М И Н И СТ Е РСТ В О О Б РА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н ЫЙ У...
16 downloads
197 Views
273KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М И Н И СТ Е РСТ В О О Б РА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н ЫЙ У Н И В Е РСИ Т Е Т
И ССЛЕ Д О В А Н И Е И П О СТ РО Е Н И Е ГРА Ф И К О В Ф У Н К Ц И Й СП О М О Щ ЬЮ СИ СТ Е М Ы «М А Т Е М А Т И К А » Лабораторныеработы для с тудентов 1 к урс а п ос п ециаль нос ти «М атем атик а» ш иф р510100
В оронеж 2003
У т верж д ен о н а у чн о-м ет од ическим совет ом м а т ем а т ического ф а ку льт ет а № от 3 м а рт а 2003 г.
С ост а вит ели: Голова н ева Ф а ин а В а лен т ин овн а , Па н ычева С вет ла н а Борисовн а
Под гот овлен о н а ка ф ед ре м а т ем а т ического а н а лиза м а т ем а т ического ф а ку льт ет а В орон еж ского госу д а рст вен н ого у н иверсит ет а . Реком ен д у ет сяд ляст у д ен т ов 1 ку рса д н евн ого от д елен ия.
5
3
В В Е Д Е НИЕ Н а ст оящий ла бора т орн ый пра кт ику м пред н а зн а чен д ля препод а ва т елей, ст у д ен т ов, изу ча ющих м а т ем а т ический а н а лиз, ш кольн иков ст а рш их кла ссов, а т а кж е лиц, ин т ересу ющихсяиспользова н ием па кет а «М а т ем а т ика ». К ратк оеоп ис аниелабораторных работ Лабораторная работа№ 1. «Знак ом с тв осп ак етом «М А Т Е М А Т И К А ». П ос троение граф ик ов ф унк ций сп ом ощ ь ю э лем ентарных п реобразов аний ». Ла бора т орн а я ра бот а состоит из д ву х ча ст ей. Целью первой ча сти являет ся освоен ие гла вн ых прием ов ра бот ы с па кет ом «М а т ем а т ика », зн а ком ст во с осн овн ым и ф у н кциям и па кет а . В т ора яча ст ь посвящен а изу чен ию способов пост роен ия гра ф иков ф у н кций с пом ощью элем ен т а рн ых преобра зова н ий. С т у д ен т са м ост оят ельн о д олж ен сд ела т ь вывод о повед ен ии гра ф ика ф у н кции в т ом или ин ом слу ча е. Ф орм иру ет ся у м ен ие а н а лизирова т ь, сра вн ива т ь, д ела т ь вывод ы. Ра ссчит а н а ра бот а н а 4 – 6 ча сов. троение граф ик ов ф унк ций сп ом оЛабораторная работа № 2. «П ос щ ь ю п олногоих ис с ледов ания». При изу чен ии эт ой т ем ы м ы ст а лкива ем сяс т ем , чт о очен ь м н ого врем ен и при исслед ова н ии ф у н кций у ход ит н а вычислен ие пред елов, производ н ых, преобра зова н ие выра ж ен ий – д ейст вий, д ост а т очн о хорошо от ра бот а н н ых н а пред ыд у щих за н ят иях. В резу льт а т е очен ь м а ло врем ен и ост а ет ся н а са м о пост роен ие гра ф ика . Прим ен яяпа кет «М а т ем а т ика », м ы а вт ом а т изиру ем вычислен ие пред елов, производ н ых, у прощен ие выра ж ен ий. При выполн ен ии этой ра бот ы, исслед ова в ф у н кцию, ст у д ен т ст роит эскиз гра ф ика ф у н кции, а за т ем проверяет свои пред полож ен ия с пом ощью соот вет ст ву ющих ф у н кций па кет а . Целью ра бот ы № 2 являет ся д а льн ейшее освоен ие ф у н кций па кет а «М а т ем а т ика », облегчен ие т ру д оем ких преобра зова н ий. Н о н е т олько эт о. В ыполн яяза д а н ия, сту д ен т осозн а ет , чт о н екот орые ф у н кции па кет а опред елен ы н е т а к, ка к это н а м бы хот елось, из-за чего резу льт а т н е совпа д а ет с т ем , чт о д олж н о быт ь. Э т о очен ь ва ж н о, т.к. у человека , ра бот а ющего с ком пьют ером , н е д олж н о быт ь слепого д оверияк м а ш ин е. Ч еловек д олж ен зн а т ь возм ож н ост и програ м м ы, с кот орой он ра бот а ет , и у м ет ь пост а вит ь за д а чу т а к, чт обы полу чит ь пра вильн ый от вет . С т а вит сяза д а ча ф орм ирова н иям а т ем а т ической ку льт у ры ст у д ен т а : у м ен ие пост а вит ь за д а чу , пред ва рительн о спрогн озирова т ь кон ечн ый резу льт а т и проа н а лизирова т ь причин ы ра схож д ен ияож ид а ем ого и полу чен н ого. Ра бот а ра ссчит а н а н а 4 ча са . троение граф ик ов ф унк ций , заданЛабораторная работа № 3. «П ос ных п арам етричес к и». Ра бот а ра ссчит а н а н а 4 ча са . В ра бот е д а н а схем а полн ого исслед ова н ия ф у н кции, за д а н н ой па ра м ет рически. В се ра боты провод ят сяс прим ен ен ием па кет а «М а т ем а т ика ».
4
Лабораторная работа№ 1 «ЗН А К О М СТ В О СП А К Е Т О М «М А Т Е М А Т И К А ». П О СТ РО Е Н И Е ГРА Ф И К О В Ф У Н К Ц И Й СП О М О Щ ЬЮ Э ЛЕ М Е Н Т А РН ЫХ П РЕ О Б РА ЗО В А Н И Й » О Б РА Т И Т Е В Н И М А Н И Е ! 1. А ргу м ен т ф у н кции за ключа ет сяв ква д ра т н ые скобки. 2. В вед я ком а н д у , н а ж м ит е сочет а н ие кла виш SHIFT + ENTER д ля ее выполн ен ия. 3. Зн а к % озн а ча ет введ ен н ое ра н ее выра ж ен ие, а N[%] - вычислен ие зн а чен ияпред ыд у щего выра ж ен ия. Задание 1. О зн а ком ьт есь с привед ен н ым и н иж е ф у н кциям и па кет а «М а т ем а т ика ». В ыполн ит е привед ен н ые в т а блице прим еры н а ПК . Н ек оторыеф унк ции п ак ета«М атем атик а» Ф унк ция
О бщ ий в ид
П рим ер
С лож ен ие В ычит а н ие У м н ож ен ие
+ * или « »(пробел) /
2+3 7-6 2*3 3х 22/7
Д елен ие
22/7.
В озвед ен ие 2^3 ^ в ст епен ь Н а хож д ен ие 1. Exp[] 1. Exp[3] экспон ен т ы 2. N[%] 2. N[%] В ычислен ие Log[] Log[E^2] н а т у ра льн ого лога риф ма В ычислен ие Log[,] Log[10, 100] лога риф м а по осн ова н ию b
Т а блица 1.1 Резуль тат 5 1 6 22 (р езул ь т ат в 7 в и де обы кнов енной др оби ) 3.14286 (р езул ь т ат в в и де деся т и ч ной др оби ) 8 1. e3 2. 20.085 2
2
5
Пр одол ж ени е т абл и цы 1.1 П рим ер Резуль тат
Ф унк ция
О бщ ий в ид
В ычислен ие син у са у гла
Sin[]
Sin[Pi]
В ычислен ие косин у са у гла
Cos[]
Cos[2*Pi/3]
−
В ычислен ие т а н ген са у гла В ычислен ие кот а н ген са у гла
Tan[]
Cos[2*Pi/3.] Tan[Pi/4]
-0.5 1
В ычислен ие а рксин у са у гла В ычислен ие а рккосин у са у гла В ычислен ие а ркт а н ген са у гла В ычислен ие а рккот а н ген са у гла В ычислен ие зн а чен ия выра ж ен ия при за д а н н ом х
ArcSin[]
Cot[]
1. Cot[1/2^(1/2)] 2. N[%] ArcSin[3^(1/2)/2]
0
1 2
1 ] 2 2. 1.17026
1. Cot [
π 3
ArcCos[] ArcTan[]
Прид у м а йт е прим еры са м ост оят ельн о и произвед ит е вычислен ия
ArcCot[] /.{x→чис ло} (x-x^2)^3/.{x→2}
В ычислен ие ква д ра т н ого корн я
Sqrt[]
В ычислен ие гиперболического син у са
Sinh[]
-8
Sqrt[4]
2
Sqrt[-4]
2i
Sinh[Log[3]]
4 3
6
Ф унк ция
О бщ ий в ид
В ычислен ие гиперболического косин у са
Cosh[]
В ычислен ие гиперболического т а н ген са
Tanh[]
В ычислен ие гиперболического кот а н ген са
Coth[]
Пост роен ие гра ф ика ф у н кции f(x) н а у ча ст ке [x1, x2]
Plot[f[x], {x, x1, x2}]
Cosh[Log[3]] 5 3 Tanh[Log[3]] 4 5 Coth[Log[3]] 5 4
Пост роен ие Plot[{f[x], g[x]}, {x, x 1, гра ф иков x2}] д ву х ф у н кций f(x) и g(x) в од н ой сист ем е коорд ин а т н а у ча ст ке [x1, x2] С овм естн ый пока з д ву х гра ф иков, пост роен н ых по от д ельн ост и
Пр одол ж ени е т абл и цы 1.1 П рим ер Резуль тат
Plot[x^2, {x, -2, 2}]
Plot[{x^2,x}, {x,-3, 3}]
Резу льт а т просм от рит е с пом ощью сист ем ы «М а т ем а т ика »
Show[%,%%] О су щест вит е од н оврем ен н ый пока з т рех гра ф иков, пост роен н ых по от д ельн ост и, в од н ой коорд ин а т н ой плоскост и
7
П рим еры зап ис и нек оторых в ыраж ений сп ом ощ ь ю п ак ета«М атем атик а»: Табл и ца 2.1 О бычная зап ис ь
Зап ис ь в п ак ете«М атем атик а»
et sin 2t
Exp[t]*Sin[2t]
et sin2 2t
Exp[t]*(Sin[2t])^2
et sin t2
Exp[t]*Sin[t^2]
3t 2 t3 − 8(−1 + t ) 8(−1 + t ) 2 2log4sin x
3t^2/(8(-1+t)) – t^3/(8(-1+t)^2)
log5|1 – 2-x|
Log[5,Abs[1-2^(-x)]]
3
2^(Log[4, Sin[x])
1 − sin 2 x
Sqrt[1 - (Sin[x])^2]
x 2 − 3x + 2
(x^2-3x+2)^(1/3)
Задание 2. С пом ощью па кет а «М а т ем а т ика »пост ройт е гра ф ики ф у н кций, за д а н н ых в п. 2.2 – 2.8. К ром е особо оговорен н ых слу ча ев, f(x) = x3, g(x) = cos x. Перен есит е эскизы чертеж ей в т ет ра д ь с пом ощью цвет н ых ка ра н д а шей. Н а д пиш ит е ка ж д ый из гра ф иков. С ф орм у лиру йт е и за пиш ит е вывод ы о преобра зова н иях гра ф иков ф у н кций. П рим ерв ып олнения задания 2.1. Построим гра ф ик ф у н кции y = f(ax). Ра ссм от рим слу ча и 0{-2,2}, PlotStyle->{Hue[0.3]}] SHIFT+ENTER b) In[2]:= Plot[(2*x)^3,{x,-3,3},PlotRange->{-2,2}, PlotStyle->{Hue[0.6]}] SHIFT+ENTER c) In[3]:= Plot[((1/2)*x)^3,{x,-3,3},PlotRange->{-2,2}, PlotStyle->{Hue[0.9]}] SHIFT+ENTER d) In[4]:= Show[%,%%,%%%] SHIFT+ENTER Ø О пцияPlotRange за д а ет н а ибольш ее и н а им ен ьш ее зн а чен ие, у ка зыва ем ое н а оси OY, чт о позволяет н а гляд н о пред ст а вит ь ра зличие в гра ф ика х ф у н кций.
8
Ø О пцияPlotStyle ф орм иру ет ра зличн ые способы пред ст а влен ия гра ф ика пу тем за д а н иягра ф ических д ирект ив, сред и кот орых у пом ян ем Thickness[d], опред еляющу ю от н осительн у ю т олщин у лин ии, Hue[d], опред еляющу ю цвет лин ии и у ст а н овку Dashing[{d1,d2,… }] (при н еобход им ост и прим ен ит ь пу н кт ирн у ю лин ию), опред еляющу ю ра зм еры послед ова т ельн ых сегм ен т ов прерывист ой лин ии (ра зм еры повт оряют сяциклически). Ч исла d, di за ключен ы м еж д у 0 и 1. y = g(ax). Ра ссм от рит е слу ча и 0{-2,2}, PlotStyle->{Hue[0.3]}] SHIFT+ENTER f) In[5]:= Plot[Cos[2*x],{x,-4*Pi,4*Pi},PlotRange->{-2,2}, PlotStyle->{Hue[0.6]}] SHIFT+ENTER g) In[6]:= Plot[Cos[(1/2)*x],{x,-4*Pi,4*Pi},PlotRange->{-2,2}, PlotStyle->{Hue[0.9]}] SHIFT+ENTER h) In[7]:= Show[%,%%,%%%] SHIFT+ENTER Ø Д ейст вия (d) и (h) позволяют пока за т ь н а од н ом рису н ке все три введ ен н ых ра н ее гра ф ика в од н ой коорд ин а т н ой плоскост и. При выполн ен ии послед у ющих за д а н ий д ейст ву йт е а н а логичн о. 2.2. y = -f(x), y = -g(x). y = f(-x), y = g(-x). 2.3. y = f(x) + a, y = g(x) + a. y = f(x + a), y = g(x + a). Ра ссм от рит е слу ча и a0. 2.4. y = f(|x|), y = |f(x)|. В д а н н ом слу ча е возьм ит е f(x) = х +3, пред елы изм ен ен иях: [-12; 12]. Пред елы изм ен ен ияy: [-13, 13]. 2.5. y = f(ax+b). С а м ост оят ельн о ра ссм от рит е гра ф ики ф у н кций при ра зличн ых зн а чен иях a и b. 2.6. y = sgn(f(x)), y = sgn(g(x)). О бра т ит е вн им а н ие, чт о гра ф ик эт ой ф у н кции сист ем а «М а т ем а т ика »пост роила н е совсем верн о. За рису йт е в т ет ра д ь гра ф ик, н а рисова н н ый сист ем ой «М а т ем а т ика »и т а кой, ка ким он д олж ен быт ь. 2.7. Пост ройт е ф у н кции y1 = x, гра ф ик ф у н кции y2 = cos x, гра ф ик ф у н кции y(x) = y1(x) + y2(x). Пока ж ит е все т ри гра ф ика н а од н ом черт еж е. С д ела йт е вывод . 2.8. Пост ройт е гра ф ик ф у н кции y1 = x, гра ф ик ф у н кции y2 = cos x, гра ф ик ф у н кции y(х) = y1(х) ⋅ y2(х). Пока ж ит е все т ри гра ф ика н а од н ом чер-
9
т еж е. С д ела йт е вывод . При выполн ен ии след у ющих за д а н ий гра ф ик ка ж д ой ф у н кции ст ройт е н а от д ельн ом рису н ке, использу я ра зличн ые ст или лин ий. За т ем все гра ф ики совм ест ит е н а од н ом рису н ке. С д ела йт е вывод ы. Пост роит ь гра ф ики ф у н кций y = xn при n = 3; 5; 7. Пост роит ь гра ф ики ст епен н ой ф у н кции y = xn при n = 2; 4; 6. Пост роит ь гра ф ики ф у н кций y = m x при m = 2; 4. m Пост роить гра ф ики ф у н кций y = x при m = 3; 5. О бра т ит е вн им а н ие, чт о в сист ем е «М а т ем а т ика »н е опред елен корен ь н ечет н ой ст епен и из от рица тельн ого числа . К а к ж е все-т а ки пост роит ь н у ж н ые н а м гра ф ики? 2.13. Пост роит ь гра ф ики ф у н кций y = ax при а = ½ ; 1; 2; e; 10. 2.14. Пост роит ь гра ф ики ф у н кций y = logax при а = ½ ; 2; e; 10. В с ледую щ их заданиях граф ик к аж дой ф унк ции изображ ай те наотдель ном рис унк е 2.15. Пост роит ь гра ф ики ф у н кций y = arcsin x, y = arcos x, y = arctg x, y = arcctg x. 2.16. Пост роит ь гра ф ики ф у н кций y = arcsin(sin x), y = arcsin(cos x), y = arctg(tg x), y = arcos(cos x). О бъясн ит е полу чившиеся резу льт а т ы.
2.9. 2.10. 2.11. 2.12.
5. 6. 7. 8.
В опросы д ляса м опроверки 1. Как пол уч и т ь гр афи к функци и y=f(x+a) и з гр афи ка функци и y=f(x) пр и a>0 и пр и a0 и пр и a1, пр и 00. f ′′( x ) :
f ′′( x3 ) =0 - или н е ∃ - f ′′( x 4 ) =0 + + в ып . ↓
х 3=т.п . f(х3) = ?
в ып . ↑
х 4= т.п . f(х4) = ?
в ып . ↓
14
2. Н ек оторыеоп ераторы и ф унк ции п ак ета«М атем атик а» Т а блица 2.2 Ф унк ция О бщ ий в ид П рим ер Резуль тат Ра злож ен ие Factor[] Factor[x^2-1] н а м н ож ит ели выра ж ен ия Expand[(x^2+2xП рив едеExнием ного- pand[] 1)^2] членак с тандартном у в иду
(-1 + x)(1 + x)
1 – 4x +2x2 + 4x3 + x4
{{x → 0}, {x → -i}, {x → i}} {{x → -1.41421}, {x → 1.41421}} Пр ов ер ь т е, в каком в и де будет в ы дан от в ет дл я эт ого ур ав нени я пр и и спол ь зовани и функци и Solve FindMinimum {-0.5, {x → [Sin[x]*Cos[x],{x,0}] -0.785398}}
Решен ие Solve[== Solve[x^3+x-2==-2] у ра вн ен ий ] Н а хож д еNSolve[ NSolve[x^2 – 2 ==0] н ие при== ] ближ ен н ых зн а чен ий корн ей у ра вн ен ий
Н а хож д ен ие м ин им у м а ф у н кции f, за висящей от х, н а у ча ст ке, н а чин а ющем сяс х0 Н а хож д ен ие производ н ой по х за д а н н ой ф у н кции В ычислен ие пред ела ф у н кции f при х →х 0 Ф у н кция sign
FindMinimum[f,{x, x0}]
D[f, x]
D[3x – x^3 , x]
3 – 3x2
Limit[f, x → x0]
Limit[Sin[x]/x, x→0]
1
Sign[]
Sign[x/.{x→2}]
1
15
3. П орядок в ып олнения лабораторной работы 1. С пом ощью па кет а «М а т ем а тика »выполн ит е прим еры, привед ен н ые в та блице 2. 2. Пользу ясь привед ен н ым н иж е обра зцом , выполн ит е вычислен ия, н еобход им ые д ляпост роен иягра ф ика y = 3 x 3 − x 2 − x + 1 . Пост ройт е гра ф ик эт ой ф у н кции За пиш ит е ход ра бот ы в т ет ра д ь, письм ен н о от веча ян а за д а н н ые в обра зце вопросы. 3. В ыполн ит е ин д ивид у а льн ое за д а н ие. 4. О бразец п ос троения граф ик аф унк ции Задан ие: пост р ои т ь гр афи к функци и y = 3 x 3 − x 2 − x + 1 . 1. Н а йд ем обла ст ь опред елен ия: х ∈ (- ∞ ; +∞) 2. Т .к. обла ст ь опред елен ияф у н кции сим м ет ричн а от н осит ельн о н а ча ла коорд ин а т , проверим ф у н кцию н а чет н ость/н ечет н ост ь. In[ ] (x^3 – x^2 – x + 1)^(1/3)/.{ x → -x} SHIFT + ENTER 2
3
Out[ ] (1 + x – x – x )
1 3
В ыв од: ф у н кциян и чет н а я, н и н ечет н а я. И сслед у ем ф у н кцию н а период ичн ост ь. Решим у ра вн ен ие 3 x 3 − x 2 − x + 1 = 3 ( x + Т )3 − ( x + Т ) 2 − ( x + Т ) + 1 , кот орое ра вн осильн о след у ющем у : х3 – х2 – х + 1 = (х + Т )3 – (х + Т )2 – (х + Т ) + 1 In[ ] Solve[x^3-x^2-x+1==(x+T)^3-(x+T)^2-(x+T)+1,T] * SHIFT+ENTER 2 2 Out[ ] {{T → 0}, {T → (1 - 3 x - Sqrt[(-1 + 3 x) - 4 (-1 - 2 x + 3 x )]) / 2}, {T → (1 - 3 x + Sqrt[(-1 + 3 x) 2 - 4 (-1 - 2 x + 3 x 2 )]) / 2}} В ыв од: реш а яу ра вн ен ие от н осит ельн о Т , м ы полу чили, что либо Т =0 (чт о прот иворечит опред елен ию период ичн ой ф у н кции), либо Т за висит от х, т .е. н е являет сякон ст а н т ой. С лед ова т ельн о, исслед у ем а яф у н кция н е являет ся период ической. 3. О пред елим т очки пересечен иягра ф ика ф у н кции с осям и коорд ин а т и ин т ерва лы зн а копост оян ст ва : Т после за пят ой в д а н н ом выра ж ен ии озн а ча ет , чт о у ра вн ен ие д олж н о быт ь решен о от н осит ельн о Т .
*
16
In[ ] Solve[x^3 – x^2 – x + 1 == 0 Out[ ] {{x → -1}, {x → 1}, {x → 1}} In[ ] Factor[x^3 – x^2 – x + 1] Out[ ] (-1 + x)2(1 + x) + -1
SHIFT + ENTER SHIFT + ENTER +
1
В ыв од: y(-1) = 0; y(1) = 0; y (0) = 1; y ≥ 0 при x > -1; y < 0 при x < -1. 4. И сслед у ем повед ен ие ф у н кции в гра н ичн ых т очка х обла ст и опред елен ия. SHIFT + ENTER In[ ] Limit[(x^3 – x^2 – x + 1)^(1/3), x → +∞] Out[ ] ∞ или Infinity In[ ] Limit[(x^3 – x^2 – x + 1)^(1/3), x → -∞]
SHIFT + ENTER
Out[ ] DirectedInfinity[ (− 1) ] В ыв од: lim y = +∞ ; lim y = −∞ . 1 3
x → +∞
x → −∞
5. Ра ссм от рим вопрос оба сим пт от а х. • У тв ерж дение: В ерт ика льн ой и горизон т а льн ой а сим пт от у гра ф ика ф у н кции н е су щест ву ет . (П очем у?) In[ ] Limit[(x^3 – x^2 – x + 1)^(1/3)/x, x → ∞ ] Out [ ] 1
SHIFT+ ENTER
In[ ] Limit[(x^3 – x^2 – x + 1)^(1/3) - x, x → ∞ ]
SHIFT+ ENTER
Out [ ]
−
1 3
В ыв од: су щест ву ет н а клон н а яа сим пт от а , опред еляем а яф орм у лой: y=x −
1 3
• Покаж и т е, ч т о эт а ж е пр я мая я в л я ет ся аси мпт от ой пр и х → −∞. 6. Н а йд ем т очки экст рем у м а ф у н кции, выясн им пром еж у т ки возра ста н ияи у быва н ияф у н кции. Н а йд ем зн а чен ияф у н кции в т очка х экст рем у м а . In[ ] D[(x^3 – x^2 – x + 1)^(1/3), x]
SHIFT + ENTER
17
Out[ ]
− 1 − 2x + 3x 2 2 3 3
3(1 − x − x + х ) У прост им полу чивш еесявыра ж ен ие, ра злож ив числитель и под корен н ое выра ж ен ие в зн а м ен а т еле н а м н ож ит ели и сокра т ив д робь. Прод ела йт е са м ост оят ельн о, воспользова вш ись д ляра злож ен иян а м н ож ит ели ф у н кцией Fac1 x+ 1 3 tor. Полу чим : y′ = . В т очке х = − производ н а яобра ща ет ся 2 3 3 ( x − 1)( x + 1) в н у ль; в т очке х = 1 производ н а ян е су щест ву ет . 2
• Пр овер ь т е, меня ет л и пр ои зв одная знак, пер еходя ч ер ез пол уч енны е в ы ш е т оч ки . В ычислим зн а чен ияф у н кции в т очка х экст рем у м а In[ ] (x^3 – x^2 – x + 1)^(1/3)/. {x → (-1/3)} 2/3 22 Out[ ] 3 In[ ] N[%] Out[ ] 1.05827
SHIFT + ENTER
In[ ] (x^3 – x^2 – x + 1)^(1/3)/. {x → 1} Out[ ] 0
SHIFT + ENTER
SHIFT + ENTER
В ыв од: зн а к y′ :
+
y′= 0
1 3 max 1 y(- ) ≈ 1,1 3 -
-
y′ н е ∃
+
1 min y(1) = 0
7. О пред елим т очки перегиба и у ст а н овим пром еж у т ки выпу клост и ф у н кции. О пред елим зн а чен ияф у н кции в т очка х перегиба . Перву ю производ н у ю ф у н кции у пред ст а вим в вид е: 3x + 1 у′= 33 (1 − x ) 2 ( x + 1)
18
In[ ] D[(3x + 1)/(3*(x - 1)^(1/3)*(x + 1)^(2/3))), x] SHIFT + ENTER 1 2(1 + 3x ) 1 + 3x Out[ ] − − 1 2 1 5 4 2 3 3 3 3 3 ( −1 + x ) (1 + x ) 9( −1 + x ) (1 + x ) 9(−1 + x ) (1 + x ) 3 У прост им полу чивш еесявыра ж ен ие. Привед яд роби к общем у зн а м ен а т елю (прод ела йт е са м ост оят ельн о), полу чим : 9x 2 − 9 − 2(1 + 3x )( x − 1) − (1 + 3x )( x + 1) 4
5
9( x − 1) 3 ( x + 1) 3 У прост им числит ель: In[ ] Expand[9x^2 – 9 – 2(1 + 3x)(x – 1) – (1 + 3x)(x + 1)] Out[] -8 −8 y′′ = 4 5 9( x − 1) 3 ( x + 1) 3
SHIFT + ENTER
В ыв од: зн а к y′′ :
+
y′′ н е су щест ву ет
-
x 3 = -1 т.п .
y(-1) = 0 Т еперь, использу яполу чен н ые вывод ы, м ож н о пост роит ь гра ф ик д а н н ой ф у н кции. 8. Пост роим гра ф ик эт ой ф у н кции с пом ощью сист ем ы «М а т ем а т ика »: In[ ] Plot[{(x^3-x^2-x+1)^(1/3), x-1/3}, {x, -3, 3}] Out[ ]
SHIFT + ENTER
Plot::plnr: CompiledFunction[{x}, , -CompiledCode-][x] is not a machine-size real number at x = -3.. Plot::plnr: CompiledFunction[{x}, , -CompiledCode-][x] is not a machine-size real number at x = -2.75. Plot::plnr: CompiledFunction[{x}, , -CompiledCode-][x] is not a machine-size real number at x = -2.5. General::stop: Further output of Plot::plnr
19
will be suppressed during this calculation.
-GraphicsО бра т ит е вн им а н ие, чт о сист ем а «М а т ем а т ика »от ка зыва ет сяпрод олж а т ь гра ф ик при х, обра ща ющих под корен н ое выра ж ен ие в от рица т ельн ое число. О д н а ко м ы зн а ем , чт о при х < -1 ф у н кция опред елен а , а зн а чит , и гра ф ик д олж ен быт ь д остроен . • Д ост р ойт е гр афи к самост оя т ел ь но. 5. И н д ивид у а льн ые за д а н ия Пост ройт е гра ф ики ф у н кций, провед яполн ое их исслед ова н ие 2x x2 + 1 x a) y = 2 x −4 2x + 1 a) y = 3− x x3 a) y = 2( x + 1) 2 4x + 1 a) y = 1+ x2 x 2 + 16 a) y = 4x 3x a) y = 1 + x2 3 − x2 а) у = x+2 5x 2 а) у = 2 x − 25
x + 4−x
1. a) y =
b) y =
2.
b) y = x –
3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
b) y =
3
3
x2
x 2 − 3x + 2
c) y = log1/2(x – 1)2 1 c) y = - sin x ⋅ cos x 2 c) y =
1 − sin 2 x
1
c) y = 2log4sin x
b) y = e x −1 b) y =
3
(1 + x ) 2 + 3 (1 − x ) 2
b) y =|х+2| e
−
1 x
b) y = (х+1)е-2х b) y = ln x -
1 2 х 2
b) y = ln(x 2+9)
c) y = sin x - 3 cos x c) y =
1 + cos x sin x
c) y = log5|1 – 2-x| 1 sin x + cos x 1 c) y = sin x
c) y =
20
10. 11. 12. 13.
( x − 4)( x 2 − 9) a) y = b) y = x 2 + 9 + x 2 − 9 2 x − 5x + 6 x3 − x b) y = 3 x 2 − x a) y = 2 ( x + 2) ( x − 10) x 4 − 9x 2 a) y = b) y = x2/3 + 5 ( x − 1) 2 2 2 ( x − 4) ( x + 1) ( x − 4) 2 ( x + 1)( x + 3) x2 +1 a) y = b) y = arctg x ( x 2 − 4)( x + 2) 2 3
x x −4 2х + 3 15. a) y = (1 – x4)(x + 3)(x – 2)2 b) y = х −1 14. a) y = (x – 2)(x2 – 4)
b) y =
2
x2 + 1 b) y = x sin x
1 1 1 16. a) y = − + x x −1 x + 2
с) y = x + sin x 2 x −3 x+2 c) y = arctg x−3
c) y = arccos
c) y = (x2 – 1)⋅cos
π х
1 c) y = x + ( ) х π c) y = 3sin
4
x + cos 4 x
х 2 −1
c) y = 2
х2 −4
Лабораторная работа№ 3
«П О СТ РО Е Н И Е ГРА Ф И К О В Ф У Н К Ц И Й , ЗА Д А Н Н ЫХ П А РА М Е Т РИ Ч Е СК И » 1. И с п оль зуем ая ф унк ция п ак ета«М атем атик а» Ф унк ция Пост роен ие гра ф ика ф у н кции, за д а н н ой па ра м ет рически
О бщ ий в ид ParametricPlot [{x(t), y(t)},{t, t1, t2}]
П рим ер ParametricPlot[{Sin[t], Cos[t]},{t, -Pi, Pi}]
2. С хем а исслед ова н ияф у н кций, за д а н н ых па ра м ет рически С хем а исслед ова н ия ф у н кции, за д а н н ой па ра м ет рически, прин ципиа льн о н е отлича ет ся от схем ы исслед ова н ия ф у н кции, за д а н н ой явн о у ра вн ен ием y = f(x). Н о ест ь и н екот орые особен н ост и. Если ф у н кция за д а н а сист ем ой у ра вн ен ий х = x(t), у = y(t), гд е t ∈ D (D – обла ст ь изм ен ен ия па ра м ет ра ), т о д ля пост роен ия гра ф ика т а кой ф у н кции н а плоскост и xО y н еобход им о произвест и н е т олько исслед ова н ия ф у н кций х = x(t) и у = y(t), н о и ф у н кции у = у (х). Ра ссм а т рива ем ый пром еж у т ок D изм ен ен ия па ра м ет ра t сн а ча ла ра збива ет ся н а кон ечн ое число пром еж у т ков, н а ка ж д ом из кот орых ф у н кция x = x(t) ст рого м он от он н а . Н а ка ж д ом т а ком пром еж у т ке бу д ет опред елен а обра т н а яф у н кция t(x), а т а кж е ф у н кцияy(t) = y(t(x)). Т огд а ка ж д ом у пром еж у т ку
21
ст рогой м он от он н ост и x(t) бу д ет соот вет ствова т ь од н озн а чн а я ф у н кция у (х), гра ф ик кот орой н а зыва ет сявет вью д а н н ого гра ф ика ф у н кции. К оличест во вет вей опред еляет ся количест вом у ча ст ков ст рогой м он от он н ост и ф у н кции x(t). Д виж ен ие по вет ви кривой: Пу ст ь н а н екот ором пром еж у т ке ст рогой м он от он н ост и ф у н кции x = x(t) t возра ст а ет . Т огд а н а пра влен ие д виж ен ияпо вет ви кривой опред еляетсяиз след у ющей та блицы: П ов едениеx(t) П ов едениеy(t) Н ап рав лениедв иж ения п ов етв и к рив ой В пра во и вверх ↑ ↑ В пра во и вн из ↑
↓ В лево и вверх
↓
↑ В лево и вн из
↓
↓
С лед у ет у чит ыва т ь т а кж е чет ыре слу ча я, когд а вм ест о всей обла ст и опред елен ияD д ост а т очн о ра ссм от рет ь лишь н еот рица т ельн у ю ее ча ст ь: 1. ∀(t∈D): x(t)=x(-t), y(t)=-y(-t) – сим м ет ричн ост ь от н осительн о оси О x. 2. ∀(t∈D): x(t)=-x(-t), y(t)=y(-t) – сим м ет ричн ост ь от н осительн о оси О y. 3. ∀(t∈D): x(t)=-x(-t), y(t)=-y(-t) – сим м ет ричн ост ь от н осит ельн о н а ча ла коорд ин а т . 4. ∀(t∈D): x(t)=x(-t), y(t)=y(-t) – н а лож ен ие. О гра н ичен н ост ь ф у н кции у (х), за д а н н ой па ра м ет рически, опред еляет ся огра н ичен н ост ью ф у н кции y(t). Т еперь м н ож ест во D н еобход им о ра збит ь н а более м елкие ин т ерва лы, гра н ичн ым и точка м и кот орых бу д у т зн а чен ияt, в кот орых: x(t) = 0, y(t) = 0, x′(t) = 0 или н е су щест ву ет , y′(t) = 0 или н е су щест ву ет , x′′ (t) = 0 или н е су щест ву ет , y′′(t) = 0 или н е су щест ву ет , у ′′(х) = 0 или н е су щест ву ет . Д а лее н еобход им о провест и исслед ова н ия ф у н кций x = x(t), y = y(t) и у = у (х) н а ка ж д ом из эт их пром еж у т ков и в ка ж д ой та кой н а йд ен н ой н а м и т очке. Н а экст рем у м ф у н кцию, за д а н н у ю па ра м ет рически, н еобход им о исслед ова т ь в т очка х, в кот орых
22
x′t ( t ) = 0, y′t ( t ) = 0, н о ( x′t ( t ))2 + ( y′t ( t )) 2 ≠ 0 . Т очки возвра т а – эт о т очки, в кот орых x t′( t ) = y t′( t ) = 0 , н о 2 (& x&( t )) + (& y&( t ))2 ≠ 0 .* О бозн а чим т а ку ю т очку t0. В т а кой т очке гра ф ик ф у н кции, за д а н н ой па ра м ет рически, м ож ет вест и себяслед у ющим обра зом . A t0
B
A t0
B
Рис. 1 Рис. 2 гд е А В – ка са т ельн а як гра ф ику ф у н кции в т очке (x(t0); y(t0)). Н а рису н ке 1 изобра ж ен о повед ен ие ф у н кции в т очке возвра т а I род а , а н а рису н ке 2 – в т очке возвра т а II род а . Ч тобы опред елит ь, ка ка я им ен н о т очка возвра т а им еет м ест о, н еобход им о в выра ж ен ии A(t) = y (t n ) ( t ) ⋅ x′t′ ( t ) − x (t n ) ( t ) ⋅ y′t′ ( t ) n
2
n
2
н а йт и н а им ен ьш ее n, при кот ором A(t0) ≠ 0. Если n – н ечет н о, т о (x(t0); y(t0)) – т очка возвра та I род а . Если n – чет н о, т о (x(t0); y(t0)) – т очка возвра т а II род а . Т очки са м опересечен ия (в кот орых крива яса м а себяпересека ет ) н а ход ят из след у ющего сообра ж ен ия: хот я ка ж д ом у зн а чен ию t соот вет ст ву ет од н а вполн е опред елен н а я т очка кривой, од н ой и т ой ж е т очке кривой м огу т соот вет ст вова т ь ра зн ые зн а чен ияпа ра м ет ра t. Т .к. д ляд ву х зн а чен ий t и t1 а бсцисса x и орд ин а т а y в т очке са м опересечен ия д олж н ы быт ь од н им и и т ем и ж е, т о из у ра вн ен ий кривой след у ют д ва у словияд ляt и д ляt1: x(t) = x(t1) и y(t) = y(t1). У ра вн ен ие ка са т ельн ой к гра ф ику ф у н кции, за д а н н ой па ра м ет рически, м ож н о н а йт и из ра вен ст ва y − y( t 0 ) & y&( t 0 ) . = x&( t 0 ) x − x(t 0 ) & Если & y&( t 0 ) = 0 , т о ка са т ельн а я к гра ф ику ф у н кции в т очке t0 горизон т а льна. Если & x&( t 0 ) = 0 , т о ка са т ельн а як гра ф ику ф у н кции в точке t0 верт ика льн а . Д ру гой способ н а хож д ен ия ка са т ельн ых к кривой, па ра ллельн ых осям коорд ин а т , ра ссм от рен при исслед ова н ии ф у н кции, привед ен н ой в прим ере 1. Ч т обы опред елит ь а сим пт от ы к гра ф ику ф у н кции, за д а н н ой па ра м ет рически, н а ход им t = ti, в кот орых: lim x(t) = ∞, н о lim y(t) = b. Т огд а y = b – горизон т а льн а яа сим пт от а . t→t i
t →t i
lim y(t) = ∞, н о lim x(t) = a. Т огд а t →t i
x = a – вертика льн а яа сим пт от а .
t →t i
В д а н н ом слу ча е м ы пользу ем сяслед у ющим и обозн а чен иям и: x ′t ( t ) = x&( t ), y ′t ( t ) = y&( t ), x ′tt′ ( t ) = & x&( t ), y′tt′ ( t ) = & y&( t ) .
*
23
Если
lim x(t) = ∞ и lim y(t) = ∞, t →t i
т о возм ож н а
н а клон н а я а сим птот а
t →t i
y( t ) , b = lim( y( t ) − kx ( t )) . Если д а н н ые пред елы t→t i x ( t ) t→ti су щест ву ют и кон ечн ы, т о крива я им еет н а клон н у ю а сим птот у , у ра вн ен ие кот орой y = kx + b. Ч т обы н а йт и т очки перегиба гра ф ика ф у н кции, счит а ем величин у x ′ y ′′ − x ′′ y ′ ′ = t t 3 t t . Н а ход им т очку , в кот орой К (t) = 0, а за тем проверяем , K ( t ) = y ′xx ( x ′t ) м ен яет ли К (t) зн а к при прохож д ен ии через эт у т очку . Если м ен яет, т о д а н н а я т очка являет сят очкой перегиба кривой (рис. 5). Причем , если К (t) > 0 в н екот орой т очке, т о крива я в окрест н ост и д а н н ой т очки ра сполож ен а слева от ка са т ельн ой (рис.3) – выпу клост ь гра ф ика ф у н кции вн из; если К (t) < 0 – спра ва (рис. 4) – выпу клост ь гра ф ика ф у н кции вверх. y = kx + b. Н а ход им k = lim
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
3. О бра зец пост роен иягра ф ика ф у н кции, за д а н н ой па ра м ет рически П рим ер1: Построит ь гра ф ик ф у н кции x = t 2 у =
2 t(3 – t2) 3
1. Ф унк ции x(t) и y(t) оп ределены для в с ех значений п арам етраt и диф ф еренцируем ы в ов с ех точк ах. 2. О чевид н о, чт о tlim x ( t ) = +∞; lim y( t ) = −∞; lim y( t ) = +∞ . → ±∞ t → −∞ t → +∞ Ф у н кциян е огра н ичен а . А сим птот н ет . У бед ит есь в эт ом са м ост оят ельн о. х = 0 при t = 0; y = 0 при t = 0; ± 3 . И з у ра вн ен ий кривой вид н о, чт о крива ясим м ет ричн а от н осит ельн о оси а бсцисс: при изм ен ен ии зн а ка t м ен яет сят олько зн а к орд ин а т ы и сохра н яет ся зн а чен ие а бсциссы. С лед ова т ельн о, д ост а т очн о пост роит ь криву ю д ляt>0. 7. Н а йд ем т очки са м опересечен иякривой из у словий: t2 = t12 , t(3 – t2) = t1(3 - t12 ). И з первого у ра вн ен ия, а т а кж е зн а я, чт о t и t1 ра зличн ы, полу чим t = -t1. Под ст а вляяэт о зн а чен ие во вт орое у ра вн ен ие, полу чим t(3 – t2) = 0. Если t = 0, т о и t1= 0, т .е. t = t1, чт о н евозм ож н о. С лед ова т ельн о, оста ет сяt= 3 , t1= - 3 . Э т им зн а чен иям соот вет ст ву ет од н а и т а ж е т очка с коорд ин а т а м и (3; 0), н о у гловые коэф ф ициен т ы ка са т ельн ых ра зличн ы. Т а н ген с н а клон а ка са т ель-
3. 4. 5. 6.
н ой к оси а бсцисс ра вен y′x , н о y′x = In[ ] (D[(2/3)*t*(3-t^2),t])/(D[t^2,t])
y′t . Н а йд ем y′x при t = ± 3 . x ′t
SHIFT+ENTER
24 − 4 t 2 2(3 − t 2 ) + 3 3 Out[ ] 2t
In[ ] Factor [%]
SHIFT+ENTER
In[ ] ((1-t^2)/t)/.{t->Sqrt[3]}
SHIFT+ENTER
In[ ] ((1-t^2)/t)/.{t->Sqrt[-3]}
SHIFT+ENTER
(1 − t )(1 + t ) Out[ ] t −2 Out[ ] Sqrt[3]
Out[ ]
2 Sqrt[3]
Полу чили: y′x
t= 3
=−
2 3
; y′x
t =− 3
=
2 3
. С лед ова т ельн о, черезт очку (3;0) крива я
проход ит д ва ж д ы. Э т о т очка са м опересечен ия. 8. Н а йд ем ка са т ельн ые к кривой, па ра ллельн ые осям коорд ин а т . y′x =0 при t = ±1. x(-1) = 1In[ ] ((2/3)*t*(3-t^2))/.{t->-1} SHIFT+ENTER 4 3 4 y(-1) = − ( ) 3
Out[ ] − ( )
x(1) = 1; ; вычислим y(-1): In[ ] ((2/3)*t*(3-t^2))/.{t->1}
SHIFT+ENTER
4 Out[ ] 3 4 y(1) = 3
Касат ельн ы е к график у фу н к ции параллельн ы о си абсцисс в т о чк ах 4 4 (1; − ) и (1; ). 3 3 x′y =0 при t=0. Касат ельн ая к график у фу н к ции параллельн ао си о рдин ат в т о чк е (0;0). 9. О собых т очек н ет . 10. Н а йд ем т очки перегиба . In[ ] Factor[(D[D[(2/3)*t*(3-t^2),t],t]*D[t^2,t] -D[D[t^2,t],t]*D[(2/3)*t*(3-t^2),t])/(D[t^2,t])^3] SHIFT+ENTER 2 − (1 + t ) Out[ ] 2t 3 М ы в и ди м, ч т о есл и t>0, т о K 0 (пр ов ер ь т е самост оя т ел ь но), т о 2
в ы пукл ост ь кр и в ой обр ащ ена в от р и цат ел ь ную ст ор онуоси абсци сс. 11. С ост а вим т а блицу зн а чен ий д ляопорн ых т очек.
0 M1 M2 M3
t 0 1 3 2
x 0 1 3 4
y 0 4/3 0 -4/3
y′x
∞ 0 -1,1 -1,5
12. Пост роим в т ет ра д и гра ф ик ф у н кции и проверим пост роен ие с пом ощью
сист ем ы «М а т ем а т ика ». In[ ] ParametricPlot[{t^2,(2/3)*t*(3-t^2)},{t,-4,4}]
Out[ ] -Graphicst2 П рим ер2: Пост роит ь гра ф ик ф у н кции х = 4(1 − t ) t3 у = 8( t − 1) 1. О бла ст ь опред елен ияка ж д ой ф у н кции x(t): t ≠ 1. y(t): t ≠ 1. 2. Ф у н кции x(t) и y(t) н е огра н ичен ы. 3. Пересечен ие с осям и О Х и О У : с OX: y(t) = 0 при t = 0. x(t)t=0 = 0. c OY: x(t) = 0 при t = 0. y(t)t=0 = 0. А сим птот ы: а ) при t → +∞ х → -∞; у → +∞. б) при t → 1+0 х → -∞; у → +∞. в) при t → 1– 0 х → -∞; у → +∞. г) при t → -∞ х → +∞; у → +∞. (У бед ит есь са м ост оят ельн о).
SHIFT+ENTER
26
В слу ча ях (б), (в) м огу т быт ь н а клон н ые а сим пт от ы. Н а йд ем k = lim t→t 0
y( t ) , x(t)
b = lim( y( t ) − kx ( t )) . t→t0
In[ ] Limit[(t^3/(8(t-1)))/(t^2/(4(1-t))),t->1-0] 1 Out[ ] – ( ) 2 In[ ] Limit[(t^3/(8(t-1)))/(t^2/(4(1-t))),t->1+0] 1 Out[ ] – ( ) 2 In[ ] Limit[t^3/(8(t-1))+(1/2)*(t^2/(4(1-t))),t->1-0] 1 Out[ ] 8 In[ ] Limit[t^3/(8(t-1))+(1/2)*(t^2/(4(1-t))),t->1+0] 1 Out[ ] 8 В ывод : су щест ву ет н а клон н а я а сим пт от а , опред еляем а я 1 1 у =- х+ . 2 8 Н а йд ем первые производ н ые ф у н кции. In[ ] D[t^2/(4(1-t)),t] t t2 + Out[ ] 2(1 − t ) 4(1 − t ) 2 У прост им полу чивш еесявыра ж ен ие: In[ ] Factor[%] (2 − t )t Out[ ] 4(−1 + t ) 2 (2 − t )t В ывод : x ′t = 4 ( −1 + t ) 2 In[ ] D[t^3/(8(t-1)),t] 3t 2 t3 Out[ ] − 8(−1 + t ) 8( −1 + t ) 2 In[ ] Factor[%] t 2 (−3 + 2t ) Out[ ] 8( −1 + t ) 2 t 2 (−3 + 2t ) В ывод : y ′t = 8( −1 + t ) 2 y ′ t ( 2t − 3) 4. y ′x = t = . (У бед ит есь са м ост оят ельн о). x ′t 2(2 − t )
SHIFT+ENTER
SHIFT+ENTER
SHIFT+ENTER
SHIFT+ENTER
у ра вн ен ием
SHIFT+ENTER
SHIFT+ENTER
SHIFT+ENTER
SHIFT+ENTER
27
x ′t = 0 при t = 0, t = 2. х(0) = 0; у (0) = 0. х(2) = -1; у (2) = 1. x ′t н е су щест ву ет при t = 1. 3 y ′t = 0 при t = 0, t = . 2 х(0) = 0; у (0) = 0. 3 3 В ычислим х( ); у ( ). 2 2 In[ ] t^2/(4(1-t))/.{t->(3/2)} SHIFT+ENTER 9 Out[ ] − ( ) 8 In[ ] t^3/(8(t-1))/.{t->(3/2)} SHIFT+ENTER 27 Out[ ] . 32 3 3 9 27 И т а к, х( ) = − ( ) ; у ( ) = . 2 2 8 32 y ′t н е су щест ву ет при t = 1. 4. Н а йд ем у ра вн ен ияка са т ельн ых к гра ф ику ф у н кции, па ра ллельн ые осям коорд ин а т . Если при н екот ором t0, & y&( t 0 ) = 0 , т о ка са т ельн а як гра ф ику ф у н кции в т очке t0 горизон т а льн а . Если, при н екот ором t0 & x&( t 0 ) = 0 , т о ка са т ельн а як гра ф ику ф у н кции в т очке t0 верт ика льн а . Н а йд ем t0, при кот ором & x&( t 0 ) = 0 : In[ ] Solve[D[((2-t)t)/(4(-1+t)^2),t]==0] SHIFT+ENTER Out[ ] { } В ывод : верт ика льн ых ка са т ельн ых к гра ф ику н ет . Н а йд ем t0, при кот ором & y&( t 0 ) = 0 : In[ ] Solve[D[(t^2(-3+2t))/(8(-1+t)^2),t]==0] SHIFT+ENTER 3 − I ⋅ Sqrt[3] 3 + I ⋅ Sqrt[3] Out[ ] {{t->0},{t-> },{t-> } 2 2 В ывод : ка са тельн а як гра ф ику ф у н кции горизон та льн а при t = 0. (О ст а льн ые корн и ком плексн ые). 5. О соба ят очка . При t = 0: x ′t = 0 и y ′t = 0, н о ( & x&( t )) 2 + (& y&( t ))2 ≠ 0 . Э т о т очка возвра т а . О пред елим ее т ип. Бу д ем иска т ь н а им ен ьшее n, при котором выра ж ен ие A(t) ≠ 0. n = 1. A(t) = y′t ( t ) ⋅ x ′t′ ( t ) − x ′t ( t ) ⋅ y′t′ ( t ) In[ ] (D[t^3/(8(t-1)),t]*D[D[t^2/(4(1-t)),t],t]-D[D[t^3/(8(t-1)),t],t]*D[t^2/(4(1t)),t])/.{t->0} SHIFT+ENTER Out[ ] 0 2
2
28
n = 2. A(t) = y′t′ ( t ) ⋅ x ′t′ ( t ) − x ′t′ ( t ) ⋅ y′t′ ( t ) О чевид н о, A(t) = 0. 2
2
2
2
n = 3. A(t) = y (t 3) ( t ) ⋅ x ′t′ ( t ) − x (t 3) ( t ) ⋅ y′t′ ( t ) In[ ] (D[D[D[t^3/(8(t-1)),t],t],t]*D[D[t^2/(4(1-t)),t],t]-D[D[t^3/ (8(t-1)),t],t]*D[D[D[t^2/(4(1-t)),t],t],t])/.{t->0} SHIFT+ENTER 3 Out[ ] − ( ) 8 В ывод : при n = 3 A(t) ≠ 0. Т а к ка к n = 3 – н ечет н о, т о при t = 0 им еет м ест о т очка возвра т а I род а . 6. Н а йд ем т очки, в кот орых м ож ет быть перегибгра ф ика ф у н кции. Д ляэт ого вычислим у ′хх′ . 4( t − 1) 3 ( t − 3) (у бед ит есь са м остоят ельн о). у ′хх′ = ( t − 2) 3 t у′хх′ = 0 при t =1, t = 3. у ′хх′ н е су щест ву ет при t = 2, t = 0. 7. Проа н а лизиру ем повед ен ие ф у н кции н а ка ж д ом из ин т ерва лов, огра н ичен н ых полу чен н ым и т очка м и. Резу льт а т ы свед ем в след у ющу ю т а блицу . 3
T sign x′t
+
+
-
(2;3) -
-
-
-
↑ от – 9/8 д о -1
↓ от –1 до -∞
+
+
+
+
+ ↑
+ ↑
+ ↑
+ ↑
-
↑ от 0 до +∞
↑ от -∞ до – 9/8 -
sign y′t
-
sign y′x sign y′xx у(х)
(2;+∞)
+ 0
-
+
-
+ ↓ от +∞ до 27/32 -
+
-
+
+ ↓ от -∞ д о 0
0
Т оч. воз. 1 род а
↓ от 0 до∞
2
(3/2;2)
+ ↓ от -∞ д о 0
1
(1;3/2)
-
x(t)
y(t)
3
(0;1) +
(-∞;0)
0
2
3/2
-
9 8
27 32
-1
↓
1
+ + Т. min
2
-
3
(3;+∞)
-
9 8
27 16
↓
-
-
-
+ т .п.
8. Пост роим гра ф ик ра ссм от рен н ой ф у н кции, за д а н н ой па ра м ет рически, с пом ощью сист ем ы «М а т ем а т ика ». In[ ] ParametricPlot[{t^2/(4(1-t)),t^3/(8(t-1))},{t,-5,5}] SHIFT+ENTER
29
Out[ ]
-Graphics4. И ндив идуаль ныезадания П ос трой теграф ик и с ледую щ их ф унк ций , заданных п арам етричес к и, п ров едя п олноеих ис с ледов ание 5 t ; y = t3 1. a) x = 4t2; y = 3t(t2 + 1) b) x = 10( t − 1) t3 t2 2 3 2. a) x = 2t – t ; y = 3t – t b) x = ;y= 1+ t2 1+ t2 t3 t2 3 3 3. a) x = t + 3t +1; y = t – 3t + 1 b) x = ;y= 1+ t2 1+ t2 t3 t2 ; y = 4. a) x = t4; y = t2 – t5 b) x = 1+ t2 1+ t2 t3 t2 2 2 5 5. a) x = t ; y = t – t b) x = ;y= 1+ t2 1+ t2 t3 t2 ;y= b) x = arcsin(sin t); y = arccos(cos t) 7. a) x = 1+ t2 1+ t2 t2 t (1 − t 2 ) 8. а ) x = ;y= b) x = arctg t; y = t 3 -t 2 2 1+ t 1+ t 2 t2 t ;y= b) x = (ln t)sin t; y = cos t 9. а ) x = 1− t2 1 + t2 t2 t 10. а ) x = ;y= 2 b) x = e t sin t; y = et cos t t −1 t −1 2 t t3 11. а ) x = ;y= b) x = sin 2t; y = sin 4t 1− t 1− t2 2t t3 12. а ) x = ; y = b) x = sin 4t; y = cos t 1− t2 1− t2 t (1 − 2 t 3 ) t 13. а ) x = ;y= b) x = cos 4t; y = cos 3t 1− t2 1− t2 5t 2 5t 3 14. а ) x = ;y= b) x = 2⋅cos t – cos 2t; y = 2⋅sin t – sin 2t 1+ t5 1+ t5 ( t + 2) 2 ( t − 2) 2 15. а ) x = ;y= b) x = (1+ cos t)⋅cos(t); y = (1 – cos t)⋅sin t t +1 t −1
30
ЛИ Т Е РА Т У РА 1. М а т ем а т ический а н а лиз в вопроса х и за д а ча х / В .Ф . Бу т у зов, Н .Ч . К ру т ицка я, Г.Н . М ед вед ев и д р.– М .: Ф из.-м а т . лит ., 2000. 2. В ин огра д ова И .А . За д а чи и у пра ж н ен ия по м а т ем а т ическом у а н а лизу / И .А . В ин огра д ова , С .Н . О лехн ик, В .А . С а д овн ичий – М .: В ысш . ш к., 2000.– К н . 1. 3. Ра йхм ист Р.Б. Гра ф ики ф у н кций / Р.Б. Ра йхм ист . – М .: В ысш . шк., 1991. 4. Н икольский С .М . К у рс м а т ем а т ического а н а лиза / С .М . Н икольский. – М .: Н а у ка , 1990. – Т .1. 5. С оболев В .И . К ра т кий ку рс м а т ем а т ического а н а лиза / В .И . С оболев, В .В . Покорн ый, В .И . А н осов. – В орон еж : В ГУ , 1983. – Ч . 1. 6. Д ьякон ов В . Mathematica 4: У чеб. ку рс / В . Д ьякон ов.– С .- Пб.: И зд а т . д ом «Питер», 2001.
31
С ост а вит ели: Голова н ева Ф а ин а В а лен т ин овн а , Па н ычева С вет ла н а Борисовн а Ред а кт ор: Бу н ин а Т .Д .