В О РО НЕ Ж С К И Й Г О С У Д А Р С Т В Е ННЫ Й У НИ В Е Р С И Т Е Т Ф АК У Л Ь ТЕ Т ПМ М К а ф едр а в ы чи с ли т ельн...
16 downloads
153 Views
315KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
В О РО НЕ Ж С К И Й Г О С У Д А Р С Т В Е ННЫ Й У НИ В Е Р С И Т Е Т Ф АК У Л Ь ТЕ Т ПМ М К а ф едр а в ы чи с ли т ельной м а т ем а т и ки
М Е Т О Д Ы Р Е Ш Е НИ Я С И С Т Е М С Р А ЗР Е Ж Е ННЫ М И М А Т Р И ЦА М И С П О С О БЫ ХР А НЕ НИ Я И П Р Е Д С Т А В Л Е НИ Я РА ЗРЕ Ж Е ННЫ Х М А Т Р И Ц, О П Е Р А ЦИ И НА Д НИ М И М ет одическиеуказания к спецкур су для с т у дент ов 3 ку р с а днев ного и вечер него от делени й ф а ку льт ет а ПММ
Сос т а ви т ели : И.А.Бла т ов Т.Н .Глу ша кова М.Е.Экс а р евс ка я
В о ро не ж – 2002
-2-
СО Д ЕРЖ А Н И Е § 1. § 2. § 3. § 4.
В в е де ние … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. 3 Способы хране нияи пре дстав л е нияразре ж е нных мат риц … … … .… … ... 3 О пе рации над разре ж е нными мат рицами … … … … … … … … … … ...… … . 9 М е т од Гаусса дл яразре ж е нныхмат риц … … … … … … … … … … … … … . 24 Л ит е рат ура … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 33
-3§ 1. В ведение С т ро гого о пре де л е ния разре ж е нной мат рицы не т , но е сть “ не строгие ” о пре де л е ния, не ко т орые изко т орых мы зде сьп рив е де м. О п р е д е л е ни е 1.1. Р азре ж е нная м ат ри ца ( РМ ) – эт о мат рица, у кот о ро й “ мно го” эл е ме нт ов рав но нул ю . О п р е д е л е н и е 1.2. Р азре ж е нная м ат ри ца – эт о мат рица, дл я кот о ро й испо л ьзов ание ал горит мо в , учит ыв аю щ их нал ичие нул е й, по зв ол яе т добит ься эконо мии маш инно го в ре ме ни и памят и по срав не нию с т радиционными ме т о дами. РМ в о зникаю т п ри ре ш е нии многих прикл адных задач. Н азов е м не кот о рые изних: 1) дискре т изация урав не ний мат е мат иче ской ф изики – разно стные схе мы и ме т о д коне чных эл е ме нт о в ; 2) задачи л ине йно го про граммиро в ания (т е о рияопт имизации); 3) задачи т е ории эл е кт риче ских це пе й. О сновная задач а к урса – на у чи т ьс я с т р ои т ь эф ф ект и в ны е а лгор и т м ы AU = f р ешени я с и с т ем ли нейны х а лгебр а и чес ки х у р а в нени й (СЛАУ) ( A – РМ), т .е. п ы т а т ьс я оп т и м и зи р ова т ь п р оцес с р ешени я с т очки зр ени я за т р а т м а ши нной п а м я т и и в р ем ени . В озмож ности ре ш е ния эт о й задачи связаны с игнориров ание м нул е й мат рицы A за сче т т ого , чт о: 1) ариф ме т итиче ские оп е рации снул ями не произв одят ся; 2) нул и не обязат е л ьно хранит ьв маш инной памят и. § 2. С пособы хр анения ипр едст авл ения р азр еж енны х м ат р иц В се сп осо бы хране ния РМ закл ю чаю т ся в т о м, чт обы хранит ь т ол ько не нул е в ые эл е ме нт ы мат рицы ил и, мо ж е т быт ь, не бо л ьш ое ко л иче ств о нул е й в ме сте сними. 2.1. Р азр еж енны й ст р очны й ф ор м ат (Р С Ф ) Э т о наибо л е е ш ироко испо л ьзуе мая ф о рма хране ния РМ . П усть е сть п рямо угол ьная n × m мат рица A = aij . Д л я е е п ре дстав л е ния в РСФ
{ }
нуж но т ри о дно ме рных массив а: 1) AN – массив не нул е в ых эл е ме нт о в мат рицы A ; 2) JA – массив со от в е т ств ую щ их стол бцо в ых инде ксов не нул е в ых эл е ме н- т о в мат рицы A ; 3) IA – т ак назыв ае мый “ массив указат е л е й ” – це л очисле нный массив , i -я компо не нт а кот о ро го указыв ае т , c какой по зиции массив о в AN и JA начинае т ся о писание i -й строки мат рицы A . Зде сь пре дусмот ре на допо л нит е л ьная компоне нт а , кот о рая яв л яе т ся по сле дне й и указыв ае т номе р п е рв ой сво бодно й по зиции в массив ах AN и JA .
-4Т аким образо м, о писание i -й строки мат рицы A хранит ся в по зициях с I A(i ) до [ I A(i + 1) − 1] массив о в AN и JA за искл ю че ние м рав е нств а I I A(i + 1) = I A(i ) , означаю щ е го, чт о i -я строка пуста. Сл е до в ат е л ьно, эл е ме нт ы записыв аю т ся в массив по порядку сле дов ания строк. Е сли A име е т m строк , то массив I A соде рж ит (m + 1) по зицию . Д анный сп особ пре дстав л е ния назыв аю т по л ным, т .к. пре дстав л е на в ся мат рица A . В зав исимо сти от т о го, как записыв аю т ся в каж дой строке стол бцо в ые инде ксы в массив е JA (по п орядку в озрастания ил и не т ), разл ичаю т упо рядо че нно е ил и не упо рядо че нное пре дстав л е ние со от в е т ств е нно. Н е упорядо че нные пре дстав л е ния нуж ны дл я ал го рит миче ских удобств : ре зул ьт ат ы бо л ьш инств а мат ричных оп е раций п ол учаю т сяне упорядоче нными, и уп орядоче ние их т ре буе т допо л нит е л ьных зат рат маш инно го в ре ме ни, в т о в ре мя как бол ьш инств о ал го рит мов дл я РМ не т ре буе т , чт обы п ре дстав л е ния был и упорядоче нными. З а м е ч а н и е . В сю ду в дал ьне йш е м мы буде м име т ь де л о с в е щ е ств е нными мат рицами. Задача 1. Н ап исат ьдл ямат рицы A упо рядо че нное п ре дстав л е ние в РСФ . N стол бцо в : 1 2 3 4 5 6 7
1 4 A= 0 0 N по зиций: AN : JA : IA:
1 1 1 1
2 1 2 4
3 2 4 6
4 4 1 8
1 0 2 0 0 0 0 5 0 0 0 0 . 0 0 0 3 6 0 0 0 0 0 0 0
5 6 7 8 5 3 6 3 5 6 8
З а м е ч а ни е . В п е рв ой позиции массив а I A в сегда стоит 1 .
AN , JA, IA Задача 2. П о массив ам т очностью до нул е в ых стол бцо в справ а). AN : 1 2 3 4 5 8 9 JA : 6 7 1 2 3 4 5 IA: 1 3 5 6 8
в осстано в ит ь мат рицу A (с
-5Разобье м массив ы AN, JA по строкам: N по зиции: 1 2 3 4 5 6 7
AN : 1 2 3 4 5 8 9 JA : 6 7 1 2 3 4 5 Т аким о бразом, в мат рице A 4 строки и 7 стол бцо в , приче м в 1-ой строке в 6 сто л бце стоит 1, в 7-м стол бце – 2 и т .д.
N сто л бцов : 1 0 3 A= 0 0
2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 1 2 4 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 8 9 0 0
Задача 3. Н аписат ьдл ямат рицы иззадачи 1 пол но е , но не упорядоче нно е п ре дстав л е ние . 2.2. Разр еж енны й ст ол бцовы й ф ор м ат (Р С т Ф ) Зде сь эл е ме нт ы хранятся не п о строчкам, как в РСФ , а по сто л бцам. С т ол бцо в ые пре дстав л е ния могут т акж е рассмат рив ат ься и как стро чные п ре дстав л е ния т ранспо ниров анных мат риц. Таким о бразом, в массив е JAT указыв ае т ся строчный инде кссо от в е т ств ую щ е го эл е ме нта, а эл е ме нт ы I AT указыв аю т , скако й по зиции начинае т сяописание оче ре дно го сто л бца мат рицы A. Н ап исат ь дл я мат рицы A Задача 4. сто л бцов ое пре дстав л е ние . a) N по зиций: 1 2 3 4 5 6 7 ANT : 1 4 1 5 2 3 6
из задачи 1 упорядоче нно е
8
JAT : 1 2 1 2 1 3 3 I AT : 1 3 4 5 6 7 8 Задача 5. Транспо ниро в ать мат рицу A иззадачи 1 и нап исат ь дл я не е упо рядо че нный РСФ , срав нитьре зул ьт ат сре зул ьт атом задачи 5. Задача 6. Зап исат ьмат рицу A в не упо рядоче нном РСтФ .
0 0 1 3 0 0 0 5 0 0 A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 7 0 1 0 0
-62.3. С т р очны й р азр еж енны й ф ор м ат хр анения сим м ет р ичны х м ат р иц Д л я симме т рично й мат рицы
A = {aij }i , j =1 n
(aij = a ji )
достат очно
хранит ьл иш ье е диагонал ь и в е рхний (ниж ний) т ре уго л ьник. П ри эт ом мо ж но указат ьдв а спо соба хране ния: 1) строчное п ре дстав л е ние диаго нал и и в е рхне го (ниж не го ) т ре уго л ьника (РС Ф Б Д ); 2) в ыде л е ние диагонал ьных эл е ме нт ов мат рицы A в от де л ьный массив AD , а разре ж е нным ф ормат ом пре дстав л яе т ся т о л ько в е рхний (ниж ний) т ре уго л ьник мат рицы A (приче м в эт о м п ре дстав л е нии диагонал ьсчит ае т ся нул е в о й) (РСФ Д ).
З а да ча 7.
З а пис а т ь
с им м е т р ичную
2 0 A= 0 1
м а т р ицу
0 0 1 1 0 1 0 3 0 1 0 3
a) в РСФ Б Д ; б) в РСФ Д . a)
AN : 2 1 1 1 3 3 JA : 1 4 2 4 3 4 IA: 1 3 5 6 7
б) AN : 1 1
JA : 4 4 IA : 1 2 3 3 3 AD : 2 1 3 3
2.4. Д иагонал ь ная схем а хр анения (Д С Х) л ент очны х м ат р иц О п р е д е л е ни е
{ }in, j =1 назыв ае т ся
2.1. К в адрат ная мат рица A = aij
(2m + 1) –диаго нал ьной ил и ле нт оч ной, е сли aij = 0 дл яв сех i, j т аких, чт о | i − j |> m . Ч исло (2m + 1) – эт о ши ри на ле нт ы, m – полуши ри на. Е сли m 1 эл е ме нт ы i -й строки нахо дят ся в позициях от [ DA(i − 1) + 1] до DA(i ) . Единств е нный эл е ме нт a11 п е рв ой стро ки хранит ся в AN (1) .
10 0 13 Задача 10. Д л ямат рицы A = 0 0 17 0 1 0 18 0 0 0 2 20 1) п одсчит ат ьпроф ил ь, найт и разме рностьмассив а AN ; 2) п остро ит ьП СХ .
N по зиции: 1 2 3 4 5 6 7 8 AN : 10 13 17 1 0 18 2 20 DA : 1 2 3 6 8
-9-
1) β1 = 0, β 2 = 0, β 3 = 0, β 4 = 2, β 5 = 1, pr ( A) = 3, dim AN = 3 + 5 = 8. Задача 11. П о массив ам AN и DA в о сстанов ит ьмат рицу A :
AN : 9 8 7 6 5 4 3 2 1 DA : 1 3 5 6 7 9 § 3. О пер ациинад Р М . А л гебр а Р М О пе риров ат ь сРМ т рудне е , т .к. о ни заданы в упако в анной ф орме . М ы буде м работ ат ь смат рицами, кот о рые заданы в РС Ф (РСтФ ). П о э т ому л ю бой ал горит м разбив ае т сяна два э т апа. 1. С им вол ический – оп ре де л яе т ся структ ура разре ж е нности ре зул ьтат а, кот о рый хот им по л учить, а т акж е п озиции эл е ме нт о в исходных РМ , с кот о рыми нуж но пров одит ь ариф ме т иче ские де йств ия, т .е . иде т работ а с в е кторами IA , JA ; зде сь ж е оп ре де л яе т ся объе м о пе рат ив но й памят и, не о бходимый дл я хране ния проме ж ут о чных ре зул ьт ат о в и в ыходной инф о рмации. 2. Ч исл енны й – не по сре дств е нно в ыпо л няю т ся числе нные оп е рации. В ре зул ьт ат е пол учае м число, мат рицуил и в е кт о р. 3.1. С писки 3.1.1. Хр анениесписков, цел ы х списков, кол ь цевы х цел ы х списков О п р е д е л е н и е 3.1. Спи ск ом назыв ае т ся со в о купно сть яче е к (по зиций), связанных в т ом ил и ино м по рядке . К аж дая яче йка соде рж ит эл е ме нт списка и номе р яче йки, в ко т о ро й хранит ся сле дую щ ий эл е ме нт списка. В нут ри каж дого списка, п о п ре дп ол о ж е нию , пов т оре ний не т . В о бщ е м случае схе ма хране ниясписка со сто ит изт ре х массив о в : 1) массив позиций N ; 2) массив эл е ме нт ов A ; 3) массив NEXT – указат е л ьп озиций сле дую щ их эл е ме нт ов , и до бав л яе т ся указате л ьначал а списка IP . Задача 12. Н аписат ь схе му хране ния чисел a, b, c, d п орядке , е сли о ни хранят сяв массив е A сле дую щ им о бразом:
О тв е т:
N: 1 2 3 4 5 6 7 A: b d a c NEXT : 7 2 4;
в
указанно м
IP = 5 .
Задача 13. В каком по рядке дол ж ны хранит ьсячисла a, b, c, d , e, f , е сли схе ма хране нияв ыгл ядит сле дую щ им о бразом:
N:
1 2 3 4 5 6
- 10 -
A: a b c d e f NEXT : 6 5 3 2 1 IP = 4 О т в е т : d , c, e, b, f , a . О п р е д е л е н и е 3.2. Е сли эл е ме нт ы списка яв л яю т ся це л ыми числами, т о т ако й спи сок назыв ае тсяце лым . П устье стьне кот орый це л ый списо к A , эл е ме нт ы ко т орого мо гут принимат ь значе ния { 1, 2, ... , n }. О п р е д е л е н и е 3.3. Ч исло n – максимал ьно е значе ние эл е ме нт о в в списке – назыв ае т ся разм ах ом спи ск а. П усть m – число эл е ме нт ов сп иска. Если m . 0 5. 1 . С помощ ью массив а IU опре де л яе м в JU оп исание i -й стро ки мат рицы U . В п озиции РВ Н X с номе рами стол бцо в ых инде ксо в в ыде л е нного участка (е сли он не пусто й) и но ме ром строки i засыл ае м нул и.
2 0 . В i -ю по зицию РВ Н X по ме щ ае м эл е ме нт AD(i ) . Если i -я стро ка не п уста, т о в по зиции РВ Н , со от в е т ств ую щ ие по рт ре т у i -й стро ки мат рицы A измассив а AN . 6. П росмат рив ае м А С i -о го сто л бца. Е сли онпустой, т о п е ре хо дим к 7. Е сли не пусто й, т о дл я каж дого эл е ме нт а j эт о го сп иска де л ае м сле дую щ ие опе рации: а) с по мо щ ью эл е ме нт ов IUP( j ) опре де л яе м участки массив о в JU , UN , в кот о рых соде рж ит ся оп исание эл е ме нт ов j -й стро ки мат рицы U , име ю щ их сто л бцов ые инде ксы ≥ i ; б) умнож ае м эл е ме нт ы в ыде л е нно го участка (массив а UN ) на число ~ (−U ij ⋅ D( j )) (эл е ме нт U ij нахо дим в UN ); в ) прибав л яе м нов ые значе нияэл е ме нтов в ыде л е нного участка к со де рж имомусоот в е т ств ую щ ихяче е к РВ Н ; г) пол агае м IUP( j ) = IUP ( j ) + 1; д) приписыв ае м j -ю стро ку к А С k -го сто л бца, где k – сто л бцов ый инде ксне нул е в ого эл е ме нта сноме ром IUP( j ) , сле дую щ ий за i -м в j -й строке мат рицы U . 7. Е сли п росмот р А С законче н, т о в ыбирае м эл е ме нт РВ Н X (i ) , со от в е т ств ую щ ий диаго нал ьному эл е ме нт у эт ой i -й стро ки, и по ме щ ае м е го в i -ю ~ позицию массив а D , а соде рж имо е РВ Н де л им на эл е ме нт , соде рж ащ ийся ~ в i -й по зиции РВ Н (т о е стьна D ( j ) ), п осле че го в РВ Н со де рж ит ся i ястрока мат рицы U . 8. В ыбирае м из РВ Н не нул е в ые эл е ме нт ы i -й стро ки мат рицы U (за искл ю че ние м i -го стол бца, в ко т ором нахо дится1) и по ме щ ае м их в UN таким образо м, чт о бы j -о мустол бцу соо т в е т ств ов ал эл е ме нт X ( j ) . 9. i = i + 1 и пе ре хо дим к 3. 4.1.3. П р им ер ы Задача 29. Н айт и т ре уго л ьно е разл ож е ние дл ямат рицы A .
- 29 -
1 0 0 A = 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 2 0 1 1 0 0 0 3 0 1 0 1 1 0 4 0 1 1 ; 1 1 0 5 1 0 0 0 1 1 6 0 0 1 1 0 0 7
1 2 3 4 5 6 7 8 AN :
1 1 1 1 1 1 1 1
JA :
6
4 5 5 7 6 7 6 .
__ ______
1 2 4 6 8 9
AD :
1 2 3 4 5 6 7
N АС ( N стол бца )
1
− 6
1) −
2
− 4, 5
2) −
3
− 5, 7
4
− 6, 7
3) − 4) 2
5
− 6
5) 2, 3
6
−
6) 1, 4, 5
7
−
7) 3, 4
IU :
6
4 5
5 7
5 6 7
5 7
7
___ _______
______
___________
______
___
1
6
2 4
9 11 12
2. Ч исл енны й э т ап
N АС ( N сто л бца) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
− − − 2 2, 3 1, 4, 5 3, 4
______
IA :
1. С им вол ический э т ап N стро ки N сто л бца
JU :
______
~ D(1) = 1 i = 2 : IUP(1) = 1 X ( 4) = 0 + 1 / 2 = 1 / 2 X (5) = 0 + 1 / 2 = 1 / 2 X (2) = 0 + 2 / 2 = 1 ~ D (2) = 2 i = 3 : IUP(2) = 2 X (5) = 1 / 3 X (7) = 1 / 3 X (3) = 1
___
- 30 -
~ D(3) = 3 i = 4 : IUP(3) = 4 1 15 X (5) = 0 − / = −1 / 15 4 4 15 X (6) = 0 + 1 / = 4 / 15 4 15 X (7) = 0 + 1 / = 4 / 15 4 X ( 4) = 4 − 1 / 4 = 15 / 4 ~ D(4) = 15 / 4
j = 2 : сто л бцов ые инде ксы 4, 5. 1 1 1 ~ ~ 4 : UN (2) ⋅ (− a24 / D(2)) = UN (2) ⋅ (− AN (2) / D(2)) = − ⋅ = − 2 2 4 1 1 1 ~ 5 : UN (3) ⋅ (− a24 / D(2)) = − ⋅ = − 2 2 4 IUP(2) = 3 , IUP(2) = 4 j = 3: IUP(3) = 4, 5 i = 5 : IUP(4) = 6, 7 X (6) = 0 + 1 − 16 / 225 = 209 / 225 X (7) = 0 − 1 / 9 − 16 / 225 = −41 / 225 197 X (5) = 0 + 5 − 1 / 4 − 1 / 9 + 4 / 225 = 4 300 ~ D(5) = 19 / 4 − 1 / 9 − 4 / 225 = Κ UN : 1
1 2
1 2
1 3
1 3
−
1 4 4 Κ 15 15 15
Задача 30. П о по рт ре т у (cт рукт уре ) не симме т рично й РМ A опре де л ит ь максимал ьное число не нул е в ых эл е ме нт о в п осле п рив е де ния мат рицы к т ре угол ьномув иду.
- 31 -
1
2 3 4
× × × × × × × 1 × × × ⊗ ⊕ × ⊕ × × × 2 × → → A= × × ⊗ ⊕ × × × 3 × ⊗ + ⊗ ⊕ × 4 × Зде сь ⊕ – не нул е в ой эл е ме нт из других стро к, ⊗ – о бнул е ние эл е ме нт а исхо дно й мат рицы, + – обнул е ние эл е ме нт а издругих стро к. 4.2. О бр ат ны й ход м ет ода Г аусса О нсостоит в ре ш е нии систе мы
~ (1) U T DUx = f , ~ D –- диагонал ьная мат рица, U – в е рхне т ре уго л ьная се диницами на
где гл ав но й диагонал и. О братный ход ме т о да Гаусса дл я систе мы (1) закл ю чае т ся в ре ш е нии т ре х систе м.
U T z = f ~ Dw = z . Ux = w
(2 ) (3) ( 4)
Т аким образо м, нуж но ре ш ит ь дв е систе мы ст ре угол ьными мат рицами и однусдиагонал ьной. Ре ш ае м систе му(2) при помощ и п рямо й п одстано в ки: по порядку, начинаяс T пе рв о й, просмат рив ае м стро ки мат рицы U и в ычисляе м компоне нт ы по ф о рмул ам
z1 =
T f1 / U11
= f1 ,
i −1
zi = f i − ∑ U ij z j . j =1
~ Д л я систе мы (3) име е м wi = z j Dii . Систе ма (4) ре ш ае тся о братной по дстанов кой:
xn = wn ,
n
xi = wi − ∑ U ij x j . j = i +1
М ож но т акж е дл я ре ш е ния систе мы (4) пе ре йт и от РСФ к стол бцо в ому, по сле че го систе ма (4) ре ш ае т сяанал о гично (2). 4.3. В ы вод РМ на печат ь ил иэ кр ан Д л япре дстав л е ниямат рицы мож но в ыбрат ьоднуизсле дую щ их ф о рм. 1. П р едст авл ениев видепол ной м ат р ицы
- 32 Д л я каж до й стро ки значе ния не нул е в ых эл е ме нт ов загруж аю т ся в пол ный в е щ е ств е нный массив , ко т оромуп ре дв арит е л ьно придано начал ьное нул е в о е состояние . Стро ка массив а в ыв одит ся на пе чат ь ил и диспл е й, и ал горит м пе ре ходит к обрабо т ки сле дую щ е й строки мат рицы. О че нь удо бно был о бы разл ичать в изуал ьно в нут рип орт ре т ные нул и (т .е . нул и, пе ре ме щ е нные в AN ил и AD в сле дств ие в заимного сокращ е ния п ри в ычисле нии) и в не порт ре т ные нул и (т .е . нул и, о кот о рых заране е изв е стно , чт о о ни будут т очными нул ями, и кот о рые по э т ому не в кл ю чаю тся в JA ). В п озициях, соо т в е т ств ую щ их в не порт ре т ным нул ям, мож но пе чат ат ь не числов ой симв о л , наприме р *. Разуме е т ся, п ракт иче ски эт о т ме т од прил ож им к т е м сит уациям, когда до стат о чно иссле до в ат ь мал ую часть мат рицы ил и сама мат рица до стат о чна мал а. 2. Д л я каж дой ст р оки печат ает ся её ном ер , а зат е м не нул е в ые эл е ме нт ы эт о й строки и за каж дым из них – в ско бках – со от в е тств ую щ ий стол бцо в ый инде кс. Е щ е л учш е был о бы упо рядо чит ь не нул е в ые эл е ме нт ы пе ре д п е чат ание м. Д остоинств о эт о го ме т о да в т ом, чт о он сокращ ае т пространств о, занимае мое в ыв одимой строко й; о днако он не дае т т ако го ясного пре дстав л е нияо в заимно м распол ож е нии со седних строк, как пе рв ый ме т о д. 3. П ор т р ет м ат р ицы м ож но вы вест и на уст р ой ст во с вы сокой р азр еш ающ ей способност ь ю, нап риме р, диспл е й ил и мат рично е пе чат аю щ е е устройств о. Н уж но т о л ько, чт о бы мат рица был а не слиш ко м в е л ика ил и чт обы был о до стат о чно е ё рассмат рив ат ьпо частям. В ы бор пор ядка искл ючения в м ет оде Г аусса (упор ядочение ст р ок и ст ол бцов) В проце ссе гауссов а искл ю че ния происходит запо л не ние мат рицы, приче м объе м и структ ура эт ого запол не ния в е сьма сущ е ств е нно зав исят о т в ыбора по рядка искл ю че ния. П оэт о му сле дуе т в ыбират ь т акую строку, в ко т орой бо л ьш е нул е й, – чт о бы минимизиров ат ь число не нул е в ых эл е ме нт о в , когда стро ка « о бруш ив ае т ся» на в се другие стро ки, а т акж е стол бе ц с максимал ьным число м нул е й, чт обы испо л ьзо в атьпоме ньш е строк. О п р е д е л е н и е . Д л я эл е ме нт а aij произв е де ние числа не нул е в ых 4.4.
эл е ме нт ов в
i -ой стро ке и j -ом стол бце назыв ае т ся це ной М арк ови ца
эл е ме нт а aij . Н е нул е в ой эл е ме нт aij сле дуе т в ыбират ьт ак, чт о бы це на М арков ица эт о го эл е ме нт а был а минимал ьной ил и не слиш ком бо л ьш ой. Э т а иде я назыв ае т ся ст рат е г и е й М арк ови ца. О на п озв о л яе т о пт имизиров ат ь в ыбо р в е дущ е го эл е ме нт а.
- 33 Н о т ако й в ыбор в л ияе т на усто йчив о сть проце сса гауссов а искл ю че ния, т ак как е сли в е дущ ий эл е ме нт мал , т о в о змо ж на по т е ря устойчив ости в ычисле ний. 4.5. В ы числ ит ел ь ны еош ибкив гауссовом искл ючении П ри ре ал изации ме т ода Гаусса прихо дит ся в ыпо л нят ь ариф ме т иче ские b = a − lU . Д л я оп е раций спл ав аю щ е й т о чкой границы де йств ия типа ош ибки обычно устанав л ив аю т ся сле дую щ им образо м: f l ( x ο y ) = ( x ο y )(1 + ε ) , где симв о л ο о бо значае т о дну из эл е ме нт арных f l ( x ο y) – оп е раций +, −, ×, / ; ( x ο y ) – т о чный ре зул ьт ат о пе рации; округл е нный ре зул ьт ат ;
ε ≤ ε M , где ε M – маш иннаят очность.
П усть a , b < α , т о гда дл яо це нки по гре ш но сти име е м
ε ≤ α ⋅εM ⋅
1 1− εM
1 ⋅ + 2 . 1 − ε M
Т аким о бразом, дл я т о го чт о бы в ычислит е л ьная п огре ш но сть был а не слиш ком в е л ика, не сле дуе т до пускат ь чре зме рно го ро ста чисел a, l , U . А в ме т о де Гаусса a, l , U – эл е ме нт ы k -х проме ж ут о чных мат риц. П оэт о му в в одит ся п оказат е л ь п ро ме ж ут очного ро ста в ме т оде Гаусса
α k = max aijk
(A = { a }) , k ij
k
ко т орый дол ж е нбыт ьне слиш ко м в е л ик.
С т р ат егия, осущ ест вл яющ ая ком пр ом иссм еж ду опт им изацией уст ой чивост ииопт им изацией ал гор ит м а П усть сде л аны пе рв ые k ш аго в ме т ода Гаусса с в ыбором гл ав но го эл е ме нт а по стол бцу. В озьме м число U : 0 < U