïêè «D D») è çàïèñàòü èõ â òàáëèöó, çàòåì ñíîâà íàæàòü «SET», çàôèêñèðîâàòü âòîðîå çíà÷åíèå è ò.ä. Âñåãî íåîáõîäèìî çàôèêñèðîâàòü 810 çíà÷åíèé äàâëåíèÿ è ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèé âðåìåíè. 5. Îïåðàöèè ïóíêòîâ 34 ïðîäåëàòü íå ìåíåå ïÿòè ðàç ñíà÷àëà ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå, à çàòåì ïðè òåìïåðàòóðå 60100°Ñ. Äëÿ òîãî ÷òîáû íàãðåòü âîçäóõ â ïîëîñòè ðåîìåòðà, íåîáõîäèìî: 5.1. Ñîåäèíèòü êàáåëåì ãíåçäî (15) íàãðåâàòåëÿ ðåîìåòðà ñ ãíåçäîì (16) èçìåðèòåëüíîé ñèñòåìû ÈÑÒ-2. 5.1. Âêëþ÷èòü èçìåðèòåëüíóþ ñèñòåìó ÈÑÒ-2 òóìáëåðîì (19). 5.2. Çàäàòü òðåáóåìóþ òåìïåðàòóðó ðåãóëÿòîðîì «ÒÅÌÏÅÐÀÒÓÐÀ» (17) è íàïðÿæåíèå íàãðåâàòåëÿ ïðèìåðíî 1416  ðåãóëÿòîðîì «ÍÀÃÐÅ» (18) (íàïðÿæåíèå êîíòðîëèðóåòñÿ ïî öèôðîâîìó èíäèêàòîðó (22) ïðè íàæàòîé êíîïêå (28)). 5.3. Âêëþ÷èòü íàãðåâàòåëü òóìáëåðîì (20). Ïðè äîñòèæåíèè çàäàííîé òåìïåðàòóðû ñèñòåìà ïåðåéäåò â ðåæèì òåðìîñòàòèðîâàíèÿ è çàãîðèòñÿ êðàñíûé èíäèêàòîð (21). Ïîñëå ýòîãî ìîæíî ïðîâîäèòü èçìåðåíèÿ. Çíà÷åíèå òåìïåðàòóðû â ãðàäóñàõ Öåëüñèÿ ñ÷èòûâàåòñÿ ñ öèôðîâîãî èíäèêàòîðà (22) ïðè íàæàòîé êíîïêå (23). Ïî îêîí÷àíèè èçìåðåíèé âûêëþ÷èòü íàãðåâàòåëü è ïèòàíèå èçìåðèòåëüíîé ñèñòåìû ÈÑÒ-2. ËÊÒ-10. Ýëåìåíòû êîìïëåêñà ËÊÒ-10 (áàëëîíû, âåñû, ìàíîìåòð) ñìîíòèðîâàíû íà ïëèòå-îñíîâàíèè (ðèñ. 3). Ïðè ïðîâåäåíèè èçìåðåíèé íà ËÊÒ-10 íåîáõîäèìî âûïîëíèòü ñëåäóþùèå îïåðàöèè: 1. Îçíàêîìèòüñÿ ñ ðàáîòîé ýëåêòðîííûõ ÷àñîâ è óñòàíîâèòü ðåæèì «ñåêóíäîìåð» êíîïêîé «MODE».  ýòîì ðåæèìå íà ýêðàíå äèñïëåÿ ìèãàåò íàäïèñü «SAN
SAT». Â ìîäåëè ñåêóíäîìåðà íà ËÊÒ-10 ñðåäíÿÿ êíîïêà «D D» îáúåäèíÿåò ôóíêöèè «SET» è «ADVANCE». Íàæàòèå íà ëåâûé êðàé êíîïêè «D D» ñîîòâåòñòâóåò «SET», íà ïðàâûé «ADVANCE». 2. Ñîåäèíèòü ñèëèêîíîâûìè øëàíãàìè ïðè ïîìîùè òðîéíèêîâ (6) áàëëîí (1), ðåçèíîâóþ ãðóøó (3), ìàíîìåòð (4) è êàïèëëÿð (5) òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3. 273
íà 300 ìì ðò. ñò. (40 êÏà) ñ ðàçâåòâèòåëåì (9), äâà êðàíà (10) è (11) ñî øòóöåðàìè è ýëåêòðîííûå ÷àñû (12). Ðàáî÷èå áàëëîíû (3) ñîåäèíÿþòñÿ ñ êàïèëëÿðîì (13), ðàçâåòâèòåëåì ìàíîìåòðà (9) è âûõîäîì êîìïðåññîðà (2) ñèëèêîíîâûìè øëàíãàìè. Ñõåìà ïðèâîäèòñÿ â ïðèëîæåíèè ê óñòàíîâêå. Ñáîðêà ñõåìû âûïîëíÿåòñÿ ëàáîðàíòîì. Ïðè ïðîâåäåíèè èçìåðåíèé íà ËÊÒ-2 íåîáõîäèìî âûïîëíèòü ñëåäóþùèå îïåðàöèè: 1. Îçíàêîìèòüñÿ ñ óñòðîéñòâîì êîìïëåêñà è ðàñïîëîæåíèåì åãî îñíîâíûõ óçëîâ (êîìïðåññîðà, èçìåðèòåëüíîé ñèñòåìû ÈÑÒ-2 è ïð.). 2. Îçíàêîìèòüñÿ ñ ðàáîòîé ýëåêòðîííûõ ÷àñîâ (12) è óñòàíîâèòü ðåæèì «ñåêóíäîìåð» êíîïêîé «MODE».  ýòîì ðåæèìå íà ýêðàíå äèñïëåÿ ìèãàåò íàäïèñü «SAN
SAT».  ìîäåëè ñåêóíäîìåðà íà ËÊÒ-2 ñðåäíÿÿ êíîïêà «D D» îáúåäèíÿåò ôóíêöèè «SET» è «ADVANCE». Íàæàòèå íà ëåâûé êðàé êíîïêè «D D» ñîîòâåòñòâóåò «SET», íà ïðàâûé «ADVANCE». 3. Íàêà÷àòü âîçäóõ â áàëëîíû. 3.1. Çàêðûòü êðàí (11), âðàùàÿ åãî ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå äî óïîðà, ïðè ýòîì ïåðåêðûâàåòñÿ âûõîä áàëëîíîâ ÷åðåç êàïèëëÿð. 3.2. Îòêðûòü êðàí (10), âðàùàÿ åãî ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè íà íåñêîëüêî îáîðîòîâ, ïðè ýòîì áàëëîíû ñîåäèíÿþòñÿ ñ êîìïðåññîðîì. 3.3. Ïîñòàâèòü ðåãóëÿòîð (14) êîìïðåññîðà â êðàéíåå ïîëîæåíèå, âðàùàÿ åãî ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè äî óïîðà, îáåñïå÷èâ ìèíèìàëüíûé íà÷àëüíûé íàïîð âîçäóõà. Âêëþ÷èòü êîìïðåññîð òóìáëåðîì (15) è, ñëåäÿ çà ïîêàçàíèÿìè ìàíîìåòðà, íàêà÷àòü â áàëëîíû âîçäóõ äî äàâëåíèÿ ïðèáëèçèòåëüíî 180200 ìì ðò. ñò. Ïðè íåîáõîäèìîñòè óâåëè÷èòü ìîùíîñòü ðàáîòû êîìïðåññîðà ðåãóëÿòîðîì (14). 3.4. Çàêðûòü êðàí (10) è âûêëþ÷èòü êîìïðåññîð. Ïîêàçàíèÿ ìàíîìåòðà íå äîëæíû ìåíÿòüñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè. 4. Ñíÿòü çàâèñèìîñòü äàâëåíèÿ â áàëëîíàõ îò âðåìåíè. 4.1. Îñòàíîâèòü ñåêóíäîìåð êíîïêîé «ADVANCE» (íàæàòèåì íà ïðàâûé êðàé êíîïêè «D D») è ñáðîñèòü åãî ïîêàçàíèÿ êíîïêîé «SET» íàæàòèåì íà ëåâûé êðàé êíîïêè «D D»). Íà ýêðàíå äîëæíî ïîÿâèòüñÿ çíà÷åíèå «0-0000». 4.2. Îòêðûòü êðàí (11), ïðè ýòîì âîçäóõ íà÷íåò âûõîäèòü èç áàëëîíîâ ÷åðåç êàïèëëÿð â àòìîñôåðó è ïîêàçàíèÿ ìàíîìåòðà (8) áóäóò óìåíüøàòüñÿ. Ïðè ïîäõîäå äàâëåíèÿ ê âûáðàííîìó çíà÷åíèþ DÐíà÷ (ìîæíî âçÿòü DÐíà÷ = 160 ìì ðò. ñò.) âêëþ÷èòü ñåêóíäî272
ìåð êíîïêîé «ADVANCE» (íàæàòèåì íà ïðàâûé êðàé êíîïêè «D D»). 4.3. Ïðè äîñòèæåíèè ñòîëáèêîì ìàíîìåòðà ïåðâîãî çàäàííîãî çíà÷åíèÿ DÐ (140 ìì. ðò. ñò., ñì. òàáëèöó â ðàçäåëå «Îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé») çàôèêñèðîâàòü ïîêàçàíèÿ ñåêóíäîìåðà êíîïêîé «SET» (íàæàòèåì íà ëåâûé êðàé êíîïêè «D D») è çàïèñàòü èõ â òàáëèöó, çàòåì ñíîâà íàæàòü «SET», çàôèêñèðîâàòü âòîðîå çíà÷åíèå è ò.ä. Âñåãî íåîáõîäèìî çàôèêñèðîâàòü 810 çíà÷åíèé äàâëåíèÿ è ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèé âðåìåíè. 5. Îïåðàöèè ïóíêòîâ 34 ïðîäåëàòü íå ìåíåå ïÿòè ðàç ñíà÷àëà ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå, à çàòåì ïðè òåìïåðàòóðå 60100°Ñ. Äëÿ òîãî ÷òîáû íàãðåòü âîçäóõ â ïîëîñòè ðåîìåòðà, íåîáõîäèìî: 5.1. Ñîåäèíèòü êàáåëåì ãíåçäî (15) íàãðåâàòåëÿ ðåîìåòðà ñ ãíåçäîì (16) èçìåðèòåëüíîé ñèñòåìû ÈÑÒ-2. 5.1. Âêëþ÷èòü èçìåðèòåëüíóþ ñèñòåìó ÈÑÒ-2 òóìáëåðîì (19). 5.2. Çàäàòü òðåáóåìóþ òåìïåðàòóðó ðåãóëÿòîðîì «ÒÅÌÏÅÐÀÒÓÐÀ» (17) è íàïðÿæåíèå íàãðåâàòåëÿ ïðèìåðíî 1416  ðåãóëÿòîðîì «ÍÀÃÐÅ» (18) (íàïðÿæåíèå êîíòðîëèðóåòñÿ ïî öèôðîâîìó èíäèêàòîðó (22) ïðè íàæàòîé êíîïêå (28)). 5.3. Âêëþ÷èòü íàãðåâàòåëü òóìáëåðîì (20). Ïðè äîñòèæåíèè çàäàííîé òåìïåðàòóðû ñèñòåìà ïåðåéäåò â ðåæèì òåðìîñòàòèðîâàíèÿ è çàãîðèòñÿ êðàñíûé èíäèêàòîð (21). Ïîñëå ýòîãî ìîæíî ïðîâîäèòü èçìåðåíèÿ. Çíà÷åíèå òåìïåðàòóðû â ãðàäóñàõ Öåëüñèÿ ñ÷èòûâàåòñÿ ñ öèôðîâîãî èíäèêàòîðà (22) ïðè íàæàòîé êíîïêå (23). Ïî îêîí÷àíèè èçìåðåíèé âûêëþ÷èòü íàãðåâàòåëü è ïèòàíèå èçìåðèòåëüíîé ñèñòåìû ÈÑÒ-2. ËÊÒ-10. Ýëåìåíòû êîìïëåêñà ËÊÒ-10 (áàëëîíû, âåñû, ìàíîìåòð) ñìîíòèðîâàíû íà ïëèòå-îñíîâàíèè (ðèñ. 3). Ïðè ïðîâåäåíèè èçìåðåíèé íà ËÊÒ-10 íåîáõîäèìî âûïîëíèòü ñëåäóþùèå îïåðàöèè: 1. Îçíàêîìèòüñÿ ñ ðàáîòîé ýëåêòðîííûõ ÷àñîâ è óñòàíîâèòü ðåæèì «ñåêóíäîìåð» êíîïêîé «MODE».  ýòîì ðåæèìå íà ýêðàíå äèñïëåÿ ìèãàåò íàäïèñü «SAN
SAT». Â ìîäåëè ñåêóíäîìåðà íà ËÊÒ-10 ñðåäíÿÿ êíîïêà «D D» îáúåäèíÿåò ôóíêöèè «SET» è «ADVANCE». Íàæàòèå íà ëåâûé êðàé êíîïêè «D D» ñîîòâåòñòâóåò «SET», íà ïðàâûé «ADVANCE». 2. Ñîåäèíèòü ñèëèêîíîâûìè øëàíãàìè ïðè ïîìîùè òðîéíèêîâ (6) áàëëîí (1), ðåçèíîâóþ ãðóøó (3), ìàíîìåòð (4) è êàïèëëÿð (5) òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3. 273
ìì âîä. ñò. (ËÊÒ-5) 160
Ðèñ. 3
3. Ïåðåêðûòü êàïèëëÿð çàæèìîì (7), íàêà÷àòü â áàëëîí âîçäóõ äî ðàçíîñòè äàâëåíèé DÐíà÷ » 180200 ìì ðò. ñò., ïåðåêðûòü çàæèìîì (8) øëàíã îò ðåçèíîâîé ãðóøè. 4. Ñíÿòü çàâèñèìîñòü äàâëåíèÿ â áàëëîíå îò âðåìåíè. 4.1. Îñòàíîâèòü ñåêóíäîìåð êíîïêîé «ADVANCE» (íàæàòèåì íà ïðàâûé êðàé êíîïêè «D D») è ñáðîñèòü åãî ïîêàçàíèÿ êíîïêîé «SET» (íàæàòèåì íà ëåâûé êðàé êíîïêè «D D»). Íà ýêðàíå äîëæíî ïîÿâèòüñÿ çíà÷åíèå «0-0000». 4.2. Îòêðûòü êàïèëëÿð, îñëàáèâ çàæèì (7), ïðè ýòîì âîçäóõ íà÷íåò âûõîäèòü èç áàëëîíà ÷åðåç êàïèëëÿð â àòìîñôåðó è ïîêàçàíèÿ ìàíîìåòðà (4) áóäóò óìåíüøàòüñÿ. Ïðè ïîäõîäå äàâëåíèÿ ê âûáðàííîìó çíà÷åíèþ DÐíà÷ (ìîæíî âçÿòü DÐíà÷ = =160 ìì ðò. ñò.) âêëþ÷èòü ñåêóíäîìåð êíîïêîé «ADVANCE» (íàæàòèåì íà ïðàâûé êðàé êíîïêè «D D»). 4.3. Ïðè äîñòèæåíèè ñòîëáèêîì ìàíîìåòðà ïåðâîãî çàäàííîãî çíà÷åíèÿ DÐ (ñì. òàáëèöó â ðàçäåëå «Îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé») çàôèêñèðîâàòü ïîêàçàíèÿ ñåêóíäîìåðà êíîïêîé «SET» (íàæàòèåì íà ëåâûé êðàé êíîïêè «D D») è çàïèñàòü èõ â òàáëèöó, çàòåì ñíîâà íàæàòü «SET», çàôèêñèðîâàòü âòîðîå çíà÷åíèå è ò.ä. Âñåãî íåîáõîäèìî çàôèêñèðîâàòü 810 çíà÷åíèé äàâëåíèÿ è ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèé âðåìåíè. 5. Îïåðàöèè ïóíêòîâ 34 ïðîäåëàòü íå ìåíåå ïÿòè ðàç. Îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé Ïðèìåðíûé âèä òàáëèöû, â êîòîðóþ çàíîñÿòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå, ìîæåò áûòü ñëåäóþùèì: Êàïèëëÿð L0 = ... ìì, D0 = ... ìì, Áàëëîí V0 =
ë, Òåìïåðàòóðà Ò = ... Ê. Äèàìåòð D0 è äëèíà L0 èñïîëüçóåìûõ êàïèëëÿðîâ, à òàêæå îáúåì áàëëîíîâ V0 ïðèâîäÿòñÿ â ïðèëîæåíèè ê ýêñïåðèìåíòàëüíîé óñòàíîâêå. Äëÿ îáðàáîòêè ðåçóëüòàòîâ íåîáõîäèìî: 274
(DÐíà÷)
DÐ
ìì ðò. ñò. (ËÊÒ-2, ËÊÒ-10) 160
t1 (ìèí×ñ)
t2
t3
t5
átñ
ln( DÐ/DÐíà÷)
000,00
0
t4
140 140 120 120 100 100 80 80 70 70 60 60 50 50 40 40
Óãëîâîé êîýôôèöèåíò (òàíãåíñ íàêëîíà) À = ... , Êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè h = ... (Ïà×ñ)
1) äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ DÐ íàéòè ñðåäíåå çíà÷åíèå âðåìåíè átñ = S t n /n, ïðè êîòîðîì îíî äîñòèãàëîñü (n = 5); 2) ïîñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè ln(DP/DÐíà÷) îò âðåìåíè átñ; 3) âûäåëèòü ëèíåéíûå ó÷àñòêè ãðàôèêà, îïðåäåëèòü îáëàñòü ëàìèíàðíîãî òå÷åíèÿ âîçäóõà. Äëÿ äàííûõ, ñíÿòûõ ïðè äàâëåíèÿõ Ð £ 200 ìì ðò. ñò. (íà óñòàíîâêàõ ËÊÒ-2 è ËÊÒ-10), ëèíåéíûõ ó÷àñòêîâ áóäåò äâà. Îäèí èç íèõ ñîîòâåòñòâóåò òóðáóëåíòíîìó òå÷åíèþ âîçäóõà (äëÿ çíà÷åíèé DÐ, ïðåâûøàþùèõ ïðèáëèçèòåëüíî 100 ìì ðò. ñò.), à äðóãîé ëàìèíàðíîìó (äëÿ áîëåå íèçêèõ ïåðåïàäîâ äàâëåíèÿ). Òî÷êà èçëîìà ãðàôèêà áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü èçìåíåíèþ òèïà òå÷åíèÿ (ðèñ. 4);
Ðèñ. 4.
4) ðàññ÷èòàòü êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè h ïî ôîðìóëå (7) ÷åðåç òàíãåíñ À óãëà íàêëîíà ïðÿìîé, ñîîòâåòñòâóþùåé ó÷àñòêó ëàìèíàðíîãî òå÷åíèÿ; 275
ìì âîä. ñò. (ËÊÒ-5) 160
Ðèñ. 3
3. Ïåðåêðûòü êàïèëëÿð çàæèìîì (7), íàêà÷àòü â áàëëîí âîçäóõ äî ðàçíîñòè äàâëåíèé DÐíà÷ » 180200 ìì ðò. ñò., ïåðåêðûòü çàæèìîì (8) øëàíã îò ðåçèíîâîé ãðóøè. 4. Ñíÿòü çàâèñèìîñòü äàâëåíèÿ â áàëëîíå îò âðåìåíè. 4.1. Îñòàíîâèòü ñåêóíäîìåð êíîïêîé «ADVANCE» (íàæàòèåì íà ïðàâûé êðàé êíîïêè «D D») è ñáðîñèòü åãî ïîêàçàíèÿ êíîïêîé «SET» (íàæàòèåì íà ëåâûé êðàé êíîïêè «D D»). Íà ýêðàíå äîëæíî ïîÿâèòüñÿ çíà÷åíèå «0-0000». 4.2. Îòêðûòü êàïèëëÿð, îñëàáèâ çàæèì (7), ïðè ýòîì âîçäóõ íà÷íåò âûõîäèòü èç áàëëîíà ÷åðåç êàïèëëÿð â àòìîñôåðó è ïîêàçàíèÿ ìàíîìåòðà (4) áóäóò óìåíüøàòüñÿ. Ïðè ïîäõîäå äàâëåíèÿ ê âûáðàííîìó çíà÷åíèþ DÐíà÷ (ìîæíî âçÿòü DÐíà÷ = =160 ìì ðò. ñò.) âêëþ÷èòü ñåêóíäîìåð êíîïêîé «ADVANCE» (íàæàòèåì íà ïðàâûé êðàé êíîïêè «D D»). 4.3. Ïðè äîñòèæåíèè ñòîëáèêîì ìàíîìåòðà ïåðâîãî çàäàííîãî çíà÷åíèÿ DÐ (ñì. òàáëèöó â ðàçäåëå «Îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé») çàôèêñèðîâàòü ïîêàçàíèÿ ñåêóíäîìåðà êíîïêîé «SET» (íàæàòèåì íà ëåâûé êðàé êíîïêè «D D») è çàïèñàòü èõ â òàáëèöó, çàòåì ñíîâà íàæàòü «SET», çàôèêñèðîâàòü âòîðîå çíà÷åíèå è ò.ä. Âñåãî íåîáõîäèìî çàôèêñèðîâàòü 810 çíà÷åíèé äàâëåíèÿ è ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèé âðåìåíè. 5. Îïåðàöèè ïóíêòîâ 34 ïðîäåëàòü íå ìåíåå ïÿòè ðàç. Îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé Ïðèìåðíûé âèä òàáëèöû, â êîòîðóþ çàíîñÿòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå, ìîæåò áûòü ñëåäóþùèì: Êàïèëëÿð L0 = ... ìì, D0 = ... ìì, Áàëëîí V0 =
ë, Òåìïåðàòóðà Ò = ... Ê. Äèàìåòð D0 è äëèíà L0 èñïîëüçóåìûõ êàïèëëÿðîâ, à òàêæå îáúåì áàëëîíîâ V0 ïðèâîäÿòñÿ â ïðèëîæåíèè ê ýêñïåðèìåíòàëüíîé óñòàíîâêå. Äëÿ îáðàáîòêè ðåçóëüòàòîâ íåîáõîäèìî: 274
(DÐíà÷)
DÐ
ìì ðò. ñò. (ËÊÒ-2, ËÊÒ-10) 160
t1 (ìèí×ñ)
t2
t3
t5
átñ
ln( DÐ/DÐíà÷)
000,00
0
t4
140 140 120 120 100 100 80 80 70 70 60 60 50 50 40 40
Óãëîâîé êîýôôèöèåíò (òàíãåíñ íàêëîíà) À = ... , Êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè h = ... (Ïà×ñ)
1) äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ DÐ íàéòè ñðåäíåå çíà÷åíèå âðåìåíè átñ = S t n /n, ïðè êîòîðîì îíî äîñòèãàëîñü (n = 5); 2) ïîñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè ln(DP/DÐíà÷) îò âðåìåíè átñ; 3) âûäåëèòü ëèíåéíûå ó÷àñòêè ãðàôèêà, îïðåäåëèòü îáëàñòü ëàìèíàðíîãî òå÷åíèÿ âîçäóõà. Äëÿ äàííûõ, ñíÿòûõ ïðè äàâëåíèÿõ Ð £ 200 ìì ðò. ñò. (íà óñòàíîâêàõ ËÊÒ-2 è ËÊÒ-10), ëèíåéíûõ ó÷àñòêîâ áóäåò äâà. Îäèí èç íèõ ñîîòâåòñòâóåò òóðáóëåíòíîìó òå÷åíèþ âîçäóõà (äëÿ çíà÷åíèé DÐ, ïðåâûøàþùèõ ïðèáëèçèòåëüíî 100 ìì ðò. ñò.), à äðóãîé ëàìèíàðíîìó (äëÿ áîëåå íèçêèõ ïåðåïàäîâ äàâëåíèÿ). Òî÷êà èçëîìà ãðàôèêà áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü èçìåíåíèþ òèïà òå÷åíèÿ (ðèñ. 4);
Ðèñ. 4.
4) ðàññ÷èòàòü êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè h ïî ôîðìóëå (7) ÷åðåç òàíãåíñ À óãëà íàêëîíà ïðÿìîé, ñîîòâåòñòâóþùåé ó÷àñòêó ëàìèíàðíîãî òå÷åíèÿ; 275
5) ñðàâíèòü çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà âÿçêîñòè, ïîëó÷åííûå ïðè ðàçíûõ òåìïåðàòóðàõ, îáúÿñíèòü ðåçóëüòàò (äëÿ äàííûõ, ñíÿòûõ íà óñòàíîâêå ËÊÒ-2). Ðàñ÷åò óãëîâîãî êîýôôèöèåíòà À ìîæíî ïðîâåñòè ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Ðàññ÷èòàòü ñðåäíåå äàâëåíèå áPñ = P 0 + áDPñ â áàëëîíå ìîæíî, íàïðèìåð, ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü ëàìèíàðíûé õàðàêòåð òå÷åíèÿ ãàçà ïî êàïèëëÿðó ñîîòâåòñòâóåò ðàçíîñòÿì äàâëåíèé, ëåæàùèì â èíòåðâàëå îò DPL äî ïîñëåäíåãî èçìåðåííîãî çíà÷åíèÿ DPN. Ýòèì çíà÷åíèÿì DPL, DPL + 1, DPL + 2,
, DPN ñîîòâåòñòâóþò ñðåäíèå çíà÷åíèÿ âðåìåíè á tñ L, átñ L + 1, átñ L + 2,
, átñ N (cì. òàáëèöó). Òîãäà äëÿ áPñ ìîæíî çàïèñàòü: t ïì DP = íDPL ïî ... + DPN
t
N
L +1
- t
2
- t 2
L
ü ý ïþ t
+ DPL +1
N -1 ï
N
1 - t
t
L +2
- t
2
L
+ DPL + 2
t
L +3
- t 2
L +1
+ ...
. L
Ëèòåðàòóðà 1. Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 3. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 7. Ôèçè÷åñêàÿ êèíåòèêà. § 7.5. Âÿçêîñòü ãàçîâ. 2. Á å ë î â Ä. Â. Ìåõàíèêà. Ì.: Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò ÌÃÓ, ÍÝÂÖ ÔÈÏÒ, 1998. § 29. Äâèæåíèå âÿçêîé æèäêîñòè.
Çàäà÷a ¹ 32 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀ ÒÅÏËÎÏÐÎÂÎÄÍÎÑÒÈ ÂÎÇÄÓÕÀ
Öåëü çàäà÷è: îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòà òåïëîïðîâîäíîñòè âîçäóõà ìåòîäîì íàãðåòîé íèòè. Ýêñïåðèìåíòàëüíûé ìåòîä Èññëåäóåìûé ãàç (âîçäóõ) çàïîëíÿåò ïðîñòðàíñòâî âíóòðè öèëèíäðè÷åñêîé òðóáêè, ïî îñè êîòîðîé íàòÿíóòà ìåòàëëè÷åñêàÿ íèòü. ×åðåç íèòü ïðîïóñêàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèé òîê, ïðè ýòîì â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì ÄæîóëÿËåíöà âûäåëÿåòñÿ òåïëî è âîçäóõ â òðóáêå íàãðåâàåòñÿ. Êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè ìîæíî ðàññ÷èòàòü, çíàÿ ìîùíîñòü íàãðåâà W è ðàçíîñòü òåìïåðàòóð íèòè è êîðïóñà Ò Òê. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Ïåðåíîñ òåïëà îò áîëåå íàãðåòîé ÷àñòè êàêîãî-ëèáî òåëà ê ìåíåå íàãðåòîé ìîæåò îñóùåñòâëÿòüñÿ òðåìÿ ñïîñîáàìè: òåïëîïðîâîäíîñòüþ, êîíâåêöèåé è ëó÷åèñïóñêàíèåì.  ñëó÷àå ïåðåäà÷è òåïëà ïóòåì òåïëîïðîâîäíîñòè êîëè÷åñòâî òåïëà dQ, ïðîõîäÿùåå çà âðåìÿ dt ÷åðåç ïëîùàäêó dS, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê íàïðàâëåíèþ, â êîòîðîì ñóùåñòâóåò ãðàäèåíò òåìïåðàòóðû dT/dx, áóäåò ðàâíî dQ = -
dT dSdt , dx
(1)
ãäå êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè, çàâèñÿùèé îò ñâîéñòâ âåùåñòâà. Óðàâíåíèå (1) ýìïèðè÷åñêîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè. Åãî íàçûâàþò òàêæå çàêîíîì Ôóðüå. Åñëè íèòü íàãðåòü òîêîì, à òåìïåðàòóðó ñòåíîê òðóáêè ïîääåðæèâàòü ïîñòîÿííîé, òî â íàïðàâëåíèè ðàäèóñà òðóáêè âîçíèêàåò ãðàäèåíò òåìïåðàòóðû. ×åðåç ëþáóþ êîàêñèàëüíóþ ñ íèòüþ ïîâåðõíîñòü ðàäèóñà r çà åäèíèöó âðåìåíè ïðîéäåò êîëè÷åñòâî òåïëà Q = -2prL
dT , dr
(2)
ãäå L äëèíà íèòè. Äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà Q âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ. Ðàçäåëèì ïåðåìåííûå â ïîëó÷åííîì óðàâíåíèè: Q dr = -2pLdT . r 277
5) ñðàâíèòü çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà âÿçêîñòè, ïîëó÷åííûå ïðè ðàçíûõ òåìïåðàòóðàõ, îáúÿñíèòü ðåçóëüòàò (äëÿ äàííûõ, ñíÿòûõ íà óñòàíîâêå ËÊÒ-2). Ðàñ÷åò óãëîâîãî êîýôôèöèåíòà À ìîæíî ïðîâåñòè ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Ðàññ÷èòàòü ñðåäíåå äàâëåíèå áPñ = P 0 + áDPñ â áàëëîíå ìîæíî, íàïðèìåð, ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü ëàìèíàðíûé õàðàêòåð òå÷åíèÿ ãàçà ïî êàïèëëÿðó ñîîòâåòñòâóåò ðàçíîñòÿì äàâëåíèé, ëåæàùèì â èíòåðâàëå îò DPL äî ïîñëåäíåãî èçìåðåííîãî çíà÷åíèÿ DPN. Ýòèì çíà÷åíèÿì DPL, DPL + 1, DPL + 2,
, DPN ñîîòâåòñòâóþò ñðåäíèå çíà÷åíèÿ âðåìåíè á tñ L, átñ L + 1, átñ L + 2,
, átñ N (cì. òàáëèöó). Òîãäà äëÿ áPñ ìîæíî çàïèñàòü: t ïì DP = íDPL ïî ... + DPN
t
N
L +1
- t
2
- t 2
L
ü ý ïþ t
+ DPL +1
N -1 ï
N
1 - t
t
L +2
- t
2
L
+ DPL + 2
t
L +3
- t 2
L +1
+ ...
. L
Ëèòåðàòóðà 1. Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 3. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 7. Ôèçè÷åñêàÿ êèíåòèêà. § 7.5. Âÿçêîñòü ãàçîâ. 2. Á å ë î â Ä. Â. Ìåõàíèêà. Ì.: Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò ÌÃÓ, ÍÝÂÖ ÔÈÏÒ, 1998. § 29. Äâèæåíèå âÿçêîé æèäêîñòè.
Çàäà÷a ¹ 32 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀ ÒÅÏËÎÏÐÎÂÎÄÍÎÑÒÈ ÂÎÇÄÓÕÀ
Öåëü çàäà÷è: îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòà òåïëîïðîâîäíîñòè âîçäóõà ìåòîäîì íàãðåòîé íèòè. Ýêñïåðèìåíòàëüíûé ìåòîä Èññëåäóåìûé ãàç (âîçäóõ) çàïîëíÿåò ïðîñòðàíñòâî âíóòðè öèëèíäðè÷åñêîé òðóáêè, ïî îñè êîòîðîé íàòÿíóòà ìåòàëëè÷åñêàÿ íèòü. ×åðåç íèòü ïðîïóñêàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèé òîê, ïðè ýòîì â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì ÄæîóëÿËåíöà âûäåëÿåòñÿ òåïëî è âîçäóõ â òðóáêå íàãðåâàåòñÿ. Êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè ìîæíî ðàññ÷èòàòü, çíàÿ ìîùíîñòü íàãðåâà W è ðàçíîñòü òåìïåðàòóð íèòè è êîðïóñà Ò Òê. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Ïåðåíîñ òåïëà îò áîëåå íàãðåòîé ÷àñòè êàêîãî-ëèáî òåëà ê ìåíåå íàãðåòîé ìîæåò îñóùåñòâëÿòüñÿ òðåìÿ ñïîñîáàìè: òåïëîïðîâîäíîñòüþ, êîíâåêöèåé è ëó÷åèñïóñêàíèåì.  ñëó÷àå ïåðåäà÷è òåïëà ïóòåì òåïëîïðîâîäíîñòè êîëè÷åñòâî òåïëà dQ, ïðîõîäÿùåå çà âðåìÿ dt ÷åðåç ïëîùàäêó dS, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê íàïðàâëåíèþ, â êîòîðîì ñóùåñòâóåò ãðàäèåíò òåìïåðàòóðû dT/dx, áóäåò ðàâíî dQ = -
dT dSdt , dx
(1)
ãäå êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè, çàâèñÿùèé îò ñâîéñòâ âåùåñòâà. Óðàâíåíèå (1) ýìïèðè÷åñêîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè. Åãî íàçûâàþò òàêæå çàêîíîì Ôóðüå. Åñëè íèòü íàãðåòü òîêîì, à òåìïåðàòóðó ñòåíîê òðóáêè ïîääåðæèâàòü ïîñòîÿííîé, òî â íàïðàâëåíèè ðàäèóñà òðóáêè âîçíèêàåò ãðàäèåíò òåìïåðàòóðû. ×åðåç ëþáóþ êîàêñèàëüíóþ ñ íèòüþ ïîâåðõíîñòü ðàäèóñà r çà åäèíèöó âðåìåíè ïðîéäåò êîëè÷åñòâî òåïëà Q = -2prL
dT , dr
(2)
ãäå L äëèíà íèòè. Äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà Q âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ. Ðàçäåëèì ïåðåìåííûå â ïîëó÷åííîì óðàâíåíèè: Q dr = -2pLdT . r 277
Èíòåãðèðóÿ ëåâóþ ÷àñòü â ïðåäåëàõ îò d äî D, ïðàâóþ â ïðåäåëàõ îò Òê äî Ò è èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ, äëÿ êîýôôèöèåíòà òåïëîïðîâîäíîñòè ïîëó÷èì D ln Q d , = × 2pL T - Tê
(3)
ãäå D äèàìåòð òðóáêè; d äèàìåòð íèòè; T è Tê cîîòâåòñòâåííî òåìïåðàòóðû íèòè è êîðïóñà òðóáêè. Òåìïåðàòóðó òðóáêè Tê ìîæíî îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ äàò÷èêà òåìïåðàòóðû, ââåðíóòîãî â êîðïóñ. Òåìïåðàòóðó íèòè T îïðåäåëÿþò ïî èçìåíåíèþ åå ýëåêòðè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ïðè íàãðåâàíèè.  îáëàñòè ïðèìåíÿåìûõ òåìïåðàòóð ñîïðîòèâëåíèå ìåòàëëè÷åñêîé íèòè R ðàñòåò ñ òåìïåðàòóðîé ïî ëèíåéíîìó çàêîíó R = R 0 (1 + aT) , (4) ãäå R0 ñîïðîòèâëåíèå íèòè ïðè 0°Ñ; a òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëà íèòè. Èçìåðèâ ñîïðîòèâëåíèå íèòè R1 äî íàãðåâàíèÿ ïðè íà÷àëüíîé òåìïåðàòóðå T1 (ò.å. òåìïåðàòóðà ðàâíà òåìïåðàòóðå êîðïóñà) è ñîïðîòèâëåíèå R ïðè èñêîìîé òåìïåðàòóðå T è çíàÿ òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ âåùåñòâà íèòè a, ïîëó÷èì T = T1 +
R - R 1 1 + aT1 × . a R1
(5)
Ñ÷èòàÿ, ÷òî âñå âûäåëÿåìîå èäóùèì ïî íèòè òîêîì òåïëî ïåðåíîñèòñÿ ïóòåì òåïëîïðîâîäíîñòè, ïî óñòàíîâèâøåéñÿ ðàçíîñòè òåìïåðàòóðû T íèòè è òåìïåðàòóðû Tê êîðïóñà îïðåäåëÿþò êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè âîçäóõà: D ln W d , × = 2pL T - Tê
â á
(6)
ãäå W ìîùíîñòü íàãðåâàíèÿ íèòè. Ïîðÿäîê èçìåðåíèé Ðàáîòà âûïîëíÿåòñÿ íà óíèâåðñàëüíîì ëàáîðàòîðíîì êîìïëåêñå ËÊÒ-2, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ïðîâîäèòü èçìåðåíèÿ ðàçëè÷íûõ ïðîöåññîâ â ãàçàõ. Îáùèé âèä óñòàíîâêè ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 1à. Ïðè âûïîëíåíèè äàííîé ðàáîòû èñïîëüçóþòñÿ: ýêñïåðèìåíòàëüíûé ìîäóëü (ðèñ. 1á), èçìåðèòåëüíàÿ ñèñòåìà ÈÑÒ-2Ì, ñîåäèíèòåëüíûå ïðîâîäà. 278
à
ã Ðèñ. 1
279
Èíòåãðèðóÿ ëåâóþ ÷àñòü â ïðåäåëàõ îò d äî D, ïðàâóþ â ïðåäåëàõ îò Òê äî Ò è èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ, äëÿ êîýôôèöèåíòà òåïëîïðîâîäíîñòè ïîëó÷èì D ln Q d , = × 2pL T - Tê
(3)
ãäå D äèàìåòð òðóáêè; d äèàìåòð íèòè; T è Tê cîîòâåòñòâåííî òåìïåðàòóðû íèòè è êîðïóñà òðóáêè. Òåìïåðàòóðó òðóáêè Tê ìîæíî îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ äàò÷èêà òåìïåðàòóðû, ââåðíóòîãî â êîðïóñ. Òåìïåðàòóðó íèòè T îïðåäåëÿþò ïî èçìåíåíèþ åå ýëåêòðè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ïðè íàãðåâàíèè.  îáëàñòè ïðèìåíÿåìûõ òåìïåðàòóð ñîïðîòèâëåíèå ìåòàëëè÷åñêîé íèòè R ðàñòåò ñ òåìïåðàòóðîé ïî ëèíåéíîìó çàêîíó R = R 0 (1 + aT) , (4) ãäå R0 ñîïðîòèâëåíèå íèòè ïðè 0°Ñ; a òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëà íèòè. Èçìåðèâ ñîïðîòèâëåíèå íèòè R1 äî íàãðåâàíèÿ ïðè íà÷àëüíîé òåìïåðàòóðå T1 (ò.å. òåìïåðàòóðà ðàâíà òåìïåðàòóðå êîðïóñà) è ñîïðîòèâëåíèå R ïðè èñêîìîé òåìïåðàòóðå T è çíàÿ òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ âåùåñòâà íèòè a, ïîëó÷èì T = T1 +
R - R 1 1 + aT1 × . a R1
(5)
Ñ÷èòàÿ, ÷òî âñå âûäåëÿåìîå èäóùèì ïî íèòè òîêîì òåïëî ïåðåíîñèòñÿ ïóòåì òåïëîïðîâîäíîñòè, ïî óñòàíîâèâøåéñÿ ðàçíîñòè òåìïåðàòóðû T íèòè è òåìïåðàòóðû Tê êîðïóñà îïðåäåëÿþò êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè âîçäóõà: D ln W d , × = 2pL T - Tê
â á
(6)
ãäå W ìîùíîñòü íàãðåâàíèÿ íèòè. Ïîðÿäîê èçìåðåíèé Ðàáîòà âûïîëíÿåòñÿ íà óíèâåðñàëüíîì ëàáîðàòîðíîì êîìïëåêñå ËÊÒ-2, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ïðîâîäèòü èçìåðåíèÿ ðàçëè÷íûõ ïðîöåññîâ â ãàçàõ. Îáùèé âèä óñòàíîâêè ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 1à. Ïðè âûïîëíåíèè äàííîé ðàáîòû èñïîëüçóþòñÿ: ýêñïåðèìåíòàëüíûé ìîäóëü (ðèñ. 1á), èçìåðèòåëüíàÿ ñèñòåìà ÈÑÒ-2Ì, ñîåäèíèòåëüíûå ïðîâîäà. 278
à
ã Ðèñ. 1
279
 êîðïóñå ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ìîäóëÿ íà ïåðåäíåé ïàíåëè ðàñïîëîæåí öèëèíäðè÷åñêèé êàíàë (òðóáêà), âíóòðè êîòîðîãî ïî îñè òðóáêè íàòÿíóòà ìåòàëëè÷åñêàÿ íèòü èç ñïëàâà íà îñíîâå íèêåëÿ. Êàíàë çàêðûò ïðîáêàìè. Ñõåìà ñîåäèíåíèé íèòè ïîêàçàíà íà ðèñ. 1â. Íèòü ïîäêëþ÷åíà ê ãíåçäàì «Uí» íà ïàíåëè ìîäóëÿ. Ïîñëåäîâàòåëüíî ñ íèòüþ âêëþ÷åí ýòàëîííûé ðåçèñòîð R0, ïîäêëþ÷åííûé ê ãíåçäàì «Uýò». Ê ãíåçäàì «ÏÈÒ» ïîäêëþ÷àþò èñòî÷íèê ïèòàíèÿ èçìåðèòåëüíîé ñèñòåìû ÈÑÒ-2Ì. Ñ ïîìîùüþ ìóëüòèìåòðà (ðèñ. 2) ïîî÷åðåäíî èçìåðÿþò íàïðÿæåíèå íà íèòè è íà ýòàëîííîì ðåçèñòîðå, èç ÷åãî îïðåäåëÿþò ñîïðîòèâëåíèå íèòè R è âûäåëèâøóþñÿ â íåé òåïëîâóþ ìîùíîñòü W. Ïî ñîïðîòèâëåíèþ íèòè îïðåäåëÿþò åå òåìïåðàòóðó T. Òåìïåðàòóðó êîðïóñà Tê èçìåðÿþò ñ ïîìîùüþ äàò÷èêà òåìïåðàòóðû, ââåðíóòîãî â êîðïóñ (ãíåçäî «ÄÀÒ»). Ïðè ïðîâåäåíèè èçìåðåíèé íåîáõîäèìî âûïîëíèòü ñëåäóþùèå îïåðàöèè: 1. Ñîáðàòü ýëåêòðè÷åñêóþ ñõåìó. 1.1. Âêëþ÷èòü èñòî÷íèê ïèòàíèÿ â ñõåìó ñîåäèíåíèé íèòè. Äëÿ ýòîãî ê ãíåçäàì «ÏÈÒ» ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ìîäóëÿ ñ ïîìîùüþ ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäîâ ïîäñîåäèíèòü èñòî÷íèê ïèòàíèÿ èçìåðèòåëüíîé ñèñòåìû (ãíåçäà «ÍÀÃл è «ÎÁÙ» íà ïåðåäíåé ïàíåëè èçìåðèòåëüíîé ñèñòåìû ÈÑÒ-2Ì (ñì. ðèñ. 1ã)); 1.2. Äàò÷èê òåìïåðàòóðû êîðïóñà (ãíåçäî «ÄÀÒ» íà ïàíåëè ìîäóëÿ) ñ ïîìîùüþ ñîåäèíèòåëüíîãî ïðîâîäà ïîäêëþ÷èòü ê ãíåçäó «Ä1» èçìåðèòåëüíîé ñèñòåìû ÈÑÒÐèñ. 2 2Ì. Íàæàòü êíîïêó «T1». Òåìïåðàòóðà êîðïóñà Tê â °Ñ áóäåò âûñâå÷èâàòüñÿ íà öèôðîâîì èíäèêàòîðå. 1.3. Ãíåçäà «Uýò» è «Uí» ïàíåëè ìîäóëÿ ñëóæàò äëÿ èçìåðåíèÿ íàïðÿæåíèÿ U0 íà ýòàëîííîì ðåçèñòîðå è íàïðÿæåíèÿ Uí íà íèòè.  ïðîöåññå âûïîëíåíèÿ ðàáîòû ê íèì ïîî÷åðåäíî ïîäêëþ÷àåòñÿ ìóëüòèìåòð. Ïðè èçìåðåíèÿõ íàïðÿæåíèÿ ïðåäåëû èçìåðåíèé ìóëüòèìåòðà ñëåäóåò âûáèðàòü òàê, ÷òîáû ïîêàçàíèÿ èìåëè íå ìåíåå òðåõ çíà÷àùèõ öèôð. 2. Ñ ïîìîùüþ ìóëüòèìåòðà èçìåðèòü ñîïðîòèâëåíèå ýòàëîííîãî ðåçèñòîðà R0 (ãíåçäà «Uýò» ìîäóëÿ). 3. Ñ ïîìîùüþ öèôðîâîãî èíäèêàòîðà íà ïåðåäíåé ïàíåëè èçìåðèòåëüíîé ñèñòåìû ÈÑÒ-2Ì èçìåðèòü íà÷àëüíóþ òåìïåðàòóðó êîðïóñà è íèòè T1. 280
4. Òóìáëåðîì «ÂÊË» íà èçìåðèòåëüíîé ïàíåëè ÈÑÒ-2Ì âêëþ÷èòü ïèòàíèå íàãðåâàòåëÿ. 5. Ïîäñîåäèíèâ èçìåðèòåëüíûå ïðîâîäà ìóëüòèìåòðà ê ãíåçäàì «Uí» ïàíåëè ìîäóëÿ âðàùåíèåì ðó÷êè «ÍÀÃÐÅ» èçìåðèòåëüíîé ïàíåëè, óñòàíîâèòü íåîáõîäèìîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íèòè Uí. Âåëè÷èíà Uí âûñâå÷èâàåòñÿ íà ïàíåëè ìóëüòèìåòðà. Äëÿ äàííîãî çíà÷åíèÿ Uí ñ ïîìîùüþ ìóëüòèìåòðà èçìåðèòü íàïðÿæåíèå íà ýòàëîííîì ðåçèñòîðå U0 è ñ ïîìîùüþ öèôðîâîãî èíäèêàòîðà èçìåðèòåëüíîé ïàíåëè ÈÑÒ-2Ì òåìïåðàòóðó êîðïóñà Tê. 6. Ïðîâåñòè èçìåðåíèÿ äëÿ ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ U0, à çàòåì ïîðÿäêà 810 èçìåðåíèé äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé U0 â äèàïàçîíå 10004000 ìÂ. Ðåçóëüòàòû çàíåñòè â òàáëèöó. Uí, ìÂ
U0, ìÂ
I, ìÀ
R, Îì
W, Âò
T, °Ñ
Tê, °Ñ
, Âò/(ì×Ê)
Äèàìåòð íèòè d = ... , äèàìåòð êàíàëà D =... , äëèíà íèòè L = ... , òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ íèòè a =
.
Òîê I â íèòè îïðåäåëÿþò ïî ôîðìóëå: I = U 0 /R 0. Ñîïðîòèâëåíèå R íèòè: R = U í/I. Ìîùíîñòü íàãðåâàíèÿ W íèòè: W = I 2 R. Òåìïåðàòóðó íèòè îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå (5), êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè âîçäóõà ïî ôîðìóëå (6). Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 3. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà, Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 7. Ôèçè÷åñêàÿ êèíåòèêà. § 7.4. Òåïëîïðîâîäíîñòü ãàçîâ.
 êîðïóñå ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ìîäóëÿ íà ïåðåäíåé ïàíåëè ðàñïîëîæåí öèëèíäðè÷åñêèé êàíàë (òðóáêà), âíóòðè êîòîðîãî ïî îñè òðóáêè íàòÿíóòà ìåòàëëè÷åñêàÿ íèòü èç ñïëàâà íà îñíîâå íèêåëÿ. Êàíàë çàêðûò ïðîáêàìè. Ñõåìà ñîåäèíåíèé íèòè ïîêàçàíà íà ðèñ. 1â. Íèòü ïîäêëþ÷åíà ê ãíåçäàì «Uí» íà ïàíåëè ìîäóëÿ. Ïîñëåäîâàòåëüíî ñ íèòüþ âêëþ÷åí ýòàëîííûé ðåçèñòîð R0, ïîäêëþ÷åííûé ê ãíåçäàì «Uýò». Ê ãíåçäàì «ÏÈÒ» ïîäêëþ÷àþò èñòî÷íèê ïèòàíèÿ èçìåðèòåëüíîé ñèñòåìû ÈÑÒ-2Ì. Ñ ïîìîùüþ ìóëüòèìåòðà (ðèñ. 2) ïîî÷åðåäíî èçìåðÿþò íàïðÿæåíèå íà íèòè è íà ýòàëîííîì ðåçèñòîðå, èç ÷åãî îïðåäåëÿþò ñîïðîòèâëåíèå íèòè R è âûäåëèâøóþñÿ â íåé òåïëîâóþ ìîùíîñòü W. Ïî ñîïðîòèâëåíèþ íèòè îïðåäåëÿþò åå òåìïåðàòóðó T. Òåìïåðàòóðó êîðïóñà Tê èçìåðÿþò ñ ïîìîùüþ äàò÷èêà òåìïåðàòóðû, ââåðíóòîãî â êîðïóñ (ãíåçäî «ÄÀÒ»). Ïðè ïðîâåäåíèè èçìåðåíèé íåîáõîäèìî âûïîëíèòü ñëåäóþùèå îïåðàöèè: 1. Ñîáðàòü ýëåêòðè÷åñêóþ ñõåìó. 1.1. Âêëþ÷èòü èñòî÷íèê ïèòàíèÿ â ñõåìó ñîåäèíåíèé íèòè. Äëÿ ýòîãî ê ãíåçäàì «ÏÈÒ» ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ìîäóëÿ ñ ïîìîùüþ ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäîâ ïîäñîåäèíèòü èñòî÷íèê ïèòàíèÿ èçìåðèòåëüíîé ñèñòåìû (ãíåçäà «ÍÀÃл è «ÎÁÙ» íà ïåðåäíåé ïàíåëè èçìåðèòåëüíîé ñèñòåìû ÈÑÒ-2Ì (ñì. ðèñ. 1ã)); 1.2. Äàò÷èê òåìïåðàòóðû êîðïóñà (ãíåçäî «ÄÀÒ» íà ïàíåëè ìîäóëÿ) ñ ïîìîùüþ ñîåäèíèòåëüíîãî ïðîâîäà ïîäêëþ÷èòü ê ãíåçäó «Ä1» èçìåðèòåëüíîé ñèñòåìû ÈÑÒÐèñ. 2 2Ì. Íàæàòü êíîïêó «T1». Òåìïåðàòóðà êîðïóñà Tê â °Ñ áóäåò âûñâå÷èâàòüñÿ íà öèôðîâîì èíäèêàòîðå. 1.3. Ãíåçäà «Uýò» è «Uí» ïàíåëè ìîäóëÿ ñëóæàò äëÿ èçìåðåíèÿ íàïðÿæåíèÿ U0 íà ýòàëîííîì ðåçèñòîðå è íàïðÿæåíèÿ Uí íà íèòè.  ïðîöåññå âûïîëíåíèÿ ðàáîòû ê íèì ïîî÷åðåäíî ïîäêëþ÷àåòñÿ ìóëüòèìåòð. Ïðè èçìåðåíèÿõ íàïðÿæåíèÿ ïðåäåëû èçìåðåíèé ìóëüòèìåòðà ñëåäóåò âûáèðàòü òàê, ÷òîáû ïîêàçàíèÿ èìåëè íå ìåíåå òðåõ çíà÷àùèõ öèôð. 2. Ñ ïîìîùüþ ìóëüòèìåòðà èçìåðèòü ñîïðîòèâëåíèå ýòàëîííîãî ðåçèñòîðà R0 (ãíåçäà «Uýò» ìîäóëÿ). 3. Ñ ïîìîùüþ öèôðîâîãî èíäèêàòîðà íà ïåðåäíåé ïàíåëè èçìåðèòåëüíîé ñèñòåìû ÈÑÒ-2Ì èçìåðèòü íà÷àëüíóþ òåìïåðàòóðó êîðïóñà è íèòè T1. 280
4. Òóìáëåðîì «ÂÊË» íà èçìåðèòåëüíîé ïàíåëè ÈÑÒ-2Ì âêëþ÷èòü ïèòàíèå íàãðåâàòåëÿ. 5. Ïîäñîåäèíèâ èçìåðèòåëüíûå ïðîâîäà ìóëüòèìåòðà ê ãíåçäàì «Uí» ïàíåëè ìîäóëÿ âðàùåíèåì ðó÷êè «ÍÀÃÐÅ» èçìåðèòåëüíîé ïàíåëè, óñòàíîâèòü íåîáõîäèìîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íèòè Uí. Âåëè÷èíà Uí âûñâå÷èâàåòñÿ íà ïàíåëè ìóëüòèìåòðà. Äëÿ äàííîãî çíà÷åíèÿ Uí ñ ïîìîùüþ ìóëüòèìåòðà èçìåðèòü íàïðÿæåíèå íà ýòàëîííîì ðåçèñòîðå U0 è ñ ïîìîùüþ öèôðîâîãî èíäèêàòîðà èçìåðèòåëüíîé ïàíåëè ÈÑÒ-2Ì òåìïåðàòóðó êîðïóñà Tê. 6. Ïðîâåñòè èçìåðåíèÿ äëÿ ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ U0, à çàòåì ïîðÿäêà 810 èçìåðåíèé äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé U0 â äèàïàçîíå 10004000 ìÂ. Ðåçóëüòàòû çàíåñòè â òàáëèöó. Uí, ìÂ
U0, ìÂ
I, ìÀ
R, Îì
W, Âò
T, °Ñ
Tê, °Ñ
, Âò/(ì×Ê)
Äèàìåòð íèòè d = ... , äèàìåòð êàíàëà D =... , äëèíà íèòè L = ... , òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ íèòè a =
.
Òîê I â íèòè îïðåäåëÿþò ïî ôîðìóëå: I = U 0 /R 0. Ñîïðîòèâëåíèå R íèòè: R = U í/I. Ìîùíîñòü íàãðåâàíèÿ W íèòè: W = I 2 R. Òåìïåðàòóðó íèòè îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå (5), êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè âîçäóõà ïî ôîðìóëå (6). Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 3. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà, Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 7. Ôèçè÷åñêàÿ êèíåòèêà. § 7.4. Òåïëîïðîâîäíîñòü ãàçîâ.
ÐÀÇÄÅË 2 ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÍÎÅ ÍÀÒßÆÅÍÈÅ ÆÈÄÊÎÑÒÅÉ
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ Ñóùåñòâóþò äâà ýêâèâàëåíòíûõ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ æèäêîñòè s: 1) êàê âåëè÷èíû, ÷èñëåííî ðàâíîé êîýôôèöèåíòó ïðîïîðöèîíàëüíîñòè â ñîîòíîøåíèè ìåæäó ïîâåðõíîñòíîé ýíåðãèåé W è ïëîùàäüþ ïîâåðõíîñòè S: W = sS (1) (äðóãèìè ñëîâàìè, êàê ïîâåðõíîñòíîé ýíåðãèè, îòíåñåííîé ê åäèíèöå ïëîùàäè); 2) êàê âåëè÷èíû, ÷èñëåííî ðàâíîé êîýôôèöèåíòó ïðîïîðöèîíàëüíîñòè â ñîîòíîøåíèè ìåæäó ñèëîé ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ F, äåéñòâóþùåé íà íåêîòîðîì îòðåçêå ëþáîé ëèíèè íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè è äëèíîé îòðåçêà l : F = sl (2) (äðóãèìè ñëîâàìè, êàê ñèëû ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ, îòíåñåííîé ê åäèíèöå äëèíû. Ýòà ñèëà êàñàòåëüíà ê ïîâåðõíîñòè è íàïðàâëåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ðàññìàòðèâàåìîìó ýëåìåíòó ëèíèè). Îïûò è íàáëþäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ïîâåðõíîñòíûé ñëîé æèäêîñòè ïî ñâîèì ñâîéñòâàì âî ìíîãîì íàïîìèíàåò ðàñòÿíóòóþ ýëàñòè÷íóþ ïëåíêó.  òîì è äðóãîì ñëó÷àå äåéñòâóþò ïîâåðõíîñòíûå ñèëû: â îäíîì ñëó÷àå ñèëû ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ, â äðóãîì ñèëû óïðóãîñòè. Òå è äðóãèå ñèëû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèëû ñöåïëåíèÿ, äåéñòâóþùèå ñî ñòîðîíû îäíîé ÷àñòè ñëîÿ (ïëåíêè) íà äðóãóþ, è îáóñëîâëåíû âçàèìíûì ïðèòÿæåíèåì ìîëåêóë, íàõîäÿùèõñÿ ïî ðàçíûå ñòîðîíû ëèíèè, ðàçäåëÿþùåé îáå ÷àñòè (ðèñ. 1). Âñÿêàÿ èçîãíóòàÿ (âûïóêëàÿ èëè âîãíóòàÿ) ðàñòÿíóòàÿ óïðóãàÿ ïëåíêà, îãðàíè÷åííàÿ ïëîñêèì êîíòóðîì, ñòðåìèòñÿ âûïðÿìèòüñÿ, ñòàòü ïëîñêîé. Òàê æå âåäåò ñåáÿ è ïîâåðõíîñòíûé ñëîé æèäêîñòè. Áóäó÷è ïî êàêèì-ëèáî ïðè÷èíàì èçîãíóòûì, îí îêàçûâàåò íà æèäêîñòü áîëüøåå äàâëåíèå, ÷åì äàâëåíèå, êîòîðîå èñïûòûâàåò æèäêîñòü ñ ïëîñêîé ïîâåðõíîñòüþ.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ñèëû ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ íàïðàâëåíû âäîëü ïî282
âåðõíîñòè è íå ñîçäàþò äîïîëíèòåëüíîãî äàâëåíèÿ äàâëåíèå ïîä ïîâåðõíîñòüþ ðàâíî âíåøíåìó äàâëåíèþ Ð0. Åñëè ïîâåðõíîñòü æèäêîñòè èñêðèâëåíà, äàâëåíèå ïîä ïîâåðõíîñòüþ áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò âíåøíåãî äàâëåíèÿ: äàâëåíèÿ ïî ðàçíûå ñòîðîíû ïîâåðõíîñòè îêàçûâàþòñÿ ðàçëè÷íûìè.  ñëó÷àå âûïóêëîé Ðèñ. 1 ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 2à) äîïîëíèòåëüíîå äàâëåíèå ïðèáàâëÿåòñÿ ê äàâëåíèþ, êîòîðîå èñïûòûâàåò æèäêîñòü ïîä ïëîñêîé ïîâåðõíîñòüþ, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì.  ñëó÷àå âîãíóòîé ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 2á) äàâëåíèå, èñïûòûâàåìîå æèäêîñòüþ, áóäåò ìåíüøå, ÷åì ïîä ïëîñêîé ïîâåðõíîñòüþ, ò.å. äîïîëíèòåëüíîå äàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíûì. Âåëè÷èíà äîïîëíèòåëüíîãî äàâëåíèÿ DÐ çàâèñèò îò ñòåïåíè èñêðèâëåííîñòè ïîâåðõíîñòè è îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Ëàïëàñà: æ1 1ö DP = s ç + ÷ , è r1 r2 ø
(3)
ãäå r1 è r2 ðàäèóñû êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè äëÿ äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ñå÷åíèé.  ñëó÷àå êîãäà ïîâåðõíîñòü æèäêîñòè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòü ñôåðû ðàäèóñà r, âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî r 1 = r 2 = r è DP =
2s . r
(4)
Ôîðìóëà (4) îïðåäåëÿåò èçáûòî÷íîå äàâëåíèå â êàïëÿõ ñôåðè÷åñêîé ôîðìû è â ïóçûðüêàõ ãàçà, íàõîäÿùèõñÿ âíóòðè æèäêîñòè.  îáîèõ ñëó÷àÿõ èçáûòî÷íîå äàâëåíèå íàïðàâëåíî ê öåíòðó êðèâèçíû ñôåðû (ðèñ. 3). Âåëè÷èíà äàâëåíèÿ, êàê ñëåäóåò èç
à
á Ðèñ. 2
283
ÐÀÇÄÅË 2 ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÍÎÅ ÍÀÒßÆÅÍÈÅ ÆÈÄÊÎÑÒÅÉ
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ Ñóùåñòâóþò äâà ýêâèâàëåíòíûõ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ æèäêîñòè s: 1) êàê âåëè÷èíû, ÷èñëåííî ðàâíîé êîýôôèöèåíòó ïðîïîðöèîíàëüíîñòè â ñîîòíîøåíèè ìåæäó ïîâåðõíîñòíîé ýíåðãèåé W è ïëîùàäüþ ïîâåðõíîñòè S: W = sS (1) (äðóãèìè ñëîâàìè, êàê ïîâåðõíîñòíîé ýíåðãèè, îòíåñåííîé ê åäèíèöå ïëîùàäè); 2) êàê âåëè÷èíû, ÷èñëåííî ðàâíîé êîýôôèöèåíòó ïðîïîðöèîíàëüíîñòè â ñîîòíîøåíèè ìåæäó ñèëîé ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ F, äåéñòâóþùåé íà íåêîòîðîì îòðåçêå ëþáîé ëèíèè íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè è äëèíîé îòðåçêà l : F = sl (2) (äðóãèìè ñëîâàìè, êàê ñèëû ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ, îòíåñåííîé ê åäèíèöå äëèíû. Ýòà ñèëà êàñàòåëüíà ê ïîâåðõíîñòè è íàïðàâëåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ðàññìàòðèâàåìîìó ýëåìåíòó ëèíèè). Îïûò è íàáëþäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ïîâåðõíîñòíûé ñëîé æèäêîñòè ïî ñâîèì ñâîéñòâàì âî ìíîãîì íàïîìèíàåò ðàñòÿíóòóþ ýëàñòè÷íóþ ïëåíêó.  òîì è äðóãîì ñëó÷àå äåéñòâóþò ïîâåðõíîñòíûå ñèëû: â îäíîì ñëó÷àå ñèëû ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ, â äðóãîì ñèëû óïðóãîñòè. Òå è äðóãèå ñèëû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèëû ñöåïëåíèÿ, äåéñòâóþùèå ñî ñòîðîíû îäíîé ÷àñòè ñëîÿ (ïëåíêè) íà äðóãóþ, è îáóñëîâëåíû âçàèìíûì ïðèòÿæåíèåì ìîëåêóë, íàõîäÿùèõñÿ ïî ðàçíûå ñòîðîíû ëèíèè, ðàçäåëÿþùåé îáå ÷àñòè (ðèñ. 1). Âñÿêàÿ èçîãíóòàÿ (âûïóêëàÿ èëè âîãíóòàÿ) ðàñòÿíóòàÿ óïðóãàÿ ïëåíêà, îãðàíè÷åííàÿ ïëîñêèì êîíòóðîì, ñòðåìèòñÿ âûïðÿìèòüñÿ, ñòàòü ïëîñêîé. Òàê æå âåäåò ñåáÿ è ïîâåðõíîñòíûé ñëîé æèäêîñòè. Áóäó÷è ïî êàêèì-ëèáî ïðè÷èíàì èçîãíóòûì, îí îêàçûâàåò íà æèäêîñòü áîëüøåå äàâëåíèå, ÷åì äàâëåíèå, êîòîðîå èñïûòûâàåò æèäêîñòü ñ ïëîñêîé ïîâåðõíîñòüþ.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ñèëû ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ íàïðàâëåíû âäîëü ïî282
âåðõíîñòè è íå ñîçäàþò äîïîëíèòåëüíîãî äàâëåíèÿ äàâëåíèå ïîä ïîâåðõíîñòüþ ðàâíî âíåøíåìó äàâëåíèþ Ð0. Åñëè ïîâåðõíîñòü æèäêîñòè èñêðèâëåíà, äàâëåíèå ïîä ïîâåðõíîñòüþ áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò âíåøíåãî äàâëåíèÿ: äàâëåíèÿ ïî ðàçíûå ñòîðîíû ïîâåðõíîñòè îêàçûâàþòñÿ ðàçëè÷íûìè.  ñëó÷àå âûïóêëîé Ðèñ. 1 ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 2à) äîïîëíèòåëüíîå äàâëåíèå ïðèáàâëÿåòñÿ ê äàâëåíèþ, êîòîðîå èñïûòûâàåò æèäêîñòü ïîä ïëîñêîé ïîâåðõíîñòüþ, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì.  ñëó÷àå âîãíóòîé ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 2á) äàâëåíèå, èñïûòûâàåìîå æèäêîñòüþ, áóäåò ìåíüøå, ÷åì ïîä ïëîñêîé ïîâåðõíîñòüþ, ò.å. äîïîëíèòåëüíîå äàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíûì. Âåëè÷èíà äîïîëíèòåëüíîãî äàâëåíèÿ DÐ çàâèñèò îò ñòåïåíè èñêðèâëåííîñòè ïîâåðõíîñòè è îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Ëàïëàñà: æ1 1ö DP = s ç + ÷ , è r1 r2 ø
(3)
ãäå r1 è r2 ðàäèóñû êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè äëÿ äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ñå÷åíèé.  ñëó÷àå êîãäà ïîâåðõíîñòü æèäêîñòè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòü ñôåðû ðàäèóñà r, âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî r 1 = r 2 = r è DP =
2s . r
(4)
Ôîðìóëà (4) îïðåäåëÿåò èçáûòî÷íîå äàâëåíèå â êàïëÿõ ñôåðè÷åñêîé ôîðìû è â ïóçûðüêàõ ãàçà, íàõîäÿùèõñÿ âíóòðè æèäêîñòè.  îáîèõ ñëó÷àÿõ èçáûòî÷íîå äàâëåíèå íàïðàâëåíî ê öåíòðó êðèâèçíû ñôåðû (ðèñ. 3). Âåëè÷èíà äàâëåíèÿ, êàê ñëåäóåò èç
à
á Ðèñ. 2
283
Èç ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ âèäíî, ÷òî âûñîòà ïîäíÿòèÿ æèäêîñòè â êàïèëëÿðå ïðè ïðî÷èõ ðàâíûõ óñëîâèÿõ òåì áîëüøå, ÷åì óæå êàïèëëÿð (ðèñ. 6).
Ðèñ. 3
Ðèñ. 4
ôîðìóëû (3), òåì áîëüøå, ÷åì ìåíüøå ðàäèóñ ñôåðû. Ýòó çàâèñèìîñòü õîðîøî èëëþñòðèðóåò îïûò, ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 4. Íà êîíöàõ ñòåêëÿííîé òðóáêè âûäóâàþòñÿ äâà ìûëüíûõ ïóçûðÿ À è B ðàçíûõ ðàçìåðîâ. Êðàíû Ñ è D ïîçâîëÿþò âûäóâàòü îáà ïóçûðÿ îòäåëüíî è çàòåì ñîîáùàòü èõ äðóã ñ äðóãîì (ïðè çàêðûòîì êðàíå D). Ïðè ñîîáùåíèè ïóçûðåé âîçäóõ â ìåíüøåì ïóçûðå îêàæåòñÿ ïîä áîëüøèì äàâëåíèåì è íà÷íåò ïî òðóáêå ïåðåòåêàòü â áîëüøèé ïóçûðü.  ðåçóëüòàòå ìàëûé ïóçûðü áóäåò ñòàíîâèòüñÿ âñå ìåíüøå, ïîêà ïîëíîñòüþ íå ñòÿíåòñÿ, áîëüøîé æå ïóçûðü áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ, ïîãëîùàÿ ìàëåíüêèé. Äîïîëíèòåëüíîå äàâëåíèå DÐ, îáóñëîâëåííîå ñèëàìè ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ, âíóòðè ìûëüíîãî ïóçûðÿ ìîæåò áûòü íàéäåíî ïî ôîðìóëå (4), ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ó÷åñòü âêëàäû, ñîçäàâàåìûå âíåøíåé è âíóòðåííåé ñòåíêàìè ïóçûðÿ, ïîýòîìó ïîëíîå äîïîëíèòåëüíîå äàâëåíèå âíóòðè ïóçûðÿ ðàâíî 4s/r. Íàëè÷èå ñèë ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ïðèâîäèò ê ïîäíÿòèþ æèäêîñòè â òðóáêàõ ìàëîãî ñå÷åíèÿ êàïèëëÿðàõ. Òàêîå ÿâëåíèå ïðîèñõîäèò, íàïðèìåð, ïðè ñîïðèêîñíîâåíèè æèäêîñòè ñ ïîðèñòûìè òåëàìè, èìåþùèìè áîëüøîå ÷èñëî óçêèõ, íåçàìåòíûõ êàíàëîâ (ïðîìîêàíèå òêàíåé, ïîäíÿòèå âîäû â ïî÷âå èëè êåðîñèíà ïî ôèòèëþ è ò.ä.). Ôîðìà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè â êàïèëëÿðå ìåíèñê ìîæåò áûòü âûïóêëîé è âîãíóòîé (ðèñ. 5à, 5á) ñîîòâåòñòâåííî ïðè íåñìà÷èâàíèè è ñìà÷èâàíèè æèäêîñòüþ ïîâåðõíîñòè êàïèëëÿðà. Ïðè ïîëíîì ñìà÷èâàíèè (ðèñ. 5á) ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ðàäèóñ êðèâèçíû ìåíèñêà ñîâïàäàåò ñ âíóòðåííèì ðàäèóñîì òðóáêè r. Ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå ñòîëáà æèäêîñòè óðàâíîâåøèâàåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì äàâëåíèåì, îáóñëîâëåííûì ñèëàìè ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ, ïîýòîìó DP = 2s/r = rgh.
284
(5)
à
á Ðèñ. 5
Ðèñ. 6
Èç ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ âèäíî, ÷òî âûñîòà ïîäíÿòèÿ æèäêîñòè â êàïèëëÿðå ïðè ïðî÷èõ ðàâíûõ óñëîâèÿõ òåì áîëüøå, ÷åì óæå êàïèëëÿð (ðèñ. 6).
Ðèñ. 3
Ðèñ. 4
ôîðìóëû (3), òåì áîëüøå, ÷åì ìåíüøå ðàäèóñ ñôåðû. Ýòó çàâèñèìîñòü õîðîøî èëëþñòðèðóåò îïûò, ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 4. Íà êîíöàõ ñòåêëÿííîé òðóáêè âûäóâàþòñÿ äâà ìûëüíûõ ïóçûðÿ À è B ðàçíûõ ðàçìåðîâ. Êðàíû Ñ è D ïîçâîëÿþò âûäóâàòü îáà ïóçûðÿ îòäåëüíî è çàòåì ñîîáùàòü èõ äðóã ñ äðóãîì (ïðè çàêðûòîì êðàíå D). Ïðè ñîîáùåíèè ïóçûðåé âîçäóõ â ìåíüøåì ïóçûðå îêàæåòñÿ ïîä áîëüøèì äàâëåíèåì è íà÷íåò ïî òðóáêå ïåðåòåêàòü â áîëüøèé ïóçûðü.  ðåçóëüòàòå ìàëûé ïóçûðü áóäåò ñòàíîâèòüñÿ âñå ìåíüøå, ïîêà ïîëíîñòüþ íå ñòÿíåòñÿ, áîëüøîé æå ïóçûðü áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ, ïîãëîùàÿ ìàëåíüêèé. Äîïîëíèòåëüíîå äàâëåíèå DÐ, îáóñëîâëåííîå ñèëàìè ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ, âíóòðè ìûëüíîãî ïóçûðÿ ìîæåò áûòü íàéäåíî ïî ôîðìóëå (4), ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ó÷åñòü âêëàäû, ñîçäàâàåìûå âíåøíåé è âíóòðåííåé ñòåíêàìè ïóçûðÿ, ïîýòîìó ïîëíîå äîïîëíèòåëüíîå äàâëåíèå âíóòðè ïóçûðÿ ðàâíî 4s/r. Íàëè÷èå ñèë ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ïðèâîäèò ê ïîäíÿòèþ æèäêîñòè â òðóáêàõ ìàëîãî ñå÷åíèÿ êàïèëëÿðàõ. Òàêîå ÿâëåíèå ïðîèñõîäèò, íàïðèìåð, ïðè ñîïðèêîñíîâåíèè æèäêîñòè ñ ïîðèñòûìè òåëàìè, èìåþùèìè áîëüøîå ÷èñëî óçêèõ, íåçàìåòíûõ êàíàëîâ (ïðîìîêàíèå òêàíåé, ïîäíÿòèå âîäû â ïî÷âå èëè êåðîñèíà ïî ôèòèëþ è ò.ä.). Ôîðìà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè â êàïèëëÿðå ìåíèñê ìîæåò áûòü âûïóêëîé è âîãíóòîé (ðèñ. 5à, 5á) ñîîòâåòñòâåííî ïðè íåñìà÷èâàíèè è ñìà÷èâàíèè æèäêîñòüþ ïîâåðõíîñòè êàïèëëÿðà. Ïðè ïîëíîì ñìà÷èâàíèè (ðèñ. 5á) ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ðàäèóñ êðèâèçíû ìåíèñêà ñîâïàäàåò ñ âíóòðåííèì ðàäèóñîì òðóáêè r. Ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå ñòîëáà æèäêîñòè óðàâíîâåøèâàåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì äàâëåíèåì, îáóñëîâëåííûì ñèëàìè ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ, ïîýòîìó DP = 2s/r = rgh.
284
(5)
à
á Ðèñ. 5
Ðèñ. 6
Çàäà÷à ¹ 33 ÈÇÌÅÐÅÍÈÅ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÍÎÃÎ ÍÀÒßÆÅÍÈß ÆÈÄÊÎÑÒÈ Ñ ÏÎÌÎÙÜÞ ÏÐÈÁÎÐÀ ÐÅÁÈÍÄÅÐÀ
Öåëü çàäà÷è: îïðåäåëåíèå çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ s ñïèðòîâîãî ðàñòâîðà îò êîíöåíòðàöèè ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå. Ýêñïåðèìåíòàëüíûé ìåòîä Ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî äàâëåíèÿ â ïóçûðüêå, èñïîëüçóåìûé â çàäà÷å, îñíîâàí íà èçìåðåíèè ìàêñèìàëüíîãî äàâëåíèÿ ïðè îáðàçîâàíèè âîçäóøíîãî ïóçûðüêà, âûäàâëèâàåìîãî èç êàïèëëÿðíîãî êîí÷èêà â æèäêîñòü. Êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ s ðàññ÷èòûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Ëàïëàñà. Íà ðèñ. 1 ïîêàçàí ïðîñòåéøèé âàðèàíò ïðèáîðà, ïîçâîëÿþùåãî ðåàëèçîâàòü èäåþ ìåòîäà. Íàæàòèåì íà ðåçèíîâóþ ãðóøó ñîçäàåòñÿ ïîâûøåííîå äàâëåíèå (ïî ñðàâíåíèþ ñ àòìîñôåðíûì) âíóòðè òðóáêè, êîí÷èê êîòîðîé ñîïðèêàñàåòñÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè, íàõîäÿùåéñÿ ïðè àòìîñôåðíîì äàâëåíèè.  ðåçóëüòàòå âîçäóøíûé ñòîëáèê ïðîãèáàåò ïîâåðõíîñòü æèäêîñòè, ÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, âûçûâàåò ïîÿâëåíèå äîïîëíèòåëüíîãî äàâëåíèÿ, íàïðàâëåííîãî ââåðõ è óðàâíîâåøèâàþùåãî (ïðè ìåäëåííîì ïðîöåññå) èçáûòîê äàâëåíèÿ â òðóáêå. Ðàçíîñòü äàâëåíèé èçìåðÿåòñÿ æèäêîñòíûì ìàíîìåòðîì. Êàê âèäíî èç ðèñ. 2, ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ ðàçíîñòè äàâëåíèé âîçíèêàþùèé íà êîí÷èêå òðóáêè âîçäóøíûé ïóçûðåê óâåëè÷èâàåòñÿ, íî åãî ðàäèóñ âíà÷àëå
Ðèñ. 1
286
óìåíüøàåòñÿ (ðèñ. 2à). Ýòî óìåíüøåíèå ïðåêðàùàåòñÿ, êàê òîëüêî ðàäèóñ ïóçûðüêà r ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì ðàäèóñó îòâåðñòèÿ êîí÷èêà r0.  ýòîò ìîìåíò ïóçûðåê èìååò ôîðìó ïîëóñôåðû ðàäèóñîì r0 (ðèñ. 2â).  äàëüíåéøåì ðàäèóñ ïóçûðüêà óâåëè÷èâàåòñÿ (ðèñ. 2ã). Òàêèì îáðàçîì, ðàäèóñ ïóçûðüêà íå ìîæåò áûòü ìåíüøå ðàäèóñà îòâåðñòèÿ òðóáêè r0. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå äàâëåíèå â ïóçûðüêå, îáÿçàííîå ñèëàì ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ, îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé DPmax =
2s . r0
(1)
Ìàêñèìàëüíîå èçáûòî÷íîå äàâëåíèå â òðóáêå, êîòîðîå êîìïåíñèðóåòñÿ ïîâåðõíîñòíûì íàòÿæåíèåì è èçìåðÿåòñÿ ðàçíîñòüþ âûñîò óðîâíåé æèäêîñòè â ìàíîìåòðå, òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (1). Ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ íàçâàíèå ìåòîäà èçìåðåíèé ìåòîäà ìàêñèìàëüíîãî äàâëåíèÿ â ïóçûðüêå. Îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ïðîèçâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (1). Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Èäåÿ ìåòîäà, îïèñàííîãî âûøå, ðåàëèçîâàíà â íåñêîëüêî äðóãîé ôîðìå â ïðèáîðå Ðåáèíäåðà, èñïîëüçóåìîì â íàñòîÿùåé çàäà÷å (ðèñ. 3). Èññëåäóåìàÿ æèäêîñòü ïîìåùàåòñÿ â ñòåêëÿííîì ñîñóäå Â. Ñòåêëÿííàÿ òðóáêà, îòòÿíóòûé êîí÷èê êîòîðîé ñîïðèêàñàåòñÿ ñ æèäêîñòüþ, âûâåäåíà ÷åðåç ïðîáêó íàðóæó è ñîîáùàåòñÿ ñ àòìîñôåðîé. Òðóáêà ñâîèì âåðõíèì êîíöîì ìîæåò áûòü âïàÿíà â âåðõíþþ ÷àñòü ñîñóäà, â ýòîì ñëó÷àå ïðîáêà íå íóæíà.  îòëè÷èå îò ðàññìîòðåííîãî âûøå ïðèìåðà ïåðåïàä äàâëåíèé, íåîáõîäèìûé äëÿ îáðàçîâàíèÿ ïóçûðüêîâ âîçäóõà, ñîçäàåòñÿ íå ïîâûøåíèåì äàâëåíèÿ â òðóáêå, à ðàçðåæåíèåì âîçäóõà â ñîñóäå Â, ò.å. ïîíèæåíèåì äàâëåíèÿ âîçäóõà íàä æèäêîñòüþ. Ðàçðåæåíèå ñîçäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ àñïèðàòîðà À íàïîëíåííîãî âîäîé ñîñóäà, èç êîòîðîãî ïðè îòêðûòîì êðàíå Å ïî êàïëÿì âûòåêà-
Ðèñ. 2
287
Çàäà÷à ¹ 33 ÈÇÌÅÐÅÍÈÅ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÍÎÃÎ ÍÀÒßÆÅÍÈß ÆÈÄÊÎÑÒÈ Ñ ÏÎÌÎÙÜÞ ÏÐÈÁÎÐÀ ÐÅÁÈÍÄÅÐÀ
Öåëü çàäà÷è: îïðåäåëåíèå çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ s ñïèðòîâîãî ðàñòâîðà îò êîíöåíòðàöèè ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå. Ýêñïåðèìåíòàëüíûé ìåòîä Ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî äàâëåíèÿ â ïóçûðüêå, èñïîëüçóåìûé â çàäà÷å, îñíîâàí íà èçìåðåíèè ìàêñèìàëüíîãî äàâëåíèÿ ïðè îáðàçîâàíèè âîçäóøíîãî ïóçûðüêà, âûäàâëèâàåìîãî èç êàïèëëÿðíîãî êîí÷èêà â æèäêîñòü. Êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ s ðàññ÷èòûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Ëàïëàñà. Íà ðèñ. 1 ïîêàçàí ïðîñòåéøèé âàðèàíò ïðèáîðà, ïîçâîëÿþùåãî ðåàëèçîâàòü èäåþ ìåòîäà. Íàæàòèåì íà ðåçèíîâóþ ãðóøó ñîçäàåòñÿ ïîâûøåííîå äàâëåíèå (ïî ñðàâíåíèþ ñ àòìîñôåðíûì) âíóòðè òðóáêè, êîí÷èê êîòîðîé ñîïðèêàñàåòñÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè, íàõîäÿùåéñÿ ïðè àòìîñôåðíîì äàâëåíèè.  ðåçóëüòàòå âîçäóøíûé ñòîëáèê ïðîãèáàåò ïîâåðõíîñòü æèäêîñòè, ÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, âûçûâàåò ïîÿâëåíèå äîïîëíèòåëüíîãî äàâëåíèÿ, íàïðàâëåííîãî ââåðõ è óðàâíîâåøèâàþùåãî (ïðè ìåäëåííîì ïðîöåññå) èçáûòîê äàâëåíèÿ â òðóáêå. Ðàçíîñòü äàâëåíèé èçìåðÿåòñÿ æèäêîñòíûì ìàíîìåòðîì. Êàê âèäíî èç ðèñ. 2, ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ ðàçíîñòè äàâëåíèé âîçíèêàþùèé íà êîí÷èêå òðóáêè âîçäóøíûé ïóçûðåê óâåëè÷èâàåòñÿ, íî åãî ðàäèóñ âíà÷àëå
Ðèñ. 1
286
óìåíüøàåòñÿ (ðèñ. 2à). Ýòî óìåíüøåíèå ïðåêðàùàåòñÿ, êàê òîëüêî ðàäèóñ ïóçûðüêà r ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì ðàäèóñó îòâåðñòèÿ êîí÷èêà r0.  ýòîò ìîìåíò ïóçûðåê èìååò ôîðìó ïîëóñôåðû ðàäèóñîì r0 (ðèñ. 2â).  äàëüíåéøåì ðàäèóñ ïóçûðüêà óâåëè÷èâàåòñÿ (ðèñ. 2ã). Òàêèì îáðàçîì, ðàäèóñ ïóçûðüêà íå ìîæåò áûòü ìåíüøå ðàäèóñà îòâåðñòèÿ òðóáêè r0. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå äàâëåíèå â ïóçûðüêå, îáÿçàííîå ñèëàì ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ, îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé DPmax =
2s . r0
(1)
Ìàêñèìàëüíîå èçáûòî÷íîå äàâëåíèå â òðóáêå, êîòîðîå êîìïåíñèðóåòñÿ ïîâåðõíîñòíûì íàòÿæåíèåì è èçìåðÿåòñÿ ðàçíîñòüþ âûñîò óðîâíåé æèäêîñòè â ìàíîìåòðå, òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (1). Ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ íàçâàíèå ìåòîäà èçìåðåíèé ìåòîäà ìàêñèìàëüíîãî äàâëåíèÿ â ïóçûðüêå. Îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ïðîèçâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (1). Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Èäåÿ ìåòîäà, îïèñàííîãî âûøå, ðåàëèçîâàíà â íåñêîëüêî äðóãîé ôîðìå â ïðèáîðå Ðåáèíäåðà, èñïîëüçóåìîì â íàñòîÿùåé çàäà÷å (ðèñ. 3). Èññëåäóåìàÿ æèäêîñòü ïîìåùàåòñÿ â ñòåêëÿííîì ñîñóäå Â. Ñòåêëÿííàÿ òðóáêà, îòòÿíóòûé êîí÷èê êîòîðîé ñîïðèêàñàåòñÿ ñ æèäêîñòüþ, âûâåäåíà ÷åðåç ïðîáêó íàðóæó è ñîîáùàåòñÿ ñ àòìîñôåðîé. Òðóáêà ñâîèì âåðõíèì êîíöîì ìîæåò áûòü âïàÿíà â âåðõíþþ ÷àñòü ñîñóäà, â ýòîì ñëó÷àå ïðîáêà íå íóæíà.  îòëè÷èå îò ðàññìîòðåííîãî âûøå ïðèìåðà ïåðåïàä äàâëåíèé, íåîáõîäèìûé äëÿ îáðàçîâàíèÿ ïóçûðüêîâ âîçäóõà, ñîçäàåòñÿ íå ïîâûøåíèåì äàâëåíèÿ â òðóáêå, à ðàçðåæåíèåì âîçäóõà â ñîñóäå Â, ò.å. ïîíèæåíèåì äàâëåíèÿ âîçäóõà íàä æèäêîñòüþ. Ðàçðåæåíèå ñîçäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ àñïèðàòîðà À íàïîëíåííîãî âîäîé ñîñóäà, èç êîòîðîãî ïðè îòêðûòîì êðàíå Å ïî êàïëÿì âûòåêà-
Ðèñ. 2
287
åò âîäà. Ïðè ýòîì óðîâåíü æèäêîñòè â àñïèðàòîðå ïîíèæàåòñÿ, îáúåì âîçäóõà â ñèñòåìå «àñïèðàòîð ñîñóä  ñîåäèíèòåëüíûå òðóáêè» óâåëè÷èâàåòñÿ, à äàâëåíèå ïàäàåò, êàê ýòîãî òðåáóåò çàêîí ÁîéëÿÌàðèîòòà. Ïðè îïðåäåëåííîé ñòåïåíè ðàçðåæåíèÿ ïóçûðüêè âîçäóõà, âîçíèêàþùèå íà êîí÷èêå òðóáêè, íà÷èíàþò ïðîõîäèòü ÷åðåç æèäêîñòü. Ðàçíîñòü äàâëåíèé àòìîñôåðíîãî âîçäóõà è âîçäóõà â ñîñóäå  èçìåðÿåòñÿ ðàçíîñòüþ âûñîò óðîâíåé æèäêîñòè â êîëåíàõ ìàíîìåòðà Ì.
ìîìåíò îòðûâà âîçäóøíîãî ïóçûðüêà, îïðåäåëÿåìàÿ èç îïûòà, ðàâíà DP0 max, ñîîòíîøåíèå (2) çàïèøåòñÿ â âèäå s 0 = k D P 0 max. (3) Îòñþäà âåëè÷èíà k, êîòîðóþ íàçûâàþò ïîñòîÿííîé ïðèáîðà, ïîñêîëüêó îíà çàâèñèò îò ðàçìåðîâ «êîí÷èêà», îïðåäåëèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: k =
s . DP max
(4)
Îïðåäåëèâ ïîñòîÿííóþ ïðèáîðà k, ìîæíî ïðèñòóïèòü ê îïðåäåëåíèþ êîýôôèöèåíòà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ëþáîé æèäêîñòè â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé s=
s DPmax . DP max
(5)
Ïîñêîëüêó ðàçíîñòü äàâëåíèé àòìîñôåðíîãî âîçäóõà è âîçäóõà â ñîñóäå Â ïðîïîðöèîíàëüíà ðàçíîñòè âûñîò Í óðîâíåé æèäêîñòè â êîëåíàõ ìàíîìåòðà M, ìîæíî ôîðìóëó (5) çàïèñàòü â âèäå s=
Ðèñ. 3
Àñïèðàòîð ñâåðõó çàêðûò ïðîáêîé, ïðè îòêðûòèè êîòîðîé ñèñòåìà ñîîáùàåòñÿ ñ àòìîñôåðîé. Ñîñóä  ìîæåò áûòü ñâåðõó çàêðûò êîëïà÷êîì. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ïî ôîðìóëå (5) íåîáõîäèìî çíàòü ðàäèóñ îòâåðñòèÿ êîí÷èêà r0. Ïðÿìîå èçìåðåíèå ýòîé âåëè÷èíû ïðåäñòàâëÿåòñÿ çàòðóäíèòåëüíûì ïðåæäå âñåãî ïîòîìó, ÷òî òðóáêà îáû÷íî áûâàåò íå âïîëíå êðóãëîé. Ïîýòîìó ïðåäïî÷òèòåëüíî ðàññìàòðèâàòü r0 êàê âåëè÷èíó, îïðåäåëÿåìóþ èç ïðåäâàðèòåëüíîãî îïûòà ñ «ýòàëîííîé» æèäêîñòüþ (íàïðèìåð, ñ äèñòèëëèðîâàííîé âîäîé), êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ êîòîðîé s0 õîðîøî èçâåñòåí. Ââåäÿ îáîçíà÷åíèå k = r 0 /2, ôîðìóëó (1) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå s = kDP max. (2) Äëÿ «ýòàëîííîé» æèäêîñòè, êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ êîòîðîé èçâåñòåí è ðàâåí s0, à ðàçíîñòü äàâëåíèé â 288
s0 H. H0
(6)
Ïîðÿäîê èçìåðåíèé Äëÿ ïðîâåäåíèÿ èçìåðåíèé íåîáõîäèìî âûïîëíèòü ñëåäóþùèå îïåðàöèè: 1. Ïîäãîòîâèòü óñòàíîâêó ê èçìåðåíèÿì. 1.1. Íàëèòü â àñïèðàòîð âîäó (âîäîïðîâîäíóþ) äî óðîâíÿ áîêîâîãî îòðîñòêà è çàêðûòü åãî ïðîáêîé. Ñîñóä  çàïîëíèòü äèñòèëëèðîâàííîé âîäîé. Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà íàïîëíèòü âîäîé ñòàêàí, ðàñïîëîæåííûé ïîä ñîñóäîì òàê, ÷òîáû íèæíÿÿ ÷àñòü ñîñóäà áûëà ïîãðóæåíà â âîäó. 1.2. Îòêðûòü êðàí F. Ñîñóä  ñâåðõó çàêðûòü êîëïà÷êîì. Ïðèîòêðûòü êðàí Å àñïèðàòîðà, ïðè ýòîì âîäà íà÷íåò ïî êàïëÿì âûòåêàòü èç íåãî è óðîâåíü âîäû áóäåò ïîíèæàòüñÿ.  ïðîñòðàíñòâå íàä âîäîé è â ñîåäèíåííûõ ñ íèì âåðõíåé ÷àñòè ñîñóäà è ëåâîì êîëåíå ìàíîìåòðà îáðàçóåòñÿ ðàçðåæåíèå. Ïîä âëèÿíèåì ðàçíîñòè äàâëåíèé àòìîñôåðíîãî, äåéñòâóþùåãî íà æèäêîñòü â ñòàêàíå Ñ, è ïîíèæåííîãî â ñîñóäå  æèäêîñòü ïîñòåïåííî âñàñûâàåòñÿ â ñîñóä  äî óðîâíÿ, íàõîäÿùåãîñÿ íåñêîëüêî âûøå êîí÷èêà ñòåêëÿííîé òðóáêè. Êðàí F ñîñóäà  è êðàí Å àñïèðàòîðà çàêðûòü, ñ ñîñóäà  ñíÿòü êîëïà÷îê. 289
åò âîäà. Ïðè ýòîì óðîâåíü æèäêîñòè â àñïèðàòîðå ïîíèæàåòñÿ, îáúåì âîçäóõà â ñèñòåìå «àñïèðàòîð ñîñóä  ñîåäèíèòåëüíûå òðóáêè» óâåëè÷èâàåòñÿ, à äàâëåíèå ïàäàåò, êàê ýòîãî òðåáóåò çàêîí ÁîéëÿÌàðèîòòà. Ïðè îïðåäåëåííîé ñòåïåíè ðàçðåæåíèÿ ïóçûðüêè âîçäóõà, âîçíèêàþùèå íà êîí÷èêå òðóáêè, íà÷èíàþò ïðîõîäèòü ÷åðåç æèäêîñòü. Ðàçíîñòü äàâëåíèé àòìîñôåðíîãî âîçäóõà è âîçäóõà â ñîñóäå  èçìåðÿåòñÿ ðàçíîñòüþ âûñîò óðîâíåé æèäêîñòè â êîëåíàõ ìàíîìåòðà Ì.
ìîìåíò îòðûâà âîçäóøíîãî ïóçûðüêà, îïðåäåëÿåìàÿ èç îïûòà, ðàâíà DP0 max, ñîîòíîøåíèå (2) çàïèøåòñÿ â âèäå s 0 = k D P 0 max. (3) Îòñþäà âåëè÷èíà k, êîòîðóþ íàçûâàþò ïîñòîÿííîé ïðèáîðà, ïîñêîëüêó îíà çàâèñèò îò ðàçìåðîâ «êîí÷èêà», îïðåäåëèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: k =
s . DP max
(4)
Îïðåäåëèâ ïîñòîÿííóþ ïðèáîðà k, ìîæíî ïðèñòóïèòü ê îïðåäåëåíèþ êîýôôèöèåíòà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ëþáîé æèäêîñòè â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé s=
s DPmax . DP max
(5)
Ïîñêîëüêó ðàçíîñòü äàâëåíèé àòìîñôåðíîãî âîçäóõà è âîçäóõà â ñîñóäå Â ïðîïîðöèîíàëüíà ðàçíîñòè âûñîò Í óðîâíåé æèäêîñòè â êîëåíàõ ìàíîìåòðà M, ìîæíî ôîðìóëó (5) çàïèñàòü â âèäå s=
Ðèñ. 3
Àñïèðàòîð ñâåðõó çàêðûò ïðîáêîé, ïðè îòêðûòèè êîòîðîé ñèñòåìà ñîîáùàåòñÿ ñ àòìîñôåðîé. Ñîñóä  ìîæåò áûòü ñâåðõó çàêðûò êîëïà÷êîì. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ïî ôîðìóëå (5) íåîáõîäèìî çíàòü ðàäèóñ îòâåðñòèÿ êîí÷èêà r0. Ïðÿìîå èçìåðåíèå ýòîé âåëè÷èíû ïðåäñòàâëÿåòñÿ çàòðóäíèòåëüíûì ïðåæäå âñåãî ïîòîìó, ÷òî òðóáêà îáû÷íî áûâàåò íå âïîëíå êðóãëîé. Ïîýòîìó ïðåäïî÷òèòåëüíî ðàññìàòðèâàòü r0 êàê âåëè÷èíó, îïðåäåëÿåìóþ èç ïðåäâàðèòåëüíîãî îïûòà ñ «ýòàëîííîé» æèäêîñòüþ (íàïðèìåð, ñ äèñòèëëèðîâàííîé âîäîé), êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ êîòîðîé s0 õîðîøî èçâåñòåí. Ââåäÿ îáîçíà÷åíèå k = r 0 /2, ôîðìóëó (1) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå s = kDP max. (2) Äëÿ «ýòàëîííîé» æèäêîñòè, êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ êîòîðîé èçâåñòåí è ðàâåí s0, à ðàçíîñòü äàâëåíèé â 288
s0 H. H0
(6)
Ïîðÿäîê èçìåðåíèé Äëÿ ïðîâåäåíèÿ èçìåðåíèé íåîáõîäèìî âûïîëíèòü ñëåäóþùèå îïåðàöèè: 1. Ïîäãîòîâèòü óñòàíîâêó ê èçìåðåíèÿì. 1.1. Íàëèòü â àñïèðàòîð âîäó (âîäîïðîâîäíóþ) äî óðîâíÿ áîêîâîãî îòðîñòêà è çàêðûòü åãî ïðîáêîé. Ñîñóä  çàïîëíèòü äèñòèëëèðîâàííîé âîäîé. Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà íàïîëíèòü âîäîé ñòàêàí, ðàñïîëîæåííûé ïîä ñîñóäîì òàê, ÷òîáû íèæíÿÿ ÷àñòü ñîñóäà áûëà ïîãðóæåíà â âîäó. 1.2. Îòêðûòü êðàí F. Ñîñóä  ñâåðõó çàêðûòü êîëïà÷êîì. Ïðèîòêðûòü êðàí Å àñïèðàòîðà, ïðè ýòîì âîäà íà÷íåò ïî êàïëÿì âûòåêàòü èç íåãî è óðîâåíü âîäû áóäåò ïîíèæàòüñÿ.  ïðîñòðàíñòâå íàä âîäîé è â ñîåäèíåííûõ ñ íèì âåðõíåé ÷àñòè ñîñóäà è ëåâîì êîëåíå ìàíîìåòðà îáðàçóåòñÿ ðàçðåæåíèå. Ïîä âëèÿíèåì ðàçíîñòè äàâëåíèé àòìîñôåðíîãî, äåéñòâóþùåãî íà æèäêîñòü â ñòàêàíå Ñ, è ïîíèæåííîãî â ñîñóäå  æèäêîñòü ïîñòåïåííî âñàñûâàåòñÿ â ñîñóä  äî óðîâíÿ, íàõîäÿùåãîñÿ íåñêîëüêî âûøå êîí÷èêà ñòåêëÿííîé òðóáêè. Êðàí F ñîñóäà  è êðàí Å àñïèðàòîðà çàêðûòü, ñ ñîñóäà  ñíÿòü êîëïà÷îê. 289
1.3. Ïðèîòêðûòü êðàí F, ñëèâàòü èçáûòîê æèäêîñòè â ñîñóäå äî òåõ ïîð, ïîêà êîí÷èê ñòåêëÿííîé òðóáêè íå ñîïðèêîñíåòñÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè. Ïîñëå ýòîãî êðàí F çàêðûòü. Óñòàíîâêà ãîòîâà ê èçìåðåíèÿì. 2. Îïðåäåëèòü ïîñòîÿííóþ ïðèáîðà. 2.1. Îòêðûòü ïðîáêó àñïèðàòîðà, óñòàíîâèâ âíóòðè ñèñòåìû àòìîñôåðíîå äàâëåíèå. Ïðè ýòîì óðîâíè æèäêîñòè â êîëåíàõ ìàíîìåòðà âûðàâíèâàþòñÿ. 2.2. Ïåðåäâèãàÿ øêàëó ìàíîìåòðà, óñòàíîâèòü íóëåâîå äåëåíèå íà îáùèé óðîâåíü æèäêîñòè â îáîèõ êîëåíàõ. 2.3. Çàêðûòü àñïèðàòîð ïðîáêîé, ðàçîáùèâ ñèñòåìó ñ àòìîñôåðîé. Ïðèîòêðûâ êðàí àñïèðàòîðà, ñëåäóåò ïðîñëåäèòü çà îáðàçîâàíèåì è îòðûâîì ïóçûðüêîâ â ñîñóäå Â. Îòêðûòü êðàí òàê, ÷òîáû èçìåíåíèå äàâëåíèÿ ïðîèñõîäèëî äîñòàòî÷íî ìåäëåííî è ìîæíî áûëî ëåãêî îòñ÷èòûâàòü âûñîòû óðîâíåé â ìàíîìåòðå â ìîìåíò îòðûâà ïóçûðüêîâ. Îòñ÷åòû ïðîâåñòè äëÿ 1012 ïóçûðüêîâ, çàïèñûâàÿ çíà÷åíèÿ Í0 â òàáëèöó. 2.4. Ïîäñòàâèòü â ôîðìóëó (6) ñðåäíåå çíà÷åíèå H0 ñð è âçÿòîå èç òàáëèö çíà÷åíèå s0, íàéòè ïîñòîÿííóþ ïðèáîðà k. ¹ ï/ï
1 . . . 5 ñðåäíåå k s
Ýòàëîííûé ðàñòâîð (âîäà) H0
Ðàñòâîðû 10% H1
20% H2
30% H3
40% H4
50% H5
3. Îïðåäåëèòü çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ îò êîíöåíòðàöèè ðàñòâîðà. 3.1. Âûëèòü âîäó èç ñîñóäà Â, íàïîëíèòü åãî ðàñòâîðîì ìåòèëîâîãî ñïèðòà íàèìåíüøåé êîíöåíòðàöèè. 3.2. Ïðîïîëîñêàòü ñîñóä è îñîáåííî «êîí÷èê» ðàñòâîðîì ìåòèëîâîãî ñïèðòà íàèìåíüøåé êîíöåíòðàöèè. 3.3. Ñëåäóÿ ìåòîäèêå, îïèñàííîé âûøå, îïðåäåëèòü âåëè÷èíó Í è ïî ôîðìóëå (6) íàéòè çíà÷åíèå s0 äëÿ ðàñòâîðà äàííîé êîíöåíòðàöèè.
290
3.4. Èçìåðåíèÿ ïîâòîðèòü äëÿ ðÿäà ðàñòâîðîâ è ïî ïîëó÷åííûì äàííûì ïîñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè s îò èõ êîíöåíòðàöèè. 3.5. Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèé. Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 3. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà, Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 5. Æèäêîå ñîñòîÿíèå. § 5.2. Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå. § 5.3. Äàâëåíèå ïîä èçîãíóòîé ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè.
1.3. Ïðèîòêðûòü êðàí F, ñëèâàòü èçáûòîê æèäêîñòè â ñîñóäå äî òåõ ïîð, ïîêà êîí÷èê ñòåêëÿííîé òðóáêè íå ñîïðèêîñíåòñÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè. Ïîñëå ýòîãî êðàí F çàêðûòü. Óñòàíîâêà ãîòîâà ê èçìåðåíèÿì. 2. Îïðåäåëèòü ïîñòîÿííóþ ïðèáîðà. 2.1. Îòêðûòü ïðîáêó àñïèðàòîðà, óñòàíîâèâ âíóòðè ñèñòåìû àòìîñôåðíîå äàâëåíèå. Ïðè ýòîì óðîâíè æèäêîñòè â êîëåíàõ ìàíîìåòðà âûðàâíèâàþòñÿ. 2.2. Ïåðåäâèãàÿ øêàëó ìàíîìåòðà, óñòàíîâèòü íóëåâîå äåëåíèå íà îáùèé óðîâåíü æèäêîñòè â îáîèõ êîëåíàõ. 2.3. Çàêðûòü àñïèðàòîð ïðîáêîé, ðàçîáùèâ ñèñòåìó ñ àòìîñôåðîé. Ïðèîòêðûâ êðàí àñïèðàòîðà, ñëåäóåò ïðîñëåäèòü çà îáðàçîâàíèåì è îòðûâîì ïóçûðüêîâ â ñîñóäå Â. Îòêðûòü êðàí òàê, ÷òîáû èçìåíåíèå äàâëåíèÿ ïðîèñõîäèëî äîñòàòî÷íî ìåäëåííî è ìîæíî áûëî ëåãêî îòñ÷èòûâàòü âûñîòû óðîâíåé â ìàíîìåòðå â ìîìåíò îòðûâà ïóçûðüêîâ. Îòñ÷åòû ïðîâåñòè äëÿ 1012 ïóçûðüêîâ, çàïèñûâàÿ çíà÷åíèÿ Í0 â òàáëèöó. 2.4. Ïîäñòàâèòü â ôîðìóëó (6) ñðåäíåå çíà÷åíèå H0 ñð è âçÿòîå èç òàáëèö çíà÷åíèå s0, íàéòè ïîñòîÿííóþ ïðèáîðà k. ¹ ï/ï
1 . . . 5 ñðåäíåå k s
Ýòàëîííûé ðàñòâîð (âîäà) H0
Ðàñòâîðû 10% H1
20% H2
30% H3
40% H4
50% H5
3. Îïðåäåëèòü çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ îò êîíöåíòðàöèè ðàñòâîðà. 3.1. Âûëèòü âîäó èç ñîñóäà Â, íàïîëíèòü åãî ðàñòâîðîì ìåòèëîâîãî ñïèðòà íàèìåíüøåé êîíöåíòðàöèè. 3.2. Ïðîïîëîñêàòü ñîñóä è îñîáåííî «êîí÷èê» ðàñòâîðîì ìåòèëîâîãî ñïèðòà íàèìåíüøåé êîíöåíòðàöèè. 3.3. Ñëåäóÿ ìåòîäèêå, îïèñàííîé âûøå, îïðåäåëèòü âåëè÷èíó Í è ïî ôîðìóëå (6) íàéòè çíà÷åíèå s0 äëÿ ðàñòâîðà äàííîé êîíöåíòðàöèè.
290
3.4. Èçìåðåíèÿ ïîâòîðèòü äëÿ ðÿäà ðàñòâîðîâ è ïî ïîëó÷åííûì äàííûì ïîñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè s îò èõ êîíöåíòðàöèè. 3.5. Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèé. Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 3. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà, Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 5. Æèäêîå ñîñòîÿíèå. § 5.2. Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå. § 5.3. Äàâëåíèå ïîä èçîãíóòîé ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè.
Çàäà÷à ¹ 34 ÈÇÌÅÐÅÍÈÅ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÍÎÃÎ ÍÀÒßÆÅÍÈß ÊÀÏÈËËßÐÍÛÌ ÌÅÒÎÄÎÌ
Öåëü çàäà÷è: îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ s æèäêîñòè ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå ïî âûñîòå åå ïîäíÿòèÿ â êàïèëëÿðå. Ýêñïåðèìåíòàëüíûé ìåòîä Êàïèëëÿðû ïîãðóæàþòñÿ â ñîñóä ñ èññëåäóåìîé æèäêîñòüþ è çàòåì óñòàíàâëèâàþòñÿ âåðòèêàëüíî íàä ñîñóäîì òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íèæíèé êîíåö êàïèëëÿðîâ íàõîäèëñÿ â æèäêîñòè (ðèñ. 1). Ïðè ýòîì ÷àñòü æèäêîñòè îñòàåòñÿ â êàïèëëÿðàõ, à êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ s îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ, îïðåäåëÿåìîãî çàêîíîì Ïàñêàëÿ, è äîïîëíèòåëüíîãî äàâëåíèÿ, îïðåäåëÿåìîãî ôîðìóëîé Ëàïëàñà. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Ïóñòü âûñîòû ïîäíÿòèÿ æèäêîñòè â êàïèëëÿðàõ ñ âíóòðåííèìè ðàäèóñàìè r1, r2, r3 ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî h1, h2 è h3, òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (5) ðàçäåëà «Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ» ìîæíî çàïèñàòü: s=
h1 - h2 =
r1h1 rh rh rg = 2 2 rg = 3 3 rg , 2 2 2
2s 2s 2s 2s , h1 - h3 = , r1 g r r2 g r r1 g r r3 g r
(1) (2)
è äëÿ êîýôôèöèåíòà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ èìååì: s=
r1r2 r1r3 (h1 - h2 )rg = (h1 - h3 )rg . 2(r2 - r1 ) 2(r3 - r1 )
(3)
Ïîðÿäîê èçìåðåíèé Ïðè ïðîâåäåíèè èçìåðåíèé íåîáõîäèìî âûïîëíèòü ñëåäóþùèå îïåðàöèè: 1. Òùàòåëüíî ïðîìûòü êàïèëëÿðû êèñëîòíûì è ñïèðòîâûì ðàñòâîðîì, à çàòåì äèñòèëëèðîâàííîé âîäîé. 2. Ïðîñóøèòü êàïèëëÿðû ïðîïóñêàíèåì ÷åðåç íèõ íàãðåòîãî âîçäóõà. 3. Èçìåðèòü âíóòðåííèå äèàìåòðû êàïèëëÿðîâ âäîëü íåñêîëüêèõ íàïðàâëåíèé ïðè ïîìîùè ìèêðîñêîïà (ïîðÿäîê èçìåðåíèé íà ïðèìåðå ìèêðîñêîïà «Ìèð-12» îïèñàí â çàäà÷å ¹ 29), ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû óñðåäíèòü. 292
Ðèñ. 1
4. Çàêðåïèòü êàïèëëÿðû ñòðîãî âåðòèêàëüíî ïî îòâåñó â äåðæàòåëå. 5. Îïóñòèòü äåðæàòåëü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû êàïèëëÿðû ïîãðóçèëèñü íà íåñêîëüêî ñàíòèìåòðîâ â ñîñóä ñ äèñòèëëèðîâàííîé âîäîé è âûæäàòü íåñêîëüêî ìèíóò äëÿ ñìà÷èâàíèÿ ñòåíîê êàïèëëÿðîâ. 6. Ïðèïîäíÿòü äåðæàòåëü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íèæíèå êîíöû êàïèëëÿðîâ îñòàâàëèñü â âîäå. 7. Ïðîèçâåñòè îòñ÷åò ïîëîæåíèé âåðøèí ìåíèñêîâ ïðè ïîìîùè ãîðèçîíòàëüíîãî ìèêðîñêîïà (ñì. çàäà÷ó ¹ 29), ïðèáàâèòü ê êàæäîìó îòñ÷åòó ïîïðàâêó íà ìåíèñê, ðàâíóþ 1/3 âíóòðåííåãî ðàäèóñà êàïèëëÿðà. 8. Ïîâòîðèòü îïåðàöèè ïóíêòîâ 57 äëÿ òðåõ çíà÷åíèé ãëóáèíû ïîãðóæåíèÿ. 9. Ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëå (3) êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ. Çíà÷åíèå ïëîòíîñòè âîäû r ïðè òåìïåðàòóðå íàáëþäåíèÿ âçÿòü èç ñïðàâî÷íûõ òàáëèö. Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 3. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 5. Æèäêîå ñîñòîÿíèå. § 5.2. Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå. § 5.3. Äàâëåíèå ïîä èçîãíóòîé ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè. § 5.5. Êàïèëëÿðíûå ÿâëåíèÿ.
Çàäà÷à ¹ 34 ÈÇÌÅÐÅÍÈÅ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÍÎÃÎ ÍÀÒßÆÅÍÈß ÊÀÏÈËËßÐÍÛÌ ÌÅÒÎÄÎÌ
Öåëü çàäà÷è: îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ s æèäêîñòè ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå ïî âûñîòå åå ïîäíÿòèÿ â êàïèëëÿðå. Ýêñïåðèìåíòàëüíûé ìåòîä Êàïèëëÿðû ïîãðóæàþòñÿ â ñîñóä ñ èññëåäóåìîé æèäêîñòüþ è çàòåì óñòàíàâëèâàþòñÿ âåðòèêàëüíî íàä ñîñóäîì òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íèæíèé êîíåö êàïèëëÿðîâ íàõîäèëñÿ â æèäêîñòè (ðèñ. 1). Ïðè ýòîì ÷àñòü æèäêîñòè îñòàåòñÿ â êàïèëëÿðàõ, à êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ s îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ, îïðåäåëÿåìîãî çàêîíîì Ïàñêàëÿ, è äîïîëíèòåëüíîãî äàâëåíèÿ, îïðåäåëÿåìîãî ôîðìóëîé Ëàïëàñà. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Ïóñòü âûñîòû ïîäíÿòèÿ æèäêîñòè â êàïèëëÿðàõ ñ âíóòðåííèìè ðàäèóñàìè r1, r2, r3 ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî h1, h2 è h3, òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (5) ðàçäåëà «Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ» ìîæíî çàïèñàòü: s=
h1 - h2 =
r1h1 rh rh rg = 2 2 rg = 3 3 rg , 2 2 2
2s 2s 2s 2s , h1 - h3 = , r1 g r r2 g r r1 g r r3 g r
(1) (2)
è äëÿ êîýôôèöèåíòà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ èìååì: s=
r1r2 r1r3 (h1 - h2 )rg = (h1 - h3 )rg . 2(r2 - r1 ) 2(r3 - r1 )
(3)
Ïîðÿäîê èçìåðåíèé Ïðè ïðîâåäåíèè èçìåðåíèé íåîáõîäèìî âûïîëíèòü ñëåäóþùèå îïåðàöèè: 1. Òùàòåëüíî ïðîìûòü êàïèëëÿðû êèñëîòíûì è ñïèðòîâûì ðàñòâîðîì, à çàòåì äèñòèëëèðîâàííîé âîäîé. 2. Ïðîñóøèòü êàïèëëÿðû ïðîïóñêàíèåì ÷åðåç íèõ íàãðåòîãî âîçäóõà. 3. Èçìåðèòü âíóòðåííèå äèàìåòðû êàïèëëÿðîâ âäîëü íåñêîëüêèõ íàïðàâëåíèé ïðè ïîìîùè ìèêðîñêîïà (ïîðÿäîê èçìåðåíèé íà ïðèìåðå ìèêðîñêîïà «Ìèð-12» îïèñàí â çàäà÷å ¹ 29), ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû óñðåäíèòü. 292
Ðèñ. 1
4. Çàêðåïèòü êàïèëëÿðû ñòðîãî âåðòèêàëüíî ïî îòâåñó â äåðæàòåëå. 5. Îïóñòèòü äåðæàòåëü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû êàïèëëÿðû ïîãðóçèëèñü íà íåñêîëüêî ñàíòèìåòðîâ â ñîñóä ñ äèñòèëëèðîâàííîé âîäîé è âûæäàòü íåñêîëüêî ìèíóò äëÿ ñìà÷èâàíèÿ ñòåíîê êàïèëëÿðîâ. 6. Ïðèïîäíÿòü äåðæàòåëü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íèæíèå êîíöû êàïèëëÿðîâ îñòàâàëèñü â âîäå. 7. Ïðîèçâåñòè îòñ÷åò ïîëîæåíèé âåðøèí ìåíèñêîâ ïðè ïîìîùè ãîðèçîíòàëüíîãî ìèêðîñêîïà (ñì. çàäà÷ó ¹ 29), ïðèáàâèòü ê êàæäîìó îòñ÷åòó ïîïðàâêó íà ìåíèñê, ðàâíóþ 1/3 âíóòðåííåãî ðàäèóñà êàïèëëÿðà. 8. Ïîâòîðèòü îïåðàöèè ïóíêòîâ 57 äëÿ òðåõ çíà÷åíèé ãëóáèíû ïîãðóæåíèÿ. 9. Ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëå (3) êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ. Çíà÷åíèå ïëîòíîñòè âîäû r ïðè òåìïåðàòóðå íàáëþäåíèÿ âçÿòü èç ñïðàâî÷íûõ òàáëèö. Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 3. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 5. Æèäêîå ñîñòîÿíèå. § 5.2. Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå. § 5.3. Äàâëåíèå ïîä èçîãíóòîé ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè. § 5.5. Êàïèëëÿðíûå ÿâëåíèÿ.
ÐÀÇÄÅË 3 ÒÅÏËÎÅÌÊÎÑÒÜ ÈÄÅÀËÜÍÛÕ ÃÀÇÎÂ
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ Ïåðâîå íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè. Ïåðâîå íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè óòâåðæäàåò, ÷òî áåñêîíå÷íî ìàëîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû dQ, ñîîáùåííîå ñèñòåìå (òåëó), èäåò íà èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè dU è ñîâåðøåíèå ñèñòåìîé ðàáîòû dÀ íàä âíåøíèìè òåëàìè: dQ = dU + dÀ. (1) Ýòî ñîîòíîøåíèå âûðàæàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äëÿ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Âåëè÷èíà dQ, ñòîÿùàÿ â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýíåðãèþ, êîòîðàÿ ïåðåõîäèò îò îäíîãî òåëà ê äðóãîìó ïðè òåïëîîáìåíå è ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé, åñëè îíà ñîîáùàåòñÿ òåëó, è îòðèöàòåëüíîé, åñëè çàáèðàåòñÿ îò íåãî. Áåñêîíå÷íî ìàëîå èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè dU ñâÿçàíî ñ èçìåíåíèåì êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé ìîëåêóë. Ýòà âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì, òàê êàê îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî íà÷àëüíûì è êîíå÷íûì ñîñòîÿíèÿìè ñèñòåìû. Ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà dÀ è êîëè÷åñòâî òåïëîòû dQ çàâèñÿò îò âèäà ïðîöåññà, ïðè êîòîðîì ñèñòåìà ïåðåõîäèò èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå. Îíè íå ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè äèôôåðåíöèàëàìè, ïîýòîìó äëÿ èõ îáîçíà÷åíèÿ èñïîëüçóåòñÿ çíàê d. Ïóñòü ðàáîòà dÀ ñîâåðøàåòñÿ ñèëàìè äàâëåíèÿ ãàçà, íàõîäÿùåãîñÿ ïîä ïîðøíåì. Åñëè äàâëåíèå ãàçà ðàâíî P, òî ïðè ïåðåìåùåíèè ïîðøíÿ ïëîùàäüþ S íà áåñêîíå÷íî ìàëóþ âåëè÷èíó dx ãàç ñîâåðøèò ðàáîòó: dÀ = fdx = PSdx = PdV, ãäå f ñèëà äàâëåíèÿ ãàçà íà ïîðøåíü; Sdx = dV ïðèðàùåíèå îáúåìà ãàçà. Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â óðàâíåíèå (1), ïîëó÷èì dQ = dU + PdV . (2) Tåïëîåìêîñòü. Ïóñòü ïðè ñîîáùåíèè ñèñòåìå êîëè÷åñòâà òåïëîòû dQ åå òåìïåðàòóðà èçìåíèëàñü íà âåëè÷èíó dT, èõ îòíîøåíèå Ñ = dQ/dT (3) 294
íàçûâàåòñÿ òåïëîåìêîñòüþ ñèñòåìû. Ñ ó÷åòîì (2) ìîæíî çàïèñàòü: C = dQ/dT = dU/dT + PdV/dT . (4) Òåïëîåìêîñòü õàðàêòåðèçóåò ñïîñîáíîñòü ñèñòåìû èçìåíÿòü ñâîþ òåìïåðàòóðó ïðè ñîîáùåíèè åé íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà òåïëîòû. Îíà çàâèñèò îò ðîäà âåùåñòâà, åãî àãðåãàòíîãî ñîñòîÿíèÿ, òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ è âèäà ïðîöåññà òåïëîîáìåíà. Ïðè ðàñ÷åòàõ óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ óäåëüíîé òåïëîåìêîñòüþ ñ è ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòüþ Ñ. Óäåëüíîé òåïëîåìêîñòüþ ñ íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå òåïëîåìêîñòè ñèñòåìû ê åå ìàññå. Ýòà âåëè÷èíà ÷èñëåííî ðàâíà êîëè÷åñòâó òåïëîòû, êîòîðîå íåîáõîäèìî ñîîáùèòü 1 êã âåùåñòâà äëÿ èçìåíåíèÿ åãî òåìïåðàòóðû íà 1 Ê. Åäèíèöåé èçìåðåíèÿ óäåëüíîé òåïëîåìêîñòè ÿâëÿåòñÿ Äæ/êã×Ê. Àíàëîãè÷íî ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòè C, èëè òåïëîåìêîñòè îäíîãî ìîëÿ âåùåñòâà, êîòîðîå áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ â äàëüíåéøåì. Ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü Ñ èçìåðÿåòñÿ â Äæ/ìîëü×Ê. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ìåæäó óäåëüíîé è ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòÿìè ñóùåñòâóåò ïðîñòàÿ ñâÿçü: c = C/m, ãäå m ìîëÿðíàÿ ìàññà âåùåñòâà. Ýòè âåëè÷èíû èñïîëüçóþòñÿ, åñëè ñèñòåìà îäíîðîäíà ïî ñâîåìó ñîñòàâó.  ýòîì ñëó÷àå îíè ÿâëÿþòñÿ õàðàêòåðèñòèêàìè âåùåñòâà ñèñòåìû.  çàâèñèìîñòè îò âèäà ïðîöåññà, ïðîèñõîäÿùåãî ñ ñèñòåìîé, ðàçëè÷àþò ïîíÿòèÿ òåïëîåìêîñòè ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå ÑV è òåïëîåìêîñòè ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè ÑP. Ýòè âåëè÷èíû çàìåòíî îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà äëÿ ãàçîâ, à â ñëó÷àå òâåðäûõ è æèäêèõ òåë îíè áëèçêè. Òðóäíîñòü ýêñïåðèìåíòàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ òåïëîåìêîñòåé æèäêîñòåé è ãàçîâ ñîñòîèò â íåîáõîäèìîñòè ó÷åòà êîëè÷åñòâà òåïëîòû, èäóùåãî íà íàãðåâàíèå ñîñóäà, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ èññëåäóåìàÿ æèäêîñòü èëè ãàç. Òåïëîåìêîñòè ÑP è ÑV èäåàëüíîãî ãàçà. Ñâîéñòâà ìíîãèõ ãàçîâ â äîñòàòî÷íî øèðîêîì èíòåðâàëå äàâëåíèé è òåìïåðàòóð õîðîøî îïèñûâàþòñÿ ïðè ïîìîùè ìîäåëè èäåàëüíîãî ãàçà.  åå îñíîâå ëåæèò ïðåäñòàâëåíèå î ãàçå êàê î ñîâîêóïíîñòè íàõîäÿùèõñÿ â òåïëîâîì äâèæåíèè ìîëåêóë, êîòîðûå óïðóãî ñòàëêèâàþòñÿ ìåæäó ñîáîé, íî íå âçàèìîäåéñòâóþò íà ðàññòîÿíèè. Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ èäåàëüíîãî ãàçà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììàðíóþ êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ âñåõ åãî ìîëåêóë è îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî òåìïåðàòóðîé ãàçà: U = U(T). Äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà ëåãêî ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèå ìåæäó ÑP è ÑV . Åñëè îáúåì ãàçà ïîñòîÿíåí, ò.å. V = const, òî dV = 0 è èç óðàâíåíèÿ (4) ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ òåïëîåìêîñòè ÑV èäåàëüíîãî ãàçà: Ñ V = dU/dT. (5) 295
ÐÀÇÄÅË 3 ÒÅÏËÎÅÌÊÎÑÒÜ ÈÄÅÀËÜÍÛÕ ÃÀÇÎÂ
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ Ïåðâîå íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè. Ïåðâîå íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè óòâåðæäàåò, ÷òî áåñêîíå÷íî ìàëîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû dQ, ñîîáùåííîå ñèñòåìå (òåëó), èäåò íà èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè dU è ñîâåðøåíèå ñèñòåìîé ðàáîòû dÀ íàä âíåøíèìè òåëàìè: dQ = dU + dÀ. (1) Ýòî ñîîòíîøåíèå âûðàæàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äëÿ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Âåëè÷èíà dQ, ñòîÿùàÿ â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýíåðãèþ, êîòîðàÿ ïåðåõîäèò îò îäíîãî òåëà ê äðóãîìó ïðè òåïëîîáìåíå è ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé, åñëè îíà ñîîáùàåòñÿ òåëó, è îòðèöàòåëüíîé, åñëè çàáèðàåòñÿ îò íåãî. Áåñêîíå÷íî ìàëîå èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè dU ñâÿçàíî ñ èçìåíåíèåì êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé ìîëåêóë. Ýòà âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì, òàê êàê îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî íà÷àëüíûì è êîíå÷íûì ñîñòîÿíèÿìè ñèñòåìû. Ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà dÀ è êîëè÷åñòâî òåïëîòû dQ çàâèñÿò îò âèäà ïðîöåññà, ïðè êîòîðîì ñèñòåìà ïåðåõîäèò èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå. Îíè íå ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè äèôôåðåíöèàëàìè, ïîýòîìó äëÿ èõ îáîçíà÷åíèÿ èñïîëüçóåòñÿ çíàê d. Ïóñòü ðàáîòà dÀ ñîâåðøàåòñÿ ñèëàìè äàâëåíèÿ ãàçà, íàõîäÿùåãîñÿ ïîä ïîðøíåì. Åñëè äàâëåíèå ãàçà ðàâíî P, òî ïðè ïåðåìåùåíèè ïîðøíÿ ïëîùàäüþ S íà áåñêîíå÷íî ìàëóþ âåëè÷èíó dx ãàç ñîâåðøèò ðàáîòó: dÀ = fdx = PSdx = PdV, ãäå f ñèëà äàâëåíèÿ ãàçà íà ïîðøåíü; Sdx = dV ïðèðàùåíèå îáúåìà ãàçà. Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â óðàâíåíèå (1), ïîëó÷èì dQ = dU + PdV . (2) Tåïëîåìêîñòü. Ïóñòü ïðè ñîîáùåíèè ñèñòåìå êîëè÷åñòâà òåïëîòû dQ åå òåìïåðàòóðà èçìåíèëàñü íà âåëè÷èíó dT, èõ îòíîøåíèå Ñ = dQ/dT (3) 294
íàçûâàåòñÿ òåïëîåìêîñòüþ ñèñòåìû. Ñ ó÷åòîì (2) ìîæíî çàïèñàòü: C = dQ/dT = dU/dT + PdV/dT . (4) Òåïëîåìêîñòü õàðàêòåðèçóåò ñïîñîáíîñòü ñèñòåìû èçìåíÿòü ñâîþ òåìïåðàòóðó ïðè ñîîáùåíèè åé íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà òåïëîòû. Îíà çàâèñèò îò ðîäà âåùåñòâà, åãî àãðåãàòíîãî ñîñòîÿíèÿ, òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ è âèäà ïðîöåññà òåïëîîáìåíà. Ïðè ðàñ÷åòàõ óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ óäåëüíîé òåïëîåìêîñòüþ ñ è ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòüþ Ñ. Óäåëüíîé òåïëîåìêîñòüþ ñ íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå òåïëîåìêîñòè ñèñòåìû ê åå ìàññå. Ýòà âåëè÷èíà ÷èñëåííî ðàâíà êîëè÷åñòâó òåïëîòû, êîòîðîå íåîáõîäèìî ñîîáùèòü 1 êã âåùåñòâà äëÿ èçìåíåíèÿ åãî òåìïåðàòóðû íà 1 Ê. Åäèíèöåé èçìåðåíèÿ óäåëüíîé òåïëîåìêîñòè ÿâëÿåòñÿ Äæ/êã×Ê. Àíàëîãè÷íî ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòè C, èëè òåïëîåìêîñòè îäíîãî ìîëÿ âåùåñòâà, êîòîðîå áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ â äàëüíåéøåì. Ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü Ñ èçìåðÿåòñÿ â Äæ/ìîëü×Ê. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ìåæäó óäåëüíîé è ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòÿìè ñóùåñòâóåò ïðîñòàÿ ñâÿçü: c = C/m, ãäå m ìîëÿðíàÿ ìàññà âåùåñòâà. Ýòè âåëè÷èíû èñïîëüçóþòñÿ, åñëè ñèñòåìà îäíîðîäíà ïî ñâîåìó ñîñòàâó.  ýòîì ñëó÷àå îíè ÿâëÿþòñÿ õàðàêòåðèñòèêàìè âåùåñòâà ñèñòåìû.  çàâèñèìîñòè îò âèäà ïðîöåññà, ïðîèñõîäÿùåãî ñ ñèñòåìîé, ðàçëè÷àþò ïîíÿòèÿ òåïëîåìêîñòè ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå ÑV è òåïëîåìêîñòè ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè ÑP. Ýòè âåëè÷èíû çàìåòíî îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà äëÿ ãàçîâ, à â ñëó÷àå òâåðäûõ è æèäêèõ òåë îíè áëèçêè. Òðóäíîñòü ýêñïåðèìåíòàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ òåïëîåìêîñòåé æèäêîñòåé è ãàçîâ ñîñòîèò â íåîáõîäèìîñòè ó÷åòà êîëè÷åñòâà òåïëîòû, èäóùåãî íà íàãðåâàíèå ñîñóäà, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ èññëåäóåìàÿ æèäêîñòü èëè ãàç. Òåïëîåìêîñòè ÑP è ÑV èäåàëüíîãî ãàçà. Ñâîéñòâà ìíîãèõ ãàçîâ â äîñòàòî÷íî øèðîêîì èíòåðâàëå äàâëåíèé è òåìïåðàòóð õîðîøî îïèñûâàþòñÿ ïðè ïîìîùè ìîäåëè èäåàëüíîãî ãàçà.  åå îñíîâå ëåæèò ïðåäñòàâëåíèå î ãàçå êàê î ñîâîêóïíîñòè íàõîäÿùèõñÿ â òåïëîâîì äâèæåíèè ìîëåêóë, êîòîðûå óïðóãî ñòàëêèâàþòñÿ ìåæäó ñîáîé, íî íå âçàèìîäåéñòâóþò íà ðàññòîÿíèè. Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ èäåàëüíîãî ãàçà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììàðíóþ êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ âñåõ åãî ìîëåêóë è îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî òåìïåðàòóðîé ãàçà: U = U(T). Äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà ëåãêî ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèå ìåæäó ÑP è ÑV . Åñëè îáúåì ãàçà ïîñòîÿíåí, ò.å. V = const, òî dV = 0 è èç óðàâíåíèÿ (4) ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ òåïëîåìêîñòè ÑV èäåàëüíîãî ãàçà: Ñ V = dU/dT. (5) 295
Òîãäà äëÿ òåïëîåìêîñòè ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè ÑP ñîîòíîøåíèå (4) çàïèøåòñÿ â âèäå Ñ P = Ñ V + P(¶V/¶T)P . (6) Èíäåêñ P ïðè ñêîáêàõ â ïðàâîé ÷àñòè óêàçûâàåò íà òî, ÷òî äèôôåðåíöèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè, ïîýòîìó çäåñü âçÿòà ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ¶V/¶T. Åå çíà÷åíèå ìîæíî îïðåäåëèòü èç óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ PV = RT , (7) ñïðàâåäëèâîãî äëÿ îäíîãî ìîëÿ èäåàëüíîãî ãàçà. Âîçüìåì äèôôåðåíöèàëû îò îáåèõ ÷àñòåé ýòîãî óðàâíåíèÿ: d(PV ) = RdT , VdP + pdV = RdT. Åñëè P = const, òî dP = 0 è â ýòîì ñëó÷àå (¶V/¶T)P = R/P. (8)  ðåçóëüòàòå èç óðàâíåíèÿ (6) ïîëó÷èì, ÷òî ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü èäåàëüíîãî ãàçà ÑP áîëüøå åãî ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòè ÑV íà âåëè÷èíó óíèâåðñàëüíîé ãàçîâîé ïîñòîÿííîé R : Ñ P Ñ V = R.
(9)
Ýòî ñîîòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ìàéåðà. Îòíîøåíèå òåïëîåìêîñòåé ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè è ïîñòîÿííîì îáúåìå g = Ñ P /Ñ V âñåãäà áîëüøå åäèíèöû, òàê êàê Ñ P >Ñ V . Ýòî ìîæíî ïîÿñíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïðè èçîõîðè÷åñêîì ïðîöåññå, êîãäà îáúåì ñèñòåìû íå ìåíÿåòñÿ (dV = 0), â ñîîòâåòñòâèè ñ ïåðâûì íà÷àëîì òåðìîäèíàìèêè (2) âñÿ ñîîáùåííàÿ ãàçó òåïëîòà èäåò íà èçìåíåíèå åãî âíóòðåííåé ýíåðãèè. Ïðè èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå ÷àñòü òåïëîòû èäåò íà ñîâåðøåíèå ãàçîì ðàáîòû PdV. Äëÿ îäíîãî ìîëÿ èäåàëüíîãî ãàçà ïðè íàãðåâàíèè åãî íà 1 Ê ïðè p = const ýòà ðàáîòà, êàê íåòðóäíî âèäåòü èç óðàâíåíèÿ (8), ðàâíà óíèâåðñàëüíîé ãàçîâîé ïîñòîÿííîé R. Ïîýòîìó äëÿ èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû ãàçà íà 1 Ê ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè òðåáóåòñÿ çàòðàòèòü áîëüøåå êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ÷åì ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå, ò.å. Ñ P >Ñ V . Ñîãëàñíî òåîðåìå î ðàâíîðàñïðåäåëåíèè ýíåðãèè ïî ñòåïåíÿì ñâîáîäû, ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóëû ãàçà ðàâíà áeñ = i/2kT , (10) ãäå i ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ìîëåêóëû. Óìíîæèâ åå íà ÷èñëî Àâîãàäðî NA, ïîëó÷èì âíóòðåííþþ ýíåðãèþ îäíîãî ìîëÿ èäåàëüíîãî ãàçà: 296
U = N A áe ñ = i /2 N A kT = i/2 RT . (11) Îòñþäà ìîæíî âûðàçèòü òåïëîåìêîñòè ÑP è ÑV ÷åðåç ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ìîëåêóëû ãàçà i: Ñ V = dU/dT = i/2 R, Ñ P = Ñ V + R = (i + 2)/2R, (12) g = Ñ P/Ñ V = (i + 2)/i. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà òåïëîåìêîñòè ÑP è ÑV ïîñòîÿííû è îïðåäåëÿþòñÿ ÷èñëîì i. Îíî ðàâíî ñóììå ÷èñëà ïîñòóïàòåëüíûõ, ÷èñëà âðàùàòåëüíûõ è óäâîåííîãî ÷èñëà êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû ìîëåêóëû: i = nïîñò + nâðàù + 2nêîëåá . (13) Äëÿ ìíîãèõ äâóõàòîìíûõ ãàçîâ, â òîì ÷èñëå äëÿ âîçäóõà, ìîæíî ïðèíÿòü i = 5 (òðè ïîñòóïàòåëüíûå ñòåïåíè ñâîáîäû è äâå âðàùàòåëüíûå).  ýòîì ñëó÷àå îòíîøåíèå òåïëîåìêîñòåé g = 1, 4. Ïîëèòðîïè÷åñêèé ïðîöåññ.  îáùåì ñëó÷àå ïðîöåññ, ïðè êîòîðîì òåïëîåìêîñòü ñèñòåìû Ñ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé, íàçûâàåòñÿ ïîëèòðîïè÷åñêèì. Âûâåäåì åãî óðàâíåíèå äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà. Ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ òåïëîåìêîñòè (3) è ñîîòíîøåíèÿ (5) ïåðâîå íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè (2) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå Cd T = CV dT + PdV. (14) Âûðàçèì äàâëåíèå ãàçà p èç óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ (7): P = RT /V = ( Ñ P Ñ V) T /V, ãäå ó÷òåíî, ÷òî R = Ñ P Ñ V . Ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå â âûðàæåíèè (14), ïîëó÷èì dT / T + (ÑP Ñ V)/(ÑV Ñ) dV / V = 0 . Ýòî óðàâíåíèå ëåãêî èíòåãðèðóåòñÿ: lnT + (Ñ P Ñ V )/(Ñ V Ñ)lnV = const. Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ, â ðåçóëüòàòå äëÿ ïîëèòðîïè÷åñêîãî ïðîöåññà ïîëó÷àåì TV n1 = const, (15) ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå (ÑP ÑV )/(ÑV Ñ) = n 1. Åñëè â óðàâíåíèè ñîñòîÿíèÿ (7) âûðàçèòü òåìïåðàòóðó ãàçà ÷åðåç åãî äàâëåíèå è îáúåì (T = PV/R) è ïîäñòàâèòü â (15), ïîëó÷èì óðàâíåíèå ïîëèòðîïû: PV n = const,
(16)
ãäå n = (Ñ ÑP)/(Ñ Ñ V) ïîêàçàòåëü ïîëèòðîïû. 297
Òîãäà äëÿ òåïëîåìêîñòè ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè ÑP ñîîòíîøåíèå (4) çàïèøåòñÿ â âèäå Ñ P = Ñ V + P(¶V/¶T)P . (6) Èíäåêñ P ïðè ñêîáêàõ â ïðàâîé ÷àñòè óêàçûâàåò íà òî, ÷òî äèôôåðåíöèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè, ïîýòîìó çäåñü âçÿòà ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ¶V/¶T. Åå çíà÷åíèå ìîæíî îïðåäåëèòü èç óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ PV = RT , (7) ñïðàâåäëèâîãî äëÿ îäíîãî ìîëÿ èäåàëüíîãî ãàçà. Âîçüìåì äèôôåðåíöèàëû îò îáåèõ ÷àñòåé ýòîãî óðàâíåíèÿ: d(PV ) = RdT , VdP + pdV = RdT. Åñëè P = const, òî dP = 0 è â ýòîì ñëó÷àå (¶V/¶T)P = R/P. (8)  ðåçóëüòàòå èç óðàâíåíèÿ (6) ïîëó÷èì, ÷òî ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü èäåàëüíîãî ãàçà ÑP áîëüøå åãî ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòè ÑV íà âåëè÷èíó óíèâåðñàëüíîé ãàçîâîé ïîñòîÿííîé R : Ñ P Ñ V = R.
(9)
Ýòî ñîîòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ìàéåðà. Îòíîøåíèå òåïëîåìêîñòåé ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè è ïîñòîÿííîì îáúåìå g = Ñ P /Ñ V âñåãäà áîëüøå åäèíèöû, òàê êàê Ñ P >Ñ V . Ýòî ìîæíî ïîÿñíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïðè èçîõîðè÷åñêîì ïðîöåññå, êîãäà îáúåì ñèñòåìû íå ìåíÿåòñÿ (dV = 0), â ñîîòâåòñòâèè ñ ïåðâûì íà÷àëîì òåðìîäèíàìèêè (2) âñÿ ñîîáùåííàÿ ãàçó òåïëîòà èäåò íà èçìåíåíèå åãî âíóòðåííåé ýíåðãèè. Ïðè èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå ÷àñòü òåïëîòû èäåò íà ñîâåðøåíèå ãàçîì ðàáîòû PdV. Äëÿ îäíîãî ìîëÿ èäåàëüíîãî ãàçà ïðè íàãðåâàíèè åãî íà 1 Ê ïðè p = const ýòà ðàáîòà, êàê íåòðóäíî âèäåòü èç óðàâíåíèÿ (8), ðàâíà óíèâåðñàëüíîé ãàçîâîé ïîñòîÿííîé R. Ïîýòîìó äëÿ èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû ãàçà íà 1 Ê ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè òðåáóåòñÿ çàòðàòèòü áîëüøåå êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ÷åì ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå, ò.å. Ñ P >Ñ V . Ñîãëàñíî òåîðåìå î ðàâíîðàñïðåäåëåíèè ýíåðãèè ïî ñòåïåíÿì ñâîáîäû, ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóëû ãàçà ðàâíà áeñ = i/2kT , (10) ãäå i ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ìîëåêóëû. Óìíîæèâ åå íà ÷èñëî Àâîãàäðî NA, ïîëó÷èì âíóòðåííþþ ýíåðãèþ îäíîãî ìîëÿ èäåàëüíîãî ãàçà: 296
U = N A áe ñ = i /2 N A kT = i/2 RT . (11) Îòñþäà ìîæíî âûðàçèòü òåïëîåìêîñòè ÑP è ÑV ÷åðåç ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ìîëåêóëû ãàçà i: Ñ V = dU/dT = i/2 R, Ñ P = Ñ V + R = (i + 2)/2R, (12) g = Ñ P/Ñ V = (i + 2)/i. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà òåïëîåìêîñòè ÑP è ÑV ïîñòîÿííû è îïðåäåëÿþòñÿ ÷èñëîì i. Îíî ðàâíî ñóììå ÷èñëà ïîñòóïàòåëüíûõ, ÷èñëà âðàùàòåëüíûõ è óäâîåííîãî ÷èñëà êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû ìîëåêóëû: i = nïîñò + nâðàù + 2nêîëåá . (13) Äëÿ ìíîãèõ äâóõàòîìíûõ ãàçîâ, â òîì ÷èñëå äëÿ âîçäóõà, ìîæíî ïðèíÿòü i = 5 (òðè ïîñòóïàòåëüíûå ñòåïåíè ñâîáîäû è äâå âðàùàòåëüíûå).  ýòîì ñëó÷àå îòíîøåíèå òåïëîåìêîñòåé g = 1, 4. Ïîëèòðîïè÷åñêèé ïðîöåññ.  îáùåì ñëó÷àå ïðîöåññ, ïðè êîòîðîì òåïëîåìêîñòü ñèñòåìû Ñ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé, íàçûâàåòñÿ ïîëèòðîïè÷åñêèì. Âûâåäåì åãî óðàâíåíèå äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà. Ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ òåïëîåìêîñòè (3) è ñîîòíîøåíèÿ (5) ïåðâîå íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè (2) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå Cd T = CV dT + PdV. (14) Âûðàçèì äàâëåíèå ãàçà p èç óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ (7): P = RT /V = ( Ñ P Ñ V) T /V, ãäå ó÷òåíî, ÷òî R = Ñ P Ñ V . Ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå â âûðàæåíèè (14), ïîëó÷èì dT / T + (ÑP Ñ V)/(ÑV Ñ) dV / V = 0 . Ýòî óðàâíåíèå ëåãêî èíòåãðèðóåòñÿ: lnT + (Ñ P Ñ V )/(Ñ V Ñ)lnV = const. Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ, â ðåçóëüòàòå äëÿ ïîëèòðîïè÷åñêîãî ïðîöåññà ïîëó÷àåì TV n1 = const, (15) ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå (ÑP ÑV )/(ÑV Ñ) = n 1. Åñëè â óðàâíåíèè ñîñòîÿíèÿ (7) âûðàçèòü òåìïåðàòóðó ãàçà ÷åðåç åãî äàâëåíèå è îáúåì (T = PV/R) è ïîäñòàâèòü â (15), ïîëó÷èì óðàâíåíèå ïîëèòðîïû: PV n = const,
(16)
ãäå n = (Ñ ÑP)/(Ñ Ñ V) ïîêàçàòåëü ïîëèòðîïû. 297
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè ýòîãî óðàâíåíèÿ. 1. n = 0, P = const, èçîáàðè÷åñêèé ïðîöåññ.  ýòîì ñëó÷àå Ñ = ÑP, ò.å. òåïëîåìêîñòü åñòü òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè. 2. n = ±¥, V = const, èçîõîðè÷åñêèé ïðîöåññ, Ñ =Ñ V . 3. n = 1, PV = const, èçîòåðìè÷åñêèé ïðîöåññ.  ýòîì ñëó÷àå dT = 0, òàê êàê Ò = const, è èç îïðåäåëåíèÿ òåïëîåìêîñòè (3) ñëåäóåò, ÷òî Ñ = ±¥. 4. n = g, àäèàáàòè÷åñêèé ïðîöåññ, C = 0.  ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà íå îáìåíèâàåòñÿ òåïëîòîé ñ îêðóæàþùèìè òåëàìè, ò.å. dQ = 0. Äëÿ àäèàáàòè÷åñêîãî ïðîöåññà ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèå P V g =const. (17) Òàêèì îáðàçîì, òåïëîåìêîñòü ñèñòåìû âî ìíîãîì îïðåäåëÿåòñÿ õàðàêòåðîì ïðîöåññà è ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå çíà÷åíèÿ. Âñå ðàññóæäåíèÿ, ïðîâåäåííûå âûøå, îòíîñÿòñÿ ê êëàññè÷åñêîé òåîðèè òåïëîåìêîñòè. Ñîãëàñíî åå ðåçóëüòàòàì ÑP è ÑV íå çàâèñÿò îò òåìïåðàòóðû è ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè âåëè÷èíàìè. Îíè îïðåäåëÿþòñÿ ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû ìîëåêóëû ãàçà i (12). Ðåçóëüòàòû êëàññè÷åñêîé òåîðèè ñîãëàñóþòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè çíà÷åíèÿìè ÑP è ÑV ëèøü â îïðåäåëåííîì òåìïåðàòóðíîì èíòåðâàëå. Îíè ñïðàâåäëèâû, â ÷àñòíîñòè, äëÿ âîçäóõà ïðè òåìïåðàòóðàõ, ëåæàùèõ âáëèçè êîìíàòíîé. Âíå ýòîãî èíòåðâàëà, ïðè äîñòàòî÷íî íèçêèõ èëè âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ, òåïëîåìêîñòü óæå íå ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé. Åå òåìïåðàòóðíàÿ çàâèñèìîñòü íàõîäèò ñâîå îòðàæåíèå â êâàíòîâîé òåîðèè.
Çàäà÷à ¹ 35 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÎÒÍÎØÅÍÈß ÒÅÏËÎÅÌÊÎÑÒÅÉ ÂÎÇÄÓÕÀ ÏÐÈ ÏÎÑÒÎßÍÍÎÌ ÄÀÂËÅÍÈÈ È ÏÎÑÒÎßÍÍÎÌ ÎÁÚÅÌÅ ÌÅÒÎÄÎÌ ÊËÅÌÀÍÀÄÅÇÎÐÌÀ
Öåëü çàäà÷è: èçó÷åíèå îñíîâíûõ çàêîíîâ èäåàëüíîãî ãàçà è îïðåäåëåíèå îòíîøåíèÿ òåïëîåìêîñòåé g = C P/C V âîçäóõà ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè è ïîñòîÿííîì îáúåìå. Ýêñïåðèìåíòàëüíûé ìåòîä Âåëè÷èíà g âõîäèò â óðàâíåíèå Ïóàññîíà PV g =const, îïèñûâàþùåå àäèàáàòè÷åñêèå ïðîöåññû â èäåàëüíûõ ãàçàõ.  èñïîëüçóåìîì ìåòîäå ÊëåìàíàÄåçîðìà ïîñëåäîâàòåëüíî ðåàëèçóþòñÿ àäèàáàòè÷åñêèé, èçîáàðè÷åñêèé è èçîõîðè÷åñêèé ïðîöåññû äëÿ âîçäóõà â ñòåêëÿííîì áàëëîíå. Ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ ýòè ïðîöåññû, ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü îòíîøåíèå òåïëîåìêîñòåé g ÷åðåç ýêñïåðèìåíòàëüíî èçìåðåííûå âåëè÷èíû: äàâëåíèÿ â áàëëîíå â íà÷àëå àäèàáàòè÷åñêîãî ïðîöåññà h1 è â êîíöå èçîõîðè÷åñêîãî ïðîöåññà h2 (â ìì âîä. ñò.) è âðåìÿ t, â òå÷åíèå êîòîðîãî ïðîèñõîäÿò àäèàáàòè÷åñêèé è èçîáàðè÷åñêèé ïðîöåññû. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Àäèàáàòè÷åñêèì ÿâëÿåòñÿ ïðîöåññ, ïðîèñõîäÿùèé ñ òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé, çàêëþ÷åííîé â òåïëîèçîëèðóþùóþ îáîëî÷êó. Îäíàêî ïðè îïûòàõ ñ ãàçîì òàêàÿ îáîëî÷êà, îáëàäàÿ òåïëîåìêîñòüþ, âî ìíîãî ðàç ïðåâûøàþùåé òåïëîåìêîñòü ñàìîãî ãàçà, âíîñèò î÷åíü áîëüøóþ ïîãðåøíîñòü â ðåçóëüòàò èçìåðåíèé. Íà ïðàêòèêå äëÿ ïðîâåäåíèÿ àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ïîëüçóþòñÿ òåì, ÷òî äàâëåíèå â ãàçå óñòàíàâëèâàåòñÿ ñðàâíèòåëüíî áûñòðî çà äîëè ñåêóíäû, â òî âðåìÿ êàê äëÿ âûðàâíèâàíèÿ òåìïåðàòóðû òðåáóþòñÿ ìèíóòû. Ïîýòîìó ïðîöåññû, î÷åíü áëèçêèå ê àäèàáàòè÷åñêèì, ìîãóò áûòü îñóùåñòâëåíû ïóòåì áûñòðîãî èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ ãàçà. Èìåííî òàêîé ïðèåì è èñïîëüçóåòñÿ â äàííîé ðàáîòå, ÷òîáû íàéòè çíà÷åíèå g äëÿ âîçäóõà. Óñòàíîâêà (ðèñ. 1) ñîñòîèò èç ñòåêëÿííîãî áàëëîíà (1) îáúåìîì 1020 ë; íàñîñà (2), ñëóæàùåãî äëÿ ñîçäàíèÿ â áàëëîíå èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿ âîçäóõà; òðåõõîäîâîãî êðàíà (3), ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî áàëëîí ìîæåò ñîîáùàòüñÿ ñ àòìîñôåðîé èëè íàñîñîì (ðèñ. 2); êðàíà (4), ðàçîáùàþùåãî áàëëîí è íàñîñ; U-îáðàçíîãî âîäÿíîãî ìàíîìåòðà (5), ïîêàçûâàþùåãî ðàçíîñòü ìåæäó äàâëåíèåì âîçäóõà â áàëëîíå è àòìîñôåðíûì äàâëåíèåì. Äëÿ èçìåðå299
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè ýòîãî óðàâíåíèÿ. 1. n = 0, P = const, èçîáàðè÷åñêèé ïðîöåññ.  ýòîì ñëó÷àå Ñ = ÑP, ò.å. òåïëîåìêîñòü åñòü òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè. 2. n = ±¥, V = const, èçîõîðè÷åñêèé ïðîöåññ, Ñ =Ñ V . 3. n = 1, PV = const, èçîòåðìè÷åñêèé ïðîöåññ.  ýòîì ñëó÷àå dT = 0, òàê êàê Ò = const, è èç îïðåäåëåíèÿ òåïëîåìêîñòè (3) ñëåäóåò, ÷òî Ñ = ±¥. 4. n = g, àäèàáàòè÷åñêèé ïðîöåññ, C = 0.  ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà íå îáìåíèâàåòñÿ òåïëîòîé ñ îêðóæàþùèìè òåëàìè, ò.å. dQ = 0. Äëÿ àäèàáàòè÷åñêîãî ïðîöåññà ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèå P V g =const. (17) Òàêèì îáðàçîì, òåïëîåìêîñòü ñèñòåìû âî ìíîãîì îïðåäåëÿåòñÿ õàðàêòåðîì ïðîöåññà è ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå çíà÷åíèÿ. Âñå ðàññóæäåíèÿ, ïðîâåäåííûå âûøå, îòíîñÿòñÿ ê êëàññè÷åñêîé òåîðèè òåïëîåìêîñòè. Ñîãëàñíî åå ðåçóëüòàòàì ÑP è ÑV íå çàâèñÿò îò òåìïåðàòóðû è ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè âåëè÷èíàìè. Îíè îïðåäåëÿþòñÿ ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû ìîëåêóëû ãàçà i (12). Ðåçóëüòàòû êëàññè÷åñêîé òåîðèè ñîãëàñóþòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè çíà÷åíèÿìè ÑP è ÑV ëèøü â îïðåäåëåííîì òåìïåðàòóðíîì èíòåðâàëå. Îíè ñïðàâåäëèâû, â ÷àñòíîñòè, äëÿ âîçäóõà ïðè òåìïåðàòóðàõ, ëåæàùèõ âáëèçè êîìíàòíîé. Âíå ýòîãî èíòåðâàëà, ïðè äîñòàòî÷íî íèçêèõ èëè âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ, òåïëîåìêîñòü óæå íå ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé. Åå òåìïåðàòóðíàÿ çàâèñèìîñòü íàõîäèò ñâîå îòðàæåíèå â êâàíòîâîé òåîðèè.
Çàäà÷à ¹ 35 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÎÒÍÎØÅÍÈß ÒÅÏËÎÅÌÊÎÑÒÅÉ ÂÎÇÄÓÕÀ ÏÐÈ ÏÎÑÒÎßÍÍÎÌ ÄÀÂËÅÍÈÈ È ÏÎÑÒÎßÍÍÎÌ ÎÁÚÅÌÅ ÌÅÒÎÄÎÌ ÊËÅÌÀÍÀÄÅÇÎÐÌÀ
Öåëü çàäà÷è: èçó÷åíèå îñíîâíûõ çàêîíîâ èäåàëüíîãî ãàçà è îïðåäåëåíèå îòíîøåíèÿ òåïëîåìêîñòåé g = C P/C V âîçäóõà ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè è ïîñòîÿííîì îáúåìå. Ýêñïåðèìåíòàëüíûé ìåòîä Âåëè÷èíà g âõîäèò â óðàâíåíèå Ïóàññîíà PV g =const, îïèñûâàþùåå àäèàáàòè÷åñêèå ïðîöåññû â èäåàëüíûõ ãàçàõ.  èñïîëüçóåìîì ìåòîäå ÊëåìàíàÄåçîðìà ïîñëåäîâàòåëüíî ðåàëèçóþòñÿ àäèàáàòè÷åñêèé, èçîáàðè÷åñêèé è èçîõîðè÷åñêèé ïðîöåññû äëÿ âîçäóõà â ñòåêëÿííîì áàëëîíå. Ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ ýòè ïðîöåññû, ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü îòíîøåíèå òåïëîåìêîñòåé g ÷åðåç ýêñïåðèìåíòàëüíî èçìåðåííûå âåëè÷èíû: äàâëåíèÿ â áàëëîíå â íà÷àëå àäèàáàòè÷åñêîãî ïðîöåññà h1 è â êîíöå èçîõîðè÷åñêîãî ïðîöåññà h2 (â ìì âîä. ñò.) è âðåìÿ t, â òå÷åíèå êîòîðîãî ïðîèñõîäÿò àäèàáàòè÷åñêèé è èçîáàðè÷åñêèé ïðîöåññû. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Àäèàáàòè÷åñêèì ÿâëÿåòñÿ ïðîöåññ, ïðîèñõîäÿùèé ñ òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé, çàêëþ÷åííîé â òåïëîèçîëèðóþùóþ îáîëî÷êó. Îäíàêî ïðè îïûòàõ ñ ãàçîì òàêàÿ îáîëî÷êà, îáëàäàÿ òåïëîåìêîñòüþ, âî ìíîãî ðàç ïðåâûøàþùåé òåïëîåìêîñòü ñàìîãî ãàçà, âíîñèò î÷åíü áîëüøóþ ïîãðåøíîñòü â ðåçóëüòàò èçìåðåíèé. Íà ïðàêòèêå äëÿ ïðîâåäåíèÿ àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ïîëüçóþòñÿ òåì, ÷òî äàâëåíèå â ãàçå óñòàíàâëèâàåòñÿ ñðàâíèòåëüíî áûñòðî çà äîëè ñåêóíäû, â òî âðåìÿ êàê äëÿ âûðàâíèâàíèÿ òåìïåðàòóðû òðåáóþòñÿ ìèíóòû. Ïîýòîìó ïðîöåññû, î÷åíü áëèçêèå ê àäèàáàòè÷åñêèì, ìîãóò áûòü îñóùåñòâëåíû ïóòåì áûñòðîãî èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ ãàçà. Èìåííî òàêîé ïðèåì è èñïîëüçóåòñÿ â äàííîé ðàáîòå, ÷òîáû íàéòè çíà÷åíèå g äëÿ âîçäóõà. Óñòàíîâêà (ðèñ. 1) ñîñòîèò èç ñòåêëÿííîãî áàëëîíà (1) îáúåìîì 1020 ë; íàñîñà (2), ñëóæàùåãî äëÿ ñîçäàíèÿ â áàëëîíå èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿ âîçäóõà; òðåõõîäîâîãî êðàíà (3), ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî áàëëîí ìîæåò ñîîáùàòüñÿ ñ àòìîñôåðîé èëè íàñîñîì (ðèñ. 2); êðàíà (4), ðàçîáùàþùåãî áàëëîí è íàñîñ; U-îáðàçíîãî âîäÿíîãî ìàíîìåòðà (5), ïîêàçûâàþùåãî ðàçíîñòü ìåæäó äàâëåíèåì âîçäóõà â áàëëîíå è àòìîñôåðíûì äàâëåíèåì. Äëÿ èçìåðå299
îáùåíèè åãî ñ àòìîñôåðîé. Ðàçäåëèì óñëîâíî âîçäóõ â áàëëîíå íà äâå ÷àñòè. Îäíà ÷àñòü âñå âðåìÿ ïðèñóòñòâóåò â áàëëîíå, à äðóãàÿ ÷àñòü ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ïîðøåíü, êîòîðûé âûäâèãàåòñÿ èç áàëëîíà ïðè ðàñøèðåíèè. Äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ îòíîñÿòñÿ íå êî âñåìó âîçäóõó â áàëëîíå, à ëèøü ê òîé ÷àñòè, êîòîðàÿ âñå âðåìÿ ïðèñóòñòâóåò â áàëëîíå è îñòàåòñÿ â íåì ïîñëå åãî ðàçîáùåíèÿ ñ àòìîñôåðîé â òî÷êå 4. Äëÿ íàãëÿäíîñòè ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå ñ âîçäóõîì â áàëëîíå, ïîêàçàíû íà ðèñ. 4 (ãäå à, á, â, ã ñîîòâåòñòâóþò òî÷êàì 2, 3, 4, 5 íà äèàãðàììå ðèñ. 3).
Ðèñ. 1
Ðèñ. 2
íèÿ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè, â òå÷åíèå êîòîðûõ îòêðûò êðàí (3) (áàëëîí ñîîáùåí ñ àòìîñôåðîé), èñïîëüçóåòñÿ ñåêóíäîìåð. Ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå ñ âîçäóõîì â áàëëîíå, ïîêàçàíû íà PV-äèàãðàììå (ðèñ. 3).  íà÷àëå èçìåðåíèé â áàëëîí íàêà÷èâàþò âîçäóõ, ïîñëå ÷åãî ðàçîáùàþò áàëëîí ñ àòìîñôåðîé. Òàê êàê ïðè ñæàòèè âîçäóõ íàãðåâàåòñÿ, òåìïåðàòóðà âîçäóõà â áàëëîíå ïîñëå íàêà÷èâàíèÿ ñòàíîâèòñÿ âûøå êîìíàòíîé. Ñîñòîÿíèþ âîçäóõà â áàëëîíå â ýòîò ìîìåíò íà PV-äèàãðàììå ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà 1. Äàëåå ñ âîçäóõîì ïðîèñõîäÿò ñëåäóþùèå ïðîöåññû. Èçîõîðè÷åñêèé ïðîöåññ 12 ýòî îñòûâàíèå âîçäóõà ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå, êîòîðîå â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì Øàðëÿ ñîïðîâîæäàåòñÿ óìåíüøåíèåì äàâëåíèÿ. Ïî îêîí÷àíèè ýòîãî ïðîöåññà âîçäóõ ïðèîáðåòàåò êîìíàòíóþ òåìïåðàòóðó T0 è äàâëåíèå P1 = P0 + DP1 (P0 àòìîñôåðíîå äàâëåíèå). Àäèàáàòè÷åñêèé ïðîöåññ 23.  íà÷àëå ýòîãî ïðîöåññà ñîñòîÿíèþ âîçäóõà îòâå÷àåò òî÷êà 2. Áàëëîí îòêðûâàåòñÿ, è â òå÷åíèå äîëåé ñåêóíäû ïîñëå ñîîáùåíèÿ áàëëîíà ñ àòìîñôåðîé èç íåãî âûõîäèò ÷àñòü âîçäóõà è óñòàíàâëèâàåòñÿ àòìîñôåðíîå äàâëåíèå Ð0. Ýòîò ïðîöåññ ââèäó åãî êðàòêîñòè ñëåäóåò ñ÷èòàòü àäèàáàòè÷åñêèì ðàñøèðåíèåì âîçäóõà. Êðèâàÿ 23 íà ðèñ. 3 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòðåçîê àäèàáàòû. Òåìïåðàòóðà âîçäóõà â áàëëîíå ïðè àäèàáàòè÷åñêîì ðàñøèðåíèè ðåçêî ïàäàåò è â òî÷êå 3 ïðèîáðåòàåò çíà÷åíèå Ò1. Ãàçîâûå çàêîíû îáû÷íî ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ ðàñ÷åòîâ èçìåíåíèé, ïðîèñõîäÿùèõ ñ ãàçîì, ìàññà êîòîðîãî îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé.  äàííîì ñëó÷àå ÷àñòü âîçäóõà âûõîäèò èç áàëëîíà ïðè ñî300
Ðèñ. 3
Ëîãàðèôìèðóÿ óðàâíåíèå Êëàïåéðîíà PV/T = C 1 , ñïðàâåäëèâîå äëÿ ëþáîãî ïðîöåññà, è óðàâíåíèå Ïóàññîíà PV g = C äëÿ àäèàáàòè÷åñêîãî ïðîöåññà (C è C1 êîíñòàíòû), ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâåííî: lnP + lnV lnT = lnC 1 , (1) lnP + g lnV = lnC. (2) Âûðàçèâ lnV èç óðàâíåíèÿ (2) è ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå (1), ïîëó÷èì äëÿ òî÷åê 2 (Ð1, Ò0) è 3 (Ð0, Ò1): g -1 1 ln P1 - ln T0 = ln C1 - ln C, g g
(3)
g -1 1 ln P0 - ln T1 = ln C1 - ln C . g g
(4)
301
îáùåíèè åãî ñ àòìîñôåðîé. Ðàçäåëèì óñëîâíî âîçäóõ â áàëëîíå íà äâå ÷àñòè. Îäíà ÷àñòü âñå âðåìÿ ïðèñóòñòâóåò â áàëëîíå, à äðóãàÿ ÷àñòü ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ïîðøåíü, êîòîðûé âûäâèãàåòñÿ èç áàëëîíà ïðè ðàñøèðåíèè. Äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ îòíîñÿòñÿ íå êî âñåìó âîçäóõó â áàëëîíå, à ëèøü ê òîé ÷àñòè, êîòîðàÿ âñå âðåìÿ ïðèñóòñòâóåò â áàëëîíå è îñòàåòñÿ â íåì ïîñëå åãî ðàçîáùåíèÿ ñ àòìîñôåðîé â òî÷êå 4. Äëÿ íàãëÿäíîñòè ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå ñ âîçäóõîì â áàëëîíå, ïîêàçàíû íà ðèñ. 4 (ãäå à, á, â, ã ñîîòâåòñòâóþò òî÷êàì 2, 3, 4, 5 íà äèàãðàììå ðèñ. 3).
Ðèñ. 1
Ðèñ. 2
íèÿ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè, â òå÷åíèå êîòîðûõ îòêðûò êðàí (3) (áàëëîí ñîîáùåí ñ àòìîñôåðîé), èñïîëüçóåòñÿ ñåêóíäîìåð. Ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå ñ âîçäóõîì â áàëëîíå, ïîêàçàíû íà PV-äèàãðàììå (ðèñ. 3).  íà÷àëå èçìåðåíèé â áàëëîí íàêà÷èâàþò âîçäóõ, ïîñëå ÷åãî ðàçîáùàþò áàëëîí ñ àòìîñôåðîé. Òàê êàê ïðè ñæàòèè âîçäóõ íàãðåâàåòñÿ, òåìïåðàòóðà âîçäóõà â áàëëîíå ïîñëå íàêà÷èâàíèÿ ñòàíîâèòñÿ âûøå êîìíàòíîé. Ñîñòîÿíèþ âîçäóõà â áàëëîíå â ýòîò ìîìåíò íà PV-äèàãðàììå ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà 1. Äàëåå ñ âîçäóõîì ïðîèñõîäÿò ñëåäóþùèå ïðîöåññû. Èçîõîðè÷åñêèé ïðîöåññ 12 ýòî îñòûâàíèå âîçäóõà ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå, êîòîðîå â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì Øàðëÿ ñîïðîâîæäàåòñÿ óìåíüøåíèåì äàâëåíèÿ. Ïî îêîí÷àíèè ýòîãî ïðîöåññà âîçäóõ ïðèîáðåòàåò êîìíàòíóþ òåìïåðàòóðó T0 è äàâëåíèå P1 = P0 + DP1 (P0 àòìîñôåðíîå äàâëåíèå). Àäèàáàòè÷åñêèé ïðîöåññ 23.  íà÷àëå ýòîãî ïðîöåññà ñîñòîÿíèþ âîçäóõà îòâå÷àåò òî÷êà 2. Áàëëîí îòêðûâàåòñÿ, è â òå÷åíèå äîëåé ñåêóíäû ïîñëå ñîîáùåíèÿ áàëëîíà ñ àòìîñôåðîé èç íåãî âûõîäèò ÷àñòü âîçäóõà è óñòàíàâëèâàåòñÿ àòìîñôåðíîå äàâëåíèå Ð0. Ýòîò ïðîöåññ ââèäó åãî êðàòêîñòè ñëåäóåò ñ÷èòàòü àäèàáàòè÷åñêèì ðàñøèðåíèåì âîçäóõà. Êðèâàÿ 23 íà ðèñ. 3 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòðåçîê àäèàáàòû. Òåìïåðàòóðà âîçäóõà â áàëëîíå ïðè àäèàáàòè÷åñêîì ðàñøèðåíèè ðåçêî ïàäàåò è â òî÷êå 3 ïðèîáðåòàåò çíà÷åíèå Ò1. Ãàçîâûå çàêîíû îáû÷íî ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ ðàñ÷åòîâ èçìåíåíèé, ïðîèñõîäÿùèõ ñ ãàçîì, ìàññà êîòîðîãî îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé.  äàííîì ñëó÷àå ÷àñòü âîçäóõà âûõîäèò èç áàëëîíà ïðè ñî300
Ðèñ. 3
Ëîãàðèôìèðóÿ óðàâíåíèå Êëàïåéðîíà PV/T = C 1 , ñïðàâåäëèâîå äëÿ ëþáîãî ïðîöåññà, è óðàâíåíèå Ïóàññîíà PV g = C äëÿ àäèàáàòè÷åñêîãî ïðîöåññà (C è C1 êîíñòàíòû), ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâåííî: lnP + lnV lnT = lnC 1 , (1) lnP + g lnV = lnC. (2) Âûðàçèâ lnV èç óðàâíåíèÿ (2) è ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå (1), ïîëó÷èì äëÿ òî÷åê 2 (Ð1, Ò0) è 3 (Ð0, Ò1): g -1 1 ln P1 - ln T0 = ln C1 - ln C, g g
(3)
g -1 1 ln P0 - ln T1 = ln C1 - ln C . g g
(4)
301
Âû÷òåì óðàâíåíèå (4) èç óðàâíåíèÿ (3) è ïðèìåíèì ôîðìóëó äëÿ ðàçíîñòè ëîãàðèôìîâ g -1 ln P1 P0 + ln T1 T0 = 0. g
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî P1 = P0 + DP1, à T0 = T1 + DT1, ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå çàïèøåòñÿ â âèäå: g -1 ln (1 + DP1 P0 ) - ln (1 + DT1 T1 ) = 0. g
(5)
Ïðèìåì âî âíèìàíèå, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ è òåìïåðàòóðû ìàëû: äàâëåíèå Ð1 âîçäóõà â áàëëîíå îòëè÷àåòñÿ îò àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ Ð0 íà ñîòûå äîëè Ð0, òåìïåðàòóðà èçìåíÿåòñÿ íà 23 ãðàäóñà: î÷åíü ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ êîìíàòíîé òåìïåðàòóðîé Ò0 » 300 Ê, ò.å. DP1/P0 » ðó÷êà ïåðåìåùåíèÿ èçîáðàæåíèÿ ïî âåðòèêàëè; 4 «ÏÎÈÑÊ ËÓ×À» êíîïêà äëÿ îòûñêàíèÿ ëó÷à íà ýêðàíå; 5 ðó÷êà ðåãóëèðîâêè ÿðêîñòè èçîáðàæåíèÿ; 6 ðó÷êà ôîêóñèðîâêè èçîáðàæåíèÿ; 7 ðó÷êà ïåðåêëþ÷åíèÿ ñîñòîÿíèÿ âõîäà óñèëèòåëÿ âåðòèêàëüíîãî îòêëîíåíèÿ: «^» âõîä óñèëèòåëÿ çàìêíóò íàêîðîòêî; «~» íà âõîä óñèëèòåëÿ ìîæíî ïîäàâàòü òîëüêî ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå; 8 âõîäíîå ãíåçäî óñèëèòåëÿ âåðòèêàëüíîãî îòêëîíåíèÿ (âõîä Y); 9 êíîïêè «0,5», «´1», «´2», ïåðåêëþ÷àòåëü «V/ñì», ðó÷êà ýëåìåíòû ðåãóëèðîâêè êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ âåðòèêàëüíîãî îòêëîíåíèÿ; 10 âõîäíîå ãíåçäî óñèëèòåëÿ ãîðèçîíòàëüíîãî îòêëîíåíèÿ (âõîä X); 11 ïåðåêëþ÷àòåëü âõîäíîãî äåëèòåëÿ íàïðÿæåíèÿ óñèëèòåëÿ ãîðèçîíòàëüíîãî îòêëîíåíèÿ (ïîëîæåíèÿ «1:10», «1:1»); 12 ðó÷êà ïåðåêëþ÷åíèÿ ñîñòîÿíèÿ âõîäà óñèëèòåëÿ ãîðèçîíòàëüíîãî îòêëîíåíèÿ (â ïîëîæåíèè «®)X» íà âõîä ïîäàåòñÿ íàïðÿæåíèå, ïîäâåäåííîå ê ãíåçäó (10)). Ïðè ïðîâåäåíèè èçìåðåíèé íåîáõîäèìî âûïîëíèòü ñëåäóþùèå îïåðàöèè. 1. Ïîäãîòîâèòü ê ðàáîòå ãåíåðàòîð Ã3-118. 1.1. Ðó÷êó ïëàâíîé óñòàíîâêè âûõîäíîãî íàïðÿæåíèÿ (7) ïîâåðíóòü ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå äî óïîðà. 1.2. Ðó÷êó (8) «ÐÀÑÑÒÐÎÉÊÀ» óñòàíîâèòü â ñðåäíåå ïîëîæåíèå. 1.3. Ïåðåêëþ÷àòåëü (4) ñòóïåí÷àòîãî îñëàáëåíèÿ âûõîäíîãî íàïðÿæåíèÿ óñòàíîâèòü â ïîëîæåíèå 1. 1.4. Ñ ïîìîùüþ ïåðåêëþ÷àòåëåé (9) «ÌÍÎÆÈÒÅËÜ» è óñòàíîâêè ÷àñòîòû «Hz» (3) óñòàíîâèòü ðàáî÷åå çíà÷åíèå ÷àñòîòû. Ðàáî÷àÿ ÷àñòîòà óñòàíîâêè óêàçàíà íà îñíîâàíèè (1) ñêàìüè (ñì. ðèñ. 2). 1.5. Òóìáëåðîì (1) «ÑÅÒÜ» âêëþ÷èòü ãåíåðàòîð è ïðîãðåòü åãî â òå÷åíèå 10 ìèí. 2. Ïîäãîòîâèòü ê ðàáîòå îñöèëëîãðàô Ñ1-76. 2.1. Òóìáëåðîì (1) «ÑÅÒÜ» âêëþ÷èòü îñöèëëîãðàô è ïðîãðåòü åãî â òå÷åíèå 5 ìèí. 321
Ðèñ. 4
2.2. Ðó÷êè ïåðåêëþ÷åíèÿ ñîñòîÿíèÿ âõîäà (7) è (12) óñòàíîâèòü â ïîëîæåíèÿ «~» è «®)X» ñîîòâåòñòâåííî. 2.3. Ïåðåêëþ÷àòåëü (11) âõîäíîãî äåëèòåëÿ íàïðÿæåíèÿ óñòàíîâèòü â ïîëîæåíèå «1:1». 2.4. Ýëåìåíòû ðåãóëèðîâêè êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ óñèëèòåëÿ âåðòèêàëüíîãî îòêëîíåíèÿ óñòàíîâèòü â ñëåäóþùèå ïîëîæåíèÿ: íàæàòü è çàôèêñèðîâàòü â íàæàòîì ñîñòîÿíèè êíîïêó «´1»; ïåðåêëþ÷àòåëü «V/ñì» ïîñòàâèòü â ïîëîæåíèå 1; ðó÷êó (9) ïîâåðíóòü ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå äî óïîðà. 2.5. Ðó÷êó (5) ðåãóëèðîâêè ÿðêîñòè èçîáðàæåíèÿ ïîñòàâèòü â ñðåäíåå ïîëîæåíèå. 2.6. Ïðè ïîÿâëåíèè íà ýêðàíå îñöèëëîãðàôà îäíîé èç ôèãóð, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 1, ðó÷êàìè (5) è (6) äîáèòüñÿ äîñòàòî÷íîé ÿðêîñòè è ÷åòêîñòè èçîáðàæåíèÿ. 2.7. Ïðè îòñóòñòâèè èçîáðàæåíèÿ íà ýêðàíå íàæàòü êíîïêó «ÏÎÈÑÊ ËÓ×À» è, íå îòïóñêàÿ åå, âðàùåíèåì ðó÷åê (2) è (3) îòûñêàòü ëó÷, óñòàíîâèòü åãî â öåíòðå ýêðàíà è âûïîëíèòü óêàçàíèÿ ïóíêòà 2.6. 2.8. Ïðè íåîáõîäèìîñòè ðåãóëèðîâêîé êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ óñèëèòåëÿ âåðòèêàëüíîãî îòêëîíåíèÿ äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû 322
ðàçìåð èçîáðàæåíèÿ ïî âåðòèêàëè ñîñòàâëÿë 34 êðóïíûõ äåëåíèÿ øêàëû ýêðàíà. 3. Ïðîâåäåíèå ýêñïåðèìåíòà è îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé. 3.1. Âðàùåíèåì ìèêðîìåòðè÷åñêîãî âèíòà óñòàíîâèòü êðàé áàðàáàíà ïðîòèâ íóëåâîãî äåëåíèÿ îñíîâíîé øêàëû òàê, ÷òîáû íóëü íà øêàëå áàðàáàíà ðàñïîëàãàëñÿ ïðîòèâ ãîðèçîíòàëüíîé ëèíèè. (Èç-çà íàëè÷èÿ çàìåòíîãî ëþôòà â ïðèâîäå îòñ÷åò ïî øêàëå ìèêðîìåòðà ñëåäóåò ïðîèçâîäèòü òîëüêî òîãäà, êîãäà íàìå÷åííîå ïîëîæåíèå äîñòèãàåòñÿ ïðè äâèæåíèè áàðàáàíà ñïðàâà íàëåâî. Åñëè â íóæíûé ìîìåíò áàðàáàí íå óäàëîñü îñòàíîâèòü, òî ñëåäóåò ïîâåðíóòü åãî íà îäèí îáîðîò â îáðàòíóþ ñòîðîíó è ïîâòîðèòü óñòàíîâêó áàðàáàíà.) Ïðè ýòîì ïðèåìíàÿ àêóñòè÷åñêàÿ ãîëîâêà áóäåò íàõîäèòüñÿ íà ìàêñèìàëüíîì ðàññòîÿíèè îò ïåðåäàþùåé. 3.2. Ìåäëåííî ñáëèæàÿ ãîëîâêè, äîáèòüñÿ ïåðåìåùåíèÿ ëó÷à íà ýêðàíå îñöèëëîãðàôà ïî ïðÿìîé ëèíèè â ïåðâîì òðåòüåì èëè âòîðîì ÷åòâåðòîì êâàäðàíòàõ, ïðè ýòîì ïåðåäàþùàÿ ãîëîâêà ìîæåò îñòàâàòüñÿ íåïîäâèæíîé. 3.3. Çàïèñàòü â òàáëèöó îòñ÷åò ïî øêàëàì âèíòîâîãî ìèêðîìåòðà x1, îòñ÷èòûâàÿ ïî ëèíåéíîé øêàëå ìèëëèìåòðû ñ òî÷íîñòüþ äî 0,5 ìì, à ïî øêàëå áàðàáàíà äî ñîòûõ äîëåé ìèëëèìåòðà. Ðåêîìåíäóåìàÿ ôîðìà òàáëèöû ïðèâîäèòñÿ íèæå. 3.4. Ïðîäîëæàòü ñáëèæåíèå ãîëîâîê äî òåõ ïîð, ïîêà ëó÷ íà ýêðàíå íå ñòàíåò âû÷åð÷èâàòü ïðÿìóþ ëèíèþ, ëåæàùóþ â äðóãîé ïàðå êâàäðàíòîâ. 3.5. Çàïèñàòü â òàáëèöó ðåçóëüòàòû îòñ÷åòîâ ïî øêàëàì âèíòîâîãî ìèêðîìåòðà x2. 3.6. Îïèñàííûå â ïóíêòàõ 3.13.5 èçìåðåíèÿ ïðîâîäèòü äî òåõ ïîð, ïîêà ÷èñëî òàêèõ èçìåðåíèé íå ñòàíåò ðàâíûì 11. 1 . . . 11
N, (ìì)
DN, (ìì)
L, (ì/ñ)
Lñð±DL, a
Îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé Ïîñëå îêîí÷àíèÿ èçìåðåíèé âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ Dx = x i+1 x i . Äëÿ âñåõ çíà÷åíèé Dx ïî ôîðìóëå (14) íàéòè ñêîðîñòü çâóêîâîé âîëíû v. Âñå ðåçóëüòàòû çàïèñàòü â òàáëèöó. Ïðè îò÷åòå ïðåäñòàâèòü ñðåäíåå çíà÷åíèå ñêîðîñòè çâóêà ñ óêàçàíè323
Ðèñ. 4
2.2. Ðó÷êè ïåðåêëþ÷åíèÿ ñîñòîÿíèÿ âõîäà (7) è (12) óñòàíîâèòü â ïîëîæåíèÿ «~» è «®)X» ñîîòâåòñòâåííî. 2.3. Ïåðåêëþ÷àòåëü (11) âõîäíîãî äåëèòåëÿ íàïðÿæåíèÿ óñòàíîâèòü â ïîëîæåíèå «1:1». 2.4. Ýëåìåíòû ðåãóëèðîâêè êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ óñèëèòåëÿ âåðòèêàëüíîãî îòêëîíåíèÿ óñòàíîâèòü â ñëåäóþùèå ïîëîæåíèÿ: íàæàòü è çàôèêñèðîâàòü â íàæàòîì ñîñòîÿíèè êíîïêó «´1»; ïåðåêëþ÷àòåëü «V/ñì» ïîñòàâèòü â ïîëîæåíèå 1; ðó÷êó (9) ïîâåðíóòü ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå äî óïîðà. 2.5. Ðó÷êó (5) ðåãóëèðîâêè ÿðêîñòè èçîáðàæåíèÿ ïîñòàâèòü â ñðåäíåå ïîëîæåíèå. 2.6. Ïðè ïîÿâëåíèè íà ýêðàíå îñöèëëîãðàôà îäíîé èç ôèãóð, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 1, ðó÷êàìè (5) è (6) äîáèòüñÿ äîñòàòî÷íîé ÿðêîñòè è ÷åòêîñòè èçîáðàæåíèÿ. 2.7. Ïðè îòñóòñòâèè èçîáðàæåíèÿ íà ýêðàíå íàæàòü êíîïêó «ÏÎÈÑÊ ËÓ×À» è, íå îòïóñêàÿ åå, âðàùåíèåì ðó÷åê (2) è (3) îòûñêàòü ëó÷, óñòàíîâèòü åãî â öåíòðå ýêðàíà è âûïîëíèòü óêàçàíèÿ ïóíêòà 2.6. 2.8. Ïðè íåîáõîäèìîñòè ðåãóëèðîâêîé êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ óñèëèòåëÿ âåðòèêàëüíîãî îòêëîíåíèÿ äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû 322
ðàçìåð èçîáðàæåíèÿ ïî âåðòèêàëè ñîñòàâëÿë 34 êðóïíûõ äåëåíèÿ øêàëû ýêðàíà. 3. Ïðîâåäåíèå ýêñïåðèìåíòà è îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé. 3.1. Âðàùåíèåì ìèêðîìåòðè÷åñêîãî âèíòà óñòàíîâèòü êðàé áàðàáàíà ïðîòèâ íóëåâîãî äåëåíèÿ îñíîâíîé øêàëû òàê, ÷òîáû íóëü íà øêàëå áàðàáàíà ðàñïîëàãàëñÿ ïðîòèâ ãîðèçîíòàëüíîé ëèíèè. (Èç-çà íàëè÷èÿ çàìåòíîãî ëþôòà â ïðèâîäå îòñ÷åò ïî øêàëå ìèêðîìåòðà ñëåäóåò ïðîèçâîäèòü òîëüêî òîãäà, êîãäà íàìå÷åííîå ïîëîæåíèå äîñòèãàåòñÿ ïðè äâèæåíèè áàðàáàíà ñïðàâà íàëåâî. Åñëè â íóæíûé ìîìåíò áàðàáàí íå óäàëîñü îñòàíîâèòü, òî ñëåäóåò ïîâåðíóòü åãî íà îäèí îáîðîò â îáðàòíóþ ñòîðîíó è ïîâòîðèòü óñòàíîâêó áàðàáàíà.) Ïðè ýòîì ïðèåìíàÿ àêóñòè÷åñêàÿ ãîëîâêà áóäåò íàõîäèòüñÿ íà ìàêñèìàëüíîì ðàññòîÿíèè îò ïåðåäàþùåé. 3.2. Ìåäëåííî ñáëèæàÿ ãîëîâêè, äîáèòüñÿ ïåðåìåùåíèÿ ëó÷à íà ýêðàíå îñöèëëîãðàôà ïî ïðÿìîé ëèíèè â ïåðâîì òðåòüåì èëè âòîðîì ÷åòâåðòîì êâàäðàíòàõ, ïðè ýòîì ïåðåäàþùàÿ ãîëîâêà ìîæåò îñòàâàòüñÿ íåïîäâèæíîé. 3.3. Çàïèñàòü â òàáëèöó îòñ÷åò ïî øêàëàì âèíòîâîãî ìèêðîìåòðà x1, îòñ÷èòûâàÿ ïî ëèíåéíîé øêàëå ìèëëèìåòðû ñ òî÷íîñòüþ äî 0,5 ìì, à ïî øêàëå áàðàáàíà äî ñîòûõ äîëåé ìèëëèìåòðà. Ðåêîìåíäóåìàÿ ôîðìà òàáëèöû ïðèâîäèòñÿ íèæå. 3.4. Ïðîäîëæàòü ñáëèæåíèå ãîëîâîê äî òåõ ïîð, ïîêà ëó÷ íà ýêðàíå íå ñòàíåò âû÷åð÷èâàòü ïðÿìóþ ëèíèþ, ëåæàùóþ â äðóãîé ïàðå êâàäðàíòîâ. 3.5. Çàïèñàòü â òàáëèöó ðåçóëüòàòû îòñ÷åòîâ ïî øêàëàì âèíòîâîãî ìèêðîìåòðà x2. 3.6. Îïèñàííûå â ïóíêòàõ 3.13.5 èçìåðåíèÿ ïðîâîäèòü äî òåõ ïîð, ïîêà ÷èñëî òàêèõ èçìåðåíèé íå ñòàíåò ðàâíûì 11. 1 . . . 11
N, (ìì)
DN, (ìì)
L, (ì/ñ)
Lñð±DL, a
Îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé Ïîñëå îêîí÷àíèÿ èçìåðåíèé âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ Dx = x i+1 x i . Äëÿ âñåõ çíà÷åíèé Dx ïî ôîðìóëå (14) íàéòè ñêîðîñòü çâóêîâîé âîëíû v. Âñå ðåçóëüòàòû çàïèñàòü â òàáëèöó. Ïðè îò÷åòå ïðåäñòàâèòü ñðåäíåå çíà÷åíèå ñêîðîñòè çâóêà ñ óêàçàíè323
åì äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà Dv è ñîîòâåòñòâóþùåé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè a. Îòíîøåíèå òåïëîåìêîñòåé g âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå g = (m/RT )v 2 . Ýòà ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ôîðìóëû (3). Ïðè ðàñ÷åòå èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ: mâîçä = 29,2×10-3 êã/ìîëü, R = 8,31 Äæ/ìîëü×Ê. Òåìïåðàòóðó âîçäóõà Ò îïðåäåëèòü ïî ïîêàçàíèþ òåðìîìåòðà, íàõîäÿùåãîñÿ â êîìíàòå. Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé g ïðåäñòàâèòü ñ óêàçàíèåì ïîãðåøíîñòè. Ïîãðåøíîñòè ÷èñëîâûõ çíà÷åíèé m è R íå ó÷èòûâàòü. Ëèòåðàòóðà 1. Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 3. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 1. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ. § 1.10. Óðàâíåíèå àäèàáàòû èäåàëüíîãî ãàçà. 2. Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 4. Âîëíû. Îïòèêà. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 1. Óïðóãèå âîëíû. § 1.1. Ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí â óïðóãîé ñðåäå. § 1.2. Óðàâíåíèÿ ïëîñêîé è ñôåðè÷åñêîé âîëí. § 1.3. Óðàâíåíèå ïëîñêîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ â ïðîèçâîëüíîì íàïðàâëåíèè. § 1.4. Âîëíîâîå óðàâíåíèå. § 1.9. Çâóê. § 1.10. Ñêîðîñòü çâóêà â ãàçàõ.
ÒÅÌÀ 5 ÎÏÒÈÊÀ ÐÀÇÄÅË 1 ÇÀÊÎÍÛ ÎÒÐÀÆÅÍÈß È ÏÐÅËÎÌËÅÍÈß ÑÂÅÒÀ. ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜ ÏÐÅËÎÌËÅÍÈß Çàäà÷à ¹ 38 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËß ÏÐÅËÎÌËÅÍÈß ÆÈÄÊÈÕ È ÒÂÅÐÄÛÕ ÒÅË
Öåëü çàäà÷è: îïðåäåëåíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ âåùåñòâà ìåòîäîì ðåôðàêòîìåòðèè. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ Èç îïûòà èçâåñòíî, ÷òî â îäíîðîäíîé ïðîçðà÷íîé ñðåäå ñâåò ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî. Îäíàêî åñëè ëó÷ ñâåòà ïàäàåò íà ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ ïðîçðà÷íûõ ñðåä, òî ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿ åãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ: ñâåò ÷àñòè÷íî îòðàæàåòñÿ îò ãðàíèöû ðàçäåëà ýòèõ ñðåä, ÷àñòè÷íî æå ïðåëîìëÿåòñÿ è ïðîõîäèò âî âòîðóþ ñðåäó. Çàêîí îòðàæåíèÿ ñâåòà: óãîë ïàäåíèÿ i ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ i¢. Ëó÷ ïàäàþùèé 1, ëó÷ îòðàæåííûé 2 è íîðìàëü ê ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä, ïðîâåäåííàÿ ÷åðåç òî÷êó ïàäåíèÿ, ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 1). Çàêîí ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà: îòíîøåíèå ñèíóñà óãëà ïàäåíèÿ i ê ñèíóñó óãëà ïðåëîìëåíèÿ r äëÿ äâóõ äàííûõ èçîòðîïíûõ ñðåä â ñëó÷àå ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ (íå çàâèñÿùàÿ îò óãëà ïàäåÐèñ. 1 íèÿ). Ýòî îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ îòíîñèòåëüíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ âòîðîé ñðåäû ïî îòíîøåíèþ ê ïåðâîé. Ëó÷ ïàäàþùèé 1, ëó÷ ïðåëîìëåííûé 3 è íîðìàëü ê ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä, ïðîâåäåííàÿ ÷åðåç òî÷êó ïàäåíèÿ, ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 1). Îòíîñèòåëüíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ðàâåí îòíîøåíèþ ñêîðîñòåé ðàñïðîñòðàíåíèÿ v1 è v2 ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà â ýòèõ ñðåäàõ: v sin i = const = n12 = 1 . v2 sin r
(1) 325
Åñëè ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ñâåò ïàäàåò íà ãðàíèöó ñðåäû èç âàêóóìà, òî ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû ïî îòíîøåíèþ ê âàêóóìó íàçûâàþò àáñîëþòíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ (èëè ïðîñòî ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ). Î÷åâèäíî, ÷òî àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû n = c/v, (2) ãäå ñ ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå; v åãî ñêîðîñòü â äàííîé ñðåäå. Äëÿ äâóõ ñðåä ñî ñêîðîñòÿìè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà v1 è v2 àáñîëþòíûå ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî n 1 = c/v 1 è n 2 = c/v 2. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îòíîñèòåëüíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âòîðîé ñðåäû ïî îòíîøåíèþ ê ïåðâîé n 21 = n 2/n 1 . (3) Ñðåäà, ó êîòîðîé àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ áîëüøå, ñ÷èòàåòñÿ îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé. Ïîëíîå âíóòðåííåå îòðàæåíèå. Ïðè ïàäåíèè ñâåòîâîé âîëíû íà ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ ïðîçðà÷íûõ ñðåä ïðîèñõîäèò êàê îòðàæåíèå, òàê è ïðåëîìëåíèå ñâåòà. Ýíåðãèÿ ïàäàþùåé âîëíû ðàñïðåäåëÿåòñÿ ìåæäó îòðàæåííîé è ïðåëîìëåííîé âîëíàìè. Ïðè ïåðåõîäå ñâåòà èç îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé ñðåäû I â ñðåäó, îïòè÷åñêè ìåíåå ïëîòíóþ II (ðèñ. 2), ëó÷ ñâåòà óäàëÿåòñÿ îò íîðìàëè ê ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä (óãîë ïðåëîìëåíèÿ r áîëüøå óãëà ïàäåíèÿ i). Ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ óãëà ïàäåíèÿ ýíåðãèÿ îòðàæåííîãî ëó÷à ðàñòåò, à ýíåðãèÿ ïðåëîìëåííîãî ëó÷à ïàäàåò. Ïðè íåêîòîðîì óãëå ïàäåíèÿ iïðåä, íàçûâàåìîì ïðåäåëüíûì óãëîì, ïðåëîìëåííûé ëó÷ áóäåò ñêîëüçèòü ïî ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä (äëÿ íåãî óãîë ïðåëîìëåíèÿ r 3 = p/2). Ïðè óãëàõ ïàäåíèÿ, ïðåâûøàþùèõ iïðåä, ñâåòîâàÿ âîëíà ïðîíèêàåò â îïòè÷åñêè ìåíåå ïëîòíóþ ñðåäó âñåãî íà ðàññòîÿíèå ïîðÿäêà äëèíû âîëíû, à çàòåì âîçâðàùàåòñÿ îáðàòíî, ò.å. ïðè óãëàõ ïàäåíèÿ i ³ i ïðåä ñâåòîâàÿ âîëíà â îïòè÷åñêè ìåíåå ïëîòíóþ ñðåäó ïðàêòè÷åñêè íå ïðîíèêàåò, à ïîëíî-
Ðèñ. 2
326
ñòüþ îòðàæàåòñÿ íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä. Ýòî ÿâëåíèå íîñèò íàçâàíèå ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ. Ïðèáîðû ÈÐÔ-22 è ÈÐÔ-23 Õîä ëó÷åé è ðàñ÷åòíûå ôîðìóëû Äëÿ èçìåðåíèÿ ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ âåùåñòâà ñëóæàò ïðèáîðû, íàçûâàåìûå ðåôðàêòîìåòðàìè («ðåôðàêöèÿ» ïðåëîìëåíèå). Ïðèíöèï äåéñòâèÿ ðåôðàêòîìåòðîâ, èñïîëüçóåìûõ â íàñòîÿùåé çàäà÷å, îñíîâàí íà îïðåäåëåíèè óãëà ïðåëîìëåíèÿ ñêîëüçÿùåãî ëó÷à (óãîë ïàäåíèÿ 90°), èäóùåãî âäîëü ãðàíèöû ðàçäåëà èññëåäóåìîé ñðåäû ñ íåèçâåñòíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n è ñðåäû ñ èçâåñòíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ N, ïðè óñëîâèè, ÷òî N > n. Ãëàâíîé ÷àñòüþ ðåôðàêòîìåòðà ÿâëÿåòñÿ èçìåðèòåëüíàÿ ïðèçìà ñ ïðåëîìëÿþùèì óãëîì, èçãîòîâëåííàÿ èç ñòåêëà ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ N (ðèñ. 3).
Ðèñ. 3
Åñëè âåùåñòâî ñ íåèçâåñòíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n çàïîëíÿåò ïðîñòðàíñòâî íàä âåðõíåé ãðàíüþ ïðèçìû, òî äëÿ ñêîëüçÿùåãî ëó÷à LK ñîãëàñíî çàêîíó ïðåëîìëåíèÿ nsin90° = NsinI, èëè n = NsinI, (4) ãäå I ïðåäåëüíûé óãîë ïðåëîìëåíèÿ. Ôîðìóëà (4) ëåæèò â îñíîâå âû÷èñëåíèÿ n äëÿ âñåõ òèïîâ ðåôðàêòîìåòðîâ. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ÷àñòü íàñòîÿùåé çàäà÷è âûïîëíÿåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì äâóõ ðåôðàêòîìåòðîâ ÈÐÔ-23 è ÈÐÔ-22.  ðåôðàêòîìåòðå ÈÐÔ-23 èçìåðèòåëüíàÿ ïðèçìà ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíîé (ðèñ. 4), ò.å. åå ïðåëîìëÿþùèé óãîë j = 90°. Äëÿ ñêîëüçÿùåãî ëó÷à LK ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå Nsin(90° I) = sini. Îòñþäà cosI = (sini)/N, ãäå i óãîë ìåæäó 327
Åñëè ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ñâåò ïàäàåò íà ãðàíèöó ñðåäû èç âàêóóìà, òî ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû ïî îòíîøåíèþ ê âàêóóìó íàçûâàþò àáñîëþòíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ (èëè ïðîñòî ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ). Î÷åâèäíî, ÷òî àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû n = c/v, (2) ãäå ñ ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå; v åãî ñêîðîñòü â äàííîé ñðåäå. Äëÿ äâóõ ñðåä ñî ñêîðîñòÿìè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà v1 è v2 àáñîëþòíûå ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî n 1 = c/v 1 è n 2 = c/v 2. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îòíîñèòåëüíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âòîðîé ñðåäû ïî îòíîøåíèþ ê ïåðâîé n 21 = n 2/n 1 . (3) Ñðåäà, ó êîòîðîé àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ áîëüøå, ñ÷èòàåòñÿ îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé. Ïîëíîå âíóòðåííåå îòðàæåíèå. Ïðè ïàäåíèè ñâåòîâîé âîëíû íà ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ ïðîçðà÷íûõ ñðåä ïðîèñõîäèò êàê îòðàæåíèå, òàê è ïðåëîìëåíèå ñâåòà. Ýíåðãèÿ ïàäàþùåé âîëíû ðàñïðåäåëÿåòñÿ ìåæäó îòðàæåííîé è ïðåëîìëåííîé âîëíàìè. Ïðè ïåðåõîäå ñâåòà èç îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé ñðåäû I â ñðåäó, îïòè÷åñêè ìåíåå ïëîòíóþ II (ðèñ. 2), ëó÷ ñâåòà óäàëÿåòñÿ îò íîðìàëè ê ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä (óãîë ïðåëîìëåíèÿ r áîëüøå óãëà ïàäåíèÿ i). Ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ óãëà ïàäåíèÿ ýíåðãèÿ îòðàæåííîãî ëó÷à ðàñòåò, à ýíåðãèÿ ïðåëîìëåííîãî ëó÷à ïàäàåò. Ïðè íåêîòîðîì óãëå ïàäåíèÿ iïðåä, íàçûâàåìîì ïðåäåëüíûì óãëîì, ïðåëîìëåííûé ëó÷ áóäåò ñêîëüçèòü ïî ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä (äëÿ íåãî óãîë ïðåëîìëåíèÿ r 3 = p/2). Ïðè óãëàõ ïàäåíèÿ, ïðåâûøàþùèõ iïðåä, ñâåòîâàÿ âîëíà ïðîíèêàåò â îïòè÷åñêè ìåíåå ïëîòíóþ ñðåäó âñåãî íà ðàññòîÿíèå ïîðÿäêà äëèíû âîëíû, à çàòåì âîçâðàùàåòñÿ îáðàòíî, ò.å. ïðè óãëàõ ïàäåíèÿ i ³ i ïðåä ñâåòîâàÿ âîëíà â îïòè÷åñêè ìåíåå ïëîòíóþ ñðåäó ïðàêòè÷åñêè íå ïðîíèêàåò, à ïîëíî-
Ðèñ. 2
326
ñòüþ îòðàæàåòñÿ íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä. Ýòî ÿâëåíèå íîñèò íàçâàíèå ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ. Ïðèáîðû ÈÐÔ-22 è ÈÐÔ-23 Õîä ëó÷åé è ðàñ÷åòíûå ôîðìóëû Äëÿ èçìåðåíèÿ ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ âåùåñòâà ñëóæàò ïðèáîðû, íàçûâàåìûå ðåôðàêòîìåòðàìè («ðåôðàêöèÿ» ïðåëîìëåíèå). Ïðèíöèï äåéñòâèÿ ðåôðàêòîìåòðîâ, èñïîëüçóåìûõ â íàñòîÿùåé çàäà÷å, îñíîâàí íà îïðåäåëåíèè óãëà ïðåëîìëåíèÿ ñêîëüçÿùåãî ëó÷à (óãîë ïàäåíèÿ 90°), èäóùåãî âäîëü ãðàíèöû ðàçäåëà èññëåäóåìîé ñðåäû ñ íåèçâåñòíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n è ñðåäû ñ èçâåñòíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ N, ïðè óñëîâèè, ÷òî N > n. Ãëàâíîé ÷àñòüþ ðåôðàêòîìåòðà ÿâëÿåòñÿ èçìåðèòåëüíàÿ ïðèçìà ñ ïðåëîìëÿþùèì óãëîì, èçãîòîâëåííàÿ èç ñòåêëà ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ N (ðèñ. 3).
Ðèñ. 3
Åñëè âåùåñòâî ñ íåèçâåñòíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n çàïîëíÿåò ïðîñòðàíñòâî íàä âåðõíåé ãðàíüþ ïðèçìû, òî äëÿ ñêîëüçÿùåãî ëó÷à LK ñîãëàñíî çàêîíó ïðåëîìëåíèÿ nsin90° = NsinI, èëè n = NsinI, (4) ãäå I ïðåäåëüíûé óãîë ïðåëîìëåíèÿ. Ôîðìóëà (4) ëåæèò â îñíîâå âû÷èñëåíèÿ n äëÿ âñåõ òèïîâ ðåôðàêòîìåòðîâ. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ÷àñòü íàñòîÿùåé çàäà÷è âûïîëíÿåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì äâóõ ðåôðàêòîìåòðîâ ÈÐÔ-23 è ÈÐÔ-22.  ðåôðàêòîìåòðå ÈÐÔ-23 èçìåðèòåëüíàÿ ïðèçìà ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíîé (ðèñ. 4), ò.å. åå ïðåëîìëÿþùèé óãîë j = 90°. Äëÿ ñêîëüçÿùåãî ëó÷à LK ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå Nsin(90° I) = sini. Îòñþäà cosI = (sini)/N, ãäå i óãîë ìåæäó 327
íîðìàëüþ ê âåðòèêàëüíîé ãðàíè èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû è âûøåäøèì èç ïðèçìû ëó÷îì (ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîçäóõà çäåñü ïðèíÿò çà åäèíèöó). Òàê êàê sin I = 1 - cos2 I , òî sin I =
N 2 - sin 2 i . N
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (4), ïîëó÷èì ôîðìóëó n = N 2 - sin 2 i ,
(5)
ïî êîòîðîé, çíàÿ ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ N âåùåñòâà èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû è èçìåðèâ óãîë i, ìîæíî îïðåäåëèòü ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n íåèçâåñòíîãî âåùåñòâà.  ïðèáîðå ÈÐÔ-23 âåùåñòâî îñâåùàåòñÿ ïî÷òè ïàðàëëåëüíûì ïó÷êîì ëó÷åé, ïàäàþùèõ íà âåðõíþþ ãðàíü ïðèçìû ïîä óãëîì 90°, ïîýòîìó â ïîëå çðåíèÿ âèäíà ñâåòëàÿ ïîëîñêà, ðåçêèé âåðõíèé êðàé êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò ëó÷àì, ïàäàþùèì ïîä ïðåäåëüíûì óãëîì (ðèñ. 4).
ñâåòëûì è òåìíûì ïîëÿìè (ñâåòëîå ïîëå ñîîòâåòñòâóåò ëó÷àì, ïàäàþùèì íà âåðõíþþ ãðàíü ïðèçìû ïîä óãëîì ìåíüøå 90°). Îïèñàíèå ïðèáîðà ÈÐÔ-23  ðåôðàêòîìåòðå ÈÐÔ-23 èñïîëüçóþòñÿ ïðÿìîóãîëüíûå èçìåðèòåëüíûå ïðèçìû, çàêðåïëÿåìûå íà ñòîëèêå ïðèáîðà. Ïðè îïðåäåëåíèè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ òâåðäûõ òåë èç èññëåäóåìîãî âåùåñòâà èçãîòîâëÿþò êóáèê ñ õîðîøî îòïîëèðîâàííûìè ãðàíÿìè. Äëÿ ñîáëþäåíèÿ îïòè÷åñêîãî êîíòàêòà ìåæäó ãðàíüþ èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû è èññëåäóåìûì âåùåñòâîì ïîìåùàþò êàïëþ æèäêîñòè, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êîòîðîé áîëüøå, ÷åì ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ èññëåäóåìîãî âåùåñòâà, íî ìåíüøå, ÷åì ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû. Ââåäåíèå ìåæäó èñïûòóåìûì âåùåñòâîì è ïðèçìîé ïàðàëëåëüíîãî ñëîÿ æèäêîñòè íå îêàçûâàåò âëèÿíèÿ íà õîä ëó÷åé â ñèñòåìå. Ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíàÿ ôîðìóëà (5) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ èññëåäóåìîãî âåùåñòâà îñòàåòñÿ òîé æå. Ïðè îïðåäåëåíèè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ æèäêîñòåé óïîòðåáëÿþò èçìåðèòåëüíóþ ïðèçìó ñ ïðèêëååííûì ê íåé öèëèíäðè÷åñêèì ñîñóäîì, â êîòîðûé íàëèâàþò èññëåäóåìóþ æèäêîñòü. Íå îñòàíàâëèâàÿñü áîëåå äåòàëüíî íà îïòè÷åñêîé ñõåìå ÈÐÔ-23 (ñ íåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ ïî îïèñàíèþ, èìåþùåìóñÿ ó ëàáîðàíòà), îïèøåì íàçíà÷åíèå ðó÷åê óïðàâëåíèÿ ïðèáîðà. Âíåøíèé âèä ðåôðàêòîìåòðà ïîêàçàí íà ðèñ. 5. Ëèìá ïîìåùàåòñÿ â êîæóõå (1). Äëÿ ïèòàíèÿ ëàìïî÷êè ïîäñâåòêè (2) ðåôðàêòîìåòð ïîäêëþ÷àåòñÿ ê ñåòè ïåðåìåííîãî òîêà
Ðèñ. 4
 ðåôðàêòîìåòðå ÈÐÔ-22 èçìåðèòåëüíàÿ ïðèçìà èìååò îñòðûé ïðåëîìëÿþùèé óãîë j (ñì. ðèñ. 3).  ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà äëÿ îïðåäåëåíèÿ n óñëîæíÿåòñÿ è èìååò âèä n = sin j N 2 - sin 2 i - cos j sin i,
(6)
ãäå i óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì ïðåëîìèâøåãîñÿ ïîä ïðåäåëüíûì óãëîì ëó÷à ïîñëå âûõîäà åãî èç ïðèçìû è íîðìàëüþ ê ãðàíè ïðèçìû. Èç õîäà ëó÷åé (ðèñ. 3) âèäíî, ÷òî ëþáîé ëó÷, ïàäàþùèé íà ïðèçìó ïîä óãëîì ìåíüøå 90°, ïî âûõîäå èç ïðèçìû áóäåò ñîñòàâëÿòü ñ íîðìàëüþ ê åå ãðàíè óãîë áîëüøå i. Ïîýòîìó ïðè îñâåùåíèè îò èñòî÷íèêà, äàþùåãî ëó÷è ñ ðàçëè÷íûìè óãëàìè ïàäåíèÿ (÷òî èìååò ìåñòî â ðåôðàêòîìåòðå ÈÐÔ-22) â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû Ë áóäåò âèäíà ðåçêàÿ ãðàíèöà ðàçäåëà ìåæäó 328
Ðèñ. 5
329
íîðìàëüþ ê âåðòèêàëüíîé ãðàíè èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû è âûøåäøèì èç ïðèçìû ëó÷îì (ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîçäóõà çäåñü ïðèíÿò çà åäèíèöó). Òàê êàê sin I = 1 - cos2 I , òî sin I =
N 2 - sin 2 i . N
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (4), ïîëó÷èì ôîðìóëó n = N 2 - sin 2 i ,
(5)
ïî êîòîðîé, çíàÿ ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ N âåùåñòâà èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû è èçìåðèâ óãîë i, ìîæíî îïðåäåëèòü ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n íåèçâåñòíîãî âåùåñòâà.  ïðèáîðå ÈÐÔ-23 âåùåñòâî îñâåùàåòñÿ ïî÷òè ïàðàëëåëüíûì ïó÷êîì ëó÷åé, ïàäàþùèõ íà âåðõíþþ ãðàíü ïðèçìû ïîä óãëîì 90°, ïîýòîìó â ïîëå çðåíèÿ âèäíà ñâåòëàÿ ïîëîñêà, ðåçêèé âåðõíèé êðàé êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò ëó÷àì, ïàäàþùèì ïîä ïðåäåëüíûì óãëîì (ðèñ. 4).
ñâåòëûì è òåìíûì ïîëÿìè (ñâåòëîå ïîëå ñîîòâåòñòâóåò ëó÷àì, ïàäàþùèì íà âåðõíþþ ãðàíü ïðèçìû ïîä óãëîì ìåíüøå 90°). Îïèñàíèå ïðèáîðà ÈÐÔ-23  ðåôðàêòîìåòðå ÈÐÔ-23 èñïîëüçóþòñÿ ïðÿìîóãîëüíûå èçìåðèòåëüíûå ïðèçìû, çàêðåïëÿåìûå íà ñòîëèêå ïðèáîðà. Ïðè îïðåäåëåíèè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ òâåðäûõ òåë èç èññëåäóåìîãî âåùåñòâà èçãîòîâëÿþò êóáèê ñ õîðîøî îòïîëèðîâàííûìè ãðàíÿìè. Äëÿ ñîáëþäåíèÿ îïòè÷åñêîãî êîíòàêòà ìåæäó ãðàíüþ èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû è èññëåäóåìûì âåùåñòâîì ïîìåùàþò êàïëþ æèäêîñòè, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êîòîðîé áîëüøå, ÷åì ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ èññëåäóåìîãî âåùåñòâà, íî ìåíüøå, ÷åì ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû. Ââåäåíèå ìåæäó èñïûòóåìûì âåùåñòâîì è ïðèçìîé ïàðàëëåëüíîãî ñëîÿ æèäêîñòè íå îêàçûâàåò âëèÿíèÿ íà õîä ëó÷åé â ñèñòåìå. Ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíàÿ ôîðìóëà (5) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ èññëåäóåìîãî âåùåñòâà îñòàåòñÿ òîé æå. Ïðè îïðåäåëåíèè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ æèäêîñòåé óïîòðåáëÿþò èçìåðèòåëüíóþ ïðèçìó ñ ïðèêëååííûì ê íåé öèëèíäðè÷åñêèì ñîñóäîì, â êîòîðûé íàëèâàþò èññëåäóåìóþ æèäêîñòü. Íå îñòàíàâëèâàÿñü áîëåå äåòàëüíî íà îïòè÷åñêîé ñõåìå ÈÐÔ-23 (ñ íåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ ïî îïèñàíèþ, èìåþùåìóñÿ ó ëàáîðàíòà), îïèøåì íàçíà÷åíèå ðó÷åê óïðàâëåíèÿ ïðèáîðà. Âíåøíèé âèä ðåôðàêòîìåòðà ïîêàçàí íà ðèñ. 5. Ëèìá ïîìåùàåòñÿ â êîæóõå (1). Äëÿ ïèòàíèÿ ëàìïî÷êè ïîäñâåòêè (2) ðåôðàêòîìåòð ïîäêëþ÷àåòñÿ ê ñåòè ïåðåìåííîãî òîêà
Ðèñ. 4
 ðåôðàêòîìåòðå ÈÐÔ-22 èçìåðèòåëüíàÿ ïðèçìà èìååò îñòðûé ïðåëîìëÿþùèé óãîë j (ñì. ðèñ. 3).  ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà äëÿ îïðåäåëåíèÿ n óñëîæíÿåòñÿ è èìååò âèä n = sin j N 2 - sin 2 i - cos j sin i,
(6)
ãäå i óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì ïðåëîìèâøåãîñÿ ïîä ïðåäåëüíûì óãëîì ëó÷à ïîñëå âûõîäà åãî èç ïðèçìû è íîðìàëüþ ê ãðàíè ïðèçìû. Èç õîäà ëó÷åé (ðèñ. 3) âèäíî, ÷òî ëþáîé ëó÷, ïàäàþùèé íà ïðèçìó ïîä óãëîì ìåíüøå 90°, ïî âûõîäå èç ïðèçìû áóäåò ñîñòàâëÿòü ñ íîðìàëüþ ê åå ãðàíè óãîë áîëüøå i. Ïîýòîìó ïðè îñâåùåíèè îò èñòî÷íèêà, äàþùåãî ëó÷è ñ ðàçëè÷íûìè óãëàìè ïàäåíèÿ (÷òî èìååò ìåñòî â ðåôðàêòîìåòðå ÈÐÔ-22) â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû Ë áóäåò âèäíà ðåçêàÿ ãðàíèöà ðàçäåëà ìåæäó 328
Ðèñ. 5
329
÷åðåç ïîíèæàþùèé òðàíñôîðìàòîð. Âðàùåíèåì îïðàâû (3) îêóëÿðà çðèòåëüíîé òðóáû äîáèâàþòñÿ ÷åòêîãî èçîáðàæåíèÿ êðåñòà íèòåé â ïîëå çðåíèÿ òðóáû. Ãðóáîå âðàùåíèå òðóáû ïðîèçâîäèòñÿ âðó÷íóþ ïðè îñâîáîæäåííîì âèíòå (4). Ïëàâíîå âðàùåíèå òðóáû îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðè çàòÿíóòîì âèíòå (4) âðàùåíèåì ãîëîâêè (5). Âðàùàÿ îïðàâó (6) îêóëÿðà îòñ÷åòíîãî ìèêðîñêîïà, ìîæíî ïîÐèñ. 6 ëó÷èòü ÷åòêîå èçîáðàæåíèå øêàëû ëèìáà. Ïðè ïîìîùè ìàõîâè÷êà (7) ïðîèçâîäèòñÿ îòñ÷åò ñîòûõ è òûñÿ÷íûõ äîëåé ãðàäóñà ïî øêàëå ëèìáà. Îòñ÷åò ïîëîæåíèÿ çðèòåëüíîé òðóáû.  ïîëå çðåíèÿ îòñ÷åòíîãî ìèêðîñêîïà (ðèñ. 6) âèäíû ãðàäócíàÿ øêàëà ñ öåíîé äåëåíèÿ 1°; âåðòèêàëüíàÿ íåïîäâèæíàÿ øêàëà, äåñÿòü äåëåíèé êîòîðîé ðàâíÿþòñÿ îäíîìó äåëåíèþ ãðàäóñíîé øêàëû; äâîéíûå ñïèðàëè, øàã êîòîðûõ ðàâåí îäíîìó äåëåíèþ íåïîäâèæíîé øêàëû (äåñÿòîé äîëå ãðàäóñà) è ðàñïîëîæåííàÿ ñâåðõó êðóãîâàÿ øêàëà. Ïðè ïåðåìåùåíèè äâîéíîé ñïèðàëè íà îäíî äåëåíèå âåðòèêàëüíîé íåïîäâèæíîé øêàëû óêàçàòåëü íà êðóãîâîé øêàëå ïðîáåãàåò 100 äåëåíèé. Ñëåäîâàòåëüíî, îäíî äåëåíèå êðóãîâîé øêàëû ðàâíî 0,001 ãðàäóñà. Îïðåäåëåíèå ïîëîæåíèÿ çðèòåëüíîé òðóáû ïðè ïîìîùè îòñ÷åòíîãî ìèêðîñêîïà ïðîèçâîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. ×èñëî öåëûõ ãðàäóñîâ îïðåäåëÿåòñÿ ïî øòðèõó ãðàäóñíîé øêàëû, êîòîðûé íàõîäèòñÿ â ïðåäåëàõ íåïîäâèæíîé âåðòèêàëüíîé øêàëû (íà ðèñ. 6 îòñ÷åò äàåò 12°). Äåñÿòûå äîëè ãðàäóñà îïðåäåëÿþòñÿ ÷èñëîì öåëûõ äåëåíèé íåïîäâèæíîé âåðòèêàëüíîé øêàëû, êîòîðûå óæå ïðîéäåíû øòðèõîì ãðàäóñíîé øêàëû. Íà ðèñ. 6 øòðèõ, ïîìå÷åííûé 12°, íàõîäèòñÿ íèæå äåëåíèÿ íåïîäâèæíîé øêàëû, îáîçíà÷åííîãî öèôðîé 2, ÷òî îçíà÷àåò 0,2. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷àñòè äåëåíèÿ íåïîäâèæíîé øêàëû ñëóæèò ñïèðàëüíûé ìèêðîìåòð (íîíèóñ). Ñ ïîìîùüþ ìàõîâè÷êà (7) (ñì. ðèñ. 5) âðàùàþò äâîéíûå ñïèðàëè â ëþáîì íàïðàâëåíèè äî òåõ ïîð, ïîêà ãðàäóñíûé øòðèõ íå çàéìåò ñèììåòðè÷íîãî ïîëîæåíèÿ ìåæäó ëèíèÿìè äâîéíîé ñïèðàëè; òîãäà óêàçàòåëü êðóãîâîé øêàëû ïîêàæåò íà íåé çíà÷åíèå ñîòûõ, òûñÿ÷íûõ è äåñÿòèòûñÿ÷íûõ äîëåé ãðàäóñà (äåñÿòèòûñÿ÷íûå äîëè îòñ÷èòûâàþòñÿ íà ãëàç). Íà ðèñ. 6 ïîëîæåíèå êðóãîâîé øêàëû ñîîòâåòñòâóåò îòñ÷åòó 0,0725°. Òàêèì îáðàçîì, ïðèâåäåííîå íà ðèñ. 6 ðàñïîëîæåíèå âñåõ øêàë â ïîëå çðåíèÿ îòñ÷åòíîãî ìèêðîñêîïà äàåò äëÿ ïîëîæåíèÿ çðèòåëüíîé òðóáû îòñ÷åò óãëà 12,2725°. 330
Ïîðÿäîê èçìåðåíèé Âêëþ÷àþò ÷åðåç ïîíèæàþùèé òðàíñôîðìàòîð ëàìïî÷êó ïîäñâåòêè. Íàñòðàèâàþò ïî ãëàçàì îêóëÿðû çðèòåëüíîé òðóáû è îòñ÷åòíîãî ìèêðîñêîïà. Íóëåâîé îòñ÷åò. Óñòàíàâëèâàþò îïòè÷åñêóþ îñü îáúåêòèâà çðèòåëüíîé òðóáû ïåðïåíäèêóëÿðíî âåðòèêàëüíîé ãðàíè èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû. Äëÿ ýòîãî, îñâîáîäèâ âèíò (4) (ñì. ðèñ. 5), âðàùàþò òðóáó âðó÷íóþ äî ïîÿâëåíèÿ â ïîëå çðåíèÿ îòðàæåíèÿ êðåñòà íèòåé è ïî âîçìîæíîñòè áëèæå ñîâìåùàþò îòðàæåíèå ñ ñàìèì êðåñòîì. Çàòÿíóâ âèíò (4), âðàùåíèåì ãîëîâêè (5) äîáèâàþòñÿ òî÷íîãî ñîâìåùåíèÿ. Åñëè òàêîãî ñîâìåùåíèÿ ñäåëàòü íå óäàåòñÿ, òî äîáèâàþòñÿ ñèììåòðè÷íîãî ðàñïîëîæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ îòíîñèòåëüíî êðåñòà (ðèñ. 7à).
Ðèñ. 7
Ïðîèçâîäÿò îòñ÷åò íóëåâîãî ïîëîæåíèÿ òðóáû, ïîëüçóÿñü îòñ÷åòíûì ìèêðîñêîïîì, è çàïèñûâàþò îòñ÷èòàííîå çíà÷åíèå. Îïðåäåëåíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ æèäêîñòè. Çàêðåïëÿþò â ðåôðàêòîìåòðå èçìåðèòåëüíóþ ïðèçìó ñî ñòåêëÿííûì öèëèíäðîì íà âåðõíåé ãðàíè. Óñòàíàâëèâàþò èñòî÷íèê ñâåòà (ãàçîðàçðÿäíóþ íàòðèåâóþ ëàìïó) è ïðè ïîìîùè âñïîìîãàòåëüíîé îòðàæàòåëüíîé ïðèçìû íàïðàâëÿþò ïó÷îê ñâåòà âäîëü ãðàíèöû ðàçäåëà ìåæäó èññëåäóåìûì âåùåñòâîì è èçìåðèòåëüíîé ïðèçìîé. Îòïóñòèâ âèíò (4) (ñì. ðèñ. 5), âðàùàþò çðèòåëüíóþ òðóáó è äîáèâàþòñÿ, ÷òîáû â íåå ïîïàëè ïðåëîìëåííûå â èçìåðèòåëüíîé ïðèçìå ëó÷è. Ïðè ýòîì â ïîëå çðåíèÿ òðóáû âèäíà æåëòàÿ ïîëîñà ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ëèíèè íàòðèÿ D. Íàâîäÿò öåíòð êðåñòà íèòåé íà âåðõíþþ ðåçêóþ ãðàíèöó ïîëîñû (ðèñ. 7á), ïîëüçóÿñü äëÿ òî÷íîé íàâîäêè ãîëîâêîé (5) ïðè çàòÿíóòîì âèíòå (4). Ñ ïîìîùüþ îòñ÷åòíîãî ìèêðîñêîïà îòñ÷èòûâàþò ïîëîæåíèå çðèòåëüíîé òðóáû. Îòñ÷åò ïðîèçâîäÿò ïÿòü ðàç, ñáèâàÿ êàæäûé ðàç íàâîäêó è ïðîâîäÿ åå çàíîâî. Íàõîäÿò ñðåäíåå çíà÷åíèå óãëà i1, îïðåäåëÿþùåãî ïîëîæåíèå òðóáû. Ðàçíîñòü çíà÷åíèé óãëîâ i1 è i0 äàåò âåëè÷èíó óãëà i, âõîäÿ331
÷åðåç ïîíèæàþùèé òðàíñôîðìàòîð. Âðàùåíèåì îïðàâû (3) îêóëÿðà çðèòåëüíîé òðóáû äîáèâàþòñÿ ÷åòêîãî èçîáðàæåíèÿ êðåñòà íèòåé â ïîëå çðåíèÿ òðóáû. Ãðóáîå âðàùåíèå òðóáû ïðîèçâîäèòñÿ âðó÷íóþ ïðè îñâîáîæäåííîì âèíòå (4). Ïëàâíîå âðàùåíèå òðóáû îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðè çàòÿíóòîì âèíòå (4) âðàùåíèåì ãîëîâêè (5). Âðàùàÿ îïðàâó (6) îêóëÿðà îòñ÷åòíîãî ìèêðîñêîïà, ìîæíî ïîÐèñ. 6 ëó÷èòü ÷åòêîå èçîáðàæåíèå øêàëû ëèìáà. Ïðè ïîìîùè ìàõîâè÷êà (7) ïðîèçâîäèòñÿ îòñ÷åò ñîòûõ è òûñÿ÷íûõ äîëåé ãðàäóñà ïî øêàëå ëèìáà. Îòñ÷åò ïîëîæåíèÿ çðèòåëüíîé òðóáû.  ïîëå çðåíèÿ îòñ÷åòíîãî ìèêðîñêîïà (ðèñ. 6) âèäíû ãðàäócíàÿ øêàëà ñ öåíîé äåëåíèÿ 1°; âåðòèêàëüíàÿ íåïîäâèæíàÿ øêàëà, äåñÿòü äåëåíèé êîòîðîé ðàâíÿþòñÿ îäíîìó äåëåíèþ ãðàäóñíîé øêàëû; äâîéíûå ñïèðàëè, øàã êîòîðûõ ðàâåí îäíîìó äåëåíèþ íåïîäâèæíîé øêàëû (äåñÿòîé äîëå ãðàäóñà) è ðàñïîëîæåííàÿ ñâåðõó êðóãîâàÿ øêàëà. Ïðè ïåðåìåùåíèè äâîéíîé ñïèðàëè íà îäíî äåëåíèå âåðòèêàëüíîé íåïîäâèæíîé øêàëû óêàçàòåëü íà êðóãîâîé øêàëå ïðîáåãàåò 100 äåëåíèé. Ñëåäîâàòåëüíî, îäíî äåëåíèå êðóãîâîé øêàëû ðàâíî 0,001 ãðàäóñà. Îïðåäåëåíèå ïîëîæåíèÿ çðèòåëüíîé òðóáû ïðè ïîìîùè îòñ÷åòíîãî ìèêðîñêîïà ïðîèçâîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. ×èñëî öåëûõ ãðàäóñîâ îïðåäåëÿåòñÿ ïî øòðèõó ãðàäóñíîé øêàëû, êîòîðûé íàõîäèòñÿ â ïðåäåëàõ íåïîäâèæíîé âåðòèêàëüíîé øêàëû (íà ðèñ. 6 îòñ÷åò äàåò 12°). Äåñÿòûå äîëè ãðàäóñà îïðåäåëÿþòñÿ ÷èñëîì öåëûõ äåëåíèé íåïîäâèæíîé âåðòèêàëüíîé øêàëû, êîòîðûå óæå ïðîéäåíû øòðèõîì ãðàäóñíîé øêàëû. Íà ðèñ. 6 øòðèõ, ïîìå÷åííûé 12°, íàõîäèòñÿ íèæå äåëåíèÿ íåïîäâèæíîé øêàëû, îáîçíà÷åííîãî öèôðîé 2, ÷òî îçíà÷àåò 0,2. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷àñòè äåëåíèÿ íåïîäâèæíîé øêàëû ñëóæèò ñïèðàëüíûé ìèêðîìåòð (íîíèóñ). Ñ ïîìîùüþ ìàõîâè÷êà (7) (ñì. ðèñ. 5) âðàùàþò äâîéíûå ñïèðàëè â ëþáîì íàïðàâëåíèè äî òåõ ïîð, ïîêà ãðàäóñíûé øòðèõ íå çàéìåò ñèììåòðè÷íîãî ïîëîæåíèÿ ìåæäó ëèíèÿìè äâîéíîé ñïèðàëè; òîãäà óêàçàòåëü êðóãîâîé øêàëû ïîêàæåò íà íåé çíà÷åíèå ñîòûõ, òûñÿ÷íûõ è äåñÿòèòûñÿ÷íûõ äîëåé ãðàäóñà (äåñÿòèòûñÿ÷íûå äîëè îòñ÷èòûâàþòñÿ íà ãëàç). Íà ðèñ. 6 ïîëîæåíèå êðóãîâîé øêàëû ñîîòâåòñòâóåò îòñ÷åòó 0,0725°. Òàêèì îáðàçîì, ïðèâåäåííîå íà ðèñ. 6 ðàñïîëîæåíèå âñåõ øêàë â ïîëå çðåíèÿ îòñ÷åòíîãî ìèêðîñêîïà äàåò äëÿ ïîëîæåíèÿ çðèòåëüíîé òðóáû îòñ÷åò óãëà 12,2725°. 330
Ïîðÿäîê èçìåðåíèé Âêëþ÷àþò ÷åðåç ïîíèæàþùèé òðàíñôîðìàòîð ëàìïî÷êó ïîäñâåòêè. Íàñòðàèâàþò ïî ãëàçàì îêóëÿðû çðèòåëüíîé òðóáû è îòñ÷åòíîãî ìèêðîñêîïà. Íóëåâîé îòñ÷åò. Óñòàíàâëèâàþò îïòè÷åñêóþ îñü îáúåêòèâà çðèòåëüíîé òðóáû ïåðïåíäèêóëÿðíî âåðòèêàëüíîé ãðàíè èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû. Äëÿ ýòîãî, îñâîáîäèâ âèíò (4) (ñì. ðèñ. 5), âðàùàþò òðóáó âðó÷íóþ äî ïîÿâëåíèÿ â ïîëå çðåíèÿ îòðàæåíèÿ êðåñòà íèòåé è ïî âîçìîæíîñòè áëèæå ñîâìåùàþò îòðàæåíèå ñ ñàìèì êðåñòîì. Çàòÿíóâ âèíò (4), âðàùåíèåì ãîëîâêè (5) äîáèâàþòñÿ òî÷íîãî ñîâìåùåíèÿ. Åñëè òàêîãî ñîâìåùåíèÿ ñäåëàòü íå óäàåòñÿ, òî äîáèâàþòñÿ ñèììåòðè÷íîãî ðàñïîëîæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ îòíîñèòåëüíî êðåñòà (ðèñ. 7à).
Ðèñ. 7
Ïðîèçâîäÿò îòñ÷åò íóëåâîãî ïîëîæåíèÿ òðóáû, ïîëüçóÿñü îòñ÷åòíûì ìèêðîñêîïîì, è çàïèñûâàþò îòñ÷èòàííîå çíà÷åíèå. Îïðåäåëåíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ æèäêîñòè. Çàêðåïëÿþò â ðåôðàêòîìåòðå èçìåðèòåëüíóþ ïðèçìó ñî ñòåêëÿííûì öèëèíäðîì íà âåðõíåé ãðàíè. Óñòàíàâëèâàþò èñòî÷íèê ñâåòà (ãàçîðàçðÿäíóþ íàòðèåâóþ ëàìïó) è ïðè ïîìîùè âñïîìîãàòåëüíîé îòðàæàòåëüíîé ïðèçìû íàïðàâëÿþò ïó÷îê ñâåòà âäîëü ãðàíèöû ðàçäåëà ìåæäó èññëåäóåìûì âåùåñòâîì è èçìåðèòåëüíîé ïðèçìîé. Îòïóñòèâ âèíò (4) (ñì. ðèñ. 5), âðàùàþò çðèòåëüíóþ òðóáó è äîáèâàþòñÿ, ÷òîáû â íåå ïîïàëè ïðåëîìëåííûå â èçìåðèòåëüíîé ïðèçìå ëó÷è. Ïðè ýòîì â ïîëå çðåíèÿ òðóáû âèäíà æåëòàÿ ïîëîñà ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ëèíèè íàòðèÿ D. Íàâîäÿò öåíòð êðåñòà íèòåé íà âåðõíþþ ðåçêóþ ãðàíèöó ïîëîñû (ðèñ. 7á), ïîëüçóÿñü äëÿ òî÷íîé íàâîäêè ãîëîâêîé (5) ïðè çàòÿíóòîì âèíòå (4). Ñ ïîìîùüþ îòñ÷åòíîãî ìèêðîñêîïà îòñ÷èòûâàþò ïîëîæåíèå çðèòåëüíîé òðóáû. Îòñ÷åò ïðîèçâîäÿò ïÿòü ðàç, ñáèâàÿ êàæäûé ðàç íàâîäêó è ïðîâîäÿ åå çàíîâî. Íàõîäÿò ñðåäíåå çíà÷åíèå óãëà i1, îïðåäåëÿþùåãî ïîëîæåíèå òðóáû. Ðàçíîñòü çíà÷åíèé óãëîâ i1 è i0 äàåò âåëè÷èíó óãëà i, âõîäÿ331
ùåãî â ôîðìóëó (5). Çíàÿ óãîë i, ïî òàáëèöå äëÿ èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû ñ äàííûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ N, ïðèëàãàåìîé ê ïðèáîðó, îïðåäåëÿþò ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ èññëåäóåìîé æèäêîñòè [òàáëèöû ñîñòàâëåíû íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (5)]. Îïðåäåëåíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà.  ýòîì ñëó÷àå â êà÷åñòâå îáðàçöîâ èñïîëüçóþòñÿ êóáèêè, èçãîòîâëåííûå èç èññëåäóåìûõ ñîðòîâ ñòåêëà. Ñòåêëÿííîé ïàëî÷êîé íà ðàáî÷óþ ãðàíü êóáèêà íàíîñÿò êàïëþ àëüôàìîíîáðîìíàôòàëèíà, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êîòîðîãî nD = 1,6588 ïðè 20°Ñ, è óñòàíàâëèâàþò êóáèê íà ãîðèçîíòàëüíóþ ïîâåðõíîñòü èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû. Êóáèê è èçìåðèòåëüíàÿ ïðèçìà äîëæíû áûòü õîðîøî ïðèòåðòû äðóã ê äðóãó.  îñòàëüíîì ïîðÿäîê èçìåðåíèÿ òîò æå, ÷òî è ïðè îïðåäåëåíèè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ æèäêîñòè. Îïèñàíèå ïðèáîðà ÈÐÔ-22 Ðåôðàêòîìåòð ÈÐÔ-22 òèïà Àááå ïðåäíàçíà÷åí äëÿ áûñòðîãî èçìåðåíèÿ ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ æèäêîñòåé, íî ìîæåò óïîòðåáëÿòüñÿ è äëÿ èçìåðåíèÿ ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ òâåðäûõ òåë, à òàêæå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñðåäíåé äèñïåðñèè âåùåñòâ. Óïðîùåííàÿ îïòè÷åñêàÿ ñõåìà ðåôðàêòîìåòðà ïîêàçàíà íà ðèñ. 8. Îñíîâíîé äåòàëüþ ðåôðàêòîìåòðà ÿâëÿåòñÿ ñòåêëÿííûé ïàðàëëåëåïèïåä (1), ñîñòîÿùèé èç äâóõ ïðèçì I è II, èçãîòîâëåííûõ èç îäíîãî ñîðòà ñòåêëà. Ïðèçìà I èìååò õîðîøî îòïîëèðîâàííóþ ãðàíü À1Â1 è ÿâëÿåòñÿ èçìåðèòåëüíîé, à ïðèçìà II èìååò ìàòîâóþ ãðàíü À2Â2 è ÿâëÿåòñÿ îñâåòèòåëüíîé. Äëÿ èçìåðåíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ æèäêîñòè íåñêîëüêî åå êàïåëü ïîìåùàåòñÿ â ùåëü ìåæäó ïðèçìàìè. Ïó÷îê ñâåòà îò êàêîãî-ëèáî èñòî÷íèêà ñ ïîìîùüþ çåðêàëà (2) íàïðàâëÿåòñÿ íà îñâåòèòåëüíóþ ïðèçìó. Âñëåäñòâèå ðàññåÿíèÿ ñâåòà åå ìàòîâîé ïîâåðõíîñòüþ â
èññëåäóåìóþ æèäêîñòü ëó÷è âõîäÿò ïî ðàçëè÷íûì íàïðàâëåíèÿì. Ñðåäè ýòèõ ëó÷åé èìåþòñÿ ëó÷è, ñêîëüçÿùèå âäîëü ãðàíè À1Â1 ïðèçìû I, êîòîðûå, ïðîõîäÿ â ýòó ïðèçìó, ïðåëîìëÿþòñÿ ïîä ïðåäåëüíûì óãëîì. Óãëû æå ïðåëîìëåíèÿ îñòàëüíûõ ëó÷åé áîëüøå ïðåäåëüíîãî. Âûéäÿ èç èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû, ñâåò ïðîõîäèò ÷åðåç äâå äèñïåðñèîííûå ïðèçìû Àìè÷è ïðÿìîãî çðåíèÿ (3) è (4) (î íàçíà÷åíèè ýòèõ ïðèçì áóäåò ñêàçàíî íèæå) è ïîïàäàåò â çðèòåëüíóþ òðóáó, ñîñòîÿùóþ èç îáúåêòèâà (5), îêóëÿðà (6) è îòñ÷åòíîãî ïðèñïîñîáëåíèÿ (7), ðàñïîëîæåííîãî â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè îáúåêòèâà.  ýòîé ïëîñêîñòè ñâåò îáðàçóåò ñâåòëîå è òåìíîå ïîëÿ (ñì. ðèñ. 3). Îòñ÷åòíîå ïðèñïîñîáëåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó. Íà îäíîé ÷àñòè ýòîé ïëàñòèíêè íàíåñåí êðåñò, ñîâìåùàåìûé ïðè èçìåðåíèÿõ ñ ãðàíèöåé ðàçäåëà òåìíîãî è ñâåòëîãî ïîëåé. Íà äðóãóþ ÷àñòü ïëàñòèíêè ïðè ïîìîùè ëèíçû (8) è ïðèçìû (9) ïðîåêòèðóåòñÿ èçîáðàæåíèå ïðîçðà÷íîé øêàëû (10), êîòîðàÿ îñâåùàåòñÿ îò êàêîãî-ëèáî èñòî÷íèêà ïó÷êîì ñâåòà, íàïðàâëÿåìûì çåðêàëîì (11). Òàêèì îáðàçîì, â ïîëå çðåíèÿ îêóëÿðà âèäíû îäíîâðåìåííî êàðòèíà, îáðàçîâàííàÿ ñâåòîì, ïðîøåäøèì ÷åðåç èçìåðèòåëüíóþ ïðèçìó, è èçîáðàæåíèå øêàëû. Ïàðàëëåëåïèïåä (1) ñâÿçàí ñ ïëàñòèíêîé, íà êîòîðîé íàíåñåíà øêàëà, ìåõàíè÷åñêîé ïåðåäà÷åé. Ïðè åãî ïîâîðîòå ïðîèñõîäèò ïåðåìåùåíèå øêàëû è, ñëåäîâàòåëüíî, ïåðåìåùåíèå åå èçîáðàæåíèÿ â ïîëå çðåíèÿ îêóëÿðà. Êîíñòðóêöèÿ ïðèáîðà ïðåäóñìàòðèâàåò, ÷òî ïðè ñîâìåùåíèè êðåñòà ñ ãðàíèöåé ðàçäåëà ñâåòëîãî è òåìíîãî ïîëåé óêàçàòåëü øêàëû ïîêàçûâàåò ñðàçó çíà÷åíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ èññëåäóåìîãî âåùåñòâà äëÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû, ñîîòâåòñòâóþùåé æåëòîé ëèíèè íàòðèÿ D. Ïðè èñïîëüçîâàíèè èñòî÷íèêà áåëîãî ñâåòà â èçìåðèòåëüíîé ïðèçìå ïðîèñõîäèò äèñïåðñèÿ ñâåòà.  ðåçóëüòàòå ãðàíèöà ðàçäåëà ñâåòëîãî è òåìíîãî ïîëåé, âèäíàÿ â îêóëÿð, îêàçûâàåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, îêðàøåííîé è ðàçìûòîé. Äëÿ óñòðàíåíèÿ îêðàñêè ãðàíèöû ðàçäåëà ïîëåé ñëóæàò äèñïåðñèîííûå ïðèçìû ïðÿìîãî çðåíèÿ. Êàæäàÿ èç ýòèõ ïðèçì (ðèñ. 9) ñîñòàâëåíà èç òðåõ ïðèçì: äâóõ êðàéíèõ, èçãîòîâëåííûõ èç îïòè÷åñêîãî ñòåêëà ñ
Ðèñ. 8
Ðèñ. 9
332
333
ùåãî â ôîðìóëó (5). Çíàÿ óãîë i, ïî òàáëèöå äëÿ èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû ñ äàííûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ N, ïðèëàãàåìîé ê ïðèáîðó, îïðåäåëÿþò ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ èññëåäóåìîé æèäêîñòè [òàáëèöû ñîñòàâëåíû íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (5)]. Îïðåäåëåíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà.  ýòîì ñëó÷àå â êà÷åñòâå îáðàçöîâ èñïîëüçóþòñÿ êóáèêè, èçãîòîâëåííûå èç èññëåäóåìûõ ñîðòîâ ñòåêëà. Ñòåêëÿííîé ïàëî÷êîé íà ðàáî÷óþ ãðàíü êóáèêà íàíîñÿò êàïëþ àëüôàìîíîáðîìíàôòàëèíà, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êîòîðîãî nD = 1,6588 ïðè 20°Ñ, è óñòàíàâëèâàþò êóáèê íà ãîðèçîíòàëüíóþ ïîâåðõíîñòü èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû. Êóáèê è èçìåðèòåëüíàÿ ïðèçìà äîëæíû áûòü õîðîøî ïðèòåðòû äðóã ê äðóãó.  îñòàëüíîì ïîðÿäîê èçìåðåíèÿ òîò æå, ÷òî è ïðè îïðåäåëåíèè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ æèäêîñòè. Îïèñàíèå ïðèáîðà ÈÐÔ-22 Ðåôðàêòîìåòð ÈÐÔ-22 òèïà Àááå ïðåäíàçíà÷åí äëÿ áûñòðîãî èçìåðåíèÿ ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ æèäêîñòåé, íî ìîæåò óïîòðåáëÿòüñÿ è äëÿ èçìåðåíèÿ ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ òâåðäûõ òåë, à òàêæå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñðåäíåé äèñïåðñèè âåùåñòâ. Óïðîùåííàÿ îïòè÷åñêàÿ ñõåìà ðåôðàêòîìåòðà ïîêàçàíà íà ðèñ. 8. Îñíîâíîé äåòàëüþ ðåôðàêòîìåòðà ÿâëÿåòñÿ ñòåêëÿííûé ïàðàëëåëåïèïåä (1), ñîñòîÿùèé èç äâóõ ïðèçì I è II, èçãîòîâëåííûõ èç îäíîãî ñîðòà ñòåêëà. Ïðèçìà I èìååò õîðîøî îòïîëèðîâàííóþ ãðàíü À1Â1 è ÿâëÿåòñÿ èçìåðèòåëüíîé, à ïðèçìà II èìååò ìàòîâóþ ãðàíü À2Â2 è ÿâëÿåòñÿ îñâåòèòåëüíîé. Äëÿ èçìåðåíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ æèäêîñòè íåñêîëüêî åå êàïåëü ïîìåùàåòñÿ â ùåëü ìåæäó ïðèçìàìè. Ïó÷îê ñâåòà îò êàêîãî-ëèáî èñòî÷íèêà ñ ïîìîùüþ çåðêàëà (2) íàïðàâëÿåòñÿ íà îñâåòèòåëüíóþ ïðèçìó. Âñëåäñòâèå ðàññåÿíèÿ ñâåòà åå ìàòîâîé ïîâåðõíîñòüþ â
èññëåäóåìóþ æèäêîñòü ëó÷è âõîäÿò ïî ðàçëè÷íûì íàïðàâëåíèÿì. Ñðåäè ýòèõ ëó÷åé èìåþòñÿ ëó÷è, ñêîëüçÿùèå âäîëü ãðàíè À1Â1 ïðèçìû I, êîòîðûå, ïðîõîäÿ â ýòó ïðèçìó, ïðåëîìëÿþòñÿ ïîä ïðåäåëüíûì óãëîì. Óãëû æå ïðåëîìëåíèÿ îñòàëüíûõ ëó÷åé áîëüøå ïðåäåëüíîãî. Âûéäÿ èç èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû, ñâåò ïðîõîäèò ÷åðåç äâå äèñïåðñèîííûå ïðèçìû Àìè÷è ïðÿìîãî çðåíèÿ (3) è (4) (î íàçíà÷åíèè ýòèõ ïðèçì áóäåò ñêàçàíî íèæå) è ïîïàäàåò â çðèòåëüíóþ òðóáó, ñîñòîÿùóþ èç îáúåêòèâà (5), îêóëÿðà (6) è îòñ÷åòíîãî ïðèñïîñîáëåíèÿ (7), ðàñïîëîæåííîãî â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè îáúåêòèâà.  ýòîé ïëîñêîñòè ñâåò îáðàçóåò ñâåòëîå è òåìíîå ïîëÿ (ñì. ðèñ. 3). Îòñ÷åòíîå ïðèñïîñîáëåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó. Íà îäíîé ÷àñòè ýòîé ïëàñòèíêè íàíåñåí êðåñò, ñîâìåùàåìûé ïðè èçìåðåíèÿõ ñ ãðàíèöåé ðàçäåëà òåìíîãî è ñâåòëîãî ïîëåé. Íà äðóãóþ ÷àñòü ïëàñòèíêè ïðè ïîìîùè ëèíçû (8) è ïðèçìû (9) ïðîåêòèðóåòñÿ èçîáðàæåíèå ïðîçðà÷íîé øêàëû (10), êîòîðàÿ îñâåùàåòñÿ îò êàêîãî-ëèáî èñòî÷íèêà ïó÷êîì ñâåòà, íàïðàâëÿåìûì çåðêàëîì (11). Òàêèì îáðàçîì, â ïîëå çðåíèÿ îêóëÿðà âèäíû îäíîâðåìåííî êàðòèíà, îáðàçîâàííàÿ ñâåòîì, ïðîøåäøèì ÷åðåç èçìåðèòåëüíóþ ïðèçìó, è èçîáðàæåíèå øêàëû. Ïàðàëëåëåïèïåä (1) ñâÿçàí ñ ïëàñòèíêîé, íà êîòîðîé íàíåñåíà øêàëà, ìåõàíè÷åñêîé ïåðåäà÷åé. Ïðè åãî ïîâîðîòå ïðîèñõîäèò ïåðåìåùåíèå øêàëû è, ñëåäîâàòåëüíî, ïåðåìåùåíèå åå èçîáðàæåíèÿ â ïîëå çðåíèÿ îêóëÿðà. Êîíñòðóêöèÿ ïðèáîðà ïðåäóñìàòðèâàåò, ÷òî ïðè ñîâìåùåíèè êðåñòà ñ ãðàíèöåé ðàçäåëà ñâåòëîãî è òåìíîãî ïîëåé óêàçàòåëü øêàëû ïîêàçûâàåò ñðàçó çíà÷åíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ èññëåäóåìîãî âåùåñòâà äëÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû, ñîîòâåòñòâóþùåé æåëòîé ëèíèè íàòðèÿ D. Ïðè èñïîëüçîâàíèè èñòî÷íèêà áåëîãî ñâåòà â èçìåðèòåëüíîé ïðèçìå ïðîèñõîäèò äèñïåðñèÿ ñâåòà.  ðåçóëüòàòå ãðàíèöà ðàçäåëà ñâåòëîãî è òåìíîãî ïîëåé, âèäíàÿ â îêóëÿð, îêàçûâàåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, îêðàøåííîé è ðàçìûòîé. Äëÿ óñòðàíåíèÿ îêðàñêè ãðàíèöû ðàçäåëà ïîëåé ñëóæàò äèñïåðñèîííûå ïðèçìû ïðÿìîãî çðåíèÿ. Êàæäàÿ èç ýòèõ ïðèçì (ðèñ. 9) ñîñòàâëåíà èç òðåõ ïðèçì: äâóõ êðàéíèõ, èçãîòîâëåííûõ èç îïòè÷åñêîãî ñòåêëà ñ
Ðèñ. 8
Ðèñ. 9
332
333
ìàëîé äèñïåðñèåé (êðîíà), è ñðåäíåé èç ñòåêëà ñ áîëüøîé äèñïåðñèåé (ôëèíòà). Âûõîäÿùèé èç òàêîé ñèñòåìû ñâåò îêàçûâàåòñÿ ðàçëîæåííûì â ñïåêòð. Ïðåëîìëÿþùèå óãëû ïðèçì ïîäîáðàíû òàê, ÷òî ëó÷, ñîîòâåòñòâóþùèé íåêîòîðîé äëèíå âîëíû (îáû÷íî äëèíå âîëíû æåëòîé ëèíèè íàòðèÿ D), ïðîõîäèò ñèñòåìó áåç îòêëîíåíèÿ. Îêîí÷àòåëüíàÿ äèñïåðñèÿ ïðè ïðîõîæäåíèè ñâåòà ïîñëåäîâàòåëüíî ÷åðåç äâå äèñïåðñèîííûå ïðèçìû (3) è (4) (ñì. ðèñ. 8) çàâèñèò îò îðèåíòàöèè ïðèçì ïî îòíîøåíèþ äðóã ê äðóãó. Âðàùàÿ îäíó èç ïðèçì âîêðóã îñè, èäóùåé âäîëü íåîòêëîíåííîãî ëó÷à, ìîæíî ïîëó÷èòü ëþáóþ äèñïåðñèþ (îò íóëåâîé äî äâîéíîé) ïî ñðàâíåíèþ ñ äèñïåðñèåé îäèíî÷íîé ïðèçìû. Òàêèì îáðàçîì, ïîâîðîòîì îäíîé èç äèñïåðñèîííûõ ïðèçì ìîæíî êîìïåíñèðîâàòü äèñïåðñèþ ñâåòà, âîçíèêøóþ â èçìåðèòåëüíîé ïðèçìå, è, ñëåäîâàòåëüíî, óñòðàíèòü îêðàñêó è ðàçìûòèå ãðàíèöû ñâåòëîãî è òåìíîãî ïîëåé, íàáëþäàåìûõ â îêóëÿð. Âíåøíèé âèä ïðèáîðà ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 10 è 11. Ïðèáîð ñîñòîèò èç êîðïóñà (1), çðèòåëüíîé òðóáû (2), è èçìåðèòåëüíîé ãîëîâêè (3). Èçìåðèòåëüíàÿ ãîëîâêà ñîñòîèò èç äâóõ ëèòûõ ïîëóøàðèé. Âåðõíåå ïîëóøàðèå çàêðåïëåíî íà øàðíèðå è ìîæåò îòêèäûâàòüñÿ.  íåì íàõîäèòñÿ îñâåòèòåëüíàÿ ïðèçìà.  íèæíåì ïîëóøàðèè ðàñïîëîæåíà èçìåðèòåëüíàÿ ïðèçìà. Ïîâîðîò ãîëîâêè, ïðîèñõîäÿùèé ñîâìåñòíî ñ ïåðåìåùåíèåì øêàëû, ïðîèçâîäèòñÿ âðàùåíèåì ìàõîâè÷êà (4). Íà îñâåòèòåëüíóþ ïðèçìó ñâåò íàïðàâëÿåòñÿ ïðè ïîìîùè çåðêàëà (5), à íà øêàëó ïðè ïîìîùè çåðêàëà (6). Ïîâîðîò ïðèçìû êîìïåíñàòîðà äèñïåðñèè èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû îñóùåñòâëÿåòñÿ âðàùåíèåì ìàõîâè÷êà (7). Ïî ïîêàçàíèÿì øêàëû êîìïåíñàòîðà (8) âû÷èñëÿåòñÿ âåëè÷èíà äèñïåðñèè èññëåäóåìîãî âåùåñòâà. 5
8 8
1
3
5
2
9 1 7
2
6 4
Ðèñ. 10
334
3
Ðèñ. 11
Èçìåðåíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ æèäêîñòè. Óñòàíàâëèâàþò èñòî÷íèê ñâåòà (íàñòîëüíóþ ëàìïó) òàê, ÷òîáû ñâåò ïàäàë íà çåðêàëà (5) è (6) (ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû è äâå ëàìïû). Ãëÿäÿ â îêóëÿð çðèòåëüíîé òðóáû, âðàùåíèåì îïðàâ çåðêàë äîáèâàþòñÿ ÿðêîé è ðàâíîìåðíîé îñâåùåííîñòè ïîëÿ çðåíèÿ. Âðàùàÿ îïðàâó îêóëÿðà, ôîêóñèðóþò åãî íà êðåñò è èçîáðàæåíèå øêàëû. Îòêèäûâàþò âåðõíåå ïîëóøàðèå èçìåðèòåëüíîé ãîëîâêè è íàíîñÿò ñ ïîìîùüþ ñòåêëÿííîé ïàëî÷êè íà ïîâåðõíîñòü èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû íåñêîëüêî êàïåëü èññëåäóåìîé æèäêîñòè. Îñòîðîæíî çàêðûâàþò ãîëîâêó. Èññëåäóåìàÿ æèäêîñòü äîëæíà ïîëíîñòüþ çàïîëíèòü çàçîð ìåæäó èçìåðèòåëüíîé è îñâåòèòåëüíîé ïðèçìàìè. Ñìîòðÿ â îêóëÿð, âðàùàþò ìàõîâè÷îê (4) è íàõîäÿò ãðàíèöó ðàçäåëà ñâåòëîãî è òåìíîãî ïîëåé. Âðàùåíèåì ìàõîâè÷êà (7) óñòðàíÿþò åå îêðàñêó. Ñ ïîìîùüþ ìàõîâè÷êà (4) óñòàíàâëèâàþò êðåñò êàê ìîæíî òî÷íåå íà ãðàíèöå ðàçäåëà ïîëåé è ñíèìàþò ïî øêàëå çíà÷åíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ (èíäåêñîì äëÿ îòñ÷åòà ñëóæèò íåïîäâèæíûé ãîðèçîíòàëüíûé øòðèõ). Öåëûå, äåñÿòûå, ñîòûå è òûñÿ÷íûå äîëè îòñ÷èòûâàþò ïî äåëåíèÿì øêàëû, à äåñÿòèòûñÿ÷íûå îöåíèâàþò íà ãëàç. Øêàëà ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ðàññ÷èòàíà äëÿ òåìïåðàòóðû 20°Ñ. Èçìåðåíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ òâåðäîãî òåëà. Ïåðåä ðàáîòîé âåðõíåå ïîëóøàðèå èçìåðèòåëüíîé ãîëîâêè îòêèäûâàþò è ïðè äàëüíåéøåé ðàáîòå íå çàêðûâàþò. Ñîïðèêàñàþùèåñÿ ïîâåðõíîñòè îáðàçöà è èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû ïðîòèðàþò ñïèðòîì è ÷èñòîé ñàëôåòêîé. Äëÿ ñîáëþäåíèÿ îïòè÷åñêîãî êîíòàêòà ìåæäó ãðàíüþ èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû è èññëåäóåìûì âåùåñòâîì ïîìåùàþò êàïëþ æèäêîñòè, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êîòîðîé áîëüøå, ÷åì ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû. Ââåäåíèå ìåæäó îáðàçöîì è ïðèçìîé ïàðàëëåëüíîãî ñëîÿ æèäêîñòè íå îêàçûâàåò âëèÿíèÿ íà õîä ëó÷åé â ñèñòåìå. Îáû÷íî äëÿ ýòîé öåëè ñëóæèò ìîíîáðîìíàôòàëèí. Êàïëþ æèäêîñòè ïîìåùàþò íà ïîëèðîâàííóþ ïîâåðõíîñòü îáðàçöà ïðè ïîìîùè ñòåêëÿííîé ïàëî÷êè ñ çàêðóãëåííûì êîíöîì. Íàêëàäûâàþò îáðàçåö ïîëèðîâàííîé ãðàíüþ íà èçìåðèòåëüíóþ ïðèçìó òàê, ÷òîáû åãî ìàòîâàÿ ãðàíü, îáðàçóþùàÿ ñ ïîëèðîâàííîé ãðàíüþ îñòðîå ðåáðî, áûëà îáðàùåíà ê èñòî÷íèêó ñâåòà. Ïðè óñòàíîâêå îáðàçöà ïëîñêîñòü åãî ñîïðèêîñíîâåíèÿ ñ èçìåðèòåëüíîé ïðèçìîé äîëæíà ïðèíèìàòü ðàâíîìåðíóþ îêðàñêó. Èçìåðåíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ äàëåå ïðîèçâîäèòñÿ òàê æå, êàê è â ñëó÷àå æèäêîñòè. Èçìåðåíèå ñðåäíåé äèñïåðñèè. Ìåðîé äèñïåðñèè ìîæåò ñëóæèòü ñðåäíÿÿ äèñïåðñèÿ n F n C , õàðàêòåðèçóþùàÿ èçìåíåíèå ïî335
ìàëîé äèñïåðñèåé (êðîíà), è ñðåäíåé èç ñòåêëà ñ áîëüøîé äèñïåðñèåé (ôëèíòà). Âûõîäÿùèé èç òàêîé ñèñòåìû ñâåò îêàçûâàåòñÿ ðàçëîæåííûì â ñïåêòð. Ïðåëîìëÿþùèå óãëû ïðèçì ïîäîáðàíû òàê, ÷òî ëó÷, ñîîòâåòñòâóþùèé íåêîòîðîé äëèíå âîëíû (îáû÷íî äëèíå âîëíû æåëòîé ëèíèè íàòðèÿ D), ïðîõîäèò ñèñòåìó áåç îòêëîíåíèÿ. Îêîí÷àòåëüíàÿ äèñïåðñèÿ ïðè ïðîõîæäåíèè ñâåòà ïîñëåäîâàòåëüíî ÷åðåç äâå äèñïåðñèîííûå ïðèçìû (3) è (4) (ñì. ðèñ. 8) çàâèñèò îò îðèåíòàöèè ïðèçì ïî îòíîøåíèþ äðóã ê äðóãó. Âðàùàÿ îäíó èç ïðèçì âîêðóã îñè, èäóùåé âäîëü íåîòêëîíåííîãî ëó÷à, ìîæíî ïîëó÷èòü ëþáóþ äèñïåðñèþ (îò íóëåâîé äî äâîéíîé) ïî ñðàâíåíèþ ñ äèñïåðñèåé îäèíî÷íîé ïðèçìû. Òàêèì îáðàçîì, ïîâîðîòîì îäíîé èç äèñïåðñèîííûõ ïðèçì ìîæíî êîìïåíñèðîâàòü äèñïåðñèþ ñâåòà, âîçíèêøóþ â èçìåðèòåëüíîé ïðèçìå, è, ñëåäîâàòåëüíî, óñòðàíèòü îêðàñêó è ðàçìûòèå ãðàíèöû ñâåòëîãî è òåìíîãî ïîëåé, íàáëþäàåìûõ â îêóëÿð. Âíåøíèé âèä ïðèáîðà ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 10 è 11. Ïðèáîð ñîñòîèò èç êîðïóñà (1), çðèòåëüíîé òðóáû (2), è èçìåðèòåëüíîé ãîëîâêè (3). Èçìåðèòåëüíàÿ ãîëîâêà ñîñòîèò èç äâóõ ëèòûõ ïîëóøàðèé. Âåðõíåå ïîëóøàðèå çàêðåïëåíî íà øàðíèðå è ìîæåò îòêèäûâàòüñÿ.  íåì íàõîäèòñÿ îñâåòèòåëüíàÿ ïðèçìà.  íèæíåì ïîëóøàðèè ðàñïîëîæåíà èçìåðèòåëüíàÿ ïðèçìà. Ïîâîðîò ãîëîâêè, ïðîèñõîäÿùèé ñîâìåñòíî ñ ïåðåìåùåíèåì øêàëû, ïðîèçâîäèòñÿ âðàùåíèåì ìàõîâè÷êà (4). Íà îñâåòèòåëüíóþ ïðèçìó ñâåò íàïðàâëÿåòñÿ ïðè ïîìîùè çåðêàëà (5), à íà øêàëó ïðè ïîìîùè çåðêàëà (6). Ïîâîðîò ïðèçìû êîìïåíñàòîðà äèñïåðñèè èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû îñóùåñòâëÿåòñÿ âðàùåíèåì ìàõîâè÷êà (7). Ïî ïîêàçàíèÿì øêàëû êîìïåíñàòîðà (8) âû÷èñëÿåòñÿ âåëè÷èíà äèñïåðñèè èññëåäóåìîãî âåùåñòâà. 5
8 8
1
3
5
2
9 1 7
2
6 4
Ðèñ. 10
334
3
Ðèñ. 11
Èçìåðåíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ æèäêîñòè. Óñòàíàâëèâàþò èñòî÷íèê ñâåòà (íàñòîëüíóþ ëàìïó) òàê, ÷òîáû ñâåò ïàäàë íà çåðêàëà (5) è (6) (ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû è äâå ëàìïû). Ãëÿäÿ â îêóëÿð çðèòåëüíîé òðóáû, âðàùåíèåì îïðàâ çåðêàë äîáèâàþòñÿ ÿðêîé è ðàâíîìåðíîé îñâåùåííîñòè ïîëÿ çðåíèÿ. Âðàùàÿ îïðàâó îêóëÿðà, ôîêóñèðóþò åãî íà êðåñò è èçîáðàæåíèå øêàëû. Îòêèäûâàþò âåðõíåå ïîëóøàðèå èçìåðèòåëüíîé ãîëîâêè è íàíîñÿò ñ ïîìîùüþ ñòåêëÿííîé ïàëî÷êè íà ïîâåðõíîñòü èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû íåñêîëüêî êàïåëü èññëåäóåìîé æèäêîñòè. Îñòîðîæíî çàêðûâàþò ãîëîâêó. Èññëåäóåìàÿ æèäêîñòü äîëæíà ïîëíîñòüþ çàïîëíèòü çàçîð ìåæäó èçìåðèòåëüíîé è îñâåòèòåëüíîé ïðèçìàìè. Ñìîòðÿ â îêóëÿð, âðàùàþò ìàõîâè÷îê (4) è íàõîäÿò ãðàíèöó ðàçäåëà ñâåòëîãî è òåìíîãî ïîëåé. Âðàùåíèåì ìàõîâè÷êà (7) óñòðàíÿþò åå îêðàñêó. Ñ ïîìîùüþ ìàõîâè÷êà (4) óñòàíàâëèâàþò êðåñò êàê ìîæíî òî÷íåå íà ãðàíèöå ðàçäåëà ïîëåé è ñíèìàþò ïî øêàëå çíà÷åíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ (èíäåêñîì äëÿ îòñ÷åòà ñëóæèò íåïîäâèæíûé ãîðèçîíòàëüíûé øòðèõ). Öåëûå, äåñÿòûå, ñîòûå è òûñÿ÷íûå äîëè îòñ÷èòûâàþò ïî äåëåíèÿì øêàëû, à äåñÿòèòûñÿ÷íûå îöåíèâàþò íà ãëàç. Øêàëà ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ðàññ÷èòàíà äëÿ òåìïåðàòóðû 20°Ñ. Èçìåðåíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ òâåðäîãî òåëà. Ïåðåä ðàáîòîé âåðõíåå ïîëóøàðèå èçìåðèòåëüíîé ãîëîâêè îòêèäûâàþò è ïðè äàëüíåéøåé ðàáîòå íå çàêðûâàþò. Ñîïðèêàñàþùèåñÿ ïîâåðõíîñòè îáðàçöà è èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû ïðîòèðàþò ñïèðòîì è ÷èñòîé ñàëôåòêîé. Äëÿ ñîáëþäåíèÿ îïòè÷åñêîãî êîíòàêòà ìåæäó ãðàíüþ èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû è èññëåäóåìûì âåùåñòâîì ïîìåùàþò êàïëþ æèäêîñòè, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êîòîðîé áîëüøå, ÷åì ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ èçìåðèòåëüíîé ïðèçìû. Ââåäåíèå ìåæäó îáðàçöîì è ïðèçìîé ïàðàëëåëüíîãî ñëîÿ æèäêîñòè íå îêàçûâàåò âëèÿíèÿ íà õîä ëó÷åé â ñèñòåìå. Îáû÷íî äëÿ ýòîé öåëè ñëóæèò ìîíîáðîìíàôòàëèí. Êàïëþ æèäêîñòè ïîìåùàþò íà ïîëèðîâàííóþ ïîâåðõíîñòü îáðàçöà ïðè ïîìîùè ñòåêëÿííîé ïàëî÷êè ñ çàêðóãëåííûì êîíöîì. Íàêëàäûâàþò îáðàçåö ïîëèðîâàííîé ãðàíüþ íà èçìåðèòåëüíóþ ïðèçìó òàê, ÷òîáû åãî ìàòîâàÿ ãðàíü, îáðàçóþùàÿ ñ ïîëèðîâàííîé ãðàíüþ îñòðîå ðåáðî, áûëà îáðàùåíà ê èñòî÷íèêó ñâåòà. Ïðè óñòàíîâêå îáðàçöà ïëîñêîñòü åãî ñîïðèêîñíîâåíèÿ ñ èçìåðèòåëüíîé ïðèçìîé äîëæíà ïðèíèìàòü ðàâíîìåðíóþ îêðàñêó. Èçìåðåíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ äàëåå ïðîèçâîäèòñÿ òàê æå, êàê è â ñëó÷àå æèäêîñòè. Èçìåðåíèå ñðåäíåé äèñïåðñèè. Ìåðîé äèñïåðñèè ìîæåò ñëóæèòü ñðåäíÿÿ äèñïåðñèÿ n F n C , õàðàêòåðèçóþùàÿ èçìåíåíèå ïî335
êàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ âåùåñòâà â ïðåäåëàõ âèäèìîé ÷àñòè ñïåêòðà (nF è nC çíà÷åíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ äëÿ äëèí âîëí lF = 6563 Å è lC = 4861 Å, ñîîòâåòñòâóþùèõ êðàñíîé è ñèíåé ëèíèÿì âîäîðîäíîãî ñïåêòðà). Äëÿ èçìåðåíèÿ ñðåäíåé äèñïåðñèè æèäêèõ è òâåðäûõ âåùåñòâ èññëåäóåìûé îáúåêò óñòàíàâëèâàþò òàê æå, êàê è ïðè èçìåðåíèè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ. Íàõîäÿò ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ, êîòîðûé çäåñü áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ nD, òàê êàê ðåôðàêòîìåòð äàåò çíà÷åíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ äëÿ äëèíû âîëíû, ñîîòâåòñòâóþùåé æåëòîé ëèíèè íàòðèÿ D. Äèñïåðñèÿ îïðåäåëÿåòñÿ îòñ÷åòîì ïîëîæåíèÿ ïðèçìû êîìïåíñàòîðà ïî øêàëå (8) ïðè ïîëíîì óñòðàíåíèè îêðàñêè ãðàíèöû ðàçäåëà ïîëåé ñ ïîìîùüþ ìàõîâè÷êà (7) (ñì. ðèñ. 11) è õàðàêòåðèçóåòñÿ ÷èñëîì Z äåëåíèé øêàëû êîìïåíñàòîðà. Åñëè ïîñëå óñòðàíåíèÿ îêðàñêè âðàùàòü ìàõîâè÷îê (7) â òó æå ñòîðîíó äî ïðîòèâîïîëîæíîãî, íî ðàâíîãî (èëè ïî÷òè ðàâíîãî) çíà÷åíèÿ Z, òî ãðàíèöà ðàçäåëà âòîðè÷íî ïîëó÷èòñÿ áåñöâåòíîé. Ïðè èçìåðåíèÿõ ñëåäóåò ïðîèçâîäèòü íå ìåíåå ïÿòè îòñ÷åòîâ ñ äâóõ ñòîðîí øêàëû êîìïåíñàòîðà è íàõîäèòü ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå âñåõ ýòèõ îòñ÷åòîâ. Äëÿ èçìåðåííîãî çíà÷åíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ nD íàõîäÿò ïî òàáë. 1 âåëè÷èíû À è Â. Åñëè òàêîãî ïîêàçàòåëÿ â òàáëèöå íå îêàæåòñÿ, òî âåëè÷èíû À è  ïîëó÷àþò èíòåðïîëèðîâàíèåì, ïîëüçóÿñü òàáë. 3 ïðîïîðöèîíàëüíûõ ÷àñòåé. Äëÿ ïîëó÷åííîãî çíà÷åíèÿ Z íàõîäÿò ïî òàáë. 2 âåëè÷èíó s. Äëÿ äðîáíûõ çíà÷åíèé Z âåëè÷èíó s îïðåäåëÿþò òàêæå èíòåðïîëèðîâàíèåì ïðè ïîìîùè òîé æå òàáëèöû ïðîïîðöèîíàëüíûõ ÷àñòåé. Íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü, ÷òî äëÿ Z áîëüøå 30 âåëè÷èíà s ïðèíèìàåò îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Ïî íàéäåííûì âåëè÷èíàì À,  è s âû÷èñëÿþò çíà÷åíèå ñðåäíåé äèñïåðñèè: n F n C = A + B s. Ïðèìåð çàïèñè ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèÿ è íàõîæäåíèÿ ñðåäíåé äèñïåðñèè ïðèâåäåí íèæå. Ï ð è ì å ð . Îïðåäåëåíèå ñðåäíåé äèñïåðñèè
Îòñ÷åòû ïî øêàëå êîìïåíñàòîðà. Âîäà ïðè 20°Ñ, nD = 1,3330. Ïðè ïîìîùè òàáëèö ïîëó÷àåòñÿ: Ïî îäíîé ñòîðîíå
41,7
41,7
41,6
42,0
41,8
Ñð. 41,8
Ïî äðóãîé ñòîðîíå
42,1
42,2
42,0
41,9
41,9
Ñð. 42,0
Îáùåå ñðåäíåå: Z = 41,9
À = 0,02418, Â = 0,03120, s = 0,584, n F n C = A + Bs = 0,02418 0,01822 = 0,00596. 336
Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 4. Âîëíû. Îïòèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 3. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ. § 3.1. Ñâåòîâàÿ âîëíà. § 3.3. Îòðàæåíèå è ïðåëîìëåíèå ñâåòîâîé âîëíû íà ãðàíèöå äâóõ äèýëåêòðèêîâ.
êàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ âåùåñòâà â ïðåäåëàõ âèäèìîé ÷àñòè ñïåêòðà (nF è nC çíà÷åíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ äëÿ äëèí âîëí lF = 6563 Å è lC = 4861 Å, ñîîòâåòñòâóþùèõ êðàñíîé è ñèíåé ëèíèÿì âîäîðîäíîãî ñïåêòðà). Äëÿ èçìåðåíèÿ ñðåäíåé äèñïåðñèè æèäêèõ è òâåðäûõ âåùåñòâ èññëåäóåìûé îáúåêò óñòàíàâëèâàþò òàê æå, êàê è ïðè èçìåðåíèè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ. Íàõîäÿò ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ, êîòîðûé çäåñü áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ nD, òàê êàê ðåôðàêòîìåòð äàåò çíà÷åíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ äëÿ äëèíû âîëíû, ñîîòâåòñòâóþùåé æåëòîé ëèíèè íàòðèÿ D. Äèñïåðñèÿ îïðåäåëÿåòñÿ îòñ÷åòîì ïîëîæåíèÿ ïðèçìû êîìïåíñàòîðà ïî øêàëå (8) ïðè ïîëíîì óñòðàíåíèè îêðàñêè ãðàíèöû ðàçäåëà ïîëåé ñ ïîìîùüþ ìàõîâè÷êà (7) (ñì. ðèñ. 11) è õàðàêòåðèçóåòñÿ ÷èñëîì Z äåëåíèé øêàëû êîìïåíñàòîðà. Åñëè ïîñëå óñòðàíåíèÿ îêðàñêè âðàùàòü ìàõîâè÷îê (7) â òó æå ñòîðîíó äî ïðîòèâîïîëîæíîãî, íî ðàâíîãî (èëè ïî÷òè ðàâíîãî) çíà÷åíèÿ Z, òî ãðàíèöà ðàçäåëà âòîðè÷íî ïîëó÷èòñÿ áåñöâåòíîé. Ïðè èçìåðåíèÿõ ñëåäóåò ïðîèçâîäèòü íå ìåíåå ïÿòè îòñ÷åòîâ ñ äâóõ ñòîðîí øêàëû êîìïåíñàòîðà è íàõîäèòü ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå âñåõ ýòèõ îòñ÷åòîâ. Äëÿ èçìåðåííîãî çíà÷åíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ nD íàõîäÿò ïî òàáë. 1 âåëè÷èíû À è Â. Åñëè òàêîãî ïîêàçàòåëÿ â òàáëèöå íå îêàæåòñÿ, òî âåëè÷èíû À è  ïîëó÷àþò èíòåðïîëèðîâàíèåì, ïîëüçóÿñü òàáë. 3 ïðîïîðöèîíàëüíûõ ÷àñòåé. Äëÿ ïîëó÷åííîãî çíà÷åíèÿ Z íàõîäÿò ïî òàáë. 2 âåëè÷èíó s. Äëÿ äðîáíûõ çíà÷åíèé Z âåëè÷èíó s îïðåäåëÿþò òàêæå èíòåðïîëèðîâàíèåì ïðè ïîìîùè òîé æå òàáëèöû ïðîïîðöèîíàëüíûõ ÷àñòåé. Íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü, ÷òî äëÿ Z áîëüøå 30 âåëè÷èíà s ïðèíèìàåò îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Ïî íàéäåííûì âåëè÷èíàì À,  è s âû÷èñëÿþò çíà÷åíèå ñðåäíåé äèñïåðñèè: n F n C = A + B s. Ïðèìåð çàïèñè ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèÿ è íàõîæäåíèÿ ñðåäíåé äèñïåðñèè ïðèâåäåí íèæå. Ï ð è ì å ð . Îïðåäåëåíèå ñðåäíåé äèñïåðñèè
Îòñ÷åòû ïî øêàëå êîìïåíñàòîðà. Âîäà ïðè 20°Ñ, nD = 1,3330. Ïðè ïîìîùè òàáëèö ïîëó÷àåòñÿ: Ïî îäíîé ñòîðîíå
41,7
41,7
41,6
42,0
41,8
Ñð. 41,8
Ïî äðóãîé ñòîðîíå
42,1
42,2
42,0
41,9
41,9
Ñð. 42,0
Îáùåå ñðåäíåå: Z = 41,9
À = 0,02418, Â = 0,03120, s = 0,584, n F n C = A + Bs = 0,02418 0,01822 = 0,00596. 336
Ëèòåðàòóðà Ñ à â å ë ü å â È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå.  5 êí. Êí. 4. Âîëíû. Îïòèêà. 4-å èçä., ïåðåðàá. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1998. Ãëàâà 3. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ. § 3.1. Ñâåòîâàÿ âîëíà. § 3.3. Îòðàæåíèå è ïðåëîìëåíèå ñâåòîâîé âîëíû íà ãðàíèöå äâóõ äèýëåêòðèêîâ.
Òàáëèöà 1 nD 1,300 1,310 1,320 1,330 1,340 1,350 1,360 1,370 1,380 1,390 1,400 1,410 1,420 1,430 1,440 1,450 1,460 1,470 1,480 1,490 1,500 1,510 1,520 1,530 1,540 1,550 1,560 1,570 1,580 1,590 1,600 1,610 1,620 1,630 1,640 1,650 1,660 1,670 1,680 1,690 1,700
1 2 3 4 5 6 7 8 9
338
A 0,02437 0,02431 0,02425 0,02420 0,024150 0,02410 0,02405 0,02401 0,02396 0,02392 0,02388 0,02384 0,02380 0,02376 0,02373 0,02370 0,02367 0,02364 0,02362 0,02359 0,02357 0,02356 0,02354 0,02353 0,02352 0,02352 0,02352 0,02352 0,02353 0,02354 0,02356 0,02358 0,02361 0,02365 0,02370 0,02376 0,02383 0,02391 0,02400 0,02411 0,02425
1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
2 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
B 0,03168 0,03155 0,03141 0,03125 0,03108 0,03089 0,03069 0,03047 0,03023 0,02998 0,02971 0,02942 0,02912 0,02880 0,02846 0,02810 0,02773 0,02734 0,02693 0,02650 0,02605 0,02558 0,02509 0,02457 0,02403 0,02346 0,02287 0,02225 0,02160 0,02092 0,02021 0,01947 0,01869 0,01786 0,01698 0,01605 0,01506 0,01400 0,01286 0,01162 0,01025
D -6 -6 -5 -5 -5 -5 -4 -5 -4 -4 -4 -4 -4 -3 -3 -3 -3 -2 -3 -2 -1 -2 -1 -1 0 0 0 1 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 11 14
3 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7
4 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6
5 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
Òàáëèöà 2 Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
D -13 -14 -16 -17 -19 -20 -22 -24 -25 -27 -29 -30 -32 -34 -36 -37 -39 -41 -43 -45 -47 -49 -52 -54 -57 -59 -62 -65 -68 -71 -74 -78 -83 -88 -93 -99 -106 -114 -124 -137
s 1,000 0,999 0,995 0,988 0,978 0,966 0,951 0,934 0,914 0,891 0,866 0,839 0,809 0,777 0,743 0,707 0,669 0,629 0,588 0,545 0,500 0,454 0,407 0,358 0,309 0,259 0,208 0,156 0,104 0,052 0,000
D -1 -4 -7 -10 -12 -15 -17 -20 -23 -25 -27 -30 -32 -34 -36 -38 -40 -41 -43 -45 -46 -47 -49 -49 -50 -51 -52 -52 -52 -52
Z 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30
Òàáëèöà 3 6 0,6 1,2 1,8 2,4 3,0 3,6 4,2 4,8 5,4
7 0,7 1,4 2,1 2,8 3,5 4,2 4,9 5,6 6,3
8 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 4,8 5,6 6,4 7,2
9 0,9 1,8 2,7 3,6 4,5 5,4 6,3 7,2 8,1
10 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
11 1,1 2,2 3,3 4,4 5,5 6,6 7,7 8,8 9,9
12 1,2 2,4 3,6 4,8 6,0 7,2 8,4 9,6 10,8
Ïðîäîëæåíèå òàáë. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
13 1,3 2,6 3,9 5,2 6,5 7,8 9,1 10,4 11,7 29 2,9 5,8 8,7 11,6 14,5 17,4 20,3 23,2 26,1 46 4,6 9,2 13,8 18,4 23,0 27,6 32,2 36,8 41,4 71 7,1 14,2 21,3 28,4 35,5 42,6 49,7 56,8 63,9
14 1,4 2,8 4,2 5,6 7,0 8,4 9,8 11,2 12,6 30 3,0 6,0 9,0 12,0 15,0 18,0 21,0 24,0 27,0 47 4,7 9,4 14,1 18,8 23,5 28,2 32,9 37,6 42,3 74 7,4 14,8 22,2 29,6 37,0 44,4 51,8 59,2 66,6
15 1,5 3,0 4,5 6,0 7,5 9,0 10,5 12,0 13,5 32 3,2 6,4 9,6 12,8 16,0 19,2 22,4 25,6 28,8 49 4,9 9,8 14,7 19,6 24,5 29,4 34,3 39,2 44,1 78 7,8 15,6 23,4 31,2 39,0 46,8 54,6 62,4 70,2
16 1,6 3,2 4,8 6,4 8,0 9,6 11,2 12,8 14,4 34 3,4 6,8 10,2 13,6 17,0 20,4 23,8 27,2 30,6 50 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0 45,0 83 8,3 16,6 24,9 33,2 41,5 49,8 58,1 66,4 74,7
17 1,7 3,4 5,1 6,8 8,5 10,2 11,9 13,6 15,3 36 3,6 7,2 10,8 14,4 18,0 21,6 25,2 28,8 32,4 51 5,1 10,2 15,3 20,4 25,5 30,6 35,7 40,8 45,9 88 8,8 17,6 26,4 35,2 44,0 52,8 61,6 70,4 79,2
19 1,9 3,8 5,7 7,6 9,5 11,4 13,3 15,2 17,1 37 3,7 7,4 11,1 14,8 18,5 22,2 25,9 29,6 33,3 52 5,2 10,4 15,6 20,8 26,0 31,2 36,4 41,6 46,8 93 9,3 18,6 27,9 37,2 46,5 55,8 65,1 74,4 83,7
20 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 38 3,8 7,6 11,4 15,2 19,0 22,8 26,6 30,4 34,2 54 5,4 10,8 16,2 21,6 27,0 32,4 37,8 43,2 48,6 99 9,9 19,8 29,7 39,6 49,5 59,4 69,3 79,2 89,1
22 2,2 4,4 6,6 8,8 11,0 13,2 15,4 17,6 19,8 39 3,9 7,8 11,7 15,6 19,5 23,4 27,3 31,2 35,1 57 5,7 11,4 17,1 22,8 28,5 34,2 39,9 45,6 51,3 106 10,6 21,2 31,8 42,4 53,0 63,6 74,2 84,8 95,4
23 24 25 2,3 2,4 2,5 4,6 4,8 5,0 6,9 7,2 7,5 9,2 9,6 10,0 11,5 12,0 12,5 13,8 14,4 15,0 16,1 16,8 17,5 18,4 19,2 20,0 20,7 21,6 22,5 40 41 43 4,0 4,1 4,3 8,0 8,2 8,6 12,0 12,3 12,9 16,0 16,4 17,2 20,0 20,5 21,5 24,0 24,6 25,8 28,0 28,7 30,1 32,0 32,8 34,4 36,0 36,9 38,7 59 62 65 5,9 6,2 6,5 11,8 12,4 13,0 17,7 18,6 19,5 23,6 24,8 26,0 29,5 31,0 32,5 35,4 37,2 39,0 41,3 43,4 45,5 47,2 49,6 52,0 53,1 55,8 58,5 114 124 137 11,4 12,4 13,7 22,8 24,8 27,4 34,2 37,2 41,1 45,6 49,6 54,8 57,0 62,0 68,5 68,4 74,4 82,2 79,8 86,8 95,9 91,2 99,2 109,6 102,6 111,6 123,3
27 2,7 5,4 8,1 10,8 13,5 16,2 18,9 21,6 24,3 45 4,5 9,0 13,5 18,0 22,5 27,0 31,5 36,0 40,5 68 6,8 13,6 20,4 27,2 34,0 40,8 47,6 54,4 61,2
Òàáëèöà 1 nD 1,300 1,310 1,320 1,330 1,340 1,350 1,360 1,370 1,380 1,390 1,400 1,410 1,420 1,430 1,440 1,450 1,460 1,470 1,480 1,490 1,500 1,510 1,520 1,530 1,540 1,550 1,560 1,570 1,580 1,590 1,600 1,610 1,620 1,630 1,640 1,650 1,660 1,670 1,680 1,690 1,700
1 2 3 4 5 6 7 8 9
338
A 0,02437 0,02431 0,02425 0,02420 0,024150 0,02410 0,02405 0,02401 0,02396 0,02392 0,02388 0,02384 0,02380 0,02376 0,02373 0,02370 0,02367 0,02364 0,02362 0,02359 0,02357 0,02356 0,02354 0,02353 0,02352 0,02352 0,02352 0,02352 0,02353 0,02354 0,02356 0,02358 0,02361 0,02365 0,02370 0,02376 0,02383 0,02391 0,02400 0,02411 0,02425
1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
2 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
B 0,03168 0,03155 0,03141 0,03125 0,03108 0,03089 0,03069 0,03047 0,03023 0,02998 0,02971 0,02942 0,02912 0,02880 0,02846 0,02810 0,02773 0,02734 0,02693 0,02650 0,02605 0,02558 0,02509 0,02457 0,02403 0,02346 0,02287 0,02225 0,02160 0,02092 0,02021 0,01947 0,01869 0,01786 0,01698 0,01605 0,01506 0,01400 0,01286 0,01162 0,01025
D -6 -6 -5 -5 -5 -5 -4 -5 -4 -4 -4 -4 -4 -3 -3 -3 -3 -2 -3 -2 -1 -2 -1 -1 0 0 0 1 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 11 14
3 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7
4 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6
5 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
Òàáëèöà 2 Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
D -13 -14 -16 -17 -19 -20 -22 -24 -25 -27 -29 -30 -32 -34 -36 -37 -39 -41 -43 -45 -47 -49 -52 -54 -57 -59 -62 -65 -68 -71 -74 -78 -83 -88 -93 -99 -106 -114 -124 -137
s 1,000 0,999 0,995 0,988 0,978 0,966 0,951 0,934 0,914 0,891 0,866 0,839 0,809 0,777 0,743 0,707 0,669 0,629 0,588 0,545 0,500 0,454 0,407 0,358 0,309 0,259 0,208 0,156 0,104 0,052 0,000
D -1 -4 -7 -10 -12 -15 -17 -20 -23 -25 -27 -30 -32 -34 -36 -38 -40 -41 -43 -45 -46 -47 -49 -49 -50 -51 -52 -52 -52 -52
Z 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30
Òàáëèöà 3 6 0,6 1,2 1,8 2,4 3,0 3,6 4,2 4,8 5,4
7 0,7 1,4 2,1 2,8 3,5 4,2 4,9 5,6 6,3
8 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 4,8 5,6 6,4 7,2
9 0,9 1,8 2,7 3,6 4,5 5,4 6,3 7,2 8,1
10 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
11 1,1 2,2 3,3 4,4 5,5 6,6 7,7 8,8 9,9
12 1,2 2,4 3,6 4,8 6,0 7,2 8,4 9,6 10,8
Ïðîäîëæåíèå òàáë. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
13 1,3 2,6 3,9 5,2 6,5 7,8 9,1 10,4 11,7 29 2,9 5,8 8,7 11,6 14,5 17,4 20,3 23,2 26,1 46 4,6 9,2 13,8 18,4 23,0 27,6 32,2 36,8 41,4 71 7,1 14,2 21,3 28,4 35,5 42,6 49,7 56,8 63,9
14 1,4 2,8 4,2 5,6 7,0 8,4 9,8 11,2 12,6 30 3,0 6,0 9,0 12,0 15,0 18,0 21,0 24,0 27,0 47 4,7 9,4 14,1 18,8 23,5 28,2 32,9 37,6 42,3 74 7,4 14,8 22,2 29,6 37,0 44,4 51,8 59,2 66,6
15 1,5 3,0 4,5 6,0 7,5 9,0 10,5 12,0 13,5 32 3,2 6,4 9,6 12,8 16,0 19,2 22,4 25,6 28,8 49 4,9 9,8 14,7 19,6 24,5 29,4 34,3 39,2 44,1 78 7,8 15,6 23,4 31,2 39,0 46,8 54,6 62,4 70,2
16 1,6 3,2 4,8 6,4 8,0 9,6 11,2 12,8 14,4 34 3,4 6,8 10,2 13,6 17,0 20,4 23,8 27,2 30,6 50 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0 45,0 83 8,3 16,6 24,9 33,2 41,5 49,8 58,1 66,4 74,7
17 1,7 3,4 5,1 6,8 8,5 10,2 11,9 13,6 15,3 36 3,6 7,2 10,8 14,4 18,0 21,6 25,2 28,8 32,4 51 5,1 10,2 15,3 20,4 25,5 30,6 35,7 40,8 45,9 88 8,8 17,6 26,4 35,2 44,0 52,8 61,6 70,4 79,2
19 1,9 3,8 5,7 7,6 9,5 11,4 13,3 15,2 17,1 37 3,7 7,4 11,1 14,8 18,5 22,2 25,9 29,6 33,3 52 5,2 10,4 15,6 20,8 26,0 31,2 36,4 41,6 46,8 93 9,3 18,6 27,9 37,2 46,5 55,8 65,1 74,4 83,7
20 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 38 3,8 7,6 11,4 15,2 19,0 22,8 26,6 30,4 34,2 54 5,4 10,8 16,2 21,6 27,0 32,4 37,8 43,2 48,6 99 9,9 19,8 29,7 39,6 49,5 59,4 69,3 79,2 89,1
22 2,2 4,4 6,6 8,8 11,0 13,2 15,4 17,6 19,8 39 3,9 7,8 11,7 15,6 19,5 23,4 27,3 31,2 35,1 57 5,7 11,4 17,1 22,8 28,5 34,2 39,9 45,6 51,3 106 10,6 21,2 31,8 42,4 53,0 63,6 74,2 84,8 95,4
23 24 25 2,3 2,4 2,5 4,6 4,8 5,0 6,9 7,2 7,5 9,2 9,6 10,0 11,5 12,0 12,5 13,8 14,4 15,0 16,1 16,8 17,5 18,4 19,2 20,0 20,7 21,6 22,5 40 41 43 4,0 4,1 4,3 8,0 8,2 8,6 12,0 12,3 12,9 16,0 16,4 17,2 20,0 20,5 21,5 24,0 24,6 25,8 28,0 28,7 30,1 32,0 32,8 34,4 36,0 36,9 38,7 59 62 65 5,9 6,2 6,5 11,8 12,4 13,0 17,7 18,6 19,5 23,6 24,8 26,0 29,5 31,0 32,5 35,4 37,2 39,0 41,3 43,4 45,5 47,2 49,6 52,0 53,1 55,8 58,5 114 124 137 11,4 12,4 13,7 22,8 24,8 27,4 34,2 37,2 41,1 45,6 49,6 54,8 57,0 62,0 68,5 68,4 74,4 82,2 79,8 86,8 95,9 91,2 99,2 109,6 102,6 111,6 123,3
27 2,7 5,4 8,1 10,8 13,5 16,2 18,9 21,6 24,3 45 4,5 9,0 13,5 18,0 22,5 27,0 31,5 36,0 40,5 68 6,8 13,6 20,4 27,2 34,0 40,8 47,6 54,4 61,2
ÐÀÇÄÅË 2 ÈÍÒÅÐÔÅÐÅÍÖÈß ÑÂÅÒÀ Çàäà÷à ¹ 39 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËß ÏÐÅËÎÌËÅÍÈß ÑÒÅÊËßÍÍÎÉ ÏËÀÑÒÈÍÊÈ ÈÇ ÎÏÛÒΠÏÎ ÈÍÒÅÐÔÅÐÅÍÖÈÈ ÑÂÅÒÎÂÛÕ ÂÎËÍ
Öåëü çàäà÷è: èçó÷åíèå ÿâëåíèÿ èíòåðôåðåíöèè ïðè áîëüøîé ðàçíîñòè õîäà èíòåðôåðèðóþùèõ ëó÷åé; íàõîæäåíèå çàêîíîìåðíîñòè îáðàçîâàíèÿ òåìíûõ è ñâåòëûõ ïîëîñ â èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíå; âû÷èñëåíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè. Ïðèíöèï ðàáîòû ãåëèé-íåîíîâîãî ãàçîðàçðÿäíîãî ëàçåðà Èçëó÷åíèå â ãåëèé-íåîíîâîì ëàçåðå âîçíèêàåò â ãàçîðàçðÿäíîé òðóáêå, ïîìåùåííîé ìåæäó äâóìÿ çåðêàëàìè è íàïîëíåííîé ñìåñüþ íåîíà è ãåëèÿ.  òðóáêó âïàÿíû ýëåêòðîäû, ìåæäó êîòîðûìè ñîçäàåòñÿ âûñîêîâîëüòíîå íàïðÿæåíèå, íåîáõîäèìîå äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ ãàçîâîãî ðàçðÿäà. Íà ðèñ. 1 èçîáðàæåíà ñõåìà óðîâíåé ýíåðãèè àòîìîâ íåîíà Ne è ãåëèÿ He, ïåðåõîäû ìåæäó êîòîðûìè îáåñïå÷èâàþò êîãåðåíòíîå èçëó÷åíèå êðàñíîé ëèíèè â ñïåêòðå íåîíà ñ äëèíîé âîëíû l = 6328 Å (äðóãèå óðîâíè íå ïîêàçàíû). Ïðè ñòîëêíîâåíèÿõ â ãàçîâîì ðàçðÿäå ýëåêòðîíîâ ñ àòîìàìè íåîíà è ãåëèÿ âîçáóæäàþòñÿ óðîâíè Å2 íåîíà è E 2¢ ãåëèÿ. Íàïðÿæåíèå ãàçîâîãî ðàçðÿäà ïîäîáðàíî òàê, ÷òîáû äðóãèå óðîâíè
Ðèñ. 1
340
âîçáóæäàëèñü ïî âîçìîæíîñòè ìåíüøå. Ýíåðãèÿ âîçáóæäåíèÿ óðîâíÿ E 2¢ ãåëèÿ íåñêîëüêî âûøå ýíåðãèè âîçáóæäåíèÿ óðîâíÿ Å2 íåîíà. Óðîâåíü E 2¢ ãåëèÿ ìåòàñòàáèëüíûé åãî âðåìÿ æèçíè ìíîãî áîëüøå âðåìåíè ìåæäó ñòîëêíîâåíèÿìè àòîìîâ íåîíà è ãåëèÿ äðóã ñ äðóãîì. Ïðè òàêèõ ñòîëêíîâåíèÿõ àòîì ãåëèÿ îòäàåò ñâîþ ýíåðãèþ áåç èçëó÷åíèÿ àòîìó íåîíà, âûçûâàÿ ïåðåõîä ýëåêòðîíà â àòîìå íåîíà ñ óðîâíÿ E0 íà óðîâåíü E2.  ðåçóëüòàòå ñòîëêíîâåíèé âîçáóæäåíèå óðîâíÿ E2 íåîíà ïðîèñõîäèò íàñòîëüêî ÷àñòî, ÷òî ñîçäàåòñÿ èíâåðñèÿ â çàñåëåííîñòè óðîâíåé íåîíà E1 è E2 (íà ðèñ. 1 ãóñòîòà òî÷åê íà óðîâíÿõ îòðàæàåò îòíîñèòåëüíóþ çàñåëåííîñòü). Ïðè ïåðåõîäàõ ýëåêòðîíîâ â àòîìàõ íåîíà ñ óðîâíÿ E2 íà óðîâåíü E1 è ñîçäàåòñÿ êîãåðåíòíîå èíäóöèðîâàííîå èçëó÷åíèå.  óñòàíîâëåíèè èíâåðñíîé çàñåëåííîñòè óðîâíåé E1 è E2 çàìåòíóþ ðîëü èãðàþò ñòîëêíîâåíèÿ àòîìîâ íåîíà ñî ñòåíêàìè ãàçîðàçðÿäíîé òðóáêè. Òàêèå ñòîëêíîâåíèÿ óìåíüøàþò çàñåëåííîñòü óðîâíÿ E1, âûçûâàÿ ïåðåõîäû ñ ýòîãî óðîâíÿ íà îñíîâíîé óðîâåíü E0. ×òîáû ñòîëêíîâåíèÿ ñî ñòåíêàìè òðóáêè ïðîèñõîäèëè äîñòàòî÷íî ÷àñòî, äèàìåòð òðóáêè íå äîëæåí áûòü ñëèøêîì âåëèê. Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ ñòàáèëüíîãî èíäóöèðîâàííîãî èçëó÷åíèÿ íåîáõîäèìî, ÷òîáû èñïóùåííîå êàæäûì àòîìîì èçëó÷åíèå ìíîãîêðàòíî ïðîõîäèëî ÷åðåç ðàáî÷åå âåùåñòâî. Äëÿ ýòîãî ó òîðöîâ òðóáêè ïîìåùàþòñÿ äâà ñôåðè÷åñêèõ çåðêàëà, ïðîïóñêàþùèõ íàðóæó ëèøü 12% ïàäàþùåãî íà íèõ ñâåòà (ðèñ. 2). Çåðêàëà äîëæíû áûòü íàñòðîåíû â ðåçîíàíñ: â ðàññòîÿíèè ìåæäó íèìè äîëæíî óêëàäûâàòüñÿ öåëîå ÷èñëî ïîëóâîëí. Ëèøü â ýòîì ñëó÷àå îòðàæåííûå îò îáîèõ çåðêàë âîëíû áóäóò èìåòü îäèíàêîâóþ ôàçó ñ ïàäàþùèìè íà íèõ âîëíàìè, ò.å. áóäåò îáåñïå÷åíà êîãåðåíòíîñòü âñåãî èçëó÷åíèÿ. Èç òîðöîâ òðóáêè ñâåò âûõîäèò ÷åðåç òàê íàçûâàåìûå îêíà Áðþñòåðà, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ïëîñêîïàðàëëåëüíûå ñòåêëÿííûå ïëàñòèíêè, ðàñïîëîæåííûå òàê, ÷òî ñâåò, èäóùèé âäîëü
Ðèñ. 2
341
ÐÀÇÄÅË 2 ÈÍÒÅÐÔÅÐÅÍÖÈß ÑÂÅÒÀ Çàäà÷à ¹ 39 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËß ÏÐÅËÎÌËÅÍÈß ÑÒÅÊËßÍÍÎÉ ÏËÀÑÒÈÍÊÈ ÈÇ ÎÏÛÒΠÏÎ ÈÍÒÅÐÔÅÐÅÍÖÈÈ ÑÂÅÒÎÂÛÕ ÂÎËÍ
Öåëü çàäà÷è: èçó÷åíèå ÿâëåíèÿ èíòåðôåðåíöèè ïðè áîëüøîé ðàçíîñòè õîäà èíòåðôåðèðóþùèõ ëó÷åé; íàõîæäåíèå çàêîíîìåðíîñòè îáðàçîâàíèÿ òåìíûõ è ñâåòëûõ ïîëîñ â èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíå; âû÷èñëåíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè. Ïðèíöèï ðàáîòû ãåëèé-íåîíîâîãî ãàçîðàçðÿäíîãî ëàçåðà Èçëó÷åíèå â ãåëèé-íåîíîâîì ëàçåðå âîçíèêàåò â ãàçîðàçðÿäíîé òðóáêå, ïîìåùåííîé ìåæäó äâóìÿ çåðêàëàìè è íàïîëíåííîé ñìåñüþ íåîíà è ãåëèÿ.  òðóáêó âïàÿíû ýëåêòðîäû, ìåæäó êîòîðûìè ñîçäàåòñÿ âûñîêîâîëüòíîå íàïðÿæåíèå, íåîáõîäèìîå äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ ãàçîâîãî ðàçðÿäà. Íà ðèñ. 1 èçîáðàæåíà ñõåìà óðîâíåé ýíåðãèè àòîìîâ íåîíà Ne è ãåëèÿ He, ïåðåõîäû ìåæäó êîòîðûìè îáåñïå÷èâàþò êîãåðåíòíîå èçëó÷åíèå êðàñíîé ëèíèè â ñïåêòðå íåîíà ñ äëèíîé âîëíû l = 6328 Å (äðóãèå óðîâíè íå ïîêàçàíû). Ïðè ñòîëêíîâåíèÿõ â ãàçîâîì ðàçðÿäå ýëåêòðîíîâ ñ àòîìàìè íåîíà è ãåëèÿ âîçáóæäàþòñÿ óðîâíè Å2 íåîíà è E 2¢ ãåëèÿ. Íàïðÿæåíèå ãàçîâîãî ðàçðÿäà ïîäîáðàíî òàê, ÷òîáû äðóãèå óðîâíè
Ðèñ. 1
340
âîçáóæäàëèñü ïî âîçìîæíîñòè ìåíüøå. Ýíåðãèÿ âîçáóæäåíèÿ óðîâíÿ E 2¢ ãåëèÿ íåñêîëüêî âûøå ýíåðãèè âîçáóæäåíèÿ óðîâíÿ Å2 íåîíà. Óðîâåíü E 2¢ ãåëèÿ ìåòàñòàáèëüíûé åãî âðåìÿ æèçíè ìíîãî áîëüøå âðåìåíè ìåæäó ñòîëêíîâåíèÿìè àòîìîâ íåîíà è ãåëèÿ äðóã ñ äðóãîì. Ïðè òàêèõ ñòîëêíîâåíèÿõ àòîì ãåëèÿ îòäàåò ñâîþ ýíåðãèþ áåç èçëó÷åíèÿ àòîìó íåîíà, âûçûâàÿ ïåðåõîä ýëåêòðîíà â àòîìå íåîíà ñ óðîâíÿ E0 íà óðîâåíü E2.  ðåçóëüòàòå ñòîëêíîâåíèé âîçáóæäåíèå óðîâíÿ E2 íåîíà ïðîèñõîäèò íàñòîëüêî ÷àñòî, ÷òî ñîçäàåòñÿ èíâåðñèÿ â çàñåëåííîñòè óðîâíåé íåîíà E1 è E2 (íà ðèñ. 1 ãóñòîòà òî÷åê íà óðîâíÿõ îòðàæàåò îòíîñèòåëüíóþ çàñåëåííîñòü). Ïðè ïåðåõîäàõ ýëåêòðîíîâ â àòîìàõ íåîíà ñ óðîâíÿ E2 íà óðîâåíü E1 è ñîçäàåòñÿ êîãåðåíòíîå èíäóöèðîâàííîå èçëó÷åíèå.  óñòàíîâëåíèè èíâåðñíîé çàñåëåííîñòè óðîâíåé E1 è E2 çàìåòíóþ ðîëü èãðàþò ñòîëêíîâåíèÿ àòîìîâ íåîíà ñî ñòåíêàìè ãàçîðàçðÿäíîé òðóáêè. Òàêèå ñòîëêíîâåíèÿ óìåíüøàþò çàñåëåííîñòü óðîâíÿ E1, âûçûâàÿ ïåðåõîäû ñ ýòîãî óðîâíÿ íà îñíîâíîé óðîâåíü E0. ×òîáû ñòîëêíîâåíèÿ ñî ñòåíêàìè òðóáêè ïðîèñõîäèëè äîñòàòî÷íî ÷àñòî, äèàìåòð òðóáêè íå äîëæåí áûòü ñëèøêîì âåëèê. Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ ñòàáèëüíîãî èíäóöèðîâàííîãî èçëó÷åíèÿ íåîáõîäèìî, ÷òîáû èñïóùåííîå êàæäûì àòîìîì èçëó÷åíèå ìíîãîêðàòíî ïðîõîäèëî ÷åðåç ðàáî÷åå âåùåñòâî. Äëÿ ýòîãî ó òîðöîâ òðóáêè ïîìåùàþòñÿ äâà ñôåðè÷åñêèõ çåðêàëà, ïðîïóñêàþùèõ íàðóæó ëèøü 12% ïàäàþùåãî íà íèõ ñâåòà (ðèñ. 2). Çåðêàëà äîëæíû áûòü íàñòðîåíû â ðåçîíàíñ: â ðàññòîÿíèè ìåæäó íèìè äîëæíî óêëàäûâàòüñÿ öåëîå ÷èñëî ïîëóâîëí. Ëèøü â ýòîì ñëó÷àå îòðàæåííûå îò îáîèõ çåðêàë âîëíû áóäóò èìåòü îäèíàêîâóþ ôàçó ñ ïàäàþùèìè íà íèõ âîëíàìè, ò.å. áóäåò îáåñïå÷åíà êîãåðåíòíîñòü âñåãî èçëó÷åíèÿ. Èç òîðöîâ òðóáêè ñâåò âûõîäèò ÷åðåç òàê íàçûâàåìûå îêíà Áðþñòåðà, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ïëîñêîïàðàëëåëüíûå ñòåêëÿííûå ïëàñòèíêè, ðàñïîëîæåííûå òàê, ÷òî ñâåò, èäóùèé âäîëü
Ðèñ. 2
341
òðóáêè, ïàäàåò íà íèõ ïîä óãëîì Áðþñòåðà. Ðîëü ýòèõ îêîí ñëåäóþùàÿ. Èíòåíñèâíîñòü ñâåòà ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó ïðè ïåðïåíäèêóëÿðíîì ïàäåíèè óìåíüøàåòñÿ ïðèìåðíî íà 8% âñëåäñòâèå îòðàæåíèÿ ñâåòà íà êàæäîé èç åå ïîâåðõíîñòåé. Ïîýòîìó åñëè áû îêíà íà òîðöàõ òðóáêè áûëè áû åé ïåðïåíäèêóëÿðíû, òî ïîñëå ïÿòèäåñÿòèêðàòíîãî ïðîõîæäåíèÿ ìåæäó çåðêàëàìè îò ïåðâîíà÷àëüíîé èíòåíñèâíîñòè îñòàëîñü áû ìåíåå 0,3%, ÷òî íåäîñòàòî÷íî äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ ñòàáèëüíîãî èíäóöèðîâàííîãî èçëó÷åíèÿ.  òî æå âðåìÿ, åñëè ñâåò ïàäàåò íà ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó ïîä óãëîì Áðþñòåðà, òî âîëíà, ïîëÿðèçîâàííàÿ òàê, ÷òî âåêòîð íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ýòîé âîëíû ëåæèò â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ, âîîáùå íå îòðàæàåòñÿ, ò.å. âîëíà òàêîé ïîëÿðèçàöèè ïðîõîäèò ÷åðåç ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó áåç ïîòåðü. Ñëåäîâàòåëüíî, áëàãîäàðÿ îêíàì Áðþñòåðà âîçìîæíî âîçíèêíîâåíèå ñòàáèëüíîãî èíäóöèðîâàííîãî èçëó÷åíèÿ, ïîëÿðèçîâàííîãî â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ ê îêíàì. Èçëó÷åíèÿ æå ñ äðóãîé ïîëÿðèçàöèåé âñëåäñòâèå áîëüøèõ ïîòåðü ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç îêíà âîçíèêíóòü íå ìîæåò. Åñëè ñîáëþäåíû óïîìÿíóòûå âûøå óñëîâèÿ (ðàçìåðû òðóáêè, ñîñòàâ ãàçà è åãî äàâëåíèå, àíîäíîå íàïðÿæåíèå, êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ çåðêàë è èõ þñòèðîâêà, íàëè÷èå îêîí Áðþñòåðà), òî â ãàçîðàçðÿäíîé òðóáêå óñòàíàâëèâàåòñÿ ðàâíîâåñèå ìåæäó ÷èñëîì àòîìîâ íåîíà, â êîòîðûõ ýëåêòðîíû ðàçíûìè ïóòÿìè ïîïàäàþò íà óðîâåíü E2, è ÷èñëîì àòîìîâ, â êîòîðûõ ïðîèñõîäÿò ïåðåõîäû ýëåêòðîíîâ ñ óðîâíÿ E2 íà óðîâåíü E1 ñ èñïóñêàíèåì èíäóöèðîâàííîãî èçëó÷åíèÿ.  ðåçóëüòàòå èç ëàçåðà âûõîäèò ìîùíûé ñâåòîâîé ïó÷îê, îáëàäàþùèé ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1) âûñîêîé íàïðàâëåííîñòüþ. Óãîë ðàñõîäèìîñòè ëàçåðíîãî ëó÷à ñîñòàâëÿåò íåñêîëüêî óãëîâûõ ìèíóò, à èíîãäà äàæå óãëîâûõ ñåêóíä; 2) èñêëþ÷èòåëüíî âûñîêîé ìîíîõðîìàòè÷íîñòüþ. Òåîðåòè÷åñêèé ïðåäåë øèðèíû ëèíèè èçó÷åíèÿ ëàçåðà, îïðåäåëÿåìûé áðîóíîâñêèì äâèæåíèåì çåðêàë ðåçîíàòîðà è ñïîíòàííûì èçëó÷åíèåì àòîìîâ ñðåäû, ñîñòàâëÿåò ìàëóþ âåëè÷èíó ÷òî ïðè n » 1015 Ãö îáóñëîâëèâàåò Dn » 102 101 Ãö, Dn/n=1013 1016. Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè áëàãîäàðÿ ðàçâèòèþ ëàçåðíîé òåõíèêè ýòîò ïðåäåë ïðàêòè÷åñêè ðåàëèçîâàí; 3) âûñîêîé êîãåðåíòíîñòüþ. Ïîä òåðìèíîì «êîãåðåíòíîñòü» ïîíèìàåòñÿ êîððåëÿöèÿ êàêèõ-ëèáî õàðàêòåðèñòèê ýëåêòðîìàãíèòíîãî èç342
Ðèñ. 3
ëó÷åíèÿ, íàïðèìåð ôàç.  âûñîêîé êîãåðåíòíîñòè ëàçåðíîãî ëó÷à ìîæíî óáåäèòüñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåðôåðåíöèîííîãî îïûòà Þíãà. Ïåðå÷èñëåííûå âûøå ñâîéñòâà ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ ïîçâîëÿþò íàáëþäàòü ÿâëåíèå èíòåðôåðåíöèè ïðè îòðàæåíèè îò òîëñòûõ ñòåêëÿííûõ ïëàñòèíîê, êîãäà âîçíèêàåò áîëüøàÿ ðàçíîñòü õîäà ìåæäó èíòåðôåðèðóþùèìè ëó÷àìè. Îïèñàíèå óñòàíîâêè Ñõåìà îïòè÷åñêîé óñòàíîâêè äëÿ èçó÷åíèÿ ÿâëåíèÿ èíòåðôåðåíöèè ïðèâåäåíà íà ðèñ. 3. Îíà âêëþ÷àåò: ëàçåð (1), áëîê ïèòàíèÿ ëàçåðà (2), ýêðàí (3) ñ ëèíçîé (4), ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó (5), îïòè÷åñêóþ ñêàìüþ (6) è ðåéòåðû (7). Âñå ïðèáîðû è ïðèñïîñîáëåíèÿ óñòàíîâêè (çà èñêëþ÷åíèåì áëîêà ïèòàíèÿ ëàçåðà ËÃ-72) ðàñïîëàãàþòñÿ íà îïòè÷åñêîé ñêàìüå íà ðåéòåðàõ, ÷òî ïîçâîëÿåò ëåãêî ìåíÿòü èõ âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå. Êàæäûé ðåéòåð ñíàáæåí ìåòêîé. Ìåòêè ðåéòåðîâ è íàíåñåííàÿ âäîëü îïòè÷åñêîé ñêàìüè øêàëà ïîçâîëÿþò èçìåðÿòü ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ýëåìåíòàìè óñòàíîâêè íà îïòè÷åñêîé ñêàìüå. Óñòàíîâêà ñîñòîèò èç òðåõ îñíîâíûõ óçëîâ: · ëàçåðà (1), êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì èñòî÷íèêîì êîãåðåíòíîãî èçëó÷åíèÿ; · òîëñòîé òùàòåëüíî îòïîëèðîâàííîé ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè ñ äåðæàòåëåì (5). Êà÷åñòâî ïîëèðîâêè åå ðàáî÷èõ ïîâåðõíîñòåé ñîñòàâëÿåò ïðèìåðíî 0,1l, ò.å. ~630 Å. Êëèíîîáðàçíîñòü ïëàñòèíêè (íåïàðàëëåëüíîñòü åå ðàáî÷èõ ïîâåðõíîñòåé) íå ïðåâûøàåò 5¢¢. Î ñòåïåíè ïîëèðîâêè ìîæíî ñóäèòü íà îñíîâàíèè ñëåäóþùåãî. Åñëè ýòó ïëàñòèíêó ïîäåðæàòü íåêîòîðîå âðåìÿ â ðóêàõ, òî âîçíèêà343
òðóáêè, ïàäàåò íà íèõ ïîä óãëîì Áðþñòåðà. Ðîëü ýòèõ îêîí ñëåäóþùàÿ. Èíòåíñèâíîñòü ñâåòà ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó ïðè ïåðïåíäèêóëÿðíîì ïàäåíèè óìåíüøàåòñÿ ïðèìåðíî íà 8% âñëåäñòâèå îòðàæåíèÿ ñâåòà íà êàæäîé èç åå ïîâåðõíîñòåé. Ïîýòîìó åñëè áû îêíà íà òîðöàõ òðóáêè áûëè áû åé ïåðïåíäèêóëÿðíû, òî ïîñëå ïÿòèäåñÿòèêðàòíîãî ïðîõîæäåíèÿ ìåæäó çåðêàëàìè îò ïåðâîíà÷àëüíîé èíòåíñèâíîñòè îñòàëîñü áû ìåíåå 0,3%, ÷òî íåäîñòàòî÷íî äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ ñòàáèëüíîãî èíäóöèðîâàííîãî èçëó÷åíèÿ.  òî æå âðåìÿ, åñëè ñâåò ïàäàåò íà ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó ïîä óãëîì Áðþñòåðà, òî âîëíà, ïîëÿðèçîâàííàÿ òàê, ÷òî âåêòîð íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ýòîé âîëíû ëåæèò â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ, âîîáùå íå îòðàæàåòñÿ, ò.å. âîëíà òàêîé ïîëÿðèçàöèè ïðîõîäèò ÷åðåç ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó áåç ïîòåðü. Ñëåäîâàòåëüíî, áëàãîäàðÿ îêíàì Áðþñòåðà âîçìîæíî âîçíèêíîâåíèå ñòàáèëüíîãî èíäóöèðîâàííîãî èçëó÷åíèÿ, ïîëÿðèçîâàííîãî â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ ê îêíàì. Èçëó÷åíèÿ æå ñ äðóãîé ïîëÿðèçàöèåé âñëåäñòâèå áîëüøèõ ïîòåðü ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç îêíà âîçíèêíóòü íå ìîæåò. Åñëè ñîáëþäåíû óïîìÿíóòûå âûøå óñëîâèÿ (ðàçìåðû òðóáêè, ñîñòàâ ãàçà è åãî äàâëåíèå, àíîäíîå íàïðÿæåíèå, êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ çåðêàë è èõ þñòèðîâêà, íàëè÷èå îêîí Áðþñòåðà), òî â ãàçîðàçðÿäíîé òðóáêå óñòàíàâëèâàåòñÿ ðàâíîâåñèå ìåæäó ÷èñëîì àòîìîâ íåîíà, â êîòîðûõ ýëåêòðîíû ðàçíûìè ïóòÿìè ïîïàäàþò íà óðîâåíü E2, è ÷èñëîì àòîìîâ, â êîòîðûõ ïðîèñõîäÿò ïåðåõîäû ýëåêòðîíîâ ñ óðîâíÿ E2 íà óðîâåíü E1 ñ èñïóñêàíèåì èíäóöèðîâàííîãî èçëó÷åíèÿ.  ðåçóëüòàòå èç ëàçåðà âûõîäèò ìîùíûé ñâåòîâîé ïó÷îê, îáëàäàþùèé ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1) âûñîêîé íàïðàâëåííîñòüþ. Óãîë ðàñõîäèìîñòè ëàçåðíîãî ëó÷à ñîñòàâëÿåò íåñêîëüêî óãëîâûõ ìèíóò, à èíîãäà äàæå óãëîâûõ ñåêóíä; 2) èñêëþ÷èòåëüíî âûñîêîé ìîíîõðîìàòè÷íîñòüþ. Òåîðåòè÷åñêèé ïðåäåë øèðèíû ëèíèè èçó÷åíèÿ ëàçåðà, îïðåäåëÿåìûé áðîóíîâñêèì äâèæåíèåì çåðêàë ðåçîíàòîðà è ñïîíòàííûì èçëó÷åíèåì àòîìîâ ñðåäû, ñîñòàâëÿåò ìàëóþ âåëè÷èíó ÷òî ïðè n » 1015 Ãö îáóñëîâëèâàåò Dn » 102 101 Ãö, Dn/n=1013 1016. Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè áëàãîäàðÿ ðàçâèòèþ ëàçåðíîé òåõíèêè ýòîò ïðåäåë ïðàêòè÷åñêè ðåàëèçîâàí; 3) âûñîêîé êîãåðåíòíîñòüþ. Ïîä òåðìèíîì «êîãåðåíòíîñòü» ïîíèìàåòñÿ êîððåëÿöèÿ êàêèõ-ëèáî õàðàêòåðèñòèê ýëåêòðîìàãíèòíîãî èç342
Ðèñ. 3
ëó÷åíèÿ, íàïðèìåð ôàç.  âûñîêîé êîãåðåíòíîñòè ëàçåðíîãî ëó÷à ìîæíî óáåäèòüñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåðôåðåíöèîííîãî îïûòà Þíãà. Ïåðå÷èñëåííûå âûøå ñâîéñòâà ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ ïîçâîëÿþò íàáëþäàòü ÿâëåíèå èíòåðôåðåíöèè ïðè îòðàæåíèè îò òîëñòûõ ñòåêëÿííûõ ïëàñòèíîê, êîãäà âîçíèêàåò áîëüøàÿ ðàçíîñòü õîäà ìåæäó èíòåðôåðèðóþùèìè ëó÷àìè. Îïèñàíèå óñòàíîâêè Ñõåìà îïòè÷åñêîé óñòàíîâêè äëÿ èçó÷åíèÿ ÿâëåíèÿ èíòåðôåðåíöèè ïðèâåäåíà íà ðèñ. 3. Îíà âêëþ÷àåò: ëàçåð (1), áëîê ïèòàíèÿ ëàçåðà (2), ýêðàí (3) ñ ëèíçîé (4), ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó (5), îïòè÷åñêóþ ñêàìüþ (6) è ðåéòåðû (7). Âñå ïðèáîðû è ïðèñïîñîáëåíèÿ óñòàíîâêè (çà èñêëþ÷åíèåì áëîêà ïèòàíèÿ ëàçåðà ËÃ-72) ðàñïîëàãàþòñÿ íà îïòè÷åñêîé ñêàìüå íà ðåéòåðàõ, ÷òî ïîçâîëÿåò ëåãêî ìåíÿòü èõ âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå. Êàæäûé ðåéòåð ñíàáæåí ìåòêîé. Ìåòêè ðåéòåðîâ è íàíåñåííàÿ âäîëü îïòè÷åñêîé ñêàìüè øêàëà ïîçâîëÿþò èçìåðÿòü ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ýëåìåíòàìè óñòàíîâêè íà îïòè÷åñêîé ñêàìüå. Óñòàíîâêà ñîñòîèò èç òðåõ îñíîâíûõ óçëîâ: · ëàçåðà (1), êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì èñòî÷íèêîì êîãåðåíòíîãî èçëó÷åíèÿ; · òîëñòîé òùàòåëüíî îòïîëèðîâàííîé ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè ñ äåðæàòåëåì (5). Êà÷åñòâî ïîëèðîâêè åå ðàáî÷èõ ïîâåðõíîñòåé ñîñòàâëÿåò ïðèìåðíî 0,1l, ò.å. ~630 Å. Êëèíîîáðàçíîñòü ïëàñòèíêè (íåïàðàëëåëüíîñòü åå ðàáî÷èõ ïîâåðõíîñòåé) íå ïðåâûøàåò 5¢¢. Î ñòåïåíè ïîëèðîâêè ìîæíî ñóäèòü íà îñíîâàíèè ñëåäóþùåãî. Åñëè ýòó ïëàñòèíêó ïîäåðæàòü íåêîòîðîå âðåìÿ â ðóêàõ, òî âîçíèêà343
þùèé îò ðóê íåðàâíîìåðíûé ïðîãðåâ ïëàñòèíêè ïðèâåäåò ê çàìåòíîìó èñêàæåíèþ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû. Çàãðÿçíåíèÿ, îñòàâëÿåìûå íà ïîâåðõíîñòè ïîñëå êàñàíèÿ åå ïàëüöàìè ðóê, òàêæå ñèëüíî ñíèæàþò êà÷åñòâî èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû. ÂÍÈÌÀÍÈÅ! Ïðè âûïîëíåíèè ðàáîòû êàñàòüñÿ ðóêàìè òîëüêî äåðæàòåëÿ ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè è åãî ðåãóëèðîâî÷íûõ âèíòîâ; · ýêðàíà (3) ñ öåíòðàëüíûì îòâåðñòèåì, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ îïðàâêà ñ êîðîòêîôîêóñíîé ñîáèðàþùåé ëèíçîé (4). Çàäíÿÿ ôîêàëüíàÿ ïëîñêîñòü ëèíçû ñîâïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ ýêðàíà. Ëèíçà (4) ñëóæèò äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïàðàëëåëüíîãî ïó÷êà ñâåòà èçëó÷àòåëÿ (1) â ðàñõîäÿùèéñÿ ïó÷îê. Âûñîêàÿ ìîíîõðîìàòè÷íîñòü è ìàëàÿ ðàñõîäèìîñòü ëàçåðíîãî ïó÷êà ïîçâîëÿþò ñôîêóñèðîâàòü ëó÷ ëàçåðà íà ïëîùàäêó ÷ðåçâû÷àéíî ìàëîé âåëè÷èíû è â äàëüíåéøåì ðàññìàòðèâàòü åå êàê òî÷å÷íûé èñòî÷íèê èçëó÷åíèÿ. Ýêðàí ñëóæèò äëÿ íàáëþäåíèÿ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû, îáðàçóþùåéñÿ â ðåçóëüòàòå íàëîæåíèÿ ñâåòîâûõ âîëí, îòðàçèâøèõñÿ îò ïåðåäíåé è çàäíåé ïîâåðõíîñòåé òîëñòîé ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè (5).  ñèëó ñèììåòðèè ïàäàþùåãî íà ïëàñòèíêó ñâåòîâîãî ïó÷êà èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà èìååò âèä ÷åðåäóþùèõñÿ ñâåòëûõ è òåìíûõ êîëåö. Äëÿ èçìåðåíèÿ äèàìåòðîâ èíòåðôåðåíöèîííûõ êîëåö â öåíòðå ýêðàíà íàõîäÿòñÿ äâå ëèíåéíûå øêàëû, ðàñïîëîæåííûå ïîä ïðÿìûì óãëîì äðóã ê äðóãó. Êàæäûé óçåë óñòàíîâêè èìååò ñëåäóþùèå ðåãóëèðîâêè. Ëàçåð (1): · ãàéêó (8) äëÿ ïåðåìåùåíèÿ ââåðõâíèç; · âèíò (9) äëÿ ïîâîðîòà â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè; · âèíò (10) äëÿ ïîâîðîòà â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Ýêðàí (3) ñ ëèíçîé: · ñòîïîðíûé âèíò (11); · ñòîïîðíîå êîëüöî (12). Ïðè îñâîáîæäåíèè âèíòîâ (11) è (12) ñìåùåíèå ýêðàíà ââåðõâíèç è ïîâîðîò âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè îñóùåñòâëÿåòñÿ âðó÷íóþ. Ñòîïîðíîå êîëüöî (12) ñ âèíòîì ñëóæèò äëÿ ôèêñàöèè ýêðàíà íà âûáðàííîé âûñîòå. Ïðè îñâîáîæäåíèè âèíòà (12) â öåëÿõ çàùèòû îò ïàäåíèÿ ýêðàí íàäî óäåðæèâàòü ðóêîé. Äåðæàòåëü ñî ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêîé (5): · âèíò (15) äëÿ èçìåíåíèÿ íàêëîíà ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè; · ñòîïîðíûé âèíò (13); · ñòîïîðíîå êîëüöî ñ âèíòîì (14). 344
Ïðè îñâîáîæäåíèè âèíòîâ (13) è (14) ñìåùåíèå ââåðõâíèç è ïîâîðîò âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè îñóùåñòâëÿþòñÿ âðó÷íóþ. Ñòîïîðíîå êîëüöî ñ âèíòîì (14) ñëóæèò äëÿ ôèêñàöèè ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè íà âûáðàííîé âûñîòå. Ïðè îñâîáîæäåíèè âèíòà (14) â öåëÿõ çàùèòû îò ïàäåíèÿ äåðæàòåëü ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè íåîáõîäèìî óäåðæèâàòü ðóêîé. Ïàäåíèå äåðæàòåëÿ ìîæåò ïðèâåñòè ê îáðàçîâàíèþ òðåùèí è ñêîëîâ íà ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêå. Âî âðåìÿ ðàáîòû è þñòèðîâêè íåëüçÿ âûíèìàòü äåðæàòåëü èç ðåéòåðà. Èñòî÷íèê ïèòàíèÿ ëàçåðà íàõîäèòñÿ íà íèæíåé ïîëêå ñòîëà. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Êîíå÷íîé öåëüþ äàííîãî ïóíêòà îïèñàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëó÷åíèå ôîðìóëû, ñâÿçûâàþùåé êâàäðàò äèàìåòðà èíòåðôåðåíöèîííîãî êîëüöà DN ñ åãî ïîðÿäêîâûì íîìåðîì N, îòñ÷èòûâàåìûì îò öåíòðà èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû. Õîä ëó÷åé â óñòàíîâêå èçîáðàæåí íà ðèñ. 4. Âûäåëèì èç ïàðàëëåëüíîãî ïó÷êà ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ äâà ëó÷à 1 è 2. Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç ñîáèðàþùóþ ëèíçó Ë ýòè ëó÷è ïàäàþò íà ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó â òî÷êàõ Å è D. Äàëüíåéøèé õîä ýòèõ ëó÷åé ïîñòðîåí ñ ñîáëþäåíèåì çàêîíà îòðàæåíèÿ â òî÷êå Å äëÿ ëó÷à 1 (óãîë ïàäåíèÿ ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ) è çàêîíà ïðåëîìëåíèÿ â òî÷êå D äëÿ ëó÷à 2. Ïîñëå îòðàæåíèÿ â òî÷êå Ñ îò çàäíåé ïîâåðõíîñòè ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè è ïðåëîìëåíèÿ â òî÷êå  ëó÷ 2 âñòðå÷àåòñÿ ñ ëó÷îì 1 â òî÷êå Ì ýêðàíà.  ñèëó ñâîéñòâ ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ ëó÷è 1 è 2 êîãåðåíòíû, õîòÿ
Ðèñ. 4
345
þùèé îò ðóê íåðàâíîìåðíûé ïðîãðåâ ïëàñòèíêè ïðèâåäåò ê çàìåòíîìó èñêàæåíèþ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû. Çàãðÿçíåíèÿ, îñòàâëÿåìûå íà ïîâåðõíîñòè ïîñëå êàñàíèÿ åå ïàëüöàìè ðóê, òàêæå ñèëüíî ñíèæàþò êà÷åñòâî èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû. ÂÍÈÌÀÍÈÅ! Ïðè âûïîëíåíèè ðàáîòû êàñàòüñÿ ðóêàìè òîëüêî äåðæàòåëÿ ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè è åãî ðåãóëèðîâî÷íûõ âèíòîâ; · ýêðàíà (3) ñ öåíòðàëüíûì îòâåðñòèåì, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ îïðàâêà ñ êîðîòêîôîêóñíîé ñîáèðàþùåé ëèíçîé (4). Çàäíÿÿ ôîêàëüíàÿ ïëîñêîñòü ëèíçû ñîâïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ ýêðàíà. Ëèíçà (4) ñëóæèò äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïàðàëëåëüíîãî ïó÷êà ñâåòà èçëó÷àòåëÿ (1) â ðàñõîäÿùèéñÿ ïó÷îê. Âûñîêàÿ ìîíîõðîìàòè÷íîñòü è ìàëàÿ ðàñõîäèìîñòü ëàçåðíîãî ïó÷êà ïîçâîëÿþò ñôîêóñèðîâàòü ëó÷ ëàçåðà íà ïëîùàäêó ÷ðåçâû÷àéíî ìàëîé âåëè÷èíû è â äàëüíåéøåì ðàññìàòðèâàòü åå êàê òî÷å÷íûé èñòî÷íèê èçëó÷åíèÿ. Ýêðàí ñëóæèò äëÿ íàáëþäåíèÿ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû, îáðàçóþùåéñÿ â ðåçóëüòàòå íàëîæåíèÿ ñâåòîâûõ âîëí, îòðàçèâøèõñÿ îò ïåðåäíåé è çàäíåé ïîâåðõíîñòåé òîëñòîé ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè (5).  ñèëó ñèììåòðèè ïàäàþùåãî íà ïëàñòèíêó ñâåòîâîãî ïó÷êà èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà èìååò âèä ÷åðåäóþùèõñÿ ñâåòëûõ è òåìíûõ êîëåö. Äëÿ èçìåðåíèÿ äèàìåòðîâ èíòåðôåðåíöèîííûõ êîëåö â öåíòðå ýêðàíà íàõîäÿòñÿ äâå ëèíåéíûå øêàëû, ðàñïîëîæåííûå ïîä ïðÿìûì óãëîì äðóã ê äðóãó. Êàæäûé óçåë óñòàíîâêè èìååò ñëåäóþùèå ðåãóëèðîâêè. Ëàçåð (1): · ãàéêó (8) äëÿ ïåðåìåùåíèÿ ââåðõâíèç; · âèíò (9) äëÿ ïîâîðîòà â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè; · âèíò (10) äëÿ ïîâîðîòà â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Ýêðàí (3) ñ ëèíçîé: · ñòîïîðíûé âèíò (11); · ñòîïîðíîå êîëüöî (12). Ïðè îñâîáîæäåíèè âèíòîâ (11) è (12) ñìåùåíèå ýêðàíà ââåðõâíèç è ïîâîðîò âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè îñóùåñòâëÿåòñÿ âðó÷íóþ. Ñòîïîðíîå êîëüöî (12) ñ âèíòîì ñëóæèò äëÿ ôèêñàöèè ýêðàíà íà âûáðàííîé âûñîòå. Ïðè îñâîáîæäåíèè âèíòà (12) â öåëÿõ çàùèòû îò ïàäåíèÿ ýêðàí íàäî óäåðæèâàòü ðóêîé. Äåðæàòåëü ñî ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêîé (5): · âèíò (15) äëÿ èçìåíåíèÿ íàêëîíà ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè; · ñòîïîðíûé âèíò (13); · ñòîïîðíîå êîëüöî ñ âèíòîì (14). 344
Ïðè îñâîáîæäåíèè âèíòîâ (13) è (14) ñìåùåíèå ââåðõâíèç è ïîâîðîò âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè îñóùåñòâëÿþòñÿ âðó÷íóþ. Ñòîïîðíîå êîëüöî ñ âèíòîì (14) ñëóæèò äëÿ ôèêñàöèè ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè íà âûáðàííîé âûñîòå. Ïðè îñâîáîæäåíèè âèíòà (14) â öåëÿõ çàùèòû îò ïàäåíèÿ äåðæàòåëü ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè íåîáõîäèìî óäåðæèâàòü ðóêîé. Ïàäåíèå äåðæàòåëÿ ìîæåò ïðèâåñòè ê îáðàçîâàíèþ òðåùèí è ñêîëîâ íà ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêå. Âî âðåìÿ ðàáîòû è þñòèðîâêè íåëüçÿ âûíèìàòü äåðæàòåëü èç ðåéòåðà. Èñòî÷íèê ïèòàíèÿ ëàçåðà íàõîäèòñÿ íà íèæíåé ïîëêå ñòîëà. Âûâîä ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû Êîíå÷íîé öåëüþ äàííîãî ïóíêòà îïèñàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëó÷åíèå ôîðìóëû, ñâÿçûâàþùåé êâàäðàò äèàìåòðà èíòåðôåðåíöèîííîãî êîëüöà DN ñ åãî ïîðÿäêîâûì íîìåðîì N, îòñ÷èòûâàåìûì îò öåíòðà èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû. Õîä ëó÷åé â óñòàíîâêå èçîáðàæåí íà ðèñ. 4. Âûäåëèì èç ïàðàëëåëüíîãî ïó÷êà ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ äâà ëó÷à 1 è 2. Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç ñîáèðàþùóþ ëèíçó Ë ýòè ëó÷è ïàäàþò íà ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó â òî÷êàõ Å è D. Äàëüíåéøèé õîä ýòèõ ëó÷åé ïîñòðîåí ñ ñîáëþäåíèåì çàêîíà îòðàæåíèÿ â òî÷êå Å äëÿ ëó÷à 1 (óãîë ïàäåíèÿ ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ) è çàêîíà ïðåëîìëåíèÿ â òî÷êå D äëÿ ëó÷à 2. Ïîñëå îòðàæåíèÿ â òî÷êå Ñ îò çàäíåé ïîâåðõíîñòè ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè è ïðåëîìëåíèÿ â òî÷êå  ëó÷ 2 âñòðå÷àåòñÿ ñ ëó÷îì 1 â òî÷êå Ì ýêðàíà.  ñèëó ñâîéñòâ ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ ëó÷è 1 è 2 êîãåðåíòíû, õîòÿ
Ðèñ. 4
345
è ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûì öóãàì èçëó÷åíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, îíè ó÷àñòâóþò â îáðàçîâàíèè èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû. Ðåçóëüòàò èíòåðôåðåíöèè çàâèñèò îò ðàçíîñòè õîäà, ïðèîáðåòàåìîé ýòèìè ëó÷àìè íà ïóòè îò òî÷êè F ê òî÷êå Ì. Êàê âèäíî èç ðèñ. 4, îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà ìåæäó ëó÷àìè 1 è 2 íà ïóòè îò òî÷êè F ê òî÷êå Ì ðàâíà (1) D 1 = 2DCn 2(FE FD) + l/2, ãäå n ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè. Ñëàãàåìîå l/2 âîçíèêàåò èç-çà ïîòåðè ïîëóâîëíû ïðè îòðàæåíèè ëó÷à 1 îò îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé ñðåäû. Ðàçíîñòü õîäà ìîæíî âû÷èñëèòü è áîëåå ïðîñòûì ñïîñîáîì, åñëè ó÷åñòü ðåàëüíûå ïàðàìåòðû óñòàíîâêè. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññòîÿíèå L â óñòàíîâêå ðàâíî ~80 ñì, à ðàäèóñ r äåñÿòîãî èíòåðôåðåíöèîííîãî êîëüöà ñîñòàâëÿåò ~3 ñì. Ñëåäîâàòåëüíî, óãîë a, ïîä êîòîðûì ëó÷ 1 ïàäàåò íà ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó ìàë (a~1°). Êðîìå òîãî, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî òîëùèíà ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè h ìíîãî ìåíüøå åå ðàññòîÿíèÿ äî ýêðàíà L (h/L~0,03). Ñëåäîâàòåëüíî, óãîë ïàäåíèÿ ëó÷à 2 íà ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò óãëà ïàäåíèÿ ëó÷à 1, ðàâíîãî a. Âñëåäñòâèå ýòîãî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî íàáëþäàåìûå íà ýêðàíå èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû (îêðóæíîñòè) ÿâëÿþòñÿ ïîëîñàìè ðàâíîãî íàêëîíà, âîçíèêàþùèìè â ðåçóëüòàòå èíòåðôåðåíöèè ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé 1¢ è 2¢¢, ïàäàþùèìè íà ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó ïîä óãëîì a. Îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà ìåæäó òàêèìè ëó÷àìè ðàâíà D 2 = 2 h(n 2 sin 2 a) 0,5 + l/2. (2) Ðàñ÷åòû ïîêàçûâàþò, ÷òî ðàçíîñòè õîäà, âû÷èñëåííûå ïî ôîðìóëàì (1) è (2), îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà íà âåëè÷èíó, ìåíüøóþ, ÷åì l/2 (~1000 Å), ÷òî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê äîêàçàòåëüñòâî ñïðàâåäëèâîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ôîðìóëû (2). Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (2), óñëîâèå îáðàçîâàíèÿ â òî÷êå Ì èíòåðôåðåíöèîííîãî ìèíèìóìà m-ãî ïîðÿäêà ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå: æ sin 2 a ö D 2 = 2hn ç1 ÷ ç n 2 ÷ø è
0,5
+
l l = (2m + 1) . 2 2
(3)
Òàê êàê sin 2 a/n2