Аналоговая электроника. Полупроводники. Конспект лекций

Полупроводники Полупроводники – вещества, электропроводность которых при комнатной температуре имеет промежуточное значение между электропроводностью металлов (106 – 4 -1 -1 -10 -12 -1 -1 10 Ом см ) и диэлектриков (10 – 10 Ом · см ). Основой полупроводниковых приборов является монокристаллические вещества, атомы которых пространственно упорядочены и образуют трехмерную периодическую структуру, называемую кристаллической решёткой. Свойства кристаллов и прежде всего связь атомов в кристалле определяются внешними (валентными) электронами. Известно, что наибольшей стабильностью обладают вещества, атомы которых имеют замкнутую внешнюю электронную оболочку (восемь валентных электронов). У наиболее распространенных полупроводниковых материалов кремния и германия во внешней оболочке 4 электрона, так что для её заполнения не хватает 4-х электронов. Для создания замкнутой оболочки каждый атом в этих кристаллах образует ковалентные связи со своими четырьмя соседями. При такой связи происходит попарное обобществление электронов между каждой парой соседних атомов. Схематически ковалентная связь в кремнии выглядит следующим образом (рис.1).

а

б

Рис.1 а - участок кристаллической решётки кремния, б - участок кристаллической решётки кремния со свободным электроном и образовавшейся вакансией (дыркой). При температуре абсолютного нуля все электроны удерживаются в указанных связях и ни один из них не может принимать участие в создании тока проводимости. Иными словами полупроводник ведет себя как идеальный изолятор. С ростом температуры тепловая энергия разрывает некоторые из связей, в результате чего появляются свободные электроны способные под действием электрического поля создавать ток проводимости. На месте ушедшего электрона остается незаполненная связь (вакансия), получившая название дырки. На рис.1б показан участок кристаллической решётки кремния со свободным электроном и образовавшейся вакансией (дыркой). На место появившейся вакансии может перейти электрон из соседней связи и оставить за собой другую вакансию. В результате происходит движение вакантной связи в направлении противоположном движению электронов. Если к полупроводнику приложено электрическое поле, то вакантная связь (дырка) перемещается так, как будто она имеет положительный заряд. 1

Таким образом, в полупроводниках в отличие от металлов существует два механизма проводимости: электронный и дырочный. Первый – это движение свободных электронов; второй – движение связанных электронов по вакансиям, понимаемый как движение дырок. С точки зрения зонной теории рассмотренная модель ковалентной связи может быть интерпретирована следующим образом. Свойства полупроводников определяются двумя верхними энергетическими зонами с разрешенными уровнями энергии: валентной зоной и зоной проводимости, а также расположенной между ними запрещенной зоной, в которой разрешенных уровней энергии нет. При температуре абсолютного нуля валентная зона целиком заполнена (все разрешенные энергетические уровни заняты электронами), а зона проводимости пуста (ни один из разрешенных уровней не занят). Разрыв связи под действием термогенерации означает переход электрона из валентной зоны в зону проводимости с одновременным образованием в валентной зоне дырки. Такой переход возможен только в том случае, если энергия, сообщенная электрону, превышает энергетический барьер равный ширине запрещенной зоны. На рис.2 приведены диаграммы энергетических уровней полупроводника при температуре абсолютного нуля Т = 0 К (рис.2а) и в условиях термогенерации Т > 0 К (рис.2б).

Рис. 2 Диаграмма энергетических уровней собственного полупроводника: а - при температуре абсолютного нуля; б - при термическом возбуждении через запрещенную зону - обозначение свободного электрона. - обозначение дырки. На этом рисунке приняты следующие обозначения: E 0 – энергия уровня вакуума, равная энергии, которую нужно сообщить электрону для того, чтобы он покинул полу2

проводник; EC – энергия дна зоны проводимости; EV – энергия потолка валентной зоны; E g = EC − EV – ширина запрещенной зоны; E F – энергия уровня Ферми. Понятие уровня Ферми E F связано с функцией распределения Ферми- Дирака f (E ) , определяющей распределение электронов по энергиям с учетом принципа Паули. Эта функция описывает вероятность того, что разрешенное состояние с энергией Е занято электроном f (E) =

1 1+ e

E − EF kT

Из выражения f(E) следует, что E F это энергетическое состояние, которое занято 1 с вероятностью . Тот факт, что на уровне Ферми должно существовать разрешенное 2 состояние, не является обязательным. Отметим, что на данной диаграмме и на всех последующих энергия электронов увеличивается вверх, а энергия дырок – вниз.

Собственные и примесные полупроводники В собственном полупроводнике в узлах кристаллической решетки располагаются только атомы исходного вещества (например, кремния), а атомы каких либо примесей отсутствуют. В таких полупроводниках электроны и дырки образуются одновременно, т.е. генерируются электронно-дырочные пары, например, за счет термогенерации или облучения светом. Следовательно, их концентрации равны. Величины концентраций электронов и дырок в полупроводниках определяются положением уровня Ферми относительно дна зоны проводимости и потолка валентной зоны

n = NC

E −E − C F ⋅ e kT

,

p = NV

E −E − F V ⋅ e kT

.

(1)

В этих выражениях n и p – концентрации свободных электронов и дырок, N C и NV – эффективные плотности состояний у дна зоны проводимости E = EC и потолка валентной зоны E = EV соответственно. Они равны числу разрешенных уровней в единице объема, приходящихся на единицу энергии у дна зоны проводимости и потолка валентной зоны. В кремнии N C = 2,8·1019 см -3 , NV = 1· 1019 см -3 , k = 8,63· 10-5 эВ/К – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура. Так как в собственном полупроводнике концентрации электронов и дырок равны, а E F = E Fi , то непосредственно из (1) следует

NC ⋅ e

E −E − C Fi kT

= NV ⋅ e

E −E − Fi V kT

, откуда

3

EFi =

EC − EV kT N − ⋅ ln C . NV 2 2

Второе слагаемое в правой части последнего выражения мало по сравнению с первым и им обычно пренебрегают. Следовательно, уровень Ферми в собственном полупроводнике располагается в середине запрещенной зоны E Fi ≈ E i =

E C + EV . 2

Величину Ei называют собственным уровнем Ферми. Если перемножить концентрации электронов и дырок в (1) и учесть равенство этих концентраций p = n = ni , то получим выражением собственной концентрации

ni = N C N V ⋅ e

−

Eg

2 kT

,

(2)

где E g = E C − EV – ширина запрещенной зоны. В таблице 1 приведены собственные концентрации основных полупроводниковых материалов при комнатной температуре Т = 300 К. Таблица 1 Материал

Ширина запрещённой зоны, эВ 0,72 1,12 1,42

Германий Ge Кремний Si Арсенид галлия GaAs

Собственная концентрация, см-3 2,5 · 1013 1,5 · 1010 1,8 · 106

Из выражения (2) следует, что собственная концентрация ni тем ниже, чем больше ширина запрещенной зоны. С ростом температуры величина ni , быстро увеличивается. Этот фактор ограничивает максимально допустимую температуру Тмакс. у большинства полупроводниковых приборов. У германиевых приборов величина Тмакс не превышает 800С, у кремниевых 1750С, у арсенид галлиевых более 3000С. Концентрации электронов и дырок, определенные в (1), можно выразить через собственную концентрацию ni и собственный уровень Ферми Ei . Для этого сначала положим в (1) E F = E i и найдем выражения собственной концентрации в виде ni = N C ⋅ e

− ( EC − Ei ) kT

= NV ⋅ e

− ( Ei − EV ) kT

(2а)

Далее прибавим и вычтем величину Ei в числителях показателей обеих экспонент в (1). Тогда с учетом полученных выражений ni (2а) придем к следующим выражениям концентраций электронов и дырок n = ni ⋅ e

E F − Ei kT

,

p = ni ⋅ e

Ei − E F kT

(2б)

Согласно (2а) расстояние от уровня Ферми до собственного уровня Ферми является мерой того, насколько концентрации электронов и дырок в полупроводниках выше

4

собственной концентрации. Таким образом положение уровня Ферми определяет концентрации свободных носителей, как в собственном, так и в примесном полупроводниках. Для получения больших концентраций свободных электронов и дырок осуществляется легирование полупроводников, т.е. введение в кристаллическую решетку полупроводника примесных атомов. Эти атомы замещают в узлах решетки атомы исходного вещества (обычно вводится не более 1 атома примеси на 1000 атомов исходного вещества). Существуют два типа примесей: доноры и акцепторы. Применительно к наиболее распространенным полупроводникам кремнию и германию доноры это пятивалентные элементы (фосфор Р, мышьяк As, олово Sb), а акцепторы – трехвалентные элементы (Бор B, аллюминий Al, галлий Ga). Полупроводники, легированные донорами, имеют преимущественно электронную проводимость, а акцепторами – дырочную. Поэтому первые называют полупроводниками n - типа, а вторые - p - типа.

Рис.3 Атом донорной примеси в кристаллической решетке кремния.

У атома фосфора 5 электронов в валентной оболочке, Четыре из них принимают участие в образовании ковалентной связи с соседними атомами кремния, а пятый оказывается слабо связанным с атомом фосфора (рис.3). При Е = 0 К все электроны локализованы у своих атомов и свободных электронов нет. Однако, уже при комнатной температуре за счет термогенерации практически все атомы доноров оказываются ионизированы. При этом каждый атом донорной примеси порождает один свободный электрон и один положительно заряженный ион. Таким образом, концентрация свободных электронов практически равна концентрации донорной примеси n ≈ Nd . Свободные электроны создают элек-

тронный механизм проводимости. С точки зрения зонной теории пятый электрон атома фосфора не может разместиться в валентной зоне, так как она целиком заполнена четырьмя электронами на атом. Вследствие этого для каждого атома фосфора образуется новый разрешенный донорный уровень с энергией E d , располагающийся в запрещенной зоне рядом с дном зоны проводимости (рис.4).

5

а

б

Рис.4 Диаграмма энергетических уровней примесного полупроводника n - типа: а - при температуре абсолютного нуля T=0K; б - при комнатной температуре T=300K, когда практически все доноры ионизированы. При Т = 0 К все донорные уровни заняты электронами (рис.4а). Занятый уровень определяется как нейтральный, так как атом примеси при этом нейтрален. Из-за низкой энергии ионизации доноров (~ 0,05 эВ) уже при комнатной температуре практически все электроны переходят с донорных уровней в зону проводимости (рис.4б). Пустой донорный уровень определяется как положительно заряженный, так как атом примеси при этом является положительным ионом. У атома Бора в валентной оболочке 3 электрона, Для образования исходной структуры ковалентной связи этот атом захватывает недостающий электрон у соседнего атома кремния. При этом появляется вакансия, понимаемая как положительная дырка (рис.5). При Т = 0 К ни один электрон не может перейти от атома кремния к атому Бора. Однако, уже при комнатной температуре за счет термогенерации практически все акцепторы ионизированы. При этом каждый атом акцепторной примеси порождает одну дырку и один отрицательно заряженный ион. Таким образом, концентрация дырок практически равна концентрации акцепторной примеси p ≈ N a . Дырки создают дырочный механизм проводимости. С точки зрения зонной теории акцепРис.5 Атом акцепторной примеси в торы создают новый разрешенный акцептор-

кристаллической решетке кремния. 6

ный уровень E a , расположенный в запрещенной зоне рядом с потолком валентной зоны (рис.6).

а

б

Рис.6 Диаграмма энергетических уровней примесного полупроводника p- типа: а - при температуре абсолютного нуля T=0K; б - при комнатной температуре T=300K, когда практически все акцепторы ионизированы. При Т = 0 К все акцепторные уровни пусты (рис.6а). Пустой акцепторный уровень определяется как нейтральный, так как атом примеси при этом нейтрален. Из-за низкой энергии ионизации акцепторов (~ 0,05 эВ) уже при комнатной температуре практически все акцепторные уровни оказываются заполненными электронами из валентной зоны. Это эквивалентно появлению в валентной зоне равного количества дырок (рис.6б). Занятый акцепторный уровень определяется как отрицательно заряженный, так как атом примеси при этом является отрицательным ионом. Если полупроводник одновременно легирован донорами и акцепторами, то ионизируются оба типа примеси. При этом количество носителей определяется как разность доноров и акцепторов, т.к. акцепторные уровни в первую очередь заполняются электронами с донорных уровней. Этот эффект называется компенсацией примеси. Определим концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках. Будем считать, что все доноры и акцепторы ионизированы. Тогда концентрация электронов в полупроводнике n - типа равна концентрации доноров N d , а концентрация дырок в полупроводнике p - типа равна концентрации акцепторов N a

nn = N d , p p = N a .

(3)

Электроны в полупроводнике n – типа и дырки в полупроводнике p – типа называются основными носителями, а дырки в полупроводнике n – типа и электроны в полупроводнике p – типа – неосновными носителями.

7

Если полупроводник одновременно легирован донорами с концентрацией N d и акцепторами с концентрацией N a , причем N d > N a , то результирующая концентрация электронов равна n n = N d − N a . Если напротив N a > N d , то результирующая концентрация дырок оказывается равной p p = N a − N d . Для расчета концентраций неосновных носителей воспользуемся законом действующих масс, который может быть получен при перемножении концентраций электронов и дырок в выражении (1) p ⋅ n = N C ⋅ NV ⋅ e

−

E C − EV kT

= N C ⋅ NV ⋅ e

−

Eg kT

2

= ni .

(4)

Тогда выражения концентраций электронов в полупроводнике p -типа и дырок в полупроводнике n - типа принимают вид 2

2

n n np = i = i , p p Na

2

2

n n pn = i = i . nn Nd

(5)

В выражениях(3) и (5) индексы n и p указывают на тип полупроводника. В случае полупроводника, легированного одновременно донорами и акцепторами, выражения np и pn в (5) принимают вид 2

ni np = , Na − Nd

2

ni pn = . Nd − Na

Пример. Определить концентрации электронов и дырок в следующих образцах кремния: - в собственном полупроводнике, - в полупроводнике n-типа, легированном донорами с концентрацией N d = 1015 см-3, - в полупроводнике p-типа, легированном акцепторами с концентрацией 17 N a = 10 см-3, - в полупроводнике, легированном донорами с концентрацией N d = 8·1016 см-3 и акцепторами с концентрацией N a = 2·1016 см-3. Образцы находятся при комнатной температуре (300 К). Все доноры и акцепторы считать ионизированными. Собственную концентрацию носителей принять равной 1,5·1010 см -3. Решение: - в собственном полупроводнике n = p = ni = 1,5·1010 cм -3; 2

- в полупроводнике n - типа nn = N d = 1015 см

-3

, pn =

ni (1,5 ⋅ 1010 ) 2 см = Nd 1015

-3

=

2,25·105 см -3; 2

- в полупроводнике p - типа

p p = Na = 1017 см -3,

np =

ni (1,5 ⋅ 1010 ) 2 см -3= = Na 1017

2,25·103 см -3; 8

- в полупроводнике, легированном донорами и акцепторами. Так как N d > N a , то образец является полупроводником n - типа n n = N d − N a = 6·1016 см -3 , ni 2 (1,5 ⋅ 1010 ) 2 -3 см =3,75·103см-3 pn = = 16 Nd − Na 6 ⋅ 10

Положение уровня Ферми в примесных полупроводниках относительно дна зоны проводимости ( EC − EF ) или потолка валентной зоны ( E F − EV ) может быть определено из выражений n и p в (1). Если все доноры и акцепторы ионизированы, то n = N d и p = N a . При этом непосредственно из (1) находим EC − EF = kT ⋅ ln

N NC , E F − EV = kT ⋅ ln V . Nd Na

(6)

Если полупроводник одновременно легирован донорами с концентрацией Nd и акцепторами с концентрацией Na , то выражения (6) принимают вид EC − E F = kT ⋅ ln

NC при N d > N a , Nd − Na

EF − EV = kT ⋅ ln

NV при N a > N d . Na − Nd

Из выражений (6) следует, что при очень сильном легировании полупроводников, когда N d > N C или N a > NV , уровень Ферми находится либо в зоне проводимости, либо в валентной зоне. Такие полупроводники называются вырожденными. Многие электронные свойства вырожденных полупроводников напоминают свойства металлов. В данном курсе эти свойства нами анализироваться не будут.

Пример: Определить положение уровня Ферми в образцах кремния, рассмотренных в предыдущем примере. Принять N C = 2,8·1019 см -3, NV = 1·1019 см -3, kT = 0,026 эВ. Проиллюстрировать полученные результаты зонными диаграммами для каждого из образцов. а) в собственном полупроводнике E + EV 1 EF ≈ Ei = C = ⋅ Eg = 0,55 эВ. 2 2 Здесь уровень Ферми отсчитывается от потолка валентной зоны.

9

б) в полупроводнике n – типа N 2,8 ⋅ 1019 = 0,266 эВ. EC − EF = kT ⋅ ln C = 0,026 ⋅ ln Nd 1015

в) в полупроводнике p – типа N 1 ⋅ 1019 = 0,12 эВ. E F − EV = kT ⋅ ln V = 0,026 ⋅ ln Na 1017

10

г) в полупроводнике, легированном донорами и акцепторами NC 2,8 ⋅ 1019 = 0,16 эВ. EC − EF = kT ⋅ ln = 0,026 ⋅ ln Nd − Na 6 ⋅ 1016

Явление переноса Дрейфовый ток В однородном полупроводнике при отсутствии внешнего поля свободные элек3 троны и дырки имеют тепловую энергию kT и перемещаются со случайными скоростя2 ми, имеющими порядок 107 см/с. При этом суммарный ток носителей равен 0. Если к полупроводнику приложить электрическое поле Е, то на фоне хаотического движения носителей возникает средняя скорость упорядоченного движения , называемая средней скоростью дрейфа. Плотность дрейфовых токов электронов и дырок (ток на единицу площади) пропорциональны концентрациям и их дрейфовым скоростям

( jn ) E = qnvn ,

( j p ) E = qpv p ,

где vn и v p – дрейфовые скорости электронов и дырок, q = 1,6·10-19 К - заряд электрона. Дрейфовые скорости в свою очередь пропорциональны полю Е:

vn = µ n E , v p = µ p E . Коэффициенты пропорциональности µ n и µ p носят названия подвижностей электронов и дырок. Их величины определяются механизмами рассеяния носителей в кристаллической решетке полупроводника. В кремнии подвижности электронов и дырок соответственно равны µ n = 1350 см2/В·с, µ p = 480 см2/В·с. Различие величин подвижностей

11

электронов и дырок связано с различием их эффективных масс. Подвижности падают с увеличением концентраций доноров N d и акцепторов N a , с ростом температуры и величины напряженности поля E . При полях, превышающих 104 В/см , происходит насыщение дрейфовых скоростей электронов и дырок на уровне 107 см/с . После этого дрейфовые скорости перестают увеличиваться с ростом поля Е. Носители, движущиеся с насыщенными дрейфовыми скоростями, называют горячими. С учетом выражений vn и v p плотности дрейфовых токов можно представить в виде

( jn ) E = qµ n nE , ( j p ) E = qµ p pE .

(7)

Направление дрейфовых токов ( jn ) E и ( j p ) E поясняется следующей диаграммой Тип носителей

Направление поля

Направление тока

E

Направление скорости носителей (vn ) E

n p

E

(v p ) E

( jp )E

( jn ) E

Сравнивая выражения ( jn ) E и ( j p ) E в (7) с записью закона Ома в дифференциальной форме j = σE , определим удельные проводимости, обусловленные движением электронов и дырок,

σn =

( jn ) E = qµ n n , E

σp =

( jp )E

E

= qµ p p .

Полный ток дрейфа определяется как сумма электронной и дырочной составляющих J E = ( jn ) E + ( j p ) E = q ( µ n n + µ p p ) E = σE .

(8) Величина σ =

ρ=

1

σ

jE - удельная проводимость материала. Обратная ей величина E

является удельным сопротивлением материала. Размерность ρ [ Ом· см]. В полу-

проводнике n - типа n ≈ N d , p ≈ 0, а в полупроводнике p - типа p ≈ N a , n ≈ 0. Следовательно, справедливы следующие приближенные равенства

σ n ≈ qµ n N d , σ p ≈ qµ p N a .

12

Пример. Определить удельное сопротивление образцов кремния, рассмотренных в предыдущих примерах. Принять ni = 1,5·1010 cм-3, µn = 1350 cм2/В·с, µ p = 480 м2/В·с. а) в собственном полупроводнике

ρi =

1

σi

=

1 1 = = 2,28· 105 Ом· см ; −19 q ( µ n ni + µ p ni ) 1,6 ⋅ 10 ⋅ 1,5 ⋅ 1010 ⋅ (1350 + 480)

б) в полупроводнике n – типа

ρn =

1

σn

=

1 1 = 4,63 Ом см ; = −19 qµ n N d 1,6 ⋅ 10 ⋅ 1350 ⋅ 1015

в) в полупроводнике р – типа

ρp =

1

σp

=

1 1 = = 0,13 Ом·см . −19 qµ p N a 1,6 ⋅ 10 ⋅ 480 ⋅ 1017

г) в полупроводнике легированном донорами и акцепторами. Учитывая, что N d > N a , найдем

ρn =

1

σn

=

1 1 = 0,077 Ом·см . = −19 qµ n ( N d − N a ) 1,6 ⋅ 10 ⋅ 1350 ⋅ 6 ⋅ 1016

Диффузионный ток Если концентрация свободных электронов или дырок оказывается пространственно неоднородной (рис.7), то на фоне хаотического теплового движения носителей наблюдается направленный перенос носителей из области с с высокой концентрацией в область с низкой концентрацией. Этот процесс называется диффузией, а порождаемый им ток называется диффузионным. Плотности диффузионных токов электронов (jn)D и дырок (jp)D пропорциональны градиентам концентраций этих носителей

( jn ) D = qDn

dn , dx

( j p ) D = −qD p

dp dx

(9)

Величины Dn и D p называются коэффициентами диффузии электронов и дырок соответственно. В кремнии Dn = 33 см2/с , D p = 12 см2/с. Отрицательный знак в выражении ( j p ) D связан с тем, что направление диффузионного тока дырок противоположно направлению градиента концентрации. Приведенная ниже диаграмма поясняет направление диффузионных токов

13

Тип носителей

Направление потока носителей электроны

Направление тока

n

Направление градиента концентрации dn/dx

p

dp/dx

дырки

( j p )D

( jn ) D

Коэффициенты диффузии электронов Dn и дырок D p , характеризующие скорость диффузионного процесса, связаны соотношением Эйнштейна с подвижностями носителей µn и µp , характеризующими скорость дрейфового процесса

Dn =

kTµ p kTµn = ϕT µn , D p = = ϕT µ p . q q

(10)

kT называется тепловым (или температурным) потенциалом. q При Т = 300 К ϕT = 0,026 В. Физический смысл этой связи (10) в том, что ограничение скорости, обоих механизмов движения определяется одной причиной: столкновениями носителей с дефектами кристаллической решётки. Поэтому коэффициенты диффузии зависят от температуры и концентрации легирующей примеси так же, как соответствующие подвижности. В общем случае свободные носители движутся под действием диффузии и дрейфа одновременно. При этом полный ток электронов и дырок равен сумме диффузионного и дрейфового токов. С учетом выражений (7) и (9) запишем уравнения переноса для электронов и дырок

Величина ϕT =

jn = ( jn ) E + ( jn ) D = qµ n nE + qDn

dn dx

j p = ( j p ) E + ( j p ) D = qµ p pE + qD p

dp dx

(11)

(12)

Если полупроводник с пространственно неоднородным распределением концентрации электронов или дырок находится в состоянии термодинамического равновесия (без внешнего воздействия), то результирующий ток электронов и дырок очевидно равен нулю. Это означает, что согласно (11) и (12) диффузионный ток уравновешивается соответствующим дрейфовым током. Пусть для определенности полупроводник легирован акцепторами, концентрация которых изменяется с координатой как N a ( x) . Если все акцепторы ионизированы, то концентрация дырок в каждом объеме полупроводника равна концентрации акцепторов, т.е. p ( x) = N a ( x) . Полагая в (12) j p = 0, найдем величину поля E , которая соответствует имеющемуся градиенту концентрации дырок

E=

D p 1 dp 1 dp ⋅ = ϕT ⋅ µ p p dx p dx

Это поле называется встроенным. Оно появляется вследствие того, что ушедшие за счет диффузии дырки оставляют за собой отрицательные ионы акцепторов, которые и создают поле E , препятствующее дальнейшему движению дырок.

14

Пример. Определить величину электрического поля в базе транзистора шириной WБ = 10 -3 см.Концентрация акцепторов в пределах базы изменяется экспоненциально от N a (0) = 1017 см-3 до N a (WБ ) = 1015 см-3 . Все атомы акцепторной примеси считать ионизированными. Запишем распределение концентрации акцепторов в базе N a ( x ) = N a ( 0) ⋅ e − α ⋅ x .

Постоянную спада α найдем из уравнения N a (WБ ) = N a (0) ⋅ e −α ⋅WБ

α=

1 N (0) 1017 ⋅ ln a = 103 ⋅ ln 15 = 4,6 ·103 см -1 . WБ N a (WБ ) 10

Определим величину поля в базе

E = ϕT

− α ⋅ N a (0) ⋅ e −α ⋅x N a (0) ⋅ e

−α ⋅ x

= −αϕ T = - 4,6·103·26·10-3 = - 120 В/см .

Знак минус в выражении поля означает, что поле направлено противоположно направлению координаты (рис.7). Na

1017

E

1016

1015

1014 0

5

10

x,мкм

Рис.7 Распределение концентраций акцепторов Na(x) и направление встроенного поля E Пример. Определить время пролета электронов через базу транзистора, Ширина базы и распределение концентрации акцепторов в базе такие же, как в предыдущем примере. Электроны поступают в базу через границу с координатой х=0 (рис.7) и имеют подвижность 1000 см2/В·с . Механизм движения электронов через базу считать дрейфовым. W W t = Б = Б = 10-3/120·103 = 0,8·10-8c = 8 нс . vn µn E

15

Генерация и рекомбинация Если полупроводник выходит из состояния термодинамического равновесия, то нарушается закон действующих масс: pn ≠ ni2 . При этом в полупроводнике проявляются кинетические процессы, приводящие к восстановлению равновесия. Если pn > ni2 , происходит рекомбинация носителей (взаимное исчезновение электрона и дырки).Если pn < ni2 , происходит генерация носителей. Взаимосвязанные процессы генерации и рекомбинации носителей называют процессом рекомбинации. Рассмотрим два основных механизма рекомбинации: - рекомбинация зона-зона (прямые переходы носителей из зоны проводимости в валентную зону или обратно); - рекомбинация через центры рекомбинации (разрешенные энергетические состояния в запрещенной зоне). Переходы электронов из одной зоны в другую через рекомбинационные центры называют непрямыми переходами. При прямых переходах электрон непосредственно рекомбинирует с дыркой. Сохранение энергии при рекомбинации обеспечивается за счет испускания светового кванта. Такая рекомбинация называется излучательной. Генерационный процесс обратный излучательной рекомбинации – это оптическое возбуждение электронно-дырочных пар. Полупроводники, для которых характерна излучательная рекомбинация, например GaAs, используются в светодиодах и полупроводниковых лазерах. При непрямых переходах рекомбинационные центры играют роль переходной ступени. Электроны из зоны проводимости попадают сначала в центр рекомбинации, затем переходят на вакантное состояние в валентной зоне, рекомбинируя таким образом с дыркой. Энергия, выделяющаяся при непрямых переходах, передается колебаниям решётки, в результате чего температура решётки увеличивается. Такая рекомбинация называется безизлучательной. В полупроводниковых приборах на основе кремния рекомбинация является безизлучательной, поэтому они не могут использоваться в качестве источников излучения. Количественной характеристикой интенсивности рекомбинационного процесса является скорость рекомбинации R. Это количество носителей, рекомбинирующих в единице объема в единицу времени. Иными словами – это изменение концентрации носителей за счет рекомбинации в единицу времени. При низком уровне инжекции, когда избыточная концентрация неосновных носителей много меньше концентрации основных ( ∆n p « ppo ≈ N a или ∆pn « nno ≈ N d ), скорость рекомбинации пропорциональна избыточной концентрации носителей:

- для электронов в области р-типа

Rn =

- для дырок в области n-типа

Rp =

dn p

=

− (n p − n po )

=

− ∆n p

,

(14)

dp n − ( p n − p no ) − ∆p n = = . dt τp τp

(15)

dt

τn

τn

В этих выражениях np и pn – текущие концентрации, npo и pno – равновесные концентрации, ∆np = np - npo и ∆pn = pn – pno – избыточные концентрации электронов и дырок в областях p и n – типов соответственно. Величины τn и τp – времена жизни электронов в p – области и дырок в n – области. Знак минус в выражениях Rn и Rp отражает факт снижения концентраций носителей за счет механизма рекомбинации. Однородные уравнения (14) и (15) описывают изменение избыточной концентрации неосновных носителей за счет рекомбинации, когда внешнее возбуждение исчезает

16

−t

−t

τn

τp

∆n p (t ) = ∆n p (0) ⋅ e ,

∆pn (t ) = ∆pn (0) ⋅ e .

(16)

Здесь ∆np(0) и ∆pn(0) – избыточные концентрации электронов и дырок в момент исчезновения внешнего возбуждения. Из (16) следует, что время жизни это интервал времени, в течение которого избыточная концентрация неосновных носителей уменьшается за счет рекомбинации в е раз. Величины времени жизни в различных полупроводниках в зависимости от их назначения изменяются от единиц наносекунд до единиц миллисекунд. Пример. В полупроводнике n-типа за счет фотогенерации избыточная концентрация дырок составила ∆pn(0) = 1016 см -3. Через t1 = 10-4 с после прекращения генерации величина ∆pn уменьшилась за счет рекомбинации на порядок и составила ∆pn(t1) =1015см-3. Определить время жизни дырок τp в полупроводнике. После прекращения генерации избыточная концентрация дырок изменяется по −t

закону ∆pn (t ) = ∆pn (0) ⋅ e

τp

. − t1

Величину τ p найдем из уравнения ∆pn (t1 ) = ∆pn (0) ⋅ e

τp =

τp

.

10 −4 t1 = = 0,43·10 -4 c = 43мкс. ∆pn (0) ln 10 ln ∆pn (t1 )

Уравнения непрерывности и Пуассона В уравнениях переноса (11) и (12) помимо нестационарных концентраций электронов и дырок n(x,t) , p(x,t) неизвестными величинами являются соответствующие плотности токов jn(x,t) , jp(x,t) и электрическое поле Е. Таким образом, уравнения переноса должны быть дополнены ещё тремя уравнениями. Два из них могут быть получены из условия непрерывности потоков электронов и дырок, а в качестве третьего может быть использовано уравнение Пуассона. Для получения уравнения непрерывности рассмотрим слой полупроводника площадью S и толщиной dx вблизи координаты x (рис.8). Результирующее изменение числа электронов за единицу времени в слое равно ∂n ∂n -изменение числа ⋅ S ⋅ dx , где ∂t ∂t электронов в единице объема в единицу времени, а S ⋅ dx - объем слоя. Это изменение количества электронов равно алгебраической сумме 4 компонент:

j n ( x + dx ) ⋅ S - числа q электронов, поступающих в слой в единицу времени;

Рис.8 К выводу уравнения непрерывности.

17

jn ( x) ⋅ S - числа электронов, выходящих из слоя в единицу времени; q GnSdx - числа электронов, генерированных в слое в единицу времени;

RnSdx - числа электронов, прорекомбинировавших в слое в единицу времени

j ( x + dx) ⋅ S j n ( x) ⋅ S ∂n S ⋅ dx⋅ = n − + (Gn − Rn ) ⋅ S ⋅ dx . ∂t q q

Разложим в ряд Тейлора член jn ( x + dx) , ограничиваясь двумя членами ряда

jn ( x + dx) = jn ( x) + dx

∂jn . ∂x

После подстановки jn ( x + dx) в исходное уравнение получим уравнение непрерывности для электронов ∂n 1 ∂j n = + G n − Rn . ∂t q ∂x

(17)

Аналогичное уравнение для дырок имеет вид

∂p 1 ∂j p =− + G n − Rn . ∂t q ∂x

(18)

Знак минус в этом уравнении связан с изменением знака заряда носителей. Уравнение Пуассона связывает распределение поля Е(х) или потенциала φ(х) с распределением плотности заряда ρ(х) dE d 2ϕ ρ ( x ) =− 2 = , dx ε 0ε dx

(19)

где ε0 = 9·10-14 Ф/см , ε – диэлектрическая проницаемость полупроводника,

ρ ( x) = q ⋅ [ p( x) − n( x) + N d ( x) − N a ( x)] Уравнения переноса (11), (12), непрерывности (17), (18) и Пуассона (19), дополненные начальными и граничными условиями, позволяют определить величины n, p, jn, jp и Е как функции координаты и времени.

18

Контактные явления в полупроводниках p – n - переход P – n – переход в равновесном состоянии Рассмотрим два равномерно легированных участка кремния: n - типа с концентрацией доноров Nd и p - типа с концентрацией Na. Каждому атому донорной примеси в n - области соответствует положительно заряженный ион и свободный электрон в зоне проводимости. Каждому атому акцепторной примеси в p - области соответствует отрицательный ион и дырка в валентной зоне. Следовательно, в n - области много свободных электронов ( nn 0 = N d ), а в p - области много дырок ( p p 0 = N a ). Согласно закону дейст2

вующих масс в равновесной системе nn 0 pn 0 = p p 0 n p 0 = ni = const . Это означает, что в n 2 области практически нет дырок ( p n 0 = n i ), а в p - области практически нет электронов

Nd

2

( n p0 =

ni ). Предположим, что эти две области соединены в единый монокристалл кремNa

ния (рис.9).

Рис.9 Схематическое изображение p - n – перехода. Область, прилегающую к границе между p и n – областями, называют p-n – переходом. Большие перепады концентраций электронов и дырок между p и n -областями порождают в области перехода большие токи диффузии электронов (jn)D и дырок (jp)D. Электроны диффундируют в область p - типа, оставляя за собой неподвижные положительные ионы доноров. Дырки диффундируют в область n - типа, оставляя за собой неподвижные отрицательные ионы акцепторов. Фиксированные в переходной области p-n - перехода заряды ионов доноров и акцепторов образуют дипольный слой с электрическим полем Е, направ-

19

ленным от n к p - области. Поле препятствует переходу основных носителей из одной области в другую. Иными словами между p и n - областями образуется потенциальный барьер. Одновременно поле порождает токи дрейфа электронов (jn)E и дырок (jp)E , направленные встречно соответствующим токам диффузии. В условиях термодинамического равновесия (при отсутствии внешнего напряжения) токи диффузии и дрейфа равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому суммарные токи электронов и дырок равны нулю. Область вблизи перехода, в которой существует сильное электрическое поле Е, называется областью пространственного заряда (ОПЗ) или обедненной областью. Эта область обеднена подвижными носителями (электронами и дырками), поскольку они удалены оттуда электрическим полем. Следовательно, объемный заряд в ОПЗ практически полностью состоит из ионов доноров и акцепторов. За пределами ОПЗ области n и p – типов нейтральны, так как неподвижные заряды ионов доноров и акцепторов в этих областях скомпенсированы подвижными зарядами электронов и дырок. Изобразим энергетические диаграммы p и n - областей до соприкосновения (рис.10а и 10б) и после образования p-n - перехода (рис.10в).

Рис.10 Диаграмма энергетических уровней: а и б – разделенных монокристаллов p и n – типов соответственно; в p - n – перехода, возникшего после контакта областей p и n – типов. На рис.10 помимо рассмотренных ранее показаны новые энергетические параметры полупроводника: qФp и qФn – работы выхода полупроводников p и n - типов соответственно. Это разности между энергией вакуума Е0 и энергией уровня Ферми.qχ – сродство к электрону полупроводника. Оно равно энергии электрона, переходящего со дна зоны про-

20

водимости Ес на уровень вакуума Е0. Еi - энергия середины запрещенной зоны, практически совпадающая с уровнем Ферми в собственном полупроводнике. При построении диаграммы p-n - перехода исходили из того, что в равновесной системе, в которой выполняется закон действующих масс p·n = ni2 , уровень Ферми в обеих областях постоянен. Для реализации этого условия диаграмма полупроводника n типа (рис.10б) смещена вниз относительно диаграммы полупроводника p - типа (рис.10а) так, чтобы уровни Ферми на обеих диаграммах совпали. При этом, как видно из рис.10в, потенциальный барьер между p и n - областями равен исходной разности уровней Ферми в разделенных областях полупроводника qU0 = EFn - EFp. Так как энергия сродства к электрону qχ величина, не зависящая ни от типа, ни от концентрации легирующей примеси, то она должна быть постоянна во всех точках диаграммы p–n - перехода (рис.10в). Это значит, что уровень вакуума Е0 изменяется так же, как уровни Ес и Еv . Изгиб зон осуществляется в пределах ОПЗ, которая располагается между координатами xp и xn , т.е. там, где имеется электрическое поле Е. При x<xp и x>xn поля нет (нейтральные области), там энергии уровней Е0, Ес и Еv постоянны. Таким образом, вдали от p-n - перехода энергетические диаграммы, такие же как в разделенных p и n - областях (рис.10а и 10б). Вопрос о ширине ОПЗ W = xn – xp , будет рассмотрен ниже. На диаграмме, приведенной на рис.10в, отсчет всех уровней энергии производится относительно уровня вакуума Е0. Однако в тех случаях, когда все рассматриваемые области состоят из одного материала (например, из кремния), а, следовательно, величина qχ постоянна во всех точках диаграммы, за точку отсчета можно принять любой уровень собственно полупроводника, например Еv , Ес или Еi. При этом, нет надобности показывать на диаграмме уровень вакуума и связанные с ним параметры, что упрощает саму диаграмму (рис.11).

Рис.11 Диаграмма энергетических уровней p - n – перехода в условиях термодинамического равновесия.

Рассчитаем в условиях термодинамического равновесия величину контактной разности потенциалов U0 (рис.10в и 11), полагая в уравнении переноса (12) суммарный ток дырок равным 0

j p = qµ p pE − qD p

dp =0. dx

21

dϕ , где φ- потенциал, а также используя соотношение Эйнштейна dx D p = ϕT ⋅ µ p , получим dϕ dp . −p = ϕT dx dx

Учитывая, что E = −

Выполним разделение переменных и проинтегрируем это уравнение в пределах ОПЗ, т.е. от –xp до xn (рис.9). Как следует из рис.9 p (− x p ) = p p 0 , p ( xn ) = pn 0 , а контактная разность потенциалов U 0 = ϕ ( xn ) − ϕ (− x p ) . ϕ ( xn )

∫

−

pn 0

∫

dϕ = ϕ T

ϕ (− x p )

p p0

dp . p

После выполнения интегрирования получим

U 0 = ϕT ⋅ ln

p p0 pn0

.

(20)

Так как согласно закону действующих масс p n 0 ⋅ nn 0 = ni2 , то выражение (20) можно переписать в виде

U 0 = ϕ T ⋅ ln

p p0 nn0 ni2

= ϕ T ⋅ ln

Na Nd ni2

.

(20а)

Из выражения (20) можно найти соотношение концентраций дырок по обе стороны ОПЗ (рис.9) −

pn0 = p p 0 ⋅ e

U0

ϕΤ

.

(21)

Аналогичное соотношение может быть записано для электронов −

n p 0 = nn 0 ⋅ e

U0

ϕΤ

.

(22)

Пример. В кремниевом p-n – переходе концентрация акцепторов в p – области Na = 1018 см -3, концентрация доноров в n - области Nd = 6·1014 см -3, собственная концентрация в кремнии ni = 1,5·1010 см -3, тепловой потенциал φT = 0,026 В. Определить контактную разность потенциалов U0 , считая все акцепторы и доноры – ионизированными

U = ϕ T ⋅ ln 0

Na Nd 2

ni

= 0,026 ⋅ ln

1018 ⋅ 6 ⋅ 1014 2,25 ⋅ 10

= 0,72 В.

20

22

P – n – переход при прямом смещении В условиях термодинамического равновесия (при нулевом внешнем напряжении на p – n – переходе) токи диффузии и дрейфа уравновешивают друг друга. При прямом смещении, когда к выводам p – n – перехода прикладывается прямое напряжение Uпр (рис.12), это равновесие нарушается. В ОПЗ появляется компонент электрического поля Евнеш , направленный встречно полю Е, образованному зарядами ионов доноров и акцепторов (рис.12). Это эквивалентно снижению потенциального барьера p – n – перехода на величину приложенного напряжения U0 - Uпр . За счет ослабления поля в переходе уменьшаются дрейфовые токи электронов и дырок (7), и токи диффузии (9) становятся преобладающими. Дырки диффундируют через переход в область n- типа, а электроны в область p – типа. Этот процесс называется инжекцией носителей. В результате инжекции возрастают концентрации неосновных носителей pn(x) и np(x) по обе стороны перехода. Под действием градиента концентрации неосновные носители диффундируют вглубь областей p и n – типов. По мере движения они рекомбинируют с основными носителями, поэтому вдали от перехода снова восстанавливаются равновесные концентрации неосновных носителей pn0 и np0 . Исчезнувшие в результате рекомбинации неосновные носители пополняются за счет диффузии со стороны p – n – перехода, а основные – за счет дрейфа со стороны омических контактов. В итоге возникает постоянный прямой ток.

Рис.12 p - n – переход при прямом смещении. Найдем отношение электронного и дырочного токов через переход, считая их диффузионными (9) J n ( 0) ~

dn ∆n N d ≈ ≈ , dx W W

J p (0) ~

dp ∆p N a ≈ ≈ . dx W W

23

В этих выражениях ∆n и ∆p – перепады концентрации электронов и дырок по обе стороны перехода, W – ширина ОПЗ, в пределах которой реализуются эти перепады. Таким образом, J n ( 0) N d . ≈ J p ( 0) N a

В резко ассимметричных p-n – переходах Nd » Na или Na » Nd . Это означает, что инжекция в таких переходах практически односторонняя. Сильнолегированная область, из которой осуществляется инжекция основных носителей, называется эмиттером. Слаболегированная область, в которую инжектируются эти носители, называется базой. Отметим, что носители, инжектированные в базу, становятся в ней неосновными. При построении энергетических диаграмм прямосмещенного p – n – перехода необходимо иметь в виду, что условие термодинамического равновесия нарушено. В неравновесной системе закон действующих масс, сформулированный в виде p·n = ni2 , неприменим, а уровень Ферми в p и n – областях не является постоянным. По этой причине вместо уровней Ферми используется понятие квазиуровней Ферми: EFn в области n – типа и EFp в области p – типа. Их определяют таким образом, чтобы сохранить соотношение между собственной концентрацией ni и концентрациями электронов и дырок в том же виде как при термодинамическом равновесии (2б) n = ni ⋅ e

EFn − Ei kT

Ei − EFp

p = ni ⋅ e

,

kT

.

(24)

Выполнив подстановки

ϕn =

− E Fn , q

ϕp =

− E Fp q

ϕi =

,

− Ei , q

представим выражения концентраций электронов и дырок в виде n = ni ⋅ e

ϕi −ϕ n ϕT

ϕ p −ϕi

p = ni ⋅ e

,

ϕT

.

(25)

В этих выражениях φn и φp называют квазипотенциалами электронов и дырок соответственно, φi – электростатическим потенциалом. Найдем произведение концентраций электронов и дырок ϕ p −ϕ n

E Fn − E Fp 2 i

n⋅ p = n ⋅e

kT

2 i

= n ⋅e

ϕT

.

(26)

Из выражения (26) следует, что расстояние между квазиуровнями Ферми представляет собой меру отклонения полупроводника от состояния термодинамического равновесия.На рис.13 показана диаграмма энергетических уровней прямосмещенного p – n – перехода. Там же для сравнения приведена диаграмма несмещенного перехода, изображенная на рис.11.

24

а

б Рис.13 Диаграммы энергетических уровней: а - p - n – перехода в равновесном состоянии; б - p - n – перехода при прямом смещении. Построение диаграммы прямосмещенного перехода выполнено в следующей последовательности. Первоначально произвольно устанавливается квазиуровень Ферми в одной из областей, например в р – области EFp. Далее он дополнен собственным уровнем Ферми Ei согласно выражению (24), в котором p = Na , Ei – EFp = kT·ln(Na /ni). Так как уровень Ei располагается посредине запрещенной зоны шириной Eg , то диаграмма дополнялась изображением дна зоны проводимости (энергия Ec) и потолка валентной зоны (энергия Ev) в области р – типа. Учитывая, что расстояние между квазиуровнями Ферми в р и n – областях равно qU, где U – приложенное напряжение, следующим шагом устанавливается квазиуровень Ферми в n - области EFn . Так же как в p – области диаграмма дополнялась собственным уровнем Ферми Ei, а также уровнями Ec и Ev в n – области. Наконец, зоны проводимости и валентные зоны обеих областей (уровни Ес и Еv) соединяли через область пространственного заряда (ОПЗ), ширина которой W = xn - xp.Напомним, что на данной диаграмме, как и на всех предшествующих, энергия электронов увеличивается вверх, а энергия дырок – вниз.

25

Вольт-амперная характеристика p – n – перехода при прямом смещении Уравнение Шокли При выводе вольт-амперной характеристики (ВАХ) будем использовать обозначения, принятые на рис.9. Для упрощения анализа примем следующие допущения. 1. В ОПЗ (-xp<x <xn) выполняется условие обеднения, согласно которому концентрации электронов и дырок в ОПЗ пренебрежимо малы. Это допущение оправдано наличием в ОПЗ сильного электрического поля Е, которое перебрасывает подвижные носители (электроны и дырки), попавшие в ОПЗ, в соответствующие нейтральные области. 2. В ОПЗ электроны и дырки не рекомбинируют. Это эквивалентно тому, что токи электронов и дырок в пределах ОПЗ неизменны. Следовательно, токи электронов и дырок на левой границе ОПЗ (х = - хр) равны соответствующим токам на правой границе (х = хn). Такое допущение оправдано тем, что в ОПЗ практически отсутствует накопление концентраций подвижных носителей. 3. Все внешнее напряжение U приложено к ОПЗ, так как это самая высокоомная область p – n – перехода. 4. Уровень инжекции в обеих областях низкий. 5. Генерация носителей отсутствует Gn = Gp = 0, а скорости рекомбинации электронов и дырок пропорциональны их избыточным концентрациям. Согласно допущению 1 анализ физических процессов в ОПЗ и в нейтральных областях может производиться независимо. При в этом в ОПЗ анализируется только уравнение Пуассона (19), а в нейтральных областях – только уравнения непрерывности (17) и (18). Вывод вольт-амперной характеристики прямосмещенного p – n – перехода связан с анализом уравнений непрерывности. Согласно допущению 4 концентрации неосновных носителей, инжектированных в p и n – области, много меньше концентраций основных носителей в этих областях. ∆np « pp0 ≈ Na и ∆pn « nn0 ≈ Nd. Так как в силу зарядовой нейтральности избыточные концентрации основных и неосновных носителей равны ∆np= ∆ pp и ∆pn = ∆nn , то полные концентрации основных носителей p = pp0 + ∆pp и n = nn0 +∆nn в результате инжекции практически не меняются. Вместе с тем, концентрации неосновных носителей np = np0 + ∆np и pn = pn0 + ∆pn изменяются на несколько порядков. Таким образом, можно ограничиться анализом уравнений непрерывности только для неосновных носителей. Согласно допущению 3 электрическое поле в нейтральных областях практически отсутствует. Это позволяет пренебречь дрейфовыми компонентами в уравнениях переноса (11) и (12), а оставшиеся диффузионные члены подставить непосредственно в уравнения непрерывности (17) и (18). Согласно допущению (5) генерационные члены Gn и Gp в уравнениях непрерывности можно опустить, а скорости рекомбинации электронов и дырок Rn и Rp представить в виде выражений (14) и (15). Наконец в силу того, что выводится стационарная воль-амперная характеристика при постоянном напряжении смещения U, следует решать стационарные уравнения непрерывности, полагая в (17) и (18)

∂n ∂p = = 0. ∂t ∂t С учетом сформулированных допущений уравнения непрерывности (17) и (18) приводятся к виду

26

Dn ⋅

d 2n p n p − n p0 − =0, τn dx 2

(27)

Dp ⋅

d 2 pn pn − pn 0 − = 0. dx 2 τp

(28)

Разделим все члены уравнения (27) на Dn , а уравнения (28) на Dp и введем обозначения Ln = Dn ⋅ τ n и L p = D p ⋅ τ p . Имея в виду, что np0 и pn0 являются константами, вычтем их под знаками дифференциалов в (27) и(28) соответственно из np и pn. При этом уравнения (27) и (28) будут записаны относительно избыточных концентраций неосновных носителей ∆np = np – np0 и ∆pn = pn – pn0 d 2∆n p dx 2

−

∆n p Ln

2

= 0,

d 2∆pn ∆ pn − =0 2 dx 2 Lp

(29)

.

(30)

Уравнения (29) и (30) называются уравнениями диффузии, а входящие в них параметры Ln и Lp – диффузионными длинами электронов и дырок соответственно. Физически диффузионная длина есть среднее расстояние, проходимое диффундирующей частицей (электроном или дыркой) до рекомбинации. Для завершения математической модели процесса диффузии неосновных носителей необходимо сформулировать граничные условия к уравнениям (29) и (30). Так как анализ этих уравнений совершенно идентичен, ограничимся нахождением решения уравнения (30) для дырок в n – области. Будем считать, что ширина нейтральной n-области превосходит диффузионную длину дырок в ней не менее чем в 3 раза: wn ≥ 3Lp. Тогда при удалении от перехода на две диффузионные длины концентрация инжектированных дырок снижается практически до равновесного значения pn0 и перестает изменяться с ростом координаты. Граничное условие, соответствующее данному случаю, выражается следующим образом lim pn ( x) = pn 0 x →∞

Учитывая, что pn(x) = pn0 + ∆pn(x), это условие можно представить в более удобном виде

lim ∆pn ( x) = 0 .

(31)

x →∞

В качестве второго граничного условия установим соотношение равновесной и неравновесной концентраций дырок на границе ОПЗ с нейтральной n – областью (x = xn). Это соотношение может быть получено так же, как было получено выражение (22) для несмещенного p – n – перехода. Однако, проще и нагляднее его получить иначе. Согласно выражению (26) произведение неравновесных концентраций основных и неосновных носителей в точке x = xn имеет вид E Fn − E Fp 2 i

nn ( xn ) ⋅ pn ( xn ) = n ⋅ e

kT

(26а)

27

Как уже отмечалось, при низком уровне инжекции неравновесные концентрации основных носителей в нейтральных областях практически равны равновесным. Следовательно nn ( xn ) ≈ nn 0 . В соответствии с законом действующих масс ni2 = nn 0 ⋅ p p 0 . Из диаграммы энергетических уровней на рис.13 следует, что EFn − EFp = qU . После подстановки указанных величин в (26а) приходим к следующему граничному условию U

p n ( xn ) = p n0 ⋅ e

ϕT

, где ϕT =

kT . q

Переходя к избыточной концентрации дырок ∆pn(x), полученное условие представим в виде U

∆pn ( xn ) = pn 0 (e

ϕT

− 1) .

(32)

Уравнение (30) является линейным, однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение представляет линейную комбинацию экспонент −

∆pn ( x) = A ⋅ e

x Lp

+ B⋅e

x Lp

.

(33)

Постоянные интегрирования А и В находятся из граничных условий, сформулированных выше. Из граничного условия (31) следует, что В=0. При этом выражение (33) упрощается −

∆pn ( x) = A ⋅ e

x Lp

.

(33a)

Постоянная интегрирования А находится из граничного условия (32) U

A = pn 0 (e

ϕT

− 1)e

xn Lp

.

Таким образом, распределение избыточной концентрации дырок в n – области имеет вид U

∆pn ( x) = pn ( x) − pn 0 = pn 0 (e

ϕT

− 1)e

xn − x Lp

при x ≥ xn .

(34)

Если повторить выполненный анализ для электронов в р - области , то получим аналогичное выражение распределения избыточной концентрации электронов в р-области xp +x

U

∆n p ( x) = n p ( x) − n p 0 = n p 0 (e

ϕT

− 1)e

Ln

при x ≤ -xp .

(35)

28

Предлагаем самостоятельно получить это выражение, решив уравнение диффузии (29) с граничными условиями U

ϕ lim ∆n p ( x) = 0 ; ∆n p (− x p ) = n p 0 (e T − 1) .

x →−∞

Плотности токов электронов и дырок найдем из уравнений переноса (11) и (12) с учетом того, что согласно допущению 3 электрическое поле в нейтральных областях отсутствует (Е = 0). dn p dp j p = −qD p n (36) j n = qDn ; dx dx После подстановки в (36) pn(x) и np(x) из (34) и (35) найдем плотности электронного и дырочного токов как функции координаты

jn ( x) =

j p ( x) =

qD n n p 0 Ln qD p p n 0 Lp

xp+x

U

⋅ (e

ϕT

− 1) ⋅ e

U

⋅ (e

ϕT

− 1) ⋅ e

Ln

xn − x Lp

при x ≤ - xp ,

(37)

при x ≥ xn .

(38)

Из выражений (34), (35) и (37), (38) следует, что избыточные концентрации и плотности токов неосновных носителей экспоненциально снижаются по мере удаления от перехода. Это связано с рекомбинацией носителей в процессе их диффузионного движения. На рис.14а в логарифмическом масштабе показаны распределения концентраций основных и неосновных носителей в р и n – областях. Концентрации неосновных носителей показаны сплошными линиями, а основных – штриховыми.

а

б

Рис.14 Распределение концентраций и плотности токов электронов и дырок в p и n – областях. а - распределение концентраций основных (штриховые кривые) и неосновных (сплошные кривые) носителей в p и n – областях, б - плотности токов основных (штриховые кривые) и неосновных (сплошные кривые) носителей в p и n – областях. 29

Так как анализ выполнен в предположении низкого уровня инжекции, то концентрации основных носителей pp0 и nn0 в результате инжекции практически не изменились. В то же время концентрации неосновных носителей по сравнению со своими равновесными значениями изменились на несколько порядков. На рис.14б сплошными кривыми показано изменение плотностей токов неосновных носителей в р и n – областях, а штриховыми – основных носителей. В верхней части рисунка показана результирующая плотность тока через переход, которая постоянна в каждой точке х и равна сумме плотностей токов основных и неосновных носителей. Напомним, что ток инжектированных неосновных носителей является током диффузии, а ток основных носителей – током дрейфа, идущим на компенсацию рекомбинационных потерь. Плотность тока в каждом сечении полупроводника равна сумме электронной и дырочной составляющих в данном сечении (в данной координате x). Запишем выражение плотности тока в точке x = xn j = jn ( xn ) + j p ( xn ) .

jn ( xn ) = j p (− x p ) . Следовательно

Согласно допущению 2

j = jn (− x p ) + j p ( xn ) ,

(39) т.е. плотность тока через p – n – переход равна сумме плотностей токов неосновных носителей на границах ОПЗ (рис.9). Подставляя в (39) значения jn(-xp) из (37) и jp(xn) из (38), получим уравнение вольт-амперной характеристики p – n – перехода j=(

Введем обозначение j s =

qDn n p 0

qDn n p 0 Ln

Ln

+

+

qD p pn 0 Lp

qD p p n 0 Lp

U

)(e ϕT − 1) .

(40)

2 qDn ni2 qD p ni и перепишем уравнение = + Ln N a Lp Nd

(40) в виде U

j = j s (e

ϕT

− 1)

(40a)

Это уравнение называют формулой Шокли. Величину js называют плотностью тока насыщения. Важно отметить, что она определяется только параметрами полупроводника и не зависит от режима работы p – n – перехода (от тока через переход и напряжения на переходе). Оценим порядок величины js в кремниевом переходе, считая ее равной слагаемому, обусловленному дырочным током через переход. Напомним, что в резко ассимметричных p – n – переходах инжекция практически односторонняя. Зададимся типичными значениями параметров: q = 1,6·10-19 K, Dp = 12 см2/с, ni = 1,5·10-10 см-3, Lp = 10 мкм = 10-3 см, Nd = 1015 см-3 js ≈

qD p pn 0 Lp

=

qD p ni

2

L p nn 0

=

qD p ni Lp N d

2

=

1,6 ⋅ 10−19 ⋅ 12 ⋅ (1,5 ⋅ 1010 ) 2 = 4,3 ⋅ 10−10 А/см2. 10− 3 ⋅ 1015

30

Таким образом величина js имеет порядок 10-10 А/см2. Столь низкое значение плотности тока насыщения определяет специфику вольт-амперной характеристики перехода. Проанализируем вид этой характеристики. Рабочие плотности тока диодных структур имеют порядок 100 А/см2. Определим из уравнения (40а) напряжение на переходе, при котором плотность тока оказывается на три порядка меньше, т.е. 0,1 А/см2. При js ≈ 10-10 А/см2 для реализации указанного условия множитель exp(U/φT) должен составить 109. Этому соответствует напряжение U = φTln109 = 0,55 В. При меньших значениях напряжения ток через p -n - переход пренебрежимо мал. Эту величину напряжения будем называть напряжением отсечки. Для кремниевых приборов оно составляет 0,5 – 0,6 В. Отметим, что величина потенциального барьера U0 , являющегося теоретическим пределом прямого напряжения на p - n - переходе, согласно (21) примерно равна 0,75 В, т.е. отличается от напряжения отсечки всего на 0,2 В. Для понимания дальнейшего хода вольт-амперной характеристики определим какое напряжение ∆U необходимо приложить к p–n – переходу, чтобы ток через переход увеличился в 10 раз. Графическая иллюстрация этой задачи приведена на рис.15. Пренебрежём в (40а) единицей по сравнению с экспоненциальным членом. Тогда в точке 1 вольтамперной харатеристики можно записать U1

I1 = I s ⋅ e

ϕT

.

Аналогично в точке 2 имеем U2

I 2 = I s ⋅ e ϕT . Последние два уравнения записаны относительно токов, а не плотностей токов. Поделим второе уравнение на первое

Рис.15 Вольт – амперная

I2 =e I1

характеристика p – n - перехода.

Так как по условию

U 2 −U 1

ϕT

∆U

= e ϕT .

I2 = 10 , то после выполнения логарифмирования получим I1 ∆U = ϕT ln

I2 = ϕT ln 10 = 0,06 B. I1

Таким образом, для увеличения тока на порядок необходимо приращение напряжения на переходе всего 60 мВ. Следовательно, при напряжениях, превышающих напряжение отсечки, вольт-амперная характеристика очень крутая. По этой причине во всем диапазоне изменения рабочих токов напряжение на p – n – переходе изменяется не более чем на 0,2 В. Пример. Напряжение на p – n – переходе уменьшилось на величину ∆U = φТ = 26 мВ. Во сколько раз изменится ток через переход. Запишем отношение первоначального тока через p – n - переход I1 к току I2 после изменения напряжения на переходе

31

U1

∆U

I1 I s e ϕT = = e ϕT , U2 I2 I s e ϕT

где ∆U = U1 – U2 .

По условию ∆U = φT . Следовательно,

I1 = e .Таким образом, ток через переход уменьI2

шился в e = 2,71 раз. Рассмотренный вид вольт-амперной характеристики типичен для p – n – переходов, изготовленных из различных материалов. Вместе с тем, они существенно различаются напряжениями отсечки, что связано с различием их собственных концентраций. Так как плотность тока насыщения js пропорциональна квадрату собственной концентрации, то в германиевых переходах величина js на 6 порядков выше, а в арсенидгаллиевых на 8 порядков ниже, чем в кремниевых. Этому соответствует напряжение отсечки 0,15 ÷ 0,2 В в германиевых приборах и 1÷1,2 В в арсенидгаллиевых. На рис.16 приведены вольтамперные характеристики трех p-n-переходов из различных материалов.

Рис.16 Вольт - амперные характеристики германиевого, кремниевого и арсенидгаллиевого p - n – переходов.

Рассмотрим температурную зависимость напряжения на прямосмещенном p-nпереходе. Пренебрежем в (40а) единицей и выразим напряжение как функцию плотности тока j U = ϕT ⋅ ln . js С ростом температуры ϕT =

kT пропорционально растет. Одновременно растет и плотq 2 i

−

Eg

ность тока насыщения js ~ n ~ e kT . В итоге зависимость U(T) слабо выражена. С ростом температуры напряжение линейно уменьшается со скоростью 2 мВ/0С. При этом вольт-амперная характеристика смещается в сторону меньших напряжений (рис.17).

32

Рис.17 Вольт - амперные характеристики кремниевого p - n – перехода при температурах T1=25 oC и T2=125 oC

Параметры p – n – перехода при прямом смещении Коэффициент инжекции Этот параметр характеризует эффективность инжекции, т.е. показывает насколько инжекция является односторонней. По определению коэффициент инжекции равен отношению тока электронов или тока дырок через переход к полному току. В зависимости от того какая из областей является эмиттером, выражение коэффициента инжекции принимает следующий вид: для n-эмиттера

γn =

jn (− x p ) j

=

jn (− x p ) jn (− x p ) + j p ( xn )

= 1+

1 j p ( xn )

(41)

jn (− x p )

для p-эмиттера

γp =

j p ( xn ) j

=

j p ( xn ) j p ( xn ) + jn (− x p )

= 1+

1 jn (− x p )

(42)

j p ( xn )

Проанализируем эти выражения. Из уравнений (37) и (38) найдем отношение токов электронов и дырок через переход jn (− x p ) j p ( xn )

=

qDn n p 0 L p Ln qD p pn 0

=

qDn L p nn 0 ni2 2 p0 i

qD p Ln p n

≈

Dn L p N d . D p Ln N a

33

В резко асимметричных p- n – переходах концентрация доноров Nd и акцепторов Na различаются на несколько порядков. Поэтому вторые слагаемые в знаменателях (41) и (42) заведомо много меньше 1. В этом случае можно воспользоваться приближенной формулой 1/(1 + а) ≈ 1 – а , где а – второе слагаемое в знаменателе (41) или (42). Таким образом, приходим к следующим выражениям коэффициента инжекции

γ n = 1−

D p Ln N a

γ p = 1−

,

Dn L p N d

Dn L p N d D p Ln N a

.

(43)

Из этих выражений следует, что коэффициенты инжекции тем ближе к 1, чем больше перепад концентраций легирующих примесей в эмиттере и базе.

Заряд неосновных носителей в базе В процессе инжекции в p и n - областях происходит накопление избыточного заряда неосновных носителей. Так как в резко асимметричных p-n - переходах инжекция практически односторонняя из эмиттера в базу, то нас интересует в первую очередь избыточный заряд неосновных носителей в базе. Будем считать для определенности p - область эмиттером, а n - область базой. Величину избыточного заряда дырок в базе Qp найдем, интегрируя в пределах нейтральной n -области избыточную концентрацию дырок ∆pn(x) из (34). При интегрировании пренебрежем в выражении ∆pn(x) единицей по сравнению с экспоненциальным членом. Кроме того, за начало отсчета примем правую границу ОПЗ, т.е. будем считать xn = 0. Наконец, полагая , что в пределах базы заведомо устанавливается равновесная концентрация дырок, верхний предел интегрирования примем равным ∞ . ∞

U

∞

Q p = qS ∫ ∆pn ( x)dx =qS ∫ pn 0 ⋅ e 0

ϕT

−

⋅e

x Lp

U

dx = qS pn 0 L p e ϕT .

(44)

0

Здесь S - площадь p – n – перехода. Аналогично может быть получено выражение избыточного заряда электронов в базе p – типа U

Qn = qSn p 0 Lne

ϕT

.

Чтобы оценить соотношение зарядов, накопленных в p и n – областях, воспользуемся законом действующих масс и представим выражения Qp и Qn в следующем виде

Qp =

Qn =

U 2 ϕT p i

qSL n e nn 0

U 2 ϕT n i

qSL n e p p0

=

=

U 2 ϕT p i

qSL n e Nd

U 2 ϕT n i

qSL n e Na

,

.

34

Таким образом, отношение зарядов в p и n – областях обратно пропорционально отношению концентраций легирующих примесей в этих областях

Qp Qn

~

Na . Nd

Выразим избыточный заряд дырок в базе через величину тока, имея в виду, что при односторонней инжекции дырок в базу ток приближенно равен U

qD p pn 0 S ⋅ e ϕ T I = jS = Lp

(45)

Умножим и разделим правую часть (44) на L p и по определению диффузионной длины запишем L p 2 = D pτ p . Тогда получим следующее выражение заряда U

qSpn 0 D pτ p e ϕ T Qp = . Lp

(44a)

Из сопоставления двух последних выражений следует Q p = Iτ p .

(46)

Физический смысл выражения (46) очевиден. Избыточный заряд дырок в базе тем больше, чем больше в единицу времени поступает дырок в базу и чем дольше они живут до рекомбинации. Анализ поведения заряда в базе позволяет описать работу p – n – перехода в различных режимах.

Диффузионная емкость p – n – перехода Изменение накопленного заряда неосновных носителей в квазинейтральных p и n – областях при прямом смещении может быть смоделировано с помощью диффузионной емкости Cd . По определению она равна

dQ , (47) dU где Q – заряд неосновных носителей в p и n – областях,U – напряжение прямого смещения. При односторонней инжекции основной вклад в диффузионную емкость вносит заряд неосновных носителей, накопленный в базе. Полагая как и ранее базой область n-типа, найдем величину Cd , подставляя в (47) заряд дырок из (44а). После выполнения дифференцирования получим Cd =

Cd =

qD p p n 0 S τ L pϕ T

U p

e

ϕT

(48) 35

Сопоставляя выражения (45) и (48), выразим диффузионную емкость через величину тока

Cd =

Iτ p

ϕT

.

(49)

Еще раз отметим, что диффузионная емкость образована избыточными зарядами электронов и дырок, появившихся в нейтральных областях в результате инжекции. Так как в нейтральных областях везде выполняется условие зарядовой нейтральности, то заряды, образующие диффузионную емкость, пространственно не разделены. Диффузионная емкость, определенная в (48) и (49),может быть использована при составлении малосигнальной схемы замещения p – n – перехода. Дифференциальное сопротивление Из уравнения (40а) и рис.15 видно, что вольт – амперная характеристика p – n – перехода существенно нелинейна. Это означает, что сопротивление p – n – перехода в кажU дой точке характеристики различно. В общем случае рассматривают статическое rcm = I dU и дифференциальное rd = сопротивления перехода, графическая иллюстрация котоdI рых приведена на рис.18. Как следует из рисунка, статическое сопротивление пропорционально тангенсу угла наклона секущей Оа к оси тока tgα, а дифференциальное – тангенсу угла наклона касательной в точке а к оси тока tgβ

rcm = mr tgα , rd = m r tgβ . В малосигнальном анализе используется понятие дифференциального сопротивления rd . Оно может быть выражено как функция тока через переход, если воспользоваться уравнением вольт – амперной характеристики (40а) rd =

dU 1 I s ϕT = ϕT = . dI Is I I

(50)

Рис.18 К определению статического и дифференциального сопротивлений p - n – перехода. При выводе (50) в уравнении (40а) пренебрегли 1 по сравнению с экспонентой. Дифференциальное сопротивление как и диффузионная емкость используется при построении малосигнальной схемы замещения. Пример. Ток через p – n – переход с p – эмиттером увеличился в 2 раза. Как изменились заряд дырок в базе Q p , диффузионная емкость Cd и дифференциальное сопротивление rd p – n – перехода? Запишем величины Q p , Cd и rd как функции тока

Q p = Iτ p ,

Cd =

Iτ p

ϕT

,

rd =

ϕT I

.

36

Следовательно, заряд дырок и диффузионная емкость увеличились в 2 раза, а дифференциальное сопротивление уменьшилось в 2 раза.

P – n переход при обратном смещении При обратном смещении p – область отрицательна относительно n – области

(рис.19). Е

p

n

Евнеш

Uобр

Рис.19 p-n-переход при обратном смещении. При этом внешнее поле Евнеш, обусловленное напряжением обратного смещения U, усиливает внутреннее поле Е в области пространственного заряда. Это приводит к повышению потенциального барьера для основных носителей с U0 до U0 + U. Так как при 2 обратном смещении нарушаются условия термодинамического равновесия ( pn ≠ ni ), то положение уровня Ферми вблизи ОПЗ в p и n – областях различно. Как и при прямом смещении вместо уровня Ферми используются квазиуровни Ферми E Fn и E Fp , положение которых определено в выражениях (24). На рис.20а и б показаны энергетические диаграммы несмещенного и обратносмещенного p – n – перехода.

Eg

qUo Ec EF

q(Uo+U) EFp

qU

Ei

EFn Ei

Ev xp

Ec

xn

Ev xp

xn

Рис.20 Диаграммы энергетических уровней: а – p-n-перехода в равновесном состоянии; б – p-n-перехода при обратном смещении. 37

Из диаграммы следует, что уровень Ферми в пределах ОПЗ изменяется на величину qU , так что E Fn − E Fp = qU . На эту же величину возрастает и потенциальный барьер, что исключает инжекцию основных носителей из одной области в другую. Через переход протекает лишь очень малый ток неосновных носителей, появляющихся в результате термогенерации в области пространственного заряда, а также в нейтральных p и n – областях в пределах диффузионной длины от границ ОПЗ. Проанализируем работу обратносмещенного p-n – перехода. Будем рассматривать резкий p-n – переход, включающий полностью обедненную подвижными носителями (электронами и дырками) область пространственного заряда ( − x p ≤ x ≤ x n ) и две нейтральные области p и n- типа. Концентрации основных носителей в нейтральных областях на границе с ОПЗ скачкообразно возрастают до соответствующих примесных концентраций ( n n 0 = N d , p p 0 = N a ). Поэтому везде за пределами ОПЗ плотность заряда равна нулю, а в ОПЗ она равна концентрации ионизированной примеси ( qN d или ние полного обеднения проиллюстрировано на рис.21.

Nd-Na Nd

0

x

Приближение полного обеднения позволяет независимо рассматривать процессы в ОПЗ и в нейтральных областях. Найдем распределение электрического поля в ОПЗ, анализируя уравнение Пуассона (19),

−

-Na

а

p,n

− qN a ). Приближе-

d 2ϕ dE ρ ( x) = = , где dx εε 0 dx 2 ρ ( x) = q ( p − n + N d − N a ) .

В части ОПЗ, расположенной в n-области, ( 0 ≤ x ≤ x n ) это уравнение принимает вид

nno -xp xn

x

ppo

б ρ

qNd -xp xn

-qNa

x

в

dE qN d = . (51) dx εε 0 Напомним, что в рассматриваемой области концентрации подвижных носителей (электронов и дырок) практически равны нулю, так как они удалены оттуда сильным электрическим полем. Концентрация акцепторной примеси равна 0, так как рассматривается область n-типа. Граничное условие задачи сформулируем исходя из того, что поле E на границе ОПЗ и нейтральной области равно нулю

E ( xn ) = 0 .

(52)

Рис.21 Приближение полного обеднения: а – результирующая примесная концентрация; б – концентрации основных носителей; в – объемный заряд. 38

Интегрируя (51), получим

qN d

E=

εε 0

x+C

Постоянную интегрирования C найдем из граничного условия (52), после чего распределение электрического поля в ОПЗ представим в виде

E=

qN d

εε 0

( x − x n ) при 0 ≤ x ≤ x n

.

(53) Поле отрицательно и линейно зависит от координаты, а максимальная напряженность поля имеет место в точке x = 0 (рис.22) Em

=

n

qN d

εε 0

(54)

xn

Тот факт, что поле отрицательно и направлено против координаты физически понятен. Именно такое направление поля препятствует переходу электронов из n в p- область. E

xn

0

x

(Em)n

Рис.22 Распределение электрического поля в ОПЗ, расположенной в n-области. Анализ распределения поля в части ОПЗ, расположенной в p-области ( − x p ≤ x ≤ 0 ), который мы предлагаем выполнить самостоятельно, приводит к следующему выражению

E=−

qN a

εε 0

при − x p ≤ x ≤ 0 .

(x + xp )

(55)

Поле также отрицательно и препятствует переходу дырок из p в n-область. Максимум поля как и в n-области имеет место в точке x = 0

Em

p

=

qN a

εε 0

xp .

(56)

39

В точке x = 0 поле не должно иметь разрыва, т.е. ( E m ) n = ( E m ) p . Приравнивая правые части (54) и (56), получим N d xn = N a x p .

(57)

Равенство (57) можно получить и непосредственно из условия электронейтральности области пространственного заряда, приравнивая отрицательный заряд ионов акцепторов заряду положительных ионов доноров в ОПЗ. Таким образом, ширина ОПЗ в p и n – областях обратно пропорциональна соответствующей примесной концентрации. В резко асимметричных p–n–переходах область пространственного заряда практически полностью располагается в слаболегированной области. Установим связь ширины ОПЗ с величиной приложенного напряжения. С этой целью проинтегрируем выражения напряженности электрического поля (53) и (55) в преdϕ делах ОПЗ. Так как E = − , то в результате интегрирования (53) в пределах 0 − x n поdx лучим изменение потенциала на части ОПЗ, расположенной в n – области. Аналогично интегрирование (55) в пределах − x p − 0 даст изменение потенциала на части ОПЗ, расположенной в p–области. Общее изменение потенциала в пределах ОПЗ равно сумме приложенного напряжения и контактной разности потенциалов, т.е. U + U 0 . Таким образом приходим к следующему уравнению 0

∫ −xp

qN a

εε 0

xn

( x + x p )dx −

qN d

∫ εε 0 ( x − xn )dx = U + U 0

(58)

0

После выполнения интегрирования получим

qN a qN d xp2 + xn 2 = U + U 0 2εε 0 2εε 0

(59)

Решение системы уравнений (57) и (59) позволяет определить, какая часть ширины ОПЗ приходится на каждую из областей 1

 2  2εε (U + U )  0 0  , xn =   qN (1 + N d )  d  N a  

1

 2  2εε (U + U )  0 0  . xp =   qN (1 + N a )  a  N d  

(60)

В резко асимметричных p–n – переходах ОПЗ практически полностью располагается в слаболегированной области. Пусть для определённости N a » N d , т.е. эмиттером является p – область. Тогда ширина ОПЗ приближенно равна

W ≈ xn =

2εε 0 (U 0 + U ) qN d

1 2

(61)

40

Если U »U 0 , то с ростом обратного напряжения ширина ОПЗ увеличивается пропорционально U . Физический смысл такого увеличения связан с тем, что электрическое поле, обусловленное приложенным напряжением, оттягивает часть основных носителей от границ ОПЗ и способствует их уходу вглубь нейтральных областей. На месте ушедших носителей остаются нескомпенсированные ионы доноров и акцепторов, что и является расширением ОПЗ. Выражение (61) справедливо и для p–n – перехода в равновесном состоянии, и в случае его прямого смещения. В первом случае U=0 и ширина ОПЗ определяется только контактной разностью потенциалов U0. Во втором случае приложенное напряжение вычитается из U0, что означает уменьшение ширины ОПЗ. Физически это связано с движением основных носителей под действием поля к границам ОПЗ, где они нейтрализуют часть объемного заряда, образованного ионами доноров и акцепторов. С помощью выражений (54) и (61) можно определить максимально допустимую величину обратного напряжения, при которой поле в переходе достигает критического значения Екр, приводящего к лавинному пробою перехода. Полагая в (54) |Еm|n = Екр , найдем ширину ОПЗ, соответствующую критическому полю Wкр ≈ ( x n ) кр =

εε 0 E кр qN d

.

(62)

Далее подставляя это значение Wкр в (61), найдем максимально допустимую величину обратного напряжения

U max ≈

εε 0 E кр 2 2qN d

.

(63)

В (61) мы пренебрегли величиной U 0 по сравнению с U . При обратном смещении p–n – переход характеризуется барьерной емкостью Эта емкость образована зарядами отрицательных ионов акцепторов и положительных . CB ионов доноров в ОПЗ. По определению дифференциальной емкости можно записать dQ CB = , dU где Q – заряд ионов доноров или ионов акцепторов в ОПЗ

Q = qSN d x n = qSN a x p . Таким образом, если N d и N a постоянны, то C B = qSN d

dx p dx n = qSN a . dU dU

(64)

Используя приближенное выражение xn для резко асимметричного p–n – перехода с p– эмиттером (61), после дифференцирования получим

CB = S

qN d εε 0 εε S = 0 . 2(U 0 + U ) W

(65)

41

Итак, барьерная емкость p–n – перехода равна ёмкости плоского конденсатора с площадью пластин равной площади p–n – перехода и с расстоянием между пластинами равным ширине ОПЗ. Пример. В резко асимметричном p–n – переходе концентрация акцепторной примеси в p–эмиттере N a =1·1018 см-3 концентрация донорной примеси в n-базе 15 -3 5 N d = 1·10 см , величина критического поля E кр = 3·10 В/см, площадь перехода S =0,04 см2 . Определить максимальную величину обратного напряжения Umax, ширину ОПЗ Wкр при U = U max , а также величину барьерной ёмкости C B при U = 0 . Так как концентрация доноров в n-базе на три порядка меньше чем в p–эмиттере, то можно считать, что ОПЗ практически полностью расположена в n–базе, т.е. W ≅ x n . Ширина ОПЗ при U = U max соответствует критическому значению поля Wкр = ( x n ) кр =

εε 0 qN d

E кр ,

где q = 1,6 ⋅ 10 −19 Кл, ε 0 = 9 ⋅ 10 −14 Ф/см, ε = 11,8 .

11,8 ⋅ 9 ⋅ 10 −14 ⋅ 3 ⋅ 10 5 = 2 ⋅ 10 −3 см = 20 мкм . −19 15 1,6 ⋅ 10 ⋅ 10 Максимальное обратное напряжение на переходе Wкр =

U max =

εε 0 2qN d

2

E кр = Wкр

E кр 2

=

2 ⋅ 10 −3 ⋅ 3 ⋅ 10 5 = 300 В . 2

Барьерная ёмкость при U = 0

CB = S

где U 0 = ϕ T ln

qN d εε 0 , 2U 0

Na Nd - контактная разность потенциалов. ni2

U 0 = 0,026 ⋅ ln

C B = 0,04

1018 ⋅ 1015 = 0,757 В , 2,25 ⋅ 10 20

1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 1015 ⋅ 9 ⋅ 10 −14 ⋅ 11,8 = 4,24 ⋅ 10 −10 Ф = 424 ПФ . 2 ⋅ 0,757

Рассмотрим ток, замыкающийся через p–n – переход при обратном смещении. Как отмечалось ранее, этот ток создают неосновные носители, появляющиеся в нейтральных p и n – областях, а также в области пространственного заряда в результате термогенерации. Составляющая плотности тока, обусловленная диффузией неосновных носителей в нейтральных областях, может быть описана формулой Шокли (40а), в которой обратное напряжение берется со знаком минус.

42

−

j D = j S (e

U

ϕT

− 1) .

(66)

Если U > 3ϕ T = 0,078 В , то в этом выражении можно пренебречь экспоненциальным членом по сравнению с 1. При этом диффузионная составляющая плотности тока перестает зависеть от обратного напряжения

j D = − j S = −(

qD p p n 0 Lp

+

qDn n p 0 Ln

) = −qni2 (

Dp Lp Nd

+

Dn ). Ln N a

(67)

В этом выражении равновесные концентрации p n 0 и n p 0 согласно закону действующих масс представлены в виде

pn0 =

ni2 n2 ≈ i , nn0 N d

n p0 =

ni2 n2 ≈ i . p p0 N a

Составляющая тока I g , обусловленная генерацией носителей в области пространственного заряда, зависит от скорости генерации носителей в единице объема ОПЗ qni/τ и объема ОПЗ WS. Таким образом, плотность тока генерации может быть представлена в виде jg =

qniW

τ

.

(68)

В этом выражении τ – время жизни носителей заряда в ОПЗ, W – ширина ОПЗ. Рассмотрим резко асимметричный p–n – переход, в котором Na»Nd и ОПЗ практически полностью расположена в слаболегированной n–области. При таком соотношении концентраций легирующих примесей в выражении j D (67) можно пренебречь вторым слагаемым по сравнению с первым jD =

qni2 D p N d Lp

=

qni2 D p L p N d D pτ p

=

qni2 L p N dτ p

.

(69)

В этом выражении мы использовали определение диффузионной длины Lp2 = Dpτp . Сравним диффузионную ( j D ) и генерационную ( j g ) составляющие обратного тока, считая одинаковыми времена жизни в ОПЗ и в нейтральной части n–области 2 ni L p j D qni L p τ = ⋅ = . jg N d τ p qniW N d W

(70)

Для количественной оценки этого соотношения возьмем типичные значения входящих в него параметров: ni = 1,5·1010 см-3, Lp = 50 мкм = 50·10-4 см, Nd = 1014 см-3 , W = 100 мкм = 100·10-4 см j D 1,5 ⋅ 1010 ⋅ 50 ⋅ 10 −4 = = 0,75 ⋅ 10 − 4 . j g 1 ⋅ 1014 ⋅ 100 ⋅ 10 −4

43

Таким образом, при обратном смещении ток через p–n – переход практически полностью обусловлен генерацией носителей в ОПЗ. С ростом температуры собственная концентрация ni быстро увеличивается (4). При этом возрастает роль диффузионной составляющей тока, которая пропорциональна ni2 , в то время как генерационная составляющая пропорциональна ni .При температуре Т>1000С обе составляющие становятся соизмеримыми.

Пробой p–n – перехода При сильных электрических полях в полупроводнике может действовать один из двух механизмов электрического пробоя: лавинный или туннельный.

Лавинный пробой Лавинный пробой имеет место в p–n – переходах, в которых хотя бы одна из областей является слаболегированной. С ростом обратного напряжения ширина ОПЗ и максимальное электрическое поле в переходе увеличиваются (61), (54). Как только поле в переходе достигнет критической величины Екр, происходит лавинный пробой p–n – перехода. Величина Екр зависит от концентрации легирующей примеси (рис.23). Екр,

В см

107

106

105 14 10

Туннельный пробой Лавинный пробой

1015

1016

1017

1018

1019

N,см-3

Рис.23 Зависимость критического поля от концентрации легирующей примеси. При лавинном пробое свободные носители (электроны или дырки) разгоняются в электрическом поле ОПЗ и приобретают между столкновениями с решёткой кинетическую энергию достаточную для разрыва ковалентных связей. Каждый такой носитель, взаимодействующий с решёткой, порождает электронно– E дырочную пару. В дальнейшем все три носителя могут участвовать в послеэлектрон дующих лавинных столкновениях, вызывая быстрое дырка умножение количества носителей в области пространственного заряда. На рис.24 дано схематическое ОПЗ представление процесса -xp xn лавинного умножения. Движущийся в электричеРис.24 Процесс лавинного умножения. ском поле электрон (волни-

44

стая стрелка) при соударении с кристаллической решёткой генерирует электронно– дырочную пару, после чего два электрона и дырка вновь разгоняются в электрическом поле в противоположных направлениях. Если считать, что все три носителя имеют одинаковую массу, то из законов сохранения энергии и количества движения (импульса) следует, что для разрыва связи движущийся электрон должен иметь кинетическую энергию не менее 3/2Еg. Для количественного описания лавинного пробоя рассмотрим резко асимметричный p–n – переход с n–эмиттером, в котором Nd »Na . В этом случае согласно(40) практически все носители заряда, поступающие в ОПЗ, являются электронами из pобласти. На рис.25 показано распределение поля в ОПЗ, а также отмечена область шириной x1 ( от xa до xb ), в которой реализуется лавинный механизм. При указанном на рис.25б направлении поля, в область dx электроны попадают только слева, а дырки только справа. p-область n-область E E xa xb xn 0 -xp x x1 dx

no+n1

n0

nb p2

x1 xa

а

x

xb

б

Рис.25 Процесс ионизации в области пространственного заряда. а – распределение электрического поля в ОПЗ; б – генерация электронно-дырочных пар в слое dx. Пусть концентрация электронов, попадающих на участок x1 слева ( в точке xa со стороны p–базы ), равна n0 . За счет лавинного умножения на участке xa – x концентрация электронов увеличивается до n0 + n1 . Вероятность генерации одним электроном при движении на участке dx электронно–дырочной пары пропорциональна расстоянию dx и коэффициенту ионизации αn , зависящему от величины электрического поля, а следовательно, и от координаты x .Запишем выражение дополнительной концентрации электронов и равной ей дополнительной концентрации дырок, создаваемых на участке dx электронами, приходящими слева,

dn ′ = dp ′ = α n ndx = α n (n0 + n1 )dx .

(71)

Как уже отмечалось, дырки из n–эмиттера ( справа от xb ) в область ионизации практически не поступают. Поэтому все дырки, попадающие на участок dx справа, генерируются на интервале x – xb . Обозначим концентрацию этих дырок через p2 , а равную ей концентрацию электронов через n2. Равенство концентраций p2 и n2 , так же как концентраций dn' = dp' и dn" = dp" , объясняется тем, что при лавинной ионизации электроны и дырки образуются парами. Дополнительное приращение концентраций электронов и дырок, создаваемых на участке dx дырками, приходящими справа равно

45

dn ′′ = dp ′′ = α p pdx = α p p 2 dx = α p n2 dx ,

(72)

где αp – коэффициент ионизации для дырок. Полное приращение концентрации электронов в пределах участка dx равно сумме dn ′ + dn ′′ из (71) и (72)

dn = α n (n0 + n1 )dx + α p n 2 dx .

(73)

Обозначим концентрацию электронов, достигших точки xb через nb

nb = n0 + n1 + n2 Тогда выражение (73) можно переписать в виде

dn = (α n − α p )(n0 + n1 ) + α p nb . dx (74) Будем считать коэффициенты ионизации для электронов и дырок равными αn = α p = α . Тогда уравнение (74) можно проинтегрировать в пределах области лавинного умножения от xa до xb, имея в виду, что n( x a ) = n0 и n( xb ) = nb nb

xb

n0

xa

∫ dn =nb ∫ α ( x)dx , откуда xb

nb − n0 = nb ∫ α ⋅ dx . xa

Важнейшей характеристикой лавинного процесса является коэффициент лавинного умножения равный отношению концентрации электронов (или дырок), выходящих из области ионизации, к концентрации электронов (или дырок), входящих в эту область, x

M =

b nb = (1 − ∫ α ⋅ dx) −1 n0 xa

(75)

Когда интеграл в выражении (75) приближается к 1, коэффициент лавинного умножения неограниченно возрастает, что и является свидетельством лавинного пробоя. Таким образом, условие возникновения лавинного пробоя может быть сформулировано в виде xb

∫ α ⋅ dx = 1

(76)

xa

Так как коэффициент ионизации является сложной функцией поля, зависящего от напряжения смещения, и ширина области ионизации также является функцией напряжения смещения, то расчёт интеграла в (75) и (76) представляет собой достаточно сложную зада-

46

чу. По этой причине в практических расчетах для описания величины М используется эмпирическая аппроксимация вида   U M = 1 −    U проб 

   

n

−1

  .  

(77)

В этом выражении U – обратное напряжение, Uпроб – напряжение пробоя (63), n = 2 – 6 и зависит от материала полупроводника и степени легирования. На участке лавинного пробоя вольт–амперная характеристика очень резкая. Изменению напряжения в единицы вольт соответствует изменение обратного тока на несколько порядков. С учетом аппроксимации (77) вольт–амперную характеристику на этом участке можно описать следующим уравнением

I=

IS  U 1−   U проб 

   

n

,

(78)

где IS – ток насыщения. Лавинный пробой имеет место при напряжениях U л ≥

6E g

, где E g -ширина запрещённой q зоны полупроводника, q – заряд электрона. У кремния E g = 1,1 эВ, поэтому U л ≥ 6,6 В С повышением температуры напряжение лавинного пробоя увеличивается. Это связано с усилением теплового рассеяния носителей (на колебаниях решётки), уменьшающего вероятность ионизации.

Туннельный пробой Туннельный пробой имеет место только в p–n – переходах с высокой концентрацией легирующей примеси в обеих областях. При больших примесных концентрациях ширина ОПЗ согласно (61) уменьшается , а величина критического поля Екр, вызывающего лавинный пробой, увеличивается (рис.23). Более вероятным становится туннельный пробой, при котором величина электрического поля оказывается достаточной для разрыва ковалентной связи в решетке с одновременным образованием электрона и дырки. При туннельном пробое в отличие от лавинного образование электронно–дырочной пары происходит без участия третьей частицы. На рис.26 приведена иллюстрация туннельного пробоя с помощью энергетической диаграммы. Большое количество электронов в валентной зоне со стороны материала p – типа отделено узкой обедненной областью (ОПЗ) от незаполненных разрешенных состояний с такой же энергией, находящихся в зоне проводимости материала n – типа. Существует конечная вероятность прохождения электрона сквозь энергетический барьер и появления его с той же энергией в зоне проводимости полупроводника n – типа. Процесс туннельного перехода электронов из p в n – область и создает обратный ток через p–n – переход. Для существенного туннельного тока ширина барьера не должна превышать 10 нм (0,01 мкм), а электрическое поле в ОПЗ должно превышать 106 В/см. Эти условия выполняются только в сильно легированных переходах с концентрацией доноров и акцепторов не ниже 1018 см–3 (рис.23).

47

p-тип

n-тип

Ec

Ev Туннелирование электронов

Ec

Ev

Рис.26 Диаграмма энергетических уровней при туннельном пробое. Туннельный пробой имеет место при напряжениях UT ≤ 4Eg/q . У кремния Eg = 1,1эВ, поэтому UT ≤ 4,4 В. С ростом температуры напряжение туннельного пробоя падает, так как при этом уменьшается ширина запрещенной зоны полупроводника Eg . Напомним, что при лавинном пробое температурная зависимость обратная. На рис. 27 приведены обратные вольт–амперные характеристики p–n – перехода с туннельным пробоем, снятые при различных температурах. I,мА

-2

-1 U,B

-75°C

20°C -1 100°C -2

Рис.27 Вольт-амперная характеристика p-n-перехода с туннелированным пробоем. Тепловая неустойчивость Этот вид пробоя обусловлен наличием положительной обратной связи между током насыщения IS и температурой. Согласно (40) ток насыщения пропорционален квадрату собственной концентрации ( ni2 ), а последняя с увеличением температуры экспоненциально растет (4). Таким образом, увеличение температуры приводит к росту обратного тока через переход. В свою очередь увеличение обратного тока при установленном напряжении на переходе U приводит к возрастанию мощности рассеяния в p–n – переходе, стимулирующей дальнейший рост температуры. Если мощность, поступающая в p– n – переход, превзойдет отводимую мощность, то рассмотренный процесс становится ре-

48

генеративным и приводит к неконтролируемому росту обратного тока, т.е. к тепловому пробою. Для количественной оценки теплового пробоя установим связь перегрева p–n – перехода ∆T = T – T0 с мощностью, выделяющейся в p–n – переходе P = U·I. В установившемся режиме эта мощность равна мощности рассеиваемой p–n – переходом (отдаваемой в окружающую среду)

(79) ∆T = RT ⋅ P . В этом выражении T0 и T соответственно начальная и текущая температуры, RT – тепловое сопротивление p–n – перехода, определяемое его теплофизическими параметрами и условиями охлаждения, U и I – обратное напряжение и обратный ток через переход. Зависимость обратного тока от температуры может быть аппроксимирована следующей функцией I = I 0 ⋅ e a∆T , (80) где I0 – начальное значение обратного тока, соответствующее температуре Т0, α – константа, зависящая от параметров полупроводника. Из выражения (80) выразим перегрев как функцию обратного тока 1 I (81) ln . a I0 Установим связь мощности, рассеиваемой p–n – переходом, с величиной обратного тока, подставляя (81) в (79) ∆T =

1 I . (82) ⋅ ln αRT I0 Приравнивая мощность, рассеиваемую р–n – переходом (82) к мощности, выделяющейся в переходе P = U·I, найдем напряжение, соответствующее тепловому балансу, Pрас =

1 I ⋅ ln . I0 αRT I Вид зависимости U(I), определяемой уравнением (83), показан на рис.28 I U=

(83)

Участок с отрицательным дифференциальным сопротивлением

0

Uпроб

U

Рис.28 Вольт-амперная характеристика p-n-перехода с тепловым пробоем. 49

Отличительной особенностью этой зависимости является наличие участка с отрицательным дифференциальным сопротивлением, что и свидетельствует о тепловой неустойчивости на этом участке. Напряжение теплового пробоя соответствует экстремуму функции (83). Значение тока в точке экстремума, найденное из условия dU/dI = 0, определяется следующим выражением (убедиться самостоятельно) ln

I =1 ; I0

I = e ⋅ I0 ,

(84)

где e – основание натурального логарифма. Подставляя (84) в (83), найдем напряжение теплового пробоя. 1 . (85) U проб = aRT I 0 e Напряжение теплового пробоя тем ниже, чем больше величина RT (хуже условия отвода тепла) и чем больше начальный ток I0. С ростом температуры окружающей среды начальный ток I0 увеличивается, что приводит к соответствующему снижению Uпроб . На практике тепловой пробой часто является следствием электрического пробоя (как правило, лавинного). За счет электрического пробоя температура в переходе может увеличиться так, что напряжение теплового пробоя становится ниже напряжения электрического пробоя. При этом электрический пробой переходит в тепловой.

Переходные процессы в p–n – переходе Переходные процессы в p-n – переходе имеют место при изменении полярности напряжения на переходе. Если в процессе переключения полярность напряжения на переходе изменяется с положительной U>0 на отрицательную U0 , то говорят о его включении. Переходные процессы в p-n –переходе связаны в основном с двумя явлениями. Во-первых, с накоплением при включении и исчезновением (рассасыванием) при выключении заряда неосновных носителей в нейтральных областях. Во-вторых, с перестройкой области пространственного заряда: расширением при выключении и сужением при включении. Как правило, быстродействие и частотные свойства pn – перехода и приборов на его основе определяются длительностью процесса выключения, т.е. временем перехода из состояния прямого смещения в обратное. Проанализируем этот процесс. Будем считать, что переключение p-n-перехода происходит в схеме, показанной на рис.29. На схеме p-n – переход изображен в виде диода, анод которого А подключен к p-области, а катод К – к n –области. 2 R1 1 R2

t=0

Iпр Uпр

A

Iобр Uобр

K

Рис.29 Схема переключения p-n-перехода из состояния прямого смещения в обратное.

50

До момента переключения ( t = 0) через диод замыкается прямой ток Iпр, величина которого определяется напряжением источника Uпр

I пр =

U пр − 0,6

.

R1

В этом выражении слагаемое 0,6 В учитывает напряжение на диоде при прямом смещении. Если p-n – переход является резко асимметричным, то инжекция практически односторонняя: из эмиттера в базу. Пусть для определённости эмиттером является p-область, а базой n-область. В этом случае накопление заряда неосновных носителей осуществляется в основном в n-базе, причём величина накопленного заряда дырок согласно (46) равна Iпрτp. В момент t = 0 переключатель мгновенно перебрасывается из положения 1 в положение 2. При этом в соответствии с полярностью источника обратного напряжения Uобр ток через диод изменяет направление на обратное, а его величина сразу после переключения оказывается равной

I обр =

U обр

.

R2

Физически факт прохождения обратного тока через переход обусловлен наличием избыточного заряда дырок в базе. Напряжение на p-n – переходе связано с концентрацией дырок на границе (в точке xn ) уравнением (32) U

pn ( xn ) = pn 0 ⋅ e

ϕT

.

Следовательно, до тех пор пока концентрация дырок на границе pn(xn) не снизится до равновесной pn0, напряжение на переходе остаётся положительным. Иными словами, несмотря на то, что через переход замыкается обратный ток, p-n – переход продолжает оставаться смещённым в прямом направлении. Избыточный заряд дырок в базе снижается за счёт двух механизмов. Вопервых, за счёт экстракции дырок из базы в эмиттер. Процесс экстракции является обратным процессу инжекции. Напомним, что дырки неосновные носители в n – базе и для них p-n – переход не является барьером. Во-вторых, за счёт рекомбинации со скоростью (15)

Rp = −

p n − pn0

τp

.

Как только концентрация на границе pn(xn) снизится до равновесной pn0, p-n – переход смещается в обратном направлении. Под действием внешнего поля основные носители уходят от границ ОПЗ по направлению к омическим контактам, оставляя за собой дополнительные нескомпенсированные ионы донорной (в n-области) и акцепторной (в pобласти) примесей. Происходит расширение ОПЗ и соответствующий рост обратного напряжения на переходе (61). Обратный ток через переход быстро падает практически до нуля, а всё напряжение источника Uобр выделяется на обедненной области (ОПЗ). На рис.30 приведены временные диаграммы тока и напряжения на p-n – переходе, а на рис.31 изменение концентрационного профиля дырок в базе при переключении.

51

ID

Iпр 0

t3

t5 t

Iобр

а

UD 0,6B t Uобр

б

Рис.30 Временные диаграммы тока и напряжения при выключении p-nперехода. Pn t0

t1 t2 t3 Pno

t4 xn

x′n

wn

x

Рис.31 Распределение концентрации неосновных носителей в различные моменты времени. В момент коммутации t0 = 0 распределение концентрации дырок в базе является стационарным и соответствует величине прямого тока Iпр . При изменении направления dp n тока через переход градиент концентрации дырок на границе ( x n ) становится полоdx жительным. Это вытекает непосредственно из выражения плотности тока дырок (9), который в точке x =xn практически равен току через переход j p ( x n ) ≈ − j обр = −qD p

dp (x n ) . dx

52

В момент t = t3 концентрация дырок у перехода снижается до нуля и начинается расширение области пространственного заряда. К моменту t = t4 концентрационный профиль смещается вглубь базы, в результате чего граница ОПЗ занимает новое положение xn' . Одновременно происходит уменьшение заряда дырок в базе за счет экстракции и рекомбинации, сопровождающееся снижением обратного тока. К моменту t = t5 (рис.30) избыточный заряд в базе исчезает полностью, а обратный ток снижается до нуля. Интервал времени 0–t3 называется временем рассасывания, интервал t3–t5 – временем спада обратного тока, интервал 0–t5 – временем восстановления. Для количественного описания процесса выключения p-n – перехода воспользуемся зарядовым подходом, суть которого в анализе изменения заряда в нейтральных областях при переключении перехода. В резко асимметричных p-n – переходах избыточный заряд неосновных носителей в базовой области много больше чем в эмиттерной. В этом случае можно ограничиться анализом поведения заряда только в базе. С этой целью проинтегрируем уравнение непрерывности для дырок (18) в пределах нейтральной части базы от x = xn до x = wn (рис.9). Будем считать, что генерация отсутствует ( Gp = 0), а скорость рекомбинации Rp определяется выражением (15), в котором пренебрежем величиной p n 0 по сравнению с p n wn

∂p 1 ∫x ∂tn dx = − q n

wn

∂j p

∫ ∂x

xn

dx −

1

τp

wn

∫ p dx .

(86)

n

xn

Величины, получаемые в результате интегрирования, являются только функциями времени, поэтому зарядовый подход позволяет перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям d dt

wn

1 1 ∫x pn dx = − q j p (wn ) − j p ( xn ) − τ p n

[

]

wn

∫ p dx . n

xn

wn

Величина

Q p = q ∫ p n dx представляет собой плотность заряда дырок в базе (заряд на xn

единицу площади). Плотность тока дырок в конце базы равна нулю jp(wn) = 0. Это связано с тем, что анализируется p-n – переход с широкой базой (wn – xn )>(2 – 3)Lp . Как отмечалось ранее, в таких переходах в пределах двух диффузионных длин от границы ОПЗ концентрация дырок и ток дырок за счет рекомбинации снижаются практически до нуля. Плотность тока дырок в начале нейтральной базы (на границе с ОПЗ) практически равна плотности обратного тока через переход, так как в резко асимметричном переходе экстракция, как и инжекция практически односторонняя jp(xn) = – jобр. Таким образом, приходим к следующему зарядовому уравнению

Q dQ = − jобр − p . (87) dt τp Это уравнение имеет понятный физический смысл. Результирующее изменение заряда дырок в базе dQp/dt определяется двумя процессами: экстракцией дырок из базы в эмиттер (первое слагаемое) и рекомбинацией (второе слагаемое). Оба слагаемые отрицательны, т.е. приводят к исчезновению заряда. Для завершения математической модели процесса выключения p-n – перехода сформулируем начальное условие задачи. Им является стационарное значение плотности заряда в базе, соответствующее прямому току Iпр (46) 53

Q p (0) = jпрτ p , где jпр =

I пр

. (88) S Решение (87) ищем в виде суммы частного решения неоднородного и общего решения однородного уравнений −

t

τp

Q p (t ) = − jобрτ p + A ⋅ e . Постоянную интегрирования А находим из начального условия (88) A = ( jпр + jобр )τ p . Таким образом, изменение заряда дырок в базе имеет вид −

t

τp

Q p (t ) = − jобрτ p + ( jпр + jобр )τ p ⋅ e . (89) Определим время рассасывания tрас (интервал 0 – t3 на рис.30), полагая, что к концу интервала рассасывания заряд дырок в базе уменьшается до нуля Qp(tрас) = 0

jпр (90) ). J обр В практических схемах величина времени рассасывания во многом определяет рабочий диапазон частот p-n – перехода. Время рассасывания можно уменьшить, снижая величину времени жизни дырок в базе и увеличивая обратный ток по отношению к прямому. t рас = τ p ⋅ ln(1 +

Пример. Определить величину обратного тока через p-n – переход, при котором время рассасывания вдвое меньше времени жизни дырок в n-базе. Величина прямого тока до момента переключения перехода составляет 1,3 А.

t рас

τp

= ln(1 +

jпр ) . J обр

j пр

jобр =

t рас

e

τp

−1

=

Отсюда

1,3 = 2 А. e −1

Полупроводниковые диоды Полупроводниковые (п/п) диоды подразделяются по типу исходного материала, конструктивно-технологическим особенностям, принципу действия и назначению. По типу исходного материала диоды делятся на кремниевые, германиевые и арсенид-галлиевые. В зависимости от конструктивных особенностей различают плоскостные и точечные (СВЧ) диоды. По принципу действия и назначению диоды подразделяются на выпрямительные, импульсные, сверхвысокочастотные (СВЧ), стабилитроны и стабисторы, варикапы и параметрические диоды, диоды Шоттки, туннельные и обращенные диоды, светоизлучающие диоды и полупроводниковые лазеры, фотодиоды и ряд других.

54

Выпрямительные диоды Предназначены для работы в выпрямительных схемах, преобразующих переменное напряжение в постоянное. На рис.32 представлены структура и схемное изображение выпрямительного диода.

А

p+

n

n+

К

А

а Рис.32 Выпрямительный диод. а – структура, б – схемное изображение.

К б

На рис.32а p+ и n + - сильнолегированные области (эмиттеры), n – слаболегированная область (база). А и К – соответственно анодный и катодный выводы. При прямом смещении диода на анод подается положительный относительно катода потенциал. При этом осуществляется режим двойной инжекции: дырок из p – эмиттера и электронов из n – эмиттера в n – базу. Режим двойной инжекции приводит к снижению сопротивления базы и уменьшению прямого падения напряжения на диоде, т.е. к улучшению его статической ВАХ. С этой же целью по возможности снижают рекомбинационные потери, увеличивая время жизни дырок в базе τр.Однако при этом увеличивается время переключения диода (90). Поэтому выпрямительные диоды используются только в низкочастотных схемах, работающих до 1 кГц. Выпрямительные диоды характеризуются следующими параметрами: - максимально допустимым обратным напряжением Uобр.макс. (обычно Uобр.макс.= (0,5 – 0,8)Uпроб.), - максимально допустимым значением среднего прямого тока Iпр.макс. , - постоянным прямым падением напряжения на диоде Uпр. при токе Iпр. = I пр.макс., - максимально допустимым обратным током утечки Iобр.макс. при Uобр. = Uобр.макс., - временем восстановления tвосст.. В настоящее время выпускаются выпрямительные диоды на токи I пр.макс. от десятков миллиампер до 1600 А и напряжением Uобр.макс. от десятков вольт до 4000 В. При этом величина Uпр. не превышает 1-2 В.Время восстановления у различных типов выпрямительных диодов составляет от единиц до десятков микросекунд.

Импульсные диоды Это п/п диоды, характеризующиеся малой длительностью переходных процессов (процессов переключения). Они предназначены для работы в импульсных режимах, т.е. в режимах быстрых изменений токов и напряжений. Для снижения времени рассасывания неосновных носителей в области базы (90), их время жизни не превышает долей микросекунды. Для уменьшения величины барьерной емкости площадь p – n – перехода снижается до минимума (точечные диоды). Это позволяет снизить время переключения до долей микросекунды. Импульсные диоды характеризуются теми же параметрами, что и выпрямительные диоды: Uобр.макс., Iпр.макс., Uпр., Iобр.макс., а также временем восстановления - tвосст.. Для быстродействующих диодов tвосст. = 0,1 – 0,5 мкс, а для сверхбыстродействующих tвосст.< 0,1 мкс. Помимо отмеченных, для импульсных диодов указываются дополнительные параметры:

55

- максимальный импульсный ток Iпр.имп.макс., - максимальное импульсное прямое напряжение Uпр.имп.макс., - барьерная емкость Cb .

Диоды Шоттки Диоды Шоттки обладают наибольшим быстродействием среди импульсных диодов. Их основой является переход металл-полупроводник. Схемное изображение диода Шоттки и его структура представлены на рис.33

E A

ОПЗ Рис.33 Диод Шоттки. а – структура, б – схемное изображение.

n+

n

а

K

K

А

б

Металл для контакта выбирают таким, чтобы работа выхода из металла была больше работы выхода из полупроводника n – типа. При таком соотношении работ выхода электроны из полупроводника переходят в металл, оставляя за собой нескомпенсированные положительно заряженные ионы доноров. В результате возникает ОПЗ и потенциальный барьер, называемый барьером Шоттки.

Рис.34 Диаграммы энергетических уровней металла и полупроводника. В качестве примера рассмотрим пару Au-Si.Изобразим зонные диаграммы металла и полупроводника при отсутствии контакта(рис.34). В качестве уровня отсчета примем энергию электронов в вакууме Е0. Разность Е0 – ЕF называется работой выхода: из металла qФм (эВ), из полупроводника qФs. Величина qФs зависит от концентрации легирующей примеси. Величина qχ = E0 − Ec называется сродством к электрону и для данного материала является постоянной. Из диаграммы видно, что если Фм>Фs , то средняя суммарная энергия электронов в полупроводнике выше, чем в металле. Если Au и Si привести в контакт, то различие в средних энергиях приведет к переходу электронов из п/п в металл. Перенос зарядов происходит до тех пор, пока не установится равновесное состояние, т.е. пока в обоих материалах не выравняются уровни Ферми. На месте ушедших электронов в п/п остаются нескомпенсированные положительные ионы доноров, т.е. формируется ОПЗ,

56

в которой имеется сильное электрическое поле Е. Оно направлено из п/п в металл и препятствует дальнейшему переходу электронов. На поверхности металла образуется отрицательный заряд электронов равный положительному заряду доноров в ОПЗ полупроводника. Изобразим зонную диаграмму контакта металл - п/п, распределение заряда и электрического поля в ОПЗ(рис.35). E0 E0 qχ qФs qФм qФм qχ qФs q Ф i qФb Ec Ef

Ev x=0

а ρ

Q=qNdxd qNd x Q=-qNdxd

б E

xd

Emax

в Рис.35 Диод Шоттки а – диаграмма энергетических уровней, б – распределение объемного заряда, в – распределение электрического поля. При построении зонной диаграммы учтены следующие факторы: 1. Уровни Ферми в металле и полупроводнике совпадают. 2. Величина Е0 является непрерывной функцией. 3. Величина qχ постоянна во всех точках. 4. Ширина запрещенной зоны п/п Eg = Ec − Ev постоянна во всех точках.

57

Распределение поля в ОПЗ - Е(х), ширина ОПЗ – x d , и связь напряжения U с шириной ОПЗ определяются так же как в p – n – переходе. Из диаграммы видно, что на границе имеется резкий скачек разрешенных состояний qΦ В = q (Φ М − χ ) , который определяет потенциальный барьер Uо = Фi , называемый барьером Шоттки. Ширина барьера(ширина ОПЗ) описывается тем же соотношением, что и в случае p-n – перехода (61) xd ~ U 0 + U . При прямом смещении диода Шоттки потенциал металла положителен относительно потенциала полупроводника. Это приводит к снижению потенциального барьера Uо на величину приложенного напряжения U, и возникновению прямого тока через переход. При обратном смещении ( металл отрицателен относительно полупроводника ) потенциальный барьер увеличивается на величину обратного напряжения и переход блокирует прохождение обратного тока. Главной особенностью диодов Шоттки является то, что ток переносится только основными носителями (электронами). Поэтому при переключении диодов Шоттки отсутствуют медленные процессы накопления и рассасывания заряда неосновных носителей. Время переключения диодов Шоттки может быть снижено до 1нс. Основное ограничение быстродействия диодов Шоттки связано с перезарядом барьерной емкости перехода. Другой особенностью диодов Шоттки является меньшее чем у кремниевых диодов на основе p-n – перехода прямое напряжение, составляющее 0,3 – 0,4 В. На рис.36 приведены вольт – амперные характеристики диода Шоттки (кривая 1) и кремниевого диода на основе p – n – перехода (кривая 2).

Рис.36 ВАХ диода Шоттки 1 и кремниевого диода 2. Основными недостатками диодов Шоттки являются сравнительно низкие рабочие напряжения (обратные) и большие обратные токи утечки, на 3-4 порядка превышающие токи утечки кремниевых диодов на основе p-n – перехода. Низкие обратные напряжения у диодов Шоттки связаны с лавинным пробоем перехода на периферии металлического контакта.

Стабилитроны Это плоскостные диоды, работающие в режиме электрического пробоя при ограниченном обратном токе, напряжение которых слабо зависит от тока. Схемное изображение стабилитрона приведено на рис.37

А

К

Рис.37 Схемное изображение стабилитрона.

58

Стабилитроны применяются для стабилизации напряжения, а также для ограничения уровней напряжений. Вольт-амперная характеристика стабилитрона имеет вид

I, мА 30 20 10 Uст -5

-4

-3

-2

-1

1 Iст.мин.

U, B

-10 -20 -30 Iст.макс.

Рис.38 Вольт-амперная характеристика стабилитрона. Прямая ветвь стабилитрона имеет тот же вид, что и у выпрямительного диода. Из обратной ветви характеристики следует, что в рабочем диапазоне обратных токов Iст.мин. ÷ Iст.макс. осуществляется стабилизация напряжения на уровне напряжения пробоя. Стабилитроны характеризуются следующими параметрами: - напряжением стабилизации Uст. (при заданном значении тока), - максимальным и минимальным значениями тока стабилизации Iст.макс. и Iст.мин. (первый ограничен возможностью перехода электрического пробоя в тепловой, второй соответствует началу устойчивого электрического пробоя), - дифференциальным сопротивлением на участке стабилизации rD = dU ст. . dI Этот параметр характеризует качество стабилизации: чем меньше rD , тем лучше осуществляется стабилизация ; dU ст. - температурным коэффициентом напряжения (ТКН) α ст. = , U ст. dT показывающим относительное изменение напряжения стабилизации при изменении температуры на 10. Для низковольтных стабилитронов, характеризующихся туннельным механизмом пробоя, αст. < 0, для высоковольтных, характеризующихся лавинным механизмом, αст. > 0 . Для снижения αст. применяют последовательное соединение p – n – переходов с противоположными по знаку ТКН. В настоящее время выпускаются стабилитроны на напряжение от 3,5 до 200 В при токах стабилизации от десятков мА до нескольких ампер.

59

Варикапы Это полупроводниковые диоды, емкостью которых можно управлять с помощью напряжения обратного смещения. Варикапы используются в схемах автоматической подстройки частоты (АПЧ) и в СВЧ-технике. Схемное изображение варикапа показано на рис.39

А

К

Рис.39 Схемное изображение варикапа. Принцип действия варикапа основан на свойстве обратносмещенного p-n – перехода изменять величину барьерной емкости Св при изменении обратного напряжения (65)

1

. U0 + U Вольт-фарадная характеристика и изменение емкости варикапа Св(t) при изменении приложенного к нему напряжения Uобр(t) показаны на рис.40 CВ ~

Рис.40 Иллюстрация принципа работы варикапа. Варикапы характеризуются следующими параметрами: - емкостью варикапа Св при заданном обратном напряжении, - коэффициентом перекрытия по емкости Кс (отношением емкостей варикапа при C двух заданных значениях напряжения) K C = В.1 , C В .2 - добротностью Qв (отношением реактивного сопротивления варикапа на заданной частоте к сопротивлению потерь при заданном значении обратного напряжения). Для определения добротности рассмотрим электрическую схему замещения варикапа(рис.41)

60

Рис.41 Электрическая схема замещения варикапа. Здесь СВ – емкость варикапа, RП – сопротивление потерь (активное суммарное сопротивление базы, омических контактов и выводов), Rобр. – сопротивление p-n – перехода при обратном смещении. 1 1 « Rобр На низких частотах » RП и QВ = ωCВ Rобр. .На высоких частотах ωС В ωС В 1 и QВ = . ωC В RП Следовательно, низкочастотные варикапы должны иметь высокое сопротивление обратно смещенного p-n – перехода, а высокочастотные – низкое сопротивление базы.

Туннельные диоды Это полупроводниковые диоды, принцип действия которых основан на использовании туннельного эффекта в узком p-n – переходе и приводит к появлению участка отрицательной дифференциальной проводимости на ВАХ при прямом смещении диода. Схемное изображение туннельного диода приведено на рис.42

А

К

Рис.42 Схемное изображение туннельного диода. В туннельном диоде при прямом смещении ток имеет две составляющие. Одна обусловлена диффузией носителей через потенциальный барьер p–n – перехода, другая туннельным эффектом. Диффузионная составляющая в пределах напряжения отсечки практически отсутствует, затем с ростом напряжения монотонно увеличивается (в соответствии с формулой Шокли ). Туннельная составляющая с ростом напряжения смещения сначала увеличивается ( до 0,1-0,2 В ) затем быстро падает. В результате ВАХ туннельного диода имеет вид, показанный на рис.43. Благодаря наличию на вольт-амперной характеристике участка с отрицательным дифференциальным сопротивлением туннельные диоды используются в схемах высокочастотных генераторов гигагерцового диапазона.

61

участок с отрицательным дифференциальным сопротивлением

Рис.43 Вольт-амперная характеристика туннельного диода. Туннельные диоды характеризуются следующими основными параметрами: - пиковым током Iп (в максимуме ВАХ ), - током впадины Iв (в минимуме ВАХ ), - напряжением пика Uп, - напряжением впадины Uв, - напряжением раствора Uр. Кроме того, туннельные диоды характеризуются рядом ранее рассмотренных параметров диодов: Iпр.макс., Iобр.макс., Iпр.имп.макс., Uпр., Uобр.. Изобразим электрическую схему замещения туннельного диода (рис.44)

Рис.44 Электрическая схема замещения туннельного диода. Здесь Сp-n – емкость прямосмещенного p-n – перехода, Rп – сопротивление потерь, Rд – отрицательное дифференциальное сопротивление на спадающем участке ВАХ. Туннельный ток не связан с медленными процессами диффузии и дрейфа. Поэтому туннельные диоды могут работать на частотах, достигающих сотен гигагерц (1011 Гц). Частотные свойства туннельных диодов определяются предельной резистивной частотой fR , на которой активная составляющая полного сопротивления диода обращается в 0

fR =

1 2π RД C p − n

⋅

RД RП − 1

.

62