Введение в теорию уравнений. Элементарные уравнения с одним неизвестным: Методические указания для самостоятельной работы старшеклассников, абитуриентов и студентов

Введение Одним из особо важных типов задач, рассматриваемых уже в средней школе, являются задачи по решению уравнений с одним неизвестным. Как показывает практика общения с выпускниками школ и студентами младших курсов вузов у многих из них имеется значительный разрыв между приобретенными в школе техническими, вычислительными навыками и умениями решения уравнений и сознательным пониманием тех стратегических теоретических и логических основ, без которых правильно решить уравнение невозможно. В настоящем пособии приводится минимум таких знаний, необходимый для решения уравнений с одним неизвестным, достаточно легко обобщаемый на случай уравнений и систем уравнений с несколькими неизвестными. Описана структура аналитического метода решения элементарного уравнения с одним неизвестным и рассмотрены примеры, иллюстрирующие возможности этого алгоритма. Пособие будет полезно старшеклассникам, слушателям подготовительных отделений при вузах и студентам, желающим углубить свои знания по математике. Не исключено, что учителя средних школ и преподаватели подготовительных отделений найдут в пособии полезные примеры и задачи, которые можно было бы использовать в их работе.

1. Множества и операции над ними В этом параграфе в справочной форме приведены сведения из теории множеств, используемые при изложении содержания пособия. Понятие множества является фундаментальным неопределимым понятием. Интуитивно под множеством будем понимать собрание определенных вполне различимых объектов, рассматриваемых как единое целое. Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами его. Для обозначения конкретных множеств используются прописные (возможно с индексами) буквы A, X , A1 , X 1 , для обозначения элементов множества используются строчные (возможно с индексами) буквы x, a, x1 , a1. Если x − элемент множества X , то пишут x ∈ X (∈ − символ принадлежности). Множество, не имеющее ни одного элемента, называют пустым множеством (обозначается Ø). Множество может быть задано перечислением или описанием. Задание множества перечислением заключается в составлении полного списка всех входящих в это множество элементов, заключенных в фигурные скобки. Например, множества N = {1;2;3;...}, Z = {0;±1;±2;...} − это заданные перечислением множества натуральных и целых чисел соответственно. Задание множества описанием состоит в записи всех свойств его элементов, заклю-

p ; p ∈ Z ; q ∈ N }, q I = {x ∈ R; x − числа с бесконечной непериодической дробной частью} − это

ченных в фигурные скобки. Например, множества Q = {x =

множества рациональных и иррациональных чисел соответственно, заданные опи(обозначается сательно. Множество B называют подмножеством множества A B ⊆ A ), если любой элемент множества B (∀b : b ∈ B) является элементом множества A . Если хотят подчеркнуть, что множество A содержит элементы, не принадлежащие B (a ∈ A, a ∉ B) , то пишут B ⊂ A (⊂ − символ строгого включения ) . Например, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ I ⊂ R . Два множества A и B называются равными (обозначается A = B ), если одновременно A ⊆ B и B ⊆ A . Пересечением или произ3

ведением двух множеств A и B называется множество C (обозначается C = A I B ), состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству A , так и множеству B . Множества A и B называются непересекающимися, если A I B = Ø. Объединением или суммой двух множеств A и B называется множество D (обозначается D = A U B ), состоящее из всех тех и только тех A, B. элементов, которые принадлежат или или Например, Q U I = R = (−∞; ∞) − множество всех действительных чисел. Разностью множеств A и B называется множество E (обозначается E = A \ B ), состоящее из всех элементов множества A , которые не принадлежат множеству B . Приведем некоторые свойства операций объединения и пересечения множеств и два полезных обозначения:

A U B = B U A, A I B = B I A; A U ( B U C ) = ( A U B) U C , A I ( B I C ) = ( A I B) I C; A U ( B I C ) = ( A U B) I ( A U C ), A I ( B U C ) = ( A I B ) U ( A I C ); если A ⊆ B , то A U B = B, A I B = B; A U Ø = A, A I Ø=Ø; n

A1 I A2 I ... I An = I Ai ; i =1

n

A1 U A2 U ... U An = U Ai . i =1

Множество называется конечным, если число его элементов конечно, Множество называется счетным, если число его элементов бесконечно, но между ними и элементами множества N можно установить взаимнооднозначное соответствие. В противном случае бесконечное множество называется несчетным. Счетными множествами являются, например, числовые множества Z и Q , а несчетными – любой интервал или объединение интервалов и множество R .

2. Основные определения и терминология, связанные с понятием уравнения с одним неизвестным Определение 1. Будем говорить, что две числовые функции одного действительного аргумента f (x) и g (x ), соединенные знаком отношения равенства, задают уравнение с одним неизвестным x вида f ( x) = g ( x) . (1) Определение 2. Функции f (x ) и g (x) будем называть функциями, порождающими уравнение (1), или, соответственно, левой или правой частью этого уравнения. Определение 3. Если числовые множества G1 = D( f ) ⊆ R , G2 = D( g ) ⊆ R являются областями определения функций, порождающих уравнение (1), то множество G = G1 I G2 называется областью допустимых значений (ОДЗ) для неизвестного этого уравнения. Замечание 1. Из определения 3 следует, что для любого значения x0 неизвестного

x ( x = x0 ) из ОДЗ уравнения (∀x0 ∈ G ) можно найти числовые значения f ( x0 ), g ( x0 ) порождающих это уравнение функций и, следовательно, установить истинность отношения равенства этих функций в точке x0 . 4

Определение 4. Решением или корнем уравнения (1) называется всякое значение неизвестного x = a ( a ∈ G ) , для которого верно числовое равенство f ( a ) = g ( a ) . Другими словами, число a ∈ G является решением уравнения (1), если при подстановке его в уравнение получается верное числовое равенство. Замечание 2. Из определения 4 следует возможность поиска корней уравнения (1) способом подбора, или подстановки, или угадывания, когда истинность предположения о том, что число x0 ∈ G является решением уравнения (1), следует из справедливости числового равенства f ( x0 ) = g ( x0 ) . Подстановкой можно осуществлять и проверку корня уравнения, найденного другим способом. Метод подбора не является, конечно, универсальным уже потому, что найти только подстановкой все корни

уравнения x + 2 x + 1 + x − 2 x + 1 = 2 невозможно, так как корнями его являются все числа из отрезка [ −1;1] . Однако, если после угадывания каких–то корней удается доказать, что других корней нет, то «решение подбором» становится вполне законным. Замечание 3. Из определения 4 вытекает геометрическое истолкование корня уравнения (1) как абсциссы точки пересечения графиков функций, порождающих это уравнение. Значит, возможно, чаще всего приближенное, определение значений корней уравнения (1) геометрическим способом, т.е. путем построения графиков функций с последующим нахождением абсцисс их общих точек. Определение 5. Множество всех корней уравнения (1) называется множеством решений этого уравнения, а решить уравнение – это, значит, найти такое множество. Будем обозначать через X множество решений уравнения (1). Очевидно, что X ⊆ G . Если уравнение не имеет корней, то его множество решений является пустым множеством, т.е. X = Ø. Множество решений уравнения (1) может быть конечным, счетным и несчетным. В последнем случае можно говорить о том, что равенство (1) является тождеством на множестве X . Определение 6. Будем говорить, что уравнения f i ( x) = g i ( x) с Gi , X i (i = 1,..., n) образуют совокупность уравнений с множеством решений T , что обозначается так 2

2

⎡ f1 ( x) = g1 ( x), ⎢ ................... ⎢ ⎢⎣ f n ( x) = g n ( x);

(2)

n

если

T = U X i , т.е. любое решение совокупности (2) является корнем хотя бы i =1

одного из уравнений этой совокупности, и все корни каждого из уравнений совокупности являются ее решениями . Определение 7. Будем говорить, что уравнения f i ( x) = g i ( x) с Gi , X i (i = 1,..., n) образуют систему уравнений с множеством решений S , что обозначается так

⎧ f1 ( x) = g1 ( x), ⎪ ⎨ ................. ⎪ f ( x) = g ( x); n ⎩ n 5

(3)

n

S = I X i , т.е. любое решение системы (3) является корнем всех уравнений

если

i =1

этой системы, и все общие корни всех уравнений системы являются ее решениями. Определение 8. Уравнение (1) называется равносильным на множестве H уравнению

f1 ( x) = g1 ( x) ,

(4)

с множеством решений X 1 , если

X I H = X1 I H .

(5)

Замечание 4. Очевидно, что если уравнение (1) равносильно на множестве H уравнению (4), то и уравнение (4) равносильно на этом множестве уравнению (1). Поэтому равносильные или эквивалентные на множестве уравнения часто обознаH

f ( x) = g ( x) ⇔ f1 ( x) = g1 ( x) . Замечание 5.. Если H = G и известно множество решений X 1 равносильного уравнения, то, так как X ⊆ G , из (5) получаем X = X 1 I G . Обобщая, имеем, если

чаются так

m

G = U Gk , причем Gi I G j = Ø, i ≠ j и ∀k ∈{1,..., m} найдено X k соответствующеk =1

го равносильного уравнения, то X =

m

U ( X k I Gk ) .Таким образом, множество реше-

k =1

ний уравнения (1) можно найти, зная множество решений уравнений, равносильных ему на частях G , не имеющих общих точек. Замечание 6. Для доказательства равносильности двух уравнений на множестве H надо доказать равенство двух числовых множеств (5), т.е. доказать, что все корни первого уравнения из H являются корнями второго и, наоборот, что все корни второго из H являются корнями первого. Замечание 7. Для равносильности уравнений справедливо свойство транзитивности. Это следует из транзитивности отношения равенства множеств: если X = X 1 , а

X 1 = X 2 , то X = X 2 .

Определение 9. Уравнение (1) равносильно на H совокупности уравнений (2), если

X I H = (T I H ) I G.

Замечание 8. Если H = G и известно множество решений T равносильной совокупности уравнений, то X = T I G . Определение 10. Уравнение (1) равносильно на H системе уравнений (3), если X I H = (S I H ) I G . Замечание 9. Если H = G и известно множество решений S равносильной системы уравнений, то X = S I G .

6

3. Основные теоремы о равносильности уравнений Структура доказательства большинства из приведенных в этом параграфе теорем основана на замечании 6. Поэтому ниже, в качестве иллюстрирующих примеров, будут доказаны только некоторые из них. Теорема 1. Любое тождественное преобразование на множестве H ⊆ G функции f ( x) или функции g ( x) дает уравнение равносильное на G уравнению (1). Замечание 10. Прежде чем доказывать теорему 1, напомним: 1) две функции u ( x) и v( x) называются тождественно равными (тождественными) на множестве H

H ( H ⊆ D(u ), H ⊆ D(v)), если ∀x ∈ H : u ( x) = v( x) (или u ( x) ≡ v( x)); 2) всякое преобразование функции, приводящее в результате к функции, тождественной первой на некотором множестве, называется тождественным преобразованием. Доказательство теоремы 1. Предположим, что после тождественных преобразований получены следующие тождества H ⎧ ⎪ f ( x) ≡ f1 ( x), ⎨ H ⎪⎩ g ( x) ≡ g1 ( x),

и составлено уравнение

f1 ( x) = g1 ( x).

(6)

(7)

Тогда ∀a ∈ ( H I X ) : f ( a ) = g ( a ) и, в силу тождеств (6), f1 ( a ) = f ( a ), g1 ( a ) = g ( a ) .

f1 (a) = g1 (a) , т.е. a является решением уравнения (7) и a ∈ ( H I X 1 ) . Наоборот, если ∀a ∈ ( H I X 1 ) : f1 (a ) = g1 (a ) то, в силу тождеств (6), f1 (a ) = f (a ), g1 (a ) = g (a ) . Следовательно, f (a ) = g (a ) , т.е. a является решением уравнения (1) и a ∈ ( H I X ) . Таким образом, на основании замечания 6, множества H I X , H I X 1 равны; значит, уравнения (1) и (7) равносильны на H . Теорема 1

Следовательно,

доказана. Теорема 2. Если обе части уравнения (1) умножить на одну и ту же функцию, определенную и не равную нулю на множестве H ⊆ G , то получится уравнение равносильное на H уравнению (1). Доказательство. Пусть функция ϕ ( x) такова, что H ⊆ D (ϕ ) и ∀x ∈ H : ϕ ( x) ≠ 0. (8) Рассмотрим уравнение f1 ( x) = g1 ( x), (9) где f1 ( x) = f ( x) ⋅ ϕ ( x), g1 ( x) = g ( x) ⋅ ϕ ( x) . Теперь, если ∀a ∈ ( H I X ) : f ( a ) = g (a )

то, в силу (8) и (9), f (a )ϕ ( a ) = g ( a )ϕ ( a ) или f1 ( a ) = g1 ( a ) . Следовательно, a является решением уравнения (7) и a ∈ ( H I X 1 ) . Наоборот, если ∀a ∈ ( H I X 1 ) : f1 (a) = g1 (a) , т.е. f (a )ϕ (a ) = g (a )ϕ (a) , то, умножая обе части последнего числово-

1 ≠ 0 , получаем f (a ) = g (a ) , т.е. a является ϕ (a ) решением уравнения (1) и a ∈ ( H I X ) . Таким образом, на основании замечания 6 го равенства на конечное число

7

множества H I X , H I X 1 равны; значит, уравнения (1) и (9) равносильны на H . Теорема 2 доказана. Теорема 3. Если к обеим частям уравнения (1) прибавить или от обеих частей отнять одну и ту же функцию, определенную на H ⊆ G , то получится уравнение равносильное на H уравнению (1). Следствие 1. Если любое слагаемое одной части уравнения перенести с противоположным знаком в другую часть его, то получится уравнение равносильное на G .. Действительно, предположим, например, что в уравнении (1) левая часть имеет вид f ( x) = u ( x) + v( x) . Тогда, на основании теоремы 3, уравнение u ( x) + v( x) = = g ( x) будет равносильно на G уравнению u ( x) + v( x) − v( x ) = g ( x) − v( x) или u ( x) = g ( x) − v( x) , что и требовалось проверить. Теорема 4. Если на обе части уравнения (1) подействовать строго монотонной (возрастающей или убывающей ) на множестве U ⊆ R функцией u ( x) такой, что

∀x ∈ H ( H ⊆ G ) : u ( f ( x)) ∈U u u ( g ( x)) ∈U , то в результате получится уравнение f1 ( x ) = g1 ( x), где f1 ( x ) = u ( f ( x)), g1 ( x) = u ( g ( x )), равносильное уравнению (1) на множестве H . Доказательство. Если ∀a ∈ ( H I X ) : f ( a ) = g ( a ) то, по определению действительной числовой функции (однозначной), u ( f (a )) = u ( g ( a )) или f1 (a ) = g1 (a ) . Следовательно, a является решением уравнения f1 ( x ) = g1 ( x) и a ∈ ( H I X 1 ) . Наоборот, пусть ∀a ∈ ( H I X 1 ) : f1 ( a ) = g1 (a ) или u ( f (a )) = u ( g ( a )) . Тогда, если f (a) ≠ g (a ) , то, в силу монотонности функции u ( x) , u ( f (a )) ≠ u ( g (a )) . Значит, f ( a ) = g ( a ) , т.е. a является решением уравнения (1) и a ∈ ( H I X ) . Таким образом, на основании замечания 6, множества H I X , H I X 1 равны и рассматриваемые уравнения равносильны на H . Теорема 3 доказана. Следствие 2. На основании теоремы 4, следует, что уравнения

a f ( x ) = a g ( x ) , (a > 0, a ≠ 1); log a f ( x) = log a g ( x), (a > 0, a ≠ 1); arcsin f ( x) = arcsin g ( x); arccos f ( x) = arccos g ( x); arctg ( f ( x)) = arctg ( g ( x);) arcctg ( f ( x)) = arcctg ( g ( x));

m

f ( x) = m g ( x) , (m ∈ N \ {1});

f 2 m +1 ( x) = g 2 m +1 ( x), (m ∈ N ) равносильны на своих ОДЗ уравнению (1). Теорема 5. Если уравнение (1) порождают функции f ( x) =

n

∏ f k ( x) и

g ( x) = 0 , то оно

k =1

равносильно на G совокупности уравнений f k ( x) = 0, ( k ∈{1,..., n}). Теорема 6. Если уравнение (1) порождают функции f ( x) =

n

∑ f k ( x) и

k =1

g ( x) = 0 , причем

∀x ∈ H ( H ⊆ G )∀k ∈{1,..., n} : f k ( x) ≥ 0 , то оно равносильно на H системе уравнений f k ( x) = 0, ( k ∈{1,..., n}). 8

Теорема 7. Если уравнение (1) порождают функции f ( x) = v(u ( x)) и g ( x) = w(u ( x)) , а уравнение v( y ) = w( y ) имеет множество решений Y = { y1 , y 2 ,..., y n }, то уравнение (1) равносильно на G совокупности уравнений u ( x) = y k , ( k ∈{1,..., n}. Теорема 8. Если функции, порождающие уравнение (1), таковы, что а) существует функция ϕ ( y ), множество значений которой D (ϕ ) = G;

в) уравнение v( y ) = w( y ) , где v( y ) = f (ϕ ( y )), w( y ) = g (ϕ ( y )), имеет множество решений Y = { y1 , y 2 ,..., y n }; то уравнение (1) равносильно

на

x = ϕ ( y k ), (k ∈{1,..., n}).

G

совокупности

уравнений

Теорема 9. Если функции, порождающие уравнение (1), таковы, что

∀x ∈ H ( H ⊆ G ) : ( f ( x) ≤ b, g ( x) ≥ b) или ( f ( x) ≥ b, g ( x) ≤ b) , где b − известная постоянная величина, то уравнение (1) равносильно на системе уравнений

H

⎧ f ( x ) = b, ⎨ ⎩ g ( x) = b.

Замечание 11. Приведенные теоремы определяют часто используемые преобразования и свойства порождающих уравнение функций, позволяющие получить равносильные ему уравнение, или систему уравнений, или совокупность уравнений. Некоторые из этих преобразований имеют специальные названия. Например, теоремы 7 и 8 обосновывают преобразование заменой неизвестной y = u (x) или x = ϕ ( y ). В качестве примеров использования теорем 1-9 докажем некоторые теоремы о равносильности важных частных типов уравнения (1). Теорема 10. Если уравнение (1) порождают функции f ( x) = u ( x) и g ( x) = v( x) , то оно равносильно на G совокупности уравнений

⎡ u ( x) = v( x), ⎢u ( x) = −v( x). ⎣

Доказательство. Так как из определения абсолютной величины следует, что ∀x ∈ G : u ( x) ≥ 0, v( x) ≥ 0, то , действуя на обе части уравнения (1) возрастающей на [0; ∞) функцией h( y ) = y , получаем, на основании теоремы 4, равносильное на 2

G уравнение u 2 ( x) = v 2 ( x). Отсюда, используя последовательно следствие к теореме 3, теорему 1 и теорему 5, получаем u ( x) − v ( x) = 0, (u ( x) − v( x )) ⋅ (u ( x) + 2

+ v ( x)) = 0;

2

⎡u ( x) − v( x) = 0, ⎡ u ( x) = v( x), ⎢u ( x) + v( x) = 0; ⎢u ( x) = −v( x). Теорема 10 доказана. ⎣ ⎣

Аналогично теореме 10 доказывается теорема 11. Теорема 11. Если уравнение (1) порождают функции f ( x ) = (u ( x)) (m ∈ N ), то оно равносильно на G совокупности уравнений

9

2m

и

g ( x) = (v( x)) 2 m ,

⎡ u ( x) = v( x), ⎢u ( x) = −v( x). ⎣ Теорема 12. Если уравнение (1) порождают функции f ( x) = sin(u ( x)) и g ( x) = sin(v ( x )) , то оно равносильно на G совокупности уравнений

⎡ u ( x) = v( x) + 2nπ , (n ∈ Z ), ⎢u ( x) = π − v( x) + 2mπ , (m ∈ Z ). ⎣

Доказательство. Используя теоремы 3, 4, 5, определения и свойства операций sin и cos , последовательно получаем

⎡ u+v ⎢cos 2 = 0, G u+v u−v = 0 ⇔⎢ ⇔ sin(u ( x)) = sin(v( x)) ⇔ sin(u ) − sin(v) = 0 ⇔ cos sin u−v 2 2 = 0; ⎢ sin ⎣ 2 G

G

G

G ⎡u + v = π + 2mπ , G ⎡u ( x ) = π − v ( x ) + 2mπ , ( m ∈ Z ); ⇔⎢ ⇔⎢ Теорема 12 доказана π π u − v = 2 n ; u ( x ) = v ( x ) + 2 n , ( n ∈ Z ). ⎣ ⎣

Аналогично теореме 12 доказываются теоремы 13, 14 и 15. Теорема 13. Если уравнение (1) порождают функции f ( x) = cos(u ( x )) и g ( x) = cos(v ( x )) , то оно равносильно на G совокупности уравнений

⎡ u ( x) = v( x) + 2nπ , (n ∈ Z ), ⎢u ( x) = −v( x) + 2mπ , (m ∈ Z ). ⎣

Теорема 14. Если уравнение (1) порождают функции f ( x) = tg (u ( x )) и g ( x) = tg (v( x)) , то оно равносильно на G совокупности уравнений u ( x) = v( x ) + nπ , ( n ∈ Z ). Теорема 15. Если уравнение (1) порождают функции f ( x) = ctg (u ( x)) и g ( x ) = ctg (v ( x)) , то оно равносильно на G совокупности уравнений u ( x) = v( x ) + nπ , ( n ∈ Z ). Используя теорию систем уравнений с двумя неизвестными, можно доказать теорему, обобщающую теорему 7. Теорема 16. f ( x) = ϕ (u ( x), v( x)) и Если уравнение (1) порождают функции

y = u ( x), ⎧ ⎪ g ( x) = θ (u ( x), v( x)) , а система уравнений ⎨ на своей ОДЗ равноz = v( x), ⎪ϕ ( y, z ) = θ ( y, z ), ⎩ y = u ( x), ⎧ ⎧h( y, z ) = w( y, z ), ⎪ сильна системе ⎨h( y , z ) = w( y , z ), такой, что ее подсистема ⎨ ⎩ϕ ( y, z ) = θ ( y, z ), ⎪ϕ ( y, z ) = θ ( y, z ), ⎩ имеет множество решений S = {( y1 , z1 ),..., ( y m , z m )}, то уравнение (1) равносильно на G совокупности уравнений u ( x) = y k , ( k ∈{1,..., m}).

10

4. Структура алгоритма аналитического метода решения уравнения с одним неизвестным Определение 11. Уравнение с одним неизвестным назовем простейшим, если известно множество его решений. Если уравнение (1) не является простейшим, но порождающие его функции таковы, что с помощью теорем предыдущего параграфа для этого уравнения на G или на частях G можно получить либо одно равносильное простейшее уравнение, либо равносильную совокупность или систему из простейших уравнений, то данное уравнение будет решено аналитически, так как его множество решений определится как результат операций над множествами решений простейших уравнений. Приведенные условия и определяют возможности и структуру алгоритма аналитического метода решения уравнений с одним неизвестным: на ОДЗ или на частях ОДЗ данного уравнения искать последовательность равносильных преобразований его к простейшим, возможно, применяя при этом геометрическую интерпретацию корней или поиск корней способом подстановки. Для практического использования этого метода необходимо иметь набор простейших уравнений, обеспечивающий эффективность его алгоритма при решении уравнений разных видов. Далее будет определен такой набор простейших уравнений и проиллюстрированы возможности аналитического метода в классе элементарных уравнений с одним неизвестным.

5. Элементарные уравнения с одним неизвестным Определение 12. Уравнение с одним неизвестным называется элементарным, если порождающие его функции являются элементарными. Напомним некоторые факты из математического анализа. 1) Функция y = f (x) − элементарная, если она задана явно формулой y = A(x) , где A(x) − аналитическое выражение с одной переменной. Аналитическое выражение с одной переменной - это символическое обозначение конечного числа известных математических операций (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование, прямые и обратные тригонометрические операции, композиция функций, отыскание абсолютной величины), которые в определенной последовательности (возможно использование скобок) производятся над числами и буквой x , обозначающей переменную величину, принимающую значения из множества действительных чисел. 2) Область определения D ( f ) элементарной функции f (x) часто называют естественной, так как она определяется условиями существования результатов математических операций, участвующих в построении аналитического выражения A(x ). 3) Любая элементарная функция f (x) непрерывна во всей своей области определения. Поэтому область определения элементарной функции разбивается на интервалы знакоопределенности значений этой функции ее нулями, т.е. решениями уравнения f ( x) = 0. Для определения знака (плюс или минус) значений, принимаемых элементарной функцией в интервале знакоопределенности, достаточно опре-

11

делить знак значения ее в произвольной (частной) внутренней точке этого интервала. 4) Для решения неравенств f ( x) ≤ 0, f ( x) ≥ 0, f ( x) < 0, f ( x) > 0, где f (x) − элементарная функция, можно использовать метод интервалов. Приведем несколько примеров элементарных функций и порождаемых ими элементарных уравнений. Области определения функций и ОДЗ уравнений будем задавать описательным способом. Пример 1. Функции: f ( x) =

2 x + 1, G1 = D( f ) = {x ∈ R;2 x + 1 ≥ 0};

g ( x) = 3 1 − 3 x , G2 = D( g ) = R; уравнение: Пример 2.

2 x + 1 = 3 1 − 3 x , G = G1 I G2 = G1.

Функции: f ( x) =

2( x + 2)

, G1 = D( f ) = {x ∈ R; x 2 + 5 x + 6 ≠ 0};

x + 5x + 6 g ( x) = x + 2, G2 = D( g ) = R; 2( x + 2) уравнение: = x + 2, G = G1 I G2 = G1. x 2 + 5x + 6 2

Пример 3.

Функции: f ( x) = lg( x + 3 x + 2), G1 = D( f ) = {x ∈ R; x + 3 x + 2 > 0}; 2

2

g ( x) = lg( x + 8), G2 = D( g ) = {x ∈ R; x + 8 > 0};

уравнение:

lg( x 2 + 3 x + 2) = lg( x + 8), G = G1 I G2 = {x ∈ R; x 2 + 3 x + 2 > 0, x + 8 > 0}.

Пример 4.

Функции: f ( x) = 8 − tgx , G1 = D ( f ) = {x ∈ R; 8 − tgx ≥ 0, cos x ≠ 0};

g ( x) = tgx − 6, G2 = D( g ) = {x ∈ R; cos x ≠ 0}; уравнение:

8 − tgx = tgx − 6, G = G1 I G2 = G1.

В следующих двух параграфах найдем множества решений двух элементарных уравнений (линейного и квадратного), которые будем считать основными простейшими уравнениями на множестве элементарных уравнений.

6. Решение линейного уравнения с одним неизвестным Определение 13. Элементарное уравнение

a ⋅ x = b, (10) порожденное функциями f ( x) = a ⋅ x и g ( x) = b, где a и b − заданные действи-

тельные числа ( параметры уравнения), называется линейным уравнением с одним неизвестным. Задача 1. Дано линейное уравнение (10). Требуется найти множество его решений. Решение. Очевидно, что ОДЗ уравнения (10) – множество действительных чисел, т.е. G = R. Для определения множества решений X уравнения (10) воспользуемся способом подстановки и методом полной индукции, рассматривая все варианты возможных значений параметров уравнения a и b. 12

Пусть a ≠ 0, а

b − любое действительное число. Предположим, что число

b − решение уравнения (10). Подставляя его в уравнение (10), получаем a b f ( x0 ) = a ⋅ x0 = a ⋅ = b, g ( x0 ) = b, т.е. f ( x0 ) = g ( x0 ) − верное числовое равенстa b во. Значит, x0 = − решение уравнения (10). Предположим теперь, что имеются a b решения, отличные от x0 , например, число c = x0 + δ = + δ , где δ ≠ 0. Подставa b ляя его в уравнение (10), получаем f (c) = a ⋅ ( + δ ) = b + a ⋅ δ ≠ b, так как a a ⋅ δ ≠ 0, g (c) = b, т.е. f (c) ≠ g (c). Таким образом, больше решений уравнения x0 =

(10) в рассматриваемом случае не существует. Пусть теперь a = 0 и b ≠ 0 и уравнение (10) принимает вид 0 ⋅ x = b . Тогда ∀x ∈ G : f ( x) = 0 ⋅ x = 0, g ( x) = b ≠ 0, следовательно, f ( x) ≠ g ( x), т.е. уравнение (10) решений не имеет. Наконец, пусть a = 0 и b = 0 и уравнение (10) принимает вид 0 ⋅ x = 0. Тогда ∀x ∈ G : f ( x) = 0 ⋅ x = 0, g ( x) = 0, т.е. f ( x) = g ( x) − верное числовое равенство. Значит, уравнение (10) имеет множество решений, совпадающее с G. Ответ. Если у линейного уравнения (10): 1) a ≠ 0, а b − любое действительное число, то уравнение имеет единственное

⎧b ⎫ ⎩a ⎭

решение и X = ⎨ ⎬; 2) a = 0 и b ≠ 0 , то X = Ø; 3) a = 0 и b = 0, то X = R.

7. Решение квадратного уравнения с одним неизвестным Определение 14. Элементарное уравнение

ax 2 + bx + c = 0, (11) f ( x) = ax 2 + bx + c и g ( x) = 0, где a, b, c − заданные

порожденное функциями действительные числа ( параметры уравнения), называется квадратным уравнением с одним неизвестным. Задача 2. Дано квадратное уравнение (11).Требуется найти множество его решений. Решение. Очевидно, что ОДЗ уравнения (10) – множество G = R. Для определения множества решений уравнения (11) применим метод полной индукции и аналитический метод решения уравнения с одним неизвестным, используя в качестве простейшего линейное уравнение. Пусть a = 0, тогда уравнение (11) равносильно на G линейному уравнению

⎧− c ⎫ bx = −c. Значит, X = ⎨ ⎬, если b ≠ 0, c − любое действительное число; X = Ø, ⎩ b ⎭ если b = 0, c ≠ 0; и X = R, если b = c = 0. 13

Пусть теперь a ≠ 0. Тождественно преобразуем левую часть уравнения (11), выделяя полный квадрат суммы двух слагаемых, одно из которых равно x. Последовательно получаем 2 2 2 ⎞ ⎛ 2 b ⎛ b2 ⎞ b b b ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ax + bx + c = a⎜⎜ x + x + 2 − 2 ⎟⎟ + c = a⎜ x + c − − ⎟ ⎜ ⎟ a 2 4 a a 4 a 4 a ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ⎛⎛ b ⎞ b 2 − 4ac ⎞⎟ ⎜ =a ⎜x + . Значит, уравнение (11) равносильно на G уравнению ⎟ − 2 ⎜⎝ ⎟ 2 a 4 a ⎠ ⎝ ⎠ 2

2

b ⎞ b 2 − 4ac ⎛ (12) = 0. ⎜x + ⎟ − 2a ⎠ 4a 2 ⎝ 2 Введем обозначение D = b − 4ac (число D называется дискриминантом уравнения (12)). Если D < 0, то уравнение (12) принимает вид 2 D b ⎞ ⎛ ⎜ x + ⎟ + 2 = 0. Это уравнение и равносильное ему уравнение (11) решений 2a ⎠ 4a ⎝ 2 D b ⎞ ⎛ не имеют, так как ∀x ∈ R : ⎜ x + ≠ 0, т.е. X = Ø. Если D = 0, то уравне⎟ + 2a ⎠ 4a 2 ⎝ b ния (11) и (12) равносильны на R линейному уравнению x + = 0, которое имеет 2a b ⎧ b⎫ единственное решение x = − , т.е. X = ⎨− ⎬. Если D > 0, то уравнение (12), 2a ⎩ 2a ⎭

после использования тождества для разности квадратов, принимает

вид

⎛ b D⎞ ⎛ b D⎞ ⎜x + ⎟⋅⎜x + ⎟ = 0 , т.е. равносильно на R (теорема 5) совокупно− + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a a a a 2 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ −b+ D , ⎢x = a 2 Следовательно, в этом случае X сти двух линейных уравнений ⎢ ⎢x = − b − D . 2a ⎣⎢ состоит из двух решений. Ответ. Если у квадратного уравнения (11): 1) a = b = c = 0, то X = R;

⎧ c⎫ ⎬; ⎩ b⎭

2) a = 0, b ≠ 0, то ∀c ∈ R : X = ⎨− 3) a = 0, b = 0, c ≠ 0, то X = Ø;

4) a ≠ 0, D = b − 4ac < 0, то X = Ø; 2

⎧ b⎫ ⎬; ⎩ 2a ⎭

5) a ≠ 0, D = 0, то X = ⎨−

6) a ≠ 0, D > 0, то X = {x1 , x2 }, где x1, 2 =

14

−b± D . 2a

Замечание 12. Методом математической индукции (начальные шаги которой сделаны при решении задач 1 и 2), можно доказать, что элементарное уравнение вида

Pn ( x) = 0, (n ∈ N ), где Pn ( x) = a0 x n + a1 x n −1 + ... + an −1 x + an − рациональная функция (многочлен n − ой степени с действительными коэффициентами), имеет множество решений X = R, тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю, т.е. a0 = a1 = ... = an = 0. Используя этот факт, легко доказать, что два многочлена одной степени тождественно равны, тогда и только тогда, когда у них равны все пары коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

8. Примеры решений элементарных уравнений с одним неизвестным аналитическим методом x 2 − x + 2 − x − x 2 = x − 1. 2 Решение. ОДЗ: G = H1 I H 2 I H 3 ; H1 = {x ∈ R, x − x ≥ 0} = ( −∞;0] U [1; ∞); Пример 1. Решить уравнение

H 2 = {x ∈ R,2 − x − x 2 ≥ 0} = [−2;1]; H 3 = {x ∈ R, x ≥ 0} = [0; ∞). Так как H1 I H 2 = [ −2;0]{1}, то G = ( H1 I H 2 ) I H 3 = {0;1}. Таким образом, ОДЗ данного уравнения – конечное множество из двух чисел. Корни уравнения определяем подстановкой. Если x = 0 , то f (0) =

2 , g (0) = −1; f (0) ≠ g (0), значит, Если x = 1, то f (1) = 0, g (1) = 0, т.е.

x = 0 не является корнем уравнения. f (1) = g (1), значит, x = 1 является корнем уравнения. Ответ. X = {1}. Пример 2. Решить уравнение

1 1 1 5 + + ... + = . x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 4)( x + 5) 6 Решение. ОДЗ: G = {x ∈ R, x ≠ 0, x ≠ −1, x ≠ −2, x ≠ −3, x ≠ −4, x ≠ −5} или G = R \ {0;−1;−2;−3;−4;−5}. Тождественно преобразуем левую часть уравнения 4 4 1 ( x + k + 1) − ( x + k ) 1 ⎛ 1 ⎞ 4 1 = = − ∑ ( x + k )( x + k + 1) ∑ ( x + k )( x + k + 1) ∑ ⎜⎝ x + k x + k + 1 ⎟⎠ = ∑ x + k − k =0 k +0 k =0 k =0 4 4 5 1 1 1 1 1 5 =∑ −∑ = − = . Значит, на основании теоре∑ x x + 5 x( x + 5) k =0 x + k + 1 k =0 x + k k =1 x + k 5 5 = . Теперь, примы 1, данное уравнение равносильно на G уравнению 2 x + 5x 6 2 меняя теоремы 2, 3, последовательно получаем уравнения x + 5 x = 6, 4

x 2 + 5 x − 6 = 0, равносильные исходному на G. Последнее уравнение -- простей− 5 ± 7 ⎡− 6 ∈ G , =⎢ шее квадратное с дискриминантом D = 49. Его корни x1, 2 = Зна2 ⎣ 1∈ G. чит, X = {−6;1}. Ответ. X = {−6;1}. 15

Пример 3. Решить уравнение x − 7 x + 14 x − 7 x + 1 = 0. Решение. ОДЗ: G = R. Первый вариант решения, Учитывая особенность левой части уравнения, заключающуюся в равенстве коэффициентов многочлена, равноудаленных от середины, найдем методом неопределенных коэффициентов тождественное представление ее 4

3

2

на G в следующем виде x − 7 x + 14 x − 7 x + 1 ≡ ( x + ax + 1)( x + bx + 1). Приравнивая, на основании замечания 12, коэффициенты многочленов при одинаковых степенях x, получаем систему равенств 1 = 1, − 7 = a + b, 14 = 2 + ab, − 7 = 4

3

2

2

2

= a + b, 1 = 1, которая равносильна системе a + b = −7, ab = 12. Подбором устанавливаем, что этой системе удовлетворяют числа a = −3, b = −4, значит, x 4 − 7 x 3 + 14 x 2 − 7 x + 1 ≡ ( x 2 − 3 x + 1)( x 2 − 4 x + 1). Следовательно, на основании теорем 1 и 5, исходное уравнение равносильно на G совокупности двух простейших квадратных уравнений

⎡ x 2 − 3 x + 1 = 0, ⎡ x = 0,5 ⋅ (3 ± 5 ), Решая их, получаем совокупность ⎢ 2 ⎢ ⎣ x = 2 ± 3. ⎣ x − 4 x + 1 = 0. Второй вариант решения. Подстановкой устанавливаем, что x = 0 не является корнем заданного уравнения. Значим, корни его, если они есть, принадлежат части ОДЗ G1 = G \ {0}. Будем получать уравнения равносильные на G1. Умножаем обе части уравнения на функцию

ϕ ( x) =

1

и, на основании теоремы 2, получаем урав-

x2 1 1 1⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 2 − 7 x + нение x − 7 x + 14 − + 2 = 0 или ⎜ x + ⎟ ⎜ ⎟ + 14 = 0. Теперь сделаx x x⎠ x2 ⎠ ⎝ ⎝ 1 1 1 2 2 2 2 ем замену x + = y и, учитывая, что y = x + 2 + 2 или x + 2 = y − 2, для x x x 2 новой переменной получаем уравнение y − 7 y + 12 = 0, корнями которого являются числа y1 = 4, y 2 = 3. Следовательно, на основании теоремы 7, заданное урав1 1 нение равносильно на G1 совокупности уравнений x + = 4, x + = 3 или совоx x ⎡ x 2 − 3 x + 1 = 0, ⎡ x = 0,5 ⋅ (3 ± 5 ) ∈ G1 , купности ⎢ Решая которую, имеем ⎢ 2 ⎣ x = 2 ± 3 ∈ G1. ⎣ x − 4 x + 1 = 0. Ответ. X = {2 − 3; 0,5(3 − 5 ); 2 + 3; 0,5(3 + 5 )}. Пример 4. Решить уравнение x + 2 x − 3 = 0. Решение. ОДЗ: G = R. Первый вариант решения. Подстановкой устанавливаем, что x = 1 является корнем данного уравнения. Значит, многочлен левой части делится без остатка на разность ( x − 1). Используя результат деления многочленов «уголком», получаем тож3

R

2

дество x + 2 x − 3 ≡( x − 1)( x + 3 x + 3). Следовательно, на основании теорем (1) и 3

2

2

16

(5), имеем следующую равносильную на G совокупность простейших уравнений

⎡ x − 1 = 0, ⎢ x 2 + 3 x + 3 = 0. Решая ее, получаем X = {1}. ⎣

Второй вариант решения. Тождественно преобразуя левую часть уравнения, поG

G

G

следовательно получаем x + 2 x − 3 ≡ x − x + 3 x − 3 ≡ x ( x − 1) + 3( x − 1) ≡ 3

G

2

3

2

2

2

2

G

≡( x − 1)( x 2 + 3( x + 1)) ≡( x − 1)( x 2 + 3 x + 3). Значит, по теореме 1, данное уравнение

равносильно на G уравнению ( x − 1)( x + 3 x + 3) = 0. Так как ∀x ∈ R : ϕ ( x ) = x + 2

2

1 , получаϕ ( x) x − 1 = 0 или x = 1. Т.е. X = {1}.

+ 3x + 3 = ( x + 1,5) 2 + 0,75 ≠ 0, то, умножая обе части уравнения на ем (теорема 2) равносильное на G уравнение Ответ. X = {1}. Пример 5. Решить уравнение

x 2 − 4 x + 13 + 6 x 2 − 4 x + 5 = 4 − 7( x − 2) 2 .

Решение. ОДЗ: G = {x ∈ R, x − 4 x + 13 ≥ 0, x − 4 x + 5 ≥ 0} = R. Тождественно преобразуя левую часть уравнения, 2

2

получаем

( x − 2) 2 + 9 + 6 ( x − 2) 2 + 1 = 4 − 7( x − 2) 2 , или, если обозначить ( x − 2) 2 = t -t + 9 + 6 t + 1 = 4 − 7t. Так как ∀t ∈ [0, ∞) : t + 9 ≥ 3, 6 t + 1 ≥ 1 и, следовательно,

t + 9 + 6 t + 1 ≥ 4, а 4 − 7t ≤ 4, то, на основании теоремы 9, получаем равносильную систему из уравнений t + 9 + 6 t + 1 = 4, 4 − 7t = 4, решение которой -- t = 0. Следовательно, исходное уравнение по теореме 7 равносильно на ОДЗ уравнению

( x − 2) 2 = 0 или x = 2. Ответ, X = {2}. Пример 6. Решить уравнение x + 4x − 1 − 8 x − x = Решение. ОДЗ: G = H1 I H 2 I H 3 I H 4 ,

x3 − 1 + 2 x.

где H1 = {x ∈ R, x ≥ 0},

H 3 = {x ∈ R, x 4 − x ≥ 0},

3

4

H 2 = {x ∈ R, x 3 − 1 ≥ 0},

H 4 = {x ∈ R, x 3 + 4 x − 1 − 8 x 4 − x ≥ 0}. Возведя обе части уравнения в квадрат, на основании теоремы 4, получаем равносильное на G уравнение

x 3 + 4 x − 1 − 8 x 4 − x = x 3 − 1 + 4 x 4 − x + 4 x . Далее, применяя последовательно теоремы 3, 1, 4 и 5, получаем

x 4 − x = 0, x 4 − x = 0, x( x − 1)( x 2 + x + 1) = 0,

x = 0, ⎡ ⎢ x − 1 = 0, Последняя совокупность уравнений имеет множество решений ⎢ 2 ⎢⎣ x + x + 1 = 0. T = {0;1}. Так как 0 ∉ H 2 , то 0 ∉ G. Число x = 1 является элементом всех множеств H k (k = 1,...,4), значит, 1∈ G. Таким образом, X = G I T = {1}. Ответ. X = {1}.

17

Пример 7. Решить уравнение ( 2 x + 1)(2 +

(2 x + 1) 2 + 3 ) + 3 x ⋅ (2 + 9 x 2 + 3 ) = 0 .

Решение. ОДЗ: G = R. Анализируя особенности левой части уравнения, устанавли-

ϕ ( y ) = y ⋅ (2 + y 2 + 3 ), то уравнение запишется в следующем виде ϕ (2 x + 1) = ϕ ( −3 x ). Исследуя функцию ϕ ( y ) на ваем, что если ввести в рассмотрение функцию

монотонность, последовательно находим D (ϕ ) = R,

y2

ϕ ′( y ) = 2 + y + 3 + 2

y +3 2

,

D(ϕ ′) = R, ∀y ∈ R : ϕ ′( y ) > 0, т.е. эта функция возрастает на всей своей области определения. Следовательно, на основании теоремы 4, исходное уравнение равносильно на G линейному уравнению 2 x + 1 = −3 x или 5 x = −1. Значит X = {−1 5}. Ответ. X = {−1 5}.

1 − x 2 = 4 x 3 − 3 x. 2 Решение. ОДЗ: G = {x ∈ R, 1 − x ≥ 0} = [−1;1]. Первый вариант решения. Используя замену x = cost , для новой неизвестной t Пример 8. Решить уравнение

sin t = 4 cos 3 t − 3 cos t , причем решения его будем искать только на множестве H = [0;π ], ибо функция cos t однозначно отображает H на получаем уравнение

[−1;1]. Так как ∀t ∈ H : sin t ≥ 0, 4 cos 3 t − 3 cos t = cos 3t , то вспомогательное уравнение равносильно на H уравнению sin t = cos 3t или cos 3t = cos(

π 2

− t) .

Послед-

нее уравнение, на основании теоремы 13, равносильно на H совокупности уравне-

π ⎡ π kπ ⎡ t t k π 3 = − + 2 , ⎢t = 8 + 2 , ⎢ 2 ний ⎢ или где k и l − целые числа. Пересе⎢ π π ⎢t = − + lπ , ⎢3t = − + t + 2lπ , ⎣ ⎣ 2 4 кая с H множество решений полученной совокупности, получаем множество π 5π 3π { ; ; }. Значит, на основании теоремы 8, исходное уравнение равносильно на 8 8 4 π ⎡ = cos , x ⎢ ⎡ x = 0,5 ⋅ 2 + 2 , 8 ⎢ ⎢ 5π G совокупности уравнений ⎢ x = cos , или ⎢ x = −0,5 ⋅ 2 − 2 , 8 ⎢ ⎢ x = −0,5 ⋅ 2. ⎢ x = cos 3π , ⎢⎣ ⎢⎣ 4 Второй вариант решения. Представим ОДЗ в виде объединения двух непересекающихся множеств G = G1 U G2 ,

U (0;

G1 = {x ∈ G, 4 x 3 − 3 x < 0} = [−1;−

где

3 )U 2

⎧⎪ 1 − x 2 ≥ 0, 3 2 3 2 ). Так как ∀x ∈ G1 : ⎨ то ∀x ∈ G1 : 1 − x ≠ 4 x − 3 x , т.е. на 3 2 2 ⎪⎩4 x − 3 x < 0,

множестве G1 корней

уравнения нет и X 1 = Ø. Ищем корни на G2 = G \ G1 = 18

3 3 ;0] U [ ;1]. Возведем обе части уравнения в квадрат и, на основании тео2 2 2 6 4 2 ремы 4, получим равносильное на G2 уравнение 1 − x = 16 x − 24 x + 9 x или = [−

16 x 6 − 24 x 4 + 10 x 2 − 1 = 0. Тождественно преобразовывая левую часть последнего 6 4 4 2 2 уравнения, последовательно получаем (16 x − 8 x ) − (16 x − 8 x ) + ( 2 x − 1) = 0 ,

8 x 4 (2 x 2 − 1) − 8 x 2 (2 x 2 − 1) + 2 x 2 − 1 = 0, (2 x 2 − 1)(8 x 4 − 8 x 2 + 1) = 0. Теперь, на основании теоремы 5, имеем равносильную на G2 совокупность двух уравнений ⎡ 2 x 2 − 1 = 0, 2 2 Решая первое из них, имеем x1 = ∉ G , x = − ∈ G2 ; ре⎢ 4 2 2 2 2 2 ⎣8 x − 8 x + 1 = 0. шая

второе --

x2 =

2± 2 , 4

x3 =

2+ 2 ∈ G2 , 2

x4 = −

2+ 2 ∉ G2 , 2

2− 2 2− 2 ∉ G2 , x 6 = − ∈ G2 . Значит, X 2 = {x2 ; x3 ; x6 } , а X = X 1 U 2 2 U X 2 = X 2. x5 =

Ответ. X = {−0,5 ⋅ 2 ; − 0,5 ⋅ 2 −

2 ; 0,5 ⋅ 2 + 2 }.

Пример 9. Решить уравнение 2 x − 1 = 3 4 x + 7. Решение. ОДЗ: G = {x ∈ R, 2 x − 1 ≥ 0} = [0,5; ∞). Первый вариант решения. Так как ∀x ∈ G : 3 4 x + 7 > 0, то, возводя обе части уравнения в шестую степень, на основании теоремы 4, получаем равносильное на

G уравнение

(2 x − 1) 3 = (4 x + 7) 2 или 4 x 3 − 14 x 2 − 25 x − 25 = 0. Подстановкой

убеждаемся, что число 5 является корнем полученного уравнения. Следовательно, многочлен в левой части его разделится на ( x − 5) без остатка. Выполнив деление уголком, получаем тождество 4 x − 14 x − 25 x − 25 ≡ ( x − 5)(4 x + 6 x + 5). Значит, на основании теоремы 5, уравнение равносильно на G совокупности уравнений 3

2

2

x − 5 = 0, ⎡ ⎢4 x 2 + 6 x + 5 = 0, с множеством решений T = {5}. Следовательно, X = T I G = T . ⎣

Второй вариант решения. Введем вспомогательные неизвестные по формулам

⎧ 2 x − 1 = y, ⎪ y = 2 x − 1, ( y ≥ 0), z = 3 4 x + 7 и рассмотрим систему уравнений ⎨3 4 x + 7 = z , ⎪ y = z, ⎩ 3 решения которой будем искать на множестве S = {( x, y, z ) ∈ R , x ∈ G, y ≥ 0, z ≥ 0}. Равносильными преобразованиями последовательно получаем равносильные на S ⎧ y 2 = 2 x − 1, ⎧ x = 0,5 ⋅ (1 + y 2 ), ⎧ x = 0,5 ⋅ (1 + y 2 ), ⎪⎪ 3 ⎪ ⎪ 2 3 системы ⎨ z = 4 x + 7, ⎨ 2 y − z = −9, ⎨ Решим третье уравнеz = y, ⎪ y = z, ⎪ 2 y 2 − y 3 + 9 = 0. ⎪ y = z, ⎪⎩ ⎩ ⎩ ние последней системы. Тождественно преобразуя левую часть его, получаем 19

y 3 − 2 y 2 − 9 = y 3 − 3 y 2 + y 2 − 9 = y 2 ( y − 3) + ( y − 3)( y + 3) = ( y − 3)( y 2 + y + 3). Так как, ∀y ∈ R; y + y + 3 ≠ 0, то рассматриваемое уравнение равносильно, на основании теорем 1 и 2, уравнению y − 3 = 0 или y = 3. Следовательно, на основании 2

теоремы 16, исходное уравнение имеет единственный корень x = 0,5(1 + 3 ) = 5. Ответ. X = {5}. 2

Пример 10. Решить уравнение x + x + 4 + x + x + 1 = 2 x + 2 x + 9. Решение. ОДЗ: G = R. Введем вспомогательную переменную по формуле 2

2

2

y = x 2 + x + 1 ( y ≥ 0). Тогда x 2 + x + 4 = y + 3, 2 x 2 + 2 x + 9 = 2 y + 7 и исходное y = 2 y + 7 . Возводя обе части последнего уравнения в квадрат, получаем, на основании теоремы 4, равносильное на (0; ∞) урав-

уравнение примет вид

y+3+

нение y + 3 + 2 y + 3 y + y = 2 y + 7 или (следствие к теореме 3) 2

y 2 + 3 y = 2.

⎡ y = 1∈ (0; ∞), Значит, на ⎣ y = −4 ∉ (0; ∞). основании теоремы 7, исходное уравнение равносильно на G уравнению 2 x + x + 1 = 1 или x ⋅ ( x + 1) = 0. Отсюда X = {−1;0}. Ответ. X = {−1;0}. Еще раз возводя в квадрат, имеем y + 3 y − 4 = 0 или ⎢ 2

Пример 11. Решить уравнение 2 x + 3 x − 10 − 2( x + 0,5) ⋅ 2

x 2 + 2 x − 10 = 0.

Решение. ОДЗ: G = {x ∈ R, x + 2 x − 10 ≥ 0} = (−∞;−1 − 11] U [−1 + 11; ∞). Тождественно преобразуя левую часть уравнения, получаем (теорема 1) равно2

(

сильное на ОДЗ уравнение x + 0,5 − теореме 3) уравнение

(x + 0,5 −

x 2 + 2 x − 10

x 2 + 2 x − 10

) − 0,25 = 0 2

) = (0,5) . 2

2

или (следствие к

Теперь, на основании тео-

ремы 11, имеем равносильную совокупность двух уравнений

⎡ x + 0,5 − x 2 + 2 x − 10 = 0,5, ⎡ x 2 + 2 x − 10 = x, или ⎢ ⎢ 2 2 ⎢⎣ x + 0,5 − x + 2 x − 10 = −0,5, ⎢⎣ x + 2 x − 10 = x + 1. Решаем первое уравнение совокупности. Разбиваем ОДЗ на две непересекающиеся части

G1 = (−∞;−1 − 11], G2 = [ 11 − 1; ∞). На множестве G1 решений нет, так

∀x ∈ G1 : x 2 + 2 x − 10 ≠ x. На G2 , возводя обе части в квадрат, получаем (теорема 4), равносильное уравнение 2 x = 10 или x = 5 ∈ G2 . Значит, X 1 = {5}. как

Решаем второе уравнение

совокупности. Разбиваем ОДЗ на два подмножества

D1 = {x ∈ R, x + 1 < 0} I G = G1 , D2 = G \ D1 = G2 . На множестве G1 решений нет,

так как ∀x ∈ G1 :

x 2 + 2 x − 10 ≠ x + 1. На G2 , возводя обе части в квадрат, полу-

чаем (теорема 4), равносильное уравнение x + 2 x − 10 = x + 2 x + 1 или − 10 = 1. Значит, X 2 = Ø. Таким образом, X = X 1 U X 2 = {5}. Ответ. X = {5}. 2

20

2

Пример 12. Решить уравнение x + x = 5 − 3 x . 2

Решение. ОДЗ: G = R. На основании теоремы 10, получаем равносильную на G совокупность двух квадратных уравнений

⎡ x 2 + x = 5 − 3 x, ⎡ x 2 + 4 x − 5 = 0, или ⎢ с множеством решений T = {−5;1}. ⎢ 2 2 + = − 5 + 3 , − 2 + 5 = 0 , x x x x x ⎣ ⎣ Значит, X = T I G = {−5;1}. Ответ. X = {−5;1}. Пример 13. Решить уравнение x + 3 + 2 x − 1 = 8. Решение. ОДЗ: G = R. Разобьем ОДЗ на три непересекающиеся части G1 = (−∞;−3), G2 [−3;0,5), G3 = [0,5; ∞) и будем искать на них подмножества решений данного уравнения. На G1 , используя определение абсолютной величины действительного числа, получаем равносильное уравнение − x − 3 − 2 x + 3 = 8 или 10 10 3 x = −10. Значит, X 1 = {− } I G1 = {− }. Аналогично, на G2 имеем 3 3 x + 3 − 2 x + 1 = 8 , или x = −4, т.е. X 2 = {−4} I G2 = Ø, а на G3 : x + 3 + 2 x − 1 = 8 , или x = 2 ∈ G3 , т.е. X 3 = {2}. Таким образом, X = X 1 U X 2 U X 3 = {−10 3;2}. Ответ. X = {−10 3;2}. Пример 13. Решить уравнение x + x − 3 = x. 2

Решение. ОДЗ: G = R. Разобьем ОДЗ на две непересекающиеся части G1 = ( −∞;0) и G2 = [0; ∞). Так как ∀x ∈ G1 : x + x − 3 ≠ x, то (способ подстановки) X 1 = Ø. На 2

G2 , на основании теоремы 10, получаем равносильную совокупность ⎡ x 2 + x − 3 = x, или ⎢ 2 + − 3 = − , x x x ⎣ T = {−3;− 3;1; 3}. Значит, Таким образом, Ответ. ,

⎡ x 2 − 3 = 0, множество решений которой ⎢ 2 + 2 − 3 = 0 , x x ⎣ X 2 = T I G2 = {1; 3}.

X = X 1 U X 2 = X 2 = {1; 3}.

X = {1; 3}. x

x

Пример 14. Решить уравнение 3 + 4 − 25 = 0. Решение. ОДЗ: G = R. Подстановкой устанавливаем, что число x = 2 является корнем данного уравнения, так как 3 + 4 = 25. Докажем, что этот корень единствен2

2

x

x

ный. Исследуем на монотонность функцию f ( x) = 3 + 4 − 25. Находим производx

x

ную этой функции: f ′ = 3 ln 3 + 4 ln 4. Ясно, что ∀x ∈ R : f ′( x) > 0 , поэтому функция возрастает на всей числовой прямой. Значит, во всех точках, где x > 2 имеем f ( x) > f (2) = 0, а во всех точках, где x < 2 имеем f ( x) < f (2) = 0. Следовательно, точка x = 2 − единственный ноль функции или корень данного уравнения. Ответ. X = {2}. Пример 15. Решить уравнение 5

x2 + 4x+3

= 7x 21

2

− x−2

.

Решение. ОДЗ: G = R. Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получаем (теорема 4) равносильное уравнение ( x + 4 x + 3) ⋅ lg 5 = ( x − x − 2) ⋅ lg 7. Далее, применив следствие к теореме 3 и теорему 1, приходим к уравнению ( x + 1)((lg 5 − lg 7) x + 3 lg 5 + 2 lg 7) = 0, которое, на основании теоремы 5, равносильно на G совокупности двух линейных уравнений 2

2

x + 1 = 0, ⎡ ⎧ lg(125 ⋅ 49) ⎫ с множеством решений T = ⎬. ⎨− 1; ⎢(lg 5 − lg 7) ⋅ x + (3 lg 5 + 2 lg 7) = 0, lg(1,4) ⎭ ⎩ ⎣ Таким образом, X = T I G = T . ⎧ lg(125 ⋅ 49) ⎫ Ответ. X = ⎨− 1; ⎬. lg( 1 , 4 ) ⎩ ⎭

( )

x −1

x

3 = 27. Пример 16. Решить уравнение Решение. ОДЗ: G = R. Тождественно преобразуя левую часть уравнения, получаем x ( x −1) 3 2

= 33. А для последнего (следст2 вие к теореме 4) – уравнение 0,5 ⋅ x( x − 1) = 3 или x − x − 6 = 0, множество решения которого -- V = {−2;3}. Значит, X = V I G = V . Ответ. X = {−2;3}.

(теорема 1) равносильное на G уравнение

1+ x

Пример 17. Решить уравнение 3

− 31− x = 8.

Решение. ОДЗ: G = R. Введя вспомогательную переменную

y = 3 x ( y > 0), ис-

3 = 8 или 3 y 2 − 8 y − 3 = 0. Множество реy -- Y = {3;− 2 3}. Значит, на основании теоремы 7,

ходное уравнение запишем в виде 3 y − шений последнего уравнения

x

исходное уравнение равносильно на G уравнению 3 = 3 или, по следствию к теореме 4, -- уравнению x = 1. Таким образом, X = {1}. Ответ. X = {1}. x

x

x

Пример 18. Решить уравнение 3 ⋅ 16 + 2 ⋅ 81 = 5 ⋅ 36 . Решение. ОДЗ: G = R. (Приведем один из возможных вариантов решения.) Введем x

новые переменные u = 4 , v = 9

x

(u > 0, v > 0). Тогда данное уравнение запишет-

ся в виде 3u + 2v − 5uv = 0. Тождественно преобразуя левую часть последнего 2

2

ax 2 + bx + c = = a ⋅ ( x − x1 )( x − x2 ), если дискри2 минант положителен), получаем уравнение 3 ⋅ (u − v)(u − v ) = 0, которому равно3 ⎡ u = v, 2 Следовательно, на основании теоремы 16, сильна совокупность уравнений ⎢ ⎢⎣u = 3 v. ⎡ 4x = 9x , исходное уравнение равносильно на G совокупности уравнений ⎢ x 2 x или ⎢4 = ⋅ 9 , 3 ⎣ уравнения (используя тождество

22

⎡ ⎛ 4 ⎞x ⎢ ⎜ ⎟ = 1, ⎢ ⎝9⎠ Решением последней совокупности будет, на основании следствия к ⎢⎛ 2 ⎞ 2x 2 ⎢⎜ ⎟ = . 3 ⎣⎝ 3 ⎠ теореме 4, множество T = {0;0,5}. Значит, X = T I G = T . Ответ. X = {0;0,5}. Пример 19. Решить уравнение log x +1 ( x − 21x + 1) = 1. 2

ОДЗ: G = {x ∈ R, x − 21x + 1 > 0, x + 1 > 0, x + 1 ≠ 1}. На основании к теореме 4, получаем равносильное на G уравнение 2

Решение. следствия

x 2 − 21x + 1 = x + 1 или x 2 − 22 x = 0, множество решений которого T = {0;22}. Значит, X = T I G = {22}. Ответ. X = {22}. Пример 20. Решить уравнение lg (10 x) + lg x − 5 = 0. Решение. ОДЗ: G = {x ∈ R, x > 0} = (0; ∞). Тождественно преобразуя левую часть 2

уравнения, последовательно получаем (lg10 + lg x) + lg x − 5 = 0, lg x + 3 lg x − − 4 = 0, (lg x − 1)(lg x + 4) = 0. Следовательно, исходное уравнение (теорема 5) 2

2

⎡ lg x = 1, множество решений которой ⎣lg x = −4,

равносильно на G совокупности уравнений ⎢ ( следствие к теореме 4) − T = {10 Ответ.

X = {10 −4 ;10}.

−4

;10}. Значит, X = T I G = T .

log 2 x

log x 2

(x

) + (x

Пример 21. Решить уравнение 2 2 + x 2 = 6. Решение. ОДЗ: G = {x ∈ R, x > 0} = (0; ∞). Применяя следствие к теореме 3, теоремы 1 и 5 и следствие к теореме 4, последовательно получаем уравнения и совокупности уравнений равносильные заданному уравнению на G :

(2

log 2 x log 2 x

)

(x

log 2 x

(

+ x log 2 x

)(

)

2

− 6 = 0;

log 2 x 2

)

log 2 x

) − 6 = 0;

⎡ x log 2 x = 2, ⎡ log 2 x = 1, − 2 ⋅ x log 2 x + 3 = 0; ⎢ log x log 22 x = 1; ⎢ 2 = −3; ⎣log 2 x = −1; ⎣x Следовательно, X = {0,5;2}. Ответ. X = {0,5;2}.

⎡ x = 2, ⎢ x = 0,5. ⎣

Пример 22. Решить уравнение log cos x sin x = 1. Решение. ОДЗ: G = D1 I D2 I D3 , где D1 = {x ∈ R, sin x > 0}, D2 = {x ∈ R, cos x > 0},

D3 = {x ∈ R, cos ≠ 1}. Применяя следствие к теореме 4, теоремы 2 и 14, последова-

тельно получаем уравнения и совокупность уравнений равносильные заданному уравнению на G :

23

sin x = cos x; tgx = 1; tgx = tg

π 4

; x=

π 4

+ nπ , n ∈ Z . Следовательно,

X = T I G,

(−1) n π 1 + 4n где T = {x ∈ R, x = ⋅ π , n ∈ Z }. Так как sin( (1 + 4n)) = , то при n , рав4 4 2 ном нечетному числу соответствующее число из T не принадлежит D1 , а значит и G. Следовательно, корнями исходного уравнения могут быть только числа из T , соответствующие четным значениям n = 2m. Проверяем принадлежат ли они множе-

π

+ 2mπ ) = cos

π

>0− принадлежат. Таким образом, 4 4 1 + 8m X = { x ∈ R, x = ⋅ π , m ∈ Z }. 4 1 + 8m Ответ. X = {x ∈ R, x = ⋅ π , m ∈ Z }. 4 Пример 22. Решить уравнение ctg (sin x) = 1. Решение. ОДЗ: G = {x ∈ R, sin(sin x)) ≠ 0} = {x ∈ R, sin x ≠ 0}. Применяя теоремы 13 ству D2 I D3 : cos(

и 11, учитывая ограниченность синуса, последовательно получаем уравнения и совокупность уравнений равносильные на G исходному уравнению:

sin x =

π

4

π

X = {x ∈ R, x = (−1) n arcsin

π 4

π

; x = (−1) n arcsin( ) + nπ , n ∈ Z . Таким образом, 4 4

+ kπ , k ∈ Z ; sin x =

+ nπ , n ∈ Z }. n

π

+ nπ , n ∈ Z }. 4 2 Пример 23. . Решить уравнение cos 4 x + 2 cos x = 1. Решение. ОДЗ: G = R. Применяя теоремы 1, 5 и 13, последовательно получаем уравнения и совокупность уравнений равносильные на G исходному уравнению: 2 cos 2 2 x − 1 + 1 + cos 2 x = 1; 2 cos 2 2 x + cos 2 x − 1 = 0; π ⎡ ⎢ x = 2 + nπ , n ∈ Z , (2 cos 2 x − 1)(cos 2 x + 1) = 0; ⎢ π ⎢ x = ± + 2mπ , m ∈ Z . 3 ⎣ Ответ. X = {x ∈ R, x = 2 + πn, x = ± π 3 + 2mπ , n ∈ Z , m ∈ Z } . Ответ. X = {x ∈ R, x = ( −1) arcsin

Пример 24. Решить уравнение 0.5( x + 1) = 3 2 x − 1. 3

Решение. ОДЗ: G = R . Функция f ( x) = 0.5( x + 1) − возрастающая на R, так как 3

3 2 x > 0. Значит, для нее существует обратная функция f −1 ( x), 2 3 которую найдем, разрешив уравнение y = 0.5( x + 1) относительно x . Получаем ∀x ∈ R : f ′( x) =

x = 3 2 y − 1. Следовательно, f −1 ( x) = 3 2 x − 1. Значит, данное уравнение относит24

ся к виду

f ( x) = f −1 ( x). Так как в нашем случае

f (x) тождественно не равна

f −1 ( x), и графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x, то общие точки графиков лежат на этой прямой. Таким образом, данное уравнение равносильно на G

уравнению

x3 + 1 = x , или 2

x 3 − 2 x + 1 = 0, или

x 3 − x − ( x − 1) = 0, или ( x − 1)( x 2 + x − 1) = 0. Последнее уравнение, на основании теоремы 5, равносильно совокупности уравнений

x = 1, ⎡ ⎡ x − 1 = 0, ⎢ ⎢ x 2 + x − 1 = 0. Решая эти уравнения, получаем ⎢ x = 0.5( 5 − 1), ⎣ ⎢⎣ x = −0.5( 5 + 1). принадлежат G. ⎧− 5 − 1 5 − 1 ⎫ Ответ. X = ⎨ ; ;1⎬. 2 2 ⎭ ⎩

Содержание

Все эти числа

стр.

Введение…………………………………………………………………………….3 1. Множества и операции над ними……………………………………………3 2. Основные определения и терминология, связанные с понятием уравнения с одним неизвестным………………………………………………4 3. Основные теоремы о равносильности уравнений………………………7 4. Структура алгоритма аналитического метода решения уравнения с одним неизвестным…………………………………………………………...11 5. Элементарные уравнения с одним неизвестным……………………...12 6. Решение линейного уравнения с одним неизвестным………………..13 7. Решение квадратного уравнения с одним неизвестным…………….14 8. Примеры решения элементарных уравнений с одним неизвестным аналитическим методом………………………………………………………15

25

Содержание Введение………………………………………………………………………… 3 1. Множества и операции над ними………………………………………… 3 2. Основные определения и терминология, связанные с понятием уравнения с одним неизвестным…………………………....... . 4 3. Основные теоремы о равносильности уравнений…………………….. 7 4. Структура алгоритма аналитического метода решения уравнения с одним неизвестным………………………………………….. 11 5. Элементарные уравнения с одним неизвестным……………………… 11 6. Решение линейного уравнения с одним неизвестным………………. ..12 7. Решение квадратного уравнения с одним неизвестным…………… …13 8. Примеры решения элементарных уравнений с одним неизвестным аналитическим методом……………………………………. 15

Учебное издание СЕМЕНОВ Алексей Степанович Введение в теорию уравнений. Элементарные уравнения с одним неизвестным. Методические указания Редактор Н. А. Евдокимова Подписано в печать 28.03.2005. Формат 60х84/16. Печать трафаретная. Бумага офсетная. Ус. печ. л. 1,63. Уч. – изд. л. 1,20. Тираж 100 экз. Заказ Ульяновский государственный технический университет 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32 Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д, 32.

26