Ïðîáëåìû íåëèíåéíîé äèíàìèêè. I. Õàîñ À.Þ.Ëîñêóòîâ Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èì.Ì.Â...
4 downloads
193 Views
485KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Ïðîáëåìû íåëèíåéíîé äèíàìèêè. I. Õàîñ À.Þ.Ëîñêóòîâ Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èì.Ì.Â.Ëîìîíîñîâà
ÓÄÊ 517.9; 519.2; 531 Îïóáëèêîâàíà â Âåñòíèê ÌÃÓ, ñåð.ôèç.-àñòð., 2001, No2, c.321.
Àííîòàöèÿ Ðàáîòà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðâóþ ÷àñòü îáçîðà, ïîñâÿùåííîãî íåêîòîðûì ñîâðåìåííûì ïðîáëåìàì íåëèíåéíîé äèíàìèêè: õàîòè÷íîñòè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì è óïðàâëåíèþ òàêèìè ñèñòåìàìè.  äàííîé ÷àñòè ïðåäñòàâëåíû îñíîâíûå ñâåäåíèÿ ïî òåîðèè áèôóðêàöèé è ðÿä ðåçóëüòàòîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê ðàçâèòèþ õàîñà â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. Èçëîæåíû íåêîòîðûå âàæíûå ñâîéñòâà õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ðàññìîòðåíû ìåòîäû èõ îïèñàíèÿ è äàíû íåêîòîðûå ïîëîæåíèÿ ýðãîäè÷åñêîé òåîðèè.
Ñîäåðæàíèå 1 Ââåäåíèå
2
2 Áèôóðêàöèè è ðàçâèòèå õàîñà â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ
4
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
Îáùèå ïîëîæåíèÿ . . . . . . Óäâîåíèå ïåðèîäà . . . . . . Ïåðåìåæàåìîñòü . . . . . . . Ðàçðóøåíèå òîðà . . . . . . . Ãîìîêëèíè÷åñêèå ñòðóêòóðû
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
3 Íåêîòîðûå ñâîéñòâà õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì 3.1 3.2 3.3 3.4
Ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà è ýíòðîïèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì Õàðàêòåðèñòèêè õàîòè÷íîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . Õàîòè÷åñêèå àòòðàêòîðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . Îäíîìåðíûå îòîáðàæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Çàêëþ÷èòåëüíûå çàìå÷àíèÿ
. . . .
4 7 11 12 14
16 . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
16 19 20 22
25
1
1
Ââåäåíèå
Ãîâîðÿ î òàêîì øèðîêî ðàñïðîñòðàíåííîì ÿâëåíèè êàê õàîñ â íàñòîÿùåå âðåìÿ èìåþò ââèäó íå òîëüêî ïðèíöèïèàëüíûå è ôóíäàìåíòàëüíûå âîïðîñû ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè, íî è âñåâîçìîæíûå ïðèëîæåíèÿ è êîíêðåòíûå çàäà÷è ìåõàíèêè, àñòðîôèçèêè, ôèçèêè ïëàçìû, îïòèêè, áèîëîãèè è ò.ä. Ïîÿâëåíèå õàîòè÷íîñòè â òîé èëè èíîé ñèñòåìå íå ñâÿçàíî ñ äåéñòâèåì êàêèõ-ëèáî àïðèîðè ñëó÷àéíûõ ñèë. Ïðèðîäà õàîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ïîëíîñòüþ äåòåðìèíèðîâàííûõ ñèñòåì êðîåòñÿ â ñâîéñòâå ïðèîáðåòàòü ïðè îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ýêñïîíåíöèàëüíóþ íåóñòîé÷èâîñòü òðàåêòîðèé. Ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå èññëåäîâàíèé â ýòîé îáëàñòè ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíè âñêðûâàþò ïðèðîäó ñëó÷àéíîãî, äîïîëíÿÿ ãèïîòåçó ìîëåêóëÿðíîãî õàîñà ãèïîòåçîé äèíàìè÷åñêîé ñòîõàñòè÷íîñòè. Âïåðâûå íà ñâÿçü ìåæäó ñòàòèñòèêîé è íåóñòîé÷èâîñòüþ îáðàòèë âíèìàíèå åùå Àíðè Ïóàíêàðå [1].  òî æå âðåìÿ ñòàòèñòè÷åñêèé ïîäõîä ê îïèñàíèþ ñèñòåì ñî ìíîãèìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû áûë ïðåäëîæåí Ë.Áîëüöìàíîì [2] . Îí âûäâèíóë ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî äâèæåíèå ÷àñòèö â ðàçðÿæåííîì ãàçå ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê ñëó÷àéíîå, è êàæäîé ÷àñòèöå äîñòóïíà âñÿ ýíåðãåòè÷åñêè ðàçðåøåííàÿ îáëàñòü ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà. Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå î ñèñòåìàõ ìíîãèõ ÷àñòèö èçâåñòíî êàê ýðãîäè÷åñêàÿ ãèïîòåçà [2, 3, 4], êîòîðàÿ ñòàëà îñíîâîé êëàññè÷åñêîé ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Îäíàêî åå ñòðîãîå îáîñíîâàíèå äîëãîå âðåìÿ íå íàõîäèëî ïîäòâåðæäåíèÿ. Íåêîòîðîå ïðîäâèæåíèå â ýòîì íàïðàâëåíèè áûëî äîñòèãíóòî áëàãîäàðÿ èññëåäîâàíèÿì Ï.Ýðåíôåñòà [5, 6] (ñì. òàêæå [7, 8]), êîòîðûå ïîçâîëÿëè â òîì ÷èñëå óñòàíîâèòü ðàìêè ïðèìåíèìîñòè çàêîíîâ ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Îäíàêî èçâåñòíàÿ ðàáîòà Ý.Ôåðìè, Äæ.Ïàñòà è Ñ.Óëàìà [9] (áîëåå ïîäðîáíî ñì. [10, 11]), ãäå âïåðâûå áûëà ïðåäïðèíÿòà ïîïûòêà ïðîâåðêè ýðãîäè÷åñêîé ãèïîòåçû, âíîâü âûäâèíóëà ïðîáëåìó îáîñíîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè íà ïåðâûé ïëàí. ×àñòè÷íîå ðåøåíèå ýòîé ïðîáëåìû ìîæíî ïîëó÷èòü, îïèðàÿñü íà ðàáîòû À.Ïóàíêàðå (ñì. [12]), â êîòîðûõ îí ïîêàçàë, ÷òî â îêðåñòíîñòè íåóñòîé÷èâûõ íåïîäâèæíûõ òî÷åê äâèæåíèå èìååò ÷ðåçâû÷àéíî ñëîæíûé õàðàêòåð. Ýòî ÿâèëîñü ïåðâûì óêàçàíèåì íà òî, ÷òî íåëèíåéíûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû ìîãóò ïðîÿâëÿòü õàîòè÷åñêèå ñâîéñòâà. Âïîñëåäñòâèè Ä.Áèðêãîô [13] ïîêàçàë, ÷òî ïðè ðàöèîíàëüíîì îòíîøåíèè ÷àñòîò (ðåçîíàíñ) âñåãäà ñóùåñòâóþò óñòîé÷èâûå è íåóñòîé÷èâûå íåïîäâèæíûå òî÷êè. Ðåçîíàíñû áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïîñëåäîâàòåëüíî èçìåíÿþò òîïîëîãèþ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé è ïðèâîäÿò ê îáðàçîâàíèþ öåïè îñòðîâîâ â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå. Òåîðèÿ âîçìóùåíèé, êàê îêàçàëîñü, íå îïèñûâàåò òàêèå ðåçîíàíñû, ïîñêîëüêó ðåãóëÿðíûå ðåøåíèÿ âáëèçè íèõ ñèëüíî âîçìóùåíû, à ýòî âëå÷åò ïîÿâëåíèå ìàëûõ çíàìåíàòåëåé è ðàñõîäèìîñòü ðÿäîâ. Ãëóáîêîå èññëåäîâàíèå ïðèðîäû ñòàòèñòè÷åñêèõ çàêîíîâ áûëî ïðîâåäåíî Í.Ñ.Êðûëîâûì [14]. Îí ïîêàçàë, ÷òî â åå îñíîâå ëåæèò ñâîéñòâî ïåðåìåøèâàíèÿ è ñâÿçàííàÿ ñ íèì ëîêàëüíàÿ íåóñòîé÷èâîñòü ïî÷òè âñåõ òðàåêòîðèé ñîîòâåòñòâóþùèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.  ýòîé æå ñâÿçè Ì.Áîðí [15] (ñì. òàêæå [16]) âûñêàçûâàë ïðåäïîëîæåíèå î íåïðåäñêàçóåìîñòè ïîâåäåíèÿ ñèñòåì êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ïîçäíåå äèíàìèêà ñèñòåì, âû-
2
çâàííàÿ òàêîãî ðîäà íåóñòîé÷èâîñòüþ, ñòàëà íàçûâàòüñÿ äèíàìè÷åñêîé ñòîõàñòè÷íîñòüþ èëè äåòåðìèíèðîâàííûì (äèíàìè÷åñêèì) õàîñîì. Ôèçè÷åñêè îñìûñëåííîå ïîíÿòèå äåòåðìèíèðîâàííîãî îïèñàíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ïðîöåññà çàäàåòñÿ â ñèëó íåèçáåæíûõ ôëþêòóàöèé íåêîòîðûì âåðîÿòíîñòíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû íà îñíîâàíèè èçâåñòíîãî íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåäñêàçàòü åãî ýâîëþöèþ. Åñëè ìàëûå âîçìóùåíèÿ íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè íå íàðàñòàþò (ò.å. èìååò ìåñòî óñòîé÷èâîñòü), òî ïîâåäåíèå òàêîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ïðåäñêàçóåìûì.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïðîöåññ ìîæåò áûòü îïèñàí òîëüêî âåðîÿòíîñòíûì îáðàçîì. Ïî-ñóùåñòâó èìåííî ýòè ñîîáðàæåíèÿ ëåãëè â îñíîâó ñîâðåìåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ î äèíàìè÷åñêîì õàîñå. Íîâûé ýòàï â ðàçâèòèè ïîíèìàíèÿ õàîòè÷íîñòè è åå çàðîæäåíèÿ â äåòåðìèíèðîâàííûõ ñèñòåìàõ âîçíèê ïîñëå ðàáîò À.Í.Êîëìîãîðîâà è ß.Ã.Ñèíàÿ [17, 18, 19], ãäå äëÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì áûëî ââåäåíî ïîíÿòèå ýíòðîïèè. Ýòè ðàáîòû ïîëîæèëè íà÷àëî ñîçäàíèþ òåîðèè ñòîõàñòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Áîëüøóþ ðîëü â ðàçâèòèè òåîðèè äåòåðìèíèðîâàííîãî õàîñà ñûãðàëè ðàçíîãî ðîäà àáñòðàêòíûå ìàòåìàòè÷åñêèå êîíñòðóêöèè. Òàê, Ñ.Ñìåéë [20], ÷òîáû îïðîâåðãíóòü ãèïîòåçó î ïëîòíîñòè ñèñòåì òèïà Ìîðñà-Ñìåéëà â ïðîñòðàíñòâå C r -äèôôåîìîðôèçìîâ, ïîñòðîèë ïðèìåð ("ïîäêîâà Ñìåéëà"), ïîêàçûâàþùèé, ÷òî åñëè g äèôôåîìîðôèçì ïëîñêîñòè, îáëàäàþùèé òðàíñâåðñàëüíîé ãîìîêëèíè÷åñêîé òðàåêòîðèåé, òî îí äîëæåí èìåòü èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî òèïà ïîäêîâû.  ñâîþ î÷åðåäü èç ñóùåñòâîâàíèÿ ïîäêîâû âûòåêàåò, ÷òî îòîáðàæåíèå g äîëæíî èìåòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî êàê ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê ðàçëè÷íîãî ïåðèîäà, òàê è íåñ÷åòíîå ÷èñëî àïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé [20, 21]. Âñëåä çà "ïîäêîâîé Ñìåéëà"ïîÿâèëèñü y -ñèñòåìû Àíîñîâà [22, 23], êîòîðûå õàðàêòåðèçóþòñÿ íàèáîëåå âûðàæåííûìè ñâîéñòâàìè ïåðåìåøèâàíèÿ. Îáîáùåíèÿ òàêèõ ñèñòåì ââåäåíèå "àêñèîìû À"Ñìåéëà [21] (ñì. òàêæå [24, 25, 26] è öèòèðóåìóþ òàì ëèòåðàòóðó) è ãèïåðáîëè÷åñêèõ ìíîæåñòâ [21, 25, 26, 27], âûäåëèëî âàæíûé êëàññ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì ýêñïîíåíöèàëüíîé íåóñòîé÷èâîñòè òðàåêòîðèé. Ïðèìåðíî â òî æå âðåìÿ ñòàëè ïîÿâëÿòüñÿ ìàòåìàòè÷åñêèå ðàáîòû, ãäå íà îñíîâå èçó÷åíèÿ áèëüÿðäíûõ ñèñòåì áûëè ïðåäïðèíÿòû ïîïûòêè îáîñíîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêè [28, 29]. Áèëüÿðäû âïåðâûå ïîÿâèëèñü êàê óïðîùåííûå ìîäåëè, íà êîòîðûõ ìîæíî èçó÷àòü ðÿä çàäà÷ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè [13] (ñì. òàêæå ññûëêè â [30, 31]). Èñïîëüçóÿ òàêèå ñèñòåìû, âïåðâûå áûëà ðåøåíà çàäà÷à Í.Ñ.Êðûëîâà î ïåðåìåøèâàíèè â ñèñòåìå óïðóãèõ øàðèêîâ [14]. Áîëåå òîãî, áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ñèñòåìû, îòâå÷àþùèå áèëüÿðäàì ñ ðàññåèâàþùèìè ãðàíèöàìè, èìåþò ìíîãî îáùåãî ñ ãåîäåçè÷åñêèìè ïîòîêàìè â ïðîñòðàíñòâàõ îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû, ò.å. ïîòîêàìè Àíîñîâà. Íåìíîãî ïîçæå êëàññ áèëüÿðäíûõ ñèñòåì, êîòîðûå ñïîñîáíû ïðîÿâëÿòü õàîòè÷åñêèå ñâîéñòâà, áûë çíà÷èòåëüíî ðàñøèðåí (ñì. [31, 32, 33] à òàêæå öèòèðîâàííóþ òàì ëèòåðàòóðó). Îïèðàÿñü íà îáîáùåíèå òàêèõ ñèñòåì ìîäèôèêàöèþ äâóìåðíîãî ãàçà Ëîðåíöà, áûëî äîêàçàíî, ÷òî äâèæåíèå â ÷èñòî äåòåðìèíèðîâàííûõ ñèñòåìàõ ìîæåò áûòü ïîäîáíî áðîóíîâñêîìó [30, 31]. Ýòîò ðåçóëüòàò ÿâèëñÿ ïåðâûì ñòðîãèì ïîäòâåðæäåíèåì ïðîÿâëåíèÿ õàîòè÷íîñòè äèíàìè÷åñêèìè (ò.å. áåç êàêîãî-ëèáî ñëó÷àéíîãî ìåõàíèçìà) ñèñòåìàìè. 3
Äàëüíåéøèå êàê òåîðåòè÷åñêèå òàê è ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ íåëèíåéíûõ ñèñòåì ïîêàçàëè, íàñêîëüêî òèïè÷íûì è âñåîáùèì ÿâëåíèåì îêàçûâàåòñÿ õàîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå â ñèñòåìàõ ñ íåáîëüøèì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ñòàëî î÷åâèäíûì, ÷òî õàîòè÷åñêèå ñâîéñòâà ìîãóò ïðîÿâëÿòü ñàìûå ðàçíîîáðàçíûå íåëèíåéíûå ñèñòåìû, è åñëè õàîñ íå îáíàðóæèâàåòñÿ, òî, âîçìîæíî ëèøü ïîòîìó, ÷òî ëèáî îí âîçíèêàåò â î÷åíü ìàëûõ îáëàñòÿõ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà, ëèáî ïðè íåôèçè÷åñêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ. Êàê æå âîçíèêàåò õàîòè÷åñêîå äâèæåíèå? Êàçàëîñü áû, ïóòåé åãî âîçíèêíîâåíèÿ äîëæíî áûòü î÷åíü ìíîãî. Îäíàêî, âûÿñíèëîñü, ÷òî ÷èñëî ñöåíàðèåâ ïðîöåññà õàîòèçàöèè ñîâñåì íåâåëèêî. Áîëåå òîãî, íåêîòîðûå èç íèõ ïîä÷èíÿþòñÿ óíèâåðñàëüíûì çàêîíîìåðíîñòÿì, è íå çàâèñÿò îò ïðèðîäû ñèñòåìû. Îäíè è òå æå ïóòè ðàçâèòèÿ õàîñà ïðèñóùè ñàìûì ðàçíîîáðàçíûì îáúåêòàì. Óíèâåðñàëüíîå ïîâåäåíèå íàïîìèíàåò îáû÷íûå ôàçîâûå ïåðåõîäû âòîðîãî ðîäà, à ââåäåíèå ðåíîðìãðóïïîâûõ è ñêåéëèíãîâûõ ìåòîäîâ, èçâåñòíûõ â ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêå, îòêðûâàåò íîâûå ïåðñïåêòèâû â èçó÷åíèè õàîòè÷åñêîé äèíàìèêè. Äàííàÿ ðàáîòà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðâóþ ÷àñòü îáçîðà, ïîñâÿùåííîãî òåîðèè õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì è ïðîáëåìå óïðàâëåíèÿ òàêèìè ñèñòåìàìè. Îíà ñîñòîèò èç äâóõ ãëàâ. Ïåðâàÿ ãëàâà ñîäåðæèò îñíîâíûå ñâåäåíèÿ ïî òåîðèè áèôóðêàöèé. Âî âòîðîé ãëàâå èçëîæåíû íåêîòîðûå âàæíûå ñâîéñòâà õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ðàññìîòðåíû ìåòîäû èõ îïèñàíèÿ è äàíû íåêîòîðûå ïîëîæåíèÿ ýðãîäè÷åñêîé òåîðèè.
2
Áèôóðêàöèè è ðàçâèòèå õàîñà â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ
Óñòàíîâëåíèå â äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå õàîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ â ðåçóëüòàòå òîé èëè èíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áèôóðêàöèé ïðèíÿòî íàçûâàòü êàðòèíîé èëè ñöåíàðèåì ðàçâèòèÿ õàîñà.  äàííîé ÷àñòè ðàññìàòðèâàþòñÿ íàèáîëåå òèïè÷íûå èç òàêèõ ñöåíàðèåâ. 2.1
Îáùèå ïîëîæåíèÿ
Ïóñòü M ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ñ îïðåäåëåííûì ðàññòîÿíèåì ìåæäó òî÷êàìè è fT tg ìíîæåñòâî îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðîñòðàíñòâà M â ñåáÿ òàêîå, ÷òî T t1 +t2 T t1 Æ T t2 T t2 Æ T t1 äëÿ ëþáûõ t1 ; t2 . Òîãäà T t ; M è fT t g íàçûâàþòñÿ îòîáðàæåíèåì ñäâèãà, ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì è äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé ñîîòâåòñòâåííî.  ìåòðè÷åñêîé òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ðàññìàòðèâàåòñÿ òàêæå ïðîñòðàíñòâî ñ ìåðîé, ò.å. òðîéêà fM; S ; g, ãäå S -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ M è ìåðà, îïðåäåëåííàÿ òåì èëè èíûì îáðàçîì íà S . Ïðè ýòîì ìåðà íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíîé ìåðîé îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ T , åñëè C T 1C äëÿ ëþáîãî C 2 S . Êîãäà ftg èìååò äèñêðåòíûé ðÿä çíà÷åíèé, t 2 , t k, òî fT k g íàçûâàåòñÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì èëè îòîáðàæåíèåì. Èçâåñòíûì ïðèìåðîì òàêîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå èíòåðâàëà I â ñåáÿ: Ta I ! I; I ; ; Ta f x; a , ãäå a íåêîòîðûé ïàðàìåòð è ; M . Òîãäà òðàåêòîðèÿ îòîáðàæåíèÿ Tak îïðå-
=
=
Z
[
( )= (
)
:
]=
4
=[
]
= ( )
= f Æ f Æ ::: Æ f äëÿ êàæäîãî k.  îáùåì ñëó÷àå çàäàíèå çàêîíà ïðåîáðàk çîâàíèÿ Ta = f(x; a) îïðåäåëÿåò òðàåêòîðèþ òî÷êè x èç M ïî îòíîøåíèþ ê f êàê ïîäìíîæåñòâî fTak j k 2 Zg. Êîãäà ìíîæåñòâî ftg ïðèíèìàåò íåïðåðûâíûé ðÿä çíà÷åíèé, òî ïðåîáðàçîâàíèå fT t g äåëèòñÿ êàê Tak
|
{z
}
íàçûâàåòñÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì èëè ïîòîêîì.  ýòîì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå T ! Diff M ; t 7! T t. Ïîòîê T t M ! M îïðåäåëÿåò íà M êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå, ò.å. äëÿ ëþáîãî 2 M ðàâåíñòâî dT t =dt jt=0 ; a îïðåäåëÿåò êàñàòåëüíûé âåêòîð ; a 2 x M â òî÷êå 2 M , ãäå x M êàñàòåëüíîå ê M ïðîñòðàíñòâî. Ñëåäîâàòåëüíî, äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì çàäàåò ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûå ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå ïðèâû÷íîì âèäå êàê
:R
( )
:
x v(x ) ( )
( (x) ) = v(x ) ( )
x
x_ = v(x; a) ; (1) x = fx ; x ; :::; xn g, v = fv ; v ; :::; vng, a 2 R, ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè x(t ) x . Äëÿ 1
2
1
2
0
0
òàêîé ñèñòåìû äåéñòâèå îòîáðàæåíèÿ ñäâèãà T t çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ëþáàÿ òî÷êà M ïîä äåéñòâèåì T t ïðåîáðàçóåòñÿ â òî÷êó ; t , êîòîðàÿ, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ
x 2 0
ðåøåíèåì ñèñòåìû (1). Òàêèì îáðàçîì, T t
x(x ) x = x(x ; t). 0
0
0
Âàæíûì ïîíÿòèåì òåîðèè äèññèïàòèâíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ àòòðàêòîð.  íàñòîÿùåå âðåìÿ èìååòñÿ íåñêîëüêî îïðåäåëåíèé àòòðàêòîðà, êîòîðûå, ïî-âèäèìîìó, íå ñâîäÿòñÿ äðóã ê äðóãó (îáçîð ïî ýòîìó âîïðîñó ìîæíî íàéòè â ïóáëèêàöèÿõ [34, 35, 36, 37]). Ñëåäóÿ [37], áóäåì îïèðàòüñÿ â îïðåäåëåíèè àòòðàêòîðà íà ïîíÿòèå ïîãëîùàþùåé îáëàñòè. Îáëàñòü U M íàçûâàåòñÿ ïîãëîùàþùåé, åñëè T t U U äëÿ t > , ãäå U T çàìûêàíèå U . Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî T t U íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíûì àòòðàêòîðîì â
0
t>0
ïîãëîùàþùåé îáëàñòè U . Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ àòòðàêòîðîì, åñëè ñóùåñòâóåò ïîãëîùàþùàÿ îáëàñòü U , â êîòîðîé A ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì àòòðàêòîðîì. Îáëàñòü B A íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ ïðèòÿæåíèÿ àòòðàêòîðà A, åñëè îíà ñîñòîèò èç òàêèõ òî÷åê, ÷åðåç êîòîðûå ïðîõîäÿò ïîëîæèòåëüíûå ïîëóòðàåêòîðèè, ñòðåìÿùèåñÿ ê A. Ñîãëàñíî ýòîìó îïðåäåëåíèþ, î÷åâèäíî, óñòîé÷èâûå ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, óñòîé÷èâûå ïðåäåëüíûå öèêëû è óñòîé÷èâûå òîðû ÿâëÿþòñÿ àòòðàêòîðàìè ñèñòåìû (1). Øèðîêî èçâåñòíûì òèïîì áèôóðêàöèè ÿâëÿþòñÿ áèôóðêàöèè óñòîé÷èâûõ ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê (ò.å. ïîëîæåíèé óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì). Ñðåäè íèõ íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííàÿ áèôóðêàöèÿ Àíäðîíîâà-Õîïôà (ñì., íàïðèìåð, [36, 37, 38, 39, 40, 41, 42]), âîçíèêàþùàÿ ïðè ïîòåðå óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîé òî÷êè òèïà ôîêóñ. Äîïóñòèì, ÷òî ïîëå èìååò ñòàöèîíàðíóþ òî÷êó 0 a äëÿ a a0 , ò.å. . Îïðå0 a0 äåëèì îïåðàòîð ëèíåàðèçàöèè êàê íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå êàñàòåëüíîãî ê M ïðîñòðàíñòâà â ñåáÿ: d @vi =@xj jx=x0 . Ïðè ýòîì 0 ; a0 x0 M ! x0 M , ãäå d 0 ; a0
( )
v
x( )
v(x
):
=
v(x ( )) = 0
v(x ) = ( ) _ ëèíåàðèçîâàííîå óðàâíåíèå áóäåò èìåòü âèä: ~ = dv(x ; a )~, ~ 2 x M , è îòîáðàæåíèå dv(x ; a ) êîîðäèíàòíî íåçàâèñèìî. Îòâåò íà âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè òî÷êè x äàåò 0
0
0
0
0
0
èçâåñòíàÿ òåîðåìà Ëÿïóíîâà (ñì., íàïðèìåð, [37, 39, 42, 43]). Ñîãëàñíî ýòîé òåîðåìå, åñëè ñîâîêóïíîñòü ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (ñïåêòð) # fi g îïåðàòîðà d 0 ; a0 ïðèíàäëåæèò ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè, # d fz 2 j z < g, òî òî÷êà 0 ÿâëÿåòñÿ 0 ; a0
( v(x
))
5
= C Re
0
v(x
x
)
( v(x
)) ( v(x
Re C Re 0
0
óñòîé÷èâîé; åñëè ñóùåñòâóåò 2 # d > , òî òî÷êà 0 ; a0 , äëÿ êîòîðîãî íàéäåòñÿ fz 2 j z g è ñóùåñòâóåò 0 íåóñòîé÷èâà. Íàêîíåö, âîçìîæíî, ÷òî # d 0 ; a0 2 # d 0 ; a0 ñ . Òàêàÿ ñèòóàöèÿ ÿâëÿåòñÿ íåòèïè÷íîé, è óñòîé÷èâîñòü òî÷êè 0 íå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ñïåêòðó ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îïåðàòîðà d 0 ; a0 .  ýòîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü äîïîëíèòåëüíûå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ (ñì., íàïðèìåð, [43, 44, 45]). Äîïóñòèì, ÷òî ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà 0 ïîëÿ óñòîé÷èâà äëÿ a < a0 è íåóñòîé÷èâà äëÿ çíà÷åíèÿ a > a0 . Òîãäà ïðè a a0 íåêîòîðûå èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé fi g ïåðåéäóò â ïðàâóþ ïîëóïëîñêîñòü.  ýòîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî áèôóðêàöèÿ ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè òî÷êè 0 , è îñíîâíîé âîïðîñ ñîñòîèò â èññëåäîâàíèè ïîâåäåíèÿ ñèñòåìû ïðè a > a0 . Áèôóðêàöèîííàÿ òåîðåìà Àíäðîíîâà-Õîïôà óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè äâà êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ íåíóëåâûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿ ; óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ a aa > , d a =da a=a > , à îñòàëüíàÿ 0 0 0 0 ÷àñòü ñïåêòðà îñòàåòñÿ â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè, òî ïðîèñõîäèò ðîæäåíèå ïðåäåëüíîãî p öèêëà ñ ïåðèîäîì 0 =j a0 j è ðàäèóñîì, ðàñòóùèì êàê a a0 . Âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè ðîæäàþùåãîñÿ ïðè ýòîì öèêëà ðåøàåòñÿ ïóòåì îïðåäåëåíèÿ çíàêà ïåðâîé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû L1 , ïðîöåäóðà âû÷èñëåíèÿ êîòîðîé äîñòàòî÷íî ñëîæíà è ïîäðîáíî îïèñàíà â ðàáîòàõ [38, 39, 46]. Åñëè L1 < , òî öèêë óñòîé÷èâ. Åñëè æå L1 > , òî ðîæäàþùèéñÿ öèêë ÿâëÿåòñÿ íåóñòîé÷èâûì.  ñëó÷àå, êîãäà L1 , òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ d a =da a=a > èìååò ìåñòî ëîêàëüíàÿ åäèíñòâåííîñòü ðîæäàþùåãî0 ñÿ öèêëà, óñòîé÷èâîñòü êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì âòîðîé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû L2 [37, 38, 46]. Åñëè æå Li ; i ; ; :::, òî ïðè a a0 ñóùåñòâóåò ñåìåéñòâî íåèçîëèðîâàííûõ öèêëîâ [38, 47]. Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ëèøü óñòîé÷èâûå ïðåäåëüíûå öèêëû, ïîñêîëüêó íåóñòîé÷èâûå öèêëû îáû÷íî íåíàáëþäàåìû. Ïîýòîìó áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî â ðåçóëüòàòå áèôóðêàöèè Àíäðîíîâà-Õîïôà ðîäèëñÿ óñòîé÷èâûé ïðåäåëüíûé öèêë. Áèôóðêàöèè ôàçîâûõ ïîðòðåòîâ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì â îêðåñòíîñòè óñòîé÷èâîãî öèêëà ïîëíîñòüþ îïèñûâàþòñÿ áèôóðêàöèÿìè ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîíîäðîìèè îòîáðàæåíèÿ òðàíñâåðñàëüíîé öèêëó ïëîùàäêè â ñåáÿ. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ÷àñòî íàçûâàþò îòîáðàæåíèåì Ïóàíêàðå. Äëÿ åãî ïîñòðîåíèÿ ðàññìîòðèì óñòîé÷èâûé öèêë
a ïîòîêà, ïîðîæäàåìîãî âåêòîðíûì ïîëåì ; a . Âûáåðåì òî÷êó 0 2 a è íåêîòîðóþ òðàíñâåðñàëüíóþ ñåêóùóþ S , ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç 0 . Îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå Pa ïåðåâîäèò ëþáóþ òî÷êó èç ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè 0 2 S â òó òî÷êó, ãäå ïîòîê Tat ïåðåñåêàåò S . Öèêë a ïîòîêà Tat ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì, åñëè # dPa 0 fz 2 j jzj < g è íåóñòîé÷èâûì, åñëè íàéäåòñÿ 2 # dPa 0 òàêîå, ÷òî jj > . Ñòàëî áûòü, ïîñëåäóþùàÿ ýâîëþöèÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ õàðàêòåðîì ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (ìóëüòèïëèêàòîðîâ) ïðåîáðàçîâàíèÿ dPa öèêëà â ñåáÿ. Çäåñü âîçìîæíû òðè îñíîâíûõ ñëó÷àÿ, êîãäà íà åäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü âûõîäÿò ëèáî îäèí ìóëüòèïëèêàòîð, ðàâíûé èëè , ëèáî äâà êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ ìóëüòèïëèêàòîðà.  ïåðâîì ñëó÷àå â îòîáðàæåíèè èìååò ìåñòî ðîæäåíèå èëè èñ÷åçíîâåíèå ïàðû íåïîäâèæíûõ òî÷åê, óñòîé÷èâîé è ñåäëîâîé, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå M ñîîòâåòñòâóåò ïîÿâëåíèþ èëè
x
( v(x x
)) Re = 0
))
v(x
=
x
)
v
x
Re ( )
0 Re ( ) =2
( ) 0 [ (Re ( )) ]
= 0 Re ( )
( )
0
[ (Re ( )) ]
0
=
()
v(x )
x ()
1
+1
0
=0
=0 =12
C
0
( (x ))
1
6
x x
x
()
( (x )) 1
èñ÷åçíîâåíèþ óñòîé÷èâîãî è ñåäëîâîãî ïðåäåëüíûõ öèêëîâ. Ñ áèôóðêàöèåé ðîæäåíèÿ (èñ÷åçíîâåíèÿ) ïðåäåëüíîãî öèêëà ñ ìóëüòèïëèêàòîðîì ñâÿçàíî ðîæäåíèå õàîñà ÷åðåç ïåðåìåæàåìîñòü (ñì. íèæå). Ïðè ïîÿâëåíèè ìóëüòèïëèêàòîðà, ðàâíîãî , ðåàëèçóþòñÿ äâà êà÷åñòâåííî ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿ. Åñëè ïåðâîíà÷àëüíî â ãðàíèöó îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ èñõîäíîãî öèêëà ïåðèîäà 0 âõîäèë ñåäëîâîé öèêë ïðèáëèçèòåëüíî óäâîåííîãî ïåðèîäà 0 , òî ñ ïðîõîæäåíèåì ìóëüòèïëèêàòîðà ÷åðåç ýòè öèêëû ñëèâàþòñÿ. Ïðè ýòîì â ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè íå îñòàåòñÿ óñòîé÷èâûõ òðàåêòîðèé, à èñõîäíûé öèêë ñòàíîâèòñÿ ñåäëîâûì.  îòîáðàæåíèè dPa ýòîò ïðîöåññ âûãëÿäèò êàê ñëèÿíèå óñòîé÷èâîé è äâóõ ñåäëîâûõ òî÷åê â îäíó ñåäëîâóþ.  äðóãîì ñëó÷àå îò òåðÿþùåãî óñòîé÷èâîñòü öèêëà ïåðèîäà 0 îòâåòâëÿåòñÿ öèêë ïðèáëèçèòåëüíî óäâîåííîãî ïåðèîäà, 1 0 , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì. Äàëüíåéøåå óâåëè÷åíèå óïðàâëÿþùåãî ïàðàìåòðà ìîæåò ïðèâåñòè ê ñèòóàöèè, êîãäà íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà ïðîèçîéäåò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî áèôóðêàöèé óäâîåíèÿ ïåðèîäà óñòîé÷èâîãî ïðåäåëüíîãî öèêëà. Ýòîò êàñêàä áèôóðêàöèé èìååò ìåñòî â òèïè÷íîì ñåìåéñòâå, è ïðèâîäèò ñèñòåìó îò óñòîé÷èâîãî ïåðèîäè÷åñêîãî ðåæèìà ê õàîñó (ñì. íèæå). Äîïóñòèì, ÷òî ïðè a a1 åäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü ïåðåñåêàþò äâà êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ ìóëüòèïëèêàòîðà îòîáðàæåíèÿ dPa , ïðè÷åì dj a j=da > , à îñòàëüíàÿ a=a1 ÷àñòü ñïåêòðà # dPa îñòàåòñÿ âíóòðè åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè. Òîãäà ïðè a > a1 â îòîáðàæåíèè dPa èç òåðÿþùåé óñòîé÷èâîñòü íåïîäâèæíîé òî÷êè ðîæäàåòñÿ èíâàðèàíòíàÿ îòíîñèòåëüíî îòîáðàæåíèÿ îêðóæíîñòü. Òåì ñàìûì â èñõîäíîé ñèñòåìå ðîæäàåòñÿ èíâàðèàíòíûé òîð ñ ïëîòíîé îáìîòêîé. Ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðà, âîîáùå ãîâîðÿ, ÷èñëî âðàùåíèÿ íà òîðå ìåíÿåòñÿ, îí èñïûòûâàåò ðåçîíàíñû, ÷òî ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ è èñ÷åçíîâåíèþ â áåñêîíå÷íîì êîëè÷åñòâå ïðåäåëüíûõ öèêëîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà òîðå. Ñ äàëüíåéøèì ðîñòîì ïàðàìåòðà òîð òåðÿåò ãëàäêîñòü è ìîæåò ïðåâðàòèòüñÿ â ñòðàííûé àòòðàêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé õàîòè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. Òàêèì îáðàçîì, áèôóðêàöèè äàæå òàêîãî äîñòàòî÷íî ïðîñòîãî îáúåêòà êàê ïðåäåëüíûé öèêë ïðèâîäÿò ê ðîæäåíèþ íåòðèâèàëüíûõ ìíîæåñòâ (íàïðèìåð, èíâàðèàíòíûõ òîðîâ, ñîñòîÿùèõ èç áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà òðàåêòîðèé). Ïðè èçìåíåíèè óïðàâëÿþùåãî ïàðàìåòðà èññëåäîâàíèå âîçìîæíûõ áèôóðêàöèé òàêèõ ìíîæåñòâ ñèëüíî ðàçâåòâëÿåòñÿ (ñì. îá ýòîì [37]). Îäíàêî íàñ èíòåðåñóþò, â îñíîâíîì, áèôóðêàöèè, ïðèâîäÿùèå ê âîçíèêíîâåíèþ õàîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.
+1
1
2
1
=2
=
()
( )
2.2
0
Óäâîåíèå ïåðèîäà
Ïðåæäå âñåãî, îñòàíîâèìñÿ íà áèôóðêàöèè óäâîåíèÿ ïåðèîäà [36, 37, 41, 48, 49, 50]. Ýòà áèôóðêàöèÿ èìååò ìåñòî ïðè ïðîõîæäåíèè ìóëüòèïëèêàòîðà a0 öèêëà a0 ïåðèîäà 0 ÷åðåç : ñ äîñòèæåíèåì çíà÷åíèÿ a a1 öèêë a0 ñòàíîâèòñÿ íåóñòîé÷èâûì, è îò íåãî îòâåòâëÿåòñÿ íîâîå óñòîé÷èâîå ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå 0 a1 ïåðèîäà 1 0 . Ñ 0 äàëüíåéøèì óâåëè÷åíèåì ïàðàìåòðà, a > a1 , çíà÷åíèå a ìåíÿåòñÿ, íî ïðè a a2 0 ìóëüòèïëèêàòîð a2 è ïîÿâëÿåòñÿ öèêë ïåðèîäà 2 1 0 . È òàê äàëåå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áèôóðêàöèîííûõ çíà÷åíèé óäîâëåòâîðÿåò ìàñøòàáíîìó ñîîòíîøå-
1
=
( )
( )
( )
() =2 =4
( )= 1
7
( )
=2
=
=
const
= 4 6692016091
íèþ an a1 Æ m (ãäå Æ ; ::: ïåðâàÿ ïîñòîÿííàÿ Ôåéãåíáàóìà) è èìååò ïðåäåë a a1 . Ïðè ýòîì áèôóðöèðóþùèå öèêëû ñõîäÿòñÿ ê m!1 m íåêîòîðîìó èíâàðèàíòíîìó ìíîæåñòâó (àòòðàêòîðó Ôåéãåíáàóìà), ñòðóêòóðà êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ êàíòîðîâñêîé è íå çàâèñèò îò ðàññìàòðèâàåìîãî ñåìåéñòâà óðàâíåíèé. Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå, a > a1 , â ëþáîé ïîëóîêðåñòíîñòè ýòîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî èíòåðâàëà èìåþòñÿ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà a, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ èíâàðèàíòíàÿ ìåðà, ò.å. äèíàìèêà ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ õàîòè÷åñêîé. Óíèâåðñàëüíîñòü áèôóðêàöèé óäâîåíèÿ ïåðèîäà îáúÿñíÿåòñÿ ïðè ïîìîùè ðåíîðìãðóïïîâîãî ïîäõîäà [51, 52, 53]. Ðàññìîòðèì ÷åòíîå óíèìîäàëüíîå îòîáðàæåíèå èíòåðâàëà I â ñåáÿ, îïðåäåëÿåìîå ñåìåéñòâîì f a; x . Äîïóñòèì, ÷òî â äèàïàçîíå èçìåíåíèÿ ïàðàì (2k ) åòðîâ îò ak äî ak+1 ïðîèçâîäíàÿ df x; a =dx (1) ìîíîòîííî óáûâàåò îò äî
lim
=
( )
1, ãäå xa
( )
x=xa
2
(
)
~
1
k . Ñëåäîâàòåëüíî,
îäíà èç òî÷åê ïåðèîäè÷åñêîé òðàåêòîðèè ïåðèîäà k â èíòåðâàëå ak ; ak+1 íàéäåòñÿ ak òàêîå, ÷òî df (2 ) x; ak =dx (1) (1)
( ~)
x=xa~k
= 0. Ýòî ïàðàì-
åòðè÷åñêîå çíà÷åíèå õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òî òî÷êè ïåðèîäè÷åñêîé òðàåêòîðèè ÿâëÿþòñÿ (2k 1 ) ñâåðõóñòîé÷èâûìè. Ïîýòîìó â îêðåñòíîñòè x x(1) x; ak a~k 1 ãðàôèê ôóíêöèè f (2k ) àñèìïòîòè÷åñêè âûãëÿäèò òàê æå, êàê è ãðàôèê äëÿ f x; ak+1 ïðè k ! 1 ïîñëå ñîîòâåòñòâóþùåãî ìàñøòàáíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ôàêòè÷åñêè, îäíàêî, ñîâïàäàþò öåëûå k 1 k ñåìåéñòâà: f (2 ) x; a â an a an+1 è f (2 ) x; a â an+1 a an+2 . Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíî óäâàèâàÿ ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé è ïðîèçâîäÿ ìàñøòàáíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷èì â ïðåäåëå ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé, èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâåäåííûõ îïåðàöèé è íå çàâèñÿùåå îò âûáîðà íà÷àëüíîãî îòîáðàæåíèÿ. Ýòî óíèâåðñàëüíîå îòîáðàæåíèå ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî ÷åðåç ïðåîáðàçîâàíèå óäâîåíèÿ T . Ïóñòü x òî÷êà ìàêñèìóìà f . Îáîçíà÷èì êàê f f =f f . Òîãäà 1 1 1 èíòåðâàë ; ïîä äåéñòâèåì T ïåðåéäåò â f ; f .  ñâîþ î÷åðåäü, ýòîò 1 èíòåðâàë îòîáðàçèòñÿ íà èíòåðâàë f f ;f f . Ïóñòü > ; f f 1 < 1 ; 1 < T f 1 ; f > .  ýòîì ñëó÷àå f f ; f f 1 1 ; 1 , è f 1 ; f 1; 1 ;. Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ h x f f 1 x áóäåò âíîâü ôóíêöèåé, êîòîðàÿ ïîðîæäàåò óíèìîäàëüíîå îòîáðàæåíèå èíòåðâàëà I â ñåáÿ. Ïðåîáðàçîâàíèå óäâîåíèÿ T îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: T f x f f 1 x ; f =f f . Îíî èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó g x , è ñïåêòð ëèíåàðèçîâàííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ â ýòîé òî÷êå, T g , ëåæèò âíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà çà èñêëþ÷åíèåì îäíîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ, ðàâíîãî ïåðâîé ïîñòîÿííîé Ôåéãåíáàóìà Æ . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî U , ñîñòîÿùåå èç ÷åòíûõ óíèìîäàëüíûõ îòîáðàæåíèé èíòåðâàëà. Äîïóñòèì, ÷òî f 0 f f < b f > f b f 2 < . Ïóñòü H îáîçíà÷àåò áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî ÷åòíûõ ôóíêöèé f z , à H0 åãî ïîäïðîñòðàíñòâî, ñîñòîÿùåå èç ôóíêöèé f , óäîâëåòâîðÿþùèõ ñîîòíîøåíèÿì f f0 ; H1 H0 . Òîãäà ìîæíî ïîêàçàòü [52, 53, 54], ÷òî ñóùåñòâóåò ÷åòíàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ g x , ïðåäñòàâèìàÿ êàê g x ; x2 ; x4 : x6 ::: è èíâàðèàíòíàÿ îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ óäâîåíèÿ T . Ïðè ýòîì g ; ::: âòîðàÿ óíèâåðñàëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ Ôåéãåíáàóìà. Áîëåå òîãî, ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü Vg òî÷êè g â ïðîñòðàíñòâå H1 òàêàÿ, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå óäâîåíèÿ T îòîáðà-
=
( ) ~
=0 [
( ) (0) 0
( ) ~
()
( )( ) =
((
(0) = 0; (0) = 1; (1) =
=
+1
()
( ~ ) ~
= ( ) = (0) ( (0)) [ ( ) (0)] [ ( (0)) ( ( ))] 0 ( ( )) [ ( (0)) ( ( ))] [ ] [ ( ) (0)] [ ( ) = ( ( ))
]
D ()
~
( ~)
))
=
0; = ( )
(0) ( (0))
()
; ()= ( )
( ) = 1 1 52763 + 0 104815
2 5029078750
8
(0) = (0) = 0
0 0267057 + = ()=
]=
D ()
æàåò Vg â H1 . Ëèíåàðèçîâàííîå ïðåîáðàçîâàíèå óäâîåíèÿ, T g , èìååò ðàñòÿãèâàþùååñÿ îäíîìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî è ñæèìàþùååñÿ ïîäïðîñòðàíñòâî êîðàçìåðíîñòè 1.  ðàñòÿãèâàþùåìñÿ ïîäïðîñòðàíñòâå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå îïåðàòîðà T g ðàâíî Æ . Ýòèìè ñâîéñòâàìè îáúÿñíÿåòñÿ óíèâåðñàëüíîñòü óäâîåíèÿ. Áîëüøîå ÷èñëî ýêñïåðèìåíòàëüíûõ è ÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé (ñì., íàïðèìåð, [55, 56, 57, 58, 59, 60] è öèòèðîâàííóþ òàì ëèòåðàòóðó) ïîêàçàëè, ÷òî óíèâåðñàëüíûå ñâîéñòâà áèôóðêàöèé óäâîåíèÿ âñòðå÷àþòñÿ â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, íå èìåþùèõ ñâÿçè ñ îòîáðàæåíèÿìè èíòåðâàëà. Ýòîò ôàêò óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ìíîãîìåðíûå îòîáðàæåíèÿ óñòðîåíû òàê, ÷òî ïî îäíîìó íàïðàâëåíèþ îíè êà÷åñòâåííî îïèñûâàþòñÿ ñåìåéñòâîì îïðåäåëåííûõ îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé, à ïî îñòàëüíûì íàïðàâëåíèÿì èìååò ìåñòî ñèëüíîå ñæàòèå. Òî÷íàÿ ôîðìóëèðîâêà îïèñàííîãî ñâîéñòâà äàíà â ðàáîòàõ [52, 61]. Óíèâåðñàëüíîñòü ìîæíî ïðåäñòàâèòü è èíûì ñïîñîáîì [62, 63, 64], èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè. Òàêîé ïîäõîä ÿâëÿåòñÿ íå ñòîëü àáñòðàêòíûì, è ìîæåò áûòü m+1 êàê y ïîäòâåðæäåí ýêñïåðèìåíòàëüíî. Îáîçíà÷èì öèêë ïåðèîäà m+1 1 m+1 t , ãäå t âðåìÿ, âûðàæåííîå â òåðìèíàõ èñõîäíîãî öèêëà y1 t ïåðèîäà 1 , t=1 ; ; :::; m+1. Öèêë ym+1 t îòâåòâëÿåòñÿ îò öèêëà ym t â ðåçóëüòàòå áèôóðêàöèè óäâîåíèÿ, êîãäà ïàðàìåòð a äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ am+1 . Îí óñòîé÷èâ â èíòåðâàëå a 2 am+1 ; am+2 . Íà ïëîñêîñòè Ïóàíêàðå ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè òàêîãî öèêëà îïðåäåëèì êàê
D ()
()
+1
=2
()
()
m (t) = ym (t)
=
2
+1
=2
() =1 2 2
[
ym+1 (t + m ) ;
)
(2)
m ãäå m m+1 = . Ðàññìîòðèì ñêåéëèíãîâóþ ôóíêöèþ [65], îïðåäåëÿþùóþ ëîê1 àëüíîå èçìåíåíèå ìàñøòàáà (ñêåéëèíã) âáëèçè m-ãî öèêëà ïðè êàæäîì óäâîåíèè ïåðèîäà:
m (t) : m (t) Ïîñêîëüêó m (t + m ) = m (t), òî m (t + m ) = m (t) =
(3)
+1
(t).
Òåïåðü ìîæíî ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå îá àìïëèòóäàõ ãàðìîíèê â ÷àñòîòíîì ñïåêòðå, êîãäà ïåðèîä óäâàèâàåòñÿ. Ñïåêòð öèêëà ym t ïåðèîäàm ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç Ôóðüå-êîìïîíåíòû bm l : +1
+1
()
ym (t) =
( + 1)
X
l
2ilt bml exp
!
(4)
:
m
=
 ðåçóëüòàòå m -îé áèôóðêàöèè â òàêîì ñïåêòðå â äîïîëíåíèå ê ÷àñòîòàì l!m ; l ; ; :::; ïîÿâèâøèìñÿ ê m-îé áèôóðêàöèè, íà ÷àñòîòàõ k!m = ; k ; ; ; ::: âîçíèêm àåò íîâûõ ñóáãàðìîíèê. Ïðåäñòàâèì öèêë ym+1 t ñëåäóþùèì îáðàçîì: ym+1 t = m+1 t , ãäå m+1 t îïðåäåëÿåòñÿ èç (2). Òîãäà m+1 t ym+1 t m+1 t ym+1 t m . Î÷åâèäíî, m+1 t m m+1 t . Ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå ôóíêöèè m+1 t áóäåò ñîäåðæàòü òîëüêî ÷àñòîòû l!m , ïîñêîëüêó
12
2 (1 2)[ ( ) + ( + ) ()
=
=1
() ( + )=
2ikt =
m+1 2m
()= ()+
!
m+1
Z
() =
()
dt m+1 (t) exp m+1 1 Z dt (t) exp ikt ! = m+1 2m Z0 m h i m 1 dt m+1 (t) + ( 1)k m+1 (t + m ) exp 2m 0
bmk +1
=
( )]
()
2 = 135
0
9
ikt m
!
(5) =0:
 òî æå âðåìÿ, àìïëèòóäà êîëåáàíèé ñ ÷àñòîòàìè
bml
= 1
m
= 21 m
Z
m
0
0
2ilt
dt exp
!
m
ym (t) :
(6)
= 2m , íàéäåì, ÷òî
Ïîñëå óäâîåíèÿ ïåðèîäà, m+1
bml +1
m
Z
l!m îñòàíåòñÿ òîé æå, òàê êàê
dt ym+1 (t) + (
1)
h
m+1
(t + m ) exp
Åñëè l ÷åòíîå, òî ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèé â (7) ðàâíà m+1
= 21 m
0
(7)
(t). Ñëåäîâàòåëüíî,
2ilt
m
Z
dt m+1 (t) exp m 1 Z m dt y (t) exp 2ilt ! m+1 m 0 m 1 Z m dt y (t) exp 2ilt ! = bl : m m m 0 m
bm2l +1
!
ilt : m
i
ly
!
(8)
()
()
 ïðîòèâîïîëîæíîñòü ôóíêöèè m+1 t , ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ôóíêöèè m+1 t ñîäåðæèò òîëüêî ñóáãàðìîíèêè k!m = . Ñóììàðíàÿ èíòåíñèâíîñòü ýòèõ ñïåêòðàëüíûõ êîìïîíåíò äàåòñÿ èíòåãðàëîì Im+1
m (t), íàéäåì:
Im+1
= 21 m
m
Z 2
2 m = (1=m ) m (t)dt: Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ âåëè÷èíó R+1
+1
2
1 m (t)m (t)dt = 2
Êàê èçâåñòíî [65], ïðè áîëüøèõ ñîîòíîøåíèåì
m
m
Z
2
m
0
+1
0
0
m2 (t)2m (t)dt :
ìàñøòàáíàÿ ôóíêöèÿ m
8 >
:
1=; 1= ;
(t) õîðîøî ïðèáëèæàåòñÿ
0 < t < m =2 ; m =2 t < m ;
2
(9)
(10)
ãäå âòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ Ôåéãåíáàóìà. Çíà÷èò, ìîæíî îöåíèòü èíòåíñèâíîñòü ñïåêòðàëüíûõ êîìïîíåíò êàê
Im+1 Èëè, îêîí÷àòåëüíî
= 12 1 + 1 1 m
2
4
Im
Im+1
m
Z 0
m (t)dt = 12 1 + 1
2
2
= 2 1 + 1
2
4
1
:
4
Im :
(11) (12)
Òàêèì îáðàçîì, èíòåíñèâíîñòü íîâûõ ñïåêòðàëüíûõ ñóáãàðìîíèê, ïîÿâëÿþùèõñÿ â ðåçóëüòàòå áèôóðêàöèè óäâîåíèÿ, âñåãäà â ïîñòîÿííîå ÷èñëî ðàç ìåíüøå, ÷åì èíòåíñèâíîñòü ñóáãàðìîíèê, âîçíèêøèõ â ïðåäûäóùóþ áèôóðêàöèþ, è íå çàâèñèò îò íîìåðà áèôóðêàöèè. Åñëè â ñèñòåìå èìååòñÿ âíåøíèé øóì, òî, ÷òîáû ñëåäóþùàÿ áèôóðêàöèÿ óäâîåíèÿ áûëà íàáëþäàåìà, åãî äèñïåðñèÿ, ïî îöåíêàì, äàííûì â ðàáîòàõ [66, 67, 68], äîëæíà áûòü â 6,619... ðàç ìåíüøå, ÷åì àìïëèòóäà ñóáãàðìîíèê.
10
2.3
Ïåðåìåæàåìîñòü
Äðóãîé ïóòü ê õàîñó ðåàëèçóåòñÿ ÷åðåç ïåðåìåæàåìîñòü. Ñòðîãèé ïîäõîä ê ýòîìó ÿâëåíèþ ìåíåå ðàçâèò, ïîñêîëüêó íåâîçìîæíî òî÷íî îïðåäåëèòü, ïðè êàêèõ ïàðàìåòðè÷åñêèõ çíà÷åíèÿõ äîñòèãàåòñÿ ðàçâèòûé õàîòè÷åñêèé ðåæèì. Âïåðâûå ïåðåõîä ê õàîñó ÷åðåç ïåðåìåæàåìîñòü èññëåäîâàí íà ïðèìåðå ñèñòåìû Ëîðåíöà [69, 70, 71], îäíàêî íåñêîëüêî ðàíåå âîçìîæíîñòü ïîÿâëåíèÿ êàñàòåëüíîé áèôóðêàöèè áûëà ïîäðîáíî îïèñàíà è ñòðîãî îáîñíîâàíà â ðàáîòàõ [72, 73]. Ïåðåìåæàåìîñòü ñâèäåòåëüñòâóåò î ðîæäåíèè õàîòè÷åñêîãî àòòðàêòîðà ïîñðåäñòâîì èñ÷åçíîâåíèÿ ïîëóóñòîé÷èâîãî ïðåäåëüíîãî öèêëà. Ýòî ïðîèñõîäèò, êîãäà a a1 è ìóëüòèïëèêàòîð öèêëà èìååò äåéñòâèòåëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå .  ýòîò ìîìåíò ïðîèñõîäèò ñëèÿíèå óñòîé÷èâîãî è íåóñòîé÷èâîãî öèêëîâ â ïîëóóñòîé÷èâûé.  îòîáðàæåíèè Ïóàíêàðå òàêàÿ áèôóðêàöèÿ âûãëÿäèò êàê ñëèÿíèå óñòîé÷èâîé è íåóñòîé÷èâîé íåïîäâèæíûõ òî÷åê. Ñ ïåðåõîäîì ÷åðåç êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå a1 ; a > a1 , ïîëóóñòîé÷èâûé öèêë èñ÷åçàåò. Òèïè÷íîå ïîâåäåíèå ñèñòåìû âáëèçè çíà÷åíèé a > a1 ; a ' a1 , áóäåò ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêèì, íî ïðåðûâàþùèìñÿ êîðîòêèìè õàîòè÷åñêèìè âñïëåñêàìè. Ñ óâåëè÷åíèåì ïàðàìåòðà ÷èñëî õàîòè÷åñêèõ ïóëüñàöèé óâåëè÷èâàåòñÿ è ïîñòåïåííî íàñòóïàåò ðàçâèòûé õàîñ. Îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå ïî òðàåêòîðèÿì, ïðîõîäÿùèì â îêðåñòíîñòè ïîëóóñòîé÷èâîãî öèêëà â íåêîòîðûõ êîîðäèíàòàõ x; y ; x 2 ; 2 n 1 çàïèñûâàåòñÿ êàê [48]: xk+1 f xk ; " xk x2k bx3k "; k+1 A xk ; " k q xk ; k ; " , ãäå q íåëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, jij < ; i 2 # A ; ; " c a a1 ::: ; c > . Ïåðâîå ñîîòíîøåíèå îïèñûâàåò äèíàìèêó îòîáðàæåíèÿ íà öåíòðàëüíîì ìíîãîîáðàçèè. Ðàññìîòðèì åãî ïîäðîáíåå. Ïðè " < ïî÷òè âñå òðàåêòîðèè ïðèòÿãèâàþòñÿ ê åäèíñòâåííîé óñòîé÷èâîé íåïîäâèæíîé òî÷êå îòîáðàæåíèÿ. Ïðè " ! ê íåé ïðèáëèæàåòñÿ íåóñòîé÷èâàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà.  ìîìåíò " â íà÷àëå êîîðäèíàò x ïðîèñõîäèò ñëèÿíèå óñòîé÷èâîé è íåóñòîé÷èâîé òî÷åê â îäíó ïîëóóñòîé÷èâóþ. Ñ ïðåâûøåíèåì áèôóðêàöèîííîãî çíà÷åíèÿ, " > , ýòà òî÷êà èñ÷åçàåò. Äîïóñòèì, ÷òî îäíîìåðíîå îòîáðàæåíèå èìååò ó÷àñòîê, ïîðîæäàþùèé ñëîæíóþ äèíàìèêó. Òîãäà ïðè a a1 (íî ïðè " > ) äèàãðàììà Ëàìåðåÿ òàêîãî îòîáðàæåíèÿ áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé äëèííûé ïåðèîäè÷åñêèé ó÷àñòîê, ñîîòâåòñòâóþùèé ïðîõîäó â äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè U íà÷àëà êîîðäèíàò è õàîòè÷åñêèé âñïëåñê, êîòîðûé çàâåðøàåòñÿ ïðè íîâîì ïîïàäàíèè â U . È òàê äàëåå. Ïîâåäåíèå, âîçíèêàþùåå â ñèñòåìàõ ïðè îáðàòíîé êàñàòåëüíîé áèôóðêàöèè, íàçûâàåòñÿ ïåðåìåæàåìîñòüþ 1-ãî ðîäà. Ïåðåìåæàåìîñòü ìîæåò âîçíèêàòü è â äðóãèõ ñëó÷àÿõ [63, 71, 74].  ÷àñòíîñòè, åñëè îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå íà öåíòðàëüíîì ìíîãîîáðàçèè (â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ) èìååò âèä rn+1 " rn brn3 n+1 n c, òî ñèñòåìà ïðîÿâëÿåò ïåðåìåæàåìîñòü 2-ãî ðîäà. Îñíîâíîå îòëè÷èå îò ïåðåìåæàåìîñòè 1-ãî ðîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ðåçóëüòàòå ñëèÿíèÿ óñòîé÷èâîé è íåóñòîé÷èâîé íåïîäâèæíûõ òî÷åê îíè íå èñ÷åçàþò, à ïðîèñõîäèò ïåðåäà÷à íåóñòîé÷èâîñòè îò íåóñòîé÷èâîé òî÷êè ê óñòîé÷èâîé. Ïåðåìåæàåìîñòü 3-ãî ðîäà âîçíèêàåò, åñëè îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå çàïèøåòñÿ êàê xn+1 " xn bx3n .  ýòîì ñëó÷àå èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà ïîäõîäèò ïî ñïèðàëè ê åäèíñòâåííîé óñòîé÷èâîé íåïîäâ-
+1
=
( ) R y R ) = + + + y = ( )y + ( y ) 1 ( (0 0)) = ( )+ 0
(
0
=0
0
=
=0
0
0
= (1+ ) + ;
= +
= (1 + )
11
èæíîé òî÷êå, à ïåðåìåæàåìîñòü ïîÿâëÿåòñÿ âñëåäñòâèå ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè: ëåñòíèöà Ëàìåðåÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìåäëåííî ðàñêðó÷èâàþùóþñÿ ñïèðàëü. Ïåðåìåæàåìîñòü òàêæå ïîääàåòñÿ îïèñàíèþ â ðàìêàõ ðåíîðìàëèçàöèîííîãî ïîäõîäà.  îòëè÷èå îò ñöåíàðèÿ óäâîåíèÿ ïåðèîäà, ýòîò ïîäõîä äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ôóíêöèîíàëüíîãî Ðà óðàâíåíèÿ [75, 76]. Îáîáùèì ôóíêöèþ, îïèñûâàþùóþ äèíàìèêó îòîáðàæåíèÿ íà öåíòðàëüíîì ìíîãîîáðàçèè òàê, ÷òîáû ïðè x ! îíà èìåëà âèä: f x x bjxjz . Òîãäà â åäèíè÷íîì èíòåðâàëå, I ; , âòîðàÿ èòåðàöèÿ, ò.å. ôóíêöèÿ f f x , ïîñëå ñîîòâåòñòâóþùåãî ìàñøòàáíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ äåìîíñòðèðóåò òî æå ïîâåäåíèå, ÷òî è èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ f x . Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî çàïèñàòü ñîîòíîøåíèå óíèâåðñàëüíîñòè ÷åðåç îïåðàòîð óäâîåíèÿ, ïðèìåíÿåìûé ê íåïîäâèæíîé òî÷êå g x êàê T g x f f 1x ; T g x g x . Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ â ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: g ; g0 . Ïðåäñòàâèì îòîáðàæåíèå x0 f x â íåÿâ0 0 1 íîì âèäå, F x F x a, ò.å. x x F F x a f x , ãäå a ïàðàìåòð. 00 0 00 0 Òîãäà x x x x . Ïîýòîìó F x F x x F x a. Òàêèì îáðàçîì, 00 =F x = F x a. Äëÿ òîãî, ÷òîáû F ñîîòâåòñòâîâàëî óðàâíåíèþ óäâîåíèÿ, íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà = F x F x . Îíî àâòîìàòè÷åñêè ó÷òåòñÿ, åñëè âûáðàòü F x jxj (z 1); 1=(z 1) . Ñëåäîâàòåëüíî, g x F 1 F x a jxj (z 1) a 1=(z 1) . Ïðè a b z ôóíêöèÿ g x áóäåò óäîâëåòâîðÿòü çàäàííûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïåðåìåæàåìîñòè îòîáðàæåíèå íåïîäâèæíîé òî÷êè ñâÿçàíî ñ òðàíñëÿöèåé F x0 F x a. Ðà óðàâíåíèå äëÿ ìàëîãî âîçìóùåíèÿ íåïîäâèæíîé òî÷êè òàêæå äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå [77]. Áîëüøîå çíà÷åíèå èññëåäîâàíèå ðåíîðìàëèçàöèîííûõ óðàâíåíèé ïåðåìåæàåìîñòè ïðèîáðåëî ïîñëå òîãî, êàê áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ñ èõ ïîìîùüþ ìîæíî óíèâåðñàëüíûì îáðàçîì îáúÿñíèòü ïðîèñõîæäåíèå ôëèêêåð-øóìà â íåëèíåéíûõ ñèñòåìàõ [63, 78, 79].
+ ( ( ))
( )= ( (
= [0 1]
0
()=
()
))
( )= ( ) (0) = 0 (0) = 1 ( )= () ()= ( () )= () ()= ( ) ( ) = ( ( )) = ( ) 12 ( )=12 () 12 ()= ( ) ( )= =2 ( )= ( ) = ( 1) ()
()
= ()
( ()
)=
( )= ( )
2.4
Ðàçðóøåíèå òîðà
Áèôóðêàöèè äâóìåðíîãî òîðà, ðîäèâøåãîñÿ â ðåçóëüòàòå ïåðåõîäà ïàðû êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé öèêëà ÷åðåç åäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü, òàêæå ìîãóò ïðèâåñòè ê ïîÿâëåíèþ õàîñà â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. Ïðè ýòîì ïëîñêîñòü ïàðàìåòðîâ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ðàçáèâàåòñÿ íà ðåçîíàíñíûå ÿçûêè, îòâå÷àþùèå íàëè÷èþ ó âåêòîðíîãî ïîëÿ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà òîðå. Òîð ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì íåóñòîé÷èâûõ ìíîãîîáðàçèé ñåäëîâûõ öèêëîâ ñ óñòîé÷èâûìè öèêëàìè. Ïðåæäå ÷åì â òàêîé ñèñòåìå ïðîèçîéäåò ïåðåõîä ê õàîòè÷åñêèì êîëåáàíèÿì, òîð äîëæåí ïîòåðÿòü ãëàäêîñòü: ñóùåñòâóþò òàêèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ, ïðè êîòîðûõ íåóñòîé÷èâîå ìíîãîîáðàçèå ñåäëîâîãî öèêëà íà÷èíàåò "ãîôðèðîâàòüñÿ", ëèáî ó ñåäëîâîãî öèêëà âîçíèêàåò íåãðóáàÿ ãîìîêëèíè÷åñêàÿ êðèâàÿ, ëèáî óñòîé÷èâûé è íåóñòîé÷èâûé öèêëû íà òîðå ñëèâàþòñÿ è èñ÷åçàþò íà íåãëàäêîì òîðå. Ýòîò ðåçóëüòàò èçâåñòåí êàê òåîðåìà î ðàçðóøåíèè òîðà. Ïðè âûïîëíåíèè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé ðàçðóøåíèå òîðà ïðèâîäèò ê ðîæäåíèþ õàîñà [37, 48, 59, 60, 63, 71, 80, 81]. Íàðóøåíèå ãëàäêîñòè òîðà óäîáíî ðàññìîòðåòü íà ïðèìåðå îòîáðàæåíèÿ êîëüöà â ñåáÿ, êîòîðîå ïðè îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ èìååò ãëàäêóþ èíâàðèàíòíóþ 12
êðèâóþ. Ïðè ýòîì êîíêðåòíûé âèä îòîáðàæåíèÿ íå èãðàåò ðîëè [37, 48]. Ïåðåñòðîéêè ôàçîâûõ ïîðòðåòîâ â òàêîì êîëüöå èìåþò ìåñòî è â îáùåé ñèòóàöèè [82, 83, 84], ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ìîäåëüíîå îòîáðàæåíèå. Ïóñòü a;b xn+1 e a xn b n ; n+1 n a xn b n ; ; a > ; b > : Ýòî îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì è ïåðåâîäèò êîëüöî , jxj x0 ; x0 > be a = e a â ñåáÿ. Åñëè a , òî èç îòîáðàæåíèÿ êîëüöà ïîëó÷èì îòîáðàæåíèå îêðóæíîñòè, 'a;b n+1 n a b k ; , êîòîðîå äîñòàòî÷íî èíòåíñèâíî èçó÷àëîñü (ñì., íàïðèìåð, [85, 86, 87, 88] è öèòèðîâàííóþ òàì ëèòåðàòóðó).  ÷àñòíîñòè, åãî ïðîñòðàíñòâî ïàðàìåòðîâ ñîäåðæèò áèôóðêàöèîííóþ êðèâóþ, ïðè ïåðåñå÷åíèè êîòîðîé äèíàìèêà îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé b. Åñëè b < , òî ïðè èððàöèîíàëüíîì ÷èñëå âðàùåíèÿ âñå òðàåêòîðèè îòîáðàæåíèÿ îêðóæíîñòè êâàçèïåðèîäè÷åñêèå. Ïðè ðàöèîíàëüíîì çíà÷åíèè ÷èñëà âðàùåíèÿ â îòîáðàæåíèè îêðóæíîñòè èìååòñÿ ðàâíîå ÷èñëî óñòîé÷èâûõ è íåóñòîé÷èâûõ ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê îäèíàêîâîãî ïåðèîäà. Êîãäà b > , âîçíèêàåò õàîòè÷åñêîå ìíîæåñòâî [86, 87, 88]. Äèíàìèêà îòîáðàæåíèÿ êîëüöà âî ìíîãîì àíàëîãè÷íà äèíàìèêå îòîáðàæåíèÿ îêðóæíîñòè. Ïðè b e a < ýòî îòîáðàæåíèå èìååò èíâàðèàíòíóþ çàìêíóòóþ êðèâóþ, êîòîðàÿ âêëþ÷àåò íåïîäâèæíûå òî÷êè, îäíà èç êîòîðûõ óñòîé÷èâà, à äðóãàÿ ñåäëîâàÿ, ïðè÷åì åå íåóñòîé÷èâûå ñåïàðàòðèñû çàìûêàþòñÿ íà óñòîé÷èâóþ òî÷êó (è îáðàçóÿ òåì ñàìûì çàìêíóòóþ êðèâóþ).  ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ a; b òàêàÿ ñèòóàöèÿ ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííîé îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé áèôóðêàöèîííûìè êðèâûìè. Ïðè ïåðåñå÷åíèè ýòèõ êðèâûõ ïîâåäåíèå îòîáðàæåíèÿ êîëüöà èçìåíÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì [80]: à) âîçíèêàåò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî òðàåêòîðèé ñî ñ÷åòíûì ÷èñëîì íåóñòîé÷èâûõ ñåäëîâûõ öèêëîâ, ïðè ýòîì èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà îñòàåòñÿ â ìàëîé îêðåñòíîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êè; á) ïðîèñõîäèò áèôóðêàöèè óäâîåíèÿ ïåðèîäà; â) ñåäëî è óçåë ñëèâàþòñÿ, ïîÿâëÿåòñÿ ñåäëî-óçåë, ïðè÷åì èíâàðèàíòíóþ êðèâóþ â ýòîò ìîìåíò îáðàçóåò åãî íåóñòîé÷èâàÿ ñåïàðàòðèñà; åñëè ýòà êðèâàÿ ãëàäêàÿ, òî ïîñëå èñ÷åçíîâåíèÿ ñåäëî-óçëà ðîæäàåòñÿ ãëàäêàÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ, ê êîòîðîé ïðèòÿãèâàþòñÿ âñå òî÷êè â êîëüöå; ã) åñëè â ñëó÷àå â) â ìîìåíò ñëèÿíèÿ ñåäëà è óçëà ñåïàðàòðèñà íåãëàäêàÿ, òî âîçíèêàåò èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî òèïà ïîäêîâû Ñìåéëà, ò.å. õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà. Ïîñëåäíèå äâà ñëó÷àÿ (â è ã) ðåàëèçóþòñÿ â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà b. Êîëè÷åñòâåííûå çàêîíîìåðíîñòè ïåðåõîäà îò ðåæèìà äâóõ÷àñòîòíûõ êîëåáàíèé ê õàîñó óñòàíàâëèâàþòñÿ ïðè ïîìîùè ðåíîðì-ãðóïïîâîãî ïîäõîäà [89, 90]. Ïóñòü f r; S 1 ! S 1 ãëàäêîå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå îêðóæíîñòè, èìåþùåå òî÷êó ïåðåãèáà p. Äëÿ ïåðåõîäà îò êâàçèïåðèîäè÷íîñòè ê õàîñó íåîáõîäèìî èçìåíÿòü äâà ïàðàìåòðà, ÷òîáû ñîõðàíÿòü ÷èñëî âðàùåíèÿ f n x0 x0 =n, ðàâíûì çàäàííîìó n!1 èððàöèîíàëüíîìó ÷èñëó. Èñïîëüçóÿ â êà÷åñòâå ÷èñëà âðàùåíèÿ çíà÷åíèå çîëîòîãî ñðåp = ; ::: , ìîæíî îáíàðóæèòü óíèâåðñàëüíûå çàêîíîìäíåãî, åðíîñòè ïðè ïåðåõîäå ê õàîñó. ×èñëî åñòü ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû
( + + + sin ) mod 2 0 sin
2
0
0
:
=
(1
)
mod 2
( + sin )
:
=
=
1 + +
1
1
+
1
( )
( ):
= lim ( ( )
)
= = ( 5 1) 2 = 0 618034
T = 11 10
13
!
(13)
ñ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì
(
; 1)T . Êðîìå òîãî, T n ýòî ìàòðèöà n+1 n n n 1
!
(14)
;
( = 0, = 1). Òàêèì îáðàçîì, n
ãäå i i-å ÷èñëî Ôèáîíà÷÷è 0 Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî çàïèñàòü
1
(R )n ()
= n ;
1
n
=(
)n .
mod 1;
(15) ãäå R îáîçíà÷àåò îáîðîò âäîëü îêðóæíîñòè ñ ÷èñëîì .  ñèëó ýòîãî ïîëó÷èì j(R )n ( ) j = ( )n . Äàëåå, èñïîëüçóÿ ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå äëÿ ÷èñåë Ôèáîíà÷÷è, íàéäåì, ÷òî âåëè÷èíà (R )n ïîðîæäàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ êîìïîçèöèé (R )n = (R )n Æ (R )n . +1
1
Äëÿ ïîèñêà ôèêñèðîâàííîé òî÷êè ðåíîðìàëèçàöèîííîãî îïåðàòîðà íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü òàê íàçûâàåìîå ïîäíÿòèå f ! ôóíêöèè f , óäîâëåòâîðÿþùåå ñîîòíîøå íèþ if f i . Òîãäà îïåðàòîð ðåíîðìàëèçàöèè îïðåäåëèòñÿ êàê
~: R R
exp 2 ~( ) = exp(2 ) "
T1 èëè
"
T2
u() v ()
u() v ()
#
#
=
=
"
"
u(v ( 2)) u()
#
(16)
;
2 v ( 1 u( 1 )) u()
#
(17)
;
(~ ~ )
(~
~ )
÷òî ñîîòâåòñòâóåò ïåðåõîäó îò ôóíêöèé f n ; f n 1 ê ôóíêöèÿì f n+1 ; f n ñ ìàñøòàáíûì ìíîæèòåëåì . Ëèíåàðèçàöèÿ êàæäîãî îïåðàòîðà Ti â ñîîòâåòñòâóþùåé íåïîäâèæíîé òî÷êå g èìååò íåóñòîé÷èâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, êîòîðîå îòâå÷àåò ñêåéëèíãîâîìó ïîâåäåíèþ ñ òàêèì ñâîéñòâîì, ÷òî f "n èìååò ÷èñëî âðàùåíèÿ n 1 =n. Ïðè ýòîì ìàñøòàáíûå ïîñòîÿííûå ðàâíû Æ ; :::, ; ::: .
( )+ = 2 83362
2.5
= 1 28857
Ãîìîêëèíè÷åñêèå ñòðóêòóðû
Ïîìèìî ïåðå÷èñëåííûõ ïóòåé ðàçâèòèÿ õàîñà, â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ âîçìîæåí ïåðåõîä ê õàîòè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ ÷åðåç ãîìîêëèíè÷åñêèå áèôóðêàöèè. Ïóñòü Ta M ! M íåêîòîðîå ïðåîáðàçîâàíèå ìíîæåñòâà M â ñåáÿ. Òî÷êà p 2 M íàçûâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ Ta , åñëè Ta p p è Ta jp íå èìååò ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ ðàâíîãî åäèíèöå. Ïðè ýòîì óñòîé÷èâîå è íåóñòîé÷èâîå ìíîãîîáðàçèÿ òî÷êè p îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ñëåäóþùèì îáðàçîì: W s p f 2 M j Tat ! p; t ! 1g è W u p f 2 M j Tat ! p; t ! 1g. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî p ãèïåðáîëè÷åñêàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ Ta . Òî÷êà q íàçûâàåòñÿ ãîìîêëèíè÷åñêîé ê òî÷êå p, T åñëè p 6 q 2 W s p W u p . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî T t q p. t!1 Îäíîìåðíîå îòîáðàæåíèå èìååò ãîìîêëèíè÷åñêèå òî÷êè, åñëè îíî îáëàäàåò ïåðèîäè÷åñêîé îðáèòîé, ïåðèîä êîòîðîé îòëè÷åí îò i ; i ; ; ; : : : [91, 92, 93].  ñâîþ î÷åðåäü, íàëè÷èå ãîìîêëèíè÷åñêèõ òî÷åê ãàðàíòèðóåò ïîëîæèòåëüíîñòü ýíòðîïèè [93], ò.å. ñóùåñòâîâàíèå õàîòè÷íîñòè. Áîëåå òîãî, íåäàâíî áûëè ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íî îáùèå
:
=
+
( )= x
=
()
D
( )= x
x
()
lim
2
14
=
=0 1 2
x
óòâåðæäåíèÿ, êàñàþùèåñÿ ñëîæíîãî ïîâåäåíèÿ äâóìåðíûõ îòîáðàæåíèé [94, 95, 96]. Îñíîâíîé èõ ñìûñë êðàòêî ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó. Îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî äèôôåîìîðôèçìîâ ïîâåðõíîñòè, èìåþùåå ãîìîêëèíè÷åñêóþ ñòðóêòóðó, íà ìíîæåñòâå çíà÷åíèé ïàðàìåòðà ïîëîæèòåëüíîé ìåðû ïîðîæäàåò ñòðàííûå àòòðàêòîðû. Ïóñòü Ta îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî äèôôåîìîðôèçìîâ êëàññà C 1 , çàäàííûõ íà ïîâåðõíîñòè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî T0 èìååò ãîìîêëèíè÷åñêîå êàñàíèå â íåêîòîðîé ïåðèîäè÷åñêîé òî÷êå p0 . Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî îáùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíàÿ ëåáåãîâà ìåðà ìíîæåñòâà Ac ïàðàìåòðè÷åñêèõ çíà÷åíèé, áëèçêèõ ê a , òàêèõ, ÷òî äëÿ a 2 Ac äèôôåîìîðôèçì Ta ïðîÿâëÿåò õàîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå, îáóñëîâëåííîå íàëè÷èåì ñòðàííîãî àòòðàêòîðà. Ñëåäñòâèå èç ýòîãî âàæíîãî óòâåðæäåíèÿ ñïðàâåäëèâî äëÿ îäíîìåðíûõ êàñêàäîâ äîñòàòî÷íî îáùåãî âèäà [96]: Ïóñòü Ta ãëàäêîå îòîáðàæåíèå èíòåðâàëà I èëè îòîáðàæåíèå îêðóæíîñòè S 1 è òî÷êà p0 ãèïåðáîëè÷åñêàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà äëÿ T0 . Äîïóñòèì, ÷òî îòðèöàòåëüíàÿ îðáèòà òî÷êè p0 ïåðåñåêàåò íåóñòîé÷èâîå ìíîæåñòâî íåâûðîæäåííîé êðèòè÷åñêîé òî÷êè îòîáðàæåíèÿ T0 . Òîãäà, åñëè òàêàÿ ãîìîêëèíè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà èìååò ìåñòî â ñëó÷àå îáùåãî ïîëîæåíèÿ, òî ìåðà ìíîæåñòâà ïàðàìåòðè÷åñêèõ çíà÷åíèé a, áëèçêèõ ê a , äëÿ êîòîðûõ Ta ïðîÿâëÿåò õàîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå,
=0
=0
ïîëîæèòåëüíà.
Äðóãîé âàæíûé ðåçóëüòàò áûë ïîëó÷åí Íüþõàóçîì [97, 98], êîòîðûé ïîêàçàë, ÷òî ñåìåéñòâî äâóìåðíûõ äèôôåîìîðôèçìîâ, èìåþùåå ãîìîêëèíè÷åñêîå êàñàíèå óñòîé÷èâûõ è íåóñòîé÷èâûõ ñåïàðàòðèñ, îáëàäàåò ÷ðåçâû÷àéíî ñëîæíûì ïîâåäåíèåì. Òàêàÿ äèíàìèêà äåéñòâèòåëüíî áûëà îáíàðóæåíà íà ïðèìåðå óðàâíåíèÿ Äþôôèíãà [36, 99, 100] ïîñðåäñòâîì îáîáùåííîé òåîðèè Ìåëüíèêîâà [101]. Áîëåå òîãî, ôîðìèðîâàíèå ãîìîêëèíè÷åñêèõ òðàåêòîðèé âñåãäà ñîïðîâîæäàåòñÿ ãëóáîêèìè ïåðåñòðîéêàìè äèíàìèêè, êîòîðûå âêëþ÷àþò ïîÿâëåíèå ïîäêîâ Ñìåéëà [21], êàñêàäîâ óäâîåíèÿ ïåðèîäà [102], ñåäëî-óçëîâûõ öèêëîâ [103], íåîãðàíè÷åííîãî êîëè÷åñòâà ñîñóùåñòâóþùèõ ïåðèîäè÷åñêèõ àòòðàêòîðîâ [97, 104]. Îáîáùåíèå ýòèõ ðåçóëüòàòîâ íà ñåìåéñòâî äèôôåîìîðôèçìîâ ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè áûëî îïèñàíî â ðàáîòàõ [103, 105, 106, 107]. Îñíîâíîå óòâåðæäåíèå, ïîëó÷åííîå â ýòîì íàïðàâëåíèè, ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó. Ïóñòü Ta ñåìåéñòâî äèôôåîìîðôèçìîâ ìíîãîîáðàçèÿ M , M , èìåþùåå ãîìîêëèíè÷åñêîå êàñàíèå ïðè a a. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî Ac òàêîå, ÷òî Ta îáëàäàåò ñòðàííûì àòòðàêòîðîì äëÿ êàT æäîãî a 2 Ac è Ac a "; a " èìååò ïîëîæèòåëüíóþ ìåðó Ëåáåãà äëÿ âñåõ " > . Åñëè ðàññìàòðèâàòü âìåñòî îòîáðàæåíèé ïîòîêè, òî ìîæíî ïîëó÷èòü íîâûå èíòåðåñíûå óòâåðæäåíèÿ, êàñàþùèåñÿ ðàçâèòèÿ õàîòè÷åñêîé äèíàìèêè. Îäèí èç ïåðâûõ ðåçóëüòàòîâ â ýòîì íàïðàâëåíèè áûë ïîëó÷åí Ë.Ï.Øèëüíèêîâûì [108]. Ïóñòü ïîòîê T t â ïðîñòðàíñòâå 3 èìååò ðàâíîâåñíóþ òî÷êó â íà÷àëå êîîðäèíàò ñ äåéñòâèòåëüíûì ïîëîæèòåëüíûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì 1 è ïàðó êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé 2;3 ñ îòðèöàòåëüíûìè äåéñòâèòåëüíûìè ÷àñòÿìè. Òîãäà, èñïîëüçóÿ òåîðåìó îá óñòîé÷èâîì ìíîãîîáðàçèè [36], ìîæíî ââåñòè êîîðäèíàòû òàê, ÷òî îñü z áóäåò ñîäåðæàòü ëîêàëüíî íåóñòîé÷èâîå ìíîãîîáðàçèå, à ïëîñêîñòü x; y áóäåò ñîäåðæàòü ëîêàëüíî óñòîé÷èâîå ìíîãîîáðàçèå. Äîïóñòèì, ÷òî òðàåêòîðèÿ ÿâëÿåòñÿ ãîìîê-
dim
[~
2
=~
R ~+ ]
0
R
( )
15
0
(0)
ëèíè÷åñêîé (ê òî÷êå ) òèïà ñåäëî-ôîêóñ, ò.å. ïðè 2 W u îíà èìååò âûõîäÿùóþ èç íåóñòîé÷èâóþ ñåïàðàòðèñó, êîòîðàÿ ïðè t ! 1 ïî ñïèðàëè ñòðåìèòñÿ ê â ïëîñêîñòè x; y . Òîãäà ñïðàâåäëèâ ñëåäóþùèé òî÷íûé ðåçóëüòàò [36, 108]: Åñëè j 2;3 j < 1 , òî ñóùåñòâóåò âîçìóùåíèå ïîòîêà T t òàêîå, ÷òî âîçìóùåííûé ïîòîê T1t áóäåò èìåòü ãîìîêëèíè÷åñêóþ îðáèòó 1 âáëèçè , à îòîáðàæåíèå, ïîðîæäàåìîå ïîòîêîì T1t , áóäåò èìåòü ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ïîäêîâ. Îáîáùåíèå ýòîãî ðåçóëüòàòà ïðèâåëî ê ñóùåñòâåííîìó óãëóáëåíèþ ïîíèìàíèÿ áèôóðêàöèé â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, èìåþùèõ ãîìîêëèíè÷åñêèå ñòðóêòóðû, è ïóòåé ðàçâèòèÿ â íèõ õàîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ (ñì., íàïðèìåð, [36, 37, 95, 99, 109] è ïðèâåäåííóþ òàì ëèòåðàòóðó). Òàêèì îáðàçîì, èìåþòñÿ äîñòàòî÷íî ìîùíûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ ðàçâèòèÿ õàîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Îäíàêî êðîìå ñöåíàðèåâ ðîæäåíèÿ õàîñà â òåõ èëè èíûõ ñèñòåìàõ íåìàëîâàæíûì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ î ñâîéñòâàõ õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì è ñïîñîáàõ èõ èçó÷åíèÿ.
0
3
( )
0 Re
Íåêîòîðûå ñâîéñòâà õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì
Ñâîéñòâà õàîòè÷åñêèõ ñèñòåì äàþòñÿ òàêèìè èíâàðèàíòàìè êàê õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà, ðàçìåðíîñòü ñòðàííîãî àòòðàêòîðà, ýíòðîïèÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû (ñì., íàïðèìåð, [25, 27, 31, 51, 55, 60, 63, 64, 110, 111, 112, 113, 114, 115] è ïðèâîäèìûå òàì ññûëêè) è ðÿäîì äðóãèõ. Êðîìå òîãî, âàæíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ÿâëÿþòñÿ ýðãîäè÷íîñòü è ïåðåìåøèâàíèå [25, 31, 42, 51, 74, 116, 117], K ñâîéñòâî [31, 51, 114, 116, 118], áåðíóëëèåâîñòü [31, 114, 116, 118, 119, 120], âûïîëíåíèå öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé [117, 120, 121], ýêñïîíåíöèàëüíîå óáûâàíèå êîððåëÿöèé [74, 117, 120, 122]. Óñòàíîâëåíèå ïîñëåäíèõ ñâîéñòâ â äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå ïîëîæåíû â îñíîâó ñîâðåìåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ î äåòåðìèíèðîâàííîì õàîñå. Îïèñàíèå õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì âîçìîæíî òàêæå ÷åðåç èññëåäîâàíèå õàðàêòåðèñòèê èõ õàîòè÷åñêèõ àòòðàêòîðîâ èëè ïóòåì ðàññìîòðåíèÿ ïîâåäåíèÿ òèïè÷íûõ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé. 3.1
Ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà è ýíòðîïèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì
x(t) òèïè÷íàÿ ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû (1) è x (t) áëèçêàÿ ê íåé òðàåêx (t) = x(t) + ~(t). Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ 1 ln j~(t)j ; (18) (~(0)) = tlim !1 t j~(0)j êîòîðàÿ îïðåäåëåíà íà âåêòîðàõ íà÷àëüíîãî ñìåùåíèÿ ~(0) òàêèõ, ÷òî j~(0)j = ", ãäå " ! 0. Òîãäà, â çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà ~(0) ôóíêöèÿ (~(0)) áóäåò ïðèíèìàòü êîíå÷íûé ðÿä çíà÷åíèé fi g, i = 1; 2; :::; n, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè Ïóñòü òîðèÿ,
1
1
ïîêàçàòåëÿìè Ëÿïóíîâà
(ñì., íàïðèìåð, [42, 55, 64, 74, 111, 112, 113] è äàííûå òàì
ññûëêè). 16
Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà ñëóæàò ìåðîé õàîòè÷íîñòè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.  ÷àñòíîñòè, åñëè èìåþòñÿ ïîëîæèòåëüíûå ïîêàçàòåëè, òî ïîâåäåíèå ñèñòåìû áóäåò õàîòè÷åñêèì. Ñòðîãîå îáîñíîâàíèå òåîðèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîêàçàòåëåé Ëÿïóíîâà ïîëó÷èëà ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà èçâåñòíîé ìóëüòèïëèêàòèâíîé ýðãîäè÷åñêîé òåîðåìû [123, 124, 125], êîòîðàÿ óñòàíàâëèâàåò ñóùåñòâîâàíèå òàê íàçûâàåìûõ ïðàâèëüíûõ ïî Ëÿïóíîâó òðàåêòîðèé â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ðàññìîòðèì èçìåðèìûé ìóëüòèïëèêàòèâíûé êîöèêë îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ T , ò.å. èçìåðèìóþ ôóíêöèþ m; , 2 M , ñî çíà÷åíèÿìè â ïðîñòðàíñòâå êâàäðàòíûõ ìàòðèö ïîðÿäêà j òàêóþ, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ k + m k; m; T k; . Òîãäà âåëè÷èíà ; q jj m; qjj, n!1 =n 1 1 q 2 , ãäå ñëîé íàä 2 M , íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ïîêàçàòåëåì Ëÿïóíîâà ïðåîáðàçîâàíèÿ T ñ êîöèêëîì m; . Òåïåðü, åñëè äëÿ íåêîòîðîãî P íîðìàëüíîãî áàçèñà f i g èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî + ; i m; j, m!1 j
( x) x
( + x) = ( x) ( x) (x) (x) x
1 (x ) = lim
x
(1 ) ln ( x)
( x) (x e (x)) = lim i
e (x)
ln det ( x)
òî òî÷êà 2 M íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé âïåðåä. Ñîîòâåòñòâóþùèé õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïîêàçàòåëü ïîëó÷àåòñÿ çàìåíîé âåðõíåãî ïðåäåëà ïðè n ! 1 íà âåðõíèé ïðåäåë ïðè n ! 1. Òî÷êà íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé íàçàä, åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé âïåðåä äëÿ ïîêàçàòåëÿ . Äâóñòîðîííèå òðàåêòîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì (1) (ò.å. òðàåêòîðèè, ñóùåñòâóþùèå äëÿ t > è t < ) ïðèâîäÿò ê ïîíÿòèþ (ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ [126]) ïðàâèëüíûõ òî÷åê ïî Ëÿïóíîâó ñ ñîãëàñîâàííûìè çíà÷åíèÿìè ïîêàçàòåëåé + è . Äàëåå, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ïðàâèëüíàÿ ïî Ëÿïóíîâó òî÷êà, òî T k áóäåò ïðàâèëüíîé ïî Ëÿïóíîâó òðàåêòîðèåé. Ïóñòü X0 M ìíîæåñòâî ïðàâèëüíûõ ïî Ëÿïóíîâó òðàåêòîðèé. Ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî X0 èìååò ïîëíóþ ìåðó. Òàêèì îáðàçîì, äîêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ïîêàçàòåëåé Ëÿïóíîâà, êîòîðûå ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû äëÿ ïî÷òè âñÿêîãî 2 M . Äëÿ îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé, ïîðîæäàåìûõ ôóíêöèåé f , èìååòñÿ åäèíñòâåííûé ïîêàçàòåëü Ëÿïóíîâà, êîòîðûé ìîæíî çàïèñàòü êàê
+
x
0
0
x
x
x
1 = Nlim !1 N
N
X
i=1
ln
df : dxi
(19)
Äðóãèìè âàæíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ñëóæèò ýíòðîïèÿ [111, 114, 115, 116], êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò îáðàòíóþ âåëè÷èíó ñðåäíåãî âðåìåíè ïðåäñêàçóåìîñòè ïîâåäåíèÿ õàîòè÷åñêîé ñèñòåìû è õàðàêòåðèçóåò åå ñëîæíîñòü [42, 64, 122, 127], è ðàçìåðíîñòü èíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâà äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû [63, 111, 115, 128]. Êðàòêî îñòàíîâèìñÿ íà íåêîòîðûõ ïîëîæåíèÿõ òåîðèè. Ôîðìàëüíî ýíòðîïèÿ h äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû M; S ; ; T ââîäèòñÿ êàê âåðõíÿÿ ãðàíü ïî âñåì êîíå÷íûì èçìåðèìûì ðàçáèåíèÿì : h T fh T; g. Òàêèì îáðàçîì, ýíòðîïèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàèáîëüøóþ âîçìîæíóþ ñêîðîñòü ñîçäàíèÿ èíôîðìàöèè ïðåîáðàçîâàíèåì T ñ ïîìîùüþ êîíå÷íûõ ðàçáèåíèé ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. Ïîñêîëüêó ýíòðîïèÿ êîëè÷åñòâåííàÿ õàðàêòåðèñòèêà, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ìîæíî (äîïîëíèòåëüíî ê ïðî÷èì âàæíûì èíâàðèàíòàì) îïèñàòü îòäåëüíûå ñòîðîíû õàîòè÷íîñòè, îíà îêàçûâàåòñÿ òåñíî ñâÿçàííîé ñ äðóãèìè õàðàêòåðèñòèêàìè
( ) ( ) = sup ( )
17
ïîâåäåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.  ÷àñòíîñòè, ýíòðîïèÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà ñëåäóþùèì îáðàçîì [125]:
h(T ) =
Z
X
M i 0
i (x)d :
Ýòî ñîîòíîøåíèå ìîæåò áûòü â ðÿäå ñëó÷àåâ óïðîùåíî. Èìåííî, åñëè T äèôôåðåíöèðóåìîå îòîáðàæåíèå êîíå÷íîìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ è ýðãîäè÷åñêàÿ âåðîÿòíîP ñòíàÿ ìåðà äëÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû M; S , òî h i [111, 125]. Ðàâåíñòâî â ýòîì i >0 âûðàæåíèè èìååò ìåñòî, åñëè ðàññìàòðèâàòü îäíó õàîòè÷åñêóþ êîìïîíåíòó äâèæåíèÿ, ò.å. åñëè ìåðà ìåðà Ñèíàÿ-Ðþýëÿ-Áîóýíà [111]. Âåëè÷èíà ýíòðîïèè h íå çàâèñèò îò ñïîñîáà ðàçáèåíèÿ ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà. Êðîìå òîãî, åñëè äâå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû èìåþò ðàâíûå ýíòðîïèè, òî èõ ñòàòèñòè÷åñêèå çàêîíû äâèæåíèÿ îäèíàêîâû [118, 129]. Ðàçìåðíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè èíâàðèàíòíûõ ìíîæåñòâ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ìîãóò ââîäèòüñÿ ïî ðàçíîìó (ñì., íàïðèìåð, [63, 112, 130, 131, 132, 133] è ïðèâåäåííûå òàì ññûëêè). Îäíàêî îñíîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ïîëó÷åíû òîëüêî äëÿ íåêîòîðûõ èç íèõ [128, 134, 135, 136, 137]. Ïóñòü M êîìïàêòíîå ïðîñòðàíñòâî è A M . Äîïóñòèì, ÷òî N " ìèíèìàëüíîå ÷èñëî øàðîâ ðàäèóñà ", íåîáõîäèìûõ äëÿ ïîêðûòèÿ ìíîæåñòâà A. Òîãäà ïðåäåëû =" C A è "!0 N " = =" "!0 N " = C A íàçûâàåòñÿ âåðõíåé (ñîîòâåòñòâåííî íèæíåé) åìêîñòüþ ìíîæåñòâà A. Åñëè èõ C A C A , òî âåëè÷èíà C A íàçûâàåòñÿ åìêîñòüþ çíà÷åíèÿ ñîâïàäàþò, C A [128] èëè ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòüþ [115, 138, 139] ìíîæåñòâà A. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà, ýíòðîïèÿ è ðàçìåðíîñòü äàþò âîçìîæíîñòü ïîñðåäñòâîì èçó÷åíèÿ íàáëþäàåìûõ (ò.å. ñèãíàëà èëè îïðåäåëåííîé ðåàëèçàöèè, ïî êîòîðûì ñóäÿò î õàðàêòåðå ïðîöåññà â èññëåäóåìîé ôèçè÷åñêîé ñèñòåìå) îïðåäåëèòü êîëè÷åñòâî íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, îäíîçíà÷íî îïèñûâàþùèõ ñîñòîÿíèå ñèñòåìû è òåì ñàìûì óñòàíîâèòü êîíå÷íîìåðíîñòü ðàññìàòðèâàåìîãî ÿâëåíèÿ. Áîëüøèíñòâî ðåçóëüòàòîâ â ýòîì íàïðàâëåíèè îñíîâàíû íà òåîðèè Òàêåíñà [140, 141] (ñì. òàêæå [115] è ïðèâåäåííûå òàì ññûëêè) è èñïîëüçóþò òîò ôàêò, ÷òî ñâîéñòâà àòòðàêòîðà ìîæíî îïðåäåëèòü èç âðåìåííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îäíîé ñîñòàâëÿþùåé. Èìåííî, åñëè ñîñòàâèòü âåêòîðíóþ ôóíêöèþ y fxi t ; xi t ; : : : ; xi t n g, ãäå xi t ïðîèçâîëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïåðåìåííîé , òî ìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà èñõîäíîãî n-ìåðíîãî è ïîñòðîåííîãî n -ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâ áóäóò îäèíàêîâû. Îïèðàÿñü íà òåîðèþ Òàêåíñà, â ïðèíöèïå ìîæíî îòëè÷èòü äèíàìè÷åñêèé ïðîöåññ îò ÷èñòî ñëó÷àéíîãî, ò.å. íåäåòåðìèíèðîâàííîãî. Íàáëþäàåìàÿ y fyi g1 i=0 íàçûâàåòñÿ äåòåðìèíèðîâàííî ïîðîæäåííîé, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ [115, 140, 141]: ñóùåñòâóåò êîíå÷íîìåðíàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà fT g, òî÷êà x0 è ëèïøèö-íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ òàêèå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ T i x0 yi äëÿ âñåõ i ; ; ; : : :, ïðè÷åì t t 0 t 0 T x; T x e x; x , ò.å. ìàêñèìàëüíûé ëÿïóíîâñêèé ïîêàçàòåëü äëÿ fT g ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì. Ââåäåì ïðîñòðàíñòâî B âñåõ íàáëþäàåìûõ êàê ìíîæåñòâî
(
()
)
lim ln ( ) ln(1 )
( )
( )= ( )
^=
(2 + 1)
( )
() ( + )
x
( ) lim ln ( ) ln(1 ) ( )
( +2 )
()
^=
dist(
)
const
dist(
)
( ( )) =
= 012
1
^ = fy ; y ; y ; : : :g, i jyij=2i < 1. Òîãäà ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì ââå-
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé y
P
0
1
2
=0
äåíèè íîðìû ïðîñòðàíñòâî B áóäåò ïîëíûì íîðìèðîâàííûì ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì. Çàäàäèì â B äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó ïîñðåäñòâîì îïðåäåëåíèÿ îòîáðàæåíèÿ ñäâèãà 18
y^
7! T y^,
^=(
)
ãäå T y y1 ; y2; y3 ; : : : . Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì óíèâåðñàëüíóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó, ïîðîæäàþùóþ ëþáóþ îãðàíè÷åííóþ íàáëþäàåìóþ. Ðàññìîòðèì ïðåäåëüíîå ìíîæåñòâî A y è ïðåäåëüíóþ åìêîñòü (ò.å. ðàçìåðíîñòü) C A íàáëþäàåìîé. Ýòè èíâàðèàíòû ëåãêî ââåñòè, åñëè ðàññìîòðåòü ïðîèçâîëüíóþ íàáëþäàåìóþ y êàê íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå óíèâåðñàëüíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû â ïðîñòðàíñòâå B . Òîãäà k 1 Ay fT ygk=0 , ãäå fT k yg1k=0 ïîëóòðàåêòîðèÿ, çàäàâàåìàÿ îòîáðàæåíèåì T . Åñëè C A < 1, òî äàííîé íàáëþäàåìîé ñîîòâåòñòâóåò êîíå÷íîìåðíàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà. Ïðè âûïîëíåíèè äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿ îá îãðàíè÷åííîñòè ìàêñèìàëüíîãî ëÿïóíîâñêîãî ïîêàçàòåëÿ íàáëþäàåìàÿ áóäåò äåòåðìèíèðîâàííî ïîðîæäåííîé. Ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëåííàÿ îáðàáîòêà íàáëþäàåìîãî ñèãíàëà ìîæåò äàòü îòâåò íà ïðèíöèïèàëüíûé âîïðîñ î êîíå÷íîìåðíîñòè èññëåäóåìîãî ïðîöåññà. Íåêîòîðûå àëãîðèòìû îáðàáîòêè íàáëþäàåìûõ ïðèâåäåíû â ðàáîòàõ [42, 63, 84, 112, 115, 130, 131, 132].
(^)
(^) = clos ( )
3.2
( )
^
^
^
Õàðàêòåðèñòèêè õàîòè÷íîñòè
Îïèøåì òåïåðü èåðàðõèþ âàæíûõ ñâîéñòâ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, êîòîðûå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîñëåäîâàòåëüíî óñèëèâàþùèå äðóã äðóãà ñâîéñòâà õàîòè÷íîñòè [142]. 1) Ñóùåñòâîâàíèå èíâàðèàíòíîé ìåðû [25, 27, 51, 120, 143]. Ìíîæåñòâî ñ ââåäåííîé íà íåì ìåðîé ìîæåò áûòü ðàññìîòðåíî êàê ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé.  ýòîì ñëó÷àå êàæäàÿ ôóíêöèÿ, òåì èëè èíûì îáðàçîì îïðåäåëåííàÿ íà ýòîì ìíîæåñòâå, ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åå èòåðàöèé, ïîëó÷àåìûõ ÷åðåç íåêîòîðîå ïðåîáðàçîâàíèå fT g, ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïîýòîìó ñóùåñòâîâàíèå èíâàðèàíòíîé ìåðû äëÿ êîíêðåòíîãî ñåìåéñòâà äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì èìååò ñëåäñòâèåì åãî õàîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå. 2) Ïåðåìåøèâàíèå [25, 51, 63, 64, 74, 116, 117, 122]. Åñëè àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêR öèÿ b t ! ïðè t ! 1 äëÿ ëþáîé ôóíêöèè , j j2 dP < 1, ãäå P èíâàðèàíòíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî â ñèñòåìå èìååò ìåñòî ïåðåìåøèâàíèå. Ñóùåñòâîâàíèå ïåðåìåøèâàíèÿ âëå÷åò íåîáðàòèìîñòü è íåïðåäñêàçóåìîñòü äèíàìèêè. 3) K -ñâîéñòâî [27, 51, 114, 126, 144]. Åñëè äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ K -ñèñòåìîé, òî îíà îáëàäàåò ïåðåìåøèâàíèåì âñåõ ñòåïåíåé è èìååò ïîëîæèòåëüíóþ ýíòðîïèþ. K ñâîéñòâî îçíà÷àåò, ÷òî äåòåðìèíèðîâàííóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó ìîæíî çàêîäèðîâàòü â ðåãóëÿðíûé ñòàöèîíàðíûé ïðîöåññ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. 4) Áåðíóëëèåâîñòü [27, 116, 120, 144]. Ïîâåäåíèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû òåì ñëó÷àéíåå, ÷åì îíà áëèæå ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Åñëè êîäèðîâêà äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû â ðåãóëÿðíûé ñòàöèîíàðíûé ïðîöåññ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ áåðíóëëèåâñêîé. 5) Âûïîëíåíèå óñëîâèé öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû [24, 120, 145]. Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè , îïèñûâàþùåé òîò èëè èíîé äèíàìè÷åñêèé ïðîöåññ, íàéäåòñÿ òàêàÿ äèñïåðñèÿ , ÷òî
()
0
f
f
f = (f)
pn 1 lim x : n!1 n (
"
n
X
k=1
f( (x)) f Tk
#
)
; < q < , ÷òî
x
0 0
Z
f
1 f(T k (x))f(x)d pqjkj :
f =0
 ýòîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî ýêñïîíåíöèàëüíîå óáûâàíèå êîððåëÿöèé, ÷òî äëÿ ãëàäêèõ ôóíêöèé ãîâîðèò î áëèçîñòè ñèñòåìû ê êîíå÷íîé öåïè Ìàðêîâà. Õàîòè÷åñêèå äèññèïàòèâíûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû ìîæíî èçó÷àòü ïóòåì èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ è ñòðóêòóðû ñòðàííûõ àòòðàêòîðîâ, ÿâëÿþùèõñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îáðàçîì õàîòè÷åñêèõ êîëåáàíèé.
f
3.3
Õàîòè÷åñêèå àòòðàêòîðû
Àòòðàêòîð äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ ñòðàííûì, åñëè îí îòëè÷åí îò êîíå÷íîãî îáúåäèíåíèÿ ãëàäêèõ ïîäìíîãîîáðàçèé ïðîñòðàíñòâà M [37, 146]. ×àñòî ïîä÷åðêèâàåòñÿ, ÷òî äèíàìèêà ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ õàîòè÷åñêîé áëàãîäàðÿ íàëè÷èþ â åå ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñòðàííîãî àòòðàêòîðà.  ýòèõ ñëó÷àÿõ ïîíÿòèå ñòðàííûé àòòðàêòîð èìååò ñîáèðàòåëüíûé ñìûñë, è åãî èíîãäà çàìåíÿþò ñëîâîñî÷åòàíèåì õàîòè÷åñêèé àòòðàêòîð. Ïîä õàîòè÷åñêèì àòòðàêòîðîì ìîæåò ïîäðàçóìåâàòüñÿ íåñêîëüêî òèïîâ àòòðàêòîðîâ, îäíàêî ãèïåðáîëè÷åñêèå àòòðàêòîðû, ñòîõàñòè÷åñêèå (èëè êâàçèãèïåðáîëè÷åñêèå) àòòðàêòîðû, ïåðåìåøèâàþùèå àòòðàêòîðû è êâàçèñòîõàñòè÷åñêèå àòòðàêòîðû (èëè êâàçèàòòðàêòîðû) ÿâëÿþòñÿ íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè. Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì àòòðàêòîðîì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ àòòðàêòîðîì è îäíîâðåìåííî ãèïåðáîëè÷åñêèì ìíîæåñòâîì äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, ò.å. åå êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ðàçëàãàåòñÿ íà äâà ïîäïðîñòðàíñòâà, E s è E u , êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ òåì ôàêòîì, ÷òî áåñêîíå÷íî áëèçêèå òðàåêòîðèè, ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîñòðàíñòâó E s , ýêñïîíåíöèàëüíî ñõîäÿòñÿ äðóã ê äðóãó ïðè t ! 1, à â ïðîñòðàíñòâå E u ýêñïîíåíöèàëüíî áûñòðî ñõîäÿòñÿ ïðè t ! 1. Áîëåå òî÷íî, ñëåäóÿ [51] (ñì. òàêæå [31, 35, 36, 37, 143, 145, 147] è öèòèðóåìóþ òàì ëèòåðàòóðó), îïðåäåëèì ãèïåðáîëè÷åñêóþ òðàåêòîðèþ T n n äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü êàæäàÿ èòåðàöèÿ, T n , ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé â îêðåñòíîñòè 2 M . Òîãäà ñóùåñòâóåò äèôôåðåíöèàë @Txn îòîáðàæåíèé êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà xn â êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî T xn . Òðàåêòîðèÿ n íàçûâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé, åñëè ñóùåñòâóþò ïîäïðîñòðàíñòâà ETs k x è ETu k x êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà T k x , k < 1 òàêèå, ÷òî T k x ETs k x ETu k x è @TT k x ETs k x ETs k+1 x , @TT k x ETu k x ETu k+1 x , jj@TT k x ejj cjjejj, e 2 ETs k x , jj@TT k x ejj c 1 jjejj, e 2 ETu k x , ETs k x ; ETu k x , < k < 1, ãäå c íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì ìíîæåñòâîì, åñëè îíî çàìêíóòî è ñîñòîèò èç òðàåêòîðèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì ãèïåðáîëè÷íîñòè. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ t ãèïåðáîëè÷åñêèì àòòðàêòîðîì äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû fT g, (t 2 èëè t 2 ), åñëè T çàìêíóòîå òîïîëîãè÷åñêè òðàíçèòèâíîå (ò.å. äëÿ U; V 2 âûïîëíÿåòñÿ T t U V 6 ;)
x x
x
(
)=
dist(
x
0 ( )= ) const 0
20
=
R
+
Z
=
ãèïåðáîëè÷åñêîå ìíîæåñòâî è ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü
U
, ÷òî = t T t (U ). T
0
Òàêèì îáðàçîì, ãèïåðáîëè÷åñêèé àòòðàêòîð çàìêíóòîå ïðèòÿãèâàþùåå ìíîæåñòâî, èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû fT t g. Ãèïåðáîëè÷åñêèé àòòðàêòîð õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì ñâîéñòâîì, ÷òî îí ÿâëÿåòñÿ ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâûì ìíîæåñòâîì. Ñèñòåìû ñ ãèïåðáîëè÷åñêèì àòòðàêòîðîì èìåþò íàèáîëåå âûðàæåííûå õàîòè÷åñêèå ñâîéñòâà. Ìàëûå âîçìóùåíèÿ òàêèõ ñèñòåì íå ìîãóò ïðèâåñòè ê êà÷åñòâåííûì ïåðåñòðîéêàì êàê ñàìîãî àòòðàêòîðà òàê è ïîâåäåíèÿ ñèñòåì â öåëîì. Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû ñ ãèïåðáîëè÷åñêèì òèïîì àòòðàêòîðà ÿâëÿþòñÿ ìîäåëÿìè ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâûõ ñèñòåì ñî ñòðîãî õàîòè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè [35, 117]. Îäíàêî â íàñòîÿùåå âðåìÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ àòòðàêòîðîâ ïîñòðîåíî íåìíîãî. Ýòî èçâåñòíûé ñîëåíîèä Ñìåéëà-Âèëüÿìñà (ñì., íàïðèìåð, [21, 25, 26, 31, 35, 42, 55], àòòðàêòîð Ëîçè [35, 51, 143, 148, 149, 150], àòòðàêòîð Ïëûêèíà [25, 35, 36, 147, 151] è àòòðàêòîð Áåëûõ [143, 152, 153]. Àòòðàêòîð A ÿâëÿåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèì, åñëè äëÿ ëþáîé àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé èíâàðèàíòíîé ìåðû â U åå ñìåùåíèå t C T t C ïðè t ! 1 ñõîäèòñÿ (ñëàáî) ê ïðåäåëüíîé èíâàðèàíòíîé ìåðå , êîòîðàÿ íå çàâèñèò îò , è äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà A; ; fT tg îáëàäàåò ñâîéñòâîì ïåðåìåøèâàíèÿ [117, 143, 145]. Ñòîõàñòè÷åñêèé àòòðàêòîð ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îáðàçîì íàáëþäàåìîãî ðàçâèòîãî õàîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû. Èçâåñòíûé ïðèìåð ñòîõàñòè÷åñêîãî àòòðàêòîðà àòòðàêòîð Ëîðåíöà ïðè b =; ; r [153, 154, 155]. Ìàëûå âîçìóùåíèÿ ñèñòåì ñî ñòîõàñòè÷åñêèì àòòðàêòîðîì ìîãóò ïðèâîäèòü ê ìîäèôèêàöèÿì òàêîãî àòòðàêòîðà, íî â òî æå âðåìÿ äèíàìèêà ñèñòåìû áóäåò îñòàâàòüñÿ õàîòè÷åñêîé. Âñÿêîå ãèïåðáîëè÷åñêîå ïðåäåëüíîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèì àòòðàêòîðîì.  òî æå âðåìÿ ñòîõàñòè÷åñêèå àòòðàêòîðû íåîáÿçàòåëüíî ÿâëÿþòñÿ ñòðàííûìè (ñì. [34, 35, 37, 143, 153]). Ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî àòòðàêòîðîâ õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ïðèíàäëåæàò ê êâàçèñòîõàñòè÷åñêîìó òèïó (ò.å. ÿâëÿþòñÿ êâàçèàòòðàêòîðàìè) [156, 157]. Êâàçèñòîõàñòè÷åñêèå àòòðàêòîðû ñîäåðæàò â ñåáå ïîìèìî ñåäëîâûõ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ åùå è óñòîé÷èâûå ïðåäåëüíûå öèêëû, ïåðèîä êîòîðûõ äîñòàòî÷íî âåëèê, à îáëàñòü ïðèòÿæåíèÿ ìàëà. Ñëàáûå âîçìóùåíèÿ ñèñòåì ñ êâàçèñòîõàñòè÷åñêèì àòòðàêòîðîì âåäóò ê ñëîæíûì êà÷åñòâåííûì ïåðåñòðîéêàì êàê â äèíàìèêå ñèñòåìû, òàê è â ñòðóêòóðå ñàìîãî àòòðàêòîðà. Ïî ýòîé ïðè÷èíå äëÿ áîëüøèíñòâà ñèñòåì èõ îáëàñòè õàîòè÷íîñòè âñåãäà ñîäåðæàò äîñòàòî÷íî ìàëûå ïîäîáëàñòè ñ ðåãóëÿðíîé (ïåðèîäè÷åñêîé) äèíàìèêîé.  ïðèëîæåíèÿõ, îäíàêî, ýòî îáñòîÿòåëüñòâî íå èãðàåò ñóùåñòâåííóþ ðîëü, ïîñêîëüêó óñòîé÷èâûå ïðåäåëüíûå öèêëû, ñîäåðæàùèåñÿ â êâàçèñòîõàñòè÷åñêîì àòòðàêòîðå íå âûÿâëÿþòñÿ ÷èñëåííî. Äèíàìèêà ñèñòåìû ñ êâàçèñòîõàñòè÷åñêèì àòòðàêòîðîì òàêæå âûãëÿäèò õàîòè÷åñêîé. Íàïðèìåð, àíàëèòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû òåîðèè áèôóðêàöèé ïîêàçûâàþò, ÷òî â ñèñòåìå Ëîðåíöà ñ ïàðàìåòðàìè, áåñêîíå÷íî áëèçêèìè ê çíà÷åíèÿì b =; ; ; r ; , ñóùåñòâóþò óñòîé÷èâûå ïðåäåëüíûå öèêëû [158, 159]. Íî íèêàêèå ÷èñëåííûå ìåòîäû äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè íå âûÿâèëè ýòè öèêëû. Ïàðàëëåëüíî ñ èçó÷åíèåì îñîáåííîñòåé è òèïîâ àòòðàêòîðîâ õàîòè÷åñêèå ñâîéñòâà äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ìîæíî èññëåäîâàòü ïîñðåäñòâîì àíàëèçà ôàçîâûõ òðàåêòîðèé. Â
()= ( )
(
)
=83
=8 3
= 10
= 28
= 10 2 = 30 2
21
ýòîì îòíîøåíèè íàèáîëåå ðàçâèòîé ÿâëÿåòñÿ òåîðèÿ îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé. 3.4
Îäíîìåðíûå îòîáðàæåíèÿ
Îäíîìåðíûå îòîáðàæåíèÿ ïîçâîëÿþò àíàëèòè÷åñêè ïîëó÷èòü ðÿä âàæíûõ ñâîéñòâ, êîòîðûå ìîãóò áûòü îáîáùåíû íà ñèñòåìû áîëüøèõ ðàçìåðíîñòåé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìíîãîìåðíûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû ÷àñòî ñâîäÿòñÿ ê îäíîìåðíûì. Òàê, õàðàêòåðíûå îñîáåííîñòè èçâåñòíîãî ñîëåíîèäàëüíîãî äèôôåîìîðôèçìà Ñìåéëà-Âèëüÿìñà D 2 S 1 ïîëíîñòüþ îïèñûâàþòñÿ îòîáðàæåíèåì îêðóæíîñòè ñòåïåíè äâà. Ãåîäåçè÷åñêèå ïîòîêè íà ãèïåðáîëè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè èìåþò ìíîãî îáùåãî ñ îäíîìåðíûìè äèíàìè÷åñêèìè ñèñòåìàìè. Íàêîíåö, áèôóðêàöèîííàÿ ñòðóêòóðà ìíîãîìåðíûõ ñèñòåì äîñòàòî÷íî õîðîøî îïèñûâàåòñÿ ïîñðåäñòâîì êà÷åñòâåííûõ ïåðåñòðîåê, âñòðå÷àþùèõñÿ â îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèÿõ. Ïî ýòèì ïðè÷èíàì îäíîìåðíûå îòîáðàæåíèÿ èíòåíñèâíî èññëåäóþòñÿ è â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îòâåòâèâøèéñÿ è áûñòðî ðàçâèâàþùèéñÿ ðàçäåë òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Îäíèì èç ñàìûõ çàìå÷àòåëüíûõ ðåçóëüòàòîâ òåîðèè îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà À.Í.Øàðêîâñêîãî î ñîñóùåñòâîâàíèè öèêëîâ [160]. Ýòà òåîðåìà óêàçûâàåò, öèêëû êàêèõ ïåðèîäîâ èìååò îòîáðàæåíèå, åñëè îíî îáëàäàåò öèêëîì ïåðèîäà k . Äëÿ ïîÿñíåíèÿ ðåçóëüòàòà Øàðêîâñêîãî ðàñïîëîæèì íàòóðàëüíûå ÷èñëà ñëåäóþùèì îáðàçîì:
1
1 / 2 / 2 / 2 / / 2n / / 2 9 / 2 7 / 2 5 / 2 3 / /2 9/2 7/2 5/2 3//29/27/25/23//9/7/5/3 : 1
2
2
2
3
3
2
3
3
3
2
Òàêîå ðàñïîëîæåíèå íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì Øàðêîâñêîãî. Òåðåìà Øàðêîâñêîãî óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå èíòåðâàëà èìååò öèêë ïåðèîäà k , òî òî îíî èìååò òàêæå öèêëû êàæäîãî ïåðèîäà k 0 òàêîãî, ÷òî k 0 / k â ñìûñëå ïîðÿäêà Øàðêîâñêîãî.  ÷àñòíîñòè, åñëè îòîáðàæåíèå èìååò öèêë ïåðèîäà 3, òî îíî èìååò òàêæå öèêëû âñåõ ïåðèîäîâ. Ýòî ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå, äîêàçàííîå â ðàáîòå Ò.Ëè è Äæ.Éîðêà [161] ìíîãî ïîçæå À.Í.Øàðêîâñêîãî, ñòàëî èçâåñòíî êàê ïåðèîä òðè ïîäðàçóìåâàåò õàîñ. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ õàîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé èñïîëüçóþòñÿ ñâîéñòâà òîïîëîãè÷åñêîé òðàíçèòèâíîñòè, ïëîòíîñòè ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé (öèêëîâ) èëè ñâîéñòâî ïåðåìåøèâàíèÿ, êîòîðûå ëåãêî ïåðåíîñÿòñÿ íà îäíîìåðíûé ñëó÷àé. Ïóñòü êîìïàêòíîå èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî îòíîñèòåëüíî T . Òîãäà ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ òîïîëîãè÷åñêè òðàíçèòèâíûì, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ îòêðûòûõ ìíîæåñòâ T t ;. Ãîâîðÿò, ÷òî îòîáðàæåíèå T t èìååò 1; 2 íàéäåòñÿ ÷èñëî t òàêîå, ÷òî T 1 2 6 ÷óâñòâèòåëüíóþ çàâèñèìîñòü îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé íà , åñëè ñóùåñòâóåò > òàêîå, ÷òî x 2 è ëþáîé îêðåñòíîñòè U òî÷êè x ñóùåñòâóåò y 2 U è t > , äëÿ êîòîðûõ jT tx T t yj > . Ñâîéñòâî ïëîòíîñòè ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé îçíà÷àåò, ÷òî â ëþáîé îêðåñòíîñòè ëþáîé òî÷êè â ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíà (è, ñëåäîâàòåëüíî, áåñêîíå÷íî ìíîãî) ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé. Îòîáðàæåíèå T íàçûâàåòñÿ õàîòè÷åñêèì, åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ [162]:
( ) =
22
0
0
a)
T
ÿâëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêè òðàíçèòèâíûì íà ; á) öèêëû îòîáðàæåíèÿ T ÿâëÿþòñÿ ïëîòíûìè â ; â) T èìååò ÷óâñòâèòåëüíóþ çàâèñèìîñòü îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Òàêèì îáðàçîì, õàîòè÷åñêîå îòîáðàæåíèå äîëæíî îáëàäàòü òðåìÿ âàæíûìè ñâîéñòâàìè: íåïðåäñêàçóåìîñòüþ, íåðàçëîæèìîñòüþ è ýëåìåíòîì ðåãóëÿðíîñòè. Îäíàêî íå òàê äàâíî áûëî îáíàðóæåíî [163], ÷òî â äàííîì îïðåäåëåíèè õàîòè÷íîñòè óñëîâèå ÷óâñòâèòåëüíîé çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé ÿâëÿåòñÿ èçáûòî÷íûì. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè îòîáðàæåíèå T ! íåïðåðûâíî è òðàíçèòèâíî, à öèêëû ïëîòíû â , òî T îáëàäàåò ñóùåñòâåííîé çàâèñèìîñòüþ îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Íåìíîãî ïîçæå áûëî ïîêàçàíî [164], ÷òî â îïðåäåëåíèè õàîòè÷íîñòè íè òðàíçèòèâíîñòü íè ïëîòíîñòü öèêëîâ íå ñëåäóþò èç îñòàâøèõñÿ äâóõ óñëîâèé. Áîëåå òîãî, òðàíçèòèâíîñòü è ÷óâñòâèòåëüíàÿ çàâèñèìîñòü óñòîé÷èâû ïî îòíîøåíèþ ê çàìûêàíèþ, à òàêæå ïðè îãðàíè÷åíèè íà ïëîòíûå èíâàðèàíòíûå ïîäìíîæåñòâà [165]. Òàêèì îáðàçîì, ïîâèäèìîìó, îòîáðàæåíèå, çàäàííîå íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå, ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî êàê õàîòè÷åñêîå, åñëè îíî îáëàäàåò ÷óâñòâèòåëüíîé çàâèñèìîñòüþ îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé è èìååò ïëîòíûå öèêëû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îäíîìåðíûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû ïðîÿâëÿþò õàîòè÷åñêóþ äèíàìèêó, åñëè îáëàäàþò ñâîéñòâîì ïåðåìåøèâàíèÿ. Äàäèì ñòðîãîå îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ïåðåìåøèâàþùèì ìíîæåñòâîì, åñëè äëÿ îòêðûòîãî ïîäìíîæåñòâà U â è ëþáîãî êîíå÷íîãî ïîêðûòèÿ fj g ìíîæåñòâà ñóùåñòâóåò m m U; è
:
= r 1, çàâèñÿùåå òîëüêî îò è òàêîå, ÷òî T m
rS1
i=0
T iU
= ( ) j 6= ; äëÿ âñåõ j . Åñëè äèíàì-
è÷åñêàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ïåðåìåøèâàþùåé è îíà èìååò àòòðàêòîð, òî àòòðàêòîð òàêîãî òèïà íàçûâàåòñÿ ïåðåìåøèâàþùèì. Áîëåå òî÷íî, ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ïåðåìåøèâàþùèì àòòðàêòîðîì, åñëè ÿâëÿåòñÿ àòòðàêòîðîì, ò.e. èìååòñÿ V òàêîå, ÷òî T V 6 ; TV è TV , è îäíîâðåìåííî ïåðåìåøèâàþùåå ìíîæåñòâî äëÿ T .
=
t>0
=
Ñâîéñòâî ïåðåìåøèâàíèÿ íà îïðåäåëåííîì ïðèòÿãèâàþùåì ìíîæåñòâå èìååò ñëåäñòâèåì òîïîëîãè÷åñêóþ òðàíçèòèâíîñòü.  ñâîþ î÷åðåäü, òîïîëîãè÷åñêàÿ òðàíçèòèâíîñòü ýêâèâàëåíòíà òîìó ôàêòó, ÷òî â èìååòñÿ âñþäó ïëîòíàÿ òðàåêòîðèÿ. Áîëåå òîãî, èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå [93]: åñëè f 2 C 0 I; I è I èíòåðâàë, òî ïåðåìåøèâàþùèé àòòðàêòîð ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ïîäûíòåðâàëîâ, êîòîðûå öèêëè÷åñêè îòîáðàæàþòñÿ äðóã â äðóãà, è ïåðèîäè÷åñêèå òî÷êè ïëîòíû íà íåì. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå èíòåðâàëà I â îáùåé ôîðìå: Ta I ! I , I ;
Ta : x 7
( )
:
! f (a; x) ;
[
=[
]
]
(20)
ãäå a óïðàâëÿþùèé ïàðàìåòð. Îòîáðàæåíèå T èíòåðâàëà ; îáëàäàåò õàîòè÷åñêèì ïîâåäåíèåì (èëè õàîòè÷åñêîé äèíàìèêîé), åñëè îíî èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíóþ V èíâàðèàíòíóþ ìåðó , ïî îòíîøåíèþ ê êîòîðîé -àëãåáðà T t S ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî t
( )
[
]
( )
÷èñëà àòîìîâ, ãäå S -àëãåáðà áîðåëåâñêèõ ïîäìíîæåñòâ èíòåðâàëà ; è T t S -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ, èìåþùèõ âèä T t C , C 2 S [51, 52]. Îñòàíîâèìñÿ íåìíîãî ïîäðîáíåå íà ýòîì îïðåäåëåíèè [52]. Êàê èçâåñòíî, ýíäîìîðôèçì T T ïðîñòðàíñòâà M â ñåáÿ íàçûâàåòñÿ òî÷íûì, åñëè Mn S0 , ãäå S0 -àëãåáðà ïîäìn
23
=
0
1
íîæåñòâ M êîòîðûå èìåþò ìåðó èëè . Äîïóñòèì, ÷òî â ïðèâåäåííîì îïðåäåëåíèè -àëãåáðà ñîñòîèò èç r àòîìîâ. Òîãäà ñóùåñòâóåò r ïîäìíîæåñòâ C1 ; C2 ; :::; Cr , êîòîðûå T äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: Ci Cj ; äëÿ i 6 j , Ci+1 T Ci ; i < r; è T Cr C1 . Ïðè ýòîì ýðãîäè÷åñêèìè êîìïîíåíòàìè îòîáðàæåíèÿ T r ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâà Cj , j r.  ñâîþ î÷åðåäü, îòîáðàæåíèå T r jCi áóäåò òî÷íûì ýíäîìîðôèçìîì è, òàêèì îáðàçîì, ïðîÿâëÿòü ñâîéñòâî ïåðåìåøèâàíèÿ (ñì. [116]). Èçâåñòíûé ïðèìåð îòîáðàæåíèÿ ñ õàîòè÷åñêèì ïîâåäåíèåì êâàäðàòè÷íîå îòîáðàæåíèå ïðè a , T x 7! x x . Ýòî îòîáðàæåíèå èìååò èíâàðèàíòíóþ ìåðó, q êîòîðàÿ íåïðåðûâíà ïî îòíîøåíèþ ê ìåðå Ëåáåãà, dx dx= x x . Îäíàêî â îáùåì ñëó÷àå èíâàðèàíòíóþ ìåðó â ÿâíîì âèäå íàéòè íå óäàåòñÿ, è åå ïîñòðîåíèå äëÿ ïðîèçâîëüíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíîé çàäà÷åé.  òåîðèè îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé âàæíóþ ðîëü èãðàåò ïðîèçâîäíàÿ Øâàðöà Sf ôóíêöèè f : Sf f 000 =f 0 f 00 =f 0 2 = .  ÷àñòíîñòè, óíèìîäàëüíîå îòîáðàæåíèå Ta ñ óñëîâèåì Sf < ìîæåò èìåòü íå áîëåå ÷åì îäèí óñòîé÷èâûé öèêë [166]. Áîëåå òîãî, îòîáðàæåíèå ñ îòðèöàòåëüíîé ïðîèçâîäíîé Øâàðöà èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíóþ èíâàðèàíòíóþ ìåðó, åñëè îðáèòà åãî êðèòè÷åñêîé òî÷êè xc ïîïàäàåò íà îòòàëêèâàþùåå êàíòîðîâî ìíîæåñòâî èëè êîãäà îðáèòà ýòîé òî÷êè, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîé èòåðàöèè, ñîâïàäàåò ñ íåóñòîé÷èâûì öèêëîì êîíå÷íîãî ïåðèîäà. Áîëåå òî÷íî [167, 168], ïóñòü îòîáðàæåíèå (20) ÿâëÿåòñÿ óíèìîäàëüíûì îòîáðàæåíèåì èíòåðâàëà I â ñåáÿ, à ôóíêöèÿ f èìååò îòðèöàòåëüíóþ ïðîèçâîäíóþ Øâàðöà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
=
=
=
1
=4
=
:
4 (1
3(
0
)
( )=
(1
)
) 2
Tal Tam xc = Tam xc ;
(21)
T 0 T m xc T 0 T m+1 xc : : : T 0 T m+l+1 xc > 1 ;
( )=0
a a
a a
a a
0
ãäå Ta0 xc è m; l > íåêîòîðûå öåëûå ÷èñëà. Òîãäà íà èíòåðâàëå I ñóùåñòâóåò àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ èíâàðèàíòíàÿ ìåðà. Ýòîò ðåçóëüòàò èçâåñòåí êàê òåîðåìà ÎãíåâàÌèñþðåâè÷à. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî åñëè óíèìîäàëüíîå îòîáðàæåíèå ñ õàîòè÷åñêèì ïîâåäåíèåì èìååò îòðèöàòåëüíóþ ïðîèçâîäíóþ Øâàðöà, òî îíî íå ìîæåò èìåòü óñòîé÷èâûõ öèêëîâ. Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî ïàðàìåòðè÷åñêèõ çíà÷åíèé a, ñîîòâåòñòâóþùèõ õàîòè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ îòîáðàæåíèÿ Ta , ÷åðåç Ac . Äëÿ íåêîòîðûõ ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé, îïðåäåëåííûõ íà èíòåðâàëå, ìåðà òàêèõ ïàðàìåòðè÷åñêèõ çíà÷åíèé ïîëîæèòåëüíà (ñì. [51, 52, 169, 170, 171]).  ÷àñòíîñòè, áûë ïîëó÷åí çàìå÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò î òîì ÷òî ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ïàðàìåòðà a, äëÿ êîòîðûõ êâàäðàòè÷íîå îòîáðàæåíèå Ta x 7! ax x èìååò ïîëîæèòåëüíûé ïîêàçàòåëü Ëÿïóíîâà, îáëàäàåò ïîëîæèòåëüíîé ìåðîé Ëåáåãà (ñì. [169, 170, 171]). Ñëåäñòâèåì èç ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ÿâëÿåòñÿ âàæíàÿ òåîðåìà ßêîáñîíà [172]: Ïóñòü F îäíîìåðíîå îòîáðàæåíèå, áëèçêîå â C 3 íîðìå ê îòîáðàæåíèþ x 7! x x è a0 çíà÷åíèå ïàðàìåòðà a òàêîå, ÷òî a0 F xc . Òîãäà ìåðà ìíîæåñòâà Ac fa 2 ; a0 j Fa x 7! aF x èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíóþ èíâàðèàíòíóþ ìåðó}, ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé.
:
(1 ) = (0 ]
:
( )=1
()
24
(1
)
Îòìåòèì åùå îäèí ãëóáîêèé ðåçóëüòàò [173], êàñàþùèéñÿ îäíîìåðíîãî îòîáðàæåíèÿ (20), ïîðîæäàåìîãî êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé f x; a ax x , a 2 ; A. Äîëãîå âðåìÿ ñóùåñòâîâàëà ãèïîòåçà, ÷òî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà a, ñîîòâåòñòâóþùèå óñòîé÷èâîìó ïåðèîäè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ òàêîãî îòîáðàæåíèÿ, âñþäó ïëîòíû â îáëàñòè A. ×èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì a äîëÿ òåõ åãî çíà÷åíèé, êîòîðûå îòâå÷àþò õàîòè÷åñêîé äèíàìèêå, óâåëè÷èâàåòñÿ.  ðàáîòå [173] áûëî äîêàçàíî, ÷òî åñëè äâà êâàäðàòè÷íûõ îòîáðàæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåííûìè, òî îíè ÿâëÿþòñÿ è êâàçèñèììåòðè÷íî ñîïðÿæåííûìè. Òîãäà èç îáùåé òåîðèè îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé (ñì. [169]) ìîæíî ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå, ÷òî ìíîæåñòâî ïàðàìåòðè÷åñêèõ çíà÷åíèé, äëÿ êîòîðûõ îòîáðàæåíèå èìååò îäíó è òó æå íåïåðèîäè÷åñêóþ íèäèíã-ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, èìååò òîëüêî îäèí ýëåìåíò. Ýòî îçíà÷àåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ïàðàìåòðà, äëÿ êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþùåå îòîáðàæåíèå îáëàäàåò óñòîé÷èâûì öèêëîì, ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì è ïëîòíûì. Îäíèì èç ïðîñòåéøèõ êëàññîâ îòîáðàæåíèé ñ ñèëüíûìè ñòàòèñòè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè ÿâëÿþòñÿ ðàñòÿãèâàþùèå îòîáðàæåíèÿ. Ïóñòü f íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ íà 1 , îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: (a) f 2 C 1+ äëÿ > ; (á) f 0 x 0 > ; (â) f x f x r äëÿ íåêîòîðîãî öåëîãî r; (ã) f . Òîãäà îòîáðàæåíèå T x 7! f x ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì ýíäîìîðôèçìîì, èìååò R èíâàðèàíòíóþ ìåðó , ýêâèâàëåíòíóþ ìåðå Ëåáåãà, è ýíòðîïèÿ h T f 0 x d x . Ýòè ñâîéñòâà ðàñòÿãèâàþùèõ îòîáðàæåíèé áûëè îïèñàíû â ðàáîòàõ [174, 175, 176]. Ïîçæå áîëåå îáùèå ðåçóëüòàòû î ñâîéñòâàõ èíâàðèàíòíûõ ìåð íåñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé (íî íåîáÿçàòåëüíî îäíîìåðíûõ) áûëè ïîëó÷åíû â ðàáîòå [177], êîòîðûå, â ñâîþ î÷åðåäü, áûëè îáîáùåíû íà øèðîêèé êëàññ êóñî÷íî-ìîíîòîííûõ ðàñòÿãèâàþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé, âêëþ÷àþùèõ äîñòàòî÷íî ïîïóëÿðíûé ïðèìåð x 7! x ñ èððàöèîíàëüíûì > [178].
( ) = (1
(0) = 0
0
()
:
1
R
( + 1) = ( ) + ()
(0 4]
( ) = ln ( ) ( )
(mod 1)
1
4
)
Çàêëþ÷èòåëüíûå çàìå÷àíèÿ
 äàííîì îáçîðå íà äîñòàòî÷íî ñòðîãîì óðîâíå îïèñàíû îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ñîâðåìåííîé òåîðèè õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî èññëåäîâàíèå õàîòè÷åñêèõ êîëåáàíèé â íàñòîÿùåå âðåìÿ ñèëüíî ðàçâåòâèëîñü. Ïîÿâèëèñü íîâûå íàïðàâëåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ òåîðèåé èíâàðèàíòíîé ìåðû [25, 27, 111, 120, 143, 145, 169], èçó÷åíèåì ãîìîêëèíè÷åñêèõ ñòðóêòóð [36, 37, 94, 95, 96, 98, 99, 106], ñâîéñòâîì ãèïåðáîëè÷íîñòè [25, 26, 31, 94, 95, 111, 144], òåîðèåé ïîêàçàòåëåé Ëÿïóíîâà [43, 110, 111, 113, 125, 136, 137] è äðóãèìè õàðàêòåðèñòèêàìè (ñì., íàïðèìåð, [24, 25, 27, 31, 36, 51, 93, 103, 105, 109, 118, 127, 162, 169, 179, 180] è ïðèâåäåííóþ òàì ëèòåðàòóðó). Ïîýòîìó êîëè÷åñòâî ðàáîò â ýòîé îáëàñòè ïðàêòè÷åñêè íåîáúÿòíî. Òàê, áèáëèîãðàôèÿ ïî äèíàìè÷åñêèì ñèñòåìàì [181] âêëþ÷àåò áîëåå 4400 ïóáëèêàöèé, à ïî õàîòè÷åñêèì êîëåáàíèÿì [182] îêîëî 7000 (!). Êðîìå òîãî, âíóøèòåëüíûå ñïèñêè ëèòåðàòóðû ïî ïðàêòè÷åñêè âñåì ñîâðåìåííûì íàïðàâëåíèÿì íåëèíåéíîé äèíàìèêè è åå ïðèëîæåíèÿì ñîáðàíû â ìîíîãðàôèÿõ [25, 27, 31, 36, 42, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 64, 84, 111, 112]. 25
Ïåðåõîä ê õàîòè÷åñêèì êîëåáàíèÿì â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ îñóùåñòâëÿåòñÿ ÷åðåç ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êà÷åñòâåííûõ ïåðåñòðîåê â èõ ïîâåäåíèè. Îñíîâíûå òèïû òàêèõ ïåðåñòðîåê ïðè ïëàâíîì èçìåíåíèè ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû è ìåòîäû èõ îïèñàíèÿ ïðè ïîìîùè ðåíîðìãðóïïîâîãî àíàëèçà ñîñòàâëÿåò ñàìîñòîÿòåëüíûé ðàçäåë íåëèíåéíîé äèíàìèêè òåîðèþ áèôóðêàöèé. Áîëüøîé èíòåðåñ ñ òî÷êè çðåíèÿ âîçíèêíîâåíèÿ õàîòè÷åñêèõ êîëåáàíèé ïðåäñòàâëÿþò ïåðåñòðîéêè ñèñòåì â öåëîì, èõ ïîäìíîæåñòâ è àòòðàêòîðîâ. Íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèåñÿ â ïðèëîæåíèÿõ òèïû òàêèõ áèôóðêàöèé îïèñàíû â 2. Èç ëèòåðàòóðû ïî òåîðèè áèôóðêàöèé ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà äîñòàòî÷íî ïîëíûå îáçîðû [37, 47], ìîíîãðàôèè [36, 38, 39, 40, 183] è ðàáîòû, âêëþ÷àþùèå èñòîðèþ âîïðîñà [184, 185].  íàñòîÿùåå âðåìÿ ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ïîäõîäîâ ê èçó÷åíèþ ñâîéñòâ õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Ðÿä òàêèõ ïîäõîäîâ äàí â 3, ãäå íà ñòðîãîì óðîâíå ïðåäñòàâëåíû îñíîâíûå êîíöåïöèè ýðãîäè÷åñêîé òåîðèè è òåîðèè îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé, îòíîñÿùèåñÿ ê õàîòè÷åñêîé äèíàìèêå.  êà÷åñòâå äàëüíåéøåãî îçíàêîìëåíèÿ ìîæíî ðåêîìåíäîâàòü ðàáîòû [13, 21, 23, 25, 27, 51, 111, 118, 125, 126, 144, 162].  çàêëþ÷åíèå íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî ãëàâíîé öåëüþ äàííîãî îáçîðà ÿâëÿåòñÿ îïèñàíèå ðàçëè÷íûõ ïîäõîäîâ, èñïîëüçóåìûõ â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðè àíàëèçå íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Åñòåñòâåííî, ÷òî ðÿä ìåòîäîâ è ïðîáëåì îñòàëîñü çà ïðåäåëàìè íàøåãî ðàññìîòðåíèÿ. Îäíàêî ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî îòðàæåíî â ðàáîòàõ, ó÷åáíûõ ïîñîáèÿõ è ìîíîãðàôèÿõ, ïðèâåäåííûõ â ñïèñêå ëèòåðàòóðû.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] A.Poincare. Calcul des Probabilities. Paris, Gauthier-Villars, 1912. [2] L.Boltzman. Uber die mechanischen Analogien des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik. Journ. f. Mathem., 1887, bd.100, s.201-212. [3] L.Boltzmann. Vorlesungen u ber Gastheorie. Leipzig, 1896. [4] Ë.Áîëüöìàí. Ñòàòüè è ðå÷è. Ì., Íàóêà, 1970. [5] P.Ehrenfest, T.Ehrenfest. Enzyklopaedie d. Math. Wiss., Bd.IV, Tl.32. Leipzig, 1911. [6] Ï.Ýðåíôåñò. Ñáîðíèê ñòàòåé. Ì., Íàóêà, 1972. [7] Ì.Êàö. Âåðîÿòíîñòü è ñìåæíûå âîïðîñû â ôèçèêå. Ì., Ìèð, 1965. [8] The Bolzmann Equation: Theory and Application. Ed. E.G.D.Cohen and W.Thirring. Springer, Berlin, 1973. [9] E.Fermi, J.Pasta and S.Ulam. Studies of Nonlinear Problems. Los Alamos Scientific Report, LA-1940, 1955. [10] J.Ford. Equipartion of energy for nonlinear systems. J. Math. Phys., 1961, v.2, No3, p.387-393. [11] E.A.Jackson. Nonlinear coupled oscillators. Perturbation theory: ergodic problem. J. Math. Phys., 1963, v.4, No4, p.551-558 [12] À.Ïóàíêàðå. Èçáðàííûå òðóäû. Òîì 1. Ì., Íàóêà, 1973.
26
[13] G.D.Birkhoff. Dynamical Systems. American Mathematical Society, N.Y., 1927. [14] Í.Ñ.Êðûëîâ. Ðàáîòû ïî îáîñíîâàíèþ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.-Ë., Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1950. [15] Ì.Áîðí. Âîçìîæíî ëè ïðåäñêàçàíèå â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå? Óñïåõè ôèç. íàóê, 1959, ò.69, âûï.2, ñ.173-187. [16] J.Ford. Foreword to Symbolic dynamics and hyperbolic dynamic systems by V.M.Alekseev and M.V.Yakobson. Phys. Rep., 1981, v.75, No5, p.288-289. [17] À.Í.Êîëìîãîðîâ. Íîâûé ìåòðè÷åñêèé èíâàðèàíò òðàíçèòèâíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì è àâòîìîðôèçìîâ ïðîñòðàíñòâà Ëåáåãà. ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1958, ò.119, No5, ñ.861-864. [18] À.Í.Êîëìîãîðîâ. Îá ýíòðîïèè íà åäèíèöó âðåìåíè êàê ìåòðè÷åñêîì èíâàðèàíòå àâòîìîðôèçìîâ. ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1959, ò.124, No4, ñ.754-755. [19] ß.Ã.Ñèíàé. Î ïîíÿòèè ýíòðîïèè äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1959, ò.124, No4, ñ.768-771. [20] S.Smale. Diffeomorphisms with many periodic points. In: Differential and Combinatorial Topology, ed. S.S.Cairns. Princeton University Press, 1965, p.63-80. [21] Ñ.Ñìåéë. Äèôôåðåíöèðóåìûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû. Óñïåõè ìàòåì. íàóê, 1970, ò.25, âûï.1, ñ.113-185. [22] Ä.Â.Àíîñîâ. Ãðóáîñòü ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ íà êîìïàêòíûõ ðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèÿõ îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû. ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1962, ò.145, No4, ñ.707-709; Ýðãîäè÷åñêèå ñâîéñòâà ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ íà çàìêíóòûõ ìíîãîîáðàçèÿõ îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû. ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1963, ò.151, No6, ñ.1250-1252. [23] Ä.Â.Àíîñîâ. Ãåîäåçè÷åñêèå ïîòîêè íà çàìêíóòûõ ðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèÿõ îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû. Ì., Íàóêà, 1967. [24] Ð.Áîóýí. Ìåòîäû ñèìâîëè÷åñêîé äèíàìèêè. Ì., Ìèð, 1979. [25] A.Katok, B.Hasselblatt. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995. [26] Ç.Íèòåöêè. Ââåäåíèå â äèôôåðåíöèàëüíóþ äèíàìèêó. Ì., Ìèð, 1975. [27] A.Lasota, M.C.Mackey. Chaos, Fractals and Noise. Stochastic Aspects of Dynamics. Springer, Berlin, 1994. [28] ß.Ã.Ñèíàé. Ê îáîñíîâàíèþ ýðãîäè÷åñêîé ãèïîòåçû äëÿ îäíîé äèíàìè÷åñêîé ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ, 1963, ò.153, No6, ñ.1261-1264.
ñèñòåìû
[29] ß.Ã.Ñèíàé. Îá îäíîé ôèçè÷åñêîé ñèñòåìå, èìåþùåé ïîëîæèòåëüíóþ ýíòðîïèþ. Âåñòíèê Ìîñê. óí-òà, ñåð. Màòåì.Måõ., 1963, ò.5, ñ.6-12. [30] L.A.Bunimovich, Ya.G.Sinai. Statistical properties of Lorentz gas with periodic configuration of scatters. Commun. Math. Phys., 1981, v.78, No4, p.479-497. [31] Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû. Òîì 2. Ñåðèÿ: Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû ìàòåìàòèêè. Ôóíäàìåíòàëüíûå íàïðàâëåíèÿ. ÂÈÍÈÒÈ, 1985. [32] L.A.Bunimovich. Conditions of stochasticity for two-dimensional billiards. Chaos, 1991, v.1, No2, p.187-193. [33] A.Tabachnikov. Billiards. France Mathematical Soc. Press, 1995. [34] J.Milnor. On the concept of attractor. Commun. Math. Physics, 1985, v.99, No2, p.177-196. [35] Â.Ñ.Àôðàéìîâè÷. Îá àòòðàêòîðàõ.  êí. Íåëèíåéíûå âîëíû. Äèíàìèêà è ýâîëþöèÿ. Ðåä. À.Â.Ãàïîíîâ-Ãðåõîâ, Ì.È.Ðàáèíîâè÷. Ì., Íàóêà, 1989, ñ.16-29.
27
[36] J.Guckenheimer, P.Holmes. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer, Berlin, 1990 (Third printing). [37] Â.È.Àðíîëüä, Â.Ñ.Àôðàéìîâè÷, Þ.Ñ.Èëüÿøåíêî, Ë.Ï.Øèëüíèêîâ. Òåîðèÿ áèôóðêàöèé.  êí. Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû ìàòåìàòèêè. Ôóíäàìåíòàëüíûå íàïðàâëåíèÿ. Òîì 5. Ì., ÂÈÍÈÒÈ, 1986, ñ.5-218. [38] Í.Í.Áàóòèí, Å.À.Ëåîíòîâè÷. Ìåòîäû è ïðèåìû êà÷åñòâåííîãî èññëåäîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì íà ïëîñêîñòè. Ì., Íàóêà, 1990. [39] Äæ.Ìàðñäåí, Ì.Ìàê-Êðàêåí. Áèôóðêàöèÿ ðîæäåíèÿ öèêëà è åå ïðèëîæåíèÿ. Ì., Ìèð, 1980. [40] Á.Õýññàðä, Í.Êàçàðèíîâ, È.Âýí. Òåîðèÿ è ïðèëîæåíèÿ áèôóðêàöèè ðîæäåíèÿ öèêëà. Ì., Ìèð, 1985. [41] Â.È.Àðíîëüä. Äîïîëíèòåëüíûå ãëàâû òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ì., Íàóêà, 1978. [42] À.Þ.Ëîñêóòîâ, À.Ñ.Ìèõàéëîâ. Ââåäåíèå â ñèíåðãåòèêó. Ì., Íàóêà, 1990. [43] J.P.La Salle, S.Lefschetz. Stability by Lypunov's Direct Method. Academic Press, New York, 1961. [44] Ë.Ã.Õàçèí, Ý.Ý.Øíîëü. Óñòîé÷èâîñòü êðèòè÷åñêèõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ. Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, Ïóùèíî, 1985. [45] Ý.Äæóðè. Èííîðû è óñòîé÷èâîñòü äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Ì., Íàóêà, 1979. [46] Í.Í.Áàóòèí. Ïîâåäåíèå äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì âáëèçè ãðàíèö îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè. Ì., Íàóêà, 1984. [47] À.À.Àíäðîíîâ, Å.À.Ëåîíòîâè÷, È.È.Ãîðäîí, À.Ã.Ìàéåð. Òåîðèÿ áèôóðêàöèé äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì íà ïëîñêîñòè. Ì., Íàóêà, 1967. [48] Â.Ñ.Àôðàéìîâè÷. Âíóòðåííèå áèôóðêàöèè è êðèçèñû àòòðàêòîðîâ.  êí. Íåëèíåéíûå âîëíû. Ñòðóêòóðû è áèôóðêàöèè. Ðåä. À.Â.Ãàïîíîâ-Ãðåõîâ, Ì.È.Ðàáèíîâè÷. Ì., Íàóêà, 1987, ñ.189213. [49] M.J.Feigenbaum. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. J. Stat. Phys., 1978, v.19, p.25-52. [50] M.J.Feigenbaum. Universal metric properties of nonlinear transformations. J. Stat. Phys., 1979, v.21, p.669-706. [51] ß.Ã.Ñèíàé. Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû ýðãîäè÷åñêîé òåîðèè. Ì., Íàóêà, 1995. [52] Å.Á.Âóë, ß.Ã.Ñèíàé, Ê.Ì.Õàíèí. Óíèâåðñàëüíîñòü Ôåéãåíáàóìà è òåðìîäèíàìè÷åñêèé ôîðìàëèçì. Óñïåõè ìàòåì. íàóê, 1984, ò.39, âûï.3 (237), ñ.3-37. [53] P.Collet, J.-P.Eckmann. Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems. Birkhauser, Boston, 1980. [54] O.E.Lanford III. A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures. Bull. Amer. Math. Soc., 1982, v.6, p.427-434. [55] Þ.È.Íåéìàðê, Ï.Ñ.Ëàíäà. Ñòîõàñòè÷åñêèå è õàîòè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. Ì., Íàóêà, 1987. [56] Ô.Ìóí. Õàîòè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. Ì., Ìèð, 1990. [57] M.S. El Naschie. Stress, Stability and Chaos in Structural Engineering: An Energy Approach. McGraw-Hill, London, 1990. [58] E.A.Jackson. Perspectives of Nonlinear Dynamics. Vol.I, II. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989, 1990.
28
[59] Chaos II, ed. Hao Bai-Lin. Worls Sci., 1990. [60] P.Manneville. Dissipative Structures and Weak Turbulence. Academic Press, London, 1990. [61] P.Collet, J.-P.Eckmann, H.Koch. Period doubling bifurcations for families of maps on Phys., 1980, v.25, p.1-14.
Rn. J. Stat.
[62] M.J.Feigenbaum. The onset spectrum of turbulence. Phys. Lett. A, v.74, p.375-378. [63] Ã.Øóñòåð. Äåòåðìèíèðîâàííûé õàîñ. Ââåäåíèå. Ì., Ìèð, 1988. [64] À.Ëèõòåíáåðã, Ì.Ëèáåðìàí. Ðåãóëÿðíàÿ è ñòîõàñòè÷åñêàÿ äèíàìèêà. Ì., Ìèð, 1984. [65] Ì.Ôåéãåíáàóì. Óíèâåðñàëüíîñòü â ïîâåäåíèè íåëèíåéíûõ ñèñòåì. Óñïåõè ôèç. íàóê, 1983, ò.141, âûï.2, ñ.343-374. [66] J.Crutchfield, M.Nauenberg, J.Rudnick. Scaling for external noise at the onset of chaos. Phys. Rev. Lett., 1981, v.46, No14, p.933-935. [67] M.J.Feigenbaum, B.Hasslacher. Irrational decimations and path integrals for external noise. Phys. Rev. Lett., 1982, v.49, No9, p.605-609. [68] J.-P.Eckmann. Roads to turbulence in dissipative dynamical systems. Rev. Mod. Phys., 1981, v.53, No4, Part 1, p.643-654. [69] Y.Pomeau, P.Manneville. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems. Commun. Math. Phys., 1980, v.74, No7, p.189-197. [70] P.Manneville, Y.Pomeau. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems. Physica D, 1980, v.1, No2, p.219-226. [71] Ï.Áåðæå, È.Ïîìî, Ê.Âèäàëü. Ïîðÿäîê â õàîñå. Ì., Ìèð, 1991. [72] Â.Ñ.Àôðàéìîâè÷, Ë.Ï.Øèëüíèêîâ. Î íåêîòîðûõ ãëîáàëüíûõ áèôóðêàöèÿõ, ñâÿçàííûõ ñ èñ÷åçíîâåíèåì íåïîäâèæíîé òî÷êè òèïà ñåäëî-óçåë. Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ, 1974, ò.219, No3, ñ.1281-1285. [73] Â.È.Ëóêüÿíîâ, Ë.Ï.Øèëüíèêîâ. Î íåêîòîðûõ áèôóðêàöèÿõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ ãîìîêëèíè÷åñêèìè ñòðóêòóðàìè. Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ, 1978, ò.243, No1, ñ.26-29. [74] A.Yu.Loskutov, A.S.Mikhailov. Complex Patterns. Springer, Berlin, 1991. [75] B.Hu. Functional renormalization-group equations approach to the transition to chaos. In: Chaos and Statistical Methods, ed. Y.Kuramoto. Springer, Berlin, 1984, p.72-82. [76] B.Hu, J.Rudnick. Exact solutions to the Feigenbaum renormalization-group equation for intermittency. Phys. Rev. Lett., 1982, v.48, No24, p.1645-1648. [77] B.Hu. Introduction to real-space renormalization-group methods in critical and chaotic phenomena. Phys. Rep., 1982, v.91, No5, p.233-295. [78] P.Manneville. Intermittency, self-similarity and 1=f -spectrum in dissipative dynamical systems. J. de Phys., 1980, v.41, No11, p.1235-1243. [79] I.Procaccia, H.G.Schuster. Functional renormalization group theory of universal 1=f -noise in dynamical systems. Phys. Rev. A, 1983, v.28, No2, p.1210-1212. [80] Â.Ñ.Àôðàéìîâè÷, Ë.Ï.Øèëüíèêîâ. Èíâàðèàíòíûå äâóìåðíûå òîðû, èõ ðàçðóøåíèå è ñòîõàñòè÷íîñòü.  êí.: Ìåòîäû êà÷åñòâåííîé òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ãîðüêèé, 1983, ñ.326. [81] K.Kaneko. Collapse of Tori and Genesis of Chaos in Dissipative Systems. World Sci., Singapore, 1986.
29
[82] D.G.Aronson, M.A.Chory, G.R.Hall, R.P.McGehee. A discrete dynamical systems with subtly wild behavior. In: New Approach to Nonlinear Problems in Dynamics. Philadelphia, SIAM, 1980, p.339360. [83] J.Carry, J.A.Yorke. A transition from Hopf bifurcation to chaos: computer experiments with maps on 2 . In: Lecture Notes in Mathematics. Springer, Berlin, 1978, v.470, p.48-66.
R
[84] Â.Ñ.Àíèùåíêî. Ñëîæíûå êîëåáàíèÿ â ïðîñòûõ ñèñòåìàõ. Ì., Íàóêà, 1990. [85] J.Belair, L.Glass. Universality and self-similarity in the bifurcations of circle maps. Physica D, 1985, v.16, p.143-154. [86] S.Newhouse, J.Palis, F.Takens. Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms. Publ. Math. IHES, 1983, No57, p.5-72. [87] K.Kaneko. Supercritical behavior of disordered orbits of a circle map. Progr. Theor. Phys., 1984, v.73, No6, p.1089-1103. [88] P.L.Boyland. Bifurcations of circle maps: Arnol'd tongues, bistability and rotation intervals. Commun. Math. Phys., 1986, v.106, p.353-381. [89] M.J.Feigenbaum, L.P.Kadanoff, S.J.Shenker. Quasiperiodicity in dissipative systems: a renormalization group analysis. Physica D, 1982, v.5, p.370-386. [90] S.J.Shenker. Scaling behavior in a map of a circle onto itself: empirical results. Physica D, 1982, v.5, p.405-411. [91] À.Í.Øàðêîâñêèé. Î ïðîáëåìå èçîìîðôèçìà äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.  êí.: Òðóäû V Ìåæäóíàð. êîíô. ïî íåëèíåéíûì êîëåáàíèÿì. Êèåâ, Íàóê. äóìêà, 1970, ò.2, ñ.541-545. [92] L.Block. Homoclinic points of mappings of the interval. Proc. Amer. Math. Soc., 1978, v.72, p.576580. [93] À.Í.Øàðêîâñêèé, Þ.Ë.Ìàéñòðåíêî, Å.Þ.Ðîìàíåíêî. Ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ è èõ ïðèëîæåíèÿ. Êèåâ, Íàóêîâà äóìêà, 1986. [94] J.Palis, F.Takens. Hyperbolicity and creation of homoclinic orbits. Ann. of Math., 1987, v.125, p.337374. [95] J.Palis, F.Takens. Hyperbolicity and Sensitive-Chaotic Dynamics at Homoclinic Bifurcations. Cambridge Univ. Press., Cambridge, 1993. [96] L.Mora, M.Viana. Abundance of strange attractors. Acta Math., v.171, p.1-71. [97] S.E.Newhouse. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms. Publ. Math. IHES, 1979, v.50, p.101-151. [98] S.E.Newhouse. Lectures on dynamical systems. In: Progress in Mathematics, No8. Birkhauser, Boston, 1978, p.1-114. [99] S.Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Springer, Berlin, 1990. [100] P.J.Holmes, F.C.Moon. Strange attractors and chaos in nonlinear mechanics. Trans. ASME, Ser. E, 1983, v.50, No4, p.1021-1032. [101] Â.Ê.Ìåëüíèêîâ. Óñòîé÷èâîñòü öåíòðà ïðè ïåðèîäè÷åñêèõ ïî âðåìåíè âîçìóùåíèÿõ. Òð. Ìîñê. ìàòåì. îá-âà, 1963, ò.12, ñ.3-52. [102] J.A.Yorke, K.A.Alligood. Cascades of period doubling bifurcations: a prerequisite for horseshoes. Bull. AMS, 1983, v.9, p.319-322.
30
[103] M.Viana. Chaotic dynamical behaviour. Proc. of XIth Int. Congress of Math. Phys. (Paris, 1994). Internat. Press, Cambridge, MA, 1995, p.1142-1154. [104] C.Robinson. Bifurcation to infinitely many sinks. Commun. Math. Phys., 1983, v.90, p.433-459. [105] M.Viana. Strange attractors in higher dimensions. Bull. Braz. Math. Soc., 1993, v.24, p.13-62. [106] N.Romero. Persistence of homoclinic tangencies in higher dimensions. Thesis IMPA, 1992. [107] J.Palis, M.Viana. High dimension diffeomorphisms displaying infinitely many periodic attractors. Ann. of Math., 1994, v.140, p.207-250. [108] Ë.Ï.Øèëüíèêîâ. Îá îäíîì ñëó÷àå ñóùåñòâîâàíèÿ ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé. Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ, 1965, ò.160, No3, ñ.558-561. [109] L.Perko. Differential Equations and Dynamical Systems. Springer, Berlin, 1996. [110] Á.Ô.Áûëîâ, Ð.Ý.Âèíîãðàä, Ä.Ì.Ãðîáìàí, Â.Â.Íåìûöêèé. Òåîðèÿ ïîêàçàòåëåé Ëÿïóíîâà è åå ïðèëîæåíèÿ ê âîïðîñàì óñòîé÷èâîñòè. Ì., Íàóêà, 1966. [111] J.-P.Eckmann, D.Ruelle. Ergodic theory of chaos and strange attractors. Rev. Mod. Phys., 1985, v.57, No3, Part 1, p.617-656. [112] Ò.Ñ.Àõðîìååâà, Ñ.Ï.Êóðäþìîâ, Ã.Ã.Ìàëèíåöêèé, À.À.Ñàìàðñêèé. Íåñòàöèîíàðíûå ñòðóêòóðû è äèôôóçèîííûé õàîñ. Ì., Íàóêà, 1992. [113] Lyapunov Exponents. Lect. Notes in Math., No 1186. Springer, Berlin, 1986. [114] Í.Ìàðòèí, Äæ.Èíãëåíä. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ýíòðîïèè. Ì., Ìèð, 1988. [115] Â.Ñ.Àôðàéìîâè÷, À.Ì.Ðåéìàí. Ðàçìåðíîñòü è ýíòðîïèÿ â ìíîãîìåðíûõ ñèñòåìàõ.  ñá. Íåëèíåéíûå âîëíû. Äèíàìèêà è ýâîëþöèÿ. Ðåä. À.Â.Ãàïîíîâ-Ãðåõîâ, È.Ì.Ðàáèíîâè÷. Ì., Íàóêà, 1989, ñ.238-262. [116] È.Ï.Êîðíôåëüä, ß.Ã.Ñèíàé, Ñ.Â.Ôîìèí. Ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðèÿ. Ì., Íàóêà, 1980. [117] ß.Ã.Ñèíàé. Ñòîõàñòè÷íîñòü äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.  ñá. Íåëèíåéíûå âîëíû. Ðåä. À.Â.ÃàïîíîâÃðåõîâ. Ì., Íàóêà, 1979, ñ.192-212. [118] Ä.Îðíñòåéí. Ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðèÿ, ñëó÷àéíîñòü è äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû. Ì., Ìèð, 1978. [119] P.Shields. The Theory of Bernoulli Shifts. Univ. of Chicago Press, Chicago and London, 1973. [120] ß.Ã.Ñèíàé. Êîíå÷íîìåðíàÿ ñëó÷àéíîñòü. Óñïåõè ìàòåì. íàóê, 1991, ò.46, âûï.3, ñ.147-159. [121] Â.Ôåëëåð. Ââåäåíèå â òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèëîæåíèÿ. Ò.1,2. Ì., Ìèð, 1984. [122] Ã.Ì.Çàñëàâñêèé Ñòîõàñòè÷íîñòü äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Ì., Íàóêà, 1984. [123] Â.È.Îñåëåäåö. Ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðåìà. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Òðóäû Ìîñê. ìàòåì. îá-âà, 1968, ò.19, ñ.179-210. [124] Â.Ì.Ìèëëèîíùèêîâ. Êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè âåðîÿòíîñòíîãî ñïåêòðà ëèíåéíûõ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ðåêóððåíòíûìè êîýôôèöèåíòàìè è êðèòåðèé ïî÷òè ïðèâîäèìîñòè ñèñòåì ñ ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêèìè êîýôôèöèåíòàìè. Ìàòåì. ñá., 1969, ò.78, No2, ñ.179-201. [125] ß.Á.Ïåñèí. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà è ãëàäêàÿ ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðèÿ. Óñïåõè ìàòåì. íàóê, 1977, ò.32, âûï.4, ñ.55-111. [126] È.Ï.Êîðíôåëüä, ß.Ã.Ñèíàé. Ïåðâîíà÷àëüíûå ïîíÿòèÿ è îñíîâíûå ïðèìåðû ýðãîäè÷åñêîé òåîðèè.  ñá. Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû. Ò.2. Ì., ÂÈÍÈÒÈ, 1985, ñ.7-35.
31
[127] V.M.Alekseev, M.V.Yakobson. Symbolic dynamics and hyperbolic dynamic systems. Phys. Rep., 1981, v.75, No5, p.287-325. [128] À.Í.Êîëìîãîðîâ, Â.Ì.Òèõîìèðîâ. "-ýíòðîïèÿ è "-åìêîñòü ìíîæåñòâ â ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Óñïåõè ìàòåì. íàóê, 1959, ò.14, âûï.2, ñ.3-86. [129] Ï.Áèëëèíãñëåé. Ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðèÿ è èíôîðìàöèÿ. Ì., Ìèð, 1969. [130] P.Grassberger, I.Procaccia. Measuring the strangeness of strange attractors. Physica D, 1983, v.9, No1-2, p.189-208. [131] J.Farmer, E.Ott, J.A.Yorke. The dimension of chaotic attractors. Physica D, 1983, v.7, No1-3, p.153180. [132] H.G.E.Hentschel, I.Procaccia. The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors. Physica D, 1983, v.8, No3, p.435-444. [133] G.Paladin, A.Vulpiani. Anomalous scaling laws in multifractal objects. Phys. Rep., 1987, v.156, No4, p.147-225. [134] L.-S.Young. Capasity of attractors. Ergod. Theory and Dyn. Syst., 1981, v.1, No3, p.381-388. [135] F.Ledrappier. Some relations between dimension and Lyapunov exponents. Commun. Math. Phys., 1981, v.81, No2, p.229-238. [136] L.-S.Young. Dimension, entropy and Lyapunov exponents. Ergod. Theory and Dyn. Syst., 1982, v.2, No1, p.109-124. [137] Ya.B.Pesin. On the relation of the dimension with respect to a dynamical system. Ergod. Theory and Dyn. Syst., 1984, v.4, No3, p.405-420. [138] B.B.Mandelbrot. Fractals: Form, Chance and Dimension. San Francisco, Freeman and Co, 1977. [139] Ôðàêòàëû â ôèçèêå. Ñá. ñòàòåé. Ðåä. Ë.Ïüåòðîíåðî, Ý.Òîçàòòè, ß.Ã.Ñèíàé, È.Ì.Õàëàòíèêîâ. Ì., Ìèð, 1988. [140] F.Takens. Detecting strange attractors in turbulence. In: Lect. Notes in Math., v.898. Springer, Berlin, 1980, p.336-382. [141] F.Takens. Distinguishing deterministic and random systems. In: Nonlinear Dynamics and Turbulence. Ed. G.I.Barenblatt, G.Iooss, D.D.Joseph. New York, Pitman, 1983, p.314-333. [142] ß.Ã.Ñèíàé. Ñòîõàñòè÷íîñòü ãëàäêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Ýëåìåíòû òåîðèè ÊÀÌ.  ñá. Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû. Ò.2. Ì., ÂÈÍÈÒÈ, 1985, ñ.115-122. [143] Å.À.Ñàòàåâ. Èíâàðèàíòíûå ìåðû äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé ñ îñîáåííîñòÿìè. Óñïåõè ìàòåì. íàóê, 1992, ò.47, âûï.1, ñ.147-202. [144] R.Ma ne. Ergodic Theory and Differentiable Dynamics. Springer, Berlin, 1987. [145] Ì.Ë.Áëàíê. Ìàëûå âîçìóùåíèÿ õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Óñïåõè ìàòåì. íàóê, 1989, ò.44, âûï.6, ñ.3-28. [146] Ñòðàííûå àòòðàêòîðû. Ñá. ñòàòåé. Ì., Ìèð, 1981. [147] Ð.Â.Ïëûêèí. Î ãåîìåòðèè ãèïåðáîëè÷åñêèõ àòòðàêòîðîâ ãëàäêèõ êàñêàäîâ. Óñïåõè ìàòåì. íàóê, 1984, ò.39, âûï.6, ñ.75-113. [148] R.Lozi. Un attracteur etrange du type attracteur de Henon. J. de Phys., 1978, v.39, Coll.C5, p.9-11. [149] M.Misiurewicz. Strange attractors for the Lozi mappings. In: Nonlinear Dynamics. Ed. R.G.Helleman. New York, New York Acad. Sci., 1980, v.357, p. 348-358.
32
[150] P.Collet, Y.Levi. Ergodic properties of the Lozi mappings. Commun. Math. Phys., 1984, v.93, No4, p.461-482. [151] Ð.Â.Ïëûêèí. Èñòî÷íèêè è ñòîêè A-äèôôåîìîðôèçìîâ ïîâåðõíîñòåé. Ìàòåì. ñá., 1974, ò.94, No6, ñ.243-264. [152] Â.Ï.Áåëûõ. Ìîäåëè äèñêðåòíûõ ñèñòåì ôàçîâîé ñèíõðîíèçàöèè.  ñá. Ñèñòåìû ôàçîâîé ñèíõðîíèçàöèè. Ðåä. Â.Â.Øàõãèëüäÿí, Ë.Í.Áåëþñòèíà. Ì., Ðàäèî è ñâÿçü, 1982, ñ.161-176. [153] Ë.À.Áóíèìîâè÷. Ñèñòåìû ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ñ îñîáåííîñòÿìè.  ñá. Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû. Ò.2. Ì., ÂÈÍÈÒÈ, 1985, ñ.173-204. [154] Ë.À.Áóíèìîâè÷, ß.Ã.Ñèíàé. Ñòîõàñòè÷íîñòü àòòðàêòîðà â ìîäåëè Ëîðåíöà.  ñá. Íåëèíåéíûå âîëíû. Ðåä. À.Â.Ãàïîíîâ-Ãðåõîâ. Ì., Íàóêà, 1979, ñ.212-226. [155] L.A.Bunimovich. Statistical properties of Lorenz attractors. In: Nonlinear Dynamics and Turbulence. Ed. G.I.Barenblatt, G.Iooss, D.D.Joseph. New York, Pitman, 1983, p.71-92. [156] V.S.Afraimovich, L.P.Shilnikov. On strange attractors and quasiattractors. In: Nonlinear Dynamics and Turbulence. Ed. G.I.Barenblatt, G.Iooss, D.D.Joseph. New York, Pitman, 1983, p.1-34. [157] R.Carrido, L.Simo. Some ideas about strange attractors. In: Lect. Notes in Phys., 1983, v.179, p.1-28. [158] Â.Ñ.Àôðàéìîâè÷, Â.Â.Áûêîâ, Ë.Ï.Øèëüíèêîâ. Î ñóùåñòâîâàíèè óñòîé÷èâûõ ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé â ìîäåëè Ëîðåíöà. Óñïåõè ìàòåì. íàóê, 1980, ò.35, âûï.5, ñ.164-165. [159] Â.Â.Áûêîâ. Î áèôóðêàöèÿõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, áëèçêèõ ê ñèñòåìàì ñ ñåïàðàòðèñíûì êîíòóðîì, ñîäåðæàùèì ñåäëî-ôîêóñ.  ñá. Ìåòîäû êà÷åñòâåííîé òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ãîðüêèé, ÃÃÓ, 1980, ñ.44-72. [160] À.Í.Øàðêîâñêèé. Ñîñóùåñòâîâàíèå öèêëîâ íåïðåðûâíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðÿìîé â ñåáÿ. Óêð. ìàòåì. æóðí., 1964, No1, ñ.61-71. [161] T.-Y.Li, J.Yorke. Period three implies chaos. Am. Math. Monthly, 1975, v.82, p.985-992. [162] R.L.Devaney. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. New York, Amsterdam, AddisonWesley Publ. Co., 1993 (Second Edition). [163] J.Banks, J.Brooks, G.Cairns, G.Davis, P.Stacey. On Devaney's definition of chaos. Am. Math. Monthly, 1992, v.99, p.332-334 [164] D.Assaf IV, S.Gadbois. Definition of chaos. Am. Math. Monthly, 1992, v.99, p.865-869. [165] C.Knudsen. Chaos without periodicity. Am. Math. Monthly, 1994, v.101, p.563-565. [166] D.Singer. Stable orbits and bifurcations of maps of the interval. SIAM J. Appl. Math., 1978, v.35, No2, p.260-267. [167] À.È.Îãíåâ. Ìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà íåêîòîðîãî êëàññà îòîáðàæåíèé îòðåçêà â ñåáÿ. Ìàòåì. çàìåòêè, 1981, ò.30, No5, ñ.723-736. [168] M.Misiurewicz. Absolutely continuous measures for certain maps of an interval. Publ. Math. I.H.E.S., 1981, v.53, p.17-51. [169] W.de Melo, S.van Strien. One-Dimensional Dynamics. Springer, Berlin, 1993. [170] M.Tsudjii. A proof of Benedicks-Carleson-Jakobson theorem for the quadratic family. Preprint, Kyoto Univ., 1992; Positive Lyapunov exponents in families of one-dimensional dynamical systems. Preprint, Kyoto Univ., 1992. [171] M.Benedicks, L.Carleson. On iterations of
1
ax2 on ( 1; 1). Annals of Math., 1985, v.122, p.1-25.
33
[172] M.V.Jakobson. Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of onedimensional maps. Commun. Math. Phys., 1981, v.81, No1, p.39-88. atek. Hyperbolicity is dense in the real quadratic family. Preprint Stony Brook, 1992. [173] G.Swi [174] A.Renyi. Representations of real numbers and their properties. Acta Math. Sci. Hungarian, 1957, v.8, p.477-493. [175] Â.À.Ðîõëèí. Òî÷íûå ýíäîìîðôèçìû ïðîñòðàíñòâ Ëåáåãà. Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ, ñåð. ìàòåì., 1961, ò.25, ñ.499-530. [176] A.Lasota, J.Yorke. On the existence of invariant measures for piecewise monotone transformations. Trans. Amer. Math. Soc., 1973, v.186, p.481-488. [177] P.Walters. Invariant measures and equilibrium states for some mappings which expand distances. Trans. Amer. Math. Soc., 1978, v.236, p.121-153. [178] F.Hofbauer, G.Keller. Equilibrium states for piecewise monotonic transformations. Ergod. Theory and Dyn. Syst., 1982, v.2, p.23-43. [179] W.Parry, M.Pollicott. Zeta Functions and the Periodic Orbit Structure of Hyperbolic Dynamics. Soc. Math. de France, 1990. [180] D.Ruelle. Dynamical Zeta Functions for piecewise Monotone Maps of the Interval. Americal Math. Soc., 1994. [181] K.Shiraiva. Bibliography of Dynamical Systems. Nagoya Univ., Preprint No1, 1985. [182] Z.Shu-yu.Bibliography on Chaos. World Sci., 1991. [183] S.N.Chow, J.K.Hale. Methods of Bifurcation Theory. Springer, Berlin, 1982. [184] Â.È.Àðíîëüä. Òåîðèÿ êàòàñòðîô.  êí.: Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû, ò.5. Ì., ÂÈÍÈÒÈ, ñ.219-277. [185] Ð.Ãèëìîð. Ïðèêëàäíàÿ òåîðèÿ êàòàñòðîô. Ò.1,2. Ì., Ìèð, 1984.
Problems of Nonlinear Dynamics. I. Chaos
Alexander Loskutov Physics Faculty, The Lomonosov Moscow State University
34