Уравнения эллиптического типа (конспект лекций)

moskowskij gosudarstwennyj uniwersitet IM m w lOMONOSOWA .

.

.

mEHANIKO-MATEMATI^ESKIJ FAKULXTET

a a kONXKOW SPECIALXNYJ KURS urawneniq |llipti~eskogo tipa .

.

(KONSPEKT LEKCIJ)

moskwa

2002

sODERVANIE 1 pROSTRANSTWA s.l. sOBOLEWA

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

oSNOWNYE OPREDELENIQ I OBOZNA^ENIQ . . . . . . . . . . . . . . pLOTNOSTX C 1() W Wpm () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iNTEGRALXNYE OPERATORY SO SLABOJ OSOBENNOSTX@ . . . . . . . pREDSTAWLENIE FUNKCIJ PO s.l. sOBOLEWU . . . . . . . . . . . tEOREMY WLOVENIQ s.l. sOBOLEWA. |KWIWALENTNYE NORMY W PROSTRANSTWAH Wpm () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3 7 10 19 22

27

lITERATURA

2

gLAWA 1 pROSTRANSTWA s.l. sOBOLEWA 1.1

oSNOWNYE OPREDELENIQ I OBOZNA^ENIQ

pUSTX  | OTKRYTOE PODMNOVESTWO Rn, n
1, I { = Rn n  | DOPOLNENIE MNOVESTWA  DO WSEGO PROSTRANSTWA Rn. ~EREZ C 1() MY OBOZNA^AEM PROSTRANSTWO FUNKCIJ, BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMYH W , A ^EREZ C 1() | SUVENIQ NA  FUNKCIJ IZ C 1(Rn). pRI \TOM POD C01() MY BUDEM PODRAZUMEWATX MNOVESTWO FUNKCIJ IZ C 1(Rn) S KOMPAKTNYMI NOSITELQMI, PRINADLEVA]IMI . wMESTO C01() ^ASTO ISPOLXZUETSQ OBOZNA^ENIE D(). aNALOGI^NO OPREDELQ@TSQ KLASSY C s (), C s (), C0s () FUNKCIJ S NEPRERYWNYMI PROIZWODNYMI PORQDKA s. pROSTRANSTWO IZMERIMYH FUNKCIJ NA IZMERIMOM PO lEBEGU MNOVESTWE E  Rn, DLQ KOTORYH

kf kLp(E) =


Z

p

1

E

jf jp dx < 1

p
1

BUDEM OBOZNA^ATX Lp(E ). w SWO@ O^EREDX, POD Lp
comp() MY BUDEM PONIMATX PROSTRANSTWO FUNKCIJ, SUMMIRUEMYH SO STEPENX@ p NA WSQKOM KOMPAKTE, PRINADLEVA]EM OTKRYTOMU MNOVESTWU . dLQ KRATKOSTI PIEM L(E ) WMESTO L1(E ) I Lcomp() WMESTO L1
comp(). eSLI W OBOZNA^ENIQH PROSTRANSTW I NORM OTSUTSTWUET UKAZANIE NA OBLASTX , TO IMEETSQ W WIDU, ^TO  = Rn. iNTEGRIROWANIE BEZ UKAZANIQ PREDELOW TAKVE PODRAZUMEWAETSQ WYPOLNENNYM PO WSEMU Rn. kAK \TO PRINQTO, POLAGAEM jj = 1 + : : : + n, ! = 1! : : : n ! I @  = (@=@x1 ) : : : (@=@xn)n  GDE  = (1 : : :  n ) | MULXTIINDEKS. wS@DU NIVE POD Brx MY PODRAZUMEWAEM OTKRYTYJ AR Brx = fy : jy ; xj < rg RADIUSA r > 0 S CENTROM W TO^KE x 2 Rn, A POD Srx | SFERU Srx = fy : jy ; xj < rg. eSLI x = 0, TO WMESTO Br0 I Sr0 PIEM DLQ KRATKOSTI Br I Sr . 1

3

oBLASTX  NAZYWAETSQ ZW 0

(1.4)

NAZYWAETSQ USREDNENIEM FUNKCII u 2 Lcomp (Rn) PO sTEKLOWU-{WARCU. lEMMA 1.2.1. pUSTX u 2 Lp(Rn) p
1 tOGDA (1) kuh kLp  kukLp  (2) ku ; uhkLp ! 0 PRI h ! +0 dOKAZATELXSTWO. dOKAVEM OCENKU P. (1). pRIMENQQ NERAWENSTWO g 0 NE ZAWISIT OT u. dOKAZATELXSTWO. pO TEOREME 1.2.1 NAJD 0 NE ZAWISIT OT uk , k = 1 2 : : : . pEREHODQ K PREDELU W (1.34) I (1.35) PRI k ! 1, NEMEDLENNO POLU^AEM (1.32) I (1.33). 1.5

Bh

tEOREMY WLOVENIQ s.l. sOBOLEWA. |KWIWALENTNYE NORMY W PROSTRANSTWAH Wpm()

nIVE MY BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO  | OGRANI^ENNAQ OBLASTX W Rn, ZW n tOGDA Wpm () WPOLNE NEPRERYWNO WKLADYWAETSQ W C l () dOKAZATELXSTWO. wOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ (1.32) I TEOREMOJ 1.3.1. tEOREMA 1.5.4. pUSTX F NEPRERYWNAQ POLUNORMA NA Wpm () POLO VITELXNAQ NA WSQKOM NETRIWIALXNOM MNOGO^LENE STEPENI NE PREWOSHO DQ]EJ m ; 1 tOGDA NAJDTSQ const > 0 TAKAQ ^TO |

,

,

,

,

,

.

,

.

-

.

.

.

|

,

,

.

,

00 1 1p Z X kukWpm ()  const B @@  j@ujp dxA + F (u)C A 1

jj=m

DLQ L@BOGO u 2 Wpm (). 23

-

pREDPOLOVIM PROTIWNOE. tOGDA DLQ WSQKOGO NATURALXNOGO k DOLVNO SU]ESTWOWATX uk 2 Wpm () TAKOE, ^TO dOKAZATELXSTWO.

00 1 1p Z X  p A @ kuk kWpm() > k B @  j@ uk j dx + F (uk)C A: 1

jj=m

oBOZNA^AQ

vk = ku kuk m  k Wp

()

BUDEM, O^EWIDNO, IMETX kvk kWpm() = 1 k = 1 2 : : :  I

0Z 1p @ X j@vk jp dxA + F (vk)  1  k = 1 2 : : : : k

(1.36)

1



jj=m

(1.37)

pOSLEDOWATELXNOSTX vk , k = 1 2 : : : , OGRANI^ENA W Wpm (), PO\TOMU IZ NE< MOVNO WYDELITX PODPOSLEDOWATELXNOSTX, FUNDAMENTALXNU@ W Lp(). dLQ PROSTOTY BUDEM OBOZNA^ATX \TU PODPOSLEDOWATELXNOSTX TAKVE vk , k = 1 2 : : : . iZ (1.37) SLEDUET, ^TO \TA POSLEDOWATELXNOSTX BUDET FUNDAMENTALXNA I W Wpm (), A ZNA^IT lim kvk ; vkWpm () = 0 k!1

DLQ NEKOTOROGO v 2 Wpm (). pRI^<M @ v = 0 DLQ WSQKOGO MULXTIINDEKSA  TAKOGO, ^TO jj = m. tAKIM OBRAZOM, v | MNOGO^LEN STEPENI, NE PREWOSHODQ]EJ m ; 1. iZ (1.37) I NEPRERYWNOSTI FUNKCII F IMEEM F (u) = 0. tEM SAMYM, v = 0, I MY PRIHODIM K PROTIWORE^I@ S (1.36). pRIMER 1.5.1. pUSTX  | OBLASTX S GRANICEJ KLASSA C 1 I

Z  F (u) =  u dS   @

GDE dS | \LEMENT (n ; 1)-MERNOGO OB_<MA GRANICY @ . sOGLASNO POSLEDNEJ TEOREME, POLU^IM 8u 2 Wp1()

kukWp ()  const 1


Z

!  p Z jrujp dx +  u dS    @ 1

24

(1.38)

GDE const > 0 NE ZAWISIT OT u. o1 w SLU^AE u 2W p() FORMULA (1.38) PREWRA]AETSQ W NERAWENSTWO fRIDRIHSA

kukLp ()  const


Z

p

1



jrujp dx 

(1.39)

GDE const > 0 NE ZAWISIT OT u. zAMETIM, ^TO (1.39) SPRAWEDLIWO I BEZ KAKIH BY TO NI BYLO TREBOWANIJ, KASA@]IHSQ GLADKOSTI @ . dEJSTWITELXNO, OBLASTX  WSEGDA MOVNO POMESTITX W ARo Br DOSTATO^NO BOLXOGO RADIUSA r > 0. pRI \TOM BUDEM o1 IMETX W p() W 1p(Br ): pRIMER 1.5.2. oPREDELQQ POLUNORMU F SOOTNOENIEM

Z  F (u) =  u dx  

POLU^IM DLQ WSQKOJ FUNKCII u 2 Wp1 () NERAWENSTWO pUANKARE

kukWp ()  const


Z

1

 p Z ! jrujp dx +  u dx    1

GDE const > 0 NE ZAWISIT OT u. tEOREMA 1.5.5. pUSTX U ,! V ,! W BANAHOWY PROSTRANSTWA PRI^M WLOVENIE U ,! V KOMPAKTNO A V ,! W NEPRERYWNO tOGDA DLQ L@BOGO WE]ESTWENNOGO ^ISLA " > 0 NAJDTSQ KONSTANTA C (") > 0 TAKAQ ^TO kukV  "kukU + C (")kukW DLQ WSQKOGO u 2 U dOKAZATELXSTWO. pREDPOLOVIM PROTIWNOE. pUSTX NAJD 0 NAJDTSQ POSTOQNNAQ C (") > 0 TAKAQ, ^TO

0Z 1p
Z p X kukWpl ()  " @ j@ ujp dxA + C (") jujp dx 1



jj=m

1



DLQ WSQKOGO u 2 Wpm (). dOKAZATELXSTWO. pOLAGAEM W TEOREME 1.5.5 U = Wpm (), V = Wpl () I W = Lp(). zAME^ANIE 1.5.1. rAZUMEETSQ, TEOREMY 1.5.1 { 1.5.4, A TAKVE SLEDSTWIQ 1.5.1 I 1.5.2 OSTA@TSQ W SILE I W SLU^AE, KOGDA  QWLQETSQ OB_EDINENIEM OBLASTEJ, ZW