Оснащения центропроективных многообразий: Учебное пособие

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ю.И. Шевченко ОСНАЩЕНИЯ ЦЕНТРОПРОЕКТИВНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Калининград 2000

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ю.И. Шевченко ОСНАЩЕНИЯ ЦЕНТРОПРОЕКТИВНЫХ МНОГООБРАЗИЙ Учебное пособие

Калининград 2000

УДК 514.75+514.76 ББК 22.151.6я7 Ш379

Рецензенты: кафедра высшей математики Балтийского военно-морского института, зав. кафедрой, кандидат физико-математических наук, доцент В.Е. Спектор кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Калининградского государственного технического университета Л.А. Жарикова Печатается по решению редакционного издательского Совета Калининградского государственного университета.

Шевченко Ю.И. Ш379 Оснащения центропроективных многообразий: Учебное пособие. Калинингр. гос. ун-т. Калининград, 1998. 113 с. ISBN 5-88874-154-X. В проективном пространстве рассматривается поверхность как семейство касательных плоскостей. Выясняется роль оснащений Бортолотти, Картана и Нордена при сведении связностей к подсвязностям, индуцировании и интерпретации связностей на поверхности. Вводятся понятия голономного и неголономного центропроективных многообразий – соответствующих гладких многообразий с центропроективными касательными пространствами. Классические оснащения поверхности непосредственно распространяются на подмногообразия центропроективных многообразий. Пособие предназначается для студентов и аспирантов, специализирующихся в дифференциальной геометрии. Может быть интересным для преподавателей и научных работников. Работа выполнена по теме гранта Минобразования РФ (СПбКЦ).

УДК 514.75+514.76 ББК 22.151.6я7 © Калининградский государственный университет, 2000 ISBN 5-88874-154-X

© Шевченко Ю.И., 2000

Учебное издание Юрий Иванович Шевченко ОСНАЩЕНИЯ ЦЕНТРОПРОЕКТИВНЫХ МНОГООБРАЗИЙ Учебное пособие

Редактор Н.Н. Мартынюк Оригинал-макет подготовлен И.А. Хрусталевым

Лицензия № 020345 от 14.01.1997 г. Подписано в печать 22.05.2000 г. Бумага для множительных аппаратов. Формат 60×90 1/16. Гарнитура «Таймс». Ризограф. Усл. печ. л. 7,0. Уч.-изд. л. 5,5. Тираж 100 экз. Заказ . Калининградский государственный университет 236041, г. Калининград, ул. А. Невского, 14

СОДЕРЖАНИЕ Введение ....................................................................................................... 5 I. Центропроективная связность ............................................................. 6 II. Оснащения центропроективного подмногообразия ........................ 9 III. Оснащения поверхности проективного пространства ................... 12 Глава I. Центропроективная связность §1. Центропроективное многообразие ................................................... 17 §2. Неголономное центропроективное многообразие .......................... 21 §3. Пространства центропроективной связности ................................. 23 §4. Нормализация и оснащения центропроективного многообразия ...................................................................................... 30 §5. Параллельные перенесения аналога нормали 2-го рода ................ 37 §6. Линейная связность центропроективного многообразия как отображение ................................................................................. 40 Глава II. Оснащения центропроективного подмногообразия §7. Подмногообразие центропроективного многообразия .................. 43 §8. Прикасающиеся пространства центропроективного подмногообразия ................................................................................ 45 §9. Связность в расслоении, ассоциированном с подмногообразием ........................................................................... 47 §10. Обобщение классических оснащений ............................................ 49 §11. Вырожденные параллельные перенесения .................................... 53 §12. Интерпретации касательной и нормальной линейных связностей ......................................................................................... 56 §13. Новые оснащения центропроективного подмногообразия ......... 58 3

Глава III. Оснащения поверхности проективного пространства §14. Структурные уравнения проективной группы .............................. 61 §15. Поверхность в проективном пространстве .................................... 68 §16. Расслоение, ассоциированное с поверхностью ............................. 73 §17. Связность в ассоциированном расслоении .................................... 76 §18. Ассоциированное пространство групповой связности ................ 78 §19. Классические оснащения поверхности .......................................... 81 §20. Групповая связность 1-го типа ....................................................... 86 §21. Задача оснащения в проективно-дифференциальной геометрии поверхности ................................................................... 91 §22. Тензоры неабсолютных перенесений ............................................ 93 §23. Групповые связности 2-го и 3-го типов ......................................... 95 §24. Подчиненные оснащения ................................................................ 98 §25. Интерпретации индуцированных связностей ............................... 102 Заключение .................................................................................................. 107 Темы для учебно-исследовательской работы студентов и аспирантов ................................................................................................ 108 Библиографический список ..................................................................... 109

4

ВВЕДЕНИЕ Работа имеет следующую структуру. В главе I введено понятие центропроективного многообразия, являющегося фундаментом для описания центропроективной связности. Различаются обычное (голономное) и общее (неголономное) центропроективные многообразия. В главе II, опирающейся на главу I, развивается теория оснащений подмногообразия центропроективного многообразия. В главе III, которую можно читать независимо от глав I и II, рассматриваются классические оснащения поверхности проективного пространства. Совпадение ряда формул и результатов глав II и III свидетельствует о том, что понятие центропроективного подмногообразия является непосредственным обобщением поверхности проективного пространства. Пусть дана некоторая структура S. Подструктуру S0 структуры S будем называть простой, если она не является объединением двух подструктур S1 и S2 структуры S, т.е. S0≠S1∪S2. Простую подструктуру S0 назовем простейшей, если она, в свою очередь, не обладает подструктурой, т.е. не существует S1⊂S0. В качестве структуры S и ее подструктур в работе рассматриваются главное расслоение и его подрасслоения, объект групповой связности и его подобъекты, тензор кривизны групповой связности и его подтензоры, оснащающий квазитензор и его подквазитензоры, тензор ковариантных производных оснащающего квазитензора и его подтензоры. При ссылках в квадратных скобках указываются начальные буквы фамилий авторов из библиографического списка. Если имеется несколько работ одного автора, то к буквам добавляется номер работы в авторском списке. При упоминании фамилии автора рядом в квадратных скобках пишется номер работы, либо начальные буквы фамилии, когда работа одна. Наконец, если у работы несколько авторов, то указываются первые буквы фамилий авторов. Нумерация формул, определений и теорем для каждого параграфа своя. Если идет ссылка на формулу или теорему другого параграфа, то к их номеру приписывается слева номер параграфа с точкой. Следующее ниже описание работа разбито на 3 части и 25 пунктов соответственно главам и параграфам. Выражаю благодарность К.В.Поляковой и О.С.Румянцевой за помощь в оформлении работы. 5

I. ЦЕНТРОПРОЕКТИВНАЯ СВЯЗНОСТЬ 1. В результате проективизации гладкого многообразия, при которой касательные линейные пространства всех порядков к многообразию превращаются в центропроективные пространства тех же размерностей, введено понятие центропроективного многообразия. Это понятие предшествует пространству проективной связности Картана, так как отображения соседних касательных пространств друг на друга не заданы. В основе аналитического описания центропроективного многообразия лежит деривационная формула – разложение дифференциала точки многообразия по базисным точкам касательного пространства 1-го порядка. Продолжение этой формулы в предположении полноты дифференциала точки многообразия приводит к деривационным формулам базисных точек касательного пространства 1-го порядка, в которых появляются симметричные базисные точки касательного пространства 2-го порядка, и т.д. В результате этого бесконечного процесса наряду с деривационными формулами подвижного репера центропроективного многообразия возникают две последовательности симметричных по нижним индексам линейных форм, одна из которых отвечает исходному гладкому многообразию. При обрезании последовательностей и фиксации точки центропроективного многообразия эти формы превращаются в структурные формы проективно-дифференциальной группы Лаптева, действующей в касательном пространстве соответствующего порядка. 2. Если отказаться от полноты дифференциалов точки центропроективного многообразия и базисных точек касательных пространств всех порядков, но сохранить деривационные формулы подвижного репера многообразия в предположении, что входящие в них точки и формы потеряли симметрию, то придем к неголономному центропроективному многообразию. Понятие неголономного центропроективного многообразия получается также в результате проективизации неголономного гладкого многообразия. В каждом касательном пространстве некоторого порядка к неголономному центропроективному многообразию действует неголономная проективнодифференциальная группа того же порядка, содержащая соответствующие голономную проективно-дифференциальную группу Лаптева и неголономную дифференциальную группу Лумисте, пересекающиеся по голономной дифференциальной группе Вагнера. 3. Введено специальное центропроективное многообразие Лемлейна. Показано, что голономное (неголономное) гладкое многообразие порождает голономное (неголономное) многообразие Лемлейна. 3. Рассматривается главное расслоение центропроективных реперов 1-го порядка над центропроективным многообразием с типовым слоем – 6

центропроективной группой, действующей в касательном пространстве (1-го порядка). Это расслоение содержит подрасслоение линейных реперов с той же базой и типовым слоем – линейной группой, действующей неэффективно в проективном пространстве направлений касательного пространства. Групповая связность в расслоении центропроективных реперов, называемая центропроективной связностью, задается способом Лаптева. Объекты линейного и центропроективного кручения на неголономном центропроективном многообразии образуют квазитензоры, а на голономном многообразии эти объекты – тензоры. Объект центропроективной (линейной) кривизны в неголономном случае является квазитензором лишь в совокупности с объектом центропроективной (линейной) связности, в голономном случае объект центропроективной (линейной) кривизны – тензор. Если база пространства центропроективной связности голономна, то оно называется ретроголономным. На ретроголономном пространстве центропроективной связности объекты линейного и центропроективного кручения, линейной и центропроективной кривизны образуют тензоры, поэтому выделяется 8 классов таких пространств. Пространства одной половины классов голономны, а другой половины – неголономны. Таким образом, понятия неголономности и связности пересекаются. Пространство коаффинной связности Картана является пространством центропроективной связности, в котором каждое касательное к базе центропроективное пространство превращено в линейное пространство путем задания гиперплоскости, не проходящей через центр, и адаптации ей подвижного репера. 4. Полунормализацией, или нормализацией 2-го рода, центропроективного многообразия называется задание в каждом касательном центропроективном пространстве аналога нормали 2-го рода Нордена – не проходящей через центр гиперплоскости. Полунормализация сводит центропроективную связность к линейной, иначе говоря, индуцирует пучок полунормализованных центропроективных связностей. Нормализация 2-го рода голономного центропроективного многообразия позволяет охватить тензор центропроективной кривизны тензором линейной кривизны. Оснащением Картана центропроективного многообразия называется присоединение к каждой его точке плоскости, составляющей в прямой сумме с касательным пространством соприкасающееся пространство – касательное пространство 2-го порядка. На аналог плоскости Картана и точку многообразия натянут аналог нормали 1-го рода Нордена – плоскость соприкасающегося пространства, пересекающая касательное пространство в его центре и дающая в сумме с касательным пространством соприкасающееся пространство. 7

Нормализацией центропроективного многообразия называется присоединение к каждой его точке аналогов нормалей 1-го и 2-го рода. Нормализация индуцирует линейную, а следовательно, и центропроективную связность, которые называются нормализованными. Центропроективная связность с нормализованной линейной подсвязностью называется линейно нормализованной. Композиционным оснащением центропроективного многообразия называется присоединение к нему полей аналогов плоскостей Картана и нормалей 2-го рода. Композиционное оснащение индуцирует нормализованную центропроективную связность и линейно нормализованную связность, называемую связностью Картана. Оснащением Бортолотти центропроективного многообразия называется присоединение к каждой его точке не проходящей через нее гиперплоскости соприкасающегося пространства. Аналог гиперплоскости Бортолотти пересекает касательное пространство по аналогу нормали 2-го рода. Оснащение Бортолотти задает пучок связностей Бортолотти, из которого с помощью нормализации 1-го рода выделяется линейно нормализованная связность. На нормализованном центропроективном многообразии находятся условия совпадения разных индуцированных связностей. Пучки полунормализованных центропроективных связностей и связностей Бортолотти совпадают лишь тогда, когда аналог гиперплоскости Бортолотти совпадает с продолженным аналогом нормали 2-го рода. Нормализованная центропроективная и линейно нормализованная связность Картана совпадают тогда и только тогда, когда аналог плоскости Картана есть пересечение аналога нормали 1-го рода и продолженного аналога нормали 2-го рода. Линейно нормализованные связности Бортолотти и Картана совпадают лишь в случае, когда аналог плоскости Картана есть пересечение аналогов нормали 1го рода и гиперплоскости Бортолотти. Три центропроективные связности – нормализованная связность, линейно нормализованные связности Бортолотти и Картана – совпадают тогда и только тогда, когда аналогом гиперплоскости Бортолотти является продолженный аналог нормали 2-го рода, а аналог плоскости Картана есть пересечение аналога нормали 1-го рода и продолженного аналога нормали 2-го рода. Показано, что нормализация 1-го рода многообразия Лемлейна порождает нормализацию 2-го рода. 5. При внесении форм центропроективной связности в дифференциальные уравнения полунормализующего квазитензора возникают его ковариантный дифференциал и ковариантные производные. Внешнее дифференцирование ковариантного дифференциала дает объект, компоненты которого есть линейные комбинации компонент объекта центропроективной 8

кривизны с коэффициентами – компонентами полунормализующего квазитензора. В голономном случае этот объект является тензором, обращение которого в нуль означает, что система дифференциальных уравнений, полученная приравниванием нулю компонент ковариантного дифференциала, вполне интегрируема не только вдоль любой линии, проходящей через рассматриваемую точку центропроективного многообразия, но и вдоль всего многообразия. Он называется тензором неабсолютных перенесений. Ковариантные производные полунормализующего квазитензора относительно центропроективной связности образуют тензор, а в полунормализованной связности равны нулю. Ковариантные производные определяют аналог гиперплоскости Бортолотти, который совпадает с продолжением аналога нормали 2-го рода при обращении их в нуль. Аналог нормали 2-го рода, соответствующий точке центропроективного многообразия, переносится параллельно в центропроективной связности вдоль проходящей через эту точку линии, если вдоль нее ковариантный дифференциал обращается в нуль. При параллельном перенесении он смещается в аналоге гиперплоскости Бортолотти. Аналог нормали 2-го рода при произвольном смещении вдоль любой линии переносится параллельно относительно полунормализованной связности, но, вообще говоря, не может переноситься параллельно в других связностях. Понятие плоскости параллельности позволяет уточнить последнюю формулировку. 6. Дополнением аналога нормали 2-го рода до продолженного аналога нормали называется плоскость, составляющая в прямой сумме с аналогом продолженный аналог. Задание линейной связности в расслоении линейных реперов над полунормализованным центропроективным многообразием эквивалентно заданию поля дополнений аналогов нормалей 2-го рода. Линейная связность характеризуется внутри продолженного аналога нормали 2-го рода проекцией смежного аналога на исходный из центра – порожденного линейной связностью дополнения аналога. II. ОСНАЩЕНИЯ ЦЕНТРОПРОКТИВНОГО ПОДМНОГООБРАЗИЯ 7. Подмногообразие центропроективного многообразия представляется первоначально как семейство меньшей размерности, описанное точкой многообразия. Уравнения подмногообразия являются линейными зависимостями части базисных форм многообразия от остальной части, независимой на подмногообразии. Коэффициентами этих зависимостей служат компоненты фундаментального объекта 1-го порядка центропроективного подмногообразия. Он определяет касательное центропроективное подпространство к подмногообразию. Производится адаптация подвижного репе9

ра касательного пространства касательному подпространству, в результате которой центропроективное подмногообразие рассматривается как семейство касательных центропроективных подпространств. 8. Деривационные формулы подвижного репера соприкасающегося пространства к центропроективному многообразию с учетом уравнений подмногообразия показывают существование для каждого касательного подпространства в неголономном случае четырех пространств X,Y,Y′,Z, называемых прикасающимися пространствами. Пространство X есть сумма касательного пространства и соприкасающегося подпространства. Пространства Y,Y′ пересекаются по подпространству Х, а в сумме дают пространство Z. В голономном случае имеются два прикасающихся пространства, так как X⊂Y= Y′=Z. Характеризуются основные прикасающиеся пространства Y,Y′. Пространство Y является линейной оболочкой пространств, смежных к касательному пространству вдоль подмногообразия. Пространство Y′ есть оболочка подпространств, полученных смещениями касательного подпространства вдоль многообразия. 9. Расслоение центропроективных реперов над многообразием сокращается над подмногообразием до главного расслоения с типовым слоем – подгруппой стационарности касательного центропроективного подпространства в касательном пространстве. Ассоциированное с центропроективным подмногообразием расслоение содержит 4 простых главных подрасслоения: касательных и нормальных линейных реперов, центропроективных реперов и подрасслоение, ассоциированное с соответствующим подмногообразием гладкого многообразия. Связность в ассоциированном расслоении задается способом Лаптева с помощью объекта групповой связности (G-связности), содержащего 4 простых подобъекта: касательной и нормальной линейных связностей, центропроективной связности и подобъект групповой связности (H-связности) для ассоциированного подрасслоения. 10. Классические оснащения Картана и Нордена поверхности проективного пространства непосредственно распространяются на подмногообразие центропроективного многообразия. Нормализация 2-го рода называется полунормализацией центропроективного подмногообразия. Вводится понятие сведения связности к подсвязности на подмногообразии с помощью продолженного оснащения, когда объект связности охватывается своим подобъектом, фундаментальным объектом, оснащающим квазитензором и его пфаффовыми производными. Возможны 5 специальных случаев сведения связности к подсвязности. При сведении связности можно говорить о пучке индуцированных связностей. Если подобъект связности является пустым, то связность называется индуцированной подмногообразием и продолженным оснащением. Выделяется 4 подслучая ин10

дуцирования связностей. Наконец, если объект связности охватывается фундаментальным объектом подмногообразия, то говорят о внутренней связности. Нормализация 1-го рода сводит Н-связность к касательной и нормальной линейным связностям. Полунормализация сводит центропроективную связность к касательной линейной связности. Оснащение Картана сводит G-связность к центропроективной и нормальной линейной связностям. Следовательно, композиционное оснащение (оснащение Картана и полунормализация) сводит G-связность к касательной и нормальной линейным связностям. Такая G-связность называется композиционной. 11. Внесением форм G-связности в дифференциальные уравнения компонент композиционно оснащающего квазитензора получаются разложения ковариантных дифференциалов компонент по базисным формам центропроективного подмногообразия с коэффициентами – ковариантными производными. Ковариантные производные оснащающего квазитензора относительно G-связности образуют тензор. Выясняется геометрический смысл обращения в нуль ковариантного дифференциала квазитензора, что эквивалентно обращению в нуль ковариантных производных. Параллельные перенесения плоскости Картана в G-связности вырождены: плоскость, отвечающая точке центропроективного подмногообразия, при произвольном смещении в прикасающемся пространстве Y переносится параллельно относительно G-связности вдоль соответствующей кривой на подмногообразии, если последняя существует. В случае композиционной G-связности это параллельное перенесение свободно вырожденное, т.е. его можно осуществить вдоль любой кривой, проходящей через рассматриваемую точку. Параллельные перенесения нормали 2-го рода относительно центропроективной связности вырождены: нормаль при произвольном смещении в прикасающемся пространстве Х переносится параллельно в центропроективной связности вдоль соответствующей кривой. В случае полунормализованной центропроективной связности это параллельное перенесение свободно вырожденное. 12. Внесением в дифференциальные уравнения точек, определяющих нормаль 2-го рода, форм касательной линейной связности получаются равенства, содержащие ковариантные дифференциалы и производные этих точек, а также несущественные слагаемые. Ковариантные производные позволяют для каждой нормали 2-го рода задать ее дополнение до продолженной нормали – плоскость, составляющую в прямой сумме с нормалью продолженную нормаль. Касательная линейная связность характеризуется внутри продолженной нормали 2-го рода с помощью проекции на нормаль смежной с ней нормали из центра – дополнения нормали. Внесением форм нормальной линейной связности в дифференциальные уравнения точек, определяющих плоскость Картана, находятся их ковари11

антные дифференциалы и производные. На полунормализованном центропроективном подмногообразии ковариантные производные дают возможность задать дополнение плоскости Картана до ее продолжения. Нормальная линейная связность композиционно оснащенного центропроективного подмногообразия характеризуется внутри продолженной плоскости Картана проекцией на плоскость Картана смежной с ней плоскости из центра – дополнения плоскости Картана. 13. Присоединение к каждому касательному подпространству плоскости F, составляющей в прямой сумме с ним соприкасающееся подпространство называется F-оснащением. F-оснащение полунормализованного центропроективного подмногообразия эквивалентно заданию центропроективной связности. Плоскость F в прямой сумме с точкой касания дает плоскость F. F-оснащение полунормализоыванного центропроективного подмногообразия равносильно заданию касательной линейной связности. L-оснащением называется присоединение к каждому касательному подпространству плоскости L, которая включает соприкасающееся подпространство, содержится в прикасающемся пространстве Y и имеет размерность менее, чем Y, на разность размерностей многообразия и подмногообразия. L-оснащение полунормализованного центропроективного подмногообразия эквивалентно заданию нормальной линейной связности. Дополнение нормали 2-го рода и плоскость F совпадают лишь тогда, когда центропроективная связность полунормализованного подмногообразия индуцирована F-оснащением и сведена к касательной линейной связности с помощью продолженной нормализации 2-го рода. Дополнение плоскости Картана лежит в плоскости L тогда и только тогда, когда нормальная линейная связность индуцирована L-оснащением полунормализованного подмногообразия. III. ОСНАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА 14. При дифференциально-геометрических исследованиях семейств фигур в проективном пространстве обычно используются деривационные формулы подвижного репера, структурные уравнения линейной группы и условие эквипроективности. Показывается, что этот аналитический аппарат не удобен для выделения аффинной подгруппы и подгруппы, действующей в подпространстве проективного пространства. Строится видоизмененный аналитический аппарат, лишенный этих недостатков и обладающий рядом достоинств. Например, с его помощью легко доказывается, что проективное пространство, рассматриваемое как гладкое многообразие, является голономным центропроективным многообразием. 12

15. В проективном пространстве поверхность рассматривается первоначально как семейство точек. Фундаментальный объект 1-го поряка поверхности определяет касательную плоскость в каждой точке поверхности. Адаптация подвижного репера касательной плоскости приводит к рассмотрению поверхности как семейства касательных плоскостей. Высказывается гипотеза о том, что поверхность проективного пространства, представляемая как семейство касательных плоскостей – центропроективных подпространств и являющаяся поэтому центропроективным многообразием, голономна. 16. Рассмотрение поверхности в проективном пространстве влечет разбиение базисных форм проективной группы на главные и вторичные. Из главных форм выделяются базисные формы поверхности, а вторичные формы называются слоевыми. Так над поверхностью возникает главное расслоение, типовым слоем которого является подгруппа стационарности центрированной касательной плоскости. Ассоциированное с поверхностью расслоение содержит 4 простых главных подрасслоения: касательных и нормальных линейных реперов, центропроективных реперов и подрасслоение с типовым слоем – линейной частью подгруппы стационарности касательной плоскости. 17. В ассоциированном расслоении задается групповая связность способом Лаптева. Объект групповой связности содержит 4 простых подобъекта, определяющих подсвязности: касательную линейную ( в классической терминологии – аффинную) связность, нормальную линейную связность, центропроективную связность и линейно-групповую связность. 18. При внесении форм касательной линейной связности в структурные уравнения базисных форм поверхности возникает объект линейного кручения. Вводится более общий объект центропроективного кручения. Эти объекты кручения оказываются тензорами. Ассоциированное расслоение с заданной групповой связностью есть пространство групповой связности, в структурные уравнения которого входят компоненты объекта кривизны. Доказывается, что объект кривизны групповой связности является тензором, содержащим 4 простых подтензора: тензоры кривизны касательной и нормальной линейных связностей, тензор кривизны центропроективной связности и тензор кривизны линейно-групповой связности. 19. Определяются классические оснащение Картана и нормализация Нордена поверхности. Даются их аналитические задания полями квазитензоров. Рассматривается композиционное оснащение, сочетающее в себе оснащение Картана и нормализацию 2-го рода Нордена. Структура композиционного оснащения выясняется с помощью понятия m-пары, используемого в теории композиций Нордена. Показано, что к структуре компо13

зиционного оснащения можно прийти с помощью корреляции в проективном пространстве. Определено оснащение Бортолотти поверхности. Получены условия принадлежности нормали 2-го рода и плоскости Картана гиперплоскости Бортолотти. Найдены формулы, связывающие подвижные реперы, адаптированные поверхности и композиционно оснащенной поверхности. 20. Показывается, что композиционное оснащение поверхности индуцирует в ассоциированном с ней расслоении групповую связность, называемую связностью 1-го типа. 21. Доказывается теорема Остиану, состоящая в том, что нормализация 1-го рода Нордена порождает оснащение Картана. Следовательно, нормализация Нордена индуцирует групповую связность 1-го типа. Видоизменяется задача оснащения в проективно-дифференциальной геометрии поверхности, сформулированная Лаптевым как построение внутренним образом оснащения Картана, в пользу нормализации Нордена. 22. Находятся ковариантные дифференциал и производные композиционно оснащающего квазитензора относительно групповой связности. При внешнем дифференцировании ковариантного дифференциала появляется объект, компоненты которого являются линейными комбинациями компонент тензора кривизны групповой связности с коэффициентами – компонентами композиционно оснащающего квазитензора. Этот объект оказывается тензором, содержащим 3 простых подтензора, которые названы тензорами неабсолютных перенесений в центропроективной связности, в линейно-групповой связности и в групповой связности. 23. Ковариантные производные композиционно оснащающего квазитензора образуют тензор, содержащий 3 простых подтензора. Обращение ковариантных производных в нуль дает формулы, описываемые следующими утверждениями. Нормализация 2-го рода Нордена сводит центропроективную связность к касательной линейной связности. Нормализация 1-го рода Нордена сводит линейно-групповую связность к касательной и нормальной линейным связностям. Оснащение Картана сводит групповую связность к центропроективной и нормальной линейным связностям. Композиционное оснащение сводит групповую связность к линейным связностям. Следовательно, нормализация Нордена сводит групповую связность к касательной и нормальной линейной связностям. Подставляя в указанные формулы сначала охваты объектов линейных подсвязностей, затем охваты объектов центропроективной и нормальной линейной подсвязностей групповой связности 1-го типа, получим еще 2 типа групповой связности. Значит, нормализация Нордена индуцирует групповые связности 2-го и 3-го типов. 14

24. Рассматриваются подчиненные оснащения Картана и нормализация 2-го рода Нордена при композиционном оснащении поверхности. Оснащение Картана называется подчиненным: 1) нормализации 1-го рода Нордена, если плоскость Картана смещается в натянутой на нее и точку касания нормали 1-го рода; 2) оснащению Бортолотти, если плоскость Картана смещается в гиперплоскости Бортолотти, натянутой на нее и нормаль 2-го рода. Нормализация 2-го рода называется подчиненной оснащению Бортолотти, если нормаль 2-го рода смещается в гиперплоскости Бортолотти. Если смещения плоскости Картана подчинены нормали 1-го рода Нордена, то новое оснащение Картана, порожденное в силу теоремы Остиану такой нормализацией 1-го рода, совпадает с исходным. Совпадение связностей разных типов зависит от подчиненности оснащений. Совпадение центропроективных связностей двух возможных типов эквивалентно подчинению нормализации 2-го рода Нордена оснащению Бортолотти. Совпадение линейно-групповых связностей двух возможных типов равносильно подчинению оснащения Картана нормализации 1-го рода Нордена. Совпадение групповых связностей 1-го и 3-го типов эквивалентно неподвижности плоскости Картана. Совпадение групповых связностей 2-го и 3-го типов равносильно подчинению нормализации 2-го рода оснащению Бортолотти. Совпадение групповых связностей 1-го и 2-го типов эквивалентно вырождению оснащения Картана в одну плоскость и подчиненности нормализации 2-го рода оснащению Бортолотти. Следовательно, совпадение связностей 1-го и 2-го типов равносильно совпадению групповых связностей трех типов. 25. Даются определения разнообразных параллельных перенесений плоскости Картана и нормали 2-го рода Нордена. Параллельным перенесением плоскости Картана в линейно-групповой связности 1-го типа называется ее смещение в нормали 1-го рода Нордена, а параллельным перенесением в линейной комбинации групповой связности 1-го типа называется ее смещение в гиперплоскости Бортолотти. Связанно вырожденным параллельным перенесением плоскости Картана в групповой связности 1-го типа называется ее неподвижность, а свободно вырожденными параллельными перенесениями в групповых связностях 2-го и 3-го типов – любые ее смещения. Параллельным перенесением нормали 2-го рода относительно центропроективной связности 1-го типа называется ее смещение в гиперплоскости Бортолотти, а свободно вырожденным параллельным перенесением в центропроективной связности 2-го типа – ее произвольное смещение. Параллельные перенесения в групповой связности 1-го типа и ее подсвязностях, вообще говоря, связанно вырождаются за исключением параллельного перенесения плоскости Картана в линейной комбинации связности, когда размерность поверхности больше половины размерности проек15

тивного пространства. В этом случае в касательной плоскости существует плоскость параллельности с размерностью, равной разности размерности пространства и поверхности. Вдоль линий поверхности, касающихся плоскости параллельности и проходящих через точку касания, осуществляется параллельный перенос в линейной комбинации групповой связности 1-го типа. Свободно вырожденные параллельные перенесения плоскости Картана и нормали 2-го рода относительно групповой связности 2-го типа и ее подсвязностей существуют вдоль любой линии поверхности. В групповой связности 3-го типа и ее подсвязностях свободно вырожденные параллельные перенесения плоскости Картана существуют вдоль произвольной линии, а параллельное перенесение нормали 2-го рода в общем случае не существует. Индуцированная касательная линейная связность характеризуется проекцией на нормаль 2-го рода смежной с ней нормали из центра – нормали 1-го рода. Индуцированная нормальная линейная связность интерпретируется проекцией на плоскость Картана смежной с ней плоскости из центра – касательной плоскости.

16

Глава 1. ЦЕНТРОПРОЕКТИВНАЯ СВЯЗНОСТЬ §1. Центропроективное многообразие Рассмотрим n-мерное многообразие Vn некоторого класса дифференцируемости. В любой точке А∈Vn имеется касательное векторное пространство Tn размерности n. Произведем следующее: 1) наделим [Ва] каждое векторное пространство Tn структурой аффинного пространства с центром А и обозначим его A ∗n ; 2) дополняя центроаффинное пространство A ∗n несобственной гиперплоскостью Ln-1, получим (см., например, [Ф,с.495]) расширенное пространство Pn∗ = A ∗n ∪ Ln-1; 3) расширим действие линейной (центроаффинной) группы GL(n), преобразующей центроаффинное пространство A ∗n , до действия коаффинной (центропроективной) группы GA`(n) в центропроективном пространстве Pn∗ ; 4) выполним аналогичные построения [Ры1] с касательными пространствами высших порядков. Этот процесс назовем проективизацией гладкого многообразия Vn, а его результат – центропроективным многообразием Wn [Ше10,11]. Таким образом, центропроективное многообразие Wn есть такое обобщение гладкого многообразия Vn, при котором касательные пространства многообразия Vn превращены в центропроективные пространства тех же размерностей. Замечание 1. Центропроективное многообразие Wn является особым случаем главного расслоенного пространства центропроективной структуры [О2]. На центропроективном многообразии не задано отображение соседних касательных пространств друг на друга, обычно называемое проективной связностью [Ка2; Ла2,5; Лу4]. Исследуем локально центропроективное многообразие Wn. Отнесем некоторое центропроективное пространство Pn∗ к подвижному реперу {A,AI}, тогда для дифференциала точки А имеем dA=ωA+ωIAI (I,J,K,L,M= 1,n ),

(1) 17

где не пишутся черточки над встречающимися в формуле аналитическими точками; ω,ωI – линейные дифференциальные формы, причем последние линейно независимы. В пространстве Pn∗ фиксирован центр А, поэтому формула (1) дает цепочку эквивалентностей A=const ⇔ dA=ωA ⇔ ωIAI=0 ⇔ ωI=0. Потребуем, чтобы система уравнений ωI=0, обеспечивающая фиксацию точки А, была вполне интегрируемой, т.е. внешние дифференциалы форм ωI имели вид: DωI=ωJ∧ ω IJ ,

(2)

где ω IJ – новые линейные формы. Используя равенство D(dA)=0,

(3)

продифференцируем уравнение (1) внешним образом ADω+(dAI- ω IJ AJ-ωAI) ∧ωI=0.

(4)

Для разрешения этого уравнения по лемме Картана требуется выполнение структурного уравнения вида: Dω=ωI∧ωI,

(5)

где ωI – новые линейные формы. Учитывая его в уравнении (4) и разрешая, получим dAI=ωAI+ ω IJ AJ+ωIA+ωJAIJ,

(6)

причем новые точки AIJ симметричны: A[IJ]=0.

(7)

Они принадлежат касательному центропроективному пространству 2-го порядка Р2⊃ Pn∗ , которое будем называть соприкасающимся пространством, dimP2=dim Pn∗ + C1n + C n2 = 1 n(n+3). 2

Подвижной репер {A,AI} с деривационными формулами (1,6) назовем репером 1-го порядка центропроективного многообразия Wn и обозначим R1. Возьмем внешние дифференциалы от обеих частей структурных уравнений (2,5) ωJ∧(D ω IJ - ω KJ ∧ω IK ) =0, ωI∧(DωI- ω IJ ∧ωJ) =0.

Разрешим полученные уравнения по обобщенной лемме Картана [Ла5] 18

D ω IJ = ω KJ ∧ω IK +ωK∧ω IJK ,

(8)

DωI= ω IJ ∧ωJ+ωJ∧ωIJ,

(9)

причем ω IJK ∧ωJ∧ωK=0, ωIJ∧ωI∧ωJ =0.

(10)

Условия (10) выполняются в голономном случае, когда формы ω IJK ,ωIJ симметричны: ω[I JK ] =0, ω[IJ]=0.

(11)

Однако равенства (11) не являются необходимыми [Ла5,с.142] для справедливости условий (10), поэтому в общем (неголономном) случае формы ω IJK , ωIJ несимметричны по нижним индексам. Учитывая, что D(dAI)=0,

(12)

dAIJ=ωAIJ+ ω IK AKJ+ ω KJ AIK+ωIAJ+ωJAI+ ω IJK AK+ωIJA+ωKAIJK,

(13)

продолжим уравнения (6) причем согласно лемме Картана точки AIJK симметричны по индексам J, K: AI[JK]=0.

(14)

Альтернируя уравнения (13) с использованием соотношений (7), найдем ω [KIJ ] AK+ω[IJ]A+ωKA[IJ]K=0, откуда вытекают равенства (11) и следующие A[IJ]K=0, которые вместе с соотношениями (14) дают симметричность точек AIJK по всем индексам. Точки AIJK принадлежат касательному центропроективному пространству 3-го порядка Р3⊃Р2, dimP3=dimP2+ C1n +2 C n2 + C 3n = 1 (n2+6n+11). 6

Подвижной репер {A,AI,AIJ} с деривационными формулами (1,6,13) назовем репером 2-го порядка центропроективного многообразия Wn и обозначим R2. Замечание 2. Формулы (1,6,13) незначительно отличаются от формул Лаптева [5,с.180-185]. Дальнейшие продолжения уравнений (13) вводят симметричные точки A I1...I p , принадлежащие касательному центропроективному пространству Рр порядка р. Размерность центропроективного пространства Рр совпадает с 19

размерностью [Ва,Ла5] линейного пространства Тр того же порядка, касательного к исходному гладкому многообразию Vn: dimPp=dimTp= C pn+ p -1. Точки A I1...I p входят в состав подвижного репера р-го порядка Rp={A, A I1 ,..., A I1...I p }

центропроективного многообразия Wn. Замечание 3. Для поверхности в проективном пространстве формулы вида (1,6,13,...) известны [Ла5, Шв]. П.И.Швейкин [Шв] назвал точки А, AI, AIJ,... фундаментальными точками поверхности. Пространство, определяемое фундаментальными точками до порядка р включительно, является касательным пространством р-го порядка поверхности. При достаточно большом р оно совпадает с проективным пространством, в котором рассматривается поверхность. При фиксации точки А центропроективного многообразия Wn уравнения (1,6,8,9) упрощаются

δA=πA, δAI=πAI+ π JI AJ+πIA,

(15)

D π IJ = π JK ∧ π IK , DπI= π JI ∧πJ,

(16)

где δ=d| ω I = 0 , π=ω| ω I = 0 . Равенства (15) являются деривационными формулами подвижного репера 0-го порядка R 10 ={A,AI} центропроективного пространства Pn∗ , в котором действует коаффинная (центропроективная) группа GA`(n) со структурными уравнениями (16). Пространство Pn∗ и группу GA`(n) обозначим P1 и PD1; они называются касательным центропроективным пространством и проективно-дифференциальной [Ла5] группой 1-го порядка, dimPD1=n(n+1). Продолжая структурные уравнения (8,9), получим L D ω IJK = ω JK ∧ ω IL − ω ILK ∧ ω JL − ω IJL ∧ ω LK + ω L ∧ ω IJKL ,

(17)

DωIJ= ω IJK ∧ ω K − ω IK ∧ ω JK − ω KJ ∧ ω IK + ω K ∧ ω IJK ,

(18)

причем ω IJKL ∧ωK∧ωL=0, ωIJK∧ωJ∧ωK=0.

Из уравнений (13,17,18) следует δAIJ=πAIJ+ π IK AKJ+ π JK AIK+πIAJ+πJAI+ π IJK AK+πIJA, 20

(19)

L D π IJK = π Jk ∧ π IL − π ILK ∧ π JL − π IJL ∧ π LK , DπIJ= π IJK ∧ π K − π IK ∧ π JK − π KJ ∧ π IK ,

(20)

где формы π IJK , πIJ симметричны по нижним индексам согласно условиям (11). Равенства (15,19) есть деривационные формулы подвижного репера 0го порядка R 20 ={A,AI,AIJ} центропроективного соприкасающегося пространства P2 (A∈P1⊂P2), в котором действует группа Ли со структурными уравнениями (16,20). Эта группа обозначается PD2 и называется [Ла5] проективно-дифференциальной группой 2-го порядка, 1

dimPD2=(n+1)dimP2= n(n+1)(n+3). 2

Продолжения структурных уравнений (17,18) и фиксация точки А∈Wn приведет к действующей в центропроективном пространстве Рр (A∈P1⊂...⊂Pp-1⊂Pp) проективно-дифференциальной группе Лаптева DPp порядка р. Базисные формы π IJ1 , π I1 ; π IJ1J 2 , π I1I2 ;...; π JI 1...J p , π I1...I p

(21)

группы Ли PDp симметричны по нижним индексам, поэтому dinPDp=(n+1)dimPp=(n+1)( C pn+ p -1). §2. Неголономное центропроективное многообразие

Если предположения (1.3,1.12,...) несправедливы, т.е. дифференциалы dA,dAI,... не являются полными (см., например, [Ла1,с.20; Ков; Ф,с.469; Ше7-14;V]), то получить уравнения (1.6,1.13,...) путем продолжений уравнения (1.1) не удастся. Тем не менее будем предполагать, что они имеют место, но точки AIJ,AIJK,... несимметричны. Тогда нельзя доказать симметричность форм ω IJK ,ωIJ; ω IJK ,ωIJK;... по нижним индексам. В этом общем случае будем говорить о неголономном центропроективном многообразии ~ Wn (n>1), в каждой точке А которого имеется неголономное касательное ~ центропроективное пространство P p порядка р, в котором действует неголономная проективно-дифференциальная группа NPDp. Неголономное ка~ сательное пространство P p натянуто на несимметричные точки А, A I1 , A I1I2 ,..., A I1...I p , поэтому ~ dim P p =n(1+n+...+np-1).

В неголономном случае формы (1.21) несимметричны по нижним индексам и являются базисными формами группы Ли NPDp, следовательно, 21

~ n ( n + 1) p dimNPDp=(n+1)dim P p = (n -1). n−1

Обозначая Dp и NDp голономную Вагнера [Ва] и неголономную Лумисте [3] дифференциальные группы [Ла6], приведем таблицу включений групп Dp, PDp, NDp, NPDp

GL(n )

=

GA′(n ) =

ND1

⊂

⊂K⊂

ND p ∪

⊂K

|| D1 ∩

ND 2 ∪

⊂

D2 ∩

⊂K⊂

Dp ∩

⊂K

PD 2

⊂K⊂

PD p

⊂K

PD1 ||

⊂

∩

NPD1 ⊂ NPD 2

∩

⊂ K ⊂ NPD p

,

⊂K

кроме того, NDp⊂ NPDp. В §1 рассматривалось центропроективное многообразие, которое естественно называть голономным. Обозначим голономное центропроективное 0 p

0

многообразие через W n , а его касательное пространство р-го порядка – P . Если в дальнейшем говорится о центропроективном многообразии Wn с касательными пространствами Pp, то подразумевается, что многообразие 0 ~ может быть как голономным W n , так и неголономным Wn . При обозначе0 p ~ нии подпространств P , P p можно не употреблять значки о и ∼, а для различия размерностей в голономном и неголономном случаях писать 0 p ~ DimPp=dim P p , dimPp=dim P

и говорить о неголономной и голономной размерностях касательного центропроективного пространства Pp. Голономное и неголономное центропроективные многообразия [Ше10,11] получаются в результате проективизации соответствующих гладких многообразий [Ше8,9,12-14]. Покажем существование специальных голономных и неголономных центропроективных многообразий, исходя из голономных и неголономных гладких многообразий. Базисные формы ωI имеют одинаковую структуру (1.2) для гладкого многообразия Vn и центропроективного многообразия Wn. Пусть дано гладкое многообразие Vn со структурными [Ла5] формами ωI. Их продолжения ω IJ удовлетворяют уравнениям (1.8), из которых следует D ω II =ωK∧ ω IIК . Сопоставляя это уравнение с уравнением (1.5), положим 22

ω= ω II , ωI= ω KKI .

(1)

Свертывая уравнения (1.17) по индексам I,J, найдем D ω IIK =- ω IIL ∧ ω LK +ωL∧ ω IIKL . Сравнивая это с уравнениями (1.9), убеждаемся в справедливости 2-й совокупности равенств (1), а также в необходимости соотношений ωIJ= ω KKIJ . Для произвольного порядка р нужно взять

ω I1...I p = ω KKI1...I p .

(2)

Определение. Если формы ω IJ1...J p +1 , ω I1 ...I p центропроективного многообразия Wn связаны зависимостями (2), то назовем его многообразием Лемлейна [Ле] и обозначим WnL . Теорема 1. Гладкое многообразие Vn порождает центропроективное многообразие Лемлейна WnL , причем из голономности (неголономности) многообразия Vn следует голономность (неголономность) многообразия WnL . Для поверхности пространства проективной связности Е.Т.Ивлев и Э.Н.Подскребко [ИП], следуя Клингенбергу [Kl], определили касательные пространства 1-го и 2-го родов произвольного порядка. Поверхность пространства проективной связности является неголономным центропроективным многообразием. Касательные пространства к такому центропроективному многообразию совпадают с касательными пространствами 2-го рода. Касательное подпространство 1-го рода (голономное касательное подпространство) возникает в касательном пространстве 2-го рода соответствующего порядка при симметрировании базисных точек последнего. §3. Пространства центропроективной связности

Над центропроективным многообразием Wn возникает главное расслоение центропроективных реперов С(Wn) со структурными уравнениями (1.2,1.8,1.9), типовым слоем которого является центропроективная (коаффинная) группа С=GA`(n), действующая в касательном центропроективном пространстве Pn∗ . Это расслоение содержит подрасслоение линейных реперов L(Wn) с уравнениями (1.2,1.8), базой которого служит многообразие Wn, а типовым слоем – линейная группа L=GL(n)⊂C, действующая неэффективно в (n-1)-мерном проективном пространстве направлений (см., например, [Ч2]) касательного центропроективного пространства Pn∗ . 23

~ С неголономным многообразием Wn ассоциируется расслоение него~ ~ лономных центропроективных реперов 2-го порядка C2 (Wn ) со структур~ ными уравнениями (1.2,1.8,.1.9,1.17,1.18), базой Wn и типовым слоем – неголономной проективно-дифференциальной группой 2-го порядка ~ С 2 =NPD2, действующей в неголономном соприкасающемся центропроек0 ~ тивном пространстве P 2 . Над голономным многообразием W n возникает расслоение голономных центропроективных реперов 2-го порядка 0

0

С 2 ( W n ) с теми же структурными уравнениями, к которым присоединены условия (1.11), и типовым слоем – проективно-дифференциальной группой 0

2-го порядка С 2 =PD2, действующей в голономном соприкасающемся цен0

тропроективном пространстве P 2 . Продолжения уравнений (1.17,1.18) приводит к структурным уравнениям главных расслоений голономных и неголономных центропроективных реперов высших порядков. Исследуем связность в расслоении центропроективных реперов 1-го порядка C(Wn), которую будем называть (см., например,[Ле]) центропроективной связностью. Групповая связность в главном расслоении C(Wn) задается способом Лаптева [ЕЛОШ,Ла5] с помощью форм I Ω IJ = ω IJ − ΓJK ω K , ΩI=ωI-ГIJωJ,

(1)

I , ГIJ – некоторые функции. Внешние дифференциалы форм (1) пригде ΓJK водятся к виду: I M I D Ω IJ = Ω JK ∧ Ω IK +ωK∧(Δ ΓJK + ω IJK )- ΓJK ΓML ωK∧ωL, ΩI= Ω JI ∧ΩJ+ωJ∧(Δ ГIJ+ ΓIJK ωK+ωIJ)- ΓIJL ГLKωJ∧ωK,

(2)

причем дифференциальный оператор Δ действует следующим образом: I I I I L Δ ΓJK =d ΓJK - ΓJL ω LK − ΓLK ω JL + ΓJK ω IL .

Согласно теореме Картана-Лаптева [ЕЛОШ] центропроективная связность в расслоении центропроективных реперов C(Wn) задается полем I ,ГIJ} на базе Wn объекта Г={ ΓJK I I Δ ΓJK + ω IJK = ΓJKL ωL, ΔГIJ+ ΓIJK ωK+ωIJ= ГIJKωK.

(3)

Из дифференциальных уравнений (3) видно, что объект центропроективI , опреденой связности Г содержит подобъект линейной связности ΓJK ляющий связность в подрасслоении линейных реперов L(Wn) расслоения C(Wn). 24

Определение 1. Объект Г назовем объектом центропроективной I ⊂Г связности или просто центропроективной связностью; подобъект ΓJK – объектом линейной подсвязности, или линейной подсвязностью. Учитывая уравнения (3) в системе (2), запишем структурные уравнения форм центропроективной связности (1) в виде:

D Ω IJ = Ω JK ∧ Ω IK + R IJKL ωK∧ωL, DΩI= Ω JI ∧ΩJ+RIJKωJ∧ωK,

(4) (5)

причем компоненты объекта кривизны R={ R IJKL , RIJK} центропроективной связности Г выражаются по формулам I R IJKL = ΓJI[ KL] − ΓJM[ K ΓML ],

(6)

RIJK=ГI[JK] - ΓIL[J ГLK],

(7)

где квадратные скобки обозначают альтернирование по крайним индексам в них. Внося формы центропроективной связности (1) в структурные уравнения (1.2,1.5), получим DωI=ωJ∧ Ω IJ +S IJK ωJ∧ωK,

(8)

Dω=ωI∧ΩI+SIJωI∧ωJ,

(9)

где компоненты объекта кручения S={ S IJK ,SIJ} [Ле,с.127] центропроективной связности Г имеют вид: S IJK = Γ[IJK ] , SIJ= Г[IJ]. В соответствии с этими формулами результат альтернирования дифференциальных уравнений (3) запишем следующим образом:

Δ S IJK + ω [IJK ] ≡0, Δ SIJ+S IJK ω K + ω [ IJ ] ≡0,

(10)

где символ ≡ означает сравнения по модулю базисных форм ωL центропроективного многообразия Wn. В голономном случае дифференциальные сравнения (10) упрощаются

Δ S IJK ≡0, Δ SIJ+S IJK ω K ≡0,

(11)

Определение 2. Объект кручения S центропроективной связности Г и I назовем объектом ценобъект кручения S IJK линейной подсвязности ΓJK тропроективного кручения и подобъектом линейного кручения. Из сравнений (10,11) следуют 25

Теорема 1. Объект центропроективного кручения S на неголономном ~ центропроективном многообразии Wn образует квазитензор, на голоном0

ном многообразии W n объект кручения – тензор. Теорема 2. Объект центропроективного кручения S содержит подобъект линейного кручения S IJK , который в неголономном случае является квазитензором, а в голономном случае – тензором. Определение 3. Расслоение центропроективных реперов C(Wn), в котором задана центропроективная связность Г, назовем пространством центропроективной связности и обозначим CWn. Иначе говоря, пространство центропроективной связности CWn есть центропроективное многообразие Wn, на котором задано поле объекта центропроективной связности Г. Аналитическое описание пространства центропроективной связности CWn произведено с помощью структурных уравнений (8) базисных форм ωI, структурных уравнений (4,5) форм центропроективной связности Ω IJ ,ΩI и структурного уравнения (9) вспомогательной формы ω. Уравнения (8) дают подобъект линейного кручения S IJK , уравнения (4,5) определяют объект кривизны R центропроективной связности Г, и уравнение (9) позволяет ввести функции SIJ, которые вместе с подобъектом кручения S IJK составляют объект центропроективного кручения S. На голономном центропро0

ективном многообразии W n объект кручения S является тензором, поэтому инвариантно его обращение в нуль. Это приводит к симметрической центропроективной связности, характеризуемой симметрией всех компонент I ΓJK ,ГIJ объекта связности Г по нижним индексам. Так можно объяснить целесообразность рассмотрения вспомогательного уравнения (9). Тем не менее в соответствии с определением 3 уравнение (9) не будет включаться в число структурных уравнений пространства центропроективной связности CWn, а функции SIJ, являющиеся антисимметрическими частями компонент ГIJ⊂Г, можно ввести вне зависимости от уравнения (9). Таким образом, пространство центропроективной связности CWn имеет структурные уравнения (4,5,8), которые включают структурные уравнения (4,8) пространства аффинной связности A n2 ,n [ Ше13]. Замечания

1. Структурные уравнения (5,8) пространства центропроективной связности CWn совпадают с 1-м и 3-м уравнением пространства проективной связности при проективной записи, а уравнение (4) отлично от 2-го уравнения [ЕЛОШ,с.111; Лу3,4; Car,с.234]. 26

2. Деривационная формула (1.1) центропроективного многообразия Wn совпадает с 1-й формулой пространства проективной связности при линейной записи [ЕЛОШ,с.118; Ка2,с.124]. Внесем формы центропроективной связности (1) в деривационные формулы (1.6) dA=ωAI+ Ω JI AJ+ΩIA+ωJ(AIJ+ ΓIJK AK+ГIJA). Эти формулы существенно отличаются от 2-й совокупности деривационных формул Картана. 3. Если уравнения (9) включить [Ле] в число структурных уравнений пространства центропроективной связности, то оно не будет особым случаем пространства фундаментально групповой связности Лаптева [2]. 4. Рассматривая наряду с формами (1) форму Ω=ω-ГIωI, можно прийти к проективной связности [Ла5,с.186], однако каноническая проективная связность (ГI=0), которую в нормальном случае изучал А.К.Рыбников [Ры1], не совпадает с центропроективной связностью. 5. Изложенное понятие центропроективной связности отличается от центропроективной связности Картана и ее обобщений (см., например, [Cr,R]). Продолжая уравнения (3), найдем I I I M M I I − ΓJM ωM Δ ΓJKL KL − ΓMK ω JL + ΓJK ω ML + ω JKL ≡0,

L L L ΔΓIJK-ΓIL ω JK − ΓLJ ω IK + ΓIJK ω L + ΓIJL ω LK + ω IJK ≡0,

откуда с помощью уравнений (3) и формул (6,7) получим I Δ R IJKL − ΓJM ω [MKL] + ω IJ[ KL] ≡0, L ΔRIJK- R IJK ω L − ΓIL ω [LJK ] + ω I[ JK ] ≡0.

(12)

В голономном случае дифференциальные сравнения (12) упрощаются L Δ R IJKL ≡0, ΔRIJK- R IJK ω L ≡0.

(13)

Определение 4. Объект кривизны R центропроективной связности Г и I назовем объектом объект кривизны R IJKL линейной подсвязности ΓJK центропроективной кривизны и подобъектом линейной кривизны. Из сравнений (12,13) вытекают Теорема 3. Объект центропроективной кривизны R на неголономном ~ центропроективном многообразии Wn образует квазитензор лишь в совокупности с объектом центропроективной связности Г, на голономном 0

многообразии W n объект кривизны R - тензор. 27

Теорема 4. Объект центропроективной кривизны R содержит подобъект линейной кривизны R IJKL , который в неголономном случае образуI ,ав ет квазитензор лишь вместе с подобъектом линейной связности ΓJK голономном случае подобъект R IJKL - тензор. Определение 5. Если база Wn пространства центропроективной связности CWn голономна (неголономна), то будем говорить о ретроголономном (ретронеголономном) пространстве центропроективной связности 0 ~ С W n (С Wn ) и голономной (неголономной) центропроективной связности. 0

На ретроголономном пространстве центропроективной связности С W n объекты линейного кручения S IJK , центропроективного кручения S, линейной кривизны R IJKL и центропроективной кривизны R являются тензорами. В зависимости от их обращения в нуль выделяются следующие классы 0

пространств С W n и голономных центропроективных связностей: 1) S IJK =0 – связность без линейного кручения, или полусимметрическая центропроективная связность (ПС); 2) S IJK =0, SIJ=0 – связность без центропроективного кручения, или симметрическая центропроективная связность (С); 3) R IJKL =0 – связность без линейной кривизны, или полуплоская центропроективная связность (ПП); 4) R IJKL =0, RIJK=0 – связность без центропроективной кривизны, или плоская центропроективная связность (П); 5) S IJK =0, R IJKL =0 – связность без линейных кручения и кривизны, или полусимметрическая и полуплоская центропроективная связность (ПС-ПП); 6) S IJK =0, R IJKL =0, RIJK=0 – связность без линейного кручения и центропроективной кривизны, или полусимметрическая и плоская центропроективная связность (ПС-П); 7) S IJK =0, SIJ=0, R IJKL =0 – связность без центропроективного кручения и линейной кривизны, или симметрическая и полуплоская центропроективная связность (С-ПП); 8) S IJK =0, SIJ=0, R IJKL =0, RIJK=0 – связность без центропроективных кручения и кривизны, или симметрическая и плоская центропроективная связность (С-П). Классификацию ретроголономных пространств центропроективной 0

связности С W n и соответствующих голономных центропроективных связностей (ГЦ) представим в виде: 28

ПС

С ПС - П

ГЦ

ПС - ПП

С-П С - ПП

ПП

П

Здесь стрелка → означает включение ⊃ одного класса связностей в другой. В общем случае ретронеголономные пространства центропроективной ~ связности С Wn и неголономные центропроективные связности не допускают выделение таких классов. Если выполняются условия I L ω [IJK ] ≡ 0, ω [IJ] ≡ −S IJK ω K , ω J[KL] ≡ 0, ω I[JK] ≡ − R IJK ωL,

то из дифференциальных сравнений (10,12) видно, что объекты центропроективных кручения S и кривизны R становятся тензорами, содержащими подтензоры линейных кручения S IJK и кривизны R IJKL . В этом случае ретронеголономные пространства и неголономные связности можно классифицировать аналогично ретроголономным пространствам и голономным связностям. Рассмотрим вопрос о голономности пространств центропроективной связности [Ше14]. Для ретроголономного пространства полусимметриче0

ской и полуплоской центропроективной связности С W n система (4,8) упрощается DωI=ωJ∧ Ω IJ , D Ω IJ = Ω JK ∧ Ω IK .

(14)

Отсюда вытекает Теорема 5. Ретроголономное пространство полусимметрической и полуплоской центропроективной связности (пространство ПС-ПП) является голономным гладким многообразием. Следствие. Пространства ПС-П, С-ПП и С-П голономны. Замечание. Структурные уравнения (5) не оказывают влияние на голономность пространства CWn, как гладкого многообразия. 0

При фиксации точки А∈ С W n , осуществляемой вполне интегрируемой системой дифференциальных уравнений ωI=0, система (5,14) принимает вид (1.16): D π I = π IJ ∧ π J , D π IJ = π KJ ∧ π IK . Это уравнения структуры центропроективного (коаффинного) пространства Pn∗ . Обобщая их в духе Картана [Ка2, Car], введем структурные уравнения пространства коаффинной связности 29

D π I = π IJ ∧ π J + SIJK π J ∧ π K , D π IJ = π KJ ∧ π IK + R IKL J πK ∧ πL .

(15)

Сопоставляя уравнения (4,5,8) пространства центропроективной связности CWn с уравнениями (15) пространства коаффинной связности Картана, видим, что пространство CWn превращается в пространство Картана при отождествлении форм ωI и ΩI. Точнее говоря, когда ωI=λIJωJ, тогда ΩI=(λIJ-ГIJ)ωJ, причем det(λIJ-ГIJ)≠0. Теорема 6. Пространство коаффинной связности Картана является пространством центропроективной связности CWn, в котором каждое касательное к базе Wn центропроективное пространство Pn∗ превращено в линейное пространство Ln путем задания гиперплоскости Pn-1, не проходящей через центр А∈ Pn∗ , и размещения в ней вершин АI подвижного репера 1-го порядка R1. Из структурных уравнений (4,8) с учетом теоремы 5 вытекает Теорема 7. Пространства центропроективной связности CWn неголономны за исключением пространств ПС-ПП. Эта теорема подтверждается тем, что пространство центропроективной связности CWn со структурными уравнениями (4,5,8), с одной стороны, является частным случаем пространства групповой связности Gr,n, с другой стороны, обобщает пространство аффинной связности A n 2,n , а пространства Gr,n и A n 2,n являются неголономными гладкими многообразиями [Ше13]. Вывод. Теоремы 5 и 7 показывают, что пространства центропроективной связности могут быть голономными и неголономными гладкими многообразиями. Неголономное гладкое многообразие, например главное расслоение, вообще говоря, не обладает связностью, а пространства со связностями обычно неголономны. Значит, понятия неголономности и связности пересекаются. §4. Нормализация и оснащения центропроективного многообразия

По аналогии с нормализацией 2-го рода Нордена [2,с.197] дадим Определение 1. Полунормализацией, или нормализацией 2-го рода, центропроективного многообразия Wn назовем задание в каждом касательном к нему центропроективном пространстве Pn∗ аналога нормали 2-го рода — гиперплоскости Nn-1, не проходящей через центр А. Зададим гиперплоскость Nn-1 совокупностью точек BI=AI+λIA. Их дифференциалы приводятся к виду: dBI=ωBI+ ω JI BJ+(ΔλI+ωI)A+ωJ(AIJ+λIAJ), 30

(1)

откуда вытекают дифференциальные уравнения ΔλI+ωI=λIJωJ,

(2)

обеспечивающие инвариантность гиперплоскости Nn-1 при фиксации точки А∈Wn. Назовем λI полунормализующим квазитензором. Продолжая уравнения (2), найдем ΔλIJ-λK ω IJK +ωIJ=λIJKωK,

(3)

λI[JK]=0.

(4)

причем Замечание. Для единообразия описания голономного и неголономного центропроективных многообразий в голономном случае будем считать функции λIJ симметричными, т.е. λ[IJ]=0. Учитывая уравнения (2) в равенствах (1) и преобразуя их, имеем

dBI=ωBI+( ω JI +λIωJ)BJ +ωJBIJ,

(5)

где BIJ=AIJ+(λIJ-λIλJ)A. Точки BIJ, симметричные в голономном случае, удовлетворяют сравнениям ΔBIJ≡ωBIJ+ ω KIJ BK +ωIBJ+ωJBI,

(6)

откуда видно, что они вместе с точками BK определяют продолженный аналог нормали 2-го рода N2(n)=[ BIJ,BK]: 1

Nn-1⊂ N2(n), A∉ N2(n) ⊂P2, Dim N2(n)=n2+n-1, dim N2(n)= 2 n(n+3)-1. Теорема 1. Продолженная полунормализация центропроективного многообразия Wn сводит центропроективную связность Г к линейной I . связности ΓJK Доказательство дается формулой N

Γ IJ = λ IJ + ΓIJK λ K ,

(7)

проверяемой с помощью соотношений (3.3,2,3). Определение 2. Центропроективную связность, задаваемую объекN

том { ΓIJK , Γ IJ }, назовем полунормализованной. N

Для заданной нормализации 2-го рода компоненты Γ IJ объекта N

{ ΓIJK , Γ IJ } являются функциями компонент ΓIJK , поэтому имеем пучок полунормализованных связностей. Теорема 2. Полунормализация центропроективного многообразия Wn индуцирует n3-параметрический пучок полунормализованных центропроективных связностей. 31

Решим проблему сведения центропроективной кривизны полунормалиN

зованной связности к линейной кривизне. Компоненты Γ IJ объекта полуN

нормализованной центропроективной связности { ΓIJK , Γ IJ } входящим в систему (3.3) удовлетворяют дифференциальным уравнениям N

N

Δ Γ IJ + ΓIJK ωK+ωIJ= Γ IJK ωK,

где N

L Γ IJK =λIJK+ ΓIJK λL+ ΓIJL λLK. N

(8)

N

Компоненты R IJK объекта кривизны { R IJKL , R IJK } полунормализованной связности согласно формуле (3.7) имеют вид: N

N

N

R IJK = Γ I[ JK ] - ΓIL[J Γ LK] .

Подставляя выражения (7,8), найдем N

L R IJK = λ I[ JK ] + ( ΓIL[ JK ] − ΓIM [ J ΓMK ] ) λ L .

Пользуясь соотношениями (3.6,4), получим N

L λL . R IJK = R IJK

(9)

Для выяснения условий инвариантности этих равенств введем объект N

N

L λL . T IJK = R IJK - R IJK

(10)

Из соотношений (3.12,2,7) найдем дифференциальные сравнения N

Δ T IJK - λ IL ω [LJK ] − λ L ω IL[ JK ] + ω I[ JK ] ≡0.

(11)

N

N

В голономном случае эти сравнения упрощаются Δ T IJK ≡0, т.е. объект T IJK N

становится тензором, тогда можно положить T IJK =0, что эквивалентно равенствам (9). 0

Теорема 3. Если голономное центропроективное многообразие W n полунормализовано, то тензор центропроективной кривизны охватывается тензором линейной кривизны и полунормализующим квазитензором, точнее говоря, в голономном случае инвариантна формула (9). Возьмем точки CIJ=AIJ+ μ IJK AK+μIJA, причем в голономном случае предполагается симметричность коэффициентов: μ [KIJ ] =0, μ[IJ]=0. Подействуем

оператором Δ 32

ΔCIJ≡ωCIJ+(Δ μ IJK + ω KIJ + δ IK ω J + δ JK ω I )AK+(ΔμIJ+ μ IJK ωK+ωIJ)A.

(12)

Совокупность точек CIJ инвариантна, если выполняются сравнения Δ μ IJK + ω KIJ + δ IK ω J + δ JK ω I ≡0, (13) ΔμIJ+ μ IJK ωK+ωIJ≡0. (14)

Квазитензор μ={ μ IJK ,μIJ} определяет аналог плоскости Картана [1] – плоскость C(n)=[CIJ]: C(n)⊕ Pn∗ =P2, DimC(n)=n2-1, dimC(n)= 21 n(n+1)-1. Определение 3. Оснащением Картана центропроективного многообразия Wn назовем присоединение к каждой его точке плоскости C(n), дополняющей касательное пространство Pn∗ до соприкасающегося пространства P2. Как показывают сравнения (13), функции μ IJK являются подобъектом квазитензора μ. Из сравнений (12) видно, что квазитензор μ IJK задает аналог нормали 1-го рода Нордена [2,с.197] – плоскость N1(n)=[CIJ,A]:

N1(n)=A⊕ C(n), DimN1(n)=n2, dimN1(n)= 21 n(n+1). Определение 4. Нормализацией центропроективного многообразия Wn назовем присоединение к каждой его точке A аналогов нормалей 1-го рода N`(n) и 2-го рода Nn-1:

N1(n)∩ Pn∗ =A, N1(n)+ Pn∗ =P2, A⊕Nn-1= Pn∗ , причем не предполагается существование плоскости Картана C(n)⊂N1(n). Многообразие Wn с заданной нормализацией будем называть нормализованным и обозначать NWn. Теорема 4. Нормализация центропроективного многообразия Wn индуцирует линейную связность в расслоении линейных реперов L(Wn). Доказательство вытекает из формулы N

Γ

K IJ

= μ IJK − δ IK λ J − δ JK λ I ,

(15)

справедливость которой подтверждают соотношения (3.3,2,13). Следствие 1 (Т.1,Т.4). Нормализация многообразия Wn индуцирует N

N

NN

NN

N

центропроективную связность Γ = {Γ IJK , Γ IJ } , где Γ IJ = λ IJ + Γ IJK λ K . N

Определение 5. Линейную связность с объектом Γ

K IJ

назовем норма-

N

лизованной, а центропроективную связность { Γ IJK , ГIJ} – линейно норма33

NN

лизованной. Если выполняются равенства ГIJ = Γ IJ , то линейно нормализованную связность будем называть нормализованной. N

Нормализованная центропроективная связность с объектом Γ входит в пучок полунормализованных связностей. Определение 6. Композиционным оснащением [Н3, Ше4] центропроективного многообразия Wn назовем присоединение к нему полей аналогов плоскостей Картана C(n) и нормалей 2-го рода Nn-1. Это оснащение порождает нормализацию, поэтому индуцирует нормализованную центропроективную связность. Теорема 5. Композиционное оснащение многообразия Wn индуцирует центропроективную связность, не являющуюся нормализованной. Доказательство дают формула (15) и следующая: С

Γ IJ =μIJ-λIλJ,

(16)

проверяемая с помощью соотношений (3.3,2,14). N

С

Определение 7. Центропроективную связность с объектом { Γ IJK , Γ IJ } назовем линейно нормализованной связностью Картана. Рассмотрим симметричные в голономном случае точки DIJ=AIJ+νIJA, для которых

ΔDIJ≡ωDIJ+( ω KIJ + δ IK ω J + δ JK ω I )BK+(ΔνIJ-λK ω KIJ -λIωJ-λJωI+ωIJ)A.

Если выполняются дифференциальные сравнения ΔνIJ-λK ω KIJ -λIωJ-λJωI+ωIJ≡0,

(17)

то инвариантна гиперплоскость B(n)=[DIJ,BK] соприкасающегося пространства P2, содержащая аналог нормали 2-го рода Nn-1 и не проходящая через центр А: Nn-1⊂B(n)⊂P2, A∉B(n), DimB(n)=n2+n-1, dimB(n)= 21 n(n+3)-1. Сравнения (17) показывают, что объект νIJ образует геометрический объект лишь в совокупности с квазитензором λI, определяющим аналог нормали 2-го рода Nn-1=B(n)∩ Pn∗ . Итак, аналог гиперплоскости Бортолотти [Ст1, Bor1] – гиперплоскость B(n) задается квазитензором {νIJ,λI}. Определение 8. Оснащением Бортолотти центропроективного многообразия Wn назовем присоединение к каждой его точке А гиперплоскости B(n) соприкасающегося пространства P2, дополняющей точку А до пространства P2,т.е. B(n)⊕A=P2. Аналог гиперплоскости Бортолотти B(n) пересекает касательное пространство Pn∗ по аналогу нормали 2-го рода Nn-1, который используется в 34

дальнейшем при совместном рассмотрении нормализации и оснащения Бортолотти. Теорема 6. Оснащение Бортолотти многообразия Wn сводит центроI проективную связность Г к линейной связности ΓJK . Доказательство следует из формулы B

Γ IJ = ν IJ + ΓIJK λ K + λ I λ J ,

(18)

справедливость которой подтверждают соотношения (3.3,2,17). Определение 9. Центропроективную связность, задаваемую объекB

том { ΓIJK , Γ IJ }, назовем связностью Бортолотти. Связности Бортолотти образуют n3-параметрический пучок. Центропроективная связность из пучка связностей Бортолотти с объектом N

BN

N

BN

{ Γ IJK , Γ IJ }, где Γ IJ = ν IJ + Γ IJK λ K + λ I λ J , является линейно нормализованной связностью Бортолотти. На нормализованном центропроективном многообразии NWn найдем условия совпадения нормализованной центропроективной связности, линейно нормализованных связностей Бортолотти и Картана. Другими словами, выясним условия совпадения разными способами охваченных (7,16,18) компонент ГIJ объекта центропроективной связности Г в предположении, что многообразие Wn и линейная связность ΓIJK нормализованы, т.е. заданы квазитензоры μ IJK , λI и выполняются равенства N

ΓIJK = Γ IJK . B

(19)

N

Для пары Γ IJ , Γ IJ имеем B

N

Γ IJ = Γ IJ ⇔ νIJ=λIJ-λIλJ ⇔ B(n)=N2(n),

причем этот случай не зависит от охвата (19). Теорема 7. Пучки полунормализованных центропроективных связностей и связностей Бортолотти совпадают тогда и только тогда, когда аналог гиперплоскости Бортолотти B(n) совпадает с продолженным аналогом нормали 2-го рода N2(n). Следствие 2. Нормализованная центропроективная связность и линейно нормализованная связность Бортолотти совпадают лишь в случае B(n)=N2(n). C

N

Для пары Γ IJ , Γ IJ имеем C

N

Γ IJ = Γ IJ ⇔ μIJ=λIJ+ μ IJK λK-λIλJ ⇔ C(n)=N1(n)∩N2(n). 35

Теорема 8. Нормализованная центропроективная связность и линейно нормализованная связность Картана совпадают тогда и только тогда, когда аналог плоскости Картана C(n) есть пересечение аналога нормали 1-го рода N1(n) и продолженного аналога нормали 2-го рода N2(n). B

C

Для пары Γ IJ , Γ IJ имеем B

C

Γ IJ = Γ IJ

μIJ=νIJ+ μ IJK λK ⇔ C(n)=N1(n)∩B(n) νIJ=μIJ- μ IJK λK ⇔ B(n)=Nn-1⊕C(n).

Теорема 9. Линейно нормализованные связности Бортолотти и Картана совпадают лишь в случае, когда аналог плоскости Картана C(n) является пересечением аналога нормали 1-го рода N1(n) и гиперплоскости Бортолотти B(n), иначе говоря, когда аналог гиперплоскости Бортолотти B(n) есть прямая сумма аналогов нормали 2-го рода Nn-1 и плоскости Картана C(n), принадлежащей аналогу нормали 1-го рода N1(n). Следствие 3 (Т.7-Т.9). Три центропроективные связности – нормализованная связность, линейно нормализованные связности Бортолотти и Картана – совпадают тогда и только тогда, когда аналогом гиперплоскости Бортолотти B(n) является продолженный аналог нормали 2-го рода N2(n), а аналог плоскости Картана C(n) есть пересечение аналога нормали 1-го рода N1(n) и продолженного аналога нормали 2-го рода N2(n), т.е.

B(n)= N2(n), C(n)= N1(n) ∩N2(n). Теорема 10. Нормализация 1-го рода многообразия Лемлейна WnL порождает нормализацию 2-го рода. Доказательство. Нормализация 1-го рода центропроективного многообразия Wn задается полем квазитензора μ IJK . Из сравнений (13) следует

Δ μ IIJ +ω IIJ +(n+1)ωJ≡0. На многообразии Лемлейна WnL имеем ω IIJ =ωJ, поэтому можно положить λJ =

1 n+2

μ IJI . Квазитензор λJ определяет аналог нормали 2-го рода Nn-1.

Замечания

1. В голономном случае А.К.Рыбников [1] называет аналог нормали 1-го рода N1(n) проективной нормалью, аналог нормали 2-го рода Nn-1 – касательным оснащением, аналог плоскости Картана C(n)⊂ N1(n) – оснащением нормали, аналог гиперплоскости Бортолотти B(n)⊃Nn-1 – оснащением соприкасающегося пространства. 36

2. Задание поля оснащенных проективных нормалей равносильно [Ры1] заданию проективной связности Картана без кручения; для центропроективной связности аналогичное утверждение несправедливо. 3. Структура голономного центропроективного многообразия посуществу совпадает с проективной структурой Лаптева [5], но отличается по форме аналитического описания, что вызывает различие при задании связностей [Ры1]. 4. Продолженный аналог нормали 2-го рода N2(n) в голономном случае фактически совпадает с продолженным касательным оснащением [Ры1]. 0

5. Если на голономном многообразии W n при n>1 функции λIJ не считать симметричными, то будут несимметричными точки BIJ и продолженный аналог нормали 2-го рода N2(n) заполнит соприкасающееся пространство P2, но формула (7) сохранится. §5. Параллельные перенесения аналога нормали 2-го рода

Параллельное перенесение фигуры относительно групповой связности аналитически описывается с помощью ковариантного дифференциала геометрического объекта, задающего фигуру [Ше5,13]. Рассмотрим параллельные перенесения аналога нормали 2-го рода Nn-1, который задается полунормализующим квазитензором λI. Внося формы центропроективной связности (3.1) в дифференциальные уравнения (4.2), получим ∇λI=∇JλIωJ,

(1)

причем ковариантный дифференциал ∇λI и ковариантные производные ∇JλI квазитензора λI относительно центропроективной связности Г выражаются по формулам ∇λI =dλI-λJ Ω JI +ΩI,

(2)

∇JλI =λIJ+λK ΓIJK -ГIJ.

(3)

Внешний дифференциал от ковариантного дифференциала (2) имеет вид: D∇λI = Ω JI ∧∇λJ+TIJKωJ∧ωK,

(4)

где L TIJK= RIJK- R IJK λL .

(5)

Как следует из соотношений (3.12,4.2), компоненты объекта TIJK удовлетворяют дифференциальным сравнениям ΔTIJK+( λ M ΓILM − ΓIL )ω [LJK ] − λ L ω IL[ JK ] +ωI[JK]≡0.

(6) 37

Эти сравнения в голономном случае упрощаются ΔTIJK≡0, т.е. объект TIJK становится тензором. Замечание 1. Частный случай объекта (5) уже встречался (4.10) при исследовании полунормализованной центропроективной связности, когда сравнения (6) имеют вид (4.11). Из структурных уравнений (4) видно, что система дифференциальных уравнений ∇λI=0 вполне интегрируема вдоль любой линии ρ⊂Wn, проходящей через точку А∈Wn. Линия ρ задается уравнениями ωI=ρIθ,

(7)

где ρI – функции на линии ρ, θ – параметрическая форма. 0

Если на голономном центропроективном многообразии W n выполняются равенства TIJK≡0, то система уравнений ∇λI=0 вполне интегрируема 0

не только вдоль любой линии ρ, но и вдоль всего многообразия W n . Соответствующее перенесение назовем абсолютным, а TIJK - тензором неабсолютных перенесений аналога нормали 2-го рода Nn-1 голономного много0

образия W n . Теорема 1. Ковариантные производные ∇JλI полунормализующего квазитензора λI относительно центропроективной связности Г образуют тензор, а в полунормализованной связности равны нулю. Действительно, с помощью соотношений (3.3,4.2,4.3) проверяются дифференциальные сравнения Δ∇JλI≡0, а равенства ∇JλI=0 согласно обозначению (3) эквивалентны формуле (4.7). Введем в формулу (4.5) ковариантный дифференциал (2) dBI=ωBI+( ω JI +λIωJ)BJ +∇λIA+ωJEIJ,

(8)

EIJ=BIJ-∇JλIA.

(9)

где В силу теоремы 1 точки EIJ удовлетворяют дифференциальным сравнениям (4.6) ΔEIJ≡ωEIJ+ω IJK BK+ωIBJ+ωJBI, из которых следует инвариантность гиперплоскости B(n)=[EIJ,BK] соприкасающегося пространства P2, являющейся аналогом гиперплоскости Бортолотти. Определение. Будем говорить, что аналог нормали 2-го рода Nn-1, задаваемый квазитензором λI, переносится параллельно в центропроективной связности Г вдоль линии ρ, если вдоль нее ковариантный дифференциал ∇λI квазитензора λI обращается в нуль. 38

Из формулы (8) виден геометрический смысл параллельного перенесения: аналог нормали 2-го рода Nn-1 переносится параллельно тогда и только тогда, когда он смещается в аналоге гиперплоскости Бортолотти B(n). Если центропроективная связность полунормализована, то ∇JλI=0. Тогда согласно формуле (9) EIJ=BIJ, B(n)=N2(n), т.е. любое смещение гиперплоскости Nn-1 есть ее параллельное перенесение в полунормализованной связности. Пусть центропроективная связность не является полунормализованной. В соответствии с формулой (4.5) гиперплоскость Nn-1 всегда смещается внутри своего продолжения N2(n). С другой стороны, из формулы (8) при ∇λI=0 вдоль линии ρ следует, что гиперплоскость Nn-1 должна переноситься в аналоге гиперплоскости Бортолотти B(n). Но B(n)∩ N2(n)= Nn-1, поэтому гиперплоскость Nn-1 не может переноситься параллельно. Теорема 2. Аналог нормали 2-го рода Nn-1, соответствующий точке А центропроективного многообразия Wn, при произвольном смещении вдоль проходящих через точку А линий многообразия Wn переносится параллельно относительно полунормализованной центропроективной связности, но, вообще говоря, не может переноситься параллельно в центропроективной связности, не являющейся полунормализованной. Уточним теорему. Уравнения параллельного перенесения ∇λI|ρ=0 согласно уравнениям (1,7) эквивалентны системе ∇JλIρJ=0.

(10)

Рассмотрим ее как систему n линейных однородных уравнений с n неизвестными ρJ, определяющими линию ρ, вдоль которой осуществляется параллельное перенесение. Обозначим r=rang(∇JλI), тогда 0≤r≤n. Система (10) определяет линию ρ (точнее, направление в касательном пространстве Pn∗ ) с произволом ∞ n-r-1, т.е. существует (n-r)-мерная плоскость Пn-r: A∈Пn-r⊂ Pn∗ , вдоль направлений которой гиперплоскость Nn-1 переносится параллельно. Назовем Пn-r плоскостью параллельности. В общем случае r=n, поэтому существует только тривиальное решение ρJ=0 системы (10), т.е. гиперплоскость Nn-1 нельзя переносить параллельно (Пn-r=П0=A) – параллельное перенесение связанно вырождается. В случае r=0 ⇔ ∇JλI=0 – любой набор ρJ является решением системы (10), т.е. смещение гиперплоскости Nn-1 вдоль произвольной кривой ρ является параллельным перенесением относительно полунормализованной связности (Пn-r=Пn= Pn∗ ) – параллельное перенесение свободно вырожденное. Как следует из уравнений (4), если параллельное перенесение свободно вырожденное (∇λI=0), то оно абсолютное (TIJK=0). В остальных случаях 0 n2 , когда есть (n-m)-мерная плоскость параллельности П n −m ⊂ Tm . Для групповой связности 2-го типа в силу равенств (2) уравнения вида (6-9) обращаются в тождества, следовательно, справедлива Теорема 2. Свободно вырожденные параллельные перенесения плоскости Картана С n −m−1 и нормали 2-го рода Нордена N m−1 в групповой связности 2-го типа и ее подсвязностях существуют вдоль любой линии ρ. Для групповой связности 3-го типа в силу равенств (3) уравнения (6) остаются, а уравнения вида (7-9) исчезают, поэтому справедлива Теорема 3. В групповой связности 3-го типа и ее подсвязностях свободно вырожденные параллельные перенесения плоскости Картана С n −m−1 существуют вдоль любой линии ρ, а параллельное перенесение нормали 2-го рода Нордена N m−1 в общем случае не существует. 105

Используя формулы § 24, дадим интерпретацию индуцированных касательной и нормальной линейных связностей

0 0 i Г jk , Г abi

с помощью централь-

ных проектирований нормалей 2-го рода N m−1 и плоскостей Картана 0

~ i = ωi − Г i ωk в С n −m−1 . Внесем формы касательной линейной связности ω j j jk формулу (24.1) 0

~ j N + ωa C + t ω j A , dN i = (θ − λ jω ) N i + ω i j i a ij j

откуда следует Теорема 4. Индуцированная касательная линейная связность

0 Г ijk

ха-

рактеризуется [И 2,с.18] проекцией на нормаль 2-го рода Нордена N m−1 смежной с ней нормали N m−1 +d N m−1 из центра – нормали 1-го рода Нордена N n −m =[ С a , A ]. В символической записи 0 Г ijk

Nn −m

: N m−1 + dN m−1 → N m−1 . 0

0

~ a = ωa − Г a ωi в форВнесем формы нормальной линейной связности ω b bi b мулу (24.2) 0

~ b C + t i ω j N + t ωi A , dC a = (θ − λ i ω )C a + ω a b aj i ai i

откуда вытекает 0 Г abi

Теорема 5. Индуцированная нормальная линейная связность интерпретируется [И 2,с.19,Bor 2] проекцией на плоскость Картана С n −m−1 смежной с ней плоскости С n −m −1 +d С n −m −1 из центра – касательной плоскости Tm = [ N i , A] . Символически 0 Г abi

Tm

: C n −m−1 + dC n −m−1 → C n −m−1 .

Вывод. В общем случае параллельные перенесения нормали 2-го рода Нордена N m−1 и плоскости Картана С n −m−1 относительно групповых связностей трех типов и их подсвязностей вырождены связанно, либо свободно. Исключение составляет параллельное перенесение плоскости С n −m−1 в

линейной комбинации групповой связности 1-го типа при m> n2 . 106

Замечания

1. Обычно рассматривают параллельные перенесения касательных и нормальных направлений, т.е. прямых, проходящих через точку А и лежащих в касательной плоскости Т m и нормали 1-го рода Нордена N n −m = C n −m−1 ⊕ A . Такие направления задаются точками N ∈ N m−1 и C ∈ C n −m−1 . Параллельные перенесения направлений часто определяются с помощью специальных смещений задающих их точек N и C, при этом возникает больше возможностей, чем при параллельных перенесениях плоскостей N m−1 и С n −m −1 . 2. Индуцированные касательная и нормальная линейные связности 0 Г ijk

0 , Г abi

обычно интерпретируются с помощью параллельных перенесений

касательных и нормальных направлений [Н 2, Ше 2,Ч 2]. 3. К.В.Полякова [1-6] исследовала параллельные перенесения произвольных направлений, а также касательных и нормальных направлений вдоль поверхности, рассматриваемой с трех точек зрения. 4. Параллельные перенесения многомерных нормальных направлений исследованы в ряде работ (см., например, [Ч 2]). Они занимают промежуточное место между параллельными перенесениями одномерных нормальных направлений и плоскостей Картана.

107

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая работа является продолжением учебного пособия «Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий» [Ше13]. Главной целью было распространение метода нормализации Нордена поверхности проективного пространства на подмногообразие гладкого многообразия. Обобщениями метода нормализации занимались В.И. Ведерников [Ве], Ю.Г.Лумисте [Лу2], A.Goetz [G] и др., однако непосредственного обобщения не было получено, Понятие центропроективного многообразия позволило разрешить эту проблему. Отметим ряд возможных направлений дальнейших исследований: 1) разработка теории неголономных подмногообразий, или распределений на центропроективных многообразиях; 2) исследование семейств линейных фигур в проективном пространстве и центропроективном многообразии, выяснение структуры их нормализаций и оснащений; 3) изучение связностей высших порядков в соответствующих ассоциированных расслоениях с помощью нормализаций и оснащений высших порядков; 4) введение понятия проективного многообразия при другой проективизации (см., например, [V]) касательных линейных пространств гладкого многообразия, когда они становятся проективными пространствами на единицу меньшей размерности; 5) развитие теории связностей проективного многообразия и его подмногообразий, установление отношения с пространством проективной связности Картана.

108

Темы для учебно-исследовательской работы студентов и аспирантов

1. Голономное и неголономное центропроективные многообразия. 2. Центропроективная связность как связность в расслоении над центропроективным многообразием. 3. Классификация пространств голономной центропроективной связности, их голономность и неголономность. 4. Нормализация и оснащения центропорективного многообразия, совпадение индуцированных ими связностей. 5. Параллельные перенесения аналога нормали 2-го рода. 6. Линейная связность центропроективного многообразия как отображение. 7. Центропроективное подмногообразие и его прикасающиеся пространства. 8. Ассоциированное с центропроективным подмногообразием расслоение и связность в нем. 9. Обобщение классических оснащений на центропроективном подмногообразии и их роль. 10. Вырождение параллельных перенесений на центропроективном подмногообразии. 11. Интерпретации касательной и нормальной линейных связностей на центропроективном подмногообразии. 12. Новые оснащения центропроективного подмногообразия. 13. Структурные уравнения проективной группы. 14. Поверхность в проективном пространстве. 15. Ассоциированное с поверхностью расслоение и связность в нем. 16. Пространство групповой связности, ассоциированное с поверхностью. 17. Классические оснащения поверхности. 18. Групповая связность 1-го типа. 19. Задача оснащения в проективно-дифференциальной геометрии поверхности. 20. Тензоры неабсолютных перенесений. 21. Групповые связности 2-го и 3-го типов. 22. Подчиненные оснащения поверхности. 23. Совпадение групповых связностей разных типов. 24. Интерпретации индуцированных связностей на поверхности. 109

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК [А]

Акивис М. А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин, 1977. 84 с. [Ва] Вагнер В. В. Теория дифференциальных объектов и основания дифференциальной геометрии // Веблен О., Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии. М., 1949. С.135-223. [Ве] Ведерников В. И. Обобщение метода нормализации А. П. Нордена на случай расслоенного пространства //Уч. зап. Казан. ун-та. 1963. Т.123. №1. С.3-23. [ЕЛОШ] Евтушик Л. Е.,Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. /ВИНИТИ. М., 1979. Т.9. С.5-247. [И] Ивлев Е.Т. 1. О подмногообразии E(0,n-m,m) в n-мерном проективном пространстве Pn (m>2, n<m(m+1)) // Сиб. мат. журн. 1967. Т.8. N5. С.1143-1155. 2. Об инвариантных связностях расслоения Pm,n. Томск, 1983. 35 с. Деп. в ВИНИТИ, N137-84. [ИК] Ивлев Е.Т., Кулеш В.А. О распределениях Δ2,m расслоения Pm,n. Томск, 1982. 30 с. Деп. в ВИНИТИ, N1257-83. [ИП] Ивлев Е.Т., Подскребко Э.Н. О некоторых геометрических образах многомерной поверхности пространства проективной связности. Томск, 1976. 18 с. Деп. в ВИНИТИ, N 2041-76. [Кар] Картан Э. 1. Пространства проективной связности // Тр. семин. по век. и тенз. анализу. М., 1937. Вып.4. С.160-173. 2. Пространства аффинной, проективной и конформной связности. Казань, 1962. 210 с. [Коб] Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М., 1986. 224 с. [Ков] Кованцов Н. И. Неголономные пространства со связностью // Тр. 1й Респ. конф. математиков Белоруссии. Минск, 1965. С.196-218. [Лап] Лаптев Г. Ф. 1. О внутренних геометриях многообразий, вмещенных в многомерное аффинное пространство: Дис.... канд. физ.-мат. наук. М., 1941. 103 с.

110

[ЛО] [Ле] [Лу]

[Н]

[Ос]

[П]

2. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. о-ва. 1953. Т.2. С.275-382. 3. Об инвариантном оснащении поверхности в пространстве аффинной связности // ДАН СССР. 1959. Т.126. N 3. С.409-413. 4. Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей // Итоги науки и техн. Геометрия (1963) / ВИНИТИ. М., 1965. С.5-64. 5. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. Т.1. С.139-189. 6. Структурные уравнения главного расслоенного многообразия // Там же. 1969. Т.2. С.161-178. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. геом. семин.// ВИНИТИ. М., 1971. Т.3. С.49-83. Лемлейн В.Г. Локальные центропроективные пространства и связности в дифференцируемом многообразии // Литов. мат. сб. 1964. Т.4. N 1. С.41-132. Лумисте Ю. Г. 1. Индуцированные связности в погруженных проективных и аффинных расслоениях // Уч. зап. Тартуского ун-та. 1965. Вып.177. С.6-41. 2. Однородные расслоения со связностью и их погружения // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. Т.1. С.191-237. 3. Связности в однородных расслоениях // Мат. сб. 1966. Т.69. С. 434-469. 4. Проективная связность // Мат. энцикл. М., 1984. Т.4. С.671673. Норден А. П. 1. Аффинная связность на поверхностях проективного и конформного пространства // ДАН СССР. 1945. Т.48. №8. С.567-569. 2. Пространства аффинной связности. М., 1976. 432 с. 3. Теория композиций // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1978. Т.10. С.117-145. Остиану Н. М. 1. О геометрии многомерной поверхности проективного пространства // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М.,1966. Т.1. С.239-263. 2. Дифференциально-геометрические структуры на расслоенных пространствах. М.,1973. 32 с. Деп. в ВИНИТИ, N 5813-73. Полякова К. В. 1. Параллельные перенесения направлений вдоль поверхности проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1996. Вып.27. С.63-70. 2. Параллельные перенесения на многообразии соприкасающихся плоскостей поверхности // Там же. 1997. Вып.28. С.59-64. 111

[Ро] [Ры]

[Ст]

[Сы] [Ф] [Шв] [Шев]

112

3. Связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием пар касательной и соприкасающейся плоскостей поверхности// Тр. геом. семин. Казань, 1997. Вып.23. С.99-112. 4. Параллельные перенесения, заданные не вполне интегрируемыми системами дифференциальных уравнений // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1998. Вып.29. С.48-53. 5. О голономности поверхности проективного пространства // XXX науч. конф. проф.-преп. состава, науч. сотр., асп. и студ. Тез. докл. Калининград,1999. Ч. 6. С.7-8. 6. Вырожденные параллельные перенесения на поверхности проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1999. Вып.30. С.64-68. 7. Специальные оснащения Бортолотти и Картана на поверхности // Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики. М, 1999. С.36-37. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М.,1966. 648 с. Рыбников А. К. 1. Проективные и конформные нормали и связности // Изв. вузов. Мат. 1986. №1. С.60-69. 2. Аффинные связности, индуцируемые на многомерных поверхностях аффинного пространства // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М.,1974. Т.6. С.135-155. Столяров А. В. 1. Двойственные линейные связности на оснащенных многообразиях пространства проективной связности // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1976. Т.8. С.25-46. 2. Системы уравнений Пфаффа в инволюции. Классические пространства. Чебоксары, 1998. 132 с. Сыроквашина А.Н. Параллельные перенесения нормали поверхности аффинного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1999. Вып.30. С.84-88. Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии/ Пер. с франц. М., 1960. 560 с. Швейкин П. И. Приложение нормальных объектов к геометрии поверхности в проективном пространстве // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1974. Т.6. С.157-170. Шевченко Ю. И. 1. Об оснащении многомерной поверхности проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1977. Вып.8. С.135-150. 2. Параллельные перенесения на поверхности // Там же. 1979. Вып.10. С.154-158. 3. Геометрическая характеристика некоторых индуцированных связностей поверхности // Там же. 1981. Вып.12. С.126-130. 4. Структура оснащения многообразия линейных фигур // Тез. докл. VI прибалт. геом. конф. Таллин, 1984. С.137-138.

[Ч]

[Bor]

[Car] [Cr] [G] [Kl] [R]

5. Параллельный перенос фигуры в линейной комбинации связности // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1987. Вып.18. С.115-120. 6. О проективной связности Картана, индуцированной на поверхности // Там же. 1988. Вып.19. С.121-126. 7. Об основной задаче проективно-дифференциальной геометрии поверхности // Там же. 1989. Вып.20. С.122-128. 8. Связности голономных и неголономных дифференцируемых многообразий // Там же. 1994. Вып. 25. С.110-121. 9. Оснащения подмногообразий голономного и неголономного дифференцируемых многообразий // Там же. 1995. Вып.26. С.113-126. 10. Связности голономных и неголономных центропроективных многообразий // Там же. 1996. Вып. 27. С.122-135. 11. Оснащения подмногообразий голономного и неголономного центропроективных многообразий // Там же. 1997. Вып.28. С.86-98. 12. Линейные связности голономного и неголономного гладких многообразий // Тр. геом. семин. Казань, 1997. Вып.23. С.175-186. 13. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998. 83с. 14. Примеры неголономных гладких многообразий // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1998. Вып.29. С.91-101. 15. Две проективные связности на неголономной поверхности // Там же. 1999. Вып.30. С.102-112. Чакмазян А.В. 1. Подмногообразие проективного пространства с параллельным подрасслоением нормального расслоения // Всес. науч. конф. по неевкл. геом.: 150 лет геом. Лобачевского. Казань, 1976. С.209. 2. Нормальная связность в геометрии подмногообразий. Ереван, 1990. 116 с. Bortolotti E. 1. Connessioni nelle varieta luogo di spazi // Rend. Semin. Fac. Sci. Univ. Cagliari, 1933. N 3. P.81-89. 2. Sulle connessioni proettive // Rend. Circ. Matem. Palermo. 1932. T.56.P.1-57. Cartan E. Lecons sur la theorie des espaces a connexion projective. Paris, 1937. 308 p. Cruceanu V. Structures et connexions classiques sur une variete differentiable // An. Sti. Univ. Iasi, 1976. Sec. 1a. T.22. N2. P.181-190. Goetz A. On induced connection // Fundam. math. 1964. Vol.55. N2.P.149-174. Klingenberg W. Uber das Einspannungsproblem in der projektiven und affinen Differentialgeometrie // Math. Z. 1952. B.55. N.1. S.321-345. Radziszewski K. Projective operator of centre-projective connection. On projective connection locally. Part II // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. math., astr. et phys. 1974. Vol.22. N4. P.403-407. 113

[Th] [V]

114

Thomas T.Y. On the projective and equiprojective geometries of paths // Proc. Nat. Acad. Sc. 1925. Vol.11. N4. P.199-203. Vaisman I. Asupra geometriei directiilor de pe o varietate differentiabila // An. Univ. Timisoara. Ser. Stiinte mat.-fiz. 1964. N2. P.249-263.