Математические модели линейных индукционных машин на основе схем замещения: Учебное пособие

Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет – УПИ Ф.Н. Сарапулов, С...

Author: Сарапулов Ф.Н. | Сарапулов С.Ф. | Шымчак П.

82 downloads 252 Views 9MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет – УПИ

Ф.Н. Сарапулов, С.Ф. Сарапулов, П. Шымчак МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ ИНДУКЦИОННЫХ МАШИН НА ОСНОВЕ СХЕМ ЗАМЕЩЕНИЯ Учебное пособие

Научный редактор проф., д-р техн. наук Ф.Н. Сарапулов

Екатеринбург 2001

УДК 621. 313. 33 (075. 8) ББК 31. 2: 51 (075. 8) С 20 Рецензенты: кафедра высшей и прикладной математики Нижнетагильского технологического института Уральского государственного технического университета (зав. каф. д-р техн. наук, проф. О.Ю. Сидоров);

д-р техн. наук, проф. Г.К. Смолин (Уральский государственный профессионально-педагогический университет) Авторы: Ф.Н. Сарапулов, С.Ф. Сарапулов, П. Шымчак С.20 Математические модели линейных индукционных машин на основе схем замещения: Учебное пособие / Ф.Н. Сарапулов, С.Ф. Сарапулов, П. Шымчак. Екатеринбург: Изд-во УГТУ-УПИ, 2001. 236 с. ISBN 5-321-00149-9 В учебном пособии рассматриваются схемы замещения (СЗ) и математические модели на их основе для анализа линейных индукционных машин (ЛИМ). Приводятся известная Т-образная электрическая схема, СЗ с распределенными параметрами (на основе одномерных моделей Вольдека А.И., Ямамуры С., Огаркова Е.М.), позволяющие учесть продольный краевой эффект, а также СЗ на основе Е-Н-четырехполюсников, позволяющие учесть многослойность активной зоны (и, следовательно, толщинный эффект), но не учитывающие краевых эффектов ЛИМ. Большое внимание уделено построению детализированных магнитных и электрических схем замещения. Рассмотрены модификации моделей плоских и цилиндрических ЛИМ с зубцовопазовой структурой индуктора и без нее, с учетом и без учета потоков с обратной стороны сердечника статора. Показаны особенности реализации полученных моделей на языке Фортран и в пакете Mathcad. Даны результаты расчета конкретных ЛИМ а также сравнения характеристик, полученных с помощью различных моделей. В приложении приведены формуляры расчета характеристик по некоторым методикам. Пособие предназначено для использования студентами и аспирантами электротехнических специальностей высших учебных заведений. Оно может быть полезно специалистам, занятым разработкой и эксплуатацией электромеханических систем.

Библиогр.: 39 назв. Рис. 108. Табл. 13 ISBN 5-321-00149-9

© Уральский государственный технический университет-УПИ, 2001

ВВЕДЕНИЕ Настоящее учебное пособие можно считать естественным продолжением прежних публикаций, например, [5, 7, 18, 23], отражающих направление научных разработок коллективов, которые представляют авторы. За прошедшее время существенно изменились условия труда научного работника, усилилась прикладная ориентация его творчества, возросла компьютерная вооруженность, облегчился доступ к универсальным программным продуктам типа MATLAB и Mathcad, имеющим мощную математическую базу и позволяющим обойтись минимальными навыками программирования и работы на компьютере. С учетом этого аппарат детализированных электрических и магнитных схем замещения оказался очень подходящим инструментом разработки линейных индукционных машин (ЛИМ) и устройств технологического назначения. Он позволяет гибко изменять степень детализации магнитной и электрических цепей машины, строить гибридные схемы замещения, состоящие из интегральных и детализированных фрагментов в соответствии с выделяемыми объемами конструкции. Например, очень часто необходимо подробно исследовать процессы в рабочей области технологического устройства, отвлекаясь от подробностей картины полей в индукторе. При этом порядок системы уравнений, составляющих математическую модель, можно существенно ограничить в сравнении, например, с универсальными «полевыми» численными методами конечных элементов или конечных разностей. Вместе с тем, как показывает опыт, по точности исследования процессов в заданной области метод детализированных схем замещения не уступает упомянутым выше полевым методам, несомненно превосходя их по возможностям анализа различных режимов работы устройства, изучению его как элемента системы или объекта управления [24, 25]. Полевые методы оказываются «чрезмерно универсальными», требуя больших затрат труда на «приложение» их к конкретным устройству, системе, режиму работы. Эти затраты, к тому же, не гарантируют достижения конечного результата в данном направлении. Объектом рассмотрения является индукционная машина (ИМ) линейного или вращательного движения, с замкнутым или разомкнутым магнитопроводом, преимущественно со сплошным проводящим вторичным элементом (ВЭ). Поперечный краевой эффект при ее анализе учитывается по известным методикам [5, 35] путем корректировки электропроводности ВЭ. Структура математической модели индукционного устройства, в частности ЛИМ, на основе схем замещения включает три блока уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа для электрической цепи индуктора,

ВВЕДЕНИЕ

короткозамкнутой электрической цепи вторичного элемента (ВЭ) и магнитной цепи. Для установившегося режима работы они записываются в виде [23],

( U 1 ) = ( Z1 )( I 1 ) − ( K E1 )(Φ ),

⎫ ⎪ ( K E 2 )(Φ ) = ( Z 2 )( I 2 ), ⎬ ( K F1 )( I 1 ) + ( K F 2 )( I 2 ) = ( R )(Φ ),⎪⎭

(В1)

где ( U 1 ), (I 1 ), (I 2 ) – векторы комплексных значений напряжений и токов фаз, (Φ ) – вектор комплексных значений потоков взаимоиндукции. Параметры цепей характеризуются матричными сопротивлениями ( Z1 ), (Z 2 ) и ( R ) . В общем случае они могут быть нелинейными и уточняться по ходу решения задачи с помощью итерационных процедур. Матрицы ( K E1 ) , ( K E 2 ) и ( K F1 ) , ( K F 2 ) характеризуют схемы соединения и раскладки по пазам секций (стержней) обмоток индуктора и ВЭ, являясь функционально аналогом клеммной панели реального устройства. Они формируют соответственно ЭДС фаз обмоток и пазовые МДС индуктора и ВЭ, связывая электрические цепи с магнитной. Для индуктора ( K E1 ) = ( K F1 ) T . Для электрических контуров ВЭ уравнения Кирхгофа записываются в неподвижной системе координат с учетом индуцированных трансформаторных ЭДС и ЭДС движения (для ЛИМ), что отражается в структуре и элементах матрицы ( K E 2 ) . Порядок системы уравнений (В1), как показано в разделе 3, зависит от типа, а также степени детализации цепей индукционного устройства. В простейшем случае однофазного трансформатора уравнения (В1) имеют первый порядок, а переменные становятся скалярными величинами. Размерности матриц, в свою очередь, определяют время расчетов, не изменяя в целом общей структуры решения задачи. Порядок системы понижается путем исключения переменных. Например, из второго уравнения (В1) можно выразить вектор ( I 2 ) через вектор (Φ ) и подставить в третье уравнение. В результате первое уравнение остается без изменения, а вместо второго и третьего можно записать ( K F1 )( I 1 ) = ( Z)( Φ ),

(В2)

где ( Z) = ( R ) − ( K F 2 )( Z 2 ) −1 ( K E 2 ) – матрица комплексных магнитных сопротивлений устройства, мнимые части которых отражают потери мощности во вторичной электрической и магнитной цепях [15].

4

ВВЕДЕНИЕ

При анализе индукционных устройств технологического назначения чаще всего необходимо знать индукции и плотности тока в рабочем объеме. Поэтому алгоритм решения (В1) с учетом (В2) сводится к нахождению вектора потоков (Ф). В случае питания обмотки индуктора от источника тока, когда вектор ( I 1 ) задан, математическая модель устройства сводится к (В2), откуда легко отыскивается (Ф). Если токи фаз индуктора неизвестны, а заданы напряжения сети, то задача может быть решена в три этапа: на первом находятся сопротивления само- и взаимоиндукции фаз индуктора при протекании по ним единичных токов, на втором рассчитываются реальные токи с помощью найденных сопротивлений, на третьем определяются потоки и все остальные величины при условии питания индуктора найденными токами как показано в 3.5.4. Естественно, что данный путь не единственный, хотя он имеет ту привлекательную сторону, что при анализе различных режимов работы устройства матрица сопротивлений само- и взаимоиндукции фаз оказывается достаточной для нахождения токов и мощностей, потребляемых индуктором. В первом и втором разделах излагаются общие вопросы таких ИМ, даются классификация конструкций, описание их применений, а также особенностей протекающих в них процессов. Здесь же приводится классификация математических моделей ЛИМ, в том числе на основе схем замещения. В третьем разделе рассматриваются математические модели на основе известной Т-образной схемы замещения [6, 10, 23]; на основе Е-Нчетырехполюсников [5], связывающих тангенциальные составляющие напряженностей электрического Е и магнитного Н полей на поверхностях слоев многослойной системы, находящейся под воздействием бегущей или пульсирующей волны МДС индуктора; на основе схемы замещения с распределенными параметрами [5, 6, 11, 20]; на основе детализированных схем замещения с сосредоточенными параметрами [5, 18, 23]. В последнем случае зона существования электромагнитного поля разбивается на несколько слоев (в предлагаемых моделях до 15) по высоте и на участки, длиной не менее зубцового деления, по продольной координате. В электрических цепях выделяются отдельные катушки и стержни. Такая детализация позволяет получить картину распределения индукций, мощностей и усилий по участкам, приближающуюся по точности к результатам использования моделей на основе теории поля. Даются алгоритмы расчета магнитных сопротивлений для вариантов плоской, цилиндрической с бегущим по оси или с вращающимся магнитным полем. Обсуждаются особенности их формирования при учете анизотропии и пространственной модуляции свойств слоя, а также процедуры преобразования («сворачивания») развернутой многослойной магнитной схемы замещения. В особый параграф

5

ВВЕДЕНИЕ

вынесено описание динамической модели на основе двухслойной магнитной схемы для исследования переходных процессов ЛИМ. Четвертый раздел посвящен описанию компьютерных программ, реализующих обсуждаемые выше модели. Часть из них создана на языке Фортран, большинство – на базе пакета Mathcad. В текстах программ предусмотрена расшифровка обозначений величин и математических процедур, графическая интерпретация результатов средствами пакета Mathcad. В пятом разделе приводятся конкретные результаты исследования линейного асинхронного двигателя SL-5-270, выпускаемого серийно в Польше. Показано влияние различных параметров, а также схем соединения и питания обмоток индуктора на характеристики двигателя. Приведены зависимости усилия и скорости движения ВЭ при прямом запуске двигателя от сети. В приложении приведены формуляры расчета характеристик ЛИМ с помощью рассмотренных в пособии методик. Следует отметить, что, во-первых, только часть разработок коллективов исследователей Уральского государственного технического университета и Щецинского технического университета (Польша) в области ЛАД нашла отражение в данном пособии. Во-вторых, при известных основах метода детализированных схем замещения его современная компьютерная реализация, изложенная в пособии, позволила получить качественно иной программный продукт в сравнении с прежними разработками, обладающий более широкими возможностями анализа ЛИМ, доступный студентам и аспирантам, удобный в использовании и открытый к дальнейшему развитию. Большую помощь в его разработке оказали профессор Черных И. В. (при реализации в среде Mathcad метода Е-Н-четырехполюсников и прил. 7) и аспирант Егоров А. В., создавший базовую программу на основе двухслойной магнитной схемы замещения для исследования установившихся режимов ЛИМ. Активное участие в подготовке разделов 1 и 3.6 принял доцент Сокунов Б. А. Работа по подготовке пособия распределилась следующим образом: Ф. Н. Сарапулов – 1.1, 1.2, 2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 5.2, 5.5 и общее редактирование материалов; С. Ф. Сарапулов – 1.3, 3.1, 3.2, 3.6, 4, 5.4, приложения и компьютерный набор текста; П. Шымчак – 1.1, 2.1, 3.5, 5.1, 5.2, 5.3, 5.5.

6

Глава 1 КОНСТРУКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ИНДУКЦИОННЫХ МАШИН

1.1. ЛИНЕЙНЫЕ АСИНХРОННЫЕ ДВИГАТЕЛИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ Широкое применение в промышленности находят электроприводы на основе асинхронных двигателей с разомкнутыми магнитопроводами [5, 8, 21, 26, 27, 34, 37, 38]. К последним обычно относят двигатели с поступательным движением вторичного элемента, а также низкоскоростные дугостаторные и дисковые двигатели вращательного движения. На рис. 1.1 приведена укрупненная классификация линейных асинхронных двигателей (ЛАД), заимствованная из [5].

Рис. 1.1 Плоские двигатели с поступательным движением вторичного элемента (ВЭ) могут иметь один (рис. 1.2, в и г) или два индуктора (второй располагается симметрично с другой стороны ВЭ). Индуктор представляет собой плоский шихтованный ферромагнитный сердечник с пряв а

б

г

д

Рис. 1.2

Рис. 1.3

моугольными пазами (рис. 1.4) и кольцевой (секции наматываются вокруг ярма) или «барабанной» (секции из паза в паз) трехфазной обмоткой.

Глава 1. КОНСТРУКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ИНДУКЦИОННЫХ МАШИН

Обмотка питается трехфазной системой токов частотой f и создает бегущее магнитное поле, длина полуволны которого (полюсное деление τ) определяет линейную скорость движения поля v = 2τf. ВЭ обычно выполняется в виде проводящей металлической полосы (реактивной шины) при двухиндукторном исполнении (часто говорят – двустороннем индукторе) или двухслойной пластины (стальной полосы с медным или алюминиевым покрытием) при одноиндукторной конструкции (одностороннем индукторе) ЛАД. Нетрудно видеть, что медный или алюминиевый слой входит в немагнитный зазор, увеличивая тем самым ток намагничивания. Исполнение ВЭ в виде короткозамкнутой клетки («лестницы») с ферромагнитными зубцами позволяет уменьшить немагнитный зазор, но существенно усложняет конструкцию двигателя и применяется редко.

Рис. 1.4 Цилиндрические (трубчатые) ЛАД (рис. 1.2, д) имеют цилиндрический ферромагнитный сердечник, в пазах которого размещены кольцевые катушки трехфазной обмотки. Сердечник может быть выполнен в виде нескольких плоских магнитопроводов (рис. 1.5), образующих многолучевую звезду с почти цилиндрической внутренней поверхностью. В другой конструкции зубцы набираются из разрезанных по радиусу шайб электротехнической стали, а ярма выполняются приставными в виде шихтованных прямоугольных сердечников либо в ряде случаев из ферромагнитной трубы с продольной прорезью. ВЭ представляет из себя стальной цилиндр с медным или алюминиевым покрытием.

Рис. 1.5 Для уменьшения намагничивающего тока ВЭ может быть выполнен в виде чередующихся медных и стальных колец , посаженных на ферро-

8

1.1. ЛИНЕЙНЫЕ АСИНХРОННЫЕ ДВИГАТЕЛИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

магнитный стержень или трубу. Чаще всего ВЭ по длине превосходит индуктор, хотя могут быть системы с обратным соотношением длин. Дугостаторные ЛАД (рис. 1.2, б и рис 1.6) отличаются от обычных вращающихся двигателей тем, что индуктор (статор) охватывает лишь часть окружности ротора. Отношение длин окружности ротора и дуги статора определяет коэффициент редукции скорости механизма. Следует отметить, что в некоторых применениях ротором является сам рабочий орган механизма. Это позволяет существенно снизить материальные затраты на изготовление привода. Дисковые ЛАД (рис. 1.3) используют тот же принцип редукции скорости, что и дугостаторные. Индукторы 1 имеют плоские активные поверхности и располагаются с двух сторон медного или алюминиевого диска 2. Сердечники их изогнуты по дуге и создают бегущее по этой дуге магнитное поле (рис. 1.6). Часто они выполняются как плоские двухиндукторные ЛАД, рассмотренные выше, и создают магнитное поле, бегущее по прямой линии. При большом диаметре диска ВЭ это не влечет за собой существенного ухудшения характеристик привода.

Рис. 1.6 Переходя от конструкций к использованию, можно выделить две области целесообразного применения ЛАД. К первой группе относятся механизмы, в которых линейный электропривод переменного тока благодаря бесконтактной передаче усилия на подвижную часть обеспечивает свойства, недостижимые для классического электропривода на основе вращающихся двигателей (прежде всего высокие ускорения и производительность). Вторую группу составляют устройства на основе ЛАД, в которых вторичным элементом является приводимое в движение изделие или рабочий орган механизма. Тяговое усилие создается благодаря взаимодействию индуцированных в изделии токов с магнитным полем. В этом случае достигаются снижение металлоемкости (специально создается лишь статор) и энергопо9


требления системы, уменьшение брака от повреждения защитного покрытия изделия, использование сил магнитного притяжения для устранения его проскальзывания или для магнитного подвешивания, снижение эксплуатационных затрат. Особенностью линейного электропривода является то, что чаще всего он создается для конкретного механизма, хорошо с ним интегрируется и не может быть серийной продукцией. Вместе с тем конструктивная простота линейных индукторов позволяет освоить их производство для небольших мощностей в условиях электроцеха металлургического или машиностроительного предприятия. На рис. 1.7 приведена укрупненная схема областей применения ЛАД , среди которых можно выделить следующие: I – конвейерные поезда и конвейеры, II – перемешивающие и подъемные механизмы, III – волочильные станы, IV – загрузочные устройства, V – шахтные двери (также возможна компоновка транспортной системы с индукторами на экипаже), VI – натяжные устройства, VII – монорельсовые дороги, VIII – челночные конвейеры. Чимкентским заводом прессового оборудования выпускаются прессы с приводом от дугостаторного двигателя [5]. Двигатель имеет два дуговых статора, охватывающих стальной маховик, являющийся одновременно ротором. Привод имеет высокие энергетические показатели. Другим примером применения дугостаторного ЛАД является электропривод штемпельного пресса (рис. 1.8), изготовленный НПО «Взрывозащищенное электрооборудование» (г. Донецк, руководитель работ по созданию данного и описанных ниже ЛАД этого объединения С.В.Карась, [9]). Двигатель имеет верхнее расположение статора, что позволяет частично разгрузить опоры ротора за счет сил магнитного притяжения. Основные характеристики двигателя: номинальное напряжение 6000 В, ток 49 А, мощность 250 кВт, коэффициент мощности 0,55, коэффициент полезного действия 0,89, диаметр ротора – маховика 3,79 м. На рис. 1.9 показаны четыре типа ЛАД, изготовленных НПО «Взрывозащищенное электрооборудование» (см. выше). Параметры этих двигателей приведены в таблице. Двухиндукторный ЛАД разработан как частотноуправляемый с питанием от полупроводникового преобразователя частоты. Он предназначен для высокодинамичных электроприводов возвратнопоступательного движения в прокатном производстве и был изготовлен по заказу ПО «Электростальтяжмаш». Дисковый ЛАД изготовлен для привода опрокидывателя шахтных вагонеток. Благодаря большому диаметру диска он обеспечивает пониженную частоту вращения рабочего органа. Выделяемое в обмотке индуктора тепло отводится через спинку магнитопровода к оребренному корпусу, охлаждаемому проточной водой.

10


Рис. 1.7

Рис. 1.8 11


Это обеспечивает интенсивное охлаждение индуктора при форсированных электромагнитных нагрузках в повторно-кратковременном режиме работы. ВЭ выполнен в виде сегментов медной шины, укрепленных на ободе несущего диска. Цилиндрический ЛАД для привода толкателя имеет ограниченный ход ВЭ и выполнен по изложенной выше схеме с приставными ярмами индуктора. Одноиндукторный ЛАД предназначен для привода конвейерного поезда. Статоры располагаются с некоторым интервалом на полотне дороги между рельсами, а пластины ВЭ прикреплены к днищам вагонов. Привод обеспечивает эстафетную передачу поезда от одного индуктора к другому по трассе любой конфигурации с изломами в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Сигнал на включение очередного индуктора вырабатывается с помощью датчиков положения поезда. По такому же принципу ГПО «Уралвагонзавод» (г. Нижний Тагил) был изготовлен линейный асинхронный привод подвесной дороги в системе межцехового транспорта [29] (номинальные напряжение 220 В, ток 63 А, тяговое усилие 1250 Н).

Рис. 1.9

12


Таблица 1.1 Тип ЛАД и его назначение

параметры Частота тока, Гц

ДЛАД с двусторонним индуктором для привода загрузочновыгрузочной машины нагревательной печи

ДАЛ-Д12,5- 1,2 В дисковый ЛАД с двусторонним индуктором для привода подъемной установки

ДАЛ-Ц10- 5,8 В цилиндрический ЛАД для привода толкателя

ДАЛ-013-11-У1 с односторонним индуктором для привода конвейерного поезда

5,6

5

50

50

Тяговое усилие, кН

64

12,5

10

13

Коэффицимощности,

0,59

0,59

0,42

0,3

КПД, %

60

43

-

62

Скорость номинальная, м/с Напряжение номинальное, В Ток номинальный, А

2,5

-

11

ент о.е

Масса, кг Габаритные размеры, м3

1,2 (4,6 об/мин)

550

260

600/1140

660

520

81,6

101/58,3

760

5000

-

880(ЛАД) , 178(ВЭ)

3,325х0,8 4х0,98

1,4х0,32х0, 13

2,2х0,525 х0,525

180 1,2х1,35 6х0,38

Для привода перемешивающих устройств в глиноземном производстве производственным объединением «Уралэнергоцветмет» разработаны дисковые ЛАД (рис. 1.10), позволяющие получить без редуктора пониженную частоту вращения. Например, один из двигателей имеет следующие показатели: мощность 7,5 кВт, напряжение 380 В, ток 35 А, частота вращения 90 об/мин. Этим же объединением для перемещения ферромагнитных труб на ручьевом рольганге изготовлена партия индукторов ЛДРУ-2, параметры которых приведены в [29]. Индуктор ЛАД состоит из двух пакетов, располо13


женных под углом один к другому, с общей трехфазной обмоткой в прямоугольных пазах и защищен от окружающей среды экраном из нержавеющей стали. Двухпакетное исполнение индуктора обеспечивает наименьший воздушный зазор для труб различного диаметра. Тяговое усилие передается трубе бесконтактно, в результате ролики рольганга перестают быть ведущими и выполняют лишь функцию опор. Это обеспечивает лучшую динамику привода, а также сохранение защитного покрытия трубы. В ряде стран был освоен серийный выпуск индукторов ЛАД для встраивания их в приводы некоторых механизмов. Вторичный элемент при этом изготавливается специально под конкретный привод или совмещается с рабочим органом механизма. На рис. 1.11 показан польский двигатель SL5-270 (напряжение 380 В, ток 8 А, пусковое усилие 270 Н при воздушном зазоре 1 мм). Новосибирским государственным техническим университетом разработаны конструкции плоских тихоходных ЛАД поступательного движения малой мощности, питающихся от сети промышленной частоты [5]. Активный слой индуктора таких двигателей представляет собой непрерывное чередование ферромагнитных пластин и слоев обмоточного провода, запеченных в эпоксидный компаунд. Это обеспечивает малые полюсное деление и синхронную скорость при питании двигателя от сети частотой 50 Гц. В качестве ВЭ используется медная или алюминиевая шина. Для привода раздвижных дверей, сортировочных устройств, шиберов, рычагов, толкателей разработан цилиндрический ЛАД , в котором активный слой индуктора набирают из чередующихся ферромагнитных шайб с прорезями и концентрических однослойных катушек [5, 29]. ВЭ представляет собой шток определенной длины с насаженными на него чередующимися тонкими стальными и медными шайбами. Основные данные двигателя: напряжение 220 В, ток 50 А, продолжительность включения 0,25, пусковое усилие 240 Н.

Рис. 1.10

Рис. 1.11

14

1.2. МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ УСТАНОВКИ

Широко известно применение тяговых ЛАД в пассажирском наземном, в том числе и высокоскоростном, транспорте. Наибольшие успехи в этом направлении среди отечественных организаций были достигнуты ОКБ ЛЭД (г. Киев) [8] и НТЦ «ТЭМП» (г. Москва). В частности, последней организацией на полигоне в г. Раменском созданы действующие образцы вагонов с линейным частотно-управляемым асинхронным приводом. Плоские линейные электродвигатели установлены на экипаже, реактивная шина размещена на полотне. Наряду с колесными опорами отработаны варианты с электромагнитным подвешиванием вагона. 1.2. МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ УСТАНОВКИ Все более широкое применение линейные индукционные машины (ЛИМ) находят в технологических установках и системах. Можно выделить большую группу дозаторов и насосов для металлических распла- вов [4]; электромагнитных перемешивателей жидкого металла в миксерах, печах, ковшах [4, 30]; перемешивателей жидкой сердцевины слитков и заготовок [16, 36]; совмещенных преобразователей электрической энергии в тепловую и механическую энергию движения расплава, к которым относятся индукционные тигельные и канальные печи [31]. Многофазный МГД-насос наиболее просто можно представить себе, если в плоском ЛАД с двусторонним индуктором выполнить ВЭ в виде слоя жидкого металла в теплоизолированном канале (рис. 1.12, а). Тяговое усилие создает напор и при соответствующих скорости и сечении канала обеспечивает заданный расход перекачиваемого металла.

а

б Рис. 1.12 15


Конструкция плоского линейного индукционного насоса для тугоплавких металлов [4] с коробчатым корпусом, одновременно воспринимающим механические усилия и надежно защищающим обмотку индуктора, показана на рис. 1.12, б. Роль хребтовой балки играет активное железо магнитопроводов, а коробчатый корпус воспринимает нагрузки взаимного притяжения двух половин индуктора и разжимающие усилия давления в жидком металле. На рисунке обозначено: 1 – корпус; 2 – заполнение корпуса; 3 – магнитопровод; 4 – огнеупорная трубка; 5 – теплоизоляция; 6 – обмотка; 7 – клеммная панель; 8 – выводы обмотки; 9 – штуцеры для шлангов водяного охлаждения; 10 – канал для жидкого металла. Схемы размещения насосов в технологической системе показаны на рис. 1.13, [4] (1 – линейный индукционный насос; 2 – металлопровод; 3 – машина для литья под давлением; 4 – раздаточная печь). Соединение индукционных насосов с металлургической емкостью осуществляется при этом: а – через отверстие в стенке; б – через отверстие в днище.

а

б Рис. 1.13

Электромагнитный расчет насосов можно выполнить с помощью методики расчета ЛАД, если усреднить скорость по поперечному сечению канала. В действительности из-за вязкого трения слоев металла и затухания электромагнитного поля по их толщине профиль скорости в сечении канала носит М-образный характер [6] (у стенок скорость металла нулевая, затем она нарастает по толщине канала и снова спадает к его оси). Поскольку расплавленный металл имеет малую электропроводность, а немагнитный зазор насоса из-за наличия в нем теплозащиты велик, добротность машины обыч16

1.2. МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ УСТАНОВКИ

но мала. Это обусловливает повышенный ток намагничивания и слабое влияние вторичных токов на механические характеристики насоса при изменении скорости движения металла в рабочем диапазоне. Электромагнитыми перемешивателями обычно называют устройства воздействия на жидкий металл, обеспечивающие выравнивание распределения компонентов расплава по его объему (например, в печах, ковшах, миксерах [30]), либо формирование заданной структуры слитка при литье заготовок [16, 4]. Принцип действия перемешивателя остается прежним, но показатели его гораздо хуже, чем МГД-насоса, поскольку эквивалентный немагнитный зазор резко возрастает и с некоторым приближением может быть принят равным τ/π [6]. Устройство перемешивания может быть сформировано на основе плоских или цилиндрических индукторов с бегущим или пульсирующим магнитным полем в зависимости от того, какую задачу оно выполняет и как размещается по отношению к металлу (под днищем ванны сталеплавильной печи [4], вокруг кристаллизующегося слитка [4, 16, 39] и т.п.). В качестве примера на рис. 1.14 показан электромагнитный перемешиватель, внутрь которого устанавливается водоохлаждаемый кристаллизатор. Такая система применяется на Каменск-Уральском заводе ОЦМ [39] для полунепрерывного литья заготовок из медных сплавов.

Рис. 1.14 Примером совмещенного преобразователя электрической энергии в тепловую и механическую энергию движения расплава можно рассматривать индукционную тигельную печь [31]. В таком устройстве основная часть электрической энергии превращается в тепловую, механическая же энергия движения расплава составляет пренебрежимо малую величину. Вместе с тем следует отметить, что исполнением обмотки индуктора (на17


пример, однофазная или трехфазная) можно существенно влиять на характер перемещения металла в тигле, организуя его двух- или одноконтурное движение. Это в свою очередь в значительной степени определяет срок службы футеровки печи [31]. 1.3. СИНТЕЗ КОНСТРУКЦИЙ ЛИМ Синтезировать различные конструкции электротехнологических установок можно из отдельных базовых модулей ЛИМ. На рис. 1.15 показаны базовый модуль ЛИМ и направления нормального и тангенциального (тягового) усилий, создаваемых его бегущим полем. При расположении двух обмоток таким образом, что направления движения создаваемых ими бегущих полей перпендикулярны друг другу, можно получить так называемый двухкоординатный модуль. Рассмотрим двухкоординатный базовый модуль, в котором действуют два независимых бегущих магнитных поля, тяговые усилия которых перпендикулярны друг другу (рис. 1.16). Изменяя схему включения обмоток, а следовательно, и направление движения магнитного поля в них, можно получить суммарное тяговое усилие различного характера. Интенсивность Рис. 1.15 каждой составляющей усилия также можно менять, регулируя ток каждой из обмоток по отдельности

Рис. 1.16 Двухкоординатный модуль имеет большое преимущество перед однокоординатным. Оно состоит в том, что направление и величину результирующего (от Fн , Fтx , Fтz ) усилия можно изменять регулированием тока в обмотках, не изменяя положения индуктора.

18

1.3. СИНТЕЗ КОНСТРУКЦИЙ ЛИМ

Рассматривая базовый модуль ЛИМ как «строительный» блок индукционной машины технологического назначения можно формировать самые разнообразные схемы воздействия на объект. Принимая в качестве вторичного элемента, например, жидкий металл, и размещая единичные модули так, как показано на рис. 1.17, мы можем получать различные траектории движения расплава в ванне соответственно таблицам тяговых усилий.

Рис. 1.17 Если синтезировать конструкцию из двухкоординатных базовых модулей, то получим еще более широкий спектр комбинаций тяговых усилий (рис. 1.18). При таком способе синтеза электротехнологических установок достигается максимальная гибкость всей системы при необходимости корректировки параметров технологического процесса. При этом не обязательно изменять конструкцию установки, а достаточно только скорректировать энергетические параметры каждого базового модуля по отдельности. Еще одним достоинством использования модулей ЛИМ является их универсальность, а именно то, что одни и те же базовые элементы могут служить «строительными» блоками электротехнологических установок различного назначения. 19


Таким образом, один и тот же базовый модуль может использоваться, например, как для привода транспортной системы, так и для воздействия на расплавленный металл. Различными будут только энергетические параметры блоков.

Рис. 1.18 При большом количестве модулей индукционная машина может вырождаться в цилиндрическую ЛИМ (ЦЛИМ) (рис. 1.19). На рис. 1.20 показана компьютерная модель ЦЛИМ (рис. 1.5) с шестью магнитопроводами и общей обмоткой.

20


Рис. 1.19

Рис. 1.20 Подводя итог вышесказанному, можно отметить, что на основе базовых модулей можно формировать различные схемы индукционных установок технологического назначения. Необходимый характер комплексного воздействия на проводящую среду может быть получен в результате различного расположения базовых модулей в пространстве, а также различного включения обмоток каждого из них. В качестве примеров формирования конструкций электротехнологических установок можно рассмотреть несколько устройств. 1. Магнитогидродинамический насос для транспортировки жидкого металла (рис. 1.21). Между двумя сердечниками, имеющими общую обмотку, расположен футерованный канал с металлом. Магнитное поле обмотки создает давление металла и заставляет его двигаться по каналу. В данном случае верхняя и нижняя части индуктора рассматриваются как два 21


базовых модуля. Они объединены общей обмоткой, но возможен вариант, когда магнитопроводы имеют собственные, включенные независимо обмотки. Необходимо отметить также МГД устройства с многослойной системой сердечников (рис. 1.22). Эти конструкции служат, например, для увеличения либо напора, либо расхода металла, проходящего через насос.

Рис. 1.22 2. Электромагнитный кристаллизатор. Более сложную конструкцию представляет собой четырехиндукторная ЛИМ. Как показано на рис. 1.23, индукторы расположены под углом 90 градусов вокруг слитка квадратного сечения.

Рис. 1.21 22


Рис. 1.23 С помощью такого устройства можно легко влиять на процесс кристаллизации слитка внутри него, а именно – организовывать движение расплава по любой траектории, что в конечном итоге дает требуемое изменение структуры кристаллизующегося металла и положительно сказывается на качестве слитка и, впоследствии, на готовой продукции. Разнообразие направлений воздействия полем на жидкий металл во многом обеспечивается тем, что все четыре индуктора кристаллизатора имеют независимые обмотки, фазы и амплитуды токов которых регулируются отдельно (рис. 1.24).

Рис. 1.24

23

Глава 2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЛИМ 2.1. ОСОБЕННОСТИ ПРОЦЕССОВ В ЛИМ

2.1.1. ВЛИЯНИЕ КРАЕВЫХ ЭФФЕКТОВ Особенности характеристик ЛИМ связаны со спецификой электромагнитных процессов, которые вызваны разомкнутостью его магнитопровода, а также эффектами «входа-выхода», обусловленными переходом элементарных проводящих контуров вторичного элемента (ВЭ) из краевой зоны в активную на набегающем крае индуктора и из активной зоны в краевую на его сбегающем крае [5, 6]. Разомкнутость магнитной цепи в ЛАД приводит к отклонению от синусоидальной формы распределения потока в ярме и индукции в воздушном зазоре по продольной координате машины, искажение картины магнитного поля ухудшает ее тяговые и энергетические характеристики. Из-за неравномерности распределения поля вдоль продольной координаты катушки обмоток разных фаз находятся в неодинаковых магнитных условиях, что вызывает асимметрию ЭДС в фазах обмотки индуктора. Это влечет за собой возникновение асимметрии фазных токов при питании машины от источника с симметричной системой напряжений. Вторичное магнитное поле, обусловленное токами ВЭ, оказывает большое влияние на суммарный магнитный поток в зазоре машины. Вторичный элемент можно представить себе как непрерывную последовательность проводящих контуров, которые входят в зону индуктора, движутся в ней и затем покидают активную зону. Явления «входа-выхода» сопровождаются появлением индуцированных переходных составляющих токов и дополнительных потерь. Даже при движении ВЭ с синхронной скоростью относительно поля во ВЭ существуют токи и потери, вызванные наличием границ индуктора, т.е. явлениями «входа-выхода». Возникающие при этом усилия могут быть как тормозными, так и двигательными. Особенности работы ЛАД, обусловленные реакцией ВЭ, получили название вторичного продольного краевого эффекта, а особенности, имеющие место при отсутствии реакции вторичной части, – первичного краевого эффекта. В целом совокупность рассмотренных особенностей электромагнитных процессов в машинах с разомкнутыми магнитопроводами получила название продольного краевого эффекта (ПКЭ) [5, 6]. Идеальный ЛАД, в котором отсутствует ПКЭ, является его круговым аналогом (КРАД). Он получается путем устранения краевых зон («краев»), когда магнитопровод оказывается замкнутым.

2.1. ОСОБЕННОСТИ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИМ

Следует отметить также повышенный воздушный зазор ЛАД, который выбирается таковым из механических соображений. Эффект ослабления (затухания) магнитного поля в увеличенном зазоре, а также по толщине биметаллического ВЭ носит название толщинного эффекта. Он ведет к увеличению намагничивающего тока ЛАД в сравнении с обычными вращающимися двигателями. Поскольку ВЭ чаще всего выполняется в виде сплошной полосы, индуцированные токи в нем не могут быть «организованы» так, как в короткозамкнутой клетке. Они содержат и продольные составляющие, которые не участвуют в создании тягового усилия, но увеличивают потери и могут вызвать поперечные выталкивающие силы, если ВЭ расположить несимметрично относительно продольной оси. Эта особенность ЛАД носит название поперечного краевого эффекта. Обычно его влияние ослабляют, выполняя ВЭ шире индуктора. Наибольшее влияние оказывает ПКЭ, особенно для ЛАД с малым числом полюсов и большим значением отношения реактивности намагничивающего контура к приведенному вторичному сопротивлению – так называемой электромагнитной добротности машины ε0. Он влечет за собой появление добавочных составляющих токов и вторичных потерь у краев сердечника, снижение из-за этого КПД и тягового усилия машины. Расчет основных характеристик ЛАД можно выполнять по известным методикам расчета вращающихся асинхронных машин, но полученные значения интегральных величин (КПД, усилие) нужно домножать на поправочные коэффициенты, полученные при помощи более сложных математических моделей [5]. Для первоначальной оценки габаритов и электромагнитных нагрузок ЛАД при проектировании привода можно воспользоваться приближенными соотношениями [5, 29]. Усилие двигателя F = Sакт Fуд KF,

(2.1)

где Sакт – активная поверхность индуктора; Sакт=2pτL; 2p – число полюсов; τ – полюсное деление; L – ширина индуктора; KF – коэффициент учета ПКЭ. Полюсное деление выбирают исходя из заданных скорости vном и частоты питающего напряжения f τ = vнoм/ 2 f (1–sнoм), где sнoм – номинальное скольжение, sнoм = 0,1 … 0,3.

25

(2.2)

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЛИМ

Удельное усилие с единицы активной поверхности индуктора (2.3) Fуд = (π/2µ0) Bδ2 δ* · ε, где δ* = δ/τ – отношение немагнитного зазора к полюсному делению; µ0 = 4π⋅10-7 Гн/м – магнитная постоянная; ε = ε0⋅s ; ε0 – электромагнитная добротность, ε0 = (2∆/πδ)µ0γfτ2; γ и ∆ удельная электропроводность и толщина вторичного элемента (шины). К такому исполнению приближенно сводится и короткозамкнутый вторичный элемент, если его проводящий материал условно распределить в виде слоя в зазоре двигателя. Квадрат индукции в немагнитном зазоре Bδ2 = (A j) µ02 τ3 KG (1+ε2)-1δ-2 q-1,

(2.4)

где Aj – фактор нагрева (произведение линейности нагрузки А индуктора на плотность тока j) задается, исходя из условий охлаждения и класса изоляции обмотки c q пазов на полюс и фазу. Например, при ПВ=100% и классе изоляции В в условиях естественного охлаждения его выбирают равным 1011 А2 / м3, тогда как для ПВ = 40 % (и форсированного охлаждения) Aj = (5…7) 1011 А2 / м3. Здесь KG означает коэффициент геометрических параметров статора KG = (14,8)-1 Kоб2 Kз K11 K122,

(2.5)

где Kоб = 0,9…1,0 – обмоточный коэффициент, Kз=0,35…0,5 – коэффициент заполнения паза медью, K11=3…5 – отношение высоты паза к его ширине, K12=0,5…0,65 – отношение ширины паза к зубцовому делению индуктора. Опыт производства и эксплуатации ЛАД показывает [5], что удельное тяговое усилие в нормальных условиях эксплуатации составляет от 0,3 (малые ЛАД) до 0,6 Н/см2 (средние и крупные ЛАД). Очевидно, что с уменьшением продолжительности включения и при форсированном охлаждении эти цифры могут быть увеличены в несколько раз. На рис. 2.1 в качестве примера показаны механические характеристики FT ЛАД типа SL-5-270 (ε0 = 3,12, нижняя кривая Fpr рассчитана с помощью приближенной формулы (2.1) при Aj = 8,27 1011 А2/м3). Там же приведены соответствующие кривые для кругового аналога Fkp и Fprkp. Видно влияние ПКЭ и высокая точность предварительной оценки усилий с помощью приближенных выражений. На рис. 2.2 показаны распределения удельного усилия по продольной координате ЛАД для скольжений s = 0,01, 0,1, 0,2 … 1. Кривые демонстрируют искажение распределений по сравнению с круговым аналогом. Отчет26


ливо видно, что при почти синхронной скорости усилие не равно нулю и его распределение наиболее неравномерно. Это является следствием переходных токов во вторичных контурах, с большой скоростью входящих в зону поля и выходящих из нее. Наоборот, при s = 1 искажение удельного усилия по координате наименьшее, практически под всем индуктором усилие одинаково и равно значению, характерному для кругового аналога. 600

Усилие

525

КРАД

450 Fkp( s)

375

ЛАД

FT ( s) Fprkp( s) Fpr( s)

300 225 150 75 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 s

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Скольжение

Рис. 2.1 Коэффициент влияния продольного краевого эффекта KF рассчитывается делением усилия ЛАД на соответствующее усилие кругового аналога и показан на рис. 2.3. Для удобства пользования приведены зависимости этого коэффициента от скольжения при различных значениях электромагнитной добротности ε0 = 1, 3, 6, 9 (кривые K1, K3, K6, K9 ) и числа пар полюсов p = 1, 2, 3 ( значки в обозначениях 0, 1, 2 соответственно ). Видно, что наибольшее влияние ПКЭ оказывает при малых скольжениях и больших значениях добротности.

Рис. 2.2 27


Рис. 2.3 2.1.2. ОСОБЕННОСТИ СКОРОСТИ РЕГУЛИРОВАНИЯ ЛАД Для электроприводов на основе ЛАД применимы те же способы регулирования переменных, что и для приводов на основе обычных вращающихся асинхронных двигателей. Вместе с тем ЛАД имеют определенную специфику параметров, обусловливающих такие особенности механических характеристик, как повышенные номинальное скольжение и пусковое усилие. Это, в частности, позволяет более широко применять в таких приводах полупроводниковые регуляторы напряжения. На рис. 2.4 показаны механические характеристики в разомкнутой (а) и замкнутой (б) системах для привода на основе двухполюсного ЛАД ( мощность 0,6 кВт, напряжение 220 В, ток 4,6 А).

28


а

б Рис. 2.4

29


2.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ Многообразие моделей линейного асинхронного двигателя (ЛАД) объясняется рядом указанных выше особенностей электромагнитных переходных процессов, вызванных разомкнутостью его магнитопровода. Для исследования линейной индукционной машины (ЛИМ) применяются различные модели, отличающиеся разным уровнем допущений и сложности вычислений. Можно выделить два типа моделей [7], достаточно корректно учитывающих влияние продольного краевого эффекта (рис. 2.5): - двух- и трехмерные модели с расчетом магнитного поля методами конечных разностей или конечных элементов [19, 36] на каждом временном шаге. Они слабо ориентированы на синтез системы автоматического управления, требуют больших вычислительных ресурсов, мало пригодны для моделирования процессов в реальном времени, отличаются сложностью учета индуцированных токов в массивных элементах, - модели, основанные на детализированных магнитных схемах замещения (ДМСЗ). Они сводят задачу к расчету цепи, параметры которой интегрально представляют участки конструкции при моделировании устройства [5]. Эти модели более успешно могут быть применены для синтеза систем автоматического управления и для исследования переходных процессов в электромеханической системе. Большую роль в изучении ЛАД сыграла одномерная полевая модель А.И. Вольдека [6]. Модель предполагает равномерное распределение токов по объему немагнитного зазора, бесконечно длинные сердечники индуктора и ВЭ; продольный краевой эффект учитывается как следствие ограниченной длины токового настила. Для учета влияния шунтирующих полей вводятся шунтирующие участки магнитопровода. Дальнейшее развитие одномерная теория получила в работах Е.М. Огаркова [20], где различие магнитных свойств среды активной зоны и зоны шунтирования учитывается с помощью некоторой эквивалентной магнитной проницаемости ярма бесконечно протяженных шунтирующих участков. Стремление к подробному учету характерных особенностей ЛАД (продольного, поперечного и толщинного эффектов), описанных выше, привело к созданию двух- и трехмерных расчетных моделей [28, 35]. В [35] С. Ямамура предлагает одно-, двух- и трехмерные модели ЛАД и приводит сравнительный анализ их применения. Показано, что в ряде случаев расхождение результатов, полученных с помощью двух- и трехмерных моделей, невелико, поэтому для анализа характеристик ЛАД можно ограничиться использованием двухмерной, а иногда и одномерной модели. Трехмерная теория Санкт-Петербургского технического университета [28] разработана и доведена до расчетных программ на ЭВМ. Для рас30

2.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ

чета тягового и нормального усилий в установившемся режиме работы ЛАД здесь используется Максвеллов тензор напряжений. При помощи данной модели анализируются интегральные усилия в тяговом асинхронном двигателе, а также распределение удельных усилий по длине машины.

Рис 2.5 Наряду с аналитическими методами решения задач теории поля получили распространение и численные методы – метод конечных разностей и метод конечных элементов, позволяющие более корректно учесть конструктивные особенности линейных машин: различие магнитных свойств среды активной зоны и зон шунтирования, неравномерность воздушного зазора, дискретность распределения намагничивающей силы первичной обмотки [19, 37]. Ограниченность моделей, основанных на теории поля, проявляется в том, что они описывают статические режимы работы ЛАД. Исключением здесь являются работы [11, 12], в которых за основу взята одномерная модель А.И. Вольдека [6]. Частные производные в диффе31


ренциальных уравнениях заменяют конечно-разностными выражениями, получающаяся система алгебраических уравнений решается методом прогонки. Модель описывает электромагнитные процессы в ЛАД с листовым ВЭ при питании от источника напряжения. Общим недостатком многомерных моделей, базирующихся на теории поля, является их сложность и громоздкость, требующая использования ЭВМ с большими памятью и быстродействием. В этом смысле выгодно отличается двумерный метод аналогового моделирования многослойных структур, предложенный О.Н. Веселовским [5]. Данный метод соединил в себе идеи ортотропного моделирования, теорию бегущих волн и метод схемной аппроксимации объемов, занятых электромагнитным полем. ЛАД представлен при этом в виде ортотропной многослойной структуры с бегущими волнами электромагнитной индукции В, напряженностей электрического Е и магнитного Н полей в каждом слое. При этом значения В, Е, и Н на граничных поверхностях каждого слоя оказываются связанными между собой аналогично входным и выходным величинам четырехполюсников в электрических цепях. Коэффициенты связи (постоянные четырехполюсника) зависят только от электрических и магнитных свойств материала и толщины слоя. Данный метод не имеет какихлибо ограничений по числу рассматриваемых слоев и позволяет просто и подробно учесть особенности конструкции ЛАД, но при этом не учитывает продольный краевой эффект, а модель ориентирована на статические режимы. В настоящее время известен широкий арсенал методов математического моделирования электромагнитных процессов в индукционных машинах, основанных на теории цепей, имеющих различную степень завершенности и построенных при различных системах допущений. Это классические методы электрических схем замещения, методы магнитных схем замещения Куцевалова В.М. [15], метод детализированных магнитных и электрических схем замещения, рассматриваемый в [5, 7, 22, 23, 24]. Следует отметить тесно связанный с теорией цепей метод проводимостей зубцовых контуров Иванова-Смоленского А.В. [33] и метод электромеханического преобразования энергии, разработанный И.П. Копыло- вым [10] и сочетающий теорию поля и теорию цепей. При использовании схем замещения электрическая машина представляется совокупностью магнитных и электрических цепей, которые хорошо сочетаются с моделями внешних цепей, например, источников питания [7]. Преимуществом цепного подхода является также большая гибкость в отношении подробности представления элементов конструкции машин. Разные авторы исходят из различного уровня детализации машины: на фазу [18, 24], на пару полюсов [27, 10], на полюс или половину полюса [39, 13], на зубцовое деление [5, 7, 22-24], половину полюса зубцовой зоны. При этом 32

2.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ

возможно в рамках одной модели использовать гибридные схемы замещения, т.е. часть машины представить упрощенно, а часть подробно (например, статор – в виде Т-образной схемы замещения, а ротор – разбить по зубцам). Таким образом при использовании данных методов достаточно просто учесть несимметрию магнитной цепи ЛАД, насыщение ее отдельных участков, особенности конструкции. К достоинствам методов, базирующихся на теории цепей, следует отнести и то, что они, как правило, распространяются на динамические режимы работы ЛАД [11, 12, 7]. К одной из первых отечественных работ, содержащих вопросы исследования динамики ЛАД, можно отнести [10], где за основу взята система дифференциальных уравнений двигателя вращательного движения в двухкоординатной системе, движущейся с произвольной скоростью. Продольный краевой эффект не учитывается. В некоторых моделях исходная машина разбивается на множество отдельных, но магнитно-связанных однополюсных машин, действующих на общий ВЭ [39]. Уравнения электрического равновесия записываются в α – β осях или в трехфазной системе координат. Для учета краевых эффектов вводятся фиктивные шунтирующие участки сердечника статора. Возможно использование более крупного разбиения – на пару полюсов с применением теории обобщенного электромеханического преобразователя. Однако при таких шагах разбиения огрубляется учет продольного краевого эффекта и снижается точность расчетов. Согласно приведенным в [7] исследованиям, величина шага разбиения не должна превышать зубцового деления. Такая дискретизация используется, например, в работах [22–24]. Повышение порядка решаемой системы уравнений при современной вычислительной технике не является существенным. Оригинальной является ориентированная на синтез системы управления модель ЛАД, основанная на использовании преобразования Лапласа [24]. Модель позволяет достаточно корректно учесть проявление краевых эффектов. Вышеназванные модели, основанные на теории цепей, являются одномерными и не позволяют учесть влияние нормальных сил на характеристики ЛАД. В данной работе применяются математические модели, основанные на детализированных схемах замещения с распределенными и сосредоточенными параметрами.

33

ГЛАВА 3 СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ЛИМ И МОДЕЛИ НА ИХ ОСНОВЕ

3.1. Т-ОБРАЗНАЯ СХЕМА ЗАМЕЩЕНИЯ Наиболее простой и удобной в употреблении является методика на основе хорошо известной Т-образной электрической схемы замещения (СЗ) [10, 23] (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Особенностью линейной индукционной машины является то, что чаще всего она имеет сплошной проводящий ВЭ (например, металлическая полоса в ЛАД). Это влечет за собой необходимость внести некоторые коррективы в схему замещения, связанные прежде всего с параметрами вторичной цепи. В частности, можно принять, что Х2→0. Кроме этого, необходимо изменить R2′ с целью учета влияния поперечного краевого эффекта (например, по методике Болтона [35]). Многослойность конструкции ВЭ (например, исполнение типа «сэндвич» на рис. 3.2, а) можно учесть, если найти входное сопротивление многослойной структуры с помощью метода Е-Нчетырехполюсников [5] для реального и идеального случаев (рис. 3.2, б), определить отношение этих значений сопротивления (т.е. поправочный коэффициент) и домножить на него сопротивление R2 для идеального случая шихтованного сердечника ВЭ. Выражения для расчета основных параметров и характеристик с помощью СЗ на рис. 3.2, б с учетом [10] записаны ниже. Активное сопротивление фазы индуктора R1 =

1 lв ⋅ w1 ⋅ , S пр γ1

(3.1)

3.1. Т-ОБРАЗНАЯ СХЕМА ЗАМЕЩЕНИЯ

где l в = 2l u + 2l лоб – длина витка, l u и l лоб – ширина сердечника и длина лобовой части обмотки индуктора, w 1 – число витков индуктора, Sпр = k з ⋅ SП / u П – сечение провода, S П = b П ⋅ h П – сечение паза, k з – коэффициент заполнения паза медью. Реактивность рассеяния фазы индуктора 2

l f ⎛ w1 ⎞ x σ1 = x 1 = 15,8 ⎜ ⎟ ⋅ u ⋅ Σλ 1 , 100 ⎝ 100 ⎠ p ⋅ q

(3.2)

где Σλ 1 ≈ λ П1 + λ Л1 – сумма магнитных проводимостей потокам пазового и лобового рассеяния, f – частота питающего тока, p и q – числа пар полюсов и пазов на полюс и фазу соответственно. Реактивность намагничивающего контура 4mf µ 0 ⋅ τ ⋅ l u w 12 k об2 1 , ⋅ ⋅ xm = π δэ p

(3.3)

где τ – полюсное деление, δ э – эквивалентный зазор, k об1 – обмоточный коэффициент индуктора. Приведенное сопротивление ВЭ R ′2 = r2 ст ⋅ k прив ,

(3.4)

где сопротивление стержня r2 ст =

1 l2 ⋅ , γ 2 s2

(3.5)

причем l 2 и S 2 означают длину и площадь поперечного сечения стержня. Коэффициент приведения к фазе индуктора k прив

4m( w 1 k об1 ) 2 , = z2

(3.6)

электропроводность ВЭ в общем случае с учетом поперечного краевого эффекта ( k поп .кэ [35, 5] и многослойности ( k многосл . )

35

Глава 3. СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ЛИМ И МОДЕЛИ НА ИХ ОСНОВЕ

(3.7) γ 2 = γ cu ⋅ k поп .кэ ⋅ k многосл . . На рис. 3.2, б показаны упрощенные электрическая и соответствующая М M и R ocu (и ей магнитная схемы замещения. Магнитные сопротивления R об соответственно электрические x mδ и x mcu ) соответствуют слоям воздуха и меди ВЭ, а в R ′2 s выделяется электромагнитная мощность. Вихревые токи в ферромагнитном слое ВЭ не учитываются. На рис. 3.2, в показаны уточненные схемы замещения, в которых и медный, и ферромагнитный (с учетом вихревых токов) слои представлены входными сопротивлениями многослойной структуры (раздел 3.2). Отношение проводимостей участков схем, находящихся за пунктирными линиями, дает коэффициент k многосл . . Электромагнитная добротность ε0 =

x m ωµ 0 γ 2∆ . = R ′2 α 2 δ э

(3.8)

где ∆ – толщина проводящего слоя ВЭ, α = π τ , ω = 2πf . Приведенный вторичный ток − &I '2 = &I1 ⋅

jε 0 s jx m R ′2 s ⋅ = &I1 ⋅ . R ′2 R ′2 1 + jε 0 s + jx m ) s( S

(3.9)

Потери во ВЭ ε 02s 2 R ′2 (1 − s) . ∆P2 = 3I ⋅ ⋅ 1 + ε 02s 2 s 2 1

(3.10)

Тяговое усилие F= где

P2 мех 2 2 = Fm = Fm , 1 sk s 2τf (1 − s) + ε 0s + ε 0s s sk

(3.11)

3I12 ε 0 R ′2 , Fm = 2τf

(3.12)

sk = 1 / ε0 .

(3.13)

36

3.1. Т-ОБРАЗНАЯ СХЕМА ЗАМЕЩЕНИЯ

а

б

в

Рис. 3.2

37


3.2. СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ НА ОСНОВЕ Е-Н-ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ 3.2.1. МОДЕЛЬ ОДНОИНДУКТОРНОЙ ЛИМ Рассматривается плоская многослойная ортотропная структура (рис. 3.3, а) в которой распространяется бегущая волна электромагнитного поля. Размеры и характеристики каждого слоя заданы. Согласно [5] такой конструкции соответствует каскадное включение четырехполюсников (рис. 3.3, б). На входе четырехполюсника с номером “i” показаны комплексные значения тангенциальных напряженностей электрического Еm и магнитного Нm полей, действующие на “входной” поверхности i-го слоя. В активном слое распределена плотность тока индуктора jmu. В результате расчета цепи определяются удельные мощности, поступающие в слои S(1)i и выделяющиеся в слоях ∆S(1)i, усилия, действующие на слои, КПД устройства. Если полюсное деление τ→∞, получается частный случай плоской волны [32].

а

б

Рис. 3.3

Характеристики слоев: угловая частота ωi =ω⋅Si , 38

3.2. СЗ НА ОСНОВЕ Е-Н-ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

коэффициент распространения волны π2k i Γ i = 2 − ω 2 i µ i ε i + j µ i γ i ωi , τ

(3.14)

магнитная проницаемость слоя

µi =

µni , bni + (µni µzi )(1− bni )

(3.15)

∗

коэффициент, отражающий зубцово-пазовую структуру слоя,

ki =

(µni / µzi ) , [1− bni + (µni / µzi )bni ][bni + (µni / µzi )(1− bni ) ∗

∗

(3.16)

∗

магнитные проницаемости пазовой и зубцовой областей слоя, µni = µ0µni , µzi = µ0µzi , ∗

∗

где µ ni и µ zi их относительные значения, ∗

∗

bni – отношение ширины паза к зубцовому делению (см. далее), волновое сопротивление слоя ∗

Zci =

jωµi , Γi

(3.17)

входное сопротивление слоя Z iвв =

+ Z ci th ( Γ i d i ) Z E& mi = Z ci i +1, вх , H& mi Z i +1, вх th ( Γ i d i ) + Z ci

(3.18)

при этом Zk,вх = Zck – для правого последнего слоя, Zk+m,вх = Zc,k+m – для левого последнего слоя. Для активного слоя индуктора (индекс «и») дополнительно рассчитываются: Zau = Zcu th(0.5Γi d i ) ,

39

Z ви =

Z cu , sh (Γ u d u )


J& mu =

jmu k з b ni

sh (Γ u d u ) . Γu Напряженности на поверхности индуктора: ∗

Y1 , Y1 + Yk+1 + Yви Y k +1 & m,k +1 = J& mu −H , Y1 + Y k +1 + Y ви & mk+1 = −H & mk+1Zk+1,вх, & m1 =H & m1 ⋅ Z1,вх, E E

(3.19)

& m1 = J&mu H

где проводимости схемы Y1 =

(3.20)

1 1 1 , Yви = . , Yk+1 = Zви Zau + Z1,вх Zau + Zk+1,вх

На поверхностях слоев для i = 1…(k−1): & iH & mi , E& mi+1 = Ai E& mi + B & mi+1 = Ci E& mi + Di H & mi , H

(3.21)

& mi , H & mi+1 меняются на обратные. для i = k + 1…(k + m – 1) знаки H Постоянные четырехполюсника:

A i = Di = ch(Γ i d i ), Bi = −Zci sh(Γ i d i ), Ci = −

(3.22)

1 sh(Γ i d i ). Zci

Удельные мощности, поступающие в слой и выделяющиеся в нем:

1 S(1)i = P(1)i + jQ(1)i = (Hmi )2 Zi,вх , 2 ∆S(1)i = ∆P(1)i + j∆Q(1)i = S(1)i − S(1)i+1.

(3.23)

Удельная мощность, отдаваемая индуктором

1 1 Su = (Jmu)2 , 2 YΣ где YΣ =Y1 +Yk+1 +Yви. 40

(3.24)


Потери в обмотке индуктора 2

j Pu = u k з b ni (h u d u l u )k лоб . γ cu

(3.25)

∗

Суммарная активная мощность PΣ = P(1)1Π1 + P(1)k+1Π1 + Pu .

(3.26)

Суммарная реактивная мощность Q Σ = Im(Su ) ⋅ П1 .

(3.27)

Суммарная полная мощность SΣ = Suluh u .

(3.28)

Fi = Πi ∆P(1)i / 2τf

(3.29)

Усилие слоя по оси Y

и по оси Z Fiz = γiµi Πi di 0.5[P(1)i + P(1)i+1 ] где

∆ Эi

при

di ≤ 1, ∆ Эi

(3.30)

− эквивалентная глубина проникновения волны в слой метал-

ла. КПД по механической мощности

ηмех = ∑ Fi 2τf (1− Si ) / PΣ . i

(3.31)

КПД по механической и тепловой мощности

ηΣ = P(1)1Π1 / PΣ .

(3.32)

Коэффициент мощности cos ϕ = PΣ / PΣ + QΣ . Расчет параметров индукционного устройства: 2

41

2

(3.33)


Зубцовое деление tz =

τ , mq

где m – число фаз, q – число пазов на полюс и фазу. Ширина паза b Π = b Π∗t z .

Сечение паза SΠ = b Π d u .

Сечение провода

Snp =

k зSΠ . uΠ

Ток фазы 1 . 2

Iф = Snp jum

Число витков фазы Wф = u Π qp , где р – число пар полюсов. Напряжение фазы 2

Uф =

2

PΣ + Q Σ . mI ф

(3.34)

Полное сопротивление (на фазу) Z = Uф / Iф . Активное сопротивление (на фазу) 2

R = PΣ / mIф . 42

(3.35)

(3.36)


Реактивное сопротивление (на фазу) 2

X = QΣ / mIф .

(3.37)

Обозначения в исходных данных: µi , εi – относительные магнитная и комплексная диэлектрическая проницаемости слоя, γ i – удельная электропроводность слоя, hi , di , li , Пi = li hi – высота, толщина, длина и площадь поверхности слоя, du , hu , Sинд =du ⋅ lu – толщина, высота и активная площадь сечения индуктора, ju , k з – плотность тока и коэффициент заполнения медью паза индуктора, Si – скольжение слоя, τ, f – полюсное деление и частота тока индуктора, k, k+m – номера последних справа и слева от индуктора слоев.

Учет особенностей конструкции устройства Зубцово-пазовая структура слоя

Рис. 3.4 Частными случаями такого исполнения являются : b а) bni = ni = 0 – слой равномерно заполнен металлом зубцов и µi =µzi, t zi б) b ni = 1 – слой заполнен диэлектриком пазов и µi = µni . ∗

Учет нелинейности магнитной проницаемости ферромагнитного слоя

43


Дополнительно рассчитывается HmnH – нормальная составляющая напряженности магнитного поля в слое n ( π τ ) E mn 2 2 (3.38) , HΣn = H mn + H mnн . H mnн = S n ωnµ nµ 0 По этому значению H Σn уточняется µ n с помощью формулы µ∗ = f (HΣn ) = 310⋅ (

при H Σ n > 1000 А/м;

HΣn −1114 ) 4100

(3.39)

µ ∗ = 875

при H Σ n ≤ 1000 А/м. Далее уточняются параметры слоев, и задача решается вновь, т.е. выполняется алгоритм простых итераций µn , γ n ... (i )

Bmn, Hmn...HΣn

(i+1) n

µ

=f(HΣn )

µ(i +1) − µ(i) µ(i)

≤ 0.05

да

нет Цикл (итерации) Рис.3.5 3.2.2. МОДЕЛЬ ДВУХИНДУКТОРНОЙ ЛИМ Подход к расчету двухиндукторной ЛИМ (рис. 3.6) несколько отличается от рассмотренного ранее. Это связано с тем, что схема замещения имеет два активных четырехполюсника и для ее расчета применено свертывание схемы по правилам преобразования треугольника сопротивлений в звезду и наоборот (рис. 3.7). Связь между токами двух индукторов осуществляется с помощью комплексного множителя av.

Рис. 3.6 44


В этом случае схема каскадного соединения четырехполюсников, соответствующих слоям устройства, содержит два активных четырехполюсника, & иA & . в которых действуют источники линейных плотностей тока A 1 2

Рис. 3.7 Для нахождения напряженностей на поверхностях этих активных слоев & k +1 , E& k +1 ; H & 1 , E& 1 ; H & l , E& l ; H & l+1 , E& l+1 нужно «свернуть» участок схемы между H четырехполюсниками индукторов по правилам преобразования треугольника в звезду, как показано пунктиром на рис. 3.7. Общие выражения для сопротивлений получающихся четырехполюсников при последовательном свертывании схемы от n = 2 до n = l – 1 имеют вид: n −1 n −1 n Z в ( Z an + Z an ) n n −1 Z ал = Z ап + n −1 , n n −1 n Z в + Z в + Z an + Z ал ( новое )

Z

n

n

n −1

n

Z в ( Z an + Z an ) = Z ап + n −1 , n n −1 n Z в + Z в + Z an + Z ал n −1 n Z вZ в n . Z в = n −1 n n −1 n Z в + Z в + Z an + Z ал n

ап ( новое )

(3.40)

( новое )

Свернутая схема показана на рис. 3.8, а. При одинаковом исполнении l +1 k +1 индукторов можно принять Z вх = Z вх .

Рис. 3.8, а

45


После преобразования звезды в треугольник в средней части схемы получаем модификацию схемы, изображенную на рис. 3.8, б, сопротивления которой l −1

l −1

+ Z ал ) Z в Z1 = ( Z ап + Z ал ) + Z в + , l −1 l ( Z an + Z ал ) l −1 l l −1 ( Z ап + Z ал ) Z в l −1 l l −1 Z l = ( Z ап + Z ал ) + Z в + , И1 l −1 ( Z an + Z ал ) l −1 l l −1 И1 ( Z ап + Z ал )( Z ал + Z ап ) l −1 l l −1 И1 Z1l = ( Z ап + Z ал ) + ( Z ал + Z ап ) + . l −1 Z в И1

l −1

l −1

(Z

И1

ап

(3.41)

Рис. 3.8, б Складывая проводимости параллельных ветвей схемы, преобразуем ее к виду, показанному на рис. 3.8, в, где 1 1 1 1 = y Σ1 = + И1 + , k +1 И1 Z Σ1 Z вх + Z ал Z в Z1 1 1 1 1 = y Σl = + l + . (3.42) l +1 l Z Σl Z вх + Z аn Z в Z l

Рис. 3.8, в

46


Из схемы (рис. 3.8, в) можно записать & & & 1l = A 1 Z Σ 1 − A 2 Z Σ l H Z Σ1 + Z 1 l + Z Σ l

(3.43)

и далее в соответствии со схемой на рис. 3.8, б 1 ⎫ & − (A & −H &1 =A & 1l ) Z Σ1 ( 1 + H ),⎪ 1 1 И1 k +1 И1 Zв Z вх + Z ал ⎪ ⎬ 1 1 & + (A & +H & l = −A & 1l ) Z Σ l ( + H ), ⎪ 2 2 l l +1 l Z в Z вх + Z ал ⎪⎭

(3.44)

& −H & 1l ) Z Σ 1 − H & 1 Z ап И1 ,⎫⎪ E& 1 = (A 1 ⎬ l & +H & & ⎪⎭ E& l = (A ) Z H Z , + ал Σ1 2 1l l

(3.45)

& & & & & l+1 = (A 2 − H 1l ) Z Σl , & k +1 = ( A 1 − H 1l ) Z Σ1 , H H k +1 И1 l +1 l Z вх + Z ал Z вх + Z аn & l+1 Z вх l+1 . & k +1 Z вх k +1 , E& l+1 = H E& k +1 = H

(3.46)

Удобно при этом представить линейную плотность тока индуктора 2 в виде & = av ⋅A & , A 2 1 где a v – множитель, определяющий амплитуду и фазу токовой нагрузки второго индуктора в сравнении с первым (относительная линейная плотность тока второго индуктора). В простейших случаях применения одинаковых индукторов, включенных последовательно, a v = ±1 в зависимости от согласного или встречного включения соответствующих фаз индукторов. Напряженности на входах и выходах остальных четырехполюсников находятся через постоянные этих четырехполюсников с помощью прежних соотношений (см. 3.2.1). Удельные мощности, поступающие и выделяющиеся в i-м слое, определяются, как и прежде,

∆S(1) i

1 & max i ) , S(1) i = (E& max i H 2 = S(1) i − S(1),i +1 = ∆P(1) i + j∆Q (1) i , т.е. ∆P(1) i = Re ∆S (1) t . 47


Мощности, отдаваемые индукторами (с учетом потоков пазового рассеяния),

1 SΣИ = (H 2 Σ1 Z Σ1 + H 21l Z1l + H 2 Σl Z Σl )Π 1 , 2

(3.47)

где Π 1 = l u h u – поверхность индуктора (и первого слоя). Мощность, отдаваемая основным индуктором (при A 1 = J mu – вещественном),

1 & 1l ) Z Σ1Π1 . Su = (A12 − A1H 2

(3.48)

Потери в основном индукторе, как и прежде, 1 J 2 um Pu = k з b nu ∗ (h u l u d u )k лоб . 2 γ cu

(3.49)

Потери в обмотке второго индуктора, подобно первому, Pu 2 = a v Pu . 2

(3.50)

Суммарная мощность, потребляемая индукторами, S = S Σu + Pu + Pu 2 .

(3.51)

Суммарная активная мощность P = Re S .

(3.52)

Суммарная реактивная мощность Q = Im S .

(3.53)

Суммарная мощность, потребляемая основным индуктором, S Σ = S u + Pu .

Суммарная активная мощность основного индуктора

48

(3.54)


PΣ = Re S Σ .

(3.55)

Суммарная реактивная мощность основного индуктора Q Σ = Im SΣ .

(3.56)

Усилие слоя по оси у (тяговое), как и прежде, Fi = Π i ⋅ ∆P(1) i / 2τf .

(3.57)

Удельное усилие сжатия по оси z

1 & max i ) . Fiн (1) = Si γ i µ i Re(E& max i H 2

(3.58)

КПД по механической мощности

ηмех =

∑ Fi ⋅ 2τf (1 − s i ) i

P

.

(3.59)

КПД по механической и тепловой мощности

ηΣ =

∑ Fi ⋅ 2τf i

P

.

(3.60)

Коэффициент мощности

cos ϕ =

P P2 + Q2

.

(3.61)

Остальные величины индуктора рассчитываются по прежним соотношениям.

49


ЛИМ с четырьмя индукторами (рис. 3.9)

Рис. 3.9 С помощью такого устройства можно легко влиять на процесс кристаллизации слитка внутри него, а именно – организовывать движение расплава по любой траектории, что в конечном итоге дает изменение структуры кристаллизующегося металла и положительно сказывается на качестве отливки [36]. Разнообразие направлений воздействия полем на жидкий металл во многом обеспечивается тем, что все четыре индуктора кристаллизатора могут иметь независимые обмотки, направления и токи которых регулируются отдельно. Методика расчета четырехиндукторной ЛИМ распадается на два этапа. 1. На первом этапе выполняется базовый расчет машины с двумя индукторами. Тяговые удельные усилия рассчитываются по нормальным составляющим магнитной индукции и плотности токов на каждом слое «i» вторичного элемента (слитка). 2 γ 1 1 Fi туд = Re(&I i m ⋅ Bi нт ) = s i γ i µ i Re( E& i m ⋅ H i нт ) = i E& i m . (3.62) 2 2 4τf При достаточно подробном разбиении области на слои полное тяговое усилие слоя выражается в виде

1 Fi T ≈ (Fi туд + Fi +1 туд )Vi , 2 где Vi = d i l i h i − объем i-го слоя. 50

(3.63)


2. На втором этапе формируются массивы значений тангенциальной (осевой) напряженности магнитного поля, удельного тягового, а также нормального и тангенциального усилий сжатия в узлах сетки, полученной пересечением границ слоев при вертикальном и горизонтальном расслоениях рабочей зоны (ВЭ). Они рассчитываются на основе процедуры наложения магнитных полей в линейной среде от двух пар индукторов: верхнего – нижнего и левого – правого путем сложения соответствующих величин. При этом результаты базового расчета по п.1 для системы верхнего – нижнего индукторов используются и для системы левого – правого индукторов, но область разбивается на слои по другой координате, а ток левого индуктора (и его линейная плотность) домножается на комплексный коэффициент avv (относительную линейную плотность тока левого индуктора). Значения величин находятся в каждом узле i-го слоя с номерами от sl1 до sl2 (в выделенных границах области ВЭ). Удельное тяговое усилие 2

Fтуд (i, u ) = Fтуд (i) ± Fтуд (u ) ⋅ avv ,

(3.64)

причем знак минус следует взять в случае обратно бегущего поля левого – правого индукторов по сравнению с верхним – нижним индукторами. Тангенциальная (осевая) напряженность магнитного поля & m (i, u ) = H & m (i ) + H & m ( u )avv . H

(3.65)

Нормальные удельные силы сжатия

1 & m (i) + avv& ⋅ H & m (u ))]. Fнор (i, u ) = s i γ i µ i Re[E& m (i) ⋅ (H 2

(3.66)

Тангенциальные удельные силы сжатия

1 & m (i) + H & m (u ) )] . (3.67) Fтан (i, u ) = s i γ i µ i Re[(avv ⋅ E& m (i) ) ⋅ (avv& ⋅ H 2

51


3.3. СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Расчетная модель показана на рис. 3.10. Гладкие сердечники индуктора и вторичного элемента отделены эквивалентным зазором. Магнитная индукция в зазоре имеет лишь нормальную, а в сердечниках тангенциальную составляющие (как в известной одномерной модели А.И. Вольдека).

Рис. 3.10 Линейная плотность тока индуктора в зоне 2 J& 1 ( x , t ) = J1m e − jαx e jωt .

(3.68)

Линейная плотность индуцированного тока ВЭ & ), & + VB J& 2 = − γ c ( jωΦ

(3.69)

& – ЭДС движения, V – скорость & – трансформаторная ЭДС, VB где jωΦ ВЭ, & & = dΦ . B dx

(3.70)

При обходе по контуру (закон полного тока) − R δ (1)

& dB & = J& 1 + J& 2 . + R a (1) Φ dx

(3.71)

На основе (3.68) – (3.71) после введения относительных единиц для зоны 2 модели получаем

52

3.3. СЗ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

&∗ d 2Φ dx ∗2 где ε 0 =

µ 0 ωγ c

− ε 0 (1 − s )

&∗ dΦ dx ∗

– добротность, α =

(

)

− β a2∗ + jε 0 = e − jx ∗ ,

(3.72)

R a (1) µ0 π 2 =α , βa ∗ = α – отR δ(1) µ c h ярма δ э τ

α 2δ э ношение единичных магнитных сопротивлений, s – скольжение. В зонах 1 и 3 (краевых) правая часть (3.72) нулевая и β a2∗ → β 2k ∗ . Особенности определения β обсуждаются в [5]. Решение (3.72) записывается в виде:

для зоны 2,

II ⎧ & (2 ) & λII − jx∗ 1 x∗ + A e λ 2 x∗ Φ = Φ + e A e ⎪ ∗ 0∗ 1 2 ⎨ I I (1) = A e λ1x∗ , (3) = A e λ 2x∗ ⎪Φ & & Φ 3 4 ∗ ⎩ ∗

для зон 1 и 3,

(3.73) (3.73 а)

где Re λI1 – положительна, ReλI2 – отрицательна. Корни λII1,1

ε 0 (1 − s ) ε 02 (1 − s )2 = ± + β a2∗ + jε 0 . 2 4

(

)

(3.74)

Основная составляющая (соответствующая круговой машине) потока и индукции & 0∗ = Φ

(

1

1 + βa2∗

) + jε s

& 0 = − jα Φ & 0 ∗Φ Б = − , B

0

jA1m µ 0 , αδ эн (1 + jε онs )

(3.75)

где δ ' эн = δ э к н , к н = 1 + β а2∗ - коэффициент насыщения. Тяговое усилие ∞

∗

& ∗ J 2∗ dx ∗ . F∗ = F0∗ + F кэ∗ = Re ∫ B −∞

53

(3.76)


Основная составляющая усилия, соответствующая круговому аналогу, записывается как F0∗ = πp

2 sk s + s sk

,

(3.77)

1 – критическое скольжение. ε он Электромагнитная мощность (передаваемая в зазор)

где Sk =

2 πp

& ∗(2 )e − jx ∗ dx ∗ . SЭМ = − jε он ∫ Φ

(3.78)

0

В качестве базисных величин приняты: J Б = J1m , x Б = α −1 , Φ Б =

ε0J Б , γ 2ω

ω J12m ε он l t , B Б = αΦ Б . FБ = ( l t – ширина индуктора), P Б = FБ 2 γ 2ω αε он

3.4. ДЕТАЛИЗИРОВАННЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

3.4.1. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ МОДЕЛЬ ДВУМЕРНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

В прямоугольной системе координат (X,Y) для векторного магнитного потенциала А можно записать уравнение [32, 35]

∂ 2A ∂ 2A = −µ j , + ∂x 2 ∂y 2

(3.79)

где j – сторонняя плотность тока. Если область существования магнитного поля (толщиной l по оси z) разбить сеткой на прямоугольные клетки (рис. 3.11) с неравномерным шагом ( h ≠ βh ≠ ph ≠ β qh ), то функцию А можно разложить в ряд Тейлора по координатам x и y в окрестности узла 0,

54

3.4. ДЕТАЛИЗИРОВАННЫЕ СЗ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Рис. 3.11 откуда записать выражения для производных А по координатам ⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ 2 2A 0 ⎪ 2A 2 2A 4 ∂ A + − ( 2 )0 = 2 2 .⎪ ∂y β h q (1 + q ) β 2 h 2 (1 + q ) β 2 h 2 q ⎪⎭

2A ⎛ ∂2A ⎞ 2A 0 2A1 + 2 3 − , ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = 2 2 x h p ( 1 p ) ∂ + + h ( 1 p ) ph ⎝ ⎠0 pA 3 A1 1− p ⎛ ∂A ⎞ − − A0, ⎜ ⎟ = hp ⎝ ∂x ⎠ 0 hp ( p + 1) h ( p + 1)

(3.80)

В качестве граничных условий следует принять непрерывность векторного магнитного потенциала А и тангенциальной составляющей напряженности Нy при переходе через границу областей, т.е. Аа=Аb и

1 ∂A a 1 ∂A b ( )= ( ), µ a ∂x µ b ∂x

(3.81)

где индексы a и b характеризуют принадлежность величины соответствующей среде. Далее выполним следующие выкладки: 1. Допустим, вся область заполнена средой «а»; при этом величины в (3.80) снабжаем индексом «а» и подставляем их в (3.81) A1a A A 3a A µ 1 1 + 2 2a + + 2 4a − ( + 2 )A 0a + a h 2 ja = 0 , (3.82) p(1 + p) β q (1 + q ) (1 + p) β (1 + q ) p β q 2

откуда фиктивный потенциал узла 1

55


p(1 + p) p(1 + p) + − A 3a p − A 4 a 2 q (1 + q )β (1 + q )β 2 µ 1 1 + ( + 2 )p(1 + p)A 0 a − a h 2 p(1 + p) ja . p βq 2 A 1a = − A 2 a

(3.83)

2. Допустим, вся область заполнена средой «b»; при этом величины (3.80) снабжаем индексом «b» и подставляем их в (3.81) 1 1+ p 1+ p + − A 2b − A 4b 2 p q (1 + q )β (1 + q )β 2 µ 1 1 ( + 2 ) p(1 + p) A 0 b − b h 2 p(1 + p) jb . p β q 2

в

A 3 b = − A 1b

(3.84)

3. Подставляем (3.80) в граничные условия (3.81), домножив обе части на p(p + 1) ,

[

] [

]

R A1a − p 2 A 3a − (1 + p)(1 − p)A 0a = A1b − p 2 A 3b − (1 − p 2 )A 0 b . (3.85)

Заменяем фиктивные потенциалы в (3.85) с учетом (3.83) и (3.84) и после преобразований окончательно получаем

A1b

βq + β R p+R p+R + A 3a (βq + β) + A 2 + A4 _ 2p 2 2βq 2β q +1 2 β q (1 + pR ) + p(p + R ) = − A0 2 pβ q

[

]

(3.86)

µbh 2 =− β(q + 1)(pjb + ja ). 4 3.4.2. ПЕРЕХОД К ДЕТАЛИЗИРОВАННОЙ МАГНИТНОЙ СХЕМЕ ЗАМЕЩЕНИЯ По теореме Стокса при указанных на рис. 3.12 направлениях вектора А можем записать [32] Φ 2 = ∫ B∂ S = ∫ rotA∂ S = ∫ Adl S

S

56

l

(3.87)


или

Φ 2 = ( A 2 − A 0 )l ; Φ 1 = ( A1 − A 0 ) l ; Φ 3 = − ( A 3 − A 0 )l ;

(3.88)

Φ 4 = − ( A 4 − A 0 )l . После некоторых преобразований (3.86) принимает вид: ( A1 − A 0 )

( p + R ) lh (βq + β) lh (βq + β) lh + (A 3 − A 0 ) + + (A 2 − A 0 ) 2µ bβq lh 2µ a lh 2µ b p lh ( p + R ) lh h2 = − (β + βq )( ja + pjb ), + (A 4 − A 0 ) 2µ bβ lh 4

(3.89)

Рис. 3.12 или с учетом (3.88) Φ1R1 − Φ 4 R 4 − Φ 3R 3 + Φ 2 R 2 = − F0 ,

(3.90)

βh ph h βqh + + , , R2 = 2µ b lβqh 2µ a lβqh 2µ b lph 2µ b lph ph h βh βqh + + , R4 = , R3 = 2µ b lβ h 2µ a lβ h 2µ a lh 2µ a lh 1 F0 = (h 2βja + h 2β qja + h 2 pβ jb + h 2 pβ qjb ) . 4

(3.91)

где R1 =

57


Как видно, (3.91) выражает второй закон Кирхгофа для магнитной цепи (рис. 3.13), в которой магнитные сопротивления ветвей складываются из половин сопротивлений клеток, примыкающих к узлу 0, а МДС складывается из четвертей полных токов этих клеток.

Рис. 3.13 Обычно МСЗ упрощают и укрупняют, учитывая неравномерность распределения индукции в участке с помощью различных коэффициентов. При этом потоки рассеяния, проходящие мимо рабочих зазоров участка, учитываются в уравнении электрического равновесия соответствующей катушки как ее индуктивность рассеяния. Полная ДМСЗ ЛИМ синтезируется путем каскадного соединения схем замещения отдельных зубцовых делений с существенной детализацией их по высоте, как показано на рис. 3.14. Ее элементарный контур соответствует контуру на рис. 3.13, а уравнение магнитного состояния и выражения для сопротивлений совпадают с (3.90) и (3.91), если в них скорректировать нумерацию величин согласно нумерации участков всей моделируемой области.

Рис. 3.14 58


3.4.3. ОСОБЕННОСТИ УЧЕТА ИНДУЦИРОВАННЫХ ТОКОВ Для учета индуцированных токов в сплошном проводящем слое ВЭ вместо сторонних плотностей тока ja и jb в (3.86) следует подставить плотность индуцированных токов. Например, при движении слоя по координате Х, т.е. Vy = 0 , в стационарном режиме работы из (3.79) получаем в его правой части & ∂ 2A ∂x 2

+

& ∂ 2A

& + µγV ∂A . = + j ωµγ A x ∂x ∂y 2

(3.92)

Переходя к конечным разностям при равномерной сетке с шагом h и контурным магнитным потокам, имеем

ϕ 0 (R 1 + R 2 + R 3 + R 4 ) − ϕ1R 1 − ϕ 2 R 2 − ϕ3 R 3 − ϕ 4 R 4 = µVx 1 h 2 ωµ h 2 ( γ b + γ a )ϕ 0 − = −j ( γ b + γ a )(ϕ 2 − ϕ 4 ), l 2 l 2h 2 или

h2 ϕ0 (R1 + R 2 + R3 + R 4 + jωµ (γ b + γ a )) − 2l 2 µV h − ϕ1R1 − ϕ2 (R 2 − x (γ a + γ b )) − 2h 2l µγVx h2 − ϕ3 R3 − ϕ4 (R4 + ⋅ ) = 0, 2h 2l

(3.93)

где γ a и γ b – проводимости соседних подслоев, охваченных одним контурным потоком. Как видно, магнитные сопротивления становятся комплексными, в их мнимой части выделяется активная мощность. Если электропроводящий материал заполняет по толщине лишь часть слоя, то в уравнения может быть подставлена усредненная по слою элек∆ a ( b) тропроводность γ a ( b )cp = γ a ( b ) , где ∆ – толщина проводящего материаh h2 h2 ла в слое «а» или «b». Можно обозначить g 0 = γ acp – электри+ γ bcp 2l 2l

59


ческая проводимость параллельно включенных стержней a и b участков соh2 седних подслоев сечением и длиной l . 2 Записывая (3.93) для всех контуров схемы замещения (рис. 3.14), получаем полную систему уравнений магнитной цепи машины (в матричной форме) ⎫ ⎪ ............ ⎪ ⎪ − (R i −1,i )(ϕi −1,i −1 ) + ( Z i )(ϕii ) − (R i ,i +1 )(ϕi +1,i +1 ) = 0,⎬ ⎪ ............ ⎪ ⎪⎭ − (R k −1,k )(ϕ k −1,k −1 ) + ( Z k )(ϕ kk ) = 0, ( Z1 )(ϕ11 ) − (R 12 )(ϕ 22 ) = 0,

где (R i −1,k ), (R i ,i +1 ) – матрицы взаимных сопротивлений слоев, ( Z i ) – матрица собственных комплексных сопротивлений слоя i, (ϕii ,ii ) – вектор контурных потоков слоя i.

60

(3.94)

3.5. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЛОСКОЙ ЛИМ

3.5. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЛОСКОЙ ЛИМ 3.5.1. МОДЕЛЬ С НЕМАГНИТНЫМИ СЛОЯМИ ОДИНАКОВОЙ ТОЛЩИНЫ Сердечник индуктора сводится к гладкому введением коэффициента Картера в эквивалентный зазор [6], в краевых зонах вводятся сопротивления ярма, отличные от активной зоны (µ k ≈ µ 0 < µ c ) [20], область моделирования разбивается на участки шириной t z по продольной координате х и на k слоев по нормальной координате у [24]. Фрагмент детализированной магнитной схемы замещения плоской ЛИМ приведен на рис. 3.14 и содержит Q участков шириной t z . Магнитные сопротивления участка n в любом из k одинаковых по толщине расчетных слоев (для упрощения принят случай немагнитных слоев ВЭ) определяются как 1 tz ⋅ k ⋅ – тангенциальное, µ 0 δ э ⋅ Bi δэ 1 – нормальное, Rn = ⋅ µ 0 k ⋅ t z ⋅ Bi tz 1 R an = ⋅ – участка ярма индуктора в активной зоне с µ 0 µ c Bi (H i − H p1 )

Rt =

учетом насыщения стали , (3.95) tz 1 ⋅ – то же в краевой зоне, µ 0 Bi ⋅ H i tz 1 = ⋅ – участка сердечника ВЭ, µ 0 ⋅ µ se Bi ⋅ H se

R ank = R anse

где δ Э – эквивалентный зазор, δ ( Э ) = ∆ se – толщина расчетного слоя, k Bi – ширина машины, H i , H p1 – высота индуктора и его паза, H se – высота ярма ВЭ, t z – зубцовое деление, µ c ,µ se – относительные магнитные проницаемости сердечников индуктора и ВЭ.

61


Следует отметить, что в данной модели (как и в модели раздела 3.2) сердечник ВЭ может играть роль магнитного экрана ( µ se = 0 ) или шунта ( µ se = ∞ ) в симметричной конструкции двухиндукторной ЛИМ, если его разместить на оси симметрии машины. Тем самым сокращается область моделирования, т.е. количество слоев в ней. Это в свою очередь дает возможность более рационально использовать вычислительные ресурсы компьютера. Если поделить (3.95) на R t , то получим выражения для сопротивлений в о.е. соответственно δ2э δэ , Ra0 = , 2 2 µc (Hi − Hp1 )k tz ⋅ k

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ δ δэ R k0 = э , Rse0 = , ⎬ µse ⋅ Hse ⋅ k Hi ⋅ k ⎪ vµ δ B ⎪ jω jωµ0δэ Bi v kx = , k12 = = = 02 э i ,⎪ Rt tz ⋅ k 2t z ⋅ R t 2t z ⋅ k ⎭ R t 0 = 1, R n0 =

(3.96)

где v – скорость движения ВЭ. Базовая электрическая проводимость участка расчетного полуслоя («стержня») толщиной ∆ se , длиной B i и шириной t z g c = rc−1 =

γ 2 ⋅ ∆ se ⋅ t z . 2 Bi

Проводимости участков полуслоев g i = γ i∗ ⋅ g c ,

γi ⋅ di – относительная удельная электропроводность реальγ se ⋅ ∆ se ного слоя конструкции с учетом того, что толщина его d i может отличаться от расчетной ∆ se . Матрицы магнитных сопротивлений слоев размерностью Q × Q , где Q – общее количество участков по длине слоя, формируются следующим образом. Для крайних (по рис. 3.14 первого и восьмого) слоев ненулевые элементы матричных сопротивлений выражаются в виде где γ i∗ =

62


( Z1 ) : a n ,n = R n 0 + 1 + R K 0 + g1 ⋅ k x – в I и III зонах (краевых),

a n ,n = R n 0 + 1 + R a 0 + g1 ⋅ k x – во II зоне (активной), a n ,n −1 = −0,5R n 0 − g 1 ⋅ k 12 , a n ,n +1 = −0,5 + g1 ⋅ k 12 .

(3.97)

( Z 8 ) : a n ,n = R n 0 + 1 + R se0 + g 7 ⋅ k x ,

a n ,n −1 = −0,5 ⋅ R n 0 − g 7 ⋅ k 12 , a n ,n +1 = −0,5R n 0 + g 7 ⋅ k 12 . Для средних слоев (по рис. 3.14 i = 2…7) аналогично ( Z i ) : a n ,n = 2R n 0 + 2 + (g i −1 + g i ) ⋅ k x ,

a n ,n −1 = −R n 0 − (g i −1 + g i ) ⋅ k 12 ,

(3.98)

a n ,n +1 = −R n 0 + (g i −1 + g i ) ⋅ k 12 . Уравнения магнитного состояния для детализированной магнитной схемы замещения (рис. 3.14) в матричной форме записываются как ( Z1 )(Φ11 ) − (Φ 22 ) = ( F0 s ),

⎫ ⎪ − (Φ11 ) + ( Z 2 )(Φ 22 ) − (Φ 33 ) = 0, ⎪ ⎪⎪ .... ⎬ − (Φ i−1,i−1 ) + ( Zi )(Φ ii ) − (Φ i+1,i+1 ) = 0,⎪ ⎪ .... ⎪ ⎪⎭ − (Φ 77 ) + ( Z8 )(Φ 88 ) = 0.

(3.99)

Путем последовательного исключения неизвестных векторов потоков (начиная с последнего) (Φ 88 ), (Φ 77 ),... из (3.99) получаем

(Φ11 ) = ( Z81−1 )( Z82 )( F0S ) , где

( Z 82 ) = ( Z 84 Z 3 Z 2 ) − ( Z 85 Z 2 ) − ( Z 84 ) , ( Z 81 ) = ( Z 82 Z1 ) − ( Z 84 Z 3 ) + ( Z 85 ) , ( Z 84 ) = ( Z 85 Z 4 ) − ( Z 8 Z 7 Z 6 ) + ( Z 6 ) + ( Z 8 ) , ( Z 85 ) = ( Z 8 Z 7 Z 6 Z 5 ) − ( Z 6 Z 5 ) − ( Z 8 Z 5 ) − ( Z 8 Z 7 ) + (1) .

63

(3.100)


Остальные векторы контурных потоков находятся из (3.99) с учетом (3.100):

(Φ 22 ) = ( Z1 )( Φ 11 ) − ( F0S ), (Φ ii ) = ( Z i−1 )( Φ i−1,i−1 ) − (Φ i−2 ,i−2 )

(3.101)

при i = 3 … 8. На основе вычисленных потоков (3.101) определяются векторы токов в участках полуслоев ( I ci ) = − g i ( Vse )( Φ ii ),

⎫ ⎬ ( I cii ) = − g i ( Vse )( Φ i+1,i+1 ), ⎭

(3.102)

где i = 1 … 7 номер слоя, v ⎞ ⎛ 0 ... ⎜ jω 2tz ⎜ v ⎜ v − ... jω ⎜ – матрица формирования ЭДС в участках полу(Vse) = 2tz 2tz ⎜ ⎜ ... − v −jω ... ⎜ 2tz ⎜ ... ... ... ... ⎠ ⎝ слоя. Усилие, действующее на n – й участок верхнего подслоя i –го слоя,

Fin =

∗ ⎤ ⎡ & 1 & ) Re ⎢(Φ I − Φ ⋅ ii ,n +1 ii,n −1 cin ⎥ 4t z ⎣ ⎦

(3.103)

и нижнего подслоя

Fiin

∗ ⎤ ⎡ & 1 & Re⎢(Φ i +1,i +1,n +1 − Φ i +1,i +1,n −1 ) ⋅ I ciin ⎥ . = 4t z ⎣ ⎦

(3.104)

Вектор нормальных составляющих индукции в участках i – го слоя (размерностью Q)

64


( Bni ) =

1 ( D)(Φ ii ) , 2 t z ⋅ Bi

(3.105)

где ⎛0 ⎜ ⎜−1 ⎜ ... ( D) =⎜ ⎜ ... ⎜ ... ⎜⎜ ⎝ ...

1 ... ... ... ...⎞ 0 1 ... ... ... −1 0 1 ... ... ... −1 0 1 ...

–матрица дифференцирования по координате.

... ... −1 0 ... ... ... ... −1 0⎠

Вектор тангенциальных составляющих индукций в слоях: (Φ 11 ) – в ярме индуктора, ( H i − H p1 ) ⋅ B i k ((Φ i+1,i+1 ) − (Φ ii )) при i = 1 … 7, (B ti ) = δ э ⋅ Bi (Φ 88 ) (B t 8 ) = − в сердечнике ВЭ. H se ⋅ B i

(B t 0 ) =

(3.106)

3.5.2. МОДЕЛЬ С АНИЗОТРОПНЫМИ СЛОЯМИ РАЗНОЙ ТОЛЩИНЫ В этом случае задаются удельные электропроводности, толщины, а также нормальные и тангенциальные магнитные проницаемости слоев: γ n , h n , µn n и µt n . Рассчитываются нормальные и тангенциальные магнитные сопротивления участков слоев, а также их электрические проводимости (если слой электропроводящий). Базовое значение R тбаз =

tz , µ 0 δ св Bi

где δ св – световой зазор. Нормальное сопротивление n-го слоя R абс нn =

hn 1 ⋅ , µ 0µn n t z ⋅ Bi 65

= R относ нn

h n ⋅ δ св t 2z ⋅ µh n

.


Тангенциальное сопротивление n-го слоя: tz 1 ⋅ , µ 0 µt n h n ⋅ L t δ св . = R относ тn µh n ⋅ t 2z

R абс тn =

Однодиагональная матрица взаимных (тангенциальных) сопротивлений соседних слоев

(R n ,n +1 ) = R тn ⋅ (1) . Относительная электрическая проводимость участка n -го полуслоя GX 0 n = γ относ ⋅ h n ⋅ 0,5 ⋅ γ se µ 0 δ св , n

где γ относ – относительная удельная электропроводность материала n слоя в долях от базовой электропроводности γ se . Далее значки относительных величин опускаются. Для схемы (рис. 3.14) записываются матричные уравнения магнитного равновесия (двойные индексы в потоках опущены)

⎧( Z1 )(Φ1 ) − ( R 1 )(Φ 2 ) = ( F0S ), ⎪ ⎨− ( R n −1 )(Φ n −1 ) + ( Z n )(Φ n ) − ( R n )(Φ n +1 ) = 0 при n = 2…14, ⎪− ( R )(Φ ) + ( Z )(Φ ) = 0. 14 14 15 15 ⎩

(3.107)

Принимая в обозначениях, что (R n ,n +1 ) = (R n ) , преобразуем уравнения: ⎧( Z 01 )(Φ 1 ) − (Φ 2 ) = ( R 1−1 )( F0S ), ⎪ ⎪⎪... ⎨− ( r3 )(Φ 2 ) + ( Z 0 3 )(Φ 3 ) − (Φ 4 ) = 0, ⎪... ⎪ ⎪⎩( R 14 )(Φ 14 ) + ( Z15 )(Φ 15 ) = 0,

(3.108)

где (rn ) = (R −n1 )(R n −1 ) для n = 2...14 и ( Z0 n ) = ( R −n1 )( Z n ) для n = 1...14 . ( F0 s ) –вектор относительных значений МДС пазов индуктора. Сворачиваем систему уравнений методом исключения потоков, начиная с нижнего слоя. Последний поток задаем равным нулю. 66


Для системы из 14 уравнений (для 14 слоев) получаем: − ( Z15 )( r14 )( Φ 13 ) + (( Z15 Z 014 ) − ( R 14 ))( Φ 14 ) = 0 , − (a n )( Φ n ) + (a n +1 )( Φ n +1 ) = 0 при n = 12…2,

и

( Z15,1 )(Φ1 ) = ( Z15, 2 )( F0 s ) ,

(3.109)

где (a 13 ) = ( Z15 Z 014 Z 013 ) − ( R 14 Z 013 ) − ( Z15 r14 ) , (a 12 ) = ( Z15 Z 014 r13 ) − ( R 14 r13 ) , (a n ) = (a n+3Z0 n+2 rn +1 ) − (a n+2 rn+1 ) для n = 10, 8, 6, 4, 2 , (a n ) = (a n+2 Z0 n+1 Z0 n ) − (a n+1Z0 n ) − (a n +2 rn+1 ) для n = 11, 9, 7, 5, 3 , ( Z15,1 ) = (a 3Z0 2 Z01 ) − (a 2 Z01 ) − (a 3 r2 ) , ( Z15, 2 ) = ((a 3 Z 0 2 ) − (a 2 ))( R 1−1 ) . Из (3.109) находим поток (Φ 1 ) (Φ 1 ) = ( Z15−1,1 )( Z15, 2 ) ⋅ ( F0 s )

(3.110)

и далее из (3.108) остальные векторы потоков в слоях:

(Φ 2 ) = ( Z01 )(Φ1 ) − ( R 1−1 )( F0 s ) , (Φ n ) = − ( rn −1 )( Φ n −2 ) + ( Z 0 n −1 )( Φ n −1 ) для n = 3…15.

(3.111)

Векторы нормальных и тангенциальных индукций слоев:

(B ni ) =

(Φ ) − ( Φ n ,i ) (Φ ni +1 ) − (Φ ni −1 ) , (B ti ) = n +1,i . 2t z ⋅ Bi h n ⋅ Bi

Второй алгоритм исключения потоков: из (3.108) начиная с первого уравнения: (Φ 2 ) = (a 2 ) ⋅ ( F0 s ) + ( b 2 ) ⋅ (Φ 1 ) , (Φ n ) = (a n ) ⋅ ( F0 s ) + ( b n ) ⋅ (Φ1 ) для n = 2…14,

67

(3.112)


(a 2 ) = −(R 1−1 ) , ( b 2 ) = ( Z 01 ) , (a 3 ) = −( Z 0 2 )( a 2 ) , ( b3) = ( Z 0 2 )( b 2 ) − ( r2 ) ⋅ (1) , (a n ) = ( Z 0 n −1 )( a n −1 ) − ( rn −1 )( a n −2 ) , ( b n ) = ( Z 0 n −1 )( b n −1 ) − ( rn −1 )( b n −2 ) для n= =4…14. Предполагая, что число слоев QZ=N=14, записываем уравнение для пятнадцатого (экранирующего) слоя, принимая (Ф15) = 0, Где

(Φ 15 ) = (a 15 ) ⋅ ( F0 s ) + ( b15 ) ⋅ (Φ 1 ) ,

(3.113)

где (a 15 ) = ( Z14 )(a 14 ) − ( R 13 )(a 13 ) , ( b15 ) = ( Z14 )(b14 ) − (R 13 )(b13 ) . Из (3.113) получаем вектор контурных потоков через первый слой (Φ 1 ) = ( b Q−1 +1 )( a Q +1 )( F0 s ) Z

Z

(3.114)

и далее из (3.112) векторы потоков остальных слоев. 3.5.3. Модель с учетом влияния боковых шин слоев Уравнение электрического состояния i-го контура «клетки» во 2-м слое модели (рис. 3.15) записывается так: rci22+1&I ci22+1 − rci22 &I ci22 + rki22 &I 22ki = − jω(Φ i22 − Φ i22+1 ) − −

v (Φ i22+ 2 − Φ i22 − Φ i22+1 + Φ i22−1 ), 2t z i

I 22ki = − ∑ &I cn22 . n =1

Рис. 3.15 68

(3.115) (3.116)


Выражаем токи «стержней» через токи боковых шин: ⎧&I ci22+1 = &I 22ki − &I 22ki +1 , ⎨& 22 & 22 & 22 ⎩I ci = I ki −1 − I ki .

(3.117)

Из (3.115) и (3.117) rci22+1&I 22ki − rci22+1&I 22ki +1 − rci22 &I 22ki −1 + rci22 &I 22ki + rki22 &I 22ki = = ( − jω +

(3.118)

v & 22 v & 22 v & 22 v & 22 ) Φ i + ( jω + )Φ i +1 − Φ i+2 − Φ i −1 . 2t z 2t z 2t z 2t z

В матричной форме система уравнений (3.118) для всех участков клетки записывается в виде 22 22 − rc222 (rc22 0 0 1 + rk1 + rc 2 ) 22 22 22 22 22 − rc 2 − rc3 (rc 2 + rk 2 + rc3 ) 0 22 22 22 − rc22 + + − 0 ( r r r ) rc224 3 c3 k3 c4 − rcin 0 0 (rcin + rkin + rcin +1 )

... 0

... 0

... 0

... ...

... 0

0 ...

0 − rcin +1

... ...

... ... 22 22 22 22 − rck −1 (rck −1 + rkk −1 + rck )

I 22 k1 I 22 k2 ×

I 22 k3 = I nki ... I 22 kk −1

(3.119) ..............

Φ 122

v v v v ) ( − jω + ) ( jω + ) (− ) 0 × ... , 2t z 2t z 2t z 2t z Φ 22k −1 ..............

= 0 (−

(3.120)

или ( r2 ) ⋅ ( I k 2 ) = (V2 ) ⋅ (Φ 22 ) , причем −1 1 −1 0 I 22k1 1 −1 (&I c 2 ) = × ... = (∆ ) ⋅ (I k 2 ). 1 −1 I 22kk −1 1 ... 0 ... − 1 1 Из (3.120) и (3.121) получаем −1 (I k 2 ) = (r2 )(V2 )(Φ 22 ) , и 69

(3.121)

Глава 3. СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ЛИМ И МОДЕЛИ НА ИХ ОСНОВЕ −1

(I c 2 ) = (∆) ⋅ (r2 )(V2 )(Φ 22 ) = (g 2 )(V2 )(Φ 22 ) , переходим к о.е., поделив (3.122) на ( R t ) = R t (1) , (I c 20 ) = (∆ ⋅ r2−1 ⋅ V) ⋅

1 ⋅ (Φ 22 ) = (X 2 ) ⋅ (Φ 22 ) . Rt

(3.122)

(3.123)

Опуская в индексе «0» и перенося (I c 2 ) в левую часть уравнения магнитного состояния аналогично (3.93), получаем ( Z 2 ) = (R 2 ) − (X 2 ) .

(3.124)

3.5.4. РЕЖИМ ПИТАНИЯ ЛИМ ОТ ИСТОЧНИКА НАПРЯЖЕНИЯ Уравнение электрического состояния фаз индуктора для установившегося режима (с учетом вторичных токов) & A = Z A ⋅ &I A ,⎫ U & B = Z B ⋅ &I B , ⎪⎬ U & C = Z C ⋅ &I C , ⎪ U ⎭

или & ⎞ ⎛Z ⎛U ⎜ A⎟ ⎜ A & B⎟=⎜ 0 ⎜U ⎜U & ⎟ ⎜ ⎝ C⎠ ⎝ 0

0 ZB 0

⎞⎛ &I A ⎞ ⎛ E& A ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ &I B ⎟ − ⎜ E& B ⎟ . Z C ⎟⎠⎜⎝ &I ⎟⎠ ⎜⎝ E& C ⎟⎠ 0 0

(3.125)

C

В линейной системе каждую ЭДС представим суммой трех «частичных» ⎛ E& A ⎞ ⎛ M AA ⎜ ⎟ ⎜ − (E ) = −⎜ E& B ⎟ = jω ⋅ ⎜ M BA ⎜ E& ⎟ ⎜M ⎝ CA ⎝ C⎠

M AC ⎞⎛ &I A ⎞ ⎟⎜ ⎟ (3.126) M BC ⎟⎜ &I B ⎟ = jω(M ) ⋅ (I) , ⎜ ⎟ ⎟ M CB M CC ⎠⎝ &I ⎠ где матрица (М) содержит всю информацию об электромагнитных связях в преобразователе энергии (включая реакцию вторичных токов). Процедура отыскания вектора токов фаз (I) в любом установившемся режиме сводится к следующему. 1. Проводим последовательно 3 вычислительных эксперимента M AB M BB

C

1.1. Условие питания индуктора: &I A = 1 ⋅ e j0 , I B = I C = 0 . 70


Подставим эти токи в (3.125) и (3.126), получим & ′ = Z A ⋅ 1 + jωM AA ⋅ 1,⎫ U A ⎪ & U′B = jωM BA ⋅ 1, ⎬ ⎪ & ′ = jωM CA ⋅ 1, U C ⎭

(3.127)

откуда находим комплексные коэффициенты само- и взаимоиндукции фазы А (с учетом влияния вторичных токов, представленных в магнитной схеме замещения) & ′A ⎫ ⎧ U − ZA ⎪ = M ⎪ AA jω ⎪ ⎪ & & ⎪⎪ U ′B − E B ⎪⎪ − = M ⎬. ⎨ BA ω ω j j ⎪ ⎪ ⎪ & ′ − E& C ⎪ U ⎪ ⎪M CA = C − ⎪⎩ jω jω ⎪⎭

(3.128)

1.2. Режим питания &I ′B = 1 ⋅ e j0 , &I A = &I C = 0 . & ′C′ & ′B′ & ′A′ U U U − Z B , M AB = , M CB = . Получаем M BB = jω jω jω 1.3. Режим питания &I C = 1 ⋅ e j0 , I A = I B = 0 . & ′′′ & ′′′ & ′′′ U U U Получаем M CC = C − Z C , M AC = A , M BC = B . jω jω jω ⎛1 0 0⎞ ⎟ ⎜ В пакете Mathcad для режима задания токов вводим (I) = ⎜ 0 1 0 ⎟ и ⎜0 0 1⎟ ⎠ ⎝ получаем сразу матрицу частичных ЭДС − jω(M )(1) и затем матрицу ( M ). 2. После нахождения матрицы (М) рассчитываем из (3.125) вектор фазных токов для заданной системы фазных напряжений

(I) = ( Z −1 )(( U) + (E) ) = [(Z) + jω(M)]−1 ( U) . (3.129) 3. Для полученного вектора фазных токов проводим расчет по основному варианту.

71


3.6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ЛИМ (ЦЛИМ) С БЕГУЩИМ ПОЛЕМ 3.6.1. ЦЛИМ С ОДНОРОДНЫМ ВТОРИЧНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ Покажем особенности построения схем замещения цилиндрической конструкции ЛИМ.

Рис. 3.16 По формуле Стокса поток выделенного на рис. 3.16 контура (через круг радиуса r), называемый далее контурным, Φ k = 2πrA ,

(3.130)

а его приращение (поток через кольцо шириной dr) dΦ k = d (2πrA ).

Индукция по оси Z определяется как приращение потока через единичdr ⎞ ⎛ ный участок кольца площадью dr ⋅ 2π⎜ r + ⎟ ≈ 2πr ⋅ dr 2⎠ ⎝ Bx =

∂Φ k 1 ∂ (2πrA )∂r 1 ∂ (rA ) = , = 2πr ⋅ ∂r 2πr r ∂r ∂r

что совпадает с [5]. 72

3.6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ЛИМ С БЕГУЩИМ ПОЛЕМ

Индукция по оси r определяется как приращение потока через единичdr ⎞ ⎛ ный участок кольца площадью dz ⋅ 2π⎜ r + ⎟ ≈ 2πr ⋅ dz 2⎠ ⎝

& 1 ∂Φ 1 ∂(2πrA ) ∂A Br = − =− =− , 2πr ∂z 2πr ∂z ∂z что совпадает с [5]. При движении кольца сечением dr ⋅ dz по оси Z со скоростью Vz закон полного тока для него записывается с учетом (3.130) &r &z 1 ∂B 1 ∂B γ ∂Φ k γ & , Φ k − Vz − = − jω 2πr 2πr ∂z µ r ∂z µ z ∂r

или через поток & k 1 ⎛ 1 ∂Φ & k 1 ∂2Φ &k⎞ & 1 1 ∂2Φ & k − Vz γ ∂Φk . (3.131) ⎜ ⎟ = −jω γ Φ − + − µr 2πr ∂z2 µz ⎜⎝ 2πr 2 ∂r 2πr ∂r 2 ⎟⎠ 2πr 2πr ∂z

Переходим к конечным разностям в выражении (3.131) с шагами t z по оси Z и h по оси r, домножая его на (t z h) и опуская индекс k . Левая часть при этом принимает вид ht z [(Φ& j,i+1 − Φ& j,i ) + (Φ& j,i−1 − Φ& j,i )] − 2 µ r 2πrt z −

ht z [(Φ& j−1,i − Φ& j,i ) + (Φ& j+1,i − Φ& j,i )] − µ z 2πr 2 2h

ht z [(Φ& j−1,i − Φ& j,i ) + (Φ& j+1,i − Φ& j,i )] = µ z 2πrth 2 & j,i +1 − Φ & j,i ) + (Φ & j,i −1 − Φ & j,i )] − R Mzправ (Φ & j+1,i − Φ & j ,i ) − = − R Mr [(Φ −

(3.132)

& j−1,i − Φ & j,i ), − R Mzлев (Φ

1 tz ⎛ h⎞ 1 tz ⎛ h⎞ M 1 h M ⎜1 − ⎟ , R лев = ⎜1 + ⎟ , R r = µ r 2πrt z µ z 2πrh ⎝ 2r ⎠ µ z 2πrh ⎝ 2r ⎠ магнитные сопротивления фрагмента схемы замещения.

где

M R прав =

73

–


3.6.2. МОДЕЛЬ ЦЛИМ СО СЛОЯМИ РАВНОЙ ТОЩИНЫ

Рис. 3.17 Средние радиусы первого и последующих слоев i = 2...Q (рис. 3.17) записываются как

h r11 = rвнутр = r1 + , 2 rii = rn −1,n −1 − h , где r1 – средний радиус первого слоя, rii – средний радиус i-го слоя. Длина участка i («ширина» слоя) b ii = 2πrii .

В этом случае тангенциальные R ti и нормальные R ni магнитные сопротивления, а также электрические проводимости участков слоя i возрастают с уменьшением радиуса. Электрические проводимости полуслоев (верхнего и нижнего):

g1 = γ1∗ ⋅

t z hγ б

, h 4π(r1 + ) 4 h r1 + 4, g11 = γ1∗ ⋅ g баз ⋅ h r1 − 4 74


для остальных слоев: h 4, g i = g баз γ i∗ h ri + 4 h r1 + 4, g ii = g баз γ i∗ h ri − 4 r1 +

(3.133)

где γ б – удельная электропроводность, принятая за базисную, γбtzh g баз = – базисная проводимость участка полуслоя. h 4π(r1 + ) 4 За базовое принимается тангенциальное сопротивление участка 1-го t 1 ⋅ z , на него делятся все сопротивления. При этом анаслоя R t1 = µ t1 ⋅ µ 0 h 2πr1 логично случаю плоской ЛИМ 1 h 1 h ⎧ , ⎪R ni = µ ⋅ t ⋅ 4π ⋅ r = µ ⋅ h i z ii i t 4π ⋅ ( r + ) ⎪ z i 2 ⎪ ⎪ tz 1 ⎪R an = µ µ ⋅ (H − H )2π(r + 0,5H + 0,5H ) , 0 c i p1 11 i p1 ⎪⎪ ⎨ tz 1 , ⋅ ⎪R ank = Hi µ 0 ⎪ H i ⋅ 2π(r11 + ) 2 ⎪ ⎪ tz ⋅ kt 1 ⋅ . ⎪R anse = H se µ 0µ se ⎪ H se 2π( ) ⎪⎩ 2

(3.134)

Для соленоидальной обмотки принимается R anse → ∞ , т.к. на оси нормальная составляющая индукции B норм отсутствует.

75


Относительные значения этих сопротивлений для i = 1…Q r1 ⎧ R R , = ⋅ n 0 i n 0 пл ⎪ h ( ri + ) ⎪ 2 ⎪ h r1 ⎪ R , = ⋅ a 0 ⎪ µ c ( H i − H p 1 ) ( r + h + 0 ,5 H + 0 ,5 H ) ⎪ 1 i p1 2 ⎪ ⎪ h ⋅ r1 ⎨ R ke = , h Hi ⎪ ) H i ( r1 + + ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ R t 10 = 1, ⎪ 1 , ⎪ R ti 0 = ri∗ µ ti ⎪ ⎪⎩ R se 0 → ∞ ,

(3.135)

ri , µ ti ,µ i – относиr1 тельные значения магнитных проницаемостей i-го слоя в тангенциальном и 1 h2 нормальном направлениях, R n 0пл = – относительное нормальное µ i∗ t 2z магнитное сопротивление плоского слоя (3.96). Относительное значение базисной проводимости участка полуслоя где относительный средний радиус i-го слоя ri∗ =

µ0h 2 g баз r = γб ⋅ 1 . gб = h R t1 2 r1 + 4 С учетом этого относительные проводимости участков полуслоев из (3.133) ⎫ ,⎪ h ri + ⎪ 4 ⎪ ⎬ h ri + ⎪ 4, = g i0 ⎪ h ⎪ ri − ⎭ 4

g i 0 = γ i ∗g бплоск.

g ii 0

76

r1

(3.136)


µ0h 2 где g бплоск. = γ б для плоского полуслоя (см. 3.5.2). 2 В матрицах собственных магнитных сопротивлений (3.98) эти провоv димости домножаются на jω и i (слагаемые с k x и k12 ) для каждого 2t z слоя. В результате ненулевые элементы матричных собственных сопротивлений записываются следующим образом: для внешнего крайнего слоя ( Z1 ) : ⎧a n ,n = R n 01 + 1 + R k 0 + jωg 10 в I и III зонах, ⎪ ⎪a n,n = R n 01 + 1 + R a 0 + jωω10 во II зоне, ⎪ v ⎨a n,n −1 = −0,5R n 01 − 1 g10 , 2t z ⎪ ⎪ v ⎪a n ,n +1 = −0,5R n 01 + 1 g10 , 2t z ⎩

для внутреннего крайнего слоя ( Z Q+1 ) : 1 ⎧ a R = + + R se 0 + jωg QQ 0 , n 0 Q +1 ⎪ n ,n rQ ⎪ ⎪⎪ vQ , ⎨a n ,n −1 = −0,5R n 0 Q+1 − g QQ 0 2t z ⎪ ⎪ vQ , ⎪a n ,n +1 = −0,5R n 08 + g QQ 0 ⎪⎩ 2t z

для остальных слоев ( Z i ) : ⎧ 1 1 ) + (g i −1, i −1,0 + g i 0 ) jω, = + + a 2 R ( n , n n 0 i ⎪ r r i − 1 ∗ i ∗ ⎪ ⎪ vi (g i −1, i −1,0 + g i 0 ), при i = 2…Q (3.137) ⎨a n , n −1 = −R n 0i − 2 t z ⎪ ⎪ vi (g i −1, i −1,0 + g i 0 ). ⎪a n , n +1 = −R n 0i + 2 t ⎩ z 77


Взаимные относительные матричные сопротивления слоев являются однодиагональными матрицами, элементы их главных диагоналей равны тангенциальным сопротивлениям слоев ( R 12 ) = R t1 (1)

и при i = 2…Q в общем случае ( R i ,i +1 ) = R t1 (1)

r1µ t 1 1 = R t1 (1) , ri∗ ri µ ti

где (1) – единичная матрица, ri ∗ =

ri µ ti . r1 µ t1

1 уравнения магнитного состояния для слоев ri ∗ записываются аналогично (3.108) После деления на R t1

⎧ ⎪ ⎪( Z1 )(Φ 1 ) − ( R 12 )( Φ 2 ) = ( F0s ), ⎪ ri∗ (Φ i−1 ) + ri∗ ( Z i )(Φ i ) − (Φ i+1 ) = 0, для i = 2…Q ⎨− r i − 1 ∗ ⎪ ⎪1 ⎪ (Φ Q ) + ( Z Q+1 )(Φ Q+1 ) = 0, ⎩ rQ∗

где (F0s ) =

(3.138)

1 (Fs ) . R t1

Решение уравнений аналогично случаю с плоской ЛИМ (см. 3.5.2). В частности, при Q=7 имеем

(Φ11 ) = ( Z81−1 )(Z82 )(F0s ) ,

78

(3.139)


где r3* ⎧ = − − (Z84Z1 ) − r2*r3* (Z84Z3 ) + r2* (Z85), ( Z ) r r ( Z Z Z Z ) r ( Z Z Z ) 81 2 * 3 * 84 3 2 1 2 * 85 2 1 ⎪ r2* ⎪ ⎪ r3* ⎪(Z82) = r2*r3* (Z84Z3Z2 ) − r2* (Z85Z2 ) − (Z84), r2* ⎪ (3.140) ⎨ ⎪(Z ) = r4*r5*r6*r7* (Z Z Z Z ) − r4*r5*r6* (Z Z ) − r4*r5*r7* (Z Z ) − r4*r6*r7* (Z Z ) + r4*r6* ⋅ (R ), 8 7 6 5 6 5 8 5 8 7 120 ⎪ 85 r3* r7* r6* r5* r3*r5*r7* ⎪ ⎪(Z ) = r (Z Z ) − r5*r6*r7* (Z Z Z ) + r5*r6* (Z ) + r5*r7* (Z ). 8 7 6 6 8 ⎪⎩ 84 3* 85 4 r4*r6* r4*r7* r4*

3.6.3 МОДЕЛЬ ЦЛИМ С НЕОДНОРОДНЫМИ СЛОЯМИ В этом случае вводятся матрицы-столбцы: внешних радиусов слоев, например, (r Τ ) = (0,126 0,117 0,108 0,099 0,09 0,081 0,072 0,063 0,054 0,045 0,036 ... 0,018 0,009)

относительных магнитных проницаемостей поперек и вдоль слоя

(µ Τ ) = (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1), (µt Τ ) = (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1) , относительных удельных электропроводностей слоев

( γ т ) = (0,044 0,0001 25,4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1) . На основании этого рассчитываются: толщины слоев h x = rx − rx +1 ,

средние радиусы слоев Rrx = rx − h x ⋅ 0,5 , 79


средние радиусы внешних (верхних) полуслоев Rrs x = Rrx + 0,25h x ,

средние радиусы внутренних (нижних) полуслоев Rrss x = Rrx − 0,25h x .

Далее рассчитываются параметры схемы замещения, контуры слоев которой показаны на рис. 3.18, а, а увеличенный фрагмент участка седьмого слоя – на рис. 3.18, б. За базисное магнитное сопротивление принимается тангенциальное сопротивление 1-го слоя R t1 =

tz 1 ⋅ . µ 0µ1 2πRr ⋅ h1

Нормальные сопротивления слоев (х – номер слоя) Rnx =

hx 1 ⋅ , µ 0µ x t z 2πrx

нормальные сопротивления полуслоев слоя «х» – верхнего R nв x =

– нижнего R nн x =

0,5 ⋅ h x 1 , µ 0µ t z ⋅ 2π(R r x + 0,25h x )

0,5 ⋅ h x 1 , µ 0 µ t z ⋅ 2π(R r x − 0,25h x )

или относительные

1 0,5 ⋅ h 1 ⋅ h x ⎧ ⎪R noв x = µ ⋅ t 2z ⎪ x ⎨ 1 0,5 ⋅ h 1 ⋅ h x ⎪R = ⋅ noн x ⎪⎩ µx t 2z Рис. 3.18, а

80

⋅

R r1 , (R r x + 0,25h x )

R r1 ⋅ . (R r x − 0,25h x )

(3.141)


Для первого контура R noв1 , для 15-го → R noн 14 .

Рис. 3.18, б Тангенциальные сопротивления слоев Rtx =

tz 1 , ⋅ µ 0µ t x 2πR r x h x

или относительные

R t 0x =

1 R r 1h 1 1 1 ⋅ = ⋅ , µt x R r x h x µ t x R ′0 x h 0 x

Rrx – относительный средний радиус, R r1 h = x – относительная толщина слоя. h1

где R ′0 x = h 0x

Электрические проводимости полуслоев – верхнего g x = γ x ⋅ γ 2 ⋅

0,5 ⋅ h x ⋅ t z , 2π(R r x + 0,25h x )

0,5 ⋅ h x ⋅ t z , 2π(Rrx − 0,25h x ) или относительные (после деления на R t1 ) – нижнего g s x = γ x ⋅ γ 2 ⋅

81

(3.142)


R r1 µ 0 h12 h x , = γ x (γ 2 )( ) h1 ( R r x ± 0,25h x ) 2

g0x

(3.143)

где (–) принимается для нижнего полуслоя – g 0s x . Тангенциальное сопротивление ярма индуктора

R an =

tz 1 ⋅ , µ c µ 0 (H i − H p1 )2π(r1 + 0,5H i + 0,5H p1 )

R a0 =

R r1 h1 ⋅ . µ c (H i − H p1 ) (r1 + 0,5H i + 0,5H p1 )

или в о.е. (3.144)

Тангенциальное сопротивление «ярма» краевой зоны R ank =

tz 1 ⋅ , µ 0 H i ⋅ 2π(r1 + 0,5H i )

или в о.е. R ank =

h1 Rr1 ⋅ . H i (r1 + 0,5H i )

(3.145)

Тангенциальное сопротивление ярма ВЭ (условно) R anse =

tz 1 ⋅ →∞, µ se ⋅ µ 0 H se 2π ⋅ 0,5H se

или в о.е. R ase 0 =

h 1 ⋅ Rr1 1 ⋅ . µ se H se ⋅ 0,5H se

82

(3.146)


Уравнения магнитного равновесия (о.е.) в матричной форме для контуров х-го этажа схемы замещения (рис. 3.18) 1 1 ⋅ (1)(Φ x −1 ) + ( Z′x )(Φ x ) − ⋅ (1)(Φ x +1 ) = 0 , µt x −1 ⋅ R ′0 x −1 ⋅ h 0 x −1 µt x ⋅ R ′0 x ⋅ h 0 x или µ ⋅ R ′0 x ⋅ h 0 x −1 − tx ⋅ (Φ x −1 ) + µ tx ⋅ R ′0 x ⋅ h 0 x ⋅ ( Z′x )(Φ x ) − (1)(Φ x +1 ) = 0 , (3.147) µ tx −1 ⋅ R ′0 x −1 ⋅ h 0 x −1 −

далее будем обозначать ( R 0 x ) = µ t x ⋅ R ′0 x ⋅ h 0 x ⋅ (1) – однодиагональная матрица, равная единичной матрице, умноженной на относительный средний радиус слоя R ′0 x , относительную тангенциальную магнитную проницаемость слоя µ t и относительную толщину слоя h 0 x ( Z x ) = µ tx ⋅ R ′0 x ⋅ h 0 x ⋅ ( Z′x ) = ( R 0 x ) ⋅ ( Z′x ) .

Отношение матриц эквивалентных радиусов, т.е. матричных тангенциальных сопротивлений, −1

(R 0 x −1 ) ⋅ (R 0 x ) = (A x −1 ) , причем ( A14 ) =

(1) −1 = ( R 014 ). µ t14 ⋅ R ′014 ⋅ h 014

Элементы матричных коэффициентов уравнения (3.147) – крайнего (первого) слоя 1 ⎧ a 2 R = + + R k 0 + jωg 01 , n , n пов 1 ⎪ R 01 ⎪ 1 ⎪ a 2 R = + + R a 0 + jω ⋅ g 01 , n , n пов 1 ⎪ R 01 ⎪ ( Z1 ) : ⎨ v1 ⎪a g 01 , n , n −1 = − R пов1 − ⎪ 2t z ⎪ v ⎪a = − R пов1 + 1 g 01 , n , n +1 ⎪⎩ 2t z

83

(3.148)


– нижнего слоя 1 ⎫ + R se 0 + jω ⋅ g os14 ,⎪ R )14 ⎪ v ⎪ a n ,n −1 = −R non14 − g os14 14 ,⎬ 2t z ⎪ v ⎪ a n ,n +1 = −R non14 + g os14 14 ,⎪ 2t z ⎭

a n ,n = 2R non14 + ( Z15 ) = ( Z′15 ) :

(3.149)

– среднего слоя ⎫ ⎡ ⎤ 1 1 + + jω(g osX−1 + g 0 x )⎥ ⋅ R 0 x ,⎪ a пл = ⎢2R повХ + 2R nonX−1 + R 0 x −1 R ox ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎡ ⎤ vx a n ,n −1 = ⎢− R повX − R nonX−1 + (g osX−1 + g 0 x )⎥ ⋅ R 0 x ,⎬ (3.150) (Z x ) : 2 t ⎣ ⎦ z ⎪ ⎪ ⎡ ⎤ vx a n ,n +1 = ⎢− R повX − R nonX−1 + (g osX−1 + g oX )⎥ ⋅ R oX .⎪ 2 t ⎪⎭ ⎣ ⎦ z Система уравнений (3.147) записывается в виде

( R 01 Z1 )(Φ 1 ) − (Φ 2 ) = ( R 01 )( F0s ),

⎫ ⎪ − ( A 1 )(Φ 1 ) + ( Z 2 )(Φ 2 ) − (Φ 3 ) = 0, ⎪ ⎪ − ( A 2 )(Φ 2 ) + ( Z 3 )(Φ 3 ) − (Φ 4 ) = 0, ⎪ ... ⎬ − ( A x −1 )(Φ x −1 ) + ( Z x )(Φ x ) − (Φ x +1 ) = 0,⎪ ⎪ ... ⎪ − ( A 14 )(Φ 14 ) + ( Z15 )(Φ 15 ) − (Φ 16 ) = 0, ⎪⎭

(3.151)

где вектор относительных МДС пазов индуктора 1 ( Fs ) . R t1 Принимаем (Ф16) равным нулю (система 14-слойная с искусственным 15-м слоем) и решаем систему путем исключения неизвестных потоков, как рассматривалось ранее. ( F0s ) =

84


В результате получаем коэффициенты

( Z15,1 )(Φ1 ) = ( Z15, 2 )( F0s ) , где ( Z15,12 ) = −(A10 )( Z а15,12 ),

(3.152)

( Z а15,12 ) = ( Z15 Z14 Z13 Z12 − A14 Z13 Z12 − A13 Z15 Z12 − A12 Z15 Z14 + A12 A14 ), ( Z15,11 ) = ( Z а15,12 Z11 − A11 Z15 Z14 Z13 + A11A14 Z13 + A11A13 Z15 ), ( Z15,8 ) = −(A 6 )(Z15,11 Z10 Z9 Z8 + Z15,12 Z9 Z8 − A 9 Z15,11 Z8 − A 8 Z15,11 Z10 − A 8 Z15,12 ), ( Z15 , 7 ) = ( Z15,11 Z10 Z 9 Z 8 Z 7 + Z15 ,12 Z 9 Z 8 Z 7 − A 9 Z15,11 Z 8 Z 7 − A 8 Z15,11 Z10 Z 7 − − A 8 Z15,12 Z 7 − A 7 Z15 ,11 Z10 Z 8 − A 7 Z15 ,12 Z 9 + A 7 A 9 Z15 ,11 ),

( Z15, 4 ) = −(A 2 )(Z15, 7 Z 6 Z5 Z 4 + Z15,8 Z5 Z 4 − A 5 Z15, 7 Z 4 − A 4 Z15, 7 Z 6 − A 4 Z15,8 ), ( Z15, 3 ) = ( Z15, 7 Z 6 Z 5 Z 4 Z 3 + Z15 ,8 Z 5 Z 4 Z 3 − A 5 Z15, 7 Z 4 Z 3 − A 4 Z15 , 7 Z 6 Z 3 − − A 4 Z15 ,8 Z 3 − A 3 Z15, 7 Z 6 Z 5 − A 3 Z15,8 Z 5 + A 3 A 5 Z15, 7 ),

( Z15, 2 ) = ( Z15, 3 Z 2 ) + ( Z15, 4 ) , ( Z15,1 ) = ( Z15,3 Z 2 Z1 ) + ( Z15, 4 Z1 ) − (A1 )(Z15, 3 ) . Уравнения для потоков из (3.152) и (3.151): (Φ 1 ) = ( Z15−1,1 )( Z15, 2 )(F0s ),

⎫ ⎪ (Φ 2 ) = ( Z1 )(Φ1 ) − (F0 s ), ⎪ ⎪ (Φ 3 ) = ( Z 2 )(Φ 2 ) − (A1 )(Φ 1 ), ⎪ ... ⎬ (Φ x ) = ( Z x −1 )(Φ x −1 ) − (A x −2 )(Φ x −2 ),⎪ ⎪ ... ⎪ (Φ 14 ) = ( Z13 )(Φ13 ) − (A12 )(Φ 12 ). ⎪⎭

85

(3.153)


На основе найденных потоков могут быть рассчитаны: – вектор нормальных (радиальных) индукций 1 (3.154) , 2 πrx где матрица численного дифференцирования по координате (D) имеет следующие ненулевые элементы ( Bnx ) = ( D)(Φ x )

a n , n −1 = −a n , n +1 = −

1 ; 2t z

– вектор тангенциальных (осевых) индукций ( Btx ) =

1 ((Φ x ) − (Φ x +1 )) ; h x ⋅ 2πRrx

(3.155)

– вектор токов внешних (верхних) полуслоев ( I cx ) = (G x )( Vx )( Φ x ) R t1 ,

(3.156)

где (G x ) – матрица, главная диагональ которой заполнена электрическими проводимостями участков верхнего полуслоя g 0 x (3.143), ( Vx ) – матрица, формирующая ЭДС в участках верхнего полуслоя, движущихся со скоростью v x по осевой координате, имеющая ненулевые элементы: a n , n −1 = −a n , n +1 = −

vx ω , a n, n = − j ; 2t z 2t z

– вектор токов внутренних (нижних) полуслоев ( I cxx ) = (G xx )( Vx )( Φ x +1 ) R t1 ,

(3.157)

где (G xx ) – матрица, аналогичная (G x ) для внутреннего полуслоя х-го слоя; – тангенциальные (осевые, тяговые) усилия, действующие на участки верхнего полуслоя * 1 & Fxn = Re(B HXn ⋅ I CXn ) 2

86

(3.158)


и нижнего полуслоя

Fxxn = – слоя,

* 1 Re( Bnx +1n ⋅ I cxxn ) ; 2

(3.159)

нормальные (радиальные) усилия, действующие на участки х-го * * 1 & тxn ⋅ ( I cxn + I cxxn )⎤ . Fнхn = Re ⎡ B ⎥⎦ 2 ⎢⎣

(3.160)

Полные усилия, действующие на х-й слой, находятся суммированием соответствующих усилий, действующих на отдельные участки слоя. ЭДС фаз находятся через вектор контурных потоков 1-го слоя в активной зоне, охватывающих u п проводников в пазах индуктора (рис. 3.19)

( E) = u п ⋅ ( K F ) T (Φ1 ). Например, при q = 1, m = 3 обмотка однослойная

Рис. 3.19

⎛ Φ1,1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜Φ1,2 ⎟ ⎛E& A ⎞ ⎛1 0 0 −1 0 0 ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Φ1,3 & = − E u 0 0 1 0 0 1 ⎜ B ⎟ п⎜ ⎟⎜ ⎟ (3.161) ⎜E& ⎟ ⎜0 −1 0 0 1 0 ⎟⎜Φ1,4 ⎟ ⎠⎜Φ ⎟ ⎝ C⎠ ⎝ ⎜ 1,5 ⎟ ⎜Φ ⎟ ⎝ 1,6 ⎠

Далее определяются механическая, полная, активная и реактивная мощности, КПД и коэффициент мощности машины. 3.6.4. МОДИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ С ОБРАТНЫМИ И «СВЕРНУТЫМИ» ВНУТРЕННИМИ СЛОЯМИ

1. В основной модели (рис. 3.20, область между ярмом и осью 1) предусмотрено распределение МДС индуктора в четырех слоях (n=1–4). Ярмо сердечника индуктора может быть ферромагнитным ( µ с > 1 ) или «воздушным» ( µ с = 1). 87


Слои с витками индуктора – воздушные, хотя легко создать модификацию с зубцово-пазовой структурой – изменится формирование нормальных и тангенциальных сопротивлений этих слоев – µ n и µ t , как в методе Е-Н четырехполюсников (см. 3.2) На оси устройства размещаем экран ( µ se = 0 ), т.к. катушки кольцевые [5]. Для многослойной обмоточной зоны ( R 01 )( Z1 )( Φ 1 ) − ( Φ 2 ) = ( R 01 )( F0 s1 ) , − ( A1 )( Φ 1 ) + ( Z 2 )( Φ 2 ) − (Φ 3 ) = ( R 02 )( F0s 2 ) , − ( A 2 )( Φ 2 ) + ( Z 3 )( Φ 3 ) − (Φ 4 ) = ( R 03 )( F0 s 3 ) , (3.162) − ( A 3 )( Φ 3 ) + ( Z 4 )( Φ 4 ) − (Φ 5 ) = ( R 04 )( F0 s 4 ) , − ( A 4 )( Φ 4 ) + ( Z 5 )( Φ 5 ) − (Φ 6 ) = ( R 05 )( F0 s 5 ) .

Рис. 3.20

Выполним последовательное исключение неизвестных потоков, опираясь на основной вариант. В результате преобразований получим

−1

(Φ 1 ) = ( Z151 )( FZS ) , (3.163) где ( Z155 a ) = ( Z157 Z 6 Z 5 ) + ( Z158 )( Z 5 ) − ( A 5 )( Z157 ) , ( Z155 ) = −( A 3 )( Z155 a ) , (Z154a ) = (Z157Z6Z5Z4 ) + (Z158Z5Z4 ) − (A5Z157Z4 ) − (A4Z157Z6 ) − (A4 )(Z158) , ( Z154 ) = −( A 2 )( Z154 a ) , ( Z156 a ) = ( Z157 )( Z 6 ) + ( Z158 ) , ( Z153 ) = ( Z154 a )( Z 3 ) + ( Z155 ) , ( Z A153 ) = − ( A1 )( Z153 ) , ( Z152 ) = ( Z153 )( Z 2 ) + ( Z154 ) , ( Z151 ) = ( Z152 R 01Z1 ) + ( Z A153 ) ,

( FZS ) = ( Z152 R 01F0s1 ) + ( Z153 R 02 F0s 2 ) + ( Z154 a R 03 F0s 3 ) + + ( Z155a R 04 F0s 4 ) + ( Z156 a R 05 F0s 5 ). Обозначаем ( R 01 )( Z1 ) = ( K 1 ) , ( R 01 ) = ( K 2 ) . ЭДС обмотки находится суммированием ЭДС четырех слоев обмотки по аналогии с ее однослойным размещением в основной модели. Потоки находятся по (3.162) последовательно:

88


(Φ 2 ) = ( R 01Z1Φ1 ) − ( R 01 )( F0s1 ),

⎫ ⎪ (Φ 3 ) = ( Z 2 )(Φ 2 ) − ( A1 )(Φ 1 ) − ( R 02 )( Fos 2 ),⎬ (Φ 4 ) = ( Z 3 )(Φ 3 ) − ( A 2 )(Φ 2 ) − ( R 03 )( F0s 3 ) ⎪⎭

(3.164)

и так далее. 2. Модифицированная модель (рис. 3.20, область между 0 и осью 2) предполагает, что вместо сопротивлений ярма извне включаются эквивалентные сопротивления свернутых пяти внешних слоев, а вместо сопротивлений экрана на оси 1 – эквивалентные сопротивления свернутых четырех «пустых» (например, для трубы) слоев, в которых поле ослаблено и нас не интересует. Этот прием подобен «принципу лупы», когда мы берем 24 слоя, но с помощью базовой 14-слойной модели рассматриваем интересующие нас 14 внутренних слоев, не отбрасывая остальные, а учитывая их влияние. Особенностью модели является то, что неизвестны коэффициенты в уравнениях 1-го и 15-го слоев: ( K 1 )( Φ 1 ) − (Φ 2 ) = ( K 2 )( F0s1 ) ⎫ ⎬ − ( A 14 )( Φ 14 ) + ( Z15 )( Φ 15 ) = 0.⎭

(3.165)

Коэффициенты ( K 1 ), ( K 2 ), ( A14 ), ( Z15 ) вычисляются на I этапе программы по тому же алгоритму, но сворачиваемые слои представляются в полном объеме, а основная область – укрупненно. 2.1. Сворачивание «обратных» слоев (за базисное принимается тангенциальное сопротивление 6-го слоя, который является первым в основной модели). Основные уравнения (3.151) для обратных слоев (рис. 3.21) записываются ( R 01Z1 )(Φ 1 ) − (Φ 2 ) = 0,

_

Рис. 3.21

⎫ ⎪ − ( A1 )(Φ 1 ) + ( Z 2 )(Φ 2 ) − (Φ 3 ) = 0, ⎪ ⎪ − ( A 2 )(Φ 2 ) + ( Z 3 )(Φ 3 ) − (Φ 4 ) = 0, ⎪ (3.166) − ( A 3 )(Φ 3 ) + ( Z 4 )(Φ 4 ) − (Φ 5 ) = 0, ⎬ ⎪ − ( A 4 )(Φ 4 ) + ( Z 5 )(Φ 5 ) − (Φ 6 ) = 0, ⎪ ___________________ ⎪ − ( A 5 )(Φ 5 ) + ( Z 6 )(Φ 6 ) − (Φ 7 ) = ( R 06 )( F0s 6 ).⎪⎭

Исключаем потоки (Φ 1 ), (Φ 2 ), (Φ 3 ),... с помощью следующих процедур:

89


( R 01Z1 )(Φ 1 ) − (Φ 2 ) = 0,

⎫ ⎪ − (Φ 1 ) + ( A Z 2 )( Φ 2 ) − ( A )(Φ 3 ) = 0, ⎪ ⎪⎪ − (Φ 2 ) + ( A 2−1Z 3 )(Φ 3 ) − ( A 2−1 )( Φ 4 ) = 0, ⎬ − (Φ 3 ) + ( A 3−1Z 4 )(Φ 4 ) − ( A 3−1 )(Φ 5 ) = 0, ⎪ −1 −1 ⎪ − (Φ 4 ) + ( A 4 Z5 )(Φ 5 ) − ( A 4 )( Φ 6 ) = 0, ⎪ − (Φ 5 ) + ( A 5−1Z 6 )(Φ 6 ) − ( A 5−1 )( Φ 7 ) = ( A 5−1 R 06 )( F0s 6 ), ⎪⎭ −1 1

откуда

−1 1

( K 1 )( Φ 1 ) − (Φ 2 ) = ( K 2 )( F0s1 ) ,

(3.166 а)

(3.167)

где ⎧( A12 ) = ( R 01Z1A1−1Z 2 ) − (1), ⎪ −1 −1 ⎪( A13 ) = ( A12 A 2 Z 3 ) − ( R 01Z1A1 ), ⎪ −1 −1 ⎨( A14 ) = ( A13 A 3 Z 4 ) − ( A12 A 2 ), ⎪( A ) = ( A A −1Z ) − ( A A −1 ), 14 4 5 13 3 ⎪ 15 −1 ⎪⎩( A16 ) = ( A15 A 5 Z 6 ) − ( R 14 A 4−1 ),

( K1 ) = ( A 5 A15−1A16 ), ( K 2 ) = ( R 06 ).

2.2. Сворачивание внутренних слоев Поскольку описанная выше подпрограмма выполняет операции лишь над шестью обратными и четырьмя внутренними слоями, есть смысл использовать для этого соответствующий блок основной программы. При этом средние слои (в основной программе основные) не используются, их число можно сократить и задать произвольно. Таким образом (рис. 3.20) мы как бы сжимаем внутреннюю часть области, «вмещая» в 14 слоев всю область от границы «0» до границы «ось 2». Запишем уравнения для внутренних слоев: − ( A 9 )( Φ 9 ) + ( Z10 )(Φ 10 ) − (Φ 11 ) = 0, ⎫ − ( A10 )(Φ 10 ) + ( Z11 )(Φ 11 ) − (Φ 12 ) = 0, ⎪ ⎪ − ( A11 )(Φ 11 ) + ( Z12 )( Φ 12 ) − (Φ 13 ) = 0, ⎪ ⎬ − ( A12 )(Φ 12 ) + ( Z13 )( Φ 13 ) − (Φ 14 ) = 0,⎪ − ( A13 )(Φ 13 ) + ( Z14 )(Φ 14 ) − (Φ 15 ) = 0, ⎪ ⎪ − ( A14 )(Φ 14 ) + ( Z15 )(Φ 15 ) = 0. ⎭

(3.168)

В результате последовательного исключения потоков получаем ( Z1512 )( Φ 10 ) + ( Z1511 )( Φ 11 ) = 0 , 90

(3.169)


где ( Z1512 a ) = ( Z15 Z14 Z13 Z12 − A14 Z13 Z12 − A13 Z15 Z12 − A12 Z15 Z14 + A12 A14 ), ( Z1512 ) = − ( A10 )( Z1512 a ), ( Z1511 ) = ( Z1512 a Z11 − A11Z15 Z14 Z13 + A11A14 Z13 + A11A13 Z15 ), и далее (3.170) − ( A 9 Z1511 )( Φ 9 ) + ( Z1511 Z10 + Z1512 )( Φ 10 ) = 0 , принимаем обозначения: ( M 1 ) = ( A 9 Z1511 ) , ( M 2 ) = ( Z1511Z10 ) + ( Z1512 ) . Далее эти коэффициенты подставляются в 15-е уравнение (3.151) основной модели, т.е. идет присвоение ( A14 ) = −( M 1 ) , ( Z15 ) = ( M 2 ) .

Легко убедиться, что если внешнюю (внутренюю) область представить одним слоем, то поток идет перпендикулярно слою до его середины, а затем тангенциально вдоль слоя (сопротивления R n и R t ). В случае же многослойного представления области поток имеет возможность ответвляться вдоль элементарных слоев, на которые разбита область, т.е. встречает на своем пути меньшее эквивалентное сопротивление (как параллельное соединение сопротивлений этих слоев). Действительно, расчеты дают несколько отличающиеся характеристики указанных модификаций, особенно для случая немагнитной области. Увеличение толщины однослойной области уменьшает различие результатов. 3.6.5. УЧЕТ МОДУЛЯЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОВОДИМОСТИ ВДОЛЬ СЛОЯ В этом случае задаются две границы в каждом i-м слое m1i и m2i (в виде матриц-столбцов). Внутри области, ограниченной этими границами ( m1i < n < m 2 i ), электропроводность в K m раз превосходит значение электропроводности во внешней зоне. Далее формируется однодиагональная матрица (G i ) электрических проводимостей участков слоя с учетом их различия в указанных зонах. Матричное комплексное магнитное сопротивление слоя записывается как ( Z i ) = ( R i ) + (G i )( Vi ) ,

91

(3.171)


где ( R i ) – матрица магнитных сопротивлений слоя, v v ( Vi ) = (... − jω ...) – матрица формирования ЭДС 2t z 2t z «стержней» (участков) слоя, ⎛gi 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎜ ... ... ... ... ... ⎟ ⎜ ⎜ (Gi ) = 0 0 Kmgi 0 0 ⎟ – матрица электрических проводимостей. ⎟ ⎜ ⎜ ... ... ... ... ...⎟ ⎜0 0 0 0 g ⎟ i⎠ ⎝ 3.7. МОДЕЛЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ЛИМ С ВРАЩАЮЩИМСЯ ПОЛЕМ В этом случае нет краевых зон ( Q кр = 0 ) и зубцовое деление слоя х записывается (рис. 3.22, а) t zx =

2πrx . Q

Полюсное деление по внутренней поверхности индуктора (рис. 3.22, б)

τ=

2π ⋅ r1 . 2p

а

б Рис. 3.22

92

3.7. МОДЕЛЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ЛИМ С ВРАЩАЮЩИМСЯ ПОЛЕМ

Магнитные сопротивления слоев: R t1 =

2πR r1 t 1 1 ⋅ z1 = ⋅ – базисное, µ 0 h 1 ⋅ L t µ 0 (Q ⋅ L t ) h 1

h ⋅Q hx 1 1 ⋅ x = ⋅ – нормальное, µ 0µ x L t ⋅ 2πrx µ 0µ x ⎛ L t ⎞ ⎜ ⎟2πrx ⎝Q⎠ 2πR rx 1 R tx = ⋅ – тангенциальное. µ 0 µ tx (Q ⋅ L t )h x

Rnx =

Нормальные сопротивления полуслоев слоя х:

0,5h x 1 ⋅ , µ 0µ x ⎛ L t ⎞ ⎜ ⎟ ⋅ 2π(R rx + 0,25h x ) ⎝Q⎠ 0,5h x 1 = ⋅ µ 0µ x ⎛ L t ⎞ ⎜ ⎟ ⋅ 2π(R rx − 0,25h x ) ⎝Q⎠

– верхнего R nвx =

– нижнего R nnx

или относительные:

0,5h x h 1Q 2 1 ⎧ ⎪R повx = µ ⋅ 4π 2 (R + 0,25h )R , ⎪ x rx x r1 ⎨ 2 0,5h x h 1 ⋅ Q ⎪R = 1 ⋅ . nonx 2 ⎪⎩ µ x 4π (R rx − 0,25h x )R r1

(3.172)

Тангенциальные сопротивления слоев: R tx =

2πR rx 1 ⋅ . µ 0 µ tx Q ⋅ L t ⋅ h x

или относительные R t 0x =

1 h1 ⋅ R rx 1 R ′ox ⋅ = ⋅ = R 0x , µ tx h x ⋅ R r1 µ tx h 0 x

93

(3.173)


где относительные средний радиус R ′0 x =

R rx h и толщина слоя h 0 x = x . R r1 h1

Электрические проводимости полуслоев: 0,5h x 2π(R rx + 0,25h x ) , Q ⋅ Lt 0,5h x 2π(R rx − 0,25h x ) = γxγ2 Q ⋅ Lt

– верхнего g x = γ x γ 2 – нижнего g s x

или относительные (после деления на R t1 )

go x = γ x (γ 2

µ0h12 h x R rx ± 0,25h x )( ) , R r1 2 h1

(3.174)

где (–) для нижнего (внутреннего) полуслоя g 0sx . Тангенциальное сопротивление ярма индуктора (рис. 3.23, а) R an =

2π(r1 + 0,5H i + 0,5H p1 ) 1 , ⋅ Q ⋅ ( H i − H p1 ) ⋅ L t µc ⋅ µ0

или в о.е.

R a0 =

r1 + 0,5Hi + 0,5Hp1 h1 ⋅ . µc (Hi − Hp1 ) R r1

а

(3.175)

б Рис. 3.23 94


Тангенциальное сопротивление ярма ВЭ (условного слоя – рис. 3.23, б) 2π ⋅ 0,5H se 1 ⋅ , µ se ⋅ µ 0 Q ⋅ H se ⋅ L t или в о.е. R anse =

R anseo =

h 1 ⋅ 1 → ∞. µ se 2R r1

(3.176)

Уравнения магнитного равновесия (о.е.) в матричной форме для контуров х-го этажа схемы замещения (рис. 3.22) −

( R ′0 x −1 ) ( R ′0 x ) (Φ x −1 ) + ( Z′x )(Φ x ) − (Φ x +1 ) = 0 µ tx −1h 0 x −1 µ tx ⋅ h 0 x

(3.177)

или по аналогии с (3.151) − ( A x −1 )( Φ x −1 ) + ( Z x )( Φ x ) − (Φ x +1 ) = 0 ,

(3.178)

где µ tx h 0 x ⎧ , , −1 = ( R 0 x ) −1 ( R 0 x −1 ), ⎪( A x −1 ) = ( R 0 x ) ( R 0 x −1 ) µ h tx −1 0 x −1 ⎨ 1 − ⎪( Z ) = ( R ) ( Z′ ). ⎩ x 0x x Элементы матричных коэффициентов уравнения (3.178) записываются как (рис. 3.24) для верхнего (первого) слоя: ⎧ ⎪a = 2 R + R + R + jω ⋅ go , пов1 01 a0 1 ⎪ n ,n ⎪ v ( Z1 ) : ⎨a n ,n −1 = − R пов1 − 1 go1 , 2 t z1 ⎪ ⎪ v1 go1 , ⎪a n ,n +1 = − R пов1 + 2 t ⎩ z1

95

(3.179)


для нижнего (центрального) слоя: ⎧ ⎪a = 2 R n 0 n 14 + R 014 + R seo + jω ⋅ gos14 , ⎪ n ,n ⎪ v ( Z15 ) = ( Z15′ ) : ⎨a n ,n −1 = − R n 0 n14 − gos14 14 , 2 t z14 ⎪ ⎪ v 14 , ⎪a n ,n +1 = − R n 0 n14 + gos14 2 t ⎩ z 14

(3.180)

для среднего слоя (х = 2…14) ⎧ 1 [2R noвo + 2R nonX −1 + R 0 x −1 + R 0 x + jω(gos x −1 + go x )], ⎪a nn = R 0x ⎪ ⎪⎪ ⎡ ⎤ ( Z x ) ⎨a n , n −1 = 1 ⎢− R noвo − R nonX −1 − 1 ( v x −1 ⋅ gos x −1 + go x ⋅ v x )⎥, (3.181) R 0x ⎣ 2 t zx ⎦ ⎪ ⎪ ⎡ ⎤ ⎪a n , n +1 = 1 ⎢− R noвo − R nonX −1 + 1 ( v x −1 ⋅ gos x −1 + go x ⋅ v x ) ⎥, R 0x ⎣ 2 t zx ⎪⎩ ⎦

где R n 015 = R n 0 n14 , ν ⋅r v x = x x и ν x – линейная и угловая скорости слоя х. l

Рис. 3.24 Даже в относительных единицах сопротивления внешних и «околоосевых» слоев резко отличаются по величине. При равных толщинах слоев нормальные сопротивления растут к оси, а тангенциальные уменьшаются. В процессе исключения потоков по прежнему алгоритму (от внутреннего слоя к внешнему) при многократном перемножении матриц сопротивлений на96


капливается вычислительная ошибка. Практически не сказываясь на интегральных величинах (мощностях, напряжениях, cos ϕ …), она существенно искажает дифференциальные – распределения индукций, потоков, усилий, и т.п., особенно во внутренних слоях, где эти величины малы. Для устранения этого более рационально построить алгоритм определения потоков от внутреннего (осевого) к внешнему (потоку через участки ярма индуктора), т.е. от «малого» к «большому». На основании (3.178) можно записать систему уравнений: ( Z1 )(Φ1 ) − (Φ 2 ) = ( R 01−1 )( F0 s ),

⎫ ⎪ ... ⎪⎪ − (Φ x −1 ) + ( Z x )(Φ x ) − (a x −1 )(Φ x +1 ) = 0,⎬ ⎪ ... ⎪ − (Φ Qz −1 ) + ( Z Qz )(Φ Qz ) = 0, ⎪⎭

(3.182)

где х = 2…Qz, Q z – число слоев, (a x ) = ( A −x1 ) , ( Z x ) = ( Z x )( a x −1 ) , ( R 01 ) = (1) , ( Z1 ) = ( Z1 ) . Домножаем ( Z1 ) на второе уравнение (3.182) и складываем с первым, исключая тем самым ( Φ 1 ) . Получаем ( b1 )(Φ 2 ) − ( Z1a 1 )(Φ 3 ) = ( F0 s ) ,

(3.183)

где ( b1 ) = ( Z1 Z 2 ) − (1) . Проделаем такую же операцию с третьим уравнением (3.182) и (3.183). Получим ( b 2 )( Φ 3 ) − ( b1a 2 )( Φ 4 ) = ( F0 s ) ,

(3.184)

где ( b 2 ) = ( b1 Z 3 ) − ( Z1a 1 ) . В общем случае при x = 4...Q z , ( b x −1 )( Φ x ) − ( b x −2 a x −1 )( Φ x +1 ) = ( F0 s ) ,

(3.185)

где ( b x ) = ( b x −1Z x +1 ) − ( b x −2 a x −1 ) для x = 3...Q z . В результате, если принять (Φ Qz +1 ) = 0 с учетом (3.176), получим −1 ( Φ Qz ) = ( b Qz )( F0 s ) . −1

97

(3.186)


Далее находим остальные потоки из (3.182), двигаясь от оси к периферии (к вектору потоков первого слоя ( Φ 1 ) ), для x = (Q z − 2)...2 (Φ x −1 ) = ( Z x )( Φ x ) − (a x −1 )( Φ x +1 ) ,

(3.187)

Первое уравнение в (3.182) служит проверкой правильности решения: ( Z1 )( Φ 1 ) − (Φ 2 ) = ( F0 s ) .

(3.188)

3.8. ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЛОСКОЙ ЛИМ 3.8.1. МОДЕЛЬ ЛИМ ПРИ ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ ВЭ Рассмотрим модель ЛИМ на основе «двухэтажной» схемы замещения (рис. 3.25) с тангенциальными магнитными сопротивлениями R t для учета потоков рассеяния в зазоре. Отличием модели от рассмотренных выше является то, что она содержит две системы дифференциальных уравнений электрического состояния фаз индуктора и ВЭ, а также систему алгебраических уравнений магнитного состояния для магнитной схемы замещения [18, 23]:

(u ) = (R φ )(i φ ) + (L φ )(Di φ ) + (K E )(DΦ11 ) , (R 11 )(Φ11 ) − (R 12 )(Φ 22 ) = (K F )(i φ ) , − ( R 21 )(Φ 11 ) + ( R 22 )(Φ 22 ) = (i c ) , ( rc )(i c ) + (L i )(Di c ) + (L c )( v)(i c ) = −( DΦ 22 ) − ( v)(Φ 22 ) ,

(3.189) (3.190) (3.191) (3.192)

где (R φ ) , (L φ ) , (rc ) , (L c ) – матрицы сопротивлений и индуктивностей фаз индуктора и ВЭ, (i φ ) , (i c ) – векторы (матрицы-столбцы) мгновенных значений неизвестных токов фаз индуктора и ВЭ, D – оператор дифференцирования по времени, (Φ 11 ), (Φ 22 ) – векторы мгновенных значений потоков в участках спинок индуктора и ВЭ, ( K F ) – матрица распределения пазовых МДС (ее формирование показано в 4.2.4), ( R 11 ), ( R 22 ), ( R 12 ) = ( R 21 ) – матрицы собственных и взаимных магнитных сопротивлений схемы замещения (рис. 3.25),

98

3.8. ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЛОСКОЙ ЛИМ

(K E ) = (K TF ) – матрица формирования мгновенных значений ЭДС движения в фазах (стержнях) ВЭ, содержащая ненулевые элементы a n ,n −1 = − υ 2t z и a n ,n +1 = υ 2t z , причем υ – скорость движения ВЭ. Вектор мгновенных значений напряжений, приложенных к обмотке индуктора, определяет режим работы машины. Например, при симметричной системе напряжений источника питания он выражается в виде ⎛ ⎞ ⎜ U sin ωt ⎟ m ⎜ ⎟ π 2 ⎟. ( u ) = ⎜ U m sin(ωt − ⎜ 3 ⎟ ⎜ 2π ⎟ ⎜ U m sin(ωt + ⎟ 3 ⎠ ⎝

(3.193)

Из (3.190) и (3.191) после ряда преобразований можно получить: (Φ 22 ) = (a 11 )(i φ ) + (a 22 )(i c ), (Φ 11 ) = ( b11 )(i φ ) + ( b 22 )(i c ),

(3.194)

где

(a 11 ) = (A)(R 11−1 )(K F ) , (A) = (R 12−1 ⋅ R 22 − R 11−1 ⋅ R 12 ) −1 , (b11 ) = (B)(R 12−1 )(K F ) , (b 22 ) = (B)(R −221 ) , (B) = (R 12−1 ⋅ R 11 − R 22 ⋅ R 12 ) −1 . С учетом (3.194) из (3.189) и (3.192) получаем: ( A 11 )( Di φ ) + ( A 12 )( Di c ) = ( u ) − ( R φ )(i φ ),

⎫ ⎬ ( A 21 )( Di φ ) + ( A 22 )( Di c ) = −(d )(i c ) − ( v )(a 11 )(i φ ),⎭ Где (A11 ) = (L φ ) + (K E )(b11 ) , ( A 12 ) = ( K E )(b 22 ) , ( A 21 ) = (a 11 ) , ( A 22 ) = ( L c ) + (a 22 ) , (d ) = ( rc ) + ( L c )( v) + ( v)(a 22 ) . 99

(3.195)


Переходим в (3.195) к форме Коши (Di φ ) = (K 1 )(u ) − (K 2 )(i φ ) + (K 3 )(i c ), ⎫ ⎬ (Di c ) = (K 4 )(u ) − (K 5 )(i φ ) + (K 6 )(i c ),⎭

(3.196)

где (K 1 ) = (A11−1 ) + (A11−1 )(A12 )(A A )(A 21 )(A11−1 ) , ( K 2 ) = ( A 11−1 )( R φ ) + ( A 11−1 )( A 12 )( A A )(B B ) ,

(K 3 ) = (A11−1 )(A12 )(A A )(d) , (K 4 ) = −(A A )(A 21 )(A11−1 ) , ( K 5 ) = ( A A )(B B ) , ( K 6 ) = ( A A )(d ) , (A A ) = (A 22 − A 21 ⋅ A11−1 ⋅ A12 ) −1 , ( B B ) = (A 21 )(A 11−1 )( R φ ) − ( v)(a 11 ) , или ( DI) = (T1 )(u ) + (T2 )( I) ,

(3.197)

⎛ (i ) ⎞ ⎛ − (K 2 ) (K 3 ) ⎞ ⎛ (K ) ⎞ ⎟⎟ . где (I) = ⎜⎜ φ ⎟⎟ , (T1 ) = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , T2 = ⎜⎜ ( K ) − ( K ) ( i ) ( K ) ⎝ 4 ⎠ ⎝ c ⎠ ⎝ 5 6 ⎠ Уравнение (3.197) решается численными методами относительно вектора всех токов. Из этого вектора выделяются далее векторы токов фаз индуктора и токов стержней ВЭ (i c ) = (Ss )(I) ,

(3.198)

где (Ss ) = −( R 21 )(STB ) + ( R 22 )(S TA ) , (STA ) = ((a 11 ) (a 22 ) ) , (STB ) = ((b11 ) ( b 22 ) ) . Вектор мгновенных значений потоков в участках ярма ВЭ записывается в виде (Φ 22 ) = (STA )( I) .

100

(3.199)

3.8. ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЛОСКОЙ ЛИМ

Вектор мгновенных значений индукций в участках зазора

(B22 ) = (D1)(Φ 22 ) ,

(3.200)

где (D1) – матрица формирования производных по координате (3.105), с ненулевыми элементами a n ,n −1 = −1 2t z и a n ,n +1 = 1 2t z . Усилие, действующее на ВЭ, определяется как произведение транспонированной матрицы (BT22 ) на матрицу токов стержней ВЭ ( i c ) F = [( D1)((STA )(I) )] ⋅ ((Ss )(I) ) . T

(3.201)

3.8.1. УЧЕТ ИЗМЕНЕНИЯ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ ВЭ В этом случае матрицы соответствующих коэффициентов в 3.8.1 становятся функциями скорости движения ВЭ, а к системе уравнений (3.197) добавляется уравнение движения ВЭ F – Fc =m ⋅ d υ dt z , где m – масса движущихся частей, Fc – усилие сопротивления движению.

Рис. 3.25 101

(3.202)

Глава 4 СТРУКТУРА КОМПЬЮТЕРНЫХ ПРОГРАММ РАСЧЕТА ЛИМ 4.1. ПРОГРАММЫ НА ЯЗЫКЕ ФОРТРАН Для расчета индукционных устройств по методу Е-Н-четырехполюсников был создан набор программ, реализованных на языке Фортран. Основная программа выполняет следующую последовательность операций: – расчет параметров четырехполюсников с уточнением магнитной проницаемости ферромагнитного слоя методом простых итераций; – расчет напряженностей электрического и магнитного полей, начиная с первого слоя; – расчет мощностей и усилий слоев; расчет суммарных мощностей и КПД устройства. Для расчета индукционного устройства необходимо ввести данные в файл с именем cyl1.dat для каждого слоя в следующей последовательности: Столбец Параметр 1 относительная магнитная проницаемость паза слоя 2 относительная магнитная проницаемость зубца слоя 3 удельная электропроводность слоя 4 относительная диэлектрическая проницаемость слоя 5 скольжение слоя 6 толщина слоя 7 длина слоя 8 отношение ширины паза к зубцовому делению Таким образом, в каждой строке будет представлена вся информация о данных слоя. Если есть необходимость более подробного рассмотрения свойств какого-либо слоя, то этого можно достичь следующим образом: 1. Разбить этот слой на несколько слоев с одинаковыми свойствами, но толщина их будет зависеть от толщины исходного и от количества разбиений. Например, если мы разбили слой толщиной 1 см на 10 подслоев, то толщина каждого из них будет 0,1см . 2. Проводить расчет согласно инструкции. Затем необходимо записать данные в файл ndat.dat. Эти данные будут общими для всего индукционного устройства и должны быть записаны в столбец в следующей последовательности: 1. Количество слоев справа от индуктора.

4.1. ПРОГРАММЫ НА ЯЗЫКЕ ФОРТРАН

2. Количество слоев слева от индуктора. 3. Полюсное деление, м. 4. Угловая частота тока индуктора, рад/с. 5. Плотность тока индуктора, А/м2 6. Высота индуктора, м. 7. Толщина индуктора, м. 8. Длина индуктора, м. 9. Коэффициент заполнения индуктора медью. 10. Удельная электропроводность меди, 1/Ом. 11. Номер слоя для подбора µ методом простых итераций (если ферромагнитного слоя нет, то номер задается произвольным, но превосходящим количество слоев). 12. Относительная магнитная проницаемость пазовой области индуктора. 13. Относительная магнитная проницаемость зубцовой области индуктора. 14. Отношение ширины паза к зубцовому делению индуктора. 15. Относительная диэлектрическая проницаемость среды индуктора. 16. Электропроводность ферромагнитного сердечника. 17. Отношение длины лобовой части обмотки к высоте индуктора. 18. Число витков в пазу. 19. Число пазов на полюс и фазу. 20. Число полюсов (2р). 21. Число фаз. После того как данные заданы, необходимо запустить программу cyl.exe. После выполнения программы результаты по слоям будут записаны в файл tab.grf в последовательности, приведенной в табл. 4.1. Таблица 4.1 Столбец Параметр 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Номер слоя Н – тангенциальное, А/м Е – тангенциальное, В/м Н – нормальное, А/м Н – суммарное, А/м Относительная магнитная проницаемость слоя Активная мощность, поступающая в слой, Вт Реактивная мощность, поступающая в слой, вар Активная мощность, выделяющаяся в слое, Вт Реактивная мощность, выделяющаяся в слое, вар Тангенциальное усилие, возникающее в слое, Н

103

Глава 4. СТРУКТУРА КОМПЬЮТЕРНЫХ ПРОГРАММ РАСЧЕТА ЛИМ

Затем выводятся параметры индуктора, его мощности, КПД и cosϕ. По этим результатам можно построить графики распределения параметров по слоям с помощью программы nec.exe или средствами визуализации других программ. Пример расчета характеристик кристаллизатора. Входные данные по слоям (файл cyl1.dat) и общие входные данные (файл ndat.dat) приведены в табл. 4.2 и 4.3 соответственно. Таблица 4.2 Таблица 4.3 7 k 1. 3. 0. (1.,0.) 1. 0.01 1.5 1. 6 m 1. 3. 0.9E6 (0.,0.) 1. 0.01 1.5 1. τ 0.75 ω 18.84 1. 3. 0. (1.,0.) 1. 0.1 1.5 1. 6.06E6 jmu 1. 3. 0. (1.,0.) 1. 0.1 1.5 1. 0.2 hu 1.

3.

1. 1.

0.

(1.,0.)

1.

0.1

1.5

1.

3. .73E6

(0.,0.)

1.

0.1

1.5

1.

0.07

3. .73E6

(0.,0.)

1.

0.6

1.5

1.

1.5 0.65

du lu kз γ cu

1.

300.

0.

(0.,0.)

1.

0.06

1.5

0.

1.

3.

0.

(1.,0.)

1.

0.036

1.5

1.

1.

3.

0.

(1.,0.)

1.

0.07

1.5

1.

15

1.

3.

0.

(1.,0.)

1.

0.01

1.5

1.

1.0

ns µ nu µ zu

0.46E8

1.

3.

0.

(1.,0.)

1.

0.01

1.5

1.

3000.

1.

3.

0.

(1.,0.)

1.

0.5

1.5

1.

0.71

bu

(1.,0.)

εu

∗

∗

∗

∗

После выполнения программы результаты пред0.0 γ инд ставляют собой столбцы значений, приведенных 1.4 k лоб на рис. 4.1. Строка соответствует слою по порядку, 12 up каждый столбец содержит значение соответственq 2 но табл. 4.1. В данном случае одной строкой следует 6 2p считать 11 значений (до следующего номера слоя), разбитых на 4 подстроки в силу ограниченности про3 m странства экрана. Единицы измерения всех выводимых данных соответствуют системе СИ. Неудобство для чтения результатов, представленных в формуляре, вызвано тем, что форма выводимых данных должна представлять собой матрицу значений. Это необходимо для того, чтобы визуализировать результаты с помощью других программ, например Mathcad.

104

4.1. ПРОГРАММЫ НА ЯЗЫКЕ ФОРТРАН

1 2 3 4 5 6 7 8 9

272690.0000000 16.7331700 126995.3000000 438268.000 272654.8000000 16.2169000 126995.3000000 423531.6000 272588.2000000 15.1891500 126995.3000000 394081.0000 272184.6000000 5.9558130 126995.3000000 100753.10000 96206.6000000 3.4909600 21183.9000000 26061.86000 96178.0700000 2.7042850 21183.900000 15090.67000 1939.7770000 1.8281410 .0000000 354.5730000 2529.8070000 20.3555100 .0000000 3862.164000 2528.7960000 2.3829520 .0000000 451.9504000

17757.2700000 2.500000E-002 17209.4000000 -1.250000E-002 16118.7500000 .0000000 552.3688000 105811.40000 3704.6140000 -1.562500E-003 113.3158000 21183.9000000 1940.0270000 .0000000 72.0043700 .0000000 2528.7940000 .0000000

количество слоев справа от индуктора 7 количество слоев слева от индуктора 2 полюсное деление, м 7.5 частота питающей сети, Гц 50.0 плотн. тока индуктора А/кв.м 6060000.0 высота инд-ра(шир. сердечн.),м 1.0E-001 толщ. инд-ра (глубина паза), м 7.0E-002 длина индуктора, м 2.0000000 коэф. заполнения инд-ра медью 6.5E-001 уд. электропров-ть меди, 1/Ом 48000000 отн. магн. прониц-ть паз.обл.инд-ра 1.0 отн. магн. прониц-ть зубц.обл.инд-ра 300 отн-e шир.паза к зубц.дел.инд-ра 1.0 отн.диэл.прониц.паза индуктора (1.0,.0) эл.пр. зубца сердечника .0 отн-е. дл. витка к дл. паз.части обм. 3.2 число витков в пазу 34.0 число пазов на полюс и фазу 4.0 число полюсов 2.0 число фаз 3.0

273267.50000 14736.450000 273197.40000 29450.600000 273064.30000 293327.80000 272185.20000 74691.250000 96277.900000 10971.180000 96178.140000 14736.100000 2743.4360000 354.5730000 2530.8310000 3410.2140000 3576.2560000 451.9504000

1.0000000 3.333864E-005 1.0000000 -1.666932E-005 1.0000000 .0000000 11.4422100 141.1044000 1.0000000 -2.083665E-006 25.3256200 28.2497000 1.0000000 .0000000 300.0000000 .0000000 1.0000000 .0000000

зубцовое деление 6.25E-001 ширина паза 6.25E-001 сечение паза 4.375E-002 сечение провода 8.363970E-004 ток фазы 3584.017 число витков фазы 136.0 напряжение фазы 52.5416600 полное сопрот-е(на фазу) 1.465999E-002 активное сопрот-е(на фазу) 3.584609E-003 реакт. сопрот-е(на фазу) 1.421499E-002 суммарная активная мощность 138134.8 суммарная реакт. мощность 547782.3 мощн.,отд-мая инд-ром(126995.3,547782.3) мощн.в правой ветви,% 98.88319 мощн.в Zbu,% 2.294136E-001 мощн.в левой ветви,% 9.173618E-001 потери в обмотке индуктора 11139.49 КПД по тепл. и мех. мощности 91.93578 КПД по мех. мощности .0 cos ф 2.445164E-001

Рис. 4.1

105


На основе приведенной программы также были созданы программы для расчета двухиндукторной и четырехиндукторной ЛИМ. В них производится декомпозиция задачи на составные части и используется основной расчетный блок, как показано на рис. 4.2 для МГД насоса. При этом мы получаем две идентичные задачи, в которых рассматриваются одноиндукторные устройства, и решаем отдельно задачу для лобовых частей обмоток. Результаты решения для напряжений, мощностей и сопротивлений в задачах складываются с учетом комплексности величин, в итоге получается целостная картина распределения интересующих нас параметров. На рис. 4.3 показаны распределения усилий в канале насоса, полученные с помощью программы расчета двухиндукторной ЛИМ. Пример расчета четырехиндукторной ЛИМ более подробно рассмотрен в п. 5.4.

Рис. 4.2

Рис. 4.3 106

4.2. ПРОГРАММЫ В ПАКЕТЕ MATHCAD

4.2. ПРОГРАММЫ В ПАКЕТЕ MATHCAD 4.2.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПРОГРАММ Программы построены по общему принципу с выполнением всех вычислений в едином теле программы и с унификацией отдельных блоков, характерных для всех программ. Эти блоки описаны в последующих разделах. Перечень программ: – на основе Т-образной СЗ, – то же, но с учетом поперечного КЭ во ВЭ, – то же, но с учетом многослойности ВЭ, а) для анализа плоских ЛИМ – на основе Е-Н-четырехполюсников, – на основе СЗ с распределенными параметрами («бегущая волна»), – на основе детализированных магнитных схем замещения, – на основе двухслойной ДМСЗ при заданных токах фаз, – на основе двухслойной ДМСЗ при заданных напряжениях фаз, – то же для двухмодульного по длине индуктора, – на основе 15-слойной ДМСЗ при заданных токах фаз, – на основе 15-слойной ДМСЗ при заданных напряжениях фаз, – то же при другом алгоритме свертывания магнитной цепи; б) для анализа трубчатых (цилиндрических) ЛИМ – на основе 15-слойной ДМСЗ при заданных токах фаз, – на основе 15-слойной ДМСЗ при заданных напряжениях фаз, – то же, но с пространственной модуляцией электропроводимости участков слоя по его длине, – то же, но с расположением обмотки индуктора в нескольких немагнитных слоях, – то же, но предусмотрено сворачивание «лишних» внешних и внутренних слоев; в) для анализа круговых индукционных машин (с вращающимся полем) – на основе 15-слойной ДМСЗ при заданных токах фаз, – на основе 15-слойной ДМСЗ при заданных напряжениях фаз. 107


4.2.2. ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ Предусмотрен ввод подробных исходных данных, общепринятых в классической электромеханике. Основа модуля была разработана аспирантом Егоровым А.В., структура этого модуля в Mathcad приведена ниже.

Для расчетов на основе ДМСЗ задаются также разбиение зазора на слои и свойства слоев – толщины, относительные магнитные проницаемости, относительные удельные электропроводности (в долях от заданной 108


ранее базовой электропроводности вторичного элемента). Магнитные проницаемости слоев могут быть далее скорректированы в зависимости от полученных индукций в слоях [5], а удельные электропроводности – в зависимости от температур слоев.

4.2.3. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ПО ОБЩЕПРИНЯТЫМ МЕТОДИКАМ а). Расчет параметров обмотки и зазора

109


б). Расчет параметров Т-образной схемы замещения При расчете принимается, что вторичный элемент выполняется в виде немагнитной проводящей полосы и его индуктивность равна нулю. Если его выполнить в виде короткозамкнутой клетки (лестницы) в пазах ферромагнитного сердечника, то индуктивность можно рассчитать с помощью известных выражений, приведенных, например, в [10]. Принято также, что все катушки в обмотке фазы включены последовательно (число параллельных ветвей а = 1). При наличии параллельных ветвей в обмотке число витков в фазе берется в а раз меньше W = Up Q/2ma. Формуляр расчета параметров СЗ в Mathcad приведен ниже.

110


Сечение проводника обмотки индуктора: Hp1⋅Bp1⋅Kz

Spr :=

Spr = 9.399 × 10

Up

Плотность тока:

Jtoka :=

Линейная плотность тока:

A :=

−7

If Jtoka = 8.342 × 10

Spr

If ⋅Up tz

A = 9.918 × 10

6

4

Сопротивление двух катушек кольцевой (или секции барабанной) обмотки индуктора: 1 2 ⋅Bi + 2 ⋅Ll ⋅ ⋅Up Spr

R1 :=

γ1

Сопротивление фазы обмотки индуктора: Rf1 := R1⋅

Q m⋅2

R1 = 0.958

Up = 105

Rf1 = 3.83

Q = 24

Индуктивность рассеяния фазы индуктора ( Проектирование электрических машин: Учеб. пособие для вузов / И.П.Копылов, Ф.А.Горяинов, Б.К.Клоков и др.; Под ред. И.П.Копылова. М.: Энергия, 1980. - 496 с., с.199-200): µ0 := 4 ⋅π ⋅10 λp1 :=

−7

W1 :=

Up⋅Q

µ0 = 1.257 × 10

2 ⋅m

1 Hp1 ⋅ 3 Bp1

λl1 := 0.34 ⋅

q Bi

−6

λp1 = 2.941

⋅(Ll − 0.64 ⋅β ⋅τ )

λl1 = 0.735

Индуктивное cопротивление фазы обмотки индуктора: 2

Xσ1 := 15.8 ⋅

L1 :=

F1 ⎛ Up⋅Q ⎞ Bi ⋅⎜ ⋅ ⋅( λp1 + λl1) 100 ⎝ 100 ⋅2 ⋅m ⎠ p ⋅q

Xσ1 ω

L1 = 0.041

Xσ1 = 12.808

Lf1 := L1

Lf1 = 0.041

Индуктивное cопротивление намагничивающего контура: 2

Xm :=

2

4 ⋅m⋅F1 ⋅µ0 ⋅τ ⋅Bi⋅W1 ⋅Kw

Xm = 63.072

π ⋅δecv⋅p

4.2.4. ФОРМИРОВАНИЕ МДС И ЭДС Для «раскладки» секций фаз по пазам формируется матрица Kf , выполняющая в модели роль клеммной панели машины, на которую выводятся зажимы всех катушек обмотки. Эти зажимы (клеммы) коммутируются в соответствии со схемой обмотки. Нужно также учесть, что модель линейной машины имеет Qkp участков сердечника в каждой краевой зоне. На этих участках обмотка и пазовые токи индуктора отсутствуют. В программе это реализуется соответствующей стыковкой «бестоковых» Kfk и «токовых» матриц RM (оператор “stack”). 111


Распределение МДС по участкам (пазам) получается умножением матрицы Kf на число витков в пазу Up и на матрицу–столбец фазных токов Ifp .

112


Распределение суммарной МДС FN по участкам получается соответствующим суммированием пазовых МДС.

Для удобства строятся графики распределений МДС по пазам. При необходимости проводится их спектральный анализ.

Изложенный выше алгоритм формирования МДС индуктора обладает основным неоспоримым достоинством – гибкостью в создании моделей обмоток. В качестве примера ниже показаны соответствующие матрицы обмотки с полузаполненными крайними пазами индуктора.

113


Распределения пазовых и суммарной МДС вдоль индуктора показаны на графике, приведенном на рис. 4.5.

Рис.4.5. 114


ЭДС фаз обмотки индуктора определяется суммированием ЭДС секций, включенных последовательно [5,10]. Это можно выполнить, умножив транспонированную матрицу Kf на число витков в пазу, круговую частоту и матрицу–столбец потоков FXX1 в участках ярма сердечника индуктора, как показано ниже в соответствующем фрагменте программы.

4.2.5. РАСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ УЧАСТКОВ СЛОЕВ В этом модуле программы вычисляются такие параметры участков слоев, как их длины, площади, объемы. Ниже приведен фрагмент программы вычисления геометрических параметров слоев трубчатой ЛИМ.

115


Вычисление аналогичных параметров круговой машины (например, дугостаторной) не отличается от приведенного выше, хотя слои в этом случае имеют различные зубцовые деления и одинаковую длину (в предыдущем варианте было наоборот). Ясно, что модель плоской ЛИМ получается как частный случай при одинаковых радиусах слоев. 4.2.6. РАСЧЕТ МАГНИТНЫХ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ УЧАСТКОВ

Эти сопротивления рассчитываются на основе заданных свойств слоев и найденных выше их геометрических параметров. Фрагмент программы расчета нормальных и тангенциальных магнитных сопротивлений участка x–го слоя трубчатой ЛИМ в долях от тангенциального сопротивления первого слоя показан ниже.

Сопротивления участков ярма индуктора, краевой зоны и сердечника ВЭ рассчитываются в соответствии со следующим фрагментом программы: , . Электрические проводимости участка х–го слоя в долях от тангенциального магнитного сопротивления первого слоя рассчитываются по следующему алгоритму.

116


На основе рассчитанных сопротивлений и проводимостей участков формируются матрицы собственных магнитных сопротивлений слоев.

117


Матрицы ЭДС участков слоев формируются в соответствии с приведенным ниже фрагментом программы, в котором ν означает линейную скорость движения слоя.

4.2.7. СВЕРТЫВАНИЕ МАТРИЧНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ В СХЕМАХ Фрагмент программы, реализующий алгоритм исключения матриц– столбцов контурных потоков (сворачивания многослойной ДМСЗ) приведен ниже.

В результате рассчитываются потоки (начиная с первого слоя):

118


В ряде случаев указанный алгоритм вычисления векторов потоков – от ближнего к дальнему, т.е. от наибольшего к наименьшему, может привести к накапливанию вычислительной погрешности. Поскольку электромагнитное поле в проводящей среде интенсивно затухает, оказывается, что в каком-то слое значения потоков приближаются к нулю, и потоки в следующих слоях вычисляются на основании выше приведенного выражения вычитанием близких и малых величин. Для исключения этого явления ниже приводится фрагмент программы вычисления потоков от наименьшего к наибольшему.

Здесь R12o означает единичную матрицу. Уравнение магнитного равновесия для первого слоя используется в этом случае в качестве проверочного. 4.2.8. РАСЧЕТ ВЕКТОРОВ МАГНИТНЫХ ПОТОКОВ, ИНДУКЦИЙ, ТОКОВ И УСИЛИЙ СЛОЕВ

На основе контурных потоков рассчитываются потоки в ветвях схемы, а также индукции, токи, тяговые (тангенциальные) и нормальные усилия в участках слоев.

119


Расчет токов в полуслоях вторичной среды: IcX :=

for x ∈ 1 .. Qz IcX ← −GXo ⋅ Rt1⋅ Vse⋅ FXX x

x

x

IcX IcXX :=

for x ∈ 1 .. Qz IcX ← −GXXo ⋅ Rt1⋅ Vse⋅ FXX x

x

IcX

120

x+ 1


121


4.2.9. РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ МАШИНЫ В этом модуле выполняется расчет напряжений (при заданных токах фаз), мощностей, потерь в обмотке индуктора, коэффициента мощности, коэффициента полезного действия.

122


В случае питания индуктора от источника напряжения вначале находится матрица взаимных сопротивлений фаз.

С помощью этой матрицы определяются неизвестные токи фаз:

123


4.2.10. ПОСТРОЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ В этом модуле выполняется подготовка полученных данных к построению графических зависимостей и поверхностей (фрагмент разработан аспирантом Егоровым А.В.). В качестве примера ниже приводятся некоторые результаты построения.

Рис. 4.6

124


Рис.4.7 Bn

Рис. 4.8

125


Осевая линия ВЭ

( IK , IC)

И Н Д У К Т О Р

Рис. 4.9

126

Край ВЭ

Глава 5 ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК ЛИМ 5.1. РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ДВИГАТЕЛЯ SL-5-270 Двигатель SL-5-270 (рис. 1.11) был разработан и создан польской фирмой “Technika” как тяговый линейный асинхронный двигатель (ТЛАД) многоцелевого назначения. Он может применяться для приводов дверей, заслонок, внутрицеховых конвейеров, а также для безредукторного привода низкооборотных вращающихся систем. В настоящее время в Польше проявляется интерес к использованию ЛАД в приводах стрелочных механизмов для трамваев и железнодорожного транспорта. Результатами исследований в этой сфере заинтересованы Научно-исследовательский институт железнодорожного транспорта (Варшава) и Институт электротехники (Щецин). В рамках проводимых исследований были сформулированы следующие вопросы: а) возможно ли использование в вышеуказанных целях односторонних индукторов типа SL-5-270 в двухстороннем исполнении (1 модуль) или в модульной компоновке (2 модуля); б) необходим ли для этих целей специально спроектированный ТЛАД. При исследовании режимов ТЛАД необходимо: а) оценить влияние конструкции ТЛАД на распределение индукции, тяговых и нормальных усилий, а также других величин по длине индуктора; б) исследовать зависимость усилия и скорости привода при различных условиях нагрузки. Для проектирования систем управления необходимо произвести: а) определение элементов структурной схемы ТЛАД, вычисление передаточных функций (логарифмических амплитудно-частотных характеристик); б) исследование влияния продольных и поперечных краевых эффектов и других явлений, присущих ЛАД; в) изучение режимов линейного привода стрелочного механизма при разных законах регулирования. Для исследования была представлена информация по двигателям SL-5-270, включающая их геометрические размеры, технические параметры и схемы соединения катушек.

5.1. РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ДВИГАТЕЛЯ SL-5-270

На рис. 5.1 показана схема двухслойной трехфазной обмотки двигателя SL-5-270, где буквы R, S, T соответствуют фазам A, B, C, а индексы имеют следующие значения: C – тонкая катушка с количеством витков 1/3 от общего количества витков в пазу (70 витков); G – толстая катушка с количеством витков 2/3 от общего количества витков в пазу (140 витков); К – компенсационная катушка.

Рис. 5.1 На рис. 5.2 показаны схемы соединения катушечных групп для отдельных фаз (R, S, T)

а

б

в

Рис. 5.2 Технические данные плоских односторонних линейных асинхронных двигателей SL-5-270, серийно производимых в Польше, приведены в табл. 5.1.

127

Глава 5. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК ЛИМ

Таблица 5.1 №

Величины, параметры

Двигатель SL-5-270 ≥270 50 220/380 3 4 420 70 1,10 1 0,10 6,5 16,7 0,05

Единица

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Начальная сила тяги, Fx Частота питания, f Номинальное напряжение фазы U1/ Uлин Число фаз, m1 Число полюсов, 2р Число последовательных витков в фазе, N1 Число витков в компенсационных катушках на фазу, N1c Диаметр круглых медных проводов без изоляции Число параллельных ветвей, а Ширина сердечника индуктора первичной части, Li Ширина зубца, C1 Зубцовое деление, t1 Полюсное деление, τ

14

Длина лобовой части одного витка, 1е

0,12

м

15

Шаг обмотки, Wс (≡τ)

0,05

м

16 17 18 19 20 21 22

Воздушный зазор для ОЛАД, g (для ДЛАД, gw) Число пазов, z1 Ширина паза, b11 Ширина прорези паза, b14 Глубина паза, h1 Высота ярма, h1j Удельная электропроводность стального сердечника вторичной части при температуре 20°С, σFe(20) Удельная электропроводность проводящей накладки (РШ) при температуре 20°С, σFe(20)

1,0–2,0 12 10,2 8,0 45 31,0 4.5-6,5

мм мм мм мм 106 1/Ом*м

Около 30

106 1/Ом*м

23

Н Гц В мм м мм мм м

24

Ширина сердечника вторичной части, w

0,10

м

25

Толщина цельнолитого стального сердечника, hsec

5,0

мм

26

Толщина проводящей алюминиевой накладки (РШ), d

3,0

мм

27 28 29 30

Число пазов на полюс и фазу, q Класс изоляции, Длина магнитопровода, Lτ=2рτ+c1 Фазный ток, I1 (Y /∆)

1 В, 140°С 0,2065 7,1/12,3

м A

128

5.1. РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ДВИГАТЕЛЯ SL-5-270

Рис. 5.3 Обозначение геометрических размеров пояснено на рис. 5.3. При этом толщина вторичного элемента

∆ se = 2 ⋅ 10 −3 м . Электропроводность металла вторичного элемента

γ se = 56 ⋅ 10 6 Ом −1 ⋅ м −1 (медь) Длина лобовых частей ЛАД l л = 0,12 м .

Расчет параметров двигателя SL-5-270 1. Активное сопротивление фазы статора [6, 10]

R sf = 2( L t + l л )

w sf 4 ⋅ 2 = 3,511 Ом . γ 1 πd пр

2. Индуктивность рассеяния фазы статора L sf Магнитные проводимости пазового, лобового и дифференциального рассеяния: λ п1 ≈

1 b п1 q = 2,94 , λ л1 = 0,34 (l л − 0,64βτ ) = 0,599 , 3 h п1 Lt 129


λ σ1 =

tz ξ = 0.37 , 12δ э

⎛b b ⎞ 2 (1 + ∆ z ) = 0.95 , где ∆ z = f ⎜⎜ ш , ш ⎟⎟ = 0.075 (по кривым), ξ = 2 + 0.022q 2 − k об ⎝ δэ t z ⎠ L sf = 0.043 Гн.

3. Активное сопротивление участка t z ВЭ толщиной ∆ se и длиной L t без учета поперечного краевого эффекта R пj =

Lt 1 ⋅ = 5.34 ⋅ 10 −5 Ом . γ se ∆ se ⋅ t z

4. Индуктивность шины ВЭ считаем малой и принимаем Trj = 0.001 c . 5. Магнитное сопротивление участка t z немагнитного зазора (δ + ∆ se ) ⋅ k δ длиной L t Rm =

δэ 1 ⋅ = 17 ⋅ 10 5 А / Вб . µ0 Lt ⋅ t z

6. Магнитное сопротивление участка ярма индуктора R ma ≈ 0 (сталь ненасыщена).

7. Магнитное сопротивление участка «сердечника» в краевой зоне R mk =

1 t ⋅ z = 17,5 ⋅ 105 А / Вб , µ0 Lt ⋅ h u

где h u = h п1 + h я = 76 ⋅ 10 −3 м . 8. Постоянную времени магнитной цепи принимаем малой Tm = 0.001 c .

130

5.2. МДС РАЗЛИЧНЫХ ОБМОТОК ЛИМ

5.2. МДС РАЗЛИЧНЫХ ОБМОТОК ЛИМ В этом разделе приведены результаты исследования характеристик линейного асинхронного двигателя SL-5-270 с различными обмотками. Реальный двигатель SL-5-270 имеет обмотку с q=1 т.е зубцовое деление (шаг модели по продольной координате) равно одной трети полюсного деления. Однако при таком крупном шаге разбиения расчетной модели вносится большая погрешность при вычислении конечно-разностного аналога производной по координате. При скоростях, близких к синхронной, вклад ЭДС движения во вторичном контуре, пропорциональной скорости его перемещения, становится определяющим. Это ведет к погрешностям в определении вторичных токов, усилий и мощностей. По этой причине в качестве основных вариантов рассматриваем обмотки с q=2, когда один паз реальной конструкции заменен в модели двумя, вдвое более узкими. Секции с половинным количеством витков раскладываются на два «новых» паза, т.е. все пазы оказываются заполненными. Для сравнения рассмотрены также варианты с раскладкой реальных (полных) секций в новые пазы, но через паз. Кроме этого рассмотрены варианты обмотки с q=2, раскладкой секций в каждом новом пазу или через паз и с уложенными на торцах проводниками крайних катушек (компенсирующими элементами КЭ), как это выполнено в реальном индукторе. Видно, что кривые МДС заметно различаются, что обусловливают разницу и в распределениях вторичных токов, индукций и усилий по зубцовым делениям, например, рис. 5.5 (q=2) и рис. 5.10 (q=2 с КЭ) при δ=1мм. В табл. 5.2 и на рис. 5.4 показаны зависимости скорости v, КПД, cos ϕ, тягового усилия Ft, напряжения фазы, а также полной, активной и реактивной мощностей двигателя от скольжения, умноженного на 10, при воздушном зазоре 1 мм. Распределения токов «стержней» ВЭ, индукции в зазоре В2 и тягового усилия по участкам (зубцовым делениям) для скорости 4,5 м/с изображены на рис. 5.5. При этом график реальной части соответствующей комплексной величины дает распределение ее мгновенных значений для t=0, а график модуля – распределение ее огибающей. Обмотка принята однослойной с q=2. Секции с половинным количеством витков разложены в каждый паз. Распределения МДС пазов и полной МДС индуктора FN по продольной координате для этого случая показаны на рис. 5.9, а. Для сравнения в табл. 5.3 и на рис. 5.6 приведены аналогичные зависимости, а на рис. 5.7, б распределения МДС для той же обмотки при раскладке ее секций через паз. Видно, что различие в кривых МДС ведет и к различию характеристик двигателя. Можно также отметить, что кривые МДС при q=1 на рис. 5.7, а (реальный индуктор) и при q=2 на рис. 5.9, а более близки друг другу. Вместе с тем из таблицы 5.4 и рис. 5.8 видно, что 131


расчет при q=1 дает существенные погрешности по КПД и усилию в области повышенных скоростей v=4–5 м/с. О причинах этого уже говорилось выше. При увеличении воздушного зазора необходимо учитывать рассеяние магнитного потока в нем, что позволяет сделать двухслойная ДМСЗ, в которой введены тангенциальные магнитные сопротивления участков зазора. Для сравнения в таблице 5.5 и на рис. 5.13 приведены характеристики двигателя для варианта q=2 при δ=5 мм, рассчитанные с помощью двухслойной схемы замещения (модели), а в таблице 5.6 и на рис. 5.15 – с помощью однослойной модели. Видно, что с ростом зазора ухудшаются энергетические показатели двигателя, например, для скорости V=4 м/с имеем КПД=0,464 при δ=1 мм и КПД=0,31 при δ=5 мм. Вместе с тем следует отметить, что при пятикратном увеличении светового зазора эквивалентный зазор увеличивается в меньшей степени (из-за открытости пазов и большого значения коэффициента Картера). Это дает возможность с высокой точностью рассчитать характеристики при помощи однослойной модели. Например, для тех же значений скорости и зазора расчет по однослойной модели дает КПД=0,324, что можно считать достаточно хорошим приближением в инженерной практике. На рис. 5.14 показаны распределения вторичных «пазовых» токов, индукций в ближнем (В1) и дальнем (В2) от поверхности индуктора слоях зазора, а также тяговых усилий по участкам при δ=5 мм, рассчитанные по двухслойной модели для скорости 4,5 м/с. Как видно, огибающие индукции в слоях зазора для данного случая отличаются несущественно, что и обусловливает возможность использования для расчетов однослойной модели. На рис. 5.11 показаны распределения МДС пазов и полной МДС FN для обмотки с q=2, размещением секций в каждом пазу и наличием компенсирующих катушек на торцах сердечника при t=T/4. На рис. 5.12 приведены такие же распределения для варианта, когда секции «компенсированной» обмотки разложены через паз. Видно, что кривая полной МДС в этом случае имеет более ярко выраженные ступеньки. В таблицах 5.7, 5.9 и на рис. 5.16, 5.18 показаны характеристики данного варианта двигателя, рассчитанные соответственно по двухслойной и однослойной моделям. Можно отметить, что обмотка с компенсирующими катушками дает более высокий, хотя и незначительно, КПД в области повышенных скольжений (0,314 по сравнению с 0,31 для обычного варианта при скорости 4 м/с) В таблице 5.8 и на рис. 5.17 показаны аналогичные характеристики двигателя с компенсирующими катушками обмотки индуктора при зазоре 1 мм.

132


В области малых скольжений обмотка с компенсирующими катушками не обеспечивает улучшения энергетических показателей двигателя. Это можно видеть из сравнения рис. 5.5 и рис. 5.10, на которых показаны распределения по продольной координате вторичных «пазовых» токов, индукций в зазоре и тяговых усилий на участках при скорости 4,5 м/с (скольжение 0,1). Участки с отрицательными усилиями на рис. 5.10 шире, а значения положительных усилий меньше. В ряде случаев необходимо оценить влияние степени перекрытия индуктора вторичным элементом (например, при входе ВЭ в зону поля индуктора) на характеристики двигателя. На рис. 5.19 показаны распределения вторичных токов, индукций , усилий и потоков ближнего к индуктору слоя зазора по участкам (зубцовым делениям) машины при различных (четверть – Ic, B22, Force, F11, половина – Ic1, B2, Force1, F1, три четверти – Ic2, BB, Force2, F, полное – Ic3, BB2, Force3, F13) перекрытиях индуктора вторичным элементом, воздушный зазор 5 мм, потоки дальнего от индуктора слоя обозначены F22. Скорость ВЭ равна 0,5 м/с. Полные тяговые усилия соответственно равны: 16,783; 59,577; 100,689; 159,783 Н. Таблица 5.2

Рис. 5.4 133


Рис. 5.5

134


Таблица 5.3

Рис. 5.6

135


а

б

Рис. 5.7

136


Таблица 5.4

Рис. 5.8

137


а

б

Рис. 5.9

138


Рис. 5.10

139


Рис. 5.11

Рис. 5.12

140


Таблица 5.5

Рис. 5.13

141


Рис. 5.14

142


Таблица 5.6

Рис. 5.15 Таблица 5.7 143


Рис. 5.16

144


Таблица 5.8

Рис. 5.17

145


Таблица 5.9

Рис. 5.18

146


Рис. 5.19

147


5.3. СРАВНЕНИЕ МЕТОДИК РАСЧЕТА ЛИМ Для оценки точности получаемых результатов были выполнены расчеты характеристик двигателя SL-5-270 с помощью различных методик: на основе Т-образной электрической схемы замещения с различными способами определения вторичных параметров, на основе Е-Н-четырехполюсников, на основе одномерной магнитной схемы замещения с распределенными параметрами («бегущая волна»), на основе двумерных двухслойной и пятнадцатислойной детализированных до зубцового деления магнитных схем замещения (ДМСЗ). Первые две методики не позволяют учесть влияние продольного краевого эффекта и служат для исследования характеристик ЛАД в приближении кругового аналога (КРАД). На рис. 5.20 – 5.26 приведены сравнительные зависимости от скольжения тягового усилия Ft (s) , коэффициента мощности cosϕ(s) , суммарных активной Psum (s) , реактивной Qsum(s) и полной Ssum (s) мощностей, напряжения фазы Uf (s) и КПД двигателя η(s) . Числовые значения сравниваемых характеристик представлены в виде матриц, где столбцы соответствуют номеру методики, а строки – значениям скольжения с шагом 0,1 от 0 до 1. На графиках в обозначении величин по оси y верхние индексы в скобках показывают соответствие построенных зависимостей той или иной методике расчета. Присутствие в нижних индексах букв nsbvt и ehbvt указывает на то, что расчеты проводились соответственно по методике ДМСЗ с неравномерными слоями и массивным ярмом ВЭ и по методу Е-Нчетырехполюсников, но без учета влияния вихревых токов в ферромассиве ВЭ. Учитывая описанные выше особенности каждой методики, на примере расчета двигателя SL-5-270 можно видеть, что достигнуто вполне достаточное совпадение результатов.

148

5.3. СРАВНЕНИЕ МЕТОДИК РАСЧЕТА ЛИМ

Рис. 5.20 149


Рис. 5.21

150


Рис. 5.22

151


Рис. 5.23 152


Рис. 5.24 153


Рис. 5.25 154


Рис. 5.26

155


5.4. ИНДУКЦИИ И УДЕЛЬНЫЕ УСИЛИЯ В ЧЕТЫРЕХИНДУКТОРНОЙ ЛИМ Четырехиндукторная ЛИМ и схема питания индукторов описаны в первой главе и показаны на рис. 1.23 и 1.24. В соответствии со схемой (рис. 1.24) на рис. 5.27 приведены варианты питания индукторов ЛИМ.

Рис. 5.27 В зависимости от соотношения токов в обмотках независимых индукторов можно получить различные распределения индукции и тяговых усилий во вторичном элементе. Исследования проводились по методу Е-Нчетырехполюсников (п. 3.2) с помощью программы, созданной на языке Fortran (п. 4.1). Визуализация результатов осуществлена средствами пакета Mathcad™. В результате вычислений были получены распределения усилий, приведенные на рис. 5.28 – 5.32, где обозначено: FORCE – тяговое усилие, FNOR, FTAN – нормальное и тангенциальное усилия.

Рис. 5.28 156

5.4. ИНДУКЦИИ И УДЕЛЬНЫЕ УСИЛИЯ В ЧЕТЫРЕХИНДУКТОРНОЙ ЛИМ

Рис. 5.29

Рис. 5.30 157


Рис. 5.31

Рис. 5.32 158


5.5. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ЛИМ При помощи методики, изложенной в 3.8, были рассчитаны электромеханические процессы прямого запуска от источника симметричной трехфазной системы напряжений двигателя SL-5-270 и его кругового аналога. На рис. 5.33 приведены зависимости от времени тягового усилия Ft и скорости движения ВЭ V массой 20 кг при включении ЛАД на напряжение 160 В.

Рис.5.33 На рис. 5.34 показан фазовый портрет для данного режима.

Рис. 5.34 159


На рис. 5.35 и 5.36 приведены зависимости от времени токов «стержней» ВЭ ( Ic13 соответствует первому стержню у входного края индуктора) и токов фаз индуктора. Видно, что токи индуктора несимметричны, что обусловливает пульсирующую составляющую в усилии при подсинхронной скорости.

Рис. 5.35

Рис. 5.36 160


Для сравнения на рис 5.37 – 5.40 приведены аналогичные зависимости для кругового аналога (двигателя без краевых зон). Можно видеть, что усилие такого двигателя больше и запуск происходит быстрее. Сравнение зависимостей позволяет оценить влияние продольного краевого эффекта в динамическом режиме ЛАД. Эти же зависимости показывают погрешность, вносимую при расчетах заменой производных по координате их конечно-разностными аналогами – «круговой» двигатель достигает скорости, большей синхронной!

Рис.5.37

Рис. 5.38 161


Рис. 5.39

Рис.5. 40

162


Для оценки влияния схемы соединения обмотки индуктора на динамические режимы ЛАД был рассчитан процесс прямого запуска двигателя с компенсационными катушками индуктора (по заводской схеме). Зависимости, аналогичные приведенным выше, показаны на рис. 5.41 – 5.44. Можно видеть, что система токов индуктора приближается к симметричной, а длительность запуска несколько сокращается.

Рис. 5.41

Рис. 5.42 163


Рис. 5.43

Рис. 5.44

164


Для сравнения на рис. 5.45 приведены зависимости тягового усилия и скорости двигателя, полученные с помощью Simulink-модели [7]. С целью устранения алгебраических контуров модели введены фиктивные постоянные времени магнитных цепей машины и электрических цепей ВЭ Tm= Tr = 0,00025 c, в 44 раза меньшие, чем реальные постоянные времени цепей статора. Длительность расчета режима прямого пуска двигателя при этом увеличивается, но одновременно уменьшаются погрешности результатов.

Рис. 5.45

165

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Айзенштейн Б.М. Линейные электродвигатели / Итоги науки и техники // Электрические машины и трансформаторы. Т.1. М.: ВИНИТИ, 1975. 112 с. 2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электричекие цепи: Учеб. для электротехн., энерг., приборостроит. спец. вузов.- 9-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1996. 638 с. 3. Исследование параметров линейного асинхронного двигателя методом проводимостей зубцовых контуров / Беспалов В.Я., Кузнецов В.В., Соколова Е.М. и др.//Электричество.1985. N7. С. 62-65. 4. Верте Л.А. Магнитная гидродинамика в металлургии. М.: Металлургия, 1975. 288 с. 5. Веселовский О.Н., Коняев А.Ю., Сарапулов Ф.Н. Линейные асинхронные двигатели. М.: Энергоатомиздат, 1991. 256 с. 6. Вольдек А.И. Индукционные магнитогидродинамические машины с жидкометаллическим рабочим телом. Л.: Энергия,1970. 272 с. 7. Иванушкин В.А., Сарапулов Ф.Н., Шымчак П. Структурное моделирование электромеханических систем и их элементов. Щецин: ЩТУ, 2000. 310 с. 8. Ижеля Г.И., Ребров С.А., Шаповаленко А.Г. Линейные асинхронные двигатели. Киев: Техника, 1975. 136 с. 9. Карась С.В. Электропривод для горной промышленности на основе специальных асинхронных двигателей с замкнутым и разомкнутым магнитопроводом: Дисс. … уч. степ. докт. техн. наук. Свердловск, 1990. 50 с. 10. Копылов И.П. Математическое моделирование электрических машин: Учеб. для вузов. М.: Высш. школа, 1987. 248 с. 11. Копылов И.П., Беляев Е.Ф. Математическое моделирование линейных асинхронных двигателей // Известия вузов. 1977. N1. С.11-20. 12. Копылов И.П., Беляев Е.Ф. Численное моделирование линейных асинхронных двигателей высокоскоростных транспортных систем / Изв. АН СССР// Энергетика и транспорт. 1977. N3. С.61-69. 13. Копылов И.П., Набиев Ф.М. Математическое моделирование динамических режимов линейных двигателей // Юбилейна научна сессия "30 години ИЕП". София, 1990. с. 72-77.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

14. Курилин С.П., Денисов В.Н. Одномерный расчет переходного электромагнитного процесса в ЛАД методом Бубнова-Галеркина. //Электротехника. 1981. N11. С. 54-56. 15. Куцевалов В.М. Асинхронные и синхронные машины с массивными роторами. М.: Энергия, 1979. 160 с. 16. Сарапулов Ф.Н., Сидоров О.Ю. / Магнитогидродинамические машины с бегущим или пульсирующим магнитным полем. Методы расчета: Учебное пособие / Екатеринбург: УГТУ, 1994. 206 с. 17. Мамедов Ф.А., Талюко В.В., Курилин С.П. Метод расчета электромеханических переходных процессов // Электротехника. 1983 N2. с. 36-38. 18. Математическое моделирование линейных индукционных машин: Учеб. пособие/ Сарапулов Ф.Н., Иваницкий С.В., Карась С.В., Махорский Ю.Л., Телешев Ю.В. Свердловск: УПИ, 1988. 100 с. 19. Насар С.А., Дел Сид Л. Тяговые и подъемные усилия, развиваемые односторонним линейным двигателем для высокоскоростного наземного транспорта // Наземный транспорт 80-х годов: Пер. с англ. М.:Мир, 1974. С.163-170. 20. Огарков Е.М. Основные положения квазитрехмерной методики расчета электромагнитного поля линейных асинхронных двигателей //Электрические машины с разомкнутым магнитопроводом в технологии и приводе: Межвуз. сб. науч. тр. Свердловск: УПИ им. С.М. Кирова, 1988. С.11-15. 21. Перспективы применения линейных электродвигателей на новых видах транспорта/ Под общ.ред. Г.И. Ижели, В.П. Титаренко, В.Ф. Шинкаренко. Киев: Укр.НИИНТИ, 1979. 173 с. 22. Разработка программных средств для математического моделирования МГД-установок // Вопросы совершенствования электротехнического оборудования и электротехнологий: Сборник статей / Ф.Н.Сарапулов, С.Ф.Сарапулов, О.Ю.Сидоров, Б.А.Сокунов.. Екатеринбург: УГТУУПИ, 2000. № 8. 290 с. 23. Расчет статических характеристик линейных асинхронных машин: Учебное пособие/ Ф.Н.Сарапулов, В.А.Бегалов, С.В.Иваницкий и др. Свердловск: УПИ, 1989. 104 с. 24. Сарапулов Ф.Н., Черных И.В. Передаточные функции и структурные схемы линейных асинхронных двигателей: Учеб.пос. / Под ред. Ф.Н.Сарапулова. Екатеринбург: УПИ, 1992. 100 с.

167

ПРИЛОЖЕНИЯ

25. Сарапулов Ф.Н., Черных И.В. Математическая модель линейной индукционной машины как объекта управления, // Электричество. 1994. N5. 26. Свечарник Д.В. Линейный электропривод. М. :Энергия,1979. 152 с. 27. Соколов М.М., Сорокин Л.К. Электропривод с линейными двигателями. М.: Энергия, 1974. 136 с. 28. Соловьев Г.И. Трехмерная теория линейных асинхронных двигателей. Исследование путей улучшения их характеристик применительно к высокоскоростному наземному транспорту: Автореф. дис. …канд.техн.наук. Л.: ЛПИ, 1987. 21с. 29. Справочник электроэнергетика предприятий цветной металлургии / Басалыгин М.Я., Браславский И.Я., Бобков В.А. и др. ; Под ред. Басалыгина М.Я., Копырина В.С. М.: Металлургия, 1991. 384 с. 30. Тимофеев В.Н. Электромагнитные вращатели, перемешиватели и дозаторы алюминиевых расплавов: Дисс…уч. степ. докт. техн. наук. Красноярск, 1994. 31. Тир Л.Л., Столов М.Я. Электромагнитные устройства для управления циркуляцией металла в электропечах. – 2-е изд., перераб. и доп. М.: Металлургия, 1991. 280 с. 32. Туровский Я. Электромагнитные расчеты элементов электрических машин: Пер. с польск. М.: Энергоатомиздат, 1986. 200 с. 33. Универсальный метод расчета электромагнитных процессов в электрических машинах / А.В.Иванов-Смоленский, Ю.В.Абрамкин, А.И.Власов, В.А. Кузнецов. М.: Энергоатомиздат, 1986. 216 с. 34. Фридкин П.А. Безредукторный дугостаторный электропривод. М.: Энергия, 1970. 138 с. 35. Ямамура С. Теория линейных асинхронных двигателей. Л.: Энергоатомиздат, 1983. 180 с. 36. Electromagnetic transporting and mixing of liquid metals / A.V.Bichkov, S.F.Sarapulov, B.A.Sokunov u.a. ISTC UEES-01, Szczecin, 04.09-07.09.01. 37. Gieras J. Linear Induction Drives. Oxford Science Publications, 1994. 38. Laithwaite E.R. Induction machine for special purposes / London: George Newness Ltd., 1966/ 377 p. 39. Lipo T.A., Nondahl T.A. Pole-by-Pole d-q model of a linear induction machine / IEEE Transaction Power Apparatus and Systems. Vol. Pcs – 98. № 2. March / April 1979. p. 629-642

168


ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Расчет характеристик кругового аналога ЛАД на основе Т - образной схемы замещения ( кафедра ЭЭТС УГТУ, Сарапулов С.Ф., входные данные по программе Егорова А.В.): Ток в фазе индуктора(А):

If := 7.84

Частота питающей сети(Гц):

F1 := 50

Токи индуктора:

2 i⋅ ⎛⎜ − ⋅ π+ 2⋅ π⋅ F1⋅ t ⎞ ⎝ 3 ⎠

i⋅ ( 0+ 2⋅ π⋅ F1⋅ t )

IfA := 2 ⋅If ⋅e

IfB := 2 ⋅If ⋅e

t :=

FRAME⋅0.04 48

2 i⋅ ⎛⎜ ⋅ π+ 2⋅ π⋅ F1⋅ t ⎞ ⎝3 ⎠

IfC := 2 ⋅If ⋅e

Число фаз питающей сети:

m := 3

Число витков в пазу индуктора: Число пазов индуктора:

Up := 105

Число участков краевой зоны индуктора:

Qkp := 18

Число слоев в зазоре:

Qz := 14

Зазор между индуктором и вторичным элементом (м):

δz := 0.001

Q := 24

Скорость движения вторичного элемента (м/с): Коэффициент заполнения паза индуктора медью:

ν := 0.0

Коэффициент укорочения шага обмотки индуктора:

β := 1

Коэффициент насыщения:

Kµ := 1

Электропроводность обмотки индуктора (Cм):

γ1 := 0.56 ⋅10

Kz := 0.43

8

Электропроводность обмотки вторичного элемента (См): γse := 56 ⋅106 Толщина индуктора (м): Hi := 0.08 Длина индуктора (м):

Di := 0.2

Ширина индуктора (м):

Bi := 0.1

Высота прямоугольного паза (м):

Hp1 := 0.045

Ширина прямоугольного паза (м): Ширина зубца (м):

Bp1 := 0.0051

Отношение зубцовых делений ВЭ и индуктора:

Kt := 1

Длина лобовой части обмотки индуктора(м):

Ll := 0.14

Bz1 := 0.0032

Толщина высокопроводящего слоя вторичного элемента(м):

∆se := 2 ⋅10

Относительная магнитная проницаемость стали индуктора:

µc := 100

Число пазов на полюс и фазу Коэффициент укорочения:

q := 2

⎛ π ⋅β ⎞ ⎝ 2 ⎠

ky := sin⎜

Коэффициент распределения:

⎛ π ⎞ sin⎜ ⎝ 2 ⋅m ⎠ kp := ⎛ π ⎞ q ⋅sin⎜ ⎝ 2 ⋅m⋅q ⎠

Обмоточный коэффициент индуктора:

Kw := ky⋅kp

Полюсное деление:

−3

tz := ( Bp1 + Bz1)

169

ky = 1 kp = 0.966

Kw = 0.966 τ := ( Bp1 + Bz1) ⋅m⋅q


Число пар полюсов:

p :=

Q p=2

2 ⋅q ⋅m

Синхронная скорость:

Vsinxr:= 2 ⋅τ ⋅F1

Эквивалентный немагнитный зазор:

δ := δz + ∆se

Vsinxr = 4.98 δ = 3 × 10

−3

2

⎛ Bp1 ⎞ ⎜ ⎝ δ ⎠ γz1 := ⎛ Bp1 ⎞ 5+ ⎜ ⎝ δ ⎠

Kδ :=

tz Kδ = 1.185

tz − γz1⋅δ

⎛ ⎝

sinh⎜ π ⋅ Kδr :=

π⋅

δecv := (δ ⋅Kδ ⋅Kµ ⋅Kδr) − ∆se

δ ⎞ 2 ⋅τ ⎠

Kδr = 1.001

δ 2 ⋅τ

−3

δecv = 1.559 × 10

Круговая частота тока ω := 2 ⋅π ⋅F1

ω = 314.159

Сечение проводника обмотки индуктора: Hp1⋅Bp1⋅Kz

Spr :=

Spr = 9.399 × 10

Up


Jtoka :=

Линейная плотность тока:

A :=

−7

If

6

Jtoka = 8.342 × 10

Spr

If ⋅Up

A = 9.918 × 10

tz

4

Сопротивление двух катушек кольцевой (или секции барабанной) обмотки индуктора: R1 :=

1 2 ⋅Bi + 2 ⋅Ll ⋅ ⋅Up Spr

γ1

Сопротивление фазы обмотки индуктора: Rf1 := R1⋅

Q m⋅2

R1 = 0.958

Up = 105

Rf1 = 3.83

Q = 24

Индуктивность рассеяния фазы индуктора ( Проектирование электрических машин: Учеб. пособие для вузов / И.П.Копылов, Ф.А.Горяинов, Б.К.Клоков и др.; Под ред. И.П.Копылова. М.: Энергия, 1980. - 496 с., с.199-200): µ0 := 4 ⋅π ⋅10 λp1 :=

−7

W1 :=

Up⋅Q

µ0 = 1.257 × 10

2 ⋅m

1 Hp1 ⋅ 3 Bp1

λl1 := 0.34 ⋅

q Bi

λp1 = 2.941

⋅(Ll − 0.64 ⋅β ⋅τ )

λl1 = 0.735

Индуктивное cопротивление фазы обмотки индуктора: 2

Xσ1 := 15.8 ⋅

F1 ⎛ Up⋅Q ⎞ Bi ⋅⎜ ⋅ ⋅(λp1 + λl1) 100 ⎝ 100 ⋅2 ⋅m ⎠ p ⋅q

Xσ1 = 12.808

170

−6

ПРИЛОЖЕНИЯ Xσ1

L1 :=

L1 = 0.041

ω

Lf1 := L1

Lf1 = 0.041

Индуктивное cопротивление намагничивающего контура: 2

2

4 ⋅m⋅F1 ⋅µ0 ⋅τ ⋅Bi⋅W1 ⋅Kw

Xm :=

Xm = 63.072

π ⋅δecv⋅p

Электромагнитная добротность: 2

ε01 :=

µ0 ⋅γse ⋅ω ⋅τ ⋅∆se

ε01 = 7.125

2

ε0 :=

π ⋅δecv

ε01 ⋅δecv

ε0 = 3.121

δecv + ∆se

Приведенное активное сопротивление медного слоя ВЭ: Xm

R2 :=

R2 = 8.852

ε01

Потери в обмотке индуктора: 2

Pi := 3 ⋅If ⋅Rf1

Pi = 706.308

Скольжение: Vsinxr− ν

sk :=

sk = 1

Vsinxr

Мощность потоков рассеяния обмотки индуктора: 2

3

Qi := 3 ⋅If ⋅Xσ1

Qi = 2.362 × 10

УТОЧНЕННЫЙ РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК 1. Расчет коэффициента учета двуслойности ВЭ (по Е-Н методу): Параметры сердечника ВЭ:

Γ3 :=

Γ2 :=

Γ1 :=

π

2

τ

2

π

2

τ

2

π

2

τ

2

2

− 12

µFe := 170

6

γFe := 7 ⋅10

d2 := 0.05

− ω ⋅µ0 ⋅8.854 ⋅10

Γ3 = 63.084

воздух

+ j ⋅ω ⋅sk ⋅µ0 ⋅µFe ⋅γFe

Γ2 = 486.718 + 482.613i

сталь

+ j ⋅ω ⋅sk ⋅µ0 ⋅γse

Γ1 = 114.984 + 96.134i

медь

Характеристические сопротивления слоев zc3 :=

j ⋅ω ⋅µ0 Γ3

−6

zc3 = 6.258i × 10

171

воздух


j ⋅ω ⋅µ0 ⋅µFe

zc2 :=

zc2 = 6.894 × 10

Γ2 j ⋅ω ⋅µ0

zc1 :=

+ 6.953i × 10

−6

+ 2.021i × 10

z2 = 6.894 × 10

−5

z1 = 7.984 × 10

−6

zc1 = 1.69 × 10

Γ1

−5

−5

сталь

−6

медь

+ 6.953i × 10

−5

сталь

+ 2.115i × 10

−6

Входные сопротивления слоев z2 := zc2⋅

z1 := zc1⋅

zc3 + zc2⋅tanh(Γ2 ⋅d2)

zc3⋅tanh(Γ2 ⋅d2) + zc2

z2 + zc1⋅tanh(Γ1 ⋅∆se)

z2⋅tanh(Γ1 ⋅∆se) + zc1

Входное сопротивление идеального "медного" слоя

медь

(γse ⋅∆se)− 1 = 8.929 × 10− 6

Поправочный коэффициент на многослойность ВЭ kse := (γse ⋅∆se) ⋅z1

kse = 0.894 + 0.237i

2. Расчет коэффициента учета поперечного краевого эффекта (по Болтону) Ширина ВЭ (м):

Bse := 0.16

PP := 1 + j ⋅ε0 ⋅sk

TT :=

PP ⋅π

π ( Bse − Bi)

RR := SS :=

QQ :=

τ

2 ⋅τ 1 1 + PP ⋅tanh( 0.5 ⋅QQ ⋅Bse) ⋅tanh( RR) SS ⋅tanh( 0.5 ⋅QQ ⋅Bse) 0.5 ⋅QQ ⋅Bse

u := Re( TT)

v := Im( TT)

1 − u − sk ⋅ε0 ⋅v

kq :=

2

kq = 0.825

2

1 − sk ⋅ε0 ⋅v + sk ⋅ε0 ⋅u

Сопротивление ВЭ Ток ВЭ

Z2 := R2⋅

kse kq

Z2 = 9.594 + 2.541i Z2

If ⋅j ⋅Xm I2 := Z2 j ⋅Xm + sk

sk

IM := If − I2 Sem := 3 ⋅( I2

Электромагнитная мощность Тяговое усилие

Ft :=

Полная мощность η :=

= 9.594 + 2.541i I2 = 7.457

I2 = 7.379 + 1.079i

Намагничивающий ток

КПД

⋅sk

Re( Sem) Vsinxr

IM = 0.461 − 1.079i

)2⋅⎛⎜ Z2 ⎞ ⎝ sk ⎠

3

Sem = 1.601 × 10 + 423.92i Ft = 321.386

Ssum := Sem + Pi + j ⋅Qi + j ⋅3 ⋅( IM

)2⋅Xm

3

Ssum = 2.307 × 10 + 3.046i × 10 Ssum = 3.821 × 10

Ft ⋅ν Re( Ssum)

η =0


cosφ :=

Напряжение фазы

Uf :=

Re( Ssum)

cosφ = 0.604

Ssum

Ssum

Uf = 162.464

3 ⋅If

172

3

3


ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Расчет характеристик ЛАД на основе схем замещения с распределенными параметрами "Бегущая волна"( каф. ЭЭТС УГТУ, рук. Сарапулов Ф.Н., разработчики Костюк Д.Е.,Сарапулов С.Ф.) (Входная форма аналогична прил. 1) Постоянная времени индуктора:

T1 :=

Электромагнитная добротность ε 0 :=

L1

T1 = 0.03 c

Rf1

µ0 ⋅ω ⋅γ2 ⋅∆ ⋅τ

2

ε 0 = 4.041

2

π ⋅δecv

β a := 0.0039

β k := 1.97

Число витков фазы

Wf := 420

Число фаз

m1 := 3

Длина активной зоны машины

da := 2⋅p ⋅τ

da = 1.68

Относительная длина активной части

d := da ⋅

Относительная длина краевых зон

dk := d

Амплитуда линейной плотности тока индуктора

Aи := 2⋅A⋅Kw

Однофазное ( k1f=0) или трехфазное ( k1f=1) питание

м

π τ

Aи = 1.53× 105

А м

k1f := 1

Решение задачи: Корни характеристического уравнения для активной зоны λ 1a :=

λ 2a :=

ε 0⋅( 1 − s) 2

ε 0⋅( 1 − s) 2

2

ε 0 ⋅( 1 − s)

−

2

2

ε 0 ⋅( 1 − s)

+

2

λ 1a = −0.607− 1.257i

2

λ 2a = 2.608+ 1.257i

+ β a + j ⋅ε 0

4 2

+ β a + j ⋅ε 0

4

Корни характеристического уравнения для краевых зон λ 1k :=

λ 2k := Φ 0 :=

ε 0⋅( 1 − s) 2

ε 0⋅( 1 − s) 2

( ⋅k1f 1

2

ε 0 ⋅( 1 − s)

−

2

2

ε 0 ⋅( 1 − s)

+

2

λ 1k = −0.998− 1.011i

2

λ 2k = 2.999+ 1.011i

+ β k + j ⋅ε 0

4 2

4

+ β k + j ⋅ε 0

1

2

+ βa

) − ⋅ε ⋅(

2

j

0 1−

Φ 0 = 0.194− 0.395i

s) + j ⋅ε 0

173

Φ 0 = 0.44


Постоянные интегрирования

(

)(

) (

)(

)

(λ1a−λ2a)⋅ d

D := λ 1a − λ 2k ⋅ λ 2a − λ 1k − λ 1a − λ 1k ⋅ λ 2a − λ 2k ⋅e A1 := A2 :=

1

D 1

D

⋅⎡⎣ λ 2k + j ⋅k1f ⋅ λ 2a − λ 1k − λ 1k + j ⋅k1f ⋅ λ 2a − λ 2k ⋅e

(

)(

⎡(

) (

)(

) (

)(

)(

)

− λ2a⋅ d ⎤

)

λ1a⋅ d ⎤

⋅⎣ λ 1a − λ 2k ⋅ λ 1k + j ⋅k1f − λ 1a − λ 1k ⋅ λ 2k + j ⋅k1f ⋅e

⎦ ⋅Φ 0

A1 = −0.174+ 0.33i A2 = 9.566× 10− 3 + 0.103i

⎦ ⋅Φ 0

− λ2a⋅ d

A3 := Φ 0 + A1 + A2 ⋅e − j ⋅ d ⋅ k1f

A4 := Φ 0 ⋅e

x := 0 , 0.001⋅

π τ

λ1a⋅ d

+ A1 ⋅e

+ A2

A4 = 0.204− 0.292i

.. (d + 2⋅dk)

⎡ A ⋅eλ2k⋅ (x−dk) ⎤ if x < d k ⎣ 3 ⎦ − j ⋅ x − d ⋅ k1f λ ⎡ Φ ⋅e ( k) + A ⋅e 1a⋅ ( x−dk) + A ⋅eλ2a⋅ (x−d−dk) ⎤ if d ≤ x ≤ d + d 1 2 k k ⎣ 0 ⎦ ⎡ A ⋅eλ1k⋅ (x−d−dk) ⎤ otherwise ⎣ 4 ⎦

Φ ( x) :=

− j ⋅ ( x−d k) ⋅ k1f

Φ2 ( x) := Φ 0 ⋅e B( x) :=

A3 = 0.02− 0.065i

λ1a⋅ ( x−d k)

+ A1 ⋅e

λ2a⋅ ( x−d −d k)

+ A2 ⋅e

⎡ λ ⋅A ⋅eλ2k⋅ (x−dk) ⎤ if x < d k ⎣ 2k 3 ⎦ ⎡ −j ⋅Φ ⋅k1f ⋅e− j ⋅ (x−dk) ⋅ k1f + λ ⋅A ⋅eλ1a⋅ ( x−dk) + λ ⋅A ⋅eλ2a⋅ ( x−d−dk) ⎤ if d ≤ x ≤ d + d k k 0 1a 1 2a 2 ⎣ ⎦ ⎡ λ ⋅A ⋅eλ1k⋅ (x−d−dk) ⎤ otherwise ⎣ 1k 4 ⎦

x := 0 , 0.001⋅

π τ

.. (d + 2⋅dk)

0.6

0.4

0.2

Im( Φ ( x) )

0

10

20

30

40

0.2

0.4

0.6 x

174

50

60

70

80


0.6

0.4 Φ ( x) B( x) 0.2

0

10

Φ б :=

20

30

40

50

60

70

80

x

ε 0⋅Aи

Φ б = 2.139× 10− 4

γ2 ⋅ω

0.6 0.4 0.2 0

Im( B( x) )

0.2 0.4 0.6

0

10

20

30

40

50

60

70

80

x

J ( x) :=

( ( (

)

⎡ −λ 2 + β 2 ⋅A ⋅eλ2k⋅ (x−dk) ⎤ if x < d 3 k k ⎣ 2k ⎦ − j ⋅ x − d ⋅ k1f λ1a⋅ ( x−d k) λ2a⋅ ( x−d −d k) ⎤ ( ) 2 2 2 2 2 k ⎡ −1 + Φ ⋅k1f + β ⋅Φ ⋅e + β a − λ 1a ⋅A1 ⋅e + β a − λ 2a ⋅A2 ⋅e 0 a 0 ⎣ ⎦ if dk ≤ x ≤ d + dk ⎡ −λ 2 + β 2 ⋅A ⋅eλ1k⋅ (x−d−dk) ⎤ otherwise 4 k ⎣ 1k ⎦

)

(

)

30

40

(

)

)

1

0.5

Re( J( x) )

0

10

20

0.5

1 x

175

50

60

70

80

ПРИЛОЖЕНИЯ 1.5

1 J( x) 0.5

0

10

20

30

40

50

60

50

60

70

80

x

(

)

⎯ F ( x) := Re B( x) ⋅J ( x) 1.2

1

0.8 F( x) B( x)

0.6

J( x) Φ ( x)

0.4

0.2

0

10

20

30

40

70

80

0.2 x

Относительное тяговое усилие (о.е.)

d + 2⋅ d k

⌠ Fo := ⎮ ⌡0

Fo = 9.031

F ( x) dx 2

Базисное значение усилия

Fb :=

Aи ⋅ε 0 ⋅Lt

(

2⋅2⋅π ⋅F1 ⋅ 1 +

Тяговое усилие ЛАД (Н)

)

2

Fb = 977.978

β a ⋅γ2 ⋅∆ FT = 8.832× 103

FT := Fo ⋅Fb

Относительное значение электромагнитной мощности (о.е.) d k+ d

⌠ So := j ⋅ε 0⋅⎮ ⌡d

j ⋅ x⋅ k1f

Φ2 ( x) ⋅e

So = 37.72+ 19.618i

dx

k

Базисное значение мощности

Sb :=

(

)

2

Fb ⋅2⋅π ⋅F1 ⋅ 1 + β a ⋅τ

176

π ⋅ε 0

Sb = 1.021× 103


Электромагнитная мощность ЛАД (В А)

Sem := So ⋅Sb

Механическая мощность (Вт)

P2 := FT⋅V

P2 = 1.837× 104

S1 := 3⋅If ⋅(Rf1 + j ⋅Xσ1) 2

Потери в обмотке индуктора (Вт) Полная мощность ЛАД (В А)

Sem = 3.849× 104 + 2.002i× 104

S1 = 1.265× 104 + 2.358i× 104

S = 5.115× 104 + 4.36i× 104

S := Sem + S1 P2 Re( S)

КПД

η :=


cosφ :=


Uf :=

S = 6.721× 104

η = 0.359

Re( S) S

cosφ = 0.761

S

Uf = 104.378+ 88.973i

3⋅If

Uf = 137.153

ПАРАМЕТРЫ КРУГОВОГО АНАЛОГА Тяговое усилие КРАД (о.е.)

2⋅π ⋅p

Fkpо := ε 0 ⋅s 1+

Тяговое усилие КРАД (Н)

βa

2

+

(

1⋅ 1 +

βa

)

Fkpо = 9.958

2

ε 0 ⋅s Fkp = 9.739× 103

Fkp := Fkpо ⋅Fb

Электромагнитная мощность КРАД (В А) Semkp = 4.09× 104 + 2.013i× 104

Semkp := j ⋅ε 0 ⋅2⋅π ⋅p ⋅Φ 0 ⋅Sb

Полная мощность КРАД (В А) Skp := Semkp + S1

Skp = 5.356× 104 + 4.371i× 104

Механическая мощность КРАД (В А)

P2kp := Fkp ⋅V

КПД КРАД

ηkp :=


cosφkp :=


Ufkp :=

Skp

P2kp Re( Skp) Re( Skp) Skp

Ufkp = 109.295+ 89.203i

3⋅If

177

Skp = 6.913× 104

P2kp = 2.026× 104

ηkp = 0.378

cosφkp = 0.775

Ufkp = 141.077


1 0.8 0.6 0.4 0.2

Re ( Φ ( x , s) )

0.2 0 0.4 0.6 0.8 1

5

10

15

20

25

30

35

40

x

Φ ( x , s)

1.5 1.35 1.2 1.05 0.9 0.75 0.6 0.45 0.3 0.15 0

5

10

15

20

25

30

35

40

x 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Re ( B ( x , s) ) 0.2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

25

30

35

40

0.4 0.6 0.8 1 x 1 0.9 0.8 0.7 0.6 B ( x , s)

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

5

10

15

20 x

178


2

1.5

1

Re ( J ( x , s) ) 0.5

0

5

10

15

20

25

30

35

0.5

1

x

2

1.5

J ( x , s)

1

0.5

0

5

10

15

20 x

179

25

30

35

40

40


1

0.5

F ( x , s)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0.5

1 x, s d+ 2 ⋅ dk

⌠ Fo ( s) := ⎮ ⌡0

интегральное тяговое усилие

F ( x , s ) dx 2

Fb :=

Aи ⋅ ε 0 ⋅ Lt

Fb = 79.195

2⎞ ⎛ 2 ⋅ π ⋅ f1 ⋅ ⎝ 1 + β a ⎠ ⋅ γ 2 ⋅ ∆

механическая характеристика

FT ( s) := Fo ( s) ⋅ Fb

1 0.9 0.8 0.7 0.6 1−s

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

50

100

150

200 FT ( s)

180

250

300

350

400


ПРИЛОЖЕНИЕ 3 РАСЧЕТ ПОТЕРЬ И УСИЛИЙ В ИНДУКЦИОННОЙ МАШИНЕ МЕТОДОМ Е-НЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ ( каф. ЭЭТС УГТУ, рук. Ф.Н.Сарапулов, разработчики Сарапулов С.Ф., Черных И.В. )

Размеры и свойства слоев n := 10

k := 0 .. n − 1

число участков (слоев ) по оси X

Базисные значения свойств материалов µ := 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7

γ := 56 ⋅ 10 6

ε := 8.854 ⋅ 10 − 12

Толщины расчетных слоев d := ( 0.001559 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.011 0.011 0.011 )

T

Относительные значения свойств материалов слоев γo := ( 0.0001 1 1 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.001 1 1 ) εo := ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 )

T

T

µo := ( 1 1 1 1000 1000 1000 1000 1000 0.00001 1 1 )

ε k := ε ⋅ εok

Абсолютные значения свойств слоев:

T

µk := µ ⋅ µok

γ k := γ ⋅ γok

Расчет параметров четырехполюсников kv := 1 ( 0-плоская волна, 1-бегущая волна ) Vsinxr − ν ω seti := ω hп := Hp1 kз := Kz skolk := Vsinxr

fseti := F1

ω k := ω seti⋅ skolk

jmu := A⋅ Kw ⋅ 2 ⋅ e

2

Γ k :=

zc := j ⋅ k

zc := n

π ⋅ kv τ

2

j ⋅ ω seti⋅ t

− (ω k) ⋅ µk ⋅ ε k + j ⋅ µk ⋅ γ k ⋅ ω k 2

ω seti⋅ µk

коэффициент распространения волны в слое

j ⋅ ω seti⋅ 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7 π ⋅ kv τ

2

0.04 ⋅ FRAME 48

характеристическое сопротивление четырехполюсника

Γk

2

t :=

2

− ω seti ⋅ 4 ⋅ π ⋅ 10

−7

последний участок

⋅ 8.854 ⋅ 10

181

− 12


k := n − 1 , n − 2 .. 0 zвх := zc n

для расчета входных сопротивлений изменен на обратный порядок расчета

n

zвх ⋅ cosh(Γ k ⋅ dk) + zc ⋅ sinh(Γ k ⋅ dk) k+ 1 k zвх := zc ⋅ k k z вх ⋅ sinh(Γ k ⋅ dk) + zc ⋅ cosh(Γ k ⋅ dk) k+ 1

входное сопротивление

k

−6 −6 zвх = 7.939 × 10 + 3.444j × 10 0

k := 0 .. n − 1

порядок расчета восстановлен

Hнач := A⋅ Kw ⋅ 2

Hнач = 1.355 × 10 5

Eнач := zвх ⋅ Hнач 0

Eнач = 1.076 + 0.467j

(

)

fun_E_H Eнач , Hнач , zвх , zc , Γ , d , n :=

линейная плотность тока статора Eнач = 1.172

E0 ← Eнач H0 ← Hнач for k ∈ 0 .. n − 1 Ek+1 ← Ek ⋅ cosh(Γ k ⋅ dk) − zc ⋅ Hk ⋅ sinh(Γ k ⋅ dk) k

Hk+1 ← −

Ek zc

⋅ sinh(Γ k ⋅ dk) + Hk ⋅ cosh(Γ k ⋅ dk)

k

⎛E⎞ ⎜ ⎝H⎠ ⎛E⎞ := fun_E_H( Eнач , Hнач , zвх , zc , Γ , d , n) ⎜ ⎝H⎠ Bnk := xk := 0

−π ⋅ Ek

Eнач = 1.172 Hнач = 1.355 × 10 5

Btk := µk ⋅ Hk

τ⋅ω k

Bt8 := µ7 ⋅ H8 k := 0 .. n − 2

расчет значений координаты вдоль стержня

xk+1 := xk + dk

для отражения последнего участка на графиках диапазон увеличен на 1

1.5 1.35 1.2 1.05 Ek 0.9 0.75 −5 10 ⋅ Hk 0.6 0.45 0.3 0.15 0

0.0011

0.0023

0.0034

0.0045 xk

182

0.0056

0.0068

0.0079

0.009


k := 0 .. n − 2 Удельное тяговое усилие Fуд := k

γ k ⋅ skolk 4 ⋅ τ ⋅ fseti

⋅ ( Ek

Удельная входная мощность

)2

Pуд := k

( )

1 2 ⋅ µk ⋅ γ k ⋅ skolk ⋅ ( Hk ) ⋅ Re zвх k 2

( )

Fk :=

Нормальное удельное усилие

1 2 ⋅ ( Hk ) ⋅ Re zвх k 2

6

8 .10 6 7.2 .10 6

6.4 .10 6 5.6 .10

Fуд

(

6

4.8 .10 6 100 ⋅P уд 4 .10 k k

)

6

3.2 .10 6 2.4 .10

Fk

6

1.6 .10 5 8 .10 0

1.13

2.25

3.38

4.5

5.63

6.75

7.88

9

3

xk ⋅10

k := 0 .. n − 2

Sslk := 2 ⋅ τ ⋅ p ⋅ Bi

Fslk := Fуд ⋅ Sslk

Pk := Pуд ⋅ Sslk

k

k

5

1.5 .10

5

1.2 .10

Hk 5

10 ⋅ Ek

4

9 .10

4

6 .10

4

3 .10

0

1

2

3

4 k

183

5

6

7

8


5 ⋅ Bnk

1

Btk 0.001 ⋅P k

0.5

0

1

2

3

4

5 xk ⋅10

k := 0 .. n − 3

5

1 .10

5

5 .10

4

∆P уд

7

8

9

3

∆Pуд := Pуд − Pуд k k k+ 1

удельная мощность в слое

1.5 .10

6

∆Pk := ∆Pуд ⋅ Ssl k k

k

Fslk

0

1

2

3

4

5

6

7

8

10 ⋅( xk) 3

ДВУХИНДУКТОРНАЯ МАШИНА av := 0

относительный ток второго индуктора

k := 0 .. n − 1 ek := Ek + (av ⋅ En−k) hk := Hk − (av ⋅ Hn−k)

суммарные напряженности на входе слоя k

Тяговое усилие F2уд := k

γ k ⋅ skolk 4 ⋅ τ ⋅ fseti

( = 1 при плоской волне - шина, = -1 при плоской волне - сердечник)

Нормальное усилие ⋅ ( ek ) 2

F2k :=

184

⎯ 1 ⋅ µk ⋅ γ k ⋅ skolk ⋅ Re ek ⋅ hk 2

(

)


ek 10

−5

hk

1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

1.13

2.25

3.38

4.5

5.63

xk ⋅10

6.75

7.88

9

3

800 700 600 10 10

−4

⋅F2уд 500 k

−4

⋅F2k

400 300 200 100 0

1.13

2.25

3.38

4.5

5.63

6.75

7.88

9

3

10 ⋅xk

⎯ Pуд := 0.5 ⋅ Re ek ⋅ hk

Удельная "входная" мощность слоя Суммарная мощность во всех слоях

(

k

Psуд := Pуд

1

)

Pуд = 7.286 × 10

4

0

Pss := Psуд ⋅ Ssl1

5

1 .104 9 .104 8 .104 7 .104 6 .10 P уд 5 .104 k . 4 4 104 3 .104 2 .104 1 .10

Psуд = 7.285 × 10 Pss = 1.451 × 10

0

0

1.25

2.5

3.75

5

6.25

7.5

1000 ⋅xk

Удельная мощность в слое

∆Pуд := Pуд − Pуд k k k+ 1

185

8.75

10

3

4

ПРИЛОЖЕНИЯ 4 .10

4

3.2 .10

4 4

2.4 .10 ∆P уд k 4 1.6 .10 8000 0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

xk

Поворачивающий множитель для учета фазового сдвига синусоидальных величин по продольной координате

⎛ π ⋅ tz ⎞ ⎛ π ⋅ tz ⎞ + j ⋅ sin ⎜ ⎝ τ ⎠ ⎝ τ ⎠

a := cos ⎜

a = 0.866 + 0.5j

⎛ a − 1 ⋅ e1 ⎜ ⎜ e1 ⎜ ⎜ e1 ⋅ a ⎜ 2 ⎜ a ⋅ e1 ⎜ 3 ee := ⎜ a ⋅ e1 ⎜ 4 ⎜ a ⋅ e1 ⎜ 5 ⎜ a ⋅ e1 ⎜ a 6⋅e 1 ⎜ ⎜ a 7⋅e 1 ⎝

a − 1 ⋅ e2 a − 1 ⋅ e3 a − 1 ⋅ e 4 a − 1 ⋅ e 5 a − 1 ⋅ e 6 a − 1 ⋅ e 7 a − 1 ⋅ e8 a − 1 ⋅ e9 ⎞

⎛ a − 2 ⋅ h1 ⎜ ⎜ −1 ⎜ a ⋅ h1 ⎜ h1 ⎜ ⎜ a ⋅ h1 ⎜ 2 hh := ⎜ a ⋅ h1 ⎜ 3 ⎜ a ⋅ h1 ⎜ 4 ⎜ a ⋅ h1 ⎜ a 5⋅h 1 ⎜ ⎜ a 6⋅h 1 ⎝

a − 2 ⋅ h2 a − 2 ⋅ h3 a − 2 ⋅ h4 a − 2 ⋅ h5 a − 2 ⋅ h6 a − 2 ⋅ h7 a − 2 ⋅ h8 a − 2 ⋅ h9 ⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

e2

e3

e4

e5

e6

e7

e8

e9

e2 ⋅ a

a ⋅ e3

a ⋅ e4

a ⋅ e5

a ⋅ e6

a ⋅ e7

a ⋅ e8

a ⋅ e9

a 2 ⋅ e2

a 2 ⋅ e3

e4 ⋅ a 2

a 2 ⋅ e5

e6 ⋅ a 2

a 2 ⋅ e7

a 2 ⋅ e8

a 2 ⋅ e9

a 3 ⋅ e2

e3 ⋅ a 3

a 3 ⋅ e4

a 3 ⋅ e5

a 3 ⋅ e6

a 3 ⋅ e7

a 3 ⋅ e8

a 3 ⋅ e9

a 4 ⋅ e2

a 4 ⋅ e3

a 4 ⋅ e4

e5 ⋅ a 4

a 4 ⋅ e6

a 4 ⋅ e7

a 4 ⋅ e8

a 4 ⋅ e9

a 5 ⋅ e2

a 5 ⋅ e3

a 5 ⋅ e4

a 5 ⋅ e5

a 5 ⋅ e6

a 5 ⋅ e7

a 5 ⋅ e8

a 5 ⋅ e9

a 6 ⋅ e2

a 6 ⋅ e3

a 6 ⋅ e4

a 6 ⋅ e5

a 6 ⋅ e6

a 6 ⋅ e7

a 6 ⋅ e8

a 6 ⋅ e9

a 7 ⋅ e2

a 7 ⋅ e3

a 7 ⋅ e4

a 7 ⋅ e5

a 7 ⋅ e6

a 7 ⋅ e7

a 7 ⋅ e8

a 7 ⋅ e9 ⎠

a − 1 ⋅ h2 a − 1 ⋅ h3 a − 1 ⋅ h4 a − 1 ⋅ h5 a − 1 ⋅ h6 a − 1 ⋅ h7 a − 1 ⋅ h8 a − 1 ⋅ h9 h2

h3

h4

h5

h6

h7

h8

h9

a ⋅ h2

a ⋅ h3

a ⋅ h4

a ⋅ h5

a ⋅ h6

a ⋅ h7

a ⋅ h8

a ⋅ h9

a 2 ⋅ h2

a 2 ⋅ h3

a 2 ⋅ h4

a 2 ⋅ h5

a 2 ⋅ h6

a 2 ⋅ h7

a 2 ⋅ h8

a 2 ⋅ h9

a 3 ⋅ h2

a 3 ⋅ h3

a 3 ⋅ h4

a 3 ⋅ h5

a 3 ⋅ h6

a 3 ⋅ h7

a 3 ⋅ h8

a 3 ⋅ h9

a 4 ⋅ h2

a 4 ⋅ h3

a 4 ⋅ h4

a 4 ⋅ h5

a 4 ⋅ h6

a 4 ⋅ h7

a 4 ⋅ h8

a 4 ⋅ h9

a 5 ⋅ h2

a 5 ⋅ h3

a 5 ⋅ h4

a 5 ⋅ h5

a 5 ⋅ h6

a 5 ⋅ h7

a 5 ⋅ h8

a 5 ⋅ h9

6

a ⋅ h2

6

a ⋅ h3

5

a ⋅ h4

6

a ⋅ h5

186

6

a ⋅ h6

6

a ⋅ h7

6

a ⋅ h8

6

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

a ⋅ h9 ⎠


π = 0.201 τ⋅ω 3

⎛ −π ⎞ →

B := ⎜

⎝ τ ⋅ω 3 ⎠

→ BT := µ3 ⋅ hh

⋅ ee

⎯ → B

B мгновенные при t=0

модули

BT

⎯⎯ → BT

F2уд

F2 тяговые усилия

нормальные усилия

187


a := 1

⎛ a − 1 ⋅ e1 ⎜ ⎜ e1 ⎜ ⎜ e1 ⋅ a ⎜ 2 ⎜ a ⋅ e1 ⎜ 3 e := ⎜ a ⋅ e1 ⎜ 4 ⎜ a ⋅ e1 ⎜ 5 ⎜ a ⋅ e1 ⎜ a 6⋅e 1 ⎜ ⎜ a 7⋅e 1 ⎝

a − 1 ⋅ e2 a − 1 ⋅ e3 a − 1 ⋅ e4 a − 1 ⋅ e5 a − 1 ⋅ e6 a − 1 ⋅ e7 a − 1 ⋅ e8 a − 1 ⋅ e9 ⎞

⎛ a − 2 ⋅ h1 ⎜ ⎜ −1 ⎜ a ⋅ h1 ⎜ h1 ⎜ ⎜ a ⋅ h1 ⎜ 2 h := ⎜ a ⋅ h1 ⎜ 3 ⎜ a ⋅ h1 ⎜ 4 ⎜ a ⋅ h1 ⎜ a 5⋅h 1 ⎜ ⎜ a 6⋅h 1 ⎝

a − 2 ⋅ h2 a − 2 ⋅ h3 a − 2 ⋅ h4 a − 2 ⋅ h5 a − 2 ⋅ h6 a − 2 ⋅ h7 a − 2 ⋅ h8 a − 2 ⋅ h9 ⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

e2

e3

e4

e5

e6

e7

e8

e9

e2 ⋅ a

a ⋅ e3

a ⋅ e4

a ⋅ e5

a ⋅ e6

a ⋅ e7

a ⋅ e8

a ⋅ e9

a 2 ⋅ e2

a 2 ⋅ e3

e4 ⋅ a 2

a 2 ⋅ e5

e6 ⋅ a 2

a 2 ⋅ e7

a 2 ⋅ e8

a 2 ⋅ e9

a 3 ⋅ e2

e3 ⋅ a 3

a 3 ⋅ e4

a 3 ⋅ e5

a 3 ⋅ e6

a 3 ⋅ e7

a 3 ⋅ e8

a 3 ⋅ e9

a 4 ⋅ e2

a 4 ⋅ e3

a 4 ⋅ e4

e5 ⋅ a 4

a 4 ⋅ e6

a 4 ⋅ e7

a 4 ⋅ e8

a 4 ⋅ e9

a 5 ⋅ e2

a 5 ⋅ e3

a 5 ⋅ e4

a 5 ⋅ e5

a 5 ⋅ e6

a 5 ⋅ e7

a 5 ⋅ e8

a 5 ⋅ e9

a 6 ⋅ e2

a 6 ⋅ e3

a 6 ⋅ e4

a 6 ⋅ e5

a 6 ⋅ e6

a 6 ⋅ e7

a 6 ⋅ e8

a 6 ⋅ e9

a 7 ⋅ e2

a 7 ⋅ e3

a 7 ⋅ e4

a 7 ⋅ e5

a 7 ⋅ e6

a 7 ⋅ e7

a 7 ⋅ e8

a 7 ⋅ e9 ⎠

a − 1 ⋅ h2 a − 1 ⋅ h3 a − 1 ⋅ h4 a − 1 ⋅ h5 a − 1 ⋅ h6 a − 1 ⋅ h7 a − 1 ⋅ h8 a − 1 ⋅ h9

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

h2

h3

h4

h5

h6

h7

h8

h9

a ⋅ h2

a ⋅ h3

a ⋅ h4

a ⋅ h5

a ⋅ h6

a ⋅ h7

a ⋅ h8

a ⋅ h9

a 2 ⋅ h2

a 2 ⋅ h3

a 2 ⋅ h4

a 2 ⋅ h5

a 2 ⋅ h6

a 2 ⋅ h7

a 2 ⋅ h8

a 2 ⋅ h9

a 3 ⋅ h2

a 3 ⋅ h3

a 3 ⋅ h4

a 3 ⋅ h5

a 3 ⋅ h6

a 3 ⋅ h7

a 3 ⋅ h8

a 3 ⋅ h9

4 a ⋅ h2

4 a ⋅ h3

4 a ⋅ h4

4 a ⋅ h5

4 a ⋅ h6

4 a ⋅ h7

4 a ⋅ h8

4 a ⋅ h9

a 5 ⋅ h2

a 5 ⋅ h3

a 5 ⋅ h4

a 5 ⋅ h5

a 5 ⋅ h6

a 5 ⋅ h7

a 5 ⋅ h8

a 5 ⋅ h9

a 6 ⋅ h2

a 6 ⋅ h3

a 5 ⋅ h4

a 6 ⋅ h5

a 6 ⋅ h6

a 6 ⋅ h7

a 6 ⋅ h8

a 6 ⋅ h9 ⎠

188


189


Интегральные показатели одноиндукторной машины: S :=

for y ∈ 0 .. n − 2 ⎯ → 2 ( S y ← 2 ⋅ p ⋅ τ ⋅ Bi ⋅ H y ) ⋅ 0.5 ⋅ zвх

dS :=

dS y ← S y − S y+1

y

dS

S F :=

for y ∈ 0 .. n − 3

for y ∈ 0 .. n − 3 Fy ←

Re (dS y) Vsinxr

F FN :=

for y ∈ 0 .. n − 3 FNy ← γ y ⋅ µ y ⋅ d y ⋅ 0.5 ⋅ (Re (S y) + Re (S y+1)) FN

Мощность в фазе обмотки:

SF := 3 ⋅ If 2 ⋅ (Rf1 + j ⋅ Xδ1)

Мощность суммарная:

Ssum := S0 + SF Re (S0)

Тяговое усилие машины:

Fsum :=

Мощность механическая:

Pmeh := Fsum⋅ ν

Коэффициент мощности:

cosfi :=

Полное сопротивление на фазу:

ZF :=

Напряжение фазы :

Ssum UF := 3 ⋅ If

Vsinxr

Re ( Ssum) Ssum

Ssum 3 ⋅ If 2

SF = 706.308 + 2.362j × 10 3 3

Ssum = 2.158 × 10 + 2.992j × 10

Ssum = 3.688 × 10 3 Fsum = 291.441 Pmeh = 0 cosfi = 0.585 ZF = 11.701 + 16.223j ZF = 20.003 UF = 91.738 + 127.19j UF = 156.822 3

S0 = 1.451 × 10 + 629.696j

Электромагнитная мощность : Механический КПД :

η := Fsum⋅

ν Re ( Ssum)

190

3

η =0


ПРИЛОЖЕНИЕ 4 Расчет индукционной машины методом детализированных схем замещения при заданном U (каф. ЭЭТС УГТУ, рук. Сарапулов Ф.Н.) Автор программы 2-слойной версии модели Егоров А., 20.08.99. Переработана на плоскую 14-слойную структуру с различными слоями ( Сарапулов Ф.Н., Сарапулов С.Ф. ) ( входные данные аналогичны прил. 1 ) Формирование матрицы напряжений фаз индуктора:

⎛⎜ UfA ⎞ Ufp := ⎜ UfB ⎟ ⎜ UfC ⎝ ⎠

Угловая частота:

ω = 62.832

ω := 2 ⋅π ⋅F1

Электромагнитная добротность:

εo :=

ω ⋅µ0 ⋅∆se ⋅γse ⋅τ

2

2

π ⋅δecv

Расчет коэффициента учета поперечного краевого эффекта (по Болтону) Ширина ВЭ (м): PP :=

QQ :=

1 + j ⋅εo ⋅sk π ( Bse − Bi)

RR :=

Bse := 100

PP ⋅π

При идеальных боковых шинах Bse= ∞

τ

2 ⋅τ

SS :=

1 1 + PP ⋅tanh( 0.5 ⋅QQ ⋅Bse) ⋅tanh( RR)

TT :=

SS ⋅tanh( 0.5 ⋅QQ ⋅Bse) 0.5 ⋅QQ ⋅Bse

u := Re( TT)

v := Im( TT)

1 − u − sk ⋅εo ⋅v

kq :=

2

kq = 0.999

2

1 − sk ⋅εo ⋅v + sk ⋅εo ⋅u

Разбиение на слои и параметры слоев: T

µt := ( 1 1 1 1000 1000 1000 1000 1000 1 1 1 1 1 1 )

T

µn := ( 1 1 1 1000 1000 1000 1000 1000 1 1 1 1 1 1 ) h := 10

−3

T

⋅( 6 6 4 3 5 5 5 5 3 5 5 7 7 8 )

T

γotn := ( 0.001 0.001 1 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 ) γ := γotn⋅γse ⋅kq

µ 15 := 0.01 H15 := 0.01

Матрицы магнитных сопротивлений: Rno :=

for x ∈ 1 .. Qz Rnox ←

δz⋅hx 2

µnx ⋅tz

Rno

191

Экран

ПРИЛОЖЕНИЯ gb := γse ⋅0.5 ⋅µ0 ⋅δz⋅∆se

( базисная

for x ∈ 1 .. Qz

Rto :=

Rtox ←

электропроводность на

go :=

δz

Rto GXo :=

GXXo :=

for x ∈ 1 .. Qz

∆se

for x ∈ 1 .. Qz GXXox ← GXox

GXo

GXXo

δz µc ⋅( Hi − Hp1)

Z1 :=

γotnx ⋅hx

go

GXox ← gox ⋅gb

Rao :=

for x ∈ 1 .. Qz gox ←

hx ⋅µtx

0.5∆se)

Rko :=

δz Hi

for x ∈ 1 .. ( 2 ⋅Qkp + Q)

( ) Z1x , x ← (Rno1 + Rto1 + Rao + i⋅ω ⋅GXo1) Z1x , x ← (Rno1 + Rto1 + Rko + i⋅GXo1 ⋅ω ) Z1x , x ← Rno1 + Rko + Rto1 + i⋅GXo1 ⋅ω

if x ≤ Qkp if Qkp < x ≤ ( Qkp + Q) if x > ( Qkp + Q)

ν ⎞ ⎛ if x > 1 2 ⋅tz ⎠ ⎝ ν ⎞ ⎛ if x < ( 2 ⋅Qkp + Q) Z1x , x+1 ← ⎜ −0.5 ⋅Rno1 + GXo1 ⋅ 2 ⋅tz ⎠ ⎝

Z1x , x−1 ← ⎜ −0.5 ⋅Rno1 − GXo1 ⋅

Z1

Z :=

for y ∈ 2 .. Qz for x ∈ 1 .. ( 2 ⋅Qkp + Q) ZXx , x ← ⎡⎣ Rnoy + Rnoy−1 + Rtoy + Rtoy−1 + i⋅( GXoy + GXXoy−1) ⋅ω ⎤⎦ if x > 1

⎡ ⎣ ⎡ ZXx , x+1 ← ⎢ −0.5 ⋅Rnoy − 0.5 ⋅Rnoy−1 + ⎣

ZXx , x−1 ← ⎢ −0.5 ⋅Rnoy − 0.5 ⋅Rnoy−1 −

ν ⎤ ⋅( GXoy + GXXoy−1) ⎥ if x > 1 2 ⋅tz ⎦ ν 2 ⋅tz

⎤ ⎦

⋅( GXoy + GXXoy−1) ⎥ if x < ( 2 ⋅Qkp + Q)

Zy ← ZX Z

Z1 := Z1 Rtbaz :=

tz

Rtbaz = 1.161 × 10

µ0 ⋅δz⋅Bi

gbas := gb⋅Rtbaz

gbas = 1.342 × 10

192

4

gb = 1.156 × 10

−3

7


193


Матрицы вторичного элемента: Vse :=

lc := 0

for x ∈ 2 .. ( 2 ⋅Qkp + Q − 1) Vsex , x−1 ← − Vsex , x+1 ←

ν if x > 1 2 ⋅tz

for x ∈ 1 .. ( 2 ⋅Qkp + Q)

Lc :=

Lcx , x ← lc

ν if x < ( 2 ⋅Qkp + Q) 2 ⋅tz

Lc

Vsex , x ← i⋅ω Vse

Расчет матрицы EM: R :=

for y ∈ 1 .. Qz for x ∈ 1 .. ( 2 ⋅Qkp + Q) ZXx , x ← (Rtoy) if x > 0 for x ∈ 1 .. Qz

Zo :=

Ry ← ZX

Zox ← (Rx)

R

−1

⋅Zx

Zo r :=

for x ∈ 2 .. Qz rx ← (Rx)

−1

a :=

for x ∈ 4 .. Qz

⋅Rx−1

a2 ← −(R1)

r

−1

a3 ← Zo2 ⋅a2 ax ← (Zox−1⋅ax−1 − rx−1⋅ax−2)

aQz+1 := (ZQz⋅aQz − RQz−1⋅aQz−1) b :=

a

for x ∈ 4 .. Qz b2 ← Zo1 b3 ← Zo2⋅b2 − r2 bx ← (Zox−1⋅bx−1 − rx−1⋅bx−2) b

bQz+1 := (ZQz⋅bQz − RQz−1⋅bQz−1)

ZQ1 := bQz+1

⎛⎜ 1 0 0 ⎞ Ifpm := ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜0 0 1 ⎝ ⎠ T

( ⎣⎣ ⎡⎡

)

−1

EM := i⋅ω ⋅Up⋅Kf ⋅⎢⎢ bQz+1⋅Rtbaz

−1

−1

⋅Rtbaz

⋅(aQz+1) ⋅

⎤ 1 ⎤ ⎥ ⋅Up⋅Kf ⋅Ifpm⎥ Rtbaz⎦ ⎦

⎛⎜ −0.225 − 0.184i 0.127 − 0.057i 0.041 + 0.072i ⎞ EM = ⎜ 0.038 + 0.081i −0.225 − 0.184i 0.146 − 0.066i ⎟ ⎜ 0.146 − 0.066i 0.041 + 0.072i −0.225 − 0.183i ⎝ ⎠

194

ZQ2 := −aQz+1


Нахождение токов фаз индуктора: Ifp := ⎣⎡(Rf + i⋅ω ⋅Lf) + EM⎤⎦

−1

⎛⎜ −651.646 − 72.75i ⎞ Ifp = ⎜ 366.224 + 651.468i ⎟ ⎜ 387.754 − 559.479i ⎝ ⎠

⋅Ufp

Ifm := Kf ⋅Ifp IfA := Ifp1

Ifp1 + Ifp2 + Ifp3

IfB := Ifp2

3

IfC := Ifp3

Jtoka :=


Ifp1 + Ifp2 + Ifp3

7

Jtoka = 3.704 × 10

3 ⋅Spr

Раскладка токов фаз по пазам индуктора:

Расчет МДС индуктора: FOs :=

= 694.585

⎛⎜ IfA ⎞ Ifp := ⎜ IfB ⎟ ⎜ IfC ⎝ ⎠

Ifm := Kf ⋅Ifp

Fs := Up ⋅Ifm

Fs Rtbaz

Расчет магнитных потоков в ярме индуктора и слоях: FXX :=

(

⎡

)

−1

FXX1 ← −⎣ bQz+1 ⋅Rtbaz

−1

−1

⋅Rtbaz

⎤

⋅(aQz+1) ⋅FOs⎦

for x ∈ 2 .. Qz FXXx ← ax ⋅FOs + bx ⋅FXX1 FXX

Расчет напряжения питания индуктора:

Uim := (Rf + i⋅ω ⋅Lf) ⋅Ifp + i⋅ω ⋅Up⋅Kf ⋅FXX1 UL :=

T

Ui :=

⎛⎜ −354.521 − 406.927i ⎞ Uim = ⎜ −172.354 + 587.455i ⎟ ⎜ 547.896 − 114.156i ⎝ ⎠

Uim 2

1 ⋅( Ui1 + Ui2 + Ui3 ) ⋅ 3 3 T

Eim := −i⋅ω ⋅Up⋅Kf ⋅FXX1 SA := 0.5 ⋅Uim1 ⋅( Re( IfA) − i⋅Im( IfA) )

⎛⎜ 272.932 + 203.463i ⎞ Eim = ⎜ 38.341 − 376.582i ⎟ ⎜ −321.784 + 139.932i ⎝ ⎠ 5

5

5

5

5

5

SA = 1.303 × 10 + 1.197i × 10

SB := 0.5 ⋅Uim2 ⋅( Re( IfB) − i⋅Im( IfB) )

SB = 1.598 × 10 + 1.637i × 10

SC := 0.5 ⋅Uim3 ⋅( Re( IfC) − i⋅Im( IfC) )

SC = 1.382 × 10 + 1.311i × 10 5

5

S = 4.283 × 10 + 4.145i × 10

S := SA + SB + SC cosfi :=

Re( S) S

⎛ 381.625 ⎞ ⎯→ ⎜ Ui = ⎜ 432.903 ⎟ ⎜ 395.741 ⎝ ⎠

UL = 698.749

5

S = 5.96 × 10 cosfi = 0.719

⎛⎜ 1 0 0 ⎞ Расчет матрицы сопротивлений само- и взаимоиндукции индуктора: Ifpm := ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜0 0 1 ⎝ ⎠ 0.291 0.139 0.083 ⎛ ⎞ −1 ⎤ ⎯⎯→ ⎜ 1 ⎤ T ⎡⎡ −1 −1 EM1 := i⋅ω ⋅Up⋅Kf ⋅⎢⎢ bQz+1 ⋅Rtbaz ⋅Rtbaz ⋅(aQz+1) ⋅ ⎥ ⋅Up⋅Kf ⋅Ifpm⎥ EM1 = ⎜ 0.09 0.291 0.16 ⎟ Rtbaz⎦ ⎣⎣ ⎦ ⎜ 0.16 0.083 0.29 ⎝ ⎠

(

)

195


Расчет индукции: D :=

for x ∈ 1 .. ( 2 ⋅Qkp + Q) Dx , x−1 ← −1 if x > 1 Dx , x+1 ← 1 if x < ( 2 ⋅Qkp + Q)

BnX :=

D

for x ∈ 1 .. Qz BnXx ←

BtX :=

for x ∈ 1 .. Qz − 1 BtXx ←

1 ⋅D⋅FXXx 2 ⋅tz⋅Bi

BnX

(FXXx+1 − FXXx) Bi⋅hx

BtX BtX0 :=

FXX1 ( Hi − Hp1) ⋅Bi


for x ∈ 1 .. Qz IcXx ← −GXox ⋅Rtbaz⋅Vse⋅FXXx

IcXX :=

for x ∈ 1 .. Qz − 1 IcXXx ← −GXXox⋅Rtbaz⋅Vse⋅FXXx+1

IcX

IcXX

Расчет тяговых усилий полуслоев во вторичном элементе : FF :=

for y ∈ 1 .. Qz FJ ← FXXy IJ ← IcXy for x ∈ 2 .. ( 2 ⋅Qkp + Q − 2) Forcex ←

1 4 ⋅tz

⋅Re⎡⎣(FJx+1 − FJx−1) ⋅(Re( IJx) − i⋅Im( IJx))⎤⎦

FFy ← Force FF SumForce :=

for x ∈ 1 .. Qz SumForcex ←

∑FFx

∑SumForce = 3.564 × 10

SumForce FF1 :=

for y ∈ 1 .. Qz − 1 FJ ← (FXXy+1) IJ ← ( IcXXy) for x ∈ 2 .. ( 2 ⋅Qkp + Q − 2) Force1x ←

1 ⋅Re⎡(FJx+1 − FJx−1) ⋅( Re( IJx) − i⋅Im(IJx) )⎤⎦ 4 ⋅tz ⎣

FF1y ← Force1 FF1

196

4

ПРИЛОЖЕНИЯ SumForce1 :=

for x ∈ 1 .. Qz − 1 SumForce1x ←

∑SumForce1 = 3.227 × 10

4

∑FF1x

SumForce1 FORCE := FT :=

∑SumForce + ∑SumForce1

FORCE = 6.791 × 10

4

for y ∈ 1 .. Qz − 1 BJ ← FXXy+1 − FXXy IJ ← (IcXy + IcXXy) for x ∈ 2 .. ( 2 ⋅Qkp + Q − 2) Forcex ←

1 ⋅Re⎡⎣(BJx) ⋅(Re(IJx) − i⋅Im(IJx))⎤⎦ 2 ⋅hy

FTy ← Force FT SumForceT :=

for x ∈ 1 .. Qz − 1 SumForceTx ←

∑SumForceT = 6.095 × 10

4

∑FTx

SumForceT

Подготовка данных к построению графиков: for x ∈ 1 .. Qz 〈x〉 Bn ← BnXx

Bn :=

Bt :=

Bn F :=

for x ∈ 1 .. Qz − 1 〈x〉 Bt ← BtXx Bt

for x ∈ 1 .. Qz 〈x〉 F ← FFx F

IC :=

Ft :=

for x ∈ 1 .. Qz − 1 〈x〉 Ft ← FTx Ft

for x ∈ 1 .. Qz − 1 〈x〉 IC ← IcXx IC

Ft

197

η :=

FORCE⋅ν Re( S)


Характеристики ЛИМ (система единиц СИ) Qz = 14 Q = 48

Количество слоев в "зазоре", участков в активной и краевых зонах:

Qkp = 20

Частота тока:

F1 = 10

Скорость ВЭ и синхронная, скольжение:

ν = 2.08

Vsinxr = 4.2

Полюсное деление, световой зазор и толщина ВЭ:

τ = 0.21

δz = 0.01

Токи и напряжения фаз:

Усилия тяговое и левитации:

⎛⎜ −460.784 − 51.442i ⎞ = ⎜ 258.959 + 460.657i ⎟ 2 ⎜ ⎝ 274.184 − 395.611i ⎠

∆se = 4 × 10

Uim

∑SumForceT = 6.095 × 10

4

η = 0.33

КПД и коэффициент мощности:

4

cosfi = 0.719

5

Мощность потребляемая:

−3

⎛⎜ −250.684 − 287.741i ⎞ = ⎜ −121.873 + 415.394i ⎟ 2 ⎜ 387.421 − 80.72i ⎝ ⎠

Ifp

FORCE = 6.791 × 10

sk = 0.505

5

S = 4.283 × 10 + 4.145i × 10

S = 5.96 × 10

5

⎛ 0.291 0.139 0.083 ⎞ ⎯⎯ → ⎜ EM = ⎜ 0.09 0.291 0.16 ⎟

Матрица сопротивлений взаимоиндукции:

⎜ 0.16 0.083 0.29 ⎝ ⎠

1

Схема обмотки индуктора:

T

RM =

Электромагнитная добротность:

7

8

1

1

2 1

3 0

4 0

5 0

6 0

-1

-1

9 0

10 0

2

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

3

0

0

-1

-1

0

0

0

0

1

1

εo = 4.048

⎯→ Bn

F

198


1 0.9

( BnX1) x ( BnX2) x ( BnX3) x

0.8 0.7

( BnX4) x

0.6

( BnX5) x

0.5

( BnX6) x ( BnX7) x ( BnX8) x ( BnX9) x

0.4 0.3 0.2 0.1

10

20

30

40

50

60

70

80

90

x

20 18

( BtX1) x ( BtX2) x ( BtX3) x

16 14

( BtX4) x

12

( BtX5) x

10

( BtX6) x ( BtX7) x ( BtX8) x ( BtX10) x

8 6 4 2

0

9

18

27

36

45 x

199

54

63

72

81

90

ПРИЛОЖЕНИЯ 4

1 .10

9500 9000 8500 8000

( IcX2) x

7500

( IcX3) x

7000 6500

( IcX4) x ( IcX5)

6000 5500

x

5000

( IcX6) x

4500

( IcX7) x

4000 3500

( IcX8) x ( IcX10) x

3000 2500 2000 1500 1000 500 0

9

18

27

36

45

54

63

72

81

x

800

600

( FF2) x ( FF3) x ( FF4) x

400

( FF5) x ( FF6) x ( FF7) x

200

( FF8) x 10

20

30

40

50

200 x

200

60

70

80

90


201


Bn

80

70

60

( FF4) x ( FF5) x ( FF6) x ( FF7) x ( FF8) x ( FF10) x

50

40

30

20

10

0

10

20

30

40

50

10 x

202

60

70

80

90


ПРИЛОЖЕНИЕ 5 Программа расчета цилиндрических индукционных устройств по методу многослойных детализированных схем замещения (кафедра ЭЭТС УГТУ, руководитель Сарапулов Ф.Н., исполнитель Сарапулов С.Ф.) Автор входной формы и циклических процедур: Егоров Алексей, 05.03.1999, 20.08.99. Переработана на Qz-слойную структуру ( Сарапулов С.Ф. )

(входные данные по прил.1) Расчет матриц магнитных сопротивлений: удельные электропроводности материалов слоев ( в долях от

γ2 ): T

γtr := ( 0.044 0.0001 23.25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )

γ := γtr

относительные нормальные магнитные проницаемости слоев: T

µtr := ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )

µ := µtr

относительные тангенциальные магнитные проницаемости слоев: µttr := ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )

T

µt := µttr

внешние радиусы слоев: −3

rtr := 10

T

⋅( 126 117 110 100 90 81 72 63 54 45 36 27 18 9 )

r := rtr

r15 := 0

толщины слоев: h :=

for x ∈ 1 .. Qz

относительные толщины слоев:

hx ← (rx − rx+1)

ho :=

h

hox ←

средние радиусы слоев: Rr :=

for x ∈ 1 .. Qz

(rx − rx+1) h1

ho

for x ∈ 1 .. Qz Rrx ← (rx − 0.5 hx) Rr

относительные средние радиусы слоев (эквивалентные с учетом Ro :=

радиусы верхних полуслоев:

for x ∈ 1 .. Qz Rox ←

Rrx Rr1

µtx ⋅hox):

Rrs :=

⋅µtx ⋅hox

for x ∈ 1 .. Qz Rrsx ← (rx − 0.25 ⋅hx)

Ro

Rrs

203


отношения средних радиусов слоев (эквивалентные с учетом µtx⋅hox): for x ∈ 1 .. Qz − 1

Ar :=

Arx ←

радиусы нижних полуслоев:

Rr( x+1) ⋅µtx+1 ⋅hox+1

for x ∈ 1 .. Qz

Rrss :=

Rrx⋅µtx⋅hox

Rrssx ← (rx − 0.75 ⋅hx)

Ar Ar14 :=

Rnob :=

Rrss 1

объемы верхних полуслоев:

Ro14 h1⋅h1

v :=

for x ∈ 1 .. Qz

tz⋅tz

vx ← 2 ⋅π ⋅Rrsx ⋅0.5 ⋅hx ⋅tz v

Rno :=

объемы нижних полуслоев:

for x ∈ 1 .. Qz Rnox ←

(Rr1) ⋅0.5 ⋅hx⋅h1 (Rrx + 0.25 ⋅hx) ⋅µ x⋅tz2

vs :=

vsx ← 2 ⋅π ⋅Rrssx⋅0.5 ⋅hx ⋅tz

Rno Rnos :=

for x ∈ 1 .. Qz

vs

for x ∈ 1 .. Qz Rnosx ←

Rr1⋅h1 ⋅0.5 ⋅hx

⎡⎣Rrx − (0.25 ⋅hx)⎤⎦ ⋅µ x⋅tz

2

Rnos

Rno15 :=

Rr1 ⋅h1⋅h14⋅0.5

1

2

0.25 ⋅h14⋅µ 14⋅tz

1 044

Проводимость полуслоя базовая:

2 0 -4

gb := γ2 ⋅0.5 ⋅µ0 ⋅h1 ⋅h1 gb = 1.272 × 10

3 .25

−4

Относительные электропроводности слоев ( проверка ):

γ =

Проводимости участков полуслоев: GXo :=

for x ∈ 1 .. Qz GXXo :=

Rr1 ⎛ hx ⎞ GXox ← γ x ⋅⎜ ⋅gb⋅ h Rr + x 0.25 ⋅hx ⎝ 1⎠

for x ∈ 1 .. Qz GXXox ← GXox ⋅

GXo GXXo

h1⋅Rr1

Rao :=

µc ⋅( Hi − Hp1) ⋅(Rr1 + 0.5 ⋅h1 + 0.5 ⋅Hi + 0.5 ⋅Hp1)

Rko :=

Hi⋅(Rr1 + 0.5 ⋅h1 + 0.5 ⋅Hi)

h1⋅Rr1

Rseo :=

Kt ⋅h1 µse ⋅Hse

204

Rrx + 0.25 ⋅hx Rrx − 0.25 ⋅hx

4

1

5

1

6

1

7

1

8

1

9

1

10

1

11

1

12

1

13

1

14

1


Расчет матричных сопротивлений слоев: Z1 :=

for x ∈ 1 .. ( 2 ⋅Qkp + Q) 1 ⎛ ⎞ + i⋅GXo1 ⋅ω if x ≤ Qkp µt 1 ⎝ ⎠ 1 ⎞ ⎛ Z1x , x ← ⎜ 2 ⋅Rno1 + + Rao + i⋅ω ⋅GXo1 if Qkp < x ≤ ( Qkp + Q) µt1 ⎝ ⎠ 1 ⎛ ⎞ + Rko + i⋅GXo1 ⋅ω if x > ( Qkp + Q) Z1x , x ← ⎜ 2 ⋅Rno1 + µt 1 ⎝ ⎠ ν ⎞ ⎛ Z1x , x−1 ← ⎜ −Rno1 − GXo1 ⋅ if x > 1 2 ⋅tz ⎠ ⎝ ν ⎞ ⎛ Z1x , x+1 ← ⎜ −Rno1 + GXo1 ⋅ if x < ( 2 ⋅Qkp + Q) 2 ⋅tz ⎠ ⎝ Z1x , x ← ⎜ 2 ⋅Rno1 + Rko +

Z1 Z :=

for y ∈ 2 .. Qz for x ∈ 1 .. ( 2 ⋅Qkp + Q)

⎡ ⎣

ZXx , x ← Roy ⋅⎢ 2 ⋅Rnoy + 2 ⋅Rnosy−1 +

⎡ ⎣ ⎡ ZXx , x+1 ← Roy ⋅⎢ −Rnoy − Rnosy−1 + ⎣

ZXx , x−1 ← Roy ⋅⎢ −Rnoy − Rnosy−1 −

1 Roy

+

1 Roy−1

ν ⎤ ⋅(GXoy + GXXoy−1) ⎥ if x > 1 2 ⋅tz ⎦ ν ⎤ ⋅( GXoy + GXXoy−1) ⎥ if x < ( 2 ⋅Qkp + Q) 2 ⋅tz ⎦

Zy ← ZX Z Z15 :=

for x ∈ 1 .. ( 2 ⋅Qkp + Q) Z15x , x ← 2 ⋅Rno15 +

1 + Rseo + i⋅GXXo14⋅ω if x > 1 Ro14

Z15x , x−1 ← −Rno15 − Z15x , x+1 ← −Rno15 +

ν ⋅GXXo14 if x > 1 2 ⋅tz ν 2 ⋅tz

⋅GXXo14 if x < ( 2 ⋅Qkp + Q)

Z15 Z1 := Z1 Z15 := Z15 R12o :=

for x ∈ 1 .. ( 2 ⋅Qkp + Q) R12ox , x ← 1 R12o

Rt1 :=

⎤ ⎦

+ i⋅( GXoy + GXXoy−1) ⋅ω ⎥ if x > 1

tz µ0 ⋅h1 ⋅2 ⋅π ⋅Rr1

gbas := gb⋅Rt1

205

ПРИЛОЖЕНИЯ Матрицы скорости вторичного элемента: Vse :=

for x ∈ 1 .. ( 2 ⋅Qkp + Q ) Vsex , x−1 ← − Vsex , x+1 ←

ν

if x > 1

2 ⋅tz

ν 2 ⋅tz

if x < ( 2 ⋅Qkp + Q )

Vsex , x ← i⋅ω Vse

Расчет МДС в индукторе:

Fs := Up ⋅Ifm

FOs :=

Fs Rt1

Расчет магнитного потока в индукторе: Z1512 := −Ar10⋅(Z15⋅Z14⋅Z13⋅Z12 − Ar14⋅Z13⋅Z12 − Ar13⋅Z15⋅Z12 − Ar12⋅Z15⋅Z14 + Ar12⋅Ar14⋅R12o) Z1511o := Z15⋅Z14⋅Z13⋅Z12⋅Z11 − Ar14⋅Z13⋅Z12⋅Z11 − Ar13⋅Z15⋅Z12⋅Z11 − Ar12⋅Z15⋅Z14⋅Z11 + Ar12⋅Ar14⋅Z11 − Ar11⋅Z15⋅Z14⋅Z13 Z1511 := Z1511o + Ar11⋅Ar13⋅Z15 Z158 := −Ar6⋅( Z1511⋅Z10⋅Z9 ⋅Z8 + Z1512⋅Z9 ⋅Z8 − Ar9⋅Z1511⋅Z8 − Ar8⋅Z1511⋅Z10 − Ar8⋅Z1512) Z157o := Z1511⋅Z10⋅Z9⋅Z8⋅Z7 + Z1512⋅Z9 ⋅Z8⋅Z7 − Ar9⋅Z1511⋅Z8⋅Z7 − Ar8⋅Z1511⋅Z10⋅Z7 − Ar8⋅Z1512⋅Z7 − Ar7⋅Z1511⋅Z10⋅Z9 Z157 := Z157o − Ar7⋅Z1512⋅Z9 + Ar7 ⋅Ar9⋅Z1511 Z154 := −Ar2⋅( Z157⋅Z6 ⋅Z5⋅Z4 + Z158⋅Z5 ⋅Z4 − Ar5⋅Z157⋅Z4 − Ar4 ⋅Z157⋅Z6 − Ar4⋅Z158) Z153o := Z157⋅Z6⋅Z5 ⋅Z4⋅Z3 + Z158⋅Z5⋅Z4⋅Z3 − Ar5⋅Z157⋅Z4⋅Z3 − Ar4 ⋅Z157⋅Z6 ⋅Z3 − Ar4⋅Z158⋅Z3 − Ar3 ⋅Z157⋅Z6⋅Z5 − Ar3⋅Z158⋅Z5 Z153 := Z153o + Ar3⋅Ar5⋅Z157 Z151 := Z153⋅Z2⋅Z1 + Z154⋅Z1 − Ar1⋅Z153 Z152 := Z153⋅Z2 + Z154 FXX :=

(

−1

FXX1 ← Rt1

)

⋅Z151

−1

−1

⋅Rt1

⋅Z152⋅FOs

FXX2 ← Z1⋅FXX1 − FOs for x ∈ 3 .. Qz + 1 FXXx ← Zx−1⋅FXXx−1 − Arx−2⋅FXXx−2 FXX

Расчет напряжения питания индуктора:

Uim := ( Rf + i⋅ω ⋅Lf) ⋅Ifp + i⋅ω ⋅Up ⋅Kf ⋅FXX1 T

Ui :=

Uim 2

T

Eim := −i⋅ω ⋅Up ⋅Kf ⋅FXX1

⎛⎜ −20.561 − 73.513i ⎞ Eim = ⎜ −60.986 + 50.62i ⎟ ⎜ 76.669 + 23.091i ⎝ ⎠

⎛⎜ 29.636 + 253.884i ⎞ Uim = ⎜ 212.654 − 148.665i ⎟ ⎜ −237.413 − 105.417i ⎝ ⎠

206

⎛ 180.742 ⎞ ⎯→ ⎜ Ui = ⎜ 183.471 ⎟

⎜ 183.681 ⎝ ⎠


Расчет мощностей и коэффициента мощности: SA := 0.5 ⋅Uim1 ⋅( Re( IfA) − i⋅Im( IfA) )

3

cosfi :=

S = 4.439 × 10 + 4.305i × 10

(

2

IfB ) +

(

IfC

3

4

3

4

SC = 1.531 × 10 + 1.443i × 10

S := SA + SB + SC 2

4

SB = 1.252 × 10 + 1.444i × 10

SC := 0.5 ⋅Uim3 ⋅( Re( IfC) − i⋅Im( IfC) )

Pind := 0.5 ⋅⎡⎣ ( IfA ) +

3

SA = 1.656 × 10 + 1.418i × 10

SB := 0.5 ⋅Uim2⋅( Re( IfB) − i⋅Im( IfB) )

4

)2⎤⎦ ⋅Rf1

S = 4.328 × 10

Pind = 1.521 × 10

Re( S) cosfi = 0.103

S

Расчет матрицы сопротивлений само- и взаимоиндукции индуктора: ⎛⎜ 1 0 0 ⎞ Ifpm := ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜0 0 1 ⎠ ⎝ T

(

⎡⎡

−1

EM := i⋅ω ⋅Up ⋅Kf ⋅⎢⎢ Rt1

⎣⎣

)

⋅Z151

−1

−1

⋅Rt1

⋅Z152⋅

1 ⎤

⎤ ⎥ ⋅Up⋅Kf ⋅Ifpm⎥ ⎦

Rt1⎦

⎛⎜ 0.12 + 0.623i −0.02 − 0.037i −0.043 − 0.075i ⎞ EM = ⎜ −0.02 − 0.037i 0.12 + 0.623i −0.043 − 0.075i ⎟ ⎜ −0.043 − 0.075i −0.043 − 0.075i 0.121 + 0.623i ⎠ ⎝


for x ∈ 1 .. ( 2 ⋅Qkp + Q) Dx , x−1 ← −1 if x > 1 Dx , x+1 ← 1 if x < ( 2 ⋅Qkp + Q ) D

BXX :=

for x ∈ 1 .. Qz BXXx ← 2 ⋅π ⋅(Rrx + 0.5 ⋅hx) BXX

BnX :=


1 2 ⋅tz⋅BXXx

⋅D⋅FXXx

BnX BX :=

for x ∈ 1 .. Qz BXx ← 2 ⋅π ⋅Rrx BX

BtX :=

for x ∈ 2 .. Qz BtXx ←

(FXXx − FXXx−1) hx−1 ⋅BXx−1

BtX

207

4

3

ПРИЛОЖЕНИЯ BtX1 :=

FXX1

( Hi − Hp1) ⋅2 ⋅π ⋅(Rr1 + 0.5 ⋅h1 + 0.5 ⋅Hi + 0.5 ⋅Hp1) 0 − FXX15

BtX15 :=

Hse⋅BXX14


for x ∈ 1 .. Qz IcXx ← −GXox ⋅Rt1⋅Vse⋅FXXx IcX

IcXX :=

for x ∈ 1 .. Qz IcXx ← −GXXox⋅Rt1⋅Vse⋅FXXx+1 IcX

Расчет тяговых усилий полуслоев во вторичном элементе через потоки: FF1 :=

for y ∈ 1 .. Qz FJ ← FXXy IJ ← IcXy for x ∈ 1 .. ( 2 ⋅Qkp + Q − 2) Forcex ←

1 ⋅Re⎡(FJx+2 − FJx) ⋅(Re(IJx+1) − i⋅Im(IJx+1))⎤⎦ 4 ⋅tz ⎣

FF1y ← Force FF1 SumForce1 :=

for x ∈ 1 .. Qz SumForce1x ←

∑FF1x ∑SumForce1 = 157.359

SumForce1 FF2 :=

for y ∈ 1 .. Qz FJ ← FXXy+1 IJ ← IcXXy for x ∈ 1 .. ( 2 ⋅Qkp + Q − 2) Forcex ←

1 ⋅Re⎡⎣(FJx+2 − FJx) ⋅(Re(IJx+1) − i⋅Im(IJx+1))⎤⎦ 4 ⋅tz

FF2y ← Force FF2 SumForce2 :=

for x ∈ 1 .. Qz SumForce2x ←

∑FF2x

SumForce2

∑SumForce2 = 43.64 208


209


210


Характеристики ЛИМ (система СИ) Структура обмотки индуктора: 1

T

RMK =

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

1

1

1

-1 0

3

0

0

0

-1

-1

-1

0

0

0

0

Параметры слоев: T

r =

1 1

T

µ =

γ

T

=

1 1

1

2

3

0.126 0.117

1

2 1

3

4

0.11

4

1

1

1 2 0.044 1·10 -4

5

5

0.1

6

1

3

1

6

7

8

9

10

0.09 0.081 0.072 0.063 0.054 0.045

7

8

1

4

23.25

9

1

10

1

1

5 1

6 1

7 1

8 1

9 1

10 1

1

Количество участков в активной и краевых зонах, слоев в зазоре:

Q = 18

Число витков в пазу:

Up = 18

Полюсное деление, частота и скорость ВЭ:

τ = 0.12

Усилия тяговое и левитации:

Qkp = 22

Qz = 14

F1 = 50

ν =0

∑SumForcet = 436.926

Fsum = 200.999

Токи и напряжения фаз: 79 ⎛⎜ ⎞ = ⎜ −39.5 − 68.416i ⎟ 2 ⎜ ⎝ −39.5 + 68.416i ⎠

Ifp

⎛⎜ 20.956 + 179.523i ⎞ = ⎜ 150.369 − 105.122i ⎟ 2 ⎜ −167.876 − 74.541i ⎝ ⎠

Uim

If = 79

Мощность, потребляемая ЛИМ: КПД и коэффициент мощности:

Матрица сопротивлений взаимоиндукции:

3

4

Fsum⋅ν Re( S)

η =0

S = 4.439 × 10 + 4.305i × 10

η :=

⎛⎜ 0.12 + 0.623i

⎛ 180.742 ⎞ ⎯→ ⎜ Ui = ⎜ 183.471 ⎟ ⎜ 183.681 ⎝ ⎠ 4

S = 4.328 × 10

cosfi = 0.103

−0.02 − 0.037i −0.043 − 0.075i ⎞

EM = ⎜ −0.02 − 0.037i

0.12 + 0.623i −0.043 − 0.075i ⎟ ⎜ −0.043 − 0.075i −0.043 − 0.075i 0.121 + 0.623i ⎝ ⎠

⎛ 0.634 0.042 0.086 ⎞ ⎯⎯ → ⎜ EM = ⎜ 0.042 0.634 0.086 ⎟ ⎜ 0.086 0.086 0.635 ⎝ ⎠

211

ПРИЛОЖЕНИЯ 0.1 0.09

( BnX1) x ( BnX2) x

0.08

( BnX3) x

0.07

( BnX4) x

0.06

( BnX5) x

0.05

( BnX6) x

0.04

( BnX7) x ( BnX8) x

0.03

( BnX14) x

0.02 0.01 10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

x

0.2

( BtX1) x ( BtX2) x

0.15


0.1


0.05

( BtX14) x

10

15

20

25

30

35 x

212

40

45

50

55


700

( IcX1) x ( IcX2) x ( IcX3) x

600

500

2

( IcX4) x

400

( IcX5) x ( IcX6) x ( IcX7) x ( IcX8) x ( IcX14) x

300

200

100

0

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

x

0.5

( FF11) x

0.4

( FF12) x ( FF13) x

0.3

25

( FF14) x ( FF15) x

0.2

( FF16) x ( FF17) x

0.1

( FF18) x ( FF114) x

0

0.1

10

15

20

25

30

35 x

213

40

45

50

55


( IcXX1) x

25

( IcXX2) x ( IcXX3) x

20

25


15


10


5

0

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

x

0.06

( FF21) x 10

0.05

( FF22) x 2

0.02⋅( FF23) 0.04 x

( FF24) x ( FF25) x ( FF26) x

0.03

0.02

( FF27) x ( FF28) x

0.01

( FF214) x 0

0.01

10

15

20

25

30

35 x

214

40

45

50

55


5

2.5 .10

5

2 .10

( v3) − 1⋅( FF13) x

5

1.5 .10

( vs3) − 1⋅( FF23) x 10⋅⎡ ( v4)

⎣

−1

10⋅⎡ ( vs4)

⎣

( v3+vs3)

⋅( FF14)

−1

−1

⎤ 1 .105

x⎦

⋅( FF24)

⎤

x⎦

4

5 .10

⋅( FF13+FF23)

x

10

15

20

25

30

35

4

5 .10

x

Bn

215

40

45

50

55


ПРИЛОЖЕНИЕ 6 Расчет индукционных устройств с вращающимся полем методом детализированных схем замещения (каф. ЭЭТС УГТУ, рук. Сарапулов Ф.Н.) Автор входной формы и циклических процедур: Егоров Алексей, 05.03.1999, 20.08.99. Переработана на устройство с вращающимся полем (Сарапулов Ф.Н., Сарапулов C.Ф.)

(входные данные аналогичны прил. 1)

Расчет матриц магнитных сопротивлений: удельные электропроводности материалов слоев ( в долях от γ2 ): T

γtr := ( 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 1 1 1 1 1 1 1 1 )

γ := γtr

относительные нормальные магнитные проницаемости слоев: T

µtr := ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )

µ := µtr

относительные тангенциальные магнитные проницаемости слоев: µttr := ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )

T

µt := µttr

внешние радиусы слоев: rtr := 10

−3

толщины слоев: h :=

r := rtr

зубцовые деления слоев:

for x ∈ 1 .. Qz hx ← (rx − rx+1)

r15 := 0 tz :=

средние радиусы слоев:

ho :=

for x ∈ 1 .. Qz

for x ∈ 1 .. Qz hox ←

Rrx ← (rx − 0.5 hx)

(rx − rx+1) h1

ho

Rr

относительные средние радиусы слоев (эквивалентные с учетом µtx⋅hox): радиусы верхних полуслоев: Ro := for x ∈ 1 .. Qz Rox ←

2 ⋅π ⋅r Q

относительные толщины слоев:

h

Rr :=

T

⋅( 304 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 35 )

Rrx

Rrs :=

1 ⋅ Rr1 µtx⋅hox

for x ∈ 1 .. Qz Rrsx ← (rx − 0.25 ⋅hx)

Ro

Rrs

216


отношения средних радиусов слоев (эквивалентные с учетом for x ∈ 1 .. Qz − 1

Ar :=

Arx ←

µtx⋅hox):

радиусы нижних полуслоев:

Rox

for x ∈ 1 .. Qz

Rrss :=

Rox+1

Rrssx ← (rx − 0.75 ⋅hx)

Ar

Rrss

Ar14 := Ro14

for x ∈ 1 .. Q

R12o :=

объемы верхних полуслоев:

R12ox , x ← 1

v :=

for x ∈ 1 .. Qz

R12o

vx ← 2 ⋅π ⋅Rrsx ⋅0.5 ⋅hx ⋅

y := 1 .. Qz aay := (Ary)

−1

Q

v

объемы нижних полуслоев:

ay := aay ⋅R12o

линейные скорости слоев: νl :=

Bi

vs :=

for x ∈ 1 .. Qz

for x ∈ 1 .. Qz

vsx ← 2 ⋅π ⋅Rrssx⋅0.5 ⋅hx⋅

νlx ← rx⋅ν x

Bi Q

vs

νl

Rno :=

for x ∈ 1 .. Qz

Rnox ←

0.5 ⋅hx⋅h1 ⋅( Q )

2

(Rrx + 0.25 ⋅hx) ⋅µx⋅Rr1⋅4 ⋅π 2

Rno

Rnos :=

for x ∈ 1 .. Qz

Rnosx ←

0.5 ⋅hx⋅h1 ⋅( Q )

2

(Rrx − 0.25 ⋅hx) ⋅µx⋅Rr1⋅4 ⋅π 2

Rnos

Rno15 :=

h1 ⋅h14⋅0.5 ⋅( Q)

(

0.25 ⋅h14⋅µ 14⋅ 4 ⋅π

2

) ⋅Rr1

RnoQz+1 := RnosQz

2

Проводимость полуслоя базовая:

−4

gb := γ2 ⋅0.5 ⋅µ0 ⋅h1 ⋅h1

gb = 9.41 × 10

Проводимости участков полуслоев: GXo :=

for x ∈ 1 .. Qz

Rr1 ⎛ hx ⎞ ⎛ ⎞ GXox ← γ x⋅⎜ ⋅gb⋅⎜ h Rr + 0.25 ⋅ h 1 x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−1

GXXo :=

for x ∈ 1 .. Qz

⎛ Rrx + 0.25 ⋅hx ⎞

−1

GXXox ← GXox⋅⎜

⎝ Rrx − 0.25 ⋅hx ⎠

GXo

GXXo

Rao :=

Rko :=

h1 ⋅(Rr1 + 0.5 ⋅h1 + 0.5 ⋅Hi + 0.5 ⋅Hp1)

−3

Rao = 6.062 × 10

µc ⋅( Hi − Hp1) ⋅Rr1

h1 ⋅(Rr1 + 0.5 ⋅h1 + 0.5 ⋅Hi) Hi⋅Rr1

Rseo :=

Kt ⋅h1 µse ⋅2 ⋅Rr1

217

Rseo = 41.096


Расчет матричных сопротивлений слоев: Z1 :=

for x ∈ 1 .. Q ν 1 ⋅Q

Z11 , Q ← −Rno1 − GXo1 ⋅

4 ⋅π

( ) Z1x , x ← (2 ⋅Rno1 + Ro1 + Rao + i⋅ω ⋅GXo1) Z1x , x ← (2 ⋅Rno1 + Ro1 + Rko + i⋅ω ⋅GXo1) Z1x , x ← (2 ⋅Rno1 + Ro1 + Rao + i⋅ω ⋅GXo1) Z1x , x ← 2 ⋅Rno1 + Ro1 + Rko + i⋅ω ⋅GXo1

Z1Q , 1 ← −Rno1 + GXo1⋅

if 1 ≤ x ≤ Qkp1 if Qkp1 < x ≤ Qkp1 + Qi if Qkp1 + Qi < x ≤ Qkp1 + Qi + Qkp2 if Qkp1 + Qi + Qkp2 < x ≤ Q

ν 1 ⋅Q 4 ⋅π

⎛

Z1x , x−1 ← ⎜ −Rno1 − GXo1⋅

ν 1 ⋅Q ⎞

if x > 1

4 ⋅π ⎠ ⎝ ν 1 ⋅Q ⎞ ⎛ Z1x , x+1 ← ⎜ −Rno1 + GXo1⋅ if x < Q 4 ⋅π ⎠ ⎝ Z1 Z :=

for y ∈ 2 .. Qz for x ∈ 1 .. Q ZXx , x ← aay−1 ⋅(Roy)

−1

ZXx , x−1 ← aay−1 ⋅(Roy)

⋅⎡⎣ 2 ⋅Rnoy + 2 ⋅Rnosy−1 + (Roy) + (Roy−1) + i⋅(GXoy + GXXoy−1) ⋅ω ⎤⎦ if x ≥ 1

−1 ⎡

Q

⎣

4 ⋅π

⋅⎢ −Rnoy − Rnosy−1 −

)⎤

(

⋅ GXoy ⋅ν y + GXXoy−1 ⋅ν y−1 ⎥ if x > 1

⎦

Q ⎤ ⎡ ⋅(GXoy ⋅ν y + GXXoy−1⋅ν y−1) ⎥ if x Q 4 ⋅π ⎣ ⎦ Q −1 ⎡ ⎤ ZXx , Q ← aay−1⋅(Roy) ⋅⎢ −Rnoy − Rnosy−1 − ⋅(GXoy ⋅ν y + GXXoy−1⋅ν y−1) ⎥ if x 1 4 ⋅π ⎣ ⎦ Q −1 ⎡ ⎤ ZXx , x+1 ← aay−1 ⋅(Roy) ⋅⎢ −Rnoy − Rnosy−1 + ⋅(GXoy⋅ν y + GXXoy−1⋅ν y−1) ⎥ if x < Q 4 ⋅ π ⎣ ⎦

ZXx , 1 ← aay−1 ⋅(Roy)

−1

⋅⎢ −Rnoy − Rnosy−1 +

Zy ← ZX Z Z15 :=

for x ∈ 1 .. Q

(

)

Z15x , x ← 2 ⋅RnoQz+1 + RoQz + Rseo + i⋅GXXoQz⋅ω ⋅aaQz if x ≥ 1

⎛

Z15x , x−1 ← ⎜ −RnoQz+1 −

ν Qz⋅Q

⎞

⋅GXXoQz ⋅aaQz if x > 1

4 ⋅π ⎝ ⎠ Q ⋅ν Qz ⎛ ⎞ Z15x , x+1 ← ⎜ −RnoQz+1 + ⋅GXXoQz ⋅aaQz if x < Q 4 ⋅π ⎝ ⎠ ν Qz ⋅Q ⎛ ⎞ Z15x , Q ← ⎜ −RnoQz+1 − ⋅GXXoQz ⋅aaQz if x 1 4 ⋅π ⎝ ⎠ Q ⋅ν Qz ⎛ ⎞ Z15x , 1 ← ⎜ −RnoQz+1 + ⋅GXXoQz ⋅aaQz if x Q 4 ⋅π ⎝ ⎠ Z15 Z1 := Z1

218

ПРИЛОЖЕНИЯ Z15 := Z15 for x ∈ 1 .. Q

R12o :=

R12ox , x ← 1 R12o 2 ⋅π ⋅Rr1

Rt1 :=

gbas := gb⋅Rt1

µ0 ⋅h1⋅Q ⋅Bi⋅µt1

Матрицы скорости вторичного элемента: Vse :=

for y ∈ 1 .. Qz for x ∈ 1 .. Q Vsx , x−1 ← −

ν y ⋅Q 4 ⋅π

ν y ⋅Q

Vsx , x+1 ←

4 ⋅π

Vs1 , Q ← −

if x > 1 if x < Q

ν y ⋅Q 4 ⋅π

ν y ⋅Q

VsQ , 1 ←

4 ⋅π

Vsx , x ← i⋅ω Vsey ← Vs Vse

МДС пазов индуктора:

Fs := Up ⋅Ifm

Расчет магнитного потока в индукторе:

FOs :=

FXXQz+1 := 0 ⋅R12o

b1 := Z1 ⋅Z2 − R12o b2 := b1⋅Z3 − Z1⋅a1 x := 3 .. Qz − 1 bx := (bx−1 ⋅Zx+1 − bx−2⋅ax−1)

(

−2

FXXQz := Rt1

)

⋅bQz−1

−1

−2

⋅Rt1

⋅FOs

FXXQz−1 := ZQz ⋅FXXQz x := 2 .. Qz − 1 FXXQz−x := ZQz−( x−1) ⋅FXXQz−( x−1) − aQz−x⋅FXXQz−( x−2)

(Z1⋅FXX1 − FXX2)T = должно быть равно

1

T

FOs =

1 -8.389·10 -9+3.971i·10 -9

1 1

2 0

2 1.803·10 -9+6.343i·10 -9

3 0

проверка

4 0

219

3 -7.731·10 -9+1.461i·10 -9

5 0

6 0

7 0

0

Fs Rt1

ПРИЛОЖЕНИЯ Расчет напряжения питания индуктора: Uim := (Rf + i⋅ω ⋅Lf) ⋅Ifp + i⋅ω ⋅Up⋅Kf ⋅FXX1 T

UL :=

1 3

Ui :=

⋅( Ui1 + Ui2 + Ui3 ) ⋅ 3

⎛⎜ 84.174 + 523.599i ⎞

Uim

Uim = ⎜ 484.916 − 239.552i ⎟

⎜ −512.303 − 260.766i ⎝ ⎠

2

⎛ 374.994 ⎞ ⎯→ ⎜ Ui = ⎜ 382.446 ⎟

UL = 671.99

⎜ 406.481 ⎝ ⎠

Расчет ЭДС индуктора:

⎛⎜ −74.003 − 305.375i ⎞

T

Eim = ⎜ −301.015 + 121.631i ⎟

Eim := −i⋅ω ⋅Up⋅Kf ⋅FXX1

⎜ 318.23 + 160.464i ⎝ ⎠

Расчет мощностей в фазах и полной : SA := 0.5 ⋅Uim1⋅( Re( IfA) − i⋅Im( IfA) )

SA = 2.797 × 10 + 1.74i × 10

SB := 0.5 ⋅Uim2⋅( Re( IfB) − i⋅Im( IfB) )

SB = −1.163 × 10 + 1.794i × 10

SC := 0.5 ⋅Uim3⋅( Re( IfC) − i⋅Im( IfC) )

SC = 1.008 × 10 + 1.908i × 10

4

5

4

4

S := SA + SB + SC

5

5

4

S = 2.642 × 10 + 5.442i × 10

5

S = 5.448 × 10

5

Потери в обмотке индуктора: Pind := 0.5 ⋅⎡⎣ ( IfA ) + 2

(

2

IfB ) +

(

IfC

)2⎤⎦ ⋅Rf1

Pind = 1.014 × 10

Расчет cosφ: cosfi :=

Re( S) S

cosfi = 0.048 n := 0 .. Q 0.01 0.0075


Dx , x−1 ← −1 if x > 1

n⎤ ⎦ 0.0025

Re ⎡( FXX2)

n⎤ ⎦

⎣

Dx , x+1 ← 1 if x < Q

Re ⎡( FXX3)

DQ , 1 ← 1

Re ( FXX4) n

D1 , Q ← −1

⎣

0 0.0025

n⎤ ⎦ 0.005

0.0075 0.01

D BnX :=

Re ⎡( FXX1)

⎣

for x ∈ 1 .. Q

0.005

0.0125 0.015


Q 2 ⋅π ⋅rx ⋅Bi

0

10

20

30 n

⋅D⋅FXXx

BnX

220

40

50

60

4

ПРИЛОЖЕНИЯ BX :=

for x ∈ 1 .. Qz BXx ← 2 ⋅π ⋅Rrx BX

BtX :=

( rn) − 1

for x ∈ 2 .. Qz BtXx ←

1000⋅hn

(FXXx − FXXx−1) hx−1 ⋅Bi

BtX

BtX1 :=

FXX1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 n

0 − FXX15

BtX15 :=

( Hi − Hp1) ⋅Bi

40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 0

Hse⋅Bi

Расчет токов в полуслоях вторичной среды: for x ∈ 1 .. Qz

IcX :=

IcXx ← −GXox ⋅Rt1⋅Vsex ⋅FXXx IcX IcXX :=

for x ∈ 1 .. Qz − 1 IcXx ← −GXXox ⋅Rt1⋅Vsex ⋅FXXx+1 IcX

Расчет тяговых усилий полуслоев FF1 :=

for y ∈ 1 .. Qz FJ ← FXXy IJ ← IcXy for x ∈ 1 .. Q − 2 Forcex ←

1 4 ⋅tzy

⋅Re⎡⎣( FJx+2 − FJx) ⋅( Re( IJx+1) − i⋅Im( IJx+1) )⎤⎦

FF1y ← Force FF1

SumForce1 :=

for x ∈ 1 .. Qz − 1 SumForce1x ←

∑FF1x ∑SumForce1 = 408.422

SumForce1 FF2 :=

for y ∈ 1 .. Qz − 1 FJ ← FXXy+1 IJ ← IcXXy for x ∈ 1 .. Q − 2 Forcex ←

1 4 ⋅tzy+1

⋅Re⎡⎣(FJx+2 − FJx) ⋅( Re( IJx+1) − i⋅Im( IJx+1))⎤⎦

FF2y ← Force FF2

221

ПРИЛОЖЕНИЯ for x ∈ 1 .. Qz − 1

SumForce2 :=

SumForce2x ←

∑FF2x

SumForce2 FT :=

∑SumForce2 = 176.443

Fsum :=

∑SumForce1 + ∑SumForce2

for y ∈ 1 .. Qz − 1 Fsum = 584.865

BJ ← BtXy+1 IJ ← ( IcXy + IcXXy) for x ∈ 1 .. Q − 2 Forcex ←

Bi ⋅Re⎡⎣(BJx) ⋅(Re(IJx) − i⋅Im(IJx) )⎤⎦ 2

FTy ← Force FT for x ∈ 1 .. Qz − 1

SumForcet :=

SumForcetx ←

∑FTx ∑SumForcet = 839.176

SumForcet

Подготовка данных к построению графиков: Bn :=

for x ∈ 1 .. Qz 〈x〉 Bn ← BnXx

Bt :=

Bn

for x ∈ 1 .. Qz 〈x〉 Bt ← BtXx

Ft :=

Bt IC :=

for x ∈ 1 .. Qz − 1 〈x〉 Ft ← FTx Ft

for x ∈ 1 .. Qz − 1 〈x〉 IC ← IcXx + IcXXx IC

F

222

F :=

for x ∈ 1 .. Qz − 1 〈x〉 F ← FF1x + FF2x F


0.9

0.8

0.7

0.6

⎡⎛ ⎯⎯→ T ⎞〈13〉⎤ ⎢ ( Bn ) ⎥ ⎣⎝ ⎠ ⎦n

(

)

⎡⎛ ⎯⎯→ T ⎞〈13〉⎤ ⎢ ( Bt ) ⎥ ⎣⎝ ⎠ ⎦n

(

)

0.5

〈13〉 ⎡⎛ → T ⎞ ⎤⎥ ⎢ 10− 4⋅ ⎯IC ⎣⎝ ⎠ ⎦ n 0.4

(

)

〈13〉 ⎡⎛ → T ⎞ ⎤⎥ ⎢ 10− 1⋅ ⎯ F ⎣⎝ ⎠ ⎦n

(

)

0.3

0.2

0.1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

n

Параметры слоев: γ

T

=

1 2 3 4 5 6 1 1·10 -5 1·10 -5 1·10 -5 1·10 -5 1·10 -5 1·10 -5

7

8 1

9 1

10 1

1

Распределение токов фаз обмотки по пазам: 1

Kf

T

=

2

3

4

5

6

7

8

9

τ = 0.314 Qz = 14

10

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

F1 = 50 Up = 9 6

γ2 = 2.6 × 10

Количество участков по длине окружности - общее, под каждым (из двух) индуктором, в зонах между индукторами:

223

Q = 54

Qi = 18

Qkp1 = 9

ПРИЛОЖЕНИЯ Характеристики электромагнитного вращателя 470 ⎞ ⎛ Токи (А) и напряжения (В) фаз: Ifp ⎜ 2

⎛⎜ 59.52 + 370.24i ⎞ = ⎜ 342.888 − 169.389i ⎟ 2 ⎜ −362.253 − 184.39i ⎝ ⎠

Uim

= ⎜ −235 − 407.032i ⎟

⎜ −235 + 407.032i ⎝ ⎠

Ui1 = 374.994

If = 470

4

Pind = 1.014 × 10

Потери в индукторах (Вт): 4 5 Полная мощность (ВА): S = 2.642 × 10 + 5.442i × 10 Суммарное вращающее усилие (Н):

S = 5.448 × 10 Fsum = 584.865

∑SumForcet = 839.176

Суммарное радиальное усилие (Н): Коэффициент мощности: Распределение вращающих усилий по слоям (Н): T

SumForce1 = T

SumForce2 =

1

2

3

4

0.095

0.048

0.031

0.019

1

2

3

4

1

0.06

1

0.032

0.02

cosfi = 0.048

6 0.011 5.476·10 -3

243.679

5 6 0.011 5.757·10 -3 2.576·10 -3

105.538

Компенсирующая емкость (Ф):

5

C :=

5

Im( S) ω ⋅( Ui1

)2

20

25

7

7

C = 0.012

Распределение МДС (токов) по пазам: FN :=

for x ∈ 1 .. Q x

FN x ←

(

)

0

5

⎯⎯⎯ → 18 ⋅ Re( Ifm) x

∑

x=1

FN 4

6 .10

4

4 .10

(

)

⎯⎯⎯ → 18⋅ Re ( Ifm) n

4

2 .10

FNn

10

15

30

4

2 .10

n

224

35

40

45

50

55


⎯→ Bn

⎯→ Bt

⎯ → F

⎯→ IC

FN := ( SumForce1 + SumForce2) νs :=

for x ∈ 3 .. Qz − 1 νsx ← 0.5 ⋅

FNx ⋅hx 2 ⋅Bi⋅(rx) ⋅2 ⋅π 2

νs

распределение скоростей по слоям расплава

νss := stack(νs , 0) N :=

60 2 ⋅π

x := 1 .. 12

+ ν x+1 ⋅rx+1 + ν x−1 ⋅rx−1

rx ⋅νsx =

⋅νss

1

200

νss = Nx

100 50

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x

225

0

1

0

1

0

2

0

2

0

0 3.085·10 -4

3 1.186·10 -3

3

0.011

1.99·10 -4

-3

1.192·10 -4

5 5.416·10 -4

5 5.172·10 -3

6.408·10 -5

6 3.204·10 -4

6

3.06·10 -3

3.088

7

163.811

1.415

4 8.293·10

150

1

-4

4 7.919·10

N =

7

17.154

8

8.846

8

84.476

0.656

9

4.683

9

44.716

0.305

10

2.538

10

24.236

0.138

11

1.382

11

13.194

0.057

12

0.717

12

6.85

13

0.452

13

4.32

14

0

14

0


0.4

( BnX1) x ( BnX2) x

0.35


0.3

0.25


0.2

0.15

( BnX9) x

0.1

0.05

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

x

0.5

( BtX1) x ( BtX2) x

0.4

( BtX3) x ( BtX4) x

0.3


0.2

( BtX10) x ( BtX9) x

0.1

0

5

10

15

20

25

30 x

226

35

40

45

50

55


800 750 700

( IcX10)

x

650

( IcX11) x

600

( IcX12) x

550

( IcX13) x ( IcX14)

x

500 450 400

( IcX6) x

350

( IcX7) x

300

( IcX8) x ( IcX9) x

250 200 150 100 50 0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

35

40

45

50

55

x

10

( FF17) x

8

( FF18) x ( FF19) x ( FF110) x

6

( FF111) x ( FF112) x ( FF113) x

4

( FF114) x ( FF112) x

2

0

0

5

10

15

20

25

30 x

227


( IcXX1) x

400

( IcXX2) x ( IcXX3) x ( IcXX4) x

300

( IcXX5) x ( IcXX6) x ( IcXX7) x

200


100

0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

x

4

3.5

( FF21) x ( FF22) x ( FF23) x ( FF24) x ( FF25) x ( FF26) x ( FF27) x ( FF28) x ( FF29) x

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0.5

0 2.75 5.5 8.25 11 13.7516.5 19.25 22 24.75 27.530.25 33 35.75 38.5 41.25 44 46.75 49.5 52.25 55 x

228


Распределение удельных вращающих усилий и магнитной индукции в слоях металла 5

1 .10

4

( v7)

−1

⋅( FF17)

8 .10 x

( vs7) − 1⋅( FF27) x

4

6 .10

⎡ ( v8) − 1⋅( FF18) ⎤ x⎦ ⎣ ⎡ ( vs8) − 1⋅( FF28) ⎤ x⎦ ⎣

( v7+vs7) − 1⋅( FF17+FF27) x

4

4 .10

4

2 .10

0

10

20

30 x

Bn

229

40

50

60


ПРИЛОЖЕНИЕ 7 Расчет динамики индукционных устройств методом детализированных схем замещения (каф. ЭЭТС УГТУ, рук. Ф.Н. Сарапулов) Автор программы для статики: Егоров А.В., 5.03.1999, версия от 18.04.1999 Авторы программы "динамика": Сарапулов Ф.Н., Черных И.В. (входные данные аналогичны прил. 4) ⎛ ⎞ Uf ⋅ 2 ⋅sin(ω ⋅t) ⎜ ⎜ Uf ⋅ 2 ⋅sin⎛⎜ ω ⋅t − 2 ⋅π ⎞ ⎟ Ufp( t) := ⎜ 3 ⎠⎟ ⎝ ⎜ ⎟ ⎜ Uf ⋅ 2 ⋅sin⎛⎜ ω ⋅t + 2 ⋅π ⎞ 3 ⎠⎠ ⎝ ⎝

Формирование матрицы напряжений фаз индуктора Матрицы магнитных сопротивлений Rn :=

δecv 2 µ0 ⋅tz⋅Bi

Rt :=

1 tz⋅Ktwo ⋅ µ0 δecv⋅Bi

1

Ran :=

1

6

Rn = 2.197 × 10

7

Rt = 1.441 × 10

tz Bi ⋅ ( Hi − Hp1) µ0 ⋅µc

Rank :=

Ranse := R11 :=

⋅

1

3

⋅

Ran = 1.887 × 10

tz

⋅

5

Rank = 8.256 × 10

µ0 Bi⋅Hi 1

⋅

tz⋅Kt

4

Ranse = 1.321 × 10

µ0 ⋅µse Bi⋅Hse for x ∈ 1 .. ( 2 ⋅Qkp + Q) R11x, x ← ( 2 ⋅Rn + Rt + Rank) if x ≤ Qkp R11x, x ← ( 2 ⋅Rn + Rt + Ran) if Qkp < x ≤ ( Qkp + Q) R11x, x ← ( 2 ⋅Rn + Rt + Rank) if x > ( Qkp + Q) R11x, x−1 ← −Rn if x > 1 R11x, x+ 1 ← −Rn if x < ( 2 ⋅Qkp + Q) R11

R22 :=

for x ∈ 1 .. ( 2 ⋅Qkp + Q) R22x, x ← ( 2 ⋅Rn + Rt + Ranse) if x ≤ Qkp R22x, x ← ( 2 ⋅Rn + Rt + Ranse) if Qkp < x ≤ ( Qkp + Q ) R22x, x ← ( 2 ⋅Rn + Rt + Ranse) if x > ( Qkp + Q ) R22x, x−1 ← −Rn if x > 1 R22x, x+ 1 ← −Rn if x < ( 2 ⋅Qkp + Q) R22

R12 :=

for x ∈ 1 .. ( 2 ⋅Qkp + Q) R12x, x ← Rt R12

230


231


Матрицы вторичного элемента fun_Vse(ν ) :=

for x ∈ 1 .. ( 2 ⋅Qkp + Q)

Vsex, x−1 ← − Vsex, x+ 1 ←

ν if x > 1 2 ⋅tz

ν if x < ( 2 ⋅Qkp + Q ) 2 ⋅tz

Vsex, x ← 0 Vse

rc :=

1

Bi

⋅

γ2 ∆se ⋅tz⋅Kt

rc = 1.339 × 10

−4

for x ∈ 1 .. ( 2 ⋅Qkp + Q )

Rc :=

Rcx, x ← rc Rc lc := 0

lc = 0

for x ∈ 1 .. ( 2 ⋅Qkp + Q )

Lc :=

Lcx, x ← lc Lc

Свертывание магнитной схемы

Kf := stack( PrM , Kfk) ⋅Up KF := Kf

( − 1⋅R22 − R11− 1⋅R12) −1 −1 −1 B := (R12 ⋅R11 − R22 ⋅R12)

−1

A := R12

−1

a11 := A ⋅R11

⋅Kf

−1

a22 := A ⋅R12

−1

b11 := B⋅R12

⋅Kf

−1

b22 := B⋅R22

A11 := Lf + KF ⋅b11 A12 := KF ⋅b22 A21 := a11 A22 := Lc + a22

(

−1

AA := A22 − A21 ⋅A11

)− 1

⋅A12

Учет изменения скорости fun_BB(ν ) := A21⋅A11

−1

⋅Rf − fun_Vse(ν ) ⋅a11

fun_d(ν ) := Rc + Lc⋅fun_Vse(ν ) + fun_Vse(ν ) ⋅a22 −1

K1 := A11

−1

+ A11

−1

⋅A12⋅AA⋅A21⋅A11

232

T

ПРИЛОЖЕНИЯ fun_K2(ν ) := A11

⋅( Rf + A12⋅AA⋅fun_BB( ν ))

fun_K3(ν ) := A11

⋅A12 ⋅AA⋅fun_d(ν )

−1 −1

⎛⎜ 22.395 0.146 0.133 ⎞ K1 = ⎜ 0.146 21.839 0.146 ⎟ ⎜ 0.133 0.146 22.395 ⎝ ⎠

−1

K4 := −AA⋅A21 ⋅A11

fun_K5(ν ) := AA⋅fun_BB(ν ) fun_K6(ν ) := AA⋅fun_d( ν ) STA := augment( a11 , a22) STB := augment( b11 , b22) T1 := stack( K1 , K4) fun_T21(ν ) := stack( −fun_K2(ν ) , fun_K5( ν )) fun_T22(ν ) := stack( fun_K3(ν ) , −fun_K6( ν )) fun_T2( ν ) := augment( fun_T21( ν ) , fun_T22(ν ) )

Матрица выделения токов стержней SS := −R12⋅STB + R22⋅STA D1 :=

for x ∈ 1 .. ( 2 ⋅Qkp + Q) D1x, x−1 ← −1 if x > 1 D1x, x+ 1 ← 1 if x < ( 2 ⋅Qkp + Q) D1

Выделение скорости из числового массива

(

)

fun_ν x , Nν , ν const :=

ν ← xORIGIN+ 2⋅ Qkp+ Q+ m ν ← ν const if Nν > 0.5 ν

Выделение токов из числового массива fun_izvl_Ix ( ) := submatrixx [ , ( ORIGIN) , ( ORIGIN + 2 ⋅Qkp + Q + m − 1) , ORIGIN , ORIGIN]

Система дифференциальных уравнений ("электромагнитных")

(

(

))

Da( t , x) := T1⋅Ufp( t) + fun_T2 fun_ν x , Nν , ν const ⋅fun_izvl_Ix ( )

Определение тягового усилия fun_F1( Z) :=

I ← fun_izvl_IZ ( ) T

F←

[ D1⋅( STA⋅I) ] ⋅( SS ⋅I) 2 ⋅tz

F

233


Уравнение движения Db( t , x) :=

D←

1 ⋅( fun_F1( x) − Fc) М

D ← 0 if Nν > 0.5 D

Полная система дифференциальных уравнений D( t , x) := stack( Da( t , x) , Db( t , x) ) x2⋅ Qkp+ Q+ m+ 1 := 0 nрасч := 24

число точек расчета на период

nпер := 50

число периодов

t0 := 0

начальное время

tk :=

1 ⋅nпер F1

конечное время

tk = 1 полное число точек расчета

n := nрасч ⋅nпер 3

n = 1.2 × 10

Решение системы уравнений Z := rkfixed( x , t0 , tk , n , D)

(

〈〉 n := ORIGIN .. last Z 1

)

〈〉 t := Z 1 〈〉 IfA := Z 2

〈〉 IfB := Z 3

〈〉 IfC := Z 4

〈〉 Ic1 := Z 5

〈〉 Ic2 := Z 6

〈〉 Ic3 := Z 7

〈〉 Ic4 := Z 8

〈〉 Ic5 := Z 9

〈 〉 Ic6 := Z 10

〈 〉 Ic7 := Z 11

〈 〉 Ic8 := Z 12

〈 〉 Ic9 := Z 13

〈 〉 Ic10 := Z 14

V :=

〈 〉 V ← Z 2⋅ Qkp+ Q+ m+ 2

(

〈 〉 for n ∈ ORIGIN .. last Z 2⋅ Qkp+ Q+ m+ 2 Vn ← ν const V

234

)

if Nν > 0.5


15 12 9 6

IfA n

3

IfBn

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.6

0.7

0.8

0.9

IfCn 3 6 9 12 15 tn

200

150

100

Ic10n

50

Ic5n 0

Ic7n Ic9n

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

50

100

150

200 tn

(

⎡⎣ , ORIGIN , last Z I := submatrixZ fun_F2( Z) :=

〈1〉

) , (ORIGIN + 1) , (ORIGIN + 13)⎤⎦

I ← submatrixZ [ , ( ORIGIN + 1) , [ ORIGIN + ( 2 ⋅Qkp + Q + m) ] , ORIGIN , ORIGIN] T

F←

[ D1⋅( STA⋅I) ] ⋅( SS ⋅I) 2 ⋅tz

F

235


F

⎡(

〈n〉

T

:= fun_F2⎣ Z

)

〈n〉 ⎤

⎦

T

Ft := F

6 5.65 5.3 4.95 4.6 4.25 3.9 3.55 3.2 0.01⋅ Ft n

2.85 2.5

Vn

2.15 1.8 1.45 1.1 0.75 0.4 0.05 0.3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.65 1 tn

6

5

4

3

Vn

2

1

50

0

50

100

150

200 Ft n

236

250

300

350

400

450

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ Глава 1. КОНСТРУКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ

3 7

ИНДУКЦИОННЫХ МАШИН (ЛИМ) 1.1. Линейные асинхронные двигатели и их применение 1.2. Магнитогидродинамические установки 1.3. Синтез конструкций ЛИМ Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЛИМ 2.1. Особенности процессов в ЛИМ 2.1.1. Влияние краевых эффектов 2.1.2. Особенности регулирования скорости ЛАД 2.2. Классификация моделей Глава 3. СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ЛИМ И МОДЕЛИ НА ИХ ОСНОВЕ 3.1. Т-образная схема замещения (СЗ) 3.2. СЗ на основе Е-Н четырехполюсников 3.2.1. Модель одноиндукторной ЛИМ 3.2.2. Модель двухиндукторной ЛИМ 3.3. СЗ с распределенными параметрами 3.4. Детализированные СЗ с сосредоточенными параметрами 3.4.1. Конечно-разностная модель двумерного магнитного поля в прямоугольной системе координат 3.4.2. Переход к детализированной магнитной СЗ 3.4.3. Особенности учета индуцированных токов 3.5. Математическая модель плоской ЛИМ 3.5.1. Модель с немагнитными слоями одинаковой толщины 3.5.2. Модель с анизотропными слоями разной толщины 3.5.3. Модель с учетом влияния боковых шин слоев 3.5.4. Режим питания ЛИМ от источника напряжения 3.6. Математическая модель цилиндрической ЛИМ с бегущим полем 3.6.1. Формирование схемы замещения ЦЛИМ 3.6.2. Модель ЦЛИМ со слоями равной толщины 3.6.3. Модель ЦЛИМ с неоднородными слоями 3.6.4. Модификация модели с обратными и «свернутыми» внутренними слоями 3.6.5. Учет модуляции электрической проводимости вдоль слоя 3.7. Модель цилиндрической ЛИМ с вращающимся полем 3.8. Динамическая модель плоской ЛИМ 3.8.1. Модель ЛИМ при постоянной скорости движения ВЭ 3.8.2. Учет изменения скорости движения ВЭ Глава 4. СТРУКТУРА КОМПЬЮТЕРНЫХ ПРОГРАММ РАСЧЕТА ЛИМ 4.1. Программы на языке Фортран 4.2. Программы в пакете Mathcad 4.2.1. Общая характеристика программ 4.2.2. Ввод исходных данных 4.2.3. Расчет параметров по общепринятым методикам

7 15 18 24 24 24 28 30 34 34 38 38 44 52 54 54 56 59 61 61 65 68 70 72 72 74 79 87 91 92 98 98 101 102 102 107 107 108 109

ОГЛАВЛЕНИЕ

4.2.4. Формирование МДС и ЭДС 4.2.5. Расчет геометрических параметров участков слоев 4.2.6. Расчет магнитных и электрических сопротивлений участков 4.2.7. Свертывание матричных сопротивлений в схемах 4.2.8. Расчет векторов магнитных потоков, индукций, токов, усилий слоев 4.2.9. Расчет интегральных параметров машины 4.2.10. Построение расчетных кривых и поверхностей Глава 5. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК ЛИМ 5.1. Расчет характеристик двигателя SL-5-270 5.2. МДС различных обмоток ЛИМ 5.3. Сравнение методик расчета ЛИМ 5.4. Индукции и удельные усилия в четырехиндукторной ЛИМ 5.5. Исследование динамических режимов ЛИМ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Приложение 1. Расчет характеристик кругового аналога ЛАД на основе Тобразной схемы замещения Приложение 2. Расчет характеристик ЛАД на основе схем замещения с распределенными параметрами Приложение 3. Расчет потерь и усилий в индукционной машине методом Е-Н-четырехполюсников Приложение 4. Расчет плоской линейной индукционной машины на основе детализированных СЗ Приложение 5. Расчет цилиндрической ЛИМ (с бегущим по оси магнитным полем) Приложение 6. Расчет цилиндрической ИМ (с вращающимся магнитным полем) Приложение 7. Расчет динамических режимов ЛИМ ОГЛАВЛЕНИЕ

235

111 114 115 117 118 121 123 126 126 131 148 156 159 166 169 173 181 191 202 214 228 234

Математические модели линейных индукционных машин на основе схем замещения: Учебное пособие

Recommend Documents