О некоторых краевых задачах для функционально-дифференциальных включений в банаховых пространствах

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 15 (2006). С. 36–44 УДК 517.911.5

О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ c 2006 г.

М. М. БАСОВА, В. В. ОБУХОВСКИЙ

АННОТАЦИЯ. В работе изучается общая краевая задача для полулинейного функциональнодифференциального включения в сепарабельном банаховом пространстве. Строится многозначный интегральный оператор, неподвижные точки которого являются интегральными решениями данной задачи. Исследуются условия, при которых этот мультиоператор является уплотняющим относительно векторной меры некомпактности. Применение теории топологической степени позволяет установить некоторые теоремы существования решений краевой задачи. В качестве частных случаев рассматриваются задача Коши и периодическая задача.

1. ВВЕДЕНИЕ В последние годы в ряде работ широко применялись операторные методы для исследования периодических и краевых задач для различных классов дифференциальных включений (см. [1–9]). В настоящей заметке мы изучаем общую краевую задачу для полулинейного функциональнодифференциального включения в сепарабельном банаховом пространстве. При этом мы не предполагаем компактности полугруппы, порождаемой линейной частью включения и компактности его нелинейной многозначной части. Строится многозначный интегральный оператор, неподвижные точки которого являются интегральными решениями данной задачи. Исследуются условия, при которых этот мультиоператор является уплотняющим относительно некоторой векторной меры некомпактности, что дает возможность применить в рассматриваемой задаче методы теории топологической степени для уплотняющих многозначных отображений (см. [3]). Устанавливаются теоремы существования интегральных решений общей краевой задачи. В качестве частных случаев рассматриваются задача Коши и периодическая задача. Напомним некоторые понятия (см., например, [3]). Пусть X — метрическое пространство, Y — банахово пространство, P (Y ) — совокупность всех непустых подмножеств Y. Символами K(Y ) и Kv(Y ) мы будем обозначать совокупности всех непустых компактных (соответственно, компактных выпуклых) подмножеств Y. Определение 1.1. Многозначное отображение (мультиотображение) F : X → K(Y ) называется полунепрерывным сверху (пн. св.), если F −1 (V ) = {x ∈ X : F(x) ⊂ V } — открытое подмножество X для любого открытого множества V ⊂ Y. Определение 1.2. Пусть E — банахово пространство и (A, > 0) — некоторое частично упорядоченное множество. Отображение β : P (E) → A называется мерой некомпактности (МНК) в E, если для любого Ω ∈ P (E) выполнено β(co Ω) = β(Ω). Мера некомпактности β называется: (а) монотонной, если из того, что Ω1 ⊆ Ω2 вытекает, что β(Ω1 ) 6 β(Ω2 ); (б) несингулярной, если для Ω ∈ P (E) и a ∈ E выполнено β(Ω ∪ {a}) = β(Ω); (в) инвариантной относительно объединения с компактным множеством, если для Ω ∈ P (Ω), K, относительно компактного в E выполнено β(Ω ∪ K) = β(Ω); Работа поддержана грантами РФФИ 05-01-00100 и 04-01-00081, а также ICS (CLG-981757). c

2006 РУДН

36

О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

37

(г) инвариантной относительно отражения в нуле, если β(−Ω) = β(Ω) для каждого Ω ∈ P (E). Если A — конус в E, то будем говорить, что МНК β: (д) алгебраически полуаддитивна, если β(Ω0 + Ω1 ) 6 β(Ω0 ) + β(Ω1 ) для всех Ω0 , Ω1 ∈ P (E); (е) правильна, если β(Ω) = 0 тогда и только тогда, когда Ω — относительно компактно. Наконец, МНК β называется вещественной, если A = [0, +∞] с естественным упорядочением и для любого ограниченного множества Ω ∈ P (E) выполнено β(Ω) < ∞. В качестве примера МНК, обладающей всеми перечисленными свойствами можно привести меру некомпактности Хаусдорфа: χ(Ω) = inf{ε > 0 : Ω имеет конечную ε-сеть }. В качестве других примеров мы можем привести следующие вещественные МНК, определенные на пространстве непрерывных функций C([a, b]; E) со значениями в банаховом пространстве E : (1) Модуль равностепенной непрерывности: mod C (Ω) = lim sup max kx(t1 ) − x(t2 )k. δ→0 x∈Ω |t1 −t2 | β(Ω). Пусть U — открытое множество E, K ⊆ E — выпуклое замкнутое множество такое, что UK = U ∩ K непусто и ограничено, и β — монотонная несингулярная МНК в E. / F(x) для Пусть F : U K → Kv(K) — β-уплотняющее пн. св. мультиотображение, причем x ∈ всех x ∈ ∂UK , где U K и ∂UK обозначают замыкание и границу множества UK в относительной топологии пространства K. В этой ситуации определена относительная топологическая степень мультиполя i − F, degK (i − F, U K ), обладающая всеми стандартными свойствами (см. [3]). В частности, отличие этой характеристики от нуля влечет существование хотя бы одной неподвижной точки x ∈ UK , x ∈ F(x). Мы будем использовать также следующее понятие. Пусть E — банахово пространство; для T > 0 символ L1 ([0, T ]; E) обозначает пространство интегрируемых по Бохнеру функций. 1 Определение 1.5. Последовательность {fn }∞ n=1 ⊂ L ([0, T ]; E) называется полукомпактной, если она интегрально ограничена и множество {fn (t)}∞ n=1 ⊂ E относительно компактно для п. в. t ∈ [0, T ].

38

М. М. БАСОВА, В. В. ОБУХОВСКИЙ

Теорема 1.1 (см., например, [3]). Всякая полукомпактная последовательность слабо компактна в L1 ([0, d]; E). 2.

ОБЩАЯ

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

Пусть E — сепарабельное банахово пространство. Для T > 0, h > 0 обозначим D = C([−h; T ]; E);

C = C([−h; 0]; E).

Для x ∈ D и t ∈ [0; T ] определена функция xt ∈ C, xt (θ) = x(t + θ),

θ ∈ [−h; 0].

Рассмотрим общую краевую задачу для полулинейного функционально-дифференциального включения x0 (t) ∈ Ax(t) + F (t, xt ), t ∈ [0; T ], (2.1) Bx ∈ Cx (2.2) при следующих предположениях. (A) Линейный оператор A : D(A) ⊆ E → E является производящим оператором C0 -полугруппы exp{tA}. Для мультиотображения F : [0, T ] × C → Kv(E) будем предполагать выполненными следующие условия: (F1) для любого c ∈ C мультифункция F (·, c) : [0; T ] → Kv(E) допускает измеримое сечение; (F2) для п. в. t ∈ [0; T ] мультиотображение F (t, ·) : C → Kv(E) пн. св.; (F3) для любого непустого ограниченного Ω ⊂ C найдется функция αΩ ∈ L1+ [0, T ] такая, что kF (t, c)k = sup{kzk : z ∈ F (t, c)} 6 αΩ (t)(1 + kckC ) для п. в. t ∈ [0, T ] и c ∈ Ω; (F4) найдется функция k ∈ L1+ [0, T ] такая, что для любого непустого ограниченного Ω ⊂ C выполнено χ(F (t, Ω)) 6 k(t)ϕC (Ω) для п. в. t ∈ [0, T ], где χ — МНК Хаусдорфа в E, а ϕC — модуль послойной некомпактности в пространстве C. Отметим, что для выполнения условия (F1) достаточно, чтобы мультифункция F (·, c) была измеримой для любого c ∈ C (см., например, [3]). При указанных условиях определен мультиоператор суперпозиции PF : D → P (L1 ([0, T ]; E)), заданный как PF (x) = {f ∈ L1 ([0, T ]; E) : f (t) ∈ F (t, xt ) п. в. t ∈ [0, T ]}. Для операторов из граничного условия (2.2) предполагается: (B) B : D → C — линейный ограниченный оператор; (C) мультиотображение C : D → Kv(C) является пн. св. и переводит ограниченные множества в относительно компактные. Определение 2.1. Интегральным решением задачи (2.1), (2.2) называется функция x ∈ D такая, что: Bx ∈ Cx; Zt exp{(t − s)A}f (s)ds,

x(t) = exp{tA}x(0) +

t ∈ [0; T ],

f ∈ PF (x).

0

Определение 2.2. Линейный оператор G : L1 ([0, T ]; E) → D, определенный как  t Z    exp{(t − s)A}f (s)ds, t ∈ [0; T ], Gf (t) =   0 0, t ∈ [−h; 0], назовем оператором Коши.

О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

39

Используя [3, лемма 4.2.1], [3, теорема 5.1.1] и [3, следствие 5.1.2], можно установить следующие свойства оператора Коши. Теорема 2.1. Для каждой полукомпактной последовательности {fn }∞ n=1 в пространстве 1 ∞ L ([0, T ]; E) последовательность {Gfn }n=1 относительно компактна в D. Теорема 2.2. Композиция G ◦ PF : D → Kv(D) является пн. св. мультиотображением с выпуклыми компактными значениями. Обозначим через D0 подпространство D, состоящее из функций вида x(t) = exp{tA}x(0), t ∈ [0, T ], и обозначим B0 сужение B на D0 . Наше основное предположение на граничные операторы B и C будет заключаться в следующем. (BC) Существует линейный ограниченный оператор Λ : C → D0 такой, что (I − B0 Λ)(y − BGf ) = 0 для любых x ∈ D, y ∈ C(x) и f ∈ PF (x). Для того, чтобы привести пример выполнения данного условия, рассмотрим линейный ограниченный оператор r : C → D0 , который определим как ( c(t), t ∈ [−h, 0], (rc)(t) = exp{tA}c(0), t ∈ [0; T ]. Предположим следующее: e Линейный ограниченный оператор B e : C → C, определенный как Bc e = B(rc), является обра(B) тимым. e оператор Λ можно задать явным образом: Нетрудно видеть, что при выполнении условия (B) e −1 (c)]. Λc = r[B В предположении, что условие (BC) выполнено, рассмотрим многозначный оператор Γ : D → Kv(D), заданный следующим образом: Γ(x) = ΛC(x) + (I − ΛB)GPF (x). Отметим, что из условия (C) и теоремы 2.2 вытекает, что мультиоператор Γ действительно имеет выпуклые компактные значения и, кроме того, полунепрерывен сверху. Нетрудно видеть также, что мультиоператор Γ ограничен, т. е. переводит ограниченные множества в ограниченные. Опишем его дальнейшие свойства. Теорема 2.3. Неподвижные точки мультиоператора Γ являются интегральными решениями задачи (2.1), (2.2). Доказательство. Пусть x ∈ Γ(x). Это означает, что существуют y ∈ C(x), f ∈ PF (x) такие, что x = Λz + (I − ΛB)Gf. Поскольку x можно тогда представить в виде x = Λ(y − BGf ) + Gf, заключаем, что x удовлетворяет интегральному уравнению из определения 2.1. Проверим выполнение граничного условия. Используя условие (BC), получаем Bx = B0 Λy + B(I − ΛB)Gf = y − (y − B0 Λy) + BGf + B0 ΛBGf = = y − (I − B0 Λ)(y − BGf ) = y ∈ Cx.

40

М. М. БАСОВА, В. В. ОБУХОВСКИЙ

Рассмотрим векторную меру некомпактности ψ на пространстве D со значениями в конусе R2+ с естественной частичной упорядоченностью: ψ(Ω) = (ϕD (Ω), mod C (Ω)), где ϕD — модуль послойной некомпактности в пространстве D. Отметим, что ϕD (Ω) = sup ϕC (Ωt ), 06t6T

где Ωt ⊂ C, Ωt = {xt : x ∈ Ω} и ϕC (Ωt ) =

sup χ(Ωt (τ )) = −h6τ 60

sup χ(Ω(t + τ )) = −h6τ 60

sup

χ(Ω(τ )),

t−h6τ 6t

для t ∈ [0, T ], где χ — МНК Хаусдорфа в E. Теорема 2.4. Пусть выполнены следующие условия: (H1) найдется b > 0 такое, что для любого ограниченного Ω ⊂ D, состоящего из функций, равных нулю на [−h, 0], выполнено ϕC (BΩ) 6 bϕD (Ω); (H2) найдется функция h ∈ C([0, T ]; R+ ) такая, что k exp{tA}k(χ) 6 h(t); (H3) (1 + kΛk(ϕC ,ϕD ) b) sup

Rt

h(t − s)k(s)ds = µ < 1, где k(·) — функция из условия (F4).

06t6T 0

Тогда мультиоператор ствах Ω из D.

Γ

является

ψ-уплотняющим

на

ограниченных

подмноже-

Заметим, что условие (H3) очевидно выполнено, если полугруппа exp{tA} компактна (h = 0) или мультиотображение F компактно по второму аргументу (в смысле k = 0.) Доказательство. Пусть Ω — ограниченное подмножество D, для которого выполнено ψ(ΓΩ) > ψ(Ω). Покажем, что тогда Ω относительно компактно. Из вышеприведенного неравенства следует, что ϕD (ΓΩ) > ϕD (Ω). Возьмем произвольное t ∈ [0; T ] и τ ∈ [t − h, t] и оценим χ(ΓΩ(τ )). Поскольку множество ΛC(Ω) относительно компактно, достаточно оценить только χ((I − ΛB)GPF (Ω)(τ )). Получаем χ(ΛBGPF (Ω)(τ )) 6 ϕD (ΛBGPF (Ω)) 6 kΛk(ϕC ,ϕD ) ϕC (BGPF Ω) 6 6 kΛk(ϕC ,ϕD ) bϕD (GPF (Ω)) = kΛk(ϕC ,ϕD ) b sup χ(GPF (Ω)(t)). 06t6T

Для оценки χ(GPF (Ω)(t)) заметим, что χ(exp{(t − s)A}F (s, Ωs )) 6 k exp{(t − s)A}k(χ) χ(F (s, Ωs )) 6 6 h(t − s)k(s)ϕC (Ωs ) 6 h(t − s)k(s)ϕD (Ω). Тогда согласно теореме о χ-оценке многозначного интеграла [3, теорема 4.2.3] получаем Zt h(t − s)k(s)ds · ϕD (Ω)

χ(GPF (Ω)(t)) 6 0

О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

41

и, используя свойство алгебраической полуаддитивности χ, имеем (ϕC ,ϕD )

χ((I − ΛB)GPF Ω(τ )) 6 (1 + kΛk

Zt h(t − s)k(s)ds · ϕD (Ω) = µ · ϕD (Ω).

b) sup 06t6T

0

Тогда ϕD (ΓΩ) = sup

χ(ΓΩ(τ )) 6 µ · ϕD (Ω).

sup

06t6T t−h6τ 6t

Получаем, что ϕD (Ω) 6 ϕD (ΓΩ) 6 µ · ϕD (Ω), откуда ϕD (Ω) = 0. Теперь мы покажем, что множество Ω равностепенно непрерывно. Заметим, что из

(2.3)

mod C (Ω) 6 mod C (ΓΩ) следует, что достаточно показать равностепенную непрерывность ΓΩ. Это эквивалентно тому, что для каждой последовательности {gn } ⊂ (I − ΛB)GPF (Ω)) это верно. Возьмем последовательность {gn }, тогда существует последовательность {xn } ⊂ Ω и последовательность {fn }, fn ∈ PF (xn ) такие, что gn = (I − ΛB)Gfn , n = 1, 2, . . . . Из условия (F3) вытекает, что последовательность функций {fn } интегрально ограничена. Из (2.3) следует, что для последовательности {xn } выполнено равенство χ({xn (t)}) = 0,

∀t ∈ [0, T ]

и, следовательно, по условию (F4), мы имеем п. в. t ∈ [0, T ]

χ({fn (t)}) = 0

и, значит, последовательность {fn } полукомпактна. Поскольку (I − ΛB) — линейный непрерывный оператор, то используя теорему 2.1, мы можем сделать вывод о том, что последовательность {gn } относительно компактна и, следовательно, равностепенно непрерывна. Относительная компактность Ω следует из теоремы Арцела—Асколи. Мы можем теперь, воспользовавшись возможностью применения к мультиоператору Γ теории топологической степени, сформулировать следующий общий принцип существования интегральных решений задачи (2.1), (2.2). Теорема 2.5. Пусть ограниченное множество Ω ⊂ D таково, что интегральный мультиоператор Γ не имеет неподвижных точек на ∂Ω и deg(i − Γ, Ω) 6= 0. Тогда множество интегральных решений задачи (2.1), (2.2), содержащихся в Ω, непусто. В качестве примера применения этого принципа мы можем рассмотреть следующее утверждение. Теорема 2.6. При указанных выше предположениях пусть выполнена следующая версия условия (F3): (H4) существует последовательность функций ωn ∈ L1+ [0; T ], n = 1, 2, . . . , такая, что sup kF (t, c)k 6 ωn (t)

п. в. t ∈ [0; T ],

kckC 6n

1 lim n→∞ n

ZT ωn (t)dt = 0; 0

(H5) выполнено следующее асимптотическое условие: kC(x)kC = 0. kxkD →∞ kxkD lim

Тогда множество интегральных решений задачи (2.1), (2.2) непусто.

42

М. М. БАСОВА, В. В. ОБУХОВСКИЙ

Доказательство. Покажем, что существует замкнутый шар Br ⊂ D такой, что Γ(Br ) ⊆ Br . В предположении противного, используя ограниченность мультиоператора Γ, мы найдем последовательность натуральных чисел Qn → ∞ и последовательности {xn } и {yn } в D такие, что yn ∈ Γ(xn ), kxn kD 6 Qn , kyn kD > Qn и kxn kD → ∞. Получаем оценку kyn kD 6 kΛCxn kD + kGfn kD + kΛBGfn kD 6 kΛkkCxn kC + (1 + kΛBk)kGfn kC([0,T ];E) , где fn ∈ PF (xn ). Поскольку exp{tA} — сильно непрерывная полугруппа, имеем для нее оценку k exp{tA}k 6 M eγt ,

t > 0,

для некоторых констант M > 1, γ > 0. Следовательно, γT

kyn kD 6 kΛkkCxn kC + M e

ZT kfn (s)kds.

(1 + kΛBk) 0

Тогда kyn kD kCxn kC 1 1< 6 kΛk + M ewT (1 + kΛBk) Qn Qn Qn

ZT kfn (s)kds 6 0

kCxn kC 1 6 kΛk + M ewT (1 + kΛBk) kxn kD Qn

ZT kfn (s)kds. 0

Из условий (H4) и (H5) тогда вытекает, что предел последнего выражения при n → ∞ равен 0, что и дает искомое противоречие. Теперь существование неподвижной точки мультиоператора Γ в Br следует из теоремы о неподвижной точке для уплотняющего мультиотображения [3, следствие 3.3.1]. 3.

НЕКОТОРЫЕ

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ

e Нетрудно видеть, что (ϕC , ϕD )-норма оператора r может 3.1. Случай выполнения условия (B). быть оценена следующим образом: krk(ϕC ,ϕD ) 6 R = max{1, sup h(t)}. 06t6T

Тогда для (ϕC , ϕD )-нормы оператора Λ, в свою очередь, получаем оценку e −1 k(ϕC ) . kΛk(ϕC ,ϕD ) 6 RkB Это означает, что в данном случае условие (H3) может быть задано следующим образом: Zt −1 (ϕ ) 0 C e k (H3 ) (1 + RkB b) sup h(t − s)k(s)ds < 1. 06t6T

0

3.2. Задача Коши. В этом случае граничное условие может быть записано в виде Bx = u,

(3.1)

e в этой ситуации — тождественгде Bx = x0 , а u ∈ C — некоторая заданная функция. Оператор B ный, b = 0 и поэтому условие (H3) принимает вид Zt (H300 ) sup h(t − s)k(s)ds < 1. 06t6T

0

Из теоремы 2.6 мы получаем тогда следующий результат. Теорема 3.1. При выполнении условий (A), (F1), (F2), (F4) (H2), (H300 ) и (H4) задача Коши (2.1), (3.1) имеет интегральное решение.

О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

3.3.

43

Периодическая задача. Рассмотрим граничное условие Bx = 0,

(3.2)

где Bx = xT − x0 , полагая для простоты, что T > h. Предположим также, что (A1) линейный оператор (exp{T A} − I) обратим. e выполнено. Тогда условие (B) e = c. Имеем Действительно, для заданной функции c ∈ C найдем функцию d ∈ C такую, что Bd (rd)T − d = c, откуда d(0) = (exp{T A} − I)−1 c(0) и далее для θ ∈ [−h, 0]: d(θ) = exp{(T + θ)A}d(0) − c(θ) = exp{(T + θ)A}(exp{T A} − I)−1 c(0) − c(θ). e −1 может быть задан в явном виде Таким образом, оператор B e −1 c)(θ) = exp{(T + θ)A}(exp{T A} − I)−1 c(0) − c(θ) (B и его (ϕC )-норма может быть оценена следующим образом: e −1 k(ϕC ) 6 sup h(t) · k(exp{T A} − I)−1 k(χ) + 1. kB 06t6T

Далее, нетрудно видеть, что в данном случае условие (H1) выполнено с константой b = 1, поэтому условие (H30 ) принимает форму    Zt (H3000 ) 1 + R sup h(t)k(exp{T A} − I)−1 k(χ) + 1 sup h(t − s)k(s)ds < 1. 06t6T

06t6T

0

Оператор Λ можем выписать в явном виде: ( exp{(T + t)A}(exp{T A} − I)−1 c(0) − c(t), t ∈ [−h, 0], (Λc)(t) = exp{tA}(exp{T A} − I)−1 c(0), t ∈ [0; T ]. Мультиоператор Γ в нашем случае имеет вид Γ(x) = (I − ΛB)GPF (x). Для его задания в явном виде заметим, что для f ∈ PF (x) имеем T Z+θ

exp{(T + θ − s)A}f (s)ds.

(BGf )(θ) = 0

Таким образом Γ(x) состоит из всех функций y ∈ D, которые для f ∈ PF (x) при t ∈ [−h, 0] имеют вид T +t Z ZT −1 y(t) = exp{(T + t − s)A}f (s)ds − exp{(T + t)A}(exp{T A} − I) exp{(T − s)A}f (s)ds, 0

0

а при t ∈ [0, T ] — вид Zt

−1

ZT

exp{(t − s)A}f (s)ds − exp{tA}(exp{T A} − I)

y(t) = 0

exp{(T − s)A}f (s)ds 0

(ср. [2, 3]). Применение теоремы 2.6 дает следующее утверждение. Теорема 3.2. При выполнении условий (A), (A1), (F1), (F2), (F4), (H2), (H3000 ), (H4) периодическая задача (2.1), (3.2) имеет интегральное решение.

44

М. М. БАСОВА, В. В. ОБУХОВСКИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Ding Z., Kartsatos A. G. Nonresonance problems for differential inclusions in separable Banach spaces// Proc. Amer. Math. Soc. — 1996. — 124, № 8. — С. 2357–2365. 2. Kamenskii M., Obukhovskii V. Condensing multioperators and periodic solutions of parabolic functionaldifferential inclusions in Banach spaces// Nonlinear Anal. — 1993. — 20, № 7. — С. 781–792. 3. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach spaces. — Berlin–New York: Walter de Gruyter, 2001. 4. Kravvaritis D., Papageorgiou N. S. A boundary value problem for a class of evolution inclusions// Comment. Math. Univ. St. Paul. — 1991. — 40, № 1. — С. 29–37. 5. Marino G. Nonlinear boundary value problems for multivalued differential equations in Banach spaces// Nonlinear Anal. — 1990. — 14, № 7. — С. 545–558. 6. Obukhovskii V., Zecca P. On boundary value problems for degenerate differential inclusions in Banach spaces// Abstr. Appl. Anal. — 2003. — № 13. — С. 769–784. 7. Papageorgiou N. S. Boundary value problems for evolution inclusions// Comment. Math. Univ. Carolin. — 1988. — 29, № 2. — С. 355–363. 8. Papageorgiou N. S. Boundary value problems and periodic solutions for semilinear evolution inclusions// Comment. Math. Univ. Carolin. — 1994. — 35, № 2. — С. 325–336. 9. Zecca P., Zezza P. L. Nonlinear boundary value problems in Banach spaces for multivalue differential equations on a noncompact interval//Nonlinear Anal. — 1979. — 3, № 3. — С. 347–352.

Марина Михайловна Басова Математический факультет, Воронежский госуниверситет, Россия, 394006 Воронеж, Университетская пл., 1 E-mail: [email protected] Валерий Владимирович Обуховский Математический факультет, Воронежский госуниверситет, Россия, 394006 Воронеж, Университетская пл., 1 E-mail: [email protected]