М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У...
6 downloads
199 Views
404KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т
М О Д ЕЛ И Р О ВА Н И Е ЗО Н Н О Й С Т Р У К Т У Р Ы П О Л У П Р О ВО Д Н И К О В У чебноепособи е по лекци онномукурсу «Ф и зи каполупроводни ков» Специ альност ь 014100 - «М и кроэ лект рони каи полупроводни ковы епри боры » О П Д .Ф .02
В О РО Н Е Ж 2003
2 У т верж дено научно-мет оди чески м ф акульт ет а9 января 2003 г. (прот окол № 1)
совет ом
ф и зи ческого
Сост ави т ели : Бормонт овЕ .Н ., Бы кадороваГ.В . Гаври ловА .Е .
У чебное пособи е подгот овлено на каф едре ф и зи ки полупроводни ков и ми кроэ лект рони ки ф и зи ческого ф акульт ет а В оронеж ского государст венного уни верси т ет а. Рекомендует ся для ст удент ов3 курсаф и зи ческого ф акульт ет а.
3 Содерж ани е 1. О сновны епредполож ени я зонной т еори и … … … … … … … … … … … … … 4 2. В олновая ф ункци я э лект ронавпери оди ческом поле… … … … … … … … .5 3. Зоны Бри ллю э на… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..9 4. М ет оды расчет аэ нергет и ческой ст рукт уры кри ст аллов… … … … … … ..11 4.1. П ри бли ж ени еси льносвязанны х э лект ронов.… … … … … … … … … 12 4.2. П ри бли ж ени есвободны х э лект ронов. Э нергет и чески й спект р э лект ронавпрямоугольной пот енци альной яме… … … … ..14 4.3. П ри бли ж ени еслабосвязанны х э лект ронов… … … … … … … … … … 18 5. М одель К рони га–П енни … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .19 6. Заполнени езон э лект ронами . М ет аллы , ди э лект ри ки , полупроводни ки … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 25 7. П ракт и чески езадани я… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..28
4 1. О с новные предполож ениязоннойтеории К ак и звест но и з квант овой мех ани ки , для т еорет и ческого и сследовани я лю бой си ст емы част и ц, в част ност и для вы чи слени я возмож ны х значени й ееэ нерги и , надо реш и т ь соот вет ст вую щ ееуравнени е Ш реди нгера. П оследнеепредст авляет собой ди ф ф еренци альноеуравнени е в част ны х прои зводны х , содерж ащ ее ст олько переменны х , сколько ст епеней свободы и меет рассмат ри ваемая си ст ема. В ф и зи кет вердого т ела вэ т уси ст емувходят , ст рого говоря, всеэ лект роны и ат омны еядраат омов, сост авляю щ и е кри ст алл. Т аки м образом, чи сло ст епеней свободы , асни м и чи сло переменны х вуравнени и Ш реди нгера, оказы вает ся очень больш и м – порядка 1022–1023. В результ ат е взаи модей ст ви я меж ду част и цами переменны е не разделяю т ся, и мы при х оди м к мат емат и ческой задаче и склю чи т ельной т рудност и . П рямое реш ени е ее в наст оящ ее время невозмож но. Более т ого, даж е если бы реш ени е пост авленной задачи удалось най т и , ф и зи ческая и нт ерпрет аци я его предст ави лабы , ви ди мо, не меньш е т рудност ей , чем сам процесс реш ени я, и бо объем и нф ормаци и , т аки м пут ем полученной , бы л бы необы чай но вели к. П о э т и м при чи нам современная квант овая т еори я т вердого т ела вы нуж дена основы ват ься на ряде упрощ ени й . П оследни е вы би раю т ся с т аки м расчет ом, чтобы сох рани т ь ли ш ь наи более х аракт ерны е черт ы си ст емы , и склю чи ввсе, сравни т ельно мало сущ ест венное. Зонная т еори я бази рует ся на следую щ и х основны х предполож ени ях , сост авляю щ и х в своей совокупност и т ак назы ваемое«зонноепри бли ж ени е»: 1. П ри и зучени и дви ж ени я э лект ронов ат омны е ядра, вви ду и х больш ой массы , мож но рассмат ри ват ь как неподви ж ны е и ст очни ки поля, дей ст вую щ и енаэ лект роны . И ны ми словами , дви ж ени еэ лект роновмож но счи т ат ь незави си мы м, прои сх одящ и м без обмена э нерги ей с ат омны ми ядрами . П оскольку процесс, прои сх одящ и й без обмена э нерги ей с окруж аю щ ей средой , назы вает ся ади абат и чески м, т о э т о допущ ени е обы чно назы ваю т ади абат и чески м при бли ж ени ем. 2. Рассмат ри вает ся и деальны й кри ст алл. Располож ени е ядер счи т ает ся ст рого пери оди чески м: они размещ аю т ся в узлах и деальной реш ет ки данного кри ст алла. 3. Э нерги я попарного взаи модей ст ви я э лект ронов заменяет ся взаи модей ст ви ем каж дого э лект ронасусредненны м полем всех ост альны х э лект ронов. П оскольку э т о поле определяет не т олько дви ж ени е данного э лект рона, но и само зави си т от его дви ж ени я, т о оно получи ло названи е самосогласованного. В ведени е самосогласованного поля позволяет рассмат ри ват ь э лект роны как невзаи модей ст вую щ и е част и цы , т . е. вви де и деального газа и , следоват ельно, задачу многи х част и ц свест и к задаче для одного э лект рона. П оэ т ому т акое упрощ ени е получи ло названи е одноэ лект ронного при бли ж ени я.
5 П ервое предполож ени е позволяет рассмат ри ват ь поведени е э лект ронов, неи нт ересуясь дви ж ени ем т яж елы х част и ц. Э т авозмож ност ь не являет ся самоочеви дной , т ак как врезульт ат е взаи модей ст ви я меж ду э лект ронами и ядрами дви ж ени я и х не незави си мы : ст рого говоря, располож ени е ядер не задано, а и зменяет ся с и зменени ем сост ояни я э лект ронов. Смы сл предполож ени я 1) заклю чает ся в ут верж дени и , что последни й э ф ф ект мал. В т ороепредполож ени еограни чи вает классрассмат ри ваемы х си ст ем: речь и дет т олько о кри ст алли чески х т верды х т елах , а не о ж и дкост ях , ст еклах и т . п. Н аконец, т рет ье предполож ени е своди т многоэ лект ронную задачу к одноэ лект ронной . В мест о одного уравнени я Ш реди нгерадля всей си ст емы ат омны х ядер и э лект ронов мы получаем т еперь совокупност ь и дент и чны х , не связанны х меж ду собой уравнени й Ш реди нгера для каж дого э лект рона в от дельност и . И наче говоря, вмест о э лект ронной ж и дкост и – си ст емы взаи модей ст вую щ и х друг с другом част и ц – мы рассмат ри ваем и деальны й э лект ронны й газ вэ ф ф ект и вном внеш нем поле. Замет и м, что вбольш и нст ве э лект ри чески х , магни т ны х и опт и чески х явлени й в т верды х т елах э лект роны внут ренни х ат омны х оболочек не и граю т акт и вной роли . Д ей ст ви т ельно, э нерги я связи э т и х э лект роновсо «свои ми »ядрами –порядканескольки х десят кови ли даж есот ен э лект ронвольт (на э лект рон). Э т о значи т ельно больш е средней э нерги и взаи модей ст ви я и х со многи ми внеш ни ми полями , равно как и э нерги и квант ов э лект ромагни т ного поля в ви ди мой и более дли нноволновы х област ях . П оэ т ому во многи х задачах оказы вает ся возмож ны м другое (т акж е при бли ж енное) разделени е част и цна т яж елы е и легки е. И менно, в «си ст ему э лект ронов», рассмат ри ваемы х явно, мож но вклю чи т ь т олько валент ны е э лект роны ат омов, сост авляю щ и х реш ет ку; э лект роны ж е внут ренни х оболочек вмест е с ядрами образую т ат омны е ост овы , сост ояни я кот оры х практ и чески не и зменяю т ся в рассмат ри ваемы х явлени ях . П ри э т ом роль неподви ж ны х и ст очни ковполя и граю т уж е не ядра, а ат омны е ост овы . Соот вет ст венно предполож ени я 1) и 2) надо переф ормули роват ь, замени в вни х слова «ат омны е ядра» на «ат омны е ост овы ». П оследнеепри бли ж ени еназы ваю т валент ной аппрокси маци ей . 2. Волноваяфункцияэлектронавпериодичес ком поле К ак мы ви дели в преды дущ ем параграф е, в рамках зонного при бли ж ени я задача о си ст еме э лект ронов в т вердом т еле своди т ся к задаче об одном э лект роне, дви ж ущ емся в заданном внеш нем поле. О бозначи м пот енци альную э нерги ю э лект рона внем через U (r). Я вны й ви д ф ункци и U (r) нам неи звест ен. О днако оказы вает ся, что многи е важ ны е особенност и рассмат ри ваемой си ст емы мож но вы ясни т ь, не задавая явного ви да э т ой ф ункци и , а пользуясь ли ш ь услови ем ее пери оди чност и . И менно э т и м, по сущ ест ву, и объясняет ся успех зонного
6 при бли ж ени я при и нт ерпрет аци и э кспери мент альны х данны х . М ы будем рассмат ри ват ь т олько ст аци онарны есост ояни я э лект ронов. Соот вет ст венно уравнени еШ реди нгераи меет ви д h2 2 (1) − ∇ ψ + V (r )ψ = Eψ , 2m при чем ф ункци я V(r) обладает пери оди чност ью кри ст алли ческой реш ет ки : V (r) = V (r + n),
(2)
гдеn = n1a + n2b + n3c; a, b, c –вект оры еди ни чны х т рансляци й ; n1, n2, n3 – прои звольны е целы е чи сла. П ри смещ ени и кри ст алла на вект ор n он совмещ ает ся сам ссобой . И з услови я т рансляци онной си ммет ри и (2) следует , что волновы е ф ункци и э лект рона ψ (r) и ψ (r + n) могут от ли чат ься ли ш ь пост оянны м множ и т елем, т . е. ψ (r + n) = С ψ (r). (3) К роме т ого, поскольку обе они долж ны бы т ь норми рованы , абсолю т ная вели чи наС долж набы т ь равнаеди ни це: C = 1. (4) У слови ю (4) мож но удовлет вори т ь, если полож и т ь С = exp(ikn), где k –прои звольны й вект ор. Т огдаи з(3) следует , что от куда где
ψ (r + n) = exp(ikn)ψ (r), ψ (r) = exp(-ikn)ψ (r + n) = exp(ikr)Uk (r), Uk (r) = exp[-ik(r + n)]ψ (r + n).
(5) (6) (7)
Ф ункци я Uk (r) обладает т рех мерной пери оди чност ью кри ст алли ческой реш ет ки , т ак как, согласно (5) и (7), Uk (r + m) = exp[-ik(r + n + m)]ψ (r + n + m) = = exp[-ik(r + n + m)]exp(ikm)ψ (r + n) = exp[-ik(r + n)]ψ (r + n) = Uk (r). Т аки м образом, волновая ф ункци я э лект рона впери оди ческом поле кри ст алла и меет ви д: ψk (r) = Uk (r) exp(ikr) , (8) где Uk (r) –ф ункци я коорди нат , и мею щ ая пери оди чност ь реш ет ки : Uk (r) = Uk (r + n).
(9)
7 Равенст ва (8), (9) сост авляю т содерж ани е т еоремы Блох а: волновая ф ункци я э лект рона, дви ж ущ егося в пери оди ческом поле, предст авляет собой плоскую волну, модули рованную некот орой ф ункци ей с пери оди чност ью реш ет ки . Сами ф ункци и ви да (8) и ногда назы ваю т ф ункци ями Блох а. В х одящ и й в ф ункци ю Блох а вект ор k назы ваю т волновы м. О чеви дно, его компонент ы и мею т размерност ь [см – 1]. М одуль вект ора k назы ваю т волновы м чи слом. Е го ф и зи чески й смы сл – чи сло дли н волн, уклады ваю щ и х ся на от резке 2π, т . е. k = 2π/λ. В задаче о дви ж ени и э лект рона в пери оди ческом поле кри ст алла волновой вект ор k и грает т акую ж е роль, какую и грает волновой вект ор в задаче о дви ж ени и свободного э лект рона. Сост ояни е свободно дви ж ущ егося э лект рона с массой m х аракт ери зует ся э нерги ей Е и и мпульсом р. П ри э т ом E = p2/(2m). Э т омуэ лект ронусоот вет ст вует волнадеБрой ля дли ной λ = h/p = h/(mv), гдеv – скорост ь э лект рона. О т сю да, учи т ы вая, что k = 2π/λ, получи м p = hk, где h=h/(2π). В и дно, что волновой вект ор пропорци онален и мпульсу э лект рона. Э нерги я свободного э лект рона связана с волновы м вект ором соот нош ени ем E = h2k2/(2m). Е сли на э лект рон ни каки е си лы не дей ст вую т , т о его э нерги я ост ает ся пост оянной , т . е. E (k) = const. Э т о означает , что неменяет ся k и ост ает ся пост оянны м и мпульс р. П о сущ ест ву, э т о ест ь законы сох ранени я э нерги и и и мпульса. Н а э лект рон, дви ж ущ и й ся в кри ст алле, всегда дей ст вует пери оди ческое поле реш ет ки . Э нерги я э т ого взаи модей ст ви я являет ся пери оди ческой ф ункци ей коорди нат . Следоват ельно, э нерги я и и мпульс э лект ронавкри ст аллеи зменяю т ся со временем под дей ст ви ем э т ого поля, т . е. несох раняю т ся. О днако, пользуясь понят и ем волнового вект ора k, введенного для э лект ронавкри ст алле, т . е. входящ его вф ункци ю Блох а(8), мож но ввест и х аракт ери ст и ку, аналоги чную и мпульсу, но сох раняю щ ую ся во времени : Р = hk.
(10)
8 Ч т обы подчеркнут ь сх одст во и одновременно от мет и т ь от ли чи е ф и гури рую щ ей в(10) вели чи ны hk от и ст и нного и мпульса, э т у вели чи ну назы ваю т квази и мпульсом э лект рона. Eсли какая-ли бо ф и зи ческая вели чи насох раняет ся, т о операт ор э т ой вели чи ны коммут и рует с операт ором Гами льт она. Т аки м образом, квази и мпульсу долж ен соот вет ст воват ь некот оры й операт ор, коммут и рую щ и й с гами льт они аном кри ст алли ческой реш ет ки . Следоват ельно, мож но ут верж дат ь, что при дви ж ени и э лект рона в пери оди ческом поле кри ст алли ческой реш ет ки собст венны е ф ункци и операт оровквази и мпульсаи Гами льт онадолж ны бы т ь оди наковы , амеж ду и х собст венны ми значени ями долж на бы т ь определенная ф ункци ональная связь: Е = Е (Р ). Э т о означает , что э нерги я э лект рона долж на бы т ь ф ункци ей квази и мпульса, а значи т , с учет ом (10), и ф ункци ей волнового вект ора, т . е. Е = Е (k). (11) О брат и м т еперь вни мани е на т о, что волновой вект ор э лект рона в кри ст алле в от ли чи е волнового вект ора свободного э лект рона неоднозначен. Ч т обы показат ь э т о, рассмот ри м т рансляци онное услови е (5), наклады ваемое на волновую ф ункци ю э лект рона, дви ж ущ егося в пери оди ческом полереш ет ки : ψ (r + n) = exp(ikn)ψ (r). Э т о услови е не наруш и т ся, если волновой вект ор k замени т ь навект ор k + 2πg, гдеg = ha* + kb* + lc* –вект ор обрат ной реш ет ки . Д ей ст ви т ельно, exp [i(k + 2πg)n] = exp (ikn) exp (i2πgn) = exp (ikn) вси лут ого, что (gn) = m и exp (i2πm) = 1. Т аки м образом, мы при х оди м к вы воду, что квант овы е сост ояни я, х аракт ери зуемы е волновы ми вект орами k и k + 2πg, ф и зи чески э кви валент ны . Следоват ельно, э нерги я э лект ронов, нах одящ и х ся в э т и х двух сост ояни ях , оди накова. Д руги ми словами , и волновая ф ункци я и э нерги я э лект рона в кри ст алле являю т ся пери оди чески ми ф ункци ями волнового вект ораk спери одом 2πg: Е (k) = Е (k + 2πg).
(12)
Н ах ож дени езави си мост и Е (k) являет ся одной и з важ ней ш и х задачф и зи ки т вердого т ела.
9 3. Зоны Бриллю эна Е сли вk-прост ранст ве пост рои т ь обрат ную реш ет ку, раст янут ую в 2π раз, т . е. реш ет ку с вект орами 2πa*, 2πb*, 2πc*, т о все k-прост ранст во мож но раздели т ь наобласт и , вкот оры х и мею т ся ф и зи чески э кви валент ны е сост ояни я. Э т и област и назы ваю т зонами Бри ллю э на. М ногогранни к ми ни мального объема, пост роенны й в k-прост ранст ве вокруг начала коорди нат и содерж ащ и й все возмож ны е разли чны е сост ояни я, назы ваю т первой , и ли основной , зоной Бри ллю э на. Д ля пост роени я зон Бри ллю э на обы чно и спользует ся следую щ и й способ. К акой -т о узел обрат ной реш ет ки , раст янут ой в2π раз, вы би раю т в качест ве начала коорди нат и соеди няю т его прямы ми ли ни ями с бли ж ай ш и ми к немуузлами . Ч ерез середи ны э т и х ли ни й перпенди кулярно к ни м проводят плоскост и . О грани ченны й э т и ми плоскост ями наи меньш и й многогранни к, содерж ащ и й внут ри себя начало коорди нат , и являет ся первой зоной Бри ллю э на. Д руги ми словами , первая зона Бри ллю э на предст авляет собой э лемент арную ячей ку В и гнера – Зей т ца для обрат ной реш ет ки , раст янут ую в2π раз. Рассмот ри м в качест ве при мера прост ую куби ческую реш ет ку с парамет ром ячей ки , равны м а. О брат ная реш ет ка для нее т акж е прост ая куби ческая, при чем a* = 1/a. Я чей ка В и гнера – Зей т ца вk-прост ранст ве, т . е. первая зона Бри ллю э на, предст авляет собой в э т ом случае куб объемом (2π)3/a3. В се неэ кви валент ны е значени я компонент оввект ора k при э т ом леж ат ви нт ервалах : π π π π π π − ≤ kx ≤ ; − ≤ ky ≤ ; − ≤ kz ≤ . (13) a a a a a a П ервы е э оны Бри ллю э на для прост ой , объемноцент ри рованной и гранецент ри рованной куби чески х реш ет ок показаны на ри с.1. Э кви валент ност ь ф и зи чески х сост ояни й , при надлеж ащ и х разли чны м зонам Бри ллю э на, позволяет при дви ж ени и э лект рона в k-прост ранст ве рассмат ри ват ь его т раект ори ю т олько впределах первой зоны Бри ллю э на.
a)
б)
с)
Ри с. 1. П ервая зона Бри ллю э на для прост ой (а), объемноцент ри рованной (б ) и гранецент ри рованной (с ) куби чески х реш ет ок.
10 Л ю бой реальны й кри ст алл являет ся ограни ченны м. Э т о обст оят ельст во при води т к т ому, что волновой вект ор э лект рона мож ет при ни мат ь т олько ди скрет ны й ряд значени й . Д ля т ого, чтобы подсчи т ат ь чи сло допуст и мы х значени й k в зоне Бри ллю э на, необх оди мо учест ь грани чны е услови я. В оспользуемся для э т ого ци кли чески ми грани чны ми услови ями Борна–К армана. П редполож и м, что кри ст алл и меет ф орму параллелепи педа с размерами по осям x, y, z соот вет ст венно Lx, Ly, Lz. П уст ь реш ет капрост ая куби ческая спарамет ром а. Т огда Lx = Nx a ;
Ly = Ny a ;
Lz = Nz a ,
(14)
где Nx, Ny, Nz – чи сло ат омов, располагаю щ и х ся на ребрах Lx, Ly и Lz соот вет ст венно. П от ребуем, чтобы волновая ф ункци я удовлет воряла услови ям Борна–К армана: ψ ( x , y , z ) = ψ (x + L x , y + L y , z + L z ). (15) У чи т ы вая, что волновая ф ункци я э лект рона в кри ст алле и меет ви д ф ункци и Блох а, услови е(15) мож но перепи сат ь вви де ψk(x+Lx, y+Ly, z+Lz)=Uk(x, y, z)exp[i (kxLx+kyLy+kzLz)]exp(i kr)= ψk(x, y, z), от кудаследует , что и ли
exp[i (kxLx+kyLy+kzLz)] ≡1
exp (i kxLx) = exp (i kyLy) = exp (i kzLz) = 1. П оследнееравенст во вы полняет ся, если 2π 2π 2π kx = n1 ; k y = n2 ; k z = n3 , Lx Ly Lz
(16)
где n1 , n2 , n3 –лю бы ецелы ечи сла(0, ±1, ±2, … ). Т аки м образом, дей ст ви т ельно, множ ест во возмож ны х квант овы х сост ояни й э лект рона в k-прост ранст ве, т . е. множ ест во допуст и мы х значени й компонент ов волнового вект ора k, определено ди скрет но. В соот вет ст ви и с э т и м оказы вает ся квант ованной и э нерги я э лект ронов в разреш енной э нергет и ческой зоне. Д ля подсчет а чи сла квант овы х сост ояни й (и ли чи сла уровней в э нергет и ческой зоне) замет и м, что, согласно (14), полное чи сло ат омовв кри ст алле N = NxNyNz, а э лемент арны й объем, при х одящ и й ся на одно квант овоесост ояни е, ест ь 3 3 ( ( 2π ) 2π ) ∆k x ∆k y ∆k z = = , Lx L y Lz Na 3 поскольку разност ь двух соседни х целы х чи сел n1 , n2 и ли n3, входящ и х в равенст ва (15), очеви дно, равна еди ни це. Т огда, раздели вобъем зоны
11 Бри ллю э на (равны й (2π)3/a3) на объем, при х одящ и й ся на одно квант овое сост ояни е (равны й (2π)3/Na3), получи м, что взоне Бри ллю э на и меет ся N разреш енны х сост ояни й , т . е. чи сло квант овы х сост ояни й определяет ся чи слом э лемент арны х ячеек (ат омов) вкри ст алле. И т ак, для полного опи сани я всей совокупност и сост ояни й э лект рона в кри ст алле дост ат очно рассмат ри ват ь т олько област ь значени й k, ограни ченную первой зоной Бри ллю э на. Т ем не менее, и ногда полезно счи т ат ь, что волновой вект ор мож ет и зменят ься по всему k-прост ранст ву. П оскольку для лю бы х значени й k, от ли чаю щ и х ся на вект ор 2πg, все волновы е ф ункци и и уровни э нерги и оди наковы , э нергет и чески м уровням мож но при пи сат ь и ндекс n т ак, чтобы при заданном n собст венны е значени я уравнени я Ш реди нгера бы ли пери оди чески ми ф ункци ями вект ораk вобрат ной реш ет ке: Е n (k) = Е n (k + 2πg). Совокупност ь всех э нергет и чески х уровней э лект рона, опи сы ваемы х ф ункци ей Е n (k) при ф и кси рованном значени и n, назы ваю т э нергет и ческой зоной . Т ак как каж дая ф ункци я Е n (k) пери оди чнаи квази непреры вна, т о у нее сущ ест вую т ни ж ни й и верх ни й пределы . В се уровни данной разреш енной э нергет и ческой зоны заклю чены ви нт ервале меж ду э т и ми двумя пределами . О намож ет бы т ь от деленаот соседни х разреш енны х зон запрещ енны ми э нергет и чески ми зонами . В озмож но т акж еперекры т и еэ т ой зоны сдруги ми зонами . Д ет альноеповедени езон (перекры т и еи ли нали чи е запрещ енны х зон и впоследнем случае ш и ри на э т и х запрещ енны х зон) определяет э лект ронны е свой ст ва конкрет ного мат ери ала. Зонная ст рукт ура – э т о т а важ ней ш ая х аракт ери ст и ка, кот орая от ли чает друг от другапроводни ки , ди э лект ри ки и полупроводни ки . 4. М етоды рас четаэнерг етичес койс труктуры крис таллов Д ля нах ож дени я э нергет и ческого спект ра э лект ронов в кри ст алле необх оди мо реш и т ь одноэ лект ронное уравнени е Ш реди нгера (1) с пери оди чески м пот енци алом реш ет ки V (r). Собст венны еф ункци и ψ k (r) и собст венны езначени я Е n (k) э т ого уравнени я взначи т ельной мерезави сят от ви да пери оди ческого пот енци ала. В т о ж е время т очны й ви д V(r) определи т ь практ и чески невозмож но. В э т и х услови ях для нах ож дени я реш ени я уравнени я Ш реди нгера при х оди т ся при менят ь разли чны е при бли ж енны емет оды , делая определенны епредполож ени я от носи т ельно ви даф ункци и V (r). П о способуопределени я пот енци алаV (r), леж ащ его в основе всех мет одоврасчет а э нергет и ческой ст рукт уры кри ст аллов, э т и мет оды мож но раздели т ь нат ри группы : 1) самосогласованны е расчет ы , в кот оры х в качест ве парамет ров и спользую т т олько ат омны е конст ант ы . О дни м и з т аки х мет одовявляет ся
12 мет од орт огонали зованны х плоски х волн (О П В ); 2) э мпи ри чески е мет оды , в кот оры х для наи лучш его согласовани я т еори и и э кспери мент а при расчет е и спользую т э кспери мент альны е данны е. К э т и м мет одам от носят ся разли чны еи нт ерполяци онны есх емы и мет од псевдопот енци ала; 3) мет оды , воснове кот оры х леж и т вы бор пот енци ала некот орого специ ального ви да. Сю да от носят ся мет оды ф ункци й Гри на и при соеди ненны х плоски х волн (П П В ), а т акж е мет од ли ней ны х комби наци й ат омны х орби т алей (Л К А О ). О т мет и м, что с помощ ью указанны х мет одов не удает ся провест и расчет анали т и чески . Д ля получени я зави си мост ей E(k) при х оди т ся и спользоват ь чи сленны е мет оды расчет ов и бы ст родей ст вую щ и е Э В М . В мест е с т ем, наряду с чи сленны ми (коли чест венны ми ) мет одами расчет а э т и х зави си мост ей , и мею т ся при бли ж енны е мет оды , позволяю щ и е уст анови т ь общ и й (качест венны й ) х аракт ер зави си мост ей E(k) спомощ ью т еори и возмущ ени й . Сущ ест вует т ри при бли ж ени я при реш ени и э т ой задачи , от ли чаю щ и еся вы бором нулевого при бли ж ени я и моделью пот енци ала реш ет ки . Е сли за нулевое при бли ж ени е взят ь э лект рон в и золи рованны х ат омах , и з кот оры х пост роена реш ет ка кри ст алла, при дем к т ак назы ваемому при бли ж ени ю си льносвязанны х э лект ронов. Беря в качест ве нулевого при бли ж ени я свободны й э лект рон и счи т ая пот енци ал реш ет ки пост оянны м, при дем к при бли ж ени ю свободны х э лект ронов. Н аконец, если за нулевое при бли ж ени е взят ь свободны й э лект рон и рассмат ри ват ь пери оди ческое поле реш ет ки как возмущ ени е, при дем к при бли ж ени ю слабо связанны х э лект ронов. Рассмот ри м т еперь, к какому х аракт еруэ нергет и ческого спект раэ лект роноввкри ст аллепри водят т аки е при бли ж ени я. 4.1. П риб лиж ение с ильнос вязанных электронов И звест но, что в и золи рованном ат оме э лект рон, нах одящ и й ся под воздей ст ви ем кулоновского пот енци ала ат омного ядра, мож ет и мет ь т олько вполнеопределенны еразреш енны езначени я э нерги и . В част ност и , э лект рон мож ет зани мат ь оди н и з последоват ельност и э нергет и чески х уровней En = (Z2m0q4)/(8ε02h2n2), (17) располагаю щ и х ся ни ж е некот орого уровня с от носи т ельной э нерги ей , при ни маемой за нуль. Здесь Z – чи сло прот онов в ядре, m0 – масса свободного э лект рона, q – заряд э лект рона, ε0 – ди э лект ри ческая прони цаемост ь вакуума, h – пост оянная П ланка, n – полож и т ельное целое чи сло. Д ля ат омаводорода Z = 1, аразреш енны езначени я э нерги и равны –2,19⋅1018/n2 Д ж , и ли –13,6/n2 э В от носи т ельно нулевого уровня. П ри
13 ни зки х т емперат урах , если с ат омом связано более одного э лект рона, э лект роны заполняю т разреш енны е уровни , начи ная с ни зки х значени й э нерги и . В соот вет ст ви и спри нци пом П аули оди н э нергет и чески й уровень могут зани мат ь неболеедвух э лект ронов(спрот и вополож ны ми спи нами ). Разли чи е меж ду кри ст аллом и от дельны м ат омом сост ои т в следую щ ем. В т о время, как в и золи рованном ат оме каж ды й э нергет и чески й уровень, определяемы й уравнени ем (17), являет ся еди нст венны м, в кри ст алле сост оящ ем и з N ат омов, в нулевом при бли ж ени и каж ды й уровень повторяет ся N раз. Д руги ми словами , каж ды й э нергет и чески й уровеннь и золи рованного ат ома вкри ст алле при нулевом при бли ж ени и оказы вает ся N-крат но вы рож денны м. Т акое вы рож дени е, как и звест но, назы вает ся перест ановочны м. У чтем т еперь поправку (возмущ ени е) вкулоновском пот енци алеядра и золи рованного ат ома. П о мере сбли ж ени я и золи рованны х ат омов и образовани и и з ни х кри ст алли ческой реш ет ки каж ды й ат ом попадает во все возраст аю щ ее поле свои х соседей , с кот оры ми он взаи модей ст вует . Э т о взаи модей ст ви е при води т к снят и ю перест ановочного вы рож дени я. В результ ат е э нергет и чески й уровень, невы рож денны й всвободном ат оме, оказы вает ся расщ епленны м на N бли зко располож енны х друг от друга подуровней , образую щ и х э нергет и ческую зону. Расст ояни е меж ду подуровнями в зоне для кри ст аллов обы чны х размеров очень мало. В кри ст алле размером в 1 см3 содерж и т ся ~1022 ат омов. П ри ш и ри не зоны ~1 э В расст ояни е меж ду уровнями взоне сост авляет ~ 10-22 э В , т . е. много меньш е kT. П оэ т ому э нергет и чески й спект р э лект роноввзоне счи т аю т квази непреры вны м. О днако т от ф акт , что чи сло уровней взонеявляет ся все-т аки конечны м, и грает важ ную роль вопределени и х аракт ерараспределени я э лект роновпо сост ояни ям. Н аи больш ее вли яни е поле реш ет ки мож ет оказат ь, очеви дно, на внеш ни е э лект роны ат омов. П оэ т ому сост ояни е э т и х э лект ронов в кри ст алле прет ерпевает наи больш ее и зменени е, а э нергет и чески е зоны , образованны е и з э нергет и чески х уровней э т и х э лект ронов, оказы ваю т ся наи болееш и роки ми . В нут ренни еж еэ лект роны , си льносвязанны есядром, и спы т ы ваю т ли ш ь незначи т ельное возмущ аю щ ее дей ст ви е от соседни х ат омов, вследст ви е чего и х э нергет и чески е уровни вкри ст алле ост аю т ся практ и чески ст оль ж еузки ми , как и ви золи рованны х ат омах . Т аки м образом, как э т о следует и з качест венного анали за зонной ст рукт уры кри ст алла впри бли ж ени и си льной связи , каж дому квант овому сост ояни ю и золи рованного ат ома в кри ст алле, содерж ащ ем N ат омов, соот вет ст вует зона разреш енны х э нерги й , сост оящ ая и з N уровней . Зоны разреш енны х э нерги й разделены област ями запрещ енны х э нерги й – запрещ енны ми зонами . С увели чени ем э нерги и э лект рона ват оме ш и ри на разреш енной зоны увели чи вает ся, ш и ри назапрещ енной –уменьш ает ся. П озж е, на при мере одномерной модели К рони га – П енни , мы рассмот ри м некот оры еособенност и э т ого при бли ж ени я болееподробно.
14 4.2. П риб лиж ение с воб одных электронов. Э нерг етичес кийс пектр электроноввпрямоуг ольнойпотенциальнойяме В при бли ж ени и свободны х э лект роновпот енци ал реш ет ки счи т ает ся пост оянны м. П оэ т ому с э нергет и ческой т очки зрени я кри ст алл в э т ом случае предст авляет собой оди ночную пот енци альную яму с гладки м дном. Д ей ст ви т ельно, вне кри ст алла пот енци альная э нерги я свободного э лект рона V = 0, а внут ри кри ст алла V0 = -q ϕ0 , где ϕ0 – полож и т ельны й пост оянны й пот енци ал поля, созданного узлами реш ет ки . Э лект рон не мож ет свободно поки нут ь кри ст алл. Д ля вы х ода и з него э лект рону необх оди мо соверш и т ь работ у, чи сленно равную V0. Х аракт ер э нергет и ческого спект ра э лект ронов в кри ст алле (в пот енци альной яме) обсуди м напри мере одномерной модели , поскольку для вы яснени я важ ней ш и х особенност ей э нергет и ческого спект ра одномерного случая вполне дост ат очно. Н апомни м, что для его нах ож дени я нам нуж но реш и т ь одноэ лект ронное уравнени е Ш реди нгера (1), кот ороеводномерном случаеи меет ви д: h 2 d 2ψ − + V ( x )ψ = Eψ . (18) 2m dx 2 Реш и м э т о уравнени е для двух т и пов пот енци альной э нерги и , показанны х на ри с. 2. Случай , когда V(x)=0 при –a<xa, что соот вет ст вует бесконечно вы соки м ст енкам прямоугольной пот енци альной ямы , располож енны м вт очках x=±a, показан на ри с. 2, а. П от енци альная э нерги я, и зображ енная на ри с 2, б , и зменяет ся у ст енки скачкообразно, но на конечную вели чи ну, т ак что при x>a V(x)=V0. Д ля обои х т и повпот енци альной э нерги и дви ж ени е класси ческой част и цы с полной э нерги ей Е