О квазирезольвентных моделях

Алгебра и логика, 43, N 5 (2004), 614—628

УДК УДК 512.540+510.5

О КВАЗИРЕЗОЛЬВЕНТНЫХ МОДЕЛЯХ∗) А. Н. ХИСАМИЕВ

В монографии [1] введено важное понятие квазирезольвентного допустимого множества и доказаны следующие факты: 1) если M — модель регулярной (т. е. разрешимой и модельно полной) теории, то наследственно конечное допустимое множество HF(M) является квазирезольвентным; 2) В квазирезольвентных допустимых множествах существует универсальная Σ-функция. По аналогии с этим понятием в [2] дано определение квазирезольвентной модели и доказано, что модель M конечной сигнатуры квазирезольвентна тогда и только тогда, когда наследственно конечное допустимое множество HF(M) квазирезольвентно. Поэтому исследование квазирезольвентных моделей представляет интерес. В данной работе вводится понятие 1-квазирезольвентной модели и устанавливаются связи между квазирезольвентными и 1-квазирезольвентными моделями. Выводятся достаточные условия, когда модель 1-квазирезольвентна и когда она не является таковой. Описываются квазирезольвентные алгебры Ершова (теор. 2.4) и абелевы p-группы (теор. 3.4). Из этих теорем следует, что: 1) алгебра Ершова (абелева p-группа) квазирезольвентна тогда и только тогда, когда она 1-квазирезольвентна; 2) алгебра Ершова (абелева p∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект N 02-01-00593, INTAS, грант N 00-499, и Министерства образования Российской Федерации, проект N PD02-1.1-201.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

О квазирезольвентных моделях

615

группа) квазирезольвентна, то некоторое ее обогащение конечным числом констант является моделью регулярной теории. Будем придерживаться стандартной терминологии и обозначений по допустимым множествам, теории моделей, алгебрам Ершова и группам, принятым в [1—7]. В дальнейшем сигнатура всегда конечна.

§ 1. 1-квазирезольвентные модели

 Пусть M — модель конечной сигнатуры σ, σ1 = σ ∪ ∅, ∈, U 1 ,

HF(M) — наследственно конечное допустимое множество над моделью

M. Зафиксируем гёделеву нумерацию Γ всех формул сигнатуры σ1 . Через Φn будет обозначаться формула с номером n. Пусть даны формула Φ сигнатуры σ и конечная последовательность a ¯ = ha0 , . . . , an−1 i элементов из M . Через F V (Φ) обозначается множество всех свободных переменных формулы Φ. Пусть F V (Φ) = {x0 , . . . , xm−1 }. Если m 6 n, то x ,...,x

m−1 получается из формулы Φ подстановкой вместо xi элеΦ(¯ a) = (Φ)a00,...,am−1

ментов ai . Если m > n, то через Φ(¯ a) обозначается формула ∃x(x 6= x). Определим в HF(M) двухместный предикат ¯) = {hn, a ¯i | M |= Φn (¯ a), n ∈ ω, a ¯ ∈ M