Теория представлений групп и ее приложения

А.Барут, Р.Рончка ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. т.2 Монография известных американского и польского физиков-теоретиков посвящена изложению современных методов и результатов теории представлений групп и алгебр Ли, а также их разнообразным физическим приложениям. В русском переводе книга выходит в двух томах. Второй том (главы 12—21) охватывает вопросы, связанные с гармоническим анализом на группах Ли и на однородных пространствах, теорию индуцированных представлений групп и многочисленные приложения различных аспектов теории представлений групп и алгебр Ли к квантовой теории. Большинство из этих приложений до сих пор было описано лишь в журнальных статьях. Книга будет полезна научным работникам, аспирантам и студентам старших курсов физических и математических специальностей, интересующимся теорией представлений групп и алгебр, а также их приложениями. Содержание Глава 12. КВАНТОВОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ 5 ПРЕДСТАВЛЕНИЙ АЛГЕБРЫ ЛИ § 1. Алгебры симметрии в гамильтоновой формулировке 5 § 2. Динамические алгебры Ли 9 § 3. Упражнения 14 Глава 13. ТЕОРИЯ ГРУПП И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП В 20 КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ § 1. Представления групп в физике 20 § 2. Кинематические постулаты квантовой теории 22 § 3. Симметрии физических систем 37 § 4. Динамические симметрии релятивистских и нерелятивистских систем 43 § 5. Комментарии и дополнения 50 § 6. Упражнения 50 Глава 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НА ГРУППАХ ЛИ. 53 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП § 1. Гармонический анализ на абелевых и компактных группах 54 § 2. Гармонический анализ на унимодулярных группах Ли 57 § 3. Гармонический анализ на полупрямом произведении групп 66 § 4. Комментарии и дополнения 71 Глава 15. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НА ОДНОРОДНЫХ 74 ПРОСТРАНСТВАХ § 1. Инвариантные операторы на однородных пространствах 75 § 2. Гармонический анализ на однородных пространствах 78 § 3. Гармонический анализ на симметрических пространствах, 84 соответствующих псевдоортогональным группам SO(p,q) § 4. Обобщенные проективные операторы 99 § 5. Комментарии и дополнения 108 § 6. Упражнения 113 Глава 16. ИНДУЦИРОВАННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 116

§ 1. Понятие индуцированных представлений § 2. Основные свойства индуцированных представлений § 3. Системы импримитивности § 4. Комментарии и дополнения § 5. Упражнения Глава 17. ИНДУЦИРОВАННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛУПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ § 1. Теория представлений полупрямых произведений § 2. Индуцированные унитарные представления группы Пуанкаре § 3. Представление расширенной группы Пуанкаре § 4. Неразложимые представления группы Пуанкаре § 5. Комментарии и дополнения § 6. Упражнения Глава 18. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ИНДУЦИРОВАННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ § 1. Индукционно-редукционная теорема § 2. Теорема о тензорном произведении § 3. Теорема взаимности Фробениуса § 4. Комментарии и дополнения § 5. Упражнения Глава 19. ИНДУЦИРОВАННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИ § 1 Индуцированные представления полупростых групп Ли § 2. Свойства группы SL(n, C) и ее подгрупп § 3. Основная невырожденная серия унитарных представлений группы SL(n, C) § 4. Основные вырожденные серии группы SL(n, C) § 5. Дополнительные невырожденная и вырожденная серии § 6. Комментарии и дополнения § 7. Упражнения Глава 20. ПРИМЕНЕНИЯ ИНДУЦИРОВАННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ § 1. Релятивистский оператор координаты § 2. Представления коммутационных соотношений Гейзенберга § 3. Комментарии и дополнения § 4. Упражнения Глава 21. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ § 1. Релятивистские волновые уравнения и индуцированные представления § 2. Конечнокомпонентные релятивистские волновые уравнения § 3. Бесконечнокомпонентные волновые уравнения § 4. Расширения групп и приложения § 5. Пространственно-временные и внутренние симметрии § 6. Комментарии и дополнения § 7. Упражнения

116 133 140 149 150 152 152 164 180 183 192 194 196 196 203 207 210 212 214 215 219 220 228 232 239 241 243 243 251 255 258 260 260 266 275 287 296 300 307

Приложение А. АЛГЕБРА ТОПОЛОГИЯ, ТЕОРИЯ МЕРЫ И 308 ИНТЕГРИРОВАНИЯ Приложение Б. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 313 § 1 Замкнутые, симметрические и самосопряженные операторы в 313 гильбертовом пространстве § 2. Интегрирование векторных и операторных функций 318 § 3. Спектральная теория операторов 322 § 4. Функции от самосопряженных операторов 336 § 5. Существенно самосопряженные операторы 338 ЛИТЕРАТУРА 341 Указатель наиболее важных символов 382 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 386 Предметный указатель — — структурные теоремы 1 33—36 Автоморфизм алгебры Ли 1 21—23, — переплетающих операторов 1 180 29, 117, 118 — Пуанкаре 1 62—64 — — — инволютивный 1 21, 50—52 — симметрии 2 21, 41 — группы Ли 1 117 — универсальная обертывающая 1 алгебра Вейля 1 69 301—303, 312, 389 — внутренних симметрии 1 62 — фон Неймана 2 331 — Ли 1 15 анализ гармонический на абелевых — — абелева 1 15 группах 2 54—56 — — вещественная 1 15, 29, 46—55, — — — En и Пn 2 66, 67 58 — — внутренних — — — компактных группах 2 56 дифференцирований 1 118 — — — однородных пространствах 2 — — Галилея 1 65, 66 74, 78—84 — — группы Ли 1 112 — — — полупрямом произведении — — де Ситтера 1 65 групп 2 66—71 — — компактная 1 32, 33, 50, 58 анализ .гармонический на — — компактной группы Ли 1 138 симметрических пространствах — — комплексная 1 15, 29 псевдоортогональной группы 2 — — некомпактная 1 32 84—98 — — нильпотентная 1 27, 28, 56, 57 — — — унимодулярных группах 2 — — ортогональная 1 19, 53, 54 57—66 — — полная комплексная линейная 1 — — теория Хариш-Чандры и 18 Хелгасона 2 108—112 — — полупростая 1 31, 33, 35, 306 — спектральный 2 74 —— присоединенная 1 23, 118 Базис Вейля алгебры Ли 1 17 — — простая 1 31, 36 — Гамеля 1 170 — — разрешимая 1 26, 29, 33, 56, 57 — Картона—-Вейля 1 40, 279 — — симметрическая ортогональная — Пуанкаре—Биркгофа—Витта 1 1 152 302 — — симплектическая 1 19, 54 Вектор аналитический 1 386 — — SO(4,2) 1 71 — —для алгебры Ли 1 401, 412, 422,

423 — — — оператора в пространстве Я 1 397 — — — представления группы Ли 1 386 — — — — — — унитарного 1 412— 417 — весовой 1 279, 306 — касательный 1 102, 111, 112 — регулярный представления группы 1 386 — Рунге—Ленца 2 8 — циклический 1 181 вес старший 1 274, 279, 306, 335 — — фундаментальный 1 273, 354 Гомеоморфизм 1 73, 85 гомоморфизм алгебр Ли 1 21 — — — естественный 1 21 гороцикл 2 109 группа 1 83 — автоморфизмов причинных в пространстве Минковского 2 39, 40 — Вейля зеркальных отражений 1 133, 134, 281, 306 — — треугольник матриц 1 140 — Галилея 1 125 группа евклидова 1 291; 2 66—71 — — обобщенная 2 66, 67, 77 — GL(n, R) I 84 — знакопеременная 1 231 — когомологии 2 292—294 — конформная 2 40, 44 — конформных преобразований в пространстве Минковскаго 2 40 — — — генераторы 2 44—46 — Ли 1 106—111 — — компактная связная 1 138 — — комплексная 1 109 — — локально евклидова 1 108 — — нильпотентная 1 127 — — полупростая 1 127 —— преобразований 1 114, 115 — — — эффективная 1 114

—— присоединенная 1 118, 304 — — простая 1 127 — — разрешимая 1 126 — Лоренца 2 165—167 — — связь с SL(2, C) 2 166, 167 — малая 1 154; 2 117 — накрывающая 1 94 — однородная 1 85 — ортогональная 1 84, 86 — просто приводимая 1 223 — — — компактная 1 298 — Пуанкаре \ 124; 2 167, 168, 200 — — двумерная 2 120 — — инвариантные операторы 2 75— 77 — — индуцированные ПБСпредставления 2 184—190 — — неприводимые унитарные представления 2 170—178, 200 — — — — — классификация 2 170— 176 — — — — — явная реализация 2 176—178 — — обобщенная 2 66, 67, 77 — — представления неразложимые 2 183—186 — — — — применение 2 187—192 — — с мнимой массой 2 303 — — расширенная, оператор четности 2 181, 182 — — — представления 2 180—182 — связная 1 87 — симметрия 2 33—41 — симметрическая 1 229 — SL(2, C) 2 165—167, 225, 228, 233 — SL(n, C) 2 219—232, 236—238 — SO(p, q) 2 84—99 — SO(4, 2) 2 40 — стационарная (изотропная) 2 117 — типа I 1 .180, 192; 2 53, 193 группа топологическая 1 83, 107 — — бесконечномерная 1 108 — — локально евклидова 1 108 — — — компактная 1 110

— — — сепарабельная 1 162 — — преобразований на Г 1 154 — — — транзитивная 1 154 — — — эффективная 1 154 — универсальная накрывающая 1 94 — унимодулярная 1 92 — циклическая 1 181 Диаграмма весовая 1 279, 280 диаграммы (схемы, графы) Дынкина 1 41—46 — (схемы) Юнга 1 235, 283—285, 350—353, 360 — — — стандартные 1 235, 353 дифференцирование алгебры Ли 1 22 доминантность аналитическая оператора 1 405—412 дополнение множества 1 76 Задача Кеплера нерелятивистская 2 8 замыкание множества 1 76 — оператора 2 314 значение абсолютное оператора 1 399— 405 Идеал алгебры Ли 1 16, 30, 34 — максимальный 1 16 изоморфизм алгебр Ли 1 21 — Бореля 2 309 — групп 1 85 изоспин и правила суперотбора 2 35 — распределение состояний 1 225— 228 инвариантность вращательная и правила суперотбора 2 35 — конформная релятивистских уравнений 2 45 индекс дефекта оператора 2 317, 340 индукционно-редукционная теорема 2 196—200 интеграл прямой представлений 1 186— 192 Карта 1 99, 107 — размерность 1 99 классификация орбит группы Пупкаре 2 168—170 — простых алгебр Ли вещественных

1 46—55, 67 — — — — комплексных 1 36—46 классификация простых групп Ли 1 134—137 классы гомотопии 1 82 когерентные подпространства 2 25 — состояния 2 19 коммутант группы Ли 1 125 коммутатор в группе Ли 1 125 компонента единицы группы 1 87 — точки топологического пространства 1 81 компоненты веса 1 279 константы структурные алгебры Ли 1 16 — — группы Ли 1 110 контракция алгебры Ли 1 64—66 — — Пункаре 1 65 корни полупростой комплексной алгебры Ли 1 37 — — — — — положительные 1 41 — — — — — простые 1 41 коэффициенты Клебша—Гордана 1 186, 223—225, 286, 299 кратности весов 1 280 — — формула Костанта 1 281, 282 — — — Костанта — Стернберга 1 285, 286 критерий Брюа 2 83 — интегрируемости для алгебр Ли 1 418, 426, 428, 429 — коммутативности операторов 1 420, 421 — подъема 2 32 Лемма Цорна 2 308 — Шура 1 178, 179, 306 локализуемая релятивистская система 2 243—247 луч единичный 2 23, 24 Мера абсолютно непрерывная 2 310 — Бореля 2 310, 311 — — стандартная 1 310 — инвариантная на группе 1 91, 94 — — — — евклидовой двумерной 2

68 — — — — Ли 1 139, 140 — квазиинвариантная на однородном пространстве 1 162 — Планшереля 1 54, 55, 61, 71, 72 — спектральная 2 325 — — каноническая 2 256 —— Хаара на группе 1 90, 97, 98; 2 53, 56 — — — — SL(2, C) 1 91 метрика 1 74, 95, 97 — инвариантная на группе 1 94 — — — — Ли 1 139, 140 метрика инвариантная на группе Лоренца 2 81 — — — однородном пространстве 1 157 многообразие аналитическое 1 101 — — комплексное 1 101 — дифференцируемое 1 100 — топологическое 1 99 множество замкнутое 1 76 — открытое 1 72,74 — плотное аналитических векторов 1 398, 436 — — в X 1 77 модуль (G-модуль) 2 291 мультипликативное представление 2 129 мультипликатор 2 129 Неприводимость представления алгебраическая 1 175, 245, 274—278 — — топологическая 1 175, 382 Область (подпространство) Гординга 1 385, 388, 395, 412 — карты 1 99 — определения представления алгебры Ли 1 383, 386 объект, дуальный к группе 1 198 окрестность 1 72 — открытая 1 72 оператор антиунитарный 2 33 — бозонный 1 372

— Вейля для представления компактной группы 1 206 — диагональный 2 330 — замкнутый 2 313, 314 — инвариантный для алгебры Ли 1 303—307 — — на однородном пространстве 2 75—77 — Казимира для алгебры Ли 1 303 304 — — — классической группы Ли 1 307—321 — — — полупростых групп Ли 1 329, 330 — — производящая функция для спектра 1 310, 329 — координаты (релятивистский) 2 243, 247—251, 255—257 — Лапласа—Бельтрами 1 363—366 — — — спектр для группы SO(p, q) 2 85—96 — Нельсона 1 393; 2 55, 62 — неограниченный 1 381, 387 — непрерывный 2 313 оператор ограниченный 1 392; 2 313, 316 — переплетающий 1 175, 180 — положительно определенный 2 313 — положительный 2 313 — проективный для представлений 1 218—221 — — обобщенный 2 99—108 — разложимый 2 331 — самосопряженный 2 315, 322, 325 — — существенно 2 338—340 — симметрический 2 315—317, 339, 340 — сопряженный 2 314, 315 — тензорный ковариантный 1 295 — — контравариантный 1 294, 296 — — неприводимый 1 295 — — смешанный 1 296 — эллиптический 1 389, 409, 430

операторы рождения и уничтожения 1 371 — сильно коммутирующие 1 421 описание нестабильных частиц 2 187—192 орбита характера 2 154 орбиты группы Пуанкаре 2 168—170 отображение борелево 2 309 — топологическое 1 73 — экспоненциальное алгебры Ли 1 140—142 Парастатистика 1 357 ПБС-представление локально компактной группы 2 183 подалгебра 1 16 — алгебры Ли 1 16 — Картона 1 37, 38, 56, 57, 280 подгруппа аналитическая 1 109 — группы Ли однопараметрическая 1 110 — — топологической 1 83 — — — изотропная 1 154 — — — инвариантная 1 84 — — — малая 1 154 — — — нормальная 1 155 — — — стационарная 1 154 — — — центральная 1 87 — минимальная параболическая связной полупростой группы Ли 1 133 подмножество Бореля 1 309 подпредставление 1 176 подпространство инвариантное 1 37 — — собственное 1 175 поле векторное на аналитическом многообразии 1 103 — — измеримое 2 329 — Гейзенберга 1 326, 328 поле обертывающее для алгебры Ли 1 321—326 — отношений 1 322 поливектор 1 351 полугруппа 2 308 правила суперотбора 2 24, 34—36, 47

— — фермионные 2 35 представление абелевой группы 1 197 — алгебры Ли 1 24 — — — в гильбертовом пространстве 1 382 — — — кососопряженное (кососимметрическое) 1 382 — — — присоединенное 1 25 — — — топологически неприводимое 1 382 — — обертывающей неограниченными операторами 1 387—396 — группы вполне приводимое 1 177, 178, 250, 277 — — GL(n, C) 1 353—357 — — дискретно разложимое 1 177 — — измеримое 1 193 — — импримитивное 2 141 — — инвариантное подпространство 1 175 — — квазирегулярное 1 169 — — компактной 1 206 — — — унитарное 1 206, 211 — — конечной 1 232—236 — — — SN 1 233—238 — — конечномерное 1 247—250 — — контраградиентное 1 173 — — Ли, общие свойства 1 244—250 — — — полупростой 1 247—250 — — — разрешимой 1 245—247 — — лучевое 2 29, 30 — — мультипликаторное 2 128—130 — — непрерывное сильно 1 167 — — — слабо 1 170 — — — унитарное 1 193, 194 — — неприводимое 1 182, 245, 274— 277 — — — алгебраически 1 175 — — — операторно 1 179 — — — топологически 1 175 ——— унитарное 1 206—211 — — неразложимое 1 177; 2 183, 187 — — ограниченное 1 168

— — O(n) 1 344 — — Пуанкаре 2 164—178 — — свободное от кратностей 1 180, 192 — — сопряженное 1 173 — — сопряженно-контраградиентное 1 173 — — SL(2, C) 1 452 представление группы SL(n, C) 2 220—232, 236—238 — — SO(n, C) I 361, 369, 370 — — SO(p, q) 2 84—99 — — SU(1, 1) 1 451 — — SU(3) 1 339 — — точное 1 171, 249 — — U(n) 1 333—342 — — U(p, 1) 1 444 — — U(p, q) I 438—446 — — циклическое 1 181 — индуцированное группы Ли полупростой 1 250—260; 2 215—220 — — — Пуанкаре 2 132, 133, 170, 200 — — — — явная реализация 2 176— 178 — — — топологической 1 250—260; 2 116—120 — — — — мономиальное 2 119, 157 — — — — сопряженное 2 133 — — — R3x)SO(3) 2 162, 163 — — — SL(2, R) 2 125—128 — — — SL(2, C) 2 233—236 — — — SL(n, C) 2 220—225 — — квазирегулярное 2 119 — — полупрямого произведения групп 2 152—164, 201, 205, 206 — — посредством неунитарного представления 2 232 — — — прямой суммы представлений 2 134 — — реализация через левые смежные классы 2 130—133 — — теорема взаимности для

конечных групп 2 208, 211 — — — — — топологических групп 2 209 — — — о тензорном произведении 2 203 — поливекторное группы GL(n) 1 354, 355 — — — SO(n, C) 1 359 — приводимое 1 175, 180 — примерное 1 180 — проективное 2 29—32 — регулярное 1 169, 250, 251 — — слева (справа) 1 169 — свободное от кратностей 1 180 — тривиальное 1 168 — унитарное 1 168, 178, 181, 193, 207 представления группы дискретные неприводимые 2 239 — фундаментальные 1 273, 354 преобразование Лоренца 1 58; 2 165 — симметрии 2 28, 33, 42 — сохраняющее вероятность 2 27 преобразование Фурье обобщенное 2 53, 56 преобразования проективные 2 31 принцип относительности 2 22 — равномерной ограниченности 2 309 — суперпозиции 2 22 — — в квантовой теории 2 24 произведение аналитических многообразий 1 101 — групп Ли прямое 1 122 — — полупрямое 1 123; 2 152, 291 — — — типа I 2 193 — двух векторных полей 1 104, 105 — Ли 1 105 — тензорное мер 2 311 — — представлений 1 282—284 производная Радона—Никодима 1 162; 2 119 пространства симметрические Картана 2 84 — — соответствующие группе SO (p,

q) 2 84 — топологические гомеоморфные 1 73 пространство Бореля 2 309 — — измеримое 2 310 — — стандартное 2 309 — векторное инвариантное 1 37 — гильбертово 2 179 — — прямая сумма 2 177 — — прямой интеграл 2 329 — — элементарных систем 2 179 — глобально симметрическое риманово 1 158 — касательное 1 102, 103 — линейное конкретное 2 25, 43 — локально евклидово 1 99 — метрическое 1 74 — — компактное 1 78 — — ядерное 2 79 — симметрическое однородное 1 155— 160 — — и теория представлений 1 362 — — связанное с группами 2 84 — топологическое 1 72 — — векторное 1 73 — — компактное 1 78 — — локально компактное 1 80 — — однородное 1 85, 154 — — односвязное 1 8.1, 82 — — связное 1 80 — — ге-связное 1 82 — — сепарабельное 1 77 — — хаусдорфово 1 76, 79, 99, 100 — — — компактное 1 79 — F 2 309 — Шварца 1 383, 415 пути гомотопные 1 81 Равенство Парсеваля 1 214 — Планшереля 2 54, 61—66, 72 радикал алгебры Ли 1 34 — группы Ли 1 274 разложение Брюа группы Ли 1 133 — Гаусса для алгебры Ли 1 56 — — — группы Ли 1 128, 252, 272

— Ивасавы группы Ли 1 132, 328 — — полупростой вещественной алгебры Ли 1 60 — Кармана группы Ли 1 132 — — полупростой вещественной алгебры Ли 1 58 — Леви 1 35 — Леви—Мальцева группы Ли 1 127 — приводимого представления 1 186 — регулярного представления компактной группы 1 214 — тензорного произведения представлений 1 282; 2 203— 206 — фактор-представления 1 221 размерность алгебры Ли 1 16 — — — простой 1 46 распределение операторнозначное 2 101—108 — состояний по изотопическому спину 1 225—228 расстояние в метрическом пространстве 1 74 расширение алгебры Ли комплексное 1 18 — группы 2 287 — — классификация 2 291—296 — — Пуанкаре 2 288 — — центральное 2 291 — оператора 2 315, 340 — центральное и проективные представления 2 31 реализация группы 1 171 редукция представления группы на подгруппу 1 278 ряд Клебша—Гордона 1 186, 242 Связность классических групп Ли 1 137 — топологической группы 1 80 связь групп и алгебр Ли 1 116 — минимальная 1 279 семейство спектральное 2 325 симметрии динамические 2 43— 49

—

пространственно-временные и внутренние 2 296 — физических систем 2 37—43 система импримитивности 2 140 — — каноническая 2 141 — — транзитивная 2 141 система координат бигармоническая на гиперболоиде 2 87 — — — — сфере 1 364 — корней 1 36 — полубилинейная (ПБС) 2 183 системы элементарные 2 179 соотношение полноты 2 62 соотношения коммутационные Гейзенберга 2 251 — — — в форме Вейля 2 252 — — Картана—Вейля 1 40, 279 сопряжение алгебры Ли 1 21 состояния вигнеровские 2 261 —. чистые 2 23 спектр генератора некомпактной группы 2 240 спинор первого рода 1 272 — второго рода 1 272 структура аналитическая 1 100 — борелева на множестве 2 309 — дифференцируемая 1 100 сумма алгебр Ли полупрямая 1 24 — — — прямая 1 19 — прямая гильбертовых пространств — — представлений 1 177 схема Гельфанда Цетлина 1 335 схемы Дынкина 1 41—46 — Юнга 1 283, 350 сходимость 1 73 — сильная 1 75 — слабая 1 75 Тензор инвариантный 1 297 — Картана метрический 1 29, 32 теорема Ado об алгебрах Ли 1 25 — Биркгофа—Какутани 1 94 — Вейля аппроксимационная 1 216 — взаимности 2 208 — — Макки 2 209

— — Фробениуса 2 207 — — — обобщенная 2 211 — Вигнера—Эккарта 1 299, 331 — Гельфанда—Кириллова о генераторах обертывающего поля 1 328 — Гельфанда—Райкова 1 191 — Гельфанда—Шевалле 1 331, 362 — Глисона о локальной компактности 1 80, 87 — Леей—Мальцева для алгебр Ли 1 35, 55 — — — групп Ли 1 128, 143 — Ли 1 245 — Макки 1 94 — Маутнера 1 190 — о разложении меры 1 163, 164 теорема об импримитивности 2 142 —— ограниченной сходимости 2 311 — Петера—Вейля 1 212—216 — — обобщенная 2 60 — Понтрягина о дуальности 1 202 — Радона—Никодима 2 310 — Реллиха—Гильберта—Шмидта 1 209; 2 328 — СНАГ для представлений абелевой группы 1 199, 202; 2 253 — Стоуна о представлениях аддитивной векторной группы 1 201 — S 1 306 — фон Неймана спектральная 2 332 — Фрейденталя 1 280 — Фреше и Рисса 2 312 — Фробениуса 2 207 — Фубини—Тонелли 2 103, 311 — ядерная спектральная 2 332 теоремы Лебега 2 310 — спектральные 2 322—336 транспозиция 1 229 триплет Гельфанда 2 54, 332 Умножение Ли 1 15 уравнение волновое Аберса—

Гродски— Нортона 2 281 — — Вейля для нейтрино 2 273 — — Дирака 2 266 — — для массивной частицы со спином два 2 269 — — — — — с произвольным спином 2 271 — — Клейна—Гордона 2 268 — — Майораны 2 277 — — — обобщенное 2 285 — — Прока 2 267, 268 уравнение теплопроводности на группе Ли 1 429 уравнения волновые Баргманна— Вигнера 2 270, 271 — — бесконечнокомпонентные 2 275— 287 — — — применение 2 281 — — Бхаббы 2 302 — — Гельфанда—Яглома 2 275 — — — обобщенные 2 280 — — Даффина—Кеммера— Петио 2 301 — — для безмассовых частиц 2 272 — — — массивных тензорных полей 2 269 уравнения волновые и индуцированные представления 2 260 — — интерпретация в подходе динамической группы 2 284— 286 — — общие для группы Пуанкаре 2 263 — — Рариты—Швингера 2 269 — — Фирца—Паули 2 301 Фактор Леей 1 35 фактор-алгебра 1 20 фактор-представление 1 180 — типа I, II, III 1 195 фактор-система 2 292 фактор-топология 1 78 форма Киллинга 1 28—32, 40 — полубилинейная 2 23, 25

формула Бейкера—Хаусдорфа 2 252 — Вейля для размерности представления 1 340 — Костанта для кратностей весов 1 281 — Костанта—Стейнберга для кратностей весов 1 285, 286 — спектрального синтеза 2 53, 64, 67 формы алгебр Ли вещественные 1 18, 29, 53—55 функция волновая спинорная 2 262 — гармоническая 1 362 — измеримая 2 310 — интегрируемая 2 310 — композиционная для группы 1 108 — на топологической группе 1 83, 89 — равномерно непрерывная 1 89 — самосопряженного оператора 2 336 Характер абелевой группы 1 197 — неприводимого представления простой группы Ли 1 287 — представления группы 1 232, 287 — примитивный 1 232 — составной 1 232 Центр алгебры Ли 1 16 — — универсальной обертывающей 1 302, 312 централизатор алгебры Ли 1 68 цикл 1 229 Частица нестабильная 2 187—192 — описание 2 187—192 частица скалярная 2 190—192 — со спином 2 192 — элементарная 2 179 четность и правила суперотбора 2 36, 37 Эквивалентность мер 1 162 — представлений группы 1 173 эквивалентность представлений группы унитарная 1 174 элемент обертывающей алгебры самосопряженный 1 387—391 — — — симметрический 1 388—391

— — — эллиптический 1 389—391

Ядро гомоморфизма 1 21